Apunte Oficial Matemáticas

Índice
Página
I
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
1. Números
1.1. Ley de signos . . . . . . . . . . .
1.1.1. Adición y sustracción . . .
1.1.2. Multiplicación y división .
1.2. Propiedades de los números reales
1.3. Fracciones . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Conceptos básicos . . . . .
1.3.2. Operatoria . . . . . . . . .
1.4. Potencias . . . . . . . . . . . . .
1.5. Radicales . . . . . . . . . . . . .
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .
1.7. Respuestas . . . . . . . . . . . . .
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2. Álgebra
2.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . .
2.2. Expresiones algebraicas . . . . . . .
2.3. Productos notables . . . . . . . . .
2.3.1. Binomio al cuadrado . . . .
2.3.2. Suma por su diferencia . . .
2.3.3. Binomio con término común
2.3.4. Diferencia de cubos . . . . .
2.3.5. Suma de cubos . . . . . . .
2.3.6. Binomio al cubo . . . . . . .
2.4. Factorización . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Factor común . . . . . . . .
2.4.2. Diferencia de cuadrados . .
2.4.3. Suma de cubos . . . . . . .
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15
16
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2.4.4. Diferencia de cubos
2.4.5. Cuadrado perfecto
2.4.6. Trinomio ordenado
2.5. Ejercicios . . . . . . . . .
2.6. Respuestas . . . . . . . . .
3. Fracciones algebraicas
3.1. Conceptos básicos .
3.2. Suma y resta . . .
3.3. Ejercicios . . . . .
3.4. Respuestas . . . . .
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ÍNDICE
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17
17
17
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7. Ecuaciones logarı́tmicas
37
7.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III
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20
21
22
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4. Ecuaciones lineal y cuadrática
4.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . .
4.2. Resolución . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Ecuación de primer grado .
4.2.2. Ecuación de segundo grado .
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . .
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26
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II
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EXPONENCIAL Y LOGARITMO
5. Ecuaciones exponenciales
5.1. Conceptos básicos . . . .
5.2. Resolución . . . . . . . .
5.3. Ejercicios . . . . . . . .
5.4. Respuestas . . . . . . . .
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6. Logaritmo
6.1. Conceptos básicos . . . . . . .
6.2. Propiedades de los logaritmos
6.3. Operatoria . . . . . . . . . . .
6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . .
6.5. Respuestas . . . . . . . . . . .
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34
35
36
36
36
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8. Ángulos
8.1. Conceptos básicos . . . . . . . .
8.2. Medidas de ángulos . . . . . . .
8.2.1. Sistema sexagesimal . .
8.2.2. Sistema radial . . . . . .
8.2.3. Equivalencia de sistemas
8.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . .
8.4. Respuestas . . . . . . . . . . . .
40
40
41
41
41
41
41
42
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9. Razones trigonométricas
42
9.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.3. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
31
31
31
31
33
34
TRIGONOMETRÍA
10. Funciones trigonométricas
10.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . .
10.2. Gráficas de funciones trigonométricas
10.2.1. Gráfica de sen(mx) . . . . . .
10.2.2. Gráfica de cos(mx) . . . . . .
10.2.3. Gráfica de tan(mx) . . . . . .
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49
11. Identidades trigonométricas
50
11.1. Identidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2. Demostración de identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12. Ecuaciones trigonométricas
2
54
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
ÍNDICE
12.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12.3. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13. Problemas de aplicación
56
13.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV
NÚMEROS COMPLEJOS
58
14. Aritmética compleja
14.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . .
14.2. Aritmética compleja . . . . . . . . . .
14.2.1. Adición de números complejos .
14.2.2. Producto de números complejos
14.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . .
15. Potencias y raı́ces
15.1. Forma trigonométrica o polar
15.2. Multiplicación y división . . .
15.3. Potencias y raı́ces . . . . . . .
15.4. Ejercicios . . . . . . . . . . .
V
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58
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59
59
63
63
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64
64
65
65
67
POLINOMIOS
68
16. Raı́ces de un polinomio
68
17. Propiedades de las raı́ces
69
17.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
17.2. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
VI
FRACCIONES PARCIALES
74
3
18. Conceptos básicos
74
19. Tipos de descomposición
19.1. Primer caso . . . . . . .
19.2. Segundo caso . . . . . .
19.3. Tercer caso . . . . . . .
19.4. Cuarto caso . . . . . . .
19.5. Ejercicios . . . . . . . .
19.6. Respuestas . . . . . . . .
75
75
76
77
77
78
78
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ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
1 NÚMEROS
CAPÍTULO I
FUNDAMENTOS DE
ÁLGEBRA
En el presente capı́tulo repasaremos los conceptos y herramientas necesarias para abordar de forma exitosa el estudio del álgebra. Este capı́tulo fue
construido con la colaboración del académico Luis Viza Garcı́a.
SECCIÓN 1
Números
1.1.
Ley de signos
1.1.1.
Adición y sustracción
Para sumar dos números con signos iguales, se suma el valor numérico
y se antepone el signo común.
Para sumar dos números con signos distintos, se resta el valor nuérico
menor del mayor y se antepone el signo del número con mayor valor
absoluto.
4
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
1 NÚMEROS
Ejemplos 1
Propiedades 1
Para todos a, b, c ∈ R se cumple que:
(1) Conmutatividad de la suma:
(1) 3 + 8 = +11 = 11
(2) −3 − 8 = −(3 + 8) = −11
a+b=b+a
(3) −8 + 2 = −(8 − 2) = −6
(2) Conmutatividad de la multiplicación:
ab = ba
1.1.2.
Multiplicación y división
(3) Asociatividad de la suma:
(a + b) + c = a + (b + c)
Para multiplicar dos números o dividir un número entre otro (con divisor
distinto de cero), se multiplica o divide el valor numérico y se antepone
el signo (+) si los dos números tienen el mismo signo, y (−) si tienen
signos diferentes.
(4) Asociatividad de la multiplicación:
(ab)c = a(bc)
Ejemplos 2
(5) Distributividad:
a(b + c) = ab + ac
(1) −3 · −6 = +18 = 18
(6) Elemento neutro aditivo:
(2) 2 · −4 = −8
a+0=0+a=a
(3) −4 : 2 = −2
(7) Elemento neutro multiplicativo:
(4) 4 : −2 = −2
a·1=1·a=a
(8) Elemento inverso aditivo:
1.2.
a + (−a) = 0
Propiedades de los números reales
(9) Elemento inverso multiplicativo:
En esta subsección presentaremos las propiedades aritméticas de los números reales, recordando que este conjunto se denota por R y es la unión del
conjunto de los números racionales (Q) e irracionales (I).
a(a−1 ) = 1, con a 6= 0
5
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
1.3.
1.3.1.
1 NÚMEROS
Fracciones
(2) Resta:
a c
ad − bc
− =
b d
bd
Conceptos básicos
(3) Multiplicación:
Definición 1 : Fracción y sus elementos
Se definen los siguientes conceptos:
a c
ac
· =
b d
bd
(4) División:
(1) Una fracción es un número, que se obtiene de dividir un entero
en partes iguales.
ad
a c
: =
b d
bc
Ejemplos 3 Realicemos las siguientes operaciones:
(2) Una fracción se representa matemáticamente por números que
están escritos uno sobre otro y están separados por una lı́nea
recta horizontal denominada raya fraccionaria.
3
(1) Si queremos sumar o restar fracciones de igual denominador, como con
5
4
, mantenemos el denominador y sumamos o restamos los numeradores.
5
(3) Una fracción está formada por dos términos, numerador y
denominador. El numerador es el número que está sobre la
raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya
fraccionaria.
Es decir,
(a) Opción 1: Suma.
3 4
3+4
8
+ =
=
5 5
5
5
(4) El numerador es el número de partes que se considera de la
unidad o total.
(b) Opción 2: Resta.
3 4
3−4
1
− =
=−
5 5
5
5
(5) El denominador es el número de partes iguales en que se ha
dividido la unidad o total.
1.3.2.
(2) En caso de querer sumar o restar fracciones de distinto denominador,
7
3
como con , calculamos el mı́nimo común múltiplo, en este caso 24.
8
12
Operatoria
Es decir,
Si a, b, c, d ∈ R con b y c no nulos, entonces
(a) Opción 1: Suma.
(1) Suma:
3
7
9 + 14
23
+
=
=
8 12
24
24
ad + bc
a c
+ =
b d
bd
6
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
1 NÚMEROS
1.4.
(b) Opción 2: Resta.
7
9 − 14
5
3
−
=
=−
8 12
24
24
Potencias
Sea x un número real y n un número natural, la expresión xn simboliza el
producto de x por sı́ mismo n veces.
(3) En caso de querer multiplicar o dividir dos fracciones, el proceso es el
mismo sin importar si los denominadores son iguales o distintos.
Es decir,
Es decir,
xn = |x · x ·{zx · · · x}
(a) Opción 1: Multiplicación.
n−veces
21
7
3 7
·
=
=
8 12
96
32
Definición 2 : Potencia y sus elementos
(b) Opción 2: División.
La expresión xn se denomina genéricamente potencia y se lee ”x
elevado a n”o simplemente ”x a la n”. x recibe el nombre de base,
mientras que n es exponente.
3 4
3·5
3
: =
=
5 5
5·4
4
Ejemplos 5
Propiedades 2 : Fundamental de las proporciones
Si a, b, c, d ∈ R con b y c no nulos, entonces
(1) 53 = 5 · 5 · 5 = 125
a
c
=
si y sólo si ad = cb.
b
d
(2) (−6)4 = −6 · −6 · −6 · −6 = 1.296
Ejemplos 4 Observemos que
3
3
3 3 3
27
(3)
= · · =
2
2 2 2
8
4
2
=
si y sólo si 2 · 10 = 4 · 5.
5
10
A continuación resumimos las propiedades que rigen a las potencias.
7
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
1 NÚMEROS
1.5.
Propiedades 3
Radicales
Para a, b ∈ R y m, n ∈ N , tenemos que:
Definición 3 : Raı́z
0
(1) a = 1, con a 6= 0
Sea x un número√y n natural mayor que 1. La raı́z enésima de x,
simbolizada por n x, representa el valor y tal que al ser elevado a n
da como resultado el número x. Es decir,
√
n
x = y ⇔ x = yn.
(2) a1 = a
(3) am · an = am+n
(4)
am
= am−n , con a 6= 0
an
Definición 4 : Índice y subradical
√
De la expresión n x, n recibe el nombre deı́nidce del radical, mientras
que x es subradical.
(5) (a · b)n = an · bn
(6) (am )n = amn
Observación 2 Es importante señalar que
si:
1
(7) a−m = m , con a 6= 0
a
a m am
= m , con b 6= 0
(8)
b
b
√
n
x es un número real si y sólo
(1) x ≥ 0, si n es par.
(2) x ∈ R, si n es impar.
A partir de las leyes de las potencias, se obtienen las siguientes propiedades
de los radicales:
Observación 1 Es importante señalar que:
(1) 00 no está definida.
Propiedades 4
√ n
(1) ( n x) = x, si x ≥ 0.
(2) El cuadrado de todo número real es mayor o igual que cero, es decir,
√ n
(2) ( n x) = x, si x < 0 y n es impar.
x2 ≥ 0, para todo x ∈ R.
√ n
(3) ( n x) = |x|, si x < 0 y n es par.
(3) Si x ≥ 0, entonces
n
(−x) =
Veamos algunos ejemplos que nos permitan comprender de mejor manera
estas propiedades.
xn , si n es par
−xn , si n es impar
8
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
1 NÚMEROS
Ejemplos 6 Estudiemos una situación para cada propiedad:
(1) Supongamos que necesitamos calcular
aplicar la primera propiedad. Es decir,
Propiedades 5
√
7
7
6 , como 6 ≥ 0 podemos
Para a, b ∈ R y m, n ∈ Z, considerando las propiedades ya expuestas,
se tiene que:
√ 7
(2) Si queremos calcular 7 −6 , podemos utilizar la segunda propiedad,
ya que n = 7 y x = −6. Es decir,
√
7
−6
7
m
(4) a n =
−6
4
1.6.
−6
4
−2
8
= | − 2| = 2,
= −6,
(2) 4 − {−5 − 9 − [−(−5 · −4 + 6 : −3) − 9(−20 : −4) + 7] − 3} + 6 : −3
7
5 7
(3) −
−4 +4
+
3
6 2
5
17 1
− − − +1
(4)
4
2
6
= | − 6| = 6.
√
10
1
7 4
· −3 + 2
(5) − ·
4 14
7
8 4 3 9
: − :
25 5 4 12
1
4
1 1
7
(7) :
−
+
−1
−2
2
4 2
3
3
(6)
−30
10
Ejercicios
(1) −9 − [5 − (8 − 11) − 4 − (−5 + 2)]
De igual forma, tenemos que:
√
8
√
am = ( n a)m
Reducir las siguientes expresiones
lo cual no es correcto. En este caso el subradical es negativo y el ı́ndice de
la raı́z es par, por lo que debemos aplicar la tercera propiedad expuesta
anteriormente. Es decir,
√
4
√
n
= −6.
(3) Sin embargo, es necesario ser más cuidadosos en el caso que necesitemos
√ 4
calcular 4 −6 . Un error frecuente es considerar
√
4
√
n
√ √
a·b= na· nb
r
√
n
a
a
n
= √
, con b 6= 0
(2)
n
b
b
p√
√
(3) m n a = mn a
(1)
√ 7
7
6 = 6.
= | − 30| = 30, etc.
9
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
(8)
(9)
(10)
(11)
1 NÚMEROS
1 1
1+ ·
3 2 50
2 1
1
4 2·5· 2
4
+ +
3·6− ·
1
46
5
4
6−
2
1 + 22
3 : (0, 2 − 0, 1)
2 2
(34, 06 − 33, 81) · 4
13 :
+ :
+
2, 5 · (0, 8 + 1, 2) 6, 84 : (28, 57 − 25, 15)
3 21
r
q
p
√
5 − 3 − 64 − 12 25
r
q
p
√
√
16 + 1 + 8 13 − 4 9
3 3 3
− +
4 5 7
2
2
1 7
(23) 8 −
−
−1
3
2 5
2
5
1
7
2 2
4−
(24) (4 − 2 ) −
3
4
3
(22)
(25) 30 − 3−1 + 32 − 3−2 + 33
−3
5
7 16 5
(26)
+ (3 − 5−2 )
+ ·
3
8 49 4
√
√ 2
√ −2
√
(27)
4 − 9 − 4 16 − 25
2
√ 2
1
−2
(28) 3 − 36 −
4
r !
√
5
7
49
4 − 40 −
−3
+1
9−
(29) −
3
7
81
(12) 2−2 + 42 − 5
(13) 3−1 − (−3)2 + 1
(14) 1−1 + 120 − 12 − 1
2
2
−1 −3
(15)
3
1
1
+4 3−
+2
(16) 1 − 2 2 −
2
2
−2
1
(17) 3 − 1 −
+1
4
(30) −5 − [−5 − 4 − (−5 + 2)]
7
7
5
(31) −
−9 +3
+
3
4 10
7
13 1
− − − +2
(32)
4
2
12
1
1
(33) 2 3 +
−3 2+
4
6
1 2
(34) 4 − 6 −
3 5
1
2
1
(35) − + 3 7 −
−
−1
2
3
3
1
2 4
− +
+2
3 5 20
1 1 1
4
(19)
−2 1−
−1
−
3 4 5
5
−2 2
7
20
(20) 1 −
+ 3−
5
3
2
7
3 6
3
6−
(21) 2 + −
−
2 5
4
2
(18)
10
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
(36) 1 −
1 24
1 9
· −
·
3 2 36 5
1 NÚMEROS
1.7.
7 4
1
(37) − ·
· −3 + 4
4 14
13
4 2 3 7
(38)
: − :
15 5 4 9
5
1
1 1
7
−
+
−1
−2
(39) :
2
4 3
3
2
1 25
3
(40) − 5 ·
+1 + :9
5 13
5
5 1
3 1
:−
+
+
(41)
4 2
3 6
−1
11 1
12 125
·
−
:
(42)
5 36
121 4
−2
2
1 9
+1
(43) 6 : − 2 :
3 2
5
−2
√
2
√
3
3
121 − −512 − 12 −
(44)
2
!
r −1
r
52
1
1
: − +1− 3
(45)
4
3
8
1
1
1
1
5
8 · 4 − 11 : 9 − −2
:
4
5
3
3
3
(46)
2
2 2
14 : 2 + 8 · 1
9
5 7
Respuestas
(1) −16
(2) −37
(3) 19
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
43
12
25
7
3
−
5
5
9
−5
(15) −
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(10) 2
√
(11) 7
(22)
45
4
23
(13) −
3
(23)
(24)
329
9
7.353
(26)
1.750
(27) −3
(25)
26
9
(16) 10
(9) 9
(12)
11
(14) 0
20
9
23
12
83
−
60
709
36
683
200
81
140
2.057
300
605
−
36
95
16
(29) −11
(28)
(30) 1
751
60
4
(32)
3
(33) 0
(31)
29
15
119
(35)
6
11
(36) −
30
(34) −
(37)
72
13
(38) −
25
84
(39) −
1
7
(40) −
164
15
(41) −
15
22
(42)
33
263
(43)
1598
675
(44)
437
9
(45) −
(46) 2
47
12
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
2.2.
SECCIÓN 2
Expresiones algebraicas
Álgebra
Definición 6 : Término algebraico
2.1.
Un término algebraico es un término compuesto por una cantidad
numérica y otra literal, que representa un objeto de la vida cotidiana,
que tiene las siguientes caracterı́sticas:
coeficiente numérico
factor literal
signo
grado
Conceptos básicos
El Álgebra es una rama de la Matemática que utiliza números, letras y signos
para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas.
Definición 5 : Variable, potencia y coeficiente
Se definen los siguientes conceptos:
Ejemplos 8 De los siguientes términos algebraicos:
(1) Una variable es una letra que representa un número cualquiera.
(1) −3x5
(2)
(2) Una potencia es el producto repetido de una misma variable
o conjunto de variables y se expresa mediante un exponente
aplicado sobre la variable que sirve de base.
coeficiente
−3
factor literal: x5
factor literal: xrt2
(3) Un coeficiente es un número que señala las veces que se ha sumado repetidamente una misma variable o un conjunto de variables.
signo: negativo
signo: positivo
grado: 5
grado: 4
Ejemplos 7 Observemos que
numérico:
2xrt2
3
coeficiente numérico:
Definición 7 : Grado de un término algebraico
El grado de un término algebraico es la suma de los exponentes del
factor literal.
xy · xy · xy = (xy)3 = x3 y 3 ,
mientras que
Ejemplos 9 Del término algebraico 7x2 y 4 vemos que el grado es
xy + xy + xy = 3xy.
6 = 2 + 4.
12
2
3
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
(2) 6xy 2 y x2 y no son semejantes.
Definición 8 : Expresión algebraica
La siguiente definición nos va a permitir clasificar las expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica es la unión de dos o más términos algebraicos y representa el vı́nculo de objetos o una situación cotidiana en
donde se involucan más de una variable.
Definición 11 : Clasificación de polinomios
Un monomio es una expresión algebraica que consta de un único
término algebraico. La suma o resta de dos monomios (no semejantes)
origina un binomio, la de tres un trinomio. Mientras que las de dos o
más términos es un multinomio y polinomio si los factores literales
tienen sólo exponentes enteros positivos.
Ejemplos 10 De las siguientes expresiones algebraicas, vemos que:
(1) 4x2 + 2x3 y + 7z está compuesta por tres términos algebraicos, estos son:
4x2 , 2x3 y y 7z.
Ejemplos 13 Clasifiquemos las siguientes expresiones:
3
(2) 3w7 f − d5 está compuesta por dos términos algebraicos, estos son:
4
(1) 3xy − x2 z es un binomio.
3 5 3 5
d y d.
4
4
(2) 4x − 5y + 2 es un trinomio.
4
es un monomio.
ab
(4) Las expresiones del apartado (1) y (2) son polinomios, no ası́ la expresión
del apartado (3).
(3)
Definición 9 : Grado de una expresión algebraica
El grado de una expresión algebraica es el grado mayor de los
distintos términos algebraicos de la expresión.
2.3.
Ejemplos 11 Observamos de la expresión algebraica 5xy − 3x3 + 5axy 3 que
el grado del primer término es 2, el segundo es 3 y el tercero es 5.
Productos notables
Son ecuaciones que permiten simplificar el cálculo de productos algebraicos.
Algunos de los productos notables más usuales son:
Por lo tanto, el grado de la expresión es 5.
Definición 10 : Términos semejantes
2.3.1.
Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor
literal y representan objetos del mismo conjunto.
Binomio al cuadrado
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ,
Ejemplos 12 De los siguientes pares de términos algebraicos, vemos que:
(1) 6x3 y
(x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
3 3
x son semejantes.
4
13
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
2.3.5.
Ejemplos 14
Suma de cubos
(1)
(x + 4)2 = x2 + 2 · 4 · x + 42 = x2 + 8x + 14
(x + y)(x2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3
(2)
2.3.6.
2
2
(3a + 5b) = (3a) + 2 · 3a · 5b + (5b)
= 9a2 + 30ab + 25b2
Binomio al cubo
2
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 ,
(x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
(3)
3a2 − 7
2
2
= 3a2 − 2 · 3a2 · 7 + 72
= 9a4 − 6a2 + 49
2.4.
Factorización
Definición 12 : Factorización
2.3.2.
Suma por su diferencia
Factorización es una técnica que consiste en la descomposición de
una expresión algebraica en forma producto.
(x + y)(x − y) = x2 − y 2
2.3.3.
Se separan en 3 grupos:
Binomio con término común
2.4.1.
Factor común
Esta factorización se obtiene como consecuencia directa de la ley de distributividad de los números reales.
2
(ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd,
Recordemos que dicha ley, afirma que para todos a, b, c ∈ R se tiene que
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + (ab)
a(b + c) = ab + ac.
2.3.4.
Diferencia de cubos
De la expresión algebraica ab + ac, el factor común es a.
Por lo que, la factorización por factor común es:
(x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3
ab + ac = a(b + c).
14
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
2.4.2.
Ejemplos 15
(1) El factor común presente en la expresión 5x + 6x2 es x, luego
En la subsección 2.3.2 estudiamos el producto notable suma por su diferencia,
el cual afirma que
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
5x + 6x2 = x(5 + 6x).
La expresión algebraica a2 − b2 se denomina diferencia de cuadrados, la
cual podemos factorizar de la forma
(2) En el caso de querer factorizar la expresión 4ax − 3a2 x + ax2 , notamos
que tanto a como x son factores comunes, por lo tanto
2
2
a2 − b2 = (a + b)(a − b).
2
4ax − 3a x + ax = a(4x − 3ax + x )
= ax(4 − 3a + x).
Ejemplos 16
(1) Notemos que x2 − 4 puede ser expresado como x2 − 22 , lo cual es
efectivamente una diferencia de cuadrados y por ende
(3) Un ejemplo bastante interesante es el siguiente
x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2).
a2 x + a2 y − 2bx − 2by.
Como podemos observar no hay un factor común para los 4 términos
que componen la expresión algebraica, sin embargo a2 es el factor común
para una parte de la expresión, mientras que −2b es factor común para
la otra. Es decir,
2
2
Diferencia de cuadrados
(2) De igual forma, la expresión algebraica
9x4 − 16y 2
puede ser reescrita como
2
a x + a y − 2bx − 2by = a (x + y) − 2b(x + y).
3x2
De donde podemos observar que x + y también es un factor común.
2
− (4y)2 .
Por lo tanto, podemos factorizarla de la siguiente forma:
2
9x4 − 16y 2 = 3x2 − (4y)2
= 3x2 + 4y 3x2 − 4y .
Por lo tanto,
a2 x + a2 y − 2bx − 2by = a2 (x + y) − 2b(x + y)
= (a2 − 2b)(x + y).
(3) La expresión x2 − 5 puede ser algo engañosa, porque probablemente
no se aprecia de inmediato la diferencia de cuadrados. Sin embargo,
observemos que
√
√ √ x2 − 5 = x2 − 5 2 = x − 5 x + 5 .
Este tipo de factorización se denomina factor común por agrupación
de términos o factor común compuesto.
En las próximas tres subsecciones estudiaremos las factorizaciones más comunes para binomios.
15
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
(4) Finalmente, la expresión a4 x − 4x también pareciera ser no factorizable
como diferencia de cuadrados. Pero probemos factorizando primero por
x, es decir,
a4 x − 4x = x a4 − 4 .
Ejemplos 17
(1) Al momento de factorizar x3 + 8, es necesario reconocer primeramente
los cubos, es decir,
x3 + 8 = x3 + 23 .
Ahora es más sencillo reconocer la diferencia de cuadrados,
2
a4 − 4 = a2 − 2 2 = a2 + 2 a2 − 2 .
Luego, la factorización es
x3 + 8 = x3 + 23
= (x + 2)(x2 − 2x + 22 )
= (x + 2)(x2 − 2x + 4).
2
Por otro
√ 2lado, a −2 también es una diferencia de cuadrados al considerar
2= 2 .
Por lo tanto, el proceso completo de factorización es:
a4 x − 4x = x a4 − 4
= x a2 + 2 a2 − 2
√ √ = x a2 + 2 a + 2 a − 2
(2) De igual forma que en el ejemplo anterior, para factorizar x6 + 1 lo
reescribimos como suma de cubos, es decir,
3
x6 + 1 = x2 + 13 .
Por lo tanto,
Observación 3 De los ejemplos anteriores podemos concluir lo siguiente:
x6 + 1 = x2
+ 13
2 2
= x2 + 1
x − 1x2 + 12
= x2 + 1 x4 − x2 + 1 .
Del ejemplo (3): no es necesario que los cuadrados sean perfectos para poder
utilizar la diferencia de cuadrados.
Del ejemplo (4): podemos utilizar varias factorizaciones para reescribir una
expresión algebraica.
2.4.3.
3
(3) Factoricemos ahora la expresión 8x3 + 2, como ya sabemos lo primero
es reescribirla como suma de cubos, es decir
√
3
8x3 + 2 = 8x3 + 2 3 .
Suma de cubos
De la subsección 2.3.5 sabemos que
Luego,
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 ,
√
3
8x3 + 2 = (2x)3 + 2 3
√
√
√
3
3
3
= 2x + 2 (2x)2 − 2(2x) + 2 2
√
√
√
3
3
3
= 2x + 2 4x2 − 2 2 x + 4 .
por lo tanto si queremos factorizar la expresión algebraica a3 +b3 , denominada
suma de cubos, entonces
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ).
16
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2.4.4.
2 ÁLGEBRA
2.5.
Diferencia de cubos
En la subsección 2.3.4 estudiamos el producto notable diferencia de cubos,
el que nos indicaba que
I. Reducir las siguientes expresiones:
√
√
(1)
3+a
3−a
√ √
√
√
(2) ( a + b + b)( a + b − b)
z
3
(6 − z) + (z − 1)3 − z 4
(3) z −
4
√
√ 2
2 √
3
3−4 − 3 1− √
(4) 1 + 2 −
3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 .
Lo cual implica que la expresión algebraica a3 − b3 puede ser expresada por
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
2.4.5.
(5) 2 (a − b)3 − 4a(a − b)(a + b) + 6(3a − b)3
Cuadrado perfecto
(6) x (3x2 − 2x + 8)
Recordemos que
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
2
2
(7) −3x2 (x − 7) + x
x
(8) (2 − 4x + 4x2 )
2
3
x
2x
(9) 3x2
−
+7
6
5
2
y (a − b) = a − 2ab + b .
Por lo tanto, la factorización de los trinomios de la forma
a2 + 2ab + b2 y a2 − 2ab + b2 ,
(10) a2 b (4 − ab + b2 )
son respectivamente
(a + b)2 y (a − b)2 .
2.4.6.
Ejercicios
(11) (a + b) (a2 − ab + 7b − 4)
(12) (x − 2) (4x + 5) − x
Trinomio ordenado
(13) (2x − 5) (x2 + x + 1)
(14) (x − 1) (4x + 2) + x (2 − x)
Al efectuar el producto entre los binomios (x + a) y (x + b), obtenemos que
(15) x (x + 1) − 3x (x + 4) + 2x (5 − x)
(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab
= x2 + (a + b)x + ab.
(16) (3x − 1) (4 − x) − x (3x + 2) − 6x
(17) (x2 − x − 1) (6x + 7) − 5 (x − 1) (4x + 2) + 1
Por lo tanto,
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
(18) (4a − b) (3ab − a) − (1 + a − b) (2 + a − b)
17
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
2
(40) (4x2 − 4x) − (4x2 − 7x) (x2 − 1) + x2
(19) (2y − 1) (y + 7) − 2 (3y − 4) (y + 2) + y 2
(20) (1 − 2x + 3x2 ) (1 + x + x2 ) − x2 (4 − x + x2 )
II. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
(21) (13 − 2x) (13 + 2x)
(1) x2 − 4x + 4
(22) (2 − 6x) (2 + 6x)
(2) x2 + 24x + 144
(23) (x2 − 4) (x2 + 4)
(24) (x + x2 )
2
2
2
(25) (2a + b ) (2a − b )
(26) (2a − 3b)2
(4) 2x3 + 4x2 + 2x
(14)
(5) x2 + 4x − 5
(15)
(6) x2 + 11x + 24
(27) (x − y) (x + y)
2
(28) (x + 3) + (7 − x) (7 + x)
2
(13)
(3) x2 − 16
2
(29) (2 − x) + (4 + x) − 3
(30) (4 + 3x) (4 − 3x) − (4 − 3x)2 + 4
(32) (4x − 3) (7 + x) − (x + 3)2 + 5
(16)
(8) x2 −
1
4
(17)
(9) x2 − 7
(18)
(11) x2 + 2x +
(33) (x − 3)2 (x + 1) − (x − 1)2 − 3
2
1
+ 4x − (x − 4) (7x + 2)
(34) x −
2
(35) (3x − 6) (4x + 6) − x (x − 1)2 +
(7) x3 + 5x2 − 35x
(10) 4x2 − 3
(31) (x − 2)2 − (x + 2)2 + x (x + 1)
2.6.
3
4
Respuestas
I.
3
4
(1) 3 − a2
(36) (4a − 3b)2 + (a + 4b) (2a − b) + a (a + b)
(2) a
2
(37) (4y − 3) (6 − 7y) − (y − 2) + y
11
3
(3) −2z 4 + 7z 3 − z 2 + z − 1
4
2
√
√
(4) 2 2 + 7 3 − 13
(38) (y − 4x)2 + (7y + x) (13x + y) − (x − y)
2
x 3
(39)
− (x − 1) (x + 1) − x (4x + 7)
−
2 4
(5) 160a3 − 168a2 b + 64ab2 − 8b3
18
11
1
x+
28
28
3
5
x2 + x +
2
2
8
1
x3 + x2 + x
15
15
8
4x3 + 4x2 + x
9
5
−x3 − 3x2 − x
4
7
1
2x3 + x2 + x
6
6
1 − x2
(12) x2 +
(19) −x2 − x + 12
(20) 7x4 +
28 3 21 2
x + x
5
25
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2 ÁLGEBRA
(29) 2x2 + 4x + 17
(6) 3x3 − 2x2 + 8x
(7) −3x3 + 21x2 + x
(30) −18x2 + 24x + 4
(8) 2x3 − 2x2 + x
(31) x2 − 7x
1 5 6 3
x − x + 21x2
2
5
(10) 4a2 b − a3 b2 + a2 b3
(32) 3x2 + 19x − 25
(9)
(33) x3 − 6x2 + 5x + 5
(34) −6x2 + 29x +
(11) a3 − ab2 + 7ab − 4a + 7b2 − 4b
(12) 4x2 − 4x − 10
(35) −x3 + 14x2 − 7x −
(13) 2x3 − 3x2 − 3x − 5
(37) −29y 2 + 50y − 22
(15) −4x2 − x
(38) 29x2 + 84xy − x + 8y 2 + y
(16) −6x2 + 5x − 4
(17) 6x3 − 19x2 − 3x + 4
(39) −
(18) 12a2 b − 5a2 − 3ab2 + 3ab − 3a − b2 + 3b − 2
4
3
141
4
(36) 19a2 − 16ab + 5b2
(14) 3x2 − 2
(19) −3y 2 + 9y + 9
33
4
19 2 31
25
x − x+
4
4
16
(40) 12x4 − 25x3 + 21x2 − 7x
II.
2
(20) 2x + 2x − 2x − x + 1
(1) (x − 2)2
(21) 169 − 4x2
(2) (x + 12)2
(22) 4 − 36x2
(3) (x + 4)(x − 4)
4
(23) x − 16
(4) 2x(x + 1)2
(24) x4 + 2x3 + x2
(5) (x + 5)(x − 1)
(25) 4a2 − b4
(6) (x + 8)(x + 3)
(26) 4a2 − 12ab + 9b2
(7) x(x − 2)(x + 7)
1
1
(8) x +
x−
2
2
(27) x2 − y 2
(28) 6x + 58
19
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
√
7)(x − 7)
√ √ 2x + 3 2x − 3
3
1
x+
x+
2
2
1
1
x+
x+
7
4
3
(x + 1) x +
2
1
1
x x+
x+
3
5
2
1
4x x +
x+
3
3
1
5
x+
−x x +
2
2
1
1
x+
2x x +
4
3
(9) (x +
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
√
SECCIÓN 3
Fracciones algebraicas
3.1.
Conceptos básicos
Definición 13 : Fracción algebraica
Una fracción algebraica o expresión algebraica racional es el cuociente de dos polinomios de la forma
p(x)
, donde q(x) 6= 0.
q(x)
Las fracciones algebraicas tienen las mismas propiedades que los números
racionales. Además, como el denominador de una fracción debe ser distinto de
cero, entonces para que una fracción algebraica esté definida y tenga sentido,
es necesario restringir los valor de las variables que anulan del denominador.
Ejemplos 18
(18) (1 − x)(1 + x)
(1)
(19) (3 − x)(4 + x)
3
1
2
x+
(20) 7x x +
5
5
3−x
es una fracción algebraica y para que esté definida es preciso que
x
x 6= 0.
(2) Para que la fracción algebraica
1
esté definida, x 6= 1.
1−x
(3) Si queremos determinar los valores reales de x para los cuales la expresión
x2
x−1
+ 9x + 14
está definida, tendremos que determinar los valores de x tal que
x2 + 9x + 14 = 0.
20
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para esto, observemos que:
(3) De igual manera,
x2 + 9x + 14 = 0
⇒ (x + 7)(x + 2) = 0
⇒ x1 = −7 y x2 = −2.
Veamos porqué:
x2 + 5x − 14
tampoco está en su mı́nima expresión.
x2 + 4x − 21
x2 + 5x − 14
(factorizamos)
x2 + 4x − 21
(x − 2)(x + 7)
=
, con x 6= −7 y x 6= 3
(x − 3)(x + 7)
✘
(x − 2)✘
(x✘+✘7)
=
✘ (simplificamos)
(x − 3)✘
(x✘+✘7)
x−2
.
=
x−3
Por lo tanto, x 6= −7 y x 6= −2.
(4) Finalmente, si necesitamos determinar los valores reales de x que permi1−x
ten que la expresión
tenga sentido, basta con resolver x + a = 0.
x+a
Es decir, x 6= −a.
Definición 14 : Mı́nima expresión
3.2.
Una fracción algebraica está en su mı́nima expresión, si el numerador
y denominador no tienen factores comunes distintos de 1 y −1.
Para sumar o restar dos o más fracciones algebraicas, vamos a proceder de
igual forma como lo hacı́amos para sumar o restar fracciones reales, utilizando
el mı́nimo común múltiplo.
Ejemplos 19
(1)
Suma y resta
x−2
está en su mı́nima expresión, porque ni 3 ni x son factores de
3x
x − 2.
Ejemplos 20
(1) Calculemos
4.
3x − 6
no está en su mı́nima expresión, porque
(2) La fracción
6x2
x+1 x−3
−
, sabemos que el mı́nimo común múltiplo es
2
4
Por lo tanto,
3(x − 2)
3x − 6
=
2
6x
3(2x2 )
3✁ (x − 2)
=
3✁ (2x2 )
x−2
=
, con x 6= 0.
2x2
2(x + 1) − (x − 3)
x+1 x−3
−
=
2
4
4
2x + 2 − x + 3
=
4
x+5
.
=
4
21
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
4
1
−
, el mı́nimo común múltiplo
x+2 x−5
es (x + 2)(x − 5). Por lo tanto,
3.3.
(2) En el caso de que calculemos
1
4
−
x+2 x−5
x − 5 − 4(x + 2)
=
(x + 2)(x − 5)
x − 5 − 4x − 8
=
(x + 2)(x − 5)
−3x − 13
=
(x + 2)(x − 5)
−3x − 13
.
= 2
x − 3x − 10
I. Si a = 2, b = 3 y c = −1, calcular el valor de:
(restamos las fracciones)
(1) a + 5b − 3c
(reducimos la expresión)
(2)
5b + c
3a2 + a
a
1
+
b − c 4b − c
√
2a − b2 1
+
(4)
1 − c2
a
(3)
II. Determinar los valores reales de x que indeterminan a las siguientes
fracciones:
(reescribimos el denominador)
x+2
3
3−x
(2)
x+1
(1)
(3) Finalmente, se nos puede presentar el caso en que tengamos que sumar
o restar fracciones algebraicas cuyos denominadores tienen factores en
común. Analicemos la suma:
3−x
x+2
+ 2
x+1 x +x
3−x
x+2
=
+
x + 1 x(x + 1)
x(3 − x) + x + 2
=
x(x + 1)
3x − x2 + x + 2
=
x(x + 1)
2
−x + 4x + 2
=
x(x + 1)
−x2 + 4x + 2
=
.
x2 + x
Ejercicios
(3)
(factorizamos (x2 + x))
(4)
(el m.c.m- es x(x + 1))
(reducimos la expresión)
(reescribimos el denominador)
1+x
1−x
x+7
8 − 2x
(5)
4
x2 + 4
(6)
2x + 7
x2 − 1
7x
+ cx
x−b
(8)
x+b
(7)
(9)
(10)
(11)
(12)
x2
4−x
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
1
(2x + 3)(x − 4)(x2 + 1)
x+1
(x − 1)2 (3x − 6)2
3−a
(x + a)2 (3x − b)x
III. Determinar los valores reales de x que anulan a las siguientes fracciones:
x+2
3
3−x
(2) 2
x +4
(1)
22
1 + 3x
1−x
4x − 7
(4)
8 − 2x
(3)
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
(5)
(6)
(7)
x2
4
+4
2x + 7
x2 − 1
7x − c
x2 + cx
(8)
3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
x−b
x+b
V. Calcular:
(4 − x)(x − 2)
(9)
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
1
(10)
(2x + 3)(x − 4)(x2 + 1)
4x
6a
x+2
(2) 2
x −4
(3)
4ab
16a2 b
ab3 c2
a2 bc3
(x + 1)(x − 4)
(5)
(x + 2)(x − 4)
(4)
(6)
x2 + 5x + 4
x2 + 3x − 4
x2 − 2x − 15
x2 + 2x − 15
3x
(8)
5y
(7)
(9)
(10)
x4 − 1
x6 − 1
ax(a − b)
bx(a + b)
(11)
(12)
mx − my
nx − ny
18pq − 9q 2
4p2 − 2pq
(13)
m2 + 6m + 9
m2 + 5m + 6
(14)
n2 − 11n + 28
n2 − 5n − 14
1
1
+
x x−1
1
1
+ 2
x x
(5)
x−1 4
+
x2
x
(6)
1
2
1
+
− 2
x−1 x+1 x −1
(9)
(10)
ab − 5b − 3a + 15
a2 − 25
(11)
x4 − 1
x3 − x
ab + 3a − 2b − 6
(19)
(a2 − 4)(b2 − 9)
(18)
(12)
(13)
(b2 − 4c2 )(a2 − b2 )
b2 + ab + 2ac + 2bc
3
1
−
x+2 x−2
(4)
(8)
x3 − 6x2 − 40x
x4 + 8x3 + 16x2
ab − ay − bx + xy
(16)
ab − ay + bx − xy
(20)
(2)
(7)
(15)
(17)
1 2
−
x x
(3)
IV. Simplificar las siguientes expresiones hasta obtener una expresión irreductible, indicando los valores para los cuales la simplificación sea posible:
(1)
(1)
2
5x − 1
1
−
+ 2
x x+1 x +x
x2
2
4
2
− +
+x x x+1
x−1 x+2 3
−
+
x+1 x−2 x
x−1 x+2 2
−
+
x−2 x+1 x
x2
1
1
+ 2
+ 2x − 15 x + 8x + 15
2
1
+
x2 − 8x + 15 x2 + x − 12
x3
2−x
3
x
+ 2
− 2
2
+x
x + 2x + 1 x − 1
x
2−x
1 − x2
+ 2
−
(14) 2
x − 4x + 3 x − 5x + 6
x
23
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
x 5x − 1 1 − x
−
+
2 2x − 1 x + 2
1
1−
1−x
(16)
2
3+
x
x−1
1−
x+1
(17)
x
1−
x+2
1
2
+
(18) x − 1 x + 1
x 3
−
3 x
3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
III.
(15)
3.4.
2
(19)
x−
2
x+
(20) x +
2
x
1
1
x+
x−
1
x
(2) x = 3
(5) nunca.
1
(3) x = −
3
7
(6) x = −
2
2x
3a
1
, con x 6= −2
(2)
x−2
(1)
(3)
I.
(2) 1
(4) x =
IV.
Respuestas
(1) 20
b2
, con a 6= 0, b 6= 0 y c 6= 0
ac
x+1
(5)
, con x 6= 4
x+2
21
52
(4) indeterminado.
(3)
II.
(1) nunca.
(7) x = 0 y x = −c
(2) x = −1
(8) x = −b
(4) x = 4
(5) nunca.
(6) x = −1 y x = 1
x+1
, con x 6= −4
x−1
(7) está en su mı́nima expresión.
(8) está en su mı́nima expresión.
(9) x = 1, x = −1 y x = −2
(9)
3
yx=4
2
(11) x = 1 y x = 2
(10) x = −
(12) x = −a, x =
1
, con a 6= 0 y b 6= 0
4a
(4)
(6)
(3) x = 1
7
4
(1) x = −2
x2 + 1
, con x 6= 1 y x 6= −1
x4 + x2 + 1
a(a − b)
, con x 6= 0
b(a + b)
m
(11)
, con x 6= y
n
(10)
b
yx=0
3
24
c
7
(8) x = b
(7) x =
(9) x = 4 y x = 2
(10) nunca.
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
2x
3
2
x + 5x − 9x − 45
3x − 6
(12) 3
x − 4x2 − 17x + 60
9q
, con q 6= 2p
2p
(11)
m+3
, con m 6= −3
m+2
n−4
, con n 6= 7
n+2
x − 10
, con x 6= 0 y x 6= −4
x2 + 4x
a−x
, con b 6= y
a+x
b−3
, con a 6= 5
a+5
x2 + 1
, con x 6= 1 y x 6= −1
x
1
(19)
, con a 6= 2 y b 6= −3
(a + 2)(b − 3)
(20) (b − 2c)(a − b), con a 6= b y b 6= −2c
V.
1
x
2x − 1
(2) 2
x −x
(1) −
(3)
2x − 8
x2 − 4
x+1
(4)
x2
5x − 1
(5)
x2
x3 + x2 − 5x + 1
(13) − 4
x + x3 − x2 − x
(18)
(14) −
(19)
(15)
(18)
2x − 1
x2 − 1
4
(7)
x+1
2
(8)
x+1
(6)
3x2 + 3x + 6
(9) − 3
x − x2 − 2x
(10)
2x2 + x − 4
x3 − x2 − 2x
25
x2
3x2 − x − 2
x+2
(17)
x+1
(16)
5x2 − 18x + 12
x3 − 5x2 + 6x
2x3 − 11x2 − 14x + 2
4x2 + 6x − 4
9x3 − 3x
x4 − 10x2 + 9
2x2 + 4
x3
x4 + x2 − 1
(20)
x3
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
4 ECUACIONES LINEAL Y CUADRÁTICA
SECCIÓN 4
(3) La solución de la ecuación
Ecuaciones lineal y cuadrática
4.1.
4x − 1 = 3
es x = 1, porque
Conceptos básicos
4(1) − 1 = 3.
Mientras que
Definición 15 : Ecuación y sus caracterı́sticas
x2 − 2x − 14 = 1
Se definen los siguientes conceptos:
tiene dos soluciones, x = −3 y x = 5, por que
(1) Una ecuación es una igualdad en la cual al menos una de las
expresiones es algebraica.
(−3)2 − 2(−3) − 14 = 1
y
(2) Las variables o incógnitas son las letras que aparecen en una
ecuación.
(5)2 − 2(5) − 14 = 1.
(4) Como x = 1 es solución de
(3) El grado de una ecuación viene dado por el mayor exponente
de la incógnita.
2x − 1 = 1 y 2x − 3 = −1,
(4) Solucionar una ecuación es determinar los valores de las incógnitas que transformen la ecuación en una identidad.
entonces ambas ecuación son equivalentes.
En la siguiente subsección analizaremos el procedimiento para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
(5) Dos ecuaciones son equivalentes, si tienen las mismas soluciones.
Ejemplos 21
4.2.
(1) Las igualdades
Resolución
Para resolver ecuaciones vamos a realizar operaciones aritméticas para construir ecuaciones equivalentes. Para esto sólo podemos aplicar las siguientes
propiedades.
1
+ 7 = 6x
x
son ecuaciones, la primera tiene incógnitas x e y, mientras que la incógnita de la segunda ecuación es x.
3x + y = 6 y
Primera propiedad: Sumar una misma expresión a las dos partes de la
igualdad.
(2) La ecuación
3x4 − 4x + 5 = 3
Segunda propiedad: Multiplicar por un número diferente de cero las dos
partes de la igualdad.
es de grado 4 y su incógnita es x.
26
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
4.2.1.
4 ECUACIONES LINEAL Y CUADRÁTICA
(3) La siguiente ecuación es un caso interesante
Ecuación de primer grado
(x + 1)2 − 4 = x(x + 2).
Definición 16 : Ecuación de primer grado
Veamos porqué
Una ecuación de primer grado es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Esta ecuación tiene la estructura
(x + 1)2 − 4 = x(x + 2)
⇒ x2 + 2x + 1 − 4 = x2 + 2x
⇒ 2x − 3 = 2x
⇒ −3 = 0.
ax + b = 0, con a, b ∈ R y a 6= 0.
Lo cual no es verdadero, por lo tanto la ecuación no tiene solución.
Ejemplos 22
(1) La ecuación
4.2.2.
4x − 3 = 9,
es de primer grado. Para resolverla sólo utilizaremos las propiedades
mencionadas anteriormente, es decir,
4x − 3 = 9
⇒ 4x = 12
⇒ x = 3.
/+ 3
1
·
4
Definición 17 : Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una
ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable cuya
mayor potencia es 2.
Esta ecuación tiene la estructura
sumamos 3)
(simplificamos por 4)
ax2 + bx + x = 0, con a, b, c ∈ R y a 6= 0.
Por lo tanto, la solución de esta ecuación es x = 3.
(2) Para determinar el grado de la ecuación
Veamos cómo resolver este tipo de ecuaciones.
x(x − 1) + 7 = (x + 2)2 ,
Primer caso: Supongamos que c = 0, es decir, la ecuación a resolver es de
la forma
ax2 + bx = 0.
vamos a reducirla. Es decir,
x(x − 1) + 7 = (x + 2)2
2
2
⇒ x − x + 7 = x + 4x + 4
⇒ −x + 7 = 4x + 4
⇒ 7 − 4 = 4x + x
⇒ 3 = 5x
3
⇒ = x.
5
Ecuación de segundo grado
(realizamos los productos)
+ (−x2 ) (restamos x2
ecuación de primer grado)
Observemos que:
ax2 + bx = 0
⇒ x(ax + b) = 0
)
x1 = 0
⇒
b
x2 = −
a
27
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
4 ECUACIONES LINEAL Y CUADRÁTICA
Observemos que:
Ejemplos 23
ax2 + c = 0
⇒ ax2 = −c
c
⇒ x2 = −
a
(1) Determinemos las soluciones de
4x2 − 7x = 0,
en este caso a = 4 y b = −7.
c
Observación 5 Este tipo de ecuaciones sólo tiene solución real si −
es
a
positivo o cero. Además,
c
(1) − = 0 si y sólo si c = 0.
a
c
(2) − > 0 si y sólo si a y c tienen distinto signo.
a
Tercer caso: Supongamos que b 6= 0 y c 6= 0, es decir, la ecuación es de la
forma
ax2 + bx + c = 0.
Por lo tanto,
4x2 − 7x = 0
⇒ x(4x − 7) = 0
)
x1 = 0
7
⇒
x2 =
4
(2) En el caso de resolver la ecuación
Tenemos dos formas para determinar las soluciones de una ecuación cuadrática, la primera es a través de una factorización y la segunda es utilizando la
fórmula de la ecuación de segundo grado, la cual afirma que las soluciones
son de la forma:
√
−b ± b2 − 4ac
.
x=
2a
Ejemplos 24
x(5x − 6) = (3x − 5)2 + 24x,
primero reducimos las expresiones y luego determinamos las soluciones.
Es decir,
x(5x − 6) + 25 = (3x + 5)2
⇒ 5x2 − 6x + 25 = 9x2 + 30x + 25
⇒ 0 = 4x2 + 36x
⇒ 0 = x(4x + 36)
x1 = 0
⇒
x2 = −9
(1) Para resolver la ecuación
x2 − x − 42 = 0,
basta con factorizar el trinomio ordenado.
Es decir,
x2 − x − 42 = 0
⇒ (x − 7)(x + 6) = 0
x1 = 7
⇒
x2 = −6
Observación 4 En este tipo de ecuaciones, x = 0 es siempre una solución.
Segundo caso: Supongamos que b = 0, es decir, la ecuación a resolver es
de la forma
ax2 + c = 0.
28
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
4 ECUACIONES LINEAL Y CUADRÁTICA
Luego,
(2) Determinemos las soluciones de la ecuación
x=
(x + 1)(x − 3) + 2 = −7(x + 1),
=
de la siguiente manera
=
(x + 1)(x − 3) + 2 = −7(x + 1)
⇒ x2 − 2x − 3 + 2 = −7x − 7
⇒ x2 − 2x − 1 = −7x − 7
⇒ x2 + 5x + 6 = 0
⇒ (x + 3)(x + 2) = 0
x1 = −2
⇒
x2 = −3
=
=
=
√
22 − 4 · 12 · −11
√ 2 · 12
−2 ± 4 + 528
24
√
−2 ± 532
24√
−2 ± 133 · 4
24
√
−2 ± 2 133
24
√
−1 ± 133
12
−2 ±
Por lo tanto, las soluciones son:
√
√
−1 − 133
−1 + 133
y x2 =
x1 =
12
12
(3) Analicemos la siguiente ecuación:
(4) Analicemso ahora la ecuación
(x + 2)2 − (x + 1)(x − 1) = 3x(4x + 2) − 6
⇒ x2 + 4x + 4 − (x2 − 1) = 12x2 + 6x − 6
⇒ x2 + 4x + 4 − x2 + 1 = 12x2 + 6x − 6
⇒ 4x + 5 = 12x2 + 6x − 6
⇒ 0 = 12x2 + 2x − 11
4x2 + x + 15 = 0.
Vemos que a = 4, b = 1 y c = 15, luego
√
−1 ± 12 − 4 · 4 · 15
x=
√2·4
−1 ± 1 − 240
=
8
Esta última expresión no es trivial de factorizar, por lo que utilizaremos
la fórmula
√
−b ± b2 − 4ac
x=
.
2a
Podemos observar que las soluciones no son reales.
En nuestro caso, a = 12, b = 2 y c = −11.
29
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
4.3.
4 ECUACIONES LINEAL Y CUADRÁTICA
Ejercicios
Encontrar el valor de x de las siguientes ecuaciones:
(1) 4x − 3 = 5x + 7
x − 1 2x − 3
x + 10
−
−5=
6
8
4
2x − 5
3(5x − 2)
5(2x − 3)
+5−
=
(5)
3
4
2
3+x
3x − 1
= 5x − 2
− 1−2 x−
(6) 3 x −
4
5
8
2+x
5
5
−
=
−
3x − 3 x − 1
2 − 2x 18
2(1 − 2x2 )
3 − 2x 2x − 5
−
−1= 2
1 − 2x 2x − 7
4x − 16x + 7
12x2 + 30x − 21
3x − 7 6x + 5
=
+
2
16x − 9
3 − 4x 4x + 3
(10) 5x2 − 12x + 4 = 0
√
√
(11) x2 − 2( 3 + 1)x + 2 3 = 0
(12) (x − 3)2 + (x + 4)2 − (x − 5)2 = 17x + 24
(13) (5 + x)2 − (2 − x)2 − (7 + x)(7 − x) = 11x + 30
4.4.
(4) −
7
8
(9) 3
2
(10) 2,
5
(4)
(9)
(2) −7
(8) −
(3) x − 3 − 2(6 − 2x) = 2(2x − 5)
(8)
(3) 5
(7) 4
(2) 3(x + 3) = 7 − (5 − 2x)
(7)
(1) −10
Respuestas
30
51
56
11
(6)
53
√
√
(11)
3 + 3, 3 − 1
(5)
175
8
(12) {8, −3}
(13)
(
)
√
√
−3 + 241 −3 − 241
,
2
2
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
5 ECUACIONES EXPONENCIALES
(1) 24x = 32
CAPÍTULO II
5.2.
EXPONENCIAL Y
LOGARITMO
(2) 3x − 35x−2 = 6
(3) ex = 12
Resolución
Resolvamos las siguientes ecuaciones exponenciales.
Ejemplos 26
(1) Comenzamso con la ecuación 43x−1 = 16.
Lo primero que haremos es dejar a mabos lados de la ecuación potencias
de igual base, es decir,
43x−1 = 16 ⇒ 43x−1 = 42
SECCIÓN 5
Ecuaciones exponenciales
Luego, para que se cumpla dicha igualdad, ambos exponentes deben ser
iguales, es decir,
Sabemos que 23 = 8, sin embargo si necesitáramos conocer el valor de x tal
que 2x = 16 tendrı́amos que determinar la potencia de 2 tal que el resultado
sea 16. En este caso x = 4, por que 24 = 16. El objetivo principal de esta
sección es abordar los métodos de resolución a este tipo de ecuaciones.
3x − 1 = 2 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
5.1.
(2) En el caso que tengamos la ecuación 74x−1 = 1, necesitaremos recordar
que 1 = 70 . Por lo tanto,
74x−1 = 1 ⇒ 74x−1 = 70
Conceptos básicos
Lo cual implica que
Definición 18 : Ecuación exponencial
4x − 1 = 0 ⇒ 4x = 1 ⇒ x =
Una ecuación exponencial es una ecuación en la cual la incógnita
aparece en algún exponente.
1
4
Verificando obtenemos que,
1
Ejemplos 25 Las siguientes ecuaciones son exponenciales:
74x−1 = 74· 4 −1 = 71−1 = 70 = 1.
(3) Resolvamos ahora la ecuación 27
31
1−x
4x+3
1
=
.
3
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
5 ECUACIONES EXPONENCIALES
Realizamos un cambio de variable, considerando u = 2x , luego
Expresando ambas potencias en base 3, obtenemos que
1−x
27
1−x
⇒ 33
(2x )2 − 5 · 2x + 4 = 0
⇒ u2 − 5u + 4 = 0
⇒ (u − 4)(u − 1) = 0
u1 = 4
⇒
u2 = 1
4x+3
1
=
3
4x+3
= 3−1
⇒ (3)3−3x = (3)−4x−3
Luego resolvemos
Por lo que tenemos dos opciones:
Primera opción:
3 − 3x = −4x − 3
⇒ −3x + 4x = −3 − 3
⇒ x = −6
u1 = 4 ⇒ 2 x = 2 2 ⇒ x 1 = 2
Segunda opción:
u1 = 1 ⇒ 2 x = 2 0 ⇒ x 2 = 0
(4) En la siguiente ecuación 2x+1 +2x+1 = 32 primero reducimos los términos
semejantes del lado izquierdo, es decir
2
x+1
+2
x+1
x+1
(6) Resolvamos la ecuación
= 32
3x+1 − 3 −
= 32
⇒2 2
x+2
⇒2
= 25
⇒x+2=5
⇒x=3
4
= 2 · 3x
3x
Observemos que
3x+1 − 3 −
4
= 2 · 3x
3x
4
− 2 · 3x = 0
3x
4
⇒ 3x − 3 − x = 0
3
x 2
x
⇒ (3 ) − 3 · 3 − 4 = 0
⇒ 3 · 3x − 3 −
(5) Dada la ecuación
4x − 4 · 2x = 2x − 4
observemos que
2 x
Sea u = 3x , luego
4x − 4 · 2x = 2x − 4
− 4 · 2x − 2x + 4 = 0
x
⇒ 22 − 5 · 2x + 4 = 0
⇒ 2
(3x )2 − 3 · 3x − 4 = 0
⇒ u2 − 3u − 4 = 0
⇒ (u − 4)(u + 1) = 0
⇒ (2x )2 − 5 · 2x + 4 = 0
32
/3x
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
5 ECUACIONES EXPONENCIALES
Por lo que u1 = 4 y u2 = −1.
5.3.
Ejercicios
Descartamos la posibilidad que u = −1, porque no existe x real tal que
3x = −1.
Determinar las soluciones reales de las siguientes ecuaciones exponenciales:
(1) 24x−3 = 325−x
1−x
1
= 44x+1
(2)
64
Por otro lado,
u1 = 4 ⇒ 3x = 4 ⇒ log(3x ) = log(4)
⇒ x log(3) = log(4)
log(4)
⇒x=
log(3)
(3) 34x−2 = 9−(x+1)
qp
√
3x 3 3x
(4)
9 = 32x
(5) 22x + 22x−1 + 22(x−1) + 22x−2 = 2.048
(7) Resolvamos la ecuación
(6) 4ex − 5e−x + ex = 0
21
5x − 3 − x = 1
5
(7) 9x − 6 · 3x + 81 = 0
(8) 1 + 9x − 3x+1 = 3x−1
Veamos que
(9) 4x + 16 + 7 · 2x = −16 − 5 · 2x
21
5 −3− x =1
5
x 2
x
⇒ (5 ) − 3 · 5 − 21 = 5x
⇒ (5x )2 − 4 · 5x − 21 = 0
x
(10) 5x = 6 − 51−x
(11) 3 · 3x = 243
(12) 22x−1 = 0, 5x−1
3x−1
√
1
5
2x
(13) 7 · 343 =
49
Sea u = 5x , entonces
(5x )2 − 4 · 5x − 21 = 0
⇒ u2 − 4u − 21 = 0
⇒ (u − 7)(u + 3) = 0
u1 = 7
⇒
u2 = −3
(14) 3x
=1
(15) 121x − 10 · 11x = 11
2x
8
= x
27
3
1
(17) 3x + x−1 = 4
3
x+1
(18) 4
+ 2x+3 = 320
(16)
Descartamos la posibilidad que u = −3, mientras que si u = 7 entonces
x=
2 −6x−7
log(7)
.
log(5)
33
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
5.4.
6 LOGARITMO
Respuestas
SECCIÓN 6
Logaritmo
28
(1)
9
(2) −4
(6) 0
(3) 0
(8) {−1, 1}
1
3
(5) 5
(4)
(11) 4
2
3
5
(13)
36
(14) {−1, 7}
(12)
(7) No tiene solución en R
6.1.
Conceptos básicos
(9) No tiene solución en R
Definición 19 : Logaritmo y sus elementos
(16) 3
El logaritmo de un número positivo, en una base positiva diferente
de la unidad, es el exponente real al cual se debe de elevar dicha base
para obtener el número dado.
Es decir,
loga (b) = c si y sólo si ac = b,
(17) {0, 1}
a recibe el nombre de base del logaritmo, mientras que b es el argumento.
(10) {0, 1}
(15) 1
(18) 3
Ejemplos 27
(1) log2 (32) = 5 −→ 25 = 32
Se lee: El logaritmo de 32 en base 2 es 5, porque 5 es el exponente al
que se le debe elevar la base 2 para obtener 32.
(2) log3 (81) = 4 −→ 34 = 81
Se lee: El logaritmo de 81 en base 3 es 4, porque 4 es el exponente al
que se le debe elevar la base 3 para obtener 81.
(3) log5 (125) = 3 −→ 53 = 125
Se lee: El logaritmo de 125 en base 5 es 3, porque 3 es el exponente al
que se le debe elevar la base 5 para obtener 125.
34
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
6.2.
6 LOGARITMO
Propiedades de los logaritmos
(9) logb (a) =
En esta subsección enunciaremos las propiedades de los logaritmos más utilizadas y demostraremos algunas de ellas.
logc (a)
.
logc (b)
(10) alogb (c) = clogb (a) ; (a > 0 ∧ c > 0).
a
b
(11) logc
= − logc
.
b
a
Propiedades 6
Para todos a, b, c ∈ R, para los cuales los argumentos de los logaritmos
son positivos, se cumple que:
(12) log10 (a) = log a.
(1) Logaritmo de un producto:
Veamos la demostración de algunas de estas propiedades.
logc (ab) = logc (a) + logc (b).
Demostración. Si consideramos
(2) Logaritmo de una división:
a
= logc (a) − logc (b).
logc
b
m = logc (a)
n = logc (b)
a = cm
.
⇒
b = cn
(3) Logaritmo de una potencia:
Por lo tanto,
logc (an ) = n logc (a).
(4) Logaritmo con argumento y base iguales
ab = cm cn = cm+n
⇒ logc (ab) = m + n = logc (a) + logc (b)
logc (c) = 1.
n
; (c > 0 ∧ c 6= 1).
m
n
logb (a).
(6) logbm (an ) =
m
(5) logcm (cn ) =
y
cm
a
= n = cm−n
b
c
a
⇒ logc
= m − n = logc (a) − logc (b)
b
(7) Logaritmo de 1:
logc (1) = 0.
(8) logb (a) =
1
.
loga (b)
Por lo que quedan demostradas las dos primeras propiedades.
35
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
6 LOGARITMO
6.4.
Luego para demostrar la tercera propiedad, aplicamos la primera propiedad
obteniendo que
Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrollar los siquientes problemas.
logc (an ) = logc (a · a . . . a)
| {z }
n− veces
(1) log4 (64) + log8 (512) − log2 (8)
= logc (a) + logc (a) + . . . + logc (a)
{z
}
|
(2) log(0, 001) + log0,3 (0, 0081)
5
32
75
− 2 log
+ log
(3) log
16
9
243
√
√
(4) log8 (16) + log343 (49 7) + log3 (27 3 3)
0,5
1
√
(5) log 3
9
√
√
(6) log 15√512 (8 5 64) + log 15√216 (6 5 36)
√ (7) log2 (0, 125)3 5 2
√
2 log√2 ( 4 10) − log2 (5)
(8)
1
+ log42 (4)
2
√
√
(9) log4√2 (2 3 2) − log25 (5 3 5)
r
log5 (15)
+ 32+log5 (7)
4 7
(10)
7log5 (3)
1
1
1
(11)
+
+
1 + loga (bc) 1 + logb (ac) 1 + logc (ab)
n− veces
= n logc (a)
En la siguiente definición se introduce el concepto de logaritmo natural.
Definición 20 : Logaritmo natural
El logaritmo natural de a, denotado por ln(a), es simplemente un
logaritmo en base e.
Es decir,
ln(a) = loge (a).
El logaritmo natural hereda las mismas propiedades de los logaritmos.
6.3.
Operatoria
En el siguiente ejemplo, aplicaremos algunas de las propiedades vistas en el
apartado anterior.
Ejemplos 28 Calculemos
log2 (8) − log3 (9) + log(1.000)
Podemos expresar 8, 9 y 1.000 en potencias iguales a la base del logatirmo.
Es decir
log2 23 − log3 32 + log 103 = 3 − 2 + 3 = 4.
Ejercicios
6.5.
(1) 3
(2) 1
36
Respuestas
(3) log(2)
(4)
11
2
(5) −2
(6) 14
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
(7) −
44
5
(8)
1
2
(9) −
2
15
7 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
SECCIÓN 7
(10) 2
Ecuaciones logarı́tmicas
(11) 1
7.1.
Conceptos básicos
Definición 21 : Ecuación logarı́tmica
Una ecuación logarı́tmica es aquella ecuación en la que aparecen
logaritmos conteniendo incógnitas.
Sea la ecuación:
loga P = loga Q ⇒ P = Q
con P > 0; Q > 0 y a > 0; a 6= 1.
Ejemplos 29 Resolvamos las siguientes ecuaciones logarı́tmicas:
(1) log6 (x + 3) = 1 − log6 (x − 2)
Observemos que
log6 (x + 3) = 1 − log6 (x − 2)
⇒ log6 (x + 3) + log6 (x − 2) = 1
⇒ log6 (x + 3)(x − 2) = 1
⇒ (x + 3)(x − 2) = 6
⇒ x2 + x − 6 = 6
⇒ x2 + x − 12 = 0
⇒ (x + 4)(x − 3) = 0
x1 = −4
⇒
x2 = 3
Descartamos la posibilidad que x = −4, dado que los argumentos quedan
negativos. Mientras que, x = 3 se acepta.
37
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
7 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
(5) log(3x + 2) − log(x − 4) = 1
(2) 1 − log13 (x + 5) = log13 (x − 7) Vemos que
Observemos que
1 − log13 (x + 5) = log13 (x − 7)
⇒ 1 = log13 (x − 7) + log13 (x + 5)
⇒ 13 = (x − 7)(x + 5)
⇒ 13 = x2 − 2x − 35
⇒ 0 = x2 − 2x − 48
⇒ 0 = (x − 8)(x + 6)
x1 = 8
⇒
x2 = −6
log(3x + 2) − log(x − 4) = 1
3x + 2
⇒ log
=1
x−4
3x + 2
= 10
⇒
x−4
⇒ 3x + 2 = 10x − 40
⇒x=6
Como x = 6 hace cada argumento sea positivo, entonces sı́ es solución
de la ecuación original.
Descartamos la posibilidad que x = −6, por lo que la solución es x = 8.
7.2.
(3) log2 (x) − log2 (3x + 10) = 3
Ejercicios
I. En la siguiente tabla, reemplazar el valor de x en la expresión logarı́tmica
e indicar si tiene sentido en R:
Aplicando propiedades de logaritmos, obtenemos que
Valor de x
5
−3
−2
2
−7
−7
1
3
log2 (x) − log2 (3x + 10) = 3
x
⇒ log2
=3
3x + 10
x
=8
⇒
3x + 10
⇒ x = 24x + 80
80
⇒x=−
23
Expresión logarı́tmica
log30 (x)
log2 (x + 6)
log20 (x)
log12 (x − 4)
log3 (x2 + 1)
ln(1 − x)
log(x) − log(3 + x)
log(1 − x) + log(x)
Tiene sentido en R
II. En la siguiente tabla,:
(1) Determinar las soluciones de la ecuación.
Como este valor de x hace que los argumentos sean negativos, entonces
la ecuación original no tiene solución en R.
(2) Reemplazar los valores de x en la expresión logarı́tmica.
38
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
7 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
7.3.
(3) Indicar los valores de x, determinados en el apartado anterior, para
los cuales la expresión logarı́tmica tiene sentido en R
Ecuación
Expresión logarı́tmica
x−5=0
x2 − 4 = 0
x2 − 5x − 6 = 0
x2 − 1 = 0
(x + 2)2 − 4 = 0
x(x + 3) − 3 = 0
x2 + x = 0
x3 − x = 0
log7 (x + 3)
log2 (x)
log5 (x)
log7 (x − 4)
log3 (x2 + 1)
ln(1 − x)
log(x) − log(3 + x)
log(1 − x) + log(x)
Respuestas
I.
Valor de x que
tiene sentido
Valor de x
5
−3
−2
2
−7
−7
1
3
Tiene sentido en R
Sı́
Sı́
No
No
Sı́
Sı́
Sı́
No
II.
III. Resolver las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Expresión logarı́tmica
x−5=0
x2 − 4 = 0
x2 − 5x − 6 = 0
x2 − 1 = 0
(x + 2)2 − 4 = 0
log7 (x + 3)
log2 (x)
log5 (x)
log7 (x − 4)
log3 (x2 + 1)
x(x + 3) − 3 = 0
ln(1 − x)
(1) log(7 − x) = log(x − 3)
(2) log2 (x) − log2 (x − 3) = 1
(3) log(3x + 2) = log(x − 4) + 1
(4) log(3x) + log(3x + 1) = 2 log(3x + 2)
√
√
(5) log( x − 1) = log(x + 1) − log( x + 4)
(6)
Expresión logarı́tmica
log30 (x)
log2 (x + 6)
log20 (x)
log12 (x − 4)
log3 (x2 + 1)
ln(1 − x)
log(x) − log(3 + x)
log(1 − x) + log(x)
2
x +x=0
x3 − x = 0
log(x3 + 61)
=3
log(x + 1)
log(x) − log(3 + x)
log(1 − x) + log(x)
Valor de x que
tiene sentido
5
2
6
Ninguno
0 y −4
√
−3 + 21
2
1
Ninguno
III.
(7) log2 (9x−1 + 7) = 2 + log2 (3x−1 + 1)
(8) loga (x) = y
1 + log(x2 )
(9)
=3
log(x)
log3 (x)
+ 3 log3 (9) = 1
(10)
2
39
(1) 5
R
(2) 6
(5) 5
(3) 6
(6) 4
(4) Sin solución en
(7) {1, 2}
(8) ay
(9) 10
(10) 3−10
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
8 ÁNGULOS
Mayúscula
Λ
M
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
CAPÍTULO III
TRIGONOMETRÍA
SECCIÓN 8
Ángulos
8.1.
Minúscula
λ
µ
ν
ξ
o
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
Nombre
lambda
mu
nu
xi
omicron
pi
rho
sigma
tau
ipsilon
fi
chi
psi
omega
Conceptos básicos
Definición 22 : Ángulo y sus caracterı́sticas
Dentro del estudio de cualquier disciplina en matemática, las letras del alfabeto griego son bastante utilizadas y comúnmente denotan ángulos.
Se definen los siguientes conceptos:
La siguiente tabla muestra las letras griegas y sus nombres:
Mayúscula
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Minúscula
α
β
γ
δ
ǫ
ζ
η
θ
ι
κ
(1) Un ángulo es una figura formada por dos rayos que tienen un
origen en común.
Nombre
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
(2) El sentido horario es la misma dirección al movimiento de las
manecillas del reloj.
(3) El sentido antihorario es la dirección opuesta al movimiento de
las manecillas del reloj.
(4) Un ángulo es positivo si se mide en sentido antihorario, en caso
contrario el ángulo es negativo.
Observación 6 Por convención, los ángulos se miden desde el eje positivo
40
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
8 ÁNGULOS
8.2.2.
de las abscisas en sentido antihorario.
8.2.
Definición 24 : Radián
Medidas de ángulos
Un radián, denotado por 1 rad, es la medida de un ángulo cuyo arco
mide lo mismo que el radio con el que se ha trazado.
Para medir ángulos podemos utilizar distintos sistemas de medición, los más
usuales son: sistema sexagesimal y sistema radial.
8.2.1.
Sistema radial
8.2.3.
Sistema sexagesimal
Equivalencia de sistemas
Observemos que un ángulo de 360◦ tiene por arco una circunferencia completa
de radio r y la longitud de dicho arco es el perı́metro de la circunferencia, es
decir P = 2πr.
P
Además, tenemos que en la circunferencia hay
ángulos de 1 rad.
r
Por lo tanto,
P
2πr
360◦ =
=
= 2π.
r
r
En este sistema una vuelta completa equivale a 360 grados, denotado por
360◦ . Por lo tanto,
3
270◦ equivalen a de vuelta.
4
180◦ equivalen a media vuelta.
90◦ equivalen a un cuarto de vuelta.
Ahora podemos definir los siguientes conceptos:
Es decir, 360◦ = 2π rad ó π rad = 180◦ .
Definición 23 : Tipos de ángulos
Se definen los siguientes ángulos:
8.3.
(1) Un ángulo agudo es aquel ángulo mide menos de 90◦ .
Ejercicios
I Expresar los siguientes ángulos en grados sexagesimales:
3π
7
4π
(2) β = −
5
7π
(3) γ = −
2
10π
(4) α =
3
(2) Un ángulo recto es aquel ángulo que mide 90◦ .
(1) α =
(3) Un ángulo extendido es aquel ángulo que mide 180◦ .
(4) Un ángulo completo es aquel ángulo que mide 360◦ .
(5) Un grado sexagesimal, denotado por 1◦ , es la noventava parte
de un ángulo recto.
41
12π
5
π
(6) γ = −
6
9π
(7) α =
7
42π
(8) β = −
5
(5) β =
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
SECCIÓN 9
II Expresar los siguientes ángulos en radianes:
8.4.
(1) α = −30◦
(5) β = −700, 5◦
(2) β = −20, 5◦
(6) γ = 4.000◦
(3) γ = 795◦
(7) α = 123, 5◦
(4) α = −37, 5◦
(8) β = 130, 25◦
Razones trigonométricas
9.1.
Definición 25 : Triángulo y triángulo rectángulo
Respuestas
Se definen los siguientes conceptos:
(1) Un triángulo es un polı́gono de 3 lados.
I Expresar los siguientes ángulos en grados sexagesimales:
(1) 77, 14◦
(5) 432◦
(2) −144◦
(6) −30◦
(3) −630◦
(7) 231, 43◦
(4) 600◦
(8) −1.512◦
(2) Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto.
El siguiente hecho nos va a ser de bastante utilidad en nuestro estudio de la
trigonometrı́a.
Propiedades 7 : Suma de los ángulos interiores de un
triángulo
II Expresar los siguientes ángulos en radianes:
π
6
(2) −0, 1138π
(1) −
Conceptos básicos
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180◦ .
(5) −3, 891π
(6) 22, 2π
(3) 4, 417π
(7) 0, 686π
(4) −0, 2083π
(8) 0, 7236π
Considerando el triángulo rectángulo
presentamos la siguiente definición.
42
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición 26 : Elementos de un triángulo rectángulo
Definición 27 : Razones trigonométricas
Se definen los siguientes conceptos:
Se definen los siguientes conceptos:
(1) El lado c recibe el nombre de hipotenusa, denotado por H, es el
lado más largo del triángulo.
(1) Las razones trigonométricas son las relaciones entre los lados
de un triángulo rectángulo.
(2) Los lados a y b reciben el nombre de catetos.
(2) Las razones trigonométricas básicas son 3, seno, coseno y
tangente.
(3) Con respecto a α, a es el cateto adyacente, denotado por CA,
y b cateto opuesto, denotado por CO.
seno de α, denotado por sen(α), es el cuociente de la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.
Es decir,
b
CO
= .
sen(α) =
H
c
coseno de α, denotado por cos(α), es el cuociente de la
longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.
Es decir,
CA
a
cos(α) =
= .
H
c
tangente de α, denotado por tan(α), es el cuociente de la
longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.
Es decir,
b
CO
= .
tan(α) =
CA
a
Existe una propiedad que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo y fue comprobada en el siglo V I a. C., y afirma lo siguiente:
Teorema 1 : de Pitágoras
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
Es decir,
c 2 = a2 + b 2 .
Observación 7 Como la longitud de los catetos no puede ser superior a la
longitud de la hipotenusa, entonces tanto seno como coseno no pueden ser
mayores a 1.
Propiedades 8 : Identidad trigonométrica de la tangente
Ahora, definiremos un conjunto de conceptos denominados razones trigonométricas, para esto vamos a considerar un triángulo rectángulo y a uno de
sus ángulos agudos lo llamaremos α.
Tenemos que tan(α) =
43
sen(α)
, para todo α tal que cos(α) 6= 0.
cos(α)
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
10
9.2.
SECCIÓN 10
Ejercicios
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Funciones trigonométricas
Utilizando calculadora, indicar el valor de:
(1) cos(30◦ )
3
π
(2) sen
8
π (3) tan
8
(7) π cos(π)
6
π
(8) 1 − tan
13
(4) cos (0, 64)
(5) tan(45◦ )
(11) cos(−20◦ )sen(40◦ ) − 0, 2
(6) sen−1 (1, 1)
(12) 1 − tan(π) + sen(32, 2◦ )
Se definen los siguientes conceptos:
(1) Sean A y B dos conjuntos no vacı́os. Una función de A en
B, denotado por f : A → B, es una relación de A a B en la
que para cada a ∈ A, existe un único elemento b ∈ B tal que
f (a) = b.
(2) Sea f : A → B una función, b es la imagen de a mediante
f o equivalentemente a es la preimagen de b mediante f , si
f (a) = b.
Respuestas
(1) 0, 5
(5) 1
(2) 0, 9238
(6) No existe
(10) 1
(3) 0, 414
(7) −π
(11) 0, 104
(4) 50, 2◦
(8) −7, 235
(12) 0, 367
Conceptos básicos
Definición 28 : Función, imagen, preimagen y función
trigonométrca
(9) sen(30◦ ) − 2 cos(π)
81π
81π
2
2
(10) sen
+ cos
2
2
−1
9.3.
10.1.
(9) 2, 5
(3) Una función trigonométrica es una función establecida con el
fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos
los números reales y complejos.
44
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
10.2.
10
Gráficas de funciones trigonométricas
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función f (x) = tan(x)
Las siguientes son gráficas de algunas funciones trigonométricas:
y
Función f (x) = sen(x)
y
x
−3π −2π
−π
− 5π
2
− 3π
2
π
3π
2
π
2
− π2
2π
3π
x
5π
2
De las gráficas podemos observar que:
Función f (x) = cos(x)
y
Propiedades 9
−3π
−2π
− 5π
2
− 3π
2
−π
π
− π2
π
2
2π
3π
2
3π
(1) −1 ≤ cos(x) ≤ 1 y −1 ≤ sen(x) ≤ 1 para todo x ∈ R.
Es decir,
Dom(sen(x)) = Dom(cos(x)) = R
x
y
5π
2
Rec(sen(x)) = Rec(cos(x)) = [−1, 1].
o
n
π
(2) Dom(tan(x)) = R − x ∈ R : x = + kπ, k ∈ R y
2
Rec(tan(x)) = R.
45
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
10.2.1.
10
Gráfica de sen(mx)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función f (x) = sen(3x)
y
Recordemos que la gráfica de f (x) = sen(x) es:
y
x
−3π −2π
− 5π
2
−π
− 3π
2
π
− π2
π
2
2π
3π
2
3π
x
5π
2
Función f (x) = sen(4x)
y
Función f (x) = sen (2x)
y
x
x
46
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
Función f (x) = sen
10
x
10.2.2.
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Gráfica de cos(mx)
Recordemos que la gráfica de f (x) = cos(x) es:
y
y
x
−3π
−2π
− 5π
2
Función f (x) = sen
x
3
− 3π
2
−π
π
π
2
− π2
2π
3π
2
3π
x
5π
2
Función f (x) = cos(2x)
y
y
x
x
47
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
10
Función f (x) = cos(3x)
Función f (x) = cos
y
x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2
y
x
x
Función f (x) = cos
Función f (x) = cos(4x)
y
x
x
3
y
x
48
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
10.2.3.
10
Gráfica de tan(mx)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función f (x) = tan (3x)
y
Recordemos que la gráfica de f (x) = tan(x) es:
y
x
x
Función f (x) = tan
Función f (x) = tan(2x)
y
x
2
y
x
x
49
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
Función f (x) = tan
x
11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
SECCIÓN 11
3
Identidades trigonométricas
y
Definición 29 : Identidad trigonométrica
Una identidad trigonométrica es una igualdad de funciones trigonométricas que es válida para todos los valores del ángulo en los que
están definidas las funciones.
x
11.1.
Identidades fundamentales
Ya habı́amos planteado que:
Función f (x) = tan
x
(1) sen(α) =
4
1
cosec(α)
(2) cosec(α) =
y
x
1
sen(α)
(3) cos(α) =
1
sec(α)
(4) sec(α) =
1
cos(α)
(5) tan(α) =
sen(α)
cos(α)
(6) cotan(α) =
cos(α)
1
=
cotan(α)
sen(α)
El listado de igualdades presentado anteriormente se denominan identidades
trigonométricas fundamentales.
El siguiente resultado nos presenta algunas identidades trigonométricas que
serán de utilidad, dichas igualdades se denominan identidades pitagóricas.
50
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
11
(3) De manera análoga, vemos que
Propiedades 10 : Identidades trigonométricas
Se cumple que:
(1) sen2 (α) + cos2 (α) = 1
(2) sec2 (α) = 1 + tan2 (α)
(3) cosec2 (α) = 1 + cotan2 (α)
1
tan2 (α)
cos2 (α)
=1+
sen2 (α)
sen2 (α) + cos2 (α)
=
sen2 (α)
1
= cotan2 (α).
=
2
sen (α)
1 + cotan2 (α) = 1 +
Demostración.
(1) Para demostrar la primera igualdad, observemos que
2 2
CO
CA
sen (α) + cos (α) =
+
H
H
2
2
H2
CO + CA
=
= 1.
=
H2
H2
2
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
11.2.
Demostración de identidades
Para demostrar que una igualdad es una identidad trigonométrica, escogemos
la expresión de uno de los lados de la ecuación y la reescribimos, utilizando
las identidades conocidas. Se recomienda expresar en términos de senos y
cosenos. En el caso que observemos que una identidad no necesariamente se
cumple, podemos tomar un ángulo y sustituirlo en la identidad para verificar
el no cumplimiento de la misma, estos es lo que se denomina contraejemplo.
(2) Para demostrar que sec2 (α) = 1 + tan2 (α), vamos a reescribir la expresión del lado derecho. Es decir,
1 + tan2 (α) = 1 + (tan(α))2
2
sen(α)
=1+
cos(α)
sen2 (α)
=1+
cos2 (α)
cos2 (α) + sen2 (α)
=
cos2 (α)
1
= sec2 (α)
=
cos2 (α)
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos 30 Verifiquemos si se cumplen las siguientes identidades:
(1) 2 tan(α) sec(α) =
1
1
−
1 − sen(α) 1 + sen(α)
Desarrollemos la expresión del lado derecho,
1
1
1 + sen(α) − (1 − sen(α))
−
=
1 − sen(α) 1 + sen(α) (1 − sen(α))(1 + sen(α))
51
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
11
1 + sen(α) − 1 + sen(α)
1 − sen2 (α)
2sen(α)
=
cos2 (α)
1
sen(α)
=2
cos(α)
cos(α)
=2 tan(α) sec(α)
tan(a) +
=
sen(a)
cos(a)
cos(a)
=
+
1 + sen(a) cos(a)
1 + sen(a)
sen(a)(1 + sen(a)) + cos(a) cos(a)
cos(a)(1 + sen(a))
sen(a) + sen2 (a) + cos2 (a)
=
cos(a)(1 + sen(a))
sen(a) + 1
=
cos(a)(1 + sen(a))
1
=
cos(a)
=sec(a)
=
Por lo tanto, la identidad sı́ se cumple.
(2)
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
cos(β)
cos(β)
+
= 2cotan(β)cosec(β)
1 − cos(β) 1 + cos(β)
Observemos que
Por lo tanto, la identidad sı́ se cumple.
cos(β)
cos(β)
+
1 − cos(β) 1 + cos(β)
cos(β)(1 + cos(β)) + cos(β)(1 − cos(β))
=
(1 − cos(β))(1 + cos(β))
cos(β) + cos2 (β) + cos(β) − cos2 (β)
=
1 − cos2 (β)
2 cos(β)
=
sen2 (β)
cos(β) 1
=2
sen(β) sen(β)
=2cotan(β)cosec(β)
(4) 1 + cos(β) =
1 + sen(β)
sen(β)
Desarrollemos la expresión del lado derecho, es decir
1
1 + sen(β)
=
+ 1 = cosec(β) + 1.
sen(β)
sen(β)
Podemos observar que no se cumple la igualdad, tomemos un ángulo
cualquiera para verificar que la identidad no se sumple.
Consideremos β = 90◦ , luego
1 + cos(90◦ ) = 1 + 0 = 1,
Por lo tanto, la identidad sı́ se cumple.
mientras que
cos(a)
= sec(a)
(3) tan(a) +
1 + sen(a)
1+1
1 + sen(90◦ )
=
= 2.
◦
sen(90 )
1
Desarrollemos la expresión del lado izquierdo, es decir
Por lo tanto, la identidad no se cumple.
52
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
11.3.
11
Ejercicios
(15) sen(x) =
Verificar si las siguietes identidades trigonométricas se cumplen:
(16)
(1) cotan(α) + sec(α) = cosec(α)
sen2 (x) − tan2 (x)
cosec(x)
cos(α)
sen(α)
+
=1
cos(α) + 1 sec(α)
1
(2) sec (β) + cosec (β) =
2
sen (β)cos2 (β)
(17) 2tan(x) =
sen(γ) + cotan(γ)
= cos(γ)
(3)
tan(γ) + cosec(γ)
(18)
2
2
(4) (sec(α) − tan(α))2 =
(5) 1 + sen(β)tan(β) =
1 − sen(α)
1 + sen(α)
sen(β) + cotan(β)
cotan(β)
(6) (sen(γ) + cos(γ))2 + (sen(γ) − cos(γ))2 = 2
(7) tan(α)sen(α) + cos(α) = sec(α)
(8)
cos(β)
cos(β)
+
= 2sec(β)
1 − sen(β) 1 + cos(β)
(9) sen4 (α) − cos4 (α) = sen2 (α) − cos2 (α)
sec2 (x) − tan2 (x)
(10) sen (x) − cos (x) =
cosec(x)
2
2
(11) 1 + 2sen(x)cos(x) = (sen(x) + cos(x))2
(12) tan(a) +
(13)
cos(a)
= sec(a)
1 + sen(a)
cosec(x)
= cos(x)
cotan(x) + tan(x)
(14) sec(α) + tan(α) =
cos(α)
1 − sen(α)
53
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
cos(x)
cos(x)
+
cosec(x) sec(x) − 1
1
1
+
=1
2
cosec (α) sec2 (α)
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
12
SECCIÓN 12
(2) En el caso que tengamos la ecuación sen(x) = 1, sabemos que
Ecuaciones trigonométricas
12.1.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
sen(90◦ ) = sen(90◦ + 360◦ ) = sen(90◦ + 720◦ ) = . . .
= sen(90◦ + 360◦ n) = 1.
Conceptos básicos
Es decir, la solución de la ecuación es
π
x=
+ 2nπ rad, con n ∈ Z.
2
Definición 30 : Ecuación trigonométrica
Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene la
incógnita en el ángulo de una o más razones trigonométricas.
(3) Al resolver la ecuación sen(x) = −1, observamos que
x = 270◦ , 270◦ + 360◦ , 270◦ + 720◦ , . . .
Para resolver estas ecuaciones es conveniente escribir los ángulos o argumentos en una misma expresión y reducir a una razón trigonométrica simple. La
solución es un ángulo y puede expresarse en grados o radianes.
Por lo tanto, la solución es
3π
x=
+ 2nπ rad, con n ∈ Z.
2
Analicemos los siguientes ejemplos.
Ejemplos 31
(1) Sabemos que sen(0◦ ) = 0 y sen(180◦ ) = 0, luego si necesitamos resolver la ecuación sen(x) = 0 podemos deducir que los valores de x son
0◦ y 180◦ , o equivalentemente 0 rad y π rad.
(4) Ahora podemos tratar de determinar las soluciones de la ecuación
sen2 (x) = 1. Para esto, observemos que
sen2 (x) = 1 ⇒ sen(x) = ±1.
Más aún, la función sen(x) también se anula cuando
Luego, de los dos ejemplos anteriores, deducimos que
 π

+
2nπ
rad, con n ∈ Z


 2
x= 
3π


+ 2nπ rad, con n ∈ Z

2
x = 2π rad, 3π rad, . . .
y cuando
x = −π rad, − 2π rad, − 3π rad, . . .
Por lo tanto, la solución de sen(x) = 0 no es única. Por el análisis que
acabamos de realizar, podemos conlcuir que
(5) Determinemos los valores de x ∈ [0, 2π[ tal que
x = nπ rad, con n ∈ Z.
cos2 (x) −
54
1
= 0.
4
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
12
12.2.
Observemos que
cos2 (x) −
1
1
= 0 ⇒ cos2 (x) =
4
4
⇒ cos(x) = ±
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios
Dadas las siguientes ecuaciones trigonométricas, determinar las soluciones
generales y en [0◦ , 360◦ [:
3β
1
(1) sen(α) = 0
2
(9) cos
=
2
16
(2) cos(β) = 1
(10) 5 cos2 (α) − 3 = 0
(3) sen(α) = −1
1
(11) sen2 (α) =
(4) cos(β) = −1
2
2
3
(5) sen(α) =
(12) sen2 (α) =
5
4
7
(13) cos3 (4β) = 8
(6) cos(3β) = −
8
(14) sen2 (4β) = 1
7
(7) sen(3α) = −
8
(15) cos(3α) = 1
1
(8) sen2 (α) =
(16) cos(β) = 0
4
1
2
Primera opción:
1
1
cos(x) = − ⇒ x = arc cos −
2
2
2
⇒ x1 = 1200 = π rad.
3
Pero coseno también es negativo en el tercer cuadrante, por lo tanto
4
x2 = 1800 + 600 = 2400 = π rad.
3
Segunda opción:
1
2
1
⇒ x3 = 600 = π rad
3
1
cos(x) =
⇒ x = arc cos
2
12.3.
Respuestas
Ejercicio
1
2
3
4
Pero coseno también es positivo en el cuarto cuadrante, por lo tanto
5
x4 = 3600 − 600 = 3000 = π rad.
3
5
6
7
55
Particular
0◦
0◦
270◦
180◦
23, 57◦
156, 43◦
50, 3◦
69, 7◦
99, 67◦
80, 33◦
General
{360◦ n : n ∈ Z}
{360◦ n : n ∈ Z}
{270◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{180◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{23, 57◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{156, 43◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{50, 3◦ + 120◦ n : n ∈ Z}
{69, 7◦ + 120◦ n : n ∈ Z}
{99, 67◦ + 120◦ n : n ∈ Z}
{80, 33◦ + 120◦ n : n ∈ Z}
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
Ejercicio
8
9
10
11
12
Particular
30◦
150◦
210◦
330◦
50, 3◦
189, 7◦
156, 75◦
170, 3◦
39, 2◦
320, 8◦
140, 8◦
219, 2◦
45◦
135◦
315◦
205◦
60◦
120◦
300◦
240◦
13
14
15
16
22, 5◦
67, 5◦
0◦
90◦
270◦
13
General
{30 + 360◦ n : n ∈ Z}
{150◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{210◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{330◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{50, 3◦ + 240◦ n : n ∈ Z}
{189, 7◦ + 240◦ n : n ∈ Z}
{156, 75◦ + 240◦ n : n ∈ Z}
{170, 3◦ + 240◦ n : n ∈ Z}
{39, 2◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{320, 8◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{140, 8◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{219, 2◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{45◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{135◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{315◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{205◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{60◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{120◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{300◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{240◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
No tiene solución
{22, 5◦ + 90◦ n : n ∈ Z}
{67, 5◦ + 90◦ n : n ∈ Z}
{120◦ n : n ∈ Z}
{90◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
{270◦ + 360◦ n : n ∈ Z}
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
SECCIÓN 13
Problemas de aplicación
◦
Ejemplos 32
(1) Una persona mira al punto más alto de un edificio que se encuentra en
frente con un ángulo de 300 con la horizontal. Al acercarse 30 metros,
el ángulo es de 600 . ¿Cuál es la altura del edificio?
De la situación se deduce el siguiente sistema de ecuaciones:

h 

tan(30 ) =
30 + x
h 

tan(600 ) =
x
0
De la segunda ecuación, obtenemos que
x=
h
= 0, 577h
tan(600 )
Reemplazando en la primera, obtenemos que
h
30 + x
0
⇒ (30 + x) tan(30 ) = h
⇒ (30 + 0, 577h) tan(300 ) = h
⇒ 30 tan(300 ) + 0, 577h tan(300 ) = h
⇒ 17, 32 + 0, 33h = h
⇒ 17, 32 = 0, 67h
⇒ h = 25, 8
tan(300 ) =
Por lo tanto, la altura del edificio es de 25,8 metros.
56
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
13
13.1.
(2) Una persona mira al punto más alto de un edificio que se encuentra en
frente con un ángulo de elevación de 250 con la horizontal. Al acercarse
63 metros, el ángulo de elevación es de 700 . ¿Cuál es la altura del edificio?
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Ejercicios
(1) Para determinar la altura de un poste, nos hemos alejado 10 metros de
su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto
con la horizontal, obteniendo un valor de 35◦ . ¿Cuánto mide el poste?
Del enunciado obtenemos la siguiente información:
Triángulo 1:
(2) Un árbol de 30 metros de alto proyecta una sombra de 60 metros. Determianr el ángulo de elevación del sol en ese momento.
y
tan(25) =
63 + x
⇒ y = tan(25)(63 + x)
⇒ y = 0, 47(63 + x)
⇒ Y = 29, 61 + 0, 47x
(3) Un dron que está volando a 40 metros de altura, graba a un niño con
un ángulo de depresión de 20◦ . ¿A qué distancia del niño se halla?
(4) Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50◦ con el suelo, mientras
que la sombra de un mide 18 metros. ¿Cuál es su altura?
(5) ¿Cuál es el ángulo de inclinación que debe tener una cinta transportadora
de 30 metros, si queremos que eleve una carga hasta una altura de 20
metros?
Triángulo 2:
y
x
⇒ y = x tan(70)
⇒ y = 2, 75x
tan(70) =
(6) Al recorrer 4 kilómteors por una carretera, hemos ascendido 300 metros.
¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?
(7) Una persona de 1,78 metros de estatura proyecta una sombra de 70
centı́metros, mientras que en ese mismo instante un árbol da una sombra
de 3 metros. Determinar:
Por lo tanto,
2, 75x = 29, 61 + 0, 47x
⇒ 2, 75x − 0, 47x = 29, 61
⇒ 2, 28x = 29, 61
⇒ x = 12, 98
(a) El ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal.
(b) La altura del árbol.
(8) Dos edificios distan entre sı́ 200 metros. Desde un punto del suelo que
está ubicado entre ambos edificios, vemos que las visuales a los puntos
más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35◦ y 20◦ respectivamente. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que miden
lo mismo?
Por lo que la altura del edificio es aproximadamente y = 2, 75x =
2, 75 · 12, 98 = 81, 42 metros.
57
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
14
ARITMÉTICA COMPLEJA
Definición 31 : Número complejo y caracterı́sticas
Se definen los siguientes conceptos:
CAPÍTULO IV
(1) La unidad imaginaria i es un número tal que i2 = −1.
NÚMEROS COMPLEJOS
(2) Un número complejo z es de la forma a + bi, con a y b reales.
Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de
forma binomial.
(3) El conjunto de los números complejos
C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .
(4) Para todo número complejo z = a + bi.
(a) la parte real de z es Re(z) = a.
(b) la parte imaginaria de z es Im(z) = b.
SECCIÓN 14
Aritmética compleja
14.1.
(5) Un número complejo z = a + bi es:
(a) imaginario puro si Re(z) = 0.
(b) real si Im(z) = 0.
Conceptos básicos
(6) Para todo número complejo z = a + bi el conjugado de z es
Sabemos que las solcuiones de la ecuación x2 − 1 = 0 son x = 1 y x =
−1. Una forma de determinar dichas soluciones es utilizando el hecho que
x2 − 1 = 0 es equivalente a x2 = 1, lo cual nos indica que el o los valores de
x son tal que su cuadrado es 1.
z = a − bi.
Ejemplos 33 De los siguientes números complejos se observa que:
(1) z = 1 + i
Sin embargo, si quisiéramos de terminar los valores de x tales que x2 + 1 = 0,
tendrı́amos que preguntarnos sobre aquellos números que puede tomar x que
cumpla la condición x2 = −1. Podemos observar que no existe número real
que cumpla con la igualdad. Por lo tanto, necesitamos un conjunto numérico
que contenga este tipo de elementos. Tal conjunto es el denominado conjunto de números complejos, denotado por C y el número que cumple que su
cuadrado es −1 se denota por i.
58
(2) w = 3 − 2i
• Re(z) = 1
• Re(w) = 3
• Im(z) = 1
• Im(w) = −2
• z =1−i
• w = 3 + 2i
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
14
• Re(y) = 0
(3) x = 13
• Re(x) = 13
• Im(x) = 0
• x = 13
4
(4) y = i
3
• Im(y) =
Veamos algunas propiedades de la suma de números complejos.
Propiedades 11
4
3
Para todo z1 , z2 , z3 ∈ C se cumple que:
4
• y=− i
3
(1) Clausura:
z1 + z2 ∈ C.
(2) Conmutatividad:
Observación 8 Del ejemplo (3) observamos que todo número real es un
número complejo. En efecto, todo número real x puede ser expresado de
la forma x + 0i ∈ C. Por lo tanto R ⊂ C.
14.2.
Aritmética compleja
14.2.1.
Adición de números complejos
ARITMÉTICA COMPLEJA
z1 + z2 = z2 + z1 .
(3) Asociatividad:
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) .
(4) Elemento Neutro Aditivo: Existe un único w ∈ C tal que
z + w = z para todo z ∈ C. En este caso, w = 0.
(5) Elemento Inverso Aditivo: Para todo z ∈ C existe w ∈ C tal
que z + w = 0. En este caso, w = −z.
Dados los números complejos en su forma binomial z1 = a + bi y z2 = c + di,
se define z1 + z2 como
z1 + z2 = a + bi + c + di = a + b + (c + d)i.
Es decir, la suma de números complejos sigue las normas comunes de
la aritmética, sumar parte real con parte real y parte imaginaria con parte
imaginaria.
14.2.2.
Ejemplos 34
Observemos que si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces
Producto de números complejos
(1) Al sumar z1 = 4 − 3i con z2 = 3 − 9i, obtenemos que:
z1 · z2 = (a + bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bd|{z}
i2
z1 + z2 = 4 − 3i + 3 − 9i = 7 − 12i.
2
(2) Al sumar w1 = 1 + i con w2 = i, obtenemos que:
3
−1
= ac − bd + (ad + bc)i.
2
5
w1 + w2 = 1 + i + i = 1 + i.
3
3
Es decir, z1 · z2 ∈ C.
59
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
14
ARITMÉTICA COMPLEJA
Una vez introducido el producto de números complejos, podemos verificar
que:
Ejemplos 35 Calculemos z1 · z2 sabiendo que:
(1) z1 = 2 − 3i y z2 = 1 − 9i
Propiedades 12
Para todo z1 , z2 , z3 ∈ C se cumple que:
z1 · z2 = (2 − 3i)(1 − 9i) = 2 − 18i − 3i + 27i2
= 2 − 21i − 27 = −25 − 21i.
(1) Clausura:
z1 · z2 ∈ C.
(2) Conmutatividad:
2
(2) z1 = 1 + i y z2 = i
3
z1 · z2 =
z1 · z2 = z2 · z1 .
(3) Asociatividad:
2
2
2
1 + i i = i + i2 = − + i.
3
3
3
(z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ) .
(4) Distributividad:
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .
(3) Veamos lo que sucede si realizamos el producto de un número complejo
con su conjugado. Para esto consideremos z1 = 3−4i, luego z2 = 3+4i.
Por lo tanto,
(5) Elemento Neutro Multiplicativo: Existe un único w ∈ C tal
que
z·w =w·z =z
para todo z ∈ C. En este caso w = 1.
z1 · z2 = (3 − 4i)(3 + 4i) ← suma por su diferencia
= 9 − 16i2
= 9 + 16 = 25.
(6) Elemento Inverso Multiplicativo: Para todo z ∈ C−{0} existe
w ∈ C − {0} tal que
z · w = w · z = 1.
Generalizando este ejemplo, vemos que si z = a + bi, entonces
En este caso, denotamos por z −1 al inverso multiplicativo de z.
z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2 i2 = a2 + b2 .
Es decir, el producto de un número complejo con su conjugado
es un número real.
60
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
14
El siguiente teorema, nos indica cómo calcular el inverso multiplicativo de un
número complejo.
Ejemplos 36
(1) Si z = 3 − 2i, entonces
1
2+i
2+i
1
·
=
2+i 2−i
2−i
2−i
=
=
4+1
5
2 1
= − i.
5 5
z −1 =
Si z ∈ C − {0} es de la forma z = a + bi, entonces
a2
(2) Si z = 2 + i, entonces
1
3 − 2i
1
3 + 2i
=
·
3 − 2i 3 + 2i
3 + 2i
3 + 2i
=
=
9+4
13
3
2
=
+ i.
13 13
Teorema 2
z −1 =
ARITMÉTICA COMPLEJA
a
b
− 2
i.
2
+b
a + b2
Demostración. Si z ∈ C − {0}, entonces z = a + bi 6= 0. Luego
z −1 =
Algunas propiedades del conjugado de un número complejo, son las siguientes:
1
a − bi
1
=
·
a + bi
a + bi a − bi
a − bi
=
(a + bi)(a − bi)
a − bi
a − bi
= 2
= 2
2
2
a −b i
a + b2
1
b
= 2
− 2
i.
2
a +b
a + b2
Propiedades 13
z −1 =
Si z, w ∈ C, entonces:
Del teorema anterior deducimos el siguiente resultado.
(6) (z) = z.
(2) Im(z) = Im(z).
(7) z + w = z + w.
(3) z · z ∈ R.
(8) z · w = z · w.
(4) z + z = 2Im(z).
(9) z −1 = z −1 .
Ejemplos 37
(1) Expresemos de forma binomial el número complejo
Corollary 3
2 − i (2 − i)2
−
− i3 .
1+i
3−i
Si z ∈ C − {0} es de la forma z = a + bi, entonces
z −1 =
(1) Re(z) = Re(z).
z
.
z·z
Para esto, utilizaremos el hecho que
i = i, i2 = −1, i3 = −i e i4 = i0 = 1
61
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
14
ARITMÉTICA COMPLEJA
(2) Determinemos, utilizando las propiedades que ya hemos visto, la forma
binomial del número complejo
en nuestra expresión inicial, obtenemos que
3
i2 − i3 + i4
+
.
1 − 2i
2−i
2 − i (2 − i)2
−
− i3
1+i
3−i
(2 − i)(3 − i) − (1 + i)(2 − i)2 − i3 (1 + i)(3 − i)
=
(1 + i)(3 − i)
2
(6 − 2i − 3i + i ) − (1 + i)(4 − 4i + i2 ) − i3 (3 − i + 3i − i2 )
=
3 − i + 3i − i2
(6 − 2i − 3i − 1) − (1 + i)(4 − 4i − 1) + i(3 − i + 3i + 1)
=
3 − i + 3i + 1
(5 − 5i) − (1 + i)(3 − 4i) + i(4 + 2i)
=
4 + 2i
5 − 5i − (3 − 4i + 3i − 4i2 ) + 4i + 2i2
=
4 + 2i
5 − 5i − 3 + 4i − 3i − 4 + 4i − 2
=
4 + 2i
−4
=
4 + 2i
(4 − 2i)
−4
·
=
(4 + 2i) (4 − 2i)
−16 + 8i
=
16 − 4i2
−16 + 8i
=
20
4 2i
=− +
5
5
Observemos que
3
i2 − i3 + i4
3
−1 + i + 1
+
=
+
1 − 2i
2−i
1 − 2i
2−i
3
i
=
+
1 − 2i 2 − i
1 + 2i
i
2+i
3
·
+
·
=
1 − 2i 1 + 2i 2 − i 2 + i
3 + 6i 2i − 1
=
+
5
5
2 8
= + i
5 5
Por otro lado, podemos calcular el ángulo asociado a este número complejo resultante.
 
8
5
α = arctan   = arctan(4) ≈ 75, 9
2
5
Calculando el módulo, obtenemos que
|z| =
62
r
4
64
+
=
25 25
r
68
=
25
√
68
.
5
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
14.3.
14
Ejercicios
III. Expresar en forma binomial:
I. Resolver:
(1)
(2)
i4 + i9 + i16
2 − i5 + i10 + i15
(1) (3 − 4i) (4 + 2i)
(2) (3 − i)2 + (3 + 5i)2
(3) (1 − i)2 (1 + i) − (6 − 7i)3
2
ARITMÉTICA COMPLEJA
3
1+i
1−i
8
i + i2 − i3 1
−
(3) 3
i − i2 − i i
2
(4) (3 + i) + (3 + i) − (3 − i)
2
2 i
1
(5) 2 −
−i
−
2
2
2
3
37
2
1− i
(6)
3+ i
−
3
2
36
2
(7) (2 − i) (4 + i)2 − (1 − 2i)3 − (4 − i)3
(1 − i)2
3−i
+
1+i
(2 − i)2
#2
"
1 − (1 + i)2
(5)
(1 − i) (1 + i)
(4)
(3 − 5i)2
(6)
(1 − i) (1 + 2i) (1 − 3i)
IV. Determinar una fórmula para cada una de las siguientes expresiones:
(1) in
(2) (1 + i)n
(8) Expresar i3 , i7 , i−7 , i23 como 1, −1, i, −i.
14.4.
(9) Determinar los valores de x e y tal que
(3) (1 − i)n
(4) (1 + i)n + (1 − i)n
Respuestas
I.
(1 + 2i) x + (3 − 5i) y = 1 − 3i.
(1) 20 − 10i
(10) Determinar los valores de a e b tal que
(2) −8 + 24i
(3) 668 + 411i
(−1 + i) a + (1 + 2i) b = 1.
(4) 18 + 38i
II. Determinar las soluciones en C de las siguientes ecuaciones:
9
−i
2
5
92
− i
(6)
18
3
(5)
(7) 2348 − 51i
(8) i3 = −i, i7 = −i, i−7 = i, i23 = −i
(1) x2 + x + 1 = 0
(2) x3 + 9x2 − 10x = 0
(9) x = −
(3) x4 − 1 = 0
(4) (x2 + 1)(x2 + x + 20) = 0
II.
63
4
5
,y=
11
11
2
1
(10) a = − , b =
3
3
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
(1)
15
(√
)
√
1
1
3
3
i − ,−
i−
2
2
2
2
POTENCIAS Y RAÍCES
SECCIÓN 15
Potencias y raı́ces
(2) {0, 1, −10}
15.1.
(3) {−i, −1, i, 1}
(
√
√ )
1
1
79
79
i, − +
i
(4) −i, i, − −
2
2
2
2
Forma trigonométrica o polar
Definición 32 : Forma polar
Sea z = a + bi un número complejo distinto de cero, la expresión
III.
(1) 1
(2) i
(3) −1 + i
12 16
− i
25 25
3
(5) − − i
4
36 77
− i
(6)
25 25
z = |z| (cos (α) + isen (α))
(4) −
es la representación en forma trigonométrica o forma polar del
número complejo z.
Observación 9 Si z = a + bi, tenemos que
(1) cos (α) =
a
.
|z|
b
.
|z|
b
(3) α = arctan
.
a
(2) sen (α) =
64
Grados
0◦
Radianes
0
sen
0
cos
1
tan
0
30◦
π
6
1
√2
3
√2
3
3
45◦
π
√4
2
√2
2
2
1
60◦
π
√3
3
2
1
2
√
3
90◦
π
2
180◦
270◦
3π
2
−1
360◦
1
0
0
−1
0
1
ND
0
ND
0
π
2π
0
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
15.2.
15
Multiplicación y división
Por lo tanto,
z 6 = |z|6 (cos(6α) + isen(6α))
√ 6
= 41 (cos(6 · 231, 34) + isen(6 · 231, 34))
= 413 (cos(1.388, 04) + isen(1.388, 04))
≈ 42.469, 9 − 54.280, 9i
Propiedades 14
Dados dos números complejos en su forma trigonométrica
z = |z| (cos (α) + isen (α)) y w = |w| (cos (β) + isen (β)) .
Se cumple que:
(2) Calculemos z 8 para z = 3 − 4i.
√
Observemos que |z| = 9 + 16 = 5 y
4
b
α = arctan
= arctan −
= −53, 130 .
a
3
(1) z · w = |z| |w| (cos (α + β) + isen (α + β)) .
(2)
POTENCIAS Y RAÍCES
|z|
z
=
(cos (α − β) + isen (α − β)) .
w
|w|
Como z está en el cuarto cuadrante, entonces
15.3.
α = 3600 − 53, 130 = 306, 870 .
Potencias y raı́ces
Por lo tanto,
Teorema 4 : Fórmula de Moivre - Potencia de un complejo
z 8 = |z|8 (cos(8α) + isen(8α))
= 58 (cos(8 · 306, 870 ) + isen(8 · 306, 870 ))
= 390.625(cos(2.454, 960 ) + isen(2.454, 960 ))
= 390.625(0, 422 − 0, 907i)
= 164.843, 75 − 354.296, 88i
Sea z = a + bi y n natural, entonces
z n = |z|n (cos (nα) + isen (nα)) .
Ejemplos 38
(1) Sea z = −4 − 5i, calculemos z 6 .
√
Tenemos que |z| = 41 y
−5
arctan
= 51, 34
−4
(3) Calculemos (3 − 5i)8 . Determinamos primeramente el ángulo asociado
al número complejos, es decir,
−5
arctan
≈ −59 ⇒ α = 360 − 59 = 301.
3
Pero como z está en el tercer cuadrante, entonces
Luego,
|3 − 5i| =
α = 180 + 51, 34 = 231, 34
65
√
9 + 25 =
√
34.
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
15
Primera raı́z: k = 0
Por lo tanto,
√
8
(3 − 5i)8 = 34 (cos(8 · 301) + isen(8 · 301))
= 1.336.336(cos(2.408) + isen(2.408))
≈ −500.600, 3 − 1.239.029, 1i
z1 = 1, 33(cos(72, 10 ) + isen(72, 10 )) = 0, 41 + 1, 27i
Segunda raı́z: k = 1
z2 = 1, 33(cos(72, 10 + 900 ) + isen(72, 10 + 900 ))
= −1, 27 + 0, 41i
Teorema 5 : Raı́z de un complejo
Sea z = a + bi y n natural, entonces
1
1
α
+
2kπ
α
+
2kπ
z n = |z| n cos
+ isen
n
n
Tercera raı́z: k = 2
z3 = 1, 33(cos(72, 10 + 1800 ) + isen(72, 10 + 1800 ))
= −0, 41 − 1, 27i
para k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Tercera raı́z: k = 3
Ejemplos 39
z4 = 1, 33(cos(72, 10 + 2700 ) + isen(72, 10 + 2700 ))
= 1, 27 − 0, 41i
√
4
(1) Sea z = 1 − 3i, calculemos z.
√
√
Observemos que |z| = 1 + 9 = 10 y
3
α = arctan −
= −71, 60
1
√
(2) Sea z = −4 − 5i, calculemos 4 z:
√
Sabemos que |z| = 41 y α = 231, 34. Por lo tanto
q
√
231, 34 + 360k
231, 34 + 360k
4 √
4
+ isen
;
z=
41 cos
4
4
√
231, 34
231, 34
8
z0 = 41 cos
+ isen
≈ 0, 85 + 1, 35i;
4
4
√
591, 34
591, 34
8
z1 = 41 cos
+ isen
≈ −1, 35 + 0, 85i;
4
4
√
951, 34
951, 34
8
+ isen
≈ −0, 85 − 1, 35i;
z2 = 41 cos
4
4
√
1311, 34
1311, 34
8
z3 = 41 cos
+ isen
≈ 1, 35 − 0, 85i
4
4
Como z está en el cuarto cuadrante, entonces
α = 3600 − 71, 60 = 288, 40 .
Por lo tanto,
α + 2kπ
α + 2kπ
z = |z| cos
+ isen
4
4
q
0
0
288, 4 + 360 k
288, 40 + 3600 k
4 √
=
10 cos
+ isen
4
4
√
8
= 10(cos(72, 10 + 900 k) + isen(72, 10 + 900 k))
= 1, 33(cos(72, 10 + 900 k) + isen(72, 10 + 900 k))
√
4
p
4
POTENCIAS Y RAÍCES
66
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
15.4.
15
− 85
i
(13) 1 +
3
Ejercicios
I. Expresar en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
(2) z = (2, 7)
(3) z =
1
(14) (−1 − 4i)− 4
(6) z = 5 − i
√
(7) z = 2 − 5i
(1) z = 1 + i
1
(15) (13 − i) 4
IV. Resolver las siguientes ecuaciones:
(8) z = (−1, −1)
1 i
+
2 3
(4) z = −2 + 4i
(5) z = (−3, −1)
1 3i
(9) z = − +
3
7
1
(10) z = 2, −
4
III. Calcular:
1
(8) (−2 − i) 4
(2) (4 + i)6
(3) (4 − i)8
√ 20
√
6 − 8i
(4)
(5) (−15 − 20i)
1
(6) (1 + i) 3
1
(7) (2 − i) 6
30
(9) 1 +
(10)
(1) x4 = 1
(4) x4 = i
(2) x7 = −9
(5) z 2 = 2i
(3) 5x8 = 10
II. Expresar en forma binomial los siguientes números complejos:
√
(1) w = 15 (cos (305◦ ) + isen (305◦ ))
π π (2) w = −6 cos
+ isen
3
3
◦
◦
(3) z = 3 (cos (0 ) + isen (0 ))
√
(4) z = 3 (cos (305◦ ) + isen (305◦ ))
(1) (1 − 2i)8
POTENCIAS Y RAÍCES
√ 18
2i
√ ! 101
3
1
−
4
4
1
(11) (1 + i) 6
1
(12) [(13 − i) (1 − i)] 5
67
(6) z 2 = −3 − 4i
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
16
RAÍCES DE UN POLINOMIO
Definición 34 : Valor numérico de un polinomio
CAPÍTULO V
El valor numérico de un polinomio p(x) para x = a, es el resultado
que se obtiene al sustituir x por un número a.
POLINOMIOS
Ejemplos 41 Para el polinomio p(x) = 2x3 − 7x2 − 7x + 12, tenemos que
el valor numérico para:
(1) x = 1 es
p(1) = 2(1)3 − 7(1)2 − 7(1) + 12 = 0.
SECCIÓN 16
Raı́ces de un polinomio
(2) x = 2 es
p(1) = 2(2)3 − 7(2)2 − 7(2) + 12 = −14.
(3) x = 1 + i es
Definición 33 : Polinomios y sus caracterı́sticas
Se definen los siguientes conceptos:
p(1 + i) = 2(1 + i)3 − 7(1 + i)2 − 7(1 + i) + 12
= 2(−2 + 2i) − 7(2i) − 7(i + 1) + 12
= 1 − 17i.
(1) Un polinomio de grado n tiene la forma
p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,
(4) x = 0 es p(0) = 12.
donde cada ai ∈ R y an 6= 0.
Definición 35 : Cero de un polinomio
(2) Los ai son constantes denominadas coeficientes de p.
Un número α es un cero o raı́z de un polinomio p(x), si p(α) = 0.
(3) El grado del polinomio p(x), denotado por gr(p), es el mayor
exponente de la variable x.
Ejemplos 42 Observemos que:
(1) x = 1 es una raı́z de p(x) = 2x3 − 7x2 − 7x + 12, porque p(1) = 0.
Ejemplos 40
(2) x = i y x = −i son raı́ces de q(x) = x2 + 1, porque
(1) p(x) = 3x3 − 1 es un polinomio tal que gr(p) = 3.
q(i) = q(−i) = 0.
(2) q(x) = −x5 − x7 + x9 es un polinomio tal que gr(q) = 9.
(3) x = 3 es una raı́z de m(x) = x2 − x − 6 por que m(3) = 0.
(3) m(x) = 1 es un polinomio tal que gr(m) = 0.
68
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
17
Observemos que determinar los ceros del polinomio m(x) = x2 − x − 6 es
equivalente a calcular las soluciones de la ecuación x2 − x − 6 = 0. En este
caso
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
SECCIÓN 17
Propiedades de las raı́ces
x2 − x − 6 = 0
⇒ (x − 3)(x + 2) = 0
⇒ x1 = 3 y x2 = −2.
α es una raı́z del polinomio p(x) si y sólo si (x − α) es un factor de
p(x).
Por lo tanto, las raı́ces de m(x) son 3 y −2. Además, nos da indicios para
formular los siguientes resultados (Teorema 6 y Propiedad 15).
Propiedades 15
Teorema 6 : del factor
Sean los polinomios p(x), m(x) y q(x) tales que
gr(p) = n y gr(m) + gr(q) = n. Si p(x) = m(x)q(x), entonces toda raı́z de m(x) y q(x) es también raı́z de p(x).
El siguiente teorema nos indica cómo determinar las raı́ces racionales, si existen, de un polinomio.
Teorema 7 : de las raı́ces racionales
Sea
p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
b
c
es un cero de p(x), entonces b es un divisor de a0 y c es un divisor de
an .
un polinomio tal que an y a0 son no nulos. Si la fracción irreducible
En otras palabras, para calcular las posibles raı́ces racionales de un polinomio
p(x) debemos considerar los divisores de an y de a0 , denotados por Div(an )
y Div(a0 ), y determinar el conjunto
Div(a0 )
.
Div(an )
69
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
17
1
Ejemplos 43 Determinemos, si existen, las raı́ces racionales de los siguientes polinomios:
−5
(1) p(x) = x4 + 3x3 − 9x2 + 3x − 10.
Como
Dv(a0 ) = Div(−10) = {±1, ±2, ±5, ±10}
p(x) = (x − 2)(x + 5)(x2 + 1).
Luego,
(2) m(x) = 7x7 + x + 14.
Como
p(−1) = −24, p(1) = −12,
p(−2) = −60, p(2)=0 ,
Dv(a0 ) = Div(14) = {±1, ±2, ±7, ±14}
p(-5)=0 , p(5) = 780,
y
p(−10) = 6.060 y p(10) = 12.120.
Div(a7 ) = Div(7) = {±1, ±7},
Lo cual implica que las únicas raı́ces racionales de p(x) son 2 y −5.
Además, por el teorema del factor, p(x) debe ser factorizado por (x − 2)
y (x + 5).
En efecto, aplicando la regla de Ruffini a p(x) con (x − 2) obte-nemos
que
2
1
−9
10
1
3
2
5
5
−5
0
Por lo tanto,
Div(a0 )
Div(−10)
=
= {±1, ±2, ±5, ±10}.
Div(a4 )
Div(1)
3
2
5
1
0
1
q(x) = x3 + 5x2 + x + 5 = (x + 5)(x2 + 1).
Div(a4 ) = Div(1) = {±1},
1
5
−5
0
Es decir,
y
entonces
1
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
entonces
Div(7)
Div(a7 )
=
=
Div(a0 )
Div(14)
−10
10
0
1 1
1
7
±1, ± , ± , ± , ±7, ± , ±2 .
2 7 14
2
Sin embargo, m(x) 6= 0 para cada uno de los números de este conjunto.
Lo cual implica que m(x) no tiene raı́ces racionales.
Es decir,
p(x) = x4 + 3x3 − 9x2 + 3x − 10
3
2
= (x − 2)(x
| + 5x{z+ x + 5}).
Teorema 8 : del resto
El resto de dividir el polonomio p(x) por (x − a) es igual al valor
numérico del polinomio para x = a, es decir p(a).
q(x)
Luego aplicamos Ruffini a q(x) = x3 + 5x2 + x + 5 con (x + 5),
70
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
17
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
(2) w = 1 − i es una raı́z de q(x) = 2x3 − 7x2 + 10x − 6, porque
Ejemplos 44 Realicemos la división entre el polinomio
q(1 − i) = 2(1 − i)3 − 7(1 − i)2 + 10(1 − i) − 6
= 2(−2 − 2i) − 7(−2i) + 10 − 10i − 6
= −4 − 4i + 14i + 10 − 10i − 6 = 0.
p(x) = x4 − 2x3 + x + 7
y los polinomios
Luego, w = 1 + i también es una raı́z de q(x). En efecto,
(1) x − 3 obtenemos que:
1
−2
3
1
3
1
0
3
3
1
9
10
q(1 + i) = 2(1 + i)3 − 7(1 + i)2 + 10(1 + i) − 6
= 2(−2 + 2i) − 7(2i) + 10 − 10i − 6
= −4 + 4i − 14i + 10 − 10i − 6 = 0.
7
30
37
Por otro lado, p(3) = 34 − 2 · 33 + 3 + 7 = 37.
Supongamos que tenemos el polinomio p(x) = (x − 3)(x − 5)2 , es decir
p(x) = x3 − 13x2 + 55x − 75. Podemos observar que las raı́ces son 3 y 5.
Sin embargo, 5 está asociado a una potencia 2, en este caso se dice que 5
es una raı́z con multiplicidad 2, mientras que 3 es una raı́z simple. Con esta
idea introducimos el siguiente concepto.
(2) x + 1 = x − (−1) obtenemos que:
1
−1
1
−2
−1
−3
0
3
3
1
−3
−2
7
2
9
Definición 36 : Multiplicidad algebraica de una raı́z
Por otro lado, p(−1) = (−1)4 − 2 · (−1)3 − 1 + 7 = 9.
Una raı́z α de un polinomio p(x) tiene multiplicidad m, si existe un
polinomio q(x) tal que p(x) = (x − α)m q(x).
Teorema 9 : de raı́ces imaginarias
Si z ∈ C es una raı́z del polinomio p(x), entonces z también lo es.
Para determinar la multiplicidad de una raı́z, primero calculamos las posibles
raı́ces del polinomio p(x) y calculamos su valor, si resulta ser 0, entonces
podemos utilizar el teorema del factor y Ruffini para hallar un polinomio q(x)
de un grado menor a p(x) y volvemos a aplicar el algoritmo.
Ejemplos 45 Veamos que:
(1) z = 2 + 3i es una raı́z de p(x) = x2 − 4x + 13, porque
Ejemplos 46
p(2 + 3i) = (2 + 3i)2 − 4(2 + 3i) + 13
= −5 + 12i − 8 − 12i + 13 = 0.
(1) p(x) = 2x4 − 15x3 + 39x2 − 40x + 12. Observemos que las posibles
raı́ces racionales son:
Div(12)
1 3
.
= ±1, ±2, ±3, ±6, ±12, ± , ±
Div(2)
2 2
Luego, z = 2 − 3i también es una raı́z de p(x). En efecto,
p(2 − 3i) = (2 − 3i)2 − 4(2 − 3i) + 13
= −5 − 12i − 8 + 12i + 13 = 0.
Como p(2) = 0, entonces podemos factorizar p(x) por (x−2). En efecto,
aplicando Ruffini, obtenemos que:
71
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
2
2
2
−15
4
−11
39
−22
17
−40
34
−6
17
12
−12
0
Teorema 10 : fundamental del álgebra
Si p (x) es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces p (x) = 0 tiene al
menos una raı́z (real o compleja).
Es decir,
p(x) = (x − 2)(2x3 − 11x2 + 17x − 6)
{z
}
|
Teorema 11
q(x)
Si gr(p) = n, entonces p(x) puede expresarse como el producto de n
factores lineales.
y aplicamos el procedimiento a q(x) = 2x3 − 11x2 + 17x − 6.
Las posibles raı́ces racionales de q(x) son:
3
Div(−6)
= ±1, ±2, ±3, ±6, ±
.
Div(2)
2
17.1.
Como q(2) = 0, entonces podemos factorizar q(x) por (x−2). En efecto,
aplicando Ruffini, obtenemos que:
2
2
2
−11
4
−7
17
−14
3
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Ejercicios
I. Para cada uno de los siguientes polinomios, calcular el valor que toma
para x = 2, x = −1, x = 0 y x = −3.
−6
6
0
(1) p(x) = x3 − 5x2 + x + 5
(2) m(x) = 6x5 − x + 1
3
2
(3) q(x) = x3 − x2 − 4
3
5
Por lo tanto,
q(x) = (x − 2)(2x2 − 7x + 3)
= (x − 2)(2x − 1)(x − 3).
(4) r(x) = −3x4 + x2 − 12
II. Determinar las raı́ces racionales de los siguientes polinomios:
(1) p(x) = 3x4 − 7x3 + 14x2 − 28x + 8
En consecuencia,
(2) q(x) = 2x4 + 11x3 + 18x2 + 11x + 6
p(x) = (x − 2)(x − 2)(2x − 1)(x − 3)
{z
}
|
(3) m(x) = x4 − 5x2 + 6
q(x)
(4) r(x) = x5 + x4 + x + 1
= (x − 2)2 (2x − 1)(x − 3).
III. Realizar la división sintética entre cada polinomio y el divisor indicado:
Finalmente, las raı́ces de p(x) son 2 con multiplicidad 2, mientras que
1
y 3 son raı́ces simples.
2
(1) p(x) = 3x6 − x4 + x3 − 2x + 1 y (x − 1)
(2) p(x) = 3x6 − x4 + x3 − 2x + 1 y (x + 1)
72
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
17
(3) p(x) = 2x4 + 2x3 − 18x2 + 22x − 8 y (x − 1)
4
3
II.
2
(4) p(x) = 2x + 2x − 18x + 22x − 8 y (x + 4)
(1)
IV. Comprobar que el número complejo indicado y su conjugado son raı́ces
del polinomio:
(4) −1
III.
2
(3) z = 1 + 5i de p(x) = x + 19x + 58x − 78
3
1
,2
3
(3) No tiene
(2) z = 2 − i de p(x) = x4 + 2x3 − 19x2 + 30x
4
(2) {−3, −2}
(1) z = 2 − 3i de p(x) = x4 + 2x3 − 11x2 + 78x
4
(1)
2
(4) z = 3 + 5i de p(x) = x − 4x + 19x + 86x − 102
3
3
1
2
3
0
3
3
−2
3
1
1
1
2
3x6 −x4 +x3 −2x+1 = (3x5 +3x4 +2x3 +3x2 +3x+1)(x−1)+2
2
(2) q(x) = x − 8x + 25x − 36x + 20
(2)
(3) r(x) = x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1
3
(4) m(x) = x5 + 2x4 − 3x3 − 4x2 + 4x
17.2.
−1
3
2
Por lo tanto,
(1) p(x) = x4 − 2x3 − 2x2 − 2x − 3
3
0
3
3
1
V. Determinar las raı́ces de cada polinomio y luego expresarlo como producto de polinomios lineales:
4
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
−1
0
−3
−3
3
−1
3
2
1
−2
−1
0
1
1
−2
−1
−3
1
3
4
Por lo tanto,
Respuestas
3x6 − x4 + x3 − 2x + 1 = (3x5 − 3x4 + 2x3 − x2 + x − 3)(x + 1) + 4
I.
(3)
(1) p(2) = −5, p(−1) = −2, p(0) = 5, p(−3) = −70
2
(2) m(2) = 191, m(−1) = −4, m(0) = 1, m(−3) = −1.454
1
2
79
137
16
(3) q(2) = − , q(−1) = − , q(0) = −4, q(−3) = −
15
15
5
2
2
4
−18
4
−14
22
−14
8
−8
8
0
Por lo tanto,
(4) r(2) = −56, r(−1) = −14, r(0) = −12, r(−3) = −246
2x4 + 2x3 − 18x2 + 22x − 8 = (2x3 + 4x2 − 14x + 8)(x − 1)
73
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
18
CONCEPTOS BÁSICOS
(4)
2
−4
2
2
−8
−6
−18
24
6
22
−24
−2
−8
8
0
CAPÍTULO VI
FRACCIONES
PARCIALES
Por lo tanto,
2x4 + 2x3 − 18x2 + 22x − 8 = (2x3 − 6x2 + 6x − 2)(x + 4)
IV.
(1) Las raı́ces son i, −i, 3 y −1. Por lo tanto,
p(x) = (x − i)(x + i)(x − 3)(x + 1)
SECCIÓN 18
Conceptos básicos
(2) Las raı́ces son 2 + i, 2 − i y 2 con multiplicidad 2. Por lo tanto,
q(x) = (x − (2 + i))(x − (2 − i))(x − 2)2
p(x)
, con q(x) 6= 0, es expresarla como
q(x)
suma de otras fracciones racionales en las cuales los denominadores son polinomios irreductibles. Para realizar esta descomposición debemos factorizar
al máximo el polinomio q(x), de donde podemos encontrarnos con 4 casos:
Descomponer una fracción racional
(3) Las raı́ces son 1 con multiplicidad 3 y −1 con multiplicidad 2. Por
lo tanto,
p(x) = (x − 1)3 (x + 1)2
Primer caso: q(x) es un producto de factores lineales distintos.
(4) Las raı́ces son 0, −2 con multiplicidad 2 y 1 con multiplicidad 2.
Por lo tanto,
m(x) = x(x + 2)2 (x − 1)2
Segundo caso: q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales
se repiten.
Tercer caso: q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles distintos.
Cuarto caso: q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, algunos de los
cuales se repiten.
74
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
19
8
Es decir, B = .
3
Si reemplazamos x = −2 en la expresión (1), obtenemos que
SECCIÓN 19
Tipos de descomposición
19.1.
8 = A(x − 1) + B(x + 2) = −3A.
| {z }
| {z }
Primer caso
8
Es decir, A = − .
3
Por lo tanto,
q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (an x + bn ).
B
8
8
A
+
=−
+
.
x+2 x−1
3 (x + 2) 3 (x − 1)
En este caso, existen constantes A1 , A2 , . . . An tales que:
Finalmente,
A1
A2
An
p(x)
=
+
+ ... +
q(x)
a1 x + b 1 a2 x + b 2
an x + b n
8
8
8
=
−
+
x2 + x − 2
3 (x + 2) 3 (x − 1)
Ejemplos 47
x2
Observemos que:
8
.
+x−2
(2) Descompongamos
Observemos que
x2
0
−3
Todas las raı́ces de q(x) son reales y distintas, esto es equivalente a decir
que q(x) puede ser expresadoc omo un producto de polinomios lineales y
distintos. Formalmente,
(1) Descompongamos
TIPOS DE DESCOMPOSICIÓN
8
8
=
.
+x−2
(x + 2) (x − 1)
3x − 2
x3 − 9x
3x − 2
3x − 2
3x − 2
=
=
.
x3 − 9x
x (x2 − 9)
x (x − 3) (x + 3)
Por lo que el problema se reduce a determinar A y B tales que
Por lo que el problema se reduce a determinar A, B y C tales que
A
B
8
=
+
,
(x + 2) (x − 1)
x+2 x−1
3x − 2
A
B
C
= +
+
,
x (x − 3) (x + 3)
x x−3 x+3
o equivalentemente
o equivalentemente
8 = A (x − 1) + B (x + 2) .
3x − 2 = A (x − 3) (x + 3) + Bx (x + 3) + Cx (x − 3) .
Si reemplazamos x = 1 en la expresión (1), obtenemos que
8 = A(x − 1) + B(x + 2) = 3B.
| {z }
| {z }
0
Si reemplazamos x = 3 en la expresión (2), obtenemos que
x (x + 3) + C |{z}
x (x − 3) = 18B.
3x − 2 = A(x − 3)(x + 3) + B |{z}
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }| {z }
7
3
75
0
6
3
6
3
0
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
Es decir, B =
19
7
.
18
Ejemplos 48
3x2 − 26x + 48
x3 − 8x2 + 16x
Observemos que
(1) Para calcular
Si reemplazamos x = −3 en la expresión (2), obtenemos que
x (x + 3) + C |{z}
x (x − 3) = 18C.
3x − 2 = A(x − 3)(x + 3) + B |{z}
| {z }
| {z }| {z }
| {z }
| {z }
−11
−6
Es decir, C = −
0
−3
0
−3
3x2 − 26x + 48
3x2 − 26x + 48
=
x3 − 8x2 + 16x
x (x2 − 8x + 16)
3x2 − 26x + 48
.
=
x (x − 4)2
−6
11
.
18
Por lo que el problema se reduce a determinar A, B y C tales que
Si reemplazamos x = 0 en la expresión (2), obtenemos que
B
C
A
3x2 − 26x + 48
+
= +
,
2
x x − 4 (x − 4)2
x (x − 4)
3x − 2 = A(x − 3)(x + 3) + B |{z}
x (x + 3) + C |{z}
x (x − 3) = −9A.
| {z }
| {z }| {z }
| {z }
| {z }
−2
−3
3
0
3
0
−3
o equivalentemente
3x2 − 26x + 48 = A (x − 4)2 + Bx (x − 4) + Cx.
2
Es decir, A = .
9
Pero
Por lo tanto,
A (x − 4)2 + Bx (x − 4) + Cx
= A x2 − 8x + 16 + B x2 − 4x + Cx
= Ax2 − 8Ax + 16A + Bx2 − 4Bx + Cx
= (A + B) x2 + (−8A − 4B + C) x + 16A,
B
C
2
7
11
A
+
+
=
+
−
.
x x−3 x+3
9x 18 (x − 3) 8 (x + 3)
19.2.
TIPOS DE DESCOMPOSICIÓN
es decir,
Segundo caso
3x2 − 26x + 48 = (A + B) x2 + (−8A − 4B + C) x + 16A.
De donde deducimos que
Todas las raı́ces de q (x) son reales, pero podrı́an repetirse. Supongamos que
q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a + b)k , entonces la
descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma


A+B = 3
A = 3 

−8A − 4B + C = −26
⇒ B = 0


16A = 48
C = −2
A1
A2
Ak
+
+ ... +
,
2
a + bx (a + bx)
(a + bx)k
Por lo tanto,
B
C
2
A
3
+
+
−
.
2 =
x x − 4 (x − 4)
x (x − 4)2
donde cada Ai es constante.
76
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
19
Ejemplos 49 Descompongamos la fracción
(2) Descompongamos la fracción
5x2 + x + 2
x3 + x2 + x
Factorizando el denominador, vemos que
2x2 − x + 6
x3 + 3x2 + 3x + 1
Factorizando el denominador, obtenemos que
x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1),
2x2 − x + 6
2x2 − x + 6
=
x3 + 3x2 + 3x + 1
(x + 1)3
2x2 − x + 6
A
B
C
⇒ 3
=
+
+
2
2
x + 3x + 3x + 1
x + 1 (x + 1)
(x + 1)3
⇒ 2x2 − x + 6 = A(x + 1)2 + B(x + 1) + C
⇒ 2x2 − x + 6 = A(x2 + 2x + 1) + B(x + 1) + C
⇒ 2x2 − x + 6 = Ax2 + 2Ax + A + Bx + B + C
⇒ 2x2 − x + 6 = Ax2 + (2A + B)x + A + B + C
donde x2 + x + 1 es un polinomio cuadrático irreductible.
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es de la forma
5x2 + x + 2
A
Bx + C
5x2 + x + 2
=
=
+
x3 + x2 + x
x(x2 + x + 1)
x x2 + x + 1
5x2 + x + 2
A
B
⇒ 3
= + 2
2
x +x +x
x x +x+1
⇒ 5x2 + x + 2 = A(x2 + x + 1) + (Bx + C)x
⇒ 5x2 + x + 2 = Ax2 + Ax + A + Bx2 + Cx
⇒ 5x2 + x + 2 = (A + B)x2 + (A + C)x + A
De donde deducimos que
Por lo tanto,


A = 2 
A = 2 
2A + B = −1
⇒ B = −5


A+B+C = 6
C = 9
De donde deducimos que
2x2 − x + 6
2
5
9
=
−
+
3
2
2
x + 3x + 3x + 1
x + 1 (x + 1)
(x + 1)3
19.3.
TIPOS DE DESCOMPOSICIÓN
Es decir,


A = 2 
A = 2 
A+C = 1
⇒ C = −1


A+B = 5
B = 3
2
3x − 1
5x2 + x + 2
= + 2
3
2
x +x +x
x x +x+1
Tercer caso
19.4.
Supongamos que q(x) tiene un factor cuadrático irreductible de la forma
ax2 + bx + c no repetido, entonces la descomposición en fracciones parciales
contiene un término de la forma
Cuarto caso
Supongamos que q(x) tiene un factor cuadrático irreductible k veces, es decir
un factor de la forma (ax2 +bx+c)k , entonces la descomposición en fracciones
parciales contiene k términos de la forma
Ax + B
,
ax2 + bx + c
A2 x + B2
Ak x + Bk
A1 x + B1
+
+ ... +
,
2
2
2
ax + bx + c (ax + bx + c)
(ax2 + bx + c)k
con A y B constantes.
77
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
19
donde cada Ai y cada Bi son constantes.
(5)
Ejemplos 50 Descompongamos la fracción
3
7x2 + x + 16
x3 + 4x
x+2
(7) 2
x + 2x + 1
(6)
2
2x + x + 6
(2x2 − x + 6)2
Desarrollo: Observemos que el polinomio 2x2 − x + 6 es irreductible, luego
la descomposición es de la forma
19.6.
Ax + B
Cx + D
2x3 + x2 + 6
=
+
(2x2 − x + 6)2
2x2 − x + 6 (2x2 − x + 6)2
⇒ 2x3 + x2 + 6 = (Ax + B)(2x2 − x + 6) + Cx + D
⇒ 2x3 + x2 + 6 = 2Ax3 − Ax2 + 6Ax + 2Bx2 − Bx + 6B + Cx + D
⇒ 2x3 + x2 + 6 = 2Ax3 + (−A + 2B)x2 + (6A − B + C)x + 6B + D
(1)
(2)
De donde deducimos que
2A
−A + 2B
6A − B + C
6B + D
Es decir,
(3)
=
=
=
=
2
1
0
6




A
B
⇒
C



D
=
=
=
=
1
1
−5
0




(4)



(5)
2x3 + x2 + 6
x+1
5x
= 2
−
2
2
2
(2x − x + 6)
2x − x + 6 (2x − x + 6)2
19.5.
(1)
Ejercicios
2x + 1
x2 + x
3x2 − 4x + 3
(2)
x3 + x
(3)
4x2 + 3x + 2
x3 + x2
3x2 − 16x − 3
x3 − 2x2 − 3x
−x2 − 2
(4)
x3 + x
78
TIPOS DE DESCOMPOSICIÓN
(8)
−2x3 + 5x2 − 3x + 4
x4 + x2
(9)
3x4 + x3 + 13x2
x5 + 4x3
(10)
24 − 38x − 2x2 − 5x3
x4 + x3 + 6x2
Respuestas
1
1
+
x+1 x
3
4
− 2
x x +1
2
1
4
−
+
x+1 x−3 x
2
x
−
x2 + 1 x
2x + 3 2
+
x2 + 1 x
3x + 2 4
+
x2 + 4 x
1
1
(7)
+
x + 1 (x + 1)2
(6)
3
4
x+1
−
+
x2 + 1 x x2
1−x
4
3
(9) 2
+ − 3
x +4 x x
2x + 1
7
4
(10) 2
− + 2
x +x+6 x x
(8)
ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3)
REFERENCIAS
Referencias
[1] Carreño Ximena, Cruz Ximena. “Álgebra” Editorial Arrayán, 2005.
[2] Narro Ana Elena, Peñalva Laura. ”Fundamentos de Álgebra”, Universidad
Autónoma Metropolitana, 2002.
[3] Bello, Britton J. R. ”Álgebra y trigonomterı́a contemporáneas”, Harla,
1986.
[4] Wisniewski Piotr Marian, Gutiérrez Benags Ana Laura. Ïntroducción a
ñas matemáticas universitarias”, McGraw-Hill, 2004.
79