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NM432GUI002TNM4-A20V1
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Datos y Azar
Distribución binomial
Taller de nivelación
je
Ruta de aprendiza
Probabilidad
condicional
Análisis de
Retroalimentación
experimentos Distribución y Síntesis
Variable
aleatorios de
binomial
aleatoria Retroalimentación variable discreta
y Síntesis
discreta y
función de
probabilidad
Contenidos
•
•
Cálculo de probabilidades en un experimento con distribución binomial
Valor esperado y desviación estándar de una distribución binomial
Objetivos
En la semana trabajaremos la comprensión y el cálculo de probabilidades, valor esperado y
desviación estándar en experimentos aleatorios que presentan una distribución binomial.
Entonces, vamos a:
•
•
2
Cpech
Establecer probabilidades en experimentos aleatorios que presentan una distribución
binomial.
Determinar el valor esperado y desviación estándar en experimentos aleatorios que presentan
una distribución binomial.
Guía
EN UN CONTEXTO REAL
Actividad inicial
Tiempo estimado
10 minutos
Cuatro amigos juegan lanzando un dado común seis veces, y tratan de adivinar cuántas veces van a obtener el
número 4. Sin embargo, tienen razonamientos distintos al respecto:
Daniel cree que la probabilidad de
todos los resultados es la misma. O
sea, no obtener ningún 4 tiene la
misma probabilidad de obtener un
4, o de obtener dos 4, y así hasta la
probabilidad de obtener seis 4.
Mariana cree que la probabilidad más
alta es obtener un 4, seguida de la
probabilidad de no obtener ningún 4,
luego dos 4, y así descendiendo hasta la
probabilidad de obtener seis 4.
Claudia cree que la probabilidad más
alta es no obtener ningún 4, seguida
de la probabilidad de obtener un 4,
luego dos 4, y así descendiendo hasta
la probabilidad de obtener seis 4.
Juan cree que la probabilidad más alta es
obtener tres 4, seguida de la probabilidad
de obtener dos o cuatro 4, luego uno o
cinco 4, y por último la probabilidad de
que ninguno o todos sean 4.
Si se lanza el dado seis veces y se define la variable aleatoria X como la cantidad de 4 obtenidos, escribe el
nombre de cada amigo en el gráfico que representa mejor su razonamiento:
P(X = xi)
0
P(X = xi)
P(X = xi)
1
2 3
4
5 6
X
0
1 2
3
4 5
6
X
0
P(X = xi)
1
2
3 4
5
6
X
Según tu intuición, y sin hacer cálculos, ¿cuál de los cuatro amigos crees que tiene razón?
¿Se te ocurre alguna otra posibilidad en que se distribuyan los resultados?
0 1
2 3
4
5 6
X
_________________
_________________________
Cpech
3
Taller de nivelación
Escribe la probabilidad que crees que tiene cada resultado, en la siguiente tabla. Al final de la sesión
descubriremos que tan cerca estuviste:
Si se lanza el dado seis veces,
la probabilidad de obtener
ninguna vez el número 4 es
una vez el número 4 es
dos veces el número 4 es
tres veces el número 4 es
cuatro veces el número 4 es
cinco veces el número 4 es
seis veces el número 4 es
P(X = xi)
Valor
P(X = 0)
P(X = 1)
P(X = 2)
P(X = 3)
P(X = 4)
P(X = 5)
P(X = 6)
RECORDEMOS UN POCO
Factorial y número combinatorio
Antes de comenzar, debemos recordar la operación factorial, que se representa como n! y se define como el
producto de todos los números enteros desde el 1 hasta n, con n un número entero no negativo.
Por ejemplo, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
Nota: Se define 0! = 1, y además 1! = 1 y 2! = 1 • 2 = 2. Para el resto de los números, en la práctica, n! es el producto
de todos los números enteros desde 2 hasta n, ya que 1 es el neutro multiplicativo. O sea, 5! = 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
Con la operación factorial puede definirse el número combinatorio
( nk )
()
Por ejemplo, 7
4
=
7!
4! • ( 7 - 4 )!
=
7!
4! • 3!
=
=
n!
k! • (n -k )!
7•6•5•4•3•2
4•3•2•3•2
=
7 • (6) • 5 • (4 • 3 • 2)
(4 • 3 • 2) • (3 • 2)
= 7 • 5 = 35
Nota: Si te das cuenta, plantear el factorial como producto y luego simplificar es una
estrategia que permite evitar cálculos innecesarios.
Actividad
Tiempo estimado
10 minutos
Determinen el valor de cada expresión:
(100 )
(106 )
=
=
(1010)
(104 )
=
=
¿Qué conclusiones podrías plantear de acuerdo a los resultados anteriores?
__________________________________________________________________________________________
4
Cpech
Guía
Tiempo estimado
10 minutos
Combinaciones
Una combinación es una técnica de conteo que permite determinar la cantidad de formas distintas en que
pueden escogerse una cantidad de elementos de un conjunto más grande, sin que la selección tenga un orden
específico.
Actividad
Un estudiante fue cierta semana al colegio de lunes a viernes, y llegó a tiempo solo tres días. Si no se
especifica, esos tres días podrían ser lunes, martes y miércoles, o lunes, martes y jueves, etc. En la siguiente
tabla, marquen todos los tríos posibles de días en que pudo haber llegado a tiempo el estudiante:
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
Comenten estrategias con tus compañeros para encontrar los tríos sin repetirlos.
• ¿Cuántos tríos encontraron?
Lo que acabamos de determinar es una combinación, ya que corresponde a la cantidad de formas distintas en
que se pueden escoger tres elementos de un conjunto de cinco elementos, sin importar el orden.
En general, la cantidad de formas distintas en que se puede escoger k elementos de un conjunto
de n elementos, sin importar el orden, es igual al número combinatorio n .
k
()
Cpech
5
Taller de nivelación
Actividad
En la actividad anterior se determinó de cuántas formas distintas se podían combinar tres días que un estudiante
llega a tiempo al colegio, de un total de cinco.
Resuélvelo mediante el número combinatorio:
()
=
¿Qué método te parece más fácil o práctico?, ¿obtuviste el mismo resultado?
¿Qué te parece más práctico, escribir todas las combinaciones o calcular el número combinatorio?
Distribución binominal
Tiempo estimado
10 minutos
Un experimento aleatorio que tiene solo dos posibles resultados (éxito
o fracaso) dependiendo si se cumple o no se cumple un cierto evento
o condición.
Es un experimento dicotómico o ensayo de Bernoulli
Si este se repite una cierta cantidad de veces, y definimos la variable
aleatoria X como la cantidad de éxitos obtenidos, entonces la función
de probabilidad de X se modela según una distribución binomial.
Así, la simbología X ~ B(n, p) significa que X es una variable aleatoria que representa la cantidad de éxitos
obtenidos al repetir n veces un experimento dicotómico cuya probabilidad de éxito es p.
Ejemplo
En el caso del estudiante que va al colegio y llega a tiempo solo tres días a la semana, supongamos que la
probabilidad de llegar a tiempo cada día es 7 .
11
Entonces, tenemos que
• la llegada a tiempo al colegio cada día es un experimento aleatorio dicotómico.
• el evento “llegar a tiempo” tiene una probabilidad de éxito de 7 .
11
• la probabilidad de fracaso es de 4 .
11
Si P(éxito)= p => P(fracaso) = 1 – p
Luego, si definimos la variable aleatoria X como la cantidad de días que el estudiante llegó a tiempo al colegio,
de un total de cinco, entonces esta se distribuye según X ~ B(5, 7 ).
11
Como no se especifica qué días de un total de cinco intentos, se puede obtener tres éxitos (e) y dos fracasos (f )
en distintos órdenes.
Por ejemplo, la probabilidad de éxito martes, miércoles y viernes, y de fracaso lunes y jueves, se puede expresar
como
P(feefe) =
6
Cpech
•
•
•
•
=
( )( )
•
Guía
Actividad
¿Cómo se expresa la probabilidad de éxito lunes, miércoles y jueves, y de fracaso martes y viernes?
P(_________) =
•
•
•
•
=
( )( )
•
¿Cómo se expresa la probabilidad de éxito martes, jueves y viernes, y de fracaso lunes y miércoles?
P(_________) =
•
•
•
•
=
( )( )
•
¿Qué conclusión puedes obtener de los resultados?
__________________________________________________________________________________________
Luego, para determinar la probabilidad de obtener solo tres éxitos de un total de cinco intentos, sin especificar
el orden, se debe sumar todas esas probabilidades, que son iguales entre sí. Esto resulta en el producto entre
esa probabilidad repetida y la cantidad de combinaciones.
La cantidad de combinaciones de tres éxitos de un total de cinco
intentos es equivalente a seleccionar tres elementos de un total de
cinco elementos, sin importar el orden. Esto ya lo calculamos antes
y se expresa como
Por lo tanto, si un estudiante va al colegio de lunes a viernes, y
para cada día la probabilidad de llegar a tiempo es 7 , entonces la
11
probabilidad de llegar a tiempo solo tres días de los cinco se puede
expresar como
Tiempo estimado
10 minutos
Función de probabilidad de la distribución binomial
Si una variable aleatoria X se distribuye según X~B(n,p),
de obtener exactamente k éxitos se modela según la
n
P(X = k) = k • pk (1 – p)n–k , con k en el conjunto {0, 1, …, n}.
( )
( )•( ) •( )
6
k
3
5
k
2
5
6-k
probabilidad
probabilidad
( ), entonces su función de probabilidad es
Ejemplo, si X es una variable aleatoria que se distribuye X ~ B 6,
P(X = k) =
entonces la
función de
3
5
, con k en el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Como toda función de probabilidad, la que modela
la distribución binomial se puede graficar, aunque
es posible que nunca tengas que hacerlo. Por
ejemplo, el gráfico adjunto representa la función
de probabilidad de X ~ B 6, 3 .
5
( )
Cpech
7
Taller de nivelación
Actividad
( )
3
Si X es una variable aleatoria que se distribuye X ~ B 6, , ¿cómo se expresa el valor de P(X = 2)? ¿Cuál es su
5
valor numérico?
___________________________________________________________
Valor esperado, la varianza y la desviación estándar
Tiempo estimado
10 minutos
Si tenemos una variable aleatoria X cuya distribución es X ~ B(n, p):
• Su valor esperado es E(X) = n • p
• Su varianza es n • p • (1 – p), por lo cual su desviación estándar es � n ∙ p ∙ (1-p)
Actividad
( 35 ), determina su:
Si X es una variable aleatoria cuya distribución es X ~ B 6,
Valor esperado
Varianza
Desviación estándar
Caso especial
Cuando un experimento dicotómico tiene igual probabilidad de éxito que de fracaso, entonces
1
p=1–p=
. Si el experimento se repite n veces, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de éxitos
2
obtenidos, entonces:
• La variable X se distribuye según X ~ B(n, 1 )
2
()
1
• La función de probabilidad de X es P(X = k) = n • n
k 2
n
• El valor esperado de X es E(X) =
2
n
• La varianza de X es
, por lo cual su desviación estándar es �n
4
2
8
Cpech
Guía
Actividad
Si se lanza una moneda nueve veces y se define la variable aleatoria X como la cantidad de caras obtenidas:
• Determina el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de X.
_______________________________________
• ¿Cuál es la expresión que representa la probabilidad de obtener tres caras y seis sellos?
_______________________________________
Ejercitación
Tiempo estimado
10 minutos
1. Si se lanza un dado quince veces, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la probabilidad de que
alguna vez salga el número 2?
A)
B)
C)
D)
E)
( 16 )
5
1–( )
6
( 56 )
( 56 ) – ( 16 )
( 16 )
15
1–
15
15
15
15
15
( )
2. Si una variable aleatoria X se distribuye según X ~ B 8, 1 , ¿cuál es el valor de P(X = 4)?
2
1
A)
16
B)
1
256
C)
45
64
D)
15
32
E)
35
128
Cpech
9
Taller de nivelación
3. En una bolsa hay tres bolitas negras y siete bolitas blancas. Si se extraen al azar cuatro bolitas, una a una y
con reposición, ¿cuál es la probabilidad aproximada de obtener solo una negra?
A) 0,4
B) 0,2
C) 0,8
D) 0,6
E) 0,1
4. Una prueba está formada de veinte preguntas con cuatro opciones cada una. Si la prueba completa se
responde al azar y se define la variable aleatoria X como la cantidad de preguntas correctas obtenidas, ¿cuál
es la varianza de X?
A) 2
B) 3,75
C) 5
D) 1,25
E) 2,5
5. Una variable aleatoria X se distribuye según X ~ B (n, p), con valor esperado de 12 y desviación estándar de
2. ¿Cuál es el valor de p?
A)
1
3
B)
3
4
C)
5
6
D)
2
3
E)
1
6
10 Cpech
Guía
Tiempo estimado
10 minutos
Actividad
En el inicio de la sesión planteamos un grupo de amigos que lanzaba un dado común seis veces y definía la
variable aleatoria X como la cantidad de 4 obtenidos.
Según lo que vimos durante esta sesión, la variable aleatoria X es dicotómica, con probabilidad de éxito _ , y
su experimento se repite __ veces.
Luego, X se distribuye según X ~ B(__ , _ ), por lo cual su función de probabilidad es P(X = k)=
• _ • _ ,
()()()
con k en el conjunto { __________ }.
Determinen entre todos la probabilidad para cada valor de k. Repartan los cálculos, para que no tengan que
hacerlos todos:
P(X = 1) P(X = 4)
P(X = 2) P(X = 5)
P(X = 3) P(X = 6)
¿Cuál de los amigos tenía la razón?
________________
¿Qué tan cerca estuviste de los valores que anotaste en el inicio?
Cpech
11
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Dirección Académica
Carolina Rojas Parraguez
Equipo de Curriculum y Evaluación
Jennyfer Araneda Muñoz
Rodrigo Cortés Ramírez
Gonzalo Martínez Riquelme
Cristóbal Lagos Alarcón
Noelia Sanhueza Henríquez
Coordinación de Diseño y Diagramación
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Diseño y Diagramación
Cynthia Ahumada Pérez
Vania Muñoz Díaz
Fernanda Fuentes
Tania Muñoz Romero
Coordinación de Recursos Didácticos
y Corrección Idiomática
Karla Delgado Briones
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para utilizar
las distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones a
través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.
