Dialnet-DistribucionDelPotencialElectrostaticoEnUnaPlacaCu-5062973

Distribución
del potencial electrostático en
una placa cuadrada utilizando el método de
elementos finitos
Jairo Madrigal Argáez1
Jaime Barbosa Pérez2
Manuel Julio García3
Resumen
Este artículo expone la solución al problema de la distribución
del potencial electrostático en una placa cuadrada mediante el
Método de Elementos Finitos (Finite Elements Method, FEM). En
este proceso se implementa el método pesaje residual en la formulación débil de la ecuación diferencial de Laplace con condiciones
de frontera de Dirichlet para el potencial electrostático. La solución
encontrada se basa en la selección de funciones lineales sobre un
dominio discretizado en un número finito de elementos geométricos. La estrategia de solución se basa en la implementación del
método de Galerkin en la escogencia de la función solución de la
ecuación de Laplace llevada a su representación discreta.
Palabras clave
Flujo eléctrico, potencial electrostático, laplace, galerkin,
elementos finitos.
1
2
3
Físico, Especialista en óptica técnica. Profesor de física de la facultad de Ciencias
Básicas, ITM, Medellín, Colombia. [email protected]
Ingeniero Mecánico. Profesor del departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad
EAFIT, Medellín, Colombia, [email protected].
Manuel Julio Garcia Ruiz. Director del grupo de mecánica computación Universidad
EAFIT, Medellín, Colombia. [email protected]
Fecha de recepción: 13 de julio de 2008
Fecha de aceptación: 4 de septiembre de 2008
Revista Tecnológicas No. 21, diciembre de 2008
[132]
Abstract
This paper presents the solution to the problem of the distribution of the electrostatic potential in a square plate by means
of the Finite Elements Method (FEM). In this process the method
is implemented minimo remainder in the weak formulation of
the equation differential of Laplace with conditions of border
of Dirichlet for the electrostatic potential. The found solution is
based on the selection of linear functions on a dominion discreet
in a finite number of geometric elements. The solution strategy
is based on the implementation of the method of Galerkin in the
choosing of the function solution of the equation of Laplace taken
to its discreet representation.
Key words
Electric flow, electrostatic potential, Laplace solution, Galerkin
solution, Finite Elements Method (FEM).
Revista Tecnológicas
Revista Tecnológicas
1.Introducción
El método de elementos finitos es una técnica de aproximación
numérica que se viene empleando en la solución de problemas en
una amplia gama de ambientes técnicos en ciencia e ingeniería
donde soluciones numéricas son requeridas. En este documento
se expone el Método de Elementos Finitos (FEM) de sus siglas en
ingles, en la solución al problema de la distribución del potencial
electrostático en una placa cuadrada con condiciones de frontera.
El resultado de la aplicación de esta técnica es comparativamente
aceptable con la solución analítica tradicionalmente expuesta en
la literatura científica4.
El FEM se utiliza para desarrollar un procedimiento que permita
ponderar una función solución de mínimo residuo o error, tal que
se pueda determinar el comportamiento de una función en una
región acotada. La elección de la función solución al problema se
determina por el método de Galerkin; posteriormente, para efectos
de la solución del problema propuesto, la ecuación del promedio
residual es llevada a la forma discreta5 mediante la formulación
débil y finalmente evaluada sobre un dominio discretizado en un
número finito de elementos triangulares lineales. De esta manera
se expone una solución al problema de la distribución del potencial
electrostático en una placa cuadrada mediante la solución de la
ecuación de Laplace con condiciones de frontera de Dirichlet. Los
resultados obtenidos con esta técnica se comparan con la solución
analítica y se calcula el error.
Este ejercicio se fundamenta en la formulación de la técnica
de elementos finitos implementada en el libro Lecture Notes
on Numerical Análisis por Manuel García [1] y en el libro The
Finite Element Method Using Matlab por Young W. Kwon [3].
4
5
M. Sadiku. Elementos de Electromagnetismo 2° Edición. Compañía Editorial
Continental, S.A. México, 1998. p. 236.
Manuel Julio García. Lecture Notes on Numerical Analysis. Department of
Mechanical Engineering, EAFIT University Medellin, Colombia. Enero de 2004.
p. 64.
[133]
[134]
Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada...
La solución analítica está fundamentada en el libro Elementos de
Electromagnetismo de Sadiku [2].
2.Desarrollo
del tema
2.1 Cálculo del potencial electrostático en la región interior
El potencial electrostático aparece en la literatura como una
propiedad del campo eléctrico donde la derivada direccional del
potencial electrostático indica la dirección de tendencia del campo
eléctrico. La forma como se relacionan matemáticamente estas dos
entidades puede expresarse así:
∇V = − E (1)
Donde V es una función escalar que representa al potencial electroestático, E es el campo eléctrico y ∇ es el operador gradiente.
La escogencia de esta representación se fundamenta en el
hecho de que los campos eléctricos gozan de la propiedad de ser
irrotacionales, y matemáticamente se conoce que el rotacional del
gradiente de una función escalar es siempre cero6
∇ × (∇V ) = 0 (2)
Con estos antecedentes y considerando el hecho de que los
campos eléctricos satisfacen la condición del flujo presentada por
la ley de Gauss, de la forma:
∇E = − ρ
εr
(3)
Es directo el cálculo de (1) y (3) para obtener una relación entre
el potencial electroestático y la densidad de carga, cuyo resultado
corresponde a la ecuación de Poisson, como se puede apreciar:
6
M. Sadiku. Elementos de Electromagnetismo 2° Edición. Compañía Editorial
Continental, S.A. México, 1998. p. 157.
Revista Tecnológicas
[135]
Revista Tecnológicas
∇ 2V = ρ
εr
(4)
Donde  es la densidad de carga y εr es la permitividad eléctrica
del medio.
onde ρ es la densidad de carga y εr es la permitividad eléctrica del medio.
De acuerdo con la geometría del problema es adecuado hacer
una
representación
deladecuado
sistemahacer
en coordenadas
cartesianas,
e acuerdo con la geometría
del problema es
una representación
del sistema en
ρ
Donde
es
la
densidad
de
carga
y
ε
es
la
permitividad
eléctrica
del
medio.
correspondientes
a la
delalaecuación
ecuación
Poisson
oordenadas cartesianas,
correspondientes
a lardescripción
descripción de
de de
Poisson
parapara
este tipo
tipo de
delageometrías,
que se expresa de la forma:
e geometrías, que seeste
expresa
forma:
De acuerdo con la geometría del problema es adecuado hacer una representación del sistema en
coordenadas cartesianas,
correspondientes a la descripción de la ecuación de Poisson para este tipo
d 2V ( x, y ) dde2Vla( xforma:
, y ) ρ ( x, y ) (5)
de geometrías, que se expresa
+
=
(5)
2
2
dy
ε0
2
d V ( x , y ) d V ( x, y ) ρ ( x , y )
+depropuesto
= expresan
Las para
condiciones
frontera
as condiciones de frontera
el problema
en la forma:propuesto se
dx 2
dy 2 se para
ε 0 el problema
dx
2
(5)
expresan en la forma:
V ( x) = 0, ∀x = 0, ∧ ,0 ≤ y ≤ a
V ( x) = 0, ∀x = b, ∧ ,0 ≤ y ≤ a
(6)
V ( x) = 0, ∀x = b, ∧x,0= ≤0, y∧≤,0a≤ y ≤ a
(6)
V ( y ) = 0V,(∀x0) =≤ 0x, ∀
≤ b, ∧ , y = 0 V ( y ) = V0,(∀
≤xb=, ∧b,, ∧
y ,=0 0≤ y ≤ a
x)0 =≤0x, ∀
V ( y) = V
0 , ∀0 < x < b, ∧ , y = a
V ( y) = V
V0(,y∀) 0= <0,x∀<0 b≤, x∧≤, yb,=∧a, y = 0
as cuales corresponden a las condiciones
V ( y ) = V0 de
< x < bde
, ∀0frontera
,a∧Dirichlet.
,y =a
Las cuales corresponden
las condiciones de frontera de
Las condicionesVde
se expresan en la forma:
( xfrontera
) = 0, ∀xpara
= 0el, ∧problema
,0 ≤ y ≤propuesto
a
(6)
Dirichlet.
Lasdel
cuales
a las condiciones
de frontera
l método
pesajecorresponden
residual consiste
en asumir una
función de
de Dirichlet.
prueba que contiene coeficientes
El método del pesaje residual consiste en asumir una función
esconocidos a determinar. Para este fin seleccionamos una función de peso u ( x, y ) y se
de prueba que contiene coeficientes desconocidos por determinar.
ondiciona
que el promedio
del
pesaje
residualensobre
eluna
dominio
de lade
función
El amétodo
del
pesaje
residual
consiste
asumir
unafunción
función
prueba
(cero.
Para
este
fin,
seleccionamos
de
pesosea
uque
x,contiene
y ) y secoeficientes
desconocidos
a
determinar.
Para
este
fin
seleccionamos
una
función
de
peso u ( x, y ) y se
condiciona
a que el2 promedio del pesaje residual sobre el dominio
2
·
§
condiciona adeque
promedio
del
pesaje
(x, yresidual
) ρ ( x,sobre
V ( x, y )sea
d V
y ) el dominio de la función sea cero.
¸¸dΩ = 0
)¨¨ eldfunción
(7)
u ( x, yla
+ cero.2 −
2
³
ε0 ¹
dy
§ d 2V ( x, y ) d 2V ( x, y ) ρ ( x, y ) ·
Ω=0
(7)
³ u (x, y )¨¨ dx 2 + dy 2 − ε 0 una¸¸¹drepresentación
plicando la extensión de
de la ecuación
Ω Green ©al teorema de Gauss se obtiene
Ω
©
dx
(7)
7) que permite dividir el dominio en región interior y fronteras. Que se puede representar de la
orma: Aplicando la extensión
de Green
al teorema de
se obtiene
una representación
Aplicando
la extensión
deGauss
Green
al teorema
de Gauss de
sela ecuación
(7) que permite
dividir
el
dominio
en
región
interior
y
fronteras.
Que
se
puede
representar
de la
obtiene una representación de la ecuación (7) que permite dividir
§ du (xforma:
, y ) dV ( x, y ) du ( x, y ) dV (x, y ) ·
§ dV ( x, y ) ·
(8)
el+dominio en región
¸dinterior
Ω − ³ u (x,yy )fronteras.
ρ ( x, y )dΩ +Que
Γ=0
¸drepresentar
³ ¨¨ dx
³ u¨se puede
dn ¹
dx de la forma:
dy
dy ¸¹
Ω©
Ω
Γn ©
§ du (x, y ) dV ( x, y ) du ( x, y ) dV (x, y ) ·
§ dV ( x, y ) ·
(8)
¸¸dΩ − ³ u (x, y )ρ ( x, y )dΩ + ³ u¨
− ³ ¨¨
+
¸ dΓ = 0
dx
dyregión dy
© dn corresponde
¹
© dx corresponde
¹ delΩdominio, la segundaΓn integral
a primeraΩintegral
a la
interior
a
fuente de carga en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo eléctrico en la
ontera. La primera integral corresponde a la región interior del dominio, la segunda integral corresponde a
la fuente de carga en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo eléctrico en la
a solución
al problema se simplifica para el propósito de este informe al considerar que la placa no
frontera.
resenta fuentes de carga. De esta forma la segunda integral en (8) se hace cero y la ecuación
Las cuales corresponden a las condiciones de frontera de Dirichlet.
condiciona a que el promedio del pesaje residual sobre el dominio de la función sea cero.
El método del pesaje residual consiste
que contiene coeficientes
§ d 2V (en
(x, función
) d 2Vuna
x, yasumir
y ) ρ ( xde
, yprueba
)·
y )¨¨ este2 fin + seleccionamos
dΩ = 0 de peso u ( x, y ) y se (7)
−
desconocidos a determinar.
una ¸¸función
2
³Ω u (x,Para
ε0 ¹
dy
© dx
condiciona a que el promedio del pesaje residual sobre el dominio de la función sea cero.
[136]
Aplicando
extensión
de
Green 2al teorema
de Gauss
se obtiene una representación de la ecuación
Distribuciónladel
potencial
electrostático
en una placa
cuadrada...
§dividir
(
)
d 2V ( xel, ydominio
d V en
x, región
y ) ρinterior
( x, y ) · y fronteras. Que se puede representar de la
(7) que permite
¸¸dΩ = 0
(7)
u ( x, y )¨¨
+
−
forma:
ε
dx 2
dy 2
³
©
Ω
0
¹
§ du (x, y ) dV ( x, y ) dual( xteorema
·
, y ) dV (xde
, y )Gauss
y ) ·la ecuación
§ dV ( x, de
Aplicando
se obtiene una representación
− ³la¨¨ extensión de Green
+
¸¸dΩ − ³ u (x, y )ρ ( x, y )dΩ + ³ u¨ dn ¸dΓ = 0 (8) (8)
dx
dx
dy
dy
©
¹
(7) que permite
dividir el dominio en región interior
yΩ fronteras. Que seΓnpuede
representar
de la
¹
Ω©
forma:
La primera integral corresponde a la región interior del dominio, la segunda integral corresponde a
La primera
integral
corresponde a la región
interior del
al (flujo
§ du (xla, yfuente
) dV (xde, y )carga
x, y ) ·de campo eléctrico en la
du (en
x, yel) interior
dV (x, y )y· la tercera integral corresponde
§ dV
(8)
¸
(
)
− ³ ¨¨
+
,
ρ
(
,
)
d
Γ = 0de carga
Ω
−
Ω
+
d
u
x
y
x
y
d
u
¨
¸
dominio,
la
segunda
integral
corresponde
a
la
fuente
³
³
frontera.dx
dn ¹
dx
dy
dy ¸¹
Ω©
Ω
Γn ©
en el interior y la tercera integral corresponde al flujo de campo
La solución al problema se simplifica para el propósito de este informe al considerar que la placa no
eléctrico
en la
frontera.
La primera
integral
corresponde
a laDeregión
interiorladel
dominio,
la segunda
a
presenta
fuentes
de carga.
esta forma
segunda
integral
en (8)integral
se hacecorresponde
cero y la ecuación
la fuentediferencial
de carga
en
el
interior
y
la
tercera
integral
corresponde
al
flujo
de
campo
eléctrico
en
la
(4)
se
convierte
entonces
en
la
ecuación
de
Laplace,
cuya
representación
en
la
La solución al problema se simplifica para el propósito de esteforma
frontera.débil es:
informe al considerar que la placa no presenta fuentes de carga.
La solución
problema
elintegral
propósito
considerar
la placa no
Dealesta
forma
se hace
la ecuación
· informe
§ du (sex,simplifica
) dVsegunda
(x, ypara
) + du
(x, y ) dV (dexen
(cero
yla
, este
y ) (8)
x, y ) ·y que
§aldV
¸¸dΩen+ (8)u¨se hace cero
presenta fuentes −de ¨¨carga. De esta forma
la segunda integral
¸dΓy= la0 ecuación (9)
diferencial
(4)
convierte
entonces
en¹la ecuación
cuya
dx se
dx en la ecuación
dy
dnde Laplace,
¹
Ω©
Γn ©representación
diferencial (4) se convierte
entonces
dedyLaplace,
cuya
en la forma
débil es: representación en la forma débil es:
³
³
§ du (x, y ) dV (x, y ) du (x, y ) dV ( x, y ) ·
§ dV (x, y ) ·
¸¸dΩ + ³ u¨
− ³ ¨¨
+
¸dΓ = 0
dx
dx
dy
dy
dn ¹
¹
Ω©
Γn ©
(9)
(9)
La discretización del dominio en (9) se desarrolla usando
elementos finitos bidimensionales triangulares lineales, para los
cuales las variables de interpolación son lineales en x y y en la
forma de:
ω = ω (x, y ) = a1 + a2 x + a3 y (10 - a)
o
a1 
  ω = ω (x, y ) = [1 x y ]a2 
a 
 3
(10 - b)
La aproximación de la solución depende de la selección de la
función de prueba. En este proceso se deben determinar entonces los
coeficientes desconocidos ai para lo cual la función de interpolación
(10 - a) debe representar las variables nodales en los tres nodos del
elemento triangular. Sustituyendo los valores de las coordenadas
cartesianas de los nodos se obtiene:
ω1  1 x1 y1  a1 
 
 
ω e = ω 2  = 1 x2 y2  a2  ω  1 x y  a 
 3   3 3  3 
(11)
Revista Tecnológicas
se deben determinar entonces los coeficientes desconocidos ai para lo cual la función de
interpolación (10 - a) debe representar las variables nodales en los tres nodos del elemento
triangular. Sustituyendo los valores de las coordenadas cartesianas de los nodos se obtiene:
­ω1 ½ ª1 x1 y1 º ­a1 ½
[137]
°
° °
(11)
ω e = ®ω 2 ¾ = ««1 x2 y2 »» ®a2 ¾
°ω ° «1 x y » °a °
¯ 3 ¿ ¬ 3 3 ¼¯ 3 ¿
Desde donde es posible determinar los valores de las constantes
Desde donde
es a
posible
determinar los valores de las constantes ai
i.
Para un elemento triangular la matriz del elemento es calculada
Para un elemento
de la triangular
forma: la matriz del elemento es calculada de la forma:
Revista Tecnológicas°
[K ] = ³ §¨¨ du(dxx, y ) dV dx(x, y ) + du(dyx, y ) dV dy(x, y ) ·¸¸dΩ
©
¹
e
e
(12) (12)
e
Ωe
a partir de funciones
descritos en
a partirdel
detipo
funciones
del(11)
tipo descritos en (11).
Donde Ke es la matriz que contiene las pendientes de los planos
Donde Ke es la matriz que contiene las pendientes de los planos evaluadas
en cada nodo del
7
evaluadas
en cada nodo del elemento triangular7.
elemento triangular
.
Cada elemento triangular posee nodos asociados con los otros
Cada elemento
triangular
nodos en
asociados
con los otros
en cuya
elementos
delposee
dominio
cuya expansión
delelementos
dominiodel
se dominio
construye
expansión del dominio se construye una matriz ‘A’ global del sistema que tiene dimensiones n × n
una matriz ‘A’ global del sistema que tiene dimensiones n x n siendo
siendo n el número de nodos en el dominio.
n el número de nodos en el dominio.
El método
de Galerkin
selecciona
u y V de
enfunciones.
el mis­­- La
El método de Galerkin
selecciona
las funciones
u y V las
en funciones
el mismo espacio
moabstracta
espaciode
delafunciones.
Laesrepresentación
representación
ecuación (12)
expresada como: abstracta de la ecuación
(12) es expresada como:
a (V , u ) = "(u )
a(V , u ) = (u ) (13)
(13)
Cuya expansión a todo el conjunto de funciones en el dominio puede generalizarse de la manera
Cuya expansión a todo el conjunto de funciones en el dominio
siguiente:
puede generalizarse de la manera siguiente:
7
AV , u Hyocoong.
= ", u The Finite Element Method Using Matlab. 1997. Pag 90 (14)
Kwon, Young W;AV
Bang,
, u = ", u (14)
(14)
AVacuerdo
, u = ", u con las propiedades del producto interno
(14)(14) puede
De
De acuerdo con las propiedades
del producto interno (14) puede rescribirse en la forma:
De acuerdo con las rescribirse
propiedades delen
producto
interno
(14)
puede
rescribirse
en
la
forma:
la forma:
De acuerdo con las propiedades del producto interno (14) puede rescribirse en la forma:
AV−−"", u, u ==00
AV
(15) (15)
(15)
AV − ", u = 0
(15)
Ya
que
u
es
solución
del
sistema,
en
consecuencia
Ya
que
u
es
solución
del
sistema,
en
consecuencia
la
solución
no
trivial
queda
de
la
forma:
Ya que u es solución del sistema, en consecuencia la solución no trivial queda de la forma: la solución
nodeltrivial
de la la
forma:
Ya que u es solución
sistema,queda
en consecuencia
solución no trivial queda de la forma:
AV
−
"
=
0
(16)
AV − " = 0
(16)
AV − " = 0 (16)
(16)
El
segundo
término
de
(16)
corresponde
al
término
de
los
flujos
que
entran
a
la
región
por
la
El segundo término de (16) corresponde al término de los flujos que entran a la región por la
frontera
de(9)
(9)
estarían
descritos
lasalcondiciones
condiciones
defrontera
frontera
VonNewman,
Newman,
tratados
El segundo
término
de (16)
corresponde
término dedelos
flujos que
entran
a la región
por
la enen
frontera
de
yyestarían
descritos
enen
las
dedeElement
Von
nono
tratados
7
Kwon,
Young
W;
Bang, Hyocoong.
The Finite
Method
Using
Matlab. 1997.
frontera
de
(9)
y
estarían
descritos
en
las
condiciones
de
frontera
de
Von
Newman,
no
tratados
en
este
documento
debido
a
que
no
se
consideran
fuentes
externas
de
campo
eléctrico.
Así
al
término
este documento debido Pag.
a que90.
no se consideran fuentes externas de campo eléctrico. Así al término
este documento
a quelas
nocondiciones
se
considerandede
fuentes
externas
de campoy yeléctrico.
Asísealsetérmino
restante
de (16)
(16) debido
aplican
las
condiciones
frontera
Dirichlet
finalmente
resuelveel el
restante
de
sese aplican
frontera
dedeDirichlet
finalmente
resuelve
restantededeecuaciones
(16) se aplican
las para
condiciones
de el
frontera
de Dirichlet
yen
finalmente
sedonde
resuelve
el
sistema
lineales
conseguir
valor
del
potencial
los
nodos
este
valor
sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial en los nodos donde este valor
es es
sistema
de
ecuaciones
lineales
para
conseguir
el
valor
del
potencial
en
los
nodos
donde
este
valor
es
desconocidoyyordenar
ordenarelelarreglo
arreglodedevalores
valoresdedemanera
maneraque
queelelvalor
valordeldelpotencial
potencialseaseaasignado
asignado
desconocido
al al
desconocido
y ordenar el arreglo de valores de manera que el valor del potencial sea asignado al
nodo
correspondiente.
nodo
correspondiente.
nodo correspondiente.
Los resultados
resultados obtenidospueden
puedenapreciarse
apreciarsegráficamente
gráficamente en lafigura
figura(1).
(1). Enésta,
ésta,el elrelieve
relievedede
la
Los
Los resultadosobtenidos
obtenidos pueden apreciarse
gráficamente enenla lafigura
(1). EnEn
ésta, el relieve
de la la
región
y
el
colorido
representan
el
valor
del
potencial.
En
primera
instancia
no
parece
haber
gran
región
y
el
colorido
representan
el
valor
del
potencial.
En
primera
instancia
no
parece
haber
gran
región y el colorido representan el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran
discrepancia
entre
lasfiguras
figurasizquierda
izquierdayyderecha,
yderecha,
derecha,
aparte
detres
tres
picos
solución
analítica.
discrepancia
aparte
picos
la lasolución
analítica.
discrepanciaentre
entrelas
las
figuras
izquierda
aparte
dedetres
picos
en en
laen
solución
analítica.
[138]
Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada...
AV , u = ", u
(14)
De acuerdo conEl
lassegundo
propiedades
del producto
interno
(14) puedealrescribirse
forma:
término
de (16)
corresponde
término en
delalos
flujos
que entran a la región por la frontera de (9) y estarían descritos
AV − ", ude=frontera
0
(15)
en las condiciones
de Von Newman, no tratados en
este documento debido a que no se consideran fuentes externas
Ya que u esdesolución
sistema, en
consecuencia
la restante
solución node
trivial
de la forma:
campodel
eléctrico.
Así
al término
(16)queda
se aplican
las
condiciones de frontera de Dirichlet y finalmente se resuelve el
AV − " = 0
(16)
sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial
los nodos
donde
este valor
es desconocido
y ordenar
el arreglo
El segundoentérmino
de (16)
corresponde
al término
de los flujos
que entran
a la región por la
dedescritos
maneraenque
el valor del
potencial
sea Newman,
asignadonoaltratados en
frontera dede
(9) valores
y estarían
las condiciones
de frontera
de Von
este documento
a que no se consideran fuentes externas de campo eléctrico. Así al término
nododebido
correspondiente.
restante de (16)Los
se resultados
aplican las condiciones
de frontera
de Dirichlet
y finalmente en
se laresuelve el
obtenidos pueden
apreciarse
gráficamente
sistema de ecuaciones lineales para conseguir el valor del potencial en los nodos donde este valor es
figura (1). En ésta, el relieve de la región y el colorido representan
desconocido y ordenar el arreglo de valores de manera que el valor del potencial sea asignado al
el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran
nodo correspondiente.
discrepancia entre las figuras izquierda y derecha, aparte de tres
Los resultados
obtenidos
pueden apreciarse
gráficamente en la figura (1). En ésta, el relieve de la
picos
en la solución
analítica.
región y el colorido representan el valor del potencial. En primera instancia no parece haber gran
discrepancia entre las figuras izquierda y derecha, aparte de tres picos en la solución analítica.
Figura 1: Distribución del potencial electrostático.
Figura 1. Distribución del potencial electrostático
La solución analítica más usual es determinada mediante la solución de la ecuación diferencial (5).
Al evaluar en ésta las condiciones de frontera de Dirichlet descritas en (6) se obtiene
Revista Tecnológicas
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Revista Tecnológicas
La solución analítica más usual es determinada mediante
la solución de la ecuación diferencial (5). Al evaluar en ésta las
condiciones de frontera de Dirichlet descritas en (6) se obtiene
nπy ·
§nnπ
πxx·¸ senh
 n§¨πy  sen
¨
¸
sen
senh



4Vo4Vo∞ ∞ © bb ¹  ©a a ¹
(17)
x, y ) = ¦∑
V ( x, yV)(=
n
π
a
π


n
=
1
,
3
,
5
π
n
a
π n=1,3,5
senh §  ·
nn⋅⋅ senh
¨ b  ¸
© b ¹
(1
y su representación grafica punto a punto en un dominio más
puntual corresponde a la figura (2).
u representación grafica punto a punto en un dominio más puntual corresponde a la figura (2)
Figura
Solución analítica
Figura
2: 2.Solución
Analítica
está por demás resaltar el hecho de que ambas soluciones,
esta por demás No
resaltar
el hecho que ambas soluciones, la FEM y la analítica, s
la FEM y la analítica, son aproximaciones numéricas, sin embargo
roximaciones numéricas, sin embargo la solución FEM calculada en este ejercicio esta m
la solución FEM calculada en este ejercicio está más acorde con las
orde con las condiciones iniciales del problema. Los picos que aparece en la parte derecha de
ura 1, corresponde a los valores calculados por la ecuación senosoidal 17 para las coordenad
rrespondientes a cada nodo del dominio, y como puede apreciarse de la figura 2, la soluci
alítica es mas rizada en el extremo mas alejado por efecto de la aproximación senosoidal para
or del potencial en esa frontera.
indicativo numérico de las aproximaciones obtenidas por el método en cuestión es dado por
[140]
Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada...
condiciones iniciales del problema. Los picos que aparece en la parte
derecha de la figura 1, corresponde a los valores calculados por
la ecuación senosoidal 17 para las coordenadas correspondientes
a cada nodo del dominio, y como puede apreciarse de la figura 2,
la solución analítica es más rizada en el extremo más alejado por
efecto de la aproximación senosoidal para el valor del potencial
en esa frontera.
Un indicativo numérico de las aproximaciones obtenidas por
el método en cuestión es dado por el porcentaje de error calculado
respecto a la norma. Éste se determina a partir de los valores del
potencial electrostático calculado por los dos métodos de solución
(FEM y analítico), calculando la norma de la diferencia entre
los vectores en comparación dividida por la norma del vector de
referencia, que en este caso corresponde a ‘Va’, la solución analítica
ya que para efectos del problema se ha considerado la solución
FEM como la función de prueba del sistema ‘V’, aquí ‘*’ indica la
norma de referencia
V − Va *
% E (l * ) =
Va *
Tabla 1. Porcentajes de error entre la solución analítica y solución FEM
% Error (l ∞)
18.2759
% Error (l 2)
5.7674
% Error l∞: indica el porcentaje de error con respecto a la norma infinita8.
% Error l2: indica el porcentaje de error con respecto a la norma euclidiana.
2.2 Cálculo del gradiente del potencial
El gradiente representa la magnitud y la dirección de la máxima
rapidez de incremento espacial del potencial escalar V. En la
ecuación (1) se puede ver que el gradiente del potencial aumenta
en la dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico.
8
Manuel Julio García. Lecture Notes on Numerical Analysis. Department of Mecha­
nical Engineering, EAFIT University Medellin, Colombia. Enero de 2004. p. 21.
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% Error l∞: indica el porcentaje de error con respecto a la norma infinita8.
% Error l2: indica el porcentaje de error con respecto a la norma euclidiana.
2.2 Calculo del Gradiente del Potencial
Revista Tecnológicas
El gradiente representa la magnitud y la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial del
potencial escalar V. En la ecuación (1) se puede ver que el gradiente del potencial aumenta en la
dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico.
Para este cálculo se parte de que la función que describe el
potencial
escalar
puede
cada región
dominio
de en
Para este calculo se parte de que
la función
queescribirse
describe elen
potencial
escalar del
puede
escribirse
la forma
cada región del dominio
de la forma
V ( x, y ) = ¦Vi ( x, y )ω ( x, y )
(18)(18)
i
Y su gradiente en consecuencia
Y su gradiente en consecuencia
∇VV ((xx,,yy))==
∇
∂V(x(,xy, )y)
∂∂VV(x( x, ,yy)) i +∂V
j
i
+
j ∂∂xx
∂y∂y
(19) (19)
Reemplazando (17) en (18)
se tiene
Reemplazando
(17) en (18) se tiene
∂ω(x, y )
y )(x, y ) j
∂ω ( x∂, ω
x, yV)i =
(x∑
) ∂i (ωx,(yx), y ) i∂x+ ¦iV+i (∑
, yV
x, yV)i (x, y )
j
∇V ( x, y∇)V= (¦
i
i
∂x
∂y ∂y
i
i
(20)(20)
El valor la
devalor
Vi (xdel
, y )potencial
corresponde
al valor
del potencial
calculado
en la sección
anteriorcalculado
para el nodo
El valor de Vi ( x, y ) corresponde
en
la
sección
anterior
para
el
nodo
i
el
cual
es
una
constante
el cual es una constante calculada en la sección 2.1, de manera que en la ecuación (20) solo queda
la sección
2.1, deen
manera
que(10)
en la
ecuación
(20) sólo
calcular la derivada calculada
parcial de laen
función
base descrita
la ecuación
para
cada elemento.
De
queda
calcular
la
derivada
parcial
de
la
función
base
descrita
en
allí puede verse que para un elemento lineal triangular
la ecuación (10) para cada elemento. De allí puede verse que para
∂ωlineal
un elemento
i ( x, y ) triangular
(21 –a)
=a
2
i
∂x
∂ω i (x, y )
= a2 i
∂x
∂ω i (x, y )
y
= a3 i
∂y y
(21 – a)
(21 – b)
∂ω i (x, y )
(21 – b)
= a3 i
∂y
Reemplazando las ecuaciones (21) en la (20) se obtiene:
Reemplazando las ecuaciones (21) en la (20) se obtiene:
ω( ) ¦ ( ) ∂x
¦ ( )
∂ Analysis.
x, y Department of Mechanical
Manuel Julio García. Lecture NotesVon xNumerical
(22University
– a) Medellin,
,y
i = V x, y a i Engineering, EAFIT
(22 – a)
Colombia. Enero de 2004. p 21
i
i
¦ Vi (x, y )
i
i
i
2i
∂ω ( x, y ) i = ¦ Vi ( x, y ) a3i j
∂y
i
(22 – b)
(22 – b)
Ecuaciones que corresponden a la suma direccional de los gradientes de los nodos en cada elemento
triangular en las respectivas coordenadas. A continuación se asigna el valor del promedio del
gradiente del elemento triangular a cada nodo del mismo elemento. Al final cada coordenada nodal
tendrá en número de gradientes asignados como el número de elementos triangulares que compartan
[141]
¦ V ( x, y )
i
[142]
i
∂ω ( x, y ) i = ¦Vi ( x, y )a2i i
∂x
i
(22 – a)
Distribución del potencial electrostático en una placa cuadrada...
∂ω ( x, y ) i = ¦ Vi ( x, y )a3i j
(22 – b)
∂y
i
i
Ecuaciones que corresponden a la suma direccional de los
gradientes de los nodos en cada elemento triangular en las
Ecuaciones que corresponden a la suma direccional de los gradientes de los nodos en cada elemento
respectivas coordenadas. A continuación se asigna el valor del
triangular en las respectivas coordenadas. A continuación se asigna el valor del promedio del
promedio del gradiente del elemento triangular a cada nodo del
gradientemismo
del elemento
triangular
cada nodo
mismo elemento.
final cada
coordenada nodal
elemento.
Al afinal
cadadel
coordenada
nodalAltendrá
e número
gradientes
asignados
como
el el
número
elementos
triangulares
tendrá ende
número
de gradientes
asignados
como
número de
de elementos
triangulares
que compartan
que
compartan
dicho
nodo.
Para
efectos
de
determinar
el
gradiente
dicho nodo. Para efectos de determinar el gradiente en cada nodo se calcula el promedio de los
en cada nodo se calcula el promedio de los gradientes asignados
gradientes asignados a este.
a éste.
En la parte izquierda de la figura (3) es apreciable la distribución
En la parte
izquierda
de la figura
es apreciable
la la
distribución
de los gradientes
en el la
dominio y
de los gradientes
en (3)
el dominio
y en
parte derecha
se muestra
distribución
del potencial
ilustrado
por ilustrado
el color por
asignado.
en la parte
derecha se muestra
la distribución
del potencial
el color asignado.
¦ V ( x, y )
i
3
Figura 3: Líneas de Campo Eléctrico y Distribución del Potencial Electrostático
Figura 3. Líneas de campo eléctrico y distribución
Conclusiones
del potencial electrostático
Las diferencias entre la solución analítica y la solución FEM observadas en la tabla (1) donde
aparecen los porcentajes de error en los nodos cuyos resultados calculados por ambos métodos no
son coincidentes, dan a entender una discrepancia debido a la aproximación senoidal de la función
analítica.
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3. Conclusiones
Las diferencias entre la solución analítica y la solución FEM
observadas en la tabla (1) donde aparecen los porcentajes de error
en los nodos cuyos resultados calculados por ambos métodos no
son coincidentes, dan a entender una discrepancia debido a la
aproximación senoidal de la función analítica.
El error calculado se ha realizado con base en dos soluciones
que son aproximaciones y que, así la solución FEM esté más
acorde con las condiciones iniciales del problema con respecto a la
solución analítica que es una función armónica senosoidal, también
demuestra que por efectos del pesaje residual o mínimo residuo
esto afecta los resultados del sistema.
Lo que se puede extraer de este resultado es que el método de
los elementos finitos para la solución al problema de la distribución
del campo electrostático, arroja resultados consistentes con respecto
a otros métodos ampliamente discutidos en la literatura técnica
y científica.
Referencias
[1] Manuel Julio García Ruiz. Lecture Notes on Numerical Analysis, 2008.
Fondo Editorial Universida Eafit. Department of Mechanical Engineering, EAFIT University, Medellin, Colombia.
[2] M. Sadiku (1998). Elementos de Electromagnetismo 2° Edición. Compañía Editorial Continental, S.A. México.
[3] Kwon, Young W; Bang, Hyocoong. The Finite Element Method Using
Matlab. Boca Raton: Crc Press, 1997.
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