Subido por LUIS ISMAEL LEIVA MORALES

Vectores

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Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
VECTORES
En física existen cantidades que quedan representadas por un número, estas cantidades
adimensionales pueden ser: el aumento de una lente ( M = 3); el coeficiente de fricción cinética
( k= 0,48), la constante dieléctrica de un dieléctrico (k = 5), etc... y se caracterizan por no tener
unidades.
Otras quedan determinadas por un número y una unidad, estas cantidades se llaman cantidades
escalares. Son ejemplos de cantidades escalares la masa ( m = 5,8 kg), la longitud (l = 3 cm), la
energía cinética (Ek = 34 J), el tiempo (t = 5 s), la temperatura (T = 36º C), etc. Y finalmente hay
cantidades llamadas cantidades vectoriales, tales como la velocidad (v = 59 km/h), las fuerzas (F =
7 N), la aceleración ( a = 76 m/s2), entre otras que necesitan un vector para poder representarse
correctamente.
Un vector es un segmento orientado que posee módulo, dirección y sentido. El módulo de un vector
es la magnitud escalar que representa la longitud del vector. La dirección está dada por la recta
sobre la cual se puede desplazar el vector y que contiene al vector y el sentido es hacia “donde”se
puede desplazar.
Para nombrar a un vector se utilizan letras mayúsculas o
minúsculas, según el autor que se consulte. Nosotros
adoptamos el criterio de designarlos con letras minúsculas.
Cuando se escribe en forma manuscrita se suele anotar
y/o -) para
sobre la letra una flecha o una raya (
a
b
representar al vector (ā) y cuando se hace con un
procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita
(a). Ambas notaciones se leen “el vector a”. De ahora en
Fig.1
más, toda vez que encontremos una negrita, nos estaremos
refiriendo a un vector.
→
En la Fig.1 se aprecian dos vectores con el mismo módulo (obsérvese que todos tienen la misma
longitud), no obstante las direcciones de a y b son respectivamente: horizontal y vertical, en tanto
que el sentido de los mismos es derecha y arriba.
Al dibujar diagramas con vectores, normalmente usamos una escala similar a la de los mapas, en la
que el módulo del vector es proporcional a la magnitud vectorial que representa. Por ejemplo en un
diagrama podríamos representar una fuerza de 3 N con un vector de 1 cm, entonces un vector de 4
cm representaría una fuerza de 12 N.
Por definición, el módulo o norma de un vector es siempre
positivo.
La manera más frecuente para representar el módulo de un
vector es son las barras verticales ( | ) que encierran a la letra, de
tal manera que la escritura | a | se lee módulo de a.
O
a
Fig.2
Llamaremos origen al extremo del segmento que no es la punta de flecha, en la Fig.2 es el punto O.
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Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, sea
cual sea su ubicación en el espacio.
a
b
Fig.3
Opuesto de un vector: definimos el opuesto de un vector, como el vector que tiene el mismo
módulo y dirección, pero sentido contrario. Utilizamos la notación – a para referirnos al opuesto del
vector a.
a
-a
Fig.4
Vectores concurrentes: dos o más vectores son concurrentes cuando tienen el mismo origen.
b
c
Los vectores a, b y c de la Fig.5 son concurrentes porque
tienen el mismo origen O.
a
O
Fig.5
OPERACIONES CON VECTORES
Multiplicación de un escalar por un vector: el producto de un escalar por un vector es otro vector
de la misma dirección, cuyo módulo se obtiene de multiplicar el escalar por el módulo del vector
dado y cuyo sentido es igual al del vector si el escalar es positivo y de sentido contrario si el escalar
es negativo.
a
2.a
-3.a
Fig.6
En la Fig.6 se aprecia que dado un vector
cualquiera a, el vector 2.a es otro de la misma
dirección y sentido al dado, cuyo módulo es el
doble. El vector – 3.a es otro vector de la misma
dirección, de sentido contrario y cuyo módulo es el
triplo del módulo del vector a.
Ahora podemos afirmar que el opuesto de un vector se obtiene de multiplicar por el escalar menos
uno al vector cuyo opuesto se quiere hallar.
Simbólicamente: – a = - 1. a = - a
SUMA DE VECTORES
A) Suma de vectores colineales
A.1: Suma de vectores colineales del mismo sentido: la suma de dos vectores colineales del
mismo sentido es otro vector colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo módulo es la suma de
los módulos de los vectores dados.
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a
b
c=a+b
Fig.7
En la Fig,.7 se aprecia que la suma de los vectores
colineales del mismo sentido a y b es otro vector c,
colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo
módulo es la suma de los módulos dados.
Ejemplo: Un auto que ha estado detenido por más de una semana se queda sin batería. El
acompañanate y un observador solidario deciden empujarlo. El primero realiza una fuerza de 5 N y
el segundo de 7 N. ¿Cuál es la fuerza total que realizan entre ambos para empujarlo?
F1 = 5 N
Datos
Incógnita
R?
F2 = 7 N
Como las fuerzas son colineales del mismo sentido, para calcular el módulo de la fuerza resultante
debemos sumar los módulos de las fuerzas dadas:
R = F1 + F2
F1 = 5 N
| R | = |F1|+ |F2|
Fig.8
F2 = 7 N
|R|=5N+7N
R = 12 N
| R | = 12 N0
Rta: la fuerza que realizan entre ambos es resultante o suma de las fuerzas realizadas por ambos. La
resultante tendrá un módulo de 12 N, una dirección paralela a las fuerzas dadas y el mimo sentido que las
fuerzas F1 y/o F2.
A.2: Suma de vectores colineales de distinto sentido: la suma de dos vectores colineales de
distinto sentido es otro vector de la misma dirección a las dadas, cuyo módulo es la diferencia entre
los módulos dados y cuyo sentido es igual al sentido del vector de mayor módulo.
a
b
c=a+b
Fig.9
En la Fig. 9 se observa que la suma de los vectores
colineales de distinto sentido a y b, siendo el
módulo de a mayor que el módulo de b, es otro
vector c, colineal a los dados, del sentido de a y
cuyo módulo es la diferencia de módulos entre a y b.
Ejemplo: En una competencia inter – tribu el profesor de Educación Física organiza el juego de la
cinchada. El grupo de “Los rojos” realiza una fuerza de 3 N hacia el este, en tanto que el
denominado “Los azules” pueden realizar una fuerza de 5 N hacia el oeste. ¿Qué equipo gana la
competencia? ¿Cuál es la fuerza resultante de este torneo?
Datos
Fr = 3 N
Fa = 5 N
ganador?
Incógnitas
R?
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Si llamamos Fr a la fuerza que realizan el equipo “rojo” y Fa a la fuerza que realizan el equipo
“azul”, tendremos un gráfico de fuerzas como el realizado en la Fig.10.
Fig.10
Fa
N
Fr
soga
O
E
S
Es evidente que la fuerza resultante será una fuerza de igual dirección a las dadas, cuyo módulo lo
obtenemos restando los módulos dados (al mayor el menor) y cuya dirección será igual al sentido de
la fuerza mayor como muestra la Fig.11.
Fr
F
a
R = Fr + Fa
| R | = |Fa|- |Fr|
R
Fig.11
| R | = 5 N - 3 N = | R | = 2 N0
La dirección será este – oeste y el sentido hacia el este.
Rta: el torneo lo ganará el equipo “azul” y la fuerza resultante tiene un valor de 2 N hacia el oeste.
B: Suma de vectores no colineales:
B1: No concurrentes: la suma de dos o más vectores no concurrentes es nuevo vector cuyo módulo
es la suma vectorial de los módulos dados y cuya dirección y sentido se pueden obtener
gráficamente por el método de la poligonal.
Método de la poligonal: Sea sumar los vectores a, b y c dados. Para realizar la suma gráficamente
se dibuja a continuación del extremo del vector a el vector b y a continuación del extremo de b el
vector c. Finalmente se une el origen de a con el extremo del último vector c y se obtiene el vector
suma.
b
c
a
a
c
b
s=a+b+c
Fig.12
B2: Concurrentes: la suma de dos o más vectores concurrentes es otro vector concurrente cuyo
módulo, dirección y sentido se obtiene gráficamente por el método del paralelogramo o de la
pologonal.
Método del paralelogramo: Sea sumar los vectores a, b y c dados. Primero realizamos la suma
vectorial de a y b, para ello trazamos una recta paralela a a por el extremo de b y luego una recta
paralela a b por el extremo de a. Uniendo el origen con el punto de intersección hallado, tenemos el
vector a + b. Para sumar a este vector el vector c se procede de la misma manera, por el extremo de
a + b trazamos una recta paralela al vector c y por el extremo de c una recta paralela al vector a + b.
Uniendo el origen con el punto donde dichas rectas se interceptan obtenemos el vector suma s = a +
b + c.
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s = (a + b) + c
a+b
b
b
c
c
a
a
Fig.13
Método de la poligonal: A continuación del extremo de primer vector a se dibuja el segundo
vector b y a continuación del extremo de este vector el tercer vector c. El vector resultante o suma
se obtiene al unir el origen del primer vector a con el extremo del último vector.
c
s=a+b+c
Erro!
b
b
c
a
a
Fig.14
Advertencia: cuidado cuando se suman vectores, el error más usual que suelen cometer los que se
inician en este tema es querer sumar directamente los módulos de los vectores dados sin tener en
cuanta la dirección y el sentido. Esta suma de módulos es correcta sólo si los vectores son colinelaes
del mismo sentido, si son de sentido contrario, el módulo es la diferencia de los módulos dados y si
son vectores con diferentes direcciones se debe emplear gráficamente cualquiera de los métodos
descriptos de la poligonal o del paralelogramo.
Más adelante analizaremos la suma analítica de vectores.
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Propiedades de la suma de vectores:
•
La suma de vectores es conmutativa.
•
La suma de vectores es asociativa.
a+b=b+a
a + (b + c ) = (a + b) + c
Componentes de un vector: Hasta aquí hemos desarrollado conceptualmente los métodos gráficos
que pueden ser inexactos y/o que sólo funcionan para casos particulares descriptos en dos
dimensiones. Sin embargo existen métodos analíticos más precisos que utilizan el concepto de
componentes de un vector que son más generales, exactos y extensibles a tres dimensiones (el
espacio).
Un vector puede tener un conjunto de componente si el sistema de coordenadas es rectangulares o
no. Aunque en general, tanto en matemática como en física, el sistema de coordenadas que se utiliza
es el cartesiano rectangular. En el caso bidimensional, que se trabaja en el plano, dichos ejes son x e
y perpendiculares entre sí; si fuera tridimensional el sistema cartesiano es el formado por los ejes x,
y y z, todos perpendiculares entre sí.
Elegimos por conveniencia un vector cuyo origen coincida con el origen de coordenadas, aunque un
vector puede, moverse por todo el espacio en tanto no varíen su módulo, dirección y sentido.
En el gráfico, Fig. 15, se aprecia que las componentes del vector a en este plano elegido son:
y
a
ay
ax = a cos
ay = a sen
θ
-x
x
θ
◄
Componentes de un vector
θ
ax
-y
Fig.15
donde es el ángulo medido desde el semieje positivo de las x hacia el semieje positivo de las y o
sea el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
Diremos entonces que las componentes de un vector son aquellas que se pueden obtener conociendo
el módulo del vector y el ángulo que forma con algunos de los ejes de coordenadas elegidos.
θ
Ejemplo: Sea un vector a = 5 m/s2 y el ángulo
sus componentes.
ax = a cos = 5 m/s2 cos 30º = 4,33 m/s2
ay = a sen = 5 m/s2 sen 30º = 2,5 m/s2
θ
θ
que forma con el semieje positivo de 30º, hallar
θ
=> ax =4,33 m/s2
=> ay = 2,5 m/s2
Advertencia: téngase mucho cuidado con las expresiones anteriores, sólo son válidas cuando el
ángulo es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las x en sentido contrario al de
las agujas del reloj.
θ
Una vez que se decompuesto un vector en sus componentes, estas mismas componentes pueden
usarse para especificar al vector.
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Así en e ejemplo dado, las componentes son perpendiculares entre sí, si desplazamos la componente
ax o ay al extremo del vector nos queda determinado un triángulo rectángulo cuyos catetos son los
módulos de ax y de ay y cuya hipotenusa es el módulo de a.
a
ay
Aplicando el teorema de Pitágoras:
0
a=
ax2 + ay2
0
◄
Módulo del vector
y según la definición de tangente estudiada en
trigonometría:
θ
ax
o
◄
Fig.16
= arctg ay / ax
θ
0
Angulo que forma el
vector con el eje x
En el ejemplo dado obtendríamos:
ax2 + ay2
a=
θ
=
(4,33 m/s2)2 + ( 2,5 m/s2)2 = 5 m/s2
= arctg ay / ax = arctg 2,5 m/s2 / 4,33 m/s2 = 30 º
=> a = 5 m/s2
=>
θ
= 30 º
Podemos entonces pasar, en uno u otro sentido, de la descripción de un vector en término de sus
componentes ax y ay a la descripción equivalente en términos del módulo de a y de la dirección del
ángulo .
θ
Advertencia: La ecuación = arctg ay / ax tiene una
pequeña complicación para encontrar . Supongamos
que los módulos de ax y de ay son respectivamente: ax =
5 cm y de ay = - 5 cm, entonces la tg = - 1. Pero hay
dos ángulos cuyas tangentes toman el valor -1: 135º y
315º (ó = – 45º). En general dos ángulos que difieren
en 180º tienen la misma tangente.
Para decidir cuál es el correcto, analizamos las
componentes. Como ax es positivo y ay es negativo, el
ángulo debe estar en el cuarto cuadrante. Así que =
315º ó – 45º como nos indican la mayoría de las
calculadoras. El signo menos del 45º nos está indicando
que el ángulo se genera en el mismo sentido de las
agujas del reloj. Si bien son equivalentes, según nuestra
convención debemos tomar el valor del ángulo correcto
como 315º (recuérdese que dijimos que se generaba
desde el eje +x al +y en sentido contrario al del las
agujas del reloj).
θ
θ
y
θ
θ
θ
7
-x
+ 315º
ax = 5 cm
- 45º
ay = - 5 cm
-y
Fig.17
a
x
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Cada vez que dude sobre el ángulo recurra a un gráfico
cartesiano como el que se muestra en la Fig 18 y recuerde
el signo de las componentes en cada uno de ellos. Entre
paréntesis se han indicado los signos de las componentes
en x y de la componente en y respectivamente.
O utilice la siguiente tabla:
ax
ay
I
+
+
II
-
+
III
-
-
IV
+
-
Cuadrante
y
(-, +)
(+, +)
-x
x
(-, +)
(+, -)
-y
Fig.18
Ejercicios:
1) Dado un vector de 6 cm e módulo que forma un ángulo de 70º con el eje positivo de las x,
verificar analíticamente que las componentes son: ax = 2,05 cm y ay = 5,64cm. Graficar a escala.
2) Dadas las componentes ax = - 3 cm y ay = + 4 c, verificar que el módulo del vector a = 5 cm y
que el ángulo que forma con el eje positivo de las x es 53,13º. Graficar a escala.
Cuando el ángulo que se conoce no es el que forma con el eje + x en el sentido antihorario, tenemos
dos opciones:1) calcular el ángulo con el semieje positivo de las x o 2) utilizar las funciones
trigonométricas seno o coseno según corresponda.
Por ejemplo en el gráfico, Fig.19, vemos que el ángulo es el que forma el vector a con el eje + y ;
y es el ángulo que forma el vector b con el eje +x (pero en sentido horario). Supongamos que sus
valores son: = 28º y = - 35º y que los módulos de los vectores son a = 2 cm y b = 2,2 cm.
α
β
β
α
y
a
Un procedimiento es calcular el valor de ´ como :
´ = 90º +
α
α
ay
α
-x
bx
ax
x
α
Con lo cual estamos en condiciones de calcular las
componentes de a:
β
ax = a cos ´ = a cos (90º + ´) = 2 cm cos (90º + 28º)
= 2 cm cos118º
ax = - 0,94 cm
α
by
b
Fig.19
α
-y
ay = a sen ´ = a sen (90º + ´) = 2 cm sen(90º + 28º)
= 2 cm sen 118º
ay = 1,77 cm
α
α
Otra manera de calcular las componentes de a es trabajar directamente con el ángulo
caso las expresiones serán:
ax = - a sen = - 2 cm sen 28º = 0,94 cm
ay = a cos = 2 cm cos 28º = 1,77 cm
α
α
8
α
dado. En ese
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Haciendo lo mismo con , obtenemos ´ = 360º - | - 35 º| = 360º - 35º = 325º
Luego: bx = b cos ´ = 2,2 cm cos 325º
bx = 1,8 cm
β
β
β
by = b sen ´ = 2,2 cm sen 325º
by == - 1,26 cm
β
Si trabajamos directamente con el valor absoluto del ángulo , las expresiones serán:
bx = b cos = - 2,2 cm cos 35º = 1,8 cm
by = - b sen = - 2,2 cm sen 35º = - 1,26 cm
β
β
β
La regla mnemotécnica para recordar el segundo de los procedimientos es primero observar si al
realizar la proyección hacia los ejes coordenados será positiva o negativa y colocar el signo que
corresponda. Luego utilizar la función coseno del ángulo dato si se “barre” el ángulo para llegar
desde el vector al eje y la función seno del ángulo en caso contrario.
y
Con esta regla las componentes de los vectores a y b de
la Fig.20 se obtienen como:
a
β
ax = + a sen
bx = - b cos
β
α
y ay = + a cos
y by = - b sen
β
-x
α
x
α
b
Fig.20
-y
Utilización de las componentes: Las componentes de un vector son de mucha utilidad para
resolver analíticamente las suma de vectores.
Dados dos vectores a y b cuyas componentes son:
ax = a cos
α
, ay = a sen
α
, bx = b cos
β
y by = b sen
y
β
como se muestra en la Fig. 21 nos proponemos hallar su
suma o vector resultante r.
b
by
a
r=a+b
Obsérvese que los ángulos y son los que forman cada
uno de los vectores con el eje semi-positivo de las x.
β
ay
β
α
α
ax
bx
Fig.21
9
x
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Hemos visto que el método de la poligonal permitía desplazar vectores en espacio, siempre y
cuando no se varíe su módulo, dirección y sentido. Realizando un nuevo gráfico, Fig 22; se aprecia
que las componentes del vector resultante son:
rx = ax + bx
ry = ay + by
Su módulo es:
rx2 + ry2
r=
Componentes del vector suma
◄
Módulo del vector suma
◄
y el ángulo que forma con el eje x es: = arctg ry / rx
y
Ángulo del vector suma
◄
θ
by
y
b
r
r
ry
β
a
ay
x
α
x
θ
bx
ax
rx
Fig.22
Si bien en el ejemplo hemos sumado sólo dos vectores en el plano, es fácil realizar la extensión para
tres o más vectores en el plano, en cuyo caso las componentes del vector resultante serán:
rx = ax + bx + cx + dx + …..
ry = ay + by + cx + dx + …..
Su módulo es: r =
rx2 + ry2
z
y el ángulo que forma con el eje x es: = arctg ry / rx
Si nuestro vector está en el espacio se necesitan dos
ángulos para determinar la dirección. Si llamamos al que
forma el plano xOz con el plano zOa y al que forma el
eje Oz con Oa.
θ
a
θ
δ
δ
El modulo estará dado por la expresión:
y
O
a=
ax2 + ay2 + az2
θ
Fig.23
x
10
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Finalmente si se conocen los módulos de dos vectores y el ángulo comprendido entre ellos, es
posible sumarlos, con el método de la poligonal como se muestra en la Fig.24.
C
v
v2
v2
β
v2 sen
E
θ
θ
θ
α
v1
v1 B v2 cos
A
Fig.24
θ
D
En el triángulo rectángulo ACD se aprecia que:
AD = AB + BD = v1 + v2 cos
y
θ
DC = v2 sen
θ
Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la hipotenusa v:
v2 = (v1 + v2 cos )2 + (v2 sen )2
θ
θ
v2 = v12 +2 v1 v2 cos + v22 cos2 + v22 sen2
θ
θ
θ
v 2 = v12 +2 v1 v2 cos + v22 (cos2 + sen2 )
θ
θ
v12 + v22 + 2 v1 v2 cos
v =
θ
θ
Para determinar la dirección de v, necesitamos solamente conocer el ángulo .
En la Fig 24 puede observar que en los triángulos ACD y BDC se cumplen las siguientes
relaciones:
α
ACD
BDC
=> CD = AC sen
=> CD = BC sen
= v sen
= v2 sen
α
θ
Por lo tanto:
v sen
de donde
v
sen
Análogamente, BE = v1 sen
de donde
α
α
θ
= v2 sen
α
v1
sen
v2
=
sen
θ
= v2 sen
α
β
v2
=
β
θ
sen
α
Combinando ambas expresiones, obtenemos la relación simétrica para calcular
v
sen
=
θ
v1
sen
=
β
11
v2
sen
α
y/o .
β
α
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Para el caso particular de dos vectores perpendiculares entre sí, las expresiones anteriores se
reducen a las ya vistas:
v2
v12 + v22
v =
v2
v
α
= arctg v2 /v1
θ
α
v1
Fig.25
v1
En física muchos problemas de cinemática, estática, dinámica de la partícula se resulten utilizando
la suma de vectores.
Ejemplos:
1) Tres fuerzas F1, F2 y F3 se aplican a un cuerpo como muestra la Fig. 26. Hallar la fuerza
resultante (o suma) e indicar la dirección y sentido si sus módulos son F1 = 9 N, F2y = 4 N y F3 = 5
N.
F
Para hallar el módulo de la resultante debemos aplicar la fórmula:
F2
R=
Rx2 + Ry2
Lo cual nos lleva a calcular por separado las componentes
en x y en y de la fuerza resultante:
-x
Rx = F1 cos 30º - F2 cos 50º - F3 sen 48º
50º
30º
48º
F3
Rx = 9 N cos 30º - 4 N cos 50º -5 N sen 48º
-y
Rx = 7,794 N – 2,571 N – 3,715 N
Fig.26
y
Rx = 1,5 N
F2
F
Ry = F1 sen 30º + F2 sen 50º - F3 cos48º
Ry = 9 N sen 30º + 4 N sen 50º - 5 N cos48º
-x
Ry = 4,5 N + 3,064 N – 3,346 N
Ry = 4,22 N
R=
Rx2 + Ry2 =
F3
50º
30º
x
48º
( 1,5 N )2 + ( 4,22 N )2
-y
0 R = 4,48 N0
Finalmente, calculamos la dirección y sentido, sabiendo que como las componentes x e y son
positivas, el ángulo hallado deberá estar en el primer cuadrante:
= arctg Ry / Rx = arctg (4,22/ 1,5)
θ
0 = 70,43º0
θ
Rta: La fuerza resultante tiene un módulo de 4,48 N y el ángulo que forma con el semieje positivo
de las x es de 70,43º.
12
x
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2) Un bote a motor se dirige hacia el norte a 13,5 km/h en un lugar donde la corriente del agua o de
arrastres es de 4,5 km/h en la dirección S 50º E. Encontrar la velocidad resultante.
Primera resolución:
Representando gráficamente la situación planteada, llamando vb a la velocidad del bote y vc a la
velocidad de la corriente o de arrastre por el método del paralelogramo podemos encontrar la
resultante v. Analíticamente podemos expresar:
v = vb + vc
donde el módulo es:
v =
vb2 + vc2 + 2 vb vc cos
v =
(13,5 km/h)2 + (4,5 km/h)2 + 2 . 13,5 km/h . 4,5 km/h
θ
cos140º
N
v = 10,53 km/h
vb
v
v~
= 10,5 km/h
y la dirección será:
E
O
θ
v
sen
vc
=
θ
Vc
sen
β
=>
sen
S
Fig.27
sen
sen
β
β
= (4,5 km/h . sen 140º ) : 10,53 km/h
β
=
vc sen
θ
v
vc
vb
v
= 0,275
β
β
β
= 15,94º
~
= 16º
Rta: la velocidad resultante será de 10,5 km/h en la dirección N 16º E
13
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Segunda resolución:
También podríamos haber optado por trabajar con las componentes de cada velocidad, en cuyo caso
la solución analítica hubiera sido:
y
v = vb + vc
vx = + vc cos 50º
vb
vx = 4,5 km/h cos 50º
v
vx = 2,893 km/h
vy = vb – vc sen 50º
vy = 13,5 km/h – 4,5 km/h sen 50º
-x
vy = 10,053 km/h
x
α
50º
vc
v2 = vx2 + vy2
v2 = (2,893km/h)2 + (10,053 km/h)2
-y
Fig.28
v = 10,46 km/h
v
10,5~
= km/h
El ángulo que forma la velocidad resultante con el eje + x (Este) será:
α
α
= arctg vy / vx = arctg 10,053 / 2,893 = 73,94º ~
= 74º
~
=
= 74º
Por lo tanto la dirección será:
β
= 90º - 74º = 16 º con respecto al eje y (Norte)
Rta: la velocidad resultante será de 10,5 km/h en la dirección N 16º E como ya habíamos obtenido
con el procedimiento anterior.
3) Una lámpara que pesa 10 N cuelga del techo
mediante dos cuerdas que forman 35º y 50º con el
mismo como muestra la Fig. 29 ¿Qué tensión
soporta cada cuerda?
35º
50º
Fig.29
Para resolver este problema debemos dibujar un diagrama del cuerpo libre, que es un modelo
simplificado de la situación problemática. Trazamos un sistema de ejes coordenados en el punto
donde concurren las dos cuerdas y el cable que sostiene la lámpara y dibujamos las fuerzas que
están actuando: dos tensiones (en las cuerdas) y el peso (en el cable) como indica la Fig.30.
Si la lámpara está en equilibrio se debe cumplir que la suma de todas las fuerzas sea nula. Es decir:
∑Fx = 0
∑Fy = 0
14
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
y
F2
-x
Desarrollando cada una de estas expresiones
obtenemos:
T1
35º
50º
x
T1 cos 50º - T2 cos 35º = 0
(i)
T1 sen 50 + T2 sen 35º - w = 0
(ii)
Obsérvese que tenemos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas (T1 y T2). Para
resolverlo podemos despejar T1 de la expresión (i) y
sustituirla en (ii):
w
Fig.30
-y
T1 = T2 cos 35º (iii)
cos 50º
T2 cos 35º
cos 50º
sen 50º + T2 sen 35º - w = 0
En el primer término vemos que el cociente entre sen 50º y cos 50º se puede sustituir por tg 50º:
T2 tg 50º cos35º + T2 sen 35º - w = 0
T2 ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º ) = w
T2 = w : ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º )
T2 = 10 N : ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º )
oT2 = 6,45 N0
Finalmente sustituyendo este valor en (iii), calculamos el valor de T1:
T1 = (6,45 N . cos 35º) : cos 50º
0T1 = 8,22 N 0
Rta: La tensión que soporta cada una de las cuerdas es 8,22 N y 6,45 N respectivamente.
DIFERENCIA DE VECTORES
y
La diferencia de dos vectores a y b es otro vector
que se obtiene de sumar a a el opuesto de b.
En símbolos:
-b
a
a – b = a + (-b)
Para resolver gráficamente la diferencia entre dos
vectores se debe saber, tal como en la aritmética
ordinaria, que cantidad deber ser sustraída de
otra. Luego por el extremo libre del primer vector
(minuendo) se traslada el opuesto del segundo
(sustraendo). Uniendo el origen del primero con
el extremo libre del segundo se obtiene el vector
diferencia como muestra la Fig. 31.
15
a–b
x
b
-b
Fig.31
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
Propiedades de la diferencia de vectores
La diferencia de vectores no es conmutativa.
a–b≠b–a
a – b = - (b – a )
La diferencia entre a y b es igual al opuesto de la diferencia entre b y a.
En la Fig.32 se muestra la suma de dos vectores y las propiedades mencionadas precedentemente.
-a
b-a
a+b
b
b
a
Fig. 32
-b
a–b
Vectores unitarios: Un vector unitario es un vector con módulo uno. Su única función es “señalar”
la dirección y sentido. Los vectores unitarios son una notación cómoda para las expresiones que
contienen las componentes de los vectores.
En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares x e y podemos definir un vector unitario i
que apunte en la dirección de eje + x y un vector unitario j que apunte en la dirección de eje +y.
Luego podemos expresar las componentes del vector a de la Fig. 33 como: y
a
ax = ax i
ay = ay j
ay j
x
j
i
Fig.33
El vector a en término de sus componentes será:
igualdad y suma de vectores respectivamente.
ax i
a = ax i + ay j donde los signos = y + indican
Cuando representamos dos vectores a y b en término de sus componentes, podemos expresar la
suma o resultante r utilizando vectores unitarios.
Sean: a = ax i + ay j y b = bx i + by j
=> r = a + b
r = (ax i + ay j ) + (bx i + by j )
r = (ax + bx) i + (ay + by ) j
r = rx i + ry j
Si los vectores están en el espacio necesitamos una tercera componente. Introduciendo un tercer
vector unitario k en la dirección del eje + z, la forma generalizada de la ecuación anterior es:
Sean:
a = ax i + ay j + az k y
b = bx i + by j + bz k
r=a+b
16
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
r = (ax i + ay j + az k ) + (bx i + by j + bz k )
r = (ax + bx) i + (ay + by ) j + (az + bz ) k
r = rx i + ry j + rz k
y
4
Ejemplo:
1) Dados dos vectores a = 3 i – 2 j y b = 4 i + 5 j;
hallar gráfica y analíticamente la suma o resultante.
b
3
r
2
1
r=a+b
r = (3 i – 2 j ) + (4 i + 5 j )
r=(3–4)i+(-2+5)j
r=-i+3j
-x
x
-3 -2 -1
-4
-1
-2
1
2
3
4
a
-3
-4
-y
2) Dados 3 vectores en el espacio:
a = 2 i- 3j + k
b=5i–4j+2k
c=-6i+3j+4k
verificar que la suma a + b + c = i – 4 j + 7 k.
Fig.34: Resolución gráfica del Ejemplo 1
PRODUCTO DE VECTORES
Como los vectores no son números ordinarios, no se puede aplicar la regla de la multiplicación de
números. Existen dos tipos de productos de vectores: producto escalar y producto vectorial.
Producto escalar: El producto escalar de dos vectores concurrentes a y b es un escalar que se
obtiene realizando el producto de los módulos de los vectores dados con el coseno del ángulo
comprendido.
b
Definición de producto escalar
a . b = a b cos o
donde está comprendido entre 0º y 180º.
◄
φ
φ
φ
a
Fig.35
0º < < 180º
Obsérvese que el resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar (número), por lo
tanto puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo del valor del ángulo .
φ
φ
Si
0º <
φ
φ
90º <
φ
< 90º
=>
= 90º =>
< 180º =>
a . b es positivo
a . b es nulo
a . b es negativo
Importante: El producto escalar
de dos vectores perpendiculares
es siempre nulo.
Propiedades:
El producto escalar de dos vectores es conmutativo.
El producto escalar es distributivo con respecto a la suma.
17
a.b=b.a
a .(b + c ) = a . b + a . c
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
Producto escalar de vectores unitarios: Aplicando la definición de producto escalar a los vectores
unitarios i, j y k se obtiene:
i . i = j . j = k . k = 1 1 cos 0º = 1 1 1 = 1
i .j = i . k = j . k = 1 1 cos 90º = 1 1 0 = 0
El producto escalar de un vector unitario consigo mismo es siempre uno, en tanto que el producto
escalar de un vector unitario cualquiera por otro vector unitario perpendicular a él es siempre nulo o
cero.
Para poder calcular el producto escalar a . b cuando se conocen las componentes x, y y z de los
vectores a y b, expandimos el producto y utilizamos los vectores unitarios.
a = ax i + ay j + az k y
Sean:
b = bx i + by j + bz k
a . b = (ax i + ay j + az k) . (bx i + by j + bz k)
a . b = ax bx i 2 + ax by i . j + ax bz i . k + ay bx j . i + ay by j 2 + ay bz j . k + az bx k . i + az by k . j + az
bz k 2
◄
0a . b = ax bx + ay by + az bznnn
Producto escalar en función de las componentes
El producto escalar de dos vectores es el escalar que se obtiene al suma los productos de sus
respectivas componentes.
Ejemplo: 1) Dados dos vectores a y b, cuyos módulos son 3 y 4 respectivamente y cuyas
direcciones son 58º y 130 º con respecto al eje + x, hallar el producto escalar utilizando: (a) la
definición y (b) sus componentes.
a=3;
b=4;
Datos
α
β
= 58º
= 130º
Incógnita
(a) a . b (definición)
(b) a . b (componentes)
(a) Antes de resolver el producto escalar aplicando la definición, conviene realizar un gráfico para
visualizar el ángulo comprendido entre los vectores a y b. Como hemos llamado al ángulo que
forma el vector a con el eje + x y al que forma el vector b con el eje + x, entonces:
φ
α
β
= – = 130º - 58º = 72º
= 72º
Luego.
a . b = a . b. cos
a . b = 3 . 4 .cos 72º
β
φ
α
φ
φ
a . b = 3,70
(b) Para realizar el producto escalar utilizando las
componentes debemos previamente hallar las
18
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
componentes de cada vector. En la Fig. 36 se aprecia
que.
ay = a sen
ax = a cos
ax = 3 . cos 58º
ay = 3 . sen 58º
ax = 1,59
ay = 2,54
α
y
72º
130º
by = b sen
by = 4 sen 130º
by = 3,06
bx = b cos
bx = 4 cos 130º
bx = - 2,57
4
b
α
β
α
3
2
1
-x
-4
-3 -2 -1
a
58º
-1
Finalmente:
1
x
2
3
4
1
2
3
-2
a . b = ax bx + ay by
a . b = 1,59 . (-2,57) + 2,54 .
-3
3,06
Fig.36
a . b = 3,70
-4
-y
y
2) Encontrar el ángulo entre los vectores
a = 3 i – 2 j y b = - i + 2 j.
Calculamos el producto
componentes:
a . b = ax bx + ay by
escalar
4
utilizando
3
sus
b
1
a . b = ax bx + ay by
-x
-3 -2 -1
a.b= -7
-1
-2
a=
ax2
ay2
b=
a=
32 + (-2)2
b=
3,60
bx2
4
a
-3
Luego calculamos el módulo de cada uno de ellos:
a=
x
φ
-4
a . b = 3 . (- 1) + ( -2 ). 2
+
2
Fig.37
+
by2
-4
-y
(-1)2 + 22
b = 2,24
Finalmente despejamos de la definición de producto escalar el ángulo :
φ
a . b = a . b . cos
φ
de donde
φ
φ
φ
= arcos a . b / a . b
= arcos – 7 / (3,60 . 2,24)
= 150,23º
Que el ángulo tenga un valor de 150,23º (véase Fig. 37) concuerda con lo que dijimos del signo
del producto vectorial, cuando el mismo es negativo el ángulo entre los vectores está comprendido
entre 90º y 180º.
φ
19
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
3) Verificar que el ángulo entre los vectores a = 2 i + 3 j + k y b = - 4 i + 2j – k es
Producto vectorial: El producto vectorial de dos
vectores a y b es otro vector perpendicular al plano
que determinan dichos vectores. La dirección es la
de avance de un tornillo de rosca derecha rotado
desde a hacia b. Y la magnitud o módulo se obtiene
realizando el producto de los módulos de los
vectores dados con el seno del ángulo comprendido
entre ellos.
φ
= 100,08º.
axb
b
φ
a
Fig.38
00a x b = a .b . sen
00
φ
◄
Definición de producto vectorial
Medimos el ángulo desde a hacia b y tomamos el menor de los dos ángulos posibles, por lo que
está comprendido entre 0º y 180º.
Obsérvese que el resultado de un producto vectorial es un vector, cuyo módulo siempre es
positivo o nulo.
Si a y b son paralelos (del mismo sentido: = 0º ó de sentido contrario: = 180º) el producto
vectorial es nulo.
Regla de la mano derecha: Siempre has dos
axb
direcciones perpendiculares a un plano, una a cada
lado del plano. Para escoger la dirección del
producto vectorial de dos vectores a y b debemos
colocar la mano derecha de tal modo que el dedo
a
meñique coincida con la dirección y sentido del
vector a y que los demás dedos puedan rotarse y
b
cerrarse hacia b. El dedo pulgar extendido indica la
Fig.39
dirección de a x b, tal como indica la Fig.39.
Supóngase dos vectores en el plano de la hoja como indica la Fig.40.
a
Si aplicamos la regla anterior de manera que la uña del dedo
Fig.40
meñique coincida con la punta de flecha de a y giramos los demás
dedos hacia b, el pulgar quedará perpendicular al plano de la hoja
hacia el lector (para el ejemplo dibujado). Luego a x b es un vector
b
cuyo módulo es a x b = a .b . sen
y cuya dirección es
perpendicular
al
plano
de
la
hoja
“saliendo”
del
papel.
axb
En física a este tipo de vectores perpendiculares al plano de la hoja
“salientes” se los representa por un punto (•) y a los vectores perpendiculares al plano de la hoja
“entrantes” se los representa por una cruz (x). El primero representa la punta de la flecha en tanto
que el segundo indica la cola del vector u origen.
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Ejercicio: Dados dos vectores a y b, como muestra la Fig. 41, hallar la dirección y sentido de vector r = a x
b aplicando la regla de la mano derecha.
20
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
b
b
a
a
φ
φ
a
a
b
1
2
3
4
b
b
a
b
b
x
φ
a
x
5
b
φ
a
a
6
7
8
Fig.41
Respuestas:
1) es un vector perpendicular al plano entrante. (x)
2) Es un vector que está en plano de la hoja vertical hacia arriba. ( )
3) Es un vector perpendicular al plano de la hoja saliente. (•)
4) Es un vector que está en la hoja del papel horizontal hacia la izquierda ( )
5) Es un vector que está en la hoja del papel vertical hacia abajo ( )
6) Es un vector perpendicular al plano de la hoja entrante. (x)
7) Es un vector que está en el plano de la hoja, perpendicular al vector a hacia arriba e izquierda. ( )
8) Es un vector perpendicular al plano de la hoja saliente. (•)
↑
←
↓
Propiedades
El producto vectorial no es conmutativo.
axb≠bxa
Siempre se cumple que a x b = - b x a .O sea que si se invierte el orden del producto vectorial, se
obtiene el vector opuesto, es decir aquel que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido
contrario.
El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma. a x ( b + c ) = a x b + a x c
Producto vectorial de vectores unitarios: Aplicando la definición de producto vectorial a los
vectores unitarios i, j y k señalados en la Fig.42. se obtiene el módulo:
│
│
│
│
│
│
y
i x i = j x j = k x k = 1. 1. sen 0º = 1. 1. 0 = 0
│
│
│
│
│
│
i x j = j x k = k x i = 1. 1. sen 90º = 1 . 1. 1 = 1
j
Aplicando la regla de la mano derecha tenemos que:
k
ixj=k;jxk=i;kxi=j
Y por lo mencionado en la propiedad no conmutativa:
21
z
i
Fig.42
x
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
ixj= - jxi=k
jxk= -kxj=i
kxi= -ixk=j
Para poder calcular el producto vectorial a x b cuando se conocen las componentes x, y y z de los
vectores a y b, expandimos el producto vectorial y utilizamos los vectores unitarios.
a = ax i + ay j + az k y
Sean:
b = bx i + by j + bz k
a x b = (ax i + ay j + az k) x (bx i + by j + bz k)
a x b = ax i x bx i + ax i x by j + ax i x bz k +
+ a y j x bx i + a y j x b y j + a y j x b z k +
+ az k x bx i + az k x byj + az k x bz k
Se aprecia que el 1º, 5º y 9º términos son nulos (i x i = j x j = k x k = 0). Agrupando el 6º y 8º
término obtenemos la primera componente (j x k = - k x j = i), el 7º y 3º nos proporcionan la
segunda (k x i = - i x k = j ) y finalmente el 2º y 4º término determinan la tercer componente (i x j
= - j x i = k)
Producto vectorial en función
de las componentes
◄
a x b = (ay bz - az by ) i + (az bx - ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k
El producto vectorial también se puede expresar en forma de determinante:
axb=
i
j
k
ax
ay
az
bx
by
◄
Producto vectorial expresado
como determinante
bz
Aplicando la regla de Sarrus (se repiten las dos primeas filas debajo de la tercera fila o las dos
primeras columnas a la derecha de la tercera columna, se suman los tres productos paralelos a la
diagonal principal – línea de punto- y se restan los tres productos paralelos a la contradiagonal –
línea llena-), se puede resolver este determinante de dimensión tres por tres.
axb=
i
j
k
ax
ay
az
bx
by
bz
=
i
j
k
ax
ay
az
bx
by
bz
i
j
k
ax
ay
az
a x b = ay bz i + az bx j + ax by k - ay bx k - az by i - ax bz j
22
=
i
j
k
i
j
ax
ay
az
ax
ay
bx
by
bz
bx
by
i
j
k
ax
ay
az
bx
by
bz
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
a x b = ( ay bz - az by ) i + ( ax bz – ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k
Ejemplo: Sean los vectores a = 2 i - j + 3 k y b = - 4 i + 2 j + + k hallar el módulo del vector
que se obtiene al realizar el producto vectorial a x b.
axb=
i
j
k
2
-1
3
2
1
-4
= (-1). 1 i + 3 (-4) j + 2 . 2 k - [( -1) (-4) k + 2 .1 j + 2.3 i ]
a x b = - i – 12 j + 4 k – ( 4 k +2 j + 6 i )
a x b = - i – 13 j + 4 k – 4 k - 2 j - 6 i
a x b = (- 1 – 6 ) i + (– 13 – 2 ) j + (4 – 4 ) k
a x b = - 7 i – 14 j
|a x b| =
(-7)2 + (-14)2
=
49 + 196 = 15,65
Si quisiéramos verificar este resultado, deberíamos aplicar la definición de producto vectorial, para
lo cual es necesario conocer el ángulo que forman los vectores a y b.
De la definición de producto escalar podemos hallar el ángulo que forman los vectores entre sí, para
lo cual deberemos calcular los módulos de a y b y el producto escalar utilizando las componentes:
a . b = ax bx + ay by + az bz
a . b = (2) . (-4) + (-1) . (2) + (3) . (1)
a.b=-8–2+3
a.b=-7
|a | =
(2)2 + (-1)2 + (3)2 = 4 + 1 +9 = 3,74
|b | =
(-4)2 + (2)2 + (1)2 = 16 + 4 +1
a . b = a . b . cos
φ
de donde
φ
φ
= 4,58
= arcos a . b / a . b
= arcos – 7 / (3,74 . 4,58) = 65,87º ~
= 66º
a x b = a . b . sen
φ
a x b = 3,74 . 4,58 . sen 66º
a x b = 15,65
23
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1:
VECTORES
1. Sumar gráficamente los siguientes vectores
a)
b)
c)
v
u
v
u
u
w
v
2. Obtén gráficamente: a) 2 u – v ; b ) 1 u + 3 v
2
u
v
y
3. Dados a = 3 i – j ; b = - i + 2 j ; c = 2 i – 3j ; d = - 1/2 i
4
Repréndalos en la gráfica y calcula:
3
a) a + b =
2
b) c – b=
1
-x
c) (1/2) c =
x
-4
-3 -2 -1
d) c + 2 d =
-1
e) 3 b + a =
-2
f) a + (1/2) b + 5 d =
-3
-4
-y
24
1
2
3
4
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
y
4. Dados a, b, c y d en la gráfica, calcula y representa:
4
a) - ( a + 2 c) =
a
3
b)
c) c d)
2
3
a–b=
2
1
2
1
2
b
-x
d=
x
-3 -2 -1
-4
c
1
b–d+j=
-1
1
2
-2
4
d
-3
e) - i + d =
3
-4
-y
5. Representa en la gráfica los vectores: u = 4 i + 3 j
v=-i+4j
y
6. Expresa analíticamente los vectores t y r.
8
6
4
7. Calcula el módulo de u; v, t y r. Verifícalo en el gráfico.
8. Calcula
a) u . v =
b) r. w =
c) ¿Qué observas de los resultados a) y b)?
d) ¿Qué deduces de ello? Verifícalo en el gráfico.
9. Calcula el ángulo formado entre: a) v y t ; b) v y r
c) Verifica en el gráfico los resultados anteriores.
Utiliza un transportador.
2
-x
-8
-6 -4 -2
-2
2
4
-4
r
-6
-8
-y
10.
a) ¿Cómo son los ángulos del ejercicio 9 entre sí?
b) ¿Puedes deducir de estos resultados cuál es el ángulo formado por los vectores r y t?
25
x
t
6
8
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2:
VECTORES
1. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de (a) 0º, (b) 60º, (c)
90º, (d) 150º y (e) 180º. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al
vector más pequeño.
2. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud cuando su resultante
tiene (a) 20 unidades de longitud, (b) 12 unidades de longitud. Dibujar la figura apropiada.
3. Dos vectores forman un ángulo de 110º. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un
ángulo de 40º con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la
vector suma.
4. El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace una ángulo de 35º con
uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud
del otro vector y el ángulo entre ellos.
5. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante
forma un ángulo de 50º con el vector mayor. Calcular también la magnitud del vector resultante.
6. El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de longitud y hace ángulos de 25º y 50º
con ellos. Hallar la magnitud de los dos vectores.
7. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60º, (b) 90º y (c)
120º. Encontrar la magnitud de la diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor.
8. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud cuando éste
forma un ángulo con respecto al eje positivo de las x de (a) 50º, (b) 130º, (c) 230º y (d) 310º.
9. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el
segundo forman un ángulo de 50º, mientras que el segundo y tercero forman un ángulo de 75º.
Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.
10. Dados cuatro vectores coplanares de 8, 12, 10 y 20 unidades de longitud respectivamente, los
tres últimos hacen con el primer vector ángulos de 70º, 150 y 200º, respectivamente. Encontrar
la magnitud y la dirección del vector resultante.
11. Demostrar que si las magnitudes de la suma y diferencia de dos vectores son iguales, entonces
los vectores son perpendiculares.
12. Verificar que las magnitudes de la suma y diferencia de dos vectores a y b en el espacio,
expresadas en coordenadas rectangulares, están dadas por:
s=
(ax + bx) 2 + (ay + by)2 +(az + bz)2
y
d=
(ax - bx) 2 + (ay - by)2 +(az - bz)2
13. Dados los vectores a = 3 i + 4 j – 5 k y b = - i + j +2 k , encontrar: (a) la magnitud y dirección
de la resultante, (b) la diferencia, a – b y (c) el ángulo entre los vectores a y b.
13. Encontrar el resultado de la suma de los siguientes vectores: v1 = 5 i -2 j + z, v2 = -3 i + j – 7 k
y v3 = 4 i + 7 j + 6 k . Obtén la magnitud de la resultante y los ángulos que forma con los ejes
x, y y z.
14. Dados los vectores: v1 = - i + 3 j + 4 z, v2 = 3 i – 2 j – 8 k y v3 = 4 i + 4 j + 4 k .
(a) Determina si hay alguna diferencia entre los productos v1 x (v2 x v3) y (v1 x v2) x v3.
(b) Encontrar v1 . (v2 x v3) y (v1 x v2) . v3 y determina si hay alguna diferencia.
(c) Calcula (v3 x v1) . v2 y compara este resultado con los dos anteriores.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: VECTORES
1. Dados los vectores u (-1; 9; 2), v ( 2; 1; -1); w ( 3; 0; 3) efectúa las siguientes operaciones.
a) 2 u – v =
b) 3 v – w =
c) u . (v + w) =
d) 2 – ( w . u ) =
e) (-u) . ( -1/3) w =
Rta: a) ( -4; - 1; 5 ), b) ( 3; 3; -6), c) – 1; d) –1, e) 1
2. Dados los vectores: u (-1; a –b) ; v (-a +2 b ; - 4 ); hallar los valores de las constantes a y b
tal que se cumpla: u – v = (- 2, -2).
Rta: a = -11; b = - 5
3. Dados los vectores u (-2; 4 ) ; v ( - 4 ; 2 ) ; hallar las seis funciones trigonométricas del
ángulo que forma con el eje x el vector: 2 u + v.
4. Sean los vectores u ( 2; - a; b ) ; v ( a+1; -2 ; -b); donde a, b
de manera que se verifiquen - 2 v + u = (-4; 2; - 6).
Є
R. Hallar los valores de a y b
Rta: a = 2 ; b = - 2
5. Dados los vectores a (4, -3) y b ( -1, 5) hallar (a) el producto escalar a . b , (c) el producto
vectorial a x b y (c) representar a x b.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: VECTORES
1. Considérense dos desplazamientos, uno de 3 m de longitud y otro de 4 m. Demostrar cómo
pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud
sea (a) de 7m, (b) de 1m y (c) de 5 m.
Rta: a) paralelos, b) antiparalelos y c) perpendiculares
2. ¿Qué propiedades tienen los vectores a y b tales que: a) a + b = c y a + b = c, b) a + b = a
– b, c) a + b = c y a2 + b2 = c2
3. Se suman dos vectores a y b. Demostrar que la magnitud resultante no puede ser mayor que
la suma de a + b, ni menor que a- b , donde las barras verticales significan el valor
absoluto.
4. Un automóvil recorre una distancia de 50 km hacia el este, después 30 km hacia el norte y
finalmente 25 km en una dirección 30º hacia el este del norte. Dibujar el diagrama vectorial
y determinar el desplazamiento total del automóvil a partir de su punto de partida.
5. Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la
pelota 12 pie hacia el norte, el segundo 6,0 pies al sureste y el tercero, 3,0 pies al suroeste.
¿Qué desplazamiento sería necesario para meter la pelota en el hoyo al primer golpe?
Rta: 6,0 pies, 20,5º hacia el este del norte
6. El vector a tiene una magnitud de 5,0 unidades y está dirigido hacia el este. El vector b está
dirigido a 45º al oeste del norte (noroeste) y tiene una magnitud de 4,0 unidades. Construir
el diagrama vectorial para calcular: (a) a + b , (b) b- a . Partiendo de los diagramas, estimar
las magnitudes y direcciones de a + b y b – a.
7. Determinar la suma de los vectores de desplazamiento c y d cuyas componentes en
kilómetros a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares sean:
cx = 5, cy = 0, cz = 2; dx = 3, dy = 4, dz = 6
Rta: rx = 2 km, ry = rz = 4 km
8. (a) Un hombre sale por la puerta principal de su casa, camina 1000 pies al este, 2000 pies al
norte y saca entonces una moneda de su bolsillo y la deja caer desde un risco vertical que
tiene 500 pies de altura. Escoger un sistema de coordenadas y usando vectores unitarios,
escribir una expresión para el desplazamiento de la moneda. (b) El hombre regresa después
hasta la puerta de su casa, siguiendo una trayectoria diferente en su viaje de vuelta. ¿Cuál es
el desplazamiento resultante en su viaje completo?
9. Dos vectores están dados por a = 4 i + 3 j + k y b = - i + j + 4 k. Encontrar (a) a + b, (b) a –
b y (c) un vector c tal que a – b + c = 0
Rta: a) 3 i – 2 j + 5 k; b) 5 i – 4 j – 3 k ; c) igual que b) pero de signo contrario.
10. Un cuarto tiene las dimensiones siguientes: 10 m x 12m x 14 m. Una mosca vuela desde un
rincón hasta el rincón diametralmente opuesto. (a) ¿Cuál es la magnitud de su
desplazamiento? (b) ¿Puede ser la longitud de su trayectoria menor que esta distancia?
¿Mayor que esta distancia? ¿Igual a esta distancia?; (c) Escoger un sistema de coordenadas
apropiado y encontrar las componentes del vector desplazamiento en dicho referencial.(d) Si
la mosca no volase sino que caminase, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más corta
que pudiese seguir?
11. Dados los vectores a = 4 i – 3 j y b = 6 i + 8 j; encontrar la magnitud y dirección de a, de b,
de a + b ; de b – a y de a – b .
│
│
Rta: Las magnitudes son 5, 10, 11, 11 y 11. Los ángulos con el eje +x son: 323º, 53º, 27º, 80º y 260º.
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12. Dos vectores de longitudes a y b forman un ángulo entre sí cuando se colocan sobre el
mismo origen. Demostrar, tomando componentes sobre los ejes perpendiculares, que la
longitud de su suma es :
θ
r = a2 + b2 + 2 a b cos
y
θ
b
13. Dos vectores a y b tienen magnitudes iguales, de 10
unidades y están orientados como se muestra en la
Fig.1. Su suma vectorial es r. Encontrar (a) las
componentes x e y de r; (b) la magnitud de r y (c) el
ángulo que r forma con el eje x.
105º
a
30º
x
Fig.1
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