Formulación del Problema ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ PARTE I ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ FORMULACION DEL PROBLEMA La formulación del problema es quizás el paso más crucial en la solución de problemas que involucren optimización. La formulación del problema requiere la identificación de los elementos esenciales de un enunciado verbal o conceptual de una aplicación dada, y su organización en una forma matemática prescrita, a saber 1. La función objetivo (el criterio económico) 2. El modelo del proceso (las restricciones) La función objetivo representa ganancia, costos, energía, rendimientos, et., en términos de las variables claves del proceso que se está analizando. El modelo del proceso y las restricciones las interrelaciones de las variables claves. Es importante aprender un enfoque sistemático para ensamblar las relaciones físicas y empíricas y los datos involucrados en los procesos de optimización, y los capítulos 1, 2 y 3 cubren los procedimientos recomendados. 1 Optimización de Procesos Químicos ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CAPITULO 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LA NATURALEZA Y LA ORGANIZACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Que es la Optimización Alcance y Jerarquía de la Optimización Ejemplos de Aplicaciones de la Optimización Características Esenciales de los Problemas de Optimización Procedimiento General para Resolver Problemas de Optimización Obstáculos para la Optimización Problemas 3 3 5 6 7 11 12 2 Formulación del Problema La optimización es una de las mayores herramientas cuantitativas en la maquinaria de toma de decisiones. Una gran variedad de problemas en el diseño, construcción operación y análisis de plantas químicas ( como también muchos otros procesos industriales) pueden resolverse por optimización. En este capítulo se examinarán las características básicas de los problemas de optimización y sus técnicas de solución, y describiremos algunos beneficios típicos y aplicaciones en las industrias química y petrolera. 1.1 QUE ES LA OPTIMIZACIÓN La Optimización es la herramienta cuantitativa por excelencia en una gran variedad de problemas del diseño, construcción operación y análisis de plantas químicas. Se conoce desde hace mucho tiempo, en un baño romano se puede encontrar la siguiente inscripción: “De dos malos escoja el menos malo”. La optimización también se encuentra en otros campos como la ciencia (estadística), ingeniería y los negocios. La meta de la optimización es encontrar los valores de las variables del proceso que producen el mejor valor del criterio de operación. El interés en ingeniería es la mayor producción, la mayor ganancia, el costo mínimo, menor uso de energía. En algunos casos los beneficios no son monetarios, pueden ser por ejemplo: una mejora en la operación de la planta, menos contaminación, mayores periodos de operación entre mantenimientos, menores costos de mantenimiento. Los beneficios deben mirarse con mucho cuidado. Por ejemplo una disminución del calor que se suministra al rehervidor en una columna de destilación puede resultar en una pérdida de calidad. También hay que considerar la calidad y exactitud de los parámetros del modelo. Los parámetros del modelo no son estáticos, dependen del punto de operación. Algunos parámetros son más sensibles que otros, los que no tienen influencia en la operación del proceso no tienen porque ser tan precisos como deben serlo los muy sensibles. 1.2 ALCANCE Y JERARQUÍA DE LA OPTIMIZACIÓN La optimización puede darse en el ámbito de una compañía, una planta, un proceso, una operación unitaria, un equipo o cualquier sistema intermedio entre ellos. La complejidad puede ir hasta el mínimo detalle, dependiendo del uso que se va a dar a los resultados, de la exactitud de los datos y de la disponibilidad de recursos para el proyecto. La optimización se utiliza en tres niveles típicos en una compañía: (1) administración, (2) especificaciones del equipo y del diseño del proceso, y (3) operaciones de la planta. La administración toma decisiones concernientes con la evaluación de proyectos, presupuesto corporativo, inversión en ventas versus investigación en investigación y desarrollo, construcción de nuevas plantas (cuando y donde). La magnitud de la inversión y la incertidumbre son mayores en este nivel. En el campo del diseño de procesos y en la especificación de equipos se tienen en cuenta la escogencia de un proceso y las condiciones nominales de operación. Las preguntas que surgen en este campo son: procesos continuos o discontinuos. Cuantos reactores? Cuál debe ser la configuración de la planta? Cuál es el tamaño óptimo de un equipo? Que tipo de intercambiador de calor? El uso de simuladores puede ser de gran ayuda en este caso. 3 Optimización de Procesos Químicos El tercer nivel que consiste en la optimización de la planta se realiza continuamente. Las operaciones de la planta tienen que ver con los controles de la operación de un equipo dado a temperaturas, presiones y caudales especificados de antemano para ser los mejores valores en algún sentido. Las operaciones de la planta también tienen que ver con la asignación de recursos en una base diaria o semanal, especialmente válido para refinerías de petróleo. Una optimización típica en base diaria minimiza el consumo de vapor y de agua de enfriamiento. También se tienen que considerar los aspectos de embarque, transporte y distribución de los productos que generen costos mínimos. Por ejemplo, la frecuencia de pedidos, el método de programar la producción y la entrega son muy críticos para mantener una operación de bajo costo. Hay un número de atributos de los procesos que afectan los costos o las ganancias que los hacen atractivos para la aplicación de la optimización: 1. Ventas limitadas por la producción. En este caso se puede justificar fácilmente las inversiones para aumentar la producción. Esta situación implica un margen de ganancia alto para el incremento en las ventas. 2. Ventas limitadas por el mercado. En este caso hay menos incentivo para su implementación y la atención debe estar dirigida a un aumento en la productividad y reducción de costos (servicios y materias primas). 3. Grandes producciones: Cualquier ahorro, por pequeño que sea, cuando se multiplica por una gran cantidad resulta en una ganancia apreciable. 4. Altos consumos de materia prima o energía: se pueden lograr ahorros apreciables al reducir el consumo de aquellos que sean muy costosos. 4 Formulación del Problema 5. La calidad de los productos excede las especificaciones de los productos: En este caso los costos de producción son mayores y hay un desperdicio de la capacidad de la planta. 6. Pérdidas de componentes valiosos en las corrientes de desechos. 7. Altos costos laborales: En procesos discontinuos se puede dar un ahorro al tener una mejor distribución de la planta. Dos fuentes valiosas de datos para identificar las oportunidades de optimización incluyen (1) un extracto de las pérdidas y ganancias de la planta o unidad y (2) los archivos periódicos de la operación de la planta. El extracto de pérdidas y ganancias contiene mucha información valiosa sobre las ventas, precios, costos de manufactura y las ganancias mientras que los registros de la operación de la planta presentan información de los balances de materia y energía, eficiencias de los equipos, niveles de operación y uso de materia prima. Debido a la complejidad de las plantas químicas, la optimización completa de una planta dada puede ser una empresa bastante extensiva. En ausencia de una optimización completa a menudo dependemos de una optimización parcial, de la cual una variedad especial es la suboptimización. La suboptimización comprende la optimización de una fase de la operación ignorando algunos efectos que pueden tener un efecto, obvio o indirecto, en otros sistemas o procesos de la planta. La suboptimización frecuentemente es necesaria por consideraciones prácticas y económicas, limitaciones de tiempo o de personal, y la dificultad para obtener respuestas rápidas. La suboptimización es útil cuando la formulación del problema o las técnicas de solución no permiten obtener una solución razonable al problema global. En la mayoría de los casos prácticos, la suboptimización proporciona por lo menos es una técnica racional para llegar al óptimo. Sin embargo, se debe tener en cuenta una máxima: la suboptimización de todos los elementos no necesariamente asegura el logro de un óptimo global de todo el sistema. Los objetivos de subsistemas pueden no ser compatibles con los objetivos globales. 1.3 EJEMPLOS DE LAS APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN La optimización puede aplicarse de numerosas maneras a plantas y procesos químicos. Algunos proyectos típicos donde se ha usado la optimización incluyen: 1. Determinación de los mejores sitios para la localización de la planta. 2. Determinación de las mejores rutas para la distribución de productos crudos y refinados. 3. Distribución y diseño de tuberías. 4. Diseño de equipos y de toda la planta. 5. Programación del mantenimiento y reemplazo de equipos. 6. Operación de equipos, tales como reactores tubulares, columnas, absorbedores, etc. 7. Minimización del los cargos de inventarios. 8. Evaluación de los datos de planta para construir un modelo de un proceso. 9. Asignación de recursos o servicios entre los diferentes procesos de una planta 10. Planeación y programación de la construcción. 5 Optimización de Procesos Químicos 1.4 LOS ASPECTOS ESENCIALES DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Como veremos más adelante, los problemas de optimización involucran el uso de varios temas matemáticos. Por consiguiente, la formulación de un problema de optimización debe darse por medio de expresiones matemáticas, aunque esto no necesariamente implica gran complejidad. Desde un punto de vista práctica, es importante combinar adecuadamente la formulación del problema con la técnica de solución anticipada. Sorprendentemente una amplia variedad de problemas de optimización tienen una estructura similar. En realidad, es esta similaridad la que ha posibilitado el progreso reciente en las técnicas de optimización. Se nota un interés común de parte de ingenieros, físicos, químicos y matemáticos, etc., en precisamente las mismas estructuras de problemas matemáticos, cada una con una diferente aplicación en el mundo real. Se puede usar esta semejanza estructural para desarrollar un marco o una metodología dentro de la cual se puede estudiar cualquier problema. Esta sección describe como cualquier problema de proceso, sencillo o complejo debe organizarse para el cual uno desea obtener una solución óptima. Para lograrlo, como se mencionó previamente, se tiene que (a) considerar el modelo que representa el proceso y (b) escoger un criterio de objetivo adecuado para guiar el proceso de decisión. Encontraremos que cada problema de optimización contiene tres categorías esenciales: 1. Por lo menos una función objetivo a ser optimizada (la función de ganancia o la función de costos. 2. Restricciones de igualdad (ecuaciones) 3. Restricciones de desigualdad (Desigualdades) Las categorías 2 y 3 comprenden el modelo del proceso o del equipo; la categoría 1 se considera en algunos casos el modelo económico. Una solución factible del problema de optimización es un conjunto de variables que satisfacen las categorías 2 y 3 al grado deseado de precisión. La figura 1.2 ilustra la región factible, que es la región de soluciones factibles, definidas por las categorías 2 y 3. Una solución óptima es un conjunto de valores de las variables que satisfacen los componentes de las categorías 2 y 3 y también producen un valor óptimo para la función de la categoría 1. E la mayoría de los casos la solución óptima es única; en otros no. Si el problema de optimización se formula de modo que no haya grados residuales de libertad entre las variables de las categorías 2 y 3, no se necesita de la optimización para obtener una solución al problema. (Se pueden tener múltiples soluciones cuando los modelos de las categorías 2 y 3 están compuestos de relaciones no lineales). Se usará la siguiente notación para cada categoría del problema de optimización: Minimizar f(x) función objetivo Sujeto a: h(x) = 0 restricciones de igualdad g(x) = 0 restricciones de desigualdad 6 Formulación del Problema x es un vector de n variables (x1, x2, ….xn), h(x) es un vector de ecuaciones de dimensión m1, y g(x) es un vector de desigualdades de dimensión m2. El número total de restricciones es m = (m1 + m2). 1.5 PROCEDIMIENTO OPTIMIZACION GENERAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE No existe un único algoritmo de optimización general para resolver que pueda aplicarse eficientemente a todos los problemas. El método que se escoja para cada caso particular dependerá principalmente de (1) El carácter de la función objetivo y si se puede evaluar explícitamente, (2) la naturaleza de las restricciones, (3) el número de variables independientes y dependientes. La tabla 1 lista los pasos que deben seguirse para el análisis y solución de los problemas de optimización. Los pasos no tienen porque seguirse en el orden riguroso pero eventualmente todos tienen que realizarse. Tabla 1.1 Los seis pasos que deben usarse para resolver problemas de optimización ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 Análisis del proceso para definir las variables del proceso y las características específicas de interés. 2 Determinar el criterio de optimización y especificar la función objetivo en términos de las variables anteriores y sus respectivos coeficientes 3 Desarrollar por medio de expresiones matemáticas un modelo válido del proceso. Incluye restricciones de igualdad y de desigualdad. 4 Si la formulación del problema resulta muy grande: (a) divídalo en partes manejables, y/o (b) simplifique el modelo y la función objetivo. 5 Aplique una técnica adecuada de optimización al enunciado matemático del problema. 6 Verifique las respuestas y examine la sensibilidad del resultado a cambios en las suposiciones y los coeficientes del problema. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ EJEMPLO 1.7 LOS SEIS PASOS DE LA OPTIMIZACIÓN PARA UN PROBLEMA DE MANUFACTURA Supongamos que usted es un distribuidor de productos químicos y que quiere optimizar el inventario de un producto químico fino. Usted espera vender 100000 barriles por día en un año con la demanda espaciada regularmente en el año. Como se programa la producción para optimizar el costo de inventarios? Paso 1. Hay dos extremos, producir 100000 unidades al comienzo del año, y permitir que el inventario se agote al final del año. Esta es la opción con el mayor costo de manejo de inventario. La otra opción es producir una unidad por tanda, lo que traería un costo de operación exorbitante por necesitar de 100000 tandas (una unidad cada 5 minutos y una decisión impráctica). Es obvio que debe haber una solución intermedia entre estos dos extremos. Las tres variables importantes en este problema son: número de unidades por tanda (D), el número de tandas por año (n) y el número de unidades producidas por año (Q). Otra variable importante son los costos de producción. 7 Optimización de Procesos Químicos Paso 2. Los costos del negocio pueden dividirse en dos factores: (1) los costos de inventarios y (2) los costos de producción. El costo del inventario no solo incluye el costo del dinero asociado con el inventario, pero también tiene que incluir el costo de almacenamiento. El costo de almacenamiento se puede establecer en la función objetivo como K1D, donde el parámetro K1 agrupa le costo del capital de trabajo y los costos de inventario. Supongamos que el costo anual de producción sea proporcional al número de tandas requeridas. EL costo por tanda se toma como una función lineal de D, dada por la siguiente ecuación: Costo por tanda = K2 + K3D (a) El parámetro K2 es un costo fijo de operación (preparación del equipo, limpieza, etc.) El parámetro K3 es el parámetro de costo de la operación. La ecuación (a) puede ser una suposición no realista porque el costo incremental de producción puede disminuir para tandas grandes. En consecuencia, en vez de una función lineal, se podría escoger una función no lineal de la forma Costo por tanda = K2 + K4D1/2 (b) El costo anual de producción es la suma de los costos de inventario más los costos de producción C = K1D+ n (K2 + K3D) (c) Paso 3. La función objetivo dada por (c) depende de dos variables n y D, pero estas variables están relacionadas por n = Q/D. Al eliminar n de la función objetivo dada por (c) se obtiene C = K1 D + QK 2 + K 3Q D (d) Cuales son las restricciones? Como se tratan? Paso 4 No es necesario Paso 5 Se pueden usar dos enfoques para encontrar el valor óptimo de D: numérico o analítico. El problema es bastante sencillo y se puede utilizar una solución analítica. Siempre que se pueda, se debe preferir la solución analítica. En este caso basta con diferenciar la función de costo con respecto a D e igualar la derivada total a cero dC KQ = K1 - 2 2 dD D (e) La solución óptima de D está dada por D opt = K 2Q K1 (f) Supongamos que K1 = 1.0, K2 = 10000, K3 = 4 y Q = 100000. Esto da un Dopt de 31.622. Para este problema se puede verificar rápidamente que el Dopt minimiza la función objetivo al encontrar la segunda derivada de C y demostrar que es positiva. La ecuación (g) ayuda a demostrar las condiciones suficientes para un mínimo 8 Formulación del Problema d 2C 2K 2Q = > 0.0 dD 2 D2 (g) Que pasa si se dobla la demanda a 200000 unidades por año? Supongamos que el costo por tanda sigue una función no lineal, como la dada por la ecuación (b), permitiendo de esta manera una economía de escala. La función del costo total está dada por C = K1 D + QK 2 K 4Q + 1/ 2 D D (h) Después de diferenciar la ecuación (h) e igualarla a cero, se consigue que QK 2 K 4 Q dC = K1 − − 3/ 2 dD D2 D (i) Note que la ecuación (i) es una función polinómica algo complicada que no puede resolverse explícitamente para el Dopt; y se tiene que recurrir a una solución numérica. Surge una dicotomía al intentar minimizar la función (h). Se puede (1) minimizar la ecuación (h) directamente, o (2) hallar las raíces de la ecuación (i). El mejor procedimiento es minimizar la ecuación (h) directamente. La segunda derivada de la ecuación (h) es d 2 C 2 K 2 Q 3K 4 Q = + dD 2 D3 4D 5 / 2 (j) Al ser todos los términos de la derecha positivos, se tiene un mínimo. Paso 6. La información relacionada con la sensibilidad del óptimo a cambios o variaciones de un parámetro es muy importante en el diseño del proceso óptimo. En este ejemplo, se puede calcular analíticamente los cambios en Copt de la ecuación (d) con respecto a los diferentes parámetros de costo. Al sustituir Dopt, dado por la ecuación (f) en la función de costo se obtiene el Costo óptimo dado por C opt = 2 K1 K 2 Q + K 3Q (k) A continuación se deriva parcialmente con respecto a K1, K2, K3 y Q ∂C opt = ∂K1 K 2Q K1 (l1) ∂C opt = ∂K 2 K 1Q K2 (l2) 9 Optimización de Procesos Químicos ∂C opt =Q ∂K 3 ∂C opt = ∂Q (l3) K1 K 2 + K3 Q (l4) Las ecuaciones (l1) a (l4) son coeficientes de sensibilidad absolutos. De manera similar, se pueden desarrollar expresiones para la sensibilidad del Dopt. D opt = K 2Q K1 (f) −1 ∂D opt = 2 K1 ∂K1 K 2Q K1 (m1) ∂D opt 1 = 2K 2 ∂K 2 K 2Q K1 (m2) ∂D opt =0 ∂K 3 ∂D opt 1 = ∂Q Q (m3) K 2Q K1 (m4) SI se sustituyen los valores numéricos de las constantes, se obtienen los siguientes valores para la sensibilidad absoluta y para valores de Dopt = 31.622 y Copt = 463240 ∂ opt = 31620 ∂K 1 ∂D opt = −15810 ∂K 1 ∂C opt = 3.162 ∂K 2 ∂C opt = 1.581 ∂K 2 ∂C opt = 100000 ∂K 3 ∂D opt = 4.316 ∂Q ∂C opt =0 ∂K 3 ∂D opt = 0.158 ∂Q 10 Formulación del Problema De la observación de estos resultados se podría concluir que el Dopt es extremadamente sensible a K1 pero no a Q. Sin embargo, se debe tener en cuenta que no es lo mismo un cambio unitario en Q (100000) que un cambio unitario en K1 (1). Por consiguiente las sensibilidades se deben usar en una base relativa. Por ejemplo, la sensibilidad relativa del Copt a K1 es S KC1 = ∂C opt / C opt ∂ ln C opt = = ∂K1 / K1 ∂ ln K 1 K 2 Q K1 ∗ = 0.0863 K1 C opt De la misma manera se puede aplicar el mismo procedimiento a las otras variables S KC2 = ∂C opt / C opt ∂ ln C opt = = ∂K 2 / K 2 ∂ ln K 2 K 2Q K 2 ∗ = 0.0683 K1 C opt S KC3 = 0.863 S QC = 0.932 De esta manera se puede ver que el costo óptimo se afecta más por cambios en los parámetros K3 y Q. Las sensibilidades relativas del Dopt son S KD11 = −0.5 S KD2 = S QD = 0.5 S KD3 = 0 De modo que todos los parámetros excepto K3 tienen la misma influencia sobre el Dopt (en términos de valores absolutos o cambios fraccionarios) el valor óptimo de D. Para problemas donde no se puede obtener una solución analítica, las sensibilidades se tienen que determinar numéricamente. Se calcula (1) el costo para el caso base, o sea, para un valor especificado del parámetro; (2) se cambia cada parámetro separadamente (uno a la vez) por algún valor razonablemente pequeño, como 1 por ciento o 10 por ciento y calcular el nuevo costo. Se puede repetir el procedimiento para cambios de menos 1 por ciento o menos 10 por ciento. La variación de los parámetros puede hacerse tan pequeña como se quiera, hasta aproximarse a un diferencial; sin embargo, cuando los cambios son infinitesimales los errores numéricos engendrados pueden confundir los cálculos. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1.6 OBSTÁCULOS PARA LA OPTIMIZACIÓN La optimización de un problema dado no presenta ningún problema si la función objetivo y las restricciones se comportan “agradablemente”. En particular, si la función objetivo y las restricciones son lineales, hay un método poderoso de optimización conocido como la programación lineal para resolver el problema de optimización. Para este tipo específico de problemas se sabe que hay una solución única si existe la solución. Sin embargo la mayoría de los problemas son no lineales en su formulación. Para poder trabajar con los métodos de la programación lineal, se modifica la descripción física del problema para que se ajuste al método disponible de solución. Muchas personas que emplean códigos de computador de optimización no aprecian completamente entre el problema original y el problema que se está resolviendo; el 11 Optimización de Procesos Químicos computador muestra una estupenda impresión con gráficas y colores con una autoridad que el usuario no quiere o no puede cuestionar. En este curso se discutirán problemas de optimización basados en sistemas físicos que tienen una función objetivo y/o restricciones complicadas; algunos procedimientos de optimización para estos problemas pueden ser inadecuados o engañosos.. En algunos casos los problemas de optimización exhiben una o más de las siguientes características que causan dificultad y/o falla para calcular la solución óptima: 1 2 3 4 5 La función objetivo y las restricciones pueden tener discontinuidades finitas en los valores de los parámetros. Por ejemplo, el precio de un compresor o intercambiador de calor no cambia continuamente como función del tamaño, temperatura o presión. En consecuencia, el cambio de un parámetro en ciertos intervalos no tiene efecto en el costo mientras en otros intervalos hay un salto en el costo. La función objetivo y/o las restricciones pueden ser funciones no lineales de las variables. Esto no impide el uso de los métodos lineales, pero hay que analizar los resultados de esta aproximación con extremo cuidado. La función objetivo y/o las restricciones pueden estar definidas en términos de interacciones complejas entre las variables. Un caso familiar es la dependencia de la temperatura y la presión en el diseño de recipientes presurizados. La interacción previene el cálculo de valores únicos de las variables en el punto óptimo. La función objetivo y/o las restricciones pueden exhibir un comportamiento plano en algunos intervalos de las variables y un comportamiento exponencial en otros intervalos. Esto significa que el valor de la función objetivo o de la restricción no es sensible, o es muy sensible, respectivamente, a cambios en el valor de la variable. La función objetivo puede exhibir muchos óptimos locales mientras se busca el óptimo global. Se puede obtener una solución al problema de optimización que es menos satisfactoria que otra solución localizada en otra parte de la región. La mejor solución solo puede lograrse al iniciar la búsqueda desde otro punto de partida. PROBLEMAS 1.1 Se va a producir un producto químico orgánico en un reactor discontinuo. El tiempo necesario para completar una tanda de producto depende de la cantidad cargada ( y producida) al reactor, y se ha correlacionado por t = 2P0.4, donde P es la cantidad de producto en libras por tanda y t está en horas. Hay un periodo de 14 horas/tanda que se utiliza para la carga, descarga, limpieza y mantenimiento menor. El costo de operación para el sistema batch es de $50/hr mientras está operando. Los costos de capital incluyendo el almacenamiento dependen del tamaño de cada tanda y han sido prorrateados en una base anual por medio de CI = $800 P0.7. La producción anual requerida es de 300000 lb/año, y el proceso puede operarse durante 320 días por año (24 hr/día). El costo total de la materia prima para este nivel de producción es de $400000/año. (a) Formule una función objetivo con P como única variable. (b) Hay algunas restricciones de P? (De las relaciones se las hay) (c) Encuentre el valor óptimo de P. Verifique que hay un mínimo. 12 Formulación del Problema (d) 1.2 Es este un “mínimo plano”, o sea, es una función insensible a P. Dibuje un grafico aproximado de los costos de capital y de operación como función de P. Usted es el productor de PCL3, que se vende por barriles con una velocidad de P barriles por día. El costo de barril producido es C= 50 + 0.1 P + 9000/P El precio de venta por barril es de $300. Determine: (a) (b) (c) (d) El nivel de producción que da el mínimo costo por barril. El nivel de producción que maximiza la ganancia diaria. El nivel de producción para ganancia cero. Porque son diferentes las respuestas en (a) y (b)? 13
