Estadesdica

BOLETIN BIOESTADESDICA
Estadística
Universidade da Coruña (UDC)
8 pag.
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FACULTAD DE VETERINARIA DE LUGO
BIOESTADÍSTICA
Boletín del Tema 2: Probabilidades y variables aleatorias
1. Resolver las siguientes cuestiones de combinatoria.
a) En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios diferentes. ¿De cuántos modos puede hacerse
si un alumno no puede recibir más de un premio?
b) En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios iguales. ¿De cuántos modos puede hacerse si
un alumno no puede recibir más de un premio?
c) En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios diferentes. ¿De cuántos modos puede hacerse
si un alumno puede recibir más de un premio?
d) Con las cifras 3, 5, 7 y 8, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se pueden escribir? ¿cuántos son
mayores que 5.000?
e) Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas formas puede hacerlo? ¿y
si las 4 primeras son obligatorias?
f) Si hay 27 letras diferentes. ¿Cuántos conjuntos diferentes de iniciales pueden formarse suponiendo que
cada persona tiene un único nombre y dos apellidos?
g) En una pequeña biblioteca hay 30 libros de matemáticas, de los cuales 7 son de álgebra, 8 de
geometría, 8 de análisis y 7 de estadística. Se quieren elegir 10 libros, de tal forma que haya 2 de álgebra
y de geometría y 3 de análisis y de estadística, ¿de cuántas formas se puede hacer?
h) Hay que colocar a 5 hombres y a 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares
pares. ¿De cuántas maneras se puede hacer?
i) ¿Cuántos números de teléfono se pueden formar para la provincia de Lugo? Se sabe que los tres
primeros son 982, el siguiente no puede ser un 0 y los otros cinco números pueden ser cualquiera.
j) ¿Cuántos números distintos de 8 cifras podemos formar con los números 3, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 8?
k) Cinco amigos disponen de un coche para sus desplazamientos. Si sólo dos de ellos saben conducir, ¿de
cuántas maneras pueden colocarse para sus viajes?
l) Con 7 consonantes distintas y las 5 vocales, ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan 4
consonantes distintas y tres vocales distintas?
2. Un comité de evaluación de una titulación está constituido por cinco personas. Estas cinco personas se
eligen al azar, de un grupo de profesionales de reconocido prestigio, formado por 6 hombres y 4 mujeres.
Calcular las probabilidades de que:
a) El comité se componga de 2 mujeres y 3 hombres.
b) En el comité haya menos de 3 hombres.
3. En 28 papeletas se escriben las 28 letras del abecedario. Se eligen sucesivamente, sin reemplazamiento,
cuatro papeletas al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Se obtenga en el orden de elección la palabra “dato”.
b) Se pueda escribir con las cuatro letras la palabra “dato”.
4. En una gran explotación los mil animales tienen asignado un código diferente que se corresponde con
un número entre 5000 y 5999. Si se elige un animal al azar de esa granja, ¿cuál es la probabilidad de que
los cuatro dígitos de su código sean diferentes?
5. El 45% de la población de una determinada ciudad es aficionada al fútbol, el 18% al baloncesto y el
10% a ambos deportes. ¿Qué porcentaje de la población no es aficionado a ninguno de los dos deportes?
6. Sean A y B dos eventos asociados con un experimento. Supóngase que P(A)=0,4, mientras que
P(AB)=0,7. Sea P(B)=p.
a) ¿Para qué elección de p son A y B incompatibles?
b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes?
7. Una empresa tiene tres formas diferentes de enviar un mensaje que denominamos A, B y C, siendo las
probabilidades respectivas de que el mensaje sea recibido de 0,90, 0,80 y 0,70. La empresa manda un
determinado mensaje por los tres medios. Calcular, suponiendo independencia:
a) La probabilidad de que el mensaje no sea recibido.
b) La probabilidad de que el mensaje sea recibido una sola vez.
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8. Los 400 empleados de una compañía se encuentran separados en tres divisiones: administración,
operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división
clasificados por sexo:
Mujer (M)
Hombre (H)
Administración (A)
20
30
Operación de planta (O)
60
140
Ventas (V)
100
50
a) Si se elige aleatoriamente un empleado, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la
división de administración?
b) Si al elegir aleatoriamente un empleado, resulta que es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que
trabaje en la división de operación de planta?
c) ¿Son V y H sucesos independientes?
d) ¿Son O y M sucesos incompatibles?


e) Calcular las siguientes probabilidades: P A  M , P A H , P O  H 
9. Para detectar la presencia de una cierta enfermedad en una animal perteneciente a una raza
determinada, se emplea un análisis de tal forma que la probabilidad de que el resultado sea negativo si el
animal no tiene la enfermedad es 0,95. Se sabe que el 8% de los animales de dicha raza padecen la
enfermedad; por otro lado, se ha llegado a establecer que, realizando el análisis sobre todos los animales
de esa población, daría negativo en el 90% de los casos.
a) Calcular la probabilidad de que un animal cuyo análisis ha dado negativo no padezca la enfermedad.
b) Calcular la probabilidad de que al realizar el análisis a un animal, el diagnóstico resulte equivocado.
10. Una caja contiene 30 bombillas de las cuales 4 están fundidas. Hallar la probabilidad de que si las
bombillas se van sacando de la caja una a una y se van probando, sin devolución, la última defectuosa
aparezca en la vigésima extracción.
11. El 30% de los alumnos dedican más de una hora diaria a preparar una materia, el 40% entre media
hora y una hora y el 10% no estudia nada. La probabilidad de que el alumno suspenda es 0,001 si le
dedica más de una hora y 0,25 si le dedica entre media hora y una hora. Si no estudia nada suspende
seguro y si estudia, pero menos de media hora, suspende con una probabilidad de 0,70. Si al corregir el
examen de un alumno, resulta que la nota es suspenso, ¿qué probabilidad hay de que dicho alumno
dedique por lo menos media hora diaria a estudiar la materia?
12. Una máquina se encarga de la producción de una pieza muy complicada. El 10% de los días produce
una única pieza, el 30% de los días produce dos piezas y el 60% restante produce tres piezas. Las piezas
producidas se someten a un proceso de control de calidad para comprobar si el producto final es correcto.
Sabiendo que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0,03 y que las piezas defectuosas
aparecen independientemente, calcular la probabilidad de no obtener piezas defectuosas en un día.
13. Dos pruebas clínicas A y B dan positivas con probabilidades iguales a 0,4 y 0,5, respectivamente, al
aplicarlas en animales con cierta deficiencia en la sangre. Se puede considerar que el resultado de ambas
pruebas es independiente cuando se realiza en animales con esta deficiencia. Se toma un animal con la
deficiencia, calcular la probabilidad de que:
a) Ambas pruebas han dado positivas.
b) Sólo una de ellas ha dado positiva.
c) Las dos den positivas sabiendo que la A ha dado positiva.
14. Por estudios previos se ha determinado que la probabilidad de que el suelo tenga un alto contenido en
cobre es igual a 0,4 y la probabilidad de que se encuentren plantas de menta es igual a 0,5. Sabiendo que
en el suelo no se encuentran presentes plantas de menta, existe una probabilidad igual a 0,1 de que el
contenido de cobre en suelo sea alto. Con estos datos, calcular la probabilidad de que en un suelo con alto
contenido en cobre se encuentren presentes plantas de menta. ¿Los sucesos alto contenido en cobre y
presencia de plantas de menta son independientes?
15. Al examinar pozos de agua en un distrito, con respecto a dos impurezas encontradas frecuentemente
en el agua potable, se encontró que un 20% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la
impureza A, y el 50% tenían la impureza B (naturalmente, algunos tenían ambas impurezas). Se define la
variable aleatoria X=“Número de impurezas encontradas en un pozo”. Calcular para dicha variable.la
función de masa y su media.
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16. Una persona participa en un concurso de televisión con las siguientes reglas. Si contesta
correctamente a una pregunta con cinco respuestas posibles (sólo una correcta) gana 1000 euros. En caso
contrario se le propone una segunda pregunta con tres respuestas posibles (sólo una correcta), si acierta
gana 100 euros. Si tampoco contesta correctamente a la segunda pregunta se le propone una tercera con
tres respuestas posibles (sólo una correcta), si acierta no gana nada y si falla debe pagar 50 euros. El
juego termina cuando la persona acierta o después de fallar la tercera pregunta. Si contesta al azar,
calcúlese:
a) La probabilidad de que dé una respuesta correcta.
b) La media de la ganancia.
17. Una diana está formada por tres círculos concéntricos de radios 10 cm., 20 cm. y 30 cm.
respectivamente. Los tiros que caen en el círculo central tienen 5 puntos, los que caen en la primera
corona 3 puntos y los que caen en la segunda corona 1 punto. Se sabe que la probabilidad de que un tiro
caiga en cada una de estas zonas es proporcional al área correspondiente. Supongamos que se efectúan
cuatro disparos de forma independiente y que los cuatro dan en la diana, calcúlese:
a) La puntuación esperada para cada disparo.
b) La probabilidad de que la puntuación total sea mayor que 17.
18. La probabilidad de que una persona que acude a un médico necesite hacerse una placa de rayos X es
0,2, la probabilidad de que necesite hacerse un análisis de sangre es 0,25 y la probabilidad de que
necesite ambas cosas es 0,05. Sabiendo que el coste que supone hacerse una placa de rayos X es 20
euros, el coste de un análisis de sangre es 50 euros y que el precio de la consulta es 60 euros. Calcúlese el
precio medio que deberá pagar un paciente al acudir a dicha consulta.
19. Sea Y una variable con distribución binomial de parámetros n y p, es decir, YB(n,p). Sabiendo que
E(Y)=1 y V(Y)=0,8, calcular P(Y>3).
20. La probabilidad de que un animal exótico capturado en su hábitat sobreviva en cautividad es 0,05. Si
un día se capturan 8 animales, calcular la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 2.
21. Una máquina puede tener dos tipos de averías. El número de averías del primer tipo por semana es
una variable aleatoria X con distribución binomial de media 1,4 y varianza 1,12. El número de averías del
segundo tipo por semana es una variable aleatoria Y con distribución de Poisson de tal forma que la
probabilidad de que Y sea igual a 2 es el doble que la probabilidad de que Y sea igual a 3. Si ambos tipos
de averías son independientes, calcular la probabilidad de que en una semana determinada el número total
de averías sea impar y menor que 4.
22. Sea X una variable con distribución de Poisson de parámetro , es decir, XP(). Sabiendo que
P(X=2)=3P(X=1), calcular P(X=0).
23. El número de árboles enfermos por acre en cierta sección de un bosque de pinos, Y, tiene una
distribución de Poisson con una media =10. Los árboles enfermos se fumigan con un insecticida al
precio de 2 euros por árbol y con un coste de 50 euros por el alquiler del equipo. Sea C el coste de
fumigar un acre seleccionado al azar. Calcúlese el valor esperado y la desviación típica de C
24. En un estudio sobre la longitud de un hueso de determinada especie de animales, se observa que la
mediana es 1,65 cm., y además el 11,5% son superiores a 1,80 cm. Se supone que los datos siguen
aproximadamente una distribución normal.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hueso mida menos de 1,83 cm?
b) ¿Qué intervalo contiene el 50% central de las longitudes de estos huesos?
25. La variable aleatoria X=”Peso ganado por unos cerdos después de un período de un mes”, sigue una
distribución aproximadamente normal, de tal forma que la longitud del intervalo en el que se encuentran
el 80% central de los valores de X es igual a 100. Calcular el valor de la desviación típica de X.
26. Supongamos que la distribución de estaturas, en centímetros, de los jóvenes de una país, en edad
militar, es una variable aleatoria N(175,10); y que son rechazados para cumplir el servicio militar
aquellos cuya estatura es inferior a 155 cm. o superior a 195. ¿Cuál es entonces la probabilidad de que un
soldado en filas tenga una estatura comprendida entre 172 y 181 cm.?
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27. El número de horas que un estudiante necesita para preparar un tema es una variable aleatoria X con
distribución normal. Se sabe que el 84,13% de alumnos necesita más de 3 horas y sólo el 2,28% necesita
más de 9 horas. Calcular la mediana de la variable X y el porcentaje de alumnos que necesitan más de 4
horas para preparar el examen.
28. Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión es
N(100,20) y la capacidad N(140,10), calcular la probabilidad de avería, suponiendo que la tensión y la
capacidad varían independientemente.
29. Un señor desea comprar tres libros, para lo cual tiene pensado gastar una cantidad no superior a 100
euros. Si el precio de cada uno de los libros (en euros) podemos considerarlo como una variable aleatoria
de medias 32, 40 y 26, y desviaciones típicas 8, 10 y 6 respectivamente, calcular la probabilidad de que
pueda comprarse los tres libros, suponiendo que todas las variables son normales e independientes.
30. De acuerdo con un estudio, el 49% de los consumidores de Valium son directivos de empresas. ¿Cuál
es la probabilidad de que entre 482 y 510 de 1000 consumidores de Valium seleccionados aleatoriamente
sean directivos de empresas?
31. El porcentaje de personas cuya última visita a algún profesional sanitario ha sido atendida por
personal de atención primaria es igual el 60%. Se elige una muestra de 50 personas atendidas por
personal sanitario el primer día de este mes, calcular:
a) La probabilidad de que al menos 20 de las citadas personas hayan sido atendidas por personal de
atención primaria.
b) Calcular la probabilidad de que entre 35 y 40 personas hayan sido atendidas por personal de atención
primaria.
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Tema 2: Probabilidades y variables aleatorias
Ejercicios adicionales
1. Resolver las siguientes cuestiones de combinatoria.
a) Una bandera tiene tres franjas. Si se pinta cada una de un color, ¿cuántas banderas distintas pueden
formarse si se dispone de cinco colores y pueden repetirse los colores? ¿y si no pueden repetirse?
b) ¿Cuántos boletos hay que cubrir para tener con total seguridad una primitiva con 6 aciertos?
c) Para tener con seguridad una quiniela con 14 aciertos ¿cuántas columnas hay que rellenar?
d) Un entrenador de un equipo de fútbol dispone de una plantilla de 25 jugadores, de los cuales 3 son
porteros, 8 defensas, 8 centrocampistas y 6 delanteros. Si en el equipo titular juegan: 1 portero, 4
defensas, 4 centrocampistas y 2 delanteros, ¿cuántos equipos titulares distintos puede presentar?
e) Un estudiante dispone de cinco libros distintos de Matemáticas y cuatro libros distintos de Física. ¿De
cuántas formas diferentes puede colocarlos en la estantería de su biblioteca si quiere poner juntos todos
los de Matemáticas y también los de Física? Y si quiere que no estén juntos dos libros de Matemáticas,
¿de cuántas formas los puede colocar?
f) ¿De cuántas formas diferentes pueden perseguir 3 perros a 3 gatos? Se supone que cada uno de los
perros persigue exactamente a un único gato.
g) Un granjero tiene que ordeñar 5 vacas, que representaremos por A, B, C, D y E. Si sólo dispone de una
máquina, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? ¿De cuántas podría hacerlo si la primera tiene
que ser la C y la última no puede ser la D?
h) Una persona tiene en su armario 5 chaquetas, de las cuales 2 son azules; cuatro pantalones, entre los
cuales sólo uno es azul; y 8 camisas, de las que 3 son azules. Si esta persona, para vestirse, elige una
chaqueta, un pantalón y una camisa, ¿de cuántas formas diferentes puede hacerlo si no quiere llevar
ninguna prenda azul? Y si quiere llevar más de una prenda azul, ¿de cuántas formas puede hacerlo?
2. De 6 números positivos y 8 números negativos se eligen sin reposición cuatro números al azar y se
multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número positivo?
3. En una ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta reciente de lectores indica lo
siguiente: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 4% lee B y C y 2% lee A, B y
C. Para una persona elegida al azar, calcular la probabilidad de que:
a) No lea ninguno de los periódicos.
b) Lea exactamente uno de los periódicos.
4. En Estados Unidos, el 30% de los habitantes son obesos (A), el 3% sufren diabetes (B) y el 2% son
obesos y sufren diabetes.
a) ¿Son los sucesos A y B independientes?
b) ¿Son los sucesos A y B incompatibles?
c) Calcular la probabilidad de que una persona escogida al azar sea obesa o sufra diabetes.
5. Se propone el mismo problema a dos alumnos. La probabilidad de que lo resuelva el primero es 0,5, la
probabilidad de que lo resuelva el segundo es 0,25 y la probabilidad de que lo resuelvan los dos es 0,1.
Calcular la probabilidad de que el problema: a) No sea resuelto. b) Sea resuelto por un único alumno.
6. En un almacén hay tres envases que contienen un producto que se emplea para la realización de un
determinado experimento de gran dificultad. El producto de uno de los tres envases se encuentra en mal
estado, por lo que el experimento no va a tener éxito si se emplea dicho envase. Cuando el producto se
encuentra en buen estado la probabilidad de éxito en cada uno de los experimentos es del 50%. De los
tres envases se elige uno al azar, y con él se repite cuatro veces el experimento. Si en estas cuatro
realizaciones del experimento no hubo ningún éxito ¿cuál es la probabilidad de que el escogido sea el que
contiene producto en mal estado?
7. Un ciudadano tiene la mala costumbre de emborracharse la mitad de los días. Para abrir su casa tiene
un llavero en el que hay cinco llaves muy parecidas, una de las cuales es la que le permite entrar. Incluso
los días que está sereno, nuestro amigo, que es muy distraído y no reconoce cual de las llaves es la que
abre su casa, tiene que probar una a una las llaves hasta dar con la adecuada. Los días que está borracho
prueba llave tras llave pero, al ser incapaz de discernir si una llave ya ha sido probada o no, entrar en la
casa puede costarle un número más o menos elevado de pruebas. Si observándole un día a distancia
vemos que el hombre logró entrar en su casa a la tercera tentativa, ¿qué probabilidad asignaremos a la
posibilidad de que ese día estuviera borracho?
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8. A un puesto aduanero llegan periódicamente misiones diplomáticas procedentes de un determinado
país y que están constituidas por diez miembros. El citado país es un gran productor de marihuana,
circunstancia que, de vez en cuando, es aprovechada por sus misiones diplomáticas para introducir algún
que otro cargamento en el país que visitan, siendo la forma de hacerlo el que dos de los diez miembros
lleven en su maleta la hierba. Los aduaneros tienen ya información del truco, pero, para no producir
incidentes diplomáticos, se limitan a inspeccionar dos de las diez maletas. Su experiencia les dice además
que el 10% de las misiones portan droga.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una inspección los aduaneros encuentren droga?
b) Si en una inspección, los aduaneros no encuentran droga, ¿cuál es la probabilidad de que realmente
dicha misión no lleve droga?
9. En una población, el 35% de los sujetos tienen menos de 21 años de edad, el 45% tienen entre 21 y 65
años, y el resto, tienen más de 65 años. Supongamos que la probabilidad de padecer cierta enfermedad es
2/100 para los de edad menor de 21 años, 1/20 para los que la edad está comprendida entre 21 y 65 años,
y 1/7 para los mayores de 65 años. Si elegimos una persona al azar:
a) Calcular la probabilidad de que dicha persona padezca la enfermedad.
b) Calcular la probabilidad de que dicha persona tenga menos de 21 años y padezca la enfermedad.
c) Si esta persona padece la enfermedad, calcular la probabilidad de que tenga menos de 21 años.
d) ¿Son los sucesos “edad menor de 21 años” y “padecer la enfermedad” independientes?
e) ¿Son los sucesos “edad menor de 21 años” y “edad superior a 65 años” incompatibles?
10. En un hospital especializado en enfermedades de tórax sólo ingresan pacientes por tres enfermedades:
un 45% con bronquitis, un 30% con neumonía y un 25% con gripe. La probabilidad de curación completa
en una semana es de 0,75 si la enfermedad que originó el ingreso fue bronquitis y 0,8 si fue neumonía. Se
sabe además que la probabilidad de que una persona que ingrese en el hospital se cure completamente en
una semana es igual a 0,82.
a) Si una persona padece gripe, ¿cuál es la probabilidad de curación completa en una semana?
b) Un enfermo internado en el hospital se ha curado completamente en una semana. Hallar la
probabilidad de que dicho enfermo hubiera ingresado con bronquitis.
11. Un profesor se olvida de poner el despertador 1 de cada 10 días de los que tiene clase a la mañana
siguiente. Cuando pone el despertador, hay una probabilidad de 0,1 de que llegue tarde a clase; mientras
que la probabilidad de que llegue tarde es de 0,4 si no se acordó de poner el despertador:
a) Calcular la probabilidad de que el profesor llegue un día tarde a clase.
b) Si un día determinado, el profesor no llegó tarde a clase. ¿Cuál es la probabilidad de que se hubiese
olvidado de poner el despertador?
12. A partir de una investigación a nivel nacional, se sabe que, aproximadamente el 10% de los
individuos de alrededor de 50 años de edad sufren un tipo particular de artritis. Para detectar esta
enfermedad, se utiliza un test cuyo resultado es positivo en el 85% de los casos cuando se aplica en un
individuo enfermo. Si el test se pone a prueba con un individuo sano, se obtiene que el porcentaje de
individuos con resultado positivo es del 4%.
a) Se elige una persona al azar de la población considerada y se le aplica el test. ¿Cuál es la probabilidad
de que el resultado sea correcto?
b) Se elige una persona al azar y se le aplica el test. Si el resultado es negativo, ¿cuál es la probabilidad
de que realmente el individuo no padezca la enfermedad?
13. Suponiendo que la demanda diaria de un artículo (D) es una variable aleatoria discreta con la
siguiente función de masa:
d
P ( D  d )  p ( d )  C .2
d!
,
d  1,2 ,3,4
Calcular el valor de la constante C. Calcular también la media de la variable D.
14. Las piezas producidas en una máquina son examinadas por tres procesos independientes de revisión.
En el proceso A se examinan el 40% de las piezas, en el proceso B se examinan el 75% de las piezas y en
el proceso C se examinan el 80% de las piezas. Se define la variable aleatoria discreta X, como el número
de procesos de revisión por los que ha pasado una determinada pieza.
a) Calcular la función de masa de la variable X.
b) Calcular el valor esperado de la variable X.
c) ¿Qué es más probable, que una pieza no haya pasado ningún proceso de revisión, o que haya pasado
los tres?
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15. Una fábrica produce diariamente doce recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay una
probabilidad constante p=0,95 de producir uno correcto. Antes de que estos recipientes se almacenen son
inspeccionados y los defectuosos se apartan. Supongamos que hay una probabilidad constante igual a 0,1
de que un recipiente sea mal clasificado, es decir, que sea clasificado como defectuoso siendo correcto o
que sea clasificado como correcto estando defectuoso. Si se define X como el número de recipientes
clasificados como correctos al cabo de un día, calcular la media y la varianza de X. (Suponemos que
todos los recipientes que se fabrican en un día se inspeccionan ese mismo día).
16. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica, se inyecta a ratas albinas un fármaco
que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, el 8% de las ratas mueren a causas del
fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 100 animales con el fármaco, ¿cuál es
la probabilidad de que mueran menos de 5 animales antes de finalizar el experimento?
17. Un técnico de mantenimiento de una empresa repara una media de tres máquinas al día. ¿Cuál es la
probabilidad de que un día determinado tenga que reparar por lo menos dos?
18. Para calcular las tarifas de precios de cualquier empresa, es necesario tener en cuenta la adquisición
de material y el mantenimiento del mismo. Una máquina empleada en una clínica puede tener dos tipos
de averías que pueden considerarse independientes. El número de averías por año del primer tipo (X) es
una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro , es decir, XP(), de la que se sabe
que P(X=2)=3P(X=4). El número de averías por año del segundo tipo (Y) es una variable aleatoria con
distribución binomial con n=4 y con varianza igual a 1. Con esta información, calcular la probabilidad de
que en un año determinado el número total de averías sea igual a 1.
19. El número de urgencias por hora que llegan a un hospital A es una variable aleatoria con distribución
de Poisson de media 2. El hospital A puede atender un máximo de 3 urgencias por hora, desviando el
resto a un hospital cercano B. Calcular el número medio de urgencias atendidas por hora en el hospital A.
20. Un restaurante está especializado en el cochinillo asado. Estos animales le son proporcionados por
una granja y se ha llegado, tras larga experiencia, a determinar que la distribución de su peso es
aproximadamente normal. Más aún, se sabe que el 33% pesan menos de 2780 gramos y que el 7,5%
pesan más de 3720 gramos. El cocinero considera impresentable todo cochinillo que pese menos de 2600
gramos, devolviéndolos en dicho caso a la granja. ¿Cuál es el porcentaje de cochinillos que se
devuelven?
21. Un estudio reciente ha demostrado que la altura de la almeja roja (X) se distribuye de forma
aproximadamente normal con una media de 20,3 mm y con desviación típica de 1,4 mm.
a) Dibujar de forma aproximada la gráfica de la función de densidad de X.
b) Calcular la probabilidad de que la altura de una almeja seleccionada al azar sea menor de 20,5 mm.
c) Calcular la probabilidad de que la altura de una almeja seleccionada al azar se encuentre entre 19,4 y
20,2 mm.
22. En 1969, se descubrió que los faisanes de Montana padecían una apreciable contaminación por
mercurio que podía deberse a que habían comido semillas de plantas que fueron tratadas durante su
crecimiento con metilo de mercurio. Sea X el nivel de mercurio de un pájaro en partes por millón. Si X se
distribuye normalmente con media igual a 0,25 y de tal forma que la probabilidad de que X tome valores
entre 0,15 y 0,35 es igual a 0,4, calcular la probabilidad de que X tome valores entre 0,27 y 0,33.
23. La longitud de cierto hueso (expresada en milímetros) siguen una distribución aproximadamente
normal. Se sabe que hay una probabilidad de 0,758 de que la longitud sea mayor que 43 y una
probabilidad igual a 0,579 de que sea menor que 52.
a) Gráficamente, calcular la probabilidad de que la longitud de uno de estos huesos esté comprendida
entre 43 y 52 milímetros.
b) Calcular la media y la desviación típica de la longitud de los huesos
c) Calcular la probabilidad de que uno de estos huesos mida entre 38 y 40 milímetros.
24. Se supone que en cierta población el índice cefálico (cociente entre el diámetro transversal y el
longitudinal expresado en tanto por ciento) es una variable aleatoria X con distribución normal. Se sabe
que el 58% de los habitantes son dolicocéfalos (X menor que 75) y el 4% son braquicéfalos (X mayor
que 80).
a) Calcular y representar en el gráfico de distribución adecuado, la probabilidad de que un individuo sea
mesocéfalo (valores de X entre 75 y 80).
b) Calcular la media y la desviación típica de X.
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25. Un determinado test de inteligencia sigue una distribución normal con media igual a 100. Se
distinguen tres grupos: el grupo I formado por los que tienen un coeficiente menor que 85; el grupo II
formado por los que tienen un coeficiente entre 85 y 110 y, el grupo III formado por aquellas personas
que tienen un coeficiente superior a 110. Además se sabe que el 22% de la población está en el grupo I.
a) Calcular la probabilidad de que un individuo forme parte del grupo III.
b) De un total de 100 personas, calcular la probabilidad de que al menos 40 formen parte del grupo II.
26. En un experimento realizado en un laboratorio se miden dos magnitudes independientes X e Y, que
siguen aproximadamente una distribución normal. Para la variable X, se tiene que X  N (21,3), mientras
que Y  N (22,σ). A partir de éstas se calcula una nueva magnitud W, mediante la expresión W = X – Y.
a) Calcular σ, sabiendo que el 40% de las mediciones de Y son mayores que 23.
b) Calcular la probabilidad de que W tome un valor negativo.
27. Un vendedor ambulante de comida para perros sabe, por larga experiencia, que el 10% de los hogares
tienen perros y que la probabilidad de que consiga realizar una venta en uno de estos es 0,5.
a) Calcúlese la probabilidad de que, si visita 7 hogares, al menos dos de ellos tengan perros.
b) Calcúlese la probabilidad de que, si visita 100 hogares, consiga realizar alguna venta.
c) Supuesto que la ganancia obtenida con cada una de las ventas es 5 euros, calcúlese la ganancia que
espera obtener al visitar 20 hogares.
d) Si en una semana visita 100 hogares con perros, calcúlese la probabilidad de que en esa semana
consiga realizar entre 45 y 55 ventas.
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