DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Teoría
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5/1/2019
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
OBJETIVO
Objetivo general del módulo. Que los asistentes actualicen los conocimientos
necesarios para diseñar, analizar y obtener inferencias sobre experimentos
conducentes a la mejora de productos y procesos en la industria y que sean capaces de
aplicar la mejor estrategia experimental para resolver un problema de desarrollo de
productos, o de calidad en los productos.
Contenido
1. INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS .......................................................... 4
1.1 Aplicaciones del diseño de experimentos .............................................................. 5
Definición de experimento, diseño de experimentos y eficiencia de un
experimento ............................................................................................................. 7
1. 2 Principios básicos del diseño de experimentos ..................................................... 7
1.3. Metodología general para realizar un experimento ........................................... 9
1.4. Aplicaciones del diseño de experimentos. .......................................................... 13
2. ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1 VIA) ............................................ 15
2.1 Introducción.......................................................................................................... 15
2.2 Tipos de variación y sumas de cuadrados ............................................................ 16
2.3 Uso de Excel: ......................................................................................................... 18
2.4 Uso de Minitab ..................................................................................................... 19
2.5 Grafica de residuos contra el valor ajustado de ŷij .............................................. 20
2.6 Ejercicios ............................................................................................................... 21
3. ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES (ANOVA 2 VIAS) ..................... 23
3.1 Introducción.......................................................................................................... 23
3.2 Ejemplos con cálculo manual ............................................................................... 23
3.3 Procedimiento en Excel ........................................................................................ 24
3.4 ANOVA en Minitab ............................................................................................... 25
4. DISEÑOS FACTORIALES ............................................................................................... 29
4.1 Principios y definiciones básicas ........................................................................... 29
Ventajas de los diseños factoriales......................................................................... 31
4.2 Diseño factorial de dos niveles (2^K) ................................................................... 32
5. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FRACCIONALES DE DOS NIVELES ................................. 40
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5.1 Concepto de replicación fraccionada ................................................................... 40
5.2 Fracción un medio del diseño 2k .......................................................................... 41
5.3 Resolución del diseño ........................................................................................... 44
6. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS .......................................... 46
6.1 Diseño factorial completo de 2 factores .............................................................. 46
6.2 Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos .................................................. 48
7. DISEÑO DE EXPERIMENTOS TAGUCHI ........................................................................ 56
7.1 Introducción.......................................................................................................... 56
7.2 Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles ....................................... 57
7.3 Caso menor es mejor ............................................................................................ 59
8. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL .......................................................................... 64
8.1 Introducción.......................................................................................................... 64
8.2 Ejemplo manual .................................................................................................... 66
8.3 Uso de Excel .......................................................................................................... 68
8.4 Uso de Minitab ..................................................................................................... 69
8.5 Ejercicios: .............................................................................................................. 71
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1. INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS
l diseño de experimentos es una técnica estadística que nos ayuda a identificar qué
Efactores o variables afectan El comportamiento de un proceso productivo y de esta
manera poder mejorarlo.
O bien: es una prueba o una serie de pruebas en las cuales se inducen cambios
deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema, de manera que sea
posible observar e identificar las causas de los cambios en la respuesta de salida.
Experimento: es una prueba o ensayo.
El proceso o sistema bajo estudio puede representarse por medio del modelo de la
figura 1.1.
Factores controlables
x1 x2 x3 x4 ... xp
Entradas
Salida
Proceso
y
z1 z2 z3 z4 ... zq
Factores incontrolables
Figura 1. Modelo general de un proceso o sistema
Algunas de las variables del proceso x 1, x2,..., xk son controlables, mientras que otras z 1,
z2,...,zk son incontrolables (aunque pueden ser controlables para los fines de prueba).
Entre los objetivos del experimento pueden incluirse:
1. Determinar cuáles variables tiene mayor influencia en la respuesta, y.
2. Determinar el mejor valor de las x que influyen en y, de modo que y tenga casi
siempre un valor cercano a valor nominal deseado.
3. Determinar el mejor valor de las x que influyen en y, de modo que la
variabilidad de y sea pequeña.
4. Determinar el mejor valor de las x que influyen en y, de modo que se
minimicen los efectos de las variables no controlables z1, z2,...zq.
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Lo métodos de diseño experimental tiene un propósito que puede ser desarrollar un
proceso consistente o robusto; esto es, un proceso que no sea afectado por fuentes
de variabilidad externas o ruido (las zi).
En el diseño de experimentos se plantean varias preguntas importantes:
1. ¿Son estas dos soluciones los únicos medios para lograr la respuesta de
interés?
2. ¿Existen otros factores que pueden afectar la respuesta de las muestras y que
deban ser investigados o controlados?
3. ¿Cuántas muestras deben ser sometidas a cada solución de templado?
4. ¿En que forma debe asignarse cada muestra a los tratamientos, y en qué orden
deben realizarse las mediciones?
5. ¿Qué método de análisis debe utilizarse?
6. ¿Qué diferencia en los niveles promedio de respuesta entre los dos
tratamientos debe considerarse como significativa?
Estas, y quizá muchas otras preguntas, deberán ser contestadas satisfactoriamente
antes de llevar a cabo el experimento.
1.1 Aplicaciones del diseño de experimentos
l diseño de experimentos puede servir para mejorar el rendimiento de un proceso
Ede manufactura, desarrollo de nuevos procesos con lo que se logra:
1.
2.
3.
4.
Mejorar el rendimiento del proceso.
Menor variabilidad y mayor apego a los requerimientos nominales y objetivos.
Menor tiempo de desarrollo.
Menores costos totales.
Los métodos de diseño de experimentos también se aplican al diseño de productos
como sigue:
1. Evaluación y comparación de conceptos de diseño básicos.
2. Evaluación de materiales alternativos.
3. Selección de parámetros de diseño de modo que el producto funcione bien desde
una amplia variedad de condiciones de uso real; Esto es, de modo que el producto
sea consistente (robusto).
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El uso del diseño de experimentos en estas áreas puede dar por resultado productos
con mayor confiabilidad y mejor funcionamiento en el campo, menores costos, y
menor tiempo de diseño y desarrollo del producto.
El diseño estadístico de experimentos es el proceso de planear un experimento para
obtener datos apropiados, que pueden ser analizados mediante métodos estadísticos,
con objeto de producir conclusiones validas y objetivas.
Cuando se identifican los factores y su influencia en un sistema productivo, se pueden
tomar decisiones que efectivamente mejoren la calidad del producto o servicio. Se
pueden identificar las fuentes de variación reales para su reducción en la búsqueda de
la mejora continua.
Cuando se usan experimentos pretendemos analizar el efecto de cambios que
nosotros inducimos más que analizar variaciones al azar. Por ejemplo, mediante un
diagrama causa-efecto podemos identificar las posibles causas o factores que inciden
en un efecto o respuesta especifica tal y como sé muestra en la figura 2
F1
F2
F11
F21
F12
F22
CARACTERISTICA
DE CALIDAD
F41
F31
F32
F42
F4
F3
Figura 1.2 Diagrama de Causa Efecto
Mediante un experimento podemos inducir cambios en uno varios factores (F 2l. F33 y
F11 por ejemplo) y analizar estadísticamente si el cambio en los factores afecta o no el
resultado o efecto del proceso.
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Definición de experimento, diseño de experimentos y eficiencia de un
experimento
Experimento
un conjunto de pruebas estructurado y coherente que son analizadas a fin de
Escomprender
la operación del proceso.
Diseño de experimentos
el proceso de planear, ejecutar y analizar el experimento de manera que los datos
Esapropiados
sean recolectados, y que estos tengan validez estadística para obtener
conclusiones validas y útiles. Se entiende por validez estadística, el que los resultados
se puedan repetir consistentemente sobre todo en la operación a gran escala o
masiva.
Eficiencia de un experimento
Un experimento es eficiente cuando:
1.
2.
Se obtiene la información requerida.
Con el mínimo consumo de recursos.
Esto es, un experimento eficiente debe ser lo más simple y económico posible pero
efectivo. Las técnicas del diseño de experimentos pretenden que los experimentos
sean eficientes.
1. 2 Principios básicos del diseño de experimentos
que un experimento pueda tener validez estadística se deben de observar al
Para
menos tres principios:
Reproducción. Esto significa que el experimento se pueda llevar a cabo o repetir
bajo las mismas condiciones en más de una ocasión.
La diferencia observada como resultado de un experimento es real, o se debe a simple
error aleatorio, o aun más a otro factor como por ejemplo diferente tipo del material.
Para aclarar esto, es necesario repetir el experimento y cuantificar si se presenta
consistentemente o no la variación detectada.
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La reproducción por lo tanto es importante por al menos dos razones:
i) Permite cuantificar el error aleatorio inherente al proceso y
ii) Permite una mejor estimación de los parámetros.
Aleatoriedad. Esto significa que tanto el material asignado a un experimento en
particular, como el orden en que se efectúan las pruebas se efectué de una
manera aleatoria.
Suponga por ejemplo, que se desea saber si la temperatura influye en el nivel de
contaminación de un producto, medida en mgms/lt, para esto primero efectúa cuatro
pruebas a una temperatura de 80°C y enseguida cuatro pruebas a 90°C, los Resultados
son:
80ºC 2.2 2.8 3.2 3.6 2.95
90ºC 3.4 3.9 4.3 4.7 4.07
A primera vista con la temperatura de 80°C se ve que tiene menor nivel de
contaminación, sin embargo, algo raro se observa, el nivel de contaminación siempre
aumenta, esto se debe a que los residuos que quedan en el equipo aumentan
constantemente la contaminación del producto. Esto se puede evitar lavando
perfectamente el material, lo cual puede no ser físicamente posible. "En lugar de esto
podemos confundir, anular o igualar este efecto, realizando las pruebas en orden
aleatorio” bajo las dos temperaturas.
En una diagrama causa-efecto con un gran número de factores afectando la
característica de calidad, si se desea analizar el efecto de uno o varios factores, se
debería controlar y medir todos los otros factores y aun así no eliminaría el error
aleatorio, en lugar de esto se puede "confundir" o anular el efecto de estos factores no
controlables al efectuar las pruebas siguiendo un orden aleatorio o al azar.
La aleatoriedad por lo tanto es importante por al menos dos razones
i)
ii)
Confunde el efecto de factores no controlables y
Valida las pruebas estadísticas al hacer que los errores experimentales sean
estadísticamente independientes.
Análisis por bloques. Es una técnica que se usa para incrementar la precisión del
experimento. Un bloque es una porción del material experimental que sea más
homogénea que el total del material o cuando las condiciones son más
homogéneas. Al realizar un experimento por bloques se hacen las
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comparaciones entre las condiciones de interés del experimento dentro de cada
bloque.
1.3. Metodología general para realizar un experimento
Se sugieren varias metodologías en la literatura, la siguiente es una de ellas:
1. Identifique claramente el problema o situación a resolver. Antes de poder planear
un experimento necesitamos definir claramente que es la que estamos buscando, aun
cuando esto puede parecer trivial en ocasiones es tanta la presión para tomar
decisiones que corremos a experimentar sin por lo menos definir claramente nuestros
objetivos.
En este paso es necesario definir que tipo de información es exactamente la que nos
interesa, ya que no podemos medir o variar todos y cada uno de los componentes de
un experimento.
En ocasiones escuchamos que el experimento fue un éxito pero la calidad no mejoró.
Antes de planear un experimento se debe de investigar y. analizar el conocimiento y
datos que ya se tengan sobre este problema. La participación activa del personal
involucrado en el problema es de vital importancia en este paso.
En conclusión como resultado de este paso, la hipótesis a probar debe quedar bien
definida. Un diagrama causa-efecto es una buena ayuda en este paso.
2. Identificar variables. En este paso dos tipos de variables se deben de identificar,
variables dependientes y factores o variables independientes.
La variable dependiente o variable de respuesta es la característica de calidad que
queremos mejorar y cuyo comportamiento deseamos conocer, ejemplos de esta son:
porcentaje de contaminación, satisfacción de un cliente, desgaste de una herramienta,
tiempo, de falla, etc.
Es deseable que una variable dependiente reúna las características siguientes:
Cuantitativa
Precisa.
Que tenga algún significado físico.
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Las variables independientes o factores representan aquellas causas o factores cuyo
efecto sobre la variable dependiente se quiere analizar. Cada uno de estos factores se
deberá probar al menos a dos valores diferentes para evaluar su efecto, a cada uno de
estos valores o niveles se les llama tratamientos. Por ejemplo, si queremos conocer el
efecto de la temperatura sobre la dureza de un material y para ello se realizan pruebas
a 70, 80 y 90ºC se dice que tenemos un experimento de un solo factor con tres
tratamientos. Otra vez es de vital importancia la participación del personal involucrado
en el problema a fin de seleccionar apropiadamente los factores o variables
independientes y los niveles de cada factor o tratamiento de interés.
¿Cómo seleccionar los diferentes niveles de un factor?, En general un factor puede ser
cualitativo (proveedor, turno, operario, etc), o cuantitativo (temperatura, presión,
altura, tiempo, etc.). Los niveles específicos en cualquier caso se pueden seleccionar ya
sea aleatoriamente dentro de un cierto rango o a un nivel fijo definido por el
experimentador previamente, esto nos lleva a cuatro situaciones generales:
A. Factor fijo, cualitativo.
En este caso, de entre los diferentes niveles o tratamientos posibles para el factor, el
experimentador esta interesado en el efecto que ciertos niveles seleccionados por él
previamente tienen sobre la variable de respuesta. Además, el factor es del tipo
cualitativo. Por ejemplo tres proveedores, tres turnos, dos procesos diferentes, etc.
B. Factor fijo, cuantitativo.
Este caso es similar al anterior excepto que el factor es cuantitativo, por ejemplo:
temperatura, presión, tiempo, concentración de un componente, etc. Para este caso es
recomendable que los diferentes niveles o tratamientos se tomen equiespaciados,
esto es, por ejemplo 10, 20, 30 y 40 °C: 5, 10, 15, 20 y 25 psi; 8, 12, 16 y 20 minutos,
etc.
La conclusión a que se puede llegar con este caso es si la variable de respuesta es
diferente para cada uno de los tratamientos que se seleccionaron y de ser así el tipo de
relación que existe entre el factor y la variable de respuesta (lineal, cuadrática, etc.).
C. Factor aleatorio, cualitativo.
En este caso los niveles o tratamientos se seleccionan al azar de entre varios posibles.
Por ejemplo: se tienen varios lotes de un mismo proveedor, se selecciona al azar cuáles
de ellos analizar, en este caso la conclusión del experimento se extiende para cubrir
todos los posibles niveles..
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D. Factor aleatorio, cuantitativo.
Igual que en el caso anterior los diferentes niveles o tratamientos son seleccionados al
azar.
Por ejemplo para la temperatura si el rango de interés es de 0 a 100. Se puede al azar
seleccionar 5 niveles 7, 36, 46, 80 y 8 °C. La conclusión que se puede obtener en este
caso es similar al caso c.
En este material, a menos que se especifique lo contrario, los factores se consideran
fijos.
3. Definir el diseño del experimento. Esto imp1ica definir de qué manera se efectuaran
las pruebas y qué modelo matemático describe mejor el experimento. En el resto de
este material se describen varios tipos de experimentos de los cuales se tomará el que
mejor se ajuste a la situación particular.
4. Efectuar el experimento. Esto de acuerdo a lo que se defina en el paso 3.
5. Análisis de los datos. Estos son básicamente análisis estadísticos.
6. Conclusiones y toma de decisiones.
Una metodología (alterna) desarrollada por Douglas C. Montgomery es la siguiente:
usar un enfoque estadístico al diseñar y analizar un experimento se requiere que
Para
todos los participantes en él tengan de antemano una idea clara de qué es
exactamente lo que se va a estudiar, cómo se van a recopilar los datos y, al menos, una
idea cualitativa de cómo se van a analizar. A continuación, se ofrece una guía del
procedimiento recomendado:
1. Comprensión y planteamiento del problema.
Este punto pudiera parecer obvio; sin embargo, en la práctica no es sencillo darse
cuenta de que existe un problema que requiere experimentación, ni diseñar un
planteamiento claro y aceptable del mismo. Es necesario desarrollar todas las ideas
sobre los objetivos del experimento. Suele ser importante solicitar la opinión de todas
las partes implicadas. Un planteamiento claro del problema contribuye a menudo en
forma sustancial a un mejor conocimiento del fenómeno y de la solución final del
problema.
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2. Elección de factores y niveles.
El experimentador debe elegir los factores que variarán en el experimento, los
intervalos de dicha variación y los niveles específicos de interés a los cuales se hará el
experimento. También debe considerarse la forma en que se controlarán estos
factores para mantenerlos en los valores deseados, y cómo se les medirá. Para ello es
necesario conocer el proceso de manera práctica y teórica.
3. Selección de la variable de respuesta.
Al seleccionar la respuesta o variable dependiente, el experimentador debe estar
seguro de que la respuesta que se va a medir realmente provea información útil acerca
del proceso de estudio. Con mayor frecuencia, el promedio o la desviación estándar (o
ambos) de la característica medida serán la variable de respuesta. No son raras las
respuestas múltiples. La capacidad de medición (o el error de medición) también es un
factor importante. Si la capacidad de medición es deficiente, sólo puede esperarse que
el experimento detecte efectos relativamente grandes de los factores; en caso
contrario deben hacerse repeticiones.
4. Elección del diseño experimental.
Para elegir el diseño es necesario considerar el tamaño muestral (número de
repeticiones), seleccionar un orden adecuado para los ensayos experimentales, y
determinar si hay implicado bloqueo u otras restricciones de aleatorización.
Es importante tener presente los objetivos experimentales al seleccionar el diseño, se
tiene interés en identificar qué factores causan diferencias en estimar la magnitud del
cambio de la respuesta. En otras situaciones habrá más interés en verificar la
uniformidad. Por ejemplo, pueden compararse dos condiciones de producción A y 8,
siendo A la estándar y B una alternativa de menor costo. El investigador estará
interesado en demostrar que no hay diferencia en cuanto a la productividad (por
ejemplo), entre las dos condiciones.
5. Realización del experimento.
Cuando se realiza el experimento, es vital vigilar el proceso cuidadosamente para
asegurar que todo se haga conforme a lo planeado. En esta fase, los errores en el
procedimiento suelen anular la validez experimental. La planeación integral es decisiva
para el proceso. En un complejo entorno de manufactura o investigación y desarrollo,
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es fácil subestimar los aspectos logísticos y de planeación de la realización de un
experimento diseñado.
6. Análisis de datos.
Deben emplearse métodos estadísticos para analizar los datos, de modo que los
resultados y conclusiones sean objetivos más que apreciativos. Existen muchos
excelentes paquetes de software para el análisis de datos, y varios métodos gráficos
sencillos son importantes en la interpretación de tales datos. El análisis de residuos y la
verificación de la idoneidad del modelo son también técnicas de análisis de gran
utilidad.
Hay que recordar que los métodos estadísticos sólo proporcionan directrices para la
veracidad y validez de los resultados. Los métodos estadísticos, aplicados
adecuadamente, no permiten probar algo experimentalmente, sólo hacen posible
obtener el probable error de una conclusión, o asignar un nivel de confiabilidad a los
resultados. La principal ventaja de los métodos estadísticos es que agregan objetividad
al proceso de toma de decisiones. Las técnicas estadísticas, aunadas aun buen
conocimiento técnico o del proceso y al sentido común, suelen llevar a conclusiones
razonables.
7. Conclusiones y recomendaciones.
Una vez que se han analizado los datos, él experimentador debe extraer conclusiones
prácticas de los resultados y recomendar un curso de acción. En esta fase a menudo
son útiles los métodos gráficos, en especial al presentar los resultados a otras
personas. También deben realizarse corridas de seguimiento y pruebas de
confirmación para validar las conclusiones del experimento.
1.4. Aplicaciones del diseño de experimentos.
ocasiones él termino experimento se considera asociado exclusivamente
Enparamuchas
cuestiones científicas y teóricas; sin embargo tienen varias aplicaciones
prácticas.
Algunos ejemplos son:
Si la materia prima que es entregada por tres diferentes proveedores producen
características diferentes en el producto
Si diferentes marcas de herramienta tienen o no vida diferente.
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Si la temperatura de recocido afecta o no alguna propiedad mecánica del producto.
Si diferentes cabezales de una misma máquina producen productos similares.
Si un nuevo método de ensamble incrementa o no la productividad en una línea de
producción.
Cuál es el factor que más influye en la variabilidad de alguna característica de
calidad.
Es necesario tener claros y en todo caso revisar los siguientes conceptos estadísticos
antes de seguir:
¿Qué es una prueba de hipótesis?
¿Qué e s un error tipo I y Qué es un error tipo II?
¿Qué es una prueba t para comparar dos medias?
¿Qué es la potencia de una prueba de hipótesis?
¿Qué es control estadístico?.
¿Qué es nivel de significancia?.
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2. ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1
VIA)
2.1 Introducción
El análisis de la varianza de un factor (ANOVA) es una metodología para analizar la
variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la
determinación de varianzas. Es llamado de una vía porque analiza un variable
independiente o Factor ejemplo: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil
para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite
poner a prueba hipótesis tales como:
H 0 1 2 3 .... k
H1 : Al menos dos medias poblaciona les son diferentes .
Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras
independientes son:
1. Ambas poblaciones son normales.
2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es, 12 22 .
El estadístico tiene una distribución muestral resultando:
Fc
sb2
sw2
El valor crítico para la prueba F es:
F , ( k 1), k ( n 1))
Donde el número de grados de libertad para el numerador (Sb^2 > Sw^2) es k-1 y para
el denominador es k(n-1), siendo el nivel de significancia.
k = número de muestras.
Por ejemplo:
Ejemplo: Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a
3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Programa 3.
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Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programa
el diseño se denomina DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
Se observa el aprovechamiento de los empleados en los programas:
TRATAMIENTOS
I
r=1
r=2
r=3
r=4
r=5
Medias
c=1
c=2
c=3
J
Programa 1
Programa 2 Programa 3
85
80
82
72
84
80
83
81
85
80
78
90
**
82
88
80.00
81.00
85.00
Xj
Media de medias o media
total
82.14
2.2 Tipos de variación y sumas de cuadrados
1. Variación total entre los 14 empleados, su puntuación no fue igual con todos
VARIACIÓN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL
r
SCT
i 1
c
( Xij X )
2
j 1
SCT = (85-82.14)2 + (72-82.14)2+(83-82.14)2+.....+(88-82.14)2
SCT = 251.7
2. Variación entre los diferentes tratamientos o Variación entre muestras
variación entre programa 1, programa 2 y programa 3
EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL
r
SCTR rj ( X j X ) 2
j 1
SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2
SCTR = 65.71
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o
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3. Variación dentro de un tratamiento o muestra o programa dado que no todos los
empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los mismos puntajes. Se
denomina Variación dentro de los tratamientos.
VARIACIÓN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIÓN DEL ERROR
CADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO
r
SCE
i 1
SCE = SCT - SCTR =
c
(X
j 1
ij
X j )2
186
4. Grados de libertad
Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13
Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2
Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11
gl SCT = gl SCTR + gl SCE
gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c
5. Cuadrados medios (Suma Cuadrados/ Grados libertad)
CMT = Cuadrado medio total = SCT / (n-1) =
CMTR = Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1) = 32.9
CME = Cuadrado medio del error = SCE/ gle.=
19.4
16.9
6. Estadístico de prueba Fc y estadístico F crítico de alfa
Fc = CMTR / CME=
1.946745562
Falfa, gl.numerador, gl.denomin ador F ,c 1,nc
Cálculo de F con Excel
=DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR) =DISTR.F.INV(0.05, 2, 11) = 3.982297957
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
NO RECHAZAR
ZONA DE
RECHAZO
Distr. F
Como Fc es menor a Falfa no se rechaza Ho y las medias son iguales.
7. Valor de P Fc
P = distr.f(Fc, gl. SCTr, gl. SCE) = distr.f(1.946, 2, 11) = 0.18898099
Como P es mayor a alfa no se rechaza Ho
CONCLUSION: NO HAY SUFICIENTE EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO, LAS MEDIAS DE
LOS TRATAMIENTOS SON IGUALES
TABLA DE ANOVA
FUENTE DE VARIACIÓN
Entre muestras (tratam.)
Dentro de muestras (err.)
Variación total
SUMA DE
CUADRADOS
SCTR
SCE
SCT
GRADOS DE
LIBERTAD
c-1
n-c
n-1
CUADRADO
MEDIO
VALOR F
CMTR
CMTR/CME
CME
CMT
Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa
2.3 Uso de Excel:
En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones
para análisis seleccione Análisis de varianza de un factor.
En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos (todas las columnas a la
vez).
Alfa = 0.05
En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de
resultados.
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RESUMEN
Grupos
Programa 1
Programa 2
Programa 3
Análisis de varianza de un factor
Cuenta
Suma
Promedio
Varianza
4
320
80 32.666667
5
405
81
5
5
425
85
17
Grados
de
ANÁLISIS DE VARIANZA
Promedio de
Suma
Variaciones
cuadrados
libertad Cuadrados
Fc
Probabilidad F crítica
Entre grupos
65.71428571
2 32.85714286 1.9431644 0.18937731 3.98229796
Dentro de
grupos
186
11 16.90909091
Total
251.7142857
13
2.4 Uso de Minitab
Stat > ANOVA > One Way (Unstacked)
en Responses in separate columns Indicar las columnas de datos
En Confidence Level 95%
Seleccionar Comparisons Tukey 5%
OK
One-way ANOVA: Programa 1, Programa 2, Programa 3
Source
Factor
Error
Total
DF
2
11
13
SS
65.7
186.0
251.7
S = 4.112
MS
32.9
16.9
F
1.94
R-Sq = 26.11%
P
0.189
R-Sq(adj) = 12.67%
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
Level
Programa 1
Programa 2
Programa 3
N
4
5
5
Mean
80.000
81.000
85.000
StDev
5.715
2.236
4.123
----+---------+---------+---------+----(------------*------------)
(----------*-----------)
(-----------*----------)
----+---------+---------+---------+----77.0
80.5
84.0
87.5
Pooled StDev = 4.112
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
NOTA: Si los Intervalos de confianza se traslapan, las
medias son iguales estadísticamente
Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons
Individual confidence level = 97.94%
Programa 1 subtracted from:
Programa 2
Programa 3
Lower
-6.451
-2.451
Center
1.000
5.000
Upper
8.451
12.451
--------+---------+---------+---------+(------------*-----------)
(-----------*------------)
--------+---------+---------+---------+-6.0
0.0
6.0
12.0
Upper
11.025
--------+---------+---------+---------+(-----------*----------)
--------+---------+---------+---------+-6.0
0.0
6.0
12.0
Programa 2 subtracted from:
Programa 3
Lower
-3.025
Center
4.000
NOTA: Si el cero se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia entre
medias, este par de medias no son diferentes.
2.5 Grafica de residuos contra el valor ajustado de ŷij
Si el modelo es correcto y las suposiciones se satisfacen, los residuos no deben tener
algún patrón, ni deben estar relacionados con alguna variable, incluyendo la respuesta
Yij. Una comprobación sencilla consiste en graficar los residuos contra los valores
ajustados ŷij (debe recordarse que para el modelo en un sentido ŷij - yi. , el promedio
del tratamiento i-ésimo). En esta grafica no debe revelarse ningún patrón obvio en la
siguiente figura se grafican los residuos contra los valores ajustados de los datos de la
resistencia a la tensión del ejemplo 2.3 Ningún patrón inusual es evidente.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Grafica de residuos contra valores ajustados
Un efecto que en ocasiones revela la grafica es el de una varianza variable. Algunas
veces la varianza de las observaciones lo hace. Esto resulta cuando el error es
proporcional a la magnitud de la observación (comúnmente esto sucede en
instrumentos de medición – el error es proporcional a la escala de la lectura). Si este es
el caso, los residuos aumenta a medida que Yij lo hace, y la grafica de los residuos
contra Yij parecerá un embudo que se ensancha o un altavoz. La varianza variable
también ocurre en casos cuyos datos no tienen distribución normal y están sesgados,
porque en las distribuciones sesgadas la varianza tiende a ser función de la media.
2.6 Ejercicios
1. Cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en
una mezcla líquida de tres componentes están siendo investigado.
Se obtienen las siguientes concentraciones:
A
58.2
57.2
58.4
55.8
54.9
Catalizador
B
56.3
54.5
57
55.3
C
50.1
54.2
55.4
D
52.9
49.9
50
51.7
Página 21 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
2. Para determinar si existe diferencia significativa a un nivel de 5%, en el nivel de
Matemáticas de 4 grupos de estudiantes de Ingeniería se realizó un examen aleatorio
a 6 individuos por grupo.
A
75
93
78
71
63
76
B
78
91
97
82
85
77
C
55
66
49
64
70
68
D
64
72
68
77
56
95
3. Las calificaciones en el examen a 18 empleados de tres unidades de negocio
Se muestran a continuación:
Probar si no hay diferencia entre las unidades a un 5% de nivel de significancia.
A
85
75
82
76
71
85
B
71
75
73
74
69
82
C
59
64
62
69
75
67
4. Probar si hay diferencia en los tiempos de servicio de 4 unidades de negocio para el
mismo servicio a un nivel de significancia del 5%.
A
B
C
D
5.4
8.7
11.1 9.9
7.8
7.4
10.3 12.8
5.3
9.4
9.7 12.1
7.4
10.1
10.3 10.8
8.4
9.2
9.2 11.3
7.3
9.8
8.8 11.5
Página 22 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
3. ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o
DIRECCIONES (ANOVA 2 VIAS)
3.1 Introducción
En este caso las fórmulas son parecidas a la del ANOVA de una vía pero ahora
agregando el cálculo por renglones adicional al de columnas donde se incluye la
variable de bloqueo. El bloqueo es completamente al azar.
Se trata de bloquear un factor externo que probablemente tenga efecto en la
respuesta pero que no hay interés en probar su influencia, sólo se bloquea para
minimizar la variabilidad de este factor externo, evitando que contamine la prueba de
igualdad entre los tratamientos.
Los tratamientos se asignan a las columnas y los bloques a los renglones. Un bloque
indica condiciones similares de los sujetos al experimentar con diferentes
tratamientos.
Las hipótesis son:
Ho: No hay diferencia en las medias del factor de columna
Ha: Al menos una media del factor de columna es diferente
Ho: No hay diferencia en las medias de la variable de renglón
Ha: Al menos una media de la variable de renglón es diferente
3.2 Ejemplos con cálculo manual
Ejemplo 1.
Suponiendo que se quiere investigar si la producción de tres diferentes máquinas es
igual, tomando en cuenta la experiencia de los operadores a un nivel de significancia
del 5%.
Experiencia
de ops. En años
1
2
3
4
Maq 1
27
31
42
38
Máquinas
Maq 2
21
33
39
41
Maq 3
25
35
39
37
Página 23 de 71
Promedios
24.33333
33
40
38.66667
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
5
Promedios
45
36.6
46
36
TABLA ANOVA
SS
SCTR=
0.933333
GL
2
CMTR=
SCBL=
SCE =
SCT =
4
8
14
CMBL=
CME=
CMT=
764.9333
41.06667
806.9333
45
36.2
45.33333
36.26667
CM
Fc
0.466667 Ftr = 0.09
Fbl =
191.2333 37.25
5.133333
57.6381
Falfa
4.46
3.84
Conclusión: No hay diferencia entre máquinas a pesar de la diferencia en experiencia
de los operadores.
Ejemplo 2 (Problema 4.1 del Texto de Montgomery, Análisis y diseño de
experimentos)
Un químico quiere probar el efecto de 4 agentes químicos sobre la resistencia de un
tipo particular de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo de tela a
otro, el químico decide usar un diseño de bloques aleatorizados, con los rollos de tela
considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4 agentes químicos de
manera aleatoria a cada rollo. A continuación se presentan las resistencias a la tención
resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar α=0.05) y sacar las
conclusiones apropiadas.
Rollo
Agente Químico
1
2
3
4
1
73
73
75
73
2
68
67
68
71
3
74
75
78
75
4
71
72
73
75
5
67
70
68
69
3.3 Procedimiento en Excel
En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones
para análisis seleccione Análisis de varianza de dos factores con una sola
muestra por grupo.
En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos.
Alfa = 0.05
En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de
resultados.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo
RESUMEN Cuenta Suma
Promedio Varianza
Fila 1
5
353
70.6
9.3
Fila 2
5
357
71.4
9.3
Fila 3
5
362
72.4
19.3
Fila 4
5
363
72.6
6.8
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Columna 4
Columna 5
4
4
4
4
4
294
274
302
291
274
73.5
68.5
75.5
72.75
68.5
1
3
3
2.92
1.67
ANÁLISIS DE VARIANZA
Fuente de Suma de
variación Cuadrados
Filas
12.95
Columnas
157
Error
21.8
Total
191.75
Total
231
Grados
de
Cuadrados
libertad
medios
3
4.32
4
39.25
12
1.82
19
24
F
Fc
Probabilidad tablas
Valor P
2.38
0.12
3.49
21.61
2.06E-05
3.26
En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F
2.38<3.49, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H 0. No tenemos evidencia
estadística para afirmar que el agente químico tenga influencia en la respuesta.
Sin embargo observamos que el rollo si tiene influenza significativa en la respuesta
(P<0.05).
3.4 ANOVA en Minitab
Utilice 0.05 para calcular si hay diferencias entre los efectos de las columnas y los
renglones.
Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e indicando a
que renglón y columna pertenece cada uno de estos, como sigue:
Resp
73
73
75
73
Columna
1
1
1
1
Fila
1
2
3
4
Página 25 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
68
67
68
71
74
75
78
75
71
72
73
75
67
70
68
69
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Instrucciones:
Stat > ANOVA > One two Way
Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar º! Display
Means
Seleccionar º! Store Residuals º! Store Fits Confidence level 95%
Graphs
Seleccionar Normal plot of residuals
OK
Resultados:
La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta
para validar el modelo:
Los residuos se aproximan a la distribución normal por lo cual se concluye que se está
utilizando un modelo válido.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Resp)
99
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-3
-2
-1
0
Residual
1
2
3
Two-way ANOVA: Resistencia versus Agente Químico, Rollo
Source
Agente Químico
Rollo
Error
Total
S = 1.348
DF
3
4
12
19
SS
12.95
157.00
21.80
191.75
R-Sq = 88.63%
MS
4.3167
39.2500
1.8167
F
2.38
21.61
P
0.121
0.000
R-Sq(adj) = 82.00%
Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene
influencia significativa en la resistencia.
Agente
Químico
1
2
3
4
Rollo
1
2
3
4
Mean
70.6
71.4
72.4
72.6
Mean
73.50
68.50
75.50
72.75
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
---+---------+---------+---------+-----(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
---+---------+---------+---------+-----69.6
70.8
72.0
73.2
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
--+---------+---------+---------+------(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
Página 27 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
5
68.50
(-----*-----)
--+---------+---------+---------+------67.5
70.0
72.5
75.0
Se seleccionarían en 2º y 5º rollo ya que tienen los valores más pequeños.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
4. DISEÑOS FACTORIALES
4.1 Principios y definiciones básicas
experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos
Muchos
o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los
más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel
en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores
en cada ensayo completo o réplica del experimento. Por ejemplo, si existen “a” niveles
del factor A y “b” niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene
todas las “ab” combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores
están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un
cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principal
porque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo,
consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría
interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo
nivel de ese factor. Numéricamente:
Factor B
B1
B2
A1
20
30
A2
40
52
Factor A
Tabla 1 Un experimento factorial
A
40 52
2
20 30
2
21
En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la
respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:
B
30 52
2
20 40
11
2
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser
modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de
muchas formas.
En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los
niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando
esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los
datos de la Tabla 2.
Factor B
B1
B2
A1
20
40
A2
50
12
Factor A
Tabla 2. Un experimento factorial con interacción
En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:
A = 50 - 20 = 30
Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:
A = 12 - 40 = 28
Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto
de A depende del nivel elegido de B.
Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la
respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles
del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto
indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se
presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.
60
B2
Respuesta
50
B1
40
30
20
10
B2
B1
A1
Factor A
A2
Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una
interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los
datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.
60
B1
Respuesta
50
B2
40
30
20
B1
10
B2
A1
Factor A
A2
Figura 2 Un experimento factorial con interacciones
Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos
principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A
de los datos de la Tabla 2 es:
A
50 12
2
20 40
2
1
El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un
efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles
diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero
depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB
que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de
los efectos principales.
Ventajas de los diseños factoriales
Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que
se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan
mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse
variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor A
está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente
realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer
una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo
tanto, se requiere un total de seis observaciones.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Factor B
B1
B2
A1
A1B1
A1B2
A2
A2B1
12
Factor A
Tabla 3 El método de un factor a la vez
Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.
Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.
Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede estar
presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.
Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos
niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre
toda la extensión de las condiciones experimentales.
4.2 Diseño factorial de dos niveles (2^K)
El primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada uno con
dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 2 2. Arbitrariamente, los
niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”.
Ejemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que
tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo
de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con
dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o
superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el
uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los
datos son como sigue:
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Combinación de
tratamientos
A baja, B baja
A alta, B baja
A baja, B alta
A alta, B alta
I
28
36
18
31
Replica
II III Total
25 27 80
32 32 100
19 23 60
30 29 90
Cantidad de catalizador B
En la figura 3 siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de tratamiento
para este diseño, el efecto de un factor se denota por la letra latina minúscula. De este
modo, “A” se refiere al efecto del factor “A”, y “B” se refiere al efecto del factor “B”, y
“AB” se refiere a la interacción entre AB. En el diseño 2 2 los niveles bajo y alto de A y B
se denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A y B. Así – en el eje B representa
el nivel bajo de catalizador mientras que + denota el nivel alto.
Alto (2 sacos) +
bajo (1 saco) -
b = 60(18+19+23)
ab = 90(31+30+19)
(1) = 80(28+25+27)
a = 100(36+32+32)
bajo (15%)
+
alto (20%)
Concentracion de reactivo A
Figura
Fig. 3 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por
letras minúsculas, cono se muestra en la figura 3. En esta figura se aprecia que el nivel
superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos está representado
por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de
esta ultima representa el nivel inferior del factor.
Así
“a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el
nivel superior y B en el nivel inferior;
“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el superior,
y
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
“ab” representa a ambos factores en el nivel superior.
Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior.
El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta
producida por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los niveles
del otro factor.
Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también se usan para
representar los totales de las n replicas de las combinaciones de tratamientos
correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el
nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene:
A
1
2n
ab b a (1) 1 ab a b (1)
2n
El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A (esto
es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n
obteniéndose:
B
1
ab a b (1)
2n
1
ab b - a (1)
2n
El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de
A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así:
AB
1
2n
ab b a (1)
1
ab (1) a (b)
2n
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B en
el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A.
Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El efecto
de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos
combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos Y A+, puesto que
es la respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se
encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en la mitad
izquierda (o Y A). Esto es,
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
A YA YA
ab a
b (1)
2n
2n
ab a b (1)
1
2n
Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la
diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte
superior del cuadrado ( Y B+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos
en la parte inferior ( Y B-), o
B YB YB
ab b
a (1)
2n
1
2n
ab b a (1)
2n
Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones de
tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos el
promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha
(a y b), o
AB
ab (1)
2n
1
ab
2n
ab (1) a b
2n
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Con los datos que aparecen en la figura 1, las estimaciones de los efectos promedio
son:
1
A
90 100 60 80 8.33
2(3)
90 60 100 80 5.00
1
B
2(3)
AB
1
90 80 100 60 1.67
2(3)
El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que al elevar A del
nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el rendimiento. El efecto de B
(catalizador) es negativo; esto sugiere que elevar la cantidad del catalizador agregada
al proceso reducirá el rendimiento. Al parecer, el efecto de interacciones es pequeño
comparado con los dos efectos principales.
En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la
dirección de los efectos de los factores para determinar cuales variables es probable
que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de varianza para
confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos
especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza.
Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB. Obsérvese la primera ecuación
que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,
ContrasteA ab a b (1)
Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera
ecuación, puede apreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB.
Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquiera de
ellos puede calcularse usando la siguiente ecuación:
aciyi. 2 na ci 2
SSc 1
a
.
Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al contraste
elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones de cada total
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
del contraste por la suma de cuadrados de los coeficientes del mismo. En
consecuencia, se obtiene que las sumas de cuadrados de A, B y AB sean:
2
ab a b (1)
SS A
n*4
2
ab b a (1)
SS B
n*4
2
ab (1) a b
SS AB
n*4
Con los datos de la figura 3, las sumas de cuadrados se pueden calcular aplicando las
ecuaciones anteriores, obteniéndose:
SS A
50
2
208.33
4(3)
SS B
30
2
75.00
4(3)
SS AB
10
2
8.33
4(3)
La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:
2
Y ...
2
2
2
n
SS T i1 j1 k 1 Y ijk
4n
En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error, con 4(n1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia, mediante.
2
2 2 3
Y
2
SS E Yijk
9398.00 9075.00 323.00
i1j1k 1
4(3)
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SS E SS T SS A SS B SS AB
323.00 208.33 75.00 8.33 31.34
El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente. Ambos efectos
principales son significativos al 1%.
A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en el orden
(1), a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se utiliza es posible
apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los efectos son
Efectos
A:
B:
AB:
(1)
-1
-1
+1
a
+1
-1
-1
b
-1
+1
-1
Ab
+1
+1
+1
Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 1 es la siguiente:
Fuente de
variación
SS
G.L. MS
Fo
A
208.33
1 208.33 53.15a
B
75.00
1 75.00 19.13a
AB
8.33
1
8.33 2.13
Error
31.34
8
3.92
Total
323.00 11
a
significativo al 1%
Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22
Combinación Efecto Factorial
De
Tratamientos I A B AB
(1)
a
b
ab
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la interacción son
iguales al producto de los coeficientes correspondientes a los dos efectos principales.
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Los coeficientes de los contrastes siempre son +1 o –1 y se puede usar una tabla de
signos positivos y negativos como la mostrada en la de signos algebraicos para
determinar el signo apropiado de cada combinación de tratamientos. En el encabezado
de las columnas de tabla y se encuentran los efectos principales (A y B), la interacción
AB, e I, que representa el total el total o el promedio de todo el experimento. Se
observa que la columna encabezada por I se compone de solo de signos positivos. Los
renglones corresponden a las combinaciones de tratamientos.
Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto, simplemente se
multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la correspondiente
combinación de tratamientos, y se suma. Por ejemplo, el contraste para estimar A es –
(1) + a – b + ab, lo cual concuerda con la ecuación.
A
1
2n
ab b a (1)
1
ab a b (1)
2n
Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o conjuntos de
tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, dispuestos en un
diseño factorial; esto es, cada A repetición o réplica del experimento contiene todas las
combinaciones de tratamiento ab. En general, hay n repeticiones.
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5. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FRACCIONALES DE
DOS NIVELES
5.1 Concepto de replicación fraccionada
Conforme el número de factores del experimento crece, el número de casillas o
condiciones experimentales (y por lo tanto el número de lecturas o pruebas
necesarias), crece exponencialmente en un experimento factorial. El número de
efectos a evaluar (interacciones principalmente) crece exponencialmente también. El
número de efectos y casillas varía con el número de factores en una relación como se
muestra en la tabla siguiente para un experimento factorial 2 k.
No. De
No. De
Efectos
Interacciones entre factores de
factores
casillas
principales
4
16
4
6
4
1
5
32
5
10
10
5
1
6
64
6
15
20
15
6
1
7
128
7
21
35
35
27
7
1
8
256
8
28
58
70
56
28
8
1
3
4
5
6
7
8
1
Así por ejemplo cuando se tienen siete factores, existen 128 posibles condiciones
experimentales, lo que implica que al hacer una replicación por celda de todo el
experimento requiere un total de 128 observaciones. Si se decide tomar dos replicas
por celda, entonces serian necesarias 256 observaciones, lo cual es una cantidad
excesiva de pruebas para fines prácticos.
Por otro lado, se necesitan 128 observaciones para un experimento con 7 factores por
que se deben evaluar 127 posibles efectos (que son los grados de libertad totales en
128 observaciones) de estos efectos 7 son los factores principales, 21 interacciones de
2 factores, 35 de tres, 35 de cuatro, 27 de cinco en cinco, 7 de seis en seis y una
interacción de 7 factores. En general el número de interacciones de k factores tomados
r en r es:
K!
r! (k r)!
El concepto de replicación fraccionada parte de las siguientes hipótesis:
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1. Las interacciones de tres o más factores son sumamente raras en la práctica,
por lo que en general se pueden suponer como no existentes.
2. En un experimento de varios factores lo más probable es que solo algunos de
ellos sean relevantes para la variable de respuesta.
3. La mayor parte del efecto se debe a los factores principales y algunas
interacciones de dos factores.
Lo anterior implica que por ejemplo para siete factores son necesarios probablemente
solo 28 grados de libertad (7 factores principales y 21 interacciones de dos factores), y
esto equivale a solo 29 unidades de información y no 128 como en el experimento
original. Esto quiere decir que no es necesario el correr una replicación completa de
todo el experimento cuando el número de factores crece, sino solamente algunas
casillas o condiciones experimentales.
Cuando solamente una parte de las posibles casillas se prueban, se dice que se tiene
una replicación fraccionada del experimento.
Las preguntas que surgen son:
1. ¿Cuántas y cuales casillas probar?
2. ¿Cómo analizar los resultados?
3. ¿Qué información se pierde?
El responder a estas preguntas es uno de los objetivos de la replicación fraccionaria.
5.2 Fracción un medio del diseño 2k
Considérese el caso en el que se estudian tres factores de dos niveles cada uno, pero
en el que los experimentadores no pueden costear las 2 3 = 8 combinaciones de
tratamientos, sin embargo, si se puede costear 4 observaciones. Esto sugiere una
fracción un medio, de un diseño 23. la fracción un medio del diseño 23 se conoce
también como un diseño 23-1 porque tiene 23-1 = 4 combinaciones de tratamiento.
En la tabla 1 aparecen signos positivos y negativos del diseño 2 3. Supóngase que para
componer la fracción un medio, se seleccionan las combinaciones de tratamientos se
usa indistintamente la notación convencional (a,b,c,...) y la de signos positivos y
negativos. La equivalencia de las dos notaciones se muestra a continuación.
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Notación 1
a
b
c
abc
Notación 2
+ - - + - - +
+ + +
Combinación de Efecto factorial
Tratamientos
I A B C AB AC
a
+ + - - - b
+ - + - - +
c
+ - - + + abc
+ + + + + +
ab
+ + + - + ac
+ + - + - +
bc
+ - + + - (1)
+ - - - + +
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
-
Tabla 1 Signos positivos para el diseño 23
Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar solo las combinaciones de
tratamientos que producen un signo positivo sobre la columna ABC. Por esto ABC se
denomina generador de una fracción particular. Además, la columna identidad I
siempre es positiva, por lo cual:
I = ABC
Se denominara relación definitoria de nuestro diseño, en general, la relación definitoria
de un factorial fraccionario siempre es el conjunto de todas las columnas que son
iguales a la columna identidad I.
abc
bc
c
ac
b
C
ab
B
A
a
(a) Fracción principal I = ABC
(1 )
(b) Fracción alterna I = -ABC
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Las combinaciones de tratamientos del diseño 23-1 producen 3 G.L. que pueden usase
para estimar los efectos principales. En la tabla 1 se muestra que las combinaciones
lineales de las observaciones que se utilizan para estimar los efectos principales A, B, y
C son:
LA 1/2(a b c abc)
LB 1/2( a b c abc)
LC 1/2( a b c abc)
LBC 1/2(a b c abc)
LAC 1/2( a b c abc)
LAB 1/2( a b c abc)
Por lo tanto LA = LBC, LB = LAC y LC = LAB. En consecuencia, es imposible distinguir
entre A y BC, entre B y AC y entre C y AB. De hecho, es posible mostrar que cuando se
estima A, B y C, en realidad, lo que sé esta haciendo es estimar A + BC, CB + AC y C +
AB, respectivamente. Dos o más efectos que tienen esta propiedad se conoce como
alias. En este ejemplo, A y BC, B y AC y C y AB son alias. Esto se indica empleando la
notación:
LA A BC,
LB B AC
LC C AB
La estructura de los alias de este diseño pueden determinarse fácilmente con la
relación I = ABC, multiplicando cualquier efecto por la relación que define al diseño,
modulo 2, da como resultado los alias de dicho efecto. En el ejemplo anterior, los alias
son:
A*I = A*ABC = A2BC
O dado que el cuadrado de cualquier columna es simplemente la identidad I.
A = BC
De modo similar, se encuentra que los alias de B y C son:
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B*I = B*ABC = AB2C = AC
C*I = C*ABC = ABC2 = AB
Esta fracción un medio o semifracción, con I = +ABC, suele llamarse fracción principal.
Ahora supóngase que se eligió la otra mitad de la réplica. Esta se compone de las
combinaciones de tratamientos de la tabla 1 que tiene signo negativo asociado con
ABC. Esta fracción un medio o alterna que consta de las siguientes corridas:
Notación 1 Notación 2
(1)
--ab
++ac
+-+
abc
-++
La relación definitoria de este diseño es:
I = -ABC
Usando la fracción alterna, las combinaciones lineales de las observaciones, L’A, L’B y
L’C, son:
L' A A BC
L' B B AC
L' C C AB
Por lo tanto, en realidad se está estimando A – BC, B – AC y C – AB al estimar A, B y C
con esta fracción. En la práctica, no importa cual de las dos fracciones se utilice.
Generalmente la fracción asociada con I = +ABC se denomina fracción principal. Ambas
fracciones pertenecen a la misma familia; en otras palabras, estas dos fracciones
forman el diseño 23 completo.
5.3 Resolución del diseño
El diseño anterior 23-1 se conoce como diseño de resolución III. En tal diseño los alias
de los efectos principales son interacciones de dos factores. Un diseño es resolución R
si ningún efecto de p factores es alias de otro efecto que tenga menos R – p factores.
Usualmente, se emplea el numeral romano como subíndice para indicar la resolución
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del diseño. Así, la fracción un medio del diseño 23 definido por la relación I = ABC (o
3 1
bien I = - ABC) constituye un diseño
2III
.
Los diseños de resolución III, IV y V son de importancia primordial. A continuación, se
presenta la definición de estos diseños junto con un ejemplo.
1.
Diseño con resolución III: éstos son diseños en los que ningún efecto principal es
alias de otro, pero si lo son de las interacciones de dos factores; a su vez, estas
últimas son alias entre sí. El diseño 23-1 de la tabla 4.1 es de resolución III.
2.
Diseño con resolución IV: En estos diseño ningún efecto principal es alias de otro
efecto principal, o bien, de alguna interacción de dos factores. Las interacciones
de dos factores son “alias” entre sí. Un diseño 24-1 con I = ABCD es de resolución
4 1
IV ( 2IV
).
3.
Diseños resolución V: Estos son diseños en los que ningún efecto principal o
interacción de dos factores es alias de ningún efecto principal o interacciones
entre dos factores, un diseño 25-1 con I = ABCDE es de resolución V ( 2 5V1 ).
En general, la resolución de un diseño factorial fraccionario de dos niveles es igual al
mínimo número de letras de cualquier palabra de la relación que define al diseño. En
consecuencia, los diseños anteriores, a menudo, se conocen como diseños de 3, 4 y 5
letras, respectivamente. Por lo general se deben usar diseños fraccionarios con la
mayor resolución posible congruentes con el fraccionamiento requerido. A mayor
resolución, las suposiciones relativas a las interacciones que deben despreciarse con el
propósito de hacer una interpretación única de los datos son menos restrictivas.
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6. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES
COMPLETOS
6.1 Diseño factorial completo de 2 factores
Un ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta, único factor controlable
a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125 °F) consistentes en el entorno de uso final
del producto. Se prueban cuatro baterías a cada combinación de material de la
cubierta y temperatura, y las 36 pruebas se ejecutan al azar.
En la tabla 1 se presentan el experimento y los datos resultantes de duración
observada de las baterías.
En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes preguntas:
1. ¿Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la duración de la
batería?
2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una duración uniformemente
larga sin importar la temperatura?
Temperatura F
Tipo de material
15
70
125
1
130 155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
3
150 188 126 122 25 70
159 126 106 115 58 45
3
138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
Tabla 1. Duración en horas para el ejemplo del diseño de una batería
Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la posibilidad de hallar un
material que no sea muy afectado por la temperatura. De ser así, el ingeniero puede
hacer que la batería sea robusta a la variación de temperatura en el campo. Éste es un
ejemplo del uso del diseño experimental estadístico para el diseño de un producto
robusto (o consistente), un importante problema de ingeniería.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño con dos factores
(bifactorial). Para pasar al caso general, sea Yijk la respuesta observada cuando el
factor A se encuentra en el i-ésimo nivel (i -1, 2,..., n). En general, los datos observados
se verán como en la tabla 2. El orden en el cual se toman las abn observaciones es
aleatorio, de modo que éste es un diseño completamente aleatorizado.
Tabla 2. Disposición general para un diseño bifactorial
Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico lineal:
i 1,2,..., a
Y ijk μ τi βj τβ ij εijk j 1,2,..., b
k 1,2,..., n
En donde es el efecto medio general, i es el efecto del i-ésimo nivel del factor
renglón A, j es el efecto del j-ésimo nivel del factor columna B, ()ij es el efecto de la
interacción entre i y j, ijk es el componente del error aleatorio. Inicialmente se
supone que ambos factores son fijos y que los efectos de tratamiento se definen como
desviaciones de la media general, por lo tanto.
ia1τi 0; bj1βj 0
Se supone que los
a
efectos de interacción son fijos y que se definen dé manera que: i1τβ ij 0 . Hay un
total de abn observaciones porque se realizan n réplicas.
En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos) de renglón
como de columna tienen la misma importancia, específicamente el interés consiste en
probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es
decir:
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Ho : τ1 τ2 ... τa 0
H1 : al menos una τi 0
Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:
Ho : β1
β2 ... βb 0
H1 : al menos una βj 0
También es interesante determinar sí los tratamientos de renglón y columna
interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:
Ho : (ττβ)i 0 para toda i, j
H1 : al menos una (ττβ)i 0
A continuación, se muestra cómo pueden probarse estas hipótesis usando un análisis
de variancia bifactorial o bidireccional (de dos factores o en dos sentidos).
6.2 Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos
Sea Yi..; el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A; Y.j. El total de
las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B, Yij. El total de las observaciones de
la ij-ésima celda, e Y... el total general de todas las observaciones. Se definen
Yi..; Y.j. y Yij. y Y... como los promedios de renglón, columna, celda y general,
respectivamente, matemáticamente:
b n
Yijk
Yi..
j1k 1
a n
Y.j. Yijk
i1k 1
n
Yij. Yijk
k 1
Yi..
Yi..
; i 1,2,..., a
bn
Y.j.
Y.j.
; j 1,2,..., b
an
Yij.
a b n
Yijk
Y...
i1j1k 1
Y...
n
i 1,2,..., a
;
j 1,2,..., b
Y...
Y...
abn
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:
a
i1
2
n
b Y ijk Y...
k 1
j1
a b n Yi.. Y...
i1j1 k 1
Y ijk Yij.
Y.j. Y... Yij. Y... Y.j Y...
2
2
a b n
Y ijk Y...
i1j1 k 1
2
2
2
a
b
a b
bn Yi.. Y... an Y.j. Y... n Yij. Yi.. Y.j. Y...
i1
j1
i1j1
2
a b n
Y ijk - Yij.
i1j1 k 1
Dado que los seis productos cruzados del segundo miembro de la ecuación anterior
son iguales a cero. Se observa que la suma total de cuadrados se ha descompuesto en
una suma de cuadrados debida a los “renglones” o al “factor” A (SS A) en una suma de
cuadrados debida a las "columnas" o al factor B (SSB), en una suma de cuadrados
debida a la interacción entre A y B (SSAB), y en una suma de cuadrados debida al error
(SSE): Analizando el último término del miembro derecho de la Ecuación anterior es
posible observar que es necesario tener al menos dos réplicas (n 2) para poder
obtenerla suma de cuadrados del error.
Simbólicamente, la Ecuación anterior puede expresarse mediante:
SST SSA SSB SSAB SSE
Los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son:
Efecto
Grados de libertad
A
a-1
B
b-1
Interacción AB
(a-1)(b-1)
Error
ab(n-1)
Total
abn-1
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Esta descomposición del total de abn -1 grados de libertad para las sumas de
cuadrados se puede justificar como sigue: Los efectos principales de A y B tienen a y b
niveles, respectivamente, por lo tanto, tienen a -1 y b -1 grados de libertad como se
muestra.
Los grados de libertad de la interacción simplemente corresponden a los grados de
libertad de cada celda (los cuales son iguales a ab -1) menos los grados de libertad de
los dos efectos principales A y B en otras palabras, ab -1 -(a -1) -(b -1) -(a- 1)(b -1).
Dentro de cada una de las ab celdas hay n -1 grados de libertad entre las n réplicas, por
lo tanto, hay ab(n -1) grados de libertad del error.
Se observa que la suma de los grados de libertad de los términos del miembro derecho
de la ecuación anterior es igual al total de los grados de libertad.
Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad produce una media de
cuadrados.
Por lo tanto, para probar el significado de ambos efectos principales, así como de su
interacción, simplemente deben dividirse las medias de cuadrados correspondientes
entre la media de cuadrados del error. Valores grandes de estas razones implican que
los datos no concuerdan con las hipótesis nulas.
Si se considera que el modelo estadístico es adecuado y que los términos del error ijk
son independientes con distribuciones normales con variancia constante 2, entonces
las razones de las medias de cuadrados MS A/MSE, MSB/MSE y MSAB/MSE tienen
distribución F con a -1, b- 1 y (a -1)(b -1) grados de libertad en el numerador,
respectivamente, y ab(n -1) grados de libertad en el denominador. Las regiones críticas
corresponden al extremo superior de la distribución F. Usualmente la prueba se
presenta en una tabla de análisis de variancia como la que aparece en la tabla 2.
Fuente de
Variación
SS
G.L.
Tratamientos A SSA a - 1
MS
M SA
SSA
Fo
MSA
MSE
a 1
Tratamientos B SSB b - 1
MSB
MSB
SSB
MSE
b 1
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Interacción
SSAB (a - 1)(b - 1) MSAB
SSAB
MSAB
MSE
(a 1)(b 1)
Error
SSE ab(n-1)
MSB
SSE
ab(n 1)
Total
SST abn - 1
Tabla 2 ANOVA para el modelo bifactorial de efectos fijos
Es posible obtener las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados de la ecuación
anterior. La suma total de cuadrados se calcula en forma usual mediante:
2
a b n
Y ...
2
SST Y ijk
i1j1k 1
abn
Las sumas de cuadrados para los efectos principales son:
2
2
a Y i.. Y ...
SSA
i1 bn
abn
2
2
b Y .j. Y ...
SSB
j1 an
abn
Es conveniente obtener SSAB en dos etapas. Primero se calcula la suma de cuadrados
entre los totales de las ab celdas, conocida como la suma de cuadrados debido a los
"subtotales":
2
2
a b Y ij. Y ...
SSsubtotal es
i1j1 n
abn
Esta suma de cuadrados contiene a la SS A y SSB. Por lo tanto, la segunda etapa consiste
en calcular SSAB mediante:
SSAB SSsubtotales SSA SSB
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La SSE se calcula por diferencia:
SSE
SST SSAB SSA SSB
o bien :
SSE
SST SSSubtotales
Ejemplo: Más sobre el experimento de diseño de una batería. En la tabla 3 se presenta
la duración efectiva (en horas) observada en el ejemplo de diseño de una batería
descrito en la anterior Los totales de renglón y de columna se indican en los márgenes
de la tabla; los números subrayados son los totales de celda.
Tipo
de
Mat.
1
2
Temperatura (F)
15
70
130 155 539 4 34
40
74
75
180
150 188
159 126
3
125
138 110
168 160
Y.j.= 1738
134.75
623
576
80
136 122
106 115
174 120
150 139
Yi..
20 70
229
479
583
1291
82 58
25 70
58 45
96 104
82 60
770
230 998
198 1300
342 1501
Y...=
3799
Tabla 3. Duración (en horas) para el experimento de diseño de una batería
Las sumas de cuadrados se calculan a continuación:
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2
a b n 2
Y ...
SST Y ijk
i1j1 k 1
abn
2
2
2
2
2 3799
130 155 74 ... 60
77,646.97
36
2
2
a Y i.. Y ...
SSmaterial
i1 bn
abn
2
2
2
2
998 1300 1501
3799
10,683.72
(3)(4)
36
2
2
b Y .j. Y ...
SStemperat ura
j1 an
abn
2
2
2
2
1738 1291 770
3799
39,118.72
(3)(49
36
2
2
a b Y ij. Y ...
SSinteracc ion
i1j1 n
abn
2
2
2
2
539 229 ... 342
3799
10,683.72
4
36
39,118.72 9,613.78
SSE SST SSmaterial SStemperatura SSinteraccion
SSE 77,646.97 10,638.72 39,118.72 9,613.78
18,230.75
El análisis de variancia aparece en la tabla 4. Se concluye que existe una interacción
significativa entre el tipo de material y la temperatura porque F0.05,4.27 = 2.73. Además,
también son significativos los efectos principales del tipo de material y de la
temperatura, porque FO.O5.2.27 = 3.35.
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Fuente de variación
Tipo de material
Temperatura
Interacción
Error
Total
SS
10,683.72
39,118.72
9,613.78
18,230.75
77,646.97
G.L.
2
2
4
27
35
MS
Fo
5,341.86 7.91
19,558.36 28.97
2,403.44 3.56
675.21
Tabla 4. ANOVA para los datos de la duración de la batería
Como auxiliar en la interpretación de los resultados de este experimento resulta útil la
construcción de una gráfica de las respuestas promedio de cada combinación de
tratamiento. Esta gráfica se muestra en la figura 1.
Duracion promedio
175
150
125
Yij. 100
Material tipo 3
75
Material tipo 1
Material tipo 2
50
25
15
70
Tempera tura
125
Figura 1. Gráfica de respuesta vs temperatura
El hecho de que las rectas no sean paralelas indica una interacción significativa. En
general, a menor temperatura mayor duración, independientemente del tipo de
material.
Página 54 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Al variar la temperatura de baja a intermedia, la duración aumenta con el material tipo
3, mientras que disminuye con los materiales tipo 1 y 2,
Cuando la temperatura varía de intermedia a alta, la duración disminuye con los
materiales tipo 2 y 3, mientras que con el tipo 1 esencialmente permanece sin cambio.
Al parecer, el material tipo 3 da los mejores resultados si lo que se desea es menor
perdida de duración efectiva al cambiar la temperatura.
Para comprobar si el modelo es adecuado, se analizan los residuos que tengan un
comportamiento aleatorio y normal.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
7. DISEÑO DE EXPERIMENTOS TAGUCHI
7.1 Introducción
La parte fundamental de la metodología ideada por el matemático japonés G. Taguchi
es la optimización de productos y procesos, a fin de asegurar productos robustos, de
alta calidad y bajo costo.
La metodología Taguchi consta de tres etapas:
a) Diseño del sistema
b) Diseño de parámetros
c) Diseño de tolerancias
De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos
son:
a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud
y en cuanto a su variabilidad.
b) Definir los niveles “óptimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de
optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.
c) Identificar factores que no afectan substancialmente la característica de calidad a
fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.
Para lograr lo anterior se ha manejado una serie de herramientas estadísticas conocida
como diseño de experimentos, tratadas anteriormente.
Taguchi ha propuesto una alternativa no del todo diferente que se que conoce como:
Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.
La herramienta utilizada normalmente son diseños Factoriales fraccionados, sin
embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles
interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las
condiciones específicas a experimentar.
Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de
manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes. Un experimento
factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal .
Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó:
Página 56 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
La (b)C
Donde:
a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán.
Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo.
b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor.
c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el
número de columnas.
7.2 Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles
En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos ortogonales
más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos niveles.
Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Como ejemplo de un arreglo ortogonal
No. (a)
1
2
3
4
1 , 2
A
1
1
2
2
F A C T O R E S (c)
B
C
1
1
2
2
1
1
2
1
Resultado
Y1
Y2
Y3
Y4
= Niveles de los Factores (b)
tenemos el siguiente:
De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como
ejemplo, se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.
En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas (efectos o factores)
que se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.
Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos
niveles, los más utilizados y difundidos según el número de factores a analizar son:
No. de factores
analizar
Entre 1 y 3
Entre 4 y 7
Entre 8 y 11
Entre 12 y 15
Entre 16 y 31
Entre 32 y 63
a Arreglo
utilizar
L4
L8
L12
L16
L32
L64
a No. de condiciones a probar
4
8
12
16
32
64
Página 57 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
El arreglo ortogonal más popular es el arreglo L8, que se muestra a continuación
junto con sus gráficas lineales:
L8
Col.1 Col. 2 Col. 3 Col. 4 Col. 5 Col. 6 Col. 7
Exp. No.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
Columnas 1
1
(1)
2
3
4
5
6
7
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
Matriz
o
tabla
de
interacciones
2
3
3
2
(2)
1
(3)
1
2
1
2
2
1
2
1
4
5
6
7
(4)
1
2
2
1
1
2
2
1
5
4
7
6
1
(5)
1
2
2
1
2
1
1
2
6
7
4
5
2
1
¡(1)
7
6
5
4
3
2
6
(7)
1
3
3
2
5
1
.7
5
4
6
2
6
(a)
4
(b)
Gráficas lineales
Página 58 de 71
7
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Los pasos para un diseño de experimentos de parámetros en el caso de menor es
mejor son:
7.3 Caso menor es mejor
1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.
2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles interacciones.
3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos en dos o
tres factores combinados.
4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de control al
arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.
5. Realizar los experimentos.
6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los factores
de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la interacción entre
factores de control y de ruido.
7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles de los
factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el nivel deseado.
Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar la relación S/N y
ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar la relación S/N.
8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de
niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.
Ejemplo: Disminución de la contaminación
Optimización de un método de purificación para drenajes contaminados con metales.
Las aguas residuales que contienen iones metálicos es muy riesgoso por su toxicidad y
no biodegradable. Se propone utilizar óxidos de hierro hidratados con un pH adecuado
para remover los metales dañinos. La característica de salida es la concentración
remanente de metales en mg/L, con una respuesta menor es mejor.
Los factores de control son los siguientes:
A
B
C
D
Factores de control
Contaminación de FeII
Temperatura ºC
Tiempo de añejamiento h
pH
Nivel 1
2
25
1
8
Nivel 2
7
50
2
10
Página 59 de 71
Nivel 3
15
75
3
12
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
El factor de ruido introducido artificialmente es permanganato de potasio.
N
Factores de ruido
Conc. De KMnO4
Nivel 1
0.00375
Nivel 2
0.0375
Nivel 3
0.075
Se asume que no hay interacciones por lo que se puede utilizar un arreglo L9,
realizando los experimentos se obtienen los datos siguientes con dos réplicas en cada
nivel del factor de ruido:
L9
Col.1
Col. 2
Exp.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Col. 3 Col. 4
C
D
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
N1
N1
N2
N2
N3
N3
Rep. 1 Rep. 2 Rep. 1 Rep. 2 Rep. 1 Rep. 2 Y promedio
S/N
2.24
0.59
5.29
1.75
155.04 166.27 55.20
-39.36
1.75
5.07
1.05
0.41
0.38
0.48
1.52
-7.05
5.32
0.65
0.4
1.07
0.51
0.36
1.39
-7.05
0.37
0.32
0.34
0.68
4.31
0.65
1.11
-5.19
7.2
0.49
0.48
0.44
0.8
0.88
1.72
-9.54
39.17
27.05
46.54
25.77
138.08 165.61 73.70
-39.34
0.57
1.26
0.61
0.7
0.91
1.42
0.28
3.88
7.85
22.74
36.33
92.8
120.33 47.32
-36.20
15.42
25.52
35.27
48.61
67.56
72.73
-33.79
1 n
S / N 10 log yi2
n i 1
Las sumas de cuadrados son las siguientes:
Para el arreglo L9 con nueve respuestas Y1 a Y9 se tiene:
La suma de cuadrados del factor A es:
A1 = Y1 + Y2 + Y3
A2 = Y4 + Y5 + Y6
A3 = Y7 + Y8 + Y9
A12 A22 A33
CF
3
(Y Y .... Y9 ) 2
CF 1 2
9
SSA
La suma de cuadrados del factor B es:
Página 60 de 71
0.91
44.19
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
B1 = Y1 + Y4 + Y7
B2 = Y4 + Y5 + Y8
B3 = Y3 + Y6 + Y9
B12 B22 B33
CF
3
(Y Y .... Y9 ) 2
CF 1 2
9
SSB
De la misma forma se calculan las sumas de cuadrados para los factores C y D:
La suma de cuadrados total es:
SST = SSA + SSB + SSC + SSD
Haciendo los cálculos en Minitab se obtiene:
Taguchi Analysis: Rep. 1, Rep. 2, Rep. 1_1, Rep. 2_1, ...
versus A, B, C, D
Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D
Estimated Model Coefficients for SN ratios
Term
Constant
A
A
B
B
C
C
D
D
1
2
1
2
1
2
1
2
Coef
-19.6915
1.8735
1.6687
4.9386
2.0970
-18.6078
4.3499
-7.8678
4.3221
S = *
Analysis of Variance for SN ratios
Source
contribución
A
B
C
D
Residual Error
DF
2
2
2
2
0
Seq SS
56.52
234.86
1705.37
279.46
*
56.52
234.86
1705.37
279.46
*
Adj SS
28.261
117.428
852.685
139.732
*
Página 61 de 71
Adj MS
*
*
*
*
*
*
*
*
F
P
2.49%
10.32%
74.91%
12.28%
Porcentaje de
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Total
8
2276.21
Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D
Estimated Model Coefficients for Means
Term
Constant
A
A
B
B
C
C
D
D
1
2
1
2
1
2
1
2
Coef
25.2281
-5.8598
0.2819
-6.1548
-8.3748
33.5124
-9.6215
8.4707
0.1513
S = *
Analysis of Variance for Means
Source
A
B
C
D
Residual Error
Total
DF
2
2
2
2
0
8
Seq SS
196.59
957.39
5359.29
438.35
*
6951.62
Adj SS
196.59
957.39
5359.29
438.35
*
Adj MS
98.30
478.69
2679.65
219.17
*
F
*
*
*
*
P
*
*
*
*
Response Table for Signal to Noise Ratios
Smaller is better
Level
1
2
3
Delta
Rank
A
-17.818
-18.023
-23.234
5.416
4
B
-14.753
-17.595
-26.727
11.974
3
C
-38.299
-15.342
-5.434
32.866
1
D
-27.559
-15.369
-16.146
12.190
2
Response Table for Means
Level
1
2
3
A
19.368
25.510
30.806
Delta
Rank
B
19.073
16.853
39.758
11.438
4
C
58.741
15.607
1.337
D
33.699
25.379
16.606
22.904
2
57.403
1
Las gráficas factoriales son las siguientes:
Página 62 de 71
17.093
3
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Main Effects Plot (data means) for SN ratios
A
B
-10
Mean of SN ratios
-20
-30
-40
1
2
C
3
1
2
D
3
1
2
3
1
2
3
-10
-20
-30
-40
Signal-to-noise: Smaller is better
Los niveles seleccionados son A en 1, B en 1, C en 3 y D en 2
Main Effects Plot (data means) for Means
A
60
B
45
Mean of Means
30
15
0
1
2
C
3
1
2
D
3
1
2
3
1
2
3
60
45
30
15
0
La respuesta estimada es:
Predicted values
S/N Ratio
5.70044
Mean
-10.5261
Factor levels for predictions
A
B C D
1
1 3 2
Página 63 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
8. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL
8.1 Introducción
Son dos herramientas para investigar la dependencia de una variable dependiente Y en
función de una variable independiente X. Y = f(X)
Y = Variable dependiente que se desea explicar o predecir, también se llama regresor o
respuesta
X = Variable independiente, también se llama variable explicativa, regresor o predictor
Regresión lineal - La relación entre X y Y se representa por medio de una línea recta
Regresión curvilinea - La relación entre X y Y se representa por medio de una curva.
Y
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
b1
*
* *
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
*
*
b0
Correlación positiva
Correlación negativa
X
Sin correlación
La ecuación de la recta es la siguiente:
Y 0 1 X .........Con.base.en.la. población
Y b0 b1 X e...........Con.base.en.datos.de.la.muestra
´*
Y b0 b1 X ................Modelo.de.regresión .estimada
El término de error es la diferencia entre los valores reales observados Yi y los valores
estimados por la ecuación de la recta. Se trata de que estos sean mínimos, para lo cual
se utiliza el método de mínimos cuadrados.
Página 64 de 71
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
*
Y
Error Re siduo (Yi Yi )
*
*
X
Se trata de minimizar la suma de todos los errores o residuos:
Las fórmulas resultado de la minimización de lo cuadrados del error se aplicarán en el
siguiente ejemplo por claridad. Se tienen los siguientes supuestos:
1. Los errores o residuos se distribuyen normalmente alrededor de la recta de
regresión poblacional
2. Las varianzas de los errores son las mismas en todos los valores de X
(Homoscedasticidad) en caso contrario se tiene (Heteroscedasticidad)
3. Los errores o residuos son independientes: No se muestra algún patrón definido.
El coeficiente de Correlación r desarrollado por Carl Pearson es un indicador de la
fuerza de la relación entre las variables X y Y, puede asumir valores entre -1 y 1 para
correlación negativa y positiva perfecta respectivamente. Por ejemplo si se encuentra
que la variable presión tiene una correlación positiva con el rendimiento de una
caldera, se deben buscar soluciones al problema mediante acciones asociadas con la
variable presión; de lo contrario, sería necesario buscar la solución por otro lado.
Se identifican tres medidas de desviación como sigue:
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Y
Yest = 4.4 + 1.08 X
Yi = 23
*
Desviación no explicada
Error = (Yi - Yest) = 1.32
Variación total
(Yi-media)=5.13
Desviación explicada
(Yest-Ymedia) = 3.81
Ymedia =17.87
X = 16
X
8.2 Ejemplo manual
Se sospecha que el tiempo requerido para hacer un mantenimiento preventivo está
relacionado con su número. Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos
de tiempo tomados para n = 25 servicios se muestran a continuación:
X Servicios
2
8
11
10
8
4
2
2
9
8
4
11
12
2
4
4
20
Y Tiempo
9.95
24.45
31.75
35.00
25.02
16.86
14.38
9.60
24.35
27.50
17.08
37.00
41.95
11.66
21.65
17.89
69.00
(Xi-X)*(Yi-Y)
119.076672
1.099872
7.499472
10.502272
0.963072
51.612672
91.433472
121.260672
-3.558928
0.367872
50.679872
21.989472
48.568672
108.406272
31.303072
47.245472
470.014272
(Xi-X)^2
38.9376
0.0576
7.6176
3.0976
0.0576
17.9776
38.9376
38.9376
0.5776
0.0576
17.9776
7.6176
14.1376
38.9376
17.9776
17.9776
138.2976
Página 66 de 71
(Yi-Y)^2
364.1533
21.0021
7.3832
35.6075
16.1026
148.1771
214.7045
377.6337
21.9286
2.3495
142.8694
63.4763
166.8541
301.8142
54.5057
124.1620
1,597.3771
Yest
10.9199
28.3362
37.0443
34.1416
28.3362
16.7253
10.9199
10.9199
31.2389
28.3362
16.7253
37.0443
39.9470
10.9199
16.7253
16.7253
63.1686
Error
0.9408
15.1022
28.0292
0.7369
10.9969
0.0181
11.9721
1.7422
47.4563
0.6991
0.1258
0.0020
4.0121
0.5477
24.2523
1.3564
34.0052
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
1
10
15
15
16
17
6
5
206
10.30
34.93
46.59
44.88
54.12
56.63
22.13
21.15
725.82
135.625472
10.379072
118.686672
107.127072
194.676672
241.751472
15.462272
25.540272
2,027.7132
52.4176
3.0976
45.6976
45.6976
60.2176
76.7376
5.0176
10.4976
698.5600
350.9178
34.7770
308.2553
251.1337
629.3676
761.6054
47.6486
62.1385
6,105.9447
SX
SY
Sxy
Sxx
Syy = SST
X promedio
Y Promedio
SXi-X)*(Yi-Y)
S(Xi-X)^2
S(Yi-Y)^2
Sxy
Sxx
Syy
8.0172
34.1416
48.6551
48.6551
51.5578
54.4605
22.5307
19.6280
Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería y =
a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que
se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos tomando las sumas
de cuadrados siguientes se muestran a continuación:
Sxy = 2027.71
Sxx = 698.56
Syy = 6105.94
Las ecuaciones para el cálculo manual son las siguientes:
b1 ̂1
b0 ˆ0
( Xi X )(Yi Y ) S
S
( Xi X )
XY
2
Y
i
ˆ1 X i
n
= 2.902704421
XX
Y ˆX = 5.114515575
Las sumas de cuadrados son:
SST (Yi Y ) 2 6,105.9447
SSE (Yi Yˆi ) 2 (Yi (bo b1* X i )) 2 220.0926
SSR SST SSE 5,885.8521
El coeficiente de determinación r2 y el coeficiente de correlación r se calculan a
continuación:
Página 67 de 71
5.2111
0.6216
4.2646
14.2512
6.5649
4.7068
0.1606
2.3164
220.0926
SSE
CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
r2 1
SSE ( SST SSE ) SSR
= 0.9639
SST
SST
SST
El coeficiente de determinación indica el porcentaje de la variación total que es
explicada por la regresión.
r r 2 = 0.9816
El coeficiente de correlación proporciona el nivel de ajuste que tienen los puntos a la
línea recta indicando el nivel de influencia de una variable en la otra. El factor de
correlación r es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación
positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula.
El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia
estadística para afirmar que el tiempo de atención esta relacionado con el número de
servicios atendidos.
8.3 Uso de Excel
1. En el menú Herramientas seleccione la opción Análisis de datos. Datos de
ejemplo 6.
2. Seleccione la opción Regresión.
3. Seleccione el rango de entrada, estos corresponden a los datos numéricos de la
tabla.
4. Seleccione Resumen de estadísticas.
5. En opciones de salida seleccione en Rango de salida, una celda de la hoja de
cálculo que este en blanco (a partir de esta celda serán insertados los
resultados).
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de
correlación múltiple
0.981811778
Coeficiente de
determinación R^2
0.963954368
R^2 ajustado
0.962387167
Error típico
3.093419627
Observaciones
25
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
ANÁLISIS DE VARIANZA
Suma de
Promedio de
Grados de
libertad
Valor crítico
Cuadrados
cuadrados
F
de F
1 5885.852069 5885.852069 615.0800898 4.24118E-18
23 220.0926348 9.569244992
24 6105.944704
Regresión
Residuos
Total
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%
5.114515575 1.145804127 4.463691004 0.000177215 2.744239161
2.902704421 0.117040719 24.80080825 4.24118E-18 2.660587249
Intercepción
XServicios
X Servicios Curva de regresión ajustada
80.00
70.00
Y Tiempo
60.00
Y Tiempo
50.00
Pronóstico Y Tiempo
40.00
30.00
Lineal (Pronóstico Y
Tiempo)
20.00
10.00
0.00
0
5
10
15
20
25
X Servicios
En la gráfica observamos que al aumentar el número de servicios el tiempo de
atención aumenta.
8.4 Uso de Minitab
Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los pasos
siguientes (después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las columnas C1 y
C2):
Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X y
aceptar con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y de
determinación.
Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en
Minitab:
Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores
X, seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una función
cuadrática o cúbica y aceptar con OK. Observar el mayor valor del coeficiente
de correlación que indica el mejor ajuste.
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
En Options: seleccionar Display Confidence (para media en X) y Prediction Intervals
para X.
En Graphs: Seleccionar Residual for plots Standardized y Normal Plot of residuals
La gráfica de residuos debe apegarse a la recta y tener siempre un valor P value
>0.05.
Fitted Line Plot
Y Tiempo = 5.115 + 2.903 X Servicios
Regression
95% CI
95% PI
70
60
S
R-Sq
R-Sq(adj)
Y Tiempo
50
3.09342
96.4%
96.2%
40
30
20
10
0
0
5
10
X Servicios
15
20
Regression Analysis: Y Tiempo versus X Servicios
The regression equation is
Y Tiempo = 5.115 + 2.903 X Servicios
S = 3.09342
R-Sq = 96.4%
R-Sq(adj) = 96.2%
Analysis of Variance
Source
DF
SS
MS
F
P
Regression
1 5885.85 5885.85 615.08 0.000
Error
23
220.09
9.57
Total
24 6105.94
La regresión tiene una r^2 de 96.4% y la influencia de una variable X en Y es
significativo.
Los intervalos de confianza para la media y el intervalo de predicción para un punto
específico X son los siguientes:
1 ( Xi X ) 2
Sy Se
n
SCx
*
IC. para. y!x Y est ± tSy
1 ( Xi X ) 2
Syi Se 1
n
SCx
*
IP . para .Yx Y est ± tSyi
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CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
8.5 Ejercicios:
1. La energía consumida en un proceso depende del ajuste de máquinas, realizar una
regresión cuadrática con los datos siguientes y responder las preguntas.
Ajuste
Cons_energía
Máq.
Y
X
21.6
11.15
4
15.7
1.8
18.9
1
19.4
1
21.4
0.8
21.7
3.8
25.3
7.4
26.4
4.3
26.7
36.2
29.1
a) Trazar un diagrama de dispersión
b) Obtener la ecuación de regresión lineal y cuadrática y comparar
c) Estimar el consumo de energía para un ajuste de máquina de 20 con regresión
cuadrática
d) Obtener los intervalos de predicción y de confianza para un ajuste de máquina de 20
e) Obtener el coeficiente de correlación y de determinación
2. En base al porcentaje de puntualidad se trata de ver si hay correlación con las quejas
en una línea aérea. Las quejas son por cada 100000 pasajeros.
%puntos Quejas
Aerolinea
X
Y
A
81.8
0.21
B
76.6
0.58
C
76.6
0.85
D
75.7
0.68
E
73.8
0.74
F
72.2
0.93
G
70.8
0.72
H
68.5
1.22
a) Trazar un diagrama de dispersión
b) Obtener la ecuación de regresión lineal
c) Estimar las quejas para un porcentaje de puntualidad de 80%
d) Obtener los intervalos de predicción y de confianza para una altura de 63"
e) Obtener el coeficiente de correlación y de determinación
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