Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada utilizando el método de elementos finitos Jairo Madrigal Argáez1 Jaime Barbosa Pérez2 Manuel Julio García3 Resumen Este artículo expone la solución al problema de la distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada mediante el Método de Elementos Finitos (Finite Elements Method, FEM). En este proceso se implementa el método pesaje residual en la formulación débil de la ecuación diferencial de Laplace con condiciones de frontera de Dirichlet para el potencial electrostático. La solución encontrada se basa en la selección de funciones lineales sobre un dominio discretizado en un número finito de elementos geométricos. La estrategia de solución se basa en la implementación del método de Galerkin en la escogencia de la función solución de la ecuación de Laplace llevada a su representación discreta. Palabras clave Flujo eléctrico, potencial electrostático, laplace, galerkin, elementos finitos. 1 2 3 Físico, Especialista en óptica técnica. Profesor de física de la facultad de Ciencias Básicas, ITM, Medellín, Colombia. [email protected] Ingeniero Mecánico. Profesor del departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad EAFIT, Medellín, Colombia, [email protected]. Manuel Julio Garcia Ruiz. Director del grupo de mecánica computación Universidad EAFIT, Medellín, Colombia. [email protected] Fecha de recepción: 13 de julio de 2008 Fecha de aceptación: 4 de septiembre de 2008 Revista Tecnológicas No. 21, diciembre de 2008 [132] Abstract This paper presents the solution to the problem of the distribution of the electrostatic potential in a square plate by means of the Finite Elements Method (FEM). In this process the method is implemented minimo remainder in the weak formulation of the equation differential of Laplace with conditions of border of Dirichlet for the electrostatic potential. The found solution is based on the selection of linear functions on a dominion discreet in a finite number of geometric elements. The solution strategy is based on the implementation of the method of Galerkin in the choosing of the function solution of the equation of Laplace taken to its discreet representation. Key words Electric flow, electrostatic potential, Laplace solution, Galerkin solution, Finite Elements Method (FEM). Revista Tecnológicas Revista Tecnológicas 1.Introducción El método de elementos finitos es una técnica de aproximación numérica que se viene empleando en la solución de problemas en una amplia gama de ambientes técnicos en ciencia e ingeniería donde soluciones numéricas son requeridas. En este documento se expone el Método de Elementos Finitos (FEM) de sus siglas en ingles, en la solución al problema de la distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada con condiciones de frontera. El resultado de la aplicación de esta técnica es comparativamente aceptable con la solución analítica tradicionalmente expuesta en la literatura científica4. El FEM se utiliza para desarrollar un procedimiento que permita ponderar una función solución de mínimo residuo o error, tal que se pueda determinar el comportamiento de una función en una región acotada. La elección de la función solución al problema se determina por el método de Galerkin; posteriormente, para efectos de la solución del problema propuesto, la ecuación del promedio residual es llevada a la forma discreta5 mediante la formulación débil y finalmente evaluada sobre un dominio discretizado en un número finito de elementos triangulares lineales. De esta manera se expone una solución al problema de la distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada mediante la solución de la ecuación de Laplace con condiciones de frontera de Dirichlet. Los resultados obtenidos con esta técnica se comparan con la solución analítica y se calcula el error. Este ejercicio se fundamenta en la formulación de la técnica de elementos finitos implementada en el libro Lecture Notes on Numerical Análisis por Manuel García [1] y en el libro The Finite Element Method Using Matlab por Young W. Kwon [3]. 4 5 M. Sadiku. Elementos de Electromagnetismo 2° Edición. Compañía Editorial Continental, S.A. México, 1998. p. 236. Manuel Julio García. Lecture Notes on Numerical Analysis. Department of Mechanical Engineering, EAFIT University Medellin, Colombia. Enero de 2004. p. 64. [133] [134] Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada... La solución analítica está fundamentada en el libro Elementos de Electromagnetismo de Sadiku [2]. 2.Desarrollo del tema 2.1 Cálculo del potencial electrostático en la región interior El potencial electrostático aparece en la literatura como una propiedad del campo eléctrico donde la derivada direccional del potencial electrostático indica la dirección de tendencia del campo eléctrico. La forma como se relacionan matemáticamente estas dos entidades puede expresarse así: ∇V = − E (1) Donde V es una función escalar que representa al potencial electroestático, E es el campo eléctrico y ∇ es el operador gradiente. La escogencia de esta representación se fundamenta en el hecho de que los campos eléctricos gozan de la propiedad de ser irrotacionales, y matemáticamente se conoce que el rotacional del gradiente de una función escalar es siempre cero6 ∇ × (∇V ) = 0 (2) Con estos antecedentes y considerando el hecho de que los campos eléctricos satisfacen la condición del flujo presentada por la ley de Gauss, de la forma: ∇E = − ρ εr (3) Es directo el cálculo de (1) y (3) para obtener una relación entre el potencial electroestático y la densidad de carga, cuyo resultado corresponde a la ecuación de Poisson, como se puede apreciar: 6 M. Sadiku. Elementos de Electromagnetismo 2° Edición. Compañía Editorial Continental, S.A. México, 1998. p. 157. Revista Tecnológicas [135] Revista Tecnológicas ∇ 2V = ρ εr (4) Donde es la densidad de carga y εr es la permitividad eléctrica del medio. onde ρ es la densidad de carga y εr es la permitividad eléctrica del medio. De acuerdo con la geometría del problema es adecuado hacer una representación deladecuado sistemahacer en coordenadas cartesianas, e acuerdo con la geometría del problema es una representación del sistema en ρ Donde es la densidad de carga y ε es la permitividad eléctrica del medio. correspondientes a la delalaecuación ecuación Poisson oordenadas cartesianas, correspondientes a lardescripción descripción de de de Poisson parapara este tipo tipo de delageometrías, que se expresa de la forma: e geometrías, que seeste expresa forma: De acuerdo con la geometría del problema es adecuado hacer una representación del sistema en coordenadas cartesianas, correspondientes a la descripción de la ecuación de Poisson para este tipo d 2V ( x, y ) dde2Vla( xforma: , y ) ρ ( x, y ) (5) de geometrías, que se expresa + = (5) 2 2 dy ε0 2 d V ( x , y ) d V ( x, y ) ρ ( x , y ) +depropuesto = expresan Las para condiciones frontera as condiciones de frontera el problema en la forma:propuesto se dx 2 dy 2 se para ε 0 el problema dx 2 (5) expresan en la forma: V ( x) = 0, ∀x = 0, ∧ ,0 ≤ y ≤ a V ( x) = 0, ∀x = b, ∧ ,0 ≤ y ≤ a (6) V ( x) = 0, ∀x = b, ∧x,0= ≤0, y∧≤,0a≤ y ≤ a (6) V ( y ) = 0V,(∀x0) =≤ 0x, ∀ ≤ b, ∧ , y = 0 V ( y ) = V0,(∀ ≤xb=, ∧b,, ∧ y ,=0 0≤ y ≤ a x)0 =≤0x, ∀ V ( y) = V 0 , ∀0 < x < b, ∧ , y = a V ( y) = V V0(,y∀) 0= <0,x∀<0 b≤, x∧≤, yb,=∧a, y = 0 as cuales corresponden a las condiciones V ( y ) = V0 de < x < bde , ∀0frontera ,a∧Dirichlet. ,y =a Las cuales corresponden las condiciones de frontera de Las condicionesVde se expresan en la forma: ( xfrontera ) = 0, ∀xpara = 0el, ∧problema ,0 ≤ y ≤propuesto a (6) Dirichlet. Lasdel cuales a las condiciones de frontera l método pesajecorresponden residual consiste en asumir una función de de Dirichlet. prueba que contiene coeficientes El método del pesaje residual consiste en asumir una función esconocidos a determinar. Para este fin seleccionamos una función de peso u ( x, y ) y se de prueba que contiene coeficientes desconocidos por determinar. ondiciona que el promedio del pesaje residualensobre eluna dominio de lade función El amétodo del pesaje residual consiste asumir unafunción función prueba (cero. Para este fin, seleccionamos de pesosea uque x,contiene y ) y secoeficientes desconocidos a determinar. Para este fin seleccionamos una función de peso u ( x, y ) y se condiciona a que el2 promedio del pesaje residual sobre el dominio 2 · § condiciona adeque promedio del pesaje (x, yresidual ) ρ ( x,sobre V ( x, y )sea d V y ) el dominio de la función sea cero. ¸¸dΩ = 0 )¨¨ eldfunción (7) u ( x, yla + cero.2 − 2 ³ ε0 ¹ dy § d 2V ( x, y ) d 2V ( x, y ) ρ ( x, y ) · Ω=0 (7) ³ u (x, y )¨¨ dx 2 + dy 2 − ε 0 una¸¸¹drepresentación plicando la extensión de de la ecuación Ω Green ©al teorema de Gauss se obtiene Ω © dx (7) 7) que permite dividir el dominio en región interior y fronteras. Que se puede representar de la orma: Aplicando la extensión de Green al teorema de se obtiene una representación Aplicando la extensión deGauss Green al teorema de Gauss de sela ecuación (7) que permite dividir el dominio en región interior y fronteras. Que se puede representar de la obtiene una representación de la ecuación (7) que permite dividir § du (xforma: , y ) dV ( x, y ) du ( x, y ) dV (x, y ) · § dV ( x, y ) · (8) el+dominio en región ¸dinterior Ω − ³ u (x,yy )fronteras. ρ ( x, y )dΩ +Que Γ=0 ¸drepresentar ³ ¨¨ dx ³ u¨se puede dn ¹ dx de la forma: dy dy ¸¹ Ω© Ω Γn © § du (x, y ) dV ( x, y ) du ( x, y ) dV (x, y ) · § dV ( x, y ) · (8) ¸¸dΩ − ³ u (x, y )ρ ( x, y )dΩ + ³ u¨ − ³ ¨¨ + ¸ dΓ = 0 dx dyregión dy © dn corresponde ¹ © dx corresponde ¹ delΩdominio, la segundaΓn integral a primeraΩintegral a la interior a fuente de carga en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo eléctrico en la ontera. La primera integral corresponde a la región interior del dominio, la segunda integral corresponde a la fuente de carga en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo eléctrico en la a solución al problema se simplifica para el propósito de este informe al considerar que la placa no frontera. resenta fuentes de carga. De esta forma la segunda integral en (8) se hace cero y la ecuación Las cuales corresponden a las condiciones de frontera de Dirichlet. condiciona a que el promedio del pesaje residual sobre el dominio de la función sea cero. El método del pesaje residual consiste que contiene coeficientes § d 2V (en (x, función ) d 2Vuna x, yasumir y ) ρ ( xde , yprueba )· y )¨¨ este2 fin + seleccionamos dΩ = 0 de peso u ( x, y ) y se (7) − desconocidos a determinar. una ¸¸función 2 ³Ω u (x,Para ε0 ¹ dy © dx condiciona a que el promedio del pesaje residual sobre el dominio de la función sea cero. [136] Aplicando extensión de Green 2al teorema de Gauss se obtiene una representación de la ecuación Distribuciónladel potencial electrostático en una placa cuadrada... §dividir ( ) d 2V ( xel, ydominio d V en x, región y ) ρinterior ( x, y ) · y fronteras. Que se puede representar de la (7) que permite ¸¸dΩ = 0 (7) u ( x, y )¨¨ + − forma: ε dx 2 dy 2 ³ © Ω 0 ¹ § du (x, y ) dV ( x, y ) dual( xteorema · , y ) dV (xde , y )Gauss y ) ·la ecuación § dV ( x, de Aplicando se obtiene una representación − ³la¨¨ extensión de Green + ¸¸dΩ − ³ u (x, y )ρ ( x, y )dΩ + ³ u¨ dn ¸dΓ = 0 (8) (8) dx dx dy dy © ¹ (7) que permite dividir el dominio en región interior yΩ fronteras. Que seΓnpuede representar de la ¹ Ω© forma: La primera integral corresponde a la región interior del dominio, la segunda integral corresponde a La primera integral corresponde a la región interior del al (flujo § du (xla, yfuente ) dV (xde, y )carga x, y ) ·de campo eléctrico en la du (en x, yel) interior dV (x, y )y· la tercera integral corresponde § dV (8) ¸ ( ) − ³ ¨¨ + , ρ ( , ) d Γ = 0de carga Ω − Ω + d u x y x y d u ¨ ¸ dominio, la segunda integral corresponde a la fuente ³ ³ frontera.dx dn ¹ dx dy dy ¸¹ Ω© Ω Γn © en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo La solución al problema se simplifica para el propósito de este informe al considerar que la placa no eléctrico en la frontera. La primera integral corresponde a laDeregión interiorladel dominio, la segunda a presenta fuentes de carga. esta forma segunda integral en (8)integral se hacecorresponde cero y la ecuación la fuentediferencial de carga en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo eléctrico en la (4) se convierte entonces en la ecuación de Laplace, cuya representación en la La solución al problema se simplifica para el propósito de esteforma frontera.débil es: informe al considerar que la placa no presenta fuentes de carga. La solución problema elintegral propósito considerar la placa no Dealesta forma se hace la ecuación · informe § du (sex,simplifica ) dVsegunda (x, ypara ) + du (x, y ) dV (dexen (cero yla , este y ) (8) x, y ) ·y que §aldV ¸¸dΩen+ (8)u¨se hace cero presenta fuentes −de ¨¨carga. De esta forma la segunda integral ¸dΓy= la0 ecuación (9) diferencial (4) convierte entonces en¹la ecuación cuya dx se dx en la ecuación dy dnde Laplace, ¹ Ω© Γn ©representación diferencial (4) se convierte entonces dedyLaplace, cuya en la forma débil es: representación en la forma débil es: ³ ³ § du (x, y ) dV (x, y ) du (x, y ) dV ( x, y ) · § dV (x, y ) · ¸¸dΩ + ³ u¨ − ³ ¨¨ + ¸dΓ = 0 dx dx dy dy dn ¹ ¹ Ω© Γn © (9) (9) La discretización del dominio en (9) se desarrolla usando elementos finitos bidimensionales triangulares lineales, para los cuales las variables de interpolación son lineales en x y y en la forma de: ω = ω (x, y ) = a1 + a2 x + a3 y (10 - a) o a1 ω = ω (x, y ) = [1 x y ]a2 a 3 (10 - b) La aproximación de la solución depende de la selección de la función de prueba. En este proceso se deben determinar entonces los coeficientes desconocidos ai para lo cual la función de interpolación (10 - a) debe representar las variables nodales en los tres nodos del elemento triangular. Sustituyendo los valores de las coordenadas cartesianas de los nodos se obtiene: ω1 1 x1 y1 a1 ω e = ω 2 = 1 x2 y2 a2 ω 1 x y a 3 3 3 3 (11) Revista Tecnológicas se deben determinar entonces los coeficientes desconocidos ai para lo cual la función de interpolación (10 - a) debe representar las variables nodales en los tres nodos del elemento triangular. Sustituyendo los valores de las coordenadas cartesianas de los nodos se obtiene: ­ω1 ½ ª1 x1 y1 º ­a1 ½ [137] ° ° ° (11) ω e = ®ω 2 ¾ = ««1 x2 y2 »» ®a2 ¾ °ω ° «1 x y » °a ° ¯ 3 ¿ ¬ 3 3 ¼¯ 3 ¿ Desde donde es posible determinar los valores de las constantes Desde donde es a posible determinar los valores de las constantes ai i. Para un elemento triangular la matriz del elemento es calculada Para un elemento de la triangular forma: la matriz del elemento es calculada de la forma: Revista Tecnológicas° [K ] = ³ §¨¨ du(dxx, y ) dV dx(x, y ) + du(dyx, y ) dV dy(x, y ) ·¸¸dΩ © ¹ e e (12) (12) e Ωe a partir de funciones descritos en a partirdel detipo funciones del(11) tipo descritos en (11). Donde Ke es la matriz que contiene las pendientes de los planos Donde Ke es la matriz que contiene las pendientes de los planos evaluadas en cada nodo del 7 evaluadas en cada nodo del elemento triangular7. elemento triangular . Cada elemento triangular posee nodos asociados con los otros Cada elemento triangular nodos en asociados con los otros en cuya elementos delposee dominio cuya expansión delelementos dominiodel se dominio construye expansión del dominio se construye una matriz ‘A’ global del sistema que tiene dimensiones n × n una matriz ‘A’ global del sistema que tiene dimensiones n x n siendo siendo n el número de nodos en el dominio. n el número de nodos en el dominio. El método de Galerkin selecciona u y V de enfunciones. el mis­­- La El método de Galerkin selecciona las funciones u y V las en funciones el mismo espacio moabstracta espaciode delafunciones. Laesrepresentación representación ecuación (12) expresada como: abstracta de la ecuación (12) es expresada como: a (V , u ) = "(u ) a(V , u ) = (u ) (13) (13) Cuya expansión a todo el conjunto de funciones en el dominio puede generalizarse de la manera Cuya expansión a todo el conjunto de funciones en el dominio siguiente: puede generalizarse de la manera siguiente: 7 AV , u Hyocoong. = ", u The Finite Element Method Using Matlab. 1997. Pag 90 (14) Kwon, Young W;AV Bang, , u = ", u (14) (14) AVacuerdo , u = ", u con las propiedades del producto interno (14)(14) puede De De acuerdo con las propiedades del producto interno (14) puede rescribirse en la forma: De acuerdo con las rescribirse propiedades delen producto interno (14) puede rescribirse en la forma: la forma: De acuerdo con las propiedades del producto interno (14) puede rescribirse en la forma: AV−−"", u, u ==00 AV (15) (15) (15) AV − ", u = 0 (15) Ya que u es solución del sistema, en consecuencia Ya que u es solución del sistema, en consecuencia la solución no trivial queda de la forma: Ya que u es solución del sistema, en consecuencia la solución no trivial queda de la forma: la solución nodeltrivial de la la forma: Ya que u es solución sistema,queda en consecuencia solución no trivial queda de la forma: AV − " = 0 (16) AV − " = 0 (16) AV − " = 0 (16) (16) El segundo término de (16) corresponde al término de los flujos que entran a la región por la El segundo término de (16) corresponde al término de los flujos que entran a la región por la frontera de(9) (9) estarían descritos lasalcondiciones condiciones defrontera frontera VonNewman, Newman, tratados El segundo término de (16) corresponde término dedelos flujos que entran a la región por la enen frontera de yyestarían descritos enen las dedeElement Von nono tratados 7 Kwon, Young W; Bang, Hyocoong. The Finite Method Using Matlab. 1997. frontera de (9) y estarían descritos en las condiciones de frontera de Von Newman, no tratados en este documento debido a que no se consideran fuentes externas de campo eléctrico. Así al término este documento debido Pag. a que90. no se consideran fuentes externas de campo eléctrico. Así al término este documento a quelas nocondiciones se considerandede fuentes externas de campoy yeléctrico. Asísealsetérmino restante de (16) (16) debido aplican las condiciones frontera Dirichlet finalmente resuelveel el restante de sese aplican frontera dedeDirichlet finalmente resuelve restantededeecuaciones (16) se aplican las para condiciones de el frontera de Dirichlet yen finalmente sedonde resuelve el sistema lineales conseguir valor del potencial los nodos este valor sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial en los nodos donde este valor es es sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial en los nodos donde este valor es desconocidoyyordenar ordenarelelarreglo arreglodedevalores valoresdedemanera maneraque queelelvalor valordeldelpotencial potencialseaseaasignado asignado desconocido al al desconocido y ordenar el arreglo de valores de manera que el valor del potencial sea asignado al nodo correspondiente. nodo correspondiente. nodo correspondiente. Los resultados resultados obtenidospueden puedenapreciarse apreciarsegráficamente gráficamente en lafigura figura(1). (1). Enésta, ésta,el elrelieve relievedede la Los Los resultadosobtenidos obtenidos pueden apreciarse gráficamente enenla lafigura (1). EnEn ésta, el relieve de la la región y el colorido representan el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran región y el colorido representan el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran región y el colorido representan el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran discrepancia entre lasfiguras figurasizquierda izquierdayyderecha, yderecha, derecha, aparte detres tres picos solución analítica. discrepancia aparte picos la lasolución analítica. discrepanciaentre entrelas las figuras izquierda aparte dedetres picos en en laen solución analítica. [138] Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada... AV , u = ", u (14) De acuerdo conEl lassegundo propiedades del producto interno (14) puedealrescribirse forma: término de (16) corresponde término en delalos flujos que entran a la región por la frontera de (9) y estarían descritos AV − ", ude=frontera 0 (15) en las condiciones de Von Newman, no tratados en este documento debido a que no se consideran fuentes externas Ya que u esdesolución sistema, en consecuencia la restante solución node trivial de la forma: campodel eléctrico. Así al término (16)queda se aplican las condiciones de frontera de Dirichlet y finalmente se resuelve el AV − " = 0 (16) sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial los nodos donde este valor es desconocido y ordenar el arreglo El segundoentérmino de (16) corresponde al término de los flujos que entran a la región por la dedescritos maneraenque el valor del potencial sea Newman, asignadonoaltratados en frontera dede (9) valores y estarían las condiciones de frontera de Von este documento a que no se consideran fuentes externas de campo eléctrico. Así al término nododebido correspondiente. restante de (16)Los se resultados aplican las condiciones de frontera de Dirichlet y finalmente en se laresuelve el obtenidos pueden apreciarse gráficamente sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial en los nodos donde este valor es figura (1). En ésta, el relieve de la región y el colorido representan desconocido y ordenar el arreglo de valores de manera que el valor del potencial sea asignado al el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran nodo correspondiente. discrepancia entre las figuras izquierda y derecha, aparte de tres Los resultados obtenidos pueden apreciarse gráficamente en la figura (1). En ésta, el relieve de la picos en la solución analítica. región y el colorido representan el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran discrepancia entre las figuras izquierda y derecha, aparte de tres picos en la solución analítica. Figura 1: Distribución del potencial electrostático. Figura 1. Distribución del potencial electrostático La solución analítica más usual es determinada mediante la solución de la ecuación diferencial (5). Al evaluar en ésta las condiciones de frontera de Dirichlet descritas en (6) se obtiene Revista Tecnológicas [139] Revista Tecnológicas La solución analítica más usual es determinada mediante la solución de la ecuación diferencial (5). Al evaluar en ésta las condiciones de frontera de Dirichlet descritas en (6) se obtiene nπy · §nnπ πxx·¸ senh n§¨πy sen ¨ ¸ sen senh 4Vo4Vo∞ ∞ © bb ¹ ©a a ¹ (17) x, y ) = ¦∑ V ( x, yV)(= n π a π n = 1 , 3 , 5 π n a π n=1,3,5 senh § · nn⋅⋅ senh ¨ b ¸ © b ¹ (1 y su representación grafica punto a punto en un dominio más puntual corresponde a la figura (2). u representación grafica punto a punto en un dominio más puntual corresponde a la figura (2) Figura Solución analítica Figura 2: 2.Solución Analítica está por demás resaltar el hecho de que ambas soluciones, esta por demás No resaltar el hecho que ambas soluciones, la FEM y la analítica, s la FEM y la analítica, son aproximaciones numéricas, sin embargo roximaciones numéricas, sin embargo la solución FEM calculada en este ejercicio esta m la solución FEM calculada en este ejercicio está más acorde con las orde con las condiciones iniciales del problema. Los picos que aparece en la parte derecha de ura 1, corresponde a los valores calculados por la ecuación senosoidal 17 para las coordenad rrespondientes a cada nodo del dominio, y como puede apreciarse de la figura 2, la soluci alítica es mas rizada en el extremo mas alejado por efecto de la aproximación senosoidal para or del potencial en esa frontera. indicativo numérico de las aproximaciones obtenidas por el método en cuestión es dado por [140] Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada... condiciones iniciales del problema. Los picos que aparece en la parte derecha de la figura 1, corresponde a los valores calculados por la ecuación senosoidal 17 para las coordenadas correspondientes a cada nodo del dominio, y como puede apreciarse de la figura 2, la solución analítica es más rizada en el extremo más alejado por efecto de la aproximación senosoidal para el valor del potencial en esa frontera. Un indicativo numérico de las aproximaciones obtenidas por el método en cuestión es dado por el porcentaje de error calculado respecto a la norma. Éste se determina a partir de los valores del potencial electrostático calculado por los dos métodos de solución (FEM y analítico), calculando la norma de la diferencia entre los vectores en comparación dividida por la norma del vector de referencia, que en este caso corresponde a ‘Va’, la solución analítica ya que para efectos del problema se ha considerado la solución FEM como la función de prueba del sistema ‘V’, aquí ‘*’ indica la norma de referencia V − Va * % E (l * ) = Va * Tabla 1. Porcentajes de error entre la solución analítica y solución FEM % Error (l ∞) 18.2759 % Error (l 2) 5.7674 % Error l∞: indica el porcentaje de error con respecto a la norma infinita8. % Error l2: indica el porcentaje de error con respecto a la norma euclidiana. 2.2 Cálculo del gradiente del potencial El gradiente representa la magnitud y la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial del potencial escalar V. En la ecuación (1) se puede ver que el gradiente del potencial aumenta en la dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico. 8 Manuel Julio García. Lecture Notes on Numerical Analysis. Department of Mecha­ nical Engineering, EAFIT University Medellin, Colombia. Enero de 2004. p. 21. Revista Tecnológicas % Error l∞: indica el porcentaje de error con respecto a la norma infinita8. % Error l2: indica el porcentaje de error con respecto a la norma euclidiana. 2.2 Calculo del Gradiente del Potencial Revista Tecnológicas El gradiente representa la magnitud y la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial del potencial escalar V. En la ecuación (1) se puede ver que el gradiente del potencial aumenta en la dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico. Para este cálculo se parte de que la función que describe el potencial escalar puede cada región dominio de en Para este calculo se parte de que la función queescribirse describe elen potencial escalar del puede escribirse la forma cada región del dominio de la forma V ( x, y ) = ¦Vi ( x, y )ω ( x, y ) (18)(18) i Y su gradiente en consecuencia Y su gradiente en consecuencia ∇VV ((xx,,yy))== ∇ ∂V(x(,xy, )y) ∂∂VV(x( x, ,yy)) i +∂V j i + j ∂∂xx ∂y∂y (19) (19) Reemplazando (17) en (18) se tiene Reemplazando (17) en (18) se tiene ∂ω(x, y ) y )(x, y ) j ∂ω ( x∂, ω x, yV)i = (x∑ ) ∂i (ωx,(yx), y ) i∂x+ ¦iV+i (∑ , yV x, yV)i (x, y ) j ∇V ( x, y∇)V= (¦ i i ∂x ∂y ∂y i i (20)(20) El valor la devalor Vi (xdel , y )potencial corresponde al valor del potencial calculado en la sección anteriorcalculado para el nodo El valor de Vi ( x, y ) corresponde en la sección anterior para el nodo i el cual es una constante el cual es una constante calculada en la sección 2.1, de manera que en la ecuación (20) solo queda la sección 2.1, deen manera que(10) en la ecuación (20) sólo calcular la derivada calculada parcial de laen función base descrita la ecuación para cada elemento. De queda calcular la derivada parcial de la función base descrita en allí puede verse que para un elemento lineal triangular la ecuación (10) para cada elemento. De allí puede verse que para ∂ωlineal un elemento i ( x, y ) triangular (21 –a) =a 2 i ∂x ∂ω i (x, y ) = a2 i ∂x ∂ω i (x, y ) y = a3 i ∂y y (21 – a) (21 – b) ∂ω i (x, y ) (21 – b) = a3 i ∂y Reemplazando las ecuaciones (21) en la (20) se obtiene: Reemplazando las ecuaciones (21) en la (20) se obtiene: ω( ) ¦ ( ) ∂x ¦ ( ) ∂ Analysis. x, y Department of Mechanical Manuel Julio García. Lecture NotesVon xNumerical (22University – a) Medellin, ,y i = V x, y a i Engineering, EAFIT (22 – a) Colombia. Enero de 2004. p 21 i i ¦ Vi (x, y ) i i i 2i ∂ω ( x, y ) i = ¦ Vi ( x, y ) a3i j ∂y i (22 – b) (22 – b) Ecuaciones que corresponden a la suma direccional de los gradientes de los nodos en cada elemento triangular en las respectivas coordenadas. A continuación se asigna el valor del promedio del gradiente del elemento triangular a cada nodo del mismo elemento. Al final cada coordenada nodal tendrá en número de gradientes asignados como el número de elementos triangulares que compartan [141] ¦ V ( x, y ) i [142] i ∂ω ( x, y ) i = ¦Vi ( x, y )a2i i ∂x i (22 – a) Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada... ∂ω ( x, y ) i = ¦ Vi ( x, y )a3i j (22 – b) ∂y i i Ecuaciones que corresponden a la suma direccional de los gradientes de los nodos en cada elemento triangular en las Ecuaciones que corresponden a la suma direccional de los gradientes de los nodos en cada elemento respectivas coordenadas. A continuación se asigna el valor del triangular en las respectivas coordenadas. A continuación se asigna el valor del promedio del promedio del gradiente del elemento triangular a cada nodo del gradientemismo del elemento triangular cada nodo mismo elemento. final cada coordenada nodal elemento. Al afinal cadadel coordenada nodalAltendrá e número gradientes asignados como el el número elementos triangulares tendrá ende número de gradientes asignados como número de de elementos triangulares que compartan que compartan dicho nodo. Para efectos de determinar el gradiente dicho nodo. Para efectos de determinar el gradiente en cada nodo se calcula el promedio de los en cada nodo se calcula el promedio de los gradientes asignados gradientes asignados a este. a éste. En la parte izquierda de la figura (3) es apreciable la distribución En la parte izquierda de la figura es apreciable la la distribución de los gradientes en el la dominio y de los gradientes en (3) el dominio y en parte derecha se muestra distribución del potencial ilustrado por ilustrado el color por asignado. en la parte derecha se muestra la distribución del potencial el color asignado. ¦ V ( x, y ) i 3 Figura 3: Líneas de Campo Eléctrico y Distribución del Potencial Electrostático Figura 3. Líneas de campo eléctrico y distribución Conclusiones del potencial electrostático Las diferencias entre la solución analítica y la solución FEM observadas en la tabla (1) donde aparecen los porcentajes de error en los nodos cuyos resultados calculados por ambos métodos no son coincidentes, dan a entender una discrepancia debido a la aproximación senoidal de la función analítica. Revista Tecnológicas Revista Tecnológicas 3. Conclusiones Las diferencias entre la solución analítica y la solución FEM observadas en la tabla (1) donde aparecen los porcentajes de error en los nodos cuyos resultados calculados por ambos métodos no son coincidentes, dan a entender una discrepancia debido a la aproximación senoidal de la función analítica. El error calculado se ha realizado con base en dos soluciones que son aproximaciones y que, así la solución FEM esté más acorde con las condiciones iniciales del problema con respecto a la solución analítica que es una función armónica senosoidal, también demuestra que por efectos del pesaje residual o mínimo residuo esto afecta los resultados del sistema. Lo que se puede extraer de este resultado es que el método de los elementos finitos para la solución al problema de la distribución del campo electrostático, arroja resultados consistentes con respecto a otros métodos ampliamente discutidos en la literatura técnica y científica. Referencias [1] Manuel Julio García Ruiz. Lecture Notes on Numerical Analysis, 2008. Fondo Editorial Universida Eafit. Department of Mechanical Engineering, EAFIT University, Medellin, Colombia. [2] M. Sadiku (1998). Elementos de Electromagnetismo 2° Edición. Compañía Editorial Continental, S.A. México. [3] Kwon, Young W; Bang, Hyocoong. The Finite Element Method Using Matlab. Boca Raton: Crc Press, 1997. [143]