TRABAJO Y ENERGIA Física I Mecánica 167 168 CAPITULO 6 TRABAJO Y ENERGIA Física I Mecánica Ingeniero Gustavo Botero Echeverri Ingeniero Gustavo Jaramillo Botero 167 168 CAPITULO 6 TRABAJO Y ENERGIA 167 Presentación Teniendo en cuenta que la mecánica de cuerpos rígidos es una base muy importante para el diseño y la construcción de estructuras, los autores presentan este libro a un gran número de personas interesadas en el estudio y aprendizaje de la física. Todos los capítulos se presentan de forma ordenada y de una manera muy explícita, con el fin de que las personas y los estudiantes de cualquier región del país, puedan estudiar y comprender los temas aquí tratados. En la mecánica se estudia el equilibrio y el movimiento de cuerpos rígidos; especialmente las leyes de Newton, las cuales son de gran importancia para entender la física y el mundo moderno. 168 CAPITULO 6 TRABAJO Y ENERGIA Contenido Nomenclatura Pag. Objetivo General 13 Capítulo 1. Sistemas de unidades Objetivos específicos 16 1.1 Introducción 17 1.2 18 Sistema métrico decimal (MKS) 1.3 Sistema internacional de unidades (S.I) 18 1.4 21 Sistema ingles de unidades (USCS) 1.5 Conversión de un sistema de unidades a otro 24 1.6 Reducción de múltiplos y submúltiplos 25 Ejercicios propuestos 31 Capítulo 2. Propiedades de la materia Objetivos Específicos 40 2.1 Introducción 41 2.2 Propiedades específicas 41 2.3 Propiedades generales 41 2.4 Propiedades de los materiales 2.4.1 Ductilidad 2.4.2 Maleabilidad 2.4.3 Impenetrabilidad 2.4.4 Dureza 2.4.5 Masa 2.4.6 Inercia 2.4.7 Fuerza 2.4.8 Peso 41 41 41 41 42 42 42 42 42 167 168 CAPITULO 6 Pag. 2.4.9 Densidad 2.4.10 Peso específico 42 43 2.5 Esfuerzos 2.5.1 Clases de esfuerzos 2.5.2 Intensidad del esfuerzo 46 46 48 Ejercicios propuestos 52 Capítulo 3. Vectores y escalares Objetivos específicos 56 3.1 57 Introducción 3.2 Magnitudes escalares 57 3.3 57 Magnitudes vectoriales 3.4 Suma de vectores 3.4.1 Método gráfico 3.4.2 Método analítico 59 59 61 3.5 Resta de vectores 62 3.6 Descomposición de vectores 62 3.7 Producto escalar 3.7.1 Producto de un vector por un escalar 3.7.2 Producto escalar de dos vectores 3.7.3 Producto vectorial de dos vectores 63 63 64 64 Ejercicios propuestos 79 Capítulo 4. Movimiento Rectilineo Objetivos específicos 86 4.1 Introducción 87 4.2 Desplazamiento 87 4.3 Velocidad 87 4.4 Velocidad media 87 TRABAJO Y ENERGIA Pag. 4.5 Velocidad Instantánea 88 4.6 Movimiento rectilíneo uniforme 88 4.7 Aceleración 88 4.8 Movimiento rectilíneo uniformemente variado 90 4.9 Caída libre 93 4.10 Lanzamiento vertical 95 Ejercicios propuestos 98 Capítulo 5. Leyes de Newton Objetivos específicos 106 5.1 Introducción 107 5.2 Fuerza 107 5.3 Primera ley de Newton. Equilibrio 107 5.4 Análisis de la primera ley de Newton. 107 5.5 Segunda ley de Newton. Gravitación 108 5.6 Masa y peso. 109 5.7 Tercera ley de Newton. Acción y reacción 109 5.8 Fuerza normal. 110 5.9 Rozamiento 111 Ejercicios propuestos 127 Capítulo 6. Trabajo y Energía. Objetivos específicos 142 6.1 Introducción 143 167 168 CAPITULO 6 Pag. 6.2 Trabajo 143 6.3 Potencia 144 6.4 Máquinas simples. 6.4.1 Palancas. 6.4.2 La Polea. 6.4.3 Polipastos o aparejos 6.4.4 El torno 146 147 150 151 155 6.5 Conservación de la energía 156 6.6 Fuentes de energía. 157 Ejercicios propuestos 167 Capítulo 7. Mecánica de fluidos Objetivos específicos 172 7.1 Introducción 173 7.2 Propiedades de los fluidos 7.2.1 Viscosidad 7.2.2 Densidad 7.2.3 Peso específico 7.2.4 Densidad relativa 7.2.5 Presión 173 173 173 174 174 174 7.3 Estática de los fluidos 7.3.1 Presión en un punto 7.3.2 Principio de Pascal 7.3.3 Ecuación básica de la estática de fluidos 7.3.4 Principio de Arquímedes 175 175 175 176 176 7.4 Aparatos para medir la presión 7.4.1 Manómetros 177 177 7.5 Dinámica de fluidos 7.5.1 Flujo 7.5.2 Gasto o caudal 7.5.3 Ecuación de continuidad 7.5.2 Ecuación de Bernoulli 7.5.3 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. 7.5.4 Principio de Torricelli Ejercicios propuestos 184 184 185 187 188 189 190 192 TRABAJO Y ENERGIA Pag. Capitulo 8. Principios de electricidad Objetivos específicos 196 8.1 Introducción 197 8.2 Corriente o intensidad 197 8.3 Voltaje o tensión 197 8.4 Resistencia 197 8.5 Ley de Ohm. 198 8.6 Potencia 198 8.7 Energía 198 8.8 Ley de Watt. 199 Ejercicios propuestos 201 Capítulo 9. Circuitos eléctricos Objetivos específicos 204 9.1 Definición 205 9.2 Partes de un circuito eléctrico 205 9.3 Clases de circuitos 9.3.1 Circuitos en serie 9.3.2 Circuitos en paralelo 9.3.3 Circuitos combinados 206 206 208 211 Ejercicios propuestos 214 Bibliografía 219 Apéndice A. Formulas matemáticas fundamentales 220 167 168 CAPITULO 6 TRABAJO Y ENERGIA 167 Objetivo General El presente libro tiene como objetivo general, servir de base a los estudiantes de la Universidad del Quindio, quienes deben tener suficientes conocimientos de mecánica, para comprender los temas de la estática y de estructuras. Los contenidos del libro están enfocados de una manera sencilla y explícita, con el fin de que se puedan comprender fácilmente, aún sin ser un especialista en los temas tratados. 168 CAPITULO 6 TRABAJO Y ENERGIA Capítulo 1 Sistemas de Unidades - Sistema métrico decimal - Sistema Internacional - Sistema Ingles - Conversión de unidades - Múltiplos y submúltiplos 167 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer los sistemas de unidades utilizados en la construcción colombiana. 2. Reducir unidades a múltiplos y submultiplos. 3. Conocer la equivalencia entre los sistemas de unidades. 4. Realizar operaciones utilizando los diferentes sistemas de unidades. 5. Solucionar problemas utilizando las equivalencias entre los sistemas de unidades. TRABAJO Y ENERGIA 167 1. Sistemas de unidades 1.1 Introducción Magnitud es todo lo que se puede medir para obtener una información cuantitativa de cualquier fenómeno físico. Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, la cual se toma como unidad. Las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas. a) Magnitudes Fundamentales: Son aquellas que se pueden definir por sí solas, es decir, que no dependen de otras. Las magnitudes fundamentales más utilizadas son: Longitud, masa y tiempo. b) Magnitudes Derivadas: Son aquellas que se deben expresar por una o varias magnitudes fundamentales, mediante el empleo de definiciones o fórmulas. Por ejemplo, el volumen es el producto de tres longitudes, luego el volumen es una magnitud derivada. Los múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales de cualquier sistema de unidades, pueden obtenerse mediante el uso de los prefijos definidos en la siguiente tabla. Tabla 1.1 Múltiplos y submultiplos. FACTOR MULTIPLICATIVO 12 1 000 000 000 000=10 9 1 000 000 000=10 6 1 000 000=10 3 1 000=10 2 100=10 1 10=10 -1 0.1=10 -2 0.01=10 -3 0.001=10 -6 0.000 001=10 -9 0.000 000 001=10 -12 0.000 000 000 001=10 -15 0.000 000 000 000 001=10 -18 0.000 000 000 000 000 001=10 PREFIJO SIMBOLO Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca deci centi mili micro nano pico femto ato T G M K H D d c m u n p f a Los sistemas de unidades más empleados son: El sistema métrico decimal (M.K.S), el sistema internacional (S.I) y el sistema ingles (U.S.C.S). 168 CAPITULO 6 1.2 Sistema métrico decimal (M.K.S) El sistema métrico decimal (M.K.S) ha sido utilizado en Colombia y otros países del mundo, debido a lo sencillo de sus unidades. En este sistema el peso y la fuerza se denominan en kilogramos (Kgf). Para diferenciar las unidades de fuerza y masa, se le coloca una letra (f) a las unidades de peso y de fuerza. Unidad de peso: Kgf Unidad de masa: Kg Unidad de fuerza: Kgf Este sistema de unidades ha caído en desuso, debido a que el peso de un cuerpo depende de la gravedad del lugar en donde se encuentre. En Colombia ya se está implementando el sistema internacional de unidades. El valor de la gravedad para Colombia es: g= 9.80 m/s 2 1.3 Sistema internacional de unidades (S.I) El sistema internacional se estableció como el sistema de uso universal durante la decimoprimera conferencia mundial de pesos y medidas, que tuvo lugar en Sevres, Francia, en 1.960. El sistema está basado en siete unidades básicas, que son: para la longitud el metro ( m ), para la masa el kilogramo (Kg.), para tiempo el segundo ( s ), para corriente eléctrica el amperio ( A), para temperatura el kelvin ( K ), para la intensidad luminosa el candela ( Cd ) y para cantidad de sustancia el mol ( mol ). Se espera que en los próximos años, todos los países del mundo adopten este sistema, especialmente los Estados Unidos e Inglaterra quienes continúan utilizando el sistema propio de estos países denominado “sistema ingles”. Las principales unidades del sistema internacional (S.I) se muestra en la tabla siguiente: TRABAJO Y ENERGIA 167 Tabla 1.2 Sistema Internacional de Unidades (S.I). CANTIDAD Aceleración Angulo Area Densidad Energía Fuerza Frecuencia Impulso Longitud Masa Momento Potencia Presión Esfuerzo Tiempo Velocidad Volumen sólidos Volumen líquidos Trabajo UNIDAD SIMBOLO 2 Metro sobre segundo Radian Metro cuadrado 3 Kilogramo sobre metro Joule Newton Hertz Newton – segundo Metro Kilogramo Newton – metro Watt Pascal Pascal Segundo Metro sobre segundo Metro cúbico Litro Joule FORMULA m/s 2 Rad 2 J N Hz m 3 Kg / m 3 N–m 2 Kg – m / s -1 s Kg – m / s M Kg W Pa Pa S L J N–m J/s 2 N/m 2 N/m M/s 3 M -3 3 10 m N-m En el sistema internacional (S.I) el peso depende de la gravedad de la tierra; por lo tanto, el peso se calcula con la siguiente formula: W= m * g W= peso m= masa g= gravedad ( 9.80 m/s2) Una masa de 1 Kg tiene el siguiente peso: W= ( 1 Kg ) ( 9,80 m/s2 ) W= 9,80 Kg x m/s2 W= 9.80 Newton En la práctica se asume que 1 Kg = 10 N 168 CAPITULO 6 Con el fin de evitar confusión en el uso del sistema internacional, existen las siguientes reglas aceptadas internacionalmente, respecto a la sintaxis que debe emplearse: - Nunca se intercambian minúsculas y mayúsculas. mm y no MM - Los símbolos no se alteran en el plural. Kg y no Kgs - No se deja espacio entre el prefijo y el símbolo. MPa y no M Pa - No se agrega punto al final del símbolo m - Los símbolos no son abreviaturas m y no mts - En los productos de símbolos se utiliza el punto levantado KN *m - En los cocientes se utiliza un solo símbolo de división, o pueden utilizarse potencias negativas. Kg/m.s o Kg*m-1*s-1 - Puede utilizarse punto, o coma, para indicar los decimales 0.12 o 0,12 - Para números menores que la unidad, nunca se omite el cero inicial. 0.124 y no .124 - Debe haber siempre un espacio entre el número y las unidades, excepto cuando se trata de grados celsius (centígrados). 12 m , 150C - Las unidades cuyo nombre es el apellido de un científico, se emplean con mayúscula: N (Newton), Pa (Pascal) - Las unidades que tiene un símbolo en el denominador, se les puede decir por en vez de sobre. Km/h (Kilometro por hora) TRABAJO Y ENERGIA 167 1.4 Sistema Ingles de uso común en Estados Unidos (U.S.C.S) Este sistema ha sido el más utilizado en los Estados Unidos, en el que las unidades básicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo. Estas unidades son: para longitud, el pie (ft); para la fuerza, la libra (lb) y para el tiempo, el segundo (s). Como el peso de un cuerpo depende de la atracción de la gravedad, la cual varía con la ubicación, se especifica que la libra estándar debe estar colocada sobre el nivel del mar. Estas unidades no forman un sistema absoluto, sino que dependen de la gravedad de la tierra. Otras unidades de uso común en los Estados Unidos son la milla (mi), igual a 5280 ft; la pulgada (in), igual a 1/12 ft; y la kilolibra (kip) que es igual a una fuerza de 1000 libras. La tonelada se usa con frecuencia para representar una masa de 2000 libras pero, al igual que la libra, debe convertirse en slugs en los cálculos de ingeniería. 2 El valor de la gravedad en este sistema es de 32.2 ft/s , cuando la libra estándar recibe la aceleración de la gravedad, se denomina slug. 1 slug = 1 lb. S2/ft = 14.59 Kg Para los cálculos de física e ingeniería, se debe trabajar el peso de los cuerpos en libras y no en slug. El slug es una masa 32.2 veces mayor que la libra estándar. La conversión en pies, libras y segundos de cantidades expresadas en el sistema ingles requiere mucha atención en los cálculos, debido a que se pueden presentar malas interpretaciones. Las unidades más utilizadas en la construcción colombiana, son las pulgadas para designar el diámetro de varillas y tuberías; así como las libras sobre pulgada cuadrada (PSI) para designar la resistencia de varillas y del concreto. Debido al amplio uso de este sistema en la construcción colombiana, se presenta el siguiente cuadro con las principales unidades del sistema ingles. 168 CAPITULO 6 Tabla 1.3 Sistema ingles de unidades (U.S.C.S) CANTIDAD UNIDAD SIMBOLO 2 FORMULA 2 Aceleración Pie por segundo 2 Pulgada por segundo Ft / s 2 In / s Area Densidad Pie cuadrado Pulgada cuadrada 3 Libra por pulgada Ft 2 Pul 3 Lb / m Energía Pie por Libra Ft – lb Fuerza Kilopondio Kip Frecuencia Hertz Hz Impulso Libra por segundo Longitud Pie Masa Libra, onza, slug Momento Libra – pie Potencia Watt Presión Libra sobre pulgada Esfuerzo Libra sobre pulgada Tiempo Segundo Velocidad Milla por hora Mph Volumen sólidos Pie cúbico Ft Volumen líquidos Galón Trabajo Pie – libra 2 s -1 Lb -s Ft Lb, oz Lb - ft W 2 PSI 2 PSI S 3 Gl Ft * lb En el siguiente cuadro se presenta las equivalencias entre el sistema ingles (USCS) y el sistema internacional (SI). TRABAJO Y ENERGIA 167 Tabla 1.4 Unidades del sistema Ingles (USCS) y su equivalencia en unidades del sistema Internacional (S.I): CANTIDAD Aceleración Area Energía Fuerza Impulso Longitud Masa Momento de una fuerza Momento de inercia Momentum Presión o esfuerzo Velocidad Volúmen Volumen líquidos Trabajo USCS 2 S.I 2 Ft / s 2 In / s 2 Ft 2 In Ft – lb 0,3048 m/s 2 0,0254 m/s 2 0,0929 m 2 645,2 mm 1,356 j Kip Lb Oz Lb – s 4,448 kN 4,448 N 0,278 N 4,448 N.s Ft In Mi Oz masa Lb masa Slug Ton Lb – ft Lb - in 4 In 0,3048 m 25,40 mm 1,609 Km 28,35 g 0,4536 Kg 14,59 Kg 907,2 Kg 1,356 N – m 0,1130 N-m 6 4 0,4162 x 10 mm Lb – s Ft-lb/s HP 2 Lb / ft 2 Lb / in (PSI) Ft / s In/s Mi/h (mph) Mi/h (mph) 3 Ft 3 In Galón Qt Ft – lb 4.448 kg.m/s 1,356 W 745,7 W 47,88 Pa 6,895 Kpa 0,3048 m/s 0,0254 m/s 0,4470 m/s 1,609 Km/h 3 0,02832 m 3 16,39 cm 3,785 L 0,9464 L 1,356 J 168 CAPITULO 6 1.5 Conversión de un sistema de unidades a otro. Debido al uso de los tres sistemas de unidades en la construcción colombiana, se hace necesario convertir unidades de un sistema a otro, para ello puede emplearse las siguientes constantes: Unidades de Longitud Multiplicar por: Centímetro a pulgadas------------------------0,3937 Decímetro a pulgadas--------------------------3,937 Kilómetros a millas terrestres-----------------0,6214 Kilómetros a pies----------------------------3280,8 Millas terrestres a kilómetros----------------1,609 Legua a kilómetros----------------------------- 4,828 Metro a pulgadas-------------------------------39,37 Metro a yardas------------------------------------1,094 Decámetros a pies-----------------------------32,808 Metros a pies--------------------------------------3,2808 Pies a metros-------------------------------------0,3048 Pies a centímetros-----------------------------30,48 Pies a pulgadas---------------------------------12 Pulgadas a centímetros------------------------2,54 Mils a micrones--------------------------------25,4 Micrones a mils----------------------------------0,039 Unidades de Area Multiplicar por: Centimetros2 a pulgadas2-------------------0,1550 Hectáreas a metros2-------------------------10000 Cuadras a metros2 -------------------------- 6400 2 Fanegadas a metros ----------------------- 6400 2 Metros a centìmetros2----------------------10000 2 2 Metros a pies -------------------------------- 10,76 2 Pie a pulgadas2------------------------------- 144 Varas2 a metros2------------------------------- 0,64 Acres a Hectáreas---------------------------- 0,4047 Unidades de Volumen Multiplicar por: Centimetros3 a pulgadas3------------------- 0,061 Galones (USA) a litros----------------------- 3,7854 Litros a pies3 ----------------------------------- 0,0353 Metros3 a galones(USA)--------------------- 264,17 Metros3 a pies3--------------------------------- 35,315 Metros3 a litros--------------------------------- 1000 Onzas fluidas a centìmetros3--------------- 29,57 Galones (USA) a onzas fluidas------------ 128 TRABAJO Y ENERGIA Unidades de Masa 167 Multiplicar por: Arrobas a libras (500 g)---------------------- 25 Kilogramos a libras inglesas---------------- 2,204 Kilogramos a libras métricas---------------- 2 Libras inglesas a onzas---------------------- 16 Libras inglesas a gramos-------------------- 453,6 Onzas inglesas a gramos-------------------- 28,35 Toneladas métricas a kilogramos----------1000 Unidades de Fuerza Multiplicar por: Gramos fuerza a dinas---------------------- 981 Kilogramos fuerza a Newton-------------- 9,81 Newton a dinas-------------------------------100000 Newton a libras fuerza----------------------0,225 Unidades de presión Kgf/cm2 2 Kgf/cm Kgf/cm2 mmHg Atmósferas Metros H2o Kgf/cm2 Pascal P.S.I Kg/cm2 a a a a a a a a a a Multiplicar por: Lb/pulg2-------------- 14,223 2 N/mm ----------------- 0,0981 Kpa------------------- 98,1 2 Kgf/cm --------------- 0,00136 Kgf/cm2--------------- 1,0336 2 Kg/cm ---------------- 0,1 bar--------------------- 0,981 N/m2-------------------- 1 Kg/cm2 ---------------- 0.07 MPa -------------------- 0.1 1.6 Reducción de Múltiplos y Submultiplos: Para reducir unidades a múltiplos y submultiplos se utiliza el método de reducción a la unidad, el cual consiste en los siguientes pasos: a) Se reduce la cantidad dado a la unidad del sistema. b) De la unidad del sistema se pasa a la unidad pedida. 168 CAPITULO 6 Ejemplo 1.1 Reducir 20 Km a dm. 3 10 m 20 Km x ---------- = 20 x 103 m , (Km se anula con Km) Km 10 dm 3 3 20 x 10 m x ----------- = 20 x 10 x 10 dm , (m se anula con m) m 20 x 104 dm 4 20 Km = 20 x 10 dm, 4 ( 10 = 10.000 ) Ejemplo 1.2 Reducir 4 cN a KN 10 -2 N 4 cN x ---------- = 4 x 10 -2 N , ( cN se anula con cN ) cN -3 4 x 10 -2 10 KN N x ------------- = 4 x 10 -5 KN , ( N se anula con N ) N 4 cN = 4 x 10 -5 KN Ejemplo 1.3 Reducir 30 Hs2 a ms2 (102 s )2 ( 103 ms )2 30 Hs ------------ --------------- = 30 x 104 x 106 ms2 2 2 Hs s 2 30 Hs2 = 30 x 1010 ms2 TRABAJO Y ENERGIA Ejemplo 1.4 Obtener la relación entre días y milisegundos. 24 horas 60 min 60 seg 103 ms 1 día x ------------- x ---------- x --------- x ---------1 día 1 hora 1 min 1s 1 día = 86400 x 103 ms Ejemplo 1.5 Obtener el valor de A = B x C en el sistema internacional. 2 -1 B= 5 Km s , C= 6 m Hs 2 A= 5 Km2 s-1 x 6 m Hs2 A= 5 Km2 (103 m)2 (102 s)2 ----------- s-1 x 6 m Hs2 -----------Km2 Hs2 6 2 -1 A= 5 x 10 m s 4 x 6 x 10 m s 2 A= 30 x 106 m2 s-1 x 104 m s2 A= 30 x 1010 m3 s Ejemplo 1.6 Obtener el valor de A = B / C en el sistema internacional (S.I). B= 4 Kg s3 , C= 2 Kg-2 s2 4 Kg s3 A= --------------2 Kg-2 s2 A= 2 Kg s3 (kg2 s-2) A= 2 Kg Kg2 s3 s-2 A= 2 Kg1+2 s3-2 A= 2 Kg3 s 167 168 CAPITULO 6 Ejemplo 1.7 Obtener el valor de A = B en el sistema internacional (S.I). 4 B= 16 KN m 2 A= 16 KN4 m2 4 2 1/2 A= ( 16 KN m ) 2 A= 4 KN m Ejemplo 1.8 Obtener el valor de A = B 2 en el sistema internacional. 3 B= 5 N m 3 5 5 2 A= ( 5 N m ) 6 A= 25 N m 10 Ejemplo 1.9 El área de un lote irregular es de 42.624 m2, expresar el área en términos de cuadras y hectáreas. Solución: 1 cuadra = 80 m x 80 m = 6400 m 2 TRABAJO Y ENERGIA 167 1 cuadra A= 42.624 m2 ---------------6.400 m2 A= 6,66 cuadras 1 hectárea = 100 m x 100 m = 10.000 m2 1 hectárea 2 A= 42.624 m ----------------10.000 m2 A= 4,26 Ha Ejemplo 1.10 La distancia entre dos puntos es de 620 pulgadas. Expresar la distancia en metros. Solución: 1 pulgada = 2,54 cm 2,54 cm 1m L= 620 pulg --------------- x -----------1 pulg 100 cm L= 620 x 0,0254 m L= 15,75 m Ejemplo 1.11 La resistencia a la compresión (f’c) de un concreto 1:2:3 es de 3000 libras/pul2 (P.S.I), expresar la resistencia en el sistema métrico decimal (M.K.S) y en el sistema internacional (S.I). Solución: f'c= 3.000 P.S.I x 0,07 = 210 Kg/cm2 f'c= 210 Kg/cm2 (sistema M.K.S) f'c= 210 Kg/cm2 x 0,1 = 21 MPa f'c= 21 MPa (sistema S.I) 168 CAPITULO 6 Ejemplo 1.12 La resistencia a la fluencia de un perfil de acero es de 90000 PSI. Expresar la resistencia en los diferentes sistemas de unidades. Solución: f'c= 90.000 P.S.I x 0,07 = 6.300 Kg/cm2 f'c= 6.300 Kg/cm2 (sistema M.K.S) 2 f'c= 6.300 Kg/cm x 0,1 = 630 MPa f'c= 630 MPa (sistema S.I) Ejemplo 1.13 Un automóvil tiene una velocidad de 80 Km/h, un bus tiene una velocidad de 54 mph y un ciclista tiene una velocidad de 12 m/s. Cuál de los tres vehículos tiene mayor velocidad ?. Solución: Se expresan las tres velocidades en el mismo sistema: V1= 80 Km/h x 1.000 m /3.600 s = 22,22 m/s V2= 54 mph x 1.609 m /3.600 s = 24,13 m/s V3= 12 m/s El bus tiene mayor velocidad. TRABAJO Y ENERGIA EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Obtener la relación entre: a) Kilómetro y centímetro b) MegaNewton y microNewton c) Gigasegundo y milisegundo d) Metro3 y picometro3 e) Horas y microsegundos f) Kilómetros y decímetros g) nanometros2 y Terametros2 h) Kilogramos2 y miligramos2 i) Pascal y MegaPascal j) Días y segundos. 1.2 Obtener el valor de A= B x C en el sistema de unidades apropiado. a) B= 4 Km * s C= 6 dm * s b) B=8 KN m C= 5 N cm c) B= 4 KN * m C= 3 N mm d) B= 12 Hm s C= 3 m s e) B= 10 Hm s2 -1 -2 C= 2 dm s f) B= 5 Kg m C= 2 g cm g) B= 6 Kg3 m C= 9 Hg Km-2 h) B= 3 KN C= 2 N 167 168 CAPITULO 6 1.3 Obtener el valor de A= B / C en el sistema de unidades apropiado. a) B= 10 Hm s C= 5 dm2 Ks-2 b) B= 12 Kg m C= 4 Hg-1 dm2 c) B= 20 KN m C= 4 N cm d) B= 4 Km ms2 C= 2 cm-3 Gs e) B= 8 m2 s-1 2 C= 4 Hm s 1.4 Obtener el valor de A= B en las siguientes expresiones. a) B = 36 Km 2 b) B = 64 Hm2 s4 c) B = 25 N2 m4 d) B = 81 KN4 m2 e) B = 10 Kg2 s4 1.5 Obtener el valor de A= B a) B = 6 Km2 c) B = 7 N s –1 2 en las siguientes expresiones. b) B = 5 Kg s2 d) B = 8 m s e) B= 4 Kg m f) B= 2 N m g) B= 4 Kg m2 h) B= 3 N m -1 TRABAJO Y ENERGIA 167 1.6 Un saco de cemento tiene una masa de 50 Kg. Calcular el peso del cemento en el sistema internacional (S.I). Respuesta: W= 490 N 1.7 Un metro cúbico de arena seca tiene una masa de 1800 Kg. Calcular el peso de la arena en el sistema internacional S.I. Respuesta: W=17.640 N 1.8- Calcular el peso de un metro cúbico de concreto reforzado en los diferentes sistemas de unidades. Respuesta: W= 23.520 N 1.9 Calcular la resistencia a la fluencia del acero liso y corrugado en los diferentes sistemas de unidades. Respuesta: Fy= 420 Mpa (corrugado) Fy= 280 Mpa (liso) 1.10 Calcular la resistencia a la compresión del concreto 1:2:3 en los diferentes sistemas de unidades. Respuesta: F’c= 21 MPa (sistema internacional) 1.11 Calcular el peso de un litro de agua en los diferentes sistemas de unidades. Respuesta: W= 1 Kg (sistema M.K.S) 1.12 Calcular el peso de un metro cúbico de mortero 1:3, en los diferentes sistemas de unidades. Respuesta: W= 21.560 N (sistema internacional) 168 CAPITULO 6 1.13 Calcular el peso de un metro cubico de mampostería de ladrillo macizo, en los diferentes sistemas de unidades. Respuesta: W= 17.640 N (sistema internacional) 1.14 Cuántas pulgadas hay en una longitud de 5,64 metros ? Respuesta: L= 222,05 pulg. 1.15 Cuántos pies hay en una longitud de 6,85 metros ? Respuesta: L= 22,47 pies 1.16 Cuántas millas hay en una longitud de 270 Km ? Respuesta: L= 167,8 mi 1.17 Expresar la velocidad límite de 85 millas/hora en términos de Km/hora. Respuesta: V= 136,76 Km/h 1.18 Expresar la velocidad límite de 120 Km/hora en términos de millas/hora. Respuesta: V= 74,58 mi/h 1.19 Expresar la velocidad límite de 12 millas/hora en términos de metros/segundo. Respuesta: V= 5,36 m/s 1.20 Un automóvil A, se mueve con una velocidad de 85 Km/h y debe recorrer una distancia de 34 Km; un automóvil B se mueve con una velocidad de 54 millas/hora y debe recorrer la misma distancia. Cuál de los dos autos llegará primero a su destino ? Respuesta: El auto B. TRABAJO Y ENERGIA 167 1.21 Un ciclista aficionado se mueve a una velocidad de 3,2 m/s; Un camión que transporta una carga de 20 toneladas, se mueve a una velocidad de 18 Km/hora. Cuál de los dos se mueve con mayor velocidad ? Respuesta: El camión 1.22 Un lote tiene un área de 83.655 m2, expresar el área en términos de cuadras y hectáreas. Respuesta: A= 13,07 cuadras A= 8,36 ha 1.23 Un lote tiene un área de 7,50 cuadras, expresar el área en términos de metros cuadrados (m2). Respuesta: 2 A= 48.000 m 1.24 Un lote tiene un área de 24,32 Ha, expresar el área en términos de cuadras. Respuesta: A= 38 cuadras 1.25 Un lote tiene un área de 56,70 cuadras, expresar el área en términos de hectáreas. Respuesta: A= 36,29 Ha 1.26 Un lote tiene un área de 52,30 cuadras, expresar el área en términos de hectáreas y de metros cuadrados. Respuesta: A= 33,47 ha 2 A= 334.720 m 168 CAPITULO 6 1.27 Un lote tiene un área de 28 acres, expresar el área en términos de hectáreas y de metros cuadrados. Respuesta: A= 11,33 ha 2 A= 113.316 m 1.28 Un lote tiene un área de 15 Hectáreas, expresar el área en términos de acres. Respuesta: A= 37,06 acres 1.29 Un lote tiene un área de 35.700 metros cuadrados, expresar el área en términos de pies cuadrados. Respuesta: 2 A= 384.284,18 p 1.30 Un tanque de concreto reforzado contiene 25.800 litros de agua, expresar el volumen en términos de metros cúbicos (m3). Respuesta: 3 V= 25,8 m 1.31 Un tanque plástico contiene 1,65 metros cúbicos de agua, expresar el volumen en términos de litros. Respuesta: V= 1.650 litros 1.32 Un tanque plástico contiene 1.300 litros de agua, expresar el volumen en términos de metros cúbicos. Respuesta: 3 V= 1,3 m TRABAJO Y ENERGIA 167 1.33 Un barril metálico contiene 12 galones de petróleo venezolano, expresar el volumen en litros y en metros cúbicos (m3). Respuesta: V= 45,42 lt 3 V= 0,045 m 1.34 Un tonel de roble contiene 5 galones de vino chileno, expresar el 3 volumen en litros y en metros cúbicos (m ). Respuesta: V= 18,92 lt 3 V= 0,0189 m 1.35 Un carrotanque transporta 8.000 litros de gasolina, expresar el volumen en galones. Respuesta: V= 2.113,38 galones 1.36 Un carrotanque transporta 2.000 galones de gasolina, expresar el volumen en litros. Respuesta: V= 7.570 litros 1.37 Un camión transporta 5 toneladas métricas de carbón mineral. expresar la masa en términos de kilogramos y libras. Respuesta: m= 5.000 Kg m= 11.025 libras 1.38 Un camión transporta 5 toneladas métricas de carbón mineral. Calcular el peso total de la carga. Respuesta: W=9.800 N 168 CAPITULO 6 1.39 Un concreto tiene una resistencia a la compresión de 28 MPa. Calcular la resistencia en los sistemas de unidades. Respuesta: F`c= 4.000 PSI 1.40 Un perfil de acero tiene una resistencia de 95.000 PSI. Calcular la resistencia en los sistemas de unidades. Respuesta: Fy= 665 MPa 1.41 Un alambre de acero tiene una resistencia de 32.000 PSI. Calcular la resistencia en los sistemas de unidades. Respuesta: Fy= 224 MPa 1.42 Un alambre de cobre tiene una resistencia de 140 MPa. Calcular la resistencia en los sistemas de unidades. Respuesta: Fy= 20.000 PSI 1.43 Un ladrillo macizo tiene una resistencia a la compresión de 30 Kg/cm2. Calcular la resistencia en los sistemas de unidades. Respuesta: F`c= 3 MPa 1.44 Un concreto A tiene una resistencia a la compresión de 3.200 PSI, un concreto B tiene una resistencia de 210 Kg/cm2, y un concreto C tiene una resistencia de 25 MPa. Cuál concreto tiene mayor resistencia ?. Respuesta: Respuesta libre. TRABAJO Y ENERGIA 167 Capítulo 2 Propiedades de la Materia - Propiedades especificas - Propiedades generales - Propiedades de los materiales - Esfuerzos 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer las propiedades de los materiales usados en construcción. 2. Conocer los diferentes esfuerzos que soportan los materiales. 3. Calcular los esfuerzos en un material. 4. Diseñar un elemento que soporta una fuerza. 5. Calcular áreas y diámetros de materiales sometidos a esfuerzos. TRABAJO Y ENERGIA 167 2. Propiedades de la materia 2.1 Introducción. Todas las cosas que nos rodean están hechas de materia, la materia forma los cuerpos que existen en la naturaleza, estos cuerpos tienen formas que les son propias, dichas formas reciben el nombre de propiedades. Las propiedades de la materia son aquellas características que diferencian a los cuerpos. Las propiedades pueden ser: específicas o generales. 2.2. Propiedades específicas: son aquellas que permiten diferenciar unas sustancias de otras. Por ejemplo: El hierro es duro, el vidrio es frágil, el oro es amarillo, el azúcar es dulce. Las propiedades específicas de un cuerpo son: Color, olor, sabor, densidad, dureza, ductilidad, maleabilidad, etc. 2.3. Propiedades generales: son aquellas que no son características de la sustancia misma y por lo tanto no permiten diferenciarlas. Por ejemplo: Una barra de platino puede pesar lo mismo que un trozo de madera. Las propiedades generales de un cuerpo son: Tamaño, forma, peso, etc. 2.4 Propiedades de los materiales. Las principales propiedades de los materiales usados en construcción son las siguientes: 2.4.1 Ductilidad: Es la propiedad que tienen algunos metales de dejarse reducir a hilos. 2.4.2 Maleabilidad: Es la propiedad que tienen algunos metales de dejarse reducir a láminas. 2.4.3 Impenetrabilidad: Es la propiedad por la cual dos cuerpos no pueden estar ocupando el mismo espacio simultáneamente. 168 CAPITULO 6 2.4.4 Dureza: Es la propiedad que tienen los cuerpos de oponer resistencia a ser rayados por otros. Esta propiedad se mide de acuerdo a la escala de dureza de Mohs. 1º 2º 3º 4º 5º Talco. Yeso. Calcita. Fluorita. Apatita. 6º 7º 8º 9º 10º Feldespato. Cuarzo. Topacio. Corindón. Diamante. La escala funciona de la siguiente manera, un cuerpo al ser rayado por el corindón, pero no por el diamante, tendrá una dureza entre 9º y 10º. 2.4.5 Masa: Es la cantidad de materia contenida en un cuerpo. La unidad de masa en el sistema internacional es el Kilogramo(Kg). 2.4.6 Inercia: Es la propiedad de los cuerpos de permanecer en reposo o en movimiento, a una velocidad determinada, hasta que haya una causa externa que modifique dicho estado. 2.4.7 Fuerza: Es toda causa que tiende a modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. 2.4.8 Peso: El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre él. La dirección de dicha fuerza es hacia el centro de la tierra. 2.4.9 Densidad: La densidad de un cuerpo es la relación entre la masa y el volumen. La densidad de un cuerpo se calcula con la siguiente fórmula: m D = -------V D = densidad m = masa V = volumen La masa de un cuerpo se mide con una balanza y el volumen se mide por sus dimensiones o por el volumen de agua que desaloja el cuerpo al introducirlo en una vasija con agua. TRABAJO Y ENERGIA 167 2.4.10 Peso específico (): El peso especifico es la relación que existe entre el peso y el volumen de un cuerpo. El peso especifico ha sido poco utilizado y se ha reemplazado por la densidad, debido a que el peso de un cuerpo cambia con la gravedad de cada lugar. Peso Peso especifico = -----------Volumen W = -------V Ejemplo 2.1 Cuál es la densidad de un cubo de 12 cm de arista, si su masa es de 3.500 g. Solución: El volumen del cubo es: V = L3 V = ( 12 cm )3 = 1.728 cm3 La densidad del cubo es: m D = ---------V 3.500 g D = ----------------1.728 cm3 D = 2,02 g / cm 3 168 CAPITULO 6 Ejemplo 2.2 Calcular la densidad de una esfera de 20 cm de diámetro, si su masa es de 2.450 g. Solución: El volumen de la esfera es: 4 r3 V = --------------3 4 x 3,14 x ( 10 cm )3 V = -----------------------------3 V = 4.186,66 cm3 La densidad de la esfera es: m D = ----------V 2.450 g D = -------------------4.186,66 cm3 D = 0,58 g / cm3 Ejemplo 2.3 3 Calcular el volumen de un cubo, cuya densidad es de 2,8 g/cm y su masa es de 125 g. m D = ----------V m V = ---------D 125 g V= -------------2,8 g/cm3 V= 44,64 cm3 TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 2.4 Calcular la densidad de una roca, cuyo volumen es de 30 cm3 y su masa es de 890 g. Solución: m D = ---------V 890 g D= -------------3 30 cm D= 29,66 g/cm3 Ejemplo 2.5 Calcular la densidad de un cuerpo que al ser introducido en un cilindro graduado, el nivel del agua asciende 6 ml y su masa es de 32 g. Solución: El volumen del cuerpo es: 1 litro 1 dm3 1.000 cm3 V = 6 ml x ------------ x -------------- x -------------3 1.000 ml 1 litro dm V = 6 cm 3 La densidad del cuerpo es: m D = ---------V 32 g D = ----------6 cm3 D = 5,33 g / cm3 168 CAPITULO 6 2.5 Esfuerzos Un cuerpo está sometido a esfuerzos cuando actúan sobre él, fuerzas exteriores que tratan de deformarlo. Estas fuerzas producen en el cuerpo unas fuerzas internas que tratan de contrarrestar las fuerzas externas. 2.5.1 Clases de esfuerzos. Los esfuerzos más importantes que actúan en un material son los siguientes. a) Esfuerzos de Tensión: Son los esfuerzos que se producen cuando las fuerzas externas tratan de estirar el cuerpo en el sentido de su longitud. b) Esfuerzos de compresión: Son los esfuerzos que se producen cuando las fuerzas externas tienden a acortar o comprimir un cuerpo. c) Esfuerzos de Flexión: Son los que se producen cuando las fuerzas externas aplicadas al cuerpo, tienden a doblarlo. TRABAJO Y ENERGIA 167 d) Esfuerzo de Cortadura: Se produce cuando las fuerzas externas tienden a cortar el cuerpo, a este esfuerzo también se le denomina también esfuerzo de cizallamiento. F F e) Esfuerzo de Pandeo: Se produce cuando las fuerzas tienden a acortar el cuerpo en el sentido de su longitud, y este tiene la tendencia a doblarse. Este esfuerzo es muy común en las columnas. F F f) Esfuerzo de Torsión: Es el esfuerzo que se produce cuando las fuerzas externas tienden a retorcer el cuerpo. F F 168 CAPITULO 6 2.5.2 Intensidad del esfuerzo. Una barra soporta una fuerza axial F en cada extremo, como se indica en la figura. Como la barra trata de romperse, cada una de las fibras del cuerpo aportará una parte del esfuerzo para evitarlo. F F La suma de los esfuerzos soportados por cada fibra es igual a la fuerza aplicada. F F Esfuerzos= F La intensidad de este esfuerzo se define como la fuerza por unidad de área. F = ---------A = esfuerzo F= fuerza A= área en donde se aplica la fuerza. TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 2.5 Una varilla redonda de acero de 1,27 cm de diámetro, soporta una fuerza de tensión de 4.200 N. Calcular el esfuerzo en la varilla. Solución: El esfuerzo se calcula con la formula: F = --------A El área de la sección transversal de una varilla redonda se calcula con la formula: A= π r2 A= 3,14 x ( 0,635 cm ) A= 1,27 cm 2 2 El esfuerzo de tensión se calcula con la formula: 4.200 N = -----------------1,27 cm2 = 3.307,1 N / cm2 168 CAPITULO 6 Ejemplo 2.6 Un cubo de 20 cm de lado soporta una fuerza de compresión de 140 N, según se indica en la figura. Calcular el esfuerzo en las caras del cubo. Solución: Al área de las caras del cubo en donde se aplica la fuerza es: A= 20 cm x 20 cm A= 400 cm2 El esfuerzo de compresión se calcula con la formula: F = ---------A 140 N = --------------400 cm2 = 0,35 N / cm2 = 3.500 Pa TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 2.7 Un alambre de acero está soportando un peso de 190 N. Calcular el diámetro ( d ) del alambre, si el esfuerzo admisible es de 2.500 N/cm2. Solución: El área del alambre se calcula con la formula: F A = ------- 190 N A = ---------------------2.500 N / cm2 A= 0,076 cm 2 La formula para el área del circulo es: A = π r2 0,.076 cm2 = 3,14 x ( r )2, r = 0,155 cm d = 2r, d = 2 x 0,155 cm, d = 0,31 cm Se despeja el radio ( r ). 168 CAPITULO 6 EJERCICIOS PROPUESTOS. 2.1 Cuál es la densidad de un cubo de 15 cm de arista, si su masa es de 3.200 g. Respuesta: 3 D=0,948 g/cm 2.2 Calcular la densidad de una esfera de 20 cm de diámetro, si su masa es de 3,850 g. Respuesta: 3 D=0,11 g/cm 2.3 Calcular el volumen de un cubo, cuya densidad es de 3,4 g/cm3 y su masa es de 112 g. Respuesta: 3 V=32,94 cm 2.4 Calcular la densidad de un cuerpo que al ser introducido en un cilindro graduado, el nivel del agua asciende 5 ml y su masa es de 35 g. Respuesta: 3 D=7 g/cm 2.5 Una varilla redonda de acero de 2,0 cm de diámetro soporta una fuerza de tensión de 5.600 N. Calcular el esfuerzo en la varilla. Respuesta: 2 =1.783,4 N/cm TRABAJO Y ENERGIA 167 2.6 Un poste de madera de 4 pulgadas por 6 pulgadas, soporta una carga axial de compresión. Cuál será el valor de la carga P que se le está aplicando al poste, si el esfuerzo es de 870 lb/pulg2, P= ? SECCION TRANSVERSAL 6 pulg. 4 pulg. Respuesta: P= 20.880 lb 2.7 Un cubo de 30 cm de lado soporta una fuerza de compresión de 170 Kg, según se indica en la figura. Calcular el esfuerzo de compresión en las caras del cubo. Respuesta: 2 = 0,188 N/cm 168 CAPITULO 6 2.8 Un alambre de cobre está soportando un peso de 145 N. Calcular el diámetro (d) del alambre, si el esfuerzo admisible es de 1.800 N/cm2. Respuesta: d =0,32 cm 2.9 Una varilla de cobre soporta una fuerza de tensión de 480 N. Determinar 2 el diámetro de la varilla, si el esfuerzo admisible es de 1.800 N/cm . Respuesta: d = 0,58 cm TRABAJO Y ENERGIA 167 Capítulo 3 Vectores y Escalares - Magnitudes escalares - Magnitudes vectoriales - Suma de vectores - Resta de vectores - Descomposición de vectores - Producto escalar - Producto vectorial 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer las magnitudes escalares y vectoriales. 2. Representar vectores en el plano cartesiano. 3. Conocer la suma de vectores. 4. Conocer la descomposición de vectores. 5. Conocer el producto escalar entre dos vectores. 6. Conocer el producto vectorial entre dos vectores. TRABAJO Y ENERGIA 167 3. Vectores y escalares 3.1 Introducción. Para el estudio de la física las magnitudes se dividen en dos grandes grupos, vectores y escalares. 3.2 Magnitudes Escalares. Son aquellas que se determinan por su valor numérico y su unidad. Por ejemplo: Tiempo: t= 5 s Masa: m= 10 Kg 3 Volumen: V= 20 m Area: a=3 Ha Longitud: l= 26 m 3.3 Magnitudes Vectoriales. Son aquellas que se determinan utilizando varias variables, las variables más comunes son: magnitud, dirección y sentido. Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante una flecha, en la cual se obtiene la siguiente información: a) Magnitud: La magnitud la representa el tamaño de la flecha, de acuerdo a una escala preestablecida. b) Dirección: La dirección la representa el ángulo de la flecha con respecto al eje horizontal. c) Sentido: El sentido lo indica la cabeza de la flecha. 168 CAPITULO 6 El vector A tiene una magnitud de 125 N, una dirección de 30º y el sentido es Nor-Este. Los vectores se pueden representar con ayuda de los vectores unitarios, cuya magnitud es la unidad y su dirección es la de los ejes coordenados. La magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. El ángulo de dirección del vector está dado por la tangente de dos de sus componentes. Ay Tan = --------Ax TRABAJO Y ENERGIA 167 3.4 Suma de vectores. La suma de vectores no obedece las leyes de las matemáticas, los vectores se suman de acuerdo a la ley del paralelogramo. Es decir, si se tiene un vector de 5 N y otro de 8 N, la suma no es 13 N. La suma de estos dos vectores depende del ángulo formado entre ellos. La suma entre dos vectores puede ser de forma gráfica o analítica. 3.4.1 Método gráfico Para sumar vectores por el método gráfico se puede utilizar el método del triángulo, del paralelogramo o del polígono. a) Método del triángulo: La suma de vectores por este método consiste en desplazar un vector y unir el origen de uno con el final del otro. La resultante es el vector medido desde el origen hasta el final del sistema. Para encontrar el valor de la resultante, se utiliza la ley de los senos o la ley de los cosenos: Ley de los senos: A B R --------- = ---------- = ---------sen a sen b sen Ley de los cosenos: R2 = A2 + B2 – 2 A B cos 168 CAPITULO 6 b) Método del paralelogramo: Para sumar dos vectores por este método, se unen los dos vectores en su origen y se forma un paralelogramo con líneas paralelas a ellos, la diagonal del paralelogramo es la resultante. Para encontrar el valor de la resultante, se utiliza la ley de los senos o la ley de los cosenos. c) Método del polígono: El método del polígono se utiliza para sumar dos o más vectores, en este método se deben dibujar los vectores a una escala conveniente y se ordenan de tal forma que el origen de uno coincida con el final del otro. Los vectores se trasladan al polígono, mediante líneas paralelas. El vector resultante tiene por origen el punto inicial del sistema y por extremo el punto final. La magnitud de la resultante se debe medir en la escala convenida. En la siguiente figura se ilustra la forma de organizar el polígono y la resultante formada por la suma de los tres vectores. TRABAJO Y ENERGIA 167 3.4.2 Método analítico Para sumar dos o más vectores, se suman algebraicamente sus componentes y se halla el valor de la resultante; las componentes se suman de acuerdo a los vectores unitarios, es decir, se suman las componentes de i, las componentes de j y las componentes de k. La suma de dos vectores A y IB, en tres dimensiones se obtiene con la siguiente ecuación: A= Axi + Ayj + Azk IB= Bxi + Byj + Bzk A + IB= (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k La magnitud de la resultante es: El ángulo de dirección con respecto a un plano es: La suma de dos vectores A y IB, en dos dimensiones se obtiene con la siguiente ecuación: A= Axi + Ayj IB= Bxi + Byj A + IB= (Ax + Bx)i + (Ay + By)j La magnitud de la resultante se obtiene con la siguiente formula: El ángulo de dirección de la resultante, con respecto al eje x es: 168 CAPITULO 6 3.5 Resta de vectores Para restar dos vectores A y IB, se invierte el sentido de uno de los vectores y se efectúa la suma por el método gráfico o analítico. A – IB = A + ( - IB ) En la siguiente figura se muestra la forma de restar dos vectores; 3.6 Descomposición de vectores Cualquier vector se puede reemplazar por medio de sus componentes rectangulares. Las componentes rectangulares son aquellos vectores que siguen la trayectoria de los ejes coordenados. En muchas operaciones de física se debe trabajar con las componentes rectangulares, debido a que presenta mayor claridad en el planteamiento y solución de problemas relacionados con vectores. Para encontrar las componentes rectangulares de un vector, se usa las reglas de la trigonometría. En la siguiente figura se muestran las componentes rectangulares de un vector. TRABAJO Y ENERGIA 167 La componente horizontal se encuentra utilizando la formula del coseno, Adyacente Cos = ----------------Hipotenusa Ax cos = ------A Ax= A cos La componente vertical se encuentra utilizando la formula del seno, opuesto sen = ----------------Hipotenusa Ay sen = ------A Ay= A sen Si las componentes rectangulares Ax y Ay se suman vectorialmente, el resultado es el vector A. A= Ax + Ay 3.7 Producto escalar Un vector se puede multiplicar por un escalar o por un vector 3.7.1 Producto de un vector por un escalar El producto de un vector por un escalar es un nuevo vector aumentado en el numero de veces, de acuerdo al numero que se ha multiplicado. En la siguiente figura se tiene un vector A si este vector se multiplica por dos (2), el resultado es un vector aumentado en dos veces. 168 CAPITULO 6 3.7.2 Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores es conocido como el producto punto. El producto escalar entre dos vectores es un número. La formula para hallar el producto punto entre dos vectores A y IB es: A.B = A B cos El producto escalar entre los vectores unitarios es: i x i = 1, j x j = 1, kxk=1 i x j = 0, i x k = 0, j x k=0 El producto escalar entre dos vectores es igual a: A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz Si se quiere encontrar el ángulo entre los dos vectores, se utiliza la siguiente formula: A . B = A . B cos A.B Cos = -----------A.B 3.7.3 Producto vectorial entre dos vectores El producto vectorial entre dos vectores A y IB, se define como un tercer vector que cumple con las siguientes condiciones: a) La dirección del tercer vector es perpendicular al plano formado por los dos vectores A y IB. TRABAJO Y ENERGIA 167 b) La magnitud del tercer vector es igual al área del paralelogramo formado por dichos vectores. El producto vectorial de los vectores unitarios es: i x i = 0, j x j = 0, kxk=0 i x j = K, j x k = i, Kxi=j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j Si se conocen las componentes de los vectores, el producto vectorial se encuentra resolviendo la matriz de dichos vectores: Resolviendo la matriz se obtiene: A x IB = (Ay Bz – Az By) i – (Ax Bz – Az Bx) j + (Ax By – Ay Bx) k Si se conoce la magnitud de cada vector, el producto vectorial se calcula con la siguiente formula: A x B = A . B sen 168 CAPITULO 6 El ángulo entre los vectores se puede obtener de la anterior formula: A x B Sen = -------------A.B Ejemplo 3.1 Representar en el plano cartesiano los siguientes vectores de fuerzas, calcular la magnitud y el ángulo de dirección de cada vector. A=7i+2j B = -4i + 5j Solución: La magnitud del vector A es: A= Ax2 + Ay2 A= 72 + 32 A= 49 + 9 A= 58, A= 7.61 N El ángulo de dirección es: Ay Tan =--------Ax 3 Tan =------- = 0.428 7 = 23.20º TRABAJO Y ENERGIA 167 La magnitud del vector B es: B= Bx2 + By2 B= -42 + 52 B= 16 + 25 B= 41 B= 6.40 N El ángulo de dirección es: By Tan =--------Bx 5 Tan =------- = 1.25 4 = 51.34º Ejemplo 3.2 Representar el vector A en el plano de tres dimensiones, calcular la magnitud y el ángulo de dirección del vector fuerza. A = 4 i + 6 j + 7k Solución: La magnitud del vector A es: 2 2 2 A= Ax + Ay + Az 168 CAPITULO 6 A= 42 + 62 + 72 A= 16 + 36 + 49 A= 101 A= 10.05 N El ángulo de dirección con respecto al plano XY es: Az Tan = ----------------- Ax2 + Ay2 7 Tan = -------------2 2 4 +6 7 Tan = -------- 52 Tan = 0.9707 = 44.15º Ejemplo 3.3 Sumar los vectores A y B utilizando el método del paralelogramo. calcular la magnitud y el ángulo de dirección de la resultante, con respecto al vector A. Soluciòn: Se desplazan los vectores y se forma un paralelogramo, la diagonal del paralelogramo es la resultante. TRABAJO Y ENERGIA 167 En la siguiente figura se muestra el paralelogramo resultante. Para encontrar el valor de la resultante se utiliza la ley de los cosenos: 2 2 2 R = A + B - 2 A.B cos c R2= 302 + 252 - 2 (30)(25) cos 135º R2= 900 + 625 - (- 1.060,66) R2= 1.525 + 1060,66 2 R = 2.585,66 R= 50,85 N El ángulo de dirección de la resultante con respecto al vector A, se calcula con la ley de los senos: R B ------------ = ---------sen c sen b 25 sen 135º sen b= --------------------- 50,85 50,85 25 ------------- = ----------sen 135º sen b sen b= 0,3476 b= 20,34º 168 CAPITULO 6 Ejemplo 3.4 Sumar los vectores A y B utilizando el método del triángulo. calcular la magnitud y el ángulo de dirección de la resultante, con respecto al vector A. Solución: Se desplaza el vector B y se forma un triángulo con los dos vectores. La resultante es el vector medido desde el origen hasta el final del sistema. Para encontrar el valor de la resultante se utiliza la ley de los cosenos: R2= A2 + B2 - 2 A.B cos c R2= 382 + 502 - 2 (38)(50) cos 130º R2= 1444 + 2500 - (- 2442.59) 2 R = 3944 + 2442.59 R2= 6386.59 R= 79.92 N TRABAJO Y ENERGIA 167 El ángulo de dirección de la resultante con respecto al vector A, se calcula con la ley de los senos: R B ------------ = ---------sen c sen b 50 sen 130º sen b= --------------------- 79.92 79.92 50 ------------- = ----------sen 130º sen b sen b= 0.479 b= 28.64º Ejemplo 3.5 Sumar los vectores A, B, C y D utilizando el método del polígono. Calcular la magnitud de la resultante. Solución: Se trasladan los vectores y se acomodan de manera que el origen de uno coincida con el final del otro, la resultante es el vector trazado desde el origen hasta el final del sistema. 168 CAPITULO 6 En la figura se muestra el polígono formado por la suma de los cuatro vectores. La resultante se debe medir de acuerdo a una escala establecida. Ejemplo 3.6 Sumar los vectores A y B utilizando el método analítico, calcular la magnitud de la resultante y el ángulo que forma con la horizontal. A= 3 i – 4 j , B= 2 i + 7 j Solución: R= (3+2)i + (-4+7)j R= 5 i + 3 j R= 5 + 3 2 2 R= 34 R= 25 + 9 R= 5.83 El ángulo de dirección de la resultante es: 3 Tan = ------5 Tan = 0.6 = 30.96º TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 3.7 Restar los vectores A y B ( A – B ) utilizando el método analítico, calcular la magnitud de la resultante y el ángulo que forma con la horizontal. A= 2 i – 3 j , B= 4 i + 8 j Solución: R=A–B R = A + (-B) R= (2+ (-4))i + (-3 +(-8))j R= -2 i - 11 j La magnitud de la resultante es: R= -22 - 112 R= 4 + 121 R= 125 R= 11.18 El ángulo de dirección de la resultante es: 11 Tan = ------2 Tan = 5.5 = 79.69º El signo negativo de las dos componentes de la resultante, indican que está en el tercer cuadrante. 168 CAPITULO 6 Ejemplo 3.8 En la figura se muestra un sistema de cuatro vectores. Calcular y dibujar la resultante del sistema. Solución: Resultante en X: Resultante en Y: Ax= 150 cos 25º = 135.95 N Bx= -135 cos 50º = -86.78 N Cx= -110 cos 40º = - 84.26 N Dx= 140 cos 30º = 121.24 N ----------------Rx= 86.15 N Ay= 150 sen 25º = 63.39 N By= 135 sen 50º = 103.42 N Cy= -110 sen 40º = -70.71 N Dy= -140 sen 30º = -70.00 N ------------------Ry= 26.10 N El signo positivo de las dos componentes indica que la resultante está en el primer cuadrante. La magnitud de la resultante es: R= Rx2 + Ry2 R= 86.152 + 26.102 R= 90.02 N El ángulo de dirección de la resultante es: Ry Tan = -----Rx 26.10 Tan = ---------86.15 Tan = 0.3029 = 16.85º TRABAJO Y ENERGIA 167 La resultante del sistema se muestra en la siguiente figura: Ejemplo 3.9 Hallar el producto escalar entre los vectores A y B. Hallar el ángulo que forman los dos vectores A= 3 i – 4 j + k , B= 6 i + 2 j – 3 k Solución: A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A.B=3x6–4x2–1x3 A . B = 18 – 8 – 3 A.B=7 El ángulo entre los vectores es: A.B Cos = ------------A.B A2= 32 + (-4)2 + 12 A= 5.1 B2= 62 + 22 + (-3)2 B= 7.0 7 Cos = ------------5.1 x 7.0 Cos = 0.1960 = 78.69 168 CAPITULO 6 Ejemplo 3.10 Hallar el producto vectorial y el ángulo entre dos vectores, si se conocen sus coordenadas rectangulares. A= 4 i + 3 j – 2 k , B= 2 i – 5 j + 7 k Solución: La matriz que se forma con los vectores es: Resolviendo la matriz se obtiene el producto vectorial: A x B = ( 3 x 7 – (-2) x (-5)) i – ( 4 x 7 – (-2) x 2) j + ( 4 x (-5) – 3 x 2) k A x B = ( 21 – 10 ) i – ( 28 + 4 ) j + ( -20 – 6 ) k A x B = 11 i – 32 j – 26 k El ángulo entre los dos vectores es: AxB Sen = --------------A.B La magnitud de cada vector es: A2 = 42 + 32 + (-2)2 A= 5.38 B2 = 22 + (-5)2 + 72 B= 8.83 La magnitud del producto vectorial es: R2 = 112 + (-32)2 + (- 26)2 42.67 Sen = ----------------5.38 x 8.83 R= 42.67 Sen = 0.8982 = 63.93º TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 3.11 En la figura se muestra un poste de teléfonos, la tensión en el cable AC es de 1800 N. Determinar las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre el ancla en C. Solución: La tensión en la cuerda AC y las componentes rectangulares se muestran en la siguiente figura: Las componentes rectangulares son: Cx= TAC cos 56.31º = 1800 cos 56.31º = 998.46 N Cy= TAC sen 56.31º = 1800 sen 56.31º = 1497.69 N 168 CAPITULO 6 Ejemplo 3.12 Tres fuerzas actúan sobre un perno A, tal como se muestra en la figura. Determinar la resultante de las fuerzas sobre el perno. Solución: Las componentes rectangulares se determinan por trigonometría y se escriben en una tabla. Fuerza Magnitud Componente X Componente y F1 F2 F3 220 N 160 N 130 N 206.73 N -80.00 N 117.82 N Rx=244.55 N 75.24 N 138.56 N -54.94 N Ry=158.86 N La resultante de las tres fuerzas es: R= 244.55 i + 158.86 j La magnitud de la resultante es: R= 244.552 + 158.862 R= 85041.2 R= 291.62 N TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 3.13 Un poste de la empresa de energía esta soportando dos cables con tensiones conocidas, según se indica en la figura. Calcular la fuerza en el cable AC, sabiendo que la resultante de las tres fuerzas es vertical. Solución: Se encuentra el ángulo de la cuerda AC con respecto a la horizontal: 6.3 Tan θ= ---------2.5 Tan θ= 2.52 θ= 68.35º Como la resultante es vertical, indica que la componente horizontal es cero, por lo tanto se puede hacer la suma de las componentes horizontales iguales a cero. Rx=0 -120 cos 25º - TAC cos 68.35º + 215 cos 20º = 0 De esta ecuación se despeja TAC: -108.75 - TAC cos 68.35º + 202.03 = 0 - TAC cos 68.35º = 108.75 - 202.03 - TAC cos 68.35º = - 93.28 TAC = 93.28 / cos 68.35º TAC = 252.83 N 168 CAPITULO 6 Ejemplo 3.14 Un camión es arrastrado por dos cuerdas, tal como se muestra en la figura. La resultante de las dos fuerzas es una fuerza horizontal de 6800 N. Calcular la tensión en las cuerdas AB y AC. Solución: Cuando se tiene una resultante, es porque hay una suma de vectores, por lo tanto se organiza la suma de las dos cuerdas, utilizando el método del triángulo, la resultante se coloca horizontal: Para encontrar los valores de las cuerdas, se usa el método de la ley de los senos: 6800 TAC ------------- = ----------- TAC= 6800 sen 25º/sen 140º TAC= 4470.84 N sen 140º sen 25º 6800 TBC ------------- = ----------- TBC= 6800 sen 15º/sen 140º TBC= 2738.03 N sen 140º sen 15º TRABAJO Y ENERGIA 167 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1 Representar en el plano cartesiano los siguientes vectores de fuerzas, calcular la magnitud y el ángulo de dirección de cada vector. a) A = 5 i + 2 j b) B = 3 i – 5 j c) C = -2 i – 4 j d) D = 7 i + 9 j e) E = 4 i + j f) F = - i + 4 j g) G = 3 i – 6 j h) H = 2 i + 3 j 3.2 Representar los siguientes vectores en el plano de tres dimensiones, calcular la magnitud y el ángulo de dirección de los vectores. a) A = 4 i + 3 j + 5k b) B = 2 i – 4 j - k c) C = 5 i – 2 j + 6 k d) D = 3 i + 4 j – 7 k e) E = - i + 5 j + 4 k f) F = 3 i – 2 j – 3 k g) G = 2 i + 4 j + 5 k h) H = 6 i – 3 j – 2 k 168 CAPITULO 6 3.3 Sumar los vectores A y B utilizando el método del paralelogramo. calcular la magnitud y el ángulo de dirección de la resultante, con respecto al vector A. Respuesta: R= 38.15 N 3.4 Sumar los vectores A y B utilizando el método del triángulo. calcular la magnitud y el ángulo de dirección de la resultante, con respecto al vector A. Respuesta: R= 65.10 N 3.5 Sumar los vectores A, B y C utilizando el método del polígono. Calcular la magnitud de la resultante. Respuesta: R= 34.3 N TRABAJO Y ENERGIA 167 3.6 Sumar los vectores A, B, C y D, utilizando el método del polígono. Calcular la magnitud de la resultante. Respuesta: R= 89.38 N 3.7 Un auto recorre 20 Km hacia el este, luego recorre 15 Km con dirección de 30º noreste y luego gira hacia el sur y recorre 6 Km. Cuál es la longitud de su desplazamiento ?. Respuesta: D= 33.02 Km 3.8 Un avión vuela 50 Km con dirección norte, luego gira y se desplaza 35 Km con dirección oeste, luego gira hacia el sur y recorre 12 Km. Cuál es la longitud de su desplazamiento ?. Respuesta: D= 51.66 Km 3.9 Sumar los vectores utilizando el método analítico, calcular la magnitud de la resultante y el ángulo que forma con la horizontal. a) A= 2 i – 4 j , B= 5 i + 6 j b) C= 3 i + 6 j , D= - 2 i – 4 j c) E= 5 i – 2 j , F= 6 i – 3 j d) G= 3 i + 7 j , H= 2 i – 3 j e) I = 4 i – 4 j , J=3i+5j 168 CAPITULO 6 3.10 Restar los vectores utilizando el método analítico, calcular la magnitud de la resultante y el ángulo que forma con la horizontal. a) A= 5 i – 3 j , B= 4 i + 7 j b) C= 2 i + 5 j , D= 3 i – j c) E= 3 i – 2 j , F= 5 i + 4 j d) G= 4 i + 6 j , H= 2 i – j e) I = 2 i – 8 j , J= -3 i – 5 j 3.11 En la figura se muestra un sistema de tres vectores. Calcular y dibujar la resultante del sistema. Respuesta: R= 119.30 N 3.12 En la figura se muestra un sistema de cuatro vectores. Calcular y dibujar la resultante del sistema. Respuesta: R= 110.20 N TRABAJO Y ENERGIA 167 3.13 Determinar el producto escalar entre los siguientes vectores. Hallar el ángulo que forman los dos vectores a) A= 3 i – 4 j + 2 k , B= 5 i + 2 j – 3 k b) C= 2 i + 3 j – 6 k , D= 3 i – 4 j - k c) E= 4 i – 3 j – 5 k , F= 2 i – 5 j + 7 k d) G= 2 i + 6 j – 3 k , H= 3 i + 4 j – 5 k e) I = 3 i – 5 j – 2 k , J= 4 i – 5 j + 9 k 3.14 Hallar el producto escalar entre dos vectores cuyas magnitudes son de 8 y 14 N, si el ángulo entre ellos es de 50º. Respuesta: A . B= 71.99 3.15 Hallar el producto vectorial y el ángulo entre dos vectores, si se conocen sus coordenadas rectangulares. a) A= 2 i + 3 j – 2 k , B= 2 i – 5 j + 6 k b) C= 3 i – 6 j + 5 k , D= 4 i – 6 j + 2 k c) E= 5 i + 3 j – 2 k , F= 3 i – 3 j + 4 k d) G= 2 i – 4 j + 5 k , H= 4 i + 6 j + 7 k e) I = 4 i – 2 j – 3 k , J= 3 i + 4 j- 2 k 3.16 Hallar el producto vectorial entre dos vectores cuyas magnitudes son de 25 y 42 N, si el ángulo entre ellos es de 35º. Respuesta: A x B = 602.25 168 CAPITULO 6 3.17 Un poste de la empresa de energía esta soportando dos cables con tensiones conocidas, según se indica en la figura. Calcular la fuerza en el cable AC, sabiendo que la resultante de las tres fuerzas es vertical. Respuesta: FAC= 173.31 N 3.18 Un camión es arrastrado por dos cuerdas, tal como se muestra en la figura. La resultante de las dos fuerzas es una fuerza horizontal de 7500 N. Calcular la tensión en las cuerdas AB y AC. Respuesta: TAB= 3019.88 N TAC= 4931.08 N 3.19 Tres fuerzas actúan sobre una estructura AB, tal como se indica en la figura. Calcular la tensión en la cuerda BC si la resultante de las tres fuerzas es una fuerza horizontal. Respuesta: TBC= 541.04 N TRABAJO Y ENERGIA 167 Capítulo 4 Movimiento Rectilíneo - Desplazamiento. - Velocidad. - Velocidad media. - Velocidad instantánea. - Movimiento rectilíneo uniforme - Aceleración. - Movimiento rectilíneo. uniformemente variado. - Caida libre. - Lanzamiento vertical. 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer los conceptos de velocidad y desplazamiento. 2. Conocer el movimiento rectilíneo uniforme. 3. Conocer el concepto de aceleración. 4. Conocer el concepto de movimiento rectilíneo uniformemente variado. 5. Conocer el concepto de caída libre. 6. Conocer el concepto de lanzamiento vertical. TRABAJO Y ENERGIA 167 4. Movimiento Rectilíneo 4.1 Introducción El movimiento rectilíneo es aquel que sigue una trayectoria en línea recta. En el movimiento rectilíneo se estudian los conceptos de velocidad y aceleración. 4.2 Desplazamiento El desplazamiento de un cuerpo es la distancia medida desde el punto inicial, hasta el punto final. La distancia o desplazamiento está dada por la ecuación: d= v t donde, d= distancia recorrida v= velocidad t= tiempo 4.3 Velocidad La velocidad se define como el desplazamiento de un cuerpo por unidad de tiempo. Matemáticamente la velocidad está dada por la ecuación: d V= ------t 4.4 Velocidad media: La velocidad media de un objeto es la distancia recorrida en un tiempo determinado, teniendo en cuenta la dirección del movimiento. Desplazamiento Velocidad media = ---------------------------Tiempo transcurrido La velocidad media es un vector que apunta en la misma dirección que el desplazamiento; si el desplazamiento del objeto apunta en la dirección positiva, la velocidad media es positiva. Por el contrario, si el desplazamiento es negativo, la velocidad media es negativa. 168 CAPITULO 6 4.5 Velocidad instantánea La velocidad instantánea es aquella que describe el movimiento de un objeto en cada instante, tomando intervalos de tiempo muy pequeños. 4.6 Movimiento rectilíneo uniforme. El movimiento rectilíneo uniforme es aquel que presenta su velocidad constante, por lo tanto no existe aceleración. La perdida de velocidad debido al rozamiento del aire no se tiene en cuenta en este apartado. Las ecuaciones que relacionan las variables del movimiento rectilíneo uniforme son las siguientes: d=vt v= d/t t= d/v Ejemplo 4.1 Calcular la distancia que recorre un automóvil en 30 minutos, si su velocidad media es de 45 Km/h. Solución: d= v x t d= 45 Km/h x 0.5 h d= 22.5 Km 4.7 Aceleración Se denomina aceleración al cambio de velocidad por unidad de tiempo. Cambio de velocidad Aceleración = -------------------------------Intervalo de tiempo TRABAJO Y ENERGIA 167 El termino de aceleración se aplica tanto a los aumentos como a las disminuciones de velocidad. La aceleración se define de acuerdo a sus magnitudes, con la siguiente ecuación: v – v0 a= ---------t - t0 donde: v = velocidad final v0 = Velocidad inicial t = tiempo final t0 = tiempo inicial Si la velocidad inicial es cero (v0=0) y el tiempo inicial es cero (t0=0), la ecuación anterior se convierte en: v a= ------t Ejemplo 4.2 Un avión inicia su movimiento a partir del reposo y acelera durante su recorrido por la pista, en un tiempo de 20 segundos alcanza una velocidad de 280 Km/h. Calcular la aceleración media del avión. Solución: La aceleración media se calcula con la formula: v – v0 a= ---------t – t0 280 Km/h - 0 a= -------------------20 s - 0 a= 14 Km/h.s a= 3.89 m/s2 168 CAPITULO 6 Ejemplo 4.3 Una motocicleta de carreras cruza la meta y el piloto frena para disminuir la velocidad. Los frenos se aplican inicialmente cuando el tiempo es de 20 s y la velocidad de la moto es de 34 m/s. Cuando el tiempo es de 30 s, la velocidad se reduce a 10 m/s. Calcular el valor de la aceleración media de la moto. Solución: La velocidad de la moto decrece, lo que origina una aceleración media negativa. v – v0 a= ---------t – t0 10 m/s – 34 m/s a= ------------------------30 s – 20 s - 24 m/s a= -------------10 s a= - 2.4 m/s2 4.8 Movimiento rectilíneo uniformemente variado. El movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el cual la velocidad cambia a cada instante, debido a que esta actuando una aceleración constante sobre el móvil. Al ser la aceleración constante, el cambio de velocidad es proporcional al tiempo transcurrido. Cuando la velocidad aumenta, el movimiento se denomina uniformemente acelerado y si esta disminuye, se denomina uniformemente retardado. Para describir este tipo de movimientos con ecuaciones, se parte de la ecuación de la aceleración: v – v0 a= -----------t – t0 TRABAJO Y ENERGIA 167 Si se considera que el tiempo inicial es cero (t0=0), la ecuación anterior se convierte en: v – v0 a= ----------t Despejando la velocidad se obtiene: v= v0 + a t La ecuación de la velocidad media en función de las velocidades inicial y final es: v0 - v Vm= ----------2 La ecuación que relaciona la distancia recorrida por un móvil, en función de la velocidad inicial y final esta dada por: d= ½ (v0 + v) t La ecuación de la distancia recorrida por un móvil, teniendo en cuenta la aceleración es: d= v0 t + ½ a t2 La ecuación que relaciona la aceleración con la distancia recorrida y las velocidades inicial y final es: v2= v02 + 2 a d Ejemplo 4.4 Una motocicleta que parte del reposo y con una aceleración constante de 3.2 m/s2, recorre una pista de 520 m. Calcular el tiempo que emplea en el recorrido de la pista. Solución: La ecuación que relaciona el tiempo con la distancia y la aceleración es: d= v0 t + ½ a t2 d= 0 + ½ (3.2) t 2 168 CAPITULO 6 520= ½ (3.2) t2 Despejando el tiempo (t) se obtiene: t2= 520/1.6 t2= 325 t= 18.02 s Ejemplo 4.5 2 Un automóvil tiene una aceleración constante de 1.3 m/s . Si la velocidad inicial es de 12 m/s, calcular la distancia recorrida al cabo de 10 segundos. Solución: La velocidad final se determina con la siguiente ecuación: v= vo + a t v= 12 m/s + ( 1.3 m/s2 x 10 s) v= 25 m/s El desplazamiento del automóvil es: d= ½ ( vo + v ) t d= ½ ( 12 m/s + 25 m/s ) (10 s) d= 185 m TRABAJO Y ENERGIA 167 4.9 Caída libre La caída libre de los cuerpos se debe a la fuerza de gravedad que ejerce la tierra. En la caída libre no se considera la fuerza de fricción ejercida por el aire. La velocidad instantánea de un objeto que cae desde el reposo, después de un tiempo t, se puede expresar con la siguiente formula: V= g t La distancia que recorre un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo es: 1 d= ---- g t2 2 Es frecuente observar que los objetos caen con aceleraciones distintas. Una hoja de papel cae más lento que una piedra, esto se debe a la forma del objeto y a la fricción que ejerce el aire. Si los dos materiales tuvieran la misma forma, caerían con igual aceleración. En los laboratorios de física se acostumbra a realizar un experimento para comprobar esto. En una bomba de vacío se dejan caer una moneda y una pluma, como no hay rozamiento del aire, los dos objetos caen con igual aceleración. Las ecuaciones para el estudio de caída libre son las siguientes: v= v0 + g t h= v0 t + ½ g t2 v2= v02 + 2 g h h= ½ (v + v0) t La aceleración de la gravedad (g) se trabaja con un valor de 9.80 m/s2. g= 9.80 m/s2 168 CAPITULO 6 Cuando la caída se inicia a partir del reposo, la velocidad inicial es cero (v0=0) y las ecuaciones se convierten en: v= g t h= ½ g t2 v2= 2 g h h= ½ v t Ejemplo 4.6 Desde la parte superior de un edificio deja caer una piedra. Luego de 4 segundos de caída libre, calcular: a) El desplazamiento o altura (h) que cae la piedra. b) La velocidad de la piedra. Solución: a) El desplazamiento se encuentra con la siguiente ecuación: h= ½ g t2 h= ½ (9.8 m/s2 ) ( 4 s)2 h= 78.4 m c) La velocidad final se encuentra con la siguiente ecuación: v= g t 2 v= (9.8 m/s ) (4 s) v= 39.2 m/s TRABAJO Y ENERGIA 167 4.10 Lanzamiento Vertical El lanzamiento vertical es un movimiento rectilíneo vertical ascendente en el cual la velocidad disminuye continuamente con la taza de –9.80 m/s por segundo cuando sube. Como la gravedad (g) siempre actúa hacia abajo, su efecto es aumentar la velocidad de los objetos que caen, y disminuir la velocidad de los que suben. Un cuerpo que sube va disminuyendo la velocidad hasta el punto de parar momentáneamente, la velocidad final es cero (v=0) en el punto más alto del recorrido. Después de eso, el cuerpo inicia el descenso en donde gana velocidad hasta llegar al punto final. La velocidad en el punto final es igual a la velocidad inicial del lanzamiento (v=v0). Las ecuaciones para el movimiento de lanzamiento vertical son: v= v0 – g t h= v0 t – ½ g t 2 v2= v02 – 2 g h h= ½ (v + v0) t 168 CAPITULO 6 Si se quiere conocer la altura máxima y el tiempo de subida, se utilizan las siguientes ecuaciones con la velocidad final igual a cero (v=0) v0 = g t h= v0 t – ½ g t2 v02 = 2 g h h= ½ v0 t Ejemplo 4.7 Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 9.5 m/s. Si no hay resistencia del aire. Determinar: a) Qué altura alcanzara la pelota ? b) En cuánto tiempo llega la pelota a la altura máxima ? c) Cuál es el tiempo total que la pelota está en el aire antes de tocar el piso ? Solución: La velocidad final es cero, antes de la pelota empezar a descender. a) La altura se encuentra con la siguiente ecuación: v2 = v02 + 2gh Despejando altura (h) se obtiene: 2 2 v – vo h = -------------2g TRABAJO Y ENERGIA 0 – (9.5 m/s)2 h = --------------------2 2 (9.8 m/s ) 167 h= 4.60 m b) El tiempo que tarda la pelota en llegar a la altura máxima se calcula con la siguiente ecuación: v= v0 + g t Despejando tiempo (t) se obtiene: v - vo t= ---------g 0 – 9.5 m/s t= ------------------2 9.8 m/s t= 0.97 s c) El tiempo que tarda la pelota en caer es igual al tiempo que tarda en subir, por lo tanto, el tiempo total es dos veces el tiempo en subir: t= 0.97 s + 0.97 s t= 1.94 s 168 CAPITULO 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Calcular la distancia que recorre un automóvil en 90 minutos, si su velocidad media es de 64 Km/h. Respuesta: d= 96 Km 4.2 Calcular la velocidad media de un automóvil, si en 140 minutos recorre 95 Km. Respuesta: v= 40.71 Km/h 4.3 Calcular el tiempo que se demora un automóvil para recorrer una distancia de 85 Km, si la velocidad media es de 70 Km/h. Respuesta: t= 1.21 h 4.4 Un auto de carreras inicia su movimiento a partir del reposo y acelera durante su recorrido por la pista; en un tiempo de 14 segundos alcanza una velocidad de 230 Km/h. Calcular la aceleración media del auto. Respuesta: 2 a= 4.56 m/s 4.5 Un auto de carreras inicia su movimiento a partir del reposo y acelera durante su recorrido con una aceleración media de 3.6 m/s2. Si la velocidad que alcanzó el auto es de 180 Km/h. Calcular el tiempo empleado para alcanzar esa velocidad. Respuesta: t= 13.89 s 4.6 La velocidad de un auto aumenta de 2 m/s en un tiempo de 4 s, hasta 18 m/s en un tiempo de 10 s. Calcular el valor de la aceleración media del auto. Respuesta: 2 a= 2.66 m/s TRABAJO Y ENERGIA 167 4.7 Una motocicleta de carreras cruza la meta y el piloto frena para disminuir la velocidad. Los frenos se aplican inicialmente cuando el tiempo es de 30 s y la velocidad de la moto es de 28 m/s. Cuando el tiempo es de 40 s, la velocidad se reduce a 16 m/s. Calcular el valor de la aceleración media de la moto. Respuesta: 2 a= -1.2 m/s 4.8 Un auto de formula uno cruza la meta y el piloto frena para disminuir la velocidad. La aceleración media del auto es de –3.5 m/s2. Calcular el tiempo que se demora en disminuir la velocidad de 220 Km/h hasta 140 Km/h. Respuesta: t= 6,35 s 4.9 Un camión tiene una aceleración constante de 0.5 m/s2. Si la velocidad inicial es de 10 Km/h, calcular la distancia recorrida al cabo de 25 segundos. Respuesta: d=225.5 m 4.10 Un automóvil tiene una aceleración constante de 1.3 m/s2. Si la velocidad inicial es de 15 Km/h, calcular el tiempo que se demora en recorrer una distancia de 340 m. Respuesta: t= 18.48 s 4.11 Un automóvil avanza a una velocidad constante de 30 Km/h, durante 35 segundos; luego acelera a razón de 1.5 m/s2 durante 12 segundos, y por último aplica los frenos hasta detenerse a los 17 segundos. Calcular la distancia recorrida en todo el trayecto. Respuesta: d= 723.43 m 168 CAPITULO 6 4.12 Un automóvil de 3.80 metros de longitud avanza a una velocidad constante de 58 Km/h y se acerca a un cruce de 12 m de ancho. El semáforo esta en verde cuando el frente del auto está a 40 m del cruce. Si el conductor pisa el freno, el auto se frenará a –2.8 m/s2; si pisa el acelerador, el auto acelerara a 1.7 m/s2. El semáforo estará en verde durante 4 segundos. Para no cruzar el semáforo en amarillo, deberá el conductor frenar o acelerar ? Respuesta: Acelerar ( d=78.04 m) 4.13 Un automóvil y un bus escolar parten del reposo en el mismo momento; el automóvil está a cierta distancia detrás del bus El automóvil tiene una aceleración constante de 3.30 m/s2, y el bus de 2.45 m/s2. El automóvil alcanza al bus cuando éste ha recorrido 70 m. a) Cuánto tarda el auto en alcanzar al bus ? b) Qué distancia (x0) separaba a los dos vehículos durante el reposo ? c) Qué velocidad tienen los dos vehículos cuando están juntos ? Respuesta: t= 7.56 s x0= 24.30 m v auto= 24.95 m/s , v bus = 18.52 m/s 4.14 Un automóvil que viaja a 40 Km/h pasa por un cruce de escolares donde el límite de velocidad es de 25 Km/h. En ese momento, una moto de la policía, parado en el cruce, arranca en su persecución con aceleración constante de 2 3.2 m/s . a) Cuanto tiempo pasa antes de que la moto alcance al automóvil ? b) Que velocidad tiene la moto en ese instante ? c) Que distancia total ha recorrido cada vehículo ? Respuesta: t= 6.94 s v= 22.21 m/s d= 77.10 m (cada uno) TRABAJO Y ENERGIA 167 4.15 Durante una carrera de autos sobre una pista de 400 m, el auto A parte del reposo y acelera a razón de 3.70 m/s2, el auto B parte con una velocidad inicial de 20 Km/h y acelera a razón de 3.40 m/s2. a) Cuál de los dos autos llegará primero a la meta ? b) Que velocidad final tendrá el auto ganador ? Respuesta: El auto B (t= 13.79 s) v= 188.78 Km/h 4.16 Durante una carrera de autos sobre una pista de 2000 m, el auto A parte del reposo y acelera a razón de 3.80 m/s2, el auto B parte con una velocidad 2 inicial de 17 Km/h y acelera a razón de 3.55 m/s y el auto C parte con una 2 velocidad inicial de 14 Km/h y acelera a razón de 3.65 m/s . a) Cuál de los tres autos llegará primero a la meta ? b) Que velocidad final tendrá el auto ganador ? Respuesta: El auto C (t= 32.05 s) v= 435.21km/h Problemas sobre caída Libre 4.17 Desde la parte superior de una torre se deja caer una piedra. Luego de 3 segundos de caída libre, calcular: a) El desplazamiento (h) b) La velocidad de la piedra. Respuesta: h= 44.14 m v= 29.43 m/s 4.18 Desde la parte superior de un edificio se deja caer una piedra en caída libre. La altura del edificio es de 30 m, calcular el tiempo que se demora la piedra en tocar el suelo. Respuesta: t= 2.47 s 168 CAPITULO 6 4.19 Desde la parte superior de un edificio de cuatro pisos se deja caer una pelota en caída libre. La pelota tarda 1.46 segundos en tocar el piso. Calcular la altura del edificio. Respuesta: h= 10.45 m 4.20 Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 6.3 m/s. Si no hay resistencia del aire. Determinar: a) Qué altura alcanzara la pelota ? b) En cuánto tiempo llega la pelota a la altura máxima ? c) Cuál es el tiempo total que la pelota está en el aire antes de tocar el piso ? Respuesta: h= 2.02 m t= 0.64 s tt= 1.28 s 4.21 Una pelota se lanza hacia arriba y se demora 8 segundos en el aire. Calcular: a) La velocidad a la que fue lanzada. b) La altura que alcanza la pelota. c) La velocidad a los 6 segundos. Respuesta: vo= 39.24 m/s h= 78.48 m v= 19.62 m/s 4.22 Una pelota se lanza hacia arriba y alcanza una altura de 8.5 m. Calcular: a) La velocidad a la que fue lanzada. b) El tiempo que se demora para el ascenso. Respuesta: vo= 12.91 m/s t= 1.32 s TRABAJO Y ENERGIA 167 4.23 Durante una competencia de clavados de gran altura, los deportistas se lanzan desde una plataforma de 20 metros de altura. Según el entrenador, el deportista campeón entró al agua a una velocidad de 28 m/s. Puede un deportista entrar al agua a esa velocidad ?. De ser así, Qué velocidad inicial se requiere ?. Se puede alcanzar esa velocidad inicial ?. Respuesta: v= 19.80 m/s v0= 8.18 m/s (no se puede alcanzar) 4.24 Durante una competencia de clavados de gran altura, el deportista campeón se lanzó desde una plataforma de 17 metros de altura. Calcular la velocidad de entrada al agua y el tiempo en lograrlo. Respuesta: v= 18.25 m/s t= 1.86 s 4.25 Un obrero esta parado sobre la azotea de un edificio de 24 metros de altura. El celador del edificio camina sobre el suelo a razón de 1.10 m/s. Si el obrero desea dejar caer un huevo sobre su cabeza, ¿ dónde deberá estar el celador cuando se suelte el huevo ? Respuesta: d=2.43 m 168 CAPITULO 6 4.26 Se dispara un rifle verticalmente hacia arriba,18 segundos más tarde la bala tiene una velocidad de 65 m/s hacia abajo. a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la bala? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala ?. c) ¿Cuánto tiempo se necesita para que la bala alcance la altura máxima ? Respuesta: Vo= 111.40 m/s h= 632.75 m t= 11.36 s 4.27 Se dispara un rifle verticalmente hacia arriba, 13 segundos más tarde la bala tiene una velocidad de cero (v=0 m/s). a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la bala? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala ?. c) ¿Cuánto tiempo se necesita para que la bala alcance la altura máxima ? Respuesta: Vo= 127.40 m/s h= 828.1 m t= 13 s 4.28 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, a los 10 segundos más tarde, la pelota vuelve al punto en que se lanzó. a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota ?. c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando vuelve al punto inicial ? Respuesta: Vo= 49 m/s h= 122.5 m V= 49 m/s TRABAJO Y ENERGIA Capítulo 5 Leyes de Newton - Fuerza - Primera ley de Newton - Segunda ley de Newton - Masa y peso - Tercera ley de Newton - Fuerza normal - Rozamiento 167 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Relacionar el concepto de equilibrio con la primera ley de Newton. 2. Relacionar el concepto de gravedad con la segunda ley de Newton. 3. Conocer el concepto de acción y reacción. 4. Analizar la tercera ley de Newton. 5. Analizar el concepto de rozamiento. 6. Relacionar las tres leyes de Newton en ejercicios prácticos. TRABAJO Y ENERGIA 167 5. Leyes de Newton 5.1 Introducción La mecánica se basa en tres leyes fundamentales que relacionan la fuerza y el movimiento, establecidas por Newton quien basó sus trabajos en los estudios que había realizado Galileo Galilei muchos años atrás. 5.2 Fuerza La fuerza es un concepto fundamental en física, al empujar un cuerpo se ejerce una fuerza sobre él. La unidad de fuerza en el sistema internacional es el Newton (N). 5.3 Primera ley de Newton. Equilibrio. Uno de los efectos de una fuerza es modificar el estado de movimiento del cuerpo. Cuando una fuerza única actúa sobre un cuerpo, produce a la vez cambios en sus movimientos de traslación y de rotación. Cuando varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo, sus efectos pueden compensarse entre sí, dando como resultado el equilibrio en el cuerpo. Si el cuerpo está en reposo, continua en reposo y si está en movimiento, continua en movimiento. 5.4 Análisis de la primera ley de Newton. Esta ley dice que en ausencia de fuerzas aplicadas, un cuerpo permanece en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. Es decir, cuando un cuerpo se ha puesto en movimiento, no es necesario ejercer una fuerza para mantenerlo en movimiento. La anterior afirmación se cumpliría si no existiera la fuerza de rozamiento, que es la que trata de detener el movimiento de los cuerpos. Si un cuerpo permanece en equilibrio, se dice que la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el es cero. F=0 Fx= 0, Fy= 0 168 CAPITULO 6 5.5 Segunda ley de Newton. Gravitación Se sabe por experiencia que un cuerpo que esté en reposo se moverá siempre que exista una fuerza que lo empuje. De la misma manera, para detener un cuerpo se necesita de una fuerza. La formula deducida por Newton para relacionar la fuerza, la masa y la aceleración es: Fuerza = masa x aceleración F=mxa Cuando actúan varias fuerzas sobre un cuerpo, la formula se puede escribir de la siguiente manera: F = m x a La ley de la gravitación universal fue descubierta por Newton y publicada por él en 1686. Esta ley se expresa de la siguiente manera: Cada partícula de materia del universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Entonces, m1 x m2 Fg = G ------------------2 r Donde Fg es la fuerza gravitacional sobre cualquiera de las partículas; m1 y m2 , sus masas; r, la distancia entre ellas, y ,G una constante universal denominada constante gravitacional, cuyo valor numérico depende de las unidades en que se expresen la fuerza, la masa y la longitud. Experimentalmente se demostró que la constante G tiene un valor de: G = 6.67 x 10-11 N . m2 . Kg-2 TRABAJO Y ENERGIA 167 5.6 Masa y peso. El peso de un cuerpo puede definirse como la fuerza gravitatoria que la tierra ejerce sobre el, y está dirigido hacia el centro de la tierra. El peso para un cuerpo que cae libremente se calcula con la formula: Peso = masa x gravedad w=mxg El peso de un cuerpo es una fuerza, por lo tanto se debe expresar en unidades de fuerza, en el sistema internacional la unidad de peso es 1 N, y en el sistema ingles es 1 lb. En Colombia y en muchos países todavía es frecuente denominar el peso con unidades de Kg y la fuerza con unidades de Kgf. En el sistema internacional el peso se calcula de la siguiente manera: El peso de 1 Kg de masa es: m = 1 Kg g = 9.80 m/s2 w=mxg 2 w = 1 Kg x 9.80 m / s w = 9.80 Kg m s-2 w = 9.80 N 5.7 Tercera ley de Newton. Acción y reacción. Cualquier fuerza dada es sólo una interacción de dos cuerpos. Es decir, no existe una fuerza aislada. Por lo tanto se deduce la siguiente definición: Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza de la misma magnitud, dirección opuesta y con la misma línea de acción. Las dos fuerzas que intervienen en toda interacción entre dos cuerpos, reciben a menudo los nombres de acción y reacción. 168 CAPITULO 6 Gráficamente la acción y reacción se representa por dos fuerzas iguales pero opuestas F y -F. Newton estableció esta propiedad de las fuerzas en su tercera ley, la cual dice: A cada acción se opone siempre una reacción igual: es decir, las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y están dirigidas hacia partes contrarias. 5.8 Fuerza normal. Cuando un objeto se encuentra en reposo o en movimiento sobre una superficie, existe una fuerza que actúa sobre el objeto, esta fuerza se denomina fuerza normal (n) y es perpendicular a la superficie. En la siguiente figura se muestra un bloque en reposo, sobre el actúan dos fuerzas, la fuerza de gravedad o peso W, y la fuerza normal n. Por equilibrio se sabe que la normal es igual al peso del bloque. n=w TRABAJO Y ENERGIA 167 Si existe una tercera fuerza que tire hacia arriba o empuje el bloque hacia abajo, la normal será diferente al peso del bloque. nw Si el bloque está apoyado sobre una superficie inclinada, la normal es diferente al peso del bloque. n = w cos 5.9 Rozamiento Cuando la superficie de un cuerpo desliza sobre la de otro, cada cuerpo ejerce sobre el otro una fuerza de rozamiento paralela a las superficies. La fuerza sobre cada cuerpo es opuesta a la dirección de su movimiento respecto al otro. 168 CAPITULO 6 Cuando un bloque desliza de izquierda a derecha a lo largo de una superficie, actúa sobre él una fuerza de rozamiento (Fs) hacia la izquierda, y otra fuerza igual actúa hacia la derecha sobre la mesa. Las fuerzas de rozamiento actúan también cuando no hay movimiento relativo. Una fuerza horizontal que actúa sobre un peso en reposo sobre el suelo, puede no ser suficiente para ponerlo en movimiento, debido a otra fuerza de rozamiento, igual y opuesta, ejercida por el suelo sobre el peso. En la siguiente figura, un bloque descansa sobre una superficie y se encuentra en equilibrio. Si se ata una cuerda al bloque y se aumenta gradualmente la tensión T de la cuerda. Mientras la tensión sea pequeña, el bloque permanecerá en reposo. La fuerza paralela a la superficie se denomina fuerza de rozamiento estático Fs. La otra componente, n es la fuerza normal ejercida sobre el bloque por la superficie. Debido a las condiciones de equilibrio, la fuerza de rozamiento estático, Fs, es igual y opuesta a la fuerza T, y la fuerza normal n es igual y opuesta al peso w. TRABAJO Y ENERGIA 167 Al incrementar la fuerza T se alcanza un valor límite en el cual el bloque se despega de la superficie y empieza a moverse. Tan pronto como se inicia el movimiento, se observa que la fuerza de rozamiento disminuye. Para dos superficies, esta nueva fuerza de rozamiento depende también del valor de la fuerza normal y se representa con una relación de proporcionalidad. Cuando el bloque está en reposo, la fuerza de rozamiento estático está dada por la ecuación: Fs = us n El factor de proporcionalidad, us, se llama coeficiente estático de rozamiento. Cuando el bloque está en movimiento, la fuerza de rozamiento cinético está dada por la ecuación: Fk = uk n El factor de proporcionalidad, uk, se llama coeficiente cinético de rozamiento. La fuerza de rozamiento F siempre es la componente de la fuerza de contacto paralela a la superficie, y la fuerza normal n siempre es la componente normal a la superficie. Los coeficientes estático y cinético de rozamiento dependen de la naturaleza de la superficie, siendo grande para superficies rugosas y pequeño, para superficies lisas. En la siguiente tabla se muestran los coeficientes de rozamiento de algunos materiales. Tabla 5.1 Coeficientes de rozamiento Materiales Acero sobre acero Aluminio sobre acero Cobre sobre acero Latón sobre acero Cinc sobre hierro colado Cobre sobre hierro colado Cobre sobre vidrio Vidrio sobre vidrio Teflòn sobre acero Teflòn sobre Teflòn Estático, us Cinético, uk 0.74 0.61 0.53 0.51 0.85 1.05 0.68 0.94 0.05 0.05 0,57 0.47 0.36 0.44 0.21 0.29 0.53 0.41 0.05 0.05 168 CAPITULO 6 Ejemplo 5.1 Un bloque de 52 N de peso está suspendido de un techo mediante una cuerda, tal como se indica en la figura. Calcular la tensión en la cuerda si ésta pesa 3 N y se encuentra en equilibrio. Solución: En la siguiente figura se muestran las fuerzas que actúan en el diagrama. De la primera figura se tiene: Fy = T1 – w1 = 0 T1 = w1 T1 = 52 N ( Primera ley de Newton) TRABAJO Y ENERGIA 167 La reacción a la fuerza T1 es la fuerza T1’ de igual magnitud dirigida hacia abajo: T1 = T1’ ( Tercera ley de Newton ) T1’ = 52 N De la segunda figura se tiene que la cuerda está en equilibrio: Fy = T2 – w2 – T1’ = 0 ( Primera ley de Newton ) T2 = w2 + T’1 T2 = 3 N + 52 N = 55 N La reacción a T2 es la fuerza T2’, dirigida hacia abajo: T2 = T2’ ( Tercera ley de Newton ) T2’ = 55 N Ejemplo 5.2 En la figura se muestra un bloque de 130 N de peso, el cual cuelga de una cuerda que está anudada en el punto o a otras dos cuerdas, una sujeta a la pared y otra al techo. Calcular las tensiones en las tres cuerdas si los pesos de estas son despreciables. Solución: El diagrama de las tensiones se muestra en la siguiente figura: 168 CAPITULO 6 De la primer figura se tiene: Fy = T1 – w = 0 T1 = w T1 = 130 N De la segunda figura se tiene un sistema de fuerzas en equilibrio: La T3 se descompone en sus componentes rectangulares. Fx = 0: T3 cos 55º - T2 = 0 (1) Fy = 0: T3 sen 55º - T1 = 0 (2) De la ecuación (2) se tiene: T1 T3 = -------------Sen 55º 130 N T3 = -----------sen 55º Reemplazando en la ecuación (1) se tiene: T2 = T3 cos 55º T2 = 158.7 x cos 55º T2 = 91.03 N T3= 158.7 N TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 5.3 En la figura se muestra un bloque de 85 N de peso, el cual permanece sobre un plano inclinado, sin rozamiento. Una cuerda flexible que está unida al extremo derecho del bloque pasa por una polea sin rozamiento y se une al segundo bloque de peso W 2. Calcular el peso W 2 para el cual el sistema permanece en reposo. Solución: El diagrama de fuerzas se muestra en la siguiente figura: De la figura 2 se tiene: T1 = w2 En la figura 1 se supone el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al plano inclinado. De acuerdo a las condiciones de equilibrio se tiene: Fx = T1 – w1 sen 30º = 0 (1) Fy = n – w1 cos 30º = 0 (2) 168 CAPITULO 6 De la ecuación (1) se tiene: T1 = w1 sen 30º T1 = 85 N x sen 30º T1= 42.5 N El peso del bloque 2 es: T1 = w2 w2 = 42.5 N De la ecuación (2) se encuentra el valor de la normal (n). n = w1 cos 30º n = 85 N x cos 30º n= 73.61 N Como la superficie es inclinada, la normal es diferente al peso del bloque. Ejemplo 5.4 En la figura se muestra un bloque de 94 N de peso. La tensión en el cable puede aumentarse hasta 17 N antes de que el bloque empiece a deslizar, y para mantener el bloque en movimiento a velocidad constante, se necesita una fuerza de 9 N. Hallar los coeficientes estático y cinético de rozamiento. Solución: De acuerdo a la figura, se tiene: Fx = T – Fs = 17 N - Fs = 0 Fs = 17 N Fy = n – w = n – 94 N = 0 n = 94 N TRABAJO Y ENERGIA La ecuación para el movimiento inminente es: Fs = us n Fs 17 N us = --------- = ------------ = 0.18 n 94 N us = 0.18 ( Coeficiente estático de rozamiento ) De acuerdo a la figura 2 se tiene: Fx = T – Fk = 9 N – Fk = 0 Fk = 9 N. Fy = n – w = n – 94 N = 0 n = 94 N. La ecuación para el movimiento es: Fk = uk n Fk 9N Uk = --------- = ------------ = 0.095 n 94 N Uk = 0.095 ( Coeficiente cinético de rozamiento ) 167 168 CAPITULO 6 Ejemplo 5.5 En la figura se muestra un bloque de 135 N de peso. Calcular la fuerza T necesaria para arrastrar el bloque a velocidad constante, si la fuerza se realiza con un ángulo de inclinación de 25º sobre la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0.30. Solución: Utilizando la primera condición de equilibrio se puede escribir: Fx = T cos 25º - 0.3 n = 0 (1) Fy = T sen 25º + n – 135 N = 0 (2) De la ecuación (1) se obtiene: T cos 25º = 0.3 n T = 0.3 n / cos 25º T= 0.331 n (3) Se reemplaza (3) en la ecuación (2): T sen 25º + n – 135 N = 0 T sen 25º + n = 135 N (0.331 n) sen 25º + n = 135 N 1.139 n = 135 N T = 0.331 n 0.139 n + n = 135 N n = 135 N / 1.139 n = 118.52 N T = 0.331 ( 118.52 N ) T = 39.23 N TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 5.6 Un bloque de 240 N de peso se coloca sobre un plano inclinado, tal como se muestra en la figura. Una vez iniciado el movimiento, el bloque se desliza hacia abajo con velocidad constante. Calcular el ángulo de inclinación necesario para cumplir las condiciones de movimiento y equilibrio. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0.26. Solución: Se suponen los ejes coordenados paralelo y perpendicular al plano inclinado. De acuerdo a los ejes paralelo y perpendicular a la superficie del plano, se tiene: Fx = Fk – w sen = 0 (1) Fy = n – w cos = 0 (2) de la ecuación (1) se obtiene: Fk – w sen = 0 uk n – w sen = 0 uk n = w sen (3) 168 CAPITULO 6 de la ecuación (2) se obtiene: n = w cos (4) Dividiendo la ecuación (3) entre la (4) se obtiene: sen uk = ----------cos uk = tan 0.26 = tan = 14.57º Lo anterior indica que el movimiento depende del ángulo de inclinación, y no del peso del bloque. Ejemplo 5.7 Un bloque cuya masa es de 125 Kg reposa sobre una superficie horizontal. La fuerza de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 28 N. Calcular la fuerza que se necesita para comunicarle una velocidad de 8 m/s en un tiempo de 4 segundos. Solución: La aceleración se calcula con la formula: V 8 m/s a = --------- = ------------ = 2 m/s2 t 4s La resultante de las fuerzas en la dirección x es: Fx = T – F TRABAJO Y ENERGIA 167 La resultante de las fuerzas en la dirección y es: Fy = n – w. Por lo tanto, de acuerdo a la segunda ley de Newton se obtiene: F = m x a T – F = m x ax T=F+mxa T = 28 N + (125 Kg) x ( 2 m/s2) T = 28 N + 250 N T = 278 N Ejemplo 5.8 Un ascensor y su carga tienen una masa total de 920 Kg. Hallar la tensión T del cable que lo sostiene cuando el elevador, que se mueve inicialmente hacia abajo a la velocidad de 3 m/s, se lleva al reposo con aceleración constante en un recorrido de 18 m. Solución: El peso del elevador es: W=mxg W = (920 Kg) x (9.80 m/s2) = 9016 N 168 CAPITULO 6 De acuerdo a las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, 2 V = Vo2 + 2 a y, V2 – Vo2 a = -------------2y La velocidad inicial (vo) es – 3 m/s y la velocidad final es nula. La distancia y es - 18 m. V2 – Vo2 a = -------------2y 02 – ( - 3 m/s)2 a= ---------------------2 ( -18 m) a= 0.25 m/s2 La fuerza resultante es: F = T – w = T – 9016 N De la segunda ley de Newton se obtiene: F=mxa La tensión producida en el cable mientras el elevador se detiene es: T – 9016 N = (920 Kg) x (0.25 m/s2) T = 9016 N + 230 N T = 9246 N La tensión debida al peso es de 9016 N y la tensión para poder detener el elevador es de 230 N. TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 5.9. Un bloque de 60 Kg de masa se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a una cuerda ligera y flexible, que pasa por una pequeña polea sin rozamiento, a un segundo bloque de 40 Kg de masa. Calcular la aceleración del sistema y la tensión T de la cuerda ?. Solución: El diagrama de fuerzas que actúan en cada bloque se muestra en la siguiente figura: Para el bloque que está en la superficie, las ecuaciones de equilibrio son: Fx = T = m1 x a, Fy = n = m1 x g = m1 x a = 0 168 CAPITULO 6 Aplicando la segunda ley de Newton al bloque suspendido, se obtiene: Fy = m x g Fy = m2 x g – T = m2 x a Las dos ecuaciones que contienen las aceleraciones son: T = m1 x a (1) m2 x g – T = m 2 x a (2) Reemplazando (1) en (2) se obtiene: m2 x g – ( m 1 x a ) = m 2 x a m2 x g = (m1 x a) + (m2 x a) m2 x g = (m1 + m2 )a m2 a = ------------- g m1 + m 2 (3) 40 Kg a = ----------------------- x 9.80 m/s2 60 Kg + 40 Kg a = 3.92 m/s2 (aceleración del sistema) Remplazando (3) en la primera ecuación se obtiene: T = m1 a. m1m2 T = ------------- g m1 + m 2 60 Kg x 40 Kg T = ------------------------ x 9.80 m/s2 60 Kg + 40 Kg T = 235.20 N ( Tensión en el cable ) TRABAJO Y ENERGIA 167 EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Dos pesos de 40 N cuelgan de los extremos de opuestos de una cuerda. La cuerda pasa por una polea lisa sin fricción, sujeta a una cadena que va al techo. Calcular la tensión en la cuerda y en la cadena. Respuesta: Tcuerda= 40 N Tcadena= 80 N 5.2 Dos pesos de 60 N cuelgan de los extremos de opuestos de una cuerda. La cuerda pasa por una polea lisa sin fricción, sujeta a una cadena que va al techo. Calcular la tensión en la cuerda y en la cadena. Respuesta: Tcuerda= 60 N Tcadena= 120 N 5.3 Un peso de 950 N se desliza a través de una cuerda y queda suspendido en la mitad del vacío, la cuerda se rompe si su tensión es mayor a 3200 N. a) Calcular la tensión en la cuerda si el ángulo es de 10º. b) Que valor mínimo puede tener el ángulo sin que se rompa la cuerda ? Respuesta: a) T= 2735.4 N b) = 8.54º 168 CAPITULO 6 5.4 En la figura se muestra un sistema de fuerzas y de cables, los cuales están soportando un bloque de peso w. La tensión en el cable diagonal es de 75 N. Calcular: a) El valor de las fuerzas horizontales para mantener el sistema en la posición indicada. b) Calcular el peso del bloque. Respuesta: F1= 53.03 N F2= 53.03 N W = 53.03 N 5.5 En la figura se muestra dos bloques de 45 N de peso cada uno, sostenidos en una pendiente sin fricción. Calcular la tensión en las dos cuerdas que soportan los bloques. Respuesta: TA= 45 N TB= 22.5 N TRABAJO Y ENERGIA 167 5.6 Un cuerpo en reposo de 60 N de peso está suspendido de un techo mediante una cuerda, tal como se indica en la figura. Calcular la tensión en la cuerda si esta pesa 8 N y se encuentra en equilibrio. Respuesta: T= 68 N 5.7 En la figura se muestra un bloque de 1850 N de peso, el cual cuelga de una cuerda que está anudada en el punto o a otras dos cuerdas, una sujeta a la pared y otra al techo. Calcular las tensiones en las tres cuerdas si los pesos de estas son despreciables. Respuesta: T1= 1850 N T2= 1068.1 N T3= 2136.2 N 168 CAPITULO 6 5.8 En la figura se muestra un bloque de 150 N de peso, el cual permanece sobre un plano inclinado, sin rozamiento. Una cuerda flexible que está unida al extremo derecho del bloque pasa por una polea sin rozamiento y se une al segundo bloque de peso W 2. Calcular el peso W 2 para el cual el sistema permanece en reposo. Respuesta: W 2= 63.39 N 5.9 En la figura se muestra un bloque de 80 N de peso. La tensión en el cable puede aumentarse hasta 15 N antes de que el bloque empiece a deslizar, y para mantener el bloque en movimiento a velocidad constante, se necesita una fuerza de 8 N. Hallar los coeficientes estático y cinético de rozamiento. Respuesta: Uk= 0.1875 Us= 0.10 TRABAJO Y ENERGIA 167 5.10 Un bloque de 70 N de peso se encuentra sobre una superficie plana horizontal. Si al aplicarle una fuerza horizontal de 40 N, el bloque sigue en reposo. Calcular la fuerza de rozamiento. Respuesta: Fs= 40 N 5.11 En la figura se muestra un bloque de 75 N de peso. Calcular la fuerza T necesaria para arrastrar el bloque a velocidad constante, si la fuerza se realiza con un ángulo de inclinación de 30º sobre la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0.40. Respuesta: T= 23.69 N 5.12 Un bloque de 140 N de peso se coloca sobre un plano inclinado, tal como se muestra en la figura. Una vez iniciado el movimiento, el bloque se desliza hacia abajo con velocidad constante. Calcular el ángulo de inclinación necesario para cumplir las condiciones de movimiento y equilibrio. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0.28. Respuesta: = 15.64º 168 CAPITULO 6 5.13 El bloque A de la figura pesa 120 N y el peso del bloque B es de 50 N. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque A y la superficie es de 0.26, si el sistema está en equilibrio: Calcular: a) La fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. b) El máximo peso del bloque B, para el cual el sistema permanecerá en equilibrio. Respuesta: Fs= 50 N W B= 31.2 N 5.14 El bloque de la figura es arrastrado a velocidad constante por una fuerza de 28 N, la cual actúa formando un ángulo de 25º con la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0.45. Calcular el peso del bloque. Respuesta: W= 68.22 N TRABAJO Y ENERGIA 167 5.15 Se desea bajar una caja fuerte de 2400 N de peso, a velocidad constante por una rampa de 5 m de longitud, desde un camión de 1.8 m de altura. El coeficiente cinético entre la rampa y la caja es de 0.35. Analizar si la caja se debe empujar o retener. Qué fuerza paralela a la rampa se necesita ? Respuesta: a) Detenerse b) F=80.31 N 5.16 Se desea bajar una caja fuerte de 2000 N de peso, a velocidad constante por una rampa de 4 m de longitud, desde un camión de 1.7 m de altura. La caja se quiere detener con una fuerza de 20 N, durante todo el movimiento. Calcular el coeficiente cinético entre la rampa y la caja fuerte. Respuesta: a) Uk =0.458 5.17 El bloque A de la figura pesa 20 N y el bloque B pesa 35 N. El coeficiente cinético de rozamiento entre las dos superficies es de 0.30. Calcular la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B a velocidad constante. El bloque A se mueve con el bloque B. Respuesta: F= 16.5 N 168 CAPITULO 6 5.18 El bloque A de la figura pesa 20 N y el bloque B pesa 35 N. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las superficies es de 0.30. Calcular la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B a velocidad constante. El bloque A permanece en reposo. Respuesta: F= 22.5 N 5.19 El bloque A de la figura pesa 20 N y el bloque B pesa 35 N. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las superficies es de 0.30. Calcular la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B a velocidad constante. El bloque A y B están unidos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Respuesta: F= 28.5 N TRABAJO Y ENERGIA 167 5.20 Dos bloques A y B están dispuestos como se indica en la figura, y unidos por una cuerda al bloque C. Los bloques A y B pesan 140 N cada uno. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las superficies es de 0.40. El bloque C desciende a velocidad constante. Calcular la tensión en la cuerda que une los bloques A y B y el peso del bloque C. Respuesta: T= 56 N Wc= 165.92 N 5.21 Dos bloques A y B están dispuestos como se indica en la figura, y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque B pesa 120 N y el bloque C pesa 130 N. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las superficies es de 0.35. El bloque C desciende a velocidad constante. Calcular la tensión en la cuerda que une los bloques A y B y el peso del bloque A. Respuesta: T= 41.22 N W A= 117.77 N 168 CAPITULO 6 Problemas sobre la segunda ley de Newton. 5.22 Sobre un cuerpo de 5 Kg de masa, se aplica una fuerza de 20 N durante 8 segundos. Calcular la aceleración que adquiere el cuerpo. Respuesta: 2 a= 4 m/s 5.23 Una caja de 80 Kg de masa es descendida hacia abajo por medio de una cuerda. La aceleración del sistema es de 1.5 m/s2. Calcular la tensión en la cuerda. Respuesta: T= 664 N 5.24 Un ascensor y su carga tienen una masa total de 890 Kg. Hallar la tensión T del cable que lo sostiene cuando el elevador, que se mueve inicialmente hacia abajo a la velocidad de 2 m/s, se lleva al reposo con aceleración constante en un recorrido de 24 m. Respuesta: T= 8796.17 N 5.25 Un elevador que pesa 2500 N sube con una aceleración de 1.8 m/s2. Cuál es la tensión del cable que lo soporta ? Respuesta: T= 2959.18 N TRABAJO Y ENERGIA 167 5.26 Un elevador de carga, con los cables muy gastados, tiene una masa total de 1800 Kg y los cables pueden aguantar una tensión máxima de 23500 N. Cuál es la aceleración máxima del elevador sin que los cables se rompan ? Respuesta: 2 a= 3.25 m/s 5.27 Un bloque de 85 Kg de masa se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a una cuerda ligera y flexible, que pasa por una pequeña polea sin rozamiento, a un segundo bloque de 35 Kg de masa. Calcular la aceleración del sistema y la tensión T de la cuerda ?. Respuesta: 2 a= 2.85 m/s T= 242.96 N 5.28 Se arrastra una caja de 30 Kg de masa sobre un piso horizontal, con un coeficiente cinético de rozamiento de 0.25, mediante una cuerda inclinada a 20º hacia arriba con la horizontal, con una fuerza de 90 N. a) ¿ Cuál es la fuerza normal ? b) ¿ Cuál es la fuerza de rozamiento ? c) ¿ Cuál es la aceleración de la caja ? Respuesta: a) n= 263.52 N b) Fk= 65.88 N 2 c) a=0.62 m/s 168 CAPITULO 6 5.29 Una caja de 30 Kg de masa se empuja hacia arriba por una rampa áspera inclinada 30º respecto a la horizontal, con un coeficiente de rozamiento cinético de 0.28, mediante una fuerza horizontal de 350 N. a) ¿ Cuál es la fuerza normal ? b) ¿ Cuál es la fuerza de rozamiento ? c) ¿ Cuál es la aceleración de la caja ? Respuesta: a) n= 429.87 N b) Fk= 120.36 N 2 c) a= 1.19 m/s 5.30 Una caja de 25 Kg de masa descansa sobre la carrocería de un camión en reposo. El coeficiente de rozamiento entre la caja y el piso del camión es de 0.12. El camión arranca con una aceleración de 2 m/s2. Si la caja se encuentra a 4.4 m de la parte trasera del camión cuando éste arranca. a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la caja salga despedida por la parte trasera del camión ? b) ¿Qué distancia recorrerá el camión en ese tiempo? Respuesta: a) t= 3.27 s b) d= 10.73 m 5.31 Los dos bloques de la figura están unidos por una cuerda homogénea de masa 3 Kg. Se aplica una fuerza vertical hacia arriba de 280 N, como se muestra en la figura. a) ¿Cuál es la aceleración del sistema? b) ¿Cuál es la tensión en la parte superior de la cuerda? c) ¿Cuál es la tensión en el punto medio de la cuerda? Respuesta: 2 a) a= 4.19 m/s b) T= 168 N c) T= 147 N TRABAJO Y ENERGIA 167 5.32 Dos bloques de 200 Kg y 100 Kg de masa, unidos por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento, descansan sobre planos lisos. a) ¿En qué sentido se moverá el sistema ? b) ¿Cuál es la aceleración de los bloques ? c) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? Respuesta: a) Hacia la izquierda. 2 b) a= 0.956 m/s c) T= 788.8 N 5.33 En la figura se muestra un carro del ferrocarril del Pacífico, el cual tiene un bloque A de masa 5 Kg, en su parte delantera; el bloque está simplemente colocado sobre la pared delantera del carro. Calcular la aceleración que ha de tener el carro, para que el bloque no se caiga. El coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies es de 0.58. Respuesta: 2 a= 16.89 m/s 168 CAPITULO 6 5.34 Una caja se encuentra en reposo sobre la plataforma de un camión en movimiento. El coeficiente de fricción estática entre la caja y el camión es de 0.45. El conductor aplica los frenos. Calcular la aceleración máxima para el frenado sin que la caja se deslice hacia adelante. Respuesta: 2 a= 4.41 m/s 5.35 Un camión que transporta una caja se mueve hacia arriba de una pendiente que forma un ángulo de 12º con la horizontal. El coeficiente de fricción estática entre la plataforma del camión y la caja es de 0.45. Calcular la aceleración máxima que puede alcanzar el camión, antes de que la caja se deslice hacia atrás. Respuesta: 2 a= 2.27 m/s 5.36 Un esquiador desciende en trineo por una pendiente de 25º con respecto a la horizontal. Un viento moderado ayuda al movimiento al suministrar una fuerza de 90 N en sentido del movimiento del trineo. La masa combinada de la persona y el trineo es de 78 Kg, y el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve es de 0.17. ¿ Cuánto tiempo se necesita para que el trineo descienda una pendiente de 230 m, a partir del reposo ?. Respuesta: t= 11.03 s 5.37 Un automóvil se desplaza con una velocidad de 28 m/s. Al cabo de 9 s el automóvil disminuye su velocidad a 16 m/s. La masa del automóvil es de 1400 Kg. Determinar la fuerza neta que produce la desaceleración. Respuesta: F= 1866.66 N TRABAJO Y ENERGIA Capítulo 6 Trabajo y Energía - Trabajo - Potencia - Maquinas simples - La palanca - La polea - Polipastos o aparejos - El torno - Conservación de la energía - Fuentes de energía 167 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer el concepto de trabajo. 2. Conocer el concepto de potencia. 3. Relacionar el trabajo y la potencia. 4. Conocer el comportamiento de las máquinas simples. 5. Analizar el comportamiento de las palancas. 6. Analizar el comportamiento de los polipastos y aparejos. 7. Conocer el comportamiento del torno. TRABAJO Y ENERGIA 167 6. Trabajo y Energía 6.1 Introducción La energía es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo. La energía se puede observar cuando se transforma, así un resorte comprimido trata de recobrar su forma primitiva, y una masa de agua embalsada tiende a bajar hasta el nivel del mar. Mientras el metal y el liquido no gocen de libertad para efectuar sus movimientos, contienen energía potencial. Cuando se dejan en libertad el resorte o el agua, la energía se convierte en energía cinética. La energía cinética y la energía potencial son dos formas diferentes de la energía mecánica, cuando la una disminuye, la otra aumenta de tal forma que la suma de ambas es constante. 6.2 Trabajo El trabajo es el resultado de desplazar un cuerpo a cierta distancia. Cuando se levanta un cuerpo se produce trabajo, mientras más pesada es la carga, mayor será el trabajo realizado. De la misma forma, cuando se arrastra un cuerpo hasta cierta distancia, se produce trabajo. El trabajo es el producto de la fuerza por el desplazamiento Trabajo = fuerza x distancia W=fxd Cuando se trata de levantar un peso, el trabajo es el producto del peso por la altura. Trabajo= Peso x altura W= P x h 168 CAPITULO 6 Las unidades de trabajo en el sistema internacional (S.I) son el Newton x metro. 1 Newton x metro= 1 Joule (J) Se denomina Joule en honor de James Joule (1818-1889) por sus investigaciones sobre trabajo, energía y calor. Cuando la fuerza está inclinada, el trabajo se calcula con la componente paralela al desplazamiento, tal como se indica en la figura siguiente: El trabajo que hace la fuerza es: W= Fx . dx En donde, Fx= F cos dx= desplazamiento en el eje x. El trabajo es positivo si la componente Fx tiene la misma dirección que el desplazamiento, y negativo si tienen dirección contraria. Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo ya que no hay componente de la fuerza paralelo al desplazamiento. 6.3 Potencia La potencia es la rapidez con la que se puede realizar un trabajo La potencia de un mecanismo es igual al trabajo realizado por unidad de tiempo. TRABAJO Y ENERGIA 167 Trabajo Potencia = ---------------Tiempo W P = ------t Si se reemplaza el trabajo por, w = f x d se obtiene: Fxd P = --------------t d P = F x -----t Se sabe que la velocidad es igual al desplazamiento sobre el tiempo: d V = ------t Por lo tanto, la fórmula de potencia se convierte en: Potencia = Fuerza x velocidad P=FxV De acuerdo a la anterior definición, se tiene que una máquina con una potencia fija, la fuerza ejercida será mayor cuanto menor sea la velocidad del cuerpo. En un automóvil es mayor la fuerza cuando se sube una pendiente en un cambio pequeño, por ejemplo en primera, donde la velocidad es menor y el motor aplica la máxima fuerza posible. 168 CAPITULO 6 Las unidades de potencia en el sistema internacional (S.I) se expresan en: Nxm --------- , o en vatios (watt) seg 1 N x m / s = 1 watt De acuerdo a la práctica, se han establecido otras unidades: - El Kilovatio (kilowatt) Kw = 1000 w - El caballo de vapor ( C.V ) 75 Kg m 1 C.V = --------------- = 735 w seg. - El caballo fuerza ( H.P ) 1 H.P = 76 Kg m /seg = 746 w = 550 lb pie/seg. 6.4 Máquinas simples Una máquina simple es un dispositivo que modifica una fuerza o un peso, ya sea en su magnitud, dirección o sentido. Las máquinas se pueden clasificar en simples y compuestas. Las máquinas simples son aquellas que constan de partes elementales, tales como la polea y el torno. Las máquinas compuestas son las que están formadas por varias máquinas simples, tales como los polipastos o aparejos. En las máquinas se llama “fuerza motriz” (F) a la fuerza que se aplica y “Resistencia” (Q) a la fuerza que se ha de vencer. En el funcionamiento de una máquina es muy importante conseguir una ventaja mecánica y un rendimiento. TRABAJO Y ENERGIA 167 La ventaja mecánica (V.M) es la relación entre la fuerza ejercida por la máquina y la resistencia, cuando el dispositivo está en equilibrio. Resistencia vencida Ventaja mecánica = -----------------------------Fuerza aplicada Q V.M = --------F 6.4.1 La Palanca La palanca es una barra fija que puede moverse alrededor de un punto de apoyo. Sobre la palanca actúan dos fuerzas, la fuerza aplicada y la resistencia vencida. Según la posición del punto de apoyo respecto a la fuerza y a la resistencia, las palancas se clasifican en: primer género, segundo género y tercer género. a) Palancas de primer género: son aquellas en donde el punto de apoyo se localiza entre la fuerza y la resistencia. Ejemplo: Las tijeras , las tenazas, el alicate, etc. 168 CAPITULO 6 La fórmula que relaciona el equilibrio es: Qb=Fa La ventaja mecánica es: Q a V.M = -------- = ------F b b) Palancas de segundo género: son aquellas en donde la resistencia se encuentra entre el apoyo y la fuerza ejercida. Ejemplo: La cizalla, la guillotina, etc. La fórmula que relaciona el equilibrio es: Qb=Fa La ventaja mecánica es: Q a V.M = -------- = ------F b TRABAJO Y ENERGIA 167 c) Palancas de tercer género: Son aquellas en donde la fuerza se encuentra en medió del apoyo y la resistencia. Ejemplo: El pedal de la máquina de coser, las pinzas, etc. En cualquiera de los tres géneros el equilibrio se logra cuando la suma de los momentos estáticos es igual a cero. Fa–Qb=0 Fa=Qb Qb F = ----------A La ventaja mecánica es: Q a V.M = -------- = ------F b 168 CAPITULO 6 6.4.2 La Polea La polea es un disco móvil, acanalado en su circunferencia que gira alrededor de un eje central. Se distinguen dos clases de poleas: a) Polea fija: Con este tipo de polea el eje O no cambia de posición cuando gira la polea. Por equilibrio se tiene: Fr=Qr de donde, F=Q La ventaja mecánica de la polea fija es: Q Q V.M = -------- = --------- = 1 F Q Esto indica que la polea fija no presenta ninguna ventaja al subir un peso, su utilidad consiste en cambiar la dirección de la fuerza para comodidad del operario. TRABAJO Y ENERGIA 167 b) Polea móvil: Con este tipo de polea la tracción aplicada al cable origina el desplazamiento de la polea y de la armadura. Por equilibrio se tiene: F x 2r = Q r Q F = -------2 La ventaja mecánica de la polea móvil es: Q Q V.M = --------- = ---------- = 2 F Q/2 6.4.3 Polipastos o aparejos: Son la combinación de varias poleas fijas y móviles, con el objeto de formar un sistema que presente una ventaja apreciable. Los aparejos más conocidos son los siguientes: 168 CAPITULO 6 a) Aparejo factorial: Es aquel que combina igual número de poleas fijas y móviles. La fuerza que se debe realizar es: Q F = ------n Donde n es el número total de poleas de que está construido el aparejo. La ventaja mecánica es: Q V.M = -------F TRABAJO Y ENERGIA 167 b) Aparejo potencial: En este aparejo se combinan un número cualquiera de poleas móviles con una fija. La fuerza necesaria viene dada por: Q F = ---------2n Donde n es el número de poleas móviles La ventaja mecánica es: Q V.M = --------F 168 CAPITULO 6 c) Aparejo diferencial: Este aparejo consta de una doble polea fija, de radios diferentes y una polea móvil, dichas poleas se encuentran enlazadas por una cadena sin fin o cerrada. La fuerza a realizar viene dada por: Q(R–r) F = --------------2R La ventaja mecánica es: Q V.M = --------F TRABAJO Y ENERGIA 167 6.4.4 El Torno: Consiste en un cilindro horizontal y de radio pequeño en uno de cuyos extremos va una manivela de radio mayor que el cilindro. En la siguiente figura se muestra una vista lateral: La fuerza necesaria es: Q r F = ---------R La ventaja mecánica es: F r V.M = --------- = ----------Q R 168 CAPITULO 6 6.5 Conservación de la energía. El estudio de las diversas formas de energía y sus transformaciones entre sí ha conducido a una de las grandes teorías de la física: La ley de la conservación de la energía. La energía no se crea ni se destruye, se transforma. 6.6 Fuentes de energía. La fuente de energía mas importante en nuestro planeta es el sol. La forma más concentrada de energía útil está en el uranio y el plutonio, que son los combustibles nucleares. La energía geotérmica, como la solar, eólica e hidráulica, es amigable al ambiente. La energía nuclear no contamina la atmósfera, es muy perjudicial por los desechos nucleares que genera. Una de las formas más controvertidas e importantes de la energía, es la energía nuclear. Las investigaciones de varios científicos, entre ellos Albert Einstein, condujeron al descubrimiento de que la masa en sí es una 2 manifestación de la energía. La muy conocida ecuación de Einstein, E= m c , explica como se relacionan la masa m y la energía E , en donde c es la 8 velocidad de la luz, cuyo valor es de 3.0 x 10 m/s. Debido a que la velocidad de la luz es tan alta, una masa pequeña puede producir grandes cantidades de energía. Ejemplo 6.1 Calcular el trabajo que realiza un cuerpo cuando se desplaza una distancia de 8.5 m, si la fuerza que actúa es de 34 N. Solución: W=Fxd W = 34 N x 8.5 m = 289 N-m 1 N-m = 1 Joule W= 289 J TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 6.2 Calcular la distancia recorrida por un cuerpo al que se le aplica una fuerza de 7 N, si el trabajo efectuado es de 48 N-m. Solución: W=Fxd W d = ----------F 48 N-m d = --------------7N d = 6.857 m Ejemplo 6.3 Calcular el trabajo que realiza un hombre que sube 20 sacos de cemento de 50 Kg cada uno, hasta el tercer piso de una construcción situada a 8 metros de altura con respecto a la calle. Solución: W = Peso x altura. 2 Peso = 20 x 50 Kg x 9.81m/s = 9810 N W = 9810 N x 8 m W= 78480 J Ejemplo 6.4 Un camión de 10 toneladas va a una velocidad de 36 Km./h. Qué trabajo realiza el camión por hora si ejerce una fuerza de propulsión de 40.000 N. Solución: W=Fxd W = 40.000 N x 36 Km W = 40.000 N x 36.000 m W = 1.440.000 KN-m 168 CAPITULO 6 Ejemplo 6.5 Calcular el trabajo que realiza un hombre que arrastra un peso de 45 N a lo largo del piso a una distancia de 20 m, ejerciendo una fuerza de 26 N y que después lo sube a un andamio situado a 1.70 m del suelo. Solución: Trabajo en el piso: W=Fxd W = 26 N x 20 m = 520 N–m Trabajo en el andamio: W=Pxh W = 45 N x 1.7 m = 76.50 N-m El trabajo total es la suma de los dos: W = 520 + 76.50 = 596.50 N - m W = 596.50 N – m W = 596.50 J Ejemplo 6.6 Para mover el bloque de la figura es necesario ejercer una fuerza de 40 N, inclinada a 30º. Calcular el trabajo que se ejerce cuando el bloque se desplaza 16 metros. TRABAJO Y ENERGIA 167 Solución: El trabajo de una fuerza inclinada lo ejerce la componente paralela al desplazamiento, en este caso es la componente Fx. Fx= 40 N cos 30º , Fx= 34.64 N El trabajo realizado es: W= Fx . dx W= 34.64 N x 16 m W= 554.26 J Ejemplo 6.7 Calcular la potencia que desarrolla un hombre que sube un saco de cemento a un andamio de 2.4 m, si realiza la acción en 7 segundos. Solución: El trabajo realizado es: W = 50 Kg x 9.81 m/s2 x 2.4 m W = 1177.2 J La potencia desarrollada es: W P = ----------T 1177.2 N-m P = ------------------- = 168.17 N–m / seg. 7 seg. P = 168.17 N–m / seg 1 Joule/s = watt P = 168.17 watt 168 CAPITULO 6 Ejemplo 6.8 Calcular la potencia de un motor si desarrolla una fuerza de tracción de 95 N, cuando la velocidad del vehículo es de 85 Km/h. Solución: V = 85 Km/h 85 x 1000 m V = ------------------- = 23.61 m/seg. 3600 seg. La potencia es: P=FxV P = 95 N x 23.61 m/seg = 2243.05 N-m / seg. P = 2243.05 J/s P = 2.24 Kw Ejemplo 6.9 Un motor de un ascensor tiene una potencia de 3.2 Kw. Con qué velocidad subirá el ascensor, cuyo peso es de 950 N ? Solución: La potencia es: P=FxV La velocidad es: P 3200 watt 1 N-m/s V = ------- = ------------------ x ---------------F 950 N 9.81 watt V = 0.34 m/s. TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 6.10 Cuál es la potencia de un motor que eleva 60 litros de agua por minuto a una altura de 8 m ? Solución: El trabajo realizado es: W=Pxh 2 W = 60 Kg x 9.81 m/s x 8 m = 4708.8 N-m La potencia es: W 4708.8 N-m P = ---------- = -----------------T 60 seg. P = 78.48 watt Ejemplo 6.11 En los extremos de una palanca de primer género hay dos pesos de 25 N y 40 N. En dónde se encuentra el punto de apoyo si la palanca mide 150 cm y se encuentra en equilibrio ? Solución: La palanca se muestra en la siguiente figura: Qxb=Fxa b = 150 cm – a Q ( 150 cm – a ) = F x a 168 CAPITULO 6 40 ( 150 – a ) = 25 x a 6000 – 40 a = 25 a 25 a + 40 a = 6000 65 a = 6000 a = 6000/65 a= 92.31 cm b= 57.69 cm Ejemplo 6.12 Una palanca de segundo género tiene un peso de 60 N, localizado a 45 cm del punto de apoyo. Cuál será la longitud de la palanca, si una fuerza de 35 N establece el equilibrio ? Solución: La palanca se muestra en la siguiente figura: Qb=Fa 60 x 45 = 35 x a 60 x 45 a = ---------------- = 77.14 cm 35 a = 77.14 cm (La longitud de la palanca es de 77.14 cm) TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 6.13 Una palanca de tercer género mide 120 cm. Si a 70 cm del punto de apoyo se hace una fuerza de 50 N. Qué resistencia se podrá equilibrar ? Solución: La palanca se muestra en la siguiente figura: Qb=Fa Fa Q = -------b 50 N x 70 cm Q= -------------------120 cm Q= 29.16 N 6.14 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 90 N, con el empleo de un aparejo factorial de 6 poleas. Cuál es su ventaja mecánica ? 168 CAPITULO 6 Solución: Q F = ---------n 90 N F = ---------6 F = 15 N 90 V.M= -------15 V.M= 6 Ejemplo 6.15 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 600 N, con el empleo de un aparejo potencial, el cual tiene 5 poleas móviles. Solución: Q F = ---------2n TRABAJO Y ENERGIA 167 n= número de poleas móviles n=5 600 N F = -------------25 600 N F = -------------32 F = 18.75 N Ejemplo 6.16 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 800 Kg, con el empleo de un aparejo diferencial, el cual tiene radios de 30 y 12 cm. Solución: Q(R–r) F = -----------------2R 800 N ( 30 – 12 cm ) F = --------------------------------2 ( 30 cm ) F = 240 N 168 CAPITULO 6 Ejemplo 6.17 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 85 N, con el empleo de un torno, el cual tiene como radios 15 y 32 cm. Solución: Qr F = ---------R 85 N x 15 cm F = ---------------------32 cm F = 39.84 N 15 cm V.M = ----------32 cm V.M = 0.468 TRABAJO Y ENERGIA 167 EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 Calcular el trabajo que realiza un cuerpo cuando se mueve 12 m, si la fuerza que actúa es de 68 N. Respuesta: W= 816 N-m 6.2 Calcular la distancia recorrida por un cuerpo al que se le aplica una fuerza de 20 N, si el trabajo efectuado es de 76 Joules. Respuesta: d= 3.8 m 6.3 Calcular el trabajo que realiza un hombre que sube 10 sacos de cemento de 50 Kg cada uno, hasta el tercer piso de una construcción situada a 8 metros de altura con respecto a la calle. Respuesta: W= 39200 N-m 6.4 Un camión de 12 toneladas va a una velocidad de 45 Km./h. Qué trabajo realiza el camión en media hora, si ejerce una fuerza de propulsión de 18.000 N. Respuesta: W= 405 KN-m 6.5 Calcular el trabajo que realiza un hombre que arrastra un peso de 75 N a lo largo del piso a una distancia de 20 m, ejerciendo una fuerza de 38 N y que después lo sube a un andamio situado a 1.30 m del suelo. Respuesta: W= 857.5 N-m 6.6 Calcular la potencia que desarrolla un hombre que sube un saco de cemento a un andamio de 2.2 m, si realiza la acción en 7 segundos. Respuesta: P= 154 watt 168 CAPITULO 6 6.7 Calcular la potencia de un motor si desarrolla una fuerza de tracción de 780 N, cuando la velocidad del vehículo es de 65 Km/h. Respuesta: P= 14.08 Kw 6.8 Un motor de un ascensor tiene una potencia de 8 Kw. Con qué velocidad subirá el ascensor, cuyo peso es de 3400 N ? Respuesta: V= 2.35 m/s 6.9 Cuál es la potencia de un motor que eleva 40 litros de agua por minuto a una altura de 8.5 m ? Respuesta: P= 55.53 watt 6.10 En los extremos de una palanca de primer género hay dos pesos de 35 y 54 N. En dónde se encuentra el punto de apoyo, si la palanca mide 140 cm y se encuentra en equilibrio ? Respuesta: a= 84.94 cm 6.11 En los extremos de una palanca de primer género hay dos pesos de 37 y 66 N. En dónde se encuentra el punto de apoyo, si la palanca mide 130 cm y se encuentra en equilibrio ?. La palanca pesa 6 N. Respuesta: a= 82.29 cm 6.12 Una palanca de segundo género tiene un peso de 78 N, localizado a 35 cm del punto de apoyo. Cuál será la longitud de la palanca, si una fuerza de 24 N establece el equilibrio ? Respuesta: L= 113.75 cm TRABAJO Y ENERGIA 167 6.13 Una palanca de segundo género tiene un peso de 86 N, localizado a 45 cm del punto de apoyo. Cuál será la longitud de la palanca, si una fuerza de 32 N establece el equilibrio ?. La palanca pesa 2 N. Respuesta: L= 124.83 cm 6.14 Una palanca de tercer género mide 145 cm. Si a 60 cm del punto de apoyo se hace una fuerza de 30 N. Qué resistencia se podrá equilibrar ? Respuesta: Q= 12.41 N 6.15 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 120 N, con el empleo de un aparejo factorial de 6 poleas. Cuál es su ventaja mecánica ? Respuesta: F= 20 N 6.16 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 480 N, con el empleo de un aparejo potencial, el cual tiene 5 poleas móviles. Cuál es su ventaja mecánica ? Respuesta: F= 15 N 6.17 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 450 N, con el empleo de un aparejo diferencial, el cual tiene radios de 30 y 14 cm. Cuál es su ventaja mecánica ? Respuesta: F= 120 N 6.18 Calcular la fuerza necesaria para elevar un peso de 48 N, con el empleo de un torno, el cual tiene como radios 20 y 42 cm. Cuál es su ventaja mecánica ? Respuesta: F= 22.86 N 168 CAPITULO 6 6.19 Calcular la fuerza necesaria para sacar un recipiente con 20 litros de agua de un pozo, con el empleo de un torno, el cual tiene como radios 18 y 35 cm. El recipiente vacío pesa 4 N. Respuesta: F= 102.96 N 6.20 Se quiere sacar agua de un pozo con el empleo de un torno. El recipiente lleno tiene una capacidad de 15 litros. Diseñar el torno para que la fuerza sea pequeña y una persona pueda sacar el agua con poco esfuerzo. El recipiente pesa 5 N. Respuesta: Respuesta libre 6.21 Se quiere sacar agua de un pozo con el empleo de un torno. El recipiente lleno pesa 230 N. Diseñar el torno para que la fuerza sea de 28 N. Respuesta: Respuesta libre 6.22 Se quiere levantar un peso de 1200 N con el empleo de un aparejo, recomendar y diseñar el aparejo para que un hombre pueda levantar el peso con poco esfuerzo. Respuesta: Respuesta libre 6.23 Se quiere levantar un peso de 1650 N con el empleo de un aparejo, recomendar y diseñar el aparejo para que un hombre pueda levantar el peso con una fuerza de 120 N. Respuesta: Respuesta libre TRABAJO Y ENERGIA 167 Capítulo 7 Mecánica de Fluidos - Propiedades de los fluidos - Viscosidad - Densidad - Peso especifico - Densidad relativa - Presión - Estática de los fluidos - Aparatos para medir la presión - Dinámica de fluidos - Flujo - Gasto o caudal 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer las propiedades de los fluidos. 2. Analizar la presión en un fluido sumergido. 3. Conocer la ecuación básica de la estática de los fluidos. 4. Conocer los conceptos de la dinámica de los fluidos. 5. Conocer el concepto de gasto o caudal. 6. Analizar la ecuación de continuidad. 7. Analizar la ecuación de Bernoulli. 8. Conocer el principio de Torricelli. TRABAJO Y ENERGIA 167 7. Mecánica de Fluidos 7.1 Introducción Un fluido es una sustancia capaz de fluir, debido a la poca cohesión que presentan sus moléculas. Con el nombre de fluidos se denominan los líquidos y los gases. Debido a la poca cohesión de sus moléculas, los fluidos adoptan la forma del recipiente que los contiene. La mecánica de fluidos estudia la estática y la dinámica; la estática se refiere a los fluidos en reposo y la dinámica a los fluidos en movimiento. 7.2 Propiedades de los Fluidos Las principales propiedades de los fluidos son las siguientes: 7.2.1 Viscosidad: Es aquella propiedad por la cual un fluido ofrece resistencia al corte. 7.2.2 Densidad La densidad de un material homogéneo se define como su masa por unidad 3 de volumen. Sus unidades son el kilogramo por metro cúbico (Kg/m ) en el sistema internacional (SI). La densidad se representa con la letra griega (rho): m = -------, V m=xV En la tabla 7.1 se muestran los valores de la densidad de algunas sustancias a temperatura ambiente. 168 CAPITULO 6 Tabla 7.1 Densidad de algunos materiales. Material Acero Aluminio Cobre Hielo Hierro Latón Oro Plata Densidad 3 (Kg/m ) 7800 2700 8900 920 7800 8600 19300 10500 Material Platino Plomo Agua Agua de mar Alcohol etílico Benceno Glicerina Mercurio Densidad 3 (Kg/m ) 21440 11340 1000 1030 810 900 1260 13600 7.2.3 Peso especifico El peso especifico de una sustancia es su peso por unidad de volumen. w = -----V El peso específico cambia con el lugar, dependiendo del valor de la gravedad. Para efectos prácticos, el peso específico del agua se considera de 1000 Kg/m3 7.2.4 Densidad relativa (S) La densidad relativa de una sustancia es la relación entre su densidad y la del agua. S = ----------- Agua 7.2.5 Presión La presión es la fuerza normal que ejerce un fluido sobre una superficie. F P=---------A TRABAJO Y ENERGIA 167 7.3 Estática de los Fluidos La estática de los fluidos estudia el comportamiento de éstos, cuando están en reposo o en movimiento. 7.3.1 Presión en un punto Un líquido contenido en un recipiente ejerce fuerzas contra las paredes de éste. A medida que aumenta la profundidad, aumenta la presión; por lo tanto, la presión no depende de la cantidad del líquido, sino de la profundidad de éste. La presión en cualquier punto de una vasija abierta se calcula con la formula: P = Pa + g h. donde: P = Presión Pa = Presión atmosférica = densidad del fluido g = gravedad h = profundidad del líquido. 7.3.2 Principio de Pascal. El principio de Pascal se expresa de la siguiente manera: La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminución a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente que lo contiene. El funcionamiento de la prensa hidráulica o del gato hidráulico, se basa en el principio de Pascal. Un pistón de sección transversal pequeña se emplea para ejercer una fuerza pequeña f directamente sobre un líquido, como aceite. La presión se transmite a lo largo de un tubo de conexión a un cilindro mayor provisto de un pistón mayor de área A. Como la presión es la misma en ambos cilindros, se obtiene: f F P = --------- = -------a A de donde, A F = ------ f a 168 CAPITULO 6 De donde se deduce que la prensa hidráulica es un dispositivo que multiplica la fuerza por un factor de multiplicación igual a la razón de las áreas de los dos pistones. 7.3.3 Ecuación básica de la estática de fluidos La ecuación básica define la variación de la presión en un fluido en reposo. La ecuación básica es: P=h Donde, P = Presión = Peso específico h = altura Esta ecuación relaciona el cambio de presión con el peso específico y el cambio de elevación. Entre mayor profundidad, mayor presión. Si se quiere expresar la presión en términos de la densidad, la fórmula se convierte en: P=gh Donde, P = Presión = Densidad g= gravedad h = altura 7.3.4 Principio de Arquímedes El principio de Arquímedes dice que cuando un cuerpo se sumerge en un líquido, éste ejerce sobre el cuerpo una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desalojado por él. TRABAJO Y ENERGIA 167 7.4 Aparatos para medir la presión Los principales aparatos para medir la presión son: 7.4.1 Manómetros Es un dispositivo usado para medir la presión de un gas. El más sencillo es un manómetro de tubo abierto en forma de U que contiene un líquido; en un extremo está la presión p que se desea hallar, mientras que el otro está en comunicación con la atmósfera a la presión Pa. El barómetro de mercurio es un tubo largo de vidrio que se llena de mercurio y se invierte en una cubeta que contiene también mercurio. El espacio situado por encima de la columna de mercurio sólo contiene vapor de mercurio, cuya presión, a temperatura ambiente, es tan pequeña que puede despreciarse. La unidad más utilizada para medir la presión en el sistema internacional 2 es el pascal (Pa), que es igual a un Newton por metro cuadrado (1N/m ). Otra 5 unidad relacionada es un bar, que se define como 10 Pa. Ejemplo 7.1 La masa de un bloque de acero es de 6 Kg y su densidad de 7800 Kg/m3. El bloque está suspendido de un cable. Determinar la tensión en el cable cuando el bloque se encuentra en el aire, y cuando se encuentra completamente sumergido en agua. Solución: La tensión del cable es igual al peso del bloque: T = W, W=mg T=mg T = (6 Kg)(9.80 m/s2) T= 58.8 N Cuando se sumerge en agua, el bloque experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del agua desalojada. Para hallar éste, puede calcularse primero el volumen del bloque de acero. 168 CAPITULO 6 M 6 Kg V = ---------- = ---------------------- = 0.000769 m3 7800 Kg/m3 El peso del volumen de agua es: W=mg W = (V) g = ( 1000 Kg/m3)(0.000769 m3)(9,80 m/s2) W = 7.54 N La tensión en la cuerda es el peso real menos el empuje, es decir, T = 58.8 N – 7.54 N T= 51.26 N Ejemplo 7.2 El pistón de un elevador hidráulico de automóviles tiene 30 cm de diámetro. Qué presión se necesita para elevar un carro de 1400 Kg de masa ? Solución: La presión es: F P = ------A El área del pistón es: A = r2 = 3.14 ( 0.15 m)2 = 0.07068 m2 El peso o fuerza es: F = m x g = 1400 Kg x 9.80 m/s2 = 13720 N La presión es: F 13720 N P = ------- = ----------------- = 194114,32 N/m2 A 0.07068 m2 P = 194114,32 Pa TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 7.3 El tanque de la figura contiene agua con una profundidad de 3.2 m. Calcular la presión en el fondo del tanque. Solución: La masa del agua es de 1000 Kg. El peso del agua en el sistema internacional es: W = m g = 1000 Kg x 9.80 m/s2 = 9800 N La presión en el fondo del tanque es: P=gh 3 2 P = (1000 Kg/m )(9.80 m/s )(3.2 m) P = 31360 N/m2 2 1 N/m = 1 Pa P= 31360 Pa 168 CAPITULO 6 Ejemplo 7.4 En la figura se muestra una compuerta plana sumergida en agua. Calcular la presión que el agua ejerce sobre la compuerta en los puntos A y B. Solución: La presión en el punto A es: PA = g h 3 2 PA = (1000 Kg/m )(9.80 m/s )(2.4 m) PA = 23520 N/m2 PA = 23520 Pa La presión en el punto B es: PB = g h 3 2 PB = (1000 Kg/m )(9.80 m/s )(4.2 m) PB = 41160 N/m2 PB = 41160 Pa La gráfica de presiones sobre la compuerta se denomina prisma de presiones. TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 7.5 Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una pared de una piscina de 1.8 m de profundidad. La pared tiene una sección de 1.8 m x 6 m. Solución: La presión en la superficie es nula. Se calcula la presión en el fondo de la piscina. PB = g h PB = (1000 Kg/m3)(9.80 m/s2)(1.8 m) PB = 17640 N/m2 PB = 17640 Pa Se calcula la fuerza en la pared: F P = ------A F=PxA La presión tiene forma de un triángulo, por lo tanto, la fuerza es igual al área del triángulo. 2 17640 N/m x 1.8 m x 6.0 m F = --------------------------------------2 F = 95256 N La fuerza se localiza en el centroide del triángulo: 168 CAPITULO 6 Ejemplo 7.6 Una balsa rectangular de madera mide 6.0 m x 3.0 m y tiene un espesor de 0.40 m. La densidad de la madera es de 680 Kg/m3. Determinar: a) Si la balsa flota en el agua. b) Si la balsa flota, calcular el espesor que permanece dentro del agua. Solución: a) Para determinar si la balsa flota, se compara el peso con la máxima fuerza de flotación posible. El peso de la balsa es: Peso= densidad x volumen W= x V 3 2 W= (680 Kg/m ) (6.0 m x 3.0 m x 0.4 m)(9.80 m/s ) W= 47980.8 N La fuerza de flotación (F) es igual al peso del volumen de agua desalojado, suponiendo que toda la balsa este sumergida. F= d x V F= (1000 Kg/m3)(6.0 m x 3.0 m x 0.4 m)(9.80 m/s2) F= 70560 N La fuerza de flotación es mayor que el peso de la balsa, por lo tanto ésta flotará en el agua. TRABAJO Y ENERGIA 167 b) El valor del espesor (h) que permanece sumergido en el agua, se calcula suponiendo que la fuerza de flotación equilibra el peso de la balsa. d V g = 47.980,8 N 3 (1.000 Kg/m )(6,0 m x 3,0 m x h) g = 47.980,8 N 47.980,8 N h = ----------------------------------------(1.000 Kg/m3)(6,0 m x 3,0 m) g 47.980,8 N h = -----------------------------------------------------(1.000 Kg/m3)(6,0 m x 3,0 m)(9,80 m/s2) h= 0,272 m Ejemplo 7.7 Un corcho tiene un volumen de 12 cm3 y una densidad de 240 Kg/m3. Calcular el volumen del corcho que se encuentra sumergido, cuando éste flota en el agua. Solución: El peso del corcho es: Wc = g h Wc = 240 Kg/m3 (9,8 m/s2) (0,000012 m3)= 0,028 Kg Como el corcho flota, su peso es igual al peso del agua desplazada, es decir, Wc = W agua = agua V agua g El volumen del agua desplazada es igual al volumen del corcho sumergido en el agua, por lo tanto: Wc 0,028 Kg V agua = -------------- = ---------------------------------- = 0,00000288 m3 agua g 1.000 Kg/m3 (9,8 m/s2) El volumen del corcho sumergido en el agua es igual a: Vc=2,88 cm3 168 CAPITULO 6 7.5 Dinámica de los fluidos La dinámica de los fluidos se refiere al estudio de los fluidos en movimiento. Algunas de las características de un fluido real, se pueden entender considerando el comportamiento de un fluido ideal. Un fluido ideal debe cumplir las siguientes propiedades: a) Fluido incompresible: Esta propiedad garantiza que la densidad del fluido sea constante. b) Flujo estable: Esta propiedad indica que la velocidad del fluido en movimiento, en cualquier punto, no cambia con el tiempo. c) Fluido no viscoso: Es un fluido en el que no se toma en cuenta la fricción interna. d) Flujo irrotacional: Es aquel que no presenta movimientos de rotación, solo de traslación. 7.5.1 Flujo El movimiento continuo de líquidos o gases por tuberías o canales, recibe el nombre de flujo. La velocidad de un fluido se define como la distancia que recorre por unidad de tiempo. Su magnitud es igual a la velocidad de un objeto que se mueve en el fluido. distancia Velocidad = --------------tiempo Ejemplo 7.8 El oleoducto de Alaska tiene una extensión de 1.296 Km. El petróleo crudo se bombea a una velocidad de 0,35 m/s. Calcular el tiempo que se demora el petróleo para alcanzar el otro extremo. Solución: La ecuación de la velocidad es: d V = ------t TRABAJO Y ENERGIA 167 Se despeja el tiempo: d t = -------v 1.296 Km 1’296.000 m t = ----------------- = -------------------- = 3’702.857,14 s 0,35 m/s 0,35 m/s t = 42,86 días. 7.5.2 Gasto o caudal El gasto o caudal es el volumen de líquido que circula por unidad de tiempo a través de una sección transversal. La ecuación para el gasto o caudal es: V Q = -------T Q = gasto o caudal. V = volumen del líquido. t = tiempo que tarda en fluir el líquido Es evidente que el caudal de un fluido crece si aumenta la velocidad del fluido. Sin embargo, existe otro factor que determina el valor del caudal, el área de la sección transversal del tubo por donde circula el fluido. Estas consideraciones se pueden ver en la siguiente ecuación: Q= v A Q = gasto o caudal. v = velocidad A = área de la sección transversal 168 CAPITULO 6 Ejemplo 7.9 Calcular el caudal de una tubería, si en tres minutos se llena un tanque con una capacidad de 80 litros de agua. Solución: La ecuación de caudal es: V Q = -------t V 80 litros Q = -------- = ---------------- = 26,66 litros/min t 3 minutos Ejemplo 7.10 2 Calcular la velocidad del agua que circula por un tubo de 5 cm de sección transversal, si el tubo conduce un caudal de 25 litros por minuto. Solución: La ecuación de caudal es: Q=vA Q v = -------A 25 Litros/min v = ---------------------5 cm2 3 0,025 m /min v = ------------------0,0005 m2 v = 50 m/min v = 0,833 m/s TRABAJO Y ENERGIA 167 7.5.3 Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad es una expresión matemática del hecho de que la velocidad neta de flujo de masa por unidad de tiempo hacia el interior, a través de cualquier superficie cerrada, es igual al aumento de masa por unidad de tiempo dentro de la superficie. El volumen comprendido entre A1 y A2 es constante y, dado que el flujo es estacionario, la masa que sale ha de ser igual a la que entra. Por lo tanto, A1V1 t = A2V2 t o bien, A1V1 = A2V2 De aquí se deduce que cuando la sección del tubo disminuye, la velocidad aumenta. Ejemplo 7.11 Por un tubo de 10 cm de diámetro fluye agua a una velocidad de 6 m/s. El tubo está conectado a otro de 4 cm de diámetro. Calcular la velocidad del agua a la salida del tubo pequeño. De la ecuación de continuidad: A1 v1 = A2 v2 Las áreas son: A1= r2 = (5)2 = 78,54 cm2 A2= r2 = (2)2 = 12,57 cm2 78,54 cm2 ( 6 m/s) = 12,57 cm2 ( v2 ) v2 = 78,54 cm2 ( 6 m/s) /12,57 cm2 v2 = 37,49 m/s 168 CAPITULO 6 7.5.2 Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli relaciona la velocidad, la presión y la elevación de un fluido en movimiento, en cualquier punto de su recorrido. Con respecto a estas tres variables, se hacen la siguientes consideraciones: a) Siempre que un fluido se desplace en un tubo horizontal, y se encuentre una región donde se reduce la sección transversal, entonces hay una caída de presión del fluido. Así, en un tubo horizontal, hay una caída de presión siempre que aumenta la velocidad del fluido; si la velocidad disminuye, la presión aumenta. El cambio exacto de presión está dado por la ecuación de Bernoulli. b) Si el fluido se somete a un aumento de elevación, la presión en la parte baja es mayor que la presión en la parte alta. Este hecho es cierto siempre que no cambie la sección transversal del tubo. La ecuación de Bernoulli dice que para dos puntos cualquiera, la presión, la velocidad y la elevación se relacionan con la siguiente expresión: P1 + g h1 + ½ v12 = P2 + g h2 + ½ v22 TRABAJO Y ENERGIA 167 7.5.3 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli 1) Las ecuaciones de la hidrostática son casos especiales de la ecuación de Bernoulli, cuando la velocidad es nula en todos los puntos. Así, cuando V1 y V2 son cero, la ecuación se reduce a: P1 - P2 = g( h2 – h1) 2) Cuando el tubo es horizontal, todas sus partes tienen la misma elevación, es decir, (h1 = h2), la ecuación se puede reducir a: P1 + ½ v12 = P2 + ½ v22 Ejemplo 7.12 2 Una tubería horizontal de 80 cm de área en su sección 1, tiene un estrechamiento en la sección 2 con un área de 45 cm2. La velocidad del agua en la sección 1 es de 4 m/s a una presión de 2.2 MPa. Determinar la velocidad y la presión en el estrechamiento de la tubería. Solución: Para encontrar la velocidad en el punto 2 (v2) se aplica la ecuación de continuidad: A1V1 = A2V2 A1V1 V2 = ----------A2 80 cm2 x 4 m/s V2 = ------------------------45 cm2 V2 = 7,11 m/s 168 CAPITULO 6 Para determinar la presión en el punto 2 (P2) se emplea la ecuación de Bernoulli. P1 + ½ v12 = P2 + ½ v22 Se despeja P2: P2 = P1 + ½ v12 - ½ v22 P2 = 2,2 MPa + ½ (1.000 Kg/m3) ( 4 m/s)2 - ½ ( 1.000 Kg/m3) ( 7,11 m/s )2 P2 = 2,2 MPa + 8.000 Pa – 25.276,05 Pa P2 = 2,2 MPa + 0,008 MPa – 0,02527 MPa P2 = 2,18 MPa 7.5.4 Principio de Torricelli En las plantas industriales se usan grandes recipientes abiertos con líquidos y se desea conocer la velocidad de salida del liquido por un orificio localizado en la parte baja del recipiente. El principio de Torricelli se utiliza para determinar la velocidad de salida del líquido por un orificio y con este valor, y el área del orificio se puede determinar el caudal, el cual permite conocer el tiempo que se demora en vaciarse el recipiente. El principio de Torricelli se deduce al aplicar la ecuación de Bernoulli a un recipiente abierto a la presión atmosférica, el cual tiene un orificio pequeño en la parte inferior. TRABAJO Y ENERGIA 167 Sobre la superficie la presión es la atmosférica, la velocidad es casi cero debido a que el líquido baja muy lentamente. Aplicando la ecuación de Bernoulli se obtiene la velocidad de salida: V= 2gh El principio de Torricelli dice: La velocidad del líquido que pasa por un orificio de un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente, partiendo del reposo, de la misma altura h. Ejemplo 7.13 Un gran tanque abierto tiene un orificio de salida en su parte inferior, con un diámetro de 12 cm. La profundidad del agua desde la superficie hasta el orificio es de 4.5 m. Calcular el caudal de agua que sale por el orificio. Solución: Se determina el área del orificio: A = r2 A = ( 6 cm)2 A = 113,09 cm2 La velocidad de salida del agua es: V = 2gh V = 2 (9,8 m/s2) (4,5 m) El caudal a la salida del orificio es: Q = vA Q = (9,39 m/s) (113,09 cm2) Q = 106.191,51 cm3/s Q = 0,106 m3/s V = 9,39 m/s 168 CAPITULO 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 7.1 La masa de un bloque de acero es de 10 Kg y su densidad de 7800 Kg/m3. El bloque está suspendido de un cable. Determinar la tensión en el cable cuando el bloque se encuentra en el aire, y cuando se encuentra completamente sumergido en agua. Respuesta: T1= 98 N T2 = 85.44 N 7.2 La masa de un bloque metálico es de 160 Kg y su densidad de 5200 Kg/m3. El bloque está suspendido de un cable. Determinar el volumen del bloque que debe estar sumergido en agua, para que el cable no se reviente. El cable soporta una tensión máxima de 1400 N. Respuesta: 3 V= 3300 cm 7.3 El pistón de un elevador hidráulico de automóviles tiene 40 cm de diámetro. Qué presión se necesita para elevar un carro de 1550 Kg de masa? Respuesta: P= 120878.18 Pa 7.4 El tanque de la figura contiene agua con una profundidad de 4.1 m. Calcular la presión en el fondo del tanque. Respuesta: P= 40180 Pa TRABAJO Y ENERGIA 167 7.5 En la figura se muestra una compuerta plana sumergida en agua. Calcular la presión que el agua ejerce sobre la compuerta en los puntos A y B. Respuesta: PA= 23.520 Pa PB= 44.100 Pa 7.6 Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una pared de una piscina de 2.1 m de profundidad. La pared tiene una sección de 2.1 m x 8 m. Respuesta: F= 172.872 N 168 CAPITULO 6 Problemas sobre dinámica de fluidos 7.7 Un oleoducto tiene una extensión de 540 Km. El petróleo crudo se bombea a una velocidad de 0,40 m/s. Calcular el tiempo que se demora el petróleo para alcanzar el otro extremo. Respuesta: t= 15,63 días 7.8 Calcular el caudal de una tubería, si en 2 minutos se llena un tanque con una capacidad de 75 litros de agua. Respuesta: Q= 37,5 litros/min 7.9 Calcular la velocidad del agua que circula por un tubo de 20 cm2 de sección transversal, si el tubo conduce un caudal de 45 litros por minuto. Respuesta: v= 0,375 m/s 7.10 Por un tubo de 20 cm de diámetro fluye agua a una velocidad de 8 m/s. El tubo está conectado a otro de 8 cm de diámetro. Calcular la velocidad del agua a la salida del tubo pequeño. Respuesta: v= 50.0 m/s 7.11 Una tubería horizontal de 70 cm2 de área en su sección 1, tiene un estrechamiento en la sección 2 con un área de 25 cm2. La velocidad del agua en la sección 1 es de 5 m/s a una presión de 3.4 MPa. Determinar la velocidad y la presión en el estrechamiento de la tubería. Respuesta: v= 14 m/s P= 3,31 MPa 7.12 Un gran tanque abierto tiene un orificio de salida en su parte inferior, con un diámetro de 7 cm. La profundidad del agua desde la superficie hasta el orificio es de 5.3 m. Calcular el caudal de agua que sale por el orificio. Respuesta: 3 Q= 0,039 m /s TRABAJO Y ENERGIA Capítulo 8 Principios de Electricidad 167 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer los conceptos fundamentales de la electricidad. 2. Conocer las unidades de la electricidad. 3. Analizar la ley de Ohm. 4. Conocer la ley de Watt. 5. Relacionar la ley de Ohm y de Watt. 6. Desarrollar ejercicios prácticos usando estas leyes. TRABAJO Y ENERGIA 167 8. Principios de Electricidad 8.1 Introducción La corriente eléctrica se produce cuando los electrones se desplazan a través de un conductor, se dirigen desde un punto donde hay exceso de ellos hasta un punto con déficit. Las principales unidades de la electricidad son las siguientes: 8.2 Corriente o Intensidad ( I ) La corriente es una medida de la cantidad de electrones que pasan por un punto dado de un circuito, durante un tiempo determinado. La unidad es el amperio. Un amperio equivale al paso de 6,28 x 1018 electrones en un segundo, por un punto dado. La cantidad de corriente que circula a través de un circuito, determina el calibre del conductor, si fluye demasiada corriente por un conductor delgado, este se calienta. Los interruptores y fusibles también dependen de la corriente Para medir la corriente en un circuito eléctrico se usa el amperímetro. 8.3 Voltaje o tensión ( E ) Es una medida de la fuerza electromotriz necesaria para impulsar una corriente por un circuito. La unidad es el voltio. Para medir el voltaje se usa un voltímetro . 8.4 Resistencia ( R ) Es la habilidad para oponerse al paso de la corriente. La unidad es el ohmio. Para medir la resistencia de un circuito se usa un ohmetro 168 CAPITULO 6 8.5 Ley de Ohm La ley de Ohm establece la relación entre el voltaje, la corriente y la resistencia. El triángulo de la ley de ohm indica la relación entre las tres unidades. El triángulo funciona de la siguiente manera: Si se quiere encontrar el voltaje ( E ), se tapa su inicial y el resultado que indica el triángulo es: E=IxR Si se tapa la corriente (I), el resultado es: I=E/R Si se tapa la resistencia (R), el resultado es: R=E/I 8.6 Potencia (P) La potencia es la medida del trabajo realizado por una corriente al circular a través de una carga. La unidad es el vatio (w) 8.7 Energía (W) La energía es la potencia eléctrica consumida por un aparato durante un tiempo determinado, por lo general se mide en Kilovatios por hora (Kw-h). La ecuación de la energía es: Energìa = Potencia por tiempo W= P x t TRABAJO Y ENERGIA 167 8.8 Ley de Watt La ley de Watt establece la relación entre la potencia, el voltaje y la corriente de un circuito. La relación se indica en el triángulo de potencia que se muestra en la siguiente gráfica. El triángulo funciona de la misma forma que el de la ley de Ohm. P=ExI E=P/I I=P/E Combinando los dos triángulos se obtiene: P = I2 x R 2 P=E /R R = E2 / P Ejemplo 8.1 Un bombillo tiene una potencia de 100 W, si se conecta a un tomacorriente de 110 V. Calcular el valor de la resistencia y la corriente que circula a través del bombillo. Solución: Del triángulo de potencia se obtiene: I=P/E I = 100 W / 110 V = 0,909 Amperios 168 CAPITULO 6 R=E/I R = 110 V / 0,909 A R = 121,01 Ohm Ejemplo 8.2 La placa de datos de una cafetera es ilegible, cuando se conecta a un tomacorriente de 110 V, la corriente es de 15 A. Cuál es la potencia nominal probable ? Solución: R=E/I R = 110 V / 15 A = 7,33 ohm P = E2 / R P = 1102 / 7,33 P = 1.650,7 W Ejemplo 8.3 Calcular la potencia que suministra una resistencia de 60 Ohmios cuando se le aplica una tensión de 110 voltios. Solución: La formula de la potencia es: 2 E P = ---------R 1102 P = ----------60 P = 201,66 vatios TRABAJO Y ENERGIA 167 EJERCICIOS PROPUESTOS 8.1 Calcular la potencia que suministra una resistencia de 20 ohmios cuando se le aplica una tensión de 110 voltios. Respuesta: P = 605 W 8.2 Calcular la potencia que suministra una resistencia de 50 ohmios cuando se le aplica una tensión de 220 voltios. Respuesta: P = 968 W 8.3 Calcular la potencia en un circuito que tiene una resistencia de 85 ohmios si por ella circula una corriente de 30 A. Respuesta: P = 76,5 KW 8.4 Calcular la tensión que se le debe aplicar a una resistencia de 80 ohmios, cuando la potencia es de 200 vatios. Respuesta: E = 126,5 Voltios 8.5 Calcular la intensidad que circula por una resistencia de 40 ohmios, si se produce una potencia de 250 KW. Respuesta: I = 79 Amperios. 8.6 La potencia en una hornilla es de 2000 vatios y circula por ella una corriente de 6 amperios. Calcular el valor de la resistencia. Respuesta: R = 55,55 Ohmios 168 CAPITULO 6 8.7 La potencia en una hornilla es de 2.500 vatios y el valor de la resistencia es de 60 Ohmios. Calcular la corriente que circula a través de ella. Respuesta: I = 6,45 Amperios 8.8 Un calentador de agua está conectado a una red de 220 voltios y tiene una potencia de 2.500 vatios. Calcular el valor de la resistencia. Respuesta: R = 19,36 Ohmios 8.9 Un calentador de agua está conectado a una red de 110 voltios y tiene una potencia de 1.200 vatios. Calcular el valor de la resistencia. Respuesta: R = 10,08 Ohmios 8.10 El bombillo de una alcoba está marcado en la ampolla con la etiqueta “60 W-110V”. a) Cuál es la resistencia del foco? b) Cuál es la corriente a través del bombillo?. Respuesta: R = 201,66 Ohmios I = 0,54 Amperios 8.11 La placa de datos de una cafetera eléctrica es ilegible; sin embargo se sabe que consume 16 A, cuando se conecta a un circuito de 115 V. Cuál es la potencia nominal probable ?. Respuesta: P= 1.840 W TRABAJO Y ENERGIA Capítulo 9 Circuitos Eléctricos - Partes de un circuito - Circuitos en serie - Circuitos en paralelo - Circuitos combinados 167 168 CAPITULO 6 Objetivos Específicos 1. Conocer las partes de un circuito eléctrico. 2. Analizar las clases de circuitos eléctricos. 3. Diferenciar los diferentes tipos de circuitos. 4. Resolver circuitos en serie. 5. Resolver circuitos en paralelo. 6. Resolver circuitos combinados. TRABAJO Y ENERGIA 167 9. Circuitos Eléctricos 9.1 Definición Un circuito eléctrico es un camino cerrado por donde circula una corriente. En un circuito eléctrico se combinan los conductores y los accesorios empleados para que la electricidad se transforme en un trabajo. Este trabajo puede ser alumbrado, calefacción, refrigeración, fuerza motriz, etc. 9.2 Partes de un circuito eléctrico Todo circuito eléctrico, sin importar que tan simple o complejo sea, consta de cuatro partes básicas a saber: a) Una fuente de energìa eléctrica que pueda impulsar los electrones través del circuito. a b) Los conductores que transporten el flujo de electrones a través de todo el circuito. c) La carga, que es el dispositivo al cual se le suministra la energìa eléctrica. d) Un dispositivo de control que permita conectar o desconectar el circuito. Un diagrama elemental de un circuito eléctrico se muestra en la siguiente figura: 168 CAPITULO 6 9.3 Clases de circuitos Los circuitos más utilizados en las edificaciones son los siguientes: 9.3.1 Circuitos en serie: Es aquel en el cual los aparatos o cargas están conectados entre sí en orden sucesivo. Por lo tanto, la corriente tiene un solo camino para circular. En instalaciones residenciales no es muy común utilizar este tipo de circuitos, su uso se ha limitado a instalaciones navideñas y otras poco usuales. En la siguiente figura se muestra un circuito en serie. Las principales características de un circuito en serie son: a) La resistencia total es la suma de las resistencias parciales. RT = R1 + R2 + R3 + ……. + Rn b) El voltaje aplicado (Ea) es la suma de los voltajes parciales, es decir, el voltaje total se reparte proporcional en cada resistencia. Ea = E1 + E2 + E3 + ….. + En c) La corriente total es igual en cualquier parte del circuito. IT = I 1 = I2 = I3 = In d) La potencia total es la suma de las potencias parciales PT = P1 + P2 + P3 + ……. + Pn El diagrama de un circuito en serie se representa de la siguiente forma: TRABAJO Y ENERGIA 167 Ejemplo 9.1 En la figura se muestra un circuito en serie. Calcular la resistencia total del circuito. Solución: La resistencia total es la suma de las resistencia parciales: RT = R1 + R2 + R3 RT = 12 Ohm + 15 Ohm + 25 Ohm RT = 52 Ohm Ejemplo 9.2 En el siguiente circuito en serie calcular la resistencia total, el voltaje aplicado y la potencia total. Solución: La resistencia total es: RT = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 RT = 12 Ohm + 17 Ohm + 18 Ohm + 14 Ohm + 10 Ohm RT = 71 Ohm 168 CAPITULO 6 El voltaje aplicado es: Ea = I x R Ea = 4 Amp x 71 Ohm Ea = 284 Voltios La potencia total es: P = E2 / R P = (284)2 / 71 P = 1.136 Watt 9.3.2 Circuito en paralelo: Es aquel en el cual las cargas están colocadas en diferentes trayectorias y la corriente se divide por cada trayectoria, de acuerdo con la resistencia de cada una. Este tipo de circuitos es el más utilizado en las instalaciones residenciales. En la siguiente figura se muestra el diagrama de un circuito en paralelo. Las principales características de un circuito en paralelo son: a) La resistencia total se calcula con la formula: 1 RT = -------------------------------1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 TRABAJO Y ENERGIA 167 b) El voltaje aplicado (Ea) es igual en cualquier parte del circuito. Ea = E1 = E2 = E3 c) La corriente total es la suma de las corrientes parciales. IT = I1 + I2 + I3 + …… + In d) La potencia total es la suma de las potencias parciales. PT = P1 + P2 + P3 + …… + Pn El diagrama de un circuito en paralelo se representa de la siguiente forma: Ejemplo 9.3 En la figura se muestra un circuito en paralelo de dos ramas, calcular la resistencia total. Solución: La resistencia para un circuito en paralelo con dos ramas, se calcula con la formula: 168 CAPITULO 6 R1 x R2 RT = ----------------R1 + R2 18 x 27 RT = ----------------18 + 27 RT = 486 / 45 RT = 10,8 Ohm. Ejemplo 9.4 En la figura se muestra un circuito en paralelo. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Solución: La resistencia total es: 1 RT = -----------------------------1/R1 + 1/R2 + 1/R3 1 1 RT = ------------------------------ = ------------- = 5,74 Ohm. 1/18 + 1/24 + 1/13 0.1741 La corriente total es: I = E / R = 110 / 5,74 = 19,16 Amp. I = 19,16 Amp. La potencia total es: P = I x E = 19,16 x 110 = 2.107,6 Watt P = 2.107,6 Watt TRABAJO Y ENERGIA 167 9.3.3 Circuito combinados: Es aquel en el cual se combinan cargas conectadas en serie y en paralelo. Este tipo de circuito es poco utilizado en las instalaciones residenciales. En la siguiente figura se muestra un circuito combinado. Las características de un circuito combinado son similares a los circuitos en serie y en paralelo. El diagrama de un circuito combinado se muestra en la siguiente figura: 168 CAPITULO 6 Ejemplo 9.5 En la figura se muestra un circuito combinado. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Solución: La resistencia en serie de la última rama es: R6 = 6 Ohm + 8 Ohm = 14 Ohm El circuito queda de la siguiente forma: La resistencia de las ramas en paralelo es: 1 R7 = ----------------------------1/14 + 1/17 + 1/14 R7 = 4,96 Ohm TRABAJO Y ENERGIA El nuevo circuito queda de la siguiente forma: La resistencia del nuevo circuito es la resistencia total: RT = 8 Ohm + 4.96 Ohm RT = 12,96 Ohm La corriente total es: I = Ea / RT I = 120 / 12,96 I = 9,26 Amperios La potencia total es: 2 PT = I x R PT = (9,26)2 x 12,96 PT = 1.111,11 Watt 167 168 CAPITULO 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 9.1 En la figura se muestra un circuito en serie. Calcular la resistencia total del circuito. Respuesta: RT= 85 Ohm 9.2 En la figura se muestra un circuito en serie. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Respuesta: RT = 105 Ohmios IT = 1,04 A PT = 115,23 W TRABAJO Y ENERGIA 167 9.3 En la figura se muestra un circuito en paralelo. Calcular la resistencia total del circuito. Respuesta: RT = 14,58 Ohmios 9.4 En la figura se muestra un circuito en paralelo. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Respuesta: RT = 5,77 Ohm IT = 19,06 A PT = 2.096,1 W 168 CAPITULO 6 9.5 En la figura se muestra un circuito en paralelo. Calcular la resistencia total, el voltaje aplicado y la potencia total. Respuesta: RT = 4 Ohm Ea = 28 V PT = 196 W 9.6 En la figura se muestra un circuito en paralelo. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Respuesta: RT = 4,71 Ohm IT = 24,41 A PT = 2.807,15 W TRABAJO Y ENERGIA 167 9.7 En la figura se muestra un circuito en paralelo. Calcular la resistencia total, el voltaje aplicado y la potencia total. Respuesta: RT = 2,39 Ohm Ea = 11,94 V PT = 59,72 W 9.8 En la figura se muestra un circuito combinado. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Respuesta: RT = 38,93 Ohm IT = 2,82 A PT = 310,81 W 168 CAPITULO 6 9.9 En la figura se muestra un circuito combinado. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Respuesta: RT = 28,45 Ohm IT = 7,73 A PT = 1.701,23 W 9.10 En la figura se muestra un circuito combinado. Calcular la resistencia total, la corriente total y la potencia total. Respuesta: RT = 34,22 Ohm IT = 3,21 A PT = 353,6 W TRABAJO Y ENERGIA 167 BIBLIOGRAFIA Beer y Johnston. Estática. Cuarta edición. Mc Graw Hill Cutnell John. Física. Editorial Limusa. Gutiérrez Aranzeta, Carlos. Mecánica y calor. Editorial Limusa. Hewitt, Paul. Física Conceptual. Editorial Pearson. Novena Edición. Sears y Zemansky. Física Universitaria. Editorial Harla. 6 Edición. Serway Raymond A. Física. Mac Graw - Hill. Tomo I. 4ª Edición. Velázquez. Aníbal. Física. Tecnología en Obras Civiles. Universidad del Quindío. 168 CAPITULO 6 Apéndice A Fórmulas Matemáticas Fundamentales. Area del triángulo = b x h /2 Area del rectángulo = b x h Area del trapecio = (B + b) h/2 Area del circulo = r 2 Area de una esfera = 4 r 3 Volumen de una esfera = 4 r /3 Circunferencia de un círculo = 2 r Seno de un ángulo = Opuesto / hipotenusa Coseno de un ángulo = Adyacente / hipotenusa Tangente de un ángulo = opuesto / adyacente TRABAJO Y ENERGIA Indice Aceleración, Unidades Multiplos y submúltiplos Reduccion Sistema métrico decimal Sistema internacional Sistema ingles Conversión de unidades Materia Propiedades Esfuerzos Clases Intensidad Vectores Escalares Magnitud Suma de Resta de Producto escalar Producto vectorial Movimiento rectilíneo Desplazamiento Velocidad Velocidad media Velocidad instantánea Mov rectilíneo uniforme Aceleración Mov rect unif variado 167 168 CAPITULO 6 Caída libre Lanzamiento vertical Leyes de newton Fuerza Primera ley de newton Segunda ley de newton Fuerza normal Masa y peso Tercera ley de newton Rozamiento
