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Unidad 1
Funciones
1. Funciones
Definición
Consideremos dos conjuntos X y Y en ese orden.
Llamamos función de X a Y a una aplicación o correspondencia que a cada
valor x de X le asigna un único valor y de Y.
Observemos que en la definición estamos dando dos condiciones:
Existencia: para cada x ε X
existe un y ε Y
Unicidad: ese "y" es único para cada "x"
2. Clasificación de las Funciones
La clasificación general de funciones la podemos resumir en el siguiente cuadro:
ENTERAS
LINEALES
CUADRATICAS
GENERALES
FRACCIONARIAS
HOMOGRAFICAS
GENERALES
RACIONALES
Funciones
Algebraicas
IRRACIONALES
EXPONENCIALES
Funciones
Trascendentes
LOGARITMICAS
POTENCIALES
TRIGONOMETRICAS
DIRECTAS
INVERSAS
HIPERBOLICAS
DIRECTAS
INVERSAS
Unidad 1
Funciones
3. Funciones Algebraicas
Funciones Racionales Enteras
Son aquellas que responden a la expresión general:
y = a o + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n
con
ai ∈ ℜ
O sea son los llamados polinomios donde n es el grado ( es un número natural) y a 0 es el término
independiente. La gráfica de una función racional entera se llama genéricamente parábola de
grado n.
El dominio de estas funciones es IR
4. Función lineal - recta
A las funciones racionales enteras de grado 1 se las llama, comúnmente, funciones lineales.
Tendrán la forma : y = mx + b. , con m, b ε
Sabemos que la gráfica de esta función es una recta.
5. Funcion Cuadrática
Definición
Es la función racional entera de 2° grado. Su form a general es y = ax 2 + bx + c
Veremos que dichas funciones representan un lugar geométrico llamado parábola.
Unidad 1
Funciones
6. Otras Funciones
6.1
Función Homográfica
Definición
Es una función racional fraccionaria tal que el grado del numerador
y el grado del denominador son iguales a 1
O sea es una función homográfica una expresión del tipo
y=
Si a = 0 se reduce a la recta y =
mx + n
ax + b
n
mx
+
b
b
Si efectuamos la división
y=
y na - bm = 0
m
na - bm
+
a
a (ax + b)
se transforma en y = m/a recta paralela al eje x.
Luego será la expresión una función homográfica si a ∫ 0
y
na - bm ∫ 0.
El polo de la función homográfica ( o sea el valor de x para el cual la función crece mucho )
es x = - b/a
La recta x = - b/a es la asíntota vertical de la función.
La abscisa al origen es el valor x = - n/m que anula al numerador solamente.
La ordenada al origen es el valor y = n/b
La recta y = m/a
es la asíntota horizontal de la función.
Y
x= -b/a
y=mx + n
ax + b
y= n
a
n/b
-n/m
X
Unidad 1
Funciones
6.2
Funciones Irracionales
Definición
Se tiene una expresión irracional cuando la variable independiente
está afectada por una operación de radicación
Ejemplo
y= x +4
y =3 x −8
3
En la primera como la x está bajo un símbolo de raíz cuadrada habrá que definir si se adopta para
ella el signo + o -.
En la segunda la raíz cúbica solo tiene un signo y por lo tanto será siempre una función uniforme.
6.3 Funciones Trascendentes
Las funciones vistas hasta ahora eran funciones algebraicas
ya que las operaciones que intervienen en su definición son
operaciones del álgebra ( + , - , x , / , ).
Existen otras funciones que trascienden el campo del álgebra
como ser exponenciales, logarítmicas, circulares, hiperbólicas.