UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO DIVISION ACADEMICA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA MATERIA: RESISTENCIA DE MATERIALES LICENCIATURA EN ARQUITECTURA UNIDAD: ESFUERZO POR FLEXIÒN Y CORTANTE EN VIGAS ALUMNO: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA ING. JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ RESISTENCIA DE MATERIALES INDICE INTRODUCCIÒN ........................................................................................................................ 3 1.- DEFORMACIÒN FLEXIONANTE DE UN ELEMENTO RECTO. ................................. 4 2.- FÓRMULAS DE FLEXIÓN. .............................................................................................. 12 3.- USO DE LAS FORMULAS DE FLEXIÒN ...................................................................... 19 EJEMPLOS DE FLEXIÒN ................................................................................................... 26 3.-ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS ............................................................................... 32 4.-FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGA. .................................................. 39 5.- USO DE LA FORMULA CORTANTE EN VIGAS ......................................................... 46 EJEMPLOS DE ESFUERZO CORTANTE ....................................................................... 50 EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................ 56 CONCLUCIÒN.......................................................................................................................... 61 BIBLIOGRAFIA. ....................................................................................................................... 62 Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES INTRODUCCIÒN En el presente trabajo se llevó a cabo una investigación sobre el esfuerzo por flexión y cortante en vigas con el fin de profundizar el conocimiento sobre este tema se analizaran los temas que sean necesarios para la mejor comprensión de este trabajo; ya que el cada tema que aquí se presentara es de vital importancia para nuestro desarrollo profesional y escolar. En el siguiente trabajo se podrá encontrar información sobre esfuerzo de flexión y esfuerzos cortantes sobre las vigas; se darán a conocer las fórmulas de cada uno y su uso, de igual manera integraremos ejercicios para la mayor compresión del trabajo. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 1.- DEFORMACIÒN FLEXIONANTE DE UN ELEMENTO RECTO. Las vigas son elementos largos y rectos que están sometidos a cargas perpendiculares a su eje longitudinal. Se clasifican de acuerdo con la forma en que están apoyadas. El comportamiento de los elementos que tienen secciones transversales asimétricas, o que están fabricados con diversos materiales. El momento flexionan te hace que el material de la proporción inferior de la barra se estire, y que el material en la parte superior se comprima. En consecuencia, entre 2 regiones debe de haber una superficie llamada superficie neutra. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES El análisis se limitará a las vigas que tienen un área transversal simétrica con respecto a un eje, en las que el momento flexionante se aplica alrededor de un eje perpendicular a dicho eje de simetría, como se muestra en la figura 6-18. El comportamiento de los elementos que tienen secciones transversales asimétricas, o que están fabricados con diversos materiales, se basa en observaciones similares y se estudiará por separado en las secciones posteriores de este capítulo. Un material altamente deformable como el caucho puede usarse para ilustrar lo que sucede cuando un elemento prismático recto se somete a un momento flexionante. Por ejemplo, considere la barra no deformada de la figura 6-19a, la cual tiene una sección transversal cuadrada y está marcada con líneas rectas longitudinales y transversales para formar una cuadrícula. Cuando se aplica un momento flexionante, éste tiende a distorsionar las líneas al patrón que se muestra en la figura 6-19b. Observe que las líneas longitudinales se curvan mientras que las líneas transversales verticales permanecen rectas aunque experimentan una rotación. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES El momento flexionante hace que el material de la porción inferior de la barra se estire y que el material en la parte superior se comprima. En consecuencia, entre estas dos regiones debe haber una superficie, llamada superficie neutra, en la que las fibras longitudinales del material no sufrirán ningún cambio de longitud, figura 6-18. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES A partir de estas observaciones pueden hacerse los siguientes tres supuestos acerca de la forma en que el esfuerzo deforma al material. En primer lugar, el eje longitudinal x, que se encuentra en la superficie neutra, figura 6-20a, no experimenta ningún cambio en su longitud. En vez de eso, el momento tiende a deformar la viga para que esta línea se convierta en una curva ubicada en el plano de simetría x-y, figura 6-20b. Segundo, todas las secciones transversales de la viga permanecen planas y perpendiculares al eje longitudinal durante la deformación. Y en tercer lugar, cualquier deformación de la sección transversal dentro de su propio plano, como se observa en la figura 6-19b, podrá pasarse por alto. En particular, el eje z, ubicado en el plano de la sección transversal y alrededor del cual gira la sección transversal, se denomina eje neutro, figura 6-20b. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES A fin de mostrar la manera en que esta distorsión deforma al material, se aislará un pequeño segmento de la viga ubicado a una distancia x a lo largo de la viga y con un grosor no deformado Δx, figura 6-20a. En la figura 6-21, este elemento tomado de la viga se muestra de perfil en las posiciones deformadas y sin deformar. Observe que cualquier segmento de recta Δx, situado en la superficie neutra no cambia su longitud, mientras que cualquier segmento de recta Δs, ubicado a una distancia arbitraria y por encima de la superficie neutra, se contraerá y se convertirá en Δs después de la deformación. Por definición, la deformación normal a lo largo de Δs se determina con base en la ecuación. ∈= lim ∆𝑠→0 ∆𝑠′−∆𝑠 ∆𝑠 Ahora, esta deformación se representará en términos de la ubicación y del segmento y del radio de curvatura ρ del eje longitudinal del elemento. Antes de la deformación, Δ s = Δx, figura 6-21a. Después de la deformación Δx tiene un radio de curvatura ρ, con el centro de curvatura en el punto O’, figura 6-21b. Como Δө define el ángulo entre los lados del elemento, Δx = Δs = ρΔө. De la misma manera, la longitud deformada de Δs se convierte en Δs’ = (ρ- y) Δө. Al sustituir en la ecuación anterior se obtiene ∈= lim (𝜌−𝑦)∆𝜃−𝜌∆𝜃 𝜌∆𝜃 ∆𝜃→0 O bien ∈= − 𝑦 𝜌 (6-7) Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Este resultado importante indica que la deformación normal longitudinal de cualquier elemento dentro de la viga depende de su ubicación y de la sección transversal, y del radio de curvatura del eje longitudinal de la viga en ese punto. En otras palabras, para cualquier sección transversal específica, la deformación normal longitudinal variará linealmente con y desde el eje neutro. En las fibras situadas por encima del eje neutro (+y) se producirá una contracción (-Є), mientras que en las fibras situadas por debajo del eje (−y) ocurrirá una elongación (+Є). Esta variación en la deformación sobre la sección transversal se muestra en la figura 6-22. Aquí, la deformación máxima se produce en la fibra más externa, ubicada a una distancia y = c del eje neutro. Usando la ecuación 6-7, y como Єmáx = ϲ/ρ, entonces por división. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES ∈ 𝑦/𝜌 = −( ) ∈ 𝑚𝑎𝑥 𝑐/𝜌 Donde: 𝑦 ∈= − ( ) ∈ 𝑚𝑎𝑥 𝑐 (6-8) Esta deformación normal sólo depende de los supuestos hechos respecto a la deformación. Por lo tanto, cuando un momento se aplica a la viga, éste sólo causará un esfuerzo normal en la dirección longitudinal o dirección x. Todos los demás componentes de los esfuerzos normal y cortante serán iguales a cero. Este estado uniaxial de esfuerzo es lo que ocasiona que el material tenga la componente de deformación normal longitudinal Єx, definido por la ecuación 6-8. Además, por la razón de Poisson, también debe haber componentes de deformación asociados Єy = -vЄx y Єz = -vЄx , que deforman el plano del área de la sección transversal, aunque aquí no se toman en cuenta tales deformaciones. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Sin embargo, estas deformaciones ocasionan que las dimensiones de la sección transversal sean más pequeñas por debajo del eje neutro y más grande por encima de éste. Por ejemplo, si la viga tiene una sección transversal cuadrada, en realidad se deformará como lo muestra la figura 6-23. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 2.- FÓRMULAS DE FLEXIÓN. Se desarrolla una ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo en una viga con el momento flexionan te interno que actúa en la sección transversal de esa viga. Hay una variación lineal de la deformación normal, variara desde cero en el eje neutro. Esfuerzo de flexión. Esfuerzo normal causado por la “flexión” del elemento. El máximo esfuerzo normal es igual a: M= momento máximo flector ; tenemos: C= Distancia perpendicular del eje neutro Al punto más alejado de este y sobre el cual actúa el esfuerzo de flexión: I= momento de inercia de la sección transversal: Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Por tanto la ecuación de esfuerzo máximo resulta: El esfuerzo correspondiente puede ser de tensión o de compresión. Deformación unitaria: Donde: ɛ=deformación unitaria, D= diámetro de la barra, AL= estroke (deflexión de la barra) y L= longitud de la barra La sección transversal de una viga recta se mantiene plana cuando la viga se deforma debido a la flexión. Estos provocan esfuerzos de tensión en una porción de la parte restante. En medio de estas porciones, exige el eje neutro que se encuentra sometida a un esfuerzo cero. El eje neutro no pasa por el centroide del área de la sección transversal, este resultado se basa en el hecho de que la fuerza normal resultante que actué sobre la sección transversal debe ser igual a cero. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Se desarrollará una ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo en una viga con el momento flexionante resultante interno que actúa en la sección transversal de esa viga. Para ello se supondrá que el material se comporta en forma elástica lineal y, por lo tanto, una variación lineal de la deformación normal, figura 6-24a, debe ser resultado de una variación lineal en el esfuerzo normal, figura 6-24b. Por consiguiente, al igual que la variación de la deformación normal, όvariará desde cero en el eje neutro del elemento hasta un valor máximo, όmáx, en la distancia c más alejada del eje neutro. Debido a la proporcionalidad de triángulos, figura 6-23b, o mediante el uso de la ley de Hooke, ό = EЄ, y de la ecuación 6-8, se puede escribir 𝑦 𝜎 = −( )𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑐 (6-9) Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Esta ecuación describe la distribución del esfuerzo sobre el área de la sección transversal. La convención de signos establecida aquí es significativa. Para M positivo, que actúa en la dirección +z, los valores positivos de y proporcionan valores negativos para ό, es decir, un esfuerzo de compresión, ya que actúa en la dirección x negativa. De manera similar, los valores negativos de y dan valores positivos o de tensión para s. Si se selecciona un elemento de volumen del material en un punto específico de la sección transversal, sólo actuarán sobre él estos esfuerzos de tensión o de compresión normales. Por ejemplo, en la figura 6-24c se muestra el elemento ubicado en +y. La posición del eje neutro de la sección transversal puede localizarse al cumplir la siguiente condición: la fuerza resultante producida por la distribución del esfuerzo sobre el área de la sección transversal debe ser igual a cero. Considerando que la fuerza dF = ό dA actúa sobre el elemento arbitrario dA de la figura 6-24c, se requiere Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Como όmáx/c no es igual a cero, entonces ∫𝐴 𝑦 𝑑 𝐴 = 0 (6-10) En otras palabras, el primer momento del área transversal del elemento con respecto al eje neutro debe ser igual a cero. Esta condición sólo puede cumplirse si el eje neutro también es el eje centroidal horizontal de la sección transversal.* En consecuencia, una vez determinado el centroide del área de la sección transversal del elemento, se conoce la ubicación del eje neutro. El esfuerzo en la viga puede determinarse a partir del siguiente requerimiento: el momento interno M resultante debe ser igual al momento producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. El momento de dF en la figura 6-24c respecto al eje neutro es dM = y dF. Como dF = όdA, a partir de la ecuación 6-9, se tiene para toda la sección transversal, Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES La integral representa el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje neutro. Su valor se simbolizará con I. Por consiguiente, se puede despejar όmáx de la ecuación 6-11 y escribir Aquí όmáx = el esfuerzo normal máximo en el elemento, que se produce en el punto sobre el área de la sección transversal que está más alejado del eje neutro M = el momento interno resultante, determinado a partir del método de las secciones y de las ecuaciones de equilibrio; se calcula respecto al eje neutro de la sección transversal c = la distancia perpendicular desde el eje neutro hasta el punto más alejado del eje neutro. Aquí es donde actúa όmáx I = el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje neutro Como όmáx/c = -ό/y, ecuación 6-9, el esfuerzo normal en la distancia intermedia y puede determinarse a partir de una fórmula similar a la ecuación 6-12. Se tiene Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Tenga en cuenta que el signo negativo es necesario, ya que concuerda con los ejes x, y, z establecidos. Por la regla de la mano derecha, M es positivo a lo largo del eje +z, y es positiva hacia arriba y, por lo tanto, s debe ser negativa (compresiva) porque actúa en la dirección negativa de x, figura 6-24c. Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele denominarse como fórmula de la flexión. Se utiliza para determinar el esfuerzo normal en un elemento recto, el cual tiene una sección transversal simétrica con respecto a un eje, y un momento aplicado de manera perpendicular a dicho eje. Aunque se ha supuesto que el elemento es prismático, en la mayoría de los casos dentro del diseño de ingeniería también se puede utilizar la fórmula de la flexión para determinar el esfuerzo normal en elementos que tienen un ligero ahusamiento. Por ejemplo, si se usa un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad, un elemento con sección transversal rectangular y una longitud ahusada en 15° tendrá un esfuerzo normal máximo real de alrededor de 5.4 por ciento menor que el calculado cuando se utiliza la fórmula de la flexión. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 3.- USO DE LAS FORMULAS DE FLEXIÒN Previamente se ha estudiado las fuerzas internas originadas al cortar en un punto C cualquiera de una viga que soporta una carga en su extremo, dichas fuerzas internas corresponden a V y M. El par flector crea esfuerzos normales en la sección transversal, mientras que la fuerza cortante V produce esfuerzos cortantes. La flexión es un concepto muy importante, ya que se utiliza en el diseño de muchos elementos estructurales. Cuando un elemento está sometido a partes iguales y opuestos que actúan en el mismo plano, se dice que tal elemento está sujeto a flexión pura. Cuando un cuerpo (viga) esta sometido a dos momentos de la misma magnitudy sentidos opuestos, estará sometido a flexión pura. Este es el caso del tramo CD de la barra mostrada. En este tramo hay solamente momento como fuerza interna y es constante. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Es evidente (admitidas las hipótesis de homogeneidad, continuidad e isotropía) que una fibra no se acortará ni se alargará, por lo que no estará sometida a tensión alguna, y por eso se le denomina fibra neutra. Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porción de viga aledaña a la sección m - m . El estado de cargas es simétrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican. La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes principales de inercia. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento genérico d en la sección m –m . Por condición de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la sección m - m, se debe cumplir: Para establecer una relación entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse condiciones de deformación. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z, originalmente recto, experimenta una ligera curvatura, conociéndose a esta última con el nombre de elástica. Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeñas. Dichos desplazamientos pueden considerárselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su longitud. Para el común de las vigas podemos suponer una relación l/h 10. Para esta situación es válido lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones próximas entre si, alejadas de los puntos de aplicación de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados dos líneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.- Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES A medida que se carga la viga, las líneas pintadas continúan siendo rectas, pero ya no paralelas entre sí; tendrán un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y normales al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pasó de su posición recta original a la forma curva de la elástica. En base a lo expuesto se admiten como hipótesis: a) Después de la deformación, cada sección transversal se conserva plana y normal al eje deformado.( Hipótesis de BernoulliNavier). b) En la deformación, unas fibras del sólido se acortan y otras se alargan, existiendo entre ambas una capa de fibras que no sufren variación. Dicha capa se conoce como zona o capa de fibras neutras. c) Las deformaciones que se producen en las fibras están comprendidas dentro del campo de validez de la Ley de Hooke. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de la misma, y en consecuencia, por ser G. , no existen tensiones tangenciales.- Para encontrar una relación entre tensiones normales y el Momento, analizamos el comportamiento de una fibra genérica de la porción definida por las secciones 1-1 y 2-2. Llamamos: d: giro relativo entre las secciones 1 y 2. O: Centro de curvatura de la pieza deformada : Radio de curvatura de las fibras neutras m- m: Capa de fibras neutras n-n: Intersección de capa de fibras neutras con la sección AB: Fibra en estudio Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES De acuerdo a esta última expresión, la variación de la tensión normal será lineal y directamente proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la sección por el eje neutro (n- n). Las deformaciones axiales z , se acompañan por deformaciones transversales x debidas al efecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento z por debajo del eje neutro tienen x de acortamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformación transversal es despreciable y no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la sección.- Determinación de la posición y dirección del eje neutro: Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES El valor 1 resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexión. En la expresión podemos apreciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente proporcional al producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexión. La rigidez a la flexión mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello impone las propiedades mecánicas del material (E) y las propiedades geométricas de la sección (I).- Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES EJEMPLOS DE FLEXIÒN EJEM. 1.- Una viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la distribución de esfuerzos que se muestra en la figura 6-25a. Determine el momento interno M en la sección causado por la distribución de esfuerzos, para ello (a) utilice la fórmula de la flexión, (b) encuentre la resultante de la distribución de esfuerzos empleando los principios básicos. SOLUCIÓN Parte (a). La fórmula de la flexión es smáx = Mc/I. Con base en la figura 6-25a, c = 6 pulg y όmáx = 2 k si. El eje neutro se define como la línea NA, ya que el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como la sección transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia del área respecto a NA se determina a partir de la fórmula para un rectángulo dada en la página final de este libro, es decir, Por lo tanto Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Parte (b). La fuerza resultante para cada una de las dos distribuciones triangulares de esfuerzo mostradas en la figura 6-25b es gráficamente equivalente al volumen contenido dentro de cada distribución de esfuerzos. Por lo tanto, cada volumen es Estas fuerzas, que forman un par, actúan en la misma dirección que los esfuerzos incluidos en cada distribución, figura 6-25b. Además, actúan a través del centroide de cada volumen, es decir, a 𝟐 𝟑 (6 pulg) == 4 pulg del eje neutro de la viga. Por consiguiente, la distancia entre ellos es de 8 pulg como se muestra en la figura. En consecuencia, el momento del par es NOTA: Este resultado también puede obtenerse al elegir una franja horizontal de área dA = (6 pulg) dy y al integrarla aplicando la ecuación 6-11. EJEM. 2.- La viga simplemente apoyada de la figura 6-26a tiene la sección transversal que se muestra en la figura 6-26b. Determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto y dibuje la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal en esta ubicación. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES SOLUCIÓN Momento interno máximo. El momento interno máximo en la viga, M = 22.5 kN ∙ m, se produce en el centro. Propiedad de la sección. Por razones de simetría, el eje neutro pasa por el centroide C en la altura media de la viga, figura 6-26b. El área se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de cada porción se calcula respecto al eje neutro y usando el teorema de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice A.) Si se elige trabajar en metros, se tiene Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES En la figura 6-26d se muestra una vista tridimensional de la distribución de esfuerzos. Observe cómo el esfuerzo en los puntos B y D de la sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye con un momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma dirección que M. De manera específica, en el punto B, yB = 150 mm, y así. EJEM. 3.- La viga mostrada en la figura 6-27a tiene una sección transversal en forma de canal, figura 6-27b. Determine el esfuerzo flexionante máximo que se produce en la viga en la sección a-a. SOLUCIÓN Momento interno. Aquí no es necesario determinar las reacciones de la viga en los apoyos. En vez de esto, mediante el método de las secciones, puede usarse el segmento a la izquierda de la sección aa, figura 6-27c. En particular, debe tenerse en cuenta que la fuerza axial interna resultante N pasa a través del centroide de la sección transversal. Además, se observa que el momento interno resultante debe calcularse con respecto al eje neutro de la viga en la sección aa. Para encontrar la ubicación del eje neutro, el área de la sección transversal se subdivide en tres partes componentes como se muestra en la figura 6-27b. Con base en la ecuación A-2 del apéndice A, se tiene Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Esta dimensión se muestra en la figura 6-27c. Al aplicar la ecuación de equilibrio de los momentos con respecto al eje neutro, se tiene Propiedad de la sección. El momento de inercia respecto al eje neutro se determina utilizando el teorema de los ejes paralelos aplicado a cada una de las tres partes que componen el área de la sección transversal. Si se trabaja en metros, resulta Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Esfuerzo flexionante máximo. El esfuerzo flexionante máximo ocurre en los puntos más alejados del eje neutro. Esto es en la parte inferior de la viga, c = 0.200 m - 0.05909 m = 0.1409 m. Por lo tanto, Demuestre que en la parte superior de la viga el esfuerzo flexionante es ό’ = 6.79 MPa. NOTA: La fuerza normal N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN también contribuirán con esfuerzo adicional sobre la sección transversal. La superposición de todos estos efectos se analizará en el capítulo 8. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 3.-ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS En general, una viga soportará tanto una fuerza cortante como un momento. La fuerza cortante V es el resultado de una distribución del esfuerzo cortante transversal que actúa sobre la sección transversal de la viga. Sin embargo, debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, este esfuerzo creará los esfuerzos cortantes longitudinales correspondientes que actuarán a lo largo de los planos longitudinales de la viga, como se muestra en la figura 7-1. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Para ilustrar este efecto, considere una viga que está hecha con tres tablas, figura 7-2a. Si las superficies superior e inferior de cada tabla son lisas, y las tablas no están unidas entre sí, entonces la aplicación de la carga P hará que cada tabla se deslice con respecto a las otras cuando la viga se somete a flexión. Sin embargo, si las tablas están unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales que actúan entre las tablas impedirán su deslizamiento relativo, y por lo tanto la viga actuará como una sola unidad, figura 7-2b. Como resultado del esfuerzo cortante, se desarrollarán deformaciones angulares y éstas tenderán a distorsionar la sección transversal de una manera bastante compleja. Por ejemplo, considere la barra corta de la figura 7-3a fabricada con un material altamente deformable y marcada con líneas horizontales y verticales que forman una cuadrícula. Cuando se aplica una fuerza cortante V, ésta tiende a deformar las líneas de la cuadrícula siguiendo el patrón que se muestra en la figura 7-3b. Esta distribución no uniforme de la deformación cortante hará que la sección transversal se alabe. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Como resultado, cuando una viga está sometida tanto a flexión como a cortante, la sección transversal no permanecerá plana como se supuso en el desarrollo de la fórmula de la flexión. Aunque esto sea así, por lo general puede suponerse que el alabeo de la sección transversal debido a la fuerza cortante es lo suficientemente pequeño para poderlo pasar por alto. Este supuesto es particularmente cierto para el caso más común de una viga delgada; es decir, una viga que tiene un peralte pequeño en comparación con su longitud. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 4.-FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGA. Debido a que la distribución de la deformación cortante no es fácil de definir, como en el caso de la carga axial, la torsión y la flexión, se desarrollará la fórmula del esfuerzo cortante de manera indirecta. Para ello se considerará el equilibrio de fuerzas horizontales de una porción del elemento tomado de la viga mostrada en la figura 7-4a. En la figura 7-4b se presenta un diagrama de cuerpo libre del elemento. Esta distribución se debe a los momentos flexionantes M y M + dM. Se han excluido los efectos de V, V + dV y w(x) en el diagrama de cuerpo libre porque estas cargas son verticales y, por lo tanto, no participan en una suma de fuerzas horizontales. De hecho, el elemento de la figura 7-4b satisface a ©Fx = 0 ya que la distribución del esfuerzo en cada lado del elemento forma sólo un momento de par y por lo tanto una fuerza resultante cero. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Ahora considere la porción superior sombreada del elemento que se ha seccionado en y’ desde el eje neutro, figura 7-4a. Este segmento tiene una anchura t en la sección y los dos lados de la sección transversal tienen un área A’ cada uno. Debido a que los momentos resultantes en cada lado del elemento difieren en dM, puede observarse en la figura 7-4c que ©Fx = 0 no se cumplirá a menos que un esfuerzo cortante longitudinal t actúe sobre la cara inferior del segmento. Se supondrá que este esfuerzo cortante es constante en toda la anchura t de la cara inferior. Actúa sobre el área tdx. Al aplicar la ecuación del equilibrio de fuerzas horizontales y al usar la fórmula de la flexión, ecuación 6-13, se tiene Esta ecuación puede simplificarse si se observa que V = dM/dx (ecuación 6-2). Además, la integral representa el momento del área A’ respecto al eje neutro. Esto se indicará mediante el símbolo Q. Como la ubicación del centroide del área A’ se determina a partir de , = ∫𝐴′ 𝑦 𝑑 𝑦 𝐴′ 𝐴′, también se puede escribir Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Por lo tanto el resultado final es Aquí, como se muestra en la figura 7-5, t = el esfuerzo cortante en el elemento, en el punto situado a una distancia y’ desde el eje neutro. Se supone que este esfuerzo es constante y, por lo tanto, se promedia en toda la anchura t del elemento. V = la fuerza cortante resultante interna, determinada con base en el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio I = el momento de inercia de toda la sección transversal calculada respecto al eje neutro t = la anchura del área de la sección transversal del elemento, medida en el punto donde se determinará t Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Q = y’A’, donde A¿ es la parte superior (o inferior) del área de la sección transversal del elemento, por encima (o debajo) del plano de sección donde se mide t, y y’A es la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de A’ La ecuación anterior se conoce como la fórmula del esfuerzo cortante. Aunque en la obtención de esta fórmula se consideraron sólo los esfuerzos cortantes que actúan sobre el plano longitudinal de la viga, la fórmula se aplica también para encontrar el esfuerzo cortante transversal en la sección transversal de la viga. Es necesario recordar que estos esfuerzos son complementarios y numéricamente iguales. Por otra parte, como en la derivación anterior se usó la fórmula de la flexión, se requiere que el material tenga un comportamiento elástico lineal y el mismo módulo de elasticidad tanto en tensión como en compresión. Limitaciones en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante. Uno de los supuestos principales que se utilizaron en el desarrollo de la fórmula del esfuerzo cortante es que el esfuerzo cortante se distribuye uniformemente en toda la anchura t de la sección. En otras palabras, el esfuerzo cortante promedio se calcula a lo ancho. Es posible comprobar la veracidad de esta hipótesis mediante su comparación con un análisis matemático más preciso basado en la teoría de la elasticidad. Por ejemplo, si la sección transversal de la viga es rectangular, la distribución del esfuerzo cortante a través del eje neutro calculada a partir de la teoría de la elasticidad varía como se muestra en la figura 7-6. El valor máximo, t’ máx, se produce a los lados de la sección transversal, y su magnitud depende de la relación b/h (anchura>peralte). Para las secciones que tienen b/h = Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 0.5, t’ máx es sólo alrededor de 3 por ciento mayor que el esfuerzo cortante calculado a partir de la fórmula del esfuerzo cortante, figura 7-6a. Sin embargo, para las secciones planas, digamos b/h = 2, t’ máx es aproximadamente 40 por ciento mayor que t’máx, figura 7-6b. El error es aún mayor cuando la sección se vuelve más plana, o a medida que la relación b/h se incrementa. Ciertamente, los errores de esta magnitud son intolerables si se utiliza la fórmula del esfuerzo cortante para determinar el esfuerzo cortante en el ala de la viga I de ala ancha mostrada en la figura 7-7. También debe señalarse que la fórmula del esfuerzo cortante no da resultados exactos cuando se utiliza para determinar el esfuerzo cortante en la unión alma-ala de una viga I de ala ancha, ya que éste es un punto de cambio súbito en la sección transversal y aquí se produce una concentración de esfuerzos. Afortunadamente, estas limitaciones para aplicar la fórmula del esfuerzo cortante a las alas de una viga I de ala ancha no son importantes en la práctica de la ingeniería. Con mucha frecuencia, los ingenieros sólo deben calcular el esfuerzo cortante promedio máximo en la viga, el cual se produce en el eje neutro, donde la relación b/h (anchura/peralte) para el alma es muy pequeña y, por ende, el resultado calculado es muy cercano al esfuerzo cortante máximo real como se explicó anteriormente. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Otra limitación importante en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante puede ilustrarse al hacer referencia a la figura 7-8a, la cual muestra un elemento con una sección transversal que tiene una frontera irregular o no rectangular. Si se aplica la fórmula del esfuerzo cortante para determinar el esfuerzo cortante (promedio) t a lo largo de la línea AB, éste tendrá una dirección vertical hacia abajo como se muestra en la figura 7-8b. Sin embargo, considere un elemento de material tomado en el punto límite B, figura 7-8c. Aquí, t en la parte frontal del elemento se descompone en las componentes t’ y t– que actúan de manera perpendicular y paralela a la frontera. Por inspección, t’ debe ser igual a cero, ya que su correspondiente componente longitudinal t’, en la superficie de frontera libre de esfuerzo, debe ser igual a cero. Por lo tanto, para cumplir esta condición de frontera, el esfuerzo cortante que actúa sobre este elemento en realidad debe estar dirigido en forma tangencial a la frontera. En consecuencia, la distribución del esfuerzo cortante a través de la línea AB está dirigida como se muestra en la figura 78d. Aquí, los valores específicos para el esfuerzo cortante deben obtenerse usando la teoría de la elasticidad. Sin embargo, observe que es posible aplicar la fórmula del esfuerzo cortante para obtener el esfuerzo cortante que actúa a través de cada una de las líneas en gris de la figura 7-8a. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Estas líneas intersecan las tangentes a la frontera en ángulos rectos y, como se muestra en la figura 7-8e, el esfuerzo cortante transversal es vertical y constante a lo largo de cada línea. Para resumir los puntos anteriores, la fórmula del esfuerzo cortante no da resultados exactos cuando se aplica en elementos con secciones transversales cortas o planas, o en los puntos donde la sección transversal cambia de manera súbita. Tampoco debe aplicarse a través de una sección que interseca la frontera del elemento en un ángulo diferente de 90°. En cambio, para estos casos el esfuerzo cortante debe determinarse con métodos más avanzados basados en la teoría de la elasticidad. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 5.- USO DE LA FORMULA CORTANTE EN VIGAS La relación entre la distribución y esfuerzos cortantes y la fuerza cortante resultante que actúan sobre la sección transversal de la viga, se basa en el análisis de los esfuerzos cortantes longitudinales. Se considera segmento definido a y’ del eje neutro. El cual posee un ancho t’ en el corte y a los lados un área A’ Además se considera que el esfuerzo cortante longitudinal t es constante ya actúa en la cara inferior del segmento. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES EJEMPLOS DE ESFUERZO CORTANTE EJEM. 1.-Una viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la distribución de esfuerzos que se muestra en la figura 6-25a. Determine el momento interno M en la sección causado por la distribución de esfuerzos, para ello (a) utilice la fórmula de la flexión, (b) encuentre la resultante de la distribución de esfuerzos empleando los principios SOLUCIÓN Parte (a). La fórmula de la flexión es όmáx = Mc>I. Con base en la figura 6-25a, c = 6 pulg y όmáx = 2 kόi. El eje neutro se define como la línea NA, ya que el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como la sección transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia del área respecto a NA se determina a partir de la fórmula para un rectángulo dada en la página final de este libro, es decir, Parte (b). La fuerza resultante para cada una de las dos distribuciones triangulares de esfuerzo mostradas en la figura 6-25b es gráficamente equivalente al volumen contenido dentro de cada distribución de esfuerzos. Por lo tanto, cada volumen es Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Estas fuerzas, que forman un par, actúan en la misma dirección que los esfuerzos incluidos en cada distribución, figura 6-25b. Además, actúan a través del centroide de cada volumen, es decir, a 2 3 (6 pulg) 16 pulg2 == 4 pulg 4 pulg del eje neutro de la viga. Por consiguiente, la distancia entre ellos es de 8 pulg como se muestra en la figura. En consecuencia, el momento del par es NOTA: Este resultado también puede obtenerse al elegir una franja horizontal de área dA = (6 pulg) dy y al integrarla aplicando la ecuación 6-11. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES EJEM. 2.- La viga simplemente apoyada de la figura 6-26a tiene la sección transversal que se muestra en la figura 6-26b. Determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto y dibuje la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal en esta ubicación. SOLUCIÓN Momento interno máximo. El momento interno máximo en la viga, M = 22.5 kN ∙ m, se produce en el centro. Propiedad de la sección. Por razones de simetría, el eje neutro pasa por el centroide C en la altura media de la viga, figura 6-26b. El área se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de cada porción se calcula respecto al eje neutro y usando el teorema de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice A.) Si se elige trabajar en metros, se tiene Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES En la figura 6-26d se muestra una vista tridimensional de la distribución de esfuerzos. Observe cómo el esfuerzo en los puntos B y D de la sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye con un momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma dirección que M. De manera específica, en el punto B, yB = 150 mm, y así Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES EJEM. 3.- La viga mostrada en la figura 6-27a tiene una sección transversal en forma de canal, figura 6-27b. Determine el esfuerzo flexionante máximo que se produce en la viga en la sección a-a. SOLUCIÓN Momento interno. Aquí no es necesario determinar las reacciones de la viga en los apoyos. En vez de esto, mediante el método de las secciones, puede usarse el segmento a la izquierda de la sección aa, figura 6-27c. En particular, debe tenerse en cuenta que la fuerza axial interna resultante N pasa a través del centroide de la sección transversal. Además, se observa que el momento interno resultante debe calcularse con respecto al eje neutro de la viga en la sección a-a. Para encontrar la ubicación del eje neutro, el área de la sección transversal se subdivide en tres partes componentes como se muestra en la figura 6-27b. Con base en la ecuación A-2 del apéndice A, se tiene Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES Esta dimensión se muestra en la figura 6-27c. Al aplicar la ecuación de equilibrio de los momentos con respecto al eje neutro, se tiene Propiedad de la sección. El momento de inercia respecto al eje neutro se determina utilizando el teorema de los ejes paralelos aplicado a cada una de las tres partes que componen el área de la sección transversal. Si se trabaja en metros, resulta Esfuerzo flexionante máximo. El esfuerzo flexionante máximo ocurre en los puntos más alejados del eje neutro. Esto es en la parte inferior de la viga, c = 0.200 m - 0.05909 m = 0.1409 m. Por lo tanto, NOTA: La fuerza normal N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN también contribuirán con esfuerzo adicional sobre la sección transversal. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES EJERCICIOS PROPUESTOS •6-69. Se deben considerar dos diseños para una viga. Determine cuál soportará un momento de M = 150 kN ∙ m con el menor esfuerzo flexionante. ¿Cuál es ese esfuerzo? *6-136. Una viga de abeto blanco se refuerza con franjas de acero A36 en sus partes superior e inferior, como se muestra en la figura. Determine el momento flexionante M que puede soportar si (όperm)ac = 22 kόi y (όperm)w = 2.0 kόi. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES 6-139. La viga está fabricada de tres tipos de plástico que se identifican y tienen los módulos de elasticidad mostrados en la figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en el PVC. •6-141. La viga de concreto reforzado se utiliza para soportar la carga mostrada. Determine el esfuerzo normal máximo absoluto en cada una de las varillas de refuerzo fabricadas con acero A-36 y el esfuerzo de compresión máximo absoluto en el concreto. Suponga que el concreto tiene una alta resistencia a la compresión y no tome en cuenta su resistencia que soporta a tensión. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES *6-64. La varilla de acero tiene un diámetro de 1 pulg y está sometida a un momento interno de M = 300 lb ∙ pie. Determine el esfuerzo creado en los puntos A y B. Además, dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. F7-1. Si la viga está sometida a una fuerza cortante de V = 100 kN, determine el esfuerzo cortante desarrollado en el punto A. Represente el estado de esfuerzo en A sobre un elemento de volumen. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES F7-2. Determine el esfuerzo cortante sobre los puntos A y B de la viga si ésta se encuentra sometida a una fuerza cortante de V = 600 kN. F7-3. Determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en la viga. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES F7-4. Si la viga está sometida a una fuerza cortante de V = 20 kN, determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la viga. F7-5. Si la viga está fabricada de cuatro placas y se encuentra sometida a una fuerza cortante de V = 20 kN, determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la viga. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES CONCLUCIÒN. Para la elaboración de este trabajo se llevó a cabo una investigación profunda de los temas ya mencionados; los cuales son muy importantes para el desarrollo estructural ya que sin la previa investigación o el conocimiento de estas que son de vital importancia para uno de los materiales que más son utilizados en esta rama de la construcción como son las vigas no podríamos realizar proyectos grandes o bien desarrollados para un bien común. La realización de este trabajo ayuda para una mejor comprensión de los temas y una mejor retroalimentación de lo que se ve en clase ya que abordar cada uno de estos temas es muy importante para nuestros desarrollo académico como profesional. Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020 RESISTENCIA DE MATERIALES BIBLIOGRAFIA. https://es.slideshare.net/BETSYJIMENEZCUEVA/trabajo-final-resistencia-de-materiales60950752 http://ing.unne.edu.ar/mecap/Apuntes/Estabilidad_2/Cap06-Flexion.pdf https://docplayer.es/64083343-Resistencia-de-materiales-1a-profesor-herbert-yepezcastillo.html http://cervera.rmee.upc.edu/libros/Resistencia%20de%20Materiales.pdf file:///C:/Users/Rafa/Documents/mecanica-de-materiales-russell-c-hibbeler-8vaedicionpdf.pdf https://es.slideshare.net/BETSYJIMENEZCUEVA/trabajo-final-resistencia-de-materiales60950752 Carrera: Arquitectura Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020