Ejecicios de Álgebra Fundamental

MATEMÁTICA I
Equipo Docente
EJERCICIOS DE REPASO DE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
BÁSICA
TEMA: TEORIA DE EXPONENTES
1. Calcular
𝟐𝐧+𝟏
𝐧
𝐄 = √ 𝐧+𝟐
√𝟒√𝟒𝐧
Solución:
Trabajando con el denominador:
n+2
√4√4n =
n+2
n
√41+2 =
n+2
2
n+2
√(22 )
n+2
√4. 4n⁄2
n+2
√4n+2
2
=
n+2
n+2
√2n+2 = 2n+2 = 2
Reemplazando, descomponiendo y simplificando:
n
E= √
n
2n . 21 n n
= √2 = 2n = 2
2
Rpta: 2
2. Calcula el valor de:
𝟐𝐱+𝟒 + 𝟑𝟔(𝟐𝐱−𝟐 )
𝐄 = 𝐱+𝟓
𝟐
− 𝟐(𝟐𝐱+𝟑 ) − 𝟒(𝟐𝐱+𝟏 ) − 𝟔(𝟐𝐱−𝟏 )
Solución:
E=
2x . 24 + 36 (
2x
)
22
2x
2x . 25 − 2(2x . 23 ) − 4(2x . 21 ) − 6 ( 2 )
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2x . 24 + 2x . 9
E= x 5
2 . 2 − 2x . 24 − 2x . 23 − 2x . 3
2x (24 + 9)
E= x 5
2 (2 − 24 − 23 − 3)
24 + 9
16 + 9
25
E= 5
=
=
2 − 24 − 23 − 3
32 − 16 − 8 − 3
5
Rpta: 5
3. Calcular C:
3 x 1  7 y 1  3 x
x
y
C y
;
si
3

7
7  7 . 3x  3 . 7 y
Solución:
Hallando el valor de C:
3x.31  7 y.71  3x
7 y.31  7 y.71  7 y 7 y (31  71  1)
C y


7  7 . 3x  3 . 7 y 7 y  7 . 7 y  3 . 7 y 7 y (1  7  3)
(3)
1
(3)
C 1
C
4. Hallando el valor de E:
E
20
220  320
320  2 20
Solución:
E  20
2 20  3 20
1
1
 20
20
3
2
E
20
2 20  3 20
2 20  3 20
3 20.2 20
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E  20
2 20  3 20
1
20
2  3 20
3 20.2 20
E
3 20.2 20
20
E  20
E
20
2
20

 3 20 3 20.2 20
2 20  3 20


E  3.2
320. 20 2 20
E6
5. Hallando el valor de T + A:
T
36 . 102 . 27
A  27
64 . 5
2
9 4
1
Solución:
Descomponiendo cada uno de los números en el producto de sus factores primo:
(32.22 )(22.52 ).33 35.24.52
T
 4 4  3.5  15
4
(2.3) .5
2 .3 .5
T  15
A  279
1
42
1
4 2

 279

1
2
1
3
 279  27  3
T  A  15  3  18
6. Simplifique:
2n 3  2n 2  2n 1
E
2n 2
Solución:
2n.23  2n.22  2n.21 2n (23  22  21 )
E

2n.22
2n.22

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E
10 10 5
 
22 4 2
7. Efectúe:
M
x2 . x 4 . x6 . x8 . x10
x . x3 . x 5 . x 7 . x 9
Solución:
Aplicando la ley de producto de bases iguales y cociente de bases iguales tenemos:
x 2 4 6 810 x30
M  1357 9  25  x5
x
x
M  x5
8. Simplifique:
1
 
1
 
A    3
3
1
1
 
1
 
   2
2
1
 ( 1)2003
Solución:
Resuelve aplicando la ley de exponente negativo:
1
A 
 3
A  30
  3
1
 
 2
 2 
 3
 (1)   3   2 
 2
9. Calcule:
 5 36 

L  5 4 . 530 . 29  4 
 25 


Solución:
Resolviendo tenemos:
 1  27  4  1
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 5 36  34
L  5 . 29  4  2   5 . 29  4  534   534 (29  4 )
5 
L  534 (52 )  536
34
10. Si: 3
x
y
= 7 ; reduce:
C
3x 1  7 y 1  3x
7 y  7 . 3x  3 . 7 y
Solución:
3x.31  7 y.71  3x
7 y.31  7 y.71  7 y
7 y (31  71  1)
C y

 y
7  7 . 3x  3 . 7 y 7 y  7 . 7 y  3 . 7 y
7 (1  7  3)
(3)
1
(3)
C 1
C
11. Reduce la expresión:
E  27
31
 36
21
4
 
3
1
 22
Solución:
E  27

1
3
 36

1
2
1
1
3
   2 
2
4
E
1 1 3 1
 
 
3 6  4  4
E
12
 1 1
12
1
3
1
2
 1 
 1 
3 1
 27    36    4   4




 
1x4 1x2 2x3



3x4 6x2 4x3
4
2
6


12 12 12
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12. Calcule el valor de:
A
4 x  3  4 x  2  4 x 1
22x 1  22x 2  22x 3
Solución:
22 x  6  22 x  4  22 x  2 22 x.26  22 x.24  22 x.22
A  2 x 1 2 x  2

2 x 3
22 x 22 x 22 x
2 2
2
 2  3
2
2
2
22 x (26  24  22 ) (64  16  4) (84)
A


1 1
4  2 1
7
2x 1
2 (   )
(
)
( )
2 4 8
8
8
A  96
13. Si:
n
m
2 = 3 ; reduce la expresión:
L
52 . 2n  2n 1  32 . 2n
3m  3  22 . 3m 1
Solución:
52 . 2n  2n.2  32 . 2n 2n (52  2  32 ) 2n (25  2  9) (25  2  9) 18 6
L
 m 3
 n

 
3m.33  22 . 3m.3
3 .(3  22 .3)
2 .(27  12)
(27  12)
15 5
14. Calcule el valor de:
P
2 a  2 . 4 a  2b
8 a  2 . 16 b  2
Solución:
2 a  2 . 4 a  2b 2 a.2 2 . 2 2 a.2 4b
23a.2 2. 2 4b
23a.2 2. 2 4b
P  a 2
 3a
 3a
 3a 4b 2  1
2
2
8 . 16b  2
2 . 2 .2
4b 8
4b 8
.
2
.
2
.
2
.
2
26
26
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15. Calcule el valor de:
S  ( x2
3
4
5
x3
x 4 ) (3
5
4
x)
Solución:
Sx
( 2.4  3).5  4
60
x
1
60
59
60
 x .x
1
60
x
60
60
x
16. Efectúe:
48 radicales

8
F
8
x .
x ..........
8
8
x .
x
3
3
3
x . x .......... x x
10 xx.



96 radicales
Solución:
F  10
8
x
48
( x .3 x )96

x
48
8
 12 13 
10  x .x 




48
x6

10
x
5
.48
6
x6

x
5.8
10
 x6 4  x 2
17. Calcule el valor de:
2n2  1
n2
2
5

45
(
25
)
T n
2n2  1
50
Solución:
52 n .5  45.52 n
2
T n
2
2 2 n2 1
(5 )
.2
2
2 n2 1
52 n (5  45)
2
n
2
2 2 n2
(5 )
2
2 n2
.5 .2 .2
2
n
2
52 n (50)
2 2 n2
(5 )
2 n2
.2 .50
n
2
52 n
2
2
54 n .22 n
2
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T  n2
1
2
52 n .22 n
2
1
 n2
102 n
2

1
1

 0, 01
2
10 100
18. Simplifique y calcule el valor de A:
1
1 2
 1 
2
 4 
1 
A             
5
 23 
 10  
 3 
3
2
1
1/ 2
 3  5 2 23

A  3    
 10
2
4




1/ 2
25 23


A  27 

 10
4
4


1/ 2
48 

A  37  
4


 37  12
1/ 2
 491 / 2  49  7
19. Simplifique y calcule el valor de A:

 1 
A  
  27 

2
3

 1  
  
 32  

4
5
A   27  32 


2
3
4
5
1
2
A   3 27  5 32 


4
2
1
2
1
2
1
2
1
2

 3 2
2
1
1
 1 
A  25    

25 5
 25 

1
4 2
 (9  16)
1
2
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20. Simplifique y calcule el valor de B:
3 n 1
2 n 1
3

3
B  n 2 n1 n1
3 3




3n 1
2n 1
2n
n
2n
3
.
3

3
.
3
3
.
3
3
.

1
3
.
B  n 2 n1 n1  n n n
 n n  n 32 nn
3 3
3 .3 3  1
3.
B  n 3n  3
21. Simplifique y calcule el valor de A.
402 x 3   32 x 1   122 x 2 
A
222 x 1   2 x  2
402 x.23   32 x.21   122 x.22 
A
222 x.21   2 x.22


2 x 40.23   321   1222 
A
2 x 2221   22 
1
1
40. 3  6  12. 2 5  6  3 14
2
2 
A

2
1
11  4
7
22.  4
2
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TEMA: PRODUCTOS NOTABLES
1.
Reducir:
𝐌 = (𝒙 + 𝟐)𝟐 − (𝟐 − 𝒙)𝟐 + (𝒙 − 𝟒)𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔
Solución:
𝐌 = (𝟐 + 𝒙)𝟐 − (𝟐 − 𝒙)𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔
𝐌 = 𝟒(𝟐)(𝒙) − 𝟖𝒙
Finalmente:
𝐌=𝟎
2.
Determine el valor de A:
𝐀 = (√𝒙 + 𝟐)(√𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒) + (𝒙 + 𝟒)(𝟒 − 𝒙)
Solución:
𝟐
𝐀 = (√𝒙 − 𝟐𝟐 ) (𝒙 + 𝟒) + (𝟒 + 𝒙)(𝟒 − 𝒙)
𝐀 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟒) + (𝟒𝟐 − 𝒙𝟐 )
𝐀 = (𝒙𝟐 − 𝟒𝟐 ) + (𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 )
𝐀 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐
Finalmente:
𝐀=𝟎
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3.
Reduce y determine el valor de M:
𝟐
𝐌 = (√𝟕 + √𝟑) + (√𝟕 − √𝟑)
𝟐
Solución:
𝐌 = 𝟐[(√𝟕)𝟐 + (√𝟑)𝟐 ]
𝐌 = 𝟐[𝟕 + 𝟑]
Finalmente:
𝐌 = 𝟐𝟎
4.
Efectúe:
𝐄 = (𝐚 + 𝟓)(𝐚 − 𝟓)(𝒂𝟐 + 𝟓𝟐 )(𝒂𝟒 + 𝟓𝟒 ) − 𝒂𝟖
Solución:
𝐄 = (𝒂𝟐 − 𝟓𝟐 )(𝒂𝟐 + 𝟓𝟐 )(𝒂𝟒 + 𝟓𝟒 ) − 𝒂𝟖
𝐄 = (𝒂𝟒 − 𝟓𝟒 )(𝒂𝟒 + 𝟓𝟒 ) − 𝒂𝟖
𝐄 = 𝒂 𝟖 − 𝟓𝟖 − 𝒂 𝟖
Finalmente:
𝐄 = −𝟓
5.
𝟖
Calcular el valor de:
𝟑𝟐
𝟐
𝐄 = √𝟏 + 𝟑(𝟐 + 𝟏)(𝟐𝟒 + 𝟏)(𝟐𝟖 + 𝟏)(𝟐𝟏𝟔 + 𝟏)(𝟐𝟑𝟐 + 𝟏)(𝟐𝟔𝟒 + 𝟏)
Solución:
Se puede reemplazar: 3 = 22 − 1
 (22 − 1)(22 + 1) = 24 − 1
 (24 − 1)(24 + 1) = 28 − 1
 (28 − 1)(28 + 1) = 216 − 1
 (216 − 1)(216 + 1) = 232 − 1
 (232 − 1)(232 + 1) = 264 − 1
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 (264 − 1)(264 + 1) = 2128 − 1
Finalmente la expresión queda:
32
128
32
E = √1 + 2128 − 1 = √2128 = 2 32 = 24 = 16
6.
Multiplique:
M = (a + b)(a2 + ab + b2)(a - b)(a2 – ab + b2)
Solución:
M   a3  b3  a3  b3 
M  a 6  b6
7.
Reduce:
M  ( x5  4) ( x5  7) – ( x5  2) ( x5  9)
Solución:
M  x10  11x 5  28  ( x10  11x 5  18)
M  x10  11x 5  28  x10  11x 5  18
M  10
8.
Simplifique:
L  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  1
Solución:
L  ( x 2  5 x  4)( x 2  5 x  6)  1
L  (a  4)(a  6)  1
L  a 2  10a  24  1
L  a 2  10a  25
L  (a  5) 2
L  a  5  x2  5x  5
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9.
Halle “M” en:
M  20  392 * 20  392
3
3
Solución:
M  3 202  142.2
M  3 400  392
M 38
M 2
10. Evalúe:
8
3(22  1)(24  1)(28  1)  1
Solución:
M
8
M
8
M
8
2
2
2
2
 1 22  1 24  1 28  1  1
4
 1 24  1 28  1  1
8
 1 28  1  1
M  8 216  1  1
M  8 216
M  22  4
11. Si:
𝑎 = √3 + √2
𝑏 = √3 − √2.
y
a
C
2
a
c
 b 2  a 2b 2  a 2  b 2  a 2b 2
a  b 4  a  b 4
2
 b 2  a 2b 2  a 2  b 2  a 2b 2
a  b 4  a  b 4
c
 
Simplificar:
2

 

2


4 a 2  b 2 a 2b 2

a  b   a  b 
2 2
2 2



2

2


4 a 2  b 2 a 2b 2
c

2
2
2
2
a  b   a  b  a  b   a  b 







4 a 2  b 2 a 2b 2
a 2b 2 ab
c


2 a 2  b 2 4ab 2ab
2

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12. Si:
𝑎 = 2 − √2
𝑏 = 2 + √2.
y
Simplificar:
2
2

a  b   a  b 
D
a  b a  b   2ab  2b 2
4ab
a 2  b 2  2ab  b 2  b 2
4ab
D 2
a  2ab  b 2  b 2  b 2
4ab
D
a  b 2
D
D



2
4 2 2 2 2
2 
2
2 2
2
4 22  2 
  42  2
D 
2
4
13. Determine el valor de “K” en:
a  b  a  b   4a
K
2 2
2
a
Para:
𝑎 = √2 + 1
2
a
2
 a  b 

2 2

 4 a 2  b2
  a  b 
2a  b   2a  b 
K 
4a b 
4a  b   a  b  
K 
4a b 
44a b 
4
K 

4a b  a b
4
2
 b4
2
2
2
2
4
2
2
2
2 2
4
2
4
2
K 
4

a b2
K 
4
4
2 1
2

4
2 2
2
4
2
4 2
4
2
4
2


𝑏 = √2 − 1.
y
a  b 
K 
 
 b4  a 4  b4
4
 b2
2

2
4

2 1
2

2 1
2

4
2
2  12
2
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
TEMA: FACTORIZACIÓN
1.
Reduce:
 x2  x  2   x2  7 x  12 



 x2  2x  3   x2  6x  9 

 

Solución:
 x  2  x  1 :  x  4  x  3
 x  3 x  1  x  3 x  3
 x  2  .  x  3
 x  3  x  4 
 x  2
 x  4
2.
Simplifique:
2
 x 1 x 1  x 1 

E 

  2
x

1
x

1
2
x

2



Solución:
 x  1   x  1 .  x  1 x  1
2  x 2  1
 x  1 x  1
2
2  x 2  1
2  x 2  1
3.
2
1
Reduce:
M
Solución:
M
b a  b b a  b

a b  a  a  a  b
M
b  b  a  b

a b  a  a
M
b b
2b
 
a a
a
ab  b2
ab  a2

ab  b2
a2  ab
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
4.
Reduce:
2x2  10 x
x2  25

x2  16 x  15
x2  6x  5
Solución:
2 x  x  5
 x  15 x  1

 x  5 x  5  x  5 x  1
2x
x  15 3x  15 3( x  5)



3
x5 x5
x5
x5
5.
Efectúe:
x2  2x  3
2
2x  x  1

x2  4
2x2  5x  2
Solución:
 x  3 x  1   x  2  x  2 
 2 x  1 x  1  2 x  1 x  2 
x  3 x  2 2x 1


1
2x 1 2x 1 2x 1
6.
Simplifique:
x 2  x  6 x 2  3x  4 x 2  49
.
.
x 2  6 x  7 x 2  7 x  12 ( x  2) 2
Solución:
( x  2)( x  3) ( x  1)( x  4) ( x  7)( x  7)
.
.
( x  1)( x  7) ( x  3)( x  4) ( x  2)( x  2)
x7
x2
7.
Simplificar:
x 2  15 x  56 x 2  x  12 x 2  15 x  56
.
.
x 2  5 x  24 x 2  49 x 2  4 x  32
Solución:
( x  7)( x  8) ( x  3)( x  4) ( x  8)( x  7)
.
.
1
( x  8)( x  3) ( x  7)( x  7) ( x  4)( x  8)
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
8.
Simplifica:
x2 1
x3  27 x3  2 x 2  8 x
. 2
. 2
3
2
x  3x  9 x x  2 x  8 x  4 x  3
Solución:
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 3𝑥 + 9) 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)
.
.
(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 2 + 3𝑥 + 9)
=𝑥+1
9.
Simplifica:
3  2
3   x  17 
 1
 x  5  x  5   x  3  x  4  :  x 2  x  20 
Solución:
2
 4   2 x  8  3 x  9   x  x  20 
.
 x  5   ( x  3)( x  4)   x  17 

 

 4   ( x  17)   ( x  4)( x  5) 
 x  5   ( x  3)( x  4)  . 

x  17


4
x3
10. Factorizar la expresión:
P(x, y) = x5y + 2x4y2 + x3y3
Solución:
FC  x3 y
 x3 y ( x 2  2 xy  y 2 )
 x3 y ( x  y )2
11. Factorizar la expresión:
M(x, y) = 12(x - y)2 + 7(x - y) – 12
Solución:
12( x  y ) 2  7( x  y )  12  3( x  y )  4 4( x  y )  3
3( x  y )
4( x  y )
4
3
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
12. Factorizar:
M(x, y) = ab(x2 – y2) + xy(a2 – b2)
Solución:
abx 2  xya 2  aby 2  xyb 2
ax(bx  ay )  by (ay  bx )
(ay  bx )(ax  by )
13. Factorizar:
M(x, y) = (3x + y)2 – (3y - x)2
Solución:
9 x 2  6 xy  y 2  (9 y 2  6 xy  x 2 )
9 x 2  6 xy  y 2  9 y 2  6 xy  x 2
8 x 2  12 xy  8 y 2
4(2 x 2  3xy  2 y 2 )
4(2 x  y )( x  2 y )
14. Factorizar:
M(x, y) = x3 – 2x2y + xy2 – 2y3
Solución:
x3  2 x 2 y  xy 2  2 y 3
x2 ( x  2 y)  y 2 ( x  2 y)
( x  2 y )( x 2  y 2 )
15. Factorizar:
P(x, y) = 25x4 – 109x2y2 + 36y4;
Solución:
25 x 4  109 x 2 y 2  36 y 4  (25 x 2  9 y 2 )( x 2  4 y 2 )
25 x 2
-9 y 2  9 x 2 y 2
x2
-4 y 2  100 x 2 y 2
(25 x 2  9 y 2 )( x 2  4 y 2 )
 5 x  3 y  5 x  3 y  x  2 y  x  2 y 
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
16. Factorizar:
M(x,y,z) = xm+a + xmyb + xayn + ynyb + zpxa + zpyb
Solución:
xm xa  xm yb  xa y n  y n yb  z p xa  z p yb
xm ( xa  yb )  y n ( xa  yb )  z p ( xa  yb )
( x a  y b )( x m  y n  z p )
17. Factorizar:
M(x) = x3 – 7x + 6
Solución:
Primero completamos la expresión algebraica:
1 0 7 6
1
1 1 6
1 1 6 0
2
2 6
1 3
x3 + 0x2 – 7x + 6
 ( x  1)( x  2)( x  3)
0
18. Factorizar:
R= 32m+2 – 3m+1 – 30
Solución:
32 m  2  3m 1  30
32.32 m  3.3m  30  (3.3m  6)(3.3m  5)
3.3m
 6  18.3m
3m
+5  15.3m
 3.3m
 (3.3m  6)(3.3m  5)  3(3m  2)(3.3m  5)
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
19. Factorizar:
P(x,y) = 10x4 + 7x2y2 – 12y4
Solución:
10 x 4  7 x 2 y 2  12 y 4  (5 x 2  4 y 2 )(2 x 2  3y 2 )
5x2
 4 y 2  8 x 2 y 2
2 x2
3y2  15x 2 y 2
20. Factorizar:
(x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38
Solución:
( x 2  2 x  3)( x 2  2 x  24)  38
(a  3)(a  24)  38
Hacemos un cambio de variable,
x2-2x = a
a 2  27a  72  38
a 2  27a  110
a
a
 22  22a
 5  5a
(a  22)(a  5)  ( x 2  2 x  22)( x 2  2 x  5)
21. Factorizar:
P(x) = x8 - 1
Solución:
x8  1  ( x 4  1)( x 4  1)  ( x 2  1)( x 2  1)( x 4  1)
 ( x  1)( x  1)( x 2  1)( x 4  1)
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
22. Factorizar:
x5  3x 4  5 x3  15 x 2  4 x  12
Solución:
1
1
1
2
1
1
1
2
3
5 15
1
4
4
1 16 12
2
12
22
12
6
11
6
0
1 5
6
5
0
6
1
4
12
16 12
0
  x  1 x  2  x  1 x  2  x  3
2 6
1
3
0
23. Factorizar:
x 4  2 x3  x 2  4 x  6
Solución:
1
3
1
4
6
3
2
6
2
6
0
1
0
2
0
2
0
2
3
1 1
1
1
  x  3 x  1  x2  2 
24. Factorizar:
2 x3  3x 2  11x  6
Solución:
3 11 6
3
6 9
6
2 3 2 0
2
4
2
2
2
1
0
  x  3 x  2  2 x  1
MATEMÁTICA I
Equipo Docente
25. Factorice y simplifique la expresión algebraica F.
x 3  9 x ²  24x  20
x²  x  6
F 3

2
x  4 x x  7 x  10
x²  2 x



x  2x  7 x  10 . x( x  2)
F
xx  4 x  7 x  10 ( x  3)( x  2)
2
2
2
F
x  2
x  2x  2( x  3)
F
1
x  2( x  3)
26. Factorice y simplifique la expresión algebraica F.
x 3  5 x ²  2 x  24 x 3  1
F

3
x  x²  6 x
x²  x
x  2x  4x  3  x  1x²  x  1 
x x ²  x  6
x x  1
x  2x  4x  3  x ²  x  1 
F
x x  3 x  2
x
x  4  x²  x  1  x ²  x  1  x  4
F
F
x
x²  5
F
x
x
x
27. Factorice y simplifique la expresión algebraica F.
F
F
F
F
F
4 x3  64x
4 x ²  16x

3
x  2 x²  x  2 x²  x  2
4 x3  64x
4 x ²  16x
 3


x  2 x²  x  2 x²  x  2
4 x3  64x
x²  x  2
 3
.

x  2 x ²  x  2 4 x ²  16x
x  2x  1
4 x x 2  16

.
x  1x  2x  1 4 x 2  16
x

x  1



