Integrales-Triples

Curso: Estadística
Docente: Inga. Dulce Díaz
INTEGRAL TRIPLE:
Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración
definida simple a una función de tres variables f (x, y, z);
tomando en consideración en función de que variable se
encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy,
dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.
UTILIDAD DE LAS INTEGRALES TRIPLES:
Generalmente se utilizan para el cálculo de volúmenes de
curvas espaciales cerradas o de cuerpos espaciales tales
como esferas, elipsoides, cubos, tetraedros o
combinaciones de estas superficies.
Sea f una función continua de tres variables
f : S  R 3  R en una región sólida acotada B
Supongamos primero que B es una caja rectangular
(paralelepípedo rectangular)
B  x, y , z  / a  x  b,c  y  d , p  z  q
B  a,b c,d   p, q
Primero dividamos el rectángulo B en n subcajas . Para esto dividamos los tres
lados en n partes iguales.
El intervalo [a,b] quedará dividido en n subintervalos, xi 1 , xi  con una ancho
igual a x
[c,d] quedará dividido en n subintervalos y j 1 , y j  con ancho igual a  y
y el intervalo [p,q] en subintervalos zk 1 , zk  con ancho igual a z
Cada subcaja Bijk tiene un volumen V  x  y  z .
Si formamos la suma triple de Riemann
 f x
n
n
n
i 1 j 1 k 1
ijk

, y ijk , z ijk  V


donde el punto muestra x ijk , y ijk , z ijk está en Bijk
Definimos la integral triple como el limite de las sumas triples
riemannianas, para cuando la norma de la partición tiende a cero
Definición: “ La integral triple”
Sea f una función continua de tres variables, definida en una región
sólida acotada B, si
 f x
n
lim
 0
n
n
ijk
i 1 j 1 k 1

, y ijk , z ijk V
existe, decimos que f es integrable en B. Además la
 f ( x, y , z )dV
B
llamada la integral triple de f en B, está dada entonces por
 f x, y , z dV  lim  f x
n
B
 0
n
n
i 1 j 1 k 1
ijk

, y ijk , z ijk A
“Propiedades de la integral triple”
Sean f y g funciones integrables región sólida B, y sea c una
constante. Entonces f + g y cf son integrables y
  f ( x, y , z )  g( x, y , z )   f ( x, y , z )dV   g( x, y , z )dV
B
B
B
 cf ( x, y , z )dV c f ( x, y , z )dV
B
B
 f ( x , y , z )dV   f ( x , y , z )dV   f ( x , y , z )dV
B
B1
B2
Donde B es la unión de dos regiones sólidas B1 y B2 sin
solapamiento.
“Cálculo de integrales triples ”
Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para
evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas
Teorema de Fubini para las integrales triples”
“Si f es continua en una caja rectangular
B  a,b c,d   p, q
entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral
triple”
q d b
 f ( x , y , z )dV   f ( x , y , z )dxdydz     f ( x , y , z )dxdydz
B
p c
a
q b
d
B


  
p a c
b q d
a
p c
f ( x , y , z )dydxdz
f ( x , y , z )dydzdx
Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Definición:“La integral sobre regiones elementales”
Sea S un conjunto cerrado y acotado en el espacio
tridimensional. Sea B cualquier caja que contiene a S
Dada f definida y continua en S, definimos una nueva función F
con dominio B mediante
 f ( x , y , z ) si( x , y , z )está en S
F( x, y )  
 0 si (x, y, z)  S y (x, y)  B
Definición:“La integral sobre regiones elementales”
Si la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la
integral triple de f sobre S como
 f ( x , y , z )dV  F ( x, y , z )dV
S
B
Nota: Esta integral existe si f es continua y la frontera de S es
razonablemente suave.
“La integral triple sobre regiones elementales:
Regiones tipo 1
Regiones:“Tipo 1 o z-simples”
Se dice que una región sólida B es de tipo 1 si se halla entre las
gráficas de dos funciones continuas de x e y , es decir


S  x, y , z  / x, y  Dxy ,1 ( x, y )  z  2 ( x, y )
donde Dxy es la proyección de S en el plano XY. La frontera
superior del sólido es la superficie de
ecuación z  2 ( x, y ) en tanto que
S
la frontera inferior es la sup. de
ecuación z  1( x, y )
Entonces si S es una región tipo 1

S
2 ( x , y )

f ( x , y , z )dV   
f ( x , y , z )dz  dA
 1 ( x , y )

D
xy
Además, si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una región tipo1


S  x , y , z  / a  x  b, g1 ( x )  y  g 2 ( x ),1( x , y )  z  2 ( x , y )
la ecuación anterior se convierte en
b
g 2 ( x ) 2 ( x , y )
a
g1 ( x )
 f ( x, y , z )dV   
S

1 ( x , y )
f ( x , y , z )dzdydx
y=g1(x)
S
y=g2(x)
Si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una región tipo2


S  x, y , z  / c  x  d , h1 ( y )  x  h2 ( y ), 1( x, y )  z  2 ( x, y )
la ecuación anterior se convierte en
d
h2 ( y )  2 ( x , y )
c
h1 ( y )
 f ( x, y , z )dV   
S

1 ( x , y )
f ( x , y , z )dzdxdy
Ejercicio-Evalúe la integral triple
 zdV
donde S es el tetraedro
S
sólido
acotado por los cuatro planos
x=0 , y=0 , z=0 y x+y+z = 1
S
Regiones tipo 2
Una región sólida S es de tipo 2 si es de la forma


S  x, y , z  / x, y  Dyz ,1 ( y , z )  x  2 ( y , z )
Donde Dyz es el proyección sobre el plano YZ.
La superficie de atrás es x  1( y , z ) , la superficie de enfrente
es x  2 ( y , z )
así que tenemos

S
 2 ( y ,z )

f ( x , y , z )dV   
f ( x , y , z )dx  dA
 1 ( y ,z )

D
yz
Regiones tipo 3
Una región sólida S es de tipo 3 si es de la forma


S  x , y , z  / x , y   Dxz , 1 ( x , z )  y  2 ( x , z )
Donde Dxz es el proyección sobre el plano YZ.
La superficie de la izq. es y  1( x, z ) , la superficie de la
derecha es y  2 ( x, z )
así que tenemos

S
 2 ( x ,z )

f ( x , y , z )dV   
f ( x , y , z )dy  dA
 1 ( x ,z )

D
xz
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Aplicaciones de la integral triple
CONSIDERACIONES IMPORTANTES
Una forma alternativa del Teorema de Green es la siguiente:
Análogamente, el Teorema de la divergencia, llamado también
de Gauss relaciona una integral triple sobre una región sólida
Q con una integral de superficie sobre la superficie de Q. Para
poder aplicar este Teorema es necesario que la superficie
S sea cerrada y que corresponda además, al borde completo
del sólido Q.
Teorema de la divergencia
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de
Gauss,
teorema
de
Gauss
Ostrogradsky,
teorema
de
Green
Ostrogradsky o teorema de Gauss Green Ostrogradsky, relaciona el flujo de
un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de
su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se
puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los
sumideros da el flujo de salida neto de una región. Es un resultado importante
en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de
vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.
Historia
El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762,
e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en
1825 y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera
demostración del teorema. Posteriormente, variaciones del teorema de
divergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, y Teorema
de Ostrogradsky.
Enunciado
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual
generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el
matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado
hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con
otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas
de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la
distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema
recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de
las ecuaciones de Maxwell.
Ejemplo de aplicación
Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS
EJEMPLO 1: Sea Q la región sólida acotada por los planos de
coordenadas y por el plano
Solución: En la figura de la derecha vemos
que Q está acotada por cuatro porciones de
superficie. En consecuencia, serían
necesarias cuatro integrales de superficie
para calcular la doble integral anterior.
Sin embargo, el teorema de la divergencia permite llegar al
resultado con sólo una integral triple. Realizando lo siguiente:
Tenemos que :
Cambio de variables en integrales triples.
El teorema del cambio de variables para integrales triples es
análogo al de integrales dobles. El resultado correspondiente es
Ejemplos habituales de cambios de variables.
Vamos a describir los cambios de variables más importantes en R3
indicando a qué tipo de recintos de integración están asociados.
Cambios de Variable usuales
Bibliografía


FACULTAD
DE
INFORMÁTICA
ANÁLISIS
MATEMÁTICO DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA 2ª
CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO
2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA
APLICADA II Lección 2. Integrales múltiples.
Linkografia:
Integrales Múltiples y sus aplicaciones
http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdf
Integrales Triples
http://www.monografias.com/trabajos78/integralestriples/integrales-triples.shtml
Integrales Triples
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_t
riples
Ejercicios de Integrales Triples
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdf
Teorema de la divergencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia
Ejercicio Integrales Triples - Calculo Integral
https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4