MODELOS DE AUTOTRANSFORMADORES
EN LAS REDES DE POTENCIA
Alberto Carlos Alvarez
Ing. José Luis Montero – Sistemas de Potencia – DIEC – UNS - 2013
Sistemas de Potencia
2012
1.
AUTOTRANSFORMADORES
1.1.
AUTOTRANSFORMADOR MONOFASICO
Consiste de un solo arrollamiento del cual se derivan el primario y el secundario.
Para su análisis se considerará el transformador monofásico de dos arrollamientos
esquematizado en la figura 2.1.
i
v
d1
N1
i
v
d2
N2
Figura 2.1
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
La figura 2.2 muestra los dos casos posibles de conexión del primario y el secundario del
transformador de la figura 2.1 para constituirse en un autotransformador.
i1
i1
N1
R1
i
v
v1
v
R2
i2
v2
i
v
i2
v1
i
i
v
v2
N2
a)
Figura 2.2
b)
El esquema de conexiones está indicado en la figura 2.2.a.
Los voltajes y corrientes de primario y secundario, referidas a las variables del
transformador de la figura 2.1 resultan:
v1 v v
v2 v
i1 i
i2 = i - i
(2.1)
(2.3)
(2.2)
(2.4)
Las ecuaciones de comportamiento instantáneo (figura 2.2.a), son las siguientes:
v1 R1 i R2 i N 1
v 2 R1 i N 1
d 1
d 2
N2
dt
dt
d 1
dt
(2.5)
(2.6)
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Sustituyendo los flujos:
1 d1
,
2 d2
En las expresiones (2.5) y (2.6), se tienen:
d d 1
d d 2
d
N2
( N1 N2 )
dt
dt
dt
d d 1
d
v 2 R1 i N 1
N1
dt
dt
v1 R1 i R2 i N 1
Despejando
(2.7)
(2.8)
d
de (2.8) y reemplazando en (2.7), resulta:
dt
d d 1
d d 2
N2
dt
dt
d d 1
( N1 N2 )
( v 2 R1 i N 1
)
N1
dt
v1 R1 i R2 i N 1
Las relaciones en los circuitos magnéticos son las siguientes:
1
( N 1 i N 2 i )
R el
1
( N 1 i ) d 1
Rel1
(2.9)
(2.10)
1
( N 2 i ) d 2
R el 2
(2.11)
Sustituyendo los flujos de dispersión dados en (2.10) y (2.11) en la última expresión de
v 1 , queda:
v1 R1 i R2 i
N 12 d i
N 22 d i
R e l1 dt
R e l2 d t
(2.12)
( N1 N2 )
N 12 d i
( v 2 R1 i
)
N1
R e l1 d t
Los coeficientes de las derivadas son las autoinductancias de dispersión:
L1d
N 12
rel1
,
L2 d
N 22
r el 2
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2.1.2 Operación en régimen senoidal estacionario
La ecuación (2.12) en términos fasoriales :
V1 R1 I R2 I j Ld 1 I j Ld 2 I
( N1 N2 )
( v 2 R1 I j Ld 1 I )
N1
Definiendo:
Z 1 R1 j Ld 1
Impedancia de dispersión del primario
Z 2 R2 j Ld 2
Impedancia de dispersión del secundario
Se puede escribir:
N2
) ( V2 Z 1 I )
N1
N
N
V1 2 Z 1 I Z 2 I ( 1 2 ) V2
N1
N1
V1 Z 1 I Z 2 I ( 1
(2.13)
Siendo la relación de transformación del transformador de dos arrollamientos:
a
N1
N2
(2.14)
El coeficiente del último término de la ecuación (1.13), se puede poner:
1
N2
1 a1
1
ra
N1
a
a
(1.15)
Sustituyendo (2.14) y (2.15), en (2.13), se obtiene:
V1
1
Z 1 I Z 2 I ra V2
a
(1.16)
Siendo la reluctancia del núcleo despreciables frente a las reluctancias de las trayectorias de
dispersión, sin introducir mayores errores, se asume:
N 1 I N 2 I
Se sustituye:
I
N2
1
I I
N1
a
en (2.16)
V1 (
Z1
Z 2 ) I ra V2
a2
ra resulta la relación de transformación del autotransformador.
Por la condición de conexionado (2.2), es: I I 1
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Luego:
I 2 I I I
V1 (
1
1
I ( 1 ) I ra I 1
a
a
Z1
Z 2 ) I 1 ra V2
a2
(2.17)
La ecuación (2.17) sugiere el circuito equivalente de la figura 2.3.
ra : 1
I1
I2
T .I .
V1
Z1
Z2
a2
V2
Figura 2.3
2.1.3 Potencia transferida
En el transformador de dos arrollamientos las potencias nominales de primario y secundario
están dadas por:
ST Vn I n Vn I n
VA
(2.18)
Donde I n y I n representan las corrientes nominales de los arrollamientos primario y
secundario, respectivamente, Vn y Vn los voltajes nominales de los mismos, y están relacionados
por:
Vn
I n N 1 I n N 2
N1
Vn
N2
En el autotransformador, escribiendo separadamente para primario y secundario, las
potencias nominales son:
S1 V1n I 1n
S2 V2n I 2n
VA (primarios)
VA (secundarios)
(2.19)
(2.20)
Sustituyendo (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4) en (2.19) y (2.20), se obtienen:
S1 Vn Vn I n a Vn Vn I n
(2.21)
( a 1 ) Vn I n
VA
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S 2 Vn I n I n Vn I n a I n
(2.22)
( a 1 ) Vn I n
VA
Resultan iguales por (2.18) las potencias nominales de ambos lados del autotransformador:
S1 S 2 S
Además se verifica:
S ( a 1 ) ST
(2.23)
La potencia nominal del autotransformador es ( a 1 ) veces la del transformador de dos
arrollamientos.
2.1.4 Representación por unidad
Los valores base en el transformador de dos arrollamientos son:
VB
S B
,
VB ,
,
I B
,
Z B
en el primario
S B ,
I B
,
Z B
en el secundario
Estando relacionados por:
VB
VB
,
a
I B a I B
(VB )2
ZB
S B
,
,
S B S B
(VB )2
ZB
S B
Los correspondientes valores base del autotransformador, teniendo en cuenta las ecuaciones
(2.1), (2.2), (2.3) y (2.4) y la definición (2.15), resultan:
VB1 VB VB VB
VB 2 VB
,
1
a1
V B
VB
a
a
VB 1 ra VB 2
(2.24)
(2.25)
Alternativamente, también es:
VB1 VB VB VB a VB a 1 VB
(2.26)
Teniendo en cuenta la expresión (2.23), se tiene:
S B ( a 1 ) S B
(2.27)
En consecuencia la impedancia base del primario del autotransformador, por las ecuaciones
(2.24) y (2.27), resulta:
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Z B1
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( a 1 )2
2
(VB1 )2
(VB )2
a1
a
Z B
2
SB
(a 1)
a
SB
(2.28)
Teniendo en cuenta (2.26) y (2.27), se tiene la expresión alternativa:
Z B1
(VB1 )2 ( a 1 )2 (VB )2
( a 1 ) Z B
SB
(a 1)
S B
(2.29)
Por otra parte, entre los valores base de voltaje, corriente e impedancia del primario del
autotransformador existe la siguiente relación:
VB1 Z B I B
(2.30)
Dividiendo miembro a miembro la ecuación (2.17) por:
VB 1 ra VB 2 Z B 1 I B 1
Resulta:
r V
Z
I
21 Z 2 1 a 2
a
I B1 ra VB 2
Z1
I
Z2
I
V
1
1 2
( a 1 ) Z B I B1 ( a 1 ) Z B I B1 VB 2
V1
1
VB1
Z B1
Reconociendo los valores por unidad, se escribe:
V1
1
( Z 1 Z 2 ) I 1 V2
(a 1)
Pero Z 1 Z 2 Z c c del ensayo de cortocircuito del transformador de dos arrollamientos.
El circuito equivalente está contenido en la figura 2.4.
I1
V1
ZCC
a1
V2
Figura 2.4
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