INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 402 Loredo Medina Raúl Camacho Dagnino Iván Alejandro 06/03/2020 REPORTE UNIDAD Métodos Numéricos Método de Bisección. ¿Qué es? Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones de una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.1 Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a, b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a, b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x)=0. ALGORITMO 1: Establecer los limites inferior y superior (Xi y Xu ) y se comprueba que dentro de ellos existe una solución f(Xi) . f(Xu)< 0 2: Se define el intervalo a la mitad 𝑋 = 3: Se decide en que intervalo se encuentra la solución: a) Si f(Xi) . f(Xu) < 0 ,entonces Xu=Xr b) Si f(Xi) . f(Xu) > 0 ,entonces Xi=Xr c) Si f(Xi) . f(Xu) > 0 ,entonces Xr = Solucion Implementación en Excel Explicación del algoritmo: Se comienza escribiendo los valores de Xl y Xu que fueron otorgados por el problema Después calculamos el valor de Xr que se saca sumando el valor de Xl con el de Xu y dividiéndolo entre 2. En la casilla de f(Xl) agregamos la ecuación que se nos otorgó en el problema sustituyendo el valor de Xl en donde este la x. Se repetiría el mismo proceso en las casillas de f(Xu) y en f(Xr), solo que cambiando el valor de x por el que corresponde a cada uno respectivamente. En la casilla de f(Xl)*f(Xr) se hará una multiplicación de las casillas de f(Xl) y f(Xr) para mirar si el resultado es positivo o negativo y con ello hacer las condiciones más adelante. El ERP (%) es el resultado del valor absoluto de P menos el valor obtenido en Xr entre el valor de P. En EA (%) se hace la operación de obtener el valor absoluto del valor actual en la casilla de Xr menos el valor anterior de Xr, eso se divide sobre el valor actual de Xr, todo eso se multiplica por 100, lo cual da el error esperado. Como el algoritmo lo dicta los valores de Xu y Xi van a ir cambiando dependiendo del resultado de la multiplicación en la casilla “f(Xl)*f(Xr)” como se había mencionado antes. Estos cambiaran con las condiciones que se ingresaron en las casillas antes mencionadas, en Xi se agregó la condición de que si la multiplicación de f(Xl) y f(Xr) da un valor menor a 0, entonces el valor de Xu cambiara a el valor que tiene Xr en una iteración arriba, en caso de que el valor sea mayor a 0, Xi tomara el valor de Xi, pero en una iteración arriba. La otra condición seria en la casilla de Xu la cual dice: Si el valor de la multiplicación de f(Xl) y f(Xr) es mayor a “0” esta casilla tomara el valor de la casilla Xr, en el caso de que no se cumpla la condición se tomara el valor de Xu en la iteración anterior. CODIGO Método de Falsa Posición. ¿Qué es? El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0) f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0, x2] y [x2, x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0. Algoritmo 1: Establecer los límites inferior y superior (Xi y Xu ) y se comprueba que dentro de ellos existe una solución. f(Xi) . f(Xu)< 0 2: Se define el intervalo a la mitad 𝑋 = 𝑋 ( )( ( ) ) ( ) 3: Se decide en que intervalo se encuentra la solución: d) Si f(Xi) . f(Xu) < 0, entonces Xu=Xr e) Si f(Xi) . f(Xu) > 0, entonces Xi=Xr f) Si f(Xi) . f(Xu) > 0, entonces Xr = Solución Implementación en Excel. Explicación del Algoritmo. Se comienza agregando los valores de Xl y de Xu que te otorga el problema. En la casilla de Xr se coloca la fórmula que se te muestras a continuación 𝑋 = 𝑋 𝑓(𝑋𝑢)(𝑋𝑖 − 𝑋𝑢) 𝑓(𝑋𝑖) − 𝑓(𝑋𝑢) En la cual se sustituyen los valores correspondientes Luego en f(xi) se sustituye el valor de xi en la fórmula que se da al principio del ejercicio para sacar el valor de f(Xi) Ese mismo proceso se vuelve a repetir en la casilla f(Xu) y f(Xr). En la casilla de f(Xl)*f(Xr) se hará una multiplicación de las casillas de f(Xl) y f(Xr) para mirar si el resultado es positivo o negativo y con ello hacer las condiciones más adelante. El ERP (%) es con la formula ya establecida en los trabajos anteriores solo sustituyendo el valor correspondiente de P en la formula y agregándole el valor absoluto para no tener negativos en los porcentajes. El EA (%) es lo mismo, se saca el valor absoluto del valor de Xi actual menos el anterior entre Xi multiplicando todo eso por 100. Como este método es parecido al anterior con la multiplicación de f(Xl)*f(Xr) obtendremos las condiciones dependiendo el signo que tenga el resultado de la multiplicación. Estas condiciones dependen del valor que está en la casilla de la multiplicación, si en la multiplicación el valor es menor a 0 entonces Si f(Xi). f(Xu) < 0, entonces Xu=Xr, si el valor es mayor a 0 entonces la condición seria: Si f(Xi). f(Xu) > 0, entonces Xi=Xr CODIGO Iteración simple de punto fijo ¿Qué es? El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. No obstante que en la actualidad existen otros métodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más simple en sus principios y en él se pueden apreciar claramente todas las características de un método de aproximaciones sucesivas. Algoritmo También llamado de un punto o sustitución sucesiva, arregla la ecuación f(x)=0 , para lograr que la variable se encuentre en ambos lados de la ecuación de la forma: X=g(x) Esto se logra a través de operaciones algebraicas, o simplemente sumando x en ambos lados de la función. Implementación en Excel. Explicación del Algoritmo. Se comienza tomando los valores de X0 y agregándoselos a la iteración 0 solo que en este método en la interacción 0 los valores de ERP y Ea serán nulos y se rellenarán con un 0 o con un símbolo de “-”. En la iteración 1 el valor de Xi se sustituye en la formula dada por el problema, pero el valor que se sustituye es el de la iteración anterior para poder sacar el de la iteración actual. El ERP (%) es con la formula ya establecida en los trabajos anteriores solo sustituyendo el valor correspondiente de P en la formula. El EA (%) es lo mismo, se saca el valor absoluto de la suma del valor actual menos el valor de la iteración anterior que estos valores se sacan de la casilla Xi. CODIGO Método de Newton-Raphson Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial. Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método. Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi, este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz más cercana. Algoritmo Esta basa su funcionamiento en el principio de la derivada. Su fórmula es: 𝑋 =𝑋 − ( ) ( ) Esta se conoce como fórmula de Newton-Raphson Su desarrollo es que la convergencia depende de la naturaleza del problema, es decir, de la formula usada y el valor inicial dado, el cual debe ser muy cercano a la solución. Además, en ocasiones, esto no asegura el llegar a la solución. Implementación en Excel. Explicación del Algoritmo. En este método como lo dice en el algoritmo el problema te dará una ecuación que tendrás que derivar para poder utilizarla para sacar el valor de Xi. En este método los primeros valores de ERP y de Ea serán nulos por lo que se colocara un símbolo “-” En la interacción 1 se toma los valores de las que te dieron de la ecuación y la ecuación derivada sustituyendo la x con el valor de del Xi anterior y con ello calcular el valor del Xi nuevo. De igual manera en la casilla de f´(Xi) se sustituye el valor de Xi de la iteración anterior, pero en este caso se sustituye en la fórmula de f´(Xi). El ERP (%) es con la formula ya establecida en los trabajos anteriores solo sustituyendo el valor correspondiente de P en la formula. El EA (%) es lo mismo, se saca el valor absoluto de la suma del valor actual menos el valor de la iteración anterior que estos valores se sacan de la casilla Xi. CODIGO Método de La Secante ¿Qué es? El método de la secante se puede pensar como una simplificación del método de NewtonRaphson. En lugar de tomar la derivada de la función cuya raíz se quiere encontrar, se aproxima por una recta secante (de ahí el nombre) a la curva, cuya pendiente es aproximadamente igual a la derivada en el punto inicial. La principal diferencia con el método anterior es conocer dos puntos del a función para poder generar dicha recta. Algoritmo. Este método es una reformulación del método de Newton-Raphson, al no tener que implementar la derivada, si no hacerlo a través de diferencias finitas. Su fórmula es: 𝑋 = 𝑋 − ( )( ( ) ) ( ) Este usa 2 valores iniciales al igual que los métodos cerrados, pero con la diferencia que no se ocupa que la raíz este dentro de los dos valores iniciales. Implementación en Excel. Explicación del Algoritmo Al igual que los otros métodos se toman los datos que te otorga el problema y los colocamos donde corresponde en este caso nos darán el valor de Xi-1 y el de Xi. En la casilla de f(Xi-1) se coloca la operación de f(x) dada por el problema. Luego se sustituye el valor de la casilla de Xi-1 en la formula. De igual manera en la casilla de Xi se sustituye el valor de Xi en la formula dada por el problema. En este método Xi-1 tomara los valores anteriores que tenga Xi y por ende los valores de f(Xi-1) serán los mismos que los anteriores de f(Xi). El ERP (%) es con la formula ya establecida en los trabajos anteriores solo sustituyendo el valor correspondiente de P en la formula. El EA (%) es lo mismo, se saca el valor absoluto de la suma del valor actual menos el valor de la iteración anterior que estos valores se sacan de la casilla Xi. CODIGO. “Observaciones programas” Al momento de realizar la captura de datos tienes que tener cuidado con las ecuaciones ya que la librería que utilizamos es un poquito difícil de tratar ya que si pones algún paréntesis o signo mal te marcara error por eso recomiendo agarrar la formula como la utilizaste en Excel para que no te marque error claro siempre cambiando los campos utilizados en las celdas por una x. Estos programas están para calcular Newton-Raphson, Bisección, Falsa Posición, Punto fijo, Secante. APLICACIONES EN LA INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES. Cálculo de derivadas Integrales. Operaciones con matrices. Ajuste de curvas. Polinomios. Creación de calculadoras graficadoras. Ecuaciones diferenciales
