Teoria moderna a circuitelor retelelor (1) https://neculaifantanaru.com

Prefaţă Lucrarea a fost iniţial concepută ca o ediţie revăzută a lucrării Analiza reţelelor (circuitelor) liniare (Linear NetWork Analysis) a lui Sundaram Seshu şi Norman Balabanian, în vara anului 1965. Totuşi înainte ca activitatea de revizuire să înceapă cu adevărat, S. Seshu a murit într-un tragic accident de automobil. De atunci, ediţia revăzută concepută iniţial a suferit modificări atît de mari încît a căpătat caracterul unei noi cărţi şi o prezentăm ca atare. Noi (în special Norman Balabanian) dorim, cu toate acestea, să menţionăm contribuţiile directe şi indirecte la această carte, ale lui S. Seshu. Materialul cu ajutorul căruia a fost scrisă această carte a fost folosit într-un curs introductiv (beginning graduale course) la Universitatea din Syracuse si la Berlceley — Universitatea din California. Nivelul lucrării permite însă folosirea unor părţi din ea într-un curs pentru anii superiori (senior course). în studiul sistemelor electrice este adesea necesar să ne ocupăm de structura internă şi de compoziţia sistemului. în aceste cazuri un instrument important pentru analiză este topologia. în alte cazuri, interesează numai caracteristicile externe. Atunci intră în joc consideraţiile de ,,sistem’’.^ în această carte ne vom ocupa atît de compoziţia internă cit şi de caracteristicile de sistem. _ _ ^ Instrumentele matematice de primă importanţă sînt analiza matriceală, graf urile liniare, funcţiile de variabilă complexă şi transformata Laplace. Primele două sînt dezvoltate în interiorul textului, ultimele două fiind tratate în anexe. De asemenea, pentru a pune bazele folosirii funcţiei impuls- miitate în cap. 5, se tratează în anexe şi funcţiile generalizate. Fiecare din anexe constituie o dezvoltare relativ detaliată şi atentă a subiectului tratat. în această carte am încercat să facem o dezvoltare îngrijită a bazelor teoriei circuitelor (reţelelor)*'. Se studiază răspunsurile în domeniul timp Menţionăm că în traducerea cuvîntului „Nel/work” s-au folosit în lucrare, ca fiind sinonime în sens larg, reţea sau circuit. Tinînd seama, însă, pe de o parte, ca în anumite domenii ca electroenergetica, telecomunicaţiile şi în activitatea practică a electronistului, electrotehnicianului, automatistului ş.a. aceste cuvinte pot desemna sisteme, respectiv subsisteme (ex. reţea cu mai multe circuite, sau invers), iar pe de altă parte, că lucrarea îmbrăţişează aspectele generale ale reţelelor sau circuitelor, am denumit cartea ,,Teoria modernă a circuitelor (reţelelor)”. Aruncăm astfel o punte de trecere între aceste cuvinte, care nu e străină şi de aprecierea că teoria reţelelor (circuitelor) se intersectează în preocupări cu laturi ale teoriei sistemelor, cum şi cu ale altor domenii, cum sînt cele privind calculatoarele şi în frecvenţă, analiza şi sinteza. împreună cu componentele pasive reciproce se studiază şi componentele active nereciproce (surse comandate, gira- toare, convertoare de impedanţă negativă). Deşi cea mai mare parte a cărţii se limitează la reţelele liniare invariante în'timp, există totuşi un capitol important care se ocupă de reţelele neliniare şi variante în timp. _ Analiza matriceală nu este tratată în totalitate într-un singur capitol ■ se introduc părţi din ea acolo unde este necesar. Astfel, consideraţiile introductive smt discutate tn cap. 1, dar funcţiile de matrice se introduc în cap. â, în care se caută o soluţie pentru ecuaţia vectorilor de stare. în mod analog, echivalenţa matricelor, forma canonică a unei matrice şi formele pătratice se tratează m cap. 7, pregătind dezvoltarea proprietăţilor analitice ale funcţiilor de reţea. ' ‘ Analiza reţelelor începe vn cap. 2 cu o formulare precisă a relaţiilor fundamentale ale lui Kirchhoff, obţinute prin aplicarea teoriei graf urilor. Metodele clasice folosind ecuaţiile pe ochiuri, la noduri, la perechi de noduri şi cu variabile mixte sînt prezentate pe bază topologică. în cap. 3 se tratează reţelele multiterminale caracterizate prin mărimile măsurate la borne şi la perechi de borne (porţi). Aici se introduc matricele de admitanţă şi impedanţă nedefinite şi se discută proprietăţile lor. Capitolul se încheie cu o discuţie a formulelor pentru calculul funcţiilor de reţea pornind de la concepte topologice. ’ în cap. 4 se introduc ecuaţiile de stare ale reţelei. Metoda de scriere a ecuaţiilor de stare pentru reţelele pasive şi active, reciproce şi nereciproce este astfel îneît cere calcularea parametrilor de multiport num,ai pentru o reţea rezistivă (care poate fi activă 6şi nereciprocă). Se tratează dezvoltatPREFAŢĂ soluţia în domeniul timp pentru ecuaţia vectorilor de stare. Gap. 5 se ocupă de metodele integrale de găsire a soluţiei, ceea ce include integrala de convoluţie şi integralele de superpoziţie. Se discută metodele numerice de evaluare a matricelor de tranziţie şi problema erorilor în soluţiile numerice. ’ ' Cap. 6 şi 7 fac trecerea de la analiză la sinteză. Se studiază suficienţa părţii reale, modulului sau fazei ca părţi date ale unei funcţii de reţea şi se dezvoltă metodele de determinare a funcţiei de reţea din oricare dintre părţile ei. Acest lucru implică folosirea unor metode algebrice şi a relaţiilor integrale date de formulele Bode. Se studiază, de asemenea, formulele ’integrale ce dau legătura dintre partea reală şi imaginară ale unei funcţii de reţea şi răspunsul la impulsul sau la treapta unitate. Pentru, reţelele pasive, funcţiile de energie dau baza stabilirii proprietăţilor analitice ale funcţiilor de reţea. Se introduc funcţiile real—pozitive şi se obţin din ele proprietăţile şi cibernetica, fapt care favorizează simultan generalizarea noţiunilor sau(şi) accepţiuni diferite pentru ele. în text am folosit reţea sau circuit, după cum s-a apreciat mai uzual în terminologia curentă. Aparentul pleonasm ar putea fi(sau nu) înlăturat de necesităţile exprimării fiecărui cititor, iar precizarea va veni în timp, odată cu standardizarea terminologiei şi cu verificarea ei în practică. Şi pentru alte cuvinte-menţionate în dicţionarul român-englez de la sfirşitul lucrării — sau folosit şi termenii sinonimi. (N.R.). funcţiilor de reactanţă şi cele ale funcţiilor de admitanţa şi impeăanţa RC. Metodele de sinteză prezentate pentru aceste funcţii cit şi pentru altele, includ metoda Darlington si metodele de sinteză pentru reţelele active ML. _ Cav 8 'prezintă o tratare amănunţită a parametrilor de repartiţie şi descrierea reţelelor multiport cu ajutorul matricelor de repartiţie Se discuta, normalizarea reală şi complexă, ultima incluzînd normalizarea la o singuta frecvenţă si normalizarea independentă de frecvenţă, Se_ studiaza proprietăţile de reflexie si transmisie ale reţelelor multiport active şi pasive, reci- Vroce si nereciproce, în funcţie de parametrii de repartiţie. Se discuta aplicaţiile la proiectarea filtrelor şi amplificatoarelor de rezistenţa negativa. ' Conceptele de reacţie si stabilitate se studiază m cap. 9. Se introduce aici, ca instrument matem’atic, graful de fluenţă al semnalelor. Se prezintă criteriile EouthHurwitz, Lienard Chipart şi JSfyquist. _ _ Ultimul capitol este consacrat reţelelor variabile m timp şi nelmiare. Se pune accentul pe proprietăţile generale ale ambelor tipuri de reţea, asa cum rezultă din ecuaţiile de stare. Se discută probleme ale existenţei şi unicităţii soluţiilor şi metode de obţinerea lor. Se dă atenţie teoriei stabilitătii a lui Liapunov. ^ La sfîrsitul fiecărui capitol se prezintă o mare varietate de piobleme. Numărul total este 460, unele din ele fiind simple aplicaţii ale relaţiilor obtinute în text. Totuşi, multe din ele cer o extensie considerabila a materialului din text, sau demonstraţii ale unor afirmaţii ajutatoare care nu au putut fi incluse în text din lipsă de spaţiu. In anumite capitole a tost inclusă o clasă specială de probleme. Fiecare dm acestea, notate cu un asterisc cere scrierea unui program pentru calculator. Deşi scrierea prooramelor pentru calculator nu a fost discutată în text şi s-a inclus numai o minimă prezentare a metodelor numerice, credem ca cititorii acestei cărţi posedă un nivel de cunoştinţe suficient, care permite rezolvarea acestor probleme. „ . •• La sfîrsitul cârtii se dă o bibliografie, în scopul prezentam unei sern de autori cărora le datorăm unele din ideile noastre. în plus ea constituie o bază suplimentară de referinţă ce poate fi consultată pentru subiecte speciale. Am beneficiat de observaţiile si criticile multor colegi şi studenţi, cate ne-au sugerat îmbunătăţiri, pentru care exprimăm mulţumirile noastre. N. Balabanian Syracuse New York T. A. Bickart PREFAŢA 7 îundamentale Noţiuni 17 19 1.1. 1.2. Introducere ................................................ Algebra matriceală elementară Operaţiuni de bază .................................. Tipuri de matrice ..................................... Determinanţi .......................................... Inversa unei matrice . . . . Condensare pivotală ................................ Ecuaţii liniare .......................................... Ecuaţie caracteristică . . • Similitudine ................................ Inegalitatea lui Sylvester Norma unui vector . . 1.3. Notaţii şi sensuri Cuprins 19 25 27 31 33 35 41 43 45 46 convenţionale 49 1.4. Clasificarea reţelelor (circuitelor) Liniaritate ................................................ Invarianţă in timp .................................. Prefaţa Pasivitate ................................................... Reciprocitate ............................................. 51 51 52 52 53 17 1 1.5. Elemente de reţea (circuit) . . ■ Transformatorul ............................................ Giratorul ........................................................ Surse independente ....................................... Surse comandate sau dependente. Convertor de negativare . . . ■ 52 5 6' 60 62 63 65 Probleme 2. Teoria graiurilor şi ecuaţiile reţelelor (circuitelor) 2.1. Noţiuni introductive Teoremele lui Kirchhoff............................................................................................................... Ecuaţiile pe bucle......................................................................................................................... Ecuaţiile pe noduri ...................................................................................................................... Ecuaţii de stare — Sistem mixt de ecuaţii ................................................................................. Soluţiile ecuaţiilor ....................................................................................................................... 65 ^2 71 75 71 75 71 7» Pag. 2.2. Grafuri liniare ................................................................................................................................ Definiţii introductive ...................................................................................................................... Matricea de incidenţă ............................................................................................................ CUPRINS Matricea de contur ........................................................................................... Relaţii între submatricele din A şi B ...................................................................... Mulţimea secţiunilor şi matricea secţiunilor .............................................................. Grafuri planare ............................................................................................................................... 82 82 85 90 94 95 100 2.3. Teoremele de bază ale reţelelor (circuitelor) electrice ....................................................... Teorema lui Kirchhoff pentru curent ................................................................................ Teorema lui Kirchhoff pentru tensiune ............................................................................. Relaţiile pe laturi................................................................................................................... 102 2.4. Ecuaţiile pe Ecuaţiile pe Ecuaţiile pe Ecuaţiile pe bucle, pe noduri şi peperechi de noduri .................................................... bucle ................................................................................................................... noduri ................................................................................................................. perechi de noduri .............................................................................................. 116 116 121 125 2.5. Dualitatea ................................................................. . .... ............................................................. 128 2.6. Reţele (circuite) nereciproce şi active ........................................................................................... 132 2.7. Ecuaţii cu variabile mixte ............................................................................................................. 141 Probleme ................................................................................................................................................... 148 3. Funcţii de eircuit 3.1. 3.2. 3.3. 102 107 111 (reţea) ................................................................................................................. 156 Funcţii de intrare şi de transfer .................................................................................... Funcţii de intrare ........................................................................................................................... 156 159 Funcţii de transfer ......................................................................................................................... 162 Circuite multiterminale ................................................................................................................ 164 Circuite diport (cuadripoli) ........................................................................................................... 166 Parametrii în gol şi în scurtcircuit ................................................................................................ Parametrii hibrizi .................................................................................................... Parametrii lanţ .............................................................................................................................. Zerourile de transmisie .................................................................................................................. 167 169 170 171 3.4. Interconectarea circuitelor diport ................................................................................................. Conectarea în cascadă .................................................................................................................... Conectarea în paralel şi serie ........................................................................................................ Restricţii la interconectarea cuadripolilor .................................................................................... 174 174 177 179 3.5. Circuite multiport .......................................................................................................................... 181 3.6. Matricea de admitanţă nedefinită ................................................................................................ 183 Conectarea a două terminale ......................................................................................................... 188 Suprimarea terminalelor .............................................................................................................. Circuite in paralel ........................................................................................................................... Cofactorii determinantului matricei (Y*) .................................................................... 188 189 189 Matricea impedanţă nedefinită ................................................... ............................... . Formule topologice pentru funcţiile de circuit ......................................... Determinantul matricei admitanţelor la noduri ......................................... 192 196 196 3.7. 3.8. Cofactori simetrici ai matricei admitanţelor la noduri ................................. ................. • • Colactori nesimetrici ai matricei admitanţelor la noduri ................................... Matricea impedanţelor pe contur şi cofactorii ei ................................................... Parametrii diportului ..................................................................................................................... Probleme .................................................................................................................................................. Pag. 198 202 205 209 4. Ecuaţii de stare ....................................................................................................... ......... ................... 4.1. Ordinul de complexitate al unei reţele(circuite) ............ ....................................... 232 4.2. Consideraţii de bază in scrierea ecuaţiilor de stare ......................................... 236 4.3. Rezolvarea în domeniul timp a ecuaţiilor de stare ......................................... CUPRINS Rezolvarea ecuaţiei omogene ......................................................................................................... O altă metodă de rezolvare ........................................................................................................... Exponenţiala matriceală ............................................................................................................... 246 248 251 257 4.4. Funcţii de o matrice................................................................................................... . ■ ■ ■ • Teorema Cayley-Hamilton şi consecinţele ei ............................................................ Valori proprii distincte ................................................................................................................... Valori proprii multiple ................................................................................................................... Matricea constituantă ................................................................. .. ............................................... Matricea rezolvantă ...................................................................................................................... Algoritmul matricei rezolvante ......................................................................................... . ■ • Polinoame rezolvante .................................................................................................................... 258 259 262 Formularea sistematică a ecuaţiilor de stare ......................................................... Consideraţii topologice ............................................................................................................ Eliminarea variabilelor nedorite ................................................................................................... Reţele invariabile în timp .............................................................................................................. Reţele ...... ...................................................................................................................................... Matrice de parametri pentru reţelele RLC ................................................................................... Consideraţii privind sursele comandate ................................................................................. 279 281 "84 290 291 294 300 4.5. 4.6. Formularea ecuaţiilor de 271 b stare cu ajutorulmultiporţilor ................................................ 303 Ecuaţii de ieşire .............................................................................................................................. Probleme .................................................................................................................................................. 5. Soluţii integrale ..................................................................................................................................... 316 OOQ J QOQ 5.1. Teorema convoluţiei ...................................................................................................................... 5.2. Răspunsul la impulsul unitate .................................................. .................................................. Funcţii de transfer diferite de zero la infinit ................................................................................ O altă metodă de obţinere a integralei de convoluţie................................................................... 5.3. Răspunsul la treapta unitate ................................................................ ....................................... 5.4. Principiul superpoziţiei .................................................................................. , ............................ Superpoziţia de impulsuri unitate ............................................. t . . .................................................................................................349 Superpoziţia de trepte unitate ....................................................................................................... 352 Soluţii numerice ........................................................................................................ Reţelele cu mai multe intrări şi ieşiri ........................................................................................... Răspunsul exprimat cu ajutorul ecuaţiilor de stare ..................... ....... Erori transmisibile ......................................................................................................................... 354 358 359 362 5.5. 5.6. 334 339 340 343 349 . Evaluarea numerică a lui ................................................................................ Erori de calcul ............................................................................................................................... Erori la calculul răspunsului de stare liber .............................................................. Erori la calculul răspunsului de stare forţat ............................................................ 365 369 369 371 Probleme .................................................................................................................................................. 374 6. Reprezentări ale funcţiilor de circuit (reţea) ..................................................................... 382 6.1. Poli, zerouri şi frecvenţe naturale ................................................................................................. Poziţiile polilor .............................................................................................................................. Părţile pară şi impară ale unei funcţii ......................................................................................... Modulul şi faza unei funcţii ........................................................................................................... Funcţia de întîrziere ...................................................................................................................... 382 384 386 388 389 6.2. Funcţii de fază minimă .................................................................................................................. Funcţii trece-tot şi de fază minimă ............................................................................................... 389 392 . Pag. Diferenţa de fază ........................................................................................................................... Polinoame Hurwitz ........................................................................................................................ 394 394 6.3. Circuite de fază minimă şi de fază neminimă .............................................................................. CUPRINS Circuite în scară ............................................................................................................................. Circuite de rezistenţă constantă ................................................................................................... 396 396 398 6.4. Determinarea unei funcţii de circuit din modulul său ................................................................ Răspunsul maxim plat ................................................................................................................... Răspunsul Cebîşcv ......................................................................................................................... 404 406 411 6.5. Calculul unei funcţii de circuit dintr-o fază dată ......................................................................... 412 6.6. Calculul unei funcţii de circuit din parte reală dată........................................... Metoda Bode .................................................................................................................................. Metoda Gewertz ............................................................................................................................. Metoda Miyata ............................................................................................................................... 416 417 418 420 6.7. Relaţii integrale între părţile reală şi imaginară ........................................................................ Teoremele integralei de reactanţă şi integralei de rezistenţă .................................................... Limitări impuse circuitelor ........................................................................................................... O altă formă a relaţiilor integrale ................................................................................................. Relaţii obţinute pentru diferite funcţii pondere ........................................................................... 422 428 430 433 437 <6.8. Relaţiile între răspunsul în domeniul timpşi domeniul frecvenţă . . Răspunsul la treapta unitate ........................................................................................................ Răspunsul la impuls unitate ........................................................................................................ 440 440 444 Probleme .................................................................................................................................................. 447 7. Principii de bază ale sintezei circuitelor 7.1. (reţelelor) ............................................................. 454 Transformarea matricelor ............................................................................................................. Transformări elementare .............................................................................................................. Matrice echivalente ........................................................................................................................ Transformări similare .................................................................................................................. Transformări congruente ............................................................................................................... 455 455 457 459 459 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. Forme pătratice şi hermitice.......................................................................................................... Definiţii ........................................................................................................................................... 4gţ Transformarea unei forme pătratice ............................................................................................. Forme definite şi semidefinite ........................................................................................................ F'orme hermitice ............................................................................................................................. CUPRINS 463 465 467 Funcţii de energie ........................................................................................................................... Circuite reciproce, pasive ............................................................................................................... Funcţia de impedanţă ..................................................................................................................... Condiţia impusă argumentului ..................................................................................................... 468 Funcţii real-pozitive ....................................................................................................................... Condiţii necesare şi suficiente ........................................................................................................ Proprietatea argumentului unei funcţii real-pozitive .................................................................. Funcţii real-limitate........................................................................................................................ Funcţia părţii reale ........................................................................................................................ 479 483 Funcţii de reactanţă ....................................................................................................................... Realizarea funcţiilor de reactanţă ................................................................................................. Schema circuitelor in scară ............................................................................................................ Polinoame Hurwitz şi funcţii de reactanţă.................................................................................... 476 487 487 489 490 495 498 501 503 509 Parametrii diporţilor ...................................................................................................................... 511 Diporţi cu rezistenţe şi capacităţi .................................................................................................. 515 7.8. Diporţi nedisipativi terminaţi cu o rezistenţă ............................................................................. 516 7.9. Diporţi RC, pasivi şi activi ............................................................................................................ Conectarea în cascadă .................................................................................................................... Conectarea în cascadă cu un convertor de negativare .................................................................. Conectarea in derivaţie................................................................................................................... Schema RC cu amplificator ........................................................................................................... 525 Probleme .................................................................................................................................................... 537 8. Parametri de repartiţie ............................................................................................................................. 552 8.1. 5.2. Relaţii de repartiţie ale unui uniport ........................................................................................... Variabile normate. Normare reală ................................................................................................. Circuit mărit ................................................................................................................................... Coeficient de reflexie pentru un circuit invariant în timp, pasiv şi reciproc ............................................................................................................................................ 559 Relaţii pentru putere ..................................................................................................................... 13 471 475 Impedanţele şi admitanţele unor circuite RC............................................................................... Realizarea circuitelor în scară........................................................................................................ Circuite cu rezistenţe şi bobine ...................................................................................................... 7.7. Pag. 461 511 525 528 530 533 553 556 557 560 Relaţii de repartiţie ale unui multiport ....................................................................................... Matricea de repartiţie ................................................................................................. Legătura cu matricelede impedanţă şi admitanţă .............................................................. Normarea şi multiportul mărit ................................................................................... 561 564 566 567 £.3. Matricea de repartiţie şi transferulde putere ............................................................... Interpretarea parametrilor de repartiţie ...................................................................................... 569 8.4. Proprietăţi ale matricei de repartiţie ........................................................................................... Proprietăţile circuitului diport ..................................................................................................... O aplicaţie — filtrare sau egalizare ........................................................................................... Limitări datorate capacităţii parazite ......................................................................................... 574 577 579 581 8.5. Normare în complex ...................................................................................................................... Normare independentă de frecvenţă ............................................................................................ Amplificator cu rezistenţă negativă .............................................................................................. 586 590 597 Probleme ................................................................................................................................................... 602 574 Pag. 9. Grafuri de fluenţă a semnalelor şi reacţia .............................................................................................. 9.1. 9.2. Diagrame operaţionale .................................................................................................................. 14 CUPRINS 614 615 Grafuri de fluenţă a semnalelor ................................................................................................... 620 Proprietăţile grafului ..................................................................................................................... Inversarea unui graf ...................................................................................................................... Reducerea unui graf ....................................................................................................................... Reducerea la un graf esenţial ........................................................................................................ Expresia amplificării grafului ....................................................................................................... Trasarea grafului de fluenţă a semnalelor pentru o reţea .......................................................... 622 624 626 632 634 636 9.3. Reacţia ........................................................................................................................................... Raportul de întoarcere şi diferenţa la Întoarcere ........................................................................ Senzitivitatea ................................................................................................................................. 641 642 646 9.4. Stabilitatea .................................................................................................................................... Criteriul lui Routli ......................................................................................................................... Criteriul lui Hurwitz ...................................................................................................................... Criteriul lui Lienard-Chipart ........................................................................................................ 647 651 652 653 9.5. Criteriul lui Nyquist.............................................................................. ...................................... Discuţii şi ipoteze ........................................................................................................................... Teorema lui Nyquist ...................................................................................................................... 655 659 661 Probleme .................................................................................................................................................. 668 10 Cireuite (reţele) liniare variabile in timp şi circuite (reţele) neliniare . 681 10.1. Formularea ecuaţiilor de stare pentru reţele variabile în timp ................................................. Reducere la forma normală ........................................................................................................... Componentele vectorului de stare . .......................... ................................................................... 682 682 685 10.2. Soluţiile ecuaţiilor de stare pentru circuite variabile în timp . . . . Un caz special al soluţiei ecuaţiei omogene.................................................................................. Existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei omogene ........................................................................ Soluţia ecuaţiei de stare — existenţă şi unicitate ...................................................................... Circuite periodice ............ ............................................................................................................. 690 693 696 699 10.3. Proprietăţi ale soluţiei de stare .................................................................................................... Lema Gronwall ............................................................................................................................... Proprietăţi asimptotice relative la o referinţă invariantă în timp . . Proprietăţi asimptotice relative la o referinţă periodică ............................................................. Proprietăţi asimptotice relative la o referinţă generală variabilă în timp . 702 702 704 710 715 688 10.4. Formularea ecuaţiilor de stare pentru circuite nelmiare ........................................................ Formularea topologică ................................................................................................................ Ecuaţia de ieşire ...........................................................■ ............................................................ 720 720 10.5. Soluţia ecuaţiei de stare pentru circuite neliniare ............................................................ Existenţă şi unicitate ......................................... . ...................................................................... Proprietăţile soluţiei ............... .................................................................................................. 731 731 735 10.6. Soluţia numerică ................................................................................................................. Formula de diferenţă inversă a lui Newton ............................................................................... Formule deschise ......................................................................................................................... Formule închise .......................................................................................................................... Metoda lui Euler .......................................................................................................................... Metoda lui Euler modificată ....................................................................................................... Metoda Adams ...................................................................................................................... Metoda Adams modificată ................................................................................................... Metoda Milne ....................................................................................................................... Metoda cu predictor-corector ............................................................................................... Metoda Runge Kutta ............................................................................................................ Erori................................................................................................................ ! ' ! ! ! ! ! 746 749 75O 751 752 754 755 755 756 757 Stabilitate Liapunov ................................................... .............................................................. 758 10.7. 729 742 742 Pag. Definiţii de stabilitate ................................................................................................................. Teoreme de stabilitate ................................................................................................................ Teorema instabilităţii . . . ........................ ................................................................................. Construirea funcţiei Liapunov .................. ............................................................................... 758 761 706 768 15 CUPRINS Probleme .......................................................................................................................................... Anexa 1. Funcţii generalizate ................................................................................................................. 798 A 1.1. Cituri de convoluţie şi funcţii generalizate ............................................................. 800 A 1.2. Algebra funcţiilor generalizate ................................................................................ Cîtul de convoluţie al funcţiilor generalizate ........................................... 801 804 A 1.3. Funcţii generalizate particulare .............................................................................. Exemple de funcţii continue ................................................................................. Funcţii local integrabile ........................................................................................ 805 806 808 A 1.4. Funcţiile generalizate ca operatori ........................................................................ 810 Funcţia impuls unitate ......................................................................................... 814 A 1.5. Ecuaţii integrodiferenţiale ..................................................................................... 815 A 1.6. Transformata Laplace a unei funcţii generalizate ............................ 818 Anexa 2. Teoria funcţiilor de o variabilă complcxu ............................................................................... 821 A 2.1. Funcţii analitice ..................................................................................................... 821 A 2.2. Transformarea conformă ........................................................................................ 825 A 2.3. Integrarea ............................................................................................................... 830 Teorema de integrare a lui Cauchv ...................................................................... 831 Formula integrală a lui Cauchy ........................................................................... 834 Teorema modulului maxim şi Ierna lui Seliwartz . . . . 8 3 5 Pag. A 2.4. Serii infinite .............................................................................................................. Serii Taylor ............................................................................................................ Serii Laurent ......................................................................................................... Funcţii definite prin serii ..................................................................................... CUPRINS 837 838 841 843 A 2.5. Funcţii multiforme .................................................................................................... Funcţia logaritmică ............................................................................................... Puncte de ramificaţie, tăieturi şi suprafeţe Riemann . . Clasificarea funcţiilor multiforme........................................................................ 844 845 846 850 A 2.6. Teorema reziduurilor ................................................................................................ Evaluarea integralei definite ............................................................................... Lema lui Jordan .................................................................................................... Principiul argumentului ....................................................................................... 851 853 855 858 A 2.7. Dezvoltarea în fracţii parţiale .................................................................................. 860 A 2.8. Prelungirea analitică ................................................................................................ 861 Anexa 3. Teoria transformatelor Laplace ............................................................................................... 864 16 A 3.1. Transformatele Laplace: Definiţii şiproprietăţi de convergenţă 864 A 3.2. Proprietăţi analitice ale transformatei Laplace...................................................... A 3.3. Operaţii asupra funcţiilor original şigeneratoare ........................... Produsele de convoluţie real şi complex ............................................................. Derivarea şi integrarea ........................................................................................ Teoremele valorilor iniţiale şi valorilor finale .................................................... Teorema translaţiei (deplasării) .......................................................................... 869 873 873 875 876 878 A 3.4. Integrala complexă de inversiune ................................................ 879 Bibliografie .................................................................................................................................................................... 883 Dicţionar român-englez, de noţiuni şi subiecte 888. 1 1. Noţiuni fundamentale 1.1. INTRODUCERE Teoria reţelelor electrice, ca şi multe ramuri ale ştiinţei, işi propune să descrie fenomenele care apar într-un domeniu fizic cu ajutorul unui model matematic. Un astfel de model este desigur bazat pe observaţii asupra fenomenelor fizice, dar se utilizează şi alte ^ care verificate în decursul timpului, sini privite ca realitaţi fizice pnn ele însele. Asa de exemplu, reprezentarea curentului electric ca un flux de electroni în conductoare, este aşa de sugestiv, încit se pierde din vedere faptul că această reprezentare este un model teoretic al unei părţi din lumea fizică. , Scopul unui model este să permită înţelegerea fenomenelor naturale ; mai mult, ne aşteptăm să ajungem la consecinţe logice, care sa ne permită să prevedem comportarea modelului în condiţiile pe care le stabilim. Dacă putem reproduce fizic condiţiile care sînt valabile pentru mode , prevederile noastre pot fi verificate experimental; în cazul in care acestea se verifică, căpătăm încrederea că modelul este bun. Daca existe diferente între valorile prevăzute şi cele experimentale, care nu pot ti puse pe seama erorilor de măsurare, şi dacă sîntem siguri ca analogia experimentală a modelului teoretic reproduce condiţiile modelului, trebuie să tragem concluzia că modelul nu este „adecvat ’ pentru înţelegerea fenomenului fizic corespunzător, şi trebuie revizuit . ^ Un exemplu de astfel de revizuire a apărut după celebra experienţa a lui Miclielson- Morley în care calculele bazate pe mecanica newtoniană nu au corespuns cu lezultatele experimentale. Modelul revizuit este mecanica relativista. In cazul teoriei reţelelor electrice, modelul a fost utilizat cu mare succes m predeterminarea rezultatelor experimentale. De fapt, modelul a devenit atît de real, încît pentru studenţi este dificil să deosebească modelul de fenomenul fizic. Prima etapă în stabilirea unui model este să se facă observaţii detaliate asupra fenomenului fizic. Se efectuează experienţe în intenţia de a stabili relaţii generale între cantităţile măsurabile. Din aceste experienţe se trag concluzii generale în ceea ce priveşte comportarea cantităţilor implicate. Aceste concluzii sînt privite ca „legi” şi deobicei sînt formulate avînd ca termeni variabilele modelului matematic. Această problemă nu face obiectul acestei cărţi. Considerăm că modelul a fost bme definit. Vom introduce elementele modelului fără justificări sau verificări empirice. Procesul de abstractizare referitor la interconectarea adecvată a elementelor ipotetice ale modelului, necesar pentru a descrie în mod corespunzător fenomenul fizic dat, este deosebit de important, dar depăşeşte cadrul acestei cărţi. Această carte se ocupă cu teoria reţelelor (circuitelor) electrice liniare. Pimtr-o reţea (circuit) electrică se înţelege o interconectare electrică de dispozitive (componente) electrice formînd o structură cu puncte accesibile la care pot fi măsurate semnalele. Se presupune că dispozitivele electrice care alcătuiesc reţeaua sînt reprezentate 18 elemente ipotetice ale căror ecuaţii 1. NOŢIUNI prm modele, sau deFUNDAMENTALE curent-tensiune sînt ecuaţii liniare-algebrice, ecuaţii diferenţiale, cu diferenţe finite, ecuaţii diferenţiale ordinare sau ecuaţii diferenţiale parţiale. in această carte ne vom ocupa numai de reţelele cu elemente concentrate ; deci nu ne vom ocupa de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale sau de ecuaţii diferenţiale cu diferenţe finite. Pi oprietăţile reţelelor pot fi clasificate după două criterii generale, n primul rmd sînt acele proprietăţi ale unei reţele care sînt consecinţele structurii ei — proprietăţile topologice. Aceste proprietăţi nu depind de tipurile elementelor care formează o ramură a reţelei, ci numai de modul m care sînt interconectate ramurile; de exemplu, se poate deduce că zerounle funcţiei de transfer ale unei reţele în scară (o structură topologica particulară) cad în semiplanul stîng, indiferent de tipul elementelor pasive care formează ramurile. în al doilea rînd, sînt proprietăţile reţelelor de a prelucra semnalul. Semnalele sînt aplicate în punctele accesibile ale reţelei. Aceste semnale sînt modificate sau prelucrate de reţea m anumite moduri. A.ceste proprietăţi de prelucrare a semnalului depind de elementele conţinute de reţea şi deasemenea de structura topologica a reţelei. Astfel, dacă elementele reţelei sînt fără pierderi, semnalele sînt modificate în anumite moduri, indiferent de structura reţelei; alte limitări sînt impuse acestor proprietăţi de către structura reţelei. Proprietăţile reţelelor în scară fără pierderi, de exemplu, diferă de acelea ale reţelei în X fără pierderi. Ne vom ocupa de ambele tipuri de proprietăţi — topologice şi de prelucrarea semnalului — ale reţelelor. . ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA 1.2. ALGEBRA MATRICEALĂ ELEMENTARĂ ia 1.2. în analiza reţelelor electrice, êhêl'fie diferenţiale, şi inginereşti, apar sisteme e ecu (1).am’ distincte, chiar procesul de Dacă si?tePu\ con^™e1 dificil.Notaţia matriceală este o metoda, scriere şi vizualizare a lor d™ U tii M£I mult, notaţia matriceala convenabilă de scriere si rezolvarea lor. Aşa simplifică operaţiile de ef®“ăa^nP\ ector ’spaţiai cu trei componente cum cititorul poate sa p > ecuaţii ca o ecuaţie un gjgtem de ca o singură unitate, tot aşa pute î ^ reaminti unele proprietăţi matriceala, In urmatoiul pa^^ ,. fâră a intra însă în detalii. elementare ale matricelor şi aêbia m^ , d adiţional6j ne vom în continuare, aşa cum este neces , | aceste noi topici introduse, abate de la subiectul nostru pentru a deitm ^ gP. MnW fiecare O matrice este un aranjamentîec ^ T matricei. Elementele unei cantitate fiind numită o intrare « ^'' (. ade frecvenţă, operatori matrice pot fi numere reale dintr-un /,domeniu” te^^r^SŢo algebră similară cu algebra numerelor reale. Ca exemple de matrice cităm . F11 M bmm «•» •1 2‘ 5 —1 0 6. ,z= 2« ' 1T s+2 » v -.2s 3s2 v2 v3 Ln WiSS să scriem întreaga matrice cind n sinplir simbol, ca în exemplele să-i dăm un nume prin^tnbmiea u^ f. în foiosirea litede mai sus M, Z sau \ . A om r, • Brezentarea matricelor. relor aldine, mari sau mici, pentiu lepiezenta ^ (.are re. Ordinul unei matrice este o perec i , după cum urmează : prezintă numărul de linii Ş1, sus ordinele sînt respectiv (3,2), (r/i, n) sau m X n. In exemplele ordinele matricelor sînt respectiv, (2, 2) şi (4, 1). Folosind cealaltă^notaţ ^ ^ ni;itncej numita 3 X 2 , 2 X 2 şi 4 X L. U Este posibil să avem o matrice matrice coloană (cu o smguia coloa )■ numeşte singură linie şi se de ordinul 1 X n ; o astfel de, matnce a ^ ^ ^ ^ egal cu nmTlănll matrice linie, O matrice in ca j exemplele de mai sus, matricea de coloane se numeşte matrice î> • matricea este o matrice “rdimi1 este l“at de un singur număr, care este numărul de linii sau (şi) coloane ; de exemplu, dacă M este o matrice patrată cu n linii şi n coloane, ordinul ei este n. Pentru a ne20referi la elementele unei matrice1. NOŢIUNI în termeni generali, folosim notaţia FUNDAMENTALE Dacă ordinul (m, n) nu interesează, nu este necesar ca acesta să fie indicat în expresia de mai sus. Elementul tipic este a. Matricea A completă are următoarea formă 11 ai2 ®1 S • • • n A 22 a0 o • • • d/n (1) Operaţiuni de bază Egalitate, Două matrice A = [aw] şi B = [&,.] sînt egale dacă au acelaşi ordin şi dacă elementele corespondente sînt identice ; adică A = B dacă a-i} = bi} pentru orice i şi j. Multiplicare printr-un scalar. Pentru a multiplica o matrice A = = [%] printr-un scalar (adică un număr ordinar) Ic, multiplicăm fiecare element al matricei prin acest scalar; adică IcA este o matrice a cărui element tipic este Ttau. Adunarea matricelor. Adunarea este definită numai pentru matrice de acelaşi ordin. Pentru a aduna două matrice, adunăm elementele corespondente. Astfel, dacă considerăm A = [ay] şi B = [6y] atunci A + B = [aw -f- b(j] (2) Este clar că adunarea este comutativă şi asociativă; astfel A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C (3) înmulţirea matricelor. Dacă A = [aw]m,re şi B = [&m]B3), atunci produsul între A şi B este definit astfel ’ 21 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA unde elementele produsului sînt date de ail bij + ai2 bşj + • • • + ain hni (5) Yi hki k = 1 Ppynltă eă elementul (i, j) al produsului este obţinut prin multiplicarea dementelor liniei \ ale primei matrice prin elementele corespondente din căoana j ale celei de a doua matrice, şi adunarea acestor produse Aceasta Tnseimnă că multiplicarea este d e f i n i t ă ^ de coloane ale primei matrice este egal cu numărul de Imn ale ,cele a doua matrice. Observăm că matricea C de mai sus are aceiaşi nu^ a de linii cu prima matrice şi acelaşi număr de coloane cu al celei de a doua. Exemplu: 'hi ^12 ^13 &21 &22 ^23 ^32 ^33- 13^r2 ) (anb - ^31 ?22 (anbn + a12b21 + a13bu) (anb12 + Ja2ibn + a„bu + a23b31) +a a12b22 + a13b:2) (anb13 + a12b23 + a, As) (a2lb12 + a22b22 + a23b32) (0*6,3 + «..*» + Oînd este posibil de realizat produsul AB (adică, atunci cînd numărul de coloane al matricei A este egal cu număiul de Imn al matricei B), spunem că produsul AB «te o Este evident.PûsuK unate fi comuatibil, în timp ce BA nu este. Rezulta ca AB nu este, in General, egal cu BA. Mai mult, aceasta poate fi adevarat chiar daca anu - două produsele sînt compatibile. '1 -1 1 A= 0 Fie : Atunci AB 0 —1 _ 1 0. şi BA = .B= 10 .1 1 1 —1 .2 — 1. care arată că AB # BA în acest caz. Se constată că înmulţirea matricelor nu este în general comutativa, desi ea Se fi în unele cazuri. Deci, cînd ne referim la produsul a doua matrice A şi B, trebuie să specificăm cum smt înmulţite. în produsu AB spunem că A premultiplicâ sau multiplică la stingă pe , sa postmultiplică sau multiplică la dreapta pe A. ^ 22 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE . ,. înmulţirea matricilor nu este comutativă, ea este aso ciativa şi distributivă. Astfel, dacă produsele AB şi BC sînt posibile, atunci (6) (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC. Uneori este convenabil să scriem o matrice dată astfel încît submatricele sa fie tratate ca unităţi. Astfel, fie A = [«..]35. Se poate separa sau partiţiona matricea după cum urmează ' an — I M .«31 M l ^12 «13 «14 «15 ' «22 «23 «24 «25 «32 «33 «34 «35 - a J2 A 21 Au = [«ii «1 2 ] Ai2 = [«13 \— «21 ^22 A ________ «23 «24 «25 . «33 «34 «35- *21 “ ■^22 — «31 sau 1 --------------------------------------------------- 1 liî ST TP 5? unde 23 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA «11 «21 «12 .«13 ^22 . «23 • «31 2 . «33 • ■Au • A12 • Ai3 .A'21 • A22 • A23 • «14 «15 «24 «25 «34 «35 - 24 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE unde «11 An = «2i «i2 .A— «13 > ^12 — ®22 A 21 — [«31 <*32]) ’ x 13 — -<*23- A22 — [*33]» «u «15_ - <*24 <*25 - A23 —[<*34 «35 ] Submatricele în care a fost partiţionată matricea A sînt arătate prin linii punctate. Fiecare submatrice poate fi tratată, în operaţiunile care urmează a fi efectuate asupra lui A, ca un element al matricei A; de exemplu, produsul a două matrice partiţionate este dat de AB = [£ A„Brt]. (7) Desigur, pentru ca această partiţionare să conducă la rezultatul corect, este necesar ca fiecare din produsele submatricelor, A 2i etc., să fie compatibile. Matricele partiţionate în acest fel se numesc matrice partiţionate compatibil. Aceasta este exemplificată în următorul produs de două matrice A= 1 0 1 -2' 0 1 2 0 = l A12- .4 n : ri o [4 3] oj ; Lo 1 L-i o 0" 0 0 1 u 0 B, 0 3 -1 1 -2 + -1 _2- 3 -1' .2 0. .1 -2. ............ 3 -1 1 -2 .-1 0 2 12 r = U ' A]3B2 AB = 1 1 1 0 2 1 2 0 'A, 3 A99 . B= re, -1 3 31 -1 0 6-1 5 4 4-2 [4 3] + [ — 1 3] 25 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA ^ Diferenţierea. Fie A de ordinul n X m. Atunci, pentru orice punct în care dai:j(x)ldx există pentru i = 1, 2 . . . n si j = 1, 2 . . . m, d\(x)ldx- este definit astfel: 1 ’ d 1 dx A{x) = dx ai} (x) (8> Rezultă că matricea dA(x)/dx este obţinută prin înlocuirea fiecărui element a;j(x) al matricei A (a;), cu derivata sa daf^xjjdx. Este uşor acum (şi le considerăm ca un exerciţiu pentru dumneavoastră) să arătăm că da \ , -a, dB dA — {(A(®) + B(*)} = — + -------------------dx dx dx (9) d u M \U/ Â „ (?B 7” {(A(«)B(^)} = — B + A ----------------- (10) dx dx dx si *-A(f(x)) dx (11) df dx dx df Se vede că regulile uzuale pentru diferenţierea combinaţiilor de funcţii se aplică şi în cazul diferenţierii matricelor ; o restrictie este aceea că ordinea de înmulţire a matricelor dată în (10) trebuie să fie respectată. Integrarea. Fie ordinul lui A, n X m. Atunci pentru orice interval Ag pe care \ atj(y)ăy există pentru i = 1, 2 . . . n şi j = 1, 2 . . . m,Â(y)dy -L, este definită astfel ' *1 (12) Rezultă că elementul (i, j) al integralei A este integrala elementului (i, j) al matricei A. Urma este suma elementelor diagonalei principale ale unei matrice. Dacă matricea este A, vom nota urma cu Ir A si o vom defini astfel : n tr A = Yi a» i = l unde n este ordinul lui A. 26 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Transpunerea. Operaţiunea de interschimbare a liniilor şi coloanelor unei matrice se numeşte transpunere. Rezultatul acestei operaţiuni asuma unei matrice A se numeşte transpusa lui A şi se noteaza A . Daca A = («*)„., atunci A' = [&„]*., unde b» = aJt. Transpusa.unei matrice coloană este o matrice linie şi invers. Dacă, aşa cum se mtimpla adesea în analiză, este necesar să găsim transpusa produsului de doua matrice, este important de ştiut că (AB)' = B'A'; (13) adică, transpusa unui produs este egală cu produsul transpuselor, dar luate în ordine inversă. Acest rezultat poate fi stabilit cu uşurinţa prin scrierea elementului tipic al transpusei produsului şi aratind ca el este acelaşi cu elementul tipic al produsului transpuselor luate m sens mvers. Coniuqata. Dacă fiecare din elementele unei matrice A este înlocuit cu complex conjugatul său, matricea rezultantă se numeşte conjugata lui A şi se notează cu A. Astfel, dacă A =_[ai3-]„.*»> atunci A = [bu unde btj = aiS şi âiS reprezintă complex conjugatul lui au. Coniuqata transpusă. Matricea care este conjugata transpusei lui A sau, ceea ce este echivalent, transpusa conjugatei lui A, se numeşte ■conjugata transpusă a matricei A şi se notează cu A ; astfel : A* = (A') = (Â)'. (1±) Tipuri de matrice Există două matrice speciale care au proprietăţile scalarilor 0 şi 1. Matricea 0 = [0] care are toate elementele zero este numita matrice lero sau nulă. Ba este patrată şi poate fi de orice ordin. Similar, matricea ■unitate U este o matrice patrată de orice ordin care are elementele de pe diagonala principală toate egale cu 1, toate celelalte elemente fund zero. Astfel -1 0 1 O 1001 10 0 0 0 0 0' 1 0 1 0 1. 0 1 01 0 0 0 0 00 sînt matrici unitate de ordinul 2, 3 şi respectiv 4. Se poate verifica uşor 27 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA că matricea unitate are proprietăţile numărului 1; dîndu-se o matrice A, IA Al A (1'5) unde ordinul lui U este astfel ales incit produsele să fie compatibile. Dacă o matrice patrată are aceeaşi structură cu a unei matrice unitate, în care elementele diagonalei principale sînt diferite de zero, ea este numită o matrice diagonală. O matrice diagonală are deci forma <^22 O ăo 33 D O Toate elementele de deasupra şi dedesubtul diagonalei principale sînt zero. O matrice diagonală este identică cu transpusa sa. Dacă numai elementele de sub diagonala principală sau numai cele de deasupra diagonalei principale a unei matrice patrate sînt zero, ca de exemplu : an a12 a 22 O a l n «n a 23 • • a 2n «12 ®22 fl33 a 3n «13 ®23 a 33 .«!■ a 2n a 3n a i3 ' ' ‘’ sau B = O • a nn . '’* . matricea este numită o matrice triunghiulară. Pentru precizări suplimentare, putem numi pe A o matrice superior triunghiulară şi B o matrice inferior triunghiulară. Matrice simetrice şi anlisimetriee. O matrice patrată este simetrică dacă ea este egală cu transpusa sa : A = A' sau atj — aH pentru orice i şi j. Dacă o matrice este egală cu negativa transpusei ei, ea se numeşte antisimetrică : A = — A' sau ai} = — aH . Pentru ca elementele diagonalei principale să îndeplinească această condiţie este necesar ca acestea să fie zero. Rezultă că o matrice antisimetrică are elementele diagonalei egale cu zero. 28 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA O matrice patrată dată poate totdeauna fi scrisă ca suma unei ma trice simetrice şi a uneia asimetrice. Astfel fie A = Oy] A, = [&„] unde bi5 = (ht±3i = bji , a,, — a, ■ A„ = [cu] unde cw = ----------------- ----- = - <j,. Atunci A = Aa + A„, deoarece ais — btj -f (16) Matrice liermitică şi antiliprniitică. O matrice patrată este numită hermitică dacă ea este egală cu transpusa conjugatei sale; astfel A este matrice hermitică dacă A = A* sau ai} = aSi pentru orice % şi J- tu alt caz special se obţine dacă o matrice este egală cu negativa transpusei conjugatei sale, şi este numită o matric e, antihermitică. Astfel A este antihermitică dacă A = — A* sau atj = — aH pentru orice i şi j. Obşei- văm că o matrice hermitică care are numai elemente reale este simetrica, şi o matrice antihermitică care are numai elemente reale este antisimetncă. Determinanţi Oricărei matrice patrate A i se poate asocia un număr numit determinantul lui A. Obişnuit determinantul lui A se notează prin simbolul det A sau |A|; vom folosi uneori simbolul A pentru un determinant, atunci cînd nu este necesar să atragem atenţia asupra unei matrice particulare pentru care A este determinantul. Menţionăm că o matrice şi determinantul său sînt două lucruri complet diferite. Dacă două matiice au determinanţi egali, aceasta nu înseamnă că matricele sînt egale; ele pot fi chiar de ordine diferite. Determinantul matricei A de ordin n X n este definit ca det A = ^ s «2v2 ■ ■- ®»v.n sau de relaţia echivalentă det A — ^ z <*v22 * *' (1 *) (18) unde însumarea se face pentru toate n! permutările în vx, v2 şi s este egal cu +1 sau —1 după cum permutarea Vj, v2 . .., v„ este pară sau impară. Ca o consecinţă a acestei definiţii,, determinantul unei matrice 1x1 este egal cu elementul său, şi determinantul unei matrice 2x2 este : indicilor 1, det A = det ni 12 -- ^11^22 e)d '12 21* Produsul ana2i a fost multiplicat cu s = +1 deoarece v, v2 = 1, 2 este o permutare pară a lui 1, 2 ; produsul a12an a fost multiplicat cu £ = — 1 deoarece vlf v2 = 2, 1 este o permutare impară a lui 1, 2. Evaluarea determinantului pentru un n mare este dificilă dacă aplicăm definiţia de mai sus, şi nu este necesară totdeauna. Timpul necesar pentru evaluarea unui determinant poate fi redus prin aplicarea unor proprietăţi ale determinanţilor. Vom prezenta în rezumat cîteva proprietăţi importante ale determinanţilor : 1. Determinantul unei matrice şi al transpusei acesteia sînt egale;, adică, det A = det A'. 2. Dacă fiecare element al oricărei linii sau oricărei coloane a unui determinant, este multiplicat printr-un scalar k, determinantul este multiplicat prin 3. Inter schimbarea a oricăror două linii sau coloane modifică semnul unui determinant. 4. Dacă două linii sau coloane sînt identice, atunci determinantul este zero. 5. Dacă fiecare element al unei linii sau al unei coloane este zero, atunci determinantul este zero. 6. Determinantul rămîne neschimbat dacă la fiecare element al oricărei linii sau coloane este adunat un multiplu scalar al elementului corespunzător al oricărei alte linii sau coloane. Dezvoltarea coîactorilor. Fie A o matrice patrată de ordinul n. Dacă linia i şi coloana j ale matricei A sînt eliminate, determinantul matricei rămase, care are ordinul n — 1, se numeşte primul minor (sau mai simplu un minor) al lui A sau al det A şi se notează prin Mi}. Cofactorul corespunzător este definit astfel = (19> Se spune că este cofactorul elementului a{j. Dacă i = j, minorul şi cofactorul se numesc minor principal şi cofactor principal. Un minor principal (cofactor) al lui A este acela a căror elemente diagonale sînt 30 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA deasemenea elemente diagonale pentru A1’. Valoarea unui determinant poate fi obţinută prin multiplicarea fiecărui element al unei linii sau coloane prin cofactorul corespunzător, şi adunînd rezultatele. Astfel: det A = Aa -|- ai2 Ai2 -1- ai3 A,i3 ainAin (*jOa) ani &ni • = au A1{ + «2i ^2ia3i ^3i + ■ • • “I(206) Aceste expresii sînt numite dezvoltări în cofactorii unei linii sau unei coloane şi sînt obţinute prin gruparea termenilor din (17) sau (18), astfel încît fiecare grup să corespundă unui element înmulţit cu factorul său. Ce se va întîmpla dacă elementele unei linii sau coloane smt multiplicate cu cofactorul corespunzător al unei alte linii sau coloane % Considerăm ca o problemă pentru dumneavoastră să arătaţi că rezultatul va fi zero; astfel, a i l Aji + a i 2^ }2 "t" a i 3 A? 3 + • • • 4“ (^la) aVi Aj,- a2i A23- a3i A3,- -f- a ^ i n^ j n ani AnJ- 0. (^16) Simbolul lui Kronecker este o funcţie notată cu şi este definită astfel : §.. = 1 dacă i = j 0 dacă i j unde i şi j sînt întregi. Folosind simbolul lui Kronecker, putem combina (20a) şi (21a) şi scrie (det A) 8aik 0 (2 Similar, combinînd (206) şi (216), obţinem (det A) Sit = Y aM Aw. k=0 (23> 11) Această definiţie nu limitează numărul de rînduri şi coloane eliminate din A penii u obţinerea minorului sau cofactorului. Dacă sînt eliminate o linie şi o coloana, ne vom referi la acest cofactor numindu-1 primul cofactor. în general, dacă sînt eliminate n rmdur , coloane ne vom referi la cofactorul obţinut ca la cofactorul al ;i-lea. Determinant al unui produs de matrice. Fie A şi lî matrice patrate de acelaşi ordin. Determinantul produsului A şi B este produsul determinanţilor ; adică (24) det (AB) = (det A) (det B). Derivata unui determinant. Dacă elementele matricei patrate A sînt funcţii de aceeaşi variabilă x, atunci JA j va fi o funcţie de x. Este util de ştiut că d|A| ijti dx (25) dx Rezultatul este uşor verificat avînd în vedere că d[A| d IA I d dx dai,- dx şi dezvoltarea în cofactori a lui |A| din (22) sau (23), din care rezultă că d \A\ldai} = ASJ. Teorema Binet-Cauehy. Considerăm determinantul produsului AB, presupunînd că ordinele sînt (m, n) şi (n, m) cu m < n. Observăm că produsul este o matrice patrată de ordin m. Submatricea patrată cea mai mare a fiecărei dintre matricele A şi B, este de ordinul m. Fie determinantul fiecărei submatrice patrată de ordin maxim un determinant major, sau mai simplu un major. Atunci |AB| este dat de următoarea teoremă numită teorema Binet-Cauchy. det AB = (produse ale majorilor corespondenţi din A şi B) (26) toţi majorii Expresia „majori corespondenţi” trebuie înţeleasă astfel: numerotarea coloanelor folosite pentru formarea unui major A este aceiaşi cu a liniilor folosite pentru formarea majorului lui B. Pentru a ilustra aceasta, să considerăm 1 1 B -1 2 1 1 0 1 32 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA în acest caz m = 2 şi n = 3. Prin înmulţire directă găsim 6O AB 3 3 Determinantul acestei matrice este uşor de calculat cu (18). Să aplicăm acum teorema Binet-Caucliy. Observăm că există trei determinanţi de ordinul doi. Aplicînd (26), obţinem ■ ii 11 det AB 2 1 -1 1 1 2110 2 -1 1 -1 = (3)(3) + (—6)(—1) + (—3)(—1) = 18. 1 1 0 Acelaşi rezultat se obţine şi prin evaluarea directă a determinantului. Inversa unei matrice în cazul scalarilor, dacă a 0, există un T't = ba = 1. în acelaşi fel, dîndu-se o matrice patrata A, cautam o matrice B astfel ca : BA = AB = V. O astfel de matrice B poate să nu existe. Dar dacă această relaţie> este satisfăcută, spunem că B este inversa lui A şi |r, c ' Dîndu-se o matrice patrată A, inversă este adevărată, astfel ca daca B == A , atunci a o formăm o altă matrice după cum urmeaza B [&„] unde bf. nude A = det A si A,- este cofactorul lui aH. Prin AH dezvoltarea directă 1 tai AB şi ltA şi’apliearea lui (22) şi (23), se poate arăta ca B este m- versa lui A (Vă propunem să faceţi aceasta ca exerciţiu). In cuvinte, inversa lui^Â se obţine înlocuind fiecare său, luînd apoi transpusa pe care o imparţim la detemm^tul Im A r>pnnrece elementele mversei lui A au A la numitor, este cia inversa nu va exista dacă det A = 0. O matrice ai cărei este egal cu zero se numeşte singulara. Daca det A # 0, matricea s nesingulară. 33 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA Procesul de formare al inversei este clarificat de definirea unei alte matrice referitoare la A. Definim adjuncta lui A, scriind adj A astfel ^11 ^21 ^31 A12 A22 A32 xn adj A = [Ay]' = 2 (27) • A. Se observă că elementele liniei i ale adj A sînt cofactori ai elementelor coloanei i a lui A. Inversa lui A se poate acum scrie : A_1 = rrradjA- <28> det A Dacă înmulţim ambele părţi ale lui (28) cu A, obţinem A . [adj A] = U det A. (29) Fiecare parte a acestei expresii este o matrice,partea dinstînga fiind produsul adouă matrice şi partea din dreapta fiind o matrice diagonală a căror elemente diagonale sînt egale fiecare cu det A. Luînd determinantul ambelor părţi, se obţine (det A)(det adj A) = (det A)B sau det adj A = (det A)"-1. . (30) Adeseori este necesar să calculăm produsul a două matrice. Este de dorit, prin urmare, să evaluăm inversa şi adjuncta produsului a două matrice A şi B. Rezultatele sînt : (AB)"1 = B 1 A-1 adj (AB) = (adj B)(adj A). (31) (32) Desigur, produsul AB trebuie să fie compatibil. Mai mult, atît A cît şi B trebuie să fie patrate şi nesingulare. 34 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE în cazul inversei (31), observăm că ( A B ) ( B 1 A 1 ) = A(BB-1)A_1 = AA1 = U. Deci AB este inversa lui B-1A-1, de unde rezultatul.Pentru adjuncta (32) putem forma produsele (AB)(adj AB) şi (AB)(adj B) (adj A) şi arata prin folosirea repetată a relaţiei M(adj M) = U(det M) ca ambele produse sînt egale cu U(det AB). Condensare pivotală Prin aplicarea repetată a dezvoltării în cofactori, evaluarea determinantului unui aranjament n X» de numere, poate fi redusă la evaluarea aranjamentelor 2 x 2. Este clar că numărul de operaţii matematice creşte excesiv cînd creşte n. O altă metodă de evaluare a determinantului, care necesită mult mai puţine operaţiuni aritmetice, este numită cofideifcs&ve pivotată. Vom dezvolta această metodă. Fie o matrice A n x n partiţionată astfel Au . Al2 A= (33) . A2I ' A22 . unde submatricea Au este de ordinul m X m unde 1 < m < n . Presupunem Au nesingulară. în acest caz Au există, şi A poate fi factorizata astfel 21 11 0 Ai u 0 ’U o A22 — \- 1 \ -Ml V (34) A21A111A12. Valabilitatea acestei factorizări este dovedită dacă efectuăm înmulţirea matricelor indicate şi observăm că rezultatul este (33). ^ Prin aplicarea repetată a dezvoltării cofactorilor, se poate arăta (problema 35) că determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale. Deoarece 35 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE sînt triunghiulare cu „elemente unitare” în diagonala principală, determinanţii lor sînt egali cu unu. Rezultă că în (34) numai matricea din mijloc trebuie discutată. Această matrice poate fi factorizată astfel : ‘An 0 U 0 0 •lii 0 (35) - AfflA-ilAiaJ 0 u 0 Aon A01A11 A-i A 22 Determinanţii matricelor din dreapta sînt de fapt det An şi det (A22 — — A21A"nA12), respectiv. Deoarece determinantul unui produs de matrice este egal cu produsul determinanţilor, luînd determinanţii ambelor părţi ale lui (34) şi folosind (35), se obţine : (36) det A — (det A^) {det (A22 A21Au A12)}. Dacă Au este scalarul an =f= 0 (adică ordinul lui Au este 1 x 1 ) , atunci ultima ecuaţie se reduce la det A = an det | A 1 an A21A12 )- an det allA22 A21A12_ în concordanţă cu proprietăţile unui determinant, multiplicarea fiecărei linii a unei matrice cu o constantă l/«n, are ca efect multiplicarea cu 1 /an, unde m este ordinul matricei. Pentru matricea din partea dreaptă a cărui determinant este găsit, ordinul este n — 1, cu unu mai mic ca ordinul lui A. Deci det A = —-—det (®nA22 A21A12). (3/) «îf , Aceasta este relaţia matematică asociată condensării pivotale. Condiţia ca elementul pivotai an să fie diferit de zero poate fi totdeauna realizată, cu excepţia cazului în care toate elementele primei linii sau coloane sînt zero, caz în care det A = 0. Făcînd abstracţie de acest ultim caz, totdeauna putem plasa un element diferit de zero în poziţia (1, 1) prin interschimbarea unei alte linii cu linia 1 sau a unei alte coloane cu coloana 1. Această inter schimbare va necesita o schimbare de semn în concordanţă cu proprietatea (3) a determinanţilor. Aplicarea repetată 36 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE a îelaţiei (37) reduce evaluarea det A la evaluarea determinantului unor aranjamente de dimensiuni 2x2. Exemplul dat mai jos ilustrează metoda condensării pivota'.e. det 00 1 -2 ' -1 3 4 -1 0 -2 20 0 '1 0 3 1 2 1 0 3 -1 = (-1) det 2' 3 -1 2 0 -2 4 1 2 1 (s-au interscliimbat coloanele 1 şi 3) 3 -1 -2 - {' = ----------- — det -! 1 X l4 1 4 1 021 0 -| [0 0 2] j .2 = — det det 1 33-2 {[-! 1 1 Hi H1=s] I T4 -5 det 3x _[-■ j . - , ) 3 -“ir ’i lLe -9 JLo o. 11 —IV ] =- JJ 0 0' 0 6 0 4. 6 -9 1. Multe din etapele incluse aici pot fi eliminate de cineva pentru care folosii ea condensării pivotale pentru evaluarea unui determinant, a devenit o metodă curentă de calcul. Ecuaţii liniare Xotaţia matriceală şi conceptul de matrice au fost introduse în dorinţa de a uşura analiza seturilor de ecuaţii algebrice liniare. Deoarece in analiza reţelelor se folosesc astfel de ecuaţii şi este necesară rezolvarea lor, ne vom îndrepta acum atenţia asupra lor. Considerăm următorul get de ecuaţii algebrice liniare. 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARĂ ”1“ ^12^2 "i- ^13^3 do-yX] ~1“ «22^2 37 Vi ^23^3• • • "f~ ^2,(3^ «ml-^l “1“ a m2 X 2 “t" a m3 X 3 H~ • • • “f" a mn® n if2 Vm- Un astfel de sistem de ecuaţii poate ffscris folosind notaţia matriceală astfel : «11 «12 . . ■ ’ *i ’ Vi ' «21 ®22 ' ' ‘ ®2n X2 .*» . = î/2 iV Aceasta poate fi verificată prin realizarea înmulţirii în stînga. De fapt, definiţia unui produs de matrice, care putea fi privită ca restrictivă atunci cînd a fost introdusă, a fost dată astfel pentru a permite scrierea unui set de ecuaţii liniare în formă matriceală. Expresia poate fi simplificată mai mult prin folosirea simbolurilor matricelor A, x, v, ceea ce conduce la Ax = y (10) Această ecuaţie matriceală poate reprezenta orice set de orice număr de ecuaţii liniare, avînd orice număr de variabile. Importanţa folosim matricelor este evidentă. Problema care se pune acum, este rezoharea acestei ecuaţii matriceale, sau a setului corespondent de ecuaţii scalaie, prin găsirea unui set de valori pentru x, care satisface simultan aceste ecuaţii. Dacă există o soluţie, spunem că ecuaţiile sînt compatibile. Fiecare coloană (sau linie) a unei matrice este identificată prin elementele sale. Ea poate fi privită ca un vector, în care elementele joacă rolul componentelor vectorului. Deşi vectorii cu mai mult de trei dimensiuni nu pot fi vizualizaţi geometric, totuşi terminologia de vectori spaţiali este utilă în prezentul context şi poate fi extinsă la un spaţiu cu n dimensiuni. Astfel, în (40) y, şi fiecare coloană şi fiecare linie ale lui A sînt vectori. Dacă vectorul corespunde unei coloane de elemente, atunci el poate fi numit vector coloană. Vectorul linie este numele complet al unui vector care este o linie de elemente. Vom folosi denumirile complete 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA 38 numai dacă altfel confuzia este posibila, De cele mai multe ori cînd folosim simplu cuvîntul „vector”, el trebuie interpretat ca „vector coloana : \cum, dîndu-se un set de vectori, problema care apare este daca există anumite relaţii între vectori sau dacă sînt independenţi In spaţiul cu două dimensiuni, ştim că oricare doi vectori smt independenţi unul fată de altul, afară de cazul cînd sînt coliman. Mai mult, orice alt vector din plan poate fi obţinut ca o combinaţie liniara a acestora, astfel ca trei vectori nu pot fi independenţi în spaţiul cu două dimensiuni. în cazul mai general, spunem că un set de m vectori, caracterizat prin X; (■£ = 1 la m), este dependent liniar dacă putem găsi un set de constante hi astfel ca (41) iii . £ Jc. ■= o [ki nu sînt toate zero) Dacă nu există o astfel de relaţie, vectorii sînt independenţi liniar. Este clar că dacă vectorii sînt dependenţi, atunci unul sau mai mulţi vecton pot fi exprimaţi ca o combinaţie liniară a celor rămaşi cu ajutorul rela^ Pentru rezolvarea ecuaţiilor liniare este indicat să folosim notaţia dependenţei liniare. Să împărţim matricea A după coloane şi sa examinăm produsul A x — [clj ÎJ-2 ■ • - + x2a2 + ... + iExprimată în acest fel, se vede că Ax este o combinaţie liniara a vectorilor lui A. De fapt, există un vector x care ne va da orice combinaţie dorită a acestor vectori coloană, Este evident deci ca daca ecuaţia, v = Ax are o soluţie, y trebuie să fie o combinaţie liniara a vectorilor coloanelor lui A. O formulare echivalentă a acestor condiţii este urma- -oarea : Numărul maxim de vectori liniar-independenţi din doua seturi a. a„ şi aj, a2v . a „ , y trebuie să fie acelaşi daca sistemul de ecuaţii v = Ax admite soluţie. . . Putem stabili o formulare mai compactă a acestei condiţii de existentă a soluţiei, sau de compatibilitate a lui y = Ax. Definim rangu unei matrice’ca ordinul celei mai mari matrice pătrate nesmgulare care poate fi obţinută prin îndepărtarea de linii şi coloane din matricea ou- 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARĂ 39 ginală. Dacă rangul unei matrice pătrate este egal eu ordinul acesteia, matricea este nesingulară, astfel că determinantul său este diferit de zero. De fapt, se poate stabili ca o teoremă că determinantul nn°Â matrice este zero dacă şi numai dacă liniile şi coloanele matricei sînt liniar dependente. (Demonstraţi-o!). Astfel liniile şi coloanele unei matrice nesingulare trebuie să fie liniar-independente. Rezultă că rangul unei matrice egalează numărul maxim de linii şi coloane liniar-independente. Considerăm acum două matrice A şi Ay, unde cea de a doua matrice este obţinută din A la care se adaugă un vector coloană y. Am stabilit că numărul maxim de vectori coloană liniar-independenţi trebuie să fie acelaşi pentru aceste două matrice, pentru a asigura compatibilitatea, astfel că deducem că rangul celor două matrice trebuie să fie acelaşi; astfel, sistemul de ecuaţii y = Ax este compatibil dacă şi numai dacă rang A = rang [A y]. Aceasta este numită relaţie de consistenţă. (42) Exemplu Presupunem că A este următoarea matrice de ordinul 3 x 4 ; 2 A = — 1 3 1 4 5 ' 2 - 7 - 5 4 1 5 Prin calcul direct, se obţine că fiecare din cele patru matrice pătrate de ordinul 3 obţinute prin Îndepărtarea unei coloana din A este singulară — are determinantul zero. Totuşi matricea 2x2 2 11 -1 2 obţinută prin îndepărtarea liniei a treia şi a coloanelor trei şi patru este nesingulară. Astfel rangul lui A este 2. Aceasta ne spune de asemenea că vectorii coloanelor 1 şi 2 sînt liniar independenţi. Vectorii coloanelor 3 şi 4 sînt combinaţii liniare de şi a2; în particular, a3 = 3aj — 2a, şi a4 = 3at — a2. 40 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARĂ Dacăy = Ax are o soluţie, atunci y trebuie să f ie o 41 combinaţie liniară a lui at şi ... Presupunem y = a a, + P a2. Atunci trebuie să rezolvam sau, deoarecc . aj + ]3a2 = Ax = + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 a3 = 3a j - 2a2 şi a4 = 3at - a2 atunci 3z3 - 3^)1! + (P + 2x t + x2)a2 = x^ + x2a2 3x. şi x„ = Astfel pentru -ie^x şi o consednâ faptului rangul lui A eTte mai mU ca numărul de coloane ale lui A. Aceasta este de asemenea adevarat pent.u soluţia generală a lui y = Ax. Soluţia oenerală pentru y = Ax. Presupunem condiţia de compatifi totdeauna partiţionată astfel: bilitat s.uE« ţf C» A A = r. tn acest caz, ecâ y = Ax poate r n—v coloane coloane r Au A12 yi ‘ '*1 linii ----- (43) m—r linii _A21 A22. -X2 - .'Si - Se determină în primul rînd rangul r prin găsirea submatncei de cel mai mare ordin al cărei determinant este diferit de zero.^ Se rearanjeaza apoi ecuaţiile, astfel încît primele r linii şi coloane sa aiba determinantul diferit de zero, adică An este nesmgular. Ecuaţiile pot fi scrise acum a>tfel: (44a) Anxi “t- A12x2 — j7i A2iXj + A22X2 = y244b) uoate fi privită ca o relaţie suplimentară în care fiecare ecuaţie a (446) ei este o combinaţie liniara, a «naţiilor din (44a). Puteţi arata acum că acesta este un efect al presupunem că este satisfacuta condiţia compatibilitate. în (44a) transferăm al doilea termen m dreapta şi mu - de 42 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE plicăm ecuaţia cu Aii1, care există deoarece Au este nesingular. Kezul- tatul va fi Xi = AnH}7! - A12x2) (45) care este de fapt soluţia. Vectorul xx conţine r elemente ale vectorului original x; ele sînt exprimate aici în funcţie de elementele lui şi a celor m — r elemente rămase din x. Observăm că soluţia (45) nu este unică dacă n >r. De fapt există q = n — r variabile, elementele x2, care pot fi alese arbitrar. Acest număr q este numit grad de degenerare al matricei A. Pentru cazul special al ecuaţiilor omogene, şi anume cazul în care y = 0, se va observa din (45) că există o soluţie netrivială numai dacă gradul de degenerare este diferit de zero. Pentru un caz mai special cînd m = n (adică, cînd A este o matrice pătrată), gradul de degenerare este diferit de zero şi există o soluţie netrivială numai dacă A este singular. Pentru ilustrare, considerăm următorul sistem de ecuaţii: ' 1 1 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 —1 0 0 1 0 0 -1 0 1 —1 0 0 0 0 1 0 —1 0 0 1 —1 0 1 X x2 xz xt x5 x6 0 0 0 1 —lJ [ 11 2 3 4 — Xy L-10-1 x9 Observăm că primele patru linii şi coloanele 2, 4, 6 şi 8 ale lui A formează o matrice unitate (care este nesingulară) şi astfel rang A > 4. Observăm de asemenea că linia 5 este egală cu negativa sumei primelor 4 linii. Astfel că liniile lui A nu sînt liniar-independente şi rang A < 5. Deoarece 4 ^ rang A < 5, se determină că rang A = 4. In mod asemănător se găseşte că rang [A y] = 4. Eezultă că condiţia de compatibilitate este satisfăcută. Putem acum rearanja coloanele şi face următoarea partiţionare în submatrice a matricelor. 1 0 0 0 • —1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 • 0 • 1 • 0 0 0 -1 —1 -1 —1 1 1 0 X., 0 —1 1 x6 0 — L xs 0 0 xt 0 0 0 L *3 % x7 — 1 rî 2 3 4 0 — 10 1.2. 43 ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA^ „ , ,oN \ _ u, o matrice unitate. “amU *'u « . — - s c n s X'iim astfel: _1 1 0 0 0-11° o 0 —1 X2 U o o o-l 1 *1 x3 •l') x7 *6 X8 Deoarece *«. W - eSte tot «, dire., 1. «calară, aceasta este x% xt X-j 1 + *i «— ■ x3 : 2 + Xg XK X, xs = 4 + *7 .x ~ » «i *, va exista un set Pentru fiecare set de valon Pţ*\™0ţ™b!emâ fizică, formarea setului E î» S & deseori a,eBe * — unele condiţii ale problemei. Ecuaţie caracteristică O ecuaţie algebrică care apare . deseori în analiza reţelelor este (46) XX = Ax unde V este o matrice pătrată de problema valorii proprii, e s t e s a b S « g ^^“fVeTtorff u care există x care o soluţie latisfac această ecuaţie. O re dor caracteristic al lui A. Să scriem (46) astfel: a sau mloare caracteristică ^sau (XU-A)x = 0 (4i) 44 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Aceasta este o ecuaţie omogenă despre care ştim că are o soluţie netrivială numai dacă XU — A este singulară sau altfel spus det (XU - A) = 0 (48) Determinantul din partea stingă este un polinom de gradul n în X şi este cunoscut ca polinomul caracteristic al lui A. Ecuaţia în sine este cunoscută ca ecuaţie caracteristică asociată lui A. Pentru fiecare valoare a lui X care satisface ecuaţia caracteristică, se poate găsi o soluţie netrivială a lui (47) cu metodele din subparagraful precedent. Pentru a ilustra această idee, considerăm matricea 2x2 £> î] -2 Polinomul caracteristic este = X2 — 7X + 12 = (X — 3)(X - 4). , . rX-5 - 1 det [ 2 lJUJ L 0 0‘ 3. '51 .-2 2 i J fr .' xY' C O Rezultatul este '3 .0 _—2x1 _______________1 >14-2 - ......... 1 Soluţiile ecuaţiei caracteristice (X — 3)(X — 4) = 0 sînt valorile 3 şi 4, care sînt deci valori proprii ale lui A. Pentru a obţine vectorul propriu corespunzător valorii proprii X = 3, rezolvăm (47) folosind matricea dată A şi X = 3. Astfel iirîr oi pentru orice valoare a lui xx. Vectorul propriu corespunzător valorii proprii X = 4 este obţinut în mod similar. pentru orice valoare a lui x1 . to 8 1 55 .«2- x1 ~ i5 1 —1‘ 1 C M din care 1 " 1 — Xi 0 0. 1.2. ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA Similitudine Spnnem cădouămatrice Ijâ.-te A g Bd,acelaşi o.din sint s«,U.re y _ ^ mo+rirA nPRÎTlPrilaia 5 RSlXCl Coj Spunem ca a o ua dacă există o matrice nesmgulaia S asttel ca ra S_1 AS = B (49) Matricea B este numita, ^ r^ este ^ S£»~ A ~ |B 1 = 1 S - 1 A S 1 = lS - 1 ! 1 A l |S | = I S - S I 1 A l = |A | Polinoamele caracteristice sînt egale deoarece |XU - B l = I X U - S - 1 A S 1 = I S - M X U - A ) S I = 1 S-1! |XU - Al IŞI = 1 S - S 1 1 X U - A l = |XU - A|. âsr.53ft*« ’ ° r > ? 5 S 5 X 5 w 3 ? i « W este diagonală. similaritatea Ini A ,a o matrice X, O A= n—1 p”Siî\ent™ “ îcmea“t»£ 3 »ÎSSw elT" A an‘acel“5 vîori ‘ 46 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE proprii, şi, aşa cum se poate uşor arăta, valorile proprii ale lui A sînt elementele diagonalei ei. In continuare vom arăta că A este similara unei matrice diagonale A, dacă şi numai dacă A are n vectori proprii liniar-independenţi. Să presupunem pentru început că A este similar cu A. Aceasta înseamnă că A = S"1 AS sau, ceeace este echivalent cu : SA = AS (50) Partiţionăm acum S după coloane; adică, S = [S1? S2...,Sn], unde S{ sînt vectori coloană ai lui S. Egalînd coloana j a lui AS cu coloana j a lui SA, în concordanţă cu (50), obţinem h S, = AS, (51) Din compararea cu (46), vedem că S; este vectorul propriu corespunzător lui Xj.. Dacă A este similar cu A, S este nesingular, şi vectorii săi coloană (vectori proprii ai lui A) sînt liniar-independenţi. Aceasta stabileşte necesitatea. Să presupunem acum că A are n vectori proprii liniar-independenţi. în conformitate cu (50), matricea S satisface relaţia SA = AS. Deoarece n vectori proprii ai lui A (vectori coloană ai lui S) sînt liniar independenţi, S este nesingular, şi SA = AS implică A = S_1AS. Rezultă că A este similar cu A şi A este similar cu A. Am arătat deci că dacă matricea pătrată S, care are vectorii proprii ai lui A ca vectori coloană pentru ea, este nesingulară, atunci A este similara matricei diagonale A = S _1AS. Exemplu Ca exemplu, se consideră matricea dată mai sus 5 A= 1' -2 2 Am găsit că valorile proprii ale acesteia sînt 'kl = 3 şi X2 = 4, şi că, pentru su şi s12 arbitrare şi diferite de zero, S12 ■ S11 - -2Sn . sînt vectorii proprii corespunzători. Fie su = s12 = 1 ; atunci şi S2 = --SI2. 1.2. 47 ALGEBRA MATRICEALA ELEMENTARA^ şi deci --r; _ :i Se obţine ......... n U U 3U -'.i -i :'] =A Procedura de a găsi o matri^J construirea unei matrice ajut aibă*’vectorii''prSprU aUui A nesingulară, atunci ea este S şi ^“tTpropTaf W°A sint distincţi «i, deci S exişti, dacă : 1. Valorile proprii ale Im A smţ ăistinc e. 2. A este simetrică sau hermitică ). Inegalitatea lui Svlvester Consider produsulpriceai PQûdeJ este <> H. V notaţfa r'anguM matricei produsului. Inegalitatea Sylvester este O relaţie între rP, rQ şi rFQ şi anume Tp + rQ-n^ rPQ < min {rP, re}. (°2) Menţionăm că . este numărul de coloane ale primei matrice din produs sau numărul de Imn dm a doua. . t matrice pătrate nesinCa un caz special, presupunerea P ş ^ inegalitatea lui Syivester, gulare de ordin. ». Atunci l<rFQ<n sau rPS ■ Acest luc u e _ ,P, ,Q| + 0, ^ deoarece jPQI ^ ^ special? presu- cunoscut \ * »11 inegalitatea Sylvester se obţ.ne punem PQ rP + rQ*Cn --------------------------- ------• i) Demonstraţia poate Ii gasita î ■ McGraw-Hili Book Co, Inc., New - -ts în R Bellman. „Introduction to Matrix Analysis‘‘ - „ 4 0 telegere in a unor de baza ‘ O demonstraţie a inegalitaţn lui este 'în atara scopului acestui text şi TopiCa asociate cu spaţii vectoriale tm*te dimensional^ Topica e^ demonstraţie se poate consulta pU R6 G a n t h maci i e r ^The^heoryV^trices”, Voi. I, Chelsea Publishmg Co, New or , concepte 48 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Norma unui vector Una din proprietăţile unui spaţiu vectorial este lungimea sa. Lungimea unui vector nu are o interpretare geometrică. Cu toate acestea, lungimea unui vector este un concept util, pe care îl vom discuta acum. Definim norma unui îi-vector x ca un număr nenegativ |[x|| care are următoarele proprietăţi: 1. ||x|| = 0 dacă şi numai dacă x = 0. 2. ||«x|| =|«| ||x||, unde a este un număr real sau complex. 3. jjxjL + x2|| < HxjJI + ||x2|], unde X! şi x2 sînt doi n-vectori. Un vector poate fi caracterizat de norme diferite care să satisfacă aceste proprietăţi. Cea mai familiară normă este norma Euclidiană definită de ||x||2 = (x*x)1/2 = ( S l®il2j2- (53) Aceasta este rădăcina pătrată a sumei pătratelor componentelor vectorului. Norma Euclidiană este utilă cînd se face referire la lungimea unui vector; totuşi, există alte norme cu care se lucrează mult mai uşor în calculele numerice. O astfel de normă este x= s Xi\ (54) i=l care este suma amplitudinilor componentelor vectorului. Ea poate fi numită norma sumei amplitudinilor. O altă normă este : llxlloo = T K I ; (55) care este, amplitudinea componentei care are cea mai mare amplitudine. Este uşor de arătat că ||x]|2 ||x ||x şi HxH*, satisfac fiecare proprietăţile unei norme. ’ Faptul că fiecare din aceste norme este o măsură a lungimii vectorului se poate dovedi cu ajutorul unor observaţii. Dacă oricare din aceste norme este diferită de zero, celelalte două sînt diferite de zero. Dacă una din acestea are limita zero, aceeaşi limită vor avea şi celelalte. O matrice este adesea privită ca o transformare. Dacă A este o matrice de ordinul m x n şi x un «-vector, atunci considerăm pe A ca o matrice care transformă pe x în m-vectorul Ax. Mai tîrziu va fi necesar să stabilim limitele normei vectorului Ax; pentru a face aceasta, introducem noţiunea de normă a unei matrice. 1.2. ALGEBRA MATRICEALĂ ELEMENTARA 49 _ spunem că »-« A este mărginită dacii există o constant» reală, pozitivă K astfel ca n Ax 11 < .kiwi (5b) • limită inferioară atuturor acestor K este pentru orice x. Cea mai mare lmnta mi r de arătat ca norma matricei1 ar^ proprtetăiţile obisSe aleûnfii norme ; astfel: i. J î l r - V t s irL* 3. HĂi + ASH < .««mî - IIA II HA 11 ^Î^nêftaiţiaêele^mafâriînite inferioare, estc dar că, HAxlK HA 11 11x11. (57) Este posibil să arătăm că e^st^ un v^tor pentru care tate. &u vom proceda gen^., normei sumei amplitudinilor am w u (35) din {u)’obtinem n m 9 n UAxUl = t | S I < X S 1 “»11 1 £ile ^ maxime dm i < ? %* . )* Prima 5i ultima etapă dinilor. A doua etapa amplitudinilor complexe. Presupunem ca cea mai mare v W la - â valoare a sumei ^„ „ obţine pentru coloana », astfel, presupunem , (58) , £ 1 | I » , , ! - A t u n c i (58) este satisfăcută, ca egalitate cînd z, = 0 pentru j 11 şi xk == 1. Rezultă max m (59) 11A Hi = J s l« « l - v i =1 " 2 e *. M S amplitudinilor. î n continuare vom folosi norma amplitudinii maxime din (55). Atunci l!Ax|U=mf £ max » { I n | i=i [ max n | | i=i < t £|o«||*#J \ max (max n 1 50 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE * X \au\ J i !^l<| * S l°« ljll®<ll«- (6°) Etapele prezentate aici sînt aceleaşi ca la norma precedentă, cu excepţia faptului că se foloseşte norma amplitudinii maxime. Din nou presupunem că suma amplitudinilor lui ai} este maximă pentru linia k; adică, presumax n n punem i £ \a{j\ = £ \akj |. în acest caz (60) este satisfăcută ca ega- j=l j=l litate cînd x} = sgn (akj). Funcţia sgn y este egală cu + 1 cînd y este pozitiv ş i - i cînd y este negativ). Eezultă HA 11,0 = * max n (61) Norma amplitudinii maxime a unei matrice A este deci norma sumei amplitudinilor a acelui vector linie al lui A care are cea mai mare normă a sumei amplitudinilor. în final, pentru norma euclidiană, deşi nu demonstrăm aici, se poate arăta *) că |]AX|!2 = (x*A*Ax)1/2 < |X„,r- ( x * x ) > / 2 = |XMnix|| (62) unde Ăm este valoarea proprie a lui A*A care are amplitudinea cea mai mare. Se poate de asemenea arăta că există un vector x astfel încît (62) să fie o egalitate. Deci 11 |X«|1(î. (63) Exemplu Să presupunem y = Ax, sau ' Ui ' ■î . y3 ■ -1 ■ -2 = .3 0 4. Din (59)norma sumei amplitudinilor lui A este ||A||j = max {6, 5} = 6. ) Modalitatea de rezolvare a acesteia se poate găsi în cap. 7. J f1 L . A 112= 51 1.3. NOTAŢII ŞI SENSURI CONVENŢIONALE Din (61) norma amplitudinii maxime a Iui A este ||A||oo = max {2, 2, 7} = 7. Pentru norma euclidiană, găsim mai intîi 1-1 ' r 1 -2 31 A* A = -2 0 L-l 0 4j = .3 4 . Ecuaţia caracteristică a lui A*A este |XU—A*A| =1 f'X-14 -111 I = X2 — 31X + 117 = (X — 26,64)(X — 4,36). , L -11 X—17 J Deci X», = 26.64 şi HA H, = ^26,64 = 5,18. Cunoaştem, de asemenea, din substituirea normelor matricelor de mai sus In (57), că (Iffjl + \Ut\ + WX 6(11,1 + 1**1) max (li/jl, ii/al» li/a I) < 7 max (l*J I’ (îi/, ia + li/2l2 + ly312)1'2 < 5,18a*,!2 + l*212)1/* ?i în acest paragraf, am făcut o scurtă prezentare a unor subiecte din teoria vastă a matricelor, fără a face demonstraţii. Unele demonstraţii sînt sugerate în probleme. 1.3. NOTAŢII ŞI SENSURI CONVENŢIONALE Semnalele sau variabilele în termenii cărora este descrisă reţeaua electrică sînt tensiuni şi curenţi. Acestea sînt funcţii de timp (t) şi vor fi reprezentate consecvent prin simboluri litere mici y(t) şi i(t). Uneori dependenţa funcţiei de timp nu va fi arătată explicit, şi anume atunci cînd nu există posibilitatea de confuzie; astfel, v şi i vor fi folosiţi în loc de v(t) şi i(t). . Transformata Laplace a unei funcţii de timp va fi reprezentata prin litere mari corespunzătoare literelor mici care reprezintă funcţia de timp. Astfel, I(s) este transformata Laplace a lui i(t), unde s este variabila frecvenţa complexă, s = a + joi. Uneori, dependenţa funcţională de 8 nu va fi arătată explicit, şi I(s) va fi scris simplu I. 4 - C. 854 52 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE în teoria reţelelor s-au găsit legi fundamentale care exprimă relaţii între tensiunile şi curenţii unei reţele. înainte de a formula aceste legi este necesar să stabilim un sistem de corelare a sensurilor cu măr imile asociate lui i şi v. Aceasta este făcută prin stabilirea unei referinţe pentru fiecare tensiune şi curent. Funcţiile i(t) şi v(t) sînt funcţii reale de timp care pot lua valori negative sau pozitive în cursul timpului. Sistemul de referinţă adoptat în această carte este arătat în fig. 1.1. curent şi tensiune. Fig. 1.1. Referinţe de O săgeată indică sensul de referinţă pentru curentul dintr-o latură. Aceasta nu înseamnă că totdeauna curentul parcurge latura în sensul săgeţii. Ea trebuie interpretată astfel: ori de cîte ori sensul curentului coincide cu sensul săgeţii, i(t) va fi pozitiv. Similar, semnele plus şi minus la capetele unei laturi sînt referinţele de tensiune pentru latură. Ori de cîte ori polaritatea tensiunii coincide cu sensul indicat de referinţă, v(t) va fi pozitiv. Simbolul pentru referinţa de tensiune poate fi simplificat, deoarece indicarea numai a semnului plus va implica de asemenea semnul minus. Ori de cîte ori nu este posibilă o confuzie, semnul minus poate fi omis din referinţă. Pentru o latură dată, sensul ales ca referinţă de curent şi polaritatea aleasă ca referinţă de tensiune sînt arbitrare. Oricare din cele . i r+ ^^1 I \v($ Fig. 1.2. Referinţe standard. două posibilităţi poate fi aleasă ca referinţă de curent şi oricare din cele două posibilităţi poate fi aleasă ca referinţă de tensiune. Mai mult, referinţa de curent este independentă de referinţa pentru tensiune. Totuşi, adeseori este convenabil să alegem aceste două referinţe aşa cum este arătat în fig. 1.2. Astfel, cu săgeata curentului de referinţă trasată de-a- lungul laturii, dacă plusul tensiunii Ze referinţă este la nodul în care intră curentul de referinţă, rezultatul este numit referinţa standard. Dacă 53 1.4. CLASIFICAREA REŢELELOR ne propunem folosirea referinţei standard, atunci este necesar să aratam numai una din referinţe; cealaltă va fi implicată. Trebuie să precizam că alegerea referinţei standard nu este o necesitate, ci numai o convenţie. 1.4. CLASIFICAREA REŢELELOR (CIRCUITELOR) Este posibil să ajungem la o clasificare a reţelelor pe una din două căi O posibilitate este să specificăm felul elementelor din care este compusă reţeaua şi, pe baza proprietăţilor lor, să ajungem la unele generalizări cu privire la reţea privită ca un întreg. Astfel, dacă valorile tuturor elementelor unei reţele sînt constante şi nu se modifică în timp, reţeaua privită ca un întreg poate fi clasificată ca o reţea invariantă m timp. O altă cale este de a ne îndrepta atenţia asupra punctelor de acces ale reţelei si să clasificăm reţeaua după proprietăţile^ generale ale răspunsurilor lor la excitaţiile aplicate în aceste puncte. In acest capitol vom examina a doua cale. Liniaritate Fie excitatia aplicată la o reţea, care nu are energie înmagazmata iniţial, notată cu e(t) şi răspunsul reţelei w(t). O reţea liniară este aceea în care răspunsul este proporţional cu excitaţia şi principiul superpoziţiei este aplicabil. Mai precis, dacă răspunsul la o excitaţie ex{t) este w^t) şi răspunsul la o excitaţie e2(t), este u:2(t), atunci reţeaua este liniara dacă răspunsul la excitaţia fcie x(î) + k2e2(t) este Tc^w^t) -f lc2w2(t).^ Această definiţie scalară poate fi extinsă la forma matriceală pentru excitaţie şi răspunsuri multiple. Vectorii excitaţie şi răspuns e(<) şi w(t) sînt definiţi ca vectori coloană. -wa{ty 'ea{ty e(<) = eb(t) şi \\(t) = wb{t) • unde ea, eb etc. sînt excitaţii la bornele a, b etc.; şi wa, wb etc. ^ sînt răspunsurile corespunzătoare. O reţea este liniară dacă vectorul excitaţie conduce la un vector răspuns (t) + fr2’.v2(f), unde este vectorul răspuns la vectorul excitaţie e4. Invarianta în timp O reţea care va produce acelaşi răspuns la o excitaţie dată, indiferent de momentul la care este aplicată, este invariantă în timp. Astfel, dacă răspunsul la o excitaţie e(t) este w(t), atunci răspunsul unei reţele invariante în timp la o excitaţie e(t -1- tx) va fi \\(t -ftj). Această definiţie implică restricţia ca valorile elementelor reţelei să rămînă constante în timp. 54 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Pasivitate Unele reţele au proprietatea fie de a absorbi, fie de a înmagazina energie. Ele pot restitui energia înmagazinată unei reţele externe, dar niciodată nu vor putea furniza o cantitate de energie mai mare decît cea înmagazinată. Astfel de reţele sînt numite pasive. Fie E(t) energia eliberată unei reţele care are o pereche de terminale conectate la o sui să externă (pînă la momentul t). Tensiunea şi curentul la terminale, cu referinţe standard, sînt v(t) şi i{t). Puterea furnizată reţelei va fi p(t) = = v(t)i(t). Definim reţeaua pasivă, reţeaua pentru care S t v{x)i{x)ăx > 0 (64) — 00 sau E(t) = ( v(x)i{x)dx + E(t0) > O Această inegalitate trebuie să fie adevărată pentru orice tensiune şi curentul rezultant, pentru orice t. Orice reţea care nu satisface această condiţie este numita o reţea activă; adică, v(x)i(x)ăx < O pentru un timp t. Dacă reţeaua are mai mult de o pereche de terminale prin care poate fi alimentată cu energie din exterior, să considerăm matricele tensiunilor şi curenţilor terminali a fi ii(t) v2(t) v(*) = H(t) şi i(f) = • J»(0. cu referinţe standard. Puterea instantanee furnizată reţelei din exterior va fi atunci p(t) = £ VjitMt) = v'(t)i(t). (65) 5=1 Reţeaua va fi pasivă dacă, pentru orice t, E(t) = i v'(a?)i(a;)d® > 0 ■ J — CO (66) Reciprocitate Unele reţele au proprietatea ca răspunsul produs într-un punct al reţelei de o excitaţie dintr-un alt punct, să fie invariant dacapoziţiile excitaţiei şi răspunsului sînt interschimbate (excitaţia şirăspunsul fund 1.4. CLASIFICAREA REŢELELOR 55 Interpretate corect). Se presupune că reţeaua din fig. 1.3a nu are energie înmagazinată iniţial; excitaţia este tensiuneav^t)şi răspunsul este cu entul iS) în scurtcircuit. în fig. 1.3&, excitaţia este aplicata la poarta 2 ^(iniţial în scurt circuit), şi răspunsul este curentul m scurt circuit la poarta 1 unde iniţial se aplicase excitaţia. Referinţele celor doi curenţi smt aceleaşi relativ la acele ale tensiunilor. O reţea reciproca este una in care, pentru orice pereche de puncte de excitaţie şi răspuns, aici notate cu 1 şi 2, ?, - i8 dacă v9 = vx. Dacă reţeaua nu satisface această condiţie, ea este nereciproca. Pînă la ultimul capitol al acestei cărţi sînt tratate reţelele liniare şi invariante în timp. Reţelele nu sînt limitate la reţele pasive sau reciproce. Ultimele tipuri de reţele au proprietăţi speciale, şi unele metode Fig. 1.3. Condiţia de reciprocitate. pe care le vom discuta, sînt limitate la aceste reţele. Cînd discutăm metodele a căror aplicabilitate este limitată la reţele pasive sau reciproce, vom specifica acest lucru. Cînd această specificaţie nu este facuta, presupunem că metodele şi proprietăţile în discuţie sînt aplicabile in genera , la reţele pasive şi active, reciproce şi nereciproce. Ultimul capitol al carţu este destinat reţelelor liniare variabile în timp şi reţelelor nelimaie. 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA (CIRCUIT) Să facem acum o clasificare a reţelelor în funcţie de tipurile de elemente pe care le includ. Vom considera că reţelele de care ne ocupăm sînt cu „elemente concentrate”. Presupunem că toate efectele electrice sînt sesizate imediat de întreaga reţea. Cu această presupunere, neglijăm influenţa dimensiunilor într-un circuit fizic, şi presupunem că efectele electrice sînt concentrate în spaţiu şi nu distribuite. în modelul de reţea, postulăm existenţa de elemente care sînt definite de relaţia dintre curenţi şi tensiuni. Există trei elemente de bază : rezistor, bobină şi condensator. Reprezentările lor grafice şi relaţiile tensiuni-curenţi sînt date în tabelul 1.1. Rezistorul este caracterizat prin parametrul rezistenţă R sau parametrul conductanţă G, unde G = 1IR. ’ Bobina este caracterizată prin parametrul inductanţă. Reciproca lui L nu are nume, dar este folosit uneori simbolul T (un L întors). Condensatorul este caracterizat de parametrul capacitate G. Reciproca lui G este cunoscută ca elastanţă, şi este folosit uneori simbolul I). 56 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Tabelul 1.1 Element Eelatii tensiune-curent Parametru Directe Rezistenţă Rezistenţa R Conductanţa G v = Ri Inductanţă Inductanţa L Inversa inductanţei F V=L Capacitatea C Elastanţa D i=C Capacitate di df dy dt Inverse Simbol i = —v = Gv R 0 1 f* i (0 = -----------\ v (x) dx + z(0) L Jo y (/) = —— ( i(x) dx + f(0) CJo ij. î L ii c C + V ) + V + V T în legătură cu aceste elemente se pot face o serie de observaţii, în primul rînd, relaţiile v—i(v = Ri, v = L di/ăt, şi i = C d'y/di) satisfac condiţia de liniaritate, presupunînd că i şi v joacă rolul excitaţiei şi răspunsului. Astfel reţelele cu elemente R, L şi G sînt liniare. în al doilea rînd, parametrii’ R, L şi G sînt constanţi, astfel că reţeaua cu R, L şi C va fi invariantă în timp. în al treilea rînd, presupunînd referinţe 57 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA standard, energia furnizată fiecărui element, considerînd că tensiunile şi curenţii iniţiali sînt zero, va fi = Bi2{x)âx J — 00 JE ( t ) = [ L^î{x)ăx = [ Li' ăi' = \ Li* (<) J_ 00 d* Ec(t) = [ C Jo *(*)da? = ^ Gv' d«' = | C v2(t). (67) (68) (69) Fiecare din părţile din dreapta sînt ne-negative pentru orice t. Deci reţelele B, L, G sînt pasive. Reţelele B, L, G sînt reciproce. Demonstraţia acestei afirmaţii se va face mai tîrziu. Se observă din tabelul 1.1 că relaţiile v — i inverse pentru înductanţă si capacitate sînt s c r i s e c a integrale definite. Adesea aceasta relaţie inversă’ este scrisă ca o integrală nedefinită (sau primitiva) m loc e o integrală definită. O astfel de expresie este incompleta daca nu se adaugă la ea valorile iniţiale i(0) sau «(0). O situaţie des mtilnita este aceea ca tensiunea v { t ) şi curentul i ( t ) să fie exprimate ca funcţii explicite, ca de exemplu e-“‘, sin coi etc., caz în care primitiva este unica şi anume : — (l/a) £-ai, — (l/w) cos « t etc. în multe cazuri, msa, tensiunea sau curentul nu pot fi exprimate într-o formă simplă pentru orice t ; a Fi®. 1.4. Forma de undă a semnalului. expresia analitică a lui v ( t ) sau i ( t ) poate depinde de un anumit interval al axei timpului. Cîteva astfel de forme de unda smt aratate in fig. 1.4. Originea timpului t este arbitrară ; ea este de obicei aleasa sa coincidă cu o situatie particulară, ca deschiderea sau închiderea unui contact, în plus, în’ integrala definită de la 0 la t , expresia pentru tensiunea pe 58 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE condensator, v(t) = (1/C) ( i (x) dx -f- v ( 0 ) , conţine valoarea iniţială f ( 0 ) . -o Aceasta poate fi considerată ca o sursă de tensiune în curent continuu (sursele vor fi discutate mai tîrziu) în serie cu un condensator iniţial relaxat (fără tensiune iniţială) aşa cum se arată în fig. 1.5. Similar, pentru inductor i(t) = (l/i) i v (x) dx + i (0), unde i(0) este valoarea iniţială Jo m î —o— v(t) C KO)Q) o—■ ----------- —— sjs v(*) Iniţial relaxat Fig. 1.5. Valori iniţiale ca surse. t Iniţial I reîaxo t a curentului. Aceasta poate fi considerată ca o sursă de curent continuu în paralel cu un inductor iniţial relaxat, aşa cum se arată în fig. 1.5. Dacă aceste surse sînt arătate explicit, ele vor include toate valorile iniţiale iar toate condensatoarele şi inductoarele pot fi considerate iniţial relaxate. Sursele corespunzătoare valorilor iniţiale pot fi utile pentru unele metode de analiză, dar pentru altele nu sînt indicate, ca de exemplu pentru formularea cu ecuaţii de stare. Transformatorul Elementele R, L şi G au fiecare cîte două terminale; alte componente au mai mult de două terminale. Următorul element pe care îl vom introduce este transformatorul ideal arătat în fig. 1.6. El are două perechi de terminale şi este definit de următoarele relaţii v — i, t'j = nv 2. (70a) i2 = — nit (70 b) sau ■*1 ■ . ii . '0 n" .—n 0. 'h' .. 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA Transformatorul ideal este caracterizat de un singur parametru n numit ravort de transformare. Transformatorul ideal e s t e o abstractizare facuta asupra bobinelor cuplate. Relaţiile v — i sînt relaţii idealizate care expi. 1- mă legea lui Faraday, respectiv legea lui Ampere. Sensul m aceste ecuaţii respectă referinţele alese. Dacă o referinţă oarecare este modificata, semnul corespondent se va modifica. w Transformatorul ideal terminat pe o rezistenţă R la una din porţi, prezintă la cealaltă poartă o rezistenţă B înmulţită cu raportul de transformai e Fig. 1.6. Un transformator ideal. la pătrat. Astfel în fig. I M , vt = - Bi2. Folosind această relaţie în ( 7 0 ) se obţine : = nv.2 — — nBi2 — ( n 2 B ) i v (71) Se constată că rezistenţa echivalentă văzută la terminalele de intrare, este " Se observă că energia totală absorbită de transformatorul ideal este E(t) = [ [v1{x)i1(x) +v.2[x)i2(x)]dx J — 00 (72) Această relaţie este uşor verificată dacă Moşim re]iaţiile ( 7 0 ) Rezultă că acest element este pasiv; el transmite, fara a înmagazina sau disipa energie. ^ ( Un model al transformatorului real este arătat in f i g . 1.* . Kepreze tarea este aproape aceeaşi, cu excepţia faptului ca ui reI)1'êââ ă formatorului ideal raportul de transformare este aiatat duect pe ii 0ura. 60 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Transfoi matoi ui este ciir;tc1r i x;i 1 <1 o irr ni;il oiirol c relaţii v — referinţele arătate în fig. 1.7: ’ T dîl . Vi = Li Şi ®2 = — + dt ird% M~ ■_ M~ r dîn % pentru ’ {73a) v ’ dt di + L 2 —~ • dt dt (73b ) Transformatorul este deci caracterizat prin trei parametri: două inductanţe proprii L x şi L 2 , şi inductanţa mutuală M . ’ + Fig. 1.7. Un transformator. Y2 Energia totală furnizată transformatorului de surse exterioare este E ( t ) = i t®x (*)%(*) + v 2 { x ) i 2 ( x ) ~ \ d x = J — 00 =( •'O L^dii+ [ 12 Md(i[i'o) -f (“L^di’z *0 Jo = (74) = I (Lift + 2 M i 1 i z + L 2 i \ ) Noţiuni fundamentale. Este uşor de arătat *) că ultima linie din (74) va fi ne-negativă dacă 312 ' = 1 c 2 < 1. LIL2 (75) O metodă simplă este să observăm (cu Lşi M toate ns-negative ) că Ltif + + 2Mfji2 + L2/| poate deveni negativ numai dacă î, şi i2 au semne opuse. Fie i2 = — , cu x orice număr real pozitiv. Cantitatea care ne interesează devine £} - 2Mx + L.2 x2. Dacă valoarea minimă a acestei relaţii este ne-negativă, atunci cantitatea va fi ne-negati"vă pentru orice valoare a lui x. Diferenţiem relaţia patratică în raport cu x şi găsim val oarea minimă; ea va fi Lx — M2jL2, şi poate servi la obţinerea rezultatului dorit. 61 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA Deoarece consideraţii fizice cer ca transformatorul să fie pasiv, această condiţie trebuie respectată. Cantitatea k este numită coeficient de cuplare. Valoarea lui maximă este unu. Un transformator pentru care coeficientul de cuplare ia valoarea maximă k = 1 este numit un transformator perfect, sau cu cuplaj perfect. Un transformator peifect nu este acelaşi luciu cu un transformator ideal. Pentiu a găsi diferenţa, vom considera ecuaţia transformatorului (73) şi includem în ea condiţia transformatorului perfect M = } L 1 L . Î - , apoi considerăm raportul %/î>2. Rezultatul va fi = ______ (lt- ___ ________ _________ = i L. L., ______ (76) h 1/ T T ^ 4- L — 1 L,L‘Ât + 2 di dacă Această espresie este identică cu r, = nv2 pentru transformatorul ideal1) n = VLjLz- (77-> Să considerăm acum raportul între curenţi. Deoarece (73) include derivatele curentului, va fi necesar să integrăm aceste expresii.Rezultatul includerii condiţiei transformatorului perfect M = ^ L l L 2 , a valorii n = = fLjL2 şi al integrării lui (73) de la 0 la t, va fi, după o rearanjare a termenilor, i x (t) = - —i 2 (t ) + {-J- C i\(x)ăx n [ -“î Jo (78) n Forma expresiei din paranteză sugerează ecuaţia^? i pentru un mductoi. Repiezentaiea din fig. 1.8. satisface relaţiile (78) şi (76). Ea aiată ce relaţie există între un transformator peifect şi un transformator ideal. Dacă, într-un transfoimator peifect Ly şi L2 pot fi făcute să tindă către infinit, dar în aşa fel încît, rapoitul lor să rămîna constant, îezultatul va fi un transformator ideal. Deoarece, pentru bobinele reale, inductanţa este aproximativ proporţională cu patraţul numărului de spire ale bobinei, expresia \ este egală cu raportul dintre numărul de SP1^ din primar şi cel din secundar ale unui transformator. Aceasta este originea expiesiei „raportu numerelor ele spire” pentru n. 62 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Transformator perfect Fig. 1.8. Relaţii între un transformator perfect şi unul ideal. Giratoriii O altă componenţă care are două perechi de terminale este giratorul, a cărei reprezentare simbolică este arătată în fig. 1.9. Bl este definit de următoarele relaţii v — i : Pentru fig. 1.9a Pentru fig. 1.9b — r ' 1 O = /•/'] ®2- — vi^ t o I I 1 sau J. ’V -»2- = 0 [79a) 1 sau 1 H = — n 2 v.2 . -H - 0r —r 0 Giratorul, ca şi transformatorul ideal, este caracterizat de un singur parametru r, numit rezistenţa de giraţie. Săgeata spre dreapta sau (79b) stînga, din fig. 1.9, indică sensul de giraţie. <■2- 2- L + V, X v 2 M b Fig. 1.9. Un girator. + 2 v 63 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA Giratorul este un element lua în considerare slţua|"le/“'? aplicăm mai întii o tensiune o, reciprocitate. într-adevai, P gcurtcjrcuit şi după aceea aplicam măsurăm curentul cu poarta 2 ^rt.circu y ^ SCurtcircuit, ?0rsrecă"-i2 =şim^zuită <* giratorui De fapt el este nereciproc. nu este u n e iement reciproc ' 12 Fig. 1.10. Girator terminat pe o rezistenţa R. Pe de alt ă = ( (%h + vt i-2) d* = J . [('" rk) (l + { H i ) ^ par J — 00 te, ene rgia totală absorbită de girator este °' (80) m Bezultă că el este un ele;ment Pasiv car^nu J^^SÎiSiator printr-un factoi n . Ce fac ~ Sn girator este terminat cu o t SileT-i^ciaSer^ă Jiritorul, se obţine ( 8 * eă rezistenţa . r, / f i g i.io), tensiunea şi curentul ţînd seamă de această relaţie 1 Eezultă > înmultit cu conductanţa terminaţiei de la Domeie *" , oMinereade — terminat cu o capacitate, ^ cum " 64 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE se arată în fig. 1.11. Ştim că i2 = — Căv2jdt. Din relaţiile v — i asociate giratorului, obţinem ’ V, = — ri9 = — r ) = , . Kiil C ch ! di d< c =,,c di. (82) ;2 Rezultă că la terminalele de intrare, relaţia v — i este aceea a unei inductanţe, inductanţa r2C. într-o manieră similară se poate arăta cu dt Fig ii 1.11. Girator terminat pe o capacitate C. că relaţia v — i la bornele de intrare ale unui girator terminat cu o inductanţă este a unei capacităţi. Surse independente Toate elementele introduse pînă acum au fost pasive. Sînt necesare şi alte componente ale reţelei pentru a putea lua în considerare posibilitatea de a genera tensiune, curent sau putere. Se definesc două tipuri de surse. 1. O sursă de tensiune este un element cu două terminale a cărei tensiune este în orice moment de timp independentă de curentul prin terminalele ei. Nu are importanţă ce reţea este conectată la terminalele sursei de tensiune, tensiunea ei îşi menţine amplitudinea şi forma de undă. (Nu are sens să scurtcircuităm terminalele unei surse de tensiune, deoarece aceasta conduce la două cerinţe contradictorii la terminale.) Curentul în sursă va fi determinat de această reţea. Reprezentarea este arătată în fig. 1.12a. 2. O sursă de curent este un element cu două terminale al cărui curent, la orice moment de timp, este independent de tensiunea la bornele sale. Nu are importanţă ce reţea este conectată la terminalele unei surse de curent, curentul îşi va menţine amplitudinea şi forma de undă. (Nu are sens să lăsăm sursa de curent în gol, deoarece aceasta ne conduce la cerinţe contradictorii la terminale). Tensiunea care apare la bornele sursei este determinată de această reţea. Reprezentare este arătată în fig. 1.126. 65 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA Fiecare din noi este obişnuit cu diminuarea luminii acasă, cînd un număr mare de aparate electrice se conectează la reţea, şi ştie că tensiunea unei surse fizice variază cu sarcina. De asemenea, într-o sursă fizică reală, tensiunea şi curentul generate pot depinde de unele cantităţi neelectrice, ca de exemplu viteza unei maşini rotative, sau concentraţia acidului unei baterii, sau intensitatea luminoasă a unei celule fotoelec- trice. Aceste relaţii nu sînt interesante în analiza reţelelor, deoarece nu Fig 1.12. Surse de tensiune şi curent. V(t) (p ©'W ne interesează funcţionarea internă a surselor ci numai comportarea la terminalele lor. Sursele astfel idealizate nu ne dau informaţii despre dependenţa tensiunii sau curentului de cantităţile neelectrice; ele sînt numite surse independente. Surse comandate sau dependente Sursele independente nu includ dispozitivele care realizează o amplificare a semnalelor. Este necesar deci să se introducă o altă clasă de elemente: aceste elemente sînt numite surse comandate sau dependente. O sursă de tensiune comandată este o sursă a cărei tensiune la terminai e este o funcţie de altă tensiune sau curent. O sursă de curent comandată este definită analog. în tabelul 1.2 sînt arătate patru posibilităţi. Aceste elemente au două perechi de terminale : — o pereche fiind destinată cantităţii comandate; cealaltă, cantităţii care comandă. în fiecare din situaţiile prezentate în tabelul 1.2, curentul sau tensiunea comandată este direct proporţională cu cantitatea care comandă, tensiune sau curent. Acesta este cel mai simplu tip de dependenţă; este posibil să introducem o sursă dependentă, a cărei tensiune sau curent este proporţională cu derivata unei alte tensiuni sau curent. Totuşi, noi nu vom discuta în detaliu niciun alt tip de dependenţă. Comportarea tuburilor cu vid şi a tranzistoarelor poate fi aproximată de un model care constă în interconectarea surselor dependente şi a altor elemente de reţea, cu precizarea că acesta este valabil în domenii 66 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Tabelul 1.2. Relaţie tensiune-curent Simbol Componentă de reţea ! n-n Sursă de tensiune comandată de tensinue (g hibridă) Ud _ 0 J -o o-j r Sursă de tensiune comandată de curent J m L's (impedanţă) ■ >r .h. (admitanţă) + Sursă de curent comandată de tensiune ' 0" 0 (Im _ ■»r - V3 - 9mv,(± 1__ CKIH:;] ‘1 ! Sursă de curent comandată de curent ■0 (h hibridă) limitate, certe, de tensiune şi curent. în fig. 1.13 sînt arătate două astfel de modele. Aceste modele nu reprezintă elementele fizice m orice condiţii de funcţionare •, de exemplu, la frecvenţe suficient de mari e necesar sa introducem în modelul tubului, capacităţile dintre electrozi. T~T 62 rD + Ri Yf Tranzisto V h. r a ia f Tub h ’ G9 °1 }p . 9m <>A [% P Fig. 1.13. Modele de tranzistor şi triodă. M 67 1.5. ELEMENTELE DE REŢEA Ultima problemă care apare este următoarea. Cînd un inginer doreşte să facă un calcul al tensiunilor şi curenţilor unei reţele obţinută pun 'interconectarea de elemente electrice diferite trebuie ca ^ să reprezinte fiecare element printr-un model. Acest model w con,ta în interconectarea de componente diferite, componente care au fost definite în acest capitol. Complexitatea modelului va depinde de tipul elementelor fizice componente si de condiţiile în care sînt puse să lucreze. Consideraţiile referitoare la alegerea unui model adecvat, în condiţii date, nu constituie o parte principală pentru analiza reţelelor. Aceasta nu înseamnă ca aceste “„Silţii /calitatea de alegere a unui model adecvatnu «jnjjjjr- t-inte • ele sînt Pentru instruirea completa a unui mginei hinţ impoitante multe’alte lucruri, dar desigur ele nu pot fi tratate într-o singura carte, în această carte nu ne vom ocupa de construirea unui model al unei situaţii fizice date, înainte de a face analiza. Punctul nostru de plecare va f 1 un modtl. Convertor (le netjalivare Ultima componentă pe care o introducem este convertorul de negativare (prescurtat Acesta este un element NC). cu două perechi de terminale şi este definit de următoarele ecuaţii v —i: " sa u .ia- 0 f r0 .A- ’ (83«■) (836) ■ 1- -h J" r 0 7c -Ic 0 Nu există o reprezentare specială pentru NC, astfel că este folosit simbolu o-eneral din fig. i.U. NC este caracterizat de un singur parametru «, numit raport de conversie. Dacă considerăm că terminalele din singa reprezintă intrarea şi cele din dreapta ieşirea, se vede dm primul sistem de ecuaţii că atunci cînd ix este în sensul sau de referinţa, va ti de i-l i-l i-l ____________________________ £ 2 *■ 4- + CN/ v2 V, CNV -- ° a) tle tipul cu inversiunea curentului: i'i = k r » si ’i = ^'i ’ f,i ^ ' cu iuversiunea tensiunii : v L — — si Fig. 1.14. Convertor de negativare ; a i- 68 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE asemenea în sensul de referinţă; rezultă că curentul va fi inversat la trecerea prin NC. Pe de altă parte, tensiunea nu se va inversa. Acest tip este numit convertor de negativare a curentului, sau NIC. Din al doilea set de relaţii se obţine o inversare a tensiunii, dar nu şi a curentului. Acest tip este numit convertor de negativare a tensiunii, sau N YC. . Cînd fiecare din aceste elemente este terminat pe o componentă pasiva la o pereche de terminale, este important de ştiut ce se întîmplă la, cealaltă pereclie. Astfel, fie o inductanţă L conectată la ieşire; atunci r., :■ ■- L ăijdt. Folosind această relaţie în relaţiile v — i, se obţine (I i1 di2 (84) -4- ICVn ------ dz Ti I ---------dt dt Rezultă că la intrare, inductanţa echivalentă este proporţională cu negativa inductanţei L. Concluzii similare se obţin şi în cazul în care elementul conectat la ieşire este o rezistenţă sau o capacitate. Introducerea NC extinde considerabil numărul de blocuri constituante de reţea, deoarece este acum posibil să includem negativele elementelor B, L şi C în reţea. I> l. Este adevărată relaţia (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 în algebra matriceală? Dacă nu, daţi formula corectă. PROBLEME P 2. Fie 4 2‘ ‘2 5' -1 0 -1' 6 5 II 12 012 , t: = 5 -4 “1 O ______________________ 1 .2 1. Calculaţi AB şi AC şi comparaţi-le. Deduceţi prin aceasta, care regulă din algebra obişnuită nu se aplică la matrice? P 3. în ce condiţii putem scrie B = C dacă AB = AC? P Fie Calculaţi AB. Ce teoremă din algebra simplă nu este adevărată pentru matrice? P 5. Fie A şi B compatibile şi fie submatricele Ay şi Bj-j compatibile pentru orice i şi k. Verificaţi că submatricea (i, k) a produsului AB este Ş Ay Ttik . P (!. Arătati că dA(y) \ A (y) dy J = A (*) dy B (*) - P 7. Demonstraţi egalitatea (AB) = ÂB şi (AB)* = B* A*. ( J dy B(y) dy . — 69 PROBLEME •i • „-trotă \ nnalp fi exDi'imată ca suma unei matrice liermiP 8. Verificaţi că orice matrice patrata A poale n expunia ticâ AH Şi a unei matrice antihermitice AgH- Găsiţi AH Şi AS,HP 9. Demonstraţi că dacă A este antihermitică. Re (aM) = 0 pentru orice i. n P 10. Demonstraţi că £ aik Ajjt = 0 dacă i=ţ=3' P i l . Definiţi matricea B ca inversa lui A astfel ca inversa există, ea este unică. (Presupuneţi doua inverse şi arataţ. ca ele sMt eg ). l ' tgal*T ^ daCă P 12. Verificaţi care din următoarele matrice sînt nesingulare. Găsiţi inversele ma ncelor nesingulare. [ A 2 r i B o o 0 D= 1 0 0 0 1 000 2 1 1 1 2 00 . 0 1 0 1 0 0 0 -1 -1 2 P 13. Demonstraţi că inversa 3 unei matrice simetrice este simetrica. P H. Demonstraţi că (A-1)' L2 = (A')_1 • P 15. Demonstraţi că dacă Z 3 2 E 0 0 este simetrică, şi (BZB') este simetrica. P 16. Demonstraţi că adj (AB) = (adj B) (adj A) ctnd A şi B sînt matrice pătrate nesingulare. P 17. Demonstraţi că P 18. , dA . . — AA-1 dx 1 ------------------ Demonstraţi că P 19. AB dx rfA dB dx dx Demonstraţi că dl A| dx P 20. Arătaţi că da,j ■ • Ojj-i - 7 7 “U + i- • • ai« >=i anl • ■ • ani — l dx anj + l ... a„ P21. Dacă A şi B nu sînt matrice pătrate, este adevărat că AB nu poate fi mciodata egal cu BA? Explicaţi. ^ 70 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE p 33. A esle de ordinul n şi rangul n - 1. Demonstraţi că adj A este de rang 1. P 2:1. Fie V> o matrice diagonală cu elementele diagonalei di{, şi fie A — [°»j 1 0 niatiice pătrată de acelaşi ordin. Arătaţi că: aA r,nd 1) nremultiplică pe A, elementele liniei i a lui A sînt multiplicate de di{. »,) Cînd D postmultiplică pe A, elementele coloanei i a lui A sînt multiplicate de dH. p 24. Demonstraţi că: a) (AB)' = j, 2.5. F e B'A' şi b) (A -r »)' = A' - »'• i a şi II simetrice şi de ordin n. Demonstraţi că a) produsul AII este simetric dacă AB = BA şi b) AB = BA dacă produsul AB este simetric. P 2<>. In produsul matriceal A = BC, A şi C sini matrice nesingulare pătrate. Demonstraţi că B este nesingular. P 27. Folosiţi condensarea pivotală pentru evaluarea determinantului următoarelor matrice : -1 <3 -2 0 3 -1 -2 _4 5 0 6 -1 4 o3 2 4 5 şi B = 0 5 0 0 -3 2 1 0 -3 1 0 5‘ 2 2 3 2 -1 _ 3 3 -4 -1 _2 0■ V * *>8 Pentruun sistem de soluţia aşa cum este dală in (45) va deveni = -A-lCi = n şi matricea A este de rangul r = n - 1 , determinaţi pentru fiecare’din ecuaţii omogene, o expresie variabilele x, in funcţie de x, şi termenii cofactorilor lui A. P 29. Demonstraţi că un determinant este zero dacă şi numai daeă liniile şi coloanele sînt liniar dependente. f’ 30. Verificaţi (42) pentru următorul sistem de ecuaţii xi ■ ]- 2x.2 3x3 — 2 — 3xj — 2 x3 — x3 = —2 x2 4" 2 .t .j P:ll. Rezolvaţi următoarele sisteme de ecuaţii (a) Xj 2 *, ■r - ^ 2 '* ;t ~ (H) 2xj “1 x2 - x2 + x3 =7 1 x„ — 4x, = — 1. (tl) Xj -j- (<•) X'j + x2 — - 1. Xi X, Xj - y- 2x2 3x’j 2xa Xj -f- x2 Xj - 3X2 4 x3 + 4x- 27 3x3 + x3 =7 4^4 + x3 7X3 x4 ■ 9X4 3x„ P 32. Evaluaţi det A prin aplicarea definiţiei unui determinant cînd ' «ii A= «12 «13 a.n «22 «23 - «31 «32 «33 P 33. Arătati că numărul maxim de n-vectori liniar independenţi din setul tuturor n-vectorilor x care satisfac « = A* este egal cu gradul de degenerare al lui PROBLEME P 33. Dacă qP, qQ şi qPQ reprezintă gradul de degenerare al malricelor 1», Q Şi respectiv P(», arătaţi că QQ ^ ÎPQ % °P + lQ' P 35. Arătaţi că determinantul unei matrice, triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale. P 36. Fie. -Vi '12 0 A,s unde A„ şi \iS sînt submatrice pătrate. Arătaţi că det A = (det An)(det A„,) P 37. Găsiţi valorile proprii şi vectorii proprii ai următoarelor matrice : 12 0' •2 1 1' - - 4 2' - (b) (a) .-3 1. 03 0 _3 1 2 ’ (c) 0 3 0 .3 0 4. - «O -3 0 0■ -1 1 3 2 _2 -4 . P 38. Fiecare din următoarele matrice A este similară unei matrice diagonale /\ '1 A= 1 .-3 (a) 1 -3 ‘ 13 . (1.) A = 33. =s ■— 2 1 0 -3 .0 cind '14' ■1 3 -2 ' (a) \ = p excitaţie. .4 -2 0 . (b) A = 0 -3 _ 2 -1 . -1 -1 2(c) A = 0-2 0 . 4 0 -3. 40. O reţea are perechea excitaţie şi răspuns prezentate în i'ig. 1. P 40. Este arătată şi o a doua Dacă reţeaua este liniară şi invariabilă in timp, trasaţi răspunsul pentru această excitaţie. Fia. 1. P. 10. 1~ 0 3 -2 . j2 (<•) A P39. Evaluaţi normele matricelor IIAUp ||A||2, > Găsiţi S în fiecare caz 70 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE P41. Presupunem curentul la ieşirea unei reţele liniare, invariabile în timp şi reciproce, i-mare a unei excitaţii la intrare, aşa cum este arătat in fig. 1. P.41a. Găsiţi curentul iL ca urmare . cînd reţeaua este excitată aşa cum este arătat în Fig.l. P.41b. 1’ 42. Arătaţi că sursa de tensiune comandată arătată în tig. 1. P.42 nu este un element pasiv. Comentaţi sursele dependente şi independente în contextul reţelelor pasive şi active. ■ <P' l 2 "I _u Fig. 1. P. 42. P 43. Arătaţi că un convertor de negativare nu este pasiv. P 44. Stabiliţi ecuaţiile la terminale pentru rz reţelele arătate în tig. 1.P.44. r! a P 45. Reprezentaţi numai cu surse comandate : a) un transformator ideal; b) un girator; c) un convertor de negativare. Fig. 1. P. 44. b ' P 46. Găsiţi relaţiile v — £ la terminalele de intrare ale unui girator, cînd la ieşire se conectează o inductanţă L. Ca o aplicaţie particulară se cere obţinerea unei capacitaţi de 1 0 0 0 [aF. ’ Teoria grafurilor şi ecuaţiile reţelelor (circuitelor) 2.1. MOŢIUNI INTRODUCTIVE .\tunci cînd sint interconectate două sau mai multe dm componentele definite în capitolul precedent se obţine o reţea electrica. (O definiţie mai abstractă se dă în § 2.3). Astfel de reţele acumuleaza energie, disipa energie si transmit semnale de la un punct la altul. O parte componenta a unei reţele care se găseşte între două terminale la care se pot face alte conexiuni se numeşte latură. Atunci cînd două sau mai multe latun sint conectate împreună apare un nod sau o joncţiune. O cale simp a închisă într-o reţea se numeşte buclă. în primul paragraf al acestui capitol se vor prezenta pe scurt o serie de idei cu care cititorul este desigur familiarizat într-o măsura mai mare -au mai mică. Multe din acestea vor fi amplificate succesiv, dar se va face mai întîi o introducere simplă care va servi la concentrarea prezentam asupra unor concepte înaintea tratării lor într-o forma completa. 2.1.1. Teoremele lui Kirchhoff La baza teoriei reţelelor stau cele două teoreme ale lui Kirchhoff care pot fi formulate după cum urmează. ^ Teorema lui Kirchhoff referitoare la curenţi (TKC) stabileşte că in orice reţea electrică suma curenţilor care ies din orice nod este zero in orice moment de timp. Cînd se aplică această teoremă unui nod al unei reţele se obţine o ecuaţie referitoare la curenţii laturilor respective. O atenţie specială trebuie acordată desigur sensului curenţilor. Astfel, în fig.2.1, TKC aplicată nodului A conduce la următoarea ecuaţie : — + i2 — i-2, + U = W Dacă sensul curentului % se alege spre nod, curentul care „iese” din nod prin latui a 1 este — h', similar, curentul care iese prin latura â este — i3. 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 72 Fig. 2.1. Exemplu pentru TKC şi TKT. Teorema lui Kirchhoff referitoare la tensiuni (TKT) stabileşte că în orice reţea electrică, suma tensiunilor pe toate laturile care _ formează o buclă este zero în orice moment de timp. Aplicarea acesţei^ teoreme unei bucle dintr-o reţea electrică conduce la o ecuaţie referitoare la tensiunile de-alungul buclei. în formularea TKC s-au ales în mod arbitrar curenţii care „ies din nod” pentru a fi însumaţi. S-ar fi putut alege tot aşa de bine şi curenţii care „intră în nod”. Tot aşa, aplicînd TKT se poate alege suma tensiunilor într-unul din cele două sensuri posibile de parcurgere a buclei. Astfel, mergînd în sensul acelor de ceasornic pe bucla formată din laturile 7, 2, 5 şi 6 din fig. 1 se obţine ecuaţia . <leC' ta.™i ^-o reţea d— si tensiunea corespunzătoaie. Aceasta p « '< ţ orice caz VOr fi i = 7 ,'i sau o relaţie diferenţiala de tipul v == i in onc^ ^ ^ ^ tot atîtea relaţii cîte laturi sînt, adica l relaţl(!‘. 9U9 J°ţ ,iabile (AŞa cum ecuaţii care leagă Z curenţi ^*Je=â 2 ^^ tatu.* S—J Snd «>«= ‘™‘ «"»“* «* eOTatii lml’re"nă - r Jg. r - « anume TKC TKT şi relaţiile v- i- se obţine un sistem de ecuaţii evite solutnsă 21 este un număr reMiv mare şi este piu Exigtă 0 ţionarea unui sistem cu 1( trei eterne de ecuaţii de bază, serie de căi s i s t e m a T i S m ă Sluţionarea unui număr mai care permit foi mulau aiiern . „ni.agTaf introductiv vom examina mic decit pe scurt trei proce.iee lmtr ind pe ]aecare^ ^ tmghme Reţeaua ■ in sel.ie cu nn iu punte 7.Î 2.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE din fig. 2 . 2 va folosi drept P • 0rieIltarett fiecărei laturi condensatorului „(O) - r. « curentul iniţial prin bobină i2 (0 ) — I0- 2.1.2. Ecuaţiile pe bucle în această SeVSc^ pejbaza 74 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR curenţi ciclici fictivi, circulînd de-a lungul buclelor în concordanţă cu sensul de parcurgere al acestora. Examinînd figura se observă că aceşti curenţi ciclici sînt identici cu curenţii din laturile iv i% şi is. Dacă se aplică buclelor TKT se obţin următoarele ecuaţii: ®i — v0 — vs — % = 0 »2 + vs — v4 = 0 (3) «4 + *5 + V6 = °* Se obţine un sistem de trei ecuaţii cu şase necunoscute, şi se că aceste ecuaţii sînt independente. Introducînd în aceste ecuaţii dintre tensiuni şi curenţi pentru fiecare latură rezultă . 1 f . - R1i1 vg -8 3 ^ 3 * 5 (x)dx ' 5 -o T0 =0 L^+ R3i3- Rj4 = 0 dt ~~ observă relaţiile \ (4) RJi + — ( ib{x)dx + V0 + R6i6 = 0 . C5 Jo Se obţine un sistem de trei ecuaţii cu şase necunoscute, reprezentate de curenţii prin laturi. Urmează să se aplice TKC. Aplicînd TKC nodurilor A, C şi D se obţine iz — ^1 + ii = — is + h ^2 (5) i5 = + i6. Aeeste ecuaţii sînt independente. Seriind ecuaţiile ce rezultă din aplicarea TKC se poate omite pe rînd cîte un nod, obţinîndu-se astfel de fiecare dată ecuaţii independente. Se observă că toţi curenţii prin laturi se exprimă în funcţie de curenţii iv ? 2 şi is care sînt tocmai curenţii 2.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 75 buclelor (ciclici). Cînd se substituie aceste expresii în ecuaţiile (4) se obţine adică un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute, curenţii buclelor repre- zentînd necunoscutele. Atunci cînd sînt scrise în felul acesta se spune că ecuaţiile au forma fi 7 standard. Ele se — Bîi + L2 —- + (B3 + Bi)i2 BAt6 = 0 dt numesc ecuaţiile pe bucle. Dacă în structura lor apar atît integrale cît şi derivate, ele se numesc ecuaţii integrodiferenţiale. Odată soluţionate ecuaţiile pe bucle, ceilalţi curenţi pot fi determinaţi din relaţiile (5). Să revenim acum asupra procedeului de scriere a ecuaţiilor pe bucle. Primul pas constă în scrierea unui sistem de ecuaţii independente pentru tensiunile pe laturi pe baza TKT. Se substituie apoi în aceste_ ecuaţii relaţiile dintre tensiuni şi curenţi, obţinîndu-se un sistem de ecuaţii pentru curenţi. Se exprimă apoi curenţii prin laturi în funcţie de curenţii buclelor obţinîndu-se un sistem de ecuaţii integrodiferenţiale avînd drept necunoscute curenţii buclelor. 2.1.3. Ecuaţiile pe noduri Presupunem acum că schimbăm ordinea în care se fac paşii din cazul precedent. Presupunem că se scriu mai întîi ecuaţiile pe baza TKC ca în (5); apoi se introduc relaţiile dintre tensiuni şi curenţi. Se obţine : adică un sistem de trei necunoscute reprezentând s-au scris ecuaţiile pe baza Presupunem că nodul B referinţă în raport cu care tuturor celorlalte noduri. ecuaţii cu şase tensiunile pe laturi. Cînd n°dul a omisTKC se alege ca nod de se măsoară tensiunile Aceste tensiuni se vor 76 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR numi tensiunile nodurilor. în fig. 2 . 2 tensiunile nodurilor sînt vAB , vCB şi vm. Toate tensiunile pe laturi pot fi exprimate prin tensiunile nodurilor âplieînd TKT. Rezultă. V 1 — V DB V V2 = VAB v3 — — VAB AB + Vg — VCB Vt = ~ VCB r5 = V t'e = V DB i"1) CB VDB ■ Cînd aceste expresii se introduc în relaţiile (6 ) se obţine lr* (Gi “(*■ G3)v AB H ----\ vAB dx L2 Jo 1 r1 —— \ vCB dx -^2 ■'o G±vDS —iLf viB da; -f ( ( ? 4 -f- G6)vcb + —— \ vCB dx — G5vdb = I0 (8 ) I J - va / 0 2 Jo ‘ 2 Jo Hv Gj!0iB - G6VCB + C5—22- + (G1 + G6)vDB = - GjV, . ' dt Aceste ecuaţii se numesc ecuaţiile pe noduri. Ca şi ecuaţiile pe bucle, ele sînt nişte relaţii integrodiferenţiale. Odată soluţionate aceste ecuaţii pentru tensiunile nodurilor vAB, vCB şi vDB toate tensiunile pe laturi sînt cunoscute fiind calculate din relaţiile (7). Reeapitulînd, primul pas în scrierea ecuaţiilor pe noduri îl reprezintă scrierea ecuaţiilor ce rezultă din TKC pentru toate nodurile reţelei mai puţin unul. Acest nod particular este ales drept nod de referinţă şi tensiunile nodurilor sînt definite ca tensiunile acestor noduri în raport cu noiul de referinţă. Relaţiile dintre tensiuni şi curenţi se introduc în ecuaţiile scrise pe baza TKC obţinîndu-se un sistem de ecuaţii pentru tensiunile pe laturi. Tensiunile pe laturi se exprimă apoi în funcţie de tensiunile nodurilor. Aşa dar, ordinea în care se scriu TKC, TKT şi relaţii!» tensiune—curent în cazul ecuaţiilor pe noduri este inversă faţă de cazul ecuaţiilor pe bucle. 2.1.4. Ecuaţiile de stare — sistem mixt de eeuaţii Prezenţa integralelor unor mărimi necunoscute în ecuaţiile pe bucle sau pe noduri conduce la dificultăţi în soluţionarea lor. Astfel de integrale pot fi desigur eliminate prin derivarea ecuaţiilor respective, dar acest procedeu face să crească ordinul ecuaţiilor. De aceea este mai bine să se evite prezenţa integralei. 2 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE n - mvavp n inte°rală în ecuaţiile pe bucle în cazul cle faţă se Î^Jele îîmii' condensator este eliminată din atunci cînd tensiunearelaţiei tensiune-curent ecuaţia scrisa pe baza TK P păstrează ca variabile in sistemul Aceste integrale m. Tor ^ bobine. £ de ecuaţii tensiunile pe co < ‘ . \ pcn-itiile (3) eliminînd Avind în vedere M« obiertvvş * S"SatorV«, folos.nd tensiunile tuturor latll'^r* ^Q^ ece relaţia tensiune-curent pentru conadăugată sistemului t„rmat dm celelalte ecuaţii. Pe obţine — vg ~ L^ + R3i3 - RtU = Vă — 0 ^ dt (9) dt „dică un sisten, de patru ecua(ii ;e noi folosi ecuaţiile obţinute pe baza 1 Kt pentiu Prin substituţie din (5) în (9) se obţu • (Ih= - (Jf3 + RA)i- 2 + Ra*i + L.2 dt cJ^ = - H + i« 5 dt o = v5 + RZH - iEi + R^tl o = % — iî Jr (R4 + R6)h #2 Acesta este un sistem de Pa*™ ®^|. s.a produs o complicaţie prin fi soluţionat uşor. Dar rarnrne s ^.ebuie solutionate simultan. Totuşi mărirea numărului de ecuaţ ^ s'mt ecuaţii algebrice; se observă că ultimele doua ecuaţii dmâces dintre ele se poate SJgJTMi W eu iar «pres.i.e respect.ve se introduc în celelalte două ecuaţii. Rezultatul acestor operaţii este 78 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR L2^ = - (R3 + RJi, ■' R (v5 + R3i2 -f vg) dt R1 + R3 R* (R*h - i'o) 1 R'i ^ 6 C5 = dt dv, (% + R3i2 + + R1 -(- R care se pot scrie di R, — R. - (Rih~VrJ — ai.2 — bv5 -r cvg dt di2 + ev5 + fvg dv. sau, sub formă matriceală dt d ii a b' Z \ + W " d e_ dt unde a= (- ■®3 -®4 “T 1 _ f *1 -^2 (10) R/ + 4 r Ji6 1 R, + l Rl H ( Rş _________________ Rj 'j ( R1 + R3 RA + R6 ) Rq + R* i ( R* R3 \ C5 V i? 4 + R6 RX + R3) Os U2 e= f + R3 R. + R, ^s(-®i + ^3) 79 2.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE -rHSrSSStSvSS I£i?a»^jrî^ss2^J3 5£«te^ 5^^BJ3!?^S3^S » s SM*S*«KSrSMSÎ şi curenţii prin « r r •&»de ~ alseb|,i“ şi nu diferenţială. 2.1.5. Soluţiile ccuaţiilor Ş^s^SSS£SS?SS formatei Laplace în Anexa 3. w „ T„niopp M în metoda transformatei Laplace se aplica transformata Laplace sistemului de ecuaţii diferenţiale obţinîndu-se un sistem de ecuaţii algebrice în vîabila complexă s. Se soluţionează acest sistem de ecua n algebrice în raport cu imaginile operaţionale ale «Me^ e*iep • curenţii buclelor, tensiunile nodurilor sau variabilele de staie■ P s^pM Tanrfoî-marea inversă. Se obţin astfel solnţnle ea funeţ» de timn încetând de la momentul iniţial t0 = °. . în structura soluţiei intervin contribuţiile a două categorii de mari ii . sursele le semnale de excitaţie şi condiţiile iniţiale. Condiţiile iniţiale reprezintă valorile tensiunilor la bornele condensatoarelor şi prin bobine imediat după t0. Principiile continuităţii e " îi a fluxului magnetic impun constrîngen pentru variaţia m t p tensiunilor pe condensatoare şi a curenţilor prin bobine ce servesc la determinarea valorilor acestora imediat ulterioare lui f. f 81) 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR din valorile lor imediat anterioare lui / 0 J). Reţeaua se numeşte iniţial relaxată dacă tensiunile la bornele condensatoarelor şi curenţii prin bobine sînt iniţial zero. Pentru concretizare se va continua prezentarea cu soluţionarea ecuaţiilor de stare ( 1 0 ) corespunzătoare reţelei din fig. 2 . 2 ca exemplu. Aplicînd transformata Laplace acestor ecuaţii, se obţine : (s — a)I2(s) — bV5 (s) = cYg (s) + I0 dl2(s) + (s — e)V5{s) =fVg(s) + V0, (12) unde J0 şi F0 sînt valorile iniţiale. Aceste ecuaţii pot fi soluţionate în raport cu I2(s) sau F5 (s). Pentru I2(s) se găseşte : c(s — e) + hf Tţ , , (s — e)I0 + bV0 l2(s) (13) unde A = s2 — (a -f e)s + ae — bă este determinantul sistemului de ecuaţii. Contribuţiile sursei de semnal şi ale condiţiilor iniţiale sînt puse clar în evidenţă. Din nou pentru a concretiza, presupunem că V (t) = sin, t sau Ya (s) = ' ' s2 + 1 — Şl (14) A = (* + 2)(* +3) iar condiţiile iniţiale sînt astfel încît ■s2 • « -• 1 ___________ W _ 6 (*2 + l)(s+2)(*+3) Se obţine : i2 ( 0 = -2 ’"1 [J2 (*)] =' 10\# + 2 1 s +3 (8 + 1 1 0 (15) \s2+l (16) *) Pentru o analiză detaliată a condiţiilor iniţiale, se poate consulta lucrarea : S. Seshu ţi N. Balabanian, Linear NetWork Analysis, John-Wiley & Sons, Inc., New York, 1959, 81 2.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Dezvoltarea lui «») in elemente simple inine în Dintre aceşti poli mm -termenul al doilea d (O reprezmtă tel or de curent alternativ în electiotehnica. 3. Denumirile corespunzătoare sînt . Soluţia particulară şi soluţia ecuaţiei omogene; ■> Răspuns fortat şi răspuns liber; 3- K?fiSrrSoî,,î1 sS SuJSrl»» co denumirile de „regim liobabil ca cimo _ este sinusoidal, Srfi-SîBîS'îSi termeni dispai odata cu timpu , P semIMl„l aplicat Ăppet fnnt este legat MMÎWSS simple a răspunsului şi astfel laspunsul va conţine teime P rliu aceşti noii \cesti termeni constituie răspunsul foiţat. Ca forma e S-SêTL^T de excitaţie. Ceilalţi termeni mg£~Bg* natural sau liber. Ei sînt prezenţi m structura soluţiei (cu (lne, iî f SKentUde forma funcţiei de esdtaţie şi chiar daca nu I„ exemplul anterior exponenţi, din tţymwl ^”Ş'A ar creşte nemărginit odată cu timpul m loc s - defini o O S EÎ reţea sSngf S se exclud din ^lasa reţelelor stabile '"‘'si driin^Lm» cto diversei'. Ze deXp^muri. m»puml c»»î>« al r^lei constă din două părţi: răspunsul /..« f sau liber. Răspunsul forţat constă dm toţi termenii la care contribuie, ^ Definiţia este aolicabilă sistemelor liniare, staţionare şi cu constante concentrate- O definiţie, mai generală şi mai precisă a stabilităţii va fi dată în capitolele urmatoare. 6 - C. 851 polii funcţiei de excitaţie, în timp ce răspunsul liber constă din toţi termenii la care contribuie frecvenţele naturale (zerourile lui A(s)). Bacă funcţia de excitaţie este periodică, răspunsul forţat se mai numeşte şi regim permanent. Dacă nu există frecvenţe naturale pe axa imaginară răspunsul liber se mai numeşte şi regim tranzitoriu. 82 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 2.2. GRAFURI LINIARE Aşa cum s-a arătat succint în paragraful anterior, la baza teoriei reţelelor se află cele două teoreme ale lui Kirchhoff şi relaţiile tensiune- curent corespunzătoare elementelor din care este formată reţeaua. Cele două teoreme ale lui Kirchhoff exprimă constr îngerile la care sînt supuşi curenţii şi tensiunile corespunzătoare elementelor reţelei prin însăşi aranjarea lor într-o structură. Topologia reţelei este o denumire generică care se referă la toate proprietăţile ce decurg din structura sau geometria reţelei. Proprietăţile topologice ale unei reţele sînt independente de tipul componentelor ce constituie laturile. De aceea este convenabil să se înlocuiască fiecare element al reţelei prîntr-o simplă linie fără să ne referim în mod special la un anume element. Structura care rezultă constă din noduri interconectate prin segmente de linie. Sîntem conduşi astfel la o ramură a matematicii, numită teoria grafurilor liniare, care se ocupă tocmai cu studiul unor asemenea structuri. Vom începe un detaliat studiu al analizei reţelelor concentrîndu-ne atenţia mai întîi asupra grafurilor liniare şi a proprietăţilor lor care prezintă importanţă pentru acest studiu. Prezentarea grafurilor liniare nu va fi exhaustivă şi va fi necesar să examinăm succint definiţiile unor termeni fără să motivăm necesitatea introducerii lor. Definiţii introductive Un graf liniar este definit ca o mulţime de puncte, numite noduri, şi de segmente numite laturi, nodurile fiind unite prin laturi. Uneori este convenabil să considerăm nodurile de la capetele unei laturi ea fă- cînd parte din latura respectivă. Alteori este mai convenabil să considerăm nodurile de sine stătătoare şi detaşate de laturi. O corespondenţă între o reţea şi un graf liniar se poate face imediat. Astfel graful corespunzător reţelei din fig. 2.3a este dat în fig. 2.36. Nodurile şi laturile sînt numerotate. în cele ce urmează vom utiliza acest- graf pentru a face unele observaţii ce se pretează la generalizări. De asemenea, proprietăţile ce vor fi definite vor fi ilustrate pe acest graf ca un exemplu. 2.2. GRAFURI LINIARE Laturile care intră sau ies dintr-un nod se numesc incidente la nodul „ ac+fpl laturile 2 4 si o sînt incidente la nodul 2. rebP Fiecare latură a grafulAi dat ca exemplu poartă cîte o săgeata care caracterizate prin cîte o tensiune şi un curent, fiecare din ele cu o anu Fig. 2.3. Reţea electrică (a) şi graful corespunzător (b). mită orientare Pentiu a pune în corespondenţă orientarea acestora, cu orientarea laturilor grafului vom face convenţia fiecărui element să aibă o orientare standard, ,,plUk > n pSa coada săgeţii care indica »l area laturii grafului va coincide cu sensul curentului Desi^r, prop tătile «raiului nu au nimic comun cu convenţiile î eterîtoai e ra re ’ Un subgraf este o submulţime de laturi şi n()<^” ^ ^f^Murile graful se numeşte propriu (propnu-sis) daca nu c ţ si toate nodurile grafului. , ’ O cale este un subgraf particular care consta dintr-o secvenţa ordo nată de laturi cu următoarele proprietăţi: 1 . Cu excepţia a două, toate celelalte noduri numite noduri interne au cîte două laturi incidente. . 2 . Celelalte două noduri numite noduri terminale au incidenţa cit o singură latură a subgrafului. T 3 . Nici un subgraf propriu al acestui subgraf cu aceleaşi nodun terminale nu are proprietăţile 1 şi 2 . ^ , i . In exemplul dat anterior, laturile 2, 5 ş. <6 >impreuna ™ rilp pnnstituie o cale Nodurile terminale sint 1 şi 3 iar nodurile mteine stat 2 “i l Din cele trei laturi incidente la nodul 2 numai doua, adică 2 si 5, fac parte din subgraf. . _ , a ’ Un graf este conex dacă există cel puţin o reţele de noduri. Graful dat ca exemplu este conex. Graful asociat unei reţe ce conţine un transformator poate sa nu fie conex. 84 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR O buclă este un subgraf conex particular al grafului în care la fiecare nod sînt incidente cîte două laturi ale subgrafului. Astfel, dacă cele două noduri terminale ale unei căi sînt făcute să coincidă, se obţine o buclă (care poate fi numită o cale închisă). în graful dat ca exemplu, laturile 4, 5 şi 6 împreună cu nodurile 2, 3 şi 4 constituie o buclă. Pentru a determina o buclă pot fi specificate fie laturile fie nodurile care intervin. Astfel, în exemplul anterior, pentru a determina bucla respectivă este suficient să se specifice fie mulţimea laturilor {4, -5, 6}, fie mulţimea noduiilor {2, 3, 4}. ’ ’ 3 Fig. 2.4. Doi arbori din structura unui graf. Un arbore este un subgraf conex al unui graf conex care conţine toate nodurile grafului dar nu conţine bucle. Pentru a determina un arbore este suficient să se specifice laturile sale. în graful dat ca exemplu, laturile 2, 4 şi o formează un arbore. Conceptul de arbore este un concept cheie al teoriei grafelor. Laturile care intervin în structura unui arbore se numesc ramuri; laturile care nu intervin în structura arborelui se numesc joncţiuni. Acestea din urmă, luate împreună formează complementul arborelui sau coarborele. Această partiţie a laturilor unui graf nu este unică. în fig. 2.4 se dau doi arbori pentru graful din fig. 2.3. în primul caz laturile 2, 4 şi 5 sînt ramuri iar 1, 3 şi 6 joncţiuni. în cel de-al doilea latura 2 este tot o ramură iar laturile 3 şi 6 care erau mai înainte joncţiuni au devenit acum ramuri. Dacă o latură particulară a unui graf este ramură sau joncţiune nu se poate preciza în mod unic de la bun început; această precizare devine posibilă numai după ce s-a specificat nn anumit arbore. Fiecare arbore din fig. 2.4 are o anumită structură. în arborele din fig. 2Aa toate ramurile sînt incidente la un nod comun. Un astfel de arbore se numeşte arbore în formă de stea sau pe scurt arbore stelat. în arborele din fig. 2Ab nodurile pot fi ordonate astfel încît arborele să prezinte o singură cale începînd de la primul nod şi terminînd cu ultimul. Un astfel de arbore se numeşte arbore liniar. într-un arbore liniar există numai două noduri terminale în timp ce într-un arbore stelat, cu excepţia unui nod, toate celelalte noduri sînt noduri terminale. ««rfWI hfrte f-W** Ac"5 t°re.SS mai mic decit m™ » ™ 1 .„tf,/pentru un graf cu două noduri mai mic decit numărul uodu. lor « , ,lo(lS noduri * P<®“» demonstra p r i n V S r m a M a Interioară este ade- numărul ramurilor este l Prosupu înseamnă că numărul ramuvărată pentru un graf cu k ; a ^ rilor este fc - 1. Consideram acum tur gi^FxStă cel puţin un nod al aces- fixăm atenţia asupra unui arbore caz contrar două sau t„i arbore la care ceea ce este imposibil mai multe ramuri ar fiinculente Li buelc în structura deoarece aceasta situaţie ar m p ^ P^. ranlură incidenţă şi obţinem arborelui). Eliminam nodu ' | , _ are 1 ramUri. Intro- 85 2.2. GRAFURI LINIARE arboreiui). iluminam v lntroun arbore eu /.' noduri. Prin ipoteza a ■ ■ dircind nodul eliminat împreuna ° „re & _ i ramuri, corespunzătoare se obţine numărul nodu- SÎ « «— ^ l'raiD:?ă0 gra™ilfn,reSte cone,, — pentru nn graf conex este numit D»e» , + 1 r^Saf c^ûterior pentru un graf conex. Complementul unei păduri este o copadu . Matricea de incidenţa .jsqFTOS&S&gSE â-SSisil;H=-.S#-SK:= tare a acestor i^matli 'f avînd valorile elementelor : „ = i dacă latura j este incidenţă la nodul i şi iese din nod ; au = - 1 dacă latura j este incidenţă la nodul i şi intră in nod; au = 0 dacă latura j nu este incidenţă la nodul /. Indicele « la Affl se pune pentru a semnifica toate nodurile. mmp,m te <*t; sartKîS •86 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR De exemplu, pentru graful din fig. 2.3, matricea completă de incidenţă este noduri latui 1 2 3 i— > 4 1 ■—1 1 1 0 0 0- 2 0 0 -1 0 0 a =3 0 0 1 0 1 4 1 0 —1 - —1 0 0 5 6 -1 —1 în acest exemplu se observă că în fiecare coloană apar o singură dată atît +1 cît şi —1 . Aceasta este o proprietate generală pentru orice graf liniar deoarece fiecare latură este incidenţă la numai două noduri şi orientată de la unul la altul. Dacă se adună toate celelalte linii la ultima linie se obţine o linie avînd numai zerouri, ceea ce arată că liniile nu sînt toate independente. Cel puţin una din ele poate fi eliminată, ea fiind suma cu semn schimbat a celorlalte. Aşa dar rangul matricei A0 nu poate fi mai mare decît (n + 1 ) — 1 = n. Matricea obţinută din Aa prin eliminarea unei linii se numeşte matricea de incidenţă şi se notează prin A. (Pentru accentuare ea se numeşte uneori matricea redusă de incidenţă). Ea este de dimensiuni n x l. Vom calcula acum rangul matricei A şi vom arăta cum se obţin submatricele sale nesingulare. ’ Pentru un graf dat se selectează un arbore. în matricea de incidenţă se aranjează coloanele astfel încît primele n coloane să corespundă ramurilor arborelui ales iar ultimele l — n coloane să corespundă joncţiunilor. Pentru graful dat ca exemplu, fie A matricea obţinută din (17) prin eliminarea ultimei linii. Se selectează arborele din fig. 2 .4 a. Atunci matricea A devine ramuri joncţiuni 13 6 1 0 -1 -1 0 10 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 în general se poate face o partiţie a matricei A sub forma A = [A, A,]. (18) 1 (19) 87 2.2. GRAFURI LINIARE -o»)*csrcod Ioane corespund joncţiuniloi. în exemplul dat 1 A, Determinantul acestei «s ^ VZlîl ZZ« 0 0 = -1 -1 1 0 10 matrice este egal cu — 1, astfelp J®1* “ «e£i; «»«>' *•» «* comuni Demonstraţie. Fie un grat conex şi jY iT Se^re8 ôJSrice°pătotTde ordinul n, ale cărei coloane ramura incidenţa la nolul coi i A« corespunzătoare aceste! iammi co ;ai ^ singur element diferit ^^ (,)i:act011ll sllliiillllils nantul sau este egal cu pim> nnntirmă o matrice asociată de ordinul » - 2 Şe fontmua “e“ acest rationament nlti. rln/ie s-a stabilit nu numai ca det A, este diferit ae zei° n(Jnareoe t este ne ingulară - dar s-a găsit şi valoarea sa care este ±1. Deoarece o submatrice de ordinul n a matricei Aa este nesmgulara rezulta ca Aa este de rang n. £-3±î*^-ttwsss* fnaH-e util Reciproca este deasemenea adevărată. •88 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR a matricei A corespunde unui arbore, tot ce trebuie să facem este să numărăm cîte astfel de submatrice nesingulare există. Aceasta implică evaluarea determinanţilor tuturor submatricelor n X n ale matricei A, ceea ce este foarte obositor. Problema poate fi simplificată utilizînd teorema Binet-Cauchy care a fost prezentată în Cap. 1. în conformitate cu această teoremă def ( \ A ' ) = V i (produsele corespunzătoare determinanţilor principali din A şi A ' ) (20) = 5j (toţi determinanţii principali nenuli din A ) 2 = numărul arborilor. A doua egalitate rezultă din faptul că o submatrice nesingulară a matricei A' are acelaşi determinant ca şi submatricea corespunzătoare din A . Deoarece fiecare determinant principal nenul are valoarea ±1, şi sînt atîţia determinanţi principali nenuli cîţi arbori sînt, rezultă a treia egalitate. Astfel, pentru a găsi numărul arborilor unui graf este necesar numai să se evalueze det (AA’). Pentru exemplul din fig. 2.3, matricea de incidenţă este dată de relaţia (18). Deci numărul arborilor va fi 1 — 1 o' 10 0 - 1 1 0 det (AA') = det 0 0 0 - 1 0 1 0 — 1 1 o- 1 1 -1 -1 o - 1 0 1 o - o o 1 0 —1 1 0 1 1 o -1 -1 3 ' 3 —1' C O 1 . - 1 3. '—1 —1 ' + ■ - 1 3 - . - 1 —1 det Dîndu-se un graf se poate scrie uşor matricea de incidenţă. Problema poate fi formulată adesea şi = 16. invers : dîndu-se o matrice de incidenţă (sau matricea completă de incidenţă) să se traseze graful. în sens abstract matricea de incidenţă defineşte graful. Ea este o reprezentare a grafului, 89 2.2. GRAFURI LINIARE in timp ce desenînd liniile ce unesc Se doreşte să se obţină cea de u (1() p este foarte simplu. Dîndu-se muncea' de noduri egal cu numărul de lin Se iau apoi coloanele pe nnd. mente nenule ; se traseaza o ûia _ pund elementelor nenule din coloana un singur element nenul, latura se traseaza mtie no hirtie un număr ^ nod suplimentar, coioană apar cel mult două elecele două noduri care cores- - Dacă pe 0 coloană apare f d l corespunzător i ă 0 Fig. 2.5. Grafuri izomorfe. liniei respective ,i nodul suplimentar Orientările laturilor sînt determina,te de semnele elementelor respect,ve Pentru a ilustra cele de mai sus, •1 1 0 0 fie o 0 0—11 o 0 0 —1 1 1 : 0 I o o 0 o 0—11 ,U incidenţă. 0 —1 ' 1 o 0 1 1 „oirfoT/n tric-ea dată. matncea g,3nri“u ^ izomorfe dacă ele an aceeaşi matrice S," 1» aceeaşi matrice de o o o 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 90 Matricea buclelor Matricea de incidenţă furnizează informaţii asupra incidenţei laturilor la noduri dar nu arată cum laturile formează bucle. Această informaţie se poate da convenabil tot sub formă matriceală. în acest scop vom înzestra mai întîi fiecare buclă a grafului cu o orientare care este dată prin ordonarea ciclică a nodurilor. Această ordine se indică uşor printr-o săgeată curbată, ca în fig. 2 . 6 unde se arată ordinea pentru două bucle. 3 3 Fig. 2.6. Orientarea buclelor. V Pentru a evita încărcarea desenului, uneori se dau pur şi simplu listele ordonate ale nodurilor ce intervin în buclele respective. Pentru cele două bucle din fig. 2.6 aceste liste vor fi {1, 3, 2} şi {1, 2, 3, 4}. Pentru un graf cu n — 1 noduri şi l laturi, matricea completă a buclelor (denumită uneori şi matricea completă a ciclurilor) B„ = [bi}] este o matrice dreptunghiulară cu l coloane şi atîtea linii cîte bucle sînt : elementele ei au următoarele valori: bu = 1 dacă latura j face parte dinbucla i şi orientările lor coincid ; bi} = — 1 dacă latura j face parte din bucla i şi orientările lor nu coincid; b.. = 0 dacă latura j nu face parte din bucla i. Indicele a la B„ se pune din nou pentru a semnifica toate buclele. Spre deosebire de cazul matricei complete de incidenţă (unde numărul liniilor era egal cu numărul nodurilor grafului), numărul de linii din matricea Ba nu se exprimă simplu în funcţie de n şi l. De exemplu, în fig. 2 . 6 apar şapte bucle specificate prin nodurile : bucla 1 : {1, 3, 2} bucla 4 : {1, 3, 4} bucla 2 : {1, 2, 4} bucla 5 : {1, 2, 3, 4} bucla 7 : {3, 2, 4, 1} bucla 3 : {2, 3, 4} bucla 6 : {1, 2, 4, 3} 91 2.2. GRAFURI LINIARE Matricea buclelor va fi deci bucle laturi 1 2 3 4 5 6 1 0 -1 1 1 0 0' 2 1 1 0 0 1 0 3 0 0 0 - -1 1 1 4 1 0 1 0 0 1 5 1 1 0 - -1 0 1 6 0 1 0 1 —1 7 .1 0 1 1 0 — 1 1 — (21) Mulţimea tuturor buclelor dintr-un graf este destul de cuprinzătoare, sSS^ssBftMJstrasa Prin reintroducerea fiecărei joncţiuni se va foi-na Această vor numi bucle fundamentate, sau/-bilele pe scuit. . joncţiunii fundamentale si alege astfel incit sa comoda cu onentoea jonopjm care o defineşte. Numărul buclelor “!f acei mimă este joncţiunilor; într-un graf cu l laturi şi n + l nodmi acest numai e,.i ' " De exemplu, fie arborele din fig. 2.45. Buclele se obţin prin introducerea joncţiunilor pe nnd una. ^ rientru buclele în fig. 2.7 (observaţi orientările). Scriind matricea bucleloi pentiu bucieie Fi°. 2.7. Bucle fundamentale. •92 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 93 2.2. GRAFURI LINIARE fundamentale se vor aranja coloanele în aceeaşi ordine ca şi pentru matricea de incidenţă redusă pentru acelaşi arbore; aşa dar se scriu mai întîi ramurile şi apoi joncţiunile. De asemenea, se dispun buclele în aceeaşi ordine ca şi coloanele joncţiunilor respective. Matricea buclelor fundamentale va fi ramuri joncţiuni 2 3 6 1 4 5 0 1 1 1 0 0 —1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 —1 —1 Indicele / se pune la B, pentru a semnifica buclele fundamentale. Matricea pătrată formată de ultimele trei coloane corespunzătoare joncţiunilor este o matrice unitate; deci ea este nesingulară şi rangul matricei este egal în acest exemplu cu numărul joncţiunilor adică I — n. în general, matricea /-buclelor unui graf arbitrar conex poate fi scrisă sub forma B, = [B< BJ = [B, U], (23) Matricea pătrată de dimensiuni (l — n) X (l — n) ale cărei coloane corespund joncţiunilor unui arbore particular va fi o matrice unitate datorită modului în care s-a obţinut. Aşa dar rangul matricei B; va fi l — n. Deoarece matricea buclelor fundamentale este o submatrice a matricei tuturor buclelor, rangul matricei I>„ nu poate fi mai mic decît rangul matricei B, care este l — n. Vom arăta în cele ce urmează că rangul matricei B„ nu este mai mare ca 1 — n şi deci el este tocmai I — n. Pentru a face aceasta vom folosi un rezultat care este de o mare importanţă prin el însuşi. Fie un graf pentru care coloanele matricelor A„ şi B a sînt aranjate în aceeaşi ordine. în acest caz au loc relaţiile AaB(; = 0 (24) BflA' = 0 . (25) Şi A doua relaţie rezultă din prima deoarece B„A' = (AaB')'. Relaţiile (24) şi (25) se numesc relaţii de ortogonalitate şi se demonstrează în cele ce urmează. Fi°. 2.7. Bucle fundamentale. 2.2. GRAFURI LINIARE Mati'ieele A„ şi sînt de forma bucle - noduri 1 2 ... I laturi 1 -■ ■l 2 1 b;= 2 A. i L ii Să ne concentrăm atenţia asupra unei PiglSIlHSâES ş^âfesssstissîa '£KSBS3!aS«raS5ŞŞ A0 corespunzătoare celor două laturi sintainbclc^ saiyunbe e^^, cele două elemente din coloana corespunzatoaie a lu ,, Teorema opuse şi invers.Cînd se calculează produsul, rezultatul este zei o. Teorema Cu*2 !iuToru^rezidtatului precedent se poate acum determina rangul matricei ÎT folosind twrenia de anulare a lui Sylvester care a fost exa- lîîhvitr! i n Vanitoliil 1 în conformitate cu această teorema, daca piodusul a două matrice este nul, suma rangurilor celorn ^^^ţ^caJul depăşeşte numărul coloanelor din prima matrice a p ^ dffa’ţă, numărul coloanelor este egal cu numaud al at Deoarece rangul unei matrice este egal cu ian&ul mati t 1 > 6Ste (rang AJ + (rang B„) < l. Rangul matricei A0 s-a găsit anterior şi este n. Deci (rang BJ < (l — «)• < { l - n). ,,cll Dar s-a 0.M (27^ stabilit anterior că rangul lui Ba nu este mai mic decit, 1 -- n iar acum s-a stabilit că nu este mai mare decît l - », deci rangul matncei este tocmai l — n. •94 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR Observăm că eliminarea unui număr de linii din A0 sau a unui număr de coloane din Ba nu face inaplicabile relaţiile (26) şi (27). Fie B o submatrice oarecare din Ba avînd 1 — n linii şi rangul l — n. (O astfel de matrice este matricea buclelor fundamentale B;). In acest caz relaţiile de ortogonalitate se pot scrie AB' = 0, BA' = 0. 2.2.4. (28) Relaţii între subniatricele din A şi B Presupunem că se aranjează coloanele matricei B aşa cum s-au aranjat anterior şi coloanele matricei A, adică începînd cu ramurile unui arbore şi terminînd cu joncţiunile. Se poate face atunci o partiţie a matricei B sub forma B = [B, B.] (29) unde B; este o matrice pătrată de ordinul l — n. (Dacă B este matricea buclelor fundamentale atunci B, este o matrice unitate, ca în (23)). Vom arăta acum că procedînd la partiţia matricei B aşa cum s-a arătat, submatricea B0 ale cărei coloane reprezintă joncţiunile unui arbore, va fi nesingulară. Pentru demonstraţie se face o partiţie a matricei A ca în (19) şi se foloseşte relaţia (28) care se scrie B; ;_ A(Bt + A,B, — 0. AB' = [A, A,] (30) LB Deoarece A( este nesingulară, B? = - Ar1 AjB; sau B( = — B,(A( _ 1 A,)'. (31) în final, matricea B devine B = [—B; (A, - 1 A;)' B(] = B([ - (A, - 1 A,)' U], Acum se va aplica acelaşi procedeu plecînd de la relaţia de această dată pentru matricea B, a buclelor fundamentale arbore dat, cu o partiţie a matricei By de forma B, = [B/( U], (32) (30) dar pentru un (33) 95 2.2. GRAFURI LINIARE unde s-a introdus indicele/la B/( pentru a evita confuzii. Lăsînd detaliile de calcul pe seama cititorului, se obţine B, = [-(AÂ,)' U]- (34) Prin comparaţia acestei relaţii cu relaţia (32) rezultă B = B( By sau By = Bf1 B. (35> Deoarece atît B cit şi B; sînt de rang l - n, matricea B, trebuie să fie nesingulară. Aceasta rezultă din relaţia (52) din capitolul 1. Afi maţia este astfel demonstrată. ^ Reciproca este de asemenea adevarata; adica, daca setace o pa titip a matricei buclelor B în doua submatrice ca m (29), dmtie care una ordin l - «, coloanele acestei matrice vor corespunde joncţiunilor unui arbore. Demonstraţia se lasa pe seama citito' 1 UlU1 D<ieM0 mISeabBl din (3 5 ) este nesingulară, matricele B şi B, sînt matrice echivalente. (Pentru prezentarea mati Deci, liniile din B sînt combinaţii liniare ale lmiiloi ^ ’ t O serie de rezultate se mai obţin rezolvmd ecuaţia (30) in rapo t cu A;. Deoarece B ( este o matrice nesingulară, se obţine A, = - Aj B(' (Bî) " 1 = - A( B(' (Br1)' = - A, (Br1 b,)'. (36> Ultima egalitate rezultă din faptul că transpusa unui produs este nrodusul transpuselor în ordine inversă. Egalitatea precedenta rezulta din faptul că operaţiile de transpunere şi de inversare smt comutatn în cazul unei matrice nesingulare. nnrtitia maŢinînd seama de rezultatul precedent, se poate face paitiţia n a tricei’ A sub forma A = At[U-(Bf1 Bl)']. (37> Comparînd cu relaţia (32) se vede că apare o formă similară cu matricea buclelor. 2.2.5. Mulţimea secţiunilor şi matricea secţiunilor Tu exemplul din fig. 2.3 presupunem că, laturile 1 şi 5 au fost eliminate. Graful rezultat este prezentat în fig. 2 .8 a. (Prin „elmiinarea unei laturi înţelegem întreruperea ei, adica ’^schiderea circu t lăsînd intacte nodurile la care ea este incidenţa). Giaful a lamas mea un o-raf conex. Dacă se elimină acum şi laturile 3 şi 4, graful reû^ este reprezentat în fig. 2.8b. Graful nu mai este acum convex : el a fost sectionat” în două părţi. Aceasta conduce la noţiunea de mulţime a secţiunilor, care se defineşte după cum urmează : O mulţime de secţiuni 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 96 este o mulţime de laturi ale unui graf conex a căror eliminare conduce la separarea ’grafului în două subgrafuri conexe, cu precizarea că eliminarea oricărei submulţimi de laturi din mulţimea secţiunilor lasă giaful conex. în graful dat ea exemplu, mulţimea secţiunilor este {1, 3, 4, 5}. Mulţimea {1,2,3} reprezintă de asemenea o mulţime de secţiuni. (Un nod izolat, care apare în acest caz, este considerat ca „o parte’ din graf), în schimb mulţimea {1 , 2 , 3 , 6 } nu reprezintă o mulţime de secţiuni. Fig. 2.8. Eliminarea unor laturi dinlr-un graf. deşi graful este separat în două părţi, deoarece eliminarea laturilor din submulţimea { 1 , 2 , 3 } nu conduce la un graf conex. Mulţimea secţiunilor face o partiţie a nodurilor în două grupe, corespunzătoare celor două părţi ale grafului. Fiecare latură din mulţimea secţiunilor este incidenţă la unnod dintr-un grup şi la un nod clin cclălăit grup.Orientarea mulţimii secţiunilor se face alegînd sensul de la o parte a grafului spre alta. Orientarea se poate indica pe graf ca m fig. 2.8c. Orientarea laturilor din mulţimea secţiunilor poate să fie aceeaşi sau opusă în raport cu orientarea mulţimii secţiunilor. 4 şa cum matticea de incidenţă caracterizează incidenţa şi oiien- tarea laturilor în raport cu nodurile, matricea secţiunilor se poate defmi pentru a descrie prezenţa laturilor într-o mulţime a secţiunilor piecum si orientarea lor în raport cu mulţimea secţiunilor. Vom defini matiicea secţiunilor Q„ = [q,j] ale cărei linii corespund secţiunilor şi ale cărei coloane corespund laturilor grafului. Elementele sale au urmatoarele valori : . qi} = 1 dacă latura j face parte din mulţimea secţiunilor i şi orientările coincid: . . . . . dacă latura j face parte din mulţimea secţiunilor i şi orientările nu coincid ; ... q.. = 0 dacă latura j nu face parte din mulţimea secţiuniloi i. Indicele a la Q„ se pune pentru a semnifica toate secţiunile. ^ q= —l Deoarece secţionînd toate laturile incidente la un nod se sepaia acest nod de restul grafului, această mulţime de laturi reprezintă o^ mulţime de secţiuni, cu condiţia ca restul grafului să nu fie separat el însuşi 97 2.2. GRAFURI LINIARE în mai multe părţi. în graful din fig. 2.9, secţionînd laturile incidente la nodul 1 se va separa graful în trei părţi, dintre care una este icpie- zentată de nodul 1. Aşa dar această mulţime de laturi nu reprezintă o mulţime de secţiuni. . . Graful din fig. 2.9 este însă un graf deosebit, iar nodul 1 este un nod de tip special. Definim un graf cu punct de articulaţie ca un graf in care există cel puţin un subgraf care are numai un singur nod comun cu Fig. 2.9. Graf cu punct de articulaţie subqraful complementar lui din graf. Un nod care are aceasta proprietate se numeşte punct de articulaţie sau pivot. într-un graf cu punct de articulaţie nodurile pot fi grupate în două mulţimi astfel incit orice cale de la un nod dintr-o mulţime la un nod din cealaltă mulţime trebuie să treacă prin nodul pivot.’în fig. 2.9, nodurile 2, 3 şi 4 formează o mulţime iar nodurile 5 si 6 alta. Dacă se secţionează laturile incidente la nodul pivot, nu există nici o cale de la un nod dintr-o mulţime la un nod din cealaltă mulţime. Deci, graful obţinut, fără a ţme seama şi de nodul pivot, nu va fi conex; aşa dar mulţimea laturilor incidente la un nod pivot’nu formează o mulţime de secţiuni. Pentru toate celelalte noduri, mulţimile de laturi incidente vor constitui mulţimi de secţiuni. Pentru grafurile fără puncte de articulaţie, orientarea mulţimii secţiunilor obtinută prin secţionarea laturilor incidente la un nod se alege de la nod spre exterior. Aşa dar, pentru grafurile fără puncte de articulaţie, matricea secţiunilor va include matricea de incidenţă. Pentru exemplul din fig. 2.3, în afară de mulţimile secţiunilor formate din laturile incidente la fiecare nod, mai sînt încă trei mulţimi ae secţiuni: {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 5, 6 } şi {1, 2, 4, 6 }. Matricea secţiunilor este : secţiuni laturi - 1 l 2 1 —1 2 3 Q« = 5 4 6 i — C. S54 1 0 - -1 . 3 4 5 fi 1 0 0 0 ' 0 —1 1 0 0 1 0 0 —4 1 1 0 0 0 1 0 0 —1 4 4 0 4 —1 4 4 0 —L —4 0 —4 —4 —4 0 4. •98 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR unde primele patru linii sînt identice cu matricea A„ iar ultimele trei linii corespund mulţimilor de secţiuni {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 5, 6 } şi {1, 2,4, bj respectiv. După cum s-a văzut matricea secţiunilor unui graf Qa are mai multe linii decit, matricea de incidenţă respectivă, Apare deci problema rangului matricei secţiunilor. Pentru a răspunde la această problema consideram o mulţime specială de secţiuni formată după cum urmeaza. Dmdu-se Fig. 2.10. Exemplu de secţiuni fundamentale. un oraf conex se selectează un arbore şi se alege o latură bf. a arborelui. Eliminînd această ramură, arborele se împarte în două. Toate joncţiunile care unesc aceste două părţi ale arborelui împreună cu \ vor constitui mulţimi de secţiuni. Vom numi o astfel de mulţime mulUme fundamentală de secţiuni tun /-mulţime de secţiuni pe scurt. Pentru orice ramură există o mulţime fundamentală de secţiuni, deci pentru un grai QU n ^ noduri (deci cu n ramuri) vor fi n mulţimi fundamentale de secţiuni. Orientarea unei mulţimi fundamentale de secţiuni se alege astfel încît să coincidă cu ramura care o defineşte. Drept exemplu se consideră graful din fig. 2.10. Arborele este reprezentat prin linii îngroşate. Fiecare mulţime fundamentală de secţiuni este unic determinată. ’ Să scriem matricea secţiunilor pentru mulţimea fundamentală de secţiuni, aranjînd coloanele astfel încît, primele n coloane să corespundă ramurilor în aceeaşi ordine ca şi mulţimile de secţiuni asociate lor ramur i joncţiuni 1 2 '1 0 0 0 0/ 5 6 3 4 1 0 0 1 0 1 n 0 1 0 0 1 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 0 0 0 0 — n i . Indicele / la Q, se pune pentru a, semnifica secţiunile fundamentale. Submatricea pătrată formată cu primele patru coloane este o matrice unitate; ea este deci nesingulară şi rangul acestei matrice a secţiunilor este egal cu numărul liniilor sale sau cu numărul ramurilor dintr-un arbore. 90 2.2. GRAFURI LINIARE .. Acest exemplu ilustrează trăsăturile specifice ale cazului general, în general, se aranjează coloanele matricei secţiunilor fundamentale pentru un arboie dat, astfel încît să apară mai întîi ramurile şi apoi jonc- tiunlle, ramurile fiind în aceeaşi ordine ca şi mulţimile de secţiuni pe care le definesc. Se poate face atunci o partiţie a matricei de forma .‘■V o, • to, <J; i = tu o,]. (s«) Prin însăşi modul în care s-a constituit, submatricea Q( de dimensiuni n X n, ale cărei coloane corespund ramurilor, va fi o matrice unitate. Deci rangul matricei Q, va fi n. Aceasta nu ne spune încă nimic Fig. 2.11. O mulţime de secţiuni avînd un număr par de mune cu o buclă. laturi co- despre rangul matricei Q0 . Dar deoarece matricea secţiuniloi fundamentale Qf este o submatrice a matricei secţiuniloj Qa, rangul matricei Qa nu poate fi inferior rangului matricei Q,, adică rang Qa > n. Cînd s-a căutat rangul matricei Iî0 a fost necesar să se utilizeze relaţia de ortogonalitate AaB' = 0. Dar Q„ este o matrice care conţine^ matricea \ ca o submatrice si este de presupus că o relaţie similara ai e loc si pentru Qa în locul lui A„3. Acest lucru este adevărat şi se poate demonstra pe aceeaşi cale ca şi mai înainte. Este numai necesar sa se stabilească faptul că, dacă o mulţime de secţiuni are o latură comuna cu o bucla, ca trebuie să aibă şi alte laturi în comun astfel mciţ numărul lor să fie par. Acest fapt este uşor de constatat examinind fig. ^.11, 1 1 1 care s-a pus în evidenţă o mulţime de secţiuni care separă giatul m doua părţi. Presupunem că latura 1 a mulţimii secţiunilor face pai te dintr-o buclă. Dacă plecăm din extremitatea ei situată in P, şi parcuigem această latură pînă ajungem în P2 va fi necesar să revenim în Px pe a ta latură din mulţimea secţiunilor pentru a forma o cale închisa. 1 entru a obţine o cale închisă pot fi necesare mai multe treceri succesive intre P, si P2, dar fiecare trecere implică parcurgerea a două laturi dm mulţimea secţiunilor. Dacă aceste laturi au aceeaşi orientare în raport cu mulţimea secţiunilor, ele vor avea orientări opuse în raport cu buc a > Această afirmaţie este valabilă numai îu cazul unui graf fără puncte de articulaţie. 3 •100 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR şi reciproc. Aşa dar, prin acelaşi raţionament ca şi cel utilizat pentru a obţine relaţia (24), rezultă că : QaB' = 0 şi B Q' = 0. (39) Acum poate fi determinat rangul matricei Qa. Utilizmd teorema de anulare a lui Sylvester şi cunoscînd rangul matricei B, rezultă că rangul matricei Q„ nu depăşeşte valoarea n. (Lăsînd la o parte detaliile) şi deoarece matricea Q, este o submatrice a matricei Qa care are rangul n, rangul matricei nu poate fi mai mic decît n. (O asemenea posibilitate o reprezintă matricea secţiunilor fundamentale, Q,). Atunci QB' = 0 şi BQ' = 0. (40) în particular, fie această matrice Q chiar matricea care poate fi scrisă ca în relaţia (38). Atunci [U ^4B']=Iî;iH“°iH; =° sau Q, = - B('(B;r] = - (Bf1 B,)' (41) şi, în final, Q, = [U - (Bf1 B,)']. Din această expresie cu relaţia (37) se obţine (42) rezultă un fapt foarteinteresant. Comparînd-o A = A, O, sau 0/ Deoarece matricea A, este o = Af1 A = [lJ Af1 A;]. matrice nesingulară, matricea (43) de denţă a unui graf este echivalentă cu matricea secţiunilor fundamentale pentru unanumit Astfel, liniile matricei A reprezintă combinaţii liniare ale liniilor matricei Q; şi reciproc. inci arbore. Grafuri planare Toate proprietăţile grafurilor pe care le-am examinat pînă acum nu depind de caracteristici specifice de ordin geometric sau topologic ale grafului ci numai de caracteristicile sale abstracte. Vom examina acum o serie de proprietăţi care depind de structura topologică a grafului. Topologic, f.toile Uneori ele * pot f”“ “ “JS 25 planar ea fiind un graf acest lucru nu este posibil. Von g JJ' h de lilturi gă nu se ce poate fi dispus pe un plan a l ™ mei o pei ^ ^ nodurile) intersecteze (adica sa nu se 1 < număr de laturi si noduri; în fig. 2 . 1 2 se dau două graiuri cuacelaşi numai ue iau , , primul este planar ; al doilea, neplanar. 2.3. TEOREMELE 101 DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE Fig. 2.12. Graf planar (a) şi graf neplanar (fi). Lalurile „nur graf ielSi ale ele se numeşte un ochi. Mai pi c », î^nră a craiului în interiorul unui grai planar care nu mclud vi laturile {1 , 2 , 3 } îormează regiunii mărginite (le aceste: latin . ^{OTn;ează U I 1 oclij. Laturile exte- un ochi in timp ce latunle {1 , '? J) ■ • . ippinnea finită în care h - S - ' S S u " it“grWiriitTKcgiunea infinită ca"ii£rf acestei plementara regi,mii^ f i n , c > r ^ £ r considerata tot ca un ochi şi se nume, ochiul exterior este format din secvenţa atunci cînd se enumera ochiurile unui ^îal, och mentale pentru un anumit aiboie, sau mmmsrnm. 9 6 7 8 5 ). Totuşi, êrior nu este luat , gă fie ochiuri? mentale dacă laturile comune oehiurilor nu° " altele TU1. Pentru unele grafuri planare, acest luciu este po, D , 1 Pentru a ilustra aceasta, în fig. 2.13 se dau două grafuri foarte asemănătoare, avînd acelaşi număr de noduri, de laturi şi de ochiuri. Laturile comune între ochiuri sînt figurate cu linii îngroşate. Acestea trebuie să fie ramurile unui arbore dacă ochiurile formează bucle fundamentale, în primul graf aceste laturi formează o buclă şi deci rezultatul dorit nu este cu putinţă în timp ce el este posibil pentru al doilea graf. Aceste considerente completează prezentarea grafurilor liniare dată anterior. •102 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR Fig. 2.13. Ochiurile pot fi sau nu bucle fundamentale pentru un arbore dat. 2.3. TEOREMELE DE B A Z Ă ALE REŢELELOR (CIRCUITELOR) ELECTRICE în linii mari, o reţea electrică este formată prin interconectarea a două sau mai multor elemente sau laturi. Aceste laturi sînt formate din elemente de tipul celor descrise în capitolul 1 sau alte componente (neliniare, cu parametri variabili etc). Fiecare latură are o variabilă reprezentînd tensiunea şi o variabilă reprezentînd curentul iar aceste variabile sînt legate de alte variabile similare prin relaţii specifice. Pentru a introduce grafurile liniare în analiza reţelelor electrice, vom da următoarea definiţie : . . „ . . O reţea electrică este un graf liniar orientat în care fiecărei laturi i se asociază două funcţii de timp : curentul i(t) şi tensiunea v(t). Aceste funcţii trebuie să satisfacă teoremele lui Kirchhoff. Teorema lui Kirchhoîf pentru curent Teorema lui Kirchhoff pentru curent {prescurtat TKC) stabileşte că în orice reţea electrică suma tuturor curenţilor ce pleacă dintr-un nod este zero în fiecare moment de timp şi pen'ru fiecare n>d al reţelei. Pentru o 2.3. TEOREMELE DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE 103 reţea conexă (giaf) cu n-\ 1 noduri şi l laturi ecuaţiile ce rezulta din TKC se pot scrie sub forma = 0 , j =1 ,2 , 1), (4 4 ) unde a-, au aceeaşi definiţie ca şi elementele matricei de incidenţă, Aşadar, sub formă matriceală TKC devine (45) Ai(f-) = 0 sau AI(s) = 0, unde V este matricea de incidenţă, i(<) este o matrice coloana, ce îepie- zintă curenţii laturilor iar I(«) este matricea coloana a transformatele Laplace ale curenţilor laturilor i (t ) = ' h (t y iŞ ) şi I ( s ) = Ii(«) Us ) (40) .Tjpsionv -ire loc si relaţia AaUt) = 0 dacă se includ toate nodurile). Deoarece rangul matricei A este n, toate ecuaţiile din acest sistem smt liniar independente.îtie ^ de incidenţă de forma A = [A, A,] cores punzătoare unui anumit arbore şi o partiţie similara pentru matricea i în aceste condiţii TKC devine [A, A,] At i( sau '((*) - AÂ.i,^) \,h (47) (48) deoarece A, este o matrice nesingulară. Relaţia (48) arată că pentru un arboie dat, curenţii ramurilor smt determinati de curenţii joncţiunilor prin relaţii liÂcearta însemna că, dacă se pot determina curenţii joncţiunilor prin alte mijloace, atunc 104 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR curenţii ramurilor sînt cunoscuţi fiind daţi de relaţia (48). Dintre toţi curenţii laturilor în număr de l, numai l — n curenţi trebuie determinaţi independent. Utilizînd relaţia (48), matricea curenţilor se poate scrie ■ - ~ h- - Ar1 A l l Comparînd matricea din dreapta semnului egal cu matricea din relaţia (34) şi ţinînd seama de relaţia (35), rezultă (50a) i = B/ i, sau I(s) = B’f I,(s) (50b) Fiecare dintre aceste ecuaţii exprimă curenţii laturilor unei reţele în funcţie de curenţii joncţiunilor corespunzătoare unui arbore, prin intermediul unei transformări care se numeşte transformarea pe bucle. Curenţii joncţiunilor unui arbore joacă rolul bazei pentru toţi curenţii. Vom căuta acum şi alţi curenţi decît curenţii joncţiunilor unui arbore care să reprezinte o bază. Se poate obţine un alt sistem de ecuaţii echivalent cu TKC din (45). (Amintim că doiîă sisteme de ecuaţii sînt echivalente dacă ele au aceeaşi soluţie). Fie o mulţime particulară de secţiuni ale reţelei. Ea va separa reţeaua în două părţi, i\ şi P.2. Scriem ecuaţiile ce rezultă din TKC pentru toate nodurile din J\ şi examinăm coloanele. Dacă ambele capete ale unei laturi sînt incidente la noduri din Px, coloana corespunzătoare va conţine două elemente nenule, unul +4 şi altul —4. Dacă un capăt al unei laturi este incident la un nod din P l iar alt capăt la un nod din I‘., (dacă latura face parte din mulţimea secţiunilor) coloana respectivă va avea un singur element nenul. Presupunem că se adună aceste, ecuaţu ; numai curenţii mulţimii secţiunilor vor avea coeficienţi nenuli în sumă, Rezultatul se va numi ecuaţia secţiunii. Ecuaţia secţiunii este deci o combinaţie liniară a ecuaţiilor ce rezultă din TKC. Sistemul de ecuaţii pentru toate secţiunile va fi Q ai( 0 = 0 , unde Q„ este matricea secţiunilor definită anterior pentru toate secţiunile. Dar rangul matricei Q„ este n, care este mai mic decît numărul ecuaţiilor. Deci aceste ecuaţii nu sînt independente. Fie Q matricea secţiunilor pentru n mulţimi de secţiuni şi de rang n. (O posibilitate o reprezintă matricea secţiunilor fundamentale, adică Q,). Atunci relaţiile Q i (t) = 0 sau Q I (s) = 0 sînt echivalente cu ecuaţiile scrise pe baza TKC. (51) 2.3. TEOREMELE 105 DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE în particular, dacă se face o partiţie a matricei secţiunilor fundamentale de forma Q; = [U Q;], atunci Q, i = [U Qj] sau — (52) Qi ‘i > adică se obţine tocmai relaţia (48) dacă se ţine seama de relaţia (43). Această expresie poate fi introdusă în matricea curenţilor din relaţia (48) şi se obţine i (0 [tt-n it(t) = B; it(t) sau I(s) = B; I,(s). (53) (Pentru calculele intermediare v. Problema 17). Aceasta este din nou o transformare pe bucle identică cu (50a). Se observă că matricea transformării este transpusă matricei buclelor fundamentale. După cum s-a văzut, curenţii joncţiunilor corespunzătoare unui arbore reprezintă curenţii de bază în funcţie de care se pot exprima toţi curenţii reţelei. O altă mulţime de curenţi de bază o reprezintă curenţii buclelor, care sînt nişte curenţi fictivi ce circulă pe contururile formate de buclele închise. Acest fapt se poate ilustra mai bine prin intermediul unui exemplu. în fig. 2.14 sa redesenat graful din fig. 2.13a, cu nodurile şi laturile numerotate convenabil. Acest graf este planar, dar nu se poate găsi un arbore căruia să-i corespundă ochiuri care să formeze bucle fundamentale, aşa cum s-a arătat anterior. Fie matricea buclelor scrisă pentru buclele specificate în figură. (Această mulţime de bucle nu reprezintă nici bucle fundamentale şi nici ochiuri). Orientarea buclelor este dată prin ordonarea nodurilor ; ea este indicată de asemenea şi prin săgeţile din figură. Matricea B va fi bucle laturi -* B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 0 0 1 0 —1 0 2 0 1 1 1 0 0 0 3 0 0 1 1 0 —1 0 0 4 -1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 •106 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 2.3. TEOREMELE DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE 107 iar transpusa ei 4 0 0 —4 0 4 0 -4 0 4 1 0 0 1 4 0 1 —1 0 0 0 0 —4 0 —4 0 0 0 0 0 0 1 (Această matrice este de rang 4 deoarece submatricea formată de ultimele patru coloane este nesingulară). Presupunem acum că definim o serie de curenţi iml, im 2 etc., care parcurg buclele din matricea B cu sensuri corespunzătoare orientărilor acestor bucle. Prin examinarea grafului se pot exprima curenţii laturilor în funcţie de aceşti curenţi ciclici după cum urmează : 0 0 ix " '4 —1 ' h 0 1 0 —1 i3 0 4 1 0 i4 0 4 1 0 i5 4 —4 0 0 i6 0 0 i7 —1 0 0 0 0 0 0 L. *8 . -1 0 Comparînd matricea acestei transformări cu transpusa matricei B din (5 4 ) se constată că ele sînt identice. 8 Fig. 2. 14. Exemplu ilustrativ. 2.3. TEOREMELE DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE 108 Acest rezultat este valabil în general. Intr-atlevar se observa ca fiecare linie a matricei B se referă la incidenţa laturilor la bucle iar fiecare coloană corespunde unei laturi. Elementele unei coloane arata din ce bucle face parte si ce orientare are latura respectiva. Daca se definesc curenţii ciclici pe bucle, avînd orientările corespunzătoare acestora, tie- care coloană din matricea B va reprezenta curentul laturii respectne în funcţie de curenţii buclelor. . , , v într-un graf cu l laturi şi n + 1 noduri, se noteaza prin im -sectoii curenţilor buclelor definiţi pentru cele Z — n bucle pentru care matricea B este de rang l - n. Matricea culanţilor laturilor î se poate exprima în funcţie de matricea im prin relaţia i = B'im. (56) Pentru o reţea planară, curenţii ochiurilor formează o bază adecvată (demonstraţia se lasă pe seama cititorului). în acest caz transformai ea dată prin relaţia (50) se numeşte transformarea pe ochiuri. Teorema lui Kmhlioîf pentui tensiune \ doua teoremă a lui Kirchhoff este teorema lui Kirchhoff pentru tensiune (prescurtat TKT) şi stabileşte că în orice reţea electrica suma tensiunilor tuturor laturilor dintr-o buclă, cu semne corespunzătoare orientării buclei, este zero la fiecare moment de timp şi pentru orice bucUa » Pentru o reţea conexă cu l laturi, ecuaţiile ce rezulta dm TK , p scrie sub forma (57) £ bikvt(t) = 0 , j = 1 ,2 , . . . , (toate buclele), unde b,k au aceeaşi definiţie ca şi elementele matricei buclelor. Aşadar, sub formă matriceală TKT devine (58) Bv(t) = 0 sau BV(«) = 0 , unde B este matricea buclelor, v(f) este o matrice coloana ce reprezintă tensiunile laturilor iar \(s) este matricea coloana a transformateloi Laplace ale tensiunilor laturilor %(<)’ «z( 0 v(t) = â(«) şi Y(s) = - «,(1 ). JM. (59) 2.3. TEOREMELE DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE 109 •110 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR Dacă se includ toate buclele reţelei, matricea coeficienţilor va fi Ba. Deoarece rangul matricei B0 este I — n, ecuaţiile din acest sistem nu sînt independente. Fie matricea B cu l — n linii şi de rang l — n. (O posibilitate o reprezintă matricea buclelor fundamentale). Se poate face o partiţie a acestei matrice de forma B = [B ( Bz] corespunzătoare unui anumit arbore şi fie o partiţie similară pentru matricea v v< în aceste condiţii TKT devine [Bf Bj B, vt din care rezultă V/ — — B; xB(v, sau Vj B, v B/i v. (60) deoarece IS{ este o matrice nesingulară. Relaţia (60) arată că, pentru un arbore dat, tensiunile joncţiunilor sînt determinate de tensiunile ramurilor prin relaţii liniare. Dacă tensiunile ramurilor se pot determina prin alte mijloace, atunci tensiunile joncţiunilor sînt cunoscute fiind date de relaţia (60). Dintre toate tensiunile laturilor în număr de l numai n tensiuni, reprezentînd tensiunile ramurilor, trebuie determinate independent. Utilizînd relaţia (60), matricea tensiunilor se poate scrie vt(/) = \{1 V,' l Ai .-Bf1», Q/V((0 sau Y(s) = U/V,(s). (61) ) Ultima egalitate rezultă din relaţia (12). O altă expresie pentru v se obţine pe baza relaţiei (13) şi anume ■V(.V Dacă A( este o matrice unitară, atunci x(t) = A'v,(/). Astfel, matricea tensiunilor laturilor se exprimă prin matricea tensiunilor ramurilor unui arbore prin intermediul unei transformări. Matri (63) 2.3. TEOREMELE 111 DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE cea transformării poate fi transpusa matricei BeeţmmiOT fundamentale Of sau transpusa matricei A cînd A( este o matrice unitate, (v. 1 rob en a o, referitoare la condiţia ca A, să fie o matrice unitate). Tensiunile ramurilor unui arbore reprezintă o bază pentru exprimarea tuturor tensiunilor Deoarece tensiunea unei ramuri este diferenţa de ^potenţial intre o pereche de noduri, tensiunile ramurilor sînt tensiuni _ intre perechi de noduri. Nu toate tensiunile perechilor de noduri reprezintă insa tensiunile ramurilor. Se pune problema găsirii unei mulţimi de tensiuni intre perechi de noduri care, fără să reprezinte neapărat tensiunile ramurilor unui arbore să constituie totuşi o bază pentru exprimarea tutui or tensiunilor. Să examinăm această problemă mai departe. Dacă se consideră un nod comun pentru fiecare pereche de noduri, atunci toate tensiunile între perechi de noduri vor reprezenta tensiunile nodurilor în raport cu nodul comun sau de referinţă, Aceste tensiuni se numesc tensiunile nodurilor. Deoarece fiecare latura a unui graf este incidenţă la două noduri, tensiunea ei va fi diferenţa tensiunilor celor două noduri (măsurate în raport cu nodul de referinţa al cărui potenţial se consideră nul). Astfel, toate tensiunile unui graf se pot exprima m funcţie numai de tensiunile nodurilor, care sînt în număr de n. ^ Cînd se scrie matricea A a unui graf, se omite unul din nodui i. Dacă acest nod este ales ca nod de referinţă pentru tensiuni, atunci matricea tensiunilor laturilor se poate exprima în funcţie de matricea tensiunilor nodurilor v(t) = A'v„(*) sau V(s) = A'Vb(s). (64) Aceasta rezultă din faptul că fiecare coloană a matricei A se refeia la o anumită latură. Elementele nenule dintr-o coloană specifică nodurile la care această latură este incidenţă, semnul indicînd orientarea. Deci fiecare coloană a matricei A va reprezenta tensiunea laturii respective în funcţie de tensiunile nodurilor. ^ Exemplul următor va ilustra acest rezultat. în fig. 2.15 se dă giaful din fig. 2.14 cu o numerotare diferită a laturilor. Matricea A, omiţînd nodul 5, este 12 3 1 0 0 0 00 0 0 11 4 0 30 0 0 0 5 6 1 0 10 — 1 0 7 8 0 - 1 1 01 — 01 0 —1 o •112 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 81 A' 1 0 o o" 0 0 0 o 0 o 0 0 0 0 o 0 0 o - 0 1 o o 0 o u < -------------- *■ -------------- ---------- ------------------ si o V 2 (65) 1 1 1 o funcţie de tensiunile nodurilor. -1 yl -------------- ----------------- Fig. 2.15. Tensiunile laturilor in Fie nodul 5 nodul de referinţă şi fie vnl, vni, v- 3 şi lalte noduri în raport cu acest nod. Dm exain^^ farcnnniiA latnHlnr în funcţie de tensiunile nodunloi asuei ■v 1 0 0 0’ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 —4 0 0 0 1 V7 0 0 L Li 0 « 3 % V A T S —1 0 1 —1 vn 2 v 1 eu *iin j ' ^ (66) nS . ^rt4 -I -1 0. , , a c e s t e i transformări este transpusa matricei *. I: Si căprimele 4 coloane ale matricei A fonneaza o matrice unitate. Acest fapt este în concordanţă cu Problema 5, deoarece ai oie e 2.3. TEOREMELE DE BAZĂ ALE REŢELELOR ELECTRICE 113 format din laturile 1, 2, 3 şi 4 este un arbore stelat. De aceea tensiunile între perechile de noduri definite pentru arborele considerat m acest caz ÎS“ou tensiunile nodurilor (in raport eu nodul 5 ea n<klde rrfePentru a înţelege şi mai olar Sit„aţ,a f " drept nod de referinţă. In acest caz nu mai exista un ai bor e stelat cu nodul 4 ca nod comun. Matricea A va fi aceeaşi ca re^tô)01^ ou ultima linie înlocuită prin [ 1 1 1 10 - i +* arbore s-ar alege, matricea A, nu va fi o matrice unitate şi relaţia (63) nu este aplicabilă. Totuşi relaţia (64), în raport cu noile tensiuni ale nodurilor este în continuare valabilă. Propunem cititorului sa verifice aceasta, Relaţiile pe laturi Cele două teoreme ale lui Kirchhoff reprezintă relaţii între curenţii si tensiunile laturilor unei reţele, independente de natura specifica acestor laturi indiferent dacă ele sînt formate din condensatoare, rezistenţe, SrK aplică tot atît de bine pentru elementele lm,are ort pentru elemente nelmiare, pentru elemente cu parametm timp sau pentru elemente cu parametrii constanţi. Aceste relaţii reprezintă constrîngeri dictate de structura topologica a reţelei. Totuşi, modul în care tensiunea unei laturi particulare este jegata de curentul corespunzător depinde de elementele care formeaza latura respectivă Există o mare varietate de posibilităţi m alegerea elemente o cai^ formează o latură a reţelei. O posibilitate este să se , =Aereftê element (rezistenţă, condensator, etc.) drept o latura. In acest caz să se considere drept noduri toate punctele de legătura dintre elemente conectate în serie? Uneori este convenabil să se considere elementele conectate în serie sau elementele conectate în paralel drept o singur SXÎ “înşela din fig. 2.16 elementele E pot. fi considerate ca o singura latura sau ca doua latim distinc . Fi". 2.16. Deplasarea surselor de tensiune şi a surselor de cuient. •114 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 2.3. TEOREMELE DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE 115 O varietate similară apare şi în tratarea surselor O «vu j de ^nsiune se numeşte însotită dacă are un element pasiv conectat m sene. SunJai, o sursă de curent se numeşte însoţită dacă are un element pasiv conectat în naralel în fig 2.16a, nici o sursă nu este însoţită. Pentru o latura nas^vă atît curentul cît şi tensiunea reprezintă mărimi necunoscute ale căror variaţii în timp urmează a fi determinate. în cazul unoi suis , tensiunea sau respectiv curentul sînt cunoscute. Dm aceasta cauza nu â tot face afirmaţii general valabile despre numărul de necunoscute în Lnctîe de ™ărul de laturi ale reţelei, dacă sursele nemsoţite smt considerate drept laturi. în acest scop este recomandabil sa se foloseasca SSSS» 2 m!SÎ»|. care vor fi prestate în cele ce «n~» P «*» permit eliminarea surselor neînsoţite. ,in i i . Fie reţeaua din fig. 2.166. Sursa a fost ţepiasa1® se terminalele sale în fiecare latuiă incidenţa la:acest termina1, nnlnritfltea si scurt-circuitînd poziţia ei iniţiala. Pun aplicarea 1 _ pentru orice buclă se vede că aceste ecuaţii nu se schimbă. Dar m aceasta situatie fiecare sursă este însoţită; ea este m serie cu o latura pasiva, în cazul unei surse de curent, aceasta a fost deplasată astfel mei sa ap eu iiecar’e btur& totad»ce cojm» luentinîndu-se polaritatea şi lasmd poziţia ei iniţiala in g P care! TKC pentru toate nodurile se vede că aceste ec bate Soluţiile pentru variabilele asociate celorlalte latuiî ôr fi aceieaş în cazul noii leţele, ca şi pentru reţeaua imţială.Xe vom , două echivalenţe numindu-le deplasarea tensiunilor^sau ^Plasare^ *>•_ respectiv, deplasarea curenţilor sau deplasarea i). In uima acestoi ope raţii se pot obţine întotdeauna surse însoţite. Uneori este convenabil sa se trateze toate sursele independente ca surse însoţite, alteori nu. I entiu Sas-1 s SMTSÎVJ srs 1 ™ separa” peSruJse independente, in cazul reţelelor pasm,, „ reciproce. Fig. 2.17. Latură care conţine o sursa de tensiune şi o sursă de curent. După ce se vor stabili procedeele de bază se va trece la examinarea componentelor active şi nereciproce . Structura senerală a unei laturi este reprezentata in tig. 2.1/ şi conţine îS“ SS de temiune !n seric cu « element pas.v e,t o surm •116 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR de curent în paralel cu acest ansamblu. (în fig. 2.16&, de exemplu, sursa. de curent din partea stingă poate fi considerată în paralel cu elementele- de cment dm paitg s g P serie). Curentul corespunzător aceste, SA L e'inSvine în TKC va « i , ^ “ “ T n l apare în TKT va fi vk - vgk. Aşadar relaţiile (io) şr (0 8 ) se \oi mlocui o »î prin Ai(t) = Ai, ( t ) , Al(s) = AI,(«) (6'> Bv(<) = Bv„(t), BV(s) = BV„(«) (68) Qi(/) = Qi„(0, QI(«) = OM») (69) unde i „ şi v„ sînt matricele coloană corespunzătoare surselor de curent si de tensiune. ’ Similar, transformările de la variabilele laturilor la curenţii buclelor sau tensiunile nodurilor trebuie înlocuite prin urmatoarele ut) - ia(t) = B'iM(t), m-w= (70) v(t) - v,(i) V(#) - V„(«) = Q;\,(*) (71)“ = A'\„(/), (72) = Q/v', (/), v(i) _ va(i) V» - V,(«) = A'V„(*). Deoarece sursele pot fi manipulate pe această cale independent de părţile pasive ale laturilor, de acum încolo ne vom concentra atenţia iîÂm coSZZm&oT pasive. Pentru aceasta vom face sursele sa di - £T.rr£ poat/realisa Înlocuind sursele de tensrane prm scurtcircuite si sursele de curent prin circuite descinse. Acum putem trece la examinarea relaţiilor dintre tensiunile şi curenţii Acum p înppnnt nu vom face convenţii speciale referitoare f Zd°ulTia e1 ,„LtaZS "te îSXVoin opira cu „-animatele , ”abMor si vom introduce surse echivalente pentru a !i»e«ntî eorSile iniţiale. Impedauţa ;i admitanţa latum *» vor reactiv V™ corespunzătoare prm Z V. i) in această relaţie V, este tensiunea de tensiune prezentă. Această abatere de la c o n s i s t e n ţ a ( 9 compactă a ecuaţiilor de perechi de^tcăse utilizează transformarea I - I, = curenţii joncţimiTor^n'locul ielaţiei (70^înd se scriu ecuaţie Pe bucle. în acest caz „ se va considera curentul total al joncţiunii (v. şi Problema P-7). 8 — C. 854 îeSe“ 6 ) . scSrîS Pentl'u 2.3. TEOREMELE 117 DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE Relaţiile între mărimile aferente laturilor se vor scrie după cum urmează : Latura /.• Reţea 7t(s) = z,Ik (s) **(«) = ykvb (*) X(s) = Z(*)I(«) (73) i(«) = Y(*)V(«). latura acestor matrice poate fi ilustrată prin exemplul din fig. 2.18. 7 Fig. 2.18. Exemplu ilustrativ. Cele două laturi inductive 1 şi 2 sînt cuplate magnetic. Relaţia (73) cu matricea impedanţă a laturilor Z scrisă detaliat poate fi scrisă după cum urmează : 0 sLn SL12 • S Z;22 * :*8 O 0 « .' H 4 V(«) : o o•o r.sL m ih -1 IsC 6 O i /sa O ’i I(s). (74) O n, Se observă că datorită modului în care au fost numerotate laturile — considerînd fiecare element drept o latură separată şi luînd mai întîi V (s) •118 •i •Q bobinele, apoi lezihtenţele şi ia J? „ partiţie a « J M , « . « m ficaţu smt evidenţe. Maţi^ 2. si TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR la sfîrşit condensatoarele — se poate face submatrice ale căror semniTmatricea inverselor capa- . . aeeste elemente nu sînt cuplate Pe*- lucrurile cu n„- tricea LP datorită prezenţei c^lajeloi in^^tricelor etăţi alesubn^mc matricei impedanţă Este evident că aceste propr -e degcrig a ^^SSsS^Ss'ss ^0 “! îTcazvil general, dacă SS sna^tlSSăeTapa.itive, matricea impânţă şi matricea kdmSîtl a laturilor pot fi scrise după mai cum urmeaza . O■ sLp Z n «n f i' nude Rp, K f t S 8 S 3 S Ş s s i « a M a llp O s. '1 si Y = 9 r„ O C S O Gj) sCp . GiTit matrice dia&onale cu 0 ^ , p '.. anhinatrice se nune pentru a semnifica 1), = Cp1 IV1 *■*■%> ? iar rSSSSâsa!'=«R® vom scrie ooo R o RP o ooo (76) următor : Z = sL + R r — I) (77a) s Y = sC + G + — T. s (77b) 2.3. TEOREMELE DE BAZA ALE REŢELELOR ELECTRICE 119 Se observă că ordinul fiecărei matrice a parametrilor laturilor este egal cu numărul laturilor grafului. în relaţia (77) am mărit în mod convenţional dimensiunile acestor matrice. Din punctul de vedere al calculului, mărirea dimensiunilor unei matrice reprezintă un dezavantaj, în acest caz este preferabilă utilizarea matricelor parţiale. Cu toate că s-a folosit un procedeu special de numerotare a laturilor pentru a ajunge la matricele parametrilor laturilor ca aceea din relaţia (76) şi celelalte similare ei, aceste matrice se pot defini fără a face apel la acest procedeu de numerotare. Singura diferenţă este aceea că elementele nenule nu vor fi concentrate într-o singură submatrice ca în (76). într-un capitol următor vom examina proprietăţile acestor matrice a parametrilor şi vom discuta condiţiile de realizabilitate. 2 A . ECUAŢIILE PE BUCLE, PE NODURI ŞI PE PERECHI DE NODURI Relaţiile de bază prezentate în ultimul paragraf sînt : teorema lui Kirchhoff pentru curenţi (TKC), teorema lui Kirchhoff pentru tensiuni (TKT) şi relaţiile tensiune-curent pentru laturi. Pentru o reţea cu l laturi şi n + î noduri se pot scrie n ecuaţii independente pe baza TKC şi l—n ecuaţii independente pe baza TKT, deci în total l ecuaţii. Deoarece se mai pot scrie încă l relaţii tensiune-curent dispunem în total de 21 ecuaţii independente pentru cele 21 necunoscute care sînt I curenţi şi I tensiuni. Totuşi, soluţionarea a 21 ecuaţii simultane constituie o problemă relativ dificilă şi orice procedeu care aduce o simplificare este binevenit, în ultimul paragraf s-a observat că toţi curenţii laturilor pot fi determinaţi în funcţie de o submulţime de curenţi mai puţin numeroasă — de exemplu curenţii joncţiunilor pentru un arbore sau curenţii buclelor. Similar, toate tensiunile laturilor pot fi determinate în funcţie de o submulţime de tensiuni mai puţin numeroasă. Vom examina acum o serie de procedee în care se folosesc aceste constatări pentru a soluţiona probleme de analiză a reţelelor. Rezultatul depinde de ordinea în care sînt utilizate cele trei categorii de relaţii fundamentale. Eeuaţiile pe bucle Dîndu-se o reţea, vom aplica mai întîi TKT ajungînd la relaţia (6 8 ) care se repetă aici (în transformate Laplace) B V ( « ) = BV,(«). (78) . 7 • ,1 ,,nr>o’ i __ n Introducînd *»■ (73 > “ obtine BZ(#)I(s) = B V „ ( s ) . (79) n curenţi în sfîrşit, exprimăm curenţu^"îôncţifioî unui ar « » « ^ « ^ S t S S S S U™ «*** « li este imtricm ?n,clelo/n^““jSi adică utilizăm expresiile cmenţiloi rel!‘tia' <î0’- 86 t,,W {BZ(s)B'}I,„(s) = B{V„ - Z(*W (80a) «au Zm(*)I» (*) = E(s) (80b) unde s-au folosit notaţiile t = B (V„ ZI, z.(«) = MW- si Ecuaţia matriceală (80) ecuaţiile pe bucle, cu l n n coefieienţiloi Zm( ) (8L) megte matricea cu^' impedanţă a buclelot. Matricea • ramunlor L. eăanţ^ a mat , oreţea pasiva şi recipioca, blema 1.15) matricea Zm de „SX—S i.Sfint'.odnciM Astfel Z = BZB' = sLm + Bs unde L. = BLB B, = BRB' D. = BDB sînt matricele parametrilor buclelor. êntn In acestcaz (V. Pro- şi jiu trebuie confundat» s i m e t r ică, • t f A scrisă explicit 1 1 1 <n)fc **. («>• „ .û™U ( 8 2 ) (83a) (83b) (83c) 121 Spre a ilustra relaţia (80) considerăm reţeaua din fig. 2.18 pentru care matricea impedanţei ramurilor a fost dată în relaţia (7 4 ). Graful său este redesenat în fig. 2.19 spre a pune în evidentă alegerea buclelor Acesta este un graf planar şi probabil cel mai simplu ar fi fost să se iî Fig. 2.19. Exemplu de reţea pentru scrierea ecuaţiilor pe bucle. t II 2 aleagă drept bucle chiar ochiurile. Totuşi, în scop ilustrativ s-a ales alt sistem de bucle. în acest caz matricea B este : 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 1 4 1 0 0 2 4 1 1 0 0 0 0 3 4 1 1 —4 0 0 0 4 —1 0 0 0 0 —1 1 B —1 0 —1 0 Atunci matricea impedanţă a buclelor devine Z 0 0 0 11 1 0 1 1 4 00 0 0 -- 1 1 4 1 -10 0 0 —1 0 0 0 0 — . 1 —1 0 sLu SL12 sL2l *^22 0 R. O 0 " o 0 .1 1 1 1 0 0 1 1 0 —1 0 0 —r 4 1 R, 1 0 0 ^6 1 0 0 0 0 0 —1 0 î 1 —1 sc; ■ sCa_ i 0 —1 0 0 122 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR O 1 B4+^5X s (Ln s (£11 o £12 ’ + «(', a. + L-n + 3 Ln.9) + K Z„ £12 + £ ai £*4 — S (£n + £12 1 ' sC6 Kx s{L s(Ln £12 sCe Lţi + LM) h £ 3 11 ■ £1 — *(£ll "T £2 1 : — s(£u H £2 + £ 2 1 + ^2 2 ) + ^ 3 + R* — s(Ln f— s0 7 J sC6 s£ n +£21) 1 1 1 2 Corelind această matricea^ impedanţă a buclelor pot fi mteipiet_ directă, ramu- SUU1;I impeclanţeloi' *imî6dMtele de c"”lai -•ţ&L'SE?-* ^■^ţCEfSSS'^SK sau minus impedanţa îamunlo geng rcflulăS^Vep»te din exemplu, ljtlllzl^f inraimmi — se apiică buclc^rCŞ comună şi negativ pentru matricele parametrilor clS ,3riceA. pute.» scrie rnatncea «« tentelor buclelor astfel /i 1 : J {'r> 11 /u 0 0 - J?4 0 i?3 £*3 0 It 3 R?l + A\ 0 0 0 0. Din reţea observăm că. clementele^rtiagon^lei Pţ^jPjkaoarefelemeutele ** « —*» COm”ne ”"Cl ' 123 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR respective, cu plus sau minus; plus dacă orientarea buclelor este aceeaşi prin rezistenţa comună, minus dacă buclele sînt orientate în sens opus. Matricele surselor vor fi ’ 0 -0 ' 0 0 0 0 0 0 Vo 0 Şi \ = 0 0 0 h 0 . 0 . Astfel ZI; are un element nenul numai în linia a şaptea şi valoarea acestuia este — I0jsC7. In acest caz partea dreaptă a relaţiei (80) devine 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 - -1 0 0 - -1 0 0 0 1 0 o o 0 E = B(\' - ZL) o l'o o O I0/sC7 -I0/sC7 0 Cantitatea IJsC7 este tensiunea Thevenin echivalentă corespunzătoare sursei de curent în paralel cu C7. Astfel matricea E reprezintă vectorul surselor echivalente de tensiuni pe bucle, ale cărui elemente sînt sumele algebrice ale surselor de tensiune (inclusiv tensiunile Thevenin echivalente corespunzătoare surselor de curent) pe conturul fiecărei bucle, sensul tensiunilor fiind astfel ales încît să fie opus sensului buclei. 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 124 Obţinînd ecuaţiile pe bucle în forma 7I=E #Jm xm se determină soluţia = (85) ™ este de fapt o soluţie simbolică, în formă matriceală. Calculul elementelor matricei IM cere un volum considerabil de munca. Amina neutru capitolul următor tratarea acestei probleme. , , m> . * * forma finală a ecuaţiilor pe bucle dacă folosim o ampla tratare scalara. buclele Introducerea tratării matriceale pare ma, Sl, în acest sen, se pot face tre^serjaţu. In S-Vtacle“îenn“ relle cu o matrice B de rang mic. Procedeul general jieXeSi^^^ <rs". ‘“fis "irş^rr'Să „teoremă de existenţă” ; ea este o verificare ca pentru orice leţea se i scrie ecuaţiile pe bucle. 2.4.2. Ecuaţiile pe noduri Scriind ecuaţiile din TCK, ajungîndu-se pe bucle, relaţiile tensiune-curent ale laturilor s-au la relaţia (67) caie se îepeta AI(«) = AI,(«). (86) în această expresie se substituie relaţiile (73) şi se obţine AY(s) Y(«) = Al„(s). în sfîrşit se exprimă tensiunile laturilor în funcţie de iilor prin transformarea pe noduri data de îelaţia ( AY(«) A'Y„(S) = A{l„(s) - YY,(*)} (8'‘) ). - (88 a) 2.4. ECUAŢIILE PE BUCLE. PE NODURI ŞI PE PERECHI DE NODURI_ 125 sau Y «VJs) = J(s) (88 b) unde s-a notat prin J matricea A(Ia — V V „) şi unde Y n(s) = AY(s) A'. (89) Relaţia (88b) este o ecuaţie matriceală care reprezintă un sistem de n ecuaţii, numite ecuaţiile pe noduri cu n necunoscute reprezentînd tensiunile nodurilor. Matricea coeficienţilor Y„(s) se numeşte matricea aămitanţă a nodurilor. De această dată matricea J este matricea echivalentă a surselor de curent aplicate pe noduri, avînd drept elemente sumele algebrice ale curenţilor (incluzînd curenţii Norton echivalenţi surselor de tensiune) incidenţi în nodurile respective cu sensul pozitiv astfel ales încît să între în nod. Matricea admitanţă a nodurilor poate fi scrisă explicit în funcţie de matricele parametrilor laturilor, introducînd relaţia (77) în relaţia (89). Rezultatul va fi • Yn(») = AY(s) A' = *C„+ G, + r„ (90) s unde (91a) (916) G„ = AGA (91c) sînt matricele parametrilor nodurilor. Pentru sistemul de ecuaţii pe noduri scris sub forma Y„(s)V.(*) = J(s) (92) se poate obţine cu uşurinţă soluţia : v»(s) = Y,,1 J(s). Aceasta este din nou o soluţie scrisă sub formă simbolică. în capitolul următor vom examina detaliile referitoare la această soluţie. (93) 12ii 2.4. ECUAŢIILE PE BUCLE, PE NODURI ŞI PE PERECHI DE NODURI Bă ilustrăm utilizarea ecuaţiilor pe noduri pe exemplul leţclei^dm fio- 2 18 care s-a redesenat în fig. 2.20. Se alege nodul 5 ca nod de referinţă astfel încît el se omite atunci cînd se scrie matricea A. Fig. 2.20. Exemplu de reţea pentru scrieiea ecuaţiilor pe noduri. Matricea A este A 0 0 0 0 —1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 —1 1 0 0 —1 0 1 —1 —1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 iar matricea admitanţă a laturilor va fi -^22 £12 «A sA ^21 Ln G* •S'A sA O G± «5 O sC 6 1 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 124 unde A = LuLi2. — ^12^21- Atunci Y„=AYA' = + C7) G5+S(C6 —sCe sC6 I^+Gi+slCt + Cs) «A (L22+-^21) —sC7 0 0 sC7 (L2 sA 2+^12) «A ^11+^12^ -^21+-^22 sA *A Ln (^n+^21) sA sA (^11+^21) + sA + Cra sA Matricele surselor Y, şi I, sînt aceleaşi ca şi mai înainte, Obţinem deci ^5 l7o — Io Io 0 J = A(I,-YVe) 0 Mărimea GUrn reprezintă curentul Norton echivalent a-l sursei de tensiune în serie cu <?8. Aşadar i este matricea echivalenta a surselor de curent avînd drept elemente sumele algebrice ale surselor de curent- (incluzînd curenţii Norton echivalenţi ai surselor însoţite) incidente in nodul respectiv cu sensul pozitiv intrînd în nod. Ca si în cazul ecuaţiilor pe bucle, ecuaţiile pe noduri pot fi scrise direct prin examinarea reţelei, pentru reţelele fara cuplaje mutuale. Elementele matricei admitanţă a nodurilor se pot obţine dupa cum urmeaza. Fiecare element de pe diagonala principală este suma admitanţelor laturilor incidente 111 nodul respectiv. Fiecare element care nu aparţine diagonalei principale este admitanţa cu semn schimbat dintre cele doua noduri în acest caz toate elementele care nu aparţin diagonalei principale sint negative, spre deosebire de cazul impedanţei buclelor, deoarece tensiunea unei laturi este întotdeauna diferenţa tensiunilor celor doua noduri, iar tensiunile nodurilor sînt considerate pozitive m raport cu nodul de referinţă, O interpretare similară se aplică matricelor parametrilor noduuloi r (r si r . Să scriem, de exemplu, matricea capacităţilor noduuloi. Din figură se observă că apar două capacităţi Ge şi C7 incidente la nodul 1, (<, fiind conectată între nodurile 1 şi 2, iar (J, fund conectata intre nodurile 1 si 3. Rezultă că termenul de pe diagonala principala de pe prima linie a matricei C„ va fi C6 + 07, iar ceilalţi trei termeni vor f, 2.4. ECUAŢIIT.F. PE BUCLE, PE NODURI ŞI PE PERKCHIÔDURI 125 respectiv - C6, - C, V 0. Continuînd pe aceeaşi cale se găseşte CB, care este ' c6 + c7 - c* - C7 o - Ce Ce + Os o o " _ c7 o 0 C7 0 0 0 0. Acest rezultat «I. in concordant» ™ expre.ia obţinuţi anterior pentru matricea . Ecuaţiile pe perechi de noduri Variabilele în raport cu care se smu ecuaţnle pe ôdurij. 1 ensiumle nodurilor m iaP“t c t ilor g.a arătat anterior că ten- formează o baza pentru \anabile .. . ltă bază pentru tensiunile „lunile ramurilor pentru nu »lt Ltem de ecuaţii, pe laturi. De aceea ne p tern aş epta la m ;.almlrilol. „mli art)„re drept penr,tl?^^ este repetată aici ta ** «** “r“ Ql(s) = Ql,(«) • {c ’ Matricea Q este de dimeusium » pentru simplificare). In aceasta expichie pe ramuri date în expresia (<3) oblmmd oduce^lpofl-elîile QY(«) V(«) = QI,(«) • , a m i» «* « * * ■ * » prin transformarea corespunzatoaie data de îeiaţ a ţ. ; «YWQ'V.W = «!!. -V(*)V,} (9j) u r i i981» “ v,(.) v,(«) = J, <961» unde .), este exprimarea prescurtată pentru Qţl, — i ^ <97) Vt(s) = QY(«> «’ . Reţinem că această expresie este cu totul similară ecuaţiilor pe noduri date în relaţia (88); diferenţa constă în înlocuirea matricei de incidenţă A prin matricea secţiunilor fundamentale Q, iar variabilele de aici nu sînt tensiunile nodurilor ci tensiunile între perechi de noduri, Vom denumi aceste ecuaţii ecuaţiile pe perechi de noduri. 126 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR Matricea coeficienţilor din ecuaţiile pe perechi de noduri Yt(s) se numeşte matricea aămîtanţă pe perechi de noduri; ea se poate explicita în funcţie de parametrii laturilor substituindu-se relaţia (77). Rezultatul va fi Y , ( » ) = Q Y ( « ) Q ' = « r ( G , + — r , ( 98) S unde c, =QCQ' G( = QGQ' r( =QrQ' ("«) (996) ("c) sînt matricele parametrilor între perechi de noduri. Pentru a ilustra scrierea ecuaţiilor pe perechi de noduri se va utilizai acelaşi exemplu ca şi pentru ecuaţiile pe bucle şi ecuaţiile pe nodui î (fie. 2.18), cu excepţia faptului că aici nu mai apar cuplaje mutuale între laturile 1 si 2. Reţeaua şi graful corespunzător sînt date în fig. 2.21. S-a ales arborele format din laturile 3, 4 şi 7 care este figurat cu linii Fig. 2.21. Exemplu de reţea pentru scrierea ecuaţiilor pe perechi de noduri. 127 2,4. ECUAŢIILE PE BUCLE. PE NODURI ŞI PE PERECHI D^NOPURI^ îngroşate. Laturile din fim» secţiunilor fundamentale sint următoarele . mulţimea secţiunilor «• 1 : (3, 2} 2 : {4, 1, 6, 8} 0 3: {5,1,2, 6} s 0 —1 1 0 0 0 0 4 1 0 0 1 0 —1 0 1 5 1 —1 0 0 1 —1 0 0 0 0 0 1 0 —1 1 *JKU. » * * * £ 1 + ■■— L2S L28 D 3 7 1 : {7, 1, 2} Ordinea coloanelor este aceeaşi ca şi a 1 i r v r « s 5‘ precUm --- 6. +v~+ Lxs QYQV< = 1 1 ’ Lxs +-b+rh+sC’ 1 L2S 1 Lx Ltx s Lxs .(±- + ±) 1 L!« Ui* -MJ tlS !< .c7 + -i-+^- _1 Observăm clin nou că se poate da o interpretare sf admitanţâ a mulţimii f «t™ndo.s B.ammmd a‘™“ caie r P\ văm de exemplu, că s07 + 1/LjS + , ,oW 1ntll de pe linia a 4-a si coloana a 4-a din Y, este suma admitanţelo laturilor în mulţimea secţiunilor 4. Interpretări similare se pot da şi elemente de pe diagonala principală. Observam de asemenea ca unu termeni care nu sînt plasaţi de diagonala principala apar cu semne p ,, iar alţii 5 cu semne minus-, de exemplu, elementul din lima 1 şi coloana a 3-a din matricea Y, este l/i2, Acesta -te admitanja mulţimii secţiunilor 1 şi 3. Orientarea acestei în raport cu ambele mulţimi de secţiuni de aceea teimenul lespectn este pozitiv. 0 0 128 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR Ca o regulă generală, elementele matricei admitanţă a secţiunilor au următoarele interpretări. Fiecare element de pe diagonala principală este suma admitanţelor laturilor care fac parte din mulţimea respectivă de secţiuni. Fiecare element care nu este pe diagonala principală reprezintă admitanţa laturii comune la două mulţimi de secţiuni, semnul său fiind plus dacă orientarea laturii este aceeaşi în raport cu cele două mulţimi de secţiuni şi minus dacă nu este aceeaşi. Se propune cititorului să verifice această regulă pentru matricea Y( dată în exemplul anterior. în ceea ce priveşte sursele, matricea Q(I„ — YV„) reprezintă matricea surselor de curent a mulţimii secţiunilor, ale cărei elemente sînt sumele algebrice ale surselor de curent (incluzînd curentul Norton echivalent al surselor de tensiune) care intervin în mulţimea respectivă de secţiuni. 2.5. DUALITATEA Există un paralelism strîns între sistemele de ecuaţii pe bucle şi sistemele de ecuaţii pe noduri. Această observaţie ridică următoarea problemă interesantă : se pot găsi două reţele astfel încît, cu excepţia simbolurilor, ecuaţiile pe bucle pentru o reţea să fie aceleaşi cu ecuaţiile pe noduri pentru cealaltă ? Cu alte cuvinte, ecuaţiile pe bucle pentru o reţea pot să devină ecuaţiile pe noduri pentru alta, dacă schimbăm între ele simbolurile v şi i ? Pentru a răspunde la această problemă se observă că ecuaţiile pe bucle se obţin atunci cînd relaţiile tensiune-curent pe laturi se introduc în TKT şi se folosesc TKC (sub forma transformării pe bucle). Pe de altă parte, se obţin ecuaţiile pe noduri atunci cînd se inversează ordinea acestor operaţii; adică, relaţiile tensiune-curent se introduc în TKC şi apoi se aplică TKT (sub forma transformării pe noduri). Pe această bază observăm că se poate da un răspuns afirmativ la problema ridicată anterior, dacă există două reţele N1 şi Nz care să satisfacă următoarele condiţii: 1. ecuaţiile obţinute din TKC pentru N1 să reprezinte ecuaţiile corespunzătoare TKT pentru AT2, înlocuind is prin vs pentru orice j. 2. expresia tensiunii unei laturi v, pentru N2, în funcţie de curentul laturii i5 să devină expresia curentului laturii i3 pentru în funcţie de tensiunea laturii v}, prin permutarea lui i} şi v}. Dacă aceste condiţii sînt satisfăcute se spune că JSf2 este ăuală lui De fapt este uşor de observat că dacă N1 şi K2 se permută, condiţiile de mai sus vor fi satisfăcute (dacă ele erau satisfăcute iniţial). De aceea N1 este de asemenea duală lui K2. Dualitatea este o proprietate mutuală; şi N2 sînt reţele duale. 129 2.5. DUALITATEA în LiiLci I llctli î vâncii fi cum , -L . . [a...] matricea de incidenţa a lui N±. Atunci • , formă matriceală condiţia 1 poate stabilită. după urmeaza. Fie A, (100) Bo trebuie să fie egal cu rangul matricei B2. Asttei ?1 — 1-2 (101a) (101b) unde L si l, se referă la numărul de laturi: 1- 1 Ş1 *h + 1 he iefelă n, l-i numărul de noduri al celor două reţele, respec i\. Aceste relaţii constituie condiţii de ^^\ê X Mai intîi, trebuie să existe o coiespondenţa astfel incit retele, definită prin ordonarea coloanelor niatriceloi , i > V relaţia (100). In ^ ”.i X, pondentă între nodurile lui A ţ (liniile matncei , ‘''^„«tu^care satisfac relaţia (100) dS \U vom dezvolta aici proprietăţile abstracte ale *iaf stabili c-îteva consecinţe ale acestcr proprietăţi ). tm,ă „e0metvică Consecinţa de baza este ca o îeţea \a admt • ‘ ,rvînnare pot fi duaîă dacă 5i rumuri dacă ™ to suprapuse astfel câ fiecare nod^1 reţele ,J, j “^“XS^-espondenti interiorul unui oclii al reţelei A 2 şi sensu ‘ .......... i j linia corespun- sint orientate convenabil, atunci o to»» » nod sînt zătoare ei in matricea B, vor b rtwtw. O cu „prim”, icdate în fig. 2.22. Laturile şi buclele lui A„ smt notate < i) Pentru o prezentare mai detaliată se pot consulta : II. Planar Graphs”, Trans. Amer. Math. Soc . \ol. | ’ ţ . towski. „Sur le proWeme des courbes gauches en topologie , 1 unnai 13. p. 271-283, 1930. 9 - c. S54 ”1932. şi C. Kura/ ! Fun( iamenta Mathematlcae, voi. 130 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 131 2.5. DUALITATEA Xodul 1 în 2f1 corespnnde buclei 1' în _Ar2. Cititorul poate verifica că ecuaţiile TKC pentru nodul 1 au aceeaşi coeficienţi ca şi ecuaţiile TKT pentru bucla 2'. Coeficientul curentului i2 în ecuaţiile TKC pentru nodul 2 este +1. ’ Pentru ca în ecuaţia TKT pe bucla 2' coeficientul tensiunii v2 să fie acelaşi şi anume + 1, bucla 2' trebuie să fie orientată aşa cum se arată în fig. 2.22. Urmărind întregul graf, se poate arăta în acelaşi mod că buclele trebuie să fie orientate în acelaşi sens (toate în sensul ■O if(t) - ig(t) 41 -oi(t) v(i) « G v(t) = i(x)dx + v( 0 + ) i(i,< Fig. 2.23. Laturi duale. acelor de ceasornic, dacă laturile sînt orientate ca în figură, sau toate în sens invers acelor de ceasornic, dacă laturile sînt orientate invers). Dacă se aleg ochiurile unui graf planar pentru a scrie ecuaţiile pe baza TKT şi toate buclele sînt orientate în acelaşi sens, atunci termenii care nu sînt plasaţi pe diagonala principală în ecuaţiile pe bucle vor fi cu toţii precedaţi de semnul minus, aşa cum trebuie să fie în ecuaţiile pe noduri. ’ A doua condiţie de dualitate se referă la relaţia dintre laturi. în fig. 2.23 sînt reprezentate perechi de laturi duale, din punctul de vedere al relaţiilor tensiunecurent. Pentru inductanţele mutuale nu există relaţii de dualitate. Prin definiţie, numai reţele planare fără inductanţe mutuale admit reţele duale. Dîndu-se o reţea, fie acesta Nv construirea reţelei duale se face după cum urmează. în interiorul fiecărui ochi al lui Nx se plasează cîte un nod al reţelei duale N%. Un nod adiţional, care va reprezenta nodul de referinţă se plasează în exteriorul lui JVj. Se unesc nodurile reţelei duale prin laturi care traversează fiecare latură a lui N1 comună ochiurilor = ţ[v(x)dx 0 +) + i( 132 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR lui N în care se găsesc cele două noduri ale lui N.2 *). în sfîrşit, orientarea laturilor lui Na se alege astfel încît matricea ecuaţiilor‘ ob|£ute TKT neritru N, (cu toate buclele orientate la fel) sa fie a . mîcea ecuaţiilor obţiuute pe baza TKC pentru Deoarec* cele doua reţele sînt reciproc duale, matricea admitanţa a nodunlm pentru o reţea XUS cu matricea impedanţi a buclelor peutru cealalta „ reciproc; astfel SI ZB1 = V m (102b) ^ jil = 2* Fig. 2.24. Construirea unei reţele duale. Deoarece aceste matrice sînt egale, determinanţii şi cofactorii lor sînt de asemenea egali. Se consideră ca exemplu reţeaua dm fig-/-.4.. Se plasează cîte un nod în interiorul fiecărui ochi şi un nod suplimentar în exterior, aşa cum se arată în fig. 2.^4, a. în i,,. ‘ reprezentat prin linii întrerupte laturile reţelei ^^te, care mtersecteaza fiecare latură a lui N-,. în sfîrşit, reţeaua duala este data m fig. 2.„4 c. Se propune cititorului să verifice relaţiile (100) şi (102) pentru aceste exemple. i) în acest proces este convenabil să se considere sursele drept laturi separate, în scopul construirii reţelei duale. 2.5. DUALITATEA 133 2.6. REŢELELE (CIRCUITELE) XERECIPROCE Şl ACTIVE Matricele coeficienţilor ecuaţiilor pe bncle şi ecuaţiilor pe noduri sînt, respectiv, BZB' şi AVA'. Posibilitatea analizei reţelei pe baza ecuaţiilor pe ochiuri sau a ecuaţiilor pe noduri, în această formă generală depinde deci de existenţa matricei impedanţă a laturilor Z sau matricei admitanţă a nodurilor Y. Pentru reţelele pasive şi reciproce cu care am avut de-a face pînă acum, aceste matrice există. (Această afirmaţie trebuie corectată în cazul transformatoarelor perfecte, pentru care matricea Y nu există.) Acum vom considera reţele care conţin dispozitive active şi/sau nereciproce, împreună cu elemente pasive avînd mai mult de două borne terminale. în tabelul 2.1 se arată aceste componente împreună cu reprezentările lor simbolice, Sînt două aspecte care trebuie considerate, în legătură cu aceste două tipuri de componente. Primul aspect se referă la modul în care aceste componente trebuie să fie reprezentate prin grafuri. Acesta va influenţa numărul ecuaţiilor ce rezultă din TKC şi TKT şi deci matricele A şi R. Al doilea aspect se referă la modul în care trebuie reprezentate laturile pentru a se putea face analiza pe bucle sau pe noduri. Vom examina mai întîi primul aspect, adică grafurile acestor componente, Fiecare din componentele ilustrate în tabelul 2.1 are patru borne terminale. Totuşi, terminalele se consideră totdeauna în perechi, astfel încît e mai potrivit să se considere că ele au două perechi de terminale. Se poate, desigur, să se conecteze împreună cîte un terminal din fiecare pereche, fără a modifica astfel relaţiile tensiunecurent ale componentelor, în felul acesta fiecare dispozitiv poate fi considerat ca avînd trei terminale. Comportarea fiecărui dispozitiv din tabel este caracterizată prin două, relaţii între două perechi de variabile — doi curenţi şi două tensiuni. Acesta reprezintă un caz particular al unei situaţii generale şi anume, comportarea unui dispozitiv cu n terminale poate fi complet caracterizată prin n — 3 relaţii dintre n — 1 perechi de variabile, reprezentînd tensiuni sau curenţi. (Această condiţie este de fapt un postulat şi nu se demonstrează). Pentru un dispozitiv cu o singură pereche de terminale caracterizat printr-o tensiune şi un curent, graful corespunzător este format dintr-o singură latură. Dispozitivele din tabelul 2.1 au cîte două perechi de terminale şi cîte două tensiuni şi doi curenţi; grafurile lor se vor reprezenta prin cîte două laturi între perechile de terminale, aşa cum se arată în fig. 2.25. Dacă se leagă împreună cîte un terminal din fiecare pereche, laturile din graful respectiv vor avea un nod comun. Cele de mai sus sînt valabile pentru dispozitive cu trei şi respectiv patru terminale. Dar unele dintre dispozitivele din tabelul 2.1 prezintă anumite degenerescenţe, ceea ce rezultă din numărul de zerouri care apar în ecuaţiile respective. Pentru sursele controlate, perechea de termi- Sursă de controlată tensiune Sursă de curent prin !11 = [° °l[ y l l Admit ante IffîioJUJ T~ V| ' tensiune I m pedante /•2 controlată Parametri ro o tensiune hibrizi g Lp-n0 prin tensiune Sursă de curent controlată prin Parametri ::Hix ii curent o Girator hibrizi h Impedanţe ±r Oj sau ii o ±g Admitanţe , = F <J CM 1 K» °0J Parametri ±\jk 0 ] Ua 1 Convertor de iinitanţă CP hibrizi h sau ±i/* negativă Parametri hibrizi g 0n 0 "Ipil olUJ -n 0 Transformator ideal o o 2 1° de ? 1 "2 nn '‘1 0 0 controlată prin curent Sursă 1 1 Parametri hibrizi h sau 0 — lin 1 /n 0 Parametri hibrizi g ' 1 2.6. REŢELELE NERECIPKOCE ŞI ACTIVE 135 nale de intrare se găseşte în gol sau în scurtcircuit. Ele vor accepta tensiuni arbitrare şi curent zero, sau curenţi arbitrari şi tensiune zero. Aceasta corespunde la o linie de zerouri în relaţiile tensiune-curent, ceea ce înseamnă că nu există decît cîte o singură reprezentare pentru fiecare tip de dispozitiv. Pentru a scrie ecuaţiile pe bucle (noduri) este necesară totuşi reprezentarea prin impedanţe (admitanţe). Dacă trebuie scrise ecuaţiile pe bucle (noduri) pentru reţele care conţin astfel de dispozitive se vor face anumite transformări prealabile. ’ L2 -o c O < 5 OO -----+<■ • V Z -o a 2 (> 1 b d vi v2 b, d b Fig. 2.25. Diporţi şi grafele corespunzătoare. Cele arătate mai sus sînt ilustrate în exemplul care urmează. Sub- reţeaua din fig. 2.26 conţine o sursă controlată. Graful conţine două laturi (figurate cu linii îngroşate) corespunzătoare sursei controlate. Latura 3 a grafului nu are un corespondent fizic în reţea ; ea corespunde unui circuit deschis. Totuşi, tensiunea acestei laturi, r3 este diferită de zero; şi, deoarece ea apare explicit în ecuaţiile pe laturi, nu poate fi neglijată. Dar se observă că tensiunea v3 poate fi exprimată în funcţie de alte tensiuni; în acest exemplu v3 = t\ — vz. Deci, dacă această relaţie e substituită lui v3 în relaţiile pe laturi nici v3 şi nici i3 nu vor mai apare, în consecinţă, latura 3 poate fi eliminată din’graf. Aşadar, sursa controlată e reprezentată acum printr-o singură latură (latura 4 din graf) şi ecuaţia corespunzătoare ei devine h = gm = 9m - gm v2 sau H 0 0' "V (103) s. 0 ! T * & Acest exemplu se referă numai la unul dintre dispozitivele ce figurează în tabelul 2.1. Deoarece fiecare dintre ele are o reprezentare diferită vor apare diferenţe specifice în tratarea lor. Din acest motiv în cele ce urmează se vor examina sistematic reprezentările prin impedanţe şi/sau admitanţe pentru fiecare dintre ele. ’ Se consideră mai întîi un girator, care poate fi reprezentat fie prin impedanţe, fie prin admitanţe. Aşadar, nu sînt necesare măsuri speciale 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 136 pentru a face analiza pe bucle sau pe noduri. Cu titlu de exemplu se consideră reţeaua din fig. 2.27 care conţine un girator. Graful corespunzător Oratorului va avea două laturi reprezentate prm Imn îngroşate. Fig. 2.26. Subreţea cu o sursă de curent controlată prin tensiune. Fig. 2.27. Reţea cu girator (a) şi graful respectiv (b). Matricea impedanţă a laturilor pentru întreaga reţea inclusiv giratorul se scrie cu uşurinţă. w Pentru numerotarea laturilor şi buclelor data pe figura, matricea impedanţă a laturilor este 0 — r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 IsC r 2.6. REŢELELE NERECIPKOCE ŞI ACTIVE 137 iar matricea buclelor B= '1 0 . 0 0 -1 0 —1 0 0 0 1 0 0 1 —1 0 0 1 r 0 -1. Rezultă că matricea impedanţă a buclelor este ■R* 3 Z = BZB' = — r i l/sC7 — R 4 + -®5 - r L - i isc, (Se propune cititorului să verifice aceste relaţii). Se observa ca prezen,a giratorului face ca matricele Z şi Zffl să devină nesimetrice. întrucît giratorul admite şi o reprezentare prin admitanţe se pot scrie cu uşurinţă şi ecuaţiile pe noduri. Alegind nodul o ca nod de referinţa se obţine matricea de incidenţă 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 —1 —1 0 —1 0 1 şi matricea admitanţă a laturilor -1 0 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 138 Rezultă că matricea admitanţă a nodurilor este AYA' Gs 9 -9 G4 0 -G4 9 -9 0 - (r4 Gi + G5 + G6 -G5 -9 9 — Gb G-0 + sG. (Se propune cititorului să verifice aceste relaţii.) Se observa ca piezenţ*. oiratorului face ca matricele Y şi Yn să devină nesimetrice ^ ® Prezenţa girat orului nu implică deci nici un fel de precauţii in senei ea ecuaţiilor pe bucle SHiU pe noduri. ^ , . Vom examina acum o sursă de curent controlata prin tensiune. O astfel de sursă apare în fig. 2.26. S-a arătat ca latura din giaf co es- punzâtoare intrării acestui dispozitiv poate fi eliminata atunci cînd tensiunea de comandă se exprimă în funcţie de tensiunile celorlalte Dispozitivul este atunci reprezentat prmtr-o singura latiira şi matncea admitanţă a laturilor se scrie uşor, permiţînd analiza re eitn pe^notlu . Dacă se cere însă o analiză pe bucle apare o problema. Ecuaţiile pe bucle implică reprezentări prin impedanţe ale componentelor. l <‘iitni reţeaua din fig. 2.26 trebuie găsită o expresie a tensiunii ®4 xn funcţie dJ cmenti Dar „4 nu apare "explicit în relaţia (103), care este relaţia corespunzătoare pe laturi, ceea ce conduce la un impas. Totuşi se poate găsî îmêmedhi, dacă kU. f din fi*. 2.26, împreună cu Mn * leao-ă în paralel într-o singură latură. Daca t4 este curentul latinii caie rezultă, atunci ecuaţia (103) se înlocuieşte prin H= -Om 'r Acum se poate explicita ®4, după ce fiecare din tensiunile pe laturi a fost eliminată, utilizînd relaţiile tensiune-curent (104) (105) Matricea impedanţă a laturilor se poate scrie acum cu uşurinţă.^ Ce se întîmplă în graf operîndu-se cele de mai sus ? O latură xepie- zentînd sursa controlată a fost eliminată prin combinarea ei cu o alta latură legată în paralel. Evident, acesta cere ca sursele controlate ,sa fie însotite, ceea ce se poate obţine întotdeauna procedmd la deplasarea surselor de curent, Sursele de tensiune controlate prin curent pot fi tratate pe o cale duală. Aici, latura de intrare din graful dispozitivului poate fi elimina,tă, atunci cînd curentul de comanda se exprima m funcţie de curenţii celorlalte laturi. Se poate scrie deci matncea impedanţa a latu 2.6. REŢELELE NERECIPKOCE ŞI ACTIVE 139 rilor şi analiza pe bucle se poate face fără dificultăţi. Totuşi, dacă se cere analiza pe noduri va fi necesar să se combine într-o singură latură sursa controlată şi o latură care o însoţeşte. Aceasta se poate obţine prin deplasarea surselor de tensiune. După această etapă se inversează relaţiile scrise pe laturi şi se obţine reprezentarea prin admitanţe. Detaliile acestor dezvoltări se lasă pe seama cititorului. în tabelul 2.1 apar patru dispozitive care au numai o reprezentare hibridă. înainte de a găsi o reprezentare prin impedanţe sau admitanţe, laturile acestor elemente trebuie combinate cu laturile care le însoţesc şi tensiunile sau curenţii de comandă trebuie exprimaţi în funcţie de curenţii celorlalte laturi. Vom ilustra cele de mai sus considerînd drept exemplu reţeaua din fig. 2.28 a, care > conţine un transformator ideal. Transformatorul ideal poate fi înlocuit printr-o combinaţie echivalentă de două surse controlate aşa cum se arată în fig. 2.28 b. Această etapă nu este Fig.. 2.28. Reţea cu transformator ideal (a), schema echivalentă (b) esenţială; toate celelalte etape şi graful corespunzător (c). se pot parcurge referindu-ne la graf, fără a face apel la această reţea echivalentă. în graful reţelei din fig. 2.28 c laturile corespunzătoare transformatorului sînt reprezentate prin linii îngroşate. Se observă că fiecare sursă controlată este însoţită. Tensiunea corespunzătoare laturii din stingă, Va, este aceeaşi cu tensiunea corespunzătoare laturii care o însoţeşte, V3. Tot aşa, curentul prin latura din dreapta, Ib, 2.6. REŢELELE NERECIPROCE ŞI ACTIVE 139 este acelaşi cu curentul prin latura care o însoţeşte, I4. Ecuaţiile transformatorului sînt -şi Ia = r, (106) ■n Vom scrie acum relaţiile pe laturi pentru transformator, combinîndu-le de această dată cu laturile care îl însoţesc. Fie I3 suma cuientului Ia şi a curentului prin latura 3, iar 74 suma tensiunii Vb şi a tensiunii pe latura 4. Atunci V F4 = sLiIi ~\ --------- = sLiIi + h= sL, Vn (107a) F, n sLo (1076) n Aceste ecuaţii pot fi transcrise pentru a permite reprezentarea prin impedanţe sau prin admitanţe. Se obţin relaţiile Reprezentarea prin impedanţe V. Reprezentarea prin admitanţe I1 1\ 13 \ sL3 n2sLi) nsL, SL3 I*=- 4 nl F3 nsL. sL. V, Ca urmare a acestor etape, laturile a şi & din graf se unifică cu latuiile care le însoţesc şi dispar. (Nodul 5 dispare de asemenea.) Matricea impedanţă a laturilor va fi O (108) si* 3 O sL 0 n n R* 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 140 Se propune cititorului să completeze problema determinînd matricea impedanţă a buclelor Zm. Din cele de mai sus rezultă clar că prezenţa unor dispozitive cu patru terminale ridică anumite probleme în scrierea ecuaţiilor pe bucle sau pe noduri, dar aceste probleme nu sînt de nerezolvat. Dacă încercăm să scriem aceste ecuaţii sînt necesare cîteva transformări prealabile. Aceste transformări implică unificarea anumitor laturi şi efectele corespunzătoare în graf. Cu toate că graful acestor dispozitive este reprezentat in general prin două laturi, am eliminat uneori cîte o latură, unificînd-o cu alte 2.29. Matrice laturi M^’z tlg' impedanţă, potenţial singulară din graf. Laturile de control a surselor comandate au fost eliminate (după ce tensiunile sau curenţii de comandă au fost eliminaţi, fiind G expn- inaţi în funcţie de alte mărimi). Laturile controlate au i+ fost de asemenea eliminate din graf, ori de cîte ori s-a dorit o analiză care nu corespundea reprezentării naturale a dispozitivului. Mai tîrziu vom găsi alte căi de tratare a laturilor grafurilor pentru aceste dispozitive. ^ Trebuie să observăm că în cazul reţelelor mici o tratare sistematică implică eforturi mai mari decît acelea de a scrie direct ecuaţiile pe bucle sau pe noduri. în plus, efortul este amplificat de necesitatea iepi ezentăi ii dispozitivelor într-un mod care nu este cel natural. în paiagiaful următor vom considera altă tratare, care utilizează o reprezentare hibridă directă. în fine: prezenţa dispozitivelor nereciproce şi/sau active într-o reţea, semnifică imposibilitatea de a găsi o soluţie unică, pentru divei se valori ale parametrilor reţelei. Această idee este ilustrată de reţeaua din fig. 2.29, care conţine o sursă de tensiune controlată în tensiune. Pentru această reţea, matricea admitanţă a nodurilor va fi singulară dacă <?! = (& — 1 )G2. Deci în acest caz nu există soluţie. Propunem cititorului să verifice această afirmaţie. 2.7. ECUAŢII CU VARIABILE MIXTE \m observat în ultimul paragraf că intenţia de a scrie ecuaţiile pe bucle sau pe noduri, în cazul reţelelor cu elemente cu mai multe borne terminale ridică probleme, pentru anumite tipuri de elemente. Reuşita în scrierea ecuaţiilor pe bucle sau pe noduri depinde de existenţa unei reprezentări prin impedanţe sau admitanţe a relaţiilor pe2.7.latuii. Daca un dispozitiv cu mai multe borne terminale ECUAŢII CU VARIABILE MIXTE 141 nu are o asemenea reprezentare sînt necesare anumite transformări şi combinaţii prealabile ale laturilor, pentru a fi posibilă scrierea ecuaţiilor dorite, Vom prezenta acum o schemă care evită aceste transformări prealabile si permite utilizarea relaţiilor pe laturi in forma lor naturala, Dintre toate elementele de care dispunem, cîteva (incluzînd B, >, C si oiratoarele) au ambele reprezentări - prin impedanţa şi prin adnn- tantîT: una (sursa de curent controlată prm tensiune are numai lepiezei ^ tare prin admitanţă, alta (sursa de tensiune controlata, prm £™'ent)ê numai o reprezentare prin impedanţa; şi unele ^ sursa de tensiune controlată prm tensiune şi sursa de cuient controlata prin curent) au numai o reprezentare mixtă sau hibrida. Orice schema trebuie să se încadreze într-una din aceste categorii. Trebuie sa ne iimmtim că tensiunile ramurilor formează o bază, în funcţie de care pot ^ expu- mate toate tensiunile laturilor. In mod similar, curenţii joncţiunii™ formează o bază în funcţie de care pot fi exprimaţi toţi curenţii latuiiloi. Tinînd seamă de acestea, dîndu-se o reţea se alege mai intn un arbore, în loc să se exprime relaţiile pe laturi sub forma \ - IA sau I - se scriu nişte relaţii mixte de forma —nn l—n sau Z, H II2i12 n — A If I, V,J (109) Y( H21I( H18V( Y, V, ao 9)0 (Dimensiunile submatricelor sînt cele indicate în relaţia ôtaţ«le - pentru matricele coeficienţilor s-au ales pentru a facilita memorarea Pentru uniformitate ar fi trebuit ca prima submatrice dm puma linie să se noteze prin H u, iar ultima submatrice din lmia a doua P™ Dar, deoarece ele sînt de natura unor impedanţe şi respectiv admitanţe, s-a ales o notaţie mai simplă şi mai sugestivă. (110a) (110b) 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 142 în aceste ecuaţii am exprimat curenţii ramurilor şi tensiunile joncţiunilor în funcţie de un grup de variabile mixte formate din tensiunile ramurilor şi curenţii joncţiunilor. Aici se observă posibilitatea de a utiliza o reprezentare hibridă a laturilor dacă laturile cu astfel de reprezentări se aleg dreptjoncţiuni sau ramuri în mod convenabil. Acest punct de vedere va fi accentuat pe scurt în cele ce urmează. Urmează să se aplice TKT şi TKC. Presupunem că se aplică TKT pentru buclele fundamentate corespunzător unui arbore dat, iar TKC se aplică mulţimii secţiunilor fundamentale. Utilizînd relaţiile (68) şi (69) pentiu TKT şi TKC; făcînd o partiţie a matrieelor B şi Q deformă uzuală, cu B = [B, U] şi Q = [U Q;]; şi amintindu-ne că B, = — Q,' din relaţia (41) se obţine : [B, U] V = - Oi V, + V, = BV, (lila) si tu Q»][j j = Ii + Oi I, = QIff. (111*) (Indicele / care înseamnă „fundamental” a fost omis pentru simplitate). Prima din aceste relaţii poate fi soluţionată în raport cu V;, a doua poate fi soluţionată în raport cu I( iar rezultatul se poate introduce în relaţia (110). După rearanjarea termenilor se obţine : <-» Acesta este un un sistem de ecuaţii în raport cu variabile mixte reprezentînd tensiuni şi curenţi; şi anume, tensiunile ramurilor şi curenţii joncţiunilor. Apar aici tot atîtea variabile cîte laturi sînt în graf, ceea ce reprezintă preţul pe care trebuie să-i plătim. în partea din dreapta semnului egal, se poate face de asemenea o partiţie a matricei Q iar B( se poate înlocui prin — Qj. Astfel, pentru o reţea dată, este suficient să se găsească matricea Q şi să se scrie relaţiile tensiune-curent date de relaţia (109). Pentru aceste relaţii se cunosc matricea Q; şi submatricele parametrilor laturilor H, aşadar se pot scrie relaţiile (112). Se observă că atunci cînd nu apar dispozitive cu mai multe terminale în reţea, H12 = H21 = 0. în acest caz, după ce se separă ecuaţia matriceală (112) în două ecuaţii, dacă se substituie a doua ecuaţie în prima se ajunge la ecuaţiile pe perechi de noduri; dacă se substituie prima ecuaţie în a doua se ajunge la ecuaţiile pe bucle. Se propune cititorului să demonstreze adevărul acestor afirmaţii. 2.7. ECUAŢII CU VARIABILE MIXTE 143 Forma ecuaţiilor din relaţia (110) depinde de arborele ales. Oiice latură R, L sau’ C admite atît o reprezentare prin impedanţă cît şi una prin admitanţă şi poate fi aleasă atît ca ramură cît şi ca joncţiune (vezi tabelul 1). Giratoriii are de asemenea ambele reprezentări, astfel cele două laturi ale sale pot fi atît ramuri cît şi joncţiuni. Cu toate acestea, cînd tensiunea unei laturi se exprimă în funcţie de curentul alteia, ambele laturi trebuie să fie sau ramuri sau joncţiuni. Tabelul 2.2. Ramuri sau joncţiune Dispozitivul Tipul reprezentării Latură de comandă 1 j Latură comandată Girator Admitanţe sau impedanţe Ramură sau joncţiune Ramură sau joncţiune Sursă de curent controlata în tensiune Admitanţe Ramură Ramură Sursă de tensiune controlată in curent Impedanţe Joncţiune Joncţiune Transformator ideal sau NIC Parametri hibrizi h sau g Ramură sau joncţiune Joncţiune sau ramură Sursă ele tensiune controlată în tensiune Parametri hibrizi g Ramură Sursă de curent controlată in curent Parametri | hibrizi h Joncţiune Joncţiune Ramură Deoarece sursa de tensiune controlată în curent are numai reprezentare prin impedanţă, ambele sale laturi trebuie să fie joncţiuni. Invers^ pentru sursa de curent controlată în tensiune : există numai o reprezentare prin admitanţă, deci ambele sale laturi trebuie să fie ramuri. în cazul transformatorului ideal şi al convertorului în imitanţă negativă (NIC) există sumai reprezentări hibride, dar sînt două posibilităţi: parametrii hibrizi h sau parametrii hibrizi g; astfel, tensiunea de intrare şi curentul de ieşire se pot exprima în funcţie de tensiunea de ieşire şi curentul de 139 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR intrare sau invers. Deci una dintre cele două laturi trebuie să fie o ramură, cealaltă o joncţiune şi nu are importanţă care este aceea. în fine, sursa de tensiune controlată în tensiune şi sursa de curent controlată în curent au ambele numai reprezentări prin parametrii hibrizi. Pentru prima dintre acestea, curentul pe latura de comandă este bine determinat (fiind zero), aşadar latura trebuie să fie o ramură ; tensiunea pe latura comandată este determinată, aşadar aceasta trebuie să fie o joncţiune. Situaţia este inversă pentru sursa de curent controlată în curent. Aceste rezultate sînt prezentate sintetic în tabelul 2.2. Deoarece există limitări în ceea ce priveşte posibilităţile de alegere (ramură sau joncţiune) a laturilor unor reţele ce conţin componente cu mai multe terminale, poate fi imposibil să se găsească un arbore care să permită fiecărei laturi să fie ceea ce indică tabelul 2.2. în acest caz, tratarea prezentată va fi abandonată. Se observă că nu există un motiv pentru a scrie relaţiile pe laturi in forma din (109). Ele pot fi scrise în formă inversă, după cum urmează : Iz v(. Gn <M Gn fV,l ^22. în acest caz denumirile de ramură şi joncţiune care apar în ultimele două coloane ale tabelului 2.2 vor trebui să fie inversate. Aceasta face ca ecuaţiile corespunzătoare relaţiei (112) utilizînd matricea G să fie mai complicate. Detaliile obţinerii acestor ecuaţii nu vor fi abordate. în orice caz, dacă una dintre aceste reprezentări hibride eşuează, cealaltă va reuşix) Pentru a ilustra scrierea ecuaţiilor cu variabile mixte, se consideră din nou reţeaua din fig. 2.28, care este redesenată aici în fig. 2.30. Un arbore posibil este arătat în graf prin linii îngroşate. în scopul comparaţiei este făcută aceeaşi numerotare a laturilor ca şi înainte, dar nu este cea naturală pentru arborele selectat; în scrierea ecuaţiilor trebuie acordată atenţie ordinei laturilor. Matricea mulţimii secţiunilor fundamentale luate în ordinea 1, a, 4, 5 este 4 1 ‘1 0 0 5 .0 0 0 1 : 1 a a 4 5 0 0 0: 1 0 0: 0 1 0: 2 0 1 0 --1 —1 0 b 1 3 0' 1 ’ 0,= 0 0 0_ 1 0 0 --1 1 —1 0 0 ' 0 .1 0 0 *) Problema poate Ii rezolvată, chiar dacă ambele eşuează, printr-o transformare care foloseşte doi arbori. E clar, totuşi, că eşecul ambelor reprezentări se poate produce numai pentru reţelele care au mai multe surse controlate intr-o conexiune particulară. Deci necesitatea unei asemenea transformări este atît de rară încît nu sîntem îndreptăţiţi să continuăm discuţia. 2 7. ECUAŢII CU VARIABILE MIXTE 145- Pentru a scrie relaţiile tensiune-curent în forma corespnzătoare re^ţiei (109) , variabilele ramurilor şi joncţiunilor smt dispuse m matuce eoloa a- în aceeaşi ordine ca şi în matricea Q. Astfel n' Vo z; Hl2 1T3 = h Fi 1121. la h h h Is Y, Va Vi VR h 2 n:1 ^ Acum se cunoaşte matricea II. Singurele laturi care vor da termeni nesituaţi pe diagonală sînt acelea ale transformatorului Ecuaţiile corespunzătoare lor sînt = Vajn şi Ia = — Ib!n- Rezultă ~h "00 0 0 0 0 0 0 S L2 0 0 0 0 0 sLa 0 'yb' v* h h Vi h Ia h h - 000 —1n00 000 000 0 0 0< 0 0? 0 GR 1 0 0 0 â V* .V 5 Din această expresie sînt uşor de identificat submatricele II. în ceea ce priveşte sursele se presupune că nu există curenţi iniţiali prin bobine; astfel \Q = 0, şi V„ este diferit de zero numai în primul 10 — C. 854 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 146 element, care este o ramură. Deci BV„ se reduce la B ( \rgt = — Q, \gt, unde, înloeuindu-se expresia obţinută anterior pentru Q, se obţine 0 —1 0 - Q; V„ = 01 1 10 0 10 0 — ' BV, = — Acum toate submatricele care intervin în relaţia (112) sînt determinate, înlocuind în relaţie obţinem ■ G, 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 /sLi 0 0 06 0 1 jn 1 -1 1 00 00 —1 . 0 -1 0 1 0 Ti 0 —1 0 0 1 0 0 Va 0 0 0 0 0 0 0 0 S L2 —1 In —1 1 0 0 S^3 y4 v* = 0 h V, h 0. (Propunem cititorului să verifice acest rezultat). Aceasta este o ecuaţie matriceală de ordinul 7. Totuşi, ea nu este atît de complicată pe cît se pare, deoarece în matricea coeficienţilor mulţi termeni sînt zero. 6 Fig. 2.31. Exemplu de circuit CH tranzistoare Să considerăm încă un «“'P*'l^te*Sra^tS in curent, aşa cum «te un model simplu de sursa de cn.en ţ^j£» de obicei arborele, •f arată în fig. 2.31 i. Liniile giioase m grai tebehlhli 2.2, aceasta Latura 7 este latura (le. 00 ?f11Tfp si latura controlată în curent (latura o) latură trebuie sa fie o joncţiun formatorul ideal o latură trebuie îT. ramură^1 cealaltă o jongiun. Odată ce “ — ^^S^T^ŞSPS. determinate. Acum pot , ferise” relaţiile pe laturi şi matricea Q 0 0 0 0 0 0 o o o 0 0 0 0 0 0 0 o o o 0 0 0 0 0 0 n oo 0 0 0 R9 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 h 0 0 0 0 0 G2 0 oo h 0 0 -n 0 0 0 0 oo 1 jsC v7 T78 FB h h h Is h Vi oo V2 V 3 vt h 0 0 0 0 0 0 0 .h sC 0 p 0 0 0 0 0 io 10 0’ oo 1 o -1 o 0 0 1oo- 0 1o01 0 1 o Q= = s 00 0 0 0 0 0 — 11 Q,= o 10 o 0 1 0 0 -1 00 1 0 o 0 0 1 0 0 10 -1 o 0 0 0 1 1 01 0 0 0 o Matricele surselor sînt ^40 51 l160> ?ir( 60 Js. 1 [vs 1 ^repvezentat^ca surse de tensiune ij. 148 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR Deci Q I „ devine \Jt = [Ig 0 0 0 0]' şi B Y „ devine — O - \ ' & f + \ol = = [vjs vjs 0 0]'. După introducerea acestora în relaţia (112) se obţin ecuaţiile finale I, 01 0 0 0 0 0 1 0 0 r r* 1 <!, 0 0 0 0 1 —1 1 0 r* 0 y* 0 0 0 0 0 —1 0 —n 1 0 sCi V* 0 0 0 0 0 —1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 p 0 n 0 1,/sO h ^60 /* 0 -1 1 0 —1 0 0 0 g vwls I-, 1 1 —1 0 0 0 0 0 0 n -1 —1 0 0 0 0 0 0 18 0 EB I, .0 0 —1 0 0 0 0 0 .0. ’ Dimensiunile matricei pot apărea impresionante, dar trebuie sâ observăm că termenii nenului sînt destul de puţini. Pentru a rezuma caracteristicile ecuaţiilor cu variabile mixte, după selecţia unui arbore relaţiile tensiune-curent pe laturi se scriu sub forma unei singure ecuaţii matriceale în care curenţii ramurilor şi tensiunilor joncţiunilor sînt exprimaţi funcţie de tensiunile ramurilor şi curenţii joncţiunilor. Apoi se aplică TKC mulţimii secţiunilor fundamentale corespunzătoare arborelui ales şi TKT buclelor fundamentale pentru a elimina curenţii ramurilor şi tensiunile joncţiunilor. Eelaţiile rezultate se aranjează pentru a obţine un sistem ele ecuaţii în raport cu tensiunile ramurilor şi curenţii joncţiunilor. ÎTumărul de ecuaţii este egal cu numărul laturilor, şi este acelaşi cu suma dintre numărul ecuaţiilor pe bucle şi numărul ecuaţiilor pe noduri. Acesta este dezavantajul principal al procedeului. Avantajul constă în aceea că dispozitivele cu mai multe terminale sînt încadrate prin reprezentarea ^ lor naturală. Se poate face încă o observaţie. în alegerea arborelui nu apar restricţii decît în cazul dispozitivelor cu mai multe terminale. Dispozitivele cu două terminale pot să apară fie în arbore fie în coarbore intrucît ecuaţiile respective nu fac distincţie între condensatoare, bobine şi rezistenţe. Aşa cum vom arăta într-un capitol următor, situaţia se schimbă atunci «înd se scriu ecuaţiile de stare, întrucît acolo există motive ca bobinele şi condensatoarele să fie atribuite într-un mod bine precizat fie arborelui, fie cearborelui. PROBLEME P 1. Cînd s-au scris ecuaţiile de stare pentru reţeaua în punte din fig. 2.2. s-au introdus relaţiile pe laturi în TKT pentru a elimina toate tensiunile pe laturi, cu excepţia tensiunii pe condensator. Apoi s-au lolosit TKC pentru a elimina curenţii unor la’uri. Acum. plecînd ?, = r S " * « p E i ™ 1„ vLn, \ % i“SSî“săii“S”‘«cŞi '„«“ir", s,;:^»~™.” unui arbore (Aceasta este reciproca teoremei de la pag. 8 /). V4. Să se arate că orice mulţime compusă din n laturi ale unu, graf comx cai, n conţine nici o buclă formează un arbore. ,. 1’ 5. Se poate face o partiţie a din X'corespund joncţiunilor unui cXane"e unde coloanele din Af corespund ramuiîloi umUe cazuri ea poate fi 0 matrice unitate, arbore. Submatncea At este n e s i n g u l a r d d e m o n s t r e z e şi să se ilustreze Care trebuie să fie structura arborelui pentiu ca - L . cu un exemplu. «ntrirei buclelor B care are i e i — B j corespund joncţiunilor pentru m un coarbore al grafului care este presupus conex. p 7. Un graf liniar are cinci noduri şi şapte laturi. Matricea de incidenţă redusa pentm d acest graf este -1 1 -1 A= 0 laturile {1, 3, 4, 5} _ -1 0 0 0 0 1- 1 0 0 0 0 1 Ci 0 0 -1 -1 0 -1 0 0 0 constituie un arbore 0_ -1 Făi â să S’Sn,™ un arbor. orecr. si s. d.ttnmn, matrica «c,iunil« ta—* Q, |M a desena graful). fdi «;*i se determine numărul arborilor din grai. (e' st se deseneze graful şi să se verifice rezultatele precedente. P 8. Să se repete problema 7 pentru următoarele matrice de incidenţă şi pentru laturi e <•* “ "* * **"“ menţionate : (a) (b> A= 0 0 1 1 0 î 0 0 -1 1 0 -1 ■ 1 1 lat L —1 0 -1 0 0 -1 -0 0 -1 1 1 0 0- 1- A= _ laturi : {2, 3, 4} 0 0 1 0 0 0 1 0 1 e -1 0 0 0 0 -1 0 -î 0 0 -1 0 0 1 0. laturi: {1, 3, o, 6} P 9 Să se demonstreze următoarea afirmaţie : într-un graf liniar orice mulţime de secţiuni un număr par de laturi comune cu orice bucla. , , 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 150 “ 0 -1 0 P 10. Pentru A = [Aj Aj] şi Bf = Aj)'. Astfel pentru a obţine Bf trebuie să dispunem de A“*. utilizate [P( 1J se ştie că B t — — (A( Care din matricele de mai jos sînt recomandabile a fi drept Aj 1? (••) (a) (<• ) Al 1-1 0 0 1-1 0 01 P 11. Fie A = [Af Aj], unde A( este o matrice nesingulară. Să se demonstreze că elementele nenule din fiecare linie a matricei Aj” trebuie să fie toate de acelaşi semn. P 12. Se defineşte matricea căilor unui arbore P = [py] după cum urmează: = + 1 (sau — 1) dacă latura j face parte din calea directă (unică) din arbore între nodul i şi nodul de referinţă iar orientarea sa coincide (sau este opusă) cu orientarea căii, şi — 0 dacă latura j nu face parte din calea respectivă. Matricea căilor este o matrice pătrată ale cărei linii corespund căilor dintre nodurile respective şi nodul de referinţă iar coloanele corespund ramurilor; de exemplu, elementele nenule care apar să zicem, în coloana a treia, precizează căile din care face parte ramura 3 ; iar elementele nenule care apar, să zicem, în linia a patra, precizează ramurile care intervin în calea de la nodul 4 la nodul de referinţă. Să se scrie matricele căilor pentru fiecare din arborii : {2, 5, 6, 8, 9}, {1, 3, 9, 10, 12} şi {l, 6, 7, 8, 11} care apar în graful din fig. 2. P.12. 4 Fig. 2.P.12. P 13. Cînd se calculează matricele B f sau Q t plecînd de la matricea de incidenţă este necesar să se calculeze Af . Kste deci necesară o metodă simplă de calcul. Să se arate că Af1 = P', unde P este matricea căilor pentru arborele ale cărui ramuri corespund coloanelor din matricea A(. P 14. Utilizînd rezultatele din Problema 13 să se determine Af pentru arborii din Problema 12. Să se verifice rezultatul prin calculul produsului A(P'. în fiecare caz să se verifice rezultatul din Problema 11. P 15. (a) Două laturi apar în paralel într-un graf. Să se găsească relaţiile intre coloanele corespunzătoare acestor laturi din matricea Qf. (b) Aceeaşi problemă pentru două laturi în serie. P 16. Fie Q, = [U Q;]. Presupunem că în matricea Q;, pe coloana j apare un singur element nenul pe linia k. Ce se poate spune despre structura grafului în ceea ce priveşte laturile j şi A ? ; 151 PROBLEME P 17 Fie Q, = [V Q(] Şi B, = [B( V]. Se presupune că se dă matricea Q, pentru un graf. §5 g Te SEK'a pentru gratul respectiv şi unicitatea acestui graf atunci cînd se dă matricea Q, sau B,. P 18. Sa se determine numărul de arbori pentru grafurile din fig. 2.P.18. 3 Fig. 2.P.18. P 19. Să se arate că un graf conţine cel puţin o buclă dacă două sau mai mult ' sint incidente la fiecare nod. ste " caturilor o formează curenţii ochiunior. P21. Utilizînd conceptul de dualitate să se arate că ecuaţiile scrise pe baza 1K pentru ochiurile unui graf planar sînt liniar independente. P 28. într-un graf latura , reprezintă o ramură a Si mentale determinată de ( conţine w mulţime e jonc.iu i > 2 ’ t lâ sâ se araţe că fiecare arbore. Fiecare din aceste joncţiuni definesc o buc a fundamenta a. Sa se arau din buclele fundamentale formate cu joncţiunile l L , fa,... conţine lamura P 23, Fie B matricea buclelor formate din ochiurile grafului din fig. 2. P.23. Fig. 2.P.23. (a) Să se calculeze B'CB-1)' şi să se verifice că curenţii laturilor sint corect exprimaţi in funcţie de curenţii joncţiunilor pentru arborele aratat in *lgura‘ .{ice că B = B'pT 1 ). (b) Pentru acelaşi arbore să se determine direct B, şi sa se (c) j i Să se verifice transformarea pe ochiuri. p 24. în graful din fig. 2. P.18 b, laturile {2, 3, 7, 6} formează o buclă. SI se verifice rezultatul problemei 3 pentru această mulţime de laturi. P 25. în graful din fig. 2. P.18 b laturile {2, 4, 5, 6} formea;A un arbore. Se “re_partiţia matricei A de forma [A* A*] utilizînd acest arbore. Apoi, pentru B, - [B( Xj] şi ft/ - [ Q*J să se determine B^ şi Qj şi să se verifice relaţia Bj y 152 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR P 28. E posibil ca două bucle fundamentale dintr-un graf, pentru un arbore dat să aibă ramuri şi noduri comune. Să se arate că e posibil ca două bucle fundamentale să aibă două noduri comune, numai dacă calea dintre cele două noduri în arbore este comună celor două bucle. P 27. în fig. 2 P.27 apar următoarele bucle : bucla 1 : a, e, g, b bucla 2 : d, c, g, f bucla 3 : a, d, f, j, h, b bucla 4 : e, c, h, j J f Fig. 2.P.27. fa) Ecuaţiile scrise pe baza TKT pentru aceste bucle sînt independente? (lt) Se cere (1) să se găsească o mulţime de joncţiuni care formează bucle fundamentale ce constituie ochiuri ale grafului sau (2) să se arate că nu există o astfel de mulţime. P 28. Într-o reţea liniară se defineşte puterea din latura j prin pj{i) = Vj{t)ij(t) unde notaţiile sînt cele uzuale. (a) Pentru o reţea dată, unde TKC şi TKT sînt satisfăcute, să se arate că 2j ’j(0 = = v (O'HO = 0, unde suma se face pentru toate laturile reţelei. Relaţia v'i = 0 se ûrneşte teorema lui Tellegen. (b) Se presupune că teorema lui Tellegen şi TKT sînt satisfăcute Să se arate că TKC rezultă ca o consecinţă. (e) Se presupune că teorema lui Tellegen şi TKC sint satisfăcute. Să se arate că TKT rezultă ca o consecinţă. Această problemă demonstrează că din cele trei teoreme TKC, TKT şi teorema lui Tellegen oricare două pot fi considerate drept fundamentale ; a treia poate fi dedusă ca o consecinţă. P 29. Să se construiască reţelele duale pentru reţelele din fig. 2.P.29. Numerele care apar In figură reprezintă valorile elementelor R, L, C. 2 a b d c Fig. 2.P.29. 153 PROBLEME P 30. (a) Dacă într-un graf două laturi apar în paralel sau în serie cum sint laturile corespunzătoare din graful dual? Să se verifice pentru fig. 2.P.29. (b) în fig. 2.P.30 se reprezintă reţeaua din fig. 2. P.29 b . în interiorul chenarului se afla reţeaua in T podit. Cum arată subreţeaua corespunzătoare din reţeaua dualâ? ((.) Care este structura reţelei duale pentru reţeaua în punte din fig. 2. P.29 c ? Ti Fig. 2.P.30. P31 Pentru reţelele din fig. 2.P.29 să se scrie ecuaţiile pe bucle utilizînd ochiurile drept bucle si curenţii’ochiurilor drept bază pentru mulţimea curenţilor. Pentru care din aceste reţele ochiurile reprezintă bucle fundamentale pentru un arbore dat? Alegind alt arbore decit cei de la punctul precedent să se scrie ecuaţiile pe bucle, pentru buclele fundamentale. P 32. Pentru reţelele din fig. 2.P.29 se alege nodul inferior drept nod de referinţă. Să se serie ecuaţiile pe noduri. P 33. Pentru reţelele din fig. 2.P.29 să se aleagă un arbore şi să scrie ecuaţiile pe perechi de noduri cu tensiunile ramurilor acestui arbore drept variabile de baza. P 34. Se, dă reţeaua din fig. 2.P.34. (a) Să se scrie ecuaţiile pe perechi de noduri pentru arborele din figură. (b) Să se scrie ecuaţiile pe noduri alegind un nod de referinţă convenabil. 8. P 35. Pentru reţeaua din fig. 2.P.29 să se scrie ecuaţiile pe noduri şi să se verifice că matricea admitanţă a nodurilor devine singulară ciiul G t = (/>' — 1)G2. 154 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR P 36. în fig. 2. P.36 este reprezentată o reţea pentru care matricea admitanţă a nodurilor sau matricea impedanţă a buclelor pot fi singulare. Să se determine relaţiile dintre parametrii, care determină aceste singularităţi. ’ R2 Fig. 2.P.36. P.37. Pentru reţeaua din fig. 2.P.37 să se scrie sub formă matriceală : (a) ecuaţiile pe noduri; (b) ecuaţiile in variabile mixte; (e) să se arate care sînt toţi arborii din graful respectiv. 14 38. Pentru reţeaua din fig. 2.P.38 să se scrie (a) ecuaţiile pe bilele, (b) ecuaţiile în variabile mixte (utilizînd circuitul echivalent liniar pentru diodă la semnale mici) şi (c) să sc arate care sînt toţi arborii posibili. 4P 43. Să se pregătească un program pentru a determina matricea redusă de incidenţă pentru o reţea conexă avînd drept date iniţiale datele din Problema 42. *P ii. Să se pregătească un program pentru a determina : (a) matricea buclelor fundamentale din relaţia (34); (b) matricea secţiunilor fundamentale din relaţia (43); Datele pentru această problemă sînt cele din Problema 43. *P <55. Să se pregătească un program pentru a determina numărul de arbori dintr-o reţea pe baza relaţiei (20). Se va specifica formatul datelor iniţiale. *P46. Să se pregătească un program pentru a determina pentru o reţea R, L, C: (a) matricea admitanţă a nodurilor; (b) matricea impedanţă a buclelor; (o) matricea admitanţă între perechi denoduri, utilizînd : (1) matricele parametrilor între perechi de noduri din relaţia (91), (-) n,atrl( parametrilor buclelor din relaţia (83) şi (3) matricele parametrilor intre perechi de noduri din relaţia (99) respectiv. Se presupune că datele de intrare smt prezentate printr-o sec\en a de cinci numere : primul identifică latura, al doilea identiiica nodul de plecare al treilea identifică nodul de sosire, al patrulea identifică tipul laturii (1 pentru C2, pentru R şi 3 pentru L) al cincilea este valoarea parametrului laturii. Se presupune că (1) matricea redusa de incidenţa (2) matricea buclelor fundamentale şi (3) matricea secţiunilor fundamentale au fost evaluate prin programele din Problemele 43 şi 44. *P 47. Să se combine programele din Problemele 43, 44 şi 46 într-un singur program, care să permită determinarea matricei admitanţă a nodurilor, matricei mipedanţa a buc e or şi/sau matricei admitanţă între perechi de noduri pentru o reţea R, L. C corespunzător opţiunii beneficiarului. PROBLEME 2.31. 155 I’39. Să se găsească toţi arborii posibili pentru care se pot scrie ecuaţiile în variabile mixte în cazul reţelei din fig. ’ P 40. Să se arate că matricea impedanţă a buclelor Z m = B/ZBJ, poate fi scrisă sub forma Z; 4- Qj Z(Q;, unde s-a făcut o partiţie convenabilă pentru matricele Q t = [U Q(] şi Z. 2. TEORIA GRAFURILOR ŞI ECUAŢIILE REŢELELOR 156 Vii. Să se arate că pentru reţelele R, L, C ecuaţiile in variaţiile mixte din relaţia (112) pot fi transformate în ecuaţiile pe bucle sau în ecuaţiile pe perechi de noduri. în următoarele 6 probleme se cere pregătirea unui program de calculator care să servească la obţinerea soluţiilor unor anumite probleme. în fiecare caz se ya elabora piogramul sub formă de organigramă, precum şi lista de instrucţiuni corespunzătoare într-un limbaj uzual, cum este FORTRAN 4, pentru un calculator numeric care să execute lucrarea specificată în problemă. Se vor include şi indicaţiile de utilizare a programului. *P 4° Să se pregătească un program pentru a identifica un arbore dintr-un graf conex cînd fiecare latură si orientarea ei în graf sînt specificate prin trei numere : primul număr identifică latura, al doilea identifică nodul din care pleacă iar al treilea identifica nodul m care soseste Programul trebuie să renumeroteze de asemenea laturile astfel încît ramurile sa fie numerotate de la 1 la n, iar joncţiunile de la n + 1 la l. Un exemplu tipic de asemenea date ne oferă fig. 2.P.42. 5 — O—— r- Ve 2 — © Fig. 2.P.42. a £ X O CC- — 1 4 2 1 3 2 4 3 5 1 6 3 C/Î 3 Funcţii de circuit (reţea) în ultimul capitol s-au descris un număr de metode sistematice, aplieîndu-se legile fundamentale din teoria circuitelor, pentru obţinerea unor seturi de ecuaţii ca ecuaţiile pe contur, la noduri, la perechi de noduri sau ecuaţii cu variabile mixte. Desigur, aceste metode nu sint, in mod necesar, simple de utilizat în toate problemele. în multe probleme referitoare la circuite de complexitate structurală moderată, simpla aplicare a unor proprietăţi sau teoreme (Norton, Thevenin etc.), poate conduce, fără îndoială, la rezolvarea problemei, mult mai uşor decît scrierea şi rezolvarea de exemplu a setului de ecuaţii pe contur. Ecuaţiile la care conduc metodele sistematice descrise sint diferenţiale sau integrodiferenţiale. Se pot folosi metodele clasice de rezolvare a lor, dar în continuare se presupune că soluţiile vor fi obţinute cu ajutorul transformatei Laplace. Presupunînd că un circuit şi transformatele Laplace ale ecuaţiilor ce descriu comportarea sa sînt accesibile, să ne întoarcem la soluţia acestor ecuaţii şi la funcţiile de circuit care descriu comportarea circuitului. 3.!. FUNCŢII DE INTRARE ŞI DE TRANSFER Fiind dat un circuit liniar, invariabil în timp, excitat de un număr de surse independente de curent şi tensiune, cu valori iniţiale arbitrare pentru tensiunile pe capacităţi şi curenţii prin bobine (care pot fi de asemenea reprezentate ca surse independente), se poate scrie un set de ecuaţii pe contur, la noduri sau la perechi de noduri. Circuitul poate fi 157 3.1. FUNCŢII DE INTRARE ŞI DE TRANSFER • +m, fi» -nociv în formă matriceală aceste ecuaţii a nereciproc sau poate sa nu ne pasn . in vor fi toate similare. Astfel: (la) Z„(»)U*) = E(*) (contur) V„(s)VB(S) = J(«) (nod) (1 V,(«)V,(*) = J,(*) (perechi de noduri) b) Membrul drept al acestor ecuaţii conţine contribuţiile surselor, (IC) inclusiv «le surselor echivalente condiţiilor iniţiale nenule; de exemplu, J — [</<], ŞirIrselor de comit, inclusiv ech.valenţele Norton ■i surselor de tensiune. . . Soluţia simbolică a acestor ecuaţii se obţine simplu ^WS* fiecărei ecuaţii cu inversa matricei corespunzătoare a coeficienţiloi. Astfe . (2a) Iin(s) = Z,»1 E(*) , (26) V„(«) = Yn-:1 J(») , (2c) V,(«) = V1 •»«(#) • Fiecare din aceste ecuaţii are aceeaşi formă. Pentru ilustrare, se dă forma dezvoltată a ecuaţiei {2b). Astfel: V,' = IM v f m -^11 A A21 A12 A22 A A A -î»i 2/1» —' A A A A'' ^mi 'A Ji Jo (3) m mm - unde A este determinantul matricei admitanţelor, iai Ajfc sînt cofactoiii acesteia. . . .. 17 . Deci, pentru nodul h, expresia tensiunii \ k ' ■ 158 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Din relaţia (4) rezultă că tensiunea unui nod este o combinaţie liniară de surse echivalente. Sursele J: (J1? Jiy ..., Jm) nu sint surse actuale; de exemplu, pentru circuitul din fig. 3.1, presupunînd condiţii iniţiale nule, matricea J va fi: Vi‘ Ig2 "t- 1 ^ ffl J= = -«7a- + IgZ - -^7* - Fig. 3.1. Reprezentarea surselor echivalente. Dacă se substituie pentru J expresiile corespunzătoare în funcţie de sursele actuale, rezultă clar că relaţia (4) poate fi aranjată astfel incît Vk să fie o combinaţie liniară a surselor actuale. Astfel, pentru fig. 3.1, expresia lui Vk va fi: vk(s) -( r'Au A r'A:u) + (-Alfc ~ (5) Ca regulă generală se poate spune că transformata Laplace a oricărui răspuns poate fi scrisă ca o combinaţie liniară a transformatelor Laplace a excitaţiilor. Coeficienţii acestor combinaţii liniare sînt ei înşişi combinaţii a unor funcţii de variabila complexă s. Aceste funcţii sînt rapoarte a doi determinanţi, numitorul fiind determinantul lui Zm, Y„ sau Yn iar numărătorul fiind un eofactor al acestor matrice. De exemplu, în relaţia (5) determinantul de la numitor este det Y„, iar coeficientul lui Iff2 este o diferenţă între două astfel de rapoarte de determinanţi. Odată cunoscute funcţiile care leagă orice transformată (Laplace) a răspunsului unui circuit de orice transformată a excitaţiei (F sau /), răspunsul !',.(«) pentru ouce v raportul dintre transformata (.;rmit 159 1 Vom defini în general 3.1. ca FUNCŢII DE INTRARE ŞI DE TRANSFER funcţie de cwcuitrapo^ unui circuit. J Laplace a răspunsului şi transforn ? tensiuni.’ Dacă răspunsul Atît răspunsul cît şi excita ia c a r e c L unul trebuie să fie i «Se* îr’SJ^roSU), atunci funcţia Be numeşte o /«»*. *> '“'Tacî’^rr» —>— funcţia este o funcţie de transfei. Funcţii tle intrare i» externe. Vom pot’ VâSU dxa presupune că . ii - —- Z”*"* * in,r“‘" * ° Per“1,e de terminale a unui circuit înţelegem : 1 Z(s) ’ 5» Z(s) y (*) = h(s) V1(s) + I* -ir* WdJlt relaxat, Sînt cenţi* pentru O b Fig. 3.2. Funcţii de intrare. (6) definiţia impedanţei sau ^'iViaie iiemUe n „nerelaxat”), conţine surse independente sui. c , < t ' ’ ' ţ n ^ " : le ’Ce este conectat *tuAci Z sau Y pot avea Mente ^^^fXiitanţa de intrare, la perechea de terminale şi doci nnpedaniţa sau • lui> 0 altâ nu va mai fi o caracteristica ai mnta ôpue funcţiUor observaţie este ca nu s-a făcut m I J cuprinde raportul transfor- de timp vtf) şi ^(/); deE.n.ţutlni^s^ I cupnnde ^ ^ I)entru url matelor lor Laplace. ba ne m ^ disnozitive” nepasive sau nerea circuit presupus iniţial ca nu conţ „ P ^ cireuit escitat de o sursă proce. Să scriem ecuaţii e aceste condiţii, soluţia pentru Y1 poate de curent ca m fig. 3.2, b. In ac s , valoarea I, Astfel, pentru fi obţinută din (4) în care Jx este nenul şi are a aloaiea 1,. 1 impedanţă vom găsi: , l'i(s) Au(g) | Ii (8) A(s) “Sil f ÎenS™ (7) la noduri. O formulă duală pentxii admitanţa de i.ntme Soluţia setului do a wKW y ,,(,aU. fi obtinută 1- ensiune ca afara unei singure «*» ce va ti 1 I» «•** vaion voi i-L uniuu iar variabilele vor fi curenţii pe contui. Eezolvînd sistemul în raport cu Iv rezu ta . r (*) 11(«) r,(.s-i A (») Au(g) (*) unde Y este achnitanţa de intrare iar notaţia evidenţiază că A este determinantul matricei impedanţelor de contur ' ^ Relaţiile (7) şi (8) «tot."tiJf Pf"™ ê "fetâ ™i^ conuitaie sau reamintit că ele se aplica m caz asemenea aplicate in unele “ V dr“;icl oiu. U Ca o ilustrare a unui caz simplu, 111 caie (0 H " de amplificare este prezentă o sursă eontrolataj sa d { ^ { eşte ai.atnt în eu grila la masă reprezentat m iig. o.o, a. -uou*^ fig. 3.3, b, în care apare sursa de tensiune controlata. 161 3.1. FUNCŢII DE INTSAREŞIDETRANSFE^ Deoarece aceasta nu are o fie a unei admitanţe, şa expi:una ^ funcţie de un • expresia corespunza- *S«At^rîe.tajoonlm S?r*a toare este T — #/„■ controlată, latura care inntroleazăchiar nefiind latura tm reprezentare ^ 7 controlată arătata in gi (latura 2 mS™ .. *Z'-££& de o-ioase înfig. o.3, c a io»i aico î? ' «citare să apară intr-un 5 Fig. 3.3. Amplificator cu grila la masa. singl, contur (ochi), îcea ,« con,. » — in^nţeior tat.- rilor Z, matricea surselor de tensiune \ „ i 0 0 \tRk 0 0' 0 1 0 0 0 sC Z= 11-c. S54 0 0 Ek 0 0 0 0 0 R, 0 0 0 0 0 Rv v-Vi o V„ = Vi o I. 0 ■[' B -1 1 1 0 1 o 0' 1 162 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Ecuaţiile de contur (BZB'Im = B\g) devin în acest caz : 1 .sG sG 'V TY -h. R .4sG sC — ' ' Admitanţa de intrare este I5IVv Aceasta poate fi ecuaţiile pe contur pentru I5. Rezultă : rezolvînd y _ Iş Vi Astfel, cu toată precauţia de a alege numai un singur contur care să conţină sursa de excitaţie, sursa de tensiune V1 apare în ambele ecuaţii pe contur, şi ca urmare rezultatul final diferă de (8). Se poate trage concluzia că nu întotdeauna formule speciale ca (7) şi (8) conduc la rezultatul corect şi că în general trebuie apelat la definiţia din relaţia(6). Funcţii de transfer Prin definiţie, o funcţie de circuit este o funcţie de transfer cînd excitaţia şi răspunsul corespund la terminale diferite. Să considerăm răspunsul ca fiind tensiunea sau curentul unei anume laturi. Putem evidenţia această latură reprezentînd-o separat de restul circuitului ca în fig. 3.4. Pentru ca noţiunea de funcţie de transfer să fie uşor de înţeles, vom presupune în continuare că circuitul nu conţine surse interne independente şi este iniţial relaxat. Corespunzător figurii 3.4, a pot fi definite + y, Fig. 3.4. Funcţii de transfer. 1 ŞI DE TRANSFER txe cu T i(s) sau Ix( )3.1. FUNCŢII DE INTRARE modului în care este excitat circuitul. Ş3& r^=f ca circuitul consideiat nu conţme sînt zero, în afara lui caie ehTe v noduri va fi: T- VL(S) = V* - T —? Rezultatul analizei pe 1 ^13 j 3 = ----------------------------------- 7 ------------- Ţ-r ^12 ^ 7 /s\ Din aceste relaţii, ţinînd seama,de faptul ca,It Y* V„_ fiecare funcţie de transfer A tensiune ca în fig. 3.4, c, *-*■»la noduri şi pe contur vor fi: Impedanţa de transfer : Vr(ş) _ Aia — A13 I z Aigl . I^s) A (9a) |„ Admitanţa de transfer : I7,(s) _ y ^12 v^s) ~ L au i, a ^13 j __ ^L2 (96) (amplificarea) de tensiune sau raportul de Cîştigul transfer al tensiunilor : nw= Zr^\__ 13 AL ri(«) A (9C' 11 Cîştigul (amplificarea) de curent sau raportul de transfer al curenţilor : Il(s) _y A12 — A13 ; __ J^12 J . Ii ( s) V (9d) 11 I 164 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Trebuie subliniat că : 1. Aceste formule sînt valabile în absenţa surselor controlate şi a dispozitivelor nereciproce sau nepasive. 2. Impedanţele de transfer nu sînt reciprocele admitanţelor de transfer. 3. Sensurile de referinţă ale curenţilor şi tensiunilor trebuie să fie ca în fig. 3.4. Cînd circuitul conţine surse controlate aceste formule particulare nu pot fi aplicate. Totuşi şi în acest caz, funcţiile de transfer vor fi combinaţii liniare a unor rapoarte similare de determinanţi şi cofactori. 3.2. CIRCUITE MULTITERMIXALE Pînă acum, în studiul circuitelor electrice, am presupus că structura internă a circuitului este cunoscută şi că se poate face o analiză în scopul determinării curenţilor şi tensiunilor oriunde în circuit. Totuşi, foarte adesea, nu interesează curenţii sau tensiunile în toate laturile, ci numai curenţii şi/sau tensiunile corespunzătoare terminalelor la care sînt făcute conexiuni exterioare circuitului. De îndată ce este vorba de comportarea exterioară a circuitului, detaliile cu privire la structura internă a circuitului nu mai sînt importante, important fiind să cunoaştem relaţiile între tensiunile şi curenţii la terminalele exterioare, care determină complet comportarea exterioară a circuitului. Să considerăm circuitul reprezentat în fig. 3.5, a, care are şase terminale la care sînt făcute conexiuni exterioare. Cum vor fi definite variabilele curenţi şi tensiuni ? Să definim tensiunile astfel încît tensiunea fiecărui terminai să fie raportată faţă de un punct arbitrar dat f Sau faţă de masă ca V2 ? Să fie definite ca tensiuni între a Fig. 3.5. Circuit (reţea) cu 6 terminale. b 165 3.2. CIRCUITE MULTITERMINALE «cum «4 & din aceste convenţii pot fi utile ^ 5•*«-»Tom obseiTa’ £ie“re în multe aplicaţii conexiunile. e^tenoai e smt tacuten^ numai la termina- nu conexiuni Fig. 3.6. Un circuit cu 6 terminale conectat ca : o - triport: b - 5 - port exterioare decit la porţile :ua1;il'- ; ^/"ij 5/Conexiunile S^*#«.*SMă£ IX curent eare in« priutr-„u terminal *’ ^nsi^LfpoSfeSe t—1„t‘r” pêhile de termin* care «*. 6 o» •*» “rSl?«ui de pwW tato cele două tipuri de niultiporţi reprezentaţi ’,oumn tuturor porţilor. L^4tUterînaVlelor în fig. 3.6, 6, un terminal al fiecărei Astfel tensiunile porţilor sint îdentio^cii tensiuni Un astfel de in afară de unul faţă de care se masoaia a minal comun), sau , { circuit este numit un multiport cu ate identifica un ,-u bornă la masă. în primul circuit din fig. 3.6 nu se p°ate astfel de terminal comun (borna ^ninajj ^ ■ exterioare multi{ Este posibil să fie necesare şi alte felu11 de conexiuu ^ terminale. portului, în afară de cele de trpu ort 5M3? ;â°fi"ă\i aîe^caz o alĂ metodă pentru descrierea multiportului ce va fi discutată în paragraful 3.6. cu p0rtile sale nu este 166 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 3.3. CIRCUITE DIPORT (CUADRIPOLI) Se poate începe prin a trata un circuit multiport general şi a discuta seturile de ecuaţii ce leagă variabilele de la porţi. După aceasta, rezultatele pot fi aplicate cazului special al diportului (cuadripolului). O altă alternativă este de a trata mai întîi cel mai simplu multiport — diportul (cuadripolul), avîndu-se în vedere pe de o parte importanţa de n + ■1 V, A- Vz Fig. 3.7. Circuit diport (cuadripol). sine stătătoare a acestui circuit, iar pe de altă parte faptul că tratarea mai întîi a celui mai simplu caz poate conduce la înţelegerea mai uşoară a cazului general al multiportului. Vom alege al doilea mod de abordare a problemei. Un circuit diport (sau pe scurt — un diport) este ilustrat în fig. 3.7. Din cauza utilizării unui diport ca un circuit de transmisiune, una din porţi — numerotată uzual cu 1 — este denumită intrare; cealaltă — poarta 2 este denumită ieşire. Variabilele la porţi (în raport cu cele două porţi) sînt doi curenţi de poartă şi două tensiuni de poartă cu sensurile de referinţă standard (de referinţă) ca în fig. 3.7. (în unele lucrări sensul de referinţă pentru Z2 este luat opus celui ales în fig. 3.7). Pentru comparaţia oricărei formule din alte publicaţii va trebui să verificăm comparatn sensurile de referinţă adaptate pentru parametrii diportului. Circuitele exterioare (diportului), care pot fi conectate la intrai ea diportului sau la ieşirea sa, sînt denumite terminaţii. Vom folosi transformatele Laplace ale variabilelor şi vom presupune că diportul este iniţial relaxat şi că nu conţine surse independente. Discuţia care urmează, legată de diferite feluri de a descrie comportarea unui’diport, poate apare într-un anume fel nemotivată. Necesitatea unor metode diferite apare clar atunci cînd problema care se pune este proiectarea unor circuite ca filtre, circuite de adaptare, corectoare, etc. O metodă de descriere, care este convenabilă, de exemplu, pentru un circuit de putere, poate fi mai puţin utilă în cazul unui filtru, sau complet nepotrivită pentru un amplificator tranzistorizat. Din acest nioti\, \ om 167 3.3. CIRCUITE DIPORT (CUADRIPOL!) ŞSBSBIBI întregului circuit de comportarea părţilor componente. Din acest motiv, VOmrife necesită o ,-con^ rabilă de calcule algebrice elementare. Nu vom parcurge toate etajele proîeade^ă2îd clitorul să completeze calculele intermediare omise. Parametrii in gol şi în scurtcircuit Pentru a descrie relaţiile între tensiunile şi curenţii la porţile^ unui S aşa -r T es“tE^îmind pentru un diport curenţii în funcţie de tens.um, rezult» următorul set de ecuaţii: Vn y 12 rî-r U2(«)J L Vn 2/22 Interpretarea Etcstor fiecare tensiune. Astfel: 2/n («) = VzM = 'VM : (io) J2(«) ra.rn.etri rezultă anplu anulînd pe rind Ii(«) Vni8) Fx(*) Ii(») F 2(S) I 2 («) *»(«) ^(s) y22(s) (11) F 2( s ) n - o Fs = 0 motivP parametrii y sînt denumiţi — parametri admitanţa in scurtmcmt rsau ne senit parametrii y). Matricea acestor parametri este notata cu Y şi se numeşte matricea admitanţă în scurtcircuit. Termenii yn şi y22 s 168 3. FUNCŢII DE CIRCUIT admitanţele de intrare în scurtcircuit la cele două porţi, iar y21 şi yvi sînt admitanţe de transfer în scurtcircuit. în particular, y.n este admitanţa de transfer în sens direct — adică, raportul unui răspuns în curent la poarta 2 către o excitaţie în tensiune la poarta 1, iar y12 este admitanţa de transfer în sens invers. Un al doilea set de relaţii pot fi scrise exprimînd tensiunile la porţi în funcţie de curenţii la porţi : Zll ^12 lr2(s)J h(s )h~( s )\ . 21 "22 S (12) De această dată, interpretarea parametrilor se obţine anulînd pe rînd curenţii. Astfel: VM 12 = Il{s) *u(«) 22l(S) = (*) yA(j) (13) h( Z 22(®) Jj (s) Dimensional, fiecare parametru este o impedanţă.s )Anularea curentului la o poartă este echivalentă cu lăsarea porţii în gol. Din acest motiv parametrii z sînt denumiţi parametri impedanţă în gol (pe scurt parametri în gol). Matricea (S) parametrilor se notează cu Zoc şi se numeşte h matricea impedanţei în gol. Elementele zn şi z22 sînt impedanţe de intrare în gol la cele două porţi, iar z21 şi z12 sînt impedanţe de transfer în gol; z21 este o impedanţă de transfer în sens direct, iar z12 este o impedanţă de transfer în sens invers. Eezultă clar din (10) şi (12) că matricele Ysc şi Zoc sînt inverse una alteia, de exemplu : Vil Vl2. De aici rezultă că : Vil — z = -1 det Z„, (14) ‘11 det V9, = det rL0 Demonstraţia acestei din urmă relaţii este lăsată cititorului ca exerciţiu. Bezultatele obţinute pînă acum se aplică fie că circuitul este pasiv sau activ, reciproc sau nereciproc. (15) 169 3.3. CIRCUITE DIPORT (CUADRIPOL!) Să considerăm funcţiile de tiansfer y21 şi 2/12- Dacă circuitul este leciproc, conform definiţiei din paragraful 3.1.4, cele două funcţii de transfer vor fi egale. De asemenea vor fi egale zy2 şi z21, adică pentru un circuit reciproc : î/l2 = 2/217 ^12 ^215 (16) ce unde rezultă şi că pentru un circuit reciproc Y,c şi Z0c sînt simetrice. Parametrii hibrizi Parametrii z şi y sînt două căi de exprimare a relaţiilor între variabilele Dorţilor. Aceştia exprimă două tensiuni in funcţie de doi curenţi reciproc. Alte două seturi de ecuaţii pot fi obţinute expnmmd un ourent şi o tensiune de la porţi opuse in funcţie de cealaltă tensrun© şi curent. Astfel: Vi J2- II V2 i- = K 21 = 9n 9l2 .9n 922 1 (17) [I; « (18) h y2 ^12 ^22. Interpretarea acestor parametri poate fi uşor determinată din ecuaţiile recedente, ca fiind următoarea : = 7,(8) YM iA*) , i2(») 'iA*) '21 Vi(s) k=° lijs) '22 Jl(») 'hi») T (hi (19) ŢWj i2(s) Ino Ya(s) iz, 9 21 — ' ra(«) 922 — Se observă că parametrii h şi g sînt interpretaţi în condiţii mixte <ie terminaţie, unii din ei în gol, iar alţii in scurtcircuit. Aceştia sînt denumiţi parametri hibrizi h, şi respectiv parametri hibrizi g. Din aceste interpretări rezultă că hn şi g22 sînt impedanţe, iar h22 şi gn sînt admi- 170 3. FUNCŢII DE CIRCUIT tanţe. Aceşti parametri sînt prin relaţiile : legaţi de parametrii 2 şi y 1 h-t-i = ■ (20) 1 ------- > 9 n=— yn *u î ^2 Parametrii de transfer 2 1 —> #22 — 22 2/22 g şi h sînt fără dimensiuni. hn este amplificarea (cîştigul) de ’curent în scurtcircuit în sens direct, gl2 este amplificarea de tensiune în gol în sens invers, iar h12 este amplificarea de tensiune în gol în sens invers. Vom folosi literele H şi G pentru a nota matricele corespunzătoare parametrilor h şi g. Z Mărimea Prin calculul direct se determină următoarele relaţii între parametru de transfer : (21 a) h12==^h21, ^21 fa = ^ fa- ( 2 1 6 > în cazul special, al circuitelor reciproce, aceste expresii se simplifică devenind hV2 = - li21 şi glt = - g 2 v Cu alte cuvinte, în cazul circuitelor reciproce, amplificarea de tensiune în gol pentru un sens de transmisie prin diport este egală cu negativa amplificării de curent în scurtcircuit pentru sensul opus de transmisie. Ca şi în cazul matricelor Zoc şi YS(, matricele H şi G sînt inverse una alteia. Astfel: G(S)=H-1(«). det G = —* det H (22) Cititorului îi rămîne să verifice acest lucru. Parametrii lanţ Au rămas două sisteme de ecuaţii care leagă tensiunea şi curentul de la o poartă în funcţie de curentul şi tensiunea de la cealaltă poartă. Acestea au fost de fapt’din punct de vedere istoric primele folosite în analiza liniilor de transmisiune. Unul din aceste sisteme este : ■î(s)' (s )- 1 \c AD\B[ [ Tarametrii impeilantk în gol Parametrii admitantă în scurtcircuit f/22 I!/1 Z11 Z12 ai zaa V | yl 23 z z ~ zia zu |z| £n Z J£[ Z 21 1 111 !/n !/ia 4/aX J/22 1 ^21 ^21 '22 Z Z22 1 z22 J "ll ~ 1 Un l/ai 12 Z21 j/22 21 z29 1ZI h ~ '/21 1*1 1*1 ~ zai |z| ABCD - !/ia IJ/I Z22 ~ 7l1 ZU Z21 I I Z11 Z11 Z - 1 !l I y2r 1 ~ j/11 1/21 - j/12 Un Un Un [j/l ■Vii !/ii ijî - _!/l2_ Uîî 022 j/21 .V22 1 y22 ţ/n 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 172 Aceşti parametri sînt denumiţi parametri lanţ, sau pai ameţii Prima denumire provine de la faptul ca aceşti parametn smt utilizaţi în mod natural în analiza unei conexiuni in cascada, tandem sau lanţ conexiune tipică unui sistem de transmisiune. De notat semnul mmus în faţa lui - I2, care este consecinţa alegerii sensului de retermţa pentru I si că folosim notaţia clasică pentru aceşti parametri (A, B, G, D) m loc Ap n a j = l 2) care ar uniformiza notaţia tuturor acestor parametri. De asemenea nu am introdus notaţii suplimentare corespunzătoare parametrilor inversi ce se pot obţine simplu prin inversarea lui (2,3). Determinantul matricei lanţ poate fi calculat m funcţie de parametru z şi y. Se găseşte că : ^ Bl AD __ BC=ZJ* (24) = !!}Î, G D\ 2/21 care este egal cu unitatea pentru un diport reciproc. Discuţia precedentă destul de detaliată poate deveni obositoare dacă se pierde din vedere scopul dezvoltării unor metode de reprezentare a comportării exterioare a unui diport şi se prezintă diverse relaţii intre tensiuni şi curenţi.Fiecare dinaceste seturi de rela în aplicaţii Pentru referire ulterioară vom tabela relaţiile delegătură ln%SătulUS ».l. De notat « aceste relatii stat valabile în cazul unui diport general nereciproc. det Zcrourile de transmisie Sînt importante observaţiile care pot fi făcute în legătură cu zerourile diferitelor funcţii de transfer. Acestea rezultă poate cel mai evide t, privind una din coloanele tabelei 3.1, de exemplu coloana m care toţi parametrii sînt exprimaţi în funcţie de parametru y. Eezulta ca : *„(,) = 2/ll2/22 — 2/l2 2/21 _ 2/21 (g) t h ------ (256) 2/ii (*) 9*00 2/22!*) <23o) Exceptînd unele posibile simplificări, toate aceste funcţii de transfer vor 3.3.Folosim CIRCUITE DIPORT (CUADRIPOLI) 173s avea aceleaşi zerouri. termenul de *ero de a ne referi la valoarea lui pentru care exista un zero al funcţiei de tran.s 0, 11 - - 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 174 s-e “ăsft ss circuit. Să calculăm parametrii y ai acestui s h C, 9mV1 (E Exemple pentru C,1 ™,i Fig. 3i c2- v2 calculul parametrilor diportului. simplu procedeu e.te dSrJt™s"K™ Srelau nu ,r. nld un eleets a.tl.l ««te .dmlt.nl, comMn.ţ.e. paralel a lui R g şi C t : s/nO) - + sCj. R n Fig. 3.9. Circuit cu terminalele de ieşire în scurtcircuit. Pentru calculul lui y n presupunem la intrare o sursă de tensiune V^ Aplicind kgea ia. Kirchhoff nodului notat cu 1 (fig. 3.9), vom gasx ca I 2 = g m V x - sC^. Astfel y 2 l devine . — 9m s ^v î/21 Vx(s ) Acum scurtcircuităm terminalele de intrare ale F*=O circuitului original (fig. 3.8). Circuitul rezultat va avea forma din fig. 3.10. Fig. 3.10. Circuit cu terminalele de intrare în scurtcircuit. cr + 3 FUNCŢII DE CIRCUIT 174 ' Deoarece V, este zero, sursa dependentă de curent este de asemenea nulă. Astfel este simplu de calculai V 22 Şi Un '■ ^ iN1 y22 = »(ct + c2) ‘in v9 2 Vx = 0 yi2=^| =-SC-‘ V 2 1^=0 Se vede că y13 diferă de y n , ceea ce se poate intimpla din cauza sursei de curent controlate- •• . „„„„li oricare alt set de parametri poate fi calculat folosind metrii y există dar parametru z nu exista (M1, *22 Ş 21 3.4. ■ INTERCONECTAREA CIRCUITELOR MPORT TTn circuit diport dat cu un anumit grad de complexitate poate fi • f jjric] construit din circuite diport mai simple ale căror porţi si ^ privit ca tuna consumu “ Wl,, 11T1 Hrcuit diport, care urmeaza in1fC(onstn!it poS proiectat prin combinarea unor blocuri constructive s a f i e constm p p proiectantului este mult mai simplu rfoieSS/ScSi tJrle, pe c£e apoi să le interconectam, m loc * tS in acestui procedeu este acela ca Se mult «ai u?or & ecrauat unităţile nuc. S. de a reduce astfel capacităţile parazite faţa de masa. Conectarea în cascadă Ce, de-al doilea, ca în fig. 3.11. + h_ -Ol hb * ţ "f Nn Via V2° -- + + __ ha hb — + h — -0 2 ' /'o— Fig. 3.11. Conectarea în cascadă a diporţilor. 175 3.4. INTERCONECTAREA CIRCUITELOR DIPORT în problema interconectării, clin punctul de vedere al analizei, este interesant să studiem relaţiile între parametrii întregului circuit şi parametrii blocurilor constructive. Conectarea în tandem este studiata cel mai convenabil cu ajutorul parametrilorÂBCD. Cu notaţiile şi sensurile de îeferinţă adoptate în fig. 3.11, rezultă că : ■ 1 1 prll tv ^ 1& Jl a. - 1 2a . » J IVJ . ' v2b. __ ^2 b . ■ r2- . -h Astfel, pentru sistemul de ecuaţii ABGD al circuitului putem scrie: . I'la - 'Ab Bb- 1 - ’Vv,' r 72b' N ^ ' (M Db - 1 b 1 .C în plus, dacă scriem sistemul de ecuaţii ABGD pentru circuitul Aa şi ţinem cont de relaţiile precedente, se obţine : rî Ba' K T Ca Da _ ■ V2a . I2a. - A a Ba Ab Bb - TV Ca cb Do .-I2. » Astfel, matricea ABCD a unor cuadripoli în cascadă este egală cu produsul matricelor ABCD a cuaăripolilor individuali, adică : ■ B A a Ba Ab Bb D Ca Da. _Cb Db A c (26) Odată cunoscute relaţiile între parametru cuadripolului total şi^ para metrii cuadripolilor constitutivi pentru oricare set de parametri, lelaţule pentru oricare alt set de parametri pot fi deduse prm calcul algebric; de exemplu parametrii în gol ai cuadripolului total potîiâsiţim^mcţie de cei ai cuadripolilor în cascadă exprimmd parametrii ABCD pentru fiecare cuadripol m cascada m pai te. Eezul tatul va fi: Z\2a ZV2 b Z11 ^22 b a ^12a m "12 ^21a -21 ^22a "22 Z '22 a ^21a ^116 ^21b *22b ~ Detaliile acestui calcul sînt lăsate cititorului. ^12b ^21b Z22a ^11& 'i" (27) 176 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Sînt necesare cîteva observaţii. Cînd se doreşte să se determine un anume parametru specific unui ’ cuadripol total în funcţie de parametrii corespunzători cuadripolilor interconectaţi, poate fi mai simplu de utilizat o analiză directa în locul folosirii relaţiilor din tabelul 3.1. Ca exemplu, să presupunem că dorim să găsim expresia lui z21 pentru circuitul din fig. 3.11. Elementul z21 este raportul între tensiunea de ieşire In gol şi curentul de intrare ; adică z21 = VJIi- Să presupunem că se aplică circuitului la intrare un curent I1 şi să înlocuim, folosind teorema de echivalenţă Thevenin, circuitul din stînga bornelor de ieşire a lui Na. Rezultatul este dat în fig. 3.12. Fig. 3.12. înlocuirea circuitului N a prin echivalentul său Thevenin. Prin definiţie z21b = V2[Ilb, cu terminalele de ieşire în gol. Acum poate fi uşor calculat Ilb din circuitul din fig. 3.12 T 16 — %2ia îl u ^228 ' I Z llb " Deci: _ ^ _ V2 2 2 U ~ T “ z I 1 lb *21a ^22a “H Z Ub în final: z= = g21aZ21b_ f (28) 11 Z22a ^116 rezultat care corespunde celui cuprins în relaţia (27). O proprietate importantă a cuadripolilor conectaţi în cascadă se observă din expresiile impedanţelor de transfer (27). Zerourile lui z21 sînt şi zerourile lui şi z21b (O relaţie similară are loc şi pentru z12). Astfel zerourile de transmisiune ale întregii cascade constau din zerourile de transmisie a fiecărei cuadripol component. Aceasta este baza teoretică a unor metode importante de sinteză a circuitelor. Acest fapt permite proiectarea indi- 3.4. INTER CONECTAREA CIRCUITELOR DIPORT 177 viduală a cuadripolilor care să asigure anumite zerouri de transmisiune înainte de conectarea lor în cascadă; de asemenea permite ajustarea şi reo-laiul individual al elementelor în cadrul fiecărui cuadnpol, pentru a obţine un zero dorit, fără a influenţa ajustarea întregului cuadnpol. Conectarea paralel şi serie Să ne întoarcem la alte interconectări ale cuadripolilor care spre deosebire de conectarea în cascadă, implică ambele porţi. Doua posibilităţi evidente sînt conectările serie şi paralel. Doi cuadripoli se spune ca sint h Ii + + lha Nn Vta o b Fig. 3.13. Conectarea diporţilor în paralel şi serie. conectaţi în paralel dacă porţile lor de intrare şi ieşire corespunzătoare sînt conectate în paralel ca în fig. 3.13, a. în conexiunea paralel tensiunile de la intrarea şi ieşirea cuadripolilor componenţi sînt obligate să fie aceleaşi in timp ce curenţii la porţile cuadripolului total sînt egali cu sumele curenţilor corespunzători la porţile cuadripolilor conectaţi în paralel. Aceasta presupune că relaţiile între porţile cuadripolilor individuali nu sînt alterate cînd aceştia sînt conectaţi în paralel. în acest caz, pentru cuadripolul total se poate scrie : V = 'Iu + Ilb ___ 2/llo 2/l2 a 'Via' 2/210 2/220 - - ^ 2a - + -I* + -Iza- _ |~ 2/11a + V l l b Vllb 2/l2 b - 2/ 21b .¥226 -lib - V 12/21 a + 2/216 2/l2a + 2/l26 2/220 + 2/226 Vo (29) Adică, matricea admitanţelor în scurtcircuit a doi cuadripoli conectaţi in paralel este egală cu suma matricelor admitanţelor în scurtcircuit a cuadripolilor componenţi Y„. = Y’ 32 - C. 854 -f Y (30) 178 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Dualul conexiunii paralel este conexiunea serie. Doi cuadripoli sînt conectaţi în serie dacă porţile lor corespunzătoare de intrare şi ieşire sînt conectate în serie ca în fig. 3.13, b. ^ în această conexiune curenţii de la intrare şi de la ieşire smt forţaţi să fie aceiaşi, în timp ce tensiunile cuadripolului total sînt egale cu sumele tensiunilor de la porţile cuadripolilor individuali. Din nou se presupune că relaţiile între porţile cuadripolilor individuali nu sînt afectate cînd este făcută conectarea cuadripolilor. în acest caz relaţiile ce pot fi scrise pentru cuadripolul total sînt: -TV ._[*V T2+ + . ir2a Zllb Z12b I-l b .Z21b Z22b .1-2 b- 'ru- ^lla Z12a .V2b .z21a z22a- — + zllb Z21a £] + . %\2a ^126 + + ^216 Z22a Z 22a+ ^226 j 2 J Adică, matricea impedantelor în gol a doi cuadripoli conectaţi în serie este egală cu suma matricelor impedanţelor în gol a cuadripolilor componenţi : Z=Z Z ocb• (32) Dintre aceste două tipuri de conexiuni — serie şi paralel conexiunea paralel este mult mai utilă şi îşi găseşte o largă aplicare în sinteza circuitelor. Un motiv de ordin practic este acela că permite conectarea în paralel a doi cuadripoli cu bornă comună (cu bornă la masă), rezultatul fiind un cuadripol cu bornă comună. Un astfel de exemplu este circuitiil paralel în scară, (al cărui caz special este circuitul dublu T sau T-podit) arătat în fig. 3.14. Fia. 3.14. Circuite în scară conectate în paralel. Pe de altă parte conectarea în serie a doi cuadripoli conduce la un cuadripol cu bornă comună numai dacă unul din cuadripoli este un cuadripol în T Să considerăm doi cuadripoli cu bornă la masa conectaţi în serie ca în fig. 3.15, a. Este clar că o astfel de conectare este inadmisibilă deoarece terminalul de masă a lui Na va scurtcircuita pe A,, vio- i f r ' l ' ( 3 1 ) 179 3.4. INTERCONECTAREA CIRCUITELOR DIPORT lindu se astfel condiţia ca cuadripolii individuali să fie neafectaţi de int er coneetare Situaţia este remediată legind împreuna terminalele mterconectoe.^ ^ cuadripolul fig.3.15, 6.în acest caz comune ■1 N a 1 ^ 1 {IH5 o—rn~ Termina! comun **—[D-j Ha HZH* % —o L_i_ b a . . . d Fig. 3.15. Conectarea în serie a diporţilor cu borna comuna. rezultat nu mai este un cuadripol cu bornă comună Dacă ûl dm cua- diipolî este în T, conectarea în sene ia forma din fig. 3 : l o ’ ° - \ * fi redesenat ca un cuadripol cu borna comuna ca m fig. 3 io, ă. Se asa cititorului demonstraţia că ultimii doi cuadripoli au aceiaşi Paia™^ : Sînt posibile unele variaţii ale conexiunii serie şi paralel conectind porţile în serie la un capăt şi în paralel la celalalt capat Acesstea, n numite conexiuni serie-paralel, şi paralel-sene Cum se PrMupune^ in aceste cazuri, parametrii li şi g ai cuadripolilor indn care adunaţi dau respectiv parametru li şi g ai cuadripolului total. De o , traţia este lăsată cititorului ca exerciţiu. Restricţii la interconectarea cuadripolilor Ne-a rămas să stabilim condiţiile în care doi cuadripoli pot fi interconectaţi fără a afecta prin conectare relaţiile intre pm'ţ e cuadnpo individuali. Pentru conexiunea paralel sa consideram fig. 3.16. Cîte o pe c a Fig. 3.16. Test pentru conectarea diporţilor în paralel. 180 3. FUNCŢII DE CIRCUIT de porţi a fiecărui cuadripol este conectată în paralel în timp ce celelalte porţi sînt scurtcircuitate individual. Sînt folosite scurtcircuitele deoarece parametrii care caracterizează cuadripolii individuali şi cuadripolul total sînt parametrii admitanţei în scurtcircuit. Dacă tensiunea V arătată în fig. 3.16 este nenulă, 'atunci cînd porţile secundare vor fi conectate va exista un curent de circulaţie cum este sugerat în figură. Astfel, condiţia potrivit căreia curentul ce iese din terminalul unei porţi să fie ega 1 cu curentul ce intră în celălalt terminal al porţii este violată, şi prin urmare relaţiile între porţile cuadripolilor individuali vor fi afectate de interconectare. Pentru cazul conexiunii serie, să considerăm fig. 3.17. a , b Fig. 3.17— Test pentru conectarea diporţilor în serie. Cîte o pereche de porţi a fiecărui cuadripol este conectată în serie în timp ce celelalte porţi ’sînt lăsate în gol. Sînt folosite gol-circuitele (porţile lăsate în gol) deoarece parametrii care caracterizează cuadripolii individuali şi cuadripolul total sînt parametrii impedanţă m gol. Dacă tensiunea V este nenulă, la conectarea în serie a porţilor secundare va exista un curent de circulaţie cum este sugerat în figură. Din nou relaţiile între porţile cuadripolilor individuali vor fi modificate prin conectarea cuadripolilor şi astfel adunarea parametrilor impedanţă nu va mai fi valabilă pentru întreg circuitul. Cu unele modificări evidente, aceste teste se aplică conexiunilor serieparalel şi paralel-sene, Lţiscuţia precedentă asupra condiţiilor în care pot fi obţinuţi parametrii totali ai cuadripolilor interconectaţi prin adunarea parametrilor cuadripolilor componenţi a fost mai curînd o schiţare a problemei. Se lasă cititorului sarcina de a suplini detaliile. Cînd se descoperă că o anumită inteiconexiune nu poate fi făcută datorită introducerii curenţilor circulatori, există o cale de a opri aceşti curenţi şi de a permite astfel să fie făcută conexiunea. Procedeul este 181 3.5. CIRCUITE MULTIPORT »t«rşâ«i's.sasîis pentru cazul conexiunii paralel. Fig 3 18. Utilizarea unui transformator- izo/ator pentru a interenoectarea. permite 3.5. CIRCUITE MULTIPORT iriamşMffîSS porţilor cu extensiile corespunzătoare Să considerăm circuitul «--port aratat m fig. o. . Fig. Circuit-(reţea) multiport. 3.19. Comportarea exterioară a acestui circuit este complet descrisa din- du se relaţiile între tensiunile şi curenţii la porţi. Un set de astfel de relaţii exprimă porţi toate tensiunile la porţi în funcţie de curenţii la V* -Vn- *4 ** 1 -Vi = - Zin Ii 2 2 1 ~22 * * • %2n -~nl ~n 2 * • ^nn h (33a) 182 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 183 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITĂ sau I. Y=Zoe (33b) Prin observaţie directă se vede că parametrii pot fi interconectaţi ca : 7,(34) Toti ceilalţi curenţi = 0 care este pur şi simplu extinderea caracterizarii unui cuadripol piin impe- danţele în gol. Matricea ZM este asemănătoare celei din relaţia (12) cu deosebirea că este de ordinul n. , Matricea admitanţelor în scurtcircuit pentru un cuadripol poate fi extinsă direct pentru un w-port. Astfel: (35a) V, Y#e = [yjk] unde y jk ÎL (356) Toate celelalte ten8iuni = 0 Dacă acum ne gîndim să extindem reprezentarea cu ajutorul parametrilor hibrizi ai cuadripolilor ne vom izbi de anumite probleme. In această reprezentare variabilele sînt mixte — curenţi şi tensiuni. Cum vor fi alese variabilele „independente44 şi „dependente44 pentru un cu- cuit cu mai mult de două porţi? în cazul unui triport, de exemplu, pot fi făcute următoarele trei alegeri: -FI II'Ii VI V1 V* h » V2 = M3 I Vo = M 2 7, X Jz - [Iz Tot asa de bine pot fi alese şi inversele acestor relaţii. în aceste aleger î fiecare vector conţine exact o variabilă din fiecare poartă. Este de asemenea posibilă o alegere ca : •TY -ii s II lh J - Iz IT8J unde fiecare vector conţine şi curentul şi tensiunea unei anumite porţi. Primele categorii sînt a’naloage reprezentărilor cu ajutorul parametrilor hibrizi h şi g din cazul cuadripolilor. Ultimele au ceva din trăsăturile 184 3. FUNCŢII DE CIRCUIT reprezentării cu ajutorul matricei lanţ. Este clar ca nu este eonve ab l să urmăm această logică a reprezentărilor posibile pentru un caz êial. Ca si în cazul cuadripolilor, este posibil sa interconectam circuitele multiport Doi multiporti se zice că sînt conectaţi m paralel daca poiţile loi sînt conectate în paralel în perechi. Nu este necesar ca cei doi-i^P01rţi să aibă acelaşi număr de porţi. Porţile smt conectate m paralel pma la terminarea lor şi nu are importanţă dacă s-au terminat m acelaşr timp pentru ambele circuite sau mai devreme pentru unul. ^ „ în mod similar, doi multiporţi se zice că sînt conectaţi în serie daca porţile lor sînt conectate în serie în perechi. Din nou, cer doi multiporţi nu trebuie să aibă obligatoriu acelaşi număr de porţi. Ca si în cazul cuadripolului matricea y generală a doi «-porţi conectaţi în paralel este egală cu suma matricrlor y ale «-porţilor individuali. Similar matricea » generală a doi «-porţi conectaţi m serie este egala cu suma matricelor 2 ale «-porţilor indrviduali. Acestea, desigur, presupun de asemenea ca interconectarea nu alterează parametru «.-porţilor individuali. 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITĂ Descrierea unui circuit prin comportarea sa la porţi este posibilă numai dacă conexiunile exterioare circuitului sînt făcute la terminale luate în perechi. în general terminalele nu vor fi împerecliiate pentru a forma porţi, în acest caz va fi util să avem o descriere a comportării externe a circuitului luat mai de grabă ca un circuit multiterminal decît ca un circuit multiport. în acest paragraf vom introduce o astfel de descriere. Sa ne întoarcem la fig. 3.6. Circuitul cu şase terminale arătat acolo este reprezentat ca un 5-port cu bornă comună, definind tensiunile a cinci dintre terminale în raport cu cel de-al şaselea terminal luat ca nod de referinţa. Pentru un astfel de multiport cu bornă comună să presupunem că alegem ca nod de referinţă un punct arbitrar exterior circuitului aşa cum este arătat în fig. 3.20 pentru un circuit «-terminal. Vom presupune că circuitul este conect, ceea ce presupune ca nici un terminal nu este izolat de restul circuitului. Legea lui Kirchhoff privind curenţii acestui «-terminal se scrie clar : £ h («) = 0. 1=1 185 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITĂ Deoarece circuitul este liniar, curenţii pot fi exprimaţi ca o combinaţie liniară a tensiunilor terminalelor, astfel că : 2/n 2/12 \Il b • • • 2/i « vx 2/21 2/22 • • • 2/2» 7* - 2/nl 2/n 2 • • • V n n - -Vn (36) 8 _________________________________________ 1 Q b Fig. 3.20. Definiţia variabilelor terminalelor. Dimensional, elementele matricei coeficient a acestei ecuaţii sînt admitanţe; mai precis, admitanţe în scurtcircuit. în fig. 3.20, b toate terminalele sînt conectate la un nod de referinţă, iar între terminalul Jc şi nodul de referinţă este conectată o sursă de tensiune. Acum poate fi determinat fiecare curent de terminal. Parametrii matricei vor fi: Vjt -rj Toate celelalte r h (terminale la masă (37) Aceştia sînt asemănători parametrilor y pentru un diport. Să examinăm relaţiile de mai jos. Matricea coeficient din relaţia 3.36 este denumită matricea de admitanţa nedefinită şi este notată cu Y4. în continuare vor fi date cîteva din proprietăţile acestei matrice. în primul rînd să presupunem că ecuaţiile scalare, reprezentate de ecuaţia matriceală (36), sînt toate adunate. Potrivit legii curenţilor a lui Kirchhoff, suma curenţilor este zero, astfel: (2/ll + 2/21 + • • • + VnlWl + (2/l2 + 2/22 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITA . , 18o s stjk; Să,presupunem că toate terminalele, exceptînd terminalul le, smt scur caz, relaţia de mai sus se rettuce la . chcuitate. în acest ynk)Vk-= 0. {'II vc + Vn. (38) -r T~ n urnită ră suma elementelor fiecărei linii a matricei SStotltLm'iti este nulă. Deci liniile » A» toate independente d T)rjn urmare Y, este o matrice singulara. '‘P Ceea ce in continuare ca nici un term n TTvident 1-ilte terminale vor fi de asemenea egale cu Ţ J w fi nnli cn excepţia Ini 4- Cn toate temmmle egale, relafa (3.36) toti curenţii A- ,o o’c\ poate fi scrisă pentru curentul Ij astfel: Ij = {Vil + Va 'K • • • + Vin)^ k = 0. Deoarece Vk 4= 0, suma elementelor fiecărui rînd a lui 14 este egala t-uit cu n + 1 ^nmnaic, este simpiu. wsâiBsmmmâ T- r M s care va fi comun ft.p01, in boi nă comună se obţine prin omiterea lm.ei toare acelui terminal din matricea admitanţelo. nedefimta «°"JSP“n2f‘ -fsffS 53 '^Sl^maZTorrtm diport cu 186 3. FUNCŢII DE CIRCUIT ale fiecărei porţi. în fig. 3.21,6 nodul-tensiune de referinţa este ales ca un punct diferit de terminalele cuadripolului. Să scriem mai mtul ecuaţiile pentru diport; apoi să înlocuim pe 1 3 Vac cu V1 — V3 şi Vbc cu l 2 • I-l = VllVac + Vl2 V 0C = Vili 7 ! - 7s) + - 7s)> h = ynF«c + y^bc = yn(vi - v3) + ^2(^2 - 7s)h h —o b a o- t % 4- Va c +- T t 4- 1 2 -o b + ^2 V3 h a b Fig. 3.21. Diportul cu bornă la masă reprezentat ca un circuit tri-terminal. Din legealuiKirchhoff privind curenţii egal cu — {I-i + I2)- Adăugind această dente se obţine : 11 = 2/nî 4" ViiV2 rezultă că I3 din fig. 3.21 b este relaţie celor doua relaţii prece {yn + 2/12) 1 2 = 2/21^1 + 2/22^2 — (2/21 + 2/22) V 3 1 4- 2/21) i 3 = - (2/: - (2/12 + 2/22) ^2 + (2/n + 2/12 + y2i+ 2/22) 11 Matricea coeficient a acestei ecuaţii este De notat că această matrice poate fi formată imediat din matricea originală Y,„, prin procedeul de adăugare a unei lmu şi coloane folosind proprietatea anulării sumei elementelor liniilor şi coloaneloi matricei Y;. Procedeul discutat conţine şi o metodă ca, plecînd de la matricea Y a unui multiport cu un terminal ca bornă comuna, sa se determine matricea Y a unui multiport cu oricare alt terminal ca borna comuna. Aceasta este util, de exemplu, pentru obţinerea schemei echivalente a unui amplificator cu triodă cu grila la masa cunoscmd schema echivalentă cu catoda la masă sau reprezentarea unui amplificatoi cu baza comună din reprezentarea cu emitor comun. Pentru a ilustra procedeul 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITĂ 187 să considerăm diportul cu bornă comună reprezentat în fig. 3.22, a. Matricea admitanţelor în scurtcircuit a acestui dipoi t este . G P Gg + sG ^ scl L 9m — sG - sC "1 G GV + sC] P Fig. 3.22. Matricea admitanţa nedefinită pentru un amplificator electronic. (Literele au fost folosite pentru a identifica coloanele şi rîndurile cu terminalele specifice). Din matricea admitanţelor în scurtcircuit se poate scrie imediat matricea de admitanţa nedefinita : G G„ Jr sG Y, P•K — sG — Gg Gp- +^P) \-sC — ((jm - sC -f- Gg) — Gv gm-\-Gt,+GP - {ţfra 1 G p K (40) Pentru a "ăsi matricea admitanţelor în scurtcircuit a configuraţiei cu gritcoĂnnî«prezentată, In fig. 3.22,6 eSte suficient * si coloana corespunzătoare terminalului grila, care m relaţia (40) coies- ^de^M linU şi coloane. Desigur, trebuie să ne asiguram ca nndur le şi coloanele care rămîn corespund intrăm şi ieşim - m cazul nostiu c-atodei şi anodului. Deci : K P r Gg + Gp — Gv K (Gv -\-gm) Gv + sC_ P Rezultă că o dată cunoscută matricea admitanţa; ^definită a unui circuit multiterminal, diferitele manipulări aje a^ma pot (Jr,f:i de^c ^ prin simple schimbări ale matricei Y,. Citeva din acestea voi ti uisciuaie in continuare. 188 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Conectarea a două terminale Să presupunem că două terminale ale unui «-port sînt conectate într-un singur terminal. Cei doi curenţi exteriori sînt înlocuiţi printr-unul singur egal cu suma primilor doi. _ Cele două tensiuni sînt acum identice. Astfel matricea Y ; a circuitului cu (n — 1) terminale se obţine prin adunarea celor două rînduri şi coloane, corespunzătoare celor două terminale, din matricea \j originală. (Această sumă înlocuieşte cele două rînduri şi coloane originale). Generalizarea pentru mai mult de două terminale este evidentă. Suprimarea terminalelor Să presupunem că unul din terminale este făcut terminal intern, la care nu poate fi făcută nici o conexiune exterioară. Acest procedeu se numeşte suprimarea unui terminal. Curentul la acel terminal, fie el al n-lea, va fi zero. Ecuaţia pentru In — 0 poate fi rezolvată pentru Vn (presupunînd i/nn^0) iar rezultatul substituit în celelalte ecuaţii. Aceasta va elimina pe Vn şi vor rămîne astfel n — 1 ecuaţii pentru n — 1 tensiuni. Procedeul poate fi extins în formă matriceală pentru mai mult decît un terminal după cum urmează : Ştiind că I = Vt V, se pot despărţi matricele în forma : w . 1» . sau Ia = r Y Y 1 I U 12 - ^ 21 ^ 22 - ^'a+ ^12^M ■va .V (41) r = y 21v 0 + y 22 v „ unde lb şi Vb corespund terminalelor care vor fi suprimate; adică vectorul \b = 0. Rezolvînd a doua ecuaţie (3.41) în raport cu \b şi substituind în prima ecuaţie se obţine : Vj, = — ^221Y2iVr0, I f l = C^ll — Y12Y221'V (42) Noua matrice de admitanţă nedefinită este Circuite în paralel lj = Yn — Y12\i21^21- (43) 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITĂ 189 Matricea 4eadmitanţă nedefinită » două cMWMigMe tag£M ;f,‘enîm*U Cc“fS, matncea V, a circuitului c» ma, pufme «r- ’omt e^sn.eaTouă multiterminal poate fi considerat ca fund m paralel cu■ aceat^ e ■ _ că matricea admitanţă nedefinită a unei laturi avînd admitanţa , . • Coîactorii determinantului matricei O proprietate foarte importantă a determinantului matricei admiRezultatul este : det Y~ yn A;i + y,2Ai2 + ... + &■» A,a, schimbat a celorlalte elemente ale liniei. Astfel !/n = - {Vn + lJi3 + • • • + Vi*)' înlocuind aceasta în relaţia precedentă se obţine det Yj = yj2(A;a - Afl) + y,8(AJ8 - ^1) + • • ■ + ^ ESSSSESaSSwS va fi zero, adică : A. v (44) 190 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Aceasta înseamnă că toţi cofactorii elementelor oricărei linii sînt egali. . • i •v Acelaşi procedeu, plecînd de la dezvoltarea determinantului lui i t după elementele unei coloane, va conduce la un rezultat similar, prrvind egalitatea cofactorilor elementelor oricărei coloane. Deoarece fiecare linie şi coloană aie un element comun, cofactoiul acestui element este egal cu toţi cofactorii acelei linii şi coloane. ^ ^ Concluzia este că toţi cofactorii matricei ^ admitanţa nedefinită sînt egali. Această proprietate a condus pentru Y* la numele de matricea echicofactor. Exemplu. Să ilustrăm printr-un exemplu cum poate fi folosită matricea de admitanţa nedefinită în diferite calcule pentru un circuit. Să considerăm circuitul din fig. 3.23, a ._Se doreşte să se găsească matricea admitanţelor de scurtcircuit a cuadripolului reprezentat m configuraţia cu bornă comună. Vom face aceasta (1) folosind matricea admitanţa nedefinita a cuadripolului din fig. 3.23, b, (2) adăugîndu-i o singură latură, (3) supnmind terminalul 3 şi în final (4) transformînd nodul 4 în nod de referinţă. 2 Lt C Fig. 3.23. admitanţelor Determinarea în scurtcircuit folosind matricea YJ. Pentru determinarea lui V; vom considera iniţial circuitul cu un tnport cu borna comuna şi nodul 4 ca nod de referinţă ca în fig. 3.236. Parametrii y ai acestui tripol pot fi _gasiţi dm definiţia lor, de exemplu aplicînd o tensiune porţii din stînga, şi scurtcircuit>nd celelalte doua porţi ca în fig. 3.24. yn *= TŢ — Fig. 3.24. Calculul lui Y, c pentru un triport. +• 1 191 3.6. MATRICEA DE ADMITANŢĂ NEDEFINITA Din această figură pot fi determinaţi cu uşurinţă trei din parametrii y . Ceilalţi parametrii g sînt găsiţi într-un mod similar, iar rezultatul va fi : 4s -j- 1 — 4s - 4s ■ 1 4s - 1' 2 -2 2 3s +3 Matricea de admitantă nedefinită se găseşte simplu adăugind un rînd şi o coloana ale căror elemente sînt determinate cu ajutorul proprietăţii de anulare a sumei elemente4°r un m ^ a unei coloane pentru o matrice Y4. Rîndul şi coloana adaugate corespund laturii -5. Deoarece aceasta este conectată între terminalele 2 şivor apare elemente nenule in aceste doua rinduri si coloane. Matricea va fi . 0 os —1 -2 3s +3 — 3s 0 0 .0 0 — 3s .0 — 5s 0 3s. 0■ 0 — 5s 0 0 0' — 5s • 4s + 1 —4s — 4s 9s + 2 0 -1 5s . .0 11 OO Vi = + OO -1 -2 - 4s + —1 —4s 4s 4s +2 -2 3s + 3 — 3s — 5s — 3s 8s . Următoarea etapă este suprimarea terminalului 3 . , t Pentru aceasta vom schimba între ele nndurile şi coloanele 3 şi 4 cu scopul de: a trec pe ultima poziţie rîndul şi coloana 3. Apoi pentru a identifica matricele, ca in relaţia ( vom separa pe Yj astfel : - 4s + l — 4s 0. -1 — 4s Vi = 0 9s + 2 — 5s . — 5s 8s . -2 — 3s . -1 -2 Y, — 3s 3s + 3 . Deci, ■-1 ‘ -2 ^12^22 ^21 ■12 3s 1 '1' 3s -|- 3 1 [-1 -2 — 3s] 2 4 6s 3s + 3 _ —3s _3s 6 s 9s2. circuitului cu nodul 3 V inou r4s+l -4s — 4s 9s + 2 0 - [ os 0 ' -5s 8s 12 3s "1 24 6s = 9s2J + 3L33s 6 s — 3s 4s + 1 1 V 3s + 3 J —1 3s+3 ) 3 s -1- 3 3s + 3 j 4 3s + 3 9s -i 2 - 3s + 3 6 s ( 6s \ 5s + ------------- - I ^ 3s+3j 9 s2 8s - 4s + — 3s 3s + 3 3s + 3 . ) 192 3. FUNCŢII DE CIRCUIT în final, terminalul 4 este transformat în bornă comună omiţîndu-se ultimul rînd şi ultima coloană a matricei Y M a t r i c e a y dorită este : S-ar putea spune că o metodă obişnuită ar necesita mai puţina muncă. Este adevărat că au necesitat mai multe etape aici, dar fiecare etapă este aproape banală, multe din ele scriindu-se prin simplă observaţie. De asemenea, ultimul rînd şi, ultima coloană a noii matrice nu trebuie calculate, aici fiind date numai pentru completarea calculului. 3.7. MATRICEA IMPEDANŢĂ NEDEFINITĂ După cele învăţate despre matricea admitanţă nedefinită o curiozitate naturală ne conduce să ne gîndim la o matrice duală, care poate fi numită matricea impedanţă nedefinită. Să ne întoarcem la fig. 3.20, în termenii căreia a fost dezvoltată noţiunea de matrice admitanţă nedefinită Y{. Condiţia importantă, care ne-a condus la proprietatea anulării sumei elementelor îîndurilor şi coloanelor, este faptul că, potrivit legii curenţilor lui Kirchhoff, suma tuturor curenţilor de terminal este nulă. Evident, pentru situaţia duală, va trebui să găsim că, potrivit legii tensiunilor lui Kirchhoff suma unui set de tensiuni este nulă. Tensiunile terminalelor nu pot forma acest set, deoarece legea tensiunilor lui Kirchhoff nu poate fi aplicată decît unui circuit închis, iar tensiunile terminalelor nu pot fi înconjurate de o curbă închisă. Şi totuşi, dacă alegem ca variabile — tensiunile între perechile de terminale adiacente (ca în fig. 3.25, a) — vedem că ele satisfac legea tensiunilor a lui Kirchhoff. Vor fi tot atîtea variabile — tensiuni cîte terminale sînt. Pentru circuitele liniare, la care ne referim, aceste variabile — tensiuni pot fi exprimate ca fiind combinaţii liniare ale curenţilor de terminale. însă este mult mai convenabil să definim un alt set de curenţi ca înfig. 3.25, b, înlocui setului de curenţi de terminale. Curenţii Jk sînt curenţii ciclici (de contur) externi între perechile de terminale. Există o relaţie liniară, simplă, între curenţii de contur externi şi curenţii de terminale : I,. — Jk — Jt+l. 193 3.7. MATRICEA IMPEDANŢĂ NEDEFINITA Astfel, poate fi scrisă o relaţie liniară, care să exprime feaiMUige in funcţie de aceşti curenţi de contur, tot aşa de simplu ca şi o lelaţie mtie aceste tensiuni şi curenţii de terminale. -9 + Fig. 3.25. Variabilele matricei impedanţe nedefinită. Această ^23 ti. ^11 = S12 * ~21 &22 ‘ &n 2 * *n Ji * &2n J* * _ &nn - ‘11! relaţie va fi: 'Vit sau 1 l-1 Vi*' = Z| V’nl - J2 _- (45) Alatricea acestor ecuaţii este notată cu Z4 şi se numeşte matricea im,pedantă nedefinită. Ca şi in cazul matncn Y4, este posibil sa aratam ca suma elementelor fiecărui rînd sau a fiecărei coloane a lui A este e9ala m ze}0- în cazul coloanelor aceasta se face adunînd ecuaţiile şi folosind legea tensiunilor lui Kirchhoff. Pentru rînduri, proprietatea se demonstrează anulind toate tensiunile în afara uneia şi aplicînd o sursa de curent intre terminalele asociate tensiunii neanulate. Cele de mai sus presupun scurtcircuitarea împreună a tuturor terminalelor ceea ce determina : (1) ca ultima tensiune să fie de asemenea nulă (prin aplicarea legii tensiuniloi a lui Kirchhoff) şi (2) toţi curenţii de contur externi sa fie egali. Detaliile acestor calcule sint lăsate cititorului. ^ ^^ Astfel, ca şi în cazul lui Y„ matricea impedanţă nedefinită este o matrice singulară. . u Să ne reamintim că, pentru {n — l)-port cu bornă comuna derivat dintr-un n-port prin scurtcircuitarea unui terminal la nodul de referinţa 15 - e. §54 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 194 ca în fig. 3.20, matricea admitanţă nedefinită este legată pnntr-o relaţie simplă de matricea admitanţelor de scurtcircuit. Situaţia corespunzătoare este: Pentru un (n — l)-port, derivat dintr-un n-port, la care s-a lasat în gol o pereche de terminale ca în fig. 3.25, matncea impedanţa nedefinită se află într-o relaţie simplă cu matricea impedanţelor m gol Z (Matricea impedanţelor în gol pentru acest (n - l)-poit va fi numită matricea impedanţelor în gol a unui circuit cu contur comun) De fapt Z. se obţine, întîi, prin adăugarea unui rind matricii Loc tie- care element al acestui rînd fiind suma cu semn schimbat a tuturor elementelor rîndului, apoi prin adăugarea unei coloane matrien rezultate, fiecare element al acestei coloane fiind suma cu semn schimbat a tuturoi elementelor coloanei respective. ^ în cazul matricii Y( proprietatea anulării sumei elementelor ringurilor şi coloanelor conduce la proprietatea egalităţii^ cofactorilor. Similar, cofactorii matricii impedanţă nedefinită sînt toţi egali. ^ Deoarece, deseori, multipolii sînt cu bornă comună, să examinăm relaţia între matricea impedanţelor în gol a unui circuit cu borna comuna si matricea impedanţă în gol "a unui circuit cu contur (ochi) comun în fia- 3 25 se presupune că terminalul n este borna comuna, iar vanabi e tensfune pentru descrierea porţilor vor fi tensiunile terminale raportate la nodul de referinţă n. Astfel Vn = 0. Deoarece, conform legii curenţilor lui KiîchhoaT suma curenţilor de terminal este zero, unul dmt curenţi este redundant. Dat fiind că fiecare curent de terminal este diferenţa între doi curenţi de contur externi, curenţii de terminal nu se vor schimba dacă toti curenţii externi vor fi micşoraţi sau măriţi cu acccaşicantitate. Să nresupunem că J„ este ales să fie zero. Aceasta este echivalent cu scăderea lui Jn din fiecare curent extern - curenţii de terminal ra î- nînd neschimbaţi. Din fig. 3.25 putem scrie urmatoarele . Ii — Jv j2 = J2-J1 = J2-I15 Jz-Ii + h- J3 = J3 - J2 = J3 - Ii - Iv J3 • In_ i = Jn-1 — *1 n 2 = - (II + h + ■ • • + In-2) sau = I1+h + I8. ' Jn-l=Il + *2 + ’ ’ * + ^ Ecuaţiile pentru curenţii J pot fi scrise şi astfel: J = MI. (46) 195 3.7. MATRICEA IMPEDANŢĂ NEDEFINITA Un raţionament analog se aplică Poartă F, ^te tensiunea cea a terminalului n. Aceste -!)• unde M este o matrice triunghiulară de ordin tensiunilor Tensiunea de terminalului le în raport cu tensiuni .ie M porţi sînt 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 • • • • • 0 ■ • 0 • • 0 • • 1 [Vi 1 (47) exprimabile ca : • (48) ^ 12 ^23 V2 == M' - Vn — u -Vn-1 n- Detaliile acestui calcul sînt lăsate cititorului. Deoarece Jn = 0, ultima coloană din Zs în (45), poate fi omisă. Similar, ultimul nnd poate fi omis, deoarece F nl nu apare în (48). în acest fel obţinem matricea impedan- ţelor în gol a unui circuit cu contur comun, notata cu IoM)- Astlel, toio înd (48), (46) şi (45) cu ultima linie şi coloană omise se obţine : Ji ' Vil ' Vo V«1. = M' r23 i’ _ ' n —1. h = M'Z0C„, J2 h' — M' Zoc(i) M . Jn-l h (49) . li i . i'Să ţinem minte că Zoc(!) aici este Z4 a lui (45) cu ultimul rînd şi ultima coloană omise). „ . Ecuaţia (49) leagă tensiunile de poartă de curenţii de poartă. Prm urmare matricea impedanţelor în gol a unui circuit cu bornă comuna Z , va fi: M' ZocW M, (50a) (MT1 %oc M-1. (50ft) si 196 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Ultima relaţie rezultă din faptul că matricea triunghiulară cu termenii diagonali nenuli este nesingulară. Legătura, în acest caz, pare a fi mult mai complicată decît în cazul corespunzător legăturii între Y5C şi V Cunoaşterea lui Z4 (50a) permite determinarea lui 20c şi Z?eU). Invers, dîndu-se, pentru un (n — l)-port cu bornă comună Zoc, cu ajutorul relaţiei (50b) se determină ZocU). Din Zec(l) se obţine Z4 prin adăugarea unei linii şi a unei coloane, folosind proprietatea anulării sumei elementeloi liniilor şi coloanelor acestei matrice. 3.8. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT Să recapitulăm pe scurt ce s-a făcut în acest capitol. ^ în primul paragraf am definit funcţiile de circuit ca relaţii întie transformatele Laplace ale răspunsului şi excitaţiei circuitului. Acestea, pot fi funcţii de intrare sau funcţii de transfer; dar, în cazul circuitelor liniare şi cu constante concentrate, ele vor fi toate funcţii raţionale de variabilă frecvenţă complexă s. Expresiile pentru oricare din aceste funcţii pot fi găsite rezolvînd ecuaţiile la noduri sau pe contur, în toate cazurile funcţiile de circuit pot fi exprimate ca un raport între determinantul matricii admitanţelor la noduri şi cofactorii ei sau a matricii impedanţelor pe contur şi cofactorii ei. Paragrafele următoare ale acestui capitol au fost dedicate unor discuţii asupra diferitelor moduri de descriere a comportării externe a unui circuit. Descrierile de pînă acum conduceau la definirea unor funcţii de circuit în diferite condiţii impuse terminalelor (impedanţe în gol, admitanţe în scurtcircuit, etc.). Oricare din aceste funcţii pot fi evaluate aşa cum s-a arătat în piimul pai agi af. Calculul lor se reduce la calculul unor determinanţi şi a cofactorilor săi. Să ne întoarcem acum la găsirea unor procedee simple de evaluare a acestor determinanţi. Metodele uzuale de evaluare a acestor deteimi- nanti (de exemplu, dezvoltarea după minori sau condensai ea prvotală) necesită multiplicarea multor elemente şi adunarea^ acestor produse, în acest proces mulţi termeni pot eventual să dispară, dar asta^ numai după un calcul lung şi laborios. Ar fi de un real folos să ştim de la început care termeni vor dispare în final. Metoda pe care o vom discuta corespunde acestui scop. Determinantul matricei admitanţelor la noduri Yom începe considerînd ecuaţiile la noduri Y„(s)V„(s) = J(s) unde : Yn = AYA', (51) in care A este matricea de incidenţă şi Y este matricea admitanţelor p laturi. în acest paragraf vom restrînge discuţia la cazul circuitelor pa,siv^, reciproce, fără cuplaje mutuale, adică la cazul circuitelor BLC fata tians- foimatoare. Ne inteîesează să evaluăm det (AYA'). Pentru aceasta aplicăm teorema Binet-Cauchy, 3.3. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT 197 care conduce la re1--1— det AYA' = Ş piodusele det, majori coiespunzătoii lui (AY) şi A' (52) toţi det. majori Am considerat produsul AY ca una din cele două matrici la care se referă teorema. .. . ^,. ■. Vom reaminti citeva din inopiietăţile lui A şi V Matricea adm- tantă Y a braţelor unui circuit BLC făiă transfoi mat oare este o matrice diagonală, unde y, pentru j = 1 , 2 , . . .,6. vor fi elementele diagonale. .Să ne reamintim de asemenea că submatricile nesingulare ale lm A coies pund arborilor grafului circuitului, iar determinanţii acestor matrici Alatricea ^Y aie aceeaşi stiuctuiă ca şi A cu excepţia coloanei j tăie va fi multiplicată cu y,. Deci, şi submatricile nesmgulare ale piodusului AY vor coiespunde arborilor grafului circuitului, dar m acest cuz. valoarea determinanţilor majori nu vor mai fi ±1 ci va ti egala cu produsul admitanţelor laturilor arborelui corespunzător. Aşa cum s-a discutat în capitolul anterior, sulmiatikea A' este pur şi simplu transpusa şut matricei A. Deci o matrice nesingulaiă a lui A' va avea acelaşi determinant (±1) ca şi submatricea corespunzătoare a lui A. In consecinţa iiecaie teimen din însumarea (52) va fi produsul admitanţelor tuturor ramurilor arborelui, pe care îl vom numi produsul admitanţelor arborelui ;i-l vom nota cu T(y). Deci : AL = det AYA'= E T{y) V toţi arborii Yi produsele admitanţelor arborelui ^53^ toti arborii Acest rezultat foarte interesant a fost pentiu prima dată demonstrat ce către Maxwell. . , . Deci, pentru a calcula deteiminantul matricei admitanţelor la nodurr s unui circuit vom determina mai întîi toţi arborii grafului circuitului,, ax oi vom multiplica admitanţele braţelor fiecărui arbore, iar m Irnai vom aduna aceste produse pentru toţi arborii. (Pentru simplitate vom tpune adesea „produsele arborilor” în loc de „produse ale admrtanţe or arborilor”). 198 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Pentru a ilustra acest rezultat să considerăm exemplul arătat în fig. 3.26. Vom presupune că circuitul va fi excitat de o sursă de curent la bornele rezistenţei Re. Sînt patru noduri în circuit, astfel că fiecare arbore va avea trei ramuri. Arborii circuitului vor fi: 124 134 145 234 245 346 456 125 135 156 126 136 236 235 246 356 o Fig. 3.26. Exemplu pentru evaluarea lui det AYA'. o- De notat că, în acest exemplu, determinarea tuturor arborilor nu constituie o dificultate. Deoarece, pentru un circuit cu n + 1 noduri, fiecar» arbore conţine n ramuri, un procedeu de a determina toţi arborii circuitului constă în a lista toate combinaţiile de b laturi luate cîte n. Dintre acestea se vor elimina acele combinaţii care conţin cel puţin un ochi şi care nu pot forma un arbore. Întorcîndu-ne la exemplu, odată arborii circuitului aflaţi, se determină produsele admitanţelor arborilor. De fapt acest lucru poate fi făcut astfel ca termenii cu aceleaşi puteri ale lui s să fie scrişi împreună. Rezultatul va fi: det AYA' = .s-'2C/'4((7, + Q s + Gs) + s C 2 G t (G 5 + G6) + Gfi,(fi l + G s ) + Coîactori simetrici ai matricei admitanţelor la noduri Să ne întoarcem acum la cofactorii lui det AYA'. îi vom împărţi în două grupe : cofactor simetrici, cum ar fi Aw şi cofactori asimetrici, cum ar fi A,-*. Yom considera mai întîi cofactorii simetrici. Cofaetorul 199 3.3. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT :fa&4«teB«R3K.*cîai¥rssj j omis. Astfel: A,, - (lot (A. j YA.',). (5i) Ce semnificaţie are A _ , pentru circuit! :«eoaJê Jţ 2t£2S?£l£E33& Xetiv'S \ __ este matricea de incidenţa a cu cultului - -j • ‘ < de —; « £ £ *«3 det (A_j Y A L j ) = Yi produsele admitanţelor arborilor lui A arborii lui N—i Această expresie poate fi folosită la determinarea lui ^S uSă pentru ? stabili legătura dintre A, şi Acum N j are cu un nod mai puţm decît N, deci cu o r a m u i a A* dar este mult f'mm.& mai puţin într-un arbore. Un arbore a lui N a l lui N si nu poate conţine un contur (o bucla) a lui A . Astf , un arbore a lui A%- are o ramură mai puţm decît un arbore ^ un arbore al lui N. s poate fi conţinut într-un arboreal_ lui JV. Sa nota cu I-j un arbore al lui şi sa-1 presupunem conţinut este un arbore a lui N. Evident, este un semigiaf a lui T (ţeasta ’ m T, nu conţiazice faptul că este o parte a sul.giafuliu in T ,, ca un subgraf al lui T_,, nodul j şi nodul de refeimţa <1 smt îcuitcncuitate, nu Listă nici o cale între ele. Deci nodurile T_, ca subgraf a lui T O astfel ae j ş £ smt fiecare într-o pai te difeiită a lui stiuctmă se numeşte biarbore. Explicit, într-un circuit cu (» + 1 noduri ,n biarbore este un set den - 1 laturi care nu ^Xndut fadmiHn tftară un arbore al circuitului m doua -parii conecte Piodusul admitan «lor braţelor ce constituie un biarbore se numeşte produs admttmţa a biarborelui şi se notează cu *T(y). Se utilizeaza indici ™ a md^ca nodul care este necesar să fie într-o parte diferita a giafului. Astt •-I..Jy) semnifică un produs admitanţă a biarborelui m caie nodunle f ş?d sînt părţi diferite ale giafului. , ' ' Pentru exemplul din fig. 3.26, circuitul N_} este circuitaiea nodurilor 1 şi 4, aşa cum este aratat m fig. 3.27. Setm_ de laturi notate cu 13, 34, 45 şi 24 sînt patru dm arborii acestui c icmt Pentru circuitul original N, aceste seturi de laturi au configuiaţrile a atate in fior. 3.28. Fiecare din acestea sînt un biarbore cu nodurile 1 şi 4 in păiţf diferite. în unele din ele nodurile 1 şi 4 sînt noduri izolate, m altele nu sînt. 200 3. FUNCŢII DE CIRCUIT în afară de acestea, sînt şi alţi biarbori (12, 15, 23 şi 35) în care nodurile 1 şi 4 sînt în diferite părţi. Toate acestea contribuie la calculul lui Au. Circuitul N-j corespunzător lui N din fig. 3.26. Fig. 3.27. Odată pentru cu introducerea conceptului ele biarbore, expresia cofactorul (55) poate fi rescrisă astfel: Ajj = Yi Tjjy) = £ produsele admitanţelor biarborilor (j, ă) (56) toti biarborii biarborii toţi unde d este nodul de referinţă. 1 Fig. 3.28. Cîţiva din bi-arborii (1,4) ai circuitului N din fig. 3.26. Avînd formulele pentru A şi cofactorii simetrici putem evalua funcţiile de intrare ale circuitului. Fie circuitul N din fig. 3.29, considerat pasiv şi fără transformatoare şi presupus excitat de o sursă de curent. 1 N PV X-_ 0 Fig. 3.29. Calculul funcţiei de intrare. 3.3. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT 201 202 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Să alegem ca nod de referinţă pentiu tensiunile de noduri, terminalul cel mai de jos al sursei (notat cu 0). Expresia impedanţei de intrare va fi: zw = ^ A (s) (57) Substituind pentiu A şi An expiesiile corespunzătoare (53) şi (56) se obţine : 'Z2Tli0(y) £ produsele biarborilor (1, 0) S T(y) S produsele arborilor Acesta este într-adevăr un rezultat foarte util, deoarece permite evalua- lea funcţiilor de intrai e a unui circuit simplu şi chiar a unor circuite de o complexitate structurală modei ată prin simpla lor inspecţie, fără o analiză extinsă, Mai mult chiar, rezultatul cuprins în relaţia (58) poate fi aplicat pentiu circuite mult mai complexe folosind un calculator digital căutînd mai întîi toţi aii:oi ii şi biarboiii circuitului iar apoi formînd produsele necesare. . , Să aplicăm formula (58) filtrului trece sus din figura 3.30, pentru care se doreşte să se determine funcţia de intrare. ^ Sînt patiu noduri, deci, trei ramuri într-un arbore şi doua latui î iuti-un biaiboie. Aitorii şi biarborii (1, 0) vor fi: Arbori 123 125 145 456 126 146 134 156 135 245 234 246 345 Biarbori (1,0) 23 25 26 34 35 45 46 56 • Latura 1 conectează două noduri de intrare astfel că poate fi eliminată pi in definiţie dintr-un biaiboie). Se formează acum produsele admitanţa. Fig. 3.29. Calculul funcţiei de intrare. 3 FUNCŢII DE CIRCUIT ^ 203 JTMS^JÎBWBfSîXffflSHWS. ... {+ «[W + ^)(t'i + C - s ) + + C 3G a ) ] + G f i , Din dezvoltarea precedentă şi aşa cum formulele topologice pe care le-a efort minim, căci nu a existat nici o. eii» termen evaluat a apărut m rezultatul final. 6. J (O ) f0 rmuleP de ' vreunui termen - fiecare Coîaetori nesimetrioi ai matricei admitanţelur la noduri Matricea admitanţelor la noduri fimd (ninoscut^nejamine£^ ^ ţ 3? unde f£Z £ S )‘ Wto*Wl teorema lui Binet-Cauchy «»» . ( — 1)‘ ^ A;, = det A_i V A' j = Yi produsele det, majori coresp. lui AY şi A _ j . (60) tot» det. majori C» 5i in P™g™M corespunde unui biarbore in determinant major al lui A_, în în care nodurile j (care este egal cu ± 1) oorespuui oTafului circuitului.Deoarece, şi nodul de referinţă sint mpărţi/Xiîl wodffiuidinfeO) trebuie să fie pentru ca să ne intereseze trebuie să fie biarbori Lnu! subcireuitele car*. corespund ^tdoi ^ pe cu nodurile * şi d pe_ de> o p 1. Deoarece nu 8Înt decît doua părţi parte in părţi sepaiate a g aceste părţi, vom concluziona într-un biarbore, iar ă se afla într-un.din aceste parţ^ că ambele noduri i . ţ i J, l l , ' b ' 1 p a r t e a grafului voi ti smgu calculate rig^ţk pr“Sd semnul f l j j 4ul de referinţă !n cealaltă eu nodurideproduse f 4 2 7 i. iv\ Singura rezerva “V ««« SĂ nu nici o determinanţilor major, pentru Ui 3.8. FOBMTJLE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT 204 \_(Y şi A'_j. Totuşi se poate indica semnul produsului prin relaţia : (_’l)»+•>. Rezultatul final va fi: ^ ^ -T-- d(y) = 5j Produsele admitanţelor biarborilor (î j, d). (6l) Cu aiutorul acestui rezultat este acum posibil să evaluăm cîteva funcţii de transfer. Să considerăm situaţia din fig. 3.31. Se doreşte sa se gaseasca raportul de transfer al tensiunilor V^/V^s). Să presupunem aplicata o sursă de curent, cum este arătat în figura, şi ca nodul 0 a fost ales ca nod de referinţă. Ecuaţiile la noduri pot fi rezolvate în raport de tensiunile la noduri Fj. y 2 şi y3. Deoarece V23 = V2 — Va se obţine . V 23 (Vi - Ya)II 1 (Aa - A3 yji i V-, ni (62) Ci un exemplu specific să privim înapoi la circuitul dm fig. 3.3°. Fie tensiunea de ieşire să fie tensiunea de-alungul laturii o. Elementul 1 T (?/) a fost deja determinat ca fiind numărătorul relaţiei (o9), astfel incit J r ă m î n e să ne concentrăm asupra numărătorului produselor- biarbore rore«nunzător relaţiei (62). Pentru biarborele care conţme ambele nodun 7 <i 9 trebuie să fie prezentă şi latura 4 . Latura 1 conecteaza nodurile 0 i ' ] r’iaîmT 2 conectează nodurile 0 şi 2. Nicitma dm aceste atur '* ’ + f - m07Pnts în 2 T ( v ) în mod similar, pentru ca nodunle 1 5YTJX Siîo V^Lti a grafului, trebuie să fie prezente 5i laturile 4 şi 5. Deoarece biarborele are numai doua laturi nu exista alte produse, astfel încît : 22712,o (y) = *T13,0(y) = W*- sCf3^4 + GiGs + Qfiv (63&) 200 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Funcţia de transfer va fi sCşG 4 + Gfi 6 ____________ “pf = GÔ^+l\MGb + Ga) + C3(<?4 + GS)] + (6 4 ) + G&+G& -Pmte fi observat aici un element foarte interesant. Există un termen comun în cei doi biarbori în (63) care dispar după ia9) Astfel această formulă nu este o formula de tipul „efortului mmim . O altă observaţie interesantă poate ti «ăeutâ eomp«^4 prodosde torbore în pn 2T (v) care este numitorul lui (64), 1i.o(.2/) ®on/. pe >T,„W s"'pe Aceste observaţii mot.veaza d.scuţ.a oaie '“'“îf considerăm un biarbore (j, 4) fi - nod i, Acest nod trebuie să fie într-o parte a grafului care îl conţine fie pe j fie pe d. A lui 2Tij,d(y) şi 2Tj,di{y) trebuie să conţină toţi termenii conţinuţi m J, (y) adică : E ^)Ay) = E 'TUV) + S iTUv)- (65) Această relaţie poate fi folosită pentru a scrie următoarele identităţi: E *T12,0(y) = E 2?W?/) + E 2îWî/)> (66a) E î,o(y ) - E « + S «)• (66&) De notat că ele au termeni comuni. Cînd relaţiile sînt înserate m (63) rezultatul devine : v„ ^ E r2^2.o3(?/) - 2?Wy)] .. v1 (67) t*Tay) în contrast cu (63) aceasta este o formulă de „minim efort", deoarece nodurile 2 şi 3 sînt în părţi separate ale graf ului în ambele produse biarbore la numărător. Acest rezultat pune în evidenţă şi faptul ca admitanţa de sarcină nu poate apare la numărător. Ca o ilustrare finală să folosim aceasta formula pentru a calcula raportul de transfer al tensiunilor V23IVU pentru circuitul din fig. 3. . în acest exemplu nodul 4 joacă rolul nodului 0 din exemplul precedent. Biarborele (1, 4) a fost prezentat în fig. 3.28. Se poate scrie ca : E 2 T i 2, s i ( y ) = GiGn E 2Ti3.24(2/) = 205 3.3. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT altfel că r G^Gr, — CAC2s2 23 14 GJG s2C1C2 + s(G1Cz + 04(?5) + 1GXG5 + Matrieea importanţelor pe contur şi coîactorii ei J sL, Din relaţiile de dualitate ne putem aştepta ca ceea ce a fost făcut T-entru matricea admitanţelor la noduri să poata fi de asemenea făcut wtrn matricea impedanţelor pe contur. Aceasta este adevarat, a*a ;am vom discuta în continuare, cu unele diferenţe caracteustice. Una, •i-in aceste diferenţe este că determinanţii submatricilor nesmgulwe ai •natrieii pe contur B nu sînt în mod necesar egali cu ±1- Aceşti deter- ^Sanîi pot avea valoarea ± 1, dacă B este o matrice de contur fundamentală. Deci, vom presupune, că B este o matnce de contur fun ,"îmAici1punctul de plecare este matricea impedanţelor de contur BZB'. ii .are se aplică teorema Binet-Cauchy. , n De data aceasta submatricile nesingulare ale lui B corespund roor&o- rlîor (complimenţii arborilor) în locul arborilor. Yom defini un piodus -:e /mpeăanţeeoarbore (complementarele arborilor) ca, un •iintelor coardelor pentru un anume arbore. Yom folosi simbolul CLI(z)J wntru a indica acest produs. Urmînd acelaş^ raţionament ca şi m cazul citricei admitanţelor la noduri se găseşte ca : AL = det BZB' = S ClT(z)] toti arborii iZ = toti arborii produsele impedanţelor coarborilor. (6S) i,iieă pentru a calcula determinantul A trebuie să determinăm toţi arborii din care vom determina toţi coarborn, apoi sa multiplicam toate impe dintele corzilor fiecărui coarbore şi în final să adunam produsele rezultate. Fără îndoială că se naşte întrebarea dacă nu există o relaţie mtre ■determinanţii matricii impedanţelor de contur şi matficea admitanţelor _ noduri. Yom examina în continuare această problema. Sa presupunem .1 produsul admitanţelor unui arbore este multiplicat cu produsul tuturor impedanţelor laturilor circuitului. Iinpedanţele ramurilor se vor simplifica n ldmitantele ramurilor rezultînd un produs de impedanţa-coarbore. Făcind acest lucru pentru toate produsele admitanţelor tuturor arborilor 206 3. FUNCŢII DE CIRCUIT şi adunînd rezultatele vom obţine o sumă a produselor de impedanţă coarbore, sau : A|, = (^2 %.. . z,)A|„. (69) Deoarece matricea impedanţelor laturilor Z este o matrice diagonală, produsul impedanţelor din expresia de mai sus estepur şi simplu valoarea determinantului luiZ. Astfel acesta poate fi rescris ca : A|, = (det Z)A|, . (70) b Fig. 3.32. Ilustrarea importanţei condiţiilor de terminaţie. Aceasta este un rezultat foarte important, care spune că determinanţii de contur şi la noduri, deşi provin din matrici diferite (care, în general au ordine diferite) sînt legaţi într-un nod foarte simplu. în particular dacă se consideră că fiecare B, L şi G sînt într-o latură a circuitului, cei doi determinanţi pot să difere cu cel mult printr-un factor de multiplicare Tcsp. Aceasta înseamnă că determinanţii de contur şi la noduri au întotdeauna aceleaşi zerouri exceptînd unele zerouri posibile la s = 0; adică se poate spune că frecvenţele naturale nenule ale unui circuit sînt independente de metoda de analiză (pe contur sau la noduri) aleasă. în această formulare, legătura dintre cei doi determinanţi se aplică şi circuitelor care conţin inductanţe mutuale şi transformatoare. Trebuie subliniat că această relaţie între determinanţi se aplică numai dacă determinanţii se referă la acelaşi circuit. Din acest punct de vedere sînt posibile mari erori. De exemplu, să considerăm situaţia din fig. 3.32, a. Să presupunem că o sursă de tensiune se aplică terminalelor a şi b. Plecînd de la matricea impedanţelor de contur şi considerînd sursa de tensiune ca un scurtcircuit, rezultă circuitul din fig. 3.32, b pentru calculul lui A|z. Aceasta are un nod mai puţin şi, în consecinţă, o ramură mai puţin într-un arbore, decît circuitul original. Ar fi o greşeală să ne imaginăm că A|„ pentru circuitul din fig. 3.32, a este legat printr-o relaţie de tipul (70) de A^ pentru circuitul din fig. 3.32, b. Dacă primul circuit este notat cu N, atunci cel de-al doilea este obţinut prin scurt- 3.3. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT 207 l ircuitarea nodului a cu b. Aceasta este ceea ce am numit un ciicuit ne întoarcem la cofactorii lui A|, şi să considerăm mai întu cofactorii imetrici de forma Aw = det H ; ZU'_', unde li j este matricea obţinută .im matricea B omiţînd rîndul j. Omiterea rîndului j din matricea B ^■mnifică distrugerea conturului j în circuit. Pentru a distruge un contur, îl vom lăsa pur şi simplu în gol, avînd grijă să nu lăsăm în gol în acelaşi timp si alte contururi. Acest lucru este posibil dacă conturul j conţine o latură care nu mai este conţinută de nici un alt contur. Circuitul rezultat, t :nd conturul este lăsat în gol va avea un contur mai puţin decît circuitul Fig. 3.33. Funcţia de intrare. original. Determinantul Aj7 este pur şi simplu determinantul matncii impedanţelor de contur a acestui nou circuit. Astfel relaţia (3.68) se aplica pentru evaluarea sa numai că este vorba de un circuit nou cu un contui mai puţin. .. w. Ideile dezvoltate anterior vor deveni mult mai clare daca le vom utiliza pentru a găsi impedanţa de intrare a circuitului din fig. 3.33. Să notăm cu N circuitul oînd terminalele sînt lăsate în gol, cu alte cuvinte cînd conturul 1 este deschis. Atunci, aplicînd o sursă de tensiune circuitul rezultat va fi JV:X deoarece sursa se comportă ca un scurtcircuit. Aceasta înseamnă că A|2 va fi evaluat cu ajutorul relaţiei (o.bo) Dentru circuitul Reamintind că produsele admitanţelor arborilor pentru circuitul sînt produsele admitanţelor biarborilor circuitului J S , rezultă că produsele impedanţelor coarborilor pentru Nsînt produsele impedanţelor co-bi-arborilor pentru N. _ . Admitanţa de intrare la terminalele circuitului N este data de relata (8) ca fiind Yu) = Au/A|f, unde Au este determinantul circuitului N care rezultă cînd conturul 1 al circuitului este deschis (lăsat m gol). Astfel, deoarece Z(s) = l/r<„ vom găsi că: Z(s) = A An ^produsele impedanţelor co-bi-arborilor (1,0) produsele impedanţelor coarborilor hoim] (71) Notaţia pare dificilă, dar ideea este simplă. Astfel O[2Tli0(s)] este un simbol _ pentru anumite operaţii, care se poate citi: găseşte un biarbore 208 3. FUNCŢII DE CIRCUIT în care nodurile 1 şi 0 sînt în părţi diferite; ia laturile care nu sînt în biarbore şi multiplică între ele impedanţele lor. Numărătorul lui (71) este suma unor astfel de produse pentru’ toţi biarborii (1, 0). De notat că acest rezultat putea fi anticipat din expresia impedanţei dată de relaţia (58) dedusă din matricea admitanţelor la noduri. Să presupunem că numărătorul şi numitorul acestei expresii sînt multiplicaţi prin det Z. Aşa cum sa discutat mai sus, fiecare termen, care este compus din produse ale admitanţelor anumitor laturi, este convertit într-un produs al impedanţelor complementarelor acestor latui i. De aici rezultă relaţia (71). în final să ne întoarcem la cofactorii nesimetrici ai matricii impedanţelor de contur. în consecinţă ne vom întoarce la fig. 3.31 cu schimbarea că va fi aplicată o sursă de tensiune în locul unei surse de curent. Yom presupune că sursa şi sarcina ZL se găsesc respectiv numai în contururile 1 şi 2. Toate funcţiile de transfer F^/F^ F23/Jx, IJV1 şi Izjlx conţin pe A12 la numărător. Intuitiv ne aşteptăm ca formula topologică a lui Aj,s să fie duala celei obţinute pentru cofactorii corespunzători ai matricei admitanţelor la noduri. Rezultatul este : Ai2 = SO[2T12i03(2)] - £CPT13,02(Z)], (72) în care complemenţii sînt calculaţi fără sarcina Z]}). Să considerăm ca exemplu, funcţia de transfer a tensiunilor pentru circuitul din fig. 3.31. în termenii ecuaţiilor de contur, această funcţie este dată de relaţia : ’ (73) F O expresie pentru acest raport de tensiuni a fost dată anterior în relaţia (67). Să presupunem că numărătorul şi numitorul acelei expresii este multiplicat prin det Z pentru circuitul cu conturul 1 deschis. (De ce este folosit det Z al acestui circuit particular?) Acum ZL este un factor al lui det Z. Deoarece YL nu apărea la numărător, ZL nu va dispare în nici un termen al numărătorului. Deci va putea fi scos în factor comun. Rezultatul va fi: 2^13.02 (*/)] ^23 _ det Z Yi [2^'l2.03 (y) Vj. detz Eôfo) _ZLT> {C[2Tig.03(g)]- CPlWz)]} E <?[»T1.0(*)] > Pentru o demonstraţie amănunţită, vezi Seshu şi Reed, op. cit. J (74) 3.8. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE DE CIRCUIT 209 unde complemenţii de la numărător au fost calculaţi pentru circuitul fără ZL. Comparaţia acestui rezultat cu (73) conduce la formula pentru A12 dată în (72). Cele de mai sus constituie, de fapt, o demonstraţie a acestei formule. Parametrii diportului Deoarece, în cazul diportului (cuadripolului), parametrii admitanţă in scurtcircuit şi parametrii impedanţă în gol sînt folosiţi frecvent, va fi foarte util să avem formulele topologice pentru evaluarea lor. Yom dezvolta rapid aceste formule, fără a ne opri la examinarea detaliată a tutui or etapelor de calcul. Fig. 3.34. Sensurile de referinţă ale curenţilor şi tensiunilor calculul parametrilor unui diport. utilizate la Prototipul urnii diport (cuadripol) este arătat în fig. 3.34. Terminalul 0 este ales ca nod de referinţă pentru definirea tensiunilor de noduri. De notat că tensiunea de poartă V2 este diferenţa între tensiunile de noduri V20 şi V30. Să presupunem că sînt aplicate la porţile de intrare si ieşire surse de curent. Ecuaţiile la noduri vor fi : AYA' lTl 1 ^20 ^30 r — Ia -*2 0 (75) în continuare vom rezolva sistemul de mai sus în raport cu tensiunile de noduri F,, V2Q şi i';i0 Fi A l7 20 = _T (76 a) A22 12 A32 (76 b) A23 12 A33 I2). (76 e) (^12 II A r30 =±{Alzi, A '.i — C. S54 ‘21^2 A31J2)> 210 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Ob,servind că F2 = V2Q — F30, ecuaţiile în gol devin : TV 1 A12 A13 A11 Jr2. ~A Ara A 2 f~ A33AiaA-i 2 ■ 2A 'V I2. 'V oc - h . (77) 23 Pentru a determina matricea admitanţelor în scurtcircuit va trebui să inversăm pe ZM. Fie Aoc determinantul lui Zoc. Din relaţia (77) acest determinant este : Acc— ^2(AiiA22 + AuA33 2AuA23 AÎ-> A13 + 2A12A13). (78) Această relaţie poate fi simplificată folosind teorema lui Jaeobi7), care spune că : 7 1956. Vezi, de exemplu, A. C. Aitken „Determinants and 3VIatrices“ 9th ed. Interscience Publishers, New York, *1% ‘*33 A^ A,-,- Atf AAj;,',-, (79) *iijk7 unde Aiijk este cofactorul format prin suprimarea rîndurilor i şi j şi a coloanelor i şi fc din A. Folosind aceste identităţi, (78) devine : Aoj— A ['‘J (A1122 “H A1133 2A1123). Cu aceasta inversa luiTOPOLOGICE (77) poate fi acum FUNCŢIILE scrisă ca 1PE CIRCUIT 3.8. FORMULE PENTRU A22 “H A33 2A23 A13■ a 1122 + A; 1133 2 A, (80) 211 12 ^1 «T8J (81) Avem formulele topologice pentru toţi cofactorii exceptînd pe aceia cu patru indici. Să definim un triarbore a unui graf, avînd n -f 1 noduri, ca un set de trei subgraf'e neconecte avîncl un total de n — 2 laturi şi care nu conţine nici un contur {ochi). Vom nota un tri-arbore cu simbolul 3T împreună cu indicii care vor indica care noduri sînt în părţi separate ale grafului. Aşa cum a fost arătat că A este egal cu suma produselor admitanţelor pentru toţi arborii unui graf şi că A y este egal cu produsele admitanţă bi-arbore de tipul (87) 212 3. FUNCŢII DE CIRCUIT (ij, d) pentru toţi bi-arborii de tipul în care i şi j sînt într-o parte a grafului, iar d în altă parte, în acelaşi nod se poate arăta că : ^1122 — X® ^1,2.0 ( y ) l (82) Yi ^ i, 3.o (y), 3 1133 A ij 23 — X^l.23.0 ( y ) l unde : 3Tli2i0(y) este produsul admitanţelor ţri-arborelui cu nodurile 1, 2 şi 0 în părţi separate ale grafului, iar ceilalţi tri-arbori avînd interpretări similare. Dar : ^l.a.O = + 3Ti3,2.0 3^1.3.0 =3 -I 82,1.2.08» ^1.23.0 1“ 3^12.3.0 3 (83) ^1.3.02- Folosind ultimele două seturi de ecuaţii, vom găsi că : A1122 + Am, - 2A1123 = H3Tx.2.3o(?/) 4- YlSTl3.2.0 ( y ) + E3Ti2.3.o ( y ) + + S3^1.3.20 ( y ) S I3T (y) (prescurtat). (84) înainte de a înlocui formulele topologice pentru cofactori în relaţia (81) să notăm că este posibil să simplificăm această expresie, ştiind că : A22 = S2^2.0 = 5J2^,23.0+ S2^2.03> A33 = S2Î73,0= 5:^23.0 + X^.02, A23 = S2^23.0' Deci A22 + A33 - 2A23 = X*T2.03 + £aT02.3 = X2^- (85) Ţinînd cont de relaţiile de mai sus relaţiile (77) şi (81) conduc la : 1 Z= ^ Şill-0 _ X(^12lS0 - T13.20) 2 X T(y) i ^T(y) S(2^12.30 S^.3 2 ^13,21 S (2T12.30 - 2 ^3.20) L2T2,3 S(2^2.30 - 2Î,13.20) X2^,o (86) 3.8. FORMULE TOPOLOGICE PENTRU FUNCŢIILE PE CIRCUIT 213 unde Yi3T{y) este definit de (84). De subliniat faptul că numărătorii impedanţelor de transfer şi admitanţelor de transfer diferă numai ea semn. Aceasta verifică observaţia noastră anterioară potrivit căreia aceste funcţii au aceleaşi zerouri — în afara cazurilor în care unele din aceste zerouri au dispărut prin simplificare cu zerourile numitorilor. Exemplu. Ca o ilustrare, circuitul din fig. 3.30, a fost redesenat ca un cuadripol în fig. 3.35. Să determinăm pe Ysc. Pentru aceastabi-arborele (1,0) afost deja calculat în relaţia (58). Vom repeta aceste relaţii împreună cu alte relaţii necesare calculului de faţă : bi-arborii (1, 0) : 23, 25, 26, 34, 35, 45, 46 şi 56 bi-arborii (12, 30) : 34 şi 46 bi-arborii (13, 20) : Niciunul bi-arborii (2, 3) : 12, 13, 14, 16, 24, 34 şi 46 -ezw- 2 — o XU . , 6 —dh -Ih Fie 3.35. Exemplu de calcul al în acest exemplu sînt determinaţi cu uşurinţă. Ei sînt : parametrilor unui diport. patru noduri. Astfel că un tri-arbore va avea o singură latură. Tri-arborii vor fi tri-arborii (1, 2, 30) : 3 şi 6 tri-arborii (13, 2, 0) : Niciunul tri-arborii (12, 3, 0) : 4 triarborii (1, 3, 20) : 2 Numitorul parametrilor admitanţelor în scurtcircuit va fi : 23r(y) = *(C, + C3) + G4 + G6. vor fi: Parametrii + C3) + s[G«(C, + — G4 (S C3 + G6) C2 + C3) + C, G6I + G„Ge ^ s(C2 + C3) + G4 -I- Gs yn = V12 S(C2 + C3) +G4 + G6 s2 C2 C3 + s [C2 (GB + Ge) + C3(G4 + G5)] + G4G5 + G4G6 + G5G„ s (C2 + C3) + G4 + G6. Ca o observaţie finală vom nota că deşi dezvoltarea formulelor topologice a fost făcută în termenii ecuaţiilor la noduri sau pe contur, nu am scris aceste ecuaţii. Dîndu-se un circuit, îi vom enumera arborii, bi-arborii şi tri-arborii, iar apoi vom forma produse ale impedanţelor sau (87) lili sgiâ lili# ■ *1 ii 1PROBLEME ădmitanţeloi ^ ^ sau la noduri necesitînd multinenecesara cim; “1^1n1tSrU determinarea lui AYA' şi BZli', s-a dovedit phcan ^ mê 214 ^nJlu i teoiemei Cauchy-Binefc s-au obţinut 3$ raTfematfce ce avT condus la formule simple care nu mai necesita operaţiuni cu matrici. VROBLEllI- r„„„. circuitul din Ii8. 3.P.I « >« "™">' "* sffiTJSfVKî «*■*» —'■ ■ * ■ " "ns,"oiie corespunzătoare. h L3 * o- ------ cj---- o «//© V2 Cz Fig. 3.P.I. „ ţ j a ys s a s z ;“ti «•) Se vor folosi ecuaţiile cu variabile mixte. Rq Rf Fig. 3.P.2. ~ 'B S s S r r - — ; 215 PROBLEME I'3. Repetaţi problema 2 pentru amplificatorul din fig. 3.P.3. Rf Rf Rf Fig. 3.P.3. Ti. în fig. 3.P.1 este arătat un amplificator diferenţial. Se presupune că fiecare tranzistor poate fi reprezentat printr-un circuit echivalent liniar. Să Se găsească valorile lui liL, Rt şi Re astfel încît tensiunea de ieşire V0 să fie aproximativ egală cu K(I2 — /,) .Folosiţi orice set de ecuaţii potrivit. Saferie c.c. Fig. 3.P.7. 216 3. FUNCŢII DE CIRCUIT model aproximativ pentru schema echivalentă hi- F5. Circuitul din fig. 3.P.5 este un ii bridâ in ti a unui tranzistor. Să se găseasca parametru h I'6. Diportul (cuadripolul) din fig. 3.P.6 reprezintă un convertor negativ potenţial. a) Să se găsească parametrii h; . , hj Să se determine raportul j (Denotat că ? = 50 în funcţie de P <•■) Să se discute valorile rezistenţelor tiu h, şi Iu pentiu p y este o valoare uşor realizabilă pentru amplificarea te curen (1) Este un convertor de negativare al curentului sau a tensiunii. P7. Diportul din fig. 3.P.7 reprezintă un convertor negativ potenţial. a) b) Să se calculeze parametrii h. Să se determine raportul R.,IRt în raport eu fi îr,„n e'l Desenaţi pentru acest diport un circuit ec uya eiii J h h =1. narametrii hibrizi g. De|.,punctul ăsiti f>). terminaţi valorile tuturor elementelor acestui circui (1) Fie p = 50. Proiectaţi circuitul .... în decompensare posib 1 care paralel la porţile diportului îl va transforma într-un tom în serie sau Uvare r Fig. 3.P-6. PI —©R7 —-C=D—i conectat •1 ► --------------< . 3. FUNCŢII BE CIRCUIT 217 P8 a't Să se determine parametrii li pentru diportul din fig. 3.P.8. 3 F?e ^ I vor fi valorile lui , R, şi P pentru ca d.porlul sa fie un con vertor de negativare ideal? po rintorul din fig 3.P.9 arc terminalul 3 ca terminal comun a) Să se determine matricea admitanţelor în scurtcircuit a cuadripolulu, cu term.nalul 1 ca bornăsComunăpeta ^ cuadripolul taţi 3 ^ ^ “ ^ r ^ u . u î ^ o b ţ i n u t e cu t ninalul 2 ca bornă comună. la punctă a) şi „). Fig. 3.P.9. „ wss r s inversă (de la dreapta spre stînga). Rf R= 2 o-dH r=h- . R- 1 rdh3 )( Fia. 3.P.10. -,11 218 3. FUNCŢII DE CIRCUIT , este reprezentat un cuadripol terminat pe impedanţa de sarcină Z* Pil. în fig. 3.P.H Să se arate că: V»(s) z21Zx, Z,M = ---------------------------- = -------------------- : ~z~ ' h(s) Z22 + ZL _ 7a(s) _ IIi'Yl Y2l(S) " V,(») »„H-*L 0 -----------+ v< % N Fig. 3.P.11. Verificaţi că pentru un CIlt|caţ V diport det P13. Să se arate că diporţu du g. . PU. Doi diporţi*.^Hanta ^^transfer Ysc c ^ gol. , , 1/det ^ ZM. aceiaş ItaScurtcircuit de scurtcircuit ai cuadripolilor N0 ,i AV /s Fig. 3.P.14. PI ir.ercalat , » ,c — « — «J ™‘ —- * ”S‘,W” * l“>“' se rcpcic - .. A intre cuadripolii IV[ţ şi Ab ca 1U ' ooifl ' . i/21(s) parametri impedanţa ^ ^ a întregului cuadripol m PROBLEME Fig. 3.P.15- 219 220 3. FUNCŢII DE CIRCUIT P16. Fig. 3.P.16 prezintă interconectarea a doi diporţi dintre care unul este un convertor de negativare al curentului. Să se obţină expresia raportului de transfer al tensiunilor V2(.s)/ /Vj(s), în funcţie de parametrii g ai cuadripolilor Na şi Nb precum şi de raportul de conversie k al convertorului de negativare. Comparaţi rezultatul cu situaţia cînd convertorul nu este prezent. Fig. 3.P.16. P17. Un transformator ideal esle conectat in cascadă cu un diport în două moduri posibile arătate în fig. 3.P.17. Să se scrie parametrii impedanţelor în gol a întregului ansamblu In funcţie de n şi de parametrii z ai diportului. Fig. 3.P.17. PI8. Să se arate că matricea Ysc a diportului din fig. Y S C _ "L unde G = i?j/iîelRe2 Ş* 9 = G + 1lReî presupunînd că tul din fig. 3.P.18, c este echivalent cu acest diport. 3.P.18, a (considerind fiecare - G - ( a - G)1 G—G J R<â2fte2. O Să se verifice cădipor tranzistor ca o sursă dependentă de 221 PROBLEME PI9. Matricea hibridă h a unui diport are una din următoarei forme: o - ?m 01 Hj : Zi(») 0 .Za(s) sau IT2 = Z2(s) - -10. (A»« <■'»« «• —* I>20. Să se găsească matricele h pentru fiecare din circuitele din fig. 3.P.20. (înlocuiţi focare tranzistor prin cea mai simplă schemă echivalenta posibila). Fig. 3.P.20. IP21. Diportul din fig. 3.P.21 este un convertor general avînd matricea h aratata. Sa ±î determine impedanţa de intrare Z. GO- 01 H L H= N J 222 3. FUNCŢII DE CIRCUIT P22. Pentru schema din fig. 3.P.22 arătaţi ca raportul de transfer al tensiunilor este Ô) = _______________________ - Un _________ _ Vi(s) IM + G, - (g - 1)Y ' De observat că conductanţele G,, G 2 şi G3 pot fi socotite că aparţin intrării, ieşirii şi respectiv impedanţei de reacţie a cuadripolului care poate fi considerat că are surse controlate ideale). 1’2S. Pentru fiecare din circuitele din fig. 3.P.23 să se determine funcţia amplificare de curent în scurtcircuit /i21. Se vor folosi parametrii y ai diportului N. d c Fig. 3.P.23. 223 IPROBLEME M4. S* * Bl» raportul d« j-rtr- - Vnb^na cînd [J--»-00- ■ a- V Fig. 3.P.24. ească parametrii impedanţelor în gol ai amplificatorului cu reacţie din {ic. 3.P 25 sâ se aăs parametrii z ai diportului Na. Valorile l.m.ta pen.ru - 1 IVt ■ O, z3 2 ■ O, în funcţie de 9 şi oo vor fi : • 0. Fip. 3.P.25. ^ Hînnrt N cu cîte o rezistenţă R conectată în T26. în fig. 3.P.2G, a este reprezentat un dipoi t Ac c" c“ narametrii z ai diporparalel la intrarea şi ieşirea sa. Diportul rezultat este notat cu N„, iar parametru z I “ SASS. r> ^ « a a M « g UgSOSi 8»”'» —* —' 2ib z RV2\a atunci cind - co (N, semnifică întreaga structură cu ecuaţie din tig. 3.P.35). *“dc: 224 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 0 NF O—s H __ J- Nr j & v : \R R Fig. 3.P.26. P27. Fie ca un zero de transmisiune a unui diport să fie definit de transfer în scurtcircuit yn(s). Să se arate că fie curentul sau tensiunea de ieşire a unui diport terminat ca în fig. 3.P.27 va fi zero, indiferent dacă diportul va fi excitat de un generator de tensiune sau curent -O O şi chiar dacă ylx sau y2 2 zero la această frecvenţă, care ar conduce la o simplificare în relaţia (25), sau ca z21 sau h2l sau gn ori toate trei să fie nenule. Comentaţi termenul zero al transmisiunii. V Fig. 3.P.27. P28. a) Pentru cuadripolii conectaţi în serie-paralel şi paralel-serie din fig. 3.P.28 să se arate că parametrii h şi g ai ansamblului sînt obţinuţi prin adunarea parametrilor h şi respectiv g ai cuadripolilor componenţi. . b) Formulaţi si demonstraţi condiţiile în care conectarea serie-paralel şi paralel-serie poate fi făcută fără violarea condiţiei ca acelaşi curent care intră/iese dintr-un terminal al unei porţi să iasă/intre în celălalt terminal al porţii. Fig. 3.P.28. PROBLEME Fig. 3.P.31. 225 226 3. FUNCŢII DE CIRCUIT P2*. Să se găsească matricea lanţ pentru diportul din lig. 3.P.29. Transformatorii stnt perfecţi. «HIL 5 >L C C/2 LJ >L Fig. 3.P.29 *• ■ T nodit din fia 3.P.30 mai întîi ca o conexiune paralel a doi cuadripoli', lijK)i cô^conexiune serie a doi cuadripoli, pentru a determina parametru să! y. (Răspunsurile trebuie să fie aceleaşi). Fig. 3.P.30. P31. Să se determine parametrii ai diporţilor din fig. 3.P.31 descompunîndu-i în mod convenabil în diporţi conectaţi în paralel. PROBLEME Fig. 3.P.31. 227 228 3. FUNCŢII DE CIRCUIT P32. Matricea admitanţelor în scurtcircuit a circuitului în r. din fig. 3.P.32 cu terminalul 3 ca bornă comună este: -t 2 4s + 2 Să se determine matricele admitanţelor în scurtcircuit cînd fiecare alt terminal este făcut bornă comună. i Fig. 3.P.32. P33. în fig. 3.P.33, a este reprezentat un tripol cu terminalul 4 ca bornă comună. Se dă matricea admitanţelor în scurtcircuit a acestei configuraţii. Se reconectează acest circuit ca în fig. 3.P.33, b astfel că poarta de intrare este terminalele 3 şi 2 iar de ieşire între terminalele 1 şi 2. Să se găsească pentru acest circuit matricea admitanţelor în scurtcircuit. h h zz _ 123 v( 65 V V2 7 83 _ 1 * a b Fig. 3.P.33. P34. în fig. 3.P.34,a este arătat un cuadripol conectat ca un triport cu bornă comună pentru care se dau ecuaţiile în scurtcircuit. PROBIÊME Se conectează o capacitate unitară între terminalele 1 şi 2 ca în fig. 3.P.34, b. 229 Să se determine matricea admitanţelor în scurt circuit a circuitului considerat ca un di- r rt ca în fig. 3.P.34, b. h 1 h '5-1 -3 6 -2 -1 _ Co 1 1 = 2 1 h - Fig. 3.P.34. P35. Circuitul n-Urminal din fig. 3.P.35 este liniar, cu constante concentrate şi inva- -UM1 in timp El este reprezentat de ecuaţia I = \i'V, unde 'ij este matricea admitanţ - definită iar curenţii si tensiunile sînt reprezentate în figura. Se propune sa fie reţinute --linele A- borne ca terminale, restul conectîndu-se la masă prin intermediul unor impedanţe * !n fio 3 P 35 b. Fie Z matricea diagonală a căror elemente diagonale smt impedanţele -i; * 2 se găsească expresia care leagă noii curenţi de terminale de tensiuni m funcţie de /, lj şi ^•matricele corespunzătoare lor. Fig. 3.P.35. 230 3. FUNCŢII DE CIRCUIT PROBLEME P3G. Schema din fig. 3.P.36 este a unui circuit liniar RLC fără transformatoare. Să se determine expresia tensiunii V(s) folosind relaţiile topologice intre determinantul matricii admitanţelor la noduri şi cofactorii săi, luînd nodul 5 ca nod de referinţă. Fig. 3. P. 36. P37. Circuitul din fig. 3.P.37 este un circuit RLC fără transformatoare. Să se găsească expresia tensiunii in funcţie de determinantul matricii admitanţelor la noduri şi cofactorii săi, specificînd cu grijă structura precisă a circuitului pentru care corespunde aceasta matrice. Scrieţi rezultatul în termenii formulelor topologice simplificînd pe cît posibil. P38. Discutaţi modificarea matricei impedanţă nedefinită Zj cînd . a) două terminale sînt conectate împreună; b) un terminal este suprimat. Comparaţi rezultatele cu Y*. w P39 Dîndu-se pentru un circuit n-terminal cu n = 3 şi n = 4 matricea impedanţa nedefinită, să se găsească matricea impedanţelor în gol a multiportuluicu borna comunace rezultă cînd terminalul n este făcut bornă comună. P40 Să se calculeze admitanţa de intrare a fiecărui circuit din fig. 3.P.40 folosind formulele topologice. Se va face calculul odată folosind matricea admitanţelor la noduri, iar a C2 Fig. 3.P.44. 231 232 3. FUNCŢII DE CIRCUIT Pil Pentru circuitul din II». 3.P.11 >» >• caleulese admitanţa de intrare la poarta din K „ ,,.d„,i. 1.1 a d„„. .ară aSaJ.l.,i,.dcI°™i* (■-«osind matricea impedanţelor pe contur. '' *S „ b Fig. 3.P.41. P42. Pentru circuitul din fig. 3.P.41 să se determine raportul de transfer al tensiunilor v folosind formule topologicc. >,v*v -svs frLsrîusr ijsss " ^P».,: « di“g. 3.P-44 SS < .. d.,e„i„. matricea ,„p.d.n,»,.r la «ol ii— irînd formule topologice. -o Gv -uC3 Cj - C2 - 2 5 r X p = — l3 V -° G^GS-203 r 3. FUNCŢII DE CIRCUIT 233 F45 a) Demonstrau că impedanţa unui circuit RLC fără inductanţe mutuale va avea un pol la s = 0 dacă şi numai dacă există o secţiune conţinînd numai capacitaţi care separa cele două terminale (ale dipolului). _ _ . b) Demonstraţi că o impedanţă va avea un pol la infinit daca şi numai daca \ai e^lsta o secţiune conţinînd numai inductanţe care să separe terminalele dipolului ca şi la punctul a). P46. a) Demonstraţi că admitanţa unui circuit RLC fără inductanţe mutuale va avea un pol la s = 0 dacă si numai dacă există o cale inductivă între termina e. ^ b) Demonstraţi că admitanţa va avea un pol la infinit daca şi numai daca exista o cale capacitivă între terminale. „ P47. Fie : + ansn ho D(s) + î>is + • • • + bmsm D(s) co + C1S + ' ’' + crsT m parametrii în gol a unui circuit RLC fără inductanţe mutuale. a) Utilizînd formule topologice să se arate că: ak > |Cfcl Şi h> lcfclAceasta semnifică că o putere a lui S care este prezentă la numaratorizi lui să fie prezentă şi în numărătorii zu şi z22. Mai mult, coeficienţii lui z„ ™fi Pozimi şi mai mari în modul decît coeficienţii corespunzători dm z2J, care pot fi şi negativ . b) Ce concluzii se desprind dacă diportul are bornă comuna . c) Presupuneţi că cele trei funcţii date se refera la yn, y22 şi -y21- Care \a 1 1 rezui tatul corespunzător? Aceste condiţii asupra coeficienţilor se numesc condiţiile Fialkow. P48. a) Să se găsească parametrii admitanţă în scurtcircuit pentru circuitul din fig. 3.P.48 aplicînd direct definiţia acestor parametri. Aparent condiţia lui Fialkow nu este satis^ b) Să se găsească din nou parametrii, utilizînd formulele topologice şi să se compare cele două răspunsuri. Stabiliţi condiţia care trebuie să fie asigurata mcit condiţia lui Fialkov, să fie valabilă. Fig. 3.P.48. 234 3. FUNCŢII DE CIRCUIT •t• 1 . q nniii tranzistor P-59. Fie matricea U a unui tian/.ibiui n în conexiunea ^11 k_ emitor comun: ^12! hn h2%J Să se determine matricele h pentru tranzistorul in conexiunea bază comună şi colector Tj-in intermediul matricei admitanţelor nedelmite. in care rezistenţa Iik este reciDr0C * P50. Schema din Iig.3P.50 este ^pSuncrn călatura care conţine explicitată. Impedanţa de mtiare a cu iau astlel naştere vor constitui poarta minaieiecc ţ* Rt este întreruptă (lăsata m gol), iar ten™^ ® - t ai poarta cirCuitului original. ^ LnX—™dTtenTunf^ Ş& de transmisiune a acestui diport. Arătaţi" că dacă circuitul conţine n rezistenţe . neZ(jo) n k=1 Poarta 2 Poarta 1 Fig. 3.P.50. iI sint notaţr Se ..n.ileră «portul K reciproc î simetric - * * « * £ - metrii săi : respectw cu - ^, u . ' . l - , v o r fi create un număr (ie Dacă bisecţionam diportul la hn a două sau mai multe terminale IE‘ dintre legăturile care leaga ac arătat, in < f SJ\51, 1» car. ac.te s.ctio„.r«. in «* . -«*>• 1 Vn h jumătăţi. Presupunem că niciuna işează. Vom considera două cazuri, torminale sînt lăsate în gol şi respectiv în scurtcircuit, 1f,,Si cu nu sc incrnc *** “ * - znh _J_ = yn + y12 şi Uuh = Un ~ »»a- . t 'Indicaţie: că nici un = - v* = structurală Bartlett. terminalele circuitului original pentru a arăta vorlfi%taleVCRetzeulStaltul este cunoscut sub denumirea de teorema bisecţlel a lul v - V - V la re.pecti, ,,„.pentru cel. 235 (PROBLEME P52 Variabilele curenţi si tensiuni din ecuaţiile la noduri, pe contur sau la perechi de noduri sînt transformatele Laplace ale unor curenţi şi tensiuni. Soluţia, de exemplu, pentru tensiunea unui nod este dată de relaţia (4) : V*(«)= SJiW i A(s) Să presupunem acum că sursele de excitaţie sînt toate exponenţiale astfel încît sursa i de curent echivalentă este . v /• este un număr complex, numit fazor. Să presupunem ca s^ — jco0 nu este o frecvenţa naturală a circuitului şi să presupunem că circuitul este iniţial relaxat. Răspunsul în regim forţat corespunzător excitaţiei exponenţiale va fi tot de tip exponenţial, iar componenta in regim forţat a tensiunii la nodul k va fi ^(Ofertat = UfcS'6* unde Uk este de asemenea un fazor. Găsiţi expresia lui Vk(s). Comparaţi-o cu expresia lui V,c de mai sus în care caz excitaţia a fost arbitrară. P53. Un diport are următoarele relaţii hibride V — I : - v i r -75 1 /J 1 -10-*J|v,J l[v,l Să se proiecteze circuitul care plasat în serie sau în paralel la porţile circuitului dn fig. 3.P.53 îl transformă pe acesta într-un convertor ideal de negativare. -o + h -o Fip. 3.P.53. 1*54. Repetaţi problema 3.P. 5 3 pentru cazul unui diport avînd următoarele relaţii V- 2 »[ZHT Fig. 3.P.51. 4 Ecuaţii de stare în capitolul 2 am dezvoltat reprezentările reţelelor electrice prin curenţi de contur, tensiuni la noduri şi variabile mixte. In cazul general, iiecare ecuaţie scalară pe contur sau la nod este o ecuaţie întegrodile- rentială de ordinul doi. Pe de altă parte, fiecare ecuaţie scalară cu variabile mixte este de ordinul întîi. în afară de cazul în care se manifesta o rrijă deosebită pentru selecţionarea arborilor, unele ecuaţii cu variabile mixte pot conţine integrale şi derivate ale acestor variabile. Există unele avantaje certe, dacă descrierea reţelei se face astfel încît -ă rezulte ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi, fără integrale. într-o exprimare matriceală, rezultatul este o ecuaţie diferenţială vectoriala de ordinul intii, care caracterizează comportarea dinamică a reţelei. Cîteva dirunotivele pentru căutarea unei astfel de reprezentări a reţelei sînt următoarele : 1. Există numeroase cunoştinţe matematice referitoare la rezolvarea, unor asemenea ecuaţii şi asupra proprietăţilor soluţiilor lor, care pot fi aplicate direct în acest caz. ^ 2. Reprezentarea este extinsă uşor şi natural la reţele variabile în timp şi neliniare şi este, de fapt, metoda folosită aproape cel mai frecvent pentru caracterizarea unor asemenea reţele. 3. Ecuaţiile diferenţiale de ordinul întîi se programează uşor pentru rezolvarea pe calculator. în acest capitol vom formula şi rezolva ecuaţiile diferenţiale vectoriale de ordinul întîi care sînt cunoscute ca ecuaţii de stare. Ne vom limita aici la reţele liniare, invariabile în timp, care pot fi pasive sau active, reciproce sau nereciproce. în capitolele precedente am luat în considerare numai ecuaţiile cu transformate Laplace. în acest capitol vom reveni asupra ecuaţiilor de bază cu variabile exprimate ca funcţii de timp. Aceasta poate necesita o reorientare în modul dumneavoastră de gîndire; de exem- 4.1. ORDINUL DE COMPLEXITATE AL UNEI REŢELE 237 piu, dacă în prezentul text vom vedea că o ecuaţie este algebrica, aceasta înseamnă că în ecuaţii nu apar derivate ale variabilelor. In termenii ecuaţiilor cu transformate Laplace, aceasta ar însemna ca coeficienţii smt independenţi de variabila de frecvenţă complexă. 4.1. ORDINUL DE COMPLEXITATE AL UNEI REŢELE (CIRCUITE) în legătură cu descrierea reţelelor (prin ecuaţii de stare) pe care o vom dezvolta în acest capitol, se vor prezenta unele noţiuni introductive. Numărul de ecuaţii independente scrise folosind legea de curent a Im Kirchhoff (LKC) şi legea de tensiune a lui Kirchhoff (LKV) într-o reţea, n si respectiv b — n, este determinat numai de graful reţelei, nu şi de tipul laturilor. Acelaşi lucru este adevărat pentru numărul variabilelor independente — tensiuni la noduri (n) şi curenţi pe bucle (ochiuri) (b — n). Aceste numere nu sînt influenţate de tipul elementelor dm laturi (rezis- toare, condensatoare sau bobine). Dacă o reţea este pur rezistiva atunci ecuaţiile pe bucle sau la noduri sînt algebrice (făra nici o variaţie în timp); le vom numi ecuaţii statice. Dacă exista capacitaţi şi mauctanţe, ecuaţiile vor fi dinamice. O problemă importantă este de a determina cîte variabile dinamice independente exista; sau altfel spus cîte variabile există astfel ca, atunci cînd aceste variabile smt determinate (ca o funcţie de timp), variabilele care rămîn sa poata fi determinate pur algebric. . Se stie că fiecare capacitate şi fiecare inductanţă introduce o variabila dinamică, deoarece relaţia v-i corespunzătoare fiecareia conţine o derivată. Se ştie de asemenea că tensiunile şi curenţii iniţiali dintr-o reţea devin cunoscute, dacă sînt specificate tensiunile iniţiale la bornele capacităţilor si curenţii iniţiali prin inductanţe. Numărul maxim de condiţii iniţiale care pot fi specificate independent este egal cu numărul de ramuri independente care înmagazinează energie (capacitaţi plus inductanţe). Aceasta justifică introducerea noţiunii ordin de complexitate definita â/St'fd * Ordinul de complexitate al unei reţele este egal cu numărul de condiţii iniţiale independente care pot fi specificate pentru o reţea. ’ Acesta este de asemenea numărul de constante arbitrare care apar în soluţia generală a ecuaţiilor reţelei. El este egal cu numărul de frecvenţe naturale, luînd în calcul pentru fiecare ordinul său de multiplicitate; de exemplu, să presupunem răspunsul liber al unei reţele de forma w’(t) = lje s‘( + (A2 + Azl) e•* -I- A46 s>‘ + A5es*( (1) TOR® 238 4. ECUAŢII DE STARE Frecventa naturală s2 este de ordinul de multiplicitate doi; rezultă că numărul total de frecvenţe naturale este cinci. Acesta este de asemenea ordinul de complexitate. „ , w . Este clar că ordinul de complexitate nu poate depăşi numărul^ de elemente care pot înmagazina energie. Presupunem totuşi că exista o relaţie restrictivă între tensiunile pe capacităţi sau curenţii prin bobine. "\ceste constrîngeri pot fi determinate de contururi care conţin numai capacităti, sau numai capacităţi şi surse de tensiune independente, şi secţiuni 'care conţin numai inductanţe sau numai înductanţe şi surse de curent independente 8). Fig. 4.1. Reţea cu un contur de capacităţi si o secţiune de inductanţe. în primul caz, aplicînd LKV pe contur se obţine o relaţie liniara intre tensiunile pe capacităţi, şi în al doilea caz, ecuaţia LKC pentru sec- -iuni ne va da o relaţie liniară între curenţii inductanţelor. In fig. 4.1 există cinci elemente care pot înmagazina energie. Dar în această reţea există o buclă de capacităţi care conţine două capacităţi şi o sursa de Tensiune. Există de asemenea o secţiune de inductanţe care conţine doua, inductanţe. Rezultă că pentru tensiunile pe capacităţi şi pentru curenţii .rin inductanţe vom avea următoarele relaţii restrictive : {2a } (26 ) ou o orientare adecvată a variabilelor). Aceasta înseamnă că, valorile iniţiale ale lui i'2 şi v6, şi de asemenea valorile iniţiale ale lui i5 şi j9, nu’pot fi prescrise independent. . Fiecare relaţie restrictivă reduce numărul condiţiilor iniţiale independente cu o unitate. într-o reţea care are numai componenţe cu doua, terminale, ecuaţiile corespunzătoare nu pot introduce relaţii algebrice suplimentare între tensiunile pe capacităţi şi curenţii prin înductanţe. Eezultă că : 8 Pentru a evita repetiţia, vom folosi termenul „contur de capacităţi" care înseamna un contur numai din capacităţi sau numai capacităţi şi surse de tensiune independente. In acelaşi mod vom folosi termenul „secţiune de inductanţe”, ceea ce reprezintă o secţiune care conţine numai inductanţe sau inductanţe şi surse de curent independente. 4.1. ORDINUL DE COMPLEXITATE AL UNEI REŢELE 239 Ordinul de complexitate al unei reţele RLC este egal cu numărul total de elemente reactive, din care se scade numărul de bucle de capacităţi independente şi numărul de secţiuni de inductanţe independente. în reţeaua din fig. 4.1 ordinul de complexitate este 5 — 1 — 1 = 3. Este interesant de ştiut care este influenţa buclelor care conţin numai inductanţe sau a secţiunilor numai cu capacităţi. Considerăm, de exemplu, reţeaua din fig. 4.2, care conţine o buclă de inductanţe; KVL pe acest contur conduce la 3 + X5 Jh- + £6-Şl = W» + Lsh + Ltit) = 0. dt dt dt dt (3) Fig. 4.2. Reţea cu un contur de inductanţe. Integrala acestei expresii de la 0 la t conduce la L3is{t) + L,iS) + Leh{t) = MO) + £si5(0) + L6i6( 0) = K, (4) unde t = 0 înseamnă de fapt 0 + . S-ar părea că aceasta reprezintă de asemenea o restricţie asupra curenţilor prin inductanţe. Dar constanta K nu este specificată. De fapt, determinarea ei necesită o relaţie independentă. Aceasta este demonstrată de principiul conservării liniilor de flux, care afirmă că 5] LA, pe orice contur închis este continuă. (Acest principiu nu poate fi derivat din legile lui Kirchhoff). Condiţia de continuitate impune ca valoarea liniilor de flux puţin înainte de t = 0 (adică la 0 ) să fie egal cu valoarea pe care o are imediat după t = 0 astfel: K = £3*3(0-) + i5i6(0-)l+ i«ia(0-). (5) Valorile la 0— ale tuturor celor trei curenţi prin inductanţe pot fi specificate indepenent, fără a călca legile lui Kirchhoff ; aceste specificaţii vor fixa valoarea la 0-1- a liniilor de flux. Tragem concluzia că o buclă de inductanţe nu reduce numărul de condiţii iniţiale care pot fi specificate independent şi astfel nu influenţează ordinul de complexitate. O concluzie similară rezultă pentru o secţiune de capacităţi, şi anume că aceasta nu va avea nici o influenţă asupra ordinului de complexitate. 4.1. ORDINUL DE COMPLEXITATE AL UNEI REŢELE 240 <e poate obţine o ecuaţie similară cu (5) pentru o secţiune de capacităţi cu deosebirea că termenii vor fi de forma C,v, = q} (sarcina). în acest caz, in locul principiului conservării fluxului se foloseşte principiul conservam sarcinii, care, aplicat unei reţele, afirmă că funcţia = li 2* Pent™ °riCeDees<iţsecţeiunae de capadtăţi şi buclele de inductanţe nu influenţează numărul de frecvente naturale, ele influenţează valorile frecvenţe oi naturale în fig. 4.2, de exemplu, presupunem că i3(t) este răspunsul dorit. E«te clar că un curent constant poate circula prm bucla de inductanţe. Dec-i unul din termenii din i3(t) poate fi o constanta, care corespunde unei SecUntemtole * = 0. Rezultă că o buclă de inductanţe conduce la o KcT^ţi SSlS, zero. O concluzie „imibrS rezult* pentru o secţiune de 'lotMlf frecvenţele naturale la > = 0 sint oarecum particulare, deoarec-e în orice caz termenul corespunzător care apare m răspuns depmd de : (1) ce variabilă specifică constituie răspunsul şi (2) localizarea exci T înfig. 4.2, dacă răspunsul este f?8(i) Şi nu i3{t), nu va aPareunţfên constant deoarece i'3 = di3jdt, şi prin diferenţiere constanta se va elimina. Toate celelalte frecvenţe naturale vor apare în v3, deoarece derivata une f-xponentiale este proporţională cu acea exponenţiala. Discuţiile anterioare arată că ceea ce este interesant în unele cazuri —te numărul de frecvenţe naturale diferite de zero şi nu •ie frecvente naturale. Acesta poate fi obţinut scazmd dm numari -„tal, numărul de secţiuni de capacităţi şi numărul de bucle de inductanţe. Rezultă că: , , \umărul de frecvente naturale diferite de zero este egal eu ordinul■ de plexitate minus numărul de bucle independente de inductanţe şi numărul •ie secţiuni independente de capacităţi. 5,7,8 Contur de copaci top 6,7,8,9,10,11 Contururi de inducfanţe. Niciunui rn —Si -------- —I!— Secţiuni de induc - tan'te iX3 3,b Secţiuni de capacitoh 56,7 61,2b,8. ' n M 10 I -4—!i—■ Fig. 4.3. Reţea cu multe degenerări. 4.2. ™TT^.ATII DE BAZA m 3CBIKMBA ECUAŢIILOaDESTAg^ 241 Cuvîntul „independent^ atît aici, cît şi în definiţia ordinului de complexitate dat mai sus, este important. Putem justifica aceasta rete- r indii-ne la fig. 4.3. Din trei secţiuni de inductanţe numai doua smt independente ; ecuaţia LKC pentru o secţiune se poate obţme dm celelalte două. Aceasta este adevărat şi pentru cele trei secţiuni de capacitaţi, numai două sînt independente. Deoarece există în total 11 inductanţe si capacităti, şi 3 constrîngeri liniare (una pentru conturul de capacitaţi k două pentru secţiunile de inductanţe), ordinul de complexitate şi numărul de frecvente naturale este 11 - 3 = 8. Din aceste frecvenţe naturale, două sînt zero, si corespund la două secţiuni independente de capacitaţi. Există deci 8 — 2=6 frecvenţe naturale diferite de zero. 4.2. CONSIDERAŢII DE RAZĂ ÎN SCRIEREA ECUAŢIILOR DE STARE Sîntem acum pregătiţi pentru a începe prezentarea ecuaţiilor de stare. Ecuaţiile de bază pe care le putem folosi sînt LKY, LKC şi relaţiile •v — i. Dintre acestea trebuie aleasă o combinaţie particulara şi un ordm particular. Decizia de alegere se face pe baza unui număr de conside’ aţ'T.' Dorim ca ecuaţiile finale să nu conţină integrale. Integralele apar din substituţia lui i = C văx/L + i(0) pentru un curent prin inductanţă Jo în LKC şi substituirea lui v=( idx/G + v(0) pentru o tensiune pe capacitate în LKY. Nu vom elimina curenţii prin inductanţe şi tensiunile pe capacităti şi le vom menţine ca variabile. 2. Dorim ca ecuaţiile finale să fie ecuaţii diferenţiale de ordinul mtn. Derivatele apar din substituirea v = Ldi/ăţ pentru tensiunea pe inductanţe în LKY şi i = Căvlăt pentru curentul prin capacitate in LKC. Vom tace aceste substituiri, eliminînd astfel curenţii prin capacităţi şi tensiuni e pe inductante din setul final de variabile. _ _ . 3. Din cele două variabile referitoare la capacitate, tensiune şi cuient, tensiunea este aceea a cărei valoare iniţială poate fi specificata independent într-o reţea — cu excepţia cazului în care exista o bucla de capacitaţi, aşa cum s-a discutat în ultimul paragraf. în mod asemanator, pentru inductante, curenţii iniţiali pot fi specificaţi independent - cu excepţia cazului în care există o secţiune de inductanţe. Acesta_ este un motiv m p as pentru a reţine tensiunile pe capacităţi şi curenţii prin inductanţe ca variabile. „ 4. Toate consideraţiile de mai sus sînt netopologice; ele nu considera modul de selectare al unui arbore şi ce tipuri de laturi sînt ramuri sau coarde. Din punct de vedere determină toate ('cklaite teRSiu . , ^ posil)il capaoităţile pe capacităţi printre variabilele fina > P coardelor constituie o baza Într-un arbore. In mod asemanatoi, curenţu «e inductaI1ţe separate, dar am presupus ca ele ®â ^^ceâtei proceduri şi vom laturi existente 242 4. ECUAŢII DE STARE Conyenţiona, , separate. Deoarece tensiunea laturi existente. Convenţional ie^"a Ţîâte. Deoarece tensiunea considera sursele independente poate fi determinata unei surse de t^ne este o ^soata^^ J fî 0 coardă, din alte tensiuni. Rezulta ca o su £i _ termenii tensiunilor ramu- deoarece atunci tensiunea ei ar fi staMxta in term deoarece rilor. în mod similar o sursa de ^ curentul său nu poate fi stabi . d tensiune independente, reţea care are o buclă conţmind numai sui se d « ^ ^ ^ f . una din surse va fi considerata c • ^ treûie să satisfacă cu adevărat independente, t®oa^ t tă atunci una din surse poate fi LKY pe contur. Daca LIvY este alte sarse_ consideraţii o coardă, şi tensiunea ei va fi det“™ ti numai surse de curent -imilare se fac pentru o ^cţmne caie onţ cu Slirse «S»» I « —a, curent ^T^ţiiie a. mai _» a problemei. Definim un posibil de capatoate sursele de tensiune ™lep , ^ ^ Q gursă de curentmdecităţi, numărul minim posibil de mdi . > termenul corespunzător pentartă. (Dacă_ reţeaua, nu ne vom referi mai este „arborescenta; ’r^mind uneori la folosirea „arborescenţei tirziu la un arbore noi n , există bucle de capacitaţi, toate normale” pentru accentuai ). ‘^ normal. De asemenea dacă nu capacităţile vor fi rai^ ^ «indttantînu va fi ramură în arborele ^rT«ÎÎSK to«» pirt» li demonstrată prin me- norm.nl; el* yo fi toate “ţ 0 coar(lă de capacitate toda reducem la absuid. F c- eiistă in absenţa unei bucle de capac ă această coardă de capacitate cad în arborele . P noduri terminale ale coardei . D ma p“C ipote.â, nu este este adăugată la arbore, ea va latură “le*normal^rcedenfavea prin definiţie numărul maxim de capacitaţi. o demonstraţie similară se aplica pentru mductanţ . »»■ “ 243 4. ECUAŢII DE STARE Dîndu-se o reţea, selectăm un arbore normal (sau o arborescenţă normală dacă reţeaua nu este conectată). Scriem apoi ecuaţiile LKV pentru buclele / şi ecuaţiile LKC pentru secţiunile / ale acestui arbore. Folosim relaţiile v — i pe laturi pentru a elimina curenţii prin capacităţi şi tensiunile pe inductanţe, dar rămîne încă în discuţie modul de abordare al variabilelor elementelor rezistive adică, sursele controlate, giratorii şi rezistenţele, înainte de a trata această problemă în cazul general, să discutăm cîteva exemple cu ajutorul cărora putem stabili concluzii generale. + vo b a7b5cSd8e Q f a f c Fig. 4.4. Exemplu ilustrativ pentru scrierea'ecuaţiilor de stare. Considerăm reţeaua din fig. 4.4, a. Este de dorit să găsim tensiunea la ieşire v0{t) cînd se aplică la intrări tensiunile vSl (<) şi vt2 (t). Există trei elemente reactive şi nici o degenerare. Ordinul de complexitate este deci 3. Există şase noduri şi nouă laturi. (Amintim că cele două surse de tensiune sînt considerate ca laturi separate). Un arbore normal trebuie să conţină ambele surse de tensiune şi ambele capacităţi, nu însă şi inductanţă. Acesta este prezentat în fig. 4.4, b unde prin linie plină este arătată o parte a arborelui normal şi linia punctată reprezintă coarda inductanţei. Este necesară încă o ramură, care trebuie să conecteze nodul c la rezistenţă. Este clar că există două posibilităţi care includ laturile rezistive — latura 5 sau 6. Am ales latura 5 pentru completarea arborelui, aşa cum este arătat în fig. 4.4, c. Menţionăm că am numerotat cu primele numere ramurile şi în continuare coardele. Să scriem ecuaţiile LKC pentru secţiunile / şi ecuaţiile LKY pentru buclele /. Cu o descompunere obişnuită a elementelor matricei putem scrie : (6a) Bv = [B, U] V< = B( v( + v, = O (6b) 244 4. ECUAŢII DE STARE LvjJ 245 4.2. CONSIDERAŢII DE BAZA IN SCRIEREA ECU AŢIILORÊS TARE i, = — Q,i,, v, = - B|V,. <76) Menţion&m ci deoarece sursele stat »*) îoSu?e'la următoarele relaţii: . l%= — <<8 H = »« + h - (8a) m + i& (8c) i4 = — H + ^ % = — — *» ==— ®3 + V7 = — ^3 ~~ *4 ®0 = — *3 ^4 + (8d) V5 (8c) (8/) + V* (8?) MMP^‘?fic(0,^taSrkSr Rănita de scris relaţiile « - i punem că reţeaua este alimenta a ^ ™01 d asemenea curentul iniţial r„ Şi »„ sint date pe,atru > < ţ “ “ c a p ^ o i t a ţ i ; acestea slut „»(«, prin mductanţa Şi ţe?81™ * -,, „, TY?o) şi ^9(^0) r (t), ^2 —‘ (8fc ) si elementelor (8i) (9a) ,(*), (9b) dv3 (9c) % = i4 * dt Ci - (9 (?) di9 (9c) dv Va = i lor 1 4 dt 9~~dt reactive sint 246 4. ECUAŢII DE STARE 4.2. CONSIDERAŢII DE BAZA IN SCRIEREA ECU AŢIILORÊS TARE 247 Ecuaţiile scrise pentru rezistenţe sînt de forma v = Ri sau i = Gv, dar încă nu am stabilit cum vor fi ele scrise. Din discuţiile anterioare, ştim că dorim să eliminăm curenţii prin capacităţi şi tensiunile pe inductanţe. Yom substitui i3, ?4 şidin ultimele trei ecuaţiiîn ecuaţiile LKC şi LKVcorespunzătoare din (8). Aceasta neconduce la dv, c, = \ + î*7 + Îg, w 3 dt (10a) dv = — i6 + is, dt (10c) 4 (106) dig dt (1) tensiuni pe capacităţi şi curenţi prin inductanţe (v3 şi ig) pe care dorim să le menţinem; şi (2) de var curenţi şi tensiuni corespunzătoare rezistenţelor. Există patru variabile de acest fel, şi anume: v5, i6, i7 şi is. Menţionăm că nici una din acestea nu apare în partea stîngă a ecuaţiilor Kirchlioff din (8), spre deosebire de variabilele complementare acestora, care apar. Pentru a exprima aceste variabile complementare în funcţie de unele dorite, putem folosi relaţiile v — i corespunzătoare (9) în (8). Avem acum un ghid pentru scrierea într-o formă convenabilă a acestor relaţii. Acestea sînt: (11a) h= v6 = Rîg, (116) v7 = R7i7, (11c) vs = -R8ig. (11<?) Astfel, pentru coarde folosim forma v = Ri-, şi pentru ramuri i = Gv. Dacă folosim aceste relaţii în cele patru ecuaţii corespunzătoare din ( 8), rezultatul poate fi rescris în următoarea formă : GSV5 -f- ie = ■ ig — % + -Re *s = — V3 -R7 iy == Vj v3 Ra i-s == ®2 (12a) + Vt (126) (12c) (12<î) Acestea sînt ecuaţii slun‘le *™24Î DE BAZA m — Aceste ecuatii aIgeta,ce pot fi uşor rezolvate şi se obţine . ^ 1 ^ ------ *9 ^ G5 _________ _____________ 1 -------- *„ -»3 (13c) ^13dy în Jl, ac^teêuaţilpot fi substituite în d») *•» *** • a lor, se obţine : - ^ Gtr Rf, i "" G v , -----5-^— 9 7 gl GK G7 + '5 di dr, ' 4~dT °5 ^ 1 + G5R6 1 + G5 i?6 1 + G5 R (14 a) ^ GK _ 16?. î'g -4“ Re 1 -'rG5R6 Gs R6 1+G 5 R 6 : Acesta este un set dc - formă matriceală. Dupa imparţnea prin coexici , _ (în stînga, rezul- <G. f e ) C » ' 1 U+i+Gs®.) i+esB. o3 + i + <?s Rt .j ^ - GşICi *7 G & Vg2ţ +GbR6 (146) ~iB. (14c) 1 1 Jr G 5 R 6 ăi* ^ dt 1+G S R B “ ’î (136) ».+ T T ^ ‘ i + * * 1+^5 -®6 i1 = G7v1 — G7v3 (r5 i6 = 'u6S"3 . âV> (13«> G^ , GşICj _________ Ci i +G5RJ i + G5 RG 1 + ^5 ^6 G-RRel^d I/£9 1 + Gs RQ 1+^5 R& G7 + B6jL9 i + G5 R6 ^9 0 Cs Gs 4- 0 0 ;! - c. S54 c* 0 w. KîJ (15) 4. ECUAŢII DE STARE "242 Aceasta este ecuaţia pe care urmăream să o obţinem. Ba este ecuaţie diferenţială matriceală de ordinul întîi. Este folosita urmatoarea terminologie ^ ^ ^ M„.e & v3{t) X(t) = e(«) = V i(t) . igW vgi (0 .^02 ■Rlpmentele vectorului de stare sînt variabile de stare. Ne referim (t) la ecuaţia mSS cată O * stare. Ecuaţia (15) poate ti soma condensat în notaţia matriceală astfel: = dx + dx (16) unde semnificaţiile matricelor ol şi <3 sint evidente Aeêst jmmta forma dt normală a ecuaţiei de stare. Derivata ia o combinaţie liniară a vectorului de stare şi a vectorului de intrare “U U tSS'dl- stare Ban orice al* variabile din reţea. în cazul nostru ne-am propus ca ieşirea sa fie v0O Sntţea se conltată că „0 = eare poate fi scris m forma matri ceală astfel: „0 = [1 -1 O] sau mai condensat vi (t) — 6x, (17) unde w este vectorul de ieşire. , , Următoarea etapă va fi să rezolvăm ecuaţiile de B^r®, problema raTP va OCUT)a o parte importantă în acest capitol. înainte de aceasta să considerăm un alt exemplu, care va introduce unele aspecte pe care nu le-am întîlnit în ultimul exemplu. Eeţeaua pentru acest exemplu este reprezentata , ' j •o buclă de capacităţi (capacităţi şi surse .d® teê)’ ^ fţă nu poate trpbnie să conţină ambele surse de tensiune, dar este clar ca nu pu<tie rezistenţe; am ales aici rezistenţa numărul 5. 4.2. CONSIDERAŢII DE BAZĂ IN DESCRIEREA ECUAŢIILOR DE STARE Etapa următoare este scrierea ecuaţiilor KCL pentru secţiunile / «i ecuaţiile LKY pentru buclele / în forma lui (7). Rezultă : i-, = (18a) (186) (18c) (18d) (18c) (18/) (18*7) (18fc> vii 12 — *6 *3 = *6 ii = — %=— _ h + *8> *7 *8J «1 Vn = % V3 + V5, v'B = V2 »4 + «5> 3 5 4/ -Y Fig. 4.5. Exemplu ilustrativ de circuit cu contur de capacităţi pentru scrierea ecuaţiilor de stare. Urinînd raţionamentul din exemplul anterior, vom scrie în continuare ecuaţiile v - i pentru toate capacităţile (singurele elemente reactive in acest caz) astfel încît să putem elimina curenţii m capacitaţi dm 1' si să reţinem numai tensiunile pe capacităţi. Dar, dm cauza buclelor de capacităţi, nu toate aceste tensiuni sînt independente dinamic. Yom rie ecuaţiile v — i numai pentru acele capacităţi care smt m arborele normal. Astfel: (19 a) C, . 4 “ Ut dVi Introducem acum aceste relaţii în corespunzătoare din (18) şi obţinem : dv3 dt dvA C i = - *« + ie- dt dv 3 dt (196) ecuaţiile LKC (20 a) (206) rele trei variabile din 4. ECUAŢII DEpărţile STARE drepte, curentul prin coarda capacităţii i 9 '244 <> * <• sint tratate separat. Ecuaţia LKV pilit™ *. din (18/) este folosită in ecuaţia » - * pont™ »«, ceea ce conduce la : ăv1 dt “ dt ” dt dt G 6 iiHKSI c a?*. dv% dv± c dt (21) dt 6 Şţent™Tamură (latura 5) : * = Gv. Ecuaţiile corespunzătoare din (18) pot fi scrise astfel: 05«6 + *7 + *8 = 0 (22<î) - % + 227î7 = ®1 - ®8 (22b) — ®5 4" l^S == ®2 ^ ^ Acesta este un sistem simplu de ecuaţii algebrice care rezolvat conduce la : 1 , .. ----- ®3 + x r 4 ’ (23a) 1 R,G ~KVx~ K 7 8 ®2 + . ,7= (#5 + ®s) . l>4, K Ga *8 = - ^ ®1 + G* X 7r , (236) (G5 + Gs) K -v + 3 ^ ;z8 ‘ ,08(i+|^®4, (23c) ^ , p/a ic) Ultimele două ecuaţii împreună cu (21)j Mt,° UPa rearanjare, rezultatul în forma matriceala devine . — ($5 ~t~ ^s) ^ f 03 GQ CQ JL|3L = c6 o4+ o6 dt L »4 iT K G<j £ (1 + ^5^7) r UJ K (h (gş + fl») K _ ^8 "K K (1 4~ GgBl} K G< ’mH V, L'^2 -M! O, -0el_dj«, C6 -C6\dtLvg2_ L%2J (24) 245 4.2. CONSIDERAŢII DE BAZA IN DESCRIEREA ECUAŢIILOR DE STARE Rezultatul final este obţinut prin premultiplicarea cu inversa matricei coeficienţilor din stînga. S-a obţinut de asemenea o ecuaţie diferenţială matriceală de ordinul întîi, dar de data aceasta partea dreaptă conţine -n termen cu derivata vectorului de intrare, pe lîngă vectorul ele intrare. Pentru un calcul final, presupunem că ieşirile sînt —% şi i2. Aceştia '-«ir fi exprimaţi în termenii curenţilor coardelor i6, i7 şi i8 cu ajutorul ecuaţiilor (18a)’ şi (18b). Aceşti curenţi sînt eliminaţi, în final, folosind • 21) "şi (23). Rezultatul acestor calcule concretizat în ecuaţia la ieşire si exprimat în forma matriceală va fi: «3 + — ii -Ce -C« (Gb + Gb) ŞJL K c d 'V Ce e dt -®4. G,(l G5B7 K _ G» K (*8 K G8( 1 + GşR-! — ’®rt ' ®,2. + \c. 1 (Os + Gs) (25) Lc. - <V K d '®»r d -^2t Derivata lui: I 3 U4 î<sate fi eliminată folosind (24). Rezultatul algebric detaliat este com- Ţ.Ix-at şi nu este dat aici. Totuşi, este clar că termenii prezentaţi în partea ■ircaptă a ecuaţiei de ieşire vor fi aceeaşi cu cei prezenţi în partea dreaptă * lui (24). Ecuaţiile (24) şi (25) pot fi scrise condensat astfel: — cit w = c?lx + = gx + e + ~z~ dt (V< (26a) de dt (266) Prima din acestea, este o ecuaţie diferenţială. Odată ce este rezolvată, variabilele de ieşire sînt determinate algebric din a doua. Din punct de vedere al terminologiei aceste două ecuaţii împreună se numesc ecuaţii 4*. *tare. A doua ecuaţie este numită ecuaţie de ieşire. Ne vom ocupa în continuare de rezolvarea acestor ecuaţii. 246 4. ECUAŢII DE STARE 4.3. REZOLVAREA 1J\ DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE în exemplele din ultimul paragraf am găsit că variabilele de intrare şi de ieşire sînt legate prin ecuaţii de tipul (26). Yom stabili în paragrafele următoare că rezultă astfel de ecuaţii pentru toate reţelele de tipul celor considerate. Se observă că o formă ceva mai simplă se obţine pu- nînd : x=x+ (27) în (26), care devine : — = ct2x + ((B1 + c^(B2)e, dt rţa \\ = @x + (D-L + 6C32)e + <T>2 ---------dt Derivata excitaţiei a fost eliminată în prima ecuaţie, dar nu şi în a doua. Pentru simplicitate vom elimina bara şi vom scrie x în loc de x. Mai mult, vom înlocui + cA(B2 cu <22, <1)1 + cu H), şi fT>2 cu <T>. Ecuaţi ile pe care le vom trata, vor avea forma : — dt = cÂx + <2e, (28a) A fl(% w = 6x -f ^9e + rD -----------dt (286) Dacă prima din aceste ecuaţii care rezultă dintr-o reţea, nu este iniţial în această formă (deoarece ea conţine un termen care implică derivata lui e), transformarea din (27) o va pune în această formă. Chiar cu această transformare, totuşi, se vede că derivata lui e va fi prezentă în ecuaţia A de ieşire afară de cazul cînd H) = 0. Dacă această condiţie este sau nu adevărată, aceasta depinde de reţeaua dată şi de variabilele considerate ca ieşiri. Vectorul x este presupus a fi un vector cu n componente. Numărul de componente în e va fi în general diferit de n. Astfel, cA este o matrice patrată, dar Qi nu este în general patrată. Ne îndreptăm acum atenţia asupra rezolvam lui (28) pentru x{Q, presupunînd că valorile iniţiale sînt exprimate prm vectorul x{tQ). In acest scop vom folosi metoda variaţiei parametrului. Jue x(t) = Y(f )x1(t) (29) 4.3. REZOLVAREA IN N DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE in care Y(t) este o matrice patrată de ordinul n care 247 este presupusă a fi nesingulară pentru orice t '> /0 ”. Introducem această transformare m ( 8). Eezultatul, după o aranjare convenabilă a termenilor, va ti: lî-cn-li \dt 1=._V^! I + 3e. dt (30) E'te clar că rezolvarea este simplificată dacă cantitatea din paranteză *?te presupusă a fi zero. Aceasta va conduce la o ecuaţie diferenţiala matriceală omogenă pentru Y. După ce rezolvăm această ecuaţie, poate fi introdus în parteadreaptă a lui (30). Eezultatul direct pentru a găsi pe xx. După ce am găsit \ şi x1( se determma x ■iin (29). ^ . Procedînd în acest fel, se obţin două ecuaţii care rezultă din (30) prin egalarea cu zero a cantităţilor din paranteze. dt _dY(f) = 0, (31) = Y(t)-1 <3e(i). (32) A doua ecuaţie se obţine prin premultiplicarea prm inversa lui Y, care există, deoarece Y a fost presupus a fi nesingular. Vom amina temporar rezolvarea primei ecuaţii şi presupunem că a fost obţinută o soluţie. A doua ecuaţie poate fi rezolvată separînd pe xx prin integrarea directa de la 10 la t. Eezultatul va fi Xl(i) = Xl(#0) -|- \ Y(t)-1 (3e ( T ) <2 T . -t0 (33) ii Expunerea în acest capitol este extravagantă în folosirea simbolurilor. Necesitatea Aêşte mult disponibilităţile. Aceasta ne obligă să folosim un simbol într-un context cînd ‘are de fapt o semnificaţie bine definită în altă parte. Astfel, obişnuit prm V se înţelege c matrice de admitanţe. Sperăm că folosirea lui aici cu o semnificaţie diferita, nu va conduce 248 4. ECUAŢII DE STARE Matricele valorilor iniţiale sînt legate prin relaţia : (34) x(20) = Y(*o)*i(#o) Rezultă că condiţia iniţială pentru (33) este xx(i0) = ô) *(*«)• Premultiplicăm acum ambele părţi dm (33) prin \{t). Deoarece integrarea este făcută în raport cu t, Y (/) poate fi introdusa sub semnul integralei. Mai mult, deoarece xx(<0) = Y(t-0) x(20), rezultatul va ti: x(t) = Y(<)Y(g-1x(t0) + ( Y(<)Y(T)“1^C(T) (ÎT. (35) Această diiicuitate podrutî L I eviutidi* matriceală de [t - T), care aşa cum se va vedea curmd, poate fi uşor determinată. Exprimăm simbolic această relaţie astfel. yvj \ * Y(*)Y(t)-j = 0>(< - T) Cînd introducem aceasta în (35), rezultatul devine : X(t) = ®(t — hMh) + \ — (36) ')Se(') d-z. (37) Matricea <E> este numită matricea de tranziţie a stărilor. Numele pi ov ine de la aceea că atunci cînd e ^ 0, tranziţia de la „starea” reţelei la momentul t0, la „starea” la momentul t este caracterizata prin 0>, aşa cum se arată în (37). . ,J.- • J Ecuaţia (37) constituie soluţia în domeniul timp a ecuaţiei diteienţiale neomogene iniţiale din (28). înainte de rezolvarea completa, este necesar să rezolvăm ecuaţia omogenă (31). Rezolvarea ecuaţiei omogene Considerăm o ecuaţie diferenţială omogenă de ordinul întîi. dy 4.3. REZOLVAREA IN 249 N DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE unde a este o constantă şi condiţia iniţială este y(t0) = 1. Soluţia care satisface condiţia iniţială este y(t) caie poate fi verificată prin substituţie directă în ecimţie Dcoarece forma ecuaţiei matriceale (31) este identică cu aceea a ecuaţiei scalaie, est indicat să căutăm o soluţie exponenţiala : (38) Y (t) Dificultatea este ei nu ştim ce semnificaţie are ° 'Tefîuâ ’-rif-e la exuonent O dificultate asemanatoare a fost întilmta m aeiin 3: A se vedea Anexa 2). Vom face acelaşi luciu aici şi deimim. V + ait cAH* 2! dktk lc\ (39) Deoarece dL este o matrice patrată de ordinul n, z* este de asemenea o matrice patrată de ordinul n. Presupunem ca exemplu : -1 cA - Atunci : 0 1 1 0 0 ,ol -2 — + 1 1 t+T 6 1 t+ t 2 /3 2 — dcA. 1o ■ 1 0" , .-3 4. 7 -1 0 7 -8 d3 "-1 0' — . 7 -8. + -3 4 0 (40) 1 — 2i + 2<2 ------- h o O Se poate arăta ci fiecare din elementele matricei c^rge absolut către o funcţie continuă de t, pentru orice 1 finit şi umtoim, pent u 3t2 . 7t3 250 4. ECUAŢII DE STARE orice interval finit de timp. Deci, diferenţierea termen cu termen a seriei este permisă. Astfel: d d t (41) adică, formula pentru derivarea unei exponenţiale matriceale este aceeaşi ca pentru o exponenţială scalară. Folosind acest rezultat se găseşte că Y (t) —dat în (38) este soluţia (unică) care satisface (31) şi condiţia iniţială Y (t0) = U. Reamintim, că pentru obţinerea lui (32) s-a presupus că 1 (t) este nesingular pentru orice timp finit după tQ. Trebuie să arătăm acum că Y (t) este de fapt nesingular. Acest lucru nu este dificil. Din definiţia unei exponenţiale matriceale, dată ca o serie, putem scrie : (42) = U - cAt + ct22 — - • • • + (-1)" cÂk— + Să multiplicăm acum această serie cu seria exponenţialei pozitive din (39). Rezultatul va fi: £-î __ u_ (43) Toţi ceilalţi termeni se anulează. Această multiplicare termen cu termen este permisă datorită convergenţei absolute a celor două serii pentru orice t finit. Rezultatul ne spune că am găsit o matrice care, atunci cînd este multiplicată de conduce la o matrice unitate. Prin definiţie ea este inversa lui s^‘. Rezultă că Y(t) este nesingular pentru £>i0. Este necesar să dăm o expresie explicită pentru matricea de tranziţie a stărilor <î> (t — t) = Y (t) Y (t) - 1 . Ştim că Y (t) = şi Y (t) _ 1 = O (t — t) = (44) şi este, ca şi Y (t), o matrice exponenţială la care diferă numai variabila de timp scalară. Această relaţie poate fi acum introdusă în (37) şi se obţine : x (t) = x (< 0 ) 4- \s-rf(t_T)(Se( T ) O ÎT . (45) 4.3. REZOLVAREA IN DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE _251 veetoS^^^ vectoriala ae i o i y introducem rezultatul condiţia iniţiala Y [t0) = U. boluţia este e • inteerala in (45) înlocuim pe t0 cu t sub integrala şi calculam mtegiaia. O altă metodă de rezolvare Am tratat rezolvarea ecuaţiilor de stare ± X = ct*. dt <“) a dărilor O) este o matrice patrata, m prezenta ecuaţie x este un v - -1 f.ni0Qnă Printre altele, aceasta înseamna ca valoarea iniţiala in aces «z mi pâ't^ fi o matrice unitate dar trebuie să fie reprezentata prin vectorul valorilor iniţiale x(t0). . ,.e, f; cprisă Considerînd soluţia generală din (45), soluţia lui (46) poate fi scnsa tft‘1 l x (/) = £^£-(o)x(g. / A r“\ (4<) este desigur mult mai simplă decît soluţia generală cînd &c f 0. t ti foarte important din acest motiv, dacă, prin unele schimbări de v-riabile ar fi posibil să transformăm ecuaţia de stare neomogena int S îmooSia: Acest lucru ne propunem să studiem în acest paragraf. Considerăm ecuaţia de stare (28a), pe care o repetam aici . A x = cÂx + <3e. dt Presupunem ca (48> există un vector î care satisface ecuaţia diferenţială A-t = cft dt (49) cu valoarea iniţială f (t)„ şi care este legată de e prin relaţia e = JCi. (50) 252 4. ECUAŢII DE STARE în aceste expresii Cf şi JC sînt matrice care urmează a fi determinate- Substituim (50) în (48) şi combinăm ecuaţia rezultată cu (49). Eezultatul poate fi pus în următoarea formă : d x' CÂ "x" d t î_ _ 0 _î. care este omogenă ca şi (46). în consecinţă, soluţia va fi: x(f) Ht) = exp (t (51) x(*0) (52) î(<o) în acelaşi mod în care (47) a fost soluţia lui (46). (Notaţia exp. ( u) corespunde lui s“). Soluţia pentru x(t) este dată de primele n elemente ale soluţiei lui [x î]'. în această metodă de obţinere a unei ecuaţii diferenţiale echivalentă ecuaţiei de stare neomogenă există un inconvenient important. Presupunem că f este un vector m. Matricea exponenţială din (52) este deci de ordinul n + m. în soluţia (45) a ecuaţiei de stare originale, ordinul matricei exponenţiale este n. Deoarece m poate lua cu uşurinţă valori mari, creşterea ordinului exponenţialei matriceale prin m poate avea ca efect depăşirea volumului de calcul necesar rezolvării integralei din (45). Este posibil să folosim o altă metodă care să ne conducă la o ecuaţie diferenţială omogenă, fără ca ordinul exponenţialei matriceale de calculat să crească. Fie : (53) y = x + set sau, echivalent : (54) y-n unde ¥ este o matrice care trebuie determinată. Substituind (54) în ecuaţia de stare (48) se obţine : — y - s e — î = cAy — cASft + C S e . dt dt (55) Substituind (49) în (50) în această ecuaţie şi rearanjînd termenii, se obţine : A dt (56) 4.3. REZOLVAREA IN N DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE 253 Dacă se poate găsi un ST care să satisfacă următoarea ecuaţie matriceala algebrică, liniară (57) atunci (56) devine : (58) dt care este aceeaşi ecuaţie diferenţială omogenă ca în (46). bo u,ia ei es e deci: y (i) = y («„), (59) y(*0) = xô) + ^(ô) iu care (60)' din definiţia lui y din (53). Soluţia pentruL x(t) este obţinută prin substiDeoarece Sf va fi o matrice » X m, (57) este ccîmi enta ecuaţic algebrice liniare nrn pentru nm elementele necunoscute ale lui ST. ' Exemplu. Pentru ilustrarea acestor două metode de obţinere a unei ecuaţii diferenţiale niogene echivalente, să pornim de la ecuaţia de stare. \ d —x= dt .-2 —5J 1 41 x ^ + - 1' [2 sin 2t — 3 cos 21]. 1. FQf uşor de verificat că : d -î 'sin 21 ' _ cos 11 o ' î, LiJ O I este soluţia ecuaţiei diferenţiale : ‘ 0 . 2' —1 O 2t = d t ii Dacă valorile proprii ale lui (J sînt diferite de r: exprimată în f°rmă încliisă ^losix^ e re*u^ a^ demonstraţie” pentru această soIn formă închisa va fi data in Problema 1 . fc , ■ _ ry» Part IEEESpectrum, J S. F„m« %>•!. I. no. 6, June 1961, p. l^d-ldl. u ana su blema 35. Demonstraţia a“*tel ?olû Applied iv j_ vn = C bu Inversion of an M x ai oi .v Ylathemalics, Voi. 16, No. 5, Sept. 1968, p. 1020-1023. N 'x . ;y ; Solution of the Equation Malrix”,”siAM Jour. of 254 4. ECUAŢII DE STARE Se observă că : sin : (2 sin 2f — 3 cos 21) = [2 - 3] Deci: 2t cos 2t JCi - 3). X = [2 Matricele c4,'A*.r sînt desigur cuprinse in ecuaţia diferenţială pentru f. Ecuaţia diferenţială vectorială corespunzătoare lui (51) este deci . 1 4. —5. 0 0 0. o! -2 [:] 2 -3 -2 3 0 -2 2 0 . «snintia flppstei ecuaţii se scrie acum cu uşurinţa. . 'Această metodă necesită rezolvarea ecuaţiei matriceale din (57). Deoarece ordinul lui Jl este n = 2 şi ordinul lui fj este m = 2, ^ va fi o matrice 2 x2. în acest exemplu (57) va fi: _ S2 1 S 2 2_ _S2X Puteţi verifica cu uşurinţă că aceasta este echivalentă următoarei ecuaţii algebrice : 1 4 2 0- S22_ -Sn" - 2- S21 -2 - 2 —3" o 1 S, 1 SJ2 .-2 3. r L-2 -5 Sn ^12 o f'* O 1 < N 1 2 0 1 4 0-2-2 -5. a cărei soluţie este; S 2 j - ^22 - “1 co . i C O - 0 - Su - 1 ^21 0 s12 î -S2 . -î. 2 * Folosind aceste valori pentru S(j, matricea &> este "0 sr 0- astfel, există Şi soluţiile lui y(t) şi apoi a lui x(f), pot fi obţinute prin folosirea acestei metode. în acest exemplu am transformat ecuaţia matriceală din (57) pentru ^într-o ecuaţie vectorială echivalentă pentru un vector cu aceleaşi elemente ca y. Să indicăm cum se realizează aceasta în general, ii ie st şi 4.3. REZOLVAREA IN 255 N DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE ^ notaţiile vectorilor coloanei i ai lui & şi respectiv X Atunci ecuaţia vectorială este : Rn R12 .. Rlm "Sl ' R21 R22 R2m s2 Rm1 Rm2 R mm R« = %ij cA unde : ■(2kr = $k2 (61). 3 kOT - (62) ■/«u este echivalentă ecuaţiei matriceale (57), în sensul că soluţia lui (61) determină valori pentru toate elementele lui Sf. _u în analiză sînt întîlnite multe funcţii de excitaţie. Exista un set standard de excitaţii folosite în analiza unei reţele. Funcţiile sinus şi cosinus din exemplul anterior sînt numai două funcţii din acest set. Alte excitaţii folosite adeseori sînt funcţiile treaptă, rampă, exponenţiala, sinusoida amortizată exponenţial. Pentru a elimina necesitatea construirii matricei (± si a vectorului iniţial corespunzător î(0) pentru aceste excitaţii standard, am dat în tabelul 4.1 funcţiile f(<) cel mai adesea folosite ’(T si 1(0) asociate. Observăm că în acest tabel t0 = 0 ; procedmd asttei ^ A-,,r,litn + /-v ci \ acjfo orvn-van Q.Vii 1 Sfl, P.OTlsiflCTăni £tSti6l nu se pierde din generalitate, şi este convenabil să consideram astfel. Menţionăm de asemenea că constanta a care apare în tabelul 4.1 poate fi zero. Dacă procedăm în felul acesta, elementele lui î(t) devin simple puteri ale lui t în primul caz şi funcţii sinusoidale şi cosinusoidale m celelalte cazuri. Tabelul 4.1. fin Îi0) & 0 1 0 0O 8 1 1 0 le~at x f2 £ _(X » 0 2 -a--- 0 0 0 — 1 g-Ott 0 0 0 --------------------------- a 0 0 a! cos Co/ J ' —a 10 ' _ —co — a . 0 8 1 sin co/ 1 C -at _ O e O tk _ a o-.- 0 0 ■0• 1. Deoarece un vector de excitaţie al reţelei poate avea elemente care =int combinaţii ale elementelor vectorilor c excitaţie standard cu diferite valori pentru a, « şi Te, poate fi util să combinăm mai multe ecuaţii diferenţiale pentru diferiţi vectori de excitaţie standard într-o singura ecuaţie diferenţială. 256 4. ECUAŢII DE STARE problemă, să considerăm un exemplu simplu. Fie : Pentru a clarifica această 4 — 3 e~2t ' 2 - 2t e ~ s t cos / + 4 sin 1,5/. e(Q = Elementele lui c elemente ale lui 4 - 3e-2* 2 - 2/e- pot fi raportate la funcţiile de excitaţie standard, care apar ca f, astfel: e(<) = 3( _s—*cos t + 4 sin 1,5 t -4 • -3 0 2• 0 0 .0 • 0 0 0 -2 0 0 0 0 o- 0 0 0 0 0 1 4 0. = JC Kt) z~ te- s —* sin /] £-* cos t sin 1,5/ cos 1,51 Pe baza tabelului 4.1, găsim că există cinci ecuaţii diferenţiale, corespunzînd fiecare cîte unei părţi a vectorului f din dreapta; ele sînt : dt d [fj]=[0][f,] [«0)1 = [1] [1]. dt d dt d dt d m Ta=‘ ■-3 0‘ [f2(o)i = 7.(0)' 1 .W) . 0 '-1 1" m ■ 0' u. .-1 -1- W)_ 1 fi ■ 0 1,5 -U - .-1,5 0 -U - U ■ 1 -3. L fa - T7(0)' 'O' dt /8(0). 1 4.3. REZOLVAREA IN 0 257 N DOMENIUL TIMP A ECUAŢIILOR DE STARE 0• 0 0 0 0• 0 0■ i ecuaţii diferenţiale vectoriale în î(f) : Putem să le combinăm pentru obţinerea une fi 0 -2 • 0 0 0 0• 0 0 0 0■ —3 0 0 0• 0 0 0 0• 1 —3 0 0• II 0 0 0• 0 0 -1 1• 0 0 0 0• 0 0 -t -1 ■ 0 0 0 0 0 0 0 0■ 0 1,5 ( 0 0 0 0 0• -1 5 0 fi(0) W) f-Â \ceste soluţii formale prezintă o dificultate importantă, Exponenţiala matriceală 0) fo,(0 ) A(0 ) f8(0 ) Exponen- ţiala matriceală este o soluţie simbolică - ea nu ne spune prea ^ dezvoltarea în serie a exponenţialei ne conduce a ezuitate mimenc _ aproximative, ea nu conduce la o forma închisa. Astfel, in exemp ui si TIÎTI dat în (40) fiecare element al matricei este o serie mfimta, şi nu ştim KncţS ieprezfntă, Este clar, că este necesar să găsim forme închise echivaienteêxpone ^ exponenţialei poate fi găsită folosmd tr^sformata Laplace. Pentru simplificare, presupunem timpii mifrzl t»- 0- l,a luăm transformata Laplace a ecuaţiei omogene dm (31), găsim . *Y(s) - (*) = Y(°) = u- unde Y este transformata Laplace a lui Y(f). Aceasta poate fi scrisă astfel: (sU — j^)Y(s) = U SâU Y(s) = (sU — st)~\ in final Y(f) se obţine luînd transformata inversă. Deoarece am considerat *„’ = 0, Y(t) va fi egal cu Deci ^ c *t = ^>-i{(«u - ^r1}- zs (63) 258 4. ECUAŢII DE STARE Eezultatul este foarte interesant. Să-I aplicăm la o matrice simplă considerată anterior în (40). Matricea («TI — determinantul şi inversa ei se obţin uşor şi anume : ’ *U s+1 0 det (sU — st) = (s + l)(s -f 2), —1s+2 1 , 1 ------------ 0 s + 1 («IJ — si) 1 == 1 1 _ (,. + l) { s + 2 ) s + 2. [ 1 8+1 0 1 1 1 .s+1 s + 2 8 (64) + 2 _ în ultima etapă s-a făcut o dezvoltare în fracţii parţiale. Transformata inversă a acestei expresii este: 0 --2( J5f“1(sII - .a/) -1 Putem face ca exerciţiu dezvoltarea acestei exponenţiale şi să verificăm că rezultatul este acelaşi cu cel din (4*0). ’ Transformata Laplace este o modalitate de evaluare a exponenţialei matriceale Dacă ne propunem folosirea transformatei Laplace, putem să o aplicăm asupra ecuaţiilor neomogene iniţiale şi să evităm toate treptele intermediare. Acest procedeu poate fi desigur aplicat, dar se pierd avantajele matematicii matriceale. în consecinţă, pentru găsirea exponenţialei matriceale, avem nevoie de consideraţii suplimentare. ■î.-i. Fl’ACŢII DE O MATRICE Exponenţiala matriceală z**1 este o funcţie particulară de o matrice; ea face parte din clasa generală care poate fi numită funcţie de o matrice. Se pot învăţa multe lucruri despre funcţia particulară studiind teoria acestei clase generale. Aceasta ne propunem să facem în acest paragraf. Cele mai simple funcţii de o variabilă scalară ordinara sînt puterile de variabile şi polinoame. Ele sînt de asemenea cele mai simple funcţii de o matrice. Considerăm un polinom f(s) de variabila complexă s : ' f(s) — sk + a4_j sk 1 -f-. . . + a^s + a0. 259 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE Presupunem că variabila s este înlocuită de o malTU'e pati^tă Funcţia corespunzătoare va fi un polmom matricea . st de ordinul n. / s4) = stk + «fc-1stk~9 + ■ • • + a\^ + «oU. Generalizarea unui polinom este o serie infinită : f{s) = a0 + axs + ... + ak sl + ■ • ■ = s ■ co . O ă'tfel de serie poate reprezenta de fapt orice funcţie analitică de o variabilă complexă, în domeniul său de convergenţa, înlocuind pe s cu d. êria devine :-,yi = a$ +«^ + «2^+ + «*** + (66) PHnr.tin «n este de falit o matrice, ale cărei elementeformează o serie infinit ă Această serie matriceală este convergentă dacă fiecare element ii <eriei este convergent. Nu vom arăta aceasta dar rezulta, ca ser» —.--filă este convergentă dacă valorde proprii ale lui si — adica, zerounie ^SomuM cSlctfristic, « ( ţ D - i f l - a - l to interiorul «««1» «• «•nvergenţă al seriei scalare din (65) ). o in torul f l Funcţiile transcendente de o matrice P ° \ " «iilor infinite. O astfel de funcţie este exponenţiala, pentru eaie deteiseriei a fost deja dată în (39). Sd o matrice nu are o valoare prea mare m evaluarea funcţiei, lacma î.-eptie o evaluare numerică aproximativă. Mai mult, determinarea êi serii nu va fi adecvată, atunci cînd zerourile polmomului caiacte- -ic nu cad în interiorul cercului de convergenţa, Dm fencne daca /(*) «»o funcţie analitică, care este regulată la zerourile Voômvlm^- -.--tic al lui sd, atunci f{st) poate fi exprimata ca o funcţie polmomiala, ucă ea " SOT1'e finită. Să vedem cum se explica aceasta. Teorema Cavlev-Hamillon şi consecinţele ei Definim un polinom de anulare de o matrice st, polinomul a(s),^care ^ anulează cînd s este înlocuit cu sd; adica a(st) _°. Polinomul eristic, d(s) = det (sil st), al unei matrice pătrate st este un polmom de anulare pentru si. Aceasta poate fi făcută plauzibilă observînd că inversa lui (sU — si) este dată de : (sil — si)"1 = adj (sil — si) (67) 9 Pentru demonstraţie, se ya vedea I- Minsky, An Inlroduction to Linear Algebra, Oxford iversitv, Press. J-ondon, 19o5, p. 332 334. 260 4. ECUAŢII DE STARE d(s) sau d(s)V = (sil — si) adj (sU — si). (68) Presupunem acum că s este înlocuit cu si. în partea dreaptă apare un factor si — si i deci d(si) = 0, şi d(s) este un polinom de anulare. Acest rezultat este cunoscut ca teorema Cayley-Hamilton. Teoremă. Orice matrice patrată satisface propria ei ecuaţie caracteristică. Teorema Cayley-Hamilton ne permite să reducem ordinul unui polinom matriceal de orice ordin (oricît de mare) la unul de ordin care nu depăşeşte n — 1, unde n este ordinul matricei. Presupunem că si este o matrice patrată de ordin 3. Ecuaţia ei caracteristică va avea forma d(s) = = s3 + djS2 + d2s + ăa. Deci, din teorema CayleyHamilton rezultă d(si) = ^ + d^si2 + d2 si + dsU = 0 şi siz = — (dxsi% + d2si + d3U). Dînd un polinom de ordin mai mare ca 3, toate puterile de ordinul 3 sau mai mult pot fi înlocuite folosind expresia patratică în si pentru si3. întregul polinom se va reduce la un polinom de ordinul 2. Ca un rezultat suplimentar, teorema Cayley-Hamilton permite evaluarea inversei unei matrice ca un polinom matriceal. Astfel, dacă ecuaţia caracteristică a unei matrice si este: d(s) = s" dyS 1 -f . . . -f- dn_1s -f- dn, atunci d{si) = st + (7jsîn~1 + . . . + dn_xsi + dn U = 0. Dacă ecuaţia este multiplicată prin si"1, ultimul termen devine Atunci si-1 = - - (si11-1 + dlSin~2 + . . . + dn_*s* + dn_iU). (69) d« Această relaţie explicită este valabilă numai cînd zero este o valoare proprie a lui ‘si, astfel că d(s) nu are un factor s şi dn =f= 0. Ne interesează în principal funcţiile f(si) care nu sînt polinoame-, în particular exponenţiale. Cum vom trata astfel de funcţii? Se obţine .1 cărui ordin este mai mic cu o unitate decit cei ai poiuiomu _ j> 1(.s). Eezultatul, după multiplicarea prin p±{s) poa > Pi{s) = 2(s)Pi(s) + r(s)- ne aşteptăm ca : /(*) = q(s)a{s) + g{8) (70> 261 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE jfiwws jswsfcstt t^~ai mic dccit ordinul lui 6t(s). iM1 ■ “rf in (70), obţinem f{s/) = gW (71) nude f(s/) este o funcţie şi g(st) este un polinom. functie Acesta este un rezultat foarte ^ TTZli^Jer^ZtăZaSrmSle pdimmului de muUre t» rf * «•'*» 1« * * » « " *J 8 f..”„ ,TCnte de a Eămîne încă de determinat polmomul „rest g(s). Fie un polinom de cel mai mic ordm avmd coetoentu J face de ^ —adul cel mai înalt egal cu unu, notat cu m(s), p UnTapt'interesant referitor la un polinom minimal este dat de urmă- ',Jal TelremlTpolinomul minimal al oricărei matrice patrate s4 este un r-flôr pentru orice polinom ăe anulare de st. ' \ ceasta este uşor de demonstrat. Se dau a(s) şi m(s), uiule wl^ nn de ol dîn mai mare ca «(*). Putem impSrţi pe «(.) prm «.<«) 9- <*>t- nem un cît q^s) şi un rest ^(s) de ordin mai mie ca al lui m(s). După multiplicare cu m(s) obţinem : a(s) = q1(s)m(s) + ^(s). înlocuim acum pe s cu i şi observăm că a(si) = 0 şi m(si) = 0. Deci rr(si?) = 0. Dar aceasta este o contradicţie, afară de cazul în care este identic zero, deoarece rx(si) = 0 înseamnă că r^s) este un polinom de anulare de ordin mai mic ca al lui m(s). Deci rx(s) = 0 şi m(s) este un factor al lui a(s). ’ Nu este necesar să găsim polinomul minimal în orice caz. în oricare din calculele care trebuie efectuate poate fi folosit polinomul caracteristic ă(s), uşor de determinat, care este un polinom de anulare şi care poate uneori să fie polinomul minimal corespunzător. ’ Sîntem pregătiţi acum să determinăm polinomul g(s), care poate fi scris astfel: (l(s) = 90 + 9iS + + • 8*~\ (72) . • + în care coeficienţii sînt necunoscuţi. Punctul de pornire este (70). gn-x 262 4. ECUAŢII DE STARE Să ne ocupăm de polinomul caracteristic ă(s) a-l matricei si care este un polinom de anulare şi să rescriem (70) astfel: f(s) = q(s)â(s) + g(s) (73) Valori proprii dislinelc Presupunem că valorile proprii pe ă(s) în formă factorizată astfel: ă(s) = (* - sx) (s ale lui si sînt distincte şi să scriem ’ - s2) ... (s - sn) (74) Să evaluăm acum pe (73) pentru fiecare valoare <?(«*) = 0, găsim /(*«) Există n astfel de relaţii. + *i2 9z~\- + «i"-1 9o + *i9i 9o + «2 9i + (76) 9o S n 9l + sn g% + «22 Deoarece = g(st)- Folosind (72) devin proprie s(. g* + • ■ • • • ■ + Sn 1 i = f(S„). (75) pentru g(s), aceste n relaţii 9n-X =f(*l), + *aB_1gn-x = f(s2), 263 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE Î » r î t»i t&iirixrrrwrr; îi“îr^ :2S£r3^*Sss« « —* ***» «• dat in (64). Ecuaţiile sînt ă{8) = (a + 1) (* + 2) 81 = So = —2 reproduse şi aici: 1 0 1 -2 1 Funcţia matriceală tituire în (76) obţinem : dorită este astfel că f(s) =■ ■ Pi in subs 9o - 3i = z h i = £ -21 ffo - 2</i = E’2< din care : 9i = 2s_t s_‘ ~ s~ 9o = -5 > -2t Deci J(<) =( 2 . - ‘ - * " ’ 1 ) » - Etapa următoare este să înlocuim pe s cu şi « |U» **), «« «*• egal cu /(.s/) (71) /(^) = 0(J*) = (2s"‘ “ S~2Û + (s~* _ e 2t)j/ = (2 :1) 100 -1 + (e -f 1 1 Printr-o rearanjare, aceasta devine: «-* 0 e-t _ S-2‘ £-21 ]■ care este în concordanţă cu rezultatul găsit anterior. 264 4. ECUAŢII DE STARE cei litt . ’ ••- ------- iii oui ici ca matricei pentru icei pentru a ajunge la un rezultat uşor de interpretat. Polinomul g(s) poate fi scris acum, folosind aceşti coeficienţi, astfel: 11 oblema caie trebuie rezolvată în ultima etapă este rearaniarea termenilor avînd în vedere valorile lui f(Sj) şi nu puterile lui s. Deoarece ecuaţiile (76) sînt toate similare, trebuie să fie posibil să scriem acest rezultat într-o formă mai simplă. Rezolvarea a fost dată de Lagrange făcînd să treacă un polinom de gradul n — 1 prin n puncte. Aceasta este numită formula de interpolare a lui Lagrange şi transformă suma dintre paranteze într-un produs, după cum urmează : (77) {Verificaţi acest luciu). Folosind această expresie, g(st) este obtinută cu uşurinţă. în final, deoarece f(st) — g(st), obţinem ’ (78) Folosind acest rezultat se poate face o observaţie foarte interesantă. Dîndu-se o matrice st, valorile proprii st sînt unic determinate de st. 265 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE Deci, fiecare din parantezele din (78) este o funcţie numai de st şi este independentă de funcţia specifică f(s) considerată. Odată ce cantitatea dintre paranteze este determinată, orice funcţie de matrice poate fi determinată prin evaluarea funcţiei la valorile proprii ale lui si. Menţionăm că această problemă va fi din nou tratată ulterior într-un caz mai general. Valori proprii multiple Dacă valorile proprii ale lui si nu sînt distincte şi există valori multiple, este necesară o modificare a acestui procedeu. Fie: d(s) = (s — s1)r> (s — s2)r° ... (s — s,)ri, (79) unde multiplicităţile sînt evident pentru valoarea proprie de ordinul i. Să considerăm acum diferenţiala lui (73), după care vom evalua rezultatul pentru s = sk. Excepţînd derivatele produsului q(s) d(s), derivatele lui f şi g vor fi egale. Astfel: dsf(s) di9(s) i ^ (i \ d^gjs) djd(s) ds} ds} ito \ i) dsi 1 i(') ds* Te se întîmplă cu suma cînd s = sk ? _ Dacă ordinul derivatei este mai mic decît ordinul de multiplicitate il valorii proprii sk (adică, dacă j < rk), atunci din (79) este clar că d'd(s)!ăsi = 0 pentru s = sk şi pentru i <j. Aceasta înseamnă că toţi *ermenii de sub semnul de însumare se anulează, şi astfel (Vg(s) djf(s) = J pentru s =■ sk ds1 dsJ . . (81) pentru ordinele de derivare j = 0,1,2, . . . , (rk—1); aceasta este valabil pentru derivatele de orice ordin mai mic cu unu decît multiplicitatea iui * t. Această ecuaţie este o generalizare a lui (75) şi o include. Numărul •ie relaţii obţinute este egal cu acela al valorilor proprii, cînd fiecare valoare proprie este calculată în raport cu ordinul ei de multiplicitate. Deoarece g(s) în (72) are de asemenea mulţi coeficienţi, ei pot fi determini folosind (81). Astfel, primele ri\ relaţii evaluate pentru s = sx vor fi : 9o 9i + Sl9l + *1^2 + • • • + «i-1 9 n — i = f(s i) + 2SI9Z + ■■■ + (» — l)*r2 9n-i =/(1,(sx) _ (r, - 3) ! g,^ + ... + (* =-1}! (n — fj)! Seturi similare de ecuaţii vor rezulta pentru fiecare valoare proprie distinctă. Eezultatul complet prezentat în formă matriceală va fi : 266 4. ECUAŢII DE STARE Aceasta este o expresie complicată ; ea este dată din dorinţa de a prezenta cazul cel mai general. Cazurile reale vor avea rareori o astfel de generalitate, şi ecuaţiile reale vor fi în general mult mai simple ca acestea. în orice caz, coeficienţii gt sînt obţinuţi eu ajutorul acestei ecuaţii matriceale. Aceasta este generalizarea pentru valori proprii multiple ale lui (76) care se aplică pentru valori proprii simple. Ca un exemplu de determinare a unei funcţii cînd are valori proprii multiple, fie m - şi = “ -2 0 13- s + 2 -1 -3 0 > d(s) = ’ 0 s +3 -3' 0 0 —2 s + 2. _ 0 2 -2 . = (x + 2 )2(s + 3). Să luăm s, = -2 şi s2 = -3 ; multiplicităţile sînt rl = 2 şi r2 = 1. Să folosim d(s) ca polinomul de anulare pentru determinarea lui g ( s ) . Pentru acest exemplu (82) devine : ’£ (z~ ‘1 -2 4' lt £-31 = 0 1-4 1 -3 9. ffo ' ffi .92 - deoarece df(s,)/ds = Mi' = tz~A- Soluţia pentru g este găsită uşor prin inversiune, astfel : 267 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE 'ffo " 1 -2 4‘ = Si .92 -1 - g -3 6 4‘ 2f/e-2i 0 1 -4 - — .1 —3 9. E = ■ E-2( - -4 5 4 . S~ . .-1 1 1. -3( st — 3e-21 + 6te~2i + 4s-31 1 -4s-2‘ + 5 is~2t + 4s-3< _ z-n + ts-2* 4. e-3* . Cunoscînd g0, g1 şi ff2 obţinem g(s) = g0 + f/1s + <Jzs2 astfel: ^ = (_3s-2< + 6fe-2* + 4e-3‘) + (—4e~2( + 5/e-2* + 4s“3t)s + (-e-^ + U-2t + t~st)s\ sau după o rearanjare a termenilor : ?(s) = Următoarea etapă (_3 _ 4 - S S2 este formarea (4 + 4s + s2)s~31. lui <y(«0 Prin înlocuirea lui s cu — jj?'2)g-2( — _ (-3XJ — ) s-î« + (6 + os + sS)/s-2( + (611 + 5^ + + (41' + 4j# + ^2)e"3(. Calculele de efectuat după introducerea lui si sînt pur aritmetice. Rezultatul final este obţinut din (71) : f(*t) = </(■«0 conduce la : = 1 — 0 0 0 O ' 0 .0 2 1. + 0 6 :r 0 0 0 0 0. / s -2i _J- •( ) 0 .0 -2 5 ir 1 0 0. Aceasta completează exemplul. (Puteţi verifica dacă această ecuaţie rezultă din cea imediată anterioara prin înlocuirea lui Matricea constituantă Să considerăm ecuaţia (82). Această ecuaţie poate fi rezol\ată în coeficienţii q, care sînt apoi înlocuiţi în polinomul #(«), ca în cazul (<«»). Din nou rearanjăm termenii astfel încît să fie puse în evidenţa elementele vectorului din dreapta, lui (82) mai degrabă decit puterile lui s.Expresia rearanjată poate fi scrisă astfel: m = K n (s)f( 8l ) + K 12 (S) + K 13 (8) + K21(s)f(s2) + K2i(s) + Ki3{8) 268 4. ECUAŢII DE STARE (83) f<ra_1,(So) 1 * (ra — )! + + Kkl(s)f(sk) + Kk,(s) + KkM +■■•+ - k (»t- !) • T~~TT7 Ktj a fost ales astfel încît coeficienţii derivatelor să fie împărţiţi de termenii factoriali (aceasta pentru o convenţie ulterioară). Cînd valorile proprii sînt de o multiplicitate singulară, această expresie complicată se reduce la prima coloană, care este (77). Etapa următoare este înlocuirea lui s cu st. Reamintind că gr, = f (st) şi obţinem acum : = Kn(st) M) + Kl2(st' /<1>(Sl) ' 1! (»’!-!)! L K k l (st)f(s k ) + Kk2(st) -L ■ firi 1)(Sl) (84) flD/o \ + ^ f + . . . + Kkrk(st) ) j--------------- Vk • presupunînd că funcţiile/‘(s) nu sînt singulare, pentru $ = sl. Coeficienţii Ku(st) din (84) sînt matrice, care sînt adesea notate Ku. Ele sînt numite matrice constituante de st şi depind numai de st, nu şi de funcţia f(s). Aceasta poate fi observată din (82). Elementele diferite de zero ale matricei coeficienţilor sînt proporţionale cu diferite puteri ale valorilor 269 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE proprii ale lui si. Kti{8) este o combinaţie liniară de cofactori ai acestei matrice a coeficienţilor. Deoarece valorile proprii şi deci intrările matricei coeficienţilor depind numai de si, rezultatul este verificat. Acest rezultat este foarte important. înseamnă că matricele constituante Ki}(sf) ale unei matrice patrate si pot fi determinate, odată şi pentru totdeauna, independent de orice funcţie specifică, Pentru orice funcţie data J, expresia din (84) poate fi formată simplu prin evaluarea diferitelor derivate de f la valorile proprii ale lui să. Pînă acum singura cale pe care o ştim de găsire a matricelor consti- mante cînd si are valori proprii multiple este să scriem (82) şi sa rezolvăm pentiu coeficienţii gu să-i introducem în g(s), şi apoi să rearanjam rezultatul în forma lui (83). Ar trebui să avem în vedere metode mai simple şi din fericire cercetarea se preocupă de aceasta, Cînd valorile proprii ale lui si sînt simple, avem desigur la dispoziţie formula de interpolare Lagrange. Avem nevoie de ceva similar pentru valorile propiii multiple. Matricea rezolvaută Deoarece matricele constituante = Kti {si) nu depind de funcţia 'pecifică f, dacă găsim o funcţie simplă pentru care (84) poate fi scnsa, atunci K„ astfel determinate vor fi aceleaşi pentru orice funcţie, bue- eesul acestui mod de abordare depinde de gasirea unei funcţii .convenabile. ■ _ imcle 8 es|e ° Considerăm funcţia /(«') = l/(s — «') — (« 7“ variabilă complexă care joacă rolul avut anterior de s; de exemp u s e<te variabila care va fi înlocuită prin si. Cu riscul confuziei noi am folosit simbolul spentru o altă variabilă complexa. Am fi putut alt simbol, să zicem *, în locul lui s, dar algebra a fost facuta astfel dm dorinţa de a obţine în final o ecuaţie care conţine pe s. Trebuie evitata confuzia de a ne' gîndila cînd vedem în aceasta dezvoltare. Daca luăm derivatele în raport eu s', obţinem : ; _ (j - 1)! , 1 (* (85) - s{)J unde S: sînt valori particulare pentru s'. Substituim acum (8o) m (84) înlocuim pe s' prin si în /(«') = (* - *')_1- Bezultatul va fi (sl -f) L termeniai matricelor constituante. Folosind (67) aceasta poate fi - ■; i i ş : ,,r (t(s) (86) folosi un 270 4. ECUAŢII DE STARE Numărătorul părţii drepte este o matrice a căror elemente sînt polinoame în s, deoarece ele sînt cofactori ai matricei (sU — st). Deoarece fiecare element al numărătorului este împărţit prin ă(s) întreaga expresie este o matrice de funcţii raţionale. Se poate face o dezvoltare în fracţii parţiale a părţii drepte şi se obţine : ( s U - st) - 1 = (s— Sj) ( 8 )2 (S - 8k) (S - 8k)* + . . . + Kki (»— «i)r (8 - 8k) Ţinînd seama de (85), această expresie este exact de forma lui (84), şi anticipaţia noastră în utilizarea aceloraşi simboluri Ki} = Ki}(st) pentru coeficienţii acestei dezvoltări în fracţii parţiale, ca şi pentru matricele constituante este justificată. Adică, matricele constituante sînt matrice de coeficienţi în dezvoltarea în fracţii parţiale a lui («IJ — st) ~1. Matricea (sU — st)-1 este numită matricea rezolvantă. Dîndu-se o matrice st şi o funcţie/(s), determinarea lui f(st) în forma lui (84) este făcută prin dezvoltarea matricei rezolvante (sU — st)-1 în fracţii parţiale. Coeficienţii dezvoltării (care sînt reziduuri dacă valorile proprii sînt simple) sînt matrice constituante. Să facem o ilustrare cu ajutorul exemplului considerat mai sus. Fie f(s) - -2 1 3' S + 2 -1 -3 ‘ si = 0 -3 .0 0 , (sU - st) = = şi 0s+30 2 -2 . . 0 -2 s + 2 . Pentru găsirea inversei lui sTJ — este necesar să calculăm determinantul şi cofactorii săi. După determinarea acestora obţinem : 3(s + 3) (s + 2) (s 0 (s + 2)2 + 3) (s + 8) 0 0 2 (s + 2) (s + 2)(s + 3) (si.' — rf)-1 (s + 2)2(s + 3). ' 271 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE FieSj = — 2 şi s2 = — 3. Dezvoltarea în fracţii parţiale ne eonducc la : k' IVi j 1 —5 K.» 0’ (l 0 _0 2 1. s+ 12 63■ 0 00 _ 0 00 0 05 cr 01 0 + + 2)10 < N 1 O 0 ■0 0. s+3 în final, aceste matrice constituante sînt folosite in (84) pentru a ol.ţine exponenţiala matriceală. Kne-a* + K12(s-2t + K21E-3(. AceU rezultat este în concordanţă cu cel obţinut anterior. Algoritmul matricei rezolvante Să ne reamintim procedeul de determinare a matricelor constituante. E<te necesar mai întîi să determinăm valorile proprii, etapa neoesdia pentru orice altă metodă, Este necesar apoi să inversam matricea (sL s/), ceea ce am făcut prin determinarea cofactonlor acestei matnce. 1 atest lucru devine complicat pentiu un n mare. Este nece&ai in fm< să dezvoltăm în fracţii parţiale matricea rezolvanta (sl> - st) . Once eontributie pentru reducerea volumului de calcule va fi bine Se cunoaşte un astfel de algoritmpe care noi îl vom numi algontmv ' Observăm*din (86) că matriceaîezolvantă este exprimată m ţe^menu polinomului caracteristic la numitor şi ai inatrtcm adjuiKê (si_ ^ t numărător. Elementele acestei matrice smt polinoame m « Putem .â ne concentrăm asupra puterilor lui « şi să scriem aceasta matnce ca o ~umă de matrice, cîte una pentiu fiecare putere a lui s. Iie adj (sU - st) = P(«) = V-1 + Pis"~2 + ■■■ + s + P—» (b8) d(s) *" + rf!*""1 + • • • + (ln-lS + *«■ ’i .ltiplicaiea lui (86) piin cJ(s)(sV (89) — st) conduce la (*r - ^)P(*) = d{s)V, care, după inversai ea lui ( (9°) 88) şi (89), devine 10iW8^D^<K^l’îidePvrand* 2*'* eiîn Rwstan), GostekWzdat, SIoscow, 1949 ; J -t °°Cfa *Ia.tri* ComputincJ the Associated Model - '„•.Tins", Quart. Appl. Math., Voi. 8, pp 206-212, 1950. SW (Po»” + IV "1 + • ■ • + P „_,*) + d\\ ^P„_j) = 4. ECUAŢII = IV* + + .DE STARE . . + d a V. Egalarea coeficienţilor puterilor corespondente ale lui $ din cele două părţi, conduce la 272 Po = lT, p, = c^p0 + ^r, Pş = <4\\ + d 2 V, —1 + P* = f^Pi (91) P„ “i = dP n - 2 + d^V, 0 = otP^ + dJJ. Este clar că dacă cunoaştem coeficienţii d- ai polinomului caracteristic aceste ecuaţii ne permit să determinăm matricele P4. Desigur, coeficienţii d { pot fi determinaţi prin evaluarea determinantului (sU — rf). Vom arăta acum că aceasta nu este chiar o necesitate. Luind urma matricelor pentru ambele părţi din (90) găsim că s tr P(s) — tr |VP(s)] = nd(s). 92) ( Vom arăta acum că tr [P(s)] este egală cu derivata lui dls). Scriem ne d(s) astfel 1 d(s) 93) = £ («*« - ««) A, jf ( J=1 unde b u este simbolul lui Kronecker, (sS H — a u ) este un element al lui (. ~ esê cofactornl lui (sS^- — a ;j ). Vom folosi relaţia (25) dm Capitolul , unde s-a discutat derivata unui determinant. S-a arătat ca pentru o matrice arbitrară B(s) = [b kj (,s) ] 1 d 7 n n , ;, (M) în prezentul caz, determinantul este d(s) det (11U - s/). Folosind (94) obţinem 273 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE = <9j> = tr[adj (*U -<A)\ = tr p(s) • Moşind această „**, pntem înlocui p. »f» * W * •iupă rearanjare, *i-[d(«)] - nd{s) = tr [o«P(*)]- (96) ds U final, înlocuim expresiile W * *> »* <»> * «"» * ii obţinem: _ 1) — + (» - 2) V + • • • + <!-.*) - (nsn + nd^"'1 + • • • + ndn) = = te (off.) + MP.) + ■ • • + « t r <=*l’„ J + to Egalăm coeficienţii aceloraşi puteri ale lui . <U» «W P** I* «•*» •oluţiile pentru coeficienţii dt . dx = — tr («stf P0), d2 = —\ tr (^Pi)> «î, = - Ur (J/P2), dk = - 4"tr (°<Pt-i)» * fc Acest set de expresii pentm coeficienţii dk, împreună cu (91) pentru matricele P,., constituie un algoritm, cu un număr finit de etape, pentru calculul matricei rezolvante, (sil — sty1. Le vom scrie din nou, parte cu parte, arătînd succesiunea etapelor : P0 = U l\ = d \\ = s4Yx + d2lr l\ = «î/Pj..! + 11 - c. -» -> d, = - tr (j/), -> d2 = -> d3 = - 1 tr - I tr = - (j/Pj)., (j/P2), tr (sJPk), (97) (98) 274 Vn_l = oi PM_o + f/„_l I' = — —tl^^Pî), 4. ECUAŢII DE STARE 0 n = stl\_x + f?J' (restricţie). Ultima ecuaţie a acestui set poate fi folosită ca o restricţie, deoarece toate componentele sale au fost deja determinate în etapele anterioare. Dacă ecuaţia nu este satisfăcută, atunci a fost o eroare (sau mai multe). O problemă importantă care pliveşte algoritmul matricei rezolvante este faptul că toate etapele incluse sînt operaţii numerice pure : variabila s nu apare. în consecinţă, deşi se pare că există o mai o cant itate ele operaţii aritmetice matiiceale, algoritmul poate fi uşor programat pe un calculator. Un rezultat parţial al algoritmului este o evaluare a inversei lui cînd zero nu este o valoare proprie a lui s4. în acest caz dn = <7(0) =ţ= 0. Din (86), (sil = P(s)jd(s). Punînd s = i! se obţine = = P(0)/<7(0), sau (99) 27» 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE Pentru a ilustra algoritmul matricei rezolvante, considerăm din nou exemplul tratat, anterior. Etapele algoritmului sînt următoarele : = rf, = - I', .</ : 711 = ' -2 13' 0 -3 0 0 2 -2 . • tr jrf = (2 + 3 + 2) - 5 1 3‘ 0 4 0 .0 2 5. 7. sd Pj -10 8 9' 0 -12 0 0 4 - -10. - trUl>1) = 16, 1 3 p2 =- a P, + 16 V = 6 8 9" 0 4 0 .0 4 6 -12 rfP2 = 0 0' 0 -12 0 0 -12 . 0 d3 = - l tr U P2) = 12. . . v, - Ca o restricţie, se găseşte ca ,a?P2 Us3 + P]S + Pa s 3+ djS2 + ,1» r I*>IT _ (sil — s t ) ~ x = O Se noate scrie acum matricea rezolvantă . -r l-W - M lJoale *'-1 d2s + d 3 s2 + 5s + 6 0 s+8 2 0 0 2s + 4 2 s2 + 7s + 16s + 12. s + 4s + 4 s- + 5s + 6 : M>luţ ■at colateral : 00 01 9■ 0 o 1 1 2 0. Menţionăm că algoritmul dă polinomul dezvoltată. Pentru a găsi matricea constituenta mai este necesa ( ) 3., + 9 să factorizăm d(s) pentru a găsi valorile proprii şi (2) să obţinem o dezvoltare în fracţii 276 4. ECUAŢII DE STARE parţiale. Algoritme de calcul pentru prima din acestea sînt accesibile direct 12). Polinoame rezolv an(e Referitor la (84), ne amintim că matricele constituante Kiy depind numai de J/, nu şi de o funcţie specifică. Aşa cum am menţionat anterior, dacă aceste matrice pot fi evaluate pentru anumite funcţii specifice, rezultatul astfel obţinut va fi bun pentru orice altă funcţie. Am găsit o funcţie care conduce la matricea rezolvantă (sU — ^)-\ cu ajutorul căreia se pot evalua matricele constituante. Yom discuta acum un set de funcţii care pot face de asemenea acest lucru. Considerăm un set de funcţii f^s), f2(s), ...,fn(s), fiecare fiind un polinom. Fiecare din aceste polinoame poate fi folosit în (84) şi va conduce la o ecuaţie în care necunoscutele sînt matricele constituante. Vor exista atîtea ecuaţii, cîte necunoscute sînt. în formă matriceală aceste ecuaţii ■se scriu astfel : 12) Algoritmul diferenţei citurilor este una din cele mai cunoscute metode de determinare a zerourilor unui polinom. Algoritmul este descris în : P. Henrici, Jilements of Numerical -Analţ/sis, John Wilev, New York, 1964, Chap. 8. . * Ji \ 2/ (»i — !)! • (>* —1)! : /l(^) , KJ2 îiM. 1! („-Di ^lri = Ust) (»•,-!)! • (»*-!)! 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE 277 (100) Numim această ecuaţie, ecuaţia rezolvantă. Deşi elementele vectorului sînt matrice patrate de ordinul n, aceste matrice sînt tratate ca o singură cantitate cînd este interpretată multiplicarea matricei date. Astfel, cînd «e realizează multiplicarea matricei, se obţin termeni în care o matrice (104) 278 4. ECUAŢII DE STARE «* multiplicată printr-un scalar - o operaţie peifect piu, în primul rînd al piodusului, f[r^(S i) (101) fiM^n + ~yţ— Ki2 + A(S2)K21 matricea prin • matricea Dacă este acceptat acest mod d ^de (rt- !)’• K21 este multiplicată coeficienţilor inversat, Apare o problemă '’oltaoame —vor ,l m,mite ?o!i' noame rezolvante. ,iP s Astfel, un set posibil de Cel mai simplu polmom este o puteie ae *. , i polinoame rezolvante este . lllltprp (102) „i-i i = l , 2 , . . . , « . Decit să scriem expresia genetalăin acest caz, ti polinom,il f DcSTiCO) devine ' i J i = 1? h = S 1 J3 — "AtJnci“ L i b 1010- Ku I Sj 1 s2 1 K-12 s4 sf 2«! si 2s2 ■^21 . sl 3sl sl 3*1 ,K22 m rabile, mai ales cînd n este mult mai mai . Pentru o ilustrare mai explicită să considerăm exemplul dat anterior în care : (103) si* 279 4.4. FUNCŢII DE O MATRICE d(s) = (s + 2)2(s + 3), o poli,»,»,., Sl = - 2 , s, = - — 2 0-3 *.» I" 13 3. 0 •*"“ r n "'° (100> 0 2-2 ■ 10 1" -2 1 -3 _ 4-4 9 ■K„' ^12 V = st .KSI. (104) 280 4. ECUAŢII DE STARE Eezolvarea completă a problemei se obţine prin Inversăm această ecuaţie şi obţinem introducerea luisd şi s/2 m aceste ecuaţii şi verificarea matrice constituante ca mai O altă alegere a setului care în formă dezvoltată dă •Kir = 651 -K»,: următoarea : ‘ -3 -t ~ r ^12 "U • jaf 441 obţinerii aceloraşi înainte. de polinoame este I — 1 ,'j - , < 61' + ojtf f 4U + ÎS? -f- JJ/1. /i(«) = 1, fîi8) = (105) (* — $])> / 3 (.y) = (S — S,) 2 , fr 1 + 1 (S) = (S — S1)r», (103) fr 1 + 2 («) = (S — Sj)ri (s — S2), fn+h+i (s) = (s — Sj)r' (« — .s>2)r2 , /r 1 + r 2 + 2 (s) = (S — S 1 ) , '> (s — S 2 y * ( S — ,V 3 ), /,.(») = (« — «l)ri (S — S2)r2 . . . ( « — \ unde «j sînt valori proprii. în acest caz evaluarea lui va necesita un efort mare, dar matricea (100) va fi uşor de inversat. Considerăm din nou cazul particular în care d(s) = (s — sx)2(s — s2)2. Atunci : /i(«) = 1, M^) = U, /a(«) = (* - /3(S) = (* _ /*(«) = (* - 8i), M * / ) #1)2> /3(^) «l) 2 (S - * 2 ), /.(-«O = (jsT— *XU), = (j/_ %U)2j = (^- .s* 1 U) 2 (^— s 2 U), 281 „ FORMULAREA Î5TEMATICAÂ^C0N^DIŢI^^^^^_^^^^L ţi (100) devine : 1o10 Ku l 0 1 (s2 si) ^ K12 si — s'irT 0 0 (S2 WO ) — Si)2 2(s2 - h) 0 0 o («2 - *i)8 {si — SitT)2 {si - *!lT)a(^- ^ K22 (107) • A f i.i /’inJ.'i ecuaţia, rezolvantă clevine • rare a polinoamelor rezolvante. Pentru exemplul tratat anterior, a ( •101' 0 * K u " 1 - 1 . 0 0 > V « 1 2 = 1 si - j - 2 L r2f) 2 . 'J* J care poate ti inversata direcl obţinînd : Ku - l - (* + 2V)2 = - 3U -ist- d\ k12 = (rf + 21 ) -f U + 21-)’ = Oi: + ^ + -*• K,, = (rf + 21 )* = 4U + 1 Cjmparînd aceste ultime relaţii cu (105) găsim că ele sint identice. 4- ■■!-■ în acest paragraf am tratat Avantaje6si dezavantaje, îiei de o matrice. Fiecare altele sînt adecvate Unele se aplică mai uşor la in*J“c_ , ealcuiat oiului. Ceea ce este nnpor- i-enti a evaluarea numerica cu 3 . formă închisă echivalente pentru *nt este să se determine expreule m forma mc^ enă. funcţia s^, care constituie soluţia unei ecuaţii ut » 4.5. FORMI'LABEA SISTEMATICA A EWAŢHI.OB I.B MB « trecem to revM» Pe 2f^LrcfZlîâSe%“*bt“ndepende„ e di—e penm, reţel* t 282 4. ECUAŢII DE STARE t , i i 1111111 •V'.1! . le elemente reactive, din care se scade număiul contm uiîloi de capacitaţi şi numărul secţiunilor de inductante Pentru o reţea care conţine componente multiteiminale (surse comandate, etc ) pot fi introduse constrmgeri algebrice adiţionale, între tensiunile pe capacitaţi şi curenţii prm inductanţe, reducîndu-se astfel ordinul Ic complexitate. Noi presupunem aici că în toate cazurile, ordinul decom plexitate este acelaşi cu cel calculat pentru o reţea BLC Dacă reiese este+f?ă Pftfru o reţea particulară, atunci va fi impo sibil de obţinut ecuaţiile m forma dorită, folosind metoda pe care o vom descrie. Se va da un exemplu pentru verificare. In continuare, am definit un arbore normal al unui graf, ca unul care conţine numărul maxim de capacităţi şi numărul minim de inductante ca şi toate sursele de tensiune independente, însă nici o sursă de curent independenta. Am aratat cu ajutorul exemplelor că poate fi scris un sistem > ^CU ,'1J reţea, care sa aibe ca variabile tensiunile ramurilor de capaaua£rmrgeSSal? ’ ^ inductante <jin1l'-lin aiboie normal. Ecuaţiile dx ^ ^ dţ dt <hî dt li in transformarea x -> x -f- ^2e, acestea pot fi reduse la : dx (109a) (2 ţ s^x ,^ w= unde : & = -f st^2, Q) — , * ăv (109 b) + 9(‘ + g ~- dt şj Q) — $ 2- Ecuaţia (109a) este forma normală a ecuaţiei de stare ; x este vectorul de stare, şi elementele sale sînt variabilele de stare. în realitate, vectorul de stare dm ultima pereche de ecuaţii este o combinaţie liniară a „vecto- ui , r® iniţial (cu tensiunile ramurilor de capacităti si curenţii contururilor de inductanţe ca variabile) şi vectorul sursă c. ’ Chiar cu aceasta ^transformare, ecuaţia a doua din pereche — ecuaţia de ieşire — poate sa conţină încă termenul de\dt. Vom stabili pe scurt condiţiile în 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE 283. oare va apare aceasta. Pentru mai multă exactitate, ne vom referi la prima ecuaţie din fiecare pereche ca la ecuaţia de stare şi la a doua ecuaţie a fiecărei perechi ca la ecuaţia de ieşire. Cele două ecuaţii vor forma ecuaţiile de stare. în continuare ne-a preocupat rezolvarea ecuaţiei de stare şi aceasta â fost făcută prin găsirea în primul rînd a unei soluţii pentru ecuaţia omogenă (cu e = 0). Simbolic această soluţie implică exponenţiala matricială e^‘, astfel eă am căutat să determinăm metode de evaluare a acestor funcţii de o iLatrice. Odată ce exponenţiala matricială este evaluată, vectorul de stare «--te găsit din (45). Vom amîna consideraţiile următoare de evaluare & acestei integrale şi consecinţele ei pentru capitolul următor. Trebuie să găsim o formă de scriere a ecuaţiilor de stare (109) pentru «:■ reţea dată şi să arătăm că este generală. Să observăm pentru început *~k este posibil să alegem ca variabile de stare, unele variabile care nu sînt tensiuni pe capacităţi şi curenţi prin inductanţe. în fig. 4.6 de exemplu, trebuie aleasă ca variabilă de stare curentul ţwin rezistenţă iB, şi nu tensiunea pe capacitate — deoarece ve este direct ptoporţional cu iR. Consideraţii topologice Prima etapă constă în selectarea unui arbore^ normal (sau arbores- etnţă normală). în general acesta nu este unic. Dacă nu există degenerări ^contururi de capacităţi sau secţiuni de inductanţe), cel puţin elementele reactive vor fi atribuite în mod unic la arborele sau coarborele normal — «ar nu şi elementele rezistive. Totuşi, cînd există degenerări, va fi necesară * alegere chiar pentru elementele reactive. în concordanţă cu convenţia noastră obişnuită în scrierea unei matrice «e contururi sau secţiuni, numerotăm mai întîi ramurile şi apoi coardele. Vom face aici o convenţie mai detaliată de numerotare a laturilor şiadop- 284 4. ECUAŢII DE STARE tăm următoarea ordine in interiorul celor două categorii de ramuri şi coarde : Ramuri 1. Ramuri de surse de tensiune 2. Ramuri de capacităţi 3. Ramuri de rezistenţe 1. Ramuri de inductanţe 1. 2. 3. 4. Coarde Coarde de capacităţi Coarde de rezistenţe Coarde de inductanţe Coarde de surse de curenţi Menţionăm că termenii „ramură de rezistenţă” şi „coardă de rezistentă” includ laturi de multiterminale ca: girat ori şi sui se comandate a căror relaţii v — i sînt algebrice ca la o rezistenţă. îfu impunem o oi donate specială în numerotarea unor astfel de laturi, dar ele sînt incluse pi intre laturile care reprezintă rezistenţe. Această numerotare a laturilor conduce la o separare a vectorilor de curent şi tensiune după cum urmează : "vcî' Vifi < ’ll vCi V, J Vflf (110a; Vi! _Vj . 1 1 ----------------------- i ct Au ’jfî I I i= iP. "lCl ' i LI (1106) AJ - unde, de exemplu, vct este vectorul tensiunilor îamurilor de capacităţi şi vB( este vectorul curenţilor coardelor de rezistenţă. Nu am mai folosit indicele t corespunzător ramurilor (twigs) în scrierea lui v£ şi iB, şi mei a indicelui l corespunzător coardei (link) în scrierea lui i.; şi Vj, deoarece sursele de tensiune sînt totdeauna ramuri şi sursele de curent sînt totdeauna coarde. Următoarea etapă este scrierea ecuaţiilor LKv pentru contui urile j şi ecuaţiile LKC pentru secţiunile /, ca în (6) şi (7). Ele sînt repetate mai jos : Qi = 0, sau i; = — Qii„ (llla) Bv = 0, sau v, = — BjV, = Q^v,, (1116) descompunerea obişnuită fiind : Q = [U Q(J, B = [Bt U]. Ultima etapă de calcul rezultă din B, = - QV Dacă introducem aici vectorii de curenţi si tensiuni descompuşi în concordanţă cu (110), trebuie descompusa şi matricea Q; în mod corespunzător, adică în 4 linii şi coloane. Fiecare linie a lui Q corespunde unei secţiuni / definite de o ramură a arborelui 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE 285. normal Coloanele corespund coardelor. Dacă aranjăm coloanele şi liniile in ordinea convenţională stabilită mai sus, Q, trebuie ,să ia forma LJ C It coarde -> Oi ramuri | E CRL Dacă există o coardă de capacitate, existenţa ei va fi determinata de existenta unui contur de capacităţi. Deoarece nu exista rezistenţe si inductanţe într-un astfel de contur, coloana C care corespunde unei coarde de capacităţi nu poate avea o intrare diferită de zero m liniile care corespund ramurilor B şi L; adică, intrările din prima coloana şi liniile trei si patru trebuie să fie zero. în mod similar, dacă exista o ramuia de inductanţe, ea va fi determinată de existenţa unei secţiuni de mclucîante. De asemeni nu pot exista rezistenţe şi capacitaţi mtr-o asttei ae acţiune, linia corespunzătoare ramurilor de inductanţe nu poate avea. intrări diferite de zero în coloanele care corespund coardelor o şi . Deci Q, poate fi scris astfel : coarde -> ramuri Q EV Q EL UfijT Qcc QCK QCL QOJ _ (112) 0 QRR QRL QBJ 0 0 Qiz, Q LI *'"ind introducem aceasta în ecuaţiile Kirchhoff din (111), rezultatul poate f:. dezvoltat iar ca mai jos: (113a) (113e) (1136) (113/) — 'E = QEC^C - DEL I *C( = — Qcoloi — QcBlEl ~ - Q — QRRlRl ~ i Bl = VC< = Q' EC^'E ~r 1 IA CLlLl — Q eAj — Q cAj - QRLlLl — QiîAr ~ 0 Li} LI ~ Q/yjîj iTcc'cf Viî{ = 0 EBSE + Q’cfl'ci ~l Q BB' [! V£i = Q ELVE 4 Q'CL'CI + Q’ELV PA Q EJ E fQV 'Rt V J= X H 0 cjxct Rt "! U + Q'LJVLt (113c) (113d) (H3jf) (113/Î) 286 4. ECUAŢII DE STARE Pentru a ilustra această divizare să ne întoarcem la exemplul considerat anterior în acest capitol. Din fig. -1.4 matricea Q, este : R 0 L o■ 1 0 0 E C R 0 0 —1 —1 1 0 1 0 i; 0 E R o; — 1 5 Qcfl —i • 0 0. 1 0 1 # 1- 0 0 ll QEL — 0' 0 — —1 0' ■ —r .1. 1 0 -1. > Oci — . o =[i o o], Q' R L [11 Deoarece nu există ramuri de inductanţe, coarde de capacităţi, sau sui se de curent în reţea, matricea Q, apare într-o formă simplificată. Eliminarea variabilelor nedorite Pînă în acest punct, discuţia a fost făcută pe considerente topologice. Trebuie să ne întoarcem acum la relaţiile v — i. Să scriem în primul rînd aceste ecuaţii pentru elementele reactive; astfel : şi '*01 ' a .ici - ~ dt ■c ( 0 V Ci -0 c,. -Vei - i JU Ll d K y 'u . dt .K X iu (114a) (1146) Au. în aceste expresii C, şi C, sînt matricele ramurilor şi coardelor de capacităti : ambele sînt diagonale. Deoarece pot exista inductanţe mutuale, pot ’apare cuplaje între ramuri şi coarde de inductanţe tot aşa de bine ca şi între ramurile de inductanţe şi între coardele de inductanţe. ÎJu este necesar deci ca matricele de inductanţe să fie diagonale. (L„ ^ şi L(< nu sînt chiar patrate), dar L„ şi Li( sînt simetrice şi L„ = L„. Menţionăm că menţinînd matricele de capacităţi şi inductanţe sub semnul derivatei, aceste expresii se aplică tot aşa de bine reţelelor variabile în timp. Variabilele care pot interesa sînt vct şi iH; toate celelalte trebuie eliminate. Pentru capacităţi, aceasta înseamnă eliminarea lui iot, vc; Ş1 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE 287. Să începem această operaţiune prin scrierea lui (3136) după cum urmează : (115) ici Qcci« ■ O-] = — Ucisei QCL*/>J QCJ^ I» partea Btîngă, introducem relaţia * - i pe*™ capacităţi din ,111). Aceasta devine: 1 .Qcc v c( + Q-EC v £ O = — [U 0,o] dt - V Ci - xct O 0 Ai [C, "'Vi rc( o r d [u Qoc] j^.“J Cu ^ dt [o 1 d_ dt [U Qcc] d + — [U UccJ dt (116) c, o u 0 c Qcc * CI 0 C« o 'BC Următoarele etape rezultă din substituirea lui vCJ din (113e). Pentru amplificare definim : re. 0 u 0 C;. Qcc<g = [U Qcc] C, + Qcc^Qcc , «41 e (117> este egală cu C , dacă nu există contururi de capacitaţi, şi [13 Qcc] o 0 1 = - QocWc, Q EO J (118) „ lKt „ matricea zero cînd nu există contururi care să eonţma- numai : £ £ * « * £ £ £ £**>«* w » "ltmielor ic-uă ecuaţii în (115), obţinem : A dt (Wot) Qcji*iîî Qc/-' u Qcj'j d_ dt (119) y..-; există încă o variabilă nedorită aici, ia,, dar înainte de a discuta r e a ei, să ajungem la un rezultat similar pentru inductanţe. 288 4. ECUAŢII DE STARE începem această operaţiune prin scrierea lui (113#) astfel 'LI vLl Q'LL^LI = [U - Q'LL\ ' L — QELÊ + QciV’c( + Qfl£VBC (120) I J LvxiJ d - a li [u ’lLl 1j u. dt = — ru - o LI - QLL1LI V ‘ U ‘ -L ( i dt . lLt - *Jtt- V 1 ' tT* 1 = [U - Q ' L L \ ~ 1 1 < £ [f - Q'LL\ J în această relaţie vom introduce de asemenea relaţiile v — i din (114). Partea stingă a acestei relaţii devine : ( 121; 1TA - QLL. o Următoarea etapă constă în înlocuirea Pentru simplificare, definim : .K Ij . Q LJ . U L«. ^ = [u - Q ’LLI = — L ( , QLL — l.r. lui iLt din (113). 1 O ti + -f [ V ~ Q'LL1 dt + Q'LIÛQLLJ (122) care este egală cu \v atunci cînd nu există secţiuni de inductanţe, şi Se = - [U - Q'LL] 0 . QLJ - -- — ~ Q'LL^ UQLJ + I'kQlJ» (123) — fî-'u ~ QLL^JU)QLJ care este matricea zero, dacă nu există secţiuni care să conţină numai inductanţe şi surse de curent independente. Introclucînd ultimele două ecuaţii în (120), se obţine : dt dt = QcivCi + Q'l)Lvlit + 0'ELxE + ~ ~ { y ' i j ) . (124) 2S7 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE Aceasta este duala lui (119). Ea conţine de asemeni variabila nedorită vB<, tot aşa cum (119) conţine pe i^. ^ ^ Pentru a continua procesul de eliminare va fi nccesar sa expnmani relaţiile v - i ale laturilor rezistive în termeni, acestor ^ vanabile — % axe lfcLLlUUUI AH si Vn (curenţii coardelor de rezistenţe şi tensiunile ramuiiloi de Yom’ presupune că relaţiile v — i pe laturile de rezistenţe rezistenţe). Yom presupune pot fi scrise astfel : i m = G/(13JSI + ‘ A k (l-5a) = (1256) Fig. 4.7. Exemplu numeric. Aceasta este una din formele parametrilor hibrizi j-1^ ^ ^fenta •Ie aceea din capitolul 2 pentru ecuaţiile de variabile mixte, l e t . ELf', matricele G„ şi G„ vor fi diagonale, şi G„ şi -<£ fi mat zero.' Mai general, nu este necesar ca vreuna dm - pot fi toate diferite de zero. Aceasta nu ne asiguia ca pent i t îJă, există ecuaţii de forma (125); dacă ele nu existametoda dezjoltate iioi nu este aplicabilă,. Aceasta nu înseamna ca nu exista ecuaţii de staie, .ri doar că această metodă nu este bună în acest caz. ^ Ca un exemplu simplu, să considerăm reţeaua clin fig. 1.7. Arborele rornial iilude mimai două din capacităţi. Laturile de rezistenţe ale —aiului sînt toate coarde, iar relaţiile lor v — % au ioi ma H= «4 = ^3 = ^2) h = C5v5. 13 Puiem folosi relaţiile pe laturile de rezistenţe şi intr-o altă n- ‘-Hor hibrizi (aceea a parametrilor y, a parametrilor z, sau a parameti lor . alte posibilităţi de reprezentare a relaţiilor v - 1 pe laturile rezistive, ca un exeic , dumneavoastră. formă decit a parae^citu, 288 4. ECUAŢII DE STARE Ecuaţia a doua ne împiedică să scriem o ecuaţie de forma lui (125). Aceasta din cauza sursei de tensiune comandată de tensiunea pe o capacitate, care introduce o restricţie algebrică suplimentară între tensiunile pe capacităţi, reducînd în felul acesta ordinul de complexitate. Această înseamnă că arborele normal trebuie să conţină numai o singură capacitate. Putem scrie ecuaţia de stare pentru această reţea, cu un efort foarte mic, demonstrînd că : ăv2 _ _ dt ~ Gt + CB/( 1 - li) Vi' Gr, Întorcîndu-ne acum la problema eliminării lui im şi vm din (119 şi (124), putem folosi pentru aceasta, relaţiile v — i din (125) şi relaţiile topologice din (113c) şi (113/). După ce ultimele două sînt substituite în primele două şi termenii rearanjaţi, rezultatul va fi: (U + G;< Qiîjî) ijjj GH QEBVB( = : G,; Qcevc( G« Qkb iRI + (U G(( QBL^LI ~r G;{Q£e YE Gjţ QB7 i,7, (126a G<( iLl Gj( Qj5;r vE Glt (J^j ij. (1266) = ' G(i Qoe v0( Acestea sînt o pereche de ecuaţii algebrice vectoriale de două variabile im şi vm. Ele vor avea o soluţie dacă următoarele matrice au inverse : (U + G H()RB) (127<7 şi = (U — GK QEE) + G(( QEB (li + G;j QBE )~1GijQBB (1276: sau (U - Gj, Q^) (128a. şi ^2 = (U + G(j Qbb) + Gjj Qjbk (U — G(( Qss) 1 G({ QBB. (128b) Rămîne ca un exerciţiu pentru dumneavoastră să verificaţi aceasta. Dacă aceste inverse nu există, nu putem aplica această metodă. Presupunem că ele există, şi că (126) poate fi rezolvat pentru i*, şi \Rl. 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE 289. Divoă ce substituim soluţiile în ecuaţiile pentru derivatele lui ^ v> în (119) şi (124), expresiile care rezultă sînt extrem de complicate lLl ‘ / si neinteresante Silitei ceaun,*.. . - , Este clar, totuşi, că există termeni care implică variabilele de stare vc, şi iLI, sursele v£ şi şi derivatele lor. Nu vom intra m detalii, ci vom indica forma finală. — (« vC() = dt ± u = t»- ^ i (129a) [ + 3 - *i [;;] +i^[ •;] (129!,) simbolurile folosite pentru matrice au fost alese ţinînd seama de dimensiuni. Astfel W şi exprimă raportul între un vector de curent şi un vector de tensiune; astfel are dimensiuni de admitanţa X şi 3'smtilara dimensiuni; ele corespund matricelor hibride h şi matnceloi hibride jr. în această formă, ecuaţiile se aplică la fel de bine rcţ^lelor varial) in timp ca si la reţelele invariabile în timp. De asemenea, ele pot fi generalizate simplu pentru reţelele nelimare. Menţmnam ca ^ ia aceste ecuaţii, am folosit toate relaţiile v — ^ şi toate relaţiile topologice . Kirchhoff) din (113) cu excepţia primei şi ultimei eciiaţn, referitoare la curenţii surselor de tensiune şi tensiunile surselor de cuient. Acestea două vor fi folosite pentru determinarea variabilelor de ieşire, presupumnd că toate elementele i]S şi Vj sînt variabile de ieşire, j . . . . De fapt, vom stabili că, odată ce ecuaţia de stare şi soluţia ei smt âf-eesibile, toate celelalte variabile pot fi exprimate m termenn variabilelo1 de stare vc< şi i„, variabilelor v* şi i, ale surselor, şt derivatdo ultimelor ca în (109). Verificarea acestei afirmaţii poate fi făcuta analizmd ecuaţiile obţinute anterior. Lăsăm această verificare ca un exerciţiu pentru .Inmnea voastră. . . . Avînd în vedere (129) şi modul în care oricare din variabilele dejeşire ^te exprimată în termenii variabilelor de stare, ramme de clarif ea problemă şi anume că derivatele tensiunilor surselor vor apare numai arunci cînd există un contur de capacităţi - şi chiar numai atunci cînd „est contur include o sursă de tensiune, ceea ce face pe : C,Q^ diferită de zero. în mod similar, derivatele curenţilor surselor vor apare numai atunci cînd există o secţiune de inductanţe - şi^numai cmd aceasta acţiune include o sursă de curent, ceea ce face ca & = — -Ui Qr.r să fie diferită de zero. Numai in aceste cazun, derivatele Ti/la bilelor asociate surselor pot apare în ecuaţia de stare. 290 4. ECUAŢII BE STABE Reţele invariabile în timp Să ne limităm acum la reţele invariabile în timp. în acest caz, (129) poate fi rescris în forma : y V JT" i LI ^ — jr. — + [' . <Sf A 3? —. + E j_ 0' d A r Li J - r Vj. o i\ dt L h . (130) în final, presupunînd că # şi Se sînt matrice nesingulare, obţinem : dx - de - = ^ x + f , e + ^ 2 - . dt dt (131) unde x= M €~x *LI (132) 0 o se«r1 o o -<y (133) se~x 0 0 O JS?-1 0 <£ (134) Acesta este rezultatul dorit. Ceea ce s-a făcut aici, are ca scop să prezinte o metodă de a ajunge la o ecuaţie diferenţială vectorială de ordinul întîi, pentru o reţea dată, în forma din (131). Totuşi, nu am obţinut formule pentru matricele st, şi în termenii matricelor parametrilor de laturi şi submatricelor Q(, deoarece aceste formule ar fi extrem de complicate şi imposibil de utilizat. Eezultatul depinde foarte mult de existenţa inversei matricelor (127) şi (128) şi matricelor <g şi Se. Din nefericire, nu se cunosc nişte condiţii necesare şi suficiente, simple, care să ne spună cînd există aceste inverse şi cînd se poate aplica acest procedeu. 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE 291. Reţele RLC Există totuşi o clasă de reţele — reţelele RLC invariabile în timp i-entru care metoda dată mai sus este totdeauna aplicabilă. Este util să terminăm dezvoltarea pentru această clasă, deoarece rezultatele pot fi icrise explicit şi sînt de o generalitate mai mare. ... Prima simplificare apare în relaţiile v — i ale laturilor de rezistenţe •im (125). Nu vor exista termeni de cuplare în matricele parametriloi. Deci G„ şi G„ sînt ambele matrici nule, iar matricele G(i şi G<( iiiiT diagonale, deci nesingulare. Să notăm din nou aceste matrice m concordanţă cu dimensiunile elementelor lor; G1( este dimensional con- .iuctanţă, şi G(< este rezistenţă. Notăm : 1 g» = g, = Rr ,-1 G„ - R, = G din care : ÎRI — G| vSi, (135a) v„ = R,i„. (135&) Ecuaţiile (126) se reduc la : - G,vm = G, Q'cx v0< + G, Qia Ve, RiQjusifii (136a) VR( = — (1366) « ondiţiile de existenţă a unei soluţii se reduce la existenţa inversei ş X care devin : 2 jT, = U + R, QBB G( Qia, (137a) jT, = U + G,QKBR, Qm. (1376) Definim : «iei iici încît Gşi R G = G( + Q RR G I Q* E , (138a> R = Ri + Q RR ^Q RR , (138ft) = R, G şi Jf2 = G,R. Rezultă că jfx şi sîntnesingulare. Este uşor de arătat că vor fi nesingulare R şi G pot ti inter- (139) 292 4. ECUAŢII DE STARE pietate ca matricele parametrilor contururilor şi nodurilor şi sînt în consecinţă nesingulare. Acceptînd acest fapt aici, tragem concluzia că totdeauna există o soluţie pentru (136). Eezolvăm acum această ecuaţie pentru i/n Şi ytu Ş> înlocuim în (119) şi (124). Detaliile procedeului sînt neinteresante şi nu vor fi date aici. Eezultatul va fi d ~ 0‘ 'vCJ' dt + 0 & _ L>i! J L <9 -Z . + -*ZÎ - «L dt unde — Ocb® 1 Qcb> & — — QCL + Ucb ® 1 Qbb QRL, " X = Qbz G1 Qbl, 9 = W CL - V EL G 1 Q** G( Q £ * = - . (140) V ~ Qciîl®-1 Qeri 3^ = — QCJ + QCJe R_1 ^ — Q R L G 1Q^jr, (141) ^ = Q EL Qb£ G 1 Q^Gg Q£J! • Menţionăm că matricea <& în cazul îeţelelor îeciproce este transpusa negativă a lui rezultat la care ne-am fi aşteptat. Forma lui (139) este aceeaşi cu aceea a lui (129) pentru reţeaua generală. Diferenţa constă în faptul că în cazul de faţă am explicitat expresiile pentru matricele coeficienţilor vectorilor de stare şi de surse. Acum, într-o reţea RLC invariantă în timp, şi jS? vor fi matrice diagonale invariante în timp. Deci, inversele lor există şi (139) poate fi rescris în forma dorită. A dt ci -'EM? Wm- XT unde si, ăSx şi A sînt cele indicate în (132), (133) şi (134). (142) „ FORMULA REASISTEMAŢICAÂjCONDIŢnLOR_I}IS_£^r^^Ş. 293 Simplitatea aparenţi a acestei ecuaţu /aisupi"matricelor rf, k rezultatele importante sint concentrate în tabelul 4.2. Tabelul 4.2 'S£ > Q = [U Qil Qî = coarde —> ramuri E I c n = jl[ c C Qcl Qcj 0 Qbr Qrl 3 O Qbj 0 o Q LL QLJ ¥v«] it!i df L o I'iiJl 'U J V»J 1° b »JL'b , J = C( + Qcc ci Qcc = se=-QLL l » Qw = - Qcl -I- Qcb r_1 q'rrBt QrL «r = QCJi R-1 QCJS» 5T = Qat G-1 Ojtt* ^ = QCB R_1 QJSR ^ = Qbl g_1 Qk/> - t e l — l S ] - * - i r * <# = - QccClQ^C R = R ( = Q BB B I Q BB G = -f QKR Q^B L;j + QLL Qii =£ Qej *JL'^J _ j_\û ° y l Qcb Qec Qeb Qt:i' ‘0 [i0(J dt L0 Qcc C 7? L r«cil L J . - F i ] -I Î ;:.][;"1 «-Cv-inil <§ .w = Qcl - Qii G_1 Q«B G‘ Q°n = _ = - QCJ + QCB ^ = QEI - QBL 6-1 Qbb GiQ^B Hi Qiw 294 4. ECUAŢir DE STA.RE Matrice de parametrii pentru rezistenţe RCL Cu ocazia diverselor etape de calcul efectuate în scopul obţinerii ecuaţiei finale au fost introduse un număr de matrice ca R şi <W. Pentru simplificarea notaţiei se pot da interpretări relativ simple acestor matrice, interpretări pe care le vom schiţa acum. Să considerăm pentru început matricele de parametrii R, G, <£. Deşi aici ne preocupă ecuaţiile de stare, temporar ne vom îndrepta atenţia asupra matricei impedanţelor în gol ZOT = RZB', unde Z este matricea impedanţelor laturilor obţinută după ce am îndepărtat sursele, înlocuind sursele de tensiune v prin scurtcircuite şi sursele de curent i prin circuite în gol. Să rearanjăm liniile şi coloanele lui Z în următoarea ordine : ramuri de G, R şi i; apoi coarde de L, R şi C. Matricea impedanţelor laturilor poate fi scrisă după cum urmează : [- crl s ‘ Ht O O Ri 1 c r1 s . în continuare descompunem pe B în forma obişnuită [B( B,]. Apoi descompunem pe B( = (— (}',) în concordanţă cu descompunerea lui Qj din (112) ţinînd seama că acum liniile şi coloanele corespunzătoare surselor lipsesc. Acum, din cauza ordinei în care sînt aranjate elementele în Z, B, = U dar obţinem o rearanjare a coloanelor lui U. Astfel, descompunerea lui B devine : coarde ramuri coarde C =R L C R L L R c ‘ — 0 CC 0 0 0 0 u Q'cn — Q BJR 0 0 u u 0 0 0. — Q'ct -Q’ZL Qtt Este formată acum matricea impedanţelor buclelor. Aceasta va fi o expresie foarte complicată. Detaliile vor fi lăsate ca exerciţiu pentru dumneavoastră. Folosind matricea impedanţelor buclelor putem scrie matricea parametrilor buclelor (rezistenţe şi inductanţe). Cînd acest lucru este făcut constatăm că : 295 ,.5. FORMULAREA KSTraţATICAÂÔNDIŢIILOBÊ^TARE^ nn arK? JUd, admitanţelor perechilor * .Mw^Wo ^nubmaS?ceT m*^» M 1 de,init-e de.TTile cai,a,îităt"or p on arbore normal, cir toate su^®’° „“^fcraateit i a matricei secţiunilor 2. G = G, + Qbr G, Qşjj ^ definite de îamuiile de conductanţe de conductanţe pentru secţiunile /definite de J amu dintr-un arbore normal, cu toate suim inspectarea reţelei dupa un aitoie noima . Pentru ilustrare, considerăm exemplul î&i :ct f formate de laturile 6, 7 şi 8. Deci R este -K .*« p«.™«, «*». «jntin alte capacităţi. Deci : ^ ®vaklăm aceste matrice de pe ** «, NU există rezistenţe comune buclei?5 + «6 0 0 ' 0 R, 0 0 R„ t 0 ^ - mmi v'm t^sîiit laturile 6, 7, 8. Bucla f, DÎ,vr;î+‘crtcS: S^m * - «<* *- " l - V .. ._ ^.iswSîaSSsS'S:^ 5 3 p K 3 K S ^ i »s s s : = « sctîui^ y» *»* ~—- t ivea semnul minus. Astfel: Aceasta corespunde cu '“f Pentru a ilustra metoda anterioara de scriere a unc i^râm reţeaua din fig. 4.8. knr. nnrmal Există în total 6 elemen te reactive, Trebuie să găsim în primul rînd nn aib ăde tensiune şi o secţiune de mducia- există o buclă de capacitaţi C care m patru variabile de stare. -laţe L. Deci ordinul de complexitate este 1, astiei ca v i ecuaţii de s t a r e vectoriale, să con y Una 296 4. ECUAŢII DE STARE din capacităţi trebuie să fie o coardă, şi una din inductanţe o ramură. Un arbore normal posibil este arătat cu linii îngroşate in fig. 86. Hamurile sînt numerotate în concordanţă cu schema: ramura sursei — v, C, R şi L; apoi coarda C, R, L şi sursa — i. Pentru simplificare, presupunem că numerele ramurilor sînt de asemenea valori numerice pentru elemente : rezistenţa 8 Fig'. 4.8. Exemplu ilustrativ pentru ecuaţiile de stare. fiind dată în olimi, induclanţa în henry şi capacitatea in farazi. Cu această alegere a arborelui normal, parametrii ramurilor sînt: r i* fi 0 -i 0 3J Q = [7], '9 0 1 I o .0 T 4 1 J ' -U = îoj Următoarea etapă este să se scrie matricea Q şi să descompună în mod adecvat: C( = c R coarde E ramuri 1 E1 1 .0 0 [2 0 .1 h 0 f4 c L R L J 5 6 Ki =7[8], 0 0 . 0 .1 y-tl = [6]. 1 0 0 0 0 0 0. 0 .1 1 0 0 0 .0 1 0 o 0 . -1 0 1 0 0 .0 0 1 0. 0 .0 0 0 -1 U 0 .0 0 0 1 L6 0 . 0 0 0 0 3 8 10 11 C ! 0 . 1 . 0 . 0 0 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 Q ' 297 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE Diferitele submatrici sînt evidente din partitionare. Matricele parametrilor se calcukaza dupa cum urmează : n [7] [1 -1] = Lo 3. 1 # = * 1 + Qcc i Ccc — f _ " JS? 0' | + = f » + Qii QM -7 [-7 1 15 -6 -6 16 10 0 9 r 9 [6] [ —1 1] = l 10 O . [ 4 oir o R = R; + Q'RB R( QRR = [8] + [0 — 1] [ [13], 0 5 1 l_ — 1. ~ ■_! 0 *4 T] [0 -il = 4 0 1,1 0T+8 _____________________________________________________________ 1 t< =+ Q R R QjI R In etapa următoare se calculează matricele <%/, 3£ Ş1 ■ ^ = Qcb r_1Qcj!= rJ_ o ; ] • ’QCB - U 1 13 [T3H1 = }j?L (i -l Q R L 13 0 0 r o -1 — L-i 1 o -1 2 = QRL < 40 r uf! ",] ■[ 2 40 ' 13 .0 13 J L “i 1J L — 92 13 J 13 = - Q CL + Q CB r _ 1 Qj?fl R i Q BL + !n continuare calculăm matricele Of, jf şi [‘1 4 0' = _o J 05 1 L-i 0 J .-1 1 fii 13 [1] = 0 ■ - 0' 4°,13 4 0 1 3 . _ —1. 40 L1 3 QBL G-1 QBJJ GJ Q£B [1] 10 [ 4 - 1-4 0 - „ 40 _ L° 13. 0 -1' 0 5 0' " °1 ' r = 18 5" 0" -1 iii Lo L- in.J . 1 Qjîb ri Qhl = ^ = — . L ci w|a' r_1 [A _ 5 v\ n _L 1 QCR j? = Qcb ' 0 -1" i^n° -1! 13J 298 4. ECUAŢII DE STARE surselor : în sftrsit, calculăm termenii care includ derivatele I II r ! |- -n JS? = - oLl Ui <*lj = [6] [0] = 0. După ce toate acestea sînt introduse în (139) şi premultiplicată ecuaţia rezultată este prin IO 41 41 7 <« # se 9 41 0 0 0 0 16 6 201 20 1 15 41 #r 0 0 0 6 O 201 obţinem : d "3 dl *8 -io O -41 1 —7 0 -82 533 -10 —41.6 80 -9 15.6 -72 r — 20 1 -50 -35 1.6 228 - "' 10 “ r -l° 1 + 53 S r—2i 50 -7 35 -10 r*i i 0 0 0 72- -0 Aceasta este ecuaţia de stare. Observăm că nu este In formă normală. Dacă scriem rv2 ' U3 x2 X, r —2i 1 41 Xş J 1 -80 -9 X, - 0 14 0 14 0 0 0 -0 0- 0- (143) 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE 299. de mai sus, obţinem următoarea ecuaţie de stare i, substituim aceasta în ecuaţia de stare tu formă normală : d -x, x2 dt x3 -10 — 0 -41 — 50 - 1 -7 0 -82 -35 “533 -10 -41,6 80 -1,6 -9 15,G -72 ■r4 " + 1 633 r-4.9 50 -3.4 35 -19.1 9.7 -80 72 228- (144) Puteţi verifica acest rezultat. Noile variabile de stare a* şi sînt combinaţii liniare a unei tensiuni pe capacitate şi tensiunea sui sei. Ele m p f- identificate pe diagrama îeţelei ca tensiuni masurate. ^ ^ ^ Volumul de calcule implicat este foarte mare. Să observăm insa . â tipurile de operaţiuni matematice care apar sint: multiplicări ^ •ie matrice. Astfel de operaţiuni sînt uşor programabile pe caleulatoi şi istfel munca se reduce la scrierea unui program convenabil. Menţionăm în acest caz, că matricele parametrilor ar putca fi st-n.se prin inspectarea arborilor, de exemplu, 2 este submatricea de mductwiţe a buclelor f definite de coardele de înductanţe 9 şi 10. Fiecaie bucla conţine de asemenea inductanţa 6 a cărei orientare coincide cu aceea a primei bucle, dar este opusă faţă de aceea a celui de al doilea. Deci. L [- 6+9 — 6 ' 6 6 + 10. eare este aceiaşi cu cea obţinută anterior. Puteţi verifica, în acelaşi fel, «:elelalte matrice de parametrii. Ecuaţia (143) conţine derivata sursei de temiune. Pentiu a^me o ecuaţie de stare în formă noi mală am făcut tiansfoimarea x (x 2 _)• Observăm că prezenţa derivatei tensiunii sursei este det““^tat d® b^ de capacităti care include sursa de tensiune. Sui sa de cuient nu este conţinută în secţiunea de inductanţe, astfel ca nu apare■dragat» em , -ului sursei Deşi am rezolvat complet exemplul de evaluai e a tutui oi matricelor definite în prealabil, introducîndu-le apoi m P™1?" orice problemă dată am fi putut de asemenea proceda pimti-o jevenue de fapt la etapele derivării. Aceasta poate necesita uncor mai mic decît înlocuirea în formulă. Aţi putea rezolva exemplul şi m ac > fel şi să comparaţi volumul de muncă, 300 Consideraţii privind sursele comandate 4. ECUAŢII DE STARE în scrierea ecuaţiilor de stare pentru exemplul precedent, am evaluat matricele care apar în ecuaţiile finale şi le-am substituit în acestea. Cînd ne referim la reţele nepasive, nereciproce, acest mod de abordare nu este posibil. Ya fi necesar să ne întoarcem la un punct intermediar în deducerea ecuaţiilor şi să continuăm etapă cu etapă de acolo. Ecuaţiile de bază sînt (119),’ (124), (125) şi (126). Etapele de parcurs şi diferenţele faţă de cazul RLC sînt următoarele : 1. Se scrie matricea Q şi se descompune — ca pentru RLC. 2. Se evaluează matricele şi i? — ca pentru RLC. 3. Se scriu relaţiile v — i pentru laturile de rezistenţă ca în (125). 4. Se formează perechea de ecuaţii (126) şi se rezolvă. Acesta este punctul critic. Dacă nu există soluţie, ne oprim. 5. Se foloseşte (126) pentru a elimina pe vm din (119) şi i*, din (124). în construirea arborelui normal trebuie să avem grijă în atribuirea laturilor de rezistenţă corespunzătoare elementelor multiterminale, aşa cum s-a discutat în Capitolul 2. în cazul unui girator ambele laturi trebuie să fie ori ramuri, ori coarde. Pentru un transformator ideal şi un convertor de negativare o latură trebuie să fie o ramură şi cealaltă o coardă. în cazul surselor comandate, fiecare latură este atribuită unic fie ca o ramură, fie ca o coardă. Dacă o latură (care comandă sau este comandată) este Fig. 4.9. Exemplu cu componente multiterminale. 301 4.5. FORMULAREA SISTEMATICA A CONDIŢIILOR DE STARE o ramurii sau o coardă, aceasta depinde de fieată. Ecuaţia (12B) exprimă exphc.t cmmţn coatdelOT ramurilor. Deci, dacă este specificat curentul unei latun, ea _ o coardă, şi dacă este specificată tensiunea, ea ti'dnie sa f e o ramma, ca exemplu, să luăm sursa de tensiune comandata m co ent canMatea care comandă este curentul în scurtcircuit; dar pentru ™ scmtoircia tensiunea este specificată (ea este zero). Deci aceaso ramură, Pentru latura comandata tensiunea este aceea caie este speci fieată. Deci această latură trebuie să fie de asemenea o ramui a. este arătată prin latura îngroşată în fig. 4.9, b. Se scrie mai întii matricea Q şi se descompune. R E C R L 5 e 7 8 9 10 0 î 1 0 0 0 :0 i 1 1 0 0 Q=C 1 00 *1 0 10 : 0 -î -1 0 1 \ 1 0 01 •î 0 0 0 0 0 O O E Qm QKR = [° = [0 1 1 0] 0-1-10 = [ 0 1 1 1 ] Qrl - Q E L = [0 Qcn=[° —11 Relaţiile v - i ale transformatorului şi sursei comandate sînt: = - ni3, i, = 0, v3 = m>5, i's = gm v7 • 0 00 -G a QCR -1 0] 302 4. ECUAŢII DE STARE 303 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTI-PORŢILOR Folosind aceste relaţii, relaţiile v — i ale laturilor rezistive, în concordanţă cu (125) devii "h' '0 0 0 0 ' o» — 7! o’» 0 G h 0 - '8 - [i:] 6 0 0 0 0 0 .0 0 Om 0 _ r n 0 0 0 " L 0 0 0 0 1 e 0 0 0 0 _0 0. 0 0 0 + ^8 - m Vo V1 ][;] R. Trebuie să introducem, acum, toate submatricele în (126). Aceste ecuaţii dev'n : 1 n n 0- 0 1 0 0 0 0 1 0 .0 0 0 1 - ‘ R I — r° 0 0' 0- n n Ce 0 G6 0 0 0 0 0 0 -- O m 0 _ .0 0_ 0 0 0 L« 0 0 4 Rt = 0 v v ct + - Om - 1 . 0 I 'RI + P -n 1. [o 1 J'VW = 0 0 G hi -!- 6 0 Om Deoarece coeficientul lui vRt din a doua ecuaţie este nesingular, putem determina pe \m tuncţie de ish introducem soluţia in prima ecuaţie şi obţinem pe im, care este utilizat apoi în determinarea lui \JU, Rezultatul acestor etape este : f-nîi, 0 0 01 L-«4 0 0 oj,Rl 1 11 n o- -0n 1 0 0 ^'6 0 0 1 0 -n 0 0 1 - nJitGe ‘PJ = 0 n v Ci + - Om - -0- 0 0 0 0 GQ _0 0.. hi + 0 9m- Matricea din stînga este nesingulară, şi determinantul său este A = 1 + n2R,G„. După preimiliiplicarea prin inversa sa, se obţine : 1 nGe~ G6 Rl — ~ A 0 - Om - - - nC6 - 1 V C< + ~ A 1 Gs hi + — A 0 . n2«4G6 n*RtGs 0 0 ^ Rtgm. - 9m - J V B si deci : 304 'Kf - ■ n-Ri DE — STARE 'i /;4 4. ECUAŢII 2 n2li v-,1, nR, 1(r vd“ Pentru aceşi -mplu, nR— lâl S1 % ii o capacitate, astfel ca <g ^ ^ “ l / 21 • n t R A . 1 numai r " 2 « 4 r ' « l „ n ^ J fi — (9m + Ge) — n-Iiţigm + f'o) ca C, C2 n*k - n lit - rfRi »2 1 1 + n2k '9 U 2 f 1 9 " Ls d t -t ! 2 'io L10 ' - n2Rt 1 i3“ d - i-io /j ţ A i.o — (9m + ^«) C2(l + n A) 2 n*k + Lt( 1 + n2A) »a • (145) E n2A U10(l + n2 că multe elemente sint zer ). rezultat zero şi deci m a i puţine calcule. E pentru a P d [ n R . G j ' A) , Fste posibil să parcurgem aceleaşi etape cu ecuaţiile scriere a unui număr mare de zerouri S^^^-â^rrezolv.e cu ecuaţii in formă scalară t i v e s i n t °bSerTreburcle asemenea menţionat că în acest exemplu . * - X din cauza prezenţei lui 9m i dar, daca gm = 0, atunci 9 = — s i n . r _ e s t e 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTIPORŢILOR m a t r i c e a ,,.^s=î=ssrr=sc' s s a ţ s ş aceasta să considerăm (115) ţi (116), împreună cu definiţia lui « şi t d i a g o n a l ă . ['»• vîJ' 305 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTI-PORŢILOR din (117) şi respectiv (118).Combinarea *C( = ~Z~ ( % at V C() acestor Occ ’ci ' ecuaţii ne conduce 3a, ~ (^ve)‘ dt Similar, din (120) şi (121) împreună cu definiţia lui jăf si <e din (1°2) şi respectiv (123), obţinem : ’ ’ vii = 7(^1») ut + QLLVU ------------------ - ij). dt Surse de tensiune Fig. 4.10. Descompunerea reţelei în subreţele. Acestea două pot fi combinate într-o singură ecuaţie matricială, Derivatele pot fi eliminate prin înlocuirea ecuaţiei de stare din (129), care se aplică, pentru reţeaua generală. Eezultatul va fi V C< 1 — <& Occ 0 VE ic. 1 — <3 . ' LÎ - + A A . 2£_ b .0 . Oii,- - V £(- (146) Aceasta este o ecuaţie pur algebrică care leagă tensiunile şi curenţii elementelor reactive şi mărimile care caracterizează suisele. Menţionăm că derivatele surselor au fost de asemenea eliminate. O inteipretare a diferitelor matrice se poate obţine considerînd reţeaua din fig. 4.10. Eeţeaua este prezentată ca o interconectare de subreţele. Subreţeaua centrală constă din toate laturile de rezistenţă (inclusiv sursele comandate etc.) la care sînt conectate subreţelele de capacităţi, inductanţe şi surse independente. Subreţeaua de rezistenţă poate fi considerată ca un multiport cu tot atîtea porţi cîte elemente reactive şi surse independente există. Trebuie acum să distingem care elemente reactive sînt ramuri şi care sint coarde. Aceasta poate fi examinată simbolic ca în fig. 4.11, unde fiecare element reprezintă o subreţea din clasa sa. Fiecare variabilă asociată porţilor este valabilă pentru toate variabilele scalare din clasa sa şi astfel este un vector. 306 4. ECUAŢII DE STARE Fig. 4.11. Interpretarea îmiltipoituliii. Orientările variabilelor sînt compatibile cu orientările considerate în obţinerea ecuaţiilor. Orientările curenţilor sînt opuse referinţelor standard pentru curenţii porţilor. Astfel, în multiportul de rezistenţe puterea «r* intră la oricare din porţi este - v'i. Hamurile şi coardele de capacităţi, si ramurile şi coardele de inductanţe sînt arătate ca su bietele sepaiate. Să ne amintim, că pentiu a ajunge la (146) pentru cazul general, presupunem că nu este introdusă nici o restricţie algebrică de laturile rezistive kre să reducă ordinul de complexitate sub acela obţinut din consideraţii asupra elementelor reactive exclusiv. Presupunem circuitul în gol la toate coardele reactive şi sursele de t'uient independente si semtcircuit la sursele de tensiune. Aceasta face ea vectorii i c„ iLl, i, şi \E să fie zero. Dar dacă toţi curenţii coardelor ie inductante sînt zei o, tot aşa cuienţii ramurilor de inductanţe vor fi zero. fapt care rezultă din KCL pentiu secţiunile de inductanţe; adică \u = 0. Cu aceste consideraţii făcute, din (146) se poate scrie : (147) Reamintindu-ne orientarea opusă a curenţilor de poartă, conchidem că 3 este matricea admitanţelor în scurtcircuit a multiportului rezistiv ale cărui porţi sînt terminate pe ramuri de capacităţi, în timp ce toate celelalte clemente reactive sînt scoase din circuit (în gol) şi toate sursele independente sînt îndepărtate (ceea ce înseamnă că sursele de tensiune sînt scurtcircuitate şi sursele de curent sînt în gol). Această interpretare ne dă o metodă de calcul a matricei <& pentru o reţea pur rezistivă, fără a parcurge tratarea formală din ultimul paragraf. Celelalte matrice pot fi evaluate într-o manieră similară. Pentru a găsi 2E, scurtcircuităm toate ramurile reactive şi sursele de tensiune independente, şi lăsăm în gol sursele de curent, astfel ca v C(, vLt, \'E şi iy sînt toţi vectori zero. Din (1.46) putem scrie 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTI-PORŢILOR 307 (148) Conchidem că 2£ este matrice de impedanţe a circuitului în gol a multiportului de rezistenţe ale cărui porţi sînt terminate pe coardele de inductanţe în timp ce toate celelalte elemente reactive sînt scurtcircuitate şi toate sursele sînt îndepărtate. Matricele şi ^ pot fi găsite într-o manieră similară. Noi vom da rezultatele, lăsînd restul în seama dumneavoastră. Vi! — ^VCC (149a) (149b) Astfel este matricea transferului de curent a multiportului de rezistenţe, care aie ca porţi de intrare terminalele coardelor de inductanţe care sînt înlocuite cu surse de curent, şi ca porţi de ieşire terminalele ramurilor de capacităţi scurtcircuitate, cînd coardele de capacităţi sînt lăsate în gol şi toate sursele independente sînt îndepărtate. Ramurile de inductanţe vor fi înlocuite de sursele de curent aşa cum rezultă din LKC la secţiunile de inductanţe. în sfîrşit, (S este matricea de transfer de tensiune a multiportului rezistiv, porţile de intrare fiind terminalele ramurilor de capacităţi care sînt înlocuite cu surse de tensiune, şi porţile de ieşire fiind terminalele coardelor de inductanţe lăsate în gol, cînd ramurile de inductanţe sînt scurtcircuitate şi toate sursele independente îndepărtate. Pentru a ilustra aceste interpretări să considerăm exemplul din fig. 9. Yom începe prin calcularea fiecărei matrice, pe rînd. Pentru a găsi <&. lăsăm în gol cele două inductanţe, îndepărtăm sursa de tensiune prin scurtcircuitarea ei, înlocuim capacitatea cu o sursă de tensiune v2 care are aceeaşi polaritate ca şi tensiunea pe capacitate, şi apoi găsim curentul i2 prin această sursă de tensiune. înfig. 4.12 este arătată o diagramă adecvată, unde transformatorul ideal terminat în este înlocuit cu o rezis 308 4. ECUAŢII DE STARE tentă n2B,,, sau n2kB6 considerînd ca mai înainte BA = kBe. Eezultatul este o conexiune în serie a lui B6 şi n2BA la bornele căreia tensiunea este»,. Curentul rezultat % se găseşte uşor şi odată cu acesta şi tensiunea v7. Calcu'ul Iui Calculu' oy l— B6 + n2BA 1 + n2k «9 v7 = B6i ' n2k 1+ n2k ^1 0 -1 <J » 1 |- n2k [®a] 1 j- n2k <8 = Fig. 4.12. Calculul lui ® şi Curentul sursei comandate este acum cunoscut, Aplicînd LKC la 'inul din terminalele lui v2, se obţine i2. Detaliile de calcul sînt date m tş. 4.12. . Deoarece nu există ramuri de inductanţe, diagrama de calcul a lui *& —te prezentată în fig. 4.12. Totuşi, acum mărimile de ieşire dorite sint tensiunile la bornele inductanţelor în gol. Desfăşurarea calculului este de i>emenea arătată în fig. 4.12. 309 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTI-PORŢILOR Pentru a găsi pe se îndepărtează sursa de tensiune, scurtcircuităm capacitatea, se înlocuiesc cele două inductanţe cu sursele de curent şi i10, cu referinţele corespunzătoare. Rezultatul, arătat în fig. 4.13 este că se conectează în paralel IÎG şi n- lîx şi se alimentează cu curentul i9 + î10. Tensiunile v9 şi v10 sînt egale şi se calculează uşor. Calculul lui % este arătat în fig. 4.43. Calculul lui jr "io »2 ti, n-'Bz ' 1+n^k 1 + n2k n2 ti4 n2BA n- ti4 n2 f n2 k n2 B 4 «7 '10 »2 i?4 n2 i?4 .1 -\- 1 + n2k n*k (^9 [**] ^10 Î2 — %x0 “f" {(fm “l- ®lo) n22?4 ' 1 -\-n2k 1 + n-k & x *!0 - fim .1 +n2k 1 + n2k. ''IO Calculuil lui — n2 ti. ti, (gm + Oe) 1 — n2Rlgm 1 -f n2k 1 + h LHO n 2 Bi(g m + G 6 ) 1 — «.2A‘4;/m 1 + ‘)rk _ (k D ‘wQ) Fig. 4.13. Calculul lui ar şi >e. V7 C în sfîrşit, diagrama de calcul a lui -W este arătată tot în fig. 13, cu menţiunea că mărimea de ieşire dorită este curentul prin capacitatea scurtcircuitată. Acesta poate fi găsit aplicînd LKC pentru terminalul de jos al sursei de curent comandată, care conduce la i2 = i10 — gmv? — ie. şi vi0 a fost găsit în diagramă în funcţie de i9 Dar if- = v7/I?G, v. lio Matricea X se obţine dacă introducem toate acestea în expresia lui ?2. Setul întreg de calcule este arătat în fig. 4.13. Deşi prezentarea calculului acestor matrice pentru acest exemplu pare a fi cam lungă, efortul real de calcul este foarte mic. Comparaţi rezultatele cu matricea s# din (145), pentru a verifica că s-a obţinut acelaşi rezultat. 10 si i 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTI-PORŢILOR Să ne întoarcemacum la submatricele W, 2,M1 şi £care alcătuiesc ^, matricea coeficienţilor surselor. Consideiînd dm nou (146) şi tig. 4.11, presupunem că lăsăm în gol toate coardele reactive şi şiu-selc de .ciirent independente, şi scurtcircuităm toate ramurile îeactive. în aceste condiţii i 146) conduce la iCj = — <&\'E, (i50«) v£l = «vB. (1306) Astfel. 9 este calculat prin găsirea curenţilor în ramurile de capacităţi scuitcircuitate, şi 9 este calculat prin găsirea tensiunilor pe coardele de inductanţe în gol, ambele rezultînd ca urmare a prezenţei suiselo tensiune independente. Similar, presupunem că scurtcircuităm toate ramurile ■J sursele de tensiune independente şi lăsam mgol coaidele îeactne. Atv 1146) conduce la •o, = (151») (1516) \ =■ Astfel, este calculat prin găsirea curenţilor în ramurile de capacităţi .scurtcircuitate, şi 2 este calculat prin găsirea tensiunilor pe coardele de ^ductanţe lăsate în gol, - ambele rezultînd ca urmare a prezenţei surselor ■le curent independente. Ll { G,va 0 _______ _____ R. + n*R. l + »*fr r7 = i?6( = Va 1 + n%k - gmf>i - » = - n2k r, = n-Rti = 1 + n2k r10 = - R e i + v a - (9m + 1 -f nH" Fig. 4. 14. Calculul lui ‘W şi n2lc in%Jvt Yom ilustra aceasta cu ajutorul exemplului din fig. 4.9. Nu exista surse de curent în acest caz, astfel că 2 şi sînt ambele matrici zero. Pentru a găsi pe şi lăsăm în gol ambele inductanţe şi scurtcircuităm fa,Sat»! Eezultatul iste arătat în fig. 4.14. Cmentul i este determinat 310 4. ECUAŢII DE STARE în mod obişnuit, observînd că R6 şi n2Rtl sînt în serie. Se obţine acum direct v, ca RKi. Aceasta determină curentul sursei comandate, şi din LKC se găseşte i2. Tensiunile v9 şi v10 se obţin de asemenea direct Detaliile sînt arătate în fig. 4.14. Rezultatul este n2 Jc 1 A Q !_ Q — -*m r 6 , __ [1 + n2k2] a + n2Jc n2 1 Tc + care este în concordanţă cu (145). 'n2k în rezumat, cu excepţia termenilor care conţin derivatele surselor, am obţinut ecuaţia de stare vectorială completă din calculul unei reţele multiport rezistive, împreună cu evaluarea lui % şi 2 ca submatrice ale matricei capacităţilor secţiunilor şi matricei inductantelor buclelor. Nu am obţinut termenii conţinuţi în derivatele surselor şi care apar cînd există degenerări. Eelaţiile (118) şi (123) arată însă că aceşti termeni se pot calcula destul de uşor prin altă metodă, în comparaţie cu matricele de multiport. Pentru acurateţe, se precizează că ecuaţiile de stare au fost obţinute printr-o serie de calcule referitoare numai la relaţiile la porţi dar trebuie totuşi să admitem că termenii derivatelor suiseîor nu apar. Aceasta înseamnă că presupunem că reţeaua nu ane surse de tensiune într-o buclă de capacităţi şi nici surse de curent într-o secţiune de conductanţe. în termenii 1 V£C submatricelor Q(, presupunem că O™ = 0 si Oxj = 0. ‘ Ecuaţii de ieşire Avînd găsită o metodă de determinai e a ecuaţiei de stare vectorială prin calcule asupra multiportului rezistiv, să încercăm să găsim în mod similar, orice variabilă care poate fi aleasă ca o ieşire. Considerăm din nou fig. 4.11. Variabilele porţilor conţin toate variabilele de ieşire posibile. Această afirmaţie este clară pentru tensiunile şi curenţii elementelor reactive şi surselor. Numai că sînt ca necunoscute şi variabilele ramurilor rezistive. Pentru orice variabile de rezistenţă putem folosi tensiunile surselor de curent şi curenţii surselor de tensiune în modul uimător. Orice variabilă de tensiune a unei laturi de rezistenţă, poate fi interpretată ca tensiunea pe o sursă de curent, prin conectarea în paralel a unei surse de curent de valoare zero. Similar, orice curent prin latura de rezistenţă poate fi considerat drept curentul unei surse de tensiune prin plasarea unei surse de tensiune de valoare zero în serie cu latura respectivă. In felul acesta ne complicăm puţin, dar interpretarea este mai uşoară. 4.G. 311 ITPWTVTTTT.AREA ECUAŢIILOR DE STARE AMULTI-PO^ în fig. 4.11, variabilele de stare sî^ poate fi exprimat m funcţie de >^n * ^^ ^ pTbuclete de ^ ^ secţiunile de ESactanţă^ Aceasta permite scrierea —ulm set de variabile ci *C( i Lt * LI Consideiăm primul set.^în ^ţja ^ ţia KVL dm (li36)- An\ ,, ^ pêr^că Q^=TŞ)ţtoem exnrimată în termenii variabilelor ae'tare-Mostad (129) ta ecuaţie, obţinem : ” 1 ci " I vct 1 ui, + ’ o , Vj * A r" ^ (152a) jlA . dezvoltare similară pentru vtt ne conduce la (1526) = (L« - L« Q JSf " Astfel, atît curenţii coardelor Kemienii de inductanţe pot ^ e^î^f surselor în afară de matricele deja găsite, lelor de stare şi \aiiabile . cg <g qyşi jtf) e necesara o pentru formarea ecuaţiilor de stare (adica ^ cunoaştere a matricelor topologice Qcc şi Q l l , Ş> a nuinK metrii C,, L« ŞÎ Ui- variabilele , 1 _ complementare - ** c “ ( 1 4 f , ) Ut I,.; ijl 'IC _ poate fi scnsa astfel: C(« * C f )i'->|[» vK = ([,,-L„Q Ii -«[y; lI! “rthÎoat fTSisIô™ irţ -m fot” |- [9 -^] Ci J (153a) [;;]}•(iMt) 312 4. ECUAŢII DE STARE lele de stare şi surse. Cu excepţia matricelor C, şi L;! — Lit 0^, aceasta, este făcută în termenii matricelor deja găsite în scrierea ecuaţiilor de stare. Aceasta permite scrierea variabilelor \ j şi \E. Reamintim că ecuaţiile topologice care exprimau aceste variabile în (113«) şi (1136) nu au fost folosite pentru obţinerea ecuaţiilor de stare. După ce soluţiile pentru \Et şi iPd din (126) sînt introduse în aceste ecuaţii, rezultatul va^ apare în termenii variabilelor de stare şi a surselor. Ea va avea următoarea formă : r h; „VjJ 11» 1 ■— = & .¥ - jf ■ ■v C( ‘ + Mi. <& V£ $e~ ~<S L L (154) v Interpretarea matricelor în aceste expresii poate fi obţinută în termenii reţelei multiport din fig. 4.11 în acelaşi mod ca J cel arătat anterior; de exemplu, ~cy este obţinut prin lăsarea în gol a coardelor de inductanţe şi surse de curent independente (şi de asemenea a ramurilor de inductanţe), înlocuind ramurile de capacităţi cu surse de tensiune vct, scurtcircuitând sursele de curent independente şi scriind o expresie care leagă curenţii ( — ij;) în aceste scurtcircuite cu vc(. Concluzia acestei discuţii este următoarea. Privind o reţea ca fund formată prin interconectarea unor subreţele alcătuite din componente de acelaşi tip, ca în fig. 4.11, am găsit o metodă de evaluare a acestor matrice, care sînt coeficienţii variabilelor de stare şi ai variabilelor surselor în ecuaţia de stare. Presupunem că reţeaua nu conţine surse de tensiune în buclele de capacităţi şi nici surse de curent în secţiunile de inductanţe. Printr-o metodă similară putem calcula matricele care sînt coeficienţi în ecuaţia de ieşire, indiferent de tipul variabilelor de ieşire. Cînd variabilele de ieşire sînt variabile de elemente reactive, nu sînt nccesare alte calcule asupra multiportului rezistiv. Ecuaţiile sînt prezentate în tabelul 4.3. Tabelul 4.3 Interpretarea multiport v« ‘LI ‘Ci 'LI t'f ^ 0oo <^~1 \jw jtr] — L( * V VI! +[-& C < hi [_<S — 3T] L 'ci J L (i Qc vH + ’J Ecuaţii de ieşire pair L xu J L 1 '» v£ 4- X vc« ‘LI + ' — #e vc< ‘LI i+[^ — ^ r vj311 _ L î j J J ' _ # — ir . vj . 313 4.6. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE A MULTI-PORŢILOR Pentru ilustrare, considerăm ^“^“““^rne^Ltuf eiMvâîeSă âS4i, Ca^fel df ^capacitate devine o coardă a arborelui normal. 0lr° Fig. 4.15. Reţea de oscilator RC. I ţi anume : £ ţoX’lcrie6»^ r20 C C <# = C 2C c _ _ C C 2C Deoarece nu există inductanţe şi surse de tensiune, (146) şi (154) se (155a) reduc la : ic( V, = #v 0 ( - MiJ. = — 9 v c l + îj — Qcc >ci > 1556) a. trăsi si 0 lăsăm în gol coarda de capacitate 6 şi sursa L curent (Iu aiest caz, ultima etapa nu est. necesară deoarece urnea sursa 314 4. ECUAŢII DE STARE de curent are valoarea zero). înlocuim ramurile de capacităţi prin surse de tensiune. Reţeaua rezultată este arătată în fig. 4.16 a. O problemă este acum calcularea curenţilor *'1? i2 şi i3 din această reţea rezistivă, printr-o metodă convenabilă. Detaliile de calcule vor fi lăsate pentru dumneavoastră. Rezultatul este : k'i = 3 1 h “ 3r + ([x + 1 )E 'V 2 — [x 1 — 2(ji 2 2 + 2rjB 1 - ji + rjB 1 1 + r/B 1 + 2 rjB - H- »2 . ®3- r i-z L3 b Fig. 4.16. Reţea de rezistenţă pentru calculul lui Of. Din diagramă, este clar, că \j = [»] = [Bia] • astfel că (S este găsit de asemeni uşor şi anume : v, = v = B _3t (E + r) V, ~(B + 2 r) v2 0 -f- ([x -f-1)_R 3r -(- (jj. -f-1)B 3r -f- (ja -f-1)B = &vnt. L®3J Pentru matricele care au rămas vom lăsa în gol coarda de capacitate 6 şi vom scurtcircuita ramurile de capacităţi. Detaliile de calcul rămin pentru dumneavoastră. Rezultatul va fi: h + l )R 1 “ 3r + (ji. + 1).R kt = H- r + ((a + 1)R 2 r + (pi + 1 )E V5 rB 3r + (n + 1 )B (- i,) = - ari,. 315 COURANTS ET ACTION POLITIQUES EN KOUMANIE A LA FIN DU XIXe S. In acest exemplu, deoarece unica sursă este o sursă de curent de valoare zero, nu este necesar să găsim * şi ele vor fi oricum multiplicate prin zero în ecuaţiile finale. Le-am calculat aici, dar numai pentru a face o exemplificare. . Putem acum să scriem cu uşurinţă ecuaţia de stare şi ecuaţia^de ieşire. Pentru simplitate, să folosim următoarele valori numerice : C = y; R = 10; [A = 6. Atunci: _1_ 3 -1 -li •1 3 2 0— \ ---------- -1 4 J_ _ •4 = (M ----- -a — 100 -1-1 4 3-J -4 -Ui 4 —4 r3 2 70 II 80 1 2 3 - 90 -10 -20 -30], Jg = [ Ieşirea i3 este un curent printr-o ramura de c^paeitate. Dec , pen i obţine ecuaţia de ieşire corespunzătoare, trebuie sa folosim (153 a) care se reduce la iC( = - C( unde C, este o matrice diagonala ,-u elementele diagonalei egale cu C = Din iCj nu ne mtereseaza •iecit linia a treia. Astfel ecuaţia de stare şi ieşire va fi: r A dt 1 10 0 6 2 -—2 -18 - 32 14 - 4 6 24- '3 ■»r W5= Aceasta completează exemplul. [ v i r —10 UJ","L-i -20 s 2 -301 6 J 316 4. ECUAŢII DE STARE PROBLEME PI. Pentru reţelele din tig. 4. PI determinaţi: a) numărul de frecvenţe naturale şi b) numărul de frecvenţe naturale diferite de zero. Verificaţi răspunsurile dvs. prin considerarea formulelor topologice pentru determinarea matricei admitanţelor la noduri sau J matricei impedanţelor pe bucle. l9{ © d © Fig. 4. PI P2. Pentru fiecare din reţelele din fig. 4. PI, trasaţi cel puţin un arbore normal. P 3. Arătaţi cel puţin trei arbori normali pentru reţeaua din fig. 4.3 din text. P 4. Cîţi arbori normali există în fig. 4.5 din text? P 5. Ecuaţia 24 referitoare la fig. 4.5 conţine derivata tensiunilor surselor. Faceţi o transformare de variabile astfel ca ecuaţia corespunzătoare în noile variabile să nu conţină derivate! tensiunilor surselor. Puteţi interpreta noile variabile în termenii reţelei? IV!- Presupunem că A şi B sînt matrice patrate de acelaşi ordin. în ce condiţii esle valabilă următoarea relaţie : Folosiţi acest rezultat pentru a arăta că (44) este o consecinţă valabilă a lui (36). P 7. Arătaţi că fiecare din următoarele matrice satisface ecuaţia sa caracteristică. (») 6 -5 (<0 ■ -2 1 3 . (b) . -9 4. 10 ‘3 _2 3 -2 -1 (d) 1 -1 2 - 2 2 .-6 4 1 2 -1 0 <•) 10 0 0 1 0 0 0 0 2' (0 0 -1 -2 -2 -1 '2 0' 0 .0 1 2 1 0 1. 1 2 -2 317 PROBLEME P8. Folosind teorema Cayley-Hanilllon, găsiţi inversa iieeărei malr.ee nesingulan „« r* ffiu^rrv‘.sii»p ln îiecare din următoarele cazm 1. (a) f(s) = s6 + 3s" + 3s2 ** 'af = [0 o (î.) m = »5 + s* + (t) f(s) = s* + S3 + 1 S1 ■a' -2 Ş ‘ si = 1 3 L1 - 4' 0 —23 36 0 28. -18 V 1«. Pentru o m.lric, « ...... (a) st = (b) = (c) si = Pentru 1 o- 0 0 1 -24 -26 0 1 0' 0 0 1 -9 -15 ■2 0 2‘ 0 2 1 .0 P ■0 fiecare 10 r -1 0! 0 0 00 î 0 0 -1 0 (d) d = - 9. 5 —5 -3 ‘ 10 1 23 0 —2 7 6; 0 9 0 . '8 -3 (e) si -7. 0 "0 1. 10. din p pentru fiecare Kttoda polinoamelor rezolvante, îolosind f4(«) - V) ^îî,* ■ parţiale =*“• 318 4. ECUAŢII DE STARE ,11PtnHPo!‘î'iPentrU,fieCare ,d'n matricele Problemei 10, determinaţi matricele constituante prin metoda polinoamelor rezolvante folosind setul de polinoame din (106). P 15. Evaluaţi următoarele funcţii matriceale. 2 0 1 0 (a) In si, si 0 -2 31 (b) sin sit, 2 -1 -1 0 [I Î] (c) cosh jtt, si = initioi J :zolvat1 ,toarcl.e seturl de ecuaţii de stare, cu vectorul de stare evaluat folosind - 'l (45)’ ap0' (o2) 5“ în f‘nal> cînd este Posibil (54) cu (49) şi (59). In fiecare caz evaluaţi s st prm găsirea in primul rind a matricelor constituante ale lui şi aplicînd apoi (84) (a) -x,- d -4 -*2- dl —1 -2 T'l+P 01 JL*2J Lo —I i : —t - io1 20 p.«o)l r 21 U 2ft>)J L—3 J ■x{ (b) jL dt = '-1 0 r 2-3 2 x2 ■ x 3- . 0 0 -4. ["'I-l-1 2 ■^(VJ -X3. l x2 ■xi(Wj r 3 1. + 1 2-2 3 x2 x LW2J L-2 -3 0. ~ ■x{ . + 1 o. 2 t %-TT) 2 "s -* • 320 P 17. Dacă valorile proprii ale lui sd sînt diferite de acelea ale lui ţjp, atunci sr rste soluţia unică a r i = 1 3 = 1 si9*- unde Kj; sint malricelc constituante şi s, sint valorile proprii ale lui jtf. 1 ie r* nota a m lb pUcitâtii lui s, si k numărul de valori proprii distincte. Cmd valorile proprii ale lui şi J' iint diferite, rezolvaţi pe Sf pi* folosirea formulei de mai sus, pentru fiecare din părţile piot-lemei 16. P 18. Pentru fiecare din reţelele din fig. 4.P18. obţineţi ecuaţiile de stare prin a) metoda matricei formale şi b) S»21 metoda evaluării parametrilor multiportului rezistiv. PROBLEME p 19 Obţineţi ecuaţiile de stare pentru reţeaua din fig. 4. P19 prin a mbele metode : -etoda mat liceală si metoda evaluării parametrilor multiportului rezistiv. Pentru proba folosiţi circuitul echivalent arătat. Variabilele de răspuns sînt tensiunile pe toate mductanţele. Os* u Fig. 4. P 19 P 20. active, o o- ©« Determinaţi ordinul de complexitate al reţelelor nerecipioce din fig. 1.P2J. 322 4. ECUAŢII DE STARE p 21. Folosind metoda din paragraful 4.6, găsiţi ecuaţiile de stare pentru reţelele din fig. 4.P21. în a) ieşirea este ij(<); alegeţi un arbore normal care să conţină toate capacităţile C. In (b) ieşirile sînt ij şi v2; alegeţi arborele normal care să includă pe La. Fig. 4. P 21 P 22. Obţineţi ecuaţiile de stare pentru amplificatorul cu un singur etaj arătat în fig. 4 P. 22a. Folosiţi circuitul echivalent II hibrid pentru tranzistor, reprezentat în fig. 4. P22t. Răspunsul reţetei este tensiunea v2. Fig. 4. P 22 P. 23. Obţineţi ecuaţiile de stare pentru reţeaua din fig. 4. P23. Rezolvaţi pentru matricea de tranziţie a stărilor. Scrieţi ecuaţia pentru soluţia vectorului ae răspuns \v ~ * Capa cităţile nu sînt încărcate la t0 = 0. Găsiţi soluţia V 2î. în obţinerea formulării generale a ecuaţiilor de stare din consideraţii topologice > am presupus că toate laturile pot fi clasificate în : 1) surse independente, (2) capacităţi, (3) in ductanţe, sau (4) rezistenţe. Formularea generală a ecuaţiilor de stare poate fi făcută de ase menea folosind latura combinată arătată în fig. 4 P24 a în locul unei laturi de capacitate ; 323 PROBLEME o latură compusă ca cea din fig. 4 P246 în locul unei laturi de inductanţe. Rîstenţele -asociate vor continua să existe ca laturi. Deduceţi în detaliu aceasta metoda. Discutaţi a\ ancele şi dezavantajele obţinerii ecuaţiilor de stare în acest fel. o Fig 4.P 24 I a p 25 Folosiţi metoda dezvoltată in problema 21, la determinarea ecuaţiilor de stare, •ru fiecare din reţelele reprezentate în tig. 4 P25. Sînt indicate pentru fiecare caz variabilele fiecar isr Leşire 324 4. ECUAŢII DE STARE 325 PROBLEME P 26. Determinaţi ecuaţiile de stare pentru amplificatorul arătat în fig. 4. P26 a. Folosi'' modelul tranzistorului arătat in fig. 4. P246. Q b Fig. 4. P. 26 P 27. Obţineţi ecuaţiile de stare pentru amplificatorul cu trei etaje reprezentat în fig. 4. P 27a. Folosiţi modelul triodei arătat în fig. 4. P27fc. 326 4. ECUAŢII DE STARE b Fig. 4. P. 27 P 28. în text, pentru obţinerea ecuaţiilor de stare, a fost folosită reprezentarea hibridă g pentru deducerea relaţiilor v — i la rezistenţe. Este posibilă însă şi o altă reprezentare. înlocuiţi ecuaţiile rezistive din (125) cu unul din următoarele seturi de ecuaţii şi arătaţi că acestea împreună cu ecuaţiile Kirchhoff determină vectorii iBt şi vB( necesari în (119) şi (124). Formulaţi explicit orice condiţie necesară care asigură o soluţie pentru iRi şi \Rt. (a) (b) vBl v ‘Rl = Hfi ‘Rl '!■ Hff xRt Jîi = Zî( 'Bi + Zff 'flf Rl v (c) = H;; ijj(+ Hu VRt = Zf! ‘Rl H ' Zf« ‘Rt ‘Rl — Yu VRl+ YllvRt ‘Rt = Y tl tt ''Rt (d) Rl v = Av JÎS “ = i v ni — = -'v2;i — JÎ( Bi i RI (c) VB( ‘Rt = I)i Rl 327 PROBLEME P 20. în reţelele din fig. 4.4 şi 4 5 din text, oe (125) si discutată în text, apoi deduceţi pe iB( ş jtt din problema 28. Unele reprezentări conduc la mai puţine calcule n îezo vaie. nicutii , p :jo Determinaţi ecuaţiile de stare pentru reţeaua reprezentată in fig. 4. P30. Folosiţi modelul tranzistorului arătat în fig. 4. P26ft. P :U. Determinaţi ecuaţiile de slare pentru reţeaua ^pliflcalorului diferen^l reprezenta in fig. 4. P 31- Folosiţi modelul tranzistorului aiatat in iig. . - p 30 Determinaţi ecuaţiile de stare pentru reţeaua reprezentată in fig. 4. P32, folosind ::<lelul tranzistorului arătat în fig. 4. P26b. 50Jh . 328 4. ECUAŢII DE STARE I* 33. Diterminaţi ecuaţia da stare pentru fiecare din reţelele de oscilator arătate in fig. 4. P33a, b. c folosirii moielul tranzistorului din fig. 4. P33d. \v G)gr d Fig. 4. P 33 P 34. Reţeaua reprezentată în fig. 4 P34 este un circuit de oscilator RC simplu. Determinaţi ecuaţia de stare şi indicaţi pentru ce valoare a lui a există valori proprii imaginare ale lui si- 10~bF c W 103J1 + Fig 4. P 34 10~sFv —o 103Sl\ P 33. Presupunem că si şi din (57) nu au valori proprii comune. Fie caracteristice ale lui si şi respectiv i=0’* Fie m0 - o Mj - ax M ; , = ^ I I j j + M t _, J» — A Soluţia lui (57) este alunei dată de una din următoarele ecuaţii : m ! '=°Ş i J] polinoamele k = 2, 3,. .. -î Pentru fiecare parte a problemei 16, găsiţi pe (f folosind una din formalele dî mii sus, atunci cînd valorile proprii ale lui si şi J5" sînt diferite. 329 PROBLEME P 36 fa). Pentru reţeaua arătată în fig. 4. P 36a., specificaţi numărul de frecvenţe naturale ^"pîîfc. abUiţâcă" valorile^ aceleaşi sau ^rite in ccl? două cazuri. Explicâţi. Fig 4. P 36 «“mS foLiflimbâreste FORTRAN fv. Găsiţi un set de instrucţiuni pentru program. P 37. Pregătiţi un program de evaluare a [su - .i/]"1 prin algoritmul matricei lezol- . : r din (98). P 38. Pregătiţi un program de evaluare a lui sf"1 din (9®)- .. , _ P 39 Pregăliti un program de identificare a unui arbore normal pentru o reţea (conectata) fêenre latură este determinată de o succesiune de cuadripleţi de numere : pnmu nun a - nou laturile în concordanţă cu convenţia din paragraful 4.5, lefentoaie la „consideia. f/umăr Tipdelahjri 1 2 3 tf 5 Surse de tensiune independente Surs e de curent independente Capacitate Rezistenţă tnductantă -§ sa •9 -â . iU 1 7 1, 3, 1, V, 3, 2, 3, 5, 5, 7, 3, 9, 5, V, 3, V, Fig. 4. P 39 1, 2 1, 5 3, 2 2, 43, 6,6 5 S,b 5,6 330 4. ECUAŢII DE STARE PROBLEME 331 topologice” şi va oferi ca date de ieşire succesiunea cuadripleţilor de numere cu noua numerotare a laturilor. Un exemplu de set tipic de date este dat în fig. 4. P39 pentru reţeaua prezentata în această figură. P 40. Pregătiţi un program pentru a determina, în primul rînd, o reducere a matricei de incidenţă la noduri a unei reţele conectate şi apoi a matricei de secţiuni f asociată unu. arbore normal. Luaţi ca date de intrare, datele de ieşire din problema 39. Presupuneţi că al treilea număr al fiecărui cuadruplet de numere indică nodul la care este conectata coada săgeţii laturei; atunci nodul de la vîrful săgeţii laturii va fi al patrulea număr. Pil. Pregătiţi un program pentru determinarea lui ij,? i din (142) cînd reţeaua este (a) RC fără coarde de capacităţi şi fără ramuri de rezistenţe (b) RC fără coarde de capacităţi (c) RC fără ramuri de rezistenţe (d) RC (generală) (e) RL fără ramuri de inductanţe şi fără coarde de rezistenţe. (f) RL fără ramuri de inductanţe (g) RL fără coarde de rezistenţe (h) RL (generală) (i) LC fără coarde de capacităţi şi fără ramuri de inductanţe. (j) LC fără coarde de capacităţi (k) LC fără ramuri de inductanţe (1) LC (generală) (m) RLC (generală) . _ Datele de intrare sînt oferite ca o succesiune de cvintripleţi de numere : primul număr indică ramura, al doilea număr indică tipul său în concordanţă cu convenţia făcută în problema 39, al treilea număr indică nodul din care porneşte latura, al patrulea număr indică nodul în care soseşte latura, şi al cincilea număr indică valoarea parametrului asociat laturei (zero pentru toate sursele independente). Presupunem că evaluarea secţiunii f prin programul de la problema 40* este accesibilă. P 43. Combin ăm programele problemelor 39* şi 40* cu fiecare din cele ale problemei 41* pentru a obţine un singur program care, pornind de la datele de intrare ale problemei 41 . să determine ecuaţia de stare a reţelei pentru fiecare din tipurile reţelelor enumerate în problema 41*. Fig. 4. P 39 5 Solufii integrale Am aiuns acum la stadiul în care fiind dată orice reţea liniară, _z~iriantă în timp şi o excitaţie arbitrară, se poate obţine răspunsul com- Metodele în domeniul frecvenţei complexe din capitolele 2 şi 3 smt Varte utile în determinarea unei expresii analitice pentru răspuns. In - --ieular cînd reţeaua nu are energie iniţial acumulată am văzut ca -•î >oate fi caracterizată prin funcţia sa de transfer. Deci nu este neaparat ca reţeaua să fie dată, atît timp cît funcţia sa de transfer este izioseută. A Metodele în domeniul timp din capitolul 4 sînt de asemenea utile m ■jbilîrea unei expresii analitice pentru răspuns, dar ele sînt îndeosebi îe-ovate evaluării numerice a răspunsului în domeniul timp. ^ Ca si în cazul metodelor în domeniul frecvenţei complexe, dacă ~--eaua nu are energie iniţial acumulată, atunci nu este nevoie ca ea sa re dată ; este suficient a cunoaşte relaţia integrală ce dă răspunsul ei m rzTitţie de excitaţie. . „ în acest capitol ne vom ocupa mai întîi de problema determinăm -Î-T'unsului Unei reţele la o excitaţie arbitrară — în cazul în care nu se ■ti 'reţeaua dar se cunoaşte răspunsul ei la anumite excitaţii standard. tru a defini aceste excitaţii standard se vor folosi funcţiile treapta şi unitate. Vom stabili rezultate analitice folosind ambele metode, m meniul frecvenţei complexe şi în domeniul timp. In plus, vom trata j -’oblema obţinerii rezultatelor numerice în domeniul timp. ' Pentru început, să facem legătura între răspunsul reţelei în domeniul ir^-ventei complexe si răspunsul în domeniul timp. Pentru realizarea aces- 'Cop avem nevoie de un rezultat din teoria transformatelor Laplace. Iw.arece acest rezultat este probabil mai puţin familiar decit cele obişnu- _:r- cum ar fi dezvoltarea în fracţii parţiale, vom consacra o anumita parte i prezentului capitol, discutării lui. 333 5. SOLUŢII INTEGRALE 5.1. TEOREMA CONVOLUŢIEI Presupunem că o reţea neavînd energie iniţial acumulata este excitată de o sursă de tensiune şi/sau curent la diferite intrări şi se cere a se determ'uia tensiunile şi/sau curenţii la ieşirile ei. în fig. 5.1 este dat un exemplu; în circuitul reprezentînd un amplificator există o sursă de tensiune şi o sursă de curent. Răspunsurile cerute sînt cele două tensiuni ve şi v0 şi curentul if. Transformatele vectorilor excitaţie şi răspuns pentru acest circuit sînt după cum urmează : V0(s) E(*)=JS?[e( 0] = W ir,s W(S) = JS? W(<) = (#) Vt{s ) X, presupunînd că e ( t ) este transformabil. Fie H(s) matricea funcţiilor de transfer, (*). denumită matrice de transfer, legînd transformatele excitaţiei şi răspunsului. Atunci transformata răspunsului poate fi scrisă : W (s) ■ H(s) E i (1) în acest exemplu, H este de ordinul (3,2), dar relaţia este cu totul generală. în cazul general E este un ^-vector ; şi W, un r-vector ; deci H este de ordinul (r, p). Fiind cunoscut W (s), în majoritatea cazurilor se găseşte w(t) făcînd dezvoltarea în fracţii parţiale a lui W(s) calculînd apoi transformata inversă pentru fiecare termen din dezvoltare. Ceea ce dorim să facem acum, este să exprimăm atît II(s) cît şi E(s) în raport cu funcţiile de timp ale căror transformate sînt. Presupunem că H(s) este transformata unei 334 5.1. TEOREMA CONVOLUŢ1EI matrice de funcţii avînd puncte ordinare 14). Dacă putem exprima rezultatul calculelor următoare asupra acestor funcţii de timp în forma : W ( « ) = ( ’ ( )z-ndt, Jo (2) atunci, din definiţia transformatei Laplace, putem trage concluzia că termenul incliis în paranteze este vectorul răspuns dorit. Ceea ce intenţionăm să facem nu depinde de interpretarea lui II(s) ca o matrice de transfer şi a lui E(s) ca vector excitaţie. De aceea vom folosi în cursul dezvoltam de mai jos o notaţie mai generală. Fie F 1(s) şi F 2 ( s ) transformatele Laplace ale matricelor de funcţii î(0 = [/i«(0] Şi ^*(0 = I f x j i W ’ respectiv; adică, F1 ( S ) = ( ( u ) z ~ s u du, (3 a) (v ) z-sv dv. (3 b) J<) F2 ( S ) = r Jo Am folosit variabilele auxiliare u şi v în locul lui t, pentru a evita_confuzii in dezvoltarea ulterioară. Presupunem că produsul matricelor ri(-s')*’ 2(-s‘) este definit. Atunci găsim : F(s) = Fx(s). F2(s) F ( * ^2(v)z-sv dv 1 = J î(«)^2(®)£_s<u+1'1 cln (lV) = FJ(S)F2 (*) (4) *‘r1(u)z-ndu j ţ ^ Ultima egalitate este evident justificată căci fiecare integrală din rîndul âl doilea este o constantă în raport cu cealaltă variabilă de integrare. Produsul integralelor din membrul al doilea poate fi inteipietat ca o integrală dublă calculată pe un plan ale cărei axe coordonate smt u şi v. Integrarea trebuie să fie făcută pe întreg cadianul întii aşa cum se aiata m îig. 5.2 a. ^ „ Vom face acum o transformare de variabile după cum uimeaza : t = u + v, (5) 14 Funcţie in sensul obişnuit al cuvintului, iar în lucrarea de faţă fiind conttauft,, sau continuă pe porţiuni sau local integrabilă. Aceasta pentru a face deosebirea între funcţiile obişnuite şi cele generalizate definite în Anexa 1. (N.T.) 5.1. TEOREMA CONVOL.UŢIEI T = U. 335 336 5. SOLUŢII INTEGRALE în realitate, a doua din relaţiile de mai sus este o transformare identitate şi este introdusă numai pentru claritate. Acum trebuie să exprimăm integrala dublă în funcţie de noile variabile. Elementul de suprafaţă du dv referitor la variabilele iniţiale este legat de elementul de suprafaţă dt dt referitor la noile variabile prin Jacobianul transformării : astfel15), Fig. 5.2. Domeniul de integrare. 15 Vezi Wilfred Kaplan, Advanced Calculus Addison-Wesley, Cambridge Mass 1953 p. 200. 5.1. TEOREMA CONVOL.UŢIEI du dv = du dv du dv dz dt. 337 (6) dz dt t Calculînd derivatele parţiale din (5)dtşidsubstituind aici se obţine rezultatul d t dt = du dv Pentru a completa schimbarea de variabile trebuie să determinăm noile limite de integrare. Observăm că deoarece t = u - \ - v = z + v , şi deoarece v ia numai valori pozitive, t nu poate fi mai mic decît T . Dreapta t = z în planul z — t este bisectoarea primului cadran; astfel domeniul de integrare este suprafaţa cuprinsă între această dreaptă şi axa t , aşa cum se arată în fig. 5.2 b. Pentru a acoperi această suprafaţă, integrăm mai întîi în raport cu t de la t = 0 la z = t ; apoi integrăm în raport cu t de la 0 la infinit. Cu schimbarea de variabile dată în (5) şi cu limitele schimbate aşa cum s-a discutat, din (4) obţinem : F (s) = j (t) #"2 ( c — t ) dz | S _ s ( dt. (7) Aceasta este exact de forma (2), astfel încît putem identifica cantitatea dintre paranteze ca l F ( t ) = JS?-1{F(s)}. Este clar că dacă în (3) scriem F^s) în funcţie de variabila auxiliară v şi F2(s) în funcţie de u , atunci în rezultatul dat de (7) argumentele lui şi vor fi schimbate între ele. Ca 338 5. SOLUŢII INTEGRALE urmare, rezultatul final poate fi scris în cele două forme diferite e bivalente : =[ Jo $r(t) = ( Jo (T) [t — {t — T) T) dt, (8) ^ ( T ) dt. (9) Operaţia executată asupra celor două matrice (t) şi ăF^•,(t) îepre- zentată de aceste două expresii se numeşte convoluţie. Spunem cas-a eiec- tuat produsul de convoluţie al matricelor. Convoluţia a doua matrice este adesea notată prin notaţia prescurtată * P2. Putem enunţa rezultatul de mai sus sub forma unei teoreme, după cum urmează. Teorema convolu- tiei. - F i e două matrice 3\(t) şi 3*2(t) transformabile Laplace şi amnd transformatele l\ (s) respectiv F2 ( s ) . Produsul lui Fa (_s) cu F2 (*), daca ele s e p o t î n m u l ţ i , este transformata Laplace a produsului de convoluţie al lui (t) prin 2 (t) (10) SC{3F{t)} =V{s) =¥1(s)F2(s), Tinde j* ( t ) = 3F1*$r2 = [ ” )3F 2 ( t — t ) d r = { 3^x{t — t) & 2 { t ) d t . .'o (11) *^° Deoarece folosim încă notaţia generală, să enunţăm încă un rezultat util referitor la derivata produsului de convoluţie a două matrice. Daca .-•ele două matrice .F, (t) şi 3?2(t), sînt transformabile Laplace şi mjîlus ?int derivabile pentru t >0 (ele trebuie să fie numai continue la t — 0), itunci produsul lor de convoluţie va fi de asemenea denvabil pentru t >0. Derivata va fi & (t) = (Vj( t) i^2 {t — t ) d t + Jo # ( / ) = ^ #\(J — *0 T) 3?2{t)dt -f (0) #"2 («), (f) 3T2(0) (13) unde punctul indică derivarea în raport cu t . Aceste expresii pot fi obţinute aplicînd formula lui Leibnitz de derivare sub integrala. De fapt, putem observa că în realitate nu avem nevoie de ipoteza ca J'-ît) şi J ' z W (12) âu 339 5.1. TEOREMA CONVOL.UŢIEI sînt ambele derivabile. — Dacă una din funcţii este ăerivabilă şi cealaltă continuă, atunci produsul de convoluţie .î71 * i^2 este derivabil. ‘ Deşi toate relaţiile precedente au fost scrise în formă matriceală, rezultatele sînt desigur valabile la fel de bine şi în cazul scalar, un scalar fiind un vector unidimensional. ’ Astfel, pentru scalari, (8) şi (9) devin : /(O = 'OdT, jo 5.2. RĂSPUNSUL LA IMPULSUL UNITATE Să ne reîntoarcem la problema iniţială a găsirii răspunsului w( t ) , al unei reţele neavînd energie iniţial acumulată, avînd matricea de transfer (H(s), la excitaţia e ( t ) . Reamintim că H(s) trebuie să fie transformata unei matrice de funcţii avînd puncte ordinare pentru a putea aplica teorema convoluţiei. Aceasta implică faptul că H(s) tinde la O cînd s tinde la infinit în interiorul domeniului de convergenţă pentru H(s). Fie Ws ( t ) transformata inversă a lui H (,) ; adică; ( s ) } = Ws ( t ) , (14) motivul alegerii acestei notaţii se va vedea în cele ce urmează. Teorema convoluţiei aplicată lui (1) furnizează rezultatul w (t) = fw8(,)e(i- T)dT = ( W8(f- T)e(T)cÎT. (15) - 0 Jo Acesta este un rezultat semnificativ. Folosind această expresie putem exprima răspunsul în domeniul timp al unei reţele la o excitaţie arbitrară e(t) în funcţie de transformata inversă a matricei de transfer a reţelei. 340 5.2. RĂSPUNSUL LA IMPULSUL UNITATE Este posibilă ,i O altă interpretare, daci In discuţia admitem funcţia impuls unitate ). neCesară deoarece (15) este O astfel de interpretare nu et,te absolut ne _ ^ foiositoare în de sine statoare. ^li1ţl],1ILf^l ill(i această interpretare se poate gasi Presupunem rotate cu .«* m, ^*«1 «“**?! 3 şi ca aceasta este^ uP, } cu excepţia celei notat prin e M ( 0 , privi j a ft t de exemplu r ™d e a i m e n s i u n i ' * n y-A ew(0 ca *md ■ 0 S(t) (t) = o eS2 doilea vector coloană al matricei excitaţiilor ?>te al 8 ( t ) 0 ............... 0 o m ................... o o o ........&(f) Es(t) = în mod analog, fie w8j- (f) siS,sTa :£s rvsu * - cind m f S^tdeTale, asa cum folosim relaţii P*f de mai jos. Pentru a < < b ^8 (; = S(i)XJ există generalizată şi fiecare operaţie ■) d ■ ■ ţ5 S (/ - t) f(T) d- = f (<), ' ţ‘8(/-T)f(T)dT = f(0din integralele de mai sus devine zero. Pentru valori ale lui T in afara intervalului [a, 6] fiecare 341 5.2. RĂSPUNSUL LA IMPULSUL UNITATE jăm aceşti vectori wSJ în coloanele rinei matrice r x />, notată W8 ( t ) şi numită răspunsul la impulsul unitate al reţelei. —Observăm cu atenţie că Ws ( t ) este un set (mulţime) de vectori răspuns avînd cîte o coloană pentru fiecare coloană a lui E s (t ). Astfel Ws ( t ) nu este un răspuns observabil în timp ce fiecare din coloanele sale este un răspuns observabil. Pe de altă parte, suma elementelor în fiecare linie a lui W s (/) este un răspuns observabil (scalar) şi anume răspunsul la suma tuturor excitaţiilor 16), aceste excitaţii fiind toate impulsuri. Să ilustrăm aceasta cu exemplul din fig. 5.1. e«î(0 = r.°. '«„Bl (0‘ w81 (t) = ®«81 (0 -*/81 W- — 1 50 ___________________________________________ 1 c1 = ram - Es ( t ) = _ 0 -®«8î(0- ’ w«a (0 = -8 ( t ) 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------O eSl( t ) 8(t) -®o81 (*) ■ W 8( f ) = %S1 (t) VeS2(t) în final, suma elementelor din prima linie a lui Ws (t) (adică, v0S1(t) -f + %ţ2 ( t ) ) este tensiunea v 0 ( t ) cînd fiecare din cele două surse din figură este un impuls. Să considerăm transformatele Laplace. Deoarece Es ( t ) = 8 ( t ) U avem ^ { E s ( t ) } = i?{S(<)U} = U. (16) Ecuaţia (1) leagă coloanele corespunzătoare ale transformatelor lui Es ( t ) şi Ws (<). Deci folosind (16) obţinem JS? {W8 (*)} = H ( s ) J ? {Es (f)} = H (*) sau echivalent W8(f) = if-1{H(s)}. (17) (18) Ultima ecuaţie exprimă faptul că transformata inversă, a funcţiei de transfer a reţelei este egală cu răspunsul la impulsul unitate al reţelei. Am anticipat acest rezultat folosind notaţia din relaţia (14). Să ne reîntoarcem la (15). Observăm că această ecuaţie exprimă faptul că fiind cunoscut răspunsul la impulsul unitate al unei reţele nea- 16 Se aplică la toate intrările impulsuri şi se observă răspunsul la ieşirea corespunzătoare liniei lui W§(/), numărul total de ieşiri fiind r (N T.). 342 5. SOLUŢII INTEGRALE -r_nd energie iniţial acumulată, răspunsul la oricare altă excitaţie e { t ) --te determinat. Ceea ce trebuie să facem este să înmulţim la stînga vectorii excitaţiei în fiecare punct t cu răspunsul la impulsul unitate nu în iot-lasi punct, ci într-un punct (*- T) - şi apoi să integrăm. Un alt punct ■i<- vedere este acela că vectorul de intrare este „ponderat” de către laspun- -nl la impulsul unitate. Aceasta a condus la numele de „matrice pondere fc-losit de unii autori pentru răspunsul la impulsul unitate 17. Să dezvoltăm puţin conceptul de ponderare. Un exemplu simplu -r^ fi satisfăcător pentru ilustrarea celor de mai sus. Deci, să considerăm circuit cu o singură intrare şi o singură ieşire avînd funcţia de transfer H(s) ( s + l)18 ■_-ire este funcţia de transfer V ^ / V ^ s ) a circuitului din fig. 5.3. Atunci răspunsul la impulsul unitate este dat de Graficul acestei funcţii este cel din fig. 5.4. Fig. 5.3. Exemplu pentru conceptul de funcţie de pondere. / 2/ 2 Fig. 5.4. Răspunsul la impulsul unitate al circuitului din fig. 5.3. 17 Termenul de funcţie pondere a fost folosit ca un alt nume pentru răspunsul la impui i-l unitate al unei reţele cu o singură intrare şi o singură ieşire. Matricea pondere este o gene ralizare naturală pentru cazul reţelelor cu mai multe intrări şi ieşiri. 5.2. RĂSPUNSUL LA IMPULSUL UNITATE 343 344 5. SOLUŢII INTEGRALE Presupunem că dorim să calculăm răspunsul acestui circuit la o anumită funcţie de intrare e ( t ) . Pentru uşurinţa inteipretării, să considerăm convoluţia lui w s ( t ) şi e { 1 . în cea de a doua formă dată de (15). Yom folosi t ca variabilă auxiliară. Pentru a obţine valoarea răspunsului pentru orice moment de timp dat t, mai întîi vom inversa răspunsul la impulsul unitate şi îl vom translata de-a lungul axei T astfel încît să obţinem w s ( t — T) ca funcţie de r. Să comparăm w s ( t ) în funcţie de t din fig. 5.’ i cu w s ( t — T) în funcţie de T din fig. 5.5a. în. intervalul de la 0 la t excitaţia este suprapusă peste Fig. 5.5. Ilustrarea convoluţiei. fig- 5.5a. să multiplicăm w s ( t — t) şi e ( t) punct cu interval. Produsul reprezentat în fig. 5.5. b. = 0, valoarea lui e ( z ) în aduce nici o contribuţie la momentul t în ciuda faptului că e(x) are o de altă parte cea mai vecinătate este aceea în deoarece valorile lui vecinătate sînt cea mai mare valoare mod analog, valorile lui mic decît (t—2) la valoarea răspunsului Astfel, ws decide atribuită valorilor lui e momente de timp. ws{t—z)j trebuie m Potrivit lui (15), cele două curbe punct în acest rezultant este Deoarece w s (0) punctul t nu răspunsul în Q valoare maximă în acest punct. Pe importantă jurul lui (i-l) e ( ~ ) în această multiplicate de luată de w s . în e(r) pentiu t mai contribuie puţin în momentul t. ponderea în diferite 5.2. RĂSPUNSUL LA IMPULSUL UNITATE 345 tn acest caz răspunsul, care conform lui (15) este integrala lui Wg (*-t) ,(t) de la 0 la t, este dictat aproape în totalitate de valorie lmi e ( t ) to ce e ° secunde anterioare lui <; cea mai importanta contnbuţie este data de valorile lui e ( t ) situate în jurul momentului de timp cu o secunda înaintea momentului de timp la care evaluăm răspunsul. Funcţii de transfer diferite de zero la infinit Se nune problema procedurii, în cazul în care funcţia de transfer * reţelei nu are un zero la infinit. în astfel de cazuri, w,(*) va conţine ;mpulsuri M si derivatele de ordinul unu ale impulsurilor Deoarece admitem 'mpulsuri unitate în excitaţie, putem la fel de bine sa admitem condiţii mai puţin severe pentru H(«) şi să permitem acesteia sa fie nenula la -.finit. Vom vedea mai jos ce efecte va avea acest luciu. ^ "** Funcţia de transfer a unei reţele poate fi mai mult; decât egala cu o constantă diferită de zero la infinit, ea poate avea la mfm tun pc1 .-din unu. Fie K x matricea rezidurilor lui H(s) m polul de la infinit, şi fie K o matrice constantă, limita a lui II(s) — K» ■ *, cmd s tmde catie m de-a lungul axei reale. Atunci putem scrie H(s) = H(s)-|-K + K»s, (19) unde H (s) are un zero la infinit, Răspunsul la impulsul unitate va fi W8 ( t ) = W8 ( t ) + K8 ( t ) + K«S («), (20) unde Ws ( t ) este o matrice cu o „comportare bună” în sensul că nu con ţine funcţii impuls. Să folosim această expresie in cea de a doua foima a iui (15) pentru a găsi răspunsul reţelei la o excitaţie e ( t ) . Rezultatul va fi * (I) = W, (( - =^ Wă ( ( — T ) T) e( c ( t) «t + [ KS(i-r) e (■7) «T -I- £ K.S (i- t) T) + Ke ( f ) e (t) dr + •0 Ultima etapă rezultă din proprietăţile funcţiilor impuls şi a derivatelor lor, date în Anexa 1. Relaţia (21) este forma generală a integralei de convoluţie. O altă metodă de obţinere a integralei de convoluţie în obţinerea relaţiei (21) am permis ca W s ( t ) în cea de a doua integrală de convoluţie să conţină funcţii impuls şi derivate ale funcţiilor impuls ; adică, nu toate elementele lui W5 (t ) au fost în mod necesar funcţii avîndpuncte ordinare. Dar 346 5. SOLUŢII INTEGRALE teorema convoluţiei este valabilă şi atunci cîndelementele lui W8 ( t ) nu sînt funcţii avînd puncte ordinare; totuşi demonstraţia dată în paragraful precedent nu este valabilă în acest caz mai general. Este necesar deci a se considera un alt mod de obţinere al relaţiei (21). Aceste lucru se realizează uşor folosind relaţiile în domeniul timp stabilite în cap. 4. Reamintim că ecuaţiile de stare pentru o reţea pot fi scrise — x = jrfx + ăSe, (22 a) dt A /7 vv = <ix + -f- 3i — e. (22b) dt De asemenea, reamintim că soluţia ecuaţiei diferenţiale pentru vectorul de stare şi din (22 b), soluţia pentru vectorul de ieşire sînt x ( t ) = £^<*~Vx(?0) + i rt J'e ( (23a) t) . S «g’e-rfft-T) t„ d t A d - _j_ Observăm că o parte a răspunsului este consecinţa stării iniţiale diferite de zero. Vom nota cu (24) \\f (t) =^z^t-t«)x(t0) această parte. S-a ales ca indice superior / din cauză că w19 ( t ) este cunoscut ca răspunsul liber al reţelei; denumirea este potrivită căci w f ( t ) este independent de excitaţia reţelei. Partea rămasă a răspunsului rezultă din excitaţia diferită de zero a reţelei. Vom nota cu wc(*) = [ rrf|f-Tê(T)(?T -|- 3>e(t) -\ ^0 e(*) această parte. Indicele superior c a fost ales din cauză ca wc(<) poate fi privit ca răspuns forţat la excitaţia reţelei. Ca o consecinţa a acestor definiţii avem W(<) = \\'(t) + Cînd reţeaua este fără energie iniţial acumulată x ( t 0 ) = 0 şi deci (26> w!(t) _ o. 19 Pentru prescurtare, atunci cînd nu se pot face confuzii, se va numi funcţia impuls unitate — pur şi simplu impuls. (N.T.) _j_ de Q ; —i. (236) 347 5.2. RĂSPUNSUL LA IMPULSUL UNITATE Astfel, răspunsul total al reţelei este pur şi simplu răspunsul forţat. Apoi, luind pentru t 0 valoarea 0, obţinem w (t) = wc(<) = C «’e^((-T) @ e ( r ) d i : + @ e { t ) + 2>e(t). (27) Jo A Observăm că (21) şi (27) sînt identice după identificarea lui Ws ( t ) cu K cu 9 , şi Koo cu S • , astfel teorema este demonstrată. Urmează un comentariu suplimentar asupra necesităţii introducerii funcţiilor generalizate. Vom restrînge e («) şi w(t) la mulţimea funcţiilor Vectoriale de variabilă reală avînd puncte ordinare. Dupa cum se vede din (27), dacă 2 j = 0 atunci trebuie să impunem şi cerinţa că e ( t ) să admită o derivată pentru 0. O restricţie ca aceasta nu ^ este de dorit deoarece este necesar de multe ori să examinam w(<) cind elemente ale lui e(f) sînt funcţii discontinue sau avînd discontinuităţi de pantă. Două funcţii tipice de acest fel sînt funcţia treaptă unitate u { t ) = 0 (f<0) = 1 (0<f) care este discontinuă în t = 0 ; şi funcţia rampă t u ( t ) , care are o discontinuitate de pantă (a derivatei de ordin unu) în t = 0. -Putem ocoli restricţia de derivabilitate înlocuind restricţia iniţială asupra lui e(f) şi w ( t ) la mulţimea funcţiilor vectoriale avînd puncte ordinare, şi permrţmd lui e(t) si \\(t) să fie funcţii vectoriale generalizate. Acest fapt înlătură restricţia de derivabilitate deoarece orice funcţie generalizată are derivate de orice ordin. 348 5. SOLUŢII INTEGRALE Exemple p i m P. . . ea mtegralei fie convoluţie pentru soluţionarea unei probleme este directă ste mai întii necesar sa se gaseasca răspunsul la impulsul unitate Ws (/) = jy1 mfsn si aooi sa se substitue acesta împreună cu excitaţia aşa cum este dată de expresia funcţională flfnd vob’t, funcţionale diferite pentru intervale diferite în timp - în integrai de con voluţie. Vom ilustra acest procedeu în următorul exemplu integrala de con- 11 Fig. 5.6. Exemplu. în circuitul neavind energie iniţial acumulată din fig. 5.6, fie răsriunsnl » si i sint indicate în figură. Există o singură sursă avînd tensiunea dată în grafic ’Deci vectorul “ofdttanîer este1"61151"116 ’ * * * VeCt°rUl răSPUnS CSte de di"un^ vS(t) H (s) '8(0 2 „ x l.Matricea funcU- 6 " 6/5 6/5 ' (s+1) (s + 6) s+ 1 s +6 6s(s-j-5) (s-l-1) 24/5 6- — — s+1 36/5 s-l 6 (s + 6) iti1r!A0rnhP0at-e mt-a în detaliile găsirii acestor expresii; de exemplu, prin scrierea ecuaţiilor de rVatm^ Pnmul element al lui are un ze™ la infinit, în timp ceâî doilea este nenul Ia infinit. Răspunsul la impulsul unitate va fi deci 6 — 5 . — 4e- — £ —6î - ‘O’ + — 6e-9f _ .6. 8(0* _ Deoarece excitaţia are o formă funcţională diferită pentru răspunsul pentru fiecare dîn aceste intervale de timp trebuie să fie gîtseparaî Astfel >U y2(0 = 2t de cea Dentru 1 Deci, din (21), pentru O^^l, rezultă 349 5.3. RĂSPUNSUL LA TREAPTA UNITATE -(|- T ) _ E —6(t —T) — (f- r* r E_(1 E ] mt + c . 2/ T) _ 6e —6(t — t E -( \ TE' d x - r^ S- 6 i ^ TE ® T d' O y + : d-r —6 e -61 \ TE6T<1T Jo ' 21 - \ 12* + D _ A E -6‘" 15 «e-t 5 - JL E -«< 5- r0- Jo + —12( + 10 — _12( . în intervalul *>1 integrala de la O la i trebuie să fie scrisă ca suma a două ^ v r s £ s ÎZL^SS Lteîrll/ Ka^f ^Tnîa ÎSS* “ vfne de la limita superioară. Astfel, pentru 1 T £ dT e { -r ET dx — e -6f i - o * <le / «\ 12 • TE dT-6E -«( T£6-dT Jo w(0 = T •’o r E -( ( - t) — s —6( ! --> n Jj L - 4e -(f-t) _ 6e-8<*— Tî _ ^ (1 - e-1) E-t*- -) + 3 i!(i — 3-1) e-(«-i) + ro J L6 (1 - e- ) s-6<!-1) + 2 6 (1 — £_6) e-6(«—i> — 12 Cititorul poate executa in detaliu calculele de mai sus şi verifica faptul că ambele expre- 1 •o ■ .12 . sii dau aceeaşi valoare pentru \v la t—1. 5.3. RĂSPUNSUL LA TREAPTA UNITATE în -paragraful precedent am stabilit că răspunsul unei reţele neavmd energie iniţial acumulată poate fi găsit simplu dacă se cunoaşte'răspunsul la impulsul unitate al aceleiaşi reţele. In acest paragiaf \om ai aia ca 350 5. SOLUŢII INTEGRALE aceiaşi concluzie este valabilă şi in cazul cunoaşterii a ceea ce vom numi răspunsul la treapta unitate al reţelei. Presupunem că toate excitaţiile sînt zero, cu excepţia celei de rang j, care este o treaptă unitate. Notăm prin euj (t) un vector excitaţie avînd toate elementele egale cu zero cu excepţia celui de rang j, aceasta fiind o treaptă unitate u ( t ) . Putem privi e u j ca fiind coloana j a unei matrice p X p , Eu ( t ) . Astfel de exemplu 0 o ew3^) 0 u(t) — o este al treilea vector coloană al matricei excitaţiilor u(t) 0 0 0 0 u(t)0 ••• 0 ••• 0 0u ( t ) • • • 0 = u ( t ) U. 000 u(t) Analog, fie wu j ( t ) vectorul răspuns rezultînd din cuj(t); adică, \vuj(t) este mulţimea tuturor răspunsurilor scalare atunci cînd există o singură excitaţie şi această excitaţie este o treaptă unitate aplicată la intrarea a j—a. Presupunem că aceşti vectori sînt aranjaţi ca coloane ale unei matrice rxp notată Wu ( t ) şi numită răspunsul la treapta unitate al reţelei. Considerăm acum transformatele Laplace. Din (1) rezultă că = H(s)<?{Eu(t)}. (28) Totuşi, deoarece &{Eu(t,)} = & { u ( t ) U} = U/s, rezultă că ^{Wu(*)} = i II (,). s (29) ^ Această expresie ne dă imediat o indicaţie asupra legăturii dintre răspunsul la treapta unitate şi răspunsul la impulsul unitate, deoarece ll(s) =J?{\\ s ( t ) } . Pentru a obţine o legătură între răspunsurile în domeniul 351 5.3. RĂSPUNSUL LA TREAPTA UNITATE timp, considerăm transformata inversă a lui (29) ori diiect, sau după mulţi plicarea sa cu s . Eezultatul va fi WH(/)=f\V8(T)d'r, (30) W8(0 =— WB(*) fff,(0)8(f). <31> dt Valoarea iniţială a răspunsului ia treapta citate se găseşte uşor din (29) folosind teorema valorii iniţiale. Cu condiţia ca H(co) sa tie tmit, aceasta W ( 0 ) = lim [sJS?{WB(f)},_„] = lini Hi0) = H(°°)> o->oo °-,’c0 (32) unde rr este un scalar real. Tragem concluzia că valoarea iniţială a răspunsului unei reţele va fi zero dacă funcţia de transfer are un sere> la De asemenea, dacă H(oo) este nenul dar fimţ valoarea m ţ Ini la treanta unitate va fi definită de zero iar îaspunsul la impulsul uni tate va cantine el însusi un impuls unitate. Pe de altă parte, daca H(oo e^te nenul dar infinit — H(s) are un pol simplu la infinit, atunci îaspunsu fateeS unitate conţine un impuls la t = 0, iar răspunsul la impulsul unitate conţine derivata unui impuls la t = 0. Observam ca contravine regulilor obişnuite de calculul aşa cum se ve j ) (31). Dacă W,(f) este o matrice integrabila, atunci (30) aiata ca, „ ( trebuie să fie zero (pur si simplu luînd limita supenoaia egala zero) • totuşi, dacă admitem impulsuri, atunci trebuie sa admitem şi consecinţele’. Să observăm totuşi că dacă \\-8 (<) conţineûn ordinul unu W (t ) nu conţine impulsuri; daca VV 8 (<) conţine (lei IA ara unui innrals AV (t) conţine lin impuls dar nu conţine derivata unui înipu Z!w!5)"’a^Kdeauna o comportare mai bună din acest punct de vedere decit Wa (iV oblema iniţială şi să presupunem că se aplică reţelei o excitat e c(') tiansformabilă Laplace (dar neconţ nînd impulsur ) VSÎ m leagă transformatele. Această ecuaţie poate fi resensa m unul din mai multe moduri după multiplicarea numărătorului şi numi îului piin s. Astfel Mii) E(s) = 8[JS?{W 0 (*)}E(*)], ( 33 > W(s) = s W (*) = E (8) = S[^{WM(i)}]E(S), (34) r H(«) H (*) a?t\\r li\\ TeF! ( (35) 352 5. SOLUŢII INTEGRALE în fiecare caz am folosit (29) pentru a obţine termenii din partea dreaptă. Pentru a găsi w( t ) vom folosi acum 'teorema convoluţiei. îfe vom ocupa de relaţia (33). Aceasta poate fi scrisă VJ(s) = s F ( s J , (36) unde F(«) = J2?{1VB(<)}E(«). (37) Folosind teorema convoluţiei putem scrie *(0 = ţ W,(t) e(«-T)dT = ( W„(i-T)e(T)dT. •'O (38) Dacă evaluăm f(0), vom găsi că este egală cu zero, în afară de cazul în care Wu ( t ) conţine un impuls. Am văzut că acest lucru nu este posibil chiar dacă H(s) are o valoare finită diferită de zero la infinit. De fapt, răspunsul la treapta unitate va conţine un impuls numai dacă II(s) are un pol la infinit. Deci, dacă admitem numai acele matrice Ii(s) care sînt regulate la infinit, atunci w { t ) va fi derivata luif(i) conform lui (36). Astfel (39) A dt J o Avem deci o expresie pentru răspunsul unei reţele neavînd energie iniţial acumulată, la o excitaţie e ( t ) , în raport cu răspunsul la treapta unitate. Acest rezultat echivalează ca importanţă cu (15). Folosind rezultatele enunţate în (12) şi (13), putem pune ultima ecuaţie în următoarele două forme diferite : ’ w( t ) = *0 W„(T)e(«-T)dT + Wu ( t ) e(0), \ x ( t ) = f Wlt(«-T)e(T)(ÎS + W„(0)e(f). •'O (40) (41) Aceasta va cere ca e(<) sauW0(<) după caz să fie derivabile şi în mod corespunzător e ( o ) sau W„(o) finite. 353 5.3. RĂSPUNSUL LA TREAPTA UNITATE Aceleaşi expresii pot fi obţinute pe altă cale pornind de la (34) şi (35). Pentiu a folosi (34) scriem mai întîi -1 {sJSf [ W„ (?) ]—AV î((°) + AV„(0)} = —W „(/•) + \V„(0)8(0. (12) dt Putem folosi acum teorema convoluţiei asupia relaţiei (34). Rezultatul va fi w(/) =(' f —W„(T) + J0 L fÎT WH(0)S(T)1e(/-T)dT - = W,(T)e(l - T)<ZT + W,(0)e(i) = f WB(f--'r)e('r)d'r + W,,(0)e(0, Jo Jo (43) care este acelaşi ca (41). Analog, (40) poate fi obţinut plecînd de la relaţia (35). Detaliile sîntlăsate cititorului. . ’ în vederea folosirii lor ulterioare vom rescrie toate formele expresiilor obţinute. Ele sînt : «•(*) = Wu(/)e(0) + \ M u ( t - r ) e ( z ) d r = WB(f)e(0) + C W,(T)e((-T)At ° w(t) = W„(0)c(0 + [ ‘ W„(<r)e(«-T)<?T = W. (0)e(f) + ( WB(/-T)e(x ) d . o w(0 = —( W„(T)e(/-T)^T = —( Wt,(/-r)e(T)dT. d t Jo d t Jo (4 J° (45) (46) Aceste expresii, nu sub formă vectorială ci scalară, au fost la origine folosite de către Duhamel în 1833 în dinamică. Ele mai sînt cunoscute sub numele de integralele Dulramel, integralele Carson, sau integralele de superpoziţie; Carson însuşi a numit (46) formula fundamentala a teoriei circuitelor. Exemple în aplicarea integralei de superpoziţie la calcularea răspunsului unei reţele, prima etapă constă în găsirea răspunsului WŢu(t). Apoi trebuie luată o hotărîre asupra matricei caie \a 1 inversată ca semn al argumentului şi translatată la argumentul (f—t). Aceasta alegere es e e 354 5. SOLUŢII INTEGRALE terminată de simplitatea integralelor rezultante. în continuare se va hotărî care din matricele e sau Wu va fi derivată. Uneori aici nu va fi necesară o alegere deoarece una din ele poate fi nederivabilă. Pentru a ilustra aceasta considerăm din nou exemplul din fig. 5.6 care a fost rezolvat anterior folosind răspunsul la impulsul unitate. Deoarece am calculat acolo W«(/), se poate găsi wu(/) folosind (30). Rezultatul este 5 — 6c-* + £—6* [ 5 — 6c—* + £—6* 24s< + 6s-6‘ . Datorită formei funcţionale a excitaţiei, este mai simplu a deriva e(-) = [^(x)]decîtWM(Z) Derivata este arătată în fig. 5.7. Se dă deasemenea şi forma ei analitică. Să observăm că dacă în locul lui e(0 derivăm W„(/), atunci folosind (31)pentru Wu şi introducînd în (45) obţinem din nou integrala de convoluţie. Să folosim cea de a doua formă a lui (44) care va fi mai simplă decît prima formă deoarece v1(l—';) — 2[u(i — t) — u(l— x—1)] care este pur şi simplu pulsul dreptunghiular din fig. 5.7 deplasat cu t unităţi. Deoarece e(0) = [yx(0)] = 0, obţinem pentru O^/^l Acest răspuns poate fi verificată prin compararea sa cu rezultatul găsit anterior. Observăm că integrala a fost în mod considerabil mai simplă în acest caz. Răspunsul de mai sus ar fi variabil pentru orice l dacă v\ ar fi constant şi egal cu 2; dar nu este aşa; peste treapta iniţială de la t = 0 se va suprapune o treaptă negativă la t =1 ca în fig. 5.7.Deci, pentru a găsi răspunsul la f^l, înlocuim t prin t—1 în expresia de mai sus ♦ Fig. 5.7. Exemplu. / Z(s)—> V) 2 1 X ► 5.4. PRINCIPIUL SUPERPOZIŢIEI 355 356 5.4. PRINCIPIUL SUPERPOZIŢIEI expresia de mai sus. Rezultatul p la *=1, apoi scădem rezultatul din pentru a găsi răspunsul la treapta negativă ce apare de mai sus. Rezultatul pentru (^1 va ti w(0 ] 2«-D-1 + f-'1-1’ 10_-£ _6\ ^-6(1-1) + f (1 - E-6) Acest rezultat concordă din nou cu cele găsite anterioi 5A. PRINCIPIUL SUPERPOZIŢIEI în paragrafele precedente ale acestui capitol, au fost obţinute într- un mod formal expresii ce dau legătura între excitaţia unei reţele nea- vînd energie iniţial acumulată şi răspunsul la impulsul unitate sa^trcapU unitate, prin integrala de convoluţie. Este posibil a interpreta aceste mte o'rale ca enunţuri ale principiului superpoziţiei. ' Conceptele legate de principiul superpoziţiei sînt cel mai bine prezentate cu ajutorul figurilor. Din nefericire, este greu sa -ţolosim grafice pentru funcţii vectoriale şi matriceale. Prin urmare, vom dezvolta îezul- tatele pentru o reţea cu o singură intrare şi o isingura ieşire «âcim acest caz vor exista numai ecuaţii scalare iar funcţiile scalare mtihute pot ti reprezentate grafic. La locul potrivit, vom enunţa rezu tat<ele.corespmza^ toare pentru ecuaţii vectoriale ce caracterizeaza 1 eţelele cu mai mu t intrări si mai multe ieşiri. Superpoziţia de impulsuri unitate Fie funcţia de excitaţie dată în fig. 5.8 a. Axa pozitivă a timpului este împărtită într-o succesiune de intervale de lungime egala, lungimea fiind A . Nu este necesar c a intervalele să fie egale dar obţinerea rezultatelor dorite este mai simplă în acest caz. ^ ^ _ . Considerăm succesiunea de impulsuri notată/(<) arătată în fig- 5.8b. Impulsul într-un punct Mt are conţinutul (ponderea) «(M T )A T , care este aria dreptunghiului avînd baza At şi inalţimea egala cu oidonaT 357 5. SOLUŢII INTEGRALE ta curbei din fig. 5.8a- în punctul 1’AT, Dreptunghiul în cauză este haşurat. înălţimile pentru săgeţile reprezentînd impulsuri au fost reprezentate proporţional cu ponderea e(JcAT )A T . Eeamintim totuşi că toate impulsurile au înălţime infinită. Deci, pentiu orice A T finit, oricît de mic, şiiul de impulsuri nu constituie o bună reprezentare punctuală a funcţiei de excitaţie care este finită pentru orice t. Cu toate acestea să calculăm răspunsul circuitului la această succesiune de impulsuri. m 0 * —*- kAT b Fig. 5.8. Descompunerea unei funcţii într-un tren de impulsuri. Dar f ( t ) nu este o funcţie punctuală; ea este o funcţie generalizată care poate fi exprimată ca ’ f ( t ) = £ [e(Mi)AT]S(«-MT). (47) Să notăm cu At v k răspunsul în momentul t la uniri din aceste impulsuri. Atunci Aw k va fi egal cu răspunsul la impulsul unitate deplasat, înmulţit excitaţie corespunzător, adică e ( k At)A- c-u 358 ponderea impulsului de Astfel 5. SOLUŢII INTEGRALE (48) este răspunsul în momentul t la impulsul din momentul A-At. Considerăm acum un punct particular pe axa notat T . valoare dată lui A T , acest punct va fi fc A T . Daca A T scadţ™ & c numărul k să crească proporţional astfel incit valoaiea t= *At sa fie aceêaşi, deoarece se referă la un punct fix pe axa. ( ) >, ( ) P rescrise după cum urmează : A\v f c = ws(t — &A T )[>(A;A T )A T ] (49) f { t ) = E e(T) S(«— A io k = w s { t — T )6( T )A T . (50) Răsnunsul pentru orice moment t se obţine adunînd răspunsurile la fiecare din impulsurile pînă la timpul t . Să notăm prm w ( t ) răspunsul la succesiunea de impulsuri cînd At tinde către zero t^ to(t) = lim V Aw k = lim £ w s {t- t)«(t)At = \ i'.40ţto AT->0, = t)«(t)(Zt. 0 *° (Sumarea a fost indicată mai sus, ca fiind de la t =: 0 la i; = = t în realitate ea trebuie să fie efectuata de a k = .1 la A n , un<le « es-te c mai mare întreg astfel ca «At <*, la limita, cmd At tmde^ catie zei o. Deoarece t = Mt, notaţia pe care am folosit-o este echivalenta cu aceasta). Limita de mai sus este prin definiţie, integrala scrisa m membiul d At "^Problimi ce rămîne a fi soluţionată este a verifica dacă suma de funcţii impuls f ( t ) dată în (49) poate la limită, cînd At inde la zero. Formal, suma dm (49) va <Je\em c, mteg a care, datorită proprietăţii de eşantionare a funcţiei impuls devine e ( t ) . Astfel, la limită, seria de impulsuri reprezintă excitaţia. . ... în lumina discuţiei precedente, putem, pentru o leţea cu_ o smg™* intrare şi o singură ieşire să interpretăm mtegiala de co v , ( ) exprimînd răspunsul la excitaţia e ( t ) prin superpoziţia raspunsunloi la o succesiune de impulsuri care construiesc funcţia e ( t ) . ^ al Fig. 5.9. Descompunerea unei funcţii in funcţii treapta. 359 5.4. PRINCIPIUL SUPERPOZIŢIEI Acum vom considera cazul mai multor intrări şi ieşiri. In mod sigur-, se poate efectua acelaşi tip de dezvoltare conducînd la convoluţia răspunsului la impulsul unitate cu excitaţia. Astfel (51) t t w ( t ) = lim V Aw, = lim V ^’s(^ T ) ( ' (T )A T = ^ r* Ws ( t — T)e(T)f?i (52 unde 360 5. SOLUŢII INTEGRALE Aw, = W8 («-T)6(T)AT (53 este răspunsul la vectorul ale cărui componente sînt impulsuri ce au loc în momentul r = Jckz în reprezentarea lui e ( t ) dată de m = 5>(T)8(f-T)AT. (54) Pentru a da o interpretare potrivită, trebuie să reformulăm rezultatul Fie \v8j vectorul coloană j al lui W8 Atunci din (52) obţinem w{t) = (‘ £ «■*(#-T) e j ( z ) ă t= £ f w8. ( t - z ) e ^ ) d r . *o i = i j = iJo (55. Dar vectorul este răspunsul cînd intrarea j este excitată de un impuls unitate la momentul zero iar toate celelalte intrări au excitaţia zero. Astfel, în cazul reţelelor cu mai multe intrări şi ieşiri, o interpretare potrivită a lui (52) este următoarea : răspunsul la excitaţia e ( t ) este super- poziţiaunei mulţimi atunci cînd excitaţia este aplicată la o singură intrare, excitaţia constînd dintr-o succesiune de impulsuri. Superpoziţia de trepte unitate O dezvoltare similară cu cea de mai sus se poate face reprezentînd funcţia de excitaţie ca o sumă de funcţii treaptă. Pentru început, la fel ca mai sus, vom discuta cazul unei reţele cu o singură intrare şi o singură ieşire. Axa pozitivă a timpului este împărţită din nou în intervale egale de lungime Ar. Funcţia de excitaţie reprezentată ca o sumă de funcţii treaptă este arătată în fig. 5.9. Funcţia „în scară” rezultantă nu constituie o foarte bună aproximaţie a lui e ( t ) dar devine din ce în ce mai bună pe mabuia ce A ^ tni(1; vaioarea fiecărei trepte din scară poate âpro ximată prin produsul lui Ar şi al pantei curbei m momentul saltului (tiep- t ei), deoarece fiecare din micile poligoane curbilinii cuprinse intre cui ba si funcţia scară aproximează un triunghi. . „ Răspunsul circuitului la excitaţia e ( t ) poate fi aproximat prin răspunsul la funcţia scară. Totuşi, el nu este altceva decât o suma de raspun- ETa funcţia Fig. 5.9. Descompunerea unei funcţii in funcţii treapta. de răspunsuri, fiecar 5.5. SOLUŢIE NUMERICE treaptă unitate’în mod potrivit cu valoarea discontinuităţii în momentul respectiv a funcţiei sca™- * Aw k răspunsul evaluat în momentul t la o treapta ce apare m mome t A’AT. El va fi dat de Awt - wM(?-AAr)[6(A:Ar)AT] 361 (36) unde punctul indică derivarea. Factorul dintre ^ ţ treptei, în timp ce w „ ( t - k At) este răspunsul la funcţia tieapta unitate deplasată. Răspunsul total va fi suma contribuţiilor pentru fiecare treapta. Din nou ne vom îndrepta atenţia asupra punctului AAT ŞI vom consideia limita cînd AT tinde către zero; vom obţine Aw, = lim V w , ( | - T ) e ( T ) A î = [ k A- vn ’n (57) în această dezvoltare am presupus că excitaţia este o funcţie continuă si că valoarea iniţială este zero. Presupunem acum ca ea ai e discon- tSJti de valoare Ti în momentul de timp *lf respectiv. Vom considera o valoare nenulă iniţială ca o discontinuitate la t = 0. Excitaţia totala -v a fi atunci S ( t ) + Sy,*(**.), unde S ( t ) este partea conţin^ a excitaţiei. \m găsit deja răspunsul la aceasta parte a excitaţiei ; la aceasta \a trebui să adăugăm răspunsul datorită discontinuităţilor. Răspunsul complet \ a fi (/) = V w u ( t - t t)Yi + \ w„(<-T)e(T)<fT. i w (38) 0 J în particular, dacă nu există discontinuităţi în afară de cea de la t 0, atunci răspunsul total va fi [avînd e(0) în loc de y0J. W(t.) = w ( t ) e { 0) -1- \ w u { t — r ) e { z ) d ^. Fig. 5.10. Calcularea numerică a răspunsului circuitului. (39) 362 5. SOLUŢII INTEGRALE Această expresie este identică cu prima expresie din (44). Deci am demonstrat că răspunsul la o excitaţie e { t ) poate fi privit ca superpoziţia răspunsurilor la o serie de funcţii treaptă ce reprezintă excitaţia. în cazul reţelelor cu mai multe intrări şi ieşiri, se obţine simplu rezultatul corespunzător înlocuind e (t ) cu e(<), y t cu y { , A w k cu A \ \ k , t c ( t ) cu w( t ) şi w u { t ) cu \ \ \ { t ) în relaţiile (56) pînă la (59). Corespunzător lui (58) obţinem w(f) = £ Wu(f-f4)y, + ( W„(i-T)e(T)<ÎT, i -'o (60) care poate fi scrisă şi astfel (61) unde (yj) j este elementul j a lui y , şi ww- ( t ) este vectorul coloană de rang j al matricei Wu ( t ) . Dar w u j ( t ) este răspunsul atunci cînd intrarea j este excitată de o treaptă unitate la momentul zero iar toate celelalte intrări au excitaţii zero. Aşadar, lui (61) i se poate da următoarea interpretare; răspunsul circuitului la o excitaţie este superpoziţia unei mulţimi de răspunsuri, fiecare din ele fiind răspunsul circuitului la o excitaţie aplicată la o singură intrare, excitaţia fiind o succesiune de funcţii treaptă. 5.5. SOLUŢII NUMERICE Interpretările date reprezentărilor integralei de convoluţie au o aplicare importantă în calculul numeric al j ăspunsului reţelelor (de exemplu, folosind o maşină de calcul). în final, diferenţa ce apare datorită folosirii reprezentării prin impulsuri sau funcţii treaptă, este mică. Prin urmare, pentru discuţia de aici vom folosi prima din cele două reprezentări. Presupunem că dorim să găsim răspunsul unei reţele cu o singura intrare şi o singură ieşire la o funcţie de timp ce nu poate fi reprezentată în mod simplu prin suma unor funcţii elementare; de exemplu, funcţia de timp poate fi dată pur şi simplu ca o curbă, sau expresia ei analitică este foarte complicată. în astfel de cazuri, transformata Laplace E ( s ) este dificil de găsit sau poate fi o expresie complicată încît să nu fie uşor utilizabilă. Dacă aproximăm E ( s ) printr-o funcţie raţională nu vom şti cît de bună va fi aproximarea funcţiei răspuns ce o vom obţine în domeniul timp. în astfel de cazuri este mai potrivit a aproxima e ( t ) în domeniul timp printr-o succesiune de implsuri ca în fig. 5.8, sau printr-o funcţie treaptă ca în fig. 5.9. 5.5. SOLUŢIE NUMERICE 363 Să apelăm din nou la un exemplu. Presupunem că avem o reţea avînd răspunsul la impulsul unitate arătat în fig. 5.10, a _ Acest răspuns la impulsul unitate poate fi găsit expeiimental folosind un puls de duiată foaite mică, ca o „aproximaţie” a impulsului unitate. Presupunem că dorim să găsim răspunsul reţelei la excitaţia dintig. o.lOb, care de asemenea poate fi o curbă expeiimentală sau îezultatul altor calcule numexice. Acum vom alege un interval potrivit T astfel încît variaţiile lui w s ( t ) şi e ( t ) pe durata T să fie destul de mici încît să poată fi neglijate. Apoi vom folosi reprezentarea aproximativă, Fig. 5.10. Calcularea numerică a răspunsului circuitului. 364 5. SOLUŢII INTEGRALE e(t) = £ e(kT)8(t~kT)T (62) pentru excitaţie. Această expresie este în mod obişnuit interpretată ca ' k=°° rezultatul multiplicării lui e ( t ) cu trenul de impulsuri £ 8( t — k T ) T . Mul. . = 1 ţimea^ de valori e ( J c T ) va fi denumită s e c v e n ţ ă î n t i m p iar funcţia e ( t ) . s e r i e î n t i m p . Se poate arăta că se obţine acelaşi rezultat final ca cei pe care îl vom obţine aici, dacă se foloseşte aproximarea lui fit) = ( e(x)dx (63) ‘0 printr-o funcţie în trepte (în scară) şi se utilizează apoi transformatele Laplace — Stieltjes, fără a folosi funcţia implus. Astfel, rezultatele finale pot: fi justificate în mod riguros matematic. Folosind teorema convoluţiei, răspunsul reţelei la seria în timp (62) poate fi scris după cum urmează : ’ wt (t) = £ ws {t—kT)e(kT)T, k = l (64) unde n T < t < { n + l ) T . în particular, valoarea răspunsului în punctele alese n T va fi dată de20 we (nT) = f1ws l(n — k)T]e(kT)T. k = 1 (65) Să vedem care sînt implicaţiile acestei ecuaţii. Observăm că suma din dreapta este o sumă de n u m e r e r e a l e ş i n u d e f u n c ţ i i . Astfel putem căpăta o idee aproximativă asupra răspunsului pur şi simplu adunînd aceste numere 20 Deoarece n este singura variabilă în această ecuaţie, putem scrie într -o formă convenţională n ii’en/T = Yi ekwn~k k =l şi observă m că a cesta este produsul Cauchy a două secvenţe în timp pen tru e şi w^ 366 5. SOLUŢII INTEGRALE fără a avea de integrat funcţii. Pentru a face afirmaţia mai clară, să găsim răspunsul aproximativ la t j T = 2,4,6,8, şi 10 pentru exemplul din fig. 5.10, folosind valorile date în tabelul 5.1. (Intervalele alese sînt prea mari pentru a obţine o bună precizie dar sînt suficiente pentru ilustrarea procedeului). Liniile 1 şi 2 ale tabelului conţin valorile e ( k T ) şi i v s { k T ) citite din grafice. Liniile numerotate impar, şi anume cele asociate cu w s [(n — k ) T ], n = 2,4,6,8, şi 10 se obţin copiind linia 1 în ordine inversă începînd cu coloana corespunzătoare lui k = = n —1. Elementele în fiecare din aceste linii multiplicate cu coeficienţii corespunzători din linia 2, formează coeficienţii liniilor numerotate par şi anume cele asociate cu i v a [ ( n — k ) T ] e ( k T ) . Suma coeficienţilor de la k =1 la I c = n in. fiecare din liniile numerotate par este w e ( n T ) ' T . Astfel n 2 4 6 8 10 w , ( n T ) I T 1,0 24,1 99,6 247,2 304,54 Acest calcul ne furnizează valori numerice pentru răspuns în citeva puncte alese. Valorile finale tabelate constituie o s e c v e n ţ ă în timp. Cu aceste valori, s e r i a în timp poate fi scrisă oo n W ( t ) = V w t (n T ) T $ ( t - n T ) = H £ {w8 L ( n - k ) T ] e { k T ) T } $ { t - n T ) T . (66) n n = l /„■ = 1 Această metodă de reprezentare printr-o serie în timp conduce la aşa numita metodă de analiză prin transformata — z folosită în sistemele cu eşantioane. Acelaşi concept al seriilor în timp este de asemenea folosit în sinteza în domeniul timp. Adesea problema de sinteză este specificată cu ajutorul unei curbe pentru excitaţia e ( t ) şi a unei curbe dorite pentru w ( t ) . Atunci una din metode este de a reprezenta e ( t ) şi w ( t ) ca serii în timp utilizîndu-se apoi ecuaţiile simultane date de (66) pentru a găsi seria în timp pentru w 8 ( t ) . Pentru sinteză se trece apoi la găsirea lui H ( s ) . Problemele matematice ce se ridică sînt totuşi prea numeroase pentru a discuta mai în amănunt această problemă în capitolul de faţă; astfel vom lăsa această aplicaţie cursurilor specializate în sinteză. Reţele cu mai multe intrări şi ieşiri Să examinăm modificările necesare în cazul reţelelor cu mai multe intrări şi ieşiri. Seria în timp pentru e(t) va fi e(t) = f] e(kT)8(t—kT)T. (67) 367 5.5. SOLUŢII NUMERICE Răspunsul la această serie în timp pentiu n T ^t < { n - \ - l ) T , şi m speţa m punctele n T Ta fi w,(i)= £YV s (t-TcT)e(kT)T, (68a) fc = l w, { nT) = t W8 [(.»-fc)WT)T, (68b) fc = l ţi deci seria in timp asociată va fi («9) ' Teoretic, răspunsul serie în tnnP. pmmî'efectu1 eţelei eu o rt, *■* ^riLiîicSfSeiTs^s) narea cu ajutorul umii ealculatoi necesaia a înmagazina Ws {nT) de program il constituie menim < înmagazinăm în memorie, şi e(»î), pentru n = O,1, .■. N , J sa,u cl£ic ^ ^ de fiecare data timpul destul de lung pentiu a iecal(^ « f > ’t posibilă numai daca cinci sînt necesari în calcule. Ultima ^teinativa este pobw t W ( n T ) si c l n T ) sînt date analitic şi nu doai expeimitm* dezvoltat în eoitinuare depăşeşte unele dm aceste probleme. Răspunsul exprimat cu ajutorul ec-uaţulor de slare s^*Bf®SS£tsiarJî« vectorului de stai<:‘; ^”il ca^ e(lă energie iniţial acumulată nu aduce presupunerea ca reţeaua nu Pose(™ e g ^ această ipoteză. ”iCi Vr^SţieTrâ “eetoir,! de stare va li «o» rO,«nsnlm * stare liber (70) x ' (t) = z^'- t o ) x(t 0 ) şi a răspunsului de stare forţat (71) \c (t) = ^ Je (t) df, adică 368 5. SOLUŢII INTEGRALE x ( 1 ) == x e ( i ) -f- x ' ( t ) . (70) Vom lua t 0 = 0 şi vom presupune că e ( t ) este aproximată de seiia în timp (67). Reamintim că în (68) răspunsul reţelei este cel foiţat. Atunci, pentru răspunsul de stare forţat cînd n T ^ ’ t < ( n + l ) T si în punctul n T . putem scrie ’ x°,(t) = s-i xe,(nT) = £ 'V-*i>0e{kT)T, k= 1 8e(JcT) T. (73 a ) (73b ) La t — n T răspunsul de stare liber este simplu x; ( n T ) = s ^ n T x (0). (74) Substituind (73) şi (74) în (72) obţinem xe 11 ( n T ) = z s t n T x(0) + £ e * n - * ) T ( J c T ) T x(0) k=l n—1 + £ — £tC4T J ~.s/(n-l)T ss*i”-k~1)T@e(nT) T\+@?(nT)T. k~1 Ultimul rearanjament se obţine scriind separat termenul din sumă corespunzător lui k = n , şi dîncl apoi factor comun z - ^ T din ceilalţi termeni. Comparînd cantitatea dintre paranteze cu cea din rîndul anterior, singura diferenţă este înlocuirea lui n cu n — 1 . Deci % t ( n T ) = z ^ T X e [ ( n -1)1*] + jfe { n T ) T . (75) Aceasta este o formulă de recurenţă foarte valoroasă. Observăm că această expresie putea fi dedusă direct din (23) punîndx(i 0) = x^[(%—1)T] şi presupunînd că zînT~^ ( t ) este în mod esenţial constant în intervalul ( n - l ) T ^. t< n T şi egal cu valoarea sa la t = n T . Modul de abordare prezentat aici s-a ales în scopiri de a fi în acord cu rezultatele formulate anterior. ^ Observăm că formula de recurenţă (75) cere cunoaşterea lui e ^ r într-un singur moment de timp ; adică t = T . Acest fapt micşorează în mare măsură spaţiul de memorie necesar în comparaţie cu cazurile tratate anterior. ’ ' 369 5.5. SOLUŢII NUMERICE Aflarea îăspunsului reţelei se face deci după cum uimează : Mai Intii facem xÔ) egal cu starea iniţială x(0); apoi se foloseşte (75) pentru a afla vectorul de stare X ţ ( n T ) cînd n ia valori succesive egale cu 1,2,3,.. Pentru fiecare valoare a lui n , răspunsul reţelei la I = n T , potrivit lui (22 b) este dat de ( n T ) = ^x s ( n T ) + Se ( n T ) -f Se ( n T ) . (76) Aceasta exprimă secvenţa în timp a reţelei în punctele de eşantionare n T . Aproximarea prin serie în timp a răspunsului reţelei rezultă imediat. Exemplu Să i’uslrăm cele de mai sus considerînd un exemplu simp’.u. -1 1' -2 0- - 2' , ăă = , <€ = 1 -1 = 0, 0 = 0. 0 4 1 O -1 . 0 3, Folosind metodele din cap. 4 găsim că = -£ ,-T .-2.T _-T Presupunem că intervalul ales T = 0,2 ; atunci c-0,2^ 0,819 0,148 .0,000 0,670 Folosind acestea, (75) şi (76) devin (nT) x n (nT) x n {(n-i)T} 0,819 0,148 0,000 0,670 w e i (nT)w t 2 (nT) H’fs(n T) r” xn + ■T<-2{(n-l)r} o - -_2 1 0 — 1 -i [e(nT)]T x u (nT)' x. 2 (nT) 3 Considerăm reţeaua neavînd energie iniţial acumulată şi fie e(t) funcţia de excitaţie dată In fig. 5.10. Valorile lui e(nT) slnt cele din linia întîi a tabelului 5.2. Folosind formula de recurenţă şi valorile numerice de mai sus, calculele pentru n = 1,. . .,5 vor da rezultatele din tabelul 5.2. 370 5. SOLUŢII INTEGRALE Tabelul o.i Calculul numeric al răspunsului n 1 e (nT) 2,0 2 3 4 5 2,7 4,0 8,0 12,0 x n (nT) 0,800 1,68 1,68 4,53 8,29 (n T) -0,400 -0,808 -1,34 -1,50 -3,41 Wn (nT) -1,60 -3,36 -3,72 -9,06 -16,6 w (2 (nT) 1,20 2,49 3,20 6,03 11,7 -1,20 -2,42 -4,02 4,50 -10,2 xi2 (nT) Erori transmisibile în evaluarea numerică a lui x g (nT) conform relaţiei de recurenţă (75) apare un tip special de erori. Orice eroare în valoarea numerică a lui e(nT) se transmite şi generează erori în x g (nT) cu Similar, o eroare în x(0) se transmite şi generează erori în x e (mT). Pentru a căpăta o idee asupra modului în care aceste erori se transmit pe parcursul calculelor, presupunem că e(nT) este cunoscut corect pentru orice n cu excepţia lui n = n 0 . Fie e(n 0 T) = e a (n 0 T) + £ unde e a (n 0 T ) este valoarea reală iar ţ un vector eroare. Presupunem de asemenea că x(0), s rfrâS şi T sînt cunoscuţi corect. Fie acum x g (nT) valoarea lui x* (n T) pentru n^ n a cînd e (n 0 T ) se înlocuieşte cu e a (n 0 T). Atunci prin aplicarea succesivă a relaţiei de recurenţă pentru n = n 0 , n 0 + 1, ..n, găsim x < (n o T ) = V i n o T) !- şi pentru n~^n0 x4 (nT) = y, a (nT) + (s^'^-^M^T. (77) Observăm că eroarea Jîn răspunsul de stare la n0T se transmite şi produce o eroare în răspunsul de stare la nT , egală cu eroarea în x ( ( n 0 T ) înmulţită la stînga cu ( s ^T)" în mod analog, fie x(0) = xa(0) + % unde xa (0) este valoarea reală şi \ un vector eroare. Formula de recurenţă ne va da x e (nT) y t a (nT) + ( ^ T ) " i (78) estevaloarea lui x s (nT) calculată cînd x(0) esteînlocuit cu xa(0). Dinnou,eroarea \ în x4(0) se transmite şi produce o eroare în x s (nT) egală cu eroarea în xe-(0) înmulţită la stînga cu ( z ~ r r f . Erorile in evaluarea numerică a lui de asemenea se^ transmit. Totuşi vom amîna discutarea lor considerînd problema calculării lui s-^r in paragraful următor. Deşi nu le vom considera aici, totuşi erorile în 3 şi T de asemenea se unde x“(nT) = 371 5.5. SOLUŢII NUMERICE transmit. Folosind relaţia de recurenţă se poate vedea modul în care se transmit aceste erori. Este clar că valoarea (e^) ' n ~ ’ n ) determină gradul în care o ei oare in \ { ( m T ) apărută datorită erorilor de evaluare a excitaţiei şi stării iniţiale, afectează piecizia lui xe- ( n T ) la un moment ulterior de timp. Vom considera împreună erorile în răspunsul de stare, provocate de erori aparate în excitaţie sau în starea iniţială. Fie s e ( m T ) avînd eroarea £m şi fie £„ = (79) -«*> E m eroarea propagată în X ( ( n T ) , presupunînd că n >m. O problemă de mare importanţă este studierea modului în care se comportă „mărimea erorii c-ind n creşte. Aici ne ocupăm însă de vectori eroare; prin urmare va trebui să specificăm această „mărime” ; definim „mărimea” unui vectoi in raport cu norma sa. Pentru reîmprospătarea cunoştinţelor asupra normelor vectorilor şi matricelor se poate vedea cap. 1. Acolo, norma unui vector e a fost notată cu ||c|| şi definită ca un număr nenegativ avînd proprietăţile: 1. 2. 3. |] £ ] | = 0 dacă şi numai dacă e = 0 || as || = I a III EII, unde a este un număr real sau complex IK +s2 II < II«1.II + H£2ll> unde £ 1 Şi £2 sînt vectori (aceasta este inegalitatea triunghiului). Pentru un vector se pot defini mai multe noime care satisfac aceste proprietăţi. Următoarele trei au fost discutate în cap. 1; ]. || £ jj 1 = £ | £; |, norma sumă de valori absolute ale componentelor ’“1 2. (80a ) II £ II 2 (80&) 3. || E || = max i / ţ[, \ 1 /2 n=i / = (e'e)1/2 = £Isil2) , norma euclidiană ^ ||, norma-maxinmm din valorile absolute (80c) Din acestea cea mai comună este noima euclidiană, care corespunde lungimii unui vector în spaţiu. Totuşi, din punct de vedere practic, evaluarea numerică a celorlalte două norme este adesea mai uşoară. Conform celor spuse în cap. 1, norma unei matrice considerată ca o transformare care face să corespundă unui vector un altul, satisface cele trei proprietăţi ale normei date mai sus. Suplimentar, norma vectorului K e, adică norma transformatului lui e prin K, satisface inegalitatea 372 5. SOLUŢII INTEGRALE IIKEI! <IIkII Ijell- (81) Ca o consecinţă directă a lui (81) norma unei matrice are următoaiea proprietate : l|K1K2j| ^ j! KJ| ||K21|. (82) Normele matricelor corespunzătoare celor trei norme ale vectorilor din (80) sînt cele de mai jos. Fie K = [&w]; atunci n I|K||!=max £|fcy| J i = l valoarea normei vectorului coloană avînd cea mai mare normă sumă de (83.a) valori absolute l|K||2 = unde >4 este valoarea proprie a lui K* K cu cea mai mare valoare absolută n IIKIU = max V | 1 3=1 (836) , valoarea normei vectorului linie avînd cea mai mare normă-sumă de valori absolute (83c) Sîntem interesaţi în determinarea normei eroiiiînîăspunsul de stare, în particular dorim să cunoaştem în (79) dacă 1|eJ| < ||eJ| pentru n > m . în această ecuaţie cele două erori sînt legate prin matricea ( z ^ r ) Luînd norma ambilor membrii ai relaţiei (79) şi folosind (81) şi (82) obţinem ’ l|eJKMB“B,IKJ- (84) Tragem concluzia că dacă norma lui s ^ T este mai mică decît 1, atunci norma vectorului eroare va fi o funcţie descrescătoare cu n . Pentru a evalua z M T se poate folosi oricare din normele matricelor definite în relaţia (83). Astfel, pentru exemplul precedent în care 0,819 0,148 0,000 0,670 5.6. EVALUAREA NUMERICA A LUI ZS *T 373 găsim |jEo,-2.ar|| x _ max (0,819 + 0,000 ; 0,148 + 0,670) = 0,819 ||£°,2.^|j2 = iădăcină din valoarea proprie maximă a lui (£o . z . a i y . (£o.--^) = max (0,819, 0,670) = 0,819 Ijt.0’2--^ II* = max (0,819) + 0,148 ; 0,000 + 0,670) = 0,967. Pentiu exemplul consideiat, oricare din aceste norme arată că norma vectoiului eroare descreşte atunci cînd n creşte. 5.6. EVALUAREA NUMERICĂ A LUI s^T în exemplul numeric din paragraful precedent am găsit o expresie analitică exactă pentiu ; adică ii Pentiu T = 0,2, 0,819 0,148 0,000 0,670 = aceasta devine ,0,2^ _ Este evident totuşi, că acesta este numai o valoare aproximativă a lui - 0 , 2 c u o precizie de trei cifre. Valoarea reală e°'“are elemente cu un număr infinit de cifre, deoarece s"0'2 şi s“0-9 sînt numere iraţionale. Astfel, in orice proces numeric finit se poate obţine numai o valoare aproximativă pentru s0-2 î Acest luciu este adevăiat şi în cazul general; adica, este m general adevărat faptul că pentiu orice matrice J * , de dimensiuni n x n şi orice constantă leală T , la terminarea unui proces numenc fmit, se poate cunoaşte numai o valoare aproximativă pentru . Acest luciu devine şi mai’evident dacă se ţine seama de faptul că în mod obişnuit nu se cunoaşte o expresie analitică exactă pentiu s ^T; pentiu evaluarea lui e-51 , este necesar a evalua termenii din dezvoltarea sa în serie de puten 374 5. SOLUŢII INTEGRALE Este evident că în orice proces numeric finit, este posibil a evalua numai un număr finit din aceşti termeni. Vom discuta eroarea rezultată datorită trunchierii seriei(85) şi vom da un criteriupentru alegerea numărului necesar de termeni în vederea atingerii unei precizii date. Scriem A ; K. (86) unde A = K ^krpk S jTj este seria trunchiată care aproximează (87) fc = 0 rC ! si este restul sau matricea eroare. Dacă A este o aproximaţie suficient de bună a lui £^T, atunci AE ya trebui să fie o bună aproximaţie pentru z 'rr.t unde e este un vector de dimensiune n arbitrar. O măsură cantitativă a calităţii ultimei aproximări este norma vectorului eroare z^T e — As = (s^T — A)s = Re, relativ la norma lui s^T; adică este o măsuiă care ne arată cîtdebine AE aproximează pe z^'1 z. — Evident aproximaţia este din ce în ce mai bună cînd 8 scade. Astfel, putem da un criteriu adecvat pentru alegerea lui K , valoarea maximă a indicelui de sumare în seria de puteri trunchiată. Acest criteriu este : K trebuie ales astfel încît 8 să fie mai mic decît un număr pozitiv prescris A. Valoarea atribuită lui A, marginea superioară prescrisă a lui 8 , se alege astfel încît să se asigure un nivel dorit de precizie în cunoaşterea lui z ^ T . e prin evaluarea lui AE. ’ Trebuie reţinut faptul că precizia despre care vorbim este aceea obţinută prin calcule cu numere ce aparţin mulţimii t u t u r o r n u m e r e l o r r e a l e . Cînd mulţimea de numere este finită, aşa cum se întâmplă atunci cînd calculele sînt efectuate cu ajutorul unui calculator numeric, există o limită a preciziei care se poate obţine. Această limită impusă de calcu- 3G7 5.6. EVALUAREA NUMERICĂ A LUI S 1Mor asup,a preiei, «te Jgg*^ merele cu virgula mobila, • 0CUpgjin aritmetice. Pentiu problema de «H ^ ^ determinata <ie A toarea : precizia calculelor e nuniăru^de îfi Valoare, valoare stabilita de numită e^^mnScative opciaţiilOT aj-gnetic. ^ implicaţia este urma folosite q m^ne superioară de calculator pentru efectuarea a lui 8 care este independentă de e. Un calcul simplu arata ca ||£|[ =\\e-* T z s * T z\\ < IU--”'2’ lllls^r E' ’ ctea ce implică JL_ =||6-^r1||Ell<||s-r8||. || s-^ I! T . . i. • A n Astfel li£‘rfr £ii estc înăiginţt in enoi' RE |1 este mărginit superior de către un HI! !„ = ecuaţia de definiţie pentru 8, astfel (90) Ueil Atunci, găsim ţinind seama de (89) - deoarece Pil INI _ — ||R|| lls-^ll. în continuare, dorim să evaluăm n < ^ l u a r e a normei nefiind posi- din acestea este definit de o s^' ^ ||R|| ca mai jos. Relaţiilede bilă. Totuşi, putem calcula o marine a mi 1 II inegalitate aplicate normei senei (88) pentiu n ôtînd , = l c - K - 1 , obţinem după o rearanjare simplă a factorilor ,|^||£+1TK+1 II (^TTiyi S ( K + l + l ) ' * ( K + l )! { K + 2 Y ^ n^K+m T k + i __ «(MH1.V. (K^rĂ- i-iV K + 2 / ‘ “ 1^“el 368 5. SOLUŢII INTEGRALE încît K + 2 > 11 s / 11 T ; atunci pentru orice K > K 0 , avem n j t f \ \ T / ( K + 2) < 1 şi “ /II s / \ \ TV _ V -K: + 2 j K +2 Substituind acest rezultat în inegalitatea precedentă, găsim pentru K > K că |RII • ^ K ' (K + l) ! 0 T K 1 \\s/\\ (92) T K - i 2 Partea dreaptă a ecuaţiei constituie o margine superioară pentru norma lui R. Să ne reîntoarcem la norma lui Dacă se înlocuieşte T prin — T în relaţia (85), obţinem seria de puteri de definiţie pentru e ~ ^ T - astfel z-stT = ^k rpk oo £ k=o ( ’ _ l)kfL±_ . k! Se poate calcula uşor o margine superioară pentru \ \ z ~ ^ T \ \ . Găsim lie-^n < I; 11^11"^ k= o K! = e iMir, (93) ^ Dacă marginea superioară a lui ||R|| şi ||e-^r|| din (92) si (93) se înlocuiesc în (91), obţinem ’ ’ 11 j S H (-BT+1)! K + ± l J i K II^H + 1 Ţ K + 2 pentru K > K 0 . Partea dreaptă a ecuaţiei (94) este o funcţie descrescătoare în raport cu K care tinde la zero cînd K tinde către infinit. Astfel, pentru orice valoare dată a lui A, există valori ale lui K , (de fapt cea mai mică valoare va fi cea considerată aici) astfel încît r 369 5.6. EVALUAREA NUMEKICA A LUI ,1 deci §<A. Aceste valori ale lui K > E 0 care satisfac (95), satisfac dease- ineiiea si criteriul anterior pentru alegerea lui K . Din toate valorile satisfăcătoare pentru K este bine să fie aleasă cea mai nuca valoare care satisface (95), deoarece numărul de operaţii aritmetice necesare pentru a evalua seria de puteri trunchiată (87) va fi minimizat. Erori de calcul în paragraful precedent, am descompus răspunsul de stare reprezentat prin vectorul x { t ) în suma răspunsului liber x ( t ) şi a celui foiţat x : (/). Din (74) rezultă x'( » T) = ( e "T* ( 0) - (96) Dacă e ( t ) este aproximat printr-o serie în timp e , ( t ) = £ e(fc T ) 8(i - k T ) T , uni găsit în (73b) că x ee{nT) = £ (z ^T )n~k iMe( kT) T. (97) fc = l >intem acum interesaţi în calcularea erorilor rezultate datorită înlocuirii m aceste două ecuaţii a lui prin aproximaţia sa. Erori la calculul răspunsului de stare liber Considerăm mai întîi răspunsul de stare liber. Fie z 1 ( n T ) diferenţa intre îăspunsul de stare liber real (e r f T ) B x(0) şi răspunsul de stare liber aproximat prin A"x (0); adică E1 Considerînd norma ( n T ) = [(£**’)" - A"] x (0) ambelor părţi ale acestei (98) ecuaţii ||E>T)||< ||(e-V-A"|| ||x(0)||. obţinem (99) Astfel, în operaţia de căutare a marginei pentru ||e / ( n T ) \ \ , trebuie sa stabilim o margine superioară a termenilor de forma ||[(e^ )]— A ||. Am folosit l şi nu n pentru a nota puterile la care se ridică s* * şi A, Î4 - C. 854 370 5. SOLUŢII INTEGRALE deoarece marginea pe care o vom stabili se va aplica şi altor relaţii în afara lui [99]. în acele alte cazuri, exponentul nu va fi notat cu n . Conform proprietăţilor normelor matricelor, se poate arăta că IIK]'- A'||= ||[A + R]‘-Al|| =H^ < i [ l k ) i!An^ nRir < [||A||+ I I H I I ] 1 - ilA||*. (100) Eîndul al doilea rezultă din teorema binomială. Următorul rînd rezultă din inegalitatea triunghiului şi din (82). în final, ultimul rînd este un rezultat al reciprocei teoremei binomiale. Dacă impunem pentru K satisfacerea lui (95), ştim din acea ecuaţie că | |R| | < A| |s~-I<’2T| |-1. în plus, se poate arăta uşor (problema 15) că Ile-^H^ClIs^ll şi prin urmare că |jR||< A ||s-^:r||. Cu observaţia suplimentară că lle^ll <I|A|| + ||R || şi presupunerea raţională că Â < 1, obţinem IRII < (101) Combinînd (100) şi (101) rezultă — A* 1 1 < || A H 1 ^ i + _A_J _ f e ) ' - 1 ] - Să observămjcă această margine a lui |[|>*î7—A!|| este o funcţie descrescătoare de l dacă şi numai dacă j| A| |/(i —A)<1; prin urmare vom presupune această condiţie îndeplinită în tot restul acestui paragraf. (102) 5.6. EVALUAREA NUMERICA A LUI Z^T 371 Să ne reîntoarcem la problema găsirii marginei lui | (E (n T)J| Eezultatul substituirii lui (102) în (99), după câteva calcule simple va fi —1 ||E'(» T)||<||A| |x(0) A <n A I-A [!— (J-A)"]||x(0)|| (103) llxll (0) i I-A P.indul al doilea este chiar primul rînd dar cu termenii grupaţi în mod diferit. Ultimul rînd rezultă din faptul că [1—(1—A) ] este o funcţie mărginită crescătoare în raport cu n care nu depăşeşte n A . Problema găsirii maximului membrului drept al relaţiei (103) în raport cu n este o problemă de calcul elementar. Efectuînd aceasta vom obţine |x(0)||A (104) —1 |x(0)M< I-A In [ 11A11 /(1 — A)] Observăm din (104) că ||e'(«T)|| este mărginit şi din (103) observăm ca Ie ( n T ) II este o funcţie descrescătoare în raport cu n , trnzind către zero cind n tinde către infinit, în plus, | |e#(#T)| | tinde către zero odată cu A Trebuie să reţinem că maşinile de calcul folosite pentru a calcula x (ni) recursiv, folosesc numere cu număr limitat de cifre semnificative. Ast e , asa cum am discutat anterior, eroarea în evaluarea numerică a lui x ( n l ) vă fi mărginită conform lui (103) şi (104) numai dacă A este mai mare decît o anumită valoare dependentă de precizia calculatorului. Erori la calculul răspunsului de stare forţat Vom considera răspunsul de stare forţat x| ( n T ) dat de (97). Fie z c { n T ) diferenţa între răspunsul de stare forţat real, anume £ (£-c/T) n M c ( k T ) . T şi răspunsul de stare forţat aproximativ, dat de ^ A ' s M c , ( k T ) . 1 ; adică zc(nT)= £ [(s^T)n~k — A"-k]@e(kT)T. (105) 372 5. SOLUŢII INTEGRALE Considerînd norma ambelor părţi ale acestei ecuaţii şi aplicînd inegalitatea (102), stabilim că ! £e(kT)\\. k=l (106) Presupunem că pentru k = 1,2,. . ., \ \ ă S e ( k T ) \ \ ^ . E , unde E este o constantă; adică presupunem că \ \ â ă e ( k T ) \ \ este o funcţie mărginită în raport cu k . Atunci se găseşte că n—k E I-A 11A11 < T E £ (n—k) A k = 1 (107) | n — l < T Mg 1 A Li=0 IA! Al doilea rînd rezultă din inegalitatea [1 1 — — (1 —A)"-*"] < ( n — k ) A pentru orice /: <«. Eîndul al treilea A J rezultă din înlocuirea lui n — k cu l . Conform ipotezei că 11A | J/(l — A) < 1, membrul drept al lui (107) este o funcţie mărginită crescătoare în raport cu n ; prin urmare i|£c(«T)[|< T 11AH I-A E T A liA|| /(.! - A) [1- E . (108) ||AH/(l-A)]2 Egalitatea din dreapta rezultă din faptul că o serie de tipul £ m a“ este m=0 egală cu a/(l — a)2 pentru a<l. Observăm din inegalitatea de mai sus că ii £c ( n T ) | j este mărginită şi tinde către zero în rapoit cu A. Totuşi, pentru motive discutate anterior, atunci cînd calculăm o valoare numerică pentru x 1 ( n T ) , limitarea preciziei datorită calculatorului, împiedică limitarea erorii de evaluare a lui x c e ( n T ) conform lui (108), atunci cînd A este foarte mic. Exemplu Să ilustrăm ideile dezvoltate anterior considerînd un exemplu. Vom folosi aceleaşi si şi T ca în ultimul exemplu dat anterior; astfel si — şi T = 0,2. Pentru norma lui vom alege în mod arbitrar cea mai mică dintre cele două norme (83 a) şi (83 c). Avem jlji||j = 3 şi l'siâo prin urmare o vom folosi pe cea de a doua. Pentru a simplifica exemplul, desigur nu pentru precizie, vom impune condiţia ca A să fie numai ^0,001. * 5.6. EVALUAREA NUMERICA A LUI SJ T 373 Reamintim că K n este cea mai mică valoare nenegativă întreagă a lui K astfel incit. K — 2 > \\stf\\T. Deoarece 11^11^ = 0,4, găsim că K 0 = 0. Astfel din (95), trebuie sa găsim un K 0 incit să avem 0,4*+1 £O 1 (K +1)! 1 - 0,4/(K + ,4 < 0,001. 2) jăsim uşor că K = 4. Aproximaţia A este evaluată după cum urmează : 4 A=s k! fc = 0 = ti "1 —3' - -1 7" ■1 -15" • j/4 = 0 1 <£ > O 1 .0 4. ! 00 1 -= Deci, pină la o precizie de cinci cifre 0,81873 0,14833 ,00000 0,67040 [I Observăm că ||AI|oo = 0,967. Aşadar, conform lui (104), |!£f(nT)|| este mărginită după cum se vede mai jos 0,001 x 0,368 \[SKn DII® < --------------------------------- ; ___ ____ - ll*(0)ll< 1,967 \ 1,999 J in < 0,0117||x(0)[|oo conform lui (108), ||£'(nT)||x este mărginită; astfel 0,967 0,999 0,2 x 0,001 x 0,967/0,999 i;e'( n DII® <- ---------------------- ----- E 1— < 0,189 E. încheiem acest paragraf cu o obseivaţie asupra unui tip de eroare care nu a fost considerat în acest paiagraf şi nici în cel anterior. Iie e t ) excitatia reţelei şi x ( t ) îăspunsul de stare corespunzător. \alonle lui s n la t = n T vor fi x ( n T ) şi în afară de cazul m caie o(t) — e(t), vom avea x ( n T ) = f c x ( ( n T ) . Diferenţa între x ( n T ) şi x e ( n T ) este o eroare ce provine din îeprezentarea lui e(f) prin e(/). Chiar dacă nu am tratat acest tip ae eroare, se ştie că dacă transformăm un set de ecuaţii de stare neomogene intr-un set de ecuaţii omogene, confoim celor aiătate în cap. 4, atunci acest tip de eroare nu mai apare deoarece pentiu ecuaţiile omogene . 374 5. SOLUŢII INTEGRALE Probleme P.l. în text, este introdus conceptul de convoluţie a două matrice de funcţii; să se extindă acest concept la mai mult decît două matrice de funcţii. P.2. Să se demonstreze că produsul de convoluţie al funcţiilor scalare se bucură de aceleaşi proprietăti ca înmulţirea obişnuită : Dacă fi, ţ 2 şi f3 sînt funcţii integrabile (astfel incit ’ f* ’ ’ fi * fi = \ fi ( i ~ x ) d x este definită Şi analog f 2 *■ f z şi fi * f3), atunci Jo (a) fj * f = f2 * fi (b) fi * (f2 * (legea comutativităţii) 2 f3) = (fi * (c) u-x-f—f-x-u = f, f2) * fi (legea unde u este (d)fi * (f2 + f3) = fi * f2 + fi * fa asociativităţii) funcţia treaptă unitate (identitate) (legea distributivităţii) Care din aceste proprietăţi se menţin atunci cînd considerăm convoluţia matricelor de funcţii ? P.3. în metoda de obţinere a integralei de convoluţie din relaţiile de stare, se obţine o singură formă a integralei, adică cea dată în (21). Arătaţi că celelalte forme sînt de asemenea valabile. P.4. Să se găsească răspunsul la impulsul unitate şi răspunsul la treapta unitate a circuitelor din fig. 5.P4 presupunînd condiţii iniţiale nule. Răspunsurile cerute sînt indicate în figuri. Să se demonstreze că se satisface (31). 10 Fig. 5.P.4. 3 m O 'H 'P' )?(*) 375 PROBLEME P.5. Să se găsească răspunsul aceloraşi circuite la funcţiile de «staţies din fig. 5.Po folosind răspunsul la impulsul unitate sau treapta unitate şi intcgra a de suj^rpoz ţi6. (Or o are mai multe notări pentru a corespunde diferitelor surse existente în fig. o.P4. P 6 Circuitul echivalent al unui amplificator cu cuplaj RC, este arataţ in fig. 5.P6; Să se găsească răspunsul amplificatorului la excitaţiile arătate în fig. 5.P5ţ°los‘"d 0 11nlegra de superpoziţie cu 1) răspunsul la impulsul unitate şi 2) răspunsul la treapta unitate. n C 376 5. SOLUŢII INTEGRALE l\7. Să se rezolve ecuaţia integrală de tipul celor de convoluţie : ^(0 + [ J^t)^ - t) d- = g 2 (t). .' ft Matricea de funcţii necunoscută este &({), iar <S x (ţ) şi sînt matrice patrate şi sînt matrice de funcţii (integrabile) cunoscute. P.8. Să se găsească o soluţie a următoarelor ecuaţii integrale scalare : (a) f(t) -V ( (*) f(t) ( f( f(t)£-2(' -t) dr = 2t; Jrt s i n (/ — t)^t = 5; df rl M — + 2f(0 + 9 j (/ - T) dT = 1 - e-2* , /'(O) = 0. P.9. Să se găsească o soluţie a următoarelor ecuaţii integrale matriceale : r " £“ C-T) (a) &(t) + \ J^t) 0 H- - . .2 Hk’ r 1 (b) P(t) + ^ J^(t) H•o - e-2((-r) 1 0 E-2«- 1 0 E .0 I\10. Se dă ecuaţia diferenţială dt 2 dt dt y(0 + ) = y(0 + ) = 0. Si se găssascî o formulă explicită pentru y (t) (soluţia), găsind mai întîi 0■ -2(!-T) _ rfx = ‘£—2* / . 0 te-t _ 'sin? 0 1" dT = 0 cos t — 1 . 0 0 £-» . PROBLEME 377 378 5. SOLUŢII INTEGRALE Să se folosească aceasta formulă pentru aflarea soluţiei cînd f(t) este (a) f(0 = 1, 0, 0 < t< 1 1 i l, (i>) m = (c) m = P.ll. Pulsul de tensiune triunghiulară arătat o.Pllb. Să se calculeze răspunsul tensiune de ieşire teorema convoluţiei. 0, i <« r fi, o < / < 1 .0. i în fig. 5.11a se aplică circuitului din fig. pentru orice moment de timp, folosind P.12. Să se demonstreze teorema translaţiei (deplasării) din teoria transformatei Laplace folosind teorema integralei de convoluţie. P.l:J. Pulsul Lrapezoidal arătat în fig. 5.P13a se aplică circuitului din fig. P5,13b. Să se găsească răspunsul tensiune de ieşire folosind teorema convoluţiei. PROBLEME 379 380 5. SOLUŢII INTEGRALE P.14. Circuitului din fig. 5.P 14 a i se aplică drept excitaţii două surse de tensiune. Tensiunile ca funcţii de timp sint arătate în fig. 5. P 14, b. Folosind teorema convoluţiei să se calculeze răspunsurile indicate pe figură şi anume v, z'j şi i 2 , în funcţie de timp. ’ 2 12 3b 2 / i 2 3‘f b Fig. 5.P.14. IM5. Să se demonstreze că ||s^2’|| ||SJî’||-1. P.1S. Circuitului din fig. 5.P 11 b i se aplică o excitaţie dată de tg(f »i(0 = Să se găsească impulsul aproximativ al circuitului pentru 0<^/<2, folosind reprezentarea prin serie în timp. Să se estimeze eroarea maximă apărută în soluţie pentru intervalul ales. P.17. Să se repete problema 1.16, folosind însă excitaţia arcsin l, 0 < / < 1 | 0 < ^ — »i(0 o, 1 < / Să se folosească aproximarea in trepte şi răspunsul la treapta unitate. Să se estimeze eroarea. _ P.18. Se aplică circuitului din fig. 5.P 18 a funcţia de excitaţie din fig. 5.P 18 b. Să se găsească răspunsul aproximativ v„(t) pentru 0-^7^5. o 381 PROBLEME P.19. Pentru fiecare din circuitele din fig. 5 P 4 să se cal*ule; zjtoare răspunsului la V. i m p u i s u l = 0 ’j -15, cinci exitaţiilecircuitului arătate v e n t a în t i m p a răspunsului circuitului pentru n u, i, , . *- fio 5 P 5 sînt aproximate prin secvenţele lor în timp. ^ P.20. Răspunsul la impulsul unitate w s (t) a unui circuit cu o singura intrare şi o si ^x* = D on o Fnirînrî secvenţa în timp pentru răspunsul la impulsul uni.şire este aratat m fig răspunsului circuitului, pentru n = 0,1 2, _ 0 -1 1 (£ = II «5 sd 1 1 . l6, cînd excitaţiile circuitului e(t) arătate în fig. 5. P 20 b sînt aproximate prin secvenţele lor li timp. _ P.21. Se consideră circuitul pentru care . -1 0' -1 2 .1 - - ■ 1' ,@ 1. .- problemele 21 şi 22 după din matncele . I ** 1 - 0 1' > (c) . (b) (a) ‘2 0. 1 -1- O 1 -2 —1. P.2Î. Să se repete Problemele 21 şi 22 după înlocuirea lui s/, 0 1,9 = 0. .1 -1 lj si = 1- , n wp a i T W s a f W f w w w w *” siisiiiimmmmsi P.23. Să se repete înlocuirea lui cu fiecare 1 9 =0 0. = •-2 1 3’ 0 -1 0 .0 2 -3. 9, 2 _-l_ x(0) = [t _i l]', El = [0,001 0,020 - P.25. Să se repete problema 21 înlocuind e(0 şi *(0) cu fiecare din următoarele : (б) e (0 = [sin f], = t° 01' x(0)=[l-l]' x(0) [0 1]' x(0) = [o or (c) e(/) = [2u(/)-u(<-l)]> (d) e(f) = [u(0-e-2,l. (e) e(0 = [2s-‘-3c-2(], £4 , <? = 0,001]'. (а) e(t) = [/e-M. şi 2-1 ^ ■ 0' , st = x(0) x(0) = [1 0]' prin 383 PROBLEME p.28. Să se repete calculele din exemplul dat in paragraful 5.6. folosind celelalte norme :e matrice date in (83). P.27. Pentru fiecare din matricele si de mai jos (o ) . (b) _ 0 — 1. r co co 1 - -1 0 ■ , (<0 _ -4 1 . -1 1 0 _2 1" 1 .0 0 — 1. se determine K în trunchierea dată de (87) şi marginile erorii din (104) şi (108), cmd 2 _ q i şi A = 0,001. Să se folosească cele trei norme de matrice diferite dm r.28. Să se repete calculele din problema 21 dupa înlocuirea lui £<W pun -a ajutorul seriei de puteri trunchiate A. calculată astfel incit in cnteiiul e ’ ( se '.Ml şi (b) A = 0,001. în fiecare caz să se foloseasca cele trei norme diferite date in (8 ). v. . ;ompare rezultatele acestor calcule cu cele obţinute în problema 21. P.29. Să se repete problema 28 după înlocuirea lui si de către matricele din problema :3. . . 1* 30 Dacă e(t) si r(<) sint excitaţia aplicată şi respectiv răspunsul unei reţele linia™ nvarian'te in timp N, atunci aşa cum se_ arată în fig. 5. P 30, r<*K0 va fi răspunsul reţelei e fr) (l) Acest lucru sugerează o metodă de calcul a unei aproximau a ( ( ) 7a aprox^nra e prin egmente de dreptă, (b) se va deriva o dată, pentru a obţine o aproximare ^trepte a lui e (sau de două ori, pentru a obţine o aproximare cu o succesiune de impul- .jri a lui e), (c) se va găsi răspunsul lui N la aproximaţia lui c (sau e) şi d) se \a “êgia dată (sau de două ori) pentru a obţine răspunsul aproximativ. Folosind aceasta _mâ, --ntru răspunsul la impulsul unitate sau răspunsul la treapta unitate, sa se calculeze raspu aproximativ al circuitelor din fig. 5. P 4 pentru excitaţiile din fig. 5. P o. eft) o -------- N -------Or(i) C=> e<*>(i)o ----------- N ,M(t) Fia. 5.P.30. Următoarele patru probleme implică pregătirea unui program pentru a_ ajuta m ?:\area soluţiei anumitor probleme. în fiecare caz. să se stabilească o organigramei.xm set • instrucţiuni de program intr-unui din limbajele de utilizare de exemplu FORTRAN , pentru un calculator numeric în scopul efectuării calculelor problemei. Sa se includă in program set de instrucţiuni de utilizare. P.31*. Să se scrie un program pentru evaluarea lui \\e (nT) pentru n ^1, ■ ■ ■ N conform ru c65). Valorile lui A, e(kT) şi u>s (kT) vor fi introduse ca date de intrare. P.32*. Să se scrie un program de evaluare a lui A, aproximaţia lui z^ T , in (87). Programul trebuie să conducă la o alegere a lui K pentru care (95) este valabilă Matricea st şi sca- :.i-ii T şi A sint specificaţi ca date de intrare. Sa se foloseasca norma matricei dm (83. a) sa *3. c). P.33*. Să se scrie un program pentru evaluarea lui \ e (n T ) pentru n — 1,.. A, conform lui "oi cind e(jiT) = 0 pentru orice n. Valorile lui AT, x(0), şi z-^ T vor fi specificate ca date de intrare. P.34*. Să se combine programele din problemele 32 şi 33 pentru a forma un singur program care pornind dela A, x(0), st, T şi A ca date de intrare, să evalueze xe- ( n T ) pen- n 1, • • ■ Ar cind e ( n T ) = 0. Reprezentări ale funcţiilor de circuit (reţea 1 Scopul acestui capitol este de a discuta modul în care se reprezintă funcţiile de circuit şi de a începe studiul proprietăţilor funcţionale ale circuitului, ca funcţii analitice de o variabilă complexă. Vom insista mai ale> asupra acelor proprietăţi care se aplică în general funcţiilor de circuit, fără a ţine seama de natura lor specifică de funcţii de intrare sau de transfer. Deasemeni vom studia relaţiile care există între părţile unei funcţii de circuit — părţile reală şi imaginară, modul şi fază — şi vom observa cum se reprezintă funcţia prin oricare din părţile sale componente. 6.1. POLI, ZEROURI ŞI FRECVEXŢE NATURALE Reamintim că o f u n c ţ i e d e c i r c u i t este definită ca raportul transformatei Laplace a unui r ă s p u n s la transformata Laplace a unei e x c i t a ţ i i cînd circuitul nu conţine energie iniţială acumulată. Vom începe prin a releva cîteva proprietăţi elementare ale funcţiilor de circuit menţionate anterior, chiar dacă unele din ele nu au fost enunţate în mod explicit. Ne vom ocupa de circuite cu elemente concentrate, liniare, invariante în timp. Funcţiile de circuit ale unor astfel de circuite sînt f u n c ţ i i r a ţ i o n a l e , rapoartele a două polinoame întregi. în capitolul 3 am legat funcţiile de circuit de determinanţii şi cofactorii matricelor admitanţelor la noduri, sau impedanţelor de contur. Să facem legătura lor cu ecuaţiile de stare. Reamintim că ecuaţiile de stare pentru un circuit pot fi scrise după cum urmează : d x, e Şi -ul termen dm cea de a doua ecua, y Tll,;ritr condensator s i sursa urent independentă pe secţiune. ^ * <«* - T anin re ale xSVsubstituim in ce, de i doua. Rezultatul va fi 21): \(s) = (sU -^)~1JE(S), w \ s ) = {« («u - ^r 1 a + ® + s k E («). (2a) (2&) 21 Observăm că e(0) nu aparein (26), deşi derivata lm e apare 1M1 b vat0a?eViniţială a i-r-H-it de condiţia ca circuitul să nu conţină energie ml., aDare în ecuaţie. Deoarece ea -i. e poate apare numai dacă derivata termenului “P««re sau secţiuni conţinînd -3 ipare numai atunci cînd există conturun numai curenţii iniţiali prin bobine egali c ndens at oare -rr-ai bobine, punînd tensiunile iniţiale pe ° ’el "e„ea zero. t , n z*ro, va fi necesar ca valorile iniţiale ale excitaţiei sa fie deasemenea 385 6.1. POLI, ZEROURI ŞI FRECVENŢE NATURALE Termenul din acoladă este matricea de transfer H(«), în care fiecare dm riemente este o funcţie de circuit, Astfel: H (s) =«(sB U examinăm aceasta expresie cn -laţie directă între excitaţ.e ş, către \ceşti termeni deteimma comportarea răspunsului tiuu > ^„1,. De tapt M» cnm s-a observat in nltinml capitol » este matricea, '-ziduurilor lui H(s) infinit. “ în Primul termen din (3) « ş i * - ua complexă s apare numai m ( s l i - j f ) • botina a^; i '-eristic al lui s i , acest termen poate fi sens c g ( 8 U—-77* [adj (sXJ-^/)] V^TÎ*I came' ^- (4) d(s) Elementele lui adj («D-rf) sînt factorii “ pd“mS- -.--linoame. Acest fapt nu ^te modific, întregul termen este urmare -,;oată cu < € si postmultiplicata cu J - Pnn unna o matrice ale cărei elemente mipar i e l (• )• ^ astfel că funcţiile de circuit smt funcţii îaţionale ae . 386 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT Din cele precedente pot fi stabilite şi alte lucruri. în capitolele precedente neara referit la f r e c v e n ţ e l e n a t u r a l e ale unui circuit. In capitolul 3 ele au fost considerate zerourile determinantului matricei inrpedanţelo: de contur, sau al matricei admitanţelor la noduri. S-a arătat că aceşti do: determinanţi pot diferi cel mult prin multiplicatorul K s p şi prin urmare zerourile lor nenule sint aceleaşi. în capitolul 4 frecvenţele naturale s-au tratat ca valori proprii ale matricei A , anume ca zerouri ale lui d ( s . Vedem că zerourile lui d ( s ) sint aceleaşi ca şi cele ale determinantulir. impedanţelor de contur şi ale determinantului admitanţelor la noduri. Aceasta rezultă din faptul că W ( s ) se referă la o r i c a r e ieşire. Astfel, dac-â alegem ca ieşiri toate tensiunile la noduri, şi numai acestea, W(s) este matricea transformatelor tensiunilor la noduri. Deoarece soluţiile circuitelor sint unice, ( 2 b ) trebuie să dea aceleaşi rezultate ca soluţia ecuaţiilor la noduri. în ultimul caz, numitorul soluţiei va fi A„. Prin urmare Aj, şi ă ( s ) au aceleaşi zerouri nenule. O concluzie similară rezultă cu privire’ la A*. Pentru uşurinţa referirii vom enunţa acest rezultat sub forma unei teoreme. Teorema 1. Z e r o u r i l e n e n u l e a l e l u i det ( s \ J — $ £ ) s î n t a c e l e a ş i c a ş i z e r o u r i l e n e n u l e a l e l u i det ( A Y A ' ) ş i det (BZB') Poziţiile polilor Fie F ( s ) simbolul generic pentru o funcţie de circuit. Fiind o funcţie raţională ea poate fi scrisă în uimătoarele forme : ,F g) = b n s ” + b«-i s’1_1 =g (*~*0l) • • • + a,3*+_gp , +"'+M (*-£02) • •• (S ~ S 0m) (5a (56 (s—sPi) (s—s p 2 ) ■ --(s—S„J. A Deoarece fiecare din matricele s / , 3 8 , < 8 , 9 şi ® din membrul drept al lui (3) sînt matrice de numere reale şi F ( s ) reprezintă orice element al lui H(s), toţi coeficienţii lui s din (5 a) trebuie să fie reali1). Dacă s ia numai valori reale în (5 a j , atunci F ( s ) va fi real. O funcţie de variabilă complexă x) Acest enunţ trebuie privit în mod obişnuit, deoarece este posibil a multiplica fiecare coeficient din numărător şi numitor printr-un număr complex arbitrar, fără a schimba funcţia. Această dificultate este depăşită făcînd, să zicem, coeficientul puterii celei mai mari a numitorului să fie egal cu unitatea. «re este reală eînd variabila este reală, se numeşte f u n c ţ i e r e a l ă . Astfel, toeţaie ie cSrcmt sint funcţii reale <le ,. Dm M* ««uita nned.at p r o p r i e t a t e a d e r e f l e x i e , anume («) F («) = F (s); adică funcţiile de circuit iau valori conjugate în punctele conjugate dm “"ss “Ivim 'cea .le » doua- formă a lui (5) in care sint puşi ttnggyg nolii s si zerourile s Pină la un factor de multiplicate K , funcţia de chcuit’kte“ mplet pl 387 6.1. POLI, TEROURI ŞI FRECVENŢE NATURALE determinată de polii ,i zerourile Sale care ,, determma Planuls O Fig. 6.1. Reprezentarea poli-zerouriior. O— --- e- C •„4.x*:i0 onniitipp De fant nolii si zerourile dau reprezentarea unei proprietăţile analitice. I ? i »n a - i f7f}T^nviipQîTrfivenrezencercuri s i p o l U p r i ^ A^stoi' reprezentări le spunem d i a n a m e v o l i — * e r o u r i . Proprietatea de reflexie (6) implica faptul ca po ţ i ! u n e i X n c ţ i i de circuit sint fie reale, fie in perechi complex (-°njugate o rietate simplă a funcţiilor de circuit rezultă dintr-o consideraţie de stabilitate. Cunoaştem că răspunsul liber este determinat de polii funcţiei de circuit. Deoarece 1 L(«— , -rl0.em concluzia că funcţia de circuit a unui circuit stabil nu poate avea !®sSw n Sli-Vî: Cî. i:r ve «.-jm s f — Î = . (7) 388 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT proprietate şi deoarece una este reciproca celeilalte, funcţiile de intrare nu pot avea nici poli nici zerouri în semiplanul drept. Mai mult, atît poli: cit şi zerourile de pe axa imaginară trebuie să fie simple. în cazul unei funcţii de transfer, reciproca nu este o funcţie de circuit. Prin urmare, nu putem spune nimic despre zerourile sale. Ele pot fi situate oriunde în planul complex, fiind supuse numai proprietăţii de reflexie. Părţile pară şi impară ale unei funcţii în general F ( s ) va avea atît puteri pare cît şi puteri impare ale lui s ; ea nu va fi nici funcţie pară nici funcţie impară. Prin urmare putem scrie F ( s ) = Par F ( s ) + Imp F ( s ) , unde Par F ( s ) înseamnă „partea pară a lui F ( s ) ” şi Imp F ( s ) înseamnă „partea impară a lui F ( s ) ” . O funcţie pară g ( s ) este caracterizată de proprietatea g { — s ) = g ( s ) şi o funcţie impară de proprietatea g ( — s ) = — g { s < . Utilizînd aceste proprietăţi şi ţinînd seama de (8), putem exprima părţile pară şi impară ale unei funcţii după cum urmează : Par F ( s ) = | [ F ( s ) + (9 a, Imp F ( s ) = i [ F ( s ) — F ( — s ) ] . Pot fi obţinute şi alte forme dacă puterile pară şi impară ale lui s sînt grupate atît la numărătorul cît şi numitorul lui F ( s ) . Astfel scriem F(s) •TOj(s) + n^s) (9 6 (10; m2{s) + n2(s) unde Wj şi m 2 sînt polinoame pare, iar % şi n 2 sînt polinoame impare. Ţinînd seama de aceasta în (9), avem Par F ( s ) = - m J ( s ) m 2 ( s ) — %(s) n 2 ( s ) (11 a ) m22(s) — n22(s) Imp F ( s ) n1(s)m2(s)—n2(s)m1(s) (116) m22(s) — n22(s) . . ?! .i!i; • . j". 1J- . dllu . . deliii® :s- 6.1. POLI. ZEROURI ŞI FRECVENŢE NATURALE 389 N'otâm că numitorul este acelaşi atît pentru partea pară cit şi pentru partea impară a lui F ( s ) şi este un polinom par. ûmaratoru lui Par F ( s ) este par şi acela al lui Imp F ( s ) este impar, aşa cum, de lapt, trebuie să fie. , . Este interesant de a observa unde sînt situaţi polii lui Par F { s ) (şi de asemenea ai lui Imp F ( s ) ) . Din (9) rezultă clar ca Par F ( s ) are polii lui F t s ) si F l s ) . Dar polii lui F ( - s ) smt imagini ale polilor lui F ( s ) oglindite în raport cu axa imaginară. Aceasta poate fi ilustrat luind următoarele funcţii F ( s ) şi F ( — s ) : n1 m. F(s) (s + l)(s2-'r 2s + 2) ni-, Fi ( —s + l ) ( s 2 — 2 s + 2 ) F , s ) are un pol pe axa reală negativă şi un pol complex conjugat m se planul sting. Polii lui F ( - s ) sînt imaginile oglindite acestora, aşa cum e^te arătat în fig. 6.2. Par F { s ) are toţi polii dm fig. 6.2, atit pe cei dm -emiplanul stîng (s.p.s) cît şi din semiplanul drept (s.p.d). Reprezentarea polilor din fig. 6.2 posedă o anumită simetrie O reprezentare a polilor care are simetrie în raport atit cu axa. reala cit şi cu jxa imaginară se spune că are o s i m e t r i e c u a ă r a n t a l a . Astfe 1 polii lui Par F { s ) şi Imp F ( s ) au simetrie cuadrantala. iim ' F(-s) Fig. 6.2. Polii lui Par F(s). Funcţia F ( s ) specifică o valoare a lui F pentru toate valorile complexe ale lui s . Dintre toate valorile lui s , de un interes deosebit sint acelea de pe axa ito. Pentru s = sîntem deseori interesaţi în comportarea uneia din următoarele componente : partea reală, partea imaginara, faza 390 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT şi modulul (sau logaritmul din modul). Acestea sînt componentele implicate în răspunsul în regim staţionar la excitaţie sinusoidală. Oricare din aceste componente poate fi interpretată ca un r ă s p u n s î n f r e c v e n ţ ă . Aceste componente ale unei funcţii sînt legate prin F ( j < * ) = -K(co) + jZ(co) = |.F(jco)| (12 unde semnificaţiile simbolurilor sînt evidente. Să considerăm relaţia (9) presupunînd că s - jco. Dorim să vedem ce devin părţile pară şi impară ale lui F ( j co). Deoarece F ( — j o > ) = F ( j co) = = F ( j < x > ) din (6) vedem că Par F (jco) = £ [ F (jco) + J(jco)] = Ee F (jco) = R (co), (13« Imp F (jco) = I [i1 (jco) — F (joi) J = j Im F (jco) = j.V (co). (136 Aceasta înseamnă că partea reală a unei funcţii pe axa jco este partea sa pară, iar partea imaginară pe axa jco este partea sa impară împărţită prin j. Altfel spus, partea reală a lui F ( j o ) este o funcţie pară de frecvenţa unghiulară co, iar partea imaginară este o funcţie impară de co. Modulul şi faza unei funcţii Enunţuri similare se pot face pentru modul şi fază. Astfel, utilizînd notaţia din (12) putem scrie pătratul lui F ( j co) după cum urmează : W (jco) = F (jco) F (- jco) f’00;1 - | F (jco) j2 F(-jo>) Prin urmare ^ ( j w )!2 = F ( j < a ) F ( - j b > ) , (14«) <p (<o) = — ln \■ • (146) 2? J'(—j co) înlocuindco prin — covedem că modulul la pătrat este ofuncţie raţională pară de co. Observăm că |-F(jco)|2 este valoarea funcţieiraţionale pare 6 ( s ) — F ( s ) F ( — s ) pe axa jco. Este interesant de notat că atît polii cît şi zerourile lui 6 ( s ) apar în simetrie cuadrantală, proprietate a oricărei funcţii raţionale pare. Pentru fază aven) 2 j = F ( jco) -*<„>■ 2 j 1 ( — Jco) (15) 6.2. FUNCŢII DE FAZA MINIMA 391 Prin urmare, sîntem tentaţi a spune că faza este o funcţie impară de co. însă faza este o funcţie multiformă. De aceea, afirmaţia de mai sus este întemeiată numai dacă rămînem pe o suprafaţă Riemann adecvată. Funcţia de întîrziere O funcţie de transfer va fi numită ideală dacă este de forma F ( s ) = s-ST. Pentru s = jco modulul este identic egal cu unitatea şi faza este piopoi- Tională cu co. Dacă un circuit avînd această funcţie de transfer este excitat de un semnal e ( t ) , răspunsul circuitului, ţinînd seama de teorema intirzierii din teoria transformării Laplace, va fi u > ( t ) = e ( ţ — t ).^ Semna u de răspuns este acelaşi ca şi excitaţia, cu excepţia faptului că este intii ziat in timp cu o valoare ’t, numit timp de întîrziere. Deoarece <P(co) = —cot pentru funcţia ideală, timpul de întîrziere este minus derivata funcţiei de fază. Pe baza celor precedente, f u n c ţ i a î n t î r z i e r e , pentru o funcţie de transfer arbitrară, este definită astfel T ( c o ) = — — <P(co). <?co (16) în contrast cu funcţia de fază, întârzierea este o funcţie raţională. 6.2. FUNCŢII DE FAZĂ MINIMĂ Asa cum am observat mai înainte în acest capitol, zerourile funcţiilor de transfer pot apare în orice parte a planului complex. Funcţiile care nu au zerouri în semiplanul drept au anumite proprietăţi care 'int foarte importante. Pentru acest motiv dăm acestor funcţii un nume distinct pentru o identificare mai uşoară. Definim f i m c ţ i e d e t r a n s f e r d e f a z ă m i n i m ă c a f i i n d a c e a f u n c ţ i e c a r e n u a r e z e r o u r i % n s e m i p l a n u l d r e p t . Dimpotrivă, orice funcţie de transfer care are zerouri (chiar un zero) m semiplanul drept este numită funcţie de f a z ă n e m i n i m ă . Motivul acestor denumiri va deveni evident în cele ce urmează. 392 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT în scopul de a determina efectul zerourilor din semiplanul drept asupra modulului şi fazei unei funcţii de transfer, considerăm fig. 6.3a. în această figură se arată o pereche de zerouri conjugate în semiplanul drept şi imaginea din semiplanul stîng a acestei perechi. Fie P r ( s ) şi Pf(* Fig. 6.3. Zerouri reale şi complexe în simetrie cuadrantală. polinoamele de gradul doi care au respectiv perechea de factori din semiplanul drept şi perechea de factori din semiplanul stîng, adică Pr (S) = (s - s0) {s — s0) (17«j Pi (s) = (s + s0) ( « + sQ). Este clarcă P r ( s ) P ^ — s ) . Construcţia geometrică că modulele luiP r şi P i sînt aceleaşi cînd s = jco. găsim arg (17b) din figură arată Astfel pentru faze P,(jco) = 7t —ax—[2tc —(7t — a 2 ) ] = — (ocx + a2), arg Pi(jco) = «i + k2 = — argP„(jco). (18a) (186) Notămcă, pentru ca faza lui P r să fie zero la co = 0, aşa cum de fapt trebuie să fie dacă faza este o funcţie impară, faza lui ( s ~ s„) s-a scris — (7r + a2) în loc de ~ —x2. Diferenţa de 2 n corespunde specificării fazei pe una din foile suprafeţei Eiemann în loc de o alta. Această dorinţă de a i.2. FUNCŢII DE FAZA MINIMA 393 avea funcţia fază o funcţie impară de co este foarte înrădăcinata la teoreticienii circuitelor. Motivul principal pentru această dorinţa este ca ea 'implifică enunţul multor teoreme pe care le vom trata ulterior m acest capitol. ^ . . Din fig. 6.3 rezultă clar că ax + a2, faza datorată zerourilor dm senii- planul stîng este pozitivă pentru orice co pozitiv. Ea variaza de la U la 51=0, pînă la tc la « = co. Acest lucru este ilustrat m fig. 6 4 Rezulta atunci că faza unei perechi de zerouri conjugate în semiplanul drept este Fig. 6.4. Unghiul unei perechi de zerouri complexe in semiplanul stîng. întotdeauna negativă pentru valori pozitive ale lui « variind de la 0 la <o=0 pînă la—Ttla <o ■■= oo. Să considerăm situaţia din fig. 6.3 f e m c a i e se arată un zero real pe axa reală pozitivă şi imaginea sa în semiplanul sting. Din nou modulele celor doi factori (jco-a) şi (jco+a) smt egale. Faza factorului din semiplanul stîng (jco+a) este a pentru o. pf.zitiv. (Faza va t! — a pentru co negativ). Cu scopul de a face ca faza sa fie o funcţie impaia, vom alege pentru faza factorului din semiplanul drept jco-a, valoarea — (~-|-a) pentru co pozitiv şi (re — a) pentru co negativ. Graficele acesto faze sint arătate în fiş;. 6.5. Observăm că în cea de a două figura exista Fig. 6.5. Exemple de funcţii de fază : (a) arg (jco + «): (M are <S“ ~ a) 394 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT o discontinuitate de 2 n , care este introdusă din dorinţa de a face ca faz;> să fie o funcţie impară. Această discontinuitate corespunde la trecere; de la o suprafaţă Riemann la alta. Dacă considerăm două zerouri în semiplanul drept, putem defin. fazele astfel ca această discontinuitate să fie eliminată. Situaţia devine similară cu aceea a unei perechi de zerouri conjugate din semiplanul din dreapta. Astfel saltul apare în origine numai cind există un număr impar de zerouri în semiplanul drept. Funcţii trece tot şi de fază minimă Pe baza celor discutate să considerăm acum următoarele două funcţii de transfer : (19a F ^s ) = ( s — s 0 ) ( $ — s 0 ) F ( s ) = F l ( — s ) F ( s ) , F î s ) = ( 8 - j - s 0 ) ( s - \ - s 0 ) F ( s ) = F i ( s ) F ( s ) , (19f t unde s 0 şi conjugatul său sînt situaţi în semiplanul drept. Aceste două funcţii sînt identice, exceptînd faptul că I \ ( s ) are o pereche de zerouri in semiplanul drept, în timp ce în F 2 ( s ) acestea sînt înlocuite de imaginile lor din semiplanul sting. Funcţia comună F ( s ) poate avea factori suplimentari în semiplanul drept. Presupunem că multiplicăm numărătorul şi numitorul lui F ^s ) cu factorii din semiplanul sting (s+s0) (s+*s0) = F i ( s ) . Rezultatul va fi : unde (21, F (s ) = = (s-SqH*-Sq} F I ( S ) (s+s0) (s-f s0) Să definim o f u n c ţ i e t r e c e t o t ca o funcţie de transfer avînd toate zerourile în semiplanul drept şi toţi polii ea imagini ale zerourilor sale în semiplanul stîng. Rezultă prin urmare că o funcţie trece tot are modulul egal cu unitatea pentru toate valorile lui s = jco . (Acesta este motivul pentru care s-a numit astfel). Ultima ecuaţie arată că F 0 ( s ) este o funcţie trece tot. Ea este o funcţie trece tot de o r d i n u l d o i , ordinul referindu-se la numărul de poli. Din (18), faza lui F 0 este : arg F 0 ( j co) = arg P,(—jco) -arg P,(jco) = —2(oc1+a2). (2 2 ) 395 6.2. FUNCŢII DE FAZA MINIMA Pentru frecvenţe pozitive faza este negativă. Astfel faza unei funcţii trece tot este negativă pentru toate frecvenţele pozitive. Utilizînd această T.-uaţie putem scrie arg F ^ j u ) = arg F 2 ( j < a ) + arg P0(jco)<arg f2(jco), (w >0). (23) Acest rezultat ne arată că pentru toate frecvenţele pozitive faza unei funcţii avînd zerourile în semiplanul drept este mai mică decît aceea a funcţiei obţinută cînd o pereche din aceste zerouri este înlocuită cu imaginea -a din semiplanul stîng. Acest procedeu de exprimare a unei funcţii de transfer ca produsul altor două poate fi repetat, în fiecare etapă o pereche de zerouri complexe, ?au un zero real din semiplanul drept, pot fi înlocuite cu imaginile lor dm semiplanul stîng. Se obţine astfel o succesiune de funcţii, din care F } şi F * sint primele două. Fiecare factor al succesiunii va avea mai puţine zerouri în semiplanul drept decît cel precedent. Lltimul factor din această succesiune nu va mai avea zerouri în semiplanul drept. Fie el F m ( s ) . Prin definiţie F m ( s ) este o funcţie de fază minimă. Folosind (23) şi rezultatele -imilare pentru celelalte funcţii, putem scrie arg JP1(jM)<arg F 2 ( j a > ) < • • - < F m ( j u > ) , (w>0). (24) Fiecare din funcţiile din acestă succesiune va avea acelaşi modul pe axa dar fazele vor fi progresiv mai mari. în mod paradoxal, funcţia de fază -.inimă va avea faza cea mai mare (algebric, dar nu in mod necesar în modul). Motivul acestei nepotriviri este următorul. Am definit funcţiile :*• transfer ca rapoarte ale transformatei Laplace a ieşirii la transformata Laplace a intrării. Cînd conceptul de fază minimă a fost introdus pentru prima dată de Bode, el a definit funcţiile de transfer ca rapoarte ale transformatei Laplace a intrării la transformata Laplace a ieşirii. Cu o astfel definiţie, inegalităţile din (24) vor fi inversate şi funcţia de fază minimă f-.i avea, algebric, faza cea mai mică. în fiecare etapă din procedeul de mai sus se obţine o funcţie trece -.:>t de ordinul doi, sau de ordinul unu. Produsul unui număr oarecare de funcţii trece tot este din nou o funcţie trece tot. Rezultă că o r i c e f u n c ţ i e ^ > i ' t r a n s f e r d e f a z ă neminimă poate fi scrisă ca produsul unei funcţii de fază minimă şi al unei f u n c ţ i i t r e c e t o t , adică F ( s ) = F J s ) F a ( s ), (25) tnde F m este o funcţie de fază minimă şi F a este o funcţie trece tot. Diferenţa de fază Un alt rezultat se poate stabili considerînd variaţia fazei unei funcţii trece tot cînd co creşte de la zero la infinit. ’ Ecuaţia (22) împreună cu fig. 6.3 a , arată că schimbarea fazei definită ca faza la plus infinit minus faza la co = 0, pentru o funcţie trece tot de ordinul doi este — 2 n . în mod similar, pentru o funcţie trece-tot de ordinul unu putem găsi din fig. 6.5 că această variaţie, neluînd în consideraţie discontinuitatea la co =0, este A& = —n . 396 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT Este uşor de apreciat că pentru o funcţie trece tot de ordinul n variaţia fazei este — m c , neluînd în consideraţie nici o discontinuitate la co=0. Dacă n este par, nu va exist:-, discontinuitate la co=0 ; dacă însă n este impar, va exista o discontinuitate de — 7T şi variaţia totală a fazei va deveni — m z — T z . Considerăm acum o funcţie de fază neminimă care are n zerouri in semiplanul drept. Aceasta poate fi exprimată ca produsul unei funcţii dt fază minimă şi a unei funcţii trece tot de ordinul n . Diferenţa de fază funcţiei de fază neminimă cînd co variază de la zero la plus infinit, va i; diferenţa de fază a funcţiei de fază minimă corespunzătoare, plus diferenţa de fază a funcţiei trece tot. Deoarece aceasta din urmă este o cantitate negativă, rezultă că o funcţie de fază neminimă are o diferenţă de fază mai mică (numai algebric) cînd co variază de la zero la infinit, decît funcţia de fază minimă corespunzătoare, diferenţa fiind m z , sau n i z - \ - T Z , unde n este numărul de zerouri din semiplanul drept. Este de asemenea interesant de a determina diferenţa de fază unei funcţii de fază minimă cînd co variază de la zero la plus infinit. Con7C . tribuţia fazei fiecărui zero la această diferenţă este —, m timp ce contn- - 2 butia fiecărui pol este -------- —. Prin urmare diferenţa de fază va fi de — or: ’22 numărul de zerouri finite, minus numărul de poli finiţi. Rezultă că dacă funcţia este analitică la s = c o , f u n c ţ i a d e f a z ă m i n i m ă v a a v e a |A<2>| m a i m i c d e c î t f u n c ţ i a d e f a z ă n e m i n i m ă c o r e s p u n z ă t o a r e , deoarece ambele faze sînt nepozitive. Polinoame Hurwitz Să considerăm acum un alt aspect al funcţiilor de fază minimă si neminimă, anume relaţiile între coeficienţii unui polinom şi poziţiile zerourilor sale. Polinoamele fără zerouri în semiplanul drept deschis sînt numite p o l i n o a m e H u r w i t z . Dacă în plus aceste polinoame nu au zerouri nici pe axa jco se numesc p o l i n o a m e s t r i c t H u r w i t z . Pe baza acestor definiţii rezultă că polinomul numărătorului unei funcţii de fază minimă este Hurwitz. 397 6.2. FUNCŢII DE FAZA MINIMA O condiţie necesară pentru ca un polinoin să fie Hurwitz este ca toţi coeficienţii săi să aibă acelaşi semn. Aceasta însă nu este o condiţie suficientă (verificarea afirmaţiei se poate face uşor luînd un exemplu în care cel puţin unul din coeficienţi să fie de semn contrar cu al celorlalţi), înseamnă că anumite polinoame cu zerouri în semiplanul drept pot avea toţi coeficienţii pozitivi, sau toţi coeficienţii negativi, fără a fi polinoame Hurwitz. Totuşi, dacă un polinom are toţi coeficienţii de acelaşi semn există o restricţie asupra poziţiei permise a zerourilor sale. Restricţia este dată de următoarea teoremă. Pian s Fig'. 6.6. Domeniu interzis pentru zerourile unui polinom fără coeficienţi negativi. Teorema 2. B a c ă u n p o l i n o m r e a l P ( s ) de gradul n are toţi coeficienţii de acelaşi s e m n , e l n u v a a v e a z e r o u r i î n s e c t o r u l d e s c h i s a l p l a n u l u i s d a t d e arg s | <tt/ n . Domeniul interzis este arătatx) în fig. 6.6. în cazul limită, •Iacă singurii coeficienţi diferiţi de zero ai unui polinom sînt primul şi ultimul (adică P ( s ) = «”+«„), atunci va exista un zero pe conturul arg s \ = — . Observăm că reciproca teoremei nu este în general adevărată * n _ adică dacă zerourile unui polinom sînt excluse din sectorul |arg s| < - > nu este necesar ca coeficienţii săi să aibă acelaşi semn. Astfel toate polinoamele p^s) = s3 + 0,2s2 + 0,2s + l, P 2 { s ) = s3 + s2-0,44s+l,8, P z ( s ) = s3—0,3s2+0,6s+0,5 _ au un zero real negativ şi acelaşi factor s2—0,8 s+1 în semiplanul drept, ale cărui zerouri nu sînt situate în sectorul |arg s \ <tt/3 ; şi totuşi doua dintre polinoame au coeficienţi cu semne diferite. i) o demonstraţie utilizînd principiul argumentului este dată în Morman Balabanian, Setwork Synthesis, Prentice-Hail, Englewood Chiffs, NJ, 1958. 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT 396 6.3. CIRCUITE DE FAZĂ MINIMĂ Şl FAZĂ NEMINIMĂ Pînă acum am discutat despre funcţii. Acum, vom considera circuitele ale căror funcţii sînt funcţii de transfer. Poziţiile zerourilor de t ra n - - misie ale unui circuit depind atît de tipurile de elemente pe care le conţine circuitul, cît şi de structura circuitului. în ceea ce priveşte restricţiile poziţiei zerourilor de transmisie datorate tipurilor de elemente nu poate fi făcută nici o precizare definitivă. Astfel circuitele R C care au numai un singur tip de componente reactive pot avea zerouri de transmisie complexe, reale şi chiar în semiplanul drept. Numai structura este aceea care impune restricţiile. Circuite in scară Cea mai importantă restricţie este dată de teorema următoare : Teorema 3. Funcţia de transfer a unui circuit în scară reciproc, pasiv, fără cuplaj mutual între braţe este o funcţie de fază minimă. Graful unui circuit în scară este arătat în fig. 6.7. Laturile serie >: derivaţie nu trebuie să fie formate dintr-un singur element, ci pot fi circuite uniport arbitrare fără cuplaj între laturi. Prima şi ultima latură in derivaţie pot să existe sau nu. Folosind formule topologice pentru funcţiile de circuit din capitolul .3, impedanţa de transfer de gol poate fi scrisă astfel ^ (s) ^ = S 2 - ^ r i2.n(y) — ţTiy) ' (Oft 2 ^ 4 £T(y) ' " ^ im ' Fig. 6.7. C:rcuit in scară. Partea dreaptă rezultă pentru că nu poate să apară nici o latură în derivaţie într-un bi-arbore, care include ambele noduri 1 şi 2 dar exclude nodul 0. Zerourile lui z 2 1 ( s ) vor apare acolo unde numărătorul are zerouri şi acolo unde numitorul are poli care nu se anulează cu polii numărătorului. Fiecare arbore trebuie să conţină nodul 0 şi prin urmare fiecare produs al admitanţelor arborelui trebuie să conţină cel puţin una din admitanţele latu- 6.3. CIRCUITE DE FAZA MINIMĂ ŞI FAZĂ NEMINIMĂ 399 rilnr <wi vatie Y Y, • • • Y, i. Prin urmare polii acestor admitanţe trebuie liil» <«). Unele dinlaturile serie pot. fi deawemeni dintr-un arbore, dar polii admitanţelor Y2, I4 etc., d3n ■Ue admitantelor arborelui se anuleaza cu polu numărătorului lui ~2,. în concluzie,' z e r o u r i l e l u i z n { » ) a p a r l a z e r o u r i l e a d m i t a n t e l o r Y. Y , e t c . s i l a p o l i i a d m i t a n ţ e l o r l a t u r i l o r d e r i v a ţ i e i I 13, e t c . Dai polu şi zerourile admitanţei unui circuit reciproc pasiv nu pot fi situaţi m senup a- nr,i drent Prin urmare, teorema este demonstrata. , „ , Desi dezvoltarea s-a făcut pentru funcţia *?1, rezultatul este’adevarat îi pentru' alte funcţii de transfer, aşa cum s-a discutat m problema 1. *« dm mai gus că zerourile de transmisie ale unui circuit în seara Miit date de polii admitanţelor laturilor paralel (latura circuit) sau de zerourile admitanţelor laturilor serie (latura. lepiezmt .. întrerupere) Totuşi, nu este adevărat că un zero de transmişie t r e b u i e * apară întotdeauna in asemenea puncte, ci numai ca acestea ^nt sm- •’urele puncte la care el p o a t e să apară. Exemple in care un zeio al admitan 'ci lai m ii serie şi un pol al admitanţei laturii derivaţie nu smt zeroun de transmisie sînt date în problema 6. în „„.„.x aţii V ceste chestiuni sînt foarte utile m sinteza circuiteloi in scai a, JSu vom mai insista aici asupra acestor chestiuni, dar subl.iuwu oa afn inşti e ■ ăcut e se utilizează în sinteza unei funcţii de intrare ca de pedanta de gol sau admitanţa de scurt circuit a unui «rcuit m. b c ând prescrise anumite zerouri de transmisie. Ue asemenea, daca se pune p c Fig. (3.8. Circuite care ar putea fi de fază neminimă . (a) T podit; (i>) dublu T; (c! structurii X. blema proiectării unui filtru cu zerourile de transmisie în semiplanul drept, vom şti cel puţin că un circuit în scară nu poate realiza asemenea zei oui 1 >i deci că trebuie căutate alte structuri. fi fnnp.tii ' Structurile cele mai simple ale căror funcţii de trans e p v de fază neminimă sînt structurile în T podit, dublu T şi X, aşa cum este arătat în fig. 6.8. Dacă ele sînt într-adevăr structuri de faza nemmima Sau 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT 398 nu, depinde de tipul elementelor conţinute şi de valorile lor. Astfel circuitul dublu T din fig. 6.9 va fi de fază minimă pentru anumite valori alt- rezistenţelor şi de fază neminimă pentru alte valori, după cum se vede ix. cele două cazuri particulare din figură. G3 = 90 Circ ui f de Fază neminim.S Z e r o u r i l e de frans - misie ta: Circuif de Faza minimă Zerourile de transmisie 1 /a: 2 s=f±J3r p e n t r u = 2,2 8 n s = -1±j3,~2 pentru Gr — 52 = 0,22 ^,28 S2= 2,22 Bi G z Fig. 6.9. Circuit dublu T care poate li atit de fază minimă cit şi neminimă. Circuite de rezistenţă constantă Am văzut în (25) că o funcţie de transfer de fază neminimă poate fi scrisă ca produs al unei funcţii de fază minimă şi al unei funcţii trece tot. Acest lucru are mare importanţă în sinteză. Dacă F m ( s ) şi F J s ) pot fi realizate separat, interconectarea lor va da circuitul cerut. Fie de exemplu conectarea în cascadă a celor doi diporţi arătaţi în fig. 6.10, fiecare reali- zînd una din cele două tipuri de funcţii. Din nefericire această interconec- Fig. 6.10. Diporţi conectaţi în cascadă. 399 6 3. CIRCUITE. DE FAZA MINIMĂ ŞI FAZĂ NEMINTMA tare nu constituie o realizare adecvată, dm cauză ca folosirea celui de a doilea diport ca sarcină pentru primul îi modifică primului diport funcţia de transfer. Dacă s-ar putea face astfel încît cei doi diporţi sa nu se influenţeze unul pe altul, neexplicînd deocamdată cum se realizeaza aceasta, atunci s-ar putea folosi conectarea în cascadă, O cale de eliminare a influentei reciproce este aceea de a tace ca cei doi diporţi să fie circuite de r e z i s t e n ţ ă c o n s t a n t ă , aşa cum se arată m fio-, 6.11. Un’ circuit de rezistenţă constantă este definit ca u n d i p o r t a c ă r u i i m v e d a n t ă d e i n t r a r e l a o p o a r t ă e s t e R a t u n c i cînd c e a l a l t ă p o a r t ă e s t e t e r m i n a t ă p e o r e z i s t e n ţ ă R . Astfel oricare ar fi funcţia de transfer a celui o ------R—~ O ------- Diport rezistenta constanta de —+R Di part de ^ rezistenta constanfă ) 1' Fig. 6.11. Diporţi de rezistenţă constantă conectaţi în cascadă de al doilea diport din fig. 6.11, impedanţa de sarcină pe care el o prezintă la poarta de ieşire a primului diport este R. Cele de mai sus se apuca, ou- cărui număr de circuite de rezistenţă constantă conectate in cascada şi indiferent dacă diporţii sînt sau nu de fază minimă. Calculînd impedanţa de intrare se găseşte ca diporţn dm fig. J.i- închişi pe rezistenta R sînt de rezistenţă constantă cu condiţia = R\ adică atunci cînd impedanţele Za şi Zb sînt inverse m raport cu R* Să considerăm acum că fiecare din aceşti diporţi este terminat pe Fig. 6.12. Diporţi de rezistenţă constantă cu Z a Z b — R(u) structură, X; (b ) T podit; (c) structură T; (<î) structură 1. 400 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT rezistenţa li si să calculăm funcţia de transfer. Pentru a concretiza, ne- vom ocupa de cîştigul de tensiune G 2 1 ( s ) — V 2 / V 1 . Se găseşte ^ ^ a = ---------- ! ~ (pentru G21(S) = '> 1 _L ■' 1 I „/,K <^2i(s) = — ----— b > R + (27<n R 1 = X) ---- y (pentru Tpodit i, si T). ’ n Cititorul poate verifica aceste formule. Circuitele de rezistenţă constantă reprezintă un mijloc de realizare a unei funcţii de transfer de orice ordin. în acest scop, funcţia se descompune într-un produs de oricîte funcţii de transfer simple, fiecare din ele putîndu-se realiza separat ca im circuit de rezistenţă constantă, iar diporţii rezultaţi se conectează în cascadă. Vom discuta această problemă mai în detaliu. începem cu o funcţie trece-tot, Orice funcţie trece-tot poate fi scrisă ca produs al următoarelor funcţii trece tot de ordinul unu şi doi22’ : 1 —x, « — s « — ai > a (28a) + s i _|_î a 1 _ ais W— “2 / 2 “l ’ 6 i + ®o) (28&) ( s -f- (jjS -|- a g ) _ S2 + a 0 i ---------------------------\ /m , axs s2 -)- a 0 Dacă se compară aceste expresii cu (27 a ) se observă că ele sînt de aceeaşi formă. Prin urmare putem identifica pe Z a direct şi apoi vom găsi pe Se observă că factorul de la numărător în cazul funcţiei trece toi de ordinul unu se scrie a—s şi nu s — a. Aceasta este echivalent cu schimbarea semnului funcţiei de trans- r, sau inversarea polarităţii tensiunii de ieşire. Procedînd în acest fel se evită disconti- n uitatea de fază de tt radiani. 22 Această afirmaţie este valabilă numai in cazul in care nu sînt admişi diporţi cu. jornî comună avînd cuplaj magnetic. (N.T.). (27 401 6.3. CIRCUITE DE FAZĂ MINIMA ŞI NEMINIMĂ Zo clin relaţia Z a Z b = fi2. Astfel, pentru schema în X de ordinul unu R 1 a s aR — s, 2ăsim (29 ordinul doi ajis s2 + an ZM Diporţii ce R Zb(8) = - -8 al 1 1'’ ( ^s Ra0 realizează funcţiile trece tot de ordinul unu şi doi sînt arătaţi in fig. 6.13. Rai Ll = H I - * L Fig. 6.13. Structură (a) de ordinul a0 i-nr X de. rezistenţă constantă unu ; <b) de ordinul doi. : Structura în X prezintă dezavantajul că nu are obornă comuna de masă pentru cele două porţi. Acest dezavantaj nupoatefi evitat in. azul structurii X de ordinul unu, deoarece nu exista diport echivalent di bornă comună care să realizeze un zero pe axa reala pozitiva ). I entiu (30 402 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT structura în X trece tot de ordinul doi poate exista totuşi un diport echivalent cu bornă comună la cele două porţi. Aceasta va depinde de p o z i ţ i . zerourilor. In problema P. 10 se discută diporţii T podit şi dublu T echivalenţi unei structuri în X. Funcţiile trece tot fiind discutate, rămîne problema realizării funcţie de fază minimă, Vom ilustra realizarea unei funcţii raport de transfer ui tensiunii cu ajutorul circuitelor de rezistenţă constantă, pe un exemplu. Fie rezistenţa de sarcină R = 1 şi fie s2 - * +1 9 2_l2/ s2 - s +1 ( s2 + — + 1 ) G 2 A S ) = K ------------- ----------- --------------------------- = ---------------------------- K > s2 + 6s + 1 ga + J_ + x s2 + 6s + 1 unde K este o constantă de multiplicare pe care o vom lua egală eul în acest exemplu. Funcţia dată a fost înmulţită şi împărţită prin f a c t o r u ' suplimentar s2 - ) - s /2 + 1 pentru a pune rezultatul sub forma produsului funcţiei trece tot cu o funcţie de fază minimă, G 2 1 = F a F m . Funcţia trece tot se poate realiza imediat cu ajutorul schemei în X de ordinul doi din fig. 6.13 b . Unghiul zeroului de transmisie este 69°. Prin urmare sînt satisfăcute condiţiile de echivalenţă ale structurii în X cu T podit şi dublu T discutate în problema P. 10. ’ Pentru a realiza F m cu ajutorul unuia din circuitele din fig. 6.12 trebuie să scriem această funcţie în forma (27 b ) . Astfel s2 + i_ + i v m { » ) = ------------------------------------- 2 ------------------------ = ___________________ 1___________________ sa + 6 s - h 1 x ■ 11 s j 2 s2 + s j 2 + 1 Din aceasta rezultă *a + —+1 . 1 __ 2 ^ 2 1 , 1 - Y a ns Za 11 s 11 ' (11/2 )s 2 UuZ a Z b = R 2 şi R = 1, obţinem Z b = Y a . Observăm că latura Z a = 1/Ta este formată din conectarea în paralel a unei capacităţi, a unei inductanţe şi a unei rezistenţe. Dacă folosim pentru realizare fig. 6.12 d , rezistenţa 403 6.3. CIRCUITE DE FAZA MINIMĂ ŞI FAZĂ NEMINIMĂ E -poate fi combinată cu rezistenţa paralel din latura Z a . Realizarea finală este arătată în fig. 6.14, unde s-a folosit unul dm diporţii T podit echivaIpTlti cu schema m X.. _. Partea de fază minimă a funcţiei de transfer dm exemplul precedent a fost realizată cu ajutorul unui circuit T în scară Deşi aici nu vom face a>a se poate arăta că orice funcţie de transfer de faza minima se poate realiza printr-un circuit în scară de rezistenţă constanta (o conectare m cascadă de circuite T) alegînd o valoare suficient de mica pentru K . , 12 Fig. 6.14. Realizarea lui G2: ! - sl2 -|- 1 s2 + 6s + 1 în anumite cazuri aceasta poate cere introducerea de factori suplimentai î, care prin multiplicarea atît a numărătorului cit şi a |numitorului lasa funcţia neschimbată, dar permit identificarea cu forma (2( b). Astfel o funcţie de transfer G», = l / ( s 2 f 2» + 2) poate fi scrisa ca G 21 s2 + 2 s 2 (31) — @21(1 ^21 !>• 1 + [s + 1 + Factorul suplimentar ( s + 1) transformă funcţia de transfer în produsul a (inii‘1 funcţii fiecare din ele putînd fi pusa sub forma (27 6). Faptul că’toate funcţiile trece tot au modulul egal cu unitatea, pentru orice valoare a luî, jco este utilizat în proiectarea sistemelor de transmi! Pentru demonstraţie vezi Norman Balabanian, NetWork Sănthesi*, Prantice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. 1958. 404 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT siune, dînd posibilitatea unei proiectări independente a modulului şi a fazei unei funcţii de transfer. Astfel, se proiectează circuitul care realizează modulul cerut, fără a tine seamă de fază. Se determină apoi funcţia de fază a reţelei proiectate. în final, se conectează în cascadă cu circuitul proiectat un număr de scheme în X trece tot de rezistenţă constantă pentru a corecta faza. Dezvoltarea ulterioară a acestei idei va fi lăsată părţii ce se ocupă de sinteză. 6A . DETERMINAREA UXEI FUXCŢ1I I>E CIRCUIT DIX MODULUL SĂU Paragrafele precedente s-au ocupat în mare parte de determinarea proprietăţilor unei funcţii de circuit. Fiind dată o funcţie raţională este posibil de a determina printre alte elemente partea sa reală şi imaginară, modulul şi faza. sa. Vom considera acum operaţia inversă anume aceea de determinare a unei funcţii de circuit cînd se cunosc mimai una din părţile sale reală sau imaginară, sau numai modulul, sau numai faza. începem prin a considera pătratul modulului funcţiei. (Este mai simplu de a discuta despre pătratul modului decît despre modulul însuşi). Condiţia necesară ca o funcţie raţională. G ( j co) să fie pătratul modulului unei funcţii de circuit este simplă : Cr(jco) trebuie să fie o funcţie pară de co, iar gradul numărătorului nu trebuie să depăşească gradul numitorului cu mai mult de doi. Aceasta din cauză că funcţia de circuit nu poate avea mai mult decît un pol simplu la infinit. Suplimentar, orice pol finit al lui G ( s ) pe axa j co trebuie să fie dublu, deoarece polii unei funcţii de circuit pe axa jco trebuie să fie simpli. Fiind dată o astfel de funcţie <?( jco) pe înlocuieşte jco cu s şi se identifică polii şi zerourile funcţiei de circuit F ( s ) din aceia ai lui G ( s ) . Polii şi zerourile lui G { s ) prezintă simetrie cuadrantală, Deoarece F ( s ) trebuie să fie analitică în semiplanul drept, observăm din (14 a) că toţi polii din semiplanul stîng ai lui G ( s ) trebuie atribuiţi lui F ( s ) . [Polii din semiplanul drept ai lui G ( s ) vor fi imaginile oglindă ale acestora şi vor deveni în mod automat poli ai lui F ( - s ) \ . Orice pol al lui G ( s ) pe axa jco va fi dublu şi va fi atribuit ca pol simplu lui F ( s ) . în privinţa zerourilor nu există o regulă unică, în general nu există restricţii privind poziţia zerourilor unei funcţii de circuit, în afara de cazul funcţiilor de intrare pentru care zerourile trebuie să se afle în semiplanul stîng. Pentru funcţiile de transfer nu este nevoie să atribuim lui F ( s ) toate zerourile din semiplanul stîng al lui G ( s ) . Astfel zerourile lui F ( s ) nu sînt unic determinate din funcţia. G ( s ) dată, în afară de cazul în care se specifică că funcţia este de fază minimă. Pentru funcţia de fază minimă atît zerourile lui F ( s ) cît şi polii trebuie să fie situaţi în semiplanul stîng. 6.4. ^TERMINAREA UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN MODULULSAU^ 41 5 ca .nodului unei funcţii raţionale pe axa j» sa se compo.te in aeet^ funcţia uimi filtru trece jos ideal aratata m fig. b.lo a . Fig. 6.15. Aproximări ale filtrului trece jos ( a ) ideală; I M Butterworth ; (O Cebîsev în fio- fi 15 b si6. 1 5 . c sînt arătate două moduri de aproximare a aces■* , - ' i ' u Primul dintre ele se numeşte a p r o x i f t i & T 6 T Y K I X I M p l a t , sau HBŞ^gsagSKaSS ^■ÎFVEZ i wASnJssBraJS: îf aSf S;Voarea^c mai unifonn In Lnda de t,ece.. Formele analitice ale acestor funcţii, pini la un factor de scala, »int date de (maxim plat) |F (ja>) \ F ( j o >)\2 = (ondulaţii egale), 1+82T„ (35 2n CO 2 («) (33) 406 6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT unde 8 este un număr mic care controlează amplitudinea ondulaţiei. co = 1 corespunde la capătul benzii de trecere şi T n (co) este polinomul23 Cebîşev definit de Tn ( s l j ) = cosl1 ( n cosii-1 s / j ) , (34 care pentru s = jco se reduce la T n (co) = cos ( n cos-1 w) pentru |co | < 1. (35.- Problema care se pune este de a găsi funcţia de transfer F ( s ) cînd este cunoscut modulul la pătrat pe axa jco. Răspunsul maxim plat Să considerăm răspunsul Butterworth. în concordanţă cu cele discutate anterior, se înlocuiesc mai întîi 6j2 cu —s2 în (32). Eezultă G ( s ) = F ( s ) F ( — s ) = ---------------------- (36) 1 + (-l)V» Această funcţie nu are zerouri finite, deci se va factoriza, numai numitorul, în acest caz aceasta este o chestiune relativ simplă. Zerourile numitorului se găsesc scriind S 2» = s yc»-i+«,^ (37 a) care este pur şi simplu = ± 1, (376) unde semnul minus apare pentru n par. Luînd rădăcina 2n în (37 a) găsim că polii lui G ( s ) sînt S k = z H 2 k - l + n) nl 2 n . £ = , 2%. (38) 23) Folosirea literei T pentru polinoamele Cebîşev este legată de trecu*. Unele din lucrările lui Cebîşev au fost prima dată publicate în limba franceză, conducînd la folosirea ortografiei franceze „Tschebyscheff”, san varianta sa „Tchebycheff”. Această ortografie a numelui nu se mai foloseşte în prezent în literatura americană. 407 6.4. DF.TERMINAREA UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN MOPULDLSM Altfel există 2n poli, fiecare din ei avînd modulul egal cu ^“Jatca. <?(*). Aceştia -3(971/8) £> sînt daţi de valonle lui I c de la 1 la n . Sl S .3(1171/8) Pent = s3'<5*'8>, J<W8> , s4 Fig. 6.16. Distribuţia polilor pătratului modulului funcţici de transfer Butter- worth de gradul n=4. în sfirşit, F ( s ) pentru n = 4 este F ( s ) { s - «0 (* - s2) (S - s3) (* - s4) 1 = (39) + 2,613s -h 3,414s2 -|- 2,613s3 + s4 Coeficienţii polinoamelor Butterworth pînă la gradul 10 şi factorii JîMSÎlM va fi 8 *™ Ta^ 1—1F (jco) I2 = CO " — co4" • • •. 2 Dpoarece eroarea începe cu puterea w2" rezultă că primele n - 1 derivate in raport cu (4°) 6.4. DF.TERMINAREA UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN MOPULDLSM co2 sînt zero la o> = 0. De aici rezultă denumirea de maxim p L t . 408 Tab elu l >'> ■!■ Coeliciont ii polm io iin ivlu r lt nt(( rno rlli: b0 + bxs -f ■ • ■ bus" Nr. h n 2 1,4142 3 4 5 6 7 8 9 10 2,0000 2,6131 3,2361 . 3,8637 4,4940 5,1528 5,7688 6,3925 i>2 b., h *5 l’r, b7 bg ^9 2,0000 3,4142 5.2361 7,4641 10,0978 13,1371 16,5817 20,4317 2,6131 5,2361 9,1416 14,5920 21,8462 31,1634 42,8021 3,2361 7,1641 14,5920 25,6884 41,9864 64,8824 3,8637 10,0978 21,8462 41,9861 74,2334 1,4910 13,1371 31,1631 61,8821 5,1258 16,5817 42,8021 5,7588 20,1317 6,3925 Notă: 60 6i bn sînt intotileauna egali ou unitatea. Tabelul Factorii ] ioliiio IIU 'lor lluttenvort k 1 2 3 1 5 6 7 8 9 10 s 4- 1 s2 + 1,4112.1 ■!- 1 (s 1) (s2 + s + 1) (s2 f 0,7654s + 1) (s2 (s + 1) (s2 + 0,6180s (s2 + 0,5176s + 1) (s2 (s + 1) (s2 4 0,4450s (s2 + 0,3002s + 1) (s2 (s + 1) (s2 4- 0,3473s (s- + 0,3129s 4- 1) (s2 4- 1,8-178* + 1) (s2 f- 1 4 1,1142s + 1)(*2 -i- 1 + 1,111* r 4- 1) (s2 + s j- 0,008* -f- - 1) 6180.S 4^ 1) (*2 ,2470s 1)(*2 * + l1)(.S ) ( s21, = 1) !- 1,9319* - 1) 1) (s2 1,8019* + 1) l,1663s -h 1) (s2 + 1,9616* + 4 1,5321* 4- 1) (s2 + 1,8794* U42s + l)(s2 + 1,7820* 4- 1) 1) + 1) (s3 -T 1,9751* : n Funcţia Butterworth ilustrată este deosebit de simplă, deoarece toate zerourile sale sînt la infinit. Este însă posibil de a introduce o funcţie de tip 6.4. DETERMINAREA UNEI FUNCŢII DE. CIRCUIT DIN MODULUL SĂU 410 maxim plat modificată, care să conţină unele zerouri finite. Observam că funcţiile modul la pătrat (32) şi (33) sînt de forma \F ( Ho)!2 = - —1 ----------- ’ 1 u ;| (41) i+/K) unde /(co2) este ofuncţie pară de co ; variabila esteexprimată în co2 pentiu aaccentua acestfapt. In cazul funcţieiButterworth /(«2) este co ridicat- la o putere; în cazul ondulaţiilor egale/(co2) este un polinom. Acum presupunem că /(co2) este o funcţie raţională 271, / ( c o 2 ) = - --------J P ( co2) (42) unde P (W2) = 1 + «2<'>2 -I- «4“4 + ' • ' + este un polinom al cărui grad 2 1 : în co este mai mic decît 2n . Atunci F( jco) |2 şi diferenţa dintre funcţia dorită în banda de trecere, anume 1, şi această funcţie devin | F (jco) |2 =---l \J f 1 P(“ TI / - ---------9\ P{ ar) + co- (43) I şi respectiv l-|jF(jco)2| = P ( c o 2 ) + co2’* (44) = CO2" [1 — d2(o2 '!' ( a i ®2 2 ) ' w4 ' ’]• în ultima expresie s-a obţinut o serie de puteri. Din nou seria începe cu puterea co2” si în felul acesta primele n—1 derivate în raport cu co2 ale erorii sînt zero la co = 0. Funcţia modul la pătrat din (43) este de asemenea de tip maxim plat.. Spre deosebire de funcţia Butterworth ea are msa unele zerouri finite. Ca exemplu considerăm următoarea funcţie modul Ia patrat . \F (iw) , 1,838 - l,346co2 + I — 1>838 _ 0,246co4 0,246co4 V1 4" V-2 + Vo + ~~ (1,355 - 0,496co2)2 co8 r6 (1,355 — 0,496co2)2 + co8 — 0- (2 ) Deoarece sensul ales pentru ve este opus sensului de orientare al buclei, contribuţia acestei tensiuni va fi — v6Se observă că TKC şi TKT conduc la ecuaţii algebrice care reprezintă constrîngeri pentru curenţi şi tensiuni. Se obţin atîtea ecuaţii din TKC cîte noduri sînt în reţea şi atîtea ecuaţii din TKT cîte bucle are reţeaua. Yom arăta că 6.4. DETERMINAREA UNEI FUNCŢII DE. CIRCUIT DIN MODULUL SĂU 411 aceste ecuaţii nu sînt toate independente; dacă numărul nodurilor este n + 1 iar numărul laturilor este l, atunci vom arăta că numărul ecuaţiilor independente obţinute din TKC este n iar !'i Referiri anterioare la acest algoritm pot fi găsite 111 ’ J,

Teoria moderna a circuitelor retelelor (1) https://neculaifantanaru.com

Productos

Apoyo

Teoria moderna a circuitelor retelelor (1) https://neculaifantanaru.com

Añadir este documento a la recogida (s)

Añadir a este documento guardado

Sugiéranos cómo mejorar StudyLib