PROGRAMACIÓN NO LINEAL GUÍA N°1 I.- Caso Unidimensional no Restringido: 1. Se tiene que construir un estanque cilíndrico de una capacidad de 324 pies cúbicos. La base y las paredes son de concreto y la tapa de acero. El costo del pie cuadrado de acero es del doble que el del pie cuadrado de concreto. Determine las dimensiones que minimizan el costo total del material. 2. Un banco quiere recortar sus costos laborales reduciendo el número de sus cajeros, pero espera una pérdida de negocios debido al descontento de los clientes, por el mayor tiempo de espera. Supongamos que el salario de los cajeros es $ 80 diarios y la pérdida de utilidad por tener únicamente “n” cajeros es 5.000/(n+1) dólares diarios. Determine el valor de “n” que minimiza la suma de sus pérdidas más el costo del salario. 3. La función de demanda de cierto bien está dada por p 15e x / 3 para 0 x 8 , donde “p” es el precio por unidad y “x” el número de unidades pedidas. Determinar el precio “p” y la cantidad “x” para los cuales el ingreso es máximo. 4. Una empresa obtiene una utilidad de US$ 6 por cada artículo que vende (sin incluir gasto en publicidad). Si gasta K dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por: x 1500 (1 e 0, 001K ) Determine el valor de K que maximiza la utilidad neta. 5. El costo de levantar un edificio con n pisos puede suponerse que tiene la siguiente 2 forma: a bn cn en donde a, b, c son constantes (“a” representa costos fijos como costos del terreno, “b” representa un costo que es el mismo para cada piso (paredes 2 interiores, ventanas, recubrimientos, etc.), y cn representa costos como elementos estructurales, que se incrementan con el cuadrado del número de pisos). Calcule el valor de n que hace que el costo promedio por piso sea mínimo. 6. El costo de mantener en funcionamiento un hospital es: (200 .000 0.002 x 2 ) dólares, donde x = pacientes atendidos por día. ¿Qué tamaño (en número de pacientes) de hospital minimiza el costo por paciente de mantener en operación el hospital? II.- Caso Multidimensional no Restringido 1.- Para las siguientes funciones, encuentre los puntos críticos y determine si corresponde a un máximo o a un mínimo: 2.- a) f ( x, y) 2 x 2 2 xy y 2 4 x 6 y 10 b) f ( x, y) 3x 2 4 xy 3 y 2 8 x 17 y 5 c) f ( x, y) 3x 2 y 2 3xy 60 x 32 y 200 Una compañía vende dos productos. Se estima que el ingreso total conseguido con ellos es una función del número de unidades vendidas. En concreto, la función es: R( x, y) 30.000 x 20.000 y 10 x 2 5 y 2 10 xy Donde “R” es el ingreso total y “x” e “y” indican los números de unidades vendidas de ambos productos: a) ¿Cuántas unidades de cada producto deberían fabricarse con el objeto de maximizar el ingreso total? b) ¿Cuál es el ingreso máximo? 3.- Una empresa vende dos productos. Sus funciones de demanda son: q1 175 4 p1 p 2 q 2 90 2 p1 3 p 2 Donde p1 , p 2 representan el precio de los productos y q1 , q 2 indican las demandas (en miles de unidades) de cada producto. a) Determine el precio que deberá fijarse a cada producto a fin de maximizar el ingreso total que se consigue con la venta de los dos. b) ¿Cuántas unidades se demandarán de cada producto a esos precios? c) ¿Cuál se espera que sean los máximos ingresos totales? 4.- Un investigador estimó que las utilidades anuales de una granja de la localidad pueden describirse mediante la siguiente función: P( x, y) 1600 x 2400 y 2 x 2 4 y 2 4 xy Donde “P” es la utilidad anual en dólares, “x” es el número de hectáreas plantadas con soya, e “y” indica la cantidad de hectáreas que se plantó con maíz. Determine el número de hectáreas que de cada cultivo deberían sembrarse si el objetivo es maximizar las utilidades anuales. ¿Cuánto se espera que sean las utilidades máximas? 5.- Un monopolista que produce un solo producto, tiene dos tipos de clientes. Si se producen q1 unidades para el cliente 1, entonces el cliente 1 está dispuesto a pagar un precio de 70 4q1 dólares. Si se producen q2 unidades para el cliente 2, entonces el cliente 2 está dispuesto a pagar un precio de 150 15q 2 dólares. Para q > 0 el costo de fabricar “q” unidades es 100 15q dólares. Para maximizar la ganancia, ¿cuánto debe vender el monopolista a cada cliente? 6.- Un decorador hace dos tipos de marcas para pintura. Por experiencia, ha determinado que si elabora “x” marcas del primer tipo e “y” marcas del segundo tipo, y los pone en una sala de exhibición, los puede vender por (100 2 x) dólares y por (120 3 y) dólares cada uno, respectivamente. El costo total de fabricación de estas marcas es de (12 x 12 y 4 xy ) dólares. ¿Cuántas marcas de cada tipo debe producir para obtener la máxima utilidad, y cuál es esa utilidad? III.- Caso Multidimensional con una Restricción de Igualdad 1.- Para las siguientes funciones, encuentre los puntos críticos y determine si corresponde a un máximo o a un mínimo: 2.- a) f ( x1 , x2 ) 3x12 2 x22 20 x1 x2 b) f ( x1 , x2 ) x12 3x1 x2 6 x2 c) f ( x1 , x2 ) 12 x1 x2 3x x 2 2 sujeta a sujeta a 2 1 sujeta a x1 x2 100 x1 x2 42 x1 x2 16 Una compañía ha recibido una orden de 200 unidades para uno de sus productos. El pedido será surtido con la producción combinada de sus dos plantas. La función conjunta de costo de la fabricación de este producto es: 2 2 C (q1 , q2 ) 2q1 q1q2 q2 500 donde q1 y q2 son las cantidades producidas en las plantas 1 y 2 respectivamente. Si el objetivo es minimizar los costos totales, sujeto a la condición de suministrar 200 unidades procedentes de ambas plantas, ¿qué cantidad deberá proporcionar cada una? 3.- Una compañía planea gastar exactamente US$10.000 en publicidad. El costo de anunciar en televisión es de US$3.000 por minuto y en radio cuesta US$1.000 por minuto. Si la empresa compra “X” minutos en publicidad de televisión e “Y” minutos de publicidad en radio, entonces su función de ingresos, en miles de dólares, está dado por: f ( x, y ) 2 x 2 y 2 xy 8 x 3 y a) Determine los minutos asignados en televisión y en radio que maximicen los ingresos de la compañía. b) ¿Cuál es el máximo ingreso? 4.- Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta del costo es: C f ( x1 , x2 ) x1 2 x2 x1 x2 2 2 Donde C es el costo de producción semanal en miles de dólares y x1 y x 2 indican las cantidades fabricadas de los dos productos cada semana. Si la producción semanal combinada es de 16 unidades, ¿qué cantidades de cada producto darán por resultado los costos totales mínimos?
