leyes de la probabilidad

ESTADÍSTICA I
Leyes de Probabilidad
1. Ley de la adición: Existen dos reglas de la adición, la regla especial de la
adición y la regla general de la adición.
A) Regla especial de la adición: Para aplicar la regla especial de la adición
los eventos deben ser mutuamente excluyentes, esto significa que
cuando un evento ocurre, ninguno de los demás eventos pueden ocurrir
al mismo tiempo, es decir, cuando se solicite la probabilidad de que ocurra
un evento A o un evento B o que ocurra al menos uno de los dos se habla
de la unión de los eventos ( 𝐴 ∪ 𝐵) y en la unión de los eventos las
probabilidades se suman.
∴ 𝐏(𝐀 𝐨 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁)
Ejemplo: Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación
de frijoles, brócoli, y otras verduras. La mayoría de las bolsas contienen el peso
correcto, aunque como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y de otras
verduras, un paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4000 paquetes
que se llenaron arrojo los siguientes datos.
Peso
Evento
N° de
paquetes
Probabilidad de que ocurra el
evento
Menos peso
A
100
0.025
Peso
satisfactorio
B
3600
0.900
Más peso
C
300
0.075
4000
1.000
Total
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese
más?
∴ 𝐏 (𝐀 𝐨 𝐂) = 𝐏 (𝐀 ∪ 𝐂) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐂) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟎
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ESTADÍSTICA I
b) Representar por medio del diagrama de Veen.
Otra forma de calcular la probabilidad es a través de la regla del complemento, es
decir, a uno que es el todo se le resta lo que no queremos para obtener lo que, si
queremos, esto es:
∴ 𝐏 (𝐀 𝐨 𝐂) = 𝐏 (𝐀 ∪ 𝐂) = 𝟏 − 𝐏(𝐁) = 𝟏 − 𝟎. 𝟗𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟏𝟎
B) Regla general de la adición: Los resultados de un experimento pueden no
ser mutuamente excluyentes, es decir, que los eventos pueden ocurrir de
manera simultánea o al mismo tiempo, esto es, puede ocurrir el evento A o
el evento B, pero también pueden ocurrir el evento A y el evento B al mismo
tiempo, por tanto la fórmula es:
∴ 𝐏(𝐀 𝐨 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁) − 𝑷 (𝑨 ∩ 𝑩)
Supongamos que, de una muestra de 200 personas, una encuesta reveló que 120
personas estudian francés y 100 estudian el idioma inglés. ¿Cuál es la probabilidad
de que una persona seleccionada estudie el idioma francés o el idioma inglés? Si
se emplea la regla especial de la adición se obtiene lo siguiente:
•
Probabilidad de que una persona seleccionada estudie el idioma francés:
𝑷 (𝑭) =
•
𝟏𝟐𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟔𝟎
Probabilidad de que una persona seleccionada estudie el idioma inglés:
𝟏𝟎𝟎
𝑷 (𝑰) = 𝟐𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟓𝟎
P (F o I) = P (F ∪ I) = P (F) + P (I) = 0.60 + 0.50 = 1.10
La suma de estas probabilidades es de 1.10, sin embargo, sabemos que esta
probabilidad no puede ser mayor que uno. La explicación es que algunas personas
estudian inglés y francés al mismo tiempo y se les está contando dos veces, es por
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ESTADÍSTICA I
esta razón que a la fórmula de la regla general de la adición se le resta la
probabilidad de la intersección de ambos conjuntos.
Nota: Cuando en un problema se tiene la letra “o”, se habla de una unión de
conjuntos, esto es, (A ∪ B), mientras que, si se tiene la conjunción “y” se trata de
una intersección de conjuntos, es decir, (A ∩ B).
Ejemplo: El proceso de admisión a las maestrías en negocios durante el año 2015,
arrojó la siguiente información, la UNAM admitió 8.3% de los aspirantes, El
Politécnico admitió 13.5% de los aspirantes, mientras que 5.1% de los aspirantes
fue admitido en ambas instituciones. ¿Cuál es la probabilidad de que un aspirante
sea admitido en al menos una de las dos instituciones?
Solución:
P (M) = 0.083
Probabilidad de que un aspirante sea admitido en la UNAM.
P (P) = 0.135
Probabilidad de que un aspirante sea admitido en el Politécnico.
P (M ∩ P) = 0.051 Probabilidad de que un aspirante sea admitido en ambas.
∴ 𝐏 (𝐌 ∪ 𝐏) = 𝐏 (𝐌) + 𝐏 (𝐏) − 𝐏 (𝐌 ∩ 𝐏) = 𝟎. 𝟎𝟖𝟑 + 𝟎. 𝟏𝟑𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟓𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟕
La probabilidad de que un estudiante sea admitido en al menos una de las dos
universidades es de 0.167.
Ejercicios:
1. De acuerdo con un informe proporcionado por el INEGI, en el año 2019 se
encontraban inscritos en nuestro país 1 481 999 estudiantes en el nivel
superior, los cuales se presentan desagregados por sexo y por área de
estudio en la siguiente tabla. Si se definen los siguientes eventos:
A = Mujeres que estudian en el nivel superior.
B = Hombres que estudian en el nivel superior.
C = Alumnos inscritos en áreas administrativas y sociales.
D = Alumnos inscritos en un programa de las áreas de ingeniería y
tecnología.
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ESTADÍSTICA I
Tabla de Información
Área de estudio
Mujeres Hombres
Agropecuarias
Total
9 666
29 093
38 759
Salud
78 934
52 906
131 840
Exactas
13 503
16 499
30 002
Administrativas y sociales
412 792
329 699
742 491
Educación y humanidades
36 949
20 415
57 364
Ingeniería y Tecnología
138 456
343 087
481 543
Total
690 300
791 699
1 481 999
i) ¿Cuál es la probabilidad de que, al seleccionar al azar a un estudiante de
nivel superior, estudie en áreas administrativas o en áreas de Ingeniería y
Tecnología?
ii) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de nivel superior seleccionado
al azar sea mujer o estudie en áreas Administrativas y Sociales?
iii) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de nivel superior seleccionado
al azar sea hombre o estudie en áreas Ingeniería y tecnología?
C) La probabilidad condicional P(A/B): Con frecuencia las probabilidades de
los eventos se encuentran relacionadas de manera tal, que la probabilidad
de ocurrencia de uno de ellos depende si los otros han ocurrido o no.
Por tanto, la probabilidad condicional de un evento es aquella que está
condicionada o determinada por la presencia de otro evento o es la probabilidad de
que suceda el evento A dado que ya sucedió el evento B.
La probabilidad condicional se calcula mediante la siguiente fórmula:
∴ 𝐏 (𝐀/𝐁) =
𝐏 (𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏 (𝐁)
Dónde:
P (A/B) = Probabilidad condicional de que se presente el evento A dado que ocurra
el evento B.
CLOTILDE CERVANTES MORALES
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ESTADÍSTICA I
P (A ∩ B) = Probabilidad de la intersección del evento A con el evento B; es decir,
la probabilidad de que ocurran estos eventos de forma simultánea.
P (B) = Probabilidad de que suceda el evento B. Observe que el evento B es el que
condiciona la probabilidad del evento A.
Ejemplo1: De acuerdo con estudios realizados por analistas de mercado, se sabe
que la probabilidad de que exista una devaluación del peso y una caída de la tasa
de interés de manera simultánea es de 0.2. Además, la probabilidad de que exista
una caída en las tasas de interés es de 0.5. Señala cuál será la probabilidad de que
exista una devaluación en el peso dado que se presenta una caída en las tasas de
interés.
Solución:
Se desea conocer cuál es la probabilidad de que exista una devaluación del peso
influida por la caída en las tasas de interés, por lo que definimos:
Evento A = Devaluación del peso.
Evento B = Caída en las tasas de interés.
P (B) = 0.5
∴ 𝐏 (𝐀/𝐁) =
𝐏 (𝐀 ∩ 𝐁) 𝟎. 𝟐
=
= 𝟎. 𝟒
𝐏 (𝐁)
𝟎. 𝟓
Se pude señalar que la probabilidad de que se presente una devaluación del peso
motivada por la caída en las tasas de interés es de 0.4.
Ejemplo 2: Se sabe que 50% de los refrescos que se consumen en una población
son de una determinada marca, también se sabe que 60% de la población ha visto
por televisión el nuevo comercial de este refresco, y que las personas que
consumen esa marca de refrescos y que han visto su nuevo comercial representan
30% de la población. Determine si la compra de refrescos de esta marca ha sido
estimulada por su nuevo comercial en televisión.
Solución:
Evento A = Consumo de refrescos de la marca señalada.
Evento B = Nuevo comercial del refresco.
P (A) = 0.5
P (B) = 0.6
P (A ∩ B) = 0.3
CLOTILDE CERVANTES MORALES
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ESTADÍSTICA I
∴ 𝐏 (𝐀/𝐁) =
𝐏 (𝐀 ∩ 𝐁) 𝟎. 𝟑
=
= 𝟎. 𝟓
𝐏 (𝐁)
𝟎. 𝟔
Ejemplo 3: Se realizó una encuesta sobre hábitos de lectura que se resume por
medio de la siguiente tabla.
Le gusta leer No le gusta leer Total
Hombre
40
20
60
Mujer
50
10
60
Total
90
30
120
Calcular:
a) La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar sea mujer: 𝐏 (𝐌) =
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
= 𝟎. 𝟓𝟎
b) La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar sea hombre:
𝟔𝟎
𝐏 (𝐇) = 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎. 𝟓𝟎
c) La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar le guste leer y sea
𝟓𝟎
mujer: 𝐏 (𝐋 ∩ 𝐌) = 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟐
d) La probabilidad de que a una persona le guste leer dado que es una mujer:
𝐏 (𝐋/𝐌) =
𝐏 (𝐋∩𝐌)
𝐏 (𝐌)
𝟎.𝟒𝟐
= 𝟎.𝟓𝟎 = 𝟎. 𝟖𝟒
Ejercicio: En muchas ocasiones se dice que ciertas carreras profesionales atraen
en mayor número a las mujeres y otras carreras a un mayor número de hombres.
De la información proporcionada en la siguiente tabla determine si la carrera de
administración influye en atraer a las mujeres a estudiar esa carrera.
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ESTADÍSTICA I
Carrera
Mujeres Hombres Total
Administración
83 970
67 882
151 852
1 032
1 248
2 280
Comunicación
28 853
17 867
46 720
Contabilidad
86 592
66 328
152 920
9 607
13 277
22 844
Mercadotecnia
11 622
8 680
20 302
Otras
191 116
154 417
345 533
Finanzas
Economía
Total
La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar sea mujer: 𝐏 (𝐌)
La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar sea hombre: 𝐏 (𝐇)
La probabilidad de que estudie administración: P (A)
La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar sea mujer y estudie
administración: 𝐏 (𝐌 ∩ 𝐀)
v) La probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea mujer dado
que le gusta administración: 𝐏 (𝐌/𝐀)
i)
ii)
iii)
iv)
D) Ley de la multiplicación: Existen dos formas de la ley de la multiplicación y
su uso depende si los eventos que se están analizando sean independientes
o no. La ley de la multiplicación establece la probabilidad de que se presente
la intersección de dos eventos A y B.
Eventos independientes: Dos eventos son independientes cuando no
tienen ninguna influencia entre sí, es decir, que la probabilidad de un evento
es indiferente a la presencia o no presencia de otro evento. Si un evento
ocurre, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento
acontezca.
• Cuando se lanza una moneda al aire el resultado de sol o águila no se
altera por el resultado de cualquier moneda lanzada previamente.
CLOTILDE CERVANTES MORALES
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ESTADÍSTICA I
a) La regla especial de la multiplicación: Si se tienen dos eventos que son
independientes, la regla especial de la multiplicación utilizada para calcular
la probabilidad de que suceda el evento A y de que suceda el evento B de
manera simultánea es:
𝐏 (𝐀 𝐲 𝐁) = (𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐏(𝐀) ∗ 𝐏(𝐁)
Dónde:
P (A∩B) = Es la probabilidad de que se presente el evento A y el evento B.
P (A) = Probabilidad de que suceda el evento A.
P (B) = Probabilidad de que suceda el evento B.
Ejemplo: El departamento de mercadotecnia de una empresa realizó un estudio de
mercado para saber cuál de dos bebidas refrescantes prefieren los consumidores,
la bebida refrescante A tuvo una probabilidad de aceptación de 75%, mientras que
la bebida refrescante B tuvo una aceptación de 80%. ¿Cuál es la probabilidad de
que ambas bebidas refrescantes tengan aceptación por parte de los consumidores
si se supone que ambos eventos son estadísticamente independientes?
Solución:
P(A) = 0.75
P (B) = 0.80
∴ 𝐏 (𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐏 (𝐀) ∗ 𝐏 (𝐁) = (𝟎. 𝟕𝟓)(𝟎. 𝟖𝟎) = 𝟎. 𝟔
b) La regla general de la multiplicación: Sí dos eventos no son
independientes, se dice que son dependientes, por lo que la regla general de
la multiplicación establece que la probabilidad de que suceda el evento A y
de que suceda el evento B, o dicho de otra manera, la probabilidad de que
ocurran ambos de manera simultánea se obtiene con la siguiente fórmula:
𝐏 (𝐀 ∩ 𝐁) = P (A) * P (B/A)
Con el fin de ilustrar el concepto de dependencia, supongamos que hay 10 latas de
refresco en un refrigerador, 7 de las cuales son normales y 3 dietéticas. Se
selecciona una lata del refrigerador, la probabilidad de seleccionar una lata de
refresco dietético es de
normal es de
7
3
, y la probabilidad de seleccionar una lata de refresco
10
.Entonces se elige una segunda lata del refrigerador sin devolver la
10
primera (selección aleatoria sin remplazo). La probabilidad de que la segunda lata
CLOTILDE CERVANTES MORALES
8
ESTADÍSTICA I
sea de refresco dietético depende de que la primera sí lo haya sido o no. La
probabilidad de que la segunda lata sea de refresco dietético es:
•
2
9
si la primera bebida es dietética (solo dos latas de refresco dietético
quedan en el refrigerador).
•
3
9
si la segunda lata es normal (los tres refrescos aún están en el
refrigerador)
2
La denominación adecuada de la fracción 9 𝑜
3
9
es probabilidad condicional, ya que
su valor se encuentra condicionado (o depende) por el hecho de que un refresco
regular o dietético haya sido el primero en ser seleccionado del refrigerador.
Ejemplo: En el departamento de producción de una empresa se sabe que un
conjunto de 10 partes de repuesto contiene 8 partes aceptables (A) y 2 defectuosas
(B). Dada la selección aleatoria sin remplazo de dos partes. ¿Cuál es la probabilidad
de que las dos partes seleccionadas sean aceptables?
Solución:
8
P (A) = 10
Probabilidad de A
7
P (B/A) = 9
Probabilidad de B dado A
Probabilidad condicional:
Recuérdese que cuando se trabajan experimentos sin remplazo primero se realiza
uno y luego el otro, en este ejemplo primero se toma una parte, la cual ya no se
devuelve, de ahí que tanto el numerador como el denominador de P (A) se ven
disminuidos en una unidad para el siguiente experimento, por tanto:
𝟖
𝟕
∴ 𝐏 (𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐏 (𝐀) ∗ P (B/A) = (𝟏𝟎) (𝟗) =
𝟓𝟔
𝟗𝟎
= 𝟎. 𝟔𝟐𝟐𝟐
La probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean aceptadas es de 0.62
Ejercicios:
1. Un universitario se enfrenta a una cartera que contiene dos instrumentos
financieros, un bono gubernamental cuyo riesgo es de 25% y una acción de
una importante empresa de telecomunicaciones cuyo riesgo es de 35%.
¿Cuál es la probabilidad de que la empresa enfrente el riesgo de una acción
dado que ya enfrentó el riesgo del bono gubernamental?
CLOTILDE CERVANTES MORALES
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ESTADÍSTICA I
E) LEY DE BAYES O TEOREMA DE BAYES
En la mayoría de las aplicaciones reales, las decisiones se actualizan conforme se
obtiene nueva información o cuando existe un cambio de escenario. Por ejemplo,
las empresas revisan sus decisiones sobre el nivel de producción una vez que se
conoce la presencia de un escenario favorable o desfavorable. Por esto se observa
que cuando se manifiestan los primeros síntomas de una crisis económica, las
empresas realizan cortes en su producción y en su planta laboral de manera
anticipada con el propósito de permanecer en el mercado.
La ley de Bayes proporciona un método mediante el cual la probabilidad de cierto
evento que ya es conocido (probabilidad a priori o previa) se va actualizando
conforme se obtiene nueva información. Una vez que la probabilidad ha sido
actualizada se le llama probabilidad a posteriori (o probabilidad posterior).
La probabilidad condicional determina la forma en que un evento es influido o
determinado dado la presencia de otro evento. Por esta razón, las probabilidades a
posteriori son probabilidades condicionales, pues han sido actualizadas por la
presencia de un nuevo evento al haberse obtenido más información. La ley de
Bayes se utiliza para obtener probabilidades más precisas que las probabilidades a
priori, dada la presencia de un nuevo evento.
La fórmula para conocer una probabilidad a posteriori que es la que se conoce como
la ley de Bayes, es la siguiente:
Sea A un evento y 𝐴̅ su complemento (información a priori). Si otro evento B ocurre,
entonces:
P (A/B) =
𝐏(𝐁⁄𝐀)∗ 𝐏 (𝐀)
̅ )∗𝐏(𝐀
̅)
𝐏(𝐁⁄𝐀)∗𝐏(𝐀)+𝐏(𝐁⁄𝐀
Dónde:
P (A/B) = Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B (probabilidad a
posteriori).Q<
P (B/A) = Probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A.
P (A) = Probabilidad de que ocurra A (probabilidad a priori).
P (𝐴̅) = Probabilidad del complemento del evento A (probabilidad a priori).
Ejemplo: La materia de estadística inferencial la imparten tres profesores: Raúl,
Pedro y Juan. Raúl en el semestre pasado impartió a 3 grupos, Pedro 2 y Juan 5,
con Raúl el 80% de los estudiantes aprobaron, con Pedro el 75% y con Juan el 90%.
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ESTADÍSTICA I
a) Si un alumno reprueba la materia de estadística. ¿Cuál es la probabilidad de
que haya aprobado la materia el semestre pasado con el maestro Pedro?
Solución:
Aprobados = 0.8
Raúl : 3 grupos
3
P(R)= 10 = 0.3
Pedro : 2 grupos
Raíz
Reprobados =
0.2
Aprobados =
0.75
2
P(P)= 10 = 0.2
Reprobados =
0.25
Aprobados = 0.9
Juan : 5 grupos
P(J)=
5
10
= 0.5
Reprobados =
0.1
En este caso solamente nos está pidiendo la reprobación de un alumno, por tanto,
solo nos vamos a enfocar a los valores que muestran los reprobados y nos
olvidamos de los valores de los aprobados. En la fórmula del teorema de Bayes en
el numerador se pone el valor del evento B multiplicado por lo que se pide del evento
A y lo que piden de A es Pedro, mientras que en denominador se multiplica cada
valor de los reprobados o del evento B por su antecesor valor del evento A y se van
sumando, esto es:
∴ 𝐏 (𝐀⁄𝐁) =
(𝟎. 𝟐𝟓)(𝟎. 𝟐)
𝟎. 𝟎𝟓
=
= 𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟓
(𝟎. 𝟐)(𝟎. 𝟑) + (𝟎. 𝟐𝟓)(𝟎. 𝟐) + (𝟎. 𝟏)(𝟎. 𝟓) 𝟎. 𝟏𝟔
Esto significa que el alumno que reprobó la materia tiene un 31.5 % de probabilidad
de haber pasado la materia con el profesor Pedro.
CLOTILDE CERVANTES MORALES
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ESTADÍSTICA I
Ejercicio: Teorema de Bayes
1. En una fábrica se tienen dos máquinas que producen pantalones de vestir.
La máquina 1 produce 45% del total de pantalones y la máquina 2 produce
el 55% restante. La máquina 1 produce 10% de pantalones defectuosos en
la máquina 2 el porcentaje de producción defectuosa es de 8%. Si se observa
un pantalón defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido
por la máquina dos?
CLOTILDE CERVANTES MORALES
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