Física Movimiento Circular

Fı́sica
Guı́a de Materia
Movimiento circular
Módulo Electivo
III Medio
www.puntajenacional.cl
Nicolás Melgarejo, Verónica Saldaña
Licenciados en Ciencias Exactas, U. de Chile
Estudiantes de Licenciatura en Educación, U. de Chile
1.
Movimiento circular uniforme
Un cuerpo se encuentra en movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferencia
o un arco de circunferencia. Si dicho movimiento se realiza a una velocidad de módulo constante, el
movimiento circular es uniforme.
Una partı́cula que gira atada al extremo de una cuerda es un ejemplo de movimiento circular. En
la imagen se observa que el vector velocidad de la partı́cula varı́a continuamente de dirección, pero su
magnitud se mantiene constante, es decir, se trata de un movimiento circular uniforme M.C.U.
1.1.
Velocidad lineal
La velocidad a la cual hacemos referencia en el ejemplo anterior es denominada velocidad lineal o
tangencial, la cual se representa a través del vector tangente al punto de la trayectoria circular en que se
halla la partı́cula en movimiento. Este vector cambia de dirección constantemente, por lo que la velocidad
lineal no es constante. En un M.C.U. la velocidad tangencial mantiene su magnitud constante.
1.2.
Rapidez lineal
La rapidez lineal o tangencial es el módulo de la velocidad lineal, en un M.C.U. se mantiene constante
y podemos determinar su valor a través del cuociente entre la distancia recorrida por la partı́cula y el
tiempo que demora en recorrer dicha distancia.
El tiempo que la partı́cula tarda en dar un giro completo se denomina periodo del movimiento, se le
representa con la letra T . La distancia que recorre el cuerpo con M.C.U. en el lapso de un periodo T es
igual al perı́metro de la circunferencia 2πR. Ası́, la rapidez tangencial v de un M.C.U. está dada por:
2πR
T
donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria.
v=
1.3.
(1)
Periodo
Como se indicó anteriormente, el periodo T es el tiempo que una partı́cula emplea en dar una vuelta
completa a su trayectoria. En un M.C.U. el periodo se mantiene constante, es decir, el cuerpo siempre
demora la misma cantidad de tiempo en realizar un giro.
2
. Ejemplo
Determine la rapidez tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 10[cm] de radio en 0,2[s]:
Solución: Para hallar la rapidez lineal v, basta con reemplazar los datos dados en el enunciado en
la ecuación (1):
h cm i
2πR
2π · 10[cm]
v=
=
= 314
T
0, 2[s]
s
1.4.
Frecuencia
Se llama frecuencia f a la cantidad de giros o revoluciones que realiza un cuerpo en movimiento en
una determinada unidad de tiempo, en particular, con movimiento circular. En un M.C.U. la frecuencia
es constante y se puede determinar haciendo el cuociente entre la cantidad de giros y el tiempo empleado
en hacer esos giros. En particular, si consideramos el cuociente entre una vuelta y el tiempo usado para
dar esa vuelta se concluye que:
1
f=
(2)
T
1
En el S.I. la unidad de medida de la frecuencia es el Hertz [Hz], donde 1[Hz] =1
s
. Ejemplo
Un motor da 3.000 revoluciones por minuto. Determine su periodo.
Solución: El enunciado indica que el motor realiza 3.000 giros en un lapso de tiempo igual a 60 segundos,
ya que un minuto equivale a 60 segundos. Con esta información es posible determinar la frecuencia de
oscilación del motor:
3.000
giros
f=
= 50[Hz]
60
segundo
Aplicando la ecuación (2) obtenemos el valor del periodo T :
T =
1
1
= [s] = 0, 02[s]
f
50
Es decir, el motor demora 0,02 segundos en completar una revolución.
Desafı́o...
En un hilo de 1[m] de largo se atan dos piedras, una en un extremo de la cuerda y la otra
a 40[cm] del extremo, tal como se muestra en
la figura. Si se hace girar el hilo a razón de 3
vueltas por segundo, ¿qué sucede con la rapidez lineal de las piedras? ¿son iguales? ó ¿una
tiene mayor rapidez que la otra? Respuesta
3
1.5.
Velocidad angular
Una partı́cula que se mueve con movimiento circular pasa por la posición P1 , después de un intervalo
de tiempo ∆t está pasando por la posición P2 , en este lapso de tiempo el radio de la trayectoria del
movimiento del cuerpo ha barrido un ángulo ∆θ. La relación entre el ángulo ∆θ descrito y el intervalo de
tiempo ∆t empleado para describirlo se denomina velocidad angular ω
~ del cuerpo en movimiento.
En un M.C.U. la velocidad angular se mantiene constante, su magnitud está dada por:
ω=
∆θ
∆t
(3)
Como la velocidad angular se mantiene constante, podemos hallar el valor de ω para el instante en
que la partı́cula completa una vuelta, tendremos que ∆θ = 2π radianes y ∆t = T , ası́:
ω=
2π
T
(4)
donde recordemos que T es el perı́odo o tiempo que emplea el cuerpo en dar un giro completo. Sabiendo
que la frecuencia f es el inverso multiplicativo del periodo, la expresión (4) es equivalente a:
ω = 2πf
(5)
Si a la ecuación (4) multiplicamos el valor del radio R de la circunferencia que sigue el cuerpo como
trayectoria, se obtiene la expresión (1):
2π
ω·R=
·R
T
Se concluye:
ω·R=v
(6)
El vector velocidad angular ω
~ es perpendicular al plano en donde se dibuja la trayectoria circular del
movimiento de la partı́cula, su origen se encuentra en el eje de rotación y su sentido depende del sentido
del vector velocidad lineal ~v . Es posible expresar la ecuación (6) vectorialmente como producto cruz:
~ = ~v
ω
~ ×R
(7)
~ es el vector posición del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre sı́ y se relacionan a
donde R
través de la regla de la mano derecha.
4
Desafı́o...
Respecto al desafı́o anterior, ¿qué sucede con la magnitud de la velocidad angular
de las piedras? ¿son iguales? ó ¿una tiene mayor rapidez angular que la otra?
Respuesta
. Ejemplo
Calcule la magnitud de la velocidad tangencial de un punto de la lı́nea del Ecuador de la Tierra. Considere
el radio terrestre igual a 6.000[Km]
Solución: La Tierra tarda un dı́a en dar un giro completo respecto de su eje de rotación. En una
vuelta o giro completo, el radio terrestre barre un ángulo de 360◦ , lo que expresado en radianes es igual
a 2π. De acuerdo a esto, la velocidad angular ω del movimiento de rotación terrestre es:
ω=
2π rad
dı́a
Un dı́a corresponde a 24 horas. Como cada hora tiene 60 minutos y cada minuto tiene 60 segundos,
realizando un sencillo cálculo puede concluir que un dı́a equivale a 86.400 segundos. Reemplazando:
2π
rad
ω=
86.400 s
Aplicando la ecuación (6) obtenemos el valor de la magnitud de la velocidad tangencial, es decir, la rapidez
tangencial v del punto del Ecuador:
2π
rad
Km
v =ω·R=
· 6.000[Km] = 0, 436
86.400 s
s
1.6.
Aceleración centrı́peta
Sabemos que en un M.C.U. la magnitud de la velocidad lineal o tangencial de la partı́cula se mantiene
constante, lo que implica que no existe sobre el cuerpo aceleración tangencial. Pero la dirección del vector
velocidad lineal cambia, por lo tanto, existe una variación de dicho vector en el tiempo, lo que a su vez
genera el vector aceleración centrı́peta ~ac .
El vector ~ac tiene la dirección del radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y
siempre apunta hacia el centro de ésta. Su magnitud está dada por la ecuacione:
ac =
5
v2
R
(8)
donde v es la magnitud de la velocidad lineal, R el radio de la circunferencia.
Según la ecuación (6) v = ω · R, reemplazando en (8) nos queda que:
(ω · R)2
R
ω 2 · R2
=
R
= ω2 · R
ac =
(9)
donde R es el radio y ω la magnitud de la velocidad angular.
1.7.
Fuerza centrı́peta
De acuerdo a la segunda ley de Newton, si un cuerpo con M.C.U. se ve afectado por la aceleración
centrı́peta, entonces sobre este cuerpo actúa una fuerza que provoca dicha aceleración. Esta fuerza a sido
denominada fuerza centrı́peta, tiene igual dirección y sentido que la aceleración centrı́peta. Su magnitud
queda determinado por:
Fc = m · ac
donde m corresponde a la masa del objeto en movimiento y ac a su aceleración centrı́peta. Reemplazando
las ecuaciones (8) y (9) obtenemos:
v2
Fc = m ·
(10)
R
Fc = m · ω 2 · R
(11)
Desafı́o...
Demuestre que la magnitud de fuerza centrı́peta es igual al producto del momentum
lineal p y la rapidez angular ω, es decir,
Fc = p · ω
Respuesta
6
. Ejemplo
Determine la magnitud de la fuerza centrı́peta
un automóvil de 10[Kg], el cual recorre una pista
sobre
circular de 80[m] de radio, con M.C.U. a 72 Km
de
velocidad
lineal.
h
Solución: De acuerdo a los datos entregados en el enunciado, la ecuación pertinente para determinar el
módulo de la fuerza centrı́peta Fc es la número (10). Reemplazando:
2
72 Km
v2
h
Fc = m ·
= 10[Kg] ·
R
80[m]
Note que es necesario trasformar los [Km] de la unidad de la velocidad lineal, ya que el radio de la pista
está expresada en metros. Además transformaremos la unidad hora a segundos para escribir la respuesta
en Newton:
72.000 m 2
h
mi
3.600
s
Fc = 10[Kg] ·
= 50 Kg · 2 = 50[N ]
80[m]
s
1.8.
Momento angular
~ corresponde a una caMomento angular o cantidad de movimiento angular L
racterı́stica de los cuerpos que están en rotación, es la medida de la inercia rotacional de un cuerpo que gira. El momento angular es un vector perpendicular al
plano de la trayectoria del cuerpo que rota, el cual tiene una magnitud dada por:
L=R·p
(12)
donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y p
es la magnitud del vector momento lineal de la partı́cula. El momento lineal p~ es
una caracterı́stica de los cuerpos con masa que se mueven a cierta velocidad, es la
medida de la inercia de un cuerpo que se traslada, su magnitud está dada por:
p=m·v
(13)
donde m es la masa del cuerpo en movimiento y v su velocidad, en el caso de moverse con M.C.U. v es la
velocidad lineal de la partı́cula. Reemplazando la ecuación (13) en la expresión (12) se obtiene:
L=R·m·v
(14)
Reemplazando la ecuación (6) en esta última expresión se concluye que el momento angular depende de
la masa del cuerpo que gira, de su velocidad angular y del radio de giro de su trayectoria:
L = m · R2 · ω
(15)
Es posible escribir vectoriamente la ecuación (12) como producto cruz:
~ =R
~ × p~
L
(16)
~ es el vector posición del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre sı́ y se relacionan a
donde R
través de la regla de la mano derecha.
7
1.9.
Conservación del momento angular
El momento angular se conserva si no actúa sobre el objeto o sistema en rotación un momento de torsión
o torque externo neto. Recordemos que torque ~τ es una magnitud vectorial que indica cuantitativamente
la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo respecto de un eje de giro.
En función del cambio de momento angular ∆L del cuerpo o sistema en rotación, el torque puede se
expresado como:
∆L
τ=
(17)
∆t
donde ∆t es el intervalo de tiempo en el cual se produce la variación de momento angular.
Aplicar un torque a un cuerpo o sistema mecánico en rotación genera una variación o cambio en su
momento angular. Si la magnitud de torque es nulo, es decir, τ = 0, entonces el cambio en el momento
angular también es nulo. Por lo tanto, si no actúa un torque externo sobre un objeto o sistema en rotación,
el momento angular se mantiene constante, es decir, se conserva.
. Ejemplo
Un hombre está sentado en una silla giratoria mientras sostiene dos bolas de boliche de 3[Kg] cada una.
Después de darse
i impulso comienza a girar con los brazos estirados, las bolas rotan con una rapidez
h m un
lineal igual a 2
con un radio de giro igual a 60[cm]. Si el radio de giro disminuye a 40[cm] al recoger
s
sus brazos, ¿cuál es la rapidez lineal de las bolas de boliche?
Solución: Por el principio de conservación del momento angular, la magnitud del momento angular
antes de recoger los brazos, Li , es igual a la magnitud del momento angular después de recoger los brazos,
Lf , ası́:
Li = Lf
Reemplazamos en la ecuación (14) los valores correspondientes al antes y después de haber cambiado el
radio de giro:
Ri · mi · vi = Rf · mf · vf
Como la masa de las bolas de boliche no varı́a, la expresión se reduce a:
Ri · vi = Rf · vf
Despejamos el valor de la rapidez de las bolas después de haber encojido los brazos, vf , y hallamos su
valor reemplazando los datos:
hmi
h i
60[cm]
·
2
Ri · vi
s =3 m
vf =
=
Rf
40[cm]
s
8
Desafı́os resueltos
3 Desafı́o I: La piedra que está en el extremo de la cuerda tiene mayor rapidez lineal que la que se
encuentra a 40[cm] del extremo, pues en el mismo tiempo describe una circunferencia mayor, es
decir, recorre una mayor distancia. Volver
3 Desafı́o II: Ambas piedras poseen igual rapidez angular ya que describen ángulos iguales en tiempos
iguales. Volver
3 Desafı́o III: Por la ecuación (10) tenemos que:
Fc = m ·
v2
R
que puede ser reescrita como:
v
R
Como el momentum es igual a masa por velocidad (P = m·v) y por la ecuación (6) ω =
Fc = m · v ·
Fc = p · ω
Volver
9
v
R,
entonces:
Bibliografı́a
[1 ] Fı́sica 3◦ Educación Media, Santillana (2010)
Luis Pavez, Javier Jiménez, Esteban Ramos.
[2 ] Fı́sica General, Tercera edición, Harla. México (1981)
Beatrı́z Alvarenga, Antônio Máximo.
[3 ] Fı́sica Tomo I, Tercera edición, Mc Graw-Hill. México (1992)
Raymond A. Serway.
[4 ] Fı́sica Conceptual, Novena edición, Pearson Educación. México (2004)
Paul Hewitt.
[5 ] Introducción a la Fı́sica, Séptima edición, Editorial Kapelusz, Argentina (1958)
Alberto Maiztegui, Jorge Sabato.
[6 ] Manual de preparación PSU ciencias módulo optativo, Fı́sica, Ediciones Universidad
Católica de Chile, Chile (2004)
Miguel Ormazabal Dı́az-Muñoz, Oscar Bravo Lutz, Luz Marı́a Gazzolo Torrealba.
10