AD-ASE-1213

Departamento de Ingeniería Eléctrica,
Electrónica y de Control
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES
.
“Análisis de Sistemas Eléctricos”
Adenda
Curso 2012/2013
(Código 524141)
Equipo Docente de la asignatura
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
Sistemas de Energía Eléctrica
GUÍA DE LA ASIGNATURA
1) INTRODUCCIÓN.
Se trata de una asignatura que tiene un carácter fundamentalmente tecnológico y es de
tipo terminal ya que sus contenidos no sirven de base para asignaturas posteriores y sin
embargo, requiere de conocimientos de asignaturas anteriores, fundamentalmente de "Teoría
de Circuitos” y de “Máquinas Eléctricas”. Su objetivo principal es proporcionar al alumno
una base científica y técnica que le permita conocer y entender la naturaleza de los problemas
relacionados con los sistemas de energía eléctrica, su planteamiento matemático y los
modelos más usuales o relevantes utilizados para su representación, así como algunos de los
métodos y herramientas de cálculo adecuadas para su resolución.
2) CONTENIDOS.
El programa de la asignatura se ha dividido en seis temas agrupados, siguiendo la
metodología de la UNED, en tres Unidades Didácticas:
UNIDAD DIDÁCTICA 1. El sistema eléctrico de potencia.
TEMA 1.
Sistemas de energía eléctrica. Generalidades: la producción y demanda de
energía eléctrica, el sector eléctrico español, descripción general de los
sistemas de energía eléctrica, aparamenta eléctrica, descripción de
instalaciones típicas.
TEMA 2.
Representación de los elementos del sistema: transformadores trifásicos,
sistemas por unidad, análisis por unidad de transformadores y de sistemas de
potencia, transformadores de regulación, el generador síncrono, modelo de la
línea de transporte y la carga.
UNIDAD DIDÁCTICA 2. Análisis del sistema eléctrico de potencia.
TEMA 3.
Funcionamiento del sistema eléctrico en estado normal: Los modelos de la red
a través de la matriz |Ybus|, el flujo de cargas.
TEMA 4.
Corrientes de cortocircuito en el generador. Cortocircuitos trifásicos
equilibrados.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
UNIDAD DIDÁCTICA 3. Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado.
TEMA 5.
Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado: componentes
simétricas y cortocircuitos desequilibrados.
PROGRAMACIÓN:
No existen Unidades Didácticas editadas por la UNED en esta asignatura, por lo que
es necesario utilizar una obra general externa. El libro seleccionado como texto base es el del
autor FERMÍN BARRERO titulado "Sistemas de energía eléctrica" (la referencia completa
de este libro se da en el apartado 3).
A continuación se detalla qué capítulos y apartados debe estudiar de ese libro de
acuerdo al programa de la asignatura:
Unidad Didáctica 1: El sistema eléctrico de potencia.
Capítulo 1: Sistemas de energía eléctrica. Generalidades[completo (pgs. 1-32)]
Capítulo 2: Modelo del transformador y sistema por unidad [completo (pgs. 33-61)]
Capítulo 3: Modelo del generador [completo (pgs. 62-82)]
Capítulo 5: Modelo de la línea [completo (pgs.118-153)]
Unidad Didáctica 2: Análisis del sistema eléctrico de potencia.
Capítulo 6: Flujo de potencias [completo, excepto apartados 6.6 y 6.7 (pgs. 154-184 y
pgs. 189-198)]
Capítulo 8: Corrientes de cortocircuito. Cortocircuitos trifásicos equilibrados [completo
(pgs. 249-276)].
Unidad Didáctica 3: Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado.
Capítulo 9: Componentes simétricas y cortocircuitos desequilibrados [completo (pgs.
277-317)]
Como orientación para cuando planifique el estudio de la asignatura, del tiempo total
que le dedique creemos que le debe llevar estudiar la primera Unidad Didáctica un 45% de ese
total (aunque es la unidad más amplia de contenido, muchos puntos serán para usted un repaso
de lo ya visto en otras asignaturas de la especialidad), un 35% la segunda y un 20% la tercera.
Por último, al final de este documento se explica y desarrolla con más detalle el
programa propuesto, se relaciona con los apartados concretos del texto básico y se exponen
algunos puntos necesarios que o bien no vienen en el libro o bien, si están, los desarrolla de
forma mucho más extensa de lo que necesitamos. Con esta explicación podrá entender la unidad
lógica de contenido que hemos seguido en la concepción del programa de la asignatura.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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3) TEXTO BASE
− “Adenda de Líneas y Redes Eléctricas”, realizada por el equipo docente de la
asignatura, DIECC-UNED (es este mismo documento, que se encuentra también en
la página que la asignatura tiene en el servidor del Departamento en Internet,
http://www.ieec.uned.es, en la sección “Docencia del DIEEC”).
− FERMÍN BARRERO "Sistemas de energía eléctrica". Ed. Thomsom, Paraninfo,
2004.
4) BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
El libro dado como bibliografía básica junto a la Adenda que hemos escrito son
suficientes para preparar de forma completa el contenido de la asignatura. Sin embargo, para
aquellos alumnos que deseen consultar además otros libros, dentro de las obras clásicas que
tratan del análisis de los sistemas eléctricos de potencia se pueden destacar, por ejemplo, las
siguientes:
−
J.J. GRAINGER y W.D. STEVENSON Jr. "Análisis de sistemas de potencia". Ed.
McGraw-Hill, 1995.
− GRAINGER, J. J. y STEVENSON, W. D. Jr. Power system analysis. Ed.
McGraw-Hill, 1994. (Nota: esta obra es la versión original en inglés del libro
anterior en esta lista; para aquellos alumnos que no tengan dificultad para estudiar
en inglés, le recomendamos utilizar este texto).
− A.R. BERGEN. Power System Analysis. Ed. Prentice-Hall, 1986.
− O.I. ELGERD. Electric energy systems theory. An introduction (2ª edición). Ed.
McGraw-Hill, 1982.
− M.E. EL-HAWARY. Electrical power system. Design and analysis (revised
printing). Ed. IEEE Press, 1995.
− I.J. NAGRATH Y D.P. KOTHARY. Modern power system analysis (2ª edición).
Ed. Tata McGraw-Hill, 1993.
− A. GÓMEZ EXPÓSITO (coordinador). Análisis y operación de sistemas de
energía eléctrica. Ed. McGraw-Hill, 2002.
5) OTRO MATERIAL DE APOYO.
Desde este curso existe una página de la asignatura en el servidor del Departamento en
Internet donde se ofrece información referente a la misma que le puede ser útil, incluyendo
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los problemas resueltos de las pruebas presenciales de años anteriores. También incluye
enlaces con otros servidores de empresas e instituciones importantes del sector eléctrico.
Pretendemos que esta información que vaya enriqueciendo y actualizando a lo largo del
curso, para lo que nos gustaría contar con su colaboración.
La dirección de Internet del servidor del Departamento, a la que debe conectarse, es:
http://www.ieec.uned.es y allí buscar la asignatura en el apartado “Docencia del DIEEC”.
6) PRUEBAS DE EVALUACIÓN A DISTANCIA. PRÁCTICAS DE LABORATORIO
En esta asignatura no hay que realizar Pruebas de Evaluación a Distancia. Tampoco
hay Prácticas de Laboratorio.
7) PRUEBAS PRESENCIALES
Al ser una asignatura cuatrimestral del 20 cuatrimestre, solamente hay Pruebas
Personales finales en junio y septiembre.
Estas pruebas constarán de varios ejercicios teórico prácticos en examen eliminatorio
de tipo test, junto con el desarrollo de algunos problemas de tipo práctico, similares a los
incluidos en esta Adenda. Lea atentamente el enunciado de cada uno de los ejercicios antes de
resolverlos.
No podrá aprobarse la asignatura si no se supera la prueba tipo test, independientemente
de la nota de los problemas y tenga en cuenta que errores graves de concepto pueden hacer que
la Prueba finalmente no se supere, sea cual sea la media obtenida. En cualquier caso, los errores
graves, tanto en teoría como en problemas, podrán bajar la nota final. Como ocurrirá
posteriormente en su vida profesional como Ingeniero, es mejor que si no sabe algo, no conteste
cualquier cosa por peregrina que sea.
Las Pruebas Presenciales tienen por objeto evaluar los conocimientos del alumno en las
materias tratadas en la asignatura, no a determinar si el alumno sabe resolver mecánicamente los
problemas tipo. Por ello le aconsejamos que no “aprenda a hacer problemas”. Desde el
principio, trate de comprender las materias propuestas y de conocer y valorar los parámetros de
los que dependen cada uno de los temas tratados en el programa. Con ello aprenderá además a
juzgar si un resultado es coherente o incoherente y sabrá si ha cometido algún error en el
desarrollo de un problema.
En las Pruebas Presenciales no está permitido el uso de ningún tipo de material de
consulta; sólo se puede utilizar calculadora. Dispone de dos horas para realizar la Prueba.
8) HORARIO DE ATENCIÓN AL ALUMNO
Las consultas se puede realizar durante la guardia, por teléfono o personalmente, y
por correo postal o electrónico.
Horario de guardia:
Lunes, de 16:00 a 20:00 horas.
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Teléfono:
Fax:
Correo electrónico:
91 398 6474 (Prof. M. Valcárcel)
91 398 6028
[email protected]
En Internet:
http://www.ieec.uned.es y allí buscar la asignatura en el
apartado ”Docencia del DIEEC”.
Dirección:
Depto. de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de Control
E.T.S. de Ingenieros Industriales - UNED
Ciudad Universitaria s/n.
28040 MADRID
DIECC-UNED
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Sistemas de Energía Eléctrica
ADENDA
INTRODUCCIÓN.
En esta Adenda se explica y se desarrolla con más detalle el programa propuesto y se
relaciona con los apartados concretos del texto básico (esos apartados del libro se indican en la
Adenda [en cursiva y entre paréntesis rectos]). También se exponen algunos puntos necesarios
que o bien no vienen en el libro o bien, si están, los desarrolla de forma mucho más extensa de
lo que necesitamos. Con esta explicación podrá entender la unidad lógica de contenido que
hemos seguido en la concepción del programa de la asignatura.
Por esta razón y tal y como se indica en el punto 3 de la “Guía de la asignatura”, esta
Adenda no es tan solo un documento con orientaciones que simplemente debe leer al principio
de la asignatura, sino que es parte de la bibliografía que debe estudiar. Téngalo muy en cuenta.
Es importante señalar desde el principio que para el estudio de los sistemas eléctricos
de potencia es imprescindible conocer los conceptos básicos relativos a los circuitos de
corriente alterna y a los sistemas trifásicos. Aunque usted ya los vio en la asignatura “Teoría
de circuitos”, y por lo tanto debe saberlos, es conveniente que repase esos apartados para
refrescar esos conceptos.
UNIDAD DIDÁCTICA 1. El sistema eléctrico de potencia.
TEMA 1.
Sistemas de energía eléctrica. Generalidades: la producción y demanda de
energía eléctrica, el sector eléctrico español, descripción general de los
sistemas de energía eléctrica [Apartados 1.1 a 1.5 y Adenda], aparamenta
eléctrica, descripción de instalaciones típicas [Apartados 1.6 y 1.7].
TEMA 2.
Representación de los elementos del sistema: transformadores trifásicos,
sistemas por unidad, análisis por unidad de transformadores y de sistemas
de potencia [Apartados 2.1 a 2.6 y Adenda], transformadores de regulación
[Apartado 2.7], el generador síncrono [Capítulo 3 y Adenda], modelo de la
línea de transporte y la carga [Apartados 5.1 a 5.8 y Adenda].
1.1 Antecedentes históricos de los sistemas eléctricos
La electricidad es la forma de energía más utilizada hoy en día en la industria y en los
hogares. La electricidad es una forma de energía relativamente fácil de producir en grandes
cantidades, de transportar a largas distancias, de transformar en otros tipos de energía y de
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consumir de forma aceptablemente limpia. Esta presente en todos los procesos industriales y
en prácticamente todas las actividades humanas por lo que se puede considerar como
insustituible... Y no seguimos cantando sus bondades ya que estamos convencidos de que
usted, como casi Ingeniero y alumno de la especialidad de Electrónica y Automática, es de
nuestra opinión.
Sin embargo, su historia es relativamente reciente ya que el inicio de la tecnología
eléctrica está aceptado situarlo en el último tercio del siglo XIX. Esa tecnología se desarrolla
a partir de la base científica, experimental y teórica, que sobre la electricidad se había
elaborado y formulado a lo largo de todo ese siglo.
En 1871 Gramme presenta la primera dinamo industrial movida por una máquina de
vapor, lo que supuso poder disponer de electricidad en forma corriente continua y en cantidad
“abundante”, sustituyendo así a las pilas utilizadas hasta entonces como únicas fuentes de
electricidad (la pila había sido inventada por Alessandro Volta en el año 1800). Otro hito
importante ocurrió el 4 de septiembre de 1882 cuando Thomas A. Edison, utilizando 6
generadores de corriente continua con una potencia total de 900 CV y unas 7200 bombillas
(inventadas también por él a finales de 1879), ilumina la calle Pearl en Nueva York,
acontecimiento que tuvo una enorme repercusión en su momento y que se reconoce como el
primer sistema de distribución de energía eléctrica utilizado para alumbrado público.
Desde ese momento queda claro el enorme potencial, técnico y económico, que
supone la energía eléctrica; la carrera por su control y utilización fue imparable. Así, ese
mismo año, 1882, L. Gaulard y J. Gibbs presentan la primera patente del transformador,
patente que en 1885 es comprada por George Westinghouse. Al año siguiente, en 1886, G.
Westinghouse realiza el primer sistema de alumbrado público en corriente alterna en Great
Barnington (MA, EE.UU.) y funda su empresa para el desarrollo y utilización de la
electricidad en corriente alterna: la Westinghouse Electric and Manufacturing Co. En 1888
Nikola Tesla inventa y patenta el primer motor de inducción, Westinghouse compra la patente
y contrata a Tesla.
En los años 1888 y 1889 se vive una apasionante guerra tecnológica y comercial: la
lucha entre los defensores de los sistemas de corriente continua, encabezados por Edison a
través de su empresa, la Edison General Electric Co., y los de los sistemas de corriente
alterna, con Westinghouse a la cabeza. Los sistemas en corriente continua presentaban el gran
problema de las pérdidas de energía por efecto Joule debidas a la intensidad de corriente que
circulaba por el sistema, problema más grave cuanto mayor es la potencia demandada: para
minimizar en lo posible esas pérdidas los generadores debían estar en las propias ciudades, en
el centro de la zona que alimentaban (de ahí el nombre de “central” que todavía se utiliza en
español para designar a las instalaciones de generación). La gran ventaja que supuso el poder
transportar la energía eléctrica en corriente alterna desde las centrales generadoras, situadas a
muchos kilómetros de los consumidores, gracias a poder elevar la tensión mediante
transformadores, y el desarrollo y la utilización en la industria de los motores de inducción a
partir de la patente de Tesla, dieron finalmente la victoria a los sistemas de corriente alterna.
Con la presentación del primer sistema trifásico, entre Frankfurt y Lauffen, presentado en
1891 en la Exposición de Frankfurt y la construcción de la central de las Cataratas del Niagara
en 1895, la corriente alterna queda definitivamente aceptada como la forma de generar,
transportar y distribuir la energía eléctrica.
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Desde finales del siglo XIX y durante todo el siglo XX , el crecimiento de los sistemas
eléctricos ha ido a la par del avance tecnológico de la sociedad, hasta el punto de considerar el
consumo de energía eléctrica como uno de los indicadores más claros del grado de desarrollo
de un país.
Los primeros sistemas eléctricos estaban aislados unos de otros; el crecimiento de la
demanda de electricidad, y de la consiguiente capacidad de generación y de transporte, supuso
un rápido proceso de concentración empresarial y de interconexión de esos pequeños sistemas
dando lugar a otros mucho más grandes, tanto en potencia como en extensión geográfica. La
figura 1 muestra un esquema de la composición de un sistema eléctrico de generación,
transporte y distribución de energía eléctrica.
La generación de energía eléctrica tiene lugar en las centrales eléctricas. La mayor
parte de las centrales son hidráulicas y térmicas, tanto convencionales (carbón, fuel y gas)
como nucleares: en ellas una turbina, hidráulica o de vapor respectivamente, mueve el
alternador que produce la energía eléctrica. Actualmente se está ampliando el tipo de centrales
y así, aunque aun con una potencia instalada mucho menor que las anteriores, ya existen
centrales de turbina de gas, de cogeneración (aprovechando el calor residual de ciertos
procesos industriales para generar vapor), de ciclo combinado (que combinan una turbina de
gas con un ciclo térmico clásico agua/vapor), basadas en energías renovables (eólicas,
fotovoltaicas, de biogas obtenido a partir de la biomasa o de residuos sólidos urbanos, etc.).
Los generadores de la central producen la energía en media tensión, a de 6 a 20 kV, tensión
que se eleva mediante los transformadores de salida de la central, para ser inyectada en la red
de transporte. La frecuencia del sistema de corriente alterna que se genera es fija y está
normalizada: 50 Hz en Europa y 60 Hz. en América.
La red de transporte y distribución está formada por las líneas que llevan esa energía
hasta los consumidores. El transporte se hace en alta tensión (400, 220 y 132 kV) para
disminuir las pérdidas. La red de alta tensión es una red geográficamente extensa, va más allá
de las fronteras de los países, y mallada; en los nudos de esa malla, donde las líneas se
interconectan (es decir, a donde llegan y de donde salen), se encuentran las subestaciones en
las que están los transformadores, para cambiar a los niveles de tensión de las líneas, los
elementos de mando y de protección, que sirven para manipular y proteger la red
(interruptores, seccionadores, fusibles, pararrayos, etc.), y los elementos de medida, que
permiten conocer en todo momento la situación del sistema y los valores de las variables más
importantes. De algunas de esas subestaciones salen líneas a menor tensión que forman las
redes de distribución en media tensión (de 66 a 1 kV) que finalmente, y conforme llegan hasta
los últimos consumidores, se transforman en otras redes de baja tensión (400 y 230 V)
Por último están los consumidores de esa energía eléctrica que se genera en las
centrales. Esos consumidores, también llamados cargas, se conectan a la red en alta tensión
(grandes industrias y, sobre todo, las redes de distribución de media tensión), en media
tensión (industrias, distribución a las ciudades y redes de distribución en baja tensión) y en
baja tensión (la mayoría de nosotros: pequeñas industrias y los consumidores domésticos
finales).
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Fig. 1. Esquema de un sistema eléctrico de potencia.
1.2. El Sistema Eléctrico Nacional.
Hasta la primera mitad de la década de los 80, el sector eléctrico español estaba
formado por un reducido conjunto de grandes empresas eléctricas privadas con una estructura
vertical (es decir, cada una integraba los negocios de generación, transporte, distribución y
comercialización de la energía eléctrica) y una empresa pública, Endesa, que tan solo tenía
generación (centrales térmicas que consumían carbón nacional). El funcionamiento del
sistema se realizaba de forma similar a la descrita en el apartado anterior: cada empresa
funcionaba como un área de control y gestionaba su sistema buscando su óptimo económico,
estableciendo o no, según le conviniese, acuerdos bilaterales de compra y venta de energía
con las empresas vecinas.
En el año 1984 esta situación cambia con la entrada en vigor del Marco Legal Estable.
Esta ley garantizaba la viabilidad de las empresas eléctricas como un monopolio a cambio de
una fuerte intervención en su gestión, al entender el sector eléctrico como un servicio público.
Así, se crea Red Eléctrica de España (REE), que pasa a ser la propietaria de la red de
transporte en alta tensión (que se nacionaliza), y la generación se centraliza tanto en la
planificación (a través del PEN, Plan Energético Nacional) como en su funcionamiento según
el denominado “funcionamiento en ‘pool’”: todo el sistema se gestiona como una única
empresa mediante un despacho centralizado (que realiza REE) con una distribución posterior
de los costes y de los beneficios entre las empresas.
En el año 1996, con la Directiva Europea del Mercado Interno de Electricidad se
pretende liberalizar el mercado de la energía eléctrica en la Unión Europea rompiendo los
monopolios que, en distintas formas, existían en cada país. En España esa directiva dio lugar,
en el año 1997, a la Ley del Sector Eléctrico que ha supuesto un cambio radical del sector al
introducir la liberalización de las actividades reguladas (se prohibe la tradicional integración
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vertical de negocio de las empresas eléctricas) y al suprimir el concepto de servicio público,
los monopolios y la planificación centralizada.
Así, actualmente en nuestro país el mercado eléctrico está desregulado y funciona
como una especie de bolsa donde se compra y vende energía eléctrica mediante un sistema de
casación entre las ofertas de venta de energía, presentadas por los productores que tienen la
generación, y las ofertas de compra realizadas por los comercializadores. Para supervisar este
mercado de compra/venta, la Ley del Sector Eléctrico establece la creación de dos entidades
independientes: el Operador del Mercado y el Operador del Sistema. El primero,
encomendado a OMEL 1, es el garante de la operación económica del sistema mediante la
gestión de ese mercado de ofertas de compra y de venta de energía eléctrica. El segundo,
encomendado a REE 2, es el que garantiza el funcionamiento del sistema desde el punto de
vista técnico, para asegurar la continuidad, calidad, seguridad y coordinación de las
operaciones de generación y transporte.
España es uno de los primeros países en crear y en poner en marcha su mercado
eléctrico desregulado, modelo que está sirviendo de ejemplo a seguir para otros países. Sin
duda será un nicho importante de trabajo para futuros ingenieros (además de economistas,
abogados, etc.) que usted debe considerar cuando salga de la Escuela.
Como es fácil ver, el tema del mercado eléctrico es mucho más amplio de lo que aquí
se ha explicado, y el objetivo principal de esta asignatura se limita a conocer qué es y cómo
funciona un sistema eléctrico.
1.3 Descripción del sistema, las instalaciones y aparamenta eléctrica.
En los últimos apartados del capítulo 1 [1.5 a 1.7] se explica como esta formado un
sistema de distribución de energía eléctrica y se describen sus elementos fundamentales, tanto
para la transmisión de potencia ( transformadores y líneas), como los elementos necesarios en
toda instalación real para su protección y medida (interruptores, seccionadores, interruptores
automáticos y transformadores de medida, entre otros). Por último se muestran planos y
esquemas de instalaciones tipo, con sus aspectos técnico-constructivos más relevantes.
2.1. Representación del sistema. Cálculo en valores por unidad.
En un sistema eléctrico de potencia real existen valores muy dispares de potencias
(generadas, consumidas, nominales de equipos, etc.), de intensidades y, sobre todo, distintos
niveles de tensión debidos a los transformadores. Eligiendo un conjunto apropiado de dos de
esas variables se puede hacer que todas las variables del circuito (potencias, tensiones,
intensidades e impedancias) sean adimensionales, que estén expresadas en “en tanto por uno”:
esto es lo que define como cálculo en valores por unidad [2.3].
Como verá, la principal ventaja del cálculo en por unidad es que los distintos niveles
de tensión que hay en el sistema “se unifican” y, por lo tanto, “desaparecen” los
transformadores (que se representan simplemente por una impedancia serie): de esta forma el
circuito equivalente que representa el sistema se reduce a un circuito plano y conexo formado
por fuentes e impedancias que se resuelve, sin mayor problema, mediante las herramientas de
cálculo de la teoría de circuitos [2.6].
1
2
Compañía Operadora del Mercado Español de Electricidad S.A. (http://www.omel.es)
Red Eléctrica de España S.A. (http://www.ree.es)
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Los elementos del sistema se representan mediante símbolos y, con éstos, el sistema
eléctrico completo se representa mediante un esquema denominado diagrama unifilar que
permite “ver”, de una forma rápida, la topología del sistema y los elementos que lo forman.
La otra representación del sistema es el denominado diagrama de impedancias [Ejemplo 2.1]
en el cual cada elemento del sistema se representa por su modelo de impedancias, expresadas
en valores por unidad. Así, el diagrama de impedancias es simplemente el circuito
monofásico equivalente fase-neutro del sistema trifásico que es el sistema eléctrico de
potencia.
Es muy importante que tenga claro el trabajo con valores por unidad y cómo
representar el sistema a través de los diagramas unifilar y de impedancias, ya que ello es la
base de todos los cálculos que a lo largo de la asignatura se realizarán para analizar y estudiar
los distintos aspectos del sistema.
Hasta ahora hemos hablado de “los elementos del sistema”. Los elementos que vamos
a considerar en la asignatura son básicamente cuatro: el transformador, el generador, la línea
de transporte y la carga. A continuación se estudia cada uno de ellos en detalle.
2.2. Elementos del sistema (I): el transformador de potencia.
El transformador de potencia se estudia en el capítulo 2 del libro. En él se repasan los
conceptos básicos que ya conoce: circuito equivalente del transformador trifásico [2.1],
introduciendo la notación en por unidad [2.4 y 2.5] y el estudio del desfase que introduce en
función de la conexión de los devanados [2.6].
A partir de aquí, se estudian tres tipos de transformadores que, como variantes del
transformador trifásico de potencia, se pueden encontrar en los sistemas eléctricos: el
transformador de dos devanados [2.4], el transformador de tres devanados [2.5] y el
transformador con tomas [2.7]. Este último es el más importante de ellos por ser el más
habitual y, sobre todo, por su papel fundamental en el control de la potencia que circula por
las líneas.
Se finaliza el capítulo describiendo el modelo general del transformador, recalcando y
justificando una vez más la importancia y la facilidad de cálculo que conlleva la utilización de
los valores por unidad [2.7].
Ejercicio 1.
a) Demostrar que la matriz de admitancias que relaciona las tensiones e intensidades, en
valores reales, de dos nudos entre los que se conecta un transformador de relación t : 1,
es:
Ybus
 Y
=  cc  *
− Ycc t

− t Ycc 

t 2Ycc 
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b) Dibujar el circuito equivalente en Π del transformador, que permite obtener la matriz
antes citada. Nota: supóngase que t es real para la resolución de este apartado.
c) Determinar la corriente del primario y secundario, en valores por unidad y en valores
reales, de un transformador de 10 MVA, de relación U1/U2 = 1,02 e-jΠ/18, donde las
tensiones por unidad de los nudos entre los que se conecta el transformador son U1 = 1,0
∠0º y U2 = 0,95 ∠10º. La impedancia de cortocircuito del transformador es Zcc = j 0,04.
Tómese como bases del sistema, la potencia nominal del transformador y una tensión de
15 kV.
Solución:
a)
Partiendo del equivalente eléctrico del transformador sin la rama paralelo, tenemos:
i1
Zcc
U1
i'2
E1
E2
U2
Para obtener la matriz de admitancias entre los nudos 1 y 2 se deben obtener las relaciones
entre las tensiones e intensidades en dichos nudos. Considerando que para el análisis las
intensidades tienen sentido entrante, tendremos que i2=-i’2.
U 1 = E1 + i1 Z CC
U 2 = E2
E1 
=t
E2
i1
1
=
i'2 t *

U 1 = U 2 t + i1 Z CC


U1 − U 2t
i1 =
= YCCU 1 − t YCCU 2
Z CC


i2 = −i ' 2 = −t * i1 = −t * YCCU 1 + t 2YCCU 2
por tanto
 i1   YCC
i  = − t *Y
 2 
CC

− t YCC  U 1 

t 2YCC  U 2 
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b)
El equivalente en π del circuito entre los nudos tiene la forma:
Ys
i1
Y2P
Y1P
U1
i2
U2
De la matriz de admitancias obtenida en el apartado a) y con t real, se deduce que:
Y11 = YCC = YS + Y1P
Y12 = −tYCC = −YS
Y21 = −tYCC = −YS
Y22 = t 2YCC = YS + Y2 P
De las igualdades anteriores se desprende que sólo se puede representar con su equivalente en
π a un transformador en el que no haya desfase en ángulo entre los extremos, ósea si t es real,
dado que dicho desfase no puede representarse en un circuito de ese tipo.
Despejando se obtiene
YS = tYCC
Y1P = (1 − t )YCC
Y2 P = t (t − 1)YCC
tYcc
i1
U1
(1-t)YCC
i2
t(t-1)YCC
U2
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Del resultado obtenido también se desprende que el equivalente en π sólo puede representar la
realidad si Ycc no tiene parte real, pues de otra forma se obtendrían resistencias negativas en
las admitancias en derivación, al depender su valor de (1-t) y de (t-1).
c)
15 kV
= 14,7 kV
1,02
U 1 = 1∠ 0 º .15 kV = 15∠ 0 º kV U 2 = 14 ∠10 º kV
U 1B = 15 kV
Z CCB
U 2B =
U 12B
=
= 22,5 Ω
SB
Z CC = j 0,04.22,5 = j 0,9 Ω
YCC =
1
= − j1,11 = 1,11∠−900
j 0,9

t = 1,02 ∠−100

− YCC t = −1,11∠−900 1,02 ∠−100 = −1,133∠−1000

− YCC t * = −1,11∠−9001,02 ∠100 = −1,133∠−800
YCC t 2 = 1,11∠−9001,04 = 1,155 ∠−900

i1 = 1,11∠−90015 ∠ 00 − 1,133∠−100014 ∠100 = 800 ∠−900 A

i2 = −1,133∠−80015 ∠ 00 + 1,155 ∠−90014 ∠100 = −822 ∠−800 A
2.3. Elementos del sistema (II): el generador síncrono.
El generador, que se encuentra en las centrales de producción de energía eléctrica y
que es un generador síncrono, se estudia en el capítulo 3 del libro. Como en el caso anterior,
los primeros apartados del capítulo deben ser para usted un recordatorio de los conceptos
relativos a este tipo de máquina que vio en la asignatura “Máquinas eléctricas”: descripción
del generador, su principio de funcionamiento y su circuito equivalente [3.1 a 3.3]. De este
repaso le debe quedar claro cómo se genera un sistema trifásico de potencia y los conceptos
de reactancia síncrona, Xs, de tensión interna, Ei, y de ángulo de potencia, δ.
El funcionamiento del generador en régimen permanente se ve en los dos apartados
siguientes donde se explica el control de la potencia activa y de la potencia reactiva generada
[3.4] y la curva de carga del generador [3.5] que define los puntos (la zona) de
funcionamiento posible del generador en condiciones normales.
2.4. Elementos del sistema (III): la línea de transporte.
El tercer elemento del sistema es la línea eléctrica que, junto a los transformadores y a
los elementos de maniobra y protección (interruptores, seccionadores, protecciones, etc.),
forman la red de transporte y distribución de energía eléctrica. Tal y como se explica en [5.2 y
5.3], la línea se caracteriza mediante su impedancia serie, por fase y unidad de longitud, y su
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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admitancia paralelo, también por fase y unidad de longitud. El cálculo de estos parámetros R,
L y C el libro lo ha desarrollado en el capítulo anterior [4] y queda fuera del programa de la
asignatura (es decir, siempre que se necesiten esos parámetros serán un dato).
En función de la longitud de la línea y del tipo de estudio que se desea realizar, existen
diferentes modelos de la línea de transporte. Así, para una frecuencia de 50 Hz, las líneas se
clasifican como cortas (líneas de longitud inferior a 100 km), de longitud media (de 100 a 300
km) y largas (de más de 300 km). Las representaciones de los dos primeros tipos son de
parámetros concentrados, mientras que en el modelo de la línea larga hay que considerar los
parámetros distribuidos a lo largo de la longitud de la línea.
Teniendo en cuenta los tipos de estudios que se van a ver en esta asignatura es
suficiente con los modelos de parámetros concentrados de línea corta y de línea de longitud
media [5.4]. A partir de estos dos modelos (especialmente del segundo) es muy importe el
conocer el flujo de potencia que se puede transmitir a través de la línea [5.5 y 5.6] y la forma
de compensar la impedancia para disminuir la caída de tensión, a partir de inductancias o
condensadores en serie o paralelo, según las condiciones de funcionamiento [5.7].
Ejercicio 2.
El sistema trifásico de la figura consta de los siguientes elementos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Generador G1 100 MVA, 15 kV, Xsg1= 0,15 p.u
Generador G2 80 MVA, 15 kV, Xsg2= 0,15 p.u
Línea L1 y L3 impedancia 10 + j 50 Ω/fase
Línea L2 y L4 impedancia 20 + j 60 Ω/fase
Transformador T1, 80 MVA, 15/165 kV, XCCT1=0,1 p.u
Transformador T2, 60 MVA, 165/12 kV, XCCT2=0,1 p.u
Carga M1, a potencia constante de 50 MVA a 165 kV y fdp=0,8 inductivo
Carga C2, de impedancia constante, 40 MVA a 165 kV y fdp = 0,95 capacitivo
Interruptores S1, S2, S3 y S4 de impedancia despreciable
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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a) Dibujar el esquema del sistema, por fase, indicando los valores de las impedancias en
valores por unidad, tomando como base 100 MVA y 15 kV.
b) Con los interruptores S1 y S3 cerrados y S2 y S4 abiertos, determinar la tensión y corriente
en la carga C2 y en el generador G1, en valores por unidad y valores reales, para mantener
la carga M1 a una tensión de 165∠0º kV.
c) Con los interruptores S3 y S4 cerrados y S1 y S2 abiertos, determinar la tensión y la
corriente en el generador G1, en valores por unidad y valores reales, para mantener la
carga C2 a una tensión de 165∠0º kV, con el generador G2 a tensión de 13∠+5º kV.
Solución
En primer lugar se determinan los valores base de los distintos tramos del sistema.
SB= 100 MVA
Tramo 1
U 1B = 15 kV
Z 1B
U 12B 15 2.10 6
=
=
= 2,25 Ω
S B 100.10 6
I 1B =
SB
100.10 6
=
= 3850 A
3U 1B
3.15.10 3
X G1 = 0,15 p.u sin cambio de base
X CCT 1Nueva = X CCT 1 Anterior .
Tramo 2
2
S Bnueva U Banterior
100 15 2
= 0,1.
= 0,125 p.u
. 2
.
80 15 2
S Banterior U Bnueva
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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U 2 B = U 1B
U 2T 1
165
= 15
= 165 kV
U 1T 1
15
165 2.10 6
= 272,25 Ω
100.10 6
100.10 6
I 2B =
= 350 A
3.165.10 3
100 165 2
X CCT 2 Nueva = 0,1.
= 0,1666 p.u
.
60 165 2
10 + j 50
L1 pu = L3 pu =
= 0,037 + j 0,184 = 0,188∠78,6 0
272,25
20 + j 60
L2 pu = L4 pu =
= 0,073 + j 0,22 = 0,232∠71,650
272,25
Z 2B =
C 2 ( Z cte) ⇒ S C 2 = 40∠ − arc cos 0,95 MVA = 40∠ − 18,2 0 MVA ⇒ Z C 2 =
Z C 2 pu =
646,56 − j 212,6
= 2,375 − j 0,78 = 2,5∠ − 18,2 0
272,25
M 1 ( P cte) ⇒ S M 1 = 50∠36,87 0 MVA
50∠36,87 0
S M 1 pu =
= 0,5∠36,87 0
100
Tramo 3
12
= 12 kV
165
U 12B 12 2.10 6
=
=
= 1,44 Ω
S B 100.10 6
U 1B = 165
Z 1B
I 1B =
SB
100.10 6
=
= 4811 A
3U 1B
3.12.10 3
X G 2 Nueva = 0,15.
100 15 2
= 0,293 p.u
.
80 12 2
Por tanto, el esquema del sistema por fase en valores por unidad es
U C2 2
165 2.10 2
=
S C* 2 40.10 2 ∠18,2 0
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Smotor =0,5 36,86º
0,037+j 0,184
j 0,125
0,073+j 0,22
2
j 0,16
0,037+j 0,184
3
0,073+j 0,22
j 0,29
j 0,15
2,375-j078
b) El esquema del circuito planteado es en este apartado
j 0,125
2
0,037+j 0,184
0,037+j 0,184
UC
j 0,15
2,375-j 0,78
Smotor =0,5 36,86º
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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U M 1 = 165∠0º kV = 1∠0º p.u
0,5∠ − 36,86º
= 0,4 − j 0,3
1∠0º
U C = U M 1 + iM 1 (0,037 + j 0,184) = 1∠0º + (0,4 − j 0,3)(0,037 + j 0,184) = 1,07 + j 0,062 = 1,072∠3,3º
S M 1 = U M 1 .iM* 1 ⇒ iM 1 =
por otro lado
U C = iC 2 .(0,037 + j 0,184 + 2,375 − j 0,78) ⇒ iC 2 = 0,411 + j 0,128 = 0,431∠17,3º
U C 2 = iC 2 .Z C 2 = 0,431∠17,3º.2,375∠ − 18,2º = 1,023∠ − 1º = 168,9∠ − 1º kV
y U G1 = U C + (iM 1 + iC 2 ). j 0,125 = 1,091 + j 0,162 = 1,103∠8,4º = 16,5∠8,4º kV
c) En el esquema del sistema ahora propuesto el motor M1 está desconectado
j 0,125
0,037+j 0,184
0,073+j 0,22
j 0,16
j 0,29
j 0,15
UG1
2,375-j 0,78
UC2
UG2
13∠5º
165∠0º
p.u = 1∠0º p.u y U G 2 = 13∠5º kV =
p.u = 1,083∠5º p.u
165
12
1∠0º
=
= 0,38 + j 0,125 = 0,4∠18º = 140∠18º A
2,5∠ − 18,2º
U C 2 = 165∠0º kV =
iC 2 =
UC2
ZC2
UG2 −U C2
= 0,274 − j 0,155 = 0,315∠ − 29,6º = 1515,5∠ − 29,6º A
0,073 + j 0,22 + j 0,1666
iG1 = iC 2 − iG 2 = 0,38 + j 0,125 − 0,274 + j 0,155 = 0,106 + j 0,28 = 0,3∠69,3º = 1155∠69,3º A
iG 2 =
U G1 = U C 2 + iC 2 .( j 0,125 + 0,037 + j 0,184) = 1,022 + j 0,09 = 1,026∠5º = 15,4∠5º kV
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2.5. Elementos del sistema (IV): la carga.
El cuarto y último elemento que vamos a necesitar para estudiar y analizar un sistema
eléctrico de potencia son las cargas. Las cargas son quienes consumen la potencia generada
por los generadores, que se encuentran en las centrales de producción de energía eléctrica, y
que llega a ellas a través de la red de transporte. Las cargas se encuentran en los nudos de esa
red y pueden ser grandes consumidores (por ejemplo, una gran industria) o, en la mayoría de
los casos, son otras redes eléctricas de distribución, de menor tensión, que van llevando esa
energía eléctrica al resto de consumidores más pequeños.
En el texto base que utilizamos en esta asignatura no hay un capítulo que hable de las
cargas, por lo que los modelos de carga que se van a necesitar los veremos a continuación en
este apartado.
Aunque en general las cargas evolucionan en el tiempo, para los estudios del sistema
eléctrico de potencia que vamos a ver en la asignatura se considerará, siempre que no se diga
lo contrario, el régimen permanente por lo que se admitirá que las cargas no varían en el
tiempo. En cuanto a su representación dentro del sistema, se distinguen tres tipos de cargas:
− Cargas de impedancia constante. Son cargas estáticas cuya impedancia, como indica su
nombre, es constante y, por lo tanto, la potencia que consumen depende de la tensión que
haya en cada instante en el nudo en el que están conectadas. Ejemplo de este tipo de
cargas son las baterías de condensadores o de inductancias. Estas cargas se definen por el
valor de su impedancia por fase o por su potencia nominal (que es la potencia que
consumen a la tensión nominal del nudo al que están conectadas). Se representan
mediante los valores correspondientes de R y X en paralelo, tal y como se representa en la
figura 2.a (es más útil esta representación que la de la rama equivalente serie, con R y X
en serie, como verá más adelante a la hora de construir la matriz de admitancias de nudo).
− Cargas de potencia constante. Son cargas cuyos valores especificados de P y Q
consumidos son constantes, independientemente de la tensión que exista en cada momento
en el nudo en el que están conectadas. Por este motivo no pueden representarse mediante
una impedancia o una fuente, así que se hace mediante una flecha indicando los valores de
P y Q correspondientes (figura 2.b). Este tipo de cargas son las más frecuentes en los
sistemas eléctricos de potencia; por ejemplo, se comportan como cargas de este tipo los
grandes consumidores, los motores eléctricos y otras redes de distribución a menor
tensión.
− Cargas de intensidad constante. Este tipo de cargas son bastante escasas y se caracterizan
por presentar una intensidad I consumida constante e independiente de la tensión que
exista en cada momento en el nudo en el que están conectadas. Se representan mediante
una fuente de intensidad I (figura 2.c).
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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Fig 2. Representación de las cargas: (a) de impedancia constante,
(b) de potencia constante y (c) de intensidad constante.
Ejercicio 3.
En el diagrama de la figura, la tensión del generador (nudo1), se eleva mediante dos
transformadores trifásicos idénticos en paralelo, T1 y T2, a 230 kV (nudo 2), que alimentan a
una carga y a una línea de 50 km que termina en otro transformador T3 a cuya salida se
conecta un motor a 69 kV.
Las características nominales de los diversos elementos del sistema son:
Generador
100 MVA, 15 kV, Xsg= 0,1 p.u
T1 y T2
50 MVA, Y-Δ, 15/230 kV, Xcc= 0,2 p.u
T3
70 MVA, Δ-Y, 230/69 kV, Xcc= 0,1 p.u
Z de línea (2-3)
XL = j 6 Ω/fase
Carga (Z constante) 20 MW, 230 kV
Motor (P constante) 50 MVA, 69 kV, f.d.p 0,8 inductivo
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Tomando como base los valores nominales del generador y suponiendo que en la situación
considerada el valor medido de la tensión en bornes del motor es de 69 kV, determinar en
módulo y argumento:
a) La corriente en el motor y la tensión, corriente y potencia en la carga.
b) La tensión, corriente y potencia desarrollada por el generador
c) La tensión y corriente en la línea del primario del transformador T3.
Solución:
El circuito equivalente por fase del sistema propuesto es:
1
Xcc1
2
XL
3
Xcc3
4
Xcc2
Smotor =P+jQ
X''g
UG
Zc
UCarga
UMotor
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El sistema normal del problema se resuelve mediante análisis por unidad, cuyo primer paso es
la elección de los parámetros base. Se toma la potencia nominal del generador como base de
potencias y las tensiones de línea en cada tramo como referencia para la determinación de las
tensiones base de cada uno de ello.
La ventaja del cálculo en valores por unidad es poder resolver el sistema sin necesidad de
considerar las relaciones entre tensiones y corrientes de cada línea en cada tramo,
dependiendo de relaciones de transformación y las conexiones en los transformadores. La
utilización de las tensiones entre líneas como referencia en todos los casos facilita el cálculo,
sea cual sea la conexión de los transformadores.
Si los datos de partida de los transformadores no hubiesen sido dados como tensiones de
entrada y salida en la conexión correspondiente, sino que se hubiese dado directamente la
relación de espiras en cada uno de ellos, tendría primero que determinarse la tensión entre
líneas correspondiente de cada tramo antes de definir las tensiones de base.
Por otro lado, la única precaución que debe tenerse cuando hay conexiones mixtas en los
transformadores es que hay desfase entre las tensiones de cada tramo y consecuentemente,
también en las corrientes. Por ello, adicionalmente debe considerarse el desfase como otro
parámetro base a definir, cuando proceda.
Teniendo todo esto en cuenta, tendremos que:
S base = 100 MVA
Tramo 1
U 1base = 15 kV
15 2
= 2,25Ω
100
100.10 6
I1base =
= 3849 A
3.15.10 3
X sg = 0,1 p.u
Z1base =
X cc1 = X cc 2 = 0,2
100
= 0,4 p.u
50
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Tramos 2 y 3
Al ser estrella − triángulo α 2base = α 3base = 300
230
= 230 kV
15
2302
Z 2base = Z 3base =
= 529Ω
100
100.106
I *2base =
= 251A ⇒ I 2base = I 3base = 251A
3.230.103
100
X cc 3 = 0,1
= 0,143 p.u
70
6
Línea X L = 6Ω =
p.u = 0,0113 p.u
529
2302.106
2645
C arg a a Z cte Z C =
p.u = 5 p.u
= 2645Ω =
6
20.10
529
U 2base = U 3base = 15
Tramo 4
Al ser triángulo − estrella α 4base = 300 − 30º = 0º
U 4base = 230
69
= 69 kV
230
69 2
= 47,6Ω
100
100.106
=
= 836,7 A
3.69.103
Z 4base =
I 4base
Motor a P cte S Motor = 50∠36,87 MVA =
50∠36,87
p.u = 0,5∠36,87 p.u
100
a) Si la tensión medida en bornes del motor UMotor es 69 kV, será igual entonces a la tensión
de base en el tramo 4, por lo que tendremos:
S Motor = U Motor .I * Motor ⇒ I * Motor =
0,5 ∠36,87
1∠ 0
I Motor = 0,5 ∠−36,87 p.u = 0,5 ∠−36,87.836,7 = 418,35 ∠−36,87 A
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Para la carga tendremos
U c arg a = U Motor + I Motor j ( X L + X cc 3 )
U c arg a = 1∠0 + 0,5∠−36,87 ( j 0,0113 + j 0,143) = 1,046 + j 0,0616 = 1,0478∠3,37 p.u
U c arg a = U pu ⋅ U 2b ∠α 2b = 1,0478∠3,37.230∠+30 = 241∠33,37 kV
I c arg a =
U c arg a
Z c arg a
=
1,0478∠3,37
= 0,21∠3,37 p.u = 0,21∠3,37.251∠+30 = 52,7 ∠33,37 A
5
S c arg a = U c arg a .I *c arg a = 1,0478∠3,37. 0,21∠−3,37 = 0,22∠0 p.u = 0,22.100 = 22 MW
b) En el generador
U G = U c arg a + I G .Z1
donde Z1 =
1
1
1
+
jX cc1 jX cc 2
= j 0,2 p.u
I G = I Motor + I C arg a = 0,5∠−36,87 p.u + 0,21∠3,37 p.u = 0,09 − j 0,288 = 0,6735∠− 25,3 p.u
I G = 0,6735∠− 25,3 3849 = 2592 ∠− 25,3 A
U G = 1,0478∠3,37 + 0,6735∠− 25,3.0,2 ∠90 = 1,1035 + j 0,1834 = 1,1186 ∠9, 4 p.u
U G = 1,1186 ∠9, 4.15 = 16,8 ∠9, 4 kV
S G = U G .I * G = 1,1186 ∠9, 4.0,6735 ∠ 25,3 = 0,7533∠34, 7 p.u
S G = 0,7533∠34, 7.100 = 75,33∠34, 7 MVA
c) En el primario del transformador 3 la corriente es la que corresponde al motor, pero hay
que considerar el desfase de tensiones por el tipo de conexión en el transformador. Al
realizar el análisis por fase con valores por unidad esto se desprende directamente al
aplicar el método.
U 3 = U Motor + I Motor . jX cc 3 = 1∠ 0 + 0,5∠ − 36,87.0,143∠90 = 1,043 + j 0,0572 = 1,0445∠3,14 p.u
U 3 = 1,0445∠3,14.230∠30 = 240,2∠33,14 kV
I 3 = I Motor = 0,5∠ − 36,87 p.u
I 3 = 0,5∠ − 36,87 251∠30 = 125,5∠ − 6,87 A
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UNIDAD DIDÁCTICA 2. Análisis del sistema eléctrico de potencia.
TEMA 3.
Funcionamiento del sistema eléctrico en estado normal: Los modelos de la
red a través de la matriz |Ybus| [6.2], el flujo de cargas [6.3, 6.4 y 6.5] y el
control del flujo de cargas [6.8].
TEMA 4.
Corrientes de cortocircuito en el generador. Cortocircuitos trifásicos
equilibrados [capítulo 8].
Llegados a este punto del programa de la asignatura, usted ya conoce los principales
elementos que componen un sistema eléctrico de potencia, sus modelos y la representación
completa del sistema mediante los diagramas unifilar y de impedancias.
En esta segunda Unidad Didáctica se van a ver los dos estudios clásicos más
importantes que se utilizan para analizar el sistema eléctrico: el flujo de cargas y las faltas
simétricas.
3.1. Las matriz de admitancias de nudo, [Ybus].
Una vez que ya se conoce el modelo eléctrico que representa a cada elemento del
sistema y la utilización de los valores por unidad, para cualquier sistema eléctrico que nos den
ya debe ser fácil construir su diagrama unifilar y el circuito de impedancias que lo representa.
A partir de aquí y para los estudios que van a permitir el análisis del sistema, éste se modela
matemáticamente mediante la matriz de admitancias de nudo, [Ybus].
La matriz [Ybus] es, sencillamente, la matriz de admitancias que resulta del análisis
por nudos del circuito de impedancias que representa el sistema eléctrico dado tomando como
nudo de referencia el neutro, nudo común del circuito. La construcción y modificación [6.2]
de la matriz de admitancias de nudo [Ybus] es fácil e inmediata. Por último, es importante
señalar que para grandes sistemas reales la matriz [Ybus] es una matriz muy dispersa, es
decir, en la que la mayoría de sus elementos son cero.
3.2. Funcionamiento del sistema eléctrico en estado normal: el flujo de cargas.
El objetivo del sistema eléctrico es satisfacer la potencia demandada, más las pérdidas
en la red, manteniendo un estado de funcionamiento normal, es decir, en un régimen
permanente en el que se verifique que las tensiones en los nudos y las potencias generadas
por los generadores estén dentro de unos límites establecidos y que tanto las líneas como los
transformadores funcionen sin sobrecargas.
El flujo de cargas es el estudio que permite analizar el sistema en régimen permanente
y comprobar, a partir de su resultado, si ese estado de funcionamiento del sistema corresponde
a un estado de funcionamiento normal. Partiendo de la potencia generada y demandada en
cada nudo, el flujo de cargas calcula la tensión, en módulo y argumento, que existe en cada
nudo y las potencias que circulan por la red de transporte.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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Si ese problema, calcular la tensión en cada nudo, se plantease en términos de
intensidades, es decir, si se conociese la intensidad inyectada en cada nudo, el cálculo de las
tensiones sería inmediato resolviendo un sistema lineal de ecuaciones donde los elementos de
[Ybus] serían los coeficientes (sería, en definitiva, la resolución del análisis por nudos del
circuito). Sin embargo, en los sistemas eléctricos de potencia reales las magnitudes que se
miden y que se conocen son las potencias, activa y reactiva, generadas y consumidas en cada
nudo y como esas potencias dependen de las tensiones de los nudos (que recordemos son las
incógnitas del problema), el problema del flujo de cargas así planteado en términos de
potencias resulta ser un problema no lineal que se ha de resolver mediante métodos numéricos
iterativos.
El capítulo 6 del libro aborda el estudio del flujo de cargas. En el apartado [6.3] se
describe y plantea el problema del flujo de cargas: las ecuaciones de la potencia inyectada en
un nudo (ecuación (6.8), en forma compleja, y ecuaciones (6.11) y (6.12), en forma polar), los
tipos de nudos que se consideran, las variables de estado o incógnita del problema, las
cantidades especificadas o términos independientes y el número total de ecuaciones del
sistema no lineal que hay que resolver.
Los métodos de resolución del flujo de cargas son métodos numéricos de resolución
de sistemas de ecuaciones no lineales. Así, en el libro se describen dos métodos exactos: el de
Gauss-Seidel y el de Newton-Raphson. El primero tiene la ventaja de ser sencillo de
programar, pero presenta problemas de convergencia, sobre todo al aumentar la dimensión del
problema. El método de Newton-Raphson es más complejo de programar pero a cambio es
más robusto y presenta una mayor velocidad de convergencia que el anterior, por lo que es el
que utiliza la práctica totalidad de programas existentes de resolución del flujo de cargas. Por
último, en el libro también se explica el flujo de cargas desacoplado, que es un método que
permite obtener de una forma sencilla y rápida una solución aproximada, que se puede utilizar
para obtener un buen punto inicial para los procesos iterativos de los dos métodos anteriores o
como solución válida para otros tipos de estudios que no necesitan la solución exacta del flujo
de cargas.
Los dos métodos (Gauss-Seidel y Newton-Raphson) [6.4 y 6.5], permitirán al alumno
conocer la sistemática de la solución al problema y los distintos casos que pueden presentarse.
Deben ser estudiados ambos, al tratarse, en definitiva, de los métodos matemáticos de
resolución de problemas no lineales más utilizados en este tipo de problemas.
Independientemente del método, es importante tener bien claro qué ofrece la solución
del flujo de cargas, es decir, conocida la solución (tensiones en todos los nudos y potencia
generada en el nudo oscilante) y con los datos del sistema (datos de los nudos y de las líneas)
debe ser capaz de calcular la potencia inyectada en cualquier nudo o la potencia que circula
por cualquier línea del sistema. La gran utilidad y cantidad de información que ofrece la
solución del flujo de cargas para el análisis de un sistema eléctrico se explican en el apartado
[6.3].
Para concluir este tema, en el apartado [6.8] describe los diferentes medios de control
disponibles en un sistema, explicando su importante función en el control de la potencia que
circula por las líneas o de mantener el valor de la tensión en determinados nudos.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
3.3. Equivalente eléctrico del transformador en el sistema
En los sistemas eléctricos, los transformadores juegan un papel fundamental para obtener las
tensiones necesarias en cada tramo. El cálculo en valores por unidad permite el análisis del
sistema sin necesidad de separarlo en tramos de la misma tensión base que establecen los
transformadores.
El método de cálculo en valores por unidad consiste en expresar los equivalentes eléctricos de
los diferentes elementos del sistema en valores proporcionales a los valores de base elegidos.
Con ello el cálculo puede hacerse a partir de un sistema monofásico con generadores e
impedancias en serie y paralelo.
Es especialmente importante el análisis de los equivalentes eléctricos de los transformadores
en sus diferentes funciones, tanto como transformadores de elevación o reducción de tensión
o como transformadores de regulación de tensión o fase.
Seguidamente se detallan las diferentes formas de expresar el equivalente de un transformador
en un sistema.
Transformador reductor de tensión
Es el caso, por ejemplo, de un transformador de distribución utilizado para reducir la tensión
en una línea para transporte de energía. Su relación de transformación está dada por t :1, con
t >1. Partiendo del equivalente eléctrico del transformador monofásico sin la rama paralelo,
tenemos:
i1
U1
Zcc
i'2
E1
E2
t :1
U2
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
Para obtener la matriz de admitancias entre los nudos 1 y 2 se deben obtener las relaciones
entre las tensiones e intensidades en dichos nudos. Considerando que para el análisis las
intensidades tienen sentido entrante, tendremos que i2=-i’2.
U 1 = E1 + i1 Z CC
U 2 = E2
E1 
=t
E2
i1
1
=
i'2 t *

U 1 = U 2 t + i1 Z CC


U1 − U 2t
i1 =
= YCCU 1 − t YCCU 2
Z CC


i2 = −i ' 2 = −t * i1 = −t * YCCU 1 + t 2YCCU 2
por tan to
 i1   YCC
i  = − t *Y
 2 
CC

− t YCC  U 1 

t 2YCC  U 2 
El equivalente en π del circuito entre los nudos tiene la forma:
Ys
i1
U1
Y1P
i2
Y2P
U2
De la matriz de admitancias obtenida en el apartado a) y con t real, se deduce que:
Y11 = YCC = YS + Y1P
Y12 = −tYCC = −YS
Y21 = −tYCC = −YS
Y22 = t 2YCC = YS + Y2 P
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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De las igualdades anteriores se desprende que sólo se puede representar con su equivalente en
π a un transformador en el que no haya desfase en ángulo entre los extremos, ósea si t es real,
dado que dicho desfase no puede representarse en un circuito de ese tipo.
Despejando se obtiene
YS = tYCC
Y1P = (1 − t )YCC
Y2 P = t (t − 1)YCC
tYcc
i1
U1
(1-t)YCC
i2
t(t-1)YCC
U2
Del resultado obtenido también se desprende que el equivalente en π sólo puede representar la
realidad si Ycc no tiene parte real, pues de otra forma se obtendrían resistencias negativas en
las admitancias en derivación, al depender su valor de (1-t) y de (t-1).
Pero si se desea expresar el equivalente del transformador en valores por unidad obtendremos
las siguientes expresiones:
U 1B = U 1
t=
U 1B
U
⇒ U 2B = 1 = U 2
U 2B
t
Z1B =
Z 2B
U 12B
S
⇒ Y1B = B2
SB
U 1B
U 22B
S
=
⇒ Y2 B = 2B
SB
U 2B
i1B =
SB
U 1B
y i2 B =
SB
U 2B
en monofásico
de la relación de int ensidades y tensiones exp resadas en p.u obtenemos
S
S
S
i1 = YCCU 1 − tYCCU 2 ⇒ i1 pu B = YCCpu B2 U 1 puU 1B − tYCCpu B2 U 2 puU 2 B
U 1B
U 1B
U 1B
i2 = −tYCCU 1 + t 2YCCU 2 = −tYCCpu
SB
S
U 1 puU 1B + t 2YCCpu B2 U 2 puU 2 B
2
U 1B
U 1B
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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Finalmente obtenemos las expresiones que relacionan las corrientes y tensiones en valores por
unidad y la correspondiente matriz de admitancias
i1 pu = YCCpuU 1 pu − YCCpuU 2 pu
i2 pu = −YCCpuU 1 pu + YCCpuU 2 pu
 i1 pu   YCCpu
i  = − Y
 2 pu   CCpu
− YCCpu  U 1 pu 
YCCpu  U 2 pu 
De donde se concluye que el equivalente eléctrico del transformador en valores por unidad es
I1pu
U1pu
ZCCpu
I2pu
U2pu
Obsérvese que el equivalente eléctrico del transformador en valores por unidad es
independiente de la relación del transformador.
Transformador elevador de tensión
Es el caso, por ejemplo, de un transformador a la salida de un generador donde es necesaria
la elevación de tensión en la línea de transporte de energía. Su relación de transformación está
dada por 1:t, con t >1.
Siguiendo el mismo procedimiento que en caso anterior se llega a las siguientes expresiones
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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
 i1   YCC
i  =  Y
 2  − CC
 t*
Y 
− CC

t  U 1 
YCC  U 2 

t2 
Cuyo equivalente en π es
Ycc/t
i1
U1
YCC(t-1)/t
i2
YCC/t (1/t-1)
U2
Y si se calcula la relación en valores por unidad se llega a la misma matriz y equivalente en π
que las obtenidas en el caso anterior, dado que el equivalente es independiente de la relación
de tensiones.
Transformador regulador del módulo de la tensión
En la mayoría de los casos, los transformadores de distribución incorporan tomas que sirven
para regular la tensión de servicio ante las caídas de tensión producidas en las líneas y en los
propios transformadores. En definitiva, las “tomas” no es más que puntos de conexión en el
arrollamiento del transformador (en el primario generalmente) que aumenta o disminuye el
número de vueltas en este y, por tanto, la relación de transformación.
En principio, el análisis de estos transformadores, con sus respectivas tomas, se podría
realizar de la misma manera que lo hecho en los transformadores normales anteriores,
considerando que al cambiar la toma, cambia la relación de transformación. Pero si se
procediera así en este tipo de transformador, en el análisis por unidad del sistema se tendrían
que recalcular todos los valores al cambiar una toma, dado que los valores de la tensión de
base (y consecuentemente las impedancias e intensidades de base) del sistema en el tramo del
transformador correspondiente variaría.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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Por tanto, cada vez que se produjera un cambio de toma, todo el cálculo del sistema en
valores por unidad se tendría que recalcular, lo que supondría la pérdida de las ventajas que
dicho análisis ofrece.
A fin de evitar este inconveniente, se puede enfocar el problema como si el caso de un
transformador regulador equivaliese al de un transformador convencional con relación de
transformación nominal y en serie con el hubiese un transformador ideal de relación 1:t o t:1,
con t>1, según se use la toma para elevar o reducir la tensión, respectivamente.
Dado que en el caso de un transformador de relación de transformación fija y conocida su
equivalente en valores por unidad es independiente de la relación de transformación, el valor t
se refiere ahora a la tensión adicional que se eleva o disminuye frente a la relación de
transformación nominal y no a la relación real entre las tensiones de entrada y salida del
transformador.
Debe comprenderse que, en el análisis en valores por unidad, la relación de transformación
nominal ya se tiene en cuenta a la hora de determinar las tensiones de base de cada tramo y
por tanto los equivalentes por unidad no requieren considerar dicha relación nominal. Pero
distinta consideración debe tener la tensión de aumento o disminución que proporciona la
toma, que no ha sido considerada en la determinación de las bases y debe considerarse ahora.
Para determinar la relación de intensidades y tensiones en las nuevas condiciones se parte de
nuevo del equivalente del transformador, con la diferencia de que ahora el equivalente por
unidad ZCCpu está en el lado secundario del transformador ideal que representa la toma.
El modelo así planteado implica que la impedancia de cortocircuito equivalente del
transformador no varía cuando se usan las tomas y aunque teóricamente esto implicaría un
error en la aproximación, la realidad es que en las normas internacionales que regulan los
transformadores de distribución es obligatorio que la impedancia de cortocircuito se mantenga
prácticamente constante cuando se cambian las tomas, por lo que la aproximación teórica es
bastante aproximada a la realidad.
Con lo dicho anteriormente, el circuito equivalente de un transformador con una toma para
regulación del módulo de la tensión de relación t:1 tendría una impedancia ZCC en serie en el
secundario representando el transformador de relación nominal en valores por unidad tal
como se representa en la siguiente figura
i1
U1
Zccpu
E1
E2
t:1
i'2
U2
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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Para determinar ahora la relación entre intensidades y tensiones que permitan establecer la
matriz de admitancias asociada tendremos que
E1
=t
E2
i1 1
con U 1 = E1
=
i2' t
e
U1
U
+ i2 Z CCp.u ⇒i 2 = U 2YCCpu − 1 YCCpu
t
t
YCCpu U 1
i
i1 = − 2 = −U 2
+ 2 YCCpu
t
t
t
U 2 = E2 + i2 Z CCp.u =
Con lo que la matriz de admitancias tiene la expresión
 YCCpu
 i1   t 2
i  =  Y
 2  − CCpu

t
YCCpu 

t  U 1 
U 
YCCpu   2 

−
Y el correspondiente equivalente en π es
Yccpu/t
i1
U1
YCCpu(1-t)/t2
i2
YCCpu (t-1)/t
Para un transformador con toma de regulación 1:t igualmente se obtendría
2
 i1   t YCCpu
=
i  − tY
CCpu
 2  
− tYCCpu  U 1 

YCCpu  U 2 
U2
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tYccpu
i1
U1
i2
YCCpu (1-t)
YCCpu(t-1)t
U2
Ejercicio 4.
En el sistema de la figura los valores expresados en por unidad tienen una potencia base de
100 MVA y tensión de base de 100 kV. En los nudos 3 y 4 se han colocado baterías de
condensadores para compensación de potencia reactiva y la impedancia de todas las líneas de
interconexión entre los nudos es, en valores por unidad, de Zij = 0,03 + j 0,3 y la admitancia
en paralelo es yij,0 = j 0,05. Determinar:
a) La matriz de admitancias del sistema
b) Si se conecta entre los nudos 3 y 4 un transformador de regulación de módulo de tensión
de relación 100/98 kV de 10 MVA y XCC= j 0,1. ¿Cuál será, en estas nuevas condiciones,
la matriz de admitancias del sistema?
c) Determinar la potencia de pérdidas del sistema en las condiciones del apartado b) si la
solución al flujo de potencias proporciona los siguientes valores:
V1 = 1∠0 0
V2 = 1,03∠ − 0,30
V3 = 1,01∠ − 0,30
V4 = 0,96∠0 0
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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Solución
a) Las admitancias de las líneas son:
zij = 0,03 + j 0,3 pu ⇒ yij = 0,33 − j 3,3 = 3,333∠ − 84,2 0
yij , 0 = j 0,05
Y las de los condensadores son
1
= j5
− j 0,2
= j4
yC 3 =
yC 4
Con lo que los términos de la matriz de admitancias serán:
Y11 = Y22 = 3. j 0,05 + 3.(0,33 − j 3,3) = 1 − j 9,75 = 9,8∠ − 84,2 0
Y33 = 2. j 0,05 + 2.(0,33 − j 3,3) + j 5 = 0,66 − j1,5 = 1,64∠ − 66,250
Y44 = 2. j 0,05 + 2.(0,33 − j 3,3) + j 4 = 0,66 − j 2,5 = 2,6∠ − 75,2 0
Y12 = Y13 = Y14 = Y21 = Y23 = Y24 = Y31 = Y32 = Y41 = Y42 = −Ylinea = −0,33 + j 3,3 = −3,333∠ − 84,2 0
Y34 = Y43 = 0
Con lo que la matriz de admitancias pedida es
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3
 1 − j 9,75
− 0,33 + j 3,3
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3
1 − j 9,75

Y=
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3 0,66 − j1,5

0


0
0,66 − j 2,5 
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3
b) La relación de tensiones e intensidades, en valores por unidad, en los nudos 3 y 4 cuando se
conecta el transformador regulador de módulo de tensión de relación t:1 viene dada por la
expresión matricial
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 YCC
i3   t 2
i  =  Y
 4  − CC
 t
YCC 
t .U 3 
 
YCC  U 4 

−
Donde t=100/98=1,02 e YCC es la admitancia equivalente del transformador en valores por
unidad. En este apartado, el valor por unidad de ZCC del enunciado se corresponde con valores
de base iguales a los valores nominales de potencia y tensión del transformador, que no son
coincidentes con los valores base del sistema, por lo que para referir el valor a la base del
sistema
Z CCN = Z CCA
SN
1000.10 6
= j 0,1
= j1 ⇒ YCC = − j1
SA
100.10 6
Por tanto, los términos de la matriz de admitancias que cambian son:
Y33 = 0,66 − j1,5 +
− j1
= 0,66 − j 2,46 = 2,55∠ − 750
2
1,02
Y44 = 0,66 − j 2,5 − j1 = 0,66 − j 3,5 = 3,56∠ − 79,30
 − j1 
Y34 = Y43 = −
 = j 0,98
 1,02 
Con lo que la matriz de admitancias pedida es
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3
 1 − j 9,75
− 0,33 + j 3,3
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3
1 − j 9,75
Y =
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3 0,66 − j 2,46
j 0,98 


j 0,98
0,66 − j 3,5 
− 0,33 + j 3,3 − 0,33 + j 3,3
c) Las pérdidas en el sistema se obtienen de la expresión
Ppérdidas = ∑ PG − ∑ PD = PG1 + 1 + 2 − 1 − 1 − 1 = PG1
La potencia del generador del nudo 1 se obtiene a partir de la potencia neta P1 en el nudo 1, ya
que:
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{
P1 = PG1 − PD1 ⇒ Ppérdidas = P1 = ℜ U 1 .i1*
}
donde i1 = Y11 .U 1 + Y12 .U 2 + Y13 .U 3 + Y14 .U 4 = 0,2∠85,6 0 = 0,0154 + j 0,2
S1 = 1∠0 0.0,2∠ − 85,6 0 = 0,0154 − j 0,2
Ppérdidas = P1 = 0,0154 p.u = 1,53 MW
Ejercicio 5.
En el sistema de la figura 1, después de resolver el flujo de potencias, se obtienen los
siguientes valores de las tensiones en los nudos:
V1 = 1∠0 0
V2 = 1,04∠ − 0,2 0
V3 = 1,02∠ − 0,30
V4 = 0,98∠ − 0,2 0
V5 = 0,96∠ − 0,2 0
Considerando que las líneas de interconexión entre los nudos generadores y los nudos de
carga (1-3, 1-4, 2-4 y 2-5), tienen una impedancia en valores por unidad de Zij = 0,01 + j0,1 y
admitancia en paralelo yij,0 = j0,02 y las líneas que conectan los nudos de carga entre si (3-4 y
4-5) tienen una impedancia Zij = j0,05 y admitancia en paralelo yij,0 = j0,01:
d) Determinar la matriz de admitancias del sistema
e) Si el generador 2 está compuesto de una máquina síncrona (M2), tal como se representa
en la figura 2, conectada al nudo 2 mediante un transformador Υ-Υ de relación 1:2 y de
impedancia Xcc = j0,1 p.u, expresada en la misma base de potencia y tensión que el resto
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de valores por unidad del sistema, determinar la intensidad y tensión de salida de M2, en
p.u, cuando la carga en el nudo 2 es nula (SD2 = 0).
f) Calcular los valores obtenidos en el apartado b) cuando SD2 = 1+j1
Solución
a) Las admitancias de las líneas son:
- Para las líneas 1-3, 1-4, 2-4 y 2-5
z ij = 0,01 + j 0,1 pu ⇒ yij = 1 − j 9,9 = 9,95∠ − 84,2 0
yij , 0 = j 0,02
- Para las líneas 3-4 y 4-5
zij = j 0,05 pu ⇒ yij = − j 20
yij , 0 = j 0,01
Con lo que los términos de la matriz de admitancias serán:
Y11 = Y22 = 2. j 0,02 + 2.(1 − j 9,9) = 2 − j19,76 = 19,9∠ − 84,2 0
Y33 = Y55 = j 0,02 + j 0,01 + 1 − j 9,9 − j 20 = 1 − j 29,87 = 29,9∠ − 880
Y44 = 2. j 0,01 + 2. j 0,02 + 2(1 − j 9,9) − 2. j 20 = 2 − j 59,74 = 59,8∠ − 880
Y13 = Y14 = Y24 = Y25 = Y31 = Y41 = Y42 = Y52 = −1 + j 9,9 = −9,95∠ − 84,2 0
Y34 = Y45 = Y43 = Y54 = j 20
Y12 = Y15 = Y23 = Y35 = Y21 = Y51 = Y32 = Y53 = 0
Con lo que la matriz de admitancias pedida es
 2 − j19,76

0

Y =  − 1 + j 9,9

 − 1 + j 9,9

0
− 1 + j 9,9
0
2 − j19,76
0
0
1 − j 29,87
− 1 + j 9,9
j 20
− 1 + j 9,9
0
− 1 + j 9,9
0


− 1 + j 9,9 − 1 + j 9,9 

0
j 20

2 − j 59,74
j 20 
1 − j 29,87 
j 20
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b) El equivalente en π del transformador entre la máquina y el nudo 2 en valores por unidad
es
IM2
ZCC
IG2
UM2
U2
Según lo propuesto en este apartado, en el nudo 2 no hay cargas (SD2=0), con lo que la
corriente saliente del nudo será la corriente aportada por el generador. La corriente en el nudo
2 se puede obtener a partir de la matriz de admitancias calculada en el apartado anterior y con
el equivalente del transformador podremos obtener la tensión de salida de la máquina.
i2 = Y21.U1 + Y22 .U 2 + Y23 .U 3 + Y24 .U 4 + Y25 .U 5
i2 = 0 + 19,9∠ − 84,20.1,04∠ − 0,20 + 0 − 9,95∠ − 84,20.0,98∠ − 0,20 − 9,95∠ − 84,20.0,96∠ − 0,20
i2 = 1,4∠ − 84,40 = 0,14 − j1,39
U M 2 = Z cc .iG 2 + U 2 = 0,1∠900.1,4∠ − 84,40 + 1,04∠ − 0,20 = 1,18 + j 0,01 = 1,18∠0,50
c) Si hay carga en el nudo 2, entonces iG2 ≠ i2, con lo que para calcular la corriente en el
generador debemos considerar el balance de potencias en el nudo
SG 2 = S 2 + S D 2
S 2 = U 2 .i2* = 1,04∠ − 0,2 0.1,4∠84,4 0 = 1,456∠84,2 0 = 0,147 + j1,45
S G 2 = 0,147 + j1,45 + 1 + j1 = 1,147 + j 2,45 = 2,7∠650
S G 2 = U 2 .iG* 2 ⇒ iG 2 = 1,1 − j 2,35 = 2,6∠ − 64,80
Con lo que, como antes
U M 2 = 0,1∠90 0.2,6∠ − 64,80 + 1,04∠ − 0,2 0 = 1,275 + j 0,106 = 1,28∠4,80
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Ejercicio 6.
En el sistema de la figura, después de resolver el flujo de potencias, se obtienen los siguientes
valores de las tensiones en los nudos:
V1 = 1∠0 0
V2 = 1∠ − 5 0
V3 = 1∠ − 10 0
V4 = 1∠ − 10 0
V5 = 1∠ − 150
Considerando que las líneas de interconexión entre los nudos tienen una impedancia en
valores por unidad de ZL = 0,0099 + j0,099 determinar:
g) La matriz de admitancias del sistema
h) La potencia de la carga del nudo 4, SD4 y la generada por el nudo oscilante S1.
i) La potencia de pérdidas total de las líneas
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Solución:
a)
Z L = 0,0099 + j 0,099 = 0,01∠84, 290
YL =
1
= 1 − j10 = 10 ∠−84, 290
ZL
Y11 = 2 − j 20 = 20 ∠−84, 290
Y22 = Y44 = 3 − j 30 = 30 ∠−84, 290
Y33 = Y55 = 2 − j 20 = 20 ∠−84, 290
Y13 = Y31 = Y15 = Y51 = Y25 = Y52 = Y34 = Y43 = 0
Y12 = Y21 = Y23 = Y32 = Y24 = Y42 = −1 + j10 = −10 ∠−84, 290
Y14 = Y41 = Y35 = Y53 = Y45 = Y54 = −1 + j10 = −10 ∠−84, 290
YBUS
0
0 
− 1 + j10
 2 − j 20 − 1 + j10
− 1 + j10 3 − j 30 − 1 + j10 − 1 + j10
0 

= 0
0
− 1 + j10 2 − j 20
− 1 + j10


0
3 − j 30 − 1 + j10
− 1 + j10 − 1 + j10
 0
0
− 1 + j10 − 1 + j10 2 − j 20 
b)
5
[(
)
(
)
(
)
(
)
]
)
S 4* = V4* ∑ Y4iVi = 1∠100 . − 10 ∠−84, 290 .1∠ 0 + − 10 ∠−84, 290 .1∠−50 + 0 + 30 ∠−84, 290 .1∠−100 + − 10 ∠−84, 290 .1∠−150
i =1
S 4* = −1,722 − j 0,335 ⇒ S 4 = −1,722 + j 0,335
S D 4 = S G 4 − S 4 = 1 + j1 + 1,722 − j 0,335 = 2,722 + j 0,665
Igualmente
5
[(
)
(
)
(
S1* = V1* ∑ Y1iVi = 1∠ 00 . 20 ∠−84, 290 .1∠ 0 + − 10 ∠−84, 290 .1∠−50 + 0 + − 10 ∠−84, 290 .1∠−100 + 0
i =1
S1* = 2,627 − j 0,03 ⇒ S1 = 2,627 + j 0,03
S G1 = S1 + S D1 = 2,627 + j 0,03
]
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
c)
∑P
∑P
G
= PG1 + PG 2 + PG 3 + PG 4 + PG 5 = 5,7176
D
= PD 3 + PD 4 + PD 5 = 5,6575
PL = ∑ PG − ∑ PD = 0,0601
4.1. Corrientes de cortocircuito: clasificación de perturbaciones.
Se dice que el sistema funciona en condiciones de régimen permanente estable cuando
todas las variables físicas, medidas o calculadas, que definen el funcionamiento del sistema se
pueden considerar como constantes a efectos de análisis. Esto es lo que se ha visto y
estudiado en el apartado anterior al analizar el estado normal del sistema mediante el flujo de
cargas.
Sin embargo, todos los sistemas eléctricos de potencia son sistemas físicos dinámicos
cuyos parámetros y variables evolucionan, mucho o poco, en el tiempo. Cuando ocurre un
cambio, o una secuencia de cambios, en los parámetros del sistema o en sus variables se dice
que ha ocurrido una perturbación. Las perturbaciones pueden ser grandes o pequeñas
dependiendo de su origen.
Si las perturbaciones son grandes, denominadas transitorios, como por ejemplo un
cortocircuito, un cambio en la topología de la red (por maniobra de interruptores) o una
pérdida elevada de generación o de carga, la dinámica del sistema sólo se puede analizar
mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales que definen su
comportamiento. En este caso, el punto de funcionamiento estable que correspondía al
régimen permanente antes del fallo se pierde y si el sistema evoluciona a otro punto de
funcionamiento estable, más o menos próximo, se dice que el sistema es transitoriamente
estable.
Si las perturbaciones son pequeñas, denominadas perturbaciones de pequeña señal,
como por ejemplo lo que ocurre tras la actuación de los reguladores de los generadores, las
ecuaciones que definen la dinámica del sistema se pueden linealizar en torno al punto de
funcionamiento. En este caso normalmente el sistema vuelve prácticamente al mismo punto
de funcionamiento estable y se dice que el sistema es estable en régimen permanente. Estas
perturbaciones de pequeña señal se verán al tratar sobre el control automático de la
generación en la tercera Unidad Didáctica.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
Los transitorios se pueden clasificar, en función de su velocidad en tres tipos
siguientes 3:
− Transitorios ultrarrápidos (sobretensiones). Este tipo de transitorios son producidos
principalmente por descargas atmosféricas (caída de rayos sobre las líneas) y por cambios
bruscos, pero normales, de la operación del sistema (actuación de interruptores). Su
duración es de unos pocos milisegundos y su naturaleza es de tipo eléctrica, dando lugar a
sobretensiones que se propagan a lo largo de las líneas, incluyendo fenómenos de
reflexión en sus extremos. Estas sobretensiones (que a su vez pueden dar lugar a
cortocircuitos) afectan principalmente a las líneas, ya que las altas inductancias que
presentan los transformadores sirven de “barreras” hacia los generadores.
− Transitorios de velocidad media (cortocircuitos). Este tipo de transitorios se producen por
cambios bruscos y anormales de la operación del circuito, como son las faltas o
cortocircuitos. El cortocircuito más severo, es decir, el que da lugar a mayores
intensidades, es el cortocircuito trifásico (las tres fases conectadas a tierra a través de una
impedancia de falta nula) y el menos es el cortocircuito monofásico a tierra (una fase a
tierra mientras que las otras dos siguen funcionando). Su duración es de unos pocos ciclos,
pudiendo llegar a unos pocos segundos, y su naturaleza es también de tipo eléctrica. Los
cortocircuitos limitan la capacidad de transporte de las líneas, afectan a los generadores y
las intensidades que aparecen pueden llegar a ser peligrosas y dañar elementos del
sistema, lo que obliga a desconectar partes de él durante un cierto periodo de tiempo (para
dar tiempo a que se elimine la falta) o de forma permanente (si ésta persiste).
− Transitorios lentos (estabilidad transitoria). Un cortocircuito supone, entre otros
fenómenos, una caída brusca temporal, total o parcial, de las tensiones del sistema. Una
caída brusca de la tensión en el generación hace a su vez que se produzca una caída brusca
de la potencia generada; sin embargo, como la potencia mecánica de la turbina permanece
constante en los primeros ciclos de la perturbación (la respuesta mecánica del generador
es más lenta), aparece un par acelerador que da lugar a una serie de oscilaciones
mecánicas de la máquina síncrona, oscilaciones que van desde unos cuantos ciclos hasta
minutos en sistemas grandes. Estos transitorios son de naturaleza electromecánica y
pueden llegar a ser los más graves ya que, en ciertos casos, pueden llevar a que el
generador pierda el sincronismo (si supera el límite de estabilidad transitoria) y deba
desconectarse del sistema, lo que daría lugar a una nueva perturbación que podría llevar a
otros generadores a perder el sincronismo, tener que desconectarse y, así, en un proceso en
cascada, finalizar incluso con el colapso del sistema.
4.2. Corrientes de cortocircuito. cortocircuitos trifásicos equilibrados..
Los primeros apartados del capítulo 8 se dedican al funcionamiento del sistema en
estado de cortocircuito, tanto cuando este se produce en un lugar alejado del generador [8.2] y
3
El estudio de estos tres tipos de transitorios se abordan en la bibliografía propuesta. Así,
para los alumnos interesados que deseen estudiar estos temas los podrá encontrar en los
siguientes capítulos: sobretensiones (reflexiones) en los apartados 6.10 a 6.12 del capítulo 6
del libro de J.J. GRAINGER y W.D. STEVENSON Jr. "Análisis de sistemas de potencia”
(aunque tendrá que estudiar también el modelo de línea larga en el mismo capítulo), faltas o
cortocircuitos desequilibrados, en el capítulo 9 y estabilidad transitoria, en el capítulo 10 del
libro de FERMÍN BARRERO.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
el circuito equivalente frente al fenómeno transitorio es un circuito R-L, como cuando el
cortocircuito es próximo al generador [8.3], explicando el modelo equivalente del generador
en dichas condiciones, los efectos transitorios y subtransitorios que tienen lugar en él y las
corrientes que produce.
Es importante conocer el funcionamiento del generador tanto en estado normal
(régimen permanente) como en estado perturbado, y tener claros los conceptos de reactancia
transitoria, X’d, y de reactancia subtransitoria, X”d, del generador frente al de la reactancia
síncrona, Xs.
Aunque los cortocircuitos trifásicos son los que ocurren en un menor número de
ocasiones (menos del 5%), son sin embargo los que dan lugar a las intensidades mayores y,
por lo tanto, son los que definen las características y especificaciones de las protecciones
(principalmente de los interruptores) del sistema eléctrico. En el apartado [8.4] del libro se
describe el circuito equivalente del sistema en su conjunto en condiciones de cortocircuito
incluyendo los equivalentes de las cargas significativas.
Por último, se dan los métodos de cálculo de las corrientes que caracterizan el
cortocircuito y se define el concepto de la potencia de cortocircuito de un punto cualquiera de
la red, Scc y se explica cómo se utilizan esos valores calculados para la elección de los
interruptores que deben proteger el sistema ante este tipo de faltas [8.5].
Ejercicio 7.
A una red trifásica de valores nominales de potencia y tensión 10 MVA y 15 kV
respectivamente y potencia de cortocircuito 300 MVA, se conectan, a través de una línea, dos
cargas en paralelo. Una de ellas es un motor de 1500 kVA a 15 kV a plena carga, con un f.d.p
de 0,8 inductivo y reactancia subtransitoria del 20%. La otra carga es un horno, puramente
resistivo, de 500 kVA a 15 kV. La línea que conecta el generador de la red con los dos
circuitos tiene una reactancia equivalente del 1% sobre la base de los valores nominales de la
red y resistencia despreciable.
a) Si se produce un cortocircuito simétrico en los bornes de alimentación del horno.
¿Cuál es el módulo de la corriente de cortocircuito generada?
b) ¿Para qué corriente de cortocircuito debe dimensionarse el interruptor que proteja el
circuito del motor?
c) ¿Cuál es la tensión interna subtransitoria del generador previa al cortocircuito, en
módulo y argumento, y cuál es su reactancia subtransitoria?
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
Solución:
El circuito equivalente, por fase, del sistema propuesto en el enunciado antes del cortocircuito
es:
IL
XL
IM
X''g
E''M
Ug
S1
S2
UF
H
X''M
E''g
figura 1
a) En este caso el problema no se puede resolver a partir de la impedancia equivalente del
circuito después de producirse el cortocircuito (S1 cerrado), dado que no se conoce la
admitancia subtransitoria del generador.
Pero podemos determinar la corriente de cortocircuito total en la rama del circuito donde
está conectado el horno, a partir de la correspondiente corriente de cortocircuito que
suministra la red y el motor. Si suponemos que la potencia de cortocircuito de la red está
referida al punto de conexión de las cargas y que en dicho punto la tensión es 15 kV,
tendremos que el circuito equivalente será:
Iccg
XL
IccH
IccM
X''g
E''M
X''M
E''g
figura2
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
I ccH = I ccg + I ccM
Para el generador, se tendrá:
S ccg
I ccg =
3.U F
=
300.10 6
= 11547 A
3.15.10 3
y para el motor tenemos que antes del cortocircuito:
E '' M = U F − I M . jX '' M
donde X '' M = X '' M ( p.u )
e
I
*
M
=
15 2.10 6
U 2 Mnom
= 0,2
= 30Ω
S Mnom
1,5.10 6
1500 ∠36,87.10 3
3.15.10 3
⇒ I M = 57,73∠−36,87 A
y después del cortocircuito:
I ccM =
UF
E '' M
15.10 3
=
−
I
=
− 57,73∠−36,87 = −46,18 − j 465,4 = 467,7 ∠−95, 6
M
j 30
jX '' M
jX '' M
por tanto la corriente total de cortocircuito en la rama del horno es:
I ccH = I ccg + I ccM = 12014,7 A ≅ 12 kA
b) Si el cortocircuito se produce en la rama del motor (S2 cerrado), la corriente de
cortocircuito en la entrada de dicha rama será únicamente la proporcionada por la red,
dado que el horno no contribuye a la corriente de cortocircuito al ser carga resistiva y la
corriente del motor se deriva a tierra aguas abajo de la protección de la rama.
I ccM = I ccg = 11547 A ≅ 11,5 kA
c) Para determinar los valores de la tensión y admitancia subtransitorias en la red debemos
considerar las relaciones entre estas y las corrientes, antes y después del cortocircuito.
Antes del cortocircuito (figura 1)
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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E '' g = U F + I L . j ( X '' g + X L )
donde
X L = X L ( p.u )
15 2.10 6
U 2 gnom
= 0,01
= 0,225Ω
S gnom
10.10 6
I L = I M + I H = 57,73∠−36,87 +
e
500.10 3
= 65,45 − j 34,64 = 74 ∠−27 ,9
3.15.10 3
Después del cortocircuito (figura 2)
E '' g = I ccg . j ( X '' g + X L ) ⇒ I ccg =
UF
E '' g
=
+ IL
''
''
j( X g + X L ) j( X g + X L )
Pero como se ha calculado anteriormente IL es muy inferior a Iccg, con lo que podríamos
despreciarla en esta última expresión, de manera que:
X '' g + X L =
UF
I ccg
=
15.10 3
= 1,30Ω
11547
X '' g = 1,3 − X L = 1,3 − 0,025 = 1,075Ω
15 2.10 6
= 22,5Ω
10.10 6
1,075
X '' g ( p.u ) =
= 0,048 p.u ⇒ 4,8%
22,5
Si
Z gbase =
Por tanto ahora podemos obtener E’’g
E '' g = U F + I L . j ( X '' g + X L ) = 15.10 3 + (65,45 − j 34,64). j1,3 = 15045 + j85 = 15045∠ 0,3 A
Ejercicio 8.
El sistema de la figura consta de un generador de 27 MVA y 15 kV con Xd’’=15%, que se
conecta a través de un transformador, de características nominales 27 MVA y 15/7,5 kV y
reactancia de dispersión del 10%, a un nudo de carga que alimenta dos motores iguales, M1 y
M2 y a dos cargas resistivas iguales, C1 y C2. La reactancia subtransitoria Xd’’ de cada motor
es del 20% sobre una base de 3000 kVA y 7,5 kV. Las cargas resistivas son de 6000 kVA y
7,5 kV.
Determinar:
d) La corriente de cortocircuito simétrica a interrumpir en los bornes de cada una de las
cargas resistivas (Icc nominal de I3 e I4).
e) Lo mismo para cada uno de los motores (Icc nominal de I1 e I2).
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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f) Tensión interna subtransitoria en los motores inmediatamente antes de producirse el
cortocircuito, si estos funcionan a la potencia y tensión nominal con un f.d.p de 0,8
inductivo.
Solución:
El circuito propuesto, antes de producirse el cortocircuito (S1 y S2 abiertos), puede
representarse, en valores por unidad, mediante:
IL
XT
IM
X''g
E''M1
UG
UF
S2
X''M1
E''g
E''M2
X''M2
R1
S1
R2
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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S B = 27.10 6 VA
27.10 6
= 1039 A
3.15.10 3
27.10 6
= 2078,5 A
I 2B =
3.7,5.10 3
27
X T = 0,1 p.u X '' M = 0,2. = 1,8 p.u
3
U 1B = 15 kV
I 1B =
U 2 B = 7,5 kV
X '' g = 0,15 p.u
a) Al cerrarse S1, la corriente de cortocircuito se obtiene aplicando el método de la Zth
equivalente descrito en el capítulo 10.2 del libro de Grainger y Stevenson. El circuito
equivalente en condiciones de cortocircuito es:
X''g
XT
X''M
X''M
U F = 1∠0
La corriente de cortocircuito resultante se obtiene de:
1
1
2
=
+
''
Z th
j X g + XT
jX '' M
(
I cc 4 = I cc 3 =
)
Z th = j 0,19 p.u
UF
1
=
= − j 5,11 p.u
Z th
j 0,19
I cc 4 = I cc 3 = 10621 A ≅ 11 kA
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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b) En este segundo caso, cuando el cortocircuito se produce en bornes de uno de los motores,
el circuito equivalente es análogo, pero eliminando una de las admitancias de motor, dado que
por la protección de la rama de dicho motor (I1 o I2) circularía la corriente de todo el sistema,
salvo la producida por el propio motor, que se derivaría a tierra aguas abajo de la protección
(ver la figura primera). Luego:
1
1
1
=
+
Z th
j 0,25 j1,8
I cc 4 = I cc 3 =
Z th = j 0,22 p.u
1
= − j 4,5 p.u
j 0,22
I cc 4 = I cc 3 = 9353 A ≅ 9,5 kA
También se podrían haber resuelto los apartados a) y b), directamente, a partir del circuito
equivalente de la figura 1 y después de cerrar el interruptor S1, que simula el cortocircuito en
la resistencia R2. Con ello y dado que los motores son iguales, el circuito queda como sigue.
XT
Igcc
Icc
IMcc
X''g
E''M
S2
X''M1
X''M2
E''g
figura 3
Partiendo de la figura 1, tenemos que:
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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U F = U G − I L jX T
I L = 2I M + 2I R
E M = U F − I M jX M
''
''
(
''
Eg = U F + I L j X g + X T
''
''
)
y de la figura 3 se obtiene:
(
)
U F + I L j X '' g + X T U F − I M jX '' M
E '' g
E '' M
+
=
+
j ( X '' g + X T ) jX '' M
j ( X '' g + X T )
jX '' M
2
2
''
jX M
U F + (2 I M + 2 I R ) j X '' g + X T
+ U F − I M jX '' M j X '' g + X T
2
I cc =
jX '' M
j X '' g + X T
2
''

X M
U F j 
+ X '' g + X T  + I R jX '' M j X '' g + X T

 2
I cc =
jX '' M
j X '' g + X T
2
comparandola con la Z th de la figura 2, la fórmula anterior se puede exp resar como
I cc = I '' Mcc + I '' gcc =
[
)]
(
(
(
I cc =
)
)
(
(
)(
)
)
UF
+ 2I R
Z th
Que no coincide exactamente con la expresión que se utilizó en el apartado a) y que se deriva
de la aplicación del método de la impedancia equivalente.
Como se ha podido demostrar, dicho método no es exacto, dado que la corriente de
cortocircuito depende de la corriente de las cargas del circuito que no intervienen una vez
producido el cortocircuito.
Pero si comparamos la magnitud de la corriente de cortocircuito obtenida de la impedancia
equivalente y la de la corriente de las cargas, se verificará que esta última es muy inferior a la
primera, con lo que es en general aceptable que la corriente de las cargas se desprecie,
máxime si se tiene en cuenta que para seleccionar un interruptor que proteja contra los
cortocircuitos, los calibres de corriente normalizados de estos interruptores obligan a elegir
uno de corriente de cortocircuito sensiblemente superior a la calculada.
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
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En el caso del circuito considerado, se puede comprobar que 2IR es 924 A frente a los casi
11000 A de la corriente obtenida en a).
c) La tensión subtransitoria en los motores antes de producirse el cortocircuito, cuando estos
funcionan a plena carga con factor de potencia 0,8 inductivo, se obtiene a partir del circuito de
la figura 1, por:
E '' M = U F − I M jX '' M
y
SM = U F I *M
Si el fpd es 0,8 inductivo ⇒ S M = 3000 ∠36,8 kVA = 0,111∠36,8 p.u
I *M =
0,111∠36,8
1∠ 0
= 0,111∠36,8 ⇒ I M = 0,111∠−36,8
E '' M = 1∠ 0 − 0,111∠−36,8.1,8 ∠90 = 0,89 ∠−10,3 p.u = (0,88 − j 0,16) p.u
E '' M = 7,5 kV .0,89 ∠−10,3 = 6,67 ∠−10,3 kV = (6,6 − j1,2) kV
Ejercicio 9.
El sistema trifásico de la figura consta de los siguientes elementos:
•
•
•
•
•
•
•
•
Generador G1 100 MVA, 15 kV, Xg1’’= 0,2 p.u
Generador G2 80 MVA, 12 kV, Xg2’’= 0,18 p.u
Línea L1 impedancia 10 + j 50 Ω/fase
Línea L2 impedancia 20 + j 60 Ω/fase
Transformador T1, 80 MVA, 15/165 kV, XT1=0,1 p.u
Transformador T2, 60 MVA, 165/12 kV, XT2=0,1 p.u
Carga M1, Motor (P cte) de 10 MVA a 165 kV y fdp=0,8 inductivo, XM’’= 0,25 p.u
Carga C2, Z cte, 40 MVA a 165 kV, fdp = 0,95 capacitivo
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Determinar:
a) Esquema del sistema, por fase, previo al cortocircuito, indicando las impedancias en
valores por unidad, tomando como base 100 MVA y 15 kV y sin determinar, en este
apartado, las tensiones internas subtransitorias de generadores y motor.
b) La corriente de cortocircuito simétrica a interrumpir por el protector P1 de la línea que
conecta el motor cuando se produce un cortocircuito trifásico en sus bornes, estando
alimentado a una tensión de 165 kV.
c) La corriente de cortocircuito simétrica a interrumpir por el protector P2 de la línea que
conecta la carga a impedancia constante (C2) cuando se produce un cortocircuito
trifásico en sus bornes, estando alimentada a una tensión de 165 kV.
Solución
a) En primer lugar se determinan los valores base de los distintos tramos del sistema.
SB= 100 MVA
Tramo 1
U 1B = 15 kV
Z1B =
I 1B =
U 12B 15 2.10 6
=
= 2,25 Ω
S B 100.10 6
SB
100.10 6
=
= 3850 A
3U 1B
3.15.10 3
X G'' 1 = 0,2 p.u sin cambio de base
X CCT 1Nueva = X CCT 1 Anterior .
Tramo 2
2
S Bnueva U Banterior
100 15 2
. 2
.
= 0,1.
= 0,125 p.u
80 15 2
S Banterior U Bnueva
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U 2 B = U 1B
U 2T 1
165
= 15
= 165 kV
15
U 1T 1
165 2.10 6
= 272,25 Ω
100.10 6
100.10 6
= 350 A
I 2B =
3.165.103
100 165 2
.
= 0,1666 p.u
X CCT 2 Nueva = 0,1.
60 165 2
10 + j 50
= 0,037 + j 0,184 = 0,188∠78,6 0
L1 pu =
272,25
20 + j 60
= 0,073 + j 0,22 = 0,232∠71,650
L2 pu =
272,25
Z 2B =
C 2 ( Z cte) ⇒ S C 2 = 40∠ − arc cos 0,95 MVA = 40∠ − 18,2 0 MVA ⇒ Z C 2 =
Z C 2 pu =
646,56 − j 212,6
= 2,375 − j 0,78 = 2,5∠ − 18,2 0
272,25
M 1 ( P cte) ⇒ S M 1 = 10∠36,87 0 MVA
10∠36,87 0
= 0,1∠36,87 0
S M 1 pu =
100
100 165 2
X M'' 2 Nueva = 0,25
= 2,5 p.u
10 165 2
Tramo 3
12
= 12 kV
165
U 2 12 2.10 6
= 1B =
= 1,44 Ω
S B 100.10 6
U 1B = 165
Z 1B
I 1B =
''
X G 2 Nueva
SB
100.10 6
=
= 4811 A
3U 1B
3.12.10 3
100 12 2
.
= 0,15.
= 0,225 p.u
80 12 2
Por tanto, el esquema del sistema por fase en valores por unidad es
U C2 2
165 2.10 2
=
S C* 2 40.10 2 ∠18,2 0
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
j 0,125
0,037+j 0,184
S1
j 0,2
0,073+j 0,22
j 0,16
j 0,225
M1
S2
2,375-j 0,78
j 2,5
b) Al cerrar el interruptor S1, el circuito equivalente Thevenin en el protector P1 es
j 0,125
0,037+j 0,184
0,073+j 0,22
j 0,16
A
j 0,2
j 0,225
B
En donde no se ha incluido la rama del motor dado que, aunque el motor contribuye a la
corriente que circula por el cortocircuito en los bornes del motor, por el protector P1 de la
línea del motor no pasa la corriente que este aporta al cortocircuito, al drenarse esta aguas
abajo del protector. La ZTh se determina como
1
1
1
=
+
Z Th 0,037 + j 0,184 + j 0,125 + j 0,2 0,073 + j 0,22 + j 0,16 + j 0,225
Z Th = 0,278∠84,6º
Como la tensión antes del cortocircuito es conocida, la corriente de cortocircuito se determina
por
i A'' − B =
U A− B
+ iL
Z Th
“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.
Curso 2012/2013
Donde iL=iC2+iM1 es la corriente del sistema antes del cortocircuito
S C 2 = U C 2 .iC* 2 = 40∠ − 18,2 0 MVA = 0,4∠ − 18,2 0 p.u
U C 2 = U M 1 = 1∠0º
iC 2 = 0,4∠18,2º p.u = 140∠18,2º A
S M 1 = 0,1∠36,87 0 p.u = U M 1 .iM* 1
iM 1 = 0,1∠ − 36,87 0 p.u = 35∠ − 36,87 0 A
i A'' −B =
1∠0º
+ 0,4∠18,2º +0,1∠ − 36,87 0 = 3,6∠ − 77,2º = 1260∠ − 77,2º
0,278∠84,6º
c) El circuito ahora incluye la rama del motor, dado que la corriente generada por el motor en
condiciones de cortocircuito contribuye a la corriente que circula por P2
j 0,125
0,037+j 0,184
0,073+j 0,22
j 0,16
A
j 0,2
j 2,5
j 0,225
B
1
1
1
1
=
+
+
Z Th 0,037 + j 0,184 + j 0,125 + j 0,2 0,073 + j 0,22 + j 0,16 + j 0,225 j 2,5
Z Th = 0,25∠85,14º
Ahora la corriente de cortocircuito será la obtenida con la ZTh mas la previa al cortocircuito
que circula por P2
i A'' − B =
U A− B
1∠0º
+ iC 2 =
+ 0,4∠18,2º = 3,93∠ − 79,7 º = 1375,5∠ − 79,7 º A
0,25∠85,14º
Z Th
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Curso 2012/2013
UNIDAD DIDÁCTICA
desequilibrado.
TEMA 5.
3.
Funcionamiento
del
sistema
eléctrico
perturbado
Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado:
componentes simétricas y cortocircuitos desequilibrados [capítulo 9].
En esta tercera Unidad Didáctica se analizan las situaciones de cortocircuito desequilibrado
(fase-fase, fase-tierra, etc.), que son los más frecuentes en los sistemas eléctricos de potencia.
A tal fin se estudia primeramente el método de componentes simétricas, y posteriormente su
aplicación al análisis de cortocircuitos desequilibrados.
5.1. Componentes simétricas.
Este método permite la representación de un sistema trifásico de corrientes (o tensiones)
desequilibradas mediante tres conjuntos de corrientes (o tensiones) equilibradas denominadas
componentes simétricas.
Se estudia en primer lugar la transformación de un sistema trifásico a un sistema de
componentes simétricas de manera general [9.2]. También se estudian los modelos de los
elementos (generadores, líneas, transformadores) para las tres secuencias [9.3]. Es
especialmente importante la Tabla 9-I del texto, de Modelos de comportamiento para las tres
secuencias.
5.2. Análisis de cortocircuitos desequilibrados.
En primer lugar se estudia el problema de los cortocircuitos desequilibrados, de manera
genérica [9.4].
Se estudian de manera específica las conexiones de las redes de secuencia para los distintos
tipos de fallo desequilibrado (incluyendo el ya visto, cortocircuito trifásico): fallo fase-tierra,
fallo fase-fase y fase-fase-tierra [9.5].
Es especialmente importante la Tabla 9-II del texto, que recoge de manera resumida los
esquemas de conexión de las redes de secuencia para los distintos tipos de cortocircuito.
Finalmente, el procedimiento general de cálculo se recoge, de manera sintetizada, en el
apartado [9.6]. Son especialmente interesantes los ejemplos del apartado anterior, donde se
resuelve un sistema sencillo.
... Y con esto acaba el programa de la asignatura “Análisis de Sistemas Eléctricos”.