Mat Arq introduccion (286615)

Valor absoluto. En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor
numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el
valor absoluto de 3 y de -3. Se dice también, que es la distancia entre el número y el cero, en la recta
numérica.
Propiedades fundamentales
No negatividad
Definición positiva
Propiedad multiplicativa
Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
Ley de los signos
Suma
1. Si los números tienen el mismo signo, se deja el mismo signo.
3+5=8
(−3) + (−5) = −3 + −5 = − 8
2. si los números tienen distinto signo:
(3) + (−5) =
a) Se resta, al valor absoluto del más grande, el valor absoluto del más chico
|3| = 3;
|−5| = 5
5−3=2
b) al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.
3 − 5 = −2
O también, en la recta numérica, partimos del primer número (3) y “caminar” (-5) pasos y ver a donde
llegamos:
Multiplicación y División
(+) × (+) = +
(+) ÷ (+) = +
(+) × (−) = −
(+) ÷ (−) = −
(−) × (+) = −
(−) ÷ (+) = −
(−) × (−) = +
(−) ÷ (−) = −
Leyes Básicas de los Números Reales
Conmutativa
Para la suma:
a+b=b+a
23 + 54 = 54 + 23
Para la multiplicación:
3 × 4 = 4 × 3 = 12
ab = ba
1
3
3
1
3
4
4
3
( ) × ( ) = ( ) × ( );
1
3
1×3
3
4
3×4
( )×( )=
=
3
12
1
= ;
4
3
1
3×1
4
3
4×3
( )×( )=
=
3
12
=
1
4
Asociativa
Para la suma:
a + b+ c = (a + b) + c = a + (b + c);
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Para la multiplicación: (a b) c = a ( b c ); 4 × 3 × 2 = (4 × 3) × 2 = 4 × (3 × 2)
Distributiva de la multiplicación
Sobre la Suma:
a ( b + c ) = ab + ac;
Sobre la Resta: a ( b - c ) = ab – ac;
Siendo a, b y c: variables, constantes o expresiones algebraicas
2(3 + 4) = 2(7) = 14;
2(3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
3(2 − 4) = 3(−2) = −6;
3(2 − 4) = 3 × 2 + 3 × (−4) = 6 − 12 = −6
Orden de las Operaciones. En cualquier dispositivo de cálculo (computadora, calculadora), las
operaciones se efectúan considerando una cierta jerarquía entre los operadores:
Primero se ejecutan las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves (de adentro hacia afuera).
Segundo: se ejecutan las potencias, raíces, funciones trigonométricas, etc.
Tercero: los productos y cocientes.
Cuarto: sumas y restas.
Cuando dos o más operadores de la misma jerarquía están uno después del otro, se ejecutarán de
izquierda a derecha.
Ejemplos:
Combinación de sumas y restas.
9−7+5+2−6+8−4= 7
Combinación de sumas, restas y productos.
3×2−5+4×3−8+5×2=
Se realizan primero los productos por tener mayor prioridad:
6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Luego se efectúan las sumas y restas.
6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10 ÷ 2 + 5 × 3 + 4 − 5 × 2 − 8 + 4 × 2 − 16 ÷ 4 =
Se realizan primero los productos y los cocientes en el orden en el que se encuentran (de izquierda
a derecha) porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Se efectúan las sumas y restas.
5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.
23 + 10 ÷ 4 + 5 × 32 + 4 − 5 + 42 ÷ 8 =
Se realizarían en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
8 + 10 ÷ 4 + 5 × 9 + 4 − 5 + 16 ÷ 8 =
Seguirían con los productos y cocientes (de izquierda a derecha).
8 + 2.5 + 45 + 4 − 5 + 2 =
Por último, se Efectuarían las sumas y las restas.
8 + 2.5 + 45 + 4 − 5 + 2 = 56.5
Operaciones combinadas con paréntesis
3(5 − 2) + (2 − 6) ÷ 4 − 5 × (−3) + 6 − 2 ÷ 4 =
Se realizan primero las operaciones entre paréntesis en el orden de izquierda a derecha.
3(3) + (−4) ÷ 4 − 5 × (−3) + 6 − 2 ÷ 4 =
Se realizan los productos y las divisiones.
9 + (−1) + 15 + 6 − 0.5 =
Por último, se Efectuarían las sumas y las restas.
9 + −1 + 15 + 6 − 0.5 = 28.5
Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (23 ÷ 2) + 3[(3 − 5) − (5 − 3)3 ] − (2 − 8 + 1)] =
Primero se ejecutarían las operaciones de los paréntesis de más adentro hacia afuera.
[15 − (4) + 3[(−2) − (2)3 ] − (−5)] =
[15 − (4) + 3[(−2) − (8)] − (−5)] =
[15 − (4) + 3[10] − (−5)] =
[15 − 4 + 30 + 5] = 46
Variables. Letra o símbolo al cual puede asignársele cualquier valor de un conjunto de números
dados o implícitos. Generalmente se usan las letras al final del alfabeto (w, x, y, z) como variables.
Constantes.
Letra o símbolo que pueden usarse para designar números fijos, pero no
especificados (𝜋, 𝑒, … ). Por lo general, se usan las letras cercanas al comienzo del alfabeto (a, b, c,
d) para designar a las constantes.
Expresiones algebraicas. Es cualquier combinación de variables y constantes, que se forme
utilizando un número finito de operaciones. Ejemplos:
𝑎𝑥 2 ,
𝑚𝑥 + 𝑐,
√𝑏 2 − 𝑐 2
,
𝑎−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑐
Suma algebraica. Es una expresión algebraica, formada por partes separadas por signos más o
signos menos:
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝜋𝐷2
2
+ 𝑎𝑥 − 3𝑏𝑥𝑦 −
𝑏𝑐
4
Término algebraico. Es cada una de las partes de una Suma algebraica, junto con el signo que
la precede. Por ejemplo, la suma algebraica del ejemplo anterior:
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝜋𝐷2
+ 𝑎𝑥 2 − 3𝑏𝑥𝑦 −
𝑏𝑐
4
Tiene cuatro términos algebraicos:
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑐
, 𝑎𝑥 2 ,
−3𝑏𝑥𝑦,
y −
𝜋𝐷2
4
Factores. Son las constantes y las variables que pueden desglosarse de un término algebraico.
Por ejemplo, el término −3𝑏𝑥𝑦,
a) Tiene los factores: −1, 3, 𝑏, 𝑥, 𝑦
b) Y también son factores: −3b, −3x, xy, 3y, −bx, −by, bxy, y cualquier combinación
(productos) entre las variables y las constantes (factores individuales) del término algebraico.
A los factores del inciso a) se les llama Factores Individuales y a los factores del inciso b)
otros factores.
Otro ejemplo:
−3𝑥(𝑎−𝑏)
6
Tiene como factores individuales: −1, 3, 𝑥, 𝑎 − 𝑏 𝑦
1
6
Los Otros Factores son productos de estos factores.
Coeficiente. Es el producto de todas las constantes de un Término. Normalmente, se escribe al inicio
del término. Ejemplos:
3
3
Los Términos −3x, √xy, 3y, − 3 bx, −3by, bxy tienen los coeficientes: −3, 1, 3, − 4 b, −3b y b
respectivamente.
Términos semejantes. Son términos de una suma algebraica, que tienen las mismas variables,
elevadas a las mismas potencias. Ejemplos:
3𝑥 2 𝑦 − 9𝑥𝑦 2 − 5(𝑥𝑦)2 + 6𝑦𝑥 2 + 5𝑥 2 𝑦 2
Los términos semejantes son 3𝑥 2 𝑦 con 6𝑦𝑥 2
y −5(𝑥𝑦)2 con 5𝑥 2 𝑦 2
Es importante saber identificar los términos semejantes en una expresión algebraica, ya que esto
me permite reducir los términos, sumándolos, o aplicando la propiedad distributiva a la inversa
(factorizando)
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado
incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con
incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben
seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando sea posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o inverso multiplicativo),
los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en
el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde sea posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador
inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para
llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3
es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, Para cancelarlo,
aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Sustituya el valor de x en la ecuación 2x – 3 = 53 para verificar si la solución es la correcta.
Resolvamos otros ejemplos: (en clase, 1 de cada tipo)
2𝑥 = 6
−3𝑥 = 12
2𝑥 = 𝑥 + 2
2𝑥 + 6 = 𝑥 + 2
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos
independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones
inversas donde era necesario).
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa
como – 8x)
(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)
(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)
(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número
negativo, el resultado es positivo)
(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa
como – 1)
(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)
(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x
sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha
como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.
(Léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo,
el 1, con un negativo, el – 3.
Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación
considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de
adentro hacia afuera las operaciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
Primero quitamos los paréntesis.
Reducimos términos semejantes.
Ahora quitamos los corchetes.
Transponemos los términos, empleando el criterio de
operaciones inversas.
Nuevamente reducimos términos semejantes
Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.
Advertencia
Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:
a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté
dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5
b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a
todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación
cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5
Resolución de ecuaciones con productos incluidos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se
sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).
Observemos un ejemplo:
5𝑥 − 15 − 𝑥 + 1 = 𝑥 + 3 − 10
Resolvemos el producto indicado (Propiedad Distributiva), y
adicionalmente eliminamos los paréntesis.
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y
los términos independientes al otro lado (empleamos
operaciones inversas.)
Reducimos términos semejantes en ambos lados de la
igualdad.
Despejamos x pasando 3 a dividir.
Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las
operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos
conocer).
Veamos un problema característico:
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de
los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
x
y
z
edad de Pedro
edad de Álvaro
edad de María
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años
menor que Álvaro):
y=x+3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7
años mayor que María):
z=x–7
Ahora tenemos que:
edad de Pedro:
x
edad de Álvaro:
x +3
edad de María:
x–7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
edad de Pedro:
x
= 14 años
edad de Álvaro:
x + 3 = 17 años
edad de María:
x – 7 = 7 años
Para resolver en casa:
1. Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm
más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
2. Si un número se divide por 0,3 resulta 60, ¿cuál es el número?
3. La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $
65.00. Si el kilogramo de azúcar vale $15.00, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?
4. Un vendedor recibe un sueldo base de $ 215.000, al mes, más 8% de las ventas por
comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?
5. Las edades de dos personas “están en” la razón de 3 : 4 (Se lee: “tres a cuatro”).
Determine las edades de cada una si La diferencia de sus edades es de 5 años.
En matemáticas, una razón es una relación entre dos magnitudes, generalmente se expresa como "a es
a b" o a:b. Calcule la razón ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒: 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 del grupo.
Cuando las magnitudes comparten la misma unidad se puede expresar como un cociente adimensional de los
dos. En el caso que no compartan dimensiones se dejan explicitas las unidades. Por ejemplo, 50 g/ml, (50
gramos por cada litro) unidad común en recetas de cocina, 60Km/h, 2,200 Kg/m3, etc.
TEOREMA DE
PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras establece que:
En todo triángulo rectángulo,
el cuadrado de la hipotenusa,
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
En Lenguaje Matemático, decimos que:
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes
se establece que:
y , y la medida de la hipotenusa es ,
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones
diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad
Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster
matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el
matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro
de 1927 The Pythagorean Proposition.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación
entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría.
Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original
para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los
campos más diversos.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno,
coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la
circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre
el cateto opuesto sobre la hipotenusa.
̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
̅̅̅̅
𝑂𝐶
𝑏
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el
cateto adyacente,
̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝑎
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
=
̅̅̅̅
𝑏
𝑂𝐶
Si hacemos el mismo análisis para el ángulo 𝛽, correspondiente al vértice B, obtendremos las
razones trigonométricas para dicho ángulo, siendo estas las siguientes:
𝜷
𝑆𝑒𝑛 𝛽 =
̅̅̅̅
𝑂𝐶
𝑏
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝑎
𝐶𝑜𝑠 𝛽 =
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵
𝑇𝑎𝑛 𝛽 =
̅̅̅̅
𝑂𝐶
𝑏
=
̅̅̅̅
𝑎
𝐶𝐵
Observando las relaciones entre catetos e hipotenusa para las funciones trigonométricas de lops
ángulos 𝛼 y 𝛽, tenemos las siguientes equivalencias:
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝑎
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵
𝐶𝑜𝑠 𝛽 =
̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝑎
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵
𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 𝛽
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
̅̅̅̅
𝑂𝐶
𝑏
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵
𝑆𝑒𝑛 𝛽 =
̅̅̅̅
𝑂𝐶
𝑏
=
̅̅̅̅
𝑐
𝐴𝐵
𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑆𝑒𝑛 𝛽
̅̅̅̅
𝐵𝐶
𝑎
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
=
̅̅̅̅
𝑏
𝑂𝐶
̅̅̅̅
𝑂𝐶
𝑏
𝑇𝑎𝑛 𝛽 =
=
̅̅̅̅
𝑎
𝐶𝐵
𝑇𝑎𝑛 𝛽 =
1
𝑇𝑎𝑛 𝛼