Fracciones

Matemática semana 9 FICHA 9
Operaciones con números racionales
1.- Suma y resta de números racionales
Para sumar o restar dos o más fracciones es
condición necesaria que tengan el mismo
denominador. Si tuvieran distintos
denominadores lo primero que hay que hacer es
obtener fracciones equivalentes con igual
denominador.
Para sumar o restar fracciones con igual
denominador se suman o restan los
numeradores y se mantiene el mismo
denominador:
2/3 + 5/3 + 7/3 = (2 + 5 + 7)/3 = 14/3
9/2 – 3/2 – 4/2 = (9 – 3 – 4)/2 = 2/2
Veamos ahora un ejemplo con fracciones con
distintos denominadores:
4/5 + 2/3
Procedemos a calcular fracciones equivalentes:
Aplicamos el procedimiento del mínimo común
múltiplo: 5 x 3 = 15
Sustituimos las fracciones originales por
fracciones equivalentes:
12/15 + 10/15
Ya podemos sumar:
12/15 + 10/15 = 22/15
2.- Multiplicación de números racionales
Se multiplican sus numeradores y sus
denominadores.
4/6 x 7/3 = (4 x 7)/(6 x 3) = 28/18
3.- División de números racionales:
Se multiplica el numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y el denominador
de la primera por el numerador de la segunda.
5/3 : 7/4 = (5 x 4)/(3 x 7) = 20/21
4.- Potencia de un número racional:
Se elevan tanto el numerador como el
denominador a dicha potencia.
(2/5)3 =23/53 = 8/125
Signo de la potencia:
Si la fracción es positiva, la potencia siempre es
positiva
Si la fracción es negativa, el signo de la potencia
va a depender del exponente: si el exponente es
par, la potencia es positiva; si el exponente es
impar la potencia es negativa.
Veamos algunos ejemplos:
(-2/4)2 =-22/42 = 4/16 (como el exponente es par
el resultado es positivo)
(-2/4)3 =-23/43 = -8/64 (como el exponente es
impar el resultado es negativo)
Operaciones con fracciones
1. Conceptos necesarios
Dada una fracción a/b,
a es el numerador
b es el denominador
Si dividimos un todo en b partes iguales, la
fracción a/b son a de estas partes:
Fracción irreductible
La fracción a/b es irreductible si el máximo
común divisor de a y b es 1. Esto significa que el
resultado de la división a/b es un número
decimal.
Si una fracción no es irreductible, podemos
transformarla en una fracción irreductible
dividiendo el numerador y el denominador entre
su máximo común divisor.
Otro método para simplificar es escribir
numerador y denominador como productos para
eliminar los factores comunes.
Más información y ejemplos de fracciones
irreductibles en fracción irreductible.
2. Suma y resta de fracciones con
denominador común
Suma:
Cuando dos fracciones tienen el mismo
denominador, su suma se calcula sumando los
numeradores:
¡Los denominadores no se suman!
Ej. La suma de 5/9 (cinco novenos) y 2/9 (dos
novenos) son 7/9 (siete novenos):
Resta: La resta de dos fracciones con
denominador común se calcula restando sus
numeradores:
Ej. La resta de 5/9 (cinco novenos) menos 2/9 (dos
novenos) es 3/9=1/3 (un tercio):
En el último paso hemos dividido numerador y
denominador entre 3.
Problema 1
Calcular las siguientes sumas de fracciones con
denominador común:
La fracción 1/2 es igual a la fracción 2/4 (se
observa perfectamente en la representación). Si
usamos esta fracción en lugar de 1/2, tenemos
denominador común y podemos sumar las
fracciones fácilmente.
Luego, lo que tenemos que hacer es cambiar
una o ambas fracciones por fracciones
equivalentes de forma que ambas tengan el
mismo denominador.
Método
Para hacer esto, escribiremos como nuevo
denominador al mínimo común múltiplo de los
dos denominadores:
Problema 2
Calcular las siguientes restas de fracciones con
denominador común:
Observad que la fracción es negativa
(se conserva el signo de la fracción
mayor).
Los numeradores se calculan dividiendo el
nuevo denominador entre el antiguo y
multiplicando el resultado por el antiguo
numerador:
Parece complicado, pero es muy sencillo.
Resta:
3. Suma y resta de fracciones con
distinto denominador
Suma:
Si los denominadores son distintos, la suma no
se calcula simplemente sumando sus
denominadores. Por ejemplo, consideremos las
fracciones 1/2 y 1/4:
Para calcular la resta, procedemos del mismo
modo, pero restando los numeradores en el
paso final.
Problema 3
Calcular las siguientes sumas de fracciones con
denominador distinto:
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Por tanto,
tenemos
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. Por
tanto, tenemos
El mínimo común múltiplo de 5 y 3 es 15. Por
tanto, tenemos
Problema 4
Calcular las siguientes restas de fracciones con
denominador distinto:
El mínimo común múltiplo de 3 y 6 es 6. Por tanto,
tenemos: 1/3−5/6 =
4/3−3/2 : El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6.
El denominador es el producto del denominador de
la primera fracción y del numerador de la segunda.
También, podemos escribir la división como
Regla que suele ayudar: el de arriba (nn) por el
de abajo (bb) entre los dos del medio (mm y aa).
Problema 6
Calcular las siguientes divisiones de fracciones:
Multiplicamos en forma de cruz:
Escribimos 15 como 3·5 y 12 como 6·2:
Por tanto, tenemos
5/2−1/6= El mínimo común múltiplo
de 22 y 66 es 66. Por tanto, tenemos
½/¾
6. Fracción de un número
4. Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones es muy fácil de
calcular y no importa si tienen denominador
común o no:
Es decir, se multiplican los numeradores y los
denominadores.
Por ejemplo,
Recordad que una fracción es una parte de un
todo. Sin embargo, no es lo mismo una cuarta
parte de una clase de 100 estudiantes que de
una clase de 150.
La fracción a/b de N se calcula multiplicando la
fracción por N:
Por ejemplo, una cuarta parte de una clase de
100 alumnos son 25 alumnos:
5. División de fracciones
La división de fracción se calcula multiplicando
numerador y denominador en cruz:
Por ejemplo,
Es decir,
El numerador es el producto del numerador de la
primera fracción y del denominador de la segunda.
Y una quinta parte de tres quintas partes de
dicha clase son 12 alumnos:
Tipos de número decimal
Según cómo sean sus decimales, podemos
agrupar los números decimales en distintos
tipos:
Racional: es el resultado de calcular una
fracción (razón) con decimales. Hay dos tipos:
Exacto: resultado de una división exacta.
Tiene un número finito de decimales (aunque
puedan ser muchos).
Por ejemplo 1/5=0,2 y 4321/1000=4,321.
Periódico: la división no es exacta.
Siempre habrá un grupo de cifras que se
repita una y otra vez. Se llama periodo o
parte periódica. Suele escribirse poniendo
un arco por encima suya.
Periódico puro: no hay cifras decimales
entre la parte entera y el periodo.
Por ejemplo: 1/3=0,1111...=0,1^. La
parte entera es 0 y la parte periódica es 1.
Periódico mixto: hay algunas cifras
decimales entre la parte entera y el periodo.
Esas cifras se llaman anteperiodo.
Por ejemplo: 113/9=1,2555...=1,25^. La
parte entera es 1, el anteperiodo es 2 y la
parte periódica es 5.
En el apartado Explora los tipos de números
racionales podremos crear nuestros ejemplos
y aprenderemos cómo encontrar la fracción
generatriz, que es la que al dividir tiene
como resultado ese número decimal.
El símbolo para el conjunto de números
racionales es Q.
Irracional: no puede obtenerse dividiendo
números enteros.
Siempre tienen infinitos decimales, y además
no hay un grupo que se repita una y otra vez.
Por ejemplo π=3,14159...,
√2=1,41421... √3=1,73205... y la raíz de
cualquier número entero que no sea exacta.
El símbolo para el conjunto de los números
irracionales es I.
Mini-actividad:
Nunca podremos escribir todos los decimales
de un número irracional, pero a veces
podemos dar un mecanismo para calcular sus
cifras. Por ejemplo:
1, 2 3 4 5 6 7 8... se genera ¡escribiendo
números en orden! pero es irracional porque
nunca podríamos escribirlo como número
periódico.
1, 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11... se genera
escribiendo dos veces cada número impar.
También es irracional.
¿Sabrías poner más ejemplos como
estos?