johanna rubi vazquez feria- resistencia de materiales- unidad 4

UNIVERSIDAD JUAREZ
AUTONOMA DE TABASCO
DIVISION ACADEMICA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
MATERIA:
RESISTENCIA DE MATERIALES
LICENCIATURA EN ARQUITECTURA
UNIDAD:
ESFUERZO POR FLEXIÒN Y CORTANTE EN VIGAS
ALUMNO:
JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA
ING. JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ
RESISTENCIA DE MATERIALES
INDICE
INTRODUCCIÒN ........................................................................................................................ 3
1.- DEFORMACIÒN FLEXIONANTE DE UN ELEMENTO RECTO. ................................. 4
2.- FÓRMULAS DE FLEXIÓN. .............................................................................................. 12
3.- USO DE LAS FORMULAS DE FLEXIÒN ...................................................................... 19
EJEMPLOS DE FLEXIÒN ................................................................................................... 26
3.-ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS ............................................................................... 32
4.-FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGA. .................................................. 39
5.- USO DE LA FORMULA CORTANTE EN VIGAS ......................................................... 46
EJEMPLOS DE ESFUERZO CORTANTE ....................................................................... 50
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................ 56
CONCLUCIÒN.......................................................................................................................... 61
BIBLIOGRAFIA. ....................................................................................................................... 62
Carrera: Arquitectura
Alumna: JOHANA RUBI VAZQUEZ FERIA
Catedrático: JESUS MANUEL MENDOZA PEREZ
Ciclo escolar: Enero – Agosto 2020
RESISTENCIA DE MATERIALES
INTRODUCCIÒN
En el presente trabajo se llevó a cabo una investigación sobre el
esfuerzo por flexión y cortante en vigas con el fin de profundizar el
conocimiento sobre este tema se analizaran los temas que sean
necesarios para la mejor comprensión de este trabajo; ya que el cada
tema que aquí se presentara es de vital importancia para nuestro
desarrollo profesional y escolar.
En el siguiente
trabajo se podrá encontrar información sobre
esfuerzo de flexión y esfuerzos cortantes sobre las vigas; se darán a
conocer las fórmulas de cada uno y su uso, de igual manera
integraremos ejercicios para la mayor compresión del trabajo.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
1.- DEFORMACIÒN FLEXIONANTE DE UN ELEMENTO
RECTO.
Las vigas son elementos largos y rectos que están sometidos a
cargas perpendiculares a su eje longitudinal. Se clasifican de acuerdo
con la forma en que están apoyadas.
El comportamiento de los elementos que tienen secciones
transversales asimétricas, o que están fabricados con diversos
materiales.
El momento flexionan te hace que el material de la proporción inferior
de la barra se estire, y que el material en la parte superior se
comprima. En consecuencia, entre 2 regiones debe de haber una
superficie llamada superficie neutra.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
El análisis se limitará a las vigas que tienen un área transversal
simétrica con respecto a un eje, en las que el momento flexionante
se aplica alrededor de un eje perpendicular a dicho eje de simetría,
como se muestra en la figura 6-18. El comportamiento de los
elementos que tienen secciones transversales asimétricas, o que
están fabricados con diversos materiales, se basa en observaciones
similares y se estudiará por separado en las secciones posteriores
de este capítulo.
Un material altamente deformable como el caucho puede usarse para
ilustrar lo que sucede cuando un elemento prismático recto se
somete a un momento flexionante. Por ejemplo, considere la barra
no deformada de la figura 6-19a, la cual tiene una sección transversal
cuadrada y está marcada con líneas rectas longitudinales y
transversales para formar una cuadrícula. Cuando se aplica un
momento flexionante, éste tiende a distorsionar las líneas al patrón
que se muestra en la figura 6-19b. Observe que las líneas
longitudinales se curvan mientras que las líneas transversales
verticales permanecen rectas aunque experimentan una rotación.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
El momento flexionante hace que el material de la porción inferior de
la barra se estire y que el material en la parte superior se comprima.
En consecuencia, entre estas dos regiones debe haber una
superficie, llamada superficie neutra, en la que las fibras
longitudinales del material no sufrirán ningún cambio de longitud,
figura 6-18.
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A partir de estas observaciones pueden hacerse los siguientes tres
supuestos acerca de la forma en que el esfuerzo deforma al material.
En primer lugar, el eje longitudinal x, que se encuentra en la superficie
neutra, figura 6-20a, no experimenta ningún cambio en su longitud.
En vez de eso, el momento tiende a deformar la viga para que esta
línea se convierta en una curva ubicada en el plano de simetría x-y,
figura 6-20b. Segundo, todas las secciones transversales de la viga
permanecen planas y perpendiculares al eje longitudinal durante la
deformación. Y en tercer lugar, cualquier deformación de la sección
transversal dentro de su propio plano, como se observa en la figura
6-19b, podrá pasarse por alto. En particular, el eje z, ubicado en el
plano de la sección transversal y alrededor del cual gira la sección
transversal, se denomina eje neutro, figura 6-20b.
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A fin de mostrar la manera en que esta distorsión deforma al material,
se aislará un pequeño segmento de la viga ubicado a una distancia x
a lo largo de la viga y con un grosor no deformado Δx, figura 6-20a.
En la figura 6-21, este elemento tomado de la viga se muestra de
perfil en las posiciones deformadas y sin deformar. Observe que
cualquier segmento de recta Δx, situado en la superficie neutra no
cambia su longitud, mientras que cualquier segmento de recta Δs,
ubicado a una distancia arbitraria y por encima de la superficie neutra,
se contraerá y se convertirá en Δs después de la deformación. Por
definición, la deformación normal a lo largo de Δs se determina con
base en la ecuación.
∈= lim
∆𝑠→0
∆𝑠′−∆𝑠
∆𝑠
Ahora, esta deformación se representará en términos de la ubicación
y del segmento y del radio de curvatura ρ del eje longitudinal del
elemento. Antes de la deformación, Δ s = Δx, figura 6-21a. Después
de la deformación Δx tiene un radio de curvatura ρ, con el centro de
curvatura en el punto O’, figura 6-21b. Como Δө define el ángulo
entre los lados del elemento, Δx = Δs = ρΔө. De la misma manera, la
longitud deformada de Δs se convierte en Δs’ = (ρ- y) Δө. Al sustituir
en la ecuación anterior se obtiene
∈= lim
(𝜌−𝑦)∆𝜃−𝜌∆𝜃
𝜌∆𝜃
∆𝜃→0
O bien
∈= −
𝑦
𝜌
(6-7)
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Este resultado importante indica que la deformación normal
longitudinal de cualquier elemento dentro de la viga depende de su
ubicación y de la sección transversal, y del radio de curvatura del eje
longitudinal de la viga en ese punto. En otras palabras, para cualquier
sección transversal específica, la deformación normal longitudinal
variará linealmente con y desde el eje neutro. En las fibras situadas
por encima del eje neutro (+y) se producirá una contracción (-Є),
mientras que en las fibras situadas por debajo del eje (−y) ocurrirá
una elongación (+Є). Esta variación en la deformación sobre la
sección transversal se muestra en la figura 6-22. Aquí, la
deformación máxima se produce en la fibra más externa, ubicada a
una distancia y = c del eje neutro. Usando la ecuación 6-7, y como
Єmáx = ϲ/ρ, entonces por división.
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∈
𝑦/𝜌
= −(
)
∈ 𝑚𝑎𝑥
𝑐/𝜌
Donde:
𝑦
∈= − ( ) ∈ 𝑚𝑎𝑥
𝑐
(6-8)
Esta deformación normal sólo depende de los supuestos hechos
respecto a la deformación. Por lo tanto, cuando un momento se aplica
a la viga, éste sólo causará un esfuerzo normal en la dirección
longitudinal o dirección x. Todos los demás componentes de los
esfuerzos normal y cortante serán iguales a cero. Este estado
uniaxial de esfuerzo es lo que ocasiona que el material tenga la
componente de deformación normal longitudinal Єx, definido por la
ecuación 6-8. Además, por la razón de Poisson, también debe haber
componentes de deformación asociados Єy = -vЄx y Єz = -vЄx , que
deforman el plano del área de la sección transversal, aunque aquí no
se toman en cuenta tales deformaciones.
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Sin embargo, estas deformaciones ocasionan que las dimensiones
de la sección transversal sean más pequeñas por debajo del eje
neutro y más grande por encima de éste. Por ejemplo, si la viga tiene
una sección transversal cuadrada, en realidad se deformará como lo
muestra la figura 6-23.
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2.- FÓRMULAS DE FLEXIÓN.
Se desarrolla una ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo
en una viga con el momento flexionan te interno que actúa en la
sección transversal de esa viga. Hay una variación lineal de la
deformación normal, variara desde cero en el eje neutro.
Esfuerzo de flexión. Esfuerzo normal causado por la “flexión” del
elemento. El máximo esfuerzo normal es igual a:
M= momento máximo flector ; tenemos:
C= Distancia perpendicular del eje neutro Al punto más alejado de
este y sobre el cual actúa el esfuerzo de flexión:
I= momento de inercia de la sección transversal:
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Por tanto la ecuación de esfuerzo máximo resulta:
El esfuerzo correspondiente puede ser de tensión o de compresión.
Deformación unitaria:
Donde:
ɛ=deformación unitaria, D= diámetro de la barra, AL= estroke
(deflexión de la barra) y L= longitud de la barra
La sección transversal de una viga recta se mantiene plana cuando
la viga se deforma debido a la flexión. Estos provocan esfuerzos de
tensión en una porción de la parte restante. En medio de estas
porciones, exige el eje neutro que se encuentra sometida a un
esfuerzo cero.
El eje neutro no pasa por el centroide del área de la sección
transversal, este resultado se basa en el hecho de que la fuerza
normal resultante que actué sobre la sección transversal debe ser
igual a cero.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
Se desarrollará una ecuación que relaciona la distribución del
esfuerzo en una viga con el momento flexionante resultante interno
que actúa en la sección transversal de esa viga. Para ello se
supondrá que el material se comporta en forma elástica lineal y, por
lo tanto, una variación lineal de la deformación normal, figura 6-24a,
debe ser resultado de una variación lineal en el esfuerzo normal,
figura 6-24b. Por consiguiente, al igual que la variación de la
deformación normal, όvariará desde cero en el eje neutro del
elemento hasta un valor máximo, όmáx, en la distancia c más alejada
del eje neutro. Debido a la proporcionalidad de triángulos, figura
6-23b, o mediante el uso de la ley de Hooke, ό = EЄ, y de la ecuación
6-8, se puede escribir
𝑦
𝜎 = −( )𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑐
(6-9)
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Esta ecuación describe la distribución del esfuerzo sobre el área de
la sección transversal. La convención de signos establecida aquí es
significativa. Para M positivo, que actúa en la dirección +z, los valores
positivos de y proporcionan valores negativos para ό, es decir, un
esfuerzo de compresión, ya que actúa en la dirección x negativa. De
manera similar, los valores negativos de y dan valores positivos o de
tensión para s. Si se selecciona un elemento de volumen del material
en un punto específico de la sección transversal, sólo actuarán sobre
él estos esfuerzos de tensión o de compresión normales. Por
ejemplo, en la figura 6-24c se muestra el elemento ubicado en +y.
La posición del eje neutro de la sección transversal puede localizarse
al cumplir la siguiente condición: la fuerza resultante producida por la
distribución del esfuerzo sobre el área de la sección transversal debe
ser igual a cero. Considerando que la fuerza dF = ό dA actúa sobre
el elemento arbitrario dA de la figura 6-24c, se requiere
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Como όmáx/c no es igual a cero, entonces
∫𝐴 𝑦 𝑑 𝐴 = 0
(6-10)
En otras palabras, el primer momento del área transversal del
elemento con respecto al eje neutro debe ser igual a cero. Esta
condición sólo puede cumplirse si el eje neutro también es el eje
centroidal horizontal de la sección transversal.* En consecuencia,
una vez determinado el centroide del área de la sección transversal
del elemento, se conoce la ubicación del eje neutro.
El esfuerzo en la viga puede determinarse a partir del siguiente
requerimiento: el momento interno M resultante debe ser igual al
momento producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje
neutro. El momento de dF en la figura 6-24c respecto al eje neutro
es dM = y dF. Como dF = όdA, a partir de la ecuación 6-9, se tiene
para toda la sección transversal,
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La integral representa el momento de inercia del área de la sección
transversal respecto al eje neutro. Su valor se simbolizará con I. Por
consiguiente, se puede despejar όmáx de la ecuación 6-11 y escribir
Aquí
όmáx = el esfuerzo normal máximo en el elemento, que se produce
en el punto sobre el área de la sección transversal que está más
alejado del eje neutro
M = el momento interno resultante, determinado a partir del método
de las secciones y de las ecuaciones de equilibrio; se calcula
respecto al eje neutro de la sección transversal
c = la distancia perpendicular desde el eje neutro hasta el punto más
alejado del eje neutro. Aquí es donde actúa όmáx
I = el momento de inercia del área de la sección transversal respecto
al eje neutro
Como όmáx/c = -ό/y, ecuación 6-9, el esfuerzo normal en la distancia
intermedia y puede determinarse a partir de una fórmula similar a la
ecuación 6-12. Se tiene
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Tenga en cuenta que el signo negativo es necesario, ya que
concuerda con los ejes x, y, z establecidos. Por la regla de la mano
derecha, M es positivo a lo largo del eje +z, y es positiva hacia arriba
y, por lo tanto, s debe ser negativa (compresiva) porque actúa en la
dirección negativa de x, figura 6-24c.
Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele denominarse
como fórmula de la flexión. Se utiliza para determinar el esfuerzo
normal en un elemento recto, el cual tiene una sección transversal
simétrica con respecto a un eje, y un momento aplicado de manera
perpendicular a dicho eje. Aunque se ha supuesto que el elemento
es prismático, en la mayoría de los casos dentro del diseño de
ingeniería también se puede utilizar la fórmula de la flexión para
determinar el esfuerzo normal en elementos que tienen un ligero
ahusamiento. Por ejemplo, si se usa un análisis matemático basado
en la teoría de la elasticidad, un elemento con sección transversal
rectangular y una longitud ahusada en 15° tendrá un esfuerzo normal
máximo real de alrededor de 5.4 por ciento menor que el calculado
cuando se utiliza la fórmula de la flexión.
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3.- USO DE LAS FORMULAS DE FLEXIÒN
Previamente se ha estudiado las fuerzas internas originadas al cortar
en un punto C cualquiera de una viga que soporta una carga en su
extremo, dichas fuerzas internas corresponden a V y M. El par flector
crea esfuerzos normales en la sección transversal, mientras que la
fuerza cortante V produce esfuerzos cortantes.
La flexión es un concepto muy importante, ya que se utiliza en el
diseño de muchos elementos estructurales. Cuando un elemento
está sometido a partes iguales y opuestos que actúan en el mismo
plano, se dice que tal elemento está sujeto a flexión pura.
Cuando un cuerpo (viga) esta sometido a dos momentos de la misma
magnitudy sentidos opuestos, estará sometido a flexión pura. Este es
el caso del tramo CD de la barra mostrada. En este tramo hay
solamente momento como fuerza interna y es constante.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
Es evidente (admitidas las hipótesis de homogeneidad, continuidad
e isotropía) que una fibra no se acortará ni se alargará, por lo que no
estará sometida a tensión alguna, y por eso se le denomina fibra
neutra.
Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una
porción de viga aledaña a la sección m - m .
El estado de cargas es simétrico y produce los diagramas de
esfuerzos que se indican. La traza del plano de Momento sobre la
secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes principales
de inercia.
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Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un
elemento genérico d en la sección m –m .
Por condición de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la sección
m - m, se debe cumplir:
Para establecer una relación entre las tensiones y las solicitaciones
exteriores, deben plantearse condiciones de deformación. Al cargar
la viga esta se deforma; el eje z, originalmente recto, experimenta
una ligera curvatura, conociéndose a esta última con el nombre de
elástica. Los puntos sobre el eje representativo de las secciones,
experimentan translaciones pequeñas. Dichos desplazamientos
pueden considerárselos verticales, lo cual significa que la viga no
modifica su longitud.
Para el común de las vigas podemos suponer una relación l/h 10.
Para esta situación es válido lo siguiente: tomar en el tramo central
dos secciones próximas entre si, alejadas de los puntos de aplicación
de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas,
dibujamos en los costados dos líneas rectas individualizadoras de las
secciones, antes de aplicar las cargas.-
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RESISTENCIA DE MATERIALES
A medida que se carga la viga, las líneas pintadas continúan siendo
rectas, pero ya no paralelas entre sí; tendrán un giro relativo. Que
significa ello: que las secciones originalmente planas y normales al
eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pasó
de su posición recta original a la forma curva de la elástica.
En base a lo expuesto se admiten como hipótesis:
a) Después de la deformación, cada sección transversal se
conserva plana y normal al eje deformado.( Hipótesis de BernoulliNavier).
b) En la deformación, unas fibras del sólido se acortan y otras se
alargan, existiendo entre ambas una capa de fibras que no sufren
variación. Dicha capa se conoce como zona o capa de fibras
neutras.
c) Las deformaciones que se producen en las fibras están
comprendidas dentro del campo de validez de la Ley de Hooke.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse
distorsiones en los elementos de la misma, y en consecuencia, por
ser   G. , no existen tensiones tangenciales.- Para encontrar una
relación entre tensiones normales y el Momento, analizamos el
comportamiento de una fibra genérica de la porción definida por las
secciones 1-1 y 2-2.
Llamamos:
d: giro relativo entre las secciones 1 y 2.
O: Centro de curvatura de la pieza deformada
: Radio de curvatura de las fibras neutras
m- m: Capa de fibras neutras
n-n: Intersección de capa de fibras neutras con la sección
AB: Fibra en estudio
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RESISTENCIA DE MATERIALES
De acuerdo a esta última expresión, la variación de la tensión normal
será lineal y directamente proporcional a la distancia a las fibras
neutras, determinado en la sección por el eje neutro (n- n).
Las deformaciones axiales z , se acompañan por deformaciones
transversales x debidas al efecto de Poisson. Las deformaciones de
alargamiento z por debajo del eje neutro tienen x de acortamiento.
Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformación
transversal es despreciable y no se tiene en cuenta al calcular el
momento de inercia de la sección.- Determinación de la posición y dirección del eje neutro:
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El valor  1 resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexión. En
la expresión podemos apreciar que la curvatura es directamente
proporcional al agente deformante e inversamente proporcional al
producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexión.
La rigidez a la flexión mide la resistencia que opone la pieza a dejarse
deformar. Para ello impone las propiedades mecánicas del material
(E) y las propiedades geométricas de la sección (I).-
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EJEMPLOS DE FLEXIÒN
EJEM. 1.- Una viga tiene una sección transversal rectangular y está
sometida a la distribución de esfuerzos que se muestra en la figura
6-25a. Determine el momento interno M en la sección causado por la
distribución de esfuerzos, para ello (a) utilice la fórmula de la flexión,
(b) encuentre la resultante de la distribución de esfuerzos empleando
los principios básicos.
SOLUCIÓN
Parte (a). La fórmula de la flexión es smáx = Mc/I. Con base en la
figura 6-25a, c = 6 pulg y όmáx = 2 k si. El eje neutro se define como
la línea NA, ya que el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como
la sección transversal tiene una forma rectangular, el momento de
inercia del área respecto a NA se determina a partir de la fórmula
para un rectángulo dada en la página final de este libro, es decir,
Por lo tanto
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Parte (b). La fuerza resultante para cada una de las dos
distribuciones triangulares de esfuerzo mostradas en la figura 6-25b
es gráficamente equivalente al volumen contenido dentro de cada
distribución de esfuerzos. Por lo tanto, cada volumen es
Estas fuerzas, que forman un par, actúan en la misma dirección que
los esfuerzos incluidos en cada distribución, figura 6-25b. Además,
actúan a través del centroide de cada volumen, es decir, a
𝟐
𝟑
(6 pulg) == 4 pulg del eje neutro de la viga. Por consiguiente, la
distancia entre ellos es de 8 pulg como se muestra en la figura. En
consecuencia, el momento del par es
NOTA: Este resultado también puede obtenerse al elegir una franja
horizontal de área dA = (6 pulg) dy y al integrarla aplicando la
ecuación 6-11.
EJEM. 2.- La viga simplemente apoyada de la figura 6-26a tiene la
sección transversal que se muestra en la figura 6-26b. Determine el
esfuerzo flexionante máximo absoluto y dibuje la distribución del
esfuerzo sobre la sección transversal en esta ubicación.
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SOLUCIÓN
Momento interno máximo. El momento interno máximo en la viga,
M = 22.5 kN ∙ m, se produce en el centro.
Propiedad de la sección. Por razones de simetría, el eje neutro pasa
por el centroide C en la altura media de la viga, figura 6-26b. El área
se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de
cada porción se calcula respecto al eje neutro y usando el teorema
de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice A.) Si se
elige trabajar en metros, se tiene
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En la figura 6-26d se muestra una vista tridimensional de la
distribución de esfuerzos. Observe cómo el esfuerzo en los puntos B
y D de la sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye
con un momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma
dirección que M. De manera específica, en el punto B, yB = 150 mm,
y así.
EJEM. 3.- La viga mostrada en la figura 6-27a tiene una sección
transversal en forma de canal, figura 6-27b. Determine el esfuerzo
flexionante máximo que se produce en la viga en la sección a-a.
SOLUCIÓN
Momento interno. Aquí no es necesario determinar las reacciones
de la viga en los apoyos. En vez de esto, mediante el método de las
secciones, puede usarse el segmento a la izquierda de la sección aa, figura 6-27c. En particular, debe tenerse en cuenta que la fuerza
axial interna resultante N pasa a través del centroide de la sección
transversal. Además, se observa que el momento interno resultante
debe calcularse con respecto al eje neutro de la viga en la sección aa. Para encontrar la ubicación del eje neutro, el área de la sección
transversal se subdivide en tres partes componentes como se
muestra en la figura 6-27b. Con base en la ecuación A-2 del apéndice
A, se tiene
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Esta dimensión se muestra en la figura 6-27c. Al aplicar la ecuación
de equilibrio de los momentos con respecto al eje neutro, se tiene
Propiedad de la sección. El momento de inercia respecto al eje
neutro se determina utilizando el teorema de los ejes paralelos
aplicado a cada una de las tres partes que componen el área de la
sección transversal. Si se trabaja en metros, resulta
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Esfuerzo flexionante máximo. El esfuerzo flexionante máximo
ocurre en los puntos más alejados del eje neutro. Esto es en la
parte inferior de la viga, c = 0.200 m - 0.05909 m = 0.1409 m. Por lo
tanto,
Demuestre que en la parte superior de la viga el esfuerzo
flexionante es
ό’ = 6.79 MPa.
NOTA: La fuerza normal N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN
también contribuirán con esfuerzo adicional sobre la sección
transversal. La superposición de todos estos efectos se analizará en
el capítulo 8.
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3.-ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS
En general, una viga soportará tanto una fuerza cortante como un
momento. La fuerza cortante V es el resultado de una distribución del
esfuerzo cortante transversal que actúa sobre la sección transversal
de la viga. Sin embargo, debido a la propiedad complementaria de la
fuerza cortante, este esfuerzo creará los esfuerzos cortantes
longitudinales correspondientes que actuarán a lo largo de los planos
longitudinales de la viga, como se muestra en la figura 7-1.
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Para ilustrar este efecto, considere una viga que está hecha con tres
tablas, figura 7-2a. Si las superficies superior e inferior de cada tabla
son lisas, y las tablas no están unidas entre sí, entonces la aplicación
de la carga P hará que cada tabla se deslice con respecto a las otras
cuando la viga se somete a flexión. Sin embargo, si las tablas están
unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales que
actúan entre las tablas impedirán su deslizamiento relativo, y por lo
tanto la viga actuará como una sola unidad, figura 7-2b.
Como resultado del esfuerzo cortante, se desarrollarán
deformaciones angulares y éstas tenderán a distorsionar la sección
transversal de una manera bastante compleja. Por ejemplo,
considere la barra corta de la figura 7-3a fabricada con un material
altamente deformable y marcada con líneas horizontales y verticales
que forman una cuadrícula. Cuando se aplica una fuerza cortante V,
ésta tiende a deformar las líneas de la cuadrícula siguiendo el patrón
que se muestra en la figura 7-3b. Esta distribución no uniforme de la
deformación cortante hará que la sección transversal se alabe.
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Como resultado, cuando una viga está sometida tanto a flexión como
a cortante, la sección transversal no permanecerá plana como se
supuso en el desarrollo de la fórmula de la flexión. Aunque esto sea
así, por lo general puede suponerse que el alabeo de la sección
transversal debido a la fuerza cortante es lo suficientemente pequeño
para poderlo pasar por alto. Este supuesto es particularmente cierto
para el caso más común de una viga delgada; es decir, una viga que
tiene un peralte pequeño en comparación con su longitud.
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4.-FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE
EN VIGA.
Debido a que la distribución de la deformación cortante no es fácil de
definir, como en el caso de la carga axial, la torsión y la flexión, se
desarrollará la fórmula del esfuerzo cortante de manera indirecta.
Para ello se considerará el equilibrio de fuerzas horizontales de una
porción del elemento tomado de la viga mostrada en la figura 7-4a.
En la figura 7-4b se presenta un diagrama de cuerpo libre del
elemento. Esta distribución se debe a los momentos flexionantes M
y M + dM. Se han excluido los efectos de V, V + dV y w(x) en el
diagrama de cuerpo libre porque estas cargas son verticales y, por lo
tanto, no participan en una suma de fuerzas horizontales. De hecho,
el elemento de la figura 7-4b satisface a ©Fx = 0 ya que la distribución
del esfuerzo en cada lado del elemento forma sólo un momento de
par y por lo tanto una fuerza resultante cero.
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Ahora considere la porción superior sombreada del elemento que se
ha seccionado en y’ desde el eje neutro, figura 7-4a. Este segmento
tiene una anchura t en la sección y los dos lados de la sección
transversal tienen un área A’ cada uno. Debido a que los momentos
resultantes en cada lado del elemento difieren en dM, puede
observarse en la figura 7-4c que ©Fx = 0 no se cumplirá a menos
que un esfuerzo cortante longitudinal t actúe sobre la cara inferior del
segmento. Se supondrá que este esfuerzo cortante es constante en
toda la anchura t de la cara inferior. Actúa sobre el área tdx. Al aplicar
la ecuación del equilibrio de fuerzas horizontales y al usar la fórmula
de la flexión, ecuación 6-13, se tiene
Esta ecuación puede simplificarse si se observa que V = dM/dx
(ecuación 6-2). Además, la integral representa el momento del área
A’ respecto al eje neutro. Esto se indicará mediante el símbolo Q.
Como la ubicación del centroide del área A’ se determina a partir de
, = ∫𝐴′ 𝑦 𝑑
𝑦
𝐴′
𝐴′, también se puede escribir
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Por lo tanto el resultado final es
Aquí, como se muestra en la figura 7-5,
t = el esfuerzo cortante en el elemento, en el punto situado a una
distancia y’ desde el eje neutro. Se supone que este esfuerzo es
constante y, por lo tanto, se promedia en toda la anchura t del
elemento.
V = la fuerza cortante resultante interna, determinada con base en el
método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio
I = el momento de inercia de toda la sección transversal calculada
respecto al eje neutro
t = la anchura del área de la sección transversal del elemento,
medida en el punto donde se determinará t
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Q = y’A’, donde A¿ es la parte superior (o inferior) del área de la
sección transversal del elemento, por encima (o debajo) del plano de
sección donde se mide t, y y’A es la distancia desde el eje neutro
hasta el centroide de A’
La ecuación anterior se conoce como la fórmula del esfuerzo
cortante. Aunque en la obtención de esta fórmula se consideraron
sólo los esfuerzos cortantes que actúan sobre el plano longitudinal
de la viga, la fórmula se aplica también para encontrar el esfuerzo
cortante transversal en la sección transversal de la viga. Es necesario
recordar que estos esfuerzos son complementarios y numéricamente
iguales. Por otra parte, como en la derivación anterior se usó la
fórmula de la flexión, se requiere que el material tenga un
comportamiento elástico lineal y el mismo módulo de elasticidad tanto
en tensión como en compresión.
Limitaciones en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante.
Uno de los supuestos principales que se utilizaron en el desarrollo
de la fórmula del esfuerzo cortante es que el esfuerzo cortante se
distribuye uniformemente en toda la anchura t de la sección. En otras
palabras, el esfuerzo cortante promedio se calcula a lo ancho. Es
posible comprobar la veracidad de esta hipótesis mediante su
comparación con un análisis matemático más preciso basado en la
teoría de la elasticidad. Por ejemplo, si la sección transversal de la
viga es rectangular, la distribución del esfuerzo cortante a través del
eje neutro calculada a partir de la teoría de la elasticidad varía como
se muestra en la figura 7-6. El valor máximo, t’ máx, se produce a
los lados de la sección transversal, y su magnitud depende de la
relación b/h (anchura>peralte). Para las secciones que tienen b/h =
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0.5, t’ máx es sólo alrededor de 3 por ciento mayor que el esfuerzo
cortante calculado a partir de la fórmula del esfuerzo cortante, figura
7-6a. Sin embargo, para las secciones planas, digamos b/h = 2, t’
máx es aproximadamente 40 por ciento mayor que t’máx,
figura 7-6b.
El error es aún mayor cuando la sección se vuelve más plana, o a
medida que la relación b/h se incrementa. Ciertamente, los errores
de esta magnitud son intolerables si se utiliza la fórmula del esfuerzo
cortante para determinar el esfuerzo cortante en el ala de la viga I de
ala ancha mostrada en la figura 7-7.
También debe señalarse que la fórmula del esfuerzo cortante no da
resultados exactos cuando se utiliza para determinar el esfuerzo
cortante en la unión alma-ala de una viga I de ala ancha, ya que éste
es un punto de cambio súbito en la sección transversal y aquí se
produce una concentración de esfuerzos. Afortunadamente, estas
limitaciones para aplicar la fórmula del esfuerzo cortante a las alas
de una viga I de ala ancha no son importantes en la práctica de la
ingeniería. Con mucha frecuencia, los ingenieros sólo deben calcular
el esfuerzo cortante promedio máximo en la viga, el cual se produce
en el eje neutro, donde la relación b/h (anchura/peralte) para el alma
es muy pequeña y, por ende, el resultado calculado es muy cercano
al esfuerzo cortante máximo real como se explicó anteriormente.
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Otra limitación importante en el uso de la fórmula del esfuerzo
cortante puede ilustrarse al hacer referencia a la figura 7-8a, la cual
muestra un elemento con una sección transversal que tiene una
frontera irregular o no rectangular. Si se aplica la fórmula del esfuerzo
cortante para determinar el esfuerzo cortante (promedio) t a lo largo
de la línea AB, éste tendrá una dirección vertical hacia abajo como
se muestra en la figura 7-8b. Sin embargo, considere un elemento
de material tomado en el punto límite B, figura 7-8c. Aquí, t en la
parte frontal del elemento se descompone en las componentes t’ y t–
que actúan de manera perpendicular y paralela a la frontera. Por
inspección, t’ debe ser igual a cero, ya que su correspondiente
componente longitudinal t’, en la superficie de frontera libre de
esfuerzo, debe ser igual a cero. Por lo tanto, para cumplir esta
condición de frontera, el esfuerzo cortante que actúa sobre este
elemento en realidad debe estar dirigido en forma tangencial a la
frontera. En consecuencia, la distribución del esfuerzo cortante a
través de la línea AB está dirigida como se muestra en la figura 78d. Aquí, los valores específicos para el esfuerzo cortante deben
obtenerse usando la teoría de la elasticidad. Sin embargo, observe
que es posible aplicar la fórmula del esfuerzo cortante para obtener
el esfuerzo cortante que actúa a través de cada una de las líneas en
gris de la figura 7-8a.
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Estas líneas intersecan las tangentes a la frontera en ángulos rectos
y, como se muestra en la figura 7-8e, el esfuerzo cortante transversal
es vertical y constante a lo largo de cada línea. Para resumir los
puntos anteriores, la fórmula del esfuerzo cortante no da resultados
exactos cuando se aplica en elementos con secciones transversales
cortas o planas, o en los puntos donde la sección transversal cambia
de manera súbita. Tampoco debe aplicarse a través de una sección
que interseca la frontera del elemento en un ángulo diferente de 90°.
En cambio, para estos casos el esfuerzo cortante debe determinarse
con métodos más avanzados basados en la teoría de la elasticidad.
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5.- USO DE LA FORMULA CORTANTE EN
VIGAS
La relación entre la distribución y esfuerzos cortantes y la fuerza
cortante resultante que actúan sobre la sección transversal de la viga,
se basa en el análisis de los esfuerzos cortantes longitudinales.
Se considera segmento definido a y’ del eje neutro. El cual posee un
ancho t’ en el corte y a los lados un área A’
Además se considera que el esfuerzo cortante longitudinal t es
constante ya actúa en la cara inferior del segmento.
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EJEMPLOS DE ESFUERZO CORTANTE
EJEM. 1.-Una viga tiene una sección transversal rectangular y está
sometida a la distribución de esfuerzos que se muestra en la figura
6-25a. Determine el momento interno M en la sección causado por la
distribución de esfuerzos, para ello (a) utilice la fórmula de la flexión,
(b) encuentre la resultante de la distribución de esfuerzos empleando
los principios
SOLUCIÓN
Parte (a). La fórmula de la flexión es όmáx = Mc>I. Con base en la
figura 6-25a, c = 6 pulg y όmáx = 2 kόi. El eje neutro se define como
la línea NA, ya que el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como
la sección transversal tiene una forma rectangular, el momento de
inercia del área respecto a NA se determina a partir de la fórmula
para un rectángulo dada en la página final de este libro, es decir,
Parte (b). La fuerza resultante para cada una de las dos
distribuciones triangulares de esfuerzo mostradas en la figura 6-25b
es gráficamente equivalente al volumen contenido dentro de cada
distribución de esfuerzos. Por lo tanto, cada volumen es
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Estas fuerzas, que forman un par, actúan en la misma dirección que
los esfuerzos incluidos en cada distribución, figura 6-25b. Además,
actúan a través del centroide de cada volumen, es decir, a 2 3 (6 pulg)
16 pulg2 == 4 pulg 4 pulg del eje neutro de la viga. Por consiguiente,
la distancia entre ellos es de 8 pulg como se muestra en la figura. En
consecuencia, el momento del par es
NOTA: Este resultado también puede obtenerse al elegir una franja
horizontal de área dA = (6 pulg) dy y al integrarla aplicando la
ecuación 6-11.
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EJEM. 2.- La viga simplemente apoyada de la figura 6-26a tiene la
sección transversal que se muestra en la figura 6-26b. Determine el
esfuerzo flexionante máximo absoluto y dibuje la distribución del
esfuerzo sobre la sección transversal en esta ubicación.
SOLUCIÓN
Momento interno máximo. El momento interno máximo en la viga,
M = 22.5 kN ∙ m, se produce en el centro.
Propiedad de la sección. Por razones de simetría, el eje neutro pasa
por el centroide C en la altura media de la viga, figura 6-26b. El área
se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de
cada porción se calcula respecto al eje neutro y usando el teorema
de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice A.) Si se
elige trabajar en metros, se tiene
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En la figura 6-26d se muestra una vista tridimensional de la
distribución de esfuerzos. Observe cómo el esfuerzo en los puntos B
y D de la sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye
con un momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma
dirección que M. De manera específica, en el punto B, yB = 150 mm,
y así
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EJEM. 3.- La viga mostrada en la figura 6-27a tiene una sección
transversal en forma de canal, figura 6-27b. Determine el esfuerzo
flexionante máximo que se produce en la viga en la sección a-a.
SOLUCIÓN
Momento interno. Aquí no es necesario determinar las reacciones
de la viga en los apoyos. En vez de esto, mediante el método de las
secciones, puede usarse el segmento a la izquierda de la sección aa, figura 6-27c. En particular, debe tenerse en cuenta que la fuerza
axial interna resultante N pasa a través del centroide de la sección
transversal. Además, se observa que el momento interno resultante
debe calcularse con respecto al eje neutro de la viga en la sección
a-a.
Para encontrar la ubicación del eje neutro, el área de la sección
transversal se subdivide en tres partes componentes como se
muestra en la figura 6-27b. Con base en la ecuación A-2 del
apéndice A, se tiene
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Esta dimensión se muestra en la figura 6-27c. Al aplicar la ecuación
de equilibrio de los momentos con respecto al eje neutro, se tiene
Propiedad de la sección. El momento de inercia respecto al eje
neutro se determina utilizando el teorema de los ejes paralelos
aplicado a cada una de las tres partes que componen el área de la
sección transversal. Si se trabaja en metros, resulta
Esfuerzo flexionante máximo. El esfuerzo flexionante máximo
ocurre en los puntos más alejados del eje neutro. Esto es en la parte
inferior de la viga, c = 0.200 m - 0.05909 m = 0.1409 m. Por lo tanto,
NOTA: La fuerza normal N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN
también contribuirán con esfuerzo adicional sobre la sección
transversal.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
•6-69. Se deben considerar dos diseños para una viga. Determine
cuál soportará un momento de M = 150 kN ∙ m con el menor esfuerzo
flexionante. ¿Cuál es ese esfuerzo?
*6-136. Una viga de abeto blanco se refuerza con franjas de acero A36 en sus partes superior e inferior, como se muestra en la figura.
Determine el momento flexionante M que puede soportar si
(όperm)ac = 22 kόi y (όperm)w = 2.0 kόi.
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6-139. La viga está fabricada de tres tipos de plástico que se
identifican y tienen los módulos de elasticidad mostrados en la figura.
Determine el esfuerzo flexionante máximo en el PVC.
•6-141. La viga de concreto reforzado se utiliza para soportar la carga
mostrada. Determine el esfuerzo normal máximo absoluto en cada
una de las varillas de refuerzo fabricadas con acero A-36 y el
esfuerzo de compresión máximo absoluto en el concreto. Suponga
que el concreto tiene una alta resistencia a la compresión y no tome
en cuenta su resistencia que soporta a tensión.
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*6-64. La varilla de acero tiene un diámetro de 1 pulg y está sometida
a un momento interno de M = 300 lb ∙ pie. Determine el esfuerzo
creado en los puntos A y B. Además, dibuje una vista tridimensional
de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal.
F7-1. Si la viga está sometida a una fuerza cortante de V = 100 kN,
determine el esfuerzo cortante desarrollado en el punto A.
Represente el estado de esfuerzo en A sobre un elemento de
volumen.
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F7-2. Determine el esfuerzo cortante sobre los puntos A y B de la
viga si ésta se encuentra sometida a una fuerza cortante de V = 600
kN.
F7-3. Determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado
en la viga.
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F7-4. Si la viga está sometida a una fuerza cortante de V = 20 kN,
determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la viga.
F7-5. Si la viga está fabricada de cuatro placas y se encuentra
sometida a una fuerza cortante de V = 20 kN, determine el esfuerzo
cortante máximo desarrollado en la viga.
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CONCLUCIÒN.
Para la elaboración de este trabajo se llevó a cabo una investigación
profunda de los temas ya mencionados;
los cuales son muy
importantes para el desarrollo estructural ya que sin la previa
investigación o el conocimiento de estas que son de vital importancia
para uno de los materiales que más son utilizados en esta rama de
la construcción como son las vigas no podríamos realizar proyectos
grandes o bien desarrollados para un bien común.
La realización de este trabajo ayuda para una mejor comprensión de
los temas y una mejor retroalimentación de lo que se ve en clase ya
que abordar cada uno de estos temas es muy importante para
nuestros desarrollo académico como profesional.
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BIBLIOGRAFIA.
https://es.slideshare.net/BETSYJIMENEZCUEVA/trabajo-final-resistencia-de-materiales60950752
http://ing.unne.edu.ar/mecap/Apuntes/Estabilidad_2/Cap06-Flexion.pdf
https://docplayer.es/64083343-Resistencia-de-materiales-1a-profesor-herbert-yepezcastillo.html
http://cervera.rmee.upc.edu/libros/Resistencia%20de%20Materiales.pdf
file:///C:/Users/Rafa/Documents/mecanica-de-materiales-russell-c-hibbeler-8vaedicionpdf.pdf
https://es.slideshare.net/BETSYJIMENEZCUEVA/trabajo-final-resistencia-de-materiales60950752
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