bombas ejercicios

BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS.
Teoría y Aplicaciones.
122
__________________________________________________________________________________________________
10. PROBLEMAS RESUELTOS
Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los
capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones
deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas
ilustrativos.
Problema No. 1
Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones:
D1 = 180 mm;
D2
= 2; b1 = 30 mm; b2 = 20 mm; 1 = 20°; 2 = 30°. La entrada en los
D1
álabes es radial; h = 81%, m = 95%; motor eléctrico = 0.85. Las bridas de entrada y de
salida se encuentran a la misma cota. Diámetro de la tubería de entrada y de la tubería de
salida: 220 mm y 200 mm, respectivamente. El desnivel entre el depósito de aspiración,
abierto a la atmósfera, y la brida de aspiración, es de 1.2 m. Las pérdidas en la tubería de
succión ascienden a 4.0 m.
Calcular:

Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.

El caudal de la bomba (supóngase v = 1.0).

La altura de Euler.

Las alturas de presión a la entrada y a la salida de la bomba.

La energía eléctrica consumida en seis horas de funcionamiento de la bomba.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS123
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Solución.
1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.
1  20º
1  90º (entrada radial)
Luego,
c1 m  c1 sen α1  c1
y
c1 u  c1 cos α1  0
Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se
representan de la siguiente manera:
n  1000
rev 1000 rev

min
60 s
ω  2 πn 
2  π  1000 rad
rad
 104.720
60
s
s
D 2  2  D1  2  (180 mm)  360 mm
u 1  ω  r1 
ω  D1
rad  0.18 
m
 104.720

 m  9.425
2
s  2 
s
u 2  ω  r2 
ω  D2
rad  0.36 
m
 104.720

 m  18.850
2
s  2 
s
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En el triángulo a la entrada:
tan β1 
c1 m
u1
 c1 m  c1  u 1  tan β1   9.425
w 1  c12m  u 12 
3.430
2
m
m
 tan 20º   3.430
s
s
 9.425
2
ms
2
2
 10.030
m
s
Por continuidad:
Q  A1  v1  A 2  v 2
Q  π  D1  b1  c1 m  π  D 2  b 2  c 2 m
 c2 m 
c2 m 
D1  b 1
c1 m
D2  b2
180 mm   30 mm  3.430 m  2.573 m
360 mm   20 mm 
s
s
En el triángulo a la salida:
c 2 m  w 2  sen β 2
m
c
s  5.146 m
 w2  2m 
sen β 2
sen 30º
s
2.573
cos β 2 
u 2  c2 u
w2
 c 2 u  u 2  w 2  cos β 2
c 2 u  18.85 0
m
m
m
 5.146  cos 30º  14.393
s
s
s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS125
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c 2  c 22 u  c 22 m 
c
α 2  tan 1  2 m
 c2 u
14.393
2
 2.573
2
ms
2
2
 14.621
m
s

2.573 
  tan 1 
  10.136º
14.393



2. Cálculo del Caudal de la Bomba, Q
Q  π  D1  b1  c1 m
m
m3
l

Q  π  0.18 m   0.03 m   3.430   0.05819
 58.19
s
s
s

3. Cálculo de la Altura de Euler, Ht
0
u  c  u 1  c 1 u u 2  c 2 u
;
Ht  2 2u

g
g
dado que: c1 u  0
m 
m

18.850   14.393 
s 
s
Ht  
 27.656 m
m
9.81 2
s
4. Cálculo de la Altura de Presión a la entrada de la Bomba,
pe

Aplicando Bernoulli entre el tanque de aspiración y la entrada de la bomba, se tiene:
0
0
2
p
v2
p
v
z A   A  A  h A e  z e  e  e
γ 2g
γ 2g
dado que:
(1)
v 2A
p
 0 y suponiendo presiones relativas, A  0
2g
γ
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pe
v e2
 z e  z A  
 h A e
γ
2g
(2)
pe
8  Q2
 H s  2
 h A e
γ
π  g  D e4
(3)
Suponieenedo η v  1.0 , y q e  q i  0
8  0.05819
2
pe
 1.2 m 
γ
m6
s2
m

4
π   9.81 2   0.22 m 4
s 

 4.0 m   5.319 m
2
5. Cálculo de la Altura de Presión a la salida de la bomba,
ps

Planteando la Ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s) de la bomba, se
tiene:
z e 
pe
v2
p
v2
 e  H u  z s  s  s
γ 2g
γ 2g
(4)
Luego,
ps
p e v e2  v s2
 Hu 

γ
γ
2g
(5)
ps
p
8  Q2  1
1 
 H u  e  2   4  4 
γ
γ π  g  De Ds 
(6)
Por otra parte,
ηh 
Hu
Ht
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10. PROBLEMAS RESUELTOS127
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 H u  η h  H t  0.81  (27.684 m)  22.424 m
Sustituyendo éste y demás valores en (6), resulta:
8  0.05819
2
ps
 22.424 m  5.319 m 
γ
m6
s2

m 
1
1

π 2   9.81 2   


s   0.224 m 4 0.204 m 4 

ps
 17.105 m
γ
6. Cálculo de la energía eléctrica consumida, Eeléct consumida
Eeléct. consumida = Pred. tfuncionamiento
(7)
Pa  Pred  ηmotor eléctrico
(8)
de (8),
Pred 
Pa
(9)
η motor
Por otra parte,
η total  η h  η m  η v 
Pu
Pa
de donde
Pa 
Pu
ηh  ηm  ηv
(10)
Sustituyendo (10) en (9) y el resultado en (7), se tiene:
Pred 
Pu
η h  η m  η v  η motor
E eléct. consu. 
Pu  t func.
η h  η m  η v  η motor
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Finalmente, reemplazando la Pu, queda
E eléct. consu. 
γ  Q  H u  t func.
η h  η m  η v  η motor
(11)
kgf  
m3 


  22.424 m 
1000

0.05819


s 
m 3  

E eléct. consu. 
 6 horas 
0.81  0.95  1.0  0.85
E eléct. consu.  11969.752
kgf  m
Nm
h  11969.752  9.81
h
s
s
J
E eléct. consu.  117423.267 h  117423.267 W  h
s
E eléct. consu.  117.423 kW  h
Problema No. 2
Una bomba centrífuga tiene las siguientes características: D1 = 100 mm;
D2
= 2; b1 = 20
D1
mm; b2 = 10 mm; 1 = 15°; 2 = 30°; n = 1500 rpm. Las tuberías de succión e impulsión
tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración registra una altura de presión
relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65 %; m = 96%; v = 0.9 y la
entrada en los álabes es radial.
Calcular:

Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.

El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).

La potencia en el eje de la bomba. Pa.

La lectura del manómetro de impulsión.
Solución:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS129
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1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.
u 1  ω  r1  2  π  n  
u 1  π  1500 
u2 
D1 π  n  D1
;

2
60
n (rpm)
0.1 m  7.854 m
60 s
s
π  n  D2
0.2 m  15.708 m
 π  1500 
60
60 s
s
α1  90º (entrada radial)
Del triángulo a la entrada:
c1  u 1  tan β1  7.854
w 1  c12m  u 12 
m
m
 tan 15º  2.104  c1 m
s
s
2.104
2
 7.854
2
ms
2
2
 8.131
m
s
Por continuidad,
Q  π  D1  b1  c1 m  π  D 2  b 2  c 2 m

c2 m 
c2 m 
D1  b 1
 c1 m
D2  b2
100  20  2.104 m  2.104 m
200  10
s
s
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Del triángulo a la salida, se tiene:
m
c
m
s  12.064 m
 u 2  2 m  15.708 
tan β 2
s
tan 30º
s
2.104
c2 u
c 2  c 22 u  c 22 m 
c
α 2  tan 1  2 m
 c2 u
12.064
2
 2.104
2
ms
2
2
 12.246
m
s

2.104 
  tan 1 
  9.893º
 12.064 

m
2.104
c2 m
s  4.208 m
w2 

sen β 2
sen 30º
s
2. Cálculo del Caudal, Q
Q  π  D1  b1  c1 m
m
m3
l

Q  π  0.1 m   0.02 m   2.104   0.01322
 13.22
s
s
s

3. Cálculo de la Potencia en el Eje, Pa
Pa 
Pa 
Pu
γ  Q  Hu
γ  Q  η h  H t 
γQ



η total η h  η v  η m
η h  η v  η m
ηv  ηm
 u c
  2 2 u
 g



(1)
m3 
 



0.01322
 
s  
m 
m
 
 15.708   12.604 
s 
s
0.9  0.96   9.81 m2  
s 

kgf

1000 3
m

Pa  308.800
kgf  m
 3029.3328 W  3.029 kW
s
4. Cálculo de la Lectura Manométrica a la salida, Ps
Aplicando Bernoulli entre las bridas de succión y de impulsión, queda:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS131
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zs 
ps
v2
p
v2
 s  H u  z1  i  i
γ 2g
γ 2g
de donde,
v s2  v i2 p s
pi
  z s  z i  

 Hu
γ
2g
γ
(2)
Suponiendo que las bridas están al mismo nivel, es decir, z1 = zs y considerando el
hecho de que la diferencia de velocidades es muy pequeña, resulta:
p
p
pi
 H u  s  ηh  H t  s
γ
γ
γ
Además,
y
(3)
η total  η h  η m  η v
ηh 
η total
ηm  ηv
(4)
Ht 
u 2  c2 u
g
(5)
Llevando (4) y (5) a (3),
η
u c
p
pi
 total  2 2 u  s
γ ηm  ηv
g
γ
pi

γ
(6)
0.65  15.708 m   12.064 m 

s 
s
4m
m

0.96  0.9   9.81 2 
s 

pi
 10.532 m c.a.
γ
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Problema No. 3
Una bomba centrífuga, en la cual se despreciarán las pérdidas, produce un caudal de agua
de 300 m3/h y tiene las siguientes características: D1 = 150 mm;
D2
= 3; b1 = 40 mm;
D1
b2 1
 ; ß1 = 60°; ß2 = 40°; entrada radial.
b1 2
Calcular:

El número de revoluciones por minuto del rodete.

Altura efectiva de la bomba.

El par suministrado por la bomba.

La potencia de la bomba.

El incremento de presión que se produce en el rodete.

Altura dinámica generada por el rodete.
Solución.
No hay pérdidas η h  η m  η v  η total  1
Q  300
m3
m3
l
 0.08333
 83.33
h
s
s
1. Cálculo del Número de Revoluciones, n.
Q  π  D1  b1  c1 m  π  D 2  b 2  c 2 m
c1 m
m3
0.08333
Q
m
s


 4.421
π  D1  b1 π  0.15 m   0.04 m 
s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS133
__________________________________________________________________________________________________
m3
Q
m
s


 2.947
π  D 2  b 2 π  0.45 m   0.02 m 
s
0.08333
c2 m
Del triángulo a la entrada, se tiene:
m
c
s  2.552 m
u1  1 m 
tan β1
tan 60º
s
4.421
w 1  u 12  c12m 
Por otro lado, u 1 
2.552
2
 4.421
2
 ms
2
2
 5.105
m
s
π  D1  n
(con n en rpm)
60
de donde,
m

60 s   2.552 
60  u 1
s

n

 324.93 rpm
π  D1
π  0.15 m 
2. Cálculo de la Altura Efectiva, Hu.
u2 
π  D 2  n π  0.45 m  324.93
m

 7.656
60
60 s
s
Del triángulo a la salida,
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c2 u  u 2 
c2 m
tan β 2
m
m
s  4.144 m
 7.656 
s
tan 40º
s
2.947
c2 u
c 2  c 22 m  c 22 u 
α 2  tan
1
 c2 m

 c2 u
2.947
2
2
m

2.947


s
  tan 1 
 4.144 m


s

w 2  c 22 m  u 2  c 2 u  
2
w 2  4.585
 4.144
2.947
2
ms
2
2
 5.085
m
s


  35.418º



 7.656  4.144
2
ms
2
2
m
s
0
Ht 
u 2  c 2 u  u 1  c 1 u u 2  c 2 u

g
g
ηh 
Hu
1
Ht

H u  H t  3.234 m
m 
m

 7.656    4.144 
s 
s

 3.234 m
m
9.81 2
s
3. Cálculo de la Potencia, P
η total 

Pu
1
Pa
Pu  Pa  γ  Q  H u  γ  Q  H t
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10. PROBLEMAS RESUELTOS135
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kgf  
m3 
kgf  m

  3.234 m   269.392
Pu  Pa  1000 3    0.0833
s 
s
m  

Pu  Pa  2642.74 W  2.64 kW  3.6 c.v.  3.54 h.p.
4. Cálculo del Par de la bomba, M
 2πn 
Pa  M.ω  M

 60 

kgf  m 

60 s  269.392

60  Pa
s 

M

 7.917 kgf  m
2πn
2  π  324.93
5. Cálculo del Incremento de Presión, Hp
Hp 
u 22  u 12 w 12  w 22

2g
2g
7.656
2
Hp 
 2.552
2
 ms 5.105
2
2
2

m

2   9.81 2 
s 

 4.585
2
 ms
2
2
m

2   9.81 2 
s 

H p  2.912 m
6. Cálculo de la Altura Dinámica, Hd
Hd 
c 22  c12

2g
5.085
2
 4.421
2

m2
s2
m

2   9.81 2 
s 

H d  0.322 m
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Teoría y Aplicaciones.
136
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 4
Una bomba centrífuga para agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de
la bomba es de 2.6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. La
diferencia de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas
manométricas, es de 0.6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son
iguales. El rendimiento total de la bomba es de 62%.
Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba.
Solución:
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s), de la bomba, se tiene:
pe
v e2
ps
v s2
ze 

 Hu  zs 

γ 2g
γ 2g
(1)
de donde
H u  z s  z e  
ps  pe
γ
(2)
 
kgf 
kgf
kgf

p s  2.6 bar  2.6  1.02 2   2.6  1.02  10 4
 26520 2
2
cm 
m
m

kgf 
kgf

p e  250 Torr  250 mm Hg  0.25 m  13600 3   3400 2
m 
m

vs  ve
(por ser tuberías de igual diámetro).
Sustituyendo valores numéricos en (2), resulta:
H u  0.6 m 
26520   3400 kgf2
m
kgf
1000 3
m
 30.520 m
De otra parte:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS137
__________________________________________________________________________________________________
η total 
Pu
Pa
 Pa 
Pu
η total
Pa  683.69
kgf   50 m 3 

  30.520 m 
1000 3   
m   3600 s 
γ  Q  Hu 


η total
0.62
kgf  m
N.m
 683.69  9.81
 6700 W  6.7 kW
s
s
Problema No. 5
Una bomba centrífuga, cuya entrada en los álabes del rodete es radial, proporciona una
altura útil de 22 m, a una velocidad de 1200 rpm. D1 = 180 mm; D2 = 300 mm. cm es
constante en todo el rodete; c 2 u  25
m
. Las pérdidas hidráulicas en la bomba son iguales
s
a 0.027 c 22 m (c2 en m/s).
Calcular.

El rendimiento hidráulico de la bomba, h.

Los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida, ß1 y ß2.
Solución:
Entrada radial:
α1  90º ; c1 u  0 ; c1 m  c1  c 2 m , c 2 u  25
m
; H int  0.027  c 22 (en
s
metros); H u  22 m .
1. Cálculo de la Eficiencia Hidráulica, h
u1 
π  D1  n π  0.18 m  1200
m

 11.31
60
60 s
s
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138
__________________________________________________________________________________________________
u2 
π  D 2  n π  0.30 m  1200
m

 18.85
60
60 s
s
ηh 
Hu
Ht
(1)
m  m

18.85    25 
s 
s

 48.038 m
m
9.81 2
s
Ht 
u 2  c2 u
g
ηh 
22 m
 0.4580  45.80%
48.038 m
2. Cálculo de los Ángulos ß1 y ß2
H u  H t  H int
(2)
 H int  H t  H u
(3)
H int  48.038  22 m  26.038 m
H int  0.027  c 22  26.038 m
luego,
c2 
26.038 m
m
 31.054
0.027 s
s
De los siguientes triángulos de velocidades, se deduce:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS139
__________________________________________________________________________________________________
c
β1  tan 1  1 m
 u1


β1  tan 1 




c
  tan 1  2 m

 u1
 c2  c2

2u
  tan 1  2

u1






m

s   tan 1  18.42   58.519º


m
11.31 


11.31

s

m


 18.47



c
s
2m
  71.5844º
  tan 1 
β ' 2  tan 1 
m

 u 2  c2 u 
 18.85  25 
s 

31.0542  252
β 2  180º  β 2  180º 71.5844º  108.4156º
'
En consecuencia, el triángulo de velocidades a la salida del álabe queda de la siguiente
manera:
Problema No. 6
Una bomba centrífuga proporciona una altura útil de 40 m, con rendimiento hidráulico de
80%. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm de diámetro. D2 = 350 mm;
b2 = 25 mm; ß2 = 25°; n = 1400 rpm. La pérdida de carga en las tuberías de aspiración e
impulsión, incluyendo las pérdidas secundarias, es de 10 m.
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__________________________________________________________________________________________________
Calcular:

El caudal de la bomba.

La diferencia de cotas entre los niveles de agua en los depósitos de succión e impulsión,
si ambos están abiertos a la atmósfera.
Solución:
1. Cálculo del Desnivel entre los Tanques, H.
Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, sobre la superficie libre del
agua, en sendos tanques, se tiene:
0
0
0
0
p C v C 2
p A v A 2
zA 

 h asp  h imp  H u  z C 

γ 2g
γ 2g

z C  z A  H u  h asp  h imp
Luego,
H  H u  h totales  40 m  10 m  30 m
2. Cálculo del Caudal Bombeado, Q.
u2 
π  D 2  n π  0.35 m  1400
m

 25.656
60
60 s
s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS141
__________________________________________________________________________________________________
Del triángulo de velocidades a la salida, se tiene:
c2 m
u 2  c2 u
(1)
 c 2 m  u 2  c 2 u  tan β 2
(2)
tan β 2 
Además,
ηh 
Hu
g  Hu

H t u 2  c 2 u  u 1  c1 u
(3)
Suponiendo entrada radial α1  90º  , c1u = 0, entonces
ηh 
g  Hu
u 2  c2 u
(4)
de donde,
c2 u
m

 9.81 2   40 m 
g  Hu
m
s 


 19.1
m
ηh  u 2
s

0.8  25.656 
s

Reemplazando éste y demás valores numéricos en (2), resulta:
c 2 m  25.656  19.1
m
m
 tan 25º  3.057
s
s
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142
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente,
Q  π  D2  b 2  c2 m
m
m3
l

Q  π  0.35 m   0.025 m    3.057   0.084
 84
s
s
s

Problema No. 7
Entre las bridas de entrada y de salida de una bomba, se coloca un manómetro en U, de
mercurio. La bomba da un caudal de agua de 300 m3/h. Las tuberías de aspiración y de
impulsión son de 250 mm y 200 mm de diámetro, respectivamente. El eje de la bomba es
horizontal y entre los ejes de las tuberías, en las tomas manométricas de aspiración e
impulsión, hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento de altura de
mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración).
Calcular la potencia útil que da la bomba.
Solución:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS143
__________________________________________________________________________________________________
Aplicando Bernoulli entre las bridas de aspiración (a) y de impulsión (i), resulta:
pa
v a2
pi
v i2
za 

 Hu  zi  
γ 2g
γ 2g
(1)
de donde,

p
H u   z i  i
γ

p
 
   z a  a
γ
 
 v i2  v a2
 
2g

(2)
p  8  Q2  1

p  
1 
H u   z i  i    z a  a   2  4  4 
γ 
γ  π  g  Di Da 

(3)
Además, aplicando manometría entre (a) e (i), resulta:
p a  γ  z i  z a   l  Δh  γ m  Δh  γ  l  p i
(4)
pa
γ
p
 z i  z a  l  Δh  m  Δh  l  i
γ
γ
γ
Agrupando términos correspondientes y reduciendo términos comunes, se tiene:
p 

γ

p  
 z i  i    z a  a   Δh   m  1
γ 
γ 

 γ

(5)
Llevando el resultado de (5) en (3), queda:
γ
 8  Q2  1
1 
H u  Δh   m  1  2  4  4 
 γ
 π  g  Di Da 
(6)
Sustituyendo valores numéricos en (6), se tiene:
2
6
 300  m
8

3600  s 2
 13600 

H u  0.2 m  
 1 
 1000
 π 2   9.81 m 


s2 

1  1
 1
 4 

0.25 4  m 4
 0.2
H u  2.520 m  0.212 m  2.732 m
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__________________________________________________________________________________________________
Finalmente,
Pu  γ  Q  H u
Pu  1000
kgf  300  m 3

 2.732 m 

m 3  3600  s
Pu  227.67
kgf  m
s
Pu  227.67  9.8 W  2231.17 W
Pu  2.23 kW
Problema No. 8
Una bomba centrífuga para alimentación de una caldera de vapor, que desarrolla una altura
efectiva de 80 m, bombea agua a 90°C, desde un depósito de aspiración, abierto a la
atmósfera, hasta la caldera. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 0.5 m. La
presión barométrica es de 725 Torr. El caudal de la bomba es 0.25 m3/s: El diámetro de la
tubería de aspiración es de 400 mm y el coeficiente de cavitación de la bomba,  = 0.1.

Esquematice la instalación, indicando la cota del eje de la bomba con respecto al nivel
superficial en el pozo de succión.

¿A qué altura geodésica máxima se podrá colocar la bomba?.

Si la presión de la caldera es 8,2 bar. y el eje de la bomba se encuentra 6 m por debajo
del nivel del agua en la caldera, ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la
bomba?.
Solución:
1. Esquema de la Instalación de Bombeo.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS145
__________________________________________________________________________________________________
A la temperatura T = 90°C, de tablas, se obtiene:
γ agua  965
kgf
m3
p vapor  70.11 kPa  7154
kgf
(absoluta).
m2
kgf 

p atmosferica  725 Torr  725 mm Hg  0.725 m  13600 3 
m 

p atmosferica  9860
kgf
m2
2. Cálculo de la Altura de Succión Máxima, Hs máx.
H s max 
pA  pV
 h A e  Δh
γ
(1)
H s max 
p atmosferica  p V
 h A e  σ  H u
γ
(2)
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146
__________________________________________________________________________________________________
H s max 
9860  7154 kgf2
kgf
965 3
m
m  0.5 m  0.1  80 m 
H s max   5.7 m
La bomba operará en carga, es decir, con su eje situado a 5.7 m, máximo, por debajo de
la superficie libre de agua en el tanque de succión.
3. Cálculo de las Pérdidas Totales en la Tubería de Impulsión, h T imp . .
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y C, puntos situados sobre la superficie libre
de agua, en sendos depósitos, se tiene:
0
0
2
2
p
v
p
v
z A  A  A  H T asp.  H u  H T imp  z C  C  C
γ 2g
γ 2g
(3)
en donde se han considerado presiones absolutas. Y despreciando las diferencias de
velocidades. Luego,
H T imp.  H u  h T asp 
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pA  pC
 z C  z A 
γ
(4)
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10. PROBLEMAS RESUELTOS147
__________________________________________________________________________________________________
p A  8.2 bar 
kgf
kgf
10 4 2
2
cm 
m  83640 kgf
kgf
bar
m2
cm 2
1.02
Reemplazando valores numéricos en (4), resulta:
H T imp.  80 m  0.5 m 
9860  83640 kgf2
965
kgf
m3
m  6  5.7  m  2.744 m
Problema No. 9
Una bomba centrífuga opera a 150
rad
y necesita 294 h.p. Determine la descarga a través
s
de la bomba, si la velocidad absoluta del agua a la entrada no tiene componente tangencial.
D2 = 16", b2 = 1" y ß2 = 45°. Además, η total  1
¿Por qué existen dos posibles soluciones y por qué la bomba no operaría eficientemente en
una de ellas?.
Solución:
Sean los siguientes, los triángulos de velocidades correspondientes a la entrada y a la salida
de los álabes del rodete:
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148
__________________________________________________________________________________________________
u 2  ω  r2 
ω  D2 
rad   16  0.0254 m 
m
 150

  30.48
2
s  
2
s


Q  π  D2  b 2  c2 m

c2 m 
tan β 2 
(2)
Q
π  D2  b2
c2 m
u 2  c2 u
u 2  c2 u 

(1)
c2 m
c
 2 m  c2 m
tan β 2 tan 45º
c2 u  u 2  c2 m
(3)
Reemplazando (2) en (3), se tiene:
c2 u  u 2 
Q
π  D2  b2
(4)
Por otro lado,
Pu  γ  Q  H u
(5)
η total  η h  η V  η m  1
Además,
de donde,
ηh 
Hu
1
Ht
Luego,
Hu  Ht 
u 2  c2 u
g
(6)
Llevando (6) a (5),
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10. PROBLEMAS RESUELTOS149
__________________________________________________________________________________________________
Pu 
γ  Q  u 2  c2 u
g

g  Pu
 Q  c2 u
u2  γ
(7)
Trayendo (4) a (7), se obtiene:


g  Pu
Q

 Q   u 2 
u2  γ
π

D

b
2
2 

g  Pu
Q2
 Q  u2 
u2  γ
π  D2  b2
o mejor,

 2
g  Pu
1

  Q  u 2  Q 
0
γ  u2
 π D 2  b 2 
(8)
que es una ecuación cuadrática para Q, con dos raíces o soluciones para el caudal, la cual se
resolverá sustituyendo en ella los valores numéricos, así:
m 
kgf  m 

 9.81 2    294  76

Q
m
s 
s  


  30.48   Q 
0
kgf  
m
π  16  0.0254 m   1  0.0254 m  
s

1000 3    30.48 
s
m  

2
30.8363 Q 2  30.48 Q  7.1841  0
(9)
ó
Q 2  0.98445 Q  0.232975  0
(10)
cuyas soluciones son:
m3
l
Q1  0.60043
 600.43
s
s
y
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__________________________________________________________________________________________________
m3
l
Q 2  0.38801
 388.01
s
s
Existen dos valores posibles para Q, puesto que, dada la forma de la curva H vs. Q, se
pueden obtener dos valores de H correspondientes a sendos valores de Q, para un único
valor de P, que satisfacen la ecuación
Pu  γ  Q1  H u 1  γ  Q 2  H u 2  constante
de donde se deduce que, para el mayor valor de Q, corresponde el menor valor de Hu, y
viceversa. Ello se puede observar en el siguiente esquema:
Además, para la curva  vs. Q, de la misma bomba, se puede observar que existe un valor
de Q2 , cuya eficiencia es menor que la correspondiente a Q1. La conclusión es que, para el
mayor de los dos caudales posibles (Q = 600.42
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l
) se obtiene mejor eficiencia.
s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS151
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 10
Una bomba centrífuga que aspira directamente de la atmósfera (patm = 740 mm Hg) da un
l
caudal de 555 , a una altura efectiva de 13.5 m, cuando gira a 730 rpm. El NPSHneces es
s
3.33 m; la temperatura del agua es 20°C y las pérdidas de carga en el tubo de aspiración
ascienden a 0.54 m.
Calcular:

La altura máxima de aspiración de esta bomba.

El número específico de revoluciones.
Solución:
1. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx.
H s máx 
p atmosférica  p v
 h asp  NPSH necesario
γ
A T = 20°C, pv = 2337 Pa = 238.47
(1)
kgf
(abs.) y
m2
γ  998
kgf
m3
Reemplazando valores numéricos en (1), resulta:
H s máx 
0.74m  13600 kgf3   238.47 kgf2

m 
kgf
998 3
m
m
 0.54m  3.33m
H s máx  5.975 m
2.
Cálculo del Número Específico de Revoluciones, ns
n s  3.65  n  Q1/2  H 3/4

m3 

n s  3.65  730 rpm   0.555
s 

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1/2
 13.5 m 
3/4
 281.85
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__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 11
Una bomba centrífuga cuyo coeficiente de cavitación  = 0.11, desarrolla una altura útil de
90 m. La presión barométrica del lugar es 1.0 bar. La presión de saturación del vapor de
líquido bombeado ( = 1.4), para la temperatura de funcionamiento, es 0.03 bar (abs.). Las
pérdidas de carga en la tubería de aspiración ascienden a 1.5 m.
Calcular la altura máxima permisible a la cual puede colocarse el eje de la bomba, con
respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración.
Solución:
H s máx 
p atm  p v
 h asp  Δh
γ
H s máx 
p atm  p v
 h asp  σ  H u
γ
H s máx 
1.0  0.03  1.02 x 10 4  kgf2
kgf
1400 3
m
m  1.5 m  0.11  90 m 
H s máx   4.33 m
La bomba operará en carga, es decir, su eje estará 4.33m, como máximo, por debajo de la
superficie libre de agua en el tanque de succión.
Problema No. 12
Una bomba centrífuga de 0.5 m de diámetro de impulsor, eleva 20
l
de agua a una altura
s
de 18 m, con una potencia absorbida de 4 kW, cuando opera a 1170 rpm, en su máximo
rendimiento. Si las relaciones de alturas de elevación y de diámetros de rodetes, con una
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10. PROBLEMAS RESUELTOS153
__________________________________________________________________________________________________
bomba modelo, son 4/1 y 5/1, respectivamente, a iguales rendimientos, ¿cuál es el número
específico de revoluciones del modelo?.
Solución.
Para que exista semejanza dinámica entre bombas rotodinámicas, debe cumplirse que:
ns p = ns m
(1)
En general,
n s  n  P1/2  H 5/4
(2)
Con n (rpm); P (c.v.) y H (m)
Además, se conocen los siguientes datos:
D p  0.5 m ; Q p  20
ηp  ηm ;
Hp
Hm
4
 ;
1
l
; H p  18 m ; Pa p  4 kW  4000 W ; n p  1170 rpm
s
Dp
Dm

5
1
Existen dos maneras de resolver este problema, una más rápida que la otra, y se desarrollan
a continuación:

Primera Solución:
Hallando ns p, con los datos correspondientes al prototipo, mediante la ecuación (1) se
obtiene indirectamente ns m.
n s p  n s m  n p  Pp1/2  H p5/4
1W 
1 c.v.
 1.359157322  10 -3 c.v.
9.81  75
Pa p  4000 W 
1.359157322  10 -3 c.v
 5.43662929 c.v.
1W
n s p  n s m  1170rpm  5.43662929 c.v.  18m
1/2
-5/4
n s p  n s m  73.58
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Teoría y Aplicaciones.
154
__________________________________________________________________________________________________

Segunda Solución:
Se obtendrá ns m reemplazando en (2) los parámetros correspondientes al modelo, así:
De la relación de cabezas se obtiene nm:
Hp
Hm
np
nm
2
 np
 
 nm
  Dp 
  

D
  m
D
 m
D
 p
 Hm

 H
p

2
(3)
 Dp  Hm
 
 n s  
 np
D
 m  Hp
(4)
n m  5  1/4  1170 rpm  2925 rpm
(5)
Ahora, de la relación de potencias, se calcula Pm:
 np
 
Pm  n m
Pp



3
n
 Pm   m
n
 p
 Dp
 
 Dm




3
3



5
D
 m
D
 p
5

  Pp


5
 2925   1 
Pm  
     5.43662929 c.v.
 1170   5 
Pm  2.718314644  10 2 c.v.
De la relación de alturas, se obtiene Hm:
Hp
Hm
4
 Hm 
Hp
4

18 m
 4.5 m
4
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10. PROBLEMAS RESUELTOS155
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, se obtiene ns m reemplazando los parámetros correspondientes al modelo,
en la ecuación (2):
n s m  n m  Pm1/2  H m5/4
n s m  2925 rpm  2.71831464  10 -2 c.v.  4.5 m
-5/4
n sm  73.58
con lo cual se comprueba que
ns p  ns m
Problema No. 13
Una bomba de proceso, de succión única e impulsor de 8” de diámetro, bombea 350 US
gpm a 200 pie de cabeza, rotando a 3500 rpm, en su punto de mejor eficiencia. La potencia
necesaria es de 26 h.p. El trabajo cambia ligeramente y se sugiere cambiar el diámetro del
rotor a 7".
Determinar las nuevas cabezas, descarga y potencia necesaria, en el punto de mejor
eficiencia.
Solución:
Se trata de un caso de similitud en bombas geométricamente semejantes, de diámetro de
rotor diferentes y girando a igual número de revoluciones.
Prototipo
Modelo
D1 = 8"
D2 = 7"
Q1 = 350 US gpm
n2 = n1 = 3500 rpm
H1 = 200 pie
Q2 = ?
P1 = 26 h.p.
H2 = ?
n1 = 3500 rpm
P2 = ?
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De la primera ley de semejanza, se conoce lo siguiente:
3
Q1  D1 


Q 2  D 2 
3
D
Q 2   2
 D1

7
  Q1     350 US gpm   234.47 US gpm
8

3
De la segunda ley, se tiene:
H 1  D1

H 2  D 2



D
H 2   2
 D1
2
2

7
  H1     200 pie  153.13 pie
8

2
Y de la tercera ley, se tiene:
P1  D1 


P2  D 2 
5
D
 P2   2
 D1
5

7
  P1     26 h.p.  13.34 h.p.
8

5
Problema No. 14
Debe bombearse agua a 55°C, desde un recipiente elevado, conectado a la atmósfera, en un
lugar ubicado a 1048 m sobre el nivel del mar (patm = 9103.85 kgf/m2). Las pérdidas de
carga en la tubería de succión se han estimado en 0.55 m. Si el eje de la bomba se
encuentra 3.75 m por debajo de la superficie de agua en el tanque de alimentación, ¿cuál es
el NPSH disponible?
Solución:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS157
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Para
T  55º C, p vapor  1560
y
γ  986
NPSH disp 
NPSH disp 
kgf
(abs)
m2
kgf
m3
p A  p v 
γ
 H s  h succión
(succión negativa, Hs < 0)
9103.85  1560.66 kgf2
986
kgf
m3
m  3.75m  0.55m
NPSH disp  10.85 m
Problema No. 15
Una bomba situada a nivel del mar debe elevar agua a 15°C, desde un tanque subterráneo
conectado a la atmósfera. La superficie de agua en el tanque de succión está localizada
2.15 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas totales de carga en la tubería de
succión son equivalentes a 0.55 m de columna de agua. ¿Cuál es el NPSH disponible?.
Solución:
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Para
T  15º C, p vapor  183
γ  999.2
kgf
(abs) .
m2
kgf
m3
A nivel del mar, p atmosférica  10336
NPSH disp 
NPSH disp 
p A  p v 
γ
kgf
m2
 H s  h succión
10336  183 kgf2
kgf
999.2 3
m
m  2.15 m  0.55 m
NPSH disp  7.46 m
Problema No. 16
Se emplea una bomba para elevar agua desde un tanque que recibe una mezcla de agua y
vapor de una caldera, a una temperatura de 115°C. El nivel de líquido en dicho tanque está
7 m por encima del eje de la bomba, y las pérdidas de carga en la tubería de succión son
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10. PROBLEMAS RESUELTOS159
__________________________________________________________________________________________________
equivalentes a 0.46 m de agua caliente. ¿Cuál es el NPSHdisponible de la instalación de
bombeo, si ésta se encuentra a 578 m sobre el nivel del mar ( p atmosféric  9659
de vapor, a T = 115°C, p vapor  17675
kgf
). Presión
m2
kgf
(abs.)
m2
Solución:
NPSH disp 
p A  p v 
γ
 H s  h succión
( succión negativa, Hs < 0)
p  p 
NPSH disp   v  v  H s  h succión
γ
NPSH disp  H s  h succión
NPSH disp  7.0 m  0.46 m  6.54 m
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Problema No. 17
Se necesita una bomba para elevar 10000 gpm de agua a una cabeza de 25 pie. Una bomba
similar, con un impulsor de 36" de diámetro, descarga 2500 gpm a una cabeza de 120 pie,
cuando gira a 800 rpm.
Determinar el diámetro necesario del impulsor y la velocidad de rotación para la bomba, a
la misma eficiencia.
Solución.
η 1 total  η 2 total
BOMBA No. 1
BOMBA No. 2
Prototipo
Modelo
D1 = ?
D2 = 36"
n1 = ?
n2 = 800 rpm
Q1 = 10000 gpm
Q2 = 2500 gpm
H1 = 25 pie
H2 = 120 pie
De las leyes de similitud de bombas, se tiene:
Q1  n 1   D1
  
Q 2  n 2   D 2



3
n 1  Q1   D 2


n 2  Q 2   D1



3
(1)
(2)
Además,
2
H 1  n 1   D1 

   
H 2  n 2   D 2 
2
(3)
Llevando (2) a (3), resulta:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS161
__________________________________________________________________________________________________
2
6
H 1  Q1   D 2 
 


H 2  Q 2   D1 
2
4
 H  Q
D2
 4  1    2
D1
 H 2   Q1
2
H 1  Q 1   D 2   D1 
 
 


H 2  Q 2   D1   D 2 



2
Luego,
2
H  Q 
D1   2    1   D 2
 H1   Q 2 
4
Entonces,
2
 120   10000 
D1  4 

  36 pulg.
 25   2500 
D1  106.57 pulg.  8.88 pie  9.0 pie
(4)
Finalmente, reemplazando (4) en (2), resulta:
3
Q  D 
n 1   1    2   n 2
 Q 2   D1 
Luego,
 10000   36 
n1  

  800 rpm
 2500   106.57 
n1  123.35 rpm
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Problema No. 18
Para abastecer de agua a una comunidad rural, situada a 1500 m sobre el nivel del mar, se
ha construido un pozo cuyo nivel medio de agua se encuentra a 40 m por debajo del
correspondiente a un tanque de almacenamiento, como se muestra en la figura. Se instalará
un sistema de bombeo que, dada las necesidades de consumo, eleve 50.5
l
y opere 6 horas
s
diariamente. Las tuberías de succión e impulsión serán de hierro galvanizado (C =100 ), y
los accesorios requeridos en la instalación se indican en la figura. Se instalará una bomba
centrifuga con motor de velocidad variable, cuyas especificaciones se desean conocer, para
lo cual se pide seleccionar una bomba apropiada, y calcular:

Altura dinámica de la bomba, HB.

Potencia útil de la bomba, Pu.

Potencia requerida (potencia absorbida) por la bomba, Pa, si se sabe que la eficiencia de
la bomba es del 68%.

El NPSHdisonible de la bomba.

El NPSHrequerido de la bomba.

La altura de succión máxima de la bomba.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS163
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Solución:
1. Cálculo de la altura Dinámica de la bomba, HB.
Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, situados en la superficie libre del agua en
sendos tanques, se tiene:
0
0
2
2
p
v
p
v
zA   A  A  hTs  hTi  HB  zB   B  B
γ 2g
γ 2g
(1)
de donde,
H B  z B  z A   h T s  h T i 
(2)
En la cual z B  z A  es la altura estática a vencer por parte de la bomba. hT s y hT i son
las pérdidas de carga totales, por fricción y por accesorios, en las tuberías de succión y
de impulsión, respectivamente.
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164
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1. Cálculo de las Pérdidas de Carga Totales, hT
1.1.1. Pérdidas en la Tubería de Succión, hT s
Se empleará la formula de Hazen-Williams, que expresa:
V  0.355  C  D 0.63  J 0.54
(3)
Por continuidad,
Q  V  A  0.355  C  D
0.63
h 
 f 
L
0.54
 π  D2 

 
 4 
de donde,
3.5866
hf 
C  D 2.63
1.851
 L  Q1.851
(4)
Para considerar las pérdidas locales, debidas a válvulas y accesorios, se empleará el
método de las longitudes equivalentes:
VÁLVULAS/ACCESORIO
LONGITUD VIRTUAL
EQUIVALENTE (m)
Válvula de pie con rejilla (D = 6”)
39.0
Codo 90º (radio medio) (D = 6”)
6.7
Válvula de compuerta abierta (D = 6”)
1.7
Longitud virtual equivalente, Lequivalente
47.4
Longitud real de la tubería de succión, L
3.0
Longitud total, LT = Lequivalente + L
50.4
Reemplazando valores numéricos en (4):
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10. PROBLEMAS RESUELTOS165
__________________________________________________________________________________________________
hTs


3.5866

2.63 
100  6  0.0254 
1.851
 50.4  0.0505
1.851
m
h T s  4.02 m
1.1.2. Pérdidas en la Tubería de Impulsión, hT i
LONGITUD VIRTUAL
VÁLVULAS/ACCESORIO
EQUIVALENTE (m)
Válvula de compuerta abierta (D = 5”)
0.9
2 Codos de 45º (D = 5”) (*1.9 m)
3.8
1 Válvula de retención (tipo pesada) (D = 5”)
16.1
1 Salida de la tubería (D = 5”)
4.0
Longitud virtual equivalente, Lequivalente
24.8
Longitud real de la tubería de impulsión, L
127.0
Longitud total, LT = Lequivalente + L
151.8
hTi


3.5866

2.63 
100  5  0.0254 
1.851
 151.8  0.0505
1.851
m
h T i  29.42 m
Reemplazando en la ecuación (2), se tiene:
H B  40 m  4.02 m  29.42 m
H B  73.44 m
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2. Cálculo de la Potencia Útil de la bomba. Pu
Pu  γ  Q  H u  γ  Q  H B
Pu  1000
kgf
m3
Pu  3708.72

m3 
  73.44 m 
  0.0505
s 

kgf  m 3708.72

h.p.
s
76
Pu  48.8 h.p.
3. Cálculo de la Potencia Requerida por la bomba, Prequerida
A la potencia requerida se le llama también potencia absorbida en el eje, y se le denota
por Pa.
De la expresión para la eficiencia total se tiene:
η bomba 
Pa 
Pu
Pa
Pu
η bomba
(5)

48.8 h.p.
 71.76 h.p.
0.68
4. Selección de la Bomba
Para elegir la bomba más apropiada a las condiciones dadas del problema, se utilizará la
siguiente gráfica suministrada por el fabricante de las bombas centrifugas. Para ello, se
l
l
entrará a dicha figura con los valores de Q  50.5  3030
y H B  73.44 m .
s
min
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10. PROBLEMAS RESUELTOS167
__________________________________________________________________________________________________
En dicha figura se observa que la bomba que cumple con estas exigencias quedaría en
una situación intermedia entre las bombas comerciales No. 1 ( n  1750 rpm,
Pa1  75 h.p. ) y la No. 2 (n = 2000 rpm, P2 = 100 h.p.).
Por tanto, se seleccionará la Bomba No. 2, por tener una potencia mayor que la
requerida y por suministrar una cabeza, H, y un caudal, Q, mayores que los exigidos por
la situación real. Luego, la bomba seleccionada tiene las siguientes especificaciones:
Bomba: 5 x 6 x 15
Diámetro del rotor: D = 381 mm
Velocidad Variable: 1150  n  2000 rpm
Potencia nominal: P = 75 h.p.
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Conexión a la succión: Ds = 6”
Conexión a la impulsión: Di = 5”
5. Cálculo del NPSH disponible, NPSHdisponible
NPSH disponible 
pA  pv
 Hs  h T s
γ
(6)
NPSH disponible 
p Atmosférica  p v
 Hs  h T s
γ
(7)
A 1500 m sobre el nivel del mar, patm = 8.4
N
kgf
kgf
= 0.8571
= 8571 2
2
2
cm
cm
m
Para una temperatura del agua, T = 20ºC, p v  0.234
N
kgf
kgf
 0.0239 2  239 2
2
cm
cm
m
Además, la altura de succión, Hs = 1.8 m.
Reemplazando valores numéricos en la ecuación (7):
NPSH disponible 
8571  239 kgf2
1000
kgf
m3
m  1.8 m  4.02 m
NPSH disponible  2.512 m
6. Cálculo del NPSHrequerido
De la misma gráfica del fabricante, para la bomba seleccionada (n = 2000 rpm), se
l
l
encuentra que, para Q  50.5  3030
, NPSH requerido  2.0 m
s
min
De esta manera,
NPSH disponible  2.51 m  NPSH requerido  2.0 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS169
__________________________________________________________________________________________________
7. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx
H s máx 
pA  pv
 Δh  h T s
γ
(8)
H s máx 
p Atmosferica  p v
 NPSH requerido  h T s
γ
(9)
Reemplazando valores numéricos en la ecuación (9), se tiene:
H s máx 
8571  239 kgf2
kgf
1000 3
m
m  2.0 m  4.02 m
H s máx  2.31 m
Chequeo: H s máx  2.31 m  H s  1.8 m
Problema No. 19
Para el sistema de bombeo mostrado en la figura, calcule la presión en el nodo C, las
presiones de succión y descarga de la bomba, el caudal de la línea 3 y la potencia útil de la
bomba.
Solución.
H B  68.58  639.66  Q1.5
 m3 

H B m  ; Q 
s


Línea 1:
L= 67.1 m
D = 406 mm
C = 120
Línea 2:
L = 670.6 m
D = 105 mm
C = 120
Línea 3:
L = 304.8 m
D = 305 mm
C = 120
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170
__________________________________________________________________________________________________
1.852
Pu    Q  H
B
u
Potencia útil:
 3.5866 

h  
f
2.63 
 CD

 L  Q1.852
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y D, se tiene:
zA 
p A   v 2A
p
  v 2D

 hf 1  HB  hf 2  hf 3  zD  D 

2g

2g
Considerando presiones relativas y despreciando las cabezas de velocidades, y
reemplazando los valores numéricos, se tiene:
1.852
 3.5866 

z A  
2.63 
C

D
 1 1 
 3.5866 
  L 2  Q12.852 
 L1  Q11.852  68.58  639.66  Q11.5  
2.63 
 C2D2 


1.852
 3.5866 

 
2.63 
 C3  D3 
 L 3  Q13.852  z D
Por la ecuación de continuidad:
Q1  Q 2  Q 3  q
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10. PROBLEMAS RESUELTOS171
__________________________________________________________________________________________________
 3.5866 

z D  z A  
2.63 
C

D
 1 1 
 Q 3  q 
1.852
1.852
 3.5866 

 
2.63 
 C3  D3 
 L1  Q 3  q 
1.852

 68.58  639.66  Q 3  q 
1.5

L
   C3.5866
D 

2
2.63
2

2

1.852
 L 3  Q13.852
Agrupando términos y reemplazando valores numéricos, resulta:
 3.5866 
1.5
91.4  38.1  68.58  639.66  Q 3  0.0212  

 120 
1.852

 Q 3  0.0212
1.852

670.6  304.8  Q13.852 
 67.1




4.87
0.305 4.87 
0.305 4.87 
 0.405
Organizando se tiene:
639.66  Q3  0.0212  335.226848 Q3  0.02121.852 148.6291144  Q13.852  15.28  0
1.5
m3
Q 3  0.0501046
s
Q 3  50.1
l
s
Q1  Q 2  Q B  Q 3  0.0212
Q1  Q 2  Q B  0.0713046

m3
m3
 0.0501046  0.0212
s
s
m3
s
Cálculo de la altura útil, Hu = HB
H u  H B  68.58  639.66  0.0713046
1.5
H u  56.4 m
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172
__________________________________________________________________________________________________

Cálculo de la potencia útil de la bomba, Pu
Pu    Q B  H u
kgf
Pu  1000 3
m
Pu  4021.58

m3 

  56.4 m 
  0.0713046
s


kgf  m
s
Pu 
4021.58
c.v.  53.62 c.v.
75
Pu 
4021.58
h.p.  52.92 h.p.
76
Pu  4021.58  9.8

Nm
J
 39411.48  39411.48 W  39.41 kW
s
s
Cálculo de la presión en C, pc.
Bernoulli entre A y C:
zA  0  0  hf 1  HB  hf 2
p C   v C2
 zC 


2g
pC
8    Q 22
 H B  z C  z A   h f 1  h f 2  2

  g  D 42
1.852
 3.5866 
 3.5866 
pC

  L1  Q1.852

 68.58  639.66  Q1.5
 
B  z C  z1   
1
2.63 
2.63 
γ
 C1D1 
 C2D2 

8  1  Q 2 
π 2  g  D 42
2
 L 2  Q1.852

2
Reemplazando valores:
pC
 68.58  12.179 m  7.6 m  0.0611 m  2.46 m  0.0486 m

pC
 56.401 m  7.6 m  0.0611 m  2.46 m  0.0486 m  46.2313 m c. a.

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10. PROBLEMAS RESUELTOS173
__________________________________________________________________________________________________
pC
kgf
kgf
kgf
 46.2313m  1000 3  46231.3 2  4.6231 2

m
m
cm

Cálculo de la presión de succión o presión a la entrada de la bomba, pa
p e   v e2
p A   v 2A
zA 

 hf 1  ze 


2g

2g
Bernoulli entre A y e:
Despreciando la velocidad en A y tomando presiones relativas, se tiene
pe
  v e2
 zA  h f 1  ze 

2g
pe
8    Q12
 z A  z e   h f  2

  g  D14
Remplazando valores numéricos, se tiene:
2
pe
8  1  0.0713046
 38.1  35.05  m  0.0611 m  2
m
4

  9.8  0.406
pe
 3.05 m  0.0611 m  0.0155 m  2.9734 m


Cálculo de la presión dinámica de descarga o presión a la salida de la bomba, ps
Ecuación de Bernoulli entre e y s:
ze 
p e   v e2
p
  v s2

 HB  zs  s 

2g

2g

ps pe
  v e2  v s2

 HB 


2g

2
2
ps pe
  4  Q B   4  Q B  
 
 

 HB 
 


2  g    D e2    2  D s2  


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174
__________________________________________________________________________________________________
2
2
ps pe
8    Q 2B  1   1  
 
 

 HB 
 


 2  g  D e4   D s4  


8  10.0713046 
2
ps
 2.9734 m  56.401 m 

 2  9.8
m
s2
m

s 2   1
 0.406 4

2
  1
 
  0.305 4
 
2
 1 


 m4 


ps
 2.9734 m  56.401 m  0.0331 m

ps
 59.341 m

Problema No. 20
Los resultados de un ensayo elemental de una bomba rotodinámica, girando a 1450 rpm, se
presentan en la siguiente tabla:
Q (l/s)
40
80
120
160
200
H (m)
32.0
30.5
28.0
24.5
20.0
Pa (kW)
34.2
39.2
45.0
52.5
64.5
Aplicando las ecuaciones de regresión lineal por mínimos cuadrados, ajuste una expresión
de la forma H  a  c  Q 2 , y otra de la forma η  dQ  e  Q 2 , para dicha bomba.
Además, calcule su eficiencia máxima, sus características nominales (QN, HN y PaN) y su
número específico de revoluciones, ns.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS175
__________________________________________________________________________________________________
N
H
i 1
N
N
 a  N  c  Q i2
i
N
N
i 1
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
η
i 1
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i
 Q i  d  Q i2  e  Q 3i
 H i  Q i2  a  Q i2  c  Q i4
 ηi  Q i2  d  Q 3i  e  Q i4
N: Número de puntos (Hi, Qi)
N: Número de puntos (i, Qi)
1. Ajuste de la curva H vs. Q
Se trata de determinar una ecuación de la forma H  a  c  Q 2 , y otra, de la forma
η  dQ  e  Q 2 , para la bomba, aplicando los siguientes sistemas de ecuaciones
N
H
i 1
N
i
i
 Q  a Q  c Q
N
H
i 1
N
 a  N  c  Q i2
(1)
i 1
N
2
i
i 1
i 1
N
2
i
η
i 1
N
4
i
(2)
η
i 1
N
N
i 1
i 1
2
3
i  Qi  d  Qi  e  Qi
N
i
N
 Q  d  Q  e  Q i4
2
i
(3)
3
i
i 1
(4)
i 1
Donde N es el número de puntos (Hi, Qi) ó (i, Qi) de las respectivas curvas
características.
En este problema, se trabajará con caudales en m3/s.
N
N
 H i  135 ;
N
 Q i2  0.088 ;
i 1
 H i  Q i2  2.0768 ;
i 1
i 1
N
Q
i 1
4
i
 0.00250624
De (1):
a
1
N
 H
i
 c  Q i2

(5)
(5) en (2):
 H

H
i
 Q i2 
1
N
H
i
 Q i2 
1
c
H i   Q i2  c Q i4   Q i2   Q i2

N
N
i
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 c Q i2   Q i2  c  Q i4
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176
__________________________________________________________________________________________________
H
i
 Q i2 
 c
1
1

H i   Q i2  c    Q i4 

N
N

1
 H i   Q i2
N
2
1
 Q i4  N  Q i2
H
i
 Q  
2 2
i

 Q i2 


(6)
Reemplazando las respectivas sumatorias en la ecuación (6), se tiene:
135  0.088
5
c
 312.5
2

0.088
0.00250624 
5
2.0768 
(7)
Ahora, se sustituye el valor de c en la ecuación (5), para determinar el valor del
coeficiente a, así:
a
1
135   312.5  0.088  32.5
5
(8)
Ecuación de regresión para H:
H  32.5 - 312.5 Q 2 ;
H (m), Q (m3/s)
(9)
2. Cálculo de los valores de la potencia útil, Pu
 kgf
Pu  γ  Q  H  γ  3
m
Pu  1000
3
 m 

  H m 

Q
 
  s 
(10)
 m3 
kgf
kgf  m
Nm

  H m  1000  Q  H

Q
 1000  9.81  Q  H
3
s
s
m
 s 
Pu  1000  9.81  Q  H
J
1000  9.81
 1000  9.81  Q  H W 
 Q  H kW
s
1000
 m3 
  H m  kW
Pu  9.81  Q 
 s 
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(11)
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10. PROBLEMAS RESUELTOS177
__________________________________________________________________________________________________
Sustituyendo los valores de Q (m3/s) y de H (m) de la Tabla de Datos en la ecuación
(11), se obtienen los correspondientes valores Pu.
Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, se tiene:
Pu  9.81 0.04  32 kW  12.5568 kW
(11’)
3. Cálculo de los valores de eficiencia, 
η
Pu
 100
Pa
(12)
Con ayuda de la ecuación (12) se calculan los respectivos valores de la eficiencia de la
bomba, , completando la Tabla de Datos.
Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, Pu = 12.5568 kW y
Pa = 34.2 kW, se tiene:
η
12.5568 kW
 100  36.7958 %
34.2 kW
(13)
4. Ajuste de la curva  vs. Q
Ahora, se determinará la expresión que relaciona la eficiencia, , con el caudal, Q, que
impulsa la bomba, de la forma η  dQ  e  Q 2 .
De la ecuación (2),
η
d
i
 Q i  e   Q 3i
Q
(14)
2
i
Sustituyendo (14) en (4), se tiene:
η
η
i
Q
2
i
i
Q
2
i
η

i
η

i
 Q i  e   Q 3i
Q
2
i
 Q i   Q 3i
Q
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2
i

Q
3
i
 e   Q i4
e   Q 3i   Q 3i
Q
2
i
 e   Q i4
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Teoría y Aplicaciones.
178
__________________________________________________________________________________________________
 ηi  Q
2
i
η

η
i
Q
i
2
i
 Q i   Q 3i
Q
2
i
η

 e
Q
4
i
i

 e    Q i4 


 Q 
3 2
i
Q
2
i




 Q i   Q 3i
Q
 Q 

Q
2
i
(15)
3 2
i
2
i
Para este caso, los valores de las sumatorias son:
η
i
Q
 Q i2  5.812952003 ;
3
i
 0.0144 ;
Q
4
i
Q
2
i
 0.088 ;
η
i
 Q i  39.03049303 ;
 0.00250624
Reemplazando los valores de las sumatorias en la ecuación (15), se tiene:
e
39.03049303  0.0144
0.088
 3828.862226
2

0.0144
0.00250624 
0.088
5.812952003 
(16)
Sustituyendo este valor en la ecuación (10), se obtiene:
d
39.03049303   3828.862226  0.0144
 1070.069421
0.088
(17)
Con lo cual se obtiene:
η  1070.069421 Q - 3828.862226 Q 2 ; con Q (m3/s),  (%)
(18)
5. Cálculo de la eficiencia máxima, máx
El valor de la eficiencia máxima resultará de derivar la función  vs. Q, con respecto al
caudal; así:
dη
 1070.069421  2 3828.862226 Q
dQ
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10. PROBLEMAS RESUELTOS179
__________________________________________________________________________________________________
dη
 1070.069421  7657.724452 Q  0
dQ
Q
(19)
1070.069421
m3
 0.1397372685
7657.724452
s
(20)
Este es el valor del caudal correspondiente a la máx; es decir, es el caudal nominal,
Q N  139.74
l
s
(21)
Reemplazando este valor de Q en la ecuación (18), se tiene:
η máx  1070.069421 0.1397372585  3828.862226 0.1397372585  74.76428363
2
η máx  74.764 %
(22)
6. Cálculo de las características nominales de la bomba, (QN, HN, Pa N)
Recuérdese que las características nominales de una bomba son las que corresponden al
punto de mejor rendimiento, PMR, es decir a la máx.
6.1. Cálculo del caudal nominal, QN
En el epígrafe 5 se obtuvo el valor del caudal nominal, y es:
Q N  139.74
l
s
(23)
6.2. Cálculo de la altura nominal, HN
H N  H Q Q
l
N 139.74s
 32.5  312.5 0.13974  26.3977 m
H N  26.4 m
(24)
6.3. Cálculo de la potencia útil nominal, PuN
Pu N  γ  Q N  H N
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__________________________________________________________________________________________________
Pu N
kgf
m3
kgf  m
 1000 3  0.13974
 26.4 m  3689.139
s
s
m
Pu N  36.19 kW
(25)
6.4. Cálculo de la potencia de accionamiento nominal, PaN
η máx 

Pu N
Pa N
Pa N 
Pu N 36.19 kW

 48.40565 kW
η máx
0.74764
Pa N  48.4 kW
(26)
6.5. Cálculo de la velocidad específica, ns
n  Q1/2
N
,
ns 
3/4
HN
con n (rpm), QN (m3/s) y HN (m)
1450  0.13974
1/2
ns 
26.43/4
 46.53989794
n s  46.54
A continuación, se presenta una tabla con los valores iniciales del problema y los resultados
obtenidos durante su resolución.
Q (l/s)
40
80
120
160
200
H (m)
32.0
30.5
28.0
24.5
20.0
Pa (kW)
34.2
39.2
45.0
52.5
64.5
Pu (kW)
12.5568
23.9364
32.9616
38.4552
39.24
 (%)
36.71578947
61.0622449
73.248
73.248
60.8372093
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10. PROBLEMAS RESUELTOS181
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 21
Dos bombas distintas, cuyas curvas características se expresan a continuación, han de
acoplarse en serie, de acuerdo con la instalación mostrada en la figura.
H B1  69  135 Q - 4000 Q 2
;
η 1  25 Q - 230 Q 2
H B2  54  71 Q - 4285 Q 2
;
η 2  37 Q - 380 Q 2
con H (m), Q (m3/s) y  en tanto por uno.
Se desea determinar:

El caudal que impulsarían las bombas si se acoplan en serie.

El costo unitario por m3 de agua elevada por el conjunto en serie, sabiendo que el costo
de la energía es 219 $/kW∙h.
L Total  L T  1872 m ;
ν agua  1.141 106
m2
s
;
k
LT
 7.4
ks = 0.2 mm = 0.0002 m
Ds = Di = 350 mm
Los subíndices s e i significan succión e impulsión, respectivamente.
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Teoría y Aplicaciones.
182
__________________________________________________________________________________________________
Solución Analítica:
Por tratarse de un sistema de bombas en serie,
Q T  Q B1  Q B2 , y H T  H B1  H B2
(1)
1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C, se tiene:
H A  H A-C  H B1  H B2  H C
0
0


p A α v 2A
zA  γ  2 g


(2)
0
0

p C α v C2

  h f s   h L s   h f i   h L i   H B1  H B2   z C  γ  2 g


z C  z A   h f s  h f i    h L s   h L i   H B1  H B2
 8 f s L s Q T2 8 f i L i Q T2
z C  z A    2 5  2 5
 g Di
  g Ds
 f s Ls f i Li

 5
 g  D 5s
Di
2
T
z C  z A   8 Q
2
8 Q T2
z C  z A   2
 g
(4)
2
2
  8  h L s  Q T 8  h L i  Q T


   2 g D4   2 g D4
s
i
 
 8 Q T2
 2
  g

 f s L s f i L i  
 5  5   
Di  
 D s




h
D s4
h
D
Ls
4
s

Ls

h
D i4
h
D
Li
Li
4
i

  H B1  H B2


(5)

  H B1  H B2



  H B1  H B2


 f s L s f i L i    h L s  h L i  2
 Q T  H B1  H B2
 5   


 2 g  D 5s
D i   D s4
D i4 


Curva Resistente
Curva Motriz
z C  z A  
(3)
8
(6)
1.1. Determinación de la ecuación de la curva motriz del sistema
H m  H B1  H B2

(7)
 
H m  A1  B1 Q B1  C1 Q 2B1  A 2  B2 Q B 2  C 2 Q 2B 2

(8)
Por estar las bombas acopladas en serie,
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10. PROBLEMAS RESUELTOS183
__________________________________________________________________________________________________
Q B1  Q B2  Q T
(9)
Luego,
H m  A1  A 2   B1  B2  Q T  C1  C 2  Q T2
(10)
Ecuación particular de la curva motriz del sistema, para dos bombas en serie.
1.2. Determinación de la curva resistente del sistema
H r  z C  z A  
 f s L s f i L i  
 5   

 g  D 5s
D i  
8
h
2
D
Ls
4
s

h
D
4
i
Li
 2
 Q T


(11)
Ecuación general de la curva resistente del sistema.
En este problema, los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son iguales, es
decir, D s  D i  D .
k s s  k s i
Además, por tratarse de tuberías de idéntico material
 k s  constante , por las que fluye el mismo caudal Q T  Q B1  Q B2  , los
coeficientes de fricción son iguales f s  f i  f  . Por lo tanto, la ecuación (11) se
puede expresar de la siguiente manera:
k
k
H r  z C  z A  
 f  L s f i L i  
 5 

 2 g  D 5
D  
H r  z C  z A  
 f L s  L i      k L s   k L i 
  

 2 g 
D5
D4
 
8
D4
Ls

Li
D4
8
 2
 Q T


(12)
 2
 Q T


(13)
Es claro que la longitud total de la tubería del sistema, L T  L s  L i , y que
k
Ls
 kLi  kT
Luego, la ecuación (13) se reduce a la siguiente:
H r  z C  z A  
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8 kLT 2
8 f LT
Q T2  2
QT
2
5
 gD
 g D4
(14)
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184
__________________________________________________________________________________________________
8
f  L T  D  k L T  Q T2
(15)
5
 gD
Ecuación particular de la curva resistente del sistema
H r  z C  z A  
2
2. Determinación del punto de funcionamiento del sistema, PH T , Q T 
El punto de funcionamiento del sistema queda definido por la intersección de la curva
motriz con la curva resistente, es decir, resolviendo la ecuación (6) para el caudal, QT,
del sistema. En pocas palabras, se debe calcular el valor de QT que satisfaga la
siguiente igualdad:
Hr  Hm
(16)
2.1. Cálculo del caudal total, QT
Igualando las ecuaciones (15) y (16), se tiene:
z C  z A  
8
f  L T  D  k L T  Q T2  A1  A 2   B1  B2  Q T  C1  C 2  Q T2
5
 gD
2
ecuación (17)
Para calcular QT que satisfaga la ecuación (17), se requiere del concurso de la
ecuación de Colebrook & White, la cual expresa lo siguiente:
2.51 
 k
 2 log  s 

f
 3.7 D R f 
1
con
R
4 QT
πD
(18)
(19)
Reemplazando la ecuación (19) en la ecuación (18), se tiene:
 k
2.51 π D  
 2 log  s 

f
 3.7 D 4 Q T f 
1
(20)
En definitiva, se trata de resolver el sistema de ecuaciones simultáneas conformado
por las ecuaciones (17) y (20), cuyas incógnitas son f y QT. Ello sólo puede hacerse
iterativamente, por ensayo y error, lo cual es bastante laborioso.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS185
__________________________________________________________________________________________________
La manera más ágil de resolver el sistema de ecuaciones (17) y (20) es eliminando f y
obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita: QT.
En efecto, combinando la ecuación de Darcy & Weisbach con la de Colebrook &
White, se llega a la siguiente expresión:
h
2 g D  f T
 LT
 D2
QT  
2





 k
2.51 
 log  s 
 3.7 D
h
D 2 g D  f T

 LT






 
 
(21)
y de la ecuación (4) se despeja h f s  h f s i   h f T , así:
h f T  z C  z A    k L s   k L i   H B1  H B 2
(22)
ó
h f T  z C  z A  
8  k L T  Q T2
 2 g D4
 A1  A 2   B1  B 2  Q T  C1  C 2  Q T2
(23)
Finalmente, llevando (23) a (21), y reordenando términos, resulta:
Q T  0.5
2 g D5
LT

8  k L T  Q T2 
2








A

A

B

B
Q

C

C
Q

z

z

 1

2
1
2
T
1
2
T
C
A
 2 g D 4 







2.51 
 log 

8  k L T  Q T2  
 2 g D3 
2
A1  A 2   B1  B 2  Q T  C1  C 2  Q T  z C  z A  


L T 
 2 g D 4  


ecuación (24)
En la ecuación (24), todos los valores son conocidos, excepto el del caudal, QT.
Con la ayuda de una calculadora programable (por ejemplo, la HP-48GX), es fácil
resolver la ecuación (24), para lo cual, con los datos que aparecen en la figura del
problema, se obtuvo:
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__________________________________________________________________________________________________
m3
Q T  0.080913
s
(25)
Por lo tanto, el caudal impulsado por las dos bombas conectadas en serie es
Q T  0.080913
m3
l
 80.91 . Además, f  0.0187958368401 .
s
s
2.2. Cálculo de la altura suministrada por cada bomba en el punto de funcionamiento, HBi
Para la bomba B1:
H B1  69  135 Q B1 - 4000 Q 2B1
Q B1  Q B2  Q T  0.080913
m3
s
H B1  69  135  0.080913 - 4000  0.080913
2
H B1  31.889 m
Para la bomba B2:
H B2  54  71 Q B2 - 4285 Q 2B2
H B2  54  71  0.080913 - 4285  0.080913
2
H B2  20.202 m
2.3. Cálculo de la altura total del conjunto de bombas en serie
Cuando las bombas se asocian en serie, la altura total de la asociación es,
sencillamente, la suma de las alturas que suministran las bombas; esto es:
H T  H B1  H B2
H T  31.889 m  20.202 m
H T  52.091 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS187
__________________________________________________________________________________________________
3. Cálculo del caudal nominal de cada bomba, QN
El caudal nominal es aquel que corresponde al valor de la eficiencia máxima, y se
calcula de la siguiente manera:
Para la bomba B1:
η 1  25 Q - 230 Q 2
d η1
 25 - 460 Q  0
dQ

Q N1
25
m3

 0.05435
460
s
Obsérvese que Q N 1  0.05435
m3
m3
 Q T  0.080913
s
s
Para la bomba B2:
η 2  37 Q - 380 Q 2
dη2
 37 - 760 Q  0
dQ

QN 2 
Nótese que Q N 2  0.04868
37
m3
 0.04868
760
s
m3
m3
 Q T  0.080913
s
s
4. Cálculo de la eficiencia máxima de cada bomba, máx
Para la bomba B1:
η máz , 1  25 Q N 1 - 230 Q 2N 1
η máz , 1  25 0.05435 - 230 0.05435  0.6793  67.93 %
2
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__________________________________________________________________________________________________
Para la bomba B2:
η máz , 2  37 Q N 2 - 380 Q 2N 2
η máz , 2  37 0.04868 - 380 0.04868  0.9007  90.07 %
2
5. Cálculo de las eficiencias en el punto de funcionamiento, Bi
La eficiencia de cada bomba, en el punto de funcionamiento del sistema, se obtiene
reemplazando el valor del caudal correspondiente al punto de funcionamiento del
sistema, Q T  0.080913
m3
, en la respectiva ecuación de rendimiento de la bomba:
s
Para la bomba B1:
η B1  25 Q T - 230 Q T2
η B1  25 0.080913 - 230 0.080913  0.5170  51.70 %
2
Para la bomba B2:
η B 2  37 Q T - 380 Q T2
η B 2  37 0.080913 - 380 0.080913  0.5060  50.60 %
2
6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i
Pa i 
Pa1 
Pa2 
Pu i γ Q B i  H B i

ηB i
ηB i
γ Q B1  H B 1

η B1
γ QB 2  HB 2

ηB 2
kgf

1000 3
m

m3 
 

  31.889 m 

0
.
080913
 
s 
kgf  m
 
 4990.78
0.517
s
kgf

1000 3
m

m3 
 

  20.202 m 

0
.
080913
 
s 
kgf  m
 
 3230.44
0.506
s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS189
__________________________________________________________________________________________________
7. Cálculo de la potencia útil del conjunto, PuT
kgf  
m3 
kgf  m

  52.091 m  4214.84
Pu T  γ Q T  H T  1000 3    0.080913
s 
s
m  

Pu T  4214.84  9.81
N  m 4214.84  9.81

kW  41.35 kW
s
1000
8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto, T
ηT 
Pu T
N
P
i 1
ai

Pa T
γ QT  HT

Pa 1  Pa 2 γ Q T  H B 1 γ Q T  H B 2

η B1
ηB 2
kgf  m
s
ηT 
 0.5127  51.27 %
4990.78  3230.44 kgf  m
s
4214.84
9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT
Pa T 
Pu T 41.35 kW

 80.65 kW
ηT
0.5127
10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu
Cu 
C energía  E absorbida
Volumen elevado

C energía  Pabsorbida  t bombeado
Q bombeado  t bombeado

C energía  Pa T  t b
QT  t b
$ 

 219
  80.65 kW   1 h 
$
kW  h 

Cu 
 60.64 3
3
m

m 
 0.080913
  3600 s 
s 

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190
__________________________________________________________________________________________________
Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento:
En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya
intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede
observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS191
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 22
Resolver el problema (21) bajo la consideración de que las dos bombas estarán asociadas en
paralelo.
Solución Analítica:
Por estar acopladas las dos bombas en paralelo, H B1  H B2  H T , y Q T  Q B1  Q B2
1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C de la figura, resulta:
H A  H A-C  H T conjunto  H C
(1)
Al reemplazar en la ecuación (1), resulta:
z A  h f s   h L s   h f i   h L i   H T  z C
(2)
Reorganizando los términos en la ecuación (2), se tiene:
z C  z A   h f s   h L s   h f i   h L i   H T
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(3)
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192
__________________________________________________________________________________________________
La ecuación (3) presenta dos variantes distintas, según que se considere la trayectoria
A  B1  U  C o la trayectoria A  B2  U  C , y son las siguientes:
z C  z A  
8  f s 1 L s 1

 2 g  D 5s 1
k
z C  z A  
8  f s 2 L s 2

 g  D 5s 2
k
L s1
D s41
2
D
 2
 Q B1  8

2 g

Ls2
4
s2
 2
 QB 2  8

2 g

 f i Li  k L i


 D5
D i4
 i
 2
 QT  HT


 f i Li  k L i


 D5
D i4
i

(4a)
 2
 QT  H T


(4b)
Normalmente, las longitudes de las tuberías de succión en un sistema de bombas en
paralelo son cortas, por lo cual se pueden ignorar las pérdidas de carga en dichas
tuberías. Por esta razón, las ecuaciones (4a) y (4b) se vuelven idénticas, resultando:
8
f i L i  D i  k L i  Q T2  H T  H B1  H B2
5
 g Di


 
Curva Resistente
Curva Motriz
z C  z A  
(5)
2
Por otra parte, como se dijo al principio,
Q T  Q B1  Q B2 ,
(6)
2. Cálculo de la altura suministrada por el conjunto de bombas en paralelo, HT
Los caudales Q B1 y Q B2 se despejarán de las respectivas ecuaciones de H vs. Q, de la
siguiente manera:
H B1  A1  B1 Q B1  C1 Q 2B1
 Q B1 
(7)
 B1  B12  4 C1 A1  H B 1 
(8)
2 C1
Así mismo,
H B 2  A 2  B2 Q B 2  C 2 Q 2B 2
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(9)
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10. PROBLEMAS RESUELTOS193
__________________________________________________________________________________________________
 QB 2 
 B 2  B 22  4 C 2 A 2  H B 2 
(10)
2 C2
Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (6), sabiendo que
H B1  H B2  H T , se tiene:
QT 
 B1  B12  4 C1 A1  H T 
2 C1

 B 2  B 22  4 C 2 A 2  H T 
(11)
2 C2
La ecuación (11) se sustituye en la ecuación (5), resultando:
z C  z A  
8
f i L i  D i
 g D 5i
2
 k 
Li
  135  18225  16000 69  H T   71  5041  17140 54  H T  


  HT
8000
8570


2
(12)
Estas dos ultimas ecuaciones se resolverán iterativa y simultáneamente junto con la
ecuación de Darcy & Weisbach combinada con la ecuación de Colebrook & White, la
cual elimina la variación de f con QT.
QT  
 D i2
2
h
2 g D i  f i
 Li





 k
 log  s i 
 3.7 D i
Di





2.51 

 hf i  
 
2 g D i 
 L i  
(13)
A continuación, se presenta la ecuación general que integra en una sola a las ecuaciones
(11), (12) y (13), adecuada para calcular HT, dados los valores de las restantes variables:
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194
__________________________________________________________________________________________________
 B1  B12  4 C1 A 1  H T 
2 C1
 D i2

2

2 g Di
Li

 B 2  B 22  4 C 2 A 2  H T 
2 C2

8  kLi

H T  z C  z A  2
 g D i4

 B 2  B  4 C 2 A 2  H T  

2 C2

2
2
2

  B  B 2  4 C A  H 
1
1
1
1
T


2 C1





 ksi

  log 

 3.7 D i D

i


2.51 
2 g Di
H T  z C  z A 
Li




2 
8  k L i   B1  B12  4 C1 A 1  H T   B 2  B 22  4 C 2 A 2  H T   

 
 2

2 C1
2 C2
 g D i4 
 


(14)
En la ecuación (14) debe descartarse el signo (+) del término
B 2  4 C A  H T  ,
dado que éste es mayor que (-B), y siendo C < 0, por lo cual resultarían valores
negativos para los caudales Q B1 y Q B2 .
Para el problema que se está resolviendo, se conocen los siguientes parámetros:
A1 = 69;
B1 = -135;
C1 = -4000
A2 = 54;
B2 = -71;
C2 = -4285
zA =1.5 m
zC = 49.7 m
Di = Ds = 0.35 m
Li = 1872 m
kLi = 7.4
 = 1.141 x 10-6 m2/s
g = 9.81 m/s2
ksi = 0.0002 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS195
__________________________________________________________________________________________________
Al resolver la ecuación (14) para HT, resulta:
H T  51.189 m
(15)
Así mismo, H B1  H B2  H T  51.189 m
(16)
3. Cálculo de los caudales aportados por las bombas, Q B1 , Q B2 y Q T
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (8) y (10), respectivamente, resulta:
Q B1
m3
l
 0.0519536
 51.95
s
s
Q B2  0.0186321
m3
l
 18.63
s
s
Por lo tanto, Q T  Q B1  Q B2
m3
l
 0.0705857
 70.59
s
s
4. Comprobación del cálculo de los caudales Q B1 y Q B2
Con los caudales Q B1 y Q B2 calculados en el numeral anterior, se puede comprobar
que H T  51.189 m  H B1  H B2 .
En efecto,
H B1  69  135  0.051954 - 4000  0.051954  51.189 m
O.K.
H B2  54  71  0.018632 - 4285  0.018632  51.189 m
O.K.
2
2
5. Cálculo de las eficiencias de las bombas, B1 y B2
η B1  25 Q B1 - 230 Q 2B1
η B1  25 0.051954 - 230 0.051954  0.6780  67.80 %
2
η B 2  37 Q B 2 - 380 Q 2B 2
η B 2  37 0.0186321 - 380 0.0186321  0.5570  55.70 %
2
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__________________________________________________________________________________________________
6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i
Pu i γ Q B i  H B i

ηB i
ηB i
Pa i 
Pa1 
Pa2 
γ Q B1  H B 1
η B1
kgf  
m3 


  51.189 m 
1000 3    0.051954
s 
m  
kgf  m


 3922.53
0.678
s
γ QB 2  HB 2
ηB 2
kgf  
m3 


  51.189 m 
1000 3    0.0186321
s 
m  
kgf  m


 1712.31
0.557
s
7. Cálculo de la potencia útil del conjunto de bombas asociadas, PuT
kgf  
m3 
kgf  m

  51.189 m  3613.21
Pu T  γ Q T  H T  1000 3    0.0705857
s 
s
m  

Pu T  3613.21  9.81
Nm
J
 35445.59  35.45 kW
s
s
8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto de bombas asociadas, T
ηT 
Pu T
N
P
i 1

Pa T
Pa 1  Pa 2
ai
kgf  m
s

 0.6412  64.12 %
kgf  m
3922.53  1712.31
s
3613.21
9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT
Pa T 
Pu T 35.45 kW

 55.29 kW
ηT
0.6412
10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu
Cu 
C energía  E absorbida
Volumen elevado
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
C energía  Pabsorbida  t bombeado
Q bombeado  t bombeado

C energía  Pa T  t b
QT  t b
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10. PROBLEMAS RESUELTOS197
__________________________________________________________________________________________________
$ 

 219
  55.29 kW   1 h 
$
kW  h 

Cu 
 47.65 3
3
m

m 
 0.0705857
  3600 s 
s 

Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento:
En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya
intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede
observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.
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Problema No. 23
Analizar e interpretar cualitativamente los resultados de los Problemas 21 y 22.
BOMBAS Y
ASOCIACIÓN
ECUACIÓN
CARACTERÍSTICA
BOMBA No. 1
HB1 = 69 – 135 Q – 4000 Q2
B1
BOMBA No. 2
B2
B1 = 25 Q – 230 Q2
ALTURA
H (m)
(%)
QN1 = 0.05435
HB1|Q=0 = 69
máx, 1 = 67.93
QN2 = 0.04868
HB2|Q=0 = 54
máx, 2 = 90.07
QB1 = 0.080913
HB1 = 31.89
B1 = 51.7
QB2 = 0.080913
HB2 = 20.20
B2 = 50.6
HB2 = 54 – 71 Q – 4285 Q2
B2 = 37 Q – 380 Q2
QT = QB1 = QB2
EN SERIE
EFICIENCIA
CAUDAL
Q (m3/s)
HT = HB1 + HB2
QT = 0.080913
HT = 52.09
POTENCIA
P (kgf.m/s)
COSTO DE
ELEVACIÓN
Cu ($/m3)
Pa1 = 4990.78
Pa2 = 3230.44
60.64
T = 51.27
PaT = 8220.87
PuT = 4214.84
Pa1 = 3922.53
QB1 = 0.051954
HB1 = 51.189
QB2 = 0.018632
HB2 = 51.189
QT = QB1 + QB2
EN PARALELO
HT = HB1 = HB2
QT = 0.070586
HT = 51.189
B1 = 67.8
Pa2 = 1712.31
B2 = 55.7
PaT = 5635.07
47.65
PuT = 3613.21
En el cuadro resumen, se presentan los resultados de los problemas 21 y 22, en los que se
considera la asociación de las bombas en serie y en paralelo, respectivamente. De dicho
cuadro se pueden extraer las siguientes conclusiones:
i. La operación de bombas asociadas en serie conduce a un funcionamiento bastante
alejado del punto de funcionamiento óptimo.
ii. Bombas distintas acopladas en serie o, lo que es lo mismo, acoplar rodetes diferentes en
una misma bomba multietapas, no pueden funcionar simultáneamente cerca o en el
punto óptimo de funcionamiento respectivo.
iii. El rendimiento global de dos o más bombas distintas, asociadas en serie, es
relativamente bajo, tanto más bajo, cuanto más bambas diferentes se acoplen.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS199
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iv. Es mucho más interesante acoplar dos o más bombas en paralelo, pues se obtienen
mejores rendimientos y caudales más cercanos a los de máximo rendimiento, aún
tratándose de bombas diferentes, como ocurre en este caso.
v. Debido a que las potencias absorbidas en el eje, Pa, son menores cuando las bombas se
acoplan en paralelo, que las correspondientes al acoplamiento en serie, y a que el
consumo de energía eléctrica de las bombas asociadas en paralelo es menor que el
correspondiente al de las bombas asociadas en serie, se genera un menor costo unitario
de elevación del agua favorable a los sistemas de bombas acopladas en paralelo.
vi. En cualquier caso, es más conveniente acoplar bombas iguales que asociar bombas
distintas entre sí.
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