ELECTROMAGNETISMO

)
Electromagnet ismo, pr incipio de
movimiento ondulatorio, sonido
r
•
y opt lca.
R . Gallegos Araujo
R. o. Gallegos Córdova
PU BLlCACION ES
CULTU RAL
Derec hos reservados
1990. por PUB L1Ci\CION ES elJ LT lJ RA L S. A . de C. V.
yla vor IX6. Co.1. Anáhuac. Delegación Miguel Hidalgo
C,"lligo Pos tal 11320. México. D . F.
L ~¡:()
\Iiembr o de la C"' mara Nacional de la indu s tria Editorial
R.egi s tro núm ero 129
iSBN 968-439-372-5
Queda prohibida la repr o duc ción () tran sm isión tota l () parcia: del tex to
de la presente ob ra baj o c ualquiera de sus fo rma s. electrónica o m cd nica.
, in el con se ntimient o pre vio y por escr ito d el editor.
Impres o en México
Printcd in M cx ic o
Primera edición: 1990
Contenido
Presentación
Unidad 1 Magnetismo
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1. 10
Clasiíicación de los imanes
Métodos de imantación
Polos de un imán
Ley fundamental del magnetismo
Magnetismo terrestre
Naturaleza de ,l os imanes
Teoría de Weber
Campo magnético
Ley de Coulomb del magnetismo
Inducción magn6tica en los campos magnéticos generados por imanes
Problemas resueltos y problemas propuestos
Unidad 2 Electromagnetismo
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Experimento de Oersted
Leyes de electromagnetismo
Campos magnéticos generados por corrientes eléctricas
Permeabilidad magnética
Excitación magnética
El circuito magnético
Problemas resueltos y problemas propuestos
Fuerza de Lorentz
Principio motor
Fuerza entre conductores paralelos con corriente eléctrica
.F uerza y momentos resultantes sobre una bobina con corriente dentro de un
campo magnético constante
Problemas resueltos y problemas propuestos
Instrumentos de medic ión
Problemas resueltos y problemas propuestos
MOiOr de corriente continua
5
7
7
8
9
9
9
lO
11
II
13
14
19
19
20
22
29
31
32
38
43
44
46
56
62
Unidad 3 Inducción electromagnética
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Ley de Faraday
El generador de corriente alterna
Autoinducción
Valores medios de voltaje e intensidad de corriente eléctrica en corriente
alterna (C.A.)
Valores-eficaces de intensidad de corriente y de voltaje en c.A.
Inducción mutua
Energía del campo magnético
Problemas resueltos y problemas propuestos
El transformador
Problemas resueltos y problemas propuestos
Unidad 4 Principios de movimiento ondulatorio, sonido y óptica
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
Ondas
Clasificación general del movimiento ondulatorio
Frentes de onda
Intensidad de un movimiento ondulatorio
Fenómenos que suceden en la propagación de un movimiento ondulatorio
Concepto de sonido
Introducción
Fuente sonora
Medio elástico transmisor
Características objetivas y subjetivas del sonido
Cuerdas vibrantes
Columnas de aire vibrante
Problemas resueltos y problemas propuestos
Reflexión del sonido yeco
Efecto Doppler
Problemas resueltos y problemas propuestos
Concepto de óptica
Introducción
Propagación de la luz
Velocidad de la luz
Reflexión de la luz
Refracción de la luz
División de la óptica
Problemas resueltos y problemas propuestos
Respuestas a los problemas propuestos
65
65
68
70
71
72
73
74
76
81
82
83
86
87
88
90
90
90
90
92
95
96
103
103
108
108
109
112
114
114
116
122
PRESENTACION
La finalidad de Física Fundamental es brindar a los alum­
nos de nivel medio superior, un texto acorde con las unida­
des, temas y objetivos de los programas oficiales vigentes,
tanto de los CECyT del IPN, como los de Preparatorias
N acionales, Colegios de Ciencias y Humanidades y Colegios
de Bachilleres.
Concientes de las confusiones que puedan tener los alum­
nos, debido a los cambios frecuentes presentados durante
sus estudios. hemos unificado a lo largo de la serie la nomen­
clatura y la simbología existentes en la Física. Así mismo, el
nivel matemático empleado está a la altura del alumno que
ya acreditó cursos anteriores o los cursa simultáneamente.
Agradecemos de antemano el apoyo ofrecido por los com­
pañeros profesores de la materia, con la convicción de que
esta obra será de gran utilidad en la preparación de nuestros
estudiantes.
Los Autores
5
UNIDAD 1
CONCEPTO DE MAGN ETISMO
Es el estudio de los imanes y de las propiedades
magnéticas de la materia, independientemente de
sus relaciones con la corriente eléctrica. Así mismo,
es la propiedad que tiene el óxido ferroso férrico
(Fe] 04), conocido como piedra imán, de atraer de­
terminados metales como el hierro, el niquel, el co­
balto y sus aleaciones.
piedra imán. Estos constituyen el grupo de las
substancias magnéticas; al transformarse en ima­
nes son llamados imanes artificiales porque para
INTRO,D UCCION,
La piedra imán u óxido ferroso férrico, también
conocido como magnetita, fue descubierto antes
de la Era Cristiana por Thales de Mileto cerca de
la ciudad de Magnesia, localizada en la región no­
reste de Grecia.
En general, definiremos como imán a todo cuer­
po que tiene propiedades magnéticas.
Cuando en el estudio de los imanes se toma en
cuenta su relación con las corrientes eléctricas,
surge el electromagnetismo que fue descubierto
por el físico danés Hans Christian Oersted.
1.1
llegar a serlo, interviene la mano del hombre. Co­
mo ejemplos podemos citar al hierro, níquel, co­
balto, y sus aleaciones (acero yalnico).
Como los imanes artificiales son de mucha utili­
dad en la industria, se fabrican de diferentes for­
mas: rómbicos, cilíndricos, de aguja, de barra, de
herradura y de medias cañas, entre otras.
Existen substancias que por ningún motivo ad­
quieren las propiedades de la piedra imán; es más,
cuando éstas se acercan a un imán, no son atraí­
das. A ellas se les llama substancias antimagnéti­
cas, por ejemplo el aluminio, plomo, latón, bron­
ce, etcétera.
CLASIFICACION DE
LOS IMANES
Los imanes artificiales, según el tiempo que
conservan la imantación, se clasifican en imanes
permanentes y temporales. Son imanes permanen­
tes aquellos cuya imantación es casi indefinida, es
decir, que la conservan por mucho tiempo como
los imanes de acero y sus aleaciones. Son imanes
temporales aquellos cuya imantación es de poca
duración, es decir, que desaparece en poco tiempo
como los fabricados de hierro dulce. A la piedra
imán la llamaremos imán permanente, puesto que
no pierde nunca sus propiedades magnéticas.
Para su estudio, clasificamos los imanes como :
imanes naturales e imanes artificiales.
Imán natural: El imán natural es la magnetita ,
óxido ferroso férrico o piedra imán, pues las
propiedades que tiene de atraer cuerpos de hierro ,
IÚquel y cobalto son naturales, ya que no interviene
la mano del hombre en estas características.
Imán artificial: En la Naturaleza existen mine­
rales que pueden adquirir las propiedades de la
7
1.2
METODOS DE IMANTACION
Existen tres formas ~imples para imantar subs­
tancias magnéticas, especialmente el acero y sus
aleaciones, estas formas o métodos de imantación
son: frotamiento, contacto e inducción. En la ac­
tualidad, el método más efectivo para construir un
imán artificial es por corrientes eléctricas.
Si el frotamiento se hace en ambos sentidos y
con un mismo extremo del imán, jamás se logra la
imantaci ón de la barra de acero (ver figura 1.3).
Cuando se estudie la teoría de Weber posterior­
mente, se comprenderán las razones por la cuales,
para imantar, se debe proceder como se hizo en las
figuras 1.1 y 1.2; así como por qué no se imanta si
se procede corno en la figura 1.3.
IMANTACION POR
FROTAM IEN TO
Si una barra de acero es frotada repetidas veces,
siempre en un mismo sentido y con el mismo extre­
mo de un imán de barra, observamos que la barra
de acero adquiere la propiedad del imán, o sea,
atrae cuerpos de otros metales y aun del mismo
acero. Con esto decimos que la barra de acero en
experimentación se ha transformado en un imán
artificial (ver figura 1.1).
1.2.1
Imán
A
Sentidos del frotamiento
•
Barra de acero
Flg. 1.3
miento.
Procedimien to incorrecto para imantar por frota­
Imiln
IMANTACIO POR CONTACTO
Para imantar por contacto basta con unir el
imán a la barra de acero durante un tiempo consi­
derable, de acuerdo con la magnitud de la imanta­
ción deseada. Hay que tener cuidado de no inver­
tir la posición del imán con respecto a la barra de
acero, de lo contrario la imantación adquirida de­
saparece (ver figura 1.4).
1.2.2
A
Sentid o del frotami ent o
_ _ _ _.....L-_ _ _ _ _ _ _•
Barra de acero
Fig. 1.1 Procedimiento correcto para imantar por
frotamiento.
Imán
Si se cambia el sentido del frotamiento, se debe
cambiar el extremo del imán (ver figura 1.2).
1
ILA
_____.JI. ..____B. .
Contacto
A
Barra de acero
H g. 1.4
\cn lid lldcl I'l ollll lli el'l lll
e
Il
Ha rrH de acero
Fig. 1.2 ProcedimienTO correcto para imantar por
frotamiento.
]
IMANTACION POR INDUCCION
Al igual que en la imantación por contacto,
cuando se desea imantar por inducción o influen­
cia, basta colocar la barra de acero en las proximi­
dades de un imán muy potente durante un tiempo
bastante prolongado para que dicha barra se con­
vierta en un imán artificial.
1.2.3
8--­
1.3
POLOS DE UN IMAN
Si un imán de barra es suspedido por su centro
de gravedad, se observará que oscila en un plano
paralelo a la horizontal, como si en sus extremos
actuara un par de fuerzas. Después de varias osci­
laciones, el imán cesa su movimiento y r;e equilibra
siempre en la mis ma dirección, que coincide muy
aproximadamente con la dirección de ia meridiana
norte-sur geográfica; además, siempre un mismo
extremo del imán señala hacia un mismo polo de
la Tierra (ver figura 1.5).
Esta propiedad de los imanes fue empleada por
los chinos en la navegación y es el principio de las
brújulas.
Por la razón de la orientación de los imanes, se
ha convenido en llamar p% s a los extremos de
ellos; así , polo norte del imán es el extremo que se­
ñala hacia el Polo N arte geográfico y polo sur del
imán al extremo que señala hacia el Polo Sur geo­
gráfico, es decir, el Polo Su r de la Tierra.
s
~
F
.
s
N
Fig.1.6
s
Polos de un mi smo nombre
N
S~
rec hazan.
F
Imán
F
N
Polo Norte
0·---­
Geográfico
~
Ecuador ma gnét ico
o
Fig. 1.5
Polos de un imán.
línea neutra
Fi2·1.7,...
''¡f~
r u ~ ll C.r:'
· ' .· · /',j _ _
·~-----,:-::
.5=-,~:~At;NE~ ~M .
l. El fetiótrleno de on
E
RE
de lflB'.;ba~as mag­
t -......:-:iit! ca!> a e sup oner que la Tierra se comporta
1 .4 LEY FUNDAMENTAL DEL
como un gran imán. Se ha comprobado que alre­
MAGNETISMO
dedor de la Tierra existe un campo magnético, los
Si disponemos de varios imanes de barra, con sus
polos magnéticos terrestres se localizan en puntos
polos debidamente identificados , comprobaremos
muy próximos a sus polos geográficos; es por esto
que si se sitúan frente a frente polos de un mismo
que las barras magnetizadas giran bajo la acción
nombre, actúa entre ellos una fuerza de repulsión;
de los polos magnéticos te"rrestres , que ejercen
en cambio si son de distinto nombre, la fuerza es de
sobre la barra un par de fue rzas; cuando la barra
atracción. De aquí se estableció la ley fundamental
se orienta queda en reposo , lo cual significa que el
del magnetismo O ley de los polos que dice:
par magnético se ha transformado en d os fuerzas
Polos de un mismo nombre se rechazan y polos de
colinea les de igual valor y de sentidos contrarios
(ver figu ra 1.8) .
distinto nombre se atraen (ver figuras 1.6 y 1. 7).
9 ====
OÓll
1.5.1
ANGULO DE DECLlNACION
MAGNETICA
Polo sur magnético terrestre
'­ ,
Polo N (ge ográfico)
Globo
terrestre
longitudinal, se llama ángulo de inclinación mag­
nética.
Las líneas que unen puntos sobre una carta geo­
gráfica de igual inclinación magnética, se llaman
líneas isóclinas.
El ángulo de inclinación magnética aumenta ha­
cia los polos de la Tierra. En el ecuador mide 0° y
en los polos magnéticos de la Tierra es de 90°; en­
tonces este ángulo varía de 0° a 90°. Este fenóme­
no dificultó por mucho tiempo la navegación por
la región de los polos de la Tierra. Lo anterior se
aprecia en la figura 1.9, donde f3 es el ángulo de
inclinación magnética.
o\~¡\.\
.
\
\ ter restre
Meridiana N-S magnérica
.
~
fJ __ _
____
.L
-------
Horizontal (superficie terrestre)
Angula de declinación magnérica.
Como puede observarse en la figura 1.8, la posi­
ción de los polos magnéticos de la Tierra no coin­
cide con sus polos geográficos, pues cuando la
barra imantada se orienta, lo hace según la direc­
ción de la meridiana N-S magnética dei lugar. Esta
dirección es diferente de la dirección de la meri­
diana N-S geográfica. El ángulo formado por las
dos meridianas (geográfica y magnética) recibe el
nombre de ángulo de declinación magnética que
varía de 0° a 360° .
Si sobre una carta geográfica se unen puntos de
igual declinación magnética, se obtienen líneas
muy irregulares, a las que se les llama líneas isógo­
nas.
En la figura 1.8 se observa una barra imán
orientada; el ángulo a entre ambas meridianas es
el de declinación magnética, que varía según el
punto O lugar de la Tierra donde esté situada la
barra.
1.5.2
·1
Línea paralela
a la horizo ntal
Mer idiana N-S geográfica -
Fig. 1.8
\o(\~\\}
~\~ . ¡{\a(\ _ _
o~\
P olo S (geográfico)
ANGULO DE INCLlN AC ION
MAGNETICA
Si observamos una barra imantada, notamos
que al orientarse no se sitúa sobre un plan0 hori­
zontal, sino que experimenta una ligera desviación
en relación con la horizontal que pasa por su cen­
tro de gravedad. El ángulo que se forma entre la
horizontal y la direccibn de la barra o de su eje
Fig. 1.9 fJ = Angula de inclinación magnética que valÍa de
0° a 90°, según el lugar de la superficie terrestre y según sea el
hemisferio de la Tierra donde nos encon trem os.
1.6 NATURALEZA DE LOS
IMANES
Si dividimos un imán de barra en dos partes, ya
sea por su ecuador magnético o en cualquier otro
lugar, deberíamos obtener una regibn de polo nor­
te y otra de polo sur; sin embargo, vemos que re­
sultan dos imanes más pequei'ios, cada uno con sus
dos polos y su ecuador magnético perfectamente
identificados, y así sucesivamente iríamos obte­
niendo imanes completos cada vez más pequei'ios
hasta llegar a la molécula, donde obtenemos un
imán molecular completo (ver figura 1.10). Estos
experimentos dieron lugar a que Weber estable­
ciera su teoria.
Ecuador magnético
I
Ecuador magnético
11'.:
(
S
Corte tra nsversa l
I
Corte
tra nsversal
mm
F'ig_ 1.10
= = 10 = =
Ecuador magn ético
'N (
si
Corte tran sve rsal
1.7 T EORIA DE WEBER
Las barras imá n, o cualquier otra forma que
tengan los imanes, están constituidas por diminu­
tos imanes moleculares agrupados en hileras desde
uno a otro extremo, correspondiéndose poros de
distinto nombre.
Cuando una barra de acero no está imantada,
los imanes moleculares se encuentran sin ningún
orden. P ara convertir esta barra de acero en imán,
la frotamos con el polo de un imán, en un mismo
sentido yasí, dichos imanes moleculares se van ali­
neando en toda la longitud de la barra, hasta for­
mar el imán (ver figura 1.1l).
Si frotamos la barra de acero de uno a otro ex­
tremo con el mismo polo de un imán y volvemos
en sentido contrario, los imanes moleculares no se
orientan nunca; igual sucede si se frota con un po­
lo de un imán en un sentido y con el otro polo en el
mismo sentido.
Esta teoría de Weber, también sirve para com­
render teóricamente que jamás se puede aislar un
polo de un imán, como se vio en la experimenta­
ción realizada en la figura 1.10.
Barra de a cero sin imantar
I /J~~/~I
-1- -- -S
Imán molecular
Imán
- - - - --
~~ I
---
~ -
--
- ~
-..--
-~
~
Fig. 1. 11
~~-- S
magnética, Ifneas de inducción magnética o sim­
plemente lIneas magnéticas, cuyas caracteristicas
importantes son las siguientes:
1) Son generalmente curvas.
2) Son continuas, principiando en los polos
norte de los imanes y terminando en los po­
los sur.
3) Jamás se cruzan en un punto.
1.8.2
ESPECTROS MAGNETICOS
Debido a las caracteristicas mencionadas de las
lineas magnéticas, podemos obtener en forma ex­
perimentallas diferentes imágenes o esquemas del
campo magnético, que dependen de la forma. que
tenga cada imán y que se llaman espectros magné­
ticos. Estos espectros se obtienen colocando un
papel, mica o cristal encima de un imán y espolvo­
reando sobre él limaduras de hierro. se observa
que mientras van cayendo éstas sobre la placa de
mica se van aJ.i.neando. materializándose en esta
forma las lineas de fuerza del campo magn~tico
generado por el imlm. Experimentando con varios
imanes se obtienen diferentes formas de espectros
magnéticos. como puede observarse en las figuras
1.12, 1.13, 1.14 y l.IS.
Nota: Los espectros magnéticos que se ob­
tienen, están en un corte en el espacio para poder­
se observar en un plano, pues el campo magnético
se propaga en tres dimensiones.
Limad uras ue h;crro
Placa de mica
-- - -
Teoría de W eber.
1.8 CAMPO MAGNETICO
Definición: Es el espacio que rodea a un imán y
dentro del cual se dejan sentir las fuerzas origina­
das por el propio imán.
Es un campo de fuerzas y por lo tanto, es una
cantidad vectorial que tiene magnitud, dirección y
sentido en cada punto de él, manifestándose en es­
pacio de tres dimensiones.
1.8.1
Fig. 1. 12
Es pec tro magnético del campo de un iman de for­
ma de barra.
LINEAS DE FUERZA MAGNETICA
Al igual que el campo eléctrico, un campo mag­
nético se supone formado por un número infinito
de líneas imaginarias, llamadas /(neas de fuerza
Fig. 1.13 Espectro magnético de atracción de polos de distin­
to nombre _
==11 = =
Experimentalmente se ha calculado que
J Wb = 108 Mx :. 1 Mx = 10-8 Wb.
1.8.4
Fig. 1.14 Espe<::tro magnético de repulsión de po los del mi s­
mo nombre.
DENSIDAD DE FLUJO
MAGNETICO
Definición: Es el número de líneas magnéticas
que atraviesan por unidad de área normal a la di­
rección del flujo magnético.
Como veremos más adelante, la densidad de
flujo magnético también es llamada inducción
magnética y es una cantidad vectorial. Algunos
autores sue en llamarle también intensidad de
campo magnético.
Símbolo:
(J o B = magnitud de la densidad de flujo mag­
nético, inducci6n magnética o intensi­
dad de campo magnético.
Modelo matemático:
(3
=.J... - - - - - - - - - - - " - ­
(1)
A
Hg. 1.15 Espectro magnético del campo generado por un
imán en forma de "U".
Siendo:
+=
A
1.8.3
flujo magnético
área normal o perpendicular a la
direcci6n de +
FLUJO MAGNETICO
Defi~ición: Es el número total de lí neas mag­
néticas que salen del polo norte de un imán, o q ue
llegan al polo sur.
UNIDADES
En general se mide en líneas magnéticas
metro cuadrado
Símbolo:
Sistema M.K. S. o S.l.
+=
(J se mide en ~eber
flujo magnético
m2
UNIDADES
pero 1 Wb
m2
En general, el flujo magnético se mide en: I(neas
magnéticas.
Sistema M.K.S. o S.1.
En este sistema de unidades, el flujo magnético
+se mide en weber (Wb).
Sistema
c.a.s.
=
1 tesla;
entonces, en este sistema de unidades (J se mide en
teslas ( T) .
Sistema
c .a.s.
(3 e mide en maxwell
2
En este sistema de unidades, el flujo magnético
+se mide en maxwell (Mx).
Relaci6n
cm
pero l M)(7.
cm
=== 12==
=
1 gauss;
entonces, en este sistema de unidades {J se mide en
gauss.
Conversión de unidades
1 Wb
1T =
1 ro2
8
10 Mx
4
1 Ga uss
1.9
1T =
2:'
10 cm
4
10 gau s
= 10'4 T
LEY DE COULOMB DEL
MAGNETISMO
La ley de Coulomb del magnetismo se refiere a l
cálculo de la fuerza de atracción o de repulsión
entre dos polos magnéticos. que aunque entre sí
no se pueden aislar, sí se puede medir la fuerza re"
sultante utilizando imanes muy largos comparados
con su sección transversal, de tal manera que cerca
de cualquiera de los polos, la influencia del otro p a­
lo de un mismo imán sea nula (ver figura 1.16).
Al-- -- r -
N!
p
====c:::==-1
S c:'
~
--r
Entonces k' = ~ ;por lo tanto si substituimos
4n
este valor de k' en (3), obtendremos la expresión
F -~ pp'
7
- 4n
-----~------ (~
La fuerza se mide en nt':wton(N)
p'
I
P
magnéticas, que en el Sistema Internacional de
Unidades se miden en Am.
r es la distancia entre los dos polos, en m.
k' es la constante magnética del medio en donde
se encuentran situados los polos de los imanes,
medida en N IA2 o Wb/Am.
k' también se puede expresar en función de ¡J,
que es la permeabilidad magnética absoluta del
medio, que por definición es el grado de facilidad
que presenta una substancia cualquiera al paso de
las líneas magnéticas o a la propagación del flujo
magnético.
p' ~L==C::::==~' s
f'
~
F
Fig. 1.16
Entonces decimos que la fuerza magnética de
atracción o de repulsión entre dos polos magnéticos,
es directamente proporcional al producto de las in­
tensidades de esos polos e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que los separa.
Si consideramos que el medio en donde se en­
cuentran los polos de los imanes es el vado. enton­
ces k ' = k'o = 10'7 N / A 2 = 10,7 Wb/Am y subs­
tituyendo este valor de k ' en la ecuación (3), deter­
minaremos la ma~nitud de la fuerza magnética en
el vacio:
F
=
k'o
pp
r~
(5) (N)
Matemá ticamente:
pp'
__~_
F a - 2- - -- - - - -- ­
r
(2)
Ley de Coulomb del magnetismo
Para pasar a la igualdad se introduce una cons­
tante, teniendo:
F
=
k' pp' - - - - -r
2
- - --
-
(3)
La expresión (3) es el modelo matemático de la
magni,tud. de la fu erza coulombiana en magnetis­
mo, en donde F es la magnitud d la fuerza mag­
nética (atracción o repulsión) en N y p Yp ' son las
intensidades de los polos magnéticos o cargas
La constante magnética k'o puede ser expresada
en función de ¡Jo que es la permeabilidad magnéti­
ca absoluta de vacio, siendo
k'o =
¡.l O
4rr
=
10,7 N/A! = lO'7 Wb/Am
substituyendo este valor de k'o en la expresión (5),
obtendremos (6)
F =~
4rr
pp'
-7 ­
(6) (N)
La permeabilidad magnética absoluta de una
substancia VA) es igual al producto de la permeabi­
lidad magnética absoluta del vacío (jAo) por la per­
=--=13-­
meabilidad magnética relativa ÚJr) de la misma
substancia, es decir:
1.10
INDU CCION MAGNETICA
EN LOS CAMPOS
MAGNETICOS
GENERADOS POR IMAN ES
¡.I = ¡.lo ¡.Ir
en donde
permeabilidad magnética relativa de una
substancia y es adimensional.
Entonces, substituyendo e te valo~ de 1" en la
expresión (4), la magnitud de la fuerza de Cou­
lomb del magnetismo queda expresada como si­
gue:
¡.Ir
=
(7) (N)
Obsérvese que la permeabilidad magnética rela­
tiva de una substancia, es la relación entre la per­
meabilidad magnética absoluta de la misma subs­
tancia y la permeabilidad magnética absoluta del
vacío que es tomada como patrón, es decir:
I"r del aire
=
=
(15) (N)
Fo Fr
Debe advertirse: que ¡.Lr es la razón de la fuerza
magnética entre dos polos situados en cualqu:er
medio, a la fuerza magnética entre esos misffi es
polos situados en el vacío, es decir:
F
Fo
Modelo matemático
F
cuya magnitud es:
{J = ­
p'
{J = - F - - - - -- ­
p'
(9) N/A m
en donde
F
p'
1
La permeabilidad magnética relativa del aire es
igual a l, debido a que la permeabilidad magnética
absoluta del aire y la permeabilidad magnética ab­
soluta del vado son consideradas iguales en mag­
nitud; es por esta razón que las expresiones (5) y
(6) se utilizan también para determinar la magni~
tud de la fuerza magnética de Coulomb, tanto pa­
ra cuando el medio es el vacío como para cuando
el medio es el aire.
Si substituimos la expresión (6) en la expresión
(7), obtenemos (8)
F
Definición: La inducción magnética en un
punto de un campo magnético se define como la
fuerza magnética por UIla unidad de polo coloca­
do en ese punto.
es la magnitud de la fuerza magnética y
es la intensidad de un polo de prueba (con­
siderado aislado) que para dar"la dirección
y el sentido del campo magnético en cada
punto, convencionalmente debe de ser norte.
Observemos que la magnitud del vector induc­
ción magnética puede expresarse utilizando la
magnitud de la fuerza de Coulomb del magnetis­
mo.
Asi, substituyendo (3) n (9) btenemos (lO)
k' pp'
,;
fJ
(lO) N/Am
p'
en donde
p es la intensidad del polo generador del cam­
po magnético.
r es la distancia del polo a un punto del campo.
k' es la constante magnéuca del medio existente
entre el polo generad yel punto considerado.
Adviértase que para de "':minar la magnitud de
7fén cualquier punlO
ampo magnético utili­
zando el modelo
. ~ .... (j O), no es necesario
utilizar pol o de p
Si
---::- 14==
1 med io e
~;;;
encuentra situado el
imán es el aire o el vació, substituimos a k' por kó
y tenemos:
{J se m ¡de en N I A m pero también en Wbl m 1 ,
entonces la unidad de (J es NIAm = Wbl m 2 =
tesla.
k'
(Jo
¡iO
(Jo = -
4rr
P
°T
o
Se comprueba que 1 T = 1 N I Am = 1 Wblm 2
utilizando la siguiente igualdad:
P
(11)
2
r
F
p'
Si el medio es cualquier substancia
k
' _
-
relacionando unidades obtenemos:
¡io ¡ir
N
4rr
substituyendo en (10), obtenemos:
Por lo tanto, queda comprobado que:
(J=~ ~
4rr
(12)
y substituyendo (11) en (12) obtenemos (13)
(J = (Jo
¡ir
N
Am
r
_ _ _ _ __
Wb Am
Am~
Am
_ __
_
Problemas re8ueltos
(13)
La inducción magnética es una cantidad vecto­
rial que representa la intensidad del campo magné­
tico en un punto determinado del espacio tridi­
mensional, y que tiene características similares a
-)o
las de intensidad del campo eléctríco (E), también
en un punto determinado del espacio tridimen­
sional en donde exista.
1) La intensidad de los polos de un imán de 15 cm
de longitud es de 6 Am. Hallar la fuerza ejerci­
da sobre un polo de prueba norte de 2 Am, si­
tuado en un punto Q en el aire, a 10 cm de cada
polo del imán (ver figura 1.17).
)(------1
,,
p\
= 15 crn·----,(
-Gp
,'
"
, ~. ~
i:)c,~
/0
('~.
Entonces, como la inducción magnética{3es una
cantidad vectorial, tiene magnitud, dirección y
sentido.
l' "
,
""'
PN Q
'
\
Diagrama vectorial
-"'----/=
i5cm.----J!
'"
T
Dirección y sentido de (J: Están determinados
por la dirección y sentido de las líneas de fuerza
magnética por unidad de polo, es decir, que la di­
rección y sentido del campo magnético con cada
punto del espacio están dados por la dirección y
sentido de la fuerza magnética ejercida sobre una
unidad de polo norte de prueba considerado aisla­
do, cólocado en ese punto.
I
P!..
Magnitud de
Está dada por el número de
líneas de fuerza magnética que atraviesan perpen­
dicularmente por unidad de área, o bien queda
expresada matemáticamente por los modelos ma­
temáticos (9), (11), (12) 0(13).
UNIDADES
Sistema Internacional
1 tesla
d 7.5 cm}y
"(..
~
I
~
el:
~---..'\
I
"'"
-?, J
_______
Q PN
I
a
F02y t~
:
Fig.l.17
Datos
I
15 cm
p
6Am
PÑ = 2 Am
r
IOcm = 1O" m
Fa
?
==15=====
J(\;)
~~/'"
F 02y l
/0
ta/1p
'Fol
Fo2x ).'
x
1_- ___
I
I
Fo
FOI
4.8 X 10'4
f30l
N
Am o tes las
horizontal a la
derecha
'7
f302
10
N
A2
12 Am
(3 X 10'1 m)2
7)
f302
f30R
=
= 4.8
f30R
0.134
x
X
horizontal a
la izquierda
10'4 T
4
10- T -0.134
= 4.67
X
lO'· T
x
4
10- T
horizontal a la
derecha del punto Q
b) FOR
37 .36 X 10'4 N
F OR
37.36 x 10'4 N
cm de longitud es de 24 Am. Hallar la induc­
ción magnética en un punto a 9 cm del polo
sur y a 12 cm del polo norte de dicho imán.
a) si el medio entre los polos y el punto es aire
b) si el medio es una substancia cuya permea­
bilidad relativa es 5.
Según la figura 1.19, suponer que la separa­
ción entre los polos norte de los imanes A y B
es de 4 cm y que el eje polar del imán A es de
60 cm. La intensidad de los polos del imán A
es de una magnitud de 1000 Am y la de los po­
los del imán B es de 200 Am. Determinar:
a) La fuerza que cada polo del imán A ejerce
sobre el polo norte del imán B, estando
ambos imanes situados en el medio am­
biente.
b ) La fuerza tOtal actuando sobre el polo nor­
te del imán B, debido a los polos del imán
A (para responder a esta pregunta, obser­
var cuidadosamente ambos imanes) .
r N = 4 cm
--!J'f
Jj p--.'. B
t
horizontal a la
derecha del punto Q
IN
n
-
Ñ
;t-------
I
I
lA =, 60 cm
A
I
Problemas propuestos
1) Dos polos magnéticos situados en el aire se
atraen con una fuerza de 0.03 Ny distan entre
sí 4 cm . Uno de ellos tiene una intensidad de
50 Am. Hallar la intensidad del otro polo.
2) Un polo magnético experimenta una fuerza de
0.8 N en un campo magnético de inducción .
0.05 T. Calcular la intensidad de dicho polo.
3) El polo sur de un imán muy largo tiene una in­
tensidad de 36 A m . Hallar la inducción mag­
nética de un punto en el aire a 3 cm de dicho
polo.
4) Un imán de 16 cm de longitud tiene unos po­
los de 40 Am de intensidad. Hallar la fuerza
ejercida sobre un polo sur de 5 A m de intensi­
dad situado en un punto en el aire, en la direc­
ción del eje del imán y a 4 cm de su polo norte _
5) Los polos N y S de un imán de 10 cm de longi­
tud tienen una intensidad de 20 A m. Hallar el
valor de la inducción magnética en un punto
Q situado en el aire, de tal manera que el án­
gulo NQS sea de 90° y los lados ]';"Q y SQ del
triángulo formado sean iguales.
6) La intensidad de los polos de un imán de 15
s!P'
IB-------~{
1
,
S
lB es muy la rgo yel po lo sur no tien e
influencia so bre su polo norte_
X----·
P
fig.1.19
8)
Considerar dos imanes rectos según la figura
1.20, donde la intensidad de los polos del
3
imán 1 es de 2 x 10 Am y la de los polos del
2
imán 2 es de 5 x 10 Am, situados en el
vacío . La distancia entre los polos norte de los
imanes es de 20 cm. Determinar la fuerza total
actuando sobre el polo norte del imán 2, debi­
do a los polos del imán l .
rN = 20cm
fig. 1.20
9)
/] = m uy g ran de pa ra que el sur no
influ ya so bre el polo norte.
Un polo norte magnético considerado ai slad o
tiene una intensidad de 750 Am y se encuent ra.
situ ado en el es pacio libre .
= = 17 ======
a) Determinar el vector inducción magnética
que provoca a 10 cm de él.
b) ¿Qué fuerza actuaría sobre un polo norte
de I Am de intensidad situado en el mismo
punto?
c) ¿Qué fuerza actuaría sobre un polo norte
de 2000 Am colocado en el mismo punto?
10) Un imán recto de 20 crr. de longitud tiene sus
polos con una intensidad de 1000 Am. A 10
cm de distancia de su centro longitudinal, y
perpendicular a su eje, se coloca un polo norte
aislado con una intensidad de 200 Am. Deter­
minar:
a) El vector inducción magnética que origina
cada polo del imán en el punto en donde se
encuentra el polo aislado.
b) El vector inducción magnética total en ese
mismo punto.
c) La fuerza total ejercida sobre el polo aisla­
do, debida a los polos del imán.
--18==
UNIDAD 2
Electromagnetismo
CONCEPTO DE ELECTROMAGN ETISMO
Es la síntesis de toda la electricidad que rela­
ciona íntimamente los fenómenos eléctricos con
los magnéticos.
INTRO DUCCI ON'
Hasta 1819, se ignoraba la relación que existe
entre fenómenos eléctricos y magnéticos, y es en
este año cuando el fisico danés Hans Christian
Oersted llevó a cabo un experimento, en el cual
descubrió que cuando se tienen cargas eléctricas en
movimiento a través de un conductor, o sea, cuan­
do se hace circular corriente eléctrica por un con­
ductor, se origina alrededor de éste un campo
magnético.
Oersted observó que el interruptor está abierto y
no circula corriente por el conductor, la aguja
irnantada señala en dirección geográfica norte-sur
(ver figura 2. 1). Al cerrar el interruptor, circula
corriente por el conductor y la aguja imantada gi­
ra colocándose perpendicular al conductor (ver fi­
gura 2.2) .
A la mbre de
,IS
I ntermpt or ce rrado
/
I
2.1
Oersted llevó a cabo este descubrimiento mediante
un experimento en el que utilizó un tramo de
alambre de cobre, una batería, un interruptor y
una aguja imantada. Montó estos elementos como
se observa en la figura 2.1.
Alambre d e cobre
Interrupto r abierto
P ila
1
~
N
Geog ráfico
s
N
Aguja imantada
S
Geográfico
Fig. 2. 1
-
I
¡l
1'
1\
H_-s
N ___
..,
N
Gcog ra rico
';!
EXPERI MENTO DE OE RSTED
I
c obr~
= Inte nsidad de cor ri e nte eléctri ca
~
S
Gcográ t'ic o
11
uN " Girodel a
aguja iman ta cl a
"
/
Fig.2.2
Debe observarse que este comportamiento de la
aguja imantada sucede únicamente cuando ésta es
colocada dentro de un campo magnético produci­
do por un imán; se observa que dicha aguja siem­
pre se pone paralela al campo magnético, o sea
perpendicular al polo del imán (ver figura 2.3) .
Por lo tanto, Oersted dijo : Siempre que circula
corriente eléctrica por un conductor, se produce
alrededor de éste un campo magnético que es per­
pendicular al conductor, o sea al campo eléctrico ,
La razón de lo anterior es que la aguja imantada
se Otienta de manera perpendicular a dicho condu c­
tor, indicando con esto que el campo magnético es
- 19 =
pararelo al eje longitudinal de la aguja, siendo por
lo tanto perpendicular al campo eléctrico que
mueve las cargas eléctricas dentro del conductor.
Oersted descubrió que por efectos eléctricos se
obtienen fenómenos magnéticos, es decir, que la
electricidad y el magnetismo están íntimamente li­
gados; lo cual dio origen al electromagnetismo.
dad 1 constante, forman circunferencias concén­
tricas con el conductor (ver figura 2.5) .
+
• I
Sentido de I o de E
(campo eléctrico)
h:blPOIO ,,,,,"i<o
/11 1
1~)31
""yt..--"Líneas de inducción
magnéti ca
/11:.1.::',
//0/: :~~ : ! \,'\
I
N
I
I
I
I
•
I
I
I
I
I
I
Sentido de f3
o del campo magnético '
\
\
"
::::.~·S
N·--=-==-
Geógrafico
~ro
Fig.2.4
S
Geográfico
de la aguja imantada
S
Fig.2.3
f3
f3
~_-
I con
,sentido saliente
/.~/~3,
,~;,'~Líneas
1'(:;)~/~::'.
,"~' Jmagnéticas
1,'"
• ',',
... ~.:
+
2.1.1
REGLA DE LA MANO DERECHA
Oerst~d no pudo cuantificar los campos magné­
ticos producidos por corrientes eléctricas; pero sí
determinó su dirección y sentido.
La dirección de (3, como ya observamos, es per­
pendicular al conductor que transporta la corrien­
te eléctrica, o sea, a la direcci6n del campo eléctri­
co E.
El sentido de (3 lo definió como la regla de la
mano derecha que consiste en tomar al conductor
como se ilustra en la figura 2.4, en donde el dedo
pulgar señala el sentido de la corriente eléctrica
considerando que ésta circule en la dirección con:
vencional, de más ( + ) a menos (-).
El resto de los dedos indica el sentido del campo
magnético, es decir, el sentido de (3.
Al colocar la mano derecha en la posici6n que
muestra la figura 2.4 alrededor del conductor, ob­
servamos que cambia el sentido de {J si damos
vuelta al conductor describiendo una circunferen­
cia. Lo mismo sucede si efectuaRlos esa misma
operación rodeándolo con la aguja imantada,
pues el plano de ésta es siempre perpendicular al
conductor, o sea tangente a una circunferencia.
Gracias a estas observaciones y por experimen­
tos realizados con una lámina de mica y limaduras
de hierro, se ha comprobado que las líneas de
fuerza del campo magnético producido por un
conductor recto con corriente eléctrica de intensi­
f3
- ... ~... "
"../1
,\\\'.,'..... ,//,',,'.
\\',':::::',~','
(3
1I
Fig.2.5
2.2
' ~,.::::-:: ' ;' • f3
a la tí nea de fJ
fuerza en cada punto.
f3 es tangente
LEYES DEL
ELECTROMAGNETISMO
2.2.1
LEY CIRCUITAL
DE ANDRE MARIE AMPERE
Imaginemos un conductor recto de longitud in­
finita, por el cual circula una corriente eléctrica de
intensidad 1 constante y con un sentido de + a­
(sentido convencional).
De acuerdo con el descubrimiento de Oersted
esta corriente producirá alrededor del conducto;
un campo magnético de inducción 7f cuya direc­
ción, sentido y magnitud serán constantes. Este
campo magnético estará constituido por líneas de
inducción que forman círculos concéntricos con el
conductor (ver figura 2.6).
I
dl P
P _ ¡~/.. ,
f3
/f
l'
I
\ f
\
\
\
,
~
,
1
,
/ 1 = constante
Fi~.
2.6
==20==
'-
,I
Imaginemos ahora un polo de prueba (norte)
ficticio, cuya intensidad magnética es de I ampe­
rio colocado en un punto p y a una distancia r,
perpendicular a la longitud infinita del conductor.
A continuación movemos el polo de prueba si­
guiendo la trayectoria circular de una línea de in­
ducción del campo magnético.
Al recordar el concepto de trabajo mecánico y el
de trabajo eléctrico, identificamos la acción ante­
rior como el trabajo desarrollado con la unidad de
polo en una trayectoria cerrada. Este trabajo se
demuestra en un nivel superior del estudio del
electromagnetismo, que es igual al producto de la
permeabilidad magnética absoiuta del medio, por
la intensidad de corriente que circula por el con­
ductor.
Matemáticamente: § (3 -di
=
¡;.I _ _ - _ _
gura 2.6. También obtendremos estas expresiones
utilizando la ley de Ampere o ley de Biot-Savart
que estudiaremos en seguida.
OBSER VACION
En electrostática, la ecuación general de la ley
de Gauss es;
§s
E. -
di
=
O
que también es un trabajo. Con ella comprobamos
que el campo eléctrico es un campo de fuerzas
conservativo, ya que el trabajo desarrollado con la
unidad de carga eléctrica en la superficie cerrada
(superficie gaussiana) es igual a cero; esto significa
que la energía eléctrica es recuperada.
En electromagnetismo el trabajo desarrollado
con la unidad de polo en una linea cerrada es
(l)
Ley circuital de Ampere.
Para encontrar la magnitud de 7f: en este caso
del conductor recto infinitamente largo, hacemos
lo siguiente:
§ (3 di cos e =
ralelo a
¡;.I en este caso
d7 y como cos 0°
§ (3
como (3
=
di
=
e=
0°, por ser 7f pa­
1, tenemos :
lo cual denota que la energía magnética no es recu­
perada, puestb que dicho trabajo no es cero, es de­
cir, la energía magnética es transformada en otro
tipo de energía, por lo que identificamos el campo
magnético como un campo de fuerzas disipativo.
2.2.2
= ¡;.I
constante, entonces: (3
LEY DE AMPERE
O DE BIOT-SAVART
§ di = ¡;.I
como la trayectoria es una circunferencia, entonces:
§ di
(3
~
=
2rrr :. (3(2rrr) = ¡;.I
_ __ __
_
_
_ _ _ (2)
\
I
2rrr
,/
como ¡;.
= ¡.lo, si el
=
perpendicular al eje de di
4rr k'o , entonces:
(30 = 4rr k ,o -I- ...
2rrr
.
medio es el vacío, ent onces :
(30 = ¡;. o _I _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ (3)
2rrr
a hora , como ¡.to
I
(30
=
k' o _2I _ __
Fig.2.7
(4)
r
Las tres últimas ecuaciones enmarcadas, expre­
san la inducción magnética en el punto p de la fi­
~==== 21
Después del descubrimiento de Oersted, el cual
ya hemos estudiado, los fi sicos Ampere, Biot y Sa­
vart realizaron otros experimentos y lograron
cuantificar dicho campo magnético en cualquier
Imaginemos ahora un polo de prueba (norte)
ficticio, cuya intensidad magnética es de ] ampe­
rio colocado en un punto p y a una distancia r,
perpendicular a la longitud infinita del conductor.
A continuacibn movemos el polo de prueba si­
guiendo la trayectoria circular de una línea de in­
duccibn del campo magnético.
Al recordar el concepto de trabajo mecánico y el
de trabaj o eléctrico, identificamos la accibn ante­
rior como el trabajo desarrollado con la unidad de
polo en una trayectoria cerrada. Este trabajo se
demuestra en un nivel superior del estudio del
electromagnetismo, que es igual al producto de la
permeabilidad magnética absoiuta del medio, por
la intensidad de corriente que circula por el con­
ductor.
gura 2.6. También obtendremos estas expresiones
utilizando la ley de Ampere o ley de Biot-Savart
que estudiaremos en seguida.
OBSER V ACION
En electrostática, la ecuacibn general de la ley
de Gauss es: § s
E..
di
=
O
que también es un trabajo. Con ella comprobamos
que el campo eléctrico es un campo de fuerzas
conservativo, ya que el trabajo desarrollado con la
unidad de carga eléctrica en la superficie cerrada
(superficie gaussiana) es igual a cero; esto significa
que la energía eléctrica es recuperada .
En electromagnetismo el trabajo desarrollado
con la unidad de polo en una línea cerrada es
Matemáticamente: § {J -di = ¡.;! _~_ _ _ (1)
Ley circuital de Ampere.
7f:
Para encontrar la magnitud de
en este caso
del conductor recto infinitamente largo, hacemos
lo siguiente:
§ {J di cos e = 1i1 en este caso e = 0° , por ser 7f pa­
ralelo a dT y como cos 0° = 1, tenemos :
§ {J di = 1i1
como {J = constante, entonces: {J § di = 1i1
lo cual denota que la energía magnética no es recu­
perada, puestb que dicho trabajo no es cero, es de­
cir, la energía magnética es transformada en otro
tipo de energía, por lo que identificamos el campo
magnético como un campo de fuerzas disipativo.
2.2.2
LEY DE AMPERE
O DE BIOT-SAVART
como la trayectoria es una circunferencia, entonces:
mag nética
§ di =
~
2rrr :. (J(2rrr) = 1i1
_ __
_
_
_
_
_
_ _ (2)
\
I
2rrr
como Ii
I
= ¡;.o, si el
"
medio es el vacio, entonces:
{Jo = li o _ 1_ _ _ __ ~--,------ (3)
2rrr
a hora , como lio
{Jo
=
=
perpendi cular a l eje de di
4rr k 'o , entonces:
4rr k'o _ 1_:.
2nr
/ .
{Jo
= k 'o J!... ___
(4)
r
Las tres últimas ecuaciones enmal cadas , expre­
san la induccibn magnética en el punto p de la fi ­
=
fig . 2.7
Después del descubrimiento de Oersted, el cual
ya hemos estudiado, los tisicos Ampere, Biot y Sa­
vart realizaron otros experimentos y lograron
cuantificar dicho campo magnético en cualquier
=21 = =
punto del espacio que rodea al conductor, cual­
quier forma que éste tenga, representando tal va­
lor por medio del vector induccit n magnética o
b) Si e = 90° entonces sen 90° = 1 Ycomo 1 es el
máximo valor de la función seno, .entonces la
inducción magnética es máxima.
densidad de fluj o m agnético.
Para esto consideraron un elemento del conduc­
tor di con una corriente eléctrica de intensidad 1
constante (ver figu ra 2.7). Las cargas eléctricas
que circu lan por ese elemento de cond ctor, gene­
ran un campo magnéti o de valor d~ en un punto
P del espacio que rodea a dicho conductor, que co­
mo ya sabemos, es tangente a las líneas magnéticas
del campo. El sentido de este vector d(j está dado
por la regla de la mano derecha establecida por
Oersted .
La suma vectorial de todos los valores de d(j ge­
nerados por las cargas que circulan en cada uno de
los elementos del conductor di en el punto P, nos
dará el valor (j del campo magnético en ese punto.
Las líneas de inducción del campo magnético
forman círculos concéntricos que son perpendicu­
lares al eje de di y a l plano formado por, y di.
Ampere, Biot y Savart encontraron que:
df3
=
k'
(5)
1 di sene
,2
Substituyendo en (5) se obtiene
=
d(JmAJc
k' 1 dl _ _ _ _ _ _ _ _ _ (6)
,
2
Subtituyendo (6) en (5) se obtiene
d{3 = d{3 m", senO _ _ _ _ _ _ _ _ (7)
Nota: Recordemos que los modelos matemáti­
cos (5) y (6) pueden expresarse según la permeabi­
lidad magnética del medio en el cual se lleven a ca­
bo los experimentos, o sea, en el vacío, aire o cual­
quier substancia.
2.3
CAMPOS MAGNETICOS
GENERA DOS POR
CORRIE NTES ELECTRICAS
2.3.1
MAGNITUD DE LA INDUCCION
MAGNETICA EN UN PUNTO
FUERA DE UN CONDUCTOR
RECTO CON COR RIENTE
DE INTE NSIDAD CONSTANTE
La expresión an terior es el modelo matemático
de la magnitud de la ley de Ampere o ley de Biot­
Savart, en donde:
d(J es el elemento diferencial de inducción
~/-I ,
JI
\
/
I
\
/
/
i'
/
/
/
/
~/ / /
/)~//
//
= lnl e nsidad conslanle
Fig.2.8
==22==
,
,
cOi
\
" ~\
/'
\
"
\
=O
~
/
J
//) - _... /
/
Lo cual significa que en la superficie del on­
ductor, el campo magnético tiene valor cero en to­
dos los puntos .
,
/ /
OBSER VACIONES
a) Si e = 0°, entonces sen 0° = O
"
~
/ \
/
.......
',"
/
d(J
. /I
~ (1¡1
magnética (magnitud).
di es el elemento diferencial de longitud del
conductor.
1 es la intensidad de corriente eléctrica
con tanteo
, es la distancia del elemento di al punto P.
e es el ángu lo formado por di y '.
k ' es la constante magnética del medio don­
de está situado el conductor.
( Línea de inducción
magnética
Supongamos un conductor recto de longitud in­
finita (1), con corriente eléctrica de intensidad (1)
constante, del cual queremos conocer la densidad
de flujo o inducción magnética en un punto P
cualquiera, situado a una distancia a perpendicu­
lar al conductor (ver figura 2.8).
Obtenemos el valor de {J en el punto P integran­
do la expresión matemática de la ley de Biot-Sa­
vart, que es:
d{J = k' 1 dI sene _ _ _ _ _--,---_ _ (8)
r
2
Pero como podemos observar, en este caso la
expresión (8) está en función de dos variables: la
longitud I del conductor y el ángulo e. Dicha lon­
gitud varía de + infinito a- infinito (+ 00 a - 00),
ocasionando que el ángulo varie de 11 radianes a O
radianes, o sea, de 1800 a Oo . Para que la expre­
sión (8) se pueda integrar, es necesario ponerla en
función de una sola variable; para ello conviene
que quede en función del ángulo e, por tener éste
sus limites finitos. Para lograr lo anterior hacemos
el siguiente análisis:
Si analizamos la figura 2.8, sabemos que:
csce
r
= - a :.
cote
r
=
a csce
a cote -
a
= ._.a cscl e
dI
dI
=
si el medio en donde ésta situado el conductor es el
vacío o el aire
¡.w
Pero k'o
4Tl
!-lo
k -­
(Jo
4Tl
21 _ _ _ __ _ (15)
a
simplificando obtenemos:
_ _ _ _- ( 0 )
Si el medio es cualquier substancia:
e se
{J
- a csc 2 e de - -- (11)
}( - a csc 2 e de) sene
d csc e
_
1
(17)
!-I - - ­
2Tl(1
o
!-l o !-Ir _ 1
2Tla
(/8)
Substituyendo (/6) en (18) se obtiene:
d{J = k '-----'----o---.-~2
e
Am
(14)
(3
d{J
Wb
k' = k'o
_ _ _ _ __ __
(16)
{Jo = !-Io-I­
2Tla
Substituyendo (9) y (11) en (8) se obtiene (12)
k ' 1 sene de
a
a
_ _ _ _ __ (9)
Al derivar la expresión (lO) con respecto a
obtiene:
de
(13)
k' 21
{J
_
_ __
(12)
como varia de Tl rad a O rad, y siendo constantes
k', 1 y a, entonces si integramos a la expresión
(12), obtenemos (13)
= !-Ir
(Jo +)- - - - - -- - ­ (/9)
Nota: En la resolución de problemas en que el
medio donde se encuentra el conductor es el vacío
o el aire, se recomienda emplear el modelo mate­
mático (/4). Cuando el medio sea una substancia
cualquiera, conociendo su permeabilidad magnéti­
ca relat.iva, se recomienda emplear el modelo rna­
=-= 23-- ­
temático (19), pues basta con conocer f30 para que
únicamente se multiplique por ~r.
2.3.2
MAGNITUD DE LA INDUCCION
MAGN ETICA EN EL CENTRO
DE UNA ESPI RA CIRCULAR CON
CORRIENTE CON STANTE
/
/
/
de tomamos un elemento de longitud dI de la cir­
cunferencia de la espira que se encuentra a una
distancia r del punto P (centro de la espira).
El elemento df3 en el centro de la espira está da­
do por la ley de Biot-Savart:
df3
=
k' Idl ~ene _ _ _ _ _ _ _ _ (5)
r
como en este caso particular r = radio de la espira
= R Y siempre pe.rpendicular a ella en cualquier
punto, entonces:
sen 90°
=
1
substituyendo en (5) se obtiene:
/
/
df3
I
=
k' Idl -
_ _ _ _ _ _ _ _ (20)
R2
Fig.2.9
rrienlc.
Espcclro magnético de una espi ra circ ular con co­
d/
Como k', I Y R son constantes y la longitud de
la espira está comprendida entre Oy 2nR, podemos
integrar la expresión (20) entre esos límites, para
así obtener el valor de f3 precisamente en el centro
de la espira.
d(3
~._--+--
f3
En eS le caso:
e=
J
¡ 1/ =
90°
Y
r = R
"f.
constanle
pero
=
k'..!.2
.R
f
[I'~I
l'R
o
=
dI
(21)
2rrR
(radio dc la esp i I'a)
Fig.2.10
f3
Otra de las aplicaciones de la ley de Biot-Savart,
es el cálcu lo de la inducc·ón magnética o densidad
de flujo magnético en el centro de una espira cir­
cular con corriente , o en el de una bobina circular
de N espiras muy apretadas, por la cual circula
una corriente eléctrica de in tensidad constante.
Imaginemos una bobina con las características
mencionadas, con su plano perpendicu lar al plano
del papel; las lineas de inducción que forman su
campo magnético tendrán un espectro semejante
al de la figura 2.9.
Para calcular el valor de la inducción magnética
f3 en el centro P de una espira circular del tipo es­
pecificad o, hacemos uso de la figura 2.1 0, de don-
= k' -
I
(2nR)
.
R2
.@+-_______
(22)
Si se trata de una bobina circular plana, es de­
cir, de espiras muy apretadas, entonces tendre­
mos:
~~
k 'N
siendo N
U-i-------­
=
(23)
número de espiras
Si el medio es aire o vacío, es decir, si la bobina
= = 24 = =
tiene núcleo de aire o no tiene núcleo, entonces:
si
e = 90° . entonces
:.
= k,__
I~1 -
d{J
=
!.­
N¡;.o
(25)
2R
Si la bobina tiene un núcleo cualquiera:
{3
:.
=N
{3 =
2.3.3
¡;'O¡;'r
~
(2 6)
2R ,
d[3y
d{J sen ó _ _ _ __
---='---_
(18)
substituyendo (20) en (28) obtenemos:
(27)
MAGNITUD DE LA INDUCCION
MAGNETICA EN EL EJE
DE UNA ESPIRA CIRCULAR
CON CO RRIENTE CONSTANTE
dI
=
dfJ"
¡;'r {3o
1
Al analizar la figura 2.11, sabemos que dfj tiene
dos componentes rectangulares dfjz y dfJy. Pero
dfJy se anula con el valor del campo generado por
otro elemento di diametralmente opuesto al pri­
mero, por lo que el valor de fJ en el punto P está
dado únicamente por la integral de todos los dfJx ,
pues los dfJy se anulan dos a dos.
En la figura 2.11 observamos que:
pero k ' o = .- ¡;'o
4rr
:. {30
=
._ .,--_ _ _ _ _ _ (20)
,
(Jo = Nk 'o _2_rrI_ - - - - - - - - -- (24)
R
sen 9
dfJx
=k
• Idl
,
- 2-
(29)
senó
Pero en la misma figura: seDÓ
= Ji -- (30)
r
df3
Al substituir (30) en (29) tenemos:
1
eorema de Pitágoras sa
P or .
Eje de la espira perpe dicular al
plano de la misma
~ ~K
)1
,3
n2
+ ;1
.
lJU! ,.
k' Idl sene _ __ _ _ _ _---,-_ (5)
+
J
.-2 "
X )
=
(R 2
+
X2
)32- (32)
E C. V.
~
En la fIgura 2.11 suponemos una espira CJICU arde radio R, por la cual hacemos circular na
rriente eléctrica de intensidad 1 constan, en a ·
cual queremos saber el valor de la inducci6ítiñ'ag­
nética {3 en un punto P cualquiera en el eje de la es­
pira, a una distancia x del centro de la misma, pa­
ra lo cual tomamos un elemento de longitud di de
la espira, que como podemos observar forma un
ángulo e = 90° con la distancia, al punto P considerado.
De la ley de Biot-Savart:
=
(l'<
:.
Fig. 2.11
d{3
, = \(,r:'X2--y
. R +..x =
1,S1'súJ'stituimOs~'1:3~'2iUI~~e-01"1
W)
'=:;
~,~ 1
•
fR. ?
T
I
+R
(33)
)312
integrando (33) de O a 2nR, que es la variación de
la longitud de la espira resulta:
f
{ hR
IR
d(Jx
=
k' (R 2
:. {3
?
= = 25 = =
+ )
)312
Jo dI
=
IR
k' (R2 + X2 )3/ 2 (2rrR)
(34)
---- ---­
para una bobina de N espiras se tiene:
I
..
(3
= k' N
(
DE UN SOLENOIDE RECTO
2
2rr IR
+
(I?l
(35)
X2 )3/2
Las expresiones (34) y (35) son los modelos ma­
temáticos para calcular respectivamente, la induc­
ción magnética en un punto en el eje de una espira
y de una bobina circulares, a una distancia x de su
centro.
Un solenoide es una bobina de varias. vueltas
con forma de resorte, y que puede tener núcleo de
cualquier substancia, o bien, éste puede ser de aire
que se considera sin núcleo o vado. Cuando se ha­
ce circu lar una corriente eléctrica, se genera un
campo magnético (experimento de Oersted). Sien­
do la corriente constante, el espectro magnético o
imagen del campo será semejante al de la figura
2.12.
Nota: El valor de k' depende del medio o del
núcleo dr. la bobina.
OBSERVACION
Si hacemos x = 0, el punto P se encuentra en el
centro de la bobina.
De (35) se obtiene:
f3
(K +
f3
1 (constante)
2
Fig. 2.12
2IT R 1
k' N
k' N
0) 3/2
Para calcular la inducción magnética en un pun­
to P cualquiera en el eje de un solenoide, así como
en su centro, consideremos la figura 2.13, donde
, tenemos un solenoide recto de las siguientes carac­
tensticas :
2rr 1
R
que es el modelo matemático (23)
Casos particulares
N
l. Si el núcleo es aire, sin núcleo (vacío)
R
I
1
I~
1
\
o
I
(30 =
-
Nk 'o
2IT
(R 2
R1I
+ Y
número de espiras del solenoide.
radio del solenoide.
longitud física del solenoide.
intensidad de corriente (constante).
- --t-- -- - (36)
Físicamente, un solenoide puede ser dibujado
como se presenta en la figura 2.13.
)3 / 2
1----- f
I
------'f
P~ ~-!R
~Ej'
I -~------------
2. Si el núcleo es cualquier subs ancia
2
R 1
+~
f3 = NjÁo jÁ r -2(-R- 2-+-y-)-3/-2 - - + - - - - (38)
l = Co nstante
•• f3 = jÁr (30 _ _ _ _ _----j_ __
2.3.4
_
(39)
MAGNITUD DE LA INDUCC ION
M AG NETICA EN UN PUN TO
EN EL EJE Y EN EL CEN TRO
Fig. 2.13
~1
Solenoi de sin nucleo .
Si de la figur¡:¡ 2.13 consideramos un elemento
dx de la longitud f del solenoide (ver figura 2.14),
donde habrá n vueltas, lo cual se expresa como en
(40)
- -26 ==
n
N
=-
I
dx
en donde: N
vueltas
_
_ _ _ _ _ _ _ (40)
número total de vueltas del sole­
noide.
En la expresión (41) N i, - que es el número de
vueltas de la bobina plana- corresponde en el so­
lenoide a n o sea al número de vueltas que caben
en el elemento dx. es decir:
Nb = n = NII dx _ _ _ ____ __ (42)
en donde N
=
número de vueltas del solenoide.
Al substituir (42) en (41) la inducción magnética
{Jo de la bobina plana se convierte en dfJo del sole­
noide, obteniéndose la expresión (43)
Fig. 2.1 4
dIJo
Al sepa rar el elemento dx de la figura 2.14 se
obtiene lo que observamos en la figura 2. 15, don­
de la recta 8 que va del elemento dx a un punto P
forma con el eje del solenoide un ángulo d que, a
lo largo del elemento dx, sufre una variación deL
=
lAo N -
IR 2
-3 dx
(43)
2/8
Para poder integrar la expresión (43), que está
en función de dos variables x y S, debemos expre~
sarla en función de una sola variable, que es ó.
Para lograr lo anterior hacemos lo siguiente de
acuerdo con la figura 2.15:
,f-- dx .-{
~:
p~
I
¡('---- -
sen dd
'je
I
x- - - - - , (
= o/ S
:. o = S sen dd
_
_
(44)
Como el ángulo dd es muy pequeí'io, en este ca­
so sen dd ~ dd
(45)
Substituyendo (45) en (44) obtenemos (46)
ig. 2.15
o = S dd _ __ _ _-'-"-_-----:.~
Utilizamos la ecuación (37) para determinar la
magnitud de la inducción magnética en un pun to
P en el eje de una bobina plana de N vuel tas o es­
piras sin núcleo, dicha ecuación es la siguiente:
2
f3
0
=
¡Jo
IR
.,,---_ _ _ _ (37) T
N2-(R-:2:--+-X-::-2-:)3/ 2
(46)
En la figura 2.15 también se observa que:
send = o/ dx _ _ _ _ _, ,_ __
_
(47)
Si substituimos (46) en (47), obtenemos (41)
Debe considerarse que en la figura 2.15
sellÓ = Sdd/dx :. dx = 8 dd / seDd _ __ (48)
Substituyendo (48) en (43) obtenemos (49)
Elevando a 1<" 3a. potencia obtenemos (40):
diJo
Substituyendo (40) en (37) concluimos que:
=
1
¡Jo
N
IR Sdd
2/S3 sellÓ
_
pero en la figura 2.14 send ::::.
_ _ _ _ (49)
R
S
- -­
(41) T
Substituyendo (50) en (49) obtenemQs.(51)
- - - 27,­
(SO)
=
dfJo
.
Aa
• • U/JO
¡Ao
N
=
¡Ao
IR 2 Sdó
2
¡A o
3
2/S R / S
N
IR
2/S
IRS
N-3
2/S
dó
(57) T
dó _ _ __ __ (51)
Nueva mente substituyend o (SO) en (51) llega­
mos a (52
d(3o
= ¡Ao
1
N - senó dó
21
(~2)
Al integrar la expresi6n (52) entre los limites de
a Ó2 que es como varia el ángulo ó de un extre­
mo a otro del solenoide, obte nem s (53):
Para determinar la inducción magnética en el
centro del solenoide sin núcleo o con núcleo de ai­
re, vamos a considerar la longitud 1 de un sole­
noide muy grande, en comparación con el radio R
del mismo.
Toma ndo en cuenta el pu nto P de la figura 2.13.
situado precisamente en el centro del solenoide,
advertiremos que Ó1 tiende a valer 0° y Ó2 tiende
a valer 180° . Substituyendo estos valores en la ex­
presión (54) se obtiene (58)
ÓI
NI
21
f30 = ¡Ao
:. (Jo
¡Ao
¡Ao
. ¡30
,
r
Ó2 seflÓ
dó _ _ _ _ _ (53) T
J ÓI
NI
- 21
NI
-21
[-
t
cos~ ;~
l = co nstante
COSÓ2 -
NI
¡A O - - ( COSÓI -
21
(-
cosó
I~
{JOc
¡A o ¡A r
_N
_I_
21
(COSÓI -
NI (cosO L
2/
p~
NI
21
: " " NI
2/
~-
(-
cos 1800)
1)]
(2)1p~ ::"
'
.
~J]
(58) T
Si el solenoide tiene un núcleo cualq u iera, debe­
mo incluir al factor ¡A r en la expresión (58)
:. (3, =
¡A o ¡Ar -
NI
-
- - - -- - - - ­
(59) T
l
r­
~
COSÓ2 ) -
\
(55) T
Substituyendo (54) en (55) obtenemos (56)
= {J O¡A r
¡AQ
¡A o
1,_ _ _ _ __ _ _ _----"
-Q
=
(54) T
COSÓ2 )
La últi ma expresi6n es el modelo ma temático en
cualquier punto P si tuado en el eje de u n solenoide
sin núc eo o con nú cleo de aire.
Si po nemos al solenoide un núcleo de cualqu ie r
materia l, entonces introducim os en la expre ión
(54) el fac tor ¡Ar, que es la permeabilidad magnéti­
ca relati va de ese núcleo; así obtenemo (55)
. (3 =
l
Fig.2.16
o tamb ién c mo J.I. o J.I. r =
¡.<.
con lo que obtenemos
~ " ~~-----~-
(60) T
(56) T
como f./ = 4rrk ', entonces la expresió n (60) se
puede expresar am o (61)
Como ¡'< O¡'<r = ¡A . q ue es la permeabilidad mag­
nética absoluta del núcleo. entonces la expresió n
(61) T
(55) se puede escribi r como aparece a conti­
nuación :
E k'N-7 ]-4- ­
- - 28==
-.. . . . .- -
2.3.5
/ =
MAG NITUD DE LA INDUCCION
MAGNETICA EN EL TOROIDE
circunferencia media
e
{J
= ¡.lo
NI
-
¡.I r -
- - -- - - - - -­
(65)
2rrR
:. (3 =
¡.I r (Jo
2.4
PERMEABILIDAD
MAGNETICA
(66)
Definición: P ermeabilidad magnética de una
substancia, es la facilidad que ésta presenta a la
propagación del campo magnético, o sea, al paso
del flujo magnético.
R
Símbolo: 1-'
UNIDADES
Sistema M.K.S. o S.I
núc!co
(anillo de Rowlalld)
IV o
2
A
1 1
= constant,,;: =
corriente
eléctrica magnetizante
Fig.2.17
Para calcular la inducción magnética en un sole­
noide de forma toroidal, como el representado en
la figura 2.17, se utilizan los modelos matemáticos
anteriores (58), (60) Y (61) , con la única variant
de que la longitud / se substituye por la longitud de
la circunferencia media del toroide. Dichos mode­
los quedan como sigue:
I
=
/=
=
(3
circunferencia media del toroide, es decir:
~----------R
en donde R
=
2NI
R en donde k'o
{Jo = k'o
}J.o
4nk'0 = 4rr x 1O- 7 ..1i.2
A
(30
¡.lo
(62)
¡.lO
4n
(67)
NI
2nR
radio medio del toroide .
donde:
Sin núcleo (vacío) o con núcleo de ai re
{Jo
Para el estudio de la permeabilidad magnética
de las substancias haremos uso del campo magné­
tico que se produce dentro de un enrollamiento to­
roidal (ver figura 2.1 7).
Para esto, ya sabemos que cuando el núcleo de
un toro ide es de aire o simplemente no tiene nú­
cleo, la inducción magnética está dada por la si­
guiente ecuaci6n:
2rrR; substituyendo en (61) se obtiene:
k'N
Wb
Am
2/ -t- - - - - -- - - (63)
= k'oN R
o también:
(64)
con núcleo de cualquier material
¡.I o
= permeabilidad magnética absoluta del
vací o.
Definición: Permeabilidad magnética absolu­
ta del vacío es la faci lidad que presenta el vacío a
la propagación del campo magnético .
El valor de 1-'0 expresado en (67) fue cakulado
experimentalmente y será estudiado más adelante.
Si a este enrolla miento le ponemos núcleo y lo
== 29 - --
cerramos en forma de anillo, dicho núcleo recibe
el nombre de anillo de Rowlond como se ve en la
figura '} . 17. La induccibn magnética variará de­
pendiendo de la clase de material de que es té com­
puesto el a nillo, esto es, si la induccibn magnética
resulta mayor que cuando no tenia núcleo (f1 >
(Jo), significa que el material del núcleo (anillo de
Rowland) presenta mayor fa cilidad a la propaga­
ción del campo magnético que el vaci o o el aire, es
decir que su permeabilidad magnética es grande
comprada con la del vací o o con la del aire. Enton­
ces: j.A > ¡J{l • Si por el contrario, (J llegara a ser me­
nor que (Jo, el material de que se compone el anillo
está debilitando al campo magnético, por lo que ¡.I
<j.Ao . Así concluimos que los núcleos de lo!' emb o­
binadosÍTVen para reforzar o debilitar a los cam­
pos magnéticos que se producen en ellos.
2.4.1
PERMEABILIDAD MAGNETICA
RELATIVA
Simbolo:
¡.Ir O
km
Definición: Es la relacibn que existe entre la
induccibn magnética de un enrollamiento con
núcleo y la inducción magnética del mismo
enrollamient sin núcleo.
Modelo matemático:
¡'¡r
=
-en ---- -.---.. -.- - -- - -
(68)
es u n número adimensional, es decir, no tiene
unidades.
La permeabilidad magnética relativa del aire es
¡.Ir
igual
a1
Es por esta razón que (J
2.4.2
=
{jo
PROPIEDADES MAGNETICAS
DE LA MATERIA
Hemos estl,ldiado previamente campos magnéti­
cos creados por cargas en movimien to, es decir
por corrientes circulantes en materiales conducto­
res, bien sea cuando las cargas se mueven en vacío
o en ai re, o cuando son los conductores los que es­
tán en ta les medi os. Sin embargo, las piezas de
equipos técnicos como tra nsfo rmad ores, genera­
dores, motores, etc., que utilizan campos magnéti­
cos generados por corrientes eléctricas, contienen
siempre hierro o aleaciones de hierro en su estruc­
tura, con el fin de aumentar el flujo magnético en
un determinado lugar o con el fin de debilitarlo,
desviándolo de ese lugar y mandándolo a otro
que se desea.
Debido a lo anterior es conveniente conocer las
propiedades magnéticas de la materia, pues no to­
das las su bstancias se comportan de la misma ma­
nera cuando son sometidas a la ac.ción de un cam­
po magnético; unas presentan mayor facilidad al
paso de las lineas magnéticas que otras, lo cual sig­
nifica que unas tienen mayor permeabilidad mag­
nética. Tomando en cuenta estas propiedades, cla­
sificarn os as substancia~ en:
Ferromagnéticas: Son a quellas substancias
sobre las cuales el campo magnético influye en
mayor medida que en cualquier otra substancia o
el vacío. Su permeabilidad magnética es muy gran­
de. Como ejemplo tenemos hierro, aleaciones de
cobalto, aleaciones de niqu el, acero, etc. La pe!"­
meabilidad magnética relativa del hierro, IÚquel y
cobalto es mayor de 100; pero en realidad la del
hierro clasificado como ferromagnético llega a ser
hasta 8000. Entonces la permeabilidad magnética
relativa de esU!. substancia es mucho mayor que la
unidad.
Paramagnéticas: Estas substancias son meta­
les que al ser introducidas a un campo magnético
se dirigen a la región donde el campo es más inten­
so, es decir que las líneas de fuerza magnética flu­
yen a través de ellas con mayor facilidad, compa­
radas con el aire o el vacío; pero no corno en las
ferromagnéticas. Su permeabilidad magnética
también es eíevada y sin embargo, menor que la de
las ferromagnéticas. Como ejemplo podernos citar
todos los meta les, excepto los ferromagnéticos. La
permeabilidad magnética relativa de estas substan­
cias es ligeramen te mayor que la unidad.
Diamagnéticas: C uando estas substancias se
introducen a un campo magnético, son obligadas
a dirigirse hacia donde éste es más débil. Decimos
que las líneas magnéticas fluyen a través de ellas
con menor facilidad que a través del vacío; su per­
meabilidad magnética eS menor que la de éste.
Dentro ele estas substancias podemos citar el bis­
muto, el carbono y otros materiales dieléctricos.
= = 30==
La permeabilidad magnética relativa de las subs­
tancias diamagnéticas es menor que la unidad , es
decir que éstas representan mayor dificultad a la
propagaci6n del flujo magnético que el vado o el
aire.
Todas las substancias, incluso los líquidos y los
gases, se incluyen dentro de alguno de estos dos úl­
timos grupos .
Para mayor comprensión de la clasificación de
las substancias según sus propiedades magnéticas,
observemos el cuadro siguiente, donde se clasifican
las substancias según su permeabilidad relativa.
.
i
Substancia
Ferromagnéticas
Paramagnéticas
Aire
Diamagnéticas
2.5
Según el modelo matemático (69), tenemos las
siguientes observaciones:
Primera: H es directamente proporcional a la
Permeabilidad
magnética
Inducción
Permeabilidad
magnética relativa magnética
¡A> > ¡A a
¡A r
> > 1
¡Ar
> 1
f3 > > {3o
f3 > {3o
¡A r
= I
{3
¡A > ¡Ao
= !-lo
¡A < ¡Ao
¡A
)./, < 1
:E XCITACI ON MAGNETICA
Se ha visto que cuando circula corriente eléctri­
ca (corriente magnetizante) a través del alambrado
de una bobina, se origina un campo magnético
que actúa sobre los dipolos dei material empleado
como núcleo. Dicho núcleo puede ser permanente­
mente magnetizado, o bien presentar magnetismo
únicamente mientras esté circulando corriente;
ambos casos dependen de las características del
material o de las propiedades magnéticas del mis­
mo. A esta acción o influencia del campo magnéti­
co sobre cualquier clase de núcleo, consecuencia
de la corriente eléctrica, se le llama excitación
magnética cuyo símbolo es H .
Definición: Excitación magnética es la rela­
ción que existe entre el producto del número de
vueltas de una bobina, por la intensidad de
corriente que circula y la longitud del núcleo de
dicha bobina.
Modelo matemático:
H=
H es la magnitud de la excitación magné­
tica medida en amper-vueltas
Av
A
-- - - - 0 - 0 ­
metro
m
m
N es el número de vueltas de la bobina.
I es la intensidad de corriente eléctrica me­
dida en A.
es la longitud del núcleo y se mide en m.
NI
(69)
Donde:
=
= {3o
{3 <.{Jo
intensidad de corriente magnetizante (1), porque
según el experimento de Oersted, mientras mayor
sea la intensidad 1, el campo magnéti co es más in­
tenso, excitando al núcleo de los emb ob inad~ en
mayor intensidad.
Segunda: H es directamente proporcional al
número de vueltas de los embobinados porque
mientras más vueltas tenga una bobina, mayor será
el campo magnético que se produce, y mayor será la
excitación de éste sobre el núcleo.
Tercera: H es inversamente proporcional a la
longitud del núcleo, porque mientras más largo sea
éste, mayor será el número de dipolos magnéticos .
que deba orientar. Por lo tanto, si ¡ aumenta, H dis­
rninuye; y si 1 disminuye, H aumenta.
2.5.1
RELACION ENTRE EXC ITACION
MAGN ETICA E I DUCCI ON
MAG NETICA
Conocemos ya que s' en una bobina con o sin
núcleo varia la intensidad de corriente que circula
por ella, varia también el campo magnético que se
produce y por lo tanto, también la inducción mag­
nética directamente proporcional a la permeabili­
dad magnética del núcleo. Sabemos además que
esas variaciones de corriente originan una mayor o
= 31 = =
menor excitación al núcleo, sin importar de qué cIa­
se de ma terial esté construido.
Ya que {J y H son directamente proporcionales a
l. entonces decimos que:
f3 aH
Para llegar a la igualdad, introducimos una cons­
tante, que en este caso es la clase de material del
núcleo, 'sea su permeabilidad magnética (;.¡) .
°
:. {J
lA =
~
= lA
H
- - - - --
-
-
­
que fluya a lo largo de estas líneas, podemos hacer
una analogía entre las trayectorias cerradas de las
líneas de inducción y un circuito cerrado conductor
por el cual circula una corriente eléctrica. La región
por donde van las líneas de inducción o el flujo
magnético, se denomina circuito magnético.
Para el análisis del circuito magnético utilizamos
un embobinado toroidal con un núcleo cerrado que
se llama anillo de Rowland. Cuando el enrollamien­
to en este núcleo es muy apretado, todo el flujo
magnético está dentro de él(ver figura 2.18).
(70)
H
En la expresión (70) observamos que la relación
entre (J y H , no es más que la permeab ilidad mag­
ética del núcleo, cuyas unidades son las siguien­
tes:
Fig. 7..18
Sistema M.K.S. o S.I
Fig.2.19
disperso
SI· l'n se nu'd e en teslas =N­
Ara
1
y H se mide en A
A
m
,
:
!
e
0 0 '
•• , •. __ ........ _ .... .:
I
•
'••.• __ • _____ J.
entonces, al efectuar operaciones obtent>mos:
R
Am
A
m
••
o también
Fig. 2.20
lA se mide en -~
A
Wb
m2
A
¡..;.
se mide en
~
A rh
m
ahora : ¡.l = iÁO
¡.l r
substi tuyendo en [3
[3 =
2.6
¡.l o ¡";' r
=
=
¡.lo
Fig.2.21
2
km
¡.¡ H se obtiene :
H __._ __ _ _
(71)
EL CIRCUITO MAGNETICO
Como se ha visto , cada línea de inducción mag­
nética es una li nea cerrada. Aunque no hay nada
Si el enrollamiento aparece únicamente en una
parte del anillo, como en la figura 2.19, la permea­
bilidad magnética del núcleo es tan grande con res­
pecto a la del aire que lo rodea, que la mayor parte
del flujo queda dentro del anillo; la pequeña parte
que sale y vuelve después de su recorrido por el
aire se llama flujo disperso.
Si el anillo tiene un espacio de aire o un corte,
(entre-hierro) como se ve en la figura 2.20, hay
cierto flujo disperso por el espacio de aire, pero la
mayor pa rte de dicho flujo sigue una trayectoria
definida . Este tipo de circuito magnético puede
imaginarse constÜuido por un anillo de hierro dis­
puesto en serie con un entre-hierro de aire.
En la figura 2.21 tenernos un circu ito magnético
dividid o en tres partes; A y e están en paralelo, ya
su vez en serie con la parte B .
==32 ===
2.6.1
LEY DE OHM
total o equivalente de un circuito magnético serie
es:
Substituimos (69) en (71):
{J =
¡Jo
¡Jr
_~_1 - - - - - - - - _ (72)
Por otro lado, sabemos que:
+=
{JA
substituyendo (72) en + = {JA obtenemos:
+=
¡Jo
.<JfiT = - -----.;;......---­
_1_+ _1_+ _1_+ .. .
.9fi 1
NI A
¡Jr -,­
Esta expresión también se puede escribir como:
,
NI
+=
¡Jo
(73)
¡Jr A
En donde tenemos lo siguiente:
NI es la fuerza magnetomotriz (fmm) que se
mide en Av oA
,
es la reluctancia ( 9f ), y se mide en
¡Jo
y la reluctancia total o equivalente de un circuito
magnético paralelo es:
¡JrA
Av
Wb
o~
Wb
(74) Modelo
matemático
Datos
Aire
k'o = 1O"..l:L
A2:
a
= S cm = S
lISA
{Jo
=?
\ Po
~~
Substitución y operaciones
A
{Jo
+es análogo a 1, que es la intensidad de corriente
:. (Jo
AGRUPAMIENTOS DE
RELUCT ANClAS
Al igual que un circuito eléctrico, la reluctancia
..!!...
lO"
OBSERV ACION
La expresión (74), por la analogía con la ley de
Ohm del circuito eléctrico, es llamada ley de Ohm
del circuito magnético.
2.6.2
x 10'2 m
ji 1
= k',
{Jo
eléctrica.
gp es análogo a R, que es la resistencia eléctrica.
fmm es análogo a cf, que es la fuerza electromotriz
(fem).
,C#3
ProbIeme. ,..uelto.
1) Hallar la magnitud de la inducción magnética
en un punto en el aire a S cm de un conductor
recto, por el que circula una corriente eléctrica
de ISA de intensidad.
Fórmula
+es el flujo magnético, medido en weber (Wb)
.9fi 2
6
x
2
10'7
2(ISA}
= lO" x
S X 10'2 m
S
X
x
30AN
10'2mA 2
Icr R
Am
6
x lO-s tes las
Resultado
2) Una bobina circular plana, sin núcleo, cons­
truida por 40 espiras de conductor, tiene un
diámetro de 32 cm y una sección transversal
despreciable. Hallar la intensidad de corriente
que debe circular por ella para que el valor de
la inducción magnética en su centro sea de 3
x 10'4 T.
===33==
Substitución y operaciones
Datos
Sin núcleo
N = 40 espiras
D = 32 cm
R
16 cm = 16 x 10-2 m
(jo
3 x 10-· T
1 =?
,7
{Jo = 10
:. (Jo = 6.7824
r ~ k'o N~J
(Jo
Substitución y operaciones
.1L
3 x lO'· Am (16 x 10-2 m)
10'7 N
(40)
(2 x 3.14)
A
1
x
4
x
3.14
x
6A
x 1~J:L = 678.24 x lO's~
Am
Am
lO' 3 T
Resultado
4) Un solenoide recto, con una longitud de 40 cm
2
y una sección recta de 8 cm , está constituido
por 300 vueltas de alambre conductor, por las
Que circula una corriente eléctrica de 1.2 A de
intensidad. La permeabilidad magnética rela­
tiva de su núcleo de hierro es de 600. Calcular:
a) La excitación magnética
b) La inducción magnética
c) El flujo magnético, precisamente en el
centro de su núcleo.
Despeje
1
(joR
2nk'o N
Nm
48 x 10'6 -:¡;;¡251.2 X 10'7 N
9
(30 = 678,24 X 10'7
Fórmula
1 =
N
7--¡()Tm
2
Datos
0 .191 X 10'6
x
107 A
A2
1 = 1.91 A
Resultado
3) Calcular la magnitud de la inducción magnéti­
ca en el centro del núcleo de aire de un sole­
noide recto de gran longitud, constituido por
9 espiras de conductor por cada centímetro de
longitud del mismo, recorridas por una co­
rriente eléctrica de 6A de intensidad.
Solenoide recto
1
=40cm=4x
2
A
= 8 cm = 8 x
N
300 vueltas
J
1.2 A
~r
= 600
a) H = ?
b) 1'3
?
e)
= ?
+
fórmula
a) H
~
= - - __'
__}22,_fL::=
c)
NI
~o ¡.¡.,
H
+ =-7J-A- ­
Datos
Núcleo de aire
Substitución y operaciones
N = 9 espiras
/
cm
1 = 6A
(jo = ?
-..2..espiras
2
-10- -m­
360 A
300 x 1.2 A
a) H
= 4 X lO" m
4 x lO" m
H
m
Fórmula
{Jo = k'o N 4rrf
I
b)f3
= = 34==
Resultado
9OO~
4rr
x
10-7 ~
A2
600
900~
m
=
f3
4
x
3. 14
10-
7
12.56 x 54 X 10- 3
f3
f3 = 678.24
c)
X
X
54
x
N
10·-­
Am
T
10-3 T
Resultado
+=
6) Un solenoide toroidal tiene una secci6n trans­
z
versal de 6 cm y la inducci6n magnética en su
núcleo de aire es de 10- 3 T Si se le instala un
núcleo de hierro de permeabilidad relativa de
500. Hallar:
a) La inducción magnética.
b) El flujo magnético.
Datos
Toroide
5425.92
:- + =
X
5.42592
10-7 Wb
X
10-· weber
Resultado
A
= 6cm z = 6
f3 o
- 10-3 . ~- o Wbl
=
500
?
b)
= ?
F6rmulas
¡J,
5) El núcleo de hierro de un solenoide, para exci­
taci6n magnética de 200 A v/ m, la inducci6n
magnética vale 0.14 teslas. Deducir:
a) La permeabilidad magnética de su núcleo
b) La permeabilidad magnética relativa del
mismo
a)
b)
¡J,
a)
b)
f3
+
=
¡J, Po
+=
f3
:. f3
f3A
:. + =
3 x 10-· weber
=L
Substituci6n y operaciones
Datos
N = 600 espiras
I = 0.08 A
= 1.2 X 10-3 Wb
.cJP = ?
N
0:14 Am
= - 200 A
+
m
Resultado
Fórmula
t ;,
7 X
0 .557
X
4
10-
X
10
7
fmm
!Jf
Despeje
Yf = NI
557
Resultado
7) El flujo magnético en un electroimán, cuya
bobina tiene 600 espiras, recorridas por una
corriente eléctrica de 0.08 A de intensidad, es
3
de 1.2 x 10- Wb . Hallar la reluctancia del
circuito magnético.
¡Jo
¡J,
Resultado
m2
f¡
b) ¡J,
500 X 10-3 T
0 .5 T
=
0.5 weber
F6rmulas
b)
f3
a)
= 200 Av/m
= 0_14 T
¡J = ?
¡J, = ?
a) ¡J =
a)
Substituci6n y operaciones
Datos
-H
(3
m
Am
-
X 10~mz
Resultado
==:::=
+
35 ====
= NI
.rfiJ
Substitución y operaciones
= 600 x 0.08 A v
,CJf
1.2
10'3 Wb
X
26.5
48 Av
1.2 X 10'3 Wb
Av
40 000 - ­
,
Wb
,CJf ~
Datos
Am
'm
=
1"
A"
,.""
24cm = 24 x IO'~ m
0.8 cm = 0.8 x 10'2 m
100 cm = 1 m
20 cm2 = 2 X 10'3 m2
x
1.2
IO'~ weber en el entre-hierro y en
=?
Fbnnulas
como el entre-hierro es wre ,."
=
'..,HI_
.'Ífm = __
IAO A~"
.Jf'h'=
1"
,."" IAO A"
como el ci'-cuito magnético es serie:
fmm ""
+,:ff'r
Su~titución
y operaciones
0.8 )( 10'2 m
.11-,.
1m
,r]f'" :;:; - - - - - -- - - - -- - ­
fJf r
=
33 . 14
fmm
~.2 x
fmm
398 Av
X
105~
10'4
Wb
W~~3.14 X
105
~
j
2
el hierro
fmm
Wb
Resultado
Problemas propuestos
600
+
105~
Resultado
8) El entre-hierro de wre de un circuito magnéti­
co tiene una sección recta de 24 cm 2 y una lon­
gitud de 0.8 cm . El resto del circuito consta de
2
100 cm de hierro de 20 cm de sección recta y
permeabilidad relativa de 600. Hallar el núme­
ro de amper-vueltas necesarios para producir
un flujo de 1.2 x lO'~ weber en el entre-hierro.
2
X
1) Hallar la magnitud de la inducción magnética
en un punto del aire situado a 6 cm de un con­
ductor recto muy largo, por el que circula una
corriente de 9A de intensidad.
2) Por una bobina circular plana, con 25 espiras
y 10 cm de diámetro, circula una corriente de
4 A de intensidad. Hallar la magnitud de la in­
ducción magnética en el aire:
a) en su' centro;
b) en. un punto en su eje a 12 cm del centro de
la misma .
3) Un solenoide tiene una longitud de 50 cm, un
diámetro de 2 cm y está compuesto de·4O(}()
vueltas. Hallar la magnitud de la inducción
magnética en el centro de su núcleo de aire,
cuando por él circula una corriente de 0.25A
de intensidad.
4) Un solenoide toroidal.tiene 750 espiras de hilo
de cobre y el diámetro medio de su núcleo de
aire es de 10 cm. Hallar la intensidad de
corriente eléctrica que debe circular por él pa­
ra que origine una ind ucción magnética de
1.8 x 10'3 T en su núcleo .
5) En el núcleo de hierro de un solenoide existe
un flujo de 9 x IO'~ Wb. Si se retira dicho nú­
cleo, el flujo en el wre vale 5 x 10'7 Wb, pro­
ducido por la misma intensidad de corriente
==36----==
en el solenoide. Hallar la permeabilidad mag­
nética relativa de su núcleo.
6) La inducción magnética en el núcleo de hierro
de un solenoide toroidal es de 0.54 T, cuando
la excitación magnética vale 360 A/m. Hallar
ia permeabilidad magnética absoluta y relati­
va del hierro.
7) Por un solenoide de 15 cm 2 de sección y 700
espiras por cada metro de longitud, circula
una corriente eléctrica de 0.5 A de intensidad.
H allar en el centro de su núcleo la magnitud
de la excitación y de la inducción magnética,
y el flujo magnético, cuando el núcleo:
a) es de aire;
b) es de hierro de permeabilidad relativa 1000.
8) H allar el número de A v necesarios para pro­
ducir un flujo de 2 x 10-4 Wb en un núcleo
toroidal de hierro, cuya circunferencia media
2
es de 100 cm y su sección recta de 5 cm • La
permeabilidad magnética relativa del hierro
vale 500.
9) Un núcleo toroidal de hierro de 4 cm 2 de sec­
ción recta y 10 cm de diámetro medio se em­
bobina a base de 5 espiras / cm. La permeabili­
dad magnética relativa dei hierro en cuestión
es de 2000. Calcular:
a) La reluctancia del núcleo;
b) la fuerza magnetomotriz producida por
una corriente eléctrica de 0.5 A de intensi­
dad circulando por el embobinado;
c) el flujo magnético en el núcleo debido a
esa corriente.
10) Un núcleo toroidal de hierro, de 8 cm 2 de sec­
ción recta y 15 cm de diámetro medio, se em­
bobina con 400 vueltas de hilo conductor.
Dicho núcleo tiene un entre-hierro de 0.2 cm
de longitud. La permeabilidad magnética rela­
tiva del hierro es de 500 . Hallar el valor de la
corriente eléctrica que debe circular por el em­
bobinado para que el flujo magnético asocia­
do sea de 10-4 weber.
11) Determinar la magnitud de la inducción mag­
nética en el centro de una espira circular de 28
cm de diámetro, situada en el aire, sabiendo
que es recorrida por una corriente eléctrica de
1.14 A de intensidad constante.
12) Calcúlese el radio de una espira circular por la
cual fluye una corriente eléctrica constante de
21.81 A de intensidad, sabiendo que en el
centro de la misma existe una inducción mag­
nética cuya magnitud es de 0.8 gauss.
13) Determinar la cantidad de carga eléctrica que
se mueve en una espira circular de 70 mm de
diámetro en un tiempo de 0.5 minutos, sa­
biendo que en el centro de dicha espira se pro­
duce una inducción magnética de magnitud
igual a 0.06 gauss en el aire.
14) Calcular la magnitud de la inducción magnéti­
ca que se produce en el centro de una bobina
plana sin núcleo, de 1000 espiras circulares
2
muy apretadas, cuya área es de 19.5 cm , sa­
biendo que es recorrida por una corriente eléc­
trica constante de 35 A de intensidad.
15) Calcúlese la magnitud de la inducción magné­
tica en un punto en el aire, a 5 cm de un con­
ductor recto, que transporta una corriente
constante de 12 A de intensidad.
16) Determinar la magnitud del vector inducción
magnética que produce una corriente de 10 A
de intensidad circulando por un conductor
recto a 0.6 dm de éste, en condiciones ambien­
tales.
17) ¿A qué distancia de un conductor recto, por el
cual se mueve una carga de 68 e en 0.6 minu­
tos, se encuentra un punto en el aire sabiendo
que en dicho punto existe una inducción mag­
nética de valor igual a 5.6 x 10'2 gauss?
18) Determinar la intensidad de corriente que al
circular por un conductor recto situado en el
vacío, produce a 6 mm de él una inducción
magnética cuyo valor es de 3.75 gauss.
19) Un solenoide recto, sin núcleo y de 50 cm de
longitud, está construido con 850 vueltas de
alambre. Si la corriente que circula por él es
de 7A, determinar el valor de la inducción
magnética que se produce en su centro.
20) Un solenoide se construye con 550 vueltas de
alam bre en un núcleo de hierro de 25 cm de
longitud, con una permeabilidad magnética
relativa de 13000. Determinar la intensidad
de corriente eléctrica necesaria para producir
en su centro un valor de inducción magnética
igual a 0.6 teslas.
21) ¿Cuál es el valor de la excitación magnética
que presenta una densidad de flujo magnético
de 0.4 teslas en el vacío, en una sección de
área determinada?
==37==
2.7
las de flecha) . La figura 2.23 es el mismo campo
magnético, pero paralelo al plano del papel, hori­
zontal y con un sentido hacia la derecha.
FUERZA DE LORENTZ
En electrostática ya estudiamos que una carga
eléctrica genera a su alrededor un campo eléctrico,
sea que dicha carga se halle en reposo o en movi­
miento, y que cuando se tienen varias cargas eléc­
tricas próximas unas de otras, ejercen entre ellas
fuerzas de atracción o de repulsión según sea el
signo de las cargas, y que tales fuerzas serán tan
grandes o tan pequeftas, según sea el valor de di­
chas cargas y según el medio en que se encuentren.
También estudiamos en electrodinámica que el
movimiento de cargas constituye la corriente eléc­
trica. En electromagnetismo hemos visto que las
cargas eléctricas en movimiento generan a su alre­
dedor un campo magnético y además, sabemos ya
calcular el valor de este campo en cada punto,
cuando es generado por un conductor recto con
corriente, por una bobina circular plana con co­
rriente eléctrica, etcétera.
Ahora vamos a estudiar los efectos que un cam­
po magnético (sea generado por imanes o por co­
rrientes eléctricas) produce sobre cargas eléctricas
O conductores con corriente que se encuentran
dentro de ellos.
Lorentz descubrió que cuando una carga eléctri­
ca se encuentra en movimiento dentro de un cam­
po magnético, cortando lineas magnéticas, recibe
una fuerza que la desvia de su trayectoria.
x
X
X
X
X
X
X
X.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
{J = Constan te
+ q ....- - - - - . . v
Hg. 2.23 Campo magnético uni fo rme paralelo a l plano del
papel, horizontal y co n sentido a la derecha.
X
{J = Constan te
X
X FX
X
X
X
X,
X
de + q
X
X
X
+q
X
X
X
~yeCIOri a
V
X
X
X
X
Fig. 2.22 Campo magnético uni fo rme perpendi cu la r al pla no
del papel y alejándose del lector.
En la figura 2.22 está representado un campo
magnético uniforme de inducción {J constante,
perpendicular al plano del papel y con un sentido
alejándose del lector (las cruces simbolizan las co­
=
::::=:
Si suponemos a una partícula cargada positiva­
mente con + q, situada en reposo en cualquier
punto de este campo magnético, dicho campo no
ejercerá ninguna fuerza sobre esta carga. Si la par­
tícula se mueve con cierta velocidad paralelamente
a las líneas del campo, tampoco recibirá fuerza al­
guna debido a este campo (ver figura 2.23). En
cambio, si la partícula cargada se mueve con cierta
velocidad, de tal manera que corte líneas del cam­
po magnético, entonces recibirá una fuerza que la
desviará de su trayectoria. Esta fuerza sobre par­
tículas cargadas en movimiento dentro de campos
magnéticos cortando líneas, recibe el nombre de
fuerza de Lorentz.
En la figura 2.22 suponemos una partícula car­
gada positivamente y con una cantidad de carga
igual a Q, que se mueve dentro del campo magnéti­
co de induccibn constante con una velocidad v
perpendicular a la dirección de {J. Como en su mo­
vimiento la partícula corta líneas magnéticas, reci­
be una fuerza que es directamente proporcional a
la cantidad de carga que tiene dicha partícula, y a
la velocidad con que se mueve (expresión 74).
Fa qv _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (74)
Para llegar a la igualdad en la expresión (74)
introducimos una constante que en este caso es {J
38 = =
.. F
= {J qv _ _ _ __
_ __ _ _ (75)
(magnitud de F)
Esta expresión es el modelo matemático de la
fuerza de Lorentz cuando la velocidad de q y el
campo magnético son perpendiculares entre sí.
Como Oersted comprobó que los campos eléc­
tricos y magnéticos son perpendiculares entre sí,
entonces si F es perpendicular a v, lo será también
a {J (ver figura 2.24) .
1
/
/
I
I
Vl
--'~
_ _ _ _ _ _ _ (78)
Substituyendo (77) en (78) se obtiene (79):
{J I
/
Esta componente (Vl ) corta perpendicularmente
las líneas del campo magnético, ejerciendo éste
sobre + q una fuerza dada por la expresión (78).
I
/
/
= v sen d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (77)
Vl
F = {J q
/ / I
/
magnético y por lo tanto, en esta dirección no exis­
te ninguna fuerza sobre + q.
La componente de v perpendicular a (J está dada
por la expresión (77).
---- -,
/
/
/
F = (3 q v sen d _ -+-_ _----'_ _ _ (79)
/
/
/
/
Esta expresión es el modelo matemático general
de la magnitud de la fuerza de Lorentz, por las si­
guientes razones :
/
/
/
/
+q
v
a) Si ó
Fig. 2.24
Si la ve locidad v de la partícula no es perpe n­
dicular a la direcció n del ca mpo magnético ~ , es
decir, si forman entre sí un ángulo ó men or de 90°
(ver figura 2.25) entonces v tendrá dos componen­
tes rectan gulares, u na paralela a ~ y o tra perpen­
di cular a ~ .
:.
_b::--....L.----~
F
La componente de v paralela a (3 está dada por
la expresión (76) .
=
veas d _ _ _ _ __
Esta componente
VII
~~_
_
FM áx
= (3 q v
SENTIDO DE LA FUERZA DE
LOREN TZ
Para determinar el sentido de la fuerza magnéti­
ca sobre partículas cargadas en movimiento den­
tro de campos magnéticos, Lorentz estableció la
convención de la regla de la mano izquierda cuan­
do dich-<\s partículas tienen carga positiva. Esta
regla consiste en colocar los dedos Indice, medio y
pulgar perpendiculares entre sí, como se ve en la
figura 2.26 .
Fij!.2.25
Vo
=O
b) Si d = 90°, entonces sen 90° = 1 y F es máxima
porque 1 es el valor máximo de la función seno.
v
+ q
0°, entonces sen 0°
:. F = O
2.7.1
{J = Constante
=
(76)
no corta líneas del campo
~· ij!.
2.26
== 39 = ==­
Donde el dedo fndice indica el sentido del cam­
po magnético (fJ), el dedo medio señala el sentido
de la velocidad (;) y el dedo pulgar indica el senti­
do de la fuerza (E).
Nota: Si la partícula tiene carga negativa, la
dirección de Fes la misma pero en sentido opuesto
a la ejercida en la carga positiva.
2.7.2
TRAYECTORIAS DE LAS
PARTICULAS CARGADAS
EN MOVIMIENTO DENTRO
DE UN CAMPO MAGNETICO
CONSTANTE
pero los valores absolutos de cada uno permane­
cen constantes. Por lo tanto la partícula se mueve
bajo la acción de una fuerza constante en valor ab­
soluto, cuya dirección es siempre perpendicular a
la velocidad de la partícula. Esta fuerza es llamada
fuerza centrípeta, siendo la trayectoria de la par­
tícula una circunferencia con velocidad angular
constante y velocidad tangencial también constan­
te en valor absoluto, pues su dirección y sentido
cambian durante el movimiento.
Los cambios de dirección que sufre la velocidad
tangencial se deben a la aceleración centrípeta que
cuya magnitud es:
2
ac =
R
la segunda ley de Newton dice: F = Ma
x
x
X
X
/)(
\
\
/
\
P I
X,QX
F
k­
M
\
)(
X
',X
'­
X
....
x; x
"
....
"­
\
~
QXM
+ q
M
-; 1
f3
X + qX
e
'
= Fe
y a
= ac
:. Fe = Mac
\
F
F
en este caso: F
X
f3 = Constante
X
X
x\
F
\
;x
X
/-f.: R
v
X
+ q
MXO
I
s
;ubstituyendo ac = ~ en Fe = Ma c obtenemos:
R
I
/
X/
X
-
X
X
X
X
-'
V
pero como la fuerza centrípeta es la fuerza de Lo­
rentz, entonces:
1'11.2.27
vq{J
Sea una particuJa cargada positivamente con
una carga q situada en el punto O de un campo
magnético constante (ver figura 2.27) cuya induc­
ción es {J, la cual es lanzada con una rapidez v per­
pendicular a dicho campo. Este campo ejercerá
sobre + q una fuerza magnética (fuerza de Lo­
rentz) que por la regla de la mano izquierda es per­
pendicular a v y a (J, dada por la expresión (75) y
cuyo sentido es el indicado en la misma figura.
F = {J qv _ _----'----'-_ _--:--_ _ _ _ (75)
Como F es perpendicular aV: no afectará el va­
lor absoluto de esta V, pero sí alterará su direc­
ción. En los puntos P, Q y S las direcciones de F y
de vcambian con respecto a la que tenían en el
punto O, tal como vemos en la misma figura 2.27,
ML
R
despejando R:
R = _Mv~
vq{J
Mv
qfJ
R =-­
(80)
Donde:
R es el radio de la trayectoria que describe la
partícula.
M es la masa de la partícula.
q es la carga de la partícula.
(J es la inducción magnética.
v es la rapidez de partícul­a--::(V-=-es-perpendicu­
lar a {J)
==40==
Nota: Si la dirección de la velocidad inicial de
la partícula no es perpendicular al campo magnéti­
co, la partícula se moverá describiendo una trayec­
toria en forma de espiral.
2.7.3
FUERZA RESULTANTE SOBRE
PARTICULAS CARGADAS EN
MOVIMIENTO DENTRO
DE CAM POS COM BINADOS
Trayecloria de +q
Trayecloria de + q
si Fe >Fm
siFm > F e
TrayeclOria de + q si Fe = F ni
X
X
X
(3
X
= Conslanle
X
X
,­vX
X
X
.x
X+qX
X
X:
X
X
X
I
X
X
•x
I
\
X
X
E = Constante
X
X
X
,
X\
X\.':JX
xt
'x, ....
X
X
O
Fm
X
1
X
x
•x
Fe
En este caso, las fuerzas Fe y F:.. son colineaJes;
entonces podemos decir que, sin perder sus carac­
terísticas vectoriales, la fuerza resultante será igual
a la suma algebraica de estas dos fuerzas (expre­
sión81).
[ F.
~ qE + Pq , -Jt-~______ (81)
OBSERVACIONES
En el caso de un campo combinado como el de
la figura 2.28, donde + q es lanzada como se
muestra en dicha figura, podemos bacer lo si­
guiente:
P rimero . Si F. > Fm, la partícula se desviará
hacia la derecha. porque en la fuerza resultante
predomina la fuerza eléctrica.
Segundo. Si F m > Fe, la partícula se desviará
hacia la izquierda, porque en la fuerza resultante,
predomina la fuerza magnética.
Tercero. Si F. = Fm, la particula no sufrirá
desviación alguna, pues la fuerza resultante es nu­
la, debido a que F. y Fm son colineales y de senti­
dos opuestos.
Si F,
Fig. 2.28
Supongamos un campo combinado (eléctrico y
magnético) uniforme, de tal manera que E y {3 sean
constantes, como se observa en la figura 2.28.
Consideremos ahora un caso particular que
consiste en lanzar desde el punto O una partícula
cargada con + q con una velocidad constante y
perpendicular a E y a {3, por lo que las tres magni­
v
tudes vectoriales E, 7Jy serán perpendiculares
entre sí.
Por acción del campo eléctrico, la partícula reci­
be una fuerza paralela a dicho campo y es dirigida
hacia la derecha y además por acción del campo
magnético, aplicando la regla de la mano izquier­
da establecida por Lorentz, la partícula recibe una
fuerza con una dirección paralela a E y con un sen­
tidu hacia la izquierda (ver figura 2.28).
Lafuerza fl!SUltante que actúa sobre la partícula
+ q será la suma vectorial de Fe y deF~ , como se
ve a continuación.
= Fm
se tiene FR
=
O. entonces:
qE = {3 qv
La expresión (82) es el modelo matemático que
se utiliza para calcular la intensidad del campo
eléctrico, y con la expresión (83) se calc.uIa la in­
ducción magnética.
2.7.4
FUERZA MAGNETICA SOBRE UN
CONDUCTOR CON CORRIENTE
Imaginemos un tramo de conductor de longitud
1y sección transversal de área A colocado dentro
de un campo magnético uniforme y de inducción {3
J
=====41==
constante, de tal manera que su longitud quede
perpendicular a la dirección de dicho campo.
Si hacemos circular por el conductor una co­
rriente eléctrica, y sabemos que el sentido de ésta
es de + a - , sobre cada carga en movimiento ac­
tuará una fuerza debido al campo magnético, cu­
yo valor está dado por la, expresión (75) ya que la
velocidad y el campo magnético son perpendicula­
res entre si.
1=
q v _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (75)
f3
Donde:
I es la fuerza sobre cada partícula en movi­
miento por unidad de volumen del conductor, te­
nemos:
n == -
N
=-
N
V
Al
Subs tituyendo (86) en (8S) obtenemos:
F
=
nA I f3 q v
(84)
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
F[
X
X
X
X
X
X
f3
X
X
X
, onstan te
=
X
~----------~/\~------~
X
~ixA
¡ - oóq
X ; X
~- - X
X
v +
xA xA xA xA' X
q -t- q
X
~.
+ !J
X
X
+ q ~~~~i-=O A
q
X
- - - - - -! - - - - ,- - - - -
X
X
X
X
(87)
Recordando los capitulas anteriores observa­
mos que:
nAqv = 1
Como en la longitud I del conductor tenemos N
partículas en movimiento, entonces todo el con­
ductor está bajo la acción de una fuerza magnética
F, cuyo valor lo determina la expresión (76). La
dirección yel sentido de F Quedan definidos por la
regla de la mano izquierda (ver figura 2.29).
x
volumen del conductor
N = nAI _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (86)
miento.
f3 es la inducción magnética del campo.
q es la carga de cada partícula.
v es la velocidad de cada partícula .
F= NI
V
Donde 1 es la intensidad de la corriente que circula
por el conductor, en función de la velocidad de
arrastre de las cargas.
1 en (87) obtenemos:
Substituyendo nAq v
F
=
(jI! ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (88)
La expresión anterior es el modelo matemático
de la magnitud de la fuerza magnética sobre un
conductor con corriente dentro de un campo mag­
nético uniforme, cuando la longitud I del conduc­
tor forma un ángu lo de 90° con la dirección de (3.
Para comprender mejor es te terna, observemos
la figura 2.30, donde tenemos un campo magnéti­
co uniforme de inducción {3 constante por la re­
gión de los polos de un potente imán en forma de
"U", en cuyo interior hay un columpio consti­
tuido po r un tramo de conductor de longitud I per­
pendicular a {J, a través del c lal, por medio de una
batería, hacemos circular una corriente eléctrica
de intensidad l.
: Xl
~
Barra metá lica!
Barra metálica
)(
Hilo metálico
(flexible)
\
\
\
\
\
Fig.2. 29
interruptor K
"';':'--I~''I'JII'
Substituyendo (75) en (84) obtenemos:
F == N f3 q v _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (85)
Bateri"
Si llamamos n al número de particulas en movi­
Fig.2.30
= = 42 - ­
. '­
,,<#' F
.'
. .~;
Observemos que en el momento de conectar el
interruptor K, circula corriente a través del tramo
de conductor que se encuentra dentro del campo
magnético, tendiendo a salir hacia la derecha, de­
bido a la fuerza F ejercida por el campo. Verifi­
quese la dirección y sentido de F por medio de la
regla de la mano izquierda establecida por Lorentz.
Cuando la longitud I del conductor no sea per­
pendicular al vector f3, es decir, que entre I y {3 exis­
ta un ángulo d < 90° (figura 2.31), I tendrá dos
componentes rectangulares; siendo una de ella1>
paralela y otra perpendicular al campo magnético.
Constante
I
..;---- 'II----- JI
1
Fig.2.31
La componente de I paralela al campo magnéti­
co tendrá un valor dado por la expresión (89).
II1 = I cos d _ __ _ __ __ __
(89)
Como puede observarse, la fuerza del campo
magnético en esta dirección es nula, debido a que
11 no corta líneas del campo.
La componente de I perpendicular al campo
neral de la magnitud de la fue rza magnética sobre
un conductor con corriente.
OBSE RV ACIONES
Primera: Si eS = 0° ; sen 0°
2.8
PRI NCIPIO MOTOR
ejercerá sobre dicha componente una fuerza dada
por la expresión (91).
h = I sen d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (90)
f3
11 /
_ __ _ _ _ _ _ _ _ _
(91)
Substituyendo (90) en (91) obtenemos:
F
= f3 IJ sen
eS
_~_ _ _ _ _ _ _
(92)
Esta expresión (92) es el modelo matemático ge­
=O
En u n conductor, la fuerza magnética es la res­
ponsable de las desviaciones de las agujas indica­
doras de los aparatos de mediación utilizados en
electricidad, tales como los amperlmetros y los
voltímetros. La figura 2.32 nos muestra el es­
quema de un amperimetro de cuadro mOvil, el
cual estudiaremos más adelante.
En la figura antes mencionada, tenemos varias
espiras enrolladas en un cilindro móvil colocado
entre los polos de un imán permanente. Si hace­
mos que una corriente circule de un extremo a otro
de los embobinados (de + a - ), dicha . corriente
hará que aparezcan fuerzas aplicadas a los alam­
bres de las espiras. Estas fuerzas harlln girar al ci­
lindro y la aguja se desplazará a lo largo de la esca­
la graduada; ese desplazamiento será directamente
proporcional a la intensidad de la corriente qu e
circule por los alambres de la bobina. Si cortamos
la corriente eléctrica, la aguja volverá a su posi­
ción original. La aguja se detiene en un punto de­
terminado de la graduación, debido a la torsión de
los alamb res y a un resorte que se comprime, mis­
ma que hace a la aguja volver a su posición inicia l
cuando deja de circular corriente eléctrica.
magnético, cuyo valor está dado por la expresión
=
O:. F
Segunda: Si d = 90°; sen 90° = 1 :. F es máxi­
ma o sea: FmáJ< = f3 1/
(90), si corta líneas del campo, por lo tanto éste
F
=
fig.2.32
= === 43 =
==
Esta fuerza sobre conductores con corriente, es
también el principio motor, ya que el funciona­
miento de los motores eléctricos está basado en es­
te concepto.
En las figuras 2.33 y 2.34 tenemos los esquemas
correspondientes a un motor de corriente conti­
nua, donde la corriente que entrega la bateria., pa­
sa por una de las escobillas (carbones) a los alam­
bres del embobinado de la armadura, y vuelve a la
bateria por la otra escobilla. Los alambres latera­
les de la bobina quedan baj o la acción del campo
magn~tico del imán, y como cortan a las lineas del
campo en fonoa perpendicular, actuará sobre
ellas una fuerza magnética, cuyos sentidos se de­
terminan por la regla d la mano izquierda, for­
mando un par de fuerzas que hará girar a la anoa­
dura. Obs~rvese que las escobillas se apoyan en un
conmutador, que es un dispositivo destinado a
mantener continuamente en rotación a la annadu­
ra del motor.
2.9
FUERZA ENTRE
CONDUCTORES
PARALELOS CON
CORRIENTE ELECTRICA
If'-_.Q
---~
*"------/' '----- ' 1
I
I
I
/
I
\
"
W
.--.
,
I
"­
¡I
-­
I
I
I
1
~-
2
-j------­
1'1
Fig.2.35
En la figura 2. 35 se presentan dos segmentos de
conductores (l y 2) de longitud /, rectos , paralelos
y separados entre si una distancia a. Dichos con­
ductores transportan corriente eléctrica, cuyas in­
tensidades son l' e 1 respectivamente, a mbas en el
mismo sentido.
Puesto que cada conductor se encuentra dentro
del campo magnético generado ,por el otro, en am­
bos se experimentará una fuerza magnética. To­
mando el sentido convencional de circulación de
corriente eltctrica ( + a - ) y aplicando la regla
de la mano izquierda, estas fuerzas serán como se
observa en la figura 2.35.
El valor del vector{fen un punto del campo ge­
nerado por la corriente 1 circulando por el conduc­
tor 2 a una distancia a (precisamente en donde se
encuentra situado el conductor 1), está dado por la
magnitud de ¡¡en un punto exterior al conductor
recto co n corriente (expresión 13).
Fig.2.33
s
Hg. 2.34
(J
k ' 2I _ _ _ _ _ _ _ _ __
a
(13)
La magnitud de la fuer za magnética que este
campo ejerce sobre el conduc tor 1, de longitud / y
por eI cual circula una corriente de inte nsidad J'
está dada por la ex presión (88), ya qu e / es per­
pendicular a {3.
= ==== 44==
______________ (U)
F=(311'
mqn~tico
de inducción fJ sobre el conductor J, es
hacia la derecha y la fuerza magnética ejercida por
Substituyendo (13) en (88) obtenemos:
el campo de inducción (3' sobre el conductor 2,
es hacia la izquierda; por lo que se observa que
F
k,_2_Il_'1 _ _ _ _n._e_w_to_n_ _ _ (93)
F
a
Esta expresión (93) es el modelo matemático de
la fuerza entre conductores paralelos con corriente
eléctrica.
La fuerza por unidad de longitud de conductor
es:
cuando las corrientes que circulan en dos conduc­
tores paralelos son del mismo sentido, la fuerza
entre ellos es de a tracción y cuando las corrientes
circulantes son de sentidos contrarios. la fuerza
entre los conductores es de repulsión.
Esta atracción o repulsión entre los conductores
nos hace pensar que los campos magnéticos gene­
rados por 1 e I' se combinan del modo indicado en
las figuras 2.36-a y 2.36-b.
k' 2 11" _~_ _ N / m _ _ _ _ (94)
F
1
a
Si los conductores se encuentran situados en el
vacío o en el aire, ya sabemos que:
¡Jo
k' = k 'o
-
4TT -
iO'7 --N-
A2
o
Wb
2
Am
por lo que la expresión (93) se convierte en (95), o
en (96)
Fo = k'o 21I'1 -
Fig. 2. 36-0 Fuerza de a tracción entre dos condUClore pa·
ralelos con corriente en el mismo senlido.
- - - N ~~_ _ (95)
a
Fo
¡Jo
2[['1
4n
a
__ N _ _
(96)
Si los conductores se encuentran en un medio
cualquiera:
k' = ~ entonces la expresión (93) se puede
4rr
e~cribir
F
=
como (97) o (98)
¡JO ¡Jr
4rr
F
=
Fo
¡Jr
2[['1 _ __ _ N _ _ _ _ (97)
a
_______ N _
______ (98)
OBSER VACION
La regla de la mano izquierda indica que el sen­
tido de la fuerza magnética ejercida por el campo
2
Fig. .36-b Fuerza de repulsión entre dos conductores [la·
ralclos con corrienle en scnli do ~ cOlllntrios.
2.9.1
DEFINICION DE AMPERIO
El hecho de que dos conductores con corriente
eje.zan fü erzas de atracción o de repulsión mu­
tuas , ha servido de base para definir el amperio
como unidad de intensidad de co"iente eléctrica
en el sistema MKS o S.1. y que constituye la 4­
unidad fundamen tal y así, decimos que: un ampt
rio es la corriente in variable que circulando po.
==45==
dos conductores paralelos de longitud infinita y
separados una distancia de un metro en el vado,
produce sobre cada conductor una fuerza de 2 x
10-7 newton por metro de longitud.
x
,f--I
Por esta definición, y haciendo uso de la
ecuación (94) se deduce que el valor numérico de
Jlo en el sistema MKS o S.I es exactamente 4n x
10-7 N/A 2 o Wb/Am .
E = 2
I
X
I
¡
X
I
I
I
=
l'
=
=
1 A.. k'
k ' o.. a
= 1
X
X
X
2
X
¡.i.o
2A 2
4n
1rn
1O-7 ~ = k'o 2(lA )(l A)
m
1m
== 2 >< _..10'7
N
m x
2A 2
4n
2 .10
X
'7
10
4nm _ 4 re
X 10'7 -N,
A­
X
A
f3
I
X
)(
í
~
X
-­
r
X
F'o '
X
X
I
X
-~
e
·1
IX
I
I
I
fig . 2.37-b
mo la de las figuras 2.37-a y 2.37-b puede calcular­
se a partir de la expresibn:
F
Am
e onstant~
/
/
/
/"
Normal
/
/
/
~
_______--_-_--­
--~--+---~~~~~a~
~\
Ó
I
I
fj IJ sen d
Magnitud de la fuerza magnética sobre un conduc­
tor con corriente (principio motor).
En las figuras mencionadas representamos un
cuadro rectangular de hilo conductor, cuyas di­
mensiones son a y b. La normal al plano del rec­
tángulo forma un ángulo o con la dirección de un
campo magnético uniforme de inducción f3 cons­
tante. El rectángulo puede girar alrededor de un
eje O O', Y transporta una corriente eléctrica de in­
tensidad 1, que hacemos circular por dicho rectán­
gulo utilizando algún medio ideado.
Los lados (J del cuadro son perpendiculares al
campo magnético, y por tanto, se ejercen sobre ca­
da uno de ellos fuerzas iguales de sentidos contra­
rios , cuyo valor está dado por la expresi6n (99)
F
"e
- x --
=
I
I
I:i!( . 2.37-3
d
X
-,Ic--------a --------7f
N
Wh
- 2 0-­
FUERZA Y MOMENTO
RESULTANTES SOBnE UNA
BOBINA CON CORRI ENTE
DENTRO DE UN CAMPO
MAG ETICO CONSTANTE
I
-¡(----
X
La fuerza resultante y el momento del par de
fuerzas actuando sobre una espira rectangular, co­
despejando /JO :
¡Jo
X
-
)(
X
m.
Substituy ndo es tos valores en la exp resión (94)
se obtiene:
-X
x
= Constante
J -------------- --­ J~x
t--­
En es te caso 1
1
f3
1
X
b
1O-7 ~
m
)(
X
-l~ -­
oF
I
X
e
--'t'
"
~ F
= f3 al
(99)
Observemos que estas fuerzas son verticales,
una hacia arriba y otra hacia abaj o (ver figura
2.37-b). Los lados b forman un ángulo ó < 90° con
la dirección del campo magnético de inducción f3 .
Sobre cada uno de ellos actúan fuerzas magnéticas
del mismo valor y de sentidos contrarios . El valor
---46-­
de cada una de estas fuerzas está dado por la
expresión (100).
M
=
F
x x
(101)
pero en la misma figura se observa que:
F'
= f3
bI sen ó _ _ _ _ _ _ _ _ (100)
x == b sen
Estas fuerzas son horizontales y se dirigen hacia
derecha e izquierda, como se ve en la figura 2.37-b.
2.10.1
FUERZA RESULTANTE SOBRE
LA ESPI RA O BOBINA
Obsérvese que tanto las fuerzas F como las F'
constituyen (tomadas dos a dos) dos fuerzas parale­
las de un mismo valor y de sentidos contrarios.
La fuerza resulta nte de la suma de las fuerzas P ,
es cero; as! mismo la fuerza resultante de las F
también es cero, por lo cual concluimos que la
fuerza resultante actuando sobre la espira o sobre
cualquier bobina es también cero.
Al saber que la fuerza resultante actuando sobre
la espira o bobina es cero, decimos que dicha espi­
ra o bobina se encuentra en equilibrio de Ir, -Ir;;
ción.
2.10.2
el'
_ _ _ _ _ _---:-_ (101)
Substituyendo (99) y (101) en (101) obtenemos:
M = (3 ab/sen
(103)
el'
esta expresión es el modelo matemático de la mag..
nitud del momento del par de jue1%QS sobre una
espira rectangular con corriente dentro de un cam­
po magnético constante. Si se trata de una bobina
de N espiras tenemos:
M
=
N (J abl
Como ab
la bobina:
sen a _ _ _ _ _ _ _ (104)
A. donde A
área del pbno de
esta 'expresK)Jr,es
e fuerzas
r s re u na bWina de N espiras, con cua quier for­
ma que te
I plano de aquélla.
MOMENTO RESULTANTE
SOBRE LA ESPIRA O BOBIN\A
Al analizar la figu ra 2.37-a advertiremos quellas
fuerzas F' actúan en la dirección del eje 00' de la
espira, así que son dos fuerzas (.'Olineales de
mismo valor. Así mismo vemos que el mome o
de cada una de ellas con respecto al eje 00' es cer --:
pues sus üneas de acción son coincidentes con I
eje 00', siendo sus brazos de palanca iguales a c
ro. En cambio, las fuerzas F constituyen dos fuer­
zas paralelas de un mismo valor y de sentidos con­
trarios, o sea que son un par de fuerzas que, al
quedar aplicadas a la espira rectangular produce
en ella un movimiento de rotación cuya intensidad
depende del valor de su momento. Obsérvese tam­
bién que el momento del par de fuerzas F varía se­
gún la dis tancia perpendicular entre los conducto­
res a del rectángulo; dicha dis tancia es x , y varía
desde u n valor cero hasta un valor b (longitud de
fos conductores b de la espjra) .
Gracias a lo anterior decimos que el momento
del par de fuerzas actuando sobre la espira rectan­
gular de la figura 2.37-a tiene una magnitud:
so, el plano de la bobina es paralelo al
campo magnético.
Segunda. Si a :: 0° ; sen 0° = O entonces el
momento del par de fuerzas es cero.
M
=
O
en este caso, el plano de la bobina es p erpendicular
al campo magn~tico .
Tercera. Cuando se trata de un solenoide recto
con corriente eléctrica dentro de un campo magné­
tico, según la expresión (71) vemos que el' es el án­
gulo que forma el eje longitudinal del solenoide
= ==::- 47==
con la dirección del campo magnético, o sea con la
dirección de p. En tal caso:
M es máximo cuando los planos de las espiras del
solenoide son paralelos a (J , es decir, cua ndo el eje
longitudinal del solenoide es perpendicular a (J (ver
flgUTll 2.38-a).
M es cero cuando los planos de las espiras son per­
pendiculares a (J. es decir, cuando el eje longi tudi­
nal del solenoide es paralelo a {J (ver figura
1.38-bl.
_ _ _.- I
J.L:=:t::::::! {J
=
Consta nte
_ _ _ _ _ _ _ _ _ (/06)
Ms
(3
Magnitud de M
Al considerar el momento de valor máximo del
par de fuerzas, es decir cuando el plano de la bobi­
na es paralelo al campo magnético tenemos:
M p = N{J lA
Substituyendo en (/06) se obtiene:
Ms = N{JIA
(J
:. Ms = NIA
(/07)
Donde:
s
N
Fla.l.31·1
Eje longitudinal
..
N es el número de espiras de la bobina.
l es la intensidad de corriente que circula en
la bobina.
A es el área del plano de la bobina.
En el sistema M.K.S. absoluto o S.1. Ms se mi­
de en Am2
(J = Cons tante
•
----~--- - -- - ----- - - - - ~----~
s
N
- - - - --­ - -­ -­ --J
"
-­
2.10.4
MOM ENTO MAGNETICO
DE UN IMAN
El momento del par de fuerzas que actúa sobre
un imán de barra de longitud I que se encuentra
dentro de un campo magnético de inducción (3
constante, con su eje perpendicular a la dirección
de dich o campo, producirá en él una rotación has­
ta colocar su eje paralelo a este campo, cuyo valor
se calcula con el modelo matemático de la expre­
sión (J08) (ver figura 2.39).
FIII.l.Jl-b
M p = F x , __________
2.10.3
MOMENTO MAGNETICO
DE UNA BOBINA
Supongamos una bobina circular plana de N es­
piras que se encuentra bajo la acción de un campo
magn~tico de inducción {J constante; por la bobina
circula una corriente eléctrica de intensidad 1 tam­
bién constante.
Definici6n: Momento magnético de una bobi­
na, es la relación entre el momento del par de fuer­
zas ejerciJo sobre la bobina y la inducci6 n magné­
tica del campo que influye en eUa.
Modelo matemático:
(108)
Por otro lado, por definici6n sabemos que la in­
duccibn magnética en cualquier punto de un cam­
po magnético producido por un imán es:
F
(3 = -:. F = p(3
p
Substituyendo en (108) se obtiene:
M p = p {3 , _ _ _ _ _---'-_ _ _ _ (109)
Donde:
p es la intensidad de cada polo del imán.
= =4 8==­
(3 es la induccibn magnética del campo que
influye en el imán.
es la longitud del imán .
E n el sistema M .K .S absoluto o S.I M p se rrlide en
m N.
DefiniciÓn: Momento magnético de un imán
es la relacibn entre el momento del par de fuerza s
ejercido sobre el imán y la induccibn magnética
del campo que influye en él.
MI
Modelo matemático:
_M_ p
_ ____ (J 10)
(3
=
Datos
q
q
=
(3
= 1. 2 T =
2e = 2 x 1.6 X 10'19
=3.2 x I0· 19 C
e
1.2 ~
Am
l
x iO mi s
v
= 2.5
F
vl.(3
= ?
Fbnnula
F
=
(3 qv
Substitucibn y operaciones
19
l
F
= 1.2 ~ x 3.2 x 10 e x 2.5 x IO mis
Subs tituyendo (109) en (110) se obtiene:
Am
M I = p(31 :. M, = pi
(3
(J 11)
F
= 9 .6 x 1O"4!i. x
Am
Am
F = 9.6 X 10' 14 N
En el sis tema M.K .S. , absoluto o S . I. , el mo­
mento magnético de un imán se rrlide en
2) En un campo magnético de indu ccibn 1.5 T,
se introduce un protbn con una velocidad de
7
2 x 10 mi s, formando un ángulode 30° con
la direccibn de aquél. Hallar la magn itud de la
fuerza aplicada sobre el protbn .
amper . metro (A m 2 )
2
I Ej e del imán
I
s
F
Resultado
,r- - - -----~-. p
i
I
Sentido
de rotaci bn
Datos
(3 =1.5T
q = 1.6 X 10' 19 e
v =2 x 107 mi s
Ó
= 30 °
F =?
Fbrmula
F
---,>
L--_ _ _ _
(3 qv sen ó
Substitucibn y operaciones
(3
= Co nst a nte
------------------------.
Fig.
=
2. 39
'F
=
1.5~ x 1.6 x 10'19 e x 2 x 10 mi s sen 30°
7
Am
F
= 1.5 x 1.6 x 10'19 X 2
F
= 2.4
X
107 x 0 .5JY... x
Am
Am
Probl e mas resue lto8
l) Un ión de carga positiva equivalente a dos elec­
trones, penetra a un campo magnético de in­
duccibn 1.2 leslas, con una rapidez perpend icu ­
lar a la direccibn de di cho campo, de 2 .5 X 10l
mi s. Determinar la magnilud de la fuerza eje r­
cida sobre el ió n.
X
10'12 N
Resultado
3) Una partícula alfa se introduce en una dife­
rencia de potencial de l Kv, con el fin de ad­
quirir cierta rapidez. A co ntinuacibn, se intro­
= = 49==
duce en un campo magnético de inducción 0.2
T de dirección perpendicular a la del movi­
miento de la partícula. Hallar el radio de la
trayectoria que describe la partícula alfa, sa­
biendo que la masa y la carga de ésta son 6.68
x 10- 27 kg y 3.2 X 10- 19 C respectivamente.
32.25
kg m/s 2 x As
Am
R
Datos
kg mis
10- 3
X
32.25
1O- 3 _ s_
X
m
N
s
0.2 To Am
f3
R
V
1 kv =1000 V
f3 ..L v
6_68 X 10- 27 kg
3.2 X 10- 19 C
?
M
q
R
10- 2 m o R
X
3_225 cm
Resultado
4) Por efecto de un campo magnético de induc­
3
ción 4.5 x 10- T, los electrones del pincel de
un tubo de rayos catódicos describen un
círculo de 2 cm de radio. Hallar la rapidez de
dichos electrones.
Fórmula
Mv
R
3.225
f3q
Datos
Se calcula v
1
=-MV
2
la energía cinética es igual a la energía eléctrica.
Ec = _W = qV = 3.2 X 10- 19 C
Ec = 3.2 X 10- 16 julios
X
10] V
3
:m
f3
=4.5 x 10- T o
q
R
= e = 1.6 x 1. 10- 19 C
2 cm = 2 x 10 2 m
31
M = 9.11 X 10
kg
v =?
Fbrmula
Mv
R
=
f3q
Despeje
v
2 x 3.2
2Ec
M
=
6.68
6.4
v
10- 16
X
6.68
X
10- 27
X
X
10-
10-
27
16
J
Rf3q
v
kg
1\1
Substitución y operaciones
m/s
2
v
=
3.09
5
10 mis
X
R
= -
10- 27 kg x 3.09 X 105 mis
- -- - --=-------:-;:--- - ­
0.2l'-L x 3.2 x 10- 19 C
Am
20.64
0.64
X
10- 22 kg mis
10- 19 NC
Am
3
m x 4.5 x 10
v
9.11
14.4 X 10
X
X
lO-2
v
Substitución y operaciones
6.68
X
v =
24
9.11
X
1.58
X
X
N
Am
x ]_6
X
10- 19
10 31 kg
kg m/s 2 x s
10 31 kg
7
10 mis
Resultado
5) Un haz de partículas penetra en una región
donde existe un campo eléctrico y otro magné­
tico de inducción 0.4 T, con una rapidez de
==50==
(
7f. vy
2 X 10 5 mis. Si ias direcciones de
Eson
perpendiculares entre sí , ha.1lar el valor del cam­
po eléctrico necesario para que las partículas no
experimenten desviaci6n alguna al pasar por
aquella región .
= 0.81:n x 5 x W m
F
=
= 0.4 To Am
v = 2 x i<Y m i s
{j1v1E
E =?
Resultado
Datos
Fórmula
Cuando las partículas no sufren desviaci6n
1.2 N
20°
F
d
=Fm
=
:. E
,
Fórmulas
(j v
FI
AF
Substitu ci6n y operaciones
E
N
=O.4 - - x 2 x I<Y mis
E
=0.8
X
=
F sen d
FI - F
Substitución y operaciones
Am
5 N
10 As
E
Resultado
6) H a lla r a magnitud de la fuerza ejercida sobre
un conductor recto de 5 cm de longitud, por el
cual circula u na corrien te de 30 A de intensi­
dad, cuando se introdu ce a un ca mpo magné­
tico de indu cción 0.8 T, de tal manera que la
longitud del conductor y el campo sean per­
pendiculares entre sí.
FI
FI
FI
AF
AF
1.2Nsen20o
1.2 N x 0.3420
0 .4104 N
0.4104N- 1.2 N
= - 0.7896 N
5 cm = S x 10'2 m
= 30 A
=0.8 To ~
=
Am
/1 {j
F
=?
Datos
= infinita
= 10 cm =
d
le
=6A
=4A
ID
Medio
=
a) Fo
Fórmula
Resultado
8) Dos conductores rectos y paralelos, e y D, de
gran longitud, distan entre sí 10 cm en el aire,
y son recorridos por 6 y 4 A de intensidad res­
pectivamente. Calcular la fuerza por unidad
de longitud de conductor ejercida entre ellos,
si las corrientes tienen:
a) El mismo sentido;
b) sentidos opuestos.
Datos
{j
30A
7) Si el conductor del problema anterior se intro­
duce al campo magnético de tal manera que su
longitud forme un ángulo de 20° con la direc­
ción de dicho campo, ¿en qué cantidad dismi­
nuye la fuerza ejercida sobre el conductor?
N
1
(1
X
120 X 10'2 N
:. F= 1.2N
Datos
r"e
2
F
aIre
?
/
=(JI!
?
Suhstitución y operaciones
-­
-- 51
--
10'1m
Fórmula
Datos
Fo
d,
lo
T
21c lD
k'o
d
=
lo
le
,
Substitución y operaciones
,
10'7 -A
N2
,
4 ,8
Fo
a)­
Fo
b)
~o_
X
FOR
2 x 6A x 4A
10" m
9) Dos conductores fijos, rectos y paralelos de
gran longitud, D y G, se colocan verticalmen­
te y distan entre si 8 cm en el aire. Por el con­
ductor D circula una corriente de 30 A de in­
tensidad y por el G otra de 20 A, ambas hacia
arriba. Un tercer conductor, de gran longitud,
e, se sitúa verticalmente entre ellos, a 3 cm de
D y 5 cm de G, por el cual circula una corrien­
te de 10 A de intensidad hacia abajo. Hallar el
valor de la fuerza resultante aplicada sobre el
conductor e en 25 cm de longitud (ver figura
2.40) .
G
r;;: ,
2/, h ,
J~ = k o --c
d;--­
7g~~:~'~rneales y F"~ > F~
= 4.8 X 10'5 N/m de repulsi6n
e
25 x 10'2 m
Fórmulas
10'5 N / m de atracción
Resultados
D
8 x 10'2 m
=8 cm
=30 A
=20 A
=IOA
=?
=25cm
Substituci6n y operaciones
FODC
=
10'7 ~ 2 x 30 A x 10
A2
3 x 10'2 m
15
X 10'6
25 X 10'2 m
NA 2 m
3 x 10'2 A 2 m
5 X 10'4 N de repulsi6n hacia la derecha
Fooc
----f
'7
N
10 A2
2 x 20A x lOA
2
25 x lO' m
5 x 10'2 m
I
I
~
t-
25 cm
{
~--
10
I
7f-- -
d
T ~
I
:,
8cm- --.,f'
FOR = 3
X
X
10'4 N
X 10'4 N hacia la derecha
Resultado
e
G
--
--;t!<'
I
Fo lX'
{
FOR
2
10'4 N
de repulsi6n hacia
la izquierda
2
5
Diagrama vectorial
D
10,4
F OR = 5 X 10'4 N -
le
lo
- - .5 cm __
- 3cm­
X
N
infinita
I
I
I
- - -,j<:
ID
Fig 2,40
~
I
I
Fooc
~
25 cm
,
I
--J.
10) Hallar la magnitud del momento del par de
fuerzas, necesario para mantener en posici6n
vertical una bobina de forma rectangular, de
12 cm de alto por 10 cm de ancho, constituida
por 40 espiras, cuando se sitúa en un campo
magnético de inducci6n 0,25 T Y es recorrida
por una corriente de 2 A de intensidad, El pla­
no de la bobina es paralelo a la dirección del
campo,
==52==
Datos
con un ángulo de 60 0 con la dirección de un
campo magnético de inducción 0.25 T.
b) Si el imán puede girar a1r~edor de su
centro fijo, determinar la fuerza normal que
se debe aplicar al mismo a 12 cm de su eje de
giro, para que produzca el mismo efecto del
momento del par de fuerzas.
12 cm = 12 x 10-2 m
10 cm = 10-· m
40 espi ras
N
0_25 T = 0_25 2A
Am
a
b
N
f3
1
Plano paralelo a f3
M =? (máximo)
Datos
Fórmula
M
Nf3AI
A
2
MI =3 _6 Am
d
=60 0
N
f3 =0.25To­
Am
= ab
Substitución y operaciones
2
3
A
12 x 10- m x 10-· m; A = 12 X 10- m
M
40 x 0_25
M
240
x 10- 3
N x 12
Am
X
2
10-3 m2 x 2 A
a) M p = ?
d = 12 cm = 12 x 10- 2 m
b)F =;;; ?
Model o gráfico
mN
o
M= 0.24mN
O
N
Resultado
F
~~_:~----
f ==!1
E' d
~~_~~d~ _-_-_-=~_=_ ,
+---- -­
-------[>(3--­
11) Por una bobina plana de 4 cm de radio y 50
espiras circula una corriente de 0.45 A de in­
tensidad . Calcular su momento magnético.
d = Distancia perpendicular
del eje de giro del imán a la fuer za F
Datos
I ~ 24 x 10 -2 m
= 2d = 2 x 12 cm = 24 cm
I
R
N
1
4 cm = 4 x 10-2 m
= 50 espiras
=0.45 A
'
I = Brazo del par de fuerzas
=
Fórmulas
MB =?
a) MI
Fórmula
Despeje
M B =NIA
A =nR2
p
=
=
pi
MI
I
Mp = pf31 sen d
Substitución y operaciones
A =3.14(4 x 1O-2 m)2 = 3.14 x 16 X lO-4 m 2
4
A = 50.24 X 10- m 2
M B = 50 x 0.45 A x 50.24 X 10-· m 2
b) M p
=
F x d
Despeje
F
Resultado
=M p
d
Substitución y operaciones
12) a) Hallar la magnitud del momento del par de
fuerzas, necesario para mantener a un imán
de barra de 3.6 Am} de momento magnético,
=
a) p
= _~ m2
24 x 10- 2 m
= 53==
.
.. p
15 Am
d,1
;m,")
S
.
N
15 Am x 0.25 Am x 24 x 10- 2 m sen 60°
15 x 0.25 x 24 x 10-2 x 0.866 mN
Mp
Mp
0.78mN
Resultado
0.78 mN
12 x 10-2 m
b) F
= 6.5N
:. F
Resultado
13) Los polos de un imán distan entre si 30 cm y
tienen una intensidad de 16 Am. Al situar el
imán en un campo magnético uniforme con
un ángulo de 30° , el momento del par ejercido
sobre él vale 0,08 mN. Hallar la densidad de
flujo magnético.
Datos
= 30 cm = 3
p
d
x 10'1 m
16 Am
= 30°
=0.048 mN
=?
=
Mp
f3
Fórmula
=
Mp
pf3/ sen d
Despeje
Mp
f3 =p
--,s-e-n-d-
Substitución y operaciones
f3
f3
=
0.048 mN
16 Am x 3 x 10- 1 m sen 30°
0.048 mN
48 x 10-1 x 0.5 Am 2
f3 = 0.02 tes las
0.048
N
2.4 Am
Resultado
Problemas propuestos
1) Calcular la magnitud de la fuerza magnética
que actúa sobre una partícula positiva con
carga equivalente a 3 electrones, que se lanza
a un campo magnético de inducción 0.24 T,
con una velocidad perpendicular a dicho cam­
7
po de 5 x 10 mi s.
2) Un electrón, con una energía cinética de 6 x
10'1 6 julios penetra perpendicularmente en un
camp o magnético de inducción 4 x lO-J T.
Halla r el radio de la tra yectoria que describe.
3) Determinar la masa de un ión positivo que se
desplaza con una rapidez lineal de 107 mis en
una trayectoria circular de 1.55 m de radio,
normal a la dirección de un campo magnético
de inducción 0. 134 T. La carga del ión es
eq uivalente a dos electrones.
4) Un haz de elec trones atraviesa, sin sufri r des­
viación alguna, una región dond e existen un
cam po eléctrico y otro magnético. Si se supri­
me el campo eléctrico, los electrones se
mueven en el campo magnético en trayecto­
rias circulares de 1.14 cm de radio. Determi­
nar la relación de la carga eléctrica a la masa ,
tomando en cuenta que el gradiente de poten­
cial del campo eléctrico vale 8 x IO J V/ m y
que la inducción magnética es de 2 x lO-J T.
5) H allar la rapidez de los iones de heli o que no
experimentan desviación al penetrar en una
región donde reina un campo eléctrico de in­
tensidad 7 .7 x loJ V/ m y otro magnético de
indu cción 0. 14 T. Los vectores representati­
vos de V, f3 y E forman u n triedro trirrectángu­
lo.
6) Un conductor rectilíneo de 5 cm de longitud
se col oca perpendicula rmente a un campo
magnético de ind ucción 0 .4 T.
a) C alcular el valor de la fuerza a que está so­
metido, sabiendo qu e por él circulan 6 A
de intensidad de corriente.
b) H allar la fue rza aplicada en caso de que el
conductor se coloqu e formando un ángulo
de 30° con la dirección del camp o .
7) Dos conductores rec tilíneos, pa ralelos y de
gran longitud, dista n entre sí 4 cm en el aire, y
tran sportan una corr iente de 2 y 6 A de inten­
sidad res pecti vamente, en el mi smo sen tido _
H a llar la fu erza ejercida entre am bos por uni­
dad de longitu d de condu ctor.
8) Dos conductores rectilí neos, p ~ ralel os, de
gran longítud y fijos , A y B, dista n entre sí 10
cm en el aire y transportan 40 y 20 A respecti­
vamente, en sentidos contrarios. Calcular la
inducci ón magnética
a) en los puntos de la recta de la misma direc­
ción que los conductores, situada entre
ellos y eq uid' tante de ambos;
==54==
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
b) en los puntos de la recta de la misma direc­
ción que los conductores, distante 8 cm del
A y 18 cm del B;
c) ¿qué fuerza, por unidad de longitud, se
ejercerá sobre un tercer conductor e si­
tuado entre A y B, equidistante de ellos y
en su mismo plano, si transporta una
corriente de 5 A de intensidad, con el mis­
mo sentido que la de A?
Una bobina rectangular de 25 espiras se sus­
pende en un campo magnético cuyo valor de
inducción es 0.2 T. El plano de la bobina es
paralelo a la dirección del campo, y las dimen­
siones del cuadro son: 15 cm segú n la perpen­
dicular y 12 cm según el campo. Hallar la in­
tensidad de corriente que debe circular por la
bobina, si el momento del par de fuerzas que
se ejerce sobre ella vale 5.4 m N.
Por una bobina circular de 7 cm de diámetro y
24 espiras circula una corriente de 0.75 A de
intensidad. Calcular la magnitud de su mo­
mento magnético.
Hallar la magnitud del momento magnético
de un imán cuyos polos distan entre sí 12 cm y
tienen una intensidad de 7 Am.
La magnitud de la fuerza ejercida sobre cada
4
polo de un imán de 1.5 Am de momento
magnético, situado perpendicularmente en un
campo de inducción 0.16 T, es de 0.8 N. De­
terminar la longitud o separación entre polos
de dicho imán.
Determinar la fuerza que ejerce un campo
magnético cuya inducción tiene una magnitud
de 0.35 teslas, sobre un electrón que entra per­
pendicular a dicho campo con una rapidez de
25 mis.
Una partícula cargada con 17 microculombios
se mueve perpendicularmente a un campo
magnético a razón de 41.66 mis y recibe una
2
fuerza magnética de 9.8 x 10- N que la des­
vía de su trayectoria. Determinar el valor de la
intensidad del campo magnético.
¿Cuál es la magnitud de la carga de una par­
tícula que se mueve en una dirección tal, que
forma un ángulo de 45° con la dirección de un
campo magnético cuya inducción es de 1.5 x
10 3 gauss, sabiendo qlle dicha partícula se
desplaza a razón de 21 .66 mis, y recibe una
2
fuerza magnética de 18.85 x 10 N?
Una partícula electrizada con 93 me entra a
un campo magnético de inducción igual a 4.5
x 10'2 T, con una velocidad de 41.66 mis,
forma con dicha inducción un ángulo 8, y reci­
be una fuerza magnética de 15.45 x 10'2 N
que la desvía de su trayectoria. Determinar el
ángulo.
17) ¿Cuál es la fuerza magnética que actúa sobre
18
una partícula cargada con 7.85 x 10 elec­
trones, que se mueve con una velocidad de 110
km/h y forma un ángulo de 38° con un campo
magnético de 200 gauss de inducción?
18) Un conductor recto de 15 cm de longitud es
colocado en posición perpendicular a un cam­
po magnético uniforme, de inducción igual a
8 x 10'2 T. Determinar la fuerza magnética
que recibe el conductor, cuando circula por él
una corriente de 4.5 A de intensidad.
19) Determinar la cantidad de carga eléctrica que
circula durante 48 s por u n conductor recto que
forma un ángulo de 25° con un campo magné­
tico uniforme de 14 x 102 gauss de inducción
magnética, sabiendo que el conductor de refe­
rencia recibe una fuerza magnética de 7.5 x
10'2 N cuando 6 cm de su longitud quedan
dentro de la zona de influencia de dicho campo.
20) Determinar la fuerza magnética entre dos con­
ductores paralelos de 60 cm de longitud, sepa­
rados entre sí una distancia de 1.2 dm, cuando
por ellos circulan corrientes de 9.28 A Y de
6.87 A de intensidad, respectivamente, yen el
mismo sentido.
21) Calcular la longitud de un par de conductores
rectos y paralelos, que se rechazan entre sí con
una fuerza magnética de 8.6 dinas, cuando es­
tán separados, en el espacio libre una distan­
cia de 1.7 cm, sabiendo que por cada uno de
ellos circula una corriente de 2.21 A de inten­
sidad en sentidos contrarios.
22) Determinar la distancia que separa a dos con­
ductores rectos y paralelos de 15 cm de longi­
tud, considerando que por cada uno de ellos
circula una carga dé 75 e en 0.18 minutos, y
que entre ellos existe una fuerza magnética cu­
ya magnitud es de 19.6 dinas.
23) Determinar la intensidad de corriente que
circula por cada uno de dos conductores para­
lelos de 9.5 dm de longitud, cuando éstos se
atraen con una fuerza magnética de 178 dinas,
al estar separados entre sí en el vacío una dis­
tancia de 7 cm.
==55==
2.11
INSTRUMENTOS DE
MEDICION
Prácticamente todo ctlculo en electricidad impli­
ca la medida o deteccibn de una corriente eléctrica.
Podemos medir dicha corriente eléctrica basándo­
nos en uno de los tres efectos siguientes: a) efecto
calorlfico, b) efecto qufmico y c) efecto magnético.
Por exactitud y conveniencia, universalmente se usa
el último de los mencionados en todos los instru­
mentos de medicibn de fenbmenos eléctricos.
2.11.1
EL GALVANOMETRO
DE D'ARSONVAL
El instrumento de medicibn eléctrico fundamen­
tal es el galvanómetro, con el cual pueden hacerse
mediciones de pequeñas intensidades de corriente
eléctrica o de pequei'las tensiones o diferencias de
potencial.
El galvanbmetro de D' Arsoval o de imán pero
manente y la bobina de cuadro mbvil está repre­
sentado en las figuras 2.41 y 2.42 respectivamente .
Cilindro
de hi erro dul ce
I
Espejo
Imán permanente
s
Fig. 2.41
s
N
DESCRIPCION DEL APARATO
En la figura 2.41, se observa que la bobina de
cuadro mbvil está suspendida entre los polos norte
y sur de un imán permanente en forma de "U",
por medio de un hilo conductor, fino y metálico.
La conexibn de la bobina de cuadro se hace por
medio de las terminales t y t'. El cilindro de hierro
dulce e y los polos norte y sur del imán están con­
cebidos de tal manera que se produce un campo
magnético radial en el entre-hierro. Con esto se
consigue que el campo magnético sea uniforme y
siempre paralelo al plano de la bobina, aunque és­
ta gire. Tales condiciones son necesarias si se
quiere que el instrumento tenga una escala de gra­
duacibn uniforme .
El espejo M se utiliza para indicar la posicibn de
la bobina, por medio de la reflexibn de un haz de
luz sobre una escala. Se observa además que el haz
de luz reflejado hace las veces de una aguja indica­
dora sin peso.
FUNCIONAMIENTO
Consideremos una corriente eléctrica que pasa
por la bobina de cuadro; al observar dicha bobina
desde arriba como en la figura 2.42 girará debido
al par de fuerzas que el campo del imán acciona
sobre ella, hasta colocarse en ángulo recto con re­
pecto a la indicada (este fenbmeno se basa en el
principio del motor eléctrico). Sin embargo, al gi­
rar la bobina se tuerce el hilo de suspensibn, razbn
por la cual dicha bobina gira únicamente hasta
equilibrar al momento del par de fuerzas oca­
sionado por la torsibn del hilo de suspensibn.
El momento del par de fuerzas ejercido sobre la
bobina por el campo del imán es directamente pro­
porcional a la corriente que circula por aquélla y el
momento del par de reaccibn del hilo de torsibn es
directamente proporcional al ángulo de giro.
Puesto que los momentos de ambos pares de
fuerzas son iguales en magnitud y de sentidos
contrarios, cuando se establece el equilibrio el án­
gulo girado por el plano de la bobina de cuadro se­
rá directamente proporcional a la intensidad de la
corriente que circula por ella, lo cual puede expre­
sarse como:
ea!
Donde:
e es el ángulo girado por el plano de la
bobina .
! es la intensidad de corriente .
Fig.2.42
==56==
Esta condición se verifica únicamente en los ins·
trumentos bien diseñados y, en es!e caso, la escala
del galvanómetro es ulÚform e. En la práctica, las
lecturas se hacen en una escala li neal , ya que el
desplazamiento lineal S leíd o en la escala es direc­
tamente proporcional al á ngu lo girad o 8 (cuando
8 es muy peq ueño), porque las intensidades de
corriente que se miden en los galvanómetros son
del orden de mic roamperios (I0-fi A) .
AMORTIGUAMIENTO
Al interrumpir la corrien e en el circuito del gal­
vanómetro, la aguj a de éste tiende al cero de a es­
cala, oscilando amortiguada mente h asta quedar
en reposo en dicha cifra. Este fenómeno es deno­
minado amortiguamiento o damping.
Igualmente, cua ndo se ha ce pasar u na corriente
por el galvanómetro , la bobina d e cuad ro sobrepa­
~a la posición de equi librio; se emp lean diversos
métodos pa ra llevar al aparato rápidamente a su
posición de equilibrio. El método más emplead o
consiste en aprovechar las corrientes ind ucidas en
la bobina de cuadro, debid o a su movimiento den­
tro del cam po magnético generado por el imán,
que se oponen precisamente a que dicha bobina se
mueva, ocasionando un amortiguamiento casi ins­
tantáneo.
SENSIBI LIDAD A LA COR RIENTE
Definici6n : La sensibilidad a la corriente eléc­
trica de un galvanómetro es la intensidad de co­
rriente eléctrica por unidad de desplazamiento en la
escala.
Modelo matemático:
J
k/ = - ­
S
Ellla práctica k ¡ se mide en ¡.tA l mrn (10'6 A l mi11}.
Por ejemplo, el galvanómetro de D' Arsonv a l
tiene una sensibilidad a la corriente eléctrica de
10- 6 j../.A / mm = 10.- 12 A/mm = 10 - 9 A l m.
SENSIBILIDAD AL VOLTAJE
Definición: La sensibilidad al voltaje de u n
galvanómetro, es el voltaje requerido por ulÚdad
de desplazamiento en la escala .
En la práctica, k v se mide en
volt/mm).
volt / mm (10'6
Donde: R, es la resistencia del galvanómetro
(incluye ndo la del amortiguamiento)
SENSIBILIDAD MEGOHMICA
Definición: E s el número de megohms necesa­
rios, en serie con el galvanómetro, para que sei'lale
una de viación dada, cuando hay una diferencia
de potencial de un voltio.
2. 11 .2
AMPERIMETROS y
VOL TI METROS
Sabemos ya que en un galvanómetro de D'Ar­
sonval la desviación de la a guja es directamente
proporcional a la intensidad de corriente que circu­
la por la bobina, y como ésta y los cond uctores unj­
dos a ella son metálicos y obedecen a la ley de Oh m,
la intensidad de la corriente en la bobina es ilirecta­
mente proporcional a la diferencia de potencial
entre las terminales del aparato; por consiguiente,
también la desviación de la aguja de este aparato es
directamente proporcional a la diferencia de poten­
cial entre sus term inales, lo mi smo que a la intensi­
dad de la corriente que pasa por él, y puede gra­
duarse para medir la diferencia de potencial o la in­
tensidad de la corriente eléctrica.
Ejemplo
La resistencia de la bobina y de los conductores
ulÚd os a ella de un galvanómetro de D' Arsonval
es 200. D icho galvanómetro se desvía tOGa la esca­
la para u na intensi~ad de corriente en el cuadro de
la bobina, de 10 mA a 0.01 A. La iliferencia de po­
tencial en tre sus terminales es:
Vg
= Jg
Rg
=
O.OlA x 200
= 0.2
volts
Por lo tanto, las características de este galvanó­
metro son :
Ig
R~
Modelo matemático:
¡.t
=
0.01 A
200
Vg = 0.2 volts
= = 57 c=----=
La escala de este instrumento puede calibrarse
para medir:
1. 1ntensidad de corriente eléctrica de O a
0.01 A.
2. Diferencia de potencial eléctrico de O a 0.2
voltios.
Como vemos, un galvanómetro es un aparato
que sirve para medir pequeñas intensidades de
corriente o pequeños voltajes. Sin embargo, con
ciertos arreglos pueden ser empleados para medir
cualquier intensidad de corriente o cualquier vol­
taje o tensión, recibiendo en el primer caso el
nombre de amperímetro, y en el segundo, el de
voltímetro.
AMPERIMETROS
Consideremos un galvanómetro como el del
ejemplo anterior, cuya resistencia de bobina de
cuadro -la resistencia del propio galvanómetro­
es R, = 20 Q, que se desvía toda la escala cuando
circula por él una corriente de intensidad
Ig = 0 .01 A.
Ejemplo
Para convertir el galvanómetro del ejemplo an­
terior en un amperímetro que se desvie toda la es­
cala para una corriente de 10 A de intensidad, es
decir que pueda medirse una corriente eléctrica
comprendida de O a 10 A, se hace lo siguiente: El
galvanómetro se conecta en serie con el circuito a
través del cual circula la corriente eléctrica que se
desea medir. Como esta conexión es en serie, la re­
sistencia del amperímetro debe ser mu y pequeña .
Es por ello que a la bobina de cuadro o galvanó­
metro se le conecta una resistencia en paralelo lla­
mada shunt, cuyo valor se calcula, para que la
corriente que circula por ella sea la diferencia que
existe entre la corriente que circula por el circuito
(la que se desea medir) y la que circula por la bobi­
na de cuadro (Jg) .
Con su resistencia shunt, el galvanómetro es
propiamente un amperímetro que se conecta en se­
rie con la rama del circuito por donde circula la
corriente que se desea medir (ver figura 2.43) .
Termina l o puntar---- - - _. - - - -- - - - , Amperímetro
del Ampe rí metro I
1,
. Rg
Ig ~
I
e
I
Ir
. I
I
1,
I
I sh
R
Ish I1 enmna o punta
L ________ s.!!.. _____ ..... del Amperirnelro
)-' ig. 2.43
Construccibn de un amperí melro
Aplicando la primera ley de Kirchhoff o ley de
los nodos , la intensidad de la corriente Ir que es la
que se desea medir, en el nodo B de la figura es:
=
I sh
Ir -
[g
En el ejemplo mostrado en los amperímetros te­
nemos:
r,h =
lOA -
O.OIA
=
9.99A
[sh
=
9.99A
Como las intensidades de corriente son inversa­
mente proporcionales a las resistencias eléctricas
(ley de Ohm), se tiene:
=
Rsh
[,R,
[sh
En el caso de dicho ejemplo y aplicando las ca­
racterísticas del galvanómetro del ejemplo inme­
diato anterior se tiene:
R sh
=
O. O1 A x 200
9.99 A
=
O2
9:99 Q:. R sh ::; 0.02Q
La resistencia total de un amperímetro se calcu­
la con el modelo matemático
~
\ RA
=
R
R
g
\,
g
R~h
+
Rsh
.
Tenemos entonces :
200
x 0.02Q
200
+
0.02Q
O4
= __._
Q :. R A == -0 .0198Q
20.02
Con este ejemplo se comprueba que el amperí­
metro es entonces de baja resistencia eléctrica, por
estar conectado en serie con el circuito .
VOLTIMETROS
Un voltímetro debe ser conectado en paralelo
entre los puntos cuya diferencia de potencial se de­
sea medir, razón por la cual debe tener una resis­
tencia eléctrica relativamente elevada. Por eso pa­
ra convertir un galvanómetro a voltímetro es nece­
sario conectar una resistencia en serie con la bobi­
na de cuadro, o sea, en serie con el galvanómetro
cuyo valor debe de ser adecuado según el voltaje o
diferencia de potencial que se desea medir (Vuh ) .
- -- 58 ::::::=:::::::
da la escala para una diferencia de potencial de
100 volts entre sus terminales, es decir que sirva
para medir de O a 100 volts. Tomar como base el
galvanómetro de D' Arsonval delPrimer ejemplo.
Voltímetro
r-------- ·---- - - - - - ---,
1
I
I
Rg
Rs
1
1
G
/~
Ix
I
I
18 1
I
L _ _ _ _ __ - - - - - - - - - - - '
R de carga
a
1-__________
Vab _ _ _ _ _ _ -
-
-
-t )
Terminal o punta
Terminal o punta
del voltímetro
del voltímetro
Fig. 2.44 Construcción de un voltímetro.
El galvanómetro, y su resistencia conectada en
serie, constituye un voltímetro que se conecta en
paralelo con el aparato o resistor del cual se desea
conocer su diferencia de po tencial o voltaje consu­
mido, según sea el caso ( 'cr figura 2.44),
Llamamos R, a la resistencia del voltímetro, y
se calcula con el siguiente m odelo matemático
a) Calcular la resistencia que se debe conectar en
serie con el galvanómetro.
b) Calcular la resistencia del voltímetro
Datos
Vab
100 volts
19
Rg
0.01 A
20 Q
a) Rs
b) R"
=
?
?
FÓrmulas
~- R
19
~
a) Rs
b) R,
= Rs +
Rg
Substitución y operaciones
=
R"
Rs + Rg
a) Rs
Por la ley de Ohm tenemos:
1
8
_
-
=
Rs = 1O 000 Q - 20 Q
Va "­
Rv
Donde Vab = diferencia de potencial o caída de
tensión que desea medirse.
Incluyendo e: modelo matemático anterior en la
ley de Ohm tenemos:
:. Rs
=
Resultado
9980Q
º+ º
10 000 º
b) R,
20
9980
:. R v
~---~
Problemas resueltos
Vab
Resultado
º
1) Un galvanómetro tiene una resistencia de 50
y su lectura a fondo de escala es de 0.004 A .
a) ¿Qué resistencia se debe conectar en pa­
ralelo con éí para convertirlo en un amperí­
metro con 30A a fondo de escala?
b) ¿Qué resi stencia se le debe conectar en se­
rie para convertirlo en un voltímetro de
300 voltios a fondo de escala?
.!...~-~-------
:. Rs
100 V - 20 Q
0.01 A
Datos
Vab
Ejemplo
=
= 0 .004 A
a)
Se necesita un voltímetro que desvíe la aguja 10­
º
RR
l~
50
R,h = ?
para h
= = 59==
30A
SubstituciÓn y operaciones
b) Rs = ?
para J-;;b
5A - lA:.
300 voltios
x 0.006
1A
Fórmulas
Ish
=
Q = 0.006 Q
4A
a) R sh
4A
4
R.h = 0.001..5 Q
I.h = Ir - 1,
3) Un voltímetro tiene una resistencia de 4000 Q
Ycada divisiÓn de su escala de medida equiva­
le a 1 voltio. ¿ Qué resistencia se debe conectar
en serie con él, para convertirlo en otro voltí­
metro, de tal manera que cada divisiÓn de su
escala de medida equivalga a 10 voltios?
Substitución y operaciones
a) I sh
30 A - 0.004 A
I sh
29.996 A
R sh
0.004 A x 50 Q
29.996 A
R."
O.OO4A x 500
R.h
0.00667 Q
300 V
0.004 A
b) Rs
..
Rs = 74.950 Q
Resultado
Datos
Rv ) = 4000 Q
Vab ) = I V
R s = ? para
Vab2 = 10 V
Fórmuias
Resultado
50 Q
Iv )
Resultado
2) Un amperímetro tiene una resistencia de 0.006
Q Y cada división de su escala de medida
equivale a lA. ¿Con qué resistencia se debe
conectar en paralelo para convertirlo en otro
amperímetro en el que cada división de su es­
cala de medida equivalga a 5A de intensidad
de corriente eléctrica?
=~
R v)
Substjtución y operaciones
Iv)
IV
= 4000!i '
lOV
I v) = 0.00025 A
Rs = - - ­ - 4000Q ; Rs
O.00025 A
Rs =
36000Q
40000
Q-
4000
Q
Resultado
Datos
R A =0.006 Q
lA
= lA
R sh =?
Para Ir
5A
=
Fórmulas
l A RA
R sh = ---'-1-;---'-'---­
sh
Ish = I T - l A
4) Una carga de 250 Q se conecta a una fuente de
tensión de lOO V, como se representa en el cir­
cuito de la figura 2.45 . La resistencia del voltí­
metro vale 1000 Q Y la del amperímetro es des­
preciable.
a) Hallar la potencia eléctrica disipada en la
resistencia de carga .
b) ¿Cuál es la potencia aparente obtenida, al
multipli car las lecturas de los aparatos de
medición?
= = 60==
250 Q
Re
le
le
Iv
Iv
Datos
Re
Rv
250 Q
Vab = 100 V
R v = 1000 Q
R A =00
a) Pe = ?
b) Paparente
?
=
Ir
Fig. 2.45
Fórmulas
a) l e
= OQ
lOO
V
b
Model o gráfico.
Vab
= ~
Vab
b) Iv
Ir
RA
Vab
a
Ir
= lOOOQ
Hallar la intensidad de la corriente eléctrica
que circula por dicho amperlmetro. Si la co­
rriente en la linea es de 50 A.
2) Un galvanómetro tiene una resistencia de 28Q
e indica lmA a fondo de escala. Determinar
qué valor de resistencia y cótno se debe conec­
tar , para convertir a dicho galvanómetro en
p) un amperímetro con 0.25 A de intensidad
de corriente a fondo de escala
b) un voltímetro con 0 .2 voltios a fondo d~
escala.
3) Un galvanómetro tiene una resistencia eléctrica
de 600Q e indica 100 J.L4 a fondo de escala. Se
desea trans formar en
a) Un miliamperímetro con escala de O a 100.
b) Un milivoltímetro con escala de O a 100. En
Rv
=
Iv + l e
5)
P ap8Ien <e = IT Vab
Ir es la intensidad de corriente total en el circuito,
o sea la leída en el amperímetro.
Substitución y operaciones
_ 100 V
a ) 1e 250 Q
0.4A
X
=
Paparente
Pe
100 V
lOOV
1000 Q
b) I v
Ir
l e = 0.4 A
0.1 A
O. lA + O.4A
= 0.5A
X
0 .5A
K Q de resistencia, en paraleio con una resis­
100 V
P aparen le = 50 vatios
Resultado
'P roblemas propuestos
1) Un amperímetro tiene una re~ is t e n c i ;¡ de ?Q y
se conecta en paralelo con otra de O.OOIQ .
tencia desconocida. Las lecturas de ambos
aparatos son 0 .6A y 120 voltios, respectiva­
mente Determinar el valor de esa resistencia
desconocida.
9) Un voltímetro toma una corriente de 0.02 mA
para una deflexión o desviación de escala
==61-­
10)
11)
12)
13)
14)
completa de 50V. Determinar:
a) La resistencia del medidor
b) La resistencia por voltio
c) La resistencia multiplicadora que debe co­
nectarse en serie con el voltímetro para que
permita medir 15 V a fondo de escala.
La bobina de un amperímetro se quemará si se
hace circular a través de ella una corriente ma­
yor de 40 mA .Si la resistencia de la bobina es
de 0.5Q ¿qué resistencia shunt debe conectár­
sele para que permita medir hasta 4 amperios
a fondo de escala?
La lectura de un voltímetro es de 150 voltios
en su escala completa. La bobina del galvanó­
metro tiene una resistencia de 500 y produce
una desviaciÓn de escala completa para 20
mV. ¿Cuál es el valor de la resistencia multi­
plicadora conectada en serie con el?
Un amperímetro de laboratorio tiene una re­
sistencia de O.OIQ y la lectura de escala
completa es de 5 amperios. ¿Qué resistencia
en derivación es necesaria para incrementar
diez veces la lectura a fondo de escala?
Un voltímetro con intervalo de mediciÓn de O
a 150 voltios y resistencia de 15 KQ se conecta
en serie con otro voltímetro en intervalo de
medición de 100 V y 20 KQ de resistencia .
¿Cuál será la lectura en cada voltímetro cuan­
do se conectan a una batería de 120 voltios?
La bobina de un amperímetro tiene una resis­
tencia de 75Q y la intnesidad de corriente que
puede medir es de 5mA . Determinar la resis­
tencia que necesita conectarse en paralelo con
él, para que mida intensidades de corriente
hasta de 10 amperios y la resistencia que deba
conectársele en serie, para medir voltajes has­
ta de 250 voltios.
2.12
MOTOR DE CORRIEN TE
CONTINUA (C .C.'
Un motor eléctrico es un aparato que transforma
energía eléctrica en energia mecánica (movimiento
rotacional). El motor de corriente directa fun­
ciona exactamente igual que la bobina móvil de un
galvanómetro, es decir, gira debido al momento
del par de fuerzas ocasionado por el campo mag­
nético constante, al circular corriente por los deva­
nados. El movimiento rotacional de la bobina de
un motor no está restringido por los resortes en es­
piral que tiene ia bobina de un galvanómetro, sin o
= = 62
c'Ie gira con libertad y continuamente debido al
mL1ento de torsión magnético.
En la figura 2.46 se muestra un motor de C .C en
su forma más simple, que consta de una soia espi­
ra, por la cual circula una corriente eléctrica estan­
do suspendida en tre dos polos de un imán perma­
nente.
Fig.2.46
Hay instantes en que el momento de torsión que
hace girar a la espira es maXimo e instantes en que
es cero, máximo cuando el plano de la espira es
paralelo a las líneas del campo magnético del
imán, y cero cuando el plano de dicha bobina es
perpendicular a las líneas del campo. Para conse­
guir una rotación continua es necesario que la co­
rriente se invierta cada vez que la bobina gire 180°;
para lograr que la corriente se invierta, es necesa­
rio utilizar un conmutador anular seccionado, co­
mo se muestra en la figura 2.46. Este conmutador
consta de dos mliades de anillo separadas; en cada
mitad se conecta una terminal de la bobina, de tal
manera Que C"tlando ésta gire 180 0 , las escobillas
queden exactamente en la separación del conmuta­
dor seccionado y dicha bobina tenga su plano per­
pendicuiar a las lí neas del campo magnético para
que, al pasar la siguiente sección a una escobilla ,
la otra secci6n pase por la otra escobilla y la
corriente se invierta . De esta manera el momento
de torsión magné tico que está actuando en la bobi­
na será siempre en un mismo sentido, ocasiona ndo
que el giro de la bobina tambiéli sea siempre en
un mism o sentido.
Para incrementar el momento de torsión mag­
nético, es necesario substituir al imán permanente
por electroimanes, para aumentar la velocidad de
rotaci6n se dan varias vueltas de alambre en un ci­
lindro con ranuras , el cual es llamado armadura o
rotor (ver figura 2.47).
1
El voltaje de la fuente queda aplicado tanto al
devanado de la armadura como al de la bobina del
campo magnético. La ventaja es que existe un mo­
mento de torsión magnético más uniforme que el
de devanado en serie: el momento de torsión mag­
nético inicial es menor que el de un motor devana­
do en serie. Como la corriente se distribuye entre
la armadura y la bobina de campo, el consumo de
energía es menor que el de un motor de devanado
en serie (ver figura 2.49).
1
1
N
1
1/
1
Fig.2.47
2.12.1
CLASES DE MOTORES DE C.C.
Bo bina de ca mpo
Los motores de C.D se clasifican según la forma
de conexión de la armadura con las bobinas de
campo magnético .
h
h
L---IL----1·I·I·I·It----~--'
1
Fig.2.49
MOTOR DEVANADO EN SERIE
En este caso, la fuente de alimentación hace que
la misma corriente proporcione energía tanto a la
armadura como a las bobinas de campo (ver figu­
ra 2.48).
+
MOTOR CON DEVANADO COMPUESTO
En ocasiones se utiliza un motor con devanado
compuesto, que consiste en que el devanado del
campo magnético consta de dos partes. Una de las
bobinas se conecta en serie con la armadura, y la
otra. se conecta en paralelo con la misma armadu­
ra . El momento del par de torsi6n magnético que
produce un motor de estas características está
comprendido entre los producidos por los motores
con devanado en serie y los que producen los mo­
tores con devanado tn derivación (ver figura
2.50) ,
1,
BOlJin a de campo
Ilneb)
Hg.2.48
N
En esta clase de motor se observa que el mo­
mento de torsión magnético es grande, así como la
intensidad de la corriente circulante; por consi­
guiente hay un gran consumo de energía.
MOTOR DEVANADO EN DERIVACION
En este tipo de motores el devanado de la arma­
dura y el devanado de la bobina del campo magné­
tico se conectan en paralelo.
-L...
BI
1I
12
12
12
j
1,
J2
-
B2
1
•
1
i
I
1
-
Hg. 2.50
= =63 = =
~
1
111\ 11'1
+
1
1,
I
UNIDAD 3
ducción
electromagnética
CONCEPTO DE INDUCCION
ELECTROM AGNETICA
Este fenómeno consiste en crear una fuerza elec­
tromotriz o una diferencia de potencial eléctrico
en los extremos de un conductor en movimiento
dentro de un campo magnético constante, o bien
en reposo dentro de un campo magnético variable.
INTRODUCCION
El descubrimiento de la inducción electromag­
nética fue hecho p or Michael Faraday en el afto de
1831, cuyo estudio nos proponemos desarrollar en
esta unidad, pues se considera como el comienzo
de una nueva era para la electricidad.
Sabemos que la producción de corriente eléctri­
ca requiere del consumo de cualquier forma de
energía no eléctrica. Antes del descubrimiento de
Faraday, la energía eléctrica sólo se producía
transformando energía quí mica por medio de pilas
voltaicas o acu mu ladores. Este procedimiento,
además de no ser práctico, es demasiado costoso
cuando se requieren grandes cantidades de energía
eléctrica como para iluminar ciudades, satisfacer
industrias, etc. En la actualidad existen casos don­
de todavía resulta práctico el uso de pilas y bate­
rías para hacer fu ncionar lámparas y muchos apa­
ratos electrodomésticos y portátiles. En los demás
casos se utiliza energía eléctrica generada por dína­
mos, que son aparatos transformadores de energí a
mecánica en eléctrica, basados en la inducción
electromagnética.
Los dínamos son los aparatos que suministran
casi la totalidad de la energía eléctrica que consu­
mimos . Los grandes manantiales de energía mecá­
nica, constinúdos por las caídas de agua o las
enormes reservas de energía térmica existentes en
estado potencial en Jos combustibles, son mejor
aprovechad os debido al descubrimiento de Fara­
day y los desarrollos técnicos posteriores. Cerca de
40 aftas después de su descubrimiento fue cuando
ingenier os e inventores consiguieron llegar a las
aplicaciones prácticas y útiles de la inducción elec­
tromagnética, consagrando asi el descubrimiento
de Faraday y mostrando al mundo su alto signifi­
cado científico, social y económico.
Diez años antes de su hallazgo, Faraday conoció
lo que en esa época descubriera Oersted, que como
ya sabemos, consistió en que por medio de efectos
eléctricos se producen fenómenos magnéticos, y
Faraday trataba de verificar si era posible obser­
var un efecto inverso: si los campos magnéticos
podían generar corrientes eléctricas.
3.1
LEY DE FARADAY
Finalmente Faraday, mediante un experimento
muy sencillo, logra descubrir que mediante fenó­
menos magnéticos se pueden obtener corrientes
eléctricas.
== 65 = =
El experimento consistió en que con un tramo
de alam bre conductor, hizo u na espira y la empe?:ó
a mover dentro de un campo magnético constante .
locaii¿:ldo entre do s polos de imanes, observand~
que en los extremos a y b de la espira aparecía una
diferencia de potencial (ver figura 3. 1). Además
observó que si dejaba en rep os o la espira y moví a
al imán, sucedía exa ctamente Jo mis mo.
v
~
(J
Cons ta n te _ __
......
a
E
Ve locidad del
i11ovimien! ll d e l
condu ctor dentro del
campo ma gn e ti co.
(J
F'ig. J .2
Ya sabemos que siempre que una carga eléctrica
q se mueve dentro de un cam po magnético de in­
ducción ('3 constante, con una velocidad v perpen­
dicular a dicho campo, recibe una fuerza magnéti­
ca (fuerza de Lorentz), dada por la exp resión (1)
l. o ng itud de l
cond uctor que
cor ta Ji nras del
campo 1l1agllcl ico
= f3qv
(l)magni tud de ¡¡­
En el tramo de conductor de longitud 1 de la fi­
gura 3.2, q ue se mueve por medios mecánicos den­
rig. J.l
tro del campo magnético de inducción f3 constan­
te, con una velocidad v perpendicular al conductor
Con este descubrimiento basado en la experi­
y
a dicho campo, dentro del conductor las cargas
mentación, Faraday estableció la ley que dice:
libres positivas i::án hacia el extremo a y las c.argas
Libres negativas hacia el extremo b d dicho con­
Siempre que exista un movim iento relativo entre
ductor,
ocasionando que se acumule un exceso de
un conductor y un campo magnético, aparecerá en
cargas
positivas
en a y un exceso de cargas negati­
los extremos del conductor una diferencia de p o­
vas
en
b.
Estas
ca
rgas libres (positivas y negativas)
tencial o fuerza eíectromotriz inducida.
se mueven como si estuviera n bajo la acción de un
campo eléctrico dirigido de b hacia a, cuya intensi­
3.1 .1 FU ER ZA ELECTROMOTRIZ
dad puede calcularse partiendo de la expresión (1).
F
INDU C IDA. LEY D E LENZ
La fuerza electromotriz inducida se puede ob te­
ner en dos formas, con las cuales se ca lcula el mo­
delo matemático de la ley de Faraday.
Así tenemos de (1) F/q = f3v.____
pero F/q "" E
(intensidad del campo déctrico)
= f3v
(3)
Fuerza electromotriz inducida por movimiento
de un conductor den tro de un campo magnético
constante
Analicemos el tramo de co nductor de longitud I
de la figura 3.1, que corta perpendicu la rmente a
las líneas del campo magnético uniforme de induc­
ción f3 de valor constante, con una velocidad v
también uniforme (ver figura 3.2).
(2)
E
Si mu ltiplicamos la expresión (1) por I que es la
longitud del conductor, obtenemos (4)
Fl
="
Si FI
f3qvl
=
= =66= =
(4)
W_ _ _ __ _ _ _ _ __ .(5)
Donde Wes el trabajo eléctrico o energia eléc­
trica.
Substituyendo (5) en (4) se obtiene (6)
W = {Jqvl _ _ _ _ _ _ __ __ _ (6)
W / 1}'" = {Jlv _ _ _ _ _ _ _ __ _ (7)
W/ q =
Vob
__________
Vab = {Jlv _ _ _-'-_ __ _ __
(8)
=
(11)
{Jlv
(la)
Modelo matemático de la ley de Faraday
Fuerza electromotriz inducida en los extremos
de un conductor fijo dentro de un campo magnéti­
co variable
Consideremos un bastidor metálico en forma de
"U" dentro de un campo magnético uniforme de
inducción {J, con su plano perpendicular a dicho
campo, sobre el cual podemos deslizar un tramo
de conductor de longitud I con una velocidad v
(ve~ figura 3.3).
Al deslizar el tramo de conductor de longitud I
sobre el bastidor, varía el área A del cuadro abcd,
ocasionando así mismo una variación del flujo
magnético que atraviesa dicha área .
área del cuadro aa'b'b
dA
dA
Ahora por definición {J
(9)
siendo Vob la diferencia de potencial eléctrico en
los extremos a y b del conductor, que por obtener­
se por inducción del campo magnético, es llamada
fuerza electromotriz inducida y la representamos
por E, , convirtiénd ose la expresión (9) en (10)
E¡
Supongamos que el tramo de conductor de lon­
gitud I se ha desplazado una distancia ds hacia la
derecha (figura 3.3), por lo que el área A del
cuadro abcd se incrementa un área dA que será
=
1- ..
~
A
Como existe una variación del área A, existirá
también una variación de flujo ~ que será d~
=
d~
{JdA _ _ _ _ _ _ _ (13) {J constante
Como al deslizarse el tramo del conductor luna
distancia ds transcurre un tiempo dt, entonces, si
dividimos a (13) entre dt se obtiene:
d~
dt
dA
{J - ------=~~--- (14)
dt
SubstitUyendo (11) en (14) se obtiene:
d~
{JI ds
dt
dt
_ _ _ __ ._ __
ds
y -- = v
dt
(15)
(16)
Substituyendo (16) en (15), se obtiene:
d~
-d-t = {Jlv _ _ _
_ _ __ _ _ _ (17)
." _ds -1'
x
: dI
X Ilx X
X
X
Xo
X
X
I
X
:
d
)(
X
X
)(
X
X
X
X
II
X 1, X
X
dA
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Ahora, substituyendo (la) en (17) se obtiene fi­
nalmente:
I
1
I
I
I
1I
v I
II
I
X 1I X
I
I
d~ I I
!
I1
I
X 1I X
~
X
.c.
TI
X 1I X
I
A
X
:
'o·X
E¡
= _ _
d~ - - - - - --
-
- - - (/8)
di
Modelo
matemá tic o de
la
ley
de
Faraday
Podemos advertir que la fu.erza elec tromotriz
inducida es igual a la variación del flujo magnétic o
con respecto al tiempo.
e
X
Fig.3.3
X
b
X
b'
X
LEY DE LENZ
El signo menos que aparece en h ¡> v pres ión fl R I
se debe a la ley de Lenz que dice: Siempre que exis­
-====== 67 ======
te una ¡ .e.m inducida origina una circulación de
corriente inducida que tiene un sentido tal que se
opone a la causa que la produce.
Cuando el flujo magnético varia en cantidades
irutas entre dos regiones de un campo magnétko,
la ley de Faraday puede expresarse según el mode­
lo matemátiCo siguiente:
E·
I
.Ji.
M
= -
3 .2
EL GENE RADOR DE
CORRIEN TE ALTERNA
(19)
Si se trata de una bobina de N espiras dentro de
n campo magnético variable, se obtiene:
E¡
A~
~------------ ~0
NM
= ..-
Como M
f -
~¡
y 4t
=
lf -
t¡
Y t¡
=O
se obtiene:
E¡
._ _ __ ___ (21)
N
= -
Donde:
N es el número de espiras de la b bina.
~ I es el flujo magnético iniciaJ , en weber.
~J es el flujo magnético final, en weber.
t es el tiempo transcu rrido, en segundos.
E.; es la f.e.m inducida que resulta en
weber
segundo' que se llama vo ti a, por ser
julios
equivalente a:
culombios
Nota:
Comprobación de -
Wb
J
- = _ _
:)
e
o
Del modelo matemático (10) se obtiene:
x
[¡
=, [l /v
=.: -
.
Am
><
.In
In
Wb
J
s
e
_
x m
s
x ....!!!-.
s
=
2
Wá
Wbm
-::mr
s
= .l:::!!.!l =..L
As
e
Fig. 3.4
Ca rga del generador
En la figura 3.4 tenemos una bobina en forma de
cuadro rectangular abcd de N espiras, próximas
unas con otras, q e"gira alrededor de su eje 00'
perpendicular a un campo magné 'co de inducción
{J, constante. Las terminales de la bobina de cua­
dro están conectadas a unos anillos ss que giran
con la bobina, pero aisladas entre si. E tos anillos
colectores se deslizan en unas escobillas que conec­
tan a la bobina de cuadro con el circuito exterior.
El campo magnético que se observa en la figura
mencionada es generado por un irnan o electro­
imán, y la bobina está devanada s bre un cilindro
de hi rro que c nstituye el núcleo de dicha bobina.
El conjunto de bobina de cuadro y cilindro d
hierro es llamado inducido; da vueltas alrededor
de su eje 00' dentro del campo magnético genera­
do por el imán o i~1uctor debido a una fuerza ex­
terna ocasionada por medi os mecánicos, por va­
po , por turbinas de aire o de agua, etc. La anchu­
ra de la bobina es y y la longi tud es l.
El valor de la Le.m inducida puede calcularse
por las elocídades con que sus lados cortan a las
lí neas de fuerza del campo magnético.
Como podemos observar, los lados ab y cd son
los que cortan las lineas de fuerza del campo mag­
nético de inducción f3 cuando el cuadro está en
movimiento de rotación.
La r. e.m inducida en un conductor (ab , por
ejemplo) de longitud I en una posici6n cualquiera
de la bobina de cuadro (figura 3.5), es tá dada por
la expresi6n (22)
- - - 68- --­
Norrn..'l 1
al plano de
(3 = C ons ta nte
-- - - - - - VII
-1:...-a--
-- -
1
-7S,.~-, ;:;'-;:"- -~,,
'
v I - J-I
""
"
V.l
------+--- --
i
Eje()::)'
'
"
>< ~ \
~,
-----""'\---------
\
e = N(JAw sena_ _ _ _ _ _ _~-- (30)
\
..
\
y
J
--~~*
"
,
--------~------- --
"
~;- /
I
I.~
bo nilla de cuad ro
A..A'....~
Substituyendo (29) en (28) se obtiene (30)
~+
. \
\\
(29)
;X
1 ~ / _:~~-~: - :
~
\
Pero : Iy = A
área del plano del cuadro de la bobina
"
- "": - ~ - - - - ¿;.
y l 2 .= r
//
'/
(28)
/~
...........
Xl
r
I
-1-.. .
la bobina
e = N~/yw sena
/ e
r:=-'
-..
S;tid:; del-m~~mip_n :~; -- == -----­
Donde vemos que el modelo matemático de la
f. e.m inducida es la expresión (30), que aparece en
las terminales de una bobina de forma cualquiera
que ~ra alrededor de un eje perpendicular a un
campo magnético de inducción {J constante, y que
constituye un generador electromecánico, es decir,
un apara to que convierte la energfa mecánica en
energía eléctrica.
rOlacibn por medios mecánicos
Fig.3.5
e
= (J l v 1
Pero v1
_ _ _~--"--'-'-'----'~_ _ _ _
=
V
sena _ _ __ _ _ _-'---_
(22)
(23)
Substituyendo (23) en (22) obtenemos:
e = (J/v sena _ _-,--,-,-_ _ _ __ _
(24)
Pero v es la velocidad tangencial de los conduc­
tores de longitud I dentro del campo magnético, y
y /2 es el radio de la circunferencia q ue describen
en su m ov imiento rotacional, por lo q ue esta velo­
cidad se puede expresar en fu nción de la velocidad
a ngu lar , considerando un movimiento circular
uniforme, o ea:
v = wr = w .1: _ _ _ _ _ _ __ __
e = O
esto sig nifica que en el instante en que el plano de
a bobina es perpendicular al campo magnético, la
Le.m inducida es nula.
Así mismo, si O'
90°, entonces sen 90° = 1 y
función seno. Esto significa que en el instante en
que I plano de la bobina es paralelo al campo
magnético, la Le.m inducida alcanza su va lor má­
ximo, o sea:
Em.\.x
= N(JAw _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (31)
GRAFICA DE e
Subs tituyendo (31) en (30) obtenem os
velocidad a ngular co nsta nte
Substituyendo (25) en (24) se obtiene:
w =
a- - - - - -- - - (26)
La f. e.m inducida e en d os lados de longitud ( d
la bobina de cuadro, que son ab y cd, será:
y
e = 2(J/w 2" = senO' :.
=
e es máxima, porque I es el máximo valor de la
(25)
2
e = (J (w ~sen
OBSERVACIONES
De acuerdo con la expresión (30) observamos ·
que si a = 0°, entonces sen 0° = O Y
e = (J /yw sena
(27 )
La f.e .m inducida total en el número N de espi­
ras de la bobina de cuadro será:
e
=
Em áx
sena _ _ _ _ __ _ __ _ __ (32)
Como a es el desplazamie n to angula r d I movi­
mi ento de rotación de la bo bin a y w la veloc idad
a ngular, que es co nstante, entonces tendremo s
que:
a
=
wf
== 69 ====
_ _
_ _ _ __ __ _ _ __
(33)
Substituyendo (33) en (30) obtenemos:
Nf3Aw sen wt._ _ __ _ -----,-_ _ _
=
P
(34)
Substituyendo (33) en (32) obtenemos:
e =
f.m áx
w,_________--"-_
sen
(35)
La velocidad angular w se puede expresar en
función de la frecuenciaf, que es el número de re­
voluciones de la bobina en la unidad de tiempo.
w
2rrf _ _ _ _ __ _ __
=
~~
(36)
Substituyendo (36) en (34) obtenemos:
e
=
Nf3A2rrfsen 2rrft_ _ __ _ _ _ _ (37)
y si substituimos (36) en (32) obtenemos:
e
=
f.m áx
sen 2rrft _ _ _ _ _ _ __ _ _
(38)
3.3
(;) í
Orad
=
=
[ milx
sen wt
O"
O
rr/2 rad = 90°
rr rad = 180
l '
SC Il Co í
3rr/ 2 rad - 270°
2rr rad - 360"
O
1
O
0
~
1
O
AUTOINDUCCION
Al variar la intensidad de corriente eléctrica que
circula por un circuito, también varia el flujo mag­
nético que se produce en aquél. Por la ley de Fara­
day . es ta variación de fluj o magnético es la causa
de una Le.m inducida en el mismo circuito, moti­
vo por el cual se llama Le.m autoinducida.
Si la permeabilidad del circuito magnético es
constante, la f.e.m autoinducida es proporcional a
la variación de la intensidad de la corriente en la
unidad de tiempo.
La ecuación (35) se puede representar gráfica ­
mente, dándole valores al desplazamiento angular
de la bobina, como se ve en el tabulador siguiente:
e
Al obtener la gráfica de la figura 3.6 vemos que
resulta una senoide, y como en este caso es la for­
ma de variación de la f.e.m inducida, entonces de­
cimos que es alterna.
Se puede concluir que un generador de CA o
alternador es una máquina que transforma la
energía mecánica en energía eléctrica . Consta de
un inductor a base de imanes permanentes o de
electroimanes que generan un campo magnético, y
de un inducido que es un cilindro de hierro sobre
cuya superficie se enrollan unos conductores. Al
comuliicar al inducido un movimiento de rota­
ción, los conductores cortan líneas del flujo mag­
nético y se induce en ellos una Le. m alterna.
Si se quiere construir un generador de corriente
continua o dínamo, debe acudirse a un conmuta­
dor apropiado, de tal manera que conduzca al cir­
cuito exterior en un solo sentido, es decir, que en
las terminales del generador se obtenga una Le. m
aunque pulsante, siempre en un mismo sentido, o
sea, una Le.m inducida continua.
[ 111;1\
,
Matemáticamente se expresa :
O
-
Enl;:""
O
I
f.
au
a~
_
_ _._
_ __
_
_ _ _ (39)
dt
Para llegar a la igualdad se introduce una cons­
tante que es:
L = coeficiente de autoinducción o autoinduc­
ción del circuito.
Euu
Fil(. J.6
dl __ __ _
dt
=- L ­
~_
_
(40)
Tomando cantidades finita s de intensidad de
corriente y de tiempo, se obtiene:
==70====
_ L Al
M
.. L
(41)
Del m ismo mod o, será: i = 1mb sen
(jJ( _
(44)
Con base en esto, definamos:
Eau
(42)
Las exp resiones (41) y (42) son los modelos ma­
temáticos de la r.e.m autoinducida y del coeficien­
te de autoinducció n , respectivamente.
El signo menos de la ecuaci ó n (40) indica que la
f.e.m autoinducida se opone a la causa que la pro­
duce (ley de Lenz), o sea que se op one a la va­
riación de la corriente que la produce.
Se llama valor medio de un voltaje o de una in­
eosidad de corrien te alterna a la media algebraica
de sus valores instan táneos .
. Si tuviéramos un ciclo completo, o una serie de
ciclos de e o de i, observaríamos que la media alge­
braica, o sea, el valor medio de e o d e ; es cero,
pues las alternancias, que son los valores positivos
y negativos de u n ciclo, son iguales y p or lo tanto
se anulan unos a o tros. Es po r esta razón que para
calcular el valor medio de e o de i se toma única­
mente una alternancia, es decir, un semiciclo (ver
figura 3.7).
UNIDADES
Sistema M.K.S o S .I
[ !11ax
se mide en voltio (V)
Al se mide en A/s
E"/I
h
Al
=¡
entonces
L se mide en vol tio x s/ A
= hendos (Hy)
por definición l Hy = J V x 1s
lA
Definici6n ; La au toinduc ci ón de un ci rcuito es
de 1 Hy , cuando se induce en él una f.e .m. autoin­
ducida de 1 voltio al variar la intensidad de co­
rriente a razbn de lA /s.
En la prác ica se utiliza m uy a menudo el mil i­
henrio (mH y) y el micro-hen rio (;.¡Hy)
) mHy = 10'3 Hy
1 Hy
=
=
.103 mHy
l ¡.úfy
=
3.4
VALORES MEDIOS DE
VOLTAJE E INTENSIDAD DE
CORRIENTE ELECTRICA
EN C.A.
10-6 Hy
1 Hy
6
10 ¡.Jfy
Sabemos ya que los valores instantáneos de vol­
taje de C. A en u n alternad or o generador de C .A
son:
e
E máx
sen wt
_~
e
WI
_ __
_
_
_ (43)
I
- - - -
- -
-
Base - - - -
- - -
+-
Fig.3.7
Así que al considerar una iute nsidad de corrien­
te el valor medio tom ado de un semiciclo será:
¡,,( = ;1 +
Í2
+ iJ + .... + in
n
_ __
_
(45)
siendo n = número de va lores instantáneos to­
mados de un se miciclo.
El valor medio de la intensidad de corriente se
determina substituye ndo el área comprendida ba­
j o la cu rva del semiciclo, por la de un rectángulo
cuya área es el valor medio ele i por la base del se­
miciclo, o sea:
Area =
= = 71 = =
lM
x base _ _ _ _ __ _ __
(46)
pero base = n :. área
lvn
puede definirse el valor eficaz de la intensidad de
área
lv = - ---------­
(47)
11:
Para calcular el área se tomó una pequefia faja
del área bajo la curva del semiciclo, cuyo espesor
es dO y altura h; és te es un valor instantáneo de in­
tensidad de corriente. Asi tenemos:
h =
1mb
1mb
sen 8 d8
sen8 d8
1mb
(48)
1T
Integrando de O a 11 que es como varí a 8
en un semkiclo, obtenemos:
1
=
M
__
r
Jo
1mb
-
n
Tr/máx
sene d8
=
IOlé,
7r
C .C.
La cantidad de calor Q que desprende un cierto
valor de intensidad de
(1) al pasar por una re­
sistencia R durante un tiempo t cualquiera es:
Q = 0.2391 2 Rt _ _ _ __ ____ (51)
en cal (efecto Jou le)
Substituyendo en (47) se tiene:
dl =
v
Definición: Se llama valor eficaz de la CA al
valor de ésta que, al pasar por una resistencia,
desprende la misma cantidad de calor en el mismo
tiempo, que si por dicha resistencia pasará una
e.e
sen 8, por lo tanto, dicha área es:
d área = hd8 =
c.A.
Wl
r Tr sene d8
La misma cantidad de calor Q se desprende de
la misma resistencia R cuando la intensidad de
corriente i es de C. A , o sea:
Q = 0.239 ;2 R t_ _ _ _ _- - - - - (52)
Tomando el p ro medio de los cuadrados de los
valores instantáneos de C.A. obtenemos:
7r J o
rCOSe1Tr
l JO
.2
Q = O.239R t
1mb
1M = - - n
(COS
l
á
n- cos O) = - ~ (-- 1- 1)
1T
Ij
(
·2
+
1 2
·2
+
1]
n
+ .... +
(53)
Al igualar (51) con (53) se obtiene:
1 = 1el
2/ml"
1T
2
pero: -n
:. 0.239 1 2'1 Rt = 0 .239
= 0.636
' 1
••
1M
0.636 Irntu
_~~_ _ _ __
= 0.636
3.5
Emáx
i~+i~+i~+ ... +i~ I
="'\\
n
- - -
(54)
(49)
De! mismo modo resulta:
EM
ef
Rt~'2:"'·_+_i2-=-2_+_in~~_+_·_·_·
_1
+_i..:,:\)
_________
(50)
VALORES EFICACES DE
I NTENSIDAD DE CORRIENTE
Y DE VOLTAJE EN C.A.
Al comparar los efectos que producen dos in­
tensidades de corriente, una de C C y otra de C A,
Entonces matemáticamente expresamos I ef co­
mo : La raíz cuadrada del promedio de los cuadra­
dos de los valores instantáneos de C.A.
Si tomamos url ciclo completo, entonces n = 2rr,
y B variará de O a 2rr rad; por lo tanto:
1 . =
eJ
f
2n I ~ll';x sen 1 Bde
2rr
o
I
~ /f
Y
= = 7 2 ==
---------~
mb
2rr
( 2n
Jo
sen 2 Bde _ _ _ _ _ (55)
I~r
Vf
1má.
=
2n
pero sen 2 e
~r=
I
sen 2 ede
- - --
3.6
(56)
o
=.1..._1... cos 2e :.
2
I
2n
- '-
2
J..2rr} .2n(J.2. _1..2 cos 2e)
máx
de
o
lel
=
I
1m
J <1 = J
J"
=
~
r(
de
m
\1 :2rr~o
Trr-¡ ~]:"
máx
2
­ 1 21.
o
Matemáticamente expresamos:
_1 cos
2
~ sen 2e] :"
2e del
¡
J
E2
a_d1
_ _1
- - -- - - - - --
- --
Para llegar a la igualdad se introduce una cons­
tante que es:
= coeficiente de inducción mutua o inducción
mutua del sistema.
sen 4n + sen O)
n­
dll
pero sen 4rr
=
:. le¡=
V1
O Y sen O
I
1mb
2 rr (rr)
1mb.
. pero
V 2 ' :.
1
VT'
lel
M---;¡¡
O
1
lel
=
(60)
Tomando valores finitos de intensidad de
corriente y de tiempo, se obtiene:
I
1
=
(59)
dt
~¿[0n z°Hen 2 x 2n = sen 2 x o)]' M
}.bVi(
INDUCCION MUTUA
Al variar la corriente que circula por el primario
de un a coplamiento, se índuce una f. e.m en el se­
cundario por el que pasa parte del fluj o magnético
del primario (flujo magnético mutuo). La f.e.m
inducida en el secundario, es proporcional a la va­
riación de corriente en el primario en la unidad de
tiempo.
E2
lmáxy-!1
=-
M2 _ _ _~_ _ _ __
(61)
M-¡;¡­
= 0.7071
=
0.7071
Análogamente se obtiene
0.7071
Emáx
(62)
lmáx _ _ _ _ _ _ (57)
Las expresiones (61) y (62) son los modelos ma­
temáticos respectivos de la f. e. ro {f~ .y del coeficien­
.
te de inducción mutua (M)
- - - - - - - - - - - - ~~
Nota: Cuando se da un valor de voltaje o de
intensidad de corriente en C.A, si no se da la espe­
cificación, se entenderá que ese es el valor eficaz.
Cuando se usan voltímetros y amperimetros pa­
ra medir C.A, las lecturas obtenidas son los valo­
res eficaces de voltaje y de intensidad de corriente.
UNIDADES
Sistema M.K.S o S.l
Al igual que el coeficiente de autoinducción (L),
el coeficiente de inducción mutua M se mide en
henrios (Hy)
--73--­
3. 7
ENE RGIA DE L CAMPO
MAGNETICO
La energía del campo magnético se define como
el producto del coeficiente de autoinducción en un
circuito. por la intensidad de corriente e/evada a/
cuadro que circula por él..
Substitución y operaciones
Wb
E¡
=0.8 - -2 x 3 X lO'! m x 5 x lO,!..!!L.
m
E¡
s
= 12
X
10- Wb l s
E¡
=
0.1 2 voltios
2
Resultado
Modelo matemátic
.
W =J.
2
¡ f - -- -- - - - - - (63)
UNIDADES
Sistema M .K.S o S.I
Datos
Cuand o L se mide en H y e [ se mide en A , en­
tonces W resulta en julios .
Operaciones con las unidades para obtener ju­
lios
V·S
si L en H y - - - ­
A
[2
2) Una bobina de 50 espiras tarda 0.02 s en pasar
entre los polos de un imán, desde un lugar en
donde el flujo magnético vale 3 x lO-s Wb
hasta otro e~ el que dicho flujo vale lO-s Wb.
Calcu lar el valor medio de la f.e . m inducida
en la bobina .
en A 2
2
Y Weo Hy . A
N = 50 espiras
t =0.02 s
~¡ =3 X 10'\ Wb
~f = lO-s Wb
E¡ =?
(64)
(65)
(66)
Substituyendo (64) Y (65) e n (66) se obtiene:
V· S
J e
2
Wen ~ x A
= VAS =C SS = julio
Substitución y operaciones
lO-s Wb- 3 x 10-1 Wb
E¡ = - 50
0.02 s
- 2
E¡
= - 50
50 x lO'
Datos
1 = 30 cm = 3 x lO'! m
f3 =0.8 To Wb l m 2
v =50 cml s = 5 x lO" m i s
E¡
=?
Fórmula
B
E¡
10-\ Wb
2 x 10'2
W se mide en julios.
Problemas resueltos
1) Una barra de cobre de 30 cm de iongiLud es
perpendicular a un campo magnético de in"
ducción 0.8 T y se mueve dentro del campo
con una velocidad de 50 cml s. Hallar la f. e. m
inducida en la barra,
X
=
S
S
2
Wb
x 10 - ­
s
0.05 voltios
Resultado
3) Una bobina de 20 espiras y 400 cm 2 de área gi­
ra a velocidad angular constante de 30 radl s
con respecto a su eje, cuando su plano es pa­
ralelo y a u n campo magnético de inducci6n
igual a 0.3 T. Hallar la f. e.m inducida alterna
en la bobina, en ese instante.
Datos
= 20 espira~
=400 cm 2 = 4 x 10'2 m 2
==74-­
w = 30 radl s
2
f3 =0 .3 T o Wb l m
a =90 0
e =?
-
Fórmula
( e = Nf3Aw sen a
~ a =90 0
debido a que el plano de la bobina es paraielo al
campo magnético.
5)
Substitución y operaciones
e = 20 x 3 x 10
_\ Wb
2
rrl x 4 x 10- m 2
rad
x 30-- x sen 90°
s
e = 7200 x 10-) x 1
Wb
x m2 x ­
1
s
6)
Wb
e =7 .2 - ­
s
7.2 voltios
e
Resultado
7)
Problemas propuestos
\) Un tren se mueve hacia el Sur con una veloci­
dad de 10 mi s. Sabiendo que la componente
vertical de la inducción del campo magnético
de la Tierra es de 5.4 x 10-5 T, hallar la f.e.m
inducida en el eje de un vagón de 1.2 m de lon­
gitud.
2) Una bobina de 40 espiras pasa por los polos
de un imán en un tiempo de 0.004 s, inducién­
dose en ella una f.e.m de 8 voltios. Calcular el
flujo magnético que la atraviesa en el instante
de terminar su movimiento, si partió de un
lugar en donde éste vale 5 x 10-4 webers _
3) Calcular la f.e .m inducida máxima alterna
que se mide en las terminales de un generador,
cuya bobina rectangular consta de 100 espi­
ras, con dimensiones de 10 cm de largo por
. 5 cm de ancho, girando a 50 radls en el inte­
rior de un campo magnético uniforme de in­
ducción 0.003 T.
4) Una bobina de 550 espiras con una resistencia
de 10 tiene una área de sección transversal
º
8)
9)
10)
circular de 25 cn? y es atravesada perpendicu­
larmente por un campo magnético, cuya den­
sidad de flujo es de 0. 81 T, el cual, al cabo de
3 s cambia a otra región en donde la densidad
de flujo magnético es de 1.25 T. Determinar:
a) Los flujos magnéticos inicial y fi nal.
b) La fuerza electromotriz inducida en las ter­
m inales de la bobina .
c) Si esta bobi na se conecta en serie con una
resistencia de 20 Q,¿cuál es la in tensidad de
la corriente inducida en ella?
Um: b obina de 200 espiras y una resistencia de
6
es atravesada por un campo magnético
que induce en dicha bobina una fu erza elec­
trom otriz de 35 voltios cuando el flujo magné­
tico cambia de 2 x 10-3 webers a 10-4 webers.
Deter mi nar:
a) E l ti mpo transcurrido para la variación
del flujo magnético.
b) La intensidad de la corriente inducida en la
bobina.
Dete rminar el número de
eltas que debe
tener una bobina circular: cuyo plano tiene
2
una área circular de 15 cm , a la cual se in tro­
duce un imá n que induce una fue rza electro­
motriz de 5 vo ltios, deb ido a que la densidad
de flujo magnético varí a de 1. 5 x 10 gauss a
4.5 x 103 ga uss en 0.007 minu tos.
Cua ndo en u na bobina de 275 espiras circu l::t­
res se mueve un imán d urante 0.009 mi nutos,
aparece en las terminales de la bobi na una di­
ferencia de potencial de 50 voltios . Determi­
nar la variaci ón del fl ujo magnético durante
ese tiempo.
Un conductor recto de 10 cm de longitud se
mueve perpend icularmente a un campo mag­
nétic o uniforme, cuyo fl ujo es de 8 X 10-5 we­
bers. producido por d os piezas polares de
4 cm 2 de área. Si la rapidez con que se mueve
el conductor es de 25 m is, determinar la dife­
rencia del potencial med ida en los extremos
del co nduct or.
De term inar el coeficiente de autoinduccibn de
una b obina, si la corrie nte que circula por ella
varí a a razón de 32 A Is . La fuerza electromo­
triz que induc es de 8 voltios .
Determi nar la autoinduccibn de una bobina
de 500 espiras sa biendo que al circular por ella
una corriente de 2.5 a mperes de intensidad se
genera un flujo magnético de 1.4 x 10-4 we­
bers.
º
==75==
11) La inductancia mutua entre el primario y el
secundario de un transformador es de 0.3 hen­
rios. Detenninar la fuerza electromotriz ind u­
cida en el secundario, cuando la intensidad d e
la corriente del primario varia a razón d e
4Als.
12) Determinar la energía del campo magnético
de una bobina de 0.48 henrios de autoinduc­
ción, por la cual circula una corrien te de S am­
peres de intensidad.
3.8
EL TRANSFORMADOR.
DESCRI PCION ,
FUNCIONAMIENTO Y
UTILIDAD
El transfonnador es un dis positivo que permite
obtener voltajes mayores o menores que los pro­
ducidos por una fuente de energía eléctrica de co­
rriente alterna (C.A).
Su funcionamiento está basado en la ley de in­
ducción de Faraday.
En la práctica, un transformador se compone de
dos enrollamientos o embobinados eléctricamente
aislados entre sí, devanados sobre el mismo núcleo
de hierro (ver figura '3 .8.). Aunque en muchas oca­
siones un transfprmador tiene núcleo de aire.
~
= flujo mutuo , '
NI
Flujo ligado
al primario
Fig.3.8
Fig.3.9
" Flujo
ligado
al secu odano
Una corriente alterna que circula por uno de lo
devanados genera en el núcleo un campo magnéti­
co alterno, del cual la mayor parte atraviesa al
otro devanado e induce en él una fuerza electro­
motriz también alterna.
La potencia eléctrica es transferida así de w) de­
vanado a otro, por medio del flujo magnético a
través del núcleo.
El devanado al cual se le suministra potencia se
llama primario, y el que cede potencia se llama se­
cundario. En la práctica, cualquiera de los deva­
nados puede utilizarse como primario. El simboJo
del transformador con núcleo de hierro se muestra
en la figura 3,9.
En cualquier transformador, no todas las lineas
de flujo están enteramente en el hierro, porque al­
gunas de ellas vuelven a través del aire. La parte de
flujo que atraviesa al primario y al secundario es
la lIamadaj7¡ljo mutuo; la parte que sólo atraviesa
al primario es el flujo ligado al primario y la que
atraviesa sólo al secundario, se le l1ama flujo liga­
do al secundario,
La potencia eléctrica obtenida (potencia de sali­
da) en el transformador es siempre menor a la po­
tencia de entrada o suministrada al mismo, debid o
a las inevitables pérdidas por calentaQliento en el
primario y secundario, mismas que se denominan
perdidas del cobre, y a otro tipo de pérdidas oca­
sionadas por las corrientes de Foucoult en el hierro
y por histérisis.
La histérisis es el fenómeno que presentan los
materiales ferromagnéticos utilizados como nú­
cleos de los embobinados, pues cuando el campo
magnético producido por las corrientes circulantes
en estos embobinados cesa, la imantación adquiri­
da por el núcleo no se elimina totalmente, sino qu e
permanece cierto magnetismo residua l, llamado
magnetismo remanente, el cual produce un campo
magnético perjudicial, ya que se opone a las varia­
ciones de flujo magnético, lo cual ocasiona que el
núcleo se caliente y existan pérdidas de energía
eléctrica en calor, por tal razón este tipo de pérdi­
das son conocidas como pérdidas en el núcleo.
Las pérdidas del cobre so n muy diflciles de eli­
minar; sin embargo se reducen al mínimo utilizan­
do el calibre de alambre adecuado, Las pérdidas
en el núcleo se reducen al mínimo utilizando u n
hierro que tenga un ciclo de hi térisis bastante
estrecho , y las corrientes de Foucault se reduce n
también al mínimo, utilizando un núcleo laminado.
= = 76 =
3.8.1
EL TRANSFORMADOR IDEAL
Un transformador ideal es aquel en el cual no
hay pérdidas ni fugas de flujo magnético, obte­
niéndose, por lo tanto, que la potencia de salida
sea igual a la potencia de entrada, es decir, que
tenga un rendimiento del 100070 .
•
Supongamos que el transformador de la figura
3.8 es ideal, entonces, al conectar el primario a
una fuente de alimentación alterna con una f.e. m
El ,circ !ará por éste una corriente eléctrica alter­
na que producirá un campo magnético en el nú­
ele , también alterno, cuyo flujo es +1 • Conside­
rand este caso ideal, todo flujo que atraviesa al
nrollamiento primario también atravesará al en·
rollarnien o secundario, como +1 varía con el
tiempo por ser alterno, inducirá en el secundario
una f. e.m también alterna, dada por la ley de Fa­
raday:
N2 __
d~_1 _~_--=-=--_" __ _ __
(67)
di
__ _ _ _ (72)
siendo A l = área de la sección recta del núcleo del
primario del transformador.
Dividiendo miembro a miembro las expresiones
(72) y (71) obtenemos:
= _N_I_
A_I _ __ _ ----'_ ___ _ _ (73)
( 1
N2A2
E2
Esta ecua.ción es el modelo matemático general
del transformador ideal en función de las f.e.m in­
ducidas, que en este caso son iguales a los voltajes
medios medidos en las terminales del transforma­
dor, o sea:
~.,¿;~ ==:x:::::IYI!!I!!!!!!!!!!!!I-_ _ _
(74)
(68)
siendo NI = número de vueltas del p imario.
Pero en este caso de un transformad r ideal, tenemo que:
!l/ ¡ --d+ -1
( 1
cun
:. ~
..
! ' "• •
------l==~....I,IIlX,jI---'JJJl1Ue~---'-~-----.;...=-=--==::.,l
dI
por otro lado, por definición:
+=
s que en todo transfo
dor ideal la po­
. . el primario es igual a la potencia en el se­
io-"
, .. que:
{3
A
(70)
{JA
Substituyendo se obtiene:
entonces, según la expresión (67) obtenemos:
[ V'l' = V,¡, ]
siendo:
siendo A 2 = área de la sección recta del núcleo del
secundario del tra nsfonnador
y según la expresión (69) se obtiene:
J¡ la
el
h la
el
-- - 7 7 ======
intensidad de la corriente circulando en
primario.
intensidad de la corriente circulando en
secundario.
·_
_ _ _ (75)
Simbólicamente se representa por la letra griega
r¡ (eta).
donde vemos por esta expresión, que los voltajes
son inversamente proporcionales a las intensida­
des de corriente eléctrica.
Substituyendo (73) en (75) se obtiene:
( 76)
Como en cualquier transformador, la potencia
de salida siempre es menor que la potencia de
entrada, por lo cual esUi relación resulta ser siem­
pre un número decimal, y para el caso del trans­
formador ideal es l. El resultado de este cociente
se multiplica por 100 y obtenemos el rendimiento
para fines prácticos, en tanto por ciento (lIJo).
Modelo matemático:
P2 x 100 - ---,-.-- - ­
r¡ = - -
esta expresión ( 76) es el m delo matemático gene­
ral del transformador ideal en fun ión de las in­
tensidades de corriente eléctrica .
CASOS PARTICULARES
1. C ua ndo N, = N2 Y Al
de (74)
de (76)
VI
Al
Vz
A2
h
/1
--= -
;é
A2 se tiene:
•
Al
­
A2
2. C ua ndoA I
de (74)
de (76)
OBSERV ACIONES
Cuand o VI < V2 se tiene el ca~o de un trans­
formador elevador.
Cuando VI > V2 se tiene el caso de un trans­
formador reductor.
3.8.2
REN DIMIENTO
Definici6n: El rendimiento de un transforma­
dOl es la relación que existe entre la potencia de
entrada y la potencia de salida.
%
_ (77)
PI
3.8.3 TRANSFERENCIA DE ENERGIA
EN UN TRANSFORMADOR
Al apl icar El en el primario, existe una circula­
ción de corriente eléctrica /1 en este mismo deva­
nado, que produce el flujo magnético ~I variable
con el tiempo y aplicado al secundario del trans­
formador a través del núcleo. Como ~ I es alterno
y varía con el tiempo, induce en el secundario una
f.e.m. E2 al conectar una carga al embobinado se­
cundario, circulará por éste una corriente inducida
/2 con un sentido tal que se opone a la causa que la
produce (ley de Lenz), es decir, que también pro­
ducirá un flujo magnético ~2 en el secundado, así
mismo es variable con el tiempo, de sentido tal que
se opone a las variaciones del flujo del primario
d~1 Idt, dando lugar que la fuerza contraelectro­
motriz ( 1 autoinducida por d~ II dt en el primario
se debiliie tanto, que permite que (1 actúe más
libremente, aumentando la intensidad de corriente
I I . Por lo tanto, la potencia consumida en la carga
del secundario será igual a la diferencia entre la
potencia suministrada al primario (1 I I menos la
potencia disipada en calor j2 R (efecto o ley de
Joule) en los embobinados primario y secundario,
menos las pérdidas de potencia por corriente de
Foucault y por ciclo de histérisis .
Problemas resueltos
1) Calcular el númcro de espiras del secundario
de un transformador ideal utilizado para ele­
var la tensión de 120 Va 1800 V, sabiendo que
el primario consta de 100 espiras .
Datos
/,·h =?
==78==
= 120 V
= 1800 V
= 100 espiras
VI
V2
NI
3) La intensidad de la corriente en el secundario
de u n transformador conectado a una línea de
2500 V es de 80 A. Sabiendo que la relación
entre el número de espiras del primario al se­
cu ndario es de 20: 1 y suponiendo un rendi­
miento del 100% , hallar la tensión V 2 en el se­
cundario, la in tensidad de la corriente en el
primario y la potencia de salida.
Fórmula
-VVI --NI
-N:
2
Despeje
N
Datos
_ NI V2
2
VI
-
=2500 V
=80A
N I / N 2 = 20/1
r¡
= 100%
a) V2 = ?
b) JI = ?
c) P2 = ?
VI
h
Substitución y operaciones
100 x 1800 V
120 V
180000 V
120 V
N2
1500
= 1500 espiras
Resultado
2) La intensidad de la corriente en el secu ndario
de un transformador uti lizado para elevar la
tensión de 120 Va 900 Ves de 2 A. Suponien­
do un rendimiento del 1000/0, calcular la in­
tensidad de la corriente en el primario.
Fórmuias
VI
NI
a)--= ­
V2
/1/2
Datos
VI = 120 V
V2 =900 V
h =2A
f¡
= 100070
JI
=?
Fórmula
V2
JI
Substitución y operaciones
2500 JI
Despeje
V212
JI
a) V2
b) JI
c) P2
1800 A
- '----
20
­
=
P2
JI
2500 V
20
=-­
VI
Substitución y operaciones
900 V x L. A
120 V
JI
= - 20
=
15 A
Resultado
o
P2 =
= = 79 ==
80A
80A
20
1
20
V2
=
125 V
Resultado
4A
Resultado
125 V x 80 A
= 10,000 vatios
IOKw
Resultado
Problemes propuestos
1) H a llar el número de espira que debe tener el
primario de un transformador acoplado a una
lí nea de 2200 V para que la tensión en el se­
cundario, de 25 espiras, sea 110 V.
2) La tensión del primario de un transformad or
es de 1650 V y la del secundario 110 V. Sa­
biendo que la intensidad de la corriente en el
secundario es de 45 A, calcular la intensidad
de la corriente en el primario, suponiendo que
el rendimiento es del 1000'/0.
3) La tensión en el primario de un transforma­
dor es de 100 V Y la intensidad de la corriente
del secundario de 2 A. Sabiendo que la rela­
ción entre el número de espiras del primario al
secundario es de 1:25, hallar:
a) La tensión en el secundario.
b) La intensidad de la corriente en el prima­
rio.
e) La potencia de salida del transformador.
El rendimiento es del 100%.
4) Un t ansformador tiene 1500 vueltas en el pri­
mario y 43 en el secundario. Determinar la
fuerza electromotriz que se obtiene en el se­
cundario, cuando el primario es conectado a
una fuente que proporciona 125 VCA .
S) El primario de un transformador elevador
tiene 50 vueltas, su secundario tiene 1500 vuel­
tas. El primario se conecta a un generador de
corriente alterna que proporciona 120 voltios.
Determinar:
a) La tensión en el secunda:io.
b) La intensidad de corriente que fluye en el
secundario, sabiendo que en el primario
fluyen 90 amperios.
c) La potencia entr~gada al primario y la que
da el secundario.
6) Un transformador ideal tiene 300 espiras en su
pri mario y 90,000 en el secundario. La tensibn
del generador al cual se conecta dicho trans­
form ador es de 60 VCA . Determinar:
a) La tensión en el secundario.
7)
8)
9)
10)
b) Si la corriente que fluye por el primario es
de 150 amperios de intensidad, ¿cuál es la
intensidad de la corriente que fluye por el
secundario?
Un transformador ideal se conecta a una
fuente alterna que produce 120 voltios y 100
amperios. La relación de vueltas de secunda­
rio a primario es de 1000 a l.
a) ¿Cuál es el voltaje en el secundario?
b) ¿Cuál es la intensidad de corriente que flu­
ye en el secundario?
c) ¿Cuál es la potencia de entrada y cuál la de
la salida si el rendimiento del transforma­
dor es del 100070?
Un transformador ideal elevador está cons­
truido con 80 vueltas en el primario y 1200 en
su secundario. El transformador se conecta
con su primario a una fuente de C.A de 120
voltios y SO amperios
a) ¿Cuál es la tensión medida en el secunda­
rio"?
b) ¿ Cuál es la intensidad de la corriente que
fluye en el circuito conectado en el secun­
dario?
c) ¿ Cuál es la potencia de salida y de entrada
del transformador?
El embobinad o de un transformador tiene
3 x 102 espiras, y está conectado a una fuente
alterna de 150 voltios. Determinar el número
de espira:; del secundario para cuando en el
embobinado se midan:
a) 900 V
b) 270 V
c) 12.5 Vy
d) 6 V
Un transformador de bajada es utilizado para
reducir una tensión alterna de 10 000 a 500
voltios. ¿Cuál debe de ser la relación de vuel­
tas del secundario al primario?
Si la intensidad de corriente del primario es de
I am perio y el rendimiento del transformador
es del 100070, ¿ cuál es la intensidad de corrien­
te en la salida del transformador?
= =80- - ­
UNIDAD 4
r·ncip·os de
-oy·mlent
o du at r·o, de so ido
y de óptica
CONCEPTO DE MOVIMIENTO
ONDULATORIO
El movimiento ondulatorio es producido por
generadores o fuentes de onda que son aquellos
aparatos que provocan perturbaciones al espacio
que los rodea y que son del tip o de m ovim iento ar­
mónico simple.
1\
INTRODUCC ION
i
Cuando un cuerpo está vibrando u oscilando, es
decir, cuando las vibraciones u oscilaciones se es­
tán realizando hacia une u otro lado de su pos i­
ción de equilibrio provoca movimiento o ndulato­
rio en espacio que lo rodea. Un ejemplo m uy co­
mún de estos tipos de movimiento es el que ad­
quiere una lámina de acero cuando la fi jamos por
uno de sus eXtremos y por ei otro le aplicamos una
fuerza para desplazarla de su posición de equi li­
brio, y después soltarla (ver figura 4.1)
~~ Pos i ció o
"\ \
: r7I
\ \
I
\
I
\
\
\
I
I
I
I
I
I
de equ lTb
.
I no
\
I
/
¡
/
/
\
\
\
\
\
-~ ~-~¡-
Posición
de equilib rio '/v
Fig.4.2
-­
Hg. 4.3
Otros ejemplos de movimiento armónico simple
que producen movimientos ondulatorios, son el
movimiento oscilatorio de un péndulo mostrado
en la figura 4.2, y el movimiento vibratorio de l!O
resorte (ver figura 4.3.). También son generadores
de ondas, cuerdas vibrantes, tambores, campanas,
diapasones, el Sol, focos, bocinas, etcétera.
Fig.4.1
= = 81 = =
4.1
ONDAS
Definición: Onda es una perturbaci6n que se
produce en un medio cualquiera y que se propaga .
Las vibraciones mecánicas que producen las
fuentes o generadores de ondas, son comunicadas
al medio material que los rodea en forma de on­
das, ya que al desplazarse la energía, da lugar a
que las partículas de dicho medio adquieran un
movimiento del mismo tipo que el de las fuentes o
generadores.
Las ondas electromagnéticas no son del tipo me­
cánico, sino que se originan por variaciones alter­
nadas de los campos eléctricos y magnéticos, es
decir, que ambos se sirven de medios para la pro­
pagaci6n y es por ello que se propagan también en
el vacío. Como ejemplos de propagaci6n de enero
gía electromagnética podemos mencionar las ra­
diaciones de luz; calor, ondas de radio y T . V, mi­
croondas, etcétera.
4.1.1
+ sen
ti
- sen wl
Fig.4.4
En la figura 4.4 obtenemos una senoide al gra­
ncar una vuelta completa de la partícula con
MCU, tomando los siguientes puntos del despla­
zamiento angular:
RECEPTORES DE ONDAS
0°
A los receptores de ondas los podemos clasificar
45°
como sigue:
Oído humano o animal:
Recibe las ondas me­
90°
cánicas.
Antenas: Reciben la~ ondas electromagnéticas
del tipo de radio, ·T. V Y microondas.
135°
180°
Cuerpos orgánicos e inorgánicos: Reciben on­
das electromagnéticas del tipo luminoso y de ca­
lor.
225°
270°
4.1.2
ELEMENTOS FUNDAMENTALES
DE UNA ONDA
Supongamos una partícula con movimiento cir­
cular uniforme. Si proyectamos este movimiento
en el diámetro de la circunferencia que describe,
obtendremos un movimiento rectilíneo de acelera­
ción variable, que no es sino un movimiento arm6­
nico simple. Si graficamos este movimiento par­
tiendo de un desplazamiento angular igual a 0° 6
O rad hasta 360° 6 2rr rad, es decir, graficamos una
vuelta completa de la partícula, obtendremos una
senoide; si continuamos graficando más vueltas
completas obtendremos una producci6n sucesiva
de senoides, y como cada senoide es una onda
completa obtendremos una producci6n sucesiva
de ondas, que comúnmente se llama tren de on­
das.
wl
315°
360°
Orad
rr rad
==­
4
rr rad
2
3rr rad
4
== rr rad
5rr rad
= -­
4
3n rad
==
-2
-
7n rad
rad
2rr rad
En la senoide u onda completa de la figura men­
cionada podemos observar los elementos funda­
mentales de una onda.
Ciclo: Gráfica correspondiente de 0° a 360° 6
de O rad a 2rr rad.
Semiciclo o alternancia: Gráfica correspondien­
te de 0° a 180 0 ó de O rad a rr rad, o también de
1800 a 360 0 ó de rr a 2rr rad.
Frecuencia: El número de ciclos producido en
un segundo, en u~ MCU es el número de revolu­
ciones en ese mismo lapso. En un movimiento os­
cilatorio, es el número de oscilaciones por segun­
==82===
do, yen un movimiento vibratorio es el número de
vibraciones por ~egundo. De acuerdo con el S.I se
mide en herlz (Hz ).
1Hz = lc/ s = lrev/ s = 10sc/s = 1vib / s;
6
1 kHz = leY Hz ; 1M Hz = 10 Hz
en:
Período
Es el tiempo que m pl ea una par­
dcula con ÑfCU en da r una vuelta com pleta o en
producir un ciclo. Se mide en s.
La f recuencia y el period o son recíproc::>s:
L
f
= 1/ t :. T = i / f
]
Lo an teri or significa que sif = 60 e/s emonces
T= l/ 60s y sif = ¡nO e/s entone. T= 205.
Cresta(C): Los puntos más distantes de la linea
de equilibri o hacia el lado positiv de la onda.
Valle (V): P u n t s más distantes de la línea de
equilibrio hacia el lado nega tivo de la onda.
Elongación (e): Distan ia perpendicular de un
punto de la onda a la lí nea de equilibrio.
Ampli tud (A ): Máxima elongación, es decir,
la dis tancia perpend icular d e la linea de q uilibrio
a la ere ta o al va lle de ' na nda.
Nodo (N): Puntos donde la onda cruz
nea de eq uilibrio .
Longitud de onda (Á): Distanci a en e
crestas entre dos valles onsecu ti os. T a
la distan cia entre tres nodos consec tiv os .•
Rapidez de propagación (v): Es el codente d e
la distanci total recorrida, entre el tieni' o em­
pleado en recOlr r dicha dis tancia.
1
' "
4.1.3
MOVIMIENTO ONDULATORIO EN
UN MEDIO MATERIAL
Definición: Mov imiemo ondulatorio en un
medio materia! es el movim.iento que adquiere un
medio elástico para trans portar energía de un pun­
to a otro, sin que dicho medio se desplace.
Este tipo de movimiento consta en realidad de
movimientos simultáneos : Un movimiento de
las partículas del medio, que es del tipo de movi­
miento a rmónico si mple, y un movimiento del des­
plazamiento de la energía, qu e es del tipo de movi­
miento rectili neo uniforme . Ejemplos son las or.­
das en el agua, ondas sonoras en el aire, etcétera.
Q OS
4.1.4
MOVIMIENTO ONDULATORIO EN
EL VACIO
Nos referimos a la propagaciÓn de la energía
electrom agnética en ausencia de medios mate­
riales. C om o mencionamos anteriormente, es la
pr pagación al ternada de la energía eléctrica y de
la energía magnética, donde a mbos campos (eléc­
trico y magnético) se sirven mu tuamente de me­
dios, con la única condición de que a mbos varíen
<;00 el tiempo. Podemos citar como ejemplos OD­
a ultrlños
.
.
, mlcroon-
, tJp
LA,SIFICACION GE 'ERAL
(MOVIMIENTO !
OUt TORIO
~ ,i)i
---:p::=~~~~~~~~~;!~~~J
v = d/! constante
mi s; cm /s; k m/h; etc' tera ;
tt
como v= constante, entonces se p ede defirur
~~c
· C<o)imñOo--~~~~~~!-llQ..¡Wlm!}liiliJ?]~~~
el cociente entre la longitud de onda y el período.
v=
,VI' t(,/s
com o 1/1' = f'· v = A{
4.2. 1
Nota: La rapidez de propagación de u na onda
varia según sea el medio en donde se propague la
onda.
Son a quellas en que la vibración del medio y ia
propagaci6n de la o nda prod ucida tienen la misma
dirección, es decir , que la perturbación producida
y la propagació n de la onda son paralelas.
Como ejemplo véase la figura '.l.S, d onde hay
== 83 - -­
ONDAS LONGITU DINALES
colocadas en una superficie lisa y horizontal, 6 bo­
las de billar numeradas del 2 a l 7. Si a la bola 2 . e
le produce una perturbación por medi o de la bola
1 que es lanzada con una velocidad v, dicha per­
turbación se transmitirá a la bola 3, de la 3 a la 4,
de la 4 a la 5 y asi sucesivamente hasta la boJa 7
que, como no tiene a quién comunicar la energía
recibida, sale disparada con la misma velocidad v.
Obsérvese que la perturbación producida y la pro­
pagación de la onda generada están en la mi ma
dirección, es decir, son paralelas.
RAPIDEZ DE P R O PAGACION DE UNA
ONDA LO GITUDINAL
La velocidad de p ropagación de una onda longi­
tudinal depende de la elasticidad y de la densidad
del medio, como una onda mecánica longitudinal
se propaga en cualquier medio elástico, sea sólido;
líquido o gas; entonces tenemos que en sólidos:
v=J ~
y =
I~IV
V
I~
I
módulo
de Young
esfuerzo longitudin a l (E L)
deformaci6n unit. long. (DI)
-~.J
F
Perturbación Propagación
~0):~,.
PeroEL = - y
A
Pert u rbaciónj
Propagaci ón
tJ.1
tll = 1- lo
lo '
DI = -
'
Flo
y
AAI
fig.4.5
Otro ejemplo es la perturbación producida a un
resorte tenso, estIrado en un de. u pu n
y des­
pués soltando bruscamente, produciéndose u na
compresión en los anillos del resorle, que se va
propagando por medio de expansiones y compreIOnes de dIchos anillos, en la misma dirección de
la longitud del resorte (ver figma 4.6 ).
Q
= densidad del sólido = M
V
en iíquidos:
módulo de compresibilidad.
es fue rzo volumétrico (E v)
de formación volumétrica (Dv)
= Ap Y D v _ AV
pero E"
Vo
",.
Perturbación Prop,l f!ación
2
f3 - Ap Vo en N / rn o dinas/ cm
- --xv
figA.6
Un ejemplo más son las onda sísmicas que pro­
ducen movlmientos trepidatorios, es decir, com­
preSlOnes y rarefaccione en la correza terrestr .
En el caso de las ondas longitudinale, las
compr siom:s s . n las re!>tas de la onda y la. ex ­
ran\iones o rare facciones SOI1 los valles. La di s­
tancia entre Jo:; compresione consecu ti 'as es la
longitud de onda, así como la dis tancia entre dos
expansione consecutivas.
Q
=
densidad del líquido
=
M
V
en gases:
v=
ff
calor específico relativo .
= = 84 ==
2
y
calor específico del gas a p constante
calor específico del ga s a volumen constante
p
presi 6n del gas.
densidad del gas.
En el caso de gases monoat6micos , y
para el a ire o gases diatómicos y = 1.4
4.2.2
1.67 Y
ONDAS TRANSVERSA LES
Son aquellas en que la perturbación pr ducida
en el medio y la propagación de la Dnd a generada
son perpendiculares entre sí.
Supongamos que el extremo lejano de un cable
está atado a un poste, como se muestra en la figura
4.7, y que el otro extremo se sujeta co n la mano,
después se le da una sacudida brusca hacia arri ba.
Esta perturbación se propaga hasta el poste, y es
posible que regrese hasta la mano del observador.
Si producimos varios movimientos hacia arri ba y
hacia a bajo, veremos que la s ondas producidas
viajan hacia arriba y hacia abajo, en forma se­
noida] y que avanzan perpendicularme nte con res­
pecto a las perturbaciones producidas. Esta pro­
ducció n sucesiva de ondas es llamada tren de on­
das.
Perturbación
~
h_____ '
/
Perturbación
-.
"
Propagación
, ~,-
,/
.
','1
,- ...
't_._J_ ' \
Propagación
Otro tipo de ondas transversales son las produ­
cidas en la superficie de los liquidos, Al arrojar
una pi dra producimos una perturbación perpen­
icular a la superficie de dicho líquido, generando
ondas cuyo frente tiene forma de circulas concén­
tricos, cuyo cenlro es el sitio donde hizo impacto
la piedra . Estos círculos se propagan leJOS del
centro con un radio de curvatura cada vez mayor,
hasta que debido a la fricción desaparecen. Tam­
bién podemos citar como ejemplo de ondas trans­
versales a las de la luz, pues aunque no son me á­
nicas, sí son electromagnéticas, es decir . que tales
ondas están formadas por ondas eléctricas y mag­
néticas que se propagan perpendiculares entre sí.
Un ejemplo más son las ondas sísmicas que produ ·
cen movimientos oscilatorio, .
Ondas lineales o unidimen ­
sionales (l dimensión)
Clasificación
de las ondas
transver ales o
longitudinales
según el tipo
de propagación
Ondas planas o bidimens io­
nales (2 dimensiones)
Ondas espaci a es o lridi­
mens ionale (3
dimen siones)
RAPIDEZ DE PROPAGACION DE UNA
ONDA TRANSVERSAL
Si la onda se propaga a través de una cuerda
tensa y sujeta por uno de us extremos, es decir,
que el medio en donde se está propagando es i 0­
tr6pico, ya que a lo largo de la cuerda no varian
sus características, la rapidez de propagaci6n de
dicha o nda depende de la densidad lineal del male­
rial de que es tá hecha la cuerda, que podemos expresar como IJ
= ­M
I
Yde la fuerza q ue origina el movimiento · núulaLO­
rio, denom inada F.
Busquemo la rapidez de propagación Je la on ­
da, dimensionando:
Sabemos que la dimenSiones de \' son L T .
= eL
{
l'ig.4.7.
pue: to qu
En la figura 4.7 vemos qu e el medi o no ava nla,
ya que si hacemos un nudo en un punto del cab le,
éste se moverá únicamente hacia arriba y hacia
abajo, permaneciendo en el mi smo lu gar; la qu e
avanza es la onda o energía ent regada ".1 cable
y sus unidades en
l'
el
sistema M.K S. son m/ .
Las dimen ione~ de la dens idad son Ml
to que
M
¡.I
=== 85 = =
I
pues­
Hacemos la divisiónL cuyas dimensiones re­
sultan:
M
1
MLT"
ML'
puesto que las dimensiones de F son ML T '2 ya que
F
= Ma.
Extrayendo raíz cuadrada a L 2 r
2
obtenemos:
En la figura 4.8 se ilustra uno de los procedi­
mientos para conseguir una onda estaciona ria,
que consiste en a ta r el extremo de un cable a un
poste y sostener el o tro extremo con la mano man­
teniend o t nso el cable. Después se mueve al cable
hacia arrib y hacia ab jo con M.A.S. T a n pron to
como las ondas llegan al otro extremo fijo del
cable, se reflejan hacia atrás para encontrarse con
las ondas que sucesivamente siguen llegando. Si
las ondas reflejadas tienen la frecuencia correcta,
es deci r, si tienen la misma frecu encia de las ondas
transmitidas, el cable sustentará ambos trenes de
onda, dividiéndose en seccione' (ver fi gura 4.8).
Los puntos marcados desde V hasta V 5 donde el
cable tiene su máximo desplazamiento hacia a rri­
ba y hacia abajo, se denomina n vientres o anlin o-­
dos y los puntos que no ienen movimiento, donde
se cruzan los trenes de ondas (NI al N~), se llaman
nodo~ .
I
que son las dimensi ones de la velocidad. La fórmu­
la para calcular la velocidad de propagación de una
onda transversal es:
.--,
v
='\
F
I -M
1
I
I .­
\/,
I
y también
v
Donde:
Onda trans:nitida
v
= rapidez de p ropagación de la onda
fuerza o tensi ón de la cuerd a, resorte,
varilla, etcétera.
M = masa d la cuerda, resorte, varilla, hilo,
etcétera .
I
= longitud de la cuerda, resorte, etcétera.
1-' = densidad li neal de la masa de la cuerda,
resorte, etcétera.
F
4.2.3
=
ONDAS ESTACIONARIAS
Casi todas las o ndas sonoras que emanan de los
instrumen tos musicales son ejemplos de ondas es­
tacionarias; tales ondas pueden producirse en
cualquier medio sólido, liqu id o o gas , por medio
de dos trenes de ondas de la misma frecuencia, que
avanzan en el mismo medio pero en sentidos
opuestos, por lo que decim os que una onda esta­
cionaria está formada por una onda tra nsmi tida y
una onda reflejada en el mismo medio , de la mis­
ma frecuencia y de la misma amplitud .
Fig.4.8
La sección de onda completa entre dos nodos
consecutivos se llama lazo. La distancia entre dos
nodos consecutivos es la media longitud de onda
(,1.12) y la distan ia entre n nodo y u n vientre es
un cuarto de longitud de onda (,v4).
Las lí neas conti nuas de la fi gura 4.8 representan
al cable en un instante determinado y Las demás lí­
neas, a trazos, representan ese mismo a ble, pero
en otros instantes.
4.3
FRENTES DE ONDA
Definición: on todos los puntos de una onda
que están a la misma distancia de la fuente y en to­
dos ellos se observan crestas, valles, nodos , etc., al
mismo tiempo.
== 86 - ­
4.3.1
FRENTES DE ONDA ESFERICOS
- -......C7- Frentes de onda esféri cos
Hg. 4.9
En la figura 4.9 las ondas producidas por una
fuente sonora puntual y situada en el espacio libre,
son de frente de onda esférico, pues producen va­
riaciones de presi6n en el aire donde, al mismo
tiempo, en los puntos a la misma distancia de la
fuente , se producen crestas, valles, nodos, etcé­
tera.
4.3.2
Los frentes de onda de la luz solar son esféricos,
pero en la Tierra, debido a la enorme distancia que
la separa del Sol; estos frentes de onda se toman
como planos paralelos entre sí y perpendiculares a
los rayos solares . Para comprobar lo anterior, co­
locamos cerca de la pared un cuerpo con el fin de
proyectar la sombra producida por la luz solar.
Observemos que al acercarlo o alejarlo lentamente
de la pared, las dimensiones de la sombra no va­
rian.
Es importante recordar que la dirección de la
propagación de la onda (vector de propagación) es
siempre perpendicular a los frentes de la propia
onda.
4.4
IN TE NSIDAD DE U N
MOVIM IENTO
ONDULATORIO
Propagac ib n
• de la onda
1
\
FRENTES DE ON DA PLANOS
X
I
'"
.- - r-­
1
..... ,"~
',1)
I
1
,,">\
I
~-,(
,/
~_J _ _ _ _ ~
". ___
I
Generador
\ -¿:-.f­I
>"
,
...
!
......... - _L - - '
,
(2)
,_Jo.
I
f
Generador~//·
L
Esfera
imaginaria
/~ '). ,
"
Es fera
ima gi naria
(1)
I
Fig. 4. 11
Fig.4.1O
Cuando una región del espacio está muy alejada
del generador de ondas, como se aprecia en la fi­
gura 4.10, se puede despreciar la curvatura del fren­
te de onda esférico, pudiend o llamársele frente de
onda plano, pues todas las crestas, valles y nodos
se reproducen en superficies planas y paraleJas en­
tre sí.
Imaginemos un generador de ondas puntual. La
energía que emite se propaga en todas direcciones,
formando frentes de onda esféricos, que se despla­
zan con una rapidez constante (ver figura 4. 11) .
Imaginemos ahora que a una distancia r hay
una esfera O) al rededor del generador, ya una dis­
tancia r2 del mismo generador hay otra esfera
también imagínaria (2), con el fin de comprobar
que cuando la energia producida por el generador
de ondas ha llegado a (1) se encuentra muy con­
centrada, puesto que tal esfera es muy pequei'ta, y
la densidad superficial debida al flujo de energía
es muy grande. Por lo tanto, si colocamos un re­
ceptor en un punto de la esfera (1), el efecto de la
energía será también grande. Al continuar avan­
zando, la energía llega a (2). Obsérvese que diselÍ­
=== 87 = =
· nuye el efecto de dicha energía, pues la densidad
superficial de su flujo ~ menor que la a nterior, ya
que el mismo flujo de energía se distrib uye en una
esfera de mayor área .
Según puede observarse en la figura 4.11, la ener­
gja produ cida por el generador de ondas debe atra­
vesar la esfera imaginaria (1) , para luego pasar por
la esfera imaginaria (2). Para conocer sus efectos,
definimos el concepto de intensidad de una onda
como la cantidad de energfa que fiuye por unidad
de tiempo, atravesando por unidad de área perpen­
dicular a la dirección del fluj o de dicha energía, es
decir que equivale a la potencia transmitida por
unidad de área.
Modelo
mat ~mático
J
pero W
=
P
t
P
J = -A
va tioslm 2
Como las superficies imaginarias son esféricas,
entonces:
¡ =~
4rr, '
v .t ios/m
2
Debemos adver ir que la intensidad de una onda
depende ú nicamente de la distancia (radio de la es­
fera imaginaria) del generador de ondas al punto
considerado, ya que el flujo energético es el mismo
que atraviesa a cada una de las esferas imagina­
rias, que no son sin e frente s de onda esféricos.
4.5
FENOMENOS QUE SUCEDEN
EN LA PROPAGACION DE
UN MOVIMIENTO
ONDULATORIO
Cuando un movimiento ondula ario se propaga
en un solo medio no disipativo no sufre ningún
otro cambio, a excepción de la variadón de su
densidad. Pero si durante su desplazamiento en­
cuentra otros medios diferentes, pueden pre en­
larse al gunos fe nómeno~ tales como reflexión ,
refracción y difracción, que pueden producirse ~n.
forma aislada o combinada.
4.5. 1
REFLEXION
Definición: E s la desviaci6n que experimenta
'una onda en el mism o medio en que se propaga,
cuand o encuentra otro medi o en el cual no puede
propagarse, o que no puede atravesar.
Como la desviación de la onda se realiza en el
mismo medio, puesto que la onda es rechazada
p r el segundo medio, tanto la velocidad de pro­
pagación como su frecuencia permanecen sin.cam­
bios; por lo tanto, si los frentes de onda incidentes
son esfércios, los re flejados serán también esféri­
cos, y si son planos, los reflejados también lo se­
rán.
El análisis del fenómeno de la reflexi6n de las
ondas energéticas es más sencillo si e efectúa por
medio de rayos, que no son ino líneas imaginarias
que representan la dirección y sentido de la propa­
gación de la ondas, y que son si mpre perpendicu­
lares a los frentes de onda. Si tornamos un punto
en donde inciden las ondas en un medi o que no es
posible atrave ar, éstas se refl ejarán y con tinuarán
viajando en el mismo medio inicial . Debido a lo
anterior, pueden establecerse dos leyes para la
reflexión.
Primera. El rayo inciden te, el rayo reflejad o y
la normal están en un mism o plano (ver figura
4. 12).
Segunda. El ángu lo de incidencia es igual al
ángulo de reflexión (ver figura 4.12) .
Medio 1
Rayo
reflejado
I
: Norma l
_ _-.ilí....._ __
Medio_
2
e¡
,
=
er
= er
Angulo de incidencia,
Fig . 4.12
4.5.2
B¡
Angulo de reflexión .
REFRACCION
Hay ocasiones en que, cuando una onda energé­
tica viaja en un medio determi nado, llega a en­
contrarse con otro medio di ferente que no impide
= = 88 ==
su propagación, ni le hace variar de frecuencia,
pero cambia su velocidad; este fenómeno se cono­
ce como refracción.
Nota: La ley de Snell se verá más detailada en
el estudio de la luz.
4.5.3
Definición: Se llama refracción de una onda al
cambio que ésta sufre en su velocidad de propaga­
ción al pasar de un medio a otro de diferente den­
sidad .
Este fenómeno de la refracción de las 'Ondas da
lugar a importantes cambios, por ejemplo : en las
ondas de luz, gracias al fenómeno de la refracción
podemos separar los colores que componen a la
luz blanca; pueden construirse lentes, microsco­
pios, etcétera.
De acuerdo con la definición de la refracción, el
rayo de las ondas incidentes da Jugar a un rayo de
las ondas refractadas, donde se observa que estos
rayos no siguen la misma dirección y sentido, o sea
que el á ngulo que forma el rayo incidente con la
normal al límite de ambos medios no es igual al
ángulo que forma el rayo refrac tado con la misma
normal.
Se ha comprobado que si la velocidad de propa­
gación de la onda en el medio 1 es mayor que la ve­
locidad de propagación en el medio 2, entonces el
rayo refractado se acerca a la normal.
LEYES DE LA REFRACCION
Primera. El rayo incidente, el rayo refractad o
y la normal están en un mismo plano (ver figura
4. 13).
Segunda. La relación entre el seno del ángulo
de incidencia y el seno del ángulo de refracción es
igual a una constante llamada índice de refracción
(ley de Snell).
DIFRACCION
Este fenómeno se estudia más fácil mente, con
ayuda de la teoría ondulatoria de la lu z, estableci­
da por H uygens y Maxwell .
Definición: Difracción es d f nómeno que
consiste e que una onda se desvíe en los extremos
de un obstáculo al tratar de rodearlo.
Es fácil observar este fenómeno en ondas de ba­
ja frecuencia, tales como la del sonido, que de 20
a 20,000 Hz, son frecuencias audibles.
En ondas de alta frecuencia, tales como las on­
das de lu z y ondas electromagnéticas en general, es
muy difi cil la observación d e este fenómeno.
4.5.4
INTERFERENCIA
Definición: Es la superp sición de dos o más
ondas en cada punto del medio en que se propa­
gan.
La interferencia de las ondas puede ser cons­
tructiva o destructiva, según sea benéfica o perju­
dicial, re pectivamente.
COMO SE INDENTIFICA UN MOVIMIENTO
ONDULATORIO
En general, podemos decir que se trata de todo
transporte de energía en el cual puedan observarse
los fenó menos de reflexión, refracción, difracción
e interferencia .
Modelo matemático:
n
=
sene;
sene,
VI
=
v;­
(ley de SnelI)
Rayo incidente
(:>1
Medio 1
_ _ _ _:.....~:c----- Límite
Medio 2
(:>2
Fig.4.13
= = 89 ==
CONCEPTO DE SONIDO
Sonido es toda perturbación producida en un
medio elástico que al propagarse, puede ser detec­
tado por el oído.
4.7
INTRODucelON
Para obtener la sensación del sonido se requiere
de una fuente o cuerpo vibrante, sus vibraciones
son comunicadas al medio transmisor que rodea a
la fuente y este medio transmite las vibraciones
que recibe en forma de movimiento ondulatorio
longitudinal hasta el receptor. Por lo tanto para
que se pueda llevar a cabo una audición, se re­
quiere de tres elementos fundamentales: fuente so­
nora, medio elástico transmisor y receptor del so­
nido.
4.6
MEDIO ELASTICO
TRANSM ISOR
El sonido se tra nsmite a través de sblidos, líqui­
dos y gases. En el vado no se propaga. Para
comprobar este último concep to se emplea el expe­
rimento de la campana (ver fi gura 4. 14).
FUEN E SONORA
Todo cuerpo que vibre y esté en contacto con un
medio material elástico, constituye una fuente de
sorúdo, la cual debe producir un movimiento on­
dulatorio en el medio que la rodea y que puede ser
registrado por el tímpano del oído (humano o ani­
mal) puesto que éste también vibra para reprodu­
cir al sonido. Las frecuencias de vibraci6n que
producen sonidos audibles van de 20 a 20,000 Hz
o e/s. Más allá de 20,000 Hz el oído ya no registra
sonido; estas frecuencias mayores de 20,000 Hz
constituyen los ultrasonidos. El oído tampoco per­
cibe sonidos abajo de 20 Hz Que constituyen los
infrason idos. Como fuentes sencillas de sonido,
tenemos las cuerdas de guitarras, violines,
violonchelos; las columnas de aire v.i brante como
cornetas, flautas , trombones; campanas, sirenas,
silbatos, etcétera.
Bom ba de vací o
.'ig. 4.14
El sonido no se
en el vacío.
Con este experlmento se comprueba que, sin
aire para transmi tir las vibraciones desde la cam­
panilla hasta la superficie interna de las paredes
del recipiente de vid rio, na es posible que salga al­
gún sonido de dich o recipiente.
4.7.1
TRANSMISION EN LOS SOUDOS
La transmisibn del sonido en los sblidos se
il stra de forma experimental en la figura 4.15.
---- 90- ­
---.­
tra~smite
Caja hu eca de madera
La rapidez de propagación del sonido en los
quidos se calcula con la fórmula:
Diapasón
v=\jf'
Varil la de madera
4.7.3
Fig.4.15
Un diapasón vibrante se pone en contacto con el
extremo de una varilla larga de madera. Las vibra­
ciones longitudinales recorren toda la varilla, ha­
ciendo vibrar la caja hueca de madera conectada
n el o tro extremo de la varilla, escuchándose cla­
ramente 1 sonido procedente de la caja . La rapi­
dez de propagaci
es:
v
4.7.2
=v
I
I
1 I
, I
I
I
TRANSM ISION EN LOS
L1QUIDOS
Diapasó n
La tra nsmisión del sonido por los Iíqujdos
puede co mprobarse en el experimento ilustrado en
la figura 4.16.
Un diapasón con un disco acoplado a su base,
de tal manera que le sirva de flotador se pone a
vibrar, y colocado en la superficie de un recipiente
con agu a. Las vibraciones del diapasón y de la ba­
se se propagan a través del agua hasta el fondo del
recipient y lleg n hasta la tabla de la mesa; ésta
comienza a vibrar con la misma frecuencia del dia­
pasón y si colocamos el oíd o en la superficie exte­
rior de dicha tab la, escucharemos el sonido del
diapasón, lo cual significa que 1 sonido se trans­
mi tió del diapas6n a la tabla de la mesa a través
del líq uido.
La transmisión del sonid o por los líqu idos varía
según la densidad y viscosidad de éstos.
Tabla de la mesa
Fíg.4.16
Aire
\
1
~
TRANSM ISION EN LOS GASES
La transmisión del sonido en los gases se com­
prueba en el experimento ilustrado en la figw'a
4.17 donde se muestran las puntas de un diapasón
vibrando de un lado a otro con un movimiento ar­
mónico simple. Por las colisiones con las molécu­
las de aire, cada una de las vibraciones envía on­
das longitudinales a través de la atmósfera, produ­
ciendo compresiones y expansiones hasta llegar al
oído del expenmentador.
Fig.4.17
La rapidez de propagación del sonido en los ga­
ses se calcula con:
RAPIDEZ DEL SONIDO EN EL AIRE
Aunque la luz y el sonido se propagan con velo­
cidades finitas , debe resaltarse que, comparativa­
mente, la velocidad de la luz es mucho mayor que
la velocidad del sonido. Así, cuando vemos la luz
de un relámpago distante y escuchamos después el
trueno, sabemos que la diferencia e debe a la rela­
tivamente baja velocidad del sonido, comparada
con la de la luz. Sabiendo que el sonido requiere
de tres segundos para recorrer un kilómetro, se
puede saber a qué distancia del observador está la
tormenta, calculando el tiempo transcurrido desde
que se observa el relámpago hasta que se escucha
el trueno.
Lo primeros intentos exitosos para medir la ve­
locidad del . an ido en el aire fueron realizados en el
=--~ 91 ----
año de 1640 por el tlsico francés Marin Mersenne;
yen 1656 por Giovanni Borelli y Vincezo Viviani,
fisicos italianos. Desde entonces utiliza ndo varios
y diferentes métodos y aparatos mu chos físicos
han mejorado estas mediciones . Las más recien tes
y precisas fueron hechas por Dayton C. Miller
( 1866- 1940), fí sic o norteam ericano conocido por
sus experimentos sobre la calidad de los sonidos
musicales. Este fisico u tilizó cañones (armas de
fuego) como fuente de sonido, y com o receptores
a un grupo de observadores, situados a diferentes
distancias conocidas. Los resultados de calcular el
valor de la velocidad del sonido en el aire, con este
método, fueron muy precisos, determi nándose tal
valor como 331 m i s, a una tem peratura de O°C é
Donde:
v
magnitud de la velocidad del sonido se­
gún a l lugar.
Vo = magnitud de la velqcidad de! sonido a
273° K 6 0°C = 3'31 rf¡ls.
T = Temperatura del lugar en °K .
To == 27 K.
=
Se ha comprobado que en el aire húmedo el so­
nido recorre un kilómetro cada tres segundos, de
tal modo que podemos saber a qué distancia se
halla una tormenta, cuando vemos un relámpago
y contamos los 'egundas con u n cronómetro hasta
que se escuche el trueno.
273°K.
Al mismo tiempo se observó q ue la tempera tura
juega un papel muy importa nte en la velocidad del
sonido en el aire; por cada grado centígrado q ue
cambie la temperatura del a ire, la velocidad del so­
nido varía su magnitud aproximadamente en 0.6
mi s, es decir, que si la temperatura a u menta lo e ,
la magnitud de la velocidad del sonido aumen ta
0.6 mi s, y si la temperatu ra del aire disminuye
1°C, la magnitud de la velocidad disminuye 0.6
mi s. Con lo anterior decimos que la rapidez de l
sonido y las variaciones de tempera tura son direc­
tamente proporciona les.
Asi, la magnitud de la velocidad del sonido en el
aire se determina por:
v == 331 mis + 0.6 ml s OC T
4.8
CARACTERISTICAS
OBJETIVAS y SUBJETIVAS '­
DEL SONIDO
Las caracteristicas objet ivas del sonido son: in­
tensidad, frecuencia y forma de onda. Las caracte­
rísticas subjetivas correspondientes son: sonori­
dad, tono y timbre, res pectivamente.
4.8.1
INTENSIDAD
Es la caracterís tica objetiv a del sonido q ue nos
permite disti nguir la sonoridad, los sonidos fuer­
tes de lo s sonidos débiles y depende exclusivamen­
te de la amplitud de la onda sonora (ver figura
4.18).
JA
mi s
i
v
o
Vo
+ 0.6 T
mi s
On da, 2
Donde:
v
== magnitud de la velocidad del sonido en
el aire, según el lugar.
Vo = magnitud de la velocidad dI? 1 sonid o a
0° = 331 mi s.
T = temperatura del lugar en oc.
Otra manera de calcular la magnitud de la velo­
cidad del sonido en el aire es :
Vo\
fLl
V To
mi s
Fig.4.18
Como se puede o bserva r, A l > A l , lo cual sig­
nifica q ue el soni d o producid o por la onda l es
mayor o más fue rte qu el que produce la onda 2 .
Por ser una caractenstica objetiva del sonido ,
su intensidad es c uant ificab le y se define como la
energía rransporfada p or las ondas son ras que
pasan a través de ia Unidad de área normal a la di­
recci6n de propagaci6n de las ondas en la unidad
de riemp o.
= = 92---- ­
Expresi6n matemática:
S
W
1 = -An f
a
10gL
lo
D onde:
s = sensaci6n auditiva .
en el sistema M.K.S o S.Y se mide en vatios/ m 1.
Como la intensidad de una onda so nora depen­
de del medio donde . e propague y de arras facto­
res, generalmente se calcula utilizando la fórmu la
iguiente:
1 = 2rr 2 eA 2f v
I
= intensi da d acústica de cualquier sonido,
en va tios/ m 2 •
2
12
l o = 10- , vati os/ m (nivel de referencia).
P ara llegar a la igualdad en la expres i6n a nterior
introducimO!'i ~ma constante:
S = K 1.og
En el medio a través del cu al se propagan las on­
das sonora , la intensidad a cús tica es proporcional
a la densidad del medi ,al cuadrado de la frecuen­
cia y al cuadrado de la amplitud de la ondas. Sin
embargo, esta amplitud no ermanece constante,
pues a medida que la onda avanza alejándose de la
fuente sonora, la a mplitud disminuye, por lo cual
puede decirse que dicha amplitud es inversamente
proporciona! a la distancia a la fuente, a pesar de
que si la amplit d de vibración de la fuente sonora
es grand e, I alcance de la onda que produce tam­
bién e grande, determinando prácticam ente el ni··
vel de sonoridad. El oído humano disti ngue con
facilidad a! escuchar dos onidos di ferentes, cuál
es más in tenso o más sonoro. Algunos causan mo­
lestias y cuando su intensidad acústica es muy ele­
vada, sensación de dolor.
NIVEL DE INTENSIDAD A USTICA
Para el oído hu man o, el promedio de intensidad
audib le se con idera de 10 11 vati / m 2 6 10 16 va­
ti os/cm z • La respuesta del oído a los son idos es lo­
garítmica no lineal, tiene una gama de intensida­
des bastante amplia. La intensidad máxima audi­
ble para el hombre -aunque existe la sensacibn de
dolor- es de 1 vatio/ n/.
La intensidad onora de 10-16 atio/ cm 2 b 10-12
vatios/ m lOmada como niv l de referencia y im ­
bolizada con /0 y con I la intensidad de otro soni­
do cu alquiera, por la ley de Flechner , Weber y
Munso n se estableci6 que la magnitud de la sensa­
cibn aud itiva
proporcional al logari tmo vulgar
de larelaci6 n d la intensidad de un so nido cual­
q uiera a la infensidad del sonido tornado como re­
ferencia, o sea:
L
sensaci6n auditiva .
lo
Si hacemos K = 1, entonces la sensación audi­
tiva se convierte en nivel de intensidad acústica
(NI).
NI
=
log.!.-. belios (B).
10
El nivel de intensidad acústica se mide en belios
(B) en el S.1.
Esta u nidad de nivel de intensidad acústica es
muy elevada y por lo que no es práctica, pues para
que NI = 1 belio es necesario que la intensidad / del
sonido del cual querernos saber el nivel de intensi­
dad acú stica sea d iez veces mayor que el. nivel de
ref rencia Jo , o sea que l = 10 lo Y así , en lo suce­
sivo, p o r cada belio de nivel de intensidad que
aumente un sonido, el factor 10 aumentará en 1 su
exponen te , es decir si
J
=:
10/0
iO/o
entonces: NI = log ~= log 10
1 belio
Para q ue N I sea de 2 belios, entonces I = 10 2 l o
o sea:
NI
=
2
I
10 lo
log-- o= log lo
10
=
log 10 2
2 belios
Es por esta raz6n que en la práctica se utiliza co­
mo unidad de nivel de inten idad acústica a un
= = = 93 = =
submúltiplo del belio que es el decibelio (dB) o sea
la décima parte del belio, es decir:
Ferrocarril
en movimiento
10- 3
90
1 dB -
Taladro para concreto
10- 2
100
1 belio
- 10
1 belio = 10 dB
10-
Avión DC-9
La expresión anterior se convierte en:
=
NI
1010g.!...
lo
Umbral de dolor
len
vatIo/m
2
110
120
]
-
dB
1
NI en
dB
AUDIOGRAM A HUMANO
120
Umbral de d o lor
Con base en esta expresión podemos elaborar el
audiograma humano, determinando el nivel de in­
tensidad mínimo audible y el nivel de intensidad
máximo audible.
Para el nivel de intensidad núnimo tomamos un
sonido cuya intensidad acústica sea de 10"12 va­
2
tios/ m • Utilizando la última fórmula se obtiene:
NI
=
12
lO]og[ '" lOlog 10- vatios/ m2
Jo
10- 12 vatios/ m1
..
NI
=o
110
-
80
¡
=
Intensidad
acústica en
vatio/m 2
Nivel de
intensidad
en dB
10- 12
O
lO­s
70
Conversación nonnal
10- 6
60
Motor de automó vil
10-
50
Clase de sonido
Umbral de audición
Tránsito urbano
I
I
I
7
•,
\,
40
••
~
1\
30
20
I
~
Umbra l a dible
10
1
O
120 dB umbral de do lor
I
,,
10 log
El oido humano puede percibir sonidos de un
nivel de intensidad acústica de hasta 120 dB o me­
nos, para no tener sensación de dolor.
En la tabla siguiente se indican algunas intensi­
dades acústicas y su nivel de intensidad correspon­
diente.
:•
••,
,
:
•~
o
NI
,
•
I
50
2
=
I
I
t
60
O dB umbral de audición
lO log -
, . -­
r!­ :
70
= \O log 1 dB
1 vatios/ m
-1 2
_
2·
lo
10 vatlOs/ m
= 10 lag \0 12 = 10 X 12 dB
=
,tI
~
I
••
~
-J..-­
Para el nivel de intensidad macumo tomamos un
sonido cuya intensidad acústica es 1 vatlO/ m 2
NI
'-IJ:
-t-­
100
-
1
I
I
I
100
jO
,
500
400
I CXJO
••
1/
...1
¡­
2000
10000
500G
2GOGO
Frecuencia en h ~rtz
4.8.2
TONO
Es la carac erística subjetiva del sonido que per­
mite distmguir los sonidos altos o agudos de los
sonidos bajos o graves y depende exclus ivamente
de la frecuencia que es la caracterí stica objetiva
del sonido correspondiente al tono.
En la figura 4.19 se observa la diferencia de to­
nos de d os ondas sonOras de diferente frecuencia ,
obtenidas de un osci loscopio por medio de dos
diapasones, donde el sonido de la onda 1 produci­
do por el diapasbn 1 es más grave que el sonido de
la onda 2 producido por el diapasón 2, debido a
que la frecuencia de ía Dnda 2 es mayor que la fre­
cuencia de la onda l.
f --------,
~
I
/Onoa2
-- - - -;f
I
i
I
Fig. 4.20
Obsérvese que a pesar de tener la mI ma [re­
cuencw y la mi ma intensidad, las ondas I y 2 no
tienen la misma forma de onda.
:. J , > h ()
Fig.4.19
Por otro lado, se ha obser ado que el tono de
un sonido de frecuencia al ta es agudo, y que si
aumentamos la intensidad de este sonido, el tono
también aumenta, e decir, se escucha más agudo.
Al aumentar la intensidad de un sonido de baja
frecuencia, se observa que el t no baja, es decir,
que se escucha más grave. C on base en es os cori­
ceptos se obtuvo la gama de frecuencias que el ser
humano puede escuchar normalmente que es de 20
a 20,000 Hz, con una intensidad acústica ade­
cuada.
4.8.3
CUERDAS VIBRANTES
SI una cuerda está fija por sus extremos (caso de
las cuerdas de guitarra) la frecuencia de las ondas
sonoras presente en el aire que rodea a la cuerda es
idéntica a la frecuencia de la cuerda vibrante. Por
tanto, las frecuencias posibl s a las armónicas de
las ondas sonoras producidas por la cuerda vi­
brante están dada por:
f = .l!!:
).
T IMBRE
El timbre es la característica subjetiva del soni­
do que nos permite identificar el obj eto o fuente
que está produciéndolo.
La vibración de n diapasón, que es un movi­
miento armónico simple, produce un sonido puro
y sigue una onda perfectamente senoidal. En la
práctica, los cuerpos que vibran no producen soni­
dos puros, sino que al vibrar a una determinada
frecuencia, asocian cierto nú mero de armónicas,
lo cual da origen al timbre, obteniéndose en un
osciloscopio una forma de onda diferente para ca­
da fuente sonora . La forma de onda es la caracte­
rística objetiva del sonido que corresponde al
timbre. Si no existiera esta caracterí stica del soni­
do, todos se escucharían igual.
Si dos instrumentos producen sonidos de igual
frecuencia e intensidad, gracias al timbre pode­
mos distinguir un o de otro, por las armónicas que
cada instrumento produce. Esto signifi ca que en
un oscilosc0pi · la forma de onda del sonid de un
instrumento es diferente a la forma de onda del so­
nido producido por otro instrumento (ver figura
4.20) .
4.9
Donde: n
número de veces la frecuen ia
fundamental o annónicas.
Obsérv se que
~na cuerda vibra
a media longituJ
de onda.
IN]
N,
... - - - - - ._--jr-­
..... _____ - ....... I
I
I
I
/ - - - · - - --Á
=
I
2 / - - - - - ---71'
Fil!. 4.21
como A
=
2/ enlonce
in
nv
=-­
2l
Donde: n "" 1,2,3,4,5,6 ... etc. , on armónicas.
ji
= 1'-..frecllencia fundamental
2/
=== 95=--'--·­
(l a. armónica)
J2 =
=~
I l er.
2v
2f
sobretono (2a. armónica)
=. ;; 20. sobretono (3a . annbnica)
jj
y así sucesivamente.
La rapidez de la onda transversal que producen
las cuerdas vibrantes es :
miento, por lo que este extremo es un vientre o an­
tinodo de la onda estacionaria, donde se tiene la
mayor intensidad y es la frecuencia resonante.
El modo fundamental de oscilación de una co­
lumna de aire vibrante en un tubo cerrado por un
extremo, iiene un nodo en su extremo cerrado y un
vientre o antinodo en su extremo abierto. La lon­
gitud de onda de la frecuencia fundamental es 4
veces la longitud del tubo (ver figura 4.22).
La frecuencia fundamental es el tono o la. ar­
mónica o sea:
Ji
v
.. JI
V
=~
41
Donde:
en donde la rapidez de propagación de la onda
longitudinal que se produce es:
M
j
masa de cu rda.
longitud de la cuerda.
M
4 .10
v
COLUMNAS DE AIR "':
VIBRANTE
El sonido producido en c:Jlumnas de aire
vibrante se compone de ondas longitudinales que
se obtienen tanto en tubos cerrados, como en
abiertos.
TUBOS CERRADOS
4.10.1
Los modos posibles de vibración del aire en un
tubo cerrado se muestran en la figura 4.22 .
NfE- >:~'*- -----,-,' ' .....
----
-
-
-
;. I
4/ -
NK
L
. -
/ ----./'-4 - .,J<­
I
-
41
="3
A3
I
- - - ---.,f
.
3ÁJ
= -4­
Fig.4.23
-
-
-
v
---.;-1
/ I
....... '"'--. - - - - " ,
-
v-*:__ .J~~=---,---
'f - - - -
'\3
I
I
-
I
En la figura 4.23 obtenemos el primer sobreto­
no o tercera armónica, que es cuando existen
dentro del tubo dos nodos y dos vientres o antino­
dos.
A,
fj = -
I
:
-
~p
La frecuencia del 1er. sobretono ó 3a. armónica
es:
/=~
4
+---/ - - ('
.,f-- -
=v
1
- -
--+
v
= - ..
41
Cuando se prod uce una onda de compresión en
el tubo, el desplazam iento de las partículas de aire
en el extremo cenado debe se r cero, por lo que es
un nodo de una onda estacionaria. El aire en el
extremo abierto tiene la mayor libertad de movi-
=-
3"
En la figura 4.24 obtenemos el segundo sobreto­
no o quinta armónica.
___ I =
Hg. 4.22
3v
4f
/1
2-~ 5 - -
--T
f; *v-2E
,4
N!
V-:::\',_-~_-:'7--
N~ V
I
,
...... - -- Al =
Fig.4.24
==-96==
I
4
T
'
1
), l
I
--,I<¡¡-""
Obsérvese que la onda estacionaria que se for­
ma en el interior del tubo consta de tres modos y
de tres vientres o antinodos.
Entonces la frecuencia del 20. sobretono a 5a.
armónica es:
v
JI =~
V
JI
=41
=
5v
4t
5
En la figura 4.25 obtenemos el tercer sobretono
séptima arm6nica .
Adviértase que en la 7a. arm6nica hay 4 nodos y
4 vientres o antinodos.
Ó
~- IV
N
I = -
7
}.7
N~~~ ¡;¡-->­
4
~_?@~JvXv---~
4.10.2
TUBOS ABIERTOS
Una columna de aire vibrante en un tubo abier­
to en ambos extremos produce ondas estacionarias
que tienen en dichos extremos vientres o antino­
dos. En las figuras a continuación se muestran la
frecuencia fundamental y los primeros tres sobre­
tonos para tubos abiertos. N6tese que la longitud
de onda de la frecuencia fundamental es el doble
de la longitud del tubo, o sea que las columnas de
aire vibran a media longitud de onda, al igual que
las cuerdas vibrantes; es decir, que resuenan a me­
dia longitud de onda. El número de nodos en el in­
terior del tubo corresponde al número de la arm6­
nica producida, y cualquier múltiplo de la frecuen­
cia fundamental corresponde a una arm6nica.
Cuando el número de nodos se incrementa 1 al,
advertimos que las longitudes de onda en un tubo
abierto son como sigue:
,1.0
=
21
n
Fig. 4.25
Donde:
7
como 1 = -A,
4
A,
= 41
7
longitud del tubo abierto
1,2,3,4, .... arm6nicas
n
la frecuencia del 3er. sobretono o 7a. arm6nica
Las posibles frecuencias arm6nicas son múl­
tiplos progresivos de la fundamental, y se calculan
igual que para las cuerdas vibrantes.
es:
j,
j , =v=v
A,
41
=
7v
41
7
Obsérvese que en los tubos cerrados la s frecuen­
cias de la s armónicas son siempre múltiplos nones
de la frecuencia fundamental. En general, la fre­
cuencia en los tubos cerrados es:
jo = !!2:..
n
n
41
1,3,5,7, .. .
número de armónica
A,
~----- - - 1 = I
2
- - - - - --"7(­
'v---~---~
Cuando:
IJ,
n
n
= 3.13
n
= 5 ,f~
n =
7.j ~
frecuencia fundamental (tono)
frecuencia de la 3a . armónica
(1 er. sobretono)
frecuencia de la 5a . armónica
(20 . sobretono)
frecuencia de la 7a. armónica
(3er. sobretono)
,
Fil(. 4.26 .
A,
:. j,
y asi sucesivamente.
== 97 ::::::::=:=
21
;j,
v
21
V
A,
Tono o frecuer cia
fundamen tal.
(J a. armónica)
J.------ -
Obsé rvese q ue en una columna de aire vibrante de
un tubo abierto es posible obtener todas las armóni­
cas. Al calcular la frecuencia de la fundamental (la .
armóni ca); del primer sobretono (2a . armónica);
del segundo sobretono (3a . armónica) del tercer
sobretono (4a . armónica), se tiene el mismo deno­
minador, que es 2/, y la velocidad de propagación
de las ondas sonoras se multiplica por el número
de la armónica. Las diferentes frecuencias pueden
calcularse en general con la siguiente formula:
-,k
Fig.4.27
v
Donde:
J~
:. / 2
v
ler. sobretono
(2a. armónica)
= -/-
n
v
3A J
:t--~----I
=---------7f
'vJEv)tv
¿f
+-I
A-
-
f -
+----2- --.+­
J
1,2,3,4 .. .. armónica
rapidez de propagación de la onda lon­
gitudinal en el aire.
longitud del tubo (abierto por los dos
lados) .
v=W'
I
A3 -
= nv
2/
- -+­
Fig.4.28
2/
Donde:
v
A3 =--; /l
3
:. / 3
v
Much os instrumentos mu sicales como órganos,
trompetas, trombones, clarinetes, etcétera, em­
plean tu bos abierto s de longitud variable.
3v
= - - 20. sobretono
2/ (3a. armónica)
*"---- - __
I = 4 A4
;Xv Xv3(: *
,
I
A4
o
-
- .-------if
I
I
Proble m as resueltos
1) Una onda longitudinal de 100 Hz de frecuen­
cia tiene una longitud de onda de II m. Calcu­
lar la rapidez con que se propaga (únicamente
la m ag nitud).
V
I
~-· -2-- -,j'
:
) ' - - - - - - A4 -
--*
Datos
Fig. 4.29
= -2­
4 )"
{4
=
v
l
100 H z
).
1I m
?
v
2/
4
J~
rapidez de propagación del sonido en
los gases (que puede ser aire) .
=
4v
2/
3er. sobrelon o
(4a. armóni ca )
f órmul a
v
= Al
Substitu ción y op e raciones
- - 9 8 ==
v
11 m x 100 e/ s
v
1100 m i s
Resultado
2) Determinar la frecuencia del sonido que pro­
duce una sirena que tiene un disco con 30 agu­
jeros y gira a 50 rps.
Datos
T
O°C
po
1 a/m = 76 cm de Hg
1.293 gr/ dnr1
Q
QHg
13.6g r/ em)
Y
1.4
v
?
Datos
N
W
número de agujeros
50 rps = Hz
?
/
Fórmula
30
/
1.293 gr/dm)
pero Q
Fórmula
= NW
10·) kg
1.293 - .-)- )­
10 m
Substitución y operaciones
/
=
30 x 50 Hz
J = 1500Hz
Resultado
=.--!l:-6. gr/~ 13600 kg/ m )
QHg
3) La rapidez del sonido en el agua tiene un valor
de 1450 m i s; determinar el módulo de com­
presibilidad del agua.
1450 mi s
Q
1 gr/ cm )
(J
?
-------
~
Po
10 .1 1, g/m'
1 a/m =
= 13600 k
~
Datos
v
= 2. 1 x
10 ~ N / m'
3
x 9.8 m / s 2 x 0.76 m
~
x 10 ) N / m 1 )
1.293 kg / m J .
(lA) (101.3
-
V
V
v
J
(1450 m is )' x IO k<..:/m
2.1 x 1O~ m' / 5 2 x /,g / m J x 10)
(J
/m
Substitución y operaciones
Substitución y operaciones
J
gh -
QHg
101.3 x 10)
v
(J
(J
1.293 kg / m )
Q =
v
10 3 Nm
1.293 kg
141.82
X
109.68
X
10 ) m 2/, s¡--o
10.968
X
lO' m 2 /s 2
331 m i s
Result ad o
Resultado
4) Determinar la magnitud de la velocidad del
so nid o en el aire, a una temperatura de O"C y
ala/m de presió n. La densidad del aire en es­
ta s condiciones es de 1.293 í?,r / dm J • y la densi­
dad del mercurio es de ] 3.6 grlcm 1 • El aire es
un gas diat ()mic o, es decir que y = 1.4.
5) U na cuerda metálica de 500 111¿?, de ma sa y
50 cm de longitud está sometida a una tensión
de 88 .2 N. Determinar:
a) La magnitud de la velocidad de la on da
transversal en la cuerda.
b) La frecuencia fundamental de la on da .
c) Las frecuencia s de las 2a . y 3a. arlllónica,
(lo. y 20. so bretonos)
===99=====
1
- A:. A
4
Datos
-4
= 500 mg = 5 x 10 k,g
::; 50 cm ::; 5 x 10- 1 m
88.2N
M
1
F
= ?
b) ¡; = ?
c) h y /3
a)
•
50
O
v
V
?
=
¡;.
=
Al
¡;. = - =
5
X
5
X
10- kg
10- 1 m
10- kglm
=
J
v
?
v
_nv
10-
c)
3
Iv
21
v = 2 m x 3000 Hz
2v
21
h
594Hz
3v
jj
kgl m
=
297 el s
v
Resultado
297 m is
5x 10--' m-
594 els
Resultido
3 x 297 m i s
891 Hz
J
v
le
19
la
6) Una barra de 200 cm de longitud está fija en un
punto a 50 cm de uno de sus extremos. Cuando
se produce una vibración en la barra, la fre­
cuencia emitida es de 3,000 Hz. Determinar la
rapidez del sonido en dicha barra.
Nota: Al vibrar la barra se formará un nodo en
el punto fijo y un vientre en cada extremo, por lo
que cada 51) cm corresponden a
Resultado
160 Hz
331 mis
?
?
Fórmulas
891 els
Resultado
6,OOOm ls
Datos
le
1m
=
7) Determinar la menor longitud de un tubo ce­
rrado y de otro abierto para que entren en re­
sonancia en el aire a O°C, con un diapasón de
frecuencia de 160 Hz (v = 331 mis).
Resultado
297 mis
2 x 5 X 10- 1 m
21
J3
v
297Hz
J2
= Af
Substitución y operaciones
297 mis
=
N
Fórmula
88.2N
a) v =
.. JI
200
3
Substitución y operaciones
JI
V
200 cm = 2 m
50 cm = 10- 1 m
3000 Hz
4
21
b)
150
I
Datos
v-+:
b) Y c) Jn
v
100
N
Fórmulas
a) v
4 x 5 X 10- 1 m:. A = 2m.
A
4 •
A
l'
V
= Af
A
V
­
J
Substitución y operaciones
le
la
331 mis
160 Hz
2.07m
4
2.07m
2
2.07 m
le = 0.517 m
Resultado
1.035 m
Resultado
la
8) Determinar la frecuencia fundamental y los
===== 100 ====
dos primeros sobretonos de un tubo de 67 cm
de longitud, si
a) El tubo es cerrado.
b) Si el tubo es abierto.
La temperatura del aire es de 20°C.
J)
= 20°C
= 331 mi s
a) JI ,J) y Js (tubo cerrado)
b) ¡; ,J2 y J) (tubo abierto)
T
Vo
1
0 .6 m is T
= 331 mi s + 0.6 mi s oC x 200C
J
v
e
A
343 mi s
Jn
b)
Jn =
nv
41
v
=-=----­
4 x 0.67 m
41
Jo =
? en vatiosl m 2
800Hz
= 0.001 cm = lO's m
= 0.001293 grl cm)
1.293 "'gl cm)
= 331 mis
nv (tubo abierto)
Substitu ción y operaciones
v
343 mi s
JI
Resultados
Fórmula
(tubo cerrado)
21
a)
256 Hz
Datos
= vo +
a)
x
grlcm) .
Fórmulas
v
3
9) Encontrar la intensidad en vatiol m 2 de una
onda sonora en el aire, en condiciones nonna­
les (T = O°C; Po = 1 atm), sabiendo que su
frecuencia es de 800 Hz y su amplitud es de
0.001 cm. La densidad del aire es de 0.001293
0.67 m
=
3v
Ti
= 3JI
:. J) = 768Hz
Datos
67 cm
=
Substitu ción y operaciones
343 mi s
2.68 m
128Hz
3v
JJ = 41 =
3 x 343 mis
2.68 m
3 x 128 Hz
lO) Dos on
acústica
PUB~lON~S CULTURH, S. A. DE C. V.
Jl
5v
=-=
41
J5 =
b)
JI
5 x 343 mis
2.68 m
343 m i s
0.67 m
J2
343 m is
1.34 m
=
512Hz
\9~ vr\t~
cng
l'UEN~t\r 2
~ROf3M'JVatlo/cmLf= ~ vatio/ m
=
I
Substitu ción y operaciones
10' 1 vatiol m 2
256 Hz
v
JJ.
Fórmula
640 Hz
= ~ = 343 mi s =
21
2 x 0.67 m
JI
5 x 128 Hz
10 log
NI I
10
10 x 11
2 x 256 Hz
Nh
10 log
==101==
'12
.
vatIO/ m
2
lO lag 1011
= 110 dB
5 vatio/m 2
10'1
2
vatio/ m"
10log (5
X
10
12
)
10 (log5 + log 10 12 )
~-----1
10 (0.6989 + 12)
126.989 :. Nlz
~
= 10 (12.6989)
1--------+
I
~-_v
127 dB
F
La diferencia es:
NI'
=
NI 2
-
NII
= 127 - 110
L-__________________
=
~L_.P
17 dB
La onda de lz es 17 dB mayor que la onda I 1
Problemas propuestos
\) Determinar la rapidez del sonido en una barra
de cobre, si el módulo de Young para el cobre
10
2
es de II X 10 N / m y su densidad es de
3
8.8gr/ cm •
2) En un día en que la temperatura del aire es de
27° e, se deja caer una piedra en un pozo cuya
profundidad es de 200m. Determinar el tiem­
po que transcurre para escuchar el ruido del
impacto de la piedra contra el fondo del pozo.
3) Calcular la frecuencia fundamental y los tres
primeros sobretonos en un tubo de 20 cm de
longitud, a 20 0 e de temperatura:
a) Si el tubo es abierto en ambos extremos.
b) Si el tubo es cerrado por uno de sus extre­
mos.
4) La rapidez del sonido en el aire, en condi­
ciones normales, es de 331 mi s. Calcular la ra­
pidez del sonido en hidrógeno a una tempera­
tura de ooe ya latm de presión. La densidad
relativa del hidrógeno con respeto al aire es de
0.069 . Tómese para ambos gases a y = 1.4 .
5) Determinar la magnitud de la velocidad de
una onda transversal que se propaga en una
cuerda de extremos fijos, de 50 cm de longitud
y masa de 8gr. sabiendo que está sujeta a una
tensión de 0.875N.
6) Una cuerda cuya masa es de 150gr tiene una
longitud de 1.7 m. Determinar la tensión a que
debe estar sujeta para que la frecuencia de vi­
bración de su cuarta armónica sea de 1328Hz.
7) La longitud de la cuerda ilustrada en la figura
4.30 es de 2m y tiene una masa de 3 X 10- 4 kg.
Determinar la magnitud de la velocidad de un
pulso transversal cuando está baj o la tensión
de 20N.
Fig.4.30
8) Una cuerda de acero de un instrumento musi­
cal tiene una longitud de 50cm y una masa de
5gr. Si está sujeta a una tensión de 4ooN. de­
terminar:
a) La frecuencia fundamental de onda sonora.
b) Los dos primeros sobretonos.
9) Un alambre metálico de 50 cm de largo y masa
de 500gr está sujeto a una tensión de 80N. De­
terminar:
a) La rapidez de la onda transversal en el
alambre.
b) Si la longitud del alambre se reduce a la mi­
tad, ¿cuál será la nueva masa del alambre?
Nota: Se aclara que la rapidez de la onda en el
alambre es constante.
10) En una cuerda de 30m de largo y bajo una ten­
sión de 200N viaja una onda transversal cuya
rapidez es de 12m/s. Determinar la masa de la
cuerda.
11) Una onda longitudinal tiene una frecuencia de
300Hz, cuya longitud de onda es de 6m. Deter­
minar la rapidez de propagación de la onda.
12) Una cuerda de 4m de longitud tiene una masa
de I Ogr y está sujeta a una tensión de 64N. De­
terminar:
a) La frecuencia fundamental con que está vi­
brando.
b) Las frecuencias del primero y segundo
sobretonos.
13) Determinar la rapidez de propagación de una
onda transversal en una cuerda de 50cm de
longitud con sus extremos fijos y 8gr de masa,
cuando está sujeta a una tensión de 87500 di­
nas.
14) Determinar la tensión que debe aplicarse a
una cuerda de 150 gr de masa y 1.7 m de longi­
tud para que la frecuencia de vibración de su
tercer sobretono sea de 1328Hz.
·= =102==
F
15) Calcular la longi tud de un tubo ce rrado por
un extremo para que su frecuencia de vibra­
ción fundamental sea de 392 Hz .
16) Determinar la longitud que debe tener un tubo
mu sical para que su frecuencia fundamental
sea de 329.63 }/z.
a) Si el tubo es tá abierto por los do s extremos.
b) Si el tubo está cerrado por un extremo, y
abierto por el otro.
17) Determinar la frecuencia fundam e ntal y los
dos primeros sobretonos en un tubo de 12cm
de lon gitud cerrado por un extremo sabi~ndo
que la temperatura del aire dentro del mismo
es de 30 o e .
18) Determinar la longitud de un tubo abierto que
como primer sobretono produce un sonido de
1200 Hz. C o nsiderar la rapidez del sonido de
340m / s.
19) Si un sonido tiene lO" vatio /cm 2 de intens i­
dad , determin a r el ni vel d e intens idad en deci ­
beles.
20) Una fábrica ti ene una alarm a q ue r roduce un
so nido de 3 x 10 \\ va ti o / cm 2 de intensidad
acú s tica . Determinar el nivel de inten sidad de
dicho sonido en dB.
21) Calcular la int ensidad ac ústica en va tio/m z de
una o nda cuyo nivel de intensidad es de
17 .5 dB .
22) Determinar los niveles de int ensidad audibles
de los sonid os cuyas intensidades acús ti cas
so n :
7
a) 1\ = 10 W / rrf
2
b) Iz = 10 f.I W / Crrf
c)/J
tiempo es menor esc ucha lo s dos sonidos y se tiene
la impresión de que es uno so lo.
El eco se produce cuando un sonido dura poco y
llega a reflejarse, s iendo recibido por un observa­
dor en un tiempo mayor a 0 . 1 s; entonces escucha
una repeti ción complet.a de tal sonido.
Para que ocurra el fenómeno del eco, la repeti­
ción de un sonido emitido se debe escuchar cuan­
do menos 0 . 1 s después de haber sido emitido
dicho so nid o . Por ejemplo, en un lugar donde el
sonido en el aire tiene una velocidad de 340 mi s, la
pared reflectora de ese sonido debe estar cuando
menos a 17 m de distancia de la fuente sonora, pa­
ra que en 1/ 10 de segundo las ondas emitidas y
reflejada s recorran cada una 17 m res pectivamen­
te, o sea 34 m en total, que son ia ida y la vuelta de
las ondas.
El fenómeno de la reflexión del sonido se emplea
para la determinaci6n de la profundidad de los
mares, así como para detectar la prese ncia de sub­
marinos en las cercanías de otras embarcaciones ,
utili zan do un aparato llamado sonar. El procedi­
miento cons iste en enviar un impulso so noro bajo
el agua, el cual, des pués de ser reflajado por el
fondo, vuelve y es capt.ado por un aparato recep­
tor.
Si conocemos el tiempo transcurrido entre la
onda tran s mitida y la reflejada, y la rapid ez del ~o­
nido en el agua de mar, podemos calcular exacta­
mente la profundidad del mar en ese lugar, toman­
do en cuenta que las ondas sonoras recorren dos
veces la di sta ncia de la profundidad (ver figura
4 .31 ).
4 x IO J f.lWlc m~
d) l. = 2 X IO'K Wlcm 2
4.11
REFLEXION D EL SONIDO
Y ECO
Las ondas sonoras se refleja n en superfi cies ta­
les corno paredes, montañas, nubes etc. Es muy
raro que el sonido se escuche direc tamente, sob re
todo en el interior de los edifici os , donde 105 mu­
ros actúan como s uperficies reflejantes, ,11 igua l
que los muebles en su interio r. El sonido de los ra ­
yos se repite va rias veces y durante mucho ti emp o,
debid o a las continuas reflexiones entre una nube
y otra, o entre nubes y la superfi cie terres tre.
El oído es capaz de distin guir dos so nidos sepa­
rados cuando entre uno y o tr o exi ste a l m enos una
diferencia de tiem¡Jo de 0.1 s, ¡Jorque cuando el
Receptor
Sonar
---­
---------¿-=-=-_-=- _-=-_r.-=-:-:_ -:- . _-=-_----­
-:-:
~
~_
_~_:­
::-;;¡~
OC:-:'.~:::_~c:¿
-----y---~-----­
-- - - - - " c - ¡ - - ---­
Ce~
JUJ;Jl
Onda sonora emitida
Fig.4.31
4.12
....
us
Onda sonora reflejada
EF ECTO DOPPLER
Cuando una fuente sonora y un ob,er vador que
escuc ha el sonido em iticlo están en rC¡JO So, el oh­
servador escucha el sonido con una frecuencia
exactamente igual a la que la fuente emite (ver fi­
gura 4.32).
v
/
/
=
/0
Fuente sonora en reposo
Fig4.32
v
=
f
=
fo
=
Á
=
a) El oyente se acerca a la fuente sonora
Representemos la fuente sonora como se ve en
la figura 4.33, en reposo y emitiendo un sonido cu­
yas ondas se propogan con una frecuencia f cuya
longitud de onda es Á, con una velocidad v propia
del lugar del experimento. Como el oyente está en
movimiento, con una velocidad Vo acercándose a
la fuente sonora, la velocidad del sonido v y la ve­
locidad del oyente Vo se suman, ocasionando que
la frecuencia o tono del sonido aumente, debido al
acercamiento y reduccibn de la longitud de onda
de la frecuencia emitida por la fuente. En esta for­
ma el oyente escucha una frecuenciafo o tono apa­
rente, que es más agudo que el original, como en el
extremo izquierdo de la figura 4.33.
fo
rapidez de propagacibn del sonido en el
lugar del experimento.
frecuencia del sonido emitido por la
fuente sonora.
frecuencia del sonido escuchado por el
observador oyente.
longitud de onda.
El fisico Christian Doppler observb que cuando
una fuente sonora se movía con cierta velocidad
con respecto a él, que se encontraba en reposo, la
frecuencia del sonido emitido por la fuente sufría
una variacibn aparente, es decir, que él la escucha­
ba distinta. Lo mismo sucedía al moverse él con­
cierta velocidad respecto de la fuente sonora, es­
tando ésta en reposo. Llamamos efecto Doppler a
esta variacibn aparente que sufre la frecuencia de­
bida al movimiento.
Definición: El efecto Doppler es la variacibn
aparente de la frecuencia de un sonido emitido por
una fuente, cuando existe un movimiento relativo
entre ésta y un observador oyente.
El origen del efecto Doppler puede representar­
se gráficamente en los dos casos en que se presen­
ta, ya sea que la fuente sonora esté en reposo y el
que se mueva sea el observador oyente; acercándo­
se o alejándose de dicha fuente sonora, o que el
observador esté en reposo y la que se mueva acer­
cándose o alejándose del observador sea la fuente
emisora.
Primer caso: La fuente sonora está en reposo
se mueve el observador oyente.
f
fo
Vo
Fig.4.33
En este caso, la rapidez resultante de las ondas
sonoras en cada punto por donde pase el oyente
será la suma de v y de Vo :
VR
fo = ­
Á
pero
v +
VR
v +
v
Vo
Vo
f
f
fo
(v
+
vo)
obsérvese que fo
>f
v
Donde:
fo
= frecuencia aparente escuchada por el
observador.
longitud de la onda sonora aparente.
f
frecuencia real emitida por la fuente.
Á
= longitud de la onda sonora real.
v = rapidez de propagación del sonido en el
lugar.
V o = rapidez del observador oyente .
..1. 0
=
=
;===104==
b) El oyente se aleja de la fuente sonora
Cuando el oyente empieza a alejarse de la fuente
sonora, después de haber pasado frente a ella, es­
cucha un tono más grave que el real, o sea, una
frecuencia fa más baja que la frecuencia f real de
las ondas sonoras, debio al alargamiento de la lon­
gitud de onda. La rapidez resultante será, en este
caso, la diferencia de la rapidez v del sonido en ese
lugar menos la rapidez Vo del observador oyente
(ver figura 4.34).
En este caso nos basaremos en las variaciones
aparentes que sufre la longitud de las ondas sono­
ras emitidas por la fuente. En el extremo izquierdo
de la figura 4.34 , la longitud de onda resultante
ÁR será la diferencia de la longitud de onda real A,
menos la longitud de onda aparente ,1. 0 ' La fre­
cuencia aparente fa escuchada por el observador
será más aguda o de un tono más alto que el de la
frecuencia realf de las ondas sonOías emitidas por
la fuente. Tenemos de este modo
f a ==
fa
pero
VR
v-
Á
va y Á = v
f
fa
v-
pero
.
fa
,1. -
ÁR
v
l:'... Y Áo ==
Á ==
f
f( v _. v )
o
= ~---"-"­
,1. -
,1. 0
V
7 -
v
fo
VF
f
fv
fa
~
Al unir las dos últimas fÓrmulas en una sola,
obtendremos:
v
fa
VF
f
obsérvese que f a < f
v
V
.. f a
,1. 0
ahora:
va
f
..
V
ÁR
VR
v-
VF
f
Obsérvese que
>f
j 'o
f(v±vo )
fa
v
b) La fuente sonora se aleja del oyente
Signo + Cuando el oyente se acerca a la fuente.
Signo - Cuando el oyente se aleja de la fuente.
Segundo Caso: Observador oyente en reposo.
Se mueve la fuente sonora.
En este caso, cuando la fuente sonora se aleja
del observador oyente, la longitud de onda resul­
tante ÁR será la suma de la longitud de onda real Á
más la longitud de onda aparente ,1. 0 (extremo de­
recho de la figura 4 .34). Obtenemos entonces:
10 =
a) La fuente sonora se acerca al oyente
Aa
>A
+--AO-1-
V
ÁR
f
pero
..
Á +
ÁH
,1..0
v
--,1..0
fa =
), +
y Aa
V¡-
v
fa
f
.x... + ~
f
Fuente sonora
se acerca al oyente
Flg.4.34
Fuente sonora
se aleja del oye me
fa
v
v +
f
::::::::=== 105====
fa
VF
f
fv
v +
VF
fa < f
Obsérvese que
a)
J'J
Jo
400 Hz (
r
JO
400 Hz (335
335 mIs
\
\335 mIs + 2 mI.;')
Uniendo las dos fórmulas del segundo caso en
una sola, obtene¡m:,
~
'
v+
!_
Signo ( -
--.,-
-
VF
Jo =
­
Cuando la fuente sonora se a.cerca al
oyente.
Problemas resueltos
1) Un diapasón de 400 Hz de frecuencia se aleja
de un observador y se acerca a una pared con
una velocidad cuya magnitud es de 2 mIs. De­
terminar la frecuencia aparante de tono:
a) De las ondas sonoras que llegan al observa­
dor directamente.
b) De las ondas sonoras que llegan al observa­
dor después de reflejarse en la pared.
Se supone que la rapidez del sonido enese lugar
es de 335 m Is.
v
a)
b)
fa
1'0
b)
J:
=
=
V
J (
\V
402.4 Hz
Resultado
mIs hacia la sirena de una fábrica. La sirena
tiene una frecuencia de 500 Hz. Suponiendo
que la rapidez del sonido en el aire en ese lugar
es de 340 mIs, hallar la frecuencia aparente
que escucha el conductor del automóvil.
Datos
30 m Is
500 Hz
340 mIs
?
va
Jo
Fórmula
Como el conductor se acerca a la fuente
(1\
I
(UENrE EN
\
~ + v;)
335 mI s
\
335 mls- 2 mIs)
2) Un autómovil se aproxima a una rapidez de 30
fo =
f (/
Resultado
400 Hz (335 mIs\ = 400 Hz x 1.006
\335 mIs)
1'0
v
400 Hz
2 mIs
335 mIs
= ? cuando la fuente se aleja.
= ? cuando la fuente se acerca.
Fórmulas
a) fa
1'0 =
J
Datos
VF
400 Hz x 0.994
397.6Hz
b)f'o = 400 Hz (
Signo ( + ) Cuando la fuente sonora se aleja del
oyente.
f
WIS~
337 mIs /
l'1ev ¡ir¡ !fNfO
~\
v ')
Substitución y operaciones
Jo
v \
+
=
500 Hz
30 m i s '\
( 1 + 340 m i s -)
I)r)
Nota: En el inciso b, la frecuencia que escucha
el observador es la misma que llega a la pared, de­
bido que entre la pared y el observador no exis~e
movimiento relativo. Por otro lado, la frecuenCia
de la onda reflejada es igual a la incidente. La pa­
red actúa, ad('más, como fuente sonora.
Substitución y operaciones
+ 0.0882)
Jo
500 Hz
/(1
500 Hz x 1.0882
ro =
(1
544.1 Hz
Resultado
Problemas propuestos
1) El silbido de una locomotora que viaja a
90kmlh tiene una frecuencia de 2000 Hz. Si la
==106==
rapidez del sonido en el aire en ese sitio es de
340m / s, calcular la frecuencia del silbido es­
cuchado por una persona:
a) Antes de que la locomotora pase frente a
ella.
b) Después de haber pasado.
2) Las sirenas de do~ barcos, A y B , son de una
frecuencia de 200 Hz y suenan simultánea­
mente . La rapidez del sonido en el aíre es de
332m / s. Se supone que el barco A está parado
y que el B se mueve a la largo de la línea que
los une. El capitán del barco A percibe un so­
nido de 204 Hz de frecuencia, procedente del
barco B. Determinar:
a) Si el barco B se acerca o se aleja del barco
A.
b) La magnitud de la velocidad con que se
mueve el barco B con respecto al barco A.
3) Determinar la magnitud de la velocidad con
que se aleja una persona de una fuente sono­
ra, sabiendo que la frecuencia que escucha es
un IOOJo inferior a la realmente emitida por la
fuente . La rapidez del sonido en ese lugar es
de 340 mi s.
4) Un observador en reposo escucha la frecuen­
cia emitida por una bocina de un automóvi'¡ y
observa que disminuye de 280 Hz a 249Hz. La
rapidez del sonido en esa región es de
4l4.7m/s.
a) ¿Con qué rapidez se mueve el automóvil?
b) El automóvil, ¿se acerca o se aleja del ob­
servador?
5) Una sirena de una fábrica emite un sonido cu­
ya frecuencia es de 1218 Hz, que se propaga
con una rapidez de 328 .3m / s. Un observador
en movimiento registra una frecuencia de
1198 Hz. Determinar:
a) La rapidez con que se mueve el observa­
dor.
b) Si el observador se está acercando o alejan­
do de la fuente sonora .
6) Resolver el problema anterior para el caso en
que la fuente sonora esté en movimiento y el
observador oyente en reposo .
El automóvil hace sonar la bocina con una
frecuencia de 400 Hz; el observador la es­
cucha con una frecuencia aparente de 392 Hz .
Determinar la rapidez con que se mueve el au­
tomóv il.
8) Una ambulancia emite un sonido de 298 Hz al
desplazarse con una rapidez de 45 km / h. De­
terminar las frecuencias aparentes que es­
cucha un observador en reposo, en los si­
guientes casos:
a) Cuando la ambulancia se acerca a él.
b) Cuando ia ambulancia pasa frente a él
c ) Cuando la ambulancia se aleja de éL
9) Una fuente emite un sonido de frecuencia
igual a 261.63 Hz. Es necesario que un obser­
vador escuche un tono (frecuencia aparente)
de 370 Hz.
a) ¿Con qué rapidez se tendría que mover la
fuente hacia el observador?
b) Si la fuente permanece en reposo . ¿con qué
rapidez se tendría que mover el observador
hacia la fuente?
JO) El silbato de un tren emite un sonido cuya fre­
cuencia es de 400 Hz.
a) Si el tren se acerca con una rapidez cons­
tante de 20m / s hacia un observador en re­
poso, ¿cuál es el tono del sonido que es­
cucha el obs.ervador, cuando el tren se ale­
ja de él con la misma rapidez?
Nota : Considerar que la rapidez del sonido en
ese lugar es de 340 mi s.
Il) Una fuente sonora en reposo emite un sonido
de 800 Hz. ¿Qué frecuencia aparente percibe
un observador que se aleja de dicha fuente
con una rapidez de 30 m i s ? En ese momento
la rapidez del sonido en el aire es de 340 mi s.
12) La frecuencia fundamental del silbato de un
tren es de 300 Hz . La rapidez del movimiento
del tren es de 60 km/ h, constante. La tempe­
ratura ambiente del lugar es de 20°C. ¿Qué
frecuencia aparente escuchará un observador
en reposo? si :
a) El tren se acerca a él
b) El tren pasa frente a él
c) El tren se aleja de él
7) Un automóvil se mueve alejándose de un ob­
servador oyente que se encuentra en reposo.
==107 = =
CONCEPTO DE OPTICA
Es la parte de la física que es tudia los fe nóme­
nos luminosos.
INTRODUCCION
Cua ndo un cuerpo se pone en contac to con otro
de mayor temperatura, existe transmisión de calor
de este último hacia el cuerpo de menor tempera­
tura hasta igualarla s, en ese momento decimos que
los dos cuerpos es tán en eq uilibrio térmico. Así
decimos q ue cualquier cuerpo situado en un deter­
minado lugar está en equilibrio térmico con sus
alreded ores; sin embargo su aparencia externa es
muy diferente de lo q ue sucede en su interior, ra­
zón por la cual tod os los cuerpos siempre emite n
energía radiante, u nos en mayor can tidad que
otros, dependiendo de su temperatura. Por ejem­
plo, si suponemos u na ba rra metálica si tuada en
algún lugar y esperamos que se ponga en eq uili­
brio térmico con sus alrededores, ésta emitirá y
absorberá energía radiante en la misma propor­
ción; pero si a un o de sus extremos lo calentamos,
éste adquiere mayor actividad y empieza a emi tir
energía radiante con mayor velocidad que an tes.
Si calentamos la barra metálica hasta una tempe­
ratura de 600 o e o más, depend iendo de la clase de
metal de que esté fabricada, la radiación se hará
visible en una parte, afectando el sentido de la vis­
ta, pues puede ponerse al roj o vivo. La energía ra­
diante que emite un objeto a ntes de que su efecto
sea visible se compone de ondas electromagnéticas
que tienen una longitud de onda mayor que la de
la luz roja, llamados rayos infrarrojos. Si conti­
nuamos aumenta n do la temperatura de la ba rra
llegará el momento en que tome un color rojo­
blanco muy intenso; cuando esto sucede , la ener­
gía radiante se encuentra más allá de lo visible.
Mediante esta clase de experimentos es posible
introducirnos al es t dio de la luz. Podemos afir­
mar que la naturaleza de la luz visible consiste en
que son ondas el ctromagnéticas capaces de afec­
tar el se ntid o de la vista , y se diferencian de otras
del mi mo tipo ún icamente por su energía.
La energía de la luz visible varía de entre 2.8 x
1019 julios hasta 5 x 10" 19 julios .
E"Js ten tres teorías para explicar la naturaleza
de la luz y son las siguientes:
TEORIA CORPUSCULAR
Establecida por Sir Isaac Newton, quien afirmó
que tod o cuerpo lu minos o o fu ente luminosa des·
prende pequeillsimas partícu las que viajan a velo­
cidades muy grandes comparadas con su tamaño.
Pero ex isten fenómenos que no se pueden explicar
muy fácilmente por medio de es ta teoría, como la
refracció n, la difracci6n y la polarización de la
luz.
TEORIA ONDULATORIA
Fue C hristian Hu ygens , físico cont emporáneo
de New ton , quien e tableci6 esta teoría que es­
ta blece que la lu z se propaga en forma de ondas de
energía; pero come e el error de afirmar que como
las ondas de vib raci6n de partícula necesitan de un
medio material para propag arse, las ondas lumi­
nosas se propagan a lravés del eter; este medio no
pudo ser detectad o , y es entonces que Maxwell de­
muestra que la lu z es un fenómeno ondulatorio
-- -108 ==
electromagnético q ue puede propagarse a través
del vacío .
Con la teoría ondulatoria de la luz (Huygens­
MaxwelI) pueden explicarse fácilmente los fenóme­
nos de refracción , difracción y polarización de la
luz, así corno muchos otros que tienen lugar en la
pr-opagación de cualquier onda energética.
TEORIA CUANTICA
Las teorías corpuscular y ondulatoria de la luz
todavía dejan mu chos fenómenos luminosos sin
explicaci6n. Posteriormente Max P lanck dio a co­
nocer su teoría cu ántica. Se llegó a considerar inú­
til la teoría corpuscu lar de Newton; sin embargo
no fue así, pues con su teoría, Max Planck reforzó
a la corpusc."ular, en tanto que la mecánica cuántica
intuye el transporte de energía luminosa con base
en partículas O corpúsculos muy especiales. llama­
dos cuantos que, en lo que se refiere a la luz, son
llamados fotones.
4.13
PROPAGACION DE LA LUZ
Como toda onda de energía, al propagarse la
luz se presentan los fenómenos de reflexión, di­
fracción, refracciÓn e interfere ncia; además existe
el fenómeno de p olarización dependiendo del tipo
de substancia qu e encuentre en su camino, lo cual
da lugar a que los cuerpos receptores de la luz e
clasifiquen en opacos, transparentes y translúci­
dos.
Todo cuerpo constituye un receptor de luz; a l­
gunos la transforman en calor , otros le hacen va­
riar sus caractelÍsticas com o, por ej emplo, cam­
bios en la velocidad de propagación, que es el caso
de la refracciÓn. El receptor q ue le da un significa­
do útil es el ojo (humano o animal) .
A través del ojo, el cerebro acepta como ondas de
luz visible aquéllas cuya gama está comprendida
entre 4 x 1014 y 7.5 X 1014 Hz, que originan longi­
tudes de ondas comprendidas entre 750 a 400 nanó­
metros (nm) (1 nm = 10'9 m ) , o sea que las longi­
tudes de onda de esta gama d frecuencias son de
750 x 10'9 m a 400 x 10'9 m. Como lÁ = 10'10
m, entonces las longitudes de onda de la luz visible
son:
,1.1
= 7500Á a ,1.2
=
4000Á
El Sol, principal fuente de energía luminosa,
nos envía luz aparentemente blanca; sin embargo,
ésta no es más que la combinaci6n de se is colores
diferentes que nuestra vista no puede separar, a
menos q ue nos valga mos de algún medio para des­
componer dicha luz.
E n óptica es mu y frecuen te indicar la longitud
de onda de un solo color (radiación monocromáti­
ca) en lugar de indicarlo por su frecu encia, como
en el caso de los sonidos. Situaremos los colores en
funci 6n de su 10ngitud de onda en angstrom, ob te­
niendo el espectro luminoso de la figura 4.35
o
ro
"O
'2
ro
~
o
~
"¡:;
ro
ro
<IJ
"O
"3
<
o::
~
~
v'"
>
7500
6 100
5900
5500
5000
f. en AllgS! rorn
(Á ;
'0
a::;
'O
;>
4500
4000
f.·ig.4.35
En 1 vacío, tod~ los colores avanzan con la
misma velocidad. Al llegar alojo se mezclan origi­
nando que en el cerebro se registre un solo color,
el blanco.
4.13.1
CARACTERISTICAS DE LOS
CUERPOS RECEPTORES
DE LUZ
CUERPO OPACO
Es aquel que no deja pasar la luz ni deja ver la
fu ente luminosa. En este tipo de cuerpos, parte de
la luz es transformada y la m ayor parte es refleja­
da, por ello podemos detectar que su temperatura
se eleva y se ilumina. Com o ejemplo de cuerpo
opaco podemos mencionar un espejo, el cual refle­
ja casi toda la energía lumin osa, pues una parte
muy pequeña de ella es transformada en calor.
El color de un cuerpo se determina por la mez­
cla de los colores que puede reflejar. Si refleja to­
dos los colores, el color es blanco. Si se ve verde,
significa que únicamente refleja las ondas lumin o­
sas u ya longitud de onda corresponde al color
verde del espectro luminoso; las demás ondas son
transformadas en calor.
Un cuerpo opaco no deja pasar la luz a través de
él, e impide que se vea el foco luminoso , dando lu­
gar a la formación de sombra o de sombra y pe­
==109 = =
numbra. Comprobamos además que la luz se pro­
paga en línea recta.
Si el foco es puntual, el cuerpo opaco origina
sombra (ver figura 4.36).
__-=-._-.:- __
.-:: ~rpo)
opa~ _
--
Foco puntu a l
--
_
su teoría, que al chocar con cuerpos opacos, las
ondas sufr.an deflexiones rodeando los bordes de
estos cuerpos. A esta deflexión de las ondas al
chocar con cuerpos opacos le llamó difracci6n de
la luz y afirmó que este mismo fenómeno se pre­
senta con las ondas producidas en el agua y con las
ondas sonoras, y que por eso se obtiene una som­
bra borrosa yen ocasiones se carece de ésta (ver fi­
gura 4.39). Además, la deflexión de la luz se debe
a las grandes longitudes de onda de las ondas lumi­
nosas, y si las iongitudes de onda fueran bastante
cortas, se producirían siempre sombras bien deli­
neadas y nítidas, debido a que la de flexión sería
muy pequeña.
Fig.4.36
Si el foco no es puntual, el cuerpo opaco origina
sombra y penumbra (ver figura 4.37) .
PenUll10ra
Sombra
Foco
-
Cllerpo opaco
(f~::)~
No\?untual
--
--
- - --
-
-
-
-~-..;
Fig. 4.38 Sombra bier, dePnida.
----:.,.
I
I
II I I
I I I I
CUERPO TRANSPARENTE
Es aquel que deja pasar la tuz y permite ver al
foco luminoso
CUERPO TRANSLUCIDO
Es aquel que deja pasar la luz, pero no permite
ver el foco luminoso.
4.13.2
PROPAGACION RECTILlNEA
DE LA LUZ
La propagación rectilínea de la luz se explica fá­
cihnente con la teoría corpuscular de Newton, ba­
sada en que al encontrar un cuerpo opaco, las par­
tículas producen sombras con contornos bien defi­
nidos, como se muestra en la figura 4.38. Esta es
la razón por la cual Newton supuso que la luz
tenía forzosamente que estar constituida por par­
tículas. Sin embargo, Huygens explicó por medio de
I
I
r I
I 1I I
I I I I
-(r í
I
I I I
I
I
I
I
Fig. 4.39 Sombra borrosa o carencia de ella.
Existen otras formas experimentales para de­
mostrar que la luz se propaga en línea recta.
En la cámara obscura se puede comprobar que
la luz se propaga en línea recta. Esta cámara tiene
forma de un prisma rectan gular, er. u na de sus pare­
de~ curvas se perfora un orifici o , y ~n la pared que
está atrás de ésta se coloca una placa de vidrio
translúcido, sobre la cual se refleja la imagen de
un cuerpo lumin os o, per o invertida (ver figura
4.40).
Obsérvese cómo íos rayos luminosos 0, 1, 2 y 3
viajan en línea recta; es por esto que al atravesar el
==110==
- -- - --
orificio, la imagen del objeto se ve invertida en ra
placa de vidrio translúcido.
Frentes d e onda
.--~
_ _ Obstáculo con
orificios
l
O
Obje lO
-i
,..-.
Frentes de onda
secundarios
:2 ~
___
'\
Hg4.42
Fig4.40
Huygens explicó la propagación de la luz basán­
dose en su teoría ondulatoria, bajo el siguiente
principio:
Cualquier punto de un frente de onda que avan­
za, se considera como una nueva fuente de ondas
secundarias llamadas onditas. La nueva posición
del frente de onda envuelve a las pequeñas onditas
en todos los puntos.
Comprobó este principio experimentalemente
en el agua tranquila, dejando caer una piedra y
produciendo frentes de onda en forma de círculos
concéntricos; colocando un obstáculo también en
forma de círculo concéntrico con las ondas produ­
cidas, con unos pequeños orificios a lo largo de és­
te, y observó que cada orificio se comportaba co­
m~ una nueva fuente de ondas, a las que llamó on­
das secundarias (ver figura 4.41). Si el frente de
onda es plano, sucede exactamente lo mismo. En
la propagación de la luz, los rayos son perpendicu­
lares a los frentes de onda (ver figura 4.42).
Frentes de o nda
Fig 4.41
Frentes de onda circul ares.
:::::=:::= 111
Frentes de onda planos.
El fenómeno de la reflexión de la luz se explica
fácilmente con la teoria corpuscular de ia luz, es­
tablecida por Newton. Como se suponen pequeñas
partículas viajando a grandes veiocidades . al inci­
dir en una pequeña superficie lisa, éstas rebotan
volviendo al medio original (ver figura 4.43).
Fig 4.43
Refiexi6n de la luz por la leoria corp uscular.
Newton explicó la refracción de la luz en su teo­
ría corpuscular comparando las partículas lunúno­
sas con una pelota que rueda en una superficie lisa
y horizon tal, y des pués entra a una pendiente cam­
biando de dirección. Unicamente que la velocidad
de las partículas luminosas es mayor (en este caso)
cuando entra al medio de refracción. Si Newton se
hubiese dado cuenta que en realidad sucede lo
contrario, quizás hubiera abandonado su teoria
(ver figura 4.44), pues con su teoria ondulatoria,
Huygens comprobó que la velocidad de la luz dis­
minuye cuando entra ;:J medio de refracción. Es
por esto que explica fácilmente la refracción de la
luz, basándose en dicha teoría, al observar la des­
viación que sufren los rayos luminosos al pasar de
un medio transparente a otro. Por ejemplo, pode­
mos observar cómo al introducir una varilla den­
tro de un estanque con agua, parece que sufre una
desviación, que consiste en quebrarse a partir de la
======
superficie del agua (ver figura 4.45). Comprobó
además que la luz viaja más lentamente a través
del agua que a través del aire.
Medi o
d~
:efracci bn
Mediode incidencia
Fig. 4.44
Refracción de la luz por la teoría corpus,ular.
._==-____ "
Aire
Me~~ d e in:~cnCia
I t--
~
,
.
__
o
-
,
Aua----
-
_ .
g
--­
- - - - ------=~--=- -=--=--------
-------
F"ig 4.45
=-
--~_-
­
--
-
--
~
Ji
-=
-­
----Medio de refraccibn ­
velocidad de la luz en el aire, aunque no en forma
precisa, ya que el tiempo no se podía medir con
exactitud.
METODO DE ROEMER
Ocho años más tarde, en 1675, el astrónomo da­
nés Olaf ROemer, por observaciones astronómicas
realizadas en uno de los satélites del planeta Júpi­
ter, obtuvo la primera prueba determinante de que
la luz se propaga con velocidad finita. Júpiter
tiene 11 sátelites, tres de los cuales son muy
brillantes y pueden ser observados fácilmente me­
diante telescopios de buena calidad. Los satélites
se ven como puntos brillantes que aparecen a uno
y otro lado del disco del planeta. Como el plano de
la órbita de Júpiter alrededor del Sol está casi en la
misma posición que el plano de la órbita de la
Tierra, ROemer utilizó a Júpiter para calcular la
velocidad de la luz. Los satélites de Júpiter son
eclipsados por éste durante un tiempo determina­
do en cada vuelta completa (ver figura 4.46) .
,-<Ir
t(~/.
~~__
~::::::
O,.............\ Tierra
-'¡k.........
:: --
> . . . .:_- . . .
I
\'
./'"
,
~
---'
,,'
VE LOCIDAD D E LA LUZ
METODO DE GALILEO
Galileo fue quien imaginó por primera vez, en
1667, que la luz no se propaga con velocidad infi­
nita como suponían en aquella época muchos filó­
sofos. e hizo un experimento en el que colocó dos
observadores separados, en linea recta ya una dis­
tancia de 1.5 km aproximadamente, con una lám­
para cada uno . El experimento se hizo de noche y
consistió en contar el tiempo en que el primer ob­
servador enviaba la luz al otro observador. Cuan­
do el segundo veia el destello que lanzaba ei prime­
ro, enviaba su luz; de esta forma , el primer obser­
vador contaba el tiempo desde que enviaba su luz
hasta que volvia a verla en la lámpara del segundo
observador. Conociendo la distancia que recorria
la luz en la ida y la vuelta, y el tiempo transcurrido
en realizarse el fenómeno, Galileo pudo calcular la
.l-"
,"
......
,........
I
I
I
I
.......,.
4.14
-zA- '
,,'''.\1
,.'
O
,
.--="'_~
BI
\
Refracci ón de la lu z por la teoría ondulatoria
,¡I'
_ --- ;
Satélite
,_--_ ..... ,
,.
-- __ _•
................
P
......
,
\
. . . 7--"
I
I
t'
Fig.4.46
42 h que es el tiempo del eclipse del sa­
télite cuando la Tierra está en el punto
A.
42 h 22' que es el tiempo del eclipse del
mismo satélite cuando la Tierra se en­
cuentra en el punto B.
Diámelro de la órbita terreslre =
t'
D
300,000,000 km.
La diferencia de tiempos de los eclips~s sedebió a
que la luz viajó a mayor distancia cuando la Tierra
estaba en B que cuando estaba en A. La distancia
que recorri6 de más, fue la equivalente a 300,OOO.00ü
km, que es aproximadamente el diámetro de la Órbi­
ta terrestre alrededor del Sol. Como la luz recorrió
---112- -
­
esta distancia en 22' o sea 1320 s, entonces tenemos
que la velocidad de la luz es:
e =~ =
t
300,000,000 km
1320 s
e
227,272.73 kml s
Este valor no fue aceptado por considerarse de­
masiado grande, sin saber en aquella época que es
aun menor que la verdadera, de 300,000 kml seg
que es la que actualmente conocemos .
METODO DE FIZEAU
Otro método para calcular la vel ocidad de la lu z
III ili zando aparatos en la superficie terrestre fue
realizado por el físico francés Fizeau en 1844. El
aparato que empleé se muestra en la figura 4.47 .
~
Pla~~ de VidriO\anSrarenrrl
e. ~2.. _ _ .. BL 3 ~M
S'"
'"
\"
~_ _
Mana nti a l
IUlllin ~ o
-........
.........
-,.~
G
~(t''',
:: I
L
~ /'
,, /
1;
rr
l'
p
4 ~T
~
~
.r. ___ ~_
Ru eda demuda
....
., "
kl'.A.- - ._- ......
nociendo la velocidad angular w, el radio r de la
rueda dentada, la distancia entre las aberturas de
los dientes y la distancia de la rueda al espejo M,
puede calcularse la velocidad de la luz. Las medi­
das de Fizeau no fueron muy exactas y afirm6 que
la velocidad de la luz es e = 3.15 x 108 mi s.
El aparato de Fizeau fue modificado por Fou­
cault, quien reemplazó la rueda dentada por un es­
pejo giratorio, introduciendo entre éste y el espejo
M un tubo con agua. Lo único que pudo lograr
fue la comprobación de que la velocidad de la luz
en el agua es menor que en el aire.
METODO DE MICHELSON
Las medidas más exactas basadas en el método
de Foucault fueron realizadas por el físico norte­
americano Albert A. Michelson, quien inici6 sus
experimentos en 1878. Su método consisti6 en que
en lugar de la rueda dentada utilizada por Fizeau
introdujo un espejo octagonal y encontró así que
la velocidad de la luz es:
e
= 2 .99797
x 108 mi s ± 0 .00001 x 108 mi s.
I
Empleando el signo + obtenemos:
Espej o
,¡ E
~ Ojohumano
e
= 2.99798 x
108 mi s en el aire, por lo cual
en el vacío resulta:
Hg. 4.47
e
La lente LI forma una imagen del manantiallu­
minoso S en un punto pr6ximo al borde de una
rueda dentada T que puede hacerse girar rápida­
mente con cierta velocidad angular w. G es una
lámina de vidrio transparente, que se coloca incli­
nada para tener una reflexi6n hacia la lente L4 yal
ojo humano. Supongamos que la rueda dentada T
está en reposo y que la luz pasa a través de una
abertura entre dos dientes . Las lentes L2 y L3 , se­
paradas a una distancia aproximada de 8.6 km,
forman una segunda imagen en el espejo M . La luz
reflejada por M vuelve en su misma trayectoria y
es reflejada en parte por la misma lámina G atra­
vesando la lente L4 y llegando alojo humano colo­
cado en E. A la rueda dentada se le hace girar
con una velocidad tal, que la luz reflejada del es­
pejo M debe llegar precisamente cuando la rueda
presente una abertura y no un diente , para que así
la luz pase e incida en la placa G y puede verse la
imagen en el punto E a través de la lente L4. C o­
= 3 x 108 mi s
e
ó
= 300,000
kml s
Michelson obtuvo el Premio Nobel por este cálcu­
lo, aunque esto ocurri6 después de su muerte.
METODO MATEMATICO DE MAXWELL
Por métodos matemáticos y basándose en la
teoría ondulatoria de la luz y sabiendo que ésta se
compone de ondas electromagnéticas , Maxwell
calcul6 la velocidad de la luz en el vacío o en el ai­
re, por medio de la siguiente expresi6n valiéndose
de la permitividad absoluta del vacio (o, y de la
permeabilidad ab soluta del mismo ¡.lO.
e
= =113 =
~'
¡J. o
=
=
(o
7
4rr x 10.
8.85
X
lO-12 C
Nm
N
Al
1
e
= r======-=~=;===========
12
/8 .85 x 10(4 x 3.1416 x JO~)
e
\j
Nm 2
~264
X
A2
19
10-
Superficie lisa reflejan te
Fig. 4.48.
Segunda. El ángulo de incidencia es igual al
ángulo de reflexión.
3.3348559
x
-9
10 ­
4.16
e
mA
1
2.9986 X 10-1 x 10 9
s
m
e
2.9986 x I O~ mi s
y finalmente:
e
=
de la luz en el aire o en el vacío con la magnitud de
la velocidad v de la luz en ese medio material en
particular.
8
3 x 10 mis
Nota:
Obsérvese que la velocidad de la luz de­
pende de la permitividad y de la permeabilidad del
medio de propagación de ésta, lo que significa que
la velocidad disminuye cuando la luz se propaga
en otro medio diferente al vacío .
4.15
REFRACCION DE LA LUZ
Sabemos ya que la velocidad de la luz en el aire
es e = 3 x lOS m i s. Cuando la luz pasa del aire
a otro medio material transparente distinto su ve­
locidad cambia en magnitud, dirección y sentido,
por lo cual se desvía de su trayectoria, lo anterior
se debe a que el medio donde penetra tiene una
densidad diferente a la del aire. Esta variación es
llamada refracci6n de la luz.
Se llama índice de refracción de un medio mate­
rial a la relación de la magniiud de la velocidad e
REFLEXION DE LA LUZ
Su explicación es como la de toda onda energéti­
ca, es decir que durante su propagación, la luz en­
cuentra un medio que no puede atravesar; enton­
ces choca contra él y continúa viajando en el mis­
mo medio original con la mi sma magnitud de velo­
cidad.
Matemá ticamen te:
e
n = -­
(adimensional)
v
Ejemplo:
Si la velocidad de la luz en el aire tiene una mag­
nitud de 3 x 108 mi s y en el agua es de 2.25 x 10 8
mi s, ¿cuál es el índice de refracción del agua?
Daros
e
v
n
3 x 108 mi s
2.25 x 10 8 rn l s
?
4.15.1 LEYES DE LA REFLEXION
Primera. El rayo incidente, el f"YO reflejado y
Fórmu la
la normal están en un mismo plano (ver figura
4.48) .
n =­
==114-­
e
v
Substituci6n y o pera cio nes
3 X IO~ /1/ l s
n =
LEY DE SNELL
~
2 .25 x 10 m i s
n
=
Frente de onda plana
1.33
Medi o- l
En la misma forma se obtiene:
Para
Para
Para
Para
el
el
el
el
vidrio
n
benzeno n
diamante n
circun
n
Alcohol etílico
Gli cerina
Hielo
Cuarzo
ni
~~~~~--~--------------M '
_ _+_';----';-_.,.-_ _ _ Medio- 2
--tth--':-~--+-I- - n2- - - - - ­
I
_
I ~.__---c,..-~I Rayos refractados _ _ ___
_ ---LI.;..
1.5
1.5
2.42
1.92
n
n
n
n
,
I"
1.36
1.47
1.31
1.54
LEYES DE LA REFRACCION
Primera. El rayo incidente, la normal y el rayo
refractado están en un mismo plano.
Segunda. La trayectoria de un rayo refractado
en la entrecara de dos medios, es exactamente re­
versible.
Norm a l
e,
~
=
.~
\
Fig.4.51
4.16.1
e,
\
-8 2 ~L~\-,\r--r-TI------------
Ang u lo de inci dencia
Angul o de refra cc ib n
Aire
Por la teOlía ondulatoria de Huygens, conside­
remos la refracción de una onda plana al incidir de
un medio' J (transparente) de índice de refracci 6 n
ni a otro medio 2 (también transparente) cuyo Ín ­
dice de refracción es n2. Observemos que el frente
de onda plana AA ' perpendicular al vector de pro­
pagación incide en la superficie MM' que separa a
ambos medios transparentes con un ángulo el . Al
traspasar la línea MM' sufre una desviación, acer­
cándose a la normal, formando un ángulo 2 án­
gulo de refracción (ver figura 4.51) .
Consideremos una parte del frente de onda pla­
na AA' que incide y se refracta, o sea la parte A Q
que es la incidente, y la parte BO que es la refrac­
tada y hagamos el análisis en la figura 4.52.
e
Un rayo incidc lll c
- - Agua
-
-
8,
=-=--=-- ---=- -=-.r.-
- -
Fil{. 4.49
-
~
-
-
+ -
-
- --­
Rayo refractad o
_- - ­
Primera ley
I N ormal
I
I
-e-l
1,'
A ire
Fil(. 4.52
En es ta última fi gura se fo rman dos Iri á ngu los
Fil{. 4.50
Segunda
I~ y
rectángul os sel11ej an/ cs . En el L1 AOQ cl ca/elO QO
nos representa el t ra mo reco rr ido po r los rayos in­
cident es co n u na ve locidad VI en el med io 1 de i 11 ­
- - --115 = =
dice de refracción ni en un tiempo t transcurrido.
En el fl A OB el cateto AB representa el tramo re­
corrido por los rayos refractados, con una veloci­
dad V2 en el medio 2 de índice de refracción n2 en
el mismo tiempo t transcurrido.
Entonces la distancia QO =
AB =
VI
t
Ley de Snell
Cuando el medio 1 es el aire, entonces la veloci­
dad VI es e = 3 x 108 mi s y la ley de Snell se
convierte en el fndice de refracción que ya se vio
con anterioridad .
Y la distancia
Substituyendo a
sión se obtiene:
e
senel
V2t
..---..-.
Recordando geometría: OAQ = el y
VI
por e en la penúltima expre­
AOiJ = e
2
y como:
Recordando trigonometría:
c
AO
= n
sene 2 = AB :. sene2
AO
t
senG¡ = AO :. senel = ~ Ley de Snell
sene2
V2 t
sene2
V2
Esta relación fue descubierta por el astrónomo
danés Willebrord Snell en el siglo XVII, y dice que
la razón del seno del ángulo de incidencia al seno
del ángulo de refracción es igual a la razÓn de la
velocidad de la luz en el medio de incidencia a la
velocidad de la luz en el medio de refracción.
También se puede expresar en función de los ín­
dices de refracción de los medios materiales.
Sabiendo que:
e
y que
n?
e
­
V2
VI
tenemos:
VI
En este caso, la ley de Snell dice: la relación que
existe entre el seno del ángulo de incidencia y el se­
no del ángulo de refracción es igual a una constante
/lomada índice de refracción.
4.17
DIVISION DE LA OPTlcCA
Para su estudio, dividimos la óptica en óptica
geométrica y óptica física .
AO
ni
Ley de Snell
AO
Dividiendo miembro a miembro obtenemos:
VI
n (í ndice de refracción)
V
AO
e
y
e
V2
tll
n2
Substituyendo en la expresión anterior tenemos:
sene l
-sen82
n2
----¡¡:­
4.17.1
OPTICA GEOMETRICA
Esta parte de la óptica está basada en la teoría
corpuscular de la luz, teoría de Newton, de la cual
consideramos lo siguiente:
No analiza la naturaleza de la luz.
Al aceptar que las fuentes luminosas emiten
corpúsculos, acepta también la propagación de
la luz en línea recta, estableciendo el concepto
de rayo luminoso.
Los rayos luminosos se hacen incidir en espe­
jos (planos o esféricos), lentes y en cualquier
otro tipo de cuerpo cuyas dimensiones sean
muy grandes, comparadas con las longitudes
de onda de la luz visible.
No toma en cuenta los fenómenos de la difrac­
ción, la interferencia ni la polarización de la
luz.
Se analizan sombras, penumbras, reflexión y
refracción de la luz en espejos (planos yesféri­
cos) y lentes, formulando sus propias leyes.
---116==
4.17.2
F = W flujo luminoso que se mide en vatios,
OPTICA FISICA
Esta parte de la 6ptica se basa especialmente en
la teoría ondulatoria de la luz o teoría de Huy­
gens-Maxwell, y en la teoría cuántica de Max
Plank. De la óptica física consideramos:
-
Analiza la naturaleza de la luz.
Toma en cuenta la difracción, la polarización y
la interferencia de la luz.
Aun sabiendo que la luz se propaga en forma de
ondas, es conveniente íntroducir la definición de
rayo luminoso,diciendoque es la línea reclalrazada
desde una fuente de luz hasla un observador cual­
quiera, siempre perpendicular al frente de onda.
Los frentes de onda se grancan por medio de es­
feras, circunferencias o segmentos de estas figu­
ras, pero siempre perpendiculares a los rayos lumi­
nosos.
El efecto fotoeléctrico es la emisión de electro­
nes a una substanCia cuando se expone a los rayos
luminosos.
4.17.3 FOTOMETRIA
Es el estudio de los conceptos y unidades de me··
dición de la energía luminosa visible.
FLUJO LUMINOSO
La iluminación de una superficie determinada
depende de la cantidad de energía luminosa que
incida en dicha superficie, es decir, la irradiación
de una superficie con luz visible.
Lo anterior depende de la cantidad de luz visible
que viaja desde una o más fuentes de luz hasta la
superficie iluminada. Para expresar este concepto
empleamos el término deflujo luminoso, el cual es
muy semejante al gasto en hidrodinámica, que es
la cantidad de líquido que atraviesa normalmente
una área determinada en la unidad de tiempo.
Así definimos el flujo luminoso como la canti­
dad de luz visible o de energía luminosa que se
desplaza en la unidad de tiempo, incidiendo per­
pendicu larmente en una área determinada.
Por tanto, podemos considerar el flujo lumino­
so como la palencia de la radiación luminosa vi­
sible (que como ya sabemos, está comprendida
entre 7500 y 4000 Á de longitud de onda) .
Modelo matemático:
t
por ser potencia luminosa.
Como el ojo no tiene la misma sensibilidad para
todos los colores, para poder asociar la sensibili­
dad de diversas longitudes de onda y la potencia
en vatios, se define allumen (1m) como unidad de
flujo luminoso en el Sistema Internacional de Uni­
dades.
I
1 1m = -- - vatios
680
vatio = 680 1m
Para una longitud de onda de 5550 Á, que equi­
vale al color verde-amarillo, que es la máxima sen­
sibilidad del ojo, y al cual se atribuye el 100070 ó l.
Para comprender bien lo que es ellumen es pre­
ciso conocer el concepto de intensidad luminosa.
INTENSIDAD LUMINOSA
El poder luminoso de una fuente de luz es su in­
tensidad .
La intensidad luminosa de una fuente, depende
de la cantidad de lúmenes que emite en una región
angular definida por un ángulo sólido.
El ángulo sólido se simboliza por Q y es una me­
dición angular en tres dimensiones . Se mide en es­
terradián (er) o en estereorradianes (sr).
ANGULO SOLIDO
Consideremos una fuente puntual de luz visible,
siiuada en un punto que radia energía luminosa en
todas direcciones . Si envolvemos esa fuente pun­
tual en una esfera imaginaria de radio r (tipo gaus­
siana) de tal manera que quede en el centro de ella
(ver figura 4.53), tendremos que el ángulo sólido
se define como el cociente del área de una superfi­
cie esférica donde los rayos luminosos inciden nor­
~
I
-
Q
Fuente
puntual
f"ig . 4.53
= =117 = =
,
I
I er
malmente, dividida entre el cuadrado del radio de
la misma esfera.
ángulo plano
e =sr- rad
Matemáticamente, se expresa:
Q
=;A-
s
er ó sr (Sistema Internacional)
=
Q
= r
e
m (S . l)
Si el arco S es una
circunferencia ;
entonces:
Cuando A = , 2
entonces
ángulo sólido
Si el área A es una esfe­
ra; entonces:
1 er
Por tanto:
Un esterradián es el ángulo sólido subtendido
por una área de un cuadrado cuyos lados son igua­
les a la longitud del radio de la misma esfera (ver
figura 4 .54) ,
er
= 2rr rad.
que es el ángulo
plano total.
que es el ángulo sólido
total.
Así que la intensidad luminosa de una fuente de
luz visible puntual y uniforme se define como el
flujo luminoso por ul".idad de ángulo sólido.
Matemáticamente:
c'--"""""---r
fJ
I rad
F
! =­
Q
cd
Iml er
Por definición 1 Iml l er = 1 candela (cd) o bu­
jía.
En el S.!, la intensidad luminosa! se mide en
candelas (cd).
De la expresión anterior obtenemos:
Fig. 4.54
s
e
F = Q!
rad
Con base en estos conceptos podemos definir al
lumen como el flujo luminoso comprendido en un
ángulo sólido de un esterradián producido por una
fuente puntual de luz visible uniforme con una
candela de intensidad.
y cuando s = r entonces
e
1m
r
=
l rad
Este concepto de ángulo sólido en er es semeJan­
te al ángulo plano e en radianes (rad) donde el án­
gulo plano en rad se expresa:
Un radián es el ángulo plano subtendido por un
arco de circunferencia cuya longitud es igual a la
del radio de la misma circunferencia.
Observemos las condiciones análogas que exis­
ten entre el ángulo plano e y el ángulo sólido Q.
ILUMINACION O ILUMINANCIA
Decimos que una superficie está iluminada
cuando está irradiada de luz visible.
La iluminación o iluminancia de una superficie
se define como el flujo luminoso que incide en
ella, dividido entre el área de esa superficie.
Modelo matemático:
==118-­
E = F
A
Entonces
1 lux =
ahora como F
yA
Qr
Iml m
2
Un lux se define como la iluminación que pro­
duce una fuente puntual uniforme de una candela
de intensidad a la distancia de un metro.
= lux
11m
1m
2
1 cd
llux =~
QI
Problemas resueltos
1) ¿Qué ángulo sólido se subtiende en el centro
de una esfera de 4 m de radio en una área de
2
1.5 m medida en su superficie?
QI
2
entonces E = QI 2
E =_1_
cdl "r
lux
?
Datos
En esta expresión se observa que la iluminación
varia en razón al cuadrado de la distancia, esto es
que la iluminación disminuye a medida que la
fuente de luz se aleja de un observador o de una
superficie iluminada.
La ecuación expresa cuando la luz incide nor­
malmente en la superficie, es decir, que la normal
al plano de la superficie y el rayo incidente son pa­
ralelos (ver figura 4.55).
Para el caso de que el ángulo de incidencia sea
menor a 90°, o sea que e < 90°, tendremos que:
r
4m
1.5m 2
A
Q
?
Fórmula
A
Q
Substitución y operaciones
1.5m 2
1.'5m 2
Q
= (4
m)2
= "l.6m 2
0,0938
er
Resultado
E
luxes
2) Un faro de un automóvil tiene una lámpara de
32 candelas de intensidad y concentra el haz
sobre una área de 10m 2 a una distancia per­
pendicular de 30m. ¿Cuál es la intensidad lu­
minosa del faro?
donde {cose es la componente perpendicular a la
superficie iluminada del rayo incidente (ver
fi guras 4.55 y 4.56).
Superficie
Datos
8
8,
1 Foco puntual
=
90°
A
+---_.-----"""r-. _. - ' "No"r;;¡
I Rayoluminosoincidente
I
I
o¡f-----.,. , - - ----.t
Ir
r
32 cd
30m
A
10m
{
?
2
Fórmula
Fig.4.55
{
1 Fuente puntual
1
1
I
Superficie
RilYOj
utr¡j
ill c '
llOso
/dellte : 8
A
8
<
90°
_. -I----.,_--..ll----.;::a.rf-· - . - . - . ­
I
1cosO
Normal
I
F7
Q
Subslitu ció n y o peraciones
Primero se determin a
I
,¡...-----,,. - ----J
F,
Fig.4.56
= = 119- ­
4ner x 32 u l
12,56 x 32 er Im l eT = 4021m
Q,j ,
Para el haz luminoso, el ángulo sólido que sub­
tiende es:
2
A
10m
Q =-= ? (30mi
Q
0.011 er
Datos
1
36 cd
r
3m
d
== 4m
?
?
La intensidad luminosa del faro es:
402/m
I
O.Oller
:.
1 == 36,545 cd
Resultado
Fórmulas
3) La intensidad luminosa de una lámpara incan­
descente de 60 vatios es de 65 candelas. Deter­
minar el flujo luminoso total emitido por la
lámpara.
1
== - ~
b) E 2
=- Jcos8
1..--­
2
Datos
Substituci6n y operaciones
Ir
== 66.5 cd
Qr == 4rr er
Fr = ?
a) El
36cd
=---= -
36cd.
.. El
-
4 luxes
Resultado
9rrr
(3m)2
Fórmula
b) Se calcula rz :
Fr == Qr1r
r2
Substitución y operaciones
=
Fr == 4rr er x 66.5 cd == 12.56 er x 66.S !m/er
Fr == 836/m
Resultado
4) Una lámpara eléctrica puntual tiene una in­
tensidad luminosa de 36 candelas y se en­
cuentra a una distancia perpendicular de 3m
por encima del suelo. Determinar la ilumina­
ción sobre el suelo:
a) En un punto situado precisamente a 3m de
la lámpara.
b) En un punto situado a 4m del punto ante­
rior (ver figura 4.S7).
=
=
r2
=:
+ d2 '
2
2
(3 m) + (4m)
'
,I
9trt + 16m"
j /
J
J
I
r2sm2 :.
r2
'=:
I
5/11
Se determina el ángulo 8:
rl
8 == arc cos­
rz
3m
arc cos-­
5m
8 = arc cos 0.6
Finalmente se determina E 2 :
36cd cos 53°
(Sm)2
2L6cd
36cd
x 0.6
2Sm
2
0.864 luxes
Resultado
Suelo
El
Fig.4.57
E2
5) Determinar la iluminación que recibe una su­
perficie pequei'ta situada a 1.2m de una lám­
para puntual de 72 candelas de intensidad lu­
minosa.
a) Si la superficie es perpendicular al flujo lu­
minoso.
==120==
b) Si la perpendicular a la superficie forma un
ángulo de 30° con el flujo luminoso (ver fi­
gura 4.58).
Datos
,
e
E
Substituci6n y operaciones
1.2m
72cd
30°
1
F6rmula
E
?
a) El
,
'1'
Ir =
"
e
~
lar~
,
=
, l'
1.2m
I
30~ I
1.2m
'12m
?
'2
I
Superficie
F6rmulas
1
El =---,:­
Fig.4.58
a) Haciendo uso de la figura 4.58
1
El
,
72cd
=¡;
El
6 luxes
Resultado
Datos
I
I r
I
I
El
E
I
,'"1
I
,.
(5m)2
150cd
25m 2
7) Una lámpara está suspendida encima de una
mesa, a 2m de ella. ¿A qué distancia deberá
colocarse esta misma lámpara para que la ilu­
minaci6n que produzca aumente al doble de
su valor inicial?
b) E2 = ?
Perpendicu
150cd
= -~~
72cd
= (1.2m)2
=~44d
Resultado
= 50 luxes
E2
=
I
1
2­
,
2
Condici6n
b) Haciendo uso de la figura 4.58
/cose
Despeje
,
E2
=--2­
72cd cos 30°
E2
(1.2m)2
72cd
x 0.866
.l.44m
2
riEl
1
r 2 E2
2
Substituci6n y operaciones
62.352cd
1.44m
1
E2
=
43.3 luxes
Resultado
6) Una lámpara incandescente de 100 vatios
tiene una intensidad luminosa de 150 cande­
las. ¿Cuál es la iluminación que produce en un
punto situado a una distancia de 5m de la lám­
para?
Datos
'2
P
100 vatios
1
,
150cd
5m
E
?
,\
=
2
'1
1.4142 m
===121==
2m
=2 = 1.4142
Resultado
Problemas propuestos,
1) Una placa metálica de 11 cm de largo por 8.5
cm de ancho es iluminada por una fuente pun­
tual de 200 candelas de intensidad luminosa,
qu~ se encuentra precisamente a 1.3 m por en­
cima de la placa. Determinar:
a) El flujo luminoso que incide en la piaca
metálica.
b) El flujo luminoso total emitido por la
fuente.
2) ¿Cuál es la iluminacibn producida por una
fuente puntual de 200 candelas sobre una pe­
quefla superficie que se encuentra a 4m de dis­
tancia?
3) ¿A qué distancia de una pared se deberá colo­
car una lámpara de 35 candelas para que pro­
duzca la misma iluminacibn que otra lámpara
de 80 candelas que se localiza a 4 m de la mis­
ma pared?
4) Determinar la iluminacibn que recibe una su­
perficie colocada a 140 cm de distancia de una
fuente luminosa de 74 candelas, sabiendo que
la normal a la superficie forma un ángulo de
30° con el flujo luminoso.
5) Una fuente puntual luminosa de 800 candelas
de intensidad está situada en el centro de una
esfera que tiene 4m de radio e incide en 0.3m 2
de área . Determinar el flujo luminoso que
atraviesa a la esfera.
6. Determinar la iluminacibn producida por una
fuente puntual de 125 candelas en una superfi­
cie que se encuentra a una distancia de 7m.
a) Si la superficie es normal al flujo luminoso.
b) Si la normal a la superficie forma un ángu­
lo de l~o con el flujo luminoso.
7. Dos lámparas puntuales de 5 y 20 candelas de
intensidad luminosa, respectivamente, están
separadas entre sí a una distancia de 1.5m.
Determinar un punto en la recta que una las
lámparas, en el cual las intensidades lumino­
sas producidas por ambas lámparas sean igua­
les.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS
PROPUESTOS
2. p =
16Am
=
3. (Jo
4
4. F = 1.2
imán
=
5. f30
6. a) (Jo
10'3 T
X
hacia el polo
X
10-2 N hacia el polo norte del
X
10- T
5.7
4
= 3.4
X
x
b) (J = 17
10-4 T
10-4 T
7. a) ~
12.5 LO° N;
5.53 X 10- 2 L 266.2°N
b) ¡;
12 .5 L OON
(muy aproximadamente)
Ji;
8. FT
2.32 L 349 0 N
=
"" 7.5 X 10- 3 UrT
3
b) Fo "" 7.5 X 10- UrN
15 UrN
c) ~
9. a)
7J'(;
10. a) ~;
(J s
b) ~
e)
10-2 L 315° T
5 x 10'2 L 225° T
7.071 x 10 ' L 270° T
5
F;
X
14 . 14 L 270° N
UNIDAD 2
Camp os magnélicos generados por corrienles eléc­
uicas. pág. 22
l. (3o
=
3 x 10 '\ T
1.26 X 10 l T
7 . 15 x lO" T
2. a) (Jo
b) {J o
3. (Jo
=
2.51 x lO') T
4. 1 = 0.6 A
5.
¡.l ,
6.
¡.l
1800
1.5 x 10 ' Wb;
Am
1190
¡.l ,
UNIDAD 1
7. a) H = 350 A v, {J = 4 .4
Magnetism o. pág, 7
lo P =
m
~
9 .6Am
=
122 -
­
=
6 .6 x 10 ' Wb
X
10· T;
=
b) H
1
= 4 .4 x 10- T',
350Av,{J
m
~
= 6.6
8. fmm -
10-4 Wb
X
637 Al'
conductor A
A
<
9. ,0' -
8. a) fJ = 2.4 X 10-4 T
b) -(J = 7.8 x IO-~ T
F{J
3
e) - , - = 1.2 X 10- N/m hacia el
3.12 x 1 0 , - Wb
fmm - 78 .5 Al';
J
~ - 2.52 X IO- Wb
9. 1
60 A
=
10- 2 Am 2
10. M8
=
6.9
11 . MI
=
0.84 Am
X
2
10. 1 = 0.73 A
=
1 J. {Jo
12. r
5.1
10- 6 T
X
= 17.13 cm
e
13. q = 10.029
14. (Jo
88.674
15. (Jo
4.8
16. f3 ()
=
17. a
=
18.1
20. 1
0.3 m
13. F
1.4
X
14. {J
138
T
15. q
8.2
X 10-
16.
10-5 T
X
33.3 x lO- ó T
6.71 cm
=
=
=
14.95
17. F
=
4.72
18. F
=
5.4
19. q
= 1.012 X 103 C
20. F
=
21. ,
=
= 5.76
2. r =
=
10- 2 N
6.37
X
10'5 N (de atracción)
1.49 m
0.74 x 10'2 m
5
X 10'12 N
6.65 x 10-
=
=
5.5
6. a) F
b) F
27
kg
1.75 x 1011 Cl kg
X
4
10 mi s
0.36 N
23. 11
=
25.5 A; h
1. l,h
=
0.025 A
25.5 A (en el mismo
sentido)
Instrumentos de medición, pág. 56
2. a) Rsh
b) Rs
=
=
=
=
0.112 Q en paralelo
172 Q en serie
3. a) R sh
b) Rs
= 0.601
= 400 Q
4. Rsh
9 X 10'7 Q
=
Q en paralelo
en serie
0.18 N
5. Rs
(
X
N
10'1
10 A l m
X
5.17 m
4. ql m
7. Fo
X
'16.7 mA
Fuerza de Lorentz, pág. 38
5. v
C
e
22. d
3. m
2
¡y a --;­
10'3 T
X
21. Ho = 3.18
1. F
10- 18 N perpendicular a
11.25 A
=
19. {Jo
10-) T
X
12. d =
6
X
10-5 N l m de atracción
= 6000 Q
6. Conectándole 135 k Q en serie
==123==
=
7. R
65 kQ
2. I I
8. R
222 Q
3. a) V2
b) I I
9. a) R = 2.5 M Q
b) RIV = 50000 QI V
e) Rv = 5 MQ
e)
=
11. Rs
=
12 . Rsh
=
14. R sh
68.6 V ; V uo
0.0375 Q ; Rs
=
49.925 k Q
Inducción electromagnética. pág. 65
= 6.5
2. + = 2 X
ti
3.
10- V
10-
4
Wb
+i =
4
21.25 X 10- Wb ;
4
= 31.25 X 10- Wb
b) t i = 0.183 V
e) 1 = 6.1 mA
4. a)
= 3600
= 3A
V
10800 W
10800 W
=
7. a) V2 =
b) h =
e) PI
d) P2 =
1.2 x lo' V
0.1 A
4
1.2 x 10 W
4
1.2 X 10 W
Hr
8. a) V 2 = 1.8 x
V
b) h = 3.3 A
e) p . = 6000 W ; Ps
4
X
0.075 V
=
tmh
3.58 V
1.8 x 104 JI
0.5 A
6. a) V 2
b) h
51.4 V
UNIDAD 3
1.
2750 V
1.11 m Q
=
13. VIOO
=
5. a) V2
b) h
e) PI
d) P 2
375 k Q
=
= 50 A
P 2 = 5.5 kw
4. V2
10. R sh = 0.00505 Q
3A
+f
9. a) N s = 1800
b) N s = 540
e) N s = 25
d) N s = 12
10. a) N 2
N.
5. a) t = 4.57 X 10-4 S
b) 1 = 5.83 A
6000 W
b) h
1
=w­
=
20 A
UNIDAD 4
=
6. N
4660 espiras
7. A+ = 9.81
=
x
2
10- Wb
Movimiento ondulatorio-Sonido. pág. 8 1
1. v = 3540 m i s
0.5 V
2. t = 6.96s
9. L
0 .25 Hy
3. a) fl
10. L
28 rnHy
8.
11.
(¡
t
12. W
=
1.2 V
4. v
1260 mis
5. v
740 mi s
= 6J
E/transformador. pág. 76
1. NI
= 857.5 Hz ; f2 = 1715 Hz;
/J = 2572 Hz ; f4 = 3430 Hz
b) fl
429 Hz ; f) = 1286 Hz;
f l = 2144 Hz ; f 1 = 3001 Hz
=
500 espiras
6. F = 112.428
==124==
X
10) N
7. v = 365 m i s
3. v = 34 m i s
8. a) JI = 200 Hz
b) h = 400 Hz, J3
4. a) v = 51.59 m i s
b) se aleja del observador
600Hz
9. a) v = 894 m i s
b) m = 250 gr
5. a) Vo = 5.39 m i s
b) el observador se aleja de la fuente sonora.
10. m = 1.16 kg
11. v
= 1800 m i s
12. a)
JI = 20 Hz
b)
h =
J3
40 Hz
VF
5.48 m i s
7.
VF
40.57 m i s
8. a)
b)
e)
60Hz
13. v = 740 m i s
14. F =
6.
Jo
Jo
Jo
1.124 X 10 N
10) a)
b)
Jo
Jo
16. a) I
b) I
11)
Jo
=
12. a)
Jo
Jo
Jo
=
50 cm
25 cm
727 Hz ;
J3
=
=
298 Hz
= 287 . 15 Hz
9. a) F = 97.1 m i s
b) Vo = 137.3 m i s
5
15 . I = 21 cm
17. JI
= 309.65 Hz
2181 Hz ;
J5 3635 Hz
18. I = 28.3 m
b)
e)
= 425 Hz
= 378 Hz
729 Hz
315 Hz
300 Hz
286 Hz
Oplica. pág. 108
19. NI
120 db
20. NI
54.771 db
1. a) F = 1.11 1m
b) Fr = 2513 1m
2. E =
21. I = 5.625 X 10-11 Wl m 2
3. r
22. a) NI I = 90 db
b) Nh
120 db
e) Nh = 136 db
d) NI4 = 83 db
Reflexión del sonido y eco. pág. 103
1.
a)Jo =
b)Jo =
=
12.5 luxes
2.65 m
4. E
=
29.75 luxes
5. F
=
151m
6. a) El = 2.55 luxes
b) E2 = 2.46 luxes
2160 Hz
1860 Hz
7. r = 50 cm de la lámpara de 5 cd
2. a) El barco B se está acercando al barco A
b) v = 6.51 m i s
====125 ===~