367469354-Aplicacion-Del-Software-MathCad-Para-El-Estudio-y-Resolucion-de-Vigas-Isostaticas-e-Hiperestaticas

F.N.I. – CARRERA DE INGENIERIA MECÁNICA
Aplicación del software MathCad para el estudio de vigas Isostáticas
Ing. Miguel Alejandro Ruiz Orellana (1)
Calle Sucre # 569 y av. Tacna, Cel.: 77140675 E-mail: [email protected]
(1)
Docente Carrera de Ingeniería Mecánica, Facultad Nacional de Ingeniería
Universidad Técnica de Oruro
Resumen
En el presente artículo se pretende mostrar la conveniencia de aplicar las Funciones de
Singularidad para la resolución de vigas, además del gran soporte que representa
trabajar asistido por el software matemático MATHCAD.
Palabras Clave:
Funciones de Singularidad, Resolución de Vigas, software
matemático MATHCAD
Abstract
In the present article one tries to show the convenience of applying the Functions of
Singularity for the resolution of beam, besides the great support that it represents to
work helped by the mathematical software as MATHCAD.
Keywords:
Functions of Singularity, resolution of beam, mathematical software as
MATHCAD
1. INTRODUCCION
La base para la resolución de muchos problemas aplicados en el campo de la ingeniería,
tienen su cimiento en el estudio de la Mecánica de Materiales; puntualizando aún más,
el estudio y resolución de vigas es el principio para el cálculo de edificaciones y
estructuras en el área de ingeniería civil, el diseño y cálculo de ejes y soportes de
equipos y máquinas en el campo de la ingeniería mecánica por dar unos cuantos
ejemplos.
Este resolución de vigas se puede encarar de tres maneras distintas: la primera es
realizando el cálculo manual con auxilio de una calculadora, mismo que al tiempo de
graficar las funciones de momentos y cortantes se puede extender considerablemente el
desarrollo matemático para obtener los resultados y aun peor cuando se busca encontrar
la deformación de la viga en distintos puntos. La segunda opción para resolver el
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problema sería recurrir a un paquete estructural de especialidad, alternativa que presenta
muchas ventajas como ser, la posibilidad de obtener muchos más estudios y resultados
con un costo bajo en tiempo en la introducción de datos, la generación de reportes
resumidos o detallados además inclusive de la generación de planos de la viga; el
inconveniente de esta opción resulta de la necesidad de conseguir un paquete
estructural, saber manejar con propiedad el mismo, además de tener muy buena base de
cálculo estructural para ser capaz de analizar y objetar los resultados obtenidos de forma
casi automática, puesto que existe la posibilidad de que el paquete bote resultados
erróneos por malas consideraciones al plantear el problema.
Se presenta como una tercera alternativa, la posibilidad de resolver la viga, planteando
las ecuaciones básicas cual se resuelve de forma manual, pero con el auxilio de un
software matemático que se encargue de resolver todos los procedimientos
matemáticos, liberando al calculista de tan tedioso trabajo. Para el presente artículo, se
toma como software de apoyo al MathCad.
2. PROBLEMATICA
Se desea plantear un método de análisis de vigas soportado por un software matemático
que aliviane el tedioso trabajo cuando se quiere resolver las ecuaciones matemáticas
propias de los métodos de análisis de vigas, por cuanto se puede enunciar que “no existe
un método integrado de resolución de vigas asistido por el software MathCad”, el cual
se expondrá a continuación.
3. BASE TEÓRICA DE LA RESOLUCIÓN
Método de Análisis de Vigas Isostáticas
El método más difundido y general para la resolución de vigas isostáticas, plantea los
siguientes pasos:
a. Representación de la viga en un D.C.L.
b. Obtención de las reacciones en sus apoyos.
c. Análisis de la viga realizando cortes transversales por secciones.
d. Graficación de los momentos flectores y fuerzas cortantes.
e. Obtención del momento máximo.
f. Obtención de la ecuación de deformación por el método de doble
integración.
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Para analizar mejor el método, se tomara como caso de estudio una viga con voladizo.
Variable
Valor
a
1m
b
1,5 m
c
2,0 m
d
3,5 m
e
1,5 m
Ea
200 GPa [Modulo de Elasticidad]
Ixx
25 cm4 [Momento de Inercia]
Sea la viga planteada, para la cual se tienen los valores mostrados en la tabla. El método
de resolución por secciones presentaría los siguientes diagramas de cuerpo libre para la
obtención de cuatro ecuaciones que describan el comportamiento de la viga.
Tramo 1 cuando: 0<z<a
 Fv  0
Ra  q 1  z  V1 ( z)  0
O1
V1 ( z)  Ra  q 1  z
M0
R a z 
q1 z
O1
2
2
 M 1 ( z)  0
M 1 ( z )  R a z 
q1 z
2
2
Tramo 2 cuando: a<z<b
 Fv  0
Ra  q 1e  V2 ( z)  0
O2
V2 ( z)  Ra  q 1e
M0
O2
Ra z  q 1e  z 

a
2
 M 2 ( z)  0
a
M 2 ( z)  Ra z  q 1e  z  
 2
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Tramo 3 cuando: b<z<c
 Fv  0
Ra  q 1e  P1  V3 ( z)  0
O3
V3 ( z)  Ra  q 1e  P1
M0
O3
a
Ra z  q 1e  z    P1  ( z  c)  M 3 ( z)  0
 2
a
M 3 ( z)  Ra z  q 1e  z    P1  ( z  b )
 2
Tramo
4
cuando:
c<z<d

Fv  0
V4 ( z)  Ra  q 1e  P1  Rb 
q 2 ( z )  ( z  c)
O4

M0
O4
2
2
( z  c)  q 2 ( z)
a

M 4 ( z)  Ra z  q 1e z 
 P  ( z  b )  Rb  ( z  c) 
6
 2 1
En el presente método se observa dos dificultades, la primera referida a que después de
analizar el tramo que contiene una carga distribuida, se debe cambiar la ecuación
original por una que reemplace la carga distribuida por una carga equivalente, esto para
facilitar la operación matemática propia de la ecuación de momentos. La segunda
dificultad generada por la consideración anterior es la complicación que implica escribir
toda un conjunto de ecuaciones para representar y graficar los momentos flectores en
una viga.
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Método de Análisis de Vigas Isostáticas empleando Funciones de Singularidad
La resolución de vigas utilizando funciones de singularidad presenta la ventaja de
permitir escribir en una sola ecuación, todos los momentos flectores existentes en la
viga, diferenciando a la vez los momentos de aparición de cada uno.
Las reglas que se manejan son sencillas, pudiendo resumir de la siguiente forma:

Se escribe la ecuación de la viga, considerando un solo tramo, en este caso el del
extremo derecho, el cual incluye todos los actores sobre el elemento.

Se cambia los paréntesis que operan con las longitudes de los componentes generadores
de momentos, por corchetes de desigualdad.

Al momento de evaluar un tramo se realiza la operación siguiente:
o
si el valor de la longitud de corte “z” es mayor que del tramo a analizar “a”
[z>a], entonces se cambia el corchete de desigualdad por un paréntesis
algebraico, con el cual procedemos con el cálculo.
o
Si el valor de la longitud de corte “z” es menor que la longitud del tramo a
analizar “a” [z<a], entonces esa parte de la expresión se vuelve cero, claro, si
z<a quiere decir que la carga o momento no actua aún en esa sección.

En el caso de cargas distribuidas, se toma las cargas hasta el final de la viga, sumando o
restando otra carga distribuida de signo contrario a partir de la culminación original de
la carga distribuida, tal cual se observa en el grafico.
2
2
6
Ahora si se quisiera analizar la viga en el tramo 1, antes de que termine “a”, entonces
z<a, por consiguiente a partir de la expresión positiva de la carga distribuida se haría
cero, que si revisamos el diagrama es lo correcto.
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4. APLICACIÓN DEL SOFTWARE MATHCAD PARA EL ESTUDIO Y
RESOLUCION DE VIGAS
Resulta ahora, que con la presencia de distintos paquetes matemáticos, en el presente
caso MathCad, se puede programar la función de singularidad para que esta función,
evalúe internamente la relación [z>a], acción que permite escribir toda la ecuación de
una sola vez, afectar por la función de singularidad y el software evalúa el momento de
intervención de cada carga y momento sobre la viga.
Definición de la función de singularidad en MathCad
Haciendo uso de las funciones de programación, se define la función de la siguiente
manera:
Interpretando la función se obtiene…

μ( t a) 
La función vale 0 si t<a, con lo cual anula a esa
0 if t  a
expresión. (“t” es nombre genérico de la variable, puede
1 otherwise
usarse otra nomenclatura)

Para cualquier otro caso, es decir t=>a, entonces la
función vale 1, lo cual no afecta al cálculo.
Afectando a toda la ecuación, se escribiría:

Ms( z)  Ra z 

q 1  ( z)
2
2

q 1  ( z  a)
2
2
2
 μ( z a)  P1  ( z  b )  μ( z b )  Rb  ( z  c)  μ( z c) 
( z  c)  q 2 ( z)
6

 μ( z c)  μ( d z)

Con esta sola expresión se obtiene el valor de momentos flectores en cualquier tramo,
además de la gráfica de momentos flector.
Como una posibilidad adicional, se puede solicitar la evaluación y graficación de las
fuerzas cortantes en la viga por medio de la derivada de la función, así:
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d
Ms( z)  V( z)
dz
5. RESULTADOS
Las gráficas de momentos flectores y fuerzas cortantes presentadas en el punto anterior
representan objetivamente los resultados del método de funciones de singularidad
asistido por el software MathCad, pudiendo también solicitar valores numéricos en
cualquier punto, así por ejemplo para el momento flector máximo, en z=1,5m:
Ms( 1.5m)  1112.06 N m
6. DISCUSIÓN
La resolución de vigas por el método de secciones es bastante detallado, y recomendado
cuando se está comenzando el estudio de vigas; sin embargo al momento de buscar
resultados rápidos y liberarse de la tediosa resolución de varias de ecuaciones, entonces,
podemos trabajar con las funciones de singularidad, que elimina los tramos intermedios
en el análisis de la viga.
Si además, apoyamos el cálculo con la utilización de algún paquete matemático,
entonces realmente reducimos el tiempo empleado en los análisis de previos para
emplear este en el diseño de la aplicación.
7. CONCLUSIONES
Del presente trabajo se puede concluir que:

La resolución de vigas utilizando las funciones de singularidad, reduce
ampliamente las ecuaciones matemáticas propias del estudio.

La aplicación del software MathCad para la resolución de vigas programando la
función de singularidad, automatiza la resolución a la formulación de una sola
ecuación.

Al trabajar con una sola ecuación, se disminuye la posibilidad de cometer
errores de escritura o consideración.
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
Con el mismo procedimiento, se podría obtener la ecuación de la elástica para
todo el elemento.
8. REFERENCIAS

HIBBELER, R. 1998. Mecánica de Materiales. México. Prentice Hall.

RILEY, W. y MORRIS, D. 2002. Mecánica de Materiales. México. Limusa.

RUIZ, M. 2008. Apuntes de Diseño Mecánico. U.T.O.-F.N.I.- Ing. Mecánica.

RUIZ, M. 2008. Manual de Aprendizaje MATHCAD. U.T.O.-F.N.I.- Ing.
Mecánica.
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