:?I;xEO:?C;DI?ED7:E:; ;IJHK9JKH7I:;>EHC?=âD7HC7:E ;IJHK9JKH7I:;>EHC?=âD7HC7:E 7HC7:E 9dcVea^XVX^cYZaHZ\aVbZcid9?HIE9(&'Ä(&&+ Fgd[$7gfj^iZXiVIVgV=dcdgVo`n Fgd[$7gfj^iZXiVIVgV=dcdgVo`n Fgd[$7gfj^iZXiVIVgV=dcdgVo`n ',6(f2<',0(16,21$'2'( (6758&785$6'(+250,*Ð1$50$'2 &RQDSOLFDFLyQGHO5HJODPHQWR&,562&² 3URI$UTXLWHFWD6DUD*RQRUD]N\ Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Gonorazky Steren, Sara Diseño y dimensionado de estructuras de hormigón armado : con aplicación del reglamento CIRSOC 201-2005 . - 5a ed. - Córdoba : Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño de la Universidad Nacional de Córdoba, 2012. 104 p. + CD-ROM ; 29x21 cm. ISBN 978-987-1494-17-0 1. Consrucción. 2. Estructuras de Hormigón. 3. Enseñanza Superior. I. Título CDD 693.540 711 Fecha de catalogación: 25/12/2011 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky DISEÑO Y DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Con aplicación del reglamento CIRSOC 201 - 2005 Indice Pág. 1. Introducción Hormigón Armado Hormigón Acero Fundamentos del método de dimensionado .. Métodos de dimensionado. ... Requisitos generales: Acciones y Combinaciones de acciones 2. Diseño por resistencia a flexión Dimensionado a flexión de vigas continuas Ejemplo de resolución Dimensionado a flexión de secciones doblemente armadas Ejemplo de resolución Dimensionado a flexión de secciones T y L 3. Diseño por resistencia a corte Diseño de estribos Diseño con barras dobladas Ejemplo de resolución Tabla de Corte 1 4. Losas de hormigón armado Losas macizas en una dirección Ejemplo de resolución Losas macizas en dos direcciones Ejemplo de resolución Losas nervuradas Ejemplo de resolución 5. Columnas y tabiques . Ejemplo de dimensionado Predimensionado de columnas por áreas de influencia Compresión y flexión en columnas rectangulares . .. .. ... .. . . ...... . ... . ....... . ...... . . ... .. Anexo 1: Contenido del Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón Armado. Anexo 2: Unidades. Equivalencias Anexo 3: Glosario y Nomenclatura Anexo 4: Tablas para el dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Anexo 5: Manual del usuario: software para losas armadas en dos direcciones 1 2 2 2 3 3 4 5 6 9 10 13 15 16 19 24 25 26 30 31 33 37 49 55 65 69 76 80 81 86 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky DISEÑO Y DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Con aplicación del Reglamento Argentino CIRSOC 201 2005 INTRODUCCIÓN En la República Argentina es de aplicación para el Diseño de Estructuras diferentes normativas elaboradas por el Instituto Nacional de Tecnología Industrial (INTI www.inti.gov.ar/cirsoc) y el Centro de Investigación de los Reglamentos Nacionales de Seguridad para las Obras Civiles (CIRSOC). Para el dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado se aplica el Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón Cirsoc 201 2005. Esta publicación, como lo dice en su prólogo, se enmarca dentro de la segunda generación de Reglamentos Nacionales de Seguridad Estructural y se basa en las normas del American Concrete Institute (ACI) denominadas Building Code Requirements for Structural Concrete ACI 318-02. HORMIGÓN ARMADO El hormigón armado es un material compuesto por Aceros estructurales, (cuya calidad es garantizada por el productor y de acuerdo a lo especificado en normas pertinentes, usualmente normas IRA) y el hormigón producido en el obrador o en plantas de elaboración por lo que resulta indispensable realizar un control de calidad sistemático ya que la seguridad de la estructura depende en gran calidad del material que se utilice. HORMIGÓN La principal medida de la calidad estructural del hormigón es su resistencia a la compresión: fc (f: tensión, :compresión; c: hormigón). En la tabla que a continuación se incluye, se indica la designación del tipo de hormigón, su resistencia a la compresión y tipo de aplicación. Clase de Hormigón Resistencia especificada a compresión fc (Mpa) fc (kg/cm2) H-15 15 150 H-20 20 200 H-25 25 250 H-30 30 300 H-35 35 350 H-40 40 400 H-45 45 450 H-50 50 500 H-60 60 600 2 Aplicación en hormigones Simple Simples y armados Simples, armados y pretensados Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky El módulo de elasticidad Ec, (en unidades MPa) es decir, la pendiente del tramo recto inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria aumenta con la resistencia del hormigón fc Ec = 4700 f' c ACEROS En las primeras construcciones de hormigón armado se empleaba acero en barras redondas lisas. Los avances tecnológicos mejorar las propiedades de los aceros en especial su capacidad resistente. Para lograr una mejor adherencia se realiza un conformado superficial: muescas, resaltos laminados, nervurados, torsionados con nervios longitudinales. El aumento de la resistencia de los aceros para hormigón se logra mediante dos formas: Aceros de dureza natural: se laminan en caliente y sus propiedades se basan únicamente en la composición química Aceros deformados en frío: luego de laminado en caliente se produce un trabajo en frío como el trafilado, torsionado o estiramiento. Debido a esto se logra un aumento de la resistencia. Los tipos de Acero según el Cirsoc y sus características principales son las siguientes: Acero liso AL 220: solo se pueden utilizar para la ejecución de espirales, estribos y zunchos. Acero de dureza natural ADN 420 con conformación superficial nervurada. Barras de diámetro 6 a 40mm para armaduras en general. Cuando sea necesario soldarlas se deben usar métodos de soldadura especial. Acero de dureza natural soldable ADN 420 S, también nervurada. Es más apropiado cuando se requieren uniones soldadas. Igual utilización que el anterior. Acero para alambres y mallas soldadas ATR 500 N y AM 500 N de 5 a 12 mm de diámetro El módulo de elasticidad es el mismo para todos lo tipos de aceros Es = 200.000 Mpa Hipótesis del Hormigón Armado • Adherencia perfecta entre el Acero y el Hormigón • No se considera la resistencia a tracción del Hormigón • Las deformaciones en la armadura y en el hormigón son proporcionales a la distancia al eje neutro • Como máxima deformación en la fibra extrema comprimida del Hormigón se adopta u = 0.003 (3 por mil ó 3 ) • La tensión en el acero se calcula como Es x u ! fy FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE DIMENSIONADO La característica más importante de cualquier elemento estructural es su resistencia real, la cual debe ser lo suficientemente elevada para resistir, con algún margen de reserva, todas las cargas previsibles que pueden actuar durante la vida de la estructura, sin que presente falla u otro inconveniente, (por ejemplo, deformaciones excesivas). El nuevo reglamento CIRSOC 201/ 2005, cuya metodología adoptada es de las más moderna y se conoce por diseño por resistencia, se basa fundamentalmente en el manejo de dos coeficientes de seguridad parciales: uno tiene en cuenta la posibilidad de reducción de la resistencia de la sección de estudio por problemas de la calidad de los materiales y su puesta en obra y otro tiene en cuenta la probabilidad de que las cargas de uso sean mayores que las previstas. 3 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky METODOS DE DIMENSIONADO El Método de Diseño por Resistencia provee un determinado margen de seguridad estructural mediante dos recursos. • • Disminuir la resistencia nominal mediante el uso de un factor de reducción de la resistencia Ø (fi). Aumentar la resistencia requerida usando cargas o solicitaciones mayoradas. Este criterio se materializa diciendo que: La Resistencia de Diseño (Rd) de cada elemento estructural o de la estructura en su conjunto, será igual o mayor a la Resistencia requerida (Ru) resistencia de diseño resistencia requerida (Ru ) (Rd) (Ru) Las solicitaciones de sección determinadas son la resistencia requerida (Ru) La resistencia requerida Ru debe ser mayor o igual que los efectos de las cargas mayoradas dadas en las combinaciones La resistencia de diseño (resistencia real) se encuentra influenciada por la calidad de los materiales, las condiciones de ejecución de la estructura real, las diferencias con respecto al modelo de proyecto, los defectos constructivos, etc. La Resistencia de Diseño (Rd = Ø Rn) para cada Estado Límite Último aplicable, es igual al producto de la Resistencia Nominal Rn por el Factor de resistencia Ø. Rn Resistencia Nominal: Resistencia de un elemento de una sección transversal antes de aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia Factor Ø (fi): es un factor menor que la unidad que reduce la resistencia para considerar las incertidumbre en los materiales y en las dimensiones. )DFWRUGHUHGXFFLyQGHUHVLVWHQFLD W ]XQFKRV HVWULERVFHUUDGRV ]RQDFRQWURODGD SRUFRPSUHVLyQ W ,QWHUSRODFLyQ W ]RQDFRQWURODGD SRUWUDFFLyQ W Fig. 1 4 W Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Tabla de valores del factor de reducción de la resistencia Ø según el tipo de solicitación Secciones controlada por tracción Secciones controladas por compresión a) elementos con armadura en espiral b) otros elementos Corte y torsión 0,90 0,70 0,65 0,75 Requisitos generales 1 Acciones y Combinaciones de Acciones Para conocer las solicitaciones en una estructura se debe conocer primero las acciones debidas al peso propio de la estructura (carga permanente), a la sobrecarga de uso y las debidas a las acciones del viento, la nieve y sismo, entre otras. La inminente aplicación de la nueva generación de Reglamentos Cirsoc para la República Argentina hace necesaria la adecuación de la nomenclatura y unidades a las que se utilizan en dicha reglamentación. A continuación se indica la nomenclatura a emplear: (Dead load) (Live load) (Live load roof) (Wind load) (Snow) (Rain) (Earthquake) D: Cargas permanentes (peso de la estructura y de los cerramientos) L: Sobrecarga de uso Lr: Sobrecarga de la cubierta. W: Carga de Viento S: Carga de Nieve R: Carga de agua de lluvia o hielo sin considerar efectos de acumulación de agua. E: Carga sísmica Para conocer la resistencia requerida de la estructura se estudian combinaciones de acciones, que considera diversas posibilidades de simultaneidad de cargas afectadas en cada situación por un coeficiente denominado factor de carga. Las siguientes combinaciones de carga son las que establece para nuestro país el reglamento CIRSOC (1) 1.4 D (2) 1.2 D + 1.6 L + 0.5(Lr ó S ó R) (3) 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.5L ó 0.8 W) (4) 1.2 D + 1.3 W + 0.5L + 0.5 (Lr ó S ó R) (5) 1.2 D ± 1.0 E + 0.5L + 0.7S (6) 0.9 D ± (1.3 W ó 1.0 E) 1 Capítulo 9 190 5 Diseño y Dimensionado de Estructuras Continuas de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky DIMENSIONADO POR RESISTENCIA A FLEXION Se estudia el comportamiento de una viga de hormigón de sección rectangular en las que actúan cargas que producen solicitaciones de flexión. Fig. 2 Cuando la carga se incrementa de modo gradual desde cero hasta la magnitud en que se producirá la falla pueden distinguirse diferentes estados en su comportamiento. Para cargas bajas, todos los esfuerzos en el hormigón son de pequeña magnitud y proporcionales a las deformaciones. Fig.3 Cuando la carga aumenta, pronto se alcanza la resistencia a la tracción del hormigón y aparecen las grietas de tracción. Estas grietas son muy pequeñas (grietas capilares) y no afectan la protección contra la corrosión, sin embargo, si afecta profundamente el comportamiento de la viga sometida a carga. Fig. 4 En una sección fisurada el hormigón no puede transmitir ningún esfuerzo de tracción y al acero le corresponde resistir toda la tracción. Es lo que se ve en la figura 5 de la izquierda Fig. 5 6 Diseño y Dimensionado de Estructuras Continuas de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Si se incrementa aún más la carga cuando las deformaciones aumentan y desaparece la proporcionalidad tensiones deformaciones. La distribución de los esfuerzos es una curva, tal como se ve en la figura 5 de la derecha. Cuando la viga está próxima a su falla y la distribución de deformaciones y tensiones internas es la representada y en la sección se han desarrollado un par de fuerzas C, resultante de compresión y T resultante de tracción. Fig. 6 Por razones de equilibro T es igual a C y a su vez el valor de cualquiera de ellas, será el valor del Momento dividido el brazo de palanca z. El acero tiene una tensión fs correspondiente a su deformación tensión en el acero por el área de la armadura As da una fuerza T. s. El producto de la La resultante de todas las tensiones de compresión en el ancho b de la sección es la fuerza C. Para conocer la magnitud de la resultante C es necesario conocer la distribución de las tensiones de la zona comprimida en el ancho b de la sección. Fig.7 También conocer la profundidad del eje neutro, el que puede obtenerse a partir del gráfico de deformaciones, por proporcionalidad de triángulos, con valores conocidos como serían las deformaciones del hormigón y del acero y el ángulo FI. Entonces, el valor será el del volumen de la distribución de las tensiones de la zona comprimida por el ancho b de la sección, en la profundidad c multiplicada por la tensión de compresión del hormigón, afectada por el coef. Alfa. Y su ubicación está en función de la distancia d afectada por el coef. BETA. A partir de resultados de investigaciones experimentales se puede pensar en remplazar la compleja distribución real de esfuerzos mediante una distribución ficticia equivalente, 7 Diseño y Dimensionado de Estructuras Continuas de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky siempre y cuando esta distribución produzca el mismo valor C de compresión, aplicada en la misma ubicación que en el elemento real en el momento de la falla. Fig. 8 Las ecuaciones pertinentes resultan complejas. Afortunadamente, resulta posible, mediante un artificio conceptual, formular de otro modo el análisis de resistencia. A partir de resultados de investigaciones experimentales se puede pensar en remplazar la compleja distribución real de esfuerzos mediante una distribución ficticia equivalente, siempre y cuando esta distribución produzca el mismo valor de Compresión C aplicada en la misma ubicación que en el elemento real en el momento de la falla. La distribución real se reemplaza entonces por una distribución equivalente con forma rectangular simple, en el que el valor de la Tensión de Compresión es el 85% del máximo compresión para hormigones de tensión de rotura en compresión menor o igual a 30 MPa, la altura del rectángulo es a, la posición de la resultante se ubica a a/2. La altura a del rectangulo es igual al producto del coeficiente 1 por la profundidad del eje neutro c. Para hormigones en los que fc!30 MPa, 1= 0,85. Para valores mayores remitirse al CIRSOC 201, cap.10.2.7.3. En realidad, como se aprecia en la perspectiva, la resultante de compresión C es la resultante de un volumen en el que a lo anterior se extiende en todo el ancho b de la sección. Lo hasta aquí expresado es la base para el dimensionamiento y las ecuaciones que pueden escribirse permiten luego mecanizar por así decir el proceso de cálculo, con la utilización de coeficientes tabulados a partir de las ecuaciones de equilibrio aquí planteadas. 8 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky DIMENSIONADO POR RESISTENCIA A FLEXION EN VIGAS CONTINUAS El dimensionado de vigas continuas requiere la determinación de los Momentos Flectores en los apoyos, los máximos momentos de tramo, la variación del valor de los momentos, o sea, el diagrama de Momentos Flectores y las reacciones de apoyo con el correspondiente diagrama de Esfuerzo de Corte. Dado un esquema de viga continua en el que figuran las dimensiones y las cargas, se puede obtener manualmente (por métodos como el llamado Método de Cross) los valores de los Momentos de apoyo, o, por programas computacionales todos los valores mencionados. A partir del siguiente ejemplo se realizan las explicaciones correspondientes para el dimensionado en Hormigón Armado: q= 3,64 t/m 4.50 6.30 5.20 Fig. 8 11,17 11,86 5,81 2.90 3.23 1.60 1.94 3.07 3.26 7,07 10,57 11,76 Fig. 9 12,47 10,69 Fig 10 1º Tramo Î 2º Tramo Î 3º Tramo Î M flector máx. = 4,60 Tm M flector máx. = 6,52 Tm M flector máx. = 6,86 Tm 9 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Por el procedimiento utilizado y las unidades empleadas se han obtenido los Momentos últimos (Mu) de apoyo y tramo en tm. Se necesita, para dimensionar, conocer los momentos nominales, es decir, el Mu dividido por el coeficiente Ø. (en este caso, Ø = 0,9) Momentos (tm) tramos Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 apoyos 1/2 2/3 Mn Momentos NOMINALES Mu (tm) Mu = = φ 0,9 5.14 7.24 7.62 11.88 13.86 4.60 6.52 6.86 10.69 12.47 Momentos NOMINALES (MNm) 0.0514 0.0724 0.0762 0.1188 0.1386 El procedimiento puede ser: a) Prefijar dimensiones (situaciones de diseño arquitectónico que condicionan una determina altura y/o ancho de la sección) b) Encontrar una de las dimensiones, generalmente h, habiendo ya propuesto el b. Realizamos el procedimiento primer procedimiento. Se adopta Hormigón H20 y Acero ADN 420 Por razones de arquitectura la sección debe tener b = 20 cm h = 45 cm Se debe conocer la distancia d diam.barra d = h − r − diam.estribo − 2 Se puede presuponer los diámetros de estribos y de las barras a utilizar pero, generalizando el procedimiento, se sugiere adoptar como valor a restar de la altura total 4cm. (Si las vigas resultaran con doble capa de armaduras, se debe reconsiderarse el valor asignado, recordando que d es la distancia entre la fibra más comprimida y el baricentro de la armadura traccionada) d = 45 4 = 41cm Comenzamos por el tramo de mayor momento, en este caso el tramo 3. 1) obtener kd k = d d(m) Mn(MNm) b(m) = 0.41 0.0762 = 0,681 0.20 De la tabla FLEXIÓN 3, del nuevo CIRSOC 201 se obtiene: kd = 0,681 Î kz > 0,9 por lo que se adopta 0,9 10 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado As = Mn kz × d× f × 10.000 = y Mn 0,9 × 0.41× 420 × 10.000 = Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Mn 154,98 × 10.000 Como se ha utilizado el mayor momento de tramo para obtener kz se puede inferir que para todos los tramos se puede utilizar kz (0,9) y se puede sistematizar la obtención de la armadura inferior en cada tramo de la manera siguiente manera, recordando que para obtener cm2 se debe multiplicar por 10.000 Tramo 1 As = 0.0514 154,98 × 10.000 = 3.32cm 2 Î 3 Ø 12 (3.39cm2) Tramo 2 0.0724 × 10.000 = 4.67cm 2 154,98 Tramo 3 0.0762 As = × 10.000 = 4.92 cm 2 154,98 As = Control de armadura mínima encontrados son mayores. min Î 1 Ø 12 + 2 Ø 16 (5.15 cm2) Î 1 Ø 12 + 2 Ø 16 (5.15 cm2) . b.d = 0.0033 x 20 x 45 = 2,97 cm2 VERIFICA, los valores Diseño de la armadura superior Para cada uno de los apoyos debe encontrarse Kd y luego Kz. Apoyo 1/2 k = d d(m) Mn(MNm) = b(m) 0.41 0.1188 = 0,532 Î kz = 0.88 corresponde 0.20 As = Mn 0,88 × 0.41× 420 × 10.000 = 0.1188 151,54 × 10.000 = 7.84 cm 2 Apoyo 2/3 k = d d(m) Mn(MNm) b(m) = 0.41 0.1386 = 0,493 Î kz = 0.86 0.20 As = Mn 0,86 × 0.41× 420 11 × 10.000 = 0.1386 148.09 × 10.000 = 9.36 cm 2 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Cuantía máxima: Se debe también controlar que la armadura obtenida no supere una cuantía máxima para H201 Armadura máxima 0.0129 x 20 x 45 = 11.61 cm2 > 9,36 cm2 (valor mayor obtenido) DISEÑO DE LA ARMADURA. Fig. 11 1 Valores de cuantía máxima según el tipo de hormigón H20 !max = 1.29% - H25 !ma x = 1.61% - H30 !max = 12 1.94% = 1.29% Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky De utilizar el segundo procedimiento (B) cabe lo siguiente: Si se desea dimensionar la viga NO UTILIZANDO secciones doblemente armada, se debe elegir el mayor momento (sea que esté ubicado en el apoyo o en el tramo) En este ejemplo se debe utilizar Mn = 0.1386 MNm Se prefija b = 20 cm y se encuentra d d=k Mn d b Para esta situación se propone un kd que esté dentro de los valores que garantiza una deformación máxima del acero del 5 y una deformación máxima de hormigón que no supere el 3 Una vez que se obtiene el d es conveniente conocer los valores de cuantía mínima y máxima para controlar en los primeros estadios del diseño seccional que los valores que se obtendrán están dentro de los límites permitidos. SECCIÓN DOBLEMENTE ARMADA Diversas situaciones de diseño pueden conducir a que las dimensiones de la viga no puedan ser mayores que las asignadas y que el Momento Crítico (o límite) de la sección sea menor que el Momento Nominal. En estas situaciones se puede recurrir a la solución de agregar doble armadura, armadura traccionada, (As), y armadura comprimida, (As´), que forman el par o momento que se agrega a la sección para alcanzar el Momento Nominal requerido. M* + = ¨M Msolic r' d + h r' d dh = r r b b Fig. 12 Como criterio ∆M no debe superar el 30% del M* O lo que es lo mismo decir que: ∆M ≤ 0,30 M* Pasos a seguir: 1) Se calcula el M* de la sección o Momento Crítico Se acepta que: la deformación del acero εs = 0.005 ( o sea 5 ) y la deformación del hormigón εb = 0.003 ( o sea 3 ) la profundidad del eje neutro es c = Kc x d = 0.375 d 13 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky y se puede escribir que: 2 § d · bd2 ¸ = b¨ ¨k ¸ Mcrit = M* = k 2 © d¹ d Expresión que permite conocer el máximo momento que resiste una sección rectangular con armadura de tracción. Se puede reemplazar kd según la calidad de hormigón adoptado. Y así se tiene H20 Î kd = 0.469 H25 Î kd = 0.419 H30 Î kd = 0.383 2 Si la sección transversal no es capaz de desarrollar el Momento solicitante (Momento Nominal) se recurre a la incorporación de armadura adicional tanto en la zona comprimida como en la traccionada para que forme otro par (momento) interno que complete al Momento crítico, que se expresa de la siguiente manera Si Mn > M* Se tiene que: M = Mn M* Y se tendrá una armadura ! As traccionada que se agrega y una armadura As que se coloca en la zona comprimida de la sección de hormigón. Si se adopta la pareja de deformaciones εs = 5 y εb = 3 corresponde adoptar el coeficiente de minoración " = 0,90 y se obtiene el total de la armadura como se indica a continuación: As = ( y A' s = M* kz × d × f $M z' e × f' y + y #M z' e × f ) × 10.000 y × 10.000 Se adopta fy = fy = 420 MPa (valor que se obtiene si se cumple d' d ≤ 0,10 ). Si no cumple con esta relación en la tabla 3 de dimensionado a flexión del CIRSOC se encuentra el valor correspondiente. E G I F & & 0Q $V K V F =H G ] $V V I\ Fig. 13 2 H & D Puede resultar útil recordar los denominadores, según la secuencia de tipo de H° corrientes H25: (0,419)2 = 0.176 H30: (0,383)2 = 0.147 H 20: (0,469)2 = 0.220 14 7 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Ejemplo de resolución de sección doblemente armada Si en el ejemplo anterior por alguna razón solo se puede diseñar con 40cm de altura Se tiene: b = 20 h = 40 M* = 0.20 × 0.36 2 0.469 2 = 0.1178 M = 0,1188 0,1178 = 0,0010 (valor muy pequeño; se podría prescindir del cálculo exacto) M = 0,1386 0,1178 = 0,0208 de tabla 3, en el límite inferior para deformación del acero 5 y el hormigón 3, corresponde un kz =0,841 Armadura traccionada Apoyo 1/2 As = ( 0.1178 0.841× 0.36 × 420 + 0.0010 0.32 × 420 ) × 10.000 = 9,33 cm 2 Apoyo 2/3 As = ( 0.1178 0.841× 0.36 × 420 + 0.0208 0.32 × 420 ) × 10.000 = 10,81 cm 2 Armadura comprimida se necesita conocer d' d para = 0,04 0,36 = 0,11 0,10 Î fy = 420 MPa ! = 12 para 0,12 corresponde para 0,11 Î fy = 414 Î fy = 408 MPa Apoyo 1/2 A' s = 0.0010 0.32 × 414 × 10.000 = 0,75 cm 2 Apoyo 2/3 A' s = 0.0208 × 10.000 = 1,57 cm 2 0.32 × 414 Sección necesaria de armadura en los apoyos. Fig. 14 15 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky VIGAS DE SECCIÓN T ó L La viga en T (o L) es un elemento importante en la construcción de hormigón armado. El llenado de la losa se realiza de una sola vez, desde la parte inferior de la viga hasta la parte superior de la losa. Los estribos de las vigas y barras dobladas se extienden hasta penetrar dentro de la losa, resultando evidente que una parte de la losa va a actuar como parte superior de la viga para resistir la compresión longitudinal. La sección de la viga que resulta tiene sección T (o L) en vez de sección rectangular. Fig. 15 Cabe resaltar, que es de fundamental importancia en el caso de vigas continuas, considerar en qué situación la losa es efectiva y la sección realmente se comporta como viga T o L, acompañando en su ubicación a la zona traccionada de la viga. Designaciones: bw = ancho del nervio b = ancho del ala; ancho colaborante hf = espesor del ala h = altura total de la viga d = altura desde la fibra más comprimida hasta el eje baricéntrico de las armaduras de tracción Dimensiones del ala o ancho colaborante: Se distinguen las vigas aisladas en las que se utiliza una sección T que debe tener las siguientes características: Espesor Ancho efectivo Î hf ½ bw Î b 4 veces bw Fig. 16 Si la viga es parte de una losa, el ancho de losa efectivo como ala de viga T o viga L que también se designa b debe cumplir con las siguientes condiciones: Fig. 17 16 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky En viga T be 8hf de losa En viga L be 6 hf b 8hf + bw b Longitud de la viga /4 b s/2 b 6 hf x bw b Longitud de la viga /12 b s/2 DIMENSIONADO DE VIGAS T o L Se distinguen dos situaciones diferentes según la posición del eje neutro. El eje neutro dentro del ala, es decir c hf Fig. 18 Siendo a = altura del bloque equivalente de tensiones hf = espesor de las alas. El eje neutro en el alma de la viga, es decir a> hf Fig. 19 Procedimiento de dimensionado Datos Se conoce la geometría de la viga y el Momento Nominal. El tipo de hormigón y el acero a utilizar. Para conocer si se está en el caso a) o caso b) se necesita saber la profundidad del eje neutro para continuar con uno u otro procedimiento. Para ello, 1) conocer la distancia d Se puede presuponer los diámetros de estribos y de las barras a utilizar pero, generalizando el procedimiento, se sugiere adoptar como valor a restar de la altura total 4cm. 2) Determinar la profundidad del eje neutro ! = $ %# → !& → " = !& si verifica que c es menor que el espesor del ala. 17 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky c hf y se está en el caso a), caso contrario en el caso b). Si la profundidad calculada hasta el eje neutro es menor o igual al espesor hf de la losa o ala de la viga se calcula como si fuera una viga rectangular de ancho igual a b, el ancho efectivo del ala. O sea, una viga T puede tratarse como una viga rectangular si la altura del bloque equivalente a es igual o menor que el espesor del ala. Para determinar las armaduras se procede como si la viga T fuera una viga rectangular de ancho b. Determinación de la sección de acero necesaria Para ello se necesita obtener Kz (de la tabla FLEXIÓN 3, del nuevo CIRSOC 201 a partir del tipo de Hormigón y del kd encontrado). As = Mn kz × d× f × 10.000 = y Mn k ×m×m z × 10.000 = As (cm 2 ) Verifiación de la cuantía: ȡ min Amin = f`c × bw × d 4 × fy Significa para, los hormigones usuales en nuestro medio: H20 Î 0.00266 x bw x d H25 Î 0.00298 x bw x d H30 Î 0.00326 x bw x d Amin ≥ 1,4 × bw × d fy Significa Amin 0.0333 x bw x d debe ser usado) para acero fy = 420 MPa. (valor que para nuestro medio es el que Caso b: c > hf Cuando el eje neutro está ubicado a una distancia mayor que el espesor del ala y por lo tanto, también está comprimida una parte de ancho igual a bw. (zona 1) Se pueden desarrollar dos métodos para obtener el área de acero: 1) Consiste en considerar la zona 1 y la zona 2 de la figura (que no se explicita en la presente publicación) y la que considera un bi equivalente según las consideraciones de la fig.6. Si el eje neutro está en el alma de la viga, es decir c > h Se propone una sección rectangular equivalente con un ancho colaborante modificado bi menor a b (ancho colaborante). bi = Xb x b y a =ȕ1 x kc x d Fig. 20 18 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky DISEÑO POR RESISTENCIA AL CORTE En el caso de barras, sometidas a acciones externas, como es el caso típico de las vigas, además de esfuerzos de flexión también están sometidas a esfuerzo de corte. La falla por corte puede ser más peligrosa que la falla a flexión, esto se debe a la incertidumbre para su predicción exacta. Si al estudio de la deformación de vigas continuas, agregamos el análisis de la formación y desarrollo de fisuras en aquellas de hormigón armado con armadura de tracción podremos visualizar las situaciones siguientes: Deformada Diagrama de Momentos Flectores Diagrama de Esfuerzo de Corte Fig. 1 Lo expresado anteriormente se puede resumir en dos situaciones: a) Zonas de corte alto y momento flector bajo. En este caso no hay fisuras por flexión porque las tensiones de tracción son bajas y la sección completa resiste al corte. El valor máximo del esfuerzo de corte se da en el eje neutro y las fisuras están a 45º y se inician en la zona próxima al eje neutro. Este es el caso típico de las zonas próximas a los apoyos de las vigas simplemente apoyadas. b) Zonas con corte y momento flector alto. En este caso las vigas con armaduras de tracción bien dimensionadas presentan fisuras para cargas de servicio, que comienzan en el borde traccionado, con una dirección casi vertical. Esto se debe a que son producidas por la tracción proveniente de la flexión. ESQUEMA DE FISURAS Fig. 2 (de la figura 11.4.3 del Reglamento Cirsoc 201 / 2005) 19 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Si se incrementan las cargas también aumentas las tracciones diagonales con los que las fisuras no solo se profundizan por la flexión sino que también se inclinarán por el incremento del esfuerzo de corte. La falla por corte también se conoce como falla a tracción diagonal. Una vez formada, la grieta diagonal se prolonga bajo una carga ligeramente superior, atraviesa la viga por completo desde la armadura a tracción hasta la cara a compresión y la separa en dos, produciendo en consecuencia la falla. Si se analiza una porción de una viga cargada arbitrariamente, donde se ha formado una grieta de tracción diagonal se puede ver que en la parte izquierda de la grieta, existe un esfuerzo de corte que actúa hacía arriba y su valor es Vext = R1 P1 Aplicando la condición de equilibrio de una sección, para que la misma este en equilibrio se debe indicar las fuerzas externas como las fuerzas internas, (Fig. 3). Fig. 3 En la sección indicada el esfuerzo de corte, después de la formación de la grieta, es igual a la fuerza de corte por la sección de hormigón comprimida (Vcz), el cortante de la sección inclinada de la grieta (Vi) y la resistida por la armadura correspondiente a las barras longitudinales ( Vd) V ext - Vint = 0 V ext = Vint = Vcz + Viy + Vd Dónde: Vcz es la fuerza de corte que se desarrolla en la porción no fisurada del hormigón. Viy es la proyección vertical de la fuerza Vi que se produce por el entrelazamiento de la superficie rugosa. Vd es la fuerza generada por el empotramiento de la armadura traccionada en el hormigón. Fig. 4 Cuando se coloca armadura de corte en el alma, sean estribos o barras dobladas, en la ecuación de equilibrio del corte se introduce, además de las anteriores, la contribución de los estribos, (caso de la Fig. 5) y de las barras dobladas, (caso Fig. 6) y es la base para el dimensionado de los estribos y barras dobladas como se verá en el desarrollo posterior. 20 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky V ext = Vcz + Viy + Vd + Vs Fig. 5 V ext = Vcz + Viy + Vd + Vs Vs = Fig. 6 Av sen ! fv Disposiciones reglamentarias del CIRSOC 201 - 2005 En las barras solicitadas a esfuerzos internos de flexión y corte (como en la generalidad de las vigas) debe cumplirse que: Vn ≥ Vu φ Vn : Resistencia nominal al corte Ø = 0,75 Factor que reduce la resistencia al corte para considerar las incertidumbres en los materiales y en las dimensiones. Vu : Esfuerzo de corte actuante mayorado, o sea el que se obtiene aplicando los coeficientes de mayoración de las acciones. Determinación de la sección crítica según el tipo de apoyo y de carga de la viga En general la resistencia requerida al corte es el esfuerzo de corte que se produce en el borde del apoyo. Sin embargo, se puede considerar como sección crítica a una distancia d del apoyo, aquellas situaciones en que el apoyo sea directo, las cargas están aplicadas en la parte superior de la viga y no existe ninguna carga concentrada entre el borde de apoyo y la distancia d, 9X 9X 9X G G Fig. 7 21 G Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky En las situaciones que a continuación se grafican, no corresponde disminuir el esfuerzo y se lo considera en el borde indicado. 9X G 9X Fig. 8 Verificación de las dimensiones de la sección Se debe verificar la Tensión de corte ( en el actual reglamento; (tau) anteriormente) según la expresión siguiente: ν = (τ ) = Vn MN ( = MPa) b × d m2 y debe cumplir que: ν = (τ ) = Vn b×d ≤ 5 f' c 6 De acuerdo al tipo de hormigón que utilizado, se puede sistematizar la tensión de corte máxima. Por lo tanto, para: H20 Î 3,727MPa H25 Î 4,167MPa H30 Î 4,564MPa Esta ecuación ν = (τ ) = Vn MN ( = MPa) b × d m2 permite rápidamente visualizar si la sección es pequeña o no y qué tipo de disposición constructiva de estribos se necesita. Si se ingresa a la tabla de Corte 1, del Cirsoc 201 tomo Tablas para el Diseño de Elementos estructurales de hormigón, edición 2002 página 57 (ver anexo), se obtiene si la sección transversal es demasiado pequeña, en cuyo caso debe re-dimensionarse 1 y qué tipo de separación de estribos es necesaria. 1 Para secciones rectangulares bw = b 22 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Dimensionado de la armadura La resistencia nominal al corte Vn se determina por la siguiente expresión: Vn = Vc + Vs dónde Vc: es la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón Vs: es la resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte La resistencia al corte Vc se determina con la siguiente expresión, para elementos sometidos únicamente a corte y flexión. 1 Vc = f´c × b × d 6 De la comparación del valor obtenido Vc con el corte solicitante de la sección crítica mayorado, se dan tres posibilidades: Vn < ½ Ø Vc armadura constructiva Vn < Ø Vc armadura mínima Vn > Ø Vc calcular la armadura de corte para resistir la diferencia. por lo que el corte a resistir por la armadura será: Vs = Vn - Vc Resistencia al corte proporcionada por la armadura correspondiente. Tipos de armadura de corte La armadura de corte puede estar constituida por a) estribos perpendiculares al eje del elemento b) mallas de acero soldada con alambres ubicados perpendicularmente al eje del elemento c) estribos circulares, estribos cerrados y zunchos. d) armadura longitudinal con una parte doblada que forme un ángulo de 30º o más con la armadura longitudinal de tracción. e) combinaciones de estribos y armadura longitudinal doblada. 6 6 6 6 6 6 SHUFKDV HVWULERV EDUUDVGREODGDV Fig. 9 23 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Límites para la separación de la armadura de corte La separación s de la armadura de corte ubicada en forma perpendicular al eje del elemento (estribos) debe ser d/2 s 40cm Los estribos inclinados y la armadura longitudinal doblada deben estar separados de manera tal que cada línea a 45º que se prolongue hacia la reacción, desde la mitad de la altura del elemento, d/2, hasta la armadura longitudinal de tracción debe estar cruzada, como mínimo, por una línea de armadura de corte. Si Vs se resistirá con estribos solamente resulta Vs = Av × fy × d s siendo Av la sección necesaria de armadura de corte donde Av= Av1 x nº de ramas siendo Av1 el área de acero de una rama del estribo fy la tensión de fluencia de diseño para la armadura de corte: 420 MPa en general ó 500 MPa en mallas de acero soldadas de alambre conformado. d: h r s: separación entre estribos. de dónde se deduce que el acero necesario (Av) si uno propone la separación resulta: Av= Vs × s d × fy si se propone el diámetro de estribo y cantidad de ramas resulta s= Av × fy × d V s Se recuerda que las unidades tienen que ser MPa y m Diseño de estribos Los estribos pueden diseñarse de 2 -3 ó 4 ramas. La sección Av de acero es igual al área del estribo elegido por el número de ramas. Av = nº de ramas x Av1. 24 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado GRVUDPDV Prof. Arquitecta Sara Gonorazky WUHVUDPDV FXDWURUDPDV Fig. 10 Diseño con barras dobladas. Pueden darse situaciones en las que el Esfuerzo de corte no puede ser cubierto con la resistencia del Hormigón Vc y la de los estribos Vs estribos. En esta situación se puede recurrir al empleo de las barras dobladas. Otra situación sería, por ejemplo, si se desea mantener constante la separación de estribos en toda la viga. Vs barras dobladas Vs estribos Vc d Fig. 11 El procedimiento en este caso es: 1) Evaluar el esfuerzo de corte que absorbe el hormigón 1 Vc = f´c × b × d 6 2) Determinar el esfuerzo que le corresponde a los estribos, diseñados según la separación que se propone, número de ramas y estribos. Vs est = Av × fy × d s 25 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 3) La diferencia, (o el resto) será resistido por las barras dobladas, como se puede apreciar en la figura. Si la barras dobladas lo son a un ángulo de 45º el valor del esfuerzo de corte que toman es Vs barras dobladas = $% ´ "# ´ 2! (nºbarras´ secc.barras)´fy ´ 1.41´ d = s para s separación de las barras dobladas s ¾ d s Fig. 12 Debe cumplirse Vc + Vs barras dobladas + Vs estribos Vn y también que la armadura mínima de estribos sea: 1 Vs = V est 2 c Resolución dimensionado al corte de Vigas Continuas. (Continuación del ejemplo utilizado en dimensionamiento a flexión) Se realiza la verificación del comportamiento al corte a partir del diagrama de esfuerzo de corte. q= 3,64 t/m 4.50 6.30 5.20 Fig. 13 Se conocen las reacciones de apoyo de cada uno de los tramos, (tal como se leen en el diagrama). Corresponde considerar apoyo directo porque cada uno de los apoyos en esta viga continua es sobre columnas. 26 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky La solicitación del esfuerzo de corte se verifica a una distancia igual a: la mitad de la dimensión del apoyo (suponemos que la columna tiene 20cm) a la que se agrega la altura de la viga menos el recubrimiento (h r = d) En este caso se debe considerar el esfuerzo de corte a una distancia c 2 +d= 0.20 2 + 0,41 = 0,51 11.86 11.17 5.81 0,51 0,51 7.07 0,51 10.57 0,51 0,51 11.76 0,51 Fig. 14 Conocida cada reacción se resta la carga ubicada entre la distancia a la que se necesita conocer el Valor V crítico y el eje del apoyo considerado). Para cada una de las vigas se tiene los siguientes valores 5,81 0,51 x 3,64 = 3,95 tn 10,57 0,51 x 3,64 = 8,71 tn 11,17 0,51 x 3,64 = 9,31 tn 11,76 0,51 x 3,64 = 9,90 tn 11,86 0,51 x 3,64 = 10,00 tn 7,07 0,51 x 3,64 = 5,21 tn En este caso particular, se podría agrupar los resultados por ser valores parecidos. Para mayor claridad se resuelve con todos los valores. Valor del esfuerzo de corte Vu 3,95 tn 8,71 tn 9,31 tn 9,90 tn 10,00 tn 5,21 tn Valor corte del Vn = esfuerzo Vu Vn ( MN) 0,75 5,27 tn 11,61 tn 12,41 tn 13,20 tn 13,33 tn 6,95 tn 27 de 0,0527 0,1161 0,1241 0,1320 0,1333 0,0695 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 1) Verificación de las dimensiones de la sección. Como en las distintas secciones de apoyos interiores el valor Vn es aproximadamente del mismo rango, se verifica con el mayor esfuerzo de corte ν = (τ ) = Vn b×d = 0,1333 0,20 × 0,41 = 1,625 MN = 1,625MPa m2 valor menor que el que le corresponde al hormigón H20 Î 3,727MPa (VERIFICA) Con este valor se ingresa a la Tabla Corte 1 con la ordenada según el tipo de hormigón y con el valor encontrado, en nuestro caso § 1,63 se obtiene que se requiere estribos normales. En cambio para los valores de 0,0527 y 0,0695 reemplazando en la misma fórmula ν = (τ ) = Vn b×d = 0,0695 0,20 × 0,41 = 0,848 MN = 0,848MPa m2 Con este valor en la Tabla Corte 1 se encuentra que se requiere estribos mínimos 1) Contribución del Hormigón 1 1 20 × 0,20 × 0,41 = 0,0611MN Vc = f´c × b × d = 6 6 Primera propuesta: diseño con estribos V = Vn - Vc s Designación Vn 0,0527 0,1161 0,1241 0,1320 0,1333 0,0695 V1 V2 V3 Vs=Vn Vc 0,0527 < 0,0611 0,1161-0,0611=0,0550 0,1241-0,0611=0.0630 0,1320-0,0611=0,0709 0,1333-0,0611=0,0722 0,0695-0,0611=0,0084 En la tercera columna se obtiene lo que se necesita absorber con estribos. Si la separación máxima es d 0,41 smax = = = 0,205 ≈ 0,20m 2 2 y se utilizan estribos Ø 6 se puede obtener qué esfuerzo de Corte Vs absorben estribos de 2 ramas de diámetro 6mm ubicados a 0,20m. Vs = Av × fy × d s = (2 × 0,28) 420 × 0,41 × ≈ 0,0482MN 10.000 0,20 Queda diseñar separación de estribos cuando Vs > 0,0482MN 28 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Se proponen dos situaciones para Vs hasta 0,0630 y con Vs hasta 0,0722 Se propone mantener los estribos Ø 6 quedando resolver como incógnita la separación a la que hay que colocarlos Vs = Av × fy × d s ∴s = Av × fy × d V s s= Av × fy × d (2 × 0,28) 420 × 0,41 = × = 0,134 ≈ 0,13m 10.000 0,0722 V s s= Av × fy × d (2 × 0,28) 420 × 0,41 = × = 0,153 ≈ 0,15m 10.000 0,0630 V s 0,1333 MN 0,1241MN 0,0527 MN 3.23 2.90 1.60 1.94 3.07 3.26 0,0695MN 0,1161MN 0,1320MN estribos c/15cm Fig. 15 Diagrama de Esfuerzo de corte estribos c/13cm Vn = Vu 0,75 indicar el estribado según las separaciones obtenidas. en MN y distancias en que se debe Este procedimiento está del lado de la seguridad. Una situación más ajustada se da si se indica en el diagrama y se lee a escala hasta dónde cubren el diagrama de esfuerzo de corte la resistencia al corte del hormigón y la de la armadura mínima. Para esta viga: Vc = 0,0611 Mn y Vs(estribos mínimos) = 0,0482MN y después indicar la zona de densificación de estribos. 29 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado TABLA CORTE 1 30 Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ESTRUCTURAS SUPERFICIALES PLANAS LOSAS Las losas son estructuras generalmente planas cargadas perpendicularmente a su plano. Por ser elementos estructurales superficiales denominados genéricamente láminas, una de sus dimensiones, el espesor, es mucho más pequeña que las otras dos. Los apoyos de las losas se ubican a lo largo de sus lados, sobre elementos lineales (vigas o muros). Existen situaciones especiales en las que las losas apoyan sobre columnas y se las conoce como losas sobre apoyos puntuales. En general son de planta rectangular, aunque las hay triangulares, trapeciales, poligonales o circulares. Si bien se identifican con los entrepisos o cubiertas, pueden cumplir distintas funciones como: losas de escalera, losas de rampas, las paredes de los tanques de agua, los muros de contención, etc. Según su comportamiento estático se dividen en: - losas armadas en una dirección - losas armadas en dos direcciones Las losas armadas en una dirección, llamadas losas derechas, transmiten la carga esencialmente en la dirección de la luz de cálculo. A esta situación pertenecen las losas que apoyan únicamente en dos lados opuestos. Cuando tienen apoyos en los cuatro lados y cumplen con la condición indicada a continuación, resultarán armadas en dos direcciones: l mayor ≤ 2 se arman en dos direcciones, resultan más económicas y son llamadas l menor losas cruzadas. En otras palabras, las losas que apoyan en 4 bordes y cuya luz mayor no exceda de dos veces la luz menor (lmayor ≤ 2 lmenor) En las losas sobre apoyos lineales (las más comunes) encontramos a su vez, losas aisladas o losas con continuidad. La continuidad puede darse en el caso de las losas en una dirección en uno o los dos bordes. En las losas en dos direcciones, la continuidad puede estar desde uno hasta los 4 bordes. Su graficación se lee en el tema de predimensionado de losas. Por su conformación las losas se clasifican en: Losas macizas: todo el espesor es de hormigón armado. Losas alivianadas o nervurada. Cuando el espesor de la losa es importante se puede disminuir el peso del hormigón, eliminando el hormigón de las zonas traccionadas que no colabora. Se reemplaza por bloques, ladrillos cerámicos huecos o por elementos de poliestireno expandido que quedan perdidos en la losa, quedando solamente los nervios de hormigón que conectan la armadura con la capa de compresión. Otra alternativa es colocar moldes que luego se retiran. Las losas nervuradas pueden disponerse en una o en las dos direcciones. 31 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Predimensionado de losas Según la continuidad que presenten se puede predimensionar el espesor de la losa según los siguientes coeficientes. / / / / K / K / K Losas armadas en una dirección /\ /[ K /P K /P /P K /P /[/\ Losas armadas en dos direcciones Estos coeficientes son aplicables para losas macizas con un peso total q = (qD+qL) entre 600 y 800 kg/m2. Fig. 1 LUZ DE CÁLCULO En las losas continuas se tomará la distancia entre centros de apoyos, columnas o vigas de apoyo. Lc = L En el caso de losas aisladas (no continuas), sobre apoyos simples, o sea que pueden girar libremente la luz de cálculo para la determinación de los momentos puede considerarse Lc = Ln + h L (distancia entre centros de apoyos) Lc = luz de cálculo h = altura de la losa L = distancia entre ejes de apoyos. Ln = luz libre entre columnas o apoyos. 32 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCION SOLICITACIONES Para analizar losas aisladas o losas continuas el procedimiento es similar al realizado para las vigas, considerando una altura igual a la altura total de la losa y un ancho b = 1m. En las losas continuas, para determinar las solicitaciones de diseño, es recomendable ubicar las sobrecargas de manera de obtener las más desfavorables. Cuando las sobrecargas a considerar sean uniformemente distribuidas, bastará, por lo general, disponerlas por tramos enteros como se indica a continuación. L DJ L D L D Fig. 2 Este procedimiento se justifica siempre y cuando la sobrecarga accidental (qL) sea importante con relación a la carga (qD). Cuando dos tramos adyacentes tienen la carga y sobrecarga total se obtiene el Momento de Apoyo máximo. Cuando se desea conocer el mayor momento de tramo, en ese tramo se coloca la carga y sobrecarga total (qD + qL) y en los adyacentes solamente la carga permanente (qD). En general, en construcciones para viviendas, edificios de viviendas u oficinas se estudia únicamente el estado q = (qD + qL) uniformemente repartido en todos los tramos (caso a). LOSAS DERECHAS (o losas armadas en una dirección). Métodos simplificados. Si la relación de luces entre tramos continuos no difiere en un 20% y tampoco las cargas se pueden calcular los momentos según coeficientes que se indican a continuación. MB = MB = q.L2 9 MB = q.L2 11 MB = q.L2 11 MB = q.L2 10 MB = q.L2 10 MB = q.L2 11 MB = q.L2 16 MB = q.L2 11 MB = q.L2 10 MB = q.L2 11 MB = q.L2 10 q.L2 11 MB = q.L2 16 MB = q.L2 16 Fig. 3 33 MB = q.L2 11 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Esto permite determinar solicitaciones aproximadas, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: a) Existan dos o más tramos. b) Los tramos sean aproximadamente iguales, con la longitud del tramo mayor, como máximo, un 120% de la longitud del tramo menor adyacente. c) Las cargas estén uniformemente distribuidas. d) La sobrecarga accidental L, sin mayorar, sea igual o menor a 3 veces la carga permanente D sin mayorar. e) Los elementos sean prismáticos Para conocer el valor de los momentos negativos, se debe adoptar el promedio de las luces de los dos tramos adyacentes. Disposiciones constructivas Se sugiere los siguientes espesores mínimos En la generalidad de los casos 9cm Losas con tránsito de automóviles 12cm Armaduras Generalidades El armado correcto requiere un conocimiento completo de la distribución de esfuerzos en el interior de la estructura, pero también exige un planeamiento práctico del proceso constructivo. Las armaduras complejas solo pueden ser resueltas satisfactoriamente mediante una minuciosa dedicación y un gran amor a la construcción. Quién las diseñe debe ser consciente del significado del arte del armado, como parte de sus tareas parciales en la construcción.1 La separación entre siguientes requisitos s s s las barras de la armadura, s, en cm, debe cumplir con los 2.5 h (h= altura de la losa) 25 db (db= diámetro de la barra) 30 cm Sin embargo las recomendaciones de la práctica indican que se debe seleccionar el diámetro de las barras para que el espaciamiento no sea mayor que aproximadamente 1.5 h. En las losas armadas en una dirección se debe colocar una armadura transversal que debe ser igual a Atransversal = 0,20 Aprincipal y la separación entre barras debe cumplir: s 3h s 30cm Además, por esfuerzos debido a contracción del hormigón se indica una cuantía mínima igual a Para fy 420 MPa Î ȡmin = 0.0018 Dimensionado por resistencia al corte. En las losas macizas se recomienda no utilizar armadura de corte. Para ello debe verificarse que 1 FRITZ LEONHARDT. Estructuras de Hormigón armado. Tomo III. Bases para el armado de estructuras de hormigón armado. Editorial EL ATENEO 34 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Vc = Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 1 fc.′ b.d 6 dónde: Vc: Resistencia al corte del hormigón (sin armadura de corte) fc: tensión de compresión del hormigón b: 1m (para losas macizas) d: altura útil Si se ha fijado h, altura total de la losa, la altura útil d resulta: d diámetro − de − la − barra d = h − recubrimiento − =h−2− b 2 2 Debe cumplirse que: Vu Vn ≥ φ Vn: resistencia nominal al corte Vu: esfuerzo de corte último factor de minoración de resistencia Ø = 0,75 para solicitación de Corte Tabla2: Máxima resistencia nominal de losas macizas sin armadura de corte d (cm) 6 H20 H25 H30 4.472 5.000 5.477 5.916 6.5 4.845 5.417 5.934 6.409 7 5.217 5.833 6.390 6.902 7.5 5.590 6.250 6.847 7.395 8 5.963 6.667 7.303 7.888 8.5 6.336 7.083 7.759 8.381 9 6.708 7.500 8.216 8.874 9.5 7.081 7.917 8.672 9.367 10 7.454 8.333 9.129 9.860 10.5 7.826 8.750 9.585 10.353 11 8.199 9.167 10.042 10.846 11.5 8.572 9.583 10.498 11.339 12 8.944 10.000 10.954 11.832 12.5 9.317 10.417 11.411 12.325 13 9.690 10.833 11.867 12.818 13.5 10.062 11.250 12.324 13.311 Proceso de cálculo y/o verificación 2 Vn = Vc = 1 6 ′ b.d = fc. H35 1 25 x1,00mx0,105m = 0,08750MN = 87,50KN = 8.750Kg/me tro de losa 6 35 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 1) Obtener los momentos últimos, Mu, con las cargas mayoradas (qu = 1.2qD + 1.6qL) 2) Calcular el valor del momento nominal: Mu Mn = φ 3) Verificar la resistencia al corte de la losa con la ayuda de la tabla anterior. Vu Vn ≥ φ 4) Obtener kd y según la tabla de flexión que corresponda 5) Calcular la armadura 6) Verificar separación máxima, cuantía mínima y cuantía máxima. Este procedimiento se realiza para apoyos y para tramos. Las losas continuas macizas, armadas en una o en dos direcciones dirección llevan armadura inferior en los tramos y armadura superior en la zona de los apoyos. § · ¨ ¸ d m ¸ ¨ k = unidades d ¨ MNm ¸ Mn ¨ ¸ b m ¹ © Valor de Kd kd : el valor encontrado nos permite por medio de las tablas confeccionadas permite conocer si la pareja de deformaciones del hormigón y del acero está dentro de los límites permitidos. Si el valor obtenido no está en tabla se debe proponer nuevas dimensiones. Conocido kd, en tablas confeccionadas según el tipo de acero y para distintas calidades de hormigón se obtiene Î ke - kc - kz ke: permite determinar la sección de hierro necesaria. kc: permite conocer la profundidad del eje neutro kz: permite determinar z (brazo de palanca entre la resultante de compresión del hormigón y la resultante de tracción ubicada en el baricentro de la sección de acero). z = kz x d El cálculo de la armadura se realiza de la siguiente manera As = ke Mn d = (ke MNm m ) ó As = Mn z × fy = Mn k z × d × fy =( MNm adimensional × m × MPa ) × 10.000 Para obtener el valor en cm2 se ha multiplicado el resultado por 10.000 Se recomienda que kz nunca supere el valor de 0,9 para tener en cuenta defectos constructivos. La armadura de repartición o armadura transversal, 1 de la armadura principal 5 obtenida o lo que es lo mismo 0,20 Aprincipal 36 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Ejemplo de resolución Losas continuas armadas en una dirección La Secretaría de Planeamiento de la Universidad Nacional de Córdoba, ha diseñado y construido la Biblioteca de la Facultad de Derecho1 (2004-2005). Es un edificio, colindante con otras dependencias de la Facultad en el centro de la ciudad de Córdoba. Se ha destinado el subsuelo para la ubicación de los libros. El acceso se ubica en la planta baja y se destina los pisos superiores para lectura. Es una decisión acertada desde el punto de vista estructural porque así, las sobrecargas de uso están adecuadamente distribuidas. Se utilizará Hormigón Armado. Por ser un edificio público ubicado en zona sísmica, la calidad del mismo es H20 (f´c 20 MPa) y acero ADN- 420 (fy = 420 MPa) Se necesita estimar el peso de la construcción. Para ello se ha seleccionado del Reglamento Cirsoc 101 la lista de los materiales y actividades que desde el proyecto de arquitectura se ha indicado. Análisis de carga de las losas de la Planta Tipo, cuyo destino es Sala de Lectura. Predimensionado: La losa 103 A sería la que se encuentra en situación más desfavorable, con continuidad de un solo lado. Utilizando el método aproximado2 sugerido anteriormente tenemos: d= l 350 = = 10cm 35 35 Losa 0,10m x 1m x 1m x 2500 Kg/m3 Contrapiso 6 cm 0,06m x 1m x 1m x 1800 Kg/m3 Mosaico granítico Mezcla de asiento 0,015m x 1m x 1m x 1900 kg/m3 Cielorraso colgado de yeso = = = = = 250 Kg 108 Kg 60 Kg 29 Kg 20 kg peso propio qD = 467 kg ~ 470 Kg + sobrecarga sala de lectura qL = 300 Kg qu = (1.2qD + 1.6qL) = 1.2 x 470 kg + 1.6 x 300 = 564 + 480 = 1044 ~ 1050 Kg. qu = 1 Se agradece a la Sra Secretaria de la Secretaria de Planeamiento Físico, Arqta. Elizabeth Ponce la autorización para utilizar como material didáctico la obra referida. 2 El Reglamento Cirsoc 201 indica Tabla 9.5 (a) Capítulo 9, valores mínimos de h para los cuales no es necesario verificar la deformación que experimentan las losas. El valor aquí utilizado, está avalado por la práctica y, de ser necesario, habría que cumplimentar las verificaciones que pide la Norma cuando los valores de espesor adoptados son menores. 37 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Ejemplo Práctico Biblioteca de la Facultad de Derecho 1 1 1. 62 3 3 1. 76 1. 50 1. 76 1. 62 3 1. 62 3 1. 62 4. 59 2. 95 5. 80 2. 95 2 3. 50 2 2. 95 2. 95 2. 95 4. 51 2. 95 1. 60 3. 02 3. 02 1. 60 1. 10 1. 10 4. 51 3. 50 5. 55 3. 50 5. 55 3. 50 2 3. 50 2 2. 95 21. 69 21. 69 5. 80 5. 29 3. 50 5. 29 3. 50 3. 90 3. 50 3. 94 1 1 SUBSUELO PLANTA BAJA E SC :1 :250 E SC :1 :250 1. 62 1 3 3. 50 1. 76 1. 62 3 5. 80 3. 50 2. 95 21. 69 5. 29 2. 95 2 3. 50 2 2. 95 3. 50 5. 55 2. 95 3. 02 1. 60 1. 10 4. 51 1. 65 PLANTA TIPO E SC :1 :250 C OR T E 1-1 38 E SC: 1:300 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky V109 (20x40) PLANTA TIPO C3 V 125 (2 0 x 4 0 ) C3 V 1 2 4 (1 5 x 4 0 ) x4 0) V 1 2 3 (2 0 x 4 0 ) (4 0 105 10 05 M1 V114 M 120 (20x40) 106 12 C4 V 1 2 2 (4 0 x 4 0 ) 105 A 10 C6 V 1 2 1 (2 0 x 4 0 ) C4 V 120 VE (4 0 x 4 0 ) V103 (40x40) C6 V 118 (4 0 x 4 0 ) C5 V113 (20x40) LE 10 (2 0 x 4 0 ) V 119 (2 0 x 4 0 ) 103A 10 103 10 C4 LE 10 V 117 C1 V112 (20x40) V1 104 10 V108 (13x40) 04 ( 40x 40 ) C1 (4 0 x 4 0 ) V102 (40x40) (20x40) C1 C4 V 118 (4 0 x 4 0 ) V111 103 10 C5 V 117 (4 0 x 4 0 ) (4 0 x 40) (20x40) C1 V 10 1 V110 102 10 V 116 (4 0 x 4 0 ) C5 x4 M101a(15x40) M 1 01 101 10 V 115 (2 0 x 4 0 ) 39 M110(20x40) C2 (4 0 H o rm ig o n H -2 0 A c e ro A D N -4 2 0 C4 0) M A T E R IA L E S : Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky A continuación se resuelven dos franjas de losa, correspondientes a 1 m de ancho y se obtienen los siguientes diagramas de cargas y momentos flectores. Losas 101 102 103 103 104 - 105 Losas 101 102 103 103 A Estudio de las solicitaciones. 40 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky En esta situación de diseño es importante controlar los valores de los momentos de tramo con el estudio de cargas alternadas porque la relación QL 300 = = 0,63 QD 475 o sea el valor de QL es un 63% del valor de QD, por lo que es aconsejable realizar los esquemas indicados a continuación. Losas 101 102 103 103 A (con sobrecarga alternada) De la observación de los resultados se desprende que el momento Mayor es de 1,34tm Como se ha indicado anteriormente en una losa se realiza el dimensionado a flexión para una faja de 1m de ancho Los datos utilizados a utilizar son: b=1m d = h − recubrimiento − diámetro − de − la − barra 2 d =h−2− b 2 Para este ejemplo d = 10 2 0,5 = 7,5cm (se propone como primera aproximación un diámetro de barra de aproximadamente 10mm). 1) Verificación de la resistencia al corte de la sección de hormigón propuesta sin armadura de corte. El máximo valor del esfuerzo de corte que se obtuvo es: Vn = Vu φ = 2221 0,75 = 2961Kg 41 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Vu = 2221 Kg 2961 kg << 5590 kg (valor de Vn para una losa de d=7,5cm y H20, según tabla) Mn = Mu φ Además Las unidades y materiales a emplear son: Momentos: M = MNm (Mega Newton metro) Dimensiones de la sección en cm (bo; h; d ) en metro As = cm2 Hormigón H20 Î fc = 20 MPa Acero A420 Î fy = 420 MPa Diseño de la armadura Para diseñar la armadura se estudia en primer lugar la armadura en los tramos. De la lectura de resultados se visualiza que los tramos extremos por ser de luz muy pequeña con relación a los tramos adyacentes el diagrama de momentos indica que las tracciones se producen en la cara superior de la losa. Sin embargo, dichos tramos tendrán que tener una armadura inferior mínima. Ordenando todos los mayores valores de momentos positivos de tramo se tiene los Mu 3 Mu y como interesa conocer el valor Mn = y en las unidades requeridas se confecciona el φ siguiente cuadro: Designación Losa 101 Losa 102 Losa 103 Losa 103 A Losa 104 Losa 105 Losa 105 A Mu (tm) 0 tm 0,73 tm 0,73 tm 1,12 tm 0,76 tm 0 tm 0,40 tm Mn = Mu 0,9 (tm) Mn (MNm) 0 0,811 0,811 1,244 0,84 0 0,78 0,0081 0,0081 0,0124 0,0084 0,0078 Losa 105 A q × l2 1.05 × 1.752 M= = = 0.40 tm 8 8 3 En esta etapa de transición para implementación de la nueva versión de la norma se ha adoptado utilizar para el análisis de carga las unidades con las que el alumno se encuentra más familiarizado (Kg o t). Se recomienda indicar el valor del Momento flector en tm para luego expresarlo en MNm, corriendo 2 unidades hacia la izquierda. 42 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky En los apoyos Apoyos Mu (tm) 101 / 102 102 / 103 103 / 103 103 / 103 A 103 / 104 104 / 105 0,96 1,14 1,04 1,34 1,14 0,86 tm tm tm tm tm tm Mn = Mu 0,9 1,07 1,27 1.16 1.49 1,27 0,96 (tm) Mn (MNm) 0,0107 0,0127 0,0116 0,0149 0,0127 0,0096 Cálculo de la armadura Como se ha partido de prefijar una altura h = 10 cm, se verifica a partir de conocer el kd que los valores de deformación del hormigón estén entre los límites aceptados. kd = § · ¨ ¸ d m ¸ ¨ unidades ¨ MNm ¸ Mn ¨ ¸ m ¹ bo © y luego determinar el valor de ke ó kz Para este ejemplo d = 10 2 0,5 = 7,5cm 0,075 k = = 0,815 ≈ 0,82 d 0,0084 1 Con ese valor (0,82) se entra en la tabla Nº 3 y por interpolación se encuentra kd ke 0,89 0,75 24,766 25,207 14 Î 0,441 Pero, la diferencia entre 0,89 y el valor que se necesita 0,82 es 7 le corresponde un =0.221 O sea, ke = 24,766 + 0,221 = 24,987 0,0084 As = 24,987 × = 2,80cm 2 /m 0,075 aprecia que kz correspondiente es ! 0,95 >> 0,9 Si se continúa con la lectura se Se adopta 0,9 y se calcula la armadura para todos los tramos como a continuación se indica As = Mn z × fy = Mn k z × d × fy =( MNm adimensional × m × MPa ) × 10.000 Para obtener el valor en cm2 se debe multiplicar el resultado por 10.000 (correr 4 lugares hacia la derecha la coma). El valor del denominador es: 0,9 x 0,075 x 420 = 28,35 valor constante para el espectro de valores de Momentos indicados. 43 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky La armadura resulta: Armadura inferior Losa 102 As = Losa 103 As = Losa 103 A As = Losa 104 As = Losa 105 A As = 0,0081 × 10.000 28,35 0,0081 0,0084 28,35 0,0078 28,35 2.88cm2 × 10.000 Î 2.88 cm2 28,35 0,0124 28,35 Î × 10.000 Î 4,38 cm2 × 10.000 Î 2.96 cm2 × 10.000 Î 2,75 cm2 Se aconseja como separación posible 1,5 h de la losa. En este caso alrededor de los 15 cm. Además no debe superarse la separación máxima fijada en el reglamento. La separación debe verificar: s 2.5 h (altura de la losa) 25 db (diámetro de la barra) s s 30 cm En nuestro caso: 2,5 h= 2,5 x 10cm = 25cm 25 db= 25 x 0,8cm (∅ 8) = 20cm Se busca en tablas en función de la separación y el diámetro cubrir el valor de armadura necesaria por metro de losa. En este caso 1Ø8 c/ 16cm = 3.14 cm2 suficiente para todos los tramos de losa, excepto losa 103 A que se necesita 1Ø8 c/ 11cm = 4.54 cm2. En todos los casos no se superan los 20cm, la mínima condición para separación obtenida según las especificaciones reglamentarias. Estas armaduras además deben verificar la armadura mínima por retracción fijada en el reglamento igual al 1,8. Amín= 1,8 x b x d = 1,8 x 100cm x 7,5cm = 1,35 cm2 1,35 cm2 < 3,14 cm2 Î Todas verifican La cuantía máxima a adoptar en una sección nos garantiza que el acero tenga una deformación mayor al 5 en flexión y varía según el tipo de hormigón: Para H20: !máx = 1,29% Para H25: !máx = 1,61% Para H30: !máx = 1,94% En este caso Amáx= 1,29% x b x d = 1,29% x 100cm x 7,5cm = 9,68 cm2 9,68 cm2 > 4,54 cm2 Î Todas verifican 44 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Las losas 101 y 105 deben tener armadura inferior, aunque según cálculo no tenga momentos positivos en los tramos la Losa 101 o sea muy pequeño como en la losa 105. Por facilidad de armado, se continúa la armadura que viene de los tramos vecinos. La armadura de repartición debe ser como mínimo 1 de la armadura principal de cada 5 tramo. Esto se cumple colocando 1Ø6 c/ 25cm que representan 1.13 cm2, mayor que 4,38 5 = 0,88 cm2 La armadura transversal también tiene condiciones para la separación máxima de las barras adoptadas. Se debe verificar: s 3 h (altura de la losa) s 30 cm En nuestro caso ambas condiciones coinciden: 3 h= 3 x 10 cm = 30 cm y la armadura adoptada satisface las mismas. Armadura superior (en apoyos) 0,0107 101 / 102 As = × 10.000 Î 3.77 cm2 De losa 101 1Ø8 c/32 = 1,57 cm2 28,35 3,77 cm2 1,57 cm2 = 2,20 cm2 1Ø8 c/22 cm 102 / 103 As = 0,0127 28,35 × 10.000 Î 4.48 cm2 De losa 102 y 103 1Ø8 c/16 = 3.14 cm2 4.48 cm2 3.14 cm2= 1.34 cm2 1Ø6 c/ 20 cm (ó 1Ø8 c/35 cm) 103 / 103 As = 0,0116 Î 28,35 4.09 cm2 1Ø8 c/16 = 3.14 cm2 De losa 103 y 103 4.09 cm2 - 3.14 cm2= 0.95 cm2 103 / 103A As = 0,0149 28,35 × 10.000 Î 5.25 cm2 1Ø6 c/ 26 cm (ó 1Ø8 c/50 cm) De losa 103 1Ø8 c/32 = 1.57 cm2 De losa 103 A 1Ø8 c/22 = 2.28 cm2 2 2 5.25 cm 3.85 cm = 1.40 cm 1Ø6 c/ 17 cm (ó 1Ø8 c/32 cm) 2 103 / 104 As = 0,0127 28,35 × 10.000 Î 4.47 cm2 De losa 103 y 104 4.47 cm2 3.14 cm2 = 1.34 cm2 104 / 105 As = 0,0096 28,35 × 10.000 Î 3.39 cm2 De losa 104 1Ø8 c/16 = 3.14 cm2 1Ø6 c/ 20 cm (ó 1Ø8 c/35 cm) 1Ø8 c/32 = 1.57 cm2 3.39 cm2 1.57 cm2= 1.82 cm2 1Ø8 c/26 cm Para completar el plano de detalle de losas se calcula la losa 106, que corresponde a la zona de baños. La misma se construye más baja que las otras losas para alojar todas las cañerías correspondientes a los sanitarios. No tiene continuidad con la losa contigua. 45 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Posee carga permanente importante lo que redundará en un Momento de diseño grande y además, para prevenir deformaciones excesivas se le adjudicará un espesor de 12 cm. Losa 0,12 x 1 x 1 x 2.500 = 300 kg Relleno 0,30 x 1 x 1 x 1.800 = 540 kg Piso granítico = 60 kg Mezcla de asiento 0,15 x 1 x 1 x1900 = 29 kg Enlucido cielorraso 0,15 x 1 x 1 x 1900 = 29 kg 958 kg /m2 300 kg /m2 Carga permanente g = Sobrecarga de uso p = qu = (1.2qD + 1.6qL) = 1.2 x 958 kg + 1.6 x 300 = qu = 1149,6 + 480 = 1629,6 Kg/m2 Se adopta 1,63 t / m2 Como la losa no es perfectamente rectangular se adopta como luz de cálculo 3,30m (algo mayor que 1,62 +1,62 según se lee en plano de arquitectura) M= q × l2 8 = 1,63 × 3,30 2 8 d = h − recubrimiento − = 2.21tm y R A =R diámetro − de − la − barra 2 B = Vu = =# − Qu × L 2 = 1,63 × 3,30 2 = 2689,5kg " − ! = 12 2 0,5 = 9,5cm Verificación de la capacidad resistente del Hormigón sin armadura de corte. Vn ≥ Vu φ = 2690 = 3.586Kg 0,75 7081kg > 3.586kg según tabla La dimensión propuesta es aceptable. Dimensionado a flexión. Mu 2,21tm Î Mn= 2,45 tm Î 0,0245MNm k = d 0,095 0,0245 = 0,605 1 De la tabla 3 de dimensionado a flexión se observa que el valor de kz es mayor que el valor aconsejado de 0,9, se adopta este valor. As = Mn k z × d × fy = 0,0246 0,9 × 0,095 × 420 × 10.000 → 6,85cm 2 1 Ø10 c/11 cm (7,18cm2) La separación debe verificar: s 2.5 h (altura de la losa) s 25 db (diámetro de la barra) s 30 cm En este caso: 2,5 h= 2,5 x 12cm = 30cm 25 db= 25 x 1cm (∅ 10) = 25cm 46 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 11cm adoptados < 25cm (mínima condición reglamentaria) Î Verifica Amín= 1,8 x b x d = 1,8 x 100cm x 9,5cm = 1,71 cm2 1,71 cm2 < 7,18 cm2 Î Verifica Amáx= 1,29% x b x d = 1,29% x 100cm x 9,5cm = 12,26 cm2 12,26 cm2 > 7,18 cm2 Î Verifica armadura de repartición = 1 5 × 6,85 = 1,37 cm2 1 Ø 6 c/ 20 cm Se debe verificar: s 3 h (altura de la losa) s 30 cm En nuestro caso ambas condiciones coinciden: 3 h= 3 x 12cm = 36 cm 20cm adoptados < 30cm (mínima condición reglamentaria) Î Verifica Se debe justificar para las dos direcciones separación máxima obtenida, y verificar cuantía mínima y cuantía máxima. Esta losa posee una perforación rectangular para alojar allí los conductos de bajada. Como es de pequeño ancho, es suficiente con colocar 2 Ø10 como refuerzo. 47 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 1 10c/11 1 10c/22 V114 1 10c/22 C6 V121 1 6c/32 C1 V113 (20x40) 0.96 1.25 C5 C1 V112 (20x40) 0.90 1 8c/22 V119 C6 1 8c/22 1.25 1.25 1 6c/20 V108 1 8c/32 1.00 V118 1.00 C4 LE 10 VE 103A 10 1.25 103 10 1.00 V103 . LE 10 1 8c/32 1 8c/32 1.00 V120 1.00 C4 104 10 0.96 V10 4 1 8c/32 0.95 V122 105 A 10 0.55 C4 1 8c/26 M1 05 1 6c/32 V123 106 12 0.50 V124 105 10 C3 Ref. 2 10 1 6c/32 M120 V125 0.50 V109 C3 0.70 1.50 V117 1.00 1.25 V111 1.25 V118 1 6c/17 1.00 1.00 C4 1 8c/32 1.25 103 10 1.00 V102 1 8c/32 1.00 1 6c/26 C1 C5 V117 V110 1 8c/32 V116 1.40 1 8c/22 0.80 C4 102 10 C5 01 M1 C2 V115 48 M110 101 10 M101a Materiales: Hormigón H-20 Acero ADN 420 V101 Las losas 101,102,103,103A,104,105 y 105A llevan armadura de repartición 1 6c/25cm. La losa 106 lleva armadura de repartición 1 6c/20cm. 1 8c/32 Nota: 1.25 1 6c/20 1.00 1.00 C1 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ESTRUCTURAS SUPERFICIALES PLANAS LOSAS MACIZAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES Cuando las losas tienen apoyos en más de dos lados paralelos y se cumple que l mayor ≤2 l menor su comportamiento estático, verificación y distribución de la armadura se realiza en dos direcciones. Al distribuir las cargas en ambas direcciones las solicitaciones se reducen y resultan más económicas. Son las llamadas losas en dos direcciones o simplemente losa cruzada. Las losas poseen condiciones de borde diversas (sin continuidad o simplemente apoyadas y con continuidad) y su análisis para la obtención de las solicitaciones resulta muy laborioso. Existen en general dos grandes grupos desde los más simplificados hasta los más rigurosos: los métodos clásicos, basados en la teoría de la elasticidad y los métodos de rotura, habiendo sido demostrados su precisión a través de resultados experimentales. Se ha preferido utilizar el método de rotura, incorporando un programa en Visual Basic que permite determinar los Momentos tanto en una como en otra dirección y los Momentos de apoyos, en el caso de existir continuidad estructural. Además se obtiene el esfuerzo de corte en cada uno de los apoyos. Losas continuas armadas en dos direcciones Método de las líneas de rotura1 Si se carga una losa en forma gradualmente creciente hasta su rotura las primeras fisuras aparecen en la zona central, donde son mayores los momentos estáticos. Ly Lx Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se orientan a lo largo de ciertas líneas que se dirigen a las esquinas. Ly Lx 1 Ing. Oscar Ferreras, Arqto. Daniel Moisset de Espanés: Losas rectangulares por líneas de rotura (publicaciones FAUD UNC) 49 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Como consecuencia de esta fisuración la losa queda dividida en cuatro partes como se indica en la fig. 1 Borde 2 l2 1 3 l1 l3 Borde 3 Ly Borde 1 2 Ly-(l2+l4) l4 4 Borde 4 Lx Fig. 1 Si se desprecian las deformaciones elásticas frente a las deformaciones plásticas se puede admitir, simplificadamente, que las partes de la losa entre líneas de rotura quedan planas y en consecuencia sus intersecciones, es decir las líneas de rotura, son rectas. Las deformaciones de la losa consisten únicamente en rotaciones de unas partes en relación a otras, rotaciones que tienen lugar a lo largo de las líneas de rotura y de las líneas de apoyo de la losa que denominamos bordes. En el instante último (colapso) el momento flector máximo está repartido a lo largo de estas líneas de rotura de una manera constante y es, precisamente, igual al momento de rotura interno. En la situación en la que la losa tiene continuidad estructural se indica como la fig. 2. Borde 2 l2 1 3 l1 l3 4 Borde 3 Ly Borde 1 2 Ly-(l2+l4) l4 Borde 4 Lx Fig. 2 Se denomina con subíndice u las cargas y momentos últimos en el instante de colapso de la estructura. Así se tiene: qu carga última al momento del colapso Mxu momento interno último en la dirección x Myu momento interno último en la dirección y 50 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Planteada la ecuación de equilibrio de momento de cada una de las partes en que queda divida la losa con respecto a un cierto eje, como puede ser la línea de apoyo, se obtienen los momentos últimos. Relación entre los momentos en las direcciones x e y de la losa /\ f /[ Fig. 3 Al analizar el caso de una losa simplemente apoyada en sus cuatro bordes y aplicar la premisa que las flechas fx y fy en el punto de cruce de cada una de las dos fajas centrales debe coincidir fx = fy y expresando la flecha proporcional a la parte de carga que se trasmite en una y otra dirección y a la cuarta potencia de las luces q x l 4x = q y l 4y de donde qy qx = l4x l4y Si se designa = resulta ly lx qx 1 = 4 qy ! Se designa k a la relación entre el Momento en la dirección y (My) y el Momento en la dirección x (Mx): k= My Mx El momento en dirección x es proporcional a qx y al cuadrado de la luz lx y análogamente en la dirección ly. resulta k= My Mx = qy l2y 2 x x ql = qy qx " 2 51 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky y como qx 1 = 4 qy # queda en definitiva k= 1 $ 2 Para otras condiciones de apoyo (bordes empotrados) la relación k sigue siendo inversamente proporcional a 2, pero el numerador toma un valor que puede ser mayor o menor que la unidad, que en general se llamará ! Luego, k= % $ 2 En la situación de que los bordes estén empotrados se puede establecer lo siguiente. Sea la losa de la fig.4 Borde 2 3 1 Borde 3 Ly Borde 1 2 4 Borde 4 Lx Fig. 4 y los grados de empotramiento ("1 - " 2 - " 3 - " 4). Se entiende por grado de empotramiento la relación entre el momento por metro de un apoyo cualquiera y el momento de tramo Mx ó My que corresponda. &1 = M1 Mx '2 = M2 My Se indica el caso de una losa con los cuatro bordes empotrados. Se numeran los bordes como indica la figura, siguiendo el sentido horario. De las fórmulas anteriores se infiere el valor de los momentos de apoyo (M1 M2 M3 M4) lo que se obtienen de establecer la relación ", entre momento de tramo y momento de apoyo. 52 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado M1= - 1.Mx M3= - 3.Mx M2= - 2.My Borde 2 2 3 l1 l3 4 Borde 4 l2 Ly-(l2+l4) Borde 3 1 Borde 1 Ly Prof. Arquitecta Sara Gonorazky l4 M4= - 4.My Lx Q1 1 Mx G Ly-(l2+l4) Mx g Fig. 5 Reacciones de apoyo (Carga equivalente por metro de apoyo) La reacción total que se desarrolla en un borde cualquiera es igual al producto del área de la parte de la placa adyacente al mismo multiplicada por la carga q correspondiente a cada metro cuadrado de losa. Si de divide la reacción total por la longitud ly o lx correspondiente se obtiene la carga por metro lineal en el apoyo, (carga equivalente). Para el caso de losas apoyadas en los cuatro bordes (como es el caso que se estudia en la presente publicación) las líneas de rotura dividen a la losa en trapecios o triángulos. Para cada caso se indica la carga por metro lineal que se indica como q1 ó q2 2 q1 Ly 1 3 Ly 4 q2 Lx Lx Fig. 6 53 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Carga total = qtotal = área (m2) x q (kg/m2) Carga q1 por mlineal = qtotal / lY Carga q2 por mlineal = qtotal / lx La distribución de las cargas se puede realizar adoptando que el ángulo en la esquina en estudio es de 45º si la condición de borde de ambos lados concurrentes es igual (apoyado apoyado) o (empotrado empotrado) y de 60º si la condición de borde es diferente (apoyado empotrado) DSR\RVLPSOH DSR\RHPSRWUDGR Fig. 7 Diagrama de Momentos en las dos direcciones Fig. 8 54 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky LOSAS MACIZA EN DOS DIRECCIONES Ejemplo de Resolución Alternativas Estructurales de Organización del Entrepiso. El edificio de la Central de Policía de la Ciudad de Córdoba es un edificio en forma de H, circunscripta en un rectángulo de 45 x 76 m aproximadamente. Por estar ubicado en zona sísmica 1, para su ejecución se ha planteado la organización de 5 sectores convenientemente separados por juntas sísmicas. El sector central, donde se ubican circulaciones y actividades especiales y 4 sectores independientes iguales (Fig. 1). El edificio consta de un subsuelo y 5 niveles como se aprecia en el corte esquemático por uno de los 4 sectores (Fig. 2). Fig. 2 Fig.1 La organización de la planta que a continuación se indica (Fig. 3) corresponde a uno de los cuatro sectores iguales. Se ha estructurado con losas macizas continuas de luces entre ejes 3,50 y 3,20 m que apoyan sobre vigas transversales de 10m. Estas vigas a su vez apoyan en otras vigas que como reciben cargas importantes se ha diseñado de manera que la luz que salven sea menor. Esta solución, entre otras propuestas, permitió la ubicación del menor número de columnas interiores (9 en total). 55 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Fig. 3 Sobre este sector de 20m x 22,70 son posibles distintas soluciones para la organización del plano horizontal. En la alternativa que se desarrolla a continuación se propone, como se indican en el gráfico de la Fig. 4, losas armadas en dos direcciones con los tramos centrales de mayor dimensión que los extremos. Realizado el predimensionado de las losas según lo indicado en pág. 2 del apunte de Losas y Vigas continuas se obtiene para cada situación: losa1 = losa3 = 4.825m 50 5.35m 55 = 0.0965m = 0.0973m Se adopta h = 11cm 56 losa2 = 5.325m = 0.0968m 55 losa 4 = 5.85m 55 = 0.106m Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Análisis de carga Peso propio 0,11 x 2500 Contrapiso 0,05 x 1800 Piso Cielorraso 0,015 x 1900 Tabiquería liviana = 275 kg/m2 = 90 kg/m2 = 35 kg/m2 = 29 kg/m2 70 kg/m2 Peso propio qD = 500 kg/m2 Sobrecarga oficinas qL = 300 kg/m2 qU = 1,2 x 500 kg/m2 + 1,6 x 300 kg/m2 = 1080 kg/m2 Por la organización y simetría de la planta existen cuatro losas tipo. Para conocer los momentos de apoyo se utiliza el programa en Visual Basic elaborado por la cátedra. 2 11 1 11 3 11 4 11 4 11 3 11 5,5 5,5 4,5 6,2 2 11 5,15 6,2 1 11 5,15 Se estudia cada una de las losas iniciando el proceso con la propuesta de para cada uno de los bordes, asignando como primera aproximación, = 0 para los apoyos que no tienen continuidad y = 1.00 para los apoyos con continuidad estructural. 4,5 Fig. 4 Se obtienen los momentos de apoyo que se indican a continuación en la figura siguiente (Fig. 5) y se procede a proponer un nuevo valor de (Fig. 6) para aproximar los valores de Momentos de Apoyo adyacentes correspondientes a dos losas. 57 4 11 4 11 3 11 5,5 4,5 -668 0 -610 -768 0 0 -724 -668 -800 -518 5,15 -518 -849 -668 -916 -518 6,2 3 11 -724 1 11 -849 2 11 -849 2 11 -724 1 11 5,15 Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 6,2 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado 0 4,5 5,5 2 11 1 11 3 11 4 11 4 11 3 11 5,5 5,5 4,5 6,2 2 11 5,15 6,2 1 11 5,15 Fig. 5 - Momentos de apoyo 4,5 Fig. 6 - Modificación del coeficiente 58 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 4 11 3 11 -522 -658 0 Mx = 819 5,15 -766 0 Mx = 730 Mx = 913 My = 623 -713 -730 -561 -770 -711 My = 767 -877 0 -563 Mx = 835 6,2 4 11 6,2 3 11 My = 522 1 11 My = 658 2 11 -835 2 11 -877 1 11 5,15 Realizado un nuevo proceso se obtienen los resultados que se indican. Como se considera aceptable las diferencias obtenidas se procede a leer los momentos de tramo y se indican a continuación (Fig. 7). 0 4,5 5,5 5,5 4,5 Fig. 7 - Momentos de apoyos y de tramos Con los momentos de tramo se verifican las dimensiones de hormigón dadas a la placa y se calculan la armadura en una y otra dirección (fex - fey) y la armadura superior de los apoyos. Cuando el procedimiento utilizado es por líneas de rotura, la armadura de tramos no se caballetea y se coloca armadura superior suplementaria. Momentos de Apoyo para dimensionar armadura Apoyos 1/2 2/2 1/3 2/4 3/4 4/4 Mu (Kgm) 770 730 563 713 877 835 kgm kgm kgm kgm kgm kgm Mn = Mu (kgm) 0,9 856 811 626 792 974 928 59 Mn (MNm)* 0,0086 0,0081 0,0063 0,0079 0,0097 0,0093 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky (*) para convertir Kgm en MNm correr 5 lugares hacia la izquierda. Esto solamente es válido para cuando se leen los valores desde la pantalla. La hoja de impresión muestra los resultados en kgm y en MNm. Momentos de Losas para dimensionar armadura Losas 1 2 3 4 1 2 3 4 Mx My Mn = Mu (kgm) 819 730 913 835 623 767 522 658 Mu (kgm) Mn (MNm) 0,9 910 0,0091 811 0,0081 1014 0,0101 928 0,0093 692 0,0069 852 0,0085 580 0,0058 731 0,0073 1 11 3 11 4 11 4 11 3 11 45º 30º 4,5 30º 5,5 1549 Kg/m 1385 Kg/m 1115 kg/m 6,2 1231 Kg /m 1326 Kg /m 5,15 45º 45º 45º 1489 Kg/m 1158 Kg/m 45º 30º 1300 kg/m 1723 Kg/m 45º 45º 1672 kg/m 45º 45º 1460 kg/m 1613 kg/m 45º 45º 1557 kg/m 45º 45º 45º 45º 6,2 2 11 1651 Kg/m 30º 2 11 1538 Kg/m 30º 1 11 5,15 Para conocer la carga que recibe cada viga se procede a dibujar las áreas de carga como se indica en el plano o se transcriben los resultados que el software proporciona (Fig. 8). 1005 kg/m 5,5 4,5 Fig. 8 Con los valores de momento y de las reacciones de apoyo se procede a verificar las dimensiones propuestas a la losa y diseñar la armadura de tramo y de apoyo. 1) Verificación de la capacidad de la sección para resistir el esfuerzo de corte sin armadura. 60 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky La mayor reacción es 1723 Kg / m Coeficiente Ø para corte 0,75 Vn 1723 kg / m/ 0,75 = 2297 Kg / m De la tabla correspondiente se lee que una losa de d = 8,5cm tiene una capacidad de 6336 Kg / m >> 2297 Kg / m, o sea, no se necesita aumentar el espesor de la losa y se procede a diseñar la armadura necesaria por flexión. Diseño de la armadura. Se define que para evitar confusiones en obra durante el montaje de la armadura, se colocará la armadura horizontal, dirección x, abajo y la armadura en la dirección y, sobre la anterior. Se necesita conocer kd para cada dirección de armado: dx = h 2 ½ diámetro = 11 cm 2 cm 0,5 cm = 8,5cm dy = h 2 ½ diámetro 1 diámetro = 11 cm 2 cm 0,5 cm 1.0 cm = 7,5cm Además, las unidades y los materiales a emplear son: Momentos: M = MNm (Mega Newton metro) Hormigón H20 Î fc = 20 MPa Acero ADN 420 Î fy = 420 MPa Dimensiones de la sección en cm (bo; h; d ) en metro As = cm2 Para agilizar la tarea se determina el kz para el mayor momento en cada dirección: k k dx dy = = 0,085 0,0101 = 0,085 = 0.846 0,100 = 0,075 = 0.813 0,092 1 0,075 0,0085 1 En la tabla 3 de dimensionado a flexión del CIRSOC 201 se lee que los valores que corresponden a kz son mayores a 0,9 (valor recomendado como máximo a utilizar debido a razones constructivas). Se adopta por lo tanto este valor para calcular la armadura de los tramos. Corresponde también obtener los valores de kz para los apoyos, se busca para agilizar la tarea el mayor momento flector, que en este caso es M 3/4 = 0,0111 MNm k d = 0,085 0,0097 = 0,085 = 0,863 0,098 Î corresponde adoptar kz = 0,9 1 Se procede a calcular la armadura : As = Mn z × fy = Mn k z × d × fy =( MNm adimension al × m × MPa ) × 10.000 61 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky (Se multiplica por 10.000 para obtener el resultado, sección de acero As, en cm2) El valor del denominador para la dirección x (armadura horizontal) es: 0,9 x 0,085 x 420 = 32,13 valor constante para el espectro de valores de Momentos indicados en esa dirección y 0,9 x 0,075 x 420 = 28,35 en la dirección y En los tramos se tiene: Dirección x Losa 1 0,0091 MNm As = Losa 2 0,0081 MNm As = Losa 3 0,0101 MNm As = Losa 4 0,0093 MNm As = 0,0091 32,13 × 10.000 Î 2,83 cm2 0,0081 32,13 0,0101 32,13 × 10.000 Î 2,52 cm2 × 10.000 Î 3,14 cm2 0,0093 × 10.000 Î 2,89 cm2 32,13 Dirección y Losa 1 0,0069 MNm As = Losa 2 0,0085 MNm As = Losa 3 0,0058 MNm As = Losa 4 0,0073 MNm As = 0,0069 28,35 0,0085 28,35 0,0058 28,35 0,0073 28,35 × 10.000 Î 2,43 cm2 × 10.000 Î 3,00 cm2 × 10.000 Î 2,05 cm2 × 10.000 Î 2,57 cm2 En los apoyos se tiene apoyo 1/2 M= 0,0086 MNm As = apoyo 2/2 M= 0,0081 MNm As = apoyo 1/3 M= 0,0063 MNm As = 0,0086 32,13 0,0081 32,13 0,0063 32,13 × 10.000 Î 2,68cm2 × 10.000 Î 2,52 cm2 × 10.000 Î 1,96 cm2 62 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado apoyo 2/4 M= 0,0079 MNm As = apoyo 3/4 M= 0,0097 MNm As = apoyo 4/4 M= 0,0093 MNm As = 0,0079 × 10.000 Î 2,46 cm2 32,13 0,0097 32,13 0,0093 32,13 Prof. Arquitecta Sara Gonorazky × 10.000 Î 3,02 cm2 × 10.000 Î 2,90 cm2 Valores obtenidos para cada metro de losa. Se adoptan barras de diámetro 8mm. Se determina a continuación la separación máxima fijada en el reglamento. La separación debe verificar: s 2.5 h (altura de la losa) s 25 db (diámetro de la barra) s 30 cm En nuestro caso: 2,5 h= 2,5 x 11cm = 27,5cm 25 db= 25 x 0,8cm (∅ 8) = 20cm Se busca en tablas en función de la separación y el diámetro cubrir el valor de armadura necesaria por metro de losa. Dirección x Losa 1 2,83 cm2 Î 1 ∅ 8 cada 17cm (2,94cm2) Losa 2 2,52 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2) Losa 3 3,14 cm2Î 1 ∅ 8 cada 15cm (3,33cm2) Losa 4 2,89 cm2Î 1 ∅ 8 cada 17cm (2,94cm2) Dirección y Losa 1 2,43 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2) Losa 2 3,00 cm2Î 1 ∅ 8 cada 16cm (3,13cm2) Losa 3 2,05 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2) Losa 2,57 cm2Î 1 ∅ 8 cada 19cm (2,63cm2) En los apoyos se tiene apoyo 1/2 2,68cm2Î 1 ∅ 8 cada 18cm (2,78cm2) apoyo 2/2 2,52 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2) apoyo 1/3 1,96 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2) apoyo 2/4 2,46 cm2Î 1 ∅ 8 cada 20cm (2,50cm2) 63 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky apoyo 3/4 3,02 cm2Î 1 ∅ 8 cada 16cm (3,13cm2) apoyo 4/4 2,90 cm2Î 1 ∅ 8 cada 17cm (2,94cm2) Estas armaduras además deben verificar la armadura mínima por retracción fijada en el reglamento igual al 1,8. Amín= 1,8 x b x d = 1,8 x 100cm x 8,5cm = 1,53 cm2 1,53 cm2 < 2,50 cm2 (mínima adoptada) Î Todas verifican La cuantía máxima a adoptar en una sección nos garantiza que el acero tenga una deformación mayor al 5 en flexión y varía según el tipo de hormigón: Para H20: ȡmáx = 1,29% Para H25: ȡmáx = 1,61% Para H30: ȡmáx = 1,94% En este caso Amáx= 1,29% x b x d = 1,29% x 100cm x 8,5cm = 10,97 cm2 10,97 cm2 > 3,33 cm2 (máxima adoptada) Î Todas verifican 1Ø8 c/ 20 cm (arr) 1Ø8 c/ 20cm (arr) Esquema de armado de las losas continuas resueltas por el método de las líneas de rotura. 1Ø8 c/ 16cm (arr) 1Ø8 c/ 17cm (arr) 1Ø8 c/ 30cm 1Ø8 c/ 17 cm 1Ø8 c/ 18 cm (arr) 1Ø8 c/ 19cm 1Ø8 c/ 20 cm (arr) 1Ø8 c/ 20cm (arr) 1Ø8c/0.20m 1Ø8 c/ 30 cm 1Ø8 c/ 20cm (arr) 1Ø8 c/ 34 cm 4,5 1Ø8 c/ 32cm 1Ø8 c/ 20 cm 1Ø8 c/ 32cm 1Ø8 c/ 40 cm 1Ø 8 c/ 40 cm 1Ø8 c/ 34 cm 5,5 Fig. 64 5,5 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky LOSAS NERVURADAS O ALIVIANADAS Cuando el espesor necesario en una losa maciza es muy grande su peso propio resulta significativo. El objetivo de los diferentes diseños de este tipo de losas es disminuir su peso propio mediante la incorporación de vacíos o de material inerte que eliminan el hormigón en la zona de tracción. El material inerte incorporado, posee escaso peso específico (ladrillos huecos, poliestireno expandido, cajones perdidos, vacíos, etc) que se ubican en la zona inferior, solicitada a tracción donde el hormigón no es necesario, de tal manera de concentrar las barras de acero y formar así los nervios. Este tipo de losas se estudian como una sucesión de vigas placa o vigas T siempre que se cumplan ciertas condiciones reglamentarias. (Ver material de estudio: vigas T) Predimensionado. Se utiliza el mismo criterio que el indicado en el capítulo de losas macizas, solo que al valor obtenido se lo incrementa en un 30%, lo que equivale a multiplicar por 1.30 ( h = 1.3 l ). coef l = luz de cálculo de la losa h = altura total de la losa Prescripciones reglamentarias Disposiciones constructivas: La separación máxima entre nervios no debe ser mayor a 80 cm. El ancho del nervio (bw = b nec.) debe ser como mínimo 10 cm El espesor de la placa o capa de compresión debe ser como mínimo el 1 de la luz libre entre 12 nervios y no menor de 4cm en losas con elementos de relleno permanente y no menor de 5cm en losas con encofrados o rellenos removibles Fig.1. Fig. 1 Armadura 65 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky La armadura longitudinal de los nervios será como mínimo dos hierros. Cuando la armadura inferior es mayor a dos hierros, se puede caballetear llegando a los apoyos siempre y cuando se conserve abajo un mínimo de dos hierros y hasta un 50% del total de la armadura. El Reglamento establece que para la cuantía mínima debe tomarse como ancho de la viga, dos veces el ancho bw del nervio. En nuestro medio, para H20, la cuantía mínima es: 0,0333 x 2bw x d. Armadura en la parte superior La capa de compresión llevará una armadura mínima perpendicular a los nervios con una cuantína min= 0,0018 (1,8) La separación mínima entre hierros será 3 hf (espesor de la capa de compresión) ó 30cm. Nervios transversales El Reglamento no menciona la necesidad de colocación de nervios transversales (o perpendiculares a los nervios principales). Sin embargo, se recomienda ubicar nervios transversales cuando la luz de la losa supera los 5 m, o en casos en que el sentido común y la experiencia lo aconsejen. El objetivo del nervio transversal es contribuir a distribuir cargas que actúan concentradas en un área afectando varios nervios próximos, o cuando la sobrecarga accidental (Ll) está ubicada en determinadas zonas de la losa, y no presenta una distribución uniforme. Los nervios transversales deben ser de igual medida que los principales. Se recomienda colocar armadura inferior y superior, por lo menos igual a la armadura inferior de los nervios principales y estribos. Dimensionado o verificación de dimensiones y armaduras. Se considera que el nervio trabaja como viga placa (ver verificación de secciones T o L) En los apoyos solicitados por momentos negativos, los nervios trabajan como sección rectangular con un ancho bw. Puede suceder que el momento admisible de un nervio para una sección rectangular sea menor que el momento solicitante (M*<Msolic). En ese caso las soluciones posibles son: Colocar doble armadura ó Macizar la zona adyacente al apoyo hasta encontrar el valor del M* que verifique al Msolicitante Macizar significa no colocar el material inerte y ejecutar una sección de hormigón de toda la altura de la losa hasta dónde el ancho del nervio sea capaz de resistir el Momento solicitante. Dicha distancia se obtiene del diagrama de momentos flectores realizado en una escala apropiada para su lectura. 66 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Fig. 2 Analíticamente se puede hacer por aproximaciones sucesivas. (Se remite al lector al ejercicio práctico desarrollado). Otra posibilidad es calcular a partir del diagrama de esfuerzo de corte la longitud a macizar. Se conoce que el área del diagrama de corte equivale al Momento flector. El procedimiento consiste en proponer una distancia y el área de ese trapecio constituye el momento que se resta del Momento de apoyo. Si el valor del Momento flector resultare menor al M* obtenido, la distancia propuesta es correcta. Si resulta mayor significa que debe proponerse una mayor longitud de la zona de macizado, hasta que se cumpla que el Msolic. M*. Verificación del esfuerzo de corte. Se necesita conocer el Esfuerzo de Corte que le corresponde a cada nervio, inmediatamente después de la zona de macizado. Se lee gráficamente o es posible calcularlo analíticamente por proporcionalidad de triángulos, o planteando la ecuación correspondiente. Obtenido el esfuerzo de corte se verifica como en las vigas. Fig. 3 Los estribos se calculan o se proponen como en las vigas. 67 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky En los nervios no es necesario colocar estribos si la resistencia última a corte es menor o igual que la resistencia de diseño aportada por el hormigón. Vu !v Vc Detalle de los estribos en losas nervuradas Fig. 4 En los nervios en que no sea necesario colocar estribos por cálculo es conveniente colocar estribos constructivos (puede ser estribo abierto o cerrado) para garantizar el correcto recubrimiento de la armadura longitudinal. Pueden colocarse 1 Ɏ 4,2 cada 50 cm. 68 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky LOSAS NERVURADAS EJEMPLO DE RESOLUCIÓN Alternativas Estructurales de Organización del Entrepiso. Sobre un sector de un edificio de 20m x 22,70 se propone como solución alternativa losas nervuradas armadas en una dirección (unidireccionales) (Fig. 1). 1 20 2 20 2 20 1 20 Fig. 1 Se proponen alternativas de diferentes luces (siempre que el diseño arquitectónico lo permita). Sabemos que en los casos de continuidad estructural es conveniente que los momentos flectores sean de valores similares para una mejor eficiencia de la propuesta seccional. Esto puede lograrse proponiendo en los tramos internos mayor luz que en los tramos externos. De allí la organización propuesta tanto para las losas como para las vigas. Para predimensionar la altura total de las losas se utilizan los mismos coeficientes que los indicados en el predimensionado de losas, incrementados en un 30% porque la losa no será maciza sino que se plantea como losa nervurada. (Nota: al valor hallado se lo multiplica por 1,30). Las situaciones a considerar son: 515cm h= × 1.30 = 19,13cm 35 h= 620cm × 1.30 = 20,15cm 40 69 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 0.10 0.50 0.20 0.15 0.10 Se adopta 20 cm y se propone el detalle constructivo indicado en la Fig. 2 0.10 Fig. 2 El análisis de carga puede realizarse por m2 o por nervio, y en este último caso para una longitud de nervio igual a 1m. Se recomienda realizar el análisis de carga por m2, por ser de mayor utilidad cuando se calculan áreas de influencia para el análisis de carga de vigas y/o columnas. Por cada metro cuadrado de losa se tiene: 0.05 m x 2.5 t/m3 100 x 0.10 m x 0.15 m x 2.5 t/m3) Nervios1 ( 60 Cielorraso (c/ metal desplegado. Espesor estimado: 2cm) Contrapiso y piso estimado (e= 10 cm) 0.10 x 2.0 t/m2 Tabiquería Interna (por ser oficinas grandes no existe gran incidencia) 0.125 t/m2 Capa de compresión Sobrecarga de oficina (se adopta este valor por ser oficinas Pública) 0.063 t/m2 0.050 t/m2 0.200 t/m2 0.070 t/m2 Dl = 0.508 t/m2 Ll = 0.300 t/m2 La incidencia del peso de los tabiques por metro cuadrado de losa se obtiene calculando el peso de la tabiquería interior dividido la superficie de la planta, tal como si fuera distribuido uniformemente. Para conocer la carga última utilizamos los coeficientes de mayoración de carga correspondientes: qu = 1,2 x 0,508 + 1.6 x 0.300 = 1.090 t/m2 ~ 1,1 t/m2 Fig. 3 Los materiales a utilizarse serán: Hormigón H20: fc= 20MPa 1 Acero ADN 420: fy= 420MPa Para determinar la cantidad de nervios a computar en una franja, se divide el ancho de la franja por la separación entre ejes de nervios. En este caso: nº de nervios = 100cm / 60cm = 1,667 70 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Fig. 4 Fig. 5 Del análisis de los resultados obtenidos, resulta apreciable una gran diferencia entre los momentos de apoyo y los de tramo, por lo que se realizará una verificación en el apoyo para determinar si las dimensiones propuestas para la losa son las adecuadas. Si consideramos el Momento de apoyo = 3,50 tm Î 0,0350 MNm por metro Para un nervio el Momento último será 0,60 x 0,0350 = 0,021 MNm Comparamos el Momento Nominal del apoyo con el que resistiría la sección rectangular de un nervio (las tracciones están en la zona superior de la deformada de la viga, luego solo puede comprimirse el nervio con un ancho igual a bw) bw = 0,10m d = 0,17m (h - 2cm de recubrimiento (estribo +1/2 diámetro hierro) § 3cm) M* = bd 2 k 2 = 0,10 × 0,17 2 0,469 2 = 0,0131 MNm d Mu 0,02100 = = 0,0233MNm ij 0,9 0,0233 >>0,0131 lo que indica que se deberá macizar una zona considerable a cada lado del eje del apoyo, por lo que se propone una losa de mayor altura, por ejemplo de 0,25m. Se tiene Mn (nervio) = M* = bd 2 k 2 d = 0,10 × 0,22 2 0,469 2 = 0,0220 MNm 71 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Momento por nervio = 0,0233MNm valor cercano a 0,0220 MNm lo que indica que se deberá macizar una zona aceptable a cada lado del eje del apoyo. ¿Cuánto afecta el aumento de espesor de la losa en el análisis de carga? Solamente debe agregarse la proporcionalidad de aumento de la altura de los nervios 100 ( x 0.10 m x 0.05 m x 2.5 t/m3) = 0.021 t/m2 60 Se rehace el valor de: Dl = 0,529 t/m2 La carga última será entonces: qu = 1,2 x 0,529 + 1,6 x 0,300 = 1,11 tn/m2 § qu adoptado 1,10tn/m2 Verificación de la sección T En el tramo el nervio trabaja como viga T. Los datos son: Hormigón H20 Acero ADN 420 Espesor de la placa 5 cm= 0,05m h = 0,25m d = 0,22 cm (h-3cm) separación entre nervios: befectivo = 0,60m Momentos en losas y apoyos (por metro de ancho) Resultados por metro de ancho de losa Designación Mu (tm) Losa 1 Losa 2 Apoyo 1/2 Apoyo 2/2 2,00 1,80 3,50 3,50 Mn = Mu 0,9 (tm) Mn (MNm) 2,22 2,00 3,89 3,89 0,0222 0,0200 0,0389 0,0389 Momento p/nervio (MNm) 0,0133 0,0120 0,0233 0,0233 Se elige el mayor momento de tramo y se procede a determinar la profundidad del eje neutro kd = d → k → c = k×d c Mn b kd = 0,22 0,0131 0,60 = 1.489 Valor que supera el valor superior de la tabla (tabla de flexión 3 CIRSOC 201), adoptaremos el valor correspondiente al mayor de todos. k = 0,048 → c = k d = 0,048 × 0,22 ≈ 0,0106 < 0,05 c (o sea c < hf, caso a. Ver vigas T) c 72 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Le corresponde un Kd > 0,9 por lo que se adopta 0,9 por las razones acotadas anteriormente. fepor nervio = Mn(por nervio) 0.0133 × 10.000 = × 10.000 = 1,60cm 2 f x kd x d 420 × 0,9 × 0,22m y fepor nervioÎ se adoptan 2 ∅ 10 (1.57cm2) Cuantía mínima 0,033 x 2 bw x d ȡmin = 0,0033 x 20cm x 22cm = 1,45 cm2 < 1,57cm2 (se coloca bw y d en cm para obtener el resultado en cm2) Zona a macizar Existen vigas perpendiculares a los nervios principales que deben predimensionarse y que determinaran una zona común al ancho de viga y a los nervios. A partir de ese valor se verificará la necesidad o no de macizar la zona cercana al apoyo. Para ello se necesita conocer cuál es el M* de cada nervio, porque en la zona de los apoyos la placa no colabora y solo se cuenta con el nervio en sí, actuando como viga de sección rectangular. Se ha obtenido para la losa de 25cm M* = bd 2 k 2 = 0,10 × 0,22 2 0,469 2 = 0,0220 Mnm d Si se considera que la viga que recibe las losas tendrá un ancho, por lo menos de 40cm podríamos evaluar el valor del M por nervio a una distancia de 20cm del apoyo. 1) Gráficamente, medido a escala en el gráfico de Momentos flectores para un nervio. 2) A partir del valor del Momento en el apoyo: Mapoyo qupor nervio x d2/2 = qupor nervio= 0,60 x 1,10 = 0,66 tn/m En el apoyo se tiene Mu = 3,50 tnm Munervio = 3,50 x 0,60 = 2,10 tnm Momento a 20cm del apoyo Mu = 2,10tnm 0,66tn/m x 0,22/2 = 2,10tnm 0,012tnm = 2,09tnm Mu 0,0209MNm = = 0,0232MNm > 0,0220MNm se debe macizar una zona ij 0,9 mayor que el ancho de la viga. Mn= 73 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Se propone una distancia de 0,45m y se obtiene: Mu = 2,10tnm 0,66tn/m x 0,452/2 = 2,10 - 0, 0668 = 2,033MNm Mu 0,02033MNm = = 0,0226MNm § 0,0220MNm Mn= ij 0,9 Se ha optado por macizar de manera continua, por lo que la viga pasará a tener 90cm de ancho (0,90m x 0,25m) Armadura superior en apoyos (se calcula por nervios) Se debe dimensionarse la armadura superior en los apoyos continuos. El dimensionado se realiza con el valor del Momento en el borde de la zona macizada. kd = d = Mn b 0 0,22m = 0,46 0,0226MNm 0,10m corresponde para un hormigón H20 Î adoptar kz = 0,83 (obtenido por interpolación) fepor nervio = Mn(por nervio) 0.0226MNm × 10.000 = × 10.000 = 2,95cm 2 f x kd x d 420MPa × 0,83 × 0,22m y fepor nervio = 2,95 cm2 se cubren con 3 ∅ 12 = 3,39 cm2 Verificación al corte Valores por metro de losa Valor del esfuerzo de corte en el eje Vu L1 L1 L2 L2 2,10 tn 3,50 tn 3,40 tn 3,40 tn Valor del esfuerzo de corte a 0,45m del eje del apoyo 1,61 3,00 2,91 2,91 Valor del esfuerzo de corte Vn ( MN) Vn(por nervio) 0,0215 0,0400 0,0388 0,0388 0,0129 0,0240 0,0233 0,0233 Vu Vn = 0,75 2,15 4,00 3,88 3,88 1) Verificación de las dimensiones de la sección. Como en las distintas secciones de apoyos interiores el valor Vn es aproximadamente del mismo rango, se verifica con el mayor esfuerzo de corte: MN Vn 0,0240 Ȟ= = =1,090 =1,090 MPa 2 b×d 0,10m×0,22m m Debe colocarse estribos mínimos (Ver material de estudio de la unidad 2: Dimensionado a corte de viga T). Se indica a continuación la planta de estructura con las dimensiones adoptadas para la losa, los nervios, la zona a macizar y la ubicación de los nervios transversales. 74 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Fig. 6 Fig. 7 75 Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky COLUMNAS Y TABIQUES Introducción Las columnas, cuya función principal es la de transmitir las acciones que actúan sobre la estructura hacia la fundación, son elementos que trabajan principalmente a compresión aunque también están solicitadas por momentos flectores (por ejemplo, las columnas de pórticos) El diseño de la columna, como elemento solicitado a compresión puede ser: 1. Columnas con barras longitudinales y estribos transversales simples 2. Columnas con barras longitudinales y espirales continuas. Columnas cortas y columnas esbeltas. Las columnas pueden dividirse en dos grandes categorías: • Columnas cortas, cuya capacidad de carga se rige por la resistencia de materiales y la geometría de la sección. • Columnas esbeltas, en las cuales la resistente se reduce en forma significativa por las deformaciones laterales originadas principalmente por pandeo. Se dice que una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en comparación con su longitud. El grado de esbeltez se expresa, generalmente, en términos de la relación de esbeltez l/r, donde l es la longitud y r es el radio de giro de su sección transversal, igual a r= I A donde: I= Momento de inercia de la barra A= Área de la barra Para secciones cuadradas o circulares el valor de r, es el mismo con respecto a cualquiera de los ejes; para otras formas, r es mínimo con respecto al eje baricéntrico alrededor del cual se obtiene el momento de inercia menor y este valor es por lo general el que debe utilizarse en la determinación de la relación de esbeltez de una columna libre. Se sabe que un elemento con gran esbeltez colapsará ante una carga de compresión menor que la correspondiente para un elemento más corto con las mismas dimensiones de la sección transversal. Si un elemento con idéntica sección transversal tiene una relación de esbeltez grande, el colapso se produce por pandeo, es decir, por un súbito desplazamiento lateral del elemento entre sus extremos, con el consecuente sobre-esfuerzo del acero y del hormigón causado por los de flexión que se superponen a los esfuerzos de compresión axial. 76 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Estudios realizados y el ejercicio de la práctica corriente conducen a decir que la mayoría de las columnas de hormigón pueden diseñarse como columnas cortas. Fig. 1: Axonométrica, vista y sección de una columna simple. Las columnas están constituidas por la sección de hormigón, la armadura longitudinal y los estribos. Los estribos pueden tener la forma de estribos simples o de espiral continua y cumplen dos funciones: • mantener las barras longitudinales en su posición dentro del encofrado mientras se vacía el hormigón. • restringir el pandeo de las barras longitudinales sometidas a esfuerzos de compresión, lo que indica que el espaciamiento de los estribos debe ser suficientemente pequeño para evitar el pandeo de las barras longitudinales. Diseño a compresión simple En las columnas cortas la resistencia es controlada por la resistencia de los materiales y la geometría de la sección transversal. A ellas se refiere el dimensionado que a continuación se desarrolla. Además, se encuentran solicitadas únicamente a esfuerzos normales de compresión (no se incluye columnas que además de solicitaciones de compresión están sometidas a solicitaciones de flexión, sea por ser columnas de pórticos o por la esbeltez de las mismas). Dimensionado Conocida la carga última se debe conocer la carga Pn que responde a la siguiente expresión Pu Pn = φ en columnas con estribos simples Ø = 0,65 en columnas zunchadas Ø = 0,70 valor que se obtiene del gráfico siguiente: )DFWRUGHUHGXFFLyQGHUHVLVWHQFLD W ]XQFKRV HVWULERVFHUUDGRV ]RQDFRQWURODGD SRUFRPSUHVLyQ W ,QWHUSRODFLyQ W ]RQDFRQWURODGD SRUWUDFFLyQ W Fig. 2 77 W Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Además, se estipula una limitación adicional a la resistencia de las columnas con el fin de compensar excentricidades accidentales de carga o excentricidades constructivas no previas y no incluidas en el análisis. Se adopta como: Límite superior columnas simples Límite superior columnas zunchadas = 0,80 = 0,85 Por lo que, finalmente Pu Pn = valor limite × φ DIMENSIONADO La carga actuante Pn será equilibrada por la sección de hormigón y por la sección de acero, ambas multiplicadas por el valor de la tensión de compresión (f´c y fy). En el caso del hormigón reducida por al 85% de la obtenida en rotura por las diferencias de dimensiones entre la probeta de ensayo y las dimensiones de reales de las columnas, como por la acción de las cargas en el tiempo. Así se puede escribir: Pn = 0,85fc' A c + A fy st (1) Fig. 3 Como a la sección bruta se la denomina Ag y es la que se obtiene de multiplicar las dimensiones externas de la columna, se transforma la fórmula anterior en: Pn = 0,85f c' (A − A ) + A f y st g st Siendo Ast la sección de acero longitudinal. A continuación se indican las transformaciones paso a paso que se realizan para expresar la fórmula final en función de (ro) que como se sabe, expresa la relación entre la sección de acero Ast y la sección bruta de hormigón Ag, porque en términos operacionales nos referimos a valores de cuantía máximos y mínimos. Pn = 0,85f c' A − 0,85f ' A + A f y st g c st Pn = 0,85f c' A + f A − 0,85f ' A g y st c st A A A g ' st − 0,85f ' st ) Pn = A (0,85fc +f g y A c A A g g g 78 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ª º Pn = A 0,85 f ' × 1 + ȡ f − ȡ 0,85 f ' c y c »¼ g «¬ º ª Pn = A 0,85 f ' + ȡ ( f − 0,85 f ' ) c y c »¼ g «¬ (2) Y a partir de transformar la fórmula (1) en (2) se pude despejar Ag y obtener primero la sección bruta de hormigón y luego la sección necesaria de acero. P n A = Ag(m 2 ) g 0,85f ' + ȡ(f − 0,85f ' ) y c c Disposiciones constructivas Dimensiones mínimas La mínima dimensión de una columna hormigonada in situ debe ser 20 cm y el diámetro mínimo de la armadura principal a utilizar debe ser db 12mm. El diámetro de una columna zunchada debe ser 30cm y el diámetro mínimo de las barras o alambres de los zunchos debe ser db 10 mm. Fig. 4 Separación de los estribos La separación de los estribos s debe ser tal que s 12 db (diámetro de la barra longitudinal) s 48 dbe (diámetros de la barra o alambre de los estribos) s b (lado menor de la columna) s 12 db o sea que para Ø12 Î 14cm Ø16 Î 19 cm Ø20 Î 24 cm Ø25 Î 30 cm Ø32 Î 38 cm s 48 dbe (Ø6 Î 48 x 0,6 = 28,8 cm.) (Ø8 Î 48 x 0,8 = 38,4 cm.) (Ø10 Î 48 x 1,0 = 48,0 cm.) 79 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Tipos de estribo Diámetro de los estribos. Diámetro estribos mínimos Ø6 Ø8 Ø 10 Ø 12 Barras longitudinales db 16 mm 16mm > db 25mm 25mm > db 32 mm db > 32mm o paquetes de barras En el caso de utilizar zunchos, estos deben estar constituidos por barras o alambres continuos. Para elementos hormigonados in situ db 10mm para espirales o zuncho Y la separación de las espiras del zuncho debe cumplir: s 80 mm s 25 mm s 1,33 del tamaño máximo nominal del agregado grueso Armadura mínima Se especifica Ast 0,01Ag Siendo Ast la sección de acero longitudinal, generalmente expresada en cm2 y Ag la sección bruta de hormigón armado (lado x lado) Armadura máxima Se especifica Ast 0,08Ag Se denomina cuantía ȡ (ro) a la relación entre la Armadura longitudinal y la superficie bruta de la columna A ȡ = st Ag y su valor debe ser de acuerdo con lo recomendado como armadura mínima y armadura máxima: 1% ≤ ȡ ≤ 8% La armadura longitudinal mínima es: 4 barras si el estribo es rectangular 6 barras si es una espiral continua. Ejemplo de dimensionado Se da como dato la carga última de la columna Pu = 170 tn Î 1.70 MN 80 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Se debe conocer el valor Pn Pu Pn = valor limite × φ Pn = Pu P 1.70 = u = = 3.27MN 0,80 × 0,65 0,52 0,52 Se sabe que: Ag = Pn 0,85fc' + ȡ(f y − 0,85f c' ) Ag(m 2 ) Por lo que se necesita conocer la tensión de compresión del hormigón (f´c) y la tensión de fluencia del acero (fy) además de proponer la cuantía. En este ejemplo se propone ȡ = 1% por lo que reemplazando los valores en la fórmula anterior se obtiene: Ag = 3.27 0,85 × 20 + 0,01(420 − 0,85 × 20) Ag = = 3.27 3.27 3.27 = = 17 + 0.01(403) 17 + 4.03 21.03 3.27 = 0,1554m 2 = 1554cm 2 Î 40 x 40 21.03 Ast = 0,01 x 1554 =15,54 cm2 Î 8 Ø 16 (16,08cm2) Estribos Para armadura longitudinal hasta ∅ 16 se pueden utilizar estribos de 6mm. La separación se debe cumplir: 12 db = 12 x 1.6 cm = 14,4 cm (se adopta 15 cm) lado mínimo 48 x 0.6 = 40 cm 28,8 cm Se adopta ∅ 6 cada 15cm Predimensionado de columnas En el proceso proyectual arquitectónico es necesario contar con herramientas que permitan de manera sencilla, rápida y eficaz proponer secciones a los principales componentes estructurales. Por ejemplo, en el caso de edificios en altura las secciones estrictamente necesarias de las columnas en el primer nivel difieren de las de los últimos niveles. Se indica a continuación una forma de abordaje que se considera simple y eficiente. Consiste en determinar las áreas de influencia de cada elemento vertical a predimensionar. Para ello se aplican los conocimientos impartidos cuando se abordó el tema de la continuidad estructural y a ellos se remite al lector. Se recomienda graficar las zonas de influencia para cada columna como se indica en el ejemplo que a continuación se inserta. 81 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Determinada por área de influencia la carga última que recibe la columna (Pu) cabe las siguientes consideraciones para explicar el por qué se puede determinar la sección necesaria de hormigón dividiendo el valor de Pu por una constante que depende del tipo de hormigón, si se acepta una cuantía del 1%. Por ejemplo, si se trabaja con hormigón H20 y considerando que Pu Pn = valor limite × φ Ag = Pn Pu 1 Pu(MN) = × ≅ 21.03 0,65 × 0,8 21.03 10 Con lo que la fórmula para recordar para un predimensionado sería A (m2 ) ≅ g Pu(MN) 10 Multiplicando dicho valor por 10.000 obtenemos el área en cm2 y solo resta proponer los lados b y d necesarios para obtener dicha área. Como regla nemotécnica, para cuantías del 1% y distinto tipos de Hormigón, los valores son: H20 H25 H30 el denominador es 10 el denominador es 14 el denominador es 15 Porque: Ag = Ag = Pn 0,85 × 25 + 0,01(420 − 0,85 × 25) Pn 0,85 × 30 + 0,01(420 − 0,85 × 30) = Pn Pn Pn = = 21.25 + 0.01(399.4 ) 21.25 + 3.99 25.24 = Pn Pn Pn = = 25.5 + 0.01(394.5) 25.5 + 3.95 29.45 Ejemplo: Determinar las secciones de las columnas C1 y C2 del edificio de 10 niveles cuya organización estructural en planta se indica a continuación (ver pag. 9). Conocida el ÁREA DE INFLUENCIA que le corresponde a cada columna, se multiplica el área por qu, se le suma el peso propio de vigas que concurren y de la columna multiplicado por 1,2 (factor de mayoración para las cargas permanentes) y se obtiene Pu. Para conocer la carga en un determinado nivel, se multiplica el valor obtenido por la cantidad de pisos por arriba del nivel considerado. 82 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado V1 (20x40) Prof. Arquitecta Sara Gonorazky C1 V4 (20x70) PX1 T2 T2 V3 LE V2 (20x40) C2 L2 30 L3 30 PX2 L4 30 C4 T2 T2 L1 30 C3 L1 30 V1 (20x40) Fig. 5 0.10 0.40 0.30 0.25 0.08 En este ejemplo se ha predimensionado una losa de 30cm de espesor la que se construirá como 2 losa nervurada y se realiza el correspondiente análisis de carga por m de losa. 0.10 Fig. 6 Por cada metro cuadrado de losa se tiene: Capa de compresión 0.05 m x 2.5 t/m3 0.125 t/m2 3 Nervios 2 x 0.10 m x 0.25 m x 2.5 t/m 0.125 t/m2 Cielorraso (c/ metal desplegado. Espesor estimado: 2cm) 0.050 t/m2 Contrapiso 0.05 m x 1.6 t/m3 0.080 t/m2 3 Piso 0.03 m x 2.0 t/m 0.060 t/m2 Tabiquería Interna (Para este caso) 0.070 t/m2 qD = 0.510 t/m2 Sobrecarga qL = 0.300 t/m2 qu = 1,2 × 0,510 + 1,6 × 0,300 = 1,092t/m 2 Columna C1 de losa (0.6 + 0.5) x 4.5 m x 0.5 x 6.0 m x 1.09 t/m2 § 16.19 t 4.95 m x 3 m x 1.09 t/m2 peso propio de los elementos estructurales que concurren a la columna C1 V4 (p.p) 0.2 m x 0.7 m x 3.0 m x 2.5 t/m3 1.05 t 0.99 t V1 (p.p) 0.2 m x 0.4 m x (0.5 + 0.6) x 4.5 m x 2.5 t/m3 Peso propio de la columna (estimado) 1.50 t 3.54 t 3.54 x 1,2 = 4.25t 83 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Pu por piso = 16.19 + 4.25 = 20.44tn Pu por piso = 0.2044 Mn § 0.20 MN Columna C2 (0.5 + 0.5) x 6.0 m x (0.6 + 0.5) x 4.5 m x 1.09 t/m2 6 m x 4.95 m x 1.09 t/m2 § de losa 32.37 t peso propio de los elementos estructurales que concurren a la columna C2 V4 0.2 m x 0.7 m x 3.0 m x 2.5 t/m3 1.05 t 0.99 t V2 0.2 m x 0.4 m x (0.5 + 0.6) x 4.5 m x 2.5 t/m3 Peso propio (estimado) 1.50 t 3.54 t 3.54 x 1,2 = 4.25 t Pu por piso = 32.37 + 4,25 = 36.62t Pu por piso = 0.3662 MN § 0,36 MN Por razones arquitectónicas se fija que sobre la fachada la columna sea de dimensiones constantes (30cm) y en el caso de las columnas interiores que mantenga un lado también constante y varíe en función de la otra dimensión. Además, por diseño, se propone que las columnas varíen cada 3 pisos empezando del último piso. Se recuerda que la dimensión mínima de una columna es 20 x 20 o sea 400 cm2. C1 externa C2 interna Nivel 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 N Mn 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 Fbnec cm2 b cm d cm 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 30 " " 30 " " 30 " " 30 20 " " 40 " " 60 " " 70 N Mn 0.36 0.72 1.08 1.44 1.80 2.16 2.52 2.88 3.24 3.60 84 Fbnec cm2 b cm d cm 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 60 " " 60 " " 60 " " 60 20 " " 40 " " 50 " " 60 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky TABIQUES Los tabiques portantes son elementos verticales cuya longitud lw es mayor de 5 veces el ancho del elemento y están diseñados para transmitir cargas axiales centradas o excéntricas.Se aborda el diseño de tabiques como elementos comprimidos, los que se calculan como columnas. Los tabiques son aptos para recibir cargas horizontales debidas a acciones de viento o sismo y también ser muros de submuración, de contención o de fundaciones. En estas situaciones se debe recurrir a la normativa específica para cada situación. espesor del tabique largo del tabique (a) As s1 s2 altura del tabique Armadura horizontal Armadura vertical d (b) Geometría y armadura de un tabique convencional: a) sección transversal; b) vista en altura. Dimensiones mínimas: El espesor h del tabique portante debe cumplir con las siguientes condiciones: h 1/25 de la altura o longitud del tabique, el que sea menor. h 10 cm Armadura mínima según CIRSOC 201. Cuantía mínima de armadura vertical: - 0,0012 para barras longitudinales con db 16mm - 0,0015 para barras longitudinales con db > 16mm - 0,0012 para malla de acero soldada de alambres lisos o conformados con db 16mm Cuantía mínima de armadura horizontal: - 0,0020 para barras longitudinales con db 16mm - 0,0025 para barras longitudinales con db > 16mm - 0,0020 para malla de acero soldada de alambres lisos o conformados con db 16mm La separación de la armadura vertical y horizontal debe ser según CIRSOC 201 a) menor o igual a 3 veces el espesor del tabique b) menor o igual a 300mm 85 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky COMPRESIÓN Y FLEXIÓN EN COLUMNAS RECTANGULARES En los edificios en general, las columnas, además de recibir cargas axiales que producen compresión, están sometidas a momentos flectores, debido a la continuidad y el monolitismo de las vigas y columnas. Además, las columnas también son barras de pórticos, y estos son elementos estructurales aptos para recibir fuerzas horizontales como las de viento y sismo, que también producen momentos flectores. Cuando un elemento está sometido a una compresión axial P combinada con un momento flector M, por lo general es conveniente remplazar la carga axial y el momento flector por una carga equivalente de igual magnitud P aplicada con una excentricidad e = M/P. e= M P P M P (a) (b) Excentricidad equivalente para la carga de una columna. Fig. 1 Las dos situaciones de carga son estáticamente equivalentes. Todas las columnas pueden entonces clasificarse en términos de la excentricidad equivalente. Aquellas con un valor de e relativamente pequeño se caracterizan en general por una compresión a lo largo de toda la sección de hormigón y si se sobrecargan fallan por aplastamiento del hormigón junto con la fluencia del acero a compresión en el lado más cargado. Las columnas con excentricidades grandes están solicitadas a tracción sobre, al menos, una parte de la sección y cuando se sobrecargan pueden fallar por fluencia del acero a tracción en el lado más alejado de la carga. El diseño de columnas se basa en el estado de sobrecargas mayoradas, para el cual la resistencia requerida no debe exceder, como de costumbre, la resistencia de diseño. Es decir: ∅Mn Mu ∅Pn Pu Método general de resolución y diagramas de interacción En la figura se presenta un elemento cargado en dirección paralela a la de su eje mediante una fuerza de compresión Pn con una excentricidad e medida desde la línea central. 86 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Pn e Pn e d h 2 h d' 2 Ancho = b a a (s (s (u A f s s A' f ' s s 0,85 I c´ h a 2 2 d' c d a h e Pn (a) (b) (c) Columna sometida a compresión excéntrica: (a) columna cargada; (b) distribución de deformaciones en la sección a-a; (c) esfuerzos y fuerzas para la resistencia última nominal. Fig. 2 La distribución de deformaciones unitarias en una sección a-a cualquiera y para un estado de falla inminente es la que se ilustra y se supone que: • Las secciones planas permanecen planas, • Las deformaciones unitarias en el hormigón varían linealmente con la distancia al eje neutro que se localiza a una distancia c desde el lado más comprimido del elemento. • Por compatibilidad total de las deformaciones, las del acero en cualquier sitio de la sección son las mismas que las deformaciones del hormigón adyacente: así que, si la deformación última del concreto es İu, la de las barras más cercanas a la carga es İ´s, mientras que las de las barras en tracción, en el lado más alejado es İs. • El acero a compresión tiene un área A´s y el acero a tracción tiene un área As y se localizan respectivamente a distancias d´ y d medidas de la fibra más comprimida. Los esfuerzos y fuerzas correspondientes son los que se indican en la última figura. Al igual que para flexión simple, la distribución real de esfuerzos a compresión en el hormigón se reemplaza por una distribución rectangular equivalente con un espesor a = ȕ1 c. El equilibrio entre fuerzas axiales internas y externas que se presenta en la figura (c) exige que: P n = 0.85f´ c ab + A´ s f´ s − A s f s También el momento de los esfuerzos y fuerzas internas con respecto a la línea central de la sección debe ser igual y opuesto al momento de la fuerza externa Pn, de manera que h a h h Mn = Pn e = 0.85f´ ( − ) + A´ s f´ s ( − d´) + A s fs (d − ) 2 2 2 2 87 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Estas son las dos ecuaciones básicas de equilibrio para elementos rectangulares sometidos a compresión excéntrica. Para pequeñas excentricidades, el hormigón alcanza su deformación İu antes de que el acero a tracción empiece a fluir; de hecho las barras en el lado de la columna más alejado de la carga pueden estar en compresión y no en tracción. Para excentricidades grandes, la falla se inicia por la fluencia del acero a tracción As. De ahí que para este caso, fs = fy. Para una excentricidad determinada a partir de conocer e= Mu Pu es posible resolver las ecuaciones para la carga Pn y el Momento Mn que producirían la falla. Sin embargo, hacer esto en la práctica en forma algebraica resulta complejo, en particular por la necesidad de incorporar el límite para fy tanto en f´s como fs. Ayudas de Diseño El diseño de columnas cargadas excéntricamente, de acuerdo con el método de análisis por compatibilidad de deformaciones requiere la selección de una columna de prueba. La columna de prueba se propone para determinar si es adecuada para resistir cualquier combinación de Pu y Mu, que pueda actuar sobre ella. En esta situación se recomienda utilizar una sección un poco mayor que la que se obtiene con el método de predimensionado sugerido para las columnas solicitadas a compresión simple. Se procede por prueba y error, es decir, se propone una sección si se obtienen resultados aceptables, se mantiene la sección. En caso contrario se debe aumentar (o disminuir) la sección, o al menos, el lado en la dirección del momento actuante. 88 Diseño y Dimensionado de Estructuras en Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky !"#$ % &"'()*"!+$ ,'"!+-!$ ." /0+,12+1,)0 ." 3$,*-'4! 5 6778 9: ;<=>?@AB: ;:C D> EFGH?H<H: IA@?:FA> BD JD@F:>:KLA EFB<GHC?A> ;ACA >AG :=CAG BD M:CN?KOF PCNAB: @:FGHA BDQ • RSDK>ANDFH: PCKDFH?F: BD DGHC<@H<CAG BD T:CN?KOFUV DB?@?OF WXXYZ • JA=>AG ;ACA D> B?GD[: BD D>DNDFH:G DGHC<@H<CA>DG BD T:CN?KOFZ • \]DN;>:G BD A;>?@A@?OF BD> SDK>ANDFH: PCKDFH?F: BD \GHC<@H<CAG BD M:CN?KOF • ^:NDFHAC?:G A> SDK>ANDFH: PCKDFH?F: BD \GHC<@H<CAG BD M:CN?KOFZ \> SDK>ANDFH: ^ES_`^ WXa @:FGHA BD Wb @A;LH<>:G AKC<;AB:G DF c ;ACHDGZ d),+" %e &"f1-0-+$0 '"!",)("0 g)hi %e ^AN;: BD jA>?BDkZ SDK>ANDFH:GV CD@:NDFBA@?:FDG l F:CNAG BD A;>?@A@?OFZ m:@<NDFHA@?OF Hn@F?@AZ d),+" 6e /0h"2-o-2)2-$!"0 ,"()+-p)0 ) ($0 *)+",-)("0 q r$,*-'$!"0i g)hi 6Q \G;D@?s?@A@?:FDG ;:C CDG?GHDF@?A l B<CA=?>?BAB g)hi te uAHDC?A>DGZ ^DNDFH:GV AKCDKAB:GZ PK<A ;ACA N:CHDC:G l T:CN?K:FDGZ PB?H?j:G ;ACA T:CN?K:FDGZ P@DC:GZ d),+" te &"f1-0-+$0 2$!0+,12+-p$0 g)hi ve ^C?HDC?:G l @:FHC:> BD @:Fs:CN?BAB BD> T:CN?KOFZ g)hi 8e M:CN?KOF sCDG@: w xC:;?DBABDGV B:G?s?@A@?OF l ;<DGHA DF :=CAZ g)hi ye _?GHDNAG BD DF@:sCAB:Z ^A[DCLAG ;z @:FB<@@?OF s><?B:G ?F@><?BAG DF >A DGHC<@H<CA BD M{ g)hi |e mDHA>>DG BD ACNAB: d),+" ve &"f1-0-+$0 '"!",)("0 g)hi }e PF~>?G?G l B?GD[: w ^:FG?BDCA@?:FDG KDFDCA>DG g)hi e SD<?G?H:G BD CDG?GHDF@?A l @:N;:CHAN?DFH: DF GDCj?@?: g)hi %7e ^ACKAG A?A>DG l s>D?OFZ g)hi %%e ^:CHD l J:CG?OFZ g)hi %6e 9:FK?H<BDG BD AF@>A]D l BD DN;A>ND BD >A ACNAB<CA d),+" 8e -0+"*)0 $ "("*"!+$0 "0+,12+1,)("0 g)hi %te _?GHDNAG BD >:GAG <D HCA=A]AF DF B:G B?CD@@?:FDG g)hi %ve JA=?<DG g)hi %8e A;AHAG l @A=DkA>DG BD ;?>:HDG g)hi %ye \GHC<@H<CAG BD T:CN?KOF ;CDsA=C?@AB:Z g)hi %|e \>DNDFH:G BD T:CN?KOF @:FGHC<?B:G DF DHA;AGV G:>?@?HAB:G A s>D?OFZ g)hi %}e M:CN?KOF ;CDHDFGAB: g)hi %e ^~G@ACAG l ;>A@AG BD>KABAG d),+" ye g$!0-.",)2-$!"0 "0h"2-)("0 g)hi 67e \jA><A@?OF BD >A CDG?GHDF@?A BD DGHC<@H<CAG D?GHDFHDG g)hi 6%i \G;D@?s?@A@?:FDG DG;D@?A>DG ;ACA D> B?GD[: G?GN:CCDG?GHDFHDZ d),+" |e 3$,*-'4! "0+,12+1,)( 0-*h(" g)hi 66 M:CN?KOF DGHC<@H<CA> G?N;>DZ g)hi 6t P;C:=A@?OF l CD@D;@?OF BD DGHC<@H<CAG F<DjAGV HDCN?FABAGZ h!.-2" e u:BD>: BD ?D>AGZ h!.-2" e \G;D@?s?@A@?:FDG A>HDCFAH?jAG ;ACA D> B?GD[: BD D>DNDFH:G BD T:CN?KOF ACNAB: l ;CDHDFGAB: G:>?@?HAB:G A s>D?OF l A @:N;CDG?OFZ h!.-2" ge ^:N=?FA@?OF A>HDCFAH?jA ;ACA >:G sA@H:CDG BD @ACKA l CDB<@@?OF BD CDG?GHDF@?AZ • • h!.-2" e PF@>A]D DF T:CN?KOFZ • • Anexo I Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ANEXO 2 Sistema de Unidades y equivalencias Unidades de peso 10 N ( Newton) 1 N (Newton) 1 kN (kiloNewton) 10 kN (kiloNewton) equivalen a 1 Kg equivale a 100 g (gramos) equivale a 1000 N (Newton) equivale a 1 Tonelada = 1 tn (tonelada) 1 kg (kilogramo) 100 g (gramos) equivale a 10 kN (kiloNewton) equivale a 10 N (Newton) equivale a 1N (Newton) (10.000 Newton) Unidades de Momento (fuerza por distancia) 1 tm (tonelametro) equivale a 10 kNm (kiloNewton metro) Unidades de fuerza / superficie (tensiones) 1 MPa = 1N / mm2 = 10 Kg / cm2 Para convertir N/m2 a kg/m2 (multiplicar por 10) 30 N/m2 = 300 kg/m2 N/m a tn/m (dividir por 10) 25 N/m = 2,5 tn/m Para convertir MN a tn multiplicar por 100 0,0958 MN = 9,58 tn Para convertir tm a MNm dividir por 100 1,27 tm = 0,0127 MNm tn = t = tonelada tm= tonelámetro q = 3 tn/m q = 30 kn/m Anexo II Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ANEXO 3 GLOSARIO Y NOMENCLATURA Definiciones relativas al proyecto estructural Altura útil de la sección (d): Distancia medida desde la fibra comprimida extrema hasta el baricentro de la armadura traccionada. Armadura: Conjunto de barras, alambres, mallas soldadas o cables de acero, que se incorporan a la masa del hormigón con el objeto de resistir en forma conjunta con este, los esfuerzos internos calculados. Carga: fuerza exterior activa, concentrada o distribuida, o por unidad de volumen, como por ejemplo, carga gravitatoria, carga originada por el viento. Carga de servicio: Son aquellas cargas producto del efecto de la fuerza de gravedad sobre las estructuras. Se incluyen cargas permanente, las sobrecargas y la carga de nieve. Carga mayorada: Carga que, multiplicada por los factores de mayoración apropiados se utiliza con el objeto de dimensionar los elementos mediante el método de diseño propuesto en este Reglamento. Carga permanente: Carga que tiene variación pequeña (despreciable en relación a su valor medio) e infrecuente, con tiempo de aplicación prolongado. Hormigón: es una mezcla homogénea compuesta por una pasta de cemento y agua, con agregados gruesos y finos, que en estado fresco tiene cohesión y trabajabilidad y que luego por el fraguado y el endurecimiento de la pasta cementicia, adquiere resistencia. Además de estos componentes básicos puede contener aditivos químicos y/o adiciones minerales pulverulentas. Hormigón armado: Hormigón estructural con armadura de acero sin tensión previa, o con aceros de pretensado, en mayor cantidad que la mínima especificada en el Reglamento. Hormigón estructural: Todo hormigón utilizado con propósitos estructurales, incluyendo al hormigón simple y al hormigón armado. Módulo de elasticidad: Relación entre la tensión normal y la deformación específica correspondiente, para esfuerzos de tracción o compresión, por debajo del límite de proporcionalidad del material. Resistencia a la tracción por compresión diametral del hormigón (fct). Tensión que se obtiene de ensayar una probeta cilíndrica por compresión en un plano diametral, aplicando una carga hasta la rotura sobre toda la longitud de una generatriz. Se obtiene al ensayar una probeta de acuerdo con la Norma IRAM 1 658. Resistencia de diseño: Resistencia nominal multiplicada por un factor de reducción de resistencia φ (fi). Resistencia específica a la compresión del hormigón (fc): Resistencia a la compresión del hormigón utilizada en el cálculo y evaluada de acuerdo con las con las consideraciones del cap. 5 (en MPa). Resistencia nominal: Resistencia ded un elemento o de una sección transversal calculada con las disposiciones e hipótesis del método de diseño establecido en este reglamento, antes de aplicar cualquier factor de reducción de resistencia Anexo III 1 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Resistencia requerida: Resistencia que necesita un elemento o una sección transversal, para resistir las cargas mayoradas o lo momentos y fuerzas internas correspondientes combinadas entre sí, según lo establecido en este Reglamento. Tensión: Es el cociente entre la carga alcanzada en un momento determinado y el área de la sección transversal inicial de la probeta. Fuerza por unidad de área. Se denomina fc: tensión de compresión del hormigón. (La designación anterior se conocía como bk) NOMENCLATURA z : brazo de palanca de fuerzas internas C : resultante interna de las tensiones de compresión E G F I & & T : resultante interna de las tensiones de tracción . $V Ag : área total o bruta de la sección. K F =H G ] As : área de la armadura traccionada $V As : área de la armadura comprimida V b : ancho del borde comprimido de la sección transversal c: distancia desde la fibra comprimida extrema al eje neutro. d : distancia desde la fibra comprimida extrema hasta el baricentro de la armadura traccionada (altura útil) d: distancia desde la fibra comprimida extrema hasta el baricentro de la armadura comprimida. Ec : módulo de Elasticidad del Hormigón ! : deformación unitaria !c : deformación específica del hormigón en compresión !t : deformación específica del hormigón en tracción fc : tensión de compresión del hormigón fc : resistencia especificada del hormigón a compresión (en Mpa) fy : tensión de fluencia especificada de la armadura h : altura total de la sección transversal de un elemento U : resistencia requerida para resistir las cargas mayoradas o las solicitaciones correspondientes.- " : cuantía de la armadura traccionada (" = As/ bd) " : cuantía de la armadura comprimida (" = As/ bd) Ø: factor de reducción de la resistencia Anexo III 2 H & V Q I 7 ANEXO 4 TABLAS PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Máximo esfuerzo de corte en losas sin contribución de armadura de corte Vn ≥ Vu φ para solicitación de Corte, factor de reducción Ø = 0,75 Tabla:1 Vc = Vn valor máximo (en Kg) de la reacción por m lineal de losa sin contribución de armadura de corte d (cm) 6 1 Vn = Vc = 1 6 Anexo IV H20 H25 H30 H35 4.472 5.000 5.477 5.916 6.5 4.845 5.417 5.934 6.409 7 5.217 5.833 6.390 6.902 7.5 5.590 6.250 6.847 7.395 8 5.963 6.667 7.303 7.888 8.5 6.336 7.083 7.759 8.381 9 6.708 7.500 8.216 8.874 9.5 7.081 7.917 8.672 9.367 10 7.454 8.333 9.129 9.860 10.5 7.826 8.750 9.585 10.353 11 8.199 9.167 10.042 10.846 11.5 8.572 9.583 10.498 11.339 12 8.944 10.000 10.954 11.832 12.5 9.317 10.417 11.411 12.325 13 9.690 10.833 11.867 12.818 13.5 10.062 11.250 12.324 13.311 ′ b.d = fc. 1 25 x1,00mx0,1 05m = 0,08750MN = 87,50KN = 8.750Kg 6 1 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Anexo IV 2 Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Anexo IV 3 Prof. Arquitecta Sara Gonorazky Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ACEROS Sección de hierro en cm2 Número de hierros Ø mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 8 10 12 16 20 25 0.28 0.50 0.79 1.13 2.01 3.14 4.91 0.56 1,01 1.57 2.26 4.02 6.28 9.82 0.85 1,51 2.36 3.39 6.03 9.42 14.73 1.13 2.01 3.14 4.52 8.04 12.57 19.64 1.41 2.51 3.93 5.65 10.05 15.71 24.55 1.70 3.01 4.71 6.79 12.06 18.84 29.46 1.98 3.52 5.50 7.92 14.07 21.99 34.37 2.26 4.02 6.28 9.05 16.08 25.14 39.28 2.54 4.52 7.07 10.18 18.10 28.27 44.19 2.83 5.03 7.85 11.31 20.11 31.42 49.10 Armadura para losas Sección de hierro en cm2 por metro de ancho de losa Separación entre barras 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Anexo IV 4,2 6 2.31 1.98 1.68 1.54 1.39 1.26 1.15 1.07 0.99 0.92 0.87 0.84 0.80 0.73 0.69 4.71 4.04 3.53 3.14 2.83 2.57 2.36 2.17 2.02 1.88 1.77 1.66 1.57 1.49 1.41 Diámetro de las barras en mm 8 10 12 16 8.38 7.18 6.28 5.58 5.03 4.57 4.19 3.87 3.59 3.35 3.14 2.96 2.79 2.65 2.51 13.09 11.22 9.82 8.73 7.85 7.14 6.54 6.04 5.61 5.24 4.91 4.62 4.36 4.13 3.93 4 18.85 16.16 14.14 12.57 11.31 10.28 9.42 8.70 8.08 7.54 7.07 6.65 6.28 5.95 5.65 33.51 28.72 25.13 22.34 20.11 18.28 16.75 15.47 14.36 13.40 12.57 11.83 11.17 10.58 10.05 20 25 52.36 44.88 39.27 34.91 31.42 28.56 26.18 24.17 22.44 20.94 19.63 18.48 17.45 16.53 15.71 81.81 70.12 61.36 54.54 49.09 44.62 40.90 37.76 35.06 32.72 30.68 28.87 27.27 25.83 24.54 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky ANEXO 5 Software para obtener los momentos de apoyo y tramo de losas con armadura cruzada El software que se propone permite resolver losas continuas a partir de establecer el grado de empotramiento ( ) en cada uno de los apoyos. En el caso de luces muy diferentes por aproximaciones sucesivas se puede llegar a obtener valores similares para los momentos a ambos lados del apoyo común y a continuación obtener el valor de los momentos de tramo Mx y My. Para utilizar el programa se da como dato = grado de empotramiento (vale 0 cuando el borde está simplemente apoyado, es decir, no existe continuidad estructural) q = carga por metro cuadrado de losa expresada en Kg/m2 lx = longitud en la dirección x expresada en m ly = longitud en la dirección y expresada en m El programa pide la altura útil d y el espesor total h expresada en cm. Estos valores deben colocarse sino el programa no funciona pero no interviene en los resultados a obtener Momentos de apoyo, de tramo y reacciones de apoyo. (Están previstos para en un futuro calcular la armadura necesaria) Resultados Se obtienen los Momentos de apoyo M1 M2 M3 M4 en Kgm; los Momentos Mx y My también en Kgm y las reacciones de apoyo q1, q2, q3, q4 en Kg / m lineal. Diagrama de Momentos en las dos direcciones 1 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 1. Indique en un plano de estructuras o cada losa aisladamente designación (a partir del número 1), dimensiones (lx - ly) en metros y la carga Qu = kg / m2 2. Indique el grado de empotramiento que le asigna a cada borde: 4, siguiendo el orden que se indica. • • 1- 2- En los bordes simplemente apoyados (no existe continuidad) indicar En los de bordes con continuidad sugiera un = 1 indica la relación que existe entre el Momento de Apoyo y el Momento de Tramo en la dirección considerada. 2 3 l1 l3 Borde 1 1 4 Borde 4 l2 Ly-(l2+l4) Borde 3 M1= - 1.Mx M3= - 3.Mx M2= - 2.My Borde 2 Ly !1 = l4 M4= - 4.My Lx 2 M1 Mx "2 = M2 My 3 =0 Diseño y Dimensionado de Estructuras de Hormigón Armado Prof. Arquitecta Sara Gonorazky 3. Introduzca los datos. Aparece indicado en pantalla el número de losa correlativo a partir del nº 1. Para cada coeficiente debe posicionarse con el cursor en el borde, luego en la planilla introducir el valor y apretar ENTER del teclado. A continuación escriba en cada casillero el peso por m2 de losa, las dimensiones (lx - ly) y necesita introducir el h y d (cm) propuestos para la losa. 4) de Enter en el primer botón superior de la izquierda, el que tiene el Tablero. En la planilla aparecen los datos y el programa está en espera de los datos de la losa 2. Y así sucesivamente. 5) Cuando ha finalizado la carga de datos, de Enter en el 3º botón, el que indica con una calculadora que resuelve. 6) En la parte inferior de la tabla obtiene todos los resultados Momentos de apoyo M1 M2 M3 M4 en Kgm; Momentos de tramo Mx y My Kgm Reacciones de apoyo q1, q2, q3, q4 en Kg / m lineal. Si necesita corregir o actualizar datos, ubicado el cursor en la losa que desea corregir, se procede a corregir los valores y se da Enter con el primer botón superior, el de introducción de datos y luego el de resolución. AVISO IMPORTANTE EL SOFTWARE HA SIDO REALIZADO CON SOFTWARE ORIGINAL DE VISUAL BASIC. SIN EMBARGO SE RECOMIENDA A QUIÉN LO INSTALE QUE REALICE RESGUARDO DE SUS ARCHIVOS PORQUE SI LA VERSIÓN QUE TIENE INSTALADA DE WINDOWS NO ESTÁ CORRECTAMENTE INSTALADA SE PRODUCE MENSAJE DE ERROR Y SE CORRE EL RIESGO DE PERDER INFORMACIÓN. * SE PUEDE EJECUTAR DESDE UN CD * 3 &ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^ ,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/Eϭϭ ŽŶƚƌŽůĚĞĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂʌŵŝŶ͘ď͘Ěൌ ͲǤͲͲ͵͵ ൈ ʹͲ ൈ ൌ ǡ ૢૠܿ݉ଶ sZ/&/͕ůŽƐ ǀĂůŽƌĞƐĞŶĐŽŶƚƌĂĚŽƐƐŽŶŵĂLJŽƌĞƐ͘ W'/EϭϮ ƵĂŶƚşĂŵĄdžŝŵĂ͗ ^ĞĚĞďĞƚĂŵďŝĠŶĐŽŶƚƌŽůĂƌƋƵĞůĂĂƌŵĂĚƵƌĂŽďƚĞŶŝĚĂŶŽƐƵƉĞƌĞƵŶĂĐƵĂŶƚşĂŵĄdžŝŵĂсϭ͘ϮϵйƉĂƌĂ ,ϮϬ ƌŵĂĚƵƌĂŵĄdžŝŵĂͲǤͲͳʹͻ ൈ ʹͲ ൈ ൌ ǡ ૡܿ݉ଶ хϵ͕ϯϲĐŵϮ;ǀĂůŽƌŵĂLJŽƌŽďƚĞŶŝĚŽͿ W'/Eϭϯ W'/Eϭϰ ^ĞƉƵĞĚĞƌĞĞŵƉůĂnjĂƌŬĚƐĞŐƷŶůĂĐĂůŝĚĂĚĚĞŚŽƌŵŝŐſŶĂĚŽƉƚĂĚŽ͘zĂƐşƐĞƚŝĞŶĞ ,ϮϬŬĚсϬ͘ϰϲϵ ,ϮϱŬĚсϬ͘ϰϭϵ ,ϯϬŬĚсϬ͘ϯϴϯ W'/Eϭϰ ߂ܯ כܯ ᇱ ൰ ൈ ͳͲǤͲͲͲ ݏܣൌ ൬ ݇ ݖൈ ݀ ൈ ݂ݕ ݁ ݖൈ ݂ݕ ܣԢ ݏൌ ൬ ߂ܯ ൰ ൈ ͳͲǤͲͲͲ ൈ ݂ݕ ݖᇱ ݁ 7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD &ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^ ,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/Eϭϳ ŶǀŝŐĂd ďĞчϴŚĨĚĞůŽƐĂ ďчϮďĞнďǁ ďч>ŽŶŐŝƚƵĚĚĞůĂǀŝŐĂͬϰ ďĞчƐͬϮ ŶǀŝŐĂ> ďĞчϲŚĨ ďчϮďĞнďǁ ďĞч>ŽŶŐŝƚƵĚĚĞůĂǀŝŐĂͬϭϮ ďĞчƐͬϮ s= distancia libre entre vigas /DE^/KEKs/'^dŽ> ^ĞĚŝƐƚŝŶŐƵĞŶĚŽƐƐŝƚƵĂĐŝŽŶĞƐĚŝĨĞƌĞŶƚĞƐƐĞŐƷŶůĂƉŽƐŝĐŝſŶĚĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽ͘ ůĞũĞŶĞƵƚƌŽĚĞŶƚƌŽĚĞůĂůĂ͕ĞƐĚĞĐŝƌĐчŚĨ W'/Eϭϳ WƌŽĐĞĚŝŵŝĞŶƚŽĚĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽ ĂƚŽƐ ^ĞĐŽŶŽĐĞůĂŐĞŽŵĞƚƌşĂĚĞůĂǀŝŐĂLJĞůDŽŵĞŶƚŽEŽŵŝŶĂů͘ůƚŝƉŽĚĞŚŽƌŵŝŐſŶLJĞůĂĐĞƌŽĂƵƚŝůŝnjĂƌ͘ WĂƌĂĐŽŶŽĐĞƌƐŝƐĞĞƐƚĄĞŶĞůĐĂƐŽĂͿŽĐĂƐŽďͿƐĞŶĞĐĞƐŝƚĂƐĂďĞƌůĂƉƌŽĨƵŶĚŝĚĂĚĚĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽƉĂƌĂ ĐŽŶƚŝŶƵĂƌĐŽŶƵŶŽƵŽƚƌŽƉƌŽĐĞĚŝŵŝĞŶƚŽ͘ WĂƌĂĞůůŽ͕ ϭͿĐŽŶŽĐĞƌůĂĚŝƐƚĂŶĐŝĂĚ ^ĞƉƵĞĚĞƉƌĞƐƵƉŽŶĞƌůŽƐĚŝĄŵĞƚƌŽƐĚĞĞƐƚƌŝďŽƐLJĚĞůĂƐďĂƌƌĂƐĂƵƚŝůŝnjĂƌƉĞƌŽ͕ŐĞŶĞƌĂůŝnjĂŶĚŽĞů ƉƌŽĐĞĚŝŵŝĞŶƚŽ͕ƐĞƐƵŐŝĞƌĞĂĚŽƉƚĂƌĐŽŵŽǀĂůŽƌĂƌĞƐƚĂƌĚĞůĂĂůƚƵƌĂƚŽƚĂůϰĐŵ͘ ϮͿĞƚĞƌŵŝŶĂƌůĂƉƌŽĨƵŶĚŝĚĂĚĚĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽ ݀ ݇݀ ൌ ெ ට W'/Eϭϴ ĂƐŽď͗ĐхŚĨ ƵĂŶĚŽĞůĞũĞŶĞƵƚƌŽĞƐƚĄƵďŝĐĂĚŽĂƵŶĂĚŝƐƚĂŶĐŝĂŵĂLJŽƌƋƵĞĞůĞƐƉĞƐŽƌĚĞůĂůĂLJƉŽƌůŽƚĂŶƚŽ͕ƚĂŵďŝĠŶ ĞƐƚĄĐŽŵƉƌŝŵŝĚĂƵŶĂƉĂƌƚĞĚĞĂŶĐŚŽŝŐƵĂůĂďǁ;njŽŶĂϭͿ͘ ^ĞƉƵĞĚĞŶĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĚŽƐŵĠƚŽĚŽƐƉĂƌĂŽďƚĞŶĞƌĞůĄƌĞĂĚĞĂĐĞƌŽ͗ ϭͿ ŽŶƐŝƐƚĞĞŶĐŽŶƐŝĚĞƌĂƌůĂnjŽŶĂϭLJůĂnjŽŶĂϮĚĞůĂĨŝŐƵƌĂ;ƋƵĞŶŽƐĞĞdžƉůŝĐŝƚĂĞŶůĂƉƌĞƐĞŶƚĞƉƵďůŝĐĂĐŝſŶͿ LJůĂƋƵĞĐŽŶƐŝĚĞƌĂƵŶďŝĞƋƵŝǀĂůĞŶƚĞƐĞŐƷŶůĂƐĐŽŶƐŝĚĞƌĂĐŝŽŶĞƐĚĞůĂĨŝŐ͘ϮϬ͘ 7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD &ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^ ,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/EϮϯ ŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽĚĞůĂĂƌŵĂĚƵƌĂ ĞůĂĐŽŵƉĂƌĂĐŝſŶĚĞůǀĂůŽƌŽďƚĞŶŝĚŽsĐĐŽŶĞůĐŽƌƚĞƐŽůŝĐŝƚĂŶƚĞĚĞůĂƐĞĐĐŝſŶĐƌşƚŝĐĂŵĂLJŽƌĂĚŽ͕ƐĞĚĂŶƚƌĞƐ ƉŽƐŝďŝůŝĚĂĚĞƐ͗ sƵфЪTsĐĂƌŵĂĚƵƌĂĐŽŶƐƚƌƵĐƚŝǀĂ sƵфTsĐĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂ sƵхTsĐĐĂůĐƵůĂƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂĚĞĐŽƌƚĞƉĂƌĂƌĞƐŝƐƚŝƌůĂĚŝĨĞƌĞŶĐŝĂ͘ WŽƌůŽƋƵĞĞůĐŽƌƚĞĂƌĞƐŝƐƚŝƌƉŽƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂƐĞƌĄ͗ sƐсsŶͲsĐ W'/EϮϲ W'/Eϯϳ WƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽ͗ >ĂůŽƐĂϭϬϯƐĞƌşĂůĂƋƵĞƐĞĞŶĐƵĞŶƚƌĂĞŶƐŝƚƵĂĐŝſŶŵĄƐĚĞƐĨĂǀŽƌĂďůĞ͕ĐŽŶĐŽŶƚŝŶƵŝĚĂĚĚĞƵŶƐŽůŽůĂĚŽ͘ hƚŝůŝnjĂŶĚŽĞůŵĠƚŽĚŽĂƉƌŽdžŝŵĂĚŽƐƵŐĞƌŝĚŽĂŶƚĞƌŝŽƌŵĞŶƚĞƚĞŶĞŵŽƐ͗ ݈ ͵ͷͲܿ݉ ࢎൌ ൌ ൌ ͳͲܿ݉ ͵ͷ ͵ͷ W'/Eϰϰ ŶƚŽĚŽƐůŽƐĐĂƐŽƐŶŽƐĞƐƵƉĞƌĂŶůŽƐϮϬĐŵ͕ůĂŵşŶŝŵĂĐŽŶĚŝĐŝſŶƉĂƌĂƐĞƉĂƌĂĐŝſŶŽďƚĞŶŝĚĂƐĞŐƷŶůĂƐ ĞƐƉĞĐŝĨŝĐĂĐŝŽŶĞƐƌĞŐůĂŵĞŶƚĂƌŝĂƐ͘ ƐƚĂƐĂƌŵĂĚƵƌĂƐĂĚĞŵĄƐĚĞďĞŶǀĞƌŝĨŝĐĂƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂƉŽƌƌĞƚƌĂĐĐŝſŶĨŝũĂĚĂĞŶĞůƌĞŐůĂŵĞŶƚŽŝŐƵĂů Ăůϭ͕ϴк͘ ƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂൌ ߩ݉݅݊ ൈ ܾ ൈ ࢎ ൌ ͳǡͺΩ ൈ ͳͲͲܿ݉ ൈ ࢉ ൌ ǡ ૡܿ݉ଶ ϭ͕ϴĐŵϮфϯ͕ϭϰĐŵϮÎdŽĚĂƐǀĞƌŝĨŝĐĂŶ W'/Eϲϰ ƐƚĂƐĂƌŵĂĚƵƌĂƐĂĚĞŵĄƐĚĞďĞŶǀĞƌŝĨŝĐĂƌůĂĂƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂƉŽƌƌĞƚƌĂĐĐŝſŶĨŝũĂĚĂĞŶĞůƌĞŐůĂŵĞŶƚŽŝŐƵĂů Ăůϭ͕ϴк͘ ƌŵĂĚƵƌĂŵşŶŝŵĂൌ ߩ݉݅݊ ൈ ܾ ൈ ࢎ ൌ ͳǡͺΩ ൈ ͳͲͲܿ݉ ൈ ࢉ ൌ ǡ ૢૡܿ݉ଶ ϭ͕ϵϴĐŵϮфϮ͕ϱϬĐŵϮ;ŵşŶŝŵĂĂĚŽƉƚĂĚĂͿÎdŽĚĂƐǀĞƌŝĨŝĐĂŶ 7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD &ZZd^Ͳ/^HKz/DE^/KEK^dZhdhZ^ ,KZD/'KEZDK ĐŽŶĂƉůŝĐĂĐŝſŶĚĞůZĞŐůĂŵĞŶƚŽ/Z^KϮϬϭͬϮϬϬϱ WƌŽĨ͘ƌƋ͘^ĂƌĂ'ŽŶŽƌĂnjŬLJ W'/Eϲϱ WƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽ͘ ^ĞƵƚŝůŝnjĂĞůŵŝƐŵŽĐƌŝƚĞƌŝŽƋƵĞĞůŝŶĚŝĐĂĚŽĞŶĞůĐĂƉşƚƵůŽĚĞůŽƐĂƐŵĂĐŝnjĂƐ͕ƐŽůŽƋƵĞĂůǀĂůŽƌŽďƚĞŶŝĚŽƐĞůŽ ŝŶĐƌĞŵĞŶƚĂĞŶƵŶϱϬй͕ůŽƋƵĞĞƋƵŝǀĂůĞĂŵƵůƚŝƉůŝĐĂƌƉŽƌϭ͘ϱϬ ݈ ݄ ൌ ǡ ൈ ݂ܿ݁ ůсůƵnjĚĞĐĄůĐƵůŽĚĞůĂůŽƐĂ ŚсĂůƚƵƌĂƚŽƚĂůĚĞůĂůŽƐĂ W'/Eϲϵ WĂƌĂƉƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂƌůĂĂůƚƵƌĂƚŽƚĂůĚĞůĂƐůŽƐĂƐƐĞƵƚŝůŝnjĂŶůŽƐŵŝƐŵŽƐĐŽĞĨŝĐŝĞŶƚĞƐƋƵĞůŽƐŝŶĚŝĐĂĚŽƐĞŶĞů ƉƌĞĚŝŵĞŶƐŝŽŶĂĚŽĚĞůŽƐĂƐ͕ŝŶĐƌĞŵĞŶƚĂĚŽƐĞŶƵŶϱϬйƉŽƌƋƵĞůĂůŽƐĂŶŽƐĞƌĄŵĂĐŝnjĂƐŝŶŽƋƵĞƐĞƉůĂŶƚĞĂ ĐŽŵŽůŽƐĂŶĞƌǀƵƌĂĚĂ͘;EŽƚĂ͗ĂůǀĂůŽƌŚĂůůĂĚŽƐĞůŽŵƵůƚŝƉůŝĐĂƉŽƌϭ͕ϱϬͿ͘ >ĂƐƐŝƚƵĂĐŝŽŶĞƐĂĐŽŶƐŝĚĞƌĂƌƐŽŶ͗ ͷͳͷܿ݉ ݄ൌ ൈ ǡ ൌ ǡ ૠࢉ ͵ͷ ʹͲܿ݉ ݄ൌ ൈ ǡ ൌ ǡ ࢉ ͵ͷ W'/Eϳϯ ݊ܯሺ݅ݒݎ݁݊ݎሻ ൈ ͳͲǤͲͲͲ ͲǤͲͳ͵͵ͲͳݔǤͲͲͲ ൌ ൌ ͳǡͲܿ݉ଶ ୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ൌ ݂ ݕൈ ࢠ ൈ ݀ ͶʹͲݔǤ ૢͲݔǤʹʹ݉ ୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ÎƐĞĂĚŽƉƚĂŶϮTϭϬ;ϭ͘ϱϳĐŵϮуϭ͘ϲϬĐŵϮͿ W'/Eϳϰ ݊ܯሺ݅ݒݎ݁݊ݎሻ ൈ ͳͲǤͲͲͲ ͲǤͲʹʹͲͳݔ݉ܰܯǤͲͲͲ ൌ ൌ ʹǡͻͷܿ݉ଶ ୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ൌ ݂ ݕൈ ࢠ ൈ ݀ ͶʹͲݔܽܲܯǤ ૡͲݔǤʹʹ݉ ୮୭୰୬ୣ୰୴୧୭ ൌ ʹǡͻͷܿ݉ଶ ƐĞĐƵďƌĞŶĐŽŶϯTϭϮсϯ͕ϯϵĐŵϮ W'/EϴϬ dŝƉŽƐĚĞĞƐƚƌŝďŽ ŝĄŵĞƚƌŽĚĞůŽƐĞƐƚƌŝďŽƐ͘ ĂƌƌĂƐůŽŶŐŝƚƵĚŝŶĂůĞƐ Ěďчϭϲŵŵ ϭϲŵŵфĚďчϮϱŵŵ ϮϱŵŵфĚďчϯϮŵŵ ĚďхϯϮŵŵŽƉĂƋƵĞƚĞƐĚĞďĂƌƌĂƐ ŝĄŵĞƚƌŽĞƐƚƌŝďŽƐŵşŶŝŵŽƐ Tϲ Tϴ TϭϬ TϭϮ 7DUHDUHDOL]DGDSRUOD$UT*DEULHOD&ULVWLQD