de r le ve la ci ón NM432GUI002TNM4-A20V1 Ma te má tic a Ta l ni Datos y Azar Distribución binomial Taller de nivelación je Ruta de aprendiza Probabilidad condicional Análisis de Retroalimentación experimentos Distribución y Síntesis Variable aleatorios de binomial aleatoria Retroalimentación variable discreta y Síntesis discreta y función de probabilidad Contenidos • • Cálculo de probabilidades en un experimento con distribución binomial Valor esperado y desviación estándar de una distribución binomial Objetivos En la semana trabajaremos la comprensión y el cálculo de probabilidades, valor esperado y desviación estándar en experimentos aleatorios que presentan una distribución binomial. Entonces, vamos a: • • 2 Cpech Establecer probabilidades en experimentos aleatorios que presentan una distribución binomial. Determinar el valor esperado y desviación estándar en experimentos aleatorios que presentan una distribución binomial. Guía EN UN CONTEXTO REAL Actividad inicial Tiempo estimado 10 minutos Cuatro amigos juegan lanzando un dado común seis veces, y tratan de adivinar cuántas veces van a obtener el número 4. Sin embargo, tienen razonamientos distintos al respecto: Daniel cree que la probabilidad de todos los resultados es la misma. O sea, no obtener ningún 4 tiene la misma probabilidad de obtener un 4, o de obtener dos 4, y así hasta la probabilidad de obtener seis 4. Mariana cree que la probabilidad más alta es obtener un 4, seguida de la probabilidad de no obtener ningún 4, luego dos 4, y así descendiendo hasta la probabilidad de obtener seis 4. Claudia cree que la probabilidad más alta es no obtener ningún 4, seguida de la probabilidad de obtener un 4, luego dos 4, y así descendiendo hasta la probabilidad de obtener seis 4. Juan cree que la probabilidad más alta es obtener tres 4, seguida de la probabilidad de obtener dos o cuatro 4, luego uno o cinco 4, y por último la probabilidad de que ninguno o todos sean 4. Si se lanza el dado seis veces y se define la variable aleatoria X como la cantidad de 4 obtenidos, escribe el nombre de cada amigo en el gráfico que representa mejor su razonamiento: P(X = xi) 0 P(X = xi) P(X = xi) 1 2 3 4 5 6 X 0 1 2 3 4 5 6 X 0 P(X = xi) 1 2 3 4 5 6 X Según tu intuición, y sin hacer cálculos, ¿cuál de los cuatro amigos crees que tiene razón? ¿Se te ocurre alguna otra posibilidad en que se distribuyan los resultados? 0 1 2 3 4 5 6 X _________________ _________________________ Cpech 3 Taller de nivelación Escribe la probabilidad que crees que tiene cada resultado, en la siguiente tabla. Al final de la sesión descubriremos que tan cerca estuviste: Si se lanza el dado seis veces, la probabilidad de obtener ninguna vez el número 4 es una vez el número 4 es dos veces el número 4 es tres veces el número 4 es cuatro veces el número 4 es cinco veces el número 4 es seis veces el número 4 es P(X = xi) Valor P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3) P(X = 4) P(X = 5) P(X = 6) RECORDEMOS UN POCO Factorial y número combinatorio Antes de comenzar, debemos recordar la operación factorial, que se representa como n! y se define como el producto de todos los números enteros desde el 1 hasta n, con n un número entero no negativo. Por ejemplo, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Nota: Se define 0! = 1, y además 1! = 1 y 2! = 1 • 2 = 2. Para el resto de los números, en la práctica, n! es el producto de todos los números enteros desde 2 hasta n, ya que 1 es el neutro multiplicativo. O sea, 5! = 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Con la operación factorial puede definirse el número combinatorio ( nk ) () Por ejemplo, 7 4 = 7! 4! • ( 7 - 4 )! = 7! 4! • 3! = = n! k! • (n -k )! 7•6•5•4•3•2 4•3•2•3•2 = 7 • (6) • 5 • (4 • 3 • 2) (4 • 3 • 2) • (3 • 2) = 7 • 5 = 35 Nota: Si te das cuenta, plantear el factorial como producto y luego simplificar es una estrategia que permite evitar cálculos innecesarios. Actividad Tiempo estimado 10 minutos Determinen el valor de cada expresión: (100 ) (106 ) = = (1010) (104 ) = = ¿Qué conclusiones podrías plantear de acuerdo a los resultados anteriores? __________________________________________________________________________________________ 4 Cpech Guía Tiempo estimado 10 minutos Combinaciones Una combinación es una técnica de conteo que permite determinar la cantidad de formas distintas en que pueden escogerse una cantidad de elementos de un conjunto más grande, sin que la selección tenga un orden específico. Actividad Un estudiante fue cierta semana al colegio de lunes a viernes, y llegó a tiempo solo tres días. Si no se especifica, esos tres días podrían ser lunes, martes y miércoles, o lunes, martes y jueves, etc. En la siguiente tabla, marquen todos los tríos posibles de días en que pudo haber llegado a tiempo el estudiante: lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes lunes martes miércoles jueves viernes Comenten estrategias con tus compañeros para encontrar los tríos sin repetirlos. • ¿Cuántos tríos encontraron? Lo que acabamos de determinar es una combinación, ya que corresponde a la cantidad de formas distintas en que se pueden escoger tres elementos de un conjunto de cinco elementos, sin importar el orden. En general, la cantidad de formas distintas en que se puede escoger k elementos de un conjunto de n elementos, sin importar el orden, es igual al número combinatorio n . k () Cpech 5 Taller de nivelación Actividad En la actividad anterior se determinó de cuántas formas distintas se podían combinar tres días que un estudiante llega a tiempo al colegio, de un total de cinco. Resuélvelo mediante el número combinatorio: () = ¿Qué método te parece más fácil o práctico?, ¿obtuviste el mismo resultado? ¿Qué te parece más práctico, escribir todas las combinaciones o calcular el número combinatorio? Distribución binominal Tiempo estimado 10 minutos Un experimento aleatorio que tiene solo dos posibles resultados (éxito o fracaso) dependiendo si se cumple o no se cumple un cierto evento o condición. Es un experimento dicotómico o ensayo de Bernoulli Si este se repite una cierta cantidad de veces, y definimos la variable aleatoria X como la cantidad de éxitos obtenidos, entonces la función de probabilidad de X se modela según una distribución binomial. Así, la simbología X ~ B(n, p) significa que X es una variable aleatoria que representa la cantidad de éxitos obtenidos al repetir n veces un experimento dicotómico cuya probabilidad de éxito es p. Ejemplo En el caso del estudiante que va al colegio y llega a tiempo solo tres días a la semana, supongamos que la probabilidad de llegar a tiempo cada día es 7 . 11 Entonces, tenemos que • la llegada a tiempo al colegio cada día es un experimento aleatorio dicotómico. • el evento “llegar a tiempo” tiene una probabilidad de éxito de 7 . 11 • la probabilidad de fracaso es de 4 . 11 Si P(éxito)= p => P(fracaso) = 1 – p Luego, si definimos la variable aleatoria X como la cantidad de días que el estudiante llegó a tiempo al colegio, de un total de cinco, entonces esta se distribuye según X ~ B(5, 7 ). 11 Como no se especifica qué días de un total de cinco intentos, se puede obtener tres éxitos (e) y dos fracasos (f ) en distintos órdenes. Por ejemplo, la probabilidad de éxito martes, miércoles y viernes, y de fracaso lunes y jueves, se puede expresar como P(feefe) = 6 Cpech • • • • = ( )( ) • Guía Actividad ¿Cómo se expresa la probabilidad de éxito lunes, miércoles y jueves, y de fracaso martes y viernes? P(_________) = • • • • = ( )( ) • ¿Cómo se expresa la probabilidad de éxito martes, jueves y viernes, y de fracaso lunes y miércoles? P(_________) = • • • • = ( )( ) • ¿Qué conclusión puedes obtener de los resultados? __________________________________________________________________________________________ Luego, para determinar la probabilidad de obtener solo tres éxitos de un total de cinco intentos, sin especificar el orden, se debe sumar todas esas probabilidades, que son iguales entre sí. Esto resulta en el producto entre esa probabilidad repetida y la cantidad de combinaciones. La cantidad de combinaciones de tres éxitos de un total de cinco intentos es equivalente a seleccionar tres elementos de un total de cinco elementos, sin importar el orden. Esto ya lo calculamos antes y se expresa como Por lo tanto, si un estudiante va al colegio de lunes a viernes, y para cada día la probabilidad de llegar a tiempo es 7 , entonces la 11 probabilidad de llegar a tiempo solo tres días de los cinco se puede expresar como Tiempo estimado 10 minutos Función de probabilidad de la distribución binomial Si una variable aleatoria X se distribuye según X~B(n,p), de obtener exactamente k éxitos se modela según la n P(X = k) = k • pk (1 – p)n–k , con k en el conjunto {0, 1, …, n}. ( ) ( )•( ) •( ) 6 k 3 5 k 2 5 6-k probabilidad probabilidad ( ), entonces su función de probabilidad es Ejemplo, si X es una variable aleatoria que se distribuye X ~ B 6, P(X = k) = entonces la función de 3 5 , con k en el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como toda función de probabilidad, la que modela la distribución binomial se puede graficar, aunque es posible que nunca tengas que hacerlo. Por ejemplo, el gráfico adjunto representa la función de probabilidad de X ~ B 6, 3 . 5 ( ) Cpech 7 Taller de nivelación Actividad ( ) 3 Si X es una variable aleatoria que se distribuye X ~ B 6, , ¿cómo se expresa el valor de P(X = 2)? ¿Cuál es su 5 valor numérico? ___________________________________________________________ Valor esperado, la varianza y la desviación estándar Tiempo estimado 10 minutos Si tenemos una variable aleatoria X cuya distribución es X ~ B(n, p): • Su valor esperado es E(X) = n • p • Su varianza es n • p • (1 – p), por lo cual su desviación estándar es � n ∙ p ∙ (1-p) Actividad ( 35 ), determina su: Si X es una variable aleatoria cuya distribución es X ~ B 6, Valor esperado Varianza Desviación estándar Caso especial Cuando un experimento dicotómico tiene igual probabilidad de éxito que de fracaso, entonces 1 p=1–p= . Si el experimento se repite n veces, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de éxitos 2 obtenidos, entonces: • La variable X se distribuye según X ~ B(n, 1 ) 2 () 1 • La función de probabilidad de X es P(X = k) = n • n k 2 n • El valor esperado de X es E(X) = 2 n • La varianza de X es , por lo cual su desviación estándar es �n 4 2 8 Cpech Guía Actividad Si se lanza una moneda nueve veces y se define la variable aleatoria X como la cantidad de caras obtenidas: • Determina el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de X. _______________________________________ • ¿Cuál es la expresión que representa la probabilidad de obtener tres caras y seis sellos? _______________________________________ Ejercitación Tiempo estimado 10 minutos 1. Si se lanza un dado quince veces, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la probabilidad de que alguna vez salga el número 2? A) B) C) D) E) ( 16 ) 5 1–( ) 6 ( 56 ) ( 56 ) – ( 16 ) ( 16 ) 15 1– 15 15 15 15 15 ( ) 2. Si una variable aleatoria X se distribuye según X ~ B 8, 1 , ¿cuál es el valor de P(X = 4)? 2 1 A) 16 B) 1 256 C) 45 64 D) 15 32 E) 35 128 Cpech 9 Taller de nivelación 3. En una bolsa hay tres bolitas negras y siete bolitas blancas. Si se extraen al azar cuatro bolitas, una a una y con reposición, ¿cuál es la probabilidad aproximada de obtener solo una negra? A) 0,4 B) 0,2 C) 0,8 D) 0,6 E) 0,1 4. Una prueba está formada de veinte preguntas con cuatro opciones cada una. Si la prueba completa se responde al azar y se define la variable aleatoria X como la cantidad de preguntas correctas obtenidas, ¿cuál es la varianza de X? A) 2 B) 3,75 C) 5 D) 1,25 E) 2,5 5. Una variable aleatoria X se distribuye según X ~ B (n, p), con valor esperado de 12 y desviación estándar de 2. ¿Cuál es el valor de p? A) 1 3 B) 3 4 C) 5 6 D) 2 3 E) 1 6 10 Cpech Guía Tiempo estimado 10 minutos Actividad En el inicio de la sesión planteamos un grupo de amigos que lanzaba un dado común seis veces y definía la variable aleatoria X como la cantidad de 4 obtenidos. Según lo que vimos durante esta sesión, la variable aleatoria X es dicotómica, con probabilidad de éxito _ , y su experimento se repite __ veces. Luego, X se distribuye según X ~ B(__ , _ ), por lo cual su función de probabilidad es P(X = k)= • _ • _ , ()()() con k en el conjunto { __________ }. Determinen entre todos la probabilidad para cada valor de k. Repartan los cálculos, para que no tengan que hacerlos todos: P(X = 1) P(X = 4) P(X = 2) P(X = 5) P(X = 3) P(X = 6) ¿Cuál de los amigos tenía la razón? ________________ ¿Qué tan cerca estuviste de los valores que anotaste en el inicio? Cpech 11 _____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Dirección Académica Carolina Rojas Parraguez Equipo de Curriculum y Evaluación Jennyfer Araneda Muñoz Rodrigo Cortés Ramírez Gonzalo Martínez Riquelme Cristóbal Lagos Alarcón Noelia Sanhueza Henríquez Coordinación de Diseño y Diagramación Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Diseño y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Vania Muñoz Díaz Fernanda Fuentes Tania Muñoz Romero Coordinación de Recursos Didácticos y Corrección Idiomática Karla Delgado Briones Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.