Lenguajes simbólico

Conjuntos – Lenguaje Simbólico
CONJUNTOS – LENGUAJE SIMBÓLICO
Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura de por ejemplo un diario, o en
el trabajo está presente la idea de conjunto. En matemática utilizaremos la idea de conjunto con el
mismo significado que se le da en la vida diaria, es decir, un conjunto es una colección de objetos.
Al igual que en la vida diaria, la matemática necesita de un cierto lenguaje para poder darse a
entender. El objeto de esta sección es ir adaptándonos un poco a dicho lenguaje.
Generalmente designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de imprenta y anotaremos sus
elementos entre llaves.
•
•
Diremos que un conjunto está definido por extensión si enumeramos todos los elementos que lo
forman.
Un conjunto está definido por comprensión si establecemos una propiedad que caracteriza a
todos los elementos de un conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo:
El conjunto de las notas musicales se escribe:
Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.
Por comprensión: A = {x / x es nota musical}.
Observación: x / x se lee “x tal que x”.
Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn;
éstos son curvas o polígonos cerrados, dentro de los cuales se indican mediante puntos los
elementos que pertenecen al conjunto.
En el ejemplo:
A
re
mi
do
sol
la
fa
si
DIAGRAMA DE VENN
Un conjunto está bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece o no
al conjunto.
•
Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del año} ¿M está bien definido? Si es
así, ¿cuáles son sus elementos?
.........................................................................................................................................................
•
Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es alto} ¿M está bien definido? ¿Por qué?
.........................................................................................................................................................
Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo:
- que a pertenece al conjunto S. En símbolos: a ∈ S.
- que b no pertenece a S. En símbolos: b ∉ S.
Conjuntos – Lenguaje Simbólico
Actividad
Escribir por extensión los siguientes conjuntos y representarlos mediante diagramas de Venn.
A = {x / x es un número de dos cifras iguales}
................................................................................................................................................................
B = {x / x es un número de dos cifras que suman 6}
................................................................................................................................................................
Responder: ¿–555 ∈ A? ¿–33 ∈ B? ¿–33 ∈ A? ¿–45 ∈ B? ¿Por qué?
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
Observación: Existen conjuntos que no tienen elementos, los cuales se llaman conjuntos vacíos.
Por ejemplo: F = {x / x es un día de la semana que empieza con r}.
Para expresar que el conjunto es vacío, escribimos F = {} o bien F = ∅.
Relaciones entre Conjuntos
DEFINICIÓN: Un conjunto A está incluido en otro B si y sólo si todo elemento que pertenece a
A, pertenece también a B. En símbolos:
A ⊂ B ⇔ ∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B
Observaciones:
- A ⊂ B se lee “A está incluido en B”
- ⇔ se lee “si y solamente si”
- ∀x se lee “para todo x”
- ⇒ se lee “entonces”
Ejemplo:
Sea A = {8, 20, 4, 10} y B = {20, 4}:
Decimos que B ⊂ A ya que todo elemento de B está en A.
Gráficamente:
A
B
20 4
8
10
DEFINICIÓN: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A, es decir, dos
conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En símbolos:
A=B⇔A⊂ByB⊂A
Conjuntos – Lenguaje Simbólico
Actividad:
Sean: R = {x / x es una letra de la palabra RECITAL}
C = {x / x es una letra de la palabra CITA}
L = {x / x es una letra de la palabra LA}
A = {x / x es una letra de la palabra AL}
Definir los conjuntos por extensión, graficarlos y decir qué inclusiones se verifican.
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
Notemos que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. En símbolos: ∅ ⊂ A, ∀A
conjunto.
•
¿Existe alguna relación de inclusión entre un conjunto A consigo mismo? ¿Por qué?
..........................................................................................................................................................
Operaciones entre Conjuntos
Dados dos conjuntos cualesquiera, podemos definir ciertas operaciones que nos den como
resultado otro conjunto. A continuación, veremos algunas de ellas:
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, denominamos A intersección B al
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. En símbolos:
A ∩B = {x / x ∈ A y x ∈ B}
Ejemplo:
Sea A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {4, 8, 12, 16, 20}.
Luego A ∩ B = {4, 8, 12}.
Gráficamente:
A
B
10
4
2
8
20
12
16
6
•
Completar según corresponda:
-
A ∩ ∅ = .......... cualquiera sea el conjunto A.
-
A ∩ A = .......... cualquiera sea el conjunto A.
UNIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, denominamos A unión B al conjunto formado
por todos los elementos que pertenecen a A o a B. En símbolos:
Conjuntos – Lenguaje Simbólico
A ∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}
Ejemplo:
Si consideramos el ejemplo anterior: A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}
Gráficamente:
A
B
10
4
2
20
12
16
8
6
•
Completar los siguientes casos particulares:
-
A ∪ ∅ = .......... cualquiera sea el conjunto A.
A ∪ A = .......... cualquiera sea el conjunto A.
COMPLEMENTO DE CONJUNTOS: Dados el conjunto universal o referencial U y el conjunto A ⊂ U,
denominamos complemento de A, y notamos A’, al conjunto formado por todos los elementos de U
que no pertenecen a A. En símbolos:
A’ = {x / x ∈ U y x ∉ A}
Ejemplo:
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {3, 6, 9}.
Luego A’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
Gráficamente:
U
1
A
3
6
•
9
5
2
4
8
7
¿Podría decir cual es el complemento de ∅?
..........................................................................................................................................................
Actividad:
Indicar si las siguientes expresiones están bien escritas. En caso afirmativo, determinar si son
verdaderas o falsas.
Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f}:
- {a, d} ⊂ A
- f⊂B
- ∅∈A∩B
- A ∩ B = {a, b, c, d, e, f}
- A⊂A∩B
- {a, c} ∈ A ∩ B
Conjuntos – Lenguaje Simbólico
TRABAJO PRÁCTICO: CONJUNTOS
1) Completar según corresponda:
Definición por comprensión
{x / x es un número natural menor que 6}
Definición por extensión
{Misiones, Corrientes, Entre Ríos}
{Luna}
{x / x es un color primario}
{}
2) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, siendo A = {r, o, s, a}.
i) ∅ ⊂ A
ii) {s, i} ⊂ A
iii) r ⊂ A
iv){a, s} ⊄ A
v) o ∈ A
3) Consideremos el siguiente diagrama de Venn:
A
U
C
7
14
3
4
1
2
11
8
5
10
12
13
9
6
15
B
Hallar:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
Los conjuntos A, B, C y U.
A∩B
A∪C
B’
A∩B∩C
U’
A ∩ (B ∪ C)’
4) Considerando los conjuntos del ejercicio anterior, determinar si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas.
i) (A ∩ B) ⊂ A ¿Depende esto de los conjuntos A y B?
ii) (A ∪ C) ⊂ C
iii) 5 ∈ (C ∩ B)’
iii) (A ∩ B ∩ C) ⊂ (A ∪ B)
iv) ((A ∩ B) ∪ {10}) = {3, 4, 5, 10}
v) 9 ∈ (B ∩ ∅)