UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD TÉCNICA
CARRERA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
PROYECTO DE GRADO
APLICACIÓN DE LA PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE
MERCATOR (LTM) SOBRE EL PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL (PTL),
MEDIANTE OBSERVACIONES CON ESTACIÓN TOTAL ENTRE PUNTOS
DE CONTROL
POSTULANTE:
TUTOR:
RICHARD TOLA VARGAS
Lic. JUSTO DANIEL FLORES VARGAS
La Paz – Bolivia
2010
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
DEDICATORIA
A mi familia por su apoyo incondicional.
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Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
AGRADECIMIENTOS ESPECIALES
A Lic. Justo Daniel Flores Vargas
Lic. Reynaldo A. Sirpa Ticona
Por su ayuda en la realización del presente Proyecto de Grado.
Y un agradecimiento muy especial a Doc. T.S. Maria Eugenia Mariaca que me incentivo a
realizar investigaciones en el área de Geodesia.
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Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
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Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
AGRADECIMIENTOS
Lic. Eduardo Llanos Martínez
Lic. Jaime Silva Mollinedo
Ing. Vitaliano Miranda Angles
Lic. Blenda Jaimes Piñeiro
A Rosa Paola Montejo Amblo
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Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
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Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
RESUMEN:
Con el avance de la Ciencia y la implementación de nuevas tecnologías tales como el GPS y
la estación total, se incrementan y facilita ampliamente la precisión y cálculos requeridos en
geodesia, que traen consigo nuevas metodologías reemplazando a los métodos clásicos por
el uso de nuevas metodologías, llevándonos a investigar y analizar nuevas formas de aplicar
y reducir cálculos matemáticos.
Al momento de realizar una medición con estación total, el factor atmosférico, influye en tal
grado que las distancias se deforman, produciendo una variación en la distancia mensurada,
y al momento de representarlo en un plano georeferenciado donde se muestre la distancia
topográfica se genera una incertidumbre. En el presente Proyecto de Grado se mostrará y
analizará la influencia del factor atmosférico utilizando la corrección por PPM, también se
compara la variación de distancias: proyectada, topográfica y geodésica, analizando los
factores de escala y la aplicación de la Proyección Local Transversal de Mercator (LTM), la
ventaja que presenta el uso
de esta proyección es de facilitar ampliamente los
requerimientos de la ingeniería debido a que en esta proyección se mantiene el valor de la
distancia topográfica, representando la superficie topográfica en un plano georeferenciado.
Se aplica la proyección LTM, para el control horizontal en una poligonal de 9351.278 metros
utilizando distancias topográficas, obteniéndose un error de cierre lineal de 0.132 metros y
angular de 14.247”, facilitando de esta forma las operaciones, y cálculos que se requiere
en la representación de las distancias topográficas.
Palabras claves: Proyección Local Transversal de Mercator, Plano Topográfico Local,
Sistema de Proyección, Sistema de referencia, Factor de Escala, PPM.
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Carrera de Topografía y Geodesia
ÍNDICE DE MATERIAS
CAPITULO I GENERALIDADES
Pág.
1.- INTRODUCCIÓN
1.1.- PROBLEMÁTICA
1.2.- OBJETIVOS
1.2.1.- OBJETIVO GENERAL
1.2.2.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.3.- ÁREA DE TRABAJO
1.3.1.- UBICACIÓN GEOGRÁFICA
1.3.2.- UBICACIÓN FISIOGRÁFICA
1.4.- JUSTIFICACION
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13
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CAPITULO II MARCO TEORICO
2.- GEODESIA
2.1.- FINALIDADES Y PROPÓSITOS DE LA GEODESIA
2.1.2.- GEODESIA GEOMETRICA
2.1.3.- HISTORIA DE LA GEODESIA
2.2.- LA TIERRA
2.2.1.- FORMAS DE LA TIERRA
2.2.2.- ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
2.3.- SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICO
2.3.1.- SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL
2.3.1.1.- EL SISTEMA TERRESTRE INTERNACIONAL
2.3.1.2.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE INTERNACIONAL ITRS
2.3.1.3.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE CONVENCIONAL (CTRS).
2.3.1.5.- WGS-84
2.3.1.6.- ACTUALIZACIÓN DEL SISTEMA WGS-84
2.3.2.- SISTEMAS DE REFERENCIA LOCAL
2.3.2.1.- PSAD-56
2.3.2.2- SAD-69
2.4.- MARCO DE REFERENCIA
2.4.1.- MARCOS DE REFERENCIA GLOBAL
2.4.1.1.- ITRF
2.4.1.2.- SIRGAS
2.4.2.- MARCO DE REFERENCIA LOCAL (RED MARGEN BOLIVIA)
2.5.- GEODESIA CLASICA
2.5.1.- CONTROL HORIZONTAL
2.5.2.- CONTROL VERTICAL
2. 6.- MEDICION DE DISTANCIAS CON ESTACION TOTAL
2.6.1.- DISTANCIÓMETROS ELECTRÓNICOS
2.6.2.- ESTACIÓN TOTAL (ET)
2.6.2.1.- FUNCIONAMIENTO
2.6.2.2.- CARACTERÍSTICAS
2.6.2.3.- FUNCIONES DE MEDICIÓN DE DISTANCIA
2.6.2.4.- FUNCIONES DE MEDICIÓN ANGULAR
2.6.2.5.- FACTORES DE CORRECCIÓN
2.7.- SISTEMAS DE COORDENADAS
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2.7.1.- SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICAS
2.7.2.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ESPACIALES
2.7.3.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTOGRAFICAS
2.8.- PROYECCIONES CARTOGRAFICAS
2.8.1.- TIPOS DE PROYECCIÓN SEGÚN SU DEFORMACION
2.8.1.1.- PROYECCIONES DE ÁREA EQUIVALENTES (IGUAL ÁREA)
2.8.1.2.- PROYECCIÓN EQUIDISTANTE (IGUAL DISTANCIA)
2.8.1.3.- PROYECCIÓN CONFORME
2.8.1.4.- PROYECCIONES DE DIRECCIÓN VERDADERA
2.9.- TIPOS DE PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS SEGÚN LA
SUPERFICIE AL CUAL SE PROYECTA
2.9.1.- PROYECCIONES PLANAS O AZIMUTALES
2.9.2.- PROYECCIONES SOBRE SUPERFICIES DE CUERPOS DESARROLLABLES
A). PROYECCIONES CILÍNDRICAS
B). PROYECCIONES CÓNICAS
2.10.- PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA DE MERCATOR
2.10.1.- PROYECCIONES CILÍNDRICAS DE MERCATOR
2.10.1.1.- PROYECCIONES NORMALES
2.11.- PROYECCIONES TRANSVERSALES DE MERCATOR
2.11.1.- PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (UTM)
2.11.1.1.- CARACTERÍSTICAS
2.11.1.2.- DESCRIPCIÓN DE UNA ZONA UTM
2.11.2.- PROYECCION GAUSS KRUGER
2.11.3.- PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (LTM)
2.11.3.1.- PROYECCIÓN LTM Y PLANOS TOPOGRÁFICOS LOCALES (PTL)
2.12.- DEDUCCION DE FORMULAS
2.12.1.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A LTM
2.12.2.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A GEODÉSICAS
2.12.3.- CONVERGENCIA DE MERIDIANOS (γ)
2.12.4.- FACTOR DE LA ESCALA DE REPRESENTACION (k)
2-12.5.- INFLUENCIA DE LA CURVATURA TERRESTRE (d)
2.12.6.- FACTOR COMBINADO (Kt)
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CAPITULO III METODOLOGIA
3.1.- ANALISIS DE INFORMACION EN GABINETE
3.1.1.- HIPÓTESIS
3.1.2.- ANALISIS DE LAS DISTANCIAS
3.1.3.- CÁLCULO DE DISTANCIAS
3.2.- ETAPA DE CAMPO
3.3.- ANALISIS DE RESULTADOS
3.3.1.- ANÁLISIS DEL PPM
3.3.2.- CÁLCULO PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL (PTL)
3.3.3.- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
3.3.4.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A LTM
3.3.5.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS
3.3.6.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS A LA PLANO DE PROYECCION UTM UTILIZANDO EL
FACTOR COMBINADO (Kt).
3.3.7.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS AL ELIPSOIDE DE LOS PUNTOS GPS UTILIZANDO
FACTOR DE ALTURA.
3.3.8.- ANÁLISIS DE LA TOLERANCIA
3.3.9.- CÁLCULO DE UNA POLIGONAL DE ENLACE
3.3.10.- CONTROL HORIZONTAL
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3.3.11.- TRANSFORMACION DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS
3.3.12.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS UTM
3.3.13.- VERIFICACION DE DISTANCIAS
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4.1.- CONCLUSIONES
4.2.- RECOMENDACIONES
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5.- ANEXOS
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6.- BIBLIOGRÁFIA
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ANÉXOS.Anexo A
Anexo B
Anexo C
Anexo D
Anexo E
Anexo F
Anexo G
Anexo H
Anexo I
Anexo J
Anexo K
Anexo L
Anexo M
Anexo N
Estación BEVI, Foto de la estación y Plaqueta.
Estación BPUL, Foto de la estación.
Vista Panorámica del Illimani.
Croquis de ubicación de las estaciones del proyecto Viacha-Collana.
Estación BM-DK 14. Foto de la estación y la plaqueta
Estación GP-VC12. Foto de la estación y la plaqueta
Estación GP-VC13. Foto de la estación y la plaqueta.
Estación GP-VC14. Foto de la estación y la plaqueta.
Reporte GPS.
Reporte de la estación total.
Tabla de corrección por PPM.
Formulas de corrección atmosferica.
Planillas de campo.
Mapa de ubicación de estaciones geodésicas GPS
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ÍNDICE DE GRÁFICOS
Fig. 1 Vista panorámica de la Ciudad de La Paz.
Fig. 2 Vista panorámica Viacha-Collana.
Fig. 3 Movimiento de rotación
Fig. 4 Movimiento de presesión
Fig. 5 Distancias obtenidas con la Estación Total
Fig. 6 Representación de una onda electromagnética
Fig. 7 Emisión y Recepción de la onda.
Fig. 8 Coordenadas Geodésicas y Espaciales
Fig. 9 Proyecciones Cartográficas según la superficie al cual se proyecta.
Fig. 10 Proyecciones Acimutales
Fig. 11 Proyecciones Cilíndricas
Fig. 12 Proyecciones Cónicas
Fig. 13 Gerardo Mercator
Fig. 14 Mapa de Europa realizado por Gerardo Mercator
Fig. 15 Planisferio de Rumold Mercator, realizado en 1587
Fig. 16 Proyecciones Cilíndricas Simples
Fig. 17 Proyección Cilíndrica Ortomórfica
Fig. 18 Proyección Oblicua de Mercator
Fig. 19 Aspecto Oblicuo Proyección Mercator
Fig. 20 Zonas UTM
Fig. 21 Plano PTL. Formula del factor de elevación.
Fig. 22 Plano PTL
Fig. 23 Elipsoide
Fig. 24 Zona de Proyección
Fig. 25 Distancia en el elipsoide
Fig. 26 Distancia en Proyección
Fig. 27 Plano Topográfico Local
Fig. 28 (Latitud Isométrica φ1=q1)
Fig. 29 Convergencia de meridianos
Fig. 30 Ángulo de convergencia de meridiano.
Fig. 31 Ángulo central con un con un Radio Real
Fig. 32 Ángulo central con un radio igual a 1
Fig. 33 Factor Combinado
Fig. 34 Plano PTL
Fig. 35 PTL vs Altura Elipsoidal
Fig. 36 distancia sobre el plano PTL.
Fig. 37 Comparación de distancias: Inclinada, Elipsoidal y UTM
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ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1 Datos generales de la tierra
Tabla 2 Densificación ITRF/SIRGAS
Tabla 3 Tolerancia por PPM
Tabla 4 Factores de escala en las diferentes Proyecciones Mercator.
Tabla 5 Coordenadas geodésicas y ubicación.
Tabla 6 Distancia Elipsoidal, Inclinada y su diferencia
Tabla 7 Distancia Elipsoidal, distancia UTM y su diferencia
Tabla 8 Resumen de Distancias medidas con la Estacion Total Sokkia SET-350 RK
Tabla 9 Distancia Horizontal sin corrección y con corrección atmosférica.
Tabla 10 Cálculo de las coordenada Media.
Tabla 11 Resumen de coordenadas LTM
Tabla 12 Resumen Coordenadas Geodésicas
Tabla 13 Comparación de distancias mensuradas y calculadas
Tabla 14 Comparación de distancias: UTM obtenida por Kt y la calculada de
sobre el Plano UTM.
Tabla 15 Comparación de distancias: Elipsoidal obtenida por Kh y la calculada
de sobre el Elipsoide.
Tabla 16 Cálculo de distancia horizontal y vertical
Tabla 17 Coordenadas Geodésicas
Tabla 18 Cálculo de la coordenada Media.
Tabla 19 Cálculo de Coordenadas LTM
Tabla 20 Cálculo y corrección del error de cierre angular
Tabla 21 Cálculo y corrección del error de cierre lineal.
Tabla 22 Resumen de coordenadas geodésicas.
Tabla 23 Resumen de coordenadas UTM.
Tabla 24 Comparación de distancias: Topográfica y calculada por coordenadas LTM.
Tabla 25 influencia de la corrección atmosférica
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PLANILLAS
Planilla 1, 2, 3 Observación de distancias sin PPM
Planilla 4, 5, 6 Observación de distancias con PPM
Planilla 7, 8, 9,10 Lectura de distancias ángulos por serie.
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CAPITULO I
GENERALIDADES
1.- INTRODUCCION
La geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra, utiliza un
elipsoide de referencia sobre el cual se realizan los cálculos matemáticos para la
determinación de distancias, ángulos, coordenadas (elipsoidales y coordenadas cartesianas
espaciales), etc., para que las coordenadas elipsoidales estén relacionados a la superficie
terrestre tienen que ser materializados a partir de un punto datum, del cual se densifica en
redes de control, a nivel Sudamérica se tiene la Red SIRGAS (Sistema de Referencia
Geocéntrico para las América), y para Bolivia se tiene la Red MARGEN (Marco de
Referencia Geocéntrico Nacional). Estas redes son materializadas mediante mojones o
monumentos, denominados como puntos GPS1, estos son los que llevan los valores en
coordenadas geodésicas de latitud, longitud y altura elipsoidal.
Las redes de control geodésico son de gran importancia, ya que apoyadas en estas redes se
densifican otras de menor precisión, a la clasificación de las diferentes redes se la denomina
“CLASES” según la clasificación realizada por el Instituto Geográfico Militar (IGM), a partir de
estos puntos GPS se realiza la representación georeferenciada de áreas más pequeñas.
Estas pequeñas áreas son obtenidas mediante métodos topográficos; al momento de
representarlo en un plano de proyección, se generan varias incertidumbres tales como: la
influencia de los factores atmosféricos, el tipo de coordenadas que se utiliza y la proyección
de la distancia al momento de llevarlo a un sistema de proyección.
En el presente proyecto de grado, se aclararán todas estas incertidumbres, se planteará el
sistema de Proyección Local Tranversal de Mercator (LTM) y su aplicación en el campo de la
topografía, utilizando un sistema de coordenadas locales, tomando en cuenta parámetros
geodésicos y de proyección cartográfica, se comprobarán las diferencias entre la distancia
topográfica (obtenida por la estación total) y la distancia obtenida por cálculo sobre el plano
de proyección local utilizando coordenadas (LTM), además de su variación con respecto a la
distancia sobre el sistema de proyección UTM.
1.1.- PROBLEMÁTICA
En los diferentes trabajos topográficos georeferenciados, el problema surge al momento de
realizar la representación de distancias topográficas, sobre un plano de proyección en el cual
se conserve su verdadera magnitud sin deformación, a continuación un ejemplo donde se
muestra la deformación de una distancia:
Se requiere mostrar una distancia de 10 metros en un plano donde esta distancia sea
representada en 3 metros.
La solución a este problema será la utilización de un factor de escala que nos permita
realizar la representación:
1
Sistema de Posicionamiento Global.
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Factor de escala= (3 metros/10 metros)=0. 3
Distancia representada = (distancia real) (factor de escala)
Distancia representada = (10 metros) (0. 3)
Distancia representada = 3 metros.
En este ejemplo se muestra el factor de escala por el cual debe ser multiplicado la distancia
real para llevarlo a su distancia representada.
Sucede lo mismo cuando se utiliza un sistema de proyección UTM, una distancia sobre el
plano UTM está deformado con respecto a la verdadera distancia (distancia topográfica) al
cual está representando, además el factor de escala utilizado para la proyección tiene una
correspondencia del elipsoide al plano de proyección por ejemplo:
Representar la distancia entre dos puntos GPS que tiene una distancia elipsoidal de
100 metros y otra de 10000 metros en una zona UTM que pase por el MC.
Para representar esta distancia geodésica se debe multiplicar por el factor de escala.
Para la distancia de 100 metros:
Distancia sobre el plano UTM= (distancia geodesica) (factor de escala)
Distancia sobre el plano UTM= (100 metros) (0.9996)
Distancia sobre el plano UTM= 99,96 metros
Ahora para la distancia de 10000 metros:
Distancia sobre el plano UTM= (10000 metros) (0.9996)
Distancia sobre el plano UTM= 9996 metros
Se observa que el valor del factor de escala en este caso es el mismo para ambas distancias
debido a que ambas distancias están sobre la línea del MC. y que la variación de la distancia
sobre el plano UTM está en función a la distancia: “A mayor distancia mayor deformación”.
En conclusión la problemática es la representación de la distancia topográfica en un plano de
proyección de tal forma que facilite los diferentes cálculos que se realicen sobre la superficie
topográfica. Utilizando un plano de proyección que conserve la distancia topográfica, donde
la correspondencia sea superficie Topográfica al Plano de Proyección.
La solución a este problema de la topografía es la utilización de un sistema de proyección
que conserve las distancias topográficas y ángulos, este sistema de proyección se la conoce
con el nombre de Proyección Local Transversal de Mercator, el cual se la desarrolla en el
presente proyecto de grado.
Partiendo de una línea base (dos puntos GPS visibles entre sí), las coordenadas geodésicas
de estos puntos GPS son transformados a coordenadas LTM, tomando en cuenta los
parámetros locales que se generan en función a la coordenada geodésica media del área de
trabajo.
El valor de la tolerancia está sujeto a varios factores que se analizarán en el presente
proyecto de grado como ser: tolerancia del equipo, el factor de escala (FKL), además de
la influencia del factores atmosféricos, y el uso del factor combinado para la proyección de la
distancia topográfica a la distancia sobre la proyección UTM.
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1.2.- OBJETIVOS
1.2.1.- OBJETIVO GENERAL
Aplicar un Sistema de Proyección Local Transversal de Mercator (LTM) sobre un Plano
Topográfico Local (PTL), generado a partir de la coordenada geodésica media de la línea
base y que permita determinar la distancia topográfica.
1.2.2.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS
v Obtener mediante cálculo de transformación las coordenadas LTM desde el sistema
de Coordenadas Geodésicas y viceversa.
v Analizar la variación de las distancias elipsoidal, inclinada y la proyectada (UTM)
v Analizar los factores incidentes en la Proyección LTM.
v Verificar la variación de distancias por influencia de los factores atmosféricos.
v Analizar y aplicar el factor combinado.
v Comprobar la variación que existe entre la distancia obtenida mediante el cálculo
inverso teniendo dos coordenadas LTM y la distancia obtenida con la estación total
(distancia topográfica)
v Realizar el control horizontal mediante el sistema de Proyección LTM en una
poligonal de enlace.
1.3.- ÁREA DE TRABAJO
1.3.1.- UBICACIÓN GEOGRÁFICA
El presente proyecto de grado, se la desarrolla en dos áreas de trabajo la primera en la
ciudad de La Paz Provincia Murillo y la segunda en la localidad de Viacha Provincia Ingavi
del Departamento de La Paz Bolivia.
1.3.2.- UBICACIÓN FISIOGRÁFICA
La primera área se encuentra ubicado entre las provincias fisiográficas del Altiplano y la
cordillera Oriental o Real, en la ladera sur oeste de la Cordillera Oriental.
La Ciudad de La Paz está asentada sobre las riveras del rio Choqueyapu que cruza de oeste
a este y pequeños rios que nacen en las laderas altas y depositan sus aguas a lo largo del
trayecto de este rio.
Presenta un suelo con una textura más gruesa en la superficie es decir franco arenoso con
afloramientos rocosos de un color pardo oscuro y en profundidad es limoso y arenoso. Su
variedad de tipos litológicos comprenden: desde rocas constituidos por arenisca, cuarcitas,
lutitas, y pizarras, hasta depósitos aluviales conformados por grava, limos y arcillas del
cuaternario.
Las laderas escarpadas y disectadas, de topografía irregular que comprende formaciones de
La Paz, Miraflores, Pampajasi y torrentes de barro.
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Presenta la forma valle fluvial formado por material aluvial, el clima es templado y húmedo,
ubicado a una altura media de 3600 msnm. Presenta una vegetación rala con árboles y
arbustos y áreas de pajonal.
Fig. 1 Vista panorámica de la Ciudad de La Paz
La segunda área de trabajo se encuentra en la Provincia Fisiográfica del Altiplano presenta
una topografía plana, se caracteriza por su altura, ya que en ella se encuentran las cimas
más altas de Bolivia, presenta una meseta plana semidesértica, con estepas y pajonal de
clima frio y seco, ubicado a una altura media de 4000 msnm.
Se halla situada en medio de las cordilleras Oriental y Occidental, presenta paisajes como
las Serranías Interaltiplánicas.
El Altiplano es una cuenca sedimentaria intramontañosa cuyos sedimentos han sido
mayoritariamente depositados en condiciones de endorreísmo y levantados por los mismos
movimientos tectónicos que han dado origen a la Cordillera Andina desde hace unos 15-25
millones de años. Los mecanismos tectónicos responsables de estos movimientos son aún
poco entendidos y existe una variedad de modelos que intentan relacionar la subducción
oceánica bajo los Andes con la historia del levantamiento de los sedimentos del Altiplano.
El Altiplano es una cuenca endorreica. La mayor parte de la precipitación tiene lugar en el
extremo Norte del mismo y es colectada por el lago Titicaca. Sólo una pequeña parte de esta
agua no es evaporada y es estacionalmente drenada a través del río Desaguadero hasta el
Lago Poopó, muy somero y salino. Ocasionalmente tiene también este último algún
excedente de agua no evaporada que es drenada a los salares de Coipasa y Uyuni, punto
más bajo de la cuenca2.
2
www.wikipedia.org/wiki/Altiplano.
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Fig. 2 Vista panorámica Viacha-Collana
1.4.- JUSTIFICACIÓN
La ventaja de la proyección Local Transversal de Mercator, reside en que soluciona
rigurosamente el problema de la tolerancia planimetríca requerido para los proyectos de
ingeniería que estén ligados a los vértices de la red geodésica GPS, referida al sistema
SIRGAS, que coincida con la distancia obtenida por cálculo de coordenadas LTM y las de
terreno.
La representación georeferenciada de la superficie topográfica, se la realiza proyectando la
superficie topográfica a un plano topográfico local (PTL), de tal forma que la diferencia entre
la distancia topográfica medida con la ET y la distancia sobre el plano PTL sea mínima, de
esa manera la distancia sobre el plano PTL mostrará la realidad métrica del terreno.
Este plano está en función al radio medio de curvatura y la altura elipsoidal media del área
de trabajo, la proyección LTM adopta husos de 1º de longitud, con Meridiano Central Local
(MCL), calculado en función a la longitud media de la línea base o del área de trabajo.
Debido a la gran precisión que ofrece es aplicable a proyectos de ingeniería, facilita de gran
manera los requerimientos de los diferentes trabajos en el campo de la topografía como ser:
proyectos de ingeniería vial, levantamientos topográficos, catastro y obras de ingeniería civil,
que estén ligados a la red GPS es decir que estén georeferenciados.
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CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
2.- GEODESIA
Geodesia, palabra derivada de la voz griega gêodaisia (geo, Tierra; daien, dividir) de manera
literal significa: “dividir la Tierra” 3.
El concepto básico de Geodesia fue formulado en el siglo XIX, como “la ciencia de la
medición y representación de la superficie de la Tierra”.
En las primeras décadas del siglo XX, se consideraba a la Geodesia como la “ciencia, que
trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie terrestre”. Planteaba a
su vez que los métodos empleados para alcanzar estos propósitos eran:
v La medición de longitudes de arcos (meridianos, paralelos o arcos oblicuos) en la
superficie de la Tierra, combinada con la determinación de las posiciones
astronómicas de puntos en estos arcos.
v La medición de distancias en una red de triángulos cubriendo un área, combinada
igualmente con la determinación de posiciones astronómicas.
v La medición de la fuerza de gravedad en diferentes partes de la superficie terrestre.
Sin embargo, los diferentes avances obtenidos, tanto tecnológicos como científicos, dieron
lugar hace tres décadas a la consideración del concepto que se tenía hasta entonces, este
no reflejaba el papel que la geodesia representaba en los tiempos actuales, exigiendo por
tanto el planteamiento de una nueva definición y alcance del concepto de geodesia. Sólo
hasta 1973, una definición más amplia fue presentada, considerando la “Geodesia como la
disciplina que trata con la medición y representación de la Tierra, incluyendo su
campo de gravedad terrestre, en un espacio tridimensional variante con el tiempo”.
Actualmente la geodesia se define como: “Ciencia matemática que tiene por objeto
determinar la figura y magnitud de la Tierra, así como su campo gravitatorio” 4.
2.1.- FINALIDADES Y PROPÓSITOS DE LA GEODESIA
El primer objetivo práctico de la geodesia es: suministrar un marco de referencia preciso para
el control de levantamientos topográficos georeferenciados.
La geodesia tiene dos finalidades que son:
v Científica.
v Práctica.
3
Torge Wolfgrang, 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl,
pag. 13.
4
Zakatov P. S., 1981, CURSO DE GEODESIA SUPERIOR-Problemas de Geodesia Superior nociones fundamentales y definiciones,
Editorial MIR, Traducido por: Jose Abel Rico Baez, URSS, pag. 11.
18
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La científica es puramente especulativa por que abarca el estudio teórico de la forma y
dimensión del globo terráqueo. La finalidad práctica permite la materialización de los puntos
de apoyo conformando la red geodésica que servirá como estructura geométrica precisa
para los trabajos topográficos.
Los principales propósitos de la Geodesia se pueden resumir en lo siguiente:
v Establecimiento y mantenimiento de redes de control geodésico tridimensionales,
nacionales y globales, reconociendo el tiempo como aspecto variante en dichas
redes.
v Medición y representación de fenómenos geodinámicos tales como movimiento polar,
mareas terrestres, y movimientos de corteza.
v Determinación del campo de gravedad terrestre, incluyendo las variaciones
temporales.
v Determinación de parámetros, similar a los geodésicos, para otros cuerpos del
sistema solar.
Estas características implican el uso de matemáticas aplicadas, que incluyen las
observaciones que deben ser usadas para determinar el tamaño y la forma de la Tierra y la
definición de coordenadas tridimensionales, así como la variación de fenómenos cerca o
sobre la superficie, tales como la gravedad, mareas, rotación terrestre, movimientos de
corteza, y desviación de la plomada, junto con las unidades de medición y los métodos de
representación de la superficie terrestre curva en una superficie plana5.
2.1.2.- GEODESIA GEOMÉTRICA
Es una de las ramas de la Geodesia, que lleva a cabo las operaciones y cálculos, aplicando
diferentes métodos que permiten la ubicación de puntos de la superficie terrestre con
coordenadas conocidas, a sus coordenadas de representación en una superficie de
referencia como ser el elipsoide para proyectarlos sobre un plano cartográfico, además de la
representación tridimensional (mediante Coordenadas Cartesianas Espaciales). También se
ocupa de la nivelación que calcula puntos desde un punto de vista altimétrico.
2.1.3.- HISTORIA DE LA GEODESIA
La evolución de las necesidades del hombre y el consecuente avance de la tecnología, han
determinado la necesidad de entender las formas, dimensiones de la Tierra y procesos que
en ella se generan. Para esto, las herramientas y conocimientos cartográficos han constituido
un pilar fundamental para lograr su correcta representación. Sin embargo el vertiginoso
avance del pensar humano requiere también un veloz desarrollo en la disciplina cartográfica
tendiente a lograr una óptima representación del terreno y con ello alimentar una relación
simbiótica con otras ciencias y disciplinas.
Dadas las características elásticas de la Tierra, la representación de ella requiere que su
asimilación a una figura simplificada y susceptible de análisis matemático, la que constituirá
el llamado referencial geodésico. A lo largo de la historia, han sido diversos los intentos del
5
http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia
19
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hombre por relacionar la Tierra a una figura regular que le permitiese estudiarla y
representarla.
Desde Pitágoras quien en el siglo VI AC definió la esfericidad de la Tierra y luego
Eratóstenes durante el siglo III AC, se propuso por primera vez determinar las dimensiones
de la esfera. Para ello midió la distancia cenital del Sol en Alejandría, en el momento en que
los rayos solares llegaban al fondo de los pozos en Siena (actual Asuan), lo que era
motivado por el paso del Sol por su cenit. Midiendo asimismo la distancia que había entre
ambas ciudades, obtuvo un primer valor del radio de la Tierra bastante aceptable, si se
considera los medios de que dispuso. Hasta comienzos del siglo XVII no se habían hecho
mejoras a los trabajos de Eratóstenes.
Se tendió a considerar la Tierra como una figura esférica perfecta. Sin embargo en 1687 el
físico Isaac Newton por medio de su “Ley de Gravedad Universal” señaló que la Tierra
debería ser más achatada en los polos que en ecuador insinuándose con esto por primera
vez al elipsoide de revolución como figura de representación de la Tierra. Newton enunció el
principio fundamental siguiente: la forma de equilibrio de una masa fluida homogénea
sometida a las leyes de la gravitación universal, y girando alrededor de un eje, es un
elipsoide de revolución achatado en los polos. Las medidas realizadas, sin embargo,
expresan claramente que la Tierra no era un elipsoide perfecto. La hipótesis de Newton se
verificaba sólo si las masas internas del planeta fueran homogéneas y por ello se admitió y
se admite hoy como forma de la Tierra, con motivo de facilitar los modelos matemáticos de
ella.
Posteriormente en 1740, Collin MacLaurin demostró científicamente la posibilidad de que un
elipsoide fuera una figura de equilibrio para una masa fluida en rotación. Tres años más
tarde Clairaut definiría el achatamiento en función de la gravedad y de la velocidad de
rotación. A finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, científicos tales como Laplace,
Bessel y Gauss plantearían la necesidad de representar la Tierra mediante un modelo
elipsoidal para satisfacer las crecientes necesidades de precisión de posicionamiento.
Carl Friedrich Gauss en el año 1822 introdujo el concepto de “Geoide” y lo definió como “una
superficie en la que cualquiera de sus partes intersecta las direcciones de la gravedad en
ángulo recto y de la que es una parte la superficie oceánica en reposo en condiciones
ideales”. A finales del siglo XIX el geodesta Gabriel Stokes publicaría una solución al
problema de definición del Geoide mediante el establecimiento de la formula fundamental de
Gravimetría, que posteriormente seria desarrollada de manera más rigurosa por Sergui
Molodensky.
Con todos estos avances científicos, el hombre ya disponía de una idea bastante cercana de
la forma y dimensiones del planeta, sin embargo, el problema de la representación del mismo
estaba lejos de ser solucionado ya que por una parte, debe buscarse el relacionar los
distintos referenciales geodésicos y los métodos usados a lo largo de la historia y por otra
parte se debe relacionar la referencia planimétrica, la referencia vertical y los elementos a
representar para dar consistencia a una solución cartográfica acorde a las necesidades
actuales.
En las últimas décadas, los notables avances en tecnología satelital e información y su
masiva difusión posibilitan el acceso y manejo de grandes volúmenes de información. Con la
20
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aparición de nuevas técnicas de medición, en particular los sistemas de posicionamiento
global (GPS), renace la importancia de contar con sistemas que representen la Tierra en su
forma real: El Geoide. El conocimiento del Geoide será una herramienta muy poderosa en la
Geodesia del futuro. Distintas ramas de las Ciencias de la Tierra, en particular de la
Geofísica, podrán utilizar los resultados de esta actividad y aplicarlos a estudios específicos
(prospección, geodinámica, geotectónica, etc).
La Geodesia se está focalizando en los últimos años hacia tres temas muy vinculados entre
sí: GPS, Geoide y Geodinámica. De allí la importancia de los modelos matemáticos y físicos
geoidales regionales, realizados con métodos y cálculos que destacan problemáticas
particulares de cada región (características topográficas, comportamientos de la corteza,
etc.) 6.
2.2.- LA TIERRA
La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto, el sitio desde donde se
contempla el universo, es un planeta que dista aproximadamente unos 150 millones de
kilómetros de una estrella de mediano tamaño llamado Sol. Posee un único satélite natural
llamado la Luna, el cual está a unos 384400 kilómetros de distancia. La Tierra es de forma
aproximadamente esférica, con un radio aproximado de 6378 kilómetros.
En orden de distancia al Sol la Tierra es el tercer planeta de adentro hacia afuera y realiza
una revolución en torno del Sol (movimiento de traslación) en un período de tiempo llamado
año, gira sobre sí misma (movimiento de rotación) en un período llamado día. Técnicas
modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo: posee, al igual que el
sistema solar, una edad de 4600 millones de años. La Tierra posee una tenue capa de gases
que la rodean por completo denominada atmósfera. Dicha atmósfera está conformada en su
mayor parte de nitrógeno (78%) y oxigeno (21%), y cantidades muy pequeñas (1%) de otros
gases tales como agua, bióxido de carbono, argón, xenón, etc. El espesor de la atmósfera es
ínfimo comparado con el radio del planeta, pues aunque los especialistas tengan algunas
diferencias con respecto a la demarcación de sus límites (algunos llegan a extenderla hasta
los 2000 kilómetros), lo cierto es que ya a una altura de los 120 kilómetros está contenido el
99.9% del peso total de la misma. Hasta en el momento en que se escriben estas líneas la
Tierra posee aún el honor de ser el único planeta donde se ha gestado el fenómeno que
llamamos vida. Pero es muy dudoso, a la luz de recientes investigaciones, que siga siendo
exclusivamente la poseedora de tan significativo privilegio. Y no solo ha generado vida:
también ha dado origen a seres vivos autoconscientes que poseen una curiosidad
sorprendente por tratar de entender lo que los rodea.
Hasta hace unos cuantos años las observaciones astronómicas se hacían exclusivamente
sobre la superficie de la Tierra lo que implicaba (y aún implica) multitud de inconvenientes y
desventajas: el movimiento diurno es el más obvio: los astros aparentemente se mueven de
oriente a occidente por lo que es necesario compensar dicho movimiento para poder rastrear
y observar adecuadamente los astros. La atmósfera absorbe muchas longitudes de onda de
interés tales como: los rayos X, los rayos gamma y la radiación ultravioleta, aquella radiación
que no es absorbida sufre de extinción atmosférica, lo que significa que la luz se dispersa y
se atenúa al pasar por el aire. Además, el fenómeno de refracción atmosférica afecta la
6
http://fcf.unse.edu.ar/pdf/sd/SD-29-Nocionesdecartografia-Reuter.pdf.
21
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dirección real de la luz que nos envían los astros. Hoy en día se han colocado satélites
artificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de forma
espectacular el conocimiento que se tenía previamente de cuerpos que sólo se observaban a
través de telescopios sobre el terreno.
24
Masa
5.9736x10 Kg.
18
Masa de la atmósfera
5.1x10 Kg.
21
Masa de los océanos
1.4x10 Kg.
Radio ecuatorial
6378140 m.
Radio polar
6356755 m.
11
Distancia media al Sol
1.496x10 m. = 1 u.a.
-3
Densidad media
5515 Kg. m.
Periodo de rotación 1 día
1 día = 23h 56m 4.09s
Periodo de traslación 1 año 1 año= 365.2421897 días
Tabla 1 Datos generales de la tierra
Fig. 3 Movimiento de Rotación
Fig. 4 Movimiento de presesión
2.2.1.- FORMAS DE LA TIERRA
Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayoría de sus satélites, la Tierra posee
simetría esférica, esto es, su forma es casi la de una esfera. La rotación de los planetas es
responsable de crear en el proceso de su formación una ligera acumulación de masa sobre
el ecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que en los
polos.
En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el radio en los polos es apenas de
21385 metros. Aunque pueda parecernos un valor muy pequeño (0.3% del radio) el hecho es
que esa diferencia ha de ser tenida en cuenta en la conformación de mapas, cálculo de
eclipses, estimación de trayectorias de satélites, etc.
La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geométrica precisa de la Tierra, los métodos
que emplea y su significado es llamada Geodesia. Antes de 1957, esto es, antes del
advenimiento de los satélites artificiales, el trabajo geodésico se realizaba por métodos de
triangulación y de gravimetría hechos sobre el terreno. Con la utilización de satélites
22
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artificiales ha sido posible incrementar mucho más el conocimiento sobre la forma verdadera
de la Tierra.
Posee una superficie continental de gran diversidad de formas y variaciones. Accidentes
geográficos tales como montañas abruptas y escarpadas se ubican en ocasiones al lado de
grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra está cubierto, en más de un 70%,
por agua, una sustancia fluida que como tal tiende a ajustar fácilmente su superficie normal a
la dirección de la gravedad. Ello quiere decir que en buena medida la superficie de nuestro
planeta puede describirse en términos del nivel medio de los océanos que la cubren en un
buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geométrica que busca representar la verdadera
forma del planeta Tierra haciendo que la figura coincida con el nivel medio de los océanos
del mundo y continué sobre las áreas continentales como una superficie imaginaria (a nivel
promedio del mar). El geoide tiene por definición la propiedad de que cualquier lugar de su
superficie debe ser perpendicular a la dirección de la fuerza de la gravedad.
Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial dentro del campo
gravitacional terrestre, en la práctica el geoide es imposible de identificar con una figura
geométrica sencilla, pues resulta siendo completamente irregular. Por ello se suele adoptar
como figura geométrica apropiada en muy buena aproximación un elipsoide de revolución,
llamado también elipsoide, cuya forma tridimensional resulta de rotar por completo una elipse
sobre su eje mayor, El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de
revolución tanto como unos 100 metros, diferencia llamada “ondulación del geoide". Las
ondulaciones más grandes se registran en una depresión al sur de la India que alcanza los
105 metros y una elevación al norte de Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de
revolución o elipsoide queda determinado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel
del semieje mayor del elipsoide, y una relación llamada achatamiento polar f. El
achatamiento está relacionado con el semieje menor de dicho elipsoide que es el radio polar
b, a través de la relación:
b = a (1- f)
Con el avance de la técnica y la puesta a punto de métodos más precisos para medir las
dimensiones de la Tierra, se han establecido históricamente valores cada vez más refinados
de estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilización de los valores fijados por la
Unión Astronómica Internacional (UAI) en 1979, estos parámetros están con referencia al
WGS-84.
a = 6378137 metros,
f = (a-b)/a = 1/298,2572221
Todos los cuerpos celestes giran sobre sí mismos, incluyendo por supuesto la Tierra. El
movimiento de rotación del planeta define instantáneamente una línea imaginaria que pasa
por el centro del planeta la cual es llamada eje de rotación. Dicho eje de rotación coincide en
promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado también eje de figura. El eje
de rotación y el eje de figura no coinciden exactamente puesto que el eje de rotación se
mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasi-periódico con una
amplitud que oscila entre los 0.05 y 0.25 segundos de arco, lo que equivale a un
desplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la Tierra. Dicho movimiento
se conoce con el nombre de movimiento polar.
23
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El astrónomo norteamericano Seth Carlo Chandler encontró, en 1892, que el movimiento del
polo es la resultante de la superposición de dos componentes que poseen períodos distintos:
una componente, llamada ahora componente de Chandler, tiene una duración de 14 meses,
y es una oscilación libre que surge de la forma compleja de la Tierra; la otra componente es
de 12 meses y es una oscilación forzada originada por efectos meteorológicos tales como
cambios estacionales. La posición del polo es la suma vectorial de estas dos componentes y
describe una especie de espiral irregular alrededor de un polo medio o promedio durante un
ciclo de seis años. Puesto que las magnitudes de las componentes pueden cambiar, el
movimiento durante los ciclos no es el mismo. Dado que este movimiento no puede ser
predicho con precisión, es necesario realizar observaciones regulares para ubicar la posición
instantánea del eje de rotación.
Definido el eje de rotación de la Tierra se puede definir un plano perpendicular al mismo de
tal forma que pase por el centro de masa del planeta. La circunferencia que resulta de la
intersección de dicho plano con la superficie del elipsoide es llamada Ecuador Terrestre (ET).
Los puntos sobre la superficie del elipsoide y sobre la superficie terrestre por donde emerge
el eje de rotación son llamados polos terrestres. Aquel situado sobre el hemisferio norte es
llamado Polo Norte Terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado Polo Sur Terrestre (PST).
Al moverse el eje de rotación, también se están desplazando ligeramente los polos.
Obviamente el ET es completamente equidistante de ambos polos.
2.2.2.- ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
Si se considera a la Tierra como un cuerpo fluido homogéneo, se observará que debido al
movimiento de rotación del planeta, la masa de este tenderá a concentrarse en las bajas
latitudes en vez de en las cercanías de los polos formando así una esfera achatada por los
polos, antiguamente conocido como esferoide.
Elipsoide, es una figura matemática resultante de la rotación de una elipse cualquiera en
torno a su semieje menor generando de esta forma un cuerpo tridimensional denominado
Elipsoide de Revolución.
Matemáticamente se puede determinar utilizando un valor medio de gravedad y velocidad de
rotación, generándose con ellos, los valores semieje mayor “a” y aplastamiento “f”. La figura
que se suele adoptar para referir las coordenadas geodésicas es el elipsoide de revolución
por las razones explicadas antes. Esto entraña dos problemas previos: el ajuste del tamaño
del elipsoide de referencia a utilizar y su posicionamiento. Al hacer éste se puede buscar una
buena aproximación al geoide en una zona restringida de la Tierra o bien de manera global.
Por métodos topográficos, o actualmente por teledetección, se calcula el tamaño de un
elipsoide que aproxime bien el geoide. Las dimensiones del elipsoide se pueden determinar
por parámetros. Comúnmente éstos son dos de los siguientes: los semiejes mayor, a
(ecuatorial) y menor, b (polar), el aplastamiento f y la excentricidad e (los elipsoides
calculados en base a medidas de satélite se suelen definir por a, la constante gravitacional
geocéntrica y un factor de forma dinámica).
Un elipsoide de referencia es por lo tanto el elipsoide que se usa como soporte analítico para
las coordenadas de puntos medidos en la superficie de la Tierra para su posterior
representación y análisis. Este modelo matemático está definido por dos parámetros los
cuales son los siguientes:
24
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v Semieje mayor = a
v Aplastamiento (f) = (a - b) / a
2.3.- SISTEMAS DE REFERENCIA GEODESICO
En primer lugar se considera necesario hacer notar la diferencia entre sistema de referencia
y marco de referencia, que se usaron y se siguen usando como sinónimos y que con la
evolución de la tecnología se acercan cada vez más.
-Sistema de Referencia.- Los sistemas de referencia geodésicos definen la forma y
dimensión de la Tierra, así como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas. Un
sistema de referencia está definido por un modelo matemático y un punto fundamental o
punto datum.
v Modelo matemático, es el Elipsoide de Referencia.
v El punto fundamental o punto datum, es el punto de origen o inicio de
coordenadas.
El elipsoide de referencia, define la forma matemática de la Tierra, el punto datum define la
posición del elipsoide en relación con el centro de la Tierra, a partir de la cual se densifica en
redes de control geodésico, la cual provee un marco de referencia.
Un sistema de referencia geodésico es un recurso matemático que permite asignar
coordenadas a puntos sobre la superficie terrestre. Deben distinguirse los llamados
sistemas locales que utilizan para su definición un elipsoide determinado y un punto datum
y los sistemas globales cuyos parámetros están dados por una terna rectangular (X, Y, Z)
cuyo origen se encuentra en el geocentro del planeta. Para definir las coordenadas
geodésicas (latitud, longitud y altura) cuentan con un elipsoide de revolución asociado. Esta
es una definición rigurosa pero abstracta, pues tanto el centro como los ejes son inaccesibles
en la práctica.
-Marco de Referencia Geodésico.- Constituyen la materialización del sistema de referencia
sobre la superficie terrestre. A los fines prácticos un sistema de referencia se materializa
mediante un conjunto de mojones geodésicos implantados en una región, a los que se le han
asignado coordenadas. Es claro que tales coordenadas han surgido de un cierto proceso de
medición estando, por tanto, afectadas de errores.
Es cierto también que a un mismo sistema de referencia puede corresponderle más de un
marco producto de la materialización de dicho sistema en distintas zonas, países o regiones.
2.3.1.- SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL
Se define como un sistema geocéntrico aquél que especifica una terna de ejes ortogonales
cartesianos X, Y, Z centrado en el centro de masas de la Tierra. Estos sistemas terrestres
(fijados a la Tierra) tienen el eje X solidario al meridiano origen de las longitudes y el eje Z
próximo al eje de rotación, por lo tanto este sistema “gira” juntamente con la Tierra. Estos
sistemas resultan imprescindibles para ubicar puntos ligados al planeta Tierra.
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A diferencia de los sistemas geodésicos locales, los sistemas geocéntricos son
tridimensionales y de alcance global. El concepto de punto datum desaparece, y es
reemplazado por el origen y orientación de la terna de referencia.
En el sistema de referencia global, el centro de masas de la Tierra coincide con el centro de
gravedad del elipsoide de referencia, por tanto el origen de coordenadas es el centro de la
Tierra, definiendo un sistema tridimensional cartesiano de coordenadas conocido como
coordenadas espaciales. El más reciente y ampliamente utilizado es el WGS84 (Sistema
Geodesico del Mundo de 1984).
2.3.1.1.- EL SISTEMA TERRESTRE INTERNACIONAL
Desde principios del siglo veinte han existido organismos internacionales cuya misión estaba
íntimamente relacionada con la rotación de la Tierra, y como consecuencia inevitable, con la
definición y materialización de un sistema de referencia terrestre respecto del cual se
determina la posición variable del eje de rotación.
Así, el International Latitude Service, constituido por cinco estaciones astronómicas ubicadas
sobre el paralelo de 39 grados de latitud norte, tenía la responsabilidad de terminar el
movimiento del polo de rotación con respecto a la superficie terrestre. Para ello, se definió un
polo medio "fijo” a la superficie materializado por las latitudes medias de estas estaciones
fundamentales (Origen Convencional Internacional OCI). El advenimiento de nuevos
instrumentos astronómicos y el interés de más países en contribuir con sus observaciones
dieron lugar al nacimiento del International Polar Motion Service que llegó a contar con casi
un centenar de estaciones participantes.
El Bureau Internationale de l'Heure (BIH), agrupaba también a un importante número de
estaciones cuya misión principal era determinar una escala de tiempo uniforme, para lo cual
era indispensable definir un origen de las longitudes de las estaciones participantes.
El sistema de ejes materializado por las coordenadas astronómicas medias del conjunto de
las estaciones participantes de estos servicios internacionales constituía una referencia
adecuada para la medición de la rotación de la Tierra, pero de escasa aplicación práctica
para satisfacer otras necesidades.
Estos organismos internacionales a menudo superponían sus responsabilidades. Además,
de el advenimiento de nuevas técnicas para la determinación de la rotación de la Tierra en la
década del setenta, consolidadas definitivamente en los ochenta, obligó a una redefinición de
responsabilidades.
En este marco se establece el Internacional Earth Rotation Service (IERS) con una
estructura compleja que comienza a funcionar a partir de 1988. Las técnicas observacionales
que contribuyen a la materialización de sus productos son las siguientes:
v VLBI: medición de radiofuentes extragalácticas por medio de radiotelescopios.
v SLR: medición de distancias láser a satélites específicos desde telescopios
especiales.
v LLR: medición de distancias láser a la Luna desde telescopios especiales.
v GPS: medición de distancias a satélites GPS con receptores específicos.
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v DORIS: medición de variación de distancias desde satélites específicos a balizas
orbitográficas.
Todas ellas aportan diferentes elementos para la solución de distintos problemas, que son
combinados por el IERS para la producción de resultados aplicables a distintas disciplinas.
2.3.1.2.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE INTERNACIONAL ITRS
Este sistema es consistente con el sistema OCI (Origen convencional internacional) que se
determinaba a través del Servicio del Movimiento Polar PMS y del BIH, y que estudiaban
fundamentalmente el movimiento del polo y el movimiento de rotación de la Tierra,
basándose en observaciones astronómicas.
En el 1988 se unieron los organismos internacionales en un solo organismo el IERS
(International Earth Rotation Service).
Este servicio usa las técnicas posicionales: VLBI, SLR, LLR, GPS Y Doris. Con estas
técnicas logra definir un sistema de referencia terrestre definido por tres ejes cartesianos
XYZ.
Este organismo define un marco de referencia para cada año, llamado ITRFaa siendo aa la
dos últimas cifras del año para el cual se realizó este marco por ejemplo ITRF94, etc.
En este sistema aparece un nuevo concepto, ya que se estudian las coordenadas de las
estaciones de referencia de dicho marco (XYZ), pero también la velocidad de esas
estaciones (Vx Vy Vz). Por lo que de acuerdo a esto se puede obtener las coordenadas de
cualquier estación en cualquier época del año en distintos marcos de referencia. Ya que los
punto sobre la superficie de la Tierra no permanecen inmóviles respecto a su sistema si no
que sufren movimiento principalmente por el movimiento de las placas tectónicas, etc.
2.3.1.3.- SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE CONVENCIONAL (CTRS).
Una vez descritos los desplazamientos del eje de rotación respecto al cuerpo terrestre la
cuestión es cómo definir un eje Z para fines geodésicos. El eje principal de inercia o eje
queda descartado ya que experimenta variaciones diarias de 60 m, lo que supondría que las
coordenadas de los puntos se desplazarían diariamente ésta cantidad en coordenadas
absolutas. El eje no tiene la ventaja de que su movimiento respecto al espacio se puede
calcular a partir de las distribuciones de masas y la mecánica celeste. Por ello fue adoptado
en 1979 como polo celeste de efemérides CEP (Celestial Ephemeris Pole). Representa el
polo instantáneo o verdadero y junto al geocentro, define el ecuador verdadero. Las
observaciones astronómicas realizadas en un determinado instante, están referidas, por
tanto, al polo CEP. El inconveniente, para ser utilizado en geodesia terrestre, es que sufre
desplazamientos variables de hasta 6 m. a lo largo del año respecto a la corteza terrestre.
Parece lógico pensar que un sistema de referencia geodésico deba mantenerse estable
respecto a la superficie terrestre.
Por ello, se adoptó por convenio un polo medio. Para definirlo se adoptó el eje medio de
rotación correspondiente al centro del movimiento libre del polo entre los años 1900 y 1906.
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Dicho polo convencional se denominó CIO (Conventional International Origin). En la
actualidad se denomina CTP (Conventional Terrestrial Pole).
Se define el sistema de referencia terrestre convencional (CTRS) como un sistema
cartesiano de tres ejes (X,Y,Z) fijo a la Tierra. El origen coincide con el centro de masas
terrestre o geocentro.
El eje Z coincide con el eje de rotación definido por el CTP. El eje X, perpendicular al
anterior, en la dirección del meridiano medio de Greenwich y el eje Y, contenido en el plano
ecuatorial medio y perpendicular a los dos ejes anteriores, formando un sistema de mano
derecha. Las coordenadas de un punto se expresan mediante tres coordenadas X,Y,Z.
Al CTRS se le suele asociar un elipsoide de referencia. En la actualidad, entre los más
empleados en Bolivia se encuentran el elipsoide Internacional 1909 y el asociado al WGS84. Sus parámetros geométricos se muestran a continuación:
ELIPSOIDE
PSAD-56
WGS-84
Semieje mayor
6378388,000
6378137,000
Aplastamiento
1:297,0000000
1:298,2572221
Así definido, el CTRS equivaldría a un sistema elipsoidal con modelo de Tierra rígida. La
diferencia estriba en que el movimiento del CTP respecto al CEP es conocido. Es decir, que
en cualquier momento se pueden relacionar las coordenadas obtenidas en una determinada
época con las de otra.
El movimiento del CTP respecto al CEP lo obtiene el International Earth Rotation Service
(IERS) a partir del seguimiento de la variación de las coordenadas a lo largo del tiempo de
una serie de estaciones permanentes. En la actualidad, se emplean métodos espaciales
como el VLBI, LLR, SLR, GPS. La precisión de las determinaciones es de ± 0”,002
(equivalen en longitud de arco a ± 6 cm.), ± 0,2 ms. en la rotación terrestre y ± 10 cm. para
las coordenadas cartesianas geocéntricas de las estaciones permanentes de observación. A
partir de las mencionadas observaciones, el IERS determina las rotaciones diferenciales xp,
yp que permiten relacionar las coordenadas CEP con las coordenadas CTP. Conocida la
posición del polo CTP respecto al polo CEP, se plantea la transformación de coordenadas
entre ambos sistemas.
Es posible decir, por tanto, que para materializar el CTRS son necesarias una serie de
estaciones de observación permanente repartidas por toda la Tierra, cuyas coordenadas
respecto al espacio son periódicamente determinadas con una precisión absoluta mejor que
10 cm., y cuya relación con puntos materializados sobre la superficie terrestre es
perfectamente conocida.
2.3.1.5.- WGS 84
El acrónimo WGS 84 deviene de World Geodetic System 1984 (Sistema Geodésico
Mundial 1984). Se trata de un sistema de referencia creado por la Agencia de Mapeo del
Departamento de Defensa de los Estados Unidos de América (Defense Mapping Agency DMA) para sustentar la cartografía producida en dicha institución y las operaciones del
Departamento de Defensa (DoD).
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Este sistema geodésico estuvo estrechamente ligado al desarrollo del Sistema de
Posicionamiento Global (GPS) sirviendo durante mucho tiempo para expresar las posiciones
tanto de los puntos terrestres como de los satélites integrantes del segmento espacial (a
través de las efemérides transmitidas).
Desde el punto de vista militar, WGS 84 es el sistema oficial aprobado por la Junta de
Comandantes en Jefe de los Estados Unidos de América para las operaciones militares en
todo el mundo. Casi todo el equipamiento militar actual incluyendo sistemas de navegación y
armamentos emplean de algún modo este sistema de referencia mundial.
El WGS 84 no es sólo un sistema geocéntrico fijado a la Tierra, Earth Centered, Earth-Fixed
(ECEF) de ejes X, Y, Z sino además un sistema de referencia para la forma de la Tierra
(elipsoide) y un modelo gravitacional.
El WGS 84 se ha popularizado por el uso intensivo de GPS y se han determinado
parámetros de transformación para convertir coordenadas a todos los sistemas geodésicos
locales y otros sistemas geocéntricos. La DMA llegó a la definición de este sistema después
de haber ensayado otros tres anteriores: WGS 60, WGS 66 y WGS 72, este último a partir
del sistema satelitario Transit (Transit Doppler Reference Frame - NSWC 9Z - 2) y muy
parecido al actual WGS 84, al punto que para pasar de uno al otro sólo es necesario un
corrimiento del origen de coordenadas de 4.5 metros, una rotación alrededor del eje Z de
0.814 segundos de arco y una diferencia de factor de escala de -0.6 ppm.
El WGS 84 es un Sistema Convencional Terrestre (CTS) tal que:
v el origen de coordenadas X Y Z es el centro de masas de la Tierra,
v el eje Z pasa por el polo convencional terrestre (CTP) definido por el Bureau
Internacional de la Hora (BIH) para la época 1984.
v el eje X es la intersección entre el meridiano origen de longitudes definido por el BIH
para la época 1984 y el plano del ecuador CTP.
v el eje Y completa con los ejes anteriores una terna derecha de ejes fijos a la Tierra,
v
v
v
v
está en el Ecuador, a 90º al este del eje X.
el origen de la terna así definida sirve además de centro geométrico del elipsoide
WGS-84, y el eje Z es su eje de revolución.
el semieje mayor (a) del elipsoide 1984 mide 6378137 metros.
el achatamiento (a-b)/a siendo b el semieje menor, es 1/298.257223563
otros parámetros, además de los anteriores, son: constante de gravitación terrestre
GM = 3986005 x 108m3s-2 velocidad angular de la Tierra w = 7292115 x 10-11 rad/seg
coeficiente gravitacional de segundo grado normalizado C20 = - 484.16685 x 10-6
velocidad de la luz en el vacío c = 299792458 m s-1
2.3.1.6.- ACTUALIZACIÓN DEL SISTEMA WSG-84
El sistema WGS 84 se ha ido desactualizando con el correr de los años. La serie de sistemas
ITRF, en cambio, se modifican anualmente y han llegado a un orden de precisión muy
superior.
29
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Debido a esto, y teniendo en cuenta las mayores demandas del Departamento de Defensa
de los Estados Unidos de América, se han producido en los últimos años una serie de
refinamientos y mejoras en el sistema, de manera de permitir su uso en las aplicaciones de
muy alta precisión.Este esfuerzo dio por resultado un marco de referencia para el WGS84
que es coincidente con ITRF92 dentro de los 10cm. Este marco de referencia mejorado se
conoce como WGS 84 (G730).El único parámetro afectado por esta mejora fue GM =
3986004.418 x 108m3s-2.
Comparado con el anterior, resulta una diferencia muy pequeña, dentro del error estándar
del parámetro. La mejora no ha tenido ningún efecto sobre el desarrollo de la cartografía. Sin
embargo, se estudian otras modificaciones que incluyen nuevas definiciones del geoide, que
resultarán en una mayor calidad de cartas y mapas.
2.3.2.- SISTEMAS DE REFERENCIA LOCAL
Un sistema geodésico local queda definido por la elección de un elipsoide de referencia y por
un punto origen (datum) donde se establece su ubicación en relación con la forma física de
la Tierra (geoide).
Concretamente, el punto datum es aquél en el que se hace coincidir la vertical del lugar con
la normal al elipsoide (desviación de la vertical nula) y generalmente se establece la
condición de tangencia entre el elipsoide y el geoide.
El elipsoide así elegido y posicionado, se adapta bien al geoide en las inmediaciones del
punto datum (siempre que la elección haya sido criteriosa), pero a medida que se aleja crece
la probabilidad de que esta adaptación aminore. Por esta razón los sistemas así definidos
fueron utilizados por países o grupos de países permitiendo llevar adelante todos los
proyectos geodésicos en sus respectivos territorios.
Los parámetros que definen un sistema geodésico local son:
v Dos de ellos son necesarios para especificar el elipsoide, usualmente el semieje
mayor a y el achatamiento o aplastamiento f = (a-b)/a,
v Otros dos sirven para ubicar el punto datum. Son sus coordenadas latitud y longitud.
v Finalmente, se requiere un acimut de origen en el punto datum a fin de orientar al
elipsoide.
Los sistemas geodésicos locales se materializan mediante las redes de triangulación de
diversos órdenes, cuyos vértices se denominan puntos trigonométricos.
Estas triangulaciones se ejecutan en varias etapas:
v
v
v
v
v
v
v
Proyecto de las redes.
Reconocimiento de vértices.
Materialización (monumentación) de los mismos
Preparación de mediciones (erección de torres, centración, etc.)
Ejecución de mediciones angulares, de distancias y astronómicas.
Cálculo provisorio de coordenadas.
Compensación y asignación de coordenadas definitivas a cada vértice.
30
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El proceso total involucraba la ejecución de numerosas determinaciones astronómicas
fundamentales, que sirven para plantear ecuaciones de orientación. Estas estaciones
astronómicas se denominan “puntos Laplace”, y las ecuaciones que a partir de ellos se
plantean se denominan ecuaciones Laplace. Entre los problemas que los sistemas
geodésicos locales dejan sin resolver se puede destacar dos:
v Al encontrarse dos o más redes basadas en diferentes sistemas (ej. en zonas
limítrofes) resultan diferencias de coordenadas inaceptables,
v Los sistemas locales son únicamente planimétricos, las cotas altimétricas se
desarrollan a partir de otros caminos. en otras palabras, no son sistemas
tridimensionales.
Entre los sistemas de referencia local más conocidos se tienen el PSAD-56 y el SAD-69 los
cuales se los desarrollara en los siguientes subtítulos.
2.3.2.1.- PSAD-56
PSAD-56, que significa Datum Sudamericano Provisorio del año 1956, y su punto de origen
se encuentra en La Canoa, Venezuela.
Los paises de América del Sur desarrollaron los productos cartográficos sistemáticos, en la
mayoría de los casos, el siglo pasado. Para eso, fueron realizadas redes nacionales de alta
precisión, sirviendo de apoyo a las tareas cartográficas, las cuales posteriormente fueron
conectadas entre sí en el establecimiento del PSAD56.
En 1944 la Comisión de Cartografía del Instituto Panamericano de Geodesia e Historia
(IPGH), designo el Comité en Geodesia, con el propósito de promover una estrecha
cooperación entre los países miembros en problemas de mutuo interés, entre estos el
desarrollo de un datum continental.
Es así que en 1956, se estableció el punto datum la Canoa en Venezuela, como el origen de
las coordenadas para la triangulación continental.
El Datum La Canoa, en Venezuela, como punto de partida y corrección de las redes
geodesicas de todo el continente sudamericano, extendidas desde Venezuela, a través de
Colombia, Ecuador, Perú y Bolivia, atravesando por el Brasil, Las Guayanas y cerrando el
circuito con la Canoa (Venezuela). Posteriormente estas redes fueron nuevamente
conectadas en la definición del Datum Sud Americano de 1969 (SAD69).
2.3.2.2.- SAD-69
Datum Sudamericano de 1969 (SAD 69), el objetivo integrar todas las redes geodésicas de
la América del Sur para el desarrollo de un datum unificado. El origen elegido fue Chua
(ubicado en Brasil, Lat. -19º 45’ Long. -48º 6’).
El cálculo se llevó a cabo mediante dos arcos geodésicos, uno hacia el Sur partiendo de
Chua a través de Brasil, Paraguay, Uruguay, la Argentina, Chile y Bolivia y otro hacia el
Norte por Brasil, Guyana, Venezuela, Colombia y Ecuador. En el arco Sur, del que
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participaron unas 800 estaciones, el error medio cuadrático de una dirección fue de 0.67”. El
proyecto incluyó una carta geoidal de América del Sur y otras referidas a los datums locales.
La tarea fue coordinada por un Grupo de Trabajo del Comité de Geodesia del I.P.G.H. y el
mayor aporte científico estuvo a cargo de la doctora Irene Fischer del entonces Comando
Topográfico de la Agencia Cartográfica de Defensa de los Estados Unidos de América.
2.4.- MARCO DE REFERENCIA
Los marcos de referencia están constituidos por puntos materializados en el terreno y
ubicados con gran exactitud y precisión según alguno de los sistemas de referencia. En los
sistemas geodésicos locales, el marco de referencia estaba dado por los puntos
trigonométricos de distintos órdenes que a través de cadenas y mallas cubren los territorios.
En los sistemas geocéntricos, se llevan adelante redes de puntos medidos usualmente con
GPS y vinculados en lo posible a puntos de las redes anteriores, siguiendo una serie de
precauciones para minimizar los errores sistemáticos y aleatorios que pueden afectar al
conjunto.
2.4.1.- MARCO DE REFERENCIA GLOBAL
2.4.1.1.- ITRF
La precisión alcanzada en la determinación de coordenadas terrestres obliga a un cambio
conceptual: no es posible materializar un sistema terrestre en base a coordenadas fijas,
porque a nivel de la precisión centimétrica, ninguna estación ubicada sobre la superficie
terrestre puede considerarse fija, todas están animadas de movimientos principalmente
debidos a movimientos de las placas tectónicas en las que están asentadas.
En consecuencia, el ITRF está constituido por un conjunto de coordenadas y velocidades de
las estaciones que lo materializan. Su continua evolución permite agregar nuevas estaciones
cada año y mejorar la precisión general del conjunto. Por esa razón, cada nueva realización
lleva indicado el año de su determinación, como también, la época fundamental a la cual se
refieren las coordenadas listadas (p. ej. ITRF 93, ó ITRF 94, época 1993.0). Esto quiere decir
que ITRF 93 difiere de ITRF 94 porque se ha agregado más información para calcular este
último, lo que se traduce en pequeñas variaciones de posiciones y velocidades. En su
conjunto, estas diferencias permiten encontrar parámetros de transformación entre las
distintas materializaciones del sistema terrestre internacional.
Cabe mencionar que en la actualidad, estas transformaciones están en niveles milimétricos y
por el momento no tienen importancia práctica para aplicaciones geodésicas convencionales.
Mucho más importante puede ser el efecto de las velocidades, no obstante, es importante no
perder la dimensión del problema: este efecto debe ser considerado cuando se trabaja en
redes regionales que involucran distintas placas tectónicas y, de manera especial, cuando se
utilizan distintas estaciones con coordenadas ITRF definidas en una época original
2.4.1.2.- SIRGAS
SIRGAS es el acrónimo que identifica al Sistema de Referencia Geocéntrico para las
Américas, fue establecido en octubre de 1993 durante la Conferencia Internacional para la
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Definición del Datum Geocéntrico Sudamericano, estableció un marco de referencia único
para el continente sudamericano, en conexión con el Marco de Referencia Terrestre
Internacional (ITRF). El proyecto fue generado en Asunción, Paraguay, bajo los auspicios de
la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), el Instituto Panamericano de Geografía e
Historia (IPGH) y la Agencia Nacional de Mapas e Imágenes de los Estados Unidos de
América (NIMA) 7.
La primera campaña de medición se realizó entre el 26 de mayo y el 4 de junio de 1995, a
lo largo de 10 días consecutivos durante 23 horas diarias en 58 estaciones distribuidas en
toda la América del Sur, mediante observaciones GPS en 58 estaciones distribuidas en 11
países. El procesamiento de los datos se llevó a cabo en el Instituto Alemán de
Investigaciones Geodésicas (DGFI) con el software Bernese y en la NIMA con el software
GIPSY. La solución final fue presentada en septiembre de 1997, durante la Asamblea de la
IAG en Río de Janeiro, y consistió en una combinación de las soluciones de los dos centros
de procesamiento mencionados. En esa misma oportunidad se decidió ampliar el proyecto
para incluir el problema del datum vertical sudamericano, trabajando en cooperación con la
Subcomisión del Geoide para Sudamérica de la IAG.
Los cálculos fueron realizados independientemente por el Instituto de Investigaciones
Geodésicas de Alemania y la Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía de los Estados
Unidos de América.
Los errores en las coordenadas geocéntricas de los puntos SIRGAS son del orden de 1 cm.
El sistema de referencia elegido para la solución definitiva fue el ITRF 94 y la época de las
coordenadas, se hizo coincidir con la época media de observación, es decir, 1995. La red
está compuesta por 57 puntos.
La solución final fue referida al marco ITRF94 (el último disponible en el momento del
cálculo) pero la época de las coordenadas se conservó concordante con la de observación,
1995.4.
Inmediatamente después de la campaña SIRGAS95, los países de América del Sur se
concentraron en la modernización de los datum geodésicos locales mediante la densificación
nacional de la red SIRGAS y la determinación de los parámetros de transformación
necesarios para migrar al nuevo sistema SIRGAS la información geográfica asociada a los
datum antiguos. Inicialmente, estas densificaciones fueron realizadas a través de redes
pasivas (conformadas por pilares), pero, en la actualidad, la mayoría de los países están
instalando estaciones de funcionamiento continuo. Estas estaciones, además de conformar
los marcos de referencia nacionales, son la base para el desarrollo de aplicaciones rutinarias
basadas
en
navegación
y
posicionamiento
apoyados
en
satélites.
Las actividades referentes a las densificaciones nacionales y a la adopción oficial de
SIRGAS por parte de los países miembros son coordinadas por el SIRGAS-GTII:
7
Fuente http:// www.sirgas.org.
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DENSIFICACIÓN ITRF/SIRGAS
PAÍS
Argentina
Bolivia
Brasil
Chile
Colombia
Costa Rica
NOMBRE
POSGAR98:
Posiciones
Geodésicas
Argentinas, 1998 (SIRGAS95, epoch 1995.4)
Red CON*:RAMSAC: Red Argentina de
Monitoreo Satelital Continuo
MARGEN: Marco Geodésico Nacional
Red CON*: Red de estaciones GPS
continuas (no incluidas en SIRGAS-CON)
SIRGAS2000
Red CON*: RBMC (Red Brasileira de
Monitoramento Contínuo)
SIRGAS-CHILE
Red CON*: Red de estaciones activas fijas
(9 incluidas en SIRGAS-CON)
MAGNA-SIRGAS:
Marco
Geocéntrico
Nacional de Referencia
Red
CON*:
MAGNA-ECO
(MAGNA
Estaciones Continuas)
CR05: Sistema de Referencia Costa Rica
2005
ESTACIONES
PASIVAS/
CONTINUAS
139 / 21
POSGAR94
(WGS84, época
1993.8)
125 / 8
SIRGAS95,
época 1995.4
1903 / 61
SIRGAS2000,
época 2000.4
269 / 13
SIRGAS2000,
época 2002.0
70 / 35
SIRGAS95,
época 1995.4
34 / 1
Ecuador
Red GPS Básica
Guyana
Francesa
RGFG: Réseau Géodésique Français de
Guyane
RGNA: Red Geodésica Nacional Activa (Red
CON*)
Sistema Geodésico Nacional MACARIO
SOLIS
0 / 17
PERU96: Sistema Geodésico Nacional
47 / 1
México
Panamá
Perú
Uruguay
Venezuela
SIRGAS-ROU98
Red CON*: Red de estaciones permanentes
de referencia (2 incluidas en SIRGAS-CON)
SIRGAS-REGVEN:
Red
Geocéntrica
Venezolana
Red CON*: REMOS (Red de estaciones de
monitoreo satelital GPS)
MARCO DE
REFERENCIA
OFICIAL
135 / 4
7/1
20 / 3
ITRF2000,
época 2005.8
SIRGAS95,
época 1995.4
ITRF93,
época 1995.0
ITRF92,
época 1988.0
ITRF2000,
época 2000.0
SIRGAS95,
época 1995.4
17 / 3
SIRGAS95,
época 1995.4
156 / 4
SIRGAS95,
época 1995.4
Tabla 2 DENSIFICACIÓN ITRF/SIRGAS
*CON Continuously Operating Network
Del 10 al 19 de mayo del año 2000 se realizo la “Segunda Campaña SIRGAS” remidiéndose
los puntos de la Primera Campaña a fin de obtener la información necesaria para la
determinación de velocidades e incorporándose estaciones hasta un total de 184 abarcando
todo el continente americano. Muchas de las nuevas estaciones fueron establecidas sobre
marcas de mareógrafos con la finalidad de colectar los datos necesarios para satisfacer el
objetivo del Proyecto consistente en la definición del datum vertical. Los resultados finales de
esta campaña fueron presentados en febrero de 2003 conociéndose a esta realización como
SIRGAS 2000. Desde 2001, el Proyecto, manteniendo su acrónimo, pasó a denominarse
“Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas”. En el año 2001 la VII Conferencia
Cartográfica Regional de las Naciones Unidas para las Américas recomendó a los países de
la región la adopción de SIRGAS 2000 como marco de referencia geodésico nacional.
SIRGAS 2000 utiliza como marco ITRF 2000, Época de referencia 2000.4.
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En noviembre del año 2003 fue publicado el campo de velocidades de América del Sur,
utilizándose para su determinación los resultados de las campañas SIRGAS 95, SIRGAS
2000, velocidades determinadas por IGS, (International GNSS Service), “Global Navigation
Satellite System” 8, velocidades determinadas por el Centro Regional de Cálculo Asociado al
IGS para SIRGAS (RNAAC-SIR) “Regional Network Associate Analysis Center for SIRGAS”
y resultados de varios proyectos de geodinámica en el continente.
v El proyecto SIRGAS engloba todas las actividades necesarias para establecer
una estructura geodésica moderna en el continente compatible con las mejores
técnicas de medición disponibles en la actualidad.
v La adopción de un marco de referencia geocéntrico (ITRF), garantiza la
permanente actualización de SIRGAS acorde a las más exigentes técnicas de
georreferenciamiento.
v Siendo WGS84 coincidente con ITRF, los resultados de las mediciones GPS, se
encuentran automáticamente referidas a SIRGAS 2000.4.
2.4.2.- MARCO DE REFERENCIA GEOCENTRICO NACIONAL (RED MARGEN BOLIVIA)
En base a los puntos SIRGAS establecidos sobre territorio boliviano el año 1995, el Instituto
Geográfico Militar de Bolivia (IGM), ha creado la Red Marco de Referencia Geodésico
Nacional (MARGEN), conformado por: Red GPS pasiva, la red GPS continua y Red GPS
semi continua.
La Red de Estaciones GPS Pasiva, ha sido densificada en base a SIRGAS, procurando en
la mayoría de los casos disponer de datos en aquellos puntos que cuentan con coordenadas
en el Sistema Provisional para Sud América del año 1956.
El IGM juntamente con el Central Andes Project, ha instalado la red de Estaciones GPS de
colección continua de Datos, conocido también con el nombre de estaciones activas, los
mismos que han sido referenciados a la Red MARGEN. Se caracteriza por tener receptores
de doble frecuencia que colecta datos las 24 horas del día durante todos los días del año,
es empleado como Estación de Referencia para aplicaciones Geodésicas, Topográficas, GIS
de alta precisión y Control (Catastro y Saneamiento).
Las estaciones GPS semi continuas, referidos a la Red MARGEN. Se caracteriza por
colectar datos durante al menos 15 días continuos, funcionando de acuerdo a la necesidad
que se tiene de bases para la densificación de redes locales en modo diferencial.
2. 5.- GEODÉSIA CLÁSICA
Se entiende por levantamiento geodésico “la toma de información de distancias y ángulos en
el campo, y la aplicación de los principios de la Geometría y la Trigonometría con el propósito
de determinar la forma, dimensiones y posición de grandes extensiones terrestres”. En ese
sentido, se deben clasificar los levantamientos geodésicos en dos grandes grupos: horizontal
y vertical.
8
Sistema de navegación independiente de los sistemas GPS y GLONASS, llamado Global Navigation Satellite System.
35
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2.5.1.- CONTROL HORIZONTAL
Son aquellos que comprenden una serie de medidas efectuadas en el campo, cuyo propósito
final consiste en determinar las coordenadas geográficas (geodésicas) horizontales de
puntos situados sobre la superficie terrestre.
-
METODOS:
-Triangulación
Es el tipo de levantamiento geodésico más tradicional y conocido. Difiere de los
levantamientos topográficos por que usa instrumentos más precisos. Los errores
instrumentales son removidos o predeterminados de modo que puedan compensarse al
momento de los cálculos; los errores observacionales se reducen empleando procedimientos
muy rigurosos. Otra diferencia muy importante es que todas las posiciones establecidas por
triangulación están relacionadas entre sí matemáticamente.
Básicamente, una triangulación consiste en medir los ángulos de una serie de triángulos. El
principio de la triangulación se basa en procedimientos trigonométricos simples: si la
distancia de un lado de un triángulo y los ángulos extremos del lado son medidos con
exactitud, pueden calcularse los otros dos lados y el ángulo restante.
-Trilateración
El avance en precisión y alcance de los sistemas electrónicos de medición de distancias se
ha aplicado para levantamientos geodésicos usando la técnica de trilateración. Los sistemas
electrónicos permiten la medición de distancias mayores a 5 kilómetros, con lo que las redes
de triangulación geodésicas pueden extenderse rápidamente. Las técnicas de trilateración
permiten la conexión de levantamientos en islas o en continentes separados por grandes
océanos.
En trilateración sólo se miden distancias, y se hacen observaciones redundantes para
asegurar una buena precisión. Se ajusta la red para eliminar las discrepancias, luego se
calculan los ángulos de tal modo que las posiciones geodésicas se puedan obtener en forma
similar al método de triangulación.
-Poligonación
La poligonación es el método más simple para extender control. El sistema es similar al de la
navegación, en el que se miden distancias y direcciones. En una poligonación, se inicia el
levantamiento en un punto con posición y azimut con respecto a otro punto conocido, y se
miden ángulos y distancias a través de la serie de puntos intermedios del levantamiento. Las
mediciones angulares sirven para calcular la dirección de cada línea. Las mediciones de
distancia completan la información para determinar la posición de los puntos de la poligonal.
Cuando la poligonal termina en otro punto de posición conocida, se dice que es una
poligonal de enlace. Cuando la poligonal regresa al punto de partida, se dice que es una
poligonal cerrada. De lo contrario, se dice que es una poligonal abierta.
36
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2.5.2.- CONTROL VERTICAL
El levantamiento vertical es el proceso para determinar alturas (elevaciones) sobre el nivel
medio del mar y un cierto nivel de referencia. En posicionamiento terrestre con fines
cartográficos no existe problema en el hecho de que las posiciones horizontales estén
referidas al elipsoide, y las elevaciones referidas al geoide. Sin embargo la información
geodésica de precisión requiere un ajuste en la información vertical que compense por las
ondulaciones del geoide, por encima o por debajo del elipsoide, la superficie matemática
regular. El ajuste usa técnicas geodésicas avanzadas y complejas.
La red básica de control vertical se establece usando nivelaciones geodésicas. La
densificación se realiza por métodos suplementarios. El nivel medio del mar se usa como
referencia (datum vertical) en todos los métodos. Este nivel se determina obteniendo el
promedio de las variaciones del agua durante un periodo lunar, en una estación
mareográfica. Existen varias técnicas de nivelación: geométrica o diferencial, trigonométrica
y barométrica, y cada una genera precisiones diferentes, siendo la primera de las citadas, la
más precisa de las tres.
-Nivelación geométrica
Con el instrumento puesto en “estación” se hacen lecturas en dos “miras” calibradas, en
posición vertical, colocadas atrás y adelante del instrumento. La diferencia de lecturas es la
diferencia en elevación entre los puntos donde están las miras. El instrumento óptimo usado
para la nivelación consta de un nivel de burbuja que se ajusta en posición paralela al geoide.
Cuando el instrumento está bien centrado en un punto, el telescopio tiene una posición
horizontal (nivel) de modo que puede rotar 360° libremente. En toda línea de nivelación debe
conocerse la elevación de cuando menos un punto para poder determinar las elevaciones de
los puntos restantes en base al punto con altura conocida.
-Nivelación trigonométrica
Consiste en medir un ángulo vertical desde una distancia conocida utilizando un teodolito,
calculando la elevación del punto. Con este método se pueden hacer mediciones verticales
al mismo tiempo que se hacen las mediciones de los ángulos horizontales de una
triangulación. Es un método más económico pero menos preciso que la nivelación
geométrica. Con frecuencia es el único método para establecer control vertical preciso en
áreas montañosas.
-Nivelación barométrica
Se determinan diferencias de altura midiendo las diferencias de presión atmosférica en
varios puntos. La presión del aire se mide con barómetros de mercurio o aneroides, o con un
termómetro con punto de vapor. Aunque el grado de precisión posible con este método no es
tan grande como en los otros dos, es el método con el que se pueden obtener rápidamente
alturas relativas de puntos muy distantes entre sí. Este método se usa ampliamente en
levantamientos de reconocimiento o exploratorio, donde se harán más tarde levantamientos
de mayor precisión o no se requieran éstos.
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2. 6.- MEDICION DE DISTANCIAS CON ESTACION TOTAL
La distancia horizontal (distancia topográfica) se la obtiene de forma indirecta mediante
cálculos geométricos y trigonométricos. La distancia obtenida con la estación total de forma
directa es la distancia medida.
Fig. 5 Distancias obtenidas con la Estación Total
Donde:
Z= Ángulo zenital
A Vl = Ángulo Vertical
D Hz = Distancia Horizontal o Distancia Topográfica
D Vl = Distancia Vertical
D Md = Distancia medida o distancia geométrica
D Nt= Distancia Natural
ai = Altura de Instrumento
ap = Altura de prisma
2.6.1.- DISTANCIÓMETROS ELECTRÓNICOS
La primera modificación de los métodos clásicos fue debida a la aparición de estos
instrumentos, capaces de medir grandes distancias de decenas de kilómetros, que en algún
caso superaron a la centena, efectuándose el trabajo con gran rapidez e increíble precisión,
tanto más elevada cuanto mayor sea la distancia.
Todos los distanciómetros electrónicos obedecen al mismo principio, que consiste en emitir
una radiación de longitud de onda y velocidad de propagación conocidas, determinan la
distancia en términos de numero de ondas, moduladas con frecuencia y longitud de onda
conocida, que caben entre el emisor y el receptor en ambos sentidos.
38
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Fig. 6 Representación de una onda electromagnética
Esta radiación se refleja en los otros extremos de la línea que ha de medirse y es recogida
de nuevo en el aparato emisor. Donde por métodos electrónicos se determina el desfase
entre la onda emitida y la recibida que evidentemente será proporcional al tiempo empleado
en el recorrido y por consiguiente a la distancia.
Fig. 7 Emisión y Recepción de la onda.
Donde:
A = Estación del distanciometro
M = Estación del prisma
E = Plano interno de referencia del distanciometro para comparación de fases entre la
onda transmitida y la onda recibida.
R = Plano reflector de referencia para la onda emitida por el distanciometro.
e = Excentricidad del plano de referencia, constante aditiva.
r = Excentricidad del plano del prisma reflector, constante aditiva.
λ = Longitud de onda modulada.
Ф = Desfase de la onda modulada.
La distancia medida se obtiene a partir de la formula:
39
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D=
nl + f
2
Donde:
D = Distancia a medir
nλ = número de ondas entre el emisor y el receptor medido en ambos sentidos.
Φ = longitud parcial de onda, o diferencia de fase en metros.
El primer distanciómetro electrónico fue el Geodímetro, de procedencia sueca, que comenzó
a ensayarse en 1948 si bien tardó varios años en utilizarse prácticamente; siguió a éste el
Telurómetro de patente inglesa y a éste el Distomat DI-50 de la casa Wild suiza, que
presentó el prototipo en la Exposición Internacional de Topografía y Geodesia celebrada en
Viena en 1962.
La onda que utiliza el Geodímetro es una luz modulada, por lo que preferentemente se
trabaja con él de noche, el Telurómetro emplea microondas de radio y el Distomat DI-SO
rayos infrarrojos modulados, permitiendo los últimos ser usados con niebla poco espesa e
incluso lluvia ligera, con el Distomat, en condiciones atmosféricas muy favorables, se ha
conseguido medir distancias hasta de 150 kilómetros.
2.6.2.- ESTACIÓN TOTAL (ET)
Todas las ramas de técnica han experimentado en estos últimos tiempos una verdadera
revolución, abandonando los métodos clásicos y adoptando otros totalmente inesperados; tal
han sido el caso de la Geodesia, primero con la aparición de los distanciómetros electrónicos
y luego con el estación total, que vinieron a modificar los métodos de observación, pero sin
que variase sustancialmente por ellos el concepto que se tenía de Geodesia, pero lo
insospechados por métodos totalmente diferentes a los utilizados durante siglos.
Se denomina Estación Total a un instrumento electro-óptico utilizado en topografía, cuyo
funcionamiento se apoya en la tecnología electrónica en la incorporación de un
distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico.
Algunas de las características que incorpora, y con las cuales no cuentan los teodolitos, son
una pantalla alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de avisos, iluminación independiente
de la luz solar, calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de trayectoria) y la
posibilidad de guardar información en formato electrónico, lo cual permite utilizarla
posteriormente en ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas
sencillos que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en campo,
replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias.
2.6.2.1.- FUNCIONAMIENTO
Vista como un teodolito, una estación total se compone de las mismas partes y funciones. El
estacionamiento y verticalización son idénticos, aunque para la estación total se cuenta con
niveles electrónicos que facilitan la tarea. Los tres ejes y sus errores asociados también
están presentes: el de verticalidad, que con la doble compensación ve reducida su influencia
sobre las lecturas horizontales, y los de colimación e inclinación, con el mismo
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comportamiento que en un teodolito clásico, salvo que el primero puede ser corregido por
software, mientras que en el segundo la corrección debe realizarse por métodos mecánicos.
El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas realizadas en discos
transparentes. Las lecturas de distancia se realizan mediante una onda electromagnética
portadora con distintas frecuencias que rebota en un prisma ubicado en el punto y regresa,
tomando el instrumento el desfase entre las ondas. Algunas estaciones totales presentan la
capacidad de medir "a sólido", lo que significa que no es necesario un prisma reflectante.
2.6.2.2.- CARACTERÍSTICAS
Este instrumento permite la obtención de coordenadas de puntos respecto a un sistema local
o arbitrario, como también a sistemas definidos y materializados. Para la obtención de estas
coordenadas el instrumento realiza una serie de lecturas y cálculos sobre ellas y demás
datos suministrados por el operador. Las lecturas que se obtienen con este instrumento son
las de ángulos verticales, horizontales y distancias. Otra particularidad de este instrumento
es la posibilidad de incorporarle datos como coordenadas de puntos, códigos, correcciones
de presión y temperatura.
Las facilidades que ofrece una ET son la medición de alturas para puntos inaccesibles al
prisma; distancia reducida y diferencia de nivel entre los dos o más puntos visados desde la
estación; arrastre de coordenadas y de ángulos de un punto estación a otro; introducción de
coordenadas absolutas o relativas del punto de estación; introducción por teclado de un
ángulo y de una distancia ofreciendo en pantalla la diferencia entre la distancia medida y la
introducida (función de replanteo), replanteo 2D y 3D, introducción de un eje de obra lineal
para replanteo, trisecciones, calculo de poligonal, de superficies, introducción de altura del
instrumento y del prisma.
La precisión de las medidas es del orden de la diezmilésima de gonio en ángulos y de
milímetros en distancias, pudiendo realizar medidas en puntos situados entre 2 y 5
kilómetros según el modelo de ET.
Algunas estaciones totales sacrifican una o muchas de estas prestaciones consiguiendo una
mayor sencillez de manejo y funcionalidad, incorporando dichas funciones como accesorio
del cuerpo principal del instrumento, ya sea a través de tarjetas o paneles de teclado
suplementarios.
También el interfase o forma de uso de todas estas funciones puede ser a través de menú o
bien con órdenes específicas o combinando ambos métodos con teclados numéricos o alfa
numéricos y teclas de una sola función o multifunción.
La Estación Total tiene un interfaz salida de datos a una libreta electrónica ya sea a través
de una batería externa o bien de la propia estación, también algunas de ellas incorporan la
opción de colector de datos integrado en la propia estación ya sea como memoria interna o
gracias a una tarjeta que se introduce en el cuerpo principal.
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2.6.2.3.- FUNCIONES DE MEDICIÓN DE DISTANCIA
- Tiempo de medición.- Es el tiempo que transcurre desde que se inicia la medición hasta
que se muestra en pantalla la lectura debida al rayo reflejado, este tiempo depende del modo
de
medición
elegido,
ya
sea
medición
única
o
continua
(tracking).
Ya sea medición única, continua, un número determinado de veces mostrando la media de
todas ellas, y tracking variando en este último caso la unidad de lectura mínima que suele ser
el centímetro así como el tiempo de medición que oscila entre 0,15 y 1,5 segundos.
El modo tracking se utiliza por su mayor rapidez y por permite seguir midiendo sobre un
prisma en movimiento (sobre unos 6 km/hora como máximo) útil por tanto en replanteos y
otras aplicaciones.
- Precisión.- Es importante tener en cuenta, por existir un error en la medición, el error esta
compuesto de una parte fija y otra proporcional a la distancia medida.
Todos los aparatos indican en sus características técnicas una precisión, por ejemplo la de
un aparato es de +/- (5mm. + 3ppm) donde la cifra 5 mm., es una parte fija del error y la cifra
3, partes por millón, es decir 3mm., por cada kilómetro (1 km.= 1 millón de milímetros).
Por ejemplo: para una distancia de 100 metros y las precisiones de: +/-(5 mm. + 5 ppm); +/(5 mm. + 3 ppm); +/- (3 mm. + 2 ppm) los errores respectivos será +/- 5,5 mm; +/- 5,3 mm;
+/- 3,2 mm la diferencia máxima entre ellos teniendo en cuenta los signos opuestos del error
es de 8,7 milímetros, se puede decir por tanto que es suficientemente una precisión del
orden del centímetro.
Para una distancia de 2.000m., los errores máximos atribuibles es de +/- 1,5 cm; +/- 1,1 cm y
+/- 0,9 cm. con máxima diferencia de 2,4 cm. si consideramos signos opuestos.
Distancia m.
100
100
100
2000
2000
2000
Precision
+/-(5mm. + 5pmm)
+/- (5mm. + 3ppm)
+/- (3mm. + 2ppm)
+/-(5mm. + 5pmm)
+/- (5mm. + 3ppm)
+/- (3mm. + 2ppm)
Error
+/- 5,5mm
+/- 5,3mm
+/- 3,2mm
+/- 1,5 cm
+/- 1,1 cm
+/- 0,9 cm.
Tabla 3 Tolerancia por PPM
Además de esta observación cabe notar que nunca podrá efectuar mediciones que exijan
máximos errores de milímetros (entre 1 y 5) con estaciones totales de las características que
se han visto en los dos ejemplos citados.
2.6.2.4.- FUNCIONES DE MEDICIÓN ANGULAR
Las características más importantes son la posibilidad de lectura en el sentido de agujas del
reloj o contrario (derecha-izquierda). Almacenamiento de la posición cero (0) horizontal y o
vertical tras desconectar el instrumento. Compensador o no de doble eje (el vertical y el de
muñones), introducción de una lectura horizontal por teclado.
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- Precisión.- El fabricante la da basada en la aplicación de la desviación estándar dictada
por la norma DIN9 18723 y con el anteojo en posición directa e inversa, los valores oscilan
entre 0,5" y 20", siendo valores normales 1", 2", 3", 4", 5", 6", y 10".
2.6.2.5.- FACTORES DE CORRECCIÓN
La ventaja que ofrecen las ET es la corrección de los diferentes elementos que intervienen
al momento de realizar una medición tales como atmosféricos, curvatura terrestre, refracción
y de escala.
- Corrección por curvatura o esfericidad terrestre y refracción atmosférica.- Debido a
que la superficie de la Tierra, en la que se realiza la medición no es plana, la curvatura
terrestre influye de manera muy ínfima en las mediciones, los valores del coeficiente de
refracción atmosférica son de 0,14 ó 0,2, con la posibilidad de que el usuario los calcule y
los introduzca.
- Corrección Atmosférica.- Corrección por presión y temperatura: La presión y la
temperatura afectan a la velocidad del rayo infrarrojo y por tanto a la medición de la
distancia. La estación total debe permitir la introducción de la presión y temperatura para
corregir la medición.
La introducción suele ser en mm., de Hg. y en °C, o bien en partes por millón, en este último
caso se suele incluir una tabla de correlación entre valores de Presión y Temperatura con los
de ppm., que va generalmente grabada en el software de la estación total. Como orientación
se tiene que a 15°C y 760mm., de Hg. la constante PPM es cero.
- Factor de escala.- Algunos instrumentos pueden afectar las mediciones de distancias de
un factor de escala que puede introducir el operador (posibilidad de trabajar en sistemas de
proyección como UTM).
2.7.- SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos
marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede
considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y
longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza éstas para especificar la
posición de un punto en la superficie de la Tierra.
Los sistemas de coordenadas nos ayudan a definir posiciones sobre la superficie de la
Tierra, entre estos sistemas se tiene los siguientes:
v Sistemas de coordenadas Geodésicas.
v Sistema de coordenadas Cartesianas Espaciales.
v Sistema de coordenadas Proyectadas.
9
DIN, Norma editada por el Deutsches Institut für Normung (Instituto Alemán para la Normalización).
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2.7.1.- SISTEMA DE COORDENADAS GÉODESICAS
La ubicación de puntos en la superficie terrestre requiere de la utilización de conceptos de
dirección y distancias apoyados en algún sistema de referencia. En la antigüedad estos eran
referidos a un sistema relativo utilizando direcciones como la salida del sol, la ubicación de
las estrellas.
El Sistema de coordenadas geodésicas, es el más antiguo, utiliza un sistema angular de
latitud y longitud fue empleado por primera vez por los geógrafos y filósofos griegos.
Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un elipsoide de revolución (de
referencia), Un elipsoide queda determinado, cuando se adoptan valores específicos del
radio ecuatorial terrestre a y del achatamiento f. La importancia de este sistema de
coordenadas radica en que la latitud geodésica es la que se encuentra en los mapas, atlas y
diccionarios geográficos.
El primer meridiano (Meridiano de Greenwich) y el ecuador son los planos que definen el
origen de la latitud, la longitud.
La latitud geodésica de un punto, es el ángulo desde el plano ecuatorial a la dirección vertical
de la línea normal al elipsoide de referencia, de 0º-90º Norte y de 0º-90º Sur.
La longitud geodésica es el ángulo diedro cuyo origen es el meridiano de Greenwich de 0º180º Este y de 0º-180º Oeste.
La altura elipsoidal de un punto es la distancia desde el elipsoide de referencia al punto en
dirección normal al elipsoide.
La mayor ventaja que presenta este sistema es que la geometría de su superficie es
perfectamente regular y conocida, facilitando así cualquier tipo de cálculo.
2.7.2.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ESPACIALES
Sistema de coordenadas cartesianas espaciales X, Y, Z, antiguamente este sistema de
coordenadas no tenía aplicación en los cálculos matemático-prácticos. Con exploración
espacial cósmica y el uso del GPS surgieron problemas geodésicos en la determinación de
las coordenadas de los puntos en el espacio exterior de la Tierra, este sistema permite
determinar exactamente la situación de los puntos independientemente de la superficie del
elipsoide terrestre.
Dentro de un sistema cartesiano global las coordenadas están expresadas en función de los
ejes X Y Z, del cual su origen es el centro de masas de la Tierra. El eje Z es paralelo al eje
de rotación terrestre, el eje X a su vez es paralelo al meridiano de Greenwich y por último el
eje Y es perpendicular al plano XOZ.
De esta forma un punto queda definido en un sistema elipsoidal bien por sus coordenadas
geodésicas (φ, λ, h) o por sus equivalentes cartesianas (X,Y,Z), más aptas para describir las
órbitas de los satélites artificiales, efectuar determinados cálculos de astrodinámica, etc.
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Fig. 8 Coordenadas Geodésicas y Espaciales
2.7.3.- SISTEMA DE COORDENADAS CARTOGRAFICAS
El Sistema de coordenadas proyectadas, se utiliza para la representación de la superficie
terrestre en un plano de proyección, a diferencia de los dos anteriores sistemas de
coordenadas este sistema utiliza factor de escala que permite la representación de un
sistema angular en un plano cartesiano de proyección (N, E), se utiliza en mapas
cartográficos.
Mediante una proyección cartográfica se hace corresponder cada punto del plano con un
punto de la esfera o el elipsoide. De ésta forma cada punto de la Tierra puede tener
representación sobre el plano. Las proyecciones se pueden definir de forma matemática
como bisecciones que convierten las coordenadas geográficas longitud, latitud en
coordenadas cartesianas N, E sobre un plano y viceversa.
Las proyecciones cartográficas son las que proporcionan una representación en un plano, de
la Tierra o una región de esta, es por lo tanto una relación biunívoca entre coordenadas de
un sistema de referencia terrestre (XYZ o latitud, longitud y altura según sea el caso) y
coordenadas Este Norte de una cuadrícula de un plano.
Obviamente al realizar esta transformación existen deformaciones, y según sea el caso se
trata de preservar algunas de las cualidades; las más usadas son las que mantienen la forma
y se le denominan proyecciones conformes, en estas proyecciones están incluidas Mercator
Transversa, UTM, etc.
Según sea la posición que ocupe la parte representada con respecto a la proyección
definida, existen deformaciones lineales y desfasajes en los ángulos acimutales, de una línea
en el sistema real y en el proyectado.
En cuanto a las alturas o cotas en una proyección cartográfica estas pasan a ser un atributo
puntual, o se representan a través de líneas de igual cota conocidas como curvas de nivel.
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2.8.- PROYECCIONES CARTOGRAFICAS
La representación de datos espaciales es el campo de estudio de la Cartografía. A lo largo
de la historia, el hombre ha sentido la necesidad de representar la superficie terreste y los
objetos situados sobre ella. El objetivo de los primeros mapas era servir de apoyo a la
navegación, indicaban por tanto los rumbos (direcciones) que era necesario seguir para ir de
un puerto a otro. La exactitud en la representación de las Tierras emergidas se consideraba
accesoria, siendo lo fundamental la exactitud en rumbos y distancias entre puertos.
En los inicios del período colonial ya no bastaba con poder llegar a puerto sino que había
que medir distancias y superficies sobre los nuevos territorios para conseguir un mejor
dominio de estos. Por otro lado se hace necesario representar los diversos elementos,
recursos y factores ambientales de la superficie terrestre para conseguir una mejor visión de
la distribución de los fenómenos naturales y asentamientos humanos sobre la superficie
terrestre.
Ya en el siglo XVII, cartógrafos como Mercator demostraron que un sistema de proyección
geométrico, junto con un sistema de localización basado en coordenadas cartesianas, es
decir basadas en un par de ejes ortogonales (X e Y), formando una cuadrícula, mejoraba la
fiabilidad de distancias, áreas o ángulos medidos sobre los mapas.
Al finalizar el siglo XVIII, los estados europeos habían alcanzado el grado de organización
suficiente como para establecer sociedades geográficas cuyo cometido era representar
sobre mapas la superficie terrestre, sus características y los elementos físicos y humanos
situados sobre ellas.
Una Proyección Cartográfica es una correspondencia biunívoca entre los puntos de la
Superficie de Referencia (Elipsoide) y los puntos de un plano llamado Plano de proyección.
Puesto que cualquier punto del elipsoide está definido por sus coordenadas geográficas
latitud y longitud (φ, λ) y cualquier punto del plano lo está por sus coordenadas cartesianas
Este Norte (X, Y), existirá una serie infinita de relaciones que liguen (φ, λ) con (X, Y). Cada
una de estas infinitas relaciones será un Sistema de Proyección Cartográfico
2.8.1.- TIPOS DE PROYECCIÓN SEGÚN SU DEFORMACIÓN
El mayor problema de la cartografía ha sido representar sobre una superficie plana, la
superficie de la Tierra, sin que ésta parezca deformada.
Se han publicado cientos de proyecciones cartográficas diferentes y todas admiten una
variación infinita eligiendo parámetros como el centro de proyección, uno o más paralelos
estándar, etc. Además por proyectarse un elipsoide, toda proyección está parametrizada por
las dimensiones del elipsoide de referencia. La superficie del elipsoide no se puede
representar sobre el plano sin distorsión. Ahora bien, dependiendo del uso que se dé a la
representación se puede llegar a un compromiso en las distorsiones, manteniendo alguna
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característica deseable. Las principales características que se pueden conservar en una
proyección cartográfica son:
2.8.1.1.- PROYECCIONES DE ÁREA EQUIVALENTES (IGUAL ÁREA)
Equivalencia, es la condición por la cual una superficie en el plano de proyección tiene la
misma superficie que en la esfera. La equivalencia no es posible sin deformar
considerablemente los ángulos originales. Por lo tanto, ninguna proyección puede ser
equivalente y conforme a la vez.
Área, una proyección que conserve las áreas se llama equivalente, homolográfica,
homalográfica, o autálica. Las formas, ángulos y escalas aparecerán distorsionadas,
aunque suelen ser correctos o casi en algunas partes. La conservación de las áreas es una
condición global (finita).
Este tipo de proyecciones preservan el área con que los elementos son representados. Para
ello, las propiedades de forma, ángulos, escala, o cualquier combinación de ellas será
distorsionada en alguna medida. Así en este tipo de proyecciones los meridianos y los
paralelos podrían no presentar ángulos rectos en sus intersecciones. En algunos casos,
especialmente en mapa para pequeñas regiones, no será tan obvia la distorsión de la forma,
y será difícil entre un sistema de proyección conforme y uno de área equivalente.
2.8.1.2.- PROYECCIÓN EQUIDISTANTE (IGUAL DISTANCIA)
Equidistancia, Cuando una proyección mantiene las distancias entre dos puntos situados
sobre la superficie del elipsoide (representada por el arco de Círculo Máximo que las une) se
denomina equidistante.
Escala, (conservación de distancias) Ninguna proyección mantiene correctamente la escala
en todo el mapa, pero es habitual que una o más líneas sean equidistantes o
automecoicas, esto es, tengan una escala constante. Lo usual en las proyecciones
empleadas en topografía y SIG es que se ajusten los parámetros de forma que el error de
escala esté limitado y se minimice su valor medio en el área de trabajo. Cuando la escala se
mantiene en todos los meridanos la proyección se dice equidistante.
Los mapas equidistantes preservan las distancias entre ciertos puntos. La escala no puede
ser mantenida correctamente para la totalidad del mapa por ningún sistema de proyección.
Sin embargo existen en algunos casos, una o más líneas sobre el mapa sobre las cuales la
escala sí se mantiene correctamente. La mayoría de los sistemas de proyección tienen una o
más líneas para las cuales su largo sobre el mapa es el mismo (a escala) que su línea de
referencia sobre el globo, sin importar si es un círculo grande o pequeño, recto o curvo. Tales
distancias son llamadas verdaderas.
2.8.1.3.- PROYECCIÓN CONFORME
Conformidad, Cuando un plano de proyección mantiene los ángulos, que forman dos líneas
en la superficie terrestre, se dice que la proyección es conforme.
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Forma, una proyección es conforme u ortomórfica si se conservan los ángulos relativos
alrededor de cada punto. Es ésta por tanto una condición local (infinitesimal). De todas
formas, si se representa toda la Tierra es habitual que haya uno o más puntos singulares en
los que esta condición no se da. En una proyección conforme las grandes superficies
aparecen distorsionadas en la forma, pero los elementos pequeños mantienen su forma. En
éstas proyecciones la escala Local es isótropa, es decir, el factor de escala cada punto es el
mismo en todas las direcciones. El hecho de que los ángulos se conserven localmente hace
que el ángulo con el que se cortan dos líneas sea el mismo que en la realidad, y así, por
ejemplo, meridianos y paralelos se cortan en ángulo recto. Una proyección no puede ser
simultáneamente conforme y equivalente. Las proyecciones conformes son las más usadas
en mapas topográficos.
Las proyecciones conformes preservan las formas locales. Las líneas de la grilla sobre el
globo forman ángulos perpendiculares. Para preservar los ángulos individuales que
describen las relaciones espaciales, una proyección conforme debe presentar una grilla de
líneas que se intercepten en ángulos de 90º sobre el mapa. Esto se logra manteniendo todos
los ángulos, incluyendo aquellos entre las intersecciones de los arcos. El problema es que el
área encerrada por una serie de arcos será distorsionada en el proceso. No existe un
sistema de proyección que pueda preservar la forma cuando se trabaja con grandes
regiones.
2.8.1.4.- PROYECCIONES DE DIRECCIÓN VERDADERA
Dirección, En una proyección azimutal las direcciones o azimuts de todos los puntos son
correctas respecto del centro de proyección. Existe una proyección azimutal que es
equivalente, otra que es conforme y una tercera que es equidistante
Proyección Azimutal: es aquella que conserva las direcciones. Nuevamente deben recordar
que no entre todos los puntos del mapa sino solamente entre los puntos y el centro del
mapa.
El camino más corto entre dos puntos sobre una superficie curva, como la de la Tierra, es a
lo largo del equivalente esférico de una línea recta sobre una superficie plana. Esto es, el
círculo sobre el cual los dos puntos se encuentran. Los sistemas de proyección de distancia
verdadera o acimutal se usan para rectificar alguno de los arcos de los círculos del globo,
entregando la dirección o acimut de todos los puntos sobre el mapa correctamente con
respecto al centro. Existen sistemas de proyección de este tipo que también son conformes,
áreas equivalentes o equidistantes.
Las proyecciones que no son equivalentes ni conformes se llaman genéricamente
aphilácticas, aunque a veces el término se reserva para las que conservan distancias.
2.9.- TIPOS DE PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS SEGÚN LA SUPERFICIE AL CUAL
SE PROYECTA
Debido a que los mapas son planos, algunos de los sistemas de proyección más simples se
hacen sobre formas geométricas que pueden aplanar, sin estirar, sus superficies. Ejemplos
comunes de formas que usan este criterio son conos, cilindros, y planos. En realidad, los
cilindros y planos son formas limitadas de un cono. Una expresión matemática que proyecta
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sistemáticamente las posiciones de la superficie de una esfera para representarlas en un
plano es llamada un sistema de proyección.
proyección
El primer paso para proyectar
royectar de una superficie a otra es crear uno o más puntos de
contacto.. Cada uno de estos puntos se denomina punto de tangencia.. Como se observa en
la figura 8,, una proyección planar tiene sólo un punto de tangencia. Por otra parte, un cono o
un cilindro tienen líneas tangenciales sobre el globo. Si el plano de proyección intercepta al
globo en vez de tocarlo tangencialmente, la proyección resultante involucra cálculos de
secantes más que de tangentes. Ya sea que el contacto es secante o tangente, su
localización
ización es de importancia debido a que definen posiciones de distorsión nula. Estas
líneas son de escala verdadera y se les conoce como líneas estándar
estándar. En general, la
distorsión aumenta en forma proporcional a la distancia a éstas líneas de contacto. La
mayoría
ayoría de los sistemas de proyección pueden ser clasificados de acuerdo al tipo de
superficie de proyección a utilizar: cónica, cilíndrica y plana.
Fig. 9 Proyecciones Cartográficas según la superficie al cual se proyecta.
2.9.1.- PROYECCIONES PLANAS O AZIMUTALES
Las proyecciones de este tipo proyectan la información sobre superficies planas que tocan
tangencialmente el globo. Una proyección planar es del mismo tipo que las proyecciones
acimutales o las proyecciones cenitales. En esta clase de proyecciones se usan planos que
son tangentes al globo sólo en un punto, pero también podrían ser de tipo secante. El punto
de contacto puede ser el Polo Norte, el Polo Sur, un punto sobre el Ecuador, o algún punto
intermedio. Este punto determina el foco de proyección que definirán
def inirán la orientación y las
funciones a utilizar. El foco se identifica por una longitud y latitudes centrales, y las
orientaciones posibles son: polar,
polar ecuatorial y oblicuo.
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Fig. 10 Proyecciones Acimutales
La siguiente figura compara tres tipos de proyección.
Las orientaciones polares son las más sencillas. Los paralelos corresponden a círculos
consecutivos a partir de los polos, y los meridianos corresponden a líneas rectas que se
interceptan en el Polo con ángulos de intersección verdaderos. Para todas las orientaciones,
la proyección planar tiene una grilla con ángulos de intersección rectos (90º) y las
direcciones son precisas desde el foco (paralelo de mayor radio). Círculos sobre el globo que
pasan por el foco están representadas por líneas rectas, así la distancia más corta entre un
punto sobre el foco y cualquier otro punto es una línea recta sobre el plano proyectado. Los
patrones de distorsión de área y de forma son de tipo circular cerca del foco. Por esta razón,
las proyecciones acimutales se acomodan mejor para la representación de regiones polares.
Las proyecciones planares son de uso frecuente en la cartografía de las regiones cercanas a
los polos.
Algunas proyecciones planares visualizan la información a partir de un punto específico en el
espacio. Este punto de vista determina el lugar sobre la superficie plana en donde se
proyectarán los objetos sobre la superficie esférica. La perspectiva desde la cual todas las
posiciones son observadas varía en los diferentes tipos de proyección acimutales. Los
puntos de vista o de perspectiva pueden coincidir con el centro de la Tierra, un punto sobre
la superficie directamente opuesto al punto de tangencia, o a un punto externo, como si
estuviera montado sobre un satélite o en otro planeta.
Las proyecciones acimutales son diferenciables entre ellas en parte a la utilización de
diferentes focos, y en algunos casos por el punto de perspectiva.
v La Proyección Gnomónica, proyecta la información desde el centro de la Tierra.
v La Proyección Estereográfica, proyecta la información desde un Polo hacia su
opuesto.
v La proyección Ortográfica, proyecta la información desde un punto ubicado a una
distancia infinita en el espacio.
El tipo de punto de perspectiva determina la cantidad de distorsión alrededor del Ecuador.
2.9.2.- PROYECCIONES SOBRE SUPERFICIES DE CUERPOS DESARROLLABLES
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A).- PROYECCIONES CILÍNDRICAS
Las proyecciones cilíndricas también pueden tener una línea de tangencia o dos líneas
secantes alrededor del globo. La proyección de Mercator es una de las proyecciones
cilíndricas más comunes, y el Ecuador es usualmente su línea de tangencia. Los meridianos
son proyectados geométricamente en la superficie del cilindro, produciendo un ángulo de 90º
en las intersecciones con los paralelos. El cilindro puede ser “cortado” a lo largo de un
meridiano, y abierto, para producir la proyección cilíndrica final. Los meridianos están equidistanciados, mientras que el distanciamiento entre los paralelos disminuye hacia los polos.
Esta proyección es de tipo conformal y representa direcciones verdaderas a lo largo de
líneas rectas.
Fig. 11 Proyecciones Cilíndricas
Cuando el cilindro sé hacer rotar se obtienen proyecciones cilíndricas más complejas, debido
a que se cambian las líneas de tangencia o de secante. Proyecciones cilíndricas
transversales tales como la Transversal de Mercator usan los meridianos, o líneas paralelas
a ellos, como líneas de tangencia. Estas líneas corren de Norte a Sur y se representan a
escala verdadera. Cilindros oblicuos son obtenidos por rotación a lo largo de un gran círculo
sobre el globo localizado en cualquier punto sobre el Ecuador y los meridianos. En estos
sistemas complejos, la mayoría de los meridianos y las líneas de latitud no son líneas rectas.
En todas las proyecciones cilíndricas, las líneas de tangencia o de secante no tienen
distorsión y de esta forma constituyen líneas de equidistancias. Las restantes propiedades
geográficas varían dependiendo del tipo específico de proyección.
B).- PROYECCIONES CÓNICAS
La proyección cónica más simple es aquella en que el plano cónico es tangente al globo a lo
largo de una línea de latitud. En una proyección dada esta línea es llamada paralelo
estándar. Los meridianos se proyectan en la superficie y se unen en el ápice. Las líneas de
paralelos se proyectan sobre la superficie cónica como anillos consecutivos.
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Fig. 12 Proyecciones Cónicas
En general, las distorsiones aumentan al norte y al sur del paralelo de tangencia. Por ello,
truncando el cono se obtienen proyecciones más precisas. Ello puede ser logrado, al no
incluir las regiones polares en la proyección.
Se pueden desarrollar Proyecciones más complejas si se tienen dos líneas de contacto para
la superficie cónica. Estas proyecciones son llamadas secantes cónicas y están definidas
para dos paralelos estándar. La distorsión de las proyecciones secantes no es la misma para
las regiones que se encuentran entre los paralelos estándar que para aquellas que están
más allá de ellos. Pueden desarrollarse proyecciones cónicas más complejas en donde el eje
del cono no está alineado con el eje polar, en cuyo caso se denominan oblicuas.
La representación de los parámetros geográficos depende de la separación entre líneas
paralelas. Cuando están a igual distancia, la proyección es equidistante en la dirección
Norte-Sur pero no es conforme ni área equivalente, como es el caso de la Proyección Cónica
Equidistante. Para áreas pequeñas, la distorsión total es mínima. En la Proyección Cónica de
Lambert los paralelos centrales están menos distanciados que los paralelos cercanos a los
polos, y formas geográficas pequeñas se mantienen en mapas de escalas grandes y
pequeñas. Finalmente, en la Proyección Area Equivalente de Albers, los paralelos cerca de
los bordes del Sur están menos distanciados que los centrales, y la proyección resultará del
tipo área equivalente10.
2.10.- PROYECCIÓN CARTOGRAFICA DE MERCATOR
Una proyección cartográfica es la correspondencia matemática biunívoca entre los puntos
localizados en la superficie de una esfera, elipsoide u otro cuerpo geométrico de referencia y
sus transformados en un plano de proyección, como la superficie es un elipsoide del cual se
proyectan al plano estas sufren deformaciones como ser lineal, angular y superficial.
La Proyección Cartográfica de Mercator, introducida en 1569 por el geógrafo Flamenco
Gerardus Mercator, se concibe como desarrollo cilíndrico a lo largo del ecuador. Los
10
Fuente: http://mgar.net/var/cartogra.htm
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meridianos están representados por rectas verticales equidistantes los paralelos por rectas
horizontales cuanto más lejos está el Ecuador mas exagerado están las distancias.11
Fig. 13 Gerardo Mercator
Gerardo Mercator o Gerardus Mercator (5 de marzo, 1512 -2 de diciembre, 1594) fue un cartógrafo
Belga, recordado por su proyección de Mercator.
Nació con el nombre Gerard de Cremere (o Kremer) en Rupelmonde, Flandes. "Mercator"
es la latinización de su nombre, que significa "mercader". Recibió su educación formal del
humanista Macropedius en Bolduque y en la Universidad de Leuven. Aunque nunca viajó
mucho, desarrolló siendo joven un interés en la geografía como un medio de ganarse la vida.
Mientras vivió en Leuven trabajó junto a Gemma Frisius y Gaspar Myrica entre 1535 y 1536
en la construcción de un globo terráqueo. Posteriormente, Mercator publicó un mapa de
Palestina (en 1537), un planisferio (en 1538) y un mapa de Flandes en 1540. A lo largo de
estos años, aprendió a escribir en itálica, un tipo de letra más adecuado para los grabados
en cobre de los mapas.
Fig. 14 Mapa de Europa realizado por Gerardo Mercator
11
Fuente: Enciclopedia LAROUSSE, ilustrada Tomo 6, (Pág. 582).
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En 1544 es acusado de hereje y pasa en prisión siete meses. En 1552, se traslada a
Duisburgo donde abre un taller de cartografía. Trabajó en la realización de un mapa,
compuesto por seis paneles, de Europa que completó en 1554, y también se dedicó a
enseñar matemática. Realizó algunos otros mapas y, finalmente, fue nombrado cosmógrafo
de la corte por el duque Wilhelm de Cléveris, en 1564. Durante estos años, concibió la idea
de una nueva proyección para su uso en los mapas, que usó por primera vez en 1569; lo
novedoso era que las líneas de longitud eran paralelas, lo cual facilitaba la navegación por
mar al poderse marcar las direcciones de las brújulas en líneas rectas.
Fig. 15 Planisferio de Rumold Mercator, realizado en 1587
Fue uno de los primeros en utilizar la palabra atlas para designar a un conjunto de mapas, y
estimuló a Abraham Ortelius a hacer el primer atlas moderno, Theatrum Orbis Terrarum en
1570. Posteriormente Mercator produciría su propio atlas en varios tomos, el primero de los
cuales fue publicado en 1578 y consistía en una versión corregida de los mapas de
Ptolomeo, aunque esta edición también incluía algunos errores propios de Mercator. En
1585, se publicaron mapas de Francia, Alemania y Holanda, y en 1588 se agregaron mapas
de los Balcanes y Grecia. Su hijo, Rumold Mercator, una vez muerto su padre, concluiría la
obra publicando más mapas en 1595.12
2.10.1.- PROYECCIÓNES CILINDRICAS DE MERCATOR
Las proyecciones cilíndricas se basan en el artificio de circunscribir un cilindro alrededor
de la esfera terrestre. Este cilindro es tangente a la esfera a lo largo de un círculo máximo.
Cuando desarrollamos el cilindro cortándolo a lo largo de una de sus generatrices, se
transforma en un rectángulo, uno de cuyos lados es la longitud del círculo máximo terrestre
(2πR).
En todas las proyecciones de este grupo, los paralelos son líneas rectas, cuya longitud es
la misma que la del Ecuador, mientras que los meridianos son también líneas rectas
paralelas separados entre sí una longitud que es correcta solamente en el Ecuador.
Paralelos y meridianos se cortan entre sí ortogonalmente.
12
Fuente extraida de: Wikipedia, la enciclopedia libre: www.wikipedia.com
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Como un claro ejemplo de esta proyección se muestra el desarrollo de todo el globo
terráqueo en la proyección mercator. Utilizado para la representación del planisferio de la
Tierra
Las variaciones de tipos de proyecciones Mercator según la posición del cilindro, se las
pueden clasificar en las siguientes:
v Normal, El eje de la figura coincide con el de la esfera.
v Oblicua. El eje de la figura está comprendido entre 0 y 90
v Transversal. El eje de la figura es perpendicular al de la esfera.
2.10.1.1.- PROYECCIÓNES NORMALES
- PROYECCIÓN SIMPLE
En la Proyección Cilíndrica Simple (centro de proyección en el centro de la Tierra), y el
cilindro tangente al Ecuador. La separación entre paralelos y el Ecuador, vendrá definida
solamente por la latitud del paralelo. También se desarrolla este cilindro, de forma que fuera
secante a dos paralelos.
Fig. 16 Proyecciones Cilíndricas Simples
- PROYECCIÓN ORTOMÓRFICA
En la Proyección Cilíndrica Ortomórfica, la separación entre paralelos se hace aumentar
progresivamente hacia los Polos. El espaciamiento en este caso se hace de forma que en
cualquier punto de la proyección, la escala a lo largo del meridiano sea la misma que la
escala a lo largo del paralelo.
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Fig. 17 Proyección Cilíndrica Ortomórfica
- PROYECCIÓN OBLICUA
La Proyección cilíndrica Oblicua, se usa en países o regiones donde su forma es irregular
siendo más largo en una dirección que en otra pero no está alineado a lo largo de ningún
meridiano o paralelo. En esta situación es posible formular un aspecto oblicuo de la
proyección de Mercator para minimizar el factor de escala dando lugar a una proyección
cilíndrica oblicua conforme no equivalente.
Es una proyección de Mercator regular que se alteró, envolviendo la esfera con un cilindro de
forma que toque la superficie a lo largo de la trayectoria del gran círculo elegido en lugar de a
lo largo del ecuador terrestre. Al definir esta proyección es necesario especificar el azimutal
de la línea central así como todos los otros parámetros mencionados anteriormente. El factor
de escala será ahora proporcional a la secante de la distancia desde la línea central. Un
ejemplo del uso de esta proyección está en la península de Malasia, donde la proyección se
llama Hotine oblique Mercator u ortomórfica antisimétrica.
Fig. 18 Proyección Oblicua de Mercator
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El aspecto oblicuo de una superficie de proyección se coloca arriba o en cualquier posición
entre el ecuador y los polos (pero que no incluya). Se puede centrar sobre un paralelo o
sobre un meridiano. Los aspectos oblicuos son útiles para centrar regiones pequeñas
reduciendo así la distorsión.
Fig. 19 Aspecto Oblicuo Proyección Mercator
Tanto paralelas como meridianos son curvas complejas en esta proyección que se desarrolló
en los inicios de 1900 por varias personas. Para definir la proyección es necesario
proporcionar varios parámetros. Las fórmulas para la oblicua de Mercator que involucran
funciones hiperbólicas fueron derivadas por Hotine.
Tanto la proyección de Mercator oblicua como la Hotine son muy similares pero usan
métodos distintos ya que hay una diferencia sutil que concierne al punto en el cual se aplican
las rectificaciones de la rejilla antisimétrica a la rejilla del mapa y a la rejilla de coordenadas
falsa13.
2.11.- PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR
Esta proyección fue concebida inicialmente por el científico Alemán Johann Heinrich Lambert
en 1772, pero su desarrollo analítico se adjudica a Carl Friederich Gauss. Es rigurosamente
conforme, por lo que los meridianos y paralelos se interceptan en ángulo recto manteniendo
así las formas de los elementos representados.
- Cilíndrica de zona uniforme.- Es la transversal de la proyección Cilíndrica de zona
uniforme normal, que fue propuesta por Lambert en 1772. El meridiano central es una línea
recta.
Los meridianos situados a 90 grados del meridiano central son también líneas rectas. El
Ecuador es una línea recta. El resto de los paralelos y los meridianos son curvas complejas.
13
Fuente http:// www.mappinginteractivo.com/
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La longitud de la escala verdadera es el meridiano central o de las dos líneas de longitud
espaciadas uniformemente del meridiano central. El área no se distorsiona en ninguna parte
de esta proyección.
Una forma didáctica de graficarlo es mediante la utilización de un cilindro transverso al eje de
rotación y que envuelve al elipsoide terrestre. Para cubrir todo el elipsoide se utilizan
numerosos cilindros transversos lo que deriva en que cada cilindro tiene un campo especifico
de acción llamado “huso”, el que está definido por un meridiano central al cual pertenece y
por un ancho de huso expresado en grados de desarrollo longitudinal, en estricto rigor, se
trata entonces de un sistema de proyecciones que cubre el elipsoide y que dada la posición
de cada cilindro, se hace recomendable para territorios donde predomine la extensión NorteSur, las distorsiones en sentido Este-Oeste son mayores que en sentido Norte-Sur. Como
todos los husos del sistema de proyección tienen igual ancho, analíticamente todos se
definen de igual manera.
Así, las funciones matemáticas para efectuar todo tipo de cálculos son idénticas en cada
huso.
Por definición este sistema proyectivo tiene un campo de escala definido por un error
máximo, esto significa que los límites del huso estarán dados mientras el error asociado no
exceda cierta norma. El meridiano central de cada huso, posee la particularidad de ser el
único representado por una línea recta y poseer igual valor de escala en todo su largo y los
valores X de la proyección tienen como origen dicho meridiano.14
Alrededor del mundo, son numerosos los ejemplos de la utilización de proyecciones TM con
diferentes parámetros que los países del mundo han adoptado para normar la
representación de su territorio siendo las más utilizadas:
v Proyección Universal Transversa de Mercator (UTM)
v Proyección Gauss Krüger
v Local Transversa de Mercator
2.11.1.- PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL MERCATOR (UTM)
La proyección UTM se emplea habitualmente dada la importancia militar, y sobre todo,
debido a que el servicio de Defensa de Estados Unidos los estandarizó para su empleo
mundial en la década de 1940, y fue creada para homogenizar la representación cartográfica
de países vinculados a los esfuerzos militares de ese país.
La proyección UTM está dentro de las llamadas proyecciones cilíndricas, por emplear un
cilindro en una determinada posición espacial para proyectar las situaciones geográficas. Es
un sistema poli cilíndrico que abarca la totalidad del elipsoide en sentido longitudinal y desde
los 80º S a los 84º N en sentido latitudinal. Para controlar las deformaciones producidas al
alejarse del meridiano central, esta proyección está formada por 60 husos de 6º de ancho
cada uno. Asociado a un elipsoide de referencia, y los husos se orientan desde los 180º W
14
Fuente http://www.igm.cl/Proyeccion_utm.html
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aumentando hacia el Oeste, de tal manera que el meridiano de Greenwich corresponde al
borde o separación de los husos 30 y 31.
Si proyectamos el total del mundo en un plano, se observa que la distancia entre los
paralelos aumenta a medida que se alejan de la línea del Ecuador hacia los polos, debido a
ello la representación cartográfica presenta cerca de los polos una distorsión excesiva, razón
por la cual recientemente la UGGI (Unión Geodésica y Geofísica Internacional), dispuso que
cada una de las 60 zonas debían acotar su latitud a 84 grados de latitud norte ( latitud 84° N)
y 80 grados de latitud sur (latitud 80° S).
Como una forma de reducir las deformaciones producidas en los bordes de cada huso, (lugar
geométrico en que el plano de proyección está más alejado del elipsoide) el meridiano
central no es
equidistante (k0 = 0.9996), de manera que el cilindro que representa al
plano cartográfico es secante al elipsoide. Así, los factores de deformación de escala “k”
tienen un valor mínimo de k = 0.9996 en el meridiano central, nulo a lo largo de una línea
cóncava hacia el meridiano central que dista unos 180 Km de él (k = 1) y un valor máximo de
k = 1.001 en el borde del Huso.
Para evitar que la distorsión de las magnitudes aumente lineales aumenta conforme que se
aumente la distancia al meridiano central se aplica un factor de proyección k, a las distancias
k=0.9996, de modo que la posición del cilindro de proyección sea secante al elipsoide,
creándose dos líneas en las que el modulo de anamorfosis lineal sea la unidad.
La transformación geométrica creada con la proyección hace que únicamente dos líneas se
consideran “rectas”, (en la misma dirección de meridianos y paralelos); el meridiano central
del huso y paralelo 0º (Ecuador), en los que ambos coinciden con el meridiano geográfico y
paralelo principal (Ecuador).
El meridiano central, por lo tanto, se encuentra orientado en la dirección del norte geográfico
y el paralelo 0º se encuentra orientado en rumbo 90º-180º, dirección Este (E) y oeste (W).
El factor de escala aumenta en mayor magnitud conforme aumenta la distancia al meridiano
central. Esta distorsión lineal presenta un mínimo de un –0.04% a un máximo de +0.096%.
2.11.1.1- CARACTERÍSTICAS
El sistema de proyección TRANVERSAL DE MERCATOR (UTM) toma como base la
proyección Mercator, sin embargo la posición del cilindro de proyección es transversal
respecto al eje de la Tierra.
La proyección UTM conserva los ángulos, pero distorsiona las distancias existentes sobre la
superficie terrestre.
Se define un huso como las posiciones geográficas que ocupan todos los puntos
comprendidos entre dos meridianos.
Para eliminar al máximo la distorsión, cada zona o huso sólo tiene 6° de longitud, luego el
meridiano central de la zona está 3°. A ambos lados de este meridiano central la distorsión
59
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es mínima. En total son 60 zonas de proyección UTM idénticas donde cada una de ellas se
diferencia por el valor del Meridiano Central (MC). La proyección universal está constituida
en 60 zonas o husos diferentes identificados por los correspondientes primeros números
naturales, siendo el huso 1 aquél cuyo meridiano central tiene una longitud de 177º W, y el
60, el caracterizado por los 177º E.
En el sentido de los paralelos, se divide en bandas de 8º de latitud, existiendo por lo tanto 19
bandas más una banda X de 12º de latitud por huso. Las bandas se nombran con letras
mayúsculas, desde la C a la X (salvo CH, I, LL, N y O), a partir del paralelo límite sur,
reservándose los caracteres A, B, Y, Z, para las regiones polares. De esta manera una zona
identifica biunívocamente una determinada región de la superficie del elipsoide.
v Las bandas C a M están en el hemisferio sur
v Las bandas N a X están en el hemisferio norte.
v Las primeras 19 bandas (C a W) están separadas o tienen una altura de 8° cada
una. La banda numero 20 ó X tiene una altura de 12°
Fig. 20 Zonas UTM
Dentro de cada huso, se toma como origen de coordenadas el punto intersección de las
proyecciones del meridiano central y el Ecuador, rectas que son los respectivos ejes de
ordenadas y abscisas. Según se trate de situar puntos en el hemisferio norte o sur, el origen
toma valores diferentes con objeto de no dar lugar a coordenadas negativas; así para
latitudes norte se considera el par (500000 mts., 0 mts.), Y para puntos por debajo del
Ecuador se conviene en el término (500000 mts., 10000000 mts.). 15
15
Fuente http:// www.elgps.com/documentos/utm/coordenadas_utm.html
60
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2.11.1.2.- DESCRIPCIÓN DE UNA ZONA UTM
v Cada zona UTM tiene como bordes o tiene como límites dos meridianos separados
cada 6°.
v Esto crea una relación entre las coordenadas geodésicas angulares tradicionales
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
(longitud y latitud medida en grados) y las coordenadas planas UTM (medidas en
metros) y permite el diseño de fórmulas de conversión entre estos dos tipos de
coordenadas.
La línea central de una zona UTM siempre coincide con un meridiano del sistema
geodésico tradicional, al que se llama MERIDIANO CENTRAL. Este meridiano central
define el origen de la zona UTM.
Por tanto, los límites este-oeste de una zona UTM está comprendida en una región
que está 3° al Oeste y 3° al Este de este meridiano central. Los meridianos centrales
están también separados por 6° de longitud.
Los límites Norte-Sur de una zona UTM es aquella comprendida entre la latitud 84° N,
y la latitud 80° S. El resto de las zonas de la Tierra (las zonas polares) están
abarcadas por las coordenadas UPS (Universal Polar Stereographic).
Cuando se considera la orientación norte-sur, una línea de una zona UTM coincide
con los meridianos de las coordenadas angulares solo en el meridiano central.
En el resto de la zona no coinciden las líneas de la zona UTM (el grid) con los
meridianos. Estas diferencias se acentúan en los extremos derecho e izquierdo de la
zona UTM, y se hacen mayores conforme nos alejamos del meridiano central.
Por esta razón, en una zona UTM, la ÚNICA línea (de grid) que señala al verdadero
norte es aquella que coincide con el meridiano central. Las demás líneas de grid en
dirección norte-sur se desvían de la dirección del polo norte verdadero. El valor de
esta desviación la llaman CONVERGENCIA DE CUADRÍCULA. Puesto que un
sistema de coordenadas rectangulares como el sistema UTM no es capaz de
representar una superficie curva, existe cierta distorsión. Considerando las 60 zonas
UTM por separado, esta distorsión es inferior al 0,04%.
Cuando se considera la orientación este-oeste, sucede un fenómeno parecido. Una
línea UTM coincide con una sola línea de latitud: la correspondiente al ecuador. Las
líneas de grid de la zona UTM se curvan hacia abajo conforme nos movemos al norte
y nos alejamos del meridiano central, Y no coinciden con las líneas de los paralelos.
Esto se debe a que las líneas de latitud son paralelas al ecuador en una superficie
curva, pero las líneas horizontales UTM son paralelas al ecuador en una superficie
plana.
Una zona UTM siempre comprende una región cuya distancia horizontal al Este
(Este) es siempre inferior a 1000000 metros (de hecho, la "anchura" máxima de una
zona UTM tiene lugar en el ecuador y corresponde aproximadamente a 668 Km.). Por
eso siempre se usa un valor de Este de no más de 6 dígitos cuando se expresa en
metros.
Para cada hemisferio, una zona UTM siempre comprende una región cuya distancia
vertical (Norte) es inferior a 10000000 metros (realmente algo más de 9329000
metros en la latitud 84° N). Por eso siempre se usa un valor de Norte de no más de 7
dígitos cuando se expresa en metros.
Por esta razón siempre se usa un dígito más para expresar la distancia al norte
(Norte) que la distancia al este (Este).
Por convenio, se considera EL ORIGEN de una zona UTM al punto donde se cruzan
el meridiano central de la zona con el ecuador. A este origen se le define:
61
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o
o
con un valor de 500 km ESTE, y 0 km norte cuando consideramos el
hemisferio norte.
con un valor de 500 km ESTE y 10.000 km norte cuando consideramos el
hemisferio sur.
v Al dar al origen (punto medio de la zona) un valor de 500 km, decimos que estamos
dando un FALSO ORIGEN, y además, UN FALSO ESTE y un FALSO NORTE. Se
pretende de esta forma que nunca se usen valores negativos.
v Los extremos izquierdos y derecho de la zona UTM no corresponden nunca a las
distancias 0 y 1000 km, respectivamente. Eso es así porque la zona UTM nunca tiene
un ancho de 10000 km. Recordar que 6° de longitud equivalen a una distancia
aproximada de 668 km en el ecuador, y se hace menor conforme aumenta la latitud
hacia ambos polos, porque la Tierra es casi una esfera.
-
FALSO ESTE
Como una forma de evitar la existencia de coordenadas negativas dentro de un huso. Se
adoptó por convención el asignar un valor inicial al meridiano central que sea mayor que la
máxima diferencia en metros entre dicho meridiano y el borde de huso para la latitud 0º. Se
optó por el valor 500000 metros, por lo que las coordenadas Este varían entre 166000m y
834000m en el Ecuador y entre 443000m y 557000m aproximadamente para los límites
latitudinales del huso (80º)
-
FALSO NORTE
Dado que el origen latitudinal del sistema UTM se encuentra en el Ecuador. Se observa el
inconveniente de que todos los territorios del hemisferio sur tendrían coordenadas negativas,
como una forma de evitar la incomodidad inherente a trabajar con coordenadas negativas se
decidió asignar un valor de norte falso valido para el hemisferio, que sea superior a la
máxima distancia norte sur posible para la proyección. Así, se decidió asignar un valor de
norte falso de 10000000 m para el hemisferio sur y mantener el norte falso de 0m para el
hemisferio norte.
2.11.2.- PROYECCION GAUSS KRÜGER (KG)
La misma es una variación de la mundialmente conocida proyección UTM (Universal
Transversal Mercator) manteniendo las propiedades de conformidad de ésta.
Cada faja de la grilla Gauss-Krüger mide 3º de ancho (longitud) y tiene como propio origen la
intersección del Polo Sur con el meridiano central de cada faja. Al igual que la proyección
Mercator transversa, y con el objeto de evitar coordenadas negativas, se le asigna al
meridiano central de cada faja el valor arbitrario de 500000 metros y al Polo Sur el valor cero
metros.
Al aplicar la fórmula de deformación lineal, resulta que en la proyección GK todas las líneas
que no están sobre el meridiano central sufren un aumento, mientras que en la proyección
UTM las comprendidas entre ese meridiano central y un círculo ubicado a aproximadamente
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1 ° 37' tienen una reducción, las ubicadas en la posición indicada (1° 37') no tienen
deformación y las más alejadas se alargan.
Esta es una proyección cilíndrica del tipo transversa (perpendicular al Ecuador) y tangente es
decir solamente hace contacto con la superficie terrestre en un solo Meridiano, conocido
como Meridiano Central de Faja (MCF).
El sistema Gauss Krüger posee ejes cartesianos como modo de representación de las
coordenadas proyectadas al plano generándose un X, Y Gauss Krüger.
-
FACTOR DE ESCALA
La proyección Gauss Krüger considera un cilindro elíptico tangente al meridiano central y por
consiguiente sobre este no hay deformación, esto es k = 1.
-
EJE X
Representa el eje NORTE de la proyección (al revés de los ejes cartesianos matemáticos), y
su origen o valor 0 (cero) se encuentra en el Polo Sur (Latitud 90º Sur). De esta manera la
coordenada X de un punto expresado en Gauss Krüger indicará siempre la cantidad de
metros a que ese punto se encuentra del Polo Sur. Esta distancia al polo Sur es igual a la
verdadera longitud del arco de meridiano desde el polo hasta el Ecuador sobre el elipsoide
de referencia. Sur-Ecuador =10001965,730 m.
-
EJE Y
Representa el eje ESTE de la proyección y su origen está dado por cada MCF. En él, el valor
que adopta la coordenada Y es 500000 (expresado en metros). Este valor arbitrario distinto
de 0 (cero) se adoptó simplemente para evitar los valores negativos en las coordenadas.
2.11.3.- PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (L T M)
La proyección Local Transversal de Mercator (LTM) corresponde a un sistema cilíndrico
transverso conforme tangente, pero con parámetros particulares que la individualizan y que
permiten mediante la manipulación del ancho de huso y factor de escala, incrementar la
exactitud en la representación de los elementos. Originalmente fue concebida como una
herramienta de apoyo a los proyectos de ingeniería donde debe representarse el terreno con
gran exactitud, busca cubrir las necesidades cartográficas de proyección conforme de alta
precisión para proyectos de ingeniería
Para la definición de esta proyección se establece un ancho de uso de 1º de longitud, donde
el cálculo del factor de escala para el Meridiano Central Local (KMCL) se la obtiene a partir
del factor de altura (Kh), para el cálculo del factor de altura se utiliza la formula general el
cual se encuentra en función a la Altura Elipsoidal Media del área de trabajo y del Radio
Medio de curvatura con estos valores se obtiene un valor de factor de altura, cuando la altura
elipsoidal media sea igual a cero será Kh=1, por tanto el cilindro y el elipsoide son
tangentes, a medida que el valor de la altura elipsoidal media sea mayor a 1 el Kh> 1 el
cilindro se va alejando del elipsoide de tal forma que el plano de proyección llegue a la
superficie terrestre.
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Fig. 21 Plano PTL. Formula del factor de elevación.
Entre las características más importantes de la proyección LTM se tienen las siguientes:
v Es una proyección cilíndrica tangente al elipsoide de referencia.
v Ancho de huso generalmente es de 1º de longitud.
v Meridiano central de la faja es coincidente con el paralelo medio del área de
trabajo.
v El valor del falso Norte coincidente con el paralelo del área de trabajo será igual al
valor del arco meridiano con el valor de 0º a 90º
de latitud es igual a
10001965,730 metros
v El falso Este será igual a 200000 metros debido a que el valor de 1º en valor
métrico es igual a 111000 metros
Pese a que se recomienda que el meridiano central corresponda a grados enteros o medio
grados, en proyectos de ingeniería se debe considerar en una primera instancia, que el
meridiano central de la proyección sea coincidente con los valores promedios del área de
trabajo para lograr así un cubrimiento total y una mayor precisión. Para áreas extensas o
mayores precisiones, se recomienda usar múltiples fajas que abarquen el total del área de
estudio y/o que cumplan con la precisión señalada16.
16
Fuente http:// http://www.cartografiacl
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Fig. 22 Plano PTL
2.11.3.1.- PROYECCION LTM Y PLANOS TOPOGRÁFICOS LOCALES (PTL)
La forma de relacionar coordenadas sobre el elipsoide, el plano de proyección y
posteriormente el terreno, implica arduas labores de cálculo y con esto la posibilidad cierta
de cometer errores de distinto tipo haciendo aún más complicada la racionalización del
espacio por medio de cartografía. Como una forma de solucionar la discrepancia existente
entre mediciones en terreno y cartografía sobre un plano de proyección, se utiliza una
proyección LTM tal que el plano de proyección sea coincidente con el terreno. Para esto, se
debe considerar un cilindro que pase por el terreno topográfico constituyendo así un Plano
Topográfico Local (PTL).
Puede determinarse un valor Kh relacionado con la altura del terreno sobre el elipsoide
(cercana a la altura sobre el nivel del mar) de modo que implique tangencia con un punto del
terreno. De esta forma se obtiene para ese punto la directa relación terreno-plano de
proyección facilitando así el transporte de coordenadas y las labores de replanteo.
kh =
( Rm + hm)
Rm
Donde:
Kh =Factor de Altura del plano Topográfico Local.
Rm =Radio Medio de curvatura
hm =altura elipsoidal
La fórmula 32 señala el factor de escala del meridiano central para un proyecto cualesquiera
que permite que el cilindro sea tangente al terreno (en desmedro de la relación de secancia o
tangencia entre el plano de proyección y el elipsoide de referencia).
Para efectos prácticos, los proyectos topográficos suelen utilizar diversos planos topográficos
locales determinados según la inexactitud que provoca las diferencias de alturas observadas
en el terreno.
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Un sistema de coordenadas PTL corresponde a un sistema de coordenadas topográficas de
carácter local concebido para representar pequeñas extensiones de terreno. Al ser una
versión de la proyección TM corresponde a un Sistema de Proyección Local cuyo origen
corresponde a coordenadas geodésicas, lo que se traduce en:
v Posición: dada por las coordenadas geodésicas (φ, λ) del origen del sistema
rectangular (X, Y) local.
v Orientación: Dada por un azimut de cuadricula del eje “Y” del sistema local.
v Altura del plano de referencia: Dada por la altura elipsoidal media del plano de
referencia.
Falso Norte (Y)
Para el valor del Falso Norte se toma en cuenta el valor del arco meridiano tomando los
valores de latitud de 0º a 90º que es igual a 10001965,730 m.
Por esto, se asigna un valor de 10001965,730 m. en el sistema WGS-84 como origen de las
coordenadas Norte para el hemisferio Sur y de 0 metros para el hemisferio Norte, lo que
radica en la imposibilidad de existencia de coordenadas negativas.
Falso Este (X)
Como una forma de evitar la existencia de valores negativos en las coordenadas
proyectadas, se recurre a asignar un valor para el meridiano de origen, tal que sea mayor
que la máxima extensión posible en sentido Este-Oeste (1º de desarrollo longitudinal en el
ecuador corresponde a unos 111 Km.) de esta forma y para cubrir una posible extensión del
huso mas allá de 1º se opta por asignar un valor de 200000 m.
Este sistema de proyección LTM se le impone parámetros que permitan minimizar la
diferencia de ángulos y distancias medidas en terreno y las cantidades obtenidas en un
sistema plano LTM para áreas reducidas. Utilizada en el marco de proyectos de ingeniería.
Al igual que en todas las proyecciones derivadas del desarrollo Transversal de Mercator, se
mantienen los algoritmos de transformación, donde la variación es el factor de escala y los
valores de el Falso Este y el Falso Norte.
66
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2.12.- DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS
2.12.1.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS
LTM
La superficie de un elipsoide no puede ser extendido a un plano sin que exista distorsión, el
problema que se plantea se reduce a representar la superficie del elipsoide sobre un plano
de proyección utilizando leyes matemáticas, esta se expresa en forma general por las
siguientes ecuaciones:
x = f1 (j , l ).....(1)
y = f 2 (j , l ).....(2)
En estas ecuaciones:
x= coordenada x del plano de proyección
y= coordenada y del plano de proyección
φ= latitud geodésica
λ= longitud geodésica
Las coordenadas x, y dan la posición de un punto sobre el plano de proyección; ƒ1, ƒ2 son
funciones matemáticas con respecto a la latitud y longitud.
Fig. 23 Elipsoide
Fig. 24 Zona de Proyección
En la figura 23 se observa el punto “A” sobre el elipsoide en coordenadas geodésicas, en la
figura 24, el punto “a” es la representación sobre el plano de proyección en coordenadas x, y.
67
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A partir de las fórmulas 1 y 2, el problema consiste en determinar las funciones ƒ1 y ƒ2, las
condiciones iníciales para la obtención de estas funciones son:
v Conformidad de la proyección
v Elección de las zonas y de los ejes de coordenadas X, Y.
v Representación del meridiano central local (MCL) y del Ecuador mediante líneas
rectas sobre el plano de proyección
v El meridiano axial del elipsoide se representa sobre el plano mediante una recta que
representa el eje Y, por tanto X=0 y λ=0.
v Para los puntos del meridiano axial las coordenadas Y deben ser iguales a los
correspondientes a los arcos Y a partir del Ecuador al punto dado con su latitud.
v Calculo del valor del factor de escala en el MCL y el plano PTL.
Fig. 25 Distancia en el elipsoide
Fig. 26 Distancia en Proyección
En la figura 25
PS-O Meridiano Axial
E-E1 Línea del Ecuador del elipsoide
M= arco de meridiano del ecuador al punto A
El punto A esta dado por las coordenadas geodésicas latitud y longitud, el punto A1 esta
situado a una distancia infinitamente pequeña y en una dirección arbitraría del punto A, las
coordenadas del punto A1 serán iguales a:
ìj + dj
A1 í
îl + dl
Se construye el triángulo auxiliar A-A1-C
A1-C =Mdφ = arco de meridiano
A-C = N(cos φ)dλ = arco de paralelo
A-A1 = dS= Es la distancia entre ambos puntos.
68
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dS =
( Mdj ) + ( N × cos j × d l )
2
( dl )
dS = N × cos j ×
2
.....(3)
2
2
æ M
ö
+ç
dj ÷ .....(4)
è N × cos j
ø
Realizando el cambio de variable:
M
dj = dq.....(5)
N × cosj
d l = dl.....(6)
Reemplazando las ecuaciones 5 y 6 en 4 se tiene:
( dl ) + ( dq )
dS = N × cosj ×
2
2
.....(7)
En la figura 26
O-PS eje y, es la representación del meridiano Axial elipsoidal sobre el plano
de proyección.
E-E1 eje x, es la representación de la línea del Ecuador elipsoidal sobre el
plano de proyección.
m= distancia proyectada en el plano de proyección, del ecuador al punto
“a”
Ambos ejes son perpendiculares entre sí, sea punto “a” dado por las coordenadas x, y, la
representación del punto “A” y el punto “a1” se encuentra a una distancia infinitamente
pequeña del punto “a” y a la vez es correspondiente al punto “A1” y sus coordenadas están
dadas por:
ì x + dx
a1 í
î y + dy
Se construye el triángulo auxiliar a-a1-c
a1 - c =dy = distancia sobre el plano de proyección
a - c = dx = distancia sobre el plano de proyección
a - a1 = ds= Es la distancia entre ambos puntos.
ds =
( dx ) + ( dy )
2
2
.....(8)
Considerando la escala de representación (kr) se tiene:
kr =
ds
.....(9)
dS
( dx ) + ( dy )
kr =
.....(10)
2
2
N × cosj × ( dl ) + ( dq )
2
2
69
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kr 2 =
N
2
( dx + idy )( dx - idy )
.....(11)
× cos 2 j ( dl + idq )( dl - idq )
i = -1
Para proporcionarle conformidad a la representación, la escala kr en todas las direcciones
debe ser la misma y a la vez depender solo de las coordenadas de dicho punto y no de la
dirección y la distancia (ds). Por tanto la forma de la función que determina la dependencia
entre las coordenadas situadas sobre el plano y las coordenadas situadas sobre el elipsoide
dado por la fórmula (11) dx/dy o dq/dl, estos determinan la dirección de la distancia dS o ds.
Teóricamente una función de variables complejas se demuestra que:
L+iQ sea una función analítica de variable compleja ƒ(l+iq)
d ( L +iQ )
dp
L+iQ= ƒ (p+iq) cuando sea d (l +iq ) y no dependa dq
Por tanto la ecuación (11) se la escribe de la siguiente manera:
kr 2 =
d ( x + iy ) d ( x - iy )
.....(11)
N × cos 2 j d ( l + iq ) d ( l - iq )
2
Utilizando el teorema anterior se tiene:
x + iy = f (l + iq ).....(12)
d ( x + iy )
= f '(l + iq).....(13)
d (l + iq)
Cambiando +i por –i se tiene:
x - iy = f (l - iq ).....(14)
d ( x - iy )
= f '(l - iq).....(15)
d (l - iq)
Reemplazando las fórmulas 13 y 15 en la fórmula 11 se tiene:
kr 2 =
1
× f ´(l + iq) × f ´(l - iq).....(16)
N × cos 2 j
2
Las derivadas f’ (l+i q) y f’ (l-iq) con las condiciones de las fórmulas 12 y 14 dependen
solamente de x, y o q, l pero no dependen de sus diferenciales, por tanto las expresiones 11
y 16 tampoco dependen de las diferenciales.
La fórmula 12 le proporciona conformidad a la representación para cualquier forma arbitraria
de la función analítica f.
Representación del eje Y sobre el meridiano axial del elipsoide, se la representa mediante
una recta donde:
70
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Para el eje x
l =λ = 0
X0 = 0
Y para eje y
Y = Sφ= f (q)
De la fórmula 12
x + iy = f (l + iq )
x + iy = f (l + iq )
Se observará que para deducir la función de traspaso desde ambos planos complejos, habrá
que determinar f(λ + iq) según las condiciones iníciales requeridas por la proyección deseada
e igualar posteriormente las partes real e imaginaria para obtener así las coordenadas reales
de mapeo.
x = x (λ, q)
y = y (λ, q)
Lo que permite calcular coordenadas que se encuentren únicamente sobre el meridiano
central.
Para generalizar esta solución a puntos que se encuentren fuera del meridiano central,
donde el valor de la abscisa no será cero y el valor de la ordenada será diferente al del arco
de meridiano del punto considerado. Se expande la función x + iy = f (λ + iq) en torno al
punto z = iq según serie de Taylor, quedando
x + iy = f (l + iq ) = f (iq ) + l f '(iq ) +
l2
l3
f ''(iq ) +
f '''(iq ) + .....(17)
2!
3!
Considerando la expresión:
f (iq) = iSj = if (q)
Diferenciando con respecto a “z”, se obtiene.
Como
d
d
f (iq) = [if (q)]
dz
dz
d
dq
f '(iq) = [if (q)]
dq
dz
dz
=i
dq
f '(iq) = if '(q)
1
= f '(q)
i
Donde:
d
f (iq)
dz
d
f '(q) º
f ( q)
dq
f '(iq) º
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Finalmente
Continuando con las derivadas de orden superior:
f ''(iq ) = - if ( q )
f '''(iq ) = - f '''( q )
f iv (iq ) = if iv ( q )....etc.
Reemplazando estos valores se obtiene:
l2
l
x + i y = i f ( q ) + l f '( q ) i f ''( q ) 2!
3
3!
f '''( q ) +
l4
if
4!
iv
( q ) + ....
Igualando las partes real e imaginaria, se obtiene:
l2
l 4 iv
if ''( q ) +
if ( q ) + .....(18)
2!
4!
l2
l 4 iv
y = f (q ) f ''( q ) +
f ( q ) + .....(19)
2!
4!
l3
l5 v
x = l f '( q ) f '''( q ) +
f ( q ).....(20)
3!
5!
iy = if ( q ) -
Donde las derivadas son:
f '( q ) = N × cosj
é dN
ù dj
N
f ''( q ) = ê
cosj - N × senj ú
= - sen × 2j
2
ë dj
û dq
Las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952).
Reemplazando las derivadas en las funciones anteriores y operando, se obtiene:
(Dl )3
(Dl )5
× N × cos3 j (1 - tan 2 j +h 2 ) +
× N × cos5 j (5 - 18 × tan 2 j +
x = Dl × N × cosj +
6
120
tan 4 j + 14h 2 - 58 × tan 2 j ×h 2 )
(Dl ) 2
(Dl )4
2
y = Sj +
× N × cos j × tanj +
× N × cos 4 j × tanj (5 - tan 2 j + 9h 2 + 4h 4 ) +
720
24
6
(Dl )
+
× N × cos 6 j × tanj (61 - 58 × tan 2 j + tan 4 j + 270h 2 - 330 × tan 2 j ×h 2 )
720
Como se observa, vienen en función del arco de meridiano, incremento de longitud a partir del
meridiano central, latitud, radio de curvatura del primer vertical y el parámetro "η", función de
la segunda excentricidad y de la latitud.
72
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x
Dl3 × cos3 j
Dl5 × cos5 j
éë1- t 2 +h 2 ùû +
éë5 -18t 2 + t 4 +14h 2 - 58t 2h 2 +13h 4 - 64t 2h 4 + 4h6 - 24t 2h6 ùû + ...(21)
= Dl × cosj +
N
6
120
y Sj Dl 2 × senj × cosj Dl 4 × senj × cos3 j
éë5 - t 2 + 9h 2 + 4h 4 ùû ....(22)
= +
+
N N
2
24
t = tanj.....(23)
h 2 = e '2× cos2 ....(24)
Δλ= diferencia de longitud en radianes
Las expresiones anteriormente desarrolladas pueden continuarse hasta sucesivos términos
logrando así una exactitud mayor en la transformación., el tercer término asegura una
exactitud suficiente para la mayoría de los trabajos geodésicos.
Finalmente se tienen las siguientes fórmulas:
N=
a
1 - e2 × Sen 2j
.................(25)
t 2 = Tan 2j ............................(26)
h 2 = e '2 × Cos 2j .........................(27)
A = (l - l 0 ) × Cosj ...................(28)
éj ×p æ e2 3e4 5e6
ö
æ 3e2 3e4 45e6
ö
æ 15e4 45e6
ö
æ 35e6 öù
Sj = a ê
- ... ÷ - Sen ( 2j ) ç
+
+
+ ... ÷ + Sen ( 4j ) ç
+
+ ...÷ - Sen ( 6j ) ç
ç1 - ÷ú ...(29)
ø
è 8 32 1024
ø
è 256 1024
ø
è 3072 øû
ë180º è 4 64 256
é
ù
A3
A5
2
2
x = N ê A + (1 - t +h ) +
5 - 18t 2 + t 4 + 72h 2 - 58e¢2 ) ú ...(30)
(
6
120
ë
û
2
4
6
ìï
éA
ù üï
A
A
y = í Sj + N × Tanj ê +
5 - t 2 + 9h 2 + 4h 4 ) +
61 - 58t 2 + t 4 + 600h 2 - 330e¢2 ) ú ý ...(31)
(
(
720
ïî
ë 2 24
û ïþ
Valor del factor de escala en el MCL y el plano PTL.
El MCL es el valor del Meridiano Central Local.
73
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Fig. 27 Plano Topográfico Local
Donde:
hm= Altura Elipsoidal Media
Rm= Radio medio de curvatura
dt2 = Plano Topográfico Local cuando la altura elipsoidal media es mayor a 1
dt1 = Plano Topográfico Local cuando la altura elipsoidal media es igual a 0.
Cuando la altura es igual a cero, el plano de proyección será tangente al elipsoide dt1=1
dt1
dt 2
=
Rm Rm + hm
dt 2 Rm + hm
=
dt1
Rm
dt 2
= kh
dt1
( Rm + hm)
K MCL =
Rm
El Kh es el factor de elevación que muestra la separación del Plano Topográfico Local y
finalmente este valor pasa a ser el factor de escala para el Meridiano Central Local (KMCL).
k MCL =
( Rm + hm)
.....(32)
Rm
Las coordenadas finales son:
XL= 200000 m. + kMCL x (32A)
YL=10001965.730 m. + kMCL y (32B)
Estos valores adoptados hacen referencia:
x= distancia de separación entre el punto y el MCL.
74
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y= distancia de separación entre el punto y la línea del ecuador.
XL= coordenada X Local
YL= coordenada Y Local
kMCL = factor de escala para MCL.
200000 m al valor del falso Este.
El valor de la longitud de arco meridiano en el elipsoide, tomando valores de 0º a 90º
de latitud será de 10001965.730 m, para una altura elisoidal=0 el plano de proyección
será tangente sobre la línea del MCL el factor de escala será k=1 por tanto la distancia
máxima sobre la zona de proyección será el Falso Norte=10001965.730 m.
Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe
Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pág. 202-215
2.12.2.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS
GEODÉSICAS:
Partiendo de la función general de mapeo conforme de la fórmula (12)
x + iy = f (l + iq )
x + iy = f (l + iq )
Se tiene la transformación inversa a partir de la fórmula (12) se tiene:
l + iq = f ( x + iy ).....(33)
l + iq = f ( x + iy ).....(34)
l - iq = f ( x - iy ).....(35)
Empleando la serie de Taylor a las fórmulas 34 35 se tiene:
iq1ii 2 q1iii 3 iq1iv 4 q1v 5
x x +
x +
x + .....(36)
2!
3!
4!
5!
iq ii
q iii
iq iv
qv
l - iq = iq1 - xq1i - 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 + 1 x 5 + .....(37)
2!
3!
4!
5!
l + iq = iq1 + xq1i -
Tomando la semi suma y la mitad de la diferencia de las fórmulas 36 y 37 se obtiene:
x 3 iii x5 v
q1 + q1 + .....(38)
3!
5!
2
x
x4
q = q1 - q1ii + q1iv + .....(39)
2!
4!
l = xq1i -
Al igual que la transformación de coordenadas geodésicas a coordenadas LTM, la
transformación inversa debe cumplir con ciertas condiciones las cuales son:
Conformidad de la proyección
75
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Elección de las zonas y de los ejes de coordenadas X, Y.
Representación del meridiano central local (MCL) y del Ecuador mediante líneas
rectas sobre el plano de proyección
El meridiano axial del elipsoide se representa sobre el plano mediante una recta
que representa el eje Y, por tanto f2 (y)=q1, X=0 y λ=0.
Las fórmulas 38 y 39 resultan de la conformidad de la proyección del elipsoide al plano.
Fig. 28 (Latitud Isométrica φ1=q1)
En la figura 28 se observa que:
Para un punto a de acuerdo con la condición de conformidad esta debe ser igual a la longitud
de arco meridiano sobre el MCL por tanto:
f2 (y)=q1
Donde q1 se calcula en función φ1, la latitud φ1 es la latitud base.
Expandiendo dicha función a cualquier punto (z) sobre el plano con coordenadas x0, y0,
aplicando la serie de Taylor se tiene:
l + iq = (l 0 + iq0 ) + (Dl + iDq )
l + iq = f 2 ( x0 + iy0 ) + f '2 ( x0 + iy0 )(Dx + iDy ) + f ''2
l + iq = f 2 ( z ) + f '2 ( z0 )(Dz ) + f ''2
( x0 + iy0 )
2
( Dx + iDy ) + ....
2!
( z0 )
2
( Dz ) + ....
2!
76
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Seleccionando un punto sobre el meridiano central para ser evaluado con la serie
anteriormente expuesta se tiene:
para : x0 = 0
x = Dx; y = Dy
para : y = y0
Dy = 0; Dq = 0
Considerando estos argumentos e incorporándolos en la expresión anterior se obtiene:
l + ij = f 2 (iy ) + f '2 (iy ) x + f ''2
(iy ) 2
x + ....
2!
Se observa :
x=0
iq = f 2 (iy )
El concepto asociado a la expresión anterior, donde se recurre a una latitud φ1 denominada
latitud base, que corresponde a la proyección recta del paralelo en el meridiano central. La
latitud base isométrica corresponderá a q1 y se puede escribir:
iq1 = f 2 (iy)
Evaluando f2 (iy) y sus derivadas se obtiene:
f '(iy ) =
donde
y
df 2 (iy ) d (iq)
dq dSq
=
=i
d (iy ) d (iy )
dSq d (iy )
iy = iSj
iy = iSj 1 = iSq1
derivando
f '2 (iy ) = -iq ''
luego
f ''2 (iy ) = -iq ''
f '''2 (iy ) = - q '''
f iv 2 (iy ) = qiv
f v 2 (iy ) = -iq v
77
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Expresando la función de mapeo mediante la latitud base φ1 se obtiene:
iq1ii 2 q1iii 3 iq1iv 4 q1v 5
l + iq = iq1 + xq x x +
x +
x + ....
2!
3!
4!
5!
i
1
Luego, separando las partes reales e imaginarias:
x3 iii x5 v
q1 + q1 + ....
3!
5!
2
x
x4
q = q1 - q1ii + q1iv + ....
2!
4!
l = xq1i -
Reemplazando las derivadas complejas por las reales se obtiene
q=ò
j
M
0 N
secj × dj = ò
j
0
M
dj
N × cosj
1
N × cosj
t
q ii = 2
N × cosj
1
q iii = 3
(1 + 2t 2 +h 2 )
N × cosj
qi =
(Las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952)
5
2
4
2
2 2
é x 1 æ x ö3
æ 1 ö æ x ö æ 5 + 28t1 + 241 + 6h 1 + 8t1h 1 - ö ù
2
2
l = secj 1 ê - ç ÷ (1 + 2t1 +h 1 ) + ç
÷ ú .....(40)
÷ç ÷ ç
è 120 ø è N1 ø çè 3h 14 - 4h 16 + 4t12h 14 + 24t12h 16 ÷ø úû
êë N1 6 è N1 ø
2
4
æ x ö
æ x ö
t
t
j = j 1 - 1 (1 +h 12 ) ç ÷ + 1 (1 +h 12 ) ç ÷ ( 5 + 3t12 +h 12 - 4h 14 - 9h 12t12 ) .....(41)
2
è N1 ø 24
è N1 ø
Las fórmulas finales son:
y
w=
.................................(42)
k MCL
w
u=
.................(43)
2
æ e 3e 2 5e6 ö
a ç1 - ÷
4 64 256 ø
è
e1 =
1 - 1 - e2
1 + 1 - e2
.........................(44)
78
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æ 3e 27e3
ö
æ 21e2 55e3 ö
æ 151e13 ö
j1 = u + Sen(2u) ç 1 - 1 + ... ÷ + Sen(4u) ç 1 - 1 ... ÷ + Sen(6u ) ç
÷ + .....................(45)
32
32 ø
è 2
ø
è 16
è 96 ø
e2
2
e' =
..........................(46)
1 - e2
h1 = e '2 × Cos 2j1....................(47)
t1 = Tan 2j1.........................(48)
a
.......................(49)
N1 =
2
1 - e × Sen 2j1
M1 =
a(1 - e 2 )
.................................(50)
(1 - e 2 × Sen 2j1 )3
x
.....................................................(51)
r=
N1 × k MCL
æ N × Tanj1 ö é r 2 r 4
ù
r6
2
2
q =ç 1
61 + 90t1 + 298h1 + 45t12 - 252e '2 - 3h12 ) ú .....(52)
(
÷ ê - ( 5 + 3t1 +10h1 - 4h1 - 9e¢ ) +
720
û
è M1 ø ë 2 24
3
5
2
2
2
r
r
ér - 6 (1 + 2t1 +h1 ) + 120 (5 - 2h1 + 28t1 - 3h1 + 8e¢ + 24t1 ù
û ....(53)
g =ë
Cosj 1
180(j 1 -q )
j=
..................................(54)
p
180(l MCL + g )
l=
..............................(55)
p
Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe
Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pag 215-217.
2.12.3.- CONVERGENCIA DE MERIDIANOS (
g
)
Como sobre el elipsoide el azimut está referido al norte geodésico, y en el plano cartográfico
las meridianos se presentan como línea cóncavas hacia el meridiano central, se observarán
diferencias angulares entre el meridiano que pasa por el punto y la línea recta del eje “y”. A
esta diferencia angular se le conoce como convergencia de los meridianos y será nula para
el meridiano central, ya que solamente este meridiano tiene la particularidad de proyectarse
como una línea recta, la que evidentemente será coincidente con el eje “y”.
Analíticamente, la convergencia de meridianos puede definirse como el ángulo formado entre
la tangente al meridiano en el punto y el eje Y que pasa por el mismo punto. O también como
el ángulo formado entre la tangente al paralelo en el punto y el eje X que pasa por el mismo
punto.
Puede expresarse con la siguiente ecuación general:
79
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tan g =
¶y
¶l
¶x
¶l
=
¶y
.....(56)
¶x
Fig. 29 Convergencia de meridianos
De la Figura 29
φ1= latitud base
φ= latitud del punto a
γ= convergencia de meridianos del punto a
NC= Norte de Cuadrícula
NG= Norte Geodésico
MCL = Meridano Central Local
80
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Fig. 30 Ángulo de convergencia de meridiano.
En la figura 30 se muestra, el punto a la representación en el plano del punto A sobre el
elipsoide. El punto a1 está situado a una distancia infinitamente cercana del punto a, y (γ) es
el ángulo de convergencia de meridianos.
Sea en triángulo elemental a-a1-c, donde la tangente será:
dy
tan g =
=
dx
dy
dl
dx
dl
.....(5 7 )
Luego:
dx
= Dl × N × cosj .....(58)
dl
dy
= Dl 2 × N × senj × cosj .....(59)
dl
Reemplazando las fórmulas (58) y (59) en la fórmula (57) se tiene:
tan g = Dl × senj .....(60)
Considerando la siguiente expresión:
1
1
g = tan g - tan 3 g + tan 5 g .....(61)
3
5
Diferenciando con respecto a l y reemplazando los valores se tiene:
Dl 3
Dl 5
2
2
2
4
tang = Dl × senj +
× senj × cos j (1 + t + 3h + 2h ) +
× senj × cos 4 j ( 2 + 4t 2 + 2t 2 ) .....(62)
3
15
Tomando en cuenta la (61)
Dl 3
Dl 5
2
2
4
g = Dl × senj +
× senj × cos j (1 + 3h + 2h ) +
× senj × cos 4 j ( 2 - t 2 )
3
15
81
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Carrera de Topografía y Geodesia
La fórmula final donde el valor de la convergencia de meridianos en segundos será:
Dl 3 Sen21"
Dl "5 Sen41"
g " = Dl " Senj +
Senj × Cos 2j (1 + 3h 2 + 2h 4 ) +
Senj × Cos 4j (2 - t 2 ).....(63)
3
15
Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe
Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pag 220-222.
2.12.4.- FACTOR DE LA ESCALA DE REPRESENTACION (k)
De:
( dx ) + ( dy )
.....(10)
2
2
( Mdj ) + ( N × cosj × dl )
2
kr =
2
( dx ) + ( dy )
= 2
.....(64)
2
2
M ( dj ) + N 2 × cos 2 j ( dl )
2
kr
2
2
2
1 + ( dy
dx )
æ dx ö
2
kr = ç
.....(65)
÷ × 2
2
è dl ø N × cos 2 j é1 + ( N ×Mcos× djj×dl ) ù
êë
ûú
Tomando en cuenta la 57 se tiene:
2
2
æ dy ö
1 + ç ÷ = 1 + tan 2 g = sec 2 g .....(66)
è dx ø
dj
= 0 reemplazando este valor en la fórmula 65 se tiene:
dl
1
æ dx ö
kr = ç ÷ ×
× sec l .....(67)
è dl ø N × cosj
Para el paralelo
Calculando la derivada con respecto a:
æ Dl 2 × N ö 3
æ Dl 4 × N ö 5
æ dx ö
2
2
2
4
j
j
h
N
cos
cos
1
t
=
×
+
+
+
(
)
ç
÷
ç
÷ cos j ( 5 - 18t + t ) .....(68)
ç ÷
è dl ø
è 2 ø
è 24 ø
Considerando la siguiente expresión:
g2 5 4
+ g
2 24
Dl 3 × senj × cos 2 j
g = Dl × senj +
(1 + 3h 2 ) .....(69)
3
secg = 1 +
Y
82
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Reemplazando la fórmula 68 y 69 en la fórmula 67 se tiene:
æ Dl 2 ö 2
æ Dl 4 cos 4 j ö
2
2
kr = 1 + ç
cos
j
1
+
h
+
(
)
÷
ç
÷ ( 5 - 4t ) .....(70)
24
è 2 ø
è
ø
2
4
x
x
kr = 1 +
+
.....(71)
2
2 × Rm1 24 × Rm14
k = k 0 éë1 +
D l "2
2
C o s 2j SSen
en 2 1"(1 + n 2 ) +
D l "4
24
C o s 4j SSen
en 4 1"(5 - 4 T aann 2j ùû ...(72
...(7 22))
Fuente: Torge, Wolfgrang; 1983, Geodesia-Introducción,
Geodesia Introducción, Editorial DIANA S.A, Traducido por: Gualterio Luthe
Garcia, Mexico-Tlacoquemecatl , pag. 222-223.
222
2.12.5.- INFLUENCIA DE LA CURVATURA TERRESTRE (d)
Fig. 31 Ángulo central con un con un Radio Real
Fig. 32 Ángulo central con un radio igual a 1
83
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De las figuras 31 y 32 se tienen:
AB
A'B '
=
...(7 3)
Rm
1
A B = R m × ( A ' B ')...(7 4)
ab
a 'b '
=
...(75)
Rm
1
ab = R m × ( a ' b ')...(7 6)
Aplicando la serie de Mclaurin al ángulo central C
3
C5
æC ö C C
tan ç ÷ =
...(7 7 )
+
+
2
24 24 0
è 2 ø
De la diferencia entre el plano y la curva se tiene la siguiente ecuación:
d = A B - ab ...(78)
Reemplazando la (73) y (76) en la (78) se tiene:
d = R m × ( A ' B '- a ' b ')...(7 9)
Del triángulo AOB
AB
æC ö
tan ç ÷ =
...(8 0 )
è 2 ø 2 × (Rm )
Considerando la altura elipsoidal promedio del plano PTL y despejando AB
AB
æC ö
tan ç ÷ =
...(8 1)
è 2 ø 2 × ( Rm + hm )
Del triángulo A’OB’
æ C ö A'B '
tan ç ÷ =
...(8 2 )
2
è 2 ø
Despejando A’B’ y reemplazando la fórmula (77)
æ C C3 ö
A 'B ' = 2 ×ç +
÷ ...(8 3)
24 ø
è 2
C3
...(8 4)
A'B ' = C +
12
Reemplazando la formula (84) en la (79)
Donde a’b’= C
84
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æ
C3
d = Rm ×ç C +
-C
12
è
ö
÷ ...(8 5)
ø
Considerando la altura elipsoidal promedio del plano PTL y despejando el ángulo central C
æC3 ö
d = (Rm + hm ) × ç
÷ ...(8 6)
è 12 ø
2.12.6.- FACTOR COMBINADO (Kt)
El factor combinado, es el valor a dimensional, que permite la reducción de la distancia
horizontal topográfica al plano de proyección UTM.
El factor combinado es la considera la separación entre la superficie topográfica y la
superficie de proyección UTM, multiplicado este valor por la distancia horizontal reduce
automáticamente la distancia horizontal topográfica a la proyección UTM. A continuación se
demuestra la formula general.
Fig. 33 Factor Combinado
De la figura 33 se tiene:
( A - B ) = ( A ¢ - B ¢ ) ...(8 7 )
kh
K
85
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Donde:
A-B= Distancia sobre el Plano Topográfico Local (PTL)
A’-B’=Distancia sobre el Plano de Proyección UTM.
Kh= Factor de Altura
K= Factor de Escala en el Plano de Proyección UTM
Se observa que el Kh y K están relacionados al elipsoide.
D
D PTL
= U T M ...(8 8)
kh
K
DU T M
K
=
...(89 )
D PTL
kh
La formula final será:
Kt =
K
...(90 )
kh
86
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CAPITULO III
METODOLOGIA
La metodología empleada en el presente Proyecto de Grado, se la divide en tres etapas:
- Análisis de información en Gabinete
- Obtención de datos de campo
- Análisis de los resultados.
3.1.- ANALISIS DE INFORMACION EN GABINETE:
Esta etapa comprende el planteamiento de la
hipótesis y un análisis previo del
comportamiento de las distancias: inclinada, elipsoidal y distancia sobre la proyección UTM,
para el cual se utilizó 15 puntos de control del Proyecto:
- Establecimiento de puntos de control horizontal fotogramétrico GMLP-IGM 2006,
realizado por el Instituto Geográfico Militar (IGM).
3.1.1.- HIPÓTESIS.El planteamiento de la hipótesis se genera a partir de la problemática planteada en el
capítulo I, referente a la incertidumbre de representar la superficie topográfica en un plano
georeferenciado donde la distancia topográfica guarde relación con respecto a su
representación, esto significa que no estén limitados por la escala de representación,
tampoco este influenciadas por un factor de escala que deforme su magnitud.
La hipótesis planteada sugiere lo siguiente: Generar un Plano de Proyección Local
Georeferenciado, donde la distancia Topográfica represente su verdadera magnitud
sin distorsión.
Este plano PTL se obtiene a partir de los puntos de control geodésico del área a realizar el
trabajo se toma en cuenta dos puntos de control que estén ubicadas en el área de trabajo,
se calcula el promedio de estos dos puntos de control geodésico, la longitud media será el
Meridiano Central Local MCL, la latitud media es el que permite obtener el radio medio de
curvatura, el factor de altura kh se calcula en función al radio medio de curvatura y la altura
elipsoidal media, para ello se utiliza la formula 32:
k MCL =
( Rm + hm)
Rm
El PTL es el plano de proyección local o plano topográfico local donde se proyectará todas
las distancias horizontales del área de trabajo, sin necesidad de que estas sean reducidas
por el factor de escala; el kh es el factor de escala que permite llevar el plano de proyección
al área de trabajo a su vez este factor representa la separación del elipsoide con respecto al
plano PTL, tal como se observa en fig. 34.
87
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Fig. 34 Plano PTL, Superficie elipsoidal y superficie topográfica.
El comportamiento del factor de escala en las Proyecciones de Mercator (UTM, Gauss
Kruger, LTM), está en función a la posición del Elipsoide con respecto al Plano de
Proyección, esto se verifica analizando el factor de escala en el Meridiano Central de la
zona de proyección, en la tabla 4 se observa las diferencias que tiene las proyecciones de
Mercator con respecto al factor de escala en el MC.
Tipo de Proyección
Factor de Escala MC
Ancho de Zona
UTM.
0.9996
6º de longitud
G. K.
1
3º de longitud
LTM.
Mayor a 1
menor a 2º de longitud
Tabla 4 Factores de escala en las diferentes Proyecciones Mercator.
En la tabla se observa que el factor de escala en el MC para la proyección LTM será mayor
a 1, como se observa en la fórmula 32 el kh está en función a la altura elipsoidal media del
área de trabajo, para un valor de altura elipsoidal igual a cero el factor kh será igual a 1
significa que el plano de proyección será tangente al elipsoide, a medida que el valor de la
altura elipsoidal se incremente el valor kh será mayor a uno, por tanto el PTL se alejará del
elipsoide.
El factor de elevación es el que permite la relación Plano Topográfico Local y superficie
matemática (elipsoide de referencia), este toma en cuenta la separación elipsoide y
superficie topográfica por medio de la altura elipsoidal media del área de trabajo, este es el
factor base de la proyección LTM, ya que será igual al valor del factor de escala para el
Meridiano Central Local del Plano Topográfico Local.
88
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Fig. 35 (PTL vs Altura Elipsoidal) para un Rm= 6360186.817
6360186 817 metros
En la tabla 35 se muestra el comportamiento de los planos PTL, estas dependen de la altura
elipsoidal para una altura elipsoidal igual a cero el valor del factor de escala del PTL será
igual a 1 a medida que este valor se incremente este valor será mayor a uno.
Una vez definida el Plano de Proyección Local, la parte de los cálculos de transformación de
coordenadas geodésicas a coordenadas LTM se la realizará en función a los siguientes
datos:
MCL=Meridiano Central Local
kh= KMCL= Factor de Escala en el MCL
XL= 200000 m.
YL= 10001965.730 m.
El valor del kh pasará a ser el valor de Factor de Escala en el meridiano central local
conocido como KMCL.
Al igual que en todas las proyecciones derivadas del desarrollo Transversal de Mercator, se
mantienen los algoritmos de transformación.
tr
3.1.2.- ANALISIS DE LAS DISTANCIAS:
Se analizó el comportamiento y variación de las diferentes distancias, estas distancias son
las siguientes:
v Distancia Elipsoidal con respecto a la distancia Inclinada.
v Distancia Elipsoidal con respecto a la distancia sobre la proyección UTM.
Para ello se utilizó los puntos de control fotogramétrico, proporcionados
proporcionad s por el Gobierno
Municipal de La Paz (GMLP), del proyecto Establecimiento de puntos de control horizontal
fotogramétrico GMLP-IGM
IGM 2006, realizado
realizado por el Instituto Geográfico Militar (IGM) con un
total de 113 puntos de apoyo de control horizontal que están vinculados a la red geodésica
89
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MARGEN de Bolivia, de los cuales se emplearon un total de 15 puntos de control tal como
se muestra en la tabla 5.
COORDENADAS GEODÉSICAS
Nº NOMBRE
LATITUD
LONGITUD
ALTURA
ELIPSOIDAL
ALTURA
m.s.n.m.
(metros)
(metros)
UBICACION
1
VIRG
16
º
31
'
48.22259 " S
68
º 8 ' 46.42235
" W
4100.257
4051.923
Virgen Ciudad Satélite
2
PFM1
16
º
32
'
15.48077 " S
68
º 8 ' 10.08976
" W
3866.727
3818.991
Alto Alpacoma
3
BEVI
16
º
31
'
18.71098 " S
68
º 5 ' 37.59367
" W
3541.050
3492.947
Cementerio Bella Vista
4
PC12
16
º
30
'
44.52688 " S
68
º 5 ' 28.61330
" W
3505.129
3457.156
Bolognia
5
PC60
16
º
31
'
46.94313 " S
68
º 2 '
6.45525
" W
3765.979
3714.190
Urbanización las Rosas (Cala
calani)
6
PC59
16
º
31
'
16.91374 " S
68
º 2 ' 25.99466
" W
3873.071
3821.243
Sector Laurapata (Vilacota)
7
BPUL
16
º
28
'
55.35797 " S
68
º 6 ' 54.54811
" W
3814.896
3766.587
Bronco Pulmonar
8
PC14
16
º
28
'
45.72964 " S
68
º 6 ' 16.38238
" W
4075.590
4027.806
Villa San Antonio
9
CHAJ
16
º
30
'
45.04022 " S
68
º 2 ' 58.74421
" W
3759.088
3712.250
Chajllani
10
ARUN
16
º
31
'
4.583410 " S
68
º 4 ' 11.97642
" W
3713.904
3666.170
Aruntaya
11
PC11
16
º
29
'
52.78322 " S
68
º 4 ' 44.25312
" W
3633.817
3585.729
Irpavi II
12
LAIK
16
º
30
'
19.69764 " S
68
º 7 ' 24.50551
" W
3627.719
3579.595
Laikakota
13
P028
16
º
30
'
21.99437 " S
68
º 6 ' 20.49351
" W
3806.106
3757.951
Cruz Villa Armonía
14
P-27
16
º
29
'
48.78134 " S
68
º 6 ' 25.81870
" W
3876.274
3828.132
Mirador Villa Copacabana
15
CMAT
16
º
30
'
27.04115 " S
68
º 4 ' 43.08880
" W
3603.732
3555.979
Condominio Matilde
Tabla 5 Coordenadas geodésicas y ubicación.
Marco de Referencia: MARGEN-Bolivia.
Sistema de Referencia: WGS-84.
Fuente: IGM.
3.1.3.- CÁLCULO DE DISTANCIAS:
Para el cálculo de las distancias elipsoidal y distancia inclinada, se utilizo el programa GEOCALC y PROG-GEO V1.1-2009, de los cuales se obtuvieron los siguientes resultados:
Nº
ESTACIONES
OBSERVADAS
DIST. ELIP.
(metros)
DIST. INCL.
(metros)
DIFERENCIA
(metros)
1
2
3
4
5
6
7
8
VIRG-PFM1
BEVI-PC12
PC60-PC59
BPUL-PC14
CHAJ-ARUN
PC11-PC12
LAIK-P-27
P028-LAIK
1364.815
1084.039
1089.874
1170.036
2253.220
2064.136
1983.016
1899.641
1385.492
1085.236
1095.775
1199.433
2254.993
2069.300
1999.691
1909.100
20.677
1.197
5.901
29.397
1.773
5.164
16.675
9.459
9
P028-P-27
1033.110
1036.114
3.004
PC12-CMAT
1453.107
1457.258
4.151
10
Tabla 6 Distancia Elipsoidal, Inclinada y su diferencia
90
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En la tabla 6, se observa las distancias elipsoidal e inclinada, para el cálculo de las
distancias inclinadas, primero se realizó la transformación a coordenadas espaciales a partir
de estas coordenadas y para el cálculo de distancia inclinada, se utilizó el teorema de
Pitágoras de distancia entre dos puntos, en el resultado se observa que entre las estaciones
VIRG y PFM1 la diferencia entre la distancia elipsoidal con respecto a la distancia inclinada
es de 20.677 metros, y entre las estaciones BEVI y PC12 se observa que la diferencia es de
1.197 metros, esta diferencia se debe al desnivel de alturas elipsoidales que existe entre
VIRG y PFM1 de 233.530 metros, con respecto a las estaciones BEVI y PC12 de 35.921
metros, llegando a la siguiente conclusión: “la distancia inclinada está en función a la
diferencia de altura elipsoidal comprendida entre dos puntos”, si la diferencia de alturas
elipsoidales entre dos estaciones observadas es mayor; la distancia inclinada es mayor.
Para el cálculo de las distancias elipsoidal y UTM, se utilizó el programa GEO-CALC y
PROG-GEO V1.1-2009, obteniéndose los siguientes resultados:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ESTACIONES
OBSERVADAS
DIST. ELIP.
(metros)
DIST. UTM.
(metros)
DIFERENCIA
(metros)
VIRG-PFM1
BEVI-PC12
PC60-PC59
BPUL-PC14
CHAJ-ARUN
PC11-PC12
LAIK-P-27
P028-LAIK
1364.815
1084.039
1089.874
1170.036
2253.220
2064.136
1983.016
1899.641
1364.411
1083.731
1089.580
1169.698
2252.599
2063.553
1982.441
1899.091
0.404
0.308
0.294
0.338
0.621
0.583
0.575
0.550
P028-P-27
1033.110
1032.812
0.298
PC12-CMAT
1453.107
1452.697
0.410
Tabla 7 Distancia Elipsoidal, distancia UTM y su diferencia
En la tabla 7, se verifica la variación de distancias sobre el elipsoide y su diferencia con
respecto a la distancia sobre la proyección UTM. Por ejemplo se analizará la distancia entre
las estaciones P028-P-27 la distancia elipsoidal es de 1033.110 metros su diferencia con
respecto a la proyección UTM la diferencia es de 0.298 metros y realizando la comparación
con una distancia mayor entre las estaciones CHAJ-ARUN donde la distancias elipsoidal es
de 2253.220 metros, se tiene una diferencia de 0.621 metros, se observa una proporción
aproximada de 0.288 metros por cada kilometro; llegando a la conclusión de: “la variación
está en función a la distancia elipsoidal”, a distancias más largas la diferencia será mayor.
Se verifica que existe una variación considerable entre las distancias: elipsoidal, inclinada y
UTM, se tomará en cuenta estas primeras conclusiones al momento de realizar el análisis
con respecto a la distancia Topográfica además, que será analizada más detalladamente en
la parte de análisis de los resultados finales.
3.2.- ETAPA DE CAMPO:
Esta etapa comprende el muestreo de datos en campo y la medición de distancias y ángulos
de una poligonal de enlace.
91
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Verificación de la variación de la distancia por factores atmosféricos.
El muestreo de datos para verificar la influencia de factores atmosféricos en la medición de
distancias, se lo realizo entre las estaciones LAIK, P028 y P-27 en dos oportunidades, en la
primera se utilizo las constantes de temperatura 15º Centígrados, presión atmosférica 760
mmHg y PPM=0 y la segunda se utilizo las variables de temperatura y presión atmosférica
obteniéndose diferentes valores para en PPM, se utilizo la ET marca Sokkia.
El reconocimiento de campo se lo realizó conformando una brigada compuesta por tres
personas, los materiales utilizados fueron los siguientes:
- 1 Binoculares
- 1 Brújula
- 1 GPS navegador Garmin Etrex Sumit.
- Monografía de los puntos de control LAIK, P028 y P-27.
Con el personal de la brigada se verifico la existencia y es estado de los mojones y la
visibilidad entre los tres puntos, entre los puntos LAIK y P028 se observo que existía y
obstáculo en la visual ya que existía una malla, que debía de ser tomado en cuenta la
momento de realizar la medición de distancia.
Para la verificación de la influencia atmosférica en la medición de distancias con estación
total, se planificó dos fechas para la medición de distancias, la primera en fecha 17 de junio
de 2008 y la segunda en fecha 28 de junio 2008, en la primera no se consideró la
corrección Atmosférica en el equipo y en la segunda se consideró la corrección atmosférica.
La brigada conformada por tres personas:
-
1 Operador
2 ayudantes
Equipo utilizado:
-
1 Estación Total Marca SOKKIA con simple pantalla SET510 V31-12 con precisión
angular de 5” y un alcance máximo de lectura a los 2000 metros
1 trípode
1 termómetro ambiental
1 brújula
1 flexómetro
2 prismas con sus respectivos jalones
1 Planilla de corrección por PPM.
1 GPS navegador Garmin Etrex Sumit
3 radios Handy.
3 Celulares.
1 Vehículo Marca Toyota.
En fecha 17 de junio de 2008, se realizó la primera salida al campo la primera estación se lo
realizó en el LAIK, a horas 10:00 AM, se instalo el equipo, una vez verificado la plomada y el
nivel se visualizo en dirección P-27 se realizó la medición de distancias sin tomar en cuenta
la corrección atmosférica el PPM=0, se realizó un promedio de 5 lecturas luego se visualizo
92
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en dirección al P028 se realizó un promedio de 5 lecturas se dio vuelta y se volvió a realizar
las mediciones hacia ambas estaciones en promedio de 5 lecturas, una vez terminada las
lecturas se procedió al cambio de estación la segunda estación fue el P-27 y por último el
P028, en ambas estaciones se procedió con las mismas operaciones descritas en la estación
LAIK. Los resultados obtenidos de campo se muestran en el anexo M, planillas 1, 2 y 3.
En fecha 28 de junio de 2008, se realizó la segunda salida al campo la primera estación se
lo realizó en el LAIK, a horas 11:46 AM, se realizó le medición de la temperatura 10º
Centígrados con una presión atmosférica de 491 mmHg., obtenido con el GPS Navegador el
PPM=96, una vez estacionado y nivelado la ET, se introdujo los valores atmosféricos en la
ET, se realizó la medición del P028 con un promedio de 5 lecturas y luego al P-27 con un
promedio de 5 lecturas, se dio la vuelta al instrumento se volvió a medir nuevamente las
distancias de ambas estaciones en promedio de 5 lecturas. La segunda estación fue el P27, los datos atmosféricos obtenidos fueron los siguientes: temperatura 15º Centígrados,
presión atmosférica 468 mmHg. y PPM=107, con estos nuevos datos introducidos en la ET
se realizó la medición siguiendo la misma metodología mencionada en la estación LAIK, la
última estación fue en el P028 con los siguientes datos atmosféricos: temperatura 20º
Centígrados, presión atmosférica 472 mmHg. y PPM=109, con estos datos se procedió a la
medición de distancias. Los resultados de campo se muestran en el anexo M, planillas 4, 5 y
6.
Medición de distancias topográficas.
Otros datos que se utilizaran para el análisis del comportamiento de la distancia horizontal
topográfica, corresponden a los datos que fueron
realizados dentro del proyecto
Saneamiento de Asentamientos Humanos (P.S.A.), por el Gobierno Municipal de La Paz, del
cual participó mi persona en calidad de operador de la ET, la brigada compuesta por tres
personas 1 operador y dos ayudantes de campo, los instrumentos utilizados son siguientes:
-
-
1 Estación Total Marca SOKKIA con doble pantalla SOKKIA SET-350 RK con lectura
laser y con precisión angular de 5” y un alcance máximo de lectura a los 4000
metros.
1 trípode
1 termómetro ambiental
1 brújula
1 flexómetro
2 prismas con sus respectivos jalones
1 Planilla de corrección por PPM.
1 GPS navegador Garmin Etrex Sumit
3 radios Handy.
3 Celulares.
1 Vehículo de transporte.
Los trabajos se lo realizaron durante la gestión 2007, las fechas fueron programadas por la
dirección del P.S.A. se realizaron levantamientos georeferenciados apoyados en la red
Geodesica Municipal realizada por el IGM, se realizaron reconocimientos de campo para
verificar la visibilidad de los puntos de control y para luego realizar el arrastre de
coordenadas hacia las distintas zonas de la ciudad de La Paz, a continuación se muestra un
93
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resumen de distancias horizontales, desnivel, los datos atmosféricos y las fechas en las
cuales se realizó la medición:
ESTACIONES
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
DESNIVEL m.
TEMP
PRES. ATM.
PPM
FECHA
HORA
PC12-CMAT
1453.947
-98.477
12ºC
491 mmHg
101
11-Apr-07
10:00
VIRG-PFM1
1365.665
233.676
15ºC
458 mmHg
115
17-jul-07
11:28
BEVI-PC12
1084.628
36.146
15ºC
504 mmHg
95
27-jul-07
11:26
PC60-PC59
1090.555
-106.935
17ºC
474 mmHg
108
22-Aug-07
10:25
BPUL-PC14
1170.791
-260.617
9ºC
491 mmHg
96
30-Aug-07
11:25
CHAJ-ARUN
2254.547
45.564
17ºC
478 mmHg
108
27-jul-07
11:26
PC11-PC12
2065.286
129.020
18ºC
485 mmHg
106
10-jul-07
15:14
Tabla 8 Resumen de Distancias medidas con la Estacion Total Sokkia SET-350 RK
Todos estos datos fueron obtenidos en diferentes fechas, donde se tomaron los datos de
temperatura y la presión atmosférica, la temperatura fue obtenida por un termómetro y la
presión por GPS. Navegador Etrex Sumit, el dato del PPM es calculado por el instrumento
automáticamente a partir la temperatura y presión atmosférica ó altura snmm, las distancias
mostradas en la tabla 8 son distancias horizontales sin la influencia de ningún factor de
escala.
Medición de distancias topográficas y ángulos horizontales.
La medición de distancias y ángulos para la comprobación de cierre angular y lineal
corresponden a una poligonal de enlace realizado por empresa Topógrafos Asociados
dentro del municipio de Viacha.
Se tomaron los datos que corresponden al proyecto carretero Viacha - Collana, se utilizo el
primer tramo que se encuentra en 1ra fase diseño final, correspondiente a una poligonal de
enlace con una distancia horizontal topográfica de 9351.246 metros y un desnivel de 31.520
metros. Para la realización de la georeferenciación y medición de la poligonal abierta se
procedió con las siguientes etapas:
Reconocimiento de campo: Se realizó la inspección a campo y la ubicación de los mojones
de los vértices de los puntos GPS, un total de cuatro vértices dos de los vértices con su
respectiva numeración, dos se ubican al inicio de la poligonal y los otros dos al final, para
luego enlazar con una poligonal, de 10 vértices distribuidos en el trayecto de la poligonal.
El área de trabajo corresponde a la zona del altiplano con un desnivel de 31.250 metros, con
una altura media de 3852.985 metros sobre el nivel medio del mar.
Medición: La brigada está compuesta por 5 personas, La etapa se realizó en dos partes, la
primera corresponde a la georeferenciación para ello se utilizaron los siguientes equipos:
- 2 GPS Geodésico de simple frecuencia marca Sokkia con sus respectivos trípodes
- GPS navegador Garmin Etrex Legend
- Flexometro y huincha
94
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- Cámara digital.
- Vehículo de transporte.
La georeferenciación, se lo realizó en fecha 10 de enero del 2009, con el uso de dos GPS
geodésicos de simple frecuencia, el tiempo de sección es de una hora con treinta minutos
por estación, la estación base es el INGA, no se presentaron problemas con la obstrucción
de señal.
La segunda etapa corresponde a la medición de la poligonal de enlace, para ello se utilizaron
los siguientes equipos:
-
Estación Total SOKKIA SET 530 RK3 con su respectivo trípode.
Flexometro
2 Prismas con sus respectivos jalones.
Termómetro
2 radios Handy
Tabla de corrección PPM.
Cámara digital
Brújula.
10 estacas de madera.
Vehículo de transporte.
La medición con la ET de la poligonal de enlace cuenta con un total de 12 estaciones de
cambio, se realizó la medición de distancias y ángulos horizontales y verticales, se tomó el
dato de la temperatura y tomando con una altura media del área de trabajo de 3852.985
metros aprox., se calculó la presión atmosférica con la tabla de corrección por PPM, la
lectura de ángulos por serie por estación dos series la primera serie con una imposición de
0º y la segunda imposición de 90º en posición directa e inversa, para la lectura de las
distancias se tomó el PPM=0, para su posterior corrección en gabinete, la altura de los
prismas es de 1.790 metros constante para todas las estaciones, la planilla de la estación
total se muestra en el anexo J.
La parte que se describe detalladamente y la parte que se enfatiza con prioridad es la parte
de gabinete los cálculos realizados se describen mediante tablas los datos obtenidos de
campo están enumeradas con el nombre de planillas en observación las planillas 7 y 8
corresponden a la observación del ángulo horizontal y las planillas 9 y 10 a la observación de
ángulos verticales y distancias inclinadas sin corrección por PPM, el valor de la presión
atmosférica se la calculó en gabinete con la tabla de corrección por PPM para ello se tomó
en cuenta el valor medio de la altura media msnm.
El cálculo de las coordenadas geodésicas de los puntos GPS se realizó con el Sofware
Spectrum Survey triangulando con la estación base correspondiente a la estación base INGA
ubicada en las instalaciones del cuartel Ingavi. Los resultados se observan en el anexo I.
95
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3.3.- ANALISIS DE RESULTADOS:
3.3.1.- ANÁLISIS DEL PPM
La distancia medida por la ET se la realiza mediante desfase de onda electromagnética
portadora emitida por el ET que viaja por la atmósfera y luego regresa de un prisma, como la
señal electromagnética es influenciada por la variación atmosférica, la distancia sufre una
deformación por lo que se debe aplicar la corrección meteorológica que es calculada en
partes por millón (PPM).
La influencia de esta corrección en la medición de una distancia utilizando un dato de la
planilla 1 se tiene los siguientes datos:
Datos:
Temperatura: 10ºC
Presión Atmosférica: 491 mmHg.
Calculo del PPM: 96
Distancia Mensurada (LAIK-P028): 1908.938 metros
Corrección Meteorológica= 0.000096x 1908.938 metros
Corrección Meteorológica= 0.183 metros
Dist. Corregida= 1909.121 metros
Con los datos obtenidos en la planilla 4, se verifica que la distancia corregida con la ET para
los mismos puntos de control es: Distancia Mensurada (LAIK-P028)= 1909.120 metros, variando
ambos por un milímetro.
En la siguiente tabla se observa el resumen de las distancias horizontales de las tres
estaciones LAIK, P028 y P-27, donde en la segunda columna las distancias horizontales no
tienen corrección atmosférica y en la tercera columna se observa las mismas distancias
tienen la corrección atmosférica, en la última columna se muestra claramente las diferencias
entre las distancias sin corrección y las distancias corregidas por influencia atmosférica,
donde la mayor variación es de 25 cm.
ESTACIONES
OBSERVADAS
LAIK - P028
LAIK - P-27
P-27 - LAIK
P-27 - P028
P028 - LAIK
P028 - P-27
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
SIN CORRECCION
ATMOSFERICA
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
CON CORRECCION
ATMOSFERICA
DIFERENCIA
metros
1900.599
1984.039
1983.948
1033.648
1900.548
1033.685
1900.786
-0.187
1984.289
-0.250
1984.155
-0.207
1033.755
-0.106
1900.744
-0.196
1033.774
-0.089
Tabla 9 Distancia Horizontal sin corrección y con corrección atmosférica.
Se evidencia que la corrección atmosférica influye en las distancias mensuradas y se refleja
en la distancia horizontal, llegando a la conclusión que la corrección por PPM afecta a la
96
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distancia mensurada mientras más grande sea la distancia mensurada más grande será el
valor de la corrección atmosférica.
3.3.2.- CÁLCULO PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL (PTL)
El PTL es el plano georeferenciado sobre el cual se representa la superficie topográfica del
área a representar para el cálculo de este plano se toma en cuenta los valores medios de los
puntos geodésicos, a continuación se realiza el cálculo tomando en cuenta los 15 puntos de
control geodésico se tiene:
EST.
LATITUD S
LONGITUD W
VIRG
PFM1
BEVI
PC12
PC60
PC59
BPUL
PC14
CHAJ
ARUN
PC11
LAIK
P028
P-27
CMAT
MEDIA
16º31'48.22259"
16º32'15.48077"
16º31'18.71098"
16º30'44.52688"
16º31'46.94313"
16º31'16.91374"
16º28'55.35797"
16º28'45.72964"
16º30'45.04022"
16º31'04.58341"
16º29'52.78322"
16º30'19.69764"
16º30'21.99437"
16º29'48.78134"
16º30'27.04115"
16º30’
68º8'46.42235"
68º8'10.08976"
68º5'37.59367"
68º5'28.61330"
68º2'06.45525"
68º2'25.99466"
68º6'54.54811"
68º6'16.38238"
68º2'58.74421"
68º4'11.97642"
68º4'44.25312"
68º7'24.50551"
68º6'20.49351"
68º6'25.81870"
68º4'43.08880"
68º05’
ALTURA
ELIPSOIDAL
(metros)
4100.257
3866.727
3541.050
3505.129
3765.979
3873.071
3814.896
4075.590
3759.088
3713.904
3633.817
3627.719
3806.106
3876.274
3603.732
3802.693
ALTURA
msnm.
(metros)
4051.923
3818.991
3492.947
3457.156
3714.190
3821.243
3766.587
4027.806
3712.250
3666.170
3585.729
3579.595
3757.951
3828.132
3555.979
3754.540
Tabla 10 Cálculo de las coordenada Media.
3.3.3.- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
ìj m = -16°30 '
ï
Coord = íl m = -68°05'
ïhm = 3802.693 m.
î
Rm= 6360186.817 m.
Cálculo de kh con la fórmula (32)
Rm + hm 6360186.817m + 3802.693m
=
Rm
6360186.817 m
kh= 1.0005978901
kh =
97
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3.3.4.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A LTM
A continuación se muestra las coordenadas LTM calculadas a partir de las coordenadas
geodésicas de las estaciones GPS la zona local de proyección tiene como parámetros los
siguientes datos:
Datos del PTL
k(MCL)= 1.0005978901
MCL= - 68º05’
XL= 200000 m.
YL= 10001965.730 m.
ìj = - 1 6 º 3 1 ' 4 8 .2 2 2 5 9 "
V IR G = í
î l = - 6 8 º 0 8 ' 4 6 .4 2 2 3 5 "
Utilizando las fórmulas 25 al 31 se tienen los siguientes resultados
N= 6379865.906 m.
t2= 0.08808091964
η2= 0.00619392971
A= - 0.00105235813
Sφ= -1828300.639 m.
x= -6713.905 m.
y= -1828301.688 m.
k= 1.000598447
XL= 200000 m. + (1.0005978901) (-6713.905 m)
YL= 10001965.730 m. + (1.0005978901) (-1828301.688 m)
Utilizando las fórmulas 32A y 32B las coordenadas LTM del punto VIRG son:
YL= 8172570.919 m.
XL= 193282.081 m.
- Tabla Resumen de coordenadas LTM
ESTACION
P028
P-27
LAIK
VIRG
PFM1
BEVI
PC11
PC60
PC59
PC12
CMAT
BPUL
PC14
CHAJ
ARUN
Y LOCAL metros
8175224.078
8176245.638
8175294.428
8172570.919
8171732.809
8173479.670
8176122.693
8172610.706
8173534.494
8174531.130
8175068.974
8177888.734
8178185.034
8174515.057
8173914.193
X LOCAL metros
197611.475
197453.337
195712.000
193282.081
194360.284
198884.554
200467.284
205149.057
204569.520
199150.970
200501.811
196600.535
197733.155
203597.966
201424.941
Factor de escala
1.0005979606
1.0005979702
1.0005981172
1.0005984476
1.0005982830
1.0005979055
1.0005978928
1.0005982176
1.0005981480
1.0005978990
1.0005978932
1.0005980329
1.0005979536
1.0005980500
1.0005979152
Tabla 11 Resumen de coordenadas LTM
98
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3.3.5.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS GEODÉSICAS
Datos:
k(MCL)= 1.0005978901
MCL= - 68º05’
XL= 200000 m.
YL= 10001965.730 m.
ì Y L = 8 1 7 2 5 7 0 .9 1 9 m .
V IR G = í
î X L = 1 9 3 2 8 2 .0 8 1 m .
Utilizando las fórmulas 42 al 55 se obtienen los siguientes resultados:
YL= 8172570.919 m.
XL= 193282.081 m.
x= 200000 m -193282.081 m = -6717.919 m.
y= 8172570.919 m -10001965.730 m = -1829394.811 m.
ω= -1828301.688 m.
u= -0.287132515 rad
e1= 0.00167922038
φ1= -0.2885041699 rad
η1= 0.0061939291
t1= 0.08808102644
e’2= 0.000673949674
N1= 6379865.908 m.
M1= 6340592.726 m.
ρ= -0.00105235829
θ= -0.00000016535 rad
γ= -0.00109772651 rad
Las coordenadas geodésicas del punto VIRG son:
φ= -16º31’48.22259”
λ= -68º08’46.42235”
- Tabla Resumen de las coordenadas geodésicas
ESTACION
P028
P-27
LAIK
VIRG
PFM1
BEVI
PC11
PC60
PC59
PC12
CMAT
BPUL
PC14
CHAJ
ARUN
LATITUD S
-16º30'21.99437"
-16º29'48.78135"
-16º30'19.69762"
-16º31'48.22259"
-16º32'15.48077"
-16º31'18.71097"
-16º29'52.78320"
-16º31'46.94313"
-16º31'16.91374"
-16º30'44.52689"
-16º30'27.04115"
-16º28'55.35797"
-16º28'45.72963"
-16º30'45.04022"
-16º31'04.58341"
LONGITUD W
-68º06'20.49350"
-68º06'25.81869"
-68º07'24.50550"
-68º08'46.42235"
-68º08'10.08974"
-68º05'37.59367"
-68º04'44.25313"
-68º02'06.45525"
-68º02'25.99467"
-68º05'28.61330"
-68º04'43.08879"
-68º06'54.54811"
-68º06'16.38238"
-68º02'58.74422"
-68º04'11.97642"
Tabla 12 Resumen Coordenadas Geodésicas
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Tabla de resumen de las distancias obtenidas por calculó mediante las coordenadas
LTM
ESTACIONES
OBSERVADAS
PC12-CMAT
VIRG-PFM1
BEVI-PC12
PC60-PC59
BPUL-PC14
CHAJ-ARUN
PC11-PC12
LAIK-P-27
P028-LAIK
P028-P-27
DIST.
TOPOGRAFICA
HZ (metros)
1453.947
1365.665
1084.628
1090.555
1170.791
2254.547
2065.286
1984.222
1900.765
1033.765
DIST. CALC.
EN EL PLANO
PTL (metros)
1453.976
1365.632
1084.687
1090.526
1170.736
2254.568
2065.371
1984.201
1900.777
1033.727
DIFERENCIA
metros
-0.029
0.033
-0.059
0.029
0.055
-0.021
-0.085
0.021
-0.012
0.038
Tabla 13 Comparación de distancias mensuradas y calculadas
En la tabla se verifica que la variación de la distancia topográfica obtenida por la estación
total, con respecto a la distancia obtenida por cálculo utilizando el teorema de Pitágoras y
las coordenadas LTM.
Fig. 36 distancia sobre el plano PTL.
3.3.6.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS A LA PLANO DE PROYECCION UTM UTILIZANDO
EL FACTOR COMBINADO (Kt).
El factor combinado, es el valor a dimensional, que permite la reducción de la distancia
horizontal topográfica al plano de proyección UTM.
A continuación un ejemplo utilizando factor combinado:
100
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Fórmula 32:
kt =
k
kh
Donde:
kt = Factor combinado.
k= Factor de escala (UTM).
kh= Factor de elevación.
Promedio de coordenadas de las estaciones GPS
ìj m = -16°30 '
ï
Coord = íl m = -68°05'
ïhm = 3802.693 m.
î
Rm= 6360186.817 m.
k= 0.9997183505
Rm=Radio Medio de curvatura, también se puede utilizar el radio de azimut Rα, la variación
entre ambas es mínima.
k= factor de escala en la proyección UTM.
Cálculo de kh con la fórmula (32)
Rm + hm 6360186.817m + 3802.693m
kh =
=
Rm
6360186.817 m
kh= 1.0005978901
Calculo de kt factor combinado
k 0.9997183505
kt =
=
kh 1.0005978901
kt= 0.9991209861
Con los datos de la media de las coordenadas GPS, se cálculo el factor de altura y el factor
de escala combinando ambos datos se tiene como resultado el factor combinado, este valor
multiplicado por la distancia horizontal reduce automáticamente la distancia horizontal
topográfica a al proyección UTM, teniendo una diferencia en cm., como se observa en la
tabla 14, se evidencia que la fórmula del factor combinado reduce los cálculos que se tienen
que realizar para llegar a este resultado.
ESTACIONES
OBSERVADAS
DISTANCIA
TOPOGRAFICA
metros
DISTANCIA UTM
UTILIZANDO kt
metros
DISTANCIA UTM
metros
DIFERENCIA
metros
PC12-CMAT
VIRG-PFM1
BEVI-PC12
PC60-PC59
BPUL-PC14
CHAJ-ARUN
PC11-PC12
LAIK-P-27
P028-LAIK
P028-P-27
1453.947
1365.665
1084.628
1090.555
1170.791
2254.547
2065.286
1984.222
1900.765
1033.765
1452.669
1364.465
1083.675
1089.596
1169.762
2252.565
2063.471
1982.478
1899.094
1032.856
1452.697
1364.411
1083.731
1089.580
1169.698
2252.599
2063.553
1982.441
1899.091
1032.812
-0.028
0.054
-0.056
0.016
0.064
-0.034
-0.082
0.037
0.003
0.044
Tabla 14 Comparación de distancias: UTM obtenida por Kt y la calculada de sobre el Plano UTM.
101
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Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
En esta tabla se muestra el resumen de todas las distancias medidas con ET, comparando
la distancia calculada con factor combinado y la distancia UTM obtenida mediante cálculo de
coordenadas.
3.3.7.- REDUCCIÓN DE DISTANCIAS AL ELIPSOIDE DE LOS PUNTOS GPS
UTILIZANDO FACTOR DE ALTURA.
Al dividir las distancias horizontales por el factor de elevación kh =
( Rm + hm )
, se obtiene la
Rm
distancia reducida al elipsoide, el kh= 1.0005978901, es el factor que considera la altura
elipsoidal media del área de trabajo las distancias reducidas al elipsoide se la realizan a
partir de la altura media.
ESTACIONES
OBSERVADAS
DISTANCIA
TOPOGRAFICA
metros
DIST. ELIPSOIDAL
UTILIZANDO kh
metros
DIST.
ELIPSOIDAL DE
CULCULO.
metros
DIFERENCIA
metros
PC12-CMAT
VIRG-PFM1
BEVI-PC12
PC60-PC59
BPUL-PC14
CHAJ-ARUN
PC11-PC12
LAIK-P-27
P028-LAIK
P028-P-27
1453.947
1365.665
1084.628
1090.555
1170.791
2254.547
2065.286
1984.222
1900.765
1033.765
1453.078
1364.849
1083.980
1089.903
1170.091
2253.200
2064.052
1983.036
1899.629
1033.147
1453.107
1364.815
1084.039
1089.874
1170.036
2253.220
2064.136
1983.016
1899.641
1033.110
-0.029
0.034
-0.059
0.029
0.055
-0.020
-0.084
0.020
-0.012
0.037
Tabla 15 Comparación de distancias: Elipsoidal obtenida por Kh y la calculada de sobre el Elipsoide.
Se observa que la diferencia entre las distancias elipsoidales obtenidas por cálculo en
función a las coordenadas geodésicas y las distancias reducidas a partir de la distancia
horizontal dividida por el factor de elevación es mínima, además de facilitar las arduas tareas
de reducción.
102
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Fig. 37 Comparación de distancias: Inclinada, Elipsoidal y UTM del los puntos VIRG y PFM1
3.3.8.- ANÁLISIS DE LA TOLERANCIA:
a) Tolerancia del equipo
El instrumento que se utilizo corresponde a la marca SOKKIA
INSTRUMENTO: SET510 V31-12
SERIE: 202989 SOKKIA
PRECISIÓN: +/-(3 mm+2PPMxDist)
PRECISIÓN ANGULAR: 5” (1.5 mgon)
La precisión de este instrumento para una distancia considerando la distancia más larga
comprendida entre las estaciones CHAJ-ARUN se tiene una distancia de 2254.547 metros.
Precisión del inst.= ± 3 mm. + 0.000002x2254.547
Precisión del inst.= ± 8 mm.
b) Influencia de la curvatura terrestre:
Analizando la distancia comprendida entre las estaciones alejadas en este caso el VIRG y el
PC60 se tiene una distancia topográfica de 11867.043 metros se verificara la influencia de la
curvatura terrestre utilizando las fórmulas 81 y 86 se obtienen los siguientes resultados:
AB
æC ö
tan ç ÷ =
...(8 1)
è 2 ø 2 × ( Rm + hm )
Datos:
hm= 3802.693 m.
AB= 11867.043 m. ≈ 13000 m.
Rm= 6360186.817 m.
103
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C= 0º7`01.35”
æC3
d = (Rm + hm ) × ç
è 12
d = 0.005 m.
ö
÷ ...(8 6)
ø
Considerando la mitad del error se tiene:
d = 0.003 m.
c) Influencia del factor de escala (FKL)
Sobre el plano de proyección LTM (horizontal):
kr = 1 +
AB 2
AB 4
+
.....71
2 × ( Rm1 + hm) 2 24 × ( Rm1 + hm) 4
hm= 3802.693 m.
AB= 13000 m.
Rm= 6360186.817 m.
kMCL=1.0005978901
kr = 1.000002086
kri = 1.000002086x1.0005978901
kri = 1.000599978
Tolerancia = 13000 (1.000599978-1.0005978901)
Tolerancia = 0.027 m.
Calculando la tolerancia para una distancia de 100000 metros se tiene el siguiente
resultado:
Tolerancia = 0.209 m.
Tomando en cuenta el desnivel entre planos LTM (vertical):
kh =
( Rm + Dh )
.....(32)
Rm
Δh= 595.128 m.≈600 m.
Δh= 300 m
kMCL =1.0005978901
Rm= 6360186.817 m.
kh = 1.0000047168
khi = 1.00000471168x1.000585378
khi = 1.000645087
Tolerancia =300 m (1.000645087-1.0005978901)
Tolerancia = 0.014 m.
104
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Tomando la tolerancia horizontal y vertical:
Tolerancia =
( 0.027
2
+ 0.0142 )
Tolerancia = 0.030 m.
3.3.9.- CALCULO DE UNA POLIGONAL DE ENLACE
- Corrección por Atmosférica
Datos:
ALTURA MEDIA: 3853.841 msm.
TEMPERATURA: 17º C.
PPM=110
PRESION ATMOSFERICA= 630 mb.
De la medición de distancias se tienen los siguientes promedios:
EST.
BM-DK14
PB-VC10
PB-VC11
PB-VC12
PB-VC13
PB-VC14
PB-VC15
PB-VC16
PB-VC17
PB-VC18
PB-VC19
GP-VC14
OBS.
GP-VC12
PB-VC10
BM-DK14
PB-VC11
PB-VC10
PB-VC12
PB-VC11
PB-VC13
PB-VC12
PB-VC14
PB-VC13
PB-VC15
PB-VC14
PB-VC16
PB-VC15
PB-VC17
PB-VC16
PB-VC18
PB-VC17
PB-VC19
PB-VC18
GP-VC14
PB-VC19
GP-VC13
ANGULO
VERTICAL
'
º
“
87
67
90
90
89
88
91
90
89
89
90
90
89
90
89
89
90
89
90
90
89
89
90
89
51
20
23
13
44
7
48
35
21
39
17
7
51
21
36
0
56
55
1
52
6
57
2
43
17.748
42.756
9.006
39.495
16.503
56.496
28.998
53.250
9.000
26.244
48.264
6.258
25.506
8.748
40.761
39.996
30.246
54.993
28.749
10.497
48.240
5.247
12.255
53.508
DIST. SIN
CORRECCION
POR PPM. m.
DIST. CON
CORRECCION
POR PPM. m.
DIST.
HORIZONTAL
metros
DIST.
VERTICAL
metros
630.841
1251.111
1251.098
777.829
777.826
526.974
526.949
663.281
663.278
664.821
664.813
1023.135
1023.132
741.168
741.165
734.804
734.787
750.931
750.926
1083.446
1083.436
1133.405
1133.402
813.449
630.910
1251.249
1251.235
777.914
777.911
527.031
527.007
663.354
663.351
664.894
664.886
1023.248
1023.244
741.250
741.246
734.884
734.868
751.014
751.008
1083.565
1083.555
1133.529
1133.526
813.539
630.468
1251.218
1251.207
777.908
777.903
526.751
526.745
663.318
663.309
664.882
664.877
1023.246
1023.241
741.236
741.229
734.775
734.769
751.013
751.008
1083.440
1083.425
1133.529
1133.526
813.530
23.615
8.840
-8.426
-3.091
3.558
17.176
-16.628
-6.925
7.496
3.977
-3.443
-2.115
2.552
-4.559
5.028
12.683
-12.078
0.892
-0.323
-16.445
16.766
0.960
-0.727
3.812
Tabla 16 Cálculo de distancia horizontal y vertical
105
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Carrera de Topografía y Geodesia
- Cálculo del Plano Topográfico Local
Las coordenadas geodésicas obtenidas y procesadas con el software GPSurvey:
ESTACIONES
GPS
INGA (BASE)
BM_DK14
GP_VC12
GP_VC14
GP_VC13
LATITUD (φ) S
GRAD MIN SEG
16
31
47.47184
16
39
41.05783
16
39
57.28618
16
44
31.07361
16
44
20.50380
LONGITUD(λ) W
GRAD
MIN SEG
68
10
5.81427
68
18 24.21374
68
18 37.20261
68
19 40.42067
68
19 15.25912
ALTURA
ELIPSOIDAL m.
4089.331
3895.669
3919.084
3904.715
3908.110
Tabla 17 Coordenadas Geodésicas
Los valores medios correspondientes a las coordenadas geodésicas son:
ESTACIONES
GPS
BM-DK14
GP-VC12
GP-VC14
GP-VC13
MEDIA
LATITUD (φ) S
16º39’41.05783”
16º39‘57.28618”
16º44’31.07361”
16º44’20.50380”
16º42
LONGITUD(λ)
W
68º18’24.21374”
68º18’37.20261”
68º19’40.42067”
68º19’15.25912”
68º19
ALTURA
ELIPSOIDAL m.
3895.669
3919.084
3904.715
3908.110
3907.377
Tabla 18 Cálculo de la coordenada Media.
- Cálculo del factor de escala de MCL
ìj = -16°42 '
ï
MCL íl = -68°19 '
ï h = 3907.377 metros
î
Rm= 6360268.242 m.
kMCL= 1.000614342
- Transformación de coordenadas geodésicas a LTM de los puntos GPS.
ESTACION
BM-DK14
GP-VC12
GP-VC14
GP-VC13
Y LOCAL metros
8157997.858
8157498.700
8149077.123
8149402.275
X LOCAL metros
201061.070
200675.932
198802.022
199547.747
Factor de Escala
1.000614356
1.000614348
1.000614360
1.000614345
Tabla 19 Cálculo de Coordenadas LTM
106
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
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Carrera de Topografía y Geodesia
3.3.10.- CONTROL HORIZONTAL
a) Cierre Angular:
EST
ANG EXT
º
'
ERROR
"
ANG CORREG
º
'
"
DISTANCIA
GP-VC-12
BM-DK-14
37 39
10.411
BM-DK-14
332 50
57.507
PB-VC-10
190 30
7.918
PB-VC-10
176 19
35.247
PB-VC-11
186 49
43.165
PB-VC-11
204 10
31.251
PB-VC-12
211
0
14.416
PB-VC-12
167 31
17.994
PB-VC-13
198 31
32.410
PB-VC-13
182 58
38.505
PB-VC-14
201 30
10.915
PB-VC-14
162 56
51.234
PB-VC-15
184 27
2.149
PB-VC-15
181 12
50.256
PB-VC-16
185 39
52.405
PB-VC-16
182 54
45.990
PB-VC-17
188 34
38.395
PB-VC-17
169
7
36.993
PB-VC-18
177 42
15.388
37
39
10.411
630.468
1251.218
1.187
190
30
9.105
1251.207
777.908
2.374
186
49
45.539
3.562
211
0
17.978
777.903
526.751
526.745
663.318
4.749
198
31
37.159
5.936
201
30
16.851
663.309
664.882
664.877
1023.246
7.123
184
27
9.272
1023.241
741.236
8.311
185
39
60.716
9.498
188
34
47.893
741.229
734.775
734.769
751.013
10.685
177
42
26.073
751.008
1083.440
PB-VC-18
211 54
PB-VC-19
209 37
8.389
PB-VC-19
173 29
42.486
GP-VC-14
203
6
50.875
GP-VC-14
43 19
25.257
GP-VC-13
66 26
16.132
66
26
30.379
AZ CONTROL
66 26
30.379
66
26
30.379
ERROR
14.247
ERROR
53.001
11.872
209
37
20.262
13.060
203
6
63.935
1083.425
1133.529
1133.526
813.530
14.247
0.000
Tabla 20 Cálculo y corrección del error de cierre angular
107
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
b) Cierre Lineal:
EST
AZIMUT
º
GP-VC-12
BM-DK-14
BM-DK-14
PB-VC-10
PB-VC-10
PB-VC-11
PB-VC-11
PB-VC-12
PB-VC-12
PB-VC-13
PB-VC-13
PB-VC-14
PB-VC-14
PB-VC-15
PB-VC-15
PB-VC-16
PB-VC-16
PB-VC-17
PB-VC-17
PB-VC-18
PB-VC-18
PB-VC-19
PB-VC-19
GP-VC-14
GP-VC-14
GP-VC-13
37
190
186
211
198
201
184
185
188
177
209
'
"
39 10.411
30
9.105
49 45.539
0 17.978
31 37.159
30 16.851
27
9.272
39 60.716
34 47.893
42 26.073
37 20.262
203
6 63.935
66
26 30.379
SUMATORIA
DIST.
(∆ Y) Mts.
TOP
Mts.
Y Local
(PRELIMINAR)
8157498.700
8157997.858
-1230.251
8156767.607
-772.386
8155995.221
-451.488
8155543.734
-628.937
8154914.797
-618.596
8154296.201
-1020.155
8153276.046
-737.610
8152538.436
-726.549
8151811.887
-750.409
8151061.478
-941.831
8150119.647
-1042.505
8149077.142
8149077.123
8149402.275
-0.019
630.468
1251.213
777.906
526.748
663.314
664.880
1023.244
741.233
734.772
751.011
1083.433
1133.528
813.530
9351.278
Error
Y Local
Mts.
Mts.
(CORREGIDO)
8157498.700
8157997.858
-0.003
8156767.605
-0.004
8155995.217
-0.005
8155543.728
-0.007
8154914.790
-0.008
8154296.193
-0.010
8153276.036
-0.012
8152538.425
-0.013
8151811.874
-0.015
8151061.463
-0.017
8150119.630
-0.019
8149077.123
8149077.123
8149402.275
(∆ X) Mts.
X Local
(PRELIMINAR)
200675.932
201061.07
-228.070
200833.000
-92.502
200740.498
-271.335
200469.163
-210.769
200258.395
-243.730
200014.665
-79.438
199935.227
-73.192
199862.034
-109.620
199752.414
30.045
199782.458
-535.519
199246.939
-445.048
198801.891
198802.022
199547.747
0.131
Error
X Local
Mts.
Mts.
(CORREGIDO)
200675.932
201061.07
0.018
200833.018
0.028
200740.526
0.036
200469.199
0.045
200258.440
0.054
200014.719
0.069
199935.295
0.079
199862.113
0.089
199752.503
0.100
199782.558
0.115
199247.054
0.131
E Lineal
198802.022
198802.022
199547.747
0.132
Tabla 21 Cálculo y corrección del error de cierre lineal.
3.3.11.- TRANSFORMACION DE COORDENADAS LTM A COORDENADAS
GEODÉSICAS
LATITUD (φ) S
ESTACIONES GRAD MIN SEG
GP-VC-12
BM-DK-14
PB-VC-10
PB-VC-11
PB-VC-12
PB-VC-13
PB-VC-14
PB-VC-15
PB-VC-16
PB-VC-17
PB-VC-18
PB-VC-19
GP-VC-14
GP-VC-13
LONGITUD(λ) W
GRAD MIN
SEG
16
39 57.28617
68
18 37.20260
16
39 41.05781
68
18 24.21375
16
40 21.05421
68
18 31.90354
16
40 46.16497
68
18 35.02225
16
41
0.84330
68
18 44.17371
16
41 21.29043
68
18 51.28245
16
41 41.40130
68
18 59.50350
16
42 14.56694
68
19
2.18277
16
42
38.5469
68
19
4.65166
16
43
2.16725
68
19
8.34967
16
43 26.56332
68
19
7.33598
16
43 57.18215
68
19 25.40371
16
44 31.07362
68
19 40.42066
16
44 20.50380
68
19 15.25912
Tabla 22 Resumen de coordenadas geodésicas.
108
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Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
3.3.12.- TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS
UTM
ESTACIONES
ESTE
metros
NORTE
metros
FACTOR DE ESCALA
GP-VC-12
573540.592
8157275.814
0.999666873
BM-DK-14
573927.069
8157773.181
0.999667578
PB-VC-10
573695.030
8156544.878
0.999667155
PB-VC-11
573599.985
8155773.543
0.999666981
PB-VC-12
573327.372
8155323.412
0.999666486
PB-VC-13
573114.662
8154695.795
0.999666101
PB-VC-14
572869.056
8154078.621
0.999665657
PB-VC-15
572786.215
8153059.710
0.999665508
PB-VC-16
572710.576
8152323.053
0.999665372
PB-VC-17
572598.581
8151597.571
0.999665171
PB-VC-18
572626.035
8150847.774
0.999665220
PB-VC-19
572087.812
8149908.677
0.999664257
GP-VC-14
571639.628
8148868.693
0.99966346
572385.756
8149190.975
0.999664789
GP-VC-13
Tabla 23 Resumen de coordenadas UTM.
3.3.13.- VERIFICACION DE DISTANCIAS
ESTACIONES
OBSERVADAS
DIST. TOP.
Mts.
DIST. TOP.
CAL. Mts.
DIFERENCIA
Mts.
GP-VC-12 - BM-DK-14
630.468
630.468
0.000
BM-DK-14 - PB-VC-10
1251.211
1251.213
-0.002
PB-VC-10 - PB-VC-11
777.906
777.906
0.000
PB-VC-11 - PB-VC-12
526.745
526.748
-0.003
PB-VC-12 - PB-VC-13
663.312
663.314
-0.002
PB-VC-13 - PB-VC-14
664.878
664.880
-0.002
PB-VC-14 - PB-VC-15
1023.244
1023.244
0.000
PB-VC-15 - PB-VC-16
741.232
741.233
-0.001
PB-VC-16 - PB-VC-17
734.773
734.772
0.001
PB-VC-17 - PB-VC-18
751.013
751.011
0.002
PB-VC-18 - PB-VC-19
1083.427
1083.433
-0.006
PB-VC-19 - GP-VC-14
1133.523
1133.528
-0.005
GP-VC-14 - GP-VC-13
813.529
813.530
-0.001
Tabla 24 Comparación de distancias: Topográfica y calculada por coordenadas LTM.
En la tabla 26 se observa que las distancias horizontales medidas con la ET difieren
mínimamente con distancias calculadas con las coordenadas LTM.
Se tiene la razón de cierre de:
Error de cierre lineal:
Error de cierre angular:
1:70843
0.132 m.
14.247”
109
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4.1.- CONCLUSIONES
Se utilizó el Sistema de Proyección Local Transversal de Mercator (LTM) en un área de
trabajo a partir de las coordenadas geodésicas se generó el Plano Topográfico Local PTL,
obteniéndose coordenadas LTM, mediante estas coordenadas se calculó la distancia
topográfica, verificando su variación con respecto a la distancia topográfica obtenida con la
estación total se obtuvieron los siguientes resultados:
ESTACIONES
OBSERVADAS
DIST. HZ. TOP.
Mts.
DIST. TOP. SOBRE EL PLANO
PTL Mts.
DIFERENCIA
Mts.
GP-VC-12 - BM-DK-14
BM-DK-14 - PB-VC-10
PB-VC-10 - PB-VC-11
PB-VC-11 - PB-VC-12
PB-VC-12 - PB-VC-13
PB-VC-13 - PB-VC-14
PB-VC-14 - PB-VC-15
PB-VC-15 - PB-VC-16
PB-VC-16 - PB-VC-17
PB-VC-17 - PB-VC-18
PB-VC-18 - PB-VC-19
PB-VC-19 - GP-VC-14
GP-VC-14 - GP-VC-13
630.468
1251.211
777.906
526.745
663.312
664.878
1023.244
741.232
734.773
751.013
1083.427
1133.523
813.529
630.468
1251.213
777.906
526.748
663.314
664.880
1023.244
741.233
734.772
751.011
1083.433
1133.528
813.530
0.000
-0.002
0.000
-0.003
-0.002
-0.002
0.000
-0.001
0.001
0.002
-0.006
-0.005
-0.001
Tabla 24
Por los resultados obtenidos se demuestra que la distancia topográfica es igual a la
distancia sobre el plano PTL, comprobándose que si es posible realizar la
representación de distancias topográficas en un plano de proyección.
Se analizó el comportamiento del PTL en dos diferentes áreas de trabajo: en la primera área
se consideró cambios de nivel en altura elipsoidal de hasta de 595.128 metros, una altura
elipsoidal media de 3802.693 metros y una distancia máxima de 13000 metros que
comprenden los puntos extremos un total de 15 puntos de control geodésico
correspondientes a los puntos de control de la red geodésica, generándose el PTL con los
siguientes resultados:
Ø
Ø
Ø
Ø
k(MCL)= 1.0005978901
MCL= - 68º05’
XL= 200000 m.
YL= 10001965.730 m.
A partir de estos datos se obtuvo las coordenadas LTM, verificándose que la variación de la
distancia obtenida topográfica con la estación total y la calculada mediante las coordenadas
LTM, verificando una diferencia máxima de 8.5 cm., la distancia topográfica más larga
mensurada es de 2254.547 metros entre los puntos CHAJ y ARUN.
En la segunda área de trabajo se realizó una poligonal de enlace de 9351.278 metros con
una diferencia de altura elipsoidal de 23.415 metros, una altura elipsoidal media de
110
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3907.3765 metros, se utilizó 4 puntos de control geodésico que fueron obtenidos con GPS
geodésico marca SOKKIA de simple frecuencia, calculándose el segundo plano PTL con los
siguientes resultados:
Ø
Ø
Ø
Ø
k(MCL)= 1.000614342
MCL= - 68º19’
XL= 200000 m.
YL= 10001965.730 m.
Verificando estos resultados se concluye que los parámetros locales varían de acuerdo al
área de trabajo, generándose un PTL para cada área de trabajo.
Se obtuvo coordenadas LTM, mediante fórmulas de transformación de coordenadas
geodésicas a coordenadas LTM, partiendo del sistema de coordenadas geodésicas WGS-84
y verificando esta transformación con el proceso inverso, tal como se observa en la tabla 12.
(Ver páginas 98 y 99)
Se analizó la variación de las distancias: elipsoidal, inclinada, y proyectada UTM,
comprobándose que ninguna de estas distancias son iguales y que a medida que estas
distancias sean grandes, mayor será la diferencia.
Se verificó la importancia de la corrección atmosférica, en distancias medidas con estación
total, debido a que se utiliza el valor de la distancia medida y el ángulo cenital para el cálculo
de las distancias horizontal y vertical, de manera que si la distancia medida no es corregida,
esta se refleja en las distancias horizontal y vertical.
En distancias pequeñas el valor de la corrección atmosférica es menor, a mayor distancia
mayor deformación de la distancia. En la siguiente tabla se muestra cinco diferentes
distancias, donde el valor de corrección atmosférica, no es constante y se incrementa a
medida que la distancia mensurada se incremente:
DISTANCIA Mts.
606.937
1033.685
1900.548
1908.930
1984.039
CORRECCION POR
PPM Mts.
0.063
0.089
0.196
0.183
0.250
DISTANCIA
CORREGIDA Mts.
607.000
1033.774
1900.744
1909.113
1984.289
Tabla 25 influencia de la corrección atmosférica
A medida que la distancia mensurada sea mayor, mayor será la corrección atmosférica. La
corrección atmosférica esta dado por el PPM, este es un valor adimensional que viene
calibrado en la tabla de corrección atmosférica y está en función a la temperatura, presión
atmosférica y/o altura sobre el nivel del mar, a medida que los valores de temperatura y
presión atmosférica varíen se genera un valor de PPM. Se verificó que una distancia medida
con la estación total, está sujeta a variaciones atmosféricas, y la influencia atmosférica en la
distancia medida afecta significativamente llegando a la conclusión de: la corrección
atmosférica es directamente proporcional a la distancia mensurada.
111
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Se analizó los factores incidentes en la proyección LTM las cuales son: el radio de influencia
y el desnivel máximo del área de trabajo, se verificó con una distancia de 13 Km de radio de
influencia dentro del área de trabajo, sobre el plano PTL y el desnivel máximo de altura
elipsoidal de 600 mts. Obteniéndose como resultado un valor de 30 milímetros, este valor
indica la deformación que existe dentro de la proyección para esta área y desnivel.
Se verificó que el factor combinado es el factor que toma en cuenta la separación que
existe entre el plano PTL y el plano UTM, donde al multiplicar la distancia topográfica, por el
factor combinado la distancia se reduce sobre la proyección UTM, simplificando los cálculos
de reducción de distancias, tal como se muestra en la tabla 14. Se demuestra que para
realizar el cálculo inverso de verificación utilizando el factor combinado se tiene que tener
definido el plano PTL.
Se comprobó que la proyección LTM es una proyección óptima de representación de áreas
pequeñas manteniendo el valor de la distancia topográfica y la precisión requerida en las
obras de ingeniería ideal para carreteras proporcionando una herramienta útil para este
campo facilitando de gran manera la representación biunívoca de puntos de la superficie
terrestre en un plano PTL.
Se realizó el ajuste de la poligonal utilizando 4 puntos de control para lo cual se realizó la
transformación a coordenadas LTM, se obtuvo un error de cierre lineal de 0.132 m., con una
razón de cierre de 1:70843 y un error angular de 14.247”, las distancias obtenidas por
cálculo con las coordenadas LTM difieren mínimamente con una diferencia máxima de 6
milímetros, tal como se observa en la tabla 24.
4.2.- RECOMENDACIONES:
En el presenta proyecto de grado se concluye con las siguientes recomendaciones:
Se recomienda tener cuidado al momento de la utilización del PPM al momento de la
medición con estación total ya que los factores atmosféricos influyen en la medición de
distancias.
Se recomienda tener cuidado al momento de la utilización del factor combinado al momento
de la medición con la ET, ya que las distancias se proyectan sobre el plano de proyeccion
UTM y la distancia obtenida es la distancia UTM.
112
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5.- ANEXOS.-
Anexo A. Estación BEVI, perteneciente a la Red MARGEN, ubicado en la zona Bella Vista, se
observa el disco de bronce empotrado con una inscripción en el disco: IGM/BEVI/2005.
113
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Anexo B. Estación BPUL, se encuentra en la zona Villa Copacabana, presenta un disco de Bronce de
9 cm de diámetro con una inscripción que dice: IGN/BPUL/2005.
Anexo C Vista panorámica tomada desde el área de trabajo,
trabajo ubicado en el segundo tramo del
proyecto de carretera Viacha Collana se observa el atardecer
at
al fondo el Illimani.
114
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Anexo D. Croquis de ubicación de las estaciones de control horizontal de la poligonal de enlace, son
en total 4 estaciones de control horizontal las cuales son: GPS-VC-12,
GPS
BM-DK-14,
14, GP
GP-VC-14 y GPVC-13.
13. Las estaciones de la poligonal de enlace están conformadas por
por 10 estaciones y una distancia
topográfica de 9351.278 metros, siguiendo de forma correlativa a partir de PB-VC-10
PB
10 al PB
PB-VC-19.
115
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Anexo E. Estación BM-DK
DK 14. Foto de la estación y la plaqueta. Ubicado en uno de los extremos del
puente tiene una plaqueta desgastada. La inscripción de la plaqueta dice: IGM–BOLIVIA
BOLIVIA-BM-DK 14 1995
Anexo F. Estación GP-VC12 Ubicado en una parte elevada, la
la inscripción de la plaqueta dice:
PROYECTO DE CARRETERA-VIACHA
VIACHA COLLANA- AÑO 2009. La inscripción es la misma en las
plaquetas.
116
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Anexo G. Estación GP-VC13. Con una visual hacia la estación GP-VC 14, y una distancia topográfica
de separación de 813.529 metros, al fondo se observa una casa de adobe. Con una inscripción en la
plaqueta que dice: PROYECTO DE CARRETERA-VIACHA
CARRETERA
COLLANA- AÑO 2009
Anexo H. Estación GP-VC14. Con una inscripción en la plaqueta que dice: PROYECTO DE
CARRETERA-VIACHA
VIACHA COLLANACOLLANA AÑO 2009, se observa la vegetación del lugar.
117
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ANEXO I
(REPORTE DE LAS ESTACIONES PROCESADAS GP_VC12 y BM_DK14)
Spectrum® Survey 3.24
Network Adjustment Report
-----------------------------------------------------------------------------Project:
D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\Spectrum Projects\VICHA COLLANA FINAL.spr
Coordinate System: UTM [Universal Transverse Me...] Datum:
WGS84
Geoid Model:
World Grid 96
Units:
Meters
Adjustment Time:
2010/01/23 11:30:58 (LOCAL)
Time Zone:
GMT-4.00h
-----------------------------------------------------------------------------Adjustment Type:
Free
Computation Level:
Full Adjustment
Additional Parameters:
- Deflection of vertical (N-S)
- Deflection of vertical (E-W)
- Horizontal rotation
- Scale difference
Not
Not
Not
Not
Iteration Criteria:
- Maximum iteration
- Maximum coordinate difference (m)
used
used
used
used
6
0.0001
Reference Datum:
- Datum Name
- Semi-major axis (m)
- Flattening (m)
WGS84
6378137.000
1.0/298.257222101
Weight Options:
- Use modeled standard deviations
- Use individual weighting scale
Modeled Standard Deviations
- X component
- Y component
- Z component
5.0 mm +
5.0 mm +
5.0 mm +
1.0 ppm
1.0 ppm
1.0 ppm
Geoid Model:
World Grid 96
- File
D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\GEOID\WW15MGH.GRD
- Spacing
Lat: 0.2 degrees, Lon: 0.2 degrees
- Range
90.0N to 90.0S
-----------------------------------------------------------------------------Summary of Adjustment Statistics
-----------------------------------------------------------------------------Number of Points:
- Horizontal fixed & height fixed
1
- Horizontal fixed & height free
0
- Horizontal free & height fixed
0
- Horizontal free & height free
2
----total
3
Number of Unknowns:
- Latitude
- Longitude
- Height
- Additional parameters
Number
- X
- Y
- Z
(a)
2
2
2
0
----total
6
(b)
3
3
3
----total
9
of observations
component
component
component
Number of Rank Defect
(c)
0
Number of Total Redundancy
(b)+(c)-(a)
3
Iterations Used
6
-----------------------------------------------------------------------------Chi Square Test on the Variance Factor
-----------------------------------------------------------------------------Total Number of Observations:
Redundancy:
9
3
118
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Confidence Level:
A Priori Variance Factor:
A Posteriori Variance Factor (VF):
99%
1.0000
0.2527
Chi Square Test on the Variance Factor (0.2527)
0.0239 < VF < 4.2793
Standard Deviations for the observations are within the desired range.
** Note: The Standarded Deviation of Unit Weight is the square root of the
Variance Factor.
-----------------------------------------------------------------------------Input Coordinates and Corrections
-----------------------------------------------------------------------------Point
Input Coordinates
Corrections
Horizontal
Seconds
m
Vector
BM_DK14
P
L
H
- 16 39 41.05764
- 68 18 24.21391
3895.679 m
- 0.00019
0.00017
-0.006
0.005
-0.010
0.008 m
139 deg
GP_VC12
P
L
H
- 16 39 57.28598
- 68 18 37.20279
3919.095 m
- 0.00020
0.00018
-0.006
0.005
-0.011
0.008 m
139 deg
INGA
FIXED 3-D
P
L
H
- 16 31 47.47184
- 68 10 05.81427
4089.331 m
0.00000
0.00000
0.000
0.000
0.000
0.000 m
0 deg
-----------------------------------------------------------------------------Adjusted Coordinates and Standard Deviations
-----------------------------------------------------------------------------Point
Adjusted Coordinates
Std Dev
99% Ellipse
(0.001sec) (mm)
BM_DK14
P
L
H
- 16 39 41.05783
- 68 18 24.21374
3895.669 m
0.25325
0.26272
7.8
7.8
major 23.6 mm
azm. 90 deg
minor 23.6 mm
GP_VC12
P
L
H
- 16 39 57.28618
- 68 18 37.20261
3919.084 m
0.25361
0.26311
7.8
7.8
major 23.7 mm
azm. 90 deg
minor 23.7 mm
INGA
FIXED 3-D
P - 16 31 47.47184
0.00000
0.0
major 0.0 mm
L - 68 10 05.81427
0.00000
0.0
azm. 0 deg
H
4089.331 m
minor 0.0 mm
-----------------------------------------------------------------------------Undulation Values Used
-----------------------------------------------------------------------------Point
Undulation
BM_DK14
45.734 m
GP_VC12
45.722 m
INGA
45.979 m
-----------------------------------------------------------------------------Transformation into Map Coordinates (meters)
-----------------------------------------------------------------------------Point
Geodetic Coordinate
Map Coordinate
Conv./Scale
BM_DK14
P
L
H
- 16 39 41.05783
- 68 18 24.21374
3895.669
N
E
O
8157773.180
573927.069
3849.935
-
0 11 55.61265
0.99966758
GP_VC12
P
L
H
- 16 39 57.28618
- 68 18 37.20261
3919.084
N
E
O
8157275.814
573540.592
3873.362
-
0 11 52.07517
0.99966687
INGA
FIXED 3-D
P - 16 31 47.47184
N
8172270.466
- 0 14 11.94644
L - 68 10 05.81427
E
588751.181
0.99969740
H
4089.331
O
4043.352
-----------------------------------------------------------------------------Transformation to Ground Coordinates (meters)
-----------------------------------------------------------------------------Point
Geodetic Coordinate
Ground Coordinate
BM_DK14
P
L
H
- 16 39 41.05783
- 68 18 24.21374
3895.669
N
E
O
8165502.898
574470.881
3849.935
119
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
GP_VC12
P
L
H
- 16 39 57.28618
- 68 18 37.20261
3919.084
N
E
O
8165005.060
574084.037
3873.362
INGA
FIXED 3-D
P - 16 31 47.47184
N
8180013.920
L - 68 10 05.81427
E
589309.039
H
4089.331
O
4043.352
-----------------------------------------------------------------------------Observations and Residuals
-----------------------------------------------------------------------------Observations
Std Dev
Residuals
Standardized
PPM
(m)
(m)
(m)
Residuals
Vector: BM_DK14-GP_VC12 weight= 1.00
dN
-499.1784
0.0013
0.000
dE
-385.1139
0.0038
0.000
dH
23.3848
0.0031
-0.001
0.038
0.852
-0.176
0.048
1.110
0.222
Vector: INGA-BM_DK14
dN -14572.1602
dE -14777.5811
dH
-227.4910
weight= 1.00
0.0033
0.0078
0.0070
-0.006
0.005
-0.010
0.038
0.852
-0.176
0.027
0.603
0.124
Vector: INGA-GP_VC12
dN -15071.6670
dE -15162.3916
dH
-206.1659
weight= 1.00
0.0036
0.0082
0.0069
0.006
-0.005
0.011
-0.038
-0.852
0.176
0.028
0.619
0.128
-----------------------------------------------------------------------------Reliability of Observations
-----------------------------------------------------------------------------Standard Deviations
Reliability
Corr Obs Residuals
Redundancy
Internal External
(mm)
(mm)
Vector: BM_DK14-GP_VC12 weight= 1.00
N
1.99
0.33
0.03
0.13
25.10
E
3.25
0.53
0.03
0.13
25.10
H
2.06
0.34
0.03
0.13
25.10
Vector: INGA-BM_DK14 weight= 1.00
N
6.22
5.90
0.47
E
10.12
9.59
0.47
H
6.39
6.06
0.47
0.13
0.13
0.13
4.36
4.36
4.36
Vector: INGA-GP_VC12 weight= 1.00
N
6.23
6.24
0.50
0.13
4.13
E
10.14
10.15
0.50
0.13
4.13
H
6.40
6.41
0.50
0.13
4.13
-----------------------------------------------------------------------------Relative Precision
-----------------------------------------------------------------------------Ellip. Dist.
Height Diff.
Relative
Azimuth
Std Dev
Precision
99% Ellipse
(m)
(mm)
Vector: BM_DK14-GP_VC12 weight= 1.00
630.081
2.5
*Hor. 1/252206
23.415
2.5
Ver. 1/252051
217 39 00.3
0.8sec
major 7.6 mm
azm. 90 deg
minor 7.6 mm
Vector: INGA-BM_DK14
20741.242
-193.662
225 24 03.9
major 23.6 mm
azm. 90 deg
minor 23.6 mm
weight= 1.00
7.8
Hor. 1/2663806
7.8
Ver. 1/2662613
0.1sec
* - Does not meet Desired Network Accuracy
(REPORTE DE LAS ESTACIONES PROCESADAS GP_VC13 y GP_VC14 )
Spectrum® Survey 3.24
Network Adjustment Report
-----------------------------------------------------------------------------RM.spr
D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\Spectrum Projects\VIACHA COLLANA SEGUNDO TRM.spr
Coordinate System: UTM [Universal Transverse Me...]
Datum:
WGS84
120
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
Geoid Model:
World Grid 96
Units:
Meters
Adjustment Time:
2010/01/23 12:08:02 (LOCAL)
Time Zone:
GMT-4.00h
-----------------------------------------------------------------------------Adjustment Type:
Free
Computation Level:
Full Adjustment
Additional Parameters:
- Deflection of vertical (N-S)
- Deflection of vertical (E-W)
- Horizontal rotation
- Scale difference
Not
Not
Not
Not
Iteration Criteria:
- Maximum iteration
- Maximum coordinate difference (m)
Reference Datum:
- Datum Name
- Semi-major axis (m)
- Flattening (m)
used
used
used
used
6
0.0001
WGS84
6378137.000
1.0/298.257222101
Weight Options:
- Use modeled standard deviations
- Use individual weighting scale
Modeled Standard Deviations
- X component
- Y component
- Z component
5.0 mm +
5.0 mm +
5.0 mm +
1.0 ppm
1.0 ppm
1.0 ppm
Geoid Model:
- File
- Spacing
- Range
World Grid 96
D:\PROG SPECTRUM SURVEY\Sokkia\Common\GEOID\WW15MGH.GRD
Lat: 0.2 degrees, Lon: 0.2 degrees
90.0N to 90.0S
0.0W to 0.0W
-----------------------------------------------------------------------------Summary of Adjustment Statistics
-----------------------------------------------------------------------------Number of Points:
- Horizontal fixed & height fixed
1
- Horizontal fixed & height free
0
- Horizontal free & height fixed
0
- Horizontal free & height free
2
----total
3
Number of Unknowns:
- Latitude
- Longitude
- Height
- Additional parameters
Number
- X
- Y
- Z
(a)
2
2
2
0
----total
6
(b)
3
3
3
----total
9
of observations
component
component
component
Number of Rank Defect
(c)
0
Number of Total Redundancy
(b)+(c)-(a)
3
Iterations Used
6
-----------------------------------------------------------------------------Chi Square Test on the Variance Factor
-----------------------------------------------------------------------------Total Number of Observations:
9
Redundancy:
3
Confidence Level:
99%
A Priori Variance Factor:
1.0000
A Posteriori Variance Factor (VF): 0.0056
Chi Square Test on the Variance Factor (0.0056)
0.0239 < VF < 4.2793
Standard Deviations for the input observations appear to be too pessimistic.
121
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
** Note: The Standarded Deviation of Unit Weight is the square root of the
Variance Factor.
-----------------------------------------------------------------------------Input Coordinates and Corrections
-----------------------------------------------------------------------------Point
Input Coordinates
Corrections
Horizontal
Seconds
m
Vector
INGA
FIXED 3-D
P
L
H
- 16 31 47.47184
- 68 10 05.81427
4089.331 m
0.00000
0.00000
0.000
0.000
0.000
0.000 m
0 deg
GP_VC14
P
L
H
- 16 44 31.07361
- 68 19 40.42067
3904.715 m
0.00000
0.00000
0.000
0.000
0.000
0.000 m
18 deg
GP_VC13
P
L
H
- 16 44 20.50380
- 68 19 15.25912
3908.110 m
0.00000
0.00000
0.000
0.000
0.000
0.000 m
33 deg
-----------------------------------------------------------------------------Adjusted Coordinates and Standard Deviations
-----------------------------------------------------------------------------Point
Adjusted Coordinates
Std Dev
99% Ellipse
(0.001sec) (mm)
INGA
FIXED 3-D
P
L
H
- 16 31 47.47184
- 68 10 05.81427
4089.331 m
0.00000
0.00000
0.0
0.0
major 0.0 mm
azm. 0 deg
minor 0.0 mm
GP_VC14
P
L
H
- 16 44 31.07361
- 68 19 40.42067
3904.715 m
0.05023
0.05213
1.5
1.5
major 4.7 mm
azm. 90 deg
minor 4.7 mm
GP_VC13
P - 16 44 20.50380
0.05019
1.5
major 4.7 mm
L - 68 19 15.25912
0.05209
1.5
azm. 90 deg
H
3908.111 m
minor 4.7 mm
-----------------------------------------------------------------------------Undulation Values Used
-----------------------------------------------------------------------------Point
Undulation
INGA
45.979 m
GP_VC14
45.561 m
GP_VC13
45.575 m
-----------------------------------------------------------------------------Transformation into Map Coordinates (meters)
-----------------------------------------------------------------------------Point
Geodetic Coordinate
Map Coordinate
Conv./Scale
INGA
FIXED 3-D
P
L
H
- 16 31 47.47184
- 68 10 05.81427
4089.331
N
E
O
8172270.466
588751.181
4043.352
-
0 14 11.94644
0.99969740
GP_VC14
P
L
H
- 16 44 31.07361
- 68 19 40.42067
3904.715
N
E
O
8148868.693
571639.628
3859.154
-
0 11 37.01867
0.99966346
GP_VC13
P - 16 44 20.50380
N
8149190.975
- 0 11 44.14772
L - 68 19 15.25912
E
572385.757
0.99966479
H
3908.111
O
3862.535
-----------------------------------------------------------------------------Observations and Residuals
-----------------------------------------------------------------------------Observations
Std Dev
Residuals
Standardized
PPM
(m)
(m)
(m)
Residuals
Vector: GP_VC14-GP_VC13 weight= 1.00
dN
325.1105
0.0023
0.000
dE
745.7424
0.0044
0.000
dH
3.3436
0.0033
0.000
0.112
-0.039
-0.050
0.086
0.025
0.037
Vector: INGA-GP_VC13
dN -23168.8691
dE -16284.5215
dH
-244.2928
weight= 1.00
0.0053
0.0069
0.0050
-0.112
0.039
0.050
0.079
0.028
0.036
Vector: INGA-GP_VC14
weight= 1.00
0.001
-0.002
-0.002
122
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
dN -23494.5527
0.0063
-0.001
0.112
0.081
dE -17029.9941
0.0082
0.002
-0.039
0.028
dH
-250.8348
0.0055
0.002
-0.050
0.036
-----------------------------------------------------------------------------Reliability of Observations
-----------------------------------------------------------------------------Standard Deviations
Reliability
Corr Obs Residuals
Redundancy
Internal External
(mm)
(mm)
Vector: INGA-GP_VC14 weight= 1.00
N
1.23
1.24
0.50
0.17
4.10
E
2.01
2.02
0.50
0.17
4.10
H
1.27
1.28
0.50
0.17
4.10
Vector:
N
E
H
INGA-GP_VC13 weight= 1.00
1.23
1.19
0.48
2.01
1.93
0.48
1.27
1.22
0.48
0.17
0.17
0.17
4.29
4.29
4.29
Vector: GP_VC14-GP_VC13 weight= 1.00
N
0.30
0.04
0.01
0.17
33.56
E
0.49
0.06
0.01
0.17
33.56
H
0.31
0.04
0.01
0.17
33.56
-----------------------------------------------------------------------------Relative Precision
-----------------------------------------------------------------------------Ellip. Dist.
Height Diff.
Relative
Azimuth
Std Dev
Precision
99% Ellipse
(m)
(mm)
Vector: INGA-GP_VC14
28999.770
-184.616
215 56 11.4
weight= 1.00
1.5
Hor. 1/18774478
1.5
Ver. 1/18769711
0.0sec
major 4.7 mm
azm. 90 deg
minor 4.7 mm
Vector: INGA-GP_VC13
28301.974
-181.220
215 06 07.3
weight= 1.00
1.5
Hor. 1/18335428
1.5
Ver. 1/18330813
0.0sec
major 4.7 mm
azm. 90 deg
minor 4.7 mm
Vector: GP_VC14-GP_VC13 weight= 1.00
813.030
0.4
Hor. 1/2171442
3.396
0.4
Ver. 1/2170106
66 26 42.0
0.1sec
major 1.1 mm
azm. 89 deg
minor 1.1 mm
Desired Network Accuracy was met for all Vectors
ANEXO J
(REPORTE DE LA ESTACION TOTAL SOKKIA DE LAS ESTACIONES PB-VC-10 al PB-VC-19)
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
VA
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0?
0?
332
152
180
90?
62?
242
270
0?
0?
176
356
180
90?
266
86?
270
0?
0?
204
24?
179
90?
294
114
270
00'
00'
? 51
? 51
? 00
00'
50'
? 51
? 00
00'
00'
? 19
? 19
? 00
00'
? 19
19'
? 00
00'
00'
? 10
10'
? 59
00'
? 10
? 11
? 00
"00.0000"""
"00.0000"""
' 05.0040
' 20.0160
' 29.9880
"01.0080"""
"57.0120"""
' 05.0040
' 06.0120
"00.0000"""
"00.0000"""
' 28.9920
' 54.9840
' 05.0040
"01.0080"""
' 32.0160
"39.0000"""
' 07.9920
"00.0000"""
"00.0000"""
' 27.0120
"35.0040"""
' 54.9960
"01.0080"""
' 50.0160
' 00.9960
' 38.9880
<Null> +
630.84 +
""" 1251.11"
""" 1251.11"
""" 630.84"
630.84 +
1251.11
""" 1251.11"
""" 630.84"
<Null> +
1251.09 +
""" 777.82"
""" 777.82"
""" 1251.09"
1251.09
""" 777.82"
777.82 +
""" 1251.09"
<Null> +
777.82 +
""" 526.97"
526.97 +
""" 777.82"
777.82 +
""" 526.97"
""" 526.97"
""" 777.82"
"87?59'24.0000""NM"
"87?51'12.9960""GP-12"
"89?35'39.0120""PB-10"
"270?24'15.9840""PB-10"
"272?08'36.9960""GP-12"
"87?51'14.0040""GP-12"
"89?35'40.9920""PB-10"
"270?24'12.9960""PB-10"
"272?08'39.0120""GP-12"
"90?29'35.9880""BM-DK14"
"90?23'08.0160""BM-DK14"
"90?13'37.9920""PB-11"
"269?46'18.0120""PB-11"
"269?36'48.9960""BM-14"
"90?23'07.0080""BM-14"
"90?13'37.9920""PB-11"
"269?46'19.9920""PB-11"
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Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
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Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
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<Null> +
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876.09 +
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953.11 +
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<Null> +
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""" 1042.62"
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1042.62
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"269?57'41.0040""PB/22"
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"90?02'17.9880""PB/22"
"269?57'38.9880""PB/22"
"269?59'58.9920""PB/20"
"89?57'28.0080""PB/21"
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"270?02'35.9880""PB/21"
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"89?59'42.0000""PB/24"
"270?00'12.9960""PB/24"
125
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
AD
AD
AD
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AD
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+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
179
90?
272
92?
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0?
179
359
180
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359
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179
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? 21
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? 37
37'
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? 23
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24'
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1066.12
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1091.55 +
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<Null> +
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"270?25'54.9840""PB/28"
"269?49'41.9880""PB/26"
126
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
Anexo K. Tabla de corrección PPM
Anexo L. Formulas de corrección atmosférica de Barrels y Sears.
Donde:
ns= Índice de refracción para las condiciones normales.
λ= Longitud de onda luminosa transportadora en micrómetros (μm)
n= índice de refracción
p= presión atmosférica mmHg
t= temperatura ºC
127
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
Anexo M.
PLANILLAS DE CAMPO (ESTACIONES OBSERVADAS LAIK, P028 Y P-27)
(Ángulos y Distancias sin considerar la influencia Atmosférica)
Planilla 1
ESTACION
LAIK
TEMPERATURA
15º C
INSTRUMENTO
SET510 V31-12
PRES ATM.
760 mmHg
SERIE
202989 SOKKIA
PPM
0
ALT. PRIS.
1,550 m
FECHA
17/06/2008
ALT. INS.
1,491 m
HORA
10:15 a.m.
OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS
ESTACION
OBSERVADA
DISTANCIA
INCLINADA m
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
DESNIVEL
m.
P-27
P-27
P-27
P-27
P-27
P-27-PROM.
P028
P028
P028
P028
P028
P028-PROM.
1999,520
1999,520
1999,520
1999,520
1999,520
1999,520
1908,930
1908,930
1908,930
1908,930
1908,970
1908,938
1984,039
1984,039
1984,040
1984,040
1984,040
1984,039
1900,591
1900,591
1900,591
1900,591
1900,631
1900,599
248,336
248,336
248,327
248,327
248,327
248,331
178,236
178,236
178,236
178,236
178,240
178,237
ANGULO CENITAL
82
82
82
82
82
82
84
84
84
84
84
84
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
51
51
51
51
51
51
38
38
38
38
38
38
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
56,016
56,016
56,988
56,988
56,988
56,599
33,000
33,000
33,000
33,000
33,000
33,000
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Planilla 2
ESTACION
P-27
TEMPERATURA
15º C
INSTRUMENTO
SET510 V31-12
PRES ATM.
760 mmHg
SERIE
202989 SOKKIA
PPM
0
ALT. PRIS.
1,550 m
FECHA
17/06/2008
HORA
11:15 a.m.
ALT. INS.
1,382 m
OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS
ESTACION
OBSERVADA
DISTANCIA
INCLINADA m.
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
DESNIVEL
m.
P028
P028
P028
P028
P028
P028 PROM.
LAIK
LAIK
LAIK
LAIK
LAIK
LAIK PROM.
1036,020
1036,030
1036,020
1036,020
1036,020
1036,022
1999,480
1999,480
1999,480
1999,480
1999,490
1999,482
1033,646
1033,656
1033,646
1033,646
1033,647
1033,648
1983,946
1983,946
1983,946
1983,946
1983,956
1983,948
-70,089
-70,090
-70,089
-70,089
-70,084
-70,089
-248,755
-248,755
-248,755
-248,755
-248,756
-248,755
ANGULO CENITAL
93
93
93
93
93
93
97
97
97
97
97
97
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
52
52
52
52
52
52
8
8
8
8
8
8
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
45,012
45,012
45,012
45,012
44,004
44,810
48,012
48,012
48,012
48,012
48,012
48,012
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
128
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
Planilla 3
ESTACION
P028
TEMPERATURA
15ºC
INSTUMENTO
SET510 V31-12
PRES ATM.
760 mmHg
SERIE
202989 SOKKIA
PPM
0
ALT. PRIS.
1,550 m
FECHA
17/06/2008
ALT. INS.
1,220 m
HORA
12:10 a.m.
OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS
ESTACION
OBSERVADA
LAIK
LAIK
LAIK
LAIK
LAIK
LAIK PROM.
P-27
P-27
P-27
P-27
P-27
P-27-PROM.
DISTANCIA
INCLINADA m.
1908,890
1908,890
1908,890
1908,890
1908,890
1908,890
1036,080
1036,090
1036,060
1036,070
1036,070
1036,074
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
1900,548
1900,548
1900,548
1900,548
1900,548
1900,548
1033,690
1033,701
1033,672
1033,682
1033,682
1033,685
DESNIVEL
m.
-178,270
-178,260
-178,270
-178,270
-178,260
-178,266
70,334
70,320
70,302
70,303
70,303
70,312
ANGULO CENITAL
95 º 21 ' 30,996
95 º 21 ' 29,988
95 º 21 ' 30,996
95 º 21 ' 30,996
95 º 21 ' 29,988
95 º 21 ' 30,593
86 º 6 ' 27,000
86 º 6 ' 29,988
86 º 6 ' 33,012
86 º 6 ' 33,012
86 º 6 ' 33,012
86 º 6 ' 31,205
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Las planillas 1, 2 y 3 corresponden a medición de distancias por observaciones recíprocas
con ET entre las estaciones LAIK, P-27 y P028.
Considerando una constante para los valores atmosféricos.
Planilla 4
ESTACION
LAIK
TEMPERATURA
10ºC
INSTUMENTO
SET510 V31-12
PRES ATM.
491 mmHg
SERIE
202989 SOKKIA
PPM
96
ALT. PRIS.
1,550 m
FECHA
28/06/2008
ALT. INS.
1,440 m
HORA
11:46 am
OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS
ESTACION
OBSERVADA
P028-1
P028-2
P028-3
P028-4
P028-5
P028-PROM
P-27-1
P-27-2
P-27-3
P-27-4
P-27-5
P-27-PROM
DISTANCIA
INCLINADA m
1909,120
1909,120
1909,120
1909,120
1909,120
1909,120
1999,780
1999,780
1999,770
1999,760
1999,770
1999,772
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
1900,786
1900,787
1900,785
1900,786
1900,787
1900,786
1984,298
1984,298
1984,287
1984,277
1984,287
1984,289
DESNIVEL
metros
178,081
178,072
178,090
178,081
178,072
178,079
248,251
248,251
248,259
248,258
248,259
248,256
ANGULO CENITAL
84 º 38 ' 39,984
84 º 38 ' 40,992
84 º 38 ' 39,012
84 º 38 ' 39,984
84 º 38 ' 40,992
84 º 38 ' 40,193
82 º 51 ' 56,988
82 º 51 ' 56,988
82 º 51 ' 56,016
82 º 51 ' 56,016
82 º 51 ' 56,016
82 º 51 ' 56,405
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
129
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
Planilla 5
ESTACION
P-27
TEMPERATURA
15ºC
INSTUMENTO
SET510 V31-12
PRES ATM.
468 mmHg
SERIE
202989 SOKKIA
PPM
107
ALT. PRIS.
1,550 m
FECHA
28/06/2008
1,32 m.
HORA
12:20 am
ALT. INS.
OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS
ESTACION
OBSERVADA
P028-1
P028-2
P028-3
P028-4
P028-5
P028-PROM
LAIK-1
LAIK-2
LAIK-3
LAIK-4
LAIK-5
LAIK-PROM
DISTANCIA
INCLINADA m
1036,130
1036,130
1036,130
1036,130
1036,130
1036,130
1999,700
1999,690
1999,690
1999,700
1999,680
1999,692
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
1033,755
1033,754
1033,755
1033,755
1033,755
1033,755
1984,161
1984,151
1984,152
1984,164
1984,146
1984,155
DESNIVEL
metros
-70,343
-70,348
-70,343
-70,338
-70,338
-70,342
-249,037
-249,036
-249,026
-249,008
-248,997
-249,021
ANGULO CENITAL
93 º 52 ' 49,008
93 º 52 ' 50,016
93 º 52 ' 49,008
93 º 52 ' 48,000
93 º 52 ' 48,000
93 º 52 ' 48,806
97 º 8 ' 51,000
97 º 8 ' 51,000
97 º 8 ' 49,992
97 º 8 ' 48,012
97 º 8 ' 47,004
97 º 8 ' 49,402
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Planilla 6
ESTACION
P028
TEMPERATURA
20ºC
INSTUMENTO
SET510 V31-12
PRES ATM.
472 mmHg
SERIE
202989 SOKKIA
PPM
109
ALT. PRIS.
1,550 m
FECHA
28/06/2008
ALT. INS.
1,220 m
HORA
01:40 pm
OPERADOR: RICHARD TOLA VARGAS
ESTACION
OBSERVADA
P-27-1
P-27-2
P-27-3
P-27-4
P-27-5
P-27-PROM
LAIK-1
LAIK-2
LAIK-3
LAIK-4
LAIK-5
LAIK-PROM
DISTANCIA
INCLINADA m
1036,170
1036,160
1036,160
1036,160
1036,170
1036,164
1909,110
1909,100
1909,110
1909,100
1909,110
1909,106
DISTANCIA
HORIZONTAL m.
1033,780
1033,770
1033,770
1033,770
1033,780
1033,774
1900,750
1900,739
1900,748
1900,736
1900,745
1900,744
DESNIVEL
metros
70,009
70,014
70,014
70,014
70,010
70,012
-178,787
-178,795
-178,814
-178,832
-178,842
-178,814
ANGULO CENITAL
86 º 6 ' 29,016
86 º 6 ' 28,008
86 º 6 ' 28,008
86 º 6 ' 28,008
86 º 6 ' 29,016
86 º 6 ' 28,411
95 º 21 ' 50,004
95 º 21 ' 51,012
95 º 21 ' 52,992
95 º 21 ' 55,008
95 º 21 ' 56,016
95 º 21 ' 53,006
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Las planillas 4, 5 y 6 corresponden a medición de distancias por observaciones reciprocas
con ET entre las estaciones LAIK, P-27 y P028, considerando la variación de los datos
atmosféricos.
130
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
PLANILLAS DE OBSERVACION POLIGONAL
PLANILLA 7 OBSERVACION DE ANGULO HORIZONTAL
º
'
"
BMDK14
GP-VC12
0
0
0.000
180
0
29.988
0
0
14.994
-14.994
0
0
0.000
1.4
PB-VC10
332
51
5.004
152
51
20.016
332
51
12.510
-14.994
332
50
57.516
BMDK14
GP-VC12
90
0
1.008
270
0
6.012
90
0
3.510
-2.502
90
0
1.008
1.4
PB-VC10
62
50
57.012
242
51
5.004
62
51
1.008
-2.502
62
50
58.506
PBVC10
BM-DK14
0
0
0.000
180
0
5.004
0
0
2.502
-2.502
0
0
0.000
1.481
PB-VC11
176
19
28.992
356
19
54.984
176
19
41.988
-2.502
176
19
39.486
PBVC10
BM-DK14
90
0
1.008
270
0
7.992
90
0
4.500
-3.492
90
0
1.008
1.481
PB-VC11
266
19
32.016
86
19
39.000
266
19
35.508
-3.492
266
19
32.016
PBVC11
PB-VC10
0
0
0.000
179
59
57.984
0
0
1.008
-1.008
0
0
0.000
204
10
22.008
24
10
33.996
204
10
28.002
-1.008
204
10
26.994
90
0
1.008
270
0
38.988
90
0
19.998
-18.990
90
0
1.008
1.5
II
I
II
I
II
I
II
CORREGIDA
PBVC11
PB-VC12
PB-VC10
1.5
PB-VC12
294
10
50.016
114
11
0.996
294
10
55.506
-18.990
294
10
36.516
PBVC12
PB-VC11
0
0
0.000
180
0
0.001
0
0
0.001
-0.001
0
0
0.000
1.464
PB-VC13
167
31
17.004
347
31
17.004
167
31
17.004
-0.001
167
31
17.004
PBVC12
PB-VC11
90
0
0.000
270
0
11.016
90
0
5.508
-5.508
90
0
0.000
1.464
PB-VC13
257
31
23.988
77
31
24.996
257
31
24.492
-5.508
257
31
18.984
PBVC13
PB-VC12
0
0
0.000
180
0
3.996
0
0
1.998
-1.998
0
0
0.000
1.45
PB-VC14
182
58
36.984
2
58
40.008
182
58
38.496
-1.998
182
58
36.498
PBVC13
PB-VC12
90
0
0.000
270
0
6.984
90
0
3.492
-3.492
90
0
0.000
1.45
PB-VC14
272
58
41.016
92
58
46.992
272
58
44.004
-3.492
272
58
40.512
PBVC14
PB-VC13
0
0
1.008
180
0
0.000
180
0
0.504
0.504
180
0
1.008
1.448
PB-VC15
162
56
48.984
342
56
51.000
162
56
49.992
0.504
162
56
50.496
PBVC14
PB-VC13
90
0
0.000
270
0
6.012
90
0
3.006
-3.006
90
0
0.000
1.448
PB-VC15
252
56
53.988
72
56
57.984
252
56
55.986
-3.006
252
56
52.980
Ang.
Final
"
57.507
"
332 50
'
35.247
º
176 19
"
31.251
'
204 10
º
17.994
I
"
167 31
II
'
38.505
I
º
DIRECTA
182 58
II
EST OBS
Alt. Pris.
m.
51.234
I
LECTURA DE ANGULOS HORIZONTALES
INVERºSA
PROMEDIO
E”
EST.
Alt. Ins.
m.
56
Nº de
Serie
HOJA: 1/2
FECHA: Enero 2009
CIUDAD: LA PAZ
252
PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE
INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3
OPERADOR:
ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm.
TEMPERATURA: 17º C.
131
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
PLANILLA 8 OBSERVACION DE ANGULO HORIZONTAL
PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE
INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3
OPERADOR:
ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm.
TEMPERATURA: 17º C.
PBVC17
1.45
II
I
PBVC17
1.45
PBVC18
1.471
II
I
PBVC18
1.471
PBVC19
1.462
II
I
PBVC19
1.462
GPVC14
1.426
II
GPVC14
1.426
Ang.
Final
1
13
0.012
181
12
54.000
-2.502
181
12
51.498
0
0.000
270
0
3.996
90
0
1.998
-1.998
90
0
0.000
271
12
47.016
91
12
55.008
271
12
51.012
-1.998
271
12
49.014
PB-VC15
0
0
0.000
179
59
57.984
0
0
1.008
-1.008
0
0
0.000
PB-VC17
182
54
39.996
2
54
46.008
182
54
43.002
-1.008
182
54
41.994
PB-VC15
90
0
2.016
270
0
2.016
90
0
2.016
0.000
90
0
2.016
PB-VC17
272
54
50.004
92
54
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DIRECTA
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43
Nº de
Serie
HOJA: 2/2
FECHA: Enero 2009
CIUDAD: LA PAZ
132
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
PLANILLA 9 OBSERVACION DE ANGULO CENITAL
Y DISTANCIA INCLINADA (PPM=0)
PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE
INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3
OPERADOR:
ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm.
TEMPERATURA: 17º C.
N de
Serie
HOJA: 1/2
FECHA: Enero 2009
CIUDAD: LA PAZ
LECTURA DE ANGULOS VERTICALES
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PB-VC15
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I
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I
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777.829
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777.826
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663.281
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1023.137
1023.135
664.813
664.813
1023.135
1023.134
133
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
PLANILLA 10 OBSERVACION DE ANGULO CENITAL
Y DISTANCIA INCLINADA (PPM=0)
PROYECTO: POLIGONAL DE ENLACE
INSTRUMENTO: SOKKIA SET 530 RK3
OPERADOR:
ALTURA MEDIA: 3853.841 msnm.
TEMPERATURA: 17º C.
Nª de
Serie
HOJA: 2/2
FECHA: Enero 2009
CIUDAD: LA PAZ
LECTURA DE ANGULOS VERTICALES
DIRECTA
INVERSA
PROMEDIO
'
"
º
'
"
º
'
"
EST.
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PB-VC17
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GP-VC13
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II
I
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I
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I
II
I
II
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1023.132
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1023.131
1023.132
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734.803
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813.450
1133.403
1133.401
813.449
813.447
6.- BIBLIOGRAFIA
134
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad Técnica
Carrera de Topografía y Geodesia
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la proyección Local Transversal de Mercator (LTM) en Chile
http://www.cartografiacl Adopción de la proyección Local Transversal de Mercator (LTM)
en Chile
http://www.gpsglobal.com.br/Artigos/sisref.pdf
http://www.posc.org/Epicentre.2_2/DataModel/ExamplesofUsage/eu_cs34h.html
http://misitio.fibertel.com.ar/rubenro/Content76.shtml Georreferenciación de parcelas
135
Proyecto de Grado de: Richard Tola Vargas