MODELOS DE AUTOTRANSFORMADORES EN LAS REDES DE POTENCIA Alberto Carlos Alvarez Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 Sistemas de Potencia 2012 1. AUTOTRANSFORMADORES 1.1. AUTOTRANSFORMADOR MONOFASICO Consiste de un solo arrollamiento del cual se derivan el primario y el secundario. Para su análisis se considerará el transformador monofásico de dos arrollamientos esquematizado en la figura 2.1. i v d1 N1 i v d2 N2 Figura 2.1 CIRCUITOS ELÉCTRICOS La figura 2.2 muestra los dos casos posibles de conexión del primario y el secundario del transformador de la figura 2.1 para constituirse en un autotransformador. i1 i1 N1 R1 i v v1 v R2 i2 v2 i v i2 v1 i i v v2 N2 a) Figura 2.2 b) El esquema de conexiones está indicado en la figura 2.2.a. Los voltajes y corrientes de primario y secundario, referidas a las variables del transformador de la figura 2.1 resultan: v1 v v v2 v i1 i i2 = i - i (2.1) (2.3) (2.2) (2.4) Las ecuaciones de comportamiento instantáneo (figura 2.2.a), son las siguientes: v1 R1 i R2 i N 1 v 2 R1 i N 1 d 1 d 2 N2 dt dt d 1 dt (2.5) (2.6) Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 2 de 7 Sistemas de Potencia 2012 Sustituyendo los flujos: 1 d1 , 2 d2 En las expresiones (2.5) y (2.6), se tienen: d d 1 d d 2 d N2 ( N1 N2 ) dt dt dt d d 1 d v 2 R1 i N 1 N1 dt dt v1 R1 i R2 i N 1 Despejando (2.7) (2.8) d de (2.8) y reemplazando en (2.7), resulta: dt d d 1 d d 2 N2 dt dt d d 1 ( N1 N2 ) ( v 2 R1 i N 1 ) N1 dt v1 R1 i R2 i N 1 Las relaciones en los circuitos magnéticos son las siguientes: 1 ( N 1 i N 2 i ) R el 1 ( N 1 i ) d 1 Rel1 (2.9) (2.10) 1 ( N 2 i ) d 2 R el 2 (2.11) Sustituyendo los flujos de dispersión dados en (2.10) y (2.11) en la última expresión de v 1 , queda: v1 R1 i R2 i N 12 d i N 22 d i R e l1 dt R e l2 d t (2.12) ( N1 N2 ) N 12 d i ( v 2 R1 i ) N1 R e l1 d t Los coeficientes de las derivadas son las autoinductancias de dispersión: L1d N 12 rel1 , L2 d N 22 r el 2 Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 3 de 7 Sistemas de Potencia 2012 2.1.2 Operación en régimen senoidal estacionario La ecuación (2.12) en términos fasoriales : V1 R1 I R2 I j Ld 1 I j Ld 2 I ( N1 N2 ) ( v 2 R1 I j Ld 1 I ) N1 Definiendo: Z 1 R1 j Ld 1 Impedancia de dispersión del primario Z 2 R2 j Ld 2 Impedancia de dispersión del secundario Se puede escribir: N2 ) ( V2 Z 1 I ) N1 N N V1 2 Z 1 I Z 2 I ( 1 2 ) V2 N1 N1 V1 Z 1 I Z 2 I ( 1 (2.13) Siendo la relación de transformación del transformador de dos arrollamientos: a N1 N2 (2.14) El coeficiente del último término de la ecuación (1.13), se puede poner: 1 N2 1 a1 1 ra N1 a a (1.15) Sustituyendo (2.14) y (2.15), en (2.13), se obtiene: V1 1 Z 1 I Z 2 I ra V2 a (1.16) Siendo la reluctancia del núcleo despreciables frente a las reluctancias de las trayectorias de dispersión, sin introducir mayores errores, se asume: N 1 I N 2 I Se sustituye: I N2 1 I I N1 a en (2.16) V1 ( Z1 Z 2 ) I ra V2 a2 ra resulta la relación de transformación del autotransformador. Por la condición de conexionado (2.2), es: I I 1 Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 4 de 7 Sistemas de Potencia 2012 Luego: I 2 I I I V1 ( 1 1 I ( 1 ) I ra I 1 a a Z1 Z 2 ) I 1 ra V2 a2 (2.17) La ecuación (2.17) sugiere el circuito equivalente de la figura 2.3. ra : 1 I1 I2 T .I . V1 Z1 Z2 a2 V2 Figura 2.3 2.1.3 Potencia transferida En el transformador de dos arrollamientos las potencias nominales de primario y secundario están dadas por: ST Vn I n Vn I n VA (2.18) Donde I n y I n representan las corrientes nominales de los arrollamientos primario y secundario, respectivamente, Vn y Vn los voltajes nominales de los mismos, y están relacionados por: Vn I n N 1 I n N 2 N1 Vn N2 En el autotransformador, escribiendo separadamente para primario y secundario, las potencias nominales son: S1 V1n I 1n S2 V2n I 2n VA (primarios) VA (secundarios) (2.19) (2.20) Sustituyendo (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4) en (2.19) y (2.20), se obtienen: S1 Vn Vn I n a Vn Vn I n (2.21) ( a 1 ) Vn I n VA Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 5 de 7 Sistemas de Potencia 2012 S 2 Vn I n I n Vn I n a I n (2.22) ( a 1 ) Vn I n VA Resultan iguales por (2.18) las potencias nominales de ambos lados del autotransformador: S1 S 2 S Además se verifica: S ( a 1 ) ST (2.23) La potencia nominal del autotransformador es ( a 1 ) veces la del transformador de dos arrollamientos. 2.1.4 Representación por unidad Los valores base en el transformador de dos arrollamientos son: VB S B , VB , , I B , Z B en el primario S B , I B , Z B en el secundario Estando relacionados por: VB VB , a I B a I B (VB )2 ZB S B , , S B S B (VB )2 ZB S B Los correspondientes valores base del autotransformador, teniendo en cuenta las ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4) y la definición (2.15), resultan: VB1 VB VB VB VB 2 VB , 1 a1 V B VB a a VB 1 ra VB 2 (2.24) (2.25) Alternativamente, también es: VB1 VB VB VB a VB a 1 VB (2.26) Teniendo en cuenta la expresión (2.23), se tiene: S B ( a 1 ) S B (2.27) En consecuencia la impedancia base del primario del autotransformador, por las ecuaciones (2.24) y (2.27), resulta: Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 6 de 7 Sistemas de Potencia Z B1 2012 ( a 1 )2 2 (VB1 )2 (VB )2 a1 a Z B 2 SB (a 1) a SB (2.28) Teniendo en cuenta (2.26) y (2.27), se tiene la expresión alternativa: Z B1 (VB1 )2 ( a 1 )2 (VB )2 ( a 1 ) Z B SB (a 1) S B (2.29) Por otra parte, entre los valores base de voltaje, corriente e impedancia del primario del autotransformador existe la siguiente relación: VB1 Z B I B (2.30) Dividiendo miembro a miembro la ecuación (2.17) por: VB 1 ra VB 2 Z B 1 I B 1 Resulta: r V Z I 21 Z 2 1 a 2 a I B1 ra VB 2 Z1 I Z2 I V 1 1 2 ( a 1 ) Z B I B1 ( a 1 ) Z B I B1 VB 2 V1 1 VB1 Z B1 Reconociendo los valores por unidad, se escribe: V1 1 ( Z 1 Z 2 ) I 1 V2 (a 1) Pero Z 1 Z 2 Z c c del ensayo de cortocircuito del transformador de dos arrollamientos. El circuito equivalente está contenido en la figura 2.4. I1 V1 ZCC a1 V2 Figura 2.4 Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013 7 de 7
