Teoria moderna a circuitelor retelelor (2)

410
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Observăm că coeficienţii corespunzători din numărător şi numitor sint egali pînă la cea
mai mare putere a numărătorului, aşa cum cere (43). Punînd co 2=—s2 se obţine
(1,355 + 0,496s2)2
=
(1,355 + 0,496s2)2 + s8
(1,355 + 0,496s2)
(s2 + 1,9* + 1) (.S2 + l,05s +
1,355)
(1,355 + 0,496s2)
(s2
— l,9s + 1) ( s 2 — 1,05s +
1,355)
0,496 (s2 + 2,73)
(s2 + l,9s |- 1) ( s 2 + l,05s + 1,355)’
Fig. 6.17. Distribuţia polilor pentru
polilor răspunsului Butterworth.
exemplu.
Punctele
corespund
<!>
Observăm că zerourile duble ale lui F ( s ) . F ( — s )
repartizate in mod egal lui jF ( s ) şi lui F ( —
Poziţiile polilor şi zerourilor lui F (s ) sînt arătate
6.17 şi sînt comparate cu polii funcţiei Butterworth
4.
X
sînt
s).
în
fig.
de gradul
6.4. DETERMINAREA UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN MODULUL SĂU
411
Răspunsul Cebîşev
cu
în continuare examinăm răspunsul Celtişev din OS^ păînlocuim pe j a >
prin Apoi pentru a gasi polii facem
numitorul egal
zero. Utilizînd (34) rezulta
T n (y) = cosh
cosh-14-) = -y*
(4o)
Pentru rezolvarea acestei ecuaţii definim o nouă variabilă w = x + j y şi scriem
s = j cosh w = j cosh ( x + j y )
a
şi în consecinţă
= cosh n w
-
= cosh n ( x + j y ) = — •
(466)
j o >k, rezultatul operaţiilor indicate va ti
'k
(Sik = cosh sinii 1 — j cos
n2
a pătrat ambele părţi şi adunam; rezultatul va ti
2
___ ____ K _____ ____ ----- --------- -------^
sinh2 sinh-1 j cosh2
1.
—
sinh-1 y)
(48)
412
6 . REPREZENTĂRI ale funcţiilor de circuit
totdeauna mai mare decît sinusul hiperbolic. Poziţiile polilor pentru »=4 sînt arătate în
fig. 6.18.
’
în sfîrşit, polii din semiplanul stîng ai lui G ( s ) sînt repartizaţi lui F ( s ) şi
operaţiunea este terminată
’
cv
/ j \
Fig. 6.18. Distribuţia polilor pătratului modulului funcţiei de
Cebîşev de gradul ;i= 1.
transfer
\D
Pentru un caz tipic, dacă ondulaţia permisă dată este 8 = 0,1 şi gradul este n =
4, poziţiile polilor se găsesc din (47) şi funcţia de transfer ce se obţine este
’
’
F ( s ) = ----------------------------------- 1 --------------------------------(s2 + 0,644s -| 1,534) (#2 + 1,519$ + 0,823)
_
1 ~ *4 I- 2,16s3 + 3,31*2 + 2,86* + 1,26'
6.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIKCUIT DINTRO FAZĂ DATĂ ’
în ultimul paragraf am găsit că pornind de la o funcţie raţională pară, care
satisface condiţiile necesare pentru realizabilitate’, sub forma pătratului modulului
unei funcţii de circuit — putem determina o funcţie raţională F ( s ) (uneori mai mult
decît una) astfel ca pătratul modulului lui F ( s ) pe axa jco să fie egal cu funcţia dată.
Funcţia devine unică cînd se cere să fie de fază minimă.
’
6.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DINTR-O FAZA DATA
413-
ln prezentul paragraf vom discuta posibilitatea unui procedeu timilar pentru
determinare unei funcţii raţionale din funcţia fază. Repetăm aici expresia fazei unei
funcţii de transfer dată în (14 b ) ,
(49 a)
0(
F ( j i o ) __ £j'2©(w) _
F ( — j t o)
(49 b )
în cele ce urmează vom presupune că funcţia dată este tangenta lui <?(«) pe care o vom
denumi funcţia tangentă. în plus, deoarece vom utiliza destul de des raportul din
membrul stîng al relaţiei (49 b), să-i notam cu un 'imbol. Fie
,!(*) =
(50)
*•(-«)
în continuare vom numi această funcţie, funcţia .A.
Cu aceste precizări, observăm că pentru tan (l>(m) putem sene
-j* _ Z J < S >
jtan<5(c
zi2®
Ultimul membru rezultă
rezultă
jtan$(c
SJ2®
JL(jw)
_
i
(51)
_|_ 1 A ( j o i ) + 1
din (49) şi (50). Explicitînd pe A din (51)
A(jo>)
Să
stabilim
condiţiile pe care funcţia tangentă trebuie să
le satisfacă pentru a fi o funcţie realizabilă. IN otăm că
tanCP(w) =
—- *
-K(w)
(^3)
unde B şi X sînt părţile reală şi imaginară ale unei funcţii de circuit. Cunoaştem că
acestea sînt respectiv funcţii pare şi impare de w. Prin urmare tan CZ>(«) trebuie în mod
necesar să fie o funcţie raţionala impara. Xu există alte restricţii pe care să le impunem
acestei funcţii, m afara de cazul cînd specificăm, că funcţia F ( s ) dorită trebuie să fie o
funcţie de intrare sau de transfer.
u
Dacă o funcţie raţională impară este prescrisă ca funcţie tangenta, prima etapă va
fi formarea lui A ( j u ) în conformitate cu (52). Daca acum înlocuim pe jco prin s obţinem
raportul lui F ( s ) la
m
conformitate
414
6 . reprezentări ale funcţiilor de circuit
cu (50). întrebarea este : cum determinăm F ( s ) din acest raport ? AicL situaţia nu mai
este atît de simplă cum a fost în cazul funcţiei modul. Pentru a determina pe F ( s ) îl
scriem ca raportul a două polinoame
^(S)=_AW_.
(54,
P*(s)
Atunci A(s) poate fi scris
■**(-*)
-Pi(-*)
p2(*)
Problema poate fi pusă acum din nou ca o problemă de determinarea lui l\{s) şi P2(s) cînd
se cunoaşte funcţia din partea dreaptă a ultimei ecuaţii. Observăm că J.(s) va avea
întotdeauna zerouri în semiplanul drept şi va avea în mod obişnuit şi poli în acest
semiplan. J.(s) diferă de o funcţie trece tot prin aceea că poate avea atît poli, cît şi zerouri
în semiplanul drept. Pe de altă parte, ea este asemănătoare cu o funcţie trece tot în care
fiecare zero este negativul unui pol. De fapt, ea poate fi exprimată ca raportul a două
funcţii trece tot, dar acest lucru nu este util pentru scopul nostru. Ea nu poate avea nici
zerouri nici poli pe axa jco, deoarece dacă I\(s) are o pereche de astfel de zerouri, la fel va
avea şi i\(— s ) , astfel încît ele se vor simplifica în raport; raţionăm în mod analog dacă
P2(s) are zerouri pe axa j.
Să considerăm acum repartizarea polilor din .A(s) lui P1(—s), sau P2(s). Orice pol al
lui A ( s ) din semiplanul drept trebuie să aparţină lui Pi(—.y), deoarece P2(s) nu poate
avea zerouri în semiplanul drept. Pe de altă parte polii din semiplanul stîng nu pot fi
repartizaţi în mod unic lui P2(s), sau lui Px(— s). Dacă repartizăm unul din polii din
semiplanul stîng lui Pj(—s), atunci P^s) va avea factorul corespunzător în semiplanul
drept, indicînd că funcţia de transfer este de fază neminimă. Fireşte, distribuţia polilor şi
zerourilor va fi dictată de gradele admise pentru numărătorul şi numitorul lui F ( s ) .
Odată ce P2(s) şi I \ { — s) au fost stabilite din numitorul lui ^A(s), nu mai este
necesar de a examina numărătorul, deoarece acum funcţia de transfer va fi cunoscută;
este necesar numai a înlocui — s prin s în Px(—s) pentru a obţine P1(s).
Să ilustrăm acest procedeu cu ajutorul unui exemplu. Presupunem că se dă
tan(P(co) = — ------ —»
2 — 3«2
(56)
i.5. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DINTR-O FAZĂ DATĂ
415
Prima etapă este substituţia lui (56), în (52) pentru a obţine A ( j c o ) Rezultatul este
2 — 3co2 + jw3 —
2 — 3to2—jw3
înlocuim j « cu s, obţinem
Dacă
s 3 + 3s2
s3+3s2 +
_
.4(s) =
— 4s + 2
4s+2 (s + 1) (s2 + 2s + 2)
(1— s) (s2 — 2s + 2)
Găsim
că toti polii lui J.(«) sînt în semiplanul sting, m timp ce zei oui
de- .jnt în semiplanul drept. Deci nu există un mod unic de repartizare a polilor si
zerourilor lui F { s ) . Oricare din următoarele funcţii vor fi convenabile
(s + l)(s2 + 2s +2)
F1 2, (( S8 ))
1—s
s * + 2s + 2
(s2 — 28 + 1) _
F,(s) =
8+1
(57 6)
(57 a )
(57 c )
Observăm că ultimele două au zerouri în semiplanul drept. 1 îecare dm aceste funcţii
vor avea aceeaşi fază pentru toate valorile lui «, dar modulele lor vor fi diferite. Dacă
se cere ca F ( s ) să fie de faza minima, soluţia va fi unică şi anume prima funcţie din
(57)1).
în calculele de pînă acum am presupus că <2>(w) este specificat ca funcţie
continuă de o > . Dacă, însă, o funcţie F ( s ) are poli sau zeiouri pe axa '/to, funcţia
corespunzătoare de fază <P(co) va avea discontinuităţi de -4- j r la fiecare pol şi zero.
în astfel de cazuri considerăm discontinuităţile separat, aplicînd procedeul de mai sus
„părţii continue” a funcţiei, adică scriem
0 ( o i ) = ® c (to) + £ ± n u (<o — a , ) .
(58)
9
unde 0c(co) este o funcţie continuă. Indicele j s e extinde asupra tuturor zerourilor şi
polilor de pe axa j co, iar semnul minus se aplică poliloi.
1 Chiar şi această unicitate este pînă la o constantă de multiplicare. Faza este în mod evident
independentă de o constantă de cîştig real pozitivă.
416
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Acum trebuie să identificăm discontinuităţile. Pentru această examinăm un factor
tipic din F ( s ) (factor pol sau zero) :
(s — o) 1*=^ = i(“ — “o)Evident acest factor variază de la — j la + j cînd co creşte trecînd prin w0. Aşadar, cînd se
trece print-r-un zero pe axa jco, în direcţia creşterii lui co, faza luiP(s) creşte brusc cu 7t;
cînd trecem printr-un pol, ®(to) descreşte cu 7t. Astfel putem reconstitui toţi polii şi
zerourile lui F ( s ) observînd discontinuităţile în funcţia dată.
6.G. CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN PAHTEA REALĂ DATĂ
în ultimele două paragrafe am studiat posibilitatea determinării unei funcţii de
circuit dintr-o funcţie raţională de co dată, care era fie modulul funcţiei, fie tangenta
unghiului său pe axa jo>. Am găsit că în cele mai multe cazuri, nu este posibil a obţine o
soluţie unică, în afară de cazul în care funcţia este de fază minimă. Cu toate acestea este
posibil să se determine un număr de funcţii care vor satisface cerinţele. în cazul unui
modul dat putem găsi un număr de funcţii de transfer care au modulul pe axa jco egal cu
cel dat, dar diferă una de alta prin fazele lor. Analog, fiind dată o funcţie tangentă putem
găsi un număr de funcţii de transfer care au aceeaşi fază pe jco, dar diferă prin modul. în
acest paragraf vom discuta anumite procedee de calcul care vor permite calcularea funcţiei de circuit din partea sa reală pe axa jco.
Din nou trebuie soluţionată problema unicităţii. Cunoscînd partea reală pe axa j a
unei funcţii de circuit este aceasta din urmă, determinată în mod unic ? Putem imediat să
concepem mai multe circuite diferite ale căror funcţii de circuit să aibă aceeaşi parte
reală, astfel că răspunsul la întrebarea anterioară este negativ. Ca exemplu presupunem
că funcţia cerută este o funcţie admitanţă de intrare. Considerăm circuitul arătat în fig.
6.19 a. în partea (b) a figurii este conectată o latură suplimentară la bornele de intrare.
Admitanţă celui de al doilea circuit este
sC
T» = Y ( s ) + - Partea
sa reală pe axa j este
Retr^jco)] = Re[.F(jo)] + Re
jo,C
>*LC
Re[Y(jco)];
6 .6 . CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN PARTEA REALA PATA
417
•adică părţile reale ale celor două admitanţe sînt aceleaşi, deşi admitanţele sînt
diferite. Funcţia Yx(s) diferă de Y(s) deoarece are o pereche de poli pe axa jw. Dacă se dă
partea reală, nu putem determina alegerea între Y(s) sau Y^s). De fapt un număr
infinit de funcţii, care diferă de T ( s ) prin poli adiţionali pe axa jco, vor avea aceeaşi
parte reală pe axa jo>. Atunci, ceea ce putem spera să obţinem dintr-o parte reală dată,
este funcţia particulară, care nu are nici un pol pe axa jco.1’
o ----- —
Y(s).
H
Y,(s)
c
L
N
-r°.
O ------- 1
Fig. 6.19. Două circuite a căror admitanţe au aceeaşi parte
a
o
reală.
Metoda Bode
Să ne reîntoarcem la paragraful 6.1 şi să considerăm partea reală a funcţiei
începînd cu (8) şi sfîrşind cu (13). Dacă o funcţie de co raţională, pară’ fără poli la
frecvenţe reale finite sau la infinit, este partea reală a unei funcţii de circuit, înlocuim
pe jco cu s şi obţinem partea pară a lui F ( s ) . Astfel
P(to) ->
Par F ( s ) = -i [ F ( s ) -| F ( — s ) ] .
(59)
Problema care ne interesează este de a găsi F ( s ) din partea sa pară. Conform celor
discutate în paragraful 6.1, polii lui Par F ( s ) au simetrie c-ua- drantală. Polii lui Par
F ( s ) din semiplanul stîng aparţin lui F ( s ); poliiulm semiplanul drept aparţin lui F ( —
s ) . Dacă F { s ) are o valoare diferită de zero la infinit, atunci F ( —s ) va avea aceeaşi
valoare. Este evident acum cum se va găsi F ( s ) din Par F ( s ) : se dezvoltă Par F ( s ) în
fracţii parţiale si se grupează toţi termenii cu polii în semiplanul stîng; dacă există un
termen constant în dezvoltare, se adaugă jumătate din el grupului; în final se multiplică
prin 2.
O astfel de funcţie este o funcţie de susceplanlă minimă dacă este vorba despre o admitanţă,
sau o funcţie de reaclanţă minimă dacă este vorba despre o impedanţă. Această condiţie impusa
funcţiilor de intrare este analogă condiţiei de fază minimă Ia funcţiile de transfer.
418
6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Pentru exemplificare fie
1
JR(CD) =
1 + co6
partea reală dată. Prima etapă este înlocuirea lui co2 cu —s2, ceea ce conduce la
ParjF(s)
1_S6 (s+i) (S2+S+1)(1_S)(S2_S+1)
(60)
+++
\S + 1 S* + S + l) \l—8
8* — S + l)_
Am discutat deja poziţiile polilor acestei funcţii particulare în legătură cu răspunsul
Butterworth. Numitorul poate fi factorizat, aşa cum s-a arătat, obţinînd astfel
dezvoltarea în fracţii parţiale. F ( s ) se identifică uşor din polii situaţi în semiplanul
stîng. Se obţine
W+l
+
■
s
+
2
)
=
1
2s2+4s+3
.
(61)
s2 + s + lj 3 s3+2s2+2s+l
Procedeul descris aici
a fost propus pentru prima dată
astfel încît îl vom denumi metoda Bode.
de
Bode,
Metoda Gewertz
O altă abordare a fost propusă pentru prima dată de Gewertz. Pentru a schiţa
această metodă, să scriem F ( s ) ca raportul a două polinoame. Astfel
F ( S ) = ao+ais+<V2H ------ +amsm = TO1(g)+-rai(s)
&o+M + &2s2H ------------ f-M”
m2(s)+n2(s)
unde m-urile se referă la partea pară a numărătorului şi numitorului, iar w-urile la
părţile impare. Partea pară a lui F ( s ) se poate scrie ca în (11a) Astfel
Par F ( s ) =
=
■A0+Ais2+A2si^ -------------- [-Ams*m
B0 + B1s* + Bis*+ ■ ■ ■ + Bns*n ’
'
6 .6 . CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DEN PARTEA REALA DATĂ
419
în care partea din dreapta s-a scris sub formă dezvoltata. Cînd o parte reală este
specificată ca funcţie raţionala para m co, membrul drept al lui (63) se obţine înlocuind
w2 prin —s2. Vom opera mai mtu asupia n - mitorului. Deoarece polii lui Par F ( s ) sînt
aceia ai lui F f â şi
wcel
care aparţin lui F ( s ) vor fi situaţi în semiplanul sting. Deci, cînd factorizam numitorui
lui (63), atribuim lui F { s ) toţi factorii din semiplanul s mg. în acest mod, numitorul lui
F ( s ) din (62) devine cunoscut.
.
Să ne întoarcem la numărător. Presupunem ca scriem funcţia laţionala F ( s ) ca
în (62), cu coeficienţi literali necunoscuţi la numărător, dar u \ m coeficienţii
numitorului cunoscuţi. Formăm atunci expresia si o egalăm cu numărătorul funcţiei
date m (63). Egalaiea coeficienţilo aceloraşi puteri ale lui s în cei doi membrii ai acestei
ecuaţii rea necunoscutelor. Observăm că aici smt implicaţi trei setun de p oe enti:
literele a , literele A şi literele b . Din aceştia m aceasta etapa, ultimele două seturi
sînt cunoscute; numai coeficienţii a smt necunoscu,i.
Să aplicăm procedeul indicat mai sus. Identificînd n i u m.2, nv n2 din (62) putem
scrie
mxm2 — n-fii2 — (a0-\-a2s2 + • • •) (b0 -|- b2s2 + • • •) —
—
(c^s + a3s3 + • • •) { b i S + b 3 s 3 + • ■ •) =
= A$ +
+ • •
• +
Ams2'".
Egalînd coeficienţii obţinem
^-0
A± = a0b2 + b0a2
A2 = <»0&4 + fl2&2 + ®4^0 al^3 a3^1
Ak = £ (-lffi%iVr
(65)
Pentru a găsi necunoscutele a, trebuie să rezolvăm acest sistem de ecuaţn lj^^e^ lifi(ja f0i0SincL funcţia din (60) deja tratată prin metoda. Bode. Factorii din
semiplanul stîng de la numitorul acestei expresa smt
m2+n2 = (s+l) (s2+s+l) = s3+2s2+2s + l.
Deoarece R ( a > ) dat este zero la infinit, la fel trebuie să fie ş i F ( s ) l a infinit. Deci
numărătorul lui F ( s ) trebuie să fie de forma
%-f»! = a2s2+«iS+«0*
Introducind ultimele două ecuaţii în (65) şi utilizînd faptul că toţi coeficienţii ,,A” sînt
420
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
zero cu excepţia lui A0 care este egal cu unitatea, obţinem
1
= a0,
0 =:
^2—
0 = 2a2—ax.
Aceste ecuaţii se rezolvă şi se găsesc următorii coeficienţi «0 = 1, a
2
a
l
= >
.
2
= — . Funcţia de circuit astfel obţinută verifică pe cea găsită anterior
în (61).
Metoda Miyala
O variantă a acestor metode este datorată lui Miyata. Fiind dată F ( s ) din (62),
partea pară este dată de (63). Acum considerăm o nouă funcţie F 0 ( s ) a cărei parte pară
este
Par F 0 { s ) =
—,>
nio—ns
(66)
unde »«2 + «2 este acelaşi numitor ca şi al lui F ( s ) . Folosind metoda Bode sau Gewertz,
găsim funcţia F 0 ( s ) în care Par F 0 este partea pară. Să o scriem astfel
F 0 ( 8 ) = ^ L±^5.
(67)
to2 + n 2
Numărătorul părţii pare a acestei expresii este mQm2 — n0n2 şi conform lui (66) este egal
cu 3. Considerăm apoi o nouă funcţie F ( s ) formată prin
6 .6 . CALCULUL UNEI FUNCŢII DE CIRCUIT DIN PARTEA REALA PATA
multiplicarea lui F 0 ( s ) prin
pare a lui F ( s ) şi formăm partea sa pară
£
421
care este numărătorul parţn
_(w^rna —%^2)(w0+w0) f
ţ68a)
m2 - ] - n 2
_
*
(mnm9—nnn2)
Par F ( s ) - -------------------- -----m22 —«2
m2—n2
(m-,m9—n-tn9) m{m2 — nln2
(68
b)
Par F ( s ) .
Ultima expresie rezultă din faptul că m0m2—n0nz — 1. Astfel F { s ) şi F ( s )
au aceeaşi parte pară, dar F ( s ) în (68a) poate avea un pol de ordin “ai mare la infinit
(din cauză că gradul numărătorului
decît al numitorului). Presupunem că numărătorul se divide piin numitoi , rezultînd un
polinom cît, q ( s ) , şi un rest de grad mai mic, sau de grad ega gradul numitorului.
Astfel
F ( s ) = g(«)+r,(«)
(69a)
>i
Par F { 8 ) = Par q ( s ) +
Par F r ( s ) .
(69?>)
Partea
pară a polinomului q { s ) este suma
Să acestea există.
Dacă q ( s ) ar avea cel
tuturor puterilorsale pare,
puţin o putere para,
atunci
Mrtea d'e»i>tă a ultimei ecuaţii « deveni infinită cînd , tinde eat« rofm,i , in timp ce
după cum se vede din (686), partea stingă nu are aceasta comportare în concluzie, q ( s )
este un polinom impar astfel încît Par F = L Par f si deci Par F =Par F din (686). -In
plus, funcţia rest are aceiaşi poil ca şi funcţia, ^ecificată ; prin urmare ea este funcţia
dorită, adica
Înhumai, putem spune că atunci cînd se dă o funcţie pară raţională i m m — nln,)l(mî—n?2), se determină funcţia de circuit F0(s) a cai ei
( » ! » 2 ) si împărţită, pînă ce funcţia rest nu are pol la infinit. Aceasta este
funcţia dorită a cărei parte pară este funcţia data.
Pentru a exemplifica fie
-
Par
F(s) =
3s4 + 6s2 + 6
l—sb
6. REPARTIZĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
422
Atunci
Par F 0 ( s ) =
1
l-s6
Dar aceasta este aceeaşi funcţie ca cea anterioară considerată în (60; şi (61). Astfel
^ 0\S) — 3
s3+2s2+2s+l şi
(3s4
6s2 +6 ) F 0 ( s ) -
4
I
I d\TP
2s6
+
'
4s 5
+
‘ *
r s
+
+
10s2
s 3 H-2s2 + 2 s + 1 4s2 + 5s + 6
2s 3 + 3s +
s
3
+ 2s2 + 2 s + 1 deci
F(s) =
4s2+5s+6
93 + 2s2 + 2 s + 1
G.7. RELAŢII INTEGRALE ÎNTRE PĂRŢILE REALĂ ŞI
IMAGINARĂ
'
în paragrafele precedente s-au discutat metodele algebrice pentru
determinarea unei funcţii de circuit ca o funcţie raţională de s , dîndu-se una din
componentele funcţiei ca funcţie raţională, unde prin ,,o componentă a funcţiei”
înţelegem: partea reală, partea imaginară, faza (sau tangenta fazei), modulul (sau
logaritmul modulului). Un dezavantaj al acestor metode este că componenta dată
trebuie întotdeauna să fie într-o formă raţională realizabilă. Dacă, spre exemplu, se
dă partea reală grafic, sau chiar analitic dar nu sub forma unei funcţii raţionale, este
necesar mai întîi să se determine o aproximare raţională realizabilă înainte de a trece
la găsirea funcţiei de circuit, şi din aceasta, oricare din celelalte componente.
Funcţiile de circuit sînt funcţii analitice de variabilă complexă şi deci părţile
lor reală şi imaginară sînt legate prin ecuaţiile Cauehy-Riemann. Totuşi aceste
ecuaţii sînt relaţii implicite şi nu constituie formule explicite de calcul a unei
componente din cealaltă. în acest paragraf vom prezenta un număr de relaţii între
părţile unei funcţii de circuit. Acestea sînt
+8.9+6
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALĂ Şl IMAGINARĂ
423
binecunoscute în matematică ca transformate
lotuşi, deoa^ecc
ele au fost folosite în teoria circuitelor pentru prima data de Bode, le vo
ttmVfonnuMeBoie. Un avantaj imediat al acestor
acela ca
componenta tmei fnneţii poate fi dată grafic : mai mkM aht, foi- mulele Bcde au multe
implicaţii şi aplicaţii uzuale, unele dm e
dlbCUtDeoarece
ne ocupăm de funcţii analitice de variabilă
™
punct de plecare pentiu a lega componentele unei funcţii poate fi foimula integrală a
lui Cauehy (vezi Anexa 2), care spune ca
F ( s ) = — J>
2nj I c
s~s
ăz.
(7°)
Tu această exnresie C este un contur închis în interiorul căruia şi pe care
F ( s ) este analitică ; 2 este un punct de pe contur, în timp ce s este un punc
în interiorul contuiului. Bacă conturul este un cerc şi
>i s in ccoi donat e polare, vcm putea exprima partea reala şi imaginara
a lui F ( s ) în funcţie de partea sa reala sau imaginara, pe cerc^ I
„it cu aiutorul unei transformărr, cercul este transformat rn axa rmag
nară. Expresiile rezultate legînd părţile reală şi imaginara vor fi transfo ^^^aS abordare a problemei, pe care o vom adopta aici, are> ca»P ™^ de plecare teorema
integralei lui Cauehy (vezi Anexa 2). Aceasta ;eoiema «pune că integrala de contur a
unei funcţii, de-a lungul unui cont™ interiorul căruia şi pe care funcţia este analrtrcă,
este egaia cai zcio Pen tiu a aplica această teoremă, este necesar de a cunoaşte 1)
cont^t!t integrare si 2) funcţia ce urmează a fi integrata, In pjt^ienia noast a conturul
de integrare trebuie să includă axa imaginara deoarece dorim ca rezultatul final să
conţină părţile reală şr rmagmara pe axaj , ale ru tiei de circuit, Prin urmare,
deoarece funcţrrle de care ne ocupam smt a litice în întreg semiplanul drept, conturul
de integrare ce-l vom alege axa jco şi
un semicerc de rază
infinită în semiplanul
drept.
Cxmform teo
remei lui
Cauehy,integrala pe acest contur închis va
fi zero.
Eamine deci
'ă calculăm contribuţia fiecărei părţi a conturului.
^
Fie F ( s ) o funcţie de circuit, de intrare sau de transfer; rn mod obişnuit scriem
P(jco) = R(o>) -|- jX(co),
(71o)
hiF(jio) = a(co)+j<Z>(co),
(71&)
in care K(co) = ln|jF(jco)| este funcţia cîştig şi O (co) funcţia fază. Dacă F ( s ) este o
funcţie de intrare, ea nu va avea poli şi zerouri in semiplanul drept, Deci In F ( s ) va fi
analitică în semiplanul drept. Daca F ( s ) este tune
424
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
ţie de transfer, atunci In F ( s ) va fi analitică în semiplanul drept, numai dacă F ( s ) este
funcţie de fază minimă. Deci rezultatele ce le vom obţine se vor aplica atît lui F ( s ) cit şi
lui ln.F(s), cit timp F ( s ) este funcţie de fază minimă.
Să considerăm acum polii posibili ai lui F ( s ) pe axa jco. Ştim că asemenea poli
trebuie să fie simpli. în efectuarea integralei de contur, astfel de poli trebuie ocoliţi
printr-o mică deviere spre dreapta inclusă în contur. Contribuţia acestei ocoliri la
integrala totală va fi de 2- z j ori jumătatea reziduului integrandului în polul respectiv
(vezi Anexa 2). Scopul nostru este acela de a obţine expresiile ce leagă partea reală a
unei funcţii de circuit de partea imaginară, astfel încît cînd se dă una din ele să putem
calcula pe cealaltă, Astfel e posibil să nu cunoaştem reziduurile în polii de pe a x a j .
Prin urmare vom presupune că F { s ) nu are poli pe axa jco. aceasta include punctele
zero şi infinit, deci F ( s ) este presupusă analitică la zero şi la infinit.
Dacă F ( s ) are un pol pe axa jco, atunci In F ( s ) va avea acolo un punct singular
logaritmic. Dacă integrandul se referă la InF ( s ) , vom alege din nou un contur ce
ocoleşte această singularitate. Dar din cauză că singularitatea este logaritmică această
ocolire nu va aduce nici o contribuţie la integrala de contur (vezi Anexa 2). Deci, în caz
că integrandul pe care îl alegem se referă la In F ( s ) , putem permite ca F ( s ) să aibă
poli simpli pe axa jco. în cele ce urmează vom considera totdeauna funcţia din integrând
ca fiind F ( s ) . Totuşi, se obţin rezultate identice dacă se înlocuieşte F ( s ) prin In F ( s ) .
în formule, jK(co) va fi înlocuit prin a(co) şi A'(co) prin $ (co).
Să considerăm acum integrarea unei funcţii de circuit F ( s ) , care este analitică
pe axa jco incluzînd zero şi infinit, de-alungul unui contur ca cel arătat în fig. 6.20 a ,
care constă din întreaga axă jco şi un arc semicircular de rază infinită în dreapta axei.
Conform teoremei lui Cauehy, integrala lui F ( s ) va fi zero. Procedeul nostru va consta
în evaluarea contribuţiilor acelor părţi ale conturului unde integrala se poate face, după
care exprimăm părţile rămase în funcţie de aceasta. Plecînd de la aceste conside-
Fig. 6.20. Conturul de integrare.
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALĂ Şl IMAGINARĂ
425
rente este evident că nu vom putea obţine tipul de relaţii căutate avînd ca integrând
numai pe F ( s ) . Nu va fi ales nici un punct particular pe axa jco asupra căruia să ne
îndreptăm atenţia.
^
Presupunem că împărţim F ( s ) prin s—jco0 înaintea integrării, uncie con poate fi
orice valoare a lui co. Aceasta va introduce un pol pe axa jco in integrând. Pentru a
aplica teorema lui Cauehy vom ocoli acest pol cu ajutorul unui mic arc semicircular 0 „
aşa cum se vede în fig. 6.20 b . Conturul complet cuprinde acum trei părţi. Să evaluăm
contribuţia arcului C, Aceasta duce la considerarea valorii lui F ( s ) în s=ju0. Observam
ca rezultatul integrării nu va fi o funcţie de s care este număr o variabila auxiliară, ci
de w0, care este un punct arbitrar pe axa jco. Va fi convenabil să folosim un simbol
diferit pentru variabila auxiliară, de exemplu z = x-]-jy. Atunci punctul jco0 poate fi
notat- din nou jco.
^
Dacă F ( s ) este o funcţie de circuit care este analitică pe întreaga axă jco şi în
semiplanul drept, aplicarea teoremei lui Cauehy conduce la următorul rezultat :
Jc
unde conturul închis este cel din fig. 6.20 b .
Conturul complet cuprinde trei părţi: semicercul mare C \ , semicercul mic Co
din jurul punctului z = j co şi axa imaginară. Contribuţia semicercului mic este de 2-/ ori
jumătatea reziduului integrandului m
care
este -F( jco). Pentru calculul contribuţiei semicercului de rază infinita Sa presupunem
iniţial că acesta are raza finită, cu 2 = i?0sj9. Atunci
= — j-nFioo),
unde F ( o o) este valoarea lui F ( s ) la s = 00. Astfel cînd J?0 tinde către infinit,
integrala pe C \ tinde către — j n F ( o o ) . Deoarece partea imaginara trebuie să fie zero
la infinit, F ( 00) este de asemenea egal cu B { 00).
Acum a mai rămas restul conturului. Pentru acesta se poate scrie.
F(jy)
lim
r-> 0
y -co
dy.
(74)
Observăm că integrarea de-alungul axei imaginare trebuie să evite polul î=jco în mod
simetric. Aceasta va conduce la valoarea principala a
426
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
integralei din dreapta. în toate integrale ce urmează vom presupune acest lucru. Ţinînd
seama de toate aceste rezultate şi de (72) putem scrie
r lM_dy = j n [ F ( ^ ) - F ( j o > ) ] .
(75)
J—oo y ^
Dacă scriem apoi F ( j o > ) şi F ( j y ) în funcţie de părţile reală şi imaginară şi egalăm
respectiv părţile reală şi imaginară din cei doi membri obţinem în sfirşit
i2(co) = R ( o o ) -lf“ -XWL dy>
K J-rj, y
X(co)=-f
(76a)
CO
71 * — oo y — CO
dy.
(766)
Lăsăm cititorului detaliile de calcul pentru a obţine aceste relaţii.
Semnificaţia acestor două expresii este foarte importantă. Cea de a doua expresie
arată că fiind dată o funcţie care este partea reală a unei funcţii de circuit pentru orice
frecvenţă, partea imaginară a funcţiei este complet determinată, pi’esupunînd că funcţia
de circuit nu are poli pe axa jco. Analog, dacă se dă partea imaginară la toate frecvenţele,
atunci partea reală este complet determinată pînă la o constantă aditivă.
Reamintim că rezultatele se aplică şi în cazul în care F ( s ) se înlocuieşte prin
logaritmul său. Totuşi în acest caz, trebuie să impunem ca F ( s ) să fie de fază minimă
(dacă reprezintă o funcţie de transfer). Pe de altă parte, putem să renunţăm la condiţia de
analiticitate a lui F ( s ) pe axa jco. Un pol simplu al lui F ( s ) pe axa jco devine o
singularitate logaritmică a lui In F ( s ) , iar o astfel de singularitate nu aduce nici o
contribuţie la integrală după cum s-a menţionat anterior. Astfel pentru funcţii de transfer
de fază minimă, relaţiile (76) avind pe R şi X înlocuite prin a şi ® , dau legătura între
cîştig şi fază pentru orice frecvenţă.
Să obţinem acum alte forme pentru cele două expresii de bază din (76), care vor da
noi informaţii asupra relaţiilor şi vor pune în evidenţă detalii care nu sînt imediat
aparente din aceste expresii. Reamintim că părţile reală şi imaginară sînt respectiv
funcţii pară şi impară de frecvenţă. Să folosim acest fapt şi să scriem (76 b ) după cum
urmează :
,
1 r°
R(y)
1 f°° R ( y )
X(co)= — \
——+ —\ —— dy.
7TT J-oo y — CO 71 0 y — CO
,
■
(77)
T
i;
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARA
ne
rie
în prima din aceste integrale înlocuim y prin - y şi schimbăm limitele m mod
corespunzător. Rezultatul este
EyLdy=C
y — co
.
m
427
3»
— (» +
=
“)
y
<78)
+ 0i
Ultima egalitate rezultă din faptul că R ( y ) = B ( - y ) . Substituind acea
sta în (77) obţinem
i r°° r i
i li 2co f“ B ( y ) ,7„, I~Q\
Z ( u) = - ( R(y) - - - - - - - - - - - - - - —
7T 'o
dy=—\
U —W # + W -1
‘l
J'
{
}
y
în mod complet analog plecînd de la (76 a) obţinem
>b) = <80>
'
TZ .'o y2 — ioz
în ultimele două expresii se vede că integrandul tinde la infinit pe j conturul
de integrare în punctul y = o>. Acest lucru este numai aparent,
de
deoarece trebuie" să luăm integrala numai prin valoarea sa principala.
^
Chiar această dificultate aparentă se poate înlătura daca observam pn integrare directă că
o 2/'2-«2
tă
sa
că
£ (82.)
folosind din nou valoarea principală a integralei Deci, se poate scădea
i?(w)/(«2-co2) din integrandul dm (79) şi coA (co) l ( y — co ) din mtegran
dul diu (80)? fără a modifica valorile acestor integrale. Rezultatele acestoi
etape vor fi
re Jo
Z(w) =
y ^o
f
dy.
T.
'o
(82h \
y 2—«2
O caracteristică foarte importantă a rezultatelor stabilite mai sus este faptul
că nu este necesar ca partea reală (sau imaginara) ja fie o funcţ^. raţională
realizabilă. Corespunzător oricărei părţi reale <i a^ ,nn^1 grafică sau analitică, se poate
calcula o parte imaginara cu ajutoiul
428
6 ., REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
tegralei. De fapt, expresiile sînt foarte utile atunci cînd partea reală este dată aproximativ şi se doreşte să se
obţină o comportare aproximativă pentru partea imaginară,
^ De exemplu, presupunem că se cere să aflăm comportarea aproximativă a funcţiei de fază în banda de
trecere a unui filtru trece jos. în această discuţie vom interpreta R şi X ca reprezentînd cîştigul a şi respectiv
faza ® . în banda de trecere cîştigul este aproximativ zero pînă la o frecvenţă o)j. Deci în (82 b ) limita
inferioară devine w0. în plus, punctul co ce se află în banda- de trecere este mai mic decît co 0; astfel în
integrând putem neglija <o faţă de y , deoarece y variază de la co0 la infinit. Valoarea aproximativă a fazei
este
(83)
Să facem schimbarea de variabilă y =
modificarea limitelor de integrare, ecuaţia devine
l/p-, atunci ////'//-
(84)
Observăm că integrala- din (83) sau (84) nu este o funcţie de co şi că pentru
o anumită valoare a lăţimii de bandă co 0, va fi o constantă, Astfel faza va fi aproximativ o funcţie liniară de
co în interiorul benzii de trecere2). Desigur aproximarea va fi din ce în ce mai eronată pe măsură ce co se
apropie de frecvenţa de tăiere, deoarece atunci co nu mai poate fi neglijat faţă de y în integrând.
‘
Teoremele integralei de reaetantă şi a integralei de rezistenţă
Cele două perechi de expresii obţinute pînă acum în (76) şi (82) leagă partea imaginară la o frecvenţă
oarecare de valorile părţii reale la toate fiecvenţele, sau partea reală la o frecvenţă oarecare de valorile părţii
imaginare la toate frecvenţele. Putem găsi forme limită pentru aceste expresii cînd frecvenţa tinde către zero
sau infinit.
2) O astfel de caracteristică liniară de fază corespunde la un timp de intirziere constant pentru transmisia unor funcţii
sinusoidale în acest domeniu de frecvenţe. Aşadar pentru semnale care au numai acest spectru de frecvenţe, obţinem o transmisiune
fără distorsiuni. Din acest motiv, este de dorit o caracteristică liniară de fază.
r
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARĂ^
429
Să considerăm mai întîi relaţia (82 a) cînd » tinde către zero. Aceasta conduce
imediat la rezultatul
X(y)
y
-
isassaşip
•
.
(85)
- [ B ( co)
dy
9
«minspiită
ci
teorema
integralei de reactanţă. Ea
cind F ( s ) este înlocuit prin logaritmul sau, B pun oc ,, v p
Se obţine o expresie mai convenabilă dacă luam frecvenţa n , <
logaritmică
n
In
y
sau
(86)
y
in care » este o frecvenţă de referi..» «WWm*. A»m*i *,!»
>i (85) se poate scrie după cum urmeaza .
"*
(8
X ( y ) d u = — [ B { co) — -fi(O)].
Se observă jfnibarea la J^^rp^rS^ate tot”, dŞ j / = 0. A aiîabila ui - (j) • v(os«\ ' Altfel
spus, putem defini o nouă mai precis mţegmndu “t®
notaţil în plus care
funcţie X^u) —
)• Tot.v;1’ d ...... ios vom retine y ca variabila a
complică lucrunle^ In ecua|
J
•
gubînţelegînd
faptul
mtegrandului şi vom sene
H’
funcţia de u prin
trece ]a
că înainte, de dectnarea
rĂm că aria sui curba părţii imaginari
logariimM a /,«(* «» **•*•«'« «
-
iTăSm^int^ării pînă la R0, după care se impune ca I?0 sa tinda către infinit.
Astfel (82 b) de\ine
*• B ( y ) — B (co)
dy
y
(88)
A
O)"
—1
430
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
în partea dreaptă a ecuaţiei (88) există două operaţii de trecere la limită. Dacă schimbăm
ordinea acestor două operaţii, expresia poate fi evaluată în mod direct; trebuie totuşi să
vedem dacă operaţia de schimbare a celor două limite este permisă. Răspunsul este
afirmativ dacă integrala este uniform convergentă pentru orice valoare a lui co, cum de
fapt este. Schimbînd între ele cele două operaţii şi treeînd la limită se obţine
( [ R ( y ) — R ( c c ) ] d y = — — lim coX (co).
' r,
Q r,\s.nr,
(89)
Rezultatul exprimat de această ecuaţie este cunoscut sub denumirea de
teorema integralei de rezistenţă. (Este deasemenea numită teorema integralei de atenuare,
deoarece rezultatul rămîne valabil dacă înlocuim F ( s ) prin logaritmul său). Dacă este
dată comportarea asimptotică a părţii imaginare a funcţiei de circuit, atunci fără a avea
importanţă variaţia cu frecvenţa a părţii reale pe axa j, aria cuprinsă sub curba părţii
reale şi axa orizontală deplasată în sus cu cantitatea R ( oo), trebuie să rămînă constantă,
Invers, dacă se dă integrala părţii reale a unei funcţii pe întreaga axă a frecvenţelor,
rezultă comportarea la frecvenţa infinit a părţii imaginare.
’
’
Considerăm cazul special în care F ( s ) are un zero simplu la infinit ; atunci
F ( o o ) = R ( o o ) = 0. Deci
—
lim MX (CO) = lim s F ( s ) -
(90)
Totuşi, conform teoremei valorii iniţiale, limita membrului drept este valoarea
iniţială a răspunsului la impulsul unitate al circuitului reprezentat de F ( s ) . în acest caz
(89) devine
(91)
în care f ( t ) =
^ ( s ) este răspunsul la impulsul unitate. Observăm că
variabila auxiliară a fost schimbată în co pentru a sugera sensul fizic.
Limitări impuse circuitelor
Dezvoltările anterioare pot fi folosite pentru a determina cîteva limitări de bază
asupra comportării circuitelor atunci cînd se iau în considerare anumite efecte parazite
inevitabile. Considerăm situaţia ilustrată
431
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARA
in fig. 6.21 a . Capacitatea C reprezintă efectele parazite care au loc in mod
inevitabil, de exemplu capacităţile joncţiunii
~
;mTmre
sau chiar capacitatca între fire. Prezenţa unei astfel de capacitaţn impune anumite
restricţii pe care le vom discuta m continuare.
”9—
U—'
>
T
1
-<U~
\ J -- -a
U
Fig. 6.21. Circuit avînd o capacitate parazită în derivaţie pe bornele de intrare.
Fie Z x ( s ) impedanţa de intrare a unui circuit N fără a considera capacitatea.
Impedenţa totală Z ( s ) este dată de
Z(s
Zi(«)
C s Z l (s)
Cs+ -
(92)
Z^s)
Oricare ar fi comportarea lui Z & ) la infinit, observăm că impedanţa totală Z ( s ) va
avea un zero simplu la infinit Vom pires^apune
ca
circuitul N nu începe cu o capacitate m derivaţie ca in fig. 6.21, b , aceast insemnînd
că Z^s) nu este zero la infinit. Dacă totuşi capacitatea exista, aceasta are ca efect o
creştere a valoni capacitaţn C.
Cu aceste considerente, (90) este valabil pentru F ( s ) = Z ( s ) . introdu- cind (92)
în partea dreaptă a lui (90) şi calculînd limita găsim
lim s—>oo
sZ^s) _ 1 limsZ(s) =
1
r '
CsZ^s) -f- 1 C
în sfîrşit introducînd aceasta în (91) rezultatul devine
f -R (co) dco = ~ '
(93)
432
6 ., REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Observăm că existenţa capacităţii în derivaţie impune o limită efectivă asupra ariei
cuprinse sub curba părţii reale. Deşi această integrală de rezistenţă a rezultat ca valoare
limită a expresiei generale legînd părţile reală şi imaginară ale unei funcţii de circuit, ’ea
furnizează informaţii privind posibilităţile circuitului. *
’
h
Deoarece teorema integralei de rezistenţă se aplică funcţiilor care nu au poli pe axa
jco, relaţia (93) este valabilă numai pentru astfel de funcţii. Dacă o funcţie are poli pe axa
jco conturul de integrare trebuie să ocolească aceşti poli, după care trebuie luate în
consideraţie contribuţiile acestor ocoliri. Privind atent dezvoltarea anterioară, se găseşte
că, în acest caz, din membrul drept (93) se vor scădea termenii adiţionali, aceştia fiind
proporţionali cu reziduurile în polii de pe axa jco. în capitolul următor vom arăta că toate
aceste reziduri sînt reale şi pozitive, pentru funcţiile de intrare. Deci, cînd Z ( s ) are poli pe
axa jco, partea dreaptă a lui (93) se reduce ca valoare. Atunci pentru toate cazurile
indiferent dacă Z ( s ) este analitică sau nu pe axa jco, rezultatul se poate scrie :
A X
_
\ R (co) d u
(94)
O noiră interpretare a acestui rezultat important se obţine considerînd, aşa cum se
arată în fig. 6.22, un diport terminat pe rezistorul R 2 . Presu- punînd excitaţia sinusoidală,
calculul puterii reale debitată la bornele de intrare de către sursă şi al puterii debitată de
circuit sarcinii, va da rezultatele
puterea de la sursă = \
|I g
(jco) |2 R e Z ( j u > ) ,
puterea în sarcină = § |/2(j«)
|2
Rr
(95 a
(95 b )
Evident,puterea în sarcină nu poate depăşi puterea
debitată de sursă
pentru un
diport pasiv. Deci a doua expresie nu poate fi maimare
decît
prima, astfel că
T
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA ŞI IMAGINARĂ
Seninul egal apare cînd diportul nn are pierderi. Astfel pătratul modulului cîsti<nilui in
curent, pentru un diport fără pierderi, este proporţional cu partea reală a impedanţei la
bornele de intrare ale diportulm cu ieşirea terminată pe R „ . Introducînd (96) în (94) şi
interpretmd R ( c o) ca R e Z (jco)
vom avea
r 11
'o !
2
R2C
(97)
Presupunem că diportul din fig. 6.22 este un filtru cu cîştig constant in nul ere
într-o bandă de frecvenţe dată şi zero în afara acestei benzi. Atunci integrala din (97)
va fi egală cu produsul acestui cîştig m putere cu lăţimea de bandă respectivă, în
cazul mai general, chiar daca funcţia de transfer nu este a unui filtru ideal, aria de
sub curba, reprezentata de această integrală, este din punct de vedere dimensional
cîştigul de putere înmulţit cu lăţimea de bandă. Pentru acest motiv integrala din (97)
este în general numită integrala cîştig-bandă. Astfel găsim o limitare de bază asupra
produsului cîştig-bandă datorată prezenţer condensatoru
lui C din derivaţie.
O altă formă a relaţiilor integrale
în cele dezvoltate anterior, au fost găsite două seturi de expresii integrale
echivalente în (76) şi (82) legînd părţile reală şr imaginara ale funcţiilor de circuit
pentru toate frecvenţele. Alte forme smt de asemenea posibile una din ele în special,
fiind convenabilă pentru calcule şr conducrnd la o evaluare simplă a stabilităţii, în
sistemele de control cu bucla inclusa. Veeastă formă este cea mai semnificativa cînd
se refera la lnl (ciştrg şr fază) şi nu la funcţia de circuit însăşi. Expresia utilrzeaza
frecvenţa logarrtmică definită în (86).
.
Să începem cu (82 fo) şi să efectuăm citeva calcule preliminare vi tuizind ca variabilă frecvenţa logaritmică. De asemenea vom folosi a şi <P in loc de R şi
AT. Astfel
a ( y ) — <x(to ) d y
V
i
t
=
_ 2 _ r » a (yl-oţul ău
\
U,
“U
TZ J-oo £
=
'
j_r ^Mhz^l-du.
7Z ♦ — oo
£8 - c. 854
—
£
-rr > _ sinh u
(98)
434
6 ., REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Observăm schimbarea limitei inferioare, deoarece u = — co cînd y = 0. A fost menţinută variabila y
în < x ( y ) , aşa cum am discutat anterior.
în următoarea etapă, integrăm prin părţi ultima expresie. Folosind foi mula generală
^ adb = ab — ^ bda
cu
du
a = a( y ) — a(to), d b
-
du
_icth—-
sinh u,
d a = d u , b = — In cth "
2
Deci (98) devine
*C> = -i-{wir) - *«>] 1" "'“'YHI + TLT1” rtllTa'"'
(99)
Observăm că cth u j 2 este o funcţie impară de u , fiind pozitivă cînd u este pozitiv şi negativă cînd u
este negativ. Deci logaritmul său pentru u negativ va fi complex, partea imaginară fiind i z . Pentru u
negativ se poate scrie
In cth — = In cth — + jrc, u < 0.
2
2
(100)
Cînd u . = + oo, In cth u j 2 = 0, iar cînd u = — co, In cth w/2 = jiz. Deci partea integrată a ultimei
ecuaţii devine j[a(0) — a(co)].
Considerăm acum integrala rămasă. Dacă folosim (100) pentru valori negative ale lui u, rezultatul
va fi
c
du
la cth i *. = f ^ In cth M *. + j* f
2
J-oo du
=f
J-oo du
^
*,
ln cth
2
2
J-oo du
M
® du + jna (y)
|U-°
în final, utilizînd toate aceste rezultate în (99), obţinem:
, lf” dtx. (y) 1
,\u\
Cp(w) = — \ —— ln e\h. — du.
7T J-oo du
2
(101)
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALA Şl IMAGINARA
435
Această ecuaţie este uşor de interpretat chiar dacă pare a fi complicată. Observăm că cîştigul a nu
este o funcţie pară de frecvenţa logaritmică u şi deci nu este posibilă integrarea numai pe o jumătate din
intervalul total. Ecuaţia exprimă faptul că faza la o frecvenţă oarecare depinde de panta cîştigului la toate
frecvenţele (cînd cîştigul este reprezentat la scara logaritmică a frecvenţelor), importanţa relativă a
diferitelor frecvenţe fiind determinată de factorul de pondere.
y+
ln cth —! = ln 2
(102)
y— co
In cth -Ţ
/20-
-/ h—
/ 10
A In cth
J■
0
11
Fig. 6.23. Reprezentarea factorului pondere
ln cth — = ln ----------------
|u|
'
2 {/—
Această funcţie este reprezentată grafic în fig. 6.23. Ea creşte rapid în vecinătatea lui
u = 0 (2/ — co), lumd apoi valori foarte mici în ambele părţi ale acestui punct. Aceasta
înseamnă că cea mai mare contribuţie la valoarea fazei, la o frecvenţă co, o are panta
cîştigului în imediata vecinătate a lui o.
.
.
„
O altă formă utilă se poate obţine simplu prin adunarea şr scaderea pantei
evaluate la u = 0 (y = co) sub integrala din (101). Lăsăm cititorului sarcina efectuării
acestor calcule. Rezultatul va fi
©(<,) =
2 du r. J-cc L du
r^-
do.(ti>)
du
In cth — du. (103)
2
înţegem panta cîştigului ca funcţie de u, evaluată pentru u = 0 (y = co). Panta da.(«>)ldu
este măsurată în neperi pe unitatea de variaţie a lui u. O unitate de variaţie a lui u
înseamnă o variaţie în frecvenţă cu irn factor s.
Observăm că prin
du
(7a(co)
436
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Observăm că la o frecvenţă oarecare faza este de tc/2 ori panta cîştigului la
aceeaşi frecvenţă, plus un termen dat de integrală. Dacă cîştigul este o funcţie
continuă, atunci diferenţa în integrând va fi mică în vecinătatea lui y = w, chiar acolo
unde factorul de pondere are valori mari. Deci, în acest caz, contribuţia integralei la
valoarea fazei va fi mică. Atunci, într-o primă aproximaţie putem spune că faza va
avea o valoare de - radiani cînd panta cîştigului este 1, o valoare de 3 radiani cînd
penta cîştigului este 2 etc.
Panta = 0
Presupunem acum că funcţia cîştig este dată grafic. Putem aproxima curba cu o
serie de segmente de dreaptă avînd pante egale cu n, unde n este un întreg. O
aproximare a funcţiei de fază (funcţie de fază minimă) corespunzătoare funcţiei date a
cîştigului se poate trasa rapid conform discuţiei din ultimul paragraf.
Ca exemplu al acestei metode, presupunem un grafic al funcţiei cîştig 1) dat în fig.
6.24. Aproximarea cu linii drepte este figurată suprapus.
poate obţine o diagramă aproximativă a fazei, arătată în figură pi in linie
discontinuă folosind numai aproximarea cu linii drepte a cîştigului >i neglijînd
complet integrala din (103). Funcţia de fază trasata mai exact poate avea forma
arătată prin curba punctată.
|F(jco)l,
3 Pînă la o schimbare de scală pe ambele axe, aceasta este diagrama Bode a lui
care
se utilizează toarte mult în teoria reglării automate. Diagrama Bode, adica 20 log | F(jco) | în raport cu log
co, este descrisă în lucrările de bază despre analiza sistemelor de reglare automată.
6.7. RELAŢII INTEGRALE INTRE PĂRŢILE REALĂ Şl IMAGINARĂ
Relaţii obţinute pentru diferite funcţii pondere
Pentru obţinerea relaţiilor integrale din acest paragraf am pornit de la
integrandul din (72) şi conturul închis arătat în fig. 6.20. Funcţia \ ' ( z — ho) cu care
s-a multiplicat funcţia de circuit F ( z ) m ( / 2 ) este o funcţie pondere. Aceleaşi relaţii
ca cele obţinute aici se pot obţine folo- '-ind diferite funcţii pondere şi integrînd pe
acelaşi contur de baza. Desigur, dacă funcţiile pondere introduc poli adiţionali pe axa
jw va trebui >â evităm aceşti poli prin mici devieri ale conturului de integrare ; de
exemplu teorema integralei de rezistenţă se poate obţine rapid prin ii™' srarea
funcţiei [ F { z ) R ( c c ) ] pe conturai de bază Aici funcţia pondere este 1. Analog,
teorema integralei de reactanţă rezulta imediat claca integrăm funcţia F ( z ) l z pe
conturul de bază, în care introducem un mic ocol al originii. Funcţia pondere este l/z.
Cititorul poate verifica aceste
afirmaţii.
,
..
....
,.
Din această discuţie rezultă posibilitatea obţinem unor relaţii suplimentare
între părţile reală şi imaginară, folosind diferite funcţii pondere. De fapt, se poate
găsi o mare varietate de relaţii. Aici au fost prezentate cele mai importante şi
folositoare dintre ele. Dacă consideram cele două cazuri mentionate în paragraful
precedent, criteriul pentru alegerea unei anumite funcţii pondere pare a fi alegerea ei
astfel lucit, termenul in care apare componenta cunoscută a funcţiei de circuit sa fie o
funcţie nară în raport cu frecvenţa, iar termenul în care apare componenta necunoscută să fie o funcţie impară de frecvenţă. Astfel, cînd se face integrarea pe axa jco
componenta necunoscută va dispărea şi va aparea numai in termenii ce reprezintă
contribuţia micilor contururi de ocolire a >in°ularitătilor şi în termenii ce reprezintă
contribuţia arcului de raza infinită. Se pare că această consideraţie în alegerea unei
funcţii pondere se aplică în mod cu totul general.
Pînă acum, am găsit în acest paragraf, că pentru o funcţie de cii- cuit avînd
anumite restricţii, dacă partea reală este dată pentru toate frecvenţele, atunci partea
imaginară este complet determinată. In mod analog, cind partea imaginară este dată
pentru toate frecvenţele, partea reală este complet determinată (pînă la o constantă).
întrebarea care se pune este : presupunînd că partea reală este dată într-un anumit
interval de frecvenţe, iar partea imaginară pe întreg spectrul de frecvenţe rămas, este
funcţia complet determinată?
^ In loc să considerăm această problemă în forma cea mai generală, să presupunem că
partea reală este cunoscută pentru toate frecvenţele mai mici decît co 0, iar partea
imaginară este cunoscută pentru toate frecvenţele mai mari decît co0. Vrem să găsim
o expresie care să dea părţile necunoscute ale celor două componente. Discuţia privind
alegerea funcţiilor pondere sugerează că, dacă putem alege o funcţie pondere care
schimbă caracterul la co0, astfel încît sub co0 termenul ce se referă la partea reală să
fie par, iar peste co0 termenul ce se referă la partea imaginară să fie par, atunci
problema va fi rezolvată. Deci este necesară o funcţie pondere multiformă.
’
Presupunem că alegem următoarea funcţie pondere
(.?2 + CO2)
A+4
C05
437
438
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Din nou luăm z = x -f jy ca variabilă auxiliară, Factorul iraţional de la numitor este
multiform avînd punctele de ramificaţie la z = ± jco0. Trebuie să alegem tăietura astfel
încît integrarea dealungul axei j să se afle pe o singură foaie a suprafeţei Eiemann.
Putem obţine aceasta dacă, pentru 2- = jy, luăm
y
l ------------------------------ ■L-real şi pozitiv pentru —co0<y<co0,
«o
1— i m a g i n a r şi pozitiv pentru y > u 0 , «o
1 _ imaginar şi negativ pentru y < — co0.
«o
Cu această alegere, ^1—t?/2/co5 este o funcţie pară în intervalul—-co0<2/<co0, şi
impară în restul axei. Conturul de integrare constă din conturul de bază din fig. 6.20
dar cu ocolirea punctelor z =± jco. în cazul nostru arcul de rază infinită nu aduce nici o
contribuţie deoarece integrandul tinde la zero cel puţin tot atît de repede ca 1 j z 3 la
infinit. Contribuţiile contururilor de ocolire sînt de j n ori reziduul integrandului în
polul corespunzător, care se calculează uşor. Eămîne integrarea pe axa jco. Aceasta se
ală.
ţtle
6.7.
RELAŢII INTEGfRALE
ŞI IMAGINARĂ
439
faee despărtind
intervalul
în două INTRE
părţi,PĂRŢILE
una deREALA
la zero
la co 0, cealalta de la «o la infinit. Detaliile
de calcul sînt lăsate cititorului. Rezultatul \a ti
rţ-<-
. nţ
: £Z I*
nbâ
rală
fie
lon-
2o> ,C00
71 'o
R(y)
dy
y * (t/2-co2)
7Z Ja
dy
%(y)
2co r°
+
(
f
y2—
co2)
COQ
COQ
X(co)
co<co0
(104)
CO*
2
COQ
— B ( co)
co >co0.
—1
COo
de
;co0.
i se
ICă,
^0»
ază
de
la
1Uzăse
Am răspuns deci la întrebarea pusă la începutul acestei discuţii, în măsura in care ea
se referă la prezenta problema. Daca se da pai tea reala a unei funcţii pe un interval
al axei imaginare şi partea imaginara pe iestul axe , amnci Funcţia este complet
determinată Metoda de ob(mere a rezu a- ţului din ultima ecuaţie se poate
extinde şi pentru cazul m care exis mai mult decît două intervale pe care una din cele
doua componente ale funcţiei de circuit este cunoscută. Se introduc factori iraţionali
adiţiona i, care dau puncte de ramificaţie adiţionale în punctele corespunzătoare de
pe axă. Totuşi, expresiile care rezultă devm complicate şi deci au utilitate limitată.
Să rezumăm rezultatele acestui paragraf. Scopul nostru este obţinerea
relaţiilor între părţile reală şi imaginară ale unei fune^ ^ circmt F ( s ) (sau între
cîştig şi fază), astfel încît atunci cmd una din ele este data să se poată calcula
cealaltă. Punctul de plecare este teorema integralei lui Caucliy, conturul de integrare
cuprmzînd axa imaginara şi un aic semicircular de rază infinită în semiplanul drept.
Se alege un ^grand ce conţine F { s ) sau ln F ( s ) , multiplicat cu o funcţie pondere.
Conturul este deformat pentru a ocoli polii integrandului introduşi de aceasta
funcţie.
,
.
. .
Dacă integrandul se referă la o funcţie de circuit F { s ) , atunci smeriră restricţie
este ca F ( s ) să fie analitică pe axa jco, mcluzmd puncte e, zero şi infinit. Dacă
integrandul se referă la lnF(s), atunci F { s ) nu trebuie să fie analitică pe axa jco,
daracum nu trebuie să aiba nici un zero m semiplanul drept; ea trebuie să fie de fază
minima. ^
^
Conturul total se împarte în segmentele de dreaptă de pe axa imaginară,
curbele semicirculare ce ocolesc singularităţile pe axa j introduse in integrând în mod
deliberat şi arcul semicircular de raza infinita. Contn-
440
6 . REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
buţiile contururilor semicirculare se pot calcula, iar singura integrală care 2'ămîne este cea
de pe axa imaginară.
O caracteristică foarte folositoare a acestor expresii este faptul că funcţia prescrisă,
poate să nu fie dată într-o formă analitică realizabilă.
O formă grafică aproximativă este suficientă. Mai mult decît atît, chiar integralele se pot
efectua grafic.
6.8. RELAŢIILE ÎNTRE RĂSPUNSUL ÎN DOMENIUL TIMP ŞI ÎN
DOMENIUL FRECVENTĂ
Paragrafele precedente au cuprins proprietăţile funcţiilor de circuit şi relaţiile de
legătură dintre componentele acestor funcţii în domeniul frecvenţă. Deoarece o funcţie de
circuit este raportul transformatelor Laplace ale funcţiei răspuns şi funcţiei excitaţie, este
de aşteptat ca între componentele unei funcţii de circuit şi răspunsul în domeniul timp sa
existe relaţii de legătură. în acest paragraf se vor examina aceste relaţii.
Să ne referim la notaţiile din capitolul 5 şi fie w u ( l ) răspunsul (scalar) la o excitaţie
treaptă unitate şi w s ( t ) răspunsul la o excitaţie impui < unitate. Funcţia de circuit
corespunzătoare F ( s ) este legată de acestea astfel
(105 a t (105 b )
în cele ce urmează n e v o m referi numai
jco.
= F(s)
la funcţii de circuit fără poli pe axa
Răspunsul la treapta unitate
Mai întîi din definiţia integralei Laplace
rezultă F ( s )
= ( w « { t ) s" Jo
du
(106)
Dacă se face înlocuirea s = jco, exponenţiala nu se stinge cînd t tinde către infinit,
dar integrala va converge dacă w „ ( t ) ~ > 0 cînd t - + oo. Apoi din teorema valorii
finale se găseşte că
lim w u (t ) = lim s = lim F ( s ) .
s-»0 $
s->0
6 .8 . RELAŢII
INTRE RĂSPUNSUL
TIMP ŞI
FRECVENŢA
32
[mpunînd
ca «>„(/)->
0 cînd t ÎN
->DOMENIUL
co înseamnă
căINFDOMENIUL
( s ) trebuie
să conţină
un :€ro l a s = 0 . Cu
această remarcă, (106) se poate scrie
II < â
bilă.
:hiir
f 0C
F ( j a ) = 2?(co) + j X ( w ) = jco \ W n { t ) [cosco/—jsincof] d t .
-'o
din aceasta rezultă că
iî(co) = î i<>wv(t) sin cot cit,
Jo
(107a)
X(co)= (°°coivu(t) cos cot dt.
(1076)
Jo
rcr::*
Mii
ui
trke
irrI'
Astfel părţile reală şi imaginară ale unei funcţii de circuit se pot obţine direct din răspunsul la
treapta unitate.
^
Sînt de asemenea posibile şi relaţii inverse care dau răspunsul ia treapta unitate în
funcţie de partea reală sau imaginară. Ele se pot obţine cu ajutorul integralei de inversiune
pentru răspunsul la treapta unitate. Deoarece w „ ( t ) = ^_1 {-F(a)/*}, se obţine
lăţii, t
>C*i •
;pU!<
*> L tÂ
>._>
a\
>0
b ) fi
m
(t)
X]
JB
S
'ds.
\m presupus că F ( s ) nu are poli pe axa jco, dar n-am făcut nici o restnc- . ie relativ la un zero
în origine. Atunci integrandul din ultima expiesie poate avea un pol în origine. Dacă nu ar fi fost
acel pol, conturul Li om- ‘vicii ar fi putut să fie luat pe axa jco. în locul acesteia luăm conturul
aratat m fig. 6.25 care constă din axa jco, cu excepţia unui arc semicircular care ocoleşte
originea. Cînd raza semicercului tinde la zero, conturul nnde să devină întreaga axă jco. Cele
trei părţi ale conturului au os denumite C \ , C 2 şi C 3 . Ecuaţia (108) poate fi scrisă acum
pe
FI
106)
inde
\poi
(108)
sst ds +
2 i îj i
ssl d s +
Pe contururile C \ şi C 3 , s = jco şi d s = jd<*. Pe conturul CB care este arătat mărit
în partea (b) din fig. 6.25 se poate scrie
s = R0sia = B0 cos a + jB0 sin a,
ds = jK0s3'°Y7a.
442
6 . REPREZENTĂRI ale FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
Prin urmare (109) devine
(t) =
jp°
2:rj l-'-oo JCO
e'*
jdco +
Jiî0 Jco
f s'«*j tfco 1
J
(110
1 rn/2
----------------- V F ( s ) exp [ t ( B 0 cos a + j B 0 sin a)]j d a .
2 7 1 j rr/2
jw
C3 t
CZ
1
Yx\
y\o( \
J
cr
Ct f
a
b
Fig. 6.25. Contururi de integrare.
Ultima integrală din partea dreaptă conţine raza B 0 într-o formă complicată. Intenţionăm
însă să facem ca B 0 să tindă către zero, în care caz acest termen se reduce la F ( 0 ) / 2 .
Cititorul poate verifica aceasta. Observăm că impunînd restricţia suplimentară ca F ( s ) să
aibă un zero la s = 0, atunci acest termen va dispărea. Cînd punem B 0 0 cele două
integrale rămase în (110) se combină pentru a da valoarea principală a integralei mergînd
de la — co la + co. în concluzie
n * ( t ) = ^ + ——7- (°°
2
2 Tzj J-oo co
do>.
(lll)
(Notăm că deşi nu este arătat în mod explicit, ultima integrală trebuie înţeleasă ca
reprezentînd valoarea principală). Această expresie poate fi simplificată în continuare
scriind F(jco) în funcţie de părţile reală şi imaginară, dezvoltînd exponenţiala şi utilizînd
proprietăţile pare şi impare ale funcţiilor rezultate, pentru a schimba domeniul de
integrare pe axa pozitivă co. Detaliile revin cititorului. Rezultatul
este
B ( 0) ,
w u ( t ) = 1 f«.H(co) .
_
, 1 f“Z(co)
+ — \ ----------- sm o i t d o i -[- — v —'—-coscofcZco. (112)
7t . 0 CO
71JQ
W
4,
6 .8 . RELAŢII INTRE RĂSPUNSUL ÎN DOMENIUL TIMP ŞI IN DOMENIUL FRECVENŢA 443
Am înlocuit F ( 0) prin 12(0), deoarece X(0) = 0. Observăm
expresie este definită pentru valori pozitive cit şi negative ale lu> t . Insa,
t v u ( t ) = 0 pentru valori negative ale lui t . Prin urmare pentru valon
negative ale lui t se obţine
«-IC®
Sin
0
2
71 'o
„ t i o + - f ^ <=<« «io.
CO
.0
CO
sau
w)
+
if"iwcos
2 T Z 'o CO
- sin O i i d co.
=
7T
.'o
co
Cînd ultima ecuaţie se înlocuieşte în (112) se obţine următorul rezultat final
W
7 1 J0 CO
{ t ) = 12(0) + — \
wjt)
utdou
^eos
co/ f/co.
(113a)
(H3b )
Pînă acum am
făcut o serie de artificii matematice pentru a pune relaţiile
de legătură dintre F ( j < o ) şi u>u(t) în mai multe forme echivalent^ Dar’acum avem ceva
nou. Ultima ecuaţie arata ca răspunsul la treapta unitate al unui circuit poate fi calculat
cunoscînd de-a lungul axei jco numai partea reală a funcţiei de circuit. Notăm ca aceasta
relaţie nu cei e ca 12(0) = F ( 0) să fie zero. Cu răspunsul la treapta unitate determinat,
(107 b ) poate fi utilizat pentru calculul părţii imaginare a lui i ( j co). nsa, din deducerea
lui (107 b ) cunoaştem că valoarea asimptotica a răspunsului la treapta unitate, care se
utilizează în (107 b ) trebuie sa fie zero. Pun urmare înainte de utilizarea lui wu (t ), aşa
cum se calculeaza din (113 b ) , se extrage valoarea sa asimptotică, 12(0), m cazul in cai e
aceasta nu este zero. Pe această cale F t f a ) este complet determinat numai din
cunoaşterea părţii sale reale.
în mod similar, pornind cu partaa imaginară X(co) se poate calcula răspunsul la
treapta unitate din integrala din (113 a ) . Partea de răspuns la treapta unitate calculată
din această integrală va tinde către zero cînd
i tinde către infinit. La valoarea astfel calculata putem adauga once constantă, care este
valoarea la frecvenţa zero a lui -R(jco), notata in (113 a ) prin 12(0). însă omiţînd această
etapă putem calcula partea îeala JK(co) din (107 a ) . în acest fel F ( j < a ) va fi complet
determinat, cu excepţia unei constante aditive, numai din cunoaşterea părţii sale
imaginare.
444
6 . REPREZENTĂRI ALE: funcţiilor DE CIRCUIT
^ Metodele discutate pentru determinarea unei funcţii de circuit di^ părţile sale pară sau
impară sînt oarecum diferite de cele’discutate în ultimul paragraf. De asemenea ele sînt
aparent mai complicate, deoarece cuprind evaluarea a două integrale. însă trebuie să
observăm că parte; reală sau imaginaiă nu trebuie să fie date ca funcţii raţionale; un
grafi - este suficient.
’
’
Răspunsul la impulsul unitate
Să considerăm acum răspunsul la impulsul unitate. Prin efectuarea unor
schimbări potrivite, putem adapta tot ce am discutat pornind d- la (106) şi pentru
răspunsul la impulsul unitate. Mai jos vom da rezultatele. lăsînd detaliile dezvoltării pe
seama cititorului. Ca şi înainte s e cerca F ( s ) s ă f i e o funcţie analitică pe axa jco,
dar acum nu este nevoie nî conţină un zero la s = 0. în schimb, aplicarea integralei de
inversiune lui F ( s ) va cere ca F ( s ) să aibă un zero la infinit. Pornind de la (106) urmînd
aceleaşi etape vom obţine următoarele ecuaţii :
'
S
CO
w s ( t ) c o s <x>t dt,
0
/.CO
AT(co) = — \ w s ( t ) sin co/ sin cot d t
(114 a
(114?;
^0
WS)
2
,*00
= — ( - B c o ) c o s cdt do>
(114r
7Z .0
2
w s ( t ) = — —V X(co) sin co/ dio.
7Z J o
(114rf
Primele două ecuaţii sînt corespondente lui (107), în timp ce ultimele două pot fi
comparate cu (113). Prin faptul că răspunsul la impulsul unitate este derivata
răspunsului la treapta unitate, ultimele două ecuaţii pot fi obţinute din (113).
(Impulsurile nu vor fi cuprinse deoarece a in presupus JF(OC) = 0).
Ecuaţia (114 d ) arată că răspunsul la impuls al unui circuit se poare calcula chiar
dacă se cunoaşte numai partea imaginară X(co). Notăm că X(co) va tinde
către
zero
cînd co tinde către infinit, chiar
dacă F ( o c ) este
diferit de zero. Avînd calculat răspunsul la impulsul unitate,
partea reală
i?(w), sau i?(co)—j?(oo), dacă E ( co) = F ( o o ) j = 0, poate fi găsită folosind (114 a ) . In
acest fel F ( j c o) este determinat pînă la o constantă aditivă. F ( co) = E ( co), numai de
partea sa imaginară.
6 .8 . RELAŢII INTRE RĂSPUNSUL IN DOMENIUL TIMP ŞI ÎN DOMENIUL FRECVENŢA_44_5
în mod similar, cunoscînd numai partea reala R ( v > ) , sau R ( o > ) R ( c o )
dacă R ( oo) = F ( c c ) = ? = O, răspunsul la impuls se poate calcula cu (114 c . a vind
răspunsul la impuls, partea imaginară X(«) se calculeaza cu ( l U b ) . fn acest fel
rezumă că o’funcţie de transfer este complet determinata numai din cunoaşterea
părţii sale reale.
în fiecare din cazurile de mai sus, după ce răspunsul la treapta unitate sau
răspunsul la impulsul unitate a fost calculat din funcţiile P t v > ) sau X(co) date, este
necesar de a găsi numai transformata Laplace,
,
‘‘
nv _
T^Ys'Ws si=
F(s).
Procedmd
m
acest mod,
deoarece Se{wu ( t ) ) = * (&)/» şi
.+Q+una din integrările din (107) şi (114) poate fi editata,
Exemple
Să presupunem că partea reală a unei funcţii de circuit pe axa ,/<o este
co4 + 2co2-j-4
(115)
i?(<o) =-------------------------- — •
(l + co2)(4 + <o-)
'
(
Se vede că la infinit valoarea sa diferă de zero şi ca urmare (114 c) nu se poate folosi direct. Extrăgînd
valoarea de la frecvenţa infinit se obţine
— 3 oi2
*■<“> - Bl“i '
Aplicind acum (114 c) rezultă
6 f x co2cos cot
“'8>(<) = _ vio (1+»2KÎW)"<W
3j-j-a, u2£J“irfco , r°° co2 £ jat<lu
-
(116)
TTLJO
3
Jo (l + co2)(4 + co2) .
(l+co2) (1-fco2)
roo
co2
(ii.o
TT J
_co (1
+ to2) (4-J-to2)
Al doilea rind din (116) rezultă din utilizarea formei exponenţi^jUui cos <o, Dacă în cea de a doua
integrală din acest rind se mlocueşte co cu -co şi se scmmoa in
r
tor limitele, rezultă ultima integrală.
Să considerăm acum următorul contur de integrare in planul complex a ,
1
esi ds
= «)
C
unde conturul este format din întreaga axa ^“nşl
Integrandul satisface condiţiile lemei lui J .
(s2-D (s2 —4>
ţională din integrând se
fi
zero
si
ra
infinit va
integrala com-
36
6 . REPREZENTĂRI ale FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
integralei este egală cu de 2ttj ori suma reiduurilor tn polii din semiplanul sting. In cazul di: sînt numai doi poli
simpli în semiplanul sting, la s = l şi s = 2 şi reziduurile lor sînt uşor de calcL- lat. Prin urmare obţinem
,= _,C
,=27rj.|_Le-t_
(l + co3) (4 + co2)
1.
JLe-,<
6
3
Prin substituirea acestei expresii în (116) obţinem
w S l (t) = s-‘ -2e-2*
Funcţia dc transfer se găseşte liLnl ti’ansformata Laplace. Rezultatul va fi
/.’i(s)=
----------- 1 -- = ------------Zf ----- .
s+1
s + 2 (s + 1) (s + 2)
Această funcţie are un zero la infinit. La aceasta trebuie să adăugăm valoarea lui R('cula frecvenţa infinită,
care este F(oo) şi pe care am scăzut-o din funcţia originală la început. In acest fel funcţia dorită este
F(s) =F X (s) + F(co) = ---------------------- S ------------------------ h 1 = s t2s + 2—^
(s-f-l) (s-j-2)
(s + 1) (s~-2)
Pentru al doilea exemplu fie partea reală a unei funcţii de circuit, curba ideală arătată In fig. 6.26. '
i, *(*)
_____ K
PROBLEME
37
Folosind (114 c) răspunsul la impuls rezultă
2 f“o
^
2K .
.
(()= —l JCcoscoiclco= ---------- smoy.
ii)
S
7t JO
Tlt
Introducînd rezultatul obţinut
în (114 b) se găseşte *■)
'* 2 K .
, . , ,,
------ sm co0f sin toi dt
X(o) = - (*
Kt
Jo
h:
e-
eos(to — ca0)f—cos(o)+<o0, .
K | (o0+o)
---------- ln ---------------
to > 0.
PROBLEME
PI. Pentru reţelele arătate în fig. 6.P1 verificaţi că valorile proprii diferite de zero ale matricei *
din ecuaţia de stare sînt aceleaşi cu zerouri le diferite de zero ale matricei impe- danţelor de contur şi ale
matricei admitanţelor la noduri.
10
Hh
(j)
a
Fig. 6. P.l.
P2. Găsiţi partea pară, Par F(s) şi partea impară Imp F(s), a următoarelor funcţii din părţile pară
şi impară ale numărătorului şi numitorului;
(a) F(s) =
s3 i-2s2 + 3s + 4
s2
+ 3s + 3
(b )F(s) = s4 + s2 + 2s-r2 SI + 5S3 + 6S2 +
4S+1
4 Ultimele două rinduri se pot obţine din integrala 412 din R.S. Burington, Handbouk of
Mathematical Tables and Formulas, 2nd ed. Handbook Publishers, 1940.
P3. Polinomul Pj(s) = s2-6s + 12 are o pereche de zerouri în semiplanul drept. El trebuie multiplicat
cu un alt polinom, P2(s), de gradul n astfel ca polinomul rezultant să nu aibă coeficienţi negativi. Care este
valoarea minimă a lui n7
6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
448
PROBLEME
Pî. Se dă funcţia de transfer
F(s) =
Funcţia de fază este definită astfel
tZ.
39
1 fars + a2s2+ ••■+aMs,‘
1 + /)rs 4- fc2s2 + • ■ • +
bms m
a
1
F(s)
0(s) = — ln ----------------2
F( — s)
şi este identică cu (49) pentru s=ja>. Funcţia de
este definită astfel
F(s)
(1 A
1
---- 0 ( S ) - - ds
tntirziere
fin
I F(-s) ]
T (*) = -
2
(a) în F(s) fie a,= 0 pentru toate valorile i Introduceţi această modificare m expre? - funcţiei de
tntirziere. Găsiţi valoarea coeficienţilor b.; astfel ca întirzierea sa fie o funcţie det.. maxim plat, pentru
cazurile m = 3, m = 4 şi m = 5.
(b) Repetaţi pentru a { 0 şi n = m — 1.
P5. Verificaţi că, dacă toţi coeficienţii unui polinom real P(s) de gradul n au aceL- s?mn,
polinomul P(s) nu are zerouri în sectorul | arg si<7i/n.
P.6. în fig. 6. P6 găsiţi z21 şi verificaţi că nu există un zero de transmisie la s — — chiar dacă latura
derivaţie din partea stingă are un pol al admitanţei la s = - .
1
P.7. Adinitantele laturilor derivaţie din diagramele din fig. 6.P7 au un pol la infim: respectiv la
zero. Arătaţi că diporţii totali trebuie să conţină zerouri de transmisie la ace,, frecvenţe (în afara cazului
din problema precedentă), indiferent de ce conţine iestul ci.ci ît i.
..............
o ----------- 4 --------------------------------------
------------------------
Fig. 6. P. 7.
P.8. Un circuit ln X simetric are impedanţele laturilor serie ^“işa siune este
„ ,.
1
— ^aln
G,,(s) = ----------------------- •
21V
1+ZJR
P.9. Verificaţi că circuitul T podit din fig. 6.12 bşi circuitele in r din fig. ^^^12 d Închise pe o
rezistenţă R sint circuite de rezistenţa constanta daca Z a b
de asemenea că în această condiţie funcţia cîştig de tensiune este
Gai(s)
V„
—~
'î
1
l+Za/R
P.10. Figura 6.P.10 a arată un circuit ln X simetric.
c-,
1 /h
2 [(X
.\<
7/ j
] L2—
p(1-«)
X
nr T Ci-(1-«)C2
ijg--
-g ■'
Fig. 6. P. 10.
29 —c. 854
1
,
41
6 . REPREZENTĂRI ale FUNCŢIILOR DE CIRCUIT
(a) Găsiţi parametrii y (dacă e posibil utilizînd formule topologice) şi arătaţi că condiţia Fialkow (definită
în problema P.47 din capitolul 3) va fi satisfăcută în una din cele tre* condiţii de mai jos :
(1)^*->1; (2)-^>l
ij
(3)i^-
C2
Li
+A > 1 .
C2
(b) Figurile P6.10 b şi 6.10 c, arată două circuite în T podit. Arătaţi că în condiţia (1) de mai sus primul
circuit are aceiaşi parametri y ca şi circuitul în X şi deci este echivalent cu el. Arătaţi de asemene a că al doilea
circuit are aceiaşi parametri y ca circuitul X, în^con- diţia (2) de mai sus.
(e) Dacă parametrii y ai circuitului în X
sînt
dezvoltaţi în fracţii parţiale, rezultatul va avea
forma :
'Ju — U 22 — A'qcS
— -f- ----- —— — j&ooS
s s2+<oŞ
[*.,+
_g*L-U(J»+
s2+to?J
V
A-„
As
I,
ocAs
\
\s
s2-|-<^ /
(k„ (1 —a)A-s \
Un = Sn = Ivs + —5 ------------- = I AcoS ------------------------------------------ - + -5- - ^
-------------------------------------------------- .
S
S2 + fc)5‘ ţ
s2 + <o|)
1. S
S2 + C0§ I
în partea dreaptă, o fracţiune din polul finit fost combinată cu polul de la infinit, iar restul a fost combinat cu
polul din origine. Arătaţi că în circuitul dublu T din fig. 6.P 10 d, fiecare circuit T are unul din seturile de
parametri y cuprinşi în parantezele de mai sus. Determinaţi domeniul valorilor a şi arătaţi că acest domeniu
există dacă este satisfăcută condiţia (3) de mai sus. în această condiţie, circuitul dublu T este echivalent cu
circuitul X.
(d) Determinaţi unghiul zerourilor de transmisie
ale circuitelor T podit şi
al circuitului
dublu
T determinate de cele trei condiţii de la punctul
(a).
Pil. Găsiţi un diport terminat pe un rezistor de
100 fi, a cărui funcţie cîştig de tensiune
este dată de fiecare din următoarele funcţii trece-tot.
In fiecare caz relativ la
un circuit X.
determinaţi dacă există un circuit echivalent cu bornă comună şi dacă există determinaţi-],
, . r _ s2 —2s + 2
(a) G21 —
-
-
~
,
(fr) G21 —
s2 + 2s-f-2
s2-3s+5
s2-f3s + 5
(s2-s + l)(s —5)
(e) G2
(s2 + s + l)(s + 5)
P.12. Găsiţi un diport terminat pe un rezistor de 50 fi, a cărui funcţie cîştig de tensiune este dată de
fiecare din următoarele funcţii de fază neminimă. Alegeţi oricare valoare convenabilă pentru K. Schimbaţi unde
este posibil circutul X în circuite echivalente cu bornă comună.
(a)
G21
=
K
S2
~
S
+
2
(s -f- l)2
s2
s2-3s + 5
(c)
G21= K
,
s2 + 7s+5
(b)
G21 = K
+ 4s +
3
S_2
42
6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR. DE CIRCUIT
posibilităţile.
—2^—,
1 —6co2 '
0
(b) tg
(a) tg 0
“
—
A
«o tg 0 = — ,
(e) tg
—
_o
co3—:tu(co —2) —7ru(co-i-2),
tg 0
»
® = ---------- ZÎ? ---- ,
=
"
(f)
co4 —4co2 + 24
g
co3 —3iw
A
(d)
tg
co3 + 2co
0
=
co4-3co--6
-
,
-
m
16 - 8co2 + co4
.
(a) fl(co) = ------------- —7— ’
(b>
1 -p CO
(O
=
(d)
.!„?■
4 2
p. 16. Deduceţi formula (103) din text, pornind de la (101).
R(
}“
*«) =
_____ (1 — (d + (0 ) _____________________
R(w) (.(j)4_4w2 + 3)2_|_CO2(CO4 — 6co2 + 8)2
3
(e)
(
■> _ 2 : lor îic..' o6
1
IZ2W
+ o»
^T^-8 ’
#
srtsarsasr ‘
P 17. Deduceţi formula (104) din text.
p, ia. Deduceţi teorema integralei de reactanţă din (85) prin integrarea funcţie. F(*)|. pe conturul
de bază, cu o mică ocolire în jurul originii.
^
.c, P. 20. Deduceţi (79) prin integrarea fiinţei F
ocolirea punctelor z = ± j“-
(z)/(z~ + co ) pe conturul de baz ,
,
,
,
P 81. Deduceţi (80) prin integrarea funcţiei z[F(z) - *(=0)],(** + «*) Pe conturul de bază, cu ocolirea
punctelor z = ±jco.
_
P 22 Prin integrarea funcţiei [F(Z)-R(0)l/z(z2+co2) pe conturul de baza, cu ocolirea punctelor z=0 şi z
= ±j«, deduceţi următoarea relaţie
Comparaţi-o cu relaţia (82 a) din text.
2co2 f00 x (y)ly - X (co)/co
43
PROBLEME
P 23. Fiecare din curbele din fig.6.P.23 reprezintă modulul \F(jui) | al unei funcţii de transfer, pentru
co> 0. Presupunînd că funcţia este de fază minimă, prin aproximări potrivite găsiţi funcţia de fază
corespunzătoare.
Fig. 6. P. 23.
P 24. Funcţia de tip maxim plat din (32) este modulul unei funcţii. Arătaţi că faza este dată de următoarea
expresie
®(6>) :
IL f”
+ y-
llu
* )0
1
- ln
y- co
dy.
P 25. Partea reală a unei funcţii pe axa jco este dată de funcţiile de mai jos. Găsiţi răspunsul la
treapta unitate folosind (113 b) si răspunsul Ia impulsul unitate folosind (114 c).
(a) B(o) =
4td6 + 12 to4 + 11 <a2 + 3
(b) i?(co) =
+ co6 ’
1 + 2to2 + co4 1 — 2co2 + <o4 +
(c) i?(co
4co6
(1 - o2)3 1
(d) iî(co)
1
1 + (O21* '
P 2G. Se presupune că partea imaginară a unei funcţii de circuit este arătată ln fig. 6.P.26. Folosiţi (113
a) pentru a calcula w u (t) şi apoi (107 a) pentru a determina partea reală a funcţiei de circuit.
44
6. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIILOR. DE CIRCUIT
P B. Se presupune
in Ilg. 6.P.27. Folosiţi
c« rt.pu»,,,! 1. «.pu
prin 'determinarea iul u,,(i> «rect «n »'.«>■
la impulsul unitate w $ ( t ) . Verificaţi ac
„,.tpiisr cer întocmirea unui program pe calcu-
,,,o^rr,£Vif^
s&&-j?A£n?r ^tsr&ar- - - «*«■-—
pentru program.
Fig. 6. P. 27.
P 28 * Se presupune că f(o2) din (41) este o funcţie
rizat de o listă de numere. Primele doua numere
rului; ele vor fi urmate de un set de numere ce reprezi _
,
torului. Alcătuiţi un program care accepta aceste date ea o d
lati funcţia de fază minimă stabilă F(s), unde F(j«) satisfacc (41). Presipu . .
o subrutină pentru determinarea zerourilor unui polinom ).
x
P 29*. Alcătuiţi un program pentru a determina f™^ ^ m i n ™ ^ S } a
,-ătorului si^al numitoşi numifunetiei «„2) si calcupreSupuneti că există
.
^
.
.
.
v
,
S
(d e
minarea zerourilor unui polinom.
P 30*. Alcătuiţi un program pentru a det.ermina
unui polinom.
and Sons, New York, 1964, Chap. 8.
^date^drfntra^Thnilar
SA o'subluttaâ pentru determinarea zerourilor
7
Principii de bazâ ale sintezei
circuitelor
Sinteza circuitelor se ocupă de proiectarea şi realizarea circuitelor, pentru care
răspunsul la o anumită excitaţie este prescris. Problemele de sinteză diferă de cele de
analiză, în care se cere să se găsească răspunsul unui circuit cunoscut, atunci cînd i se aplică
o excitaţie prescrisă. în opoziţie cu analiza, în cazul sintezei, soluţia poate să nu fie unică. De
fapt în sinteză se poate întîmpla să nu existe soluţie, deoarece uneori nu există nici un
circuit care să aibă răspunsul prescris la excitaţia dată. în acest ultim caz poate să apară
necesitatea, de a aproxima răspunsul dorit cu unul care poate fi obţinut.
^ Prescrierea răspunsului şi aproximarea acestuia poate să se facă în domeniul timp, sau în
domeniul frecvenţă. în domeniul frecvenţă, rezultatul procesului de aproximare este
determinarea uneia sau a mai multor funcţii de circuit, care caracterizează circuitul dorit.
Cunoscînd aceste funcţii este necesar ca, în continuare, să se găsească (să se realizeze)
circuitul. In realizarea concretă trebuie să se ţină seama că există diferite clase de circuite.
Aceste clase pot să fie caracterizate prin numărul de borne accesibile din exterior, prin tipul
componentelor (fără pierderi active, BC etc.), prin schemă (în scară, cu bornă de pămînt etc.)
ş.a.m.d.
Prima sarcină a procesului de realizare constă in determinarea proprietăţilor
funcţiilor de circuit, care aparţin fiecărei clase a circuitelor. Aceste proprietăţi includ
localizarea admisibilă a polilor şi zerourilor. semnele reziduurilor şi ale părţilor reale,
precum şi mărimea relativă a coeficienţilor. Asupra acestei sarcini ne vom concentra pe larg
în acest capitol.
în scopul stabilirii proprietăţilor analitice ale funcţiilor de circuit, va fi necesar să
introducem cîteva probleme matematice suplimentare.
455
7.1. TRANSFORMAREA MATRICELOR
Primele «.<* paraj.aie sînt
5o.mX“ITe/uWelor,0JmaSl de unele discuţii asupra plauzibili»*..
7.1.
TRANSFORMAREA MATRICELOR
Dindu-se o matrice patra» raţii, care să
conducă
la o alta
4e
legături
Tor depinde de
SiiiL'SuarS “pune ’că matricea A a fost *m#mM W«»
modoarecare.
Transformări elementare
Unele operaţii specifice de trmstorm^nj
operaţii foade saiip e si
transformări elementare. Dindu-se o matrice a, ti«*
ale matricei A sînt urmatoare e :
1. Schimbarea reciproca a doua unii s
bită. Aceste
transformările
gdeoseelementare
coioane
(?0ÎWÎ
oarecare
^ \ Uunarea ele,nenUlor «»« Unii, « <*»« *» A «•
—
* ** A’ “ °
constantă.
u . rnn.lif;f,gi ordinul matricei ABineînţeles, aceste transformaiî
în Capit0lul 1, prima
Conform proprietăţilor determinanţ flPteTminantului A; a doua nu motransformaxe schimba nu™ai j înmulteşte determinantul cu o cons- difică
determinantul; cea de a treia mn * j lară atunci matricea
tantă. Prin urmare, daca “^^^^dfasemeixea nesingulară.
obţinută după o transformare elementar^ este^de^ ^
^
^^’^rS^^-te mai mic decît ordinul matricei. (A ^ Operaţiile efectuate
tare pot fi realizate înmulţind pe A
matrice, numite matrice elementare, s ţ
raţia corespunzătoare asupra rnatric
]a
operîndui ior efectuînd
Astfel, adunînd linia a
deordinui trei, se obţine matrim 0
**"c
o l o a n a
456
7.
PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
a treia la a dona coloană, a matricei de ordinul trei se obţine matricei elementară
din dreapta :
1
0
0
1
0
■
1
'1
0
0
1
0■
0
.0
0
1.
.0
1
1.
r
Dacă o matrice A, cu trei linii este ^«multiplicată cu matricea elementară din stînga, efectul
este că se adună linia a treia din A la linia a doua. Dacă o matrice A, cu trei coloane este
^jostoultiplicată cu matricea elementară din dreapta, efectul este că se adună a treia coloană
din A. la coloana a doua. Astfel
0
«11
«12 «13
-.1 0
0
1
1
«2i
*22 *23
«24
.0
0
1.
.«31
«32 «33
«34.
«11
H-
«12
a
«31
«31
21
*31
22
*32
1
3
«13
22 1 «
«14
23 ~l- ^*33
«32
«24 ~i- *34
«33
'1
0
0
0
1
0
.0
1
1.
=
«34 -
'«11
«12 *
«21
«2<> —f- «
«31
*32 ~r *
13
*23
*3
3
*13
*2
3
a 33
Observăm că A poate să nu fie pătrată ; bineînţeles A trebuie să fie conformă matricei
elementare (aşa cum s-a arătat mai înainte).
Deoarece o transformaree lementară nu modifică rangul unei matrice unitate,
orice matrice elementară este nesingulară. Deoarece produsul a două matrice
nesingulare este nesingular, se ajunge la concluzia că, produsul intre un număr
oarecare de matrice elementare este nesingular. O problemă de importanţă mai mare
este următoarea : concluzia este aplicabilă în sens invers? Orice matrice nesingulară
poate fi descompusă în matrice elementare ? Kăspunsul este afirmativ. Se poate arăta
că orice matrice nesingulară p< ate fi scrisă ca un produs al unui număr finit de
matrice elementare.
Pentru exemplificare să presupunem că se cere : (1) să se adune linia întîia a
unei matrice A ( 4 x 3 ) , la linia a treia, după multiplicarea primei linii cu 5 şi (2) să se
schimbe între ele coloanele trei şi doi, după
7.1. TRANSFORMAREA MATRICELOR
457
ce coloana a doua a fost înmulţită cu 3. Cele două matrice care vor realiza aceste
transformări sînt :
1
0
0
0
0
1
0
0
5
.0
0
0
1
0
0
, E2 =
1
0
0'
0
0
3
.0 1
0.
1
_
Prima trebuie să premultiplice pe A, iar a doua să postmultiplice pe A. Cititorul poate
să verifice acest rezultat.
Prezentarea unor detalii asupra matricelor elementare se va tace printr-un
număr important de probleme. în dezvoltarea care uimează se presupune că
rezultatele acestor probleme sînt cunoscute.
Matrice echivalente
Fie A şi B două matrice de acelaşi ordin. Spunem că B este echivalentă cu A
dacă aceasta se poate obţine din A printr-un număr finit de transformări elementare.
Dacă toate transformările sînt efectuate asupia liniilor, B este echivalentă cu A, în
raport cu liniile; dacă toate transformările operează asupra coloanelor, B este
echivalentă cu A, m rapoH cu coloanele. Efectuarea unui număr de transf@rmări
elementare revine la inmnltirea matricei A? cu produsul unui număr de matrice
elementar e. Un astfel de produs poate fi reprezentat printr-o singură matrice care
este, cu necesitate, nesingulară, deoarece fiecare matrice elementară este nesinsulară. Prin urmare, definiţia generală a echivalenţei poate fi reformu- lată astfel:
Teorema 1. Fie A şi B două matrice de acelaşi ordin. Matricea B este
echivalentă cu A, dacă şi numai dacă;
B = PAQ
(1)
u n d e P şi Q sînt nesingulare.
^ ^
Deoarece P şi Q sînt nesingulare, rezulta ca A = 1
B<4 . Aceasta
relaţie are aceeaşi formă ca şi (1), deci, dacă B este echivalent cu A, atunci si A este
echivalent cu B ; rezultă că echivalenţa a două matrice este o proprietate reciprocă.
Deoarece o transformare elementară nu modifică rangul unei matrice, "b
succesiune de transformări elementare menţine rangul matricei neschimbat. Prin
uimare, două matrice echivalente au acelaşi rang. In particular dacă o matrice
pătratică, A, este nesingulară şi o matrice echivalentă cu A este de asemenea
nesingulară.
458
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
De fapt, dacă A, este o matrice nesingulară, aceasta poate fi redusă totdeauna la
o matrice unitară, prin transformări elementare succesive; aceasta înseamnă că
oricînd vor exista nişte matrice P şi
Qnesingulare
(fiecare din ele fiind un produs de matrice elementare), astfel
încît:
PAQ = U
(2)
Deci
A
=P"1(PAQ)Q-1
(3)
=
F-iUQ-1
=
p-iQ-1.
Astfel, dacă A este nesingulară, aceasta poate fi oricînd faetorizată într- un produs de
două matrice nesingulare P_1 şi Q-1. Aceasta este desigur o demonstraţie de „existenţă”;
nu se menţionează vre-un algoritm care să efectueze factorizarea.
Faptul că, o matrice nesingulară este echivalentă cu o matrice unitate, aşa cum
se arată în (2) este un caz particular al unei proprietăţi mai generale. Fie A o matrice
de ordinul (m x n ) şi de rangr . Prin transformări elementare A se poate reduce
totdeauna la o matrice B de forma :
r
B = PAQ =
rU
m—r
n—r
r
0o
0■
( i)
Submatricea din stînga — sus este o matrice unitate de ordinul r. Dacă A este patrată şi
nesingulară, n = m = r şi (4) se reduce la (2). Matricea din dreapta relaţiei (4) se numeşte
formă normală a matricei A.
Să presupunem că în (1) Q = U; rezultă că B = PA. Matricea nesingulară P este
produsul matricelor elementare. înmulţirea lui A cu P conduce la efectuarea unor
transfoimări elementare asupra liniilor din A. în matricea produs B, rezultă linii care sînt
simple combinaţii lineare ale liniilor din A. în consecinţă, dacă două matrice sînt
echivalente în raport cu liniile, liniile uneia sînt combinaţii lineare ale liniilor celeilalte şi
vice versa. în mod similar, dacă două matrice sînt echivalente în raport cu coloanele,
coloanele uneia sînt combinaţii liniare ale coloanelor celeilalte; de exemplu, în Capitolul 2
s-a găsit că matricea Q, a unui grup tăiat fundamental, relativ la un circuit, se obţine
premultiplicînd matricea de incidenţă A cu matricea nesingulară A(. Astfel, este de
aşteptat ca liniile lui Q, să fie combinaţii liniare ale liniilor lui A, sau în mod echivalent,
ecuaţiile grupului tăiat, să fie combinaţii liniare, ale ecuaţiilor corespunzătoare legii lui
Kirchhoff pentru curenţi la nod, ceea ce ştim că este adevărat.
7.1. TRANSFORMAREA MATRICELOR
459
Transformări similare
în relaţia
deechivalenţă (1) nu este necesar
ca întrematricele P şi
0 să existe
vreo legătură. Totuşi, cînd existăanumite legaturi,
echivalenţa
conduce la unele proprietăţi importante, astfel că este util ca transformările
corespunzătoare să fie numite şi clasificate. ,
, „
.
p
_ n_i
Să presupunem că matricea A din (1) este patrata, iar r — y .
Atunci
B = Q"1 AQ
sau
QB = AQ.
(5a)
(5l>)
Această transformare este o transformare similară; A şi B se numesc matrice similare.
Această transformare a fost deja discutata m capitolul
1 unde am văzut că două matrice similare au aceleaşi valon proprii. Includerea
transformării aici s-a făcut pentru o tratare completa.
Trasîormări congruente
TJn alt fel de echivalenţă particulară este următoarea. Să presupunem că în (1) P
= Q ' . Atunci, transformarea
B = Q'AQ
(6 )
se numeşte transformare congruentă ; se zice că B este congruenta cu A.
Deoarece Q se poate scrie ca un produs de matrice elementare, Q va fi egală cu
produsul transpuselor acestor matrice elementare, considerate în ordine inversă. Prin
urmare Q'AQ se obţine din A, efectumd perechi de transformări elementare, o
transformare asupra liniilor, urmata de o transformare corespunzătoare asupra
coloanelor
O comparaţie între transformarea similara dm (5) şi transformai ea congruentă din
(6) arată că acestea ar fi identice daca Q Q • ,c<?s e* proprietăţi i se acordă o denumire
specială. O matrice avmd proprietatea :
Q-i = Q'
(7)
se numeşte matiice ortogonală.
Dacă A este o matrice reală, simetrică, de rang r, se poate arata, cu ajutorul unor
transformări elementare, că aceasta este congruenta cu o matrice diagonală D, de forma
fDr °1
(8)
460
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
în care Dr este o matrice diagonală de ordin r şi rang r, iar Q este nesingulară. Aceasta
seamănă cu forma normală din (4), dar există nişte diferenţe. în cazul general A poate să
nu fie pătratică şi cele două matrice P şi Q pot să fie independente.
’ Elementele diagonale ale lui D pot să fie pozitive, sau negative. Liniile şi coloanele
pot fi totdeauna schimbate reciproc, astfel încît elementele’ pozitive să fie plasate la
început. Produsul matricelor elementare corespunzătoare poate fi concentrat în Q. Dacă
termenii pozitivi şi negativi sînt explicităţi, rezultatul poate fi scris astfel:
0
D = QAQ =
0
_0
0 . Dr =
0
0
0
rD
0"
V„ — Dr-J,-
0
(9)
.
unde atît Dp cît şi Dr_j, sînt matrice diagonale cu elemente diagonale pozitive, ordinul şi rangul lui fiind p, iar ordinul şi rangul lui Dr_p fiind r — p .
Să definim acum matricea :
_i
D^
_ji_
0
—D 2
, 00
0
0 ou
(10
)
r—p
unde :
1
D”T
p
«o
i
O
1
=
d2 2
•
••
1 ' D” =
j~ 2 ~
r—p
ăp
LO
-1
O
1
.
(11
)
-O
Apoi,"după o transformare congruentă a lui D, cu ajutorul lui D 2, (9) se
poate scrie astfel
11 1 1 (D
2)'
DD = (DQ
2
2)'
A (QD
2)
=
■u»
0
0
-U,-p
0‘
0 = c.
.0
0.
0
Deoarece D 2 este nesingulară şi QD 2 este nesingulară. Prin urmare, Wpartea
dreaptă avem de fapt o transformare congruentă a lui A.
(12
)
461
7.2. FORME PĂTRATICE Şl HERMITXCE
Această matrice se numeşte matrice canonică; se spune că, transformarea congruentă
a lui A din (12) pune pe A informă canonică. Numărul mtreg p din această expresie se
numeşte indicele matricei.
7.2. FORME PĂTRATICE ŞI HERMITICE
Subiectul acestui paragraf este o formă matematică, ce apare m circuite, în
urma unor consideraţii de putere disipată sau energie acumulată. Pentru a explica
cum apare aceasta, înainte de a dezvolta propne- *ăţile sale matematice, să
considerăm un circuit pur rezistiv, cu matricea rezistentelor de laturi R ; vectorii
tensiune şi curent de latura smt la un moment dat v ( t ) şi i(<). Puterea disipată în
circuit la o valoare oarecare a Timpului este p { t ) = i( t ) ' v ( t ) . Dacă se introduce
relaţia relativa la laturi v = Ri, atunci puterea devine
p = i( t ) r v { t ) = i'Ri.
(13)
1
De exemplu, pentru un circuit cu
trei laturi, mărimea expresiei din
dieap- ta este :
0
0"
i'Ri = \ i x i 2 i3]
0
.0
B2
0
= J?! i \ -R2 *! “t" -®3 ^3 •
0
R
3_
Această expresie este pătratică în raport cu curenţii şi ilustrează ceea ce dorim să
prezentăm aici. Pentru a sublinia că rezultatele sînt generale vom utiliza o notaţie m
formă generală.
Definiţii
Fie A = [ay], o matrice reală pătrată şix = [aj un vector coloană, real sau
complex. Expresia :
■
^11 ^12 ^1»
^21 ^22 ^ 2 n
x'Ax=[a1 s c 2 • • ’
%2
d
n
(14)
462
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
cu x considerat vector real (adică avînd elemente x i reale) şi expresia
an
* *
x1
&ln '
* Ax = [ x x x 2 • , t> 1 a 21 ^22 •
x2
* G.%n
. «»i «„2 * * * ^
ii n
cu x considerat vector complex, se numesc forme pătratice. Justificarea, acestei denumiri
apare clar dacă se efectuează multiplicarea matricelor menţionate, ceea ce dă :
n n
x'Ax= £ £ O f j X f X j
(16)
i*13 = 1
atunci cînd «-urile sînt reale şi
x*Ax = £
iXj
(17)
i-l 3=1
atunci cînd «-urile sînt complexe. Constatăm că acestea sînt expresii omogene de gradul 2
în variabilele x 1 , x 2 , . . . , x n .
Matricea A din relaţiile (14) —(17) se numeşte matrice a formei pătratice. Vom
considera că «-urile sînt variabile astfel că matricea defineşte în principal forma
pătratică. Ne vom preocupa de forme pătratice în care matricea A este reală şi simetrică.
în realitate, orice formă pătratică reală, cu o matrice reală, poate fi transformată într-o
formă pătratică cu o matrice simetrică, deoarece avînd «-urile şi ay-urile reale se poate
scrie
a a «» x} + aH x} x,= 2
j Xi x}.
(18)
Se vede că, contribuţia celor doi termeni din stînga acestei ecuaţii la forma pătratică
rămîne neschimbată, dacă înlocuim pe ai} şi aH din matrice cu jumătate din suma lor.
Astfel dacă A nu este simetrică vom defini matricea simetrică B ca fiind ;
B = — (A + A').
2
(19)
Matricea B se numeşte partea simetrică a lui A. Acestă operaţie menţine elementele
diagonale din A nemodificate, în timp ce elementele din afara diagonalei sînt modificate
în modul arătat. Din discuţiile precedente rezultă că
xAx = x'Bx.
(2°)
Să ne concentrăm acum atenţia, asupra unei forme pâtmtice în care vectorul x
este complex. Atîtatimp cît matricea A a formei patratice este reală şi simetrică, forma
pătratică x*Ax va fi reala. Pentru a demo - stra aceasta să observăm că
y, y. Xi s ** + S S
463
7.2. FORME PATRATICE ŞI HERMIT1CE
& #
i=1
= Y ati I xt I2 + I £ £
^
(21)
1=1 i =1
«
n n
= £ «ii Kl2 + £ 11
_
fly X %
^^
Xj
i=l *=13=1
Eîndul al doilea este o consecinţă a simetriei lui A’
sT^îri
din ultimul rînd rezultă din faptul ca x} xt este con]ugatul lui x,. In ultimul rînd toţi
termenii sînt acum reali ceea ce demonstrează afirmaţia
noastră.
Transformarea unei forme pătratice
Să observăm acum ce se întîmplă cu o formă pătratica daca rectorul x este supus
unei transformări lineare, nesingulare şi reale. ine . yy, Lde Q este nesingulari iar y
este un vector coloană. Forma patrat.ca
devine :
x* Ax = ( Q y ) * A ( Q y ) = y * ( Q ' A Q ) y ,
(22)
unde s-a ţinut seama că Q este reală şi s-a scris Q * = Q ' . în interiorul parantezei găsim o transformare congruentă a lui A. S-a constatat mai înainte că o inatrice
reală, simetrică A poate fi redusă totdeauna la forma canonică din (12) utilizînd o
transformare nesingulara, congruenta. Prin u - mare, forma pătratică se poate reduce la
:
464
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Acest rezultat ne permite să formulăm următoarea teoremă :
Teorema 2. Orice formă pătratică, reală x*Ax în care A este reală si simetrică poate
fi redusă, cu ajutorul unei transformări lineare, nesingulare şi reale x = Qy, la forma
canonică din ( 2 3 ) în care r este rangul lui A. iar p este indicele.
Aceasta este evident, o teoremă de existenţă şi nu ne dă nici o indicaţie asupra
modului în care s-ar putea găsi transformarea lineară potrivită. Un procedeu care permite
aceasta este cel numit reducere de tip La- grange, care constă din repetarea unui procedeu
similar completării pătratului. Să ilustrăm aceasta, printr-un număr de exemple.
Exemple
1. Pentru simplificare, să presupun em că x
'x,
-
x'Ax = [ij x2]
este un v-'ctor real. Fie
1 2
22
2x2 =
= xj + 4xx x2 -f
xf + 4Xj x2 +
(4x1 — 4a.'!) + 2x|
= (Xj, + 2X2)2 - 2xf .
In aceste operaţii 4x1 a fost adunat şi scăzut pentru a completa pătratul perfect. Acum să notăm
xi -f
Vi
■
Atunci
2x,
i - Va
.o i/y2~ _
y 2x.
Ly2
x'Ax = i/i — y 2 = [î/i y 2 ]
- 1 0-
'Ui '
.0 -1.
_ î/a .
în acest caz, rangul lui A este egal cu ordinul său (2), iar incic=le este 1.
2. Acum să considerăm că x este un vector complex şi că
‘I-l 3
“xr
X * Ax = [ X j X 2 * ; ] - 1 2 0
Xj
l*i xi
-
X i x2 + ■ , l \ x3 —
Xj
O
.*3
.
Xj -f 2X2 X2 X , Xi
+ î f 14 x3 x3. 3X3)] + (2X2 i, + 14 x3x).
C
O
Xj
x2
(x2 — 3 x3) — x ± (x2
Primul set de termeni poate fi scris ca un, modul la pătrat, adur.înl (x2 + 3x3) (x2 + 3x3), ceea ce înseamnă că
aceeaşi mărime trebuie scăzută din al doilea set de termeni. Rezultatul acestei operaţii este :
x*Ax = (Xj — x2 + 3x3) (*.- *^ + 3+ (xjt}+3x. c *jX,) +
= (Xj —XJ + SXJ) (xj-Kj + rxJ -r (X2 + 3X.J) (x2 j-SxJ —4xL£3.
465
7.2. FORME PATRATICE ŞI HERMIT1CE
In ultima etapă, 9x3z3 a fost adunat şi scăzut pentru
„completarea pătratului” din elapa precedentă. Acum
-*3-
01
r
2X3
în final, forma pătratică devine :
‘î/l '
y-i
-î/s -
•“*
x2
=
1 1 -3 Q
tt|
= x2-)-3x3 sau
-
o
XJ-
o
să notăm
-- Xj
.
x*Ax = 1 î/i I2 + 1 Hal2— lî/312-
Forme definite şi semidefinite
Din (23) se poate observa că valorile formei pătratice vor depinde in mod normal de
valorile variabilelor y. Totuşi se poate mtimp a ca valorile formei pătratice să nu
depindă, ca semn, de.valorile> variabikloi \stfel de forme se numesc definite. In
particular, o forma patratica îea x * l x se numeşte definită pozitiv, dacă pentru orice set
de numere complexe, <au reale - x, ... ocn, care nu sînt toate nule, valoarea formei
patratice este strict pozitivă. în mod similar, spunem că forma pătratica este semidefinită pozitiv dacă
x*Ax > 0
(25)
pentru toti x =f= 0, presupunînd că există cel puţin un set de valoii ale variabilelor,
pentru care relaţia este satisfăcută cu semnul egalitaţii. Deoarece proprietatea de
pozitivitate a unei astfel de forme patratice, nu ae pinde de valorile variabilei, aceasta
trebuie asociata cu matricea A a toi mei pătratice. Terminologia care urmează pare astfel
cu totul naturala O matrice A. reală si simetrică se consideră a fi definita, sau
semidefimta, pozitiv, după cum forma pătratică x* Ax este definită, sau semidefimta
pozitiv.
.
„
„
„
Trebuie să găsim nişte mijloace de a determina daca o forma pa- tratică este sau nu
este pozitiv definită sau semidefmită, In acest scop <& examinăm forma canonică din
(23). Matricea A a acestei forme este caracterizată prin trei numere întregi: ordinul «,
rangul fc şi bicele î». Dacă indicele este mai mic decît rangul (dar mai mare ca zero),
matncea poate să nu fie nici definită pozitiv, nici semidefimta pozitiv.
Să presupunem că indicele este egal cu rangul
Atunci toa
te semnele din (23) vor fi pozitive. Exista doua posibilităţi : (1) rangul *ă fie egal cu
ordinul, r = n, astfel că A este nesmgulara; sau (2) r < n astfel că A este singulară, Să
presupunem ca r< n. Atunci vom alege pe
yl, pînă la yt — 0 şi pe yr+i, pînă la yn =f= 0. Aceasta va face ca forma pătratică să se anuleze,
dar pentru x = Qy, nu toate «-urile vor fi nule. Pentru oricare alte valori ale variabilelor y,
forma pătratică va fi pozitivă, Deci forma pătratică satisface relaţia (25) şi este semidefinită
pozitiv. Afirmaţia reciprocă este şi ea desigur adevărată.
Pe de altă parte, dacă r — n (cu p tot egal cu r), atunci A este nesingulară, prin
urmare orice alegere a unor y—ci (deci şi a «-urilor) nenul., va conduce la o valoare pozitivă
a formei pătratice. în concluzie, rezulţi următoarea teoremă :
466
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Teorema 3. O formă pătratică avînd o matrice reală, simetrică A, di ordin n, rang r şi
indice p este definită pozitiv, dacă şi numai dacă A esU nesingulară, iar indicele este egal cu
r a n g u l : p = r = n . Forma pătratică este semidefinită, pozitiv dacă A este nesingulară şi p
— r.
Dacă o formă pătratică este definită pozitiv, atunci, aşa cum rezultă din (23),
matricea sa canonică va fi o matrice unitară; aceasta înseamnă că transformarea liniară
nesingulară x = Qy conduce la
Q'AQ = U.
(26
Este posibil să se găsească determinantul lui A luînd determinantul in ambele părţi ale
expresiei. Deoarece det U = 1, iar determinantul unui produs de matrice de acelaşi ordin
este egal cu produsul determinanţilor, vom avea
(det Q') (det A) (det Q) = 1.
(27
Deoarece Q şi transpusa sa au acelaşi determinant, care este nenul fiindcă Q este
nesingulară, obţinem :
det A =----------- ------(det Q)2
v
(28)
Acest rezultat exprimă faptul că determinantul unei matrice definită pozitiv este
pozitiv. Mai departe, să presupunem că luăm ultima valoare a variabilei «„, în formă
pătratică, egală cu zero. Atunci nici unul din coeficienţii ani sau ain ai matricei A nu va
apare în forma pătratică. Aceasta se poate vedea cel mai uşor în (16) cu «„ = 0. Prin urmare
am putea, la fel de bine, să îndepărtăm linia şi coloana n din A şi să considerăm că A este de
ordinul ( n — 1 ) . Şi pentru această nouă matrice se aplică relaţia (28). Dar determinantul
matricei noi este cofactorul principal al matricei dinainte, obţinut prin suprimarea ultimei
linii şi coloane. Deoarece permutarea variabilelor nu are nici un efect asupra formei
pătratice, nu are nici o importanţă care anume din variabile este numită x n . Eezultă că
oricare din primii cofactori principali, de la o matrice definită pozitiv, va
7 .2 , FORME PATRATICE Şl HERMITICE
467
îi pozitiv Această argumentare poate fi repetată luînd două din variabile egal^cu zero,
apoi trei, şi aşa mai departe pînă la ultima, ^ « menţinem nenulâ. Vom eăsi că toţi
cofactorii principali ai matricei A sînt pozitivi în ultimul caz,' menţmmd ultima
variabila nenula, vom gasi ca toate elementele M, pe diagonala principală dm A
tiebme, „a .e_po.it,>e. (Aceste elemente reprezintă cofacton principali de oidmu (
))•
Ceea ce am reuşit să demonstrăm este faptul că, atunci cmd se ştie că o matrice
este definită pozitiv, toţi deterimna^n sa, ^ oofactori sînt pozitivi. De fapt, ceea ce ne
trebuie m totoea^ gjjj10® date este afirmaţia reciprocă celei aratate mai înainte.
Intimplat . reciproca este adevărată. Demonstraţia reciprocei f™d relativ lu^ n" va fi
dată aici. Pentru consideraţiile care urmeaza este ntil sa formulam acest rezultat sub
forma unei teoreme.
^
Teorema 4. 0 matrice A, simetrică şi reală este definita P ™ t } v ’ c ™ f si numai
dacă, determinantul său şi cofactorii principali
'cea este semidefinită pozitiv dacă determinantul sau este zero, iar cofact - săi principali
sînt nenegativi.
.-f.CSS-îWîS'S î*
1
-
-1
1
3
2
0
A=
3
0
14
pot fi formaţi uşor:
AJJ = 28, A22 = 5, A33 = 1.
SMWMK tt&tS&SttSSSGXr
Forme hermitiee
Pînă acum ne-am ocupat de forme pătratice avînd matrice simetrice -i renle
Dacă matricea unei forme pătratice este complexa, este posibil â Moeufm maweea prm
partea lemutieă iM a—a ™*area formei, la fel cum matricea îeala era înlocuita cu pai
tea sa simetrica.
Fie H o matrice hermitică (hH = h u ) . Expresia:
x*Hx
(29)
468
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
se numeşte formă hermitică. Dacă H este real, forma hermitieă se reduce la o formă
pătratică. Este deci de aşteptat ca proprietăţile formei hermitice să fie analoge celor de la
formele pătratice. Yom enumera cîteva din acestea fără comentarii suplimentare.
Efectuînd o dezvoltare ca şi cea din (21) pentru o formă pătratică. se poate arăta că
valoarea unei forme hermitice este reală.
O formă hermitică de rang r poate fi redusă la forma canonică dată de partea dreaptă
x
a reţelei (23), printr-o transformare lineară nesingulară = Qy> unde Q este în general
complexă.
Termenii „definită pozitiv” se definesc în acelaşi mod ca şi pentru formele pătratice.
Teorema relativăla determinant şi la cofactorii principali ai matricelor definite şi
semidefinite pozitiv, se aplică de asemenea şi la matricele hermitice.
’
7.3.
FUNCŢII DE ENERGIE
Acum, după ce bazele matematice au fost prezentate, sintem pregătiţi pentru a reveni
la examinarea funcţiilor de circuit. Mai exact, vom lega unele funcţii de circuit de energia
înmagazinată şi disipată în circuit. Apoi cunoscînd natura acestei energii, putem trage
unele concluzii despre proprietăţile, funcţiilor de circuit.
Să considerăm un circuit multiport, excitat prin surse de tensiune la fiecare poartă.
Fig. 1 arată utilizarea circuitului diport, dar discuţia se va purta pentru un multiport
general.
’
Se presupune că circuitul, care este linear şi invariabil în timp este iniţial în repaus.
Acum, să considerăm scrierea ecuaţiilor de contur la acest circuit. Eeferindu-ne la Cap. 2
dinainte, forma
(30a)
unde Zm este matricea impedanţelor de contur, iar Rm, Lm şi Dm sînt matricele parametrilor
de contur; E este vectorul tensiunilor surselor
7 .2 , FORME PATRATICE Şl HERMITICE
h
Fig. 7.1. Diport alimentat la ambele porţi.
469
470
7.3. FUNCŢII DE ENERGIE
epatate de
porţi şi contururile simt:alese:astfelca, 1tiecMesra,
egte
~*—>< ^
e^SJ^a»
ÎSSji ? eu“". (Vesi Problema 50). f
j^ta
exemplu I9 este un ?umai' ^mp
pătratică a curentam BmuMi^^cao^
că avem un «-port ajiM ca E aie » comp
că există m ochiuri şi deci lmv are m compune ,
R» + iw
faza sa.
Presupunînd
presupunînd
(levilie :
,
\
3~mP 1
nii
J-mP 2
^ j>2
7
(L-
r
(31)
pn
0
T
0
. ■Lmvm
.j^gSEnigSSSSS
L -•
SSSiasiS;=SS.i=S.=
în bobine şi capacităţi.
Astfel,
Ee (£„ E„) - P,
Im (C Ep) = (WL - Wa).
Puterea complexă de intrare în circuit poate fi obţinută premultiplicmd
îmbete ptoţi ale relaţiei (31) cu C». Rezultatul devme :
jco ^Imp
Ivi ^J>1 +
ÎJ>ÎYI>2
’m
+
"f"
■)- —
—
(32a)
(326)
T* E
xmp
V
Vn '
Constatăm Sf ĂcaS din acefti termeni este o forma patratica.
(33)
471
7.3. FUNCŢII DE ENERGIE
Pentru un circuit nereciproc matricele parametrilor de contur nu smt simetrice.
Totuşi, aşa cum s-a arătat în paragraful precedent, valoarea formei pătratice nu se
schimbă dacă matricea formei se înlocuieşte prin partea sa simetrică. Vom presupune
că s-a realizat acest lucru. Fiecare din formele pătratice din stînga relaţiei (33) este
reală. Prin urmare comparaţia între (32) şi (33) conduce la concluzia că
’
= puterea reală debitată în circuit,
= energia medie înmagazinată
—
(31a)
în bobine,
1
*
9w2=
energia medie înmagazinată în condensatoare. (34 c}
(34 b>
^ Se pot obţine expresii echivalente pentru fiecare din aceste forme patratice. Matricea
fiecărei forme este una din matricele parametrilor de contur. Revenind la cap. 2, găsim
că matricele parametrilor de contur pot fi scrise în funcţie de matricele parametrilor
pe laturi astfel
R,„ = BRB',
(35a)
L„ = BLB',
(3g& j
= BDB',
(35c).
unde R, L şi D sînt matricele parametrilor pe laturi iar B este matricea de contur.
Să considerăm forma pătratică relativă la Rm. Utilizînd (35a) se găseşte :
^mj>RmJ-mj> = I)»J> BRB Imp = (BImJ)) R(B'ImJ)).
(36)
Să ne amintim că, conform relaţiei (56) din Capitolul 2, B'Imî, = I este transformarea
de contur care exprimă curenţii de laturi L prin curenţii de contur. Astfel
’
'
b b
ImpRmljnp = Ij> RIj» = £ Rjk îvi^vk 1
(37)'
unde b este numărul laturilor din circuit. Pentru un circuit general, care nu este pasiv
şi este nereciproc, nu se poate spune nimic deosebit despre această formă pătratică.
Circuite reciproce, pasive
Se restrîngem acum consideraţiile noastre la circuitele reciproce pasive. în acest
caz, matricea rezistenţelor de laturi este diagonala. Acum (37) devine
C R» I», = K RI„ = II R* l1^ I2-
<38)
472
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Stim că puterea consumată în astfel de circuite nu poate fi negativă. Prin urmare,
forma pătratică trebuie să fie cel puţin semidefimta pozitiv. Aceasta va fi definită
pozitiv dacă nici o rezistenţa de latura nu va ti zero deoarece în acest caz, matricea
diagonală R va fi nesmgulara. Aceeaşi concluzie se obţine şi din membrul drept din
(38), daca se ţme seama ca
R. este nenegativ pentru orice k.
^
Cu aceleaşi argumente, pentru celelalte doua forme patratice, csue cuprind
parametrii inductanţelor şi inversele capacităţilor de contur se deduce că
—s K , D. I„„ = i i; DI,
2co2
= >; ii. = i s
(39*)
W,
2co^
<
fc=ii=i
3
9
‘
)
Să notăm diferenţele ce apar în membrul drept al acestor doua expresii. Matricea
inverselor capacităţilor de latură este diagonala întimp ce matricea inductanţelor de
latură nu este neapărat diagonala. Daca nu exista inductante mutuale şi L este de
asemenea diagonala, Din nou, interpretând (34) ca energie medie înmagazinată,
aceste forme pati atice
trebuie să fie pozitiv semidefinite.
în scopul unor referiri mai comode, introducem notaţiile :
j?(jW) = i:fRAt)
2i
V(jto) __ Imp Imp •
—
(40«)
2w2
Datorită interpretărilor lor fizice, aceste mărimi au fost numite cu un termen colectiv
funcţii de energie, deşi prima nu prezintă dimensiuni de energie. Simbolurile pentru
aceste funcţii sînt nefericit alese, deoarece pot fi confundate cu alte mărimi notate
similar; dar acestea au devenit
7.3. FUNCŢII DE ENERGIE
473
aproape simboluri standard în literatură, astfel că vom continua să le utilizăm.
Condiţia ca T(ja>) să fie semidefinită pozitiv, impune condiţii asupra mărimii
inductanţelor mutuale. Dacă cuplajul mutual dintr-un circuit apare totdeauna numai
între perechi de laturi, condiţia de semidefinire este echivalentă cu restricţia obişnuită,
ca valoarea coeficientului de cuplaj să nu fie supraunitară. Dacă sînt cuplate mutual
mai multe laturi, decît două, restricţia coeficientului de cuplaj la valori subunitare nu
este suficient de severă, pentru a asigura semidefinirea pozitivă ; în acest caz, definirea
pozitivă este o condiţie mai severă decît cuplajul unitar. (Vezi Problema 17)
Pentru exemplificare, să considerăm circuitul din fig. 7.2. Ambele surse sînt sinusoidale, de frecvenţă
unghiulară co. Matricele parametrilor de contur sînt
Fig. 7.2. Exemplu ilustrativ pentru funcţiile de energie.
Funcţiile de energie sînt
474
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
475
7.3. FUNCŢII DE ENERGIE
Deoarece I , + reprezintă curentul din ramura 3, termenul R 3 \l p l + I v 2 \ 3 eşt.e puterea A - ■ t” ţn f? iar if 4- 7
12 D I 2co2 este energia acumulată in Z)3. Caracterul lui T(jco), de
a'L!Temideffn3i’tă Uzîîiv, n*u 'ert’e e*dent din membrul drept. Să observam totuşi că matricea iţ esîe singulară
numai pentru L^-M* = 0, care este
şi condiţia de
cuplaj
unitar.
Rezumînd rezultatul obţinut mai înainte, matricele
Rm,
L şt D ,
ale rezistenţelor, inductanţelor şi elastanţelor (inverselor capumtaţtlm) de contur, ale
unui circuit reciproc, pasiv sînt semidefimte pozitiv. Acest lezul tat s-a obţinut prin
interpretarea fizică a unor forme patratice, bazata T>e o analiză în regim permanent
sinusoidal.
Să revenim la ecuaţia iniţială de contur
(30) în care variabilele
smt
Transformate Laplace. Fără nici o legătură
cu interpretarea
fizica să-i
preimill iplicăm ambele părţi cu I,„(s). Rezultatul v a ii
I»(«) R» I«(*) + * !»(*) Lm !»(*) + - D» l‘n{s) = I]*(s) E(S)'
s
(41)
Găsim din nou aceleaşi forme pătratice pe care le-am mai avut niai înainte, numai că
acum variabilele sînt transformate ale curenţiloi de contul, in loc de fazori. Formele
pătratice din aceasta ecuaţie nu au o mteipretai e energetică cum exista în (33). Totuşi,
matricele acestor forme patratice sînt identice cu precedentele. Prin urmare aceste
forme patratice sin semuk finite pozitiv. Vom nota, în consecinţă, termenii cu acelaşi
simboluri ca în (40) şi vom continua să îi numim funcţii de energie, deşi prin
dimensiunile lor nureprezintă
o
energie.
F 0 ( s ) =l ? n ( s ) R m l m ( s )
(42fl)
T0(s) =I*(*)LmIm(«).
70(«) = I*(s)Dm IBl(s).
Utilizînd aceeaşi notaţie, (41) devine
F0{s) + sT0(s) +-jV0{s)
=l*\T.
(42^
(42°)
(43)
(Xotatia
părţii din
dreapta a fost modificată
îndouă sensuri Tiid^ele
•/n a fost suprimat deoarece singurii curenţi care ramin m produsul m sînt cei care
reprezintă şi curenţi la o poartă. De asemenea, singurele componente ale lui E nenule
sînt tensiunile la poartă. Prin urmare I„ E poate fi înlocuit cu I*V, unde I şi V
sînt vectori ai mărimilor la poarta).
Să facem aici o digresiune. Toată această dezvoltare a avut ca punct de plecare
ecuaţiile de contur. Se poate face o altă dezvoltare, prin dualitate, pe baza ecuaţiilor la
nod. în locul matricelor parametrilor de contul
Rm, Lm şi D,n, vor apare matricele parametrilor la nod, G„ şi C„, pentru conductanţa,
inversa inductanţei şi capacitatea corespunzătoare. Fancţile de energie pot fi definite
acum, în funcţie de matricele acestor parametri şi de vectorul tensiunilor la nod, V a.
476
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Acestea vor avea aceeaşi formă ca. şi (42), cu V„ în loc de Im şi cu matricele
parametrilor la nod în locul celor pentru parametrii de contur. Din aceasta se conclude
că, matricele G„, CB şi rn ale conăuctanţei, capacităţilor şi inverselor inductanţelor la
nod, pentru un circuit reciproc şi pasiv, sînt semidefinite pozitiv. Se poate scrie o
ecuaţie similară cu (43) pentru aceste noi funcţii de energie, schim- bînd reciproc pe V
cu I. Acest mod diferit de tratare nu este necesar să fie dezvoltat, deoarece sistemul de
ecuaţii la noduri este de fapt de prisos, pentru cele ce urmează. Totuşi, la fel cum
ecuaţiile la nod conduc adesea la interpretări utile şi la simplificarea calculelor, acest
mod de abordare a problemei poate fi uneori util. Atunci cînd aceasta interesează se
pot dezvolta detaliile aşa cum s-a arătat.
Să examinăm din nou relaţia (43). Mărimile din membrul stîng sînt definite pe
baza variabilelor de contur (sau prin variabilele relative la laturi, printr-o
transformare de contur). în membrul drept găsim variabilele de la porţi. Desigur,
variabilele de tensiune şi curent la poartă sînt legate între ele. Dacă această legătură
este considerată în membrul drept din (43), se găseşte un rezultat foarte important.
Pentru legătura dintre vectorii V şi I putem utiliza relaţia :
V(s) = Zoc (s)I(s)
(44a)
*(«) = Y3C(*)V(S)-
(446)
sau
Prima relaţie poate
inserată
după ce se
fi introdusă direct în (43); cea de adoua
poate fi
ia transpusa conjugată în (43), ceea ceconduce la
^0 + sT0+-y7o) = (I*V)*
sau
^0+ STo-f ^70 = V*I.
s
(45)
Aceasta se obţine deoarece formele pătratice sînt mărimi scalare, reale. Introducînd
(44a) în (43) şi (446) în (45) se găseşte
F0 + 0 T0 + — 70 = I*Z0C (s) I,
s
F0 + sT0 + ± - V 0 = \ * Y " ( s ) V . • s
(46a)
477
7.3. FUNCŢII DE ENERGIE
Din aceste expresii se deduc cîteva din proprietăţile fundamentale ale funcţiilor
de circuit. ÎTe vom concentra acum asupra studiului acestoi proprietăţi.
Funcţia de impedanţă
Să considerăm mai întîi cel mai simplu multiport şi anume un uniport. în acest
caz, Z o c este scalarul Z ( s ) , impedanţa uniportului şi I se reduce la scalarul, care este
curentul de intrare. Din (46a) se obţine expresia pentru Z ( s ) :
Z («) = — ------------ { F 0 ( s ) + s T 0 ( s ) + — V 0 (*)}.
|I( » ) 1
2
(47)
s
Să notăm că formele pătratice sînt funcţiuni de s , numai datorită faptului că curenţii
de contur sînt funcţiuni de s . Natura reala, semidefimta pozitiv, a formelor pătratice
nu depinde de variabilele curenţi, ci numai de matricele parametrilor de contur, care
sînt matrice formate din constante.
^
Expresia precedentă poate fi separată în părţile reala şi imaginara
înlocuind pe s cu a + jco. Astfel
Ee [Z(s)] =
1
~ F 0 ( 8 ) + ^o(*)+^—-an(«)
G -j- CO
Im Z { s ) =
(48a)
(486)
a - + co
Subliniem că aceste ecuaţii se aplică pentru orice valoare a lui s cu excepţia zerourilor
lui I { s ) . Aceste două ecuaţii sînt extrem de importante şi de aici vom deduce concluzii
interesante. Pentru referiri ulterioare sa formulăm aceste concluzii printr-o teoremă.
Teorema 5. F i e Z i s ) impedanţa de intrare a unui circuit N, reciproc, pasiv, invariabil
în timp şi linear. în acest caz s î n t adevărate urmatoarele
afirmaţii :
(a)
Pentru orice a >
0, Ee [ Z ( s ) ] > 0.
_
(b)
Dacă N nu conţine nici o rezistenţă (F 0 ( s ) = 0),atunci
G
> 0 implică Be [Z(s)] > 0, a = 0
implică Be [ Z ( s ) ] = 0,
cr < 0 implică Be [ Z ( s ) \ < 0.
478
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
(c) Dacă N nu conţine nici o capacitate (F0(s) = 0), atunci
co > 0 implică Im [Z(s)j > 0,
(o = 0 implică Im [Z(s)~\ = 0, co < 0
implică Im [Z(s)~\ < 0.
(d) Dacă N nu conţine nici o bobină ( T 0 { s ) = 0), atunci
w > 0 implică Im [ Z ( s ) } < 0, co = 0
implică Im \Z(s)~] = 0, co < 0 implică
Im [ Z ( s ) ] > 0.
Aceste rezultate se obţin imediat din (48). Concluzia (a) stabileşte că, valoarea lui
Z ( s ) , corespunzătoare unei valori a lui s , situată în semi- planul drept, trebuie să fie şi
ea situată în semiplanul drept. Aceasta conduce la conceptul de funcţii real-pozitive pe
care îl vom introduce ulterior. Concluzia (b) conduce la teorema reactanţelor a lui
Foster. care prezintă importanţă istorică. Concluziile (c) şi ((d) conduc la rezultatele lui
Cauer referitoare la circuitele R L şi R C .
Condiţia impusă argumentului
O altă proprietate a funcţiei de impedanţă poate fi dedusă din (43). Să reţinem că
\ I \ 2, T 0 şi V 0 sînt toate constante pozitive pentru orice valoare a lui s . Eezultă că
Z ( s ) se poate scrie în forma :
Z(s) = a0 -\- axs — i
s
( 49)
în care toţi coeficienţii sînt pozitivi. Fie s 0 = G 0 -f j co0 un punct în semiplanul drept:
adică a0 > 0 aşa cum se arată în fig. 7.3. Fiecare termen din membrul drept în (49),
poate fi reprezentat prin segmente de dreaptă în planul complex, aşa cum se arătat în
fig. 7.3 b , pentru o valoare corespunzătoare lui s . Orice lungime ar avea aceste drepte,
suma nu poate fi situată în afara sectorului haşurat arătat în fig. 7.3 a . Observînd în
diagramă ce se î:ntîmplă pentru un număr de valori ale unghiului lui s, inclusiv valorile
0 şi tt/2 radiani se obţine următorul rezultat:
| arg Z ( s ) | ^ | arg s \ pentru 0 ^ | arg s | < tc/2.
(50)
479
7.3. FUNCŢII DE ENERGIE
Aceasta pare să fie o restricţie mai severă impusă impedanţei decît condiţia Re
\Z(s)~\ > 0 pentru Re s > 0. îfu numai ca Z ( s ) trebuie sa fie situat în semiplanul
drept, atunci cînd şi s este situat m semiplanu^ drep , dar localizarea este limitată
acolo, de o condiţie impusa argumentau. . Totuşi aceasta nu este o restricţie mai
severa, deoarece decurge din piecedenta.
Im
Fig. 7.3. Demonstraţia că | arg Z | < |args| pentru | arg s | < t:;2.
în acest paragraf am făcut referiri la o clasa de circuite şi am dedus unele
proprietăţi pe care impedanţele de intrare ale acestor circuite le satisfac în mod
necesar. Aceasta s-a făcut în baza unor consideraţii energetice in domeniul frecvenţă.
Problema poate fi abordata şi altfel, pornind de la definiţia dată circuitelor pasive în
capitolul 1 şi repetata aici pentru căzu
unui uniport;
J — co
Să presupunem că tensiunea şi curentul la bornele unui circuit pasiv
,'int
i ( i ) = 2 1101
v{t)
unde
a0+j«0, cu
-emnale au fost aplicate
=
<r0
la
cos (oi0t + a) = I0 s5°f + U eS"‘ >
(52a)
Z(s0) I0 ^ + Z(s0) î0^ ,
> 0 şi I0 = |I0|s-. Presupunem
t = -co, cînd circuitul nu avea
(52b)
aceste
un fel
că
nici
480
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
de energie înmagazinată. Deoarece s°»f = 0 pentru t = — oo, ambele semnai încep de la
0. în acest caz, nu apar probleme de regim tranzitoriu şi expresiile pentru curent şi
tensiune reprezintă excitaţia şi răspunsul total.
Înserînd aceste expresii pentru v şi i în (51) şi efectuînd unele calcul se obţine
Uol2
Ee [ Z ( s 0 ) ]
s2<,°* + Ee
'[Z(s0)I02
(53
Acum să exprimăm factorul care înmulţeşte funcţia exponenţială, ultima paranteză,
prin modul şi argument :
’
’
Z ( s 0 ) I 0 > \ Z ( s 0 ) \ |J0|2
--------- -- -----
so
Is o I
(fl
(54
£JVQ'
Dacă aceasta se introduce în expresia precedentă se găseşte
l-^ol2 s2
(o5
Cazul cel mai nefavorabil se obţine atunci cînd cosinusul este — 1. în acest caz
condiţia se reduce la
_Be[Z(*0)]
\Z(80)\
>0,
sau
Be [Z(«o)] > g0
I Z ( S o ) | ls0 I
(56;
Fiecare membru al acestei expresii este partea reală împărţită la modulul
mărimii complexe, ceea ce reprezintă cosinusul unghiului corespunzător. Prin
urmare
cos[arg Z ( s 0 ) ] > cos[arg s0]
(57)
de unde urmează că
|arg Z ( s 0 ) \ < |arg *0|.
(58)
Deoarece Ee s0 = cr0 > 0, acesta este tot una cu (50).
Aceasta completează stabilirea proprietăţilor generale care sînt necesare pentru
funcţia de impedanţa a circuitelor pasive. Proprietăţi
481
7.4. FUNCŢII REAL — POZITIVE
absolut similare se pot găsi pentru funcţia de admitanţă, pornind de la A 6 b ) în loc de
(46a). Astfel teorema 5 şi ecuaţia (50) sînt adevărate atunci cînd Z ( s ) se înlocuieşte cu y
( s ) . în continuare vom defini o clasă de funcţii matematice avînd aceleaşi proprietăţi şi
vom cerceta comportarea acestei clase de funcţii.
I A . Funcţii real-pozilive
O funcţie real-pozitivăF(s) este o funcţie analitică de variabila complexă s= cr' —j—
jos, care are următoarele proprietăţi:
1. F ( s ) este regulată pentru a > 0.
2. F\G) este reală.
3. g ^ 0, implică Ee [-F(s)] >- 0.
^
_
Aceasta este o definiţie matematica pentru o clasa de funcţii matematice. Motivul pentru
care utilizăm această definiţie este faptul că o funcţie de circuit care ne interesează —
anume o impedanţă (sau admitanţă) de intrare—are aceste proprietăţi. Utilizînd
consideraţii matematice relative la funcţiile real-pozitive putem, probabil, să aflăm
despre impedanţe, unele lucruri care nu rezulta numai din consideraţii fizice. Conceptul
de funcţie real-pozitivă, ca şi multe din proprietăţile funcţiilor real-pozitive pe care le
vom prezenta, sînt datorate lui Otto Brune.
Vom arăta acum că dacă o funcţie este raţională şi satisface ultimele două condiţii
de mai sus, condiţia 1 este automat satisfăcută. Vom face acest lucru arâtînd că un pol
de ordinul n al unei funcţii raţionale, reale este înconjurat de 2n sectoare, în care partea
reală a funcţiei este în mod alternativ, pozitivă şi negativă. Fie s0 un pol de ordinul n al
funcţiei raţionale F ( s ) . Cazul n — 3 este ilustrat în fig. 7.4. în vecinătatea polului de
ordinul n , funcţia are o dezvoltare Laurent de forma
-^3-+
S
S
-*„)'•
Q
j — Q
e
o
©
©
Fig. 7.4. Pol de ordinul 3.
(59)
482
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
ni Dacî* s®.ale"e 0 vecmatate destul de apropiată de s 0 , primul termen al dezvoltării
Laurent va fi mult mai mare, în modul, decît ceilalţi; prin urmare partea reală a lui F ( s )
va avea în această vecinătate atît valori
■nnr it lT 'A Vnm o»o+o r»
.
JI
^
v°; v c i v i c i iu ctoea/sia vecina
negative cit şi pozitive. Yom arăta aceasta astfel: dacă
.
T c s3'9.
(S — s0) =
p;
_
V
.
scriem
(60a
.30
(60&
atunci
Ee
a-n
\
-cos (0 — n $ ) .
(61
n)
~
S
o
)
Deoarece 0 este un unghi fix, iar < P poate să varieze între 0 si 2- în această
a
(*
ca partea reală a termenului dominant îsi schimbă
''IKi!^!r(1 0 Yariază de la 0 la 2tc- urmare, partea îeala a, lui F ( s ) işi schimba de asemenea
semnul de 2 n ori (desi nu neapăra^
Celorla1^ termeni din dezvoltam*
LaureitT
*’
să presupunem că funcţia F ( s ) satisface ultimele două condiţii
(1.n
dm definiţia funcţiei real-pozitive dar, are un pol în semiplanul drept In concordanţa cu
ceea ce tocmai am arătat, partea reală a lui F ( s ) va
1 pozitive cît 9* negative, ceea ce contrazice
condiţia^ ^ &
Concll}dem ca în cazul funcţiilor raţionale, la care punctele singulare smt numai poli,
condiţia 1 de definire a funcţiilor real-pozitive este o consecinţa a celorlalte două
condiţii şi este deci nenecesară.
Pentru a înţelege mai bine definiţia unei funcţii real-pozitive, aceasta —%/ .1'lterl)^etat‘i ca
0 transformare conformă. O funcţie real-pozitivă
ari
s
oi
nia
axa
rea
i.
+A• '
,
lă s în axa reală dinlF şi transformă semiplanul diept dm s m
semiplanul drept din W. Aceasta este ilustrat în fig. 7.5.
Planul
w
Fig. 7.5. Transformare prin funcţii real-pozitive.
7.4. FUNCŢII REAL — POZITIVE
483
484
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
: O consecinţă imediată a acestei interpretări este faptul că o funcţie real-pozitivă
de o funcţie real-pozitivă este ea însăşi real-pozitiva; adică, dacă F^s) şi F 2 { s ) sînt rp
(aceasta este prescurtarea pentru real-pozitiv),
atunci
,
F 3 { 8 ) = ^[^(S)]
<62)
este tot rp ; pentru că semiplanul drept s devine semiplanul drept al planului F „ ,
deoarece F 2 { s ) este real-pozitivă. La fel, semiplanul drept al planului F „ devine
semiplanul drept al planului F 1 , deoarece F ^s ) este 1 ea - pozitivă. Prin urmare
transformarea compusă transformă semiplanul drept din s în semiplanul drept al
planului F 3. Axa reală se conserva pretutindeni.
^
u
Acesta este un rezultat util. Putem să-i utilizăm pentru a arăta că, dacă F ( s ) este
rp şi 1 j F ( s ) , lafel ca şi-P(l/s), sînt rp. Pentru a demonstra aceasta să observăm că
L = c _ j co .
s o2 + co2 o2 + co2
(63)
este o funcţie rp. Acum sa considerăm că l/s şi F ( s ) sînt F ^s ) şi in (62), în ambele
moduri posibile; rezultatul căutat se obţine imediat.
Din faptul că inversa unei funcţii rp este ea însăşi rp rezultă că, o funcţie realpozitivă nu poate avea zerouri în semiplanul drept; dacă le-ar’avea, atunci inversa sa
ar avea poli în semiplanul drept ceea ce este imposibil. Deoarece impedanţa unui
circuit reciproc, pasiv este o funcţie rp, reciproca sa — admitanţa — este de asemenea
o funcţie rp.
Din punct de vedere al transformării conforme, punctele F ( s ) = 0 sico (acestea
sînt zerouri şi poli ai funcţiei), care sînt situate pe contuiul limită al semiplanului
drept F , nu pot fi imagini al vreunui punct inteiior din semiplanul drept al planului s.
Să examinăm acum proprietăţile care rezultă, atunci cînd alte puncte ale conturului
semiplanului drept al planului F , sînt imagini ale punctelor de pe conturul
semiplanu- lui drept al planului s ; adică să considerăm că un punct de pe axa este
transformat de o funcţie F rp, într-un punct al^ axei imaginare a planului F . Dacă
jo>0 este punctul considerat, atunci
F ( j « 0 ) =j X 0 ,
(64)
unde X f ) este real (pozitiv, negativ sau zero).
Să considerăm o vecinătate a lui j«0 în planul s şi vecinătatea corespunzătoare
a lui j X 0 în planul F , aşa cum este arătat în fig. 7.6. Sa notam cu Sj un punct din
semiplanul drept în această vecinătate a lui jw0. ba
7.4. FUNCŢII REAL — POZITIVE
485
dezvoltăm acum pe F ( s ) într-o serie Taylor în jurul lui j<o0 şi să o evaluăm în s — s v
Rezultatul este
F ( s 1 ) - j X 0 = F ^ (j<0„)
+ *,("+1) (i“o) («i-i«o)B+1 + • • •»
(65)
unde F < n ) (jw0) este prima derivată nenulă a lui F ( s ) în jw0.
Fig. 7.6. Transformare conforma prin funcţii real-pozitive.
Atunci cînd tinde către jto0, termenul dominant este primul termen al
membrului drept. Să definim
= arg
[F(Sl)-jX0-]
(66a)
0 = arg («i —j«0)
(666)
p = arg [ F ^i j o ^) ] .
(66c)
Astfel, la limită, vom găsi din (65) că :
lim = p + n lim 6*
S-L-tjti'i
(67)
S^jO) Q
Dar condiţia de real-pozitiv, cere ca |$|<7T/2 atîta timp cît 101 <
din (67) concludem că
TC/2.
Prin urmare,
n= 1
(68a)
£= 0
(686)
Astfel, prima derivată nenulă este derivata întîia şi argumentul său este zero la s =
jw0. Acesta este un rezultat foarte important. Pentru referiri ulterioare îl vom formula
ca o teoremă :
Teormea 6. Dacă un punct oarecare al axei ju> este transformat cu o funcţie realpozitivă, într-un punct al axei imaginare a planului F, atunci în acest punct derivata
dF/ds este reală şi pozitivă.
7,4. FUNCŢII REAL, — POZITIVE
486
Din această teoremă importantă se deduc şi alte consecinţe S> observăm că
dacă-P(s) are un zero sau un pol pe axa jco, condiţiile teoremei sint satisfăcute. în
cazul unui zero (X0 = 0), un punct al axei jcoejte transformat în originea planului F,
care este situata pes axa
•
Prin urmare, derivata dFjds este reala şi pozitiva. Aceasta faptul că zeroul este un
zero simplu, deoarece la un zero <lc. mare, derivata întîia ar fi zero. Dacă F(s) are un
pol pe axa j«, i ^cţia inversă va avea un zero în acel punct şi teorema se aplica^ verse
Cum d(\ IF)lds este evaluat într-un pol al F{s\, aceasta este mvei sa reziduului lui
F(s) relativ la acel pol (Vezi Apendicele 2). Aceste con siderente pot fi acum formulate
prin teorema care urmeaza.
Teorema 7. Bacă o funcţie real-pozitivă are poli sau zerouri pe axa ico
(inclusiv s = O.oo), aceşti poli sau zerouri trebuie să fie simpli. Într-un zero simplu
de pe axa jco, derivata este reală şi pozitivă. într-un pol simplu pe axa jco, reziduul
este real şi pozitiv.
Condiţii necesare şi suficiente
Pînă acum, am găsit destul de multe condiţii necesare pe care o funcţie realpozitivă trebuie să le satisfacă. Ceea ce dorirn^ sa facem este
o-ăsim un set de condiţii necesare, care să se dovedeasca a fi şi suficiente.
Rezultatul este dat de următoarea teoremă :
Teorema 8. O funcţie raţională F(s) cu coeficienţi reali, este real-pozitivă
dacă şi numai dacă :
(a) F(s) este regulată pentru o>0;
^
.
(b) Polii de pe axa jco (inclusiv cei din s = 0, oo) smt simpli şi au
reziduul real si pozitiv,
(c) Re [F(jco)]>0 pentru orice co, cu excepţia polilor.
Necesitatea acestor condiţii este evidentă din definiţia unei funcţii rn si din
teorema 7. Rezultă că mai trebuie demonstrata suficienţa acestor condiţii; adică vom
presupune că o funcţie F(s) satisface aceste condiţii >i vom arăta că în acest caz
trebuie să fie real-pozitiva. Fie Wl, co2,... coţ polii de pe axa jco şi să examinăm părţile
principale, relative la aceşti poli. Dacă avem un pol în origine, partea principală este
F0(s) = Kls
unde k0 este real şi pozitiv. Este evident că F0(s) este rp şi că avem şi
Re^oO'co)] = 0.
în mod similar, partea principală ajmufpol, posibil la infinit este
F oo(s)
ICaoS)
unde kco este real şi pozitiv; F K ( s ) este de asemenea rp şi avem şi:
7.4. FUNCŢII REAL — POZITIVE
487
Be[.Foo(jcx>)] = 0.
Oricare alţi poli de pe axa jco trebuie să apară în perechi conjugate şi cu
reziduuri conjugate deoarece F ( s ) este o funcţie reală. Deoarece reziduurile sînt reale
prin ipoteză, cele două reziduuri sînt egale. Luînd părţile principale în polii conjugaţi
jco4 şi —j i împreună, obţinem :
F t ( s ) =\_A_ + _A__ = _ 2k*s ,
i s—joit s +j co{ s2 + co4a
unde Iii este real şi pozitiv. Această funcţie este de asemenea real pozitivă şi mai are
proprietatea că
Ee^jco)] = 0.
(Observăm că F 0 ( s ) este impedanţa unei capacităţi, i;(s) cea a unei bobine, iar F i ( s )
cea a unui circuit rezonant, derivaţie).
Astfel putem să extragem din funcţia dată F ( s ), părţile principale pentru toţi
polii săi de pe axa jco. Funcţia care lămîne F r (s ) mai are proprietatea (c) enunţată
prin teoremă; deci
Ee[^r(jw)] = Ee[J'1(jw)]>0.
(69)
^ Funcţia rest F r ( s ) este o funcţie regulată în semiplanul drept şi pe întregul său
contur, care este axa jco inclusiv punctul de la infinit, Pentru o astfel de funcţie,
valoarea minimă a părţii i eale considerată în domeniul de regularitate, se găseşte pe
contur. Aceasta se poate arăta utilizînd teoremamodulului-maxim (vezi Apendicele 2),
în modul următor. Fie G ( s ) = e *f<s). Această funcţie va avea acelaşi domeniu de
regularitate ca Ş i F r ( s ) . Prin urmare, în concordanţă cu teorema modulului maxim,
valoarea maximă a lui O ( s ) , pentru orice <j>0 este situată pe axa jco. Deoarece
\G(S)\ = £-Ke(.fY(S>|
cea mai mare valoare a lui G ( s ) va corespunde celei mai mici valori a lui Ee [ F r ( s ) ] .
Aceasta demonstrează tocmai ceea ce doream; că valoarea minimă a lui Be[.F,(s)],
pentru orice s>0 este situată pe axa jco. Deoarece
488
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
conform (69) această valoare este nenegativă, partea reală a lui F r (s) trebuie să fie
nenegativă oriunde în semiplanul drept;
adica
Re[-Fr(s)]>0
Deoarece, în plus, F t ( G ) este real,
este o funcţie real- pozitivă. Putem acum să scriem
(<7>0).
concludem
că
F,(s)
(71)
şi suficiente în funcţie de zeroimie iui i ' ( S ) .
Teorema 9. O funcţie raţională reală F ( s ) este real-pozitivă dacă şi numai dacă;
(a) F(s) nu are zerouri în o>0.
_
.
(b) Zerourile de pe axa jco (inclusiv s = oo) sînt simple şi cu derivate reale si
pozitive.
(c) Re [-F(j«)]>0 pentru orice co (cu excepţia polilor).
Această teoremă rezultă direct din cea precedentă, dacă ne reamintim că reziduul
unei funcţii într-un pol simplu este inversul derivatei
funcţiei inversate.
..
„
’ în verificarea caiacterului real-pozitiv al unei funcţii date, poate sa nu fie
totdeauna necesar să se utilizeze condiţiile, necesare şi suficiente mentionate în cele
două teoreme precedente. Uneori este posibil sa se elimine unele funcţii, în baza unor
consideraţii directe, din cauza ca nu sînt îndeplinite unele condiţii necesare foaite
simple. Să discutam citeva din aceste condiţii.
.....................
. A
Am văzut că o funcţie real-pozitivă nu are nici poli nici zerouii m semiplanul s
din dreapta. Am definit anterior un polinom Eurwitz, ca un polinom fără zerouri în
semiplanul s din dreapta. Aceasta definiţie permite existenta zeiourilor pe axa jco.
Constatăm că, cu aceasta terminologie, o funcţie real-pozitivă este raportul a două
polinoame liurwitz.
Factorii care constituie un polinom Hurwitz tiebuie să aibă una din următoarele
forme : ( s + a ) pentru zerouri reale sau (s2+aş + &) pentru o pereche de zeiouri
complexe, cu a fiind nenegativ şi b fiind pozitrv. Dacă un număr oarecare de astfel de
factori se înmulţesc, lezultatul tie- buie să fie un polinom ai cărui coeficienţi sînt
nenegativi. Plin uimaie,
7.4. FUNCŢII REAL — POZITIVE
489
exceptind toţi factoiii care includ zerourile de pe axa jo>, toţi coeficienţii polinonnilui
vor fi strict pozitivi. Dacă introducem condiţia suplimentară, ca zerourile de pe axa jco
să fie simple, se găseşte că, atunci cînd toate zerourile sînt pe axa jco ; unii coeficienţi
vor fi zero 1) dar coeficienţii care rămîn vor fi tot strict pozitivi. Deşi aceasta este o
condiţie necesară pentru ca un polinom să fie Hurwitz, ea nu este suficientă, aşa cum
se demonstrează, în mod simplu, cu contraexemplul următor
(s2—s+4) (s+2) = S3+S2+2S+8.
(72)
Polinomul din dreapta conţine toate puterile lui s şi toţi coeficienţii sînt pozitivi deşi are
o pereche de zerouri în semiplanul drept.
Prin urmare dacă o funcţie raţională candidează pentru caracterul real-pozitiv,
acest criteriu poate fi utilizat ca un test negativ. Dacă numărătorul sau numitorul
polinomului au vreun coeficient negativ, sau puteri ale lui s care lipsesc (altfel decît toţi
coeficienţii termenilor pari, sau impari, menţionaţi mai înainte), funcţia poate fi
respinsă. Pe de altă parte, dacă este admisă dc test, nu se poate spune încă nimic precis
despre funcţie.
Un alt test simplu rezultă din faptul că o funcţie real-pozitivă nu poate avea mai
mult decît un pol simplu, sau un zero simplu, în zero sau la infinit (care sînt pe axa jco).
Aceasta cere ca cea mai mare putere a lui s de la numărător şi de la numitor să nu
difere cu mai mult decît o unitate ; şi în mod similar pentru puterile mai mici.
Pentru exemplificare vom considera cîteva funcţii raţionale şi vom vedea dacă pot fi examinate
rapid ca nesatisfăcînd unele condiţii necesare pontru funcţiile ret l-pozitive.
Funcţia
Observaţia
s2 + 2s + 2 s + 1 s4 +
F(s)
=
3s2 + 2s + 2 s3 + 4s2-js-|-2 s + 2 s3 + 5s2 +
F(s)
F(s) =
m=
=
3s-j-l
s3 + 2s
s3 -f- 5s2 + 2 s + 5
(s + 1) (s + 3) (s + 4) (s
+ 2)3
F(s) =
Nu mai mult d; un
pol simplu la infinit;
coeficienţi pozitivi.
Poate
fi
realpozitivă.
Coeficientul
termenului
cubic
lipseşte. Nu este realpozitivă.
Zero dublu la infinit.
Nu este real-pozitivă.
Lipsesc coeficienţi ai
unor termeni la numărător, dar numai cei ai puterilor pare.
Poate să fie real-pozitivă. (în realitate este).
Nu are coeficienţi negativi sau nuli, dar există un pol triplu în s
= — 2 ceea ce poate părea particular. Nu este eliminată. (în
realitate este real-pozitivă).
Proprietatea argumentului unei funcţii real-pozitive
490
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
O proprietate importantă a impedanţei unui circuit pasiv, găsită mai înainte, a
fost proprietatea argumentului, dată în (50). Această proprietate poate fi
demonstrată matematic, fără a se recurge la consideraţii de energie, numai din
definiţia dată funcţiei real-pozitive. Totuşi demonstraţia, deşi directă este cam lungă,
de aceea nu va fi dată dar va fi enunţată printr-o problemă. Presupunînd că relaţia
(50) este adevarata pentru o funcţie F ( s ) reală, urmează că
F(s)
este
real-pozitivă.
' R e [ F ( s ) ] = \ F ( s ) \ cos [arg F ( s ) ]
T)
4.
F(*)] cos [arg s ] > 0
Această proprietate a argumentului este nu numai necesară ci şi suficientă. O vom
enunţa aici sub forma unei teoreme.
Teorema 10. O funcţie raţională, reală, F ( s ) este real-pozitivă dacă si numai
dacă
| arg F ( s ) | < |arg s 1
|o < |arg «| < y j .
(73)
Funcţii real-liniitatc
De funcţia real-pozitivă se poate lega, printr-o transformare biline- ară, o altă
funcţie. Funcţia care se obţine astfel posedă unele proprietăţi interesante. Să
considerăm următoarea transformare bilineară :
1 —F(s)
1+2»
sau F ( s ) =
1
(74)
—W(s)
1+W(s)
Corespondenţa între planele F şi IV" este arătată în fig. 7.7. Semiplanul drept al
planului F este transformat în interiorul cercului unitate din planul W . Axa jco
devine conturul cercului unitate.
Dacă F ( s ) este o funcţie îp, valorile din semiplanul drept al lui s , se
transformă în valori în semiplanul drept al lui F şi astfel sînt transformate în
interiorul cercului unitate din planul W . Dacă s = j0>; F ( j 0 > ) ^ valori situate în
semiplanul drept sau pe axa j X şi acestea devin valori în interiorul, sau pe conturul,
cercului unitate din planul W . Prin urmaie, dacă F ( s ) este rp şi W(s) este legat de F
prin (74), atunci
|TF(jco)|<l.
(75)
(77)
7.4. FUNCŢII REAL — POZITIVE
491
Acum să considerăm polii lui TF(s). Din (74), aceştia se găsesc acolo unde F ( s ) =
—1. Valorile lui s pentru care relaţia este adevărată nu pot să fie situate în semiplanul
drept închis, deoarece dacă F ( s ) este rp, aceasta ar însemna că Ee F < 0 pentru Ee s
> 0.
Prin urmare TF(s) trebuie să fi regulată atît în semiplanul drept cît şi pe
£l'Xcii
JX
Fig. 7.7. Corespondenţa transformării bilineare.
O funcţie TF(s) care are aceste proprietăţi şi anume : TF(.s) este regulată în
semiplanul drept închis şi |W(jco)|^l, se numeşte real-limitată. Astfel, o transformare
bilineară a unei funcţii real-pozitivă este real-limitată. Eeciproca este şi ea adevărată
adică : o transformare bilineară a unei funcţii real-limitată este real-pozitivă. Cîteva
consideraţii fiind făcute, demonstraţia rămîne în seama cititorului.
Această legătură dintre o funcţie real-limitată şi o funcţie real-pozitivă
conduce la o concluzie interesantă. Să presupunem că o funcţie rp este scrisă
astfel
F(S)
= wi(s)+^i(s)
m2(s)+n2(s)
unde ni1 şi m2 sînt polinoame pare, iar nL şi n., sînt impare. Atunci, transformarea bilineară (74) ne dă :
TT(s) = (^2-^1) +
(»a-”i) (m2+î%) + («2+%)
Pătratul modulului l’flPO’w)!2 devine
(76)
Acum să presupunem că m 1 şi m 2 se schimbă între ele; valoarea lui 1^ 0^°) !> nu va
fi desigur afectată aşa cum se observă din (78) şi nici polii lui Tr(s), aşa cum se
492
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
observă
din (77), deşi zerourile lui
TF(s) se modifică. Să numim noua funcţie obţinută
din W( s ) , prin schimbarea reciprocă a m1 cu m.2,
W ( s ) , Evident, aceasta este o funcţie real-limitată. Din (77) se găseşte că TF este :
W / -) _
.
(m2 + tox) + (% + n z )
(79)
A
Prin transformare bilineară se găseşte funcţia F ( s ) corespunzătoare
% { s ) = = m * W + ^(«1.
?%(«) + n z ( s )
(80)
Aceasta este chiar funcţia F (s ) de la care s-a pornit, care are acum părţile
pare de la numărător şi numitor schimbate între ele. Deoarece F ( s ) este o
transformare bilineară a unei funcţii real-limitată, ea este rp. Inversa
lui F ( s ) este tot rp. Dar inversa lui F este tot F ( s ) , cu n^s) şi rc2(s)schim- bate între
ele. Concluzia este dată prin teorema următoare :
Teorema 11. Dacă într-o funcţie real-pozitivă, puterile pare sau puterile impare
de la numărător şi numitor, sînt schimbate între ele se obţine tot o funcţie realpozitivă.
Funcţia părţii reale
Deoarece partea reală a unei funcţii îp joacă un rol atît de important, vom
examina compoitaiea păi ţii reale a unei astfel de funcţii pe axa jco. Să ne amintim că
partea reală a funcţiei F, considerată
pe axa j este
partea pară evaluată pentiu s — jco, adică :
tf(co) = Ee[J(jco)] - Pai [ F ( s ) } ^j o , = § [-F(jw) + F(-jco)] (81)
astfel că, constatările făcute despre pai tea paiă pot fi imediat iutei pretate prin
intermediul părţii reale pe axa jco. .
„
u
Se ştie că R ( co) este în mod necesar o funcţie
paiă de co şi că este
nenegativă pentru orice co. în mod simplu, se poate aiăta că paitea pară a lui F ( s ) nu
poate avea poli pe axa jco. Orice poli ai părţii pare vor fi şi poli ai lui F ( s ); dar fiind
situaţi pe axa jco aceştia trebuie să fie simpli. Considerînd pe F ( s ) dezvoltat în fracţii
parţiale ca în (71), funcţia F ( s )
(77)
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
493
va conţine aceiaşi termeni, dar toţi cei care includ polii de pe axa jco vor avea semnul
negativ. Prin urmare, atunci cînd se formeaza partea para W( s ) 4- F ( — s ) aceştia toţi
se vor anula iar funcţia va rezulta tara poli p axa joj Inteipretînd aceasta prin prisma
proprietăţilor părţii reale înseamnă că £(w) trebuie să fie limitată la orice co.
l-'ig. 7.8. Reprezentarea părţii reale a unei funcţii realpozitivă.
Acum să considerăm un zero posibil pentru
E(co). Fig. 7.8 arata o reprezentare a lui £*(«)
în vecinătatea unui zero. Datorita cerinţelor relative la caracterul real-pozitiv,
B{co) trebuie sa ramina pozitiva de ambele părţi ale zeroului. Urmează ca zeroyl lm £(«)
de pe axa co nu poate fi de multiplicitate impară, ci trebuie sa aiba multiplicitate pai
a.
Am determinat aici unele condiţii necesare pentru partea reala, a unei funcţii
real-pozitive, considerată pe axaJ. Să enunţăm un set de condiţii necesare şi
suficiente printr-o teoremă.
Teorema 12 O funcţie reală 7?(co) de o variabilă reală co este partea reală a unei
funcţii real-pozitivă F ( s ) , considera pe axa j, dacă st numai
dacă ^
^ o funcţie mţională pară cu coeficienţi
reali
(b) i?(w) este limitată la orice co.
(c) B(co) >pent.ru orice co.
A
Am văzut deja că aceste condiţii sînt necesare. De fapt, m Capitolul 6 s-a
demonstrat, printr-o construcţie de funcţie, că Pentru a gasi o funcţie F { s ) raţională
reală, dintr-un B { co), condiţiile (a) şi (b) smt suficiente.’ Dacă şi condiţia (c) este
satisfăcută, aceasta este suficient pentru ca funcţia respectivă să fie o funcţie realpozitivă.
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
Să ne concetrăm acum asupra unor tipuri
speciale de funcţii realpozitive.
Acestea apar atunci cînd se consideră
circuite cu numai doua
tipuri de elemente ( L C , B C , B L ) . Istoriceşte, aceste cu-curte au fost studiate
înaintea altora mai generale, mcepind cu lucrarea dm 192 , datorată lui Foster.
494
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Vom considera la început un circuit fără rezistenţe. Astfel de circuite se cunosc
ca circuite neăisipative, sau reactive. în teorema 5 am notat că impedanţa de intrare
într-un circuit fără pierderi este pur imaginară pe axa jco; adică avem Re [ Z ( j co)] = 0.
Formulînd aceasta, prin intermediul unei transformări, impedanţa unui circuit
nedisipativ, transformă
Planul s i
si planul z
Im z
Re z
Planul F i
Im s
si planul yt
Re s
ImW
Re?
Irn F
RtF
b
Fig. 7.9. Transformare care roteşte axele cu jt/2 radiani.
axa imaginară a planului s , în axa imaginară a planului Z . După ce am observat
această proprietate a impedanţei unui circuit, vom reveni în matematică şi vom lua
această proprietate ca bază de definiţie. Vom formula următoarea definiţie : O funcţie
de reactanţă este o funcţie^ real- pozitivă care transformă axa imaginară în axă
imaginară. în această terminologie impedanţa de intrare într-un circuit fără pierderi
este o funcţie de reactanţă.
_
Să stabilim acum eîteva proprietăţi ale funcţiilor de reactanţă. în primul î'înd
vom arăta că polii şi zerourile unei funcţii de reactanţă sînt situaţi numai pe axa jco.
Pentru a demonstra această teoremă, să observăm că, la fel cu o funcţie care
transformă axa reală în_axa reală, şi care este simetrică în raport cu axa reală [de ex.
F ( s ) = F ( s ) ] ; o funcţie care transformă axa imaginară în axa imaginară este
simetrică în raport cu axa imaginai ă. Pentru a vedea clar acest lucru să rotim cele
două plane^ (planul s şi planul F ) în sensul acelor de ceasornic cu tc/2 radiani.
Realizăm aceasta dacă definim
ty { z ) = — F ( j z ) .
j
(82b )
Aceste transformări sînt arătate în fig. 7.9. Să observăm că axa reală devine axă
imaginară şi viceversa. Un caz similar se obţine pentru cealaltă transformare. Dacă z
este real, argumentul lui F ( j z ) este imaginar,
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
495
astfel că prin ipoteză F ( j z ) va fi de asemenea imaginar. Prin urmare y(ş) va fi real
dacă z este real. Aceasta rezultă din proprietatea de reflexie dată de relaţia (6) din
capitolul 6 astfel că
ty ( z ) = ^(«)
devine
(83)
Dacă acum revenim, prin transformarea, din (82), această relaţie
F(—s) = — F(s)
(84)
Observăm că punctul — s este imaginea punctului s , în raport cu axa imaginară. Un
caz similar se obţine pentru punctele — F şi F . Rezultă că în concordanţă cu (84)
punctele imagini în raport cu axa ^imaginara dm planul s, devin puncte imagini în
raport cu axa imaginara a planului ±.
Rezultă că dacă F ( s ) are un pol sau un zero în semiplanul stîng, atunci punctul
imagine din semiplanul drept este de asemenea un pol, sau un zero, ceea ce nu este
posibil pentru o funcţie rp. Deci, polii şi zero- urile unei funcţii de reactanţă trebuie să
fie situaţi numai pe axa jco. ^
Să revenim pentru un moment la teorema 6. Acolo am văzut că dacă o funcţie rp
transformă un punct situat pe axa jco într-un punct de r»e axa imaginară, atunci
derivata funcţiei în acel punct este reata şi pozitivă Dar conform teoremei 5, o funcţie
de reactanţă transforma întreaga axă,jco în axa imaginară a planului F. Prin urmare,
pentru o astfel de funcţie proprietatea pentru derivată va fi adevărată în toate
punctele de pe axa jco (cu excepţia polilor). Pe aceasta se bazează o altă proprietate
foarte importantă’şi anume: polii şi zerourile unei funcţii de reactanţa alternezâ pe axa
jco ; adică, între doi poli oarecare există un zero şi mtie două zerouri oarecare există un
pol.
Aşa cum s-a mai constatat, teorema 6 se aplică în toate punctele de pe axa jco cu
excepţia polilor. Prin urmare derivata d F j d s evaluată la s = =jco este reală şi pozitivă.
Să calculăm derivata în lungul axei jco, ceea ce este posibil deoarece derivata există. Se
găseşte
ds
dF
d(ju>)
d F ( j i o ) _ d j j X (co)]
d ( j co)]
j d X ( co) ^ d X (co) ^ Q
jdoi
d
co
Am
utilizat notaţia uzuală F ( j u ) = B ( co) + j X { u > ) şi deoarece> F este aici o
funcţie de reactantă, B ( co) este zero. Observăm ca X(co) este o funcţie reală de o
variabilă reală. Rezultă că, dacă nu avem nici un pol intre doua zerouri ale lui X(co),
derivata ar deveni negativă undeva^ intre eteceea ce, tocmai am arătat, că este
imposibil. O concluzie similară se aplica pentru poli succesivi. Fig. 7.10 ilustrează
forma pe care X ( o > ) ar trebui sa o aibă, dacă nu ar avea polii şi zerourile alternaţi.
496
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Proprietatea pe care am demonstrat-o este numită alternanţa polilor şi
zerourilor. Din această proprietate rezultă clar că diagrama pentru X ( o i ) trebuie să
aibă forma generală din fig. 7.11.
Deoarece X(co) este o funcţie impară iar alternanţa polilor şi zeroua rilor trebuie
să aibă loc pe întreaga axă imaginară (la valon co pozitive şi negative), rezultă că
punctul s = 0 este un zero sau un pol pentru o fune- ţie de reactanţă.
Observăm că dacă F { s ) este o funcţie rp care transforma axa jco m axă
imaginară şi F ( l / s ) este de acelaşi tip. Cu transformarea s^-l/s punctul oo din planul
s, devine origine în planul l/s. Deci, utilizmd rezultatul precedent găsim, că pentru o
funcţie de reactanţă punctul s — oo este un zero, sau un pol.
u
Am discutat cîteva proprietăţi ale funcţiei de reactanţă.Yom observa de
asemenea că, unele proprietăţi generale ale funcţiilor rp, se aplică în mod particular
funcţiilor de reactanţă. Astfel, deoarece am aratat că polii şi zerourile unei funcţii rp,
care sînt situaţi pe axa jco, smt simp î şi că reziduurile în aceşti poli sînt reale şi
pozitive, vom trage concluzia că toţi polii şi toate zerourile unei funcţii de reactanţă
sînt simple şi că reziduul în oricare din poli este real şi pozitiv.
Acum sîntem în situaţia de a consolida rezultatele noastre cu privire la funcţiile
de reactanţă şi de a stabili condiţiile necesare şi suficiente, pentru ca o funcţie raţională
de s, să fie o funcţie de reactanţă.
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
497
Teorema 13. O funcţie raţională, reală, ^ ( s ) , este o funcţie de reactanţă dacă şi
numai dacă ;
1. Toţi polii săi sînt situaţi pe axa jco ;
2. Toate reziduurile sînt reale şi pozitive;
3. Funcţia are un pol sau un zero în s = 0 şi s = oo 5)
şi
4. Re <]>(jto) = 0 pentru orice co.
Observăm că acest enunţ se referă numai la poli şi la lezidumi, nu şi la zerouri.
Am arătat că aceste condiţii sînt necesare, îămîne să aiătăm că acestea sînt şi
suficiente; adică, presupunînd că o funcţie i aţională satisface condiţiile formulate,
trebuie să rezulte că funcţia este piactic o funcţie de reactanţă. Aceasta se poate arăta,
în
modul cel maisimplu,
considerînd dezvoltarea în fracţii parţiale a unei
astfel de funcţii.
Dacă
combinăm cîte doi termeni, datoraţi polilor conjugaţi, cea mai generală formă a
dezvoltării în fracţii parţiale va fi 6).
*(«)
=
)
(
+
8
s <=i
6
s2
co|
unde sumarea se face asupra tuturor polilor şi toate ft-urile sînt pozitive. Desigur, polul
din origine, sau de la infinit, sau ambele, pot să lipsească. Această expresie coincide cu
(71) avînd F r ( s ) = 0, deoarece în cazul de faţă nu există poli decît pe axa jco. Rezultatul
căutat se obţine îndată. Fiecare termen din această expresie este imaginar la valori
imaginare ale lui s , astfel că tjj(s) transformă axa imaginară în axă imaginară, ceea ce
face ca ’ b ( s ) să fie prin definiţie o funcţie de reactanţă.
Proprietatea de alternanţă a polilor şi zerourilor formează baza unui alt set de
condiţii necesare şi suficiente formulate astfel:
Teorema 14. O funcţie raţională, reală de s este o funcţie ăe reactanţă dacă şi
numai dacă toţi polii şi zerourile sale sînt simple, situate pe axa joi şi alternează.
Şi în acest caz am demonstrat că o funcţie de reactanţă îndeplineşte cu necesitate
aceste condiţii. Rămîne să arătăm că aceste condiţii sînt suficiente, O funcţie raţională
care satisface condiţiile date trebuie să aibă forma următoare :
=K
S(S2 + tol2)(S2 + to32)- ' •(«2 + c°2»2~l) ,
(g7)
(s2+«02)(s2+Oîn care
0
.
w0 <
< 0>2 < «3< • • • < M2i, -2 < “2M-1 <
C0
2» < °°1
(88)
în (87) K este o constantă pozitivă iar k = 2 n - 2 sau 2n după cum ^(s) are un zero sau
Condiţia 3 este în mod necesar satisfăcută, dacă 1, 2 şi 4 sînt satisfăcute. (N.T.).
) în absenţa condiţiei 4 din teorema 13, în dezvoltarea (86) poate să apară un termen constant.
Condiţia 4 este necesară pentru eliminarea acestei constante.
6
498
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
un pol la infinit. Dacă <HS) are un P°1 în s = 0, luăm pe co0 egal cu zero. în acest caz se
anulează un factor s . Rezultatul căutat se găseşte imediat. Fiecare factor pătratic, de
pol sau zero, din (87) este real tind s este imaginar. Aceasta înseamnă că datorită
factorului s , ^ ( S ) este imaginar la s imaginar. Prin urmare, <|/(s) este o funcţie de
reactanţă prin definiţie. 1)
Realizarea funcţiilor de reactanţă
La începutul acestei discuţii am arătat că impedanţa de intrare intr-un circuit
nedisipativ este în mod necesar o funcţie de reactanţă. Să notăm că şi admitanţa de la
intrare într-un circuit nedisipativ este tot o funcţie de reactanţă, adică
Y ( s ) = 1/Z (7)
(89)
este de asemenea imaginară pentru valorile imaginare ale lui s care fac pe Z ( s )
imaginară.
_
Se pune acum întrebarea dacă reciproca acestei condiţii este şi ea adevărată; cu
alte cuvinte dacă o funcţie de reactanţă dată este impedanţa (sau admitanţa) de
intrare a vreunui circuit nedisipativ1? Pentru a răspunde la această întrebare
afirmativ, trebuie să construim un circuit nedisipativ care să aibă ca impedanţă sau
admitanţă funcţia de reactanţă dată. La această întrebare, Foster a răspuns în 1924
prin celebra sa teoremă a react-anţei (deşi nu în forma dată aici).
Teorema 15. O funcţie raţională de s este o funcţie de reactanţă dacă şi numai
dacă reprezintă impedanţa sau admitanţa de intrare a unui circuit fără pierderi.
7 S-ar părea că, acest argument cere numai ca, ^(s) să fie o funcţie raţională impară : un raport de
două polinoame pare cu un factor s suplimentar la numărător sau numitor. Dar pe lingă faptul că funcţia
de reactanţă transformă axa imaginară în axa imaginară această funcţie trebuie să fie şi rp. O funcţie
raţională şi impară care nu are proprietatea de alternanţă nu va fi rp.
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
499
Suficienţa a fost deja stabilită. Rămîne să arătăm că dîndu-ne o funcţie de
reactanţă, aceasta este în mod necesar impedanţa sau admi- tanţa unui circuit
nedisipativ. Pentru a arăta aceasta să revenim la dezvoltarea în fracţii parţiale a
funcţiei de reactanţă dată în (86). Putem să recunoaştem în fiecare termen al sumei din
dezvoltarea în fracţii parţiale, impedanţa sau admitanţa unei reactanţe cu schema
foarte simplă. Schemele sînt arătate în fig. 7.12. Astfel, dacă ^(s) trebuie să fie o
impedanţă.
Reprezentarea circuitului
Fu net fa
Impedanţa
Adm
itan
L = lfk
ţa
0
C=k.
C*Zk.Ju*
Zl
c.s
Fig. 7.12. Reprezentarea termenilor din dezvoltarea în fracţii parţiale.
76?
putem să o reprezentăm ca pe o combinaţie serie de uniporţi elementari, ca cei din
coloana 2, a fig. 7.12. Dacă <p(s) trebuie să fie o admitanţă,putem să o reprezentăm ca
pe o combinaţie paralel de uniporţi elementari, ea cei din coloana 3. Schemele
circuitelor obţinute sînt arătate în fig. 7.13. Ele sînt numite prima şi a doua schemă
Foster.
Fig. 7.13. Schemele Foster ale uniporţiior nedisipativi.
500
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Teorema este complet demonstrată. Am găsit că o reactanţă dată poate fi atît
impedanţa cît şi admitanţa unui circuit nedisipativ (bineînţeles, nu pentru acelaşi
circuit).
Să exemplificăm acest rezultat cu funcţia care urmează. Fie
zW_
Y(s) =
_
s (s2 + 4)
<I+
3s
s (s2 -|- 4)
4(s2 + 1) (s2 + 9)
32 \s2
+ 1
s
(00 „)
s2 + 4
(90 6)
+
a
b
Fig. 7.14. Realizări de circuite reactive.
In prima funcţie sc recunoaşte că termenul 4s reprezintă impedanţa unei bobine de patru unităţi. La fel, 9js
reprezintă impedanţa unei capacităţi de (1/9) — unităţi. (LTnităţile nu sint Henry sau Farad, deoarece se
presupune că funcţia este normată.) Impedanţa unei ramuri LC ln paralel este
sjC
Z = -------------------„1
s- + --------LC
.
.
.
-
.
,
1
15
r-
Rezultă, direct prin comparaţie, că valorile L şi C trebuie să fie C = ---------------------------, L — ----------- . Gircu15
4
itul va avea schema din fig. 7. 14 a.
Admitanţa din (90.fi) este formată din doi termeni şi fiecare poate să fie realizat prinr-o bobină cu o
capacitate in serie. Admitanţa unui astfel de circuit serie acordat este
.1 — c. S'A
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
Ş
s
t
*
m va aâu^eăSfiXo^e.10 C°mPlel
*
-
501
""«'Sm zrzisn
^
b°n,ele
^
° "-
Nicl
surătoar.
Schema circuitelor în scară
funcţielSăelfFS?aer/UfSÎnî singurele circuite care pot să realizeze o îuncţie data, (Exista de
fapt un număr infinit de scheme diferite
4(s2 + 1) (S2 + 9)
^ ( S ) == Z(s) — 4s
s (s3 + 4)
| s3 + 4s \-i r V 24s2 + 36
}
lui 7 17Q
2-1 s2 -f 36
-4S :
I
.
~
.
s
24
lr
s3 4- 4s
rP
24sa + 36
se fir*! 15l « e r' C
6'
111 p0
Ys = Y,
+
(l
5s/2
5s/2
/24s2+ 36 W l 5s/2
24s2 + 36
48s
$
5
*
72
5s
w
2k "
^2
o ----- -----------
1_
2if ~
o -----------J
V-
hS
_
X
Zk
5
Fig. i.l5. Realizarea unei impedanţe cu un circuit in scară.
__—
*3
^'*
z
-
-------h ----
/
k-
z^
°
CX t agerea b bl nC
patrU U nit ăţi
’ rammmd un.circuit cu impedanţa Z,. Acum inversa
infinit. Acest pol poate fi complet extras scăzînd s/24 ceea ce ne dă
o
7?
502
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Operaţia echivalentă scăderii lui s/24 din admitanţă, este extragerea unei capacităţi de 1/24 unităţi, în
paralel cu bornele de intrare în Zv aşa cum se arată în fig. 7.15 b. Admitanţa Y2, rămasă după această
extragere, nu are nici un pol la infinit, dar inversa Z2 arc acest pol. Acesta poate îi extras rezultînd :
5
5s
Scăderea unei impediUiţe de 48s/5 este echivalentă cu extragerea în circuit, a unei bobine de 48/5 unităţi,
aşa cum se Erată în fig. 7.15 c. Impedanţa Z3 care rărnine este destul de simplă, pentru a fi identificată cu
o capacitate. Circuitul final este arătat în fig. 7.15 d.
Acesta este dc forma unui circuit în scară.
Fig. 7.16. Circuit în scară cu impedanţele de laturi arbitrare.
în fig. 7J 6 este aiătat un circuit în scaiă avînd impedanţe ele laturi arbiti are.
Impedanţa acestuia poate fi scrisă în formă de fracţie continuă :
r2 H — z 3
r*-* ---------------
Z5 + —
(91)
1
V
6
J
în exemplul ti&tat mai înainte, s-a m mărit de fapt, etapă cu etapă, o
dezvoltare în fracţie continuă, în care fiecare funcţie Zt şi din (91) să fie de foima is,
unde Ic icprezintă o inductanţă sau o capacitate.
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
503
Dezvoltarea operează exclusiv asupra polului de la infinit extrăgînd aces8 pol, alternativ,
din impedanţă şi apoi din admitanţa care rămîne. Rezultatul acestui proces, pentru o
funcţie de reactanţă arbitrară, va conduce la forma de circuit arătată în fig. 7.17 a.
O altă dezvoltare în fracţie continuă se poate obţine, operînd asupri polului din origine, s
= 0. Dezvoltarea se realizează extrăgînd polul din sj= 0, în mod alternativ, din impedanţă
şi apoi din admitanţa rămîne, pînă cînd funcţia este dezvolată. x)
’
care
Hh
o- ---- .
■—II—
\
'
5
Fig. 7.17. Prima şi a doua schemă Cauer, pentru circuite nedisipative,
în scară.
Pentru exemplul tratat mai înainte dezvoltarea este :
8 Funcţia de reactanţă poate fi realizată şi prin sinteza Foster-Cauer aplicînd componentelor funcţiei
de reactanţă metodele de sinteză Foster sau Cauer, într-o succesiune aleasă arbitrar (vezi de exemplu
Weinberg, L. : Network Analysis and Synlhesis, Mc. Graw-Hill, New York, 1962 pp. 408 — 409.) Sinteza după
Foster şi Cauer conduce totdeauna la scheme canonice cu număr minim de elemente. Pe lîngă acestea, există o
mulţime de alte circuite fizice, cu alte scheme electrice, care realizează o funcţie de reactanţă dată şi care pot
să aibă, sau să nu aibă, numărul minim de elemente de circuit (N. T.).
504
s(s2 + 1)
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
4/31s + .
s2 + 4 1
15s/31
4s2 - f - 31
= 9/s +
4/31 s
961/15S
15/124s
Rezultatul este cel din fig. 17 b cu primele patru elemente fiind C1= 1/9, L2 = 31/4, C3=15/961 şi /,4=124/15.
Rezumînd, am arătat că impedanţa şi admitanţa unui circuit fără pierderi sînt
funcţii de reactanţă şi reciproc, dindu-se o funcţie de reactanţă se poate găsi un număr de
circuite, a căror impedanţă sau admitanţă să fie egală cu funcţia de reactanţă dată. ’
7.5. FUNCŢII DE REACTANŢĂ
505
Polinoame IIimviLz şi funcţii de reactanţă
\m găsit că o funcţie de reactanţă este funcţie raţională impara, raportul dintre
un polinom impar şi unul par, sau viceversa, aşa cum se constată în (87). Dacă notăm
polinoamele par şi impar cuw(s) şi respectiv cu »(*), atunci o funcţie de reactanţă +(«)
poate fi scrisa ca :
m
sau
n(s) m{s)
rmde m si n nu au factori comuni.
. .
4.
cum, să considerăm conectarea în paralel a unui circuit nedisi- pativ
cu o rezistentă de 1 Ohm. Considerînd că +(*) este admitanţa circuitului nedisipativ,
impedanţa circuitului paralel va ti:
1
n(s)
m (s)
>7.{o\ = ___ ± ___ = ---------- -------- sau — -----------—- ’
lj-^s)
m{s)Jrn(s)
m(s) + n(s)
unde M s ) este exprimat prin (92). Impedanţa acestui circuit R L C va fi r p şi regulată
pe axa jco ; rezultă că polii săi nu pot sa fie situaţi m semiplanul drept si pe contur.
Polinomul m + n din (93) este deci un polinom strict Hurwitz. Acest rezultat este foarte
util. Vom formula aceasta concluzie şi
^“^TeîremiTS? ° D a c ă P ( s ) = m(s) + n(s) este un polinom Hwmtz, atunci raportul m/n
este o funcţie de reactanţă. Reciproc, dac,* raportul intre părţile pară si impară a unui
polinom este o funcţie de reactanţa, atunci P( ) un ’polinăm strict Hurwitz, cel mult
printr-un polinom par de mult>PUC>Această
teoremă ne oferă mijloace pentru a verifica uşor, dacă o funcţie
raţională dată este regulata m semiplanul diept, aşa cam se cere pentru o funcţie
real-pozitiva. \om lua rapoitul intre paiţile para " IP raportul invU * polinomuhu «. a num, or M» dezvolta în
fracţie continuă sau prin fracţii parţiale. Pentiu exemplit care să considerăm :
P(s) = 2s4 + 5s3 + 6 s2 + 3s + 1, m { s )
= 2i4 + 6s2 -1-1? n ( s ) = 5 s3 + 3s.
iT A Hpmnnstratie este subliniată prin problema 43 propusă spre rezolvare. O altă demonstraţie se
dâ în : Norman. Balabanian, Network Synthesis, Prentice-Hall, Eng ewooc, Cliffs, N.Y. 1958, pp. 77-81.
506
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Acum să formăm raportul m/ n şi să-i dezvoltăm în fracţie continuă. Rezultatul va fi: ’
m _ 2s4 + 6s2 + 1 2 s
n
os3
1
+ 3s
5
,
25s
24
1
576 s ____ 1
235
47s
24
Elementele din circuitul fără pierderi, corespunzător acestei dezvoltări în fracţie continuă,
vor fi toate pozitive. Rezultă că m j n este o funcţie de reactanţă iar P ( s ) este un polinom
strict Hurwitz. în acest exemplu s-a presupus, fără a se face o analiză în detaliu că,
polinomul par de multiplicare nu apare. Pentru a verifica aceasta există un criteriu care
va rezulta din exemplul următor.
Să considerăm alt exemplu
P(«) = s5 + 2 a 4 + 3s3 + 6s2 + 4s + 8,
m = 2s4 + 6s2 + 8,
n = s5 + 3s3 ~f 4s.
Atunci
n s ~ ° + 3s3 + 4s 8
m ~
2s4
+
6s2
+8^2
^
'
Observăm că n / m = s / 2 este o funcţie de reactanţă, dar dezvoltarea în fracţie continuă
s-a terminat prematur deoarece apare un polinom
s4 + 3s2 + 4 = (s2 - 8 + 2) (s2 + s + 2)
care este factor comun atît în partea pară cît şi în cea impară. Acesta este un polinom par,
care are două zerouri în semiplanul drept şi două în cel stîng. Polinomul iniţial este:
P(«) = (s + 2) («4 + 3s'2 + 4)
şi este produsul dintre un polinom Hurwitz şi un polinom par, în concordanţă cu teorema.
7.6. IMPEDANŢELE ŞI ADMITANŢELE UNOR CIRCUITE RC
507
Eezumînd : atunci cînd se dă un polinom P ( s ) = m ( s ) + »(*) si dorim să detectăm
prezenţa unui polinom par, ca factor de multiplicare, notăm că acesta este factor comun
al părţilor pară şi impara, Eezulta că atunci cînd se ia raportul şi se face dezvoltarea în
fracţie continua, astfel (le factor pai- este semnalată pnn tenmnarea prematură a
dezvoltării.
7.6. IMPEDANŢELE ŞI ADMITANŢELE UNOR CIRCUITE R C
Să tratăm acum un alt tip de circuite cu două elemente şi anume circuitele R C .
Am putea, dacă am don, sa purtam o discuţie completa asurna acestui caz făiă să ne îeferim
la circuitele L C . Totuşi aceasta ar fi o pierdere de timp, deoarece este posibil să corelăm
funcţiile de împedan- tă cu aiutoiul unor tiansformăii potrivite. Acest procedeu a fost
utilizat pentru prima dată de Cauer caie a extins lucrarea lui Foster la circuitele
^Fie Z ( s ) impedanţa de intrai e într-un circuit A de tip I tC . Alef-md in mod uzual
contui urile, să notăm matricea impedanţelor de contul a
lui M cu
Z m ( S ) = [Cy(*)],
(94)
unde elementele matricei sint
(95)
sCa
Să înlocuim fiecare rezistenţă din A i intr-o inductanţă de valoare egală ( R Ohm
devine R Henry). Atunci matricea impedanţeloi de contui
pentru noul circuit A' devine :
1
(96)
= sz m (*2).
s'-C-* V»Ude contur corespunzătoare;
Impedanţa de intrare în circuitul A' se găseşte o soluţie
+
aceasta va fi raportul dintie det (SJ şi unu din primii săi cofactori principali. Impedanţa
circuitului N va fi egala cu raportul între det (ZJ şi unul din primii sai cofactori
Pr^cipali. :Dar S si Z sînt legate prin relaţia (96). Prin urmare, daca ne amintim care
este efectul înmulţirii unei matrice cu un scalar * asupra determinantului său, vom
găsi că impedanţa circuitului -A7 va ÎL
4(s) = s Z ( s * ) .
508
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Circuitul J f ' conţine numai bobine şi capacităţi astfel că, în ultima ecuaţie, ^(s)
reprezintă o funcţie de reactanţă. Astfel, am găsit că impedanţa unui circuit R C poate fi
transformată într-o funcţie de reactanţă, dacă se înlocuieşte s cu s 2 şi apoi se înmulţeşte
;
cu s .
Ar fi interesant de ştiut dacă şi reciproca este adevărată, adică dîn- du-se o funcţie
de reactanţă ^(s)> putem să o transformăm într-o impe- danţă de circuit R C cu o
transformare inversă? Pentru a realiza aceasta să considerăm că funcţia de reactanţă
este dezvoltată în fracţii parţiale aşa cum s-a arătat în (86). Să împărţim expresia cu s şi
să înlocuim pe s cu ] f s . (Aceasta este inversa transformării utilizate). Rezultatul va fi:
21-, \s
o
Fiecare termen din dreapta poate fi identificat cu o schemă simplă RC. Termenul kjs este
o capacitate ; este o rezistenţă. Fiecare din termenii ceilalţi reprezintă impedanţa unei
laturi formată din R în paralel cu C, avînd expresia (1/0) (s -f 1 j R C ) . Valorile pentru R şi
O se obţin compa- rînd cele două expresii. De fapt, avem circuitul din fig. 12, coloana 2, cu
bobinele înlocuite prin rezistenţe. Pentru o referire mai comodă să formulăm acest
rezultat după cum urmează :
Teorema 17. Dacă Z R C ( s ) este impedanţa de intrare a unui circuit RC atunci
■ b ( s ) = s Z R C ( s 2)
(97)
este o funcţie de reactanţă. Reciproc, dacă ^(s) este o funcţie de reactanţă, atunci
Znc (s) = ~
1ls
(98)
este impedanţa de intrare într-un circuit RC.
Să coniderăm acum admitanţa unui circuit RC. Utilizînd (98) aceasta poate fi
exprimată prin :
7.6. IMPEDANŢELE ŞI ADMITANŢELE UNOR CIRCUITE RC
509
Dar inversa unei funcţii de reactanţă este tot o funcţie de reactanţă. Eezultă că, avînd
dată’o funcţiede reactaţă i|;(s) se poate obţine o admitanţă RC dacă înlocuim pe s cu şi
apoi înmulţim cu 1;*. Pentru o referire mai comodă vom formula aceasta astfel:
Teorema 18. Dacă Y R C { s ) este admitanţa unui circuit RC, atunci
*(#) = - T s o ( s 2)
s
(99)
este o funcţie de reactanţă. Reciproc, dacă ^(s) este o funcţie de reactanţă
atunci
îr«o(«) =
(100)
este admitanţa de intrare într-un circuit RC.
Aici găsim o diferenţă fundamentală între funcţiile de reactanţă şi funcţiile
impedanţă şi admitanţă RC. în timp ce inversa unei funcţii de reactanţă este din nou un
membru al aceleiaşi clase de funcţii, inversa unei impedanţe RC este un membru al clasei
admitanţelor RC şi viceversa.
Cu transformările precedente, putem să transferăm toate proprietăţile funcţiilor de
reactanţă în proprietăţi ale impedanţelor şi admitanţe- lor RC. Procedeul de stabilire a
acestor rezultate este destul de simplu. Pentru început, să aplicăm (98) şi (100) dezvoltării
în fracţii parţiale a unei funcţii de reactanţă dată prin (86). Cu modificările
corespunzătoare in notarea polilor şi a reziduurilor rezultatul va fi
(101)
Y B C ( S ) — A"oo s + A’0 +
(102)
unde A;-urile şi valorile a sînt toate reale şi pozitive. Să remarcăm că am
utilizat aceleaşi notaţii pentru reziduuri şi poli în ambele cazuri, dar acestea sînt expresii
generale pentru două clase de funcţiuni care nu se presupun corelate.
Ecuaţia (102) nu este o dezvoltare în fracţii parţiale a funcţiei T R C ( s ) . Aceasta ar
fi mai curînd dezvoltarea lui Y R a ( s ) i s , după care rezultatul a fost înmulţit cu s. Dacă
relaţia (102) se împarte cu s găsim o formă identică cu (101). Aceasta ne arată că o funcţie
de admitanţă RC împărţită cu s
510
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
este o impedanţă RC. Constatăm că polii acestor funcţiuni sînt reali şi negativi pe cînd
reziduurile lui ZRC şi Y/(C/s sînt toate pozitive.
Diferenţiind ultimele două ecuaţii în lungul axei reale (s = a). vom obţine un
rezultat care corespunde poprietăţii funcţiei de reactanţă de a avea o pantă
pozitivă, adică
d-ZBC( a) da K
dT*c(a)
da
>
(103
a)
0
(103 b)
Astfel curbele funcţiilor RC de intrare, reprezentate pentru valori
reale ale lui s sînt monotone; Z R G ( a ) este strict descrescătoare, pe cînd Yrc(
o) este strict crescătoare. Ca şi în cazul funcţiilor de reactanţă, aceasta implică faptul că
zerourile şi polii ambelor funcţiuni trebuie să alterneze, în acest caz pe axa reală
negativă.
Diagramele unor funcţii de intrare RC, tipice, sînt reprezentate în fig. 7.18 şi fig.
7.19, pentru valori reale ale lui s. In fig. 7.18 primul pol de lîngă origine, poate de fapt să
se deplaseze în origine făcînd astfel C - A F ( O ) să fie infinită. De asemenea, ultimul zero
de pe axa reală negativă se poate deplasa la infinit, făcînd pe _F(oo) să devină, zero.
Lafel, în fig. 7.19, primul zero poate să fie în origine şi astfel F ( 0) devine zero. De
asemenea, ultimul pol se poate deplasa la infinit făcînd pe F ( oo) să devină infinit,
Să adunăm acum toate aceste rezultate în cîteva teoreme. Teoremele 19 şi 20 sînt
pentru impedanţe RC-, teoremele 21 şi 22 pentru .idmi- tanţe RC.
Fig. 7.18.
Funcţie ZR0(n), tipică.
7.6. IMPEDANŢELE ŞI ADMITANŢELE UNOR CIRCUITE RC
511
Fig. 7.19. Funcţie Yj}c(a)> tipică.
Teorema 19. O f uncţie
raţională
F(s) este impedanţa de intrare a
unui circuit
RC dacă si numai dacă toţi polii săi
sînt simpli
şi situaţi pe axa reală negativă la
valori finite
(inculsiv s = 0), cu reziduuri reale şi
pozitive in
toţi polii şi cu F( oo) real şi
nenegativ.
(Aceasta corespunde teoremei la pentru funcţiile de reactanţă.)
Teorema 20. O funcţie raţională F(s) este impedanţa de intrare a unui circuit RC,
dacă şi numai dacă, toţi polii şi toate zerourile sînt simple, situate alternînd reciproc pe
axa reală negativă, iar primul punct critic ( p o l sau zero) care se întîlneşte pe axa reală
negativă, atunci cînd ne deplasam pe această axă începîn'd din origine, este un pol.
(Aceasta corespunde teoremei 14 pentru funcţiile de reactanţă.)
Teorema 21. O funcţie raţională F(s) este admitanţa de intrare a unui circuit RC,
dacă şi numai dacă, toţi polii săi sînt simpli şi restrînşi pe axa reală negativă (exclusiv
punctul s=0, dar inclusiv punctul de la infinit), cu F(0) real şi nenegativ şi cu toate
reziduurile lui F(s)/s reale şi pozitive.
Teorema 22. O funcţie raţională F(s) este admitanţa de intrare a unui circuit RC,
dacă si mimai dacă, toţi polii şi toate zerourile sînt simple, situate alternînd reciproc pe
axa r e a l ă , negativă, iar primul punct critic ( p o l sau zero) care se întîlneşte pe axa reală
negativă, atunci cmd ne deplasam ne această axă începînd din origine, este un zero.
(Singura diferenţa, mtie această teoremă pentru admitanţe şi teorema 20 pentru
impedanţe, este
ultimul cuvînt.)
, , .
Am sugerat modul în care aceste teoreme pot fi demonstrate in discuţiile
precedente. Putem să facem demonstraţiile ca pe un exerciţiu.
Am stabilit cîteva seturi de condiţii necesare şi suficiente pentru ca o funcţie
raţională să fie impedanţa sau admitanţa de intrare într-un circuit uniport RC. în
general, atunci cînd se doreşte sa se demonstreze suficienţa unui set de condiţii pentru
ca o funcţie data sa fie funcţia de
512
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
intrare (sau de transfer) a unui circuit aparţinînd unei clase de circuite, se arată că se
poate găsi un circuit (cel puţin unul) din clasa considerată, care să aibă funcţia de circuit
dată. în cazul de faţă am legat demonstraţii de cea din cazul funcţiilor de reactanţă,
arătînd că funcţia dată poate f i transformată totdeauna într-o funcţie de reactanţă,
Această funcţie poate deci să fie realizată ca un circuit LC. Circuitul RC căutat se obţine
făcînd transformarea inversă. Aceasta înseamnă că înlocuim fiecare L din circuitul LC cu
un R de valoare egală,
k„ = R
k0/s
k 1/c
s + <r s + f / R C
ZRC
R =ko&
k<*,s = Cs
rfPl C = f / *
C = 1/ko
,1 R
Hh
k «-
YRC
= k/(T —Ir—
ks s j R
R
S+<T S+f/RC
C -koo
^
HI—
j? R = Ijk
Fig. 7.20. Realizări de tip Foster ale circuitelor RC.
a Putem să procedăm şi altfel operînd chiar asupra funcţiei date, dez- voltînd-o în
fracţii parţiale aşa cum am făcut pentru funcţiile de reactanţă. Am obţinut pînă acum
formele dorite în (101) şi (102). Fiecare termen din aceste expresii poate fi recunoscut ca
impedanţă sau admitanţă a unui circuit RC simplu. Conectarea acestor circuite în serie
sau în derivaţie (depinzînd dacă funcţia trebuie să fie impedanţă sau admitanţă)
conduce la rezultatul dorit. Circuitul va avea aceeaşi schemă ca şi în schemele Foster
pentru circuite nedisipative arătate în fig. 7.12. Din acest motiv aceste circuite se
numesc realizări Foster ale circuitelor RC, deşi Cauer a fost primul care a obţinut aceste
rezultate. în fig. 7.20 se arată realizarea termenilor din (101) şi (102).
Pentru exemplificare, să presupunem că funcţia dată este
Z(S)=2±±^JL±±==2
(s + 1) (s + 3)
+
J_+ _l
s +1 s +3
"...
Polii sînt reali, negativi şi simpli, reziduurile sînt pozitive aşa cum se constată din dezvoltarea în funcţii
parţiale. Termenul constant pote fi identificat cu o rezistenţă de două unităţi. Termenul 3/(s + l) reprezintă o
latură RC în paralel. în fig. 7.20 C = 1/3 şi R=3. Ultimul- ter-
7.6. IMPEDANŢELE ŞI ADMITANŢELE UNOR CIRCUITE RC
513
meu are aceeaşi formă ca şi al doilea şi poate fi realizat prin acelaşi tip de latură. Realizarea completă este dată în
fig. 7.21 a.
Să considerăm acum inversa funcţiei date :
(Ş+D (»±j) = lf3+-gf- I- —
Y(S)=
2(s + 2)(s + 4)
16 l s + 2
s+4
Oi
==DIX fh
x
tff
t »t
b
Fig. 7.21. Realizarea unei funcţii date prin circuitc RC.
Partea din dreapta se obţine printr-o dezvoltare pnalfbilă a lui V(s)/s în fracţii parţiale urmată de o
înmulţire eul Utilizind schemele din fig. 7.20 se obţine circuitul dm fig. 7.21 ’b. Se poate constata uşor că ambele
circuite au aceeaşi impedanţa.
Realizarea circuitelor în scară
Utilizind transformări convenabile, s-a stabilit o corespondenţă reciprocă între funcţiile
de reactanţă şi funcţiile impedanţelor de intrare RC, deci, este de aşteptat ca fiecare metodă de
realizare a funcţiei de reac- tantă să poată fi’utilizată pentru realizarea funcţiilor RC. Circuitele
Foster au fost deja obtinute. Circuitele în scară (de tip Cauer) pot 11 şi ele obţinute dezvoltând
ZRG şi Y*0 în fracţii continui. Nu vom prezenta dezvoltarea în detaliu a cazului general, deoarece
aceasta este oarecum evidentă. în locul acestuia se va prezenta o exemplificare, pornind de la
aceeaşi funcţie pentru care s-au obţinut anterior, schemele Foster. Exista unele diferenţe
specifice în dezvoltarea lui ZE0 sau YR0 în fracţie continuă, în comparaţie cu cazul funcţiilor de
reactanţă, deoarece ZRC nu poate avea un pol la infinit, iar Ysc nu poate avea un pol în origine.
De asemenea (vezi problema P31.) cea mai mică valoare a părţii reale se obţine la valori ale lui s
diferite în cazul Z R C , faţă de cazul YRC.
514
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Referindu-ne la Z(s) dat mai înainte, dacă se face dezvoltarea în fracţie continua, relativă la
comportarea în frecvenţa de la
infinit, se obţine, în etape, expresia
, .^+1^ + 16 = 2 + _J_
Z( )=
s2 + 4s+3
s2 + 4s+3 4s + 10
= 2 +■
1
8s + 20
3s + l
+
8/3+
■
13
1
3s -f- 1
------------6s_
1
52 '
Circuitul în. scară corespunzătoar este arătat în fig'. 7. 22 a.
O altă realizare se obţine pornind de la admitanţă şi considerînd comportarea la frecvenţa zero.
Astfel se găseşte
1
3 + 4s + s2
y(S) =
16 + 12s + 2s2
16
16 +
12s+2s2
16
64
-LS + As2
4
■+
51
16
8
3
16
+
7s
64
—
+7
3 Si
Circuitul corespunzător este arătat în fig. 7.22fc.
A.
2
0-
3
1 J
V"
s
3
L 6
»-■ ■
o-
1936
21S
Fig. 7.22. Realizări ale
circuitelor în scară.
1
3/o,:
7
14 + 5s
s
i52/,
+ 16s
7.7. PARAMETRII DIPORŢILOR
515
Circuite cu rezistenţe şi bobine
Ceea ce s-a demonstrat pentru circuitele RC se poate aplica şi circuitelor RL.
Punctul de plecare este iar o transformare care va schimba funcţia de reactanţă într-o
impedanţă sau admitanţă^ RC. Se găseşte imediat că clasa funcţiilor de impedanţă RL
este identică cu clasa funcţiilor de admitanţă RC şi viceversa. Rezultă că nu este
necesar sa dezvoltăm detaliile. în orice teoremă referitoare la^ circuitele RC este
necesar numai să se înlocuiască cuvîntul „impedanţă” cu cuvîntul „admitanţa (sau
„admitanţă” cu „impedanţă”) pentru a se ajunge la o teorema valabilă pentru circuitele
RL. Nu vom continua acest subiect aici dai vom sugera unele rezultate prin probleme.
7.7.
PARAMETRII DIPORŢILOR
în ultimele trei secţiuni am studiat cîteva din cele mai importante proprietăţi ale
funcţiilor de intrare ale circuitelor uniport, lineare, invailabile în timp, pasive şi
reciproce. Acum vom continua cu examinarea eiicu- itelor multiport, în particular a
diporţilor. Problemele de bază au fost lămurite în (46) prin considerarea matricelor
impedanţelor de gol şi a admitanţelor de scurtcircuit. Aceste expresii sînt reluate aici
F0 + ST0 + -V0 = V Z J .
s
F0 + iT0+4F0=Y*YicV.
s
(104 a)
(104 6)
Membrul stîng al fiecărei din aceste ecuaţii este o funcţie real-pozitivă. (Membrul stîng
al celei de a doua ecuaţii este conjugatul celui din prima.) Membrul drept al fiecărei
ecuaţii este o formă pătratică pe care o \edem egală cu o funcţie real-pozitivă. La fel
cum am afirmat că matricea unei forme pătratice definită pozitiv este definită pozitiv,
spunem că maţi îcea unei forme pătratice real-pozitivă este real pozitivă. Concluzia este
.
Teorema 23. Matricele impedanţelor de gol şi a admitanţelor de scurtcircuit
pentru un multiport liniar, invariabil %n timp,pasiv şi > ecipi oc, smt matrice realpozitive.
Acelaşi rezultat poate fi obţinut pe o altă cale. Prezentarea se va face cu un
circuit diport ca cel din fig. 7.23. Cele două perechi de borne ale
516
7. PRiINCIIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
diportului sînt conectate în serie prin transformatoarele ideale, ale căror rapoarte de
tranformare sînt respectiv x± :1 şi x2:1. Tensiunea şi curentul de la bornele de intrare
vor fi date de
T — x1 V1 -f- x2V2,
I=h. =
(105 a
h..
001
OCn
X, : i11
/
(105 b
y1
I+
~T-
*Vj
v
z
•1
-1
I_
Fig. 7.23. Demonstraţia lui Brune că matricele z şi y sînt matrice realpozitive.
Dacă calculăm impedanţa de intrare Z ( s ) = V /I găsim: Z ( s ) = x12zu
(106)
+ 2 x-1xsz21 -f- oo22z22
= K ^2]
1
x2
%1 212 ^21 ^22 J
Deoarece impedanţa este real-pozitivă, rezultă că
şi forma pătratică din
dreapta este real-pozitivă. Pentru a demonstra condiţia pentru matricea y, cele două
perechi de borne pot fi conectate în paralel prin transformatoare ideale şi apoi se
poate găsi admitaţa de intrare. Această demonstraţie este recomandată ca un
exerciţiu pentru cititor.
’ Să ne restrîngem acum la cazul diporţilor; extinderea rezultatelor următoare la
multiporţi de ordin mai mare este simplă şi va fi evidentă. Faptul că matricele Zoe şi
Yie sînt real-pozitive, are cîteva consecinţe interesante. Fie x1 şi x2, două numere
reale, arbitrare. Deoarece formele pătratice
zn
r*,j
Qi — [®i ^2] L^21 ^22 - L ^2 J
Q
2 — [^1 ^2]
(107 a)
(107 b)
Vil Vii
2/21
2/22
7.7. PARAMETRII DIPORŢILOR
sînt funcţii real-pozitive, rezultă că orice pol al acestor funcţii, situat pe axa joi trebuie
să fie simplu, iar reziduul într-un astfel ^
„
să fie real si pozitiv. Să presupunem, pentru un moment, ca pai ameţi 11* au un pol în
s = jo>t. Deoarece acesta este un pol simplu al formei patia- tice, reziduul lui Q1}
relativ la acest pol este .
reziduul lui Qx = lim (* — jw4) t>x *2] J ^ II
'(s—j“i)Sn
( * — j w i ) z 12
(S—jc0j)221 { s — j v > i ) z 2 i .
Alocînd reziduurilor lui z n , ( = - 12) Ş1 222 polul s =
A'n Agi, şi A-4' respectiv, reziduul formei patratice va 11
s-Mcoj
L^-21
^1. (108) x 2 J
22
J
L 2
> notatllle •
-1
lim [ajj *2]
reziduul lui Qi = [*1
:r->
I
Astfel însusi reziduul este o formă pătratică a cărei matrice este matricea
Isrssr sgşa HSiră
7.2, aceasta presupune ea determinantul matiice v , principali să fie
nenegativi adică .
fcn(i)>0, fc22w>°> ( U O a )
fcll(i,fc2î“,-(fc2l“,)2>«- (1L0 ^
Concluziile din primele inegalităţi (110 a) sînt cunoscute deoarece * si ^ sînt
impedante de intrare şi sînt deci real-pozitive. Cele din (1106) reprezintă un rezultat
nou şi important. Aceasta relaţie este denumita
condlîl“J^
eel^alpus despre forma pătratică Qt este valabil şi pentru Q J s . Astfel se
obţine aceeaşi cbncluzie şi pentru Y J s . Vom prezenta acest rezultat ca pe o teoremă,
7.7. PARAMETRII DIPORŢILOR
Teorema 24 In orice pol de pe axa imaginară, aparţinînd elementelor din
Zoesau YJs, pentru un diport liniar invariabil m timp, pasiv şi reciproc, reziduurile
parametrilor satisfac condiţia
fc„fc M -fcii>o,
(m)
514
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
în care Tcu este reziduul lui zi} sau y^/s într-un pol al axei imaginare. (Pentru
simplificare a fost omis indexul relativ la pol).
în particular, dacă circuitul este fără pierderi, toţi polii lui zi5 şi yi} -sînt pe axa jco
şi condiţia de reziduuri se aplică în toţi polii. Rezultă de aici că, pentru un circuit
nedisipativ, z21 nu poate avea un pol care să nu fie
în acelaşi timp pol şi pentru
; nici y21 nu poate avea un pol care să
si
nu fie pol şi pentru y11 şi y 2 2 . Aceasta, deoarece un k21 diferit de zero atunci cînd i:xl
sau lc22 este zero, nu satisface condiţia de reziduuri1’. Pe de altă parte, este posibil ca
zn sau z22 (sau ambele) să aibă un pol care să nu aparţină celorlalţi parametri. Un
astfel de pol se numeşte pol particular al lui zn sau z22 9. O concluzie similară se poate
stabili şi pentru parametrii y.
Să examinăm o altă consecinţă a naturii real-pozitive a Zoc şi Ysc. Prin
definiţie, caracterul real-pozitiv este legat de partea reală a unei funcţii. Prin urmare,
ne aşteptăm să obţinem nişte legături între părţile reale ale parametrilor z şi y. Să
notăm aceste părţi reale cu : rn, r21( = r12j şi r22 pentru parametrii z şi gn, (j,n ( g 1 2 ) şi
g 2 2 pentru parametrii y . în acest caz, partea reală a formelor pătratice Q x si Q z din
(107) se poate scrie astfel :
’
9) Polii de pe axa ja ai căror reziduuri satisfac condiţia de reziduuri (111) cu semnul egalităţii sînt
numiţi poli compacţi (N.T.).
r i2
7.7. PARAMETRII
DIPORŢILOR
>11
[*i
515
Be(9x)
- r21
*■22
-
[*1 x 2 \ ~9n
9l2
-921
922
Be(^2)
(112 a )
-
xx
(112 b )
«2J
Pentru orice s situat în semiplanul drept, sau
- pe axa aceste forme
pătratice trebuie să fie difinite sau semidefinite pozitiv, deoarece Q x şi Q 2
funcţii real-pozitive. La fel ca şi în cazul matricei reziduurilor, rezultă că
>‘n^-0
r22^>(),
>'nr22—}1i>0,
(113)
Res>0
pentru părţile reale ale parametrilor z şi
sru>o,
9n922—92i>0,
sînt
g-22> o,
Re s>0
(111)
7.7. PARAMETRII DIPORŢILOR
516
pentru părţile reale ale parametrilor y. Primele rtocl™ de' ine^ă^ nu sînt nici aici
surprinzătoare, deoarece zn, 222, ?/u Ş1 .¥22 ^mt tuncţii ele trare si dSci sînt realpozitive. Cel de al doilea rînd de inegalitaţi exprima însă un rezultat nou numit
condiţia pentru părhle reale. De^fapt, pentru părţile reale este o condiţie suficienta pentru
ca
sau
fie matrice real-pozitive. (Verificaţi aceasta afirmaţie.)
Diporţi cu rezistenţe şi capacităţi
Ca o observaţie finală, constatăm că ceea ce s-a tii fără pierderi este adevărat şi
pentru diporţn RC, m \11tutea tra^° mărilor discutate anterior şi cu modificările
potrivite, care, smt evid ^ Astfel, pentru dîporţii RC, parametri, * şi y vor avea
^
negativă, iar condiţia de reziduuri se va aplica m aceşti poli.
»
nu poate să aparţină lui *21 fără sa fie şi al ^ şi *22, dalf»jff22 pot Sd poli part iculari;
condiţii similare se aplica şi la pai ameţi ,/•
Ga o exemplificare să considerăm diportul I?C^ dinj fig. /.24.
Parametrii de admitanţă ai acestui diport sînt următorii .
1
—1 ------------- L_J -----, i(28s
+ 124s + 75)
= Va + 192S / ~'SJ2
JI n!/ii(s)
1375 | 50 S V '25 (s + 3/2) (* + 4)
s+ /
16 U „ „ 2
i
B
8S/25
9 S,
Ţ ~ " 3 (* + /*) i.
/ 50
= ■
,5(S + 3/2) (S-H)
_L 32
o ' 3,
s+4
“T 75
i ----- -----s~r / 2
3S/10
s1
(s + 1) -----(s + 3) c
_ (s + 3;2)
%4<
+
3
y2
S + /2
s+4
3
a
3
2
1(
(s
+ 4)
X
8
i(,sj “
lhî(s)
Fig. 7.24. Diport cu rezistenţe şi capacităţi.
Constatăm că, în primul rînd, toate cele trei
funcţii au aceeaşi poli. Zerourile lui sînt la (aproximativ)
ai lui y22. alterneaza pe axa reala
RC; printre altele, reziduurile lui */2i/s 1111 toate pozitive.
— şi — — . Astfel zerourile şi polii lui yn ca şi
8
sa
7.8. DIPORŢI NEDISIPATIVI TERMINAŢI CU O REZISTENŢĂ
517
Un test al condiţiei de reziduuri arată că aceasta este satisfăcută în toţi polii, de
fapt, condiţia de reziduuri este satisfăcută cu semnul egalităţii. Pentru a distinge situaţiile
în care condiţia de reziduuri este satisfăcută cu semnul egalităţii de celelalte, vom spune că
polul este compact, dacă reziduurile acestui pol satisfac condiţia de reziduuri cu semnul
egalităţii. Astfel, în cazul nostru, toţi polii (inclusiv termenul constant) sînt compacţi.
Verificarea condiţiei pentru partea reală este lăsată în seama cititorului.
Pentru funcţiile de intrare ale circuitelor cu două tipuri de elemente, am găsit seturi
de condiţii necesare şi am demonstrat că aceste condiţii sînt şi suficiente. De fapt, am
arătat care sînt metodele de a obţine unul sau mai multe circuite, pornind de la o funcţie
dată. Cazul diporţilor nn este la fel de simplu, deoarece aici avem un set de trei parametri.
Am obţinut condiţiile necesare pentru aceşti parametri ; aceste condiţii se dovedesc a fi, în
cazul general şi suficiente pentru realizabilitatea fizică, numai dacă admitem prezenţa
transformatoarelor ideale în circuit. Dacă nu se admit transformatoare ideale, nu
dispunem de un set de condiţii suficiente pentru cazul general. în acesta lucrare nu vom
aprofunda acest subiect.
7.8.
DIPORŢI NEDISIPATIV! TERMINAŢI CU O REZISTENŢĂ
Pînă acum am studiat următoarele probleme. în cazul unui circuit linear, invariabil
în timp, pasiv şi reciproc, cu două feluri de elemente, am stabilit condiţii necesare şi
suficiente pentru funcţiile de intrare. Pornind de la funcţii date, care satisfac aceste
condiţii, s-au prezentat metode de determinare a circuitului din funcţia dată, care
reprezenta impedanţa sau admitanţa. Mai general, am văzut că caracterul real-pozi- tiv
este o condiţie, în general, necesară, pentru impedanţa sau admitanţa unui circuit din
clasa considerată. Totuşi nu am arătat că aceasta este o condiţie suficientă, în cazul
general : aceasta a fost arătat prima dată de Brune în 1932, dar aici vom discuta o altă
realizare prezentată de Darlingtonîn 1939. Bl a arătat că orice funcţie real-pozitivă, poate
să fie realizată ca impedanţă a unui circuit nedisipativ, terminat cu o singură rezistenţă.
Să considerăm circuitul din fig. 7.25. Acesta constă dintr-un circuit nedisipativ
terminat cu o rezistenţă R. Impedanţa de la bornele de intrare poate fi scrisă în funcţie de
R şi de parametrii diportului astfel :
+ ^11^22
P + 5^22
sau
g12 Z 2 1
__
z
^ ~l~
(115 a)
“^22
1 +I/2/22
518
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
(Vezi cap. 3). în formula finală, toate impedanţele au fost normate în rapoit cu Ii, ceea ce
este echivalent cu a lua valoarea R egală cu 1.
. . „
Acum să presupunem că se dă o funcţie raţională Ă ( S ) , real-pozitivă. Părţile pară şi
impară de la numărător şi numitor pot fi separate şi funcDiport
LC
Fig. 7.25. Diport nedisipativ, terminat rezistiv.
R
0
o
tia poate fi scrisă în forma obişnuită. Apoi, această expresie poate fi pusă în aceeaşi
formă ca si în (115 b) în două moduri posibile, dupa cum urmează
Z(8) =
, (116) m 2 ( s ) + n 2 { , s )
Z { S ) = ^ L (cazul
A)
(117)
z (g) =
(cazul B)
(118)
//i2 1 + n2/m2
Pentru fiecare din aceste două cazuri se pot face, formal, nişte identificaii, dacă se
compară aceste expresii cu (115 b). Astfel
Cazul A
Cazul B
mr
‘ii '
=
n2
%
zn =-
m2
^22 = n 2
m,
y
22
m2
n2
^22
m2
(119)
2/22 =
= ---
«i
Deoarece Z ( s ) este real-pozitiv, atît Wj+% cît şi m 2 + n.2 sînt polinoame Hurwitz. Prin
urmare, rapoartele ///,/«, şi m2ln2 şi inversele loi smt
7.8. DIPORŢI NEDISIPATIVI TERMINAŢI CU O REZISTENŢĂ
519
funcţii de reactanţă, Utilizind teorema 11 (referitoare la schimbarea reciprocă a părţilor
pară şi impară, de la numărătorul şi numitorul unei funcţii rp) şi rapoartele m^jn2 şi %/to2
sî-nt de asemenea funcţii de reactanţă. Astfel, toate funcţiile din (119) sînt funcţii de
reactanţă,
Mai rămîne ca din expresia (119) să determinăm pe z21 astfel înc-it să avem un set
complet de parametri pentru diportul fără pierderi din fig. 7.25. Pentru aceasta observăm
că
‘11^22 '' *21 -
V 22 n 2
(cazul
m,
m,
(120
(cazulB)
Deoarece
^21 — K Z11 Z22 { Z l l
A)
Z22
^2l)
utilizind (120) şi (119) vom găsi pe z21 :
^m1m2 — n1n2
(cazul A)
3„
=
(121)
m,
I
(cazul B)
Bineînţeles că odată ce parametrii g sînt cunoscuţi se pot găsi şi parametrii y. (Vezi
tabelul 1 în cap. 3). Rezultatele complete sînt tabelate în tabelul 7.1.
Se pune întrebarea, dacă aceşti parametri de gol sau de scurtcircuit satisfac
condiţiile de realizabilitate, pentru un diport pasiv, reciproc şi nedisipativ. Prima
dificultate aparentă este că, datorită radicalului, z21 poate să nu fie o funcţie
raţională. Această dificultate dispare dacă m1m2— este un pătrat perfect. Observăm
că m1m2—n1n2 este numărătorul părţii pare a lui Z ( s ) . Deoarece Z ( s ) este o funcţie
real-pozitivă zerourile părţii sale pare pe axa j co, trebuie să fie în mod necesar, cu
multiplicitate pară. Această cerinţă nu apare însă pentru celelalte zerouri. Se pare că,
dacă nu se găseşte un remediu, în general z 2 l va fi iraţional.
Remediul dorit se poate găsi în modul următor. Să presupunem că Z ( s ) dat,
este mărit prin înmulţirea numărătorului şi numitorului său cu un polinom strict
Hurwitz m0-\-n0, ceea ce bineînţeles nu modifică funcţia, Astfel :
520
Partea
pară a lui Z ( s ) va fi acum
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
■ nă
mym2 — njit-i — nhm 2 nin^. MfZTfâ
ml ■ nt
°
în această situaţie, pentru cazul A , z n va fi
mzm
Mo
(123)
m'o- -nr<
m9—n^a) (Wp—nş) .
■ n,n
ln2 =
(124)
Acum este clar cum se poate procedea pentru ca 221sa, fie ojiacţie■ Idt^ nală : vom
pune pe m%-nl egal cu produsul factonloi,«
'iolinJnml- a, muLipltove
Tabelul 7.1 in cazul
221
aloelnd
u- i
!/ll
lin
sintezei
Vn
m2
y
777,7772 —
J7J2
m
i
'zerourile lui i»8—«o situate
V 7n177ia — nxn2
Parametrii V
ln
«2
Leyătura
luncţiile
pe o
n
-i
77
1.,
y —
(/n,/772 — n^n^)
«1
semiplanul sting.
n
i
’h
dintre parametrii r, respectiv ij şi
nh , nh ’J[y diporţilor reactivi închişi
rezistenta
Y—
»i
Condiţia
«2
m
2
7772
777,
»in2)
777i
Parametrii z
Cazul A :
Z(s) nu are nici un pol sau zero la s = 0
Cazul B :
Z{s) are pol sau zero la s = 0
Se pune problema semnificaţiei cazurilor A şi B.^ Cînd este potrivit nnnl si
cînd este celălalt? Din tabelul 7.1 observam ca numitorul lui s ai /sau v ) este impar în
cazul A si par în cazul B. Deoarece zn ar trebui sa fi o funcţie raţională impară,
numărătorul lui *21 ar
A si impar în cazul B. Dacă
are pe ca ^iS\ftuatif din
radicalului va face numărătorul lui z21 impar şi este poti ivita situaţia,di
cazul B. Pe de altă parte, dacă m^—n^ nu are factoiul s , b p
cazul A Factorul s2 poate să apară în rn^-n^, numai daca m %sa
în m limeste termenul constant,. Eezultă că, dacă Z ( s ) are un pol s a u m
Tero,2^ =i X b f e aplicat cazul B; cazul A se aplică dacă Z(s) «t «re
7.8. DIPORŢI
NEDISIPATIVI
CU O REZISTENŢĂ
nici
pol, nici
zero în s =TERMINAŢI
0.
521
7. PRINCIPII DE BAZĂ ALE SINTEZEI CIRCUITEIjOR
522
Pentru exemplificare să considerăm :
s3+ ls3 + 4s
Z(S):
Hi:
s3 + 5s2 + 8s + 4
Această funcţie arc un zero în s = 0; deci este aplicabil cazul B.
Vom forma :
m j / n j — = 4s2(5s2 + 4) — (s3 + 4s) (s3 + 8s) = _sa(s2_4)2.
Acesta este un pătrat perfect şi nu mai este necesară multiplicarea. Deci din tabelnl
7.1
]' —
De asemenea
— n^n2)
s(s2
0,96s
—4) s
Ji24 4/
5s2 + 4
s(sM-4)
s
0,fi4s
5s--r 1
5
S + 4/ 5
s(s2 + 8)
s
l,44s
5s2 + 4
5
' s3 + 4/i
2
Oricum ar fi funcţia Z ( s ) clată, este posibil ca z 2 1 să fie făcut funcţie raţională
impară, multiplicînd, atunci cînd este necesar, funcţia iniţială. Să considerăm acum
celelalte condiţii de realizabilitate. Condiţia pentru partea reală din (11.3) şi (114)
este satisfăcută cu semnul egalităţii pentru s r= iw- Deoarece funcţiile sînt regulate în
semiplanul drept, se poate utiliza teorema maximum-ului modulului pentru a arăta
că, condiţia pentru partea reală este satisfăcută oriunde în semiplanul drept.
Rămîne condiţia de reziduuri. Reziduul unei funcţii poate fi determinat, dacă
se împarte numărătorul la derivata numitorului evaluată într-un zero al numitorului.
Pentru parametrii z , reziduurile într-un pol finit, nenul sînt date în tabelul 7.2 în
care accentele indică derivarea în
Tabelul 7.2
Legătura dintre reziduurile parametrilor z şi funcţiile ml. m.>, nx , iu
Condiţ ia
Cazul A
Cazul B
; m,m., — u.ii..
n» = 0
m.= 0
«2 |n2 = 0
m, |m2 = 0
m., = 0
7.8. DIPORŢI NEDISIPATIVI
TERMINAŢI CU O REZISTENŢĂ
523
se găseşte că în toţi polii finiţi
formînd
raport cu s . Astfel,
1
/
'
şi nenuli, condiţia de reziduuri este satisfăcută, mai mult, este satisfăcută cu semnul egalităţii.
2 z sînt compacţi.
Eezultă că toţi polii finiţi şi nenuli ai parametrilor
_ .
„ „ .
„
ti,
Este adevărat că condiţia de reziduuri este
satisfăcută
şi
în
polul
de
la
infinit
sau
din
o
origine, atunci cînd acesta există, dar nu întotdeauna cu semnul egalităţii. (Vezi problema P.53).
O dezvoltare similară se poate face şi pentru parametrii y divizaţi cu s, conducînd la rezultate similare. Concluzia este că, atît parametrii z, cît şi parametrii y divizaţi cu s, satisfac condiţia de
reziduuri în toţi polii lor.
^
Am stabilit că, dîndu-se o funcţie real-pozitivă, este posibil să se găsească un set de
parametri de gol sau de scurtcircuit, care să satisfacă condiţiile de realizabilitate ale diporţilor
nedisipativi terminaţi pe o rezistenţă. Bămîne sarcina de a realiza (a construi) efectiv diportul.
Una din metode a fost elaborată de Cauer. Se începe prin dezvoltarea în fracţii parţiale a
parametrilor, fie aceştia z. Termenii existenţi în fiecare parametru z, care corespund unui pol
particular sînt concentraţi împreună ; aceştia sînt destul de simpli astfel că diportul fără
pierderi, care realizea,- ză acest set de parametri poate fi identificat direct. Diporţii componenţi,
obţinuţi în acest mod, sînt apoi conectaţi în serie. Uneori, aşa cum s-a discutat în cap. 3, poate să
fie necesară utilizarea unor transformatoare ideale pentru conectarea în serie. Interconectarea
în serie a diporţilor nu este de obicei de dorit; o obiecţie este că, nu vor exista borne de pă- mînt
pentru toţi diporţii interconectaţi.
^
^
O schemă mai practică este cea în cascadă. Daiiington a arătat că se poate obţine o astfel
de realizare. îui vom face decît să schiţăm metoda sa. Să observăm mai întîi, că dacă impedanţa
dată are poli şi zerouri pe axa jco, aceştia pot fi extraşi ca laturi ale circuitului în scară. Astfel de
n,:f
n:f
Hh
n2:f
Fig. 7.26. Secţiuni canonice pentru realizarea in cascadă : (o) Tip A-; '
(/>)
Tip
B ;(c) tip C; (<I) tip 1).
'
524
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
laturi sînt arătate în fig. 7.26 prin laturi de tip A şi de tip B. Aceste lătur, pot să fie o
simplă bobină sau capacitate, un circuit rezonant sene, şan un circuit rezonant
derivaţie.
După ce toţi polii si zerourile lui Z ( s ) , situaţi pe axa jco, au fo- extrasi prin laturi
de tip  şi B, 11 partea pară a impedanţei care răminţ va avea trei tipuri de zerouri :
reale, imaginare şi complexe. O parte para tipică va fi :
Toate zerourile care apar aici sînt zerouri duble. Pentru o funcţie real- pozitivă,
zerourile situate pe axa jco trebuie să fie neapărat duble. Daca celelalte zerorui nu sînt
duble, funcţia este mărită astfel ca ele să rezulte duble- Zerourile transmisiunii, pentru
un diport fără pierderi, smt chiai zerouiih părţii pare a lui Z(s).
’ Se constată că o secţiune de tip C, arătată în fig. 7.26, are o pereche de zerouri ale
transmisiunii, care sînt reale sau imaginare (după cum sînt araniate înfăşurările
transformatoarelor marcate cu punct), iar o secţiune de tip D are două perechi (un
cuadriplet) de zerouri ale transmisiunii. Extragerea unei secţiuni de tip C face ca
impedanţa rămasă să-şi menţină toate celelalte zerouri pentru partea pară, cu excepţia
perechii realizate prin această secţiune. în mod similar, extragerea unei secţiuni de tip
D. conduce la o impedanţă redusă, a cărei parte pară are aceleaşi zerouri ca si mai
înainte, mai puţin cuadripletul realizat de aceasta secţiune. Dec-i. o conectare în
cascadă a acestor patru tipuri de diporţi, conduce la rea î- zarea diportului nedisipativ
căutat. Observăm că realizarea se tace uti- lizîndu-se transformatoare ideale.
...
.
Nu ne propunem aici să examinăm detaliile sintezei diporţilor, ci numai să
observăm rezultatul. Astfel, este posibil să formulăm acum uimă- toarea teoremă ( a lui
Darlington).
Teorema 25. O funcţie real-pozitivă poate fi realizată ca im,pedantă a unui diport
nedisipativ, terminat cu o rezistenţă unitară.
Aceasta constituie de fapt o teoremă de existenţă : se demonstrează astfel,
suficienţa condiţiei cu privire la caracterul real-pozitiv, pentru rea- lizabilitatea unui
circuit pasiv şi reciproc,
.
Pentru funcţii particularo se pot găsi alte scheme de diporţi, mai utile decît cele
de tipul C şi D, care conţin transformatoare ideale.
Această extragere a polilor si zerourilor de pe axa j<£>, dintr-o funcţie rp, Z(s), este cunoscută in
sinteza circuitelor prin denumirea de preambulul lui Foster. (N.T.)
7.8. DIPORŢI NEDISIPATIVI TERMINAŢI CU O REZISTENŢĂ
525
Pentru a ilustra aceasta să consideram
s4 + s3 + 3s2 + 2s + l
Z(s) =
os3 + 5s2 + 2s + 5
________ (2s2 + l)a ________
(5s3 + l)2 —(5s3 + 2s)2
Par [Z(s)]
S ar Dărca că am avea nevoie de o secţiune de tip C în diportul N pentru a realiza perechea de zerouri
imaginare si de ceva care sa realizeze zeroul transmisiunii de la infinit. Sa presupunem acum că formăm
parametrii z, utilizînd tabelul 7.1. Rezultatul va fi următorul:
s4 + 3s3 + l
lis2+l
S
— —---------H ----5s3 + 2s
+ 2s
5s35s+ 2s
3
5
_ 2s3 +1
'21 " 5i73 + 2s"
Observăm că z„ are un pol particular la infinit ; acesta poate fi extras sub forma unei bobine de 1/5 unităti
rămînînd un set de parametri z, care au aceiaşi poli. Rezultatul parţial este arătat tafig 1.27 a.
Parametrii z/care rămîn după ce bobina în serie este extrasa, aparţin diportului N.
A
10
T
.1
,5
_„5.
31
9
_ 5 -i.
L1 f
* --o ------- 1
C
.
. .
Fi« 7 27. Realizarea unei impedanţe printr-un circuit' nedisipativ în scara, °
terminat rezistiv.
.
526
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Să inversăm aceşti parametri determinîncl parametrii y ai lui N. Rezultatul va fi următorul :
Z-22
„-
Vn
5(5s-^l)
9s
11 22
2 Z
Z
25s
1
5
9
i
9s
13s
1
5
~1
Z
11
(13s2 +5)
Z
V2
2■
2
"ll"22 —
Z21
Z-21
9s
5(2s24 1)
9s
~!hi =
9
lOs
9
9s
+
5
9s
Aceasta poate fi rescris astfel
os
Vn = Y
3
-Vai = Y,
unde
10
5
Y — ------ s ----------- .
9
9s
Observăm că pe lingă termenul comun Y, yu şi z/22 au cîte un extratcrmcn. Fiecare din aceşti termeni poate
să fie realizat, printr-o capacitate : una în paralel cu intrarea şi alta în paraA
lei cu ieşirea din N, aşa cum se arată in fig. 7. 27 b. Mai rămîne de realizat Y, care este simplu; o secţiune de
tip A, ca în fig. 7. 26 a, cu 7.A = 1/Y, are exact parametrii = y 2 2 = = —;/21= y. Circuitul complet este cel arătat
în fig. 7.27 c. Se obţine un circuit in scară nedisi- paliv, terminat cu o rezistenţă unitară. Nu apare nici un
transformator ideal aşa cum se in- tîmplă în cazul utilizării secţiunilor de tip C.
Mai înainte am găsit că impedanţa unui circuit pasiv şi reciproc este o funcţie
real-pozitivă. Acum am demonstrat reciproca şi anume că, o funcţie real-pozitivă poate
fi realizată totdeauna printr-un circuit pasiv şi reciproc. în particular, circuitul poate fi
un diport nedisipativ, terminat cu o rezistenţă. în cazul general, diportul nedisipativ
poate să necesite utilizarea secţiunilor de tip C şi D. în unele cazuri aceste secţiuni
complicate pot fi evitate. Desigur există condiţiile suficiente pentru ca o realizare fără
secţiuni C şi D să poată fi găsită, dar acest lucru nu va fi studiat aici. x)
7.9. DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI
^25
7.9. DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI
Să examinăm acum metoda pe care am utilizat-o în rit unul paragraf si să
observăm dacă aceasta are nişte trasaturi generale, caie w pwti £?vi ca ghid, în
realizarea altor tipuri de circuite. Prima etapa a fo10t considerarea unei scheme
reprezentative pentru clasa de cu ciute îespec tivă în fig. 7.25 aceasta a fost un diport
nedisipativ terminat cu o îezib- tentă Apoi s-a scris o expresie a funcţiei circuitului,
depmzmd de componentele schemei, ca în (115). După aceea s-a operat asupra
funcţiei raţionale corespunzătoare clasei circuitelor respective, pentru a o aduce la
aceeaşi formă, cum s-a făcut în (117) şi (118). In final, au iost id ;
cate funcţiile corespunzătoare componentelor cu cuitului. Destui ne buie să se verifice
că aceste funcţii satisfac condiţiile de realizabilitate, corespunzătoare clasei
considerate. în continuare trebuie stabilite metodele de realizare a acestor funcţii.
.
în acest paragraf vom prezenta metode similare pentiu tutuite alcătuite din
rezistente, capacităţi şi eventual dispozitive active In baza unor anumite consideraţii,
aceste circuite sînt practic importante. Dinţie aceste consideraţii cităm : gabaritul şi
greutatea relativ mare a bobmeloi, preţul de cost redus al tranzistoarelor şi al altor
dispozitive active, p e cum şi faptul că rezistenţele, capacităţile şi dispozitivele active
pot fi obţinute prin circuite integrate.
Concetare în cascadă
i(«)
J21«221i>
(126)
<^2
2a
Fig. 7.28. Conectare in cascadă a doi diporţi RC.
i) Vezi capitolul 3.
10 O tratare mai completă a condiţiilor necesare şi suficiente pentru realizarea funcţiilor rp,
diverse metode de realizare precum şi considerarea numărului de elemente necesare ln fiecare realizare
poate fi găsită în lucrarea Weinberg, L., NetWork Analysis and Synlhesis, McGraw-Hill Book Co., N.Y, 1962.
(N.T.)
526
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Dacă o funcţie raţională este dată ca fiind impedanţa de transfer a unui diport
RC', aceasta trebuie pusă în forma (126). In primul rînd. ştim că la un circuit RC polii
lui z21 trebuie să fie reali şi negativi (pot fi şi în s = 0), şi că nu avem restricţii pentru
localizarea zerourilor. Nu trebuie totuşi să avem mai multe zerouri finite decît poli ;
două funcţii posibile sînt,’ de exemplu, următoarele
*21
Q(g)
* ==Iill = K ________________ ----------------------_________________________(127«)
(* + 2 ) ( * + 4 ) ( * + 6 )
P(s) _
(s2+g + l)(s2 + 2s+2) _
G(s)’_
( * + l ) ( * + 2 ) ( * + 3)(# + 4)
(127 b )
Prima are un singur zero finit care este real. Cea de a doua are două perechi de
zerouri complexe. Fiecare din acestea este realizabil ca o impedan- tă de transfer
R C , pentru orice valoare a constantei K .
;
’ Să observăm din (126) că numitorul este o sumă a două impedanţe R C — care este
tot o impedanţă R C ; dar numitorul oricărei funcţii raţionale va fi un polinom.
Situaţia se remediază împărţind numărătorul şi numitorul funcţiei date cu un
polinom auxiliar D ( s ) . Gradul acestui polinom şi zerourile sale trebuie alese astfel
încît Q j D să fie o impedanţă R C . Aceasta se poate face în mod simplu : gradul lui
D ( s ) trebuie să fie egal cu, sau mai mare cu o unitate decît gradul lui Q ( s ) ;
zerourile lui D ( s ) trebuie să alterneze cu cele ale lui Q ( s ) . Astfel, dacă se
alege de exemplu funcţia (127) avem :
K(S+6)I1)(8)
( s + 2 ) ( s + 4 ) ( * + 6)/J)(#)
Se pot alege
;i28
)
B ( s ) = ( s + G j ) (s+cr2) (s-M3) sau ( s + c j ( s + t T ) ( s + c 3 ) ( s + a j
2
cu
0 < <r1<2< o 2 < 4 < <T3<6<
oricare din cele două polinoame fiind acceptabile. Să alegem X>(s) —
( s + 5 ) . Atunci, prin comparaţie cu (126) putem să scriem
16
,
( s + 2 ) ( « + 4)(* + 6) ______T ,
(s + l)(s + 3)(* + 5)
V
K ( s + 5) _____
_____ K _
*2ia ~21» - ( g + i ) ( g + 3 ) ( « + 5 )
s+1
3
f»
s
3
(s-j-i) ( s + 3 )
1
8 o. ,
+a
« + 5°
15
(s + l)(*+3)
=
l 8 +~
81 )
(129)
1 i n i j ) { î t i s = — m a i a^em un
Constatăm că alegmd un zero _
(
ţeasta nu este însă o
avantaj suplimentar prin simplificarea lui z21az21b.
Aceas
caracteristică generală,
Identificarea parametrilor m m U' ^oarea
nu este unică. Alegînd pentru constanta K v aloai ea
toarele identificări
21 a
V
zn
b
ultimul set
45 /32 se pot
4o / a
1
de
ecuaţii
face urmă-
s -f-3
c
llb
16
5'
Fiecare din aceste două seturi
lafiira^dinXrivatie ( l a f e l ca secun circuit în T degenerat,
mu
dm
^ ^
^
ţiunea B din fig. 7.26 b ) , aşa cum se
Jconăuce la un circuit în
pe lîngă un termen comun la «w' ^
, in „ Care dă un circuit m
T degenerat, mai exista, un^eim ^âtat în fig. 7. 29 b, iar întregul circu- •terietCUdaXîi- ?29 T
& recomandă cititorului să verifice că, acest olrcSt are impedanţa de transfer egală cu
funcţia data.
528
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Fig 7 29. Realizarea exemplului numeric prin circu^ : 3^»; «W »
,n cascada.
b
: (O e^ouitul general format prin conectarea
530
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Să trecem în revistă metoda utilizată : în prima etapă funcţia de transfer dată
P(s)IQ(s), care este realizabilă (are poli reali şi negativi) este împărtită atît la numitor cît
şi la numărător cu polinomul auxiliai D(s), ales astfel, încît să facă din raportul QJD o
impedanţa i?(7. Apoi OII) este dezvoltat în fracţii parţiale. Temenii acestei dezvoltări smt
repartizaţi la z 22a si z ub . Această repartizare este dirijată de descompunerea ce trebuie
făcută pentru P/Z), care trebuie să reprezinte produsul intre z şi z. nb l ). Desigur, realizarea
nu este unică.
Conectarea in cascadă c» un convertor de negativare
în metoda de sinteză discutată mai înainte, atunci cînd se dă o funcţie z 9 , =
P(s)[Q(s) este necesar să se aleagă un polinom D(s), care să facă din QID o impedanţă
RC. Polii funcţiei iniţiale trebuie să fie reali şi negativi. Aceasta este o clasă limitată de
funcţii. Dacă această ieştiîc- tie este înlăturată, permiţîndu-se ca polii să fie situaţi oriunde
in semiplanul stîng, funcţia nu va mai fi realizabilă printr-un circuit RC. funcţia QID va
avea zerouri complexe (unele din ele), iar reziduurile în poli nu vor mai fi toate, pozitive.
Această ultimă observaţie ne dă cheia pentiu
o altă rezolvare.
.
.
.
Să presupunem că un convertor de negativare cu inversai e a tensiunii este conectat
în cascadă între doi diporţi, ca în fig. 7.30. Sarcina lui N nu mai este numai N b ca mai
înainte, ci N b precedat de un convertor de negativare. Presupunînd că raportul de
conversie este unitar, im- pedanta de la bornele de intrare în convertorul de negativare
este —z nb şi aceasta înlocuieşte în expresia (126), pe +z Ub . Impedanţa de transfer generală
devine acum :
zn(«) =
S22a Z 1U
(130)
Să presupunem că se dă o funcţie raţională P(s)JQ(s) cu poli ('(^ 111 ~ plecsi
împărtim numărătorul şi numitorul cu un polinom auxiliar^D(s), eu uii număr potrivit
ales de zerouri reale, negative. Apoi dezvoltam pe
Fig. 7.30. Circuit RC cu convertor de negativare conectat în cascadă între
diporţi.
i) Funcţiile z2 1 0 si respectiv z,* şi zu,„ trebuie să formeze împreună un set de parametri z aparţinînrt
aceluiaşi diport RC (N.T).
DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI
531
O/D în fracţii parţiale. Unele reziduuri vor fi pozitive şi unele vor fi negative. Aplicînd
toate acestea, se obţine rezultatul
P(s) _ P/D _____ _________ _P/^> ________ ___
221 =
Q(s) QID J. , V —ip— y —-
ka+2j
, (i3i)
s + a,P
HaSt:mi
în c-ire indicii „®” si au fost utilizaţi pentru marcarea caracterului •nozitiv” si negativ” al
reziduurilor. Identificarea lui z22a şi Sy» se poa e
termenii din
dezvolt»,.» to reziduul pozitiv aparţin la 222a ; cei cu reziduul negativ, la znî). ractcr polinomului de
la numărător P ( s ) sînt repartizaţi la *21 sau »alfc, cu co ^ ra 2:
să nu aibă nici un pol pe care
nu-l are z 22a , ui z 21b sa nu aiDa
:
Sun pjl‘pe“ie nu-l «, (Termenul „pol” include « <le 1» infinit. Astfel, dacă j„,
este nennl la infinit şi m trebuie si fie t ,
nenul).
„
Pentru exemplificare vom lua o funcţie Cebişev de ordinul patru şi_ doua. P^Jn ae zerouri ale transmisiunii pe axa
frecvenţelor jco, care împreuna formeaza funcţia dat. .
p
(sa +
6 (s1 + 2,16.s3 + 3,31.s2 L2 ,8 6 s + l,2t>)
~21 Q
Polinomul
Alunei
4) (s2 f 9)
auxiliar trebuie să fie cel puţin de gradul patru ; să alegem i)(s) = s(s M) (s + 2) (s + 3,.
s4 + 2 , 1 0 s3 -l 3,31 s2 + 2,80s + 1 , 2 0
s(si l)(s
+2 )(s+ 3)
=b
"
1
26
s
22.5
s2
j (1,05
( *<
, 15,15 \
" ,3.|-
(s2-f 4) (s- + 9)
.^Ţr)(SH2)(.s4 3)'
Fvident fiecare din factorii pătratici din P(s) trebuie repartizat la unul dintre diporţii com- pereche la
AAstfel
210
216
34 - c. 854
s2 + 4
s ( s + 2)
( s - r l)(.s- + 3)
532
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Ambele funcţii sînt nenule la infinit, deci atît z 22a cît şi z n b trebuie sa fie nenule la infinit. Cu toate acestea, în
dezvoltarea în fracţii parţiale a funcţiei QjD, nu apare nici un termen negativ constant, printre reziduurile
negative. Această situaţie poate fi rezolvată adunînd şi sca- zînd o constantă, de exemplu 1. Rezultă:
1,26
22,5
74 ---------- 4 ------------
1.65
llb = 1 H ----
+
45,15
' .
~
Fiecare dintre perechile de funcţii z22„, z21(, şi nu, "2 1 & estc realizabila printr-un dipo, liC. Rămîne să se
facă realizarea efectivă. Din cauză că zerourile transmisiunii nu smt ri-ale- problema este ceva mai dificilă decît
în exemplul precedent. Cu toate acestea exista metode elaborate pentru efectuarea acestei sinteze, dar noi nu
vom face aici aceste dezvoltări. (A se consulta bibliografia asupra sintezei).
Conectarea în derivaţie
Să considerăm o altă configuraţie a circuitului ca cea din fig. 7.31 a. Un diport RC, N b , este
conectat în cascadă eu un convertor de negativare cu inversare a curentului si întreaga combinaţie
este conectată m pai a e cu un alt diport RC, N a . Ne interesează funcţia de transfer a tensiunii
V J s ) I V J s ) , care exprimată prin parametrii y ai întregului ansamblu,-este V J V 1 - - —
2/21/3/22- La conectarea în paralel a unor diporţi, parametrii y globali sînt egali cu suma parametrilor
y ai diporţilor componenţi. Datorită prezenţei convertorului de negativare. semnele lui yilb şi y2ib se
Fig. 7.31. Diporţi conectaţi in paralel cu un convertor de negativare.
7.9. DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI
^25
inversează (în ipoteza că factorul de conversie este unitar) şi funcţia căutată devine
^2 _ —(Uila #21 b)
1^1
Vil a
(132)
t
.(/226
Acum, dacă se dă o funcţie raţională P/Q ,^5 poate utiliza obişnuitul noiinom
auxiliar T)(s), cu care se împarte numărătorul şi nunntonil, dupa care funcţia este
transformată în forma (132). Nu vom face dezvoltai ea generală ci vom înlocui diporţii
generali din fig. 7.31 «eu 0 sche“^^ culară, ca cea arătată în fig. 7.31 b. Aceasta nu
limiteaza clasa funcţuloi
011
C^alculîndaparametrii
y ai acestor circuite simple şi
înlocuindu-i
m
(132), se obţine rezultatul :
V2
Y la -Y lb
(ria+^J-^+iV)
i 7!
16
(Y1„-ri»)+(ra,
»)
12
Numitorul acestei expresii este format din numărător
termen. Dacă funcţia de transfer dată este de forma /(*)/<?(*), aceasta
trebuie pusă în forma (133). Se găseşte
KP
I)
V % K P(s)
K P(s)
Q{8) KP(s) + [<?(«) - KP(s)] KP_ Q-KP_
T>
; işi)
D
în această expresie K este o constantă de multiplicare, arătată explicit. Polinomul
KP(s) a fost adunat şi scăzut la numitor şi apoi s-a mtiodus obişnuitul polinom
auxiliar D(s), cu zerouri reale şi negative. Compararea ultimelor două ecuaţii conduce
la
V
V
Ua-*v,=
1- -
Y
»
=
— —
- A:
D{8)
s-l A' 4 £ — ^ ----------------------- L
- A«8 ' Ao t * ,+ ^
Q(s)—KP(s)
r
a v. k ip s _______________ v <n — •
= * * * +
1
* •
+
s
’ (135«)
* 8 +a in
.+.*
După ce
Y/s este dezvoltat în fracţii parţiale, se grupează împreună
ziduuri pozitive din cele două expresii sînt identificaţi cu 110 Şi respec
'
^
'
«+«»
'
termenii cu
reziduuri poziti
534
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
tiv Y 2a , iar cei cu reziduuri negative cu Y u , respectiv Y ib . Datorită modului în care au fost
construite, fiecare din aceste funcţii, va fi relaliza- bilă printr-o funcţie de admitanţă RC,
iar realizarea poate fi făcută în mod simplu.
Pentru
exemplificare să considerăm funcţia CeJjişev tratată mai înainte :
A'(s2 + 4) (s2 + 9.)
s4 + 2,16 s3 + 3,31 s2 +
V2 __ A'P(s)
2,8Gs + l,26
V, Q(s)
Mai înainte, K a fost ales
egal cu 1/6. Polinomul auxiliar cu care s-a lucrat era de gradul 4
şi avea un faclor s. în cazul de faţă, nu putem avea un factor s în polinomul auxiliar, deoarece o admitanţă RC nu
poate avea un pol în s = 0. Deoarece o admitanţă RC poate avea pol la infinit, putem să alegem D(s) = (s + 1) (s +
2) (s + 3). Deci;
A P(s) A(s2 + 4) (s2 + 9)
D(s) (s+1) (s + 2) (s + 3)
Q(s) _ s4 + 2,16s3 + 3,31s2 + 2,86s + t .26 /)(s)
(s
+
(s
+
1)
(s
+
2)
3)
Valoarea lui IC poate fi aleasă astfel încît să conducă la simplificarea circuitului. Deoarece K PI D trebuie
scăzut din QJD, K trebuie ales astfel încît să anuleze pe unul din termeni. Astfel, luînd K — 3,75/52 = 0,072
obţinem :
(0,275s ^ 7,52s
s f 0,21 4
s+1
'
l,8 s ( 2,81s
s+1
)
în final,
3,75 s
Y l a = 0,072 s + 0,432 H----------------- —s+2
V2„ = 0,928 s +
1 , 8 s 2,81 s
1,53 s
s+1
------- b ----
Circuitul complet este arătat în fig. 7.32.
‘
s+3
s+3
7.9. DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI
^25
Pentru schemele considerate, este necesar să se facă mimai sinteza unor diporţi RC.
Aceasta simplifică în mare raasura calculele nece.a e.
0072
2,31
-CD2 67
1,87
O—II—
0555
0356
HSHIJ
0937
Converto
r
de
negatoar
e
UfJv/ ^
Fi». 7.32. Realizarea exemplului numeric.
\\0B5
1,53
5
=0928
—1 ------- o
4
M'
-L. i f.?
Schema RC cu amplificator
în sul)paragrafele precedente s-a utilizat convertorul de negativare, 1 ■ •
*
combinaţie cu circuitul RC. Desigur, se pot găsi
oa, disnozitiv activ, m cumumaiic »u
^ isi alte configuraţii, care utilizează alte dispozitive active. Cea mai simpla posibilitate este
utilizarea unui amplificator cu reacţie mveisa. Ampli - catorul poate fi reprezentat în forma
sa cea mai simpla, prmtr-o sm ha controlată (de tensiune sau de curent). Deşi smt posibile
multe configuiaţ vom trata numai una, sugerîndu-le pe celelalte ca probleme.
Fig. 7.33. Montaj al amplificatorului cu reacţie inversa.
536
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
7.9. DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI
^25
Să considerăm montajul dm fig. 7.33. Acesta conţine doua ampli catoare de
tensiune (surse de tensiune), controlate prin tensiune), fieca e avînd o polaritate
diferită. Să notăm că tensiunea de ieşire dm mtieg ansamblul este tensiune de
intrare în al doilea amplificator. Evaluai ea funcţiei de transfer pentru tensiune, în
acest montaj, ne da
Vj
V~
.
=
______________ Yi ~ aiY 2 ______________
(136)
Y, + Ya !- T3 —(a2-l)Y4
Vom presupune că în al doilea amplificator cîştigul a2 este mai mare ca 1.
I)îndu-se o funcţie raţională P(s)IQ(s), care reprezintă funcţia de transfer
pentru tensiune, vom împărţi numărătorul şi numitorul cu obişnuitul polinom
auxiliar D(s) avînd un grad potrivit ;,les(egalou
o unitate mai mic, decît gradul lui Q sau P , cel mai mare dm ele), şi zeroun
distincte, reale şi negative. Fiecare din funcţiile P/sD şi Q/sD se dezvolta în fracţii
parţiale şi termenii cu reziduuri pozitive, ca şi cei eu îezidu n negative sînt grupaţi
împreună. In final, se face comparaţia cu (136) şi de aici se obţine identificarea
admitanţelor. "Rezultă
r,- a, Y , 1
1
2
H-,
PJs)
~Vi
Q (*)
=
P («)/P ( s )
Q («)/D
t
(*)
+s - s -rfr •<1:,î *>
*+ c»,
T) (s)
•
„
Q (s)
kieS — V
kin *
S r
Yj+Ya+Ys-foc2-1)Y4D ( sj- ‘» '
7
•
,
7.
^
s
A
'
+
A
s+ţip
^
'
'
vs+Sin
(137 b)
Din primele relaţii găsim
Y x (s) = fc.s + V+ £ —,
(138 a)
YsW=-£-^-
<138S>
Tntroducînd aceste relaţii în (137 b), se pot găsi 13 şi I4. Astfel
Y o — ( « 2 — 3 ) Y 4 = (A-1 oo — f c o c ) s + (A'0 — ^ o ) +
—
'
S \~ Gjp
jjgi— +
s+tTjj,
+ J-
fc<?8— V
s + cr
(139)
53,.
7.9. DIPORŢI RC PASIVI ŞI ACTIVI^
„ * pot scrie expresiile generale pentru Y» ,i T„
deoarece
apar unele incertitudini în
membrul drept;
co°n“tâ“t aparţine
în setul { — oip, a„)
ioc reduceri de termeni, carecreaza omceit
Prin urmare, aici voi a'<a loc rJ Aceste incertitudini dispar desigur, tudine cu privire la sflinulJ”;„mne Aceasta
se va clarifica prin exem- atunci cînd este vorba de un ca necesar gă se realizeze numai diporţi
plul care urmează. In orice caJj f valoarea cîştigului amplificatorului. RC. De asemenea, trebuie spec
elementele de circuit să apăra
într-o realizare practica, ar fi util ^ ^”ului, pentru a ţine în locuri potrivite, la intrai ea1 ■
‘
,care nu se reduc numai
seama de parametru unui ai p>
realizarea surselor controlate, va
*> - - * «*
SriU poziţiei lui X, »
impedanţa de îeşue a Pn™ ‘
pot să conteze ca impeclanţe d
^ ^
>
ieşire
(il
gă
si de
reacţie la cel de-al
un termen constant
2
aVem
i'mSSa - ie datorită faptului că în (139,
>L atunci în membrul drept din
(139) se poate face adunarea Şi sca- derea unui termen potrivit ales.
Pentru exemplificare sa considerăm următoarea funcţie trece-tot:
'*2
V,
s2 — 2 s + 2
s + să
2s +
2 mai mare ca 1 .
trebuie
fie
a
în cazul de faţă, gradul lui D(s) nu Să
luăm D(s) = s + 1. Atunci
tl^±2^s + 2- — s+ 1
Fig. 7.34. Circuit echivalent al unui amplificator.
s
+
536
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
de unde
y,=s+
2,
1 Ss
v2 = -------------------------
«i s 4 1
s2 + 2 .s -t 2
(x, —5)s
>’3 - (y-2 — r> Y4 ------------------- ---------------------------------------y 1 - ^ 2 -
x !- 1
ai(s+ l)
Constatăm că in membrul drept nu apare nici un termen constant. Rezultă c.ă, pentru a realiza
impedanţa de intrare în cel de-al doilea amplificator, vom aduna şi vom scădea o constantă G.
Identificările pentru y3 şi } ’ 4 ne dau :
(at + 5).s \ '■i ( s
G■
(
+ 1) J
Pentru concretizare luăm v. t — 5,
-
şiG =
2 ss
Ss+l
+1
s +1
1
;
atunci
-- H ----3
3s -f- 1
V4
devine
—
Astfely4 se realizează ca o rezistenţă de 1/3 unităţi, în serie cu o latură RC paralel. Realizarea completă este
arătată în fig. 7.35. Observăm că în schemă nu apare impedanţa de intrare în primul amplificator. Deoarece
impedanţa de intrare a amplificatorului real nu trebuie să aibă nici o influenţă, rezultă că circuitul trebuie
alimentat de la o sursă de tensiune sau, cel puţin de la o sursă cu impedanţă de ieşire mică, în comparaţie cu
impedanţa de intrare în amplificator.
1
Fig. 7.35. Realizarea unui amplificator RC.
537
7.9. DIPORŢI K C PASIVI ŞI ACTIVI
Să rezumăm conţinutul acestui paragraf : am prezentat schematic principalele
probleme ale sintezei formale a circuitelor RC pasive şi active. Prima etapă constă în
alegerea unei scheme particulare, care conţine corn ponente ale circuitelor considerate
şi în scrierea funcţiilor de ţranstei corespunzătoare, în funcţie de parametrii
componentelor. Apoi se ia tune tia raţională dată, care este pusă în aceeaşi formă,
după ce se mtrodee un polinom auxiliar, cu care se împarte numărătorul şi numitorul.
Aceasta permite să se identifice parametrii circuitelor componente, avînd grija ca
acestea să fie fizic realizabile. Ultima etapă constă în realizarea compo nentelor.
FHOHLlîJIlî
Matrice elementare. Matricele elementare sînt de trei tipuri, corespunzînd celor trei tipuri de
transformări elementare. Utilizaţi următoarele notaţii.
,.,
■,
*■
•
Tipul 1 ‘
/'E- - este matricea elementară care schimbă reciproc liniile (rmduule) J şi i,
’ cE* este matricea elementară care schimbă reciproc coloanele i şi J.
Tipul 2 : rEji! este matricea elementară care adună linia j la linia /,
cEi + ,- este matricea elementară care adună coloana j la coloana i.
Tipul 3 : rEai este matricea elementară care înmulţeşte linia i cu a.
('Eaj este matricea elementară care înmulţeşte coloana i cu a.
r. 1. Să se construiască o singură matrice, care realizează asupra
unei matrice A
următoarele operaţii:
_
.
,,„„„.1 :,.-,
(a) Schimbă între ele liniile a treia şi a doua, dupa ce lima a treia este înmulţită
cu 2. Ordinul lui A: (3.5).
.
(b) Adună prima coloană la a treia, după ce prima a tost înmulţită cu 3, iar a treia
cu 4.
Ordinul lui A: (2,3)
_
nrHimil ini
(c) Adună linia a doua la prima, după ce prima
a fost înmulţită cu 1.
Oidinul Im
A: (3.5).
__
_
F 2. Să se găsească o singură matrice care să efectueze următoarele operaţii asupra unei
mali
<’
liniei
a doua cu ' 3 şi schimbarea reciprocă a acesteia cu prima linie. Ordinul lui A.
jtimulţirea ])|.illK,i linii cu /,■ şi adunarea acesteia la linia a treia:
A
(b) Adunarea celei de a doua coloane la prima,
cu
apoi înmulţirea celei
—2 şi adunarea ei la coloana a treia şi în fine, schimbarea reciproca a
apoi înmulţirea
( , )•
de a
tloua coloane
coloanelor a doua
şi a treia. Ordinul lui A : (4,3).
P 3 . Să se scrie o singura matrice care realizează fiecare din următoarele operaţii
asupra liniilor unei matrice A:
„ .
,
■
(a) înmulţeşte linia 3 cu -2, apoi o aduna la lima 1, dupa care schimba mtre ele Urna
1 cu linia 3. Ordinul lui A: (3,3).
(b) Schimbă între ele linia 4 cu linia 2 : apoi înmulţeşte linia 1 cu 5 şi o aduna la rîndul 3 ; după
aceea scade linia 3, din linia 2. Ordinul lui A : (4,4).
1’ 4. Să se repete problema 3 efectiund operaţiile asupra coloanelor.
F 3. Fie o matrice A de ordinul (m,n) cu m^/i, care are rangul r.
Sa se arate că produsul oricărei matrice elementare cu A, va avea acelaşi rang r. Sa se arate
aceasta înmulţind pe A. cu fiecare tip de matrice elementara şi sa se gaseasca efectul acis tor operaţii,
asupra determinantului submatricilor corespunzătoare lui A.
538
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
I» 6 . Să se arate că inversa unei matrice elementare este o matrice elementară de acelaşi tip.
..
P 7. Să se demonstreze că o matrice nesingulară A poate să fie scrisă totdeauna, ca produsul unui
număr finit de matrice elementare.
P 8. Să se demonstreze că, două matrice A şi B de ordin (m, n) sînt echivalente,, dacă şi numai dacă
ele au acelaşi rang.
.
P 9. Pentru fiecare din matricele A date mai jos să se găsească matricele P şi Q astfel încît PAQ să
fie forma normală a lui A.
1
2
-1
4'3
-3 1
2
(a) A =
2
4
3
5
-1
—2
fi
—7_
'1
2
1
0
1
2
3
2
2
-1
2
5
3
6
5
2
3
1
-3
(c) A =
. -1
(b)A =
2
1 -3
-6
.1
1 1
2
P 10. Să se reducă următoarele matrice la forma normală :
-2
0
1
1 6
8
3
5
-2
3
0
(a)
—2
4
-1
42
(b)
3
2
0
1
_4
0
2
2 „
1
0
2
-1 -
0
6
2
2
-
-6
1
2
r
16
-4
-8
2
-4 .
1 1
1
1
-1 1
1
8
-
1
(d)
1
(c)
-
2
-6
0
0
-4
-3
2 _
-1 -1
1
-1 -1
—1
1
J
-1
Pil. Să se reducă următoarele matrice la forma canonică, utilizînd procedeul
de
reducere Lagrange :
1
(a) A
1
1
0
0
-1
0
-1 -
r
(c) A
.
-
1
1 -
(b) A =
-1 3
1
-1
3
— 7-.
-1
5
1
3
3
1
29
-49
- —7
3
-49
113
1/4
-7
-
1
51
3
3
1 -3
7
7
37
15 -
1/4
- 14
—2
4
—3
_2
5
1
0
4
1
5
_2
- —3
0
-2
6 -
1) =
4
1
r
E=
-1
-1 - 1
1‘
-1 2
0
.I0
3.
P 13. Să se demonstreze că o matrice simetrică A este definită pozitiv, dacă şi numai dacă -V- 1
este simetrică şi definita poziti\.
_
»
14
„demonstreze
ZSssB SSw is&s
'
si ran
'
■
k
*.
"«"• *"
"7“
c- TPtrîră de ordin ii si B o matrice reala de ordin (r, n)
,1; £ 8 ^tc°ra^»â pozitiv, atunci şi BAB' definită pozitiv.
p',.
_
Fie A o matrice reală, nesimetrică şi x „n vector complex. A poate fi scrisa
ca o sumă între părţile sale simetrice şi antisimetnca, As şi i -P
A, ^ 1/2 (A + A'),
Ass = 1/2 (A - A'). (ti) Re (x'Ax) = x'Asx,
Se arată că
-
•
-
s*
(li) = Im(x'Ax) = x'Ass x.
t i r fio 7 pi 7 toate cele trei bobine sînt cuplate mutual. Să prel> 17. In circuitul din fig. /• 1 1 ' toat .
supunem că este posibil sa se cunosca
matricea
mutuale sint subunitare. Sa se
“ m^n a ^
semidefin i tă pozitiv. I.uind fij =
m mo
tele naturale.
'i
0,9
0,2
8,9 BL 2
1 0,3
0,9
1
l2
Fig . 7. p. 17.
ace’stor
te]or date> în care
inductante
^ ^
toate inductanţcle
nu
estedefinită
sau
540
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
1*18. Fie A
[Oy]. Cofaclnrii principali ascendenţi ai matricei pătratice A sînt defini i
«1
«21
«13
astfel:
Pi =«n. P 2 =
«21 «22 «23
Poo,, fl,,
’
* *■
Prt
< 1C t
«31 «32 «33 I
este mai pozitiv,
dacă şi
Să se demonstreze următoarea condiţie pentru caracterul real pozitiv, care e riguroasă
decît teorema 4 din text. O matrice reală, simetrică A este definită pozitiv, numai dacă,
toţi cofactorii principali ascendenţi sint pozitivi.
P.19. (a) Să se găsească rangul fiecărei matrici din cele date în continuare. (Se vor găsi valori
diferite).
“1
A=
—6
0
.0
l"
0
0
0
2
1
It =
-3
2
—3
3
0
2
0
2 _
(/>) Să se verifice că formele pătratice X AX şi X IÎX sînt egale.
1 * 20. Fie A o matrice reală, simetrică, definită pozitiv. Să se demonstreze că şi A2 este tot definită
pozitiv.
I* 21. Fie F(s) o funcţie real-pozitivă. Să se demonstreze proprietatea argumentului şi anume că
|arg F(s) !<|arg s| pentru 0<|arg s|^tt/2.
Indicaţie : se face următoarea transformare bilineară :
W
F -1
Se analizează în ce mod se realizează transformareasemiplanelor din
neleF şi s, in planele W şi p. Se arată că W (p) satisface loma lui Schwarz
2 ), apoi se înlocuiesc transformările de mai sus în lemă.
dreapta, din pla(vezi
Apendicele
1* 22. Se afirmă că funcţiile care urmează nu sînt real-pozitive pentru
se verifice această afirmaţie şi să se găsească ,Y0 pentru fiecare funcţie.
n> X 0 . Să
P 23. Fie o funcţie de reactanţă F(s) şi F(ja) — jX(io). Să se demonstreze că
dX (ta)
IX
---- — >- ------ •
rfco ' j < 0
(Indicaţie: se utilizează funcţiile de energie).
PROBLEME
541
P 25. Să se demonstreze că o transformare bilineară a unei funcţii real-mărginită este real-pOzitivă.
P 25. Fie
s2 + s + 1
Z(s) =
TT TT •
S“ + s+ 4
Partea pară a acestei funcţii real-pozitive are un zero (dublu) pe axa jco. Pr i n urmare aceasta funcţie
transformă acest punct al axei jco într-un punct pe axa jX a planului /. Sa se verifice că derivata dZjds în
acest punct este reală şi pozitivă.
P 26. Fie Z(s) = (nij + nJKm., + n.,) o funcţie real-pozitivă. Să se arate ca
P(S) ==
'P ^^2
^^2
este un polinom Hurwitz, în cave ci, b şi c sînt constante pozUi\e.
1* 27. Fie P(s) un polinom Hurwitz. Să se arate că F(s) este o luncţie rp, dacă
,
1
dP(s)
J, (s) -------------------------P(s) ds
1* 28. Fie Z(s) = P(s)IQ(s) o funcţie real-pozitivă. Să se demonstreze că şi următoarea funcţie este tot
real-pozitivă.
P 20. Fie
dP(s)lds
Z,(s) = --------- •
dQ(s)jds
.
F
_
(s ;- 1) (s + 3) (s -+ 8 ) _
'° ~ (s + 2) (s + 4) (s + 10)
Pentru a realiza funcţia Y E G , se sugerează ca prima latură în paralel pe bornele terminale, să fie o
rezistentă de 1 / 2 ohm.
Admitanţa care rămine este Y R G — 2. Aceasta este o funcţie rp ?
p 30. Utilizînd dezvoltările în fracţii parţiale din (99) şi (100),
săsearate ca
(a) Im
[ZEO(jco)] $0
pentru co S 0, respectiv.
(b) Ini
lYflC(jco)] ^ n
P°ntnl “
% °- respectiv.
(c) Re
\z B C (jco)]
este
o funcţiemonton
descrescătoare
de
co
> O.
(d) Re
[YB0 (j“)l cste
° t'uucţ'e
monoton crescătoare de co
pentru co > 0.
:
pentru
1* 31. Utilizînd rezultatul problemei 30 să se arate ca:
(a) Re IZRC(0)] >Re[ZEC(co)l, sau Z B O (0)>Z R G {oo),
(b) Re [YBO(0)J <He[YEC(x)], sau YBC(0)< YBC(oo).
P 32. Rezultatele problemei 30 pot fi descrise ca o transformare a semiplanului superior dins, în
semiplanul
inferior al lui Z şi o transformare a semiplanuluiinferior
din
s a,
se,m,planuluisuperior
al
lui Z. Să se
utilizeze aceasta pentru a obţine
o
alta demonstraţie care sa
arate că dZ R C (s)jds este negativă pe axa reală.
1’ 33. Utilizînd interpretarea din problema 32 să se arate că,
laoimpedanţă
Z B L { S ),
a unui circuit HI. pasiv, dZ B L (s)\ds este reală şi pozitivă pe axa reală.
co
542
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
P 34. Fie Zj(s) şi Z 3 (s), funcţii de impedanţă RC. Să se demonstreze că Zx/Z2 este o funcţie real-pozitivă.
1’ 33. Să se găsească unul sau mai multe circuite care să aibă următoarele funcţii de reactantă.
(a) Z(s) :
tOs (s2
1)(S2 r U
(b) Z(s) :
2(s2 + 1) (s2 + 25/4)
s(sa + 9/4) (s2
(s + 1/4) (s + 2)
2
2
9)
1* 3C. Se dă următoarea funcţie raţională :
K(s* + 1 ) (s2 + a2)
s(s2 + 1 )
Se slie de asemenea că :
(a)
(b)
dY I ds
dZ
ds
|s_jiîn scară şi unul de tip Foster.
Să se găsească un circuit corespunzător
I* 37. Fie P(s) un polinom ale cărui zerouri sînt toate imaginare. Să se demonstreze că
PQO
m=
dPjds
este o funcţie de reactanţă.
1’ 38. Admitanţa unui circuit RC pasiv arc zerouri în s = 0, —1 şi —3. în fiecare din aceste puncte panta lui
Y(cr) este 2. Pentru valori mari ale lui s=c, Y(ct) tinde către valoarea 4. Să se găsească un circuit în scară şi un
circuit de tip Foster, care realizează această funcţie
I* 39. Fie Y s c(s) admitanţa unui circuit RC pasiv. Să se arate că reziduurile lui Yjjp sînt negative în toţi
polii, cu excepţia polului de la infinit.
I* 40. Fie P(s) un polinom ale cărui zerouri sînt toate reale şi negative. Să se demonstreze că fiecare din
următoarele două funcţiuni este admitanţa unui circuit RC, pasiv :
sdPjds
P(s)
dPjds
P(s)
P 41. P'ic P(s) un polinom ale cărui zerouri sînl toate reale şi negative. Dacă K este constantă reală şi pozitivă, să
se arate că toate zerourile lui F(s) sînt reale şi negative, cu
F(s)
sdP
ds
+ KP
P 42. (a) Fie F(s) = P(s)IQ(s) o funcţie de impedanţă RC. Să se demonstreze că şi F(s) este o funcţie de
impedanţă RC dacă
dP(s)lds
> ■ (s) =■ ------dQ(s)j ds
(b) Să se repete problema înlocuind cuvîntul impedanţă cu admitanţă.
«. S, cere « ,e
1"
rn'.îi
polii,
PROBLEME
(s + c)> unde a, b şi c sînt reale şi pozitive. Se sciie
Himvitz
sl.t de
543
,o„» «■ + « + « »"
P ( S ) = (s2 + as + b ) Pi (s) = (s2 4- as + 6 ) (™i + ni)
=■ [(s2 + b )m 1
Raportul intre
+
asr ij]
+ [(s2 + b)
n1
+ asrr tj].
părţile pară şi impară este;
m
_ (s2 + b ) w 1 + asr tj
=
/ »i
T
.s2 +
as
h I
b as
n
(s 2 + b )n x + asm 1 l m 1 s2 + b
Să se arate că m/n este o funcţie de rpctmţă în ipoteza ai şi mi/'h egj <> JunJ»e dijeac_
tanţă. Se repetă procedurea pînă eind smt cupnnşi toţi tactom iui i o ,
cit şi cei lineari.
_
-X
t
, . j , si m , n este o funcţie de
-
î-" W.
—».
*,,,,
rile lui P(s) rezultă din
P (s) = m + n = n
(v-)
0
.
Să se demonstreze că, deoarece m/n este o funcţie de reactanţă, egalitatea m/n -
1 mi
poate avea loc, în semiplanul drept din planul s.
P 44. Să se verifice dacă polinoamele care urmează sînt Hurwitz :
(a)
P(s) = s4 + 7s3 + 6 s2 + 4s + 1 ;
(b)
P(s) = 2s4 + 4s3 + 7s2 + 7s + 3;
(c)
P(s)
= s7 + 3s6 4- 6 s5 + 6 s4 4 6 s3
4-
6 s2
4 - 5s 4- 3;
(d)
P 45. Se dă un
P(s)
=
2s5 4- 9 s4 + 16s3 + 15s2 4
7s
circuit cu impedanţa de intrare Zl^7
tîTsKÎ&îî
Mt»l
4
2
^ircuite^se numesc
invers, unui circuitdat, prin meto
dele dc dualitate discutate în cap. 2 .
p 4#. Se cere să se găsească uniportul invers, pentru fiecare din circuitele aratate
In fig. 7.P46.
1
/
544
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Să se verifice că admitanţa de intrare a circuitului invers este egală cu impedanţa de intrare a circuitului
dat.
P 47. Să se arate că condiţia de reziduuri este satisfăcută eu semnul „egal” (poli compacţi), in toţi polii
finiţi şi nenuli ai parametrilor y, pentru un diport nedisipativ. terminat cu o rezistenţă unitară, aşa cum se
arată în tabelul 7.1.
P 48. Să se arate că matricea simetrică a funcţiilor raţionale
'Zn (s) Zia(s)'
-~rj (:V
z
2 2 Cr
este o matrice real-pozitivă, dacă şi numai dacă, matricea părţilor reale
>n (a, co) r 1 2 (a, co)
J 12 0> “) r22 (°> C°)
este definită sau semidefinită pozitiv în c > 0
P 49. Fie două funcţii raţionale, reale, y u = z/ 2 2 şi
din fig.
7.P49
trebuie
scurtcircuit. Să se
aratecă
laturilor 7, a şi Z b vor fi real-pozitive dacă
(a) j/n este real-pozitivă;
(b) este satisfăcută condiţia pentru părţile reale :
(Re y u f - (Re y. n f > 0, pentru Re s > 0.
y2 1 = yI2. Să presupunem
să
aibă aceşti
impedanţele
că puntea
parametri de
Dacă în (b) se ştie că, numai pe axa ja, este îndeplinită condiţia pentru părţile reale, ce condiţii
suplimentare trebuie impuse pentru funcţiile date ;/„ şi y 2 1 , pentru ca teorema să fie din nou valabilă.
P 50. Să se arate că într-un zero al lui zn, situat pe axa j<o, z u este imaginar. Apoi să se arate că, orice
pol de pe axa jw al funcţiei de transfer pentru tensiuni în gol:
este simplu şi cu reziduuri imaginare. Să se repete problema şi pentru funcţia de transfer pen tru curenţi în
scurtcircuit, /t2 1 (s).
545
PROBLEME
,„,4 i.in.s »>“■
i» 'I Fio-nra 7 P51 a reprezintă un diport fără pierderi terminat la o poartă pe o rezis-
■"
pr,m“i
“in"
pedanta este
Zt(s)
Fig. 7. P. 51.
Wi,
irMsaarswr
Darlington, A sau B. este aplicabil.
(a) Z (s)
(c ) Z (s) =
s2 + 2 s + 1
s2 + s + 4
((>) Z(s)
s4 + 2s3 + 3s2 + s+l s4 + s3
s2 + 5s + 1 s3 +
(rf) Z (s) = (f)
5s2 + 2s -|- 1
+ 3s2 + 2s + 1
s4 + s3 + 3s2 + 2s + 0 s3 +
s3 + 2s2 + 5s s3 + 3s2 +
(e) Z(s)
;3 4- S 4' 1
Z(s) =
4s + 35/8
3s2 + 7s
i> 53. Fie Z(s) impedanţa la intrarea unui diport nedisipativ, terminat cu o rezia-
vor avea în acest punct un pol compact, „Q,„hilp j.,.,-.
punctele precedente ramin valabile, data puncti
g Ss&s
nctul s = 0 se înlocuieşte <d) concluziile de la
DU
cu S = CC.
sar
[, v, Veorema lui Darlington arată că, Z(s), poate fi realizat ca un diport reactiv, tei-
forma
Fie o funcţie real-pozitivă scrisă în
mi(s) + n^s) m.2 (s) + n2 (s)
Z (s) =
33 - c. 854
546
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
în care in 1 şi m. z sînt polinoame pare, iar ;i, şi n2 sint impare.
Zerourile polinomului
prezintă
o
simetrie
cuadrantală1*.
Fie H{s) un polinom Hurwitz, format din zerourile lui — situate in semip?ar.ul stinţ. adică
H(s) //(—s) =
şi
7/(s) = m(s) + n(s)
(a) Să se demonstreze că
' n2 -|- m1 m2
m. 2 n 2
OC —
,f
— m 1 li 2
n2
— m 'h
ir
m 9 ih —
2- >h
,r--- 11
.
W
0
—
II
l-n,—
m. 2
0
7? - 3
m-2
2
este matricea impedanţelor de gol a unui triport. reactiv, care realizează la una din porii impedanţa Z(s),
atunci cînd celelalte două porţi sînt terminate cu rezistenţe, aşa cum se arată in fig. 7.P54. (Elementul de
bază al demonstraţiei constă in a arăta că este îndeplinită condiţia de reziduuri).
N
Triport
reactiv
RZ
Fig. 7. P. 54.
(b) Să se demonstreze că :
~r
i'h S
2
n3m1
mini
"1
o
m
'”l
mim*
y~îî 2 'h
H3m1
0
este matricea admitanţelor de scurtcircuitna triportului reactiv,
considerat anterior.
]/R 3 n h
Zerourile sînt plasate în planul s, simetric în raport cu axa reală şi cu cea imaginară.
(N.T.).
PROBLEME
547
(c) Să se realizeze impedanţele dale în continuare, în forma circuitului arătat. (Realizarea
Darlington necesită transformatoare).
+ s2 + 2s -f 1
(1) Z(s) = --- ---------------------------s3 + 2 s2 -r 3 s/ 2 + 2
—’
, _ 3s3 + 5s2 + 4.S + G _
(2)Z(s)
—
«,
s3 + 2 s- + 2 s + 1
7U
1* 55. Să se demonstreze că inversa unei matrici real-pozitive este real-pozitivă.
I* 56. Fie Q(s) un polinom Hurwitz, ale cărui zerouri sînt toate complexe^ Fie P(p) un polinom
Hurwitz asociat cu Q(s) în modul următor, după transformarea s = p-.
Q(s) = Q(p-) = P(P)P(-P)
Rezultă că P(p) este polinomul care conţine toate zerourile lui Q(p 2 ) situate in semiplanul stîng. Să notăm
P(p) - A(p2) + pB(p2)
unde A si ]} sînt polinoame impare, ccea ce rezultă din modul în care au fost scrise variabilele lor.
(a) Să se demonstreze că Q(s) poate fi exprimat totdeauna ca o diferenţa între doua polinoame în
forma :
Q(s) = A2 (s) — sB2 (s)
unde A(s) şi B(s) au numai zerouri reale şi negative şi unde atît AjsB cit şi Ii/A sînt funcţii de
impedanţă'RC. Această formă a lui Q(s) se numeşte descompunerea Horowitz a lui Q (a nu se
confunda cu Hurwitz).
(b) Să se aplice («) următoarelor polinoame :
(1) Q(s) = (s2 + 2s + 2) (s3 J- s -r 10),
(2) O(.s) = (s2 ; s + 1) (s2 + 2s - 4)
(3) Polinomul lui Gebişev de ordinul patru cu factorul de ondulaţii 6 = 0,1,
(l) Polinomul lui Batterworth de ordinul patru,
(5) Q(s) = (s2 + s + 2 ) (s2 + 2st-5) (s2 + s + 8 ),
(6) Q(s) = (s2 + s +1) (s2 + 2s+3) (s + 3s + 5),
n 1
(7) Polinomul lui Gebişev de ordinul şase cu factorul de ondulaţii 6 — 0,1,
(8) Polinonuii lui Butterworlh de ordinul şase.
P 57. Fie Qj şi Q, două polinoame de acelaşi grad, cu polinoame Hurwitz asociate şi Pşi fie
descompunerea Horowitz corespunzătoare :
Qi = Ax2 - sBj2
Qi = A22 - SB 2
(a) Să se demonstreze că, dacă Pi P, este real-pozitiv, atunci
Af - sB» 2 şi A, 2 - sBj2
este de asemenea o descompunere Horowitz, adică
139
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
sînt toate funcţii de impedanţă RC
(b) Să se aplice acest rezultat perechilor patrivite de poUimm; din prjblemi P.5B.
P 58. Fie Q,(s) = A 2 1 (s) — sB 1 ‘ 2 (s) descompunerea Horowitz a unui polinom Qi(«)- l'ie Q./s) un alt
polinom de grad, nu mai mic decît cel al lui şi fără zerouri reale.
(a) Să se demonstreze că Q2 se poate scrie totdeauna in forma :
Q2
(S) = A
1
(s) A o (s) - sBj (s)Ii 2 (s)
unde
3_, _2l, A-şî^l
sB 2 Ai sBi A 2
sînt toate funcţii de impedanţă RC
[Cu transformarea s = p2, Q2 (p2 )/Qx(p2) este partea pară a unei funcţii rp. Din aceasta se formează
funcţia rp corespunzătoare, fie aceasta F(p) şi se exprima numărătorul şi mim or prin polinoamele par şi
impar. în sfîrşit, din F(p) se formeaza partea para ; numărătorul sau
trebuie să fie Q2 (p2).]
(b) Să se aplice acest rezultat polinoamelor, potrivit alese, din problema P.56.
P 59. Dacă în problema P.58 se admite ca polinomul Q 2 să aibă şi zerouri reale negative, să se
arate că Q 2 poate fi descompus în
Q 2 = .tj/;‘2
-4.,/^
unde
_l4i. Jh-, -i2-, -i-, —. — > — > —
sB, A x sB x -4 2 sBj A t
SB2
A2
sînt toate funcţii de impedanţă RC.
în acest caz pO,(p2)/Q,(p2) este partea impară a unei funcţii rp. Se e o ni ruieşte funcţia rp un partea sa
impară, adunînd o constantă suficient de mare pentru ca rezultatul sa nu aiiba zei■ - urî pe axa jco. Se
reconstruieşte partea impară din funcţia rp ; numărătorul sau trebuii sa fie
P02(P2)-
P ««. Fie F(s) =
(?2<S)
o funcţie raţională, reală.
(a) Să se demonstreze că aceasta poate fi descompusă in
B,(S)A2(S) - A1(S)B2(S)
F(s) = ---------------------------------A ^ S ) A 2 ( S ) - sBx(s)B2(s)
unde
Aţ/1 ] A 2 B 2
sB, A-,
sînt toate funcţii de impedanţă RC.
SB2
A2
:
PROBLEME
549
(b) Să se aplice acest rezultat următoarelor funcţii :
s2 + s + 1
(s2 + 2s + 2) (s2 + 3s -t 5)
(s2 + s + 1) (s + 2) (s2 + 2s + 8) (s2 + 2s
(2) F(s)
+ 6) (s2 + 4s + 10)
(s2 + s + 1) (s2 + 3s + 5)
(s2 + 4s + 8) (s2 + os +10)
(3) F(s)
F 61. Să presupunem că funcţia raţională F(s) din problema P.60 este supusă următoarelor restricţii
suplimentare : (a) F(sj nu are nici un pol la co şi F(oo)>0. (b) Orice pol real şi negativ al lui F(s) este simplu
şi cu rezduuri pozitive.
(a) Să se demonstreze că F(s) poale fi descompus astfel
=
A^s) Ji2(s) - Az(s) Bt(s)
Aj(s) — sBf(s)
unde
.4.2 ^ 11, ) Ax ^ B 1
sB, A» sB, A,
sînt toate funcţii de impedanţă RC.
(b) Să se aplice acest rezultat, funcţiilor potrivite din problema
1 .bU.
P 62 Următoarele funcţii de impedanţă de transfer, trebuie realizate prin circuitul RC, în cascadă cu
un convertor de negativare, arătat în fig. 7. 30. Să se găsească descompunerea Horowitz a numitorului (ca in
problema P.56) şi să se formeze de aici, parametru . ai diporţilor RC.
A’(s2 + 1)
A'(2s2
- s + 2)
/t,
ţa\ ______________ __ ----- ! ------------- ---------------------------------- , (b)
2
s
+ 2s +
44 + 4S3 + 9S2 + 8s + 5
K(s'~ - 2s + 3)
,
A
'
(
s
/ ___________ _ _________ ţ (d) --- -----------(s2 + s + 3) (s2 + s + 5)
(s2 + 2s
2
6
—i
+ 1) (s3 + J)
+
"
P
63. Să considerăm că funcţiile din problema P.
62 sînt funcţii
tensiune
şi trebuie realizate prin circuitul RC în paralel cu
convertorul de
fig. 7.31. Să se utilizeze un polinom auxiliar corespunzător şi să se obţină un circuit.
2) (s2 + 3s + 6)
de transfer PţiUru
negativare, aratat m
P 64. Funcţiile din problema P.62 trebuie realizate_ prin circuitul cu amplificator din fig.
Să se utilizeze un polinom auxiliar potrivit şi
să se găsească
o realizaie.
P
65. Să presupunem că o funcţie raţională dată,
este mărită cu
7.33.
un polinom auxiliai,
cu zerouri reale negative şi se face apoi o dezvoltare în fracţii parţiale, ca m text in reia, ■ (131).
7. PRINCIPII DE BAZA ALE SINTEZEI CIRCUITELOR
Funcţia poate fi exprimată ca in (130). Rezultatul trebuie realizat prin conexiunea îa cascadă
arătată în fig. 7 P 65 a, unde A’„ este un circuit RC. Diportul este arătat cu linie punctată. Impedanţa sa
de intrare z n b este -z. Acest diport este format la rtndul său, din
N,
l
_________
I
Se vede că — z este negativa unei
să se precizeze condiţiile pe care trebuie
Fig. 7. P. 65.
impedanţe RC. Din proprietăţile lui — z(s),
să le îndeplinească parametrii g şi G pentru
componentele reprezentate în fig. 7 P 65 b. Să se arate că parametrii lui N c , pot fi exprimaţi prin cei ai lui X b , cu
relaţiile
ca N c să fie un diport RC.
I* 66. (a) Să se elaboreze o metodă de
prin circuitul din fig. 3. P 22 din cap. 3, unde
(b) Să se realizeze fiecare din funcţiile
1 1IG ■
P 67. O funcţie ce reprezintă o
conectarea în cascadă a unităţilor arătate în
N a să fie de tip RC.
realizare a funcţiei de transfer pentru tensiune,
diportul şi admitanţa i' sînt RC.
date în problema P.62 în această formă.
impedanţă de transfer, trebuie realizată prin
fig. 3. P 26 (cap. 3), în care fiecare din diporţii şi
(a) Să se elaboreze o metodă care să permită identificarea funcţiilor realizabile RC, z 2 1 i > şi şi a
funcţiilor similare pentru celelalte unităţi conectate în cascadă.
(b) Să se ilustreze metoda cu funcţiile a) şi d) din problema 62.
P 68. Fie Z(s) o funcţie raţională real-poztivă.
(a) Să se demonstreze că
,
,
kZ(s) - sZ(k)
F{s) = ------------------------------kZ(k) - sZ(s)
este de asemenea real-pozitivă, constanta k fiind reală şi pozitivă.
(b) Să se arate că numărătorul şi numitorul au un factor comun (s -f A), dacă şi numai dacă Z ( — k)
= -Z(k).
PROBLEME
551
(c) Exprimînd pe Z(s) in funcţie de /'(s) se găseşte .
Z(s) = Z(k)
s -f kl'(s)
Să se arate că, dacă Z(-k) =£ -Z(k), atunci numărătorul şi numitorul expresiei pentru Z(s)
va avea un factor comun (s-fA).
(d) Să se ilustreze cele precedente cu următoarele funcţii rp :
(1) Z(s)
s 2 -f s -j- 1 "
s + s + -1
2
(2) Z(s)
sa 2s~ + s 4- 1 s3 + s2
+ 2s + 1
P «9. Două funcţii real-pozitive h\(s) şi
se numesc complementare, daca suma lor
este egală cu o constantă pozitivă A. Să presupunem că Fx(s) şi A sînt date. Sa se determine restricţiile la
care trebuie să fie supuse I\(s) şi A, pentru ca_/'i(s) sa aiba o funcţie compleme - tară Dacă FJs) si FJs)
sint complementare şi reprezintă funcţii de impedanţa de întiau, aceasta însemnă că, prin conectarea in
serie a celor două circuite corespunzătoare, se obţine o impedanţă de intrare constantă. Dacă F,( S ) şi
F,(s) sînt f unc ţ i i de admitanţa, a unei prin conectarea în paralel a circuitelor corespunzătoare, se obţme o
admitanţa de intiare constau . O pereche de astfel de circuite se numesc complementare.
1* 70. Ne referim la problema P.69. Fie Z x (s) impedanţa de intrare a unui circuit RC şi să
presupunem că aceasta este regulată in origine. Să se arate că funcţia sa complementara z 2 (s) va fi o
funcţie de impedanţă RL, regulată la infinit.
1
Fig. 7. P. 71.
din circuitele date 111
P 71. Să se găsească circuitele complementare pentru fiecare fig. 7.P.71.
8
Parametri de repartiţie
Proprietăţile şi comportarea unor circuite multiport pot fi studiate, aşa cum s-a
arătat în capitolul 3, prin intermediul matricelor de im,pedante, admitante, sau
hibride. Aceste matrice sînt definite cu ajutorul tensiunilor de "ol sau al curenţilor de
scurtcircuit, considerate la diferite porţi ale ^reţelei. în condiţii de lucru reale,
multiportul poate să nu aiba la unele porţi, bornele’în scurtcircuit, sau în gol. Totuşi,
aceşti parametri de gol sau de scurtcircuit pot să descrie în mod adecvat funcţionarea
multi- portului, în orice condiţii de terminaţie. Desigur, unele circuite pot să nu aibă
matrice z, altele pot să nu aibă matrice y, iar vinele (ca de exemplu transformatoarele
ideale *), pot să nu aibă nici matrice z nici matiice '.
Ar fi util să existe un alt mod de a descrie comportarea multipor- tului în alte
condiţii de funcţionare, cu porţile terminate altfel decît in gol sau scurtcircuit. Dacă sar defini un set de parametii consideiînd la fiecare poartă o sarcină finită 11), aceşti
parametri ar fi mai utili pentiu a descrie transferul (de putere) de la un generator real
(cu impedanţă internă), conectat la o poartă, spre o sarcină conectată la altă poartă.
Parametrii de repartiţie constituie un astfel de set. . . . .
.
Parametrii de repartiţie îşi au originea în teoria liniilor de transmisiuni. Aceşti
parametri sînt foarte importanţi în teoria ciicuiteloi pentiu microunde, în care
conceptul de putere este mai important decît conceptele de tensiune şi curent, care
devin aici oarecum artificiale. Parametrii de repartiţie vor fi definiţi astfel, încît
mărimile ce intervin în transferul de
putere să aibă expresii foarte simple.
în dezvoltările care urmează vom utiliza în mod neconvenţional, unele concepte
ca incidenţă şi reflexie din teoria liniilor de transmisiuni,
11
) Inţelegînd prin aceasta şi nenulă (N.T.).
8.1. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI UNIPORT
f 57
numai în scopul unor motivaţii. Expresiile matematice obţinute sinţ insa
valabile şi nu depind de astfel de interpretări. Vom trata la început cazul mai simplu
al uniportului şi apoi vom trece treptat la diporţi şi la multiporţi.
8.1. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI IMPORT
Vom începe prin a considera situaţia arătată în figura 8.1. Un circuit uniport Z
este considerat ca terminaţie a unei surse de tensiune, în serie cu o impedanţă s(s),
care poate fi considerată ca circuit The'venin et î-
valent, altui circuit, la care este conectat 7j. Impedanţa z(s) poate fi considerată
impedanţă a sursei. Dacă z(s) este reală, situaţia va fi cea din figuia 8 1 b
Uniportul va absorbi putere de la reţeaua sursă. Conectarea optima va avea loc dacă
Z(s) = z(-s), cînd se transferă puterea maximă. (Pentru s = jco, z{—s) devine z(—ja)
= z(jo) = z(ja). Astfel condiţia : Z{s) =*(_*) se reduce la relaţia Z(jw) = 2(jo>), care
reprezintă condiţia cunoscută pentru transfer maxim de putere.
’ Cînd z este real (egal cu r), adaptarea va avea loc pentru z = r. Utilizînd
terminologia de la propagarea undelor, spunem că dacă unipoi- tul este adaptat la
sursă (reţea) nu vom avea reflexii la bornele terminale' în condiţii de neadaptare,
transformata V a tensiunii la borne este reprezentată ca fiind compusă din „unda
incidenţă” sosind din sţînga şi „unda reflectată”, care se întoarce dinspre uniport, O
situaţie similara există şi pentru transformata I a curentului. Astfel putem să scriem
:
V = ^ + vr 1 =
(la)
Ii - Ir
(16)
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
554
unde indicii i şi r reprezintă termenul „incident” şi „respectiv „reflectat”. Semnul
negativ din ecuaţia a doua este un rezultat al referinţei alese pentru curentul reflectat.
Să presupunem că a°ordăm mărimii reale r sensul de „impedanţă caracteristică” a
sistemului de transmisie din stingă bornelor uniportului. Atunci mărimile incidente şi
reflectate sînt legate prin :
care sînt relaţii binecunoscute pentru o linie de transmisiuni. Utilizind acest rezultat (1)
poate fi inversat astfel încît să dea :
V, =
\-(V + rI),
Vr =
l T (V—rI),
Ii = UjV I '•
(3a)
I r = l-(gV-l),
(36)
unde g = l/r. Acum este posibil să se definească un coeficient de reflexie pentru
tensiuni p, ca raportul între transformatele tensiunii incidente şi reflectate şi un
coeficient de reflexie pentru curenţi, ca raportul între transformatele curentului
incident şi reflectat. Astfel, utilizind (3) pentru variabilele incidente şi reflectate,
obţinem :
__V T _ y~rl
^
V.
V + rl
_ Z-r Zjr-1 _ gZ-1 _ gY-I _
Z + r ' Zjr+1
Ir
gZ+1 gV + I /, ’
'
Unele etape din această secvenţă utilizează V = ZI. La fel ca şi impedanţa Z, care poate
să caracterizeze comportarea uniportului şi coeficientul de reflexie poate să-i
caracterizeze complet. Există o corespondenţă biunivocă între Z şi p dată de
transformarea bilineară p = (Z — r) (Z + »’)-1> Observăm că, coeficienţii de reflexie
pentru tensiuni şi curenţi sînt aceiaşi. Trebuie subliniat totuşi, că aceasta este adevărat
numai în cazul considerat şi anume la o impedanţă reală a sursei. Cînd în continuare
vom lua în consideraţie cazul general, vom găsi că cei doi coeficienţi de reflexie sînt
diferiţi.
Conceptele de propagare a undelor ps care le-am utilizat in discuţia precedentă
sînt artificiale în cazul circuitelor cu elemente concentrate. Cu toate acestea, este posibil
să considerăm (3), ca definiţii formale ale variabilelor V}, V r , şi I n I r , fără să ataşăm
vreo semnificaţie inteipretativă acestor mărimi, care reflectă originea lor în mod
intuitiv. în dezvoltare am utilizat r ca impedanţă caracteristică. Totuşi, această idee nu
este necesară în definiţiile exprimate prin (3) şi (4); r este pur şi simplu un număr
arbitrar, real şi pozitiv care are dimansiimi de impedanţă.
Este de fapt posibil, să se introducă tensiunile incidente şi reflectate într-un
mod diferit. Să considerăm din nou uniportul din figura 8.1 ; acesta este caracterizat
prin două variabile V şi I- în locul acestora se poate utiliza, ca set la fel de adecvat, o
combinaţie lineară a acestor variabile. Astfel transformarea :
8.1. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI UNIPORT
Ti = a n V + aia ^ 5
\
r
—
ffl 2 l ^ + *22
I
f 57
(5)
defineşte două noi variabile Y t şi T'r, în funcţie de cele dinainte F şi I. Coeficienţii
transformării trebuie aleşi astfel, încît noile variabile să devină convenabile pentru
utilizare. Alegerea a n = a 21 = — şi a 12 = — a 22
va face ca (5), să se reduă la (3). Alte valori alese pot: să conducă la formulări
suplimentare, care pot să fie, sau să nu fie, utile pentru difeiite
aplicaţii.
. .
.
Este posibil să se inteipreteze variabilele incidente şi reflectate, reie- îindu-ne la
situaţia arătată în figura 8.1c, în care uniportul este adaptat cu impedanţa reală a
sursei. în acest caz V = rl. Prin urmare, din (3a) găsim că :
r, = v, T t = i
(0)
cînd avem adaptare. Aceasta ne arată că, dacă uniportul este adaptat la bornele
sale, tensiunea la borne este V t iar curentul este I t . Prin uimare in condiţii de
adaptare, (3b) ne arată că V r = 0 şi I, = 0; din figura 8.1 c, observăm că
r,= -r„.
(7)
Din (4) se observă că, în condiţii de adaptare, coeficientul de îeflexie
este zreo.
w
Cînd uniportul nu este adaptat, V r şi p nu se anuleaza, De fapt (1) poate fi scris
în forma unnătoare
Y r = r - lri ,
Ir
= / , - / ;
(8o)
(8&)
adică, tensiunea reflectată, Y r este o măsură a deviaţiei tensiunii unipor- tului, în
condiţii de lucru reale, faţă de valoarea sa la adaptare. In mod, similar,
Ir
este
o
măsură a
deviaţiei curentului,în
condiţii de
lucru, faţă
de valoarea
sa la adaptare. Se remarcă uşoara asimetrie
însensul
că o
deviaţie este pozitivă şi alta este negativă, .
•
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
556
Variabile normate. Normare reală
în discuţiile precedente s-au utilizat două perechi de variabile: tensiuni incidente
şi reflectate şi curenţi ineidenţi şi reflectaţi. Deoarece aşa cum rezultă din ( 2), aceste
mărimi sînt în perechi proporţionale, este suficient să considerăm o variabilă incidenţă
şi o variabilă reflectată. în loc să alegem ca variabilă tensiunea, sau curentul vom utiliza
variabile normate, legate de ambele.
Variabilele normate incidente şi reflectate sînt definite în modul următor :
a
(s) = fr 7,. (*) = Ii(?! ,
b(s) = Yrl r (s) =
(9A
r
]/r
.
(gi),
"Vom numi a şi b variabile de repartiţie.
Utilizind (3), aceste noi variabile pot fi exprimate în funcţie de tensiuni şi
curenţi astfel:
'
a = i (r-1'* 7 + r l >* I) ,
b = I (,-*/. V - »■*/, I) .
(10)
Rădăcina patrată din r, care apare în dreapta acestor expresii, este incomodă. Pentru
a o elimina se definesc tensiunea normată V n şi curentul normat I n :
V n = r- 1 '*V,
(11a)
4 = r 1 '* I .
Atunci variabilele de repartiţie devin :
a
= i (T' „ + I n ) ,
1
2
(F«
- I») •
(UJ)
(12a)
(12b)
Observînd relaţia (4) se constată invariaţia coeficientului de reflexie în raport
cu normarea. Astfel
normată.
V r a V n - I„ Z„- 1 Z - r
= <13> unde Z n = Zjr este impedanţa
f 57
8.1. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI UNIPORT
Reciproc, tensiunea normată, curentul şi impedanţa pot fi exprimate în funcţie de
variabilele de repartiţie şi de coeficientul de reflexie, inversînd (12) şi (13). Astfel :
=
a
+
b
>
(14a)
I„ = a — b ,
= (1 + ? ) (1
(146)
- p)-1 •
(14*)
1-p
Circuit mărit
Normarea utilizată mai înainte poate fi interpretată referindu-ne la circuitul
arătat în fig. 8.2. Valoarea normată a rezistenţei sursei este 1. Transformatul ideal, cu
raport de transformare 1 : y>, conduce la ecuaţiile adecvate între tensiunile şi curenţii
care apar în secundar şi tensiunile şi curenţii normaţi din primar. Uniportul iniţial,
conectat în cascadă cu transformatorul poate fi numit uniport normat’ (fig. 8.2 a). Dacă
uniportul iniţial este adaptat cu r, aceasta este echivalent cu adaptarea uniportului
normat cu unitatea. Din cauza funcţiunii de normare pe care o îndeplineşte, r este numit
număr de normare sau rezistenţă de referinţă. în caz că numărul de normare este
unitar, transformatorul ideal, care rezultă cu raportul 1 :1, poate să fie omis în figura 8.2.
Fig. 8.2. (a) Circuit normat; (b) circuit normat mărit.
Este evident că, dacă uniportul este adaptat, impedanţa de intrare în primarul
transformatorului este o rezistenţă unitară. Cum V n = I n; din (12), aceasta înseamnă a =
V n şi b = 0. Astfel, în condiţii de adaptare, variabila de repartiţie incidenţă este egală cu
tensiunea normată şi variabila de repartiţie reflectată este nulă. Mai departe, avînd
sursa de tensiune
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
558
normată, definită ca: \ gn — r 1/2 T constatăm că legătura dintre V e şi Fj, dată în (7) este
invariantă în raport cu normarea, Astfel;
'’
a =
2 Vna
(l."j)
Putem să mei gem mai depare, incluzînd rezistenţa serie unitară în interiorul
circuitului normat, aşa cum se arată în figura 8.2b. Astfel se obţine un circuit numit
circuitul normat mărit (de tip serie). Desigur este posibil ca circuitul iniţial să fie mărit
prin înserierea rezistentei r, fără a se face normarea, Ceficientul de reflexie al circuitului
iniţial poate fi exprimat în funcţie de admitanţa Y a , a circuitului mărit sau Y an a
circuitului mărit, normat. Din figura 8.2 rezultă clar că se poate scrie :
\
Z -f- r
g
Deci
o—
Z
~
r
_ +
Z
r
~
2 r
_i
Z+r Z+r
2r
Z +r
sau
p = 1 — 2r Ya = 1 — 2
Y
(16)
(în dezvoltare r a fost adunat şi scăzut la numărător). Aceasta este o expresie utilă.
Adesea (16) poate fi cea mai simplă formă pentru calculul coeficientului de reflexie.
Ca un exemplu, să considerăm situaţia arătală în fig. 8.3.
Pi
Pz
O—
J
Fig. 8.3. Exemplu ilustrativ.
8.1. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI UNIPORT
,)oi uniporţi
găsească coeFicTe-rtul iUniportului arătat în ligura 8.3 b în funcf-1 ■:,?2;Toe AVeoarece P esUinvXnt în Aport eu normarea, să considerăm numărul de nor ma e unitar'sPă
considerăm circuitul mărit. Admitanţa de
intrare mănta poate f, scrisa
imediat în modul următor
1
1
1 i falb fa + fb
f«(s>
+
T7T h(s) +
{ b (s)
{«{*)
fa + fb ___________ fa + fb _________________
fafb 4- fa + fb r 1
^
^
Deci, utilizind (16) obţinem
~1
'
t
_
«
=
_
1
2(fa + fb) = (fa (/■« + l)(fb +
1)
(fa
+
+
1}
(fb
J
r
v
>
Pi Pa
tanţa globală prin admitanţele componente.
Coeficient (ie reflexie pentru un circuit
invariant în timp, pasiv şi reciproc
Proprietăţile analitice ale funcţiei 9 (s), penitm un iu timp pasiv şi reciproc, pot
fi obţinute cu ajutorul regiei (U^Pei^u nn astfel de circuit, ZJs) este o funcţie realpozitiva des. O funcţie îeai pozitivă Z (s), transformă axa jco a planului s în domeniul
încins format dS Splânul drept al planului Z % . Ecuaţia (13) este o transformare biini-iră (vezi Anexa 2). Transformarea bilimară transforma domeniul mc , •li bianului
Z în interiorul sau conturul cercului cu raza unitate dm planu p! Prin urmare, clacă
punctele corespunzătoare sînt situate m mtelioml sau pe contul cercului unitar din planul p. Astfel
P |(j«)| <1-
(17 )
Cît despre polii funcţiei p(s), aceştia sînt, daţi de zermmle funcţiei / / , ) + ]
Acestea nu pot să existe în domeniul semiplanuliu diept mchis, din Z deoarece
aceasta ar cere ca BeZ. = -1, pentiu un punct dm semiplanul drept închis, ceea ce este
imposibil pentiu o tivă Deci p(s) este o funcţie regulata m semiplanul drept mchi&.
Constatam ci n u M p i â t e Lnrfera condiţia, de funcţie ml-poat»* *
.mpedanţe,, asupra coeficientlui de îeflexie.
569
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
O funcţie real-limitată p(s) a fost definită, în capitolul 7, ca o funcţie care este :
(1) reală la s real (2)
regulată în semiplanul drept închis si (3)
| p(Jco) I < 1 pentru orice co.
’
Discuţia precedentă a arătat că, pentru un circuit
invariant în timp,
pasiv si reciproc coeficientul de
reflexie este o funcţie real-limitată.
Relaţii pentru putere
Am văzut că variabilele de repartiţie au o semnificaţie specială, în descrierea
transferului de putere, de la o sursă, la o sarcină. Vom discuta acum relaţiile pentru
putere în circuitul din figura 8.1 în funcţie de variabilele de repartiţie. Să considerăm
condiţiile regimului permanent sinusoidal. Puterea complexă debitată uniportului este
W = V(joj) /(jco). Ce se înt.împlă cu această expresie dacă tensiunea si curentul se
normează ca în (11)?
'
în ipoteza că r este un număr real, răspunsul este : nu se întîmplă nimic. Chiar dacă se
introduce normarea avem :
w
=
T7»(j")/»(j")
(18)
Acum putem să introducem (14), pentru a exprima acest rezultat prin intermediul
variabilelor de repartiţie. Puterea reală va fi
P = Re IV = Re {a + b) (cT-b) = \ a (jto) |2 - | b(jco) j2
= M2(I - !p(jco)|2).
(19)
Ultima etapă rezultă din relaţia p = b/a.
De aici se pot face cîteva observaţii. Pătratul modulului are la
ambele variabile a şi b dimensiuni de putere. Deci, dimensiunile variabilelor de
repartiţie sînt rădăcini pătrate din putere (tensiune x curent)1'2. Putem să
interpretăm puterea reală transferată uniportului, ca fiind puterea undei incidente, P„
mai puţin puterea reîntoarsă spre sursă prin unda reflectată, P,. Desigur, în condiţii de
adaptare nu există reflexii. Puterea transferată în aceste condiţii, fie aceasta P m , este
puterea maximă ce se poate obţine de la sursa cu rezistenţa serie r. Această putere se
determină simplu din figura lc ca fiind
=
|T7 12 I ,.-1/2 17 12
117
12
\a\K
(20)
ir
4
4
Ultima etapă decurge din (15). Cu aceste ipoteze (19) se poate transcrie în forma :
8.2. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI MULTIiPORT
iar
(21)
P_
rmde P = la!2 si P = \ b\ 2 .
Acest îezultat este extrem de important.
Termenul din dreapta piecizează, caie este fracţiunea din puterea ™ax™a posibilă, care
este intr-adevăr debitată uniportului. Daca nu exista îetie- xii (p = 0) această
fracţiune este unitară.
^
‘ Pentru un uniport pasiv, puterea debitată nu poate să depăşească puterea
maximă posibilă; rezultă că, PjP m < 1. Pi'm urmare
| p(j’co) | < 1 (pentru un uniport pasiv)
(22)
8.2. RELAŢII DE REPARI 1ŢIE ALE UNUI MLLTIPORT
Asa cum s-a discutat în paragraful precedent, parametru de repartiţie sînt
deosebit de utili în descrierea transferului de putere. Cea mai simplă situaţie de acest
gen, este cea pe care am discutat-o şi anume, tiansfeiul puterii de la o sursă cu o
impedanţă interna, la o saicma. Mult mai frecvent este transferul de la o sursă la
sarcină, prmţr-un circuit de cuplare, aşa cum se arată în fig. 8.4 Circuitul N poate sa
fie un filtru sau,
Fig. 8.4. Circuit diport pentru filtrare sau adaptare.
un egalizor de adaptare. Sarcina poate să fie pasivă, reala sau complexa, sau putem
avea o sarcină activă (de exemplu o dioda tunel). Mai general, circuitul de cuplare este
un multiport de transmitere a putem, de la una sau mai multe poiţi, la alte poiţi (una
sau mai multe).
Yom studia în detaliu situaţia reprezentată în fig. 8.5. Un multiport este terminat la
fiecare poartă cu o rezistenţă reală şi pozitiva şi cu
o sursă. Un caz special este diportul arătat în fig. 8.5. b. Dezvoltarea relaţiilor este o
simplă generalizare a cazului cu un uniport, cu observaţia că relaţiile scalare, vor fi
acum înlocuite cu matrice. Vom trata cazul general al «-portului, dar vom ilustra
562
8. diportului,
PARAMETRIpentru
DE
REPARTIŢIE
amănuntele
prin considerarea
a avea o reprezentare mai simplă.
Fig. 8.5. Multiporţi eu numere de normare reale.
Pentiu început vom defini
vectorul variabilelor astfel
V
1',
.TV
,1=
h
.
v—
> * a ~ _ r ek
_
şi matricea diagonală
23)
8.2. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI MULTIiPORT
563
Matricea r este nesingulară, şi definită pozitiv deoarece s-a presupus că toţi r }
sînt pozitivi. Conform figurii 8.5. se poate scrie
V„ = V + rl = (Zoc + r)I,
(25)
relaţie în care Zuc este matricea de gol a multipoi tului N. Să presupunem acum că la
fiecare din porţi multiportul este adaptat la rezistenţa sursei. Aceasta înseamnă că
raportul F;//, este egal cu rezistenţa r f la poarta j. Matriceal, aceasta înseamnă V = rl,
sau Zoc = r, atunci cînd multiportul este adaptat. Prin analogie cu cazul uniportului,
introducem vectorul tensiunilor incidente, Y{ şi vectorul curenţilor incidenţi, I, ca
fiind vectorul tensiunilor la porţi şi respectiv vectorul curenţilor la porţi, atunci cînd
toate porţile sînt adaptate; rezultă
V, = V,
(26 a)
I, = 1,
(26 b)
V, = rl,.
(26 c)
la adaptare.
T_
în mod similar introducem vectorul tensiunilor reflectate, Yr şi vectorul
curenţilor reflectaţi Ir, ca o deviaţie a vectorului tensiunilor la poartă şi respectiv, a
curenţilor la poartă, faţă de valorile la adaptare. Prin analogie cu situaţia de la
uniport (8), se poate scrie :
V^V-V,,
I, = I, - I.
(27 a)
(
2 7 b
)
Dacă ultimele două peiechi de ecuaţii sînt utilizate cu (25), variabilele incidente
şi reflectate pot fi scrise ca :
v*=
i-
V I — 1 r"1V
v o i — 2 o
v< = 4 (V + rî),
(2y a)
Vr = -l (V - rl).
(29 b)
i,=
A r_1 (V -f r i ) ,
(29 c)
h=
±
(29 d)
r_1 (V — rî).
Aceste expresii se pot compara cu (7) şi (3) pentru uniport.
(28)
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
Matricea de repartiţie
în cazul uniportului s-a definit un coeficient de reflexie, relativ la tensiunea
reflectată şi incidenţă şi un altul, relativ la curentul reflectat şi incident. Aceştia s-au
dovedit a fi egali cu acelaşi coeficient de reflexie, a cărui valoare este invariantă in
raport cu normarea. în cazul multiportului relaţia intre variabilele reflectate şi
incidente este o relaţie matriceală. Definim două relaţii de acest tip — una pentru
tensiuni şi una pentiu curenţi — în modul următor :
’
K = SZI,
(30 a)
Vr == SrY,,
(30 b)
unde S, este matricea de repartiţie a curenţilor şi Sr este matricea de repartiţie
a tensiunilor. Aceste matrice pot fi exprimate în funcţie de Z oc şi im- pedanţele de
terminaţie, utilizind (29) pentru variabilele incidente si reflectate şi relaţia V = Z 0CI.
Calculele de amănunt sînt lăsate pe seama cititorului; rezultatul este următorul :
Si
= r~\'Z0C-r) (Z0C + r)-1r = (Z<H. + r)“1(Z0C-r),
(31
a)
Sr
= (ZoC —rXZ^-f- vf 1 =Y.Z oc + Y)~ 1 ( r A oc — r r
(31
b)
Analizaţi cu atenţie aceste expresii şi notaţi cît de (relativ) simplu este S ;, în care (Z^fr)-1 ^«multiplică (Z oc —r) şi cît de (relativ) simplu este SF cînd aceasta
^ostfmultiplică (Z oe — r).
Ce este (ZM-fr)? Aceasta este de fapt matricea de impedanţe a circuitului
mărit, adică a multiportului din figura 8.5. care include rezistenţele în serie la
fiecare poartă, ca o parte a multiportului. Inversa. (ZM-fr)-1 este matricea admitanţelor
de scurtcircuit a multiportului mărit, pe care o vom nota Y0. Cei doi coeficienţi de
reflexie, se determină din (31), în funcţie de Ya şi după cîteva calcule se găseşte
S, = U-2Y„r,
(32
a)
Sr = U—2rYa.
(32
b)
Singura diferenţă, care apare, este aceea că într-un caz r postmultiplică Y„ şi în alt
caz acesta premultiplică Ya . Fiecare din aceste ecuaţii poate fi rezolvată în raport cu
Ya. Dacă se egalează cele două expresii pentru Ya se găseşte o relaţie între S7 şi Sr :
S^r-1 = r_1Sr.
rS, = S,,r
(33
(33 b)
a)
8.2. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI MULTIiPORT
565
Se pare că am ajuns la un impas ; apare matricea r sau r 1 şi încurcă lucrurile.
Poate că normarea ne va ajuta. Să privim în urma, la relaţia ( 9), pentru a examina
cum au fost normate tensiunile şi curenţii mcidenţi si reflectaţi. Să presupunem că
procedăm la o normare similara, dar in formă matriceală. Pentru a norma curenţii,
multiplicăm cu matricea r *;
pentru a norma tensiunile multiplicăm cu
r-1/a, unde
r./'
O
(34)
rv,
O
este o matrice reală, diagonală, în care fiecare termen al diagonalei este
i ădăcina patrată a termenului corespunzător al matricei r. Sa veclem ce se întîmplă la
multiplicarea ambelor părţi ale (30a) cur 2 şi a ambelor pai ţi ale (30 b) cu r~1/2. Deci
r 1' ' « I r = r 1/ s S I ( r - 1/ « r ' / = ) I i = ( r V s S i r _ 1 / a ) ( r V * I i ) ,
r-,/.V, = r“1/*Sr(r,/T_l/*)Vi = (T-,/*Srr1/«)(r“1/*Vi).
(35
(35 b)
Dar să observăm că în (33) - prin multiplicarea şi postmultiplicarea ambelor părţi cu
r1'2 — se găseşte
(36)
=r-1/2SFr1/2 =S,
unde matricea S se introduce în mod convenabil.
Deoarece Vj: = rl;, rezultă că cele două variabile normate din partea
dreaptă a‘relaţiei (35) sînt egale, adică
In virtutea
relaţiei (36) rezultă că, cele două variabile normate din partea stingă a
(35)
’sînt de asemenea egale.
Avînd discuţiile precedente ca justificare, vom defini vectorul normat al
variabilelor de repartiţie ca fiind :
a=r1/2Ii=r-^Vi,
(37 a)
b=r1/2Ir = r 1/2 Vr.
(37 b)
566
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
Aceste variabile de repartiţie sînt legate prin o matrice de repartiţie S, care este
legată de matricele de repartiţie ale curenţilor şi tensiunilor prin
(36) . Astfel :
b = Sa.
(38)
Legătura eu matricele de impedanţă şi admitanţă
Legătura între această matrice şi matricele Z oc şi Ya poate fi găsită printr-o presi postmultiplicare convenabilă, a relaţiilor (32) şi (31) prin r’-'* şi r_I/2, corelată cu (36).
Dacă definim
V.,,. r Y„r -.
(39 a)
Z H =x- 1 <*Z 0C r-'i>,
(39 b)
Y„ = r’'!YstrI,:,
(39
unde matricea admitanţelor de scurtcircuit a multipoitului, Y sc, este Ză/, atunci
S r 2iZ„ • T) 1
r--’Y„,..
c)
(40)
S= (Zu-U)(Z,i+U)-1 = (Zîi+U)-1(Z„-U) =
= (U-Yii)(U + YJ-1 = (c:+YJ-1(U-YB).
(41)
Calculele de detaliu sînt lăsate pe seama cititorului. Comparaţi (40) cu (16) care este
rezultatul scalar corespunzător pentiu uniport.
’ Legătura între S şi Ya„ arată o proprietate importantă, care nu este evidentădin
modul în caie a fost obţinută. Din cauza îezistenţelor
serie
din circuitul
mărit, acest circuit poate avea o matrice deadmitanţe,
chiar dacă circuitul iniţial nu are nici matiice de impedanţe, nici matiice de admitante.
Aceasta va fi adevărat per tiu oiice circuit; pasiv. Astfel, un avantaj al parametrilor
de repartiţie (cum numim elementele matiicei de repartiţie) este că aceştia există
pentiu toate circuitele pasive, chiar pentiu acelea la care parametrii de impedanţă sau
admitanţă nu există.
Pentru ilustraie se arată transformatorul ideal din fig. 8.6. Se arată circuitul
mărit cu rezistenţe unitare la ambele poiţi. Transformatorul
Fig. 8.6. Transformator ideal.
8.2. RELAŢII DE REPARTIŢIE ALE UNUI MULTIiPORT
567
ideal nu are nici matrice de impedanţe, nici matrice de admitanţe. tu toate acestea
circuitul mărit poate fi caracterizat prm admitanţe. Matricea admitantelor de
scurtcircuit poate fi calculată direct şi din (40) se obţine matricea de repartiţie.
Calculele de amănunt smt la latitudinea cititorului; rezultatul va fi
1
n2
—
n1
-\- 1 n + 4
2
. S
—
’»2
-1
n
1
2
+
n n2
2n
ri1 - f 1 n' + l.
n2 ] 1
—
2n '
n -|- 1
2
nl - 1
»2 1 1 J
Acesta se reduce la o matrice foarte simplă pentru raportul de tians*
Să notăm că <S2a este negativul lui *S'n. Diporţii care satisfac condiţiile S 9 = —/Sn se numesc aniimetriei prin opoziţie cu diporţii simetiici, pentru®care
S a = &H- (Vezi problemele IMO şi
Normarea şi multiportul mărit
Variabilele dc repartiţie normate a şi b pot fi exprimate în funcţie
de tensiunile si curenţii normaţi, aplicînd normarea relaţiei(29). Definind
v2 şi I„= r - I, aceste ecuaţii
tensiunea şi curentul normat ca, Y„
si inversele lor iau formele relativ simple : f
= t~ \
a = 4 (Y„ ; - I„)
"
b=i_(VB-IJ
V,,
a I».
(42)
I„ = a - b .
Comparînd acestea cu (12) şi (14) se găseşte că, expresiile pentru variabilele de
repartiţie ale multiportului sînt identice cu cele ale unipoi tuiui, cu deosebirea că în
cazul de faţă, acestea sînt expresii matriceale.
în sfîrsit, să notăm că cele două expresii dm (28) care leaga tensiunea incidenţă
şi curentul cu V0, se reduc, după normare, la o relaţie simp a.
-1 Y .
2 0*
(43)
Normarea poate fi interpretată din nou, conectînd transformatoare ideale la
porţi. Aceasta se ilustrează pentru un diport în figura 8.7. JRapoar- tele de
transformare ale transformatoarelor sînt 1 : ]f r\_ şi 1 : 1/r2. Acestea conduc la relaţii
potrivite între tensiunile şi curenţii reali şi valorile
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
568
normate. Circuitul total, care include transformatoarele se numeşte circuit normat.
Chiar dacă rezistenţele de referinţă la porţi sînt diferite, condiţiile de adaptare
corespund unei rezistenţe unitare la fiecare poartă. Dacă includem o rezistenţă în
serie unitară la fiecare poartă, circuitul total este circuitul mărit (normat), aşa cum
este arătat în figura 8.7b.
0
1 ! nl
h
h
In 2
b
Fig. 8.7. Diport normat şi mărit.
Cum sînt alese numerele r } de normare la porţi ? în exemplul cu
transformatorul ideal, de pildă, ce ne-a condus la alegerea numărului de normare
unitar pentru ambele porţi? Răspunsul la această întrebare este simplu: comoditatea
calculelor. Dacă circuitul va lucra în realitate, cu anumite rezistenţe de terminaţie,
desigur va fi avantajos şi expresiile rezultante se vor simplifica, dacă aceste rezistenţe
vor fi alese ca numere de normare. în alte cazuri, alegerea unor parametri din circuit
ca numere de normare conduce la simplificări. Să considerăm, de exemplu, giratoriii
arătat în
figura 8.8. Acesta are o reprezentare prin matricea de impedanr
7
L 0C r
O-
■o
o
0
r
X
Fig. 8.8.
Girator.
o
8.3. MATRICE
A DE REPARTIŢIE ŞI TRANSFERUL DE PUTERE
569
te care conţine rezistenţa de giraţie r. Dacă numerele de normare la porţi r si r 9 vor’fi
alese pentru ambele porţi egale cu r, matricea Z„ poate i scrisă foarte simplu. Ecuaţia
(40) conduce atunci la matricea de repartiţie. Astfel:
0
0 -1 1
Z. =
o
K»2
1
0 _ 2
1 —4
'0
— 1'
.0
1.
4
.4
0
1_
^
S = U-2(U + ZB)
8.3. MATRICEA I)E REPARTIŢIE ŞI
TRANSFERUL DE PUTERE
Discuţia de mai înainte a condus la stabilirea metodelor de a găsi parametrii de
repartiţie ai unui multiport , din matricea sa deimpedanţe sau de admitanţe, sau din
matricea de admitanţe a circuitului mant. Dar parametrii de repartiţie apar în
relaţiile dintre variabilele de repai tiţie de incidenţă şi de reflexie. Vom analiza acum
mai în amanun ce reprezintă aceste relaţii. Pentru simplificare vom trata cazul
diportunu, pentru care avem relaţiile :
b x = $iiai "i- ^12 ®2>
(44a)
b 2 = $2i ®i -f- S 2 2 a 2-
(446)
Vom presupune că terminaţiilor diportului sînt arbitrare şi că la fiecaie j)oartă pot să
existe semnale aplicate aşa cum se arată in figura o.J.
Fig. 8.9. Diport cu sarcini arbitrare.
570
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
8.3. MATRICE
A DE REPARTIŢIE ŞI TRANSFERUL DE PUTERE
571
Interpretarea parametrilor de repartiţie
Din (44) rezultă că, parametrii de repartiţie pot fi interpretaţi astfel :
(45)
Constatăm că fiecare parametru este raportul între o variabilă reflectată şi una
incidenţă, în condiţii de anulare a variabilei de incidenţă la cealaltă poartă. Ce
înseamnă anularea unei variabile incidente, fie aceasta de exemplu a.,! La aceasta se
poate răspunde imediat referindu-ne la (42) sau, în mod echivalent, la (29), care leagă
variabilele de repartiţie de tensiuni si curenţi. Astfel a 2 — 0, înseamnă = — I»., sau
T72 = — r2I2. Să privim acum figura 8.9. Condiţia V 2 = — r2 J2 înseamnă că poarta 2
este terminată cu r 2 (mai curînd decît cu impedanţa Z. 2 ) şi că aici nu există sursă de
tensiune : adică, poarta 2 este adaptată. Mai departe, dacă nu există variabilă
incidenţă şi V 2 = — r2 I 2 , (29b), ne arată că tensiunea reflectată este tensiunea totală
la această poartă (V r2 — F2), iar (29 d) ne arată că şi curentul reflectat este curentul
total (I r2 = 1 2 ). Un sens similar este ataşat şi condiţiei a t — 0.
Astfel, parametrii de repartiţie a unui diport sînt definiţi prin rapoarte ale
variabilelor reflectate şi incidente, cînd cealaltă variabilă incidenţă este nulă — ceea
ce înseamnă că cealaltă poartă este terminală adaptat. Mai concret, să-i
considerăm pe 8 n . Acesta este raportul variabilei reflectate pe cea incidenţă, la
poarta 1, (fej/aj), atunci cînd poarta 2 este adaptată. Să substituim acum în raportul
b 1 /a 1 , ecuaţia scalară pentru poarta 7, care se obţine din (42). Avem :
(46)
unde
Z in este
impedanţa
normată la poarta I1). l + ^l + l
Comparînd
această relaţie cu (13),
care dă coeficientul
de reflexie al unui uniport, vedem că <S'n este coeficientul de reflexie la poarta 1,
atunci cînd cealaltă poartă este adaptată. O concluzie similară se obţine şi pentru
S 22 .
Să analizăm acum termenii din diagonala secundară, în particular S 2V Cînd a 2
= 0, aşa cum am menţionat deja, b 2 = V n2 , sau V r2 = V 2 . Prin urmare, din (43), a x =
V gtll l2 Rezultă:
a
f
(47)
1> Zj din (46) este in acest caz impedanţa imagine la poarta 1, iar .S reprezintă coeficientul de neadaptare
n
la poarta 1, definit prin intermediul parametrilor imagini ai diportu- lui (N.Tj).
8.3.proporţional
MATRICEA DE REPARTIŢIE
ŞI TRANSFERUL
DE PUTERE
s , apare
eu eîştigul
de tensiune,
un eîştig al tensiunii oarcere. Prin fig.
Astfel 9
8.10
se
prezintă
o
lămurire
suplimentara.
Aicidipoide întoarcere, jrrm i,ig.o.j.v ®
V'r
tul a fost înlocuit cu un transformator ideal avmd un rapoit de tian.fo -
m r , î’l
fî
1/1
— == 2
Vo
I r
i _________________ i
r>
Fig. 8.10. Raportul transduciic de tensiune.
mare astfel, încît rezistenţa r2 devine adaptată cu Tensiunea la ieşire este notată, în aceste
condiţii cu H. Considerînd acum raportul intie tensiunea reală de ieşire V 2 şi se obţine aşa
numitul Uc de tensiune. Calculele indicate pe figura, arata ca acesta este tocmai membrul
drept al relaţiei (47). Prin urmare S 21 este raportul al tensiunii de întoarcere. Cînd sursa
este adaptata ca m fig. 8.10, aceasta va debita în circuit, la bornele sale (anume m primarul
transfoimatomlui)
puterea maximă. Aceasta este P,l(1 = | V g i |2/4»v
Să revenim la cazul iniţial. Puterea transferata saicinn pun ci ti itul N, cînd aceasta este
adaptat şi cînd la poarta 2 tensiunea este \ 2, va fi Po =
îSlti
2.
| £
2 1
CtU-CipLCV t' Şi V.
^
^
Prin urmare, pătratul modulului lui S21, clm (4<) va ti;
( j «) |2
=
Tr2(j«)|2 _
4
r2 |rrt(jco)|* F m l
(48)
\stfel, pătratul modulului lui S21, care este numit adesea ciştig transduciic de
putere, Q (co2), este de fapt raportul dintre puterea care se obţine in sarcină si
puterea maximă pe care o poate debita generatoiTii, atunci cm ambele porţi sînt
adaptate12). O discuţie similara se poate pui ta şi de&pie
S
inversul raportului transduciic de tensiune. (Variabila este consideiata to»,
pentru că 0. este o funcţie pară de frecvenţă).
0 _ . r
• ' ___
• ________ i » i . ___ __
rv «AlnfiAi / /I tt\ ca Anfinp ^,1 I“ — | |
i)
jexiuu u» caic v iwnvyiv i"'*~ — r .
ii.*
După o simplă transformare a relaţiei (48) se obţine [ o 21
y j212. Acesta'este de fapt eîştigul transductic de putere al
rt 2
I
12 Ura«em atenta cititorilor familiarizaţi cu teoria clasică a diporţilor că atenuarea compusă,' cunoscuta
din teoria diporţilor, poate fi exprimată pr.n |Sa(j«)|- cu relaţ.a .
a,, = In
în ipoteza că terminaţiile diportului sînt rezisti\e. (N. L.)
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
572
circuitului normat. în concluzie, cîştigul transductic de putere nu se modifică prin
normare. Atunci cînd un diport este inserat între două terminaţii rezistîve, este
raţional să se utilizeze terminaţiile ca rezistenţe de referinţă ; coeficientul de
transmisie S n descrie direct proprietăţile circuitului legat de transferul de putere.
Parametrii de repartiţie ai unui multiport pot să fie interpretaţi în mod
similar, fără a se intra’în detalii. Parametrii din diagonala principală a matricei S vor
fi coeficienţi de reflexie.
Astfel
(49)
este coeficientul de reflexie la poarta j atunci cînd toate celelalte porţi sînt adaptate,
adică terminate pe rezistenţele lor de referinţă.
Parametrii care nu fac parte din diagonala principia se numesc coeficienţi de
transmisie prin contrast cu coeficienţii de reflexie. Aceştia sînt daţi de
(50)
Printr-o analiză ca şi
cea care a condus la (48),
se poate stabili că
pătratul
coeficientului
de transmisie este raportul dintre puterea în sarcină la o poartă şi puterea maximă, ce se
poate obţine de la sursadelaoaltăpoartă, atunci cînd porţile sînt adaptate. Astfel
Să considerăm, pentru exemplificare circuitul din fig. 8.11. Aici este prezentat un triport,
obţinut cu un girat or la care se consideră o
Q
h
+ \f 2
8.3. MATRICE
A DE REPARTIŢIE ŞI TRANSFERUL DE PUTERE
573
poartă exterioară (simbolul arătat pentru girator a fost menţionat m p) o- blerna 3 din
capitolul 3). Ne propunem să găsim matricea^ de repartiţie a tripoliului şi să
interpretăm elementele sale. Să consideram îezistenţa de oiratie unitară. Aceasta
înseamnă că alegem numerele de normare a porţilor, egale cu rezistenţa de giraţie. în
acest caz, ecuaţiile giratorului smt :
'0 —1‘
J
0
_
■T
Y
-F3Dar I a —■ Zj 1
in figura 8.11. Cu acestea avem
--
V
.h.
I 3 —I 2 şi V 2 = Fj —F3, aşa cum se poate observa
■F
' 0 1
rT r = —1 0
2
'V
1 1
.
1'
—1
0
.
—
Il
h
Matricea coeficienţilor este în această ecuaţie Z n. Matncea de repartiţie se poate obţine
din (41). Rezultatul este :
0
1
0 0-1 1
0
0
h
sau _ b 3 =
'2?
(51
0
Acest rezultat este foarte interesant, în primul rînd se constată că elementele
diagonalei sînt toate nule. Prin urmare, coeficienţii de. itf e- xie sînt nuli la toate porţile,
adică toate porţile smt adaptate Cit desp _ coeficietii de transmisie, să presupunem că
avem situaţia dm iiguia 8.110' in care există semnal numai la poarta Işi toate cele trei
porţi smt adaptate.
“ = -1 3 . Din (28) şi (37) găsim % = V a =
I o şi F, =
Rezultă că
din (32)
= b 2 = 0 şi b 3 =
VJ2. Dar b 5
r
si a
adap3 - pîi/urmare puterea“din'samnă de la poarta 3,'ia care avem
3'
1 u, _ tare,
este
V tl \*
în concluzie, dacă se aplica un semral incident
^
'J^mmte
Iile sînt adaptate, la poarta 2 nu se reflecta nimic (h=0) şi nu se tiansmite nimic) b 2 = 0),
ci totul este transmis, fara pierderi, la poaita 3, unde s obţine puterea maximă posibilă
debitată de sursa de la poar a .
Pentru celelalte direcţii de transmisie se obţine dm relaţia (o2) con duzii similare
şi anume : un semnal incident la partea -^ este, tias ^ in întregime porţii 7, iar un
semnal incident la poarta 3 este tiansm s
574
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
întregime la poarta 2. în acest ultim caz, din cauza semnului negativ b., —a 2 , există o
inversare a fazei tensiunii, dar puterea transmisă nu este afectată.
Triportul din figura 8.11 are proprietăţi ciclice de transmisie a puterii. Puterea
care intră la o poartă, se transmite în ordine ciclică spre o poartă adiacentă, aşa cum
arată săgeata circulară. Un multiport cu astfel de proprietăţi se numeşte circulator şi
are pentru triport simbolul din figura 8.11 c, cu ordinea ciclică 132. Desigur există şi un
circulator cu ordine ciclică opusă (123). Matricea de repartiţie care îi corespunde trebuie
să fie de forma
13
0
0
1
^21
0
0
.0
$32
0
■0
0
eif)i
eje°-
0
0
.0
e’ * 3
0
unde |$13| = j$21j = |$32| = 1. La o singură frecvenţă, argumentul parametrilor nenuli
poate avea orice valoare fără să influenţeze puterea transmisă şi acest lucru este
specificat prin matricea a doua. în cazul cel mai simplu toate argumentele sînt nule şi
parametrii de repartiţie nenuli sînt unitari. Mai general, fiecare din coeficienţii de
transmisie nenuli poate fi o funcţie trece-tot.
Se constată odată în plus, că normarea efectuată în (37) este perfect justificată şi
de faptul că, parametrii de repartiţie sînt legaţi într-un mod adecvat de transmisia
puterii şi de coeficientul de reflexie. în (37) normarea a fost introdusă pentru a se ajunge
la o singură matrice de repartiţie, în loc de a avea două bazate pe tensiuni şi curenţi.
Aceste interpretări simple ale parametrilor de repartiţie, în funcţie de puterea transmisă
şi de reflexii, nu ar fi fost posibile, dacă am fi continuat să operăm cu oricare din
matricele de repartiţie a tensiunilor sau curenţilor.
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
Deoarece parametrii de repartiţie au o interpretare fizică, strîns legată de putere,
procesele de transmitere a puterii se exprimă în mod convenabil în funcţie de parametrii
de repartiţie. Să presupunem un multiport cu impedanţe de terminaţie arbitrare,
conectate în serie cu sursele de tensiune, ca în figura 8.5, cu singura deosebire că
terminaţiile sînt
arbitrare. Puterea în complex, aplicată multiportului, m regim sinusoidal, va fi W =
Y*I, unde Veste complex-conjugata, transpusa, a matricei Dacă se fac unele calcule de
amănunt, înlocuind variabilele normate cu cele reale, se găseşte că expresiile pentru
putere sînt invariabile m îapo cu normarea. Astfel
W = V*!, = (a* i b*)(a—b)
(53)
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
575
= (a*a —b*b) |- (b*a —a*b).
Aici s-a utilizat (42) înlocuindu-se vectorii de tensiune şi curent normat, cu parametrii
de repartiţie. Ultimul termen in paranteza dm dieapta este diferenţa a două cantităţi
complex-conjugate deoarece :
(a*b) = (b*a)* = (b*a).
Ultima egalitate este o consecinţă a faptului că aceste pr°duse ma,tric^e sînt scalari si
transpusa unei matrice scalare este ea incaşi. Dai difeienta a două cantităţi complexconjugate este imaginara. Prin urmare puteiea
reală va fi
p _ a*a —b*b = a*a — a*S*Sa
= a*(U —S*S)a.
(54>
Eezultatul s-a obtinut înlocuind pe b cu Sa. Această
ecuaţie^ trebuie
comparată cu (19) pentru cazul
uniportului. Dm (54) se pot
stabili pai ameţi ii
de repartiţie pentru diferite clase de circuite. Mai întn sa observam ca partea dreaptă
din (54) este o formă pătratică. Introducem notaţia :
Q = U-S*S,
(55>
astfel încît:
P = a *Qa.
(56>
Fără să facem restricţii cu privire la tipul circuitului, să luăm complex _
conjugata transpusă a matricei Q :
Q*= (U—S*S)* = U—S*S = Q
(57)
Asa cum s-a mai mentionat în capitolul 1 o matrice egală cu propria sa complexconjugată, transpusă, se numeşte hermttteă. Astfel Q este o matrice hermitică.
Elementele sale sînt legate prin relaţia q u = q n , caie ceie ea elementele diagonale să fie
reale.
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
•o7G
Ne interesează următoarele clase particulare de circuite : active >i pasive,
reciproce şi nereciproce, fără pierderi şi cu pierderi. Mi se poa e spune nimic deosebit
despre circuitele active. Prm urmare ne vom concentra în principal asupra circuitelor
pasive, care pot sa fie iecipioce t.au nereciproce. Vom examina mai ales subclasa
circuitelor pasive faia pieiden . acestea pot să fie de asemenea reciproce sau
nereciproce.
în primul rînd, pentru orice circuit pasiv, puterea reala pie ua a de multiport, de
la sursele sinusoidale, nu poate fi niciodata negativa. I ec-i :
(58
U —S*S este semidefinită pozitiv
Aceasta este principala limitare a matricei de repartiţie pentru un multiport
pasiv. Relaţia trebuie comparata cu cea dm cazul umpoitului, (—
O condiţie necesară si suficientă pentru ca o matrice să fie semidefinită pozitiv
este ca principalii săi cofactori să fie nenegativi,aşa cum s-a discutat în capitolul 7.
Elementele diagonale dm matricea Q smt şi ele cofactori principali şi trebuie să fie
nenegative. Aceasta mseamna ca elementele matricei S trebuie să satisfacă condiţia :
8;j.
= .L-
i
= i - s i *y 2 > 0 -
<59,
Fiecare termen din această sumă este pozitiv. Expresia ne arată că suma termenilor
pozitivi nu poate fi mai mare decît unitatea. Aceasta mseamna a fortiori, că fiecare
termen este subunitar, sau că :
\S{j(ja)\<l.
( 60,
Aceasta este principala limitare impusă matricei de repartiţie ca o consecinţă a
pasivitătii. Aceasta ne arată că, pentru un arcuit pasiv modulul coeficientului de
reflexie, ca şi coeficientul de transmisie, nu poate sa depă şească unitatea.
.
_
.
în continuare să considerăm un multiport fără pierderi, rcrpioc sau nereciproc. în
acest caz, în interiorul multiportului nu se disipa putem Prin urmare, puterea reală
aplicată şi exprimata prm (06), tiebuie sa tie nulă pentru orice valoare a lui a. Aceasta
este posibil numai daca matncea formei patratice se anulează adică
Q = U-S*S = O
sau
577
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
că o matrice schimbă locul cu iirveisa sa).
' Pronrietătile matricei unitare impun cîteva restricţii asupra elementelor
pot fi MK. dezvoltiM produsele dm
(61) . Rezultatul
va fi :
|S2i|2+ \ S
Sj
? + --------
„are
H$»j 2 = 1
'ii I i
de unde
(62)
sau
|^-l|2+ I^j2!2+
de unde
(63)
unde t) jk este determinantul Kronecker.
Proprietăţile circuitului diport
Ecuaţiile precedenţe stabile.
titie ale multiporţilor. Yom examina in
ni arderi reciproce si
circuitul diport, limitîndu-ne asupra circuitelor faia pierden, reciproce ş
nereciproce.
.Mai întîi avînd n = 2, vom lua j = k = 1 m (62) : iar apo j în (63).
Rezultatul va fi:
!sni2+is2ir=i,
l«2l!2
37 -c. 854
I$22 1
..
= fc =
2
(64 a)
(64 b)
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
578
Seâzînd cele două ecuaţii se obţine
l$n(i«)|2 =
l$22(i«)l2-
(65)
Astfel, pentru un diport fără pierderi fie acesta reâproc modulele
coeficienţilor de reflexie la cele doua porţi
_
tat poate fi extins la frecvenţe complexe prmtr-o extintoe aiiia ica l t^ zînd simbolul p
pentru coeficientul de reflexie, rezultatul poate fi seri
astfel:
Pi(«) Pi( — «) = P 2 ( s ) P 2 (— s ) •
(66)
în funcţie de poli si zerouri rezultă următoarele. Polii şi zerourile ilor p^sW-s) si
p2(s)p2(—s) sînt identici şi apar m simetrie cuadrantala. Singurul criteriu după care
se pot separa polii şi zerourile lui Pi(s) ^^e ai f/ s) oJ-s) este stabilitatea, o^s) nu
poate avea nici un pol m semiplanul drept. Prin urmare, polii lui
s),
dm
semiplanul sting,
trebuie să fie poli ai lui Pl(«). Cît despre zerouri, asupra tă limitări impuse de
stabilitate; zerourile lui Pl(«) £(-*) pot buiti la
p , ( s ) , indiferent
dacă
sînt situaţi m semiplanul
sting sau
mcel
drept,
cusingurarestricţie, ca împreună cu simetricele
lorm i aport^cu
axa iw să alcătuiască mulţimea tuturor zerounlor lui p^s^-s). Oonsi deraţii similare
se pot face despre polii şi zerourile lui P2(s)_
_9
Să revenim acum la (62) şi să luam de data aceasta j - k Eezultatul va fi:
|$12|2 + I$22I2 = 1-
(67)
Dacă relaţia este comparată cu (64 b), găsim că
(68)
\s lt {j<*)\‘ = l$2i(i«)!2;
adică modulul coeficientului de transmisie, în sens direct ^
Iul coeficientului de transmisie, m sens mvers. Aceasta nu este surp tor pentru
circuitele reciproce, deoarece m acest caz b 12 (s) — *21(s), aai relaţia are loc şi pentru
circuitele nereciproce. De fapt, se pot gasi relaţii mai generale luînd j = 2 şi k = 1 în
(62). Eezultatul va fi.
,(iw)
(69
a
)
sau
Pl(s)
=
<69 i)
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
579
Aceasta se aplică diporţilor fără pierderi, reciproci, cit şi celor ncretiproci. Pentru cazul
reciproc S 12 = S 21; deci raportul intre S 2l (s) ş $i2(
)
fi o funcţie trece-tot. Deoarece px(s) nu poate avea poli m semiplanul drept, zerourile
acestei funcţii trece-tot trebuie să se simplifice, cu polii dm semiplanul drept ai funcţiei
p2(—«)•
O aplicaţie—filtrare sau egalizare
Cu ajutorul schemei prezentate în fig. 8.12 a se pot trata mai multe aplicaţii. Un
circuit de cuplaj fără pierderi, A, este introdus intre o sui sa cu impedanţa internă reală
şi o sarcină reală. Circuitul poate sa realizeze funcţia de filtrare sau de egalizare ; adică să
formeze răspunsul m domeniul frecvenţă într-un mod predeterminat.
N1
II
r
*2
„(
______ ___
în alte situatii, sarcina poate să fie o impedanţă Z L , ca în figura 8 12 b, iar
Fig. 8.12. Circuit de filtrare, egalizare sau adaptare.
circuitul de cuplare trebuie proiectat, pentru a realiza o adaptare cu sursa rezistivă, întrun domeniu de frecvenţe. Aceasta situaţie poate fi corelată cu prima utilizînd teorema lui
Darlington. Aceasta mseamna că, Z T poate fi realizat printr-un diport fără pierderi N 2 ,
terminat cu o rezistentă r 2 , aşa cum se arată în figura 8.12 o. Combinarea m cascada a
diporţilor A'”, şi A2 joacă rolul cuadripolului A, fara pierderi, din figura 8.1- a.
O discuţie mai restrînsă asupra acestei probleme de adaptare se va
face în paragraful următor.
Să ne concentrăm asupra problemei de filtrare sau egalizare. Ceea ce se prescrie
este cîştigul transductic de putere, în funcţie de frecvenţa.
8. PARAMETRI iDE REPARTIŢIE
580
Yom nota această funcţie cu #( o>2). Conform relaţiei (48), mf) este de fapt patratul
modulului lui S 21 . Dar |S2112 este legat de modulul coeficientului de reflexie la
intrare, prin relaţia (64 a). Prelungind analitic aceasta expre sie se poate scrie relaţia
:
Pi(*)Pi(-«) =
(70)
în care S„ a fost înlocuit din nou cu pr Dacă se dă ^(w)2, membrul drept devine o
funcţie pară, cunoscută. în aceste condiţii, mai este necesar sa se repartizeze,’ în mod
convenabil, polii şi zerourile dm membrul drept,
^Coeficientul de reflexie px şi impedanţa Z x , de la intrarea lui N terminat pe r 2 , sînt
legate prin (46), relaţie ce poate fi explici tata m rapo t cu Z 1} astfel :
a
Z x (s) _ 1 + Pi(s).
>"i
1 —Pi(s)
Prin urmare, după ce p,(s) a fost determinat din relaţia (70), impedanţa de intrare Z x
descrie o funcţie de s cunoscută, Astfel problema este redusa la o aplicaţie a teoremei
lui Darlington; se cere sa realizeze Zj(s-), prm- tr-un diport terminat pe o rezistenţă.
Pentru exemplificare, să considerăm cîştigul transductic de putere :
£(«*) = -^—•
+td6
1
Aceasta este o funcţie de filtrare de ordinul trei de tip Butterworth -Prelungirea sa se obţine înlocuind (o>2) prin s2. Dacă aceasta se introduce în (70) se găseşte.
Pi(s)Px(-s) =
1
-
^
1
=
s2)
-s
6
i_s«"
_________________
_
(l
__________________
+sja+s
+s^a-sXl-s
+
în ultima egalitate, numitorul a fost factorizat, punîndu-se în evidenţă polii din semiplanele drept si stîng.
Polii din semiplanul stîng, trebuie să aparţma la Pl(s), iar cei opuşi la pi( )■ 1^ alegerea semnului apare
însă o incertitudine. Nu există nici un argument a pnon, ca Pl(S) ar avea semn pozitiv. în concluzie p^s)
trebuie sa fie de forma .
Pl(s) =
±s;
(s + l)(s2 + s + l)
Introducind această expresie in (71) se găseşte impedanţa
Zj(s)
2s2 + 2s + l
2s3 + 2s2 + 2s + l
2s3 + 2s2 + 2s + l
2s2 + 2s + l
depinzind de semnul ales pentru px(s). Aceste impedanţe sint inverse şi realizările corespunzătoare vor fi
duale. în cazul considerat, realizarea se obţine simplu, prin dezvoltare in fracţie continuă. Astfel, din a doua
funcţie de impedanţă se găseşte :
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
581
Zi(s)
2s H -------------
s+1
Circuitul care realizează această funcţie şi dualul său sînt arătate în fig. 8.13. Acestea sînt circuite normate.
Reamintim că, matricea Z o c a impedanţelor de gol normate, se obţine împărţind fiecare element cu
Pentru a reveni la valori nenormate toate impedanţele laturilor tre
buie să fie deci, multiplicate cu \T J T V Un circuit nenormat, cu rezistenţele sursei şi sarcinii /'j şi r 2 este arătat
în fig. 8.13 c.
Fig. 8.13. Exemplu ilustrativ.
Limitări datorate capacităţii parazite
Problema circuitelor de adaptare, ilustrată prin fig. 8.12 b şi c, capătă o
semnificaţie specială în cazul particular reprezentat în fig. 8.14 a, unde impedanţa de
sarcină este formată dintr-o capacitate conectată în paralel cu o rezistenţă. Această
schemă este identică cu cea a unui circuit care lucrează între două terminaţii rezistive, Ji r
şi B 2 şi care prezintă o capacitate parazită în paralel cu bornele de ieşire, capacitate ce
poate fi
tratată ca parte a circuitului, aşa cum se sugerează în fig. 8.14 b. Aceasta situaţie
este echivalentă cu cea ilustrată în fig. 8.14 c unde capacitatea uarazită este în
paralel cu poarta de intrare.
în capitolul 6 am văzut că o astfel de capacitate conduce la unele restricţii integrale x),
asupra părţii reale a impedanţei de intrare. Vom
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
582
Fig. 8.14. Diport cu capacitate parazită restrictivă.
arăta că pentru coeficientul de reflexie există restricţii integrale similare şi le vom
utiliza, pentru a demonstra o limitare a cîştigului transductic
de PT(3ele
două situatii din fig. 8.14 b şi o sînt similare şi pot fi tratate simultan
considerînd fig. 8.15 în care B poate să fie sau S2. In pnmui caz, 2 este impedanţa de
intrare Z lf la poarta dm stingă diportului, rep e- zentat în fig. 8.14 o şi terminat pe li 2;
iar p este coeficientul de reflexie
R
-O
Pasiv
si
nedisipativ
Fig. 8.15. Circuit cu restricţii datorate capacităţii shunt.
D Aceste restricţii sînt puse în evidenţă prin relaţiile integrale dintre partea reala şi cea imaginară
a unei impedanţe (N.T.).
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
583
p! corespunzător. Pentru Ii =
% este impedanţa de intrare Z 2 , Pr*vjta
la poarta din dreapta a diportului punctat, din fig. 8.146, cu cealalta poartă
terminată pe i?*; p este
coeficientul de reflexie p2, corespunzător, în
oricare din situaţii,
Z-E ]
P=
Z+R
în mod ideal, în condiţii
de adaptare p = 0. Aceasta implică Z =B la
toate frecvenţele, sau cel puţin în banda frecvenţelor utile. Dar aceasta nu se poate
realiza riguros : această condiţie poate să fie aproximată. Dacă p nu poate fi identic
nul, cel puţin, vom cere să aibă modulul său
cit mai apropiat de zero.
„
„.
„,
*
.i
Se obişnuieşte să se definească o altă mărime legată de p m modul
următor :
atenuarea de reflexie = In
|p(j“) I
Dacă p =0, atenuarea de reflexie este infinită ; în condiţii de totala neadaptare, (72)
(cînd p = 1), atenuarea de reflexie este zero. Eezultă că maximizarea atenuării
de reflexie, într-o bandă de frecvenţe, este o măsură de optimizare a adaptării, în
această bandă de frecvenţe.
Luînd integrala de contur pentru In (l/p) în jurul conturului standard — axa
ju> şi semiplanul drept, aşa cum s-a arătat în Capitolul 6 şi cum se arată din nou în
fig. 8.16 — se obţine o restricţie integrală, asupra, atenuării de reflexie. Pentru a
aplica teorema lui Cauchy, integrandul
Fig. 8.16. Conturul de integrare.
trebuie să fe o funcţie regulată în semiplanul drept Totuşi, deşi p este o funcţie
regulată în semiplanul drept, l/p poate să nu fie regulată. De aceea vom înmulţi pe 1/p
cu o funcţie trece-tot, A(s), în modul următor.
1
. . . Z+R
(s Si) (s #2) * ‘ * (^ *«)
pZ—R (S-t"®l) (S"i"®2) ’ '' H ^n)
-
(73)
fiecare s k fiind un pol al lui l/p din semiplanul
drept.
Funcţia obţinută este regulată în
584
8. [PARAMETRI
DE REPARTIŢIE
semiplanul drept şi acum se poate efectua integrarea. Vom avea contribuţii la integrale de
contur, din interiorul semicercului infinit şi de pe axa imaginară. Pentru a le evalua pe primele
să observăm că dacă s->oo, Z->l]sC, datorită capacităţii shunt. Aşadar,
+ B
sC
Z + B
1+
Z—B s ^'°l_
sC
B
s«-!
£^+
BCs
Funcţia trece-tot tinde către
^(*)
2S
(75)
8*+#"
în consecinţă
1
0
A(8)
(76)
Sh
1+ -
Semnul negativ din faţa membrului drept ne arată că vom lua logaritmul lui — A ( s ) j p în loc de
-\-A(s)lp. Apoi, deoarece ln
pentru
<1,
H
^(*)
ds-
l
Î'2 TZ (—-—
\ BC
~ £ = -i2
s \ BC
unde C este semicercul infinit care face parte din conturul standard iar i dsjs = jn.
în lungul axei imaginare,
( ln [ -------------- — jdu> = [ ln — jd(£> + î
3-«o L P(jco) .
.
P
3
r°°
1
: j 2 \ ln ----------- dio.
•o I P I
jarg
A(ju)
j doi =
p(iw)
(78)
Prima egalitate provine din faptul că modulul unei funcţii trece-tot este unitar pe axa j<o, astfel
că ln | J.(jw)/p(jw) | = ln 11 / p [. Ultima egalitate
8.4. PROPRIETĂŢI ALE MATRICEI DE REPARTIŢIE
585
rezultă din faptul că funcţia de co, ln|l/p| este pară, iar argumentul este
o funcţie impară de u.
Conform teoremei lui Cauchy, suma termenilor, dm membrul stm&
al ultimelor două ecuaţii, trebuie să fie zero. Prin urmare
(79)
Să reamintim că s k este un pol al lui 1/p, situat în semiplanul diept, aşadar partea sa
reală este pozitivă. Suma tuturor acestor poli va fi prm urmare pozitivă, Dacă l/p nu
are nici un pol în semiplanul drept, aceasta sumă se anulează. Deci rezultatul final va
fi
(80)
Aceasta este o limitare fundamentală asupra atenuării de reflexie (sau a
coeficientului de reflexie), atunci cînd diportul de adaptare este shuntat
la o poartă de o capacitate.
Această retricţie impune limitări şi asupra cîştigului de putere trans- ductică.
Pentru a ilustra aceasta să presupunem că banda frecvenţelor utile este domeniul
frecvenţelor joase 0 ^ co ^ wc, care reprezintă banda de trecere restul scării
frecvenţelor constituind banda de blocare. Ambele benzi vor aduce contribuţii la
integrala din (80). Situaţia cea mai avantajoasă are loc, atunci cînd 1/p nu are poli în
semiplanul drept şi modulul lui p, fie aceasta | p 0 j este constant în banda de trecere.
Atunci
în afara benzii de trecere, va fi o neadaptare totală şi I p I ya fi î n m°d ideal egal cu 1. în
realitate, deşi valoarea sa va fi mai mică decît 1, ya trebui să fie apropiată de 1. Prin
urmare, In 1/1 p | va fi un număr pozitiv, mic, în mod ideal zero. în consecinţă,
integrala de la coc la oo va fi pozitiva, iar (81) va da:
In — < ------------ - ----- sau -1 - < z^ RC
! p01 wc.KO
|Pol
jPo|>£
(82)
586
8. [PARAMETRI DE REPARTIŢIE
Dacă această expresie se combină cu (64), pătratul modulului lui S n devine
|flai(j«)|a5Sl- e-2W°.
(83)
Aceasta impune o limită superioară pentru eîştigul transductic de putere,
|£21(jco)|, care poate fi obţinut într-o bandă largă de frecvenţe, chiar dacă presupunem
că, este posibil să se obţină o valoare constantă în toată banda de trecere. Cu cît banda
frecvenţelor utile este mai largă, cu atît limitarea impusă de o capacitate fixă de
shuntare, devine mai severă. Să notăm că, rezultatul obţinut aici este valabil pentru
fig. 8.14 c; dar se aplică, ţinînd seama de (65) şi (68) şi la fig. 8.14 b.
8.5. NORMAREA IN COMPLEX
Parametrii de repartiţie pe care i-am tratat pînă acum erau definiţi pentru un
multiport, cu terminaţii rezistive. Normarea a fost efectuată în raport cu aceste
numere. Să presupunem că terminaţiile unui multiport nu sînt rezistenţe, ci
impedanţe; în ce mod le vom norma? Ne vom ocupa acum de această problemă
generală. Pentru simplificare vom ilustra aceasta cu un diport, iar rezultatele se vor
aplica în formă matriceală şi unui multiport general.
b
a
Fig. 8.17. Diport cu terminaţii oarecare : (a) —
cazul general; (6) — cazul adaptat.
Situaţia de care urmează să ne ocupăm este ilustrată cu diportul din fig. 8.17.
Impedanţele de terminaţie sînt strict pasive, cu părţi reale pozitive :
587
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
i
rM_
V"1
L^J
+
01
1
Aceste părţi reale joacă acelaşi rol, ca şi rezistenţele de terminaţie mai înainte şi ele
sînt reprezentate de matricea diagonala, definitiva pozitiv în (24). Din fig. 8.17 a putem
să scriem :
0 02 L^
J 2 -
ceea ce se poate generaliza pentru un multiport astfel:
(85)
v = V + zi = (Z0 0 + z)I.
Acesta poate
Z0.I.
Termenul din dreapta rezultă prin substituţia \ fi
comnarat
cu
(25) pentru terminaţii rezistive.
Acum să presupunem că multiportul este adaptat cu impedanţe e de terminaţie,
la toate porţile simultan, adică impedanţa vazuta la P°“ j a multiportului este 2j.
Această situaţie este aratata pentru dipoitul din fig. 8 . 17b. Din fig. 8.17 rezultă că
' zt 0 '
"
to
i
O
l
J
r
O
r^ii
V
.Is.
sau Y= zi {la adaptare)
(86)
Ca şi mai înainte, se definesc tensiunile şi curenţii incidenţi, ca fiind tensiunile şi
curenţii la o poartă în condiţii de adaptare, adica V 4 ş I; = I, la adaptare. Prin urmare,
generalizînd ultima ecuaţie şi mtroducînd-o în (85) obţinem :
(87 a)
I1 = î.r-in»
V,. = zl4 = i zr_1 Vff,
(87 b)
deoarece z + z = 2r. Aceasta poate fi comparată cu relaţia (82) pentru terminaţii reale.
Cerinţa de adaptare simultană la toate porţile, care cere ca Z să fie conjugată
impedanţei de terminaţie z, nu poate fi satisfăcută la toate frecventele, ci la o singură
frecvenţă. Prm urmare, procedeul care va fi descris aici este strict aplicabil la o singură
frecvenţa, care poate sa fie orice punct al axei jco. Acelaşi procedeu poate fi utilizat,
fara eron prea mari, şi în aplicaţiile cu bandă îngustă de frecvenţe. ^ ^
Definim din nou variabilele reflectate, ca deviaţiile în raport cu valorile de la adaptare
conform (27). Dacă aici se introduc (85) şi (87) şi se
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
588
fac cîteva calcule, ale căror detalii sînt lăsate în seama cititorului, variabilele incidente
şi reflectate devin
Vi = Yzr_1(V + zi),
(88 a)
Vr = | zr-MV-zI),
(88b)
I. = i*-i(V + zI),
(88 c)
Ir = •§• r-i (V - zi).
(88(7)
Observăm că şi aici expresiile pentru tensiuni sînt oarecum mai complicate decît
cele în raport cu curenţii.
Să introducem acum normarea tensiunii, curentului şi a impedanţei. Pentru
normarea curenţilor înmulţim cu r1^ iar pentru normarea tensiunilor înmulţim cu r~1/2.
Impedanţele se normează în concordanţă, cu (39b). Variabilele normate incidente şi
reflectate devin :
rl/* h = 1 (VB + z„ Ib) = I (Zn + zj In,
(89 a)
r-1'* V, = | z„ (VB + zB IJ = | z„ (Z„ + zj l„
(89 b)
T\lr = 1 (V„ -zn I„) = I (Z„ - zB )I„,
(90 a)
.şi
T-™ \\ = iz„ (V„ - z„IJ = }z„ (Z„ - z„) I,.
(90 & )
unde z„=r~llt = [^-/r,]- Să examinăm cu atenţie aceste expresii. în cazul terminaţiilor
reale, ambele mărimi din (89) sînt aceleaşi şi sînt cele notate în (37) cu a. La fel în (90),
pentru terminaţii reale ambele mărimi sînt aceleaşi şi au fost notate mai înainte cu b.
Desigur, aceasta nu mai este adevărat pentru terminaţii complexe. Observăm că, dacă
se ia z real, cele două expresii (89) se reduc la a, iar cele două relaţii (90) la b, din (42).
Se pot defini două matrici de repartiţie diferite, una pentru curenţi •şi una
pentru tensiuni. Vom defini în mod arbitrar a şi b ca fiind curenţi ■normaţi, incidenţi,
respectiv reflectaţi. Astfel din (89) şi (90) obţinem
a = r1 / 2 I, = t (V„ + MJ= 1 (Z„ + zj I„,
b = r 2 Ir = r (V„ - z„ I B ) = T (Zn - zj l n .
v
(91 a)
(91 b)
589
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
Vom defini acum matricea de repartiţie S, ca mai inainte prin rclaţia b = Sa. Daca se
înlocuiesc a şi b din (91), putem gasi matricea de lepartiţie din relaţia
£(Zn — z„)I„ = S| (Z„ + z„)I„
S = (Z„ - zj (Z„ + zj' 1
Aceasta trebuie
(92)
comparată cu (41) pentru cazul
Observăm că (Z -fzj- 1 este matricea admitanţelor noi mate a circuitu lui mărit, Y a„.
Rezultă că adunînd şi scăzînd z„ în primele paranteze din (92), această expresie poate
fi scrisă ca
S = U - 2 Ya„,
deoarece
zn+zn =
(93)
2U. Aceasta este o expresie
similară
cu (40) pentru
cazul terminaţiilor reale.
A
Se poate defini o altă matrice, fie aceasta S, pentru variabilele tensiunilor,
normate, scriind
V,.
Ţinînd
seama de
(89) şi
(90), se găseşte :
S = zM (Z„ — zj (Zn + z„ ) _ 1 zre -1.
(94)
Comparînd aceasta cu (92) se găseşte legătura dintre cele două matrice în forma :
‘z, z„S.
(95)
Datorită complexităţii relative a matricei de repartiţie a tensiuni lor S, s-au
ales definiţiile pentru a şi b şi pentru
în modul arătat. Mai potrivită chiar, se dovedeşte a fi
,/
Pentru a arăta aceasta să explicitam m (91) pe Vm şi I„, m func,
,
Astfel
V, = i,a + z„t>,
I = a - 1.
<96 °>
(»« »>
dpoirece z 4 - z = 2U. Acestea nu sînt chiar aceleaşi relaţii cu cele d?n (42? pentru
cazul terminaţiilor reale. Totuşi, daca se formeaza expresia pentru V*„ IM ca şi în
(5 3 ), expresia pentru partea reala corespunzătoare
590
8. (PARAMETRI iDE REPARTIŢIE
în funcţie de matricea de reparatiţie definită aici, va fi exact aceeaşi ca şi în (54).
Prin urmare, proprietăţile matricei de repartiţie stabilite în § 8.4 se aplică şi
matricei de repartiţie S dată de (92). Aceasta este deci o extindere potrivită a
variabilelor de repartiţie şi a matricei de repartiţie, pentru cazul normării complexe.
Normarea independentă de freevenţă
Discuţia precedentă referitoare la normarea complexă, fiind bazată pe adaptarea
optimă în regim permanent sinusoidal, este valabilă pentru
o singură frecvenţă. Yom extinde discuţia la semnale arbitrare şi pentru toate valorile
s. în fig. 8.18 se arată un diport, care reprezintă un multiport oarecare, alimentat de
surse de tensiune arbitrare, prin impedanţe de terminaţie în cazul general
’
v,(s)
= v(s) + z(s)I(s)
(97 a)
(97 b)
= [Z0#(s) + z («)]!(«)
o
o
Fig. 8.18. Adaptare în cazul general cu semnale arbitrare şi impedanţe de
terminaţii pasive.
Fie :
Aceste relaţii sînt identice cu (85) cu observaţia că se aplică la orice s.
r(s) = £{z(«) + z( —*)};
(98)
adică rx(s) şi r2(s) sînt părţile pare ale zt(s) z2(s). Deoarece r(s) este par, t(—s)
=r(s); nu vom scrie argumentul (variabila) pentru r, decît pentru a evidenţia dependenţa de
acesta. Fără să ne preocupăm de adaptarea în putere reală, să ne referim la o situaţie
specială în cazul unui diport şi anume :
’
sau Zoc (s) ==
z( — s).
(99)
591
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
Să considerăm aceasta ca o situaţie de referinţă şi să o numim condiţie de
adaptare1'. Dacă s = jco, r este chiar partea reala a z(*)*
Ca şi mai înainte, se definesc tensiunea şi curentul de incidenţa ca fiind
tensiunile şi curenţii în condiţii de adaptare adica V, (*)
( )
rezulta
Şi l ( s ) = 1 ( 8 ) , atunci cînd Z o c = z(-s). Dm fig. 8.18 şi dm (97)
I.(S) = | r"1V, (*) = i r-1 [V(«) + z» I (#)]•
kV,(»)
(100 a )
= z( -» I,(«) =:i z ( -»r"iv,(s)
= \z{—s)r_1 [V(s)+z(s)I(s)],
(100 b)
1 Se definesc din uou, variabilele reflectate « deviaţii de ia situaţi»
de referinţă (adaptare), ca şi mai înainte. Introducmd (100) şi (97) m I r = I.—I şi în Vr
= V—V( obţinem
Ir (,)]= J r-1 [V ( s ) ] - z (- «) I(*)]
(101 a )
V, (s)’= f z ( s ) r_1[V (*) - z( - s)I(s)].
(101 b )
Să comparăm aceasta cu (8 8 ); observăm că_z a fost înlocuit cu z(-«).
Dacă * = jco, *(-*) =*(-]<*) =«[(j«)l= ZV-*7 T Atunci O altă expresie utilă se
obţine punmd V — Locl. Atunc
I. = [Zoc ( s ) + z(«)] I(«)
Ir =
(«)
v<
(s) = z"( “ s) (s)’ (102 a )
- z (
- *)]I(«) Vr
(«) = z («) J, (*) ( 1 0 2
Ca si mai înainte, etapa următoare este normarea. Totuşi acest
S = E E ~£ 3 ES |S S
X i Acum T i s ) este o funcţie pară de s. Extragerea rădăcinii patrate nu tlesteaStde
simplă. Să facem aici o digresiune pentru a examina proP1 'ietlăSMncep?miu
matricea de impedanţă z ale cărei elemente sînt funcţii
*<•>-!$
<io3)
„Theory o, SS^A’fSSS?.
«SSfSTSJWSJ ftWSWS*
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
592
Deci
ri (s) = £
%(«) M
. ds(s) + ăj ( — s)
*)
n}(s) d} ( — 8 ) + n} (- 8 ) djjs) M} (8 ) ^ ( —
(104)
8)
Atît numărătorul cît şi numitorul termenului din dreapta sînt polinoame pare de s. Prin
urmare, zerourile lor apar în simetrie cuadrantală. Să definim o funcţie /^(s), avînd ca
zerouri şi poli, zerourile şi polii funcţiei rj(s), situaţi în semiplanul sting. Funcţia/,- (—s)
va conţine în acest caz, toate zerourile şi polii lui rs (s), din semiplanul drept.
Astfel
(105)
■M«) = /*(*)/*( — «)•
Fiecare funcţie fj(s) şi fj(—s) este un fel de „rădăcină patrată” a lui r^s), deoarece produsul
lor conduce la r}(s).
înainte de a trece mai departe să considerăm un exemplu simplu. Să presupunem că este o funcţie realpozitivă
zj(s) =
s + 1
Deci
s+4
-s + 4
\
(i + 2)(s-2)
-f 1
-s-f 1
I
(S + l) (S-l)
Tj (*) = § ------------ h ---------------- = ------------------în mod evident,
s+2
s - 2
f j (s) = ----------- . f i (- s ) = --------------------s-i-l
s—1
Constatăm că pentru s = jco, părţile reale ale acestor două funcţii sînt egale; deci pentru
normarea complexă la o singură frecvenţă, oricare din ele este potrivită.
Am considerat aici un singur element al matricei r . în formă matriceală relaţiile
stabilite devin
r(8)
= f(8 ) f(- 8 ) ,
(106)
relaţii în care f(s) este o matiice diagonală, la care fiecare elemente nenul este o fracţie
raţională, avînd atît la numărător cît şi la numitor polinoame Hurwitz.
8.5. NORMAREA IN COMPLEX
593-
Să revenim acum la discuţia principală. Tendinţa noastră este să normăm,
înmulţind curenţii cu „rădăcina patrată” din r(s), dar care „rădăcină patrată” trebuie
aleasă, f(s) sau î(—s) ? în alegerea noastră este determinantă dorinţa ca, variabilele
de repartiţie ce trebuie definite sa conducă la o matrice de repartiţie, care să satisfacă
relaţiile fundamentale relative la cîştigul de putere, date în (54). în acest scop se
generalizează conjugata unui vector, HiîtkMh locul ei vectorul în ( — s). Astfel..
V devine V (— ,v), care se reduce la V pentru s = Este deci util să se scrie o expresie
pentru putere şi de aici să se deducă normarea necesară, în prima etapă se
explicitează tensiunea şi curentul din ( 1 0 0 a) şi ( 1 0 1 a), ca funcţii de tensiuni şi
curenţii incidenţi şi reflectaţi. Rezultatul va fi Y(s) = r(s) tl«(») + I,(*)],
I(«) = I<(S) - Ir(«)Apoi formăm V'(—s)I(s) şi luăm partea pară, P. Obţinem
P = Par [V'(—s)I(s)]
= Par [IJ(-*)r + i;(-*)r] [I((s) - I, (*)]
= Par [X (#)] + Par [Y (*)]
unde
x (*) = ij (-*) n, («)«-1; (-*) nr (*),
Y (s) = i;(— s)rl4(s) — I-(—s) rlr(s).
Observăm că r este matrice diagonală şi deci r = r. Prin eialuaie diiectă se găseşte că:
X (—s) = X ' ( s ) = X(s),
Y (—s) = -Y'(«) = - Y (*),
deoarece X şi Y sînt matrice diagonale. Prin urmare X_(s) este pară, iar
Y (s) este impară. Rezultă că
p = ia-^njs) -i;(-«)ri r («).
(io8>
Vom defini matricea de repartiţie a curentului prin
M*) = szM«)
38 - c. 864
(109>
şi o vom introduce în (108) obţinînd rezultatul
P = l ' t ( - s ) [r-S^-aJrSjWlM*).
Beamintindu-ne că r = î(s)f( — s), această expresie poate fi pusă sub forma (54) numai în
modul următor :
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
594
p = mu-s)]' {u-[î-v)s;(-«)!(-«)] [f(*)s,(*);f-i(-*)]}f(-*)!,(«)].
(110)
Acum e clar! Trebuie să definim variabilele de repartiţie a şi b, ca variabile normate
ale curnetului incident şi reflectat şi matricea de repartiţie S ca matrice de repartiţie a
curentului, normată după cum urmează :
a(s) = î (-*)It(s)
b(8) = f(*)Ir(»)
(lila)
(IU»)
S = f(s) s2 (s)f-i(-s)
(1 1 2 )
[Ecuaţia (1116) este justificată, dacă se înmulţeşte (109) cu t(s) şi se utilizează
expresiile pentru a(s) şi S]. Atunci (1 1 0 ) devine
P = a' (-s) [U - S' (-s) S («)] a (*).
(113)
Pentru (s = jco), această expresie se reduce la puterea de intrare aşa cum este dată în (54),
pentru cazul normării reale. Aşadar, matricea de repartiţie definită prin (112) şi (109) are
proprietăţile discutate în paragraful 8.4 pentru normarea reală.
A mai rămas să găsim expresia pentru S, în funcţie
de Z0c şi impedanţele
de
terminaţie. în acest scop să revenim la (1 0 2 )
şi să utilizăm
(109) , pentru a determina matricea de repartiţie a curentului.
S, - r- 1 [Zo 0 (s) - z(-*)] [Zoc(s) + z ( s ) T 1 r
= [Z0 0 (s) + z (s) ] " 1 [Zoc (#) - z (-8 )]
(114)
= U-2 Ya(8 )r,
unde Y0 este matricea de admitanţă (nenormată) a circuitului mărit
Y„(s) = [Z„c(8 ) + z(s)]-1.
(115)
595
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
Introducînd relaţia (114) în (112) se obţine matricea de repartiţie
s = f(«) [Zoc (s) +z(s)r1[Z0C(s) -
Z(-*)]I
M-fi) = î(s)r1(-s) -2f (*)
(116)
Y0(s)f(s).
Să comparăm aceasta cu relaţiile (92) şi (93) pentru cazul normării complexe la o singură
frecvenţă.
^
Constatăm că în cazul normării complexe independente de frecvenţa expresia
pentru S este ceva mai complicată, decît expresia pentru matricea de repartiţie la o
singură frecvenţă.
Pentru un uniport avînd o impedanţă Z(s), coeficientul de reflexie pentru curent 9l se
obţine din (114), observînd că matricele dm aceste expresii sînt, în cazul uniportului,
scalari. Astfel,
Pi(s)
(117)
Z (s) — z (— s'
Z (s) H- *(*)
Coeficientul de reflexie însuşi, aşa cum rezultă din (116), diferă de aceasta expresie
prin funcţia /(«)//(-*), care este o funcţie trece-tot, Astfel
p(«) =
(118)
£(*)-!-*(*) /(-») unde A(s) =f{s)lf(—s) este o funcţie trece-tot.
Exemple
Să considerăm de exemplu uniportul din fig. 8.19 terminat cu R şi C în paralel. Atunci
r(s) = | [z(s) -|- z(-s)]
z(s) =
G -f- sC
m=
K-s) =
G - sC
+ sC
Fig. 8.19. IlustrareaGcoeficientului
de reflexie al unui
uniport.
(G + sC) (G - sC)
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
596
Din
(117)
se
1
(G-sC)
?lis)
coeficientul de reflexie al curentului
găseşte
Z(s)
(G — sC) Z (s)~l
=
(G + sC)Z(s)+l G-sC
G + sC
1
Z(s) +
(G + sC)
în sfirşit din (118) se găseşte coeficientul de reflexie
m
p(s) = Pz(s)
j(G-sC) s) = (G—sC) Z (s) —1
K-*) x«l(G + sC)
(G+sC)Z(s) + l
Să considerăm un alt exemplu arătat în fig. 8.20, pentru ilustrarea normării complexe,
independent de frecvenţă. Un girator este terminat la o poartă printr-o rezistenţă, iar la •cealaltă poartă
printr-o impedanţă
s+4
s+1
•Giratorul are o matrice a impedanţelor de gol : prin urmare se poate scrie
•4
'0 — 2
ZQC —
’z=
0
.2 0.
0'
s+4
s+1.
-4 -2 '
— (Zoc + z) 1
—
's+4
2 5+4
—
L5+1J
s+1 -|
8(s + g)
4(s + |)
-(s + 1)
s+1
L 4(« + |)
2(s + |) .
Impedanţa de terminaţie z2 este aceeaşi ca şi cea prezentată imediat după relaţia (105). .Aşadar, funcţiile
f(s) şi i~1( — s) sînt :
-2 0 •
f(s) =
o -+2
.s+1.
’i o ’ f-1( —s) =
o -s+1
. —s+2 .
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
597
598
8. (PARAMETRI IDE REPARTIŢIE
Introducînd relaţiile de mai sus în (116) se obţine matricea de repartiţie
20
S=
2
—s+1
0
.. -5 + 2 J
s+2
o
_ si 1 .
0
(s+4)
s|2
s+1 J
-2(s+l)
2(s + l)
4(s+l).
Constatăm că S22 este egal cu Sn înmulţit
pe axa jo>, sînt prin urmare aceleaşi.
sînt satisfăcute. Puteţi verifica că şi
asemenea satisfăcute.
cu o funcţie trece-tot; modulele lor,
Ecuaţiile (65) şi mai general (66)
relaţiile (64), (67), (68) şi (69) sînt de
Amplificator cu rezistenţă negativă
Vom analiza în continuare, pentru ilustrarea aplicaţiilor parametrilor de
repartiţie, un circuit a cărui analiză şi proiectare se simplifică considerabil prin
ultizarea paremetrilor de repartiţie. Dezvoltarea amplificatoarelor cu rezistenţă
internă negativă a fost impulsionată de apariţia diodei tunel, al cărui model linear
simplificat este prezentat în fig. 8 .2 1 a. în fig. 8 . 2 1 b se arată un model mai complet,
dar pentru multe aplicaţii modelul mai simplu este mai potrivit.
L
■C
a
0
b
Fig. 8.21. Modele ale diodei tunel.
Fig. 8.22. Amplificator cu rezistenţă negativă.
20
—0
2
8(* -1- f)
0s+2
. s+1 _
599
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
Impedanţa modelului simplu al diodei tunel este :
ZA»)=-
-G+sC
Aceasta nu este desigur o funcţie real-pozitivă. Să
-ZA-s):
-1 1
■ Z<i ( s) —
-G-sC G + sG
considerăm funcţia
-Z(s),
care este o funcţie real-pozitivă: impedanţa dipolului G în
paralel
cu
C.
Aceasta este de fapt, o exemplificare a unei proprietăţi mai generale, care poate fi
formulată după cum urmează. Fie Zd(s) impedanţa unui circuit activ, alcătuit din
inductanţe şi capacităţi pozitive şi rezistenţe negative. Fie Z(s) impedanţa circuitului pasiv
obţinut prin modificarea semnului fiecărui element. Avem Z(s) = —Ză(—s). Demonstraţia
acestui rezultat este lăsată în seama cititorului (vezi problemele P.30 şi P.31).
Acum să presupunem că o diodă tunel, reprezentată prin modelul din fig. 8 . 2 0 a este
conectată la o poartă a unei reţele triport fără pierderi, aşa cum se arată în fig. 8 . 2 2 a. Să
considerăm impedanţele de normare la cele trei porţi, care vor fi zx = Blf z2 = B2 şi z3 =
lj{G+sC). Astfel, porţile 1 şi 2 sînt terminate pe impedanţele de normare, în timp ce poarta
3 este terminată printr-o impedanţă za (s), legată de impedanţa sa de normare prin relaţia
za(s) = —zs(—s). Relaţiile de repartiţie ale triportului pot fi scrise astfel
’
61 =
62
—
b3 =
$21 ^1
-f"
$22 a 2
$n «j -p
"1“ $23 ^3 5
$ 3 1 ax -f- $g2 a2 -j- $3 3 ^ 3 •
S12 a2 -f- S13 a3,
(119
a)
(119
b)
(119 c)
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
în alt mod, dacă terminaţia la poarta 3 este
^
inclusă;n{2ţ6g
partiţie ai
diportului. Prm definiţie
sîi(i«) = - «!
1
.. ..
.
fif1 s(.7 'M) £3 i(j“) .
(1 2 0 }
Prima egalitate se obţine din (119 a), luînd a2 = 0.
3 din fig. 8.22 a este închisă cn o impedanţa, ^ Pproblemei P. 27. conjugata impedanţei
de normare, avem ,
. 1,11Q ,
A doua egalitate din ultima ecuaţie rezulta din (119 c)•
■Printr-o tratare similară se pot obţine ceilalţi pari^metri de repa*-toge, din
fig 8 . 2 2 b. Rezultatele sînt date în continuare, calculele de detaliu f lăsate pe seama
cititorului:
8
«11 -
S„S„ - s, A
’
o
s; «ifcjSiAl,
1
Sm
(121)
33
..
+s a s «
8„s„
.
s7,
j- • „4 -„i
=^Aî±5=$â» .
s»
jjr,fio- s 99 este fără pierderi, matricea
sa de repartiţie
devin :
$22( — M. $ 1 1 0 «) -
o» (lV) =
Sî,(ja)=- a x
^33(J“)
#3 3 (jco)
,
^2 (j«)
iSf!. f Iul = , — ^2 l(
(122)
= ţrrr
S33(j<*)
Aceste
ecuaţii ne dau legătura, între coefkdenţii de reflexie de^repart^^0 a^triportiSS^fără&
pierderi.^Cîşt^i^ tonsductic de putere
600
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
al amplificatorului este â?(co2) = |$2 i(jco)|2, care se obţine conform relaţiilor de mai sus :
’
<?(co2) = | Sâ(jto) |* =
l$3 3 (J“)l2
’
(123)
deoarece 1$12( — jco) | = | $1 2 (jco) |. Deoarece N este un triport fără pierderi, l$i2 (j«)l2 <
!•
Deci
'
,124
>
Dar $ a 3 este coeficientul de reflexie la poarta 3, la bornele căreia apare~o capacitate. Prin
urmare, aşa cum s-a discutat în paragraful precedent, există o limitare de principiu a
acestei funcţii, aşa cum rezultă din (80), luînd aici $33= p. ’ ’
Proiectarea optimă într-o bandă de frecvenţe, O — coc, dată, se obţine dînd lui
|$1 2 (jco) | valoarea constantă, maximă, în banda de frecvenţe dată şi făcînd ca |$ 33( jco) |
să fie constant. Valoarea maximă pentru |$12( jco) | este 1 . Cu limitarea dată de (82) se
găseşte eîştigul transductic de putere, care trebuie să satisfacă relaţia
^(co2)
<
(125)
în care B = 1/0, în fig. 8 .2 2 . Aceasta este limitarea principală a produsului „cîştig-bandă”,
care depinde numai de parametrii diodei tunel.
Să revenim la proiectarea triportului. Să presupunem că triportul din fig. 8.22 a
este un circuit reciproc. Dacă |$i2 (jco)|=l într-o bandă de frecvenţe, toţi ceilalţi parametri
de repartiţie se vor anula la aceste frecvenţe. (Vezi problema P.36). Rezultă că nu se poate
obţine un triport reciproc, care să nu degenereaze într-un caz banal, prin proiectarea optimă prezentată.
Să considerăm triportul circulator arătat în fig. 8.23 a. Matricea sa de repartiţie,
normată în raportcu rezistenţele 1\, r2 şi r3, unde r3 este
un număr real,
arbitrar,
este :
’
0 10
0 0 1 10 0
(126)
Aici $ 1 2 este identic 1 : dar ceilalţi parametri ai circuitorului nu sînt potriviţi,
pentru a face din circulator triportul dorit. Dacă se ataşează altceva la poarta 2, atunci S12
nu va mai fi 1 . Aceasta menţine poarta 3 nemodificată.
’
601
8.5. NORMAREA ÎN COMPLEX
Să considerăm schema din fig. 8.23 b. Aceasta constă dintr-un circulator avînd
la o poartă un diport reciproc W. Fie matricea de repartiţie S a diportuiui de forma
$11 $12 A A
S
$21 $22
-e
a.
Fig. 8.23. Amplificator cu rezistenţă negativă, nereciproc.
fiind normată în raport cu r3 şi z3 = l^O+sG), la intrare şi respecth ieşire r, este
acelaşi ca şi rezistenţa de normare a circuitului la poarta 3. Bămîne să exprimăm
matricea de repartiţie a întregului triport m funcţie
de parametrii Sc şi S din (126) şi (127). Aceasta se poate face utilizînd rezultatele din
problema P.24. Detaliile de calcul revin cititorului; rezultatul este
)1 0
$u 0 $ 1 2
s „ o k,
în fine, matricea de repartiţie pentru întreg amplificatorul cu rezisS
tenţă negativă (cea>otată cu S'), se
(128)
obţine utilizînd (1 2 2 ). Astfel,
$,
-j«)
$ 2 2 (iW)
S'
$ 22( i w )
(129)
8. (PARAMETRI iDE REPARTIŢIE
601
Ambii coeficienţi de reflexie sînt nuli, ceea ce arată că amplificatorul este adaptat atît la
intrare, cît şi la ieşire. Dacă se utilizează (65), se constată că coeficientul de transmisie
invers, S’12 are modulul unitar Coeti- cientul de transmisie, direct, al amplificatorului
este legat numai de coetic'icn\M\ Tellexvfe de I-a.
al
ÎT.
Âstiel,
n<*2) =
—
(iso)
|#2 2 (j“ ) | 2
Problema de proiectare poate fi formulată acum după cum urmează. Se alege o funcţie de
cîştig ^(w2), care să fie supusă limitării cîştig bandă
A
din (125) şi care să maximizeze funcţia 1 / |$2 2 (jw) |2. Apoi, apare problema
A
A
determinării diportului A, din | S22(jio) |2, care să fie terminat pe r3 la o poartă şi pe
dioda tunel la cealaltă poartă, aşa cum se arată în fig. 8.24.
•A
II
N
A
Fig. 8.24. Diportul N, care trebuie proiectat.
Problema nu este la fel cu cea a filtrului discutat în paragraful 8.4x). Din
A
A
|$2 2 (jco) | 2 este necesar să se găsească S22{s). Această funcţie este legată de impedanţa
Z, privită de la poarta 2 a lui A- prin (118), în care p joacă rolul
A
A
lui 8a2. Diportul A poate fi găsit apoi din Z.
în această tratare sumară s-au ignorat o serie
de
probleme legate
A
de alegerea potrivită a lui S22{s) din modulul său la patrat, deoarece acesta nu este un
proces unic. Amănuntele acestei alegeri ne-ar fi [dus în afara problemei noastre şi de
aceea nu au fost dezvoltate aici.
PROBLEME
P! şi
Ş J ?2-
PI. Doi uniporţi avînd impedanţele Za — fa(s) şi Zb =
/j(s) au coeficienţii de reflexie
p2- Să se găsească coeficientul p al uniportului arătat în fig. 8
PI în'funcţie de px
/■ \ — fa(s)> ^3 fb(s)
Z=—
2
13
fb (*) ’ Z* ~ fa 0)
_
13
) Diferenţa esenţială provine din faptul că aici este vorba de neadaptarea dintre o funcţie real-pozitivă şi o
impedanţă real-negativă, care este impedanţa diodei tunel. în acest
A
caz S22 nu mai este o funcţie cu modulul limitat (N.T.).
PROBLEME
603
Fig. 8.PI
P 2. Sensul undelor de incidenţă şi de reflexie este asociat cu ceea ce se consideră a fi direcţia
fluxului de putere. în figura 8.P2 a se arată un uniport, cu sistemul obişnuit de referii ta pentru tensiune şi
curent. Coeficientul de reflexie pentru acest uniport este px. In fig. 8.P2JJ curentul prin uniport este inversat. în
aceste condiţii, se considera ca uniportul debitea putere, în reţeaua conectată in stînga bornelor. Să se
găseasca noul coeficient de reflexie p2, în funcţie de Z şi Pl.
, a2
-f
a,
fi, b, V,
z
A
I-
Fig. 8.P2
P 3. în text s-a arătat că S=U-2Yan, unde Yan este matricea y normată a mărit, în ipoteza că multiportul
are o matrice a admitanţelor de scurtcircuit. Sa se dmonstre e acest rezultat pentru circuitul mărit fără a
face ipoteza menţioanta.
P 4. Să se arate că S = 2(U + YK)-1 ” *J.
p
5. Se consideră un triport, nedisipativ, nereciproc, adaptat. Pornind de:1a forma generală a
matricei de repartiţie şi utilizind proprietăţile multiporţilor ^^‘P^YtTnortuluî taţi, să se determine
elementele matricei de repartiţie. Se poate identifica clasa multiportului
din această matrice de repartiţie?
P 6. (a) Să se scrie matricea de reapartiţie care reprezintă un circulator cu patru
porţi
(b) Se consideră transpusa matricei obţinute şi se cere să se arate, ce fel de circuit cu patru porţi ii
corespunde.
P 7. în fig. 8.P7 se arată două surse controlate care nu pot fi reprezentate prin împe- danţe sau
admitanţe. Să se găsească matricele de repartiţie pentru aceşti diporţi.
604
8. (PARAMETRI iDE REPARTIŢIE
Fig. 8.P7
P 8.
în fig. 8.P8 se arată două surse controlate. Una din ele nu poate fi reprezentată prin impedanţe,
cealaltă prin admitanţe : ambele posedă însă o matrice de repartiţie. Să se găsească aceste matrice.
h
a
b
Fig. 8.P8
P 9. Utilizînd relaţia (41) din text, să se găsească parametrii Sn, S]2, S21 şi S2, ai unui diport, in funcţie
de parametrii z.
Diporţii pasivi, simetrici sînt definiţi prin relaţia zu=z22, Utilizînd rezultatele problemei 9, să
se arate că un diport simetric are S11=S22.
Diporţii pasivi, antimetrici sînt definiţi prin relaţiile: z^ = y22, r22 = yn şi 321 = —y21. Să se arate
că diporţii antimetrici sînt caracterizaţi prin relaţia S2.2= — Sn.
(a) Se consideră circulatorul arătat în fig. 11 din text, cu terminaţiile — r la poarta
1 şi r la poarta 3. Să se găsească legătura dintre tensiunea şi curentul de la poarta 2. In uniport cu relaţia v —
i de acest gen se numeşte norator.
(b) Să se repete problema (a) cu —r şi r schimbate între ele. Un uniport avînd relaţia v— i de acest tip
se numeşte nulalor.
P 10.
P 11.
P 12.
P 13. Să se arate că
(a) (Z„ + U)-1 (Z„-U) = (Z„ —U) (Z„ + U)-1
(b) r-1 {Zoc (s)-z(-s)} {Zoc(s) ! z(s)}-1 r
= {Zoc(s) r z(s)}-1 {Zoc(s)~z(-s)}
unde Z„ este matricea de impedanţe a unui uniport, normat în raport cu numere reale.
PROBLEME
605
P U. Fiecare din muitiporţii din lig. 8.P14 este o conectare ideală consttad diri legături directe
intre porţi. Să se găsească matricea de repartiţie a fiecaiuia, ccnsidern.d la fiec poartă o rezistenţă de
normare de 1 ohm. In fiecare caz se
puterea s 0^ de
la o sursă de tensiune, în serie cu rezistenţa de terminaţie a porţii. Sa se gascasca fracţ unea din putere
reflectată la acea poartă şi cea transmisă, spre fiecare din celelaltt porţi. Rezultatul era previzibil fără a
se considera parametrii S?
-t-o © o- -o+
-o+
4 O-
©
+o-
-----------------------o +
©©
©o
1—0“
0+
- o—
+o - ' I
©
-o-
-( ^ *
©
Fis. 8.P14
P 15 Schema din f i g . 8.P15 este aceea a unui transformator diferenţial.^
\ceasta constă din trei înfăşurări de transformator ideal, din care se formează un circuit cu- natru porţi.
Cele două înfăşurări secundare ale transformatorului au rapoartele de transformare relative la primar,
n2 şi n3. Ecuaţiie ce caracterizează transformatorul smt date pt
la
+ •1 © ţ
©
rn 7 +
'6
©
k-
©
Fig. 8.P15
fisură Să m-esununem că fiecare poartă este terminată cu rezistenţele sale reale de normare, , f
Rapoartele de transformare şi rezistenţele de normare trebuie alese astfel încît .
'
’ (a) Dacă poarta 1 este alimentată (de la o sursă de tensiune în serie cu rezistenţa de ter
r
'
şi
1.
minaţie), să nu avem nici un fel de transmisie spre poarta 2 şi reciproc,
(b) Dacă poarta 3 este alimentată, să nu avem nici un fel de transmisie spre poar a 4 şi reciproc;
(c) Toate porţile să fie adaptate (să nu avem reflexii).
Să se găsească matricea de repartiţie pentru acest circuit cu 4 porţi exprimînd-o numai
prin n2 şi n3.
^
P 16. Sâ presupunem că se cere să se
studieze condiţiile
de existenţă a unui triport reciproc, fără
8. (PARAMETRI
:DE REPARTIŢIE
pierderi, care este terminat adaptat pe impedanţe reale. Să se utilizeze proprietăţile matricei de
repartiţie pentru a determina realizabilitatea unui astfel de circuit. Dacă este realizabil să se găsească S 12
şi S13.
P 17. în fig. 8.P17 se arată un circuit triport reciproc şi fără pierderi, care este presupus simetric.
Triportul nu este terminat adaptat. Se presupune că atunci cind la o poartă se aplică o excitaţie (de la o
sursă de tensiune în serie cu rezistenţa de terminaţie), la celelalte porţi se obţin puteri egale. Să se
găsească, ce fracţiune din puterea maximă a sursei se poate obţine în aceste condiţii la fiecare poartă şi ce
fracţiune din această putere se reflectă.
606
Fig. 8.P17
P 18. Circuitul din fig. 8.P18 este o punte conectată între două terminaţii rezistive. Să se calculeze
eîştigul transductic de putere. Să se găsească condiţiile pe care trebuie să le satisfacă elementele punţii,
pentru ca aceast cîştig să fie egal cu unitatea şi să nu depindă de frecvenţă. în aceste condiţii să se
găsească coeficienţii de reflexie şi de transmisie.
Fig. 8.P18
P 19. în fig- 8. P19 se arată un diport terminat la ieşire cu o impedanţă care nu este cea de normare.
Fie p.2 coeficientul de reflexie al lui Z2, normat faţă de r2 care este rezistenţa de normare a diportului.
Intrarea este terminată adaptat; adică este rezistenţa de normare. Să se găsească coeficientul de reflexie
p, de la intrare şi eîştigul de tensiune VinjVsn în funcţie de p2 şi de parametrii de repartiţie ai diportului.
Fig. 8.P19
607
PROBLEME
P 20. Se face o generalizare a problemei precedente. Un circuit cu n porţi este terminat
adaptat la m din porţile sale şi cu terminaţii arbitrare la n — m din porţi aşa cum se arata m fig. 8.P20.
Ecuaţiile de repartiţie ale multiportului sînt distribuite aşa cum se arata In continuare. Coeficientul de
reflexie la poarta terminată cu Z& este p*. Fie p matricea diagona a
fm+1 o
fm+2
P =
O
Fig. 8.P20
Se cere să se găsească matricea S’ a m-portului din interiorul liniei punctate din figură, care este
dată de relaţia b^S’aj. Utilizînd relaţiile între ak, bk şi p, se poate scrie expresia ce dă legătura între a2,1>2
514 P- Să se introducă aceasta în forma distribuită a relaţiilor de repartiţie şi să se arate că
S* = S^SaptU-S4p)S3.
61
'Sn
h
s21
Sml
K
—
+1
K
12 * *
**
.s
^22 * * ’ ^*2m
**
.B
s
Smo * • '
**
.s
^l
Sm -Mi
Snl
^«2 * * Snm
E]-
s
Si S3
14) în literatura de specialitate această matrice este numită şi matrice fundamentală sau matrice de
transfer. (NT.T.)
608
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
P 21. Se dă circulatorul din fig. 8.P21. avînd una din porţi terminată neadaptat. Uti- lizînd
rezultatele problemei precedente sâ se găsească mitricea de repartiţie S’ a diportului din interiorul liniei
punctate.
P 22. Circuitul cu patru porţi din fig. 8. P22 este un transformator diferenţial terminat adaptat la
două din porţi şi neadaptat la celelalte două. Să se găsească matricea de repartiţie a diportului din
interiorul liniei punctate în funcţie de p3 şi p4. în ce condiţie diportul nu va avea reflexii la porţile sale?
0
1
V2
1
0
1
0
0 1-1 110 0
1-1 0 0
Fig. 8.P22
P 23. în cazul unui diport format prin conectarea în cascadă a doi subdiporţi, pentru care se doreşte
legătura între tensiuni şi curenţi este avantajos să se utilizeze matricele lanţ ale subdiporţilor. Se cere să se
găsească o matrice J care să îndeplinească un rol similar pentru doi diporţi conectaţi în cascadă, dar la care în
locul curenţilor şi tensiunilor reale să se utilizeze variabilele de repartiţie. Să considerăm circuitul din fig8.P23, pentru care relaţia căutată poate fi scrisă in forma globală x = Ty.
PROBLEME
^09
N2
N,
O --------------
0
—---- - - - - - - - - - -
0
3
o
II
ZSi
c -------------
. -------------
Fig. 8.P23
(a) Să se determine dementele vectorilor * şi y (dintre
JXnUon^S
incit matricea T globală, să fie egala cu T,T? unde Xj i>i 5 cazuî'rormârii reale. (Aceasta condiţie ar trebui
impusă, în cazul normam complexe, ca şi m cazul r.o
poate fi numită condiţie de compatibilitate).
t
reDartitie
ai
(b) Să se exprime elementele matricei T a diportului prm parametri de repartiţie
° TcT Să se arate ce condiţii trebuie să satisfacă matricea T dacă diportul este reciproc.
<UP rt
1* 24 în p’ oblema P20, unele dintre porţi sînt terminate pe sarcini individuale sa presu punem că iu locul
ac,stor sarcini se conectează porţile altui multiport, aşa cum se arata in fig. 8.
t> 24. Multiportul N are m + k porţi, iar multiportul Ar are n + k porţi. Un număr de k porţi
ao
a
-rt— —►
“■*— i |
g ' ----- *
b^b
•
ca cx.
Q
CX.
•
E ^
•
•
p
•
•
^.
îr-
m
m
p
a
p—-j ~
c:
•
*
|
N
0
---1
Sn. bl
Fig. 8.P24
de la un multiport sînt conectate la k porţi ale celuilalt, rezultind un circuit cu (m + n) porţi. Fie S şi S,
matricele de repartiţie ale celor doi multiporţi. Relaţiile de repartiţie pot Ii
:
'»r
s12
_l> — _s12 SM
2-
■‘1
®
l' ’ A
io
[-M
L
nnde 1) si -i sînt m vectori,
si
ajsint
kvectori,iar b2
vectori.Matriceaimpedanţelor
normate (Independentă de frecvenţă)1 a fiecărui muUiport
m
Zi(s)
0
39
z>(V)J
- c. 854
m
iL(s) 0 " 0
k
_ 0 z,(s)
k
k
"1
distribuite astfel
k‘
J
nm
A
A
&ii
.s„
s 22
şi
^1
2
a2:
n
este divizata, dupa cum urmeaza
n
610
8. (PARAMETRI iDE REPARTIŢIE
Fie S' matricea de repartiţie a (n? + /!)-portului global, scrisă în forma
rs' s' i
®n 1 2
Ic'
L 21 22.
A
_a
2.
(a) Să se găsească condiţia de compatibilitate, care permite ca Itj = a2, a^b, (vezi pioblema P 23).
(b) Să se arate că, parametrii de repartiţie globali sînt daţi de expresiile :
^11 ”811 + S32Sjj(U
"
S22Sn) 1S21 —Sj! —S12(U S21S22)“1S11S32
8^2— 832(U SnS22) 1S32
8 21“ S21(U S22Sn) 1S21
^22“S22 + S2lCU '-S22Sll) 1S22S12= S22+ S21S22(U—SJJS22)-1 S26
(c) Să se compare rezultatul general cu cazul particular tratat în problema P 20 şi să se arate că,
rezultatul general se reduce la cel particular.
P 25. Circuitul cu patru porţi încadrate cu linie puctată în fig. 8. P 25 reprezintă un repetor telefonic.
Cei doi diporţi notaţi cu L sînt filtre trece-jos, iar cei notaţi cu H sînt filtre trece-sus. Aceşti diporţi sînt
reciproci şi simetrici, în consecinţă sint definiţi, ficcare, numai
Fig. 8.P25
prin doi parametri. Diportul notat cu A este un amplificator, care transmite numai într-o singură direcţie (in
jos). Există de asemenea în repetor, doi triporţi formaţi prin legătură direc-
PROBLEME
tfi. Matricele de repartiţie ale circuitelor componente sînt date in continuare avind toate rezistenţele
normate în raport cu 1 ohm :
P
1
’P H
:]
SH =
JH
S.4 =
PH
‘Pi 0 '
. 1 Pi-
L
li
s. = l
3
12
2
sau se
2
2 1—2 21
^°pa^niea curenţilor şi tensiunilor pentru cazul normării complexe
. şi Sr prin reia,
la o singură frecvenţă, nu au fost definite în text. Sa definim S*
7, = Sjlj şi Vr = Sj/Y; .
Pornind de la relaţia (88) indicată în text să se arate ca
Sj=U —2Y a r, unde Y 0 = (Zoc + z)-1
si
--S/ = S(-Z.
•
!•
“ s'.rs.'î'»
t
pstp la
fel cu (ll-t), dedusă pentru normarea independentă de frec-
,S: ^ ^..
4.
w>
z(s)Sj = Spz(—s).
,, o7 p:„ -(s\ inn=danta complexa de; normare la poarta k, a unui multiport. (a)_Dacă aceasta poartă
este terminată cu o impedanţă z*(-s). sa se arate ca inabile «
Daer^U es^e ^Sc^.Timpedanţă -zt(-s), să se arate că în acest caz
bk =
°v 9, si se aSs’«cî nntricea d3 repartiţie pentru transformatorul ideal din fig. 8. P 28, care are elementele
normate in raport cu impedanţele de terminaţie (normare independentă de frecvenţă).
1_
*
“1
Fia. 8.P28
612
8. (PARAMETRI DE REPARTIŢIE
P 29. Să se găsească matricea de repartiţie a giratorului din fig. 8. P 29, normată (independent de
frecvenţă), în raport cu impedanţele de terminaţie. Să se verifice proprietăţile coeficienţilor de reflexie şi
de transmisie ale diportului.
k/5
P 30. în fig. 8. P 30 a se reprezină un diport pasiv, nedisipativ, terminat pe o rezistenţă de —1 ohm.
în fig. 8. P 30, b, acelaşi diport este terminat pe o rezistenţă de +1 ohm. Să se arate, utilizînd expresiile
pentru Z si Zx în funcţie de parametrii z sau y ai diportului, că Z^s) = —Z( — s).
Fig. 8.P30
P 31. în fig. 8. P 31 a este reprezentat un circuit format din inductanţc şi capacităţi
-
1
-
1
1
Fig. 8.P31
1
613
PROBLEME
1 rezistente negative, care se considera de -1 ohm, pentni simpliiicare. -1 rezistenţe iu^a ,nortile.
cu
Acest
pozitive şi n — 1 rezistenţeneSatlve’
b, cu toate porţile, cu excepţia uneia,
circuit poate ti reprezentat prm n 1_
n’-no'rt terminat la porţi cu rezistenţe de +1
fig.Vp 3 ° Ţ ş i c o r e s p u n z ă t o a r e Z. Scriind ecuaţiile cu impedanţele
de gol să se arate că Z(s) = — Z a ( s).
P 32. Fie :„(s) impedanţa unui circuit tenţe negative. Fie :(s) impedanţa ce
se ob
z(s) Fie coeficienţii de
‘ e & unui diport
din aceste circuite este destinat sa lucrez
romolex independent
de frecvenţă. Să se
reflexie corespunzător, Po respectiv
p, normaţi m complex, mciepei a
arate că pa(s) = l/p(s)_
p 33. Să se demonstreze rezultatul dat prin relaţia (121) dm text.
p 3î. Să se demonstreze că, determinantul unei matrice unitare este egal cu muta ea.
P 35.
Fie S matricea de repartiţie a unui t™Port ^
demonsUeze‘următoarele. [Atunci SSC^S
SrUs^imereste * ,
astfel S12 Înseamnă
Su(—j co) = S22S33 — S23S32
S1 2 O'W)-]
S21(—
S12(— jco) = S23S31 —S21S33 S13(—
jco) = Si3S32 —S12S33 S22(—jco) = SnS33-S13S31 S23(—jco) =
jco) = S21S32— S22S3l
S3 i(-J“)
^12^23^13^*22
: S1 3 S2 i—
S32(-jw)
:
Si2S31—SuS32
SUS2 3
•S33(—jco) = SnS22—S12S21
•
j-
oi-îiifl ne axa i modulul unuia dintre coefici
enţii drt^m^’U^r^^S^^.âptid că S este unitară şi simetrică, să se arate
Că toti ceilalţi parametri trebuie sa fie identic nuli.
'
•
ni rc7istentă
negativă in forma aratata
P 37. Se doreşte realizarea unui amplificai
>
adăugind un alt diport la poarta
în fig. 8.P 37. Aceasta se obţine dm cea^ ^ găsească matricea S’ a circuitului
t.mc|i? a. parametrii <1. r,p„,Utie ai tl.Crui „.Mm.it di„
figură.
-G
Fia. 8.P37
excepţia
7
Graf urile de fluentă a semnalelor şi reacţia
Modelul unei reţele liniare, aşa cum a fost tratat pînă acum, include un număr de
componente ca : rezistenţe, condensatoare, giratoare, transformatoare etc. Fiecare din
aceste componente au fost caracterizate printr-un parametru, aşa cum este R, şi printrun simbol grafic aşa cum
esteH ____ [- psntru rezistenţă. Beţelele sînt formate prin interconectarea
acestor componente. In orice relaţie tensiune-curent interesul se concentrează adesea
asupra unui parametru scalar : de exemplu scriind v = Ldijdt, atenţia a fost concentrată
asupia lui L.
Dar orice relaţie tensiune-curent defineşte o operaţie matematică. In loc să ne
concentrăm atenţia asupia parametrului, putem pune accentul pe operaţiile matematice
şi pe semnalele asupia căroia ele acţionează. Un simbol operaţional poate fi folosit
pentiu a repiezenta operaţia matematică şi aceste simboluri operaţionale pot fi
interconectate într-o diagramă operaţională. Analiza acestor diagrame operaţionale va
constitui un mijloc prin care se pot determina funcţiile de transfer ale leţeleloi. Giaful
de fluenţă al semnalelor constituie o asemenea diagramă operaţională.
"
Multe clin metodele de analiză prezentate în capitolele precedente ss aplică
reţelelor liniare în genere, indiferent dacă sînt pasive sau active, reciproce sau
nereciproce. Nu s-a acordat o atenţie speciala reţelelor active, nereciproce. Analiza pe
baza grafurilor de fluenţă a semnalelor este indicată tocmai pentru astfel de reţele. Mai
mult, pentru reţelele nereciproce active, o serie de concepte, ca reacţia sau stabilitatea,
devin foarte importante. Acest capitol va fi consacrat prezentării ideilor de baza
referitoare la grafuri de fluenţă a semnalelor, reacţie şi stabilitate.
9.1. DIAGRAME OPERAŢIONALE
9.1. DIAGRAME OPERAŢIONALE
i
*dP elemente dintr-o reţea operează pe o
Fiecare element sau giup de e^e
. furniza un lăspuns.
anumită cale asupra uimi s 1
noate fi considerat drept un opeiator.
Elementul sau sistemul de ţ eni
i 0^ ^ Senmaiele de excitaţie şr
Procesul poate ti repreztii ,
■
&•
le
apare
tm a
tmS^eSL^rcrinS
’ies
xm
bloc
din acest bloc indica
„trecerea semnalului .
1(1/
5 --------- 7. ,
VLS)
o—*—j Udjdt
a
b
c
Fig. 9.1. Simboluri operaţionale.
In fi™. ».l
\>”ggXStSSSi&
in1igbţl"
rep.ezentate ta dorn^M IrecTenţei
alegerea variabilei ce
;
^
dacă reţeaua are condiţii miţ:îale ^
urmeaza
întotdeauna - de exemplu
se vor folosi transformatele Laplace şi ciect IUII u!
de variabila s.
Simbolul operaţional ^
simplificat şi mai mult. In fo
4
:
posibilitate
tă
^
t
vor
‘
1
nu
j
fi
te
apare
în cele
funcţii
simplu, dar el poate fi
nu
este necesar; el poate fi
. ^ eratoinl poate fi scris alaturi.
mitanţa din fig. 9.1, a este 1 ;Ls.
V[s) 1/Ls I(Ş) Fig. 9.2. Latura unei diagrame.
Există două tipuri de relaţii între variabilele dmti-o ^ţ^p^^ter-sistem. în unele relaţii o variabila s®
e^P" '
imă un echilibru ; teoremele
mediul unui operator. In alte relaţii . P aceste relaţii de echilibru, lui Kirchhoff sînt de aceasta natura.
In toate aceste îeiaui
ce
616
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
o variabilă se poate exprima ca o combinaţie liniară a altor variabile. Astfel, expresia
.
F1 =3Fa-2*Z+ T
s+ 2
poate fi reprezentată printr-o diagramă operaţională atribuind cîte un nod pentru
fiecare variabilă .şi introdueînd laturi de transmitanţe corespunzătoare între aceste
noduri şi nodul reprezentativ al variabilei F,. Acest lucru este ilustrat în fig. 9.3.
'
Diagrama unei ecuaţii.
Fig. 9.3.
Dîndu-se
o reţea, se poate trasa o diagramă operaţională
luînd transformatele operaţionale ale ecuaţiilor ce descriu funcţionarea reţelei.
înainte de a descrie acest proces se vor da eîteva exemple simple. Se consideră doi
diporţi conectaţi serie-paralel aşa cum se arată în fig. 9 .4 . O descriere completă a
comportării lor între cele patru porţi se poate obţine pe baza parametrilor g dacă se
cunosc aceşti parametri pentru fiecare diport. Totuşi, se poate să nu ne intereseze o
astfel de descriere completă ; ne poate interesa, de exemplu, raportul dintre
transformatele semnalelor de ieşire şi de intrare, presupunînd că se cunosc aceste
rapoarte pentru fiecare diport.
O
+
-O
o
Fig. 9.4. Reţea cu reacţie.
517
9.1. DIAGRAME OPERAŢIONALE
Funcţia respectivă poate fi obţinută dintr-o diagramă. Se presupune că cei doi diporţi
nu se influenţează reciproc, adică presupunem că relaţiile caracteristice fiecărui
diport îămîn aceleaşi şi după interconectarea lor. Ecuaţiile care descriu această reţea
sînt :
y 2. = (r(s)Vla.
■ _ T 7 T7
la —
y
1~
y
1 &•
Prima şi ultima ecuaţie pot fi reprezentate prin laturile operaţionale din fig. 9.5 rt. A
doua ecuaţie exprimă un echilibiu de tensiuni şi poate fi reprezentată prin laturile din
fig. 9.5 b. Toate cele trei reprezentări pot fi acum combinate pentru a obţine
rezultatul din fig. 9.5 c. Această diagramă operaţională reprezintă reţeaua din fig. 9.4
în aceeaşi măsură ca şi relaţiile (1 ).
V,a
G(s)
v2
■o
-!
o -------- «—o
a
Vtb
b
Fig. 9.5. Trasarea diagramei operaţionale.
c
Ca un al doilea exemplu se consideră reţeaua din fig. 9.6. Eezistenţa totală de la
ieşire este i?3. Se pot scrie următoarele ecuaţii
618
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Se poate trasa acum cîte o diagramă operaţională pentru fiecare ecuaţie, aşa cum se arată
succesiv în fig. 9.7 a la â. Cînd toate aceste reprezentări sînt suprapuse se obţine
rezultatul final din fig. 9.7 e.
Fig. 9.6. Amplificator cu reacţie.
Comparînd diagrama operaţională cu schema amplificatorului de la care am pornit
este evident că între cele două mijloace de reprezentare nu există o asemănare
structurală. Diagrama operaţională arată modul în care diversele părţi ale reţelei
operează asupra semnalelor dm reţea pentru a furniza alte semnale Totuşi, pentru
componente pasive, oricare semnal poate fi considerat drept semnal de excitaţie şi oricare
drept răspuns. Aceasta înseamnă că diagrama operaţională poate fi trasata in diferite
moduri funcţie de forma în care s-au scris ecuaţiile. _ ^
Să presupunem, de exemplu, că primele trei ecuaţii din (2) smt aranjate după cum
urmează
I =—gT
Diagrama operaţională corespunzătoare va a"vea foima din fig. 9.8, ceea ce se propune
cititorului să verifice. în comparaţie cu diagrama precedentă ea arată cu totul altfel. Acest
exemplu arată un fapt interesantei anume că nu există o diagramă operaţională unică
pentru o reţea dată.
619
9.1. DIAGRAME OPERAŢIONALE
Cele arătate antei ior au atins o serie de probleme fundamentale. Pentru a trasa
o diagramă operaţională pentiu o icţea se ceie, în primul rînd, să se scrie ecuaţiile care
descriu comportarea reţelei. Aceasta pune pro-
yQ
O-
SRz
-RZ
h
»
V
b
b £
Fjg. 9.7. Trasarea diagramei operaţionale a amplificatorului.
a
Fig. 9.8. O variantă a diagramei operaţionale a
amplificatorului.
620
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
blema variabilelor care trebuie alese pentiu a descrie peiformanţele reţelei, cîte
asemenea variabile smt necesare şi cite ecuaţii trebuie sciise. Inti-o tratare
sistematică trebuie să se dea răspuns unor asemenea piobleme. Răspunsurile vor fi
amînate însă pentiu a fi date înti-unul din paiagiafele următoare, pentiu a face aici o
analiză mai detaliată a diagramelor operaţionale.
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
621
9.2. GRAF URI DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR
Examinăm retrospectiv diagrama operaţională din fig. 9.8 pentru a observa
proprietăţile ei abstracte. Ea constă dintr-un număr de laturi legate împreună prin
noduri. Ea este deci un graf topologic. Laturile sînt orientate şi li se ataşează nişte
ponderi.
Aceste observaţii vor sta la baza definiţiei care urmează. Vom defini un graf de
fluenţă a semnalelor ca o reprezentare a ecuaţiilor sistemului printr-un graf orientat
şi ponderat. Este clar deci, că un graf de trecere a semnalelor este legat de reţea
numai prin ecuaţiile reţelei. Acestea sînt ecuaţiile care se reprezintă prin graf. Pentru
a sublinia faptul că analiza pe baza grafului de fluenţă a semnalelor este o metodă
generală şi nu este limitată la reţelele electrice, se va utiliza o notaţie generală.
Se consideră un sistem de ecuaţii liniare de forma
AX = Y.
(3)
în aplicaţii tipice elementele matricei Y sînt transformatele excitaţiilor iar elementele
matricei X sînt transformatele răspunsurilor. Aceasta este forma standard în care se
scriu sistemele de ecuaţii liniare, dar ea nu reprezintă o formă convenabilă pentru
trasarea graf urilor de trecere a semnalelor. Examinînd exemplele precedente se
observă că o formă convenabilă este aceea în care fiecare variabilă este explieitată în
funcţie de celelalte. Acest lucru se poate obţine adunînd vectorul X în ambii membri ai
relaţiei (3) şi rearanjînd tei menii sub forma
X =— Y + (Â + U)X.
(4)
în numeroase aplicaţii apare o singură funcţie de excitaţie. Această funcţie poate
să apară, desigur în mai multe ecuaţii din (4). Dacă apare o singură funcţie de
excitaţie y0, atunci matricea Y se poate scrie sub forma
Y = Ky0 ,
(5)
unde K este o matrice coloană. Cu această
reprezentare
relaţia
(4)
y
o
devine
x
X. = [—K (A+U)]
(6 )
Dacă apar mai multe funcţii de excitaţie, scalarul y0 se înlocuieşte prin matricea Y0,
iar matricea K va avea mai multe coloane în loc de una singură.
622
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Dacă matricea X este de ordinul n atunci matricea coeficienţilor din relaţia (6 )
este de ordinul (n, n + 1). în cele ce urmează se vor mări dimensiunile acestei matrice
prin adăugare de elemente nule pentru a obţine
o matrice pătrată C de forma
Această matrice poate fi asociată cu un graf orientat şi ponderat aşa cum se arată în
continuare. Pentru fiecare coloană din matricea l. se atnbuie cîte un nod, marcat prin
simbolul variabilei asociate lui. Pentru hecare element nenul c.u din matricea C se
trasează o latură orientată de la nodul j la nodul i şi marcată prin mărimea cu ca
pondere. Această pondere se numeşte transmitanta laturii. Dacă c,s = 0, nu va exista
o latura de la nodulj la nodul i. Graful orientat şi ponderat care se obţine reprezintă
graful de trecere a semnalelor pentiu sistemul de ecuaţii ( 6 ). Matricea C se numeşte
matricea de conexiune a grafului. Drept exemplu, se considera următorul sistem de
ecuaţii :
2'
Vo
1
1.
Atunci
K=
‘ 1'
—1
.0
.
=
-®3-
—y0
_ 0.
- 1 0 2'
,A=
■ 0 0 2'
—301
,A+U=
_ 2 — 1 —1 .
_2
şi
—1
x2
=
1
_0
Vo
0
0
-3
1 1
2
- 1 0 _
l®3
Matricea de conexiune corespunzătoare este
0
-1
— 3 11
0
0 0
0
1 -3
0 2 —1 0 .
0 2
1 1
— 1 0
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
623
Graful de fluenţă a semnalelor pentru acest sistem de ecuaţii va avea patru
noduri marcate prin y0, xlf x2, x3. Acestea se plasează în mod convenabil, ca in fig. 9.9 a.
Se trasează apoi laturile în conformitate cu matricea de conexiune. Astfel, în linia a
treia (corespunzătoaie lui x2, prima linie formată numai din zerouri a fost introdusă
pentru a face matricea C pătra-
xf
o
xt
y0 °
*
2
a
b
Fig. 9.9. Trasarea unui graf de trecere a semnalului.
tă) şi pe coloana a patra (corespunzătoare lui x3) se află un element nenul de valoare
1 . Aşadar va exista o latură de la x3 la x2 cu ponderea 1. Toate celelalte laturi sînt
introduse în acelaşi mod, rezultatul final fiind ilustrat în fig. 9.9 b.
Proprietăţile grafului
Pe baza considerentelor din exemplele anterioare şi din alte exemple se pot
deduce o serie de proprietăţi ale grafurilor de fluenţă a semnalelor. Fie, de exemplu,
nodul corespunzător lui y0 din fig. 9.9. Apar două laturi care pleacă din acest nod, dar
nu există nici o latură care să intre în eh Semnalul ? / 0 nu este deci cauza altor
semnale. El reprezintă o sursă. Un nod la care sînt incidente numai laturi care pleacă
din nodul respectiv se numeşte nod sursă. Similar un nod la care sînt incidente
numai laturi care intră în nodul respectiv se numeşte nod sarcină (nod puţ). Nici
unul din celelalte noduri care apar în fig. 9.9 nu satisfac această condiţie. Totuşi, un
nod sarcină poate fi introdus întotdeauna în mod simplu într-un graf de trecere a
semnalelor. In fig. 9.9, de exemplu, adăugind ecuaţia ^ = » 3 se va introduce un nod nou
marcat prin x3 şi legat printr-o latură de trans- mitanţă 1 de vechiul nod x3. Orice
nod, cu excepţia nodului sursă, poate fi considerat drept un nod sarcină.
O altă observaţie care se degajă din fig. 9.9 este aceea că există sec- vente de
laturi care pleacă dintr-un nod şi se întorc în acelaşi nod. O astlel de secvenţă se
numeşte buclă de reacţie şi fiecare latură dintr-o bucla de reacţie este o latură de
reacţie. Există desigur şi secvenţe de latini caie nu formează bucle de reacţie. Astfel,
plecînd din ^de-alungul laturn-3 pma m x9; apoi din x2 la x3 de-a lungul laturii — 1 şi
de la x3 înapoi la xx de-a lungul laturii 2 care iese din xx nu se parcurge o buclă de
9.2. GRAFURI DE
reacţie deoarece latura incidenţă
laFLUENŢA
xx esteA SEMNALELOR
parcursă în sens opus oiientării sale.624
Se
poate merge de la xx la şi apoi la x2 dar nu se poate reveni la xx deoarece orientarea
laturii —3 este opusă sensului de parcuigeie. Unele bucle de reacţie smt formate
dintr-o singură latură, aşa cum este cazul laturii de transmi- tantă 1 care pleacă si se
întoarce la nodul x2. O astfel de buclă se numeşte budă proprie. Orice nod care face
parte dintr-o buclă de reacţie se numeşte nod de reacţie. în fig. 9 .9 , exceptînd nodul y0,
toate celelalte noduri smt
noduri de reacţie.
.
x
]Siu toate laturile unui graf fac parte dm bucla de reacţie. Orice care nu este o
latură de reacţie se numeşte latură cascadă, In iig 9..J b cele două laturi care pleacă
din nodul y0_sînt laturi cascada. Toate celelalte laturi din acest graf sînt laturi de
reacţie. „ .
. .
^
n
Acele noduri care nu sînt nici noduri sursă şi mei noduri sarcina vor avea laturi
incidente care intră şi care ies. Variabila corespunzătoare unui asemenea nod are
două roluri : ea este semnalul dat de laturile caie întia in nod si în acelaşi timp
semnalul care pleacă prin toate laturile care ies din nod! Aceste două roluri pot fi
separate prin despicarea nodului. Pentiu a ilustra cele de mai sus se consideră^ graful
din fig. 9.10 a. ^odiiJ. ^ are laturi incidente care intră şi care ies. în fig. 9.10 b nodul
xx a fost despicat în două noduri notate cu xx şi x[. Unul din ele (.%) este un nod sursa,
din care toate laturile ies. Altul ( x [ ) este un nod sarcina m care toate laturile intră.
Prin despicarea unui nod se întrerup toate buclele de reacţie ce trec prin nodul
respectiv. Prin despicarea unui număr corespunzător de noduri toate buclele de
reacţie ale grafului pot fi întrerupte, Sumarul minim de
x
2
*2
Fig. 9.10. Despicarea unui nod.
625
8. PARAMETRI DE REPARTIŢIE
Fig. 9.11. Inversarea unei laturi.
noduri care trebuie despicate pentru a întrerupe toate buclele de reacţie dintr-un graf
se numeşte indexul grafului de fluenţă a semnalelor. în graful din fig. 9.10 a apar trei
bucle de reacţie ; în graful din fig. 9.10 b, unde s-a despicat nodul xx, nu există bucle de
626
PARAMETRI DE REPARTIŢIE
reacţie.
Aşa dar indexul grafului 8.din
fig. 9.10 a este unu. O mulţime de noduri, avînd
nu număr de elemente egal cu indexul grafului, care trebuie despicate pentru a
întrerupe toate buclele de reacţie se numeşte mulţimea nodurilor esenţiale. în fig. 9 . 1 0
această mulţime (care conţine în acest caz un singur nod) este unică : numai nodul xx
este un nod esenţial. în alte cazuri pot exista mai multe mulţimi de noduri esenţiale.
Inversarea unui graî
Faptul că un nod particular dintr-un graf de trecere a semnalelor este un nod
sursă este rezultatul modului în care s-au scris ecuaţiile prezentate prin graf. Prin
rearanjarea acestor ecuaţii un nod care era nod sursă poate să devină un nod care nu
este sursă şi un nod care nu era nod sursă poate să devină nod sursă. De exemplu,
dintr-o ecuaţie explicitată în raport cu x2 se poate explicita xt după cum urmează :
x2 = ax1 -f- bx3 -f cx4
= — x2 -------- — (bx3-{-cxi).
a
a
Graful corespunzător primei relaţii este cel din fig. 9.11 a; graful corespunzător celei
de a doua relaţii este cel din fig. 9.11 b.
XjO
a
a
b
Fig. 9.11. Inversarea unei laturi.
Să ne concentrăm atenţia asupra laturii de transmitanţă a care apare de la x% la x2.
în graful modificat sensul acestei laturi a fost inversat şi trans- mitanta a fost
inversată, în acelaşi timp
se observă ce s-a întimplat cu celelalte laturi. Latura care
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
62 i>
intra iniţial în x2 de la xz a fost deplasata la x, iar transmitanta ei a fost împărţită
prin transmitanţa eu semn schimbat a laturii care a fost inversată, Aceeaşi
modificare o suferă şi latura care iniţial venea de la xi la x2. Din ecuaţii se vede clar,
că orice alta latina care iniţial ar intia în x2, va suferi aceleaşi schimbări.
Rezultatul acestui proces se numeşte inversarea unei laturi. Inversarea unei
laturi se poate face pentiu orice latură care pleacă dintr-un nod sursă si conduce la
transferarea nodului respectiv într-un nod sarcina. Acelaşi’ proces se poate aplica
pentiu o cale foimată dintr-un numai' oarecare de laturi între un nod şi altul. Se
inversează pe rind cite o latuia, nlecînd de la nodul sursă, Acest proces este ilustiat în
fig. 9.12. ( G i a l u este acelaşi ca şi în fig. 9 . 7 cu simboluri genei ale penti u
tiansmitanţe.) Se urmăreşte inversarea căii dintre V1 şi I. Se inversează mai întn
latura
a, ceea ce conduce la graful din fig. 9.12 b. Acum nodul Va a devenit un nod sursă;
aşadar se poate inversa latuia b ceea ce conduce la şi a u m fig. 9.12 c. Se inveisează
apoi succesiv laturile c şi e. Graiul imal cu calea
inversată este dat în fig. 9.12 d.
_
Se observă că graful original din fig. 9.12 a are trei bucle de reacţie si este de
index 1 ;' aşadar un singur nod (V2) trebuie despicat pentru a întrerupe toate buclele
de reacţie. Totuşi, graful cu calea inversata este un graf în cascadă, care nu are bucle
de reacţie. Acesta este un grai mai
simplu.
I
I
d
b"C
0
I
d
a
d
a
d
C
Fig. 9.12. Inversarea unei căi.
40 - c. 854
626
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
în loc să se inverseze o cale deschisă se poate inversa o buclă, în acest caz procesul
începe prin despicarea unui nod al buclei; se creează astfel un nod sursă şi un nod sarcină.
Se inversează apoi calea deschisă dintre aceste noduri, după care nodul despicat este
recombinat. Detaliile se lasă pe seama cititorului.
Reducerea unui graf
Un graf de fluenţă a semnalelor este o reprezentare a unui sistem de ecuaţii. Aşa cum
sistemul de ecuaţii poate fi soluţionat in raport cu orice variabile în funcţie de excitaţii, tot
aşa şi graful poate fi „soluţionat44.
O metodă de soluţionare a ecuaţiilor constă în eliminarea succesivă a variabilelor. Procesul
analog pentru graf constă în eliminarea succesivă a nodurilor grafului pină cînd rămîn doar
nodurile sursă şi noduiile sarcină. Acest proces va fi examinat în cele ce urmează.
Se consideră graful din fig. 9.10 a şi se presupune că trebuie eliminat nodul x3.
Relaţiile dintre variabilele care rămîn se vor menţine dacă se vor introduce noi laturi în
graf între perechi de noduri. Transmitanţele acestor laturi trebuie să fie astfel încît să se
menţină transmitanţele căilor între toate perechile de noduri pentru toate căile ce trec prin
nodul de eliminat, Pentru a ilustra aceasta, se examinează graful din fig. 9.10 care este
reprodus în fig. 9.13 a.
In graf apare ocale de lat/0la xx trecîndprin xz, cu transmitanţa gă. în graful redus, din care
nodul xa este eliminat, se va introduce o latură între ?/,, şi de transmitanţă gă. în fig. 9.13 b
nodul x3 împreună cu laturile ineib
b
x3
a
b+ed
Fig. 9.13. Eliminarea unui nod.
C
9.2. GKAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
027
dente care intră si ies a fost eliminat, păstrîndu-se căile care leagă între ele direct
celelalte noduri fără a trece prm nodul intermediar x3. I1 1 fi„. 9.13 se prezintă
aceleaşi noduri împreună cu laturile care trebuieRugate pei tr a realiza
transmitanţele corespunzătoare cailor ce ţ.recc*>u punl i o intermedia’* a, Graful
redus care se obţine în fmal prm combina-ea celoi două nărti este dat în fig. 9.13 d,
Acest giaf se numeşte echivalent cu giaful «^<Wece «umile din orice nod stat
iilor respective din graful original. (Se piopune cititoiului sa ^ntice aceasta:. ) Se
observă că nodul eliminat în ^st exenip u
o bucla
proprie. Evident, acest proces nu mai poate fi aplicat daca exista
proprie. Ceea ce s-a ilustrat pr intr-un exemPh], " t U ^fde tiecei e î termeni generali.
Se consideră ecuaţiile care defines •
j(, s.a
semnalelor date de relaţiile (6 ). Fie un nod faia
este
ales acest nod în mod arbitrar. Eliminarea nodului xn din giat est
echivalentă cu elimiuarea variabilei xn din ecuaţii.
Ecuaţia pentiu xn este
n—1
(8)
Xn— CnoVo + Yi
C,,k
Pentru a elimina se substituie această expresie în celelalte ecuaţii; apoi relaţia
(8 ) nu mai este luată în consideraţie. Daca ecuaţia originala
pentru xp este
n—1
pp = CpoVo + Yl Cvk xh + CPn xm
(*■
)
uaţia modificată, după substituirea lui din (8 ), devine
n-l
xv = cvo y o + Yj Xk ^ c'pn G”°
i*=i
^
_
Cpn (‘Hli
Xk
(10)
(Cpo + cvn C«o) Vo + S ^Cpk C'm Cnk'IX'' ' k =
1
Pentru a inteipreta această expresie în raport cu gia.fu!se că c c n este
transmitanţa de la nodul sursa y0 la nodul tieund_pnn no,tal" intermediar In
primul_ termen din dre»pta
se adună cu transmitanţa directa cp0 de lay0 la xp. Sinula
mitanţa de 1» nodul la nodul *, treeînd prm
7
“V
acest termen se adună cu transmitanţa dnecta de ia ^ la transmitanţa este
modificată în acest
poate he im nat dm gia
si transmitântele între toate celelalte noduri ramm neschimbate.
&
628
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Acum să considerăm cazul cînd există o buclă proprie la nodul xn, ccea ce
înseamnă că cnn=f= 0 . în acest caz ecuaţia xn este
n-l
= C,,0 V o + Y i Cnk X k + C«« Xn •
fc = l
(1 1 )
Ultimul termen poate fi trecut în stînga şi apoi se poate explicita xn
*. = y0 + "s - **.
@nn
(1 2 )
k = l i Cnn
Aceasta este ecuaţia pentru un nod fără o buclă proprie. în raport cu graful, ecuaţia
arată că dacă transmitanţa fiecărei laturi ce intră în nodul xn se împarte prin 1 —cnn,
bucla proprie poate fi eliminată, După această transformare nodul xn poate fi eliminat
aşa cum s-a arătat mai îninte.
împărţirea prin 1 —c„H se poate face numai dacă cnn=/= 1 . Sîntem evident în
dificultate cînd c„B=l. Beferindu-ne din nou la fig. 9.9, se vede că în acest caz apare în
graf o buclă proprie cu transmitanţa 1 . Totuşi ecuaţiile reprezentate prin graf sînt
liniar independente şi deci pot fi soluţionate, în aceste cazuri se pot rearanja
întotdeauna ecuaţiile astfel încît să nu apară un element egal cu unitatea pe
diagonala principală a matricei re s- pective. Un astfel de element nedorit poate să
apară numai dacă eciuV iiVe nu sînt independente — în care caz nu ne putem aştepta
la o soluţie unică.
’
Operaţiile precedente pot fi de asemeni interpretate în raport cu matricea de
conexiune. Această matrice are forma următoare, dacă nodul xn nu are o buclă
proprie.
0
0
C10
Cil
C12
C20
C21
C22
Cu-1,0
Cn
_pn 0
Cnl
-1,1
.
..0
:o
•
• • Cl,n-1
• ^î.i
•
• C2, ti-1
• ^2 n
• — ] , 11 — 1
■ 1, n
• ^n, n~l
:o
0
—1,2 ■
Cn2
••
Partiţia arată că ultima linie şi ultima coloană vor fi eliminate. Se observă că cnn = 0
deoarece xn nu are o buclă proprie.
9.2. GRAFURI
DE sistem,
FLUENŢĂ după
A SEMNALELOR
Să considerăm acum ecuaţia tipică
(10) din
modificările intro!u“prii dlminare»
629
lui i„. Matricea de conexiune corespunzi»
va fi de forma
0
io + ci
C
20 H ' 2
0 ■•
“I- (*!„ y 1
i ^ 2 1 i"~ ^*2 " ^ « 1
CB_1>0 + C„-l.» 'Vd ««-1.1 +
0
0
l,n-1 + ln n.n-1 ^2 n
,
C
C
C
^H.n- 1
C
»1 ' ' '
Pi»
C‘2n (14)
+
o„o
Cn'n~1
0
..
unde linia şi coloana exterioară s-au adăugat pentiu comparaţie cu ecuaţiile
piecedente.se obgervă mo,iui în care s-a obţinut matricea de conexiune modificată plecînd de la
matricea iniţială (13). Un element dm ultima coloană a matricei C, fie acesta cln, se multiplică cu
fiecare element de pe ultima linie. Aceste produse se adună la elementele corespunzatoaie di
matricea de conexiune. Astfel cla multiplicat cu cn 3 se aduna cu c13, care este SS dto iia a doua şi
coloana a patra a matricei de conexiune. (Se observă că indicii pentru linii şi coloane încep de la
zero.) Acest proces ie repetă pentru fiecare element din ultima coloana. Acest proces de reducere
succesivă a unei matrice de conexiune se numeşte algoritmul de eh-
nota?*.' are o buclă proprie elementul o„ din matricei.. <le
! ---------------------------
conexiune e diferit de zero. împărţirea tuturor transmitanţelor latuiîlor care intră în nodul xn
din graf piin I-o „ corespunde împărţirii tutui 0 1 elementelor de pe ultima linie a matricei de
conexiune pnn 1 cnn şi 1 cuirii elementelor de pe diagonala principală prin zero. Dupa aceasta
poate fi anlicat algoritmul de eliminare a nodurilor.
Eepetînd aceste operaţii, graful de trecere a Benmaldor POJ^ redus la nodurile sursă şi
nodurile sarcina, Daca exista numai un s nod sursă si un singur nod sarcină, graful se reduce la
o singura latura, de la sursă la sarcină. Transmitanţa acestei laturi se numeşte amplificarea
g,a-
^ Pentru a ilustra procedeul, considerăm sistemul de ecuaţii
xx
x2
x3
2 12
1 -1 -3
r
0
y
o-
1
2 11
=
Modîficînd sistemul ca în relaţia (6 ) obţinem
x2
—
—1 3 1
2
0 1 0
—3
.1 2 1
2.
î/o
Xx
x%
x 3.
(15)
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Graful corespunzător de fluenţă a semnalelor este desenat în fig. 9.14., Să presupunem
că dorim soluţia pentru nodul xx. Atunci vom parcurge următoarele operaţii pierind de
la matricea de conexiune din relaţia, (15). Reducerile corespunzătoare ale grafului de
fluenţă sînt ilustrate în fig. 9.15, fazele corespunzătoare fiind notate cu aceeaşi literă.
a) Eliminăm bucla proprie nodului x3 împărţind transmitanţele tutus- ror
laturilor care intră în nod prin ( 1 — c4 4 ) = 1 — 2 = —1 .
’
Matricea de conexiune rezultată este
yo
y0
xx
Cj = x2
r0
—1
0
0
1
x3
3
i- -2 -
x2
o:
îo ::
î:
X,
0
2
—3
o_
b) Eliminăm nodul x3 prin algoritmul de eliminare a nodurilor.. Matricea
de conexiune rezultată este
yo
0
-3
3
<c
1
0
-.1
7
x2
O
1
—1
3
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
G39
^ siss;
trancf
:« îf assas
EliSinăm bucla proprie nodului <r8 împărţind transmitanţele laturilor care
intră în nod prm 1—3—
Atunci
2.
Vo
Vo
-0
0 3 = x1
—3
,T2
3
.2
x±
0
x2
<r
- 1 —1
2
o_
Jo* -------- * -------- ^ __________________________ S- ----------- O5 / 2
e.
d
Fi». 9.15. Reducerea unui graf de trecere a semnalului.
■d) Eliminăm nodul x2 pentiu a obţine
2 /o * 1
r - y ° \ 0 °1
^4 — I 3
&iL~T
5
632
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
e) Eliminăm bucla proprie
care intră în nod prin 1-5/2 = este
nodului x1 împărţind transmitantele laturilor
3/2. în această fază matricea de conexiune
(\
y 0 X,
Astfel găsim că xx~y0. E evident
că soluţia poate fi obţinută operînd tiansloiman
numai asupia matricei, sau numai asupia grafului.
ţeclucerca grafuîui de fluenţă a semnalelor în scopul determinării amplificam
grafului poate fi realizată de asemeni prin procedeul inversării caii. Acest procedeu
este ilustrat prin graful din fig. 9.16 a. Dacă se inversează calea de la y0 la x3, graful
devine cel din fig. 9.16 b. în această formă el poate fi redus cu uşurinţă. Mai întîi,
laturile l/a şi l/b sînt în cascadă. Rezultanta acestora este în paralel cu latuia —c/a. în
sfiisit, rezultanta celor trei este în cascadă cu latura l/d. Graful redus este arătat în
fig.9.16 c Ampliticarea grafului pentiu giaful iniţial este
abd
yo
bc
Fig. 9.16. Inversarea şi reducerea unui graf.
Reducerea la un graf esenţial
Procesul de reducere a grafului descris anterior constă din eliminarea nodurilor
cîte unul pe rînd ; totuşi aceasta nu reprezintă o cerinţă absolută. Mai multe noduii pot
fi eliminate simultan. Singura cerinţă este aceea de ă introduce laturi între perechi de
noduri din giaful redus, pentru a tine seama de transmitanţele tuturor căilor, dintre
aceleaşi perechi de noduri’din giaful original.
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
Un alt- punct de vedere este acela de a ne fixa atenţia nu asupra nodurilor ce vor fi
eliminate ci asupra noduiilor care vor ramine în graful redus. Un graf redus deosebit de
util se obţine dacă se reţin numai o mulţime de noduri esenţiale, împreună eu nodul sui să
şi nodul sarcină; un astfel de graf se numeşte graf esenţial. Indiferent de structuia grafului
original, pentru un index dat, giaful esenţial va avea o structură fixă. Astfel, pentru
indexul 2 şi un singur nod sui să, un graf esenţial va avea structura, din fig. 9.17. Aici în
cazul general, vor apare transmitanţe de la nodul
D
Fig. 9.17. Graf esenţial cu indexul 2.
■sursă la fiecare din nodurile esenţiale şi de la
esenţial la toate celelalte noduri esenţiale. Vor
asemeni bucle proprii la toate nodurile
Este necesar să se determine doar valorile
transmitanţelor. în cazuri particulare, desigur,
din graful esenţial pot să lipsească,
Pentru ilustrare, se consideră graful din
fiecare nod
apare
de
esenţiale.
unele laturi
_
fig. 9.20 din
subparagraful următor. Acesta are indexul 2, Nod„ deşi are şase bucle de reacţie;
nodurile esenţiale sînt Fx şi I3, iar nodul sursă sursa este V u. Rămîne să se calculeze
transmitanţele ; de exemplu, în graful original sînt trei căi de la r, la I3 cu următoarele
transmitanţe: —G3, — a.^l1RiGa şi ÎL 2\LZ2G3 = [IG3. Deci în graful esenţial latura de la VL
la 13 va avea transmitanţa G3( ^—1 — a Yx l,\T). Celelalte transmitanţe se evaluează
similar, obţinîndu-se rezultatul final din fig. 9.18
G3(p-1~ ocYzRtf) v
Fig. 9.18. Graf esenţial.
634
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Expresia amplificării grafului
Desi simplu si direct, procesul de reducere a grafului aşa cum a fost descris este
totuşi obositor. Ar fi preferabil să dispunem de o formula, unică pentru amplificarea
grafului, care să poată fi scrisa plecmd direct de la graf, fără alte transformări. O astfel
de formulă exista de fapt j. Demonstraţia ei nu implică cunoştinţe deosebite sau o
pregătire matematica specială, dâr este destul de lungă, Yom da aici rezultatele omiţmd
demonstraţia.
,
.
Fie un graf de fluentă a semnalelor cu un singur nod sursă şi un singur nod
sarcină, Fie O amplificarea grafului iar Gk transmitanţa căii directe k (fără bucle) de la
sursă la sarcină. Unele dintre buclele grafului pot avea, noduri sau laturi comune cu
alte bucle. Yom spune că o mulţime de bucle sînt neadiacente dacă ele nu se ating, adică
nu există nici un nod şi nici o latură comună pentiu nici-o pereche de bucle din mulţime.
Amplificarea grafului este dată de relaţia
G
=\
(1G>
^
toate
căile
dir ect e
unde determinantul grafului A este dat de relaţia
A=
1 - 2 P; 1 + SPJ 2 - SPi 3 +. . .,
}
ii
(17)
în care
P.j este amplificarea buclei de reacţie j (produsul tuturor transmi- J
tanţelor
laturilor ce foimează bucla);
p
_ produsul
amplificărilor perechii de bucle neadiacente j;
p.
- produsul
amplificărilor tripletului debucle neadicente
j etc.
j3
#
Al doilea indice la Pj 4 se referă la numărul de bucle neadiacente. Determinantul Ak este
determinantul subgrafului neadiacent cu calea directă Ic dintre sursă şi sarcină.
Să exemplificăm acum utilizarea acestei expresii. Ca o primă ilustrare, se
consideră graful original din fig. 9.12. Un nod sarcină se poate crea în mod simplu
introducînd un nod marcat prin I şi legat printr-o latură de transmitanţă unitate de
vechiul nod I. în acest graf apar trei bucle cu amplificările bcd, gce şi ef. Deoarece toate
au cel puţin cîte un nod comun, ele sînt adiacente. Deci
A = 1 — ef — gce—bcd.
S. J. Mason, “Feedback Theory — Further Properlies of Signal- Flow Graphs,” Proc, IRE, voi. 44, July
1956, p. 920-926.
9.2. GRAFURI DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR
635
Aici apare o singură cale directă între nodul sursă V1 şi nodul sarcină I; amplificarea
acestei căi este Gl=abce, Toate cele trei bucle sînt adiacente cu această cale ; deci A, = 1.
Amplificarea grafului este prin urmare
Q _ Zi abce
I
l—ef—gce—bcd
Să examinăm acum graful inversat din fig. 9.12 d. Acesta este un graf în cascadă, fără
bucle de reacţie. Deci A=1 şi A,.=1 pentru orice k. Amplificarea grafului de la I la \\ este în
acest caz suma transmitanţelor .căilor directe. Apar în total patru căi de la I la T^. Deci
]_______ d 1 ______________ / _____ g_ = 1 — ef— gce—bcă
ae abce abc ab
abce
Acest rezultat este în concordanţă cu cel obţinut anterior.
Ca un al doilea exemplu, considerăm graful din fig. 9.20 din sub- ;para,graful următor
Fie V4 semnalul pe care dorim să-i evaluăm. Graful are în total şase bucle. Dintre acestea
două perechi de bucle sînt neadia- eente şi anume : bucla Vi 13 V4 cu bucla V1 I2 Fx şi cu
bucla T x I5 T x. Nu •există triplete de bucle neadiacente. Se fac în continuare următoarele
•calcule :
Bucle
Pn
buclelor
____ P
1-VlI2Vl
2.
Amplificările
3
2
~Z1^2
r4r3r4
-G3R4
3.
4.
5.
6.
V J zV i
a.Y1Z1 = o c
V1l 3Vl
i l ţ Y l
VJ-VJA'i
-ZXQ3
~^2^-Z^J-3Zl
— 0 L Y r R f î 3 Z l = -«.Q3Bi
SPj! =
a - G 3R i
-
a£3JR4 - Z x Y t - ( \ - y . ) Z 1G 3
SP,2 =
- a GsRi
+
G 3R 4 Zx T2
A=1
- SPn +
SPi2 = 1 - * + G a R t +
1
J
34
—
lie zultă
-j- (1 — [j.) ZlG3 — a
= 1 - a + G3R, + ZXY4\ + G3i?4) + (1 - { i ) Z f i 3 .
«
4- Zx r2
G3Ri -j- Zx
12
G3RA
636
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Se observă eă în calculul lui A termenul G3R4 ce provine din Pjl se reduce cu termenul
similar ce provine din Pj2. Aceasta arată că formula amplificării nu este o formulă de efoit
minim, aşa cum sînt formulele topologice din capitolul 3.
în continuare se determină numărătorul din formula amplificării grafului. Se fac
următoarele calcule :
Căi directe
Amplificările căilor Gk
G3Ri
ctY2R4
lLCf3R4
—Z1Y2G3Rl
<x.GaRi
1 - U ,Z T 4
2.
S
ăj-
3
3. F /2F6Z3F4
1-
5.
A1 = l
A2=I
A, = l
A4 = l
Ag= 1
Rezultă
T,Gk Aj, = G3Rt - a G3RA 4- G^Z^ + a Y2 P4
— (1 — a) y.G3Ri xG3Ri — G3R4Z^Y2 = G3 P4 [1 —
!*(1 — a)] + aY2 J?4.
Se fac din nou reduceri de termeni. în sfîrşit, amplificarea grafului este
o = y4_
g3 ff4 [i - Mi - «)] + «r,
^ g (1 + G3R,) (1 + Zx Y2) — a -)- (1 — fi) ZXG3.
_
Se observă că formula amplificării grafului se aplică foarte simplu. Pot interveni eroi i
doar dacă se omit bucle de reacţie sau căi directe între intrare şi ieşire. O examinare
sistematică elimină totuşi posibilitatea apariţiei acestor erori.
Expresia amplificării grafului din relaţia (16) este o funcţie a reţelei care reprezintă
raportul dintre transformata răspunsului şi transformata- excitaţiei. Evident, se obţine
aceeaşi funcţie indiferent dacă se foloseşte graful de trecere al semnalelor sau dacă se
pleacă de la ecuaţiile reţelei scrise sub forma AX = Y, ca în relaţia (3). Deoarece în ultimul
caz funcţia reţelei se exprimă prin determinantul sistemului, adică det A, înseamnă că
determinantul grafului trebuie să fie det A.
Trasarea (jraîului de trecere a semnalelor pentru o reţea
în cele precedente s-a presupus că sistemul de ecuaţii liniare este dat sub forma
standard (3). O problemă mai uzuală este aceea în care se dă reţeaua ce urmează a fi
analizată şi se urmăreşte să se obţină o expresie
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
G39
pentru o funcţie a reţelei. Dindu-se reţeaua, se doreşte să se traseze direct graful de
trecere a semnalelor, examinînd doar schema reţelei. O altă posibilitate ar fi să se scrie
diiect matricea de conexiune.
în toate cazurile, prima problemă care apare este alegerea unor variabile. Diverse
alegeri ale variabilelor vor conduce la diferite grafuri de tiecere a. semnalelor pentru
aceeaşi reţea. Alegerea variabilelor este dictată de diverse considerente, dar în orice caz
trebuie să includă variabila sursei independente şi variabilele de răspuns. Indiferent ce
variabile se aleg şi ce ecuaţii se scriu, două condiţii trebuie satisfăcute :
1. Sistemul de ecuaţii obţinut trebuie să reprezinte o descriere adecvată a reţelei ;
. . . .
2. Ecuaţiile obţinute trebuie să fie liniar independente.
^
Anumite alegeri ale variabilelor şi ecuaţiilor nu sînt prea utile dacă se
recurge apoi la metoda graf urilor de trecere a semnalelor. De exemplu, am putea alege
simplu curenţii buclelor sau tensiunile nodurile drept variabile şi să reprezentăm prin
grafuri de trecere a semnalelor ecuaţiile pe bucle sau pe noduri. Acest procedeu este
desigur corect şi nu implică alte
comentarii.
_
O tratare mai convenabilă însă constă din alegerea unor variabile mixte, aşa cum s-a
făcut în § 2.7. Deoarece tensiunile ramurilor şi ciirenţii joncţiunilor unui arbore sînt
topologic independenţi, aceste mărimi se aleg drept variabile. Mai departe apar doar
diferenţe minore faţă de tratarea din Capitolul 2. Aici sursele independente nu vor fi
considerate drept laturi separate ci vor fi luate întotdeauna împreună cu laturile care le
însoţesc. Aşa cum am făcut în capitolul 4, totuşi, vom considera aceste surse ca laturi
separate. Sursele independente de tensiune trebuie să fie ramuri iar sursele independente
de curent—joncţiuni.
^
Din teoremele iui Kirchhoff şi printr-o partiţie adecvată se obţin următoarele ecuaţii :
(18 a)
Q(l i,la
î„
;i8 6 )
V,
unde indicele a se pune pentiu a semnifica ,,toate“. Joncţiunile vor include toate
sursele independente de curent şi ramurile vor include toate sursele independente de
tensiune. Se fac partiţii ale matricelor curenţilor şi tensiunilor pentru a pune în
evidenţă sursele. Dacă se fac partiţii convenabile ale matri celor Q, şi B ( se obţin
ecuaţiile
■v,
■
Oi Q,
.q2 r
B2B, 2
V
X
V
V
QA+QnV
li
1
"I,
X
■
(19)
.Qalf + QsA
.
BjV, + B al Y 9
b 2 v t + B b2 Y
g
(20)
638
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
în aceste expresii lh reprezintă curenţii surselor de tensiune (care sînt ramuri) iar \lg
reprezintă tensiunile surselor de curent (care sînt joncţiuni).
în continuare se consideră relaţiile tensiune—curent . Deoarece curenţii
joncţiunilor şi tensiunile ramurilor vor fi variabile în graful de trecere a semnalelor,
relaţiile tensiune-curent vor trebui să exprime explicit I, şi V, în funcţie de V, şi V(.
Aceasta înseamnă că ecuaţiile vor avea foima hibridă
I, =
+ G1 2 I(
( 2 1 a)
' t — ^2 1 ^ / + Ir
( 2 1 b)
So observă că tensiunile şi curenţii surselor independente nu sînt incluşi în aceste
ecuaţii.
Prima linie din relaţiile (19) şi (20) se introduce in (21) şi se obţine
I, = —
a)
\ , = - (<.2 L1S,V, 4- G^V, +
2,0*1,).
(22 b)
Aceste ecuaţii au forma din relaţia (4) pentru care se poate trasa graful de trecere a
semnalelor.
Variabilele pentru care s-au scris ecuaţiile sînt curenţii tutui or joncţiunilor cu
excepţia suiselor independente de curent şi tensiunile tuturor ramurilor cu excepţia
surselor independente de tensiune. Menţionăm că aceste variabile nu depind de
curenţii prin sursele de tensiune ( l l g ) şi de tensiunile la bornele surselor de curent
(\rlg). Totuşi, se poate întimpla ca aceste variabile să reprezinte variabile de răspuns a
căror expresie se caută. în graful de trecere a semnalelor fiecare variabilă dintre
acestea este reprezentată printr-un nod sarcină ; ecuaţiile corespunzătoare sînt date de
linia a doua din relaţiile (19) şi (20) care se repetă aici.
I«, = - (Qal, + QA)
V„ = - (B2V, + B,aV,).
< 23 «'
(23 b)
Din relaţiile (22) şi (23) se poate trasa un graf de trecere a semnalelor. Sîntcm
siguri că aceste ecuaţii sînt independente şi deci se poate găsi soluţia lor. Ştim de
asemeni că aceste ecuaţii reprezintă o descriere adecvată deoarece, orice altă variabilă
se poate obţine îndată ce sînt cunoscute variabilele care inteivin aici. Totuşi, dacă ar fi
necesar să se scrie mai întîi matricele Q, şi B,; apoi să se facă o partiţie a lor; apoi să se
scrie relaţiile tensiune-curent şi să se determine toate matricele din relaţia (2 1 );
9.2. GRAFURI DE FLUENŢA A SEMNALELOR
G39
si în fine să se serie relaţiile (22) şi (23), utilitatea folosirii grafului de trecere a
semnalelor ar putea fi pusă la îndoială. Dezvoltările anterioare reprezintă, de fapt, o „
teoremă de existenţă”. Pentru o reţea dată nu vom parcurge aceste etape pentru a
trasa graful de trecere a semnalelor. Se \a folosi un pioces mult mai simplu, ilustrat
prin exemplele ce urmeaza.
Incă o chestiune trebuie lămurită. Cînd s-au examinat ecuaţiile m variabilele mixte
din § 2 .7 , relaţiile tensiune-curent şi anume relaţiile
(110) din Capitolul 2 au fost inverse în raport cu cele din relaţia (21). Pentiu alegeiea
făcută acolo selectarea laturilor surselor controlate jn calitate de ramuri sau joncţiuni
s-a făcut în conformitate cu tabelul Cu alegerea făcută aici pentru relaţiile tensiunecurent, selectarea trebuie să fie inversată. Astfel, de exemplu, latuia comandată a unei
surse de curent controlate 1 rebuie să fie acum o joncţiune, iar latura comandata a
unei surse de tensiune — o ramui ă.
Exemplul 1.
Se consideră reţeaua din fig. 9.19 a. Aici apar două surse controlate. Graful reţelei este dat în fig. 9.19 b, cu
arborele reprezentat prin linii îngroşate.
b
a
Fig. 9.19. Exemplu de reţea (a) şi graful respectiv (b).
Trebuie scrise acum ecuaţiile pentru curenţii joncţiunilor şi tensiunile ramurilor. Curentul oricărei
ionctiuni care nu reprezintă o sursă controlată, poate fi exprimai in funcţie de tensiunea respectivă, care
poate fi exprimată la rîndul său, în funcţie de tensiunile ramurilor. Astfel, pentru joncţiunile 2 şi 3 se obţin
ecuaţiile
13 = ('3 V3 = — GjVj + G3Vg — G3\ 6 G3 I4 .
O singură joncţiune este formată dintr-o sursă de curent controlată, h=*Jv Cui-miiil /, esle curentul prin
ramura 1 şi se poate exprima în funcţie de tensiunea respectivă. Asrlfel
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Pentru ramurile care nu sînt formate din surse de tensiune controlate, tensiunile ramurilor pol fi
exprimate în funcţie de curenţii joncţiunilor. Astfel, ecuaţiile pentru ramurile 1 şi 4 smt
= Z1I1 = Zx 72 + %i I-i t h
v4 = /?4 h = «4 h + h •
Pentru ramura 6 care este formată dintr-o sursa controlată, ecuaţia este
^6
=
2 “ ^2 '
Se poale trasa acum graful de fluenţă a semnalelor care este dat in fig, 9.-0.
-Y,
Z,
Fig. 9.20. Graful de trecere a semnalelor pentru reţeaua din fig. 19.
Aceasta are un număr mare de bucle de reacţie (şase) dar indexul său este numai doi, deoa^ce prin
despicarea nodurilor \\ şi /3 se întrerup toate buclele. Se poate aplica acum procedeu d
reducere a grafului pentru a obţine orice variabilă.
Dacă se doreşte să se calculeze impedanţa de intrare a reţelei, la bornele corespunzătoare sursei
independente de tensiune, trebuie calculat curentul prin sursa de tensiune^Aceasta variabilă nu anare în
graf, dar se poate crea uşor un nod sarcina pentru Ig, deoarece
»•
3
Amplificarea grafului intre nodurile V, şi Ia reprezintă impedanţa de intrare cu semn schimbat.
Ca un al doilea exemplu se consideră reţeaua din fig. 9.21. Ecuaţiile pentru curenţii joncţiunilor sînt
h
= r' i ' i — otv
2 + f'4^3
h =9V t
3
tensiunile
ramurilor sînt
1
1
1r
7i = ---------- ' Ig + --------- h
1 sCj
sCx
sCj
1
1
1.
/, = ---------- - h —--------- li
sC, “ sC,
“ sC„
sC2
Exemplul 2.
' 3 = ^3 ^3 — ^3 ^9 ^3
9.3. REACŢIA
641
Graful de fluenţă a semnalelor trasat pe baza acestor ecuaţii este dat în fig. 9.22.
Acesta este un graf mai simplu decît cel din exemplul precedent. El are trei bucle de
reacţie şi toate pot fi întrerupte prin despicarea nodului /4. Aşadar indexul său este 1.
Fig. 9.22. Graful de trecere al semnalului pentru exemplu.
9.3. REACŢIA
O imagine intuitivă asupra conceptului (le reacţie în procesele fizice a existat de
mult timp, dar abia in 1930 acest concept a devenit mai precis si a căpătat o
semnificaţie matematică prin lucrările lui Bode. In mod calitativ spunem că o reţea
este o reţea cu reacţie dacă unele variabile, fie de ieşire fie interne, sînt utilizate ca
intrări pentiu unele părţi ale reţelei astfel încît ele pot să afecteze propriile lor valori.
Se spune, tot calitativ, că ieşirea, sau o parte din ea, se reintroduce la intrare.
41 - o. 854
Ca o ilustraţie, să examinăm schema amplificatorului din fig. 9.6. Aici o parte din
tensiunea de intrare Va a blocului figurat cu linii întrerupte este o funcţie de tensiunea
de ieşire V2. Astfel întotdeauna tensiunea de ieşire este influenţată de propria ei
valoare. Acest efect de reacţie are o mare influenţă asupra comportării reţelei. în cele ce
urmează se va discuta conceptul de reacţie pe o cale cantitativă.
642
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Raportul de întoarccre şi diferenţa de întoarcere
Se consideră la început graful de trecere a semnalului din fig. 9.23 a. Ne
concentrăm atenţia asupra laturii cu transmitanţa k. Această mărime se consideră un
parametru specific al reţelei, aşa cum sînt jx sau a pentru sursele controlate 15. Această
presupunere implică faptul că graful reţelei poate fi astfel trasat încît parametrul dorit
să apară distinct ca transmi- tanţă pentru o singură latură. Se pot modifica
întotdeauna ecuaţiile reţelei (prin introducerea unor variabile auxiliare sau prin
combinaţii liniare convenabile) astfel încît să se obţină acest rezultat, cu excepţia cazurilor cînd acelaşi parametru apare de mai multe ori chiar în schema reţelei. Acesta este
cazul, de exemplu, cu raportul de transformare la un transformator şi cu raportul de
giraţie la un girator.
Yom introduce acum un nod auxiliar x0 în latura k, cu o transmitanţa egală cu
unitatea de la x1 la x0, aşa cum se arată în fig. 9.23 b. Prin aceasta se introduce o
ecuaţie auxiliară = xr, fără să se modifice celelalte ecuaţii. Pasul următor constă din
despicarea nodului x0, aşa cum se arată în fig. 9.23 c, făcînd să apară astfel un nod
sursă şi un nod sarcină. în acelaşi timp se elimină toate celelalte noduri sursă din graf.
(Aceasta înseamnă scurtcircuitarea surselor independente de tensiune şi întreruperea
tuturor surselor independente de curent din reţea). O măsură a reacţiei referitoare la
parametrul k se obţine determinînd semnalul ce revine în seminodul sarcină la
aplicarea unui semnal egal cu unitatea în seminodul sursă al nodului despicat. Definim
raportul de întoarcere a lui k, notat Tk, ca fiind raportul dintre —x'0 şi a? 0 cînd nodul x0
este introdus în latura k şi apoi despicat aşa cum s-a arătat. în fig. 9.23 raportul de
întoarcere a lui k este Tk — — kb. (în această definiţie s-a introdus semnul minus
pentru a fi în conformitate cu notaţiile consacrate din teoria reglării automate.)
15 Presupunerea că k este un parametru specific al reţelei nu este esenţială pentru a defini raportul
de întoarcere. Totuşi, presupunerea se face cu scopul de a stabili o relaţie simplă între raportul de
întoarcere şi senzitivitatea amplificării în raport cu variaţia unui parametru a reţelei, care se va defini
ulterior.
O altă măsură a reacţiei se obţine
9.3. REACŢIA
luind diferenţa dintre semnalul unitate
643
aplicat în seminodul sursă şi semnalul care revine în seminodul sarcină a nodului
despicat. Această mărime se numeşte diferenţa de întoarcere
b
Xf l Xg x0 k x2
x
3
C
Fig. 9.23. Determinarea raportului de întoarcere.
şi se notează prin Fk. Cele două măsuri ale reacţiei sînt legate prin relaţia
F!: = 1 + Tk .
(24)
Să explicităm calculul raportului de întoarcere şi al diferenţei de întoarcere
pentru un graf ceva mai complicat. Să reluăm graful din fig. 9.7 corespunzător
amplificatorului din fig. 9.6. Fie transconductanţa ^ parametrul care ne interesează.
Acest parametru poate să apară o singură dată în graf, dar el nu este singurul
parametru ce intervine. Graful poate fi modificat aşa cum se arată în fig. 9.24 a
pentru a fi adus la forma dorită, Se elimină nodul sursă V„ şi se introduce un nod
auxiliar în latura g, nod care se despică, Rezultatul este dat în fig. 9.24 b.
a
Fig. 9.24. Calculul diferenţei de Întoarcere.
b.
644
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Amplificarea grafului cu semn schimbat intre x0 şi x'0 reprezintă raportul de
întoarcere. El se determină aplicînd formula (16) din care rezultă
T = ~x'°
g-R‘i(l
—
gaR2R3Cs
x0 1 - ( - 1 I R 3 C S ) - ( - R J R 3 ) ( R , + R 3 ) C s + 1 Diferenţa de
întoarcere se determină din relaţia (21) si este
F
g
= 1 + T „ = {B2 + J?3 + gaB*lis)Cs
+1
(i?2 +
Ra)Cs + 1
,
(25)
Calculînd determinantul grafului pentru graful original din fig. 9.24 a se poate face o
observaţie interesantă. Acest determinant este
A = I + A galL±J_ .
R3
R3CS
R3CS
{-2>i)
Comparind această expresie cu expresia obţinută anterior pentru Fg se observă că
număiătorul lui Fg şi numărătorul lui A sînt aceiaşi. Acest rezultat nu este
întimplător ci are un caracter general aşa cum se va arăta în continuare.
Se consideră diagrama din fig. 9.25, care reprezintă o porţiune dintr-un graf de
trecere a semnalelor, ce conţine latura Ic între nodurile xa şi xb. S-a introdus un nod x0
care a fost despicat. înainte de a face această operaţie ecuaţiile corespunzătoare
grafului sînt date de relaţia (6 ) şi se repetă aici
X = - K J o + ( A -f- U)X.
(27)
’ig. 9.25. Determinarea diferenţei de întoarcere.
l-
Pentru nodul xb are loc relaţia
xb = lcxa + fl6 0 !/0 + Ii abJ Xj ,
ta
(-3)
şi se presupune că parametrul Jc nu mai apare în nici un alt coeficient aabj şi că nu
există alte căi directe între x„ şi xb.
645
Presupunem acum că ecuaţiile corespunzătoare nodului xb şi tuturor celorlalte
noduri se rescriu sub forma
AX = Y.
(29)
Ecuaţia (28) pentru xb devine
--
kx a
°bi X 3
j^a
=
a
b0 Po-
(30)
Matricea coeficienţilor sistemului de ecuaţii este A. Pentru a găsi o expresie a
determinantului matricei A, presupunem că acesta se dezvoltă după linia b si se
grupează termenii care nu conţin pe k. Suma acestor termeni reprezintă valoarea lui
det A cînd k = 0. Această valoare se notează prin A°. Atunci
det A = A = A° - fcA6a,
(31)
unde Aba este un cofaetor al lui A.
Revenim acum la calculul diferenţei de întoarcere. Mai intîi se elimină toate
nodurile sursă. Aceasta înseamnă că se egalează cu zero partea dreaptă a relaţiei
(29). Apoi se introduce un nod care este despicat aşa cum se arată in fig. 9.25. Prin
această operaţie se introduce un nou nod sursă xa, care intervine numai în ecuaţia
pentiu xb, ceea ce este echivalent cu a aduna kx0 în linia b din membiul drept al
îelaţiei (29). Mai mult, aşa cum se vede din fig. 9.25, termenul kxa care apărea în
ecuaţia pentru xb acum nu mai apare. Deci kxa este eliminat din linia b din membrul
sting al relaţiei (29). Toate buclele de reacţie din graful original, cu excepţia buclei ce
conţine latura k, sînt incluse în graful modificat. Deci determinantul acestui graf se
obţine din determinantul vechiului graf punînd k = 0 . Dar acesta s-a notat anterior
prin A°. Deci amplificarea noului graf, care este tocmai raportul de întoarcere cu
semn schimbat, este
— T, =
(32)
=
i'o A°
Diferenţa de întoarcere se poate calcula acum după cum urmează :
Fk = 1 + Tk = l sau, utilizînd relaţia
kA ba _ A° - k\ a A°
A°
(31),
F,-—
A°
646
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Acesta este un rezultat foarte important. Se obţine o măsură a reacţiei, cu referinţă la
un parametru specific k, luînd raportul rl intre determinantul grafului pentru valoarea
respectivă a parametrului şi determinantul grafului calculat pentru valoarea zero a
parametrului.
Se propune cititorului să demonstreze valabilitatea acestei expresii pentru graful din
fig. 9.24, pentru care s-a găsit anterior expresia diferenţei de întoarcere dată de relaţia
(25), utilizînd expresia determinantului grafului dată de relaţia (26).
Senzitivitatea
în general vorbind, fiecare parametru dintr-o reţea are o influenţă asupra
răspunsului. Cînd acest parametru variază (ca urmare a variaţiilor de temperatură, a
înlocuirii pieselor, etc.) răspunsul se va schimba şi el. Este interesant să se cunoască în ce
măsură se schimbă răspunsul atunci cînd un parametru dat se schimbă într-o anumită
măsură. Această informaţie este furnizată de ceea ce se numeşte senzitivitate. Definim
senzitivitatea unei mărimi, să spunem amplificarea grafului G, în raport cu un parametru
lc, prin
în această definiţie variaţiile se presupun a fi infinit mici.
Se poate stabili o relaţie între senzitivitate şi diferenţa de întoarcere. Presupunem că
parametrul h apare într-o latură care face parte dintr-o cale directă între sursă şi sarcină.
Atunci amplificarea grafului dată de relaţia (16) se poate scrie după cum urmează :
G= —
(
A° - Jc\a
3
5
)
'
'
unde R este ceea ce mai rămîne din numărător după ce termenii care conţin pe Jc sînt
eliminaţi. Utilizînd relaţia de definiţie (34) şi relaţia (33), după o serie de transformări
simple, se obţine :
unde G° — Rj A° este amplificarea grafului, cînd se face k egal cu zero ; adică amplificarea
grafului datorată căilor care nu conţin latura k.
9.4. STABILITATEA
647
(38)
648
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
în cazul cînd nu există căi care să nu conţină latura Te, ceea ce înseamnă că toate
căile directe de la sursă la sarcină trec prin latura Ic, senzitmtatea devine inversul
diferenţei de întoarcere. Acesta este de exemplu cazul o-rafului din fig. 9.24. Deci, în acest
exemplu, senzitivitaţea amplificam în raport cu transconductanţa g este inversul
diferenţei de întoaiceie dată de relaţia (25).
9.4.
STABILITATEA
în paragrafele precedente s-a prezentat o analiză care permite detei- minarea
funcţiilor reţelei şi deci a răspunsului la excitaţii date. Metoda araturilor de trecere a
semnalelor se poate aplica atît pentru reţelele pasive, reciproce, cît si pentru reţelele
active, nereciproce. Ea este de mare importantă mai ales în ultimul caz. în studiul
reţelelor active este deosebit de important să se ştie cînd răspunsul rămîne mărginit sau
creşte nedefinit după o excitatie. Această problemă nu apare în cazul reţelelor pasive cu
pierderi deoarece polii funcţiilor reţelei pentru astfel de reţele se afla cu necesitate în
semiplanul stîng. în acest paragraf vom investiga aceasta problemă, Yom opera cu
semnale reprezentate atît în domeniul timp cit si în domeniul frecvenţă şi vom presupune
că toate reţelele au condiţii iniţiale nule. Se vor considera numai reţelele cu o singură
intrare şi o singură ieşire. Această condiţie nu este restrictivă deoarece reţelele cu mai
multe intrări şi mai multe ieşiri pot fi manipulate aplicmd principiul
superpoziţiei.^ Unsul reţelei la o excitaţie e{t). Vom spune^că reţeaua este stabilă dacă,
dîndu-se o constantă 0< 7? < o o , exista o alta constanta 0 < T F < o o astfel încît |w(<)|<TF cînd
\e(t)\<E pentru 0 ^ < o o . In termeni mai puţin precişi, vom spune că o reţea ^este stabila
daca la orice excitatie mărginită corespunde un răspuns mărginit. Pentru a
distinge eeastă definiţie de altele ce vor fi introduse ulterior, ne referim la aceasta
definiţie a stabilităţii în sensul mărginit la intrare —
(MIME). Pentru a găsi criteriul funcţional ca o reţea sa ne MIME staDua, răspunsul w{t)
trebuie exprimat în funcţie de excitaţia e{t). Plecam de la integrala de convoluţie
(37)
unde h(t) este funcţia pondere. Atunci are loc următoarea : Teoremă 1.
O reţea este MIME stabilă dacă şi numai dacă
Aceasta înseamnă că, dacă funcţia pondeie este absolut integrabilă atunci răspunsul la
orice excitaţie mărginită va fi mărginit. Pentiu partea dacă a demonstraţiei se începe prin
a lua modul în relaţia (37). După ce se folosesc inegalităţile uzuale rezultatul devine
|w(*)l<S
•'o
\W
— T )IH V )K~-
Dacă |e(r)| se înlocuieşte prin marginea sa superioară E, inegalitatea va fi deasemeni
9.4. STABILITATEA
satisfăcută şi rezultă
l w ( t) \s^ Ei \h( t
Jo
- t)|
649
d-: = Ei \lt(-)\dr.
-o
în partea dreaptă s-a operat schimbarea de variabilă / — T-^T. Acum, dacă se extinde la
infinit limita superioară valoarea integralei creşte, deci inegalitatea va fi cu atît mai mult
satisfăcută. Deci
|/î(~)ltfv = W.
o
Din condiţiile teoremei date de relaţia (38) rezultă că W r<oo şi deci \w(t) \ este
mărginit pentru Os^/<co. Pentiu partea numai dacă a demon- stiaţiei se pleacă de la
următoarea observaţie. Dacă
|/((v)|f?T<f^OO,
0
(39)
atunci, clîndu-se un număr 0^If<oo, există un moment 0^'<oo astfel încît
^ \h(T)dr>H.
•
(40)
0
în continuare demonstraţia
se face prin reduceie
laabsuid; astfel,
vom
presupune
că îelaţia
(38) nu
este adevărată
şi
vom arăta că
dîndu-se
O^CE<co şi orice 0 ^ TF< o o atunci există 0 ^ t' < oo astfel incit |w(f) j > W pentru un
\e(1)\^E. Acum, se alege o excitaţie
e{t) = E sgn [//(/' — t)].
(38)
G49
9.4. STABILITATEA
unde sen * este 4-1 pentiu *>0 şi -1 pentiu *<0. Atunci e(t) este o funcţie care comută
între +E şi -E cînd semnul Im h(t - t) se'Schimba. Cu acest semnal de excitaţie,
integrala de convoluţie dm î elaţia (3 <) de-v me
w(t') = \ h(t’ — ~) {E sg'n W
-'0
—
ml’
= E \ w - ~)\d~*o
Rezultatul final este o consecinţă a faptului c&x sgn *■ =
acum H = W I E în relaţia (40) şi se ţme seama de ultima relaţie din caie
rezultă w(t')>W si, deci, \w(t')\>W. Aceasta complect,eaza demonstraţia.
AcZi teoreină s^iAcă condiţiile care trebuie mdep mite pen r ca o reţea să fie
MIME stabilă în domeniul timp. tind H(s)- este o fracţie raţională propiie, se poate
gasi o condiţie echivalenta in domeniul frecvenţă. Astfel are loc următoarea :
Teorema 2. Dacă H(s) este o f racţie raţională proprie în s, atunci reţeaua
ra fi MJME stabilă, ceea ce
înseamnă că
\h{':)\d-<oo
(41)
r
-o
dacă si numai dacă toţi polii lui H(s) au partea reală negativă.
Pentru partea dacă a demonstraţiei se pleacă de la dezvoltarea m elemente
simple
in
H(s) = S S - ”
A-..
j=i (* + s iY
‘
_ 8i este un pol de ordinul v, al funcţiei H(s). Transformarea inversă a acestei
expresii dă funcţia de pondere
nnde
din care se obţine uşor
650
Deoarece |s_s»‘ [
se
m\<i t
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
obţine
i =1 i - l (J — -*-) 1
(42)
Dacă toţi polii funcţiei H(s) au partea reală negativă, adică Ee s< >0 pentru i = 1, 2, . . . , l,
atunci fiecare din termenii V le-i®6**» este integrabil de la 0 la oo. O combinaţie liniară
finită de termeni integrabili cum este cea din relaţia (42) este de asemeni integrabilă. Deci
relaţia (41) este satisfăcută.
Pentru partea numai dacă a demonstraţiei se pleacă de la transformata Laplace a
funcţiei pondere care este
00
H(8) =\
h(t)s-s< dt.
o
Dacă se utilizează inegalităţi uzuale se obţine
\H(s)\^\
S
\h(t)\ \z-*\dt.
Pentru Ee s >- 0, |e-*: |^1, deci
OO
jli (t) | dt pentru Ee s>0.
0
Astfel, dacă relaţia (41) are loc, atunci \H{s)\ este mărginit pentru orice s pentru care Ee
0. Aceasta înseamnă că H(s) nu poate să aibă poli cu partea reală nenegativă şi cu aceasta
demonstraţia este completă. Dacă se dă o fracţie raţională proprie
H«O = ^
>AT(s)
<«>
şi se doreşte să se ştie dacă această funcţie este transformata funcţiei de pondere a unei
reţele MIME stabile, este necesar să se găsească zerourile lui JD(s) şi să se vadă dacă ele
au partea reală negativă. Din fericire, pentru a rezolva problema stabilităţii nu este
necesar să se cunoască exact poziţiile polilor ci numai dacă ei se găsesc în semiplanul stîng.
în e vom îndrepta atenţia asupra unor criterii care furnizează tocmai această indicaţie,
fără a fi necesar să se factorizeze B(s).
9.4. STABILITATEA
651
Criteriul lui Routh
Dacă polii lui H(s) se află cu toţii în semiplanul stîng, atunci D(s) trebuie să fie un
polinom strict Hurwitz, aşa cum a fost definit în paragraful 6.2. S-a arătat că o condiţie
necesară ca un polinom să fie strict Hurwitz este ca toţi coeficienţii să fie prezenţi şi să
aibă acelaşi semn. Aceasta este o indicaţie preţioasă care permite eliminarea polinoamelor
care nu sînt strict Hurwitz. Totuşi, ne trebuie o bază — o condiţie suficientă — pentru a
selecta dintr-o listă de polinoame, poHnoamele strict Hurwitz.Teorema următoare, care dă
condiţia
necesară
şi
suficientă
pentru ca
un polinom să fie strict Hurwitz, este
o extindere a
teoremei
16 din capitolul 7 referitoare la polinoamele Hurwitz.
^ ^
Presupunem că I)(s) este un polinom de gradul «. Presupunem, fără a pierde din
generalitate, că primul coeficient este pozitiv. Atunci,
J){s) = a 0 s n + Oi*""16 H- • • • + aB_a s + a n (a Q >0).
(44)
Fie a(s) şi p(s) polinoamele formate luînd termenii din D(s) din doi în doi, începînd cu
a 0 s !M şi a^s m ~ 1 respectiv. Atunci,
v.(s) = a 0 s :" + a 2 s”- 17 + a4s"-4 +
.. .
(45a)
p(«) = a 1 8 n - 1 + a 3 s n ~ a + a s s n ~ 5
+ --------
(456)
Se calculează apoi raportula(s)/S(s) care se dezvoltă în fracţie continuă, după cum urmează
:
*(») , ________
?(«) YlS 'l'v,*-
16
O demonstraţie foarte clară se dă în R.J. Schwarz şi B. Friedland: Linear Systems,
McGraw-Hill, New York, 1965.
(46)
Relaţiile necesare sînt date de următoarea 1 :
Teorema 3. Polinomul D(s) este strict Hurwitz dcică şi numai dacă >0 pentru i
= 3,2,
Se observă că toate _ numerele y t trebuie să fie
pozitive; nici unul nu poate să fie zero la i == n. Dacă toate numerele y. sînt zero de la i =
A1 <n aceasta este o indicaţie că un polinom pai
652
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Y,.S‘ ■
9.4. STABILITATEA
653
divide atît pe a(s) eît şi pe Jî(s) şi deci pe I)(s). Acest polinom par poate să aibă o
pereche de zerouri pe axa imaginară, sau patru zerouri complexe, dintre care două în
semiplanul drept. în ambele cazuri D(s) nu poate să fie strict Hurwitz.
Criteriul lui Hurwitz
Criteriul lui Routh reprezintă un criteriu ideal pentru a determina stabilitatea
unei reţele atunci cînd se cunosc valorile numerice ale tuturor coeficienţilor lui D(s).
Dacă unul sau mai mulţi coeficienţi depind de nişte parametri, aplicarea criteriului
lui Routh conduce la dificultăţi. în acest caz se va folosi o variantă a criteriului lui
Routh.
Fie A„ determinantul format cu coeficienţii lui D(s) după cum urmează : pe
prima linie se plasează % în coloana 1, as în coloana 2 ş.a.m.d. pînă la alr2i. Coloanele
următoare, pînă la n, se completează cu zerouri. Pe linia a doua ,se plasează a0 în
coloana 1, a.2 în coloana 2 ş.a.m.d. pînă la a2i. Coloanele următoare, pînă la n, se
completează cu zerouri. Următoarea pereche de linii începe prin zerouri după care se
repetă coeficienţii de pe primele două linii, pînă la completarea a n coloane. A treia
pereche de linii începe prin două zerouri după care se repetă coeficienţii primei
perechi de linii, pînă la completarea a n coloane. Se continuă acest proces pînă la
completarea a n linii şi n coloane. Determinantul dat mai jos va avea întotdeauna pe
an în ultima linie şi ultima coloană şi zerouri pe toate celelalte linii din ultima
coloană. (De ce?)
’
«3 «s «7
.0
0
a0 a2 «4 «8
.0
0
0
aY «3 «5 a7 .
.0
0
0
a0 a2 «4 «o ■
.0
0
0
0
. (1
0
0
0
.0
0
0
0
• an -1
■'
1
0
0
• «,-2
«3 «5 '
«0 a.2 «4 •
!
0
«»1
Fie An^1 determinantul obţinut din A„ prin eliminarea ultimei linii şi a ultimei
coloane. Se continuă în acest mod obţinînd An_fc care reprezintă determinantul
rezultat prin eliminarea ultimei linii şi ultimei coloane
654
9.4. STABILITATEA
fi in A .Se obţin astfel n determinanţi A, cunoscuţi sub numele de determinanţi
Hurwitz, care formează baza pentiu urmatoarea :
Teorema i. Polinomul D(s) este strict Hurwitz dacă şi numai dacă A; > 0
Această teoremă,' cunoscută sub numele de criteriul lui Hurwitz, se_ aplica ^şoi
poliimamelor la care deficienţii depind de anumiţi parametri.
Criteriul Lienard — C.hiparl
Cînd se aplică criteriul lui Iluiwitz trebuie calculaţi un număr mare de
determinanţi. Orice piocedeu care permite reducerea numărului te deteimînanri este
bine venit. Acest lucru se va face prrn urmatoarea teo- temă cunoscută sub numele
criteriul Lienard—Llnpa>t.
.
Teorema 5. PolinomvW(s) este strici Hurwitz daca şi numai daca t.ate elementele
sînt pozitive într-unul din şirurile wmatoare )■
1.
2.
3.
4.
rt„_2,• • Şi 4,,
2! (1j n - ii • •
a„,
a„,
A,î
4
A„, A„_
2, ’
şi A„-l?
A
2’ ^B”4’
#,-5v • • Sl
»
- s ? - şi -^nj ^n—2»
•*
^
Şi ^n-1» ^n-3)
A,
Se observă că pentru aplicarea
acestui criteriu trebuie
evalua ţi■ n™'* 1 <lpi-erminanti Hurwitz. Deoarece efoitul necesar pentiu a e\
«lua^un dtt iiiinant creste odată cu dimensiunile acestuia este avantajos sa se se ec“e conaftUte ?2), &■ condiţiile (4) ale teoremei, deoarece ele n„ conţm determinantui
de ordinul cel mai mare, A,,.
..
Vom arăta cum se aplică criteriul Lienard-Chipaul. Se considera
şi
polinomul
D(s) = s4 + 6s3 + Hs2 + (6 + k)s + ak
si se cere să se determine valorile parametrilor « şi pentru
este strict Hurwitz. Vom soluţiona problema utilrzmd (ondrţic. (-) criteriul
Lienard-Chipard. Se observă că
«. =«, =
W
m)
= «, = 11. <48b)
i) O demonstraţie pentru această teoremă şi pentru cea precedentă se poate găsi in F.R. (lantmahcr :
Teoria malril. Gostehizdat. Moscova. 195o.
A«-!’ A»-3’ A,î"e’
.
655
9. GRAFURILE DE FLUENŢA AuSEMNALELOR ŞI REACŢIA
Determinanţii Hurwitz necesari sînt :
1
1
I66+*0
11
0
6
ah= 360 + 54Tc - le 2 — 3Gale (49a)
6+fc
Ab_3 = A1= |6| = 6.
(49&)
Dacă trebuie satisfăcute condiţiile (2) din teoremă, din relaţiile (48) şi (49) se obţin
următoarele două inegalităţi pentru a şi k :
ale >0
(50a)
360 + oile — *2 - 36a* >0.
(50&)
k2
Curbele ale — 0 şi 360 + 54* —
— 36afc = 0 reprezintă frontierele
regiunilor deschise în care relaţiile (50a) şi (50b) sînt satisfăcute. Regiunea în care
relaţia (50a) este satisfăcută este reprezentată în fig. 9.26 a; simi-
3B0+5itkkZ~3Sok~0
5
-N
1
‘>f
\{360+5hk-k
ak>0
C
Fig. 9.26. Exemplu.
9,5. GRITERIUL, LUX NYQUIST
656
Iar relaţia (50 b) este satisfăcută în regiunea reprezentată în fig. 9.26\ b. Ambele
relaţii (50) sînt satisfăcute simultan pe intersecţia acestoi regiuni, ta tig' 9.26 «.
Astfel, de exemplu, dac* se alege * = 30, atme, nu poate fi mai mare decît 1.
9.5.
CRITERIUL LUI NYQUIST
Criteriul lui Routh şi criteriul lui Lienard- Chipard sînt criterii relativ simple
Totuşi pentru a fi aplicate, trebuie sa se cunoasca numitoiul
D(s) al' funcţiei H(s), ca funcţie de «. Acest lucru ^
să°^lece
A» fi „ţii să dispunem de o metoda de a verifica stabilitatea, care sa piece
t £ Palori eîperimentale sau de la trasarea aproximativă a modulului şi
fazei lui H(jw). Un asemenea procedeu este dat de criteriul lui A yqmst,
°ai'e SlbukTS1^ sîabi^UcăUdS1/(«) are sau nu poli în semiplanul stînsr în acest scop, în
criteriul lui îfyquist, se foloseşte principiul vanaţiei tafeoria funetliloj de ™iabili
comţde^ Ne coneent™ atenţia asupra determinării numărului de poli a lm ^ planului
stîng : alegem deci un contur care mch ^11 conţine axa imaginară, Acest contur
orientat, cunoscut sub numele de
conturul lui Nyquist, este dat în fig. 9.21.
l-’iff. 9.27. Conturul Nyquist.
Pentru ca principiul variaţiei argumentului să fie aplicabil, H(s) nu trebuie să
aiM poli sau zeiouri pe contur. Deci presupunem mai întîi că H(s) nu are poli pe axa
imaginara. Tot aşa, d
d o .
m sa facem pe B să tindă la oo trebuie sa
presupunem ca H{s) este o funcţie SgXtă şi diferită de zero la co. Vom reveni asupra
aceste; mai tîrziu şi vom arăta că presupunerea referitori e la zei oui î poate I
^Considerăm acum transformarea conformă a acestui contur, ^hzata de funcţia H(s);
adică, liodogiaful lui H(s) cmd * descrie continui dm
657>
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
fig. 9.27. Aceasta poate fi o curbă cum este cea din fig. 9.28 a. Deoarece Jl(s) este o
funcţie a reţelei, ea este reală pe axa reală si deci liodograful este simetric faţă de axa
reală,
'
I’ig. 9.28. Imaginile conturului din fig. 9.27.
^ fi ^ P numărul de zerouri şi respectiv de poli ai funcţiei 11 iv j care se
afla m conturul orientat Nyquist C. în conformitate cu piincmiul argumentului 1
1
AargH(s) |
(ol)
adtca, variaţia argumentului funcţiei H(s) cînd s parcurge conturul C care
este orientat în sens negativ, este un multiplu de 2- egal cu diferent^ dintre
numărul de poli şi numărul de zerouri ale lui#(s) din contuiul ’o (ţmind seama de
ordinele lor de multiplicitate).
,^ c u m
hodograful lui H(s) dacă variaţia argumentului este diferita de zero
Este evident că liodograful trebuie să ocolească oii- ginea dm planul H(s) dacă apar
variaţii ale argumentului Acesta este in «*• 9-28-6- î" Hg- m. apMe nido%aria.tie "
ar^nSntSS cmd se parcurge hodograful o singură dată. Cu alte cuvinte, liodograful
trebuie sa închidă originea din planul H(s) dacă apare o variaţie a argumentului lui
H(s) cmd se parcurge conturul Nyquist C. Dacă originea este închisa m hodograf, ea
este ocolită de un număr întreg de ori Fie AT numărul de ocoliri ale originii de către
hodograf în sensul acelor de ceasol“
Atunci
AargJV(«)| c = -
2nNeu.
(52)
658
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A, SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Substituind această expresie în relaţia (51) se obţine
V
—N —V
J cw — ^ o
j>-
(53)
'
v
Asa dar, dacă hodograful lui II(s) nu include originea, se poate trage concluzia că
H(s) are tot atîţia poli cîte zerouri în semiplanul drept. Dar noi dorim să ştim cînd
există poli în semiplanul drept, Pentiu a putea aplica acest test trebuie să aflăm, pe alte
căi, cîte zerouri ale funcţiei H(s) se afla în semiplanul drept, în particular dacă nu există
zerouii în semiplanul
E(s]o
-B(s)
Fie. 9.29. Graful de trecere a semnalului pentru o "
cureacţie.
reţea
drept ceea ce înseamnă că H(s) este o funcţie de fază minimă. Dar această, problemă nu
este prea simplă. Totuşi procedeul nu trebuie abandonat deoarece dificultatea poate fi
ocolită. Ceea ce trebuie să facem este să găsim o altă funcţie care să conţină pe D(s),
polinomul de la numitorul funcţiei H(s), si un alt factor, la care se cunoaşte dispunerea
zerourilor.
Presupunem că graful de trecere a semnalelor pentru reţeaua data s-a redus la un
graf echivalent avînd forma din fig. 9.29. Aplicînd formula (16) care dă amplificarea
grafului rezultă funcţia de transfer respectiva
H(s) = ----------- --------------- •
v;
1 + kA(s)B(s)
(54)
Trebuie să stabilim de unde provin polii lui H(s). Se observă mai intii că iapoi tul de
întoarcere T şi diferenţa de întoarcere F pentiu paia- metiul k sînt :
T(s) = — kA(s)B(s)
F(s) = 1 + JcA(s)B(s).
(55a)
(55 b)
Ambele funcţii au aceiaşi poli. Dar polii funcţiei de transfer H(s) sînt : fie zerourile
diferenţei de întoarcere F(s), care nu sînt comune cu zerourile lui A{s), fie polii lui A(s),
care sînt comuni cu zerourile lui B(s). în ultimul caz T(s) şi F{s) nu vor avea drept poli
polii lui A(s). Deci H(s) = l'A(s)IF(s) va avea aceşti poli.
B(s) poate avea zerouri comune cu polii lui .A(s),
"659 Să presupunem că, chiar dacă
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
acestea nu sînt în semiplanul drept sau pe axa imaginară. Deci orice pol al funcţiei de
transfer H(s) din semiplanul drept, sau de pe axa imaginară, trebuie să fie un zero al
diferenţei de întoarcere F(s). Altfel spus : Bacă toate zerourile funcţiei
F(s)=l+kÂ(s)B(s) se găsesc în semi planul stîng, atunci toţi polii funcţiei de
transfer H(s) se găsesc în semiplanul sting, cu condiţia ca B(s) să nu aibă, în
semiplanul drept sau pe axa imaginară, zerouri care să coincidă cu polii lui A
{ H ). (în acest enunţ nu putem spune „Dacă şi numai dacă toate zerourile lui
F(s)=l-\-JcA{s)B(s) sînt în semiplanul stîng . . De ce?).
Pe baza celor arătate mai înainte, în loc să se caute poziţiile polilor funcţiei de
transfer H(s) se pot căuta poziţiile zerourilor diferenţei de întoarcere
F(s)=l+TcA(s)B(s).
’
Pentru a aplica funcţiei F(s) principiul variaţiei argumentului presupunem că
F{s) nu are poli sau zerouri pe axa imaginară şi este o funcţie regulată şi diferită de
zero la infinit. Să examinăm acum locul descris de F(s) cînd s parcurge conturul
Nyquist C. Un aspect tipic este dat în fig.9.30a, unde prin linie întreruptă s-a
reprezentat porţiunea corespunzătoare la <o<0. Fie N ca numărul de ocoliri ale originii,
în sensul acelor de ceasornic, de către locul lui F(s). Atunci, ca şi mai înainte,
(56)
unde N 0 şi A T ? reprezintă numărul de zerouri şi respectiv
-F(s) din semiplanul drept.
!m F
de poli ai funcţiei
!m T
A
Re T
b
a
Fig. 9.30. Diagrama Nyquist.
660
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Se observă că originea din planul F corespunde punctului_de- coordonate (-1,0)
din planul T ; adică F{s)=0 implica T(s) = - 1. Deci numa rulde ocoliri ale originii, de
către locul lui F(s) este egal cu numărul de ocoliri ale punctului (—3,0), de către locul
lui T(s). Acest fapt este îlustiat. în fig. 9.30 b. Dar, aşa cum se vede din relaţia (54);
diferenţa de întoarcere şi raportul de întoarcere au aceiaşi poli. Deci relaţiei ;
i
nouă interpretare şi anume : N cw reprezintă numărul (—1,0) în sensul acelor de
ceasornic, de către locul lui T(s), îai JST P este n mărul polilor lui T(s) din
semiplanul drept.
Discuţii şi ipoteze
Revenim acum asupra unor ipoteze făcute anterior cu pnvjie laj 1!*)-- Una din ele
a fost că F(s) nu are zerouri pe axa imagmaia şi la intmit.. Aceasta nu este o
restrictie serioasă, deoarece din alura hodografu ui poate spune dacă este sau nu aşa.
Dacă locul lui F(s) trece pnn origine,, sau, ceea ce este acelaşi lucru, daca locul lui
T(s) trece pnn pune u (
,
),■
atunci se va sti că F{s) are un zero plasat pe curba Nyquist, fie pe axa imaginară fie
’la infinit, depinzînd de valoarea lui s corespunzătoare punctului (—1,0).
Dacă trecerea liodografului prin punctul (—1,0) are ioc P^tiu «— r funcţia F(s)
va avea un zero la infinit. Dar luciul acesta nu piezmta impoi tantă deoarece numai
zerourile de la distanţa finita influenţează stabiitatea, Totuşi va apare o problemă cu privire la
hodo
încercuiri ale punctului (—1,0). Vom examina o uşoara modificare a hodografului pentru a elucida şi această problemă.
„
.
,
,
O a doua posibilitate este aceea ca bodograful să treaca prm P™°tu (—1,0)
pentru o valoare finită a lui w. In acest caz r( ) c <■
^
zero pe axa imaginară Dar acest fapt ne furnizează ^m^pe^ o căutăm ; el ne spune că
nu toate zerourile lui 1 (#) se afla m scmipunu stîng, cel puţin unul fiind plasat pe
axa imaginara jo.
O altă presupunere anterioară cu privire la F(s) a fost^că F{s) nu are noii ne
axa imaginară sau la infinit. Aceeaşi presupunere se aplica şi pentiu ^ fde'arece T(s)
H au aceiaşi poli. Valabilitatea --^esupu- neri se poate constata uşor tot din
comportarea ^ locul lui T(s) devine nemărginit, atunci 1 (*) trebuie sa aib~ un pol pe
valoarea corespunzătoare a lui s.
„
Poziţiile acestor poli sînt cunoscute. (Este adevărat acest lucru daca.
T(jco) se cunoaşte din date experimentale ţ) Vom
XeiiTuîufcere
de multiplicitate al acestor poli este cunoscut. 1 ,111(
»
contur.
ca funcţia pentru care se aplică sa nu aiba P0*
, noii
zerornri
î
Dar ce se întîmplă dacă se constata ca I (s) are ast
p
>- ^ -
661>
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
Penti u zei oui i pe axa imaginară, la distanţă infinită, problema a fost rezolvată, Să
examinăm cazul polilor de pe axa imaginară la distanţă finită. Dacă pe conturul
îfyquist apar astfel de poli, conturul poate fi modificat prin introducerea unor mici
semicercuri, de rază tinzîncl spre zero, plasate în semiplanul drept şi cu centrele în
poli, aşa cum se arată în fig. 9.31 a. Modificarea corespunzătoare a hodografului lui
T(s) este ilustrată în fig. fig. 9.31 b.
"
ImT
Jw
//
D
\V
a
Ul>w g \
//
//
ii
V <J!
C Wn
b
Fig. 9.31. Modificările conturului şi diagramei Xyquist
Partea cu linie continuă corespunde valorilor lui s=j co pentru co mai mie sau mai
mare decît co0, unde s=j co0 reprezintă polul. Cînd co se apropie de <o0 de jos în sus,
liodograful se duce la infinit sub un anumit unghi. In fig. 9.31 b acest fenomen apare
în cadranul trei. Cînd s ia valori pe semieeTcul de rază ce tinde spre zero, T(s)
parcurge un arc de cerc de mtt radiani ce tinde la infinit, unde m este ordinul de
multiplicitate al polului. Acest arc de cerc este orientat în sensul acelor de ceasornic,
aşa cum se arată prin linii întrerupte în fig. 9.31 b. (Propunem cititorului să verifice
aceasta aproximînd T(s) în vecinătatea polului, prin termenul dominant al dezvoltării
în serie Laurent.) Arcul de cerc de „rază infinită" din planul T uneşte capetele
hodografului lui T(s) care se obţine pentru s parcurgînd axa imaginară, apropiindu-se
sau depărtîndu-se de polul de pe axa imaginară. Acum se poate evalua numărul de
ocoliri ale punctului (—1.0) chiar dacă T(s) are poli pe axa imaginară. Trebuie notat
că aceste pătrunderi în semiplanul drept prin arce de cerc de rază tinzînd spre zero
nu afectează numărul de zerouri ale lui F(s) din semiplanul drept evaluat cu relaţia
(56). De ce?
^ în sfîrşit, se consideră cazul cînd F(s) are un pol sau un zero la infinit, în cazul unui
pol, T(s) are tot un pol. în acest caz trebuie să examinăm comportarea lui T(s) pe
semicercul de rază tinzînd la infinit, caie se fole-
662
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
seste pentru a închide contuiul Nyquist am fig.9.^. Ca j?1 ,in cafl1 polilor la distanţă
finită, liodograful lui T(s) se duce la infinit cmd s tinde la infinit de-a lungul axei
imaginaie. Corespunzător semiceieului d cont unii Nyquist, liodograful lui T(s) - caie
de data aceasta tmue la infinit — va descrie în sensul acelor de ceasornic un aic ae
ceic . • v- îadiani, unde n reprezintă oidinul de multiplicitate al polului de la infinit.
Acest hodograf este
repiezentat in fig. 9.32 a.
/
/
ImJ
Im T
/
t LV^-O
I ^
\
U
J
>0
\
*~ReT
/
H,0) \
-° ---- *"
r
/
F.g. 9.32. Diagramele corespunzătoare unui pol (a) şi unui zero
(b)
la intimi.
în cazul cînd F(s) are un zero la infinit, în punctul respectiv T(s) = = - 1 si deci
hodograful lui T(s) trece prin punctul (-1,0). In acest caz se consideră limita' arcului de
cerc din conturul Nyquist cmd raza s u tinde la infinit. Hodograful lui T(s) va desciie un
aic de ^c de .m ce tinde spre zero în jurul punctului (-1,0), paicuigmd m sensul acel:* de
ceasornic n* radiani, unde n reprezintă ordinul de multiplicitate a zero ului de la infinit.
Acest hodograf este reprezentat m fig. o.
Teorema lui Nyquist
IIo dogi a ful lui T(s) în cazul general va fi o combinaţie a celor ilustrate în fig.
9.306, 9.316 şi 9.32. Acest hodograf modificat, m care se manifestă efectele polilor lui
T(s) sau F(s) de pe axa imaginata şi a molilor sau zerourilor lui F(s) = 1 + T(s) de la
infinit, se numeşte diagrama Nyquist. Numărul ocolirilor punctului (-1,0) in sensul
acelor de ceasornic, care inteivine în relaţia (56), se referă tocmai la diagiama Nyquist.
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
663>
Cele arătate antei ioi pot fi formulate pe scurt într-o teoremă numită criteriul lui
Nyquist.
Teorema 6. O reţea avînd funcţia de transfer
1
lcA(s)B(s)
este MIME stabilă (a) dacă nici un pol al lui A (s) din semiplanul drept sau de
pe axa imaginară nu este şi zero al lui B(s) şi (b) dacă diagrama Nyquist a lui
T(s) = JcA(s)B(s) nu trece prin punctul (—1,0) si nu-l ocoleşte de —N ori în
sensul acelor de ceasornic 1', unde N este numărul polilor lui T(s) din semiplanul
drept,
*
Menţionăm că această teoremă reprezintă numai o condiţie suficientă. Ea nu este şi
necesară deoarece zerourile lui Jl(s) din semiplanul drept sau pe axa imaginară pot să
compenseze zerourile din semiplanul drept sau de pa axa imaginară ale funcţiei 1 +
T(s), dacă există astfel de zei oui i. Desigui, dacă se ştie că ^l(s) are zerouri numai în
semiplanul sting, aceasta compensai e nu poate avea loc şi condiţiile teoremei devin
necesare şi suficiente. în orice caz, din punct de vedere practic vom considera o reţea ca
instabilă — şi nu ca potenţial instabilă — dacă nu sînt satisfăcute condiţiile teoremei. De
ce ?
’
Dacă se foloseşte acest criteriu pentru a obţine informaţii cu privire la zerourile
funcţiei F(s) pe baza relaţiei (5(3), atunci trebuie să ştim că T(s) nu are poli în
semiplanul drept; sau dacă are, trebuie să ştim cîti smt. Exista un caz m caie putem şti
precis ca T(s) nu are poli în semiplanul drept, acesta este cazul cînd A(s)B(s) poate fi
scris sub formă de produs de funcţii ale unei reţele pasive.
în sfîrşit, dacă diagrama Nyquist pentru T(s) reprezintă elementul clieie_ pentru a
aprecia stabilitatea unei reţele, atunci, trebuie să fim siguri că nici un pol al lui J.(s) din
semiplanul drept sari de pe axa imaginară nu coincide cu zerourile lui B(s). Există un
caz în care putem şti cu certitudine că nu se poate întîmpla acest lucru si anume atunci
cînd numărătorul lui B(s) este constant.
’
Analiza stabilităţii pe care am prezentat-o anterior se bazează pe modelul cu o
singură buclă de reacţie din fig. 9.29. Criteriul lui Nyquist poate fi însă extins şi la
grafurile cu mai multe bucle de reacţie. Aceasta implică trasarea a cîteva diagrame
Nyquist. Nu vom prezenta aici această extindere.
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
664>
Exemplu. Să ilustrăm criteriul de stabilitate a lui Nyquist prmtr-un exemplu. Vom
parcurge detaliat acest exemplu şi vom arăta ce aproximaţii pot interveni.
, „
Fie amplificatorul cu trei etaje RC cu reacţie dependenta de fi cventă din fig. 9.33.
în acest exemplu vom încerca să arătăm avantajele criteriului lui "Nvquist fără să
calculăm raportul de întoarcere T(s) în schimb vom ■estima pe T(s) recurgînd la o serie
de aproximaţii. Aceasta reţea este un model simplificat al unui amplificator cu tuburi cu
vid,, m care capacităţile dintre electrozi au fost neglijate pentru a simplifica exemplul.
Această reţea poate fi uşor modelată printr-un graf cu o singura buclă de reacţie de
tipul celui considerat. Valoarea lui Ic va fi ^2^3 iai A(s)B(s) se poate scrie ca un produs
de funcţii ale unei reţele pasive, ceea ce nu vom face aici. Aşadar putem considera = 0 şi
putem proceda mai departe ştiind că N 0 =N CW . Mai mult, B(s) = l; deci polii lui 4(*)_nu
pot fi comuni cu zerourile lui B{s). Propunem cititorului sa se convingă smgui
Interesul se concentrează deci asupra axei imaginare jco ; din acest motiv vom
opera cu fazorii de regim permanent în locul transformatelor Laplace. Amintindu-ne
definiţia raportului de întoarcere data pe gra , trebuie să întrerupem bucla de reacţie şi
să aplicăm un semnal egal cu unitatea, la nodul din dreapta în perechea de noduri astfel
formata. Semnalul care se întoarce la nodul din stînga al acestei perechi de noduri va fi
T (ico). Vom urmări aceste operaţii pe reţea. Presupunem ca bucla de reacţie este
întreruptă la intrarea primului etaj de amplificare iar tensiunea V , se ia egală cu
unitatea. Se observă că aceasta echivaleaza cu înlocuirea primei surse controlate de
tensiune printr-o sursă, independenta de tensiune de valoare Aceste condiţii sînt
realizate m reţeaua dm fig. 9.34 pentru a calcula raportul de întoarcere.
„
, ...
,
-Viei s-a eliminat sursa externă de tensiune, rar prima sursa controlata de
tensiune se presupune a fi o sursă independentă avînd fazorul tensiunii ^
665
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
be observă că sensul de referinţă pentiu T s-a ales conform definiţiei, adică
valoarea cu semn schimbat a semnalului care se întoarce în nodul despicat. Este uşor
de văzut cum trebuie interpretat acest lucru cînd se determină T (jw) prin măsurări
experimentale în reţeaua respectivă.
Pentru a construi diagrama Nyquist se împarte banda de frecvente 0<w<oo întrun număr de benzi în care se fac aproximaţii convenabile La frecvenţe foarte joase
semnalul care se întoarce va fi foarte mic datorită capacităţilor de cuplaj C t , C 2 şi C r
Influenta capacitătii C k poate fi neglijată în această bandă. Apar trei reţele cu cuplaj
RC în buclă Introducem notaţia
R.
RLRQ
RL +
(57)
Rn
cu indici corespunzători pentru fiecare etaj. în acest caz raportul tensiunilor pentru
fiecare etaj va fi
-j.iR e Cs
(fic J rR P )C s - J r(R p J t-R L )l(R g + R L ) cu indicii
(58)
corespunzători. Aşadar rapor tul de întoarcere va fi
______ [t-lRelCiS
m-
(Rei + Rpi)C 1 s + (R pl + R L1 )l(R e2 -J r R L1 ')
_ ________ V-^RezC şS
X
(-®e2 ' Rvl)C 2,S Jr(Rp2 -f RLO)/(Roa^r RL2)
______
X
______________
"®e3 + -®*3) CjS "{ ( R p3 + Rlz )/( Rgl + RL3)
(59)
(Semnul
mi»»
666
sensului 4.
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
lui T(jco) arată ca în fig. 9.3o.
ImT
Planul -T
01=0Tm
------- •
------- /
Fig. 9.35. Comporta rea hodografului " lui
T(jco) la frecvenţe joase.
5*-
il)>0
«*ă m psuniitiem acum că frecvenţa limită supei îoaiă
este
mult"mai mare decît Secvenţele limită supeiioare ale Ya exista deci o bandă de frecvenţe medii
m <:aie congotarea^ie,. ^ din fig. 9.34 poate fi aproximata prin compoitaiea îeţe
c.
\r'92
n st
\ R L2
\\ R S1
Fi£. 9.36. Aproximarea ia frecven ţe medii.
această reţea T se calculează foaite uşor. Este suficient pentm aceasta să se
Pentru
neglijeze’
termenii constanţi faţa ele termenii caie c epmc ( ■ fiecvenţă la numitorii fiacţiilor dm
îelaţia (oJ).
Rezultatul va fi
IC
ie,:
T r .,
•
(00)
Acesta este un număr real şi pozitiv. Aşadar hodograful lui corespunzător frecventelor medii se
reduce la un punct pe axa reala pozitiva, Ace.U
este punctul T m din fig. 9.37.
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
667
La frecvenţe înalte se mai poate folosi încă fig. 9.36 introducînd însă şi efectul
capacităţii C gk . Deoarece C ek este în paralel cu E l3 , al treilea factor din relaţia (60) va
trebui modificat înlocuindu-1 prin următorul :
(61)
Aşadar argumentul lui T va tinde asimtotic la — tc/2. Porţiunea din hodo- graf
corespunzătoare frecvenţelor înalte va avea deci aspectul din fig. 9.37.
Im T
Planul T
Fig. 9.37. Comportarea
UJ= oo _ /
Im
Iui »ReT T{ju>) la frecvenţe înalte.
Putem trasa acum hodograful lui T(jo>) pentru 0 sc w<oo care va avea, în mare,
aspectul din fig. 9.38. Pentru o aproximare şi mai bună vor trebui calculate cîteva
puncte.
’
Vom presupune, pentru simplitate, că cele trei frecvente limită ale celor trei etaje sînt
fie identice, fie mult diferite între ele. în primul caz ştim că, la frecvenţa limită
comună, fiecare circuit introduce un defazaj’de TT/4
9.5. CRITERIUL LUI NYQUIST
668
şi o atenuare de 3 dB. Acest punct, notat cu w3 în fi8\9-38>
cu 9 dB sub valoarea 20 logTm. Similar, se poate gasi frecvenţa la caie
fiecare circuit introduce un defazaj de 7T/3.
cu r/6
nnntHhnie
La această frecvenţă fiecare numitor dm relaţia,(591 conta şi se găseşte uşor că
co2=0,58 co3. La aceasta fr^venţa ^eoai e f^m mti duce o atenuare de aproximativ 4
dB. Aşadar T(]m 2 ) va fi cu 12 <ui S U D l?îoX Frecvenţa notată în fig 9.38 corespunde
mte^ţ.e hodografului cu axa reală negativa. Celelalte puncte
« « ■
calculează similar. Fiecare caz în parte se propune cititoiului diept p
blemă. (v. Problema P.25).
Odată cunoscut hodograful pentru valori pozitive ale lui w, diagrama poate fi
completată prin simetrie în raport cu axa reala. Diagrama comnletă nentru acest exemplu se da m fig* 9.39.
^
Este evident că stabilitatea sistemului este determinata de v^are lui T( io o)
Dacă modulul respectiv este mai mare sau egal cu 1, sisţemui e e instebil în astfel de
cazuri sistemul poate fi făcut stabil prin modificarea valordor unor elemente. Chiar
dacă punctul (-1,0) nu este inclus m hodograful lui T şi hodograful nu trece prm acest
punct, apropieiea cuibei ■de acest punct d’ă o măsură a „stabilităţii relative . Se
obţine astfe o
indicaţie cu privire la apropierea unui pol de axa
^
Această idee poate fi exprimată într-o maniera cantitativa definind
marginile de stabilitate, marginea pentru amplificare şi ma !'9^J^ tr l fa~ă De fapt
diagrama Nyquist conduce la multe alte concepte deosebit utile în proiectare, aşa
cum este cel de stabilitate condiţionată lotuşi, vom considera terminată
prezentarea în acest punct, lasmd ast:Eel ^ti d pe seama lucrărilor de teoria
reglajului automat, care trateaza detailat
sistemele cu reacţie.
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
669
PROBLEME
P.l. Să se determine indexul pentru fiecare graf de fluenţă a semnalelor din fig. 9. P. 1. Numerele
ataşate laturilor reprezintă valorile numerice ale transmitanţelor respective.
P. 2. Reducind
fiecare din grafurile de fluentă a semnalelor din fig. 9. P. 1. să se
determine amplificarea
grafului.
3
S
a
b
f
a
5
3
e
f
Fig. 9.P.
GS!>
PROB
LEME
Fig. 9.P.1
F. 3. Să se determine amplificarea pentru ficcare graf de fluenţă a semnalului din fig. 9. P. 1- aplicind
formula.
P. Fiecare graf de fluenţă a semnalului din fig. 9. P. 1 are un nod sursă şi un nod sarcină.
aj Să se inverseze calea de la sursă la sarcină in fiecare giaf.
Să se determine amplificarea pentru graful inversat şi de aici amplificarea grafului original.
T> Să se reducă fiecare «ral de fluenţă a semnalului din fig. 9. P. 1 la un graf esenţial. Apoi sa se
evlez:^npti!icarea folosind formula. Să se compare cu valorile obţinute la problema
f()
2 şi 3.
P (i în «râtul din fig. 9.12a să se inverseze bucla \'avbviva- sâ se găsească amplificai ta grafului J/V, şfsă
se verifice că este aceeaşi cu cea găsită m text.
p 7 Să se deseneze un graf de fluenţă a semnalului pentru reţelele din fig. 9.
P. /.
se
reducă graful de trecere a semnalului pentru a găsi funcţia de transfer 1
.
5 zzxsxxzr, fSSSSSSSSfSfSOR
pentru a compara volumul de muncă nece.,ai.)
\ ,•
Sa
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
' 2 1-1 3 4 1 0—1
(a
)
10 12
_ _ 4 —7 2 3 _
(b
)
-t 10 2
Xj '
2 5 1-1
x2
10 3-1
x3
,0 10 2 _
-X4-
1
^
CO
o
CM
i
!
(e
)
-2 -
'Xi
-z
1
x3
0
--
.0 .
x
- 01
-1
. 0,
Xi"
x2
_.r
4-
3
1
C
M
x
- 1 0 0 -2 _
—1
1
-3-1 6 1
“ 2-
Cz
4
-
Li
Fig. 9.P.7
P. 9. Să se găsească funcţia de transfer V4/V„ pentru reţeaua din fig. 9.19 a cărui graf de fluenţă a
semnalelor este dat în fig. 9.20 prin : (a) reducerea grafului de fluenţă a semnalului, ţb) operare asupra
matricii de conexiuni, (c) aplicarea formulei amplificării şi (d) prin folosirea ecuaţiilor cu variabile mixte.
P. 10. Să se găsească imepdanţa de transfer V3//a pentru reţeaua din fig. 9.21 cu graful de fluentă a
semnalului din fig. 9.22 prin : (a) reducerea grafului de semnal; (b) operare asupra matricii de conexiuni ;
(c) aplicarea formulei amplificării şi (d) prin folosirea ecuaţiilor pe noduri.
PROBLEME
671
fig. 9.VllaSla d?
se evalueze amplificările grafurilor.
^
*3
e
Fig. 9.P.11
s
*
672
1’. 12. Să se traseze graful de fluenţă a semnalului pentru reţeaua din fig. 9. P. 12 pentru a găsi
funcţia de transfer Y2i(s) = 12/Vi- Să se găsească această funcţie reducînd graful de fluenţă a semnalului.
De asemenea, să se aplice formula amplificării pentru graful original şi să se compare rezultatele
obţinute.
ac,
C,
P. 13. Să se găsească raportul de tensiuni V2/r, pentru reţeaua în scară din fig. 9. P. 13 prin trasarea
grafului de fluenţă a semnalului. Să se arate că zerourile funcţiei de transfer corespund polilor
impedanţelor scrie sau zerourilor impedanţelor derivaţie.
Fig. 9.P.13
1’. 14.
Să se determine un graf de fluenţă a
•9. P.1
ia
la
c.
Să
se
pentru tranzistor din fig. 9.P.14d. Apoi să se
evalueze amplificarea.
semnalului pentru fiecare din reţelele din fig.
folosească
circuitul
echivalent
P. 15. Să se găsească amplificarea Y2!\\ pentru amplificatorul ,,pscudo-acordat" din fig. 9. P. 15
folosind grafurile de fluenţă a semnalelor.
P. 16.
Pentru fiecare din reţelele din fig. 9.
P. 16a la d să se folosească relaţia (40) pentru
adetermina
senzîtivitatea funcţiei de transfer \ 0
V■ în raport cu : (a)c, (b)r şi (c)g. Să s ■ folo
sească circuitul echivalent al tranzistorului din fig. 9. P. 16c. Valorile nominale sint c=100[iF, r=10 3fl şi </ =
0,5U.
P. 17. Raportul de întoarcere şi diferenţa de întoarcere a unei laturi sint definite în text. Aceleaşi
mărimi pot fi definite pentru un nod. Raportul de întoarcere al nodului j. notat prin Tj •este amplificarea
cu semn schimbat a grafului obţinut prin despicarea nodului şi eliminarea tuturor ■celorlalte noduri
sursă şi sarcină.
PROBLEME
673
5&TÎ1
■v
10JiT\lO' 9 F'
Fig. 9.P.14
^'2
43 - c. 854
CO?1'
674
9. GRAFURILE DE FLUENŢĂ A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
10 3 J1
Fia. 9.P.16
Diferenţa de întoarcere a nodului j se defineşte ca — T j . Raportul de întoarcere parţială a nodului j, T'.,
este definit ca raport de întoarcere a nodului j, cînd toate nodurile de ordin superior au fost îndepărtate
din graf. Acesta depinde evident de ordonarea nodurilor. Se defineşte de asemenea şi diferenţa de
întoarcere parţială a nodului j ; ea este F' = l + T'..
a) Să presupunem că nodurile unui graf sînt numerotate într-o ordine particulară. Se elimină toate
nodurile de ordin superior lui k. Se desenează graful redus sub forma sa generală, reţi- nînd doar nodurile
k şi k — 1. Să se determine diferenţele parţiale de întoarcere şi să se găsească produsul F'k F'_r Să se
inverseze apoi numerotarea nodurilor k şi k— 1 şi să se găsească produsul F' F'_!. Să se arate că acest
produs este independent de numerotarea nodurilor.
b) Să se arate că produsul diferenţelor parţiale de întoarcere ale tuturor nodurilor dintr-un graf este o
proprietate intrinsecă a grafului, independentă de numerotarea nodurilor.
PROBLEME
P. 18. Care
675
din următoarele funcţii pondere corespunde unor reţele stabile MIME
:
(o) ;s~2(sin t u(t)
(6) ------------------------------- _ u(l)
sin22i (c)
----------- — u(0
-2« ___ 1/ 2
(rf)
(t~ 3)2
11(
1)
(f) ------ u(i-3)
t
1*. 19. Să se folosească (1) criteriul Routh şi (2) criteriul Lienard-Chipart pentru a determina care
din următoarele polinoame in s au zerouri doar în semiplanul stîng.
(a) s3 + s2 + s + 6
(6) s4 + 5s3 + 9s2 +
7s +
(c) s4 + 3s3 + 7s2 -j- 6s + 1
(d) s5 + 2s4 + 3s3 +
8s2 +
(e) 2s5 + 9s4 + 19s3
+ 25s2+ 19s + 6
(f) 4s3 -|- 7s2 + 7s +
2
(ff) s3 -f 3s2 + 4s -f
2
(/i) 3s + 5s + 4s +
(z) s + 7s + 7s +
5s +
(k) 2s + s + 5s +
2
6
5
3
2
4
3
3
4s
2
+ s+1
2
7s + 6
6
2
(j) 2s + Îs + 3s + 3s + 4s 2
5
4
3
2
(0 s4 + 3s3 + 2s2 + s + 1
(m) 2s4 + 4s3 + 7s2 + 7s + 3
P. 20. Să presupunem că H(s) este o fracţie raţională şi regulată la infinit; atunci H(s) este egală cu o
constantă (care poate fi zero) plus o fracţie raţională proprie. Să se arate că o reţea avînd H(s) drept
funcţie de transfer este MIME stabilă dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei II(s) au partea reală negativă.
P. 21. Să se folosească criteriul Lienard-Chipart pentru a determina valorile lui [j. pentru care
reţelele clin fig. 9. P. 21 sînt MIME stabile
rft î II ll/Ţ °
Fig- 9. P. 21.
I». 22. Să se folosească criteriul Lienard-Chipart pentru a determina valorile lui p şi y pentru care
reţelele din fig. 9. P. 22 sînt MIME stabile. în planul parametrilor p—y să se haşureze zonele de stabilitate.
676
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Fig. 9. P22
P. 23. Să se folosească criteriul Lienard-Chipart pentru a determina valorile lui r şi g pentru care
oscilatoarele din fig. 9. P. 23 a la c nu sînt MIME stabile. Se presupune că o sursă de tensiune de intrare
este conectată în serie cu baza tranzistorului. Să se folosească circuitul echivalent al tranzistorului din
fig. 9. P. 23rf. în planul parametrilor r — g să se haşureze zonele de instabilitate.
Fig. 9. P23
PROBLEME
P.
S-S.
677
Să se traseze diagrama Nyquist pentru ficcare din rapoartele de întoarcere :
1S+1
(a) T(s) = k ---------------------------s(s + l)(s + 2)
(b)T(s) =
s-+3s + 3
(s + 1) (s+3)
i0TW
~k
%+J+^
W T W
(9) T(s) = k--------------—----------------------------------------XTTfT
(s + 4) (s-l)
(!) T (s) A- -
• ■ + « *
S —1
</!) r(s)
-
-
*
s(s + l)
(j)
s2fs 4- 2^
T (s) -
6
^
s2(s + 2)
“>rw - ‘ TRirf
wrw-*5î5^
.,
2_q_|_1
S
«’■« -‘-jrfîr
,
,
(s+1)(s+2)
(")'<‘)-*“^?Tîr
9
(o) T(s)= "
k
<p) m =
(S
+
1)
Pentru ce valori ale lui k reţeaua corespunzătoare cu reacţia este stabilă pe baza criteriului lui Nyquist?
Se presupune că A(s) are zerouri numai în semiplanul sting.
P 25. în reţeaua din fig. 9. 33 din text, valorile componentelor sînt astfel, încît frecvenţele de tăiere ale
celor trei etaje sini
Wfl
- 100, co& = 1000, o>c = 100.000
Să se traseze cu atenţie diagrama Nyquist în acest caz. Să se găsească valoarea maxima pe care
o poate avea Tm pentru ca reţeaua să fie stabilă.
P 26. Să se traseze diagrama Nyquist pentru reţeaua din fig. 9.P.26. Să se găsească valorile Ii,L,
pentru care reţeaua este stabilă. Care este valoarea maxima a Im a m aceste condiţii, dacă reţeaua rămîne
stabilă pentru mici variaţii ale valorilor parametiilor (m particular . Ii’, Ge, Iif şi Lf) faţă de valorile
proiectate?
p. 27. Să se traseze diagrama Nyquist pentru reţeaua din fig. 9. P. 27 şi să se găseasca condiţia de
stabilitate.
^
1* 21Î Să se traseze im graf de semnal pentru reţeaua dată în fig. 9. I . *.8, Reducind graful, să se
calculeze funcţia de transfer.
P. 29. Să se verifice teorema următoare, cunoscută drept criteriul invers al lui Nyquist.
O reţea avind drept funcţie de transfer :
H(s) ■.
kAls)
V
1 —kA(s)B(s)
'
(>78
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
Lf
Lf
PROBLEME
679
esle MIME stabilă, (a) dacă nici un pol din semiplanul drept sau axa imaginara al l ( ) este de asemenea un
zero pentru B(s) şi (b) dacă diagrama hyquist pentru l/2(s)-1,fcAW trece prin punctul (-1,0) şi nu ocoleşte acest
punct de -Np ori m sensul acelor de ceasornic ie NP este numărul polilor din semiplanul drept a lui 1/7(s).
Diagrama Nyquist pentru 1,
( )
cunoscută drept diagrama Nyquist inversă a lui T(s).
P 30 Pe baza problemei P.29, să se traseze diagrama Nyquist inversă pentru fiecare dm rapoartele de
întoarcere enumerate în problema P.24. Apoi să se indice valorile lui A' pentru care reţeaua cu reacţie
corespunzătoare este stabilă pe baza criteriuiui invers al lui Nyquist. be presupune că A(s) are zerouri doar
în semiplanul stîng.
P 31 Să sc considere toate combinaţiile posibile de A(s) şi B(s), care se pot obţine din lista următoare.
Să se aplice (1) criteriul lui Nyquist şi (2) criteriul invers al lui Nyquist (problema P.29) penlru a
determina valorile lui k pentru care fiecare reţea este stabila
A(s) = -------------- ----------(s + 1) (s + 2)
A(s) = --------- 1 --s(s + 1)
A(s) =
s2(s + 2)
B(s) =
rt(s)
-
1
1
s
+ i
#(s) = ---------- s +
i
P 32 Se consideră o reţea activă ce poate fi excitată fie cu o sursă de tensiune, fie cu o sursă de
curent, după cum se arată în. fig. 9. P. 32 a şi b. Funcţiile de transfer respective vor fi :
Vx
A |a
A
v
in primul caz, determinantul este cel al matricei de impedanţe a buclelor şi este format prin scurtcircuitarca terminalelor de intrare. în al doilea caz determinantul este cel al matricei de adimanţe a
nodurilor şi se obţine lăsînd terminalele de intrare in gol. Zerorurile acestor determinanţi
—
care reprezintă polii funcţiilor respective de transfer — vor fi diferite. Prin urmare, proprietăţile de
stabilitate nu trebuie să fie aceleaşi pentru cele două feluri de excitaţie.^ Daca o ret ea este stabilă cînd
terminalele sale sînt scurt circuitate se spune că este stabilă in scurt circuit. Similar, dacă o reţea este
stabilă cînd terminalele sale sînt în gol, ea se numeşte stabilă în gol. Este posibil ca o reţea să fie atît
stabilă în scurt circuit cît şi stabilă în gol.
Este de asemenea posibil să fie stabilă pentru o condiţie a terminalelor dar nu pentru cealaltă,
o) Reţeaua din fig. 9. P. 32c include doi tranzistori, reprezentaţi prin modelele lor liniare şi un diport
reciproc pasiv. Examinînd polii impedanţei de intrare, să se arate că această reţea este stabilă în gol.
b) O altă reţea este prezentată în fig. 9. P. 32 d. Să se arate că esle stabilă în scurtcircuit.
Să considerăm un diport cu rezistenţe la ambele capete, ca în fig. 9. P.32 e. Oricare din porţi poate fi scurtcircuitată sau lăsată în gol dîndu-se valori corespunzătoare lui Rs şi RL• întreaga reţea poate fi stabilă în
scurt circuit şi / sau în gol la oricare din extremităţi.
c) Ca un exemplu specific să se considere reţeaua din fig. P.32 f. Aceasta este un convertor de impedanţă
negativă cu un condensator care reprezintă capacităţile inevitabile din dispozitivele active. Să se
determine cînd reţeaua este stabilă în scurtcircuit şi / sau în gol la ambele extremităţi.
680
9. GRAFURILE DE FLUENŢA A SEMNALELOR ŞI REACŢIA
il
Reţea J"1
Z L_
Reţea
--- *>
pasiva j
reciprocă h
—»-
pasiva
reciproca
' r~
Fig. 9.
P32
P. 33. în exemplul din fig. 9. 21, se doreşte să se afle impedanţa de intrare. Se plasează un nod (şi
laturile corespunzătoare) în fig. 9. 22 ce reprezintă tmsiunea la bornele sursei independente de curent. Să
se găsească impedanţa de intrare reducînd graful. Să se găsească de asemenea impedanţa de transfer V3jlg.
P. 34. în fig. 9. 20, nodurile \\ şi V4 sînt noduri esenţiale. Să se reducă graful la un grrf esenţial cu
nodurile Vx şi Vt ca noduri esenţiale şi să se compare cu fig. 9.18.
P. 35. Grafurile de fluenţă a semnalelor pentru două amplificatoare cu reacţie sînt date în fig. 9. P.
35 parametrul (32 trebuie ales astfel încît amplificările celor două grafe să fie egale. Să se determine
senzitivitatea Sa , a amplificării fiecărui amplificator în raport cu parametrul a. Să se compare şi să se
arate care din cele două amplificatoare este mai puţin senzitiv la variaţiile H:i ot.
-P,
-f,
-f :
a
a
a
aaa
^b
Fig. 9.P.35.
10 Circuite (refele) liniare variabile în timp şi
circuite (refele) neliniare
în capitolele precedente s-au considerat numai circuite liniare şi invariabile în
timp. în realitate, circuitele întâlnite în practică prezintă caracteristici, care nu pot fi
descrise complet şi corespunzător, prin modele liniare, invariabile în timp.
O piesă componentă simplă, ca de exemplu o rezistenţă, are o rezistenţă
electrică încet variabilă în timp, sub influenţa variaţiei de temperatură a mediului
ambiant; acest efect nu este totdeauna neglijabil. La fel, saturaţia inducţiei magnetice
în miezul feromagnetic al une bobine, funcţionarea cu semnal mare a unui dispozitiv
activ, cum este tranzistorul, disipaţia excesivă de energie într-o rezistenţă etc., conduc
la neliniaritate. Reţelele reale sînt deci, în multe situaţii, neliniare.
Pe lîngă situaţiile nedoiite de abateri de la invar ianţa în timp şi (sau) de la
liniaritate, pe care dorim să le reducem, există alte situaţii în care ,,abaterile“ sînt
introduse intenţionat, pentiu obţinerea unor reţele cu anumite performanţe; astfel, de
exemplu, amplificatorul parametric este realizat ca o îeţea liniară, variabilă în timp.
Oscilatoarele, modulatoarele şi demodulatoarele sînt numai cîteva din numeroasele
reţele realizate cu elemente neliniare.
în prezentul capitol se ATa trata formularea matematică şi soluţionarea
analitică a reţelelor liniare, variabile în timp şi neliniare.
Deoarece soluţia analitică a unei îeţele neliniare nu poate fi determinată, în
general, se va include un paragraf cu procedee de soluţii numerice. De asemenea, mai
este un paragraf cu teoria stabilităţii după Liapunov, care constituie unul din
instrumentele fundamentale disponibile pentru studiul reţelelor neliniare. Deşi se vor
prezenta aici numai o parte din aceste terne — domeniul actual al cunoştinţelor fiind
destul de întins pentru a putea fi cuprins în mai multe volume — tratarea va fi
îngrijită şi nu vagă. Pentru dezvoltarea cunoştinţelor sînt indicate referinţe la
bibliografie.
682
19. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
10.1. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE
VARIARILE ÎN TIMP
în paragraful 4.5 s-a prezentat o metodă pentru formularea ecuaţiilor de stare a
unei reţele invariante în timp. în legătură cu aceasta se observă că noţiunea de
dependenţă sau independenţă de timp nu a fost introdusă decît după ecuaţiile (129).
De aceea vom începe tratarea circuitelor variabile în timp cu aceste ecuaţii, pe care le
repetăm aici pentru uşurinţă :
VE
j f^ci + ^ #e\
+ d}
A
dt
L ' l Ll
V
■ C( '
A
dt
V
+ [9
- 'lLl -
d
dt
Reducerea la îorma normală
CM
rE
(la)
1
+
(1*)
dt
2
%
'Va '
Xi .
0
A
(2)
A
1
O
H
E
XJ .
sau , după concentrare într-o singură ecuaţie,
-2£_
d <e o
*
CI
dt o se
Ll
_J£
dt
-h .
se
Această ecuaţie poate fi redusă la forma normală
d
'x +
dt
cu condiţia ca matricea
0
o se
să fie mărginită şi nesingulară. Deoarece ne interesează o^ soluţie pentru vom
presupune că (4) este mărginită şi nesingulară pentru t >t 0; aceasta înseamnă că
fiecare element din (4) este mărginit şi
det
'«■ 01 o =f=
se\
o
(3
)
10.1. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE VARIABILE ÎN TIMP 683
Acum se poate proceda, în două moduri, pentru punerea ecuaţiei (2) în forma
normală. După primul mod se pune :
Se.
-' l Ll
-
C(
.o
VE
' O
V
1
.0
0
h-
se.
(5)
apoi
V
Cf
0
*
=
-*il -
.0
-A
-1
se.
(6)
A
+
x
0
se.
.0
-ij .
Prin înlocuirea acestei expresii în (2) şi rearanjarea termenilor, se obţine forma
dorită din (3), cu
0
' —
srf =
- A
<$
_0
-2£
A -
<€
A
+
A
<3
<3
(7)
se
-i
r
— <&
—i
0
- A
0
0
A
se.
(8)
se
0
si
H;;!
(9)
După al doilea mod se pune,
v
ei
'ii
(
€
0
.0
se_
-i
r
0
A
0
Vj
(10)
A
se.
în acest caz
V
VE
-i
O
#0
Ct
=x+
-
(11)
A
o
_o
se.
ij
se.
După înlocuirea acestei expresii în (2) şi rearanjarea termenilor. din
ecuaţia rezultată, se obţine ecuaţia în forma normală (3), cu
d
0'
;rt
— 3£
dt
0
se.
(12)
684
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
®
=
r
—<w
■
o
A A -
—
<e
o
-i
+
A A
A
9—2£.
se.
<&je
'
O
^ 0
9—2£_
.o
.o
se.
se_
(13)
Vectorul e este exprimat iar prin (9).
Modul al doilea de alegere a vectorului de stare duce la o matrice s/, arătată în
(12), care necesită derivarea matricei de parametri (4). Deoarece se caută o soluţie a
ecuaţiei de stare pentru t^4 w se va presupune că această matrice de parametri este
diferenţiabilă pentru Această presupunere nu este necesară dacă vectorul de stare se
alege după primul mod.
Pe lingă aceasta, modul al doilea de alegere a vectorului de stare duce la nişte
matrice si şi J1, care sînt, în general, mai complicate din punct de vedere funcţional
decît cele obţinute cînd vectorul de stare se alege după primul mod.
Aceasta este mai evident cînd avem
0
o
= 0.
se
In acest caz primul mod dă matricele,
~<e o
—i
A A -
şi ăi =
—
—
<y #e
A A
.9
9 — 3£. .o se.
care, evident, sînt mai simple funcţional decît matricele
'<e
.o
o
se
d
i f
9
i
—3£_
~i
0
®=
rA
—<&
A
.0
se
9
dt
r
L
0"
o se.
A
X
A
-2£
stabilite în al doilea mod. Din aceste observaţii se poate trage concluzia că primul mod
de alegere a lui x este preferabil.
10.1. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE VARIABILE ÎN TIMP 685
Componentele vectorului de stare
Să ne concentrăm atenţia deci asupra caracterizării elementelor lui x,
date în (5). După efectuarae înmulţirilor de matrice indicate în (5) se obţine :
<#v ct — <gv E
jehi -
(14)
Din relaţiile (117) şi (118) din Cap. 4 se observă că : V = f, - r
Qec
Occ
^ = —
Qcc
Qcc Cj ( Qcc VCf + Qi'C VJ
în consecinţă se găseşte că : \ y,; = ti/ V
Cf
(15)
Această ultimă formă rezultă din relaţia (113 e), de la cap. 4, pe care
o repetăm aici
Qccvci + QiCvis =
V
CÎ-
Dar, elementele C, vc, şi C, vc( sînt simple sarcini ale capacităţilor din
reţea. Astfel, elementele lui x exprimate prin <gv ct — după cum se vede în (15), sînt
combinaţii liniare ale sarcinilor din capacităţi.
Trecînd la cel de-al doilea rînd din matricea unicoloană (14), cu ajutorul
relaţiilor (122) şi (123) din Cap. 4, se determină
S£ = L;î — L(( Q LL — Q'LL L» + QLL L(( QLL
= — Q
^ij =
LL
l j (f Qw + Qw
—
—
Q'LL^t^Ll
+
L;f(—
Q LL^tti— QLLHI Qi.jij)
= iLl — Q’LL Ln ii( + L,( iLt QLL htt iLl.
Astfel: LI
QLL'LI
— Qijij)
(16)
Ultima relaţie de mai sus rezultă din (113 d), Cap. 4, pe care o repetăm aici :
—
686
Q — QLJ*J = i Lt-
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Dar, elementele L„i£!, L„i£(, L((, i Lt şi L n \ Lt sînt fluxurile magnetice prin bobinele
de inductanţă. în particular, elementele L„iLl şi L lt \ Ll sînt fluxuri magnetice de cuplaj
mutual. Deci elementele lui x stabilite prin
i£\ L i -- S£ ij sînt combinaţii liniare ale fluxurilor magnetice din bobine.
în privinţa ecuaţiei de ieşire a circuitului, după cum s-a văzut în cap. 4, se poate
arăta că oricare din variabilele de curent şi de tensiune ale circuitului poate fi exprimată
prin termenii vCj, i Ll , v E , i.,, dv E jdt şi dij/dt. Dacă se notează cu w vectorul de ieşire, —
elementele lui vv sînt variabilele de tensiune şi (sau) de curent ce trebuie să rezulte la
ieşirea circuitului,
—
atunci se poate arăta, că, pentru ambele moduri de mai sus de definire a vectorului x,
vectorul vv poate fi exprimat convenabil prin
d
vv = <Bx +
A
-| --- @e
(17)
dt
Exemplu. Pentru a ilustra reducerea ecuaţiilor de circuit din forma (2), in forma normală (3),
consideră circuitul din fig. 1, care conţine o capacitate variabilă periodic. Fie tensiunea pe condensator
i3 curentul prin inductanţă. Este uşor de verificat că vectorul [i^ z3]' satisface ecuaţia diferenţială
poate verifica uşor.
Aceasta se
'11
'»r
UJ
1
=
■ -1/10 -1 -
1 0 J
-z-F
f+Gsin 2t
Fig. 10.1. Circuit variabil în timp periodic.
(Se recomandă să se verifice aceasta). Aceasta este de fapt rezultatul ce s-ar obţine utilizind metodele din par.
4.5., cu relaţiile (129a} şi (129 b).
După cum se vede în fig. 1, valoarea |a| este subunitară.
Rezultă că matricea
- _________________ 1 _ 0“
1 + c sin 21
. 0 1_
■»l'
U J
+
"1‘
Lo J
r./(oi
10.1. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE VARIABILE ÎN TIMP
687
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
este mărginită pentru toate valorile lui t şi comportă o matrice inversă, anume :
1 + a sin 21
0
0
1
în acord cu (5), vectorul de stare se consideră
1
0
l + o s i n 21
_ 0
"»r
1.
- *3
-
Se observă că elementele lui x sînt sarcini pe condensator şi fluxuri în
bobină. Din (7) şi (8) se găseşte :
- — 1/10 -1'
-1 -{ asin 21 01
. 1 °-
-01
" 1 + asin 2t —1
10
1 + a sin 2t 0
J
Se poate alege vectorul de stare al circuitului după modul indicat în (10).
Atunci, cu ajutorul relaţiilor (12) şi (13). se obţine,
‘ l + asin2f 0"
'-h -1'
. 0 1.
r —2a cos 21 '
---------------------- 0
( l + asin2()2
. i o.
. 0 1.
— 1 — a sin 2f 1
-(1 + a sin 202 + 20acos2(
1
10
1 + a s i n 21
0‘
T
1 + asin
0
1
_0
_
.0 .
.
21'
+ 10asin2/
Se observă că aici matricele şi S& sînt funcţional, mai complicate ca în cazul anterior. Astfel prin
acest exemplu, ca şi prin discuţia generală de mai sus, se vede că este preferabilă alegerea lui x ca în (5),
adică luînd elementele vectorului de stare ca o combinare liniară de sarcini electrice şi fluxuri magentice.
La aceeaşi concluzie se va ajunge şi cînd ne vom ocupa de circuite neliniare.
10.1. FORMULAREA ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE VARIABILE ÎN TIMP
10.2.
689
SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE
VARIARILE ÎN TIMP
După cum s-a indicat în ultimul paragraf, variabilele de intrare şi de ieşire ale
unui circuit variabil în timp sînt legate prin ecuaţiile de stare :
—
dt
x = j/x+^e
w = <€x +
(18a)
/7 A
' dt
-1------ &e.
(185)
în rezolvarea acestor ecuaţii trebuie să se considere, în mod anticipat,
că unele sau toate matricele si, 38, c €, 3> şi £# pot fi funcţii de timp.
Se va rezolva ecuaţia de stare (18a) pentru vectorul de stare x, folosind metoda
variaţiei de parametru. Este recomandabil să se compare rezultatele parţiale la fiecare
etapă de calcul, cu cele obţinute la etapele respective, în cazul circuitelor invariabile în
timp, tratat în cap. 4. Se admite că x este un vector cu n componente şi, în consecinţă,
si este o matrice păstrată de ordinul n.
Să considerăm :
x(t) = Y (t) x (t),
(19)
unde Y(t) este o matrice pătrată de ordin n.
După introducerea acestei expresii în (18a) şi după rearanjarea normală a
termenilor, se obţine
(JL Y —rfY)x = - Y - x
\dt ) dt
x
’
+ ie
(20)
Este evident că, dacă expresia din paranteză este zero, soluţia va fi mai simplă.
Se va presupune acest caz, adică se va admite că ecuaţia diferenţială omogenă
4Y = ^Y>
dt
(21)
cu Y(t) egal cu Y(/0) la momentul t Q , posedă o soluţie nesingulară pentru orice timp
finit, t ^ r 0 . Combinînd (20) cu (21) se obţine
Y — x = 3S e.
dt
SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUITE VARIABILE ÎN TIMP f)89
10.2.
Apoi, deoarece s-a presupus că Y este nesingulaiă pentru t^t 0 , îezul- tă că
inversa ei Y_1 există, şi
—
dt
x = Y_1Jf e.
(22
O soluţie pentru x se obţine prin integrare.
Rezultă în acest caz
x (t ) = x ( < 0 ) + ( Y ( t )
J to
1
^ (t) c(t) <Zt.
(23)
Din (19) şi cu presupunerea că Y(t 0 ) este nesingulaiă, vectoiul iniţial x(t 0 ) va fi dat de
ecuaţia :
x(<o) =
(24)
Pentru a obţine pe x(f-), se premultiplică (23)^ ou Y{t).
Dacă se introduce totodată expresia lui x(f„) dată în (24), se obţine :
^
x(t) = \{t)\(t)0-1 + \ Y(/) Y(T)-x^(T)p(T)rfT.
(25)
* *0
Introducerea lui Y(t) în integrala este peimisă, deoarece variabila
de integrare nu este t, ci T .
_
Cînd circuitul nu este sub acţiunea unei excitaţii dni exterioi, _om = 0 Pentru t>t Q , - este
evident din (25) că matricea \(f) \(t0) caracterizează tranzitia de la starea x(/0) din momentul t 0 , la
x(0, m momentul t. De aceea, matricea Y^Y^r1 este denumita matricea de tranziţie a stării şi
se notează <t>(t, t), adică:
= Y(<')Y(T)-1.
(26)
La cap.
4 s-a arătat că matricea de tranziţie a
stării este o funcţie de
ff _ pentru
circuite invariante în timp; aceasta
nu este aaevarat
penwu
cazul mai general al circuitelor variabile în timp. Soluţia pentru x poate ii
exprimată în termenii matricei de tranziţie de stare, înlocuind (-6) m (25) şi se obţine :
x{t) =®(i,
(27)
t0)
x(t 0 )
* to
+
ţ
«»(«,T)
#(t)
c(t)
d-7.
690
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NE,LINIARE
Un caz special al soluţiei ecuaţiei omogene
înainte de a determina vectorul de stare x(t) din (27) este necesar să se găsească
matricea de tranziţie de stare 0(t,r), sau, în mod echivalent, Y(t). In acest scop se
consideră soluţia ecuaţiei matriceale omogene (21), în particular pentru Y(<0)=U.
Aceasta nu constituie de fapt o restricţie, deoarece (21) impune doar că Y(t 0 ) trebuie să
comporte o matrice inversă. In primul rînd, considerăm ecuaţia scalară
corespunzătoare
A
y = ay,
dt
ecuaţii este :
cu y(t 0 ) = 1. Soluţia acestei
\ a(
in
T)
dz
y{t) = exp
Este de presupus deci că soluţia ecuaţiei matriceale (21) va fi de forma : ’
Y (t) = exp
(28)
Se va arăta acum că aceasta este soluţia, numai pentru cazul foarte special
cînd produsul dintre stf(t) şi \ ,s/(t)d~ este comutativ.
Se ştie, din definiţia unei exponenţiale matriceale, că
ri
exp
\rf(T)iT
=
S.TrlL
oo l r f f
-I
A(T)<i\
(29)
Diferenţiind ambii membri obţinem
LA J
i
\ J / ( T )<? T
—i
f'
I
dt
Texp
* -1 Ic! dt
V'
- * ^0 .
k
*
(30)
^ S-a presupus, în mod tacit, că fiecare din seriile infinite de mai sus sînt convergente.
Să examinăm un termen tipic din membrul al doilea al acestei ultime ecuaţii. Se
poate arăta că
1
d
lc!
dt
[1
{x)dx
f(z)dr
■K
k—i
(31)
10.
.2. SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU
CIRCUITE VARIABILE IN TIMP 691
Aceasta rezultă ca o generalizare din
d
---- A2
d
Id \
(d \
— VA = I — A IA + A — Ţ - A | ’
dt '
dt
\dt
J
V dt J
unde A este orice matrice diferenţiabilă.
în general si (t) nu se poate comuta cu \ si( ~) dz ; aceasta se poate
demonstra relativ simplu cu ajutorul
matricei
1t 11
si(t) =
Prin urmare, numai dacă avem
si (<)
si(t) dT
si(z) d
vom obţine,
1 d rr» k! dt
^ s4 ( t) dz
(32)
1
(k-l)l
Ultimul rezultat provine din faptul că termenii din sumă nu depind de indexul
de
sumare i. Combinind acest rezultat cu (30), se găseşte, m
acest
caz special, că :
d
r'1
A
-I
5 rfM<ÎT -
Ă'exp
co
1
[f
^/(^exp
Prin urmare, (28) este soluţia ecuaţiei omogene.
[i
si(z)dz
(33)
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Cînd soluţia ecuaţiei omogene este dată de (28), se găseşte că matricea de
tranziţie a stăr ii, ®(2, t) are o formă particulară simplă. Se ştie că <B(j, t ) = = ®(Mo)
k=- Şi că o) = Y(<) Y(tf0)“1 = Y(t), deoarece Y(*0)=U. Astfel, înlocuind pe t 0 prin T . în
integrala ce apare în (28), — relaţia pentru ®(Mo) = Y(0; ~ se obţine
’
^ si (v) ăv 1'
<!>(*, T) = exp.
(34)
Exemplu. Înainte de a ne îndrepta atenţia asupra soluţiei Iui (21), cu mai puţine condiţii restrictive,
— vom considera ca exemplu un circuit la care condiţia precedentă de comutatîvitate este satisfăcută.
Circuitul arată în fig. 10.2, avînd două rezistenţe variabile în timp, se poate arăta uşor că satisfacc
următoarea ecuaţie diferenţială pentru vectorul de stare [q2 X6]' :
-1
-21 -1 - 9a'
■ 0'
dt \
1 —2/.
X3
_
’r .-1.
MOI-
2tSl
^ ____
L
tH
1
s
pM
1
Z/F
„2=
-
demonstra uşor că produsul lui
Fig. 10.2. Circuit variabil în timp. Se poate
^(0 = [
-21
«sie comutativ, l’rin urmare, din (28) se obţine
1
< t + t 0 ) -1
-1
-2/
t -('
Y(/) -= exp ■
+ « şi, din (31) rezultă matricea de tranziţie de stare
-(<+") -1
exp |
0(1, T)
1
-(/+T)
(<-
Din teoria funcţiilor de matrice, stabilită în Cap. 4, rezultă că exponenţiala matriceală pentru <t(f,T)
poate fi înlocuită printr-o formă concentrată echivalentă. Funcţia corespunzătoare de s este f(s)ş=e(st-f>. ’
După procedeele arătate în Cap. 4, forma
echivalentă pentru ®(/,T), se
găseşte a fi
rcos((— t) — sin (/— t) 0(/,T) = I
[.sin (/— T) cos(f—T)
e -(f s - T 2).
10.
.2. SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU
CIRCUITE VARIABILE IN TIMP 693
Aceasta se noate verifica aplicînd procedeele menţionate.
hlTrş», prin substituirea acestei relaţii a lui <D (/,t), in (27), se găseşte pentru vectoiul
cos (t — tg) — sin (/ — io')"] "9a(W|
de stare
■•HoJ
Lud
L
sin (/ — ~)
Jt.
—
[e(T)lrfT.
cos ((— -)
Existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei omogene
S-a analizat mai sus soluţia ecuaţiei omogene (21), pentru cazul special cînd produsul
lui jrf(i) cu \ $?(z)dx este comutativ. Se va renunţa acum la
această restricţie. în acest caz nu există nici o metodă generală pentru determinarea
soluţiei. De fapt, de obicei trebuie să ne mulţumim, nu cu găsirea soluţiei, ci cu o seamă de
rezultate ca : exista una sau mai multe soiuţi , există o soluţie unică si (sau) soluţia are
anumite proprietăţi ce se pot defini, cum ar fi periodicitatea. Soluţia propriu-zisa este
deseori aproximata pnn trunchierea unei serii de pei turbaţii, piin iteraţie, sau pi in
integrai e numerică. Primele procedee nu constituie obiectul piezentului volum .
Integrarea numerică va fi folosită în par. 10.5, unde se ya trata despre metode
numerice aplicabile la circuite variabile în timp, nelmiaie.
Aici, vom căuta să stabilim condiţiile în caie (21) poseda o soluţie unică Pentru a nu fi
nici o ambiguitate, admitem ca l este o soluţie, în sensul obişnuit, dacă satisface ecuaţia
omogenă (21) pentiu oiîce timp finit i>f„ >cu dYjdt la t=t 0 considerat ca derivata dm
dreapta. . Teoiema următoare, bine cunoscută, ne furnizează condiţia suficienta .
Teorema 1. Fiind dată orice Y(t 0 ), ecuaţia diferenţială omogenă (21) are o
soluţie unică în sensul obişnuit, egală cu Y(t 0 ), la momentul t 0 , daca
este o funcţie continuă de t, pentru t0<t<o=>.
cu A > 0
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Este foarte posibil ca si să nu fie continuă şi totuşi se poate să se găsească Y care să
satisfacă ecuaţia diferenţială pentru aproape toate valorile t^>t 0 . Pentru a ţine seama de
această situaţie, să integrăm ambii membri ai ecuaţiei (21), de la t 0 la t, ca să obţinem
ecuaţia integrală asociată :
Y (t) = Y(t 0 ) + \
(35)
^(T)Y(T)dT.
Introducem acum o nouă noţiune : vom zice că Y este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale
(21) în sens larg, dacă satisface ecuaţia integrală (35) pentru orice timp finit t~^t 0 .
Teorema următoare ne dă condiţia suficientău
Teorema 2. Dată fiind Y(t0), ecuaţia diferenţială omogenă (21) are
o soluţie continuă unică, în înţeles larg, egală cu Y(t0), la momentul t0, dacă si este
o funcţie locală integrabilă 18 pentru t^t 0 .
Condiţia de suficienţă a acestei a doua teoremă este considerată mult mai slabă decît
aceea din prima teoremă; de aceea se poate întîmpla ca soluţia să nu satisfacă pe (21) în
sens obişnuit.
Ca o ilustrare a acestor noţiuni, să consideiăm circuitul din fig. 10.3. cu o conductanţă
variabilă discontinuu în timp. Ecuaţia de stare pentru acest circuit este :
d
= — [2 u(t) —u(t — l)]q 2 +j{t).
Ecuaţia diferenţială omogenă corespunzătoare la (21) este : d
= - [2u(t) — u(t—l)]y,
+
) 5d) [
J
2
1
zfF \ (i)=2u(i)-u(t-1)
1 ----- j ----------------g
Fig. 10.3. Circuit variabil în timp, cu conductanţă variabilă in timp, în
mod discontinuu.
18
Dacă limita există, atunci
linl
[ Y(f0 I-A) —Y(/0)
A^O
este derivată lui \ din dreapta la t /q.
K
695
10.2. SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU CIRCUIŢEVARI^EjNjriM^
şi ecuaţia integrală corespunzătoare la (35), cu f„-0, este
y ( t ) = y ( 0 ) - ^ [2«(t) - * ( ' - l ) M T )
1
•'O
ăx-
Acum se poate verifica uşor că
y(t) = S-2‘
(0 <t
<
1)
ştia că o soluţie în sens larg există deoarece ^ [2«(*)-«( T 1)]^T exista
pentru orice t finit. în plus, teorema ne spune că soluţia găsită este unica snlntie
continuă si deci nu e nevoie să mai cautam alta.
Să considerăm acum o presupunere privitoare la soluţia ^uaţie stare, omogenă,
Anume, presupunerea ca \ (t) exista pentru orie
„
finit. Cu referire la cap. 1, se poate verifica uşor ca :
-m = 1
dt
(
3
6
)
k=i '-1 dt
unde prin y a s-a
notat elementul (l,Tc) din Y şi prin Aa, cofactorul (l,k)
din Y. Din (21) se ştie că :
dVit
_vav
------ = 2j il lm y-mk 9
dt
unde
a lm este elementul (l,m) din
—
dt
(37)
v '
7)1 = 1
si ; de aceea
iyi = s t X a *»y*>***k = 1 ! = 1 nt = l
(38)
n
.
T
Deoarece 5] Vmk^ik =
1^1» se o^ţme
.
Reamintind definiţia pentru urma (tr) unei matrice, se vede că
11
£ a n = tr Astfel, i = i
dt
I
(tr st) \ Y |.
Y | =
(40)
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Aceasta este o ecuaţie diferenţială scalară de ordinul 1, pentiu determinantul lui Y.
Soluţia este, evident
I Y (t) | = exp j(j [tr .s/ ( t ) ] <?t J | Y ( t 0 ) |.
Dar, cum Y(t 0 ) = U implică |Y(i0)| = .1, rezultă
I Y (t) 1 = exp | ^ [tr jaf (t)] dxj •
Acum este evident că
\
(41)
Y(<)_1 există, — | Y(t) \
0, — cu condiţia ca
[tr st(t)] dz să fie finită pentru orice t > t 0 finit.
două teoieme precedente este satisfăcută, ^ st
(T)
Dacă oricare din cele
d^ este finită pentru
t'
tP™ urmare \ [(tr st (t)] d-r = tr V st ( t)<1t
este finită pentiu
t >- t0. In concluzie, 1 (t) este
nesingulară, cu condiţia ca una din teoremele
1 şi 2 de mai sus să fie satisfăcută.
S'ohiţia ecuaţiei «le stare — Existenţă şi unicitate
Xe întoarcem iar la ecuaţia de stare (neomogenă) piopr iu-zisă. Trebuie precizat mai
întîi ce constituie o soluţie. Yom spune că x este o soluţie în sens obişnuit, cînd ecuaţia de
stare (18a) este satisfăcută pentiu orice €>/ 0 finit, cu dxjdt la t=t0 considerată ca o derivată
din dreapta. Următoarea teoremă 19 se referă la existenţa unei soluţii în sens obişnuit.
Teorema 3. Fiind dat orice x (t0), ecuaţia de stare (18a) are o soluţie unică, în sens
obişnuit, egală cu x(t0) la momentul t0, dacă st şi sînt funcţii continue de t, pentru t0 ^ t < oo.
Cînd condiţia de suficienţă de mai sus nu este satisfacuta, dm cauza că $4 si
(sau) nu sînt continue, va fi totuşi posibil sa se gaseasca un x care să satisfacă ecuaţia
de stare pentiu aproape toate valorile lui t>t Pentru a face aceasta posibil trebuie să
introducem ec»ţ^egi^a ciată, cum am făcut- în cazul ecuaţiei omogene. Aplicmd
mtegiala la ambn membri din (18a), de la t 0 la 1, se obţine
x(t) = x(/0) + (
r<
- ............................
x(t) + @>{~)
e
(")]•
Vom zice că x este o soluţie a ecuaţiei de stare (18a), in înţeles larg dacă
satisface ecuaţia integrală (42) pentru orice t ^d„ mi. ezu^ x va satisface ecuaţia
integrala, daca si şi smt funcţii local intuia . Aşadar se poate enunţa următoarea
19
Vezi nota din subsol 2) din pag. 693.
(42)
10.
.2. SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU
CIRCUITE VARIABILE IN TIMP 697
teoremă :
.
Teorema 4. Fiind dat orice x(t a ), ecuaţia
destare(18a)are
osoluţie
unică, continuă, în sens larg, egală cu x(/0) la timpul t0, daca si şi sin
funcţii local integrabile pentru t0. w
,
- tonro1nfl infimi
' Se observă că condiţiile de suficienţa ale acestor doua teoieme induc
si ne cele corespunzătoare la teoremele de existenţă pentru ecuaţia omogII Aceasta e\te interesant de ştiut. Rezultă, că, da,ă ecuaga de stare
are o soluţie unică, ecuaţia omogena poseda şi ea o soluţie unica.. Cu a t
cuvinte metoda variaţiei de parametru este o metoda A alabda, pi i
care se poate obţine soluţia, ori de cîte ori ecuaţia de stai e poseda
o soluţie.
.
,.
..
Trebuie îemaicat că. în aceste teoieme, condiţiile sînt numai condiţii suficiente,
iar nu condiţii necesare şi suficiente. Astfel, chiar daca ac d condiţii din teoreme nu
sînt satisfăcute, o soluţie poate exista şi de fapt poate exista o soluţie unică. _
S-ar părea că discuţia precedentă se refeiă la
adevăruri
evidente
sau
bande. Oare nu are orice circuit real o soluţie ?
Pentru a ilustra că nu este înţelept să admitem orbeşte existenţa unui lăspuns
unic de stare, să considerăm circuitul aratat m fig. 10.4. Ecuaţia de stare pentru acest
circuit se găseşte uşor ca este
2) Aici şi in tot acest capitol, clacă partea dreaptă a unei ecuaţii de stare indicata nu este definită ca
un set distinct de puncte în /, pentru x fix, trebuie presupus ca partea dreapta.
*
ecuaţiei de stare este zero în aceste puncte. In acest caz se va cauta numai soluţia m sens la B. astfel că
situaţia de mai sus nu va afecta rezultatul.
+
V1
= z2F
Convertor ■ de
° rl
negativare
k=l
„T
Fig. 10.4. Circuit variabil în timp care nu are o
soluţie unică.
Presupunem că <?i(0)=0. Atunci, se poate verifica uşor că expresia
q 1 = aexp (—tf~4)
(43)
este soluţia pentru orice valoare finită a lui a. în fig. 10.5 sînt arătate mai multe soluţii.
Prima observaţie de făcut este că nu avem cazul cu soluţia unică.
’
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Fig'. 10.5. Mai multe soluţii, cu aceeaşi valoare iniţială.
Intr-adevăr, nu există nici o bază pentru a anticipa o soluţie unică. Condiţiile de suficienţă
din teorema a 2-a de mai sus nu sînt satisfăcute ;
adică \ j^(t) di = [ [4/t5] d-. nu există pentru orice <>0. Mai mult, •'«„
Jo
nu avem nici o bază pentru a anticipa măcar că există vreo soluţie. De fapt nu există nici o
soluţie dacă valoarea iniţială <^(0) este diferită de zero. ’
Circuite periodice
Clasa circuitelor variabile în timp este foaite cuprinzătoare, dacă nu se menţionează
nimic despre forma variaţiei în timp. Este de aşteptat ca, pentru unele forme speciale de
variaţii în timp, să se poată obţine rezultate suplimentare asupra soluţiei, care să fie
valabile pentiu acele clase de funcţii de timp’ dar nu pentru altele. O clasă deosebit de
impoitantă de funcţii de timp este aceea a funcţiilor periodice. Yom considera acum cazul
special cînd matricea si a unui circuit variabil în timp este periodică. In acest caz este
posibil să se stabilească unele proprietăţi suplimentare ale soluţiei Y a ecuaţiei omogene
(21). Vom presupune că si este periodică, cu perioada T; adică si (t + T)=A(t) pentru orice
/.
în primul rînd se găseşte că, dacă \(t) este o soluţie a lui (21), atunci şi Y(t + T) este;
adică, dacă avem o deplasare a variabilei timp, cu o mărime egală cu perioada lui si>
atunci o soluţie a lui (21) va rămîne şi aici o soluţie. Pentru a arăta aceasta, să notăm că
^(") satisface condiţia :
d
( 44)
Y(t)=j*(t)Y(t).
—
T
Punînd - = t + T se observă că
dY(-)ldi = (ă\(t h T)ldt) (dtjdz) = d\(t + T)jdt.
De aceea (44) devine,
—
Y(f + T)
= si (t + T) Y(t + T) = st (t) Y(f
+ T)
(45)
10.
.2. SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU
CIRCUITE VARIABILE IN TIMP 699
dt
deoarece si este periodică, astfel că si (t + T)=st(t). Comparînd această ecuaţie cu (21) se
constată'că Y{t+T) este o soluţie a ecuaţiei omogene.
Vom căuta acum
să stabilim unele proprietăţi ale
soluţiei
lui (21),
cînd st(t) este periodică. în particular, ne vom ocupa de
stabilitatea
solu
ţiei. în cele ce urmează se va presupune că sînt satisfăcute condiţiile suficiente, care
garantează soluţia unică pentru (21). Atunci, Y(t+T)^ este soluţia unică, avînd valoarea
Y(t 0 + T) la timpul t 0 . Cum Y(t) este nesingulară pentru £>£0> matricea inversă Y(£0)_1
există. Acum se poate defini o matrice constantă M, care există
M = Y(to)-1 \(t 0 -|- T).
(46)
Este uşor de verificat că Y(t) M este o soluţie a lui (21) şi deci soluţia unică, avînd
valoarea Y{t 0 )M la timpul t 0 . Dacă premultiplicăm (46) cu
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Că f 0 b ţ i n e . ) = Y ( * 0 ) M - De aceea- - deoarece solusohiM le YmCS ^0fr^imţl^a Y^ + ^)=Y(«o)M, este unică, urmează că soluţiile i(t) şi Y(i-f-T)
smt m relaţie liniara, adică
3 (t + T) = Y (t) M.
Acesta este
(47)
un rezultat important şi ne vom întoarce la el
matriceală1
deSform^™
^
matncea M poate fi
în curînd.
exprimată ca o exponenţială
M = e*
(48)
Trebuie doar să se arate că hiM există şi deci
P =
exista şi
YlnM
ea Se observă
că M este nesingulară, deoarece atît Y(f0)-i
cît
n§'lllare- Din d(*)=det (*U-3I) se vede
că,
.
/
’ determinantul matricei este egal în modul cu termenul
m ®cua^ia1 caracteristică a matricei. Apoi, cum termenul consta t e^te egal m
modul cu produsul valorilor proprii ale matricei, se poate t educe ca nici una dm valorile
proprii ale matricei nesingulare 31. notate prin sif nu este zero.
„ . ?a Iî°1tan'i T)nn/‘. ^umărul valorilor proprii distincte ale lui 31 şi prin U
de
multiplicitate.
Matriceleconstituante din 31 le notăm prin
• •> r *‘ AP]i('md dezvoltarea după matrice constituente dm
paragiaful 4.4., avem :
} Smt
1
*
n
i-l i=l
(i — 1)! dsi” 1
,
In s
Y(#)
= Q(%p<(-‘°>,
(—IV'-2
(50)
unde, pentru;;' >1, d» In
este egal, bineînţeles, cu
(j — 2 )
SS/n p valorile proprii nu este zero/aceste cantităti, ca si In s ' *mt imite. Deci F
exista.
’
Se observă că matricea P nu este definită în mod unic. Aceasta este o consecinţa a
naturii polivalente a expresiei lm-;. Difeiitele valori ale lui . * t®ra mtre ele Prmtr-un
termen adiţional j2izn. în definirea lui P oncare dm aceste valori ale lui In s t este
satisfăcătorare.
a
“
°btme.mformaţii
suplimentare asupra soluţiei, să presupunem
ca l (t) se poate scrie ca un produs de două funcţii. ’
In particular, să considerăm
’
1
sjds 1 1
ăs-1
Î/V'-1.
(51)
10.
.2. SOLUŢIILE ECUAŢIILOR DE STARE PENTRU
CIRCUITE VARIABILE IN TIMP 701
unde P este dat de (49) şi Q(t) este o matrice ce urmează a fi determinata. De fapt.
această expresie poate fi inversată, ca sa rezulte U(î), astîe .
(j(i) Y =Y(i)£-p<'-(").
(52)
Acum se poate folosi relaţia (47) pentiu a găsi ceva privitor la Q( t ) . înlocuind pe
(51) în (47) se obţine:
Q (i
+
+
=
Q(|)Ef1'-WM == U(<)£l>‘20-,»,£Pr.
Ultima deducere rezultă din (48). Prin urmare
Q (t+ T) = Q(t);
(55)
ceea ce înseamnă ca funcţia Q(<) este periodică, cu aceeaşi perioadă T ca
^Este stabilit acum că \{t) poate fi expiimat ca un produs a, unei matrice periodice
Q(t), cu o exponenţială matriceală s< »• Deoarece se stie că Y(t) este continuă, Q { t )
va fi şi ea continuă şi deci mărginită pe intervalul închis între t0 şi t 0 + T . Atunci,„cum
Q(f) este şi periodica, va fi uniform mărginită pentiu orice t>t0. In consecinţa,
comportarea lui
Y (c), cînd t tinde către infinit, este guvernată de compoitai ea exponenţ ialei £r(*-(„>_
Ţinîndu-se cont că valoiile caracteristice ale^ lui t smt cunoscute ca exponenţi
caracteristici ai lui st, se pot face ruinătoarele obsei’vaţn .
1. Dacă toţi exponenţii caiacteiistici au pai tea îeală negativa, atunci EP(i-(o) şi
cjeci y(i) tind spre zero cînd t tinde spre infinit. ^
2. Dacă toţi exponenţii caracteristici au pai tea îeală nepozitivă, atunci £r<f-f0>
gi deci Y (t) sînt mărginite cînd t tinde spre ir i fi nit. ^
3. Dacă unul sau mai mulţi exponenţi caiacteiistici au pai tea îeala pozitivă,
atunci spi‘-w şi dcci Y(i) sînt nemărginite cînd t tinde spre infinit. Este recomandabil
să se verifice aceste enunţuri.
Astfel, stabilitatea soluţiei este legată de matiicea P. Aceasta, la rîndul ei, este
legată de M, prin (48) sau (49), şi M este legata de soluţia lui Y prin (46). Totuşi,
această succesiune de legături nu ne toloseşte mult. Noi trebuie să cunoaştem pe P,
pentiu ca să putem spune ceva despie compoi tarea soluţiei, făiă să fie necesar să
găsim efectiv pe 1 m. iJm păcate, nu există o procedură generală prin care să se
deteimme 1, tai a cunoaşterea lui Y. Valoarea teoriei soluţiilor pentru st periodic nu
constituie deci un instrument de calcul, ci un mijloc pentiu a ajunge ia alte rezultate
teoretice, mai folositoaie. Se va vedea aceasta mai clar, mai de- paite.
20 O matrice se zice că este mărginită, dacă toate elementele Componente sînt mărginite* Ele nu sînt.
mărginite, dacă unul sau mai multe elemente nu sînt mărginite.
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
în încheiere, trebuie observat eă at-ît sp<f_,»), cît şi Q satisfac anumite ecuaţii
diferenţiale. Astfel, exponenţiala eP(f~<») satisface
cu X (/0)=U. în ceea ce priveşte Q, înlocuind pe Y(t) din (51) în (21), se obţine :
dt
(57)
cu Q(f0)=Y(f0).
10.3.
PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI I)E STARE
Sîntem gata acum pentru a începe studiul proprietăţilor soluţiilor ecuaţiei de stare,
pentru un circuit variabil în timp. Aceasta se va face’prin comparaţie cu un circuit oarecare
de „referinţă“, despre a cărui soluţie avem unele cunoştinţe.
’ ’
Lema lui Gromvall 11
în acest studiu ne vom baza mult pe următorul rezultat din analiza matematică, pe
care-l vom discuta deci, în primul rînd :
Lema. Dacă
(58)
unde cp, şi 0, sînt funcţii continue nenegative de t, pentru t>t 0 şi tinde y este o
constantă pozitivă, atunci
’
(59)
1(
Această lemâ mai este cunoscută şi ca lema Gronwall-Bellman, în lucrările de analiză matematică.
703
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
Acest rezultat se numeşte Lema lui Gronwall şi se demonstrează după cum
urmează. Din (58) se vede că
<1. (60>
7+
\
['M'O?('O+0(t)]<2t
Dacă multiplicăm ambii membri cu funcţia nenegativă <b(t) şi adunăm Q ( t ) l
|7+j [J;(t)9(t)+0(t)](?tJ la ambii membri, se vede că se obţine,.
t ww)+m
_______ <
7 + C [^(T)9(T)+6(V)](IT
+(t) +
_____ ___ _________ m
7+ţ
(ei).
[<KT)«P(T)+0(T)«ZT
Se observă că ^(T)Ş(T) + 0(T)>O şi, prin urmare,
^ [^(t)cp(t) + 6(t)]<Zt>0.
Astfel, 6(i)/|y+^ [ < M t ) 9( t )
inegalitate în (61), se obţine
W)9(o+0(o
7+C [+(T)9(T)+6(T)]dT ^
K
+6(t)]<ît|
c,,(f) t
m.
<0(i)/y.. Folosind această
v
Integrînd ambii membri, de la /„ la t , rezultă
tr
ln j y +
0(.
\
[^(")?(t) + 0(t)]<Zt| — lny<^
+(T) +
J^
dT,
ceea ce este echivalent cu
6(t)
7+j ['^(^)?(^) + 6(^)]^'<7exP Jj ^(")
Combinind (58) cu (62), se obţine inegalitatea indicată (59). Prin aceasta
se termină demonstraţia.
^
Acum, să ne întoarcem la ecuaţia de stare, pe care o reprezentăm aici :
x(t)=st(t)x(t)+<M(t)r,(
t). ăt
—
(62
Vom presupune că membrul doi este legat, într-un sens încă nedefinit, de
membrul doi al ecuaţiei omogene de referinţă.
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
704
dt
Mai presupunem că toate soluţiile ecuaţiei de referinţă, fie că se apropie de zero
cînd t tinde spre infinit, fie că sînt mărginite. Ar fi de dorit să deducem, în consecinţă,
că toate soluţiile ecuaţiei de stare originală, fie că se apropie de zero, fie că sînt
mărginite. Următoarele cîteva teoreme stabilesc condiţiile precise, după care aceste
deducţii sînt valabile. Condiţiile
A
impuse de teoreme privitoare la diferenţa dintre s4(t) şi s£{t), şi asupra lui
■â8{t)e(t), stabilesc în ce sens ecuaţia de stare este legată de ecuaţia omogenă de
referinţă.
Proprietăţi asimptotice relative Ia o referinţă
invariantă în timp
Pentru circuite a căror ecuaţii de stare sînt legate (asemănătoare, într-un sens)
de o ecuaţie omogenă invariabilă în timp, avem următoarea teoremă :
Teorema 5. Dacă toate soluţiile clin
d*
—
V=
(63)
si v, dt
wide stf este o matrice constantă, sînt mărginite cînd t -> oo, atunci
toate soluţiile din
dt
■sînt mărginite cînd i o o ,
cu condiţiile
(64)
705
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
(Barele duble denotă norma matricei sau vectorului încadrat. în cap. 1
s-a tratat despre norme, care vor fi aplicate mai mult în restul prezentului
capitol).
Această teoremă are o deosebită valoare, deoarece este foarte uşor să
se stabilească dacă toate soluţiile ecuaţiei de referinţă (63) sînt sau nu
mărginite.
Reamintim că
y(t0) pentru orice y(#0) este o soluţie a lui (63). Re
zultă atunci imediat, din dezvoltarea în matrice constituente a lui că toate
soluţiile vor fi mărginite, dacă nici una din valorile proprii ale lui si nu are
partea reală pozitivă.
Demonstraţia teoremei 5 este următoarea. Se scrie ecuaţia de stare în
forma
— X = J/X + ls/{t) - •$£]x + &(t)e(t). d t
Acum se poate arăta uşor că o ecuaţie integrală echivalentă este X( t )
>•(/) + (* s *<«-*>{!>?(T) -
J]
x(t) +
@( ~)
e(~)}
=
d-,
A
unde y(t) este soluţia ecuaţiei de referinţă (63), cu v(/0) = x(t0) şi - T> este
matricea de tranziţie asociată cu (63). Luînd norma în ambii membri a
ecuaţiei integrale, aplicînd inegalitatea triunghiulară21, şi folosind inegalitatea pentru un produs de matrice, se obţine relaţia :
IW0II < ||y(t)|| +\‘||srfA(,-t,ll{ll^(T) - J\\ ||x(T)||+||#(T)e(T)||}«fi\
* (o
Cum toate soluţiile lui (63) sînt mărginite, ||y(#)ll şi 11 ^ ~
22l
l>
011
t0 < T < f, trebuie să fie mărginite pentru t > t0.
Fie marginelerespective y > 0 şi § > 0.
11
11 11
x(t)
21
Mt)
11
<
Atunci
Y
+
C {S
+ S |j âg(t) e(T) | \}dr .
<«
J
Termenul „inegalitate triunghiulară” aplicat pînă aeum relaţiei IIXj + X 2 || < ||X il| +
IIX.I I,
f*
f6
11
-
J\|
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Această expresie are forma din (58), astfel, încît se poate aplica lema
lui Gronwa.ll. Se asociază ||x(/)[| cu
9 11
(t), S
st(t) — st] | cu i>(t) şi S| |
ăS{t) e(t) ] | cu 0(£). Atunci, pe baza lemei avem
||x(f)|| < yexp|î! [S11
*
’
- J/|| + (S/y) 11 ^(T) e(-) 11] <?T
'
0
1
A doua inegalitate este obţinută punînd pe t să tindă spre infinit.
Membrul al doilea al acestei expresii este finit, din cauza condiţiilor (65) ale
teoremei. Astfel j | \(t) 11 este mărginită, şi, implicit, x(t) este mărginită cînd
t ->
00
. Teorema a fost astfel demonstrată.
Se observă că această teoremă, ca şi altele ce urmează, nu oferă o
metodă practică cu ajutorul căreia să se poată descoperi proprietăţile de
stabilitate ale soluţiei. In schimb, dacă este dată o ecuaţie de stare ea (64),
teorema ne spune că trebuie să verificăm mai întîi că norma lui â§e este
integrabilă pe toată scara infinită a timpului. Apoi trebuie să căutăm o
matrice constantă st, fără valori proprii în semiplanul drept, şi, în sfîrşit,
trebuie să verificăm că norma lui st(t) — st este integrabilă. Atunci putem
conchide că soluţia ecuaţiei originale rămîne mărginită cînd t ->
00
.
Absenţa valorilor proprii a lui st în semiplanul drept nu exclude prezenţa uneia sau mai multora pe axa jco. Totuşi, dacă toate valorile proprii
ale lui st sînt în semiplanul stîng deschis, ele vor avea partea reală negativă.
Atunci toate soluţiile ecuaţiei omogene de referinţă (64) se vor apropia de
zero. Cum aceasta este o proprietate mai restrictivă dec-ît „mărginirea”, ar
putea servi, eventual, pentru slăbirea condiţiilor (65). Teorema următoare
ne arată cum se poate obţine aceasta.
Teorema
6
. Dacă toate soluţiile ecuaţ'
(63)
■unde st este o matrice constantă, se apropie de zero cmd t -> co, atunci toate
soluţiile ecuaţiei
x = st(t) x 4- JS(t) e(t)
10.3. PROP'RIETAŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
1
d
t
(64)
707
708
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
sînt mărginite, <înd 1 -> co, cu condiţia
i
| s?(t) — si 11 dt < oo
(06)
şi ă$(t) <‘(f) este mărginită pentru t > t0.
A
Adică, dacă si nu are valori proprii in semiplanul drept şi nici pe axa jco,
atunci norma lui nu trebuie să fie integrabilă pe tot timpul infinit. Este necesar
numai ca Mv să fie mărginită.
Demonstraţia este următoarea. Se porneşte de la ecuaţia
-1 z = sJ7. - &(t) e(t).
dt
Soluţia acestei ecuaţii, cînd z(f0) = 0, este
Luînd
norma
in
ambii
membri ai acestei ecuaţii şi folosind inegalităţile obişnuite pentru norme,
obţinem :
Prin ipoteză, toate soluţiile lui (63) se apropie de zero cînd t -> co ;
A
de aceea, toate valorile proprii ale lui au partea reală negativă. Astfel, există
constante pozitive a şi
< §
z-'At~z).
8
11
, care satisfac inegalitatea : '■ z
<
Se recomandă să se verifice acest enunţ si să se indice cum pot fi
alese valorile a şi
8
. Mai departe, @(t) e(t) este mărginită pentru t > t0; de
aceea norma ei este mărginită. Fie [3 o margine (limită) pentru
Această inegalitate arată că j: x(7
)!1
11
si deci z(t) sînt mărginite penti u
ni în inegalitatea de mai sus, se ajunge la
39(t) <*(/) [
j.
înlocu
ind
aceste
margi
10.3. PROP'RIETAŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
t
709
710
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Să punem acum w = x — z. Prin diferenţiere se obţine dwjdt=dxldt — —dzfdt.
Cum ecuaţiile diferenţiale pentru x şi z determină pe dxjdt şi ăzjdt, se poate
stabili uşor că \v satisface ecuaţia diferenţială,
— \\ = sf(t) XV + [s#(t) — sf] z(t) . dt
Această ecuaţie este asemănătoare cu ecuaţia de stare tratată în
A
teorema precedentă (Teorema 5), cu [@(t) e(t) înlocuită prin [st(t) — jtf] z(t). Astfel,
dacă avem
atunci concluzia teoremei precedente se aplică şi w (t) este mărginită cînd t -> oo.
66
Inegalitatea este evident adevărată deoarece : 1) se aplică condiţia (
); 2)
11 z(t) 11 este mărginită pentru t>t0şi 3) există inegalitatea :
S-a stabilit acum că z(t) şi vv(/) sînt mărginite cînd i ■ > oc. Atunci x{1) = xv(t)
+ z(t) este mărginită cînd t -> ca şi teorema este demonstrată.
Situaţia devine mai bună dacă nu există excitaţie exterioară, adică ig(t) e(t)
= 0. Atunci concluzia ultimei teoreme poate fi întărită.
Teorema 7. Dacă toate soluţiile ecuaţiei
unde sJ este o matrice constantă, se apropie de zero cînd t-><x, atunci toate soluţiile
ecuaţiei
dt
se apropie de zero cînd t —> oo, cu condiţia ca \\st(t) — s/\\ < a
/8
pentru
Constantele a şi S au aceleaşi sensuri ca cele din teorema precedentă.
Demonstraţia teoremei 7 este lăsată ca exerciţiu pentru cititor.
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
711
Pentru a ilustra a doua din cele trei teoreme precedente să considerăm un
filtru ca in fig. 10.6. Ecuaţia de stare se scrie uşor astfel
r—2+3 tz~' 1—3 tz~l 0
Î2
%
—
1 —3
tz~l
—2+3
tz~l
1
*
?2'
1
+
Î3
0
dt
0 1 —1
34
-«4-
2 <-f-
[5 sin (to
JL
6
0
)].
tis
/ar
—1=1—
+
zv2 1F -
+
sv
-
<3=
iF~
5sin(ut2ttS)(+_p
------- 1=1 ----------+
*
-
11
i—l=M
Fig. 10.6. Circuit variabil in timp.
Dacă \\sJ(t)—s4\\ trebuie să fie integrabilă de la t0 la co, atunci
trebuie ales sJ astfel ca lim (si (t) — si) —
0
cînd t ->■ co. în consecinţă, din
examinarea lui si (1) se vede că
sJ
Apoi se determină polinomul caracteristic a lui si. Algoritmul matricei
rezolvate, după cap. 4, poate servi la această determinare, printr-o metodă strict
numerică. Astfel, se găseşte polinomul caracteristic
d (s) = s3 + 5s
2 + fis + 1 .
Folosind criteriul lui Eoutli discutat în cap. 9, se găseşte, prin metode strict
numerice, că toate zero-urile lui d(s) au partea reală negativă. De aceea toate
soluţiile lui (63) se apropie de zero, cînd t -> co .
Formăm norma expresiei si(t) — si:
A
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
apoi
S-a ales în mod arbitrar, în acest exemplu, folosirea normei vectorului sumă
de module si a normei matricei asociate. Acum, deoarece avem
condiţia
(
66
)
sfîrsit.
din
Teorema
6
este satisfăcută. în
m e(t)
2 t + 0)]
[5 sin (oj
este mărginită.
Astfel, toate condiţiile Teoremei
6
baza teoremei, avem că x{t) = [q2{t) q3(t) q
s-au găsit că sînt satisfăcute.^ Deci, pe
4(£)]5 este mărginită cînd t ->
oo . Se observă că s-a stabilit acest lucru fără să se calculeze explicit soluţia
ecuaţiei de stare sau a lui (63).
Proprietăţi asimptotice relative la
o referinţă periodică
Ne vom îndrepta acum atenţia spre circuite care sînt aproape ele o
descriere a lor printr-o ecuaţie omogenă cu coeficienţi periodici. Vom numi
acesta, o ecuaţie de referinţă omogenă periodică. Teorema ce urmează se referă la
caracterul mărginit al vectorului de stare.
Teorema
8
. Dacă toate soluţiile ecuaţiei
1
— v = J(t)y,
dt
(67)
unde este periodică, sînt soluţii mărginite pentru t co , atunci toate soluţiile ecuaţiei
— x = rf(t) x 4- #(/) e(0 dt
713
10.3. PBOPB1ETAŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
s î n t m ă r g i n i t e c î n d t - > o o , c u c o n d i ţi i l e
î ' . ■ s J { t ) — ^( i ) \ \ d t< c o
^
: . & ( t) e(f) , j d t < co .
(68 a )
68
(
Z>)
* ''o
Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe faptul că orice soluţie a iui (67)
poate fi exprimată sub forma Q(?)sP(i~,o) y ( t 0 ) , pentru un y( t 0 ) oarecare, unde
Q(/) este nesingulară şi periodică, iarP este omatrice
constantă.
Pentru
a începe, să scrie mai întîi ecuaţiade
stare
sub forma
— x = J * ( t ) x - - l ^( t) - x + J S ( t) e ( f ) . d t
Considerăm că \ ( t ) este soluţia ecuaţiei de referinţă (67), cu v( t 0 ) =
— \ ( t 0 ) ; atunci, folosind matricea de tranziţie Q( t) sf<1~t) Q(t)-1, asociată cu (67),
ecuaţia de stare va putea fi pusă în forma ecuaţiei integrale echivalente
x « ) = y ( f ) f Q ( # ) s p “ - T l Q ( t ) - 1{ [ ^ ( t ) - j / ( t ) ] x ( t ) + . ^ ( Z ) Q ( Z ) } ă z .
Luînd norma în ambii membri ai acestei ecuaţii si aplicînd inegalităţile
obişnuite referitoare la norme, se obţine :
711
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
sînt mărginite cînd t -> oo , cu condiţiile
[
|| s/(t) — j/(1) \dt < co
(08a)
î
 ( t ) »'(£) cit < cc .
(686)
•''o
•'o
Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe
faptul eâ orice soluţie
a Iui (67)
poate fi exprimată sub forma Q(/)sP(i*w y(*o)i
pentruun v(/0)
oarecare, unde Q(/) este nesingulară şi periodică, iar P este o matrice constantă.
Pentru a începe, să scrie mai întâi ecuaţia de stare sub forma
-f x = J/(t) x +
<lt
- Mm x + J(t) e(/).
Considerăm că y(t) este soluţia ecuaţiei de referinţă (67), cu y(fq) = = x(/0);
atunci, folosind matricea de tranziţie Q(f) sr<‘-T) Q(t)-1, asociată cu (67), ecuaţia
de stare va putea fi pusă în forma ecuaţiei integrale echivalente
x(f) = y( t ) 4- ( Q(0 s p <* Q(t)- 1 {[j/(t) - j/(t)]x(t) + ^(T)e(x)} d - .
Luînd norma în ambii membri ai acestei ecuaţii si aplicând inegalităţile
obişnuite referitoare la norme, se obţine :
\it) < ya) - (.: m ! e—mi ii Q(")'1n '><>
X {\\-s/(~) - .^(t):I Hx(t)|| + ||^(t) e(T)j|}rfT. (69)
Cum toate soluţiile ecuaţiei de referinţă (67) sînt mărginite, jiy(£)|| este
mărginită pentru t^t 0 şi nici unul din exponenţii caracteristici asociaţi cu (67)
nu au partea reală pozitivă. Astfel ||ei>(( T) J|, cu este mărginită pentru t^t 0 .
Deoarece Q(f) este nesingulară şi periodică, Q(/) I şi ■ Q(t)_1;|, cusînt
mărginite
pentru />/„. Fie y şi
o marginile corespunzătoare pentru ';y(i)|| şi ||Q(/)!I ||î lv^T)l !IQ(T)_1!- Folosind
aceste margini în (69), se găseşte că
i|x(/);!<Y + \ t«!!^(') -^(')il !lx(~)ll + Sl|J(T)e(T)iS]rfT .
*
^0
Aceasta este forma la care se poate aplica lema lui Gronwall. Dacă mai
facem ca t să tindă spre infinit, rezultatul devine :
II x(t) II ^ Y exP ||i CSII^(-) - ^(-)li + (S/y)ll^{-) e(^)]l]
.
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Apoi, din condiţiile (
68
) ale teoremei, rezultă că ||x(f)|| e^te măigi-
nită şi deci x{t) este mărginită cînd <->co. Astfel, teorema s-a demonstrai.
Din nou condiţiile teoremei pot fi uşurate, dacă i se aplică lui ş /( t)
restrictii în plus. în loc de a cere numai ca soluţiile ecuaţiei de referinţă
omogenă periodică (67) să fie mărginite periodic, vom cere ca ele să se apropie
de zero cînd t-^oo. Atunci condiţiile (
68
) pot fi uşurate. Aceasta este
enunţat mai precis în teorema următoare :
Teorema 9. Dacă toate soluţiile din
d A _ v = j*(t) y, dt
'
unde J#(t) este periodică, se apropie de zero cînd t co , atunci toate soluţiile din
—
dt
X =
S #(t) X - f @{ t) o ( t)
sînt mărginite cînd t -> co, cu condiţia
C \\j*{t) - s*(t)\\dt < co
şi âS(t) e(t) să fie mărginită cînd t^to- ^
(70)
_
__
în demonstraţie, care nu se dă aici, trebuie urmărit ca toţi exponenţii
caracteristici să aibă partea reală negativă. Aceasta este implicat prin
presupunerea că toate soluţiile lui (67) se apropie de zero cmd t-+ oc. Dec-i,
există nişte constante pozitive a şi (3, astfel ca || s < - || <. os ■ .
^
în sfîrşit, ca şi în teoremele precedente, dacă lipseşte excitaţia, adică
^gf(i)e(t) =
0
, — concluzia poate fi făcută mult mai riguroasă.
Teorema 10. Dacă toate soluţiile din
ăA
_ V
= s#{t) y. dt '
713
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
unde s/(t) este periodică, se apropie de serj) cînd i - » o o , atunci toate soluţiile din
—x = jf(t) x
dt
A
se apropie de zero cînd f->oo, cu condiţia ca \\(s/t)—j*(t)\\<$, pentru
unde B este o constantă pozitivă ce depinde de stf(t) şi este stabilită în
demonstraţie.
Sin tJl
*
CCS
i/l
—dl—
ze*r
b 5" îfii0
Demonstraţia este similară eu cea pentru Teorema 7.
\L
e
1
H
Z{£-
Pentru a ilustra prima din ultimul lot de teoreme, se consideră circu
Fig. 10.7. Circuit variabil în timp, cu ecuaţie de referinţă omogenă
periodică.
itul din fig. 10.7. Ecuaţia de stare este
îi'
d
dt - V
2 —1 —1
0
0
1
11
r
s_<
_z~l
Norma expresiei,
— sin £
' S i'
-
>^ +
5
-\-
r1i
sin t
.o
—cos t_
, va fi integrabilă de la t0 la infinit,
numai dacă lim [st(t)-J(t)]=0. Astfel, din examinarea lui A(t) rezultă :
<->QO
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
2
0
0
00
-1
—1
—sin t
—cos
t
715
10.3. PIROPKIETAŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
Se poate demonstra că soluţia ecuaţiei de referinţă (67) este
£-2((-f0;
y(t) =
_______ f* e-2((--) -cos t - cos t 0 ___________________ f £-2((-t) £-sia t -sin („
^C03 t — C03 t„
Q
0
o
- — sin t~B ia
o
Se vede că, pentru orice y(f0), soluţia este mărginită cind / -x. Să
examinăm apoi expresia :
r0 0
0-
0
0
z—■
L£-«
Şl
0 0J
2
tz~l
@(t)?(t) = 2tsints~t 0
Pentru norma acestor expresii obţinem :
0
=2
||st(t) - ^(
Şl
\\M(t)e(t)\U
IU = £_!
tz~l.
Se menţionează că norma de maximum modul a vectorului este mai
convenabilă pentru această problemă, decît norma de sumă de module,
aceasta din urmă fiind o expresie foarte complicată pentru în particular,
1111
2
68
1=2tz~t
clar că cele două condiţii (
+
1 | sin 1! z~K Este
) sînt satisfăcute, deoarece
y(W-
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Astfel, condiţiile teoremei
8
sînt satisfăcute şi vectorul x— [qx
/. 5
X6]’ este mărginit cînd <-> oo. Spre deosebire de aceasta^ în exemplul anterior
era necesar să se rezolve ecuaţia omogenă ăylăt=sf(t)y. Astfel, faptul că i?(f) nu
este o constantă atrage după sine o muncă mai mare pentru aplicarea
teoremei, decît în cazul cînd s#(t) este constantă.
Proprietăţi asimptotice relative la o referinţă
generală variabilă in timp
S-au discutat pînă aici cîteva teoreme care stabilesc condiţiile ca soluţia
unei ecuaţii generale de stare (64), să posede propiietăţi de mărginire
asimptotice. Aceasta s-a făcut în legătură cu soluţia unei ecuaţii de
referinţă omogene, de forma
(1 A 4-y = j*(t)y.
dt
(71)
S-au considerat doua cazuri: 1) 5 (t), matrice constantă şi 2) st (t)
matrice periodică, Cînd 5 (1) nu este limitată la aceste cazuri, dar se
admite că soluţia lui (71) are proprietatea asimptotică corespunzătoare, — ar
fi tentant’ să se presupună că soluţia generală a ecuaţiei de stare va avea
proprietăti asemănătoare, dacă Jf(t) şi S( t)e( t) satisfac condiţii asemanatoare. Această presupunere ar fi însă incorectă. Se pot da exemple pentiu a
dovedi aceasta.
Exemplu. Presupunem că
-v
0
c-1'* sin t -r t COS l — 2v
% (0 e (/)
Apoi, punem
-v
0
0
■ <0 =
sin t 4- / cos t — 2v
Se verifică uşor că soluţia
ecuaţiei de referinţă omogenă (71) este
(/) = £-^(0) i/ 2 (/)=
yi
E*sin(-2’jl y 2 (0).
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Este clar că y — [yx y2\' este mărginită pentru 2v ^ 1 şi că, de fapt, se apropie de zero
rx
/•co
pentru 2v> 1. Se observă că \ I\^{t) — d (t) 11® dt = \
Jq
■'O
r30
e-Wtff = l..y < oc şi V 11 #(0 e (0 11*>
®
.
.
dt = 0<00. S-a ales în mod arbitrar în acest exemplu norma de vector cu modul maxim şi
norma de matrice asociată. Soluţia ecuaţiei este:
= c-,'*x1(0)
x2(0) -f l/O) j
xt(t) = s* Sin 1-2vi
sia T dy j •
Se recomandă verificarea acestor rezultate. Să ne referim la integrala din ultima expresie de mai sus. Se
pune tn = 2tm + rc/2 ; atunci, cum e~" sin T este pozitiv pentru
, vom avea
rl„
V
g
fi»-3n/4
-TSiiiT
^nr.-r.ti
dT> V
sin
t
dr
I
=
£
sin ~ d~.
JQ
J(b. —dtt/1
—3tt/4:
Cea mai mică valoare a integrandului în intervalul de la 2nr. — 3re.'4 pină la 2;itt tt/4, apare la
t = 2n7T— 3~/4 şi este e<2im-8re/4>/ j/2- De aceea
St»
S2nn —tt/4
E-TSÎ
dx
o
> — e (3«re - 3 TT /4)/V 2 •
■Znx-iKti
2
Cum 2nn—3Tzii = fn — 57t/4, rezultă
rhi
■—
V £ —T8inTdT> ----------- £ — 571/4^2 e<n/y'2
Jo
^
Acum ştim că. pentru t=ln. avem
X2(/„)> E(» sin i„-2v(„ | x.2 (0) + X] (0)
Deoarece sînt
scrie :
s-5^/4 Fâ
£
f„/
V2
J
/„ = sin (2 nir+7r/2.t = l, inegalitatea de mai sus se poate
f
x2<7„) > £<l-2*> n
x/0) + *j(0) — s-5"'4 V 2
—x
717
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
Este evident căm dacă tinde spre infinit, x2, (/„) devine nemărginit cmd 2v<l4-1/Jr2 şi x^Oj^O.
Aceasta atrage după sine şi faptul că x= [Xjij]' devme nemărginită cnd^ Astfel, pentru 1^2v<T+T/V2, toate
soluţiile ecuaţiei de referinţă (71) sint mărginite şi unele soluţii ale cuaeţiei de stare sînt nemărginite. „
Acest exemplu ne arată clar că modificarea ce am vrut s-o tăcem
111
teoremele anterioare nu este valabilă. Totuşi, ar fi interesat de
ştiut ce anume restricţii suplimentare ar fi necesare pentru a obţine
rezultatul dorit, Ecuaţia’de stare se poate scrie în forma :
â_
dt
0
x
J*(t-)x+ [j* (t) - si (
]x +
Fie y(<) soluţia lui (71), cu ?(t)0=x(t0) şi fie Y(f) Y( T )- 1 , matricea de tranziţie
asociată cu (71). Atunci, ecuaţia de stare are ecuaţia integrala echivalentă de
forma :
y(/)
+( Y(#)Y( T )- 1 {[ J /( T )-^( T )] X ( T ) +^(T)e(r)}rfr.
x(t)
h.
Luînd norma la ambii membrii şi aplicînd ueegalitâţile de
normă ca mai sus, se obţine:
|| x(i)H <||y(OII
+ \ II Y(<)ll II
y(t)_1H
x{|| J/(T)—âr(T)|| II X(T) II + ||«(T)e(T)||}rfT.
Pentru a aplica lema lui Gronwall este
si
11
necesar ca |jy(<)||,
ll'(9JI
1 11,
cu t0<z<t, să
fie mărginite cînd t>t0.
Dacă
toate
soluţiile
Y( -r)-
lui (71) Vmt mărginite, | |y(«)
11
şi l |Y(ţ)
1||
11
sînt mărginite, totuşi, nu
se poate deduce că şi
||Y(t)
este mărginită.
^w
Astfel, avem nevoie de o condiţie caresa ne asigure ca ||i:(t)
||
este mărginită, în acest scop să observăm că Y(<)-1=adj [Y (f)] /det■_[*(<)] există
pentru oricet>t0 finit, cu condiţia ca det [Y(/)]^0, şi este mărginită, dacă det
[Y(<)] este mărginită departe de zero. Acum sa ne amintim din (
det [Y(f)] = exp tr
j-
De aceea, dacă se adaugă condiţia
A.
lim \ t.r \_si (t)]
> — co,
11
) că
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
/ —> OO Jf
7 JO
at
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
unci det [Y(/)J este mărginit departe de zero şi
11 (#)~111
Y
este mărginită pentru t>t0. în mod echivalent, ||Y(t)-1|| CU /„<t<t este mărginită
pentiu / >/0.
Cu această condiţie adăugată, demonstraţia se desfăşoară ca in demonstraţiile anterioare, făeînd uz în acest scop de lema lui Gromvall. Demonstraţia
fiind astfel indicată, — efectuarea ei este lăsată pe seama cititorului, — vom
enunţa acum ultima teoremă din acest paragraf.
Teorema 11. Dacă toate soluţiile din
d*
• >' - •'/ (% dt
sînt mărginite cînd co, atunci toate soluţiile din
— x = si (t) x + M (/) e (t) dt
sînt mărginite cînd £-»oo, cu condiţiile
lim( tr [si (t) d,z >—oo
(72a)
J/0
|| si(t) —j*{t)\\dt < oo
(72b)
!| âSt(t) e (t) ||* < co.
(72c-)
io
Ultimele două condiţii sînt aceleaşi ca înainte.
Modificarea se găseşte în condiţia (72a). Aceasta este preţul care se
'
A
'
plăteşte pentru faptul că nu se limitează st( 1) să fie o simplă constantă sau o
matrice periodică. Condiţia (72a) este destul de severă ; atît de mult încît, un
circuit care este cunoscut câ are un vector de stare mărginit asimptotic, după
una din teoremele anterioare, s-ar putea să nu satisfacă pe (72a).
A
De exemplu, să presupunem că si(t) este o matrice constantă şi condiţiile de
la Teorema o sînt satisfăcute. în plus, să presupunem că toate soluţiile ecuaţiei
omogene de referinţă (63) se apropie de zero cînd /->■ o o , — adică admitem o
condiţie care cere mai mult decît „mărginirea” impusă prin Teorema 5 şi prin
Teorema 11. în acest caz condiţia (72a) nu poate fi îndeplinită. Demonstraţia
este lăsată în sarcina cititorului.
720
10.3. PROPRIETĂŢI ALE SOLUŢIEI ECUAŢIEI DE STARE
Să aplicăm acum această ultimă teoremă la un exemplu. Se consideră
circuitul din fig. 10.8. Toate elementele sînt variabile în timp. Ecuaţia de
stare se găseşte a fi
(1
2
'Vi'
- A,5
.
~-3 f
— t sin
--31
e(t)Q} (î-tsin2t)e-nu]\
+
[<?(*)]■
As
vfesse^
1)
Fig. 10.8. Circuit variabil in timp.
A
Dacă condiţia ( 7 2 b) trebuie să fie satisfăcută, atunci si{t) trebuie aleasă astfel
ca lim. [ s/( t) — s/(t
►X
)]=0
; o alegere posibilă este :
A
r_e-3( o
o
Atunci, ecuaţia de referinţă ( 7 1 ) are soluţia :
y(f) =
0
exp {t (e~3f — s_3f°)}
0
exp
(a-3*— £-S(i>)}
după cum se poate verifica. Se observă că soluţia pentru orice y(f0)
A
este mărginită cînd f->oo. Deoarece tr si(t) — — 2s_of, se găseşte '
tr si (t)ât = — e-31 — s_3(s) si deci condiţia (72a) este satisfăcută.
Să
examinăm
acum
celelalte
condiţii
se găseşte
Pentru si(t)—si(t)
O f~-3i
2
["? sin
ti
s/(t) - j*(t) = I __{
A
__ £-f n
2
tz-st
din
(72).
721
10.4. FORMULAREA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINIARE
şi în consecinţă
1 2
-‘+2
|| st (<)— st (t) || j = mas {z~l + 1
=e
< | s_3i, s_f + 2t s
sin
_s'}
tz-3t.
Astfel, condiţia (72b) este satisfăcută , deoarece
(8
|| st (i)—st (t) | li dt = s-(«+ 1 (
1
0)s- « <oo.
+3«
3,
Prin această teoremă se poate face acum următorul enunţ : pentru
orice tensiuni de excitaţie e(t), la care condiţia (72c) este satisfăcută, starea
5
[q2(t) X (i)]' a circuitului din fig. 10.8 este mărginită cînd t->co.
10.4. FORMULAREA ECUAŢIEI DE STARE
PEXTRU CIRCUITE NELINIARE
Deşi rezolvarea ecuaţiilor liniare variabile în timp este mai dificilă
decît rezolvarea celor liniare invariabile în timp, condiţiile fundamentale de
liniaritate permit aplicarea, la circuitele variabile în timp, a multor
procedee cunoscute de la cazul cu invarianţă în timp. Aceasta nu mai este
adevărat pentru circuite neliniare, spre care ne îndreptăm acum atenţia.
Vom presupune, de la bun început, că circuitele pot fi atît variabile în timp,
cît şi neliniare. Pentru astfel de circuite este necesar, de fapt, să ne
întoarcem la legile fundamentale, pentru a putea formula ecuaţiile potrivite.
Formularea topologică
Formularea ecuaţiilor de stare trebuie să combine relaţiile topologice,
exprimate prin relaţiile lui Kirchhoff pentru un arbore normal (sau o
pădure), — care sînt valabile independent de starea de liniaritate sau de
variaţie în timp, — cu expresiile neliniare şi variabile în timp, care leagă
variabilele ce descriu relaţiile din laturi. Etapele vor fi în paralel cu cele din
cap. 4, unde s-au dedus ecuaţiile de stare pentru circuite liniare, inva-
*6 - c. 854
T
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
riante în timp. Pentru uşurinţă, se repetă aici ecuaţiile topologice date în cap.
4
. Notaţiile sînt conforme cu cele
din acel capitol.
iB = — Qe<;:*cî — Q ER ^ RI
Q EI } LI
QEAJ
ioi = — QecVi — Oc^iîi
QCI)LI
Qcj*j
iRt=
(t3a)
(*36)
— Qjj/îifii— QRIÎLI—
(73c)
iu= (73d>
vvl = 0 ECYE + Qccvci
^ Rl = Q - RR^' E
V
T
QCR'CI
(73e)
“t“ Qbe' jî(
(73/)
L! = QjiL X L -f Qci'ct + Qf.IVJÎ( +
Yj = QEL^E +
(73</}
QlL V Ll
Qc.;vt’f + Qej v b f +
QLJVLI-
( 7 3 h)
Detaliile de formulare vor fi diferite, in funcţie de variabilele specifice
alese drept componente ale vectorului de stare. Acestea pot fi tensiuni şi
curenţi, sau sarcini electrice şi fluxuri magnetice. Yom formula relaţiile pe
laturi’ asa ca elementele vectorului de stare să fie combinaţii liniare de
sarcini pe capacităţi si
combinaţii liniare de fluxuri
în inductanţe. Se
î4<
ici = -77
ştie că
‘ici
< »
d dt
= -f <!«■ iUI,} dt
unde elementele vectorilor qC! rşi q c , sînt respectiv [sarcini pe capacităţile
din ramuri (twig) şi pe capacităţile din coarde (link). Vom presupune ca
sarcinile sînt funcţii neliniare de tensiunile de pe capacităţi. Astfel
*lc* = ^CI (' Ci)
( <oa)
= ÎC! ('«).
unde fC( şi icisînt funcţii vectoriale de vCj şi
de timp.După
înlocuirea
(75&)
vC!.în plus,ele pot fi
expresiilor (74a) şi(746)
în
şi funcţii
(736)şi rearanjarea
termenilor, se obţine :
— ( q c - + Q c c l r , ) = - Q cn'm - ®cih, ~ Q w V
dt
(76>
Apoi, să exprimăm combinaţia liniară a sarcinilor q0«+Qco Qc'o Lti termenii
relaţiilor (75). Astfel,
723
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
•Jet + Qcc^ci ^c<('cf) + Qcc^cli^ci)'
(77)
înlocuind vCI din ecuaţia lui Kirchhoff (73e), se obţine
•Icf + Qccflc*
=
*o*(vci)
“i- QCCWQ.ECV.E +
Qcovc()-
(78)
Yom presupune că această ecuaţie posedă o soluţie unică pentru vc(? pe care
o scriem după cum urmează,
b t = 9c«(9c( 4" Qcc^c! I*E)'
(79)
unde gC( este o funcţie vectorială, cu argumentele qC( -\Qc'c(ic, şi v£.
înainte de a dezvolta mai departe (76) şi (79) ne întoarcem spre relaţiile de
laturi pentru inductanţe. Se ştie că
d.
“ ~Ktt — vit
dt
dt
,
(80a)
=
(806)
nnde elementele lui XLt şi }.Lt sînt respectiv- fluxuri prin inductanţele de ramuri
şi prin inductanţele de coarde. Yom presupune că fluxurile sînt funcţii neliniare
de curenţi in inductanţe.
Astfel,
'An — îi* (’m *£?)
(81a)
'■LI = îh(’i() *Li)?
(816)
unde îLt şi îLl sînt funcţii vectoriale de iLt şi iLl. Ele pot fi în acelaşi timp şi funcţii
de timp.
Apoi înlocuim (80a) şi (806) în expresia topologică (73g) şi rearanjăm
termenii pentru a stabili următoarea expresie :
d,,,,
~ (^n — Qtz^£()=Qcivc( 4- QRL^'EI + QELVE•
dt
(82)
Combinaţia liniară a fluxurilor ĂL! — Q îJ ' Lt poate fi exprimată în
termenii relaţiilor din (81), după cum urmează :
~AU— Q.EÂtJ = f LlOlll 'ii) £<(*£<?
(83)
înlocuind iLt din ecuaţia lui Kirchhoff (73<?) se obţine,
~aLI 0LL'ALl = ^Ll (
Qij'jJi!))
— Q LL^Lti Q Ll}u —
(84)
Vom presupune că această ecuaţie posedă o soluţie unică pentru iLl,
in termeni de lLl — QztÂ1( şi <j, care poate fi exprimată
ca
— ţiLl(~ALl QLL^-Kt’
(85)
unde este o funcţie vectorială de argumentele indicate.
Să înlocuim acum (85) in (76) şi (79) in (82). Astfel,
—(( lc - ( Qcc ^c ; )
724
dt
=
— Qcr‘ - b;
QciAhii '-u
Q
LL^UI
Qcj
86
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
(
“7" (
dt
a
LI
a)
— QCiUcf^lct "T Qrr‘lf! 5 'E ) + 0RL^Et ~~ 0EL^E •
—
(8
6b)
Dacă n-ar fi fost prezenţa variabilelor im şi \£t a rezistenţelor de lăture,
am fi avut pei echea dorită de ecuaţii diferenţiale vectoriale de ordinul intîi
pentru qC( + Qccq, ? şi ALI — QLL 'ALI- De aceea ne îndreptăm atenţia- acum
asupra relaţiilor de laturi pentru rezistenţe.
Să presupunem că relaţiile intre tensiunile pe rezistenţe şi curenţii din
aceste rezistenţe pot fi exprimate prin ecuaţia vectorială implicită :
^r(Î</i; rRt? */= *-*•
(87)
Aceasta este corespondenta lui (125) din cap. 4. Dacă substituim
ecuaţiile lui Kirchhoff (73c) şi (73/) in această ecuaţie implicită, obţinem :
îlt(— QRE*KL
Qp.jij ■ ^ R t l ^ R l )
v
Qe/î C( ~
0R R X R t )
= 0.
(88)
Apoi, substituind pe (79) şi (85) in această expresie, avem :
l'jf(
— Q r r Îr I ~~
U«ifliî(^iî —' 0i£A£(' îj)—Q r J ^J '
^Rt^Rl I
QER ^E
~t~ Ocj?9r((qo( — Qic^ci"' . e ) "i- o R H ^ R I ) ~
(89)
Aceasta este corespondenta Iui (126) din cap. 4. Reamintim că acolo am
presupus doar că anumite matrice nu erau singulare, astfel că acele ecuaţii
puteau fi inversate. în mod analog, presupunem că (89) poate fi
(95)
725
10.4. FORMULAREA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINIARE
rezolvată pentru vRt şi iBl, în termeni de qa + Qccqcl, }.Ll — QLL\Ll,y'E şi ij.
Soluţia va avea expresia implicită :
’
(90 a)
~hLl —
V
£
)
(90b)
*/)•
Substituind aceste două expresii, pentru v^( şi ig, în (
obţin ecuaţiile diferenţiale dorite
86
), se
’
’
(91
a))
(91
b)
Vom considera că elementele vectorului de stare sint combinaţii
liniare de sarcini pe capacităţi şi fluxuri în induetanţe.
Astfel.
x
__ Qc* ~î" Qcc<lci . ?•£! ~ QLL'ALt -
Vectorul de excitaţie este definit prin
’
(92)
(93)
cum a mai fost anterior. Atunci cele două ecuaţii diferenţiale (91) pat fi
combinate şi exprimate ca o ecuaţie diferenţială vectorială :
d.
—
x h ( x, » M .
dt
(91)
unde h este o funcţie vectorială de x şi de e, care este determinată prin
membrii din dreapta a ecuaţiilor diferenţiale (91) şi relaţiile de definiţie
(92) şi (93) pentru x şi e. Se poate determina uşor expresia explicită a lui h.
Mai departe, h, poate fi şi o funcţie explicită de timp ; cînd este necesar -să
se puă în evidenţă aceasta, se va scrie (94) astfel :
— x = h(x, e, t).
dt ‘
10.4. FORMULAREA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINIARE
Cum x este un vector de stare a circuitelor,_ oricare din cele două ultime
diferenţiale de x, va fi denumită ecuaţie de stare.
. . . .
S-a arătat’o metodă pentru desfăşurarea ecuaţiei de stare a unui circiut
neliniar, în care relaţiile variabilelor de laturi pot fiexprimatem fo «nppîfieată
în (
74
) (80) si (87) şi pentru care ecuaţiile algebnce (<
8
), (84)
s-a presupus. Pentru orice problemă particulara, mi
se
lua expresia finală şi nu se va substitui in ea valorile numerice
corespunzătoare. în schimb, se vor repeta etapele dm procedeu pentru
uroblema particulară respectivă, Rezultatele obţinute smt generale, m \numite
cazuri specifice"liniaritatea unor elemente componente va per- nX unele
s?mPliffcări, ce vor ieşi la iveală numai cînd se urmeaza etapele
detaliate ale formulăm.
17
!„ co nnlirăm acest nrocedeu de formulare la circuitul arătat in fig. 9a— Cu modelul
există o inductanţa
o
d^eS
as^î
că
matric^
fundamentala
de
grup tăiat
(LcfuneVeste'detenninată
uşor şi
se "foloseşte pentru
exprimarea
Kirchhofi ca m (73). Astfel,
(
[ix] = [-1 0 - 1 0
ecuaţulor
[ 0 1
[h
0 ]
1 0
1 0
1 -1
0 -1 o
o
o
o
“
‘ 6
h
'[
8
0
h
I - l
~
* 1
0
"
V
[0] l'ul
[i-l = 10 0 0 -1 0]
l's
-
-
1
V.
l'a
r
1
=
0
t’io
'
i>
.2
0
- 0
[t’
l
t’
s
i’i
0
0
0
0
o
■
0
+
0
_ l
.
Un
726
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Pentru relaţiile pe laturi avem, corespunzător cu (75)
'
'
9 2
9 3
=
- Ii
■ 1
0
0
0
1
0
. 0
0
1 / 1 0 .
-
-
în acest caz relaţia funcţională este liniară. într-adevăr, aceasta este uşor de rezolvat pentru |p2 î>3
vt]', in termeni de {q2 q3 g4]'; se obţine,
1 0
" 3
- >’i
-
=
.
0 -
'
‘
9
0
1 0
%
0
0
.
1 0 .
2
9 4
.
ca şi in cazul particular (79). în mod analog,
corespunzător cu (81), avem :
r_i_th /„
[Â,i]
L io
Fig. 10.9. Circuit de amplificator, variabil în timp, neliniar.
727
10.4. FORMULAREA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINIARE
1
de unde
' vs - 10 + sin 3770 th vs
[i'nl =
z'e
arth 10
0'
'■li
0
tr- — Vj
0
căre este cazul particular ln (85).
Corespunzător cu (87), pentru laturile rezisti\e a\em
1
s=
0
ig — VR ------8 8 10
h -v»
0
il0 10^10 -
.0.
Se substituie rezultatele ecuaţiei Kieclihoff. care dau pe [p6 v- vs v9 t>10] tensiunile pe laturile
arborelui; se
-
obţine .
(10 + sin 377f)
0
----- Oi - "i>
10
p3 - i>4 + u5
’0'
]
th
0
!6
0
h
0
h
0
, ln funcţie de
i
10!i4
\9
_0
. h a - expresiei anterioare pentru [»2 i>3 i>4] , ecuaţia
După
substituirea
de\ine.
'0'
— (10 + sin 3770 th (vl — q1—q3)
0
<6
0
%
0
h
0
h
0
h
.0
11
------ l>x -------------qt
10 10
q3 - 10a ţ4 -t- vs
- ho
. 100(?4 .
Soluţia pentru [i>5) şi pentru [i6 i, is ia 'io 1 este evident, [p6] = [- (10 + sin 2770 th^!-?»^)!
>6 '
0"
«3
11
ls
h
-
f10
—
----- i’i ------------- <h
10 10
q.i - 10<?4 - (10 +sin 377l) th (v^-q^-q^
_ lOOţj
.
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Aceste ecuaţii sint cazurile particulare din (90). Relaţia dinamică asociată la capacităţi si
corespunzătoare la (74) etc:
’
' (h '
d
dt
'h'
%
h
..
■1
*
-U -
1
.0
0
1
0
0■
-1
0
-1
0
0
0
1
-1
.
. *10
Egalitatea a doua rezultă folosind ecuaţia lui Kirchhoff pentru a obţine [i2 i3 f4]' în funcţie de
curenţii de coarde. Apoi, substituim expresiile stabilite anterior pentru
L L /„ i’V si
7 8 9 10
[/„], pentru a obţine;
1
92 ’
d
d
t
1
---------- "l ------------------ 92
10
93
2?3-t-10944- (10
<h -1
l
10
+
0
+ sin377/) th(vI~q2~q3)
-q3 — 110q1 — (10 + sin 377/) th (dj — q2 — q3)
—th-110X,
care este corespondentă lui (91a) în acest exemplu.
Să trecem acum la bobina de inductanţa. Cazul particular al relaţiei dinamice nentru mductanţă
din (80) este :
'
■ P-iil = !»IJ] = [0] [Oj] +[0 0 1]
VZ
dt
[0] [Pb].
4 -
Egalitatea a doua corespunde ecuaţiei lui Kirchhoff pentru ([>,,]. înlocuind expresia dedusă anterior
pentru [î>2 P3 i>4] ', se obţine:
I
[10</4
care este cazul particular din (91fc).
După combinarea acestor două
stare :
dt
ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi se obţine ecuaţia de
92
1
d
— 2?3 4-
dt
%—110ş4-(10
—
93
10
1
v, ----------- q2
10
10?4 -f (10 + sin 377/) th (i— q2 — q3)
94
-
+ sin377/) th (»! —?a-?3)—thl0Xn 10?4
Cu X = [q2 q3 Ş 4 Xn], şi e = [ t ’ J , membrul al doilea este o funcţie vectorială h (x e,t) a ecuaţiei de stare (95). Nu
pare evident că acest membru al doilea este efectiv o funcţie de vectorii
'
729
10.4. FORMULAREA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINIARE
X
şi e , deoarece evidentă este numai dependenţa faţă de elementele lui x şi e . De aceea se va arăta rîndul
că
(10 + sin 3770 th(i>i — q2 — g3)] Î2 '
[-2 q3 + 10 qt
9s
9i
= [0 - 2 10 Oj
/•i
i
1
’ 92
it
+ (10 + sin 377/) th
Kl-H-i -î o 0]
9i
al doilea din dreapta considerat rînd tip, este o funcţie de x şi de e . Este evident ea
Ecuaţia de ieşire
Urinează acum problema de a exprima variabilele de ieşire, in funcţie de
variabilele de stare, excitaţia şi derivata excitaţiei. Se va începe cu inductanţele.
Variabilele de laturi care ne interesează in primul rînd sint fluxurile din laturi,
adică elementele matricelor '/.Ll şi XLt
5
de asemenea sint şi curenţii de laturi,
adică elementele lui iu şi iLt. După (85) ii( este dat in funcţie de
şi de ij (parte din e). Astfel.
X L I ~ Q LL
(parte din x)
Astfel, rîndul al doilea este o funcţie de x şi de e ; în modul acesta s-a găsit al doilea element h 2 ( x ,
c , 0 din vectorul l i ( x . e . i ) .
’ h = \£LI (~hLi — QLL^-LU * j )
dă
Ecuaţia lui Kirchhoff (73 d), combinată cu această expresie a lui iL, ne
îif = — Q Litiu C A LI
—
Q LL h Ll)l *j)
Substituind aceste două expresii pentru \Ll si i«in ecuaţiile de laturi, adică
"^Ll == ^Llfaui *£()
^ Lt — ^Lt( l Ltf l Ll)
se obţine X£i şi ca funcţii de >.H —
şi i,7.
730
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Variabilele de laturi ce ne interesează în al doilea rînd sînt tensiunile de
laturi, elemente din \Ll şi \Lt. Se recomandă cititorilor, ca un exerciţiu, să
demonstreze că i L l
trebuie să fie zero —adică să nu existe ramurei
inductive — sau că i u {iLt,iIÂ) şi yLl (XLi —Q^A^ij) trebuie să fie funcţii
diferenţiabile, pentru ca să se poată exprima \Ll şi vLt ca funcţii de x, e şi de dej dl.
Să considerăm acum capacităţile. Variabilele ce ne interesează în primul
rînd sînt sarcinile de laturi, elemente din q0( şi qc,; de asemenea sînt şi tensiunile,
elemente din vot şi v0,; Ecuaţia ( 79) dă pe vc( sub forma :
XCt
— 9d (‘Ici + Qco‘lci J Vi’)-
Combinată cu ecuaţia lui Kirchhoff (73e) se găseşte :
vcf
=Q'cc9cMct + Qcc'lci ^E) + Q ECVE-
Substituind aceste două ecuaţii de mai sus în ecuaţiile de laturi:
i
lct = *ci(xci)
se obţin qc( şi (jCJ ca funcţii de qcj+Qcc(lcî Şi V E Variabilele de laturi care ne interesează în al doilea rînd sînt curenţii,
elemente din ict şi in. Se poate demonstra că ict şi ic; sînt funcţii de x, e şi de dejdt,
dacă îc;(vCi) este identic zero, — adică nu există coarde capaci- tive,^— sau dacă
1
i c i ( v C i ) şi <fC/.((lcf+Qcc<
c»ve) sînt funcţii diferenţiabile.
în sfîrşit, să considerăm componentele rezistive. Elementele din vEtţ x,,, iEt şi
iRl sînt cele care ne interesează. Ecuaţia (90) ne dă \Bt şi iw sub forma :
= ^Rt(*\ct +0oc(lci ■ ^Ll QLL^JJ, V£ 1 23J )
= 9iîi((lci + QooflcM ^LI~~QLL^U J V£> jj)*
Celelalte variabile rezistive se obţin piin substituirea acestor îelaţii,
împreună cu expresiile pentru i;i si vc„ în ecuaţiile lui Kirchhoff, (73c) şi (73f) :
' ’
*J?(=
'’Rl~
0
0
Rs'lBl QRL*LI QbJ1./
cBVti ^T^RR^Rt •
S-a arătat mai sus cum pot fi exprimate diferitele variabile ale circuitului, în
funcţie de x, e şi dejdt. Aşadar, dacă w este un vector a cărui
23
Aproape orice text de analiză neliniară poate oferi o informaţie considerabilă in acest subiect; de exemplu.
Nicolas Minorsky, Xonlinear Oscillations. D. Van Nostrand Co. Princeton
731
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINTAiRE
elemente sînt un set de variabile de răspuns ale circuitului, atunci vv se poate
exprima ca
(96)
(97)
unde, în tiltimul caz, ieşirea este dependentă explicit de timp.
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE
PENTRU CIRCUITE NELIMARE
Odată scrisă o ecuaţie de stare pentiu un circuit neliniar, sarcina următoare
constă în rezolvarea acestei ecuaţii. Pentru uşurinţă, în ecuaţia dxl<lt = h (x,e,t),
vom pune li (x,e,#)=f(x,î). Aceasta este corect, deoarece, dacă e(t) este dat, li[x,
e(<),<] este o funcţie explicită numai de x şi de t. Astfel, ecuaţia diferenţială
vectorială, care va sta în centrul atenţiei in acest paragraf, este.
=
i(Xjf).
dt
(98)
Xu există vreo cale cunoscută, prin care să se poată obţine soluţia
unei ecuaţii diferenţiale neliniare oarecare. în fapt, se cunosc soluţii analitice în formă compactă numai pentru citeva clase restrînse din astfel de ecuaţii.
De aceea, eforturile desfăşurate pentru studiul acestui gen de ecuaţii sînt
concentrate asupra condiţiilor de existenţă şi de unicitate a unei soluţii, asupra
proprietăţilor soluţiei şi a aproximării ei. ^e vom opri puţin asupra primelor
două ; a treia este în afara preocupărilor din această carte '.
Existenţă şi unicitate
Cercetarea condiţiilor în caie (98) poate avea o soluţie, sau o soluţie unică,
este o sarcină foarte impoitantă; aceasta, din cauză că, între alte motive, numai
clacă se ştie că există o soluţie, eventual o soluţie unică, are
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
sens să se caute o soluţie aproximativă. Mai mult încă, existenţa sau unicitatea,
dacă există, nu înseamnă că este sigură. S-a văzut aceasta, pentru circuite
variabile în timp, prin exemplul din paragraful 10.3.
Ca un exemplu suplimentar, în acest caz numai pentru neunioitate, să
considerăm circuitul din fig.
10 10
.
.
Convertor
+
vf - ~-iF
°
de
negativare
(.inversor
del)
*
-
J
’r
Fig. 10.10. Circuit neliniar cu răspuns neunic.
Se poate verifica uşor că ecuaţia de stare este
<hli
= 3 dt
Se presupune că 3i(^o)=0. Atunci, este uşor de arătat că
este o soluţie pentru orice a^/0. De aceea acest circuit nu are o soluţie unică dacă
q1(t0)=Q.
’
Condiţiile pentru ca să existe o soluţie cînd t>t0, — intervalul de timp care
ne interesează— , se stabilesc de obicei în două etape. Mai întîi, dacă *!>*„, se
stabilesc condiţiile care determină existenţa unei soluţii într-un interval l2 >t>t1:
unde t.2 este determinat de proprietăţile funcţiei f(x, t) în intervalul t2
Apoi, se stabilesc condiţiile prin care o soluţie poate fi
extinsă, de la un interval de timp, la următorul, pînă ce se asigură soluţia pentru
orice t ^ t0.
O soluţie a ecuaţiei (98) în sens obişnuit, necesită ca x să satisfacă ecuaţia
diferenţială pentru orice t > t0 finit. Este adeseori posibil să se găsească o funcţie
care să satisfacă (98) pentru aproape orice t, deşi dxjdt nu există, pentru anumite
valori discrete a lui t. Pentru a admite acest tip de funcţie drept o soluţie, se va
considera ecuaţia integrală
\(t) = x ( f 1 ) + (‘ î [ X ( T ) , T ] d T
(99)
asociată cu (98). Yom numi orice soluţie a lui (99), o soluţie a lui (98) în sens
99
larg. Se poate vedea că (
) poate avea o soluţie entru t>t0 şi totuşi
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINTAiRE
733
(98) sa nu aibe o soluţie în sens obişnuit pentru t^> t0.
^
^
în ceea ce priveşte existenţa, se enunţă următoarea teorema, tara
demonstraţie : \
Teorema 12. Fiind dat orice tx > t0 şi x (tj, ecuaţia diferenţială (98) posedă
cel puţin o soluţie continuă în sens larg, pentru t 2 >t>h, egala, cu x (U în
momentul /1? dacă i(x,t) este continuă în x pentru t>t0 fix, şi integrabilă local în t,
pentru t>t0 şi x fix, şi dacă || t(x t)\\ este margini ta m orice vecinătate
mărginită a originei
0
, de o funcţie de t, mtegi abila localt pentru t>t0.
Condiţiile acestei teoreme sînt mai largi decît este necesar pentru
stabilirea existenţei unei soluţii, cînd t2 >1 >V> totuşi, ele sint potrivite
pentru enunţul teoremei următoare, asupra extindem soluţiei m întreg
domeniul semidreptei t>t0.
Teorema 13. Presupunînd condiţiile Teoremei 12 asupra existenţei
satisfăcute, atunci orice soluţie a lui (98), în sens larg, egală cu x(t0)U timpul tn
poate fi eortinsă, pentru a da o soluţie definită penru orice t>t0, daca \ f(x t) I |i<
4 1 110
a(t)
>(
\x
, cînd t >t0, unde a(t) este nenegativa şi local integrabilă
şi unde <D(«) este pozitivă şi continuă, cînd v >
0
şi satisface
r ji. = + „o
«-»» Jua G>(®)
(i«o>
lim
pentru o valoare [ji
0 >0 :
Mai există si alte teoreme de extindere
2 şi pot fi mai utile în anumite
situaţii date. Una din aceste alte teoreme, extrem de simpla, este data m
problema pusă ca o teoremă ce trebuie demonstrata.
înainte de a continua, să arătăm, cu ce restricţii suplimentare soluţia,
în sens larg poate deveni o soluţie în sens obişnuit. Aplicmd definiţia unei
derivate aplicate ecuaţiei integrale (99), se obţine :
x(t
+
A*)
M
—
x(t)
_______ 1 f
At Ji
f
[x ( t ) ,
t]
ăT.
Soluţia însens larg este continuă. De aceea, dacă î(x, J) este continuă în
atunci î[x(-r), t]
va fi o funcţie continua de t.
t, fiindcontinuă şi în x,
" Ca^e^^nţ^iîriţiaiâ^vezi^Gf' San^sone şi R. Conte, Non-Linear Differenlial Eqautions, The
Macmillan, Co, New York, 1964.
734
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Apoi, se poate folosi teorema primei valon medii a calculului integral şi, în
consecinţă, relaţia de mai sus dă
’?
6]
pentru t<d<t, dacă M>0, sau t + lt < 0 < /, dacă Af <
este o funcţie continuă de
0
. Deoarece *
00 0
(
),
]
6
, limita membrului întîi a ecuaţiei, cînd M tinde
spre zero, există şi este egală cu Î[x(t),t], Astfel
’
d
— x = f(x' V
dt
deoarece lim [x{t + M) — x(f)]/Af = dx/dt. Pi in urmaie, cînd f(x. t) este
ăt-K)
7
,
!
continuă în t, ca şi în x, soluţia ecuaţiei integrale este diferenţiabilă şi astfel
satisface ecuaţia diferenţială.
’
Acum, că se cunoaşte în ce condiţii există o soluţie continuă pe semidreapta (t>t0), este interesant de aflat ce restricţii suplimentare sînt necesare
pentru a garanta o soluţie unică. Prin aceasta ajungem la teorema următoare \
Teorema 14. Presupunem satisfăcute condiţiile Teoremelor 12 şi 13, privind
existenţaatunci (98) poseda o soluţie continuă în sens larg, pentru t-^tQ, care este unică
dacă
'
|f(x1? t) - f(x2,
0
X»
ll< Y(/)l I Xx
pentru t > t-?şi pentru toţi xl şi x
2 din vecinătatea oricărui punct, unde v(t) este o
funcţie local integrabilă, nenegativă.
_ Condiţia adăugată || f(x1, t) - î(x2, t) || < Y(t) || xx-x
211 pentru t >t
0
şi orice
Xj, x2, care este necesară să asigure unicitatea, se numeşte condiţia Lipschitz. ’
’
Făcînd acum o pauză, vom reexamina exemplul din fig. 10.10, în lumina
acestor teoreme şi comentarii. Mărimea scalară q1 stabileşte starea circuitului.
Pentru compatibilitatea notaţiei cu teoremele, vom înlocui notaţia prin x. Atunci
f(x, t) este funcţia scalară 3$2/3. Prin teorema de existenţă, rezultă că există o
soluţie x{t), începînd de la x =
0
la t =
0
, pentru un interval oarecare pozitiv,
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINTAiRE
deoarece 3x
735
2/3 este continuă în x şi mărginită în orice vecinătate mărginită a
originei; de exemplu, dacă pentru orice x dintr-o vecinătate a originei avem \x\
< p, atunci
1 1 3 2/3
3x2!3
<
o
fi'extinsă pe întreaga semi1
Vezi nota din subsol de la pag, 731
< oo Prin teorema de existenţă, o soluţie poate
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
dreaptă t> tQ, dacă
1
3x213 | <
0
>( |a?|) pentiu vreo funcţie O(u) continuă,
avînd pioprietatea (100). Condiţia este satisfăcută luînd 0(®) = 3v213. Prin
teorema de unicitate, soluţia va fi unică dacă 3x213 satisface condiţia Lipsehitz
; adică, dacă \3x\‘3 - 3af/8| < y |
- ®2J pentru orice as^ şi
x2 intr-o vecinătate a oricărui punct şi pentru un y finit. Această condiţie nu
este satisfăcută. Luînd x2 0, pentru orice y finit, inegalitatea este violată dacă
se ia | x±\ suficient de mic. Aplicaţia acestor teoreme dă rezultate conforme cu
cunoaşterea noastră anterioară a soluţiei, cum este dată
în exemplu.
.
Nu este totdeauna o sarcină uşoar ă să se veiifice că funcţia vectoriala
l‘(x, t) satisface condiţia Lipsclritz. De aceea este bine să se ştie că, dacă
derivatele parţiale dfax, t)ldxt există şi sînt continue în x pentru aproape toţi /
'> tn, fiind şi mărginite ca modul în vreo vecinătate a oricărui punct, prin
funcţii local integrabile ne-negative de variabile f> t0, atunci condiţia
Lipsehitz’este satisfăcută. Nu se va da demonstraţia acestei afiimaţii, dar este
recomandabil să fie efectuată, ca o pioblemă.
Exemplu. Ca o ilustraţie a acestui mijloc de a arăta îndeplinirea condiţiei Lipsehitz, să considerăm
circuitul din fig. 10.11 pentru t ^ — 1. Educaţia de staie este .
3
d <h
<" L X,
q2 - X5 - 1 th X5 - 3 l s-2*
Trebuie arătat că toate condiţiile teoremelor de existenţă şi de extensiune sînt satisfăcute.. Apoi, să
Fig. 10.11. Circuit variabil in timp neliniar.
ne întoarcem atenţia spre condiţia Lipsehitz. Vom pune q.2 = .Tj şi >.5 = x2; atunci
3
/■(*> 0 =
_.Tj — x2 — 1 th t2 — 3 t Derivatele parţiale ale lui f;(x, /) în raport
cu xj sînt
=
_ A ,0fl
-d x , t'l*
’
<)y-*
Evident că derivatele există şi sint continue înxxşi în x2 pentru aproape orice t; df1idx1 nu există pentru t =
0.
Mai departe, Id/i/dxjK 3 [ij _1/3, |(9/i/3x2|<l, [d/ydxjKl şi \df2ldx.2|<J5 ; de aceea, pentru orice x şi deci în
vreo vecinătate a oricărui x, derivatele sînt mărginite prin funcţii de t, local integrabile, nenegative, pentru t—
1. Astfel, condiţia Lipschitz este satisfăcută şi, prin teorema de unicitate, soluţia va fi unică.
De fapt, se poate arăta,
ceea ce e uşor de demonstrat,că relaţia
următoare este valabilă
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINTAiRE
{folosind norma vectorului de
IlfCxj, 0 —
737
sumă de module).
f(xa, Olii<max
{3|/|-V3* 1,6}
l^-Sjllj
<(3|/|-l/3+ 6)![X1 - X J H J .
Acelaşi rezultat s-ar fi obţinut şi dacă s-ar fi folosit norma vectorului de maximum modul
Proprietăţile soluţiei
Pentru cazul circuitelor variabile in timp, am descoperit diferite proprietăţi
ale soluţiei, raportînd ecuaţia de stare la o ecuaţie omogenă de referinţă. Pe
aceeaşi cale vom obţine răspunsuri şi în cazul circuitelor neliniare.
Să presupunem că membrul doi al ecuaţiei neliniare
— x = î(x. 1)
dt
este închis, într-un sens ce urmează a fi definit în teoremele următoare, în
membrul doi al ecuaţiei:
— x = A(/) x.
dt
Apoi, am putea anticipa că, dacă toate soluţiile ultimei ecuaţii sînt
mărginite în apropiere de zero, cînd t ->oo, soluţiile ecuaţiei precedente se vor
comporta la fel. Această deducţie este valabilă dacă A(f) este o matrice constantă
sau periodică. Se recomandă să se demonstreze de cititor că nu poate exista
teoremă similară pentru cazul cînd A(t) este o matrice oarecare, variabilă în
timp.
Pentru circuite care arată că pot fi descrise printr-o ecuaţie diferenţială
omogenă, invariantă în timp, (anume A(f)=A), se va prezenta mai jos o serie de
teoreme folositoare. Prima teoremă determină condiţiile pentru răspuns
mărginit.
Teorema 15. Să presupunem că toate soluţiile ecuaţiei de referinţă
—
dt '
1
v = Av,
(101)
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
unde A este o matrice constantă, sînt mărginite cînd t tinde spre infinit. Mai
departe, să presupunem că î(x,/) = Ax + î(x, *) + «(/). Atunci soluţiile ecuaţiei
\ = i(x,t),
—
dt
-eu vn.
vectoriniţial x(/ 0 ) astfel ca ||x(< 0 )||<8, unde 8este o constantă ce
depinde def(x,t),—
sînt mărginite cînd t Unde spre infinit, daca
||f(x,/)||<Ş(^|lxll Pentni llxH^
(102a)
J”p(*)d*<oo
(1026)
r \\w)\\dt<^-
(io2f!)
*«a
unde Y este o constantă pozitivă aleasă în mod convetiabil.
Pentru demonstraţie se foloseşte lema lm Gronwall,
Ecuaţia de stare
■x Ax f(x,f) + {)(/), cit
este echivalentă eu ecuaţia integrală
X(f)=£-4'“'"’X(/0)+ [
£A,!_T>(f[X(T), T]+{)(T)}rfT,
unde
este matricea de tranziţie asociată cu (101). Luînd norma in
ambii membri ai acestei ecuaţii şi aplicînd inegalităţile ob.şnmte de norme,
se găseşte că,
11 x(f) H < H e 1 "-'» 1 11 II x(/ 0 ) II + C II s 1( ' " T ’ II t H
* l-n
f
M H + II «(
T)
11
Cum toate soluţiile lui (101) sînt mărginite, există o constantă pozitiva
şi pentiu ouce
P,
n astfel c-a II eAl'"T'|l P entIU
această limită, pe eJUin (
102
8
||x(i!)|Ka
a) şi | |x(f 0 )
18
|<
, se obţine
-|-( a[P(-)l|x(T)|| +|la(-)llrfT
738
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
cu condiţia ca || X ( T )||<S pentiu
aplicată
y.$(t) şi
acestei
6
(i) + =
8
|| x(*)<a
Leraa
lui Gronwall poate
relaţii, punînd
exp |
fi
9
(/)= || x(t) ||, <b{t) =
[ap(T)+||g(T)||/S]dT
a||gr(«) ||. Eezultă inegalităţile,
’
)dt + y •
A doua inegalitate, — obţinută prin lăsarea lui t să se apropie de infinit şi
102
invocînd apoi condiţia (
c), — ne arată că || x(t) || este mărginită
S
CO
ap( T) dx este mărginită, în virtutea
,0
lui (1026).
Xe mai arată, mai departe, că || x(t) || este uniform mărginită pentru orice t.
Prin urmare, vom avea ||x(i)|| pentru
şi orice t>t0,
după cum se impune pentru satisfacerea unei condiţii anterioare, dacă
8< ( £ / a ) e x p . j ^ — j a p ( T ) d T — y •
Astfel, spre deosebire de cazul circuitelor liniare variabile în timp,
considerate anterior, mărginirea depinde de starea iniţială ; adică, || x(t0) ||
trebuie să fie suficient de mică. Mai mult, funcţia (j(t) are restrictiia arătată în
102
(
c).
’
'
’
{-Sotă : concluzia teoremei devine valabilă pentru toate stările iniţiale, numai
00
dacă £ = +
.)
’
După cum se arată în teorema următoare, concluziile teoremei precedente
pot fi făcute mai severe, dacă toate soluţiile lui (
t tinde spre infinit.
101
) se apropie de zero cînd
’
101
^ Teorema 16. Se presupune că toate soluţiile ecuaţiei de referinţă (
), în care
A este o matrice constantă, se apropie de zero 'cînd t tinde spre infinit. Mai departe, se
presupune că î(x,t)=Ax+B(t)x+î(x,t) + $(t). Atunci toate soluţiile ecuaţiei neliniare (98),
— cu vectorul iniţial x(t0), astfel ca l[x(?o) l! unde 8 este o constantă ce depinde de î(x,t),—
se apropie de zero cînd t tinde spre infinit, dacă :
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINTAiRE
{ |j B(i)||<^ <
S3<<-W||
l|x|| ^
00 ^0
*
739
(103a)
g(<) | ^ yS
(1036)
-Ofor t>t0,
(103c)
unde [3 şi y sînt constante pozitive alese în mod corespunzător.
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Demonstraţia acestei teoreme este puţin diferită de demonstraţiile
precedente. Ecuaţia integrală echivalentă cu (98) este :
x{t) + =EV',-<„>x(/o)+
f £-
4«- >{B(t)x(t) + Î[x(t),t] + 8(t)}<7t.
t
• «o
Luînd norma în ambii membri şi aplicînd inegalităţile de norme obişnuite,
se obţine :
IIXCOIKH^-'OMI llx(f„)|l + f lleA(,-T,ll{HB(*)il HX(T)H
+ || f [x(t),t] I! + II 9(T) II }dr.
Cum toate soluţiile lui (101) se apropie de zero cînd t tinde spre infinit,
există nişte constante pozitive a şi i>, astfel ca
|| î(x,t) H < (II xll pentru t0 dacă ||x||<*.
Folosind aceste limite şi | |(f0) | |x < y, se găseşte
||x(i)|KaSS-^-'»’+Jf
HB('-')l!+(^)
Nx^)ll+I
19^)11^'»
sau, echivalent,
11 x ( t ) 11 e* <
8
+ ( | [« 11 B( t) 11 +
)| |x( t)
11 s* + I |fl( -) 11J
dr,
cu condiţia
11
x( t) || < l pentru t0 < t < /.
Lema lui Gronwall este aplicabilă, cu <p(t) = \ | x(<) | |eu( , ^(/) = a| |B(/) 1
,
n
0
1
-j- +
_)_ aeuf | [ y(t) j |. Rezultatul este :
A doua inegalitate rezultă din prima, punind pe t să se apropie de infinit în
prima integrală şi folosind (1036), cu |3 = v în integrala a doua. Multiplicînd cu e
v( se obţine
| x(/) j! ^ a.8 exp
741
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINTAiRE
Acum se pune y<v/2; atunci ||\(/)|| este mărginită uniform, în virtutea lui
(103a) şi este mai mică decît
pentru orice
0< t
pentru f
Prin urmare, spre a satisface condiţia că |
|x(-r) 11 ^ £
< şi orice t^10, este necesar doar să se aleagă 8, astfel ca
5< ^jexp^-py.||l{(c)||f/T
Mai departe, cu referire la limitarea lui | ] x(t) j |, se vede că x(t) trebuie să se
apropie de zero cînd t tinde spre infinit, deoarece | |x[f)
11
este mărginită de
către o exponenţială scăzătoare.
Mai sînt posibile şi alte teoreme. Cele două precedente stabilesc tipul şi
condiţiile care sînt necesare de obicei pentru demonstraţie. Se poate vedea că
este relativ uşor să se varieze aceste condiţii si să se obţină totuşi o demonstraţie
valabilă. I)e exemplu, în ultima teoremă, condiţia (103c)
A
poate fi înlocuită prin condiţia j | f(x,£) j | ^ jx j |x
11
, pentru ||x||^£ şi a
suficient de mic. Această variaţie (modificare) este destul de importantă,
deoarece ea permite ca un termen liniar mic să fie o parte din f(x, t).
în cele două teoreme date mai sus, dacă se înlocuieşte A prin A(/), unde A (t)
este periodică, se obţine de asemenea teoreme valabile. Demonstraţiile diferă
numai puţin de cele date anterior. Se recomandă să se determine ce schimbări
sînt necesare.
A-
Kxnnplii. Ca o ilustrare a teoremei a doua, să considerăm circuitul din l'ig. 10.12. pentru t 5» 0. Cu q.2 = şi
= x2. ecuaţia de stare este :
- 2z-M X
1
X.2
----- — ......... X , — X . ,
I' l* '
Xj — x2 — Itil
J-s
_rVY'Y_
L
3T
£=□-
]-'ig. 10.12. Cir cuit var iabil in
limj) ncliniar, făr ă excitaţ ie.
10.5. SOLUŢIA ECUAŢIEI DE STARE PENTRU CIRCUITE NELINIARE
742
în primul rind Irebuic exprimată această ecuaţie ini i-o formă care să permită aplicarea teoremei.
Astfel,
■*•
1
0 -1
</
d
l
•r2
1-5
*1
2s-3'
-r
l'ii
X.,
O
0
= Y\ - H(/)x + î(x,t).
lx, - llh x.
x.,
Polinomul caracteristic a lui A este d ( s ) = s'2-tr 5s -j- 1. Valorile proprii sint evidente reale şi
negative, (dacă ecuaţia caracteristică ar fi fost de un grad mai mare, atunci s-ar fi putut folosi criteriul lui
Routh sau alL criteriu similar, pentru a se vedea dacă toare rădăcinile au sau nu partea reală negativă).
Astfel, toate soluţiile lui (101) se apropie de zero cind I —> co. Aplicau! norma vectorului de suma
modulelor, se obţine
2E-3»_
/'/2
11 B(f) | |j
0
2s
0J
Astfel, condiţia (103f<) este satisfăcută. Condiţia (103/J) corespunde, deoarece <((/) = 0. Să considerăm
acum
i(*. /)
lx., — Ithx.,
Vom avea
|ţ(x, Qlli __ 4 |x3 - thx, |
II x I li
I x l | + | x, |
< 4
'
I - tli^a I _
I *21
Inegalitatea rezultă din faptul că | x2 |^| x1l + | x2|. Deoarece 11 x | |x şi deci |x2 | se apropie
de zero, 4 |x2 — thx2 j : jx2 | şi deci | |f(x, / ) l l i / l l x l l i se apropie de zero. Aceasta rezultă clin faptul că
I1Q2 c.
17
|x2-thx2| \ Y X I - T £ x I +
| x21
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
= II -i -ll i +
I
x21
o
|
cînd 1
743
x21 - 0.
Astfel condiţia (103c) este satisfăcută.
Toate condiţiile teoremei sînt satisfăcute; prin urmare, prin teorema 16, toate soluţiile se apropie de
zero cînd f—► oo, pentru | |x (0) | |x<8. Valoarea lui 8 nu este cunoscută, dar cunoaştem că ea există. Se
recomandă determinarea acestei valori a lui 8.
A
A
Alocarea termenilor Ini fla Ax şi la f (x,t) nu este unică. I)e fapt orice
termen liniar poate fi alocat lui Ax, dacă valoarea sa negativă este
A
alocată lui f. Această flexibilitate poate fi utilizată pentru a ajuta să fie
satisfăcută condiţia (103c). Acesta este de fapt motivul pentru care s-a
exprimat, în exemplul dat, termenul — x2, sub forma — 5®, -}- lx2.
10.6.
SOLUŢIA NUMERICĂ
Situaţii în care se cer soluţii numerice ale ecuaţiei de stare sînt :
— cînd nu se poate determina soluţia analitică exactă;
— cînd o soluţie analitică aproximativă poate fi determinată cu suficientă
precizie, numai printr-o cantitate de muncă prea mare;
— cînd se caută o familie de soluţii numai pentru un număr limitat de
variaţii ale valorii parametrilor. în acest paragraf ne vom îndrepta atenţia spre
soluţionarea numerică a ecuaţiei de stare, exprimată in forma :
— x = f(x, t).
dt
101
(
)
Yom începe prin a prezenta cîteva metode elementare de soluţie numerică
a ecuaţiei (104) şi apoi vom enunţa, fără demonstraţie, o metodă avansată.
Formula de diferenţe inverse a lui Newton
Multe metode de soluţionare numerică a ecuaţiei de stare se pot stabili
relativ uşor, dacă se porneşte de la o expresie a valorii funcţiei într-un moment
oarecare, în funcţie de valorile ei în momentele anterioare. De aceea vom trata
mai întîi acest subiect.
Pentru a stabili o bază, în termeni familiari, pentru formula ce va fi
analizată, să considerăm funcţia vectorială y(t) exprimată ca o serie trunchiată
de puteri, cu un rest; adică
y( t ) = n u )
+ y,v
(h)
(t
- O + ~ y2 ( k ) ( t - h f +
• • • + — y(,) (h) (t - UY + r [t ),
3 !
. . .
(105)
unde y‘*> (f4) = ăk y (t.)ldlk \t=(i. Adeseori y(t) poate fi aproximată prin- tr-un
polinom obţinut prin neglijarea restului r (t). De fapt, dacă y(t) este un polinom
de grad cel mult j, atunci această aproximaţie nu este eronată. Greşeala majoră
ce s-ar face folosind (105) constă în faptul că ea cere cunoaşterea derivatelor lui
y(t), ceea ce nu este totdeauna posibil.
Pentru a se evita problema de evaluare a derivatelor lui y(t), vom căuta o
reprezentare diferită, dar echivalentă a lui y(t). Fie
• - U-j
un set de j ATalori distincte de timp. Dacă înlocuim fiecare din aceste valori in
(105), se obţin j ecuaţii, avînd ca necunoscute derivatele. Acestea se pot rezolva
pentru y{k)(ti) în termeni dey(^), yşi de rest r(i{_,), unde Dacă se introduc aceste
soluţii pentru y (t ) în (105), expresia rezultată pentru y(t) se poate pune în
forma următoare :
y(0 = « o
(t)y (td
+ %
(t)
... -f dj (t) y-f
y (^_i)+a 2
(t)y (U-*)
+ • • •
r
(106)
(<),
A
unde r(1) este un iest, bineînţeles diferit de r(t); a-k(t) sînt polinoame în t,
A
4
CIRCUITE
LINIARE un
VARIABILE
IN TIMPcare
ŞI CIRCUITE
NELINIARE
de grad744
cel mult j. Negiijînd pe r10.(t),
se obţine
polinom
aproximează
pe
y(/).
Coeficienţii a^t) nu sînt uşor de evaluat, după cum ar fi de dorit. Totuşi
,dacă se rearanjează termenii în (106), astfel ca y(t) să fie exprimată în funcţie
de sume şi diferenţe între diferite valori y(i
4_j),
atunci noii coeficienţi se
evaluează uşor. Aceasta se va înţelege uşor prin cele ce urmează.
Să definim mai întîi un set de funcţii, care sînt sume şi diferenţe ale
valorilor lui y(t) în diferite ,,puncte” de timp, după cum urmează :
§[/J = y(tt)
î. rj
+
-i
§ [/i-i, tj = L,J L‘ -
(107
a)
—
S [# 4
i]
(107ft)
n n-i
s IU-,,.-,
'■% — k
.
(I07w)
Fiecare funcţie, după prima, este diferenţa dintre funcţia precedentă, la
două momente succesive de timp, divizată prin diferenţa între momentele de
timp respective. Aceste funcţii se numesc diferenţe divizate. Se observă că,
deoarece prima „diferenţă divizată” este chiar v(tt), prin definiţie, toate
diferenţele divizate succesiv sînt sume şi diferenţe de y(<), la difeiite momente,
divizate prin
intervale de timp.
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Urmează acum să exprimăm pe y(<) în funcţie de sumele şi diferenţele
valorilor ce le are in momentele fi7 lt... ; adică, în funcţie de diferenţele divizate.
Vom exprima mai întîi pe y(/) în funcţie de
Apoi, exprimind pe
8
[*,,*] în funcţie de &[<,_!, tt] şi ^ _
t], vom scrie pe y(t) în
1 ?
funcţie de ă [ ş i
Acest proces de substituire se continuă,
pînă ce se obţine y(t) în funcţie de diferenţele divizate, de toate ordinele.
Să începem cu diferenţa divizată §[*,-,*]. Din (1076) se ştie că :
8'!
8j/,.
( / • / . )
SIMJ.
înlocuind aici pe (107a) se obţine :
y[t.] = y (/,:) + (/-/,-) 8[ti7tiApoi se consideră diferenţa divizată
/,,/]. Din (107c) se obţine
expresia pentru
ti} t],care pate fi scrisă, rearanjînd termenii
HM] = 8 [/,_!, /,i
( I - l ,
înlocuind aceasta în (108a) se obţine :
y ( 0 = y ( M + ( t - U ) s [ ^ - i, M + ( t - t i ) ( r Din (107c) se ştie că :
8
[W..,/,.,/] =
8
st/,.,,/,,/].
18
~ (t-U-k-
)
Prin utilizarea repetată a acestei relaţii ,(1086) devine
y (0 = y (/,)
+ ( t - 1( )
s
1+
(t —
U) (t — ti-l)%[ti-2,1i-i, /j]
(108c)
+
t,t]-
unde
•MO = (*-*>)
(109)
este considerată ca eroarea din aproximarea lui y(t) prin polinomul
10.0. SOLUŢIA NUMERICA
+
+
+
V—U-m)
745
(110)
Pe baza comentariilor precedente referitoare la (100), «e ştie că e(/) = 0,
dacă, y(t) este un polinom de grad cel mult j. Din examinarea relaţiei (109) se
observă că e(/) =
0
pentru t=ti, U-u- ■ -IU-H
fie că este sau
luate
invers, adică
110 111
)
polinom.
_
desimplu de calculat
Deoarece diferenţele divizate nn sînt tot aşa
ca diferenţele, se va reformula (
1111 1111
termeni de simple
diferenţe,
(]11«)
y y ( ^ ) = y ( ^ ) - y (*,_,)
v 2y ( ^ ) = [ v y ( ^ ) - v y ( ^ - i J
(mA)
\ > (u) = [ v f c _ 1 y ( t t ) ~ \ k ] y ( t i - i ) ] -
(lllf)
Acestea sînt denumite diferenţe în sens invers, Vom presupune în cele ce
urmează că diferenţele dintre valorile adiacente de timp sînt egale ; adică, t:k—
<t_i==/i, pentru l<=i—j-fi,. . .,i.
Apoi, începînd cu (lila), se obţine
....... „ , y
(ti)-y(U-i)
W ( U ) = ( U - U - i ) -------------------- :—: ------------' * H-1
= h St#,-!,/,], în
mod analog,
începînd cu (1116), se obţine,
,.w, , ,vy(^)-vyU«-i) v 2 y ( h )
(/,—/{- 2 ) ---------- :—: ------
U
r >^2
8[f{-l,?j]
i — 2
8[ < i - 2 ,
ti ti _
= 21l2 §[/;_2?^i-l> /»]•
2
/j_i]
Bîndul al doilea rezultă din primul, folosind expresia dedusă anterior
pentru vy(<«), iar rîndul trei rezultă din al doilea, folosind (107c). Continuînd în acest mod se găseşte că
vy (M =
22
vay(#i^=
746
A
11
2
(
,]
a)
spi_2,
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
(1126)
11
2
(
c)
sau, sub rormă echivalentă.
(113)
Dacă se introduce această relaţie dintre diferenţele divizate şi diferenţele în sens invers în (108c) se obţine :
’
’
(114)
în
Vjy(M+•(*)•
mod
polinomul aproximant a lui (
analog,
110
), obţinut prin neglijarea lui e(t), este :
Ecuaţia (114) este formula de diferenţe în sens invers a lui Newton:
(115) este această formulă, trunchiată, după j -r
1
termeni.
Formule deschise
Folosind formula de diferenţe în sens invers (de diferenţe inverse) a lui
Newton, vom stabili o formulă destul de generală pentru soluţia ecuaţiei de stare
la momentul ti+1, în funcţie de diferenţele inverse şi de derivatele lor la
momentele anterioare de timp. Aceste formule, denumite formule deschise,
formează baza pentru multe din metodele numerice specifice ce urmează a fi
prezentate aici.
747
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
Xotind pe djdt printr-un punct deasupra şi punînd y(t) = x(t), obţinem
formula de diferenţe inverse a lui Newton (114), trunchiată după j-t
-1
termeni,
x /) = x-^i)+i^-vx(fi)+. . ■ + {t~ti)'
'
h
Dacă se integrează x(t) de la tt la
+
S
— x(/;); în mod echivalent,
(316)
3 JIJ
6
, rezultatul este x(ti+1) —
ti + h
x(t)dt
U
Substituind pe (116) în (117) se obţine,
unde
60=1
x (t i ^ 1 )= x {t i ) + n 2 b ^ W i) ,
k=o
şi, pentru Ti>
0
,
Jdt
=
*
=
J(j
r
Ti lhk+1
24 T(T+l)..-(T + fc-l)
(U'
(119)
Jo
fc!
Integrala a doua din (119) se obţine din prima prin schimbarea variabilei t
= (t—t,i)jh şi prin faptul că ti_l=ti—l'h- După evaluarea acestei integrale pentiu
mai multe valori ale lui li şi substituirea i ezultatului în (118) se găseşte că .
x(ti+1) = x(y + h[x(ti) + lvx(g+ -Ă V**'./,)
+ T V 2 M h ) + T T i Î-V 4 x(<i)+-
• ■]•
(120)
într-un anumit sens, se poate spune că s-a ajuns ţinta. Dacă se cunoaşte
x(tn), x(L),. . şi x(t,), atunci se poate folosi ecuaţia de stare pentru a determina
x(t0), x(h),
. ., şi x(i,). Apoi se calculează diferenţele inverse
yx(tj), v2x (tj),. . .,şi yjx(^), iar (118) este folosită pentru evaluarea lui x(t-\). Se
repetă apoi aceste trepte pentru evaluarea lui x(tj+2), pornind de kt x(^), x{t2),. . .,
şi x{tj+1). Continuînd în acest sens, se stabileşte valoarea lui x(t) în momentele
t=tj+1,tj+2,. . . Ne vom opri mai mult asupra acestei
chestiuni mai tîrziu.
_
.
Ecuaţia (118) stabileşte dependenţa lui_x(fi+1) de valorile imediat
precedente ale lui x (anume, x{t{) şi de x(f4), ţx (tt),. • şi V* M)- Se poate
tot aşa de uşor stabili dependenţa lui 1) de
pentru
1^0 şi de
x(<(),yx(t i ),. .
3x(^)- Relaţia integrală obţinutăastfel
şi v
este :
24 Vezi, de exemplu, R.W. Hamming. Xumerical Methods for Scientists and Evgineers, Mc Graw-Hill Book Co,
New York, 1962.
x(/ i ^ 1 ) = x(t i _,)+ (
(121)
Jti-lh
748
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Prin substituirea lui (116) se obţine,
x(t i
+ 1)
= X («,_,) -L h Y i b k ( ? ) v*'x (*,),
0
unde = şi, pentru k >
(122)
k=0
,
ft*.(o=r
r ( r
i !
J-1
";i
T /;
~
(123)
n
k.
Pentru aplicaţii ulterioare, se dau în tabelul 10.1 valorile coeficienţilor b,.(l), care
apar în relaţia foarte generală (
122
).
Tabelul V . l .
Valorile hii b k . (I)
l
k
0
0
2
5
2
3
4
5
2
3
4
5
6
0
3
-4
17
-12
83
5
12 ’
_
1
3
4
1
3’
0
~ 8~
3
___
27
14
~ 83
33
80
45
144
10"
3
4
i
“
85
12
oo
21
2>1
2i)
«5
14
51
14
95
299*
45
‘lGO
45
238
720
<)0 '
15
-9
0
Nu s-a spus nimic despre eroarea ce apare prin folosirea formei trunchiate a
formulei diferenţelor inverse a lui Newton. Despre aceste erori se tratează în
cărţile de analiza numerică x. Totuşi, trebuie menţionat că eroarea din (122) este
proporţională cu A,f2. Astfel, într-un sens intuitiv, dacă h este suficient de mic şi j
suficient de mare, eroarea poate ajunge foarte mică.
749
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
Formule închise
Relaţiile obtinute din (122) pent.ni diferite valori ale lui l se numesc
formule deschise,' pentiu că x(/;_1) depinde nu de x numai de x la momente
anterioare de timp. Pe de alta pai te, închise ce se vor prezenta mai jos, au o
relaţie de dependenţa intre x(t ,) si x, atit la momentul ti+1, cit şi la cele
anterioaie.
‘: Se’pune v(f) = x(f) şi apoi se înlocuieşte prm 1i+1, in formula de d erenţe inverse a lui Newton, trunchiată după j
+1
termeni. Lcuaţia rezul-
tată devine :
(i — h-i)
\
i
i
-1
K-a-it
,).
(124)
MO
xi/,,) • —pv*ty+-^----------------------------
v
1 , 1 i ;
^
;
Integrarea lui x (f) între t^i^ — ll şi 1i+i=U+hi tluee la relatia '•
x { 1 tn) = *(fj-i) + T *(')<«■
(l25)
hi -in
După introducerea expresiei pentru (124) se găseşte :
x(/; ,)
x(/ ;
;)
0
unde cn{l) = l + \ şi, pentru I: >
• h t
>
•
“- 01
,
«-,(!> -
10.2
!
<I=2Ml±!2pil±*=*>,l,.
120
(127)
în tabelul
se dau valorile calculate a lui ck (/•), pentru foi
mula închisă foarte generală (
).
Tabelul 10. S.
Valor ile lui c j: (/)
Ca şi în cazul formulelor deschise, eroarea în (126), datorită trunchierii
formulei de diferenţe inverse a lui Newton, pentru x(t), este proporţională cu hi+2.
La prima vedere s-ar părea că formulele închise nu au o importanţă
deosebită, deoarece ecuaţia de stare nu poate fi folosită pentru calculul iui x
(ti+1), pînă ce nu este cunoscută x(*i+i), iar (126) nu poate fi folosită pentru
determinarea lui x(ti+1), pînă ce nu este cunoscută x(£i+1). Totuşi, formulele
închise sînt utile în soluţionarea numerică a ecuaţiei de stare, prin aşa numitele
metode de predictor-corector, despre care ne vom ocupa puţin mai tîrziu.
Metoda lui Euler
Să considerăm, în acelaşi timp, formuladeschisă (118), cu j= 0, şi
ecuaţia de stareevaluată la tt. Astfel
’
750
x(*m) = x(*i) + & Mh)
(128a)
x(ti) = f[x(*4), t{].
(128b)
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Valoarea lui x la t—tv introdusă în membrul doi al ecuaţiei a doua, ne dă
derivata x (14). Dacă se introduce aceasta în membrul doi din prima ecuaţie,
rezultă valoarea lui x la ti+1. Utilizarea alternativă a acestor două expresii, ne
duce la valorile lui x la %+kh, pentru toate valorile le. Acest procedeu numeric se
numeşte metoda lui Euler.
Nu ne vom opri mult asupra acestei metode elementare, deoarece eroarea
este mult mai mare decît în alte metode. Mai există neajunsul că eroarea poate
creşte mult, cînd creşte timpul. Aceasta se poate vedea dintr-un exemplu. Să
considerăm ecuaţia scalară
ăx
cu x (0)=1. Soluţia exactă z‘ este concavă în sus, cum se vede în fig. 10.13. în
metoda lui Euler, valoarea lui x(h) se calculează utilizind *(0) şi panta curbei
(soluţiei), trecînd prin punctul 0(0), 0]. După cum se vede în figura 10.13, x(h) are
o valoare mai mică decît a soluţiei exacte. Se poate vedea uşor că soluţionarea
numerică, evaluată pentru momente succesive de timp, va da o curbă ce se
depărtează din ce în ce mai mult de curba soluţiei
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
751
exacte. în fig. 10.13 s-a luat li=0,5, destul de mare, pentru a se pune în evidenţă
această abatere crescîndă cu timpul.
Fig. 10.13.
Metoda lui Euler modificată
Pentru a se înlătura unul din neajunsurile metodei lui Euler, se modifică
puţin aceasta, făcînd ca x{ti+1) să depindă de x atît la ti} cît şi la ti+l, nu numai la
singur.
Vom porni de la formula închisă (126), cu j=l şi 1=0; acesta dă
x(ti+i) = x'Ji) + h r '
‘
1
(129)
care,
dacă se face înlocuirea v i(ti+1) = x(fi, x) — x(*,), devine
x(*1+il = x(f<) + * ’V V/;! ’
(13°)
Astfel, dacă se foloseşte (129), x(<j+1) se determină prin x(f,) şi media dintre x
la t{ şi la ti+1. La prima vedere s-ar părea că această relaţie este fără folos,
deoarece i(ti+1) poate fi determinată din ecuaţia de stare numai dacă x(£ i +1 ), care
este mărimea ce trebuie evaluată, este cunoscută. Această dificultate este
învinsă în modul următorul: Pornind de la x(< ; ), se foloseşte metoda lui Euler
pentru a prezice valoarea lui x(i i +1 ). Cu această valoare ;prezisă a lui x(*4+1),
ecuaţia (129), împreună cu ecuaţia de stare, nepot da o valoare corectată a lui
x(fj+1). Acest ultim pas este apoi repetat pînă ce valorile corectate succesiv ale
lui x(ti+1) sînt echivalente, cu precizia numerică dorită ; de exemplu, echivalente
pînă la patru cifre zecimale.
Aceasta este metoda lui Euler modificată ; se mai poate spune că este
o metodă cu predictor-corector. Este doar o metodă, poate cea mai elemen752
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
tară, dintr-o largă clasă de astfel de metode cu predictor-corector, dintre
care unele vor fi luate în considerare mai departe.
Pentru a ilustra procedeul în metoda lui Euler modificată, să presupunem că :
1
xf '
L^2
x i ~ -x 2
.
este ecuaţia de stare şi x(0)= [1,000— 2,000J'. Luăm în mod arbitrar 7) =0,1. Acum,
x(0) şi ecuaţia de stare împreună, dau x(0)= [ — 1
3]'.
j,
Ecuaţia (128a) în metoda Euler dă
x(h) = [0,900 —1,700]',
valoarea prezisă a lui x(h). Ecuaţia de stare dă apoi valoarea corespunzătoare pentru x(h), adică x(h) = [-0,729 2,600]'. Folosind pe (130) din metoda
modificată Euler, prima valoare corectată a lui x(h) devine [0,914
— 1,740]'. Ecuaţia de stare ne dă acum o nouă valoare a lui x(h), iar (130) ne
dă a doua valoare corectată a lui x(/i). Acestea sînt
x(h) =
-0,764’
. 2,654 .
‘ 0,912 ‘
.“1,719 .
•
(/0
Presupunînd că o precizie de trei zecimale este suficientă, calculul lui
x
x(h), este terminat, deoarece ultimele două
valori calculate ale lui x(h) sînt
echivalente cu această precizie. Evaluarea mărimilor x(2 h), x(3h),. . . se face
în acelaşi mod, cu calcularea următoare
= începută de la valoarea lui x(h)
imediat anterioară (stabilită).
Meloda Adams
Formula deschisă (118) pentru un j oarecare, astfel ca în cazul particular j =3 să avem
x(ti + 1) = x{tt) + h
*(«i) +
+
J
V s *(*i)],
(131)
formează baza metodei Adams. Ecuaţia de stare este folosită, bineînţeles,
pentr u a evalua pe x(#;) de x(^).
Ca şi alte metode care folosesc formule deschise şi închise, cu
1
,
metoda Adams este de tip fără auto-pornire ; adică nu este suficient să
f
-
I
10.6. SOLUŢIA NUMERICĂ
cunoaştem numai ecuaţia de stare şi x(f 0 ), ci trebuie cunoscute şi valorile .,
şi x(<;). Numai cu această informaţie suplimentară poate fi calculat primul
set complet de diferenţe inverse, la timpul t} şi poate fi deci folosită (118)
pentru evaluarea lui x(/J + 1).
Valorile suplimentare ale lui x, necesare pentru a porni metoda Adams,
pot fi produse şi prin alte metode. Astfel, se poate folosi o dezvoltare a lui x(t)
în seria Taylor trunchiată, la t(), pentru a evalua pe x(/j),. . . ,şi x(f;). Pentru a
menţine echivalente erorile în metoda Adams şHn evaluarea seriei, pentru
valorile de pornire, — seria lui Taylor trebuie trunchiată după j
termeni ; adică, se va utiliza următoarea serie trunchiată :
x(t.) = x(/0) + x'u(t0) (t —10) + ~ xl2> (tj (t — t
«)2
+2
(132)
Această metodă cu serie cere evident ca f(x,/) să fie suficient de
diferenţiabilă (dej ori în x şi t) la /„; numai atunci se poate evalua x(i)(/0) ; de
exemplu, x(/
0)=î\ [x(f ), t ] x{t ) + i [x(t ), #0]=î* [x(/ ),* ] i[x(t ),t ] + +
0
0
0
ttix(t0),10].
t
0
0
_
0
0
0
.
Pentiu a ilustra metoda Adams, să consideram aceasta simpla ecuaţie de
stare
a,(0)=0. Punem /i=0,l. şi luăm j=3. Astfel, (131) va fi cazul particular a lui
(118) folosit aici.
_ ^
Valorile de pornire se obţin folosind seria Taylor trunchiată.
Mai întîi,
cu
.i (
0
) = [ — so{t) + £ *] !(-o =
1
*(0) = r--*(*)-e-‘]-|«_o=
0
®(
) = [— ®{t) + s *] !(=o = 3
a<4>(0) = [— ir(«) — e“*]
Deci, seria trunchiată (132) este în acest caz
1
48-c 854
= -4
1
I
10.6. SOLUŢIA NUMERICĂ
x(t) =t -t2 + — t3 - —t4.
48-c 854
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Folosind această serie, se evaluează x(h), x(2h) si x(3h)- astfel ®(*)=0,0905,
®(2ft)=0,1637, x(3h)=0,2222. Cu aceste ' valori se poate folosi (131) pentru a
calcula valorile următoare ale lui x(ih). Aceste valori împreună cu cele ale
mai multor diferenţe inverse, sînt arătate în tabelul 10.3, pentru i pînă la
10
. Pentru comparaţie sînt date si valorile exacte {ih)e~m ale lui x la t=ih.
’
Tabelul 10.3.
!
i
Exact
X\’hi
Numeric
x{ih)
x{ih)
0
0,0000
0,0000
1,0000
1
0,0905
0,0905
0,8143
2
0,1637
0,1637
0,6550
-0,1593
3
0,2222
0,2222
0,5186
-0,1364
4
0,2681
0,2681
0,4022
-0,1164
5
0,3032
0,3032
0,3033
-0,0989
6
0,3293
0,3292
0,2196
-0,0837
7
0,3476
0,3475
0,1491
-0,0705
0,0132
-0,0020
8
0,3595
0,3594
0,0899
-0,0592
0,0113
-0,0019
9
0,3659
0,3658
0,0408
-0,0491
-0,0101
10
0,3679
0,3678
V2
v
%{ih)
Vs
-0,1857
0,0264
0,0229
0,0200
0,0175
0,0152
-0,0035
-0,0029
-0,0025
-0,0023
0,0012
Metoda Adams modificată
Se poate face o modificare a metodei Adams, asemănătoare cu modificarea la metoda Euler Metoda Adams este folosită să prezică o valoare
pentru x(ti+1). Formula închisă (126) pentru un j oarecare si 1=0, se foloseşte
m mod repetat, pînă ce valorile succesive corectate ale lui x(t, ,) smt
ecmvalente la precizia numerică dorită. Ca un caz tipic, (13.1) (adică <118),
cu3=3) >se foloseşte să prezică valoarea lui x(ti+1) ■ apoi din
755
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
care este (126), cu j
=3 0
şi 1=
, se calculează valoarea corectată a lui
x(ti+1). Aceasta este metoda Adams modificată; ca şi metoda Euler modi î cată,
este o metodă cu predictor-coreetor.
Metoda Milnc
Aceasta este o altă metodă cu predictor-coreetor ; în particular este o
metodă care tine seama bine de zero-urile care apar m Tabelele 10.1 şi 10.^.
Ecuaţia (122), cu j=3 si 7=3, se foloseşte pentru a prezice jaloama Jiu
Deoarece
MU
30
b3 (
+i
)=
, termenul y
3x(ij) 1111 trebuie să fie niciodată
inclus în ecuaţie. Astfel
x(/i_1) = x(/,_3) -f *
(134)
-v2Mt i
4x(/,) —
Se observă că numai două diferenţe inverse sînt calculate, ca şi cum s-ai
trunchia formula deschisă (122) la j=2. Totuşi, precizia este aceeaşi ca cea
obtinută cînd se trunchează formula deschisă la j=
7=3
cu
3
. iormula închisa (126)
şi Z=l, se foloseşte pentru calculul valorilor corectate
ale lui x(t-). Cum c3(
1
(135)
)--=»), trebuie’calculate numai două, în loc de
trei, diferenţe inverse. Astfel, ecuaţia se poate scrie fără termenul v
adica •
2
1
x(fH )-
5
j4.n),
2
vi(îi+1)+
O a doua metodă Milne foloseşte formula deschisă (
Z=
3x(i
122
), cu j=5 şi
, pentru a prezice pe x(/i+1), precum şi formula închisă (126), cu j—o şi
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
756
5
1=3, pentru a corecta pe x (fj+1). Faptul că 6 (5) şi c5(3) smt zero, reduce
efortul de calcul, pînă la cel necesar cînd (
122
) şi (126) smt trunchiate
la j=4.
Metode cu predictor-coreetor
Mai multe din metodele examinate sînt metode cu predictor-corector.
Ele fac parte dintr-o clasă largă de astfel de metode, care folosesc formula
deschisă (
122
), pentru anumite j şi l, ca să prezică pe x (ti+1), şi formula
închisă (126), pentru anumite j şi l, ca să corecteze pe x(#i+1). Indicii j şi t pot
122
fi diferiţi în cele două ecuaţii. în mod convenţional, (
) se numeşte
un predictor, iar (126) un corector.
Pentru a ilustra cum servesc aceste ecuaţii la stabilirea metode
particulare, să vedem mai întîi cum poate fi îmbunătăţită metoda Euler
modificată, fără să se adauge ceva la cantitatea de calcul necesară.
Corectorul
348
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Xt;
este (126) cu j =
1
şi 1=0. Predictorul
M'; ,) = x(/,) + 7iX(/,)
este (122) eu j = 0. Astfel, predictorul nu este tot aşa de precis cît este corectorul. Aceasta înseamnă că ultimul, probabil, va trebuie să fie folosit de mai
multe ori, pînă să se ajungă la valori succesive ale lui x(7î.rl) echivalente
(aproape egale), decît ar fi necesar dacă predictorul şi corectorul ar avea
1
aceeaşi precizie. Din examinarea tabelului 10.1 se vede că 6 (1)=0. Astfel
122
), cu j =
(
1
şi 1 = .
1
, dă un predictor :
x(fi + 1)=x (t^) + 2hx(tl),
cu aceeaşi precizie ca şi corectorul; cantitatea de calcul necesară pentru a
preciza pe x(*<+1) este aceeaşi ca şi la predictorul original.
Trebuie observat faptul că cele mai multe din metodele cu predictorcorector, care se bazează pe (122) şi (126), nu cînt cu auto-porn ire. Excepţiile sînt (
122
), cu j = 0 şi /=
0
, precum şi (126), cu j =
0 1
sau
şi 1 =
0.
Metoda Ilunge-Kulla
Metoda de ordinul patru Runge-Kutta, este baza cunoscută şi folosită
pentru obţinerea soluţiei numerice a ecuaţiei de stare. Piste o metodă cu
auto-pornire — deci cu avantaj evident — şi destul de precisă.
Metoda de ordinul patru Bunge-Kutta este exprimată prin ecuaţia
1
xlJi +
unde
(136)
0 + 2W! + 2\y2 + w ] b
) = x(/;) + - [w
3
w o-
hi
\v
li î
x (t,)
x «,) +
^
—i£
w
3 = h î [x(7 ) + w , t + h].
;
2
i
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
10.6. SOLUŢIA NUMERICA
Nu se va încerca să se justifice această ecuaţie, deoarece este o demonstraţie lungă si nu dă informaţii utile pentru dezvoltarea altor metode. Este
cunoscut că termenul de eroare este proporţional cu h . Astfel, daca h este
suficient de mic, eroarea va fi neglijabilă.
^
Se observă că nu se foloseşte nici-un corector în această metodă. In
comparaţie cu alte metode avînd aceeaşi precizie, dar fără corector, ea ceie
un efort de calcul ceva mai mare. Pentru fiecare creştere a timpului, x
trebuie evaluată de patru ori, faţă de numai o dată, în alte metode. Mai mult,
într-o metodă cu predictor-corector, avînd paşi h suficient de mici, x va fi
rareori evaluat mai mult decît de două ori. Se vede ca, din acest punct de
vedere, metoda Eunge-Kutta este mai desavantajoasă decît metodele cu
predictor-corector.
Totuşi, se observă că avantajele şi dezavantajele metodei Runge- Kutta,
în comparaţie cu metodele de prezicere-corecţie, sînt complementare între
ele. Metoda Eunge-Kutta este cu auto-pornire, iar metodele cu predictorcorector necesită mai puţin calcul. De aceea metoda Runge- Kutta se poate
folosi pentru pornirea uneia dintre metodele cu predictor- corector.
Erori
S-a spus pînă aici puţin despre erorile din soluţiile numerice ale ecuaţiei de stare, afară de sublinierea dependenţei erorii de h, datorită truncherii în formula cu diferenţe inverse a lui Newton. Mai există şi alte erori şi
trebuie să fim atenţi asupra modului cum apar.
Sînt erori care apar din cauză că operaţiile aritmetice se fac cu numere
ce au un număr limitat de cifre semnificative. Acest tip de erori sînt cunoscute ca erori de „rotunjire”, deoarece prin rotunjire se elimină unele cifre
finale considerate nesemnificative.
Erorile de truncliere şi de rotunjire, apărînd la fiecare pas al
calculului, afectează nu numai eroarea soluţiei numerice la acel pas, ci şi
eroarea paşilor următori; se spune că eroarea se propagă.
O altă sursă de eroare, considerată ca eroare dinamică, apare în modul
următor. Ecuaţiile folosite pentru obţinerea soluţiei numerice a ecuaţiei de
stare pot prezenta mai multe moduri independente dinamic, decît ecuaţia
de stare. Dacă unul din modurile suplimentare este instabil, atunci soluţia
numerică se poate depărta radical de soluţia efectivă.
Nu ne vom ocupa mai mult despre erori, aceste chestiuni fiind tratate
pe larg în cărţile de analiză numerică (vezi P>ibliografia).
758
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
10.7. STABILITATEA LIAPUXOV
în cazul circuitelor liniare, pentru care există soluţii analitice generale
ale ecuaţiei de stare şi pot fi determinate, se poate examina soluţia si studia
proprietăţile ei. în particular, este posibil să se facă observaţi asupra
proprietăţilor de stabilitate ale soluţiei, dacă rămîne mărginită sau chiar se
apropie de zero cînd t->co. Pentru circuite neliniare, nu există soluţii
analitice generale, şi astfel nu se pot face observaţii cantitative asupra
soluţiei. De aceea este important să se obţină unele informaţii asupra
comportării calitative a soluţiei unei ecuaţii de stare, în particular asupra
comportării ei cînd t->co, adică asupra gradului de stabilitate sau instabilitate a soluţiei.
Definiţii de stabilitate
Ecuaţia de stare neliniară se exprimă prin
*
= ' <V>,
(137)
Se observă că la punctele unde î(x,t)=0 pentru orice t >t0, viteza de schimbare
a lui x este identic zero. Aceasta înseamnă, bineînţeles, că dacă starea
începe sau ajunge la un astfel de punct, va rămîne acolo. Aceste puncte sînt
evident deosebite şi de aceea se numesc puncte singulare.
Problema stabilităţii se ocupă cu comportarea soluţiei ecuaţiei de stare
într-un punct singular. Prin convenţie, în definiţii şi în teoreme, se alege
punctul singular în chestiune drept origină. Pentru a Vedea că aceasta este
totdeauna posibil, fie x
3 un punct singular. Apoi, să punem y(t) = = x(t) — x .
s
0
Eezultă că x(t) = xs corespunde la y(*)=
. Identificarea echivalentă x(t) =
y(t)-j xs înlocuită în ecuaţia de stare (137) dă
d
a
— y =/(y+
t) = î (y,t).
( 138)
Cum y şi x diferă între ele numai printr-un vector constant xs. oricare dintre
ei determină starea circuitului. Dacă y este considerat un vector, de stare
atunci (138)este ecuaţia de stare şi origina este un punctsingular. Astfel, fără
pierdere de generalitate, vom presupune că (137) stabileşte origina ca punct
singular.
’
în ceea ce urmează vom folosi norme, fără referinţă la o normă
particulară ; totuşi, exemplele se vor referi la norma Euclidiană. Prin $ p vom
nota regiunea sferică || x|| <p în spaţiul vectorilor şi prin .Bp frontiera
10.7. STABILilTATHA UAPUNOV
759
regiunii sferice $p. Astfel, Bp este sfera || xj| = p.
Se presupune că în regiunea sferică există o singură soluţie continuă a
ecuaţiei de stare. Locul geometric al punctelor x(t) în spaţiul vectorilor,
pentru t > tQ este numit semi-traiectoria pozitivă sau, pe scurt, traiectoria
şi se notează cu x+.
..................
„ „
,
Fiecare din următoarele trei definiţii este ilustrată^ m fig. 10.14, pentru
a da atît o interpretare vizuală, cît şi una verbală a stabilităţii.
b
C
Fig. 10.14. Ilustraţii pentru definiţiile
stabilităţii : a —or igină stabila; & -or igină
asimpt ot ic stabilă; C — or igina instabila.
Definiţie. Originea este stabilă, dacă pentru orice K <C E există unr sîj R,
astfel ca orice traiectorie x+ ce porneşte din Sr rămîne în SB. \Punctul de unde
începe traiectoria este x (t0)].
_
.
„ ,
Comportarea asimptotică a soluţiei la t -> co, este determinată de
grupul de puncte de care se apropie traiectoria la t -> co. Dacă traiectoria
tinde spre origină, timpul particular de stabilitate capătă un nume.
Mai precis,
.
„
Definiţie. Originea este stabilă asimptotic, dacă este ^stabilă şt daca, pentru
orice e >
0
există un tf astfel ca traiectoria să rătnvnă in Se pentru
7 JO
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
t > te.
Această definiţie stabileşte, în mod precis, că x(<) se apropie de zero cînd t
tinde spre infinit, prin existenţa unei valori de timp, după care norma
soluţiei rămîne mai mică decît orice număr arbitrar de mie. Se observă că
atît stabilitatea, cît şi stabilitatea asimptotică, sint ,,locale” sau „în mic”,
— proprietăţi prin care definiţiile lor permit ca r
>0
să fie oricît de mic,
pentru a satisface definiţia. Pe de altă parte, dacă origina este asimptotic
•stabilă pentru r = -j- co, cînd B = + co, atunci origina se spune că este
asimptotic stabilă în mare, sau global asimptotic stabilă. Cu alte cuvinte x(f) se
apropie de zero cînd t tinde spre infinit pentru orice x(/0).
Cum nu toate circuitele sînt stabile, trebuie precizat şi conceptul de
instabilitate ; aceasta se face prin următoarea definiţie.
Definiţie. Origina este instabilă, (Iacă, pentru vreun K < E şi pentru orice r <
B, există cel puţin o traiectorie eu origina în 8r, care traversează BR.
Condiţiile în care origina este stabilă sau asimptotic stabilă sînt enunţate în termeni de existenţa unor anumite clase de funcţii. Vom defini aici
aceste funcţii.
Definiţie. Funcţia scalară V(x) se zice că este pozitiv definită, dacă : 1) Y(x) şi
primele ei derivate parţiale sînt continue într-o regiune deschisă25
D, ce conţine origina, 2) F(0)=0 şi 3) F(x) >0 pentru x -J-- 0 în I).
Deoarece funcţia scalară V poate fi uneori o funcţie explicită de t şi de x,
noţiunea de pozitiv definită trebuie extinsă şi la astfel de cazuri.
Definiţie. Funcţia scalară V(x, t) se zice că este pozitiv definită, dacă :
1
)
V(x, t) şi primele ei derivate sînt continue pentru t>t0 într-o regiune deschisă D, ce
conţine origina, 2) V(0,t) = 0 pentru t >t0 şi 3) P(x, <)>- W(x) pentru i > t0, unde
IT(x) este o funcţie pozitiv definită numai de x.
Continuitatea primelor derivate parţiale garantează existenţa lui VF(x,
t), gradientul lui Tr(x, t). De aceea se poate scrie
d
dV
d
dt
dt
dt
— V(x, t) =-----------(x, t) + [V V (x, t)}' — x
= — (x, t) + [V V (x, t))' î(x, t).
dt
(139)
Ultima formă rezultă din faptul că dx/dt = f(x, t) de-a lungul traiectoriei
circuitului. De aceea este raţional să se vorbească despre viteza de schimbare
a lui V în lungul traiectoriei circuitului. O foarte importantă clasă de funcţii
este definită pe baza semnului acestei viteze de schimbare.
Definiţie. O funvţie pozitiv definită F(x, t) se numeşte f uncţie Liapunov, dacă
25
O regiune se zice că este deschisă dacă nu conţine nici un puncl din frontiera sa.
10.7. STABILilTATHA UAPUNOV
— dVjdt >
0
761
în lungul traiectoriilor din 1).
Pe baza acestor definiţii se poate discuta acum chestiunea stabilităţii şi
condiţiile în care este stabil un punct singular.
762
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Teoreme (le slafoilitale
Pentru a face ca teoremele de stabilitate să fie mai pline de înţeles, vom
analiza comportarea unei funcţii Liapunov 7(x) deosebit de simpla^, care
este invariantă în timp şi comportă un vector de stare cu numai doua
elemente, xx şi x2.
v
x2
Deoarece V(\) >0 pentru x^O şi T(x) = 0 pentru x = 0, v — T (x) poate fi
imaginată ca o suprafaţă în formă de cupă, tangentă la planul x — x, la
origină, după cum se arată in fig. 10.15. Intersecţia acestei suprafeţe cu
planurile orizontale v = Ct, unde C\ < C2 < . . . , vor fi nişte curbe închise.
Dacă se proiectează aceste curbe vertical, pe planul xx — x2, ele vor forma un
grup de contururi V — constant concentrice, cu valoarea lui V descreseînd
către zero, cînd contururile se strîng spre origină. Aceasta se vede în fig.
10.15.
^
Deoarece V este o funcţie Liapunov, ea trebuie să fie necrescătoare în lungul
traiectoriei. Deci, traiectoria care începe în interiorul conturului r(x) = C'i,
nu poate tăia niciodată acest contur. Traiectoria este astfel constrînsă să fie
în vecinătatea originii. Aceasta este foarte aproape de condiţia pusă pentru
stabilitate. De aceea, putem anticipa că stabilitatea rezultă din existenţa
unei funcţii Liapunov invariantă în timp. Deşi acest exemplu foloseşte un
vector de stare cu numai două elemente, nu este greu să imaginăm o
generalizare la un vector de stare cu n elemente.
*
Teoremele ce urmează vor face aceste noţiuni mai precise şi vor permite ca funcţia Liapunov să varieze în timp.
Teorema 17. Origina este stabilă dacă, într-o regiune deschisă D, ce conţine
origina, există o f uncţie Liapunov, astfel ca T (x, /) < I (x), pentiu orice i > unde
F(x) este o funcţie pozitiv definită.
763
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
Această teoremă se demonstrează după cum urmează. Fie dat un număr
E, iar C să fie valoarea minimă
26 a lui TF(x) pentru orice x, astfel ca || x
|| = = R. Fie xr un vector x avînd norma minimă, pentru care U(x) = C. Acest
vector există şi nu este vectorul zero, deoarece U(x) =
0
, dacă şi numai dacă
x = 0. Mai departe, deoarece U(x)> li'(x) pentru orice t > t0, atunci I! ®r| K B.Fier= || xr [|. Rezultă că orice traiectoriecare începe în Sr, nu părăseşte SB.
Aceasta se verifică astfel : prin continuitate, dacă x(t0) este conţinut în 8r,
atunci x(t) trebuie să fie conţinut în SR, pentru valori mici a lui t — t0.
Presupunem că la momentul avem || xf/J || = R. Atunci
7 [x (h), h] > W[x(y ] > <7.
T
(140)
Deoarece xr era un vector x de normă minimă, pentru
care f7(x) = C si
deoarece V(x,t) ^
U(x)pentru orice t>t0, rezultă V(x,t0)<C,
pentru orice
x care satisface || x j | < \\xr 11 =r. Astfel, pentru orice x(<0) din ST,
7
* [(x(g, t0] < C.
(HI)
Apoi, deoarece — dV/dt > 0,
v t * ( h ) , h ] < V [ x (g, y.
(i42)
Este clar că (140)
e
în contradicţie cu
(142). Astfel ^ nu
există si x+ este
conţinut în SR.
'
Această demonstraţie poate fi interpretată geometrie, cînd x este un vector
2,ca înfig. 10.16. Relaţia TF(x) = C defineşte un contur închis K1,
Fig. 10.16.
stabilă.
26
Conturul K3(t) al funcţiei Liapunov pentru origină
Se reaminteşte din definiţia unei funcţii V(x, l) pozitiv definită şi variabilă îu
764
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
conţinut în SB, plus frontiera ei, BR. Relaţia U(x)~C defineşte un contur închis K2,
conţinut în regiunea închisă mărginită de ^.Regiunea sferică 8r este cea mai mare în
regiunea deschisă mărginită de if2. Cum F(x)<F(x,<)< U(x) pentru orice t^tQ, V(x,t) = C
va defini conturul închis KJt), conţinut în regiunea inelară mărginită între şi K2.
Acum, deoarece 7[x(t0),t0]<C pentru orice x{t0) în Sr şi-dVjdt^O, o traiectorie ce începe
în 8r nu poate tăia Ka(t) pentru t>t0. Aceasta mseamna ca x nu poate tăia K1 de
asemenea şi trebuie să rămînă în SK.
^
Acum să ne întoarcem la stabilitatea asimptotică. Pentru a lămuri stabilitatea
asimptotică, trebuie introdusă o ipoteză suplimentara.
Teorema 18. Origina este asimptotic stabilă dacă, într-o regiune deschisă D ce
conţine origina, există o funcţie Liapunov, astfel caV(x,t)^U(x) pentru orice t>t0, uncie
U(x) este o funcţie pozitiv definită, si astfel co, -d V jdt să fie pozitiv definită.
Condiţia suplimentară pentru stabilitatea asimptotică este că cil jeli trebuie să fie
pozitiv definită. Demonstraţia acestei teoreme începe acolo unde se termină
demonstraţia teoremei precedente. Se alege orice e care satisface condiţia 0<e</\
Trebuie arătat că exista un te astfel ca x sa fie continut în 8, pentru orice t>te. în
demonstraţiea teoremei anterioare, valoarea lui r depindea numai de li şi nu de t0. De
aceea putem admite existenta unui 8 dependent numai de e, astfel ca o traiectorie ce
trece printr-un punct al Ss la momentul t„ să rămînă m 8e pentru t > V Pentru a
completa demonstraţia, trebuie să arătăm că x care începe m 8 la momentul t0, trece
printr-un punct dm 8S. Fie w valoarea minima a lui TF(x) pentru x astfel ca
8<||x||<fl. Atunci, cum
> W(x)
pentiu
#>in, yrx(t),t]<w numai dacă x(t), — care rămme m 8B pentiu oiice t>tn, - este si în 8S.
Vom folosi acest fapt pentru a arata, prm contradicţie, că x(t) este conţinut în Ss pentru
unele t>t0. Deoarece -dT [dt
este pozitiv definită, o funcţie W (x) pozitiv definită există^ astfel ca
-dVjdt>W pentru orice t >t(). Fie w valoarea minimă a lui WJx) pentru x astfel ca
8/2<llx||<fi. Atunci, cu restricţia 8/2<||x||<tf, a^em
n
r* dV[x( t),t 1
Y[K(t),f]=V\x(t0)M | - \ - - - - - - - - - -
J,0
L
- - - - ăr.
dt
Cum dVjdt ^.—w, din această relaţie rezultă inegalitatea
rix(t),t]^v[x(t0),t0]-(t-t0)w,
i O regiune se zice că este închisă, dacă include toate punctele frontierei sale.
valabilă pentru S/2^ j |x| \ ^.E. Acum, să presupunem că x(t) nu se găseşte în pentru
orice t>t0; adică j jx(/) j\^.K pentru orice t>tn. Atunci, din (143),
V\x(t),t]<w pentru t>t0+ {V[x(t0),t0)]—tc}jw.
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Aceasta este o contradicţie, deoarece V\x(t),t]<iv numai dacă x(t) este în 8.
Demonstraţia este acum completă.
Rămîne chestiunea stabilităţii asimptotice „în -mare”, pe care o vom atinge cu
ajutorul unei teoreme. Condiţia suplimentară în această teoremă impune utilizarea
unui tip particular de funcţie pozitiv definită, pe care o vom defini acum. Exprimat
aproximativ, o funcţie este nemărginită radial dacă V ( x , t ) creşte fără limite,
independent de valoarea lui t > t - 0 , cînd x se depărtează de origină sau, în mod
alternativ cînd ||x|| creşte. In termeni mai precişi, V(x,t) este nemărginită radial
dacă, dat fiind orice M >0, există un m astfel ca V(x,t)>M pentru orice t->tQ, ori de cîte
ori | jxj | >m. Cu aceasta, se poate enunţa acum teorema.
Teorema 19. Origina este asimptotic stabilă „vn-mare"’, dacă există o funcţie
Liapunov definită ori/unde (ecuaţia de stare are o soluţie), astfel ca F(x,/)< U(x) pentru
orice 1>t0, unde U(x) este o funcţie pozitivă definită, astfel ca UT(x) să fie radial
nemărginită27 şi ca — dV/dt să fie pozitiv definită.
Demonstraţia nu diferă mult de cele date pentru cele două teoreme anterioare. De
aceea este lăsată ca un exerciţiu.
Exemple. Să ilustrăm unele din teoriile precedente prin exemple. Se consideră circuitul
arătat in fig. 10.17. HI este descris de ecuaţia de stare,
a
x1
dt
*2
-
- x1 - x2 ■
- xi
- - ix 2 — Lll 2' 2
Deşi nu vom proceda aşa, sc poate
arăta că soluţia acestei ecuaţii de
stare există şi este unică pentru
toţi vectorii de stare iniţială x(/0);
adică scalarul E care apare în
definiţiile di stabilitate este
infinit.
4 -L
+ tanhl
- - - - - -
L
h i
]
1V
Fig. 10.1/. Circuit neliniar.
27
Vezi nota de subsol Ia pag. 731.
1H
'
765
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
O decizie în privinţa stabilităţii impune să descoperim mai intii o fu n c ţie Liapunov. Nu
există vreun algoritm pentru aceasta. Ghidul este experienţa ; astfel, ea să cîştigăm ceva expe rienţă, să vedem dacă funcţia pozitiv definită
V(N) = — Xj2 - -
2
2
este o funcţie Liapunov. Pentru a determina ac easta trebuie să examinăm d\ ;dt, adica
i- V(x) = xx^i+
- X/ - lx22 - x2th x2.
dt dl dl
Ultimul membru se obţine substituind dx l jdt şi dx,uli din ecuaţia de slare. Este dai că -dvidt
este pozitiv definită.'Astfel, V este o funcţie Liapunov, care, de asemen ea, satisface şi restricţiile
suplimentare ale teoremei de stabilitate asimptotică .,in -mare\ S-ar părea ca s-a uitat să se
considere problema de alegere a lui U(x); totuşi, un moment de reilexie ne poate convinge că.
atunci cînd Veste invariant in t imp, condiţia suplimentara care cerc sa existe un U(\), cu
proprietăţile indicate, este banal satisfăcută dacă punem l'(\) = A (x). Acum este evident că
origina este asimptotic stabilă ,.în -mare”.
. „
.
,,
Nu este totdeauna posibil să se stabilească stabilitatea asimptotica „m -rnare . Acieseon
numai stabilitatea locală poate fi certificată. Ca exemplu, să considerăm circuitul din lig. 10.1b.
- L i - 6 ianh £
*/=?,
; 1F
Fig. 10.18. Circuit variabil
in limp, neliniar.
Ecuaţia de slare a acestui circuit este următoarea :
dI
dl
-(1 4- sin co l)x 1 —
x„
x 2 ,r,pentru
- 6th x.toţ
2 + x. 2
i a care se poale arăta că există o soluţie unică
i vectorii de stare iniţială \ om folosi
aceeaşi funcţie pozitiv -definită ca mai sus, pentru a încerca funcţia Liapunov, adica,
>Y
2
Spre a verifica dacă aceasta este o funcţie Liapunov, trebuie evaluai dYdL ceea ce dă
<1
.d
.i,d
dl
dl
dt
----- \ ( X) — X\ --------------- X J + X 2
X.)
6x2th x2 4 x22.
.
. ,
=
766
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Rîndul al doilea rezultă prin substituirea lui dx1ldt şi dx,dt din ecuaţia de stare. Se observă că —dVjdl este
pozitiv definită dacă 6x2thx2 — x22 este pozitivă pentru x2=^0. Aceasta este aproximativ echivalent cu |x21
<5,99999. Acum, în regiunea deschisă |x2 [<5,99999 (toate valorile Iui xx sînt permise), —dYjdt este mărginită
în jos, de funcţia pozitiv-definită
~ Xj2 + 6x2thx2 — x22,
A
.
A
care se poate considera a fi Wx). Aceasta este tocmai o funcţie U'(x); mai pot fi găsite şi alte funcţii pozitivdefinite, care să fie ll'(x).
Toate condiţiile teoremei despre stabilitatea asimptotică au fost satisfăcute; prin urmare origina este.
stabilă asimptotic locai. De fapt, se poate arăta că, deşi nu vom face asta, toate traiectoriile ce încep din
interiorul cercului cu raza 5,99999, în planul x1 — x.„ se apropie’ asim- totic de origină.“
Teorema instabilităţii
Teoremele de stabilitate dau numai condiţii suficiente pentru stabilitate, dar nu
condiţii necesare. De aceea, dacă condiţiile clin teoremă nu sînt satisfăcute, tot mai este
posibil pentru origină sau alt punct singular cercetat, să fie stabil într-unul din cele trei
sensuri considerate. O altă cale prin care chestiunea stabilităţii poate fi lămurită cert,
este găsirea condiţiilor suficiente pentru instabilitate. Astfel, dacă se poate arăta că
toate condiţiile de suficienţă a vre-unei teoreme de instabilitate sînt satisfăcute, atunci
origina nu poate fi stabilă. Următoarea teoremă de instabilitate, datorită lui Şetaev,
îmbrăţişează două teoreme de instabilitate, formulate iniţial de Liapunov : ’
Teorema 20. Fie D o regiune deschisă, conţinînă origina şi fie D o regiune
deschisă în D, astfel ca : 1) origina să fie -un punct de frontieră în D ; 2) pentru orice
t>t0, funcţia V(x,t) să fie pozitivă si, împreună cu primele ei derivate parţiale, să fie
continuă în I) ; 3) dV(x,t)idt>W(x) pentru t>t0,
unde W(x) este pozitivă şi_continuă în D ; 4) V(x,tj^U(x) pentru t>t0, muie V(x) este
continuă în î) şi 5) Z7(x)=0 la punctele de frontieră ale lui D în D. — Atunci origina este
instabilă.
Demonstraţia e scurtă şi se înţelege uşor cu ajutorul fig. 10.19.
Se alege R astfel ca I) să nu fie plasată complet în interiorul lui SR. Pentru orice număr
pozitiv, oricît de mic r^.B, este posibil să se găsească un punct situat atît în Sr, cît şi în .
Fie x(t0) un astfel de punct. Prin condiţiile 4) şi 5), există o regiune conţinută întreagă
în _v, astfel ca U{x) să fie mai mare decît F[x(t0),?0] >0 ; notăm aceasta prin Dr. Fie w
>0. cea mai mare
767
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
limită inferioară atribuită lui TT(j;) la punctele comune lui Dr şi 8R. Atunci
r [ x ( / ) , f ] = r [ x ( / 0) , f 0 ] + f - f F [ x ( t ) , t
}(i-
duce la inegalitatea
U(x)=Vte,t)=P
'a
c
Puncte cc,nane !a
Dr şi Sff
Fig. 10.19. Origină instabilă.
deoarece r(x,/)>TT[x(f0y0] şi ăY!dt>w in aceleaşi puncte. Prin condiţia 4), F(x,f) este
mărginită in sus. la acele puncte care sînt comune lui Dr şi SR. Prin modul cum s-a
construit Dr, traiectoria trebuie să atingă de fapt un punct de pe l!1:. frontiera lui SB.
Pentru a ilustra această teoremă de instabilitate, să considerăm circuitul arătat
în fig. 10.12.
Fig. 10.20. Circuit neliniar instabil.
360
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
El are ecuaţia de stare,
d '
y
dt X
.®2
'.
'3 X 1 + X 1 3 — X 2
a?!—th x 2 .
Este posibil să se arate, deşi nu vom face aceasta, că există o soluţie unică pentru
orice x(/0). Funcţie a
1
21
— av --------
F(x)
este pozitivă pentru |a?a|<
|®x|. Dacă trebuie să fie satisfăcute
condiţiile teoremei de instabilitate, atunci trebuie să arătăm că dV/dt >0. pentru
\x2\ < |£Pj| într-o vecinătate oarecare a originei. Pentru a începe, avem
d_
d
dt
dt
/y»
IA/ 1
__ /y»
«A/ O
dt
x.,.
Substituind dx 1 /dt şi dxjdt, se obţine d
Y(x) = Sx^ + xf —
= ‘lx^-\-x1iJr(x1 —
Rîndul al doilea sevident că
U(x) > 2%{i + x1i +
2x1x2 + x2thx2
x2)2jrx2(thx2—x.2).
dt
a obţinut din primul, adunînd şi scăzînd pe x22. Este
dt
(x1-x2)2 — x\
> X !2 4- *14 + ( *1 — W-l) + (
2
Ultima expresie este clar pozitivă pentru j.x'2|< \x^\ în orice vecinătate a originei.
Astfel origina este instabilă.
Construcţia funcţiei Liapunov
Să analizăm care este natura teoremelor de stabilitate. ÎTu vom da o regulă
precisă de urmat; adică, nu există o serie definită de paşi, la capătul cărora să se
poată obţine o concluzie neîndoielnică, dacă sau nu circuitul
—
®2‘2) •
este stabil. Mai de grabă teoremele ne indică modul de a ,,vîna” rezultatul. Ele cer să
căutăm o funcţie Liapunov, a cărei valoare să rămînă mărginită de o funcţie pozitivdefinită, invariantă în timp. Găsirea unei funcţii Li- punov este o acţiune creatoare,
inductivă, nu o acţiune deductivă.
Forma funcţională a funcţiei Liapunov nu este fixată rigid. Pe de o parte,
aceasta este un avantaj, deoarece procură o mai mare flexibilitate în găsirea
stabilităţii, prin încercarea mai multor funcţii Liapunov posibile. Pe de altă parte,
este un dezavantaj,deoarece nu există linii directoare pentru găsirea unei funcţii
Liapunov posibile, din nenumăratele funcţii pozitiv-definite ce le avem la îndemînă.
Yom discuta acum o funcţie Liapunov particulară, pentru circuite invai'iate în timp, şi
10.7. grup
STABILITATEA
LIAPUNOV
769
vom jstabili, în consecinţă, un
alternativ
de condiţii pentru stabilitate. în continuare, vom discuta o metodă de generare a funcţiilor Liapunov.
Să presupunem că circuitul considerat este descris de următoarea ecuaţie de
stare, invariantă în timp :
(144)
Să notăm în mod explicit că î(x) este o funcţie vectorială cu valori reale, de x. în
căutarea unei funcţii posibile Liapunov, să considerăm
(145)
7(x) = f (x)f(x).
Aceasta este, în primul rînd, o funcţie pozitiv-definită. Trebuie deci să
examinăm derivata dV/dt. Derivata în timp a lui f(x) este
— î(x) = F(x) -f- x = F(x) î(x);
dt dt
unde F(x) este matricea Jacobiană a lui f(x), adică
(146)
770
10.
CIRCUITE
LINIARE
VARIABILE IN
TIMP ŞI
CIRCUITE
NELINIA.RE
Apoi, diferenţiind pe (145) şi substituind apoi pe (146), se obţine
dt
\_d
_ î'(x)
V(x)
f(x) + f’(x)
dt
= f'(x)F'(x)+f(x)F(x)î(x) =
(148)
f'(x)[F'(x)+F(x)]f(x).
Matricea — [F'(x) + F(x)] este simetrică şi reală ; dacă este de asemenea şi pozitiv
semidefinită în vreo vecinătate a originei, atunci —dV[dt>0 şi teorema de stabilitate
este verificată. Alte relativ evidente condiţii, pot duce la stabilitatea asimptotică
locală sau globală. Aceste rezultate, obţinute de Krasovski, sînt enunţate precis în
următoarea teoremă :
Teorema 21. Fie f(x) diferenţiabilâ în raport cu x şi fie f(0)=0; atunci origina
este : 1) stabilă, dacă — \F'(x)+ ¥(*)] este pozitiv semidefinită în vreo vecinătate a
originei, 2) asimptotic stabilă, dacă — [F (x)+F(x)] este pozitiv definită în vreo
vecinătate a originei sau 3) asimptotic stabilă „în-mare”, dacă — [F'(x) +F(x)] este
pozitiv definită pentru orice x şi f'(x)î(x) este nelimitată radial.
d
Exemplu. Pentru a ilustra această
d
t
teoremă, să considerăm circuitul din fig.
fă
10.21. Ecuaţia de stare a acestui circuit
Convertor
de
i 1 1 \fanhL+hL negativare
lfl+ ■ /
este
" 1■
■ — Xj + X X 2 '
X
x2
=
_ *3 -
— 3x2 + x| — x 3
=V*S L
= IF 2 t f [
r,‘9,y
x % — 4£g — tliXţj
k=t
.
1
Fig. 10.21. Circuit neliniar asimptotic stabil.
şi a*e o soluţie unică
Jacobiană este
-1 1 0 1 6
pentru
F(x) =
orice
■
3 + 3*1
x(<0).
Matricea
-1
-4 — sch2*»
I
t
771
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
Adunînd pe F'(x) cu F(x) şi luind negativa matricei rezultante, se găseşte
- [F'(x) + F(x)] =
Cofactorii principali ascendenţi sînt
00
2
-2
-2
6-6*|
0
0
8 + 2sch2x3 .
2, 8 — 12a;2, şi (8 - 12 x|) (8 + 2sch2x3).
Este"clar că aceşti cofactori sînt pozitivi şi, deci, — [F'(x) + F(x)] este pozitiv definită pentru
toţi xv x| < şi pentru toţi x3 x. Astfel, origina este asimptotic stabilă. Stabilitatea
asimptotică nu este globală, deoarece x2, care face ca — [F'(x) + E(x)] să fie pozitiv definită, este mărginit de
sus şi de jos.
Această ultimă teoremă, deşi utilă, este oarecum restrictivă, deoarece funeţia
Liapunov este complet specificată odată ce a fost dată ecuaţia de stare. Pentru a
utiliza în întregime teoremele de stabilitate, trebuie să dispunem de o oarecare
libertate în alegere a diferitelor funcţii Liapunov posibile. Este evident totuşi, că e
preferabil să avem ceva mai mult decît
o metodă de tatonare succesivă. Sînt necesare unele linii directoare pentru generarea
funcţiilor Liapunov. Yom discuta acum o astfel de procedură.
în cele ce urmează, ecuaţia de stare poate fi considerată şi variabilă în timp ;
totuşi, funcţia Liapunov se cere să fie invariantă în timp. Derivata în timp â lui V în
lungul traiectoriei ecuaţiei de stare este
*-V(x) = L VF(x)]’/(V) dt
unde
(149)
dV
VF
dx1
VV,
dV
VF,
dx*
dL
V v„
dx„
1
blema
Vezi pan 7.2. pentru condiţiile de „pozitiv-definit” ale unei matrice. Apoi,
i 18, în Gap. 7, pentru criteriul particular de pozitiv-definit, folosit aici. ■
vezi Pro-
772
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
este gradientul lui V. Din (149) este clar că semnul lui dVjdt este determinat de
semnul gradientului lui V, deoarece f(x),t) este cunoscut. Deci, în loc de a căuta o
funcţie Liapunov F, a cărei derivată să aibe semnul dorit, putem căuta o funcţie
gradient y V, care face ca dV/dt să aibe semnul dorit în (149). Atunci, funcţia
Liapunov F propriu-zisă se poate determina prin integrala de linie a gradientului, de
la 0 la x :
F(x) = (* [VV(y)]'dy Jo
(150)
Dacă funcţia scalară F trebuie să fie unic determinată prin această integrală
de linie a gradientului ei, atunci matricea Jacobiană a lui VF, în raport cu x
dVV, dVFj
dx, dx2
dVFj
dx.,
âVF2
dVF2 dVF2 d x , d x 2 d x n
D(x)
avv. avF,
(151)
5VF„
dx„
trebuie să fie simetrică *. Presupunem că D(x) este simetrică şi deci F(x) este unică.
Aceasta înseamnă că integrala este independentă de drumul de integrare. Astfel,
putem folosi drumul cel mai convenabil. Un astfel de drum se poate întinde în lungul
axelor de coordonate sau paralel cu ele, ca în următoarea formă dezvoltată a lui (150)
:
Vx{) = ( \V{y)1dy,
‘2
W{y)2dy2
\
+■
VF(y)A
= xn-
(152)
773
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
După cum se vede, problema găsirii unei funcţii Liapunov prin alegerea unei
funcţii pozitiv definite F(x) şi apoi asigurarea că —dVjdt este non-negativ sau pozitiv
definită, a fost înlocuită prin alegerea unei funcţii yF(x), astfel ca —dVjdt să fie non
negativ sau pozitiv definită, determinată din (149), şi D(x) să fie simetrică, iar apoi
prin asigurarea că F(x) este pozitiv definită. De obicei, această ultimă metodă,
denumită metoda gradientului variabil, comportă mai puţină operaţie de ghicire decît
altele. Totuşi, această metodă de găsire a unei funcţii Liapunov nu este efectiv
decisivă; dacă F(x) găsită din funcţia de gradient aleasă, nu rezultă a fi pozitiv
definită — , nu se poate conchide că origina nu este stabilă în vreun sens. înseamnă
numai că nu s-a găsit încă o funcţie Liapunov convenabilă.
Se obişnuieşte să se înceapă prin alegerea unui gradient de V avînd forma 28
(153)
.a
»l*l + x«2 002 + • • • + V-mXn
Scalarii a,v pot fi funcţii de x, deşi pentru uşurinţa evaluării ulterioare a integralei de
linie (152) este de dorit ca ei să fie constanţi.
Metoda gradientului variabil poate fi rezumată printr-un simplu set de reguli :
1) se determină dV/dt după cum e specificat în (149), folosind yF(x) din (153); 2) se
aleg coeficienţii <xu, astfel ca —dVjdt să fie non- negativ sau pozitiv definită şi D(x) să
fie simetrică ; 3) se evaluează F(x), utilizînd integrala de linie din (152) şi 4) se
determină dacă da sau nu F(x) este pozitiv definită.
’
Exemplu. Pentru a ilustra metoda cu gradientul variabil, să considerăm circuitul din fig. 10.22.
28 Condiţia ca D(x) să fie simetrică este echivalentă cu condiţia ca rot V V(x) să fie zero. După o
teoremă cunoscută din analiza vectorială, cînd rotorul unui vector este zero» vectorul este gradientul
unei funcţii scalare. Pentru detalii a se vedea H. Lass, Vector and Tenser Analysis, McGraw-Hill Book Co.,
New York, 1950, p. 297.
Fig. 10.22. Circuit neliniar.
d} --------------- —[Convertor
de
negativare
+
774
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
775
776
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
Ecuaţia de stare este
d
'xi
' — 2x2 ‘
dt .*2
_ xx - x2 + X» _
Mai întîi calculăm pe dVjdt din (149) după cum urmează :
^ll^l ~' *^12 a2
.«2!*! + a22X2 L
‘2x2
Xl
,]
—
= a. n xf + [ —2ccn - k21 (1 — x|) + k22]i,i2 + [ —2“l2 - «22(1 - x|)]x|.
Să alegem pe an aşa ca să
se anuleze coeficientul lui x^, adică
V(x) =
d
t
a n = — fa22 - <x21(l - x%)\.
2
2
Apoi, dacă —dVjdt trebuie să fie pozitiv definită, trebuie să avem :
—
oc21> 0
2a12+oc22( 1 —
X22)> 0.
Fie a2j = — & şi a22 = a, unde a şi b sint constante pozitive Atunci
-bx x + ax2
a
b
2
2
Vl’(x)
-----1 ---
+ ^7 (1 - x|) + ~-2 x, - bx 2 x x + k22
D(x)
-b
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
Dacă D(x) trebuie să fie simetrică, atunci a]2 trebuie să satisfacă ecuaţia diferenţială parţială
777
778
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
După cum se poate verifica uşor, soluţia acestei ecuaţii este :
,b
ala = — *H ---- xxx2.
2
Deci, substituind această expresie pentru a12 în relaţia lui y^(x)>
a+b
se
obţine :
x± — bx2
VV(x) =
—
bxx -
f
ax2
înainte de a aplica integrala de linie gradientului yV(x), trebuie să verificăm dacă dVjdt este pozitiv definită
pentru coeficienţii aleşi a21 şi a22, precum şi pentru a12 rezultat din condiţia de simetrie a lui D(x). Pentru a
verifica dacă — V dt este sau nu pozitiv definită, trebuie să dovedim că cele două inegalităţi enunţate
anterior sînt sau nu satisfăcute. Mai întîi a21 = — b, deci — a21 este pozitiv. Apoi
2cc12 + a22 (1 - x|) = (a - 26) + (bxt - ax2)x2;
aşadar, pentru a>26, iar i\ şi x2 suficienl de mici, 2a12 + a22 (1 — x|) este pozitivă. Integrala de linie a lui y
V(x), conform cu (152) este
CXl a + b
V(x) = V ---------------- ;/! rfi/i + \
h
2
f*2
Jo
(- bxx + cty2) dyi
° ^ ^ bxtx2 1 — x|.
Această funcţie poate fi exprimată ca forma pătratică
xi
.*« -
t
care se poate verifica uşor că este pozitiv definită, cu condiţia ca a > 0, — o condiţie deja impusă, şi a2 +
ab
> 2Z>2. Această ultimă inegalitate este satisfăcută cînd este satifăcută condiţia anterioară, a>2&.
Astfel, pentru a>2b, s-a construit o funcţie Liapunov astfel că — dV/dt este pozitiv definită, într-o vecinătate
potrivit de mică faţă de origină. Aceasta înseamnă că origina este asimptotic stabilă.
In acest paragraf s-au introdus conceptele fundamentale de stabilitate în sens
Liapunov, relativ la un punct singular, s-au demonstrat unele teoreme de bază asupra
stabilităţii şi s-au dat două metode, prin care să se ghideze cercetarea pentru găsirea
unei funcţii Liapunov. Este puţin faţă de ceea ce se cunoaşte în acest domeniu.
Conceptul de stabilitate poate fi
V(x) = [Xj x2]
10.7. STABILITATEA LIAPUNOV
extins, într-un mod util, la stabilitatea în raport cu un grup de puncte. De asemenea,
se mai cunosc şi alte linii directoare (ghidaje) pentru alegerea unei funcţii Liapunov,
în anumite clase de probleme. Aceste chestiuni avansate sînt tratate, între altele, în
cărţile despre stabilitate citate în bibliografie.
PROBLEME
l’l. Să se stabilească ecuaţiile de stare pentru circuitele variabile în timp arătate înfig. 10.PI, folosind
vectorul de stare din (5). Se va repeta cu vectorul de stare din (10). Parametrii elementelor sînt dati în F, fl sau H.
i-f
1~
f
-lt
^(0
i+jjjsin2tot ^
P2.
Se
presupune
că
avem
demonstreze că
pentru orice f^f„.
Fig. 10.P.1.
pentru orice t, i^t0. Să se
779
780
PROBLEME
I’3. Folosind condiţia din P2, să se determine care din următoarele matrice tf(t) se comută cu
integrala ei \
& ( - 7) rfr
K
penlni orice t^l0 :
1 + t —o.
(a) .&(/) =
2
-(2 + <)
3/2
2/ )
r-a +
3
Al
-3
-(2+/)
^(1 + 2/]
L 4/
(<■) matrice
s/ (I) din P3, care se comută cu integrala lor\ ^(T) d-, pentru orice « '° să se
IM. Penlru acele
exprime exp î
soluţia lui (21), ca o matrice.
P5. Care din=următoarele ecuaţii de slare, cu t0 = 0, au o soluţie în sens larg? Dintre acestea din
urmă, care au o soluţie in sens obişnuit? Dintre acelea care au o soluţie numai in sens larg, să se arate
dacă ecuaţia omogenă asociată are sau nu o soluţie în sens obişnuit.
-2th t 2—4 -2 (a)
dt
u(0
4
2
2-6
1 -ll
u(0 - u(l~1)-
2 lz-‘
—
-1
" V
(b)
Ml
+
dt
o
(I-O1/3
.*2
.
llu(t)-2iu(l-\)}
L i-
rXi
(c)
J
dt
i
: -1
+ 20 -1
1
-2 + / e-* L
>2
sin t cos t -(t-l)u(l-
0
-1
l)
t;
1
o
1—
2f2
*i 1
d
-1
-2
-3
-1 + s-(
i+r-
x2
i
Lx3
J
X,
10.7.21STABILITATEA
LIAPUNOV
-1 + e-
-2
781
_X
;
+
(*)
rff
r xi ] r -2 -4 ■
1
_x2 J L 4 — 8 + fe-‘.
-1
-xx
+
- *2
-1
(/-l)2
- -1 1.
sin t
I*. 6. Să se determine Y(/) şi apoi Q(() şi P în Y(/) —Q(0eP<.
cînd
' —2 + sinf +1
(a) d(t) =
_ —1
— 4 +sin t
cos t
+2
[2 + sin<]1/a
(b) *{t)
cos t
-2
(2 +sin O1,2
- 8 + sin t(ecos l) + 1
-1 ' -2 —sin t
(Indicaţie : în toate cazurile «?(/) se comută cu ^
$i{x)d(Eeos()
valabilă).
;
deaceea (28)
este
P. 7. După Teorema 5, cu t„ = 0, la care din următoarele ecuaţii de stare toate soluţiile sînt mărginite
cînd t—>oo?
te-1
d
X2
-1
1
0
_x3.
-Xjx2
-1
-1-
o-
1
1
_-l
2
^
' e~sl cos 11
31
1
-2-s
-3 + /2e-2‘
4*
1
1
dt
sin t
J
u(0 J
■r
(»)
x2
dt
=
-2 - E-‘
-1
-2
-x3_
782
64
_i
£-2<
o
I-l
<d)
-1
/2
*3-
x2
1 -1
/Va
0
0-2
0
0
E"1
s-(
-1 +
* UJ
2 [«(o-W-i)j
.-1.
xi
2l
-1
*4
-3
.
1 +
*3
dt
2 + 2 <£-•
--1~
T
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
cos l
(c)
ZjX2
1
-1
+■
0
x3
0
xi
1
[Ze
-
-3
«Va
"1 0"
-£-(2
.2 -1.
Xl-Qe-n
‘
+
x
1.
_
P. 8. Dacă toate valorile proprii ale lui au partea reală*negativă, să sej aleagă a şi 8 astfel incit
■
Ile^Ml < 8s-«'.
(Indicaţie : Se porneşte cu
proprii a lui &).
exprimată în termeni de
matrice
constituante şi
valori
P. 9. După Teorema 6, cu /a — 0, pentru care din următoarele ecuaţii de stare, toate soluţiile sînt
mărginite clnd l—>co?
— 5 + /s
<«)
dl*: dt
-3
2o
i-H4
(b)
2 -1
-
o
1+
Z2
-a'a
-
+
'0
.2
[sin 2/J
1 0n -0
1 -1 -1
PROBLEME
781
— 2 + sin2 t +
(c)
[x J
dt
- 1 + z~l -2 +
sin2<
d
<<D
1r- 2 + sin l cos t -1 + E* sin t
r
dt
L
*2
J
Lt
I [X sin t
] f *i 1
-2 + sin / cos
/J L
x2
J
• Xj
■
x2
•1-2 E-(
' Tt '
d
(e)
dt
—
'
—
x2
-
X3
{A
- x3
-
- -t*
■
r1
+ cos 3 t — 3 cos ( + tz-(
dT *i 1
(0 dt L *, J
2E-2(I
3 cos t — te-1 --------------------- h cos 3 t
1 +/4
P. 15. Sâ se verifice că circuitul din fig. 10.8 are ecuaţia de stare dată în pag 719. P. 16. Se
consideră următoarele ecuaţii de stare :
i f ' i _ r ,t+oir*‘i+r1 nr
(a) dl L J L — ( i + o < 2 s - ( J L * 8 j L - l ° J L -
<*)
e-t
_ 2 e-2t 1
u(Q + u(t - 1)J
— r X i ] = r cost tsint i r H 1 1 [2][<2e-f].
dt L *2 J L — 1 sin ( cos t J L *2 J L 3 J
Se va lua f„ = 0. După Teorema 11, pentru care, din ecuaţiile de stare, toate soluţiile se apropie de zero cînd
l —► oo ?
P. 17. Fie Y{t) Y(t)-1 matricea stării de tranziţie asociată cu (71). Să se demonstreze teorema ce se
obţine, cînd se înlocuieşte condiţia (72a) din Teorema 11, prin
|| Y(l) Y(t)-1 11 < 8 < oo cu t0 < t < I , pentru ( > f0 .
Se aplică această nouă teoremă la exemplul ce urmează, Teoremei 11
? Dacă da, să se
găsească
valoarea lui 8. Această nouă teoremă este mai puţin restrictivă decît
Teorema 11, dar
poate fi .
mai greu de aplicat. Să se explice de ce?
P. 18. Să se arate că ecuaţiile de stare din exemplele din par.
10.7 sîntacelea pentru
circuitele din fig. 10.17, 10.18, 10.20, 10.21 şi 10.22.
P. 19. Să se stabilească ecuaţiile de stare pentru fiecare din circuitele din fig. 10. P. 19.
P. 20. Să se stabilească ecuaţiile de stare pentru amplificatorul reprezentat în fig. 101. P. 20a. Se va
utiliza modelul de tranzistor arătat în fig. 10. P. 206.
[i(l - s-‘) t
— 3 + cos t 3
-
3 + {jte-* - 3 + cosf
10. CIRCUITE
ig = ve + ±yeJ
i^2\+ vj +‘l£Jls=2vs+vs* r=i..F=S=.J
)[V =
+1 ------
)|^=
= Fi,2K
z1Fl„[i)
(^
Ieşiri :ii/.,iş,ig
' a
A.Ş — lş ’h
-nrrv _
2n.
-CD-
2fh
-CZh
Hi i*
leşiri: v2,ig
1si
IF
Hh
V
HF
”
*■
mhvs /mt] ' wosiY] mn\
Ieşiri: vki
+0
ve C
Fig. 10.P.:19.
)jjj&i zz1F
PROBLEME
783
P. 21. Să se stabilească ecuaţiile de stare ale amplificatorului din fig. 10. P. 21, cu modelul de
tranzistor din fig. 10. P. 20/».
#
Fig 10.P.21
P. 32. Idem, pentru amplificatorul din fig. 10. P. 22, cu acelaşi model de tranzistor.
t
►
*
Fig. 10.P.22.
P. 23. Idem, pentru>mplificatorul din fig. 10. P. 23, cu acelaşiîmodel de tranzistor.
Fig. 10.P.23
P. 24. a) Să se arate că iLt din (81a) trebuie să fie identic zero sau ijj şi flti din (85) trebuie’să fie
Juneţii diferenţiabile, pentru ca să se exprime v£, şi vi( ca funcţii de x, e şi ae/ar.
b) Să se arate că fa din (75b) trebuie să fie identic zero sau că f„ şi got dm (79) trebuie să fie
funcţifdiferenţiabile, pentru ca să se exprime tct şi k’l ca funcţii de x, e şi de,at.
784
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
P. -o. Se considera circuitele (reţelele) care pot fi reprezentate ca interconexiunea unui subcircuit
(subreţea) de capacitaţi, a unuia de inductanţe şi a unuia de rezistente si de surse independente, ca in fig.
10. P. 25a. Să se formuleze ecuaţia de stare în funcţie de parametrii dela porţile fiecărui subc.rcuit
(uniport sau diport), cînd vectorul de stare'este înlănţuirea I sardni ?e> de la liniar independente, pentru
subcircuitul cu
pacitaţi şi a unui set de variabile de flux XL, de la porţi, liniar independente, pentru subcirSe
aphCe
rezultatul Pentru stabilirea ecuaţiei de stare la circuitul din
t
Iig. IU. P. ADO.
Subreteo de’
capacităti
+
Subreteo
*
VS
rezistente si
surse
in-
+
Subretea
de
inductanfe
dependente
Fig. 10.P.25.
P. 26. Folosind Teorema 13, să se determine care dintre următoarele ecuaţii de stare are
o soluţie pentru orice f!>2.
'
(a)
CI
dt
—
f f j
—
+
j T j
ts-t X 2
_ 2x^-f~(x2
X ) - - - - - - Xj)th
- - - - - -2(Xg
- 2-
— Xj)-j- x<j
l + x2
(x2 - xj)th2(x2 - xj-
(»)
i+xi
dt
-x, —3x„
PROBLEME
-------------- : xi + (x2 — xi)3 r x3— 2 sin I
1+J4 ii
•<1
(C
)' dt
785
Xş
-
■-
(x2 — Xj)3 — 2(x3 — x2)3 + 2 cos t
L—
Xo Xq
2(x3 — x2)3 — 8 -------------------------------- i J
1 “h
X3
dpi <rt)-L,
(2 — E—*)x1th3x1+ --------------------
—
■
1
.
to
d r
x \ dt
-f-
^
X
—x 1 -j-2thx 2 \ (1 — z-t)
— T-T-s—y-^-,,-f
1 ' xl
thXj
— (1 — te~l)x1 — x2
Sa
,.demonstreze urmatoarea teoremă
: Se
presupune că toate condiţiile de
exis
tenţa dm Teorema 12 sint satisfăcute; atunci orice soluţie a lui (98) in sens larg, egală cu \<L) la timpul t0,
poate fi extinsă să dea o soluţie determinată pentru orice t>t0, dacă x' f(x,f)^0, penlru
^
(Indicaţie : Se începe prin a scrie ecuaţia diferenţială care este satisfăcută de scalarul x'x)
28. Folosind teorema demonstrată în Problema 27, să se determine care din următoarele
ecuaţii cie stare are o soluţie determinată pentru orice t^l :
d
(a
)
a-i'
~
dt -
x
— Xj
+ X2
d
3
’ (b)7t
2-
- ~ ’rl— X9 .
~
X
(d)
dt
Xg
— 6Xj —11 x2
'
6
4 .
—
12x2-|-x3 2x,— 11 x„
—
— 3( — E ^X^ — Xf — Xz
—
(*)
3~
x2
—
-5.Cj —1250x® — 10(x2 + 2.r3)3
d
(c) —
dl
"
\X2
.r,-x„
‘*1 1 X'l ,r:i
dl
—
Xj— 3.r.2 x,
—2(2 +sin t) x|
Teorema 13 ar fi putut stabili şi ea existenţa acestor soluţii?
conditTn v'^Vn <^n se. deni)0nstf.ze teorema stabilită în Problema 27 rămîne valabilă cînd metrică ( ’°^° eSte
lnloculta Pr>" x'l*f(x,0<0, unde J* este o matrice pozitiv-defînită, si-
iO - c. 854
786
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE ÎN TIMP ŞI CIRCUITE NE,LINIARE
b) Dacă este posibil, să se aplice rezultatul din a) la următoarele ecuaţii de stare :
-*i-
d
" xt
-
X-i
x2
dt
xi
x4-
- -X1-4X2—6X3-4X43
L
d
dt
■x{
■ '
Xg
2xj — 4x2 — 2x3
-*3-
. — 3XJ — 3X2—6x 3 —
•
x35.
P. 30. Să se demonstreze că f(x,<) satisface condiţia Lipsehitz, dacă derivatele parţiale dL(x,t)ldxt
există, sînt continue în x pentru aproape toţi />/„ şi sînt mărginite în modul, în vreo vecinătate a oricărui
punct, de funcţii de
local integrabile, ne-negative. Să se arate,
prin contra-exemplu, că aceste condiţii nu sînt necesare şi deci sînt numai suficiente.
P. 31. Să se verifice că fiecare din funcţiile f(x,Z) din Problemele 28 şi 29 satisfac 0 condiţie Lipsehitz
în vecinătatea ||x-x|| <1 a punctului arbitrar
x, prin găsirea
unei y(0 care să
satisfacă setul de condiţii din Teorema 14.
P. 32. Pentru fiecare din următoarele ecuaţii de stare,
Teoremei 15 şi (sau) 17 sînt satisfăcute. Se va pune Z0 = 1.
d
(«)'
dt
' —X j+X 2 + / £— 29 '
_x2.
. —-
‘)Zi (b)
dt
29 +
x^
să se verificecare dincondiţiile
(«)
(«0
r -5*1-1250x13-10(x2 + 2*3)3
d
dt
dt
— XJ +
(*)
Xll _
dt
xA
PROBLEME
787
PROBLEME
788
în fiecare caz se va specifica limita superioară pe ||x(J0)||.
P. 33. Să se demonstreze Teoremele 15 şi 16, după ce s-au înlocuit A prin A(0> unde
matrice periodică.
■
.
A(l) este o
*
A
P. 3i. Să se demonstreze Teorema 16, după ce s-a înlocuit (103c) prin condiţia || f (x,t) || ^ < [i||x||,
pentru ||x|K£ şi fi suficient de mic.
. P. 35. Să se demonstreze următoarea teoremă : Presupunem că toaie sobtţiile ecuaţiei de referinţă
d;
y = A(/) y- di
—
sini mărginite cind l tinde către infinit. Apoi se presupune că f(x,/) = A(/)+f(x,/) +y(/). Atunci toate soluţiile
;
din
'
-:l
■
■. -Xr ,
:
**.o.
■
,
;
cu un vector iniţial x(/0) astfel că -II x(<0) || ^8, care esle o constantă depinzind de i(x,t)i ^ sini mărginite
cind t—>oo, dacă
.........
II Y(/)Y(~r)—? || < a cu /, < t < /, pentru toţi t > Z0,•
.
:
unde Y(/) Y(r)—1 esle matricea stării- de tranziţie asociată cu ecuaţia de referinţă , şi dacă"'
ll»'(x,0! | < P(<) II x || j eulru )| x || <
Z
r
\ t $(l)dt < oo
J(0
,
( llfl(Ollf»<YS,
unde y este o constantă pozitivă aleasă convenabil.
P. 36. Se consideră sistemul de ordinul doi
'
dx
--- = I(x)
dt
Fie xs un punct singular, Presupunem că fj(xs) = A^fc 0. Dacă valorile proprii ale lui A nu sînt imaginare, se
ştie30 că comportarea soluţiei in vecinătatea lui x5 este aceeaşi ca a expresiei y + xs, unde y satisface
ecuaţiea primei aproximaţii la xs; adică
rfy
i
=
Vy
dt
30 să se determine X, 2) să se determine P, 3) să se traseze un set tipic de traiectorii în planul z x —z2, şi 4)
folosind rezultatul din 3) şi transformarea y= Pz, să se traseze un set tipic de traiectorii în planul yy — y^-
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
789
le y = Pz, unde P este o matrice 2x2 nesingulară. Atunci z este soluţia ecuaţiei
pentru elementele din P, în funcţie de elementele lui A şi de valorile proprii
Săjyezolve
dz
— = p-i^pz = Bz.
dt
astfel că
a) Cînd A are valori proprii reale şi distincte, şi uneori valori proprii reale şi egale, — există un P
b) Să se rezolve pentru z şi să se traseze (schiţeze) un set tipic de traiectorii în planul Zj-Z,,
cînd 1) ambele valori proprii sint pozitive,
2) ambele valori sînt negative şi 3) valorile
proprii au semne opuse.
c
traiectoriile corespunzătoare la z,(L) = 0
v ) în cazul 3) de mai sus,
sau zJL)=0 se termină la origină şi se
numesc separatrice. Deoarece termenul
indică
oseparare,
despre
ce separare este vorba, la aceste traiectorii particulare?
P. 37. Cu referire la Problema 36 şi pentru fiecare din matricele A următoare se cere * 1) să se
determine valorile proprii Xj şi ; 2) să se determine transformarea P; 3) să se traseze schiţeze) un set tipic
de traiectorii in planul zx-zt şi 4) folosind rezultatele de la
3) si
transformarea y=Pz, să se traseze un set tipic de traiectorii în planul yy — y2.
'
P. 38. Cu referire la Problema 36 :
a) Cînd A are valori proprii reale şi egale (X1 = XÎ=X) şi nu este o matrice diagonală, atunci
există un P astfel că
B=
rx î
0
X
Să se rezolve elementele lui P în funcţie de elementele lui A şi de valoarea proprie X.
b)
Să se rezolve pentru z şi să se traseze un set tipic de traiectorii în planul Zy—z2, cînd
1) X este poiitiv şi 2) X este negativ.
c) Per, tiu
790
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
PROBLEME
P. 39. Cu referire la Problema 36 :
■* / ■ > ■ >
a) Cînd A are valori proprii complex conjugate (>a= X a =o+J<o), exista un r
astfel că
-[
791
un P
„vistă
L — co cj
Să se jezolve pentru elementele lui P, în funcţie de elementele lui A şi de părţile reale şi imaginare, ît şi <o,
ale valorilor proprii.
b)
2.
2
Cooi-donatele polare în planul zx — sînt r şi O, unde r - zi + ‘2 ■* tg 0 = z2/zv Să se verifice
că
dr
dQ
----- = ar, -------------- = co.
dt
dt
c)
Să se rezolve r şi O şi să se traseze un set tipic de traiectorii în planul r j — c i n d 1) c
este pozitiv şi 2) cînd cr este negativ.
d) Pentru
L 13 —7 J
U să se determine a si «, 2) să se determine P, 3) să se traseze un set tipic de traiectorii în planul
folosind rezultatul din 3) şi transformarea y = Pz, sa se traseze un set
Zl
-ra şi 4)
tipic de traiectorii în planul yt—y2.
_
P. 40. Cu referire la Problema 36 : Punctul singular xs este numit 1) nod, daca A are valon proprii
reale, distincte, de acelaşi semn, 2) log-nod, dacă A are valon proprii reale şi , dacă \ are valori proprii de
semne opuse şi 4) focar, dacă A are valon proprii complex conjugate, cu partea reală ne-nulă. Punctul
singular se zice că este stabil, dacă ambele valon proprii smt reale şi negative sau au partea reală negativă
; altfel, punctul singular se zice ca este Fie 8^= det A şi 82 = trA Să se împartă planul St-S, în regiuni
corespunzind la diferitele clasificat» pentru un punct singular cum este un nod stabil.
P 41 Cu referire la Problema 36: Planul ij-x2 este cunoscut ca planul fazelor, iar un set tiDlcde
tr^ectorii din planul fazelor se numeşte portretul fazelor. Pentru fiecare din următoarele ecuaţii de stare,
să se găsească punctele singulare şi, folosind rezultatele Problemelor 36-SS.X iraseze un’portret al fazelor,
în vecinătatea fiecărui punct singular, şi sa se clas.fice
punctul singular :
792
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
ţ U P°rlre» a'fazelor valabile în tot planul fazelor, folosind portretele locale de faze completate mai sus.
mniMo
Este bine sa se ştie că xt, pentru i = l şi 2, creşte în lungul unei traiectorii
r L - H e g l U I î e ,nfp arlU fazelor unde A(x)> 0 şi descreşte în lungul unei traiectorii, în acea
Mai mUU’ traieCt°ria eSte verticală [orizontala] acolo
S
d
x3
(a) -------x = -----------------dt
1 +
x2
1
,
x(0) = 2
i(0) =0
r xt
(«0
L
x
o 2
"
xj.(0)
*2(0)_
'*i(0)'
-
2
2 0
(d)
d
~xi'
'-1 1'
"V
dt
. x2 -
.o-l.
-
X2
"1"
+
.-1
0
*2(0).
-
'Xi(0)‘
dt
{f)
i_,
_
-
d
(«)
o;
-2x2 + xx — Xj3
d
-xx
^
x2
%2
=
,-x 1 ! > -3x 2 -3x 3 + (l-e~‘) _
-*3-
r 1
-î
,x2(0).
xi(0)"
x2(0)
. ^(O) -
-î
■'0‘
=
!•
.0^
Apoi, să se obţină soluţii folosind metoda Euler modificată. Se admite că o precizie de trei cifre zecimale
este suficienta. Pentru ecuaţii de stare din (c) şi (d) să se compare cele două soluţii numerice cu soluţiile
exacte, evaluate la ih.
T: i3\ Sf !e yepete Problema 42, folosind metoda Adams cu j = 3 si metoda Adams' modificata cu j = 3, in loc
de, respectiv, metoda Euler şi Euler modificată. Se vor obţine valorile de pornire cu ajutorul senei Taylor,
trunchiată.
a următoarei ecuaţii de stare, folosind
metoda Adams cuT-f 2
metoda Adams, cu j -1 2 3, 4, 5. Se va alege h= 0,1 şi se va calcula x(ift) pentru
i - l , A . . . , 15. Valorile de pornire se vor obţine prin folosirea seriei Taylor, trunchiată Se vor compara
soluţiile numerice cu soluţia
exactă evaluată la ih.
x = - x(l + x2), x(0) = - 5.
dt
numerieă a fiecărei dintre ecuaţiile de stare din Problema 42, aplicînd
°^î,nă °„s0lu^e
metoda Milne. Se va alege h = 0,1 şi se va calcula x(i7i) pentru i = l 2
10
Se admite o precizie de trei cifre zecimale.
*
Se vor obţine valorile de pornire prin metoda Runge-Kutta.
Să
'
PROBLEME
793
r 46. Să se obţină o soluţie numerică a următoarei ecuaţii de stare, folosind metoda
Euler modificată. Se va alege h = 0,1 şi se va calcula \(ih) pentru
i = 1,2 ...................................................................................................
Se admite o precizie de trei cifre zecimale.
a- (1 -f .r2), a: (0)
dt
5.
Apoi se va obţine soluţia folosind corectorul în metoda Euler modificată şi (122), cu j = 1 şi / = 1 drept
predictor. Se vor obţine valorile de pornire folosind soluţia numerică precedentă. Să se compare numărul
de cîte ori s-a aplicat corectorul la fiecare pas, în fiecare din cele două metode.
P 47. Să se formeze trei perechi de predictor-corector din (122) şi (126) şi să se aplice la obţinerea
soluţiei numerice a următoarelor ecuaţii de stare.
Se alege /i=0,l şi se va calcula x(iti) pentru i = 1,2,.. .,10. Se admite o precizie de trei cifre zecimale. Valorile
de pornire se vor obţine folosind seria Taylor, trunchiată
(a) -------- x = — x (1 — .r2), x (0)
dt
(b
)
d
‘V
dt
.
'-2t
x-
.
1
-1'
-2/.
1.
■*r
■ 0"
't’
-
. — 1.
1+p
P 48. Fie m un sel de m întregi ne-negativi şi .r un set de n întregi ne-negativi. Fie x (0 = C, + C, (t-U) + Cj (<-
<<)* - ! - . . . + Cm+n (<-/<)"+n-1;
atunci
x (0 = C2 + 2Câ (t-U) + ...+ (m -!- n - 1) Cm+B (<-/<)”•+»-*.
Mărimile C; vor fi rezolvate in funcţie de x(/j_j), pentru fiecare j din .u şi x(/j_k) pentru fiecare k din „v.
Dacă se substituie rezultatele, in expresia lui x(t) şi se pune t egal cu /; i^, se obţine un predictor de
următoarea formă generală :
X Ui rl) - 2 X (/»—j) +
j’in M
2
fcinj'
bk
X
Fie iţ = ti 4- h pentru orice valoare a lui /. Apoi, să se determine a$ şi bk, cînd avem :
(a) M
(b) M
(c) Jl
= {0, 1} ;
=
[0,
1,2);
=
{0,
1} ;
(d) M
= {0, 1, 2) ;
(e) M
= {0,
= {0, 1)
= {0,1)
= { 0, 1,
2} j- =
{0, 1, 2}
2} ;
(/) Jl = {0,1}; (g) M = {0, 2} ;
(AM - {1,2};
J>'
1)
= { 0,
■r = {o, 2}
■*' = {1}
^ = { o , 1,
2)
(/<_*.).
10. CIRCUITE
LINIARE48,
VARIABILE
IN TIMP
ŞI CIRCUITE
NELINIARE
P794
49. Utilizind fiecare dintre predictorii
din Problema
să se obţină
o soluţie
numerioă
a
următoarelor ecuaţii de stare. Se va alege /i = 0,2 şi se va calcula x(i7!)'pentru i-l 2
tiuinchiâtă.0 PreC‘Zle ^
dffe
Se
°
°bţine
V r
Valorile
de
10
Pornirefolosind scria’Vayîir
(a) — x = - x ( l - x 2), x (0) ~ — 5 dt
(*)
a - i : : : XM .: M a - i :
dt
z\
*
P 50. Fie un set de m întregi ne-negatici şi - j f un set de n întregi, unul dintre ei fiind egal cu -1 şi
restul fiind ne-negativi. Fie
x (/) — Cj -)- C2 ( t — /4) - f - . . . 4- a ( t — t A m + n - 1
m + n
apoi
i (0 = C.2 + 2Cj (I - lt) + . . . + ( m
1)
(t — l;)M +n-2
Mărimile C, vor fi rezolvate în funcţie de x(/ w) pentru
£(/,■_*) pentru fiecare
k din .r. Dacă se substituie rezultatele în expresia lui x ( t ) şi se pune / egal cu /,
urmatoarea formă generală
fiecare j din 1, şi
M
, se obţine un corector de
'
Fie fj+1 = /j4-A pentru fiecare valoare a lui i. Apoi, să se determine ăj şi bk, cînd avem :
(a) JI = {0, 1};
>■ = {-1,0}
(b) Ji = {0, 1} ;
(c)
-"={-1,1}
* = {-1,0}
„# = {0,1,2};
(d) M = {0, 1, 2} ;
(e) M = {0, 1, 2} ;
(f)
M = {0, 2}
(g) M = {0, 2} ;
* = {-1,1}
A
Jr = {-1, 0, 1}
.v = {-1, 0, 1}
■*■= {-1,1} {-
(h)
= {1} ;trei perechi de predictor-corector din rezultatele Problemelor 48 şi
P 51. Să
seM
formeze
1,1}
50. în fiecare caz se va alege m-j-n=m-f-n, astfel ca predictorul si corectorul să aibe aceeaşi precizie.
’ '
Folosind fiecare din aceste perechi de predictor-corector, să se obţină soluţiile numerice cerute în Problema
49.
'
PROBLEME
795
P 52. Corectorii obţinuţi din (126), pentru j şi / specifici, combinaţi cu ecuaţia de stare (104), dau ecuaţii
implicite de forma
*('« +1) = U [*(';+i)]- S-a propus în paragraful
10.6, ca soluţia unui corector să fie realizată prin interaţia
*(Wn) = B^W-1»),
unde x (Zj^!)!") înseamnă iteraţia n — a; iteraţia zero, x (/j+1)<#> este soluţia unui predictor.
O variantă a acestei metode, pentru rezolvarea corectorului, se bazează pe cunoscuta iteraţie NewtonRaphson ; în acest caz expresiile iterate sînt date de
1
X (/4+1)(»> = X (/, :
- {i: - (|X[X (/<+i)t“-l)J}-l [X { U ,.!)(»-!) - a (X (/1+1)f"-i>)]
unde g, (x (/j+1)(î!_1) este matricea Jacobiană a lui 9 (x), evaluată ca iteraţie a (n — 1), pentru Această ultimă
metodă pentru rezolvarea corectorului necesită în general mai puţine iteraţii pentru obţinerea unui anumit
nivel de precizie ; totuşi, ea necesită evaluarea derivatei Jacobiane a* (x).
a) Seconsideră corectorii obţinuţi
din (126), cu :
1) j
= 0 şi t = 1,
2) j = 1
şi / ■==
1
3) j
= 2 şi / = 1,
4) j = 2
şi 7 =
2
Fie x(/j+1)'0) = x(/j)(1) şi să
se determine x(Zj+1)<1> în
funcţie
de x(Z4)W, folosind iteraţia NewtonRaphson. Dacă iteraţia Newton-Raphson se termină în acest punct şi x(fi+1)ll> este privit ca soluţia
(aproximativă) corectorului, atunci ecuaţiile rezultate sînt expresii explicite pentru x(/i+1)!l> în funcţie de
x(/i)<1); ele sînt predictorii deduşi prin trunchierea iteraţiilor folosite la rezolvarea corectorilor. ’
b) Se va repeta a), folosind o proiecţie liniară a celor două puncte precedente de
soluţie, pentru a obţine x(Zj+1)(0> ; adică
'A
x (/i + 1)(°) = x (t{)W + h * W(1> ~
x
h
=
2x (;
)(1)
_ x (/
^i)
Notă : S-ar fi putut folosi polinoame de un ordin mai înalt, potrivite punctelor soluţiei precedente,
pentru a da o proiecţie mai bună în vederea obţinerii lui x (/j+1)(°)].
c) Să se repete a), folosind soluţia predictorului Euler pentru x (Z+j)(0): adică
x(/i+1)(»> = X (/*)<!> +
hi(ti)W.
Notă : Se pot folosi şi alţi predictori pentru găsirea lui x(Zi+1)<0).]
1( Această aplicaţie a unei ecuaţii diferenţiale la soluţia numerică a fost propusă de L. \V. Sandberg,
“Numerical lntegrati<m of Systems of Stiff Nonlinear Differential Equations,” Bell Syst. Techn. Journ., Voi. 47,
nr. 4, apr. 1968, p. 511 — 528.
796
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
d) Să se obţină o soluţie numerică a fiecărei din următoarele ecuaţii, folosind pre- dictorii
formaţi în a ) — c). Se alege A = 0,2 şi se calculează x(i7i) pentru i = l,2,.. .10.
1)
dx
dl
d
2)
^)
3
dl
- x (1 + X 2 ), x (0)
H-r ’i
x
LxJ L o -io.
d— r= x ii
di UJ !
i(0)
x 2 (0)
■—21 -1‘ -Xi
1 —2Z Xi(0%2
) ■
x (0)
2
xi(0)
»
_x2(0)
'1
H
-t:
-1
2x 2 +Xj-X, 3
Să se obţină valori de pornire folosind seria Taylor trunchiată. Pentru 1) —3), să se compare cei trei.
predictori diferiţi, prin considerarea preciziei soluţiilor numerice faţă de soluţiile exacte.
P 53. Pentru multe tipuri de circuite, vectorul de stare variază rapid în anumite intervale de timp şi
încet în altele. în primul caz, intervalul de timp dintre punctele soluţiei trebuie să fie mai mic decît cel
permis în al doilea caz, dacă precizia trebuie să aproximativ aceeaşi în ambele cazuri. De aceea, este de
dorit, în interesul eficienţei de calcul, să posedăm un criteriu cu care să reglăm mărimea intervalului de
integrare, pe măsură ce evaluarea numerică a soluţiei înaintează. O formulă de integrare folosită în
legătură cu un astfel de criteriu, ar trebui să posede proprietatea că, pentru o precizie aritmetică infinită,
diferenţa dintre soluţia numerică şi soluţia reală (la momentele pentru care se evaluează soluţia
numerică), se anulează cînd timpul creşte mult, indiferent de intervalul de integrare. Un studiu al
formulelor de integrare, relativ la această proprietate, nu face parte din obiectul acestei cărţi. De aceea se
va considera formula de integrare particulară, stabilită în partea a) a Problemei 52, care posedă această
proprietate pentru ecuaţii de stare liniare, invariante în timp, stabile, şi toate valorile intervalului de
integrare. Eroarea la corector este — (l/2)/i2j+1 x(0), pentru un 0 astfel că Zj<0<Zj+1 = U + hi+1. Acum, dacă
eroarea este prea mare, /?j+1 trebuie să fie făcută mai mică şi calculul lui x(/j+1) trebuie refăcut; dacă
eroarea este suficient de mică, valoarea intervalului de integrare /îj+2 pentru pasul următor, trebuie să fie
mai mare decît /ij-n- Aceasta serveşte ca justificare pentru următorul criteriu :
Se pune /ii+2 = 2Aj+1dacă
Se pune ftj+2 = /'t u dacă
Se recalculează x(Zi+1) cu hi +i pe
1
1
1,2 2 i + S(/( + i)
1 ^ 1 1.2
4
1Q-3
X
<2
oo^iXiO- 3
00 < 10-3
<k2+l|N*»+i)||oo
jumătate dacă
Să se aplice formula de integrare indicată şi acest criteriu, pentru determinarea lui h, pentru obţinerea
soluţiei numerice a ecuaţiei
797
PROBLEME
In 25 puncte de timp. Se va lua ca valoare iniţială pentru valoarea 0,5.10 2. Să se indice gama de valori /ij+l
luate. Pentru determinarea lui x(li+1) se poate folosi relaţia
.
,\
= f*(x
^i + l)
= f x (x (lţ
* (^<) ”
ti +i) î (x -î-i), ^ -f i).
P. 54 Care din următoarele funcţii scalare sînt pozitiv-definite pentru orice x? Se va considera ;0 = 1
(a) V (x) = 6xx4 + 6.t22 — 8x3 + 3x4
2x,3
(,b) V (x) = -------------- ^ + —------------------------------- „
x.
■ + Xj" x34 +
.
.
1 + 1 + ^2 1 + ^1
(c)
II
i'
V (x) = x* + x22 - 2Xj4 - 2x24 + xf + x26
V (x) = xx2 + 2s—* x24 + (2 + cos t) xŞ 2
(d)
(e) V (x)
(f)
±
+i
1 + *2
(Xj - x3 - x4)a
Xl6 + (Xj - x.2f
V (X) = (xt - x2) + (Xj - x2 - 2X3)2 + x34.
P 55. Să se considere un circuit RLC, liniar, variabil în timp, fără excitaţie din exterior. E;uaţia de
stare (nu în forma normală) este
0“ ' vct'
d
~<e
dt
_0 2.
■vo
r
— se. ÂLl -
- '31Ll
.
1“
0
>
o
V — lvc<
'îil
1
o
1
şi energia înmagazinată este :
în ce condiţii va fi V o funcţie Liapunov?
F 56. Să se determine o regiune deschisă D, ce conţine origina, în interiorul căreia următoarele
funcţii scalare sînt pozitiv definite. Se va lua t0 = 0.
(а) V (x) = (xt - x2)2 — (Xj — x2)4 -f- x22 - x23
(б) V (x) = (Xj - x2)2 - (Xj - x2)4 + 4 (Xj + x2)2 - (Xj + x2)4 , 2 + t
(c) V (x) = 2
th2 xx
31
+t
-x,2
+
2
1 + Xj2
i
798
10. CIRCUITE LINIARE VARIABILE IN TIMP ŞI CIRCUITE NELINIARE
P 57. Să se demonstreze Teorema 19.
P 58. Fiecare din următoarele ecuaţii de stare este în pereche cu o funcţie pozitiv definită. Să se
determine dacă funcţia pozitiv definită este o funcţie Liapunov pentru ecuaţia de stare şi, în caz
afirmativ,
care din Teoremele 17,18 şi (sau) 19 este satisfăcută. Se va lua L = 1
Xj "j~ X2 X.J
xi
d
(«)
x2
d
t
x3
Xj 2x2 X23
=
-
. Xj —
th X 3 .
V (x)
2
[Xj3 + X22 + x32]
(*1 - *2)
(b)
1 + (Xj — x2)2
r
x
i
(Xj - Xj)
1 + (Xj - x2)2 V
(x) = 2Xj2 — 6xlx2 + 5X22
(c) ~-
Xj’
dt
.x2_
V
=
■ — £-( Xj -t- x2 "
. - Xj — X2
(x) = (Xj + x2)2 + (s-t + x23)3 — tsT1 x, — x,
— 2X j
X9
1 + x 2:
r*i'
LX2
P 59. Să se explice cum rezultă din teoremele de stabilitate 17, 18 şi 19 că o soluţie a ecuaţiei de stare
(98), egală cu x(t0) la momentul poate fi extinsă ca să dea o soluţie definită pentru orice Z>f0. Să se indice
unele restricţii asupra Iui x((0). Să se găsească o ecuaţie de stare, de ordin mai mare decît 1, la care se
aplică aceste rezultate şi la care Teorema 13 nu se aplică.
P 60. Fiecare din următoarele ecuaţii de stare este în pereche cu o funcţie scalară a vectorului de
stare. Fie funcţia scalară V(x, t) in Teorema 20; atunci, pe baza acestei teoreme, să se determine dacă
origina este instabilă. Se alege = 1
(«)
-Xj + th x2
V (x) = — XjX2
*
PROBLEME
'X1
dt
1
_
-- O .V --- X<g th2 Xg
Xl
= ' 'dt [ x2
Xj — 3x2 '^'2'' X3
=
V(x) = (V
(c) ~ [
I
— 2Xj + x3
X2
W~d
799
2 ---- —l--+ 5i»
) 3
1 + 2x,2
x
|
|
X
x2 + 2x2
1+
m
^22
J
V(x) = x-^x,, - xt)
P 61. Să se aplice Teorema 21 la fiecare din ecuaţiile de stare din Problema 58. Cum se compară
rezultatele obţinute astfel cu Teorema 21, cu cele obţinute în Problema 58?
P ea. Să se folosească Teorema 21 pentru a arăta că origina este asimptotic stabilă „in- mare”, cînd
f(x) = Ax
unde A este o matrice constantă n x n, cu valori proprii negative.
P 63. Utilizînd metoda gradientului variabil, să se caute funcţia Liapunov pentru fiecare din
următoarele ecuaţii de stare :
Xi
x2
(«) d
' — Xj + x2 — x3
=
Xi - 2xa — x23
x3
t
Xj — th x3
1
K| = r ^
(b)
dt
[x 2 J |_-*2 +5* 2 3 -Z I J
d x.
(c) T dt
li,
X,
1 I- X* xx —
2xz — x.
P64. Să se prepare o diagramă de program şi un set de instrucţiuni program, într-un limbaj potrivit,
astfel de exemplu ca FORTRAN IV, pentru un calculator numeric, pentru obţinerea unei soluţii numerice
a ecuaţiei de stare (104), prin
a) metoda Euler
b) metoda Euler modificată
c) metoda Adams (j = 4)
d) metoda Adams modificată (j = 4)
e) metoda Milne
f) perechile de predictori-corectori din Problema 47
g) predictorii din Problema 48
h) perechile de predictori-corectori din Problema 50.
Metoda Runge-Kutta va fi folosită pentru a genera valorile de pornire. Se presupune că x(0> f(x> 0,
b, şi numărul total de paşi în timp, vor fi specificate de cel care utilizează programul. Se va inciude cîte un
set de instrucţiuni de utilizare, pentru fiecare program.
*
►
ANEXA 1
Funcţii generalizate
Analiza sistemelor fizice este adesea uşurată prin folosirea funcţiei impuls unitate
şi / sau a derivatelor sale. Dar funcţia impuls unitate nu este o funcţie în sensul
obişnuit al cuvîntului; deci strict vorbind, atunci cînd se aplică unor relaţii care conţin
funcţia impuls teoreme deduse pentru funcţii avînd puncte ordinare, se încalcă
rigurozitatea matematică. Astfel, din 1927 cînd Dirac a făcut cunoscută folosirea
funcţiei impuls ca un instrument al fizicii matematice 32 şi pînă în 1950, cînd Schwartz
a publicat o bază completă şi riguroasă pentru aceasta, funcţia impuls nu a fost folosită
în matematici; cu toate acestea a fost frecvent utilizată de fizicieni şi ingineri.
Teoria distribuţiilor dezvoltată de Schwartz 33, oferă baza pentru folosirea funcţiei
impuls în analiza matematică, funcţia impuls fiind în această teorie, o distribuţie.
Ulterior au fost publicate şi alte lucrări dezvol- tînd teoria distribuţiilor editată în
195034, şi în alte direcţii (exemplu — lucrarea lui J. Mikusinski — vezi nota 35). în
special, trebuie menţionată o nouă abordare a teoriei distribuţiilor, introdusă de
Mikusinski în această perioadă.
32 P,A.M. Dirac, „The Phisical Interpretation of the Quantum Mechanics”, Proc. Roy. Soc., Seria A, voi.
113, 1926-1927, pag. 62 -641.
P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, London,1930.
33 L. Schwartz, Theorie des distributions, voi. I şi II, Herman, Paris 1950 şi 1951.
34 I.M. Ghelfand şi G.E. Shilov, Generalized functions, voi. I, „Properties and Opera- tions”, Academic
Press, New Nek, 1964.
V. Dolezal, Dynamics of Linear Systems, Publishing House of the Czechslovak Academy of Science,
Prague 1964.
A.H. Zemanian,Distribution Theory and Transform Anatysis,Mc. Graw-Hill,New York,1965.
35 J. Mikusinski, Operaţional Calculus,a 5-a ediţie (în 1. engleză) Macmillan,New York,1959. G.
Temple, „Theories and Applications of Generalized Functions”, J. London Math. Soc.,
voi. 28, 1953 pag. 134-148.
■
M.J. Lightill, Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge Uni-: versity
Press, Cambridge; 1958.
J.D. Weston, „Operaţional Calculus and Generalized Functions”, Proc. Hoy. Soc., seria A, voi. 250, 1959,
pag. 460-471.
J.D. Weston, „Characterization of Laplace Transforms and Perfect Opera tors”, Arch. Rat. Mech. and
Anal., voi. 3, 1959, pag. 348 — 354.
A. Erdelyi, Operaţional Calculus and Generalized Functions, Hoit Rinehart & Winston, New York 1962.
Aceasta este o descriere clară a citurilor de convoluţie introduse de Mikusinski ca bază a teoriei funcţiilor
generalizate.
1 Se va face deci distincţia între f care reprezintă funcţia ca lege de corespondenţă între ddtiă
mulţimi şi f(t) care este un element al mulţimii valorilor funcţiei (N. T.)
]) Această teoremă este un caz special al teoremei 152 ln Introduction to the-Theory of Fourier Integrals, a lui
E.C. Titchmarsh, ediţia a 2-a, Oxford University Press, London, 1948.
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
801
Convoluţia în mulţimea funcţiilor continue este analoagă înmulţirii în mulţimea
numerelor întregi. Cînd se defineşte împărţirea — ca operaţie inversă înmulţirii a două
numere întregi — mulţimea rezultantă a numerelor raţionale conţine mulţimea
numerelor întregi ca o submulţime proprie. S-a făcut ipoteza că o împărţire de
convoluţie — operaţie inversa produsului de convoluţie — va defini în mod analog o
mulţime de cituri de convoluţie sau funcţii generalizate, conţinînd ca submulţime
proprie mulţimea funcţiilor continue. Mikusinski a descoperit că această ipoteză se
verifică. în particular, funcţia impuls şi toate derivatele sale aparţin mulţimii funcţiilor
generalizate.
în această anexă vom da o scurtă descriere a teoriei funcţiilor generalizate, bazată
pe împărţirea de convoluţie. Pentru simplitate ne vom ocupa numai de funcţii avînd
valori scalare. Extinderea conceptelor pentru funcţii cu valori vectoriale va fi lăsată
cititorului. Tratarea dată aici nu este completă, dar este potrivită pentru a pune
folosirea funcţiei impuls în cap. 5 pe o bază fermă, riguroasă.
Pentru a exclude confuzia notaţiilor, posibilă atunci cînd se introduc concepte noi,
vom folosi aici în mod consecvent cîteva convenţii. Se vor nota mărimile scalare cu litere
greceşti mici, cu excepţia lui §. O funcţie de timp privită în ansamblul ei, pentiu valori
nenegative ale lui i se va nota printr-o literă cursivă mică; nu se vor folosi literele s şi t.
Dacă / este o funcţie arbitrară de timp, atunci f(t) va fi valoarea lui / la momentul t1.
Există situaţii în care o funcţie va fi dată printr-o expresie explicită; de exemplu te~l.
Pentru a nota această funcţie în ansamblul ei, vom folosi notaţia {ts~1}. Observăm că {a}
nu este un scalar ci funcţia care are valoarea constantă şi egală cu a pentru t > 0.
Produsul a două mărimi scalare, sau al unui scalar cu o funcţie şi produsul a două
funcţii va fi notat în mod obişnuit; de exemplu, ap, «/sau {af(t)}, şi f.g sau {f(t)g(t)}.
Pentru repetarea unui produs, se va aplica convenţia obişnuită de folosire a exponentului; de exemplu aaoca = a4şi///=/3. Analog notaţiei folosite în cea mai mare parte a
lucrării produsul de convoluţie se va nota
Pentru a nota o convoluţie repetată vom folosi un exponent pozitiv scris cu literă aldină
; de exemplu /*/*/ == /*.
A. 1.1. CITURI DE CONVOLUŢIE ŞI FUNCŢII GENERALIZATE
Pentru rezolvarea unei ecuaţii scalare ca de exemplu
= (1)
în care a=/-0şi p sînt scalari cunoscuţi, exprimăm soluţia ca fiind ţ = p/a-; adică, cîtul lui
(3 prin a. Acest lucru este posibil deoarece înmulţirea scalarilor are o operaţie inversă
unică — împărţirea scalarilor.
Considerăm acum ecuaţia de convoluţie
a*z = b,
(2)
unde a diferită de {0} şi b sînt funcţii cunoscute. Deoarece convoluţia funcţiilor are
aceleaşi proprietăţi algebrice ca înmulţirea scalară — adică asociativitate,
comutativitate, etc. — sîntem tentaţi să presupunem că există o operaţie inversă
convoluţiei, unic definită, care ne permite să exprimăm soluţia ca fiind z — b/ja-, adică,
cîtul de convoluţie al lui b prin a (a se observa folosirea liniei duble pentru simbolul
citului de convoluţie). Yom arăta că noţiunea de cît de convoluţie are sens.
Pentru a pune baza pentru definirea citurilor de convoluţie, să ne reîntoarcem la
ecuaţia algebrică (1) în care a şi (i sînt întregi cunoscuţi şi să considerăm soluţia ei.
802
A-l. FUNCŢII GENERALIZATE
Tocmai unicitatea acestei soluţii este aceea care dă sens eîtului p/a prin care este
exprimată soluţia. Presupunem că (1) are mai multe soluţii; fie atunci şi 0£2 două soluţii
distincte. Deoarece = p şi a£2 — p, rezultă că a(^ — ţ2) = 0. Dar a este presupus un
întreg diferit de 0 ; deci ti — Z2 = ceea ce contrazice ipoteza şi deci soluţia lui (1) trebuie să
fie unică. Dacă soluţia £ este un întreg, atunci aceasta va fi valoarea ce i se va atribui
lui p/a. Desigur, (1) poate să nu aibe o soluţie întreagă. Totuşi, datorită faptului că
soluţia este unică, putem spune că P/a este o cantitats numită cît, care exprimă soluţia
unică; în acest fel P/a capătă sens.
Istoric vorbind, s-a dat numele de număr raţional eîtului a două numere întregi.
Dar p/a este o soluţie număr raţional a lui a£ = p, care este unică pînă la o echivalenţă
p/a = vp/ya, unde v este orice număr întreg diferit de zero.
Să considerăm acum într-un mod analog ecuaţia de convoluţie (2), a*z = b, pentru
a şi b funcţii continue şi a =f= {0}. Dacă putem arăta că aceasta are o soluţie unică,
atunci această soluţie atribuie un sens eîtului de convoluţie bj/a, care exprimă soluţia.
Presupunem că (2) are mai multe soluţii; fie zx şi z2 două soluţii distincte. Deoarece a*zl
= b şi a*z2 = b, rezultă că a*(zx — z2) = {0}. Yom folosi aici o teoremă a lui Titchmarsh 36
care afirmă următoarele :
36
) Se observă scriind explicit ecuaţia (2) şi considerînd / — 0. (N.T.)
A.1.2. ALGEBRA FUNCŢIILOR GENERALIZATE
803
Teorema 1. Dacă f şi g sînt funcţii continue şi f*g = {0}, atunci cel puţin una din
funcţiile f sau g este egală eu {0}. Deoarece funcţia a-^{0}, din rezultatul precedent
a*(z± — s2) = {0}, rezultă că % — «2 trebuie sa fie identică cu funcţia zero {0}. Dar
aceasta contrazice faptul ca zx şi 22 smt distincte. Prin urmare soluţia ecuaţiei (2) este
unică.
Dacă soluţia lui (2) este o funcţie continuă, atunci 6/ /a se identifica cu această
funcţie. Desigur este posibil să nu existe nici o funcţie continua care satisface (2),
analog cu cazul în care a?; = p nu avea soluţie întreaga, de exemplu dacă 6(0)^0,
atunci soluţia nu poate fi o funcţie continua . Totuşi, deoarece soluţia este unică,
putem extinde sensul termenului de „funcţie” spunînd că b/ţa este un element numit
cit de convoluţie care exprimă soluţia unică. în acest fel, bţ/a capătă sens.
Presupunem acum funcţia c^{0} şi considerăm ecuaţia deconvolu,ie.
c*%*z = c*b,
sau echivalent
^
c*{a*z — b) = {0}.
Conform Teoremei l,a*z-b = {0}. Astfel (3) are soluţie dacă şi numai dacă (2) are
soluţie ; in plus, o soluţie a lui (2) este şi o soluţie a lui (3). Deoarece fiecare are o
soluţie unică şi pentru că b jja este soluţia lui (2) şi c*6//c*a soluţia lui (3), va trebui să
avem b/ţa = c*bj jc*a. Deci bj/a este soluţia unică a lui (2) pînă la o echivalenţă
c*b/lc*a, unde c=f=
^
Vom spune că două cituri de convoluţie sînt echivalente — adica, bUa = dlle —
dacă b*c = a*d. Mulţimea tuturor citurilor de convoluţie echivalente unui cit de
convoluţie oarecare se numeşte clasă de echivalenţa ; adică mulţimea citurilor de
convoluţie este împărţită în clase de echivalenţa în mod unic. Astfel, fiecare clasă de
echivalenţă este identificata prm oricare din citurile de convoluţie ce le conţine.
Aşadar, tocmai aceasta clasă de echivalenţă care conţine b/ja, trebuie privită ca
soluţie unica a ecuaţiei a*z=b şi va fi numită funcţie generalizată.
A. 1.2. ALGEBRA FUNCŢIILOR GENERALIZATE
Să notăm în mod temporar o funcţie generalizată prin paranteze patrate puse în
jurul oricărui cît de convoluţie din clasa sa de echivalenţa ; de exemplu, [b/la]. Prima
relaţie ce trebuie stabilită este aceea de egalitate. Acest lucru îl vom face observînd că
dacă si numai dacă b*c = a*d
a
51 —c. 854
H4
]
(4)
804
A-l. FUNCŢII GENERALIZATE
Aceasta este o consecinţă imediată a următoarelor afirmaţii: (1) Dacă b*c=a*d atunci
b/ja şi d/jo sînt echivalente, deci determină aceeaşi clasă de echivalenţă. (2) Dacă
[6//a] = [djjc], atunci b/ja şi djjc aparţin aceleiaşi clase de echivalenţă, deci, b#c=a*d.’
Yom defini acum adunarea a două funcţii generalizate, convoluţia a două funcţii
generalizate şi produsul unei funcţii generalizate cu un scalar, după cum urmează :
(56)
(5 c)
Trebuie să verificăm că
funcţiile generalizate care se obţin în
partea dreaptă a ecuaţiilor
anterioare, nu depind de alegerea
reprezentanţilor din clasele de echivalenţă, adică de alegerea citurilor de convoluţie
particulare ce caracterizează fiecare din funcţiile generalizate din stînga; presupunem
de exemplu că 6//a=&7/a' şi djjc=d'Hc'; atunci
b*d
şi
a * o\ la
vor fi egale dacă b*d*a'*c' = a*c*b'*d'. Această egalitate este o consecinţă evidentă a
egalităţilor b*a! = a* V şi d* c’ = c*d’, şi a proprietăţii de comutativitate a produsului
de convoluţie. Aşadar, datorită faptului că operaţiile definite în (5) sînt independente
de alegerea citurilor de convoluţie particulare ce caracterizează funcţia generalizată
corespunzătoare, nu vom mai folosi paranteze pentru notarea funcţiei generalizate ci o
vom nota cu b / / a . Aceasta nu va produce nici o confuzie.
Avînd relaţia de egalitate stabilită în (4) şi operaţiile de bază definite în (5), este
uşor de arătat că regulile obişnuite ale algebrei, date în (6) rămîn valabile, Yerificarea
acestui lucru o poate face cititorul.
805
A.1.2. ALGEBRA FUNCŢIILOR GENERALIZATE
(b
d\
b
d
a = - ( - = = a — + a = \ a c)
a
(6c
)
c
(« + ?) = = «= + p i
a
a
m
a
«(=*=) = («=)*=£ = = *(«£)
\a c} V a) G a V c J
(6c)
• (ap)i=afp4)
a\aJ
(6/)
bddb
=*===*=
a
a
\ce
e
\
(6flr)
e
a
<«>
) U o)e
(l+â),i^l,L+Â,L.
\« c
J
e
a
e
c
(6 i
)
e
Regula de simplificare rămine de asemenea valabilă; adică dacă e =£ {0} şi f =f= {0},
atunci
bfdf
,w.
= * = = = * = daca şi numai daca = = =.
a e c e
.,„
bd
ac
(7)
Regula de simplificare se poate demonstra folosind Teorema 1.
în continuare observăm că dacă a = j = {0}, atunci {0} //a este funcţia generalizată
„zero”, iar a //a este funcţia generalizată „unitate”. Acest lucru rezultă arătînd că
amîndouă sînt unice şi verifieînd că
{0} d _ d
(8a)
a c c
a c a
a d d
acc
Lăsăm cititorului această sarcină
m
(8c)
806
A-l. FUNCŢII GENERALIZATE
Cîtul de convoluţie al funcţiilor generalizate
împărţirea de convoluţie pentru două funcţii obişnuite a fost definită ca operaţia
inversă produsului de convoluţie. Este natural să ne întrebăm dacă o astfel de operaţie
inversă poate fi definită şi pentru funcţiile generalizate. Răspunsul îl vom găsi
procedînd în acelaşi mod ca la introducerea eîtului de convoluţie pentru două funcţii
obişnuite. Aceasta s-a făcut ară- tînd că ecuaţia de convoluţie (2) are o soluţie unică.
Analog, trebuie să arătăm că următoarea ecuaţie de convoluţie a funcţiilor generalizate
b
x
d
=*===,
a
y
c
(9)
unde b jja^ {0} II a, admite ca soluţie unică o funcţie generalizată. în mod evident, prin
aplicarea lui (8c) în (9) rezultă că x j j y = a*d/lb*c este o soluţie a lui ( 9 ) ; deci trebuie
să arătăm numai faptul că aceasta este unică. Fie x'Hy' o altă soluţie. Atunci (b l/a)* (x'
l/y') = d j j c combinată cu (9) ne va da ( b j j a ) * (x/ly — x' l/y') = {0} //a sau x/ly =
x'lly', deoarece b 11 a {0} / / a. Astfel, a * d j j b * c este o funcţie generalizată, soluţia
unică a lui (9).
Soluţia ecuaţiei (9) arată că cîtul de convoluţie al funcţiei generalizate d//o prin
funcţia generalizată b/ja, adică (<Z//c) // (b/ja) are următorul sens
(dl Ic) _a* d'
(bl/a) b * c
Reamintim că o convoluţie repetată se notează cu un exponent scris cu literă groasă. Fie
în mod arbitrar (&//a)#=a//a, funcţia generalizată unitate. în continuare, vom nota cîtul
de convoluţie al lui ajja prin (6//a)“ cu
MM = ( & / / « ) — .
(bl/a)0
Folosind (10) se arată uşor că (bj/a)~" = (a//6)n
Avînd această bază se pot verifica uşor următoarele operaţii cu exponenţi
f b \m + n \a) \ a ) v a )
(ii)
(12a)
((!)7= (C
(12 b)
(nr-((¥)*((!)>
(12 c)
în care m şi n sînt numere întregi pozitive, zero sau negative.
807
A.13. FUNCŢII GENERALIZATE PARTICULARE
A.1.3. FUNCŢII GENERALIZATE PARTICULARE
Pentru cea mai mare parte a sistemelor dinamice, ecuaţiile se referă la scalari,
funcţii avînd puncte ordinare — de obicei continue, continue pe porţiuni şi local
integrabile ; se referă de asemenea la operatori — m mod obişnuit derivarea,
integrarea, întîrzierea. In acest paragraf şi în cel următor ’vom arăta că toţi aceşti
scalari, funcţii şi operatori pot fi identificaţi ca funcţii generalizate. In acest mod
ecuaţiile pentru un sistem dinamic vor avea sens ca ecuaţii asupra unei mulţimi de
funcţii generalizate. ^
Să începem cu mulţimea scalarilor. Această mulţime poate fi inclusa în mulţimea
funcţiilor generalizate dacă sînt satisfăcute următoaiele doua
condiţii :
.
.
1.
Există o corespondenţă biunivocă între mulţimea scalarilor şi
o submulţime a mulţimii funcţiilor generalizate.
2. Orice operaţie algebrică definită pe mulţimea de scalari aie coies- pondentul
său definit pe mulţimea funcţiilor generalizate.
Dacă a este o funcţie continuă oarecare diferită de {0}, atunci funcţia o-eneralizată
aa//a se află într-o corespondenţă unu la unu cu scalarul a; Astfel, condiţia 1 este
satisfăcută. Relaţia este simbolic notata astfel
a
Verificarea condiţiei (2) este lăsată cititorului; totuşi pentru a ilustra cum se face
aceasta, vom verifica că adunarea scalarilor are corespondentul său în mulţimea
operaţiunilor definite asupra funcţiilor generalizate. Dacă a <=> aă//a şi p<=> (3a//a
atunci
a+
(oc + 8)a
, , QX a
aa
(3<=>L^^==(a+ Ş ) = = =
a
a
a
$a
+=.
a
S-au folosit în aceste egalităţi, relaţiile
(5c) şi
(6a)
^
în continuare considerăm mulţimea funcţiilor continue. Această mulţime poate fi
de asemenea inclusă în mulţimea funcţiilor generalizate dacă se satisfac aceleaşi
condiţii 1) şi 2) ca pentru scalari, înlocuind cu- vîntul „scalar” prin „funcţie continuă”.
Pentru a verifica (1), ne a o iunc~ ţie continuă oarecare diferită de { 0 { ; atunci funcţia
continua c se afla in corespondenţă unu la unu cu funcţia generalizată c*a//a; aceasta
relaţie se notează simbolic
Yom lăsa verificarea condiţiei (2), cititorului; totuşi vom arăta cum se face aceasta.
Dacă 6<=>&*«//« şi c<=>c*a//a, atunci
u„
O*C
(b*c)*a
b* a* c*
= = ...
a
ma
ab*
a c* a
r= .==: * •
a
a
.
808
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
Pentru scrierea egalităţilor de mai sus s-au folosit relaţiile (5b) şi (8c).
Aceste includeri dau justificarea faptului că putem schimba între ei <x şi aaj/a şi
în mod analog c şi c*ajja. în plus, identificarea lui c cu c*a//a ne permite a atribui lui
c^aj/a o valoare la timpul t. în general acest lucru nu este posibil; o funcţie generalizată
este o entitate pentru care valoarea la momentul t nu are sens. Yom arăta mai tîrziu că
anumite funcţii generalizate, altele decît acele identificate cu funcţiile continue, pot
primi o valoare în momentul t.
Exemple de funcţii continue
O funcţie des utilizată este funcţia constantă {1} pe care o vom nota cu u, adică
« = {!}•
(15)
Aceasta este bine cunoscuta funcţie treaptă unitate a cărei valoare este
1 pentru 0. Convoluţia repetată a lui u cu ea însăşi Va da naştere unei mulţimi de
funcţii des întîlnite. Astfel
A.13. FUNCŢII GENERALIZATE FARTICULARE
809
după cum se poate verifica efectuînâ convoluţiile de mai sus Funcţia generalizată
identificată cu funcţia continuă poate fi exprimata ca u*a // at unde a=H0}. Punînd a=u
obţinem rezultatul interesant
< 17 >
u
Multe alte funcţii continue întîlnite în mod obişnuit în analiză pot fi identificate cu
fuScţii generalizate, fiecare fiind exprimată ca un cit de convoluţie al unor polinoame
în u ; de exemplu
{ S~“(} * u
u
{sin coi} * u
Fiecare din aceste
generale de egalitate
expresii smt ega e
<=>
U+
cou3
u-\- C02tt*
{cos coi} *u
Vu%
u
coi}
(18a)
0M%
u
{sin coi} <=>
{cos
u%
(186)
(18c>
u + co2m3
egalităţi poate fi verificată conform relaţiei
(4). De exemplu, considerăm (186). Cele doua
dacă şi numai dacă
{sin coi}* («* + co2 u4) = co«4.
Conform Teoremei 1, u poate fi simplificat. Deci va trebui să verificăm
{sin coi} *(u + cn2u3) = a>u3,
sau ecliivalent
(' sinu(<-T)[l+^-\*]^=yl!.
(W)
Cititorul poate verifica această relaţie integrală, verif icînd astfel relaţia (18.b)
Corespondenţa biunivocă între funcţii continue şi anumite funcţii generalizate ca cele
date în (18), este utilă pentru rezolvarea aumitoi ecuaţii de convoluţie. De exemplu
considerăm
(U + C02M3)*2 = U2.
810
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
Funcţia generalizată soluţie este
u2
z = =====.
U -j- co2 u 3
Dar din (18c) ştim că aceasta este aceeaşi cu funcţia continuă {cosco*}.
Funcţii local integrabile
O clasă de funcţii care are o comportare „mai puţin bună” decît funcţiile
continue este clasa funcţiilor local integrabile. Prin funcţie local integrabila înţelegem
o funcţie care 1) este continuă cu excepţia unui
finit Şi 2} admite 0 inteSrală Eiemann
nmrie si itnil'r16 “ ^
proprie şi absolut convergenta in orice interval finit în interiorul căruia
funcţia este continuă. în aceste condiţii, integrala pe intervalul 0 <t<t
°,nce \ >°; este definită ca sumă a integralelor Eiemann efectuate pe
submtervalele m interiorul cărora funcţia este continuă. Este interesant sa observam
că produsul de convoluţie a două funcţii local Săe
o ! iUnCtli6 °Cal mte^abilă iai' Produsul de convoluţie al uneTfunctfi local integrabile cu una
continuă este o funcţie continuă.
’
Este clar dm definiţia unei funcţii local integrabile că două astfel de
funcţii vor avea aceeaşi integrală pe intervalul 0<<<\ pentru orice \ >0 daca ele
diferă numai într-un număr finit de puncte în orice interval foiit
u™a6SacSni hiaca.,a? ,aceea§! valoare în punctele de continuitate. Yom
S v îr?m'î a p.rm aceste doua functii ca fiind echivalente. Sa vedem daca funcţiile integrabile
local pot fi identificate cu anu mite funcţii generalizate. Această mulţime poate fi
inclusă în mulţimea
Cuvîntul1 =SZat6/a1 Se .®aJsf?c aceleaşi două condiţii anterioare. Cuvîntul „scalar va fi
înlocuit desigur cu cuvîntul „local integrabilă”
n ffS-a V6 fa aca COndl<'lile sînt satisfăcute, observăm că dacă A este
o funcţie continua oarecare diferită de {0} iar b este o funcţie local integrabila, atunci
funcţia generalizată 6*«//«. corespunde biunivoc cu b- astfel condiţia 1) este
satisfăcută.
"
’
Această relaţie se exprimă simbolic astfel
, b* a
* < = > = ’ (20)
care este de acelaşi tip cu relaţia (14) pentru funcţiile continue Lăsăm cititorului
verificarea condiţiei 2).
’
^asam
Mulţimea, funcţiilor local integrabile conţine în mod evident mulţimea funcţiilor
continue. Mai semnificativ este faptul că ea conţine de asemenea
A.13. FUNCŢII GENERALIZATE PARTICULARE
811
şi mulţimea funcţiilor continue pe porţiuni. Observăm că orice funcţie continuă pe
porţiuni poate fi exprimată ca suma unor funcţii continue şi a unei sume ponderate de
funcţii treaptă deplasate1’. Funcţia treaptă deplasată notată cu «a este definită astfel
a
{'««(<)}>
(21)
unde
(0 <<< a)
ua (t) =0
=
1
(a
Funcţia generalizată identificată
cu ua este desigur u*al/a. Vom
considera din nou această funcţie
generalizată,
în
paragraful
următor.
Pînă acum o literă cursivă mică a desemnat o funcţie în general local
integrabilă. Dar există o corespondenţă biunivocă între mulţimea acestor funcţii şi o
submulţime a funcţiilor generalizate. Deci este posibil a nota funcţiile generalizate cu
o literă mică cursivă. Astfel dacă b este o funcţie local’integrabilă, funcţia
generalizată corespunzătoare va fi b^aj/a, Pentru comoditate, de acum înainte, vom
nota această funcţie generalizată pui şi simplu cu b. Acest lucru nu va produce
dificultăţi, deoarece fiecare opeiaţie asupra funcţiilor obişnuite incluzînd operaţia
împărţirii de convoluţie îşi are corespondent în mulţimea operaţiilor diferite pe funcţii
generalizate.
în afară de simplificarea notaţiei, noua notaţie poate da mai mult sens relaţiilor.
De exemplu ÎI" în membrul stîng al lui (17) era o funcţie ordinară. Cu noua notaţie ea
poate fi privită ca funcţie generalizată, şi (17) devine
u
(22)
Deşi cînd s-a introdus pentru prima dată în (17), n era un întreg pozitiv, putem acum
lua n=0 şi găsim
(23)
uu
Semnificaţia acestei relaţii o vom discuta în paragraful următor.
') Această afirmaţie esle uşor de verificat cu condiţia să se ţină seama de echivalenţa a două funcţii
local integrabile.
812
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
în lumina celor de mai sus, relaţiile (18) pot fi înlocuite cu
u0 +
•
(24«)
{sm co<} <=>
. u -\- co zvr
(246)
{cos «*}<=> 0
(24c)
u? + C02tt*
•
Tom dicuta una din acestea şi vom lăsa cititorului examinarea celorlalte. Considerăm
(24c). Aceasta este funcţia generalizată soluţie a ecuaţiei de convoluţie
(uijr<j)2u%)*z—u.
(25)
în această ecuaţie există un termen deosebit, m°*z. Din (23) observăm că u°*z este mai
precis u*zllu. Dar dacă z este o funcţie continuă sau local integrabilă, u*z$Hu este
conform lui (14) sau (20), chiar zv. Avînd în vedere acest lucru, ecuaţia de convoluţie
definită pe mulţimea funcţiilor continue .sau local integrabile, corespunzătoare lui
(25) este
2(<)+co2( (t—x)z(-v)d'r—l.
(26)
Din (24c) ştim că 2(i)=cosco« este soluţia lui (26). Celelalte relaţii din (24) pot fi
examinate într-o manieră similară.
A.l.4. FUNCŢIILE GENERALIZATE CA OPERATORI
Am discutat pînă acum relaţiile între diverse funcţii şi funcţiile generalizate. în
continuare ne vom ocupa de operatorii de derivare şi integrare şi vom discuta relaţiile
în care se află cu funcţiile generalizate. ■
Considerăm din nou funcţia u. Produsul de convoluţie al acesteia cu funcţia a
este
u*a= a(T)c?T|*
(27)
i) a se observa că acesta este acelaşi rezultat cu cel obţinut atunci cînd se face convolu- ţia unei
funcţii impuls cu z. Vom discuta identificarea lui u® cu funcţia impuls unitate în paragraful următor.
813
A.1.4. FUNCŢIILE GENERALIZATE CA OPERATORI
Astfel, în afară de faptul că poate fi privită ca funcţie continuă {1}, u poate fi
considerată ca un operator integral. Analog, un+1 pentru n pozitiv? care este conform
celor menţionate anterior f/n!, poate fi privită ca un operator de integrare aplicat de n\-1 ori. Ca o ilustrare a acestei interpretări a lui ua+1 ca operator de integrare,
observăm că aceasta indică faptul că ecuaţia integrală corespunzătoare lui (25), în
spaţiul funcţiilor continue sau local integrabile este
(28)
Observăm că (28) are
aceeaşi soluţie, 2(i)=coscoi
ca ecuaţia de convoluţie (26) ce corespunde lui (25).
înainte de a merge mai departe, să folosim interpretarea lui un ca a integrare de
n ori, pentru a atribui o valoare unei funcţii generalizate la timpul t. Fie a o funcţie
generalizată arbitrară. Presupunem că u"37 a se află în corespondenţă unu la unu
cu funcţia ordinară b, care admite derivată de ordin n pentru rîl<t<~2. Atunci, pentru
Tt<i<T2 vom atribui valoarea b(n) (t) lui a la timpul t. Valoarea atribuită lui a în acest
mod este unicăX).
Ca un exemplu fie a=u° şi să determinăm o valoare ce o vom atribui pentru
această funcţie. Dar u#u° = u % )ju este conform lui (14) aceeaşi cu funcţia
continuă u, care este derivabilă pentru t >0. Deoarece d u ( t) l d t=0 - pentru t >0,
atribuim valoarea zero lui u9 pentru t >0.
Să dăm acum o interpretare lui u n pentru n negativ. Astfel spus, vom examina
u~a pentru n pozitiv. Pentru uşurinţă vom nota pn =u~n. Presupunem apoi că a este o
funcţie care este derivabilă de n— 1 ori avînd derivatele continue iar derivata n-a,
fiind o funcţie local integrabilă. Atunci
pn#a = a<n) +
+
a(0)jpn_1
a('*-2)(0)^-f • •
,(29);
•
+
în care a'k) este derivata de ordin Ic a lui a în raport cu t. Această relaţie- se stabileşte
uşor prin inducţie. Vom începe aici demonstraţia, lăsînd. terminarea ei cititorului. Fie
n=1 atunci (29) devine
p*a = a(1) -f a(0)p& ,
care într-o notaţie mai precisă este
37 Unicitatea este stabilită prin Teorema 6 în Operaţional Calculus and Generalized
Functions, Arthur Erdelyi, Hoit Rinehart & Winston, New York, 1962.
814
u
a*u
u*u
u
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
a(0)u
=— + u
u
(31)
815
A.1.4. FUNCŢIILE GENERALIZATE CA OPERATORI
Conform relaţiilor (5), (6), (8) ecuaţia devine
u*a a(1)
-f- flt(O)
u*u
u
u
Dacă aceasta este o relaţie valabilă, atunci din (4), rezultă u *u* a =
u* u *u* a(1) -f- a(0)u *u* u,
sau echivalent
n * 1 1 *u* aa) = u* u* (a—a{0)n).
Conform Teoremei 1, aceasta devine
ii *a(1) = a — a(Q)u,
sau
( aiv(z)dr = a(t) — a(0),
'o
care este adevărată dacă aa> este integrabilă local. Astfel (29) este adevărată pentru
n=1; demonstraţia se completează prin inducţie.
Dacă a este derivabilă de n ori iar a(0)=a(1) (0) = . . . = a{n~1) (0) = 0, atunci (29)
arată că funcţia generalizată pn * a se află în corespondenţă unu la unu cu funcţia a{n)
.
Deci funcţia generalizată pB trebuie privită ca un operator diferenţial. Dacă a nu este
derivabilă de un număr suficient de ori, sau dacă una sau mai multe din a({k) )(0), h —
1,. . . n—1, nu sînt zero, atunci pB*a nu se află în corespondenţă biunivocă cu funcţia
ordinară. în acest caz pa * a există numai ca funcţia generalizată; vom numi p" *a,
derivata generalizată a n—a a lui a.
Să aplicăm unele din rezultatele de mai sus în cazul unui exemplu. Ecuaţia
diferenţială ordinară
d
----z(t) + a z ( t ) = 0
dt
îşi are corespondentul în mulţimea funcţiilor generalizate
p * z — z(0)p^ -J- ap0* z — 0.
Pentru 2(0)=2, funcţia generalizată soluţie este
, P9
p -fap°
71!
(30)
816
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
Reamintind că p = u~l şi că p0 = u9 obţinem
u
au
u
care conform lui (24a) este
aceeaşi cu 2
Aceasta concordă cu faptul
că soluţia ecuaţiei diferenţiale (30) este 2 {e"»*} pentru 2(0)=2, fapt cunoscut din teoria
ecuaţiilor diferenţiale.
^
Pentru găsirea funcţiei ordinare care se află în corespondenţă unu la unu cu
funcţia generalizată din (31), a fost utilă relaţia (24a). Pentru rezolvarea altor ecuaţii
diferenţiale, care vor fi considerate în paragraful următor va fi util a avea relaţii între
funcţii generalizate exprimate în i aport cu p şi funcţiile ordinare corespunzătoare.
Aceste relaţii sînt arătate în Tabelul A.l.l.
Tabelul A.l.l.
Funcţia ordinară — Funcţia generalizată (Perechi)
Funcţia ordinară
Funcţia generalizată
Funcţia ordinară
Funcţia generalizată
2co(p + a p°)
pn + l
P°
P 4 <*P®
{t)
P°
[(p + ap®)3 + co2p®]*
p
%
(p + a p®)3 — co2p®
[(p
+
+
+ co2p°F
(P + ap0)2
ap*)a
,0
c
\2
iUL
{s~ai
P°
(p + ap#)" + <
{sin co/} fcos
0
o
2
p
co/} sin co/} cos
#
{<£«*} j»*g
—oct
co t'j {/ £_af sin
co/}
P
p* +
co2p#
co p
(p + ap®)8 +
w2p®
p + ap1
{/ £-a(cosco
/}
co p®
(p + a
p#)*+co2p®
(31)
817
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
Funcţia impuls unitate
Cea mai mare parte a paragrafelor precedente a fost consacrată funcţiilor
generalizate care sînt în corespondenţă unu la unu cu funcţii ordinare sau cu
proprietăţi ale operatorilor definiţi asupra funcţiilor ordinare. Vom considera acum
relaţia funcţiilor generalizate cu funcţia impuls şi derivatele sale. Vom arăta că p9 =
u° este în mod potrivit interpretată ca funcţie impuls. Pentru a verifica acest lucru, fie
a o funcţie continuă, atunci
Dacă, urmînd obiceiul, vom nota cu & o funcţie simbolică ce corespunde cu p9 , atunci
(32) este echivalentă în sens formal cu următoarele :
a(t) = ( a ( x ) $ ( t — T) dr.
(33)
Aceasta este ceea ce se numeşte proprietatea de filtrare sau selecţie a funcţiei impus
unitate 8.
Funcţia, generalizată p este în mod adecvat interpretată ca prima derivată a funcţiei
impuls. Pentru a arăta aceasta, presupunem că funcţia a are o derivată de ordinul
întîi continuă. Atunci folosind (29) avem
p*a = a ^ + a ( 0 ) p 9 .
(34)
Dacă a ( 0)
0, p * a este o funcţie generalizată care nu se află în corespon
denţă unu la unu cu o funcţie ordinară. Totuşi, după cum s-a arătat anterior, lui p 9 i
se poate atribui valoarea 0 pentru orice t >0. Acest lucru este util. Deoarece p este
derivata generalizată de ordinul întîi al lui p 9 , care a fost interpretat ca funcţie
impuls unitate, fie S(1> notaţia pentru o funcţie simbolică ce corespunde lui p ; atunci
pentru t >0, (34) este echivalent în sens formal cu
a<» ( t ) = ( a( t) S'1) (t - T) d r .
Jo
(35)
Putem continua în acest mod şi să intepretăm p n ca derivata de ordin n a funcţiei
impuls unitate. Justificarea în detaliu a acestui fapt este lăsată pentru cititor.
&
ft
818
A.l. FUNCŢII. GENERALIZATE
I
Considerăm acum funcţia generalizată p * u a ca un operator, unde este treapta
deplasată dată în (21). Presupunem că funcţia generalizată a este de asemenea o
funcţie continuă ; atunci
p * u x * a = p * jj «« ( t
(0 <* < a) a ( x ) d x
Aplicînd (34), obţinem
Q
*
— T)a(T)(2-rj
t
D
(a^i)
-p#-
din această relaţie
[0 (0 v*ua*a = 1
|a(i — a) (a
(36)
Astfel funcţia generalizată p*ux are proprietatea ^ t < a) <t) unui
operator
de
deplasare sau întîrziere. Această proprietate face
ca p*ua să fie folositoare
pentru rezolvarea ecuaţiilor cu diferenţe finite. Deoarece în această lucrare nu se
folosesc aceste ecuaţii, nu vom continua dezvoltarea altor consideraţii pentru p*ua .
A.1.5. ECUAŢII INTEGRODIFERENŢIALE
în studiul reţelelor liniare invariante în timp, cu parametri concentraţi, subiect
de bază al acestei lucrări, ecuaţiile dinamice întîlnite sînt ecuaţii integr o diferenţiale.
(în formularea prin ecuaţii de stare ele sînt ecuaţii diferenţiale pure). Aceste ecuaţii
considerate ca ecuaţii asupra mulţimii funcţiilor generalizate, au ca soluţii funcţii
generalizate. Este de dorit, atunci cînd este posibil, să identificăm aceste funcţii
generalizate cu funcţii ordinare. Yom arăta cum se face acest lucru extinzînd
conceptul de dezvoltare în fracţii parţiale la funcţiile generalizate.
Soluţia funcţie generalizată a unei ecuaţii integrodiferenţiale liniare se poate
exprima ca suma : 1) a unui cît de convoluţie al unor polinoame în p şi 2) a unui cît de
convoluţie al unor polinoame în p, în produs de convoluţie cu o altă funcţie
generalizată. Ca exemplu, fie ecuaţia
+ 3z ( t ) + 2 z(^)dx + 1 = 2s~', dt 'o
(40)
cu z(0) = — 1. Ecuaţia
corespunzătoare
pe mulţimea funcţiilor generalizate
este
A.1.5. ECUAŢII
INTEGRODIFEHENŢIALE
819
’
’
p*z + p9 + 3p9*z + 2p~l*z +_p# = {2s~l}*p9 .
Funcţia generalizată soluţie pentru z este
Z = -
~2j>*
,
-f
P
p + 3p° + 2 p~' p +3p* +2p-'~
■■
r
1h
_
sau echivalent
p% + 3p + 2p° p* + 3p + 2p°
Evident, dacă putem identifica pjj(p% + 3 p + 2p°) cu o funcţie ordinară, atunci z va
putea fi de asemenea identificat cu o funcţie ordinară.
In cazul general pe care îl vom lăsa cititorului spre verificare, soluţia unei
ecuaţii integrodiferenţiale liniare se exprimă după cum urmează :
^ = °^m +
+ •
• •
+
«oft° Pff1 -|- Pz-lff'-1 + • • • +
P° -î-
Tn-iP"-1
+ • • • + YoP° "
PB
+
yn-!PnZl
..
+ . . . + y0p°
(39)
Dacă fiecare din aceste cituri de convoluţie poate fi identificat cu o funcţie oidinaiă şi
dacă funcţia generalizată/ este de asemenea o funcţie ordinară atunci funcţia
generalizată soluţie 2 va fi o funcţie ordinară.
’
Deoarece ambele cituri de convoluţie în (39) sînt de aceaşi formă, vom examina
numai pe cel de al doilea :
,1-1
_L
Q
„o
P" + Yn-1 PD~1 + • • • + Yo P° în eventualitatea 1
>n, este uşor de verificat că există nişte scalari £0. . . şi v 0 , . . . v B _ x există
astfel încît
g^v+'"L+^’
=
P + • • • + YoV
+
■ •
■ +
UP°
+
v-'?"1+
Pn + . . . + y0P«
(37)
817
A.1.5. ECUAŢII INTEGROD1FERENŢIALE
Numitorul pn + . . . v0p# se poate descompune în factori
p» - ! - . . . + Yoi># = (j? + >-i 2># ) • • • (P + K P* ),
(41>
unde Xj sînt zerourile lui X™ +vn_1X“-1 + . . . v 0 X ° . Acest luciu se poate verifica conform
lui (4) după ce am notat ^ = «//«* şi p" = uj/«. Astfel
(42)
Presupunem că X; sînt distincţi; membrul drept se poate atunci exprima ca o
sumă de cituri de convoluţie. Astfel,
vn -iP a ~ 1
(p +
+•••+
Xi^ 0 )
_
... (p+x,y ) i9 + X 1 ?
H-iPB__ _ 4 .
..
)#
(43 )
Y+\y
unde
(x- \)
v«-ix
(44)
X" + . . . + Yo
A=
Â;
Membrul drept al lui (43) este dezvoltarea în funcţii parţiale a membrului stîng
atunci
cînd X; sînt valori distincte. Relaţia (44) se
poate verifica de
către cititor.
Dacă X4 nu sînt distincte dezvoltarea în fracţiiparţiale este
mai complicată şi notaţia mai incomodă. Cu toate acestea ea este analoagă întrutotul
cu cazul variabilelor obişnuite. Su vom considera însă, acest caz în detaliu. Pentru a
completa cazul în care \ sînt distincte, vom substitui (43) în(42) şi rezultatul în (40).
Se obţine :
pj»1 + . . ■ + %V\= ^ p I _ „
! > " + • • • + -ToP
+ =ML=
+
_
+ ... +=ML=.
p + Xj|)#
p + X„ p#
+
(45)
Yom numi cîtul de convoluţie din stînga cît de convoluţie raţional în p şi vom spune că
el este propriu dacă l<n sau, echivalent, dacă £„=. • •
= h - n = O„
Fiecare din termenii jj(pJr'Kip'> ) din (45) se află în corespondenţă biunivocă cu o
funcţie continuă aşa cum se vede din Tabelul A.1.1. : j j ( p J r } H p « )/=)
şi
fiecăruia dintre termenii ?,;pi i se poate atri
bui valoarea zero pentru t >0. Astfel, putem face următoarea afirmaţie despre funcţia
generalizată 2 din (39) :
52-c. 854
818
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
1. Dacă m<n, l<n şi/ este o funcţie local integrabilă, atunci 2 este •o funcţie
continuă.
2.
Dacă m^>n, l<n şi f este o funcţie local integrabilă, atunci lui 2
i se poate atribui o valoare pentru t >0.
3. Dacă m<n, l^>n şi / are derivata de ordin (l — n ) continuă, atunci lui 2 i se
poate atribui o valoare pentru t > 0.
4. Dacă m^n, l^n şi f are derivata de ordin ( l — n ) continuă, atunci lui z i se
poate atribui o valoare psntru t >0.
Pentru a exemplifica (45), considerăm cazul particular al lui z dat •de (38).
Avem
______ p __________ __________p _ — p9
p%
+ 3p +
2p9
(P +
P9
)
(p+2p9
)p+
2 p9
p9
_
p+2p9
Rîndul de jos din relaţia anterioară se obţine din Tabelul A.l.l. Substituind acest
rezultat în (38) obţinem
z(t) = 2 s - ‘ - 4s2( + (' [-£-«-« + 2e-2<(-T>]2 'o
•ca soluţie pentru (38).
A. 1.6. TRANSFORMATA LAPLACE A UNEI FUNCŢII GENERALIZATE
în analiza reţelelor liniare invariate în timp, se utilizează frecvent metoda
transformatei Laplace şi pentru a aplica această transformare se introduce
transformata Laplace a funcţiei impuls unitate şi a derivatelor sale. Pentru a justifica
acest lucru trebuie să se extindă definiţia transformatei Laplace astfel încît să se
includă şi funcţiile generalizate, sau cel puţin, funcţiile generalizate particulare pn, 11
>0, care sînt asociate cu funcţia impuls şi derivatele sale.
Transformata Laplace a unei submulţimi mari de funcţii generalizate se poate
defini cu ajutorul unei teoreme a lui Krabble 138. înainte de enunţarea acestei teoreme
folositoare trebuie să definim mai multe mulţimi
38 G. Krabbe „Ratios of Laplace Transforms, Mikusinski Operaţional Calculus” Maih, Annalen, voi.
162 pag. 237 — 245. Acest articol este retipărit în Contributions to Funcţional Ana- lysis, Springer Verlag,
New York, 1966.
I
1
A.1.6. TRANSFORMATA LAPLACE A UNEI FUNCŢII GENERALIZATE 81!>
de funcţii. Fie Jl mulţimea tuturor funcţiilor de variabilă complexă s
care sînt regulate (olomorfe) cu excepţia unui număr finit de poli în semi-
r
planul drept dat de Re(s) >Be(s) pentru anumite valori ale lui s. Fie Jl
submulţimea funcţiilor din Ji, avînd proprietatea că fiecare din ele este
egală într-un anumit semiplan drept cu raportul a două funcţii mărginite
şi regulate în acel semiplan drept, de exemplu, l/(s+2) şi (s+l)/(s+3) sînt
funcţii de s mărginite, regulate pentru Re(s) > — 2 ; raportul lor [l/(s+2)]/
/[(« +1) (s+ 3)] = (s + 3/(s + 2) (s+1) este o funcţie regulată pentru
Re(s) >—2, cu excepţia polului s = — l . Astfel, funcţia (s + 3)/(s+l)(s + 2)
A
f
lt
»
A
aparţine lui Jl. Vom nota mulţimea tuturor funcţiilor c astfel încît să existe pentru o
anumită valoare s=s,
c£[c} = | J ” c ( < ) £ - S , ^ j .
(46)
li.
Atunci â?{c} este regulată în semiplanul drept Re(s)>Re(s). în sfîrşit vom nota cu ^ o
submulţime a mulţimii funcţiilor generalizate b[/a
*
A
#
astfel încît a şi b să fie funcţii în (€ iar jsă fie o funcţie în Ji. Cu
aceste definiţii, teorema lui Krabbe se enunţă astfel:
Teorema 2. Există o aplicaţie bijectivă notată if-1, a mulţimii
A
*
funcţiilor Jl pe mulţimea funcţiilor generalizate eS. Aplicaţia ££ 1 poseda.
A
o inversă care este liniară şi satisface
A
#
p
A
#
,
J
„
A
w
w
(47)
£ {9I*92} = £{9I}£ {92}A
unde gx şi g2 sînt două funcţii generalizate din (S. în plus, dacă aj[b este o funcţie
generalizată în ^ atunci
jS? {b/[a} — 1? {b}lJ? { a } .
(48)
A
încît
Considerăm acum o mulţime & de funcţii local integrabile b astfel
if {6} = | ^ b ( t ) z~s‘dt J să
existe pentru o anumită valoare s = §.
I
820
A.l. FUNCŢII GENERALIZATE
este continuă şi transformata Laplace a sa există pentru s = s , deoarece
A
Considerăm apoi funcţia generalizată u*bj/u identificată cu b. Funcţia
plus, ^ { u * b } = L { b } l s este mărginită şiregulată într-un anumit semiplan
mărginită şi
regulată
în
semiplanulu* b
b ( z ) d ~ drept dat
s >0. Astfel
A
u*bl/u aparţine lui Aşadar
drept
de
b aparţine lui Deci u * b
aparţine lui < g . în
iar
<5?{w}=l/s este
Ee ( s ) >
■0 J
(49)
Aceasta arată că transformarea a unei funcţii generalizate într-o funcţie de variabilă
complexă s, coincide cu transformarea Laplace, dacă funcţia generalizată este de
asemenea
transformabilă Laplace
şi local integrabilă.
Astfel,
transformarea A
<£ este o extensie a
transformării Laplace
jS?.
Aceasta
fiind
situaţia nu va rezulta nici o confuzie dacă de aici înainte vom omite
A
notaţia corcumflexă din ££.
Să ne îndreptăm atenţia spre funcţia generalizată pa = uj[un+1
A
Deoarece u şi ?tn+1 aparţin amîndouă lui şi deoarece {«} = l/s iar £C{ua+1} = l[sn+1
aparţin lui M, £?{pD} există. Din (48) rezultă
JSP { p n }
(50)
Reamintim că p" este funcţia generalizată asociată cu 8 ( n ) , derivata a n-a a
funcţiei impuls unitate. Transformata Laplace a lui în cărţi sau aplicaţii asupra
teoriei transformatei Laplace este dată ca fiind sn ; (50) concordă cu notaţia că
=sn.
ÎTu vom merge mai departe cu consideraţiile asupra transformatei Laplace a unei
funcţii generalizate. Este suficient faptul că ea reprezintă
o extensie a transformatei Laplace obişnuite şi concordă cu transformata Laplace
euristică a funcţiei impuls unitate şi a derivatelor sale.
*
1
il
»
A NEX A 2
Teoria funcţiilor
de o variabilă complexă
*
Scopul acestei anexe referitoare la funcţii de o variabilă complexă este •dublu.
în primul rînd ea va servi acelora care sînt familiarizaţi cu acest subiect, dar care
doresc să-şi reamintească anumite probleme specifice, în al doilea rînd, ea va servi ca
o bază, care poate fi dezvoltată cu ajutorul demonstraţiilor, exemplelor, etc.
Materialul este aproape în întregime prezentat sumar. Nu încercăm să prezentăm
justificări, iar demonstraţiile sînt destul de puţine. Totuşi, rezultatele sînt prezentate
exact.
A.2.1. FUNCŢII ANALITICE
Presupunem că sîntem familiarizaţi cu algebra numerelor complexe (adunare,
scădere, înmulţire şi împărţire) şi cu reprezentarea numerelor complexe ca puncte în
plan. Presupunem de asemenea că sîntem familiarizaţi cu elementele teoriei funcţiilor
de o variabilă reală. ^
^
’ Fie s = a+jco notaţia unei variabile complexe. Spunem că o altă variabilă
complexă F = U + j X este o funcţie de o variabilă complexă s, dacă fiecărei valori a lui s
(dintr-o mulţime) îi corespunde o valoare a lui F sau un set de valori pentru F. Vom
scrie F ( s ) , unde F ( .) este operatorul care asociază valorile lui F cu valorile lui s.
Dacă fiecărei valori a lui s (dintr-o mulţime) îi corespunde o singură valoare pentru
F , spunem că este o funcţie univocă de s ; altfel ea este multiformă.
^
Continuitatea pentru o funcţie de o variabilă complexă este formal definită în
acelaşi fel ca pentru o funcţie de o variabilă reală; F ( s ) este continuă în sQ dacă ea
este definită într-o vecinătate a lui s0 şi dacă
lim F ( s ) = F ( s 0 ) = F 0
(1)
822
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Această formulare poate fi interpretată în planul complex în felul următor. Fie un
număr dat e>0. Considerăm o vecinătate circulară a lui F(s0) ca în fig. A.2.1 unde toate
punctele din interiorul cercului de rază s şi cu centrul în F ( s 0 ) aparţin acestei
vecinătăţi. Eelaţia (1) este echivalentă următoarei formulări. Putem găsi o vecinătate
suficient de mică a lui s 0 , de rază 8 >0, astfel ca valorile lui F ( s ) corespunzătoare
tuturor punctelor din această vecinătate a lui s0, să cadă în interiorul cercului de rază
e, cu centrul în F(s0).
Fig. A.2.1.
Vecinătăţi in planul s şi planul F.
Diferenţiabilitatea în planul complex este definită de aceeaşi relaţie formală ca în
cazul variabilei reale, dar este o noţiune cu semnificaţii mult mai largi.
F ( s ) este diferenţiabilă în s 0 , cu derivata F ' ( s ) , dacă
F' (s0)
lim
F(s) — F(s0)
(2)
există şi este finită.
Această definiţie implică presupunerea că s poate tinde către s Q în orice direcţie,
pe o spirală sau orice altă cale. Limita definită de (2) trebuie să existe (şi să fie unică)
independent de modul în care s tinde către s0. Acesta este motivul pentru care
diferenţiabilitatea în planul complex este
o cerinţă foarte stringentă.
Se poate arăta (aceasta este unul din multele ,,se poate arăta” pe care le vom
putea întîlni în această anexă) că putem aplica, fără nici o modificare, regulile
obişnuite privind derivarea sumelor, produselor, cîtu- rilor, etc., cunoscute de la funcţii
de variabilă reală.
în mod asemănător se procedează cu o funcţie de funcţie; toate funcţiile familiare
au aceeaşi derivată ca în cazul real, cu deosebirea că acum variabila este complexă.
Yom prezenta sumar, mai jos, aceste rezultate.
823
A.2.1. FUNCŢII ANALITICE
Fie F x ( s ) şi F 2 { s ) două funcţii diferenţiabile. Atunci
A [ F^ s) + F t ( s) ] = ^ - F^ s) + - j- F zi* )
ăs
ăs
ăs
[ F 1 ( s ) F 2 ( s ) ] = F 1 ( s ) ~F 2 ( s ) +
ăs
(3)
ă
ă ^(s) J.F2(s)
ă F ^ s ) ___ F 2 ( S ) ă F 1 ( s ) j ă s F ^s ) d F 2 ( s ) l d s ^ j ? 2 ( g ) ^= Q
ds F2(s)
F2(S)
ă
ăF, ăFJs)
-f A ™«)i =-nr-r2
ăs
ăF 2 ăs
A(g») =»*«-!
ds
(4)
(5)
()
(7)
Dacă o funcţie F de o variabilă complexă este diferenţiabilă în punctul s Q ş i î n
toate punctele dintr-o vecinătate a lui s0, spunem că F ( s ) este
regulată în s0.
,,
Menţionăm că această condiţie , , F ( s ) este regulată m s0 este mult mai
restrictivă ca , , F ( s ) este diferenţială în s ' o . O funcţie F ( s ) care are c e l puţin un
punct regulat (adică un punct în care funcţia este regulată) în planul complex, se
numeşte o funcţie analitică. Un punct s0 în care funcţia analitică F ( s ) n u este
regulată, este un punct singular al funcţiei. Se spune că F ( s ) are o singularitate în s0.
în particular, un punct pentru care nu există derivată este un punct singular.
Deşi cerinţa de regularitate este o condiţie foarte restrictivă, şi deci clasa de
funcţii analitice este o submulţime foarte mică din mulţimea tuturor funcţiilor,
aproape toate funcţiile pe care le întîlnim m aplicaţiile fizice
sînt funcţii analitice. Un exemplu de funcţie neanalitică este |s |2. Această
funcţie are o derivată la s=0, dar numai în acest punct. Deci ea nu are puncte
regulate. Funcţia F { s ) = l l ( s — 1 ) este un exemplu simplu de funcţie analitică.
Domeniul ei ăe regularitate cuprinde întregul plan cu excepţia punctului s=l. Punctul
s=l este un punct singular al acestei funcţii.
Singularităţile unei funcţii analitice sînt extrem de importante, aşa cum se va
vedea. Putem distinge două tipuri de singularităţi. Punctul s0 este o singularitate
izolată a lui F ( s ) , dacă s0 este un punct singular, dar există o vecinătate a lui s0 în
care toate celelalte puncte (cu excepţia lui s 0 ) sînt puncte în care funcţia este
regulată. Dacă o astfel de vecinătate nu există, s0 este o singularitate esenţial
neizolată. Astfel, în orice vecinătate
824
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
a unei singularităţi neizolate există cel puţin un alt punct singular al funcţiei. Deci, o
singularitate neizolată este un punct limită (sau un punct de acumulare) a
singularităţilor şi reciproc.
Funcţiile raţionale (cituri de polinoame) sînt exemple de funcţii care- au numai
singularităţi izolate. Pentru a da un exemplu de o funcţie care are singularităţi
neizolate, putem considera funcţiile trigonometrice, pe care nu le-am definit încă.
Totuşi un exemplu de o singularitate neizolată este punctul s=0 al funcţiei:
F(s) = . 1
sin 1 j s
(8)
Numitorul devine zero pentru
1
Jcn
(9>
şi astfel aceste puncte sînt puncte singulare ale lui F ( s ) . Originea este un punct
limită pentru aceste singularităţi.
Marele matematician francez Augustin Cauehy (căruia îi aparţine aproape
jumătate din teoria funcţiilor complexe) a dat următoarele condiţii necesare şi
suficiente pentru diferenţiabilitatea unei funcţii de o variabilă, complexă. Funcţia
F ( s ) = U ( a , w) -f- j X (a , «)
este diferenţiabilă
dTJjdu,,
ecuaţiile
dX/do
îns0 dacă şi numai dacă derivatele
parţiale
dU/da-T
şid X / d o există, sînt continue în punctul (<j0,
w0) şi satisfac
dU/da =dXlda
(10a)
dx/dG = - dVjdo
(io6>
în acest punct.
Necesitatea este dovedită făcînd pe s să tindă către s0 în (2), făcînd mai întîi pe a
să tindă către c?0 şi apoi făcînd pe w să tindă către w0pentra un calcul, şi inversînd
ordinea pentru celălalt calcul. Egalarea celor două derivate astfel obţinute ne conduce
la (10). Suficienţa este dovedită folosind conceptul de diferenţială totală a funcţiei de
două variabile şi definiţia, derivatei.
’
’
’
Ecuaţiile (10) sînt cunoscute ca ecuaţii Cauehy-lîiemann în cinstea
matematicianului german Bernhard-Riemann (care a determinat aceste,
A.2.2. TRANSFORMAREA CONFORMA
825
ecuaţii fundamentale pentru toate funcţiile analitice) şi care completează teoria
elaborată de Cauchy. Putem folosi ecuaţiile Cauchy-Biemann ca un test pentru
regularitatea unei funcţii după cum urmează :
Dacă cele patru derivate parţiale sînt continue într-un domeniu al planului
complex si dacă ele satisfac ecuaţiile Cauchy-Biemann în fiecaie punct al acestui
domeniu, atunci F ( - s ) este regulată în acest domeniu.
Menţionăm că această condiţie implică vecinătatea lui s 0 , tot aşa cum o face
definiţia de regularitate a funcţiei. Demonstraţia acestui rezultat se poate face
folosind conceptul de diferenţială totală pentru o funcţie de două variabile.
Diferenţiind una din cele două ecuaţii din (10) cu referire la a şi cealaltă, cu
referire la w şicombinîndu-le, putem observa un fapt important şi anume că părţile
reală şi imaginară ale unei funcţii analitice satisfac •ecuaţiile Laplace în două
dimensiuni, în interiorul domeniului de regularitate ; astfel:
d*Ulda* + d i Ulda>*
d 2 X j d a 2 j- <92X/d«2 = 0
=0
(Ha)
(11 b )
Astfel, părţile reală şi imaginară ale unei funcţii analitice sînt funcţii armonice.
Beciproca este de asemenea adevărată. Fiecare funcţie armonică (în două dimensiuni)
este partea reală a unei funcţii analitice şi partea imaginară a unei alte funcţii
analitice. Acest aspect face ca funcţiile aua.- litice să prezinte un interes deosebit în
teoria potenţialului cu două dimensiuni.
A.2.2. TRANSFORMAREA CONFORMĂ
O funcţie de o variabilă reală poate fi reprezentată geometric printr-un grafic.
Totuşi, pentru o funcţie de o variabilă complexă, un ,,grafic necesită patru dimensiuni,
două pentru variabilă şi două pentru funcţie. Este deci imposibil de trasat un grafic
pentru o funcţie analitică. Cu toate acestea, conceptul de reprezentare geometrică
poate fi utilizat pentru funcţiile analitice, şi aceasta permite o înţelegere mai bună a
acestor funcţii. Folosim două planuri, un plan s pentru variabilă şi un plan F pentru
funcţie, aşa cum se arată în fig. A.2.2. şi astfel se obţin cele patru axe de coordonate.
Trasarea unui grafic complet ai'ătînd ce valori ale funcţiei corespund fiecărui
punct din planul s nu este indicată, deoarece ar face reprezentarea ininteligibilă, Vom
alege în planul s unele linii reprezentative şi reprezentăm
îîe vom referi la acest Planuls
concept grafic ca la o transformare conformă. Se spune că planul s
este transformat în planul F ■ planul F este transformata planului s. Liniile din planul F sînt
imagini ale liniilor din planul s, sub transformarea F ( s ) .
ÎTe referim la F ( s ) ca la o transformată conformă. Funcţia F ( s ) transformă punctele din
planul s în puncte din planul F . Conceptul de transformare conformă pentru o funcţie analitică
se dovedeşte a fi foarte util.
Faptul că parabolele din fig. A.2.2 constituie o familie ortogonală nu este un accident.
Explicaţia este că liniile originale din planul s formează un unghi drept între ele, şi o funcţie
analitică păstrează unghiurile cu excepţia situaţiei în care nu există derivata sau aceasta este
zero. înainte de a demonstra acest lucru, să dăm o definiţie. O transformare conformă F este una
în care unghiul de intersecţie al celor două curbe imagine în planul F este acelaşi (în
2. corespunzătoare din planul s.
amplitudine şi sens) cu
unghiul
al celor
douăF(s)=s
curbe
Planul
sde intersecţie
Fig.
A.2.2.
Reprezentarea
conformă
pentru
826
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
în planul F valorile funcţiei F ( s ) corespunzătoare punctelor de pe aceste linii. Pentru
fiecare dreaptă reprezentativă din planul s se va obţine o curbă corespunzătoare în
planul F . Ca exemplu, vom considera reprezentarea funcţiei F ( s ) = s 2 din fig. A.2.2. Ca
linii reprezentative au fost alese acelea pentru care fie a, fie co este constant. Liniile
corespunzătoare în planul s2 sînt toate parabole. Cele două seturi de parabole
corespunzătoare lui <j=const şi co=const, sînt familii de curbe ortogonale. Dacă am fi
ales alte linii reprezentative în planul s , am fi obţinut alte tipuri de curbe în planul
s2.
827
A.2.2. TRANSFORMAREA CONFORMA
Transformata pentru o funcţie analitică este conformă în toate punctele ■cînd
funcţia este regulată şi derivata este diferită de zero.
Pentru a verifica acest rezultat, să luăm două curbe Gx şi C2 din planul s care se
intersectează în s0. Fie s un punct arbitrar pe Cv Să introducem coordonatele polare
referitoare la s0, astfel
s — s0 = r e3®1
Atunci cînd
s
unghiul a2 care
este unghiul tangentei
tinde
(12)
către s0, unghiul
Oj tinde
către
la C1 în s0. Definiţiaderivatei este
lim
S->«0
o)
=
j»(8o)
(13)
S------ Sg
Deoarece această derivată există, putem lua limita de-a-lungul lui Ct şi deoarece
derivata este diferită de zero, putem scrie
F ' ( s 0 ) = pe*
(14)
Eezultă din (13)
F (s)-F{s0)
=p
lim
(15a)
s s0 | şi
lim
{arg [ F ( s ) — F ( s 0)]—arg ( s — s0)} = [3
Ecuaţia (156) poate fi scrisă
lim arg [ F ( s ) — F (s0)] = p + lim arg(s—s0) = p + «1
S-»S0
S-»S0
(16)
Punctul F { s ) este pe curba 0/ care este imaginea lui sub transformarea F ( s ) .
Astfel, partea stingă a ecuaţiei (16) este unghiul tangentei la în F ( s ) 0 . Eezultă, din
(16) că curba (7/ are o tangentă definită în F ( s 0 ) care face un unghi [3 + 0^ cu axa
reală pozitivă. în acelaşi mod se poate stabili că unghiul tangentei la C 2 la F ( s 0 ) va fi
(3 + oc2- Unghiul dintre cele două tangente, luat de la (7/ la C2' este (a2—o^) care este
acelaşi în amplitudine şi semn cu unghiul dintre curbele G1 şi C 2 în punctul s0,
măsurat de la C x la C 2 .
Din (15a) se constată că întinderea locală (adică, raportul dintre elementul de arc
al lui CV şi elementul de arc al lui Clf luate în jurul lui s0)
828
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
este independentă de direcţie şi este dată de amplitudinea derivatei.. Eezultă că
transformarea conformă pentru o funcţie analitică (cînd F'(s0)=^ -^0) realizează o
amplificare liniară F ' ( s 0 ) şi o rotaţie arg F ' ( s 0 ) , astfel încît formele figurilor mici sînt
menţinute.
O consecinţă auxiliară este aceea că imaginile curbelor line sînt de asemenea
curbe line; adică ele nu pot avea „puncte unghiulare”.
Nu am definit încă unele concepte de topologia mulţimii de puncte referitoare la
domenii şi curbe, şi aceasta este necesar pentru înţelegerea discuţiilor următoare. Nu
putem să facem precizări complete fără a introduce idei foarte complexe, ceea ce nu neam propus să facem. Prin urmare vom lua cîteva concepte, ca de exemplu cale, curbă
continuă, etc.
Un arc simplu este o cale continuă în planul complex care nu are puncte de
intersecţie sau multiple. O curbă simplu închisă este o cale în planul complex, care,
dacă este tăiată într-un punct oarecare devine un arc simplu. Dacă unim punctele
terminale ale unui arc simplu se obţine o curbă simplă închisă. Un domeniu deschis
este o mulţime de puncte în planul complex, fiecare din ele avînd în vecinătate toate
punctele care aparţin acestei mulţimi. Ca exemplu poate fi considerat domeniul
„interior” unei curbe simplă închisă care nu conţine curba. Dacă adăugăm punctele de
pe conturul unei mulţimi deschise la mulţimea deschisă propriuzisă, domeniul obţinut
se numeşte închis. Un domeniu deschis sau închis este conex dacă putem uni două
puncte oarecare din domeniu printr-o linie care are toate punctele în acest domeniu.
în paragraful precedent, cuvîntul „interior” a fost pus între ghilimele. Deşi
intuiţia noastră ne face să credem că interiorul unei curbe este bine definit, totuşi
aceasta necesită o demonstraţie. Teorema curbei lui Jordan dă soluţia necesară.
Aceasta afirmă că orice curbă simplă închisă împarte planul complex în două domenii,
unul „interior’’’ şi unul „exterior'1'1, curba fiind frontieră între aceste două domenii.
Dacă pornim dintr-un punct de pe curbă şi o parcurgem în sens invers acelor de
ceasornic, domeniul din stînga curbei se va numi interior, cel din dreapta exterior.
Dacă curba închisă nu trece prin infinit, atunci domeniul „interior”' aşa cum este
definit, va fi mărginit; altfel spus, toate punctele din acest domeniu vor satisface
condiţia |s | ^ M, unde M este un număr pozitiv dat. Pe de altă parte, dacă curba
închisă trece prin infinit, atunci nici interiorul nici exteriorul nu sînt mărginite.
Problema care apare este ce semnificaţie are o curbă închisă care trece prin
infinit. O astfel de curbă este, de exemplu, calea formată de axa imaginară. Dar
aceasta pare a fi un arc simplu mai degrabă decît o curbă închisă. Sfera Riemann poate
fi folosită pentru clarificarea acestui punct de vedere.
Considerăm o sferă plasată în planul complex cu polul sud în origine, aşa cum
este arătat în fig. A.2.3. Considerăm acum că unim printr-o linie dreaptă fiecare punct
din plan cu polul nord al sferei. Toate aceste linii vor intersecta sfera, stabilindu-se
astfel o corespondenţă biunivocă între punctele din plan şi cele de pe sferă. Fiecare
punct din planul finit va avea corespondentul său pe sferă. Cu cit ne depărtăm de
originea planului, în orice direcţie, punctele de intersecţie a liniilor cu sfera vor tinde
către polul nord. Polul nord corespunde infinitului din plan. Pe sferă, punctul infinit va
fi un punct unic. Axele reală şi imaginară devin cercuri mari (principale) pe sferă, şi un
cerc mare apare ca o curbă simplă închisă.
A.2.2. TRANSFORMAREA CONFORMA
829
Polul nord
Conceptul sferei Riemann ne permite să privim „infinitul” ca un punct smgulai,
ori de cîte ori aceasta este convenabilă. Ne vom referi la infinit ca la punctul de la
infinit.
Adeseori dorim să discutăm despre comportarea funcţiei în punctul infinit. In
matematică este acceptată convenţia ca într-o expunere să poată fi eliminat cuvîntul
„infinit” cu condiţia ca întreaga expunere să poată fi definită fără a folosi acest cuvînt.
Această convenţie este introdusă pentru a elimina multe inconsistente. Comportarea
unei funcţii în punctul de la infinit este definită după cum urmează:
Comportarea unei funcţii F ( s ) la s = oo este aceeaşi cu a funcţiei
G ( s ) =F ( l / s )
la s = 0 ; de exemplu, funcţia F ( s ) = l / s este regulată la s = co deoarece
G ( s ) = F ( l / s ) = s este regulată la s=0. în mod similar, funcţia F ( s ) = a s 2 + b s nu este
regulată la infinit deoarece G ( s ) = a l s 2 j r b l s are o singularitate la s=0.
Printr-un artificiu similar putem discuta despre valoarea unei funcţii într-un pol
din planul complex. Reciproca funcţiei în acest punct va fi zero.
’
A.2.3. INTEGRAREA
^ Integrala definită a unei funcţii de o variabilă complexă este definită într-o manieră
similară integralei definite a unei funcţii de o variabilă reală. în cazul variabilelor
reale, integrala definită poate fi interpretată ca o suprafaţă. Pentru variabilele
complexe o astfel de interpretare geometrică nu este valabilă.
830
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
în fig. A.2.4 sînt conectate două puncte şi P2 printr-un arc simplu •O . Calea este
divizată în intervale prin punctele s k; coardele care unesc aceste puncte sînt notate cu
Ak s . Presupunem că multiplicăm fiecare din corzi prin valoarea unei funcţii F ( s ) ,
evaluată în punctul skv al intervalului şi apoi adunăm toate aceste produse. Să
considerăm acum că mărim numărul de intervale cu o reducere simultană a mărimii
coardelor. Definim integrala definită a lui F ( s ) ca limita acestei sume, cînd numărul de
intervale tinde către infinit, în timp ce lungimea fiecărei corzi tinde către zero. Mai
precis
( 1 F ( s ) <Zs = lim|i F(s39k)Aks
(17)
max|Afcs|-+0
cu condiţia ca limita dreaptă să existe.
Menţionăm că Px şi P2 reprezintă limitele inferioară şi superioară; calea C este
parcursă pornind din Pt către P2. Este de aşteptat să obţinem un răspuns diferit dacă se
va urma o altă cale. Eezultă că nu este necesar
39 Aici coardele sînt exprimate ca numere complexe. Astfel Aks = sk — sk_v
A.2.3. INTEGRAREA
a serie limitele de integrare dacă arătăm totdeauna într-un grafic corespunzător,
calea de integrare împreună cu sensul de-a-lungul căii. Deoarece calea, sau conturul,
este inseparabil de definiţia unei integrale, ne yom referi la ea ca la un contur de
integrare.
Pentru a determina condiţiile în care integrala definită din (17) există,, trebuie să
exprimăm această integrală ca o combinaţie de integrale reale. C\\F(s) = U +j X , şi
după cîteva transformări, (17) devine :
( F ( s ) d s = ( U d a - \ X d u + j ţ U d a + ( X d a J C Jc .
•'O
Jc
(18>
Fiecare din integralele din dreapta este o integrală de variabilă reală dacă
aceste integrale există, atunci va exista şi un contur de integrare. Din
cunoştinţele noastre despre integrale reale, ştim că o^ condiţie suficientă de existenţă a
integralei unei funcţii de variabilă reală este ca funcţia de sub semnul integralei să fie
continuă. Rezultă că integrala pe contur a unei funcţii F ( s ) de-a-lungul unei curbe C
există dacă F ( s ) este continuă pe această curbă.
Teorema de integrare a lui Cauehy
Rămîne de discutat care sînt condiţiile în care integrala între două puncte este
independentă de calea care uneşte aceste puncte . Considerăm fig. A.2.5, care arată
două puncte P1 şi P? unite prin două căi simple Gx şi C2. Menţionăm că sensurile celor
două căi sînt amîndouă de la Px la P2. Combinînd calea Cx luată în sens direct şi calea
C2 luată în sens invers, se obţine o curbă simplă închisă, pe care o vom nota cu C = C X
C 2 . Dacă
Fig. A.2.5. Condiţii pentru ca valoarea unei integrale
să fie independentă de calea de integrare.
832
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
integrala unei funcţii F ( s ) de-a-lungul căii C1 este egală cu integrala de-a- lungul căii
C 2 , atunci integrala de-a-lungul căii combinate C trebuie să fie egală cu zero, şi
reciproc. Problema stabilirii condiţiilor în care o integrală este independentă de cale,
se reduce acum la stabilirea condiţiilor în care o integrală pe contur, de-a-lungul unei
curbe simple închise, este egală cu zero. Problema este rezolvată de următoarea
teoremă cunoscută sub numele de teorema de integrare a lui Cauchy :
Fie F ( s ) o funcţie care este regulată oriunde pe o curbă simplă închisă C şi în
interiorul curbei. Atunci
t F ( s ) ds = 0
Jc
(19)
Aceasta este o teoremă foarte importantă, dar nu vom da demonstraţia ei.
Considerăm necesare eîteva cuvinte despre conexitatea unui domeniu din planul
complex. Presupunem că unim două puncte arbitrare P1 şi P2 situate într-un domeniu,
prin două arce simple, arbitrare O, şi C2 situate în acelaşi domeniu. Acest domeniu
este numit simplu conex dacă este posibil să alunecăm unul din arce (deformarea
arcului este permisă în acest proces) pînă cînd va coincide cu celălalt, fără a părăsi
acest domeniu. Teorema lui Cauchy este valabilă într-un astfel de domeniu. Domeniul
haşurat dintre cele două curbe închise din fig. A.2.6, se numeşte dublu conex. Un
astfel de domeniu poate fi redus la un domeniu simplu conex, prin „realizarea unui
canal” între cele două curbe închise. Noui domeniu este mărginit de curba compusă al
cărui contur este arătat în fig. A.2.6b prin săgeţi.
Presupunem că o funcţie F ( s ) este regulată în domeniul haşurat arătat în fig.
A.2.6 a , inclusiv conturul. Teorema lui Cauchy poate fi aplicată aici curbei compuse
formată din curbele interioară şi exterioară şi din „canal”. Canalul este parcurs de
două ori, dar în sensuri opuse, astfel că contribuţia lui la integrala pe conturul
complet, este zero. Dacă vom nota curbele
a
Fig. A.2.6. Un domeniu dublu conex.
A.2.3. INTEGRAREA
833
interioară şi exterioară prin C 1 şi respectiv C 2 , ambele parcurse în sensul acelor
ceasornicului, atunci teorema lui Cauchy ne conduce la relaţia :
(20)
Dacă alegem oricare alte curbe închise între curbele interioară şi exterioară, acelaşi
raţionament ne va arăta că integrala pe aceste căi parcurse în sensul invers acelor de
ceasornic, va fi egală cu fiecare din integralele din (20).
Acest raţionament ne permite să afirmăm că valoarea unei integrale de contur
pe o curbă simplă închisă nu se va modifica dacă conturul este distorsionat, cu
condiţia însă ca el să rămînă totdeauna în interiorul domeniului de regularitate.
Să ne referim acum la fig. A2.5. Punctele I \ şi P2 sînt într-un domeniu simplu
conex B , în care o funcţie F ( s ) este univocă şi regulată. Fie P 1 un punct fix
corespunzător lui s 0 , şi P2 un punct corespunzător lui s . Putem afirma că integrala
de la s 0 la s este independentă de calea de integrare, dacă aceasta rămîne în
domeniul de regularitate. Putem deci defini funcţia G ( s ) astfel:
(21)
unde z este o variabilă fictivă de integrare. Această funcţie este o funcţie univocă de
limita superioară s pentru toate căile din regiunea de regularitate.
O vom numi primitiva lui F ( s ) . (Pentru fiecare s 0 vom obţine o altă primitivă).
’
în realitate nu este necesar să presupunem că F ( s ) este regulată în domeniu. în
loc de aceasta, este suficient să presupunem că F ( s ) este continuă în B şi că integrala
pe contur închis, pentru toate curbele simple închise posibile din B, este zero. Totuşi,
teorema lui Morera, care va fi discutată mai tîrziu, afirmă că funcţia care satisface
aceste condiţii este regulată.
’
în evaluarea integralei definite de variabilă reală, căutăm actesea primitiva
integrandului. Aceeaşi procedură este valabilă şi pentru variabile complexe; astfel,
dacă primitiva lui F ( s ) este G ( s ) , atunci
F ( s ) d s = G ( S 2 ) — GiSj)
53 — c. 854
(22 )
834
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Formula integralei lui Cauehy
Să considerăm o curbă simplă închisă C1: şi o funcţie univocă care este regulată
în interiorul curbei şi pe contur. Este posibil să exprimăm valoarea funcţiei în orice
punct s0 din interiorul curbei, în funcţie de valoarea pe conturul C. Această expresie
este
(23)
Aceasta este cunoscută ca formula integralei lui Cauehy (care este diferită de teorema
lui Cauehy). în integrala pe contur, conturul C poate fi înlocuit printr-un contur
circular C în jurul punctului s0 fără ca valoarea ei să se modifice, în concordanţă cu
discuţiile referitoare la (20). Adău- gînd şi scăzînd F ( s 0 ) la integrând, putem scrie
mz^ds
'c' S — So
JC' s — SQ
C'
(24)
8
Se poate arăta că ultima integrală din partea dreaptă a lui (24) este zero.
Bămîne să evaluăm prima integrală din partea dreaptă a lui (24).
Yom scrie s —s0=re*e; atunci d s = j r z j e d 0, deoarece conturul C este circular şi
numai 0 variază. Atunci
(25)
Expresia dorită se obţine înlocuind acest rezultat în (24).
Formula integralei lui Cauehy lămureşte proprietăţile funcţiilor analitice. Se
constată că valoarea unei funcţii analitice care este regulată într-un domeniu, este
determinată în oricare punct din acest domeniu de valoarea sa pe contur. Menţionăm
că punctul s0 este un punct oarecare din domeniul de regularitate. îl vom nota cu
variabila generală s, dar aceasta necesită ca în (23) să-i atribuim variabilei s (care
reprezintă numai puncte de pe contur şi care este o variabilă fictivă) un alt simbol.
Pentru clarificare, (23), va fi scris acum
(26)
A.2.3. INTEGRAREA
Aici s reprezintă orice punct din interiorul conturului C în care F ( s ) este regulată, şi 0
se referă la puncte de pe contur.
53 — c. 854
835
836
A.2.3. INTEGRAREA
Cu ajutorul formulei integralei lui Caucliy putem rezolva o problemă foarte
importantă pentru funcţiile analitice. Să încercăm să găsim derivata de ordinul n a
unei funcţii analitice F ( s ) . Pentru derivatele de ordinul întîi şi doi putem folosi direct
definiţia derivatei din (26). Eezultatul va fi
^(s)==_J_f 'i-dz
(27 a)
2nj Jc ( z — s )2
-M.
2 Ttj *c(2—S ) s
dz
(27b )
Forma acestor expresii, care realizează de fapt o
simplă diferenţiere în raport cu s a expresiei de sub simbolul integralei, sugerează
următoarea expresie pentru derivata de ordinul n :
Fw {s) =
1 '
C E M --------------------d z
2tx j ) c ( z - s ) n + 1
(28)
Acest rezultat poate fi verificat folosind metoda inducţiei matematice.
O implicaţie extrem de importantă a celor discutate mai sus, este următoarea.
Dacă o funcţie univocă F ( s ) este regulată într-un punct, rezultă că funcţia va avea
derivate de toate ordinele în acel punct. Această afirmaţie nu poate fi făcută pentru o
funcţie de variabilă reală.
Avînd în vedere că derivata unei funcţii analitice este analitică, şi are acelaşi
domeniu de regularitate, putem face acum o afirmaţie care poate fi privită ca
reciproca teoremei lui Cauchy. Fie F ( s ) o funcţie care este continuă într-un domeniu E
şi a cărei integrală pe conturul închis, care înconjoară toate căile posibile din acest
domeniu, este zero: Aceste condiţii ne asigură că F ( s ) are o primitivă G ( s ) care este
regulată în domeniul B . Dar derivata lui G ( s ) este F ( s ) ; în consecinţă F { s ) este de
asemenea regulată în B . Acest rezultat este cunoscut ca teorema lui Morera.
Teorema modulului maxim şi lema Schwartz
Formula lui Cauchy conduce la unele rezultate foarte interesante, totuşi, noi
vom demonstra aceste rezultate din punctul de vedere al reprezentării conforme. Fie
F = F ( s ) o funcţie analitică care este regulată în interiorul şi pe conturul G în planul s
; fie acest domeniu, inclusiv curba C , domeniul I I . Beprezentarea conformă a curbei
C poate lua una din formele prezentate în fig. A2.7. Menţionăm că transformata
conformă a domeniului B nu se poate extinde la infinit, deoarece infinitul din planul
F
A.2.4. SERII INFINITE
corespunde unui punct singular din planul s , ori în domeniul R nu există puncte
singulare. Pentru simplificare, ambele transformate ale curbei G au fost considerate a
fi curbe închise simple; acest lucru însă nu este necesar, şi obişnuit nu este aşa. în
transformarea prezentată în fig. A 2 . 7 b originea planului F este în interiorul
domeniului. Aceasta înseamnă că F ( s ) are un zero în domeniul R . în fig. A 2.7c este
arătată o transformare a domeniului R care nu are originea în interior.
Planul F
Planul F
Fig. A.2.7. Demonstrarea principiilor maximului şi minimului.
în fiecare din aceste cazuri, este clar din figuri că punctul în _R X sau i?2 care cade
cel mai departe de originea planului F este situat pe conturul domeniului, care este
transformata conturului G . Similar, dacă F ( s ) nu are zero în domeniul R , atunci
punctul din R 2 care este situat cel mai aproape de originea planului F , cade pe contur,
aşa cum este ilustrat în partea c a figurii. Este de asemenea clar din figură că valorile
minime din domeniul R 2 a părţii reale şi a părţii imaginare a lui F , cad pe contur.
Ultima afirmaţie este de asemenea adevărată cînd F ( s ) are un zero în domeniu, aşa
cum este ilustrat în partea (b ) a figurii. Dar în acest caz, cea mai mică valoare a
modulului, care este zero, cade în interiorul domeniului şi nu pe contur. Aceste
rezultate pot fi rezumate astfel :
Fie o curbă închisă G şi un domeniu R corespunzător interiorului curbei G . Fie
F = F ( s ) = U + j X o funcţie regulată în R . Cea mai mare valoare atinsă de modulul |./'
(.s-) |, partea reală U şi partea imaginară X , în domeniul R , apare pentru un punct
sau pentru puncte de pe contur. Aceasta este adevărată pentru modul, dacă F ( s ) nu
are zero în interiorul domeniului. Precizările făcute referitor la modul funcţiei, sînt
cunoscute ca teorema modulului maxim şi teorema modulului minim.
Denumiri asemănătoare pot fi atribuite şi în celelalte cazuri prin înlocuirea
„modulului” cu „partea reală” şi „partea imaginară”.
O formulare puţin mai restrictivă ca teorema modului maxim, poate fi făcută
dacă F ( s ) satisface o condiţie suplimentară şi anume F ( 0 ) =0 şi dacă domeniul B este
un cerc, în plus, presupunem F ( s ) regulată într-un domeniu circular de rază r şi cu un
zero la s=0. Fie amplitudinea maximă a cercului M. Atunci F ( s ) este de asemenea
regulată în interiorul cercului şi satisface condiţiile teoremei modulului maxim. Deci
\ F ( s ) / s |^ilf/r. Eezultă că pentru toate punctele din interiorul cercului avem :
!^(s)K — M
837
838
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
r
Egalitatea se obţine numai la s=0 sau dacă F ( s ) = M s j r . Acest rezultat este cunoscut
sub numele de „lema lui Schwartz”.
A. 2.4. SERII INFINITE
Fie f ^s ) , f 2 ( s ) , ... un şir infinit de funcţii. Să considerăm suma primelor n
funcţii :
n
Sn(s) = Y>Us)
j=1
(29)
Aceasta este numită o sumă parţială a seriei infinite corespunzătoare. Să considerămacum
şir converge
într-undomeniu al planului complex, dacă
există ofuncţie
F { s ) a cărei valoare într-un punct dat diferă foarte puţin (cît de puţin dorim) de
valoarea sumei parţiale S n , cu condiţia să luăm n suficient de mare. Funcţia F ( s ) este
numită funcţie limită a şirului. Mai precis, spunem că şirul converge într-un domeniu
B, dacă, dînd un număr pozitiv s, există un număr întreg N} şi o funcţie F ( s ) , astfel ca
pentru orice punct s } din domeniu
IW-^(»j)l < *
(3°)
pentru toate valorile lui n mai mari ca Valoarea lui N j va depinde de numărul s şi de
punctul
Spunem că şirul este uniform convergent într-un domeniu închis, dacă putem
folosi acelaşi număr întreg N în rolul lui Ns pentru toate punctele domeniului fără să
avem acest întreg dependent de punctul în discuţie (N depinde însă de s).
Seria infinită este numită convergentă (sau uniform convergentă) către funcţia
F ( s ) , dacă şirul sumelor parţiale converge (sau converge uniform). O serie infinită
este numită absolut convergentă dacă seria obţinută din valorile absolute ale
termenilor săi converge de asemenea. Convergenţa absolută este un tip de convergenţă
mai restrictiv. Se poate arăta că dacă o serie este absolut convergentă în domeniul R, ea
este de asemenea convergentă în domeniu.
Yom enunţa acum un număr de teoreme referitoare la şiruri de funcţii fără a da
şi demonstraţiile.40’
Teorema 1. Dacă un şir de funcţii continue 8 n ( s ) este uniform convergentă într-un
domeniu R, atunci funcţia limită a şirului este continuă în acest domeniu R.
40) Toate aceste teoreme sînt valabile cu condiţia ca cei doi operatori limită să poată fi interschimbaţi.
Aceasta este o caracteristică generală
lim lim f(x, y) = lim lim F(x, y) x—>a
y-*b
y-*b x—*a
Această interschimbare este permisă dacă ambele limite există (separat) şi una din ele este uniformă
cu referire la cealaltă variabilă.
şirul
de
sume parţiale 8
839
A.2.4. SERII INFINITE
Teorema 2. Bacă un şir de funcţii continue 8 n ( s ) converge uniform către o funcţie
limită F ( s ) într-un domeniu R, atunci integrala funcţiei F ( s ) pe
orice
arc
simplu Cdin domeniul R, poate fi obţinută găsind
mai
întîi
integrala pe Ca membrului 8 n ( s ) al şirului şi luînd apoi limita pentru
n ->oo,
adică
ţ F(s)
.c
d s = C [lim S „ ( s ) ] d s = lim ( S n ( s ) ds
‘ G n^°°
«->oo ./£
(31)
Teorema 3. Dacă un şir de funcţii analitice 8 n ( s ) este regulat într-un domeniu R,
şi dacă el converge uniform în R către o funcţie limită F ( s ) , atunci F ( s ) este regulat-în
domeniul R.
Teorema Dacă elementele unui şir de funcţii analitice 8 n ( s ) sînt regulate într-un
domeniu R şi dacă şirul converge uniform în R către o funcţie limită F ( s ) , atunci şirul
derivatelor 8 „ ( s ) converge uniform către derivata lui F ( s ) pentru toate punctele
interioare lui R.
Aplicarea repetată a teoremei arată că şirul derivatelor de ordinul k, 8 n { k ) ( s ) ,
converge uniform către F m ( s ) .
Serii Taylor
Aceste teoreme pot fi folosite pentru a stabili multe proprietăţi importante ale
seriilor infinite de tipul şirului de funcţii S „ ( s ) care reprezintă suma parţială a seriei.
Să considerăm un caz particular important pentru seriile infinite.
840
A.2.4. SERII INFINITE
Vom defini o serie de puteri astfel :
oo
(32)
F ( s ) = Y i a n ( S ~ S°^'
Sumele parţiale ale seriilor de puteri sînt polinome în (s-s0.) î dew ele
sînt regulate în întregul plan complex finit (aceasta implica şi conti- nnitatea lor).
Dacă putem acum deteimina domeniul de con\eigenţa uniformă, putem deduce
proprietăţile funcţiei limită folosind teoremele
presupunem că o serie de puteri esto convergentă pentru un punct
Este uşor de arătat că seria este absolut convergenta (şi deci ea este de
asemenea convergentă) în orice punct dm inte:i loral ce:rcu în sn şi de rază s1 — s0.
Cel mai mare cerc cu cenţiul m s0 111 interiorul ca căruia seria converge, este numit
cercul de convergenţa, raza cercului func Zl de convergenţă Eezultă că o serie de
puteri diverge (nu este convergentă) în oricare punct din exteriorul cercului sau de
con\ergenţa, de oarece dacă ea ar converge într-un astfel de punct sz, trebuie sa fie
convergentă oriunde în interioiul cercului de rază s2 7/0, ceea ce ai-însemna că cercul
iniţial nu eia cercul său de convergenţa. Fie i?0îaţa deco^ vergentă a seriei de puteri şi
sa presupunem ca R x este stnct mai mic decît B0. Atunci, se poate arăta că seria dată
este uniform convergenta 1 domeniul închis, mărginit de cercul de rază Br < B0 cu
centrul m s0.
Presupunem acum că o serie de puteri converge către o funcţie P s într-un cerc
de rază B0. Aceasta înseamna ca şnul de sume paiţiale tfB(s) va avea ca funcţie limită
pe F ( s ) . Deoarece 8 n { s ) este o funcţie continua, rezultă din teorema 1 că F ( s ) este
de asemenea continua oriunde m mten- orul cercului. Mai mult, deoarece sumele
parţiale smt regulate m domeniul de conveigenţă unifoimă, rezultă din teorema 3 ca
F ( s ) este regulata m domeniu. Astfel o serie de puteri reprezintă o funcţie
1
4>Să
analitica, cate este
reaulată în interiorul cercului său de convergenţă.
Din teoremele 2 şi 4 rezultă alte două concluzii importante, referite a e la seriile
de puteri. în concordanţă cu teorema 2, deoarece sumele paiţia e ale unei serii de
puteri satisfac condiţiile teoremei, o sene de converqe către F { s ) poate fi integrată
termen cu termen, şi sena obţinută
va converge către integrala lui F ( s ) pe orice cale de
T^erUde
cercului de converaenlă, Similar, în concordanţa cu teoiema 4, o sene de puteri poate
fi diferenţiată termen cu termen, şi seria rezultata va &mvwge către derivata
l u i F ( s ) , oriunde în interiorul cercului de convergenţa. Ceicunle Tcâ7erSmţi lle
seriei int„jra,e ,i seriei difere,,fiate sinl acelea,>
seriei originale.
« cel al
v
Spunem că o serie de puteri converge către o funcţie analitica care este regulată
în interioiul cercului său de conveigenţa. Reciproca, care este ma? interesantă, este de
asemenea adevărată. Orice funcţie analirica poate
s.1
A.2.4. SERII INFINITE
841
fi reprezentată ca o serie de puteri referitoare la orice punct singular s 0. Aceasta este
cunoscută ca teorema lui Taylor, şi enunţul ei este : Fie F ( s ) o funcţie regulată
oriunde în interiorul cercului de rază E 0 în jurul punctului singular s 0 . în acest caz
F ( s ) poate fi scrisă ca :
-*’(«) =
S «.(* - s o ) n
(33)
— F)n)(s)
n
(34)
îl — 0
unde coeficienţii sînt daţi de
«» =
_ Cercul de convergenţă al seriei de puteri este cel mai mare cerc în jurul lui s 0, în care
F ( s ) este definit sau este determinabil ca o funcţie regulată.
’
Ne vom referi la această serie ca la o serie Taylor. Teorema poate fi demonstrată
dacă pornim de la formula integralei lui Cauehy dată în (23) şi dezvoltăm (z—s0)_1 întrun umăr finit de termeni de puteri inverse ale lui ( z — s 0 ) (după ce adunăm şi scădem
z0 la numitorul integrandului), împreună cu un rest. Folosirea formulei integrale
pentru derivatele unei funcţii analitice date în (29) ne conduce la un polinom în ( s —
s 0 ) plus un rest. Demonstraţia
este
completă
dacă
notăm
că
restul tinde către zero
cînd gradulpolinomului
( s — s0) tinde către
infinit.
O consecinţă importantă a teoremei lui Taylor este aceea că cercul de convergenţă
al oricărei serii de puteri trece printr-un singur punct al funcţiei analitice care o
reprezintă, deoarece în teorema lui Taylor raza de convergenţă este distanţa de la
punctul s0 la cel mai apropiat punct singular.
Pentru determinarea seriei de puteri care reprezintă o funcţie, nu este necesar să
folosim formulele date de teorema lui Taylor. Dar, indiferent de metoda folosită pentru
găsirea seriei de puteri corespunzătoare, vom ajunge la seria Taylor, ai cărei coeficienţi
satisfac formula lui Taylor. Acest lucru este dovedit de următoarea teoremă de
identitare pentru seriile de puteri. Dacă două serii de puteri
E an (* - sor Şi £ K {s - s 0 ) n .
îi
—0
n—0
an raze de convergenţă pozitive, şi dacă sumele lor coincid penru un număr infinit de
puncte distincte, avînd ca punct limită, pe s0, atunci a-n=bn pentru orice n; adică, ele
sînt identice.
în particular, condiţiile teoremei sînt satisfăcute dacă două serii coincid într-o
vecinătate a lui s0 sau de-a-lungul unui segment de dreaptă (nu are importanţă cît de
mic) care conţine pe s0. Acest rezultat poate fi demonstrat prin inducţie. Rezultă că
reprezentarea unei funcţii analitice printr-o serie de puteri referitoare la un punct
regulat dat s0 este unică.
842
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
I.
Serii Laurcnt
I
Ani arătat că putem realiza o dezvoltare în serie de puteri a unei funcţii analitice
în vecinătatea unui punct regulat, cu un domeniu de convergenţă care se extinde pînă
la cel mai apropiat punct singular al funcţiei. Problema care se pune este de a stabili
dacă este posibil să găsim alte
i epi ezentări ale unei funcţii analitice m serii de puteri care converg în alte domenii.
Considerăm dimeniul circular între două cercuri concentrice C1 şi <72 cu centrul în sp,
prezentat în fig. A.2.8. O funcţie F ( s ) este regulată pe C j, C o şi în domeniul dintre ele.
Punctul s 0 poate fi un punct regulat sau un punct singular al luii^s). De asemenea pot
exista şi alte puncte singulare ale lui F ( s ) în interiorul cercului interior. Domeniul
circular poate fi_ făcut simplu conex cu ajutorul unui „canal de separare” aşa cum s-a
discutat în capitolul precedent. Dacă aplicăm acum formula integralei lui Cauc-hy,
obţinem :
(35)
unde s este un
domeniului
2 tcj J 0 l z — s
reprezintă puncte
celor două cercuri. Pentru mărimea ( z — s)_1 putem scrie :
(36)
(37)
Fig. A.2.8. Domeniul de convergenţă al unt i
serii Laurent.
punct în interiorul
circular,
şi
s
pe
contururile
s.1
A.2.4. SERII INFINITE
843
844
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Aceasta poate fi scrisă condensat astfel:
-1— = y w* +
1 — w ito
1 —
W
(38)
(38) este o identitate pentru toate valorile lui w cu excepţia lui «7=1. Ecuaţia (36) este
obţinută prin adăugarea şi scăderea lui s0 în numitorul din stînga şi apoi scriind-o în
forma (38) cu :
(40)
w
Z --- Sn
Un caz similar se obţine din (37), cu deosebirea că acum w este
z
(41)
w
S — S„
Să folosim acum pe (36) în prima integrală din (35) şi pe (37) în a doua integrală.
Fiecare integrală va da un număr finit de termeni plus un rest. Se poate arăta, ca şi la
demonstraţia teoremei Taylor, că restul tinde către zero cînd n tinde către infinit.
Rezultatul final este :
co
00
F ( s ) = £ a k ( s - #„)* + £ «_*(« - s 0 ) ~ k
k =0
S-l
(41)
sau
oo
F ( s ) = £ a k { s - «„)*
(42)
— co
unde a k din ultima expresie este dat ele :
f F{z) -(iz
2 Tuj Jc (z — S0)fc+1
(43)
Conturul C este orice contur închis în domeniul circular dintre G1
si (J
’ Seria astfel obţinută se numeşte o serie Laurent. Ea se caracterizează prin aceea că are
atît puteri pozitive, cît şi puteri negative. Domeniul său de convergenţă este un domeniu
circular, spre deosebire de domeniul de convergenţă al seriei Taylor, care este un cerc 1).
Pentru o funcţie dată
Această proprietate a seriei Laurent poate fi interpretată ca seria de puteri pozitive ln (s — Sq) care
converge oriunde în interiorul lui C 2 din fig. 8, şi seria de puteri negative care converge oriunde în interiorul
lui C v ambele fiind convergente simultan în domeniul circular dintre C x şi C2.
A.2.4. SERII INFINITE
845
F ( s ) şi un punct de dezvoltare s0, pot exista mai mult de o serie Laurent cu domenii
diferite de convergenţă. Punctul dezvoltării poate fi un punct regulat sau un punct
singular. Ca şi în cazul unei serii Taylor, nu este absolut necesar să folosim formula
indicată pentru determinarea coeficienţiloi într-un caz particular. Dar teorema de
identitate pentru seria Laurent, care este asemănătoare teoremei reziduului din
capitolul următor, ne spune că indiferent de modul în care am obţinut seria Laurent a
unei funcţii, ea trebuie să fie unică pentru un domeniu de convergenţă dat.
Să considerăm acum cazul particular al dezvoltării Laurent a unei funcţii F ( s ) în
jurul punctului s 0 , care este un punct singular. Cercul interior din fig. A 2.8. nu mai
conţine alte singularităţi (aceasta implică faptul că singularitatea este izolată). Ne
aşteptăm deci ca seria Laurent să ne spună ceva despre natura unei singularităţi în s0.
Ne amintim că seria Laurent conţine două părţi, puteri pozitive şi puteri negative. Să
definim partea regulată F r ( s ) a dezvoltării ca serie de puteii pozitive şi constanta, şi
partea principală F v { s ) ca serie de puteri negative. Dacă nu există partea principală,
seria Laurent se va reduce la o serie Taylor şi S() va fi un punct singular. Astfel, partea
principală a seriei Laurent conţine cheia (soluţia) referitoare la natura singularităţii lui
s 0.
Pentru a descrie singularitatea în s0, dăm următoarea definiţie. Spunem c& F ( s )
are un pol de ordinul n în s0, dacă cea mai maie putere în partea principală este n. (Un
pol de ordinul I se numeşte un pol s i m p l u ) . Pe de altă parte, dacă partea principală
are un număr infinit de termeni, singularitatea în s0 se numeşte singularitate esenţial
izolată. (Cuvîntul „izolat” este adesea omis).
Funcţii definite prin serii
Unul din rezultatele pe care le-am menţionat anterior, este acela că o serie de
puteri defineşte o funcţie analitică care este regulată în interiorul cercului său de
convergenţă. Yom folosi acum această concluzie pentru a defini unele funcţii particulare.
Pînă acum ani avut funcţiile raţionale menţionate explicit. în cazul variabilelor reale,
cunoaştem impoitanţa unor’ funcţii ca exponenţiala, funcţiile trigonometrice,
hiperbolice, şi altele. Totuşi, nu putem considera ca bază definiţiile acestor funcţii
pentru variabila complexă. Aşa de exemplu, tangenta de o variabilă complexă nu poate fi
definită ca raport a două laturi ale unui triunghi.
_
Folosim proprietatea seriei de puteri citată mai sus, pentru a defini
o funcţie exponenţială astfel:
„2
o3
® sn
— 1+s + f]+Î!+-' = 1?o^T
= £° (cos Oi + j Sin co)
(44)
846
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Ultima formă este obţinută prin înlocuirea s = c -|- jco în serie; dezvoltarea puterilor lui
s, gruparea termenilor, şi în final identificarea seriilor de puteri reale reprezentînd s a ,
cos co şi sin co. Nu avem libertatea deplină în alegerea unei serii care să definească pe s”,
deoarece ea trebuie să se reducă la seria corectă cînd s este real.
Pentru determinarea razei de convergenţă a seriei definite, putem recurge la
diferite teste de convergenţă a seriei (care nu au fost încă discutate)^ altă variantă,
deoarece seria reprezintă o funcţie analitică, ar fi aceea de a folosi ecuaţiile CauchyEiemann. în ultimul caz, se poate deduce că nu există puncte singulare în întregul plan
finit, deoarece ecuaţiile Cauchy-Eiemann sînt satisfăcute oriunde. Deci seria converge
oriunde. (Acelaşi rezultat este desigur obţinut şi prin testul făcut pentru convergenţa
seriei). Putem acum urma aceeaşi procedură în definirea altor funcţii transcendente în
termenii seriei. Totuşi, este mai simplu să definim funcţiile trigonometrice şi hiperbolice
în termenii exponenţialei. Prin definiţie, avem :
.
sm s =
— s-JS
Sjs +
e~ i s
^
sins
-------------- 1 cos s = ---------------------- 1 tg s = -----------2j
2
cos s
sJS
sh s = -e*
~ S -, ch a = S + S
2
2
3,
th 8 =
ch s
(45)
(46)
Se constată că sinuşii şi cosinuşii trigonometrici şi hiperbolici, ca şi exponenţiala, sînt
funcţii regulate pentru toate valorile finite ale lui s. Punctele singulare ale tg s
apar
cîndcos s = 0,şi anume pentru un
număr infinit
de valori reale ale
lui sîn punctele s =
(21c — 1) tc/2, pentrutoate valorile
întregi ale lui h. Similar, punctele singulare ale th s apar cînd ch s = 0, şi anume, la un
număr infinit de valori imaginare ale lui s, în punctele s — j { 2 k — 1) tt/2, pentru toate
valorile întregi ale lui I c .
Funcţiile trigonometrice şi hiperbolice de o variabilă complexă satisfac practic toate
identităţile satisfăcute de funcţiile reale corespunzătoare.
A 2.5. FUNCŢII MULTIFORME
în teoria funcţiilor reale definim un număr de funcţii „inverse”. Aceste funcţii pot fi
extinse în planul complex ca funcţii analitice. Aşa după cum ştim, multe din aceste funcţii
(rădăcina a n - a, inversul sinusului, etc.) sînt multiforme pe axa reală. Putem deci să ne
aşteptăm la o comportare similară în planul complex.
Funcţia logaritmică
Să începem cu extinderea conceptului logaritmului. Definim :
A.2.5. FUNCŢII MULTIFORME
0 { s ) = log F ( s )
847
(47a )
dacă şi numai dacă
F ( s ) = sGis}
(476)
(în această anexă ne vom conforma cu convenţia de a scrie log pentru logaritmul de bază
s.) Deoarece cunoaştem semnificaţia lui (47b), cunoaştem de asemenea şi semnificaţia
lui (47a). Se observă că dacă 0 ( s ) satisface (476), şi G ( s ) + 2Tcnj satisface (476)
deoarece
(48)
_G(S)+J2JCJT _ gG(«) eJ2fcrc _ £G(s)
(Folosim mai multe concluzii pentru funcţia exponenţială, concluzii care nu sînt
justificate de noi, dar care pot fi foarte uşor demonstrate). Astfel (47a) nu defineşte o
valoare unică funcţional pentru O ( s ) . Totuşi, putem arăta că oricare două valori care
satisfac (476) pot diferi prin cel mult j‘2lcn. Astfel,deşi funcţia log F { s ) este multiformă,
valorile
sale
diferăprin
constante aditive
simple j2hn. Vom găsi o formulă
pentruuna din aceste
valori multiple scriind :
F(s) = \F{s)\
S^T3F(s)
(49)
unde arg F { s ) este valoarea principală a argumentului definit de :
—
TI
< arg F ( s ) ^ n .
(50)
Exprimînd F ( s ) ca exp log F ( s ) , (49) devine :
J p [ s ) = g,0ft I s3'
arg
(51)
„[log .F(S) + j arg F(«)]
Eezultă din definiţia logaritmului că una din valorile acestei funcţii este
log F ( s ) = log | F { s ) | + j arg F ( s )
(52)
Această valoare principală, care este unică în virtutea lui (50) este cunoscută ca valoare
principală a funcţiei logaritmice. Convenim să indicăm acest lucru scriind l o g F { s ) cu
„ L ” ; similar, a v g F ( s ) va reprezenta valoarea principală dată de (50). Astfel că putem
scrie, pentru toate valorile funcţiei logaritmice,
log F ( s ) = Log F ( s ) + j 2 J c = log\F(s)\ + j[arg F(s) + 2k~},
^^
848
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
unde J c este un întreg pozitiv, negativ sau zei o.
Există un
număr infinit de valori pentiu funcţia
logaritmică,
una
pentru fiecarevaloare a lui I c . Din cauza acestei dificultăţi,
săîncercăm osimplicare, în sensul de a folosi numai valoarea principală Log F ( s ) . înainte de a
considera Log F ( s ) , să analizăm comportarea funcţiei Lo°’ s în planul complex. Log s
este dată de:
•
&
Log* = Logr + j8,
(54)
unde
8=r
sie
cu - 7t < 0 < tc
(55)
Menţionăm că unghiul 0 este nedefinit pentru s=0. Deci, această, ecuaţie nu defineşte
Log s la s=0. Nu are importanţă cum definim Log 0. pentru că oricum Log s nu este
continuă în s = 0, deoarece partea imaginară a Log s ia orice valoare de la — ?r la T Z în
orice vecinătate a lui s=0^ Deci s=0 este un punct singular al funcţiei Log s . Cu toate că
ne-am limitat la valoarea principală, Log s este discontinuă în oricare punct de pe axa
reală, negativă, deoarece, partea imaginară a Log s este aici ~, dar există punct&
arbitrare pe ea la care partea imaginară este foarte aproape de — L o g .ş este
neregulată în orice punct de pe axa reală negativă, inclusiv s =0 oo. (Comportarea la oo
este identică comportării la 0, deoarece Log 1 l s = —* —Log s , aşa cum puteţi verifica
singuri cu uşurinţă).
'
Puncte de ramificaţie, tăieturi şi
suprafeţe Ricmann
Dacă considerăm planul complex „tăiat” de-a-lungul axei reale negative, aşa cum se
arată în fig. A 2.9,f pentru a împiedica trecerea dintr-o parte a ei m cealaltă, Log s este
regulată în restul planului complex De fapt avem :
I
i
849
A.2.5. FUNCŢII MULTIFORME
în toate celelalte puncte ale planului „tăiat”. Astfel Log s este primitiva lui 11 $ .
Putem arăta că
Log s
s; d z
(57)
cu condiţia ca „tăietura” (axa reală negativă) să nu fie intersectată de
curba de integrare.
Fig. A.2.9. Tăietura în planul s.
Observaţii similare sînt valabile şi pentru alte valori ale funcţiei logaritmice.
Restricţia la valoarea principală nu este necesară. Singurul lucru pe care-l putem face
este să impunem restricţia ca parte imaginară a log s să fie cuprinsă în domeniul 2tt.
O formă riguroasă pentru (57) se obţine dacă adunăm la partea dreaptă un multiplu
de j2-, Nu este strict necesar ca tăietura să fie făcută de-a-lungul axei reale negative.
Putem tăia planul de-a-lungul oricărui vector radial definit de :
0!<arg F ( s ) <2tc+ 0j
(58)
Nici această soluţie nu este strict necesară. Se poate admite orice cale simplă
de la s=0 la s = o o .
Astfel, prin restricţii adecvate, putem face funcţia log s univocă şi regulată în
orice vecinătate. Fac excepţie numai punctele .5=0, oc. Nu este posibil să facem log s
regulat şi univoc pentru o vecinătate mică a lui «=0,c°. (Deoarece aceste puncte sînt
puncte singulare, trebuie să le eliminăm dacă dorim să facem funcţia regulată).
Astfel, aceste două puncte singulare sînt diferite în caracter faţă de altele pe care leam întîlnit pînă acum. Le vom numi puncte de ramificaţie. Mai precis, un punct de
ramificaţie al funcţiei este definit astfel:
I
850Punctul s0 este un punct de ramificaţie
A.2. TEORIA
alFUNCŢIILOR
funcţiei DE
F (OsVARIABILA
) dacă sCOMPLEXA
0 este un punct singular
izolat şi nu există o vecinătate mică a lui s 0 în care F ( s ) să fie definit sau determinabil ca
o funcţie regulată unică.
Observăm acum că planul are o tăietură de-a-lungul unei căi simple de la un punct de
ramificaţie al lui log s la celălalt punct de ramificaţie. Fiecare valoare a log s astfel
obţinută se numeşte o ramificaţie a funcţiei. Astfel Log s este o ramificaţie a log s.’
‘
’
_ Eiemann introduce un artificiu care ne permite să considerăm funcţia log completă şi
să o tratăm ca o funcţie univocă. Acest concept important este cunoscut ca suprafaţa
Hiemann. Este dificil să definim aceasta în termeni precişi, şi nici nu intenţionăm să o
facem. Vom descrie însă cîteva suprafeţe Eiemann. Pentru funcţia log s, suprafaţa
Eiemann are următoarea structură. Considerăm că planul s este format dintr-un număr
infinit de planuri identice. Unul din acestea este planul în care arg s este limitat la
valoarea sa principală. Există un număr infinit de planuri deasupra acestuia şi un număr
infinit de planul dedesubt. Toate aceste planuri sînt tăiate de-a-lungul axei reale negative,
şi au aceiaşi origine astfel că planurile sînt toate unite prin aceste puncte. Fiecare plan
este de asemenea unit de cel imediat superior şi de cel imediat inferior prin axa reală
negativă. Muchia superioară a axei reale negative a fiecărui plan este aceiaşi cu muchia
inferioară a axei reale negative a planului imediat următor. întreaga suprafaţă Eiemann
apare ca o rampă în spirală fără sfîrşit.
Să considerăm log s pe o astfel de suprafaţă. Pe fiecare plan
log ® = logi*|+j(args+2ft7t),
(59)
unde h este constanta întreagă. Valoarea lui Jc creşte cu 1 cînd mergem pe planul imediat
următor, şi descreşte cu 1 cînd mergem pe planul imediat anterior. Pe această suprafaţă
Eiemann, log s este o funcţie regulată, univocă cu două puncte singulare s=0,oo.
’
Putem acum să ne întoarcem la [funcţia log F ( s ) . Considerăm log F ( s ) ca o funcţie
de s . în planul F , tăietura de ramificaţie merge de la F ( s ) = 0 la F ( s ) = 00. Să considerăm
numai cel mai simplu’caz în care F ( s ) este raţional. Alte cazuri sînt ceva mai complicate.
Punctele de ramificaţie în planul s sînt polii şi zerourile lui F ( s ) . Fiecare tăietură de
ramificaţie merge de la un zero la un pol. Numărul de tăieturi de ramificaţie la un zero
(sau la un pol) este egal cu ordinul de multiplicitate al acestuia. Tăieturile de ramificaţie
sînt astfel alese încît să nu se intersecteze decît în punctul de ramificaţie.
Un alt exemplu de concept al suprafeţei Eiemann se obţine conside- rînd inversa
funcţiei:
’
F(s)=s2
(60)
A.2.5. FUNCŢII MULTIFORME
851
Inversa acestei funcţii se numeşte rădăcina patrată şi se scrie :
G ( 8 ) =8 1 I * = Y S
(Formal putem defini puterile lui s astfel:
s a — z a log s?
(61)
(62)
unde oc poate fi orice număr complex). Ca şi m cazul leal, îădacina patiată este o funcţie
cu două valori. Cele două valori G t şi tr2 sînt legate prin relaţia
0 ^8 ) = - O a { 8 ) = G a ( 8 ) z *
(6.3)
Putem face această funcţie univocă impunînd restricţia asupra unghiului lui s , ca mai
înainte ; astfel se obţine :
— u < arg s ^ ti.
Definiţia „rădăcinii patrate pozitive” este
0 , ( 8 ) = l s1/a ' 3
J ,re
(64)
(65)
unde Vjs"| este un număr real pozitiv. Şi în acest
caz,G^s) nu este continuă
pe axa reală negativă, inclusiv s=0,co. Punctele
s==0, sînt
puncte de
ramificaţie ale funcţiei G ( s ) . Conceptul de suprafaţă lîiemann poate fi introdus astfel.
Sînt necesare două planuri ale suprafeţei lîiemann, ambele tăiate de-a-lungul axei reale
negative. Pentru a face G ( s ) continuă şi regulată pe această suprafaţă, legăm doua
planuri de-a-lungul axei reale negative. Muchia superioară a axei reale negative a
fiecărui plan este conectată la muchia inferioară a axei reale negative a următorului
plan. (Desigur este inutil să încercăm să obţinem o imagine în spaţiul tridimensional), în
această suprafaţă Riemann, G ( s ) este regulat şi univoc determinat cu excepţia lui
s=0,co.
Se vede că punctele de ramificaţie ale funcţiei log s sînt puţin diferite de punctele
de ramificaţie ale lui sI/!. în primul caz avem un număr infinit de ramificaţii, în al doilea
caz avem numai un număr finit. Pentru a le distinge între ele, vom numi pe cea dintîi o
singularitate logaritmică (sau un punct de ramificaţie logaritmică) şi pe cealaltă
singularitate algebiica (sau un punct de ramificaţie algebrică).
Desigur această discuţie poate fi extinsă şi la alte funcţii algebrice iraţionale, ca
de exemplu
’
852
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Clasificarea funcţiilor multiforme
Am văzut că singularităţile unei funcţii analitice sînt extrem de importante. De
fapt, putem clasifica funcţiile analitice în raport cu tipul si localizarea punctelor
singulare. în continuare vom prezenta concis această clasificare.
Cel mai simplu caz este acela al unei funcţii analitice care nu are sin- gu aiităţi,
nici în planul finit, nici la infinit. în acest caz, o teoremă cunoscută ca teorema lui
Liouville ne spune că funcţia este o constantă. în cazul următor, considerăm că
funcţia nu are singularităţi finite, dar are smg-ularităţi la s= oo. Un exemplu de astfel
de funcţie este funcţia exponenţiala. CHiuncţie care nu are singularităţi în planul
finit s este cunoscută ca o funcţie întreagă . Dacă singularitatea la infinit este un pol,
vedem din dezvoltarea Laurent referitoare la infinit, că această funcţie este un
polinom (de asemenea numit raţional întreg). Dacă singularitatea la infinit este o
smgu aritate esenţială, funcţia este o funcţie transcedentală întreagă. funcţiile e‘, sm
s, cos s, etc., aparţin acestei categorii.
Cîtul a două funcţii întregi este o funcţie meromorfă. Singurele singularităţi ale
funcţiei meromorfe, în planul finit, sînt puncte în care funcţia întreagă a numitorului
devine zero. Astfel o funcţie meromorfă poate avea numai poli în partea finită a
planului s. Comportarea la infinit împarte aceasta clasă în două subclase. Dacă
punctul oo este un punct regulat sau un pol, atunci se poate arăta că funcţia are
numai un număr finit de poli (se foloseşte teorema cunoscută ca teorema lui BolzanoWeierstrass). Folosind dezvoltarea în fracţii parţiale dată în paragraful A 2.7, putem
arăta că această funcţie este o funcţie raţională, adică un cît de două polinoame.
Reciproca : orice funcţie raţională este o funcţie meromorfă cu cel mult un pol la s =
oo. Un exemplu de funcţie meromorfă neratională este tg s sau cosec s.
’
■.
aceste funcţii smt funcţii univoce. Funcţiile multiforme pot fi
clasificate în raport cu numărul de puncte de ramificaţie si numărul de ramificaţii la
fiecare punct, de ramificaţie. O funcţie cu un număr finit de puncte de ramificaţie şi
un număr finit de ramificaţii este o funcţie algebrica iraţională. Să vedem exemple de
astfel de funcţii. Funcţia logarit- mica poate fi folosită să construim exemple pentru
un număr infinit de ramificaţia Funcţia log s are un număr infinit de puncte de
ramificaţie şi un număr infinit de ramificaţii, în timp ce funcţia ]/sin s are un număr
mfmit de puncte de ramificaţie la fiecare punct de ramificaţie. Acestor trei clase nu li
s-au asociat nume speciale.
’
A. 2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
Teorema Cauchy tratează problema integralei pe contur închis a unei funcţii cînd
funcţia este regulată în interiorul conturului. Acum avem informaţiile necesare pentru a
determina valoarea unei integrale pe contur închis cînd conturul include unul sau mai
multe puncte singulare ale funcţiei. Pentru aceasta propunem să reluăm formula pentru
coeficienţii unei serii Laurent dată în (43) şi să considerăm coeficientul primului termen
al puterilor inverse, T c = l . Acesta este :
(67)
A.2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
853
Acesta este un rezultat extrem de important. El afirmă că dacă o funcţie este integrată pe
un contur închis în interiorul căruia funcţia are un punct singular, valoarea integralei va
fi 2 n j înmulţit cu coeficientul primului termen de putere negativă din seria Laurent.
Niciunul din ceilalţi termeni din serie nu are nici o contribuţie asupra integralei. Vom
numi acest coeficient reziduu. Menţionăm că funcţia este regulată pe contur.
Dacă conturul în discuţie include mai mult de un punct singular (dar un număr
finit), putem închide fiecare punct singular într-un contur mai mic, situate toate în
interioiul conturului principal. Trasînd canale de separare într-un mod obişnuit, găsim că
valoarea integralei în junii conturului original este egală cu suma integralelor în jurul
contururilor mici, toate luate în sensul invers acelor ceasornicului. Să considerăm acum o
serie Laurent referitoare la fiecare din punctele singulare. Aşa cum se arată în paragraful
precedent, valoarea integralei referitoare la fiecare contur mic este egală cu 2nj înmulţit
cu reziduul corespunzător. Deci integrala pe conturul original este egală cu 2nj înmulţit
cu suma reziduurilor tuturor punctelor singulare din interiorul conturului; astfel :
'c
F ( s ) d s = 2tî j Y t reziduurilor funcţiei în punctele singulare (68)
Aceasta este cunoscută ca teorema reziduurilor. Pentru a găsi valoarea unei integrale pe
contur închis este necesar să calculăm reziduurile referitoare la toate punctele singulare
într-o manieră independentă de formula pentru coeficienţii seriei Laurent.
Considerăm o funcţie F ( s ) care are un pol de ordinul n în s0. Dacă seria Laurent
referitoare la s 0 este multiplicată cu ( s — s 0 ) n , rezultatul va fi
( s - s 0 ) n F ( s ) = a _ u +a _ n + 1 ( s - s v ) + . . . -'ra^ ( s - s 0 ) n ~ 1 + a 0 ( s s 0 ) n + . . . (69)
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
854
Funcţia din stînga este regulată în s0, şi seria din dreapta este seria Taylor
reprezentată în vecinătatea lui s 0 . Folosind formula pentru cieficienţii Taylor,
obţinem
(70)
«T"1
(s-s0fF(s)
{ n - 1)! dsn~1
Pentru un pol simplu, aceasta se reduce la următoarea formă simplă :
«-i= (s - s 0 ) F {s)\s=,?0
(71)
Pentru poli, cunoaştem acum o cale simplă de determinare a reziduurilor. Pentru
determinarea reziduului referitor la un pol simplu se cunosc şi alte variante de calcul
mai comode. Dacă funcţia dată este de forma :
F (s) = G { s ) j H ( s )
(72)
şi s 0 este un pol simplu al funcţiei F ( s ) , de obicei^ H (<?) are un zero simplu în s 0 şi
G ( s ) este regulat şi diferit de zero în s 0 . în acest caz putem scrie :
lim G ( s )
reziduul luiF(s) în s n = lim (s — s a ) F ( s ) = --------------- — -------------lim H( s ) l ( s - s 0 )
V
(73)
S—^S 0
deoarece G ( s ) este regulat în s0. Astfel limita numărătorului este G ( s 0 ) . Pentru limita
numitorului, scădem H( s 0 ) din H( s ) , ceea ce este permis deoarece H( s 0 ) = 0. Se
obţine :
reziduul lui F ( s ) în s0= ---------------------^i^o) -------------- _ ^(so)—
lim [ H( s ) — H (s0)]/(s—s0)
H' ( s 0 )
S —^S Q
deoarece limita citului de la numitor este prin definiţie derivata funcţiei H( s ) .
Dacă pe de altă parte scriem :
F ( s ) = ......._
-
’ ’
(75)
F - ^s )
şi urmăm acelaşi raţionament, se obţine :
reziduul lui F ( s ) în sn= ,
1
a (1)
(76)
A.2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
855
Rezultă că reziduul la un pol simplu este inversa derivatei funcţiei reciUna din aplicaţiile importante ale teoremei reziduurilor este următoarea teoremă a
identităţii pentru seria Laurent;
Dacă două serii Laurent :
P
£ a„ (»-«„)" Şi £
n = — oo
n = — co
au un domeniu comun de convergenţă i21< |s—s0 |<
funcţie în acest domeniu, atunci :
reprezintă aceiaşi
an = bn (toate valorile lui n, — oo <n <oo)
Rezultă că cele două serii reprezintă aceiaşi funcţie
£
»=-»
£
6,(*-*o)"
n=-oo
(-Bi< l*-*ol<-Ba) (77)
Deoarece seriile de puteri pozitive şi negative sînt serii de puteri, ele converg uniform
pentru |s—s01 <-R2—e, (e>0) şi \s—s0\>Ii1+ s respectiv. Deci în domeniul circular
B 1 + z < \ 8 - s 0 \ < B t - e , seriile Laurent sint uniform convergente. Multiplicăm acum
ambele părţi din (77) prm ( s — s 0 )
,
unde J c este întreg, pozitiv, negativ sau zero, şi integrăm de-a-lungul unei căi
circulare C care cade în domeniul de convergenţă uniformă şi încercu- ieşte pe s0.
Folosind teorema reziduurilor, obţinem;
a_fc = b _ k (pentru — co < J c < oo)
Evaluarea integralei definite
Teorema reziduului (care include teorenm lui Cauehy) ne oferă o modalitate de
evaluare a multor integrale definite, reale care nu pot fi evaluate prin alte metode.
Alegem o funcţie de s care se reduce la mte- grandul real dat cînd s este real, şi
alegem un contur închis care include în el intervalul dorit pentru integrala definită.
Dacă putem acum să găsim reziduurile la singularităţile integrandului care pot cădea
în interiorul conturului ales, şi dacă putem calcula independent contribuţia la integrala pe conturul închis a celeilalte părţi care completează intervalul dorit, se poate
găsi valoarea integralei dorite.
856
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
111 evaluarea unor astfel de integrale pot apare două situaţii. Se poate
mtimpla ca mtegrandul să aibă un pol simplu pe calea de integrare. Pentru a aplica
teorema reziduurilor, funcţia trebuie să fie regulată pe conturul închis. Această
situaţie este remediată prin clistorsionarea conturului printr-un arc semicircular, aşa
cum se arată în fig. A 2.10. Noui contul este desigur diferit de cel original. Vom face
totuşi ca raza semicercului să tmda către zero. Eămîne de calculat eontributia
semicercului la integrala, pe conturul închis.
*
a
_ Ca/e de
integrare
b
Fig. A.2.10. Distorsionarea conturului de integrare în jurul polului.
Consideiăm calea semicirculară arătată în fig. A. 2.10& în jurul unui pol simplu în s 0 .
Dezvoltarea Laurent a lui/(s) referitoare la s0 are forma :
(78)
Menţionăm că direcţia căii este înconjurarea polului în sens contrar acelor
ceasornicului cînd deformarea conturului s-a făcut astfel încît polul să cadă în
interiorul conturului. Putem de asemenea proceda la excluderea polului din contur.
Atunci, valoarea obţinută va fi negativa celei obţinute aici. Seria poate fi integrată
termen cu termen; fie ( s — s 0 ) = rs^şi fie C notaţia semicercului. Pe semicerc, 6
variază de la 0 la n . Integrala din F ( s ) pe semicerc devine
^ F (8 ) ă s =
j r s ^d 0 + £ a n f r n x ^ n j r s ^d Q
(79)
(80)
A.2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
857
Se observă că primul termen este independent de raza r a semicercului. Cînd raza r
tinde către zero, fiecare termen din sumă va tinde către zero. Deci
\ F ( s ) ăs=jiza_1 ;
J semicerc
astfel că, integrala pe o jumătate de cerc în jurul unui pol simplu va avea jumătate din
valoarea unei integrale pe un cerc complet. Dacă conturul este o fracţiune k a unui arc
circular, folosind acelaşi raţionament, contribuţia acestuia va fi J c ( 2 T : j a _ 1 ) .
A.2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
858
Lema lui Jordan
O altă situaţie care apare adesea la integralele definite este necesitatea
evaluării unei integrale cu limite infinite, adică
(81)
O astfel de integrală se numeşte o integrală improprie. Se foloseşte notaţia
echivalentă
(82)
Valoarea obţinută mergînd spre valori infinite negative şi pozitive într-un mod
simetric, este numită valoarea principală a integralei. Acest tip de integrală poate fi
evaluată prin alegerea unui contur constând din axa imaginară de la — B 0 la B 0 şi un
semicerc mare în semiplanul drept sau stîng, aşa cum este arătat în fig. A 2.11.
Integrandul trebuie să fie o funcţie F { s ) care se reduce la integrandul dat pe axa
imaginară. Folosirea teoremei reziduurilor ne permite acum evaluarea intergralei
dorite, cu condiţia ca integrala pe arcul semicircular să tindă către o limită cînd J? 0->
oo,şi ca această limită să poată fi găsită. Situaţia cea mai dorită este ca acest arc să nu
aibă nici o contribuţie asupra intergralei. Se poate arăta că dacă
| ju) Pionul s
Fig. A.2.11. Contur pentru evaluarea integralelor infinite.
s F ( s ) tinde uniform către zero1’ pe arc, cînd raza cercului tinde către infinit, atunci
nu există nici o contribuţie din partea arcului infinit 5 de exemplu, dacă F ( s ) este un
raport a două polinoame, gradul numitorului trebuie să depăşească pe al numitorului
prin 2 sau mai mult,
Fie t o variabilă reală şi să presupunem că integrandul are forma :
F(s) = G(s)sH
0
(83)
Se poate arăta că pentru t >0, arcul infinit din semiplanul sting nu va contribui
A.2.6.lucru
TEOREMA
REZIDUURILOR
859
asupra integralei, şi^ acelaşi
este
valabil şi pentru arcul din dreapta pentru
t < 0, cu condiţia ca G ( s ) să tindă uniform către zero cînd razasemicercului tinde
către infinit. Acest rezultat
este numit lema lui
Joi dan.
Prezenţa exponenţialei face inutilă restricţia privind
restul
integrandului. Astfel dacă G ( s ) este un raport de două polinoame, este suficient ca gradul
numitorului să-i depăşească pe al numărătorului cu l(sau mai mult).
Aşa de exemplu să considerăm evaluarea integralei :
r“ sin (iţi ,
I = \ --------------- du
T
J o CO
J
(84)
Exprimînd funcţia sinus în termenii exponenţialei, obţinem :
co
—
şOtet
did -f- i ----------- du
o 2j co
Jq 2J co
/* so g — jat
(85)
Dacă în a doua integrală înlocuim pe to cu — to, integrandul va deveni identic cu cel
al primei integrale, în timp ce limitele vor deveni — oo la zero. Cele două integrale pot
fi deci combinate şi se obţine :
I --
1
‘
-oo ~ — j o H
oo £— jon
do>
S M---------------------------------------------------30 CO
(86)
Considerăm acum integrala :
(— ds
Js
(87)
) Adică, limita tinde către acelaşi număr pentru toate unghiurile lui s din interiorul acestui
domeniu. Domeniul este |arg s |<tt/2 pentru un semicerc in semiplanul drept si |arg s |<7t/2 P entru un
semicerc în semiplanul stîng. în limbajul e — 8, amplitudinea diferenţei dintre sF(s) şi limită (în aeest caz
0), poate fi făcută mai mică ca e, atunci cînd |s|>Ar(s), unde N(s) este independent de arg s în domeniul
considerat.
unde conturul C este conturul închis prezentat în fig. A 2.12. Integrandul are un pol
simplu pe conturul original, astfel că vom modifica conturul făcîndu-1 să ocolească
polul aşa cum este arătat în figură. Conturul complet conţine două porţiuni ale axei
ja> şi două semicercuri, raza unuia va tinde
(90)
860
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Fig. A.2.12. Cale de integrare
pentru evaluarea unei integrale.
către zero în timp ce a celuilalt va tinde către infinit. Deoarece integrandul este
regulat oriunde în interiorul conturului, integrala pe conturul închis va fi egală cu
zero. Putem scrie
Integrandul satisface lema lui Jordan, astfel că ultima integrală din această ecuaţie
se anulează. Valoarea integralei pe C0 este, în concordanţă cu
(80)
,— j'tî înmulţit cu reziduul integrandului la s=0. Pentru calculul reziduului se
foloseşte (71) şi se găseşte că este 1. Deci :
(89)
Putem scrie acum (88) astfel:
Din ecuaţiile (86) şi (90) obţinem în final
Principiul argumentului
861
A.2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
Ca o altă aplicaţie a teoremei reziduurilor, vom demonstra acum o teoremă
foarte utilă numită „principiul argumentului”, Fie F ( s ) o funcţie analitică care este
regulată într-un domeniu E ,excepţie făcînd pentru poli. Să evaluăm integrala :
’
’
(92)
în jurul unui contur închis C în domeniul E parcurs în sens invers acelor
ceasornicului, unde prim indică diferenţiala, Nu există poli sau zerouri ai lui F ( s ) pe
conturul C .
Presupunem că F ( s ) are un zero de ordinul n într-un punct s , din
E . Putem scrie :
F ( s ) = ( s - s ^F ^s )
(93)
F ' ( s ) = n i s - s ^ F ^ s ) + (s—sj" F ' ( s ) F ' ( s ) _ n F [ ( s )
T7T / _ \
F ( s ) s —Sj Z((s)
‘ ~r~tl /
^
Se constată că această funcţie are un pol simplu la zeroul lui F ( s ) cu reziduul n.
Funcţia F^s) poate acum fi tratată în acelaşi mod şi vom repeta această procedură
pînă cînd toate zerourile funcţiei originale F ( s ) vor fi puse în evidenţă. Fiecare zero va
conduce la un termen asemănător primului din partea dreaptă a lui (93).
Să presupunem acum că F ( s ) are un pol de ordinul m într-un punct s 2 din E .
Putem scrie
(94)
F ' ( s ) = ( S - S ^ F 2 ( S ) - (s - s 2 ) m + 1
F'(s) _ ^
F(s)
s—s2
m
F2
m
(S)
s— s2
F 2 (s )
F2 ( S )
F2(s
Se constată că funcţia dorită are un pol simplu la polul lui F ( s ) cu un reziduu care
este negativul ordinului său. Această procedură poate fi din
(90)
859
A.2.6. TEOREMA REZIDUURILOR
nou repetată, şi fiecare pol al lui F ( s ) va conduce la un termen asemănător
primului din partea dreaptă a ultimei ecuaţii. Singularităţile lui F ' ( s ) I F ( s ) din
domeniul R vor coincide cu zerourile şi polii lui F ( s ) deci din teorema reziduurilor,
valoarea integralei pe conturul dorit va fi :
(95)
unde n - j sînt ordinele zerourilor lui F ( s ) din R , şi m ^ sînt ordinele polilor. Observăm
că :
=
F(s) ds
A \og F[s)
(96)
Putem deci evalua integrala pe contur cu ajutorul primitivei F ' ( s ) / F ( s ) , care este log
F ( s ) . Prin parcurgerea conturului G înţelegem că pornim dintr-un punct şi ne
întoarcem în acelaşi punct. Menţionăm că funcţia multiformă log F { s ) va avea aceeaşi
parte reală la revenirea în punctul de plecare. Deci, valoarea integralei va fi de j ori
creşterea unghiului lui F (s ) cînd s parcurge conturul C în sens invers acelor
ceasornicului. Aceasta va fi egală cu partea dreaptă a lui (95). Dacă împărţim acum
prin 2rc, rezultatul va fi un număr care indică de cîte ori conturul C din planul F
înconjoară originea în sens invers acelor ceasornicului (creşterea unghiului împărţită
prin 2~ este numărul de încercuiri ale originii în sens invers acelor ceasornicului).
Să enunţăm acum principiul argumentului. Dacă o funcţie F ( s ) nu are puncte
singulare în interiorul unui contur C, cu excepţia polilor, şi nu are zerouri nici poli-pe
C, atunci numărul de încercuiri ale originii în sens invers acelor ceasornicului de către
loctd curbei G în planul F, este egal cu numărul de zerouri minus numărul de poli ai
lui F ( s ) din interiorul Im C. Fiemre pol sau zero este luat în calcul ţinînd seama de
multiplicitatea sa.
înainte de a încheia acest capitol, să considerăm o altă problemă a integralei pe
contur. Aceasta este problema integrării unei funcţii în jurul unei singularităţi
logaritmice.
Să considerăm, prin urmare, integrala :
P
tI
unde calea P este un arc în jurul unui zero sau unui pol al lui F (s), aşa cum se arată în
fig. A 2.10 b. Să considerăm că F ( s ) are un zero (sau un pol) do ordinul I c în s0.
în acest caz putem scrie :
F ( s ) = ( s - s 0 f F , ( s ) log F ( s ) = h log ( s — s u ) + log F ^s )
(97a)
(976)
860
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Dacă .S' este un pol, fie k un număr întreg, negativ în aceste expresii astfel că putem
face discuţia simultană a unui zero de ordinul A: şi a unui pol de ordinul — k .
Deoarece am presupus că raza cercului tinde către zero, logF^s) nu va contribui în nici
un fel asupra integralei, deci ea este regulată în s0. Rezultă că este suficient să
considerăm :
(l
\ log ( s S Q ) d s
Jp
dacă dorim să luăm limita, şi aşa vom face.
Pe arcul de rază r , putem estima :
| ( log ( s — s 0 ) d s | < r 6 | log r | + r 02 = 61 v log r \ + r O2 (98) J p
unde 0 este unghiul sub care se vede arcul privit din origine. Se ştie că :
lim r log r =
Deci
r-»0
limf logJ^s) d s
r-»0 Jp
şi acesta
este rezultatul pe care doream
singularitatelogaritmică
care cade pe o
integrala.
0
=0
(99)
(100)
să-i obţinem. Amarătat
că o
cale de integrare
nuafectează
A. 2.7. DEZVOLTAREA ÎN FRACŢII PARŢIALE
Dezvoltarea Laurent a unei funcţii referitor la un punct singular exprimă o
funcţie într-un domeniu circular referitor la acest punct singular. Deşi funcţia poate
avea şi alte puncte singulare, nu putem avea o evidenţă a acestor puncte singulare.
Uneori poate fi util să avem o reprezentare a funcţiei care să pună în evidenţă toate
punctele sale singulare.
Presupunem că o funcţie F ( s ) are singularităţi izolate la un număr finit n de
puncte în planul finit. Putem de asemenea avea o singularitate la infinit. Să
considerăm dezvoltarea F ( s ) într-o dezvoltare Laurent referitoare la unul din
punctele singulare, să zicem Rezultatul va fi :
F(s) = Fpl(s) + Frl(s),
(101)
unde indicii se referă la partea principală şi partea regulată.
Considerăm acum F r l ( s ) , care este funcţia originală din care s-a scăzut partea
principală a seriei Laurent referitoare la una din singularităţile sale. Aceasta este
regulată în .s-,, dar are toate celelalte singularităţi ale lui F ( s ) . Să o dezvoltăm într-o
serie Laurent referitoare la o altă singularitate, s 2 F n (8) = F ( s ) - F n (*) = F p i ( s ) + F t 2 (s)
(102)
A.2.8. PRELUNGIRE ANALITICĂ
861
Funcţia F p l ( s ) este regulată la singularitatea s 2 , deci ea nu va afecta partea
principală F p 2 ( s ) . Aceasta înseamnă că partea principală h p 2 ( s ) vai fi aceeaşi dacă
dezvoltăm F n { s ) sau funcţia originală F { s ) .
Repetăm acum acest procedeu cu F t 2 ( s ) pentru fiecare singularitate. La fiecare
etapă se scade partea principală a dezvoltării Laurent pînă cînd epuizăm toate
punctele singulare. Partea regulată a ultimei dezvoltări Laurent nu va avea alte
singularităţi în planul finit. Eezultă că ea trebuie să fie o funcţie întreagă. Am avut în
vedere obţinerea unei reprezentăr a lui F ( s ) de forma :
F ( s ) = £ F v k ( s ) + F r (s )
k =1
(103)
Fiecare din termenii sumei este partea principală a seriei Laurent a lui F { s )
dezvoltată referitor la una din singularităţile sale. Ultimul termen este
o funcţie întreagă. Dacă F { s ) este regulată la infinit, acest termen va fi o constantă.
Dacă F ( s ) are un pol de ordinul n la infinit, acest termen va fi un polinom de gradul
n . în final, dacă F ( s ) are o singularitate esenţiala la infinit, acest termen va fi o serie
de puteri infinite. Reprezentaiea unei funcţii analitice dată în (103) este numită o
desvoltare în fracţii parţiale.
Presupunem că o funcţie are un număr infinit de poli şi nu are singularităţi
esenţiale în planul finit (aceasta face funcţia meromorfă). în aceste cazuri putem găsi
de asemenea o dezvoltare în fracţii parţiale. Suma păi- tilor principale din (103) va fi o
serie infinită şi în general nu poate converge. Cu toate acestea este posibil totdeauna
să modificăm astfel termenii încît seria să devină convergentă. Dar în acest caz forma
dezvoltării este uiodi- ficată. Desigur, în unele cazuri o astfel de modificare nu este
necesară, îai expunerea condiţiilor în care această modificare este posibilă nu este
simplă, şi nu ne propunem să tratăm acest subiect. (Această dezvoltai e este cunoscută ca dezvoltarea Mittag-Leffler).
A. 2.8. PRELUNGIRE ANALITICĂ
Chiar la începutul acestei anexe am definit o funcţie analitică ca una care este
diferenţiabilă oriunde într o vecinătate, oricît de mică, a unui punct, Mai târziu,’ din
dezvoltarea Taylor a unei funcţii analitice referitoare
862
A.2. TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
la un punct s0 în care funcţia este regulată, vedem că cunoaşterea tuturor
derivatelor unei funcţii analitice într-un punct ne permite să reprezentăm funcţia
oriunde într-un cerc în jurul punctului, un cerc care se extinde pînă la cea mai
apropiată singularitate a funcţiei. Spunem că am obţinut o reprezentare în serie de
puteri a unei funcţii referitoare la un punct, nu are importanţă prin ce procedură, şi
această serie este unică. Putem expune acest rezultat într-o altă formă şi anume :
Dacă două funcţii sînt regulate
Fig. A.2.13. Domeniu comun de definire a două
funcţii.
mtr-iin domeniu lî şi dacă ele coincid într-o vecinătate, nu are importanţă cit de mică,
a unui punct s0 din R, atunci cele două funcţii sînt egale oriunde m Tî. Această
teoremă se numeşte teorema de identitate pentru funcţii analitice. (De fapt, este
necesar ca cele două funcţii să coincidă numai pe un segment al căii, oricît de mic, sau
cliiar numai pe un număr finit de puncte distincte cu un punct limită în s 0).
Săi considerăm acum două funcţii F^s) şi F 2 ( s ) , care sînt regulate în domeniul
de suprapunere L \ şi B 2 , domeniul comun fiind E 0 , aşa cum este arătat în fig. A
2.13. (JSTu este necesar ca domeniul să fie circular aşa cum se arată aici). Două
funcţii F ^ s ) şi F 2 ( s ) se determină una pe alta univoc. Aceasta rezultă din teorema de
identitate, deoarece numai o funcţie poate fi regulată în (sau B 2 ) şi poate avea aceiaşi
valoare în B 0 .
’
Presupunem că se cunoaşte funcţia Fjs) în B1 şi putem găsi o funcţie F2(s) în B 2 cu
proprietăţile considerate mai sus. Spunem că F ^s ) este prelungită analitic dincolo de
domeniul original în domeniul /,'■>. Dar putem la fel de bine considera că F 2 ( s ) este
funcţia originală şi F t ( s ) este prelungirea analitică în domeniul Bx. Din acest motiv,
spunem că fiecare din ele este o reprezentare parţială sau un element al unei funcţii
F ( s ) care este regulată în B x şi B 2 .
Problema poate fi tratată luînd ca punct de plecare un element F x ( s ) al funcţiei,
care este în forma unei serii de puteri, şi să determinăm prelungirea sa analitică în
afara cercului original de convergenţă. Se poate folosi din nou fig. A 2.13. Presupunem
că alegem un punct s0 în domeniul h\. Din elementul dat l\(s) putem evalua toate
derivatele în «0 şi formăm o nouă serie de puteri referitoare la s0. Această serie
converge sigur în Slt domeniul original de convergenţă al lui ( s ) , şi poate de asemenea
converge într-un cerc care se extinde dincolo de cei eul original, aşa cum se arată în
fig. A 2.13. Seria defineşte un alt element F 2 ( s ) al funcţiei pentru care F t ( s ) este de
asemenea un element. Putem alege un alt punct în interiorul noului domeniu R 2 , şi
calculăm o nouă serie care poate converge într-un cerc care se extinde dincolo de
863
A.2.8. PRELUNGIRE ANALITICĂ
limita lui I î 2 .
Această procedură poate fi acum repetată. Trebuie însă evitată existenţa unui
punct singular în cercul obţinut prin extinderea dincolo de cel precedent, punct
singular care cade pe circumferinţa primului cerc şi pe raza primului cerc dusă prin
centrul celui de al doilea cerc. Această situaţie poate fi evitată prin alegerea unui alt
punct pentru centrul celui de al doilea cerc, afară de cazul în care fiecare punct de pe
primul cerc este un punct singular. Aceasta este o situaţie posibilă, dar nu este
comună. Într-un astfel de caz, funcţia originală se numeşte mărginită natural, şi
dincolo de această limită ea nu poate fi prelungită analitic.
Cu excepţia unei limitări naturale, un element poate fi prelungit analitic în
întregul plan prin acest procedeu de suprapunere a- cercurilor. Singurele puncte care
vor fi eliminate din interiorul oricărui cerc vor fi punctele singulare. Şirul de funcţii
definite în aceste cercuri, vor fi toate elemente ale unei funcţii singulare. Este
justificată acum definiţia funcţiei analitice.
Procedeul descris aici are o valoare practică redusă, deoarece niciodată nu vom
calcula toate elementele unei funcţii în acest mod. Totuşi, ea are o importanţă
deosebită în ceea ce priveşte comportarea fundamentală a funcţiei.
în procesul de realizare (cel puţin în imaginaţie) a suprapunerii cercurilor',
presupunem că unul din ele se suprapune complet peste cel anterior. Problema care
apare este dacă valorile date de ultima funcţie vor fi aceleaşi cu acelea date pentru
prima în domeniul comun al celor două cercuri. Dacă aceste valori diferă, atunci
funcţia definită de acest set de elemente va fi multiformă.
Să considerăm acum un alt aspect al prelungirii analitice. Presupunem că o
funcţie este definită de-a-lungul unui arc simplu care cade în domeniul R. Este posibil
să găsim o funcţie care este regulată în R şi coincide cu aceea definită pe arcul simplu.
Această funcţie va fi de asemenea numită prelungirea analitică a celei originale. Arcul
simplu poate fi de exemplu o parte sau toată axa jo>. Dacă luăm de exemplu o funcţie
care are valoarea
1 -)~/co pentru intervalul 1 -c^co .^2, prelungirea analitică este 1-f-s. ISTu există nici o
altă funcţie care să fie regulată în domeniul care conţine intervalul dat de pe axa joi şi
care să coincidă cu funcţia dată în acest interval.
ANEXA 3
Teoria transformatelor Laplace
Ca şi în cazul Anexei 2 privitoare la funcţiile de
anexă privitoare la transformările Laplace va servi
familiarizaţi cu subiectul. Prezentarea va fi făcută în
ilustraţii, discuţii etc.
Conceptul de transformare a unei funcţii poate fi
variabilă complexă, această
ca referinţă acelor cititori
linii mari şi completată cu
abordat pornind de la ideea
folosirii unei schimbări de variabilă în scopul simplificării soluţiei unei probleme.
Astfel dacă avem o problemă ce implică variabila x , substituim x cu o altă expresie, în
funcţie de noua variabilă (de exemplu a>=sin0), cu anticiparea că problema va avea o
formulare şi o soluţie mai simplă în raport cu noua variabilă. După obţinerea soluţiei
în raport cu noua variabilă, folosim inversa schimbării precedente şi găsim astfel soluţia problemei originale.
Adesea este necesară o „schimbare de variabilă” mai complicată, sau
transformare. Dacă se dă o funcţie f ( t) de variabila t , definim o transformată
integrală a lui f ( t ) astfel
transformata integrală a lui f ( t ) = \ f ( t) K ( t , s ) d t.
(1)
Ja
Funcţia K ( t , s ) care este o funcţie de două variabile, se numeşte nucleul transformării.
Observăm că transformata integrală nu mai depinde de t • este o funcţie de variabila s
de care depinde nucleul.
A.3.1. TRANSFORMATELE LAPLACE: DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI DE
CONVERGENŢĂ
Tipul de transformată care se obţine şi tipurile de probleme în care este utilă
depind de două lucruri: de nucleu şi de limitele de integrare. Pentru alegerea
particulară a nucleului K { s , t ) = s - S t şi a limitelor o şi infinit,
transformata se numeşte transformată Laplace şi se notează cu S f { f ( t) } . Astfel
n m ) = C m z - ‘ ă t.
(2)
Transformata Laplace a lui f( t ) este astfel o funcţie de variabila complexă s . Vom nota
transformata Laplace a lui f ( t ) cu F ( s ) . Din cauză că este definită ca o integrală,
transformata Laplace este o funcţională liniară; adică dacă f^t) şi f 2 ( t. ) au
transformatele Laplace F ^ s ) şi F s ( s ) iar lclt k2 sînt constante, rezultă
L{\m + k j 2 ( t ) } = h.F^s)+kl\(s).
(3)
Deoarece ecuaţia de definiţie conţine o integrală cu limite infinite, una din primele
întrebări la care trebuie dat un răspuns este aceea asupra existenţei transformatelor
Laplace. Un exemplu simplu de funcţie care nu are otransformată Laplace este sei. Să
enunţăm aşadar
cîteva
teoreme
(din care cîteva le vom demonstra) privitoare la convergenţa
integralei
Laplace. Deoarece s apare ca un parametru semnificativ în (2), ne putem aştepta ca
convergenţa să depindă de valorile particulare ale lui s. în general, integrala converge
pentru anumite valori ale lui s şi diverge pentru altele.
în toate teoremele ce urmează vom considera numai funcţii f { t) integrabile fără a
mai specifica acest lucru de fiecare dată. Ca o primă teoremă considerăm următoarea
afirmaţie :
Dacă o funcţie f ( t ) este mărginită pentru orice t~^>0, atunci integrala Laplace
converge absolut p e n t r u R e ( s ) >0.
Pentru demonstrarea teoremei, observăm că condiţia asupra lui f ( t) înseamnă că
A.3.1. TRANSFORMATELE LAPLACE ; DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI DE CONVERGENŢA 865
|/(#)|<3/ pentru orice t ^ s 0, unde M este un număr pozitiv. Atunci pentiu o>0 vom
obţine
p z ~ s f ( t ) I dt < M^s-°dt = j (1- z - ° T ) .
S
(4)
La limită, cînd T tinde către infinit, membrul drept tinde către M /a . Deci
CO
I z - s t f ( t ) \ d t < — (c>0).
0
d
1/
(5)
Funcţiile cunoscute ca sin, cos, şi alte funcţii periodice cum ar fi unda
dreptunghiulară, satisfac condiţiile teoremei. înainte de a comenta această teoremă sa
considerăm şi teorema de mai jos
866
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
Dacă integrala Laplace converge pentru un anumit s0=co+7wo atunci converge
pentru orice o> a0.
Fie
-SO
\ s - * f { t) d t = Tc0,
JQ
(6)
unde k0 este o constantă, deoarece s0 este un număr complex fixat. Definim
funcţia auxiliară
ţ s s«( f ( t) d t = g (
Jo
(7
)
T).
Dar g ( ^ ) are limită cînd r tinde la co; adică, t i 0 . Deci g ( z ) este mărginită
pentru orice r . Atunci vom scrie integrala Laplace ca mai jos şi integrînd prin părţi
obţinem
lim ( s s t f ( t ) d t = linii £
r-»oo„’0
lim Ie ~ i s ~ s > ) t g { t)
r-»oo|
o
s Sotf(t) dt
r-»ooj0
Jo
( [-(#-s0)
J
( S — S Q t) t —
sau
(8
lim C s ~ s t f ( t ) d t = lim|s~(s~s»)T^(î7) - <7(0) + (s - s 0 ) C
r-»ooj0
T->x |
J
i{t)dt\o
)
J
(9 )
Dar </(0)=0, g { o o ) = Tc0, şi dacă ct><70, atunci e ~ { s - s » ) T g { T ) tinde către zero cînd T
tinde către oo. De asemenea, ţinînd seama de teorema precedentă, ultima integrală din
(9) converge absolut pentru n > c0 cînd T tinde către oo. Astfel afirmaţia se verifică. De
fapt
( s~ s t f ( t ) d t = ( s — s 0 ) [ z ~ { s ~ s , i ) t g ( t ) dt (er >cr0).
’o
'0
(10)
Această afirmaţie poate fi întărită arătînd că integrala Laplace converge absolut
pentru a > c0, dacă converge pentru a0. Totuşi nu vom avea nevoie de acest rezultat în
cazul general. Pentru funcţii de ordin exponenţial (pentru a fi definite prescurtat) putem
demonstra mai uşor acest lucru.
A.3.1. TRANSFORMATELE LAPLACE ; DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI DE CONVERGENŢA 867
Astfel regiunea (mulţimea) de convergenţă a integralei Laplace este un ■semiplan,
deoarece conform teoremei de mai sus dacă integrala converge pentru un anumit punct
din planul s, ea converge pentru toate punctele situate la dreapta aeestuia. Deci putem
defini o abscisă de convergenţă ac astfel încît integrala Laplace converge pentru orice s cu
cr>ac şi diverge pentru orice s cu a < o c . O afirmaţie mai puternică pe care nu am demonstrat-o este aceea că regiunea de convergenţă este de asemenea regiune de convergenţă
absolută. Astfel, comportarea integralei Laplace este oarecum analoagă cu comportarea
seriilor de puteri. Funcţia f( t ) joacă rolul coeficienţilor seriei de puteri şi funcţia s _s(
joacă rolul lui (s—s0)?i. Aşa cum o serie de puteri poate avea orice comportare pe cercul de
convergenţă, integrala Laplace poate avea de asemenea orice comportare 11 pe abscisa de
convergenţă.
Singura diferenţă este legată de existenţa unui punct singular pe cercul de
convergenţă, lucru pe care îl vom examina mai tîrziu. La seriile infinite avem multe
criterii de convergenţă, Toate acestea au analoage la transformatele Laplace. Ne vom
mulţumi să enunţăm numai două din acestea. Analoagă criteriului raportului este
următoarea afirmaţie : Dacă \ f ( t) \ < M e c t 'pentru o constantă dată M şi un număr dat
c, pentru orice t, atunci integrala Laplace converge absolut pentru a >c .
Această afirmaţie se verifică imediat căci
\ \ s ~ s t f ( t ) \ d t < M \ s- ° ’ z c l d t = ---------- ( a >c ) .
Jo
Jo
c— c
(11)
Avem astfel un criteriu suficient pentru existenţa integralei Laplace. Funcţiile care
satisfac inegalitatea
\f(t)\s^Msct pentru un anumit M şi pentru / >0
(12)
Se numesc funcţii de ordin (identice de creştere) exponenţial. Ordinul unei funcţii este cel
mai mic număr <s 0 astfel ca inegalitatea (12) să fie satisfăcută pentru orice
c, = cr0 +8 (S >0)
(13)
şi pentru nici un c = <70 — S. în acest caz am stabilit că integrala Laplace converge
absolut pentru cr>a0 şi diverge pentru <7<<r0. Multe funcţii care nu sînt de ordin
exponenţial admit transformate Laplace. Totuşi, putem enunţa următoarea condiţie
necesară şi suficientă, care arată că integrala unei funcţii transformabile este de ordin
exponenţial.
1
) Adică pentru s avînd c = integrala poate sau nu să fie convergentă (N.T.)
868
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
Funcţia f ( t ) este transformabilă, cu abscisa de convergenţă c0 >0 dacă şi numai
dacă funcţia
9 ( t) =
\f{%) Jo
dx
(14)
satisface
|g ( t ) \ < Jfs«
(15)
pentru orice C > G 0
Demonstraţia acestei afirmaţii se face folosind integrala Stieltjes şi nu o putem
da aici. Yom folosi această teoremă pentru a obţine un criteriu analog cu criteriul
rădăcinii al lui Cauehy pentru serii de puteri.
F i e g ( t ) funcţia definită în (14). Dacă
lim —= c =f= 0,
O
t
(16)
atunci abscisa de convergenţă a integralei Laplace a lui f(t) este c. Integrala converge
pentru > şi diverge pentru g < c. Dacă c=0 criteriul nu poate afirma nimic asupra
convergenţei.
în cazul seriilor de puteri, regiunile de convergenţă, convergenţă absolută şi
convergenţă uniformă coincid. Am afirmat că în cazul integralei Laplace, regiunile de
convergenţă şi convergenţă absolută coincid, amîn- două fiind semiplane. Deci ne
putem pune întrebarea dacă şi regiunea de convergenţă uniformă coincide cu
regiunea de convergenţă. Eegiunea de convergenţă uniformă 11 este stabilită de
următoarea teoremă, dată aici fără demonstraţie :
Dacă integrala Laplace converge pentru s = <r0, atunci ea converge uniform în
sectorul
G
C
I arg (s- a0) [
-
8.
(17)
pem.ru orice 8 >0
Această regiune este arătată în fig. A.3.1. Putem considera e?0 ca fiind abscisa de
convergenţă ac dacă integrala converge în acest punct. Dacă nu, cr0 este un punct
arbitrar de apropiat de e>c, la dreapta acestuia.
Considerînd integrala ca o integrală cu parametrul s, aici este vorba de convergenţa uniformă
în raport cu s. (N.T.)
t
I*
A.3.2. PROPRIETĂŢI ANALITICE ALE TRANSFORMATEI LAPLACE
869
Totuşi, in cazul funcţiilor de ordin exponenţial, regiunea de convei - genţă uniformă
coincide cu regiunea de convergenţă; adică putem lua S = 0 în teorema de mai sus.
Fig. A.3.1. Regiunea de convergenţă şi de convergenţă
uniformă a integralei Laplacc.
Pentru funcţii de ordin exponenţial regiunea de convergenţă uniformă este
semiplanul
cr> ac + 5 (S >0),
unde a, este abscisa de convergenţă.
^
Demonstrarea acestei afirmaţii este cu totul similara cu demonstraţia dată anterior
pentru convergenţa absolută şi deci o vom omite.
Astfel, comportarea, integralei Laplace referitor la convergenţa este identică cu
comportarea seriilor de puteri.
A. 3.2. PROPRIETĂŢI ANALITICE
ALE TRANSFORMATEI LAPLACE
Folosim din nou analogia cu seriile de puteri; o serie de puteri defineşte o funcţie
analitică în interiorul cercului de convergenţă. Putem aşadar să ne întrebăm dacă
analogia se extinde şi în această privinţă. Răspunsul la această întrebare este afirmativ,
aşa cum se arată în următoarea teorema : Dacă integrala
F ( 8 ) = \ z-stf(t)dl
(18)
870
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
converge pentru a > o c , atunci funcţia F { s ) definită de integrală este regulată în
semiplanul a > ac. în fapt, derivata lui F ( s ) este dată de
d F l s ) f® ,
„
—— = \ £ a t ( — t) f { t) d t
ds J0
(19a)
F ( n ) ( s ) = C e - « ( - t ) " f ( t ) dt.
Jo
(196)
şi în general
Fiind dat orice punct s cu <y><?c, putem înconjura acest punct cu un cerc care este
conţinut în întregime în regiunea de convergenţă uniformă, deoarece S
în
(17)este arbitrar.
Apoi, datorităconvergenţei uniforme,
operaţiile
de trecere la limită,
integrare,
derivare potfi schimbate
între ele. Deci:
(1
/7 r00
ds
dsJo
— F(s) =
—
s-‘/(f) dt
r® d = \ — * - « M d t .
Jo d s
Aceasta conduce la (19a). Convergenţa lui (19a) se stabileşte uşor pentru funcţii de ordin
exponenţial. Pentru cazul general integrăm prin părţi.
Astfel, integrala Laplace defineşte o funcţie regulată în semiplanul de convergenţă.
Totuşi, deşi funcţia F ( s ) este definită de integrală numai în semiplanul de convergenţă,
putem folosi procedeul prelungirii analitice pentru a extinde funcţia peste abscisa de
convergenţă ori de cîte ori ea se poate prelungi. [în practică aceasta este o simplă
formalitate, „prelungirea analitică” fiind pur şi simplu o extindere a formulei pentru
F ( s ) ] . La această funcţie analitică mai generală ne vom referi ca fiind transformata
Laplace.
Dacă F ( s ) este transformata Laplace a lui f ( t) , vom numi f ( t) funcţie original şi F ( s )
funcţie generatoare.
în acest concept mai general al transformatei Laplace, funcţia generatoare, în
general, va avea singularităţi. Ele trebuie să se afle în semiplanul a < <7 sau la co. Aici
putem să ne referim din nou la analogia cu seriile de puteri. Funcţia definită de o serie de
puteri are întotdeauna un punct singular pe cercul de convergenţă. He întrebăm dacă
F ( s ) are un punct singular finit la abscisa de convergenţă a e . Aici analogia nu mai este
valabilă, în general se poate să nu existe nici un punct singular la a =a c . Următorul
exemplu, a fost dat de Doestch :
f ( t ) = - W sin (tis1).
(21)
A.3.2. PROPRIETĂŢI ANALITICE ALE TRANSFORMATEI LAPLACE
871
Pentru această funcţie, abscisa de convergenţă este zero. Totuşi, transformata sa,
satisface ecuaţia cu diferenţe finite
F(s) = 1 —
s(s+l)
F(s-\- 2)
2
(22 )
astfel încît F ( s ) este o funcţie întreagă.
Totuşi, în anumite cazuri speciale, transformata are un punct singular în s = ac\-ja>. De exemplu, dacă f ( t ) este în mod esenţial nenegativă, atunci se poate arăta că
punctul real din planul s la abscisa de convergenţă este un punct singular. Această
afirmaţie este prea specializată pentru a interesa în ceea ce ne priveşte astfel încît nu
o vom demonstra. Rezultatul important care ne interesează este că transformata
Laplace este o funcţie analitică care este regulată în semiplanul de convergenţă al
integralei de definiţie. Transformata Laplace generală este funcţia obţinută prin prelungirea analitică a funcţiei iniţiale.
Una din proprietăţile analitice importante ale transformatei Laplace se referă la
comportarea ei la oo. în legătură cu aceasta, avem următoarea teoremă : . „
.
Dacă funcţia original f ( t ) este o funcţie de t absolut integrabilă, cu valori reale
sau complexe şi integrala Laplace este convergentă în s0, atunci and s tinde către oo în
interiorul sectorului
funcţia generatoare F ( s ) tinde către zero.
__
_
Pentru a demonstra această afirmaţie procedăm ca mai jos. Fie un s>0, dat.
Deoarece f ( t ) este o funcţie absolut integrabilă, se poate găsi un suficient de mic încît
pentru a>0.
(23)
Deoarece integrala Laplace este uniform convergentă în acest sector, există un T 2
suficient de mare, T2>2\ şi
(24)
pentru orice s din acest sector. Aceste două condiţii, fixează pe Tx şi T2 şi deci valoarea
integralei este
.
872
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
în sfîrşit, se poate găsi un suficient de mare încît
3M
si sa avem
C2
S~stî (t) '■) dt <
(26)
JT,
Deoarece s tinde către infinit în interiorul sectorului |arg(s—s0)^7t/2 —8, partea sa
reală poate eventual depăşi Dacă considerăm împreună relaţiile (23), (24), (26) şi
impunem lui s restricţia
|arg(s —s0)|<~ — S (c><71)
obţinem
(27)
dt
astfel încît
s-*oo
j are(s-s0) I 5j7t/2-8
lim F ( s ) = 0.
(28)
Astfel comportarea lui F ( s ) la infinit are restricţii; de exemplu punctul s =
nu poate fi pol. Dacă F ( s ) este regulată la s = oo, ea trebuie să aibă acolo un zero ;
F ( c o ) nu poate fi o constantă diferită de zero. De exemplu, dacă F(s) este o funcţie
raţională, gradul polinomuhii de la numitor trebuie să fie strict mai mare decît gradul
polinomului de la numărător. Totuşi, F ( s ) poate avea un punct singular esenţial sau
un punct de ramificaţie la 8 = co. (Aceste condiţii se aplică numai pentru funcţiile
original cu valori reale sau complexe şi nu se aplică şi pentru funcţiile generalizate cum
ar fi funcţiile impuls de diferite ordine. Transformata Laplace pentru funcţiile
generalizate este tratată în Anexa 1.)
Vorbind despre comportarea generală a transformatei Laplace, ne putem pune
încă o întrebare generală, anume asupra unicităţii sale. Problema este în special
importantă atunci cînd dorim să aflăm funcţia original din transformata sa Laplace. în
scopul obţinerii unui răspuns la această problemă fără a apela la concepte privitoare la
funcţii nule,
od
A.3.3. OPERAŢII ASUPRA FUNCŢIILOR ORIGINAL ŞI GENERATOARE,
873
„măsură zero” şi „aproape peste tot”, vom conveni să normalizăm funcţia f ( t) definind
/(O) = 1/(0 + )
(29a)
f ( t ) = 1 [/(* + )
+/(<-)],
(29b)
unde semnele
+ şi —
indică, ca de obicei,limitele
la
dreapta şi la stînga
în punctul după carourmează semnul. Vom presupune în mod
implicit că
aceste limite există.
Nu pot exista două funcţii original normalizate f^t) şi f 2 ( t) care au aceeaşi
transformată Laplace F ( s ) .
Demonstraţia acestei afirmaţii este prea complicată pentru a o considera aici.
Dacă nu considerăm funcţii normalizate, putem să tragem numai concluzia că /](#) şi
f 2 { t ) diferă cel mult printr-o funcţie nulă.
A. 3.3. OPERAŢII ASUPRA FUNCŢIILOR ORIGINAL ŞI GENERATOARE
în aplicaţiile din teoria reţelelor interesează rezultatul efectuării diferitelor
operaţii algebrice şi analitice în domeniul t şi s . în acest paragraf vom da sumar
aceste rezultate.
Cea mai simplă din aceste operaţii este operaţia algebrică de combinaţie liniară,
cu care deja ne-am ocupat. Funcţia generatoare corespunzătoare unei combinaţii
liniare de funcţii original este aceeaşi combinaţie liniară a funcţiilor generatoare
corespunzătoare; adică
I n
£
Ii=l
Această liniaritate este foarte
directă cît şi inversă,
mt)\
1
J
n
= EMW)}i= 1
folositoare
(3°)
atît întransformata Laplace
Produsele de convoluţie real şî complex
Cealaltă operaţie algebrică, înmulţirea într-unul din cele două domenii, duce la
rezultate complicate. Rezultatele obţinute sînt analoage cu acelea de la seriile infinite
; de exemplu dacă avem două serii de puteri cu regiune de convergenţă comună
00
-Fi(«) = £ V*
(31a)
ft = 0
874
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
F,
( s ) = £ M"
tt = 0
(316)
atunci produsul celor două, este tot o serie de puteri
F ^F ^s ) = £ c„*#,
îl
=
(32a)
0
unde
c»
îl
= £ «»-A= S «A-*fc = 0
Seria produs converge în regiunea comună de convergenţă a celor două serii
individuale. Sumele din (326) sînt cunoscute ca sume de convoluţie. Yom obţine un
rezultat analog în cazul transformatelor Laplace.
Dacă
Fii*) = [
ăt
Jo
şi
(33)
F2{S) = r
dt
Jo
au abscisele de convergenţă finite c* şi o2, atunci produsul Fx ( s ) F z ( s ) este de asemenea
o transformată Laplace,
F1(s)Fz(s)
=
C
s - s , g ( t ) d t,
(34a
)
JQ
unde
g(t) = ^Mx)fi{t-x) dx = i Mt-x)f2(x) dx,
Jo
(346)
Jo
avînd abscisa de convergenţă egală cu cea mai mare valoare a lui ax şi cr2.
Dacă F ^ s ) şi F.z(s) sînt transformatele Laplace ale lui f^t) şi f 2 ( t) cu abscisele de
convergenţă şi a2, transformata Laplace a produsului f^t) f 2 ( t ) este dată de
1
fC + j oo
Mfi (<) fi (<)} = — t \ Fi (z) F 2 (8 - *) dz,
(35)
2nj J0 _ j oo
unde a1<c< g — c > 2 Şi <?=Re(s) este mai mare decît abscisa de convoluţie o x + a 2 .
__
_
Primul din aceste două rezultate este de considerabil interes în teoria reţelelor şi
A.3.3. OPERAŢII ASUPRA FUNCŢIILOR ORIGINAL ŞI GENERATOARE,
875
este verificat în cap. 5. Al doilea rezultat nu ne interesează în mod special; vom
renunţa deci la demonstraţie. Integralele din (34b ) şi (35) sînt cunoscute ca
integralele de convoluţie, prima reprezentînd un produs de convoluţie real iar a doua
un produs de convoluţie complex.
Derivarea şi integrarea
Vom considera în continuare, operaţiile de derivare şi integrare în ambele
domenii. Acestea corespund după cum vom vedea multiplicării sau împărţirii prin s
sau t. Derivarea în domeniul s a fost considerată anterior ; să repetăm rezultatul aici
Dacă
L { f ( t) } = F ( s )
(36a)
atunci
L { l n f ( t ) = ( - l ) n F ^( s ) ,
(36 b )
abscisa de convergenţă fiind aceeaşi.
După cum este de aşteptat, operaţiile inverse împărţirea prin t şi integrarea în
raport cu s corespund. Aici semnul negativ lipseşte.
Dacă
L { f ( t) } = F ( s )
(37 a)
atunci
£ jMj =pF(z) cfe,
(37b)
unde abscisele de convergenţă sînt aceleaşi iar conturul de integrare este res- trîns la
sectorul de convergenţă uniformă.
Această afirmaţie se poate verifica integrînd prin părţi în domeniul s observînd
că F ( s ) tinde către zero cînd s tinde către infinit. Operaţii
876
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
mai importante decît cele precedente, în aplicaţiile din teoria reţelelor, sînt derivarea
şi integrarea în domeniul timp. Aceste operaţii vor fi dualele celor de mai sus.
Fie f(t.) derivabilă (şi deci continuă) pentru t>0 iar derivata f ( t ) este
transformabilă Laplace. Atunci f ( t) este de asemenea transformabilă şi are aceeaşi
abscisă de convergenţă.
Fxistă, relaţia
m care
si
= s F ( s ) - /(O + ),
a)
(38
F ( s ) = L {/(<)}•
/ ( O + ) = l i m / ( <)
(38 6)
(38c)
t-t o
t> o
Deoarece f ' ( t ) este transformabilă rezultă că f ( t) este de ordin exponenţial şi deci este
transformabilă. Eestul afirmaţiei rezultă integrînd
( e~st f ( t) d t J
o
prin părţi şi considerînd limita cînd T tinde către infinit.
F i e f ( t ) o funcţie integrabilă şi transformabilă Laplace.
Fie
g { t) = \ f ( %) d x Jo
(39)
Atunci g ( t ) este de asemenea transformabilă, cu aceeaşi abscisă de convergenţă şi
G(s)=—F(s),
s
(40)
unde G ( s ) ş i F ( s ) sînt respectiv transformatele Laplace ale lui f ( t) ş i g ( t ) .
Prima parte a afirmaţiei se demonstrează ca mai sus. Ecuaţia (40) rezultă din
(386) observînd că gr(0 + )= 0 conform lui (39).
’
Aceste rezultate se extind imediat pentru derivate de ordin superior şi integrări
repetate, prin aplicarea repetată a teoremelor de mai sus.
Teoremele valorilor iniţiale şi finale
în estimarea comportării răspunsului tranzitoriu al unui sistem liniar sînt de un
considerabil interes alte două operaţii limită. Prima din ele va da legătura între
valoarea lui f ( t ) la t — 0 şi o valoare particulară a lui F ( s ) .
A.3.3. OPERAŢII ASUPRA FUNCŢIILOR ORIGINAL ŞI GENERATOARE
877
Definiţia transformatei Laplace dă numai legătura între valorile lui f ( t) pe întreaga
axă reală pozitivă t şi comportarea lui F ( s ) într-un semiplan complex. Relaţia dorită
este următoarea :
Dacă =$?{/(<)} = F ( s ) , avînd o abscisă de convergenţă ac < er0 şi dacă f ' ( t) este
transormabilă atunci
f (0 +) = lim sF (s)
CO
(41)
în care limita din membrul drept trebuie luată în sectorul
| arg (s - a0) | < ^ j - 5.
Aceasta se numeşte teorema valorii iniţiale.
Pentru a demonstra această afirmaţie vom considera formula de derivare
L { f { t) = s F ( s ) — f { 0 + )
’
(42)
şi vom lua limita pentru s tinzînd la co în sectorul specificat. Deoarece J ? { f ' ( t) } este o
transformată Laplace ea tinde la zero cînd s tinde către infinit în acest sector.
Eezultatul obţinut va fi (41).
Ne putem aştepta, în mod analog, să obţinem valoarea finală luînd limita lui (42)
cînd s tinde către zero. Dar aici vom avea dificultăţi deoarece
r°°
lim s F ( s ) = /(0 + ) + lim\ f ( t) s~st dt,
S->0
s-+o J0
(43)
în care limita trebuie să fie calculată pentru |argsj < ( ~l - ) — §
în primul rînd nu este evident că limita din membrul drept există. Dacă există,
nu putem vedea care este valoarea ei. Totuşi, dacă schimbăm între ele limita şi
integrala, obţinem
’
flim/'(*) z - t d t = [ a > f ( t) d t = / ( o o ) - /(O + ).
Jo ,_f0
Jo
(44)
Dacă presupunem convergenţă uniformă a integralei Laplace a lui f ( t) într-o regiune
ce include s=0, atunci această schimbare se poate face. Totuşi, în acest caz, abscisele
de convergenţă atît a l u i f ( t ) cît şi a lui f ' ( t) trebuie să fie negative. Dar acest lucru
este posibil numai dacă f ( t ) tinde către zero cînd t tinde către infinit; adică
Dar în acest caz, întreaga teoremă este lipsită de conţinut. Deci în scopul stabilirii
acestei teoreme schimbarea ordinei operaţiilor de trecere la limită şi integrare trebuie
justificată cu ajutorul unei condiţii mai fine decît convergenţa uniformă. Această
necesitate face ca demonstraţia să nu se încadreze în scopul prezentei lucrări.
Teorema
dorităse enunţă astfel:
Dacă f ( t ) şi f'(t,) sînt transformabile Laplace
şi s F ( s ) este regulată pe
/(oo) =0
(45)
878
axa
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
jco şi în semiplanul drept, atunci
’
lim f ( t) = lim s F ( s ) ,
t—t oo
(46)
t—t 0 t
unde limita din dreapta se va calcula de-a lungul axei reale pozitive. Aceasta
este teorema valorii finale.
Teorema translaţiei (deplasării)
Ultimele două operaţii pe care le vom considera sînt înmulţirea lui f ( t) sau F ( s )
cu o funcţie exponenţială. Considerăm mai întîi înmulţirea lui F ( s ) cu e-as unde a este
un număr nenegativ. Avem
OO
S s~st f ( t) d t
0
r 00
= z - ^f ( t) d t.
Jo
Dacă facem substituţia x=t-\-a iar apoi schimbăm variabila auxiliară x în t, obţinem
s-asl1(s)
= ( z ~ H f ( t — a ) d t.
(48)
*a
Dacă presupunem că f ( ţ ) este nulă pentru t < 0, atunci f ( t — a ) este nulă pentru t <a
iar limita inferioară a integralei se poate înlocui cu zero. Pentru a arăta că/(i-a) este
zerocînd t < a , o vom scrie sub forma f ( t — a ) u ( t a ) . Funcţia - u ( x ) este funcţia
treapta unitate definită ca zero pentru x negativ şi unu pentru x pozitiv. Acest lucru
conduce la următoarea afirmaţie :
Dacă -Sf{/(#)} = F ( s ) iar a este un număr real nenegativ, atunci
L [ f ( t — a ) u ( t — a)] = z - a s F ( s ) ,
cu aceeaşi abscisă de convergenţă.
(49)
879
A.3.4. INTEGRALA COMPLEXA DE INVERSIUNE
Afirmaţia de mai sus se numeşte teorema deplasării reale sau teorema translaţiei,
deoarece f ( t — a ) se obţine din f { t) prin deplasarea acesteia la dreapta cu a unităţi.
Operaţia de multiplicare a lui f ( t) cu zat conduce la o afirmaţie analogă. Aceasta
se numeşte teorema deplasării în complex.
Dacă & f ( t ) } = F ( s ) cu abscisa de convergenţă ae, atunci
L[zat f(t)] = F(s + a),
(50)
avînd abscisa de convergenţă ac + Re(a).
Această teoremă rezultă direct din definiţia transformatei Laplace.
A.3.4. INTEGRALA COMPLEXĂ DE INVERSIUNE
Vom considera acum problema găsirii funcţiei original f ( t ) , cunoscînd funcţia
generatoare F { $ ) . Deoarece teorema de unicitate spune că două funcţii esenţial
diferite f ( t ) nu pot conduce la aceeaşi funcţie F ( s ) , putem presupune că există o
transformare inversă care va da f ( t) . Intuitiv este de aşteptat ca transformarea
inversă să fie de asemenea o integrală, de data aceasta o integrală complexă în
domeniul s . Ea trebuie să conţină o anumită funcţie nucleu de s şi t deoarece
rezultatul trebuie să fie o funţie de t. într-adevăr aşa se întîmplă, după cum ne va
arăta
următoarea teoremă : F i e J £ { f { t) } =F ( s ) ,
cu abscisa de
convergenţă ae. Atunci
0
“2/(0 +)
T
1
fC + joo
— 7 tV< 0
F(s)zslds =
î J c — ian
2Ttj
t=0
(51)
\ f ( t J r ) J r f ( t —)]
t> 0
unde c > ( s e .
Aceasta este cunoscută ca integrala de
inversiune.
Demonstraţia acestei importante teoreme implică cunoaşterea teoremei integralei
Fourier şi a mai multor rezultate din teoria integralei Lebesgue. Vom presupune în
mod implicit aplicată normalizarea şi scriem
—i F ( s ) z s t d s = f ( t) u ( t )
27z j J c - j
(52)
00
sau simplu
_JLfc+J0° F ( s ) z s t d s =f ( t ) ,
2-J .c-ioo
subînţelegînd că f ( t ) — 0 pentru <<0.
(53)
880
A.3. TEORIA TRANSFORMATELOR LAPLACE
Atunci cînd se dă numai funcţia F ( s ) , în general nu cunoaştem a c . Totuşi, ştim
c ă F ( s ) este regulată pentru a > o c . Deci, în acest caz vom alege pentru conturul de
integrare o dreaptă verticală situată la dreapta tuturor punctelor singulare ale lui
F ( s ) . TJn astfel de contur este cunoscut sub numele de contur Bromwich, după
numele celebrului matematician T.J.I. A. Bromwich, care a adus contribuţii
importante la teoria transformării
Fig. A.3.2. Evaluarea integralei de inversiune.
Laplace. Adesea se utilizează lingă semnalul de integrală, în locul limitelor,
prescurtarea ,,Br.”, pentru a indica acest contur.
Am văzut în Paragraful 6 din Anexa 2 că de multe ori se poate folosi teorema
reziduurilor pentru evaluarea integralelor de acest tip. Pentru a putea aplica teorema
reziduurilor va trebui să conchidem conturul. Considerăm cele două contururi închise
din fig. A. 3.2. Dacă integrandul F { s ) s s t satisface lema lui Jordan pe unul din arcele
semicirculare, putem evalua integrala cu ajutorul teoremei reziduurilor. Dacă lema lui
Jordan este îndeplinită pe arcul din dreapta : adică
lim s F ( s ) s a = 0,
| arg ( s — <j0) I < V2 —
s-> oo
(afirmaţie adevărată de exemplu, pentru <<0), integrala pe Cx din fig.A.3.2 este zero.
Deoarece, în plus, integrala pe conturul închis este zero căci în interior nu se găsesc
singularităţi, rezultă că integrala de inversiune este zero.
Dacă se satisface lema lui Jordan pe arcul semicircular din stînga, lucru care se
întâmplă în foarte multe cazuri, atunci integrala pe conturul închis C2 este de 2-,xj cii
suma reziduurilor lui F ( s ) z $ t în punctele singulare cuprinse în contur. Incluzînd în
(52), factorul 2nj, rezultă :
D a c ă F (s)->0 cînd s—> oo, în mod uniform, în sectorul!| arg (s — cr0)| ^ !>~/2 —
S atunci pentru t > 0 ,
f ( t ) = L reziduurilor lui F ( s ) s s l în singularităţile finite ale lui F ( s ) . Acesta este
un rezultat extrem de folositor. Pentru funcţiile simple, de exemplu funcţii raţionale,
putem evalua f ( t ) foarte uşor aplicînd această teoremă. Pentru ca funcţia raţională să
fie o transformată Laplace, gradul polinomului de la numitor trebuie să depăşească
'881
A.3. TEORIA
TRANSFORMATELOR
LAPLACE
gradul polinomului de la numărător conform condiţiei (28). Astfel, formula de
inversiune cu ajutorul reziduurilor se poate întotdeauna aplica funcţiilor raţionale
proprii.
în scurta prezentare a transformatei Laplace a trebuit să omitem mai multe
teoreme şi demonstraţii de importanţă considerabilă. Totuşi, cel puţin s-au enunţat
toate rezultatele care sînt folosite în capitolele acestei cărţi. Pentru cei ce doresc o
tratare mai amănunţită, în bibliografie sînt citate mai multe lucrări consacrate
subiectului. încheim discuţia cu un scurt tabel (A. 3.1) al perechilor de transformate
care sînt necesare în aplicaţii.
Tabelul A. 3.1.
Tabelul perechilor «le transformate Laplace
m
F ti)
=
dfidt
sF(s) - /(0+ )
d 2 f/dt 2
s*F(s) - sf( 0 + ) - /W (0 H- )
d"f',dl n
s”F(s)]- sn-Y( 0 + f<»~ i!(0 + )
s
( ( mdxdT J o 'o
tnm
s3
dn
(— ;i)n—m
—m
t
\ m-
—m
( F(a)dn
1' i(W)
o h (-o ^ /■(/)£-“*
F(s+
OL)
mia.)
T OL F( OL S )' '
f(t — a)u(t — a)
s-as
8i«)(0
sn
8<D(0
s
8(0
1
F(s)
[(s + ot)2 + <o2]2
'882
A.3. TEORIA
TRANSFORMATELOR
Tabelul A.3.1 (continuare)
■F(S) - {/«)}
m
■u(t)
LAPLACE
1
S
1
t
s2
nI
tn
S
n+X
—a t
1
tz-at
1
s+a
(s + a)2
Ti!
tn S~at
(s + <xf + 1
sin cot
(0
S2 + (O2
s
•COS (x)t
S2 + <02
£-a« sjn 1
(0
(s + a)2 + Ol3
£-«* COS CO1
s+a
(s + a)2 + <o2
i sin co t
2cos
(s2 + CO2)2
t cos t
s2 — »2
(s2 + to2)2
ts-at sin ^ i
2co(s + a)
[(s + a)2 + co2]2
ie-at cos coi
1)
jco (N.T.).
(s + a)2 - <o2
2 + <o2]2nedisipative, ci în orice pol situat pe axa
Constatarea este valabilă nu numai pentru [(s
polii
circuitelor
+ ot)
'883
A.3. TEORIA
TRANSFORMATELOR
LAPLACE
!) Un transformator ideal este un diport cu matricele z şi y nedefinite deoarece avînd înfăşurări cu
inductanţe infinite, elementele matricelor z şi y sint infinite (N.T.).
11 Din relaţia (56), numărul de zerouri N„ din semiplanul drept a'e funcţiei 1 + T(s) este N +N .
cw
p
Condiţiile teoremei corespund la N0 = 0 sau Ncm= —NP. O condiţie echivalentă ar fi:
ocoleşte
11
de N0ori în sens opus acelor de ceasornic.
'
44 — C. 854
1) Pentru detalii, a se-vedea Nicholas Minorsky, Xonlinear Osciltations, D. Von Noslrand Co.,
Princeton, N. J., 1962.
3) pentru detalii privitoare la existenţi şi unicitatea soluţn.or la ecu aţ iile diferenţiale obişnuite, vezi
„Eail A. Coddington şi Norman Levinson, Theory of Ordmanj Diferenţial Equalions, McGraw-Hill, NewYork, 1955.
Vezi nota din subsol 3) din pagina precedentă.
2) O funcţie de vectori sau de matrice se zice că este local integrabilă dacă (a) fiecare din elementele
ei este o funcţie continuă, cu excepţia unui număr finit de puncte pe intervale finite şi (b) posedă o
integrală Riemann proprie sau improprie şi absolut convergentă, pe orice interval finit în care funcţia este
continuă.
va fi aplicat acum relaţiei integrale || 4 x(t) dT 11 < \ I |x(t) || d - .
Ja
Ja
Aceasta este o extindere naturală a primei inegalităţi, dacă se consideră integrala ca o trecere la limită a unei sume.
45 — c. ^54
li x
(0
|| < ! y
(0
+ |i Q(<)‘! ;|sp'‘-->il ;
Q(t)_1||
■0
X {||.^(t) - .^(t)||
I
x(t) S| + ||^(t) c(t) \\}dz
.
(69)
Cum toate soluţiile ecuaţiei de referinţă (67) sînt mărginite, j|y(/)|| este
mărginită pentru t^t0 şi nici unul din exponenţii caracteristici asociaţi cu (67)
nu au partea reală pozitivă. Astfel ||sp<("Tl|l>
011
este mărginită pentru
t^t0. Deoarece Q(/) este nesingulară şi periodică, !:Q(f),i şi S| Q(-r)-1:!, cu
sînt mărginite pentru
8
Fie y şi
1
marginile corespunzătoare pentru y(<)J| şi !|Q(/)!I ||sP((_T) |! !iQ('r)_ ll-
Folosind aceste margini în (69), se găseşte că
timp, că W ( t ) este o funcţie pozitiv definită invariantă in timp, astfel ca F(x, t ) > W(x),
pentru orice t ~^t0.
• |^1 + — sincooj-t'j 2
X. + £-*'2
Solomon Lefschetz, Differenfial Equations : Geometrie Theorii, 2 nd ed., Interscience. New York, p.
lt8 —195.
'
.
1
[(s + ot)2 + <o2]2