5.1 INTRODUCCIÓN A NÚMEROS COMPLEJOS En el sistema de los números reales no hay solución de la ecuación x2=-1. En esta lección estudiaremos un nuevo sistema numérico, en el cual la ecuación sí tiene solución. La columna vertebral de este nuevo sistema numérico es el número i, también conocido como la unidad imaginaria. Al tomar múltiplos de esta unidad imaginaria podemos crear un infinidad de nuevos números, como 3 i, i √5 y -12 i .Estos son ejemplos de números imaginarios. Sin embargo, podemos ir más lejos y sumar números reales con números imaginarios; por ejemplo 2+7i y 3 -√2 i. Estas combinaciones se llaman números complejos. Definir números complejos Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como a + b i, donde i es la unidad imaginaria y a y b son números real. a se llama la parte real del número , y b se llama la parte imaginaria del número. La siguiente tabla ilustra ejemplos de números complejos, identificando sus partes real e imaginaria. Algunas personas identifican más fácilmente estas partes si el número está escrito en forma estándar. 5.2 EL PLANO COMPLEJO Tal como utilizamos la recta numérica para visualizar el conjunto de números reales, podemos utilizar el plano complejo para visualizar el conjunto de números complejos. El plano complejo consiste de dos líneas rectas numéricas que se intersecan en un ángulo recto en el punto (0,0). La recta numérica horizontal (que conocemos como el eje x en el plano Cartesiano) es el eje real. La línea recta numérica vertical (el eje y en el plano Cartesiano) es el eje imaginario. Graficar un número complejo Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo. Por ejemplo, consideremos el número 3−5i. Este número, que también se expresa como 3+ (−5i). tiene una parte real 3 en el eje real y a -5 en el eje imaginario. Así que el número 3+ (−5i). Se asocia con el punto 3−5i. En general, el número complejo a+bi corresponde al punto (a,b) en el plano complejo. Actividad grafica las siguientes puntos en el plano imaginario a) b) c) d) e) −4+7i 6i+1 −i−3 4i −7 5.3 FORMA POLAR Y RECTANGULAR DE NÚMEROS COMPLEJOS Forma polar: “Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como x = r cos θ e y = r sen θ z puede ser expresado en forma polar como z = r(cosθ + i senθ). En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos”[1]. r cosθ = x r senθ = y Para convertir de forma polar o rectangular: 5.4 OPERACIÓNES BASICAS CON NUMERO COMPLEJOS Introducción Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Sumando y restando números complejos (6x + 8) + (4x + 2) Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables. (6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10 De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales. Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente. El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales. Multiplicando números complejos De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías simplificar. (5x)(−3x) Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables. (5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x) = −15x2 Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i) = −15i2 Hasta ahora todo va bien, pero el i2 se puede simplificar más. Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada. Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a . Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1. (5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i) = −15i2 = −15(−1) = 15 Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo). División de números complejos Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que con expresiones radicales. Esto no debería sorprenderte, el número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales! Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la situación cuando el divisor es un monomio. Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre es un número real, por lo que el denominador será un número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado. 6.1 CIRCUITO EN SERIE- PARALELO Circuito Serie. Un circuito serie es aquel en el que el terminal de salida de un dispositivo se conecta a la terminal de entrada del dispositivo siguiente. La analogía de este circuito sería una manguera, la cuál está recorrida por un mismo caudal (corriente). Una resistencia es cuándo pisamos de forma parcial dicha manguera, obstruyéndose de esta forma al flujo de corriente. Respecto a las tensiones, estas son mayores en aquellas zonas de la manguera que pisamos más y por tanto se oponen más al paso de dicho corriente. La caída de tensión es mayor en aquellas zonas que presentan una mayor obstrucción a la corriente. Y se cumple esto: VTotal = V1 + V2 + .... Vn La tensión total = a la suma de todas las fuentes conectadas en serie. Así si tenemos 2 pilas, una de 6 V y otra 9 V en un circuito, la tensión total del circuito será de 15 V. Itotal = I1 = I2 Sobre el circuito discurre una única corriente, esto es, todos los componentes del circuito son recorridos por la misma corriente o intensidad, i. Más tarde la calcularemos. RTotal = R1 + R2 ... Rn La resistencia total es la suma de todas las resistencias. 1 / C Total = 1 / C1 + 1 / C2 .... 1 / Cn La capacidad total es la suma de la inversa de las capacidades del circuito. Circuito Paralelo. Un circuito paralelo es aquel en el que los terminales de entrada de sus componentes están conectados entre sí, lo mismo ocurre con los terminales de salida. Respecto analogía es un hidráulico, es cómo si tuviéramos varias tuberías empalmadas a un mismo punto, y por tanto pasará mayor corriente en aquellas zonas cuya resistencia es menor. Cómo es lógico al final del empalme se recoge toda la corriente de agua, y por tanto circula el total de corriente del circuito. Recuerden que el circuito seríe, en ese circuito había una única corriente en el circuito, ahora la cosa cambia, ahora tenemos VARIAS corrientes, tantas como ramas. Sin embargo ahora tendremos una única tensión, que será igual a la de la fuente. En las figuras siguientes vemos cómo es un circuito paralelo. Ambas figuras son idénticas, lo que pasa que lo he puesto de forma que lo recordéis con el símil hidráulico. Tenemos una fuente de alimentación de 9V que alimenta a 2 ramas, una con una resistencia de 100K y otra con una resistencia de 10K, ¿por dónde creeis que pasará más corriente? ¿dónde estamos pisando más la tubería? Pues la estamos pisando más en la resistencia de 100K, por lo que I2 será mayor que I1, por I1 pasará menos corriente al tener una resistencia mayor. como ven que la corriente total del circuito se divide en 2 corrientes que dependen de las resistencias de cada rama, por tanto. Ahora se cumple esto: VTotal = Vfuente La tensión total = a la tensión de la fuente de alimentación. Itotal = I1 + I2 Ahora sobre el circuito ya NO discurre una única corriente, sino que discurren 2 corrientes, también dependerá dónde midamos dicha corriente claro está, pero a efectos prácticos ahora tenemos 2 corrientes. Si tuviéramos más ramas tendríamos más corrientes. 1 / RTotal = 1/R1 + 1/R2 ...+ 1/Rn La resistencia total es la suma de la inversa todas las resistencias. C Total = C1 + C2 .... + Cn La capacidad total es la suma de todas las capacidades del circuito, vemos que ahora los cálculos se invierten respecto de los de un circuito serie. Ahora, que pasa si desconectamos una de las ramas? pues que el resto de circuito seguirá trabajando, el flujo de corriente ahora no se corta, y por tanto por nuestro circuito seguirá pasando la corriente. Circuito Mixto. Es lo que nos encontraremos en la realidad, y se trata de una mezcle de circuito serie y paralelo. Cómo ejemplo: 6.2 SOLUCION DE CIRCUITOS POR MEDIO DE MALLAS ELÉCTRICAS Introducción El método de la corriente de malla es otro método bien organizado para resolver circuitos (el otro es el del voltaje en los nodos). Al igual que en cualquier análisis de circuito, tenemos que resolver un sistema de 2E, E ecuaciones independientes, donde E es el número de elementos del circuito. El método de la corriente de malla facilita el análisis, y produce un número relativamente pequeño de ecuaciones a resolver. El método de la corriente de malla se basa en la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK). El método de la corriente de lazo es una pequeña variación del método de la corriente de malla. Lazos y mallas El método de la corriente de malla utiliza dos términos especiales: lazo y malla. Un lazo es cualquier trayectoria cerrada alrededor de un circuito. Para formar un lazo, debes comenzar en la terminal de algún componente y trazar un camino a través de elementos conectados hasta llegar nuevamente al punto de partida. Un lazo solo puede pasar por un elemento una vez (de tal forma que no obtengas lazos que parezcan el número 8). En el circuito de arriba hay tres lazos: dos representados con una línea continua, I y II, y otro con una línea punteada, III que sigue el perímetro del circuito. Una malla es una clase restringida de lazo; una malla es un lazo que no contiene otros lazos. En el circuito de arriba, los lazos I Y II son mallas porque no hay lazos pequeños dentro de ellas. El lazo punteado no es una malla, pues contiene dos lazos distintos. En el método de la corriente de malla, usamos las mallas de un circuito para generar las ecuaciones LVK. 6.3 SOLUCION DE CIRCUITOS POR EL METODO DE VOLTAJES DE NODOS La Ley de las Corrientes de Kirchhoff, una de las principales leyes de la electricidad utilizada en el análisis de circuitos eléctricos y electrónicos. En este post les voy a explicar como se encuentra las corrientes y los voltajes en un circuito haciendo análisis nodal con la Ley de las Corrientes de Kirchhoff. Lo primero que se necesita para este análisis es conocer qué es un nodo. ¿Qué es un nodo? En un circuito eléctrico, un nodo es un punto donde se cruzan dos o más elementos de circuitos, sea una fuente de voltaje o corriente, resistencias, capacitores, inductores, etc. Al escoger el sentido de la corriente como lo hemos hecho, es decir, de izquierda a derecha asumimos que los potenciales disminuyen de izquierda a derecha. Ahora procedemos a analizar nodo por nodo. Nodo 2 Como en el Nodo 1 ya conocemos el voltaje (voltaje de la fuente, voltios) procedemos a analizar el nodo 2. La única corriente que entra al nodo es la que viene de la fuente. La corriente que baja por R2 y por R3 salen del nodo. Vemos que la corriente que entra es la diferencia de voltajes entre la resistencia R1. Se asume que los 10 voltios de la fuente es mayor al voltaje en el nodo 2 ya que se produce una caída de voltaje en la resistencia. Las corrientes que salen serán la corriente que va del nodo 2 al nodo 3 y las que van del nodo 2 a tierra. Se asume que el voltaje 2 es mayor que el voltaje en el nodo 3. El voltaje en tierra es cero voltios. Al final la ecuación es la siguiente: Se trata de igualar la ecuación a cualquier término libre que tengamos. En este caso, el voltaje de la fuente. Nodo 3 Las corrientes que tomamos como salientes en un nodo deben ser tomadas como entrantes en el próximo nodo. La ecuación quedaría de esta forma. Nodo 4 Al nodo 4 entran 2 corrientes y sale una. Una vez más debemos recordar que la corriente sale del positivo de la fuente. El sentido de las flechas indica cuales corrientes entran y cuales salen del nodo. Con esto hemos establecido todas las ecuaciones para los 3 nodos que estamos analizando. Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales Siempre que se trabaja con la Ley de las Corrientes de Kirchhoff aparece un sistema de ecuaciones lineales. Luego de establecidas las ecuaciones, se procede a resolver el mismo. Se puede usare cualquier método (reducción, sustitución, determinantes, etc). Yo prefiero utlizar el método de Gauss-Jordan. Se lleva todo a una matriz. Se resuelve con el método matricial más pertinente 6.4 CONVERSIÓN DELTA ESTRELLA Y VICEVERSA Con el propósito de poder simplificar el análisis de un circuito, a veces es conveniente poder mostrar todo o una parte del mismo de una manera diferente, pero sin que el funcionamiento general de éste cambie. Algunos circuitos tienen un grupo de resistores (resistencias) que están ordenados formando: un triángulo (circuito en configuración triángulo) ó una estrella (circuito en configuración estrella). Hay una manera sencilla de convertir estos resistores de un formato al otro y viceversa. No es sólo asunto de cambiar la posición de las resistores si no de obtener los nuevos valores que estos tendrán. La fórmulas a utilizar son las siguientes: (ver los gráficos anteriores) Conversión de delta a estrella – R1 = (Ra x Rc) / (Ra + Rb + Rc) – R2 = (Rb x Rc) / (Ra + Rb + Rc) – R3 = (Ra x Rb) / (Ra + Rb + Rc) Para este caso el denominador es el mismo para todas las ecuaciones. Si Ra = Rb = Rc = RDelta, entonces R1 = R2 = R3 = RY y las ecuaciones anteriores se reducen a RY = RDelta / 3 Conversión de estrella a delta – Ra = [ (R1 x R2) + (R1 x R3) + (R2 x R3) ] / R2 – Rb = [ (R1 x R2) + (R1 x R3) + (R2 x R3) ] / R1 – Rc = [ (R1 x R2) + (R1 x R3) + (R2 x R3) ] / R3 Ejemplo: Ejemplo de conversión Delta - Estrella En el gráfico que se al lado izquierdo, dentro del recuadro una conexión tipo Delta, en serie con una resistor R. Si se realiza la transformación de los resistores que están en configuración Delta a configuración Estrella se obtiene lo que está al lado derecho del gráfico (ver el recuadro). Ahora se tiene al resistor R en serie con el resistor R1. Estos se suman y se obtiene un nuevo resistor R1. Esta nueva conexión en Estrella puede quedarse así o convertirse otra vez a una conexión Delta Notas: Conexión Estrella = Conexión “Y” Conexión Delta = Conexión Triángulo 6.5 teoremas de thevenin y Norton ¿Qué es el teorema de thévenin y norton? El teorema de thévenin y norton nos permiten simplificar el análisis de circuitos más complejos en un circuito equivalente simple, por medio de la sustitución de una fuente y una resistencia. Teorema de thévenin El teorema de thevénin dice: dado un par de terminales en una red lineal, la red puede reemplazar con una fuente de voltaje ideal voc en serie con una resistencia rth. Rabporción decircuito asustituir con elequivalente dethevéninl rabr+_vlsth Donde: Voc es igual al voltaje de circuito abierto a través de las terminales (nota: oc significa circuito abierto - open circuit). Rth es la resistencia equivalente a través de las terminales cuando se hace un corto circuito a las fuentes de voltaje independientes y se sustituyen las fuentes de corriente independiente con circuito abiertos, es decir para las fuentes de voltaje independientes v = 0 o corto circuito y para las fuentes de corriente independientes i = 0 o circuito abierto. Ejemplo aplicando el teorema de thevénin Para comprender de mejor manera la aplicación del teorema de thevénin se propone un problema muy simple correspondiente a la figura que se muestra a continuación. +_vsrr21rabl Las terminales “a” y “b” corresponde a la conexión de la red del circuito restante, suponiendo que se considero únicamente una parte del circuito . Lo que se debe considerar para el análisis se muestra en el recuadro punteado del cual se sustituirá con su equivalente thevénin. Primeramente se debe desconectar el circuito de la red para determina el voltaje voc correspondiente a las terminales “a” y “b” . Para obtener voc es mediante un divisor de voltaje: V+_vocsrr21rabl Voc = R2 R1 + r2 Vs Para encontrar la rth debemos poner la fuente de voltaje independiente en corto circuito vs = 0 , ya que r1 y r2 están en paralelo en relación con las terminales abiertas, la resistencia equivalente es: Rr21rablrth Rth = R1r2 R1 + r2 Como resultado final obtenemos el circuito equivalente de thevénin: Rabr+_vlsth Nota: observar que la fuente de voltaje equivalente voc está en serie con la resistencia de thevénin rth. Resumen del procedimiento: Retire la resistencia de carga rl o la red del circuito correspondiente. Encuentre rth cortocircuitando todas las fuentes de voltaje o abriendo el circuito de todas las fuentes de corriente. Encuentre voc por los métodos habituales de análisis de circuitos. Encontrar la corriente que fluye a través de la resistencia de carga rl. Teorema de norton El teorema de norton dice: cualquier circuito lineal que contenga varias fuentes de energía y resistores puede ser reemplazado por una fuente de corriente ideal isc y la resistencia de thevénin rth en paralelo con esta fuente. Rabporción decircuito asustituir con elequivalente denortonl rabrilscth Donde: Isc es la corriente que fluye a través de las terminales (nota: sc significa corto circuito short circuit). Rth es la resistencia equivalente a través de las terminales cuando se hace un corto circuito a las fuentes de voltaje independientes y se sustituyen las fuentes de corriente independiente con circuito abiertos, es decir para las fuentes de voltaje independientes v = 0 o corto circuito y para las fuentes de corriente independientes i = 0 o circuito abierto. Ejemplo aplicando el teorema de norton Para comprender de mejor manera la aplicación del teorema de norton se propone un problema muy simple correspondiente a la figura que se muestra a continuación. +_vsrr21rabl Las terminales “a” y “b” corresponde a la conexión de la red del circuito restante, suponiendo que se considero únicamente una parte del circuito. Lo que se debe considerar para el análisis se muestra en el recuadro punteado del cual se sustituirá con su equivalente norton. Primeramente se debe poner en corco circuito la red para determina la corriente (isc) correspondiente a las terminales “a” y “b”. Como la corriente fluye por donde se tenga menor resistencia, la resistencia r2 se puede considerar como valor de r2=0. +_vrabslrr21 Isc = Vs R1 Para encontrar la rth debemos poner la fuente de voltaje independiente en corto circuito vs = 0 , ya que r1 y r2 están en paralelo en relación con las terminales “a” y “b” (en este caso las terminales deben estar abiertas), la resistencia equivalente es: Rr21rablrth Rth = R1r2 R1 + r2 Como resultado final obtenemos el circuito equivalente de norton: Rabrilscth Nota: observar que la fuente de corriente equivalente isc está en paralelo con la resistencia de thevenin rth. Resumen del procedimiento: Retire la resistencia de carga rl o la red del circuito correspondiente. Encuentre rth cortocircuitando todas las fuentes de voltaje o abriendo el circuito de todas las fuentes de corriente. Encuentre isc por los métodos habituales de análisis de circuitos mediante la colocación de un corto circuito en las terminales “a” y “b”. Encontrar la corriente que fluye a través de la resistencia de carga rl Convertir de norton a thévenin Los equivalentes de thevenin y norton son independientes de la red del circuito restante que representa una carga . Esto permite hacer cambios en la carga sin volver a analizar los equivalentes de thevenin o norton. Thévenin a norton Para poder convertir de thévenin a norton unicamente debemos aplicar la ley de ohm para encontrar la corriente y la fuente resultante(fuente de corriente) se deberá poner en paralelo a la resistencia equivalente rth. Norton a thévenin Para poder convertir de norton a thévenin únicamente debemos aplicar la ley de ohm para encontrar el voltaje y la fuente resultante (fuente de voltaje) se deberá poner en serie a la resistencia equivalente rth. Nota: es importante considerar que la resistencia de thévenin y la resistencia de norton es la misma.
