Álgebra GUÍA N° 1 FUNCIONES 1.1 Definición: Función Una función f es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, no vacíos, A y B , donde a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B Los elementos del conjunto A se llaman preimagen y el conjunto de todas las preimagenes se llama Dominio. Cada elemento del conjunto B se llaman imagen y el conjunto de todas las imágenes se llama recorrido. 1.2 Representación de una Función Una función f se puede representar mediante: • • Expresión algebraica. Gráfica. 1.2.1 Representación de una función mediante una expresión algebraica 1. Una tienda está con todos sus productos de vestuario infantil con un 20%. Sandra que realizó el curso de Nivelación realizó la siguiente función para calcular el valor final que tendrá cada producto, V ( x) = 0,8 x , si su precio sin descuento es conocido. a) b) c) d) ¿Cuáles son las variables involucradas? Cuál será el monto a cancelar si su valor sin descuento es de $9.990 Cuál será el monto a cancelar si su valor sin descuento es de $27.850 Si el monto a cancelar realizado el descuento fue de $11.992 y el precio original es de $16.000 ¿Se realizó bien el descuento? 1 Álgebra 2. Cerca de la superficie de la Tierra, todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante de 9,8 m . Los experimentos de caída libre realizados por Galileo nos llevan a s2 poder calcular la distancia que recorre un objeto según su tiempo de acuerdo a la siguiente función s (t ) = 1 ⋅ 9,8 ⋅ t 2 2 a) Qué representa la variable t y cuál es su unidad de medida b) Que representa la variable s(t ) y cuál es su unidad de medida c) ¿Cuantos metros recorre una bola pesada, soltada desde el reposo en los primeros tres segundos? d) ¿Cuántos metros ha recorrido desde el segundo dos hasta el segundo cinco? e) Si un objeto liviano es lanzado desde un edificio de gran altura y recorrió hasta caer al suelo 19,6 metros ¿Cuántos segundos estuvo en el aire? 3. La regla de Young nos permite calcular la dosis de medicamento que se debe administrar a niños entre 1 y 12 años de edad, si conocemos la dosis normal en adultos. Si se administran 500 mg de paracetamol, la fórmula está dada por d ( x) = 500 x x + 12 a) Cuáles son las variables involucradas b) Cuáles son las unidades de medida de cada una de las variables involucradas c) Si un niño de 7 años tiene mucha fiebre ¿Cuántos mg de paracetamol se le deben administrar? d) Para un niño de 48 meses ¿Cuánto mg de paracetamol se le debe administrar? e) Cuanto medicamento se le debe administrar a un niño de 2 años y medio. 4. La función V ( x) = x(12 − 2 x) permite calcular el volumen de una caja que se obtiene al 2 cortar de un cartón cuadrado de 12 centímetros de lado, cortando un cuadrado de x centímetros en cada esquina. a) Defina las variables involucradas e indique su unidad de medida. b) Si se cortan cuadrados de 2cm de lado ¿Cuál es el volumen de la caja? c) Al recortar cuadrados de 18mm por lado ¿Cuál es el volumen de la caja? 2 Álgebra 1.2.2 Representación de una función mediante un gráfico 5. El siguiente grafico muestra la velocidad promedio en Km/h versus tiempo en horas de un bus que realiza el trayecto desde Santiago hasta San Fernando. a) b) c) d) e) f) Escriba el nombre a cada eje Que velocidad lleva el bus a las 1,2 horas Que velocidad lleva el bus a los 24 minutos Cuanto tiempo tarda el bus en llegar a San Fernando Que cantidad de tiempo permanece su velocidad constante Cuanto tiempo demora en alcanzar por primera vez la velocidad máxima permitida. 6. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por un bus versus el tiempo. Estos datos fueron registrados desde que salió del terminal hasta que volvió al punto de partida. Considere el tiempo medido en horas y la distancia medida en kilómetros. a) Escriba el nombre de cada eje b) Si ha transcurrido 1 hora de camino ¿Cuál es la distancia recorrida? c) Si viene de regreso y está en el kilómetro 45 ¿Cuántas horas han transcurrido desde que se inició el recorrido? 3 Álgebra 7. La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto. Distancia desde el suelo (m) Tiempo (s) a) b) c) d) e) ¿Cuáles son las variables relacionadas? ¿A qué altura se encuentra el nido? ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima? ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 60? 8. Los taxis en Santiago cobran de la siguiente forma según la gráfica: Monto a pagar ($) a) b) c) d) e) Distancia recorrida (m) ¿Cuál es la tarifa inicial? (s) Si recorre 1300 metros ¿Cuál es el valor a pagar? Si recorre 1 kilometro ¿Cuál es el valor a pagar? Si recorre entre 800 y 1000 metros ¿Cuál es el valor a pagar? Se cancelaron un total de $1200 ¿Cuánto es lo máximo que recorrió? 4 Álgebra 1.2.3 Elegir la función que modela la situación 9. En un hipódromo un caballo realiza un entrenamiento para una competencia que consiste en dar 5 vueltas al estadio. A medida que el caballo pasa por la marca de vuelta, el juez registra el tiempo transcurrido desde el inicio de la carrera N° de vuelta 0 1 2 3 4 5 Tiempo (s) 0 13 26 39 52 65 a) Grafica en la siguiente cuadrícula los puntos que aparecen en la tabla, indicando el nombre de cada eje, además una vez dibujados los puntos une los 5 pares de puntos con una línea. b) ¿Podrías establecer una expresión algebraica para modelar el problema? 10. Las utilidades en un supermercado están registradas durante los primeros seis meses del año 2013 están registradas como sigue. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Utilidades 2,4 1,8 -1,2 0 0,6 1,2 (miles dólares) a) Grafica en la siguiente cuadrícula los puntos que aparecen en la tabla, indicando el nombre de cada eje, además una vez dibujados los puntos une los puntos de a pares con una línea. b) En qué meses se registra ganancia c) En que meses registra perdida d) Cuál es la variación porcentual entre los meses de Mayo y Junio 5 Álgebra 11. La marea de Maitencillo subió a medianoche y la siguiente marea alta se produjo 12 horas después. El nivel del agua medido desde un lugar determinado se registró en la siguiente tabla: Hora Altura (metros) 00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 3 2 1 2 3 Cuál de las tres graficas es la que modela mejor la situación a) b) c) 6 Álgebra 12. La propagación de una bacteria se puede modelar mediante la función p(t ) = 2t donde t es el tiempo transcurrido en minutos. Indique cuál de las tres graficas que aparecen a continuación modela de mejor forma la situación: a) b) c) 7 Álgebra Respuestas 1. a) x =precio del articulo sin descuento V (x) = Valor final a pagar b) $7992 c) $22280 d) No, debido a que el precio final a pagar sería de $12800. 2. a) b) c) d) e) 3. 4. t = tiempo que el objeto lleva en el aire, medida en segundos. s (t ) = distancia que recorre un objeto, medida en metros. 44,1 metros 102,9 metros 2 segundos. a) x = edad del niño d (x) = Dosis del medicamento que se debe administrar al niño b) x = años d (x) = mg c) Se le deben administrar 184 mg de paracetamol aprox. d) Se le deben administrar 125 mg de paracetamol e) Se le deben administrar 86 mg de paracetamol aprox. a) x = lado del cuadrado, centímetros. V (x) = volumen de la caja, centímetros cúbicos. b) 128 cm3 3 c) 127,009 cm 5. a) Eje X = tiempo (horas) Eje Y = Velocidad (km/h) b) 40 km/h c) 60 km/h d) 1,4 horas e) 0,2 horas ó 12 minutos f) 0,2 horas ó 12 minutos 6. a) Eje X = Tiempo (horas) Eje Y = Distancia (metros) b) 75 kilómetros c) 3,5 horas 7. a) b) c) d) e) tiempo y distancia desde el suelo. 50 metros El vuelo dura 80 segundos y a los 20 segundos Altura máxima 50 metros y altura mínima -40 metros. Mantiene una altura constante de 40 metros. 8 Álgebra 8. a) b) c) d) e) $300 $1200 $1050 $900 Recorro menos de 1400 metros 9. a) b) T ( x) = 13x 10. a) n b) Enero, Febrero, Mayo y Junio c) Marzo d) variación del 150% 11. Grafica correcta a) 12. Grafica correcta c) 9
