Resto cuadratico la unidad

RESTO CUADRATICO , LA UNIDAD
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RESTO CUADRATICO LA UNIDAD
Todo número , entero , positivo ,impar ,compuesto ,que llamaremos N, tiene como mínimo cuatro números
menores de N, que elevados al cuadrado ,generan como resto cuadrático “1”.
“ A priori” conocemos dos de ellos:
1² y ( N – 1 )²
El presente trabajo ,que exponemos bajo el título “Resto cuadrático la unidad”, da a conocer los
procedimientos a través de los cuales es posible hallar los otros dos cuadrados ,menores que N,que también
generan el “uno” como residuo cuadrático. A su vez el conocer esto, nos proporciona:
1º.-Saber los factores que dividen a N.-Factorización que no tiene como base los cuadrados de Fermat.
2º.-Nos informa de que la base de uno de los cuadrados,es igual a la diferencia de dos números,que tienen
de particular ,que al ser elevados al cuadrado,sus congruencia son iguales a las bases, módulo N.
3º.-Proporciona,mediante una simple operación, el hallar los 3º y 4º cuadrados,que generan como resto 2²,
3² , 4² etc….
4º.-Nos muestra la relación directa de los citados cuadrados , con los cuadrados de factorización de
Fermat.
5º.-Por último, pone a nuestra disposición las citadas propiedades o peculiaridades , que pueden ser base
de otros estudios.
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PROCEDIMIENTOS PARA CONOCER LOS CUADRADOS QUE GENERAN COMO RESTO LA
UNIDAD
Procedimiento A
N = impar,compuesto,positivo = A ² + B ² = C ³ + D ²
planteamos la ecuación diofántica ,
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N×c-B=A×e
e ² ≡ ( N – 1 ) ( módulo N )
y nos proporciona que ,
igualmente ,planteamos otra ecuacion .
N×d-D=f×C
en el que también , f ² ≡ ( N – 1 ) ( módulo N )
es decir que , e ² × f ² ≡ 1 ( mod. N )
Ejemplo :
N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ² 62317 c – 141 = 206 e
resolviendo la ecuación, e = 5747
por otra parte , 62317 d – 179 = 174 f f = 12534
5747 ² ≡ 62316 ( módulo 62317 ) ; 12534 ² ≡ 62316 ( módulo 62317 )
5747 × 12534 ≡ 56763 ( módulo 62317 )
5747.
56763 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
en cuanto a la factorización de 62317 ,
las bases de los 4 cuadrados son : 62316 ;
1;
56763 ;
5554 .
62316 – 56763 = 9 × 617 62316 – 5554 = 562 × 101
N = 62317 = 617 × 101
---------------------------------------------------------Procedimiento B
Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números consecutivos que tengan como factores entre
otros , “ x ” “ y ”.
N=x.y
;a.x+1=b.y
( b . y ) ² ≡ b . y ( módulo N )
d.x=e.y+1
( d . x ) ² ≡ d . x ( módulo N )
( b . y – d . x ) ≡ 1 ( módulo N )
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Ejemplo :
N = 62317 = 617 x 101 617
a + 1 = 101 b
617 a = 101 b + 1
a = 46
33936 – 28382 = 5554
b = 336 336 x 101 = 33936
46 x 617 = 28382
5554 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
33936 y 28382 , tienen la siguiente peculiaridad ,
33936 ² ≡ 33936 ( módulo 62317 )
28382 ² ≡ 28382 ( módulo 62317 )
Procedimiento C
Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat :
N=x.yF²-N=f²
B . N . - F = a . f a ² ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 617 × 101
las bases de los cuadrados de Fermat son : (617 + 101)/2 = 359 ;
(617- 101)/2 = 258
62317 b – 258 = 359 a , resolvemos la ecuación ,
a = 5554
5554 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
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