1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL Miguel Granados Que son las ecuaciones lineales.. Miguel Granados Ejemplo Para transformar este sistema en uno que muestre una estructura triangular : • primero es necesario eliminar la variable x de las ecuaciones 2 y 3. Observe que restar de las ecuaciones 2 y 3 múltiplos adecuados de la ecuación 1 hará el truco. • A continuación, observe que se opera sobre los coeficientes, no sobre las variables, de modo que puede ahorrar cierta escritura si registra los coeficientes y términos constantes en la matriz Miguel Granados Ejemplo Miguel Granados Ejemplo Miguel Granados Ejemplo Miguel Granados Ejemplo Respuesta: Miguel Granados Ejemplo Miguel Granados Conclusiones.. • Cualquier solución del sistema final también es una solución del sistema dado. • Por ende, los sistemas son equivalentes (como lo son todos los obtenidos en los pasos intermedios anteriores). Más aún, se puede trabajar con matrices en lugar de ecuaciones, pues es asunto simple reinsertar las variables antes de proceder con la sustitución hacia atrás. Miguel Granados Matrices y forma escalonada • Existen dos importantes matrices asociadas con un sistema lineal. • La matriz de coeficientes contiene los coeficientes de las variables, y la matriz aumentada es la matriz coeficiente aumentada por una columna adicional que contiene los términos constantes. Miguel Granados Matrices y forma escalonada Miguel Granados Matrices y forma escalonada • Observe que si falta una variable (como “y” en la segunda ecuación), su coeficiente 0 se ingresa en la posición adecuada de la matriz. Si la matriz de coeficientes de un sistema lineal se denota con A y el vector columna de términos constantes con b, entonces la forma de la matriz aumentada es [A | b]. Miguel Granados Matrices y forma escalonada • Una matriz está en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades: • 1. Cualquier renglón que consiste completamente de ceros está en la parte baja. • 2. En cada renglón distinto de cero, el primer elemento distinto de cero (llamado elemento pivote) está en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo él. Miguel Granados Matrices y forma escalonada • Las siguientes operaciones elementales con renglones pueden realizarse sobre una matriz: • 1. Intercambiar dos renglones. • 2. Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero. • 3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón. Miguel Granados EJEMPLO • Reduzca la siguiente matriz a forma escalonada: Miguel Granados EJEMPLO Miguel Granados EJEMPLO Miguel Granados EJEMPLO Miguel Granados GAUSS Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) • 1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. • 2. Use operaciones elementales con renglones para reducir la matriz aumentada a forma escalonada por renglones. • 3. Con sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que corresponda a la matriz reducida por renglones. Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) • Resolver el sistema: Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) • La matriz aumentada es: Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) Miguel Granados Método de GAUSS (para Eliminación) Respuesta: Miguel Granados FIN Miguel Granados
