LIBRO Hº Aº 2018

:?I;xEO:?C;DI?ED7:E:;
;IJHK9JKH7I:;>EHC?=âD7HC7:E
;IJHK9JKH7I:;>EHC?=âD7HC7:E
7HC7:E
9dcVea^XVX^‹cYZaHZ\aVbZcid9?HIE9(&'Ä(&&+
Fgd[$7gfj^iZXiVIVgV=dcdgVo`n
Fgd[$7gfj^iZXiVIVgV=dcdgVo`n
Fgd[$7gfj^iZXiVIVgV=dcdgVo`n
',6(f2<',0(16,21$'2'(
(6758&785$6'(+250,*Ð1$50$'2
&RQDSOLFDFLyQGHO5HJODPHQWR&,562&²
3URI$UTXLWHFWD6DUD*RQRUD]N\
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Gonorazky Steren, Sara
Diseño y dimensionado de estructuras de hormigón armado : con aplicación del
reglamento CIRSOC 201-2005 . - 5a ed. - Córdoba : Facultad de Arquitectura, Urbanismo
y Diseño de la Universidad Nacional de Córdoba, 2012.
104 p. + CD-ROM ; 29x21 cm.
ISBN 978-987-1494-17-0
1. Consrucción. 2. Estructuras de Hormigón. 3. Enseñanza Superior. I. Título
CDD 693.540 711
Fecha de catalogación: 25/12/2011
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
DISEÑO Y DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO
Con aplicación del reglamento CIRSOC 201 - 2005
Indice
Pág.
1. Introducción
Hormigón Armado
Hormigón
Acero
Fundamentos del método de dimensionado ..
Métodos de dimensionado.
...
Requisitos generales: Acciones y Combinaciones de acciones
2. Diseño por resistencia a flexión
Dimensionado a flexión de vigas continuas
Ejemplo de resolución
Dimensionado a flexión de secciones doblemente armadas
Ejemplo de resolución
Dimensionado a flexión de secciones T y L
3. Diseño por resistencia a corte
Diseño de estribos
Diseño con barras dobladas
Ejemplo de resolución
Tabla de Corte 1
4. Losas de hormigón armado
Losas macizas en una dirección
Ejemplo de resolución
Losas macizas en dos direcciones
Ejemplo de resolución
Losas nervuradas
Ejemplo de resolución
5. Columnas y tabiques .
Ejemplo de dimensionado
Predimensionado de columnas por áreas de influencia
Compresión y flexión en columnas rectangulares
.
..
..
...
..
.
.
......
.
...
.
.......
.
......
.
.
...
..
Anexo 1: Contenido del Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón Armado.
Anexo 2: Unidades. Equivalencias
Anexo 3: Glosario y Nomenclatura
Anexo 4: Tablas para el dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Anexo 5: Manual del usuario: software para losas armadas en dos direcciones
1
2
2
2
3
3
4
5
6
9
10
13
15
16
19
24
25
26
30
31
33
37
49
55
65
69
76
80
81
86
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
DISEÑO Y DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO
Con aplicación del Reglamento Argentino CIRSOC 201 – 2005
INTRODUCCIÓN
En la República Argentina es de aplicación para el Diseño de Estructuras diferentes
normativas elaboradas por el Instituto Nacional de Tecnología Industrial (INTI –
www.inti.gov.ar/cirsoc) y el Centro de Investigación de los Reglamentos Nacionales de
Seguridad para las Obras Civiles (CIRSOC).
Para el dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado se aplica el “Reglamento
Argentino de Estructuras de Hormigón” Cirsoc 201 – 2005. Esta publicación, como lo dice en su
prólogo, se enmarca dentro de la “segunda generación de Reglamentos Nacionales de
Seguridad Estructural” y se basa en las normas del American Concrete Institute (ACI)
denominadas “Building Code Requirements for Structural Concrete – ACI 318-02.
HORMIGÓN ARMADO
El hormigón armado es un material compuesto por Aceros estructurales, (cuya calidad
es garantizada por el productor y de acuerdo a lo especificado en normas pertinentes,
usualmente normas IRA) y el hormigón producido en el obrador o en plantas de elaboración por
lo que resulta indispensable realizar un control de calidad sistemático ya que la seguridad de la
estructura depende en gran calidad del material que se utilice.
HORMIGÓN
La principal medida de la calidad estructural del hormigón es su resistencia a la
compresión: f’c (f: tensión, ‘:compresión; c: hormigón). En la tabla que a continuación se
incluye, se indica la designación del tipo de hormigón, su resistencia a la compresión y tipo de
aplicación.
Clase de Hormigón
Resistencia
especificada a compresión
f’c (Mpa)
f’c (kg/cm2)
H-15
15
150
H-20
20
200
H-25
25
250
H-30
30
300
H-35
35
350
H-40
40
400
H-45
45
450
H-50
50
500
H-60
60
600
2
Aplicación
en hormigones
Simple
Simples y armados
Simples, armados
y pretensados
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
El módulo de elasticidad Ec, (en unidades MPa) es decir, la pendiente del tramo recto
inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria aumenta con la resistencia del hormigón f’c
Ec = 4700 f' c
ACEROS
En las primeras construcciones de hormigón armado se empleaba acero en barras
redondas lisas. Los avances tecnológicos mejorar las propiedades de los aceros en especial su
capacidad resistente.
Para lograr una mejor adherencia se realiza un conformado superficial: muescas,
resaltos laminados, nervurados, torsionados con nervios longitudinales.
El aumento de la resistencia de los aceros para hormigón se logra mediante dos formas:
Aceros de dureza natural: se laminan en caliente y sus propiedades se basan únicamente en la
composición química
Aceros deformados en frío: luego de laminado en caliente se produce un trabajo en frío como el
trafilado, torsionado o estiramiento. Debido a esto se logra un aumento de la resistencia.
Los tipos de Acero según el Cirsoc y sus características principales son las siguientes:
Acero liso AL 220: solo se pueden utilizar para la ejecución de espirales, estribos y zunchos.
Acero de dureza natural ADN 420 con conformación superficial nervurada. Barras de diámetro
6 a 40mm para armaduras en general. Cuando sea necesario soldarlas se deben usar métodos
de soldadura especial.
Acero de dureza natural soldable ADN 420 S, también nervurada. Es más apropiado cuando se
requieren uniones soldadas. Igual utilización que el anterior.
Acero para alambres y mallas soldadas ATR 500 N y AM 500 N de 5 a 12 mm de diámetro
El módulo de elasticidad es el mismo para todos lo tipos de aceros
Es = 200.000 Mpa
Hipótesis del Hormigón Armado
• Adherencia perfecta entre el Acero y el Hormigón
• No se considera la resistencia a tracción del Hormigón
• Las deformaciones en la armadura y en el hormigón son proporcionales a la distancia al
eje neutro
• Como máxima deformación en la fibra extrema comprimida del Hormigón se adopta
u = 0.003 (3 por mil ó 3 ‰)
• La tensión en el acero se calcula como Es x u ! fy
FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE DIMENSIONADO
La característica más importante de cualquier elemento estructural es su resistencia real, la
cual debe ser lo suficientemente elevada para resistir, con algún margen de reserva, todas las
cargas previsibles que pueden actuar durante la vida de la estructura, sin que presente falla u
otro inconveniente, (por ejemplo, deformaciones excesivas).
El nuevo reglamento CIRSOC 201/ 2005, cuya metodología adoptada es de las más moderna y
se conoce por “diseño por resistencia”, se basa fundamentalmente en el manejo de dos
coeficientes de seguridad parciales: uno tiene en cuenta la posibilidad de reducción de la
resistencia de la sección de estudio por problemas de la calidad de los materiales y su puesta
en obra y otro tiene en cuenta la probabilidad de que las cargas de uso sean mayores que las
previstas.
3
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
METODOS DE DIMENSIONADO
El Método de Diseño por Resistencia provee un determinado margen de seguridad
estructural mediante dos recursos.
•
•
Disminuir la resistencia nominal mediante el uso de un factor de reducción de la
resistencia Ø (fi).
Aumentar la resistencia requerida usando cargas o solicitaciones mayoradas.
Este criterio se materializa diciendo que:
La Resistencia de Diseño (Rd) de cada elemento estructural o de la estructura en su
conjunto, será igual o mayor a la Resistencia requerida (Ru)
resistencia de diseño • resistencia requerida (Ru )
(Rd) • (Ru)
Las solicitaciones de sección determinadas son la resistencia requerida (Ru)
La resistencia requerida Ru debe ser mayor o igual que los efectos de las cargas
mayoradas dadas en las combinaciones
La resistencia de diseño (resistencia real) se encuentra influenciada por la calidad de los
materiales, las condiciones de ejecución de la estructura real, las diferencias con respecto al
modelo de proyecto, los defectos constructivos, etc.
La Resistencia de Diseño (Rd = Ø Rn) para cada Estado Límite Último aplicable, es
igual al producto de la Resistencia Nominal Rn por el Factor de resistencia Ø.
Rn Resistencia Nominal: Resistencia de un elemento de una sección transversal antes de
aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia
Factor Ø (fi): es un factor menor que la unidad que reduce la resistencia para considerar las
incertidumbre en los materiales y en las dimensiones.
)DFWRUGHUHGXFFLyQGHUHVLVWHQFLD
‘
‘
‘ W
]XQFKRV
‘ HVWULERVFHUUDGRV
]RQDFRQWURODGD
SRUFRPSUHVLyQ
W
,QWHUSRODFLyQ
W
]RQDFRQWURODGD
SRUWUDFFLyQ
W Fig. 1
4
W
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Tabla de valores del factor de reducción de la resistencia Ø
según el tipo de solicitación
Secciones controlada por tracción
Secciones controladas por compresión
a) elementos con armadura en espiral
b) otros elementos
Corte y torsión
0,90
0,70
0,65
0,75
Requisitos generales 1
Acciones y Combinaciones de Acciones
Para conocer las solicitaciones en una estructura se debe conocer primero las acciones
debidas al peso propio de la estructura (carga permanente), a la sobrecarga de uso y las
debidas a las acciones del viento, la nieve y sismo, entre otras.
La inminente aplicación de la nueva generación de Reglamentos Cirsoc para la
República Argentina hace necesaria la adecuación de la nomenclatura y unidades a las que se
utilizan en dicha reglamentación.
A continuación se indica la nomenclatura a emplear:
(Dead load)
(Live load)
(Live load roof)
(Wind load)
(Snow)
(Rain)
(Earthquake)
D: Cargas permanentes (peso de la estructura y de los cerramientos)
L: Sobrecarga de uso
Lr: Sobrecarga de la cubierta.
W: Carga de Viento
S: Carga de Nieve
R: Carga de agua de lluvia o hielo sin considerar efectos de acumulación
de agua.
E: Carga sísmica
Para conocer la resistencia requerida de la estructura se estudian combinaciones de
acciones, que considera diversas posibilidades de simultaneidad de cargas afectadas en cada
situación por un coeficiente denominado factor de carga.
Las siguientes combinaciones de carga son las que establece para nuestro país el reglamento
CIRSOC
(1) 1.4 D
(2) 1.2 D + 1.6 L + 0.5(Lr ó S ó R)
(3) 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.5L ó 0.8 W)
(4) 1.2 D + 1.3 W + 0.5L + 0.5 (Lr ó S ó R)
(5) 1.2 D ± 1.0 E + 0.5L + 0.7S
(6) 0.9 D ± (1.3 W ó 1.0 E)
1
Capítulo 9 – 190
5
Diseño y Dimensionado de Estructuras Continuas de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
DIMENSIONADO POR RESISTENCIA A FLEXION
Se estudia el comportamiento de una viga de hormigón de sección rectangular en las
que actúan cargas que producen solicitaciones de flexión.
Fig. 2
Cuando la carga se incrementa de modo gradual desde cero hasta la magnitud en que
se producirá la falla pueden distinguirse diferentes estados en su comportamiento.
Para cargas bajas, todos los esfuerzos en el hormigón son de pequeña magnitud y
proporcionales a las deformaciones.
Fig.3
Cuando la carga aumenta, pronto se alcanza la resistencia a la tracción del hormigón y
aparecen las grietas de tracción. Estas grietas son muy pequeñas (grietas capilares) y no
afectan la protección contra la corrosión, sin embargo, si afecta
profundamente el
comportamiento de la viga sometida a carga.
Fig. 4
En una sección fisurada el hormigón no puede transmitir ningún esfuerzo de tracción y al acero
le corresponde resistir toda la tracción. Es lo que se ve en la figura 5 de la izquierda
Fig. 5
6
Diseño y Dimensionado de Estructuras Continuas de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Si se incrementa aún más la carga cuando las deformaciones aumentan y desaparece
la proporcionalidad tensiones – deformaciones. La distribución de los esfuerzos es una curva,
tal como se ve en la figura 5 de la derecha.
Cuando la viga está próxima a su falla y la distribución de deformaciones y tensiones
internas es la representada y en la sección se han desarrollado un par de fuerzas C,
resultante de compresión y T resultante de tracción.
Fig. 6
Por razones de equilibro T es igual a C y a su vez el valor de cualquiera de ellas,
será el valor del Momento dividido el brazo de palanca z.
El acero tiene una tensión fs correspondiente a su deformación
tensión en el acero por el área de la armadura As da una fuerza T.
s.
El producto de la
La resultante de todas las tensiones de compresión en el ancho b de la sección es la
fuerza C.
Para conocer la magnitud de la resultante C es necesario conocer la distribución de las
tensiones de la zona comprimida en el ancho b de la sección.
Fig.7
También conocer la profundidad del eje neutro, el que puede obtenerse a partir del
gráfico de deformaciones, por proporcionalidad de triángulos, con valores conocidos como
serían las deformaciones del hormigón y del acero y el ángulo FI.
Entonces, el valor será el del volumen de la distribución de las tensiones de la zona
comprimida por el ancho b de la sección, en la profundidad c multiplicada por la tensión de
compresión del hormigón, afectada por el coef. Alfa.
Y su ubicación está en función de la distancia d afectada por el coef. BETA.
A partir de resultados de investigaciones experimentales se puede pensar en remplazar
la compleja distribución real de esfuerzos mediante una distribución ficticia equivalente,
7
Diseño y Dimensionado de Estructuras Continuas de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
siempre y cuando esta distribución produzca el mismo valor C de compresión, aplicada en la
misma ubicación que en el elemento real en el momento de la falla.
Fig. 8
Las ecuaciones pertinentes resultan complejas. Afortunadamente, resulta posible,
mediante un artificio conceptual, formular de otro modo el análisis de resistencia. A partir de
resultados de investigaciones experimentales se puede pensar en remplazar la compleja
distribución real de esfuerzos mediante una distribución ficticia equivalente, siempre y cuando
esta distribución produzca el mismo valor de Compresión C aplicada en la misma ubicación
que en el elemento real en el momento de la falla.
La distribución real se reemplaza entonces por una distribución equivalente con forma
rectangular simple, en el que el valor de la Tensión de Compresión es el 85% del máximo
compresión para hormigones de tensión de rotura en compresión menor o igual a 30 MPa, la
altura del rectángulo es a, la posición de la resultante se ubica a a/2. La altura a del rectangulo
es igual al producto del coeficiente 1 por la profundidad del eje neutro c. Para hormigones en
los que f’c!30 MPa, 1= 0,85. Para valores mayores remitirse al CIRSOC 201, cap.10.2.7.3.
En realidad, como se aprecia en la perspectiva, la resultante de compresión C es la
resultante de un volumen en el que a lo anterior se extiende en todo el ancho b de la sección.
Lo hasta aquí expresado es la base para el dimensionamiento y las ecuaciones que
pueden escribirse permiten luego “mecanizar” por así decir el proceso de cálculo, con la
utilización de coeficientes tabulados a partir de las ecuaciones de equilibrio aquí planteadas.
8
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
DIMENSIONADO POR RESISTENCIA A FLEXION
EN VIGAS CONTINUAS
El dimensionado de vigas continuas requiere la determinación de los Momentos
Flectores en los apoyos, los máximos momentos de tramo, la variación del valor de los
momentos, o sea, el diagrama de Momentos Flectores y las reacciones de apoyo con el
correspondiente diagrama de Esfuerzo de Corte.
Dado un esquema de viga continua en el que figuran las dimensiones y las cargas, se
puede obtener manualmente (por métodos como el llamado Método de Cross) los valores de
los Momentos de apoyo, o, por programas computacionales todos los valores mencionados.
A partir del siguiente ejemplo se realizan las explicaciones correspondientes para el
dimensionado en Hormigón Armado:
q= 3,64 t/m
4.50
6.30
5.20
Fig. 8
11,17
11,86
5,81
2.90
3.23
1.60
1.94
3.07
3.26
7,07
10,57
11,76
Fig. 9
12,47
10,69
Fig 10
1º Tramo Î
2º Tramo Î
3º Tramo Î
M flector máx. = 4,60 Tm
M flector máx. = 6,52 Tm
M flector máx. = 6,86 Tm
9
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Por el procedimiento utilizado y las unidades empleadas se han obtenido los Momentos
últimos (Mu) de apoyo y tramo en tm. Se necesita, para dimensionar, conocer los momentos
nominales, es decir, el Mu dividido por el coeficiente Ø. (en este caso, Ø = 0,9)
Momentos
(tm)
tramos Tramo 1
Tramo 2
Tramo 3
apoyos
1/2
2/3
Mn
Momentos
NOMINALES
Mu (tm)
Mu
=
=
φ
0,9
5.14
7.24
7.62
11.88
13.86
4.60
6.52
6.86
10.69
12.47
Momentos
NOMINALES
(MNm)
0.0514
0.0724
0.0762
0.1188
0.1386
El procedimiento puede ser:
a) Prefijar dimensiones (situaciones de diseño arquitectónico que condicionan una
determina altura y/o ancho de la sección)
b) Encontrar una de las dimensiones, generalmente h, habiendo ya propuesto el b.
Realizamos el procedimiento primer procedimiento.
Se adopta Hormigón H20 y Acero ADN 420
Por razones de arquitectura la sección debe tener
b = 20 cm
h = 45 cm
Se debe conocer la distancia d
diam.barra
d = h − r − diam.estribo −
2
Se puede presuponer los diámetros de estribos y de las barras a utilizar pero,
generalizando el procedimiento, se sugiere adoptar como valor a restar de la altura total 4cm.
(Si las vigas resultaran con doble capa de armaduras, se debe reconsiderarse el valor
asignado, recordando que d es la distancia entre la fibra más comprimida y el baricentro de la
armadura traccionada)
d = 45 – 4 = 41cm
Comenzamos por el tramo de mayor momento, en este caso el tramo 3.
1) obtener kd
k =
d
d(m)
Mn(MNm)
b(m)
=
0.41
0.0762
= 0,681
0.20
De la tabla FLEXIÓN 3, del nuevo CIRSOC 201 se obtiene:
kd = 0,681 Î kz > 0,9 por lo que se adopta 0,9
10
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
As =
Mn
kz × d× f
× 10.000 =
y
Mn
0,9 × 0.41× 420
× 10.000 =
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Mn
154,98
× 10.000
Como se ha utilizado el mayor momento de tramo para obtener kz se puede inferir que
para todos los tramos se puede utilizar kz (0,9) y se puede “sistematizar” la obtención de la
armadura inferior en cada tramo de la manera siguiente manera, recordando que para obtener
cm2 se debe multiplicar por 10.000
Tramo 1
As =
0.0514
154,98
× 10.000 = 3.32cm 2
Î 3 Ø 12 (3.39cm2)
Tramo 2
0.0724
× 10.000 = 4.67cm 2
154,98
Tramo 3
0.0762
As =
× 10.000 = 4.92 cm 2
154,98
As =
Control de armadura mínima
encontrados son mayores.
min
Î 1 Ø 12 + 2 Ø 16 (5.15 cm2)
Î 1 Ø 12 + 2 Ø 16 (5.15 cm2)
. b.d = 0.0033 x 20 x 45 = 2,97 cm2 VERIFICA, los valores
Diseño de la armadura superior
Para cada uno de los apoyos debe encontrarse Kd y luego Kz.
Apoyo 1/2
k =
d
d(m)
Mn(MNm)
=
b(m)
0.41
0.1188
= 0,532
Î kz = 0.88
corresponde
0.20
As =
Mn
0,88 × 0.41× 420
× 10.000 =
0.1188
151,54
× 10.000 = 7.84 cm 2
Apoyo 2/3
k =
d
d(m)
Mn(MNm)
b(m)
=
0.41
0.1386
= 0,493
Î kz = 0.86
0.20
As =
Mn
0,86 × 0.41× 420
11
× 10.000 =
0.1386
148.09
× 10.000 = 9.36 cm 2
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Cuantía máxima:
Se debe también controlar que la armadura obtenida no supere una cuantía máxima
para H201
Armadura máxima 0.0129 x 20 x 45 = 11.61 cm2 > 9,36 cm2 (valor mayor obtenido)
DISEÑO DE LA ARMADURA.
Fig. 11
1
Valores de cuantía máxima según el tipo de hormigón
H20 – !max = 1.29% - H25 – !ma x = 1.61% - H30 –
!max =
12
1.94%
= 1.29%
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
De utilizar el segundo procedimiento (B) cabe lo siguiente:
Si se desea dimensionar la viga NO UTILIZANDO secciones doblemente armada, se
debe elegir el mayor momento (sea que esté ubicado en el apoyo o en el tramo)
En este ejemplo se debe utilizar Mn = 0.1386 MNm
Se prefija b = 20 cm y se encuentra d
d=k
Mn
d
b
Para esta situación se propone un kd que esté dentro de los valores que garantiza una
deformación máxima del acero del 5‰ y una deformación máxima de hormigón que no supere
el 3 ‰
Una vez que se obtiene el d es conveniente conocer los valores de cuantía mínima y
máxima para controlar en los primeros estadios del diseño seccional que los valores que se
obtendrán están dentro de los límites permitidos.
SECCIÓN DOBLEMENTE ARMADA
Diversas situaciones de diseño pueden conducir a que las dimensiones de la viga no
puedan ser mayores que las asignadas y que el Momento Crítico (o límite) de la sección sea
menor que el Momento Nominal. En estas situaciones se puede recurrir a la solución de
agregar doble armadura, armadura traccionada, (As), y armadura comprimida, (As´), que
forman el par o momento que se agrega a la sección para alcanzar el Momento Nominal
requerido.
M*
+
=
¨M
Msolic
r'
d +
h
r'
d
dh
=
r
r
b
b
Fig. 12
Como criterio
∆M
no debe superar el 30% del M*
O lo que es lo mismo decir que:
∆M
≤ 0,30
M*
Pasos a seguir:
1) Se calcula el M* de la sección o Momento Crítico
Se acepta que:
la deformación del acero εs = 0.005 ( o sea 5 ‰)
y la deformación del hormigón εb = 0.003 ( o sea 3 ‰)
la profundidad del eje neutro es c = Kc x d = 0.375 d
13
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
y se puede escribir que:
2
§ d ·
bd2
¸
= b¨
¨k ¸
Mcrit = M* = k 2
© d¹
d
Expresión que permite conocer el máximo momento que resiste una sección rectangular con
armadura de tracción.
Se puede reemplazar kd según la calidad de hormigón adoptado.
Y así se tiene
H20 Î kd = 0.469
H25 Î kd = 0.419
H30 Î kd = 0.383 2
Si la sección transversal no es capaz de desarrollar el Momento solicitante (Momento Nominal)
se recurre a la incorporación de armadura adicional tanto en la zona comprimida como en la
traccionada para que forme otro par (momento) interno que complete al Momento crítico, que
se expresa de la siguiente manera
Si
Mn > M*
Se tiene que:
M = Mn – M*
Y se tendrá una armadura ! As traccionada que se agrega y una armadura A’s que se coloca
en la zona comprimida de la sección de hormigón.
Si se adopta la pareja de deformaciones εs = 5 ‰ y εb = 3 ‰ corresponde adoptar el coeficiente
de minoración " = 0,90
y se obtiene el total de la armadura como se indica a continuación:
As = (
y
A' s =
M*
kz × d × f
$M
z' e × f' y
+
y
#M
z' e × f
) × 10.000
y
× 10.000
Se adopta f’y = fy = 420 MPa (valor que se obtiene si se cumple
d'
d
≤ 0,10 ).
Si no cumple con esta relación en la tabla 3 de dimensionado a flexión del CIRSOC se
encuentra el valor correspondiente.
E
G
I
F
&
&
0Q
$V
K
V
F
=H
G
]
$V
V
I\
Fig. 13
2
H
&
D
Puede resultar útil recordar los denominadores, según la secuencia de tipo de H° corrientes
H25: (0,419)2 = 0.176
H30: (0,383)2 = 0.147
H 20: (0,469)2 = 0.220
14
7
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Ejemplo de resolución de sección doblemente armada
Si en el ejemplo anterior por alguna razón solo se puede diseñar con 40cm de altura Se
tiene:
b = 20
h = 40
M* =
0.20 × 0.36 2
0.469 2
= 0.1178
M = 0,1188 – 0,1178 = 0,0010 (valor muy pequeño; se podría prescindir del cálculo exacto)
M = 0,1386 – 0,1178 = 0,0208
de tabla 3, en el límite inferior para deformación del acero 5‰ y el hormigón 3‰, corresponde
un kz =0,841
Armadura traccionada
Apoyo 1/2
As = (
0.1178
0.841× 0.36 × 420
+
0.0010
0.32 × 420
) × 10.000 = 9,33 cm 2
Apoyo 2/3
As = (
0.1178
0.841× 0.36 × 420
+
0.0208
0.32 × 420
) × 10.000 = 10,81 cm 2
Armadura comprimida
se necesita conocer
d'
d
para
=
0,04
0,36
= 0,11
0,10 Î f’y = 420 MPa
! = 12
para
0,12
corresponde para 0,11 Î f’y = 414
Î f’y = 408 MPa
Apoyo 1/2
A' s =
0.0010
0.32 × 414
× 10.000 = 0,75 cm 2
Apoyo 2/3
A' s =
0.0208
× 10.000 = 1,57 cm 2
0.32 × 414
Sección necesaria de armadura en los apoyos.
Fig. 14
15
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
VIGAS DE SECCIÓN T ó L
La viga en T (o L) es un elemento importante en la construcción de hormigón armado.
El llenado de la losa se realiza de una sola vez, desde la parte inferior de la viga hasta la parte
superior de la losa. Los estribos de las vigas y barras dobladas se extienden hasta penetrar
dentro de la losa, resultando evidente que una parte de la losa va a actuar como parte superior
de la viga para resistir la compresión longitudinal. La sección de la viga que resulta tiene
sección T (o L) en vez de sección rectangular.
Fig. 15
Cabe resaltar, que es de fundamental importancia en el caso de vigas continuas,
considerar en qué situación la losa es efectiva y la sección realmente se comporta como viga T
o L, acompañando en su ubicación a la zona traccionada de la viga.
Designaciones:
bw = ancho del nervio
b = ancho del ala; ancho colaborante
hf = espesor del ala
h = altura total de la viga
d = altura desde la fibra más comprimida hasta el eje baricéntrico de las armaduras de
tracción
Dimensiones del ala o ancho colaborante:
Se distinguen las vigas aisladas en las que se utiliza una sección T que debe tener las
siguientes características:
Espesor
Ancho efectivo
Î hf • ½ bw
Î b ” 4 veces bw
Fig. 16
Si la viga es parte de una losa, el ancho de losa efectivo como ala de viga T o viga L
que también se designa b debe cumplir con las siguientes condiciones:
Fig. 17
16
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
En viga T
be ” 8hf de losa
En viga L
be” 6 hf
b ” 8hf + bw
b ” Longitud de la viga /4
b ” s/2
b ” 6 hf x bw
b ” Longitud de la viga /12
b ” s/2
DIMENSIONADO DE VIGAS T o L
Se distinguen dos situaciones diferentes según la posición del eje neutro.
El eje neutro dentro del ala, es decir c ” hf
Fig. 18
Siendo
a = altura del bloque equivalente de tensiones
hf = espesor de las alas.
El eje neutro en el alma de la viga, es decir a> hf
Fig. 19
Procedimiento de dimensionado
Datos
Se conoce la geometría de la viga y el Momento Nominal. El tipo de hormigón y el acero a
utilizar.
Para conocer si se está en el caso a) o caso b) se necesita saber la profundidad del eje neutro
para continuar con uno u otro procedimiento.
Para ello,
1) conocer la distancia d
Se puede presuponer los diámetros de estribos y de las barras a utilizar pero, generalizando el
procedimiento, se sugiere adoptar como valor a restar de la altura total 4cm.
2) Determinar la profundidad del eje neutro
! =
$
%#
→ !& → " = !&
si verifica que c es menor que el espesor del ala.
17
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
c ” hf
y se está en el caso a), caso contrario en el caso b).
Si la profundidad calculada hasta el eje neutro es menor o igual al espesor hf de la losa
o ala de la viga se calcula como si fuera una viga rectangular de ancho igual a b, el ancho
efectivo del ala. O sea, una viga T puede tratarse como una viga rectangular si la altura del
bloque equivalente “a” es igual o menor que el espesor del ala.
Para determinar las armaduras se procede como si la viga T fuera una viga rectangular
de ancho b.
Determinación de la sección de acero necesaria
Para ello se necesita obtener Kz (de la tabla FLEXIÓN 3, del nuevo CIRSOC 201 a
partir del tipo de Hormigón y del kd encontrado).
As =
Mn
kz × d× f
× 10.000 =
y
Mn
k ×m×m
z
× 10.000 = As (cm 2 )
Verifiación de la cuantía: ȡ min
Amin =
f`c
× bw × d
4 × fy
Significa para, los hormigones usuales en nuestro medio:
H20 Î 0.00266 x bw x d
H25 Î 0.00298 x bw x d
H30 Î 0.00326 x bw x d
Amin ≥
1,4 × bw × d
fy
Significa
Amin • 0.0333 x bw x d
debe ser usado)
para acero fy = 420 MPa. (valor que para nuestro medio es el que
Caso b: c > hf
Cuando el eje neutro está ubicado a una distancia mayor que el espesor del ala y por lo tanto,
también está comprimida una parte de ancho igual a bw. (zona 1)
Se pueden desarrollar dos métodos para obtener el área de acero:
1) Consiste en considerar la zona 1 y la zona 2 de la figura (que no se explicita en la
presente publicación) y la que considera un bi equivalente según las consideraciones de
la fig.6.
Si el eje neutro está en el alma de la viga, es decir c > h
Se propone una sección rectangular equivalente con un ancho colaborante modificado bi
menor a b (ancho colaborante).
bi = Xb x b
y
a =ȕ1 x kc x d
Fig. 20
18
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
DISEÑO POR RESISTENCIA AL CORTE
En el caso de barras, sometidas a acciones externas, como es el caso típico de las
vigas, además de esfuerzos de flexión también están sometidas a esfuerzo de corte. La falla
por corte puede ser más peligrosa que la falla a flexión, esto se debe a la incertidumbre para
su predicción exacta.
Si al estudio de la deformación de vigas continuas, agregamos el análisis de la formación
y desarrollo de fisuras en aquellas de hormigón armado con armadura de tracción podremos
visualizar las situaciones siguientes:
Deformada
Diagrama de
Momentos Flectores
Diagrama de
Esfuerzo de Corte
Fig. 1
Lo expresado anteriormente se puede resumir en dos situaciones:
a) Zonas de corte alto y momento flector bajo.
En este caso no hay fisuras por flexión porque las tensiones de tracción son bajas y la
sección completa resiste al corte. El valor máximo del esfuerzo de corte se da en el eje
neutro y las fisuras están a 45º y se inician en la zona próxima al eje neutro.
Este es el caso típico de las zonas próximas a los apoyos de las vigas simplemente
apoyadas.
b) Zonas con corte y momento flector alto.
En este caso las vigas con armaduras de tracción bien dimensionadas presentan fisuras
para cargas de servicio, que comienzan en el borde traccionado, con una dirección casi
vertical. Esto se debe a que son producidas por la tracción proveniente de la flexión.
ESQUEMA DE FISURAS
Fig. 2
(de la figura 11.4.3 del Reglamento Cirsoc 201 / 2005)
19
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Si se incrementan las cargas también aumentas las tracciones diagonales con los que
las fisuras no solo se profundizan por la flexión sino que también se inclinarán por el
incremento del esfuerzo de corte. La falla por corte también se conoce como falla a tracción
diagonal.
Una vez formada, la grieta diagonal se prolonga bajo una carga ligeramente superior,
atraviesa la viga por completo desde la armadura a tracción hasta la cara a compresión y la
separa en dos, produciendo en consecuencia la falla.
Si se analiza una porción de una viga cargada arbitrariamente, donde se ha formado
una grieta de tracción diagonal se puede ver que en la parte izquierda de la grieta, existe un
esfuerzo de corte que actúa hacía arriba y su valor es
Vext = R1 – P1
Aplicando la condición de equilibrio de una sección, para que la misma este en equilibrio
se debe indicar las fuerzas externas como las fuerzas internas, (Fig. 3).
Fig. 3
En la sección indicada el esfuerzo de corte, después de la formación de la grieta, es
igual a la fuerza de corte por la sección de hormigón comprimida (Vcz), el cortante de la
sección inclinada de la grieta (Vi) y la resistida por la armadura correspondiente a las barras
longitudinales ( Vd)
V ext - Vint = 0
V ext = Vint = Vcz + Viy + Vd
Dónde:
Vcz es la fuerza de corte que se desarrolla en la porción no fisurada del hormigón.
Viy es la proyección vertical de la fuerza Vi que se produce por el entrelazamiento
de la superficie rugosa.
Vd es la fuerza generada por el empotramiento de la armadura traccionada en el
hormigón.
Fig. 4
Cuando se coloca armadura de corte en el alma, sean estribos o barras dobladas, en la
ecuación de equilibrio del corte se introduce, además de las anteriores, la contribución de los
estribos, (caso de la Fig. 5) y de las barras dobladas, (caso Fig. 6) y es la base para el
dimensionado de los estribos y barras dobladas como se verá en el desarrollo posterior.
20
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
V ext = Vcz + Viy + Vd + Vs
Fig. 5
V ext = Vcz + Viy + Vd + Vs
Vs =
Fig. 6
Av sen ! fv
Disposiciones reglamentarias del CIRSOC 201 - 2005
En las barras solicitadas a esfuerzos internos de flexión y corte (como en la generalidad
de las vigas) debe cumplirse que:
Vn ≥
Vu
φ
Vn : Resistencia nominal al corte
Ø = 0,75 Factor que reduce la resistencia al corte para considerar las incertidumbres en los
materiales y en las dimensiones.
Vu : Esfuerzo de corte actuante mayorado, o sea el que se obtiene aplicando los coeficientes
de mayoración de las acciones.
Determinación de la sección crítica según el tipo de apoyo y de carga de la viga
En general la resistencia requerida al corte es el esfuerzo de corte que se produce en el
borde del apoyo.
Sin embargo, se puede considerar como sección crítica a una distancia d del apoyo,
aquellas situaciones en que el apoyo sea directo, las cargas están aplicadas en la parte
superior de la viga y no existe ninguna carga concentrada entre el borde de apoyo y la
distancia d,
9X
9X
9X
G
G
Fig. 7
21
G
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
En las situaciones que a continuación se grafican, no corresponde disminuir el esfuerzo
y se lo considera en el borde indicado.
9X
G
9X
Fig. 8
Verificación de las dimensiones de la sección
Se debe verificar la Tensión de corte (Ž
Ž en el actual reglamento; “ (tau) anteriormente)
según la expresión siguiente:
ν = (τ ) =
Vn MN
(
= MPa)
b × d m2
y debe cumplir que:
ν = (τ ) =
Vn
b×d
≤
5
f' c
6
De acuerdo al tipo de hormigón que utilizado, se puede sistematizar la tensión de corte
máxima.
Por lo tanto, para:
H20 Î 3,727MPa
H25 Î 4,167MPa
H30 Î 4,564MPa
Esta ecuación
ν = (τ ) =
Vn MN
(
= MPa)
b × d m2
permite rápidamente visualizar si la sección es pequeña o no y qué tipo de disposición
constructiva de estribos se necesita.
Si se ingresa a la tabla de Corte 1, del Cirsoc 201 tomo Tablas para el Diseño de
Elementos estructurales de hormigón, edición 2002 página 57 (ver anexo), se obtiene si la
sección transversal es demasiado pequeña, en cuyo caso debe re-dimensionarse 1 y qué tipo
de separación de estribos es necesaria.
1
Para secciones rectangulares bw = b
22
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Dimensionado de la armadura
La resistencia nominal al corte Vn se determina por la siguiente expresión:
Vn = Vc + Vs
dónde
Vc: es la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón
Vs: es la resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte
La resistencia al corte Vc se determina con la siguiente expresión, para elementos
sometidos únicamente a corte y flexión.
1
Vc =
f´c × b × d
6
De la comparación del valor obtenido Vc con el corte solicitante de la sección crítica
mayorado, se dan tres posibilidades:
Vn < ½ Ø Vc
armadura constructiva
Vn < Ø Vc
armadura mínima
Vn > Ø Vc
calcular la armadura de corte para resistir la diferencia.
por lo que el corte a resistir por la armadura será:
Vs = Vn - Vc
Resistencia al corte proporcionada por la armadura correspondiente.
Tipos de armadura de corte
La armadura de corte puede estar constituida por
a) estribos perpendiculares al eje del elemento
b) mallas de acero soldada con alambres ubicados perpendicularmente al eje del
elemento
c) estribos circulares, estribos cerrados y zunchos.
d) armadura longitudinal con una parte doblada que forme un ángulo de 30º o más con
la armadura longitudinal de tracción.
e) combinaciones de estribos y armadura longitudinal doblada.
6 6 6 6 6
6
SHUFKDV
HVWULERV
EDUUDVGREODGDV
Fig. 9
23
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Límites para la separación de la armadura de corte
La separación s de la armadura de corte ubicada en forma perpendicular al eje del
elemento (estribos) debe ser
d/2
s”
40cm
Los estribos inclinados y la armadura longitudinal doblada deben estar separados de
manera tal que cada línea a 45º que se prolongue hacia la reacción, desde la mitad de la altura
del elemento, d/2, hasta la armadura longitudinal de tracción debe estar cruzada, como mínimo,
por una línea de armadura de corte.
Si Vs se resistirá con estribos solamente resulta
Vs =
Av × fy × d
s
siendo
Av la sección necesaria de armadura de corte
donde Av= Av1 x nº de ramas
siendo Av1 el área de acero de una rama del estribo
fy la tensión de fluencia de diseño para la armadura de corte: 420 MPa en general ó 500 MPa
en mallas de acero soldadas de alambre conformado.
d: h – r
s: separación entre estribos.
de dónde se deduce que el acero necesario (Av) si uno propone la separación resulta:
Av=
Vs × s
d × fy
si se propone el diámetro de estribo y cantidad de ramas resulta
s=
Av × fy × d
V
s
Se recuerda que las unidades tienen que ser MPa y m
Diseño de estribos
Los estribos pueden diseñarse de 2 -3 ó 4 ramas.
La sección Av de acero es igual al área del estribo elegido por el número de ramas.
Av = nº de ramas x Av1.
24
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
GRVUDPDV
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
WUHVUDPDV
FXDWURUDPDV
Fig. 10
Diseño con barras dobladas.
Pueden darse situaciones en las que el Esfuerzo de corte no puede ser cubierto con la
resistencia del Hormigón Vc y la de los estribos Vs estribos. En esta situación se puede recurrir al
empleo de las barras dobladas.
Otra situación sería, por ejemplo, si se desea mantener constante la separación de
estribos en toda la viga.
Vs barras dobladas
Vs estribos
Vc
d
Fig. 11
El procedimiento en este caso es:
1) Evaluar el esfuerzo de corte que absorbe el hormigón
1
Vc =
f´c × b × d
6
2) Determinar el esfuerzo que le corresponde a los estribos, diseñados según la
separación que se propone, número de ramas y estribos.
Vs
est
=
Av × fy × d
s
25
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
3) La diferencia, (o el resto) será resistido por las barras dobladas, como se puede
apreciar en la figura. Si la barras dobladas lo son a un ángulo de 45º el valor del esfuerzo de
corte que toman es
Vs barras dobladas = $%
´ "# ´ 2! (nºbarras´ secc.barras)´fy ´ 1.41´ d
=
s
para s separación de las barras dobladas
s
¾ d
s
Fig. 12
Debe cumplirse
Vc + Vs barras dobladas + Vs estribos  Vn
y también que la armadura mínima de estribos sea:
1
Vs = V
est
2 c
Resolución dimensionado al corte de Vigas Continuas.
(Continuación del ejemplo utilizado en dimensionamiento a flexión)
Se realiza la verificación del comportamiento al corte a partir del diagrama de esfuerzo de
corte.
q= 3,64 t/m
4.50
6.30
5.20
Fig. 13
Se conocen las reacciones de apoyo de cada uno de los tramos, (tal como se leen en el
diagrama).
Corresponde considerar “apoyo directo” porque cada uno de los apoyos en esta viga
continua es sobre columnas.
26
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
La solicitación del esfuerzo de corte se verifica a una distancia igual a: la mitad de la
dimensión del apoyo (suponemos que la columna tiene 20cm) a la que se agrega la altura de la
viga menos el recubrimiento (h – r = d)
En este caso se debe considerar el esfuerzo de corte a una distancia
c
2
+d=
0.20
2
+ 0,41 = 0,51
11.86
11.17
5.81
0,51
0,51
7.07
0,51
10.57
0,51
0,51
11.76
0,51
Fig. 14
Conocida cada reacción se resta la “carga” ubicada entre la distancia a la que se
necesita conocer el Valor V crítico y el eje del apoyo considerado). Para cada una de las vigas
se tiene los siguientes valores
5,81 – 0,51 x 3,64 = 3,95 tn
10,57 – 0,51 x 3,64 = 8,71 tn
11,17 – 0,51 x 3,64 = 9,31 tn
11,76 – 0,51 x 3,64 = 9,90 tn
11,86 – 0,51 x 3,64 = 10,00 tn
7,07 – 0,51 x 3,64 = 5,21 tn
En este caso particular, se podría agrupar los resultados por ser valores parecidos. Para
mayor claridad se resuelve con todos los valores.
Valor del esfuerzo de
corte
Vu
3,95 tn
8,71 tn
9,31 tn
9,90 tn
10,00 tn
5,21 tn
Valor
corte
del
Vn =
esfuerzo
Vu
Vn ( MN)
0,75
5,27 tn
11,61 tn
12,41 tn
13,20 tn
13,33 tn
6,95 tn
27
de
0,0527
0,1161
0,1241
0,1320
0,1333
0,0695
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
1) Verificación de las dimensiones de la sección.
Como en las distintas secciones de apoyos interiores el valor Vn es aproximadamente
del mismo rango, se verifica con el mayor esfuerzo de corte
ν = (τ ) =
Vn
b×d
=
0,1333
0,20 × 0,41
= 1,625
MN
= 1,625MPa
m2
valor menor que el que le corresponde al hormigón H20 Î 3,727MPa (VERIFICA)
Con este valor se ingresa a la Tabla Corte 1 con la ordenada según el tipo de hormigón
y con el valor encontrado, en nuestro caso § 1,63 se obtiene que se requiere estribos
normales.
En cambio para los valores de 0,0527 y 0,0695 reemplazando en la misma fórmula
ν = (τ ) =
Vn
b×d
=
0,0695
0,20 × 0,41
= 0,848
MN
= 0,848MPa
m2
Con este valor en la Tabla Corte 1 se encuentra que se requiere estribos mínimos
1) Contribución del Hormigón
1
1
20 × 0,20 × 0,41 = 0,0611MN
Vc =
f´c × b × d =
6
6
Primera propuesta: diseño con estribos
V = Vn - Vc
s
Designación
Vn
0,0527
0,1161
0,1241
0,1320
0,1333
0,0695
V1
V2
V3
Vs=Vn – Vc
0,0527 < 0,0611
0,1161-0,0611=0,0550
0,1241-0,0611=0.0630
0,1320-0,0611=0,0709
0,1333-0,0611=0,0722
0,0695-0,0611=0,0084
En la tercera columna se obtiene lo que se necesita absorber con estribos.
Si la separación máxima es
d 0,41
smax = =
= 0,205 ≈ 0,20m
2
2
y se utilizan estribos Ø 6 se puede obtener qué esfuerzo de Corte Vs absorben estribos de 2
ramas de diámetro 6mm ubicados a 0,20m.
Vs =
Av × fy × d
s
=
(2 × 0,28) 420 × 0,41
×
≈ 0,0482MN
10.000
0,20
Queda diseñar separación de estribos cuando Vs > 0,0482MN
28
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Se proponen dos situaciones para Vs hasta 0,0630 y con Vs hasta 0,0722
Se propone mantener los estribos Ø 6 quedando resolver como incógnita la separación
a la que hay que colocarlos
Vs =
Av × fy × d
s
∴s =
Av × fy × d
V
s
s=
Av × fy × d (2 × 0,28) 420 × 0,41
=
×
= 0,134 ≈ 0,13m
10.000
0,0722
V
s
s=
Av × fy × d (2 × 0,28) 420 × 0,41
=
×
= 0,153 ≈ 0,15m
10.000
0,0630
V
s
0,1333 MN
0,1241MN
0,0527 MN
3.23
2.90
1.60
1.94
3.07
3.26
0,0695MN
0,1161MN
0,1320MN
estribos c/15cm
Fig. 15 Diagrama de Esfuerzo de corte
estribos c/13cm
Vn =
Vu
0,75
indicar el estribado según las separaciones obtenidas.
en MN y distancias en que se debe
Este procedimiento está del lado de la seguridad.
Una situación más ajustada se da si se indica en el diagrama y se lee a escala hasta
dónde cubren el diagrama de esfuerzo de corte la resistencia al corte del hormigón y la de la
armadura mínima. Para esta viga:
Vc = 0,0611 Mn
y Vs(estribos mínimos) = 0,0482MN
y después indicar la zona de densificación de estribos.
29
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
TABLA CORTE 1
30
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ESTRUCTURAS SUPERFICIALES PLANAS
LOSAS
Las losas son estructuras generalmente planas cargadas perpendicularmente a su
plano. Por ser elementos estructurales superficiales denominados genéricamente láminas, una
de sus dimensiones, el espesor, es mucho más pequeña que las otras dos. Los apoyos de las
losas se ubican a lo largo de sus lados, sobre elementos lineales (vigas o muros). Existen
situaciones especiales en las que las losas apoyan sobre columnas y se las conoce como
losas sobre apoyos puntuales.
En general son de planta rectangular, aunque las hay triangulares, trapeciales,
poligonales o circulares.
Si bien se identifican con los entrepisos o cubiertas, pueden cumplir distintas funciones
como: losas de escalera, losas de rampas, las paredes de los tanques de agua, los muros de
contención, etc.
Según su comportamiento estático se dividen en:
- losas armadas en una dirección
- losas armadas en dos direcciones
Las losas armadas en una dirección, llamadas “losas derechas”, transmiten la carga
esencialmente en la dirección de la luz de cálculo. A esta situación pertenecen las losas que
apoyan únicamente en dos lados opuestos.
Cuando tienen apoyos en los cuatro lados y cumplen con la condición indicada a
continuación, resultarán armadas en dos direcciones:
l
mayor
≤ 2 se arman en dos direcciones, resultan más económicas y son llamadas
l
menor
“losas cruzadas”.
En otras palabras, las losas que apoyan en 4 bordes y cuya luz mayor no exceda de
dos veces la luz menor (lmayor ≤ 2 lmenor)
En las losas sobre apoyos lineales (las más comunes) encontramos a su vez, losas
aisladas o losas con continuidad. La continuidad puede darse en el caso de las losas en una
dirección en uno o los dos bordes. En las losas en dos direcciones, la continuidad puede estar
desde uno hasta los 4 bordes. Su graficación se lee en el tema de predimensionado de losas.
Por su conformación las losas se clasifican en:
Losas macizas: todo el espesor es de hormigón armado.
Losas alivianadas o nervurada. Cuando el espesor de la losa es importante se puede
disminuir el peso del hormigón, eliminando el hormigón de las zonas traccionadas que no
colabora.
Se reemplaza por bloques, ladrillos cerámicos huecos o por elementos de poliestireno
expandido que quedan perdidos en la losa, quedando solamente los nervios de hormigón que
conectan la armadura con la capa de compresión. Otra alternativa es colocar moldes que luego
se retiran. Las losas nervuradas pueden disponerse en una o en las dos direcciones.
31
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Predimensionado de losas
Según la continuidad que presenten se puede predimensionar el espesor de la losa
según los siguientes coeficientes.
/
/
/
/
K /
K /
K Losas armadas en una dirección
/\
/[
K /P
K /P /P
K /P
/[/\
Losas armadas en dos direcciones
Estos coeficientes son aplicables para losas macizas con un peso total q = (qD+qL) entre 600 y 800 kg/m2.
Fig. 1
LUZ DE CÁLCULO
En las losas continuas se tomará la distancia entre centros de apoyos, columnas o vigas
de apoyo.
Lc = L
En el caso de losas aisladas (no continuas), sobre apoyos simples, o sea que pueden
girar libremente la luz de cálculo para la determinación de los momentos puede considerarse
Lc = Ln + h ” L (distancia entre centros de apoyos)
Lc = luz de cálculo
h = altura de la losa
L = distancia entre ejes de apoyos.
Ln = luz libre entre columnas o apoyos.
32
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCION
SOLICITACIONES
Para analizar losas aisladas o losas continuas el procedimiento es similar al realizado
para las vigas, considerando una altura igual a la altura total de la losa y un ancho b = 1m.
En las losas continuas, para determinar las solicitaciones de diseño, es recomendable
ubicar las sobrecargas de manera de obtener las más desfavorables.
Cuando las sobrecargas a considerar sean uniformemente distribuidas, bastará, por lo
general, disponerlas por tramos enteros como se indica a continuación.
L
DJ
L
D
L
D
Fig. 2
Este procedimiento se justifica siempre y cuando la sobrecarga accidental (qL) sea
importante con relación a la carga (qD).
Cuando dos tramos adyacentes tienen la carga y sobrecarga total se obtiene el
Momento de Apoyo máximo. Cuando se desea conocer el mayor momento de tramo, en ese
tramo se coloca la carga y sobrecarga total (qD + qL) y en los adyacentes solamente la carga
permanente (qD).
En general, en construcciones para viviendas, edificios de viviendas u oficinas se
estudia únicamente el estado q = (qD + qL) uniformemente repartido en todos los tramos (caso
a).
LOSAS DERECHAS (o losas armadas en una dirección).
Métodos simplificados.
Si la relación de luces entre tramos continuos no difiere en un 20% y tampoco las
cargas se pueden calcular los momentos según coeficientes que se indican a continuación.
MB =
MB =
q.L2
9
MB =
q.L2
11
MB =
q.L2
11
MB =
q.L2
10
MB =
q.L2
10
MB =
q.L2
11
MB =
q.L2
16
MB =
q.L2
11
MB =
q.L2
10
MB =
q.L2
11
MB =
q.L2
10
q.L2
11
MB =
q.L2
16
MB =
q.L2
16
Fig. 3
33
MB =
q.L2
11
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Esto permite determinar solicitaciones aproximadas, siempre que se cumplan las siguientes
condiciones:
a) Existan dos o más tramos.
b) Los tramos sean aproximadamente iguales, con la longitud del tramo mayor, como
máximo, un 120% de la longitud del tramo menor adyacente.
c) Las cargas estén uniformemente distribuidas.
d) La sobrecarga accidental L, sin mayorar, sea igual o menor a 3 veces la carga
permanente D sin mayorar.
e) Los elementos sean prismáticos
Para conocer el valor de los momentos negativos, se debe adoptar el promedio de las luces
de los dos tramos adyacentes.
Disposiciones constructivas
Se sugiere los siguientes espesores mínimos
• En la generalidad de los casos
9cm
• Losas con tránsito de automóviles
12cm
Armaduras
Generalidades
“El armado correcto requiere un conocimiento completo de la distribución de esfuerzos
en el interior de la estructura, pero también exige un planeamiento práctico del proceso
constructivo. Las armaduras complejas solo pueden ser resueltas satisfactoriamente mediante
una minuciosa dedicación y un gran amor a la construcción. Quién las diseñe debe ser
consciente del significado del arte del armado, como parte de sus tareas parciales en la
construcción.”1
La separación entre
siguientes requisitos
s ”
s ”
s ”
las barras de la armadura, s, en cm, debe cumplir con los
2.5 h (h= altura de la losa)
25 db (db= diámetro de la barra)
30 cm
Sin embargo las “recomendaciones de la práctica” indican que se debe seleccionar el
diámetro de las barras para que el espaciamiento no sea mayor que aproximadamente 1.5 h.
En las losas armadas en una dirección se debe colocar una armadura transversal que
debe ser igual a
Atransversal = 0,20 Aprincipal
y la separación entre barras debe cumplir:
s ” 3h
s ” 30cm
Además, por esfuerzos debido a contracción del hormigón se indica una cuantía
mínima igual a
Para fy ” 420 MPa Î ȡmin = 0.0018
Dimensionado por resistencia al corte.
En las losas macizas se recomienda no utilizar armadura de corte. Para ello debe
verificarse que
1
FRITZ LEONHARDT. Estructuras de Hormigón armado. Tomo III. Bases para el armado de estructuras de hormigón armado.
Editorial EL ATENEO
34
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Vc =
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
1
fc.′ b.d
6
dónde:
Vc: Resistencia al corte del hormigón (sin armadura de corte)
f’c: tensión de compresión del hormigón
b: 1m (para losas macizas)
d: altura útil
Si se ha fijado h, altura total de la losa, la altura útil d resulta:
d
diámetro − de − la − barra
d = h − recubrimiento −
=h−2− b
2
2
Debe cumplirse que:
Vu
Vn ≥
φ
Vn: resistencia nominal al corte
Vu: esfuerzo de corte último
factor de minoración de resistencia Ø = 0,75 para solicitación de Corte
Tabla2: Máxima resistencia nominal de losas macizas sin armadura de corte
d
(cm)
6
H20
H25
H30
4.472
5.000
5.477
5.916
6.5
4.845
5.417
5.934
6.409
7
5.217
5.833
6.390
6.902
7.5
5.590
6.250
6.847
7.395
8
5.963
6.667
7.303
7.888
8.5
6.336
7.083
7.759
8.381
9
6.708
7.500
8.216
8.874
9.5
7.081
7.917
8.672
9.367
10
7.454
8.333
9.129
9.860
10.5
7.826
8.750
9.585
10.353
11
8.199
9.167
10.042
10.846
11.5
8.572
9.583
10.498
11.339
12
8.944
10.000
10.954
11.832
12.5
9.317
10.417
11.411
12.325
13
9.690
10.833
11.867
12.818
13.5
10.062
11.250
12.324
13.311
Proceso de cálculo y/o verificación
2
Vn = Vc =
1
6
′ b.d =
fc.
H35
1
25 x1,00mx0,105m = 0,08750MN = 87,50KN = 8.750Kg/me tro de losa
6
35
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
1) Obtener los momentos últimos, Mu, con las cargas mayoradas
(qu = 1.2qD + 1.6qL)
2) Calcular el valor del momento nominal:
Mu
Mn =
φ
3) Verificar la resistencia al corte de la losa con la ayuda de la tabla anterior.
Vu
Vn ≥
φ
4) Obtener kd y según la tabla de flexión que corresponda
5) Calcular la armadura
6) Verificar separación máxima, cuantía mínima y cuantía máxima.
Este procedimiento se realiza para apoyos y para tramos. Las losas continuas macizas,
armadas en una o en dos direcciones dirección llevan armadura inferior en los tramos y
armadura superior en la zona de los apoyos.
§
·
¨
¸
d
m ¸
¨
k =
Ÿ unidades
d
¨ MNm ¸
Mn
¨
¸
b
m ¹
©
Valor de Kd
kd : el valor encontrado nos permite por medio de las tablas confeccionadas permite conocer si la pareja
de deformaciones del hormigón y del acero está dentro de los límites permitidos. Si el valor obtenido no
está en tabla se debe proponer nuevas dimensiones.
Conocido kd, en tablas confeccionadas según el tipo de acero y para distintas calidades de
hormigón se obtiene
Î ke - kc - kz
ke: permite determinar la sección de hierro necesaria.
kc: permite conocer la profundidad del eje neutro
kz: permite determinar z (brazo de palanca entre la resultante de
compresión del hormigón y la resultante de tracción ubicada en el baricentro de la sección
de acero). z = kz x d
El cálculo de la armadura se realiza de la siguiente manera
As = ke
Mn
d
= (ke
MNm
m
)
ó
As =
Mn
z × fy
=
Mn
k z × d × fy
=(
MNm
adimensional × m × MPa
) × 10.000
Para obtener el valor en cm2 se ha multiplicado el resultado por 10.000
Se recomienda que kz nunca supere el valor de 0,9 para tener en cuenta defectos
constructivos.
La armadura de repartición o armadura transversal, 1 de la armadura principal
5
obtenida o lo que es lo mismo 0,20 Aprincipal
36
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Ejemplo de resolución
Losas continuas armadas en una dirección
La Secretaría de Planeamiento de la Universidad Nacional de Córdoba, ha diseñado
y construido la Biblioteca de la Facultad de Derecho1 (2004-2005). Es un edificio, colindante
con otras dependencias de la Facultad en el centro de la ciudad de Córdoba. Se ha destinado
el subsuelo para la ubicación de los libros. El acceso se ubica en la planta baja y se destina los
pisos superiores para lectura. Es una decisión acertada desde el punto de vista estructural
porque así, las sobrecargas de uso están adecuadamente distribuidas.
Se utilizará Hormigón Armado. Por ser un edificio público ubicado en zona sísmica, la
calidad del mismo es H20 (f´c 20 MPa) y acero ADN- 420 (fy = 420 MPa)
Se necesita estimar el peso de la construcción. Para ello se ha seleccionado del
Reglamento Cirsoc 101 la lista de los materiales y actividades que desde el proyecto de
arquitectura se ha indicado.
Análisis de carga de las losas de la Planta Tipo, cuyo destino es Sala de Lectura.
Predimensionado:
La losa 103 A sería la que se encuentra en situación más desfavorable, con
continuidad de un solo lado. Utilizando el método aproximado2 sugerido anteriormente
tenemos:
d=
l
350
=
= 10cm
35 35
Losa
0,10m x 1m x 1m x 2500 Kg/m3
Contrapiso 6 cm
0,06m x 1m x 1m x 1800 Kg/m3
Mosaico granítico
Mezcla de asiento
0,015m x 1m x 1m x 1900 kg/m3
Cielorraso colgado de yeso
=
=
=
=
=
250 Kg
108 Kg
60 Kg
29 Kg
20 kg
peso propio qD = 467 kg ~ 470 Kg
+
sobrecarga sala de lectura qL = 300 Kg
qu = (1.2qD + 1.6qL) = 1.2 x 470 kg + 1.6 x 300 =
564
+
480 = 1044 ~ 1050 Kg.
qu =
1
Se agradece a la Sra Secretaria de la Secretaria de Planeamiento Físico, Arqta. Elizabeth Ponce la autorización para utilizar
como material didáctico la obra referida.
2
El Reglamento Cirsoc 201 indica Tabla 9.5 (a) Capítulo 9, valores mínimos de h para los cuales no es necesario verificar la
deformación que experimentan las losas. El valor aquí utilizado, está avalado por la práctica y, de ser necesario, habría que
cumplimentar las verificaciones que pide la Norma cuando los valores de espesor adoptados son menores.
37
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Ejemplo Práctico
Biblioteca de la Facultad de Derecho
1
1
1. 62
3
3
1. 76
1. 50
1. 76
1. 62
3
1. 62
3
1. 62
4. 59
2. 95
5. 80
2. 95
2
3. 50
2
2. 95
2. 95
2. 95
4. 51
2. 95
1. 60
3. 02
3. 02
1. 60
1. 10
1. 10
4. 51
3. 50
5. 55
3. 50
5. 55
3. 50
2
3. 50
2
2. 95
21. 69
21. 69
5. 80
5. 29
3. 50
5. 29
3. 50
3. 90
3. 50
3. 94
1
1
SUBSUELO
PLANTA BAJA
E SC :1 :250
E SC :1 :250
1. 62
1
3
3. 50
1. 76
1. 62
3
5. 80
3. 50
2. 95
21. 69
5. 29
2. 95
2
3. 50
2
2. 95
3. 50
5. 55
2. 95
3. 02
1. 60
1. 10
4. 51
1. 65
PLANTA TIPO
E SC :1 :250
C OR T E 1-1
38
E SC: 1:300
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
V109 (20x40)
PLANTA TIPO
C3
V 125
(2 0 x 4 0 )
C3
V 1 2 4 (1 5 x 4 0 )
x4
0)
V 1 2 3 (2 0 x 4 0 )
(4 0
105
10
05
M1
V114
M 120
(20x40)
106
12
C4
V 1 2 2 (4 0 x 4 0 )
105 A
10
C6
V 1 2 1 (2 0 x 4 0 )
C4
V 120
VE
(4 0 x 4 0 )
V103 (40x40)
C6
V 118
(4 0 x 4 0 )
C5
V113 (20x40)
LE
10
(2 0 x 4 0 )
V 119
(2 0 x 4 0 )
103A
10
103
10
C4
LE
10
V 117
C1
V112 (20x40)
V1
104
10
V108 (13x40)
04 (
40x
40 )
C1
(4 0 x 4 0 )
V102 (40x40)
(20x40)
C1
C4
V 118
(4 0 x 4 0 )
V111
103
10
C5
V 117
(4 0 x 4 0 )
(4 0 x
40)
(20x40)
C1
V 10
1
V110
102
10
V 116
(4 0 x 4 0 )
C5
x4
M101a(15x40)
M
1 01
101
10
V 115
(2 0 x 4 0 )
39
M110(20x40)
C2
(4 0
H o rm ig o n H -2 0
A c e ro A D N -4 2 0
C4
0)
M A T E R IA L E S :
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
A continuación se resuelven dos “franjas” de losa, correspondientes a 1 m de ancho y se
obtienen los siguientes diagramas de cargas y momentos flectores.
Losas 101 – 102 – 103 – 103 – 104 - 105
Losas 101 – 102 – 103 – 103 A
Estudio de las solicitaciones.
40
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
En esta situación de diseño es importante controlar los valores de los momentos de
tramo con el estudio de cargas alternadas porque la relación
QL 300
=
= 0,63
QD 475
o sea el valor de QL es un 63% del valor de QD, por lo que es aconsejable realizar los
esquemas indicados a continuación.
Losas 101 – 102 – 103 – 103 A (con sobrecarga alternada)
De la observación de los resultados se desprende que el momento Mayor es de 1,34tm
Como se ha indicado anteriormente en una losa se realiza el dimensionado a flexión
para una faja de 1m de ancho
Los datos utilizados a utilizar son:
b=1m
d = h − recubrimiento −
diámetro − de − la − barra
2
d
=h−2− b
2
Para este ejemplo d = 10 – 2 – 0,5 = 7,5cm (se propone como primera aproximación un
diámetro de barra de aproximadamente 10mm).
1) Verificación de la resistencia al corte de la sección de hormigón propuesta sin armadura de
corte.
El máximo valor del esfuerzo de corte que se obtuvo es:
Vn =
Vu
φ
=
2221
0,75
= 2961Kg
41
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Vu = 2221 Kg
2961 kg << 5590 kg (valor de Vn para una losa de d=7,5cm y H20, según tabla)
Mn =
Mu
φ
Además
Las unidades y materiales a emplear son:
Momentos: M = MNm (Mega Newton metro)
Dimensiones de la sección en cm (bo; h; d ) en metro
As = cm2
Hormigón H20 Î f’c = 20 MPa
Acero
A420 Î fy = 420 MPa
Diseño de la armadura
Para diseñar la armadura se estudia en primer lugar la armadura en los tramos.
De la lectura de resultados se visualiza que los tramos extremos por ser de luz muy
pequeña con relación a los tramos adyacentes el diagrama de momentos indica que las
tracciones se producen en la cara superior de la losa. Sin embargo, dichos tramos tendrán que
tener una armadura inferior mínima.
Ordenando todos los mayores valores de momentos positivos de tramo se tiene los Mu 3
Mu
y como interesa conocer el valor Mn =
y en las unidades requeridas se confecciona el
φ
siguiente cuadro:
Designación
Losa 101
Losa 102
Losa 103
Losa 103 A
Losa 104
Losa 105
Losa 105 A
Mu (tm)
0 tm
0,73 tm
0,73 tm
1,12 tm
0,76 tm
0 tm
0,40 tm
Mn =
Mu
0,9
(tm) Mn (MNm)
0
0,811
0,811
1,244
0,84
0
0,78
0,0081
0,0081
0,0124
0,0084
0,0078
Losa 105 A
q × l2 1.05 × 1.752
M=
=
= 0.40 tm
8
8
3
En esta etapa de transición para implementación de la nueva versión de la norma se ha adoptado utilizar para el
análisis de carga las unidades con las que el alumno se encuentra más familiarizado (Kg o t). Se recomienda indicar
el valor del Momento flector en tm para luego expresarlo en MNm, corriendo 2 unidades hacia la izquierda.
42
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
En los apoyos
Apoyos
Mu (tm)
101 / 102
102 / 103
103 / 103
103 / 103 A
103 / 104
104 / 105
0,96
1,14
1,04
1,34
1,14
0,86
tm
tm
tm
tm
tm
tm
Mn =
Mu
0,9
1,07
1,27
1.16
1.49
1,27
0,96
(tm) Mn (MNm)
0,0107
0,0127
0,0116
0,0149
0,0127
0,0096
Cálculo de la armadura
Como se ha partido de prefijar una altura h = 10 cm, se verifica a partir de conocer el kd
que los valores de deformación del hormigón estén entre los límites aceptados.
kd =
§
·
¨
¸
d
m ¸
¨
Ÿ unidades
¨ MNm ¸
Mn
¨
¸
m ¹
bo
©
y luego determinar el valor de ke ó kz
Para este ejemplo d = 10 – 2 – 0,5 = 7,5cm
0,075
k =
= 0,815 ≈ 0,82
d
0,0084
1
Con ese valor (0,82) se entra en la tabla Nº 3 y por interpolación se encuentra
kd
ke
0,89
0,75
24,766
25,207
14
Î
0,441
Pero, la diferencia entre 0,89 y el valor que se necesita 0,82 es 7 le corresponde un =0.221
O sea, ke = 24,766 + 0,221 = 24,987
0,0084
As = 24,987 ×
= 2,80cm 2 /m
0,075
aprecia que kz correspondiente es ! 0,95 >> 0,9
Si se continúa con la lectura se
Se adopta 0,9 y se calcula la armadura para todos los tramos como a continuación se indica
As =
Mn
z × fy
=
Mn
k z × d × fy
=(
MNm
adimensional × m × MPa
) × 10.000
Para obtener el valor en cm2 se debe multiplicar el resultado por 10.000 (correr 4
lugares hacia la derecha la coma).
El valor del denominador es:
0,9 x 0,075 x 420 = 28,35
valor constante para el espectro de valores de Momentos indicados.
43
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
La armadura resulta:
Armadura inferior
Losa 102
As =
Losa 103
As =
Losa 103 A
As =
Losa 104
As =
Losa 105 A
As =
0,0081
× 10.000
28,35
0,0081
0,0084
28,35
0,0078
28,35
2.88cm2
× 10.000 Î 2.88 cm2
28,35
0,0124
28,35
Î
× 10.000 Î 4,38 cm2
× 10.000 Î 2.96 cm2
× 10.000 Î 2,75 cm2
Se aconseja como separación posible 1,5 h de la losa. En este caso alrededor de los 15
cm. Además no debe superarse la separación máxima fijada en el reglamento.
La separación debe verificar:
s
2.5 h (altura de la losa)
25 db (diámetro de la barra)
s
s
30 cm
En nuestro caso:
2,5 h= 2,5 x 10cm = 25cm
25 db= 25 x 0,8cm (∅ 8) = 20cm
Se busca en tablas en función de la separación y el diámetro “cubrir” el valor de
armadura necesaria por metro de losa.
En este caso 1Ø8 c/ 16cm = 3.14 cm2 suficiente para todos los tramos de losa,
excepto losa 103 A que se necesita 1Ø8 c/ 11cm = 4.54 cm2.
En todos los casos no se superan los 20cm, la mínima condición para separación obtenida
según las especificaciones reglamentarias.
Estas armaduras además deben verificar la armadura mínima por retracción fijada en el
reglamento igual al 1,8‰.
Amín= 1,8‰ x b x d = 1,8‰ x 100cm x 7,5cm = 1,35 cm2
1,35 cm2 < 3,14 cm2 Î Todas verifican
La cuantía máxima a adoptar en una sección nos garantiza que el acero tenga una
deformación mayor al 5‰ en flexión y varía según el tipo de hormigón:
Para H20: !máx = 1,29%
Para H25: !máx = 1,61%
Para H30: !máx = 1,94%
En este caso
Amáx= 1,29% x b x d = 1,29% x 100cm x 7,5cm = 9,68 cm2
9,68 cm2 > 4,54 cm2 Î Todas verifican
44
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Las losas 101 y 105 deben tener armadura inferior, aunque según cálculo no tenga
momentos positivos en los tramos la Losa 101 o sea muy pequeño como en la losa 105. Por
facilidad de armado, se continúa la armadura que viene de los tramos vecinos.
La armadura de repartición debe ser como mínimo
1
de la armadura principal de cada
5
tramo.
Esto se cumple colocando 1Ø6 c/ 25cm que representan 1.13 cm2, mayor que
4,38
5
= 0,88 cm2
La armadura transversal también tiene condiciones para la separación máxima de las barras
adoptadas. Se debe verificar:
s ” 3 h (altura de la losa)
s ” 30 cm
En nuestro caso ambas condiciones coinciden:
3 h= 3 x 10 cm = 30 cm
y la armadura adoptada satisface las mismas.
Armadura superior (en apoyos)
0,0107
101 / 102
As =
× 10.000 Î 3.77 cm2 De losa 101
1Ø8 c/32 = 1,57 cm2
28,35
3,77 cm2 – 1,57 cm2 = 2,20 cm2 1Ø8 c/22 cm
102 / 103
As =
0,0127
28,35
× 10.000 Î 4.48 cm2
De losa 102 y 103
1Ø8 c/16 = 3.14 cm2
4.48 cm2 – 3.14 cm2= 1.34 cm2 1Ø6 c/ 20 cm (ó 1Ø8 c/35 cm)
103 / 103
As =
0,0116
Î
28,35
4.09 cm2
1Ø8 c/16 = 3.14 cm2
De losa 103 y 103
4.09 cm2 - 3.14 cm2= 0.95 cm2
103 / 103A
As =
0,0149
28,35
× 10.000 Î 5.25 cm2
1Ø6 c/ 26 cm (ó 1Ø8 c/50 cm)
De losa 103
1Ø8 c/32 = 1.57 cm2
De losa 103 A
1Ø8 c/22 = 2.28 cm2
2
2
5.25 cm – 3.85 cm = 1.40 cm 1Ø6 c/ 17 cm (ó 1Ø8 c/32 cm)
2
103 / 104
As =
0,0127
28,35
× 10.000 Î 4.47 cm2
De losa 103 y 104
4.47 cm2 – 3.14 cm2 = 1.34 cm2
104 / 105
As =
0,0096
28,35
× 10.000 Î 3.39 cm2
De losa 104
1Ø8 c/16 = 3.14 cm2
1Ø6 c/ 20 cm (ó 1Ø8 c/35 cm)
1Ø8 c/32 = 1.57 cm2
3.39 cm2– 1.57 cm2= 1.82 cm2
1Ø8 c/26 cm
Para completar el plano de detalle de losas se calcula la losa 106, que corresponde a la
zona de baños. La misma se construye más baja que las otras losas para alojar todas las
cañerías correspondientes a los sanitarios.
No tiene continuidad con la losa contigua.
45
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Posee carga permanente importante lo que redundará en un Momento de diseño
grande y además, para prevenir deformaciones excesivas se le adjudicará un espesor de 12
cm.
Losa
0,12 x 1 x 1 x 2.500 = 300 kg
Relleno
0,30 x 1 x 1 x 1.800 =
540 kg
Piso granítico
=
60 kg
Mezcla de asiento 0,15 x 1 x 1 x1900
=
29 kg
Enlucido cielorraso 0,15 x 1 x 1 x 1900 =
29 kg
958 kg /m2
300 kg /m2
Carga permanente g =
Sobrecarga de uso p =
qu = (1.2qD + 1.6qL) = 1.2 x 958 kg + 1.6 x 300 =
qu =
1149,6
+
480 = 1629,6 Kg/m2
Se adopta 1,63 t / m2
Como la losa no es perfectamente rectangular se adopta como luz de cálculo 3,30m
(algo mayor que 1,62 +1,62 según se lee en plano de arquitectura)
M=
q × l2
8
=
1,63 × 3,30 2
8
d = h − recubrimiento −
= 2.21tm
y
R
A
=R
diámetro − de − la − barra
2
B
= Vu =
=# −
Qu × L
2
=
1,63 × 3,30
2
= 2689,5kg
"
− ! = 12 – 2 – 0,5 = 9,5cm
Verificación de la capacidad resistente del Hormigón sin armadura de corte.
Vn ≥
Vu
φ
=
2690
= 3.586Kg
0,75
7081kg > 3.586kg según tabla
La dimensión propuesta es aceptable.
Dimensionado a flexión.
Mu 2,21tm Î Mn= 2,45 tm
Î 0,0245MNm
k =
d
0,095
0,0245
= 0,605
1
De la tabla 3 de dimensionado a flexión se observa que el valor de kz es mayor que el
valor aconsejado de 0,9, se adopta este valor.
As =
Mn
k z × d × fy
=
0,0246
0,9 × 0,095 × 420
× 10.000 → 6,85cm 2
1 Ø10 c/11 cm (7,18cm2)
La separación debe verificar:
s ” 2.5 h (altura de la losa)
s ” 25 db (diámetro de la barra)
s ” 30 cm
En este caso:
2,5 h= 2,5 x 12cm = 30cm
25 db= 25 x 1cm (∅ 10) = 25cm
46
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
11cm adoptados < 25cm (mínima condición reglamentaria) Î Verifica
Amín= 1,8‰ x b x d = 1,8‰ x 100cm x 9,5cm = 1,71 cm2
1,71 cm2 < 7,18 cm2 Î Verifica
Amáx= 1,29% x b x d = 1,29% x 100cm x 9,5cm = 12,26 cm2
12,26 cm2 > 7,18 cm2 Î Verifica
armadura de repartición =
1
5
× 6,85 = 1,37 cm2
1 Ø 6 c/ 20 cm
Se debe verificar:
s ” 3 h (altura de la losa)
s ” 30 cm
En nuestro caso ambas condiciones coinciden:
3 h= 3 x 12cm = 36 cm
20cm adoptados < 30cm (mínima condición reglamentaria) Î Verifica
Se debe justificar para las dos direcciones separación máxima obtenida, y verificar
cuantía mínima y cuantía máxima.
Esta losa posee una perforación rectangular para alojar allí los conductos de bajada.
Como es de pequeño ancho, es suficiente con colocar 2 Ø10 como refuerzo.
47
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
1 10c/11
1 10c/22
V114
1 10c/22
C6 V121
1 6c/32
C1
V113
(20x40)
0.96
1.25
C5
C1
V112
(20x40)
0.90
1 8c/22
V119
C6
1 8c/22
1.25
1.25
1 6c/20
V108
1 8c/32
1.00
V118
1.00
C4
LE
10
VE
103A
10
1.25
103
10
1.00
V103
.
LE
10
1 8c/32
1 8c/32
1.00
V120
1.00
C4
104
10
0.96
V10
4
1 8c/32
0.95
V122
105 A
10
0.55
C4
1 8c/26
M1
05
1 6c/32
V123
106
12
0.50
V124
105
10
C3
Ref. 2 10
1 6c/32
M120
V125
0.50
V109
C3
0.70
1.50
V117
1.00
1.25
V111
1.25
V118
1 6c/17
1.00
1.00
C4
1 8c/32
1.25
103
10
1.00
V102
1 8c/32
1.00
1 6c/26
C1
C5
V117
V110
1 8c/32
V116
1.40
1 8c/22
0.80
C4
102
10
C5
01
M1
C2
V115
48
M110
101
10
M101a
Materiales:
Hormigón H-20
Acero ADN 420
V101
Las losas 101,102,103,103A,104,105 y
105A llevan armadura de repartición
1 6c/25cm.
La losa 106 lleva armadura de
repartición 1 6c/20cm.
1 8c/32
Nota:
1.25
1 6c/20
1.00
1.00
C1
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ESTRUCTURAS SUPERFICIALES PLANAS
LOSAS MACIZAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES
Cuando las losas tienen apoyos en más de dos lados paralelos y se cumple que
l
mayor
≤2
l
menor
su comportamiento estático, verificación y distribución de la armadura se realiza en dos
direcciones. Al distribuir las cargas en ambas direcciones las solicitaciones se reducen y
resultan más económicas. Son las llamadas “losas en dos direcciones” o simplemente “losa
cruzada”.
Las losas poseen condiciones de borde diversas (sin continuidad o simplemente
apoyadas y con continuidad) y su análisis para la obtención de las solicitaciones resulta muy
laborioso. Existen en general dos grandes grupos desde los más simplificados hasta los más
rigurosos: los métodos clásicos, basados en la teoría de la elasticidad y los métodos de rotura,
habiendo sido demostrados su precisión a través de resultados experimentales. Se ha preferido
utilizar el método de rotura, incorporando un programa en Visual Basic que permite determinar
los Momentos tanto en una como en otra dirección y los Momentos de apoyos, en el caso de
existir continuidad estructural. Además se obtiene el esfuerzo de corte en cada uno de los
apoyos.
Losas continuas armadas en dos direcciones
Método de las líneas de rotura1
Si se carga una losa en forma gradualmente creciente hasta su rotura las primeras
fisuras aparecen en la zona central, donde son mayores los momentos estáticos.
Ly
Lx
Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se orientan a lo largo de ciertas líneas
que se dirigen a las esquinas.
Ly
Lx
1
Ing. Oscar Ferreras, Arqto. Daniel Moisset de Espanés: “Losas rectangulares por líneas de rotura”
(publicaciones FAUD – UNC)
49
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Como consecuencia de esta fisuración la losa queda dividida en cuatro partes como se
indica en la fig. 1
Borde 2
l2
1
3
l1
l3
Borde 3
Ly
Borde 1
2
Ly-(l2+l4)
l4
4
Borde 4
Lx
Fig. 1
Si se desprecian las deformaciones elásticas frente a las deformaciones plásticas se
puede admitir, simplificadamente, que las partes de la losa entre líneas de rotura quedan
planas y en consecuencia sus intersecciones, es decir las líneas de rotura, son rectas. Las
deformaciones de la losa consisten únicamente en rotaciones de unas partes en relación a
otras, rotaciones que tienen lugar a lo largo de las líneas de rotura y de las líneas de apoyo de
la losa que denominamos bordes.
En el instante último (colapso) el momento flector máximo está repartido a lo largo de
estas líneas de rotura de una manera constante y es, precisamente, igual al momento de rotura
interno. En la situación en la que la losa tiene continuidad estructural se indica como la fig. 2.
Borde 2
l2
1
3
l1
l3
4
Borde 3
Ly
Borde 1
2
Ly-(l2+l4)
l4
Borde 4
Lx
Fig. 2
Se denomina con subíndice u las cargas y momentos últimos en el instante de colapso
de la estructura. Así se tiene:
qu carga última al momento del colapso
Mxu momento interno último en la dirección x
Myu momento interno último en la dirección y
50
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Planteada la ecuación de equilibrio de momento de cada una de las partes en que
queda divida la losa con respecto a un cierto eje, como puede ser la línea de apoyo, se
obtienen los momentos últimos.
Relación entre los momentos en las direcciones x e y de la losa
/\
f
/[
Fig. 3
Al analizar el caso de una losa simplemente apoyada en sus cuatro bordes y aplicar la
premisa que las flechas fx y fy en el punto de cruce de cada una de las dos fajas centrales debe
coincidir
fx = fy
y expresando la flecha proporcional a la parte de carga que se trasmite en una y otra
dirección y a la cuarta potencia de las luces
q x l 4x = q y l 4y
de donde
qy
qx
=
l4x
l4y
Si se designa
=
resulta
ly
lx
qx
1
= 4
qy !
Se designa “k” a la relación entre el Momento en la dirección y (My) y el Momento en la
dirección x (Mx):
k=
My
Mx
El momento en dirección “x” es proporcional a qx y al cuadrado de la luz lx y
análogamente en la dirección ly.
resulta
k=
My
Mx
=
qy l2y
2
x x
ql
=
qy
qx
"
2
51
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
y como
qx
1
= 4
qy #
queda en definitiva
k=
1
$
2
Para otras condiciones de apoyo (bordes empotrados) la relación “k” sigue siendo
inversamente proporcional a 2, pero el numerador toma un valor que puede ser mayor o menor
que la unidad, que en general se llamará !
Luego,
k=
%
$
2
En la situación de que los bordes estén empotrados se puede establecer lo siguiente.
Sea la losa de la fig.4
Borde 2
3
1
Borde 3
Ly
Borde 1
2
4
Borde 4
Lx
Fig. 4
y los grados de empotramiento ("1 - " 2 - " 3 - " 4). Se entiende por grado de empotramiento la
relación entre el momento por metro de un apoyo cualquiera y el momento de tramo Mx ó My
que corresponda.
&1 =
M1
Mx
'2 =
M2
My
Se indica el caso de una losa con los cuatro bordes empotrados. Se numeran los
bordes como indica la figura, siguiendo el sentido horario. De las fórmulas anteriores se infiere
el valor de los momentos de apoyo (M1 – M2 – M3 – M4) lo que se obtienen de establecer la
relación ", entre momento de tramo y momento de apoyo.
52
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
M1= - 1.Mx
M3=
- 3.Mx
M2= - 2.My
Borde 2
2
3
l1
l3
4
Borde 4
l2
Ly-(l2+l4)
Borde 3
1
Borde 1
Ly
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
l4
M4= - 4.My
Lx
Q1
1 Mx
G
Ly-(l2+l4)
Mx
g
Fig. 5
Reacciones de apoyo
(Carga equivalente por metro de apoyo)
La reacción total que se desarrolla en un borde cualquiera es igual al producto del área
de la parte de la placa adyacente al mismo multiplicada por la carga q correspondiente a cada
metro cuadrado de losa.
Si de divide la reacción total por la longitud ly o lx correspondiente se obtiene la carga
por metro lineal en el apoyo, (carga equivalente).
Para el caso de losas apoyadas en los cuatro bordes (como es el caso que se estudia
en la presente publicación) las líneas de rotura dividen a la losa en trapecios o triángulos. Para
cada caso se indica la carga por metro lineal que se indica como q1 ó q2
2
q1
Ly
1
3
Ly
4
q2
Lx
Lx
Fig. 6
53
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Carga total = qtotal = área (m2) x q (kg/m2)
Carga q1 por mlineal = qtotal / lY
Carga q2 por mlineal = qtotal / lx
La distribución de las cargas se puede realizar adoptando que el ángulo en la esquina en
estudio es de 45º si la condición de borde de ambos lados concurrentes es igual (apoyado apoyado) o (empotrado – empotrado) y de 60º si la condición de borde es diferente (apoyado empotrado)
DSR\RVLPSOH
DSR\RHPSRWUDGR
Fig. 7
Diagrama de Momentos en las dos direcciones
Fig. 8
54
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
LOSAS MACIZA EN DOS DIRECCIONES – Ejemplo de Resolución
Alternativas Estructurales de Organización del Entrepiso.
El edificio de la Central de Policía de la Ciudad de Córdoba es un edificio en forma de
H, circunscripta en un rectángulo de 45 x 76 m aproximadamente. Por estar ubicado en zona
sísmica 1, para su ejecución se ha planteado la organización de 5 sectores convenientemente
separados por juntas sísmicas. El sector central, donde se ubican circulaciones y actividades
especiales y 4 sectores independientes iguales (Fig. 1). El edificio consta de un subsuelo y 5
niveles como se aprecia en el corte esquemático por uno de los 4 sectores (Fig. 2).
Fig. 2
Fig.1
La organización de la planta que a continuación se indica (Fig. 3) corresponde a uno de
los cuatro sectores iguales. Se ha estructurado con losas macizas continuas de luces entre
ejes 3,50 y 3,20 m que apoyan sobre vigas transversales de 10m. Estas vigas a su vez apoyan
en otras vigas que como reciben cargas importantes se ha diseñado de manera que la luz que
salven sea menor. Esta solución, entre otras propuestas, permitió la ubicación del menor
número de columnas interiores (9 en total).
55
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Fig. 3
Sobre este sector de 20m x 22,70 son posibles distintas soluciones para la
organización del plano horizontal.
En la alternativa que se desarrolla a continuación se propone, como se indican en el
gráfico de la Fig. 4, losas armadas en dos direcciones con los tramos centrales de mayor
dimensión que los extremos.
Realizado el predimensionado de las losas según lo indicado en pág. 2 del apunte de
Losas y Vigas continuas se obtiene para cada situación:
losa1 =
losa3 =
4.825m
50
5.35m
55
= 0.0965m
= 0.0973m
Se adopta h = 11cm
56
losa2 =
5.325m
= 0.0968m
55
losa 4 =
5.85m
55
= 0.106m
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Análisis de carga
Peso propio
0,11 x 2500
Contrapiso
0,05 x 1800
Piso
Cielorraso
0,015 x 1900
Tabiquería liviana
= 275 kg/m2
= 90 kg/m2
= 35 kg/m2
= 29 kg/m2
70 kg/m2
Peso propio
qD = 500 kg/m2
Sobrecarga oficinas
qL = 300 kg/m2
qU = 1,2 x 500 kg/m2 + 1,6 x 300 kg/m2 = 1080 kg/m2
Por la organización y simetría de la planta existen cuatro losas tipo.
Para conocer los momentos de apoyo se utiliza el programa en Visual Basic elaborado
por la cátedra.
2
11
1
11
3
11
4
11
4
11
3
11
5,5
5,5
4,5
6,2
2
11
5,15
6,2
1
11
5,15
Se estudia cada una de las losas iniciando el proceso con la propuesta de para cada
uno de los bordes, asignando como primera aproximación, = 0 para los apoyos que no tienen
continuidad y = 1.00 para los apoyos con continuidad estructural.
4,5
Fig. 4
Se obtienen los momentos de apoyo que se indican a continuación en la figura siguiente
(Fig. 5) y se procede a proponer un nuevo valor de (Fig. 6) para aproximar los valores de
Momentos de Apoyo adyacentes correspondientes a dos losas.
57
4
11
4
11
3
11
5,5
4,5
-668
0
-610
-768
0
0
-724
-668
-800
-518
5,15
-518
-849
-668
-916
-518
6,2
3
11
-724
1
11
-849
2
11
-849
2
11
-724
1
11
5,15
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
6,2
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
0
4,5
5,5
2
11
1
11
3
11
4
11
4
11
3
11
5,5
5,5
4,5
6,2
2
11
5,15
6,2
1
11
5,15
Fig. 5 - Momentos de apoyo
4,5
Fig. 6 - Modificación del coeficiente
58
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
4
11
3
11
-522
-658
0
Mx = 819
5,15
-766
0
Mx = 730
Mx = 913
My = 623
-713
-730
-561
-770
-711
My = 767
-877
0
-563
Mx = 835
6,2
4
11
6,2
3
11
My = 522
1
11
My = 658
2
11
-835
2
11
-877
1
11
5,15
Realizado un nuevo proceso se obtienen los resultados que se indican. Como se
considera aceptable las diferencias obtenidas se procede a leer los momentos de tramo y se
indican a continuación (Fig. 7).
0
4,5
5,5
5,5
4,5
Fig. 7 - Momentos de apoyos y de tramos
Con los momentos de tramo se verifican las dimensiones de hormigón dadas a la
placa y se calculan la armadura en una y otra dirección (fex - fey) y la armadura superior de
los apoyos.
Cuando el procedimiento utilizado es por líneas de rotura, la armadura de tramos no
se “caballetea” y se coloca armadura superior suplementaria.
Momentos de Apoyo para dimensionar armadura
Apoyos
1/2
2/2
1/3
2/4
3/4
4/4
Mu (Kgm)
770
730
563
713
877
835
kgm
kgm
kgm
kgm
kgm
kgm
Mn =
Mu
(kgm)
0,9
856
811
626
792
974
928
59
Mn (MNm)*
0,0086
0,0081
0,0063
0,0079
0,0097
0,0093
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
(*) para convertir Kgm en MNm correr 5 lugares hacia la izquierda. Esto solamente es válido
para cuando se leen los valores desde la pantalla. La hoja de impresión muestra los
resultados en kgm y en MNm.
Momentos de Losas para dimensionar armadura
Losas
1
2
3
4
1
2
3
4
Mx
My
Mn =
Mu (kgm)
819
730
913
835
623
767
522
658
Mu
(kgm) Mn (MNm)
0,9
910
0,0091
811
0,0081
1014
0,0101
928
0,0093
692
0,0069
852
0,0085
580
0,0058
731
0,0073
1
11
3
11
4
11
4
11
3
11
45º
30º
4,5
30º
5,5
1549 Kg/m
1385 Kg/m
1115 kg/m
6,2
1231 Kg /m
1326 Kg /m
5,15
45º
45º
45º
1489 Kg/m
1158 Kg/m
45º
30º
1300 kg/m
1723 Kg/m
45º
45º
1672 kg/m
45º
45º
1460 kg/m
1613 kg/m
45º
45º
1557 kg/m
45º
45º
45º 45º
6,2
2
11
1651 Kg/m
30º
2
11
1538 Kg/m
30º
1
11
5,15
Para conocer la carga que recibe cada viga se procede a dibujar las áreas de carga
como se indica en el plano o se transcriben los resultados que el software proporciona (Fig.
8).
1005 kg/m
5,5
4,5
Fig. 8
Con los valores de momento y de las reacciones de apoyo se procede a verificar las
dimensiones propuestas a la losa y diseñar la armadura de tramo y de apoyo.
1) Verificación de la capacidad de la sección para resistir el esfuerzo de corte sin armadura.
60
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
La mayor reacción es 1723 Kg / m
Coeficiente Ø para corte 0,75
Vn • 1723 kg / m/ 0,75 = 2297 Kg / m
De la tabla correspondiente se lee que una losa de d = 8,5cm tiene una capacidad de
6336 Kg / m >> 2297 Kg / m, o sea, no se necesita aumentar el espesor de la losa y se
procede a diseñar la armadura necesaria por flexión.
Diseño de la armadura.
Se define que para evitar confusiones en obra durante el montaje de la armadura, se colocará
la armadura horizontal, dirección “x”, abajo y la armadura en la dirección “y”, sobre la anterior.
Se necesita conocer kd para cada dirección de armado:
dx = h – 2 – ½ diámetro = 11 cm – 2 cm – 0,5 cm = 8,5cm
dy = h – 2 – ½ diámetro – 1 diámetro = 11 cm – 2 cm – 0,5 cm – 1.0 cm = 7,5cm
Además, las unidades y los materiales a emplear son:
Momentos: M = MNm (Mega Newton metro)
Hormigón H20 Î f’c = 20 MPa
Acero
ADN 420 Î fy = 420 MPa
Dimensiones de la sección en cm (bo; h; d ) en metro
As = cm2
Para agilizar la tarea se determina el kz para el mayor momento en cada dirección:
k
k
dx
dy
=
=
0,085
0,0101
=
0,085
= 0.846
0,100
=
0,075
= 0.813
0,092
1
0,075
0,0085
1
En la tabla 3 de dimensionado a flexión del CIRSOC 201 se lee que los valores que
corresponden a kz son mayores a 0,9 (valor recomendado como máximo a utilizar debido a
razones constructivas). Se adopta por lo tanto este valor para calcular la armadura de los
tramos.
Corresponde también obtener los valores de kz para los apoyos, se busca para
agilizar la tarea el mayor momento flector, que en este caso es M 3/4 = 0,0111 MNm
k
d
=
0,085
0,0097
=
0,085
= 0,863
0,098
Î corresponde adoptar kz = 0,9
1
Se procede a calcular la armadura :
As =
Mn
z × fy
=
Mn
k z × d × fy
=(
MNm
adimension al × m × MPa
) × 10.000
61
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
(Se multiplica por 10.000 para obtener el resultado, sección de acero As, en cm2)
El valor del denominador para la dirección “x” (armadura horizontal) es:
0,9 x 0,085 x 420 = 32,13
valor constante para el espectro de valores de Momentos indicados en esa dirección
y
0,9 x 0,075 x 420 = 28,35
en la dirección “y”
En los tramos se tiene:
Dirección “x”
Losa 1
0,0091 MNm
As =
Losa 2
0,0081 MNm
As =
Losa 3
0,0101 MNm
As =
Losa 4
0,0093 MNm
As =
0,0091
32,13
× 10.000 Î 2,83 cm2
0,0081
32,13
0,0101
32,13
× 10.000 Î 2,52 cm2
× 10.000 Î 3,14 cm2
0,0093
× 10.000 Î 2,89 cm2
32,13
Dirección “y”
Losa 1
0,0069 MNm
As =
Losa 2
0,0085 MNm
As =
Losa 3
0,0058 MNm
As =
Losa 4
0,0073 MNm
As =
0,0069
28,35
0,0085
28,35
0,0058
28,35
0,0073
28,35
× 10.000 Î 2,43 cm2
× 10.000 Î 3,00 cm2
× 10.000 Î 2,05 cm2
× 10.000 Î 2,57 cm2
En los apoyos se tiene
apoyo 1/2 M= 0,0086 MNm
As =
apoyo 2/2 M= 0,0081 MNm
As =
apoyo 1/3 M= 0,0063 MNm
As =
0,0086
32,13
0,0081
32,13
0,0063
32,13
× 10.000 Î 2,68cm2
× 10.000 Î 2,52 cm2
× 10.000 Î 1,96 cm2
62
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
apoyo 2/4 M= 0,0079 MNm
As =
apoyo 3/4
M= 0,0097 MNm
As =
apoyo 4/4 M= 0,0093 MNm
As =
0,0079
× 10.000 Î 2,46 cm2
32,13
0,0097
32,13
0,0093
32,13
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
× 10.000 Î 3,02 cm2
× 10.000 Î 2,90 cm2
Valores obtenidos para cada metro de losa.
Se adoptan barras de diámetro 8mm. Se determina a continuación la separación máxima fijada
en el reglamento.
La separación debe verificar:
s ” 2.5 h (altura de la losa)
s ” 25 db (diámetro de la barra)
s ” 30 cm
En nuestro caso:
2,5 h= 2,5 x 11cm = 27,5cm
25 db= 25 x 0,8cm (∅ 8) = 20cm
Se busca en tablas en función de la separación y el diámetro “cubrir” el valor de
armadura necesaria por metro de losa.
Dirección “x”
Losa 1 2,83 cm2 Î 1 ∅ 8 cada 17cm (2,94cm2)
Losa 2
2,52 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2)
Losa 3
3,14 cm2Î 1 ∅ 8 cada 15cm (3,33cm2)
Losa 4
2,89 cm2Î 1 ∅ 8 cada 17cm (2,94cm2)
Dirección “y”
Losa 1
2,43 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2)
Losa 2
3,00 cm2Î 1 ∅ 8 cada 16cm (3,13cm2)
Losa 3
2,05 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2)
Losa
2,57 cm2Î 1 ∅ 8 cada 19cm (2,63cm2)
En los apoyos se tiene
apoyo 1/2 2,68cm2Î 1 ∅ 8 cada 18cm (2,78cm2)
apoyo 2/2 2,52 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2)
apoyo 1/3 1,96 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2)
apoyo 2/4 2,46 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2)
63
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
apoyo 3/4 3,02 cm2Î 1 ∅ 8 cada 16cm (3,13cm2)
apoyo 4/4
2,90 cm2Î 1 ∅ 8 cada 17cm (2,94cm2)
Estas armaduras además deben verificar la armadura mínima por retracción fijada en el
reglamento igual al 1,8‰.
Amín= 1,8‰ x b x d = 1,8‰ x 100cm x 8,5cm = 1,53 cm2
1,53 cm2 < 2,50 cm2 (mínima adoptada) Î Todas verifican
La cuantía máxima a adoptar en una sección nos garantiza que el acero tenga una
deformación mayor al 5‰ en flexión y varía según el tipo de hormigón:
Para H20: ȡmáx = 1,29%
Para H25: ȡmáx = 1,61%
Para H30: ȡmáx = 1,94%
En este caso
Amáx= 1,29% x b x d = 1,29% x 100cm x 8,5cm = 10,97 cm2
10,97 cm2 > 3,33 cm2 (máxima adoptada) Î Todas verifican
1Ø8 c/ 20 cm (arr)
1Ø8 c/ 20cm (arr)
Esquema de armado de las losas continuas
resueltas por el método de las líneas de rotura.
1Ø8 c/ 16cm (arr)
1Ø8 c/ 17cm (arr)
1Ø8 c/ 30cm
1Ø8 c/ 17 cm
1Ø8 c/ 18 cm (arr)
1Ø8 c/ 19cm
1Ø8 c/ 20 cm (arr)
1Ø8 c/ 20cm (arr)
1Ø8c/0.20m
1Ø8 c/ 30 cm
1Ø8 c/ 20cm (arr)
1Ø8 c/ 34 cm
4,5
1Ø8 c/ 32cm
1Ø8 c/ 20 cm
1Ø8 c/ 32cm
1Ø8 c/ 40 cm
1Ø 8 c/ 40 cm
1Ø8 c/ 34 cm
5,5
Fig.
64
5,5
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
LOSAS NERVURADAS O ALIVIANADAS
Cuando el espesor necesario en una losa maciza es muy grande su peso propio resulta
significativo.
El objetivo de los diferentes diseños de este tipo de losas es disminuir su peso propio
mediante la incorporación de vacíos o de material inerte que eliminan el hormigón en la zona
de tracción.
El material inerte incorporado, posee escaso peso específico (ladrillos huecos,
poliestireno expandido, cajones perdidos, vacíos, etc) que se ubican en la zona inferior,
solicitada a tracción donde el hormigón no es necesario, de tal manera de concentrar las barras
de acero y formar así los nervios.
Este tipo de losas se estudian como una sucesión de vigas placa o vigas T siempre que
se cumplan ciertas condiciones reglamentarias. (Ver material de estudio: vigas T)
Predimensionado.
Se utiliza el mismo criterio que el indicado en el capítulo de losas macizas, solo que al
valor obtenido se lo incrementa en un 30%, lo que equivale a multiplicar por 1.30
( h = 1.3
l
).
coef
l = luz de cálculo de la losa
h = altura total de la losa
Prescripciones reglamentarias
Disposiciones constructivas:
La separación máxima entre nervios no debe ser mayor a 80 cm.
El ancho del nervio (bw = b nec.) debe ser como mínimo 10 cm
El espesor de la placa o capa de compresión debe ser como mínimo el
1
de la luz libre entre
12
nervios y no menor de 4cm en losas con elementos de relleno permanente y no menor de 5cm
en losas con encofrados o rellenos removibles Fig.1.
Fig. 1
Armadura
65
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
La armadura longitudinal de los nervios será como mínimo dos hierros. Cuando la
armadura inferior es mayor a dos hierros, se puede caballetear llegando a los apoyos siempre y
cuando se conserve abajo un mínimo de dos hierros y hasta un 50% del total de la armadura.
El Reglamento establece que para la cuantía mínima debe tomarse como ancho de la
viga, dos veces el ancho bw del nervio.
En nuestro medio, para H20, la cuantía mínima es: 0,0333 x 2bw x d.
Armadura en la parte superior
La capa de compresión llevará una armadura mínima perpendicular a los nervios con
una cuantína min= 0,0018 (1,8‰)
La separación mínima entre hierros será 3 hf (espesor de la capa de compresión) ó
30cm.
Nervios transversales
El Reglamento no menciona la necesidad de colocación de nervios transversales (o
perpendiculares a los nervios principales). Sin embargo, se recomienda ubicar nervios
transversales cuando la luz de la losa supera los 5 m, o en casos en que el “sentido común” y
la experiencia lo aconsejen. El objetivo del nervio transversal es contribuir a distribuir cargas
que actúan concentradas en un área afectando varios nervios próximos, o cuando la
sobrecarga accidental (Ll) está ubicada en determinadas zonas de la losa, y no presenta una
distribución uniforme.
Los nervios transversales deben ser de igual medida que los principales. Se recomienda
colocar armadura inferior y superior, por lo menos igual a la armadura inferior de los nervios
principales y estribos.
Dimensionado o verificación de dimensiones y armaduras.
Se considera que el nervio trabaja como viga placa (ver verificación de secciones T o L)
En los apoyos solicitados por momentos negativos, los nervios trabajan como sección
rectangular con un ancho bw.
Puede suceder que el momento admisible de un nervio para una sección rectangular
sea menor que el momento solicitante (M*<Msolic). En ese caso las soluciones posibles son:
Colocar doble armadura ó
“Macizar” la zona adyacente al apoyo hasta encontrar el valor del M* que verifique al
Msolicitante
Macizar significa no colocar el material inerte y ejecutar una sección de hormigón de
toda la altura de la losa hasta dónde el ancho del nervio sea capaz de resistir el Momento
solicitante. Dicha distancia se obtiene del diagrama de momentos flectores realizado en una
escala apropiada para su lectura.
66
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Fig. 2
Analíticamente se puede hacer por aproximaciones sucesivas. (Se remite al lector al
ejercicio práctico desarrollado).
Otra posibilidad es calcular a partir del diagrama de esfuerzo de corte la longitud a
macizar. Se conoce que el área del diagrama de corte equivale al Momento flector.
El procedimiento consiste en proponer una distancia y el área de ese trapecio constituye
el momento que se resta del Momento de apoyo.
Si el valor del Momento flector resultare menor al M* obtenido, la distancia propuesta es
correcta. Si resulta mayor significa que debe proponerse una mayor longitud de la zona de
macizado, hasta que se cumpla que el Msolic. ” M*.
Verificación del esfuerzo de corte.
Se necesita conocer el Esfuerzo de Corte que le corresponde a cada nervio,
inmediatamente después de la zona de macizado. Se lee gráficamente o es posible calcularlo
analíticamente por proporcionalidad de triángulos, o planteando la ecuación correspondiente.
Obtenido el esfuerzo de corte se verifica como en las vigas.
Fig. 3
Los estribos se calculan o se proponen como en las vigas.
67
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
En los nervios no es necesario colocar estribos si la resistencia última a corte es menor
o igual que la resistencia de diseño aportada por el hormigón. Vu !v Vc
Detalle de los estribos en losas nervuradas
Fig. 4
En los nervios en que no sea necesario colocar estribos por cálculo es conveniente
colocar estribos constructivos (puede ser estribo abierto o cerrado) para garantizar el correcto
recubrimiento de la armadura longitudinal. Pueden colocarse 1 Ɏ 4,2 cada 50 cm.
68
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
LOSAS NERVURADAS – EJEMPLO DE RESOLUCIÓN
Alternativas Estructurales de Organización del Entrepiso.
Sobre un sector de un edificio de 20m x 22,70 se propone como solución
alternativa losas nervuradas armadas en una dirección (unidireccionales) (Fig. 1).
1
20
2
20
2
20
1
20
Fig. 1
Se proponen alternativas de diferentes luces (siempre que el diseño
arquitectónico lo permita). Sabemos que en los casos de continuidad estructural es
conveniente que los momentos flectores sean de valores similares para una mejor
eficiencia de la propuesta seccional. Esto puede lograrse proponiendo en los tramos
internos mayor luz que en los tramos externos. De allí la organización propuesta tanto
para las losas como para las vigas.
Para predimensionar la altura total de las losas se utilizan los mismos
coeficientes que los indicados en el predimensionado de losas, incrementados en un
30% porque la losa no será maciza sino que se plantea como losa nervurada. (Nota: al
valor hallado se lo multiplica por 1,30).
Las situaciones a considerar son:
515cm
h=
× 1.30 = 19,13cm
35
h=
620cm
× 1.30 = 20,15cm
40
69
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
0.10
0.50
0.20
0.15
0.10
Se adopta 20 cm y se propone el detalle constructivo indicado en la Fig. 2
0.10
Fig. 2
El análisis de carga puede realizarse por m2 o por nervio, y en este último caso
para una longitud de nervio igual a 1m.
Se recomienda realizar el análisis de carga por m2, por ser de mayor utilidad
cuando se calculan áreas de influencia para el análisis de carga de vigas y/o columnas.
Por cada metro cuadrado de losa se tiene:
0.05 m x 2.5 t/m3
100
x 0.10 m x 0.15 m x 2.5 t/m3)
Nervios1
(
60
Cielorraso (c/ metal desplegado. Espesor estimado: 2cm)
Contrapiso y piso estimado (e= 10 cm)
0.10 x 2.0 t/m2
Tabiquería Interna (por ser oficinas grandes no
existe gran incidencia)
0.125 t/m2
Capa de compresión
Sobrecarga de oficina
(se adopta este valor por ser oficinas Pública)
0.063 t/m2
0.050 t/m2
0.200 t/m2
0.070 t/m2
Dl = 0.508 t/m2
Ll = 0.300 t/m2
La incidencia del peso de los tabiques por metro cuadrado de losa se obtiene
calculando el peso de la tabiquería interior dividido la superficie de la planta, tal como si
fuera distribuido uniformemente.
Para conocer la carga última utilizamos los coeficientes de mayoración de carga
correspondientes:
qu = 1,2 x 0,508 + 1.6 x 0.300 = 1.090 t/m2 ~ 1,1 t/m2
Fig. 3
Los materiales a utilizarse serán:
Hormigón H20: f’c= 20MPa
1
Acero ADN 420: fy= 420MPa
Para determinar la cantidad de nervios a computar en una franja, se divide el ancho de la franja por la separación entre ejes de
nervios. En este caso: nº de nervios = 100cm / 60cm = 1,667
70
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Fig. 4
Fig. 5
Del análisis de los resultados obtenidos, resulta apreciable una gran diferencia
entre los momentos de apoyo y los de tramo, por lo que se realizará una verificación en
el apoyo para determinar si las dimensiones propuestas para la losa son las
adecuadas.
Si consideramos el Momento de apoyo = 3,50 tm Î 0,0350 MNm por metro
Para un nervio el Momento último será
0,60 x 0,0350 = 0,021 MNm
Comparamos el Momento Nominal del apoyo con el que resistiría la sección
rectangular de un nervio (las tracciones están en la zona superior de la deformada de la
viga, luego solo puede comprimirse el nervio con un ancho igual a bw)
bw = 0,10m
d
= 0,17m (h - 2cm de recubrimiento – (estribo +1/2 diámetro hierro) § 3cm)
M* =
bd 2
k
2
=
0,10 × 0,17 2
0,469 2
= 0,0131 MNm
d
Mu 0,02100
=
= 0,0233MNm
ij
0,9
0,0233 >>0,0131 lo que indica que se deberá macizar una zona considerable a cada
lado del eje del apoyo, por lo que se propone una losa de mayor altura, por ejemplo de
0,25m.
Se tiene
Mn (nervio) =
M* =
bd 2
k
2
d
=
0,10 × 0,22 2
0,469 2
= 0,0220 MNm
71
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Momento por nervio = 0,0233MNm valor cercano a 0,0220 MNm
lo que indica que se deberá macizar una zona aceptable a cada lado del eje del apoyo.
¿Cuánto afecta el aumento de espesor de la losa en el análisis de carga?
Solamente debe agregarse la proporcionalidad de aumento de la altura de los nervios
100
(
x 0.10 m x 0.05 m x 2.5 t/m3) = 0.021 t/m2
60
Se rehace el valor de:
Dl = 0,529 t/m2
La carga última será entonces:
qu = 1,2 x 0,529 + 1,6 x 0,300 = 1,11 tn/m2 § qu adoptado 1,10tn/m2
Verificación de la sección T
En el tramo el nervio trabaja como viga T. Los datos son:
Hormigón H20
Acero ADN 420
Espesor de la placa 5 cm= 0,05m
h = 0,25m
d = 0,22 cm (h-3cm)
separación entre nervios: befectivo = 0,60m
Momentos en losas y apoyos (por metro de ancho)
Resultados por metro de ancho de losa
Designación Mu (tm)
Losa 1
Losa 2
Apoyo 1/2
Apoyo 2/2
2,00
1,80
3,50
3,50
Mn =
Mu
0,9
(tm) Mn (MNm)
2,22
2,00
3,89
3,89
0,0222
0,0200
0,0389
0,0389
Momento
p/nervio
(MNm)
0,0133
0,0120
0,0233
0,0233
Se elige el mayor momento de tramo y se procede a determinar la profundidad del eje
neutro
kd =
d
→ k → c = k×d
c
Mn
b
kd =
0,22
0,0131
0,60
= 1.489
Valor que supera el valor superior de la tabla (tabla de flexión 3 – CIRSOC 201),
adoptaremos el valor correspondiente al mayor de todos.
k = 0,048 → c = k d = 0,048 × 0,22 ≈ 0,0106 < 0,05
c
(o sea c < hf, caso a. Ver vigas T)
c
72
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Le corresponde un Kd > 0,9 por lo que se adopta 0,9 por las razones acotadas
anteriormente.
fepor nervio =
Mn(por nervio)
0.0133
× 10.000 =
× 10.000 = 1,60cm 2
f x kd x d
420 × 0,9 × 0,22m
y
fepor nervioÎ se adoptan 2 ∅ 10 (1.57cm2)
Cuantía mínima 0,033 x 2 bw x d
ȡmin = 0,0033 x 20cm x 22cm = 1,45 cm2 < 1,57cm2
(se coloca bw y d en cm para obtener el resultado en cm2)
Zona a macizar
Existen vigas perpendiculares a los nervios principales que deben
predimensionarse y que determinaran una zona común al ancho de viga y a los
nervios. A partir de ese valor se verificará la necesidad o no de macizar la zona
cercana al apoyo.
Para ello se necesita conocer cuál es el M* de cada nervio, porque en la zona de
los apoyos la placa no colabora y solo se cuenta con el nervio en sí, actuando como
viga de sección rectangular.
Se ha obtenido para la losa de 25cm
M* =
bd 2
k
2
=
0,10 × 0,22 2
0,469 2
= 0,0220 Mnm
d
Si se considera que la viga que recibe las losas tendrá un ancho, por lo menos de
40cm podríamos evaluar el valor del M por nervio a una distancia de 20cm del apoyo.
1) Gráficamente, medido a escala en el gráfico de Momentos flectores para un
nervio.
2) A partir del valor del Momento en el apoyo:
Mapoyo – qupor nervio x d2/2 =
qupor nervio= 0,60 x 1,10 = 0,66 tn/m
En el apoyo se tiene
Mu = 3,50 tnm
Munervio = 3,50 x 0,60 = 2,10 tnm
Momento a 20cm del apoyo
Mu = 2,10tnm – 0,66tn/m x 0,22/2 = 2,10tnm – 0,012tnm = 2,09tnm
Mu 0,0209MNm
=
= 0,0232MNm > 0,0220MNm se debe macizar una zona
ij
0,9
mayor que el ancho de la viga.
Mn=
73
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Se propone una distancia de 0,45m y se obtiene:
Mu = 2,10tnm – 0,66tn/m x 0,452/2 = 2,10 - 0, 0668 = 2,033MNm
Mu 0,02033MNm
=
= 0,0226MNm § 0,0220MNm
Mn=
ij
0,9
Se ha optado por macizar de manera continua, por lo que la viga pasará a tener
90cm de ancho (0,90m x 0,25m)
Armadura superior en apoyos (se calcula por nervios)
Se debe dimensionarse la armadura superior en los apoyos continuos. El
dimensionado se realiza con el valor del Momento en el borde de la zona macizada.
kd =
d
=
Mn
b
0
0,22m
= 0,46
0,0226MNm
0,10m
corresponde para un hormigón H20 Î adoptar kz = 0,83 (obtenido por interpolación)
fepor nervio =
Mn(por nervio)
0.0226MNm
× 10.000 =
× 10.000 = 2,95cm 2
f x kd x d
420MPa × 0,83 × 0,22m
y
fepor nervio = 2,95 cm2 se cubren con 3 ∅ 12 = 3,39 cm2
Verificación al corte
Valores por metro de losa
Valor del
esfuerzo de corte
en el eje
Vu
L1
L1
L2
L2
2,10 tn
3,50 tn
3,40 tn
3,40 tn
Valor del
esfuerzo de
corte a 0,45m
del eje del
apoyo
1,61
3,00
2,91
2,91
Valor del esfuerzo
de corte
Vn ( MN)
Vn(por
nervio)
0,0215
0,0400
0,0388
0,0388
0,0129
0,0240
0,0233
0,0233
Vu
Vn =
0,75
2,15
4,00
3,88
3,88
1) Verificación de las dimensiones de la sección.
Como en las distintas secciones de apoyos interiores el valor Vn es
aproximadamente del mismo rango, se verifica con el mayor esfuerzo de corte:
MN
Vn
0,0240
Ȟ=
=
=1,090
=1,090 MPa
2
b×d 0,10m×0,22m
m
Debe colocarse estribos mínimos (Ver material de estudio de la unidad 2:
Dimensionado a corte de viga T).
Se indica a continuación la planta de estructura con las dimensiones adoptadas
para la losa, los nervios, la zona a macizar y la ubicación de los nervios transversales.
74
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Fig. 6
Fig. 7
75
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
COLUMNAS Y TABIQUES
Introducción
Las columnas, cuya función principal es la de transmitir las acciones que actúan sobre
la estructura hacia la fundación, son elementos que trabajan principalmente a compresión
aunque también están solicitadas por momentos flectores (por ejemplo, las columnas de
pórticos)
El diseño de la columna, como elemento solicitado a compresión puede ser:
1. Columnas con barras longitudinales y estribos transversales simples
2. Columnas con barras longitudinales y espirales continuas.
Columnas cortas y columnas esbeltas.
Las columnas pueden dividirse en dos grandes categorías:
•
Columnas cortas, cuya capacidad de carga se rige por la resistencia de materiales
y la geometría de la sección.
•
Columnas esbeltas, en las cuales la resistente se reduce en forma significativa por
las deformaciones laterales originadas principalmente por pandeo.
Se dice que una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal
son pequeñas en comparación con su longitud. El grado de esbeltez se expresa,
generalmente, en términos de la relación de esbeltez l/r, donde l es la longitud y r es el
radio de giro de su sección transversal, igual a
r=
I
A
donde:
I= Momento de inercia de la barra
A= Área de la barra
Para secciones cuadradas o circulares el valor de r, es el mismo con respecto a
cualquiera de los ejes; para otras formas, r es mínimo con respecto al eje baricéntrico
alrededor del cual se obtiene el momento de inercia menor y este valor es por lo
general el que debe utilizarse en la determinación de la relación de esbeltez de una
columna libre.
Se sabe que un elemento con gran esbeltez colapsará ante una carga de
compresión menor que la correspondiente para un elemento más corto con las mismas
dimensiones de la sección transversal.
Si un elemento con idéntica sección transversal tiene una relación de esbeltez
grande, el colapso se produce por pandeo, es decir, por un súbito desplazamiento
lateral del elemento entre sus extremos, con el consecuente sobre-esfuerzo del acero y
del hormigón causado por los de flexión que se superponen a los esfuerzos de
compresión axial.
76
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Estudios realizados y el ejercicio de la práctica corriente conducen a decir que la
mayoría de las columnas de hormigón pueden diseñarse como columnas cortas.
Fig. 1: Axonométrica, vista y sección de una columna simple.
Las columnas están constituidas por la sección de hormigón, la armadura longitudinal y
los estribos.
Los estribos pueden tener la forma de estribos simples o de espiral continua y cumplen
dos funciones:
•
mantener las barras longitudinales en su posición dentro del encofrado mientras se
vacía el hormigón.
•
restringir el pandeo de las barras longitudinales sometidas a esfuerzos de
compresión, lo que indica que el espaciamiento de los estribos debe ser
suficientemente pequeño para evitar el pandeo de las barras longitudinales.
Diseño a compresión simple
En las “columnas cortas” la resistencia es controlada por la resistencia de los materiales
y la geometría de la sección transversal. A ellas se refiere el dimensionado que a continuación
se desarrolla. Además, se encuentran solicitadas únicamente a esfuerzos normales de
compresión (no se incluye columnas que además de solicitaciones de compresión están
sometidas a solicitaciones de flexión, sea por ser columnas de pórticos o por la esbeltez de las
mismas).
Dimensionado
Conocida la carga última se debe conocer la carga Pn que responde a la siguiente
expresión
Pu
Pn =
φ
en columnas con estribos simples Ø = 0,65
en columnas zunchadas
Ø = 0,70
valor que se obtiene del gráfico siguiente:
)DFWRUGHUHGXFFLyQGHUHVLVWHQFLD
‘
‘
‘ W
]XQFKRV
‘ HVWULERVFHUUDGRV
]RQDFRQWURODGD
SRUFRPSUHVLyQ
W
,QWHUSRODFLyQ
W
]RQDFRQWURODGD
SRUWUDFFLyQ
W Fig. 2
77
W
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Además, se estipula una limitación adicional a la resistencia de las columnas con el fin
de compensar excentricidades accidentales de carga o excentricidades constructivas no
previas y no incluidas en el análisis.
Se adopta como:
Límite superior columnas simples
Límite superior columnas zunchadas
= 0,80
= 0,85
Por lo que, finalmente
Pu
Pn =
valor limite × φ
DIMENSIONADO
La carga actuante Pn será equilibrada por la sección de hormigón y por la sección de
acero, ambas multiplicadas por el valor de la tensión de compresión (f´c y fy). En el caso del
hormigón reducida por al 85% de la obtenida en rotura por las diferencias de dimensiones entre
la probeta de ensayo y las dimensiones de reales de las columnas, como por la acción de las
cargas en el tiempo. Así se puede escribir:
Pn = 0,85fc' A c + A fy
st
(1)
Fig. 3
Como a la sección bruta se la denomina Ag y es la que se obtiene de multiplicar las
dimensiones externas de la columna, se transforma la fórmula anterior en:
Pn = 0,85f c' (A − A ) + A f y
st
g
st
Siendo Ast la sección de acero longitudinal.
A continuación se indican las transformaciones paso a paso que se realizan para expresar la
fórmula final en función de (ro) que como se sabe, expresa la relación entre la sección de
acero Ast y la sección bruta de hormigón Ag, porque en términos operacionales nos referimos
a valores de cuantía máximos y mínimos.
Pn = 0,85f c' A − 0,85f ' A + A f y
st
g
c st
Pn = 0,85f c' A + f A − 0,85f ' A
g y st
c st
A
A
A
g
'
st − 0,85f ' st )
Pn = A (0,85fc
+f
g
y A
c A
A
g
g
g
78
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ª
º
Pn = A 0,85 f ' × 1 + ȡ f − ȡ 0,85 f '
c
y
c »¼
g «¬
º
ª
Pn = A 0,85 f ' + ȡ ( f − 0,85 f ' )
c
y
c »¼
g «¬
(2)
Y a partir de transformar la fórmula (1) en (2) se pude despejar Ag y obtener primero la sección
bruta de hormigón y luego la sección necesaria de acero.
P
n
A =
Ÿ Ag(m 2 )
g 0,85f ' + ȡ(f − 0,85f ' )
y
c
c
Disposiciones constructivas
Dimensiones mínimas
La mínima dimensión de una columna hormigonada “in situ” debe ser • 20 cm y el
diámetro mínimo de la armadura principal a utilizar debe ser db • 12mm.
El diámetro de una columna zunchada debe ser • 30cm y el diámetro mínimo de las
barras o alambres de los zunchos debe ser db • 10 mm.
Fig. 4
Separación de los estribos
La separación de los estribos s debe ser tal que
s ” 12 db (diámetro de la barra longitudinal)
s ” 48 dbe (diámetros de la barra o alambre de los estribos)
s ” b (lado menor de la columna)
s ” 12 db o sea que para
Ø12 Î 14cm
Ø16 Î 19 cm
Ø20 Î 24 cm
Ø25 Î 30 cm
Ø32 Î 38 cm
s ” 48 dbe (Ø6 Î 48 x 0,6 = 28,8 cm.)
(Ø8 Î 48 x 0,8 = 38,4 cm.)
(Ø10 Î 48 x 1,0 = 48,0 cm.)
79
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Tipos de estribo
Diámetro de los estribos.
Diámetro
estribos
mínimos
Ø6
Ø8
Ø 10
Ø 12
Barras longitudinales
db ” 16 mm
16mm > db ” 25mm
25mm > db ” 32 mm
db > 32mm o paquetes de barras
En el caso de utilizar “zunchos”, estos deben estar constituidos por barras o alambres
continuos.
Para elementos hormigonados “in situ” db • 10mm para espirales o zuncho
Y la separación de las espiras del zuncho debe cumplir:
s ” 80 mm
s • 25 mm
s • 1,33 del tamaño máximo nominal del agregado grueso
Armadura mínima
Se especifica Ast • 0,01Ag
Siendo Ast la sección de acero longitudinal, generalmente expresada en cm2
y Ag la sección bruta de hormigón armado (lado x lado)
Armadura máxima
Se especifica Ast ” 0,08Ag
Se denomina cuantía ȡ (ro) a la relación entre la Armadura longitudinal y la superficie bruta de
la columna
A
ȡ = st
Ag
y su valor debe ser de acuerdo con lo recomendado como armadura mínima y armadura
máxima:
1% ≤ ȡ ≤ 8%
La armadura longitudinal mínima es:
4 barras si el estribo es rectangular
6 barras si es una espiral continua.
Ejemplo de dimensionado
Se da como dato la carga última de la columna
Pu = 170 tn
Î 1.70 MN
80
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Se debe conocer el valor Pn
Pu
Pn =
valor limite × φ
Pn =
Pu
P
1.70
= u =
= 3.27MN
0,80 × 0,65 0,52 0,52
Se sabe que:
Ag =
Pn
0,85fc' + ȡ(f y − 0,85f c' )
Ÿ Ag(m 2 )
Por lo que se necesita conocer la tensión de compresión del hormigón (f´c) y la tensión de
fluencia del acero (fy) además de proponer la cuantía. En este ejemplo se propone ȡ = 1% por
lo que reemplazando los valores en la fórmula anterior se obtiene:
Ag =
3.27
0,85 × 20 + 0,01(420 − 0,85 × 20)
Ag =
=
3.27
3.27
3.27
=
=
17 + 0.01(403) 17 + 4.03 21.03
3.27
= 0,1554m 2 = 1554cm 2 Î 40 x 40
21.03
Ast = 0,01 x 1554 =15,54 cm2 Î 8 Ø 16 (16,08cm2)
Estribos
Para armadura longitudinal hasta ∅ 16 se pueden utilizar estribos de 6mm.
La separación se debe cumplir:
12 db = 12 x 1.6 cm = 14,4 cm (se adopta 15 cm)
lado mínimo
48 x 0.6 =
40 cm
28,8 cm
Se adopta ∅ 6 cada 15cm
Predimensionado de columnas
En el proceso proyectual arquitectónico es necesario contar con herramientas que
permitan de manera sencilla, rápida y eficaz proponer secciones a los principales componentes
estructurales. Por ejemplo, en el caso de edificios en altura las secciones estrictamente
necesarias de las columnas en el primer nivel difieren de las de los últimos niveles.
Se indica a continuación una forma de abordaje que se considera simple y eficiente.
Consiste en determinar las “áreas de influencia” de cada elemento vertical a predimensionar.
Para ello se aplican los conocimientos impartidos cuando se abordó el tema de la continuidad
estructural y a ellos se remite al lector.
Se recomienda “graficar” las zonas de influencia para cada columna como se indica en
el ejemplo que a continuación se inserta.
81
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Determinada por área de influencia la carga última que recibe la columna (Pu) cabe las
siguientes consideraciones para explicar el por qué se puede determinar la sección necesaria
de hormigón dividiendo el valor de Pu por una constante que depende del tipo de hormigón, si
se acepta una cuantía del 1%.
Por ejemplo, si se trabaja con hormigón H20 y considerando que
Pu
Pn =
valor limite × φ
Ag =
Pn
Pu
1
Pu(MN)
=
×
≅
21.03 0,65 × 0,8 21.03
10
Con lo que la fórmula para “recordar” para un predimensionado sería
A (m2 ) ≅
g
Pu(MN)
10
Multiplicando dicho valor por 10.000 obtenemos el área en cm2 y solo resta proponer los lados
b y d necesarios para obtener dicha área.
Como regla nemotécnica, para cuantías del 1% y distinto tipos de Hormigón, los valores son:
H20
H25
H30
el denominador es 10
el denominador es 14
el denominador es 15
Porque:
Ag =
Ag =
Pn
0,85 × 25 + 0,01(420 − 0,85 × 25)
Pn
0,85 × 30 + 0,01(420 − 0,85 × 30)
=
Pn
Pn
Pn
=
=
21.25 + 0.01(399.4 ) 21.25 + 3.99 25.24
=
Pn
Pn
Pn
=
=
25.5 + 0.01(394.5) 25.5 + 3.95 29.45
Ejemplo:
Determinar las secciones de las columnas C1 y C2 del edificio de 10 niveles cuya
organización estructural en planta se indica a continuación (ver pag. 9).
Conocida el ÁREA DE INFLUENCIA que le corresponde a cada columna, se multiplica
el área por qu, se le suma el peso propio de vigas que concurren y de la columna multiplicado
por 1,2 (factor de mayoración para las cargas permanentes) y se obtiene Pu. Para conocer la
carga en un determinado nivel, se multiplica el valor obtenido por la cantidad de pisos por
arriba del nivel considerado.
82
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
V1 (20x40)
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
C1
V4 (20x70)
PX1
T2
T2
V3
LE
V2 (20x40) C2
L2
30
L3
30
PX2
L4
30
C4
T2
T2
L1
30
C3
L1
30
V1 (20x40)
Fig. 5
0.10
0.40
0.30
0.25
0.08
En este ejemplo se ha predimensionado una losa de 30cm de espesor la que se construirá como
2
losa nervurada y se realiza el correspondiente análisis de carga por m de losa.
0.10
Fig. 6
Por cada metro cuadrado de losa se tiene:
Capa de compresión 0.05 m x 2.5 t/m3
0.125 t/m2
3
Nervios
2 x 0.10 m x 0.25 m x 2.5 t/m
0.125 t/m2
Cielorraso (c/ metal desplegado. Espesor estimado: 2cm) 0.050 t/m2
Contrapiso
0.05 m x 1.6 t/m3
0.080 t/m2
3
Piso
0.03 m x 2.0 t/m
0.060 t/m2
Tabiquería Interna (Para este caso)
0.070 t/m2
qD = 0.510 t/m2
Sobrecarga
qL = 0.300 t/m2
qu = 1,2 × 0,510 + 1,6 × 0,300 = 1,092t/m 2
Columna C1
de losa
(0.6 + 0.5) x 4.5 m x 0.5 x 6.0 m x 1.09 t/m2
§
16.19 t
4.95 m x 3 m x 1.09 t/m2
peso propio de los elementos estructurales que concurren a la columna C1
V4 (p.p)
0.2 m x 0.7 m x 3.0 m x 2.5 t/m3
1.05 t
0.99 t
V1 (p.p)
0.2 m x 0.4 m x (0.5 + 0.6) x 4.5 m x 2.5 t/m3
Peso propio de la columna (estimado)
1.50 t
3.54 t
3.54 x 1,2 = 4.25t 83
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Pu por piso = 16.19 + 4.25 = 20.44tn
Pu por piso = 0.2044 Mn § 0.20 MN
Columna C2
(0.5 + 0.5) x 6.0 m x (0.6 + 0.5) x 4.5 m x 1.09 t/m2
6 m x 4.95 m x 1.09 t/m2
§
de losa
32.37 t
peso propio de los elementos estructurales que concurren a la columna C2
V4
0.2 m x 0.7 m x 3.0 m x 2.5 t/m3
1.05 t
0.99 t
V2
0.2 m x 0.4 m x (0.5 + 0.6) x 4.5 m x 2.5 t/m3
Peso propio (estimado)
1.50 t
3.54 t
3.54 x 1,2 = 4.25 t
Pu por piso = 32.37 + 4,25 = 36.62t
Pu por piso = 0.3662 MN § 0,36 MN
Por razones arquitectónicas se fija que sobre la fachada la columna sea de dimensiones
constantes (30cm) y en el caso de las columnas interiores que mantenga un lado también
constante y varíe en función de la otra dimensión.
Además, por diseño, se propone que las columnas varíen cada 3 pisos empezando del
último piso.
Se recuerda que la dimensión mínima de una columna es 20 x 20 o sea 400 cm2.
C1 externa
C2 interna
Nivel
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
N
Mn
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
Fbnec
cm2
b
cm
d
cm
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
30
"
"
30
"
"
30
"
"
30
20
"
"
40
"
"
60
"
"
70
N
Mn
0.36
0.72
1.08
1.44
1.80
2.16
2.52
2.88
3.24
3.60
84
Fbnec
cm2
b
cm
d
cm
360
720
1080
1440
1800
2160
2520
2880
3240
3600
60
"
"
60
"
"
60
"
"
60
20
"
"
40
"
"
50
"
"
60
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
TABIQUES
Los tabiques portantes son elementos verticales cuya longitud “lw” es mayor de 5 veces
el ancho del elemento y están diseñados para transmitir cargas axiales centradas o
excéntricas.Se aborda el diseño de tabiques como elementos comprimidos, los que se calculan
como columnas.
Los tabiques son aptos para recibir cargas horizontales debidas a acciones de viento o
sismo y también ser muros de submuración, de contención o de fundaciones. En estas
situaciones se debe recurrir a la normativa específica para cada situación.
espesor
del tabique
largo del tabique
(a)
As
s1
s2
altura del
tabique
Armadura
horizontal
Armadura
vertical
d
(b)
Geometría y armadura de un tabique convencional:
a) sección transversal; b) vista en altura.
Dimensiones mínimas:
El espesor “h” del tabique portante debe cumplir con las siguientes condiciones:
h • 1/25 de la altura o longitud del tabique, el que sea menor.
h • 10 cm
Armadura mínima según CIRSOC 201.
Cuantía mínima de armadura vertical:
- 0,0012 para barras longitudinales con db” 16mm
- 0,0015 para barras longitudinales con db > 16mm
- 0,0012 para malla de acero soldada de alambres lisos o conformados con db” 16mm
Cuantía mínima de armadura horizontal:
- 0,0020 para barras longitudinales con db” 16mm
- 0,0025 para barras longitudinales con db > 16mm
- 0,0020 para malla de acero soldada de alambres lisos o conformados con db” 16mm
La separación de la armadura vertical y horizontal debe ser según CIRSOC 201
a) menor o igual a 3 veces el espesor del tabique
b) menor o igual a 300mm
85
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
COMPRESIÓN Y FLEXIÓN EN COLUMNAS RECTANGULARES
En los edificios en general, las columnas, además de recibir cargas axiales que
producen compresión, están sometidas a momentos flectores, debido a la continuidad y el
monolitismo de las vigas y columnas. Además, las columnas también son barras de pórticos, y
estos son elementos estructurales aptos para recibir fuerzas horizontales como las de viento y
sismo, que también producen momentos flectores.
Cuando un elemento está sometido a una compresión axial P combinada con un
momento flector M, por lo general es conveniente remplazar la carga axial y el momento flector
por una carga equivalente de igual magnitud P aplicada con una excentricidad e = M/P.
e= M
P
P
M
P
(a)
(b)
Excentricidad equivalente para la carga de una columna.
Fig. 1
Las dos situaciones de carga son estáticamente equivalentes. Todas las columnas
pueden entonces clasificarse en términos de la excentricidad equivalente. Aquellas con un
valor de e relativamente pequeño se caracterizan en general por una compresión a lo largo de
toda la sección de hormigón y si se sobrecargan fallan por aplastamiento del hormigón junto
con la fluencia del acero a compresión en el lado más cargado.
Las columnas con excentricidades grandes están solicitadas a tracción sobre, al menos,
una parte de la sección y cuando se sobrecargan pueden fallar por fluencia del acero a tracción
en el lado más alejado de la carga.
El diseño de columnas se basa en el estado de sobrecargas mayoradas, para el cual la
resistencia requerida no debe exceder, como de costumbre, la resistencia de diseño. Es decir:
∅Mn • Mu
∅Pn • Pu
Método general de resolución y diagramas de interacción
En la figura se presenta un elemento cargado en dirección paralela a la de su eje
mediante una fuerza de compresión Pn con una excentricidad e medida desde la línea central.
86
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Pn
e
Pn
e
d h
2
h d'
2
Ancho = b
a
a
(s
(s
(u
A f
s s
A' f '
s s
0,85 I c´
h a
2 2
d'
c
d
a
h
e
Pn
(a)
(b)
(c)
Columna sometida a compresión excéntrica: (a) columna cargada;
(b) distribución de deformaciones en la sección a-a; (c) esfuerzos y fuerzas
para la resistencia última nominal.
Fig. 2
La distribución de deformaciones unitarias en una sección a-a cualquiera y para un
estado de falla inminente es la que se ilustra y se supone que:
• Las secciones planas permanecen planas,
• Las deformaciones unitarias en el hormigón varían linealmente con la distancia
al eje neutro que se localiza a una distancia c desde el lado más comprimido del
elemento.
• Por compatibilidad total de las deformaciones, las del acero en cualquier sitio de
la sección son las mismas que las deformaciones del hormigón adyacente: así
que, si la deformación última del concreto es İu, la de las barras más cercanas a
la carga es İ´s, mientras que las de las barras en tracción, en el lado más
alejado es İs.
• El acero a compresión tiene un área A´s y el acero a tracción tiene un área As y
se localizan respectivamente a distancias d´ y d medidas de la fibra más
comprimida.
Los esfuerzos y fuerzas correspondientes son los que se indican en la última figura. Al
igual que para flexión simple, la distribución real de esfuerzos a compresión en el
hormigón se reemplaza por una distribución rectangular equivalente con un espesor
a = ȕ1 c.
El equilibrio entre fuerzas axiales internas y externas que se presenta en la figura
(c) exige que:
P n = 0.85f´ c ab + A´ s f´ s − A s f s
También el momento de los esfuerzos y fuerzas internas con respecto a la línea central
de la sección debe ser igual y opuesto al momento de la fuerza externa Pn, de manera
que
h a
h
h
Mn = Pn e = 0.85f´ ( − ) + A´ s f´ s ( − d´) + A s fs (d − )
2 2
2
2
87
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Estas son las dos ecuaciones básicas de equilibrio para elementos rectangulares
sometidos a compresión excéntrica.
Para pequeñas excentricidades, el hormigón alcanza su deformación İu antes de
que el acero a tracción empiece a fluir; de hecho las barras en el lado de la columna
más alejado de la carga pueden estar en compresión y no en tracción.
Para excentricidades grandes, la falla se inicia por la fluencia del acero a tracción
As. De ahí que para este caso, fs = fy.
Para una excentricidad determinada a partir de conocer
e=
Mu
Pu
es posible resolver las ecuaciones para la carga Pn y el Momento Mn que producirían la
falla. Sin embargo, hacer esto en la práctica en forma algebraica resulta complejo, en
particular por la necesidad de incorporar el límite para fy tanto en f´s como fs.
Ayudas de Diseño
El diseño de columnas cargadas excéntricamente, de acuerdo con el método de análisis
por compatibilidad de deformaciones requiere la selección de una columna de prueba. La
columna de prueba se propone para determinar si es adecuada para resistir cualquier
combinación de Pu y Mu, que pueda actuar sobre ella.
En esta situación se recomienda utilizar una sección un poco mayor que la que se
obtiene con el método de predimensionado sugerido para las columnas solicitadas a
compresión simple. Se procede por “prueba y error”, es decir, se propone una sección si se
obtienen resultados aceptables, se mantiene la sección. En caso contrario se debe aumentar (o
disminuir) la sección, o al menos, el lado en la dirección del momento actuante.
88
Diseño y Dimensionado de Estructuras en Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
!"#$ %
&"'()*"!+$ ,'"!+-!$ ." /0+,12+1,)0 ." 3$,*-'4! 5 6778
9: ;<=>?@AB: ;:C D> EFGH?H<H: IA@?:FA> BD JD@F:>:KLA EFB<GHC?A> ;ACA >AG :=CAG BD M:CN?KOF
PCNAB: @:FGHA BDQ
• RSDK>ANDFH: PCKDFH?F: BD DGHC<@H<CAG BD T:CN?KOFUV DB?@?OF WXXYZ
• JA=>AG ;ACA D> B?GD[: BD D>DNDFH:G DGHC<@H<CA>DG BD T:CN?KOFZ
• \]DN;>:G BD A;>?@A@?OF BD> SDK>ANDFH: PCKDFH?F: BD \GHC<@H<CAG BD M:CN?KOF
• ^:NDFHAC?:G A> SDK>ANDFH: PCKDFH?F: BD \GHC<@H<CAG BD M:CN?KOFZ
\> SDK>ANDFH: ^ES_`^ WXa @:FGHA BD Wb @A;LH<>:G AKC<;AB:G DF c ;ACHDGZ
d),+" %e &"f1-0-+$0 '"!",)("0
g)hi %e ^AN;: BD jA>?BDkZ SDK>ANDFH:GV CD@:NDFBA@?:FDG l F:CNAG BD A;>?@A@?OFZ
m:@<NDFHA@?OF Hn@F?@AZ
d),+" 6e /0h"2-o-2)2-$!"0 ,"()+-p)0 ) ($0 *)+",-)("0 q r$,*-'$!"0i
g)hi 6Q \G;D@?s?@A@?:FDG ;:C CDG?GHDF@?A l B<CA=?>?BAB
g)hi te uAHDC?A>DGZ ^DNDFH:GV AKCDKAB:GZ PK<A ;ACA N:CHDC:G l T:CN?K:FDGZ PB?H?j:G ;ACA
T:CN?K:FDGZ P@DC:GZ
d),+" te &"f1-0-+$0 2$!0+,12+-p$0
g)hi ve ^C?HDC?:G l @:FHC:> BD @:Fs:CN?BAB BD> T:CN?KOFZ
g)hi 8e M:CN?KOF sCDG@: w xC:;?DBABDGV B:G?s?@A@?OF l ;<DGHA DF :=CAZ
g)hi ye _?GHDNAG BD DF@:sCAB:Z ^A[DCLAG ;z @:FB<@@?OF s><?B:G ?F@><?BAG DF >A DGHC<@H<CA BD M{
g)hi |e mDHA>>DG BD ACNAB:
d),+" ve &"f1-0-+$0 '"!",)("0
g)hi }e PF~>?G?G l B?GD[: w ^:FG?BDCA@?:FDG KDFDCA>DG
g)hi e SD€<?G?H:G BD CDG?GHDF@?A l @:N;:CHAN?DFH: DF GDCj?@?:
g)hi %7e ^ACKAG A?A>DG l s>D?OFZ
g)hi %%e ^:CHD l J:CG?OFZ
g)hi %6e 9:FK?H<BDG BD AF@>A]D l BD DN;A>ND BD >A ACNAB<CA
d),+" 8e ‚-0+"*)0 $ "("*"!+$0 "0+,12+1,)("0
g)hi %te _?GHDNAG BD >:GAG €<D HCA=A]AF DF B:G B?CD@@?:FDG
g)hi %ve JA=?€<DG
g)hi %8e ƒA;AHAG l @A=DkA>DG BD ;?>:HDG
g)hi %ye \GHC<@H<CAG BD T:CN?KOF ;CDsA=C?@AB:Z
g)hi %|e \>DNDFH:G BD T:CN?KOF @:FGHC<?B:G DF DHA;AGV G:>?@?HAB:G A s>D?OFZ
g)hi %}e M:CN?KOF ;CDHDFGAB:
g)hi %e ^~G@ACAG l ;>A@AG BD>KABAG
d),+" ye g$!0-.",)2-$!"0 "0h"2-)("0
g)hi 67e \jA><A@?OF BD >A CDG?GHDF@?A BD DGHC<@H<CAG D?GHDFHDG
g)hi 6%i \G;D@?s?@A@?:FDG DG;D@?A>DG ;ACA D> B?GD[: G?GN:CCDG?GHDFHDZ
d),+" |e 3$,*-'4! "0+,12+1,)( 0-*h("
g)hi 66 M:CN?KOF DGHC<@H<CA> G?N;>DZ
g)hi 6t P;C:=A@?OF l CD@D;@?OF BD DGHC<@H<CAG F<DjAGV HDCN?FABAGZ
h„!.-2" e u:BD>: BD ?D>AGZ
h„!.-2" †e \G;D@?s?@A@?:FDG A>HDCFAH?jAG ;ACA D> B?GD[: BD D>DNDFH:G BD T:CN?KOF ACNAB: l
;CDHDFGAB: G:>?@?HAB:G A s>D?OF l A @:N;CDG?OFZ
h„!.-2" ge ^:N=?FA@?OF A>HDCFAH?jA ;ACA >:G sA@H:CDG BD @ACKA l CDB<@@?OF BD CDG?GHDF@?AZ
•
•
h„!.-2" ‡e PF@>A]D DF T:CN?KOFZ
•
•
Anexo I
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ANEXO 2
Sistema de Unidades y equivalencias
Unidades de peso
10 N ( Newton)
1 N (Newton)
1 kN (kiloNewton)
10 kN (kiloNewton)
equivalen a 1 Kg
equivale a 100 g (gramos)
equivale a 1000 N (Newton)
equivale a 1 Tonelada
=
1 tn (tonelada)
1 kg (kilogramo)
100 g (gramos)
equivale a 10 kN (kiloNewton)
equivale a 10 N (Newton)
equivale a 1N (Newton)
(10.000 Newton)
Unidades de Momento (fuerza por distancia)
1 tm (tonelametro) equivale a 10 kNm (kiloNewton metro)
Unidades de fuerza / superficie (tensiones)
1 MPa = 1N / mm2 = 10 Kg / cm2
Para convertir
N/m2 a kg/m2 (multiplicar por 10)
30 N/m2 = 300 kg/m2
N/m a tn/m (dividir por 10)
25 N/m = 2,5 tn/m
Para convertir MN a tn multiplicar por 100
0,0958 MN = 9,58 tn
Para convertir tm a MNm dividir por 100
1,27 tm = 0,0127 MNm
tn = t = tonelada
tm= tonelámetro
q = 3 tn/m
q = 30 kn/m
Anexo II
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ANEXO 3
GLOSARIO Y NOMENCLATURA
Definiciones relativas al proyecto estructural
Altura útil de la sección (d): Distancia medida desde la fibra comprimida extrema hasta el
baricentro de la armadura traccionada.
Armadura: Conjunto de barras, alambres, mallas soldadas o cables de acero, que se
incorporan a la masa del hormigón con el objeto de resistir en forma conjunta con este, los
esfuerzos internos calculados.
Carga: fuerza exterior activa, concentrada o distribuida, o por unidad de volumen, como por
ejemplo, carga gravitatoria, carga originada por el viento.
Carga de servicio: Son aquellas cargas producto del efecto de la fuerza de gravedad sobre las
estructuras. Se incluyen cargas permanente, las sobrecargas y la carga de nieve.
Carga mayorada: Carga que, multiplicada por los factores de mayoración apropiados se utiliza
con el objeto de dimensionar los elementos mediante el método de diseño propuesto en este
Reglamento.
Carga permanente: Carga que tiene variación pequeña (despreciable en relación a su valor
medio) e infrecuente, con tiempo de aplicación prolongado.
Hormigón: es una mezcla homogénea compuesta por una pasta de cemento y agua, con
agregados gruesos y finos, que en estado fresco tiene cohesión y trabajabilidad y que luego
por el fraguado y el endurecimiento de la pasta cementicia, adquiere resistencia. Además de
estos componentes básicos puede contener aditivos químicos y/o adiciones minerales
pulverulentas.
Hormigón armado: Hormigón estructural con armadura de acero sin tensión previa, o con
aceros de pretensado, en mayor cantidad que la mínima especificada en el Reglamento.
Hormigón estructural: Todo hormigón utilizado con propósitos estructurales, incluyendo al
hormigón simple y al hormigón armado.
Módulo de elasticidad: Relación entre la tensión normal y la deformación específica
correspondiente, para esfuerzos de tracción o compresión, por debajo del límite de
proporcionalidad del material.
Resistencia a la tracción por compresión diametral del hormigón (fct). Tensión que se
obtiene de ensayar una probeta cilíndrica por compresión en un plano diametral, aplicando una
carga hasta la rotura sobre toda la longitud de una generatriz. Se obtiene al ensayar una
probeta de acuerdo con la Norma IRAM 1 658.
Resistencia de diseño: Resistencia nominal multiplicada por un factor de reducción de
resistencia φ (fi).
Resistencia específica a la compresión del hormigón (f’c): Resistencia a la compresión del
hormigón utilizada en el cálculo y evaluada de acuerdo con las con las consideraciones del
cap. 5 (en MPa).
Resistencia nominal: Resistencia ded un elemento o de una sección transversal calculada
con las disposiciones e hipótesis del método de diseño establecido en este reglamento, antes
de aplicar cualquier factor de reducción de resistencia
Anexo III
1
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Resistencia requerida: Resistencia que necesita un elemento o una sección transversal, para
resistir las cargas mayoradas o lo momentos y fuerzas internas correspondientes combinadas
entre sí, según lo establecido en este Reglamento.
Tensión: Es el cociente entre la carga alcanzada en un momento determinado y el área de la
sección transversal inicial de la probeta. Fuerza por unidad de área.
Se denomina
f’c: tensión de compresión del hormigón. (La designación anterior se conocía como ’bk)
NOMENCLATURA
z : brazo de palanca de fuerzas internas
C : resultante interna de las tensiones de compresión
E
G
F
I
&
&
T : resultante interna de las tensiones de tracción .
$V
Ag : área total o bruta de la sección.
K
F
=H
G
]
As : área de la armadura traccionada
$V
A’s : área de la armadura comprimida
V
b : ancho del borde comprimido de la sección transversal
c: distancia desde la fibra comprimida extrema al eje neutro.
d : distancia desde la fibra comprimida extrema hasta el baricentro de la armadura
traccionada (altura útil)
d’: distancia desde la fibra comprimida extrema hasta el baricentro de la armadura
comprimida.
Ec : módulo de Elasticidad del Hormigón
!
: deformación unitaria
!c : deformación específica del hormigón en compresión
!t : deformación específica del hormigón en tracción
fc : tensión de compresión del hormigón
f’c : resistencia especificada del hormigón a compresión (en Mpa)
fy : tensión de fluencia especificada de la armadura
h : altura total de la sección transversal de un elemento
U : resistencia requerida para resistir las cargas mayoradas o las solicitaciones
correspondientes.-
" : cuantía de la armadura traccionada (" = As/ bd)
"’ : cuantía de la armadura comprimida ("’ = A’s/ bd)
Ø: factor de reducción de la resistencia
Anexo III
2
H
&
V
Q
I
7
ANEXO 4
TABLAS
PARA EL DIMENSIONADO
DE
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN
ARMADO
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Máximo esfuerzo de corte en losas
sin contribución de armadura de corte
Vn ≥
Vu
φ
para solicitación de Corte, factor de reducción
Ø = 0,75
Tabla:1 Vc = Vn valor máximo (en Kg) de la reacción por m lineal de losa sin
contribución de armadura de corte
d
(cm)
6
1
Vn = Vc =
1
6
Anexo IV
H20
H25
H30
H35
4.472
5.000
5.477
5.916
6.5
4.845
5.417
5.934
6.409
7
5.217
5.833
6.390
6.902
7.5
5.590
6.250
6.847
7.395
8
5.963
6.667
7.303
7.888
8.5
6.336
7.083
7.759
8.381
9
6.708
7.500
8.216
8.874
9.5
7.081
7.917
8.672
9.367
10
7.454
8.333
9.129
9.860
10.5
7.826
8.750
9.585
10.353
11
8.199
9.167
10.042
10.846
11.5
8.572
9.583
10.498
11.339
12
8.944
10.000
10.954
11.832
12.5
9.317
10.417
11.411
12.325
13
9.690
10.833
11.867
12.818
13.5
10.062
11.250
12.324
13.311
′ b.d =
fc.
1
25 x1,00mx0,1 05m = 0,08750MN = 87,50KN = 8.750Kg
6
1
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Anexo IV
2
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Anexo IV
3
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ACEROS
Sección de hierro en cm2
Número de hierros
Ø mm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
8
10
12
16
20
25
0.28
0.50
0.79
1.13
2.01
3.14
4.91
0.56
1,01
1.57
2.26
4.02
6.28
9.82
0.85
1,51
2.36
3.39
6.03
9.42
14.73
1.13
2.01
3.14
4.52
8.04
12.57
19.64
1.41
2.51
3.93
5.65
10.05
15.71
24.55
1.70
3.01
4.71
6.79
12.06
18.84
29.46
1.98
3.52
5.50
7.92
14.07
21.99
34.37
2.26
4.02
6.28
9.05
16.08
25.14
39.28
2.54
4.52
7.07
10.18
18.10
28.27
44.19
2.83
5.03
7.85
11.31
20.11
31.42
49.10
Armadura para losas
Sección de hierro en cm2 por metro de ancho de losa
Separación
entre
barras
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Anexo IV
4,2
6
2.31
1.98
1.68
1.54
1.39
1.26
1.15
1.07
0.99
0.92
0.87
0.84
0.80
0.73
0.69
4.71
4.04
3.53
3.14
2.83
2.57
2.36
2.17
2.02
1.88
1.77
1.66
1.57
1.49
1.41
Diámetro de las barras en mm
8
10
12
16
8.38
7.18
6.28
5.58
5.03
4.57
4.19
3.87
3.59
3.35
3.14
2.96
2.79
2.65
2.51
13.09
11.22
9.82
8.73
7.85
7.14
6.54
6.04
5.61
5.24
4.91
4.62
4.36
4.13
3.93
4
18.85
16.16
14.14
12.57
11.31
10.28
9.42
8.70
8.08
7.54
7.07
6.65
6.28
5.95
5.65
33.51
28.72
25.13
22.34
20.11
18.28
16.75
15.47
14.36
13.40
12.57
11.83
11.17
10.58
10.05
20
25
52.36
44.88
39.27
34.91
31.42
28.56
26.18
24.17
22.44
20.94
19.63
18.48
17.45
16.53
15.71
81.81
70.12
61.36
54.54
49.09
44.62
40.90
37.76
35.06
32.72
30.68
28.87
27.27
25.83
24.54
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
ANEXO 5
Software para obtener los momentos de apoyo y tramo de losas con armadura cruzada
El software que se propone permite resolver losas continuas a partir de establecer el
grado de empotramiento ( ) en cada uno de los apoyos. En el caso de luces muy diferentes
por aproximaciones sucesivas se puede llegar a obtener valores similares para los momentos a
ambos lados del apoyo común y a continuación obtener el valor de los momentos de tramo Mx
y My.
Para utilizar el programa se da como dato
= grado de empotramiento (vale 0 cuando el borde está simplemente apoyado, es
decir, no existe continuidad estructural)
q = carga por metro cuadrado de losa expresada en Kg/m2
lx = longitud en la dirección x expresada en m
ly = longitud en la dirección y expresada en m
El programa pide la altura útil d y el espesor total h expresada en cm. Estos valores
deben colocarse sino el programa no funciona pero no interviene en los resultados a obtener
Momentos de apoyo, de tramo y reacciones de apoyo. (Están previstos para en un futuro
calcular la armadura necesaria)
Resultados
Se obtienen los Momentos de apoyo
M1 – M2 – M3 – M4 en Kgm;
los Momentos Mx y My también en Kgm y
las reacciones de apoyo q1, q2, q3, q4 en Kg / m lineal.
Diagrama de Momentos en las dos direcciones
1
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
1. Indique en un plano de estructuras o cada losa aisladamente designación (a
partir del número 1), dimensiones (lx - ly) en metros y la carga Qu = kg / m2
2. Indique el grado de empotramiento que le asigna a cada borde:
4, siguiendo el orden que se indica.
•
•
1-
2-
En los bordes simplemente apoyados (no existe continuidad) indicar
En los de bordes con continuidad sugiera un = 1
indica la relación que existe entre el Momento de Apoyo y el Momento de
Tramo en la dirección considerada.
2
3
l1
l3
Borde 1
1
4
Borde 4
l2
Ly-(l2+l4)
Borde 3
M1= - 1.Mx
M3=
- 3.Mx
M2= - 2.My
Borde 2
Ly
!1 =
l4
M4= - 4.My
Lx
2
M1
Mx
"2 =
M2
My
3–
=0
Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado
Prof. Arquitecta Sara Gonorazky
3. Introduzca los datos. Aparece indicado en pantalla el número de losa
correlativo a partir del nº 1.
Para cada coeficiente debe posicionarse con el cursor en el borde, luego en
la planilla introducir el valor y apretar ENTER del teclado.
A continuación escriba en cada casillero el peso por m2 de losa, las
dimensiones (lx - ly) y necesita introducir el h y d (cm) propuestos para la losa.
4) de Enter en el primer botón superior de la izquierda, el que tiene el Tablero.
En la planilla aparecen los datos y el programa está en espera de los datos de la
losa 2. Y así sucesivamente.
5) Cuando ha finalizado la carga de datos, de Enter en el 3º botón, el que indica
con una calculadora que resuelve.
6) En la parte inferior de la tabla obtiene todos los resultados
Momentos de apoyo
M1 – M2 – M3 – M4 en Kgm;
Momentos de tramo
Mx y My Kgm
Reacciones de apoyo
q1, q2, q3, q4 en Kg / m lineal.
Si necesita corregir o actualizar datos, ubicado el cursor en la losa que desea
corregir, se procede a corregir los valores y se da Enter con el primer botón superior, el
de introducción de datos y luego el de resolución.
AVISO IMPORTANTE
EL SOFTWARE HA SIDO REALIZADO CON SOFTWARE ORIGINAL DE VISUAL BASIC.
SIN EMBARGO SE RECOMIENDA A QUIÉN LO INSTALE QUE REALICE RESGUARDO
DE SUS ARCHIVOS PORQUE SI LA VERSIÓN QUE TIENE INSTALADA DE WINDOWS
NO ESTÁ CORRECTAMENTE INSTALADA SE PRODUCE MENSAJE DE ERROR Y SE
CORRE EL RIESGO DE PERDER INFORMACIÓN.
* SE PUEDE EJECUTAR DESDE UN CD *
3
&ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^
,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/Eϭϭ
ŽŶƚƌŽůĚĞĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂʌŵŝŶ͘ď͘Ěൌ ͲǤͲͲ͵͵ ൈ ʹͲ ൈ ૝૚ ൌ ૛ǡ ૢૠܿ݉ଶ sZ/&/͕ůŽƐ
ǀĂůŽƌĞƐĞŶĐŽŶƚƌĂĚŽƐƐŽŶŵĂLJŽƌĞƐ͘
W'/EϭϮ
ƵĂŶƚşĂŵĄdžŝŵĂ͗
^ĞĚĞďĞƚĂŵďŝĠŶĐŽŶƚƌŽůĂƌƋƵĞůĂĂƌŵĂĚƵƌĂŽďƚĞŶŝĚĂŶŽƐƵƉĞƌĞƵŶĂĐƵĂŶƚşĂŵĄdžŝŵĂсϭ͘ϮϵйƉĂƌĂ
,ϮϬ
ƌŵĂĚƵƌĂŵĄdžŝŵĂͲǤͲͳʹͻ ൈ ʹͲ ൈ ૝૚ ൌ ૚૙ǡ ૞ૡܿ݉ଶ хϵ͕ϯϲĐŵϮ;ǀĂůŽƌŵĂLJŽƌŽďƚĞŶŝĚŽͿ
W'/Eϭϯ
W'/Eϭϰ
^ĞƉƵĞĚĞƌĞĞŵƉůĂnjĂƌŬĚƐĞŐƷŶůĂĐĂůŝĚĂĚĚĞŚŽƌŵŝŐſŶĂĚŽƉƚĂĚŽ͘zĂƐşƐĞƚŝĞŶĞ
,ϮϬŬĚсϬ͘ϰϲϵ
,ϮϱŬĚсϬ͘ϰϭϵ
,ϯϬŬĚсϬ͘ϯϴϯ
W'/Eϭϰ
߂‫ܯ‬
‫כܯ‬
൅ ᇱ
൰ ൈ ͳͲǤͲͲͲ
‫ ݏܣ‬ൌ ൬
݇‫ ݖ‬ൈ ݀ ൈ ݂‫ݕ‬
‫ ݁ ݖ‬ൈ ݂‫ݕ‬
‫ܣ‬Ԣ‫ ݏ‬ൌ ൬
߂‫ܯ‬
൰ ൈ ͳͲǤͲͲͲ
ൈ ݂‫ݕ‬
‫ ݖ‬ᇱ ݁
7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD
&ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^
,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/Eϭϳ
ŶǀŝŐĂd ďĞчϴŚĨĚĞůŽƐĂ ďчϮďĞнďǁ
ďч>ŽŶŐŝƚƵĚĚĞůĂǀŝŐĂͬϰ ďĞчƐͬϮ ŶǀŝŐĂ>
ďĞчϲŚĨ
ďчϮďĞнďǁ
ďĞч>ŽŶŐŝƚƵĚĚĞůĂǀŝŐĂͬϭϮ
ďĞчƐͬϮ
s= distancia libre entre vigas
/DE^/KEKs/'^dŽ>
^ĞĚŝƐƚŝŶŐƵĞŶĚŽƐƐŝƚƵĂĐŝŽŶĞƐĚŝĨĞƌĞŶƚĞƐƐĞŐƷŶůĂƉŽƐŝĐŝſŶĚĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽ͘
ůĞũĞŶĞƵƚƌŽĚĞŶƚƌŽĚĞůĂůĂ͕ĞƐĚĞĐŝƌĐчŚĨ
W'/Eϭϳ
WƌŽĐĞĚŝŵŝĞŶƚŽĚĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽ
ĂƚŽƐ
^ĞĐŽŶŽĐĞůĂŐĞŽŵĞƚƌşĂĚĞůĂǀŝŐĂLJĞůDŽŵĞŶƚŽEŽŵŝŶĂů͘ůƚŝƉŽĚĞŚŽƌŵŝŐſŶLJĞůĂĐĞƌŽĂƵƚŝůŝnjĂƌ͘
WĂƌĂĐŽŶŽĐĞƌƐŝƐĞĞƐƚĄĞŶĞůĐĂƐŽĂͿŽĐĂƐŽďͿƐĞŶĞĐĞƐŝƚĂƐĂďĞƌůĂƉƌŽĨƵŶĚŝĚĂĚĚĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽƉĂƌĂ
ĐŽŶƚŝŶƵĂƌĐŽŶƵŶŽƵŽƚƌŽƉƌŽĐĞĚŝŵŝĞŶƚŽ͘
WĂƌĂĞůůŽ͕
ϭͿĐŽŶŽĐĞƌůĂĚŝƐƚĂŶĐŝĂĚ
^ĞƉƵĞĚĞƉƌĞƐƵƉŽŶĞƌůŽƐĚŝĄŵĞƚƌŽƐĚĞĞƐƚƌŝďŽƐLJĚĞůĂƐďĂƌƌĂƐĂƵƚŝůŝnjĂƌƉĞƌŽ͕ŐĞŶĞƌĂůŝnjĂŶĚŽĞů
ƉƌŽĐĞĚŝŵŝĞŶƚŽ͕ƐĞƐƵŐŝĞƌĞĂĚŽƉƚĂƌĐŽŵŽǀĂůŽƌĂƌĞƐƚĂƌĚĞůĂĂůƚƵƌĂƚŽƚĂůϰĐŵ͘
ϮͿĞƚĞƌŵŝŶĂƌůĂƉƌŽĨƵŶĚŝĚĂĚĚĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽ
݀
݇݀ ൌ
ெ௡
ට
௕
W'/Eϭϴ
ĂƐŽď͗ĐхŚĨ
ƵĂŶĚŽĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽĞƐƚĄƵďŝĐĂĚŽĂƵŶĂĚŝƐƚĂŶĐŝĂŵĂLJŽƌƋƵĞĞůĞƐƉĞƐŽƌĚĞůĂůĂLJƉŽƌůŽƚĂŶƚŽ͕ƚĂŵďŝĠŶ
ĞƐƚĄĐŽŵƉƌŝŵŝĚĂƵŶĂƉĂƌƚĞĚĞĂŶĐŚŽŝŐƵĂůĂďǁ;njŽŶĂϭͿ͘
^ĞƉƵĞĚĞŶĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĚŽƐŵĠƚŽĚŽƐƉĂƌĂŽďƚĞŶĞƌĞůĄƌĞĂĚĞĂĐĞƌŽ͗
ϭͿ ŽŶƐŝƐƚĞĞŶĐŽŶƐŝĚĞƌĂƌůĂnjŽŶĂϭLJůĂnjŽŶĂϮĚĞůĂĨŝŐƵƌĂ;ƋƵĞŶŽƐĞĞdžƉůŝĐŝƚĂĞŶůĂƉƌĞƐĞŶƚĞƉƵďůŝĐĂĐŝſŶͿ
LJůĂƋƵĞĐŽŶƐŝĚĞƌĂƵŶďŝĞƋƵŝǀĂůĞŶƚĞƐĞŐƷŶůĂƐĐŽŶƐŝĚĞƌĂĐŝŽŶĞƐĚĞůĂĨŝŐ͘ϮϬ͘
7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD
&ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^
,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/EϮϯ
ŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽĚĞůĂĂƌŵĂĚƵƌĂ
ĞůĂĐŽŵƉĂƌĂĐŝſŶĚĞůǀĂůŽƌŽďƚĞŶŝĚŽsĐĐŽŶĞůĐŽƌƚĞƐŽůŝĐŝƚĂŶƚĞĚĞůĂƐĞĐĐŝſŶĐƌşƚŝĐĂŵĂLJŽƌĂĚŽ͕ƐĞĚĂŶƚƌĞƐ
ƉŽƐŝďŝůŝĚĂĚĞƐ͗
sƵфЪTsĐĂƌŵĂĚƵƌĂĐŽŶƐƚƌƵĐƚŝǀĂ
sƵфTsĐĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂ
sƵхTsĐĐĂůĐƵůĂƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂĚĞĐŽƌƚĞƉĂƌĂƌĞƐŝƐƚŝƌůĂĚŝĨĞƌĞŶĐŝĂ͘
WŽƌůŽƋƵĞĞůĐŽƌƚĞĂƌĞƐŝƐƚŝƌƉŽƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂƐĞƌĄ͗
sƐсsŶͲsĐ
W'/EϮϲ
W'/Eϯϳ
WƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽ͗
>ĂůŽƐĂϭϬϯƐĞƌşĂůĂƋƵĞƐĞĞŶĐƵĞŶƚƌĂĞŶƐŝƚƵĂĐŝſŶŵĄƐĚĞƐĨĂǀŽƌĂďůĞ͕ĐŽŶĐŽŶƚŝŶƵŝĚĂĚĚĞƵŶƐŽůŽůĂĚŽ͘
hƚŝůŝnjĂŶĚŽĞůŵĠƚŽĚŽĂƉƌŽdžŝŵĂĚŽƐƵŐĞƌŝĚŽĂŶƚĞƌŝŽƌŵĞŶƚĞƚĞŶĞŵŽƐ͗
݈
͵ͷͲܿ݉
ࢎൌ
ൌ
ൌ ͳͲܿ݉
͵ͷ
͵ͷ
W'/Eϰϰ
ŶƚŽĚŽƐůŽƐĐĂƐŽƐŶŽƐĞƐƵƉĞƌĂŶůŽƐϮϬĐŵ͕ůĂŵşŶŝŵĂĐŽŶĚŝĐŝſŶƉĂƌĂƐĞƉĂƌĂĐŝſŶŽďƚĞŶŝĚĂƐĞŐƷŶůĂƐ
ĞƐƉĞĐŝĨŝĐĂĐŝŽŶĞƐƌĞŐůĂŵĞŶƚĂƌŝĂƐ͘
ƐƚĂƐĂƌŵĂĚƵƌĂƐĂĚĞŵĄƐĚĞďĞŶǀĞƌŝĨŝĐĂƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂƉŽƌƌĞƚƌĂĐĐŝſŶĨŝũĂĚĂĞŶĞůƌĞŐůĂŵĞŶƚŽŝŐƵĂů
Ăůϭ͕ϴк͘
ƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂൌ ߩ݉݅݊ ൈ ܾ ൈ ࢎ ൌ ͳǡͺΩ ൈ ͳͲͲܿ݉ ൈ ૚૙ࢉ࢓ ൌ ૚ǡ ૡܿ݉ଶ ϭ͕ϴĐŵϮфϯ͕ϭϰĐŵϮÎdŽĚĂƐǀĞƌŝĨŝĐĂŶ
W'/Eϲϰ
ƐƚĂƐĂƌŵĂĚƵƌĂƐĂĚĞŵĄƐĚĞďĞŶǀĞƌŝĨŝĐĂƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂƉŽƌƌĞƚƌĂĐĐŝſŶĨŝũĂĚĂĞŶĞůƌĞŐůĂŵĞŶƚŽŝŐƵĂů
Ăůϭ͕ϴк͘
ƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂൌ ߩ݉݅݊ ൈ ܾ ൈ ࢎ ൌ ͳǡͺΩ ൈ ͳͲͲܿ݉ ൈ ૚૚ࢉ࢓ ൌ ૚ǡ ૢૡܿ݉ଶ
ϭ͕ϵϴĐŵϮфϮ͕ϱϬĐŵϮ;ŵşŶŝŵĂĂĚŽƉƚĂĚĂͿÎdŽĚĂƐǀĞƌŝĨŝĐĂŶ
7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD
&ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^
,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/Eϲϱ
WƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽ͘
^ĞƵƚŝůŝnjĂĞůŵŝƐŵŽĐƌŝƚĞƌŝŽƋƵĞĞůŝŶĚŝĐĂĚŽĞŶĞůĐĂƉşƚƵůŽĚĞůŽƐĂƐŵĂĐŝnjĂƐ͕ƐŽůŽƋƵĞĂůǀĂůŽƌŽďƚĞŶŝĚŽƐĞůŽ
ŝŶĐƌĞŵĞŶƚĂĞŶƵŶϱϬй͕ůŽƋƵĞĞƋƵŝǀĂůĞĂŵƵůƚŝƉůŝĐĂƌƉŽƌϭ͘ϱϬ
݈
݄ ൌ ૚ǡ ૞ ൈ
ܿ‫݂݁݋‬
ůсůƵnjĚĞĐĄůĐƵůŽĚĞůĂůŽƐĂ
ŚсĂůƚƵƌĂƚŽƚĂůĚĞůĂůŽƐĂ
W'/Eϲϵ
WĂƌĂƉƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂƌůĂĂůƚƵƌĂƚŽƚĂůĚĞůĂƐůŽƐĂƐƐĞƵƚŝůŝnjĂŶůŽƐŵŝƐŵŽƐĐŽĞĨŝĐŝĞŶƚĞƐƋƵĞůŽƐŝŶĚŝĐĂĚŽƐĞŶĞů
ƉƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽĚĞůŽƐĂƐ͕ŝŶĐƌĞŵĞŶƚĂĚŽƐĞŶƵŶϱϬйƉŽƌƋƵĞůĂůŽƐĂŶŽƐĞƌĄŵĂĐŝnjĂƐŝŶŽƋƵĞƐĞƉůĂŶƚĞĂ
ĐŽŵŽůŽƐĂŶĞƌǀƵƌĂĚĂ͘;EŽƚĂ͗ĂůǀĂůŽƌŚĂůůĂĚŽƐĞůŽŵƵůƚŝƉůŝĐĂƉŽƌϭ͕ϱϬͿ͘
>ĂƐƐŝƚƵĂĐŝŽŶĞƐĂĐŽŶƐŝĚĞƌĂƌƐŽŶ͗
ͷͳͷܿ݉
݄ൌ
ൈ ૚ǡ ૞ ൌ ૛૛ǡ ૙ૠࢉ࢓
͵ͷ
͸ʹͲܿ݉
݄ൌ
ൈ ૚ǡ ૞ ൌ ૛૜ǡ ૛૞ࢉ࢓
͵ͷ
W'/Eϳϯ
‫݊ܯ‬ሺ‫݋݅ݒݎ݁݊ݎ݋݌‬ሻ ൈ ͳͲǤͲͲͲ
ͲǤͲͳ͵͵‫Ͳͳݔ‬ǤͲͲͲ
ൌ
ൌ ͳǡ͸Ͳܿ݉ଶ ˆ‡୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ൌ
݂‫ ݕ‬ൈ ࢑ࢠ ൈ ݀
ͶʹͲ‫ݔ‬૙Ǥ ૢ‫Ͳݔ‬Ǥʹʹ݉
ˆ‡୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ÎƐĞĂĚŽƉƚĂŶϮTϭϬ;ϭ͘ϱϳĐŵϮуϭ͘ϲϬĐŵϮͿ
W'/Eϳϰ
‫݊ܯ‬ሺ‫݋݅ݒݎ݁݊ݎ݋݌‬ሻ ൈ ͳͲǤͲͲͲ
ͲǤͲʹʹ͸‫Ͳͳݔ݉ܰܯ‬ǤͲͲͲ
ൌ
ൌ ʹǡͻͷܿ݉ଶ
ˆ‡୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ൌ
݂‫ ݕ‬ൈ ࢑ࢠ ൈ ݀
ͶʹͲ‫ݔܽܲܯ‬૙Ǥ ૡ૜‫Ͳݔ‬Ǥʹʹ݉
ˆ‡୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ൌ ʹǡͻͷܿ݉ଶ ƐĞĐƵďƌĞŶĐŽŶϯTϭϮсϯ͕ϯϵĐŵϮ
W'/EϴϬ
dŝƉŽƐĚĞĞƐƚƌŝďŽ
ŝĄŵĞƚƌŽĚĞůŽƐĞƐƚƌŝďŽƐ͘
ĂƌƌĂƐůŽŶŐŝƚƵĚŝŶĂůĞƐ
Ěďчϭϲŵŵ
ϭϲŵŵфĚďчϮϱŵŵ
ϮϱŵŵфĚďчϯϮŵŵ
ĚďхϯϮŵŵŽƉĂƋƵĞƚĞƐĚĞďĂƌƌĂƐ
ŝĄŵĞƚƌŽĞƐƚƌŝďŽƐŵşŶŝŵŽƐ
Tϲ
Tϴ
TϭϬ
TϭϮ
7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD