Ecuaciones Diferenciales, 15 de abril de 2020 Conceptos Previos a las Ecuaciones Diferenciales En cursos anteriores se obtuvieron herramientas que permiten resolver diferentes tipos de problemas matemáticos. En particular, en el estudio del álgebra se presentaron diferentes métodos para resolución de ecuaciones. En este documento buscamos recordar los conceptos que permitían obtener esos procedimientos y esas soluciones, presentado un esquema lógico asociado. Operaciones Aritméticas Recordemos que, dados números reales, una operación aritmética corresponde a la aplicación de un procedimiento a uno o más de ellos de forma de obtener un nuevo valor. Ejemplos: Consideremos los números 2, 5 y 9. Podemos hacer las operaciones Unaria (de a uno): 22 = 4, log 3 9 = 2 Binaria (de a dos): 5 ⋅ 2 = 10 Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas son estructuras (palabras o conjuntos de palabras) matemáticas que se construyen con literales (letras) y coeficientes (números) a los cuales se les aplica operaciones aritméticas. Se denotan por letras mayúsculas A, Y, etc. Los literales se separan en dos tipos 1. Parámetro: es un literal que representa un valor conocido o que se puede conocer sin realizar un procedimiento extraordinario (se puede asignar). Generalmente se denotan por las primeras letras del alfabeto 𝑎, 𝑏, etc. 2. Variable: Es un literal cuyo valor numérico es desconocido a priopi, es decir, antes de aplicar cualquier procedimiento no se conoce. Generalmente se denotan por 𝑥, 𝑦, etc. Ejemplo: 𝑨 = √𝑎𝑥 − 𝑦2 3 + 𝑏 cos(𝑧) es una expresión algebraica con parámetros 𝑎, 𝑏 y variables 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝐴 = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑎, 𝑏) Igualdad Algebraica Corresponde a dos expresiones algebraicas que están relacionadas mediante el símbolo " = ". Esto significa que ambas expresiones son una y la misma. Ejemplo: Sean 𝑨 = √𝑎𝑥 − 𝑦2 3 + 𝑏 cos(𝑧), 𝑩 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dos expresiones algebraicas entonces 𝐴=𝐵 Ecuaciones Diferenciales, 16 de abril de 2020 En una igualdad cada expresión algebraica que la define se llama miembro. El que se encuentra a la izquierda se llama miembro izquierdo y la misma para el que se encuentra a la derecha. Toda igualdad algebraica puede escribirse como una igualdad con cero. Defino 𝐶 = 𝐴 − 𝐵, entonces: 𝐴=𝐵 ⇔ 𝐶=0 Ecuación Algebraica. Igualdad algebraica en la cual se encuentran involucradas una o más variables. Ejemplo: Sea 𝑩(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, entonces podemos construir la ecuación: 𝐵 = 0 ⇔ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Resolución de una Ecuación Resolver una ecuación corresponde a encontrar las estructuras específicas de las incógnitas que hacer que la igualdad que define a la ecuación se satisfaga. ¿Cuál es el procedimiento para resolver una ecuación? • • • • Paso 1: Dada la ecuación considero el tipo de solución, es decir que estructuras podrían ser. Paso 2: Identificar el tipo de ecuación, para poder utilizar el algoritmo de solución correspondiente. Paso 3: Aplicar el algoritmo de solución. Paso 4: Presentar la solución. Ejemplo: Consideremos la siguiente ecuación real. 𝑒 2𝑥 − 3𝑒 𝑥 + 2 = 0. • • • Paso 1: Los valores de 𝑥 calcular deben ser números reales. Paso 2: Es una cuadrática en una exponencial. Debo aplicar un cambio de variable 𝑢 = 𝑒 𝑥 y luego resolver la ecuación cuadrática resultante. Paso 3: Aplicando el cambio propuesto se tiene que 𝑒 2𝑥 = (𝑒 𝑥 )2 y por tanto se resuelve: 𝑢2 − 3𝑢 + 2 = 0 (𝑢 − 1)(𝑢 − 2) = 0 𝑢−1= 0 ∨ 𝑢−2= 0 De donde los valores de 𝑢 serían 𝑢 = 1, 𝑢 = 2. Retornando a la variable original 𝑒𝑥 = 1 ∨ 𝑒𝑥 = 2 • Paso 4: Los valores que son solución de la ecuación son 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = ln(2). Ecuaciones Funcionales Se trata de ecuaciones algebraicas dónde la incógnita es una función. Esto es, se busca obtener al menos el dominio y las fórmulas de evaluación de las mismas. Ejemplo: Sea 𝑔: ℝ2 → ℝ tal que 𝑔(𝑥, 𝑦) = 3𝑒 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦. Se requiere resolver la ecuación funcional: 3𝑔 − 5𝑓 = 0. • • • Paso 1: Se deben considerar como solución funciones reales 𝑓. Paso 2: Es una ecuación lineal funcional. Esto es, es una ecuación lineal pero la incógnita es una función. Paso 3: Se puede que aplicar el siguiente procedimiento de despeje: 3𝑔 − 5𝑓 = 0 ⇒ 3𝑔 = 5𝑓 ⇒ 3 𝑔=𝑓 5 Se deduce que Dom(𝑓) = ℝ y además evaluando ambos miembros de la igualdad queda: 3 3 3 9 3 3 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ( 𝑔) (𝑥, 𝑦): = 𝑔(𝑥, 𝑦) = (3𝑒 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦) = 𝑒 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦 5 5 5 5 5 5 • Paso 4: Así, la función solución tiene forma: 9 3 3 𝑓: ℝ2 → ℝ, 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦. 5 5 5 Ecuaciones Diferenciales, 20 de abril de 2020 Ecuaciones Diferenciales Son ecuaciones funcionales en las cuales la función incógnita está diferenciada a cierto orden, ya sea parcial o totalmente, es decir, la incógnita depende de más de una variable o de una única variable respectivamente. Ejemplo: Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ2 → ℝ , 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), la función incógnita de la siguiente ecuación diferencial 𝜕𝑓 𝜕 2 𝑓 + =0 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 Esta ecuación es una Ecuación Diferencial Parcial (EDP) de Segundo Orden. Por otro lado, sea 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ tal que 𝑔′′ + 3𝑔′ − 5𝑔 = ℎ Donde ℎ(𝑥) = cos (𝑥). Esta ecuación sería una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Segundo Orden en 𝑔. Ejercicio: Resolvamos la Ecuación Diferencial Ordinaria de primer Orden dada por 3 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑥 2 + tan(𝑥) ⇒ 𝑦(𝑥) = ∫ (𝑥 2 + tan(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑥 ⁄3 − ln|cos(𝑥)| + 𝑐
