DEBER1

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
Sistemas de Control Discreto
DEBER Nº 1
TRASFORMADA Z, TEOREMA DE MUESTREO
Fecha de Entrega: 22 de octubre del 2019
1. Para las siguientes funciones E(s), Considere T=0.1 seg.
a. Encontrar la transformada z de las siguientes funciones.
b. Compare la localización de los polos y ceros de E(z) en el plano z con aquellas de
E(s) y E*(s) en el plano s.
c. Calcule las ganancias cuando 𝑠 → 0 y 𝑠 → ∞, y cuando 𝑧 → 1 y 𝑧 → ∞
Go( s) 
10
s ( s  0.5) * ( s  20)
Gp( s) 
3𝑒 −𝑠
𝐺1 (𝑠) = (𝑠+1)(𝑠+3)
𝐺2 (𝑠) =
1
s( s  1) 2
78( s  3)
( s  18)
Nota: Recuerde que la señal 𝑒 ∗ (𝑡) es la señal a la salida del muestreador ideal y 𝐸 ∗ (𝑠) es
su respectiva transformada de Laplace.
2. Obtener la trasformada Z inversa x(KT) las siguientes expresiones
𝑧
𝑧+1
a. 𝑧 2 +0.3𝑧+0.02 b. 𝑧 2 +0.3𝑧+0.02
𝑧(𝑧+1)
c. 𝑧 2 +0.3𝑧+0.02
a. Usando los métodos de división directa,
b. Fracciones parciales y
c. Integral de inversión de la siguiente transformada z:
3. Resolver las siguientes ecuaciones de diferencias:
a. 𝑥(𝑘) − 1.5𝑥(𝑘 − 1) + 0.5(𝑘 − 2) = 𝑒(𝑘)
1,
𝑘=1
𝑒(𝑘) = {
0,
𝑘≠1
𝑥(−2) = 𝑥(−1) = 0
b. 𝑦(𝑘) − 3𝑦(𝑘 − 1) + 2𝑦(𝑘 − 2) = 2𝑢(𝑘 − 1) − 2𝑢(𝑘 − 2)
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Si 𝑢(𝑘) = {
1 𝑘≥0
y 𝑦(𝑘) = 0 𝑘 < 0
0 𝑘<0
𝒛
4. Si se conoce la trasformada z de la señal paso u(t) es 𝒛−𝟏, hallar la trasformada Z de la
siguientes señales utilizando la propiedades de la trasformada Z
a. 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 ∗ 𝑡 ∗ 𝑢(𝑡)
b. 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2(𝑡−0.5) ∗ (𝑡 − 0.5) ∗ 𝑢(𝑡 − 0.5)
c. 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 ∗ 𝑡 ∗ cos(2𝑡)𝑢(𝑡)
5. Los siguientes sistemas van a ser controlados digitalmente. Seleccione el periodo de
muestreo adecuado para cada sistema de lazo cerrado si los controladores de los sistemas
van a cumplir con especificaciones de diseño dada.
a. Gos  
1
; Constante de Tiempo 0.2 seg.
s4
1
b. Gos   2
; 𝜔𝑛 =2rad/s ; ξ=0.5
s  4s  2
c.
Repita el problema anterior si a los sistemas tiene los siguientes retardos en los
sensores
i. Para a) 0.015 seg.
ii. Para b) 0.03 seg.
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