Hydraulique des cours deau

Liber•• • Égalit~ • Fraternité
RÉPUBLIQUE FRANÇAISE
Ministère de
l'Equipement,
des Transports
et du Logement
Hydraulique
des cours d'eau
La théorie
et sa mise
en pratique
Département Voies Navigables et Eau
Groupe d'Hydraulique Fluviale
Août 2001
.
Centre d'Etudes Techniques Maritimes Et Fluviales
Centre d’Etudes Techniques Maritimes Et Fluviales
Groupe d’Hydraulique Fluviale
HYDRAULIQUE DES COURS D’EAU
Parce-qu’elle commande à l’élément indispensable à la vie, l’hydraulique fluviale est l’une des
plus anciennes sciences explorées par l’homme. Quatre millénaires d’une observation attentive des
écoulements ont produit une somme considérable d’appréciations qualitatives et quantitatives que les
progrès de l’informatique ont pu, ces dernières décennies, mettre en musique numérique.
L’objet du présent cours n’est donc pas de reprendre de manière exhaustive tout l’état de l’art
en matière d’hydraulique fluviale. D’éminents hydrauliciens participent régulièrement à la rédaction
d’ouvrages de référence auxquels ce cours emprunte beaucoup, et dont la liste, fournie dans la
bibliographie, doit être lue comme une invitation à y approfondir les éléments abordés succinctement.
Car ce recueil se contente de compiler et d’expliquer dans un ordre aussi pédagogique que
possible les principes d’hydraulique fluviale tels que les services des ministères en charge de la
gestion, de l’exploitation de l’aménagement ou de la police des rivières peuvent les rencontrer dans les
études hydrauliques qu’ils auront à réaliser, piloter ou critiquer.
L’approche adoptée n’est donc pas toujours très orthodoxe, privilégiant, autant que possible,
les notions intuitives et pratiques avant de les expliquer par la théorie ou de les compléter par les
formules empiriques.
1. CONVENTIONS, DEFINITIONS ET PARAMETRES
2
1.1 GRANDEURS CARACTERISTIQUES
1.2 REGIMES D’ECOULEMENTS
1.3 EQUATIONS DE L’HYDRAULIQUE FLUVIALE
2
5
9
2. REGIME PERMANENT
11
2.1 REGIME UNIFORME
2.2 REGIME GRADUELLEMENT VARIE
2.3 CHANGEMENTS DE REGIME
11
15
17
3. PERTES DE CHARGE SINGULIERES
20
3.1 PERTES DE CHARGE DE TYPE BORDA
3.2 PERTES DE CHARGE LIEES AUX PILES EN RIVIERES EN REGIME FLUVIAL
3.3 PERTES DE CHARGE LIEES AUX SEUILS
3.4 PERTES DE CHARGE LIEES A LA MORPHOLOGIE
20
21
25
28
4. NOTIONS SIMPLIFIEES DE SEDIMENTOLOGIE
31
4.1 MECANISMES D’ARRACHEMENT DES MATERIAUX
4.2 FORCE TRACTRICE ET AFFOUILLEMENT AUTOUR DES OUVRAGES
4.3 QUANTIFICATION DES AFFOUILLEMENTS
31
34
37
5. REGIMES TRANSITOIRES
42
5.1 LES CRUES DES COURS D’EAU (ONDES DE CONTINUITE)
5.2 LES ONDES RAPIDES (ONDES DE RUPTURE)
42
46
6. BIBLIOGRAPHIE
51
1
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1. Conventions, définitions et paramètres
1.1 Grandeurs caractéristiques
1.1.1 Géométrie du cours d’eau
Aussi tortueuse que le problème de l’antériorité de l’œuf sur la poule, la question de
l’antériorité du lit du cours d’eau sur l’écoulement liquide qu’il accueille peut paralyser durablement un
débat de logiciens. Pour ce qui nous concerne, considérant que les variations des conditions
hydrauliques d’une rivière se font souvent à une échelle de temps nettement inférieure à celle des
variations de morphologie, nous adopterons dans toute la suite de l’exposé le principe de la rivière à
fond fixe, c’est-à-dire dont la géométrie ne varie pas dans le laps de temps de nos études. L’étude des
rivières dites « à fond mobile », qui voient leurs caractéristiques géométriques varier au cours d’un
événement hydraulique, relève de la sédimentologie.
On désigne sous le nom de lit mineur l’encoche topographique dans laquelle s’écoule la rivière
depuis son étiage (très faibles débits) jusqu'à son débordement (débit dit de plein bord, ou
plenissimum flumen) au-delà des berges. Le champ d’expansion des crues désigne l’enveloppe
maximale de terrain bordant la rivière et qui peut être submergée par ses eaux. On y distingue le lit
mineur, naturellement, mais aussi le lit majeur qui est son complémentaire, et dans lequel on parle,
pour certains cours d’eau du bassin méditerranéen, de lit moyen, qui est une zone de transition
morphologique entre le lit mineur homogène et la fraction homogène du lit majeur.
On oriente l’écoulement d’une rivière de l’amont vers l’aval. L’intuition attribue à la pente du
cours d’eau un rôle prépondérant dans la nature des écoulements, qui sera confirmé par la théorie.
Exprimée en mètres par mètre (m/m) et souvent notée i ou I, elle se calcule en divisant la dénivelée
altimétrique entre les points du fond de deux sections distinctes de rivière, par la distance horizontale
qui les sépare. Elle est souvent donnée en valeur absolue, bien que localement, pour un tronçon de
rivière donné, le point bas de l’amont puisse être plus bas que le point bas de l’aval. La pente de la
rivière peut être différente de la pente de la vallée, qui est calculée dans le lit majeur sans suivre
nécessairement les éventuels méandres du cours d’eau. Le repère cartésien mobile est orienté par
convention dans le sens amont - aval pour les x croissants, les altitudes z étant orientées à la verticale
depuis le bas vers le haut, et les y fermant le repère direct sur l’horizontale orthogonalement à la
direction de l’écoulement.
Dans une section en travers donnée, on appelle miroir l’interface entre l’eau et l’air, par une
évidente analogie avec la propriété de réflexion qui caractérise la surface de l’eau et qui rend possible
les effets optiques des jardins et des fontaines. Plus pragmatiquement, la largeur au miroir est la
distance entre les deux limites d’extrémité du miroir. Notée B, elle s’exprime en mètres (m). Dans les
rivières chenalisées, on appelle plafond la largeur horizontale du fond (le plat fond) lorsqu’elle existe.
La surface d’eau comprise dans le plan de coupe de la section en travers, est la surface
mouillée, notée S et exprimée en mètres carrés (m²). Elle est bornée en limite supérieure par
l’interface entre l’eau et l’air (le miroir), mais aussi par une courbe d’interface entre l’eau et le lit, dont la
longueur curviligne est appelée périmètre mouillé, noté p et exprimé en mètres (m).
2
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Enfin, on définit le rayon hydraulique
comme étant le rapport de la surface mouillée par
le périmètre mouillé, noté Rh, exprimé en mètres
(m). Cette quantité retranscrit peu ou prou
l’influence de l’interface eau - lit sur la capacité
d’écoulement de la section, c’est-à-dire que pour
une surface donnée, plus le rayon hydraulique est
important, plus l’interface eau - lit est réduite, ou
encore, plus la frontière de la section
d’écoulement est de nature « air » plutôt que
« lit ».
B
S
p
On imagine sans peine que le frottement de l’eau sur l’air est moindre que celui de l’eau sur le
lit, et donc, que le rayon hydraulique est une passerelle commode pour relier les caractéristiques
géométriques de forme de la section mouillée à sa capacité hydraulique effective d’écoulement. Sans
trop anticiper sur la suite du cours, on sent bien que la section mouillée est le siège de l’action motrice
de l’écoulement tandis que le périmètre mouillé est la zone où s’exerce l’action de ralentissement par
frottement, et donc, que le rayon hydraulique traduit, pour une géométrie donnée, le rapport de force
entre action motrice et ralentissement.
1.1.2 Grandeurs hydrauliques
Pour une section d’écoulement S donnée, on définit le débit comme étant le volume de liquide
écoulé à travers la surface S de cette section pendant l’unité de temps. Il est noté Q, et s’exprime en
3
m /s. Si V(M) désigne la composante normale à la section considérée en un point M de celle-ci, on a :
Q = ∫∫ V ( M )dS
S
On définit la vitesse moyenne de l’écoulement, notée V et exprimée en mètre par seconde
(m/s), le rapport du débit par la section normale d’écoulement.
Bien que le niveau d’eau, noté Z et exprimé en mètres (m), accapare bien souvent toute
l’attention, il n’est que l’une des composantes d’une grandeur caractéristique plus pertinente de
l’énergie du cours d’eau : la charge hydraulique, également appelée charge de Bernoulli, noté H,
exprimée en mètres (m).
En un point M donné de la trajectoire d’une molécule de fluide, cette quantité a pour
expression :
H( M ) = Z( M ) +
P( M ) V ( M )²
+
ρg
2g
Z est la cote absolue ou le niveau d’eau, exprimée en mètres (m).
P est la surpression, exprimée en pascals (Pa), au-dessus de la pression atmosphérique.
3
ρ est la masse volumique de l’eau (1000 kg/m ).
g est l’accélération de la pesanteur (9.81 m/s²).
V est la vitesse, exprimée en mètres par seconde (m/s).
L’un des intérêts de cette charge hydraulique est d’intégrer les contributions des trois facteurs
d’énergie « mécanique » hydraulique que sont
• Z, pour l’énergie potentielle, liée aux forces de volume
P
, pour l’énergie de pression, liée aux forces de pression,
ρg
V²
• et
, pour l’énergie cinétique, liée aux forces d’inertie.
2g
•
Pour la trajectoire d’une molécule de fluide en surface de l’écoulement, le lieu des Z
représente le profil de l’eau, celui des Z
+
P
représente le niveau piézométrique et celui des H est le
ρg
niveau (ou la ligne) de charge.
3
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Considérons un axe vertical dans l’écoulement, qui coupe le miroir de largeur B en un point A
et le fond en un point A’. Les lois de l’hydrostatique expriment la relation qui existe entre la profondeur
d’eau d’un point M sur cet axe et la pression en ce point.
A
M
A’
P( M ) = P( A) + ρg[Z ( A) − Z ( M )] ou encore, en considérant que P(A) = 0 au miroir,
P( M )
Z( M ) +
= Z ( A) .
ρg
Ainsi,
Le niveau piézométrique est confondu avec le niveau de l’eau dès lors qu’on se trouve à
surface libre.
Pour un écoulement donné à travers une section d’écoulement, on relie la vitesse moyenne V
à la moyenne quadratique des vitesses des molécules de fluide V(M) par le coefficient de Boussinesq
adimensionnel β traduisant l’hétérogénéité du champ de vitesse dans la section :
β=
1
V ( M )² dS . Usuellement, ce nombre varie entre 1 et 1.15.
V ² S ∫∫
S
Moyennant ces deux considérations, il en découle naturellement l’expression de la charge
hydraulique dans une section S donnée en travers de l’écoulement :
H sec tion =
=
1
1 
1 V ( M )²
P( M ) 
H ( M )dS = ∫∫ Z ( M ) +
dS + ∫∫
dS

∫∫
S S
S S 
S S 2g
ρg 
 1
Z ( A)
1 1
V²
dS
+
V
(
M
)²
dS
Z ( A)dB + β

=
∫∫
∫∫
∫
2g  S S
2g
S S
 B miroir
Cette relation simple
H sec tion =
V²
1
Z ( A)dB + β
∫
B miroir
2g
permet de décrire l’énergie hydraulique d’une section d’écoulement à l’aide uniquement de la
cote de la surface libre de l’eau et de la vitesse moyenne de l’écoulement à travers cette section,
pondérée par le coefficient de Boussinesq.
Dans la grande majorité des cas, on considère que l’écoulement suit un axe privilégié unique
(hypothèse filaire ou 1D) auquel le vecteur vitesse moyenne, résultante des vecteurs vitesse des
points de la section orthogonale à l’axe, est tangent, et sur lequel on rapporte toutes les quantités de
description de l’écoulement. De même, il est très rare de considérer β ≠ 1 . Enfin, sauf dans le cas
d’écoulements de grande vitesse dans des courbes serrées, on peut supposer que le niveau d’eau
dans une section orthogonale à l’axe d’écoulement n’est pas influencé par les forces centrifuges, et
qu’il est donc constant sur toute la largeur B correspondante, égal à Z(A). La charge dans une section
d’écoulement orthogonale à l’axe d’écoulement filaire est, dans ces hypothèses, égale à :
H sec tion = Z ( A) +
4
V²
2g
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1.2 Régimes d’écoulements
1.2.1 Laminaire ou turbulent (nombre de Reynolds)
On dit qu’un écoulement est laminaire (ou tranquille) lorsque les filets liquides qui le
composent sont parallèles et juxtaposés. Les molécules de fluide ont alors chacune une vitesse dont
le vecteur est tangent à l’axe d’écoulement, et l’écoulement a des caractéristiques parfaitement
déterminées en chaque point.
Inversement, un écoulement est dit turbulent lorsque ses molécules de fluide ont une direction
principale identifiée dans le sens de l’axe principal d’écoulement, à laquelle s’ajoute une composante
transversale. Les filets d’eau ont tendance à s’entrechoquer dans des tourbillons de distribution
aléatoire, générant une agitation interne. Les paramètres de vitesse et de direction de chaque
molécule de fluide ne peuvent être déterminés à un instant donné, même s’il est possible d’accéder
aux valeurs moyennes de ceux-ci.
Ces deux régimes, séparés par un régime de transition mêlant les deux sur une certaine
1
longueur de mélange, peuvent être mis en évidence à l’aide de l’expérience de Reynolds , qui a laissé
son nom au nombre adimensionnel permettant de caractériser le régime d’écoulement, laminaire s’il
est inférieur à 2000 et turbulent s’il est supérieur à 2300.
Re =
VD
,
ν
où ν est la viscosité cinématique (10 m²/s à 20°C), V est la vitesse moyenne dans la section
(m/s) et D est le diamètre équivalent pour une conduite circulaire (m), que l’on peut rapporter au rayon
hydraulique en exprimant simplement la section et le périmètre mouillés d’une conduite circulaire de
rayon D/2, ce qui donne :
-6
2
 D
π 
 2
D
Rh =
=
ou encore, tout simplement, D = 4 Rh.
D
4
2π
2
4VRh
.
Le nombre de Reynolds en rivière s’écrit donc : Re =
ν
En réalité, si cette distinction entre régime laminaire et régime turbulent s’avère essentielle
pour la compréhension, puis la modélisation des écoulements liquides, elle ne nous intéresse guère. Il
suffit de prendre quelques exemples de valeurs de V et Rh représentatives de cours d’eau pour se
rendre compte que le régime d’écoulement est toujours turbulent en rivière, sauf éventuellement lors
d’étiages très sévères qui voient presque la vitesse moyenne s’annuler.
1.2.2 A surface libre ou en charge
Nous avons déjà eu l’occasion de citer précédemment le caractère « à surface libre » des
écoulements que nous considérions, étant acquis que les écoulements qui nous concernent, en cours
d’eau naturels ou canalisés, comportent un miroir, c’est-à-dire une interface entre l’eau et l’air. Cette
hypothèse nous a permis d’écrire que la pression au niveau de la surface libre était égale à la pression
atmosphérique. L’état normal d’une rivière est d’être ainsi « à ciel ouvert », « à surface libre », avec un
fil d’eau ou un miroir identifiable.
Pourtant, il arrive que tout ou partie du cours d’eau entre en charge, c’est-à-dire que
l’écoulement n’est plus en contact avec l’air, et qu’il est astreint à se cantonner dans une section
entièrement composée d’interface eau - lit dans laquelle sa pression diffère de la pression
atmosphérique. Dans la pratique, on rencontre ce cas lorsqu’une partie du cours d’eau passe en buse
dans une zone urbaine, ou encore lorsque le niveau d’eau est tel qu’un ouvrage d’art transversal de
type pont ou remblai, par exemple, est submergé.
Ce cas de figure doit rester marginal, pour des raisons évidentes de sécurité des ouvrages
d’art concernés, mais aussi d’inondations alentours, car la submersion de ces ouvrages a souvent des
1
5
Cf. annexe à ce sujet
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incidences sur la vulnérabilité des zones voisines. Aussi n’aborderons-nous pas dans le détail ces
écoulements radicalement différents des écoulements à surface libre.
Il faudra cependant garder en mémoire cette distinction entre « à surface libre » et « en
charge » pour la suite, car les méthodes de calcul dans le premier cas empruntent beaucoup aux
expérimentations faites dans le second cas.
1.2.3 Permanent (stationnaire) ou non-permanent (transitoire)
Le régime permanent désigne un écoulement dont les caractéristiques ne varient pas dans le
temps. Le régime stationnaire désigne un écoulement dont les caractéristiques ne varient pas dans le
temps... sur le laps de temps considéré. Cela se traduit mathématiquement par la nullité de toutes les
dérivées partielles des grandeurs par rapport au temps.
Naturellement, le régime est dit non-permanent ou transitoire lorsque les paramètres de
l’écoulement varient dans le temps, qu’il s’agisse d’une perturbation instantanée ou plus étalée dans le
temps, comme une ouverture de vanne, une régulation de barrage, une crue lente ou rapide, une
sassée d’écluse, une rupture d’ouvrage hydraulique, un pompage, etc.
Dans la réalité, le régime permanent stricto sensu ne se rencontre quasiment jamais, mais
selon la longueur de rivière et le laps de temps considérés, il est très souvent valide de faire
l’hypothèse de permanence du régime.
1.2.4 Fluvial ou critique ou torrentiel (nombre de Froude)
De toutes les caractérisations de régime, celle-ci est sans doute l’une des plus importantes,
car elle conditionne entièrement le raisonnement hydraulique lors d’une étude. On sait, depuis notre
lointain apprentissage du français, que le mot torrent désigne un cours d’eau de montagne, tandis que
le mot fleuve désigne un cours d’eau qui se jette dans la mer. Si cette connaissance dictionnairique
nous fournit une première approche, pragmatique et simpliste, de ce que sont les régimes torrentiel et
fluvial, par les souvenirs imagés qu’elle peut susciter, elle ne nous dit pas si un torrent qui se jette
promptement dans la mer est plutôt un torrent ou un fleuve ou les deux à la fois. L’hydraulique, elle,
nous fournit la réponse.
Recourant toujours à des images simples, selon une illustration très largement employée par
les hydrauliciens, prenons l’exemple des ondes infinitésimales. Derrière ce nom barbare se cache un
phénomène expérimenté par chacun dans sa petite enfance, à savoir les petites ondes, d’amplitude
négligeable par rapport à la hauteur d’eau qui les porte, qui naissent autour d’un caillou lancé dans
l’eau. Ces petites rides se propagent à partir de ce point... de diverses façons selon le régime du milieu
liquide concerné.
Dans une étendue immobile ou presque, comme un lac ou un étang, tout un chacun sait que
les rides sont circulaires et concentriques autour du point d’entrée du caillou dans l’eau. Les ondes
s’éloignent de ce point à la vitesse (on parle plutôt de célérité) de
gh , où g désigne l’accélération de
la pesanteur, et h la hauteur d’eau moyenne.
Dans les eaux lentes d’un fleuve classique, si l’on fixe précisément l’endroit où le caillou s’est
enfoncé dans l’eau, on se rend compte que les cercles des ondes infinitésimales qui ont été ainsi
générées ne sont pas concentriques, mais sont emportées par le courant vers l’aval. Si V désigne la
vitesse moyenne de courant, la composition des vitesses nous permet d’affirmer sans crainte que le
front de l’onde dévalant la rivière a une vitesse de
de l’onde remontant le courant a une vitesse de
V + gh évidemment positive, tandis que le front
V − gh négative, ce qui déforme le cercle initial de
la ride en une ellipse étalée de part et d’autre, vers l’aval et vers l’amont, de son point de naissance. Il
en va de même pour les ondes qui se forment autour d’un petit obstacle fixe planté dans la rivière
(comme un pieu, un bâton... ou une pile de pont) : une série de rides se forment vers l’aval, mais
également vers l’amont. On dit dans un tel cas que l’information d’une perturbation locale de
l’écoulement est remontée vers l’amont. Le régime est dit fluvial ou lent.
A l’inverse, un œil alerte et très exercé pourrait peut-être apercevoir le devenir des mêmes
ondes générées par un caillou lancé... dans un torrent de montagne ! A peine générées, les rides sont
tout simplement emportées par le fort courant. Même les rides qui se forment lors de l’introduction d’un
bâton dans le cours d’un torrent sont chassées vers l’aval sans qu’aucune ride ne « remonte » vers
l’amont. On dit que l’information de la perturbation ne remonte pas vers l’amont. Les vitesses des deux
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fronts des ondes infinitésimales
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V + gh et V − gh sont toutes deux positives. Le régime est dit
torrentiel ou rapide.
Cette approche simple et pratique nous fournit une clef pour la distinction entre régime fluvial
et régime torrentiel, grâce à la comparaison des quantités V et
gh . Si la première est inférieure à la
seconde, le régime est fluvial, sinon, il est torrentiel. Ce que traduit parfaitement le nombre de Froude :
F=
V
gh
Si F<1, le régime est fluvial. Si F>1, le régime est torrentiel. h désigne la hauteur moyenne
dans la section, calculée à l’aide du rapport de la section mouillée par la largeur au miroir (S/B) :
F² =
BV ²
gS
Evidemment, l’histoire n’a pas encore dit ce qu’il advenait lorsque F=1.
Pour prendre la mesure de ce que recèle cette égalité d’apparence si anodine, nous
recourrons à la notion de charge spécifique, notée Hs, exprimée en mètres (m) comme la charge de
Bernoulli dont elle est extraite, puisqu’elle s’écrit :
Hs = h +
V²
,
2g
avec Z(A) = ZF + h (h la hauteur d’eau, ZF la cote de référence prise au fond de la section
d’écoulement), c’est-à-dire qu’elle dérive de la charge Hsection par soustraction de la cote du fond.
Introduisons la relation de débit Q = V S(h) pour obtenir une équation en h :
Hs = h +
Q²
2 gS (h)²
Dérivons cette quantité par rapport à la hauteur h :
 1 
d

dH s
Q ²  S (h)² 
Q ² dS (h)
= 1+
= 1−
dh
2g
dh
gS (h) 3 dh
B
dS
Or, et c’est bien là l’une des grandes utilités de
la largeur au miroir B, on a : dS(h) = B dh, d’où :
dh
S
dH s
BQ ²
BV ²
= 1−
= 1− F²
3 = 1−
dh
gS (h)
gS (h)
Le cas F = 1 correspond au minimum de charge spécifique dans une section donnée, auquel
est associé une hauteur unique appelée hauteur critique, notée hc, exprimée en mètres (m). Le régime
est alors dit critique.
7
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h
On visualise ce minimum sur la courbe
Q=Q(h), à charge spécifique constante, dont
l’équation est : ( H s − h).( 2 gS ( h)²) = Q ²
On voit également que pour une charge
spécifique donnée, il existe deux façons de faire
passer un débit Q : l’une en régime fluvial et
l’autre en régime torrentiel.
hc
Q
Si, dans le calcul, c’est le nombre adimensionnel de Froude qui permet de qualifier le régime
de fluvial, critique ou torrentiel, dans la nature, d’un point de vue pratique, c’est à la pente i ou I du
cours d’eau qu’il faut imputer tel ou tel régime correspondant, comme l’intuition et le dictionnaire le
suggèrent. A une forte pente correspond le régime torrentiel, tandis qu’à une faible pente correspond
le régime fluvial. Il suffirait de connaître une relation entre cette pente i et le nombre de Froude F pour
clore définitivement cette question. Nous ne nous en priverons pas, le moment venu.
Pour l’heure, rappelons simplement que :
F² =
BV ²
gS
• si F ou F² < 1, le régime est fluvial
• si F ou F² = 1, le régime est critique
• si F ou F² > 1, le régime est torrentiel
La hauteur critique hc correspond au minimum de charge spécifique à débit fixé.
1.2.5 Uniforme ou varié ou normal
On dit d’un régime permanent qu’il est uniforme lorsque les caractéristiques de cet écoulement
(h, V, Q) ne présentent pas de variation dans son étendue et sa durée. A la constance temporelle
s’ajoute la constance spatiale, et donc, toutes les dérivées partielles des paramètres de l’écoulement
par rapport au repère spatial sont nulles.
Dès que l’une des caractéristiques de l’écoulement en régime permanent présente une
variation dans l’étendue du tronçon étudié, le régime est dit varié. On distingue le régime
graduellement varié, pour lequel les caractéristiques de l’écoulement varient lentement dans l’espace,
du régime rapidement varié, pour lequel elles varient rapidement. Le régime étant permanent, seules
des variations spatiales, et donc liées à la géométrie du lit, sont à l’origine des variations des
caractéristiques de l’écoulement.
L’écoulement uniforme peut, à ce titre, être considéré comme une régime théorique que
l’écoulement tendrait à adopter s’il n’était contraint à la variation par la géométrie du lit. On formalise
ce concept à l’aide de la notion de régime normal, qui correspond, pour les conditions hydrauliques et
géométriques d’une section donnée, aux valeurs que prendraient les caractéristiques de l’écoulement
(h et V), pour le même débit, si le régime était uniforme. En particulier, on note hN la hauteur normale,
exprimée en mètres (m) correspondant à ce régime normal, et on la compare à la hauteur critique hc
pour déterminer si le régime varié est fluvial normal (hN > hc) ou critique normal (hN = hc) ou torrentiel
normal (hN < hc).
On aura donc compris que l’écoulement peut parfaitement se trouver localement en régime
permanent graduellement varié avec une hauteur réelle inférieure à la hauteur critique, donc en régime
torrentiel, alors que la hauteur normale correspondante peut tout à fait être supérieure à cette même
hauteur critique, le régime normal étant donc fluvial. Il faudrait considérer un tel cas, absolument pas
marginal, comme un régime normal fluvial, localement torrentiel. Cet exemple peut être généralisé
comme suit :
fluvial local
critique local
torrentiel local
8
fluvial normal
h > hc et hN > hc
h = hc et hN > hc
h < hc et hN > hc
critique normal
h > hc et hN = hc
h = hc et hN = hc
h < hc et hN = hc
torrentiel normal
h > hc et hN < hc
h = hc et hN < hc
h < hc et hN < hc
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1.3 Equations de l’hydraulique fluviale
1.3.1 Equation de continuité
Nous avons pu aborder, dans les pages qui précèdent, un grand nombre de notions
hydrauliques sans faire appel aux équations fondamentales des écoulements, pour la simple raison
que nous avons cheminé à travers le temps en raisonnant, de manière accélérée et avec le confort du
recul, comme le firent les divers découvreurs de la science hydraulique : en partant de l’observation
pour dégager les théories qui les sous tendent.
L’équation de continuité constitue la première marche entre observation et théorie. Elle traduit
simplement l’évidence physique de la conservation de la masse de fluide contenue dans un volume
fictif Λ donné. L’eau étant incompressible dans les conditions de température et de pression qui nous
concernent, on conçoit en effet sans peine que toute la masse de fluide qui entre dans ce volume fictif
doit, pour ce faire, chasser une masse équivalente pour en prendre la place.
Si Q1 désigne le débit entrant dans le volume fictif Λ, et Q2 le débit sortant de ce même volume
fictif Λ, l’équation de continuité s’écrit tout simplement : Q1 = Q2 ou encore V1S1 = V2S2.
Arrêtons-nous un instant sur l’interprétation pratique de cette équation, pour démentir une fois
pour toutes une idée reçue communément répandue, et fausse. Les seuils et barrages mobiles en
rivière constituent certes un obstacle en rivière - c’est même souvent leur raison d’être. Ils peuvent
gêner les écoulements en les freinant et en les exhaussant, c’est indéniable - et même souhaité lors
de la conception. Mais en aucun cas, dès lors que le régime est stationnaire, ces ouvrages ne
« retiennent du débit ». Le débit qui arrive à l’amont d’un tel ouvrage en régime stationnaire franchit
l’ouvrage d’une manière ou d’une autre pour se retrouver intégralement à l’aval de l’ouvrage. Par
contre, lors des phases transitoires d’élévation des ouvrages, le volume en amont se comporte comme
un réservoir que le débit entrant remplit avant d’atteindre un nouvel état stationnaire... et de sortir à
nouveau intégralement à l’aval.
En régime transitoire, on traduit l’équation de continuité par le fait que tout volume entrant qui
n’est pas évacué par le flux sortant se traduit par une augmentation de volume entre l’entrée et la
sortie :
∂Q
∂h
+B
=0
∂x
∂t
1.3.2 Equation de Bernoulli
ème
siècle, Bernoulli s’appuie sur les théorèmes de conservation de l’énergie des corps
Au 18
solides en mouvement énoncés par Huygens et Leibnitz pour proposer un théorème équivalent pour
les fluides incompressibles, de conservation de la charge qui porte son nom, et dont on a vu qu’elle
était la somme d’une énergie potentielle (niveau piézométrique) et d’une énergie cinétique.
Le théorème dit qu’en tout point d’une ligne de courant, la charge hydraulique est constante...
H( M ) = Z( M ) +
P( M ) V ( M )²
+
= H constante
ρg
2g
2
... aux dissipations par frottement interne près . En notant, entre deux sections S1 et S2 en
travers du cours d’eau, ∆H1!2 la perte de charge dissipée par frottement interne comptée positivement,
on écrit donc le théorème de Bernoulli rapporté aux sections d’écoulement sous la forme :
Z1 +
V1 ²
V ²
= Z 2 + 2 + ∆H1→2
2g
2g
Avec l’équation de continuité, nous disposons donc de deux équations pour trois inconnues :
V, Z et ∆H1!2. La détermination empirique des expressions pertinentes de cette perte de charge
donnera alors accès à la connaissance, pour un état de géométrie et d’écoulement donnés, des deux
paramètres qui nous intéressent : V et Z.
On définit la perte de charge linéaire, notée j et exprimée en mètre par mètre (m/m), comme
étant l’opposé du rapport de la perte de charge dH sur la distance curviligne infinitésimale dx séparant
S(x) et S(x+dx).
2
9
conséquence du régime turbulent (i.e. de l’agitation interne)
10/09/02
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 ∆H1→2 
dH
j = − lim
=−
1→ 2  x − x 
dx
2
1
1.3.3 Equation(s) du mouvement
Pendant que Bernoulli père et fils mettaient la dernière main à leur fameux théorème, Euler
écrivait l’équation de quantité de mouvement traduisant l’équilibre global des forces vectorielles
r
agissant sur le volume Ω de fluide considéré, de surface Σ, le vecteur
r normal étant désigné par n et
les forces extérieures agissant sur le volume ayant pour résultante
r r r r r
v r
∂
( ρV )dΩ + ∫∫ ρV (V . n )dΣ = F
∫∫∫
∂t
Ω
Σ
F.
Navier et Stockes ont exploité le théorème de la divergence sur une surface de contrôle pour
écrire cette équation localement sous la forme vectorielle :
r r
1 →
∂ r r → r
r
V + V grad (V ) = − grad ( p) + g + ν∆V
∂t
ρ
r
ou encore, si V a pour coordonnées dans le repère cartésien (u, v, w), sous la forme projetée :
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
+u +v +w
=−
+ ν∆u
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂v
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
+u +v +w = −
+ ν∆v
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂w
∂w
∂w
∂w
1 ∂p
+u
+v
+w
=−
+ ν∆w − g
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
Dans le cas de l’eau, la viscosité ν est très faible (1,006.10 m²/s), et l’on peut légitimement
faire l’hypothèse qu’il s’agit d’un fluide parfait, de viscosité nulle, de sorte que le système d’équations
paraît se simplifier.
Hélas, ces équations de Navier-Stokes demeurent malgré cela non linéaires, et n’ont pas de
solution analytique qui nous permettrait de décrire tous les écoulements de liquides dans les trois
ème
siècle,
dimensions. Elles sont demeurées pour ainsi dire hermétiques jusqu'au dernier quart du 20
ne cédant une part de leur mystère qu’à la force des schémas numériques de résolution et de l’essor
de l’informatique.
De ces expressions indigestes, on ne retiendra que l’existence, pour ce qu’elles ne nous sont
d’aucune utilité pratique, mais sont la base des outils numériques de calcul hydraulique.
3
3
10
-6
se reporter au chapitre : Laminaire ou turbulent (nombre de Reynolds) page 5
10/09/02
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2. Régime permanent
2.1 Régime uniforme
2.1.1 Propriétés
Par définition du régime uniforme, Q, V et h sont constants tout au long de l’écoulement
considéré. Si ZF désigne la cote du fond, la cote de la surface libre Z est égale à : Z = ZF + h.
L’expression de la perte de charge linéaire donne alors :
j=−
dZ F dh
dZ
+
= − F = i.
dx
dx
dx
Si le régime est uniforme, la perte de charge linéaire est donc égale à la pente du cours d’eau.
Et inversement, si la perte de charge linéaire est égale à la pente du cours d’eau (j = i), alors h est
constante, et donc, à débit constant, V l’est également, et le régime est uniforme.
Le régime uniforme est donc caractérisé par une hauteur, un débit et une vitesse moyenne
constants, ou encore, ce qui équivaut à la propriété de parallélisme entre le profil en long du fil d’eau et
le profil en long du fond.
2.1.2 Formules empiriques
Dans les conditions du régime uniforme, faciles à obtenir en laboratoire ou en nature dans un
canal de géométrie fixée assez long pour ne pas être perturbé par les effets de bord, un pas décisif
dans la connaissance empirique de l’hydraulique a été franchi par les hydrauliciens qui ont tenté
d’établir une relation entre les paramètres géométriques du canal et la vitesse moyenne de
l’écoulement.
On doit à Chézy la première tentative retentissante, avec sa formule :
V = C Rh i ,
où V est la vitesse moyenne (m/s), Rh le rayon hydraulique (m), i la pente du fond (m/m) et C
1/2
un coefficient empirique (m /s), dit de Chézy, dépendant de la forme de la section et des parois.
Pourtant, c’est Bazin qui établit une relation plus explicite du coefficient de Chézy :
C=
87
,
γ
1+
Rh
où γ est un paramètre représentatif de la rugosité du lit, variant de 0.06 pour un lit lisse
(ciment) à 1.75 pour un lit de terre enherbée et de galets. Cette formulation donne l’impression de faire
reculer simplement un cran plus loin le moment de décider du choix apparemment arbitraire du
paramètre représentatif du lit du cours d’eau et pourtant, elle a le mérite de mettre en évidence la
faiblesse de la formule de Chézy, dans laquelle le rayon hydraulique intervient dans plusieurs facteurs,
ce qui rend malaisée l’interprétation de son influence sur la sensibilité du calcul de la vitesse moyenne.
L’hydraulicien Manning, à qui cette faiblesse n’avait pas échappé, proposa une autre
expression du coefficient de Chézy :
1 16
C = Rh ,
n
ce qui permet une décomposition plus lisible de l’expression de la vitesse moyenne :
()
1  23  21
V =  Rh  i
n 
où le paramètre n peut être décliné en abaque de rugosité selon une typologie exhaustive des
lits de cours d’eau.
11
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Cette formule est également connue sous le nom de formule de Strickler, du nom de
l’hydraulicien qui proposa le coefficient dit de Strickler, K, plus maniable que son inverse n dû à
Manning, et donc, plus couramment utilisée :
()
 3 1
V = K  Rh  i 2
 
2
2.1.3 Hauteur normale, pente critique
Les conditions du régime uniforme ne se rencontrent que très rarement en nature, et
correspondent de fait plutôt à des ouvrages artificiels de canalisation des écoulements. Pour autant, la
connaissance précise du régime uniforme grâce à la formule de Strickler nous permet de déterminer
deux quantités que nous avons déjà évoqué lors de la définition des conventions, paramètres et
régimes des écoulements de cours d’eau : la hauteur normale et la pente critique.
La hauteur normale est, pour écoulement quelconque de débit Q donné, la hauteur d’eau hN
que l’on observerait si le régime était uniforme, c’est-à-dire sans influence ni de l’amont, ni de l’aval,
comme si l’écoulement s’effectuait dans un canal uniforme de section identique à celle où la hauteur
normale est calculée. Comme Q = VS, on a directement que hN est telle que
(
2
)( )
1
Q = KS (hN ) Rh (hN ) 3 i 2
Il va de soi que, si le régime est uniforme, la hauteur d’eau de l’écoulement est égale à la
hauteur normale.
D’autre part, nous avons vu qu’un écoulement donné pouvait être de régime fluvial, critique ou
torrentiel selon que le nombre de Froude était inférieur, égal ou supérieur à 1. Mais il a été dit qu’en
nature, c’est la pente du lit qui détermine le régime du cours d’eau. La formule de Strickler nous fournit
la relation qui nous manquait entre la pente du cours d’eau et la vitesse, de sorte qu’on écrire
l’expression de la pente critique :
F² =
gS
BV ²
= 1 ⇒ Vc ² = c
gS
Bc
4
or
Vc ² = K ²( Rh c 3 )ic
d’où :
ic =
gS c
4
Bc K ²( Rhc ) 3
Si, pour un débit donné, la pente du cours d’eau est supérieure à cette pente critique, le
régime est torrentiel. Si elle est égale, le régime est critique, et si elle est inférieure, le régime est
fluvial. Evidemment, la pente du cours d’eau ne bougeant pas (hypothèse de fond fixe), c’est bien la
pente critique qui est à recalculer pour ces comparaisons, en fonction du débit.
2.1.4 Distribution des vitesses
La notion de vitesse moyenne, que l’on a simplement définie comme le rapport du débit par la
section mouillée, cache mal l’hétérogénéité de la distribution des vitesses dans la section. Sur une
ligne verticale, on rencontre trois types de vitesses caractéristiques qu’il suffira de relier selon une
conique (paraboloïde) pour avoir une idée du profil des vitesses sur cette ligne :
• au fond, ou au contact de l’interface eau - lit, on peut considérer (hypothèse très classique)
qu’il y a adhérence (non glissement) entre le filet liquide et le matériau constitutif du lit, d’où
lim
M → interface( eau − lit )
12
(V ( M )) = 0
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• sur une couche d’eau voisine de l’interface eau - lit, d’épaisseur ζ, l’écoulement est turbulent
rugueux, c’est-à-dire qu’il est fortement perturbé par la proximité d’anfractuosités et dissipe localement
de l’énergie, occasionnant le gros de la perte de charge linéaire et atténuant fortement la vitesse, si
bien qu’on peut écrire
lim(V ( M )) ≈ V
ζ
z →ζ −
<V
Il résulte nécessairement de ces deux considérations qu’il existe une tranche de liquide dans
laquelle les molécules d’eau ont une vitesse sensiblement supérieure à la vitesse moyenne, atteignant
un maximum noté VM. Cette tranche est appelée le filon.
• au niveau de l’interface eau - air, les frottements et les tensions superficielles réduisent la
vitesse des molécules d’eau du filet liquide de surface libre à quelques pourcents de moins que la
vitesse maximale
lim(V ( M )) ≈ V
η
z→ Z
< VM
Moyennant ces appréciations grossières, on dispose du portrait robot du profil des vitesses sur
une verticale de fluide :
Fil d’eau (Vη )
Filon (VM)
Vη
VM
Vitesse moyenne (V)
V
Couche limite (Vζ )
Interface eau - lit (V=0)
Vζ
Pour mémoire, on peut retenir les quelques ordres de grandeurs indicatifs suivants :
Vη ~ 0.95 VM
VM ~ 1.25 V
Vζ ~ 0.30 V
On estime la profondeur de submersion du filon entre 20 et 30% de la hauteur d’eau, comptée
à partir du fil d’eau, et la hauteur ζ de la couche la limite entre 1 à 3 fois le diamètre d90.
2.1.5 Rugosité
La formule de Manning-Strickler présente l’intérêt de clairement factoriser la part d’influence
due à chaque élément constitutif de la vitesse de l’écoulement : la pente motrice (i), la forme de la
section d’écoulement (Rh) et la rugosité de l’interface eau - lit (K ou n).
Ce dernier facteur concentre à lui seul toute l’attention et tout le métier de l’hydraulicien qui
utilise la formule de Strickler, car il est le seul sur lequel un choix a priori doit être fait. Plusieurs ont
tenté de donner une formule déterministe de ce coefficient en fonction de la nature du matériau
constitutif de l’interface eau - lit. Mais aucune n’a donné entière satisfaction, ne serait-ce qu’à cause de
la complexité des notions masquées derrière le terme de rugosité qui désigne, pour ce qui nous
concerne, la somme des influences de la rugosité « de peau » des matériaux constitutifs du lit (taille
des aspérités de surface), de la rugosité « de forme » de ces éléments (arrêtes vives ou non) et de la
rugosité « de morphologie » ou « d’ensemble » de l’agencement des matériaux (pavage ou dunes ou
rides). La combinaison de ces influences, évidemment très mal connue, détermine l’épaisseur de la
couche limite ζ et la vitesse Vζ correspondante, dont résulte plus ou moins directement K !
13
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L’illustration ci-dessous montre comment la rugosité « d’ensemble » peut sensiblement varier
en agençant de deux manières différentes les mêmes éléments.
•
K=
1
26
=
n d 16
90
où d90 désigne le diamètre tel que 90% en masse du matériau est de diamètre inférieur.
Evidemment, cette formule est séduisante pour le dimensionnement de canaux nouveaux dans un sol
dont on pourrait connaître la courbe granulométrique, mais elle est difficile à mettre en œuvre pour un
cours d’eau réel. De plus, on peut également trouver la même formule avec d65, défini de la même
manière que d90, selon que l’on tient compte de l’entraînement (et donc la perte) à plus ou moins long
terme des éléments fins du matériau de lit. En l’absence de toute espèce de certitude en la matière, il
est fortement recommandé de tester les deux formules pour apprécier la sensibilité de la formule dans
un cas réel. Cette formule ne considérant que la rugosité de peau du matériau, on ne s’étonnera pas
d’obtenir grâce à elle un majorant du coefficient de Strickler réel.
•
n=
1
= a (nn + n1 + n2 + n3 + n4 ) (formule de Cowan)
K
où a est le facteur de méandrisation (variant de 1 à 1.3), n0 le terme lié au matériau du lit (de
0.020 pour la terre à 0.028 pour les graviers grossiers), n1 est le terme d’irrégularité de surface (de 0
pour une paroi lisse à 0.020), n2 est le terme de variation de forme (de 0 à 0.015), n3 est le terme
représentatif des obstructions (de 0 à 0.06) et n4 est le terme lié à la végétation (de 0.005 à 0.100).
• On peut aussi se baser sur les fourchettes de valeurs issues des études de Pardé qui
établissent une typologie des cours d’eau et lui associent les valeurs de K correspondantes, ou encore
4
utiliser les tables similaires du CEMAGREF .
i
Catégories selon les études de Pradé
Petits cours d'eau de montagne à fond très irrégulier, largeur de
l'ordre de 10 à 30 mètres
Cours d'eau de montagnes larges de 30 à 50 mètres, avec pentes
supérieures à 0,002 et fond de gros graviers (par exemple 10 à 20
centimètres de diamètre pour beaucoup d'entre eux)
Rivières de largeur comparable ou supérieure, à pente comprise
entre 0,0008 et 0,002, avec fond de graviers dont le diamètre
extrême en général ne dépasse pas 10 centimètres (Rhin à Bâle)
Pente comprise entre 0,0006 et 0,0008, graviers de 4 à 8
centimètres (Rhône à Lyon)
Même pente mais cailloux plus petits (Rhône à la porte de Scex
avant le Léman)
Pente inférieure à 0,0006 et supérieure à 0,00025, cailloux très petits
ou sable (Danube à Vienne)
Cours d'eau peu turbulents, avec pentes de 0,00012 à 0,00025, fond
de sable et de boue (Seine, Saône, Rhin inférieur)
Très gros cours d'eau à très faible pente (moins de 0,00012) et fond
très lisse (Volga, Danube hongrois, Mississipi inférieur)
4
14
K (Strickler)
23 à 26
27 à 29
30 à 33
34 à 37
38 à 40
41 à 42
43 à 45
46 à 50
cf. annexe à ce sujet
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En réalité, si ces différentes approches fournissent des ordres de grandeur de K, voire des
fourchettes de valeur probable en les combinant, la meilleure méthode pour déterminer K reste
l’utilisation de données in situ de mesure simultanée de la hauteur d’eau et de la vitesse... mais qui
souffrent malgré tout des incertitudes liées aux techniques de métrologie.
Il faut retenir que plus le lit est rugueux, plus le coefficient de Strickler est petit, et plus le lit est
lisse, plus le coefficient de Strickler est grand, et que les incertitudes sur la « véritable » valeur de K
sont telles qu’il est absurde d’écrire ce coefficient avec une précision inférieure à l’unité !
Le lit d’écoulement des cours d’eau réels n’est pas toujours suffisamment homogène pour
considérer qu’une valeur unique du coefficient de Strickler permet d’en refléter fidèlement la rugosité.
On peut ainsi trouver légitime de segmenter le périmètre mouillé total p en n segments homogènes au
plan de la rugosité, de périmètre mouillé pi ∈{1;...;n} , affectés chacun d’un coefficient de Strickler
Ki ∈{1;...;n} .
La formule de Mülloffer-Einstein permet de déterminer le coefficient de Strickler K résultant de
la composition de ces rugosités :
p
K
3
2
=
∑
{ }
i ∈ 1,...,n
pi
3
Ki2
sous réserve que cette hétérogénéité ne conduit pas à des tubes de courant de vitesse
différente au sein de l’écoulement qu’ils cisailleraient, avec les pertes d’énergie que cela impliquerait.
En particulier, les écoulements débordants, qui comprennent une vitesse en lit mineur souvent très
nettement supérieure à la vitesse en lit majeur, ne rentrent pas dans le champ d’application de cette
formule. Par contre, l’influence (sur les écoulements) du remplacement d’un fruit de talus en plaques
de béton (peu rugueuses, donc de coefficient de Strickler élevé) par une berge végétalisée (plus
rugueuse, de coefficient de Strickler plus petit) peut être examinée en recourant à cette formule.
2.2 Régime graduellement varié
2.2.1 Propriétés
On considère que les paramètres hydrauliques h et V varient lentement d’une section
d’écoulement à l’autre. Dans l’axe d’écoulement (x), les dérivées secondes de ces quantités par
rapport à l’abscisse curviligne x sont quasi nulles. On peut considérer qu’entre deux section
d’écoulement suffisamment proche S(x) et S(x+dx), le régime graduellement varié est assimilable à un
régime presque uniforme pour lequel s’appliquerait la formule de Strickler, ou plutôt, une extrapolation
de cette formule.
Car au lieu de lier la vitesse moyenne à la racine de la pente du fond (i), l’astuce consiste à la
lier à la racine de la pente de charge hydraulique (j), la formule devenant alors :
 2  1 
V = K  Rh 3   j 2 
 

Lorsque le régime est uniforme, par la propriété afférente d’égalité entre j et i, on retrouve bien
l’expression établie par Strickler. Mais dans le régime graduellement varié, il est évident que la pente
de charge j ne peut plus être égale à la pente du fond i, par le fait des variations de V et h.
Cependant, les variations de V et de h ne sont pas aléatoires, puisque ces deux quantités sont
liées par une relation de charge, déjà entr’aperçue au premier chapitre de ce cours, et notamment, de
charge spécifique, dont on rappelle l’expression :
Hs = h +
V²
2g
L’analyse de cette quantité avait notamment permis d’établir l’existence d’une hauteur critique
hc telle que cette énergie spécifique soit minimum à débit fixé. Et le nombre de Froude avait été défini
comme le rapport de la vitesse moyenne par la célérité des ondes infinitésimales, valant 1 pour la
hauteur critique. On rappelle qu’on avait établi :
dH s
BQ ²
BV ²
= 1−
= 1− F²
3 = 1−
dh
gS (h)
gS (h)
15
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2.2.2 Equation de la ligne d’eau
L’équation de la ligne d’eau (fil d’eau) correspond à la fonction Z=Z(x) ou encore h=h(x) dès
lors que la cote du fond est connue. Or, Hs = H - ZF, donc :
dH s dH dZ F
=
−
= −j +i
dx
dx
dx
dH s dH s dh
dh
et
=
= (1 − F 2 )
dx
dh dx
dx
d’où l’expression des variations de la surface libre de l’eau (hors du régime critique F=1) :
dh
i− j
=
dx 1 − F 2
A partir d’une section d’écoulement de hauteur connue, on peut déduire de la formule cidessus les tendances d’évolution, et donc, pas à pas, les hauteurs d’eau voisines. En écrivant, pour un
débit donné, les expression de i et de j par la formule de Strickler, on a :
4
Q ² S ² Rh 3
i
=
j Q ² S ² R 43
n
hn
Or les fonctions S(h) et Rh(h) sont croissantes, donc
part,
1 − F ² est du signe h − hc .
i − j est du signe de h − h N . D’autre
La hauteur d’eau étant donc connue dans une section d’écoulement donnée, il est possible de
connaître la variation de hauteur de proche en proche à partir de cette hauteur connue selon sa
position par rapport aux deux hauteurs de références que sont hc et hN.
2.2.3 Courbes de remous
Dans un canal uniforme de section donnée, on peut déduire de l’équation précédemment
établie les courbes types d’un écoulement de débit donné, selon que la « position » de la hauteur
d’eau considérée en un point par rapport aux deux hauteurs caractéristiques. Ces courbes sont
appelées courbes de remous. Elles fournissent une référence de tendance des variations d’une ligne
d’eau confrontée à une perturbation qui l’écarte de la ligne d’eau normale.
Régime fluvial normal (hN > hc)
J<Jc
hn
hc
Régime torrentiel normal (hN < hc)
J>Jc
• Régime fluvial local (h > hc)
! vers l’amont, h tend à retrouver hN
! vers l’aval, si h > hN, la ligne d’eau tend vers
l’horizontale et si hN > h > hc, h tend vers hc
• Régime torrentiel local (h < hc)
! vers l’amont, h tend vers zéro
! vers l’aval, h tend vers hc
• Régime fluvial local (h > hc)
! vers l’amont, h tend vers hc
! vers l’aval, la ligne d’eau tend vers
l’horizontale
hc
hn
• Régime torrentiel local (h < hc)
! vers l’amont, si h > hN, h tend vers hc
et si h < hN, h tend vers zéro
! vers l’aval, h tend vers hN
L’analyse de ces courbes de remous montre qu’en régime fluvial local, à partir d’une hauteur h
donnée, on tend toujours à l’amont vers une valeur déterminée hN ou hc. On retrouve là le constat
16
10/09/02
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empirique de « remontée » des informations qui nous avait permis de qualifier le régime fluvial avec la
propagation des ondes infinitésimales : les équations sont, en régime fluvial local, « déterministes » de
l’aval vers l’amont, ou, autrement dit, il suffit de connaître la hauteur dans une section donnée pour
déterminer la hauteur dans les sections situées en amont. Et de fait, une perturbation de l’écoulement
à un endroit donné n’a de répercutions qu’en amont de celui-ci.
A l’inverse, en régime torrentiel local, à partir d’une hauteur h donnée, on tend vers une valeur
connue hN ou hc... vers l’aval : l’information se propage, comme les ondes infinitésimales, de l’amont
vers l’aval, et il suffit de connaître la hauteur d’eau dans une section donnée pour déterminer la
hauteur d’eau dans les sections situées en aval. Une perturbation apportée à l’écoulement n’aura de
répercussions qu’en aval de celui-ci.
Pour ces raisons, on dit que le régime fluvial est contrôlé par l’aval, tandis que le régime
torrentiel est contrôlé par l’amont. Les courbes de remous peuvent être assemblées comme un puzzle
dès lors que l’on respecte ce principe dans le sens de propagation de l’information.
2.3 Changements de régime
2.3.1 D’un régime fluvial à un autre
On peut illustrer l’utilisation simple des courbes de remous en examinant les changements de
régime. Imaginons un changement de pente (plus forte dans le tronçon aval que le tronçon amont)
dans un canal de section constante, tel que dans les deux tronçons, le régime est fluvial normal, tandis
que l’écoulement est uniforme à l’aval.
On sait donc que la hauteur d’eau à l’aval est égale à la hauteur normale hN2, déterminée à
l’aide de la formule de Strickler. Sur tout le tronçon aval, jusqu’au point précis de changement de
pente, la hauteur d’eau est donc déduite de la précédente, et égale à la hauteur normale hN2. Sur le
tronçon amont, de pente moindre, donc de hauteur normale hN1 plus haute, le régime étant fluvial, on
déduit chaque hauteur d’eau à partir de l’aval, où la hauteur est égale à hN2. La courbe de remous se
déduit donc simplement :
hN1
hc
hN2
hc
2.3.2 D’un régime torrentiel à un autre
De même, il est aisé de prévoir la courbe de remous d’un changement de pente faisant passer
d’un régime torrentiel à un autre moins rapide, par exemple, mais cette fois-ci, il nous faut postuler que
le régime uniforme est établi en amont de notre tronçon amont, section de contrôle en régime
torrentiel.
On a donc h = hN1 à la limite amont, puis on dévale le premier tronçon jusqu’au changement
de pente, à partir duquel, seulement, on ressent l’influence du ralentissement (hN2 > hN1). On rejoint hN2
selon la courbe de remous idoine.
17
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hc
hN1
hc
hN2
2.3.3 Passage du régime fluvial au régime torrentiel
Sans plus de complication, on peut mener un raisonnement similaire pour établir la courbe de
remous du passage d’un régime fluvial en amont à un régime torrentiel en aval... si ce n’est que nous
nous trouvons face à une petite subtilité en ce qui concerne la section de contrôle : il faut qu’elle soit à
l’aval du tronçon fluvial, et à l’amont du tronçon aval... c’est-à-dire exactement à la jonction entre les
deux tronçons. S’agissant d’une section de contrôle unique pour deux régimes différents, il ne peut
s’agir que de la hauteur critique hc. Cette propriété intéressante se rencontre à chaque fois qu’un
régime fluvial amont jouxte un régime torrentiel aval par une section de contrôle, ce qui est bien
pratique lorsqu’on veut mesurer un débit par exemple : il suffit d’alterner une pente douce avec une
pente raide provoquant le régime torrentiel pour mesurer à coup sûr hc au droit du changement de
pente, et en déduire Q par la formule de hc, fiable dès lors que la géométrie section est judicieusement
choisie !
hN1
hc
hc
hN2
2.3.4 Passage du régime torrentiel au régime fluvial
Ce dernier cas est le plus problématique des quatre, et il suffit d’appliquer le raisonnement des
sections de contrôle pour s’en apercevoir. Considérons un tronçon amont en régime torrentiel et un
tronçon aval en régime fluvial. La section de contrôle du tronçon amont est donc son extrémité amont,
puisqu’on est en régime torrentiel, où la hauteur (régime uniforme) est hN1. La section de contrôle du
tronçon aval est son extrémité aval, puisqu’on est en régime fluvial, où la hauteur (régime uniforme)
est hN2. On peut donc dévaler la courbe de remous à partir de la section amont du tronçon amont, et
remonter cette même courbe de remous depuis la section aval. Mais puisqu’on est en régime torrentiel
normal à l’amont, l’influence du changement de pente ne se fait pas sentir tant qu’on n’atteint pas
exactement cette section, et de même, en régime fluvial normal à l’aval, le changement de pente n’a
pas d’influence sur tout le tronçon aval, ce qui implique qu’en dévalant à hN1 depuis l’amont, et en
18
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remontant à hN2 depuis l’aval, on se trouve directement, dans la section de changement de pente, avec
une hauteur d’eau qui peut être hN1 dans la section immédiatement voisine à l’amont, et hN2 dans la
section immédiatement voisine à l’aval ! Or, hN1 et hN2 sont de part et d’autre de hc... nous voici avec
deux hauteurs possibles en une même section !
En réalité, pour assurer cette transition brutale entre le régime torrentiel et le régime fluvial, la
nature se ménage une zone de forte agitation dans laquelle le niveau de l’eau se surélève
brusquement dans un rouleau d’eau où il n’est pas possible de déterminer, à un instant donné, si la
ligne d’eau se trouve à la hauteur fluviale ou torrentielle.
hc
hN1
h2
hN2
h1
Cette zone de transition du régime torrentiel au régime fluvial s’appelle ressaut hydraulique, et
rien d’autre ne porte un tel nom.
Selon l’intensité de l’écoulement torrentiel, la masse d’eau lente du régime fluvial est
repoussée plus ou moins loin vers l’aval, allant éventuellement jusqu'à faire commencer le ressaut
après la ligne de changement de pente. Mais s’il est de faible intensité, le régime fluvial peut occuper
tout le tronçon aval et noyer une partie du tronçon amont.
On appelle hauteurs conjuguées h1 et h2 les hauteurs à l’amont et à l’aval du ressaut
hydraulique.
Le théorème d’Euler permet d’établir la relation entre h1 et h2 pour un ressaut donné. Il fait
intervenir les paramètres θ1 et θ2, qui sont les ratios de hauteur correspondant au centre de gravité y1
et y2 des sections mouillées S1 et S2 encadrant le ressaut : y1 = θ1 h1.
F1 désignant le nombre de Froude dans la section S1, on a :
θ2

S 2 h2
S 
− θ1 = F1 ² 1 − 1 
S1 h1
S2 

Dans le cas d’une section rectangulaire, θ1= θ2= 0.5 et
[
S 2 h2 h2 1
= − 1 + 1 + 8 F1 ²
=
:
S1 h1 h1 2
]
Il s’agit alors de faire coïncider h1 avec la hauteur en amont du ressaut ou h2 avec la hauteur
en aval du ressaut pour déterminer longueur et noyage du ressaut. Des dispositifs d’amortissement
peuvent être mis en place, largement développés dans la littérature technique.
Outre l’indétermination de la hauteur d’eau dans le ressaut hydraulique, le passage du régime
torrentiel au régime fluvial présente une autre caractéristique intéressante. Autant les trois cas
précédents présentaient une continuité physique au droit du changement de régime, autant le ressaut
hydraulique est le siège d’une forte dissipation d’énergie ponctuelle. Son expression découle
directement des considérations de hauteurs conjuguées :
V ²
 V ²

∆H ressaut =  1 + h1  −  2 + h2 
 2g
  2g

Contrairement aux pertes de charge par frottement, qu’on a vues régulières, linéaires et
continues, le ressaut occasionne un « décrochage » de la ligne de charge, qui supprime de facto une
fraction de son énergie à l’écoulement. Ce sera notre premier exemple de perte de charge singulière.
19
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3. Pertes de charge singulières
3.1 Pertes de charge de type Borda
3.1.1 Ecoulements en charge
Nous avons vu qu’il existait deux catégories de pertes de charge : les pertes de charge
linéaires, liées au frottement, et les pertes de charge singulières qui affectent la charge hydraulique en
un endroit donné. Cette notion a été mise en évidence pour les écoulements en charge, où elle joue un
rôle très néfaste dans la capacité de transport des fluides en réduisant l’efficacité et le rendement des
dispositifs de mise en mouvement de ces fluides, et les capacités d’évacuation d’une conduite donnée,
impliquant donc un surdimensionnement ici de la hauteur de relevage des stations de pompage, là des
sections d’écoulement nécessaires pour évacuer les débits idoines.
Ainsi, lorsqu’une singularité se présente dans la géométrie d’une conduite en charge, elle fait
chuter la charge hydraulique dans la section immédiatement voisine, dans le sens de la propagation
des informations hydrauliques. Son influence est donc ponctuelle et durable.
Perte de charge linéaire
Perte de charge singulière
Ligne de charge
Ligne piézométrique
Physiquement, cette perte de charge provient du fait que la veine liquide se décolle d’une
géométrie aux variations trop brusques, entraînant la neutralisation de la zone comprise entre la veine
liquide décollée et la veine solide de la géométrie, et l’augmentation locale de la turbulence par
resserrement des filets liquides.
L’hydraulicien Borda établit, à l’aide du théorème de quantité de mouvement, l’expression
explicite de cette perte de charge pour un élargissement brusque, qui fut adoptée pour toutes les
pertes de charges singulières en écoulement en charge, dite formule de Borda :
V ²
∆H = ξ ⋅  1 
 2g 
où V1 est la vitesse à l’amont de la singularité et ξ un paramètre dépendant de la forme et de la
rugosité de la singularité, et de la turbulence de l’écoulement (nombre de Reynolds), nommé
coefficient de perte de charge singulière..
L’hydraulicien russe Idel’cik dressa les tables de référence de détermination de ce coefficient
de perte de charge pour les principaux types de singularités : orifice d’entrée ou de prise d’eau,
élargissements brusques, diaphragmes, diffuseurs, coudes, branchements, grilles, vannes, clapets,
joints, saillies, entretoises, orifice de rejet d’eau et appareils hydrauliques.
3.1.2 Singularités dans les écoulements à surface libre
Il était séduisant de transposer cette importante littérature technique pour les écoulements en
rivière, mais les singularités ne produisent pas en surface libre les mêmes perturbations que dans les
écoulements en charge.
Ainsi, la singularité génère une perte de charge singulière qui, au lieu d’abaisser brusquement
la ligne de charge, produit ses effets sur une zone d’influence étendue, répartissant la perte de charge
20
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singulière de part et d’autre de l’obstacle. Mais loin en amont et loin en aval, à moins d’une dissipation
d’énergie de type ressaut hydraulique, l’écoulement retrouve ses caractéristiques énergétiques comme
s’il n’y avait pas de singularité.
Pour une singularité donnée, on peut donc estimer la perte de charge singulière associée, qui
provoquera un remous en amont (en régime fluvial) ou en aval (en régime torrentiel) sur une certaine
longueur d’amortissement. Compte tenu de la difficulté de calculer précisément ces courbes de
remous dans un cas de rivière réel, on conçoit facilement les limites d’une méthode à tâtonnements
successifs pour déterminer la bonne perte de charge singulière.
Longueur d’amortissement
Aussi, faute de mieux, la pratique consiste à faire appel à une formulation de la perte de
charge singulière extrapolée de la formule de Borda :
∆H = ξ
(V1 − V2 )²
2g
en déterminant ξ par les abaques des écoulements en charge en première approximation, puis
en ajustant ce paramètre dans la mesure du possible.
La formulation de Borda pour les pertes de charge singulières en cours d’eau reste un pisaller, auquel il ne faut avoir recours qu’avec prudence et parcimonie, à défaut de disposer d’une
formulation mieux adaptée dans la bibliographie.
Nous présentons ci-après trois cas pour lesquels la perte de charge singulière dans un
écoulement en rivière a été déterminée.
3.2 Pertes de charge liées aux piles en rivières en régime fluvial
3.2.1 Phénomènes considérés
La présence d’un ouvrage maçonné de type pile de pont ou de barrage dans le lit mineur d’un
cours d’eau prive ponctuellement la section d’écoulement d’une fraction de surface mouillée,
occasionnant un rétrécissement générateur de remous, puis, dans la foulée, un retour à la section
d’écoulement nominale par un élargissement plus ou moins brutal, générateur de perte de charge
singulière à la Borda.
21
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On s’intéresse ici à la perte de charge, autrement dit, au remous d’exhaussement, en amont
des piles qui augmente la valeur moyenne de la hauteur d’eau au-dessus de la hauteur normale. Il ne
s’agit donc pas d’apprécier la hauteur du bourrelet d’eau local qui se forme sur la face amont des piles,
et qui est sensiblement plus haut que le remous d’exhaussement moyen.
Pour simplifier le raisonnement, on ramène l’analyse de l’écoulement au droit des piles à la
section médiane, pour laquelle les hauteurs caractéristiques sont notées h’N et h’c. Il va de soi que, le
débit restant inchangé au franchissement de la singularité, et les piles occasionnant nécessairement
un rétrécissement, d’une part hN < h’N, et d’autre part, hc < h’c.
La vraie question qui se pose lorsqu’on applique le raisonnement des courbes de remous est
de savoir si HN est supérieur ou inférieur à H’c : dans le premier cas, on dit que le régime est noyé (le
niveau en aval de l’obstacle influence le niveau à l’amont de l’obstacle), dans le second, le régime est
dénoyé (le niveau amont s’établit sans aucune influence du niveau aval, par rupture de la propagation
d’information de l’aval vers l’amont).
hN
h’c
hc
h’N
hN
h’N
h’c
hc
hN
hN
hc
hc
3.2.2 Détermination de l’exhaussement maximal
On appelle B0 (où L) la largeur au miroir du régime normal en amont de la singularité. Cg et Cd
sont les largeurs d’empiétement de la largeur au miroir respectivement par les culées de droite et de
gauche lorsqu’elles existent. B désignera la largeur au miroir dans la section rétrécie entre culées sans
tenir compte des piles, et on aura donc : B0 = L = B + Cg + Cd. La largeur d’empiétement dans la
ème
pile (1 ≤ i ≤ n), est notée Di, et la largeur
section en travers de l’écoulement, due à la i
d’encombrement total des piles est notée D :
D=
∑D
1≤i ≤ n
i
Cg
B0
ou L
hN (Q)
B
Cd
D
Cg
B
Cd
B0 ou L
D
22
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Le coefficient de contraction (due aux culées) noté M désigne le rapport B/L ou B/B0. Le
coefficient d’obstruction (due aux piles) noté J désigne le rapport D/B. Le coefficient d’excentricité (due
aux culées) noté e désigne la valeur absolue du rapport (Cg-Cd)/max(Cg,Cd).
Pour un ouvrage biais dans l’écoulement, on rapporte toutes les largeurs caractéristiques à
leur projection sur la section orthogonale à l’axe de l’écoulement principal, pour refléter les largeurs
« apparentes » selon l’axe d’écoulement.
On dispose de deux méthodes pour calculer l’exhaussement maximal à l’amont des piles.
• La méthode de Bradley propose une formulation (désormais familière) de type Borda :
∆h = K * .
Va ²
2g
où Va désigne la vitesse moyenne de l’écoulement dans la section rétrécie sous la hauteur hN
(comme s’il n’y avait pas de rétrécissement, ni de pile...),
c’est-à-dire :
Va =
Q
B. h N
5
et K* est un coefficient déterminé à l’aide des abaques de Bradley comme somme de termes :
K = Kb + ∆K p + ∆K e
*
Kb tenant compte de la contraction latérale M, de la forme des culées et de l’ouverture de
l’ouvrage B ; ∆Kp tenant compte de l’obstruction J due aux piles, de la forme des piles et du rapport de
contraction M ; ∆Ke de la contraction M et de l’excentricité e.
• Une autre formule a été proposée par Rehbock, avec le mérite de faire appel à moins de
paramètres :

V ²  V ²
∆h = µ R − σ .( µ R − 1) . (0.4.σ + σ 2 + 9σ 4 ).  1 + 2  .  2 
gh N   2 g 

[
]
où σ est le taux de réduction global de la section due aux culées et aux piles :
σ=
B−D B−D
=
B0
L
dans le cas schématique, ou, plus généralement, le rapport entre la surface mouillée normale
avec aménagement sur la section mouillée normale avant aménagement ;
6
µR est un coefficient caractéristique de forme des piles, fourni par des abaques
et V2 est la vitesse aval sous la hauteur normale
V2 =
Q
.
B0 hN
Le principe de ces équations reste applicable si le régime est graduellement varié, en
assimilant hN à la hauteur de tirant d’eau avant aménagement.
3.2.3 Problématique en lits composés
Tant que l’écoulement est cantonné en lit simple, les méthodes proposées permettent d’avoir
une assez bonne idée du remous d’exhaussement lié aux piles de l’ouvrage étudié. Les choses se
compliquent nettement si l’écoulement est débordant et occupe deux lits dans le régime normal ou
avant aménagement. En effet, l’exhaussement de la ligne d’eau en amont de l’ouvrage augmente
localement la pente hydraulique dans le lit mineur et le lit majeur, ce dernier pouvant éventuellement
opposer moins de résistance à l’avancement liquide que le premier, et donc, capter une fraction plus
importante de débit. La détermination de l’équilibre de répartition des débits entre les deux lits est la
clef du calcul de remous d’exhaussement en lits composés.
On applique donc la formule de Bradley à chacun des deux lits selon le paramètre α de
transfert de débit du lit majeur vers le lit mineur (+αQmaj dans le lit mineur, -αQmaj dans le lit majeur).
On a donc, après aménagement, Q1 = Qmin + αQmaj dans le lit mineur et Q2 = (1-α) Qmaj dans le
lit majeur. Le calcul des rapports de contraction devra tenir compte de ces transferts de débits, de la
manière suivante :
5
6
23
cf. annexe à ce sujet
cf. annexe à ce sujet
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Section avant aménagement
Section après aménagement
hN maj
Qmin
h min
hN min
Q1
Cgmaj Bmaj
Cgmin
Lmin
h maj
Q2
Qmaj
Lmaj
D
Cdmin
Bmin
Lmin
Lit mineur
Qmin
Bmin
M min =
Qmin + α . Qmaj Lmin
D
J min =
Bmin
Qmin + α . Qmaj
Va min =
hN min . Bmin
V²
hmin = h N min + K * min . a min
2g
Il suffit alors de chercher α tel que :
Cdmaj
Lmaj
Lit majeur
Qmaj
M maj =
Bmaj
(1 − α ). Qmaj Lmaj
J maj = 0
Vamaj =
(1 − α ). Qmaj
h Nmaj . Bmaj
hmaj = hNmaj + K * maj .
V ² amaj
2g
hmin − h N min = hmaj − h Nmaj .
Cette extension directe de la formulation en lit simple ne reste valable que si les écoulements
transversaux aux lits mineur et majeur sont limités, et si le lit majeur n’est pas trop étendu. Elle permet
notamment de dimensionner les ouvrages de décharge en lit majeur nécessaires pour rendre un
remblai d’accès à un ouvrage d’art traversant une vallée inondable, aussi transparent que possible sur
le plan hydraulique.
Pour en terminer avec les pertes de charge liées aux piles en rivière, on signalera simplement
la schématisation de ces formulations, qui les rend d’autant plus difficilement applicables que les
formes de lit mineur et majeur s’éloignent du bien commode rectangle ! Et quand bien même, les
incertitudes de lecture des abaques couplées aux imprécisions des formulations expérimentales
conduisent à prendre du recul par rapport aux résultats obtenus pour le remous d’exhaussement. S’ils
sont pertinents comme ordre de grandeur réaliste de ce remous, ils doivent être complétés, pour les
infrastructures traversant des vallées importantes, par des essais sur modèle réduit par exemple pour
affiner ces impacts.
Enfin, on remarquera que si les formules permettent d’estimer la perte de charge singulière, la
longueur d’amortissement du remous, elle, ne pourra généralement découler que d’une modélisation
hydraulique.
24
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3.3 Pertes de charge liées aux seuils
3.3.1 Phénomènes considérés
On désigne sous le nom de seuil une surélévation franche et artificielle du fond d’un cours
d’eau. Ce type de contraction de section d’écoulement peut être rencontré indifféremment en régime
fluvial ou torrentiel, avec des effets visibles sur la ligne d’eau tout à fait contraires. A titre d’illustration,
l’application des raisonnements de remous fournit quatre grands types d’influence d’un seuil en rivière,
selon que HN est supérieur ou non à H’c dans la section du seuil.
Régime fluvial normal
HN > H’c
HN < H’c
Régime torrentiel normal
HN > H’c
HN < H’c
Les deux cas de régime torrentiel normal sont l’un relativement inintéressant en pratique (la
surélévation du niveau étant modeste et circonscrite strictement à la zone de l’ouvrage lui-même), et
l’autre déjà abordé dans ce cours, puisqu’il s’agit d’un ressaut hydraulique dont nous avons établi les
hauteurs conjuguées et la dissipation d’énergie. Ce dernier cas est mis en pratique dans les ouvrages
de dissipation d’énergie en aval des ouvrages générant de fortes vitesses d’écoulement nuisibles à la
sécurité des biens et des personnes.
Par contre, dans le cas du régime fluvial normal, le seuil a une influence sur toute une zone en
amont de la singularité, traduite par une surélévation du niveau d’eau, ou encore un exhaussement, ou
encore une perte de charge singulière. Nous nous concentrerons ici sur la détermination de cette perte
de charge singulière en régime fluvial normal.
3.3.2 Principe du débit maximum et formule de Bazin
Imaginons une rivière dont la charge à l’amont d’un seuil serait connue et fixée, mais dont
nous modifierions à notre guise la charge à l’aval de ce seuil. On peut imaginer que le niveau amont
est un réservoir suffisamment grand pour que le niveau reste sensiblement constant pendant la durée
de l’expérience, tandis que le niveau aval est une vidange que nous contrôlons par le niveau. Il est
facile de visualiser les différentes configurations types de cet abaissement, numérotées de 1 à 5.
1
La cinquième courbe traduit un
2
changement considérable par rapport aux
3
quatre précédentes : la lame d’eau sur le seuil,
4
5
dont on comprend bien qu’elle s’amenuise au
fur et à mesure, est alors éjectée dans le vide
en une nappe libre sans autre contrainte que la
pesanteur et le frottement de l’air.
25
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Ces deux contraintes n’ayant aucune variation notable si on continue d’abaisser le niveau à
l’aval, on n’a aucun mal à considérer que la nappe libre franchissant le seuil n’est pas plus influencée
par le niveau aval : on retrouve le concept de dénoyage de la singularité : le niveau aval n’influence
plus les conditions d’écoulements sur l’ouvrage.
7
De même, on a vu que le débit à rayon hydraulique fixé était une fonction croissante de la
pente hydraulique, laquelle, le niveau aval s’abaissant à niveau amont constant, tend donc à
augmenter progressivement entre les états 1 à 4. On a donc Q1 < Q2 < Q3 < Q4. Mais, considérant que
la lame d’eau s’écoule de manière similaire quel que soit le niveau aval en-dessous du cas n°5, on sait
que le débit a atteint une valeur maximum entre les cas n°4 et 5. Et comme on passe d’un régime
fluvial à un régime dénoyé au droit du seuil, on sait que la hauteur de la lame d’eau sur le seuil, pour le
cas n°5, est la hauteur critique.
On retrouve ainsi ce que
nous
permettait
de
prédire
h
mathématiquement l’examen de la
courbe Q = f (h) à Hs constant :
pour une charge spécifique amont
hc
donnée, le débit évacué par une
section atteint un maximum, pour la
hauteur critique hc.
Q
On peut considérer que la charge H0 en amont du seuil comptée à partir du sommet de la
crête est égale à la charge spécifique de la lame d’eau au droit du seuil en l’absence de pente
géométrique et de perte de charge singulière de dissipation, donc Hs = H0 = Hc, donc
H 0 = hc +
Vc 2
gh
3
= hc + c = hc
2g
2g 2
En régime dénoyé, pour un seuil de section rectangulaire de largeur B, on peut donc écrire :
Qdénoyé = Vc . S c =
ghc . Bhc =
Qdénoyé = 0.385. B. 2 g . H
2
3 3
3
B 2 g . H 0 2 plus familière sous la forme dite de Bazin :
3
02
Il suffit alors d’inverser ce raisonnement pour trouver la charge H0 nécessaire, en régime
dénoyé, pour faire passer le débit Q donné.
3.3.3 Détermination des conditions d’écoulements sur les seuils
Nous avons raisonné en fixant les hauteurs à l’amont et à l’aval pour déterminer le débit
correspondant sur le seuil. Mais la plupart du temps, on considère plutôt un débit qui doit franchir un
seuil, et on détermine la perte de charge en calculant, à l’aide des formules idoines, la hauteur amont
nécessaire pour ce faire. Fixons le débit et examinons l’influence de la hauteur aval sur la charge.
Lorsque la charge à l’aval immédiat du seuil dépasse une certaine valeur, elle influence
l’écoulement en le ralentissant, et, pour un débit donné, provoque une surélévation « supplémentaire »
de la charge à l’amont du seuil. Cet état est dit noyé.
La transition entre dénoyage et noyage du seuil est
L
très importante pour la capacité d’évacuation de débit, car à
débit identique, la charge amont, et pratiquement, la hauteur
amont, peut être augmentée de manière conséquente,
engendrant une forte hausse de la perte de charge, sur une
y1
grande longueur en amont.
La frontière est instable et sensible. La démarche de
y2
détermination des conditions d’écoulement sur un seuil doit p
être scrupuleusement suivie pour éviter toute erreur dont les
conséquences peuvent être sérieuses.
C
7
26
au paragraphe : Formules empiriques page 11
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a) Niveau de référence des charges hydrauliques : les hauteurs hydrauliques (y1 et y2) les
charges hydrauliques sont comptabilisées au-dessus de la cote du sommet de la crête du seuil, de
même que la charge amont (Y1=y1+(V1²/(2g))) et la charge aval (Y2=y2+(V2²/(2g))). Le volume de fluide
devant la pelle du seuil, notée p et exprimée en mètres, ne participe pas à l’écoulement qui franchit
l’obstacle. On a donc : hi = p + yi et Hi = p + Yi.
b) Epaisseur du seuil au regard de l’écoulement : pour franchir le seuil, l’écoulement tend
vers des conditions hydrauliques « forcées » (hauteur critique notamment) si la longueur de l’obstacle
dans le sens de l’écoulement, autrement appelée épaisseur de crête C, est suffisante pour permettre
l’établissement de ce régime. Si tel est le cas, le seuil est dit épais au regard de l’écoulement, et dans
le cas contraire, il est dit mince.
Le critère de caractérisation du type « seuil mince » ou « seuil épais » est basé sur la
longueur de crête C et sur la charge amont Y1.
Y1
2
2Y1
C>
3
C<
seuil mince
seuil épais
Ce critère d’apparence simple nécessite toutefois certaines précautions d’emploi. En effet, la
plupart du temps, la charge amont Y1 est inconnue, c’est même précisément l’élément qu’on cherche à
déterminer. Il faut donc faire une hypothèse a priori sur l’ordre de grandeur de la charge qu’on peut
attendre à l’amont, mener la suite du calcul et vérifier la validité de l’hypothèse retenue. En général, on
peut considérer que Y1 sera comprise entre YN et YN+p (où YN désigne la charge normale amont sans
l’obstacle... comptée au-dessus de la pelle p).
D’autre part, il est difficile de statuer a priori sur le comportement du seuil si sa crête C est
comprise entre 0.5 Y1 et 1.5 Y1. Il faudra alors mener les deux calculs, en seuil mince et en seuil épais,
pour balayer l’intervalle de perte de charge plausible, et appliquer en tant que de besoin les principes
de précaution et marge de sécurité.
c) Noyage - dénoyage de l’écoulement : on rappelle que l’écoulement est dit dénoyé si la
charge aval n’influence pas la charge amont, et noyé si la charge aval influence la charge amont. Le
critère de distinction dépend de l’épaisseur du seuil au regard de l’écoulement, d’où l’importance
d’effectuer d’abord cette caractérisation pour appliquer le bon critère de noyage - dénoyage.
Y1
y2 < 0
mince y2 > 0
Y2
< 0.66
Seuil Y1
Seuil
épais
Y2
> 0.82
Y1
y2
écoulement dénoyé
écoulement noyé
C
écoulement dénoyé
Y1
Y2
écoulement noyé
C
En cas d’incertitude sur le critère de noyage, il est recommandé de mener les deux calculs
(noyé et dénoyé) et de prendre les précautions idoines. Il est à noter qu’un bon dimensionnement de
seuil en rivière devrait faire en sorte que, pour les écoulements dimensionnant ou de projet, le seuil ait
un comportement hydraulique stable.
d) Coefficient de débit du seuil : on désigne usuellement par µ le coefficient de débit
représentatif de la géométrie de la section d’écoulement d’un seuil pour l’écoulement dénoyé. La
détermination de ce coefficient fait l’objet d’une littérature abondante pour balayer les nombreuses
géométries usitées (rectangle, triangle, arrondi, biais, etc).
27
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e) Débit dénoyé : dans la grande majorité des cas, µ sert à déterminer le débit dénoyé selon
une formule du type :
3
Qdénoyé = µ . L. 2 g .Y1 2
Pour les seuils épais rectangulaires, la formule de Bazin donne µ = 0.385. Pour un seuil mince
rectangulaire, on retiendra la valeur indicative de µ = 0.43.
ebis) Débit noyé : d’une manière générale, on retiendra de l’examen de la littérature technique
le fait que la prise en compte du noyage du seuil se fait soit par la multiplication du débit dénoyé par un
coefficient modérateur pour les seuils minces, soit par la réduction plus complexe de la charge
« motrice » amont par la charge aval « freinage » :
3
Qnoyé = K noyage . Qdénoyé = K noyage µ. L. 2 g .Y1 2
pour les seuils minces
pour les seuils épais
Qnoyé = µ. L. y 2 . 2 g (Y1 − y 2 )
3.4 Pertes de charge liées à la morphologie
3.4.1 Méandres, virages
Bien que l’hypothèse d’horizontalité de la ligne d’eau dans un profil en travers orthogonal à
l’axe d’écoulement principal soit généralement vérifiée, les quelques cas où elle ne l’est pas méritent
d’être signalés et examinés, afin de tordre le cou au réflexe quasi généralisé de recours à des modèles
complexes dès qu’un problème de ce type se présente.
Un écoulement qui aborde un virage voit ses lignes de courant amorcer des trajectoires
hélicoïdales plus ou moins amples selon la courbure du lit, le courant de surface tendant à rouler sous
le courant du fond et vice versa jusqu'à la sortie du virage. Le cheminement hydraulique des molécules
de fluide est donc rallongé, et par conséquent, la perte de charge par frottement également. Certains
auteurs proposent une diminution du coefficient de Strickler de 5 à 20% selon la courbure du virage,
dans tout le virage, pour tenir compte de ce ralentissement. Mais on peut également considérer une
perte de charge singulière soit dans la section amont (régime fluvial) soit dans la section aval (régime
torrentiel) bornant le virage, de sorte que les considérations de remous propagent cet exhaussement
maximal.
∆h
A
θ
A
B
C
r
∆h
A
B
C
B
C
La formulation (classique) de cette perte de charge singulière est de type Borda, avec un
coefficient de perte de charge calculé en fonction du rayon moyen du virage, de la largeur au miroir B,
de la hauteur normale et de l’angle balayé par le virage. Pour les canaux et cours d’eau, K peut
28
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prendre des valeurs comprises entre 0 et 0.5-1.0. Dans ces conditions, il va de soi que seuls les
écoulements rapides peuvent subir une perte de charge de virage significative. L’analyse des
graphiques d’abaques montre que les pertes de charge dans les courbes sont négligeables pour θ<45°
et r>2B.
Les abaques fournissant les valeurs du coefficient de perte de charge singulière sont issues
de l’expérience, et si elles ne sont pas la panacée universelle, et ne se substituent pas aux études sur
modèle réduit lorsque les enjeux le justifient, elles permettent toutefois de traiter simplement les cas
de virages prononcés en rivière sans qu’une modélisation mathématique 2D ou 3D soit nécessaire.
En plus de cet exhaussement de la ligne de charge et de la surface libre moyenne dans le
virage, l'écoulement peut prendre un dévers dans son profil en travers par l’action des forces
centrifuges.
∆Z
h
Ce dévers a pour expression simplifiée :
∆Z =
V ². B
où r est le rayon moyen du virage, B la largeur au miroir, V la vitesse moyenne.
2 g. r
Il n’est pas toujours pertinent de considérer ce genre de méandres comme simple ajout de
pertes de charge singulières sur une analyse de profil en long de ligne d’eau. Il peut arriver que les
échanges entre lit mineur et lit majeur deviennent prépondérants, ou que le méandre soit court-circuité
en forte crue. Les méthodes de modélisation de ce genre de phénomènes hydrauliques, entre casier
et modélisation 2D voire 3D, relèvent encore du domaine de la recherche, tant les courants
secondaires qui dissipent de l’énergie dans des cellules tourbillonnaires incluse dans les écoulements
principaux sont difficiles à prédire, à simuler et à prendre en compte explicitement. Il est heureusement
assez rare que les études hydrauliques à mener aient à pâtir d’une telle « imprécision d’indécision »
technique dans ces zones particulières.
3.4.2 Confluences
La rencontre de deux écoulements distincts dans une confluence génère une perturbation des
lignes de courant : d’une part, l’éventuel rétrécissement relatif de la section totale d’écoulement dans le
défluent par rapport à la somme des surfaces mouillées des affluents freine ces derniers ; d’autre part,
la prépondérance de l’un des affluents sur l’autre génère un « enfoncement » des lignes de courant du
plus faible et un décollement de celle du plus fort, répartissant la perte de charge globale en défaveur
de l’affluent le plus faible.
Ces pertes de charge ont fait l’objet de nombreuses recherches pour les écoulements en
charge, mais aussi pour les écoulements à surface libre, dans le cas de canaux rectangulaires.
Les abaques résultantes se basent sur
l’utilisation des termes Qp/Ql , e/Lp , Ll/Lp où:
• l’élargissement (e) amont aval de la rivière
principale
• la largeur (Lp) du bras principal amont
• la largeur (Ll) du bras latéral
• le débit (Qp) dans le bras principal amont
• le débit (Ql) dans le bras latéral
• l’angle (α) de confluence
pour fixer un coefficient de perte de charge K .
Ql
Ll
Affluent secondaire
Lp
α
Qp
Affluent principal
Qp+Ql
Confluent
e
Les confluences sont toutefois plus complexes que les autres types de singularités, et il faut se
garder des raisonnements à l’emporte pièce sur le sujet. Ainsi, lorsque les flux incidents des affluents
sont de débit comparable, et que l’angle de confluence est relativement modeste (30° et moins), les
quantités de mouvement des écoulements peuvent propulser l’écoulement du défluent, le coefficient
29
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de perte de charge résultant étant alors... négatif (provoquant un abaissement de ligne d’eau plutôt
qu’un remous d’exhaussement, et une accélération)! D’autre part, un écoulement très faible dans l’un
des affluents ne signifie pas qu’aucune gêne n’est occasionnée à la confluence : l’élargissement
brusque, puis le rétrécissement qui lui répond quelques mètres plus loin, sont source d’une perte de
charge pour l’affluent principal. On retiendra comme ordre de grandeur un coefficient de perte de
charge singulière de l’ordre de 0.1 lorsque l’un des affluents est de débit quasi nul, et entre 0.3 et 0.7
pour les angles compris entre 30 et 80° avec des débits sensiblement distincts.
Les choses se compliquent encore lorsque la confluence déborde. Là encore, les pires
conséquences ne sont pas à attendre pour des débits sensiblement égaux en lit majeur « mitoyen »,
car les deux écoulements ont tendance à « s’épauler » et à se guider dans une même direction vers le
défluent. Par contre, il faut redouter les écoulements en lit majeur qui transfèrent des quantités parfois
importantes d’eau de l’affluent dominant le lit majeur de la confluence vers l’affluent qui subit la
confluence pour sa partie de lit majeur. Une bonne analyse de confluence dans le cas d’un
débordement en lit(s) majeur(s) se doit donc d’apprécier d’une part l’impact de crues comparables sur
les affluents, et d’autre part, les effets d’un déséquilibre de débit en faveur de l’un, puis de l’autre
affluent.
Illustration - transferts d’eau dans le confluent Aisne - Oise et impact d’un aménagement dans
cette zone, pour des crues concomitantes : à gauche, les grosses flèches indiquent les courants de
transfert entre les deux affluents au sein de la confluence ; à droite, un remblai projeté dans la
confluence (en traits discontinus) bloque ces transferts et perturbe sérieusement les champs de
vitesse (visualisés par les petites flèches colorées).
30
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4. Notions simplifiées de sédimentologie
4.1 Mécanismes d’arrachement des matériaux
4.1.1 Interactions hydrodynamiques
Nous avons déjà évoqué le cas d’une pile d’ouvrage en rivière, dont la présence induit une
surélévation du niveau en amont, ou remous d’exhaussement, d’autant plus important que la section
occupée par le génie civil est grande, mais aussi, à section d’obstruction donnée, que la forme des
piles est anguleuse ou asymétrique. La matérialisation des lignes de courant nous montre l’existence
d’une zone localement plus fortement perturbée, autour de la pile, dont nous allons préciser la nature.
Les lignes de courant incidentes dont la trajectoire non perturbée tendrait à traverser la zone
occupée par l’obstacle sont contraintes de contourner cette zone en en épousant le contour, puis, à
retrouver la trajectoire non perturbée à l’aval de l’obstacle. Pour ce faire, la courbure du fluide mu par
une certaine vitesse localement accélérée du fait du rétrécissement de section mouillée, ne parvient
pas toujours à épouser le contour aval de l’obstacle : il y a alors décollement de la veine liquide qui
délimite une zone de recirculation (ou d’ombre hydraulique) et de courants secondaires dissipateurs
d’énergie.
L’obstacle est alors soumis à un gradient de pression de part et d’autre de la zone perturbée,
ainsi qu’à une force de frottement lié à la viscosité de l’eau et à la rugosité du génie civil. Cette
dernière force est souvent négligée au profit de la première, et on synthétise la résultante des forces
de traînée qui s’applique à l’obstacle dans le sens de la vitesse moyenne de l’écoulement sous la
forme :
F=
1
ρ .V ². A. C x
2
où A désigne le maître couple de l’obstacle dans la direction principale de l’écoulement et Cx
désigne, selon la notation empruntée à l’aérodynamique, le coefficient de traînée intégrant la forme de
l’obstacle et la turbulence de l’écoulement, combinées dans l’analyse du sillage et de sa stabilité.
La détermination de ce coefficient est la clef de la force de traînée. Elle nécessite souvent le
recours à des essais physiques pour une bonne précision, mais on peut se contenter de quelques
valeurs typiques résultant d’essais menés par White et publiés en 1994. On y constate que le
coefficient de traînée maximum (~2) est obtenu pour une pile carrée présentant l’une de ses face
frontalement à l’écoulement. La même pile tournée de 45° pour présenter l’un de ses coins à
l’écoulement voit son coefficient de traînée réduit à 1.6, soit 20% de moins.
L’allongement de la dimension dans la direction principale de l’écoulement tend à régulariser
l’écoulement dans le sillage et à limiter le gradient de pression, de même que des formes d’obstacle
de trace quadratique respectent mieux la courbure des trajectoires de fluide et contribuent à réduire le
coefficient de traînée. On retient ainsi comme ordre de grandeur un coefficient égal à 1 environ pour
une forme anguleuse dont la longueur dans le sens de l’écoulement est de l’ordre de quatre à six fois
la largeur, tombant à 0.3 pour une forme elliptique de mêmes proportions pour les axes.
31
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4.1.2 Condition de frottement glissement
Nous avons jusqu’ici considéré que le lit était fixe pour les écoulements hydrauliques.
Toutefois, l’examen de la notion de rugosité présente un lit rugueux constitué de matériaux
éventuellement libres de quitter le périmètre mouillé ou d’être arrachés par la force du courant. Si le lit
est constitué de matériaux non cohésifs, il est possible de préciser les lois de leur entraînement dans
le courant.
Les forces qui s’exercent sur le matériau sont son poids propre déjaugé (poids saturé diminué
du poids d’un même volume d’eau, selon le principe d’Archimède), et la force exercée par le courant
décomposée en une composante de force tractrice Fa exercée parallèlement au fond et une
composante de force de sustentation Fs exercée orthogonalement au fond.
Fs
Fa
G’
i
L’entraînement du matériau correspond à une condition classique de frottement / glissement :
Ft ≥ Fn .tan ψ , où ψ désigne l’angle de frottement interne des matériaux (usuellement égal
au fruit du talus constitué par ce matériau à l’équilibre), Ft la résultante tangentielle au fond des actions
extérieures, Fn la résultante perpendiculaire au fond de ces actions extérieures.
En exprimant les diverses forces dans le repère (tangentiel, normal) au fond, on a :
Vf ²

C
.
K
.
d
².
ρ
.

a
a
r 
2
F=
C . K . d ². ρ. V f ²
 s s
2
r  K .(ω − ω eau ). d 3 .sin i
G=
− K .(ω − ω eau ). d 3 .cos i
avec Ca, Cs les coefficients de traction et de sustentation liés au champ de courant, Ka et Ks les
coefficients de forme de la particule par rapport à ces deux directions, d le diamètre moyen de la
particule considérée, ρ la masse volumique de l’eau, Vf la vitesse au fond, K un facteur de forme de la
particule, ϖ le poids spécifique du volume considéré.
La condition de frottement / glissement s’écrit donc, selon la vitesse au fond, sous la forme :
 2 K ( tan ψ cos i + sin i ) 
 ω

Vf ² ≥ 
− 1 . g. d . 

 ω eau

 − Ca . K a + Cs . K s .tan ψ 
4.1.3 Critère de vitesse moyenne
En réalité, le terme entre crochets est difficile à calculer dans le détail, et on se fonde plutôt sur
des abaques fournissant sa valeur globale. Cette difficulté surmontée, il reste à apprécier la vitesse au
fond, dont on a vu combien elle était délicate à déterminer, aussi les formules usuelles se rapportentelles à des quantités plus aisément accessibles à l’hydraulicien.
(
)
()
V²≥ ω −1.d. 5.10−4 d
ωeau
 2 h
−1/ 5



formule de Neill, où V désigne la vitesse moyenne de l’écoulement (m/s), d le diamètre moyen
du matériau de fond (mm) et h la profondeur moyenne de l’écoulement (m).
La littérature technique propose d’autres formulations tenant compte des nombreuses
configurations de lit possibles. On retiendra essentiellement de ceci qu’il faut toujours veiller, avant
d’employer une formule, à exprimer les grandeurs dans les bonnes unités, et à appliquer le critère
proposé sur les bonnes vitesses (vitesse moyenne ou vitesse du fond).
32
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A titre indicatif, on peut fournir quelques ordres de grandeur des vitesses moyennes
susceptibles d’entraîner du matériau selon sa nature :
Nature du
matériau
sédiments fins
sable
sable grossier
graviers fins
graviers moyens
gros graviers
petits galets
galets moyens
moellons
Granulométrie
représentative (mm)
0.06 - 0.20
0.20 - 0.60
0.60 - 2.00
2-6
6 - 20
20 - 30
30 - 50
50 - 75
75 - 100
100 - 150
150 - 200
Vitesse moyenne critique V0 (m/s) de
début d’entraînement sous 1 mètre d’eau
0.20 - 0.30
0.30 - 0.55
0.55 - 0.65
0.65 - 0.80
0.80 - 1.00
1.00 - 1.40
1.40 - 1.80
1.80 - 2.40
2.40 - 2.70
2.70 - 3.50
3.50 - 3.90
Ces valeurs issues des travaux de Quidotchnik Stroitlevsk sont valables sous une hauteur
d’eau de 1 mètre. On appliquera les modificateurs suivants pour des hauteurs entre 0.50 et 3 mètres :
Hauteur (m)
0.50
2.00
3.00
Vitesse moyenne critique (m/s)
0.90 V0
1.10 V0
1.20 V0
Mais la littérature technique fournit également des formules empiriques, telle celle de
Velikanov V²crit =g.(14d +5.8) avec d en mm. Le recours à la notion de force tractrice est également
récurrent, pour relier la vitesse moyenne à la contrainte de cisaillement du matériau au fond.
On peut remarquer, sans s’étendre sur le sujet, que la corrélation directe entre vitesse
moyenne et entraînement de matériaux explique que les conditions hydrauliques structurantes de la
morphologie des cours d’eau correspondent aux vitesses moyennes maximales en lit mineur, et donc,
au débit de plein bord. Les crues débordantes, plus rares et soumises à des dissipations d’énergie - et
des réductions de vitesse moyenne - dans les interactions entre les écoulements en lit mineur et en lit
majeur, traumatisent le lit plus qu’elles ne façonnent.
4.1.4 Transport solide
Une fois qu’on a pu statuer sur la mise en mouvement ou non de sédiments, il faut considérer
le transport de ces matériaux par le cours d’eau. L’étude précise des phénomènes de transports relève
de la sédimentologie fluviale, qui n’est pas l’objet du présent cours.
On peut toutefois retenir quelques principes conformes à ce que susurre l’intuition. On imagine
facilement que le matériau mis en mouvement par une vitesse de courant supérieure à la vitesse
critique d’arrachement... s’immobilisera dès qu’il passera dans une section d’écoulement dont la
vitesse moyenne repasse en dessous de la vitesse critique d’arrachement. D’autre part, de même que
pour le fluide, on peut définir un débit solide Qs qui permettra d’estimer les impacts des
aménagements sur le transport solide.
La détermination de ce débit solide se heurte toutefois à l’ obstacle de taille que constitue la
variété des modes de transport solide qui peuvent coexister pour une granulométrie étendue de
matériau.
Ainsi, on distingue d’une part le charriage, qui voit les matériaux pesants rouler au fond sans
en décoller, d’autre part la suspension, où la force de sustentation est telle que les grains légers
flottent entre deux eaux, et enfin, la saltation, où le grain de matériau avance par bonds successifs.
La coexistence de ces trois types de mouvements se fait avec de fortes interactions qui
empêchent de juxtaposer directement des formules de débit solide validées pour chaque mode pris
isolément : les matériaux en saltation peuvent notamment se retrouver, après un saut, devant un grain
de matériau en charriage qui se retrouve ainsi bloqué dans sa progression… jusqu’à ce que l’amas
ainsi constitué se remette en mouvement.
33
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suspension
saltation
charriage
Même dans le cas d’un charriage à l’exclusion des deux autres modes de transport, la
détermination du débit solide est compliquée par le risque de pavage, phénomène par lequel
l’agencement des matériaux de granulométrie étendue forme une structure dont la stabilité globale visà-vis des forces hydrodynamiques empêche un mouvement qu’aurait dû prendre chaque élément pris
seul dans le courant.
La formule de Meyer-Peter est l’une des plus communément utilisées en première approche
du charriage :
Qs = 20. B. ( Rh . j − 0.08. d )
3/ 2
 V²

= 20. B. 
1/ 3 − 0.08. d 
 K ². Rh

3/ 2
3
en m /s,
si le terme entre parenthèse est positif.
En calculant ce débit solide en deux sections d’écoulement consécutives, on sait, par
continuité appliquée au débit solide, le volume de sédiment qui s’est déposé ou qui s’est arraché, et
les variations de hauteurs de fond à en déduire.
Enfin, si les considérations de vitesse moyenne permettent d’analyser succinctement la
mobilisation du sédiment pendant un écoulement, elles ne rendent pas compte de toutes les situations
d’érosion, et notamment, elles escamotent les problèmes de courants secondaires qui apparaissent à
proximité des obstacles en rivière et dissipent localement une énergie plus forte que l’écoulement
moyen où ils se nichent, générant des érosions parfois assez conséquentes dans des zones que
l’analyse des vitesses moyennes aurait classé comme stables.
8
4.2 Force tractrice et affouillement autour des ouvrages
Les conditions d’arrachement par l’écoulement des alluvions ou des blocs de protection placés
au droit des ouvrages (barrages mobiles, seuils, pieux ...) sont décrites en combinant une loi
d’arrachement à une loi de frottement. Ce modèle est déjà simplifié. En particulier :
♦ il suppose que l’écoulement est unidimensionnel, et ne prend pas en compte les effets
multidirectionnels (rouleaux à axe horizontal ou vertical),
♦ il considère un diamètre D unique des protections, et néglige donc les effets éventuels
d’une granulométrie étendue (pavage par exemple),
♦ il fait intervenir une grandeur h’ (épaisseur de couche limite) non évaluable directement par
le calcul.
8
intégralement extrait des Recommandations pour le calcul aux états limites des ouvrages
maritimes et fluviaux
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4.2.1 loi d’arrachement
La loi d’arrachement s’écrit en exprimant la force tractrice critique τc par :
τ c = Ac . g .( ρs − ρ ). D
avec :
♦ Ac : le coefficient d’arrachement critique,
♦ ρs : la masse spécifique du matériau (alluvions ou enrochement),
♦ ρ : la masse spécifique de l’eau,
♦ D : la valeur caractéristique du diamètre du matériau.
La force tractrice exprime également la composante longitudinale du poids de l’eau sur le
grain, elle s’écrit donc :
τ = ρ . g .h. J
Le coefficient d’arrachement A s’écrit donc (loi d’arrachement) :
A=
h. J
∆. D
où ∆ désigne la densité déjaugée du matériau (fascicule Valeurs représentatives des
propriétés des matériaux).
On définit donc une valeur critique Ac, telle que :
♦ si A < Ac, il n’y a pas de mouvement,
♦ si A > Ac, il y a pas de mouvement, et dans ce cas :
• il y a affouillement, la profondeur atteignant une valeur telle que A diminue jusqu'à la valeur
critique,
• pour éviter l’affouillement, on met en place des enrochements dont les caractéristiques D et
∆ sont telles que A reste en deçà de la valeur critique.
4.2.2 loi de frottement
La loi de frottement peut s’exprimer par la formule de Strickler, en exprimant le coefficient de
Strickler K (en unité S.I.) par :
K = 21. D −1/ 6
Ce coefficient représente la « rugosité de peau », significative de l’énergie dépensée par
l’écoulement pour transporter les matériaux (l’énergie totale est en général plus forte, et donc le
coefficient de Strickler global d’un tronçon de rivière est en général plus faible que la valeur donnée
par cette relation).
L'équation de frottement s'écrit donc :
35
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V = k. g(
h 1/ 6
)
h. J
D
avec :
♦ k : un coefficient de frottement adimensionnel (en général k = 8),
♦ J : la pente de la ligne d’énergie.
La relation ci-dessus suppose que l’écoulement est entièrement régi par le frottement sur le
tronçon considéré. Le terme g .h. J est représentatif de la force motrice de gravité (poids d’une tranche
1/ 6
 h
d’eau verticale de l’écoulement d’eau considéré), alors que le terme k   est représentatif des
 D
forces de frottement elles-mêmes liées aux conditions d’écoulement dans la couche limite.
L’équation de frottement est donc généralisée en introduisant dans la formule, d’une manière
qualitative, la notion d’épaisseur de la couche limite notée h’ (loi de frottement) :
 h' 
V = k. g  
 D
1/ 6
h. J
L’épaisseur de couche limite est estimée de la façon suivante :
♦ pour un écoulement uniforme ou graduellement varié régi entièrement par le frottement,
h’ = h (couche limite développée sur toute l’épaisseur de la lame d’eau),
♦ en considérant par exemple un écoulement à la sortie d’un radier lisse (en béton), la
couche limite à l’aval immédiat de l’ouvrage est peu développée. Le profil des vitesses est
plus carré, la vitesse près du fond est donc plus grande que dans l’écoulement rugueux de
même vitesse moyenne (donc la force tractrice est plus grande également). On peut tenir
compte de cette particularité en admettant h’ < h.
4.2.3 loi généralisée
La combinaison de la loi d’arrachement et de la loi de frottement aboutit à la relation suivante,
Vc désignant la vitesse critique d’arrachement du matériau :
 h' 
Vc = k . g  
 D
1/ 6
Ac . ∆ . D
Cette équation est utilisée de la manière suivante :
♦ les calculs hydrauliques fournissent la valeur la vitesse de l’écoulement V, et la grandeur h’
est évaluée en fonction des conditions locales de l’écoulement,
♦ les propriétés des protections D et ∆ sont alors calculées de façon que la valeur de Vc reste
supérieure à V,
♦ ou bien la profondeur d’affouillement est évaluée en considérant qu’elle conduit à une
vitesse V égale à Vc.
36
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4.2.4 Coefficient d’arrachement des blocs ou des sédiments
La loi généralisée relie la vitesse critique d’arrachement des matériaux aux propriétés de celuici. Cette loi est à rapprocher à la formule d’Isbach (fascicule Valeurs représentatives des résistances)
qui s’écrit :
Vc = n 2. g . ∆ . D
où n est un coefficient dont la valeur dépend de la position du bloc dans le tapis
d’enrochement. Les essais d’Isbach correspondent à une situation de mise en vitesse autour du bloc
considéré, donc lorsque la hauteur de la couche limite h’ est inférieure à la hauteur de l’écoulement h.
Le rapprochement de la formule d’Isbach à la loi généralisée conduit à la valeur suivante du
coefficient d’arrachement critique Ac :
 h' 
Ac = 0 ,03.1n 2  
 D
−1/ 3
En se plaçant dans les conditions d’essai d’Isbach, et en supposant que l’épaisseur de la
couche limite est du même ordre de grandeur que le diamètre du matériau, la valeur de n = 1,38
admise pour un tapis continu aboutit à
Ac = 0,060
On retient donc cette valeur du coefficient critique d’arrachement.
4.3 Quantification des affouillements
9
L’étude des affouillements au voisinage des ouvrages s’inscrit dans le cadre d’une étude
locale d’un secteur limité à la proximité de l’ouvrage considéré. A l’intérieur de ce secteur, l’ouvrage
génère en général une perturbation du champ des vitesses de l’écoulement, susceptible de provoquer
des affouillements du fond de la rivière ou des berges (accélérations de l’écoulement, ressaut
hydraulique, tourbillons à axe horizontal ou vertical, etc ...).
Cette étude est indissociable de celle des protections, dont le détail est exposé dans les
fascicules Barrages mobiles, Quasi sur pieux et Digues des voies navigables. Le principe de calcul est
du ressort de la conception.
Dans tout ce qui suit, nous supposons que les études globales relatives à l’hydraulique et à la
sédimentologie de la rivière sont effectuées. Les données et informations suivantes sont donc
disponibles :
♦ les débits de tous les événements hydrologiques (basses eaux, crues
moyennes, crue représentatives),
♦ les conditions d’écoulement en aval de l’ouvrage, pouvant se traduire par une
ou plusieurs lois hauteurs-débits (par exemple la loi actuelle, et la loi future
après évolution du lit de la rivière),
♦ les propriétés des matériaux du lit de la rivière (granulométrie, densité),
♦ les données géotechniques (en particulier l’altitude et les propriétés du
substratum).
Les aspects théoriques de l’affouillement sont présentés dans l’annexe à ce fascicule.
9
37
idem
10/09/02
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4.3.1 en aval des seuils fixes et des barrages mobiles
L’étude hydraulique fixe la cote déversante de l’ouvrage (nécessaire pour maintenir le plan
d’eau souhaité), sa largeur et sa constitution (béton ou enrochements). Les paramètres à considérer
pour l’étude des affouillements sont les suivants :
♦ la loi hauteur débit à l’aval, ainsi que son évolution possible dans le temps, couvrant toute la
gamme des débits représentatifs considérés ; la non prise en compte d’un abaissement
possible du lit à l’aval de l’ouvrage peut entraîner une erreur grave dans le
dimensionnement du bassin de dissipation (le ressaut hydraulique peut être chassé à l’aval
si la hauteur d’eau aval est en réalité inférieure à celle qui a été prise en compte dans les
calculs),
♦ les propriétés des matériaux transportés par la rivière,
♦ les données géotechniques.
Dans la grande majorité des cas, il n’est pas admis d’affouillement à l’aval immédiat de
l’ouvrage, car cela conduirait à une situation non contrôlable qui pourrait mettre en cause la pérennité
de l’ouvrage. Des protections sont donc mises en place. Les règles de dimensionnement des
protections sont issues des formules générales indiquées dans le fascicule Barrages mobiles.
En l’absence de protections, la profondeur d’affouillement hs est telle que la vitesse V0 sous la
hauteur totale h est égale à la vitesse critique de début d’entraînement des alluvions de la rivière. On
peut en toute première approximation évaluer la profondeur d’affouillement par application des
formules théoriques présentées dans l’annexe, qui conduisent à
h +h 
V0 = k g  s 0 
 DS 
1/ 6
0 ,06 . ∆S . DS
où ∆S et DS désignent la densité déjaugée et la valeur caractéristique du diamètre des
alluvions, et h0 désigne la hauteur d’eau aval comptée à partir du niveau initial du lit. La vitesse v0 est
évaluée par la méthode proposée dans le fascicule Barrages mobiles.
Il est recommandé d’utiliser cette formule avec beaucoup de précautions, car elle ne prend
pas en compte tous les effets tridimensionnels liés à la turbulence qui se développe à l’aval de
l’ouvrage.
4.3.2 en pied des berges soumises a un courant naturel
Outre l’accroissement de la force tractrice sur la berge, due à la pente de cette dernière, la
cause principale des affouillements est la courbure en plan du lit de la rivière. Cette courbure génère
une composante radiale du vecteur vitesse variable suivant la verticale :
♦ dirigée vers l’extérieur de la courbe en surface,
♦ dirigée vers l’intérieur au fond.
La circulation transversale ainsi créée arrache les alluvions à la berge concave, en surcreusant
le pied de cette berge, et ramène les matériaux sur la berge convexe, en remblayant les fonds.
Il y a d’autres causes possibles des érosions des berges :
♦ la modification de l’équilibre longitudinal par augmentation de la pente (par exemple
l’abaissement du lit provoqué par des extractions de matériaux alluvionnaires),
♦ la formation à un confluent de dépôts provenant de l’affluent, et rejetant le courant sur la
rive opposée (cônes de déjection dans les vallées de montagne par exemple),
38
10/09/02
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♦ la divagation d’un bras vif venant attaquer une des berges (cas des lits « en tresse »),
♦ le calibrage ou la rectification du lit laissant les berges à nu,
♦ le batillage superficiel dû au vent ou à la navigation (voir ci-après).
Les principaux paramètres sont les suivants :
♦ la nature de la berge (végétation et composition : argile, limons, sables, graviers, galets),
♦ les grandeurs caractéristiques de l’écoulement au voisinage de la berge (la vitesse
essentiellement),
♦ l'angle d’attaque de l’écoulement, défini par le tracé en plan du lit (coude plus ou moins
marqué).
Il n’existe aucune formule théorique permettant de calculer la profondeur d’affouillement (le
champ de courant au voisinage est trop complexe). Seule une approche empirique est possible. La
figure suivante représente, pour les berges quasi-verticales, les résultats d’essais systématiques sur
modèle réduit physique réalisés par SOGREAH ; les essais ont été réalisés pour des rivières à forte
pente, et il est probable que leur application aux rivières à faible pente conduise à surestimer les
affouillements. Sur cette figure, les notations sont les suivantes :
♦ h : la hauteur d’eau, pour le débit considéré, sur le fond avant affouillement,
♦ H : la hauteur d’eau, pour le débit considéré, après affouillement ; la hauteur de
l’affouillement hs vaut donc : hs = H − h ,
♦ he : la profondeur moyenne correspondant au début d’entraînement du diamètre moyen d50
des alluvions, calculée par :
he = 0 .047 ∆
d 50
I
∆ étant la densité déjaugée des alluvions et I la pente de l’écoulement pour le débit considéré.
4.3.3 autour des obstacles ponctuels
Le trait dominant du champ de courant au voisinage d’un obstacle est le développement d’un
système de vortex, qui est à l’origine des affouillements autour de l’obstacle.
Sur la face amont de l’obstacle apparaît un gradient de pression qui oblige le courant incident
à ralentir, et à acquérir une composante descendante. Ce courant descendant à son tour induit un
courant de fond vers l’amont, puis un décollement de ce courant de fond plus en amont. Un grand
vortex à axe horizontal est ainsi créé, appelé, à cause de sa forme caractéristique, « vortex en fer à
cheval » (horseshoe vortex). C’est au moment où le potentiel d’arrachement des vitesses de fond est
suffisamment élevé pour contrecarrer la résistance des particules au mouvement que l’érosion
commence. Un affouillement se développe alors devant l’obstacle, et le transport des matériaux en
dehors de la fosse se passe en deux temps : le matériaux est déplacé le long de la pente vers l’amont,
puis transversalement pour être emporté vers l’aval.
Au fur et à mesure que la fosse d’affouillement s’élargit, la circulation associée au vortex croît,
mais à une vitesse décroissante. La vitesse d’érosion diminue donc, jusqu'à ce qu’un équilibre soit
atteint.
39
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En aval de l’obstacle, des vortex « de sillage » peuvent également être générés, si l’obstacle
présente une largeur importante (ce qui est rarement le cas pour les ouvrages qui nous intéressent
ici). Ces tourbillons, qui se déplacent par convection vers l’aval, peuvent arracher des matériaux du
fond de la rivière, soulevés par « bouffées » successives.
Il n’existe aucun modèle numérique capable de prédire le champ tridimensionnel des courants
au voisinage de l’obstacle et son interaction sur les fonds. En toute rigueur, seule la technique du
modèle réduit physique est applicable. Toutefois, pour les ouvrages qui nous intéressent ici, les
méthodes empiriques présentées ci-après sont, dans la grande majorité des cas suffisantes à la
résolution du problème de l’affouillement.
Outre la nature du matériau du fond de la rivière, et les grandeurs quantifiant l’écoulement
incident amont (hauteurs d’eau et vitesses), les paramètres principaux sont :
♦ la largeur de l’obstacle, appelée par la suite b,
♦ l’angle d’incidence α de l’écoulement.
La source d’incertitude principale est l’évaluation de l’abaissement du lit, noté hs1.
La profondeur maximale de l’affouillement autour de l’obstacle hs s’écrit :
hs = hs1 + hs2 + hs3 + hs4
♦ la profondeur hs1 représente l’enfoncement possible de la rivière, indépendamment de
l’obstacle (évolution morphodynamique, voir plus haut). Si la rivière est en équilibre
(stabilité dans le temps du profil en long), alors hs1 = 0.
♦ la profondeur hs2 est liée au méandres éventuels du ou des bras vifs vers un obstacle
implanté initialement sur une terrasse plus haute du lit de la rivière. On choisira dans ce cas
hs2 = e, e étant la hauteur de la terrasse au dessus du lit vif. Si la rivière présente un lit
unique et homogène, alors hs2 = 0.
♦ la profondeur hs3 est significative de l’enfoncement possible du lit suite au rétrécissement
de la section d’écoulement provoqué par le ou les obstacles considérés. Cette hauteur peut
être évaluée en écrivant la continuité du débit solide entre la section amont et la section
rétrécie au droit de l’obstacle. L’instant le plus critique pour les affouillement se situant au
moment du début du transport solide, cela revient à écrire l’égalité des forces tractrices. On
aboutit alors à la relation suivante :
 B  6 / 7

hs3 = h 
− 1

 B − b 

• h : la hauteur d’eau,
• B : la largeur totale de la rivière,
• b : la largeur de l’obstacle.
♦ La profondeur hs4 est celle provoquée par le système de vortex qui se développe au
voisinage de l’ouvrage, décrit ci-avant. De nombreuses recherches ont été menées sur ce
sujet, notamment à partir d’essais systématiques sur modèle réduit physique. La formule la
plus couramment utilisée est la suivante :
hs4
 h
= 2 tanh  k 1 . k 2
 b
b
40
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• k1 : un coefficient de forme, égal à 1,00 pour un obstacle circulaire, 0,75 pour un
obstacle profilé et 1,30 pour un obstacle rectangulaire,
• k2 : un coefficient multiplicateur dépendant de l’angle d’attaque α du courant
incident (obstacle non circulaire), dont les valeurs sont données sur le graphique
ci-dessous.
V a le u rs d u co e fficie n t k 2
7.00
α
b
6.00
L/b= 14
L
5.00
10
4.00
k2
6
3.00
4
2.00
2
1.00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
A n g le a lp h a
La vitesse et les propriétés du matériau de la rivière n’interviennent pas dans ces formules. En
effet, l’instant le plus critique du point de vue de l’affouillement correspond au débit de début
d’entraînement de matériaux. Au-delà de ce débit, les matériaux charriés par la rivière comblent en
partie la fosse d’affouillement creusée autour de l’obstacle.
Dans certains cas, la composition des matériaux du fond du lit de la rivière est très
hétérogène. Il peut exister une couche superficielle de matériaux très fins (vases par exemple) qui est
en permanence mise en mouvement puis déposée à nouveau au gré des courants (dans les secteurs
soumis à l’influence maritime par exemple). Dans ce cas, la hauteur de cette couche superficielle doit
être ajoutée à la hauteur totale de l’affouillement.
41
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5. Régimes transitoires
5.1 Les crues des cours d’eau (ondes de continuité)
5.1.1 Approche empirique de Seddon (1899) : crues très lentes
Avant même de recourir aux équations complexes qui régissent l’hydraulique en régime
transitoire, on peut se familiariser avec quelques propriétés intéressantes des crues en rivière en
reprenant l’approche empirique de Seddon étudiant les propagations d’ondes de crues
(particulièrement lentes) sur le Mississippi.
Partant du principe que l’onde de crue est une onde de débit fonction de l’abscisse curviligne
sur l’axe d’écoulement principal x et du temps t (Q = Q(x,t)), il imagina un observateur qui suivrait
exactement le déplacement du maximum de l’onde, et pour qui à tout instant : dQ (x,t) = 0, soit, en
décomposant :
∂Q
∂Q
dx +
dt = 0
∂x
∂t
dQ =
donc la vitesse de déplacement de notre observateur (et donc, du maximum de l’onde de
crue), est :
Vobs
∂Q
dx
∂t
=
=−
∂Q
dt
∂x
D’autre part, l’équation de continuité s’écrit, rappelons-le :
∂Q
∂h
+B
=0
∂x
∂t
d’où :
Vobs
∂Q
dx
1 ∂Q
∂t
à x constant,
=
=−
=
∂Q B ∂h
dt
∂x
Si on considère un phénomène de crue assez lente, on peut considérer en un point que le
régime est stationnaire par palier de temps, et appliquer la formule de Strickler (et sa dérivée
logarithmique) :
2
1
2
1
V = KRh 3 i 2 ≈ Kh 3 i 2 ⇒
dV 2 dh
=
V
3 h
ce qui, injecté dans l’équation de la vitesse de notre observateur, donne :
Vobs =
dx 1 ∂Q 1 ∂
2
5
∂V
( BhV ) = V + h
=
=
=V + V = V
dt B ∂h B ∂h
∂h
3
3
Ce petit exercice nous permet d’établir que, pour les crues très lentes, la vitesse de
déplacement du maximum de la crue, autrement appelée célérité (C) du maximum de crue, est
supérieure à la vitesse moyenne de l’eau dans l’écoulement qui supporte cette crue (ici : C = 1.67 V).
5.1.2 Notion d’hystérésis
Mais ce modèle simple ne convient plus pour la grande majorité des crues réelles rencontrées
sur les cours d’eau. En effet, l’approche de Seddon permet de confondre dans l’appellation de
« maximum de la crue » le maximum de débit, le maximum de hauteur d’eau et le maximum de
courant moyen de l’écoulement. En réalité, l’onde subit une diffusion qui la déforme en l’étalant de
l’amont vers l’aval. Ainsi, l’hydrogramme Q(t) qui peut être observé dans une section d’abscisse
curviligne x1 sur l’axe principal d’écoulement, ne sera pas le même que l’hydrogramme Q(t) observé
dans une section d’abscisse curviligne x2 sur ce même axe, en aval. D’expérience, en l’absence
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d’apports intermédiaires de débit, on sait que le débit de pointe en x1 sera supérieur au débit de pointe
en x2.
L’hydrogramme se déforme un peu de la même manière qu’un escabeau dont on calerait un
pied contre un mur et dont on ferait glisser l’autre pied, l’angle entre les deux jambes allant croissant.
Qp1
Q
en x1
Qp2
M
en x2
I
t1
t2
t
Si on réduit l’écart entre x1 et x2, on tient le raisonnement infinitésimal suivant :
au maximum de l’hydrogramme en x1, (noté M), on a :
∂Q
=0
∂t
et à la croisée des deux hydrogrammes en x1 et en x2 = x1+dx, (noté I), on a le même débit
∂Q
=0
∂x
1 ∂h
∂h
ou encore, d’après l’équation de continuité :
= 0 et donc
=0 :
B ∂t
∂t
pour la variation d’abscisse dx, ce qui s’écrit :
le point I commun aux courbes Q(t) aux deux abscisses consécutives x1 et x1+dx est celui où
le maximum de hauteur est atteint.
Or, on constate sur la courbe que l’instant t2 d’occurrence du point I est postérieur à l’instant t1
d’occurrence du point M : dans une section donnée, le maximum de débit est donc atteint avant le
maximum de hauteur. Et inversement, lorsqu’on observe le maximum de hauteur, le maximum de
débit est déjà passé. Ce constat d’apparence anecdotique a en fait de grosses conséquences sur la
mesure des débits de pointe de crue : si l’on attend que la cote se stabilise à son maximum pour
mesurer le débit supposé du maximum de crue, on aura en fait un débit inférieur au débit de pointe.
D’autre part, en décomposant Q = V.S par rapport au temps, on a :
∂Q
∂V
∂S
∂V 1 ∂Q V ∂S
ou encore :
=S
+V
=
−
∂t
∂t
∂t
∂t
S ∂t S ∂t
∂Q
or au point M,
= 0,
∂t
et, la fonction S(h) étant usuellement croissante par rapport à h, le maximum de hauteur
n’étant pas encore atteint :
∂S
> 0,
∂t
de quoi il résulte qu’au point M :
∂V
< 0.
∂t
Cela signifie donc qu’au moment où le maximum de débit est atteint dans une section donnée,
le maximum de vitesse a déjà été atteint et dépassé.
Q
Qp
Un observateur fixe voit successivement passer :
1. d’abord le maximum de vitesse (Vmax)
Vmax
hmax
2. puis le maximum de débit (Qp)
3. et enfin le maximum de hauteur d’eau (hmax).
La courbe de tarage Q = Q(h) décrite dans une
section donnée pour une crue montre un « découplage »
de la courbe pour la montée (crue) et pour la descente
(décrue), qu’on appelle une hystérésis.
h
43
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5.1.3 Equation de propagation des crues diffusantes
Il est difficile d’aller plus avant dans la compréhension des phénomènes de crues sans faire
appel aux équations dynamiques filaires de Saint-Venant (réduction en 1D des équations de NavierStokes) et à leur analyse.
∂V
∂V
∂h
+V
= −g
+ g (i − j )
∂t
∂x
∂x
Le terme de gauche est le terme d’inertie de l’équation de quantité de mouvement, dont on
peut négliger l’influence dès lors que F² (le carré du nombre de Froude) est négligeable devant 1, ou
encore, F < 0.3 (ce qui est le cas de la grande majorité des rivières à régime fluvial, mais pas des
torrents de montagne). Dans de telles conditions, on a, avec l’équation de continuité en régime
transitoire, un système d’équations assez simples :
 ∂h ∂Q
 B ∂t + ∂x = 0

 ∂h = (i − j )
 ∂x
(équation de continuité)
(équation de Saint-Venant)
En supposant que le régime transitoire considéré est une succession d’états quasi-statiques,
on peut employer la formule de Strickler pour exprimer j = j (Q,h,x). La largeur au miroir B est, elle,
fonction de h et de x. Une fois n’est pas coutume, nous allons manipuler ces équations en les dérivant
(l’équation de continuité, par rapport à l’abscisse curviligne x ; l’équation de Saint-Venant, par rapport
au temps):
 ∂ ² h ∂  1 ∂Q 
1 ∂ ² Q ∂Q 1  ∂B ∂B ∂h 
1 ∂ ² Q 1 ∂Q  ∂B
∂B 
+
+
+
+ (i − j ) 
= −

 =−

 =−






B ∂x
B ∂x ² ∂x B ² ∂x ∂h ∂x
B ∂x ² B ² ∂x ∂x
∂h 
  ∂ x∂ t ∂ x
∂ ²h ∂
∂j
∂j ∂Q ∂j ∂h
∂j ∂Q 1 ∂Q ∂j
=
= (i − j ) = − = −
−
=−
+
∂t∂x ∂t
∂t
∂Q ∂t ∂h ∂t
∂Q ∂t B ∂x ∂h
et, en les combinant / factorisant :
∂ ² Q ∂Q  ∂j 1  ∂B
∂B   ∂Q  ∂j 
=
+ 
+ (i − j )   +
B 
−
∂x ²
∂x  ∂h B  ∂x
∂h   ∂t  ∂Q 
Cette équation est l’équation des ondes diffusantes, dans laquelle on identifie un terme de
célérité C et un terme d’atténuation σ tels que :
σ.
∂ ²Q
∂Q ∂Q
= c.
+
∂x ²
∂x ∂t
avec les expressions littérales :
 ∂B
∂j
∂B 


+
(
i
−
j
)
1 ∂h
1  ∂x
∂h 
c=−
+
∂j

B ∂j
B² 


∂Q
∂Q


1
σ=
∂j
B
∂Q
L’interprétation de ces termes permet de mettre en lumière l’impact prévisible d’aménagement
de rivières.
44
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5.1.4 Influence(s) des aménagements de rivière sur la propagation des crues
• célérité de l’onde de crue
Dans une rivière assez large, si la pente de charge j est exprimée selon la formule de Strickler,
le premier terme de l’expression de la célérité de l’onde de crue n’est autre que...
5
V = 1.67 V, expression établie par Seddon pour le Mississippi !
3
Ce premier terme de la célérité est donc directement lié à la vitesse moyenne du lit
d’écoulement de la crue : tout aménagement visant à, ou ayant pour effet d’augmenter cette vitesse
moyenne (qu’il s’agisse de curage de « restauration » voire d’augmentation nette de section
d’écoulement ou d’élimination d’encombrement rugueux du lit) impliquera une accélération de la
propagation des ondes de crue vers l’aval.
Le second terme de célérité est directement lié à la géométrie du cours d’eau.
dB / dh > 0
dB / dh < 0
(vue en travers)
dB/dx=0
dB/dx>0
dB/dx=0 dB/dx<0 dB/dx=0
etc...
(vue du dessus)
On distingue :
∂B
, qui traduit, dans une section en travers donnée, le débordement vers le lit majeur
∂h
∂B
, qui traduit l’élargissement du champ d’inondation entre deux sections consécutives
∂x
∂h
i− j=
, qui positionne la section considérée dans l’hystérésis (montée de crue si négatif,
∂x
l’amont étant plus « haut » que l’aval, décrue si positif, l’amont étant plus « bas » que l’aval). Quant au
dernier terme, en l’exprimant selon la loi de Strickler, on a :

∂j
∂ 
Q²
Q
2j

=
>0
4/3  = 2
4/3 =
∂Q ∂Q  K ² B ²h ² Rh 
Q
K ² B ²h ² Rh
L’interprétation des variations respectives de ces termes implique que lorsque la vallée
inondée s’élargit, la célérité augmente. Et quand, en montée de crue, la rivière déborde pour occuper
une plus grande largeur au miroir, la célérité diminue.
45
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On constate toute la difficulté de faire la part des influences respectives des différents termes
qui peuvent se compenser, pour dégager des lois générales d’influence des aménagements sur la
propagation des crues. Sans résolution précise à l’aide de modèles idoines, le risque est grand de se
méprendre.
• atténuation de l’onde de crue
Restons sur notre cas de rivière assez large pour que le rayon hydraulique soit sensiblement
égal à la hauteur d’eau dans une section donnée. Le terme d’atténuation s’écrit :
1
Q
K ² Bh 10 / 3
σ=
=
=
∂j
2 jB
2Q
B
∂Q
On constate que plus la hauteur d’eau est grande, plus l’onde de crue s’atténue. De même,
plus grande est la largeur du lit, plus forte est l’atténuation. Une nouvelle fois, l’endiguement d’un cours
d’eau est préjudiciable en termes d’écoulement des crues, car en limitant (fortement) la largeur au
miroir, il limite de même l’atténuation de l’onde de crue, qui est restituée, après aménagement, vers
l’aval avec un débit de pointe plus fort qu’avant l’aménagement... si ce n’est qu’on peut éventuellement
voir une compensation partielle de cet effet par le fait que la hauteur d’eau endiguée peut être plus
forte après aménagement !
• qu’en retenir ?
Même en restreignant l’analyse au cas simple d’une rivière quasi rectangulaire de grande
largeur en régime fluvial, nous avons vu qu’il était difficile d’avoir des idées claires sur l’impact d’un
aménagement en général, sauf peut-être sur celui d’un endiguement pur et simple.
Lors d’une montée de crue, tout se passe comme si l’onde de crue devait d’abord pousser une
tranche d’eau devant elle pour remplir l’espace sur lequel elle va « ensuite » avancer. Plus l’espace à
« combler » préalablement est important, et plus l’onde va consacrer de volume, et sacrifier de sa
dynamique, pour permettre son avancée, qui en sera atténuée et retardée. Mais à l’échelle de la
vallée, une fois les tranches d’eau poussées devant elle, l’onde de crue éprouve d’autant moins de
freinage que la vallée est large ou s’élargit.
5.2 Les ondes rapides (ondes de rupture)
5.2.1 Manoeuvres d’ouvrages de régulation (ondes de mise en vitesse)
Les ondes de continuité telles que celle, diffusante, que l’on trouve pour les crues lentes, ne
sont pas les seuls régimes transitoires qui intéressent l’aménagement des cours d’eau. Lors de
modification non quasi statique de forme du lit actif d’une rivière, les perturbations locales de
l’écoulement peuvent se propager sur de grandes distances sous forme d’ondes de rupture.
Ainsi, lorsqu’on manoeuvre rapidement une vanne, un barrage mobile, un aqueduc
d’alimentation en eau, une sassée d’écluse, ou encore lorsqu’une petite portion de seuil se rompt,
qu’un obstacle charrié par les eaux vient bloquer une section d’écoulement rétrécie, les conditions de
débit, hauteur et vitesse sont, dans cette section, quasiment instantanément perturbées, et leurs
variations se transmettent de proche en proche jusqu'à rétablissement d’un nouveau régime
permanent dans les nouvelles conditions d’écoulement, et amortissement de l’onde de rupture.
Le principe général consiste donc à considérer des régimes stationnaires de part et d’autre de
la section perturbée.
• Ondes d’arrêt
Les ondes d’arrêt sont celles résultant d’une interruption de l’écoulement, par fermeture
brusque d’une vanne par exemple. Dans un canal rectangulaire siège d’un écoulement uniforme de
vitesse moyenne V et de hauteur d’eau h, par exemple, on ferme une extrémité. L’instant d’après,
dans la section précédant exactement la fermeture de la vanne, la vitesse est nulle, tandis qu’une
surélévation prend naissance par transfert de quantité de mouvement fluide. L’onde d’arrêt, établissant
dans chaque section balayée une vitesse nulle au lieu de la vitesse V, se propage ainsi de la section
de fermeture jusqu'à l’autre extrémité du canal, avec une célérité a (m/s).
46
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h + ∆h
h + ∆h
z=0
h
a
h
V=0
V
p1(z)
p2(z)
z
Equation de continuité
Forces de pression
En négligeant les frottements, l’effort de pression de part et d’autre de la perturbation s’écrit :
h + ∆h
∆F =
∫
p( z)dz =
0
= ρ. g.
∆h
h + ∆h
∆h
h + ∆h
0
∆h
0
∆h
∫ ρ. g. z. dz + ∫ ( ρ. g. z − ρ. g.( z − ∆h)). dz = ∫ ρ. g. z. dz + ∫ ρ. g. ∆h. dz
( ∆h)²
 ∆h

+ ρ. g.( ∆h). h = ρ. g. ∆h. 
+ h
 2

2
d’où, avec l’équation de continuité et l’équation de quantité de mouvement :
V . h = a. ∆h
∆h 

ρ. a.(h + ∆h).V = ρ. g. ∆h h + 

2
à partir de quoi on substitue V par son expression en fonction de ∆h, a et h :
∆h  
∆h 
∆h ( ∆h)² 


a ² = g. h.  1 +
−

 . 1 −
 = g. h.  1 −





2h
2h
2h ² 
h
Or, dans le cas qui nous intéresse, ∆h << h, en négligeant les termes quadratiques et en
développant au premier ordre la racine carrée :
a~
(1 + ε ) ~ 1 +
ε
, on obtient :
2
∆h 

gh .  1 −


4h 
Il s’agit alors d’ajuster ∆h pour que la célérité a de l’onde positive soit de même valeur selon
cette équation et selon l’équation de continuité, par itérations successives.
• Ondes de mise en vitesse
Lorsqu’on ouvre une vanne, ou lorsque une manoeuvre ou un incident mettent en mouvement
une masse d’eau inerte, on parle d’onde de mise en vitesse. On passe d’un état de repos (vitesse
nulle) à la hauteur h, à un état de mouvement de vitesse moyenne V et de hauteur h + ∆h.
h + ∆h
h + ∆h
a
V
z=0
h
h
V=0
p1(z)
p2(z)
z
47
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V .(h + ∆h) = a. ∆h (équation de continuité)
∆h 

ρ.(a − V ).(h + ∆h).V = ρ. g. ∆h h +  (équation de quantité de mouvement)

2 
∆h 

g.  h +


1
2
d’où : a ² =
~ 1+ ε
; en supposant ∆h << h, et en développant :
∆h
1− ε
1−
h + ∆h
∆h  
∆h 
3 ∆h 


 . 1 +
 ~ gh.  1 +

on obtient : a ² ~ gh.  1 +
 2 h 

h
2h 
d’où, en développant la racine carrée au premier ordre :
a~
3 ∆h 

gh .  1 +

 4 h
Il s’agit alors d’ajuster ∆h pour que la célérité a de l’onde positive soit de même valeur selon
cette équation et selon l’équation de continuité, par itérations successives.
5.2.2 Laminage d’hydrogrammes par les retenues
L’entrée d’un hydrogramme dans une retenue telle qu’un barrage réservoir d’alimentation en
eau de bief de partage, d’alimentation en eau potable, d’hydroélectricité ou encore de rétention de
crue, provoque une surélévation globale du niveau d’eau dans la retenue. L’inertie hydraulique liée à
ces variations de niveau sur une grande surface se traduit par une absence de pente hydraulique du
plan d’eau, et par un amortissement conséquent de l’hydrogramme sortant de la retenue : ce
phénomène est désigné sous le nom de laminage.
Le dimensionnement d’un évacuateur statique de débit - dont le rôle essentiel est d’éviter
l’élévation du niveau de la retenue au-dessus d’un niveau maximal de sécurité de l’ouvrage - doit tenir
compte de cet amortissement afin d’éviter une surestimation - coûteuse - du débit de pointe laminé. A
l’inverse, la consigne de manoeuvre d’un évacuateur dynamique de débit peut être optimisée en
fonction du laminage de la retenue pour atténuer, lorsque la sécurité de fonctionnement et de stabilité
de l’ouvrage n’est pas mise en péril, l’onde de crue sortant de l’ouvrage pour dévaler le cours d’eau.
La donnée classique de description de la capacité d’une retenue est la courbe de remplissage,
qui donne le volume disponible pour une hauteur donnée, à l’instant t : V=V(h(t)). Avec l’hypothèse de
platitude du plan d’eau pendant un tel laminage, en notant Qe(t) l’hydrogramme entrant et Qs(t)
l’hydrogramme sortant de la retenue, l’équation de continuité des volumes liquides incompressibles
s’écrit naturellement :
(Q ( t ) − Q ( t )) = dV
dt
e
s
et, par composition, en considérant que dZ=dh :
dh dV dZ
=
(Q ( t ) − Q ( t )) = dV
dh dt dZ dt
e
s
L’hydrogramme entrant est une donnée compilant les apports pluviométriques sur le bassin
versant en amont de la retenue et les processus de transformation des pluies en débits, à laquelle est
associée une fréquence de non dépassement permettant d’apprécier la probabilité d’occurrence d’un
tel événement.
L’hydrogramme de sortie dépend du dimensionnement de l’évacuateur, et lorsque des
organes mobiles existent, de leur consigne de manoeuvres. Les lois d’évacuation de débit appropriées
doivent donc être soigneusement identifiées et leurs paramètres explicités avant le calcul du laminage.
Rappelons, par exemple, que le déversement dénoyé au-dessus d’un seuil mince s’écrit :
3
Qs ( Z ) = µ . L. 2 g . ( Z − Z crete ) 2
et que l’équation de conservation des volumes se réduit donc à une équation différentielle du premier
ordre en Z(t).
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Plus l’hydrogramme entrant est pointu, plus le laminage va se faire sentir, pouvant réduire de
moitié le débit de pointe. Par contre, les lentes montées de crues sont moins spectaculairement
affectées par le laminage, leur « inertie » étant du même ordre que celle de la retenue.
5.2.3 Rupture d’ouvrages en travers (ondes de submersion)
Du point de vue hydraulique, un barrage en rivière n’est qu’une séparation partiellement
étanche entre deux niveaux d’eau de part et d’autre de l’ouvrage. La modélisation de sa rupture
instantanée consiste donc simplement à mettre en relation un volume d’eau caractérisé par une cote
donnée avec un volume d’eau contigu à une cote donnée différente. On doit à l’hydraulicien Ritter les
formules simplifiées permettant d’apprécier le phénomène consécutif à la rupture instantanée d’un
barrage dans une vallée rectangulaire sans frottement.
La mise en vitesse de la partie à l’amont du barrage par effet de poussée hydraulique se
traduit par la génération d’une vague vers l’aval, et par un soutirage de volume à l’amont. On parle de
propagation d’une onde positive vers l’aval, et de propagation d’une onde négative vers l’amont.
h0
(4/9)h0
La vitesse du courant pour une profondeur h d’eau s’écrit, en supposant la vitesse du courant
négligeable dans la retenue amont à la hauteur initiale h0 :
V (h) = 2. g. h0 − 2. g. h
On peut écrire de même que la célérité de l’onde (vers l’amont et l’aval) est:
Ct (h) = 2. g. h 0 − 3. g. h
Cette formule peut être facilement interprétée pour h = 0 notamment, ce qui correspond à
l’endroit du front de l’onde positive d’aval, dont la célérité est donc de
Ct (0) = 2. g. h 0 ,
et pour h = h0, ce qui correspond à la célérité de creusement de l’onde négative d’amont,
Ct (h0) = − g. h 0 .
On en déduit directement l’équation de la courbe de la surface libre de l’eau :
x (h,t) = t . Ct (h).
Le principal intérêt de cette formulation réside dans l’interprétation du phénomène au droit du
barrage rompu. Pour x = 0, on a nécessairement, à tout instant t, Ct (h) = 0, ce qui signifie que la
hauteur h (x=0) est constante au cours du temps, égale à (4/9) h0. Cette hauteur détermine donc une
section constante d’une part, dans laquelle on peut connaître la vitesse
V [h=(4/9) h0] = (2/3)
g. h 0
et donc le débit stationnaire correspondant, mais aussi la hauteur maximale de l’onde positive
d’aval si la section de la rivière varie peu.
En réalité, la hauteur d’eau que l’on peut qualifier de « pivot » au droit du barrage virtuellement
escamoté est plus grande que cette valeur théorique issue de la formulation de Ritter. Stocker a
montré, dès 1957, que la présence d’une hauteur d’eau non négligeable à l’aval du barrage provoquait
une discontinuité de l’onde d’aval, dont le front se raidit sur une hauteur verticale de quelques dizaines
de pour-cent de la hauteur « pivot » de Ritter, surélevant d’autant cette hauteur « pivot », qui vaudrait
alors plutôt (9/16) h0.
49
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h
0
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(9/16)h0
En effet, en décomposant le front d’onde comme superposition de n ondes positives
d’épaisseur ∆hi au-dessus de l’altitude zi (telle que zi+1=zi+∆hi et zn=h), on constate que la célérité de
ces ondes étant d’autant plus grande que la couche d’eau sur laquelle elles se déplacent est grande, la
partie supérieure du front tend à rattraper et dépasser la partie inférieure du front, une limite physique
fixant à la verticale la raideur maximum du front d’onde.
La propagation de cette onde dans la vallée peut donner lieu à des destructions en série des
ouvrages en travers : ponts, remblais, barrages, soit immédiatement (auquel cas l’ouvrage est
purement et simplement effacé, sans conséquence sur l’onde), soit après une résistance d’une
certaine durée (auquel cas la retenue locale peut d’une part modestement laminer - ou tout au moins
retarder - l’hydrogramme de l’onde, d’autre part créer une nouvelle onde de submersion qui se
superpose à la principale !). L’analyse des mécanismes de rupture de ces ouvrages peut être au
moins aussi fructueuse que la détermination de l’onde principale de submersion.
50
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6. Bibliographie
LITTERATURE TECHNIQUE PUBLIQUE
•
•
•
•
•
•
•
LENCASTRE A. (1996) : Hydraulique générale, Eyrolles, Paris, France
VIOLLET PL., CHABARD JP., ESPOSITO P. et LAURENCE D. (1998) : Mécanique des
fluides appliquée, Presses de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, France
SOGREAH (1999) : Recommandations pour le calcul aux états limites des ouvrages
maritimes et fluviaux - Actions des écoulements des eaux, Service technique central des
ports maritimes et des voies navigables, Compiègne, France
GRAF WH. Et ALTINAKAR MS. (1996) : Hydraulique fluviale, Presses polytechniques et
universitaires romandes, Lausanne, Suisse
CHOW VT. (1959) : Open-channel hydraulics, Mc Graw-Hill, New-York, USA
CARLIER M. (1982) : Hydraulique générale et appliquée, Eyrolles, Paris, France
IDEL’CIK IE. (1968) : Mémento des pertes de charge, Eyrolles, Paris, France
LITTERATURE TECHNIQUE DU MINISTERE DE L’EQUIPEMENT, DES TRANSPORTS ET DU LOGEMENT
•
•
•
•
•
•
51
MASSON M., GARRY G. et BALLAIS J.-L. (1996) : Cartographie des zones inondables approche hydrogéomorphologique, METL et MATE, Editions Villes et Territoires, Paris La
Défense, France
PREBOIS A., FELTS D. et PACAUD P. (1992-1995) : Hydraulique fluviale - module 1,
compilation de cours, Compiègne, France
CHEE P., PREBOIS A. et ROUAS G. (1990) : Notice d’estimation des coefficients de débit
de quelques ouvrages évacuateurs, Notice STCPMVN n°90-1, Compiègne, France
PREBOIS A., PACAUD P. (1993) : Notice d’utilisation du logiciel Remous 1.7 - calcul du
remous d’exhaussement maximal en amont d’un ouvrage de franchissement d’une vallée
fluviale, Notice STCPMVN n°93.04, Compiègne, Paris
Collégial dont DEMMERLE (1999) : Recommandations pour le calcul aux états limites des
ouvrages maritimes et fluviaux, STCPMVN, Compiègne, France
GOUTX D., LADREYT S. (2000) : Guide méthodologique de modélisation filaire des
écoulements à surface libre LIDO 2.0, CETMEF, Bonneuil, France
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7. Annexes
7.1 Expérience de Reynolds
Principe :
On envoie un filet liquide coloré au sein d'une masse liquide en mouvement dans un tube
de verre. On fait varier la vitesse d'écoulement dans le tube en ouvrant plus ou moins le
robinet de vidange.
On observe dans le tube :
On définit :
Vitesse faible : le filet coloré est parfaitement net. Le liquide est formé de
filets liquides juxtaposés et parallèles. C'est le régime LAMINAIRE ou
TRANQUILLE.
Vitesse forte : le filet coloré oscille et se rompt. La matière colorante se
répartit uniformément dans le tube. C'est le régime TURBULENT.
Nombre de Reynolds
Re
Le passage de laminaire à turbulent est défini par :
=
VD
ν
Re < 2000
Re > 2000
V vitesse moyenne
D diamètre intérieur
u viscosité cinématique
régime laminaire
régime turbulent.
Le régime est très souvent turbulent.
Soit un écoulement en canal :
Laminaire ou turbulent ?
VD
Re =
ν
A 20°C
V = 1 m/s
ν = 10-6 m2/s
pour une conduite D = diamètre
ΠD
section mouillée
D
= 4 =
périmètre mouillé ΠD
4
2
Pour un canal, on cherche D équivalent par :
En canal
section mouillée  20 + ( 20 + 2 × 5) 
1
=
×5×

périmètre mouillé 
2
5 × 1,41 + 20 + 5 × 1,41

=
D'où
D'où
125
3 4, 4
=
3, 6 0 m
D = 4 x 3.60 = 14,40 m = D équivalent
VD 1 × 14,4
=
= 14,4 × 106
Re =
−6
ν
10
Re > 2000 donc turbulent
r
Les particules de liquide ont des mouvements désordonnés. le vecteur vitesse V n'est stable
ni en grandeur ni en direction, même en régime permanent.
En fait ce désordre n'est qu'apparent : la vitesse moyenne en un point pendant un temps court
prend une valeur déterminée V.
Il existe un mouvement moyen qui constitue le mouvement d'ensemble, auquel se
superposent les mouvements d'agitation tourbillonnaire et de turbulence.
52
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7.2 Estimation du coefficient de Strickler
(source CEMAGREF)
Rivières naturelles
Pour les cours d’eau à section suffisamment constante voir le tableau suivant
Petit cours d’eau de largeur inférieure à 30 m
cours d’eau de plaine
net, droit, niveau d’eau élevé, peu de variation de la section mouillée
idem, mais pierres et mauvaises herbes plus nombreuses
net, sinueux avec seuils et mouillées
idem, mais avec pierres et mauvaises herbes
idem, mais niveau bas
cours paresseux, mauvaises herbes, trous d’eau profonds
nombreuses mauvaises herbes et nombreux trous d’eau
pentes et fond irrégulier, nombreuses souches, arbres et buissons, arbres tombés dans
la rivière
cours d’eau de montagne
(Pas de végétation dans le lit, rives escarpées, arbres et broussailles pour les niveaux
élevés)
fond en gravier et cailloux, peu de gros galets
fond avec gros graviers
Plaines d’inondation
pâturages sous broussailles
zones cultivées, absences de récoltes
zones cultivées, récoltes sur pied
broussailles dispersées et mauvaises herbes ou broussailles et quelques arbres en
hiver
quelques arbres et broussailles en été; broussaille moyenne ou dense en hiver
broussaille moyenne ou dense en été
souches d’arbres sans rejet
souches d’arbres avec rejets durs
forêt de hautes futaies; peu de broussailles
forêt de hautes futaies; peu de broussailles avec niveau d’eau atteignant les branches
souches denses
Grands cours d’eau largeur maximale supérieure à 30 m
(La valeur de K est supérieure à celle des petits cours d’eau d’allure analogue car les
rives offrent moins de résistance efficace)
section régulière sans broussailles
section irrégulière et rugueuse
53
K
Strickler
30 à 40
30
25
20
20
15
10
5à7
25
20
30 à 35
35
25 à 30
20
15
10
25
16
10
8
7
25 à 40
10 à 25
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Canaux artificiels, galeries ou conduites à surface lisse
Surface très lisses et sans saillies (verre neuf et net; pyroline - cuivre)
Surfaces lisses, sans saillies (bois net raboté; métal soudé non peint; ciment mortier
ou béton bien lissé, bien soigné et sans débris; surfaces très lisses avec courbures
moyennes)
Surfaces avec légères aspérités (acier riveté ou peint; fer forgé ou coulé; bois non
raboté; ciment et mortier; béton coffré avec de l’acier ou du bois lisse sans débris et
pas de courbures; canaux en béton très lisse avec joints; tuyau de drainage
ordinaire; égout vitrifié sans saillie; brique vernissée, grès; asphalte lisse; moellons
dressés avec joints cimentés; surfaces lisses ou très lisses avec fortes courbures)
Surfaces avec aspérités moyennes (métal incrusté; métal riveté avec rivets
grossiers; canaux en métal avec larges saillies vers l’intérieur; bois très grossier
(madriers); béton avec bord lisse et fond rugueux; petit canal en béton, assez droit
et régulier dont la surface est recouverte d’un léger dépôt; bois ou béton avec
développement d’algues et de mousses; égouts avec regards; drains enterrés avec
joint ouvert; terre particulièrement régulière; canaux avec plafond en sable fin
(surfaces non ridées); surfaces lisses avec courbes excessives)
Surfaces rugueuses (métal très incrusté; béton coulé non lissé; béton coulé aux
coffrages en bois rugueux; béton très rugueux ou vieux; maçonnerie vieille ou mal
soignée; canaux en maçonnerie moyenne avec joints nombreux ou nombreuses
courbes; bois ou béton avec développement dense d’algues ou de mousse; canaux
en terre très régulière, état neuf, bon alignement; sable moyen; pierres dressées,
joints cimentés)
Surfaces très rugueuses (canaux en métal avec très fortes saillies vers l’intérieur ou
fortes courbures, ou développement de végétation importante ou débris accumulés;
canaux en béton avec maçonnerie en très mauvais état ou très grossière; canaux
très larges en gravier fin plus sable ou en terre régulière meuble, sans
développement de végétation; radiers pavés; moellons bruts assemblés au ciment)
Surfaces à rugosité très importante (lit en gravier fin; canaux avec dépôts ou
végétation; canaux en terre moyenne, dimensions modérées; moellons bruts
grossièrement assemblés au ciment)
Surfaces assez grossières (aqueducs métalliques à section semi-circulaire en tôle
plissée; terre en mauvais état; gravier moyen; canaux en terre de petites
dimensions ou plus larges avec développement de végétation ou gros galets; fossés
en bon état; canaux en terre sinueux sans végétation; blocage cimenté; béton sur
roche régulièrement excavée)
Surfaces grossières (excavation rocheuse très régulière; gros graviers; pierre sèche;
canaux en terre, dragués, sans végétation ou enherbés; chenaux d’évacuation de
crue, larges et entretenus; béton sur roche irrégulièrement excavée; canaux et
fossés avec nombreuses pierres lisses; canaux et fossés avec pierres rugueuses au
fond et végétation sur les bords)
Surfaces très grossières (excavations rocheuses uniformes; canaux avec
développements considérable de végétation; chenaux d’évacuation de crues,
larges, mais peu entretenus; blocage sec; canaux en terre sinueux avec mauvaises
herbes plus ou moins denses ou plantes aquatiques; canaux en terre sinueux avec
fond en terre et berges en blocage au fond pierreux ou recouvertes de mauvaises
herbes)
Surfaces excessivement grossières (excavations rocheuses irrégulières; canaux en
terre en très mauvais état, très sinueux avec pierres rugueuses et végétation
importante; lits majeurs d’évacuation de crue dégagés, mais entretenus de façon
discontinue)
Divers
canaux non entretenus, mauvaises herbes et broussailles coupées ; canaux en
excavation avec broussailles; fond net, broussailles sur les berges ; fond net,
broussailles sur les berges avec niveau d’écoulement maximum sans
débordement ; canaux avec mauvaises herbes denses aussi hautes que la hauteur
de l’écoulement ; broussailles très denses, niveau d’eau élevé
54
K
Strickler
100 à 110
80 à 90
70 à 80
65
55 à 60
50
45
40
35
30
25
20
20
15
12
10
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7.3 Abaques de Bradley et Rehbock
•
55
Abaque de Bradley n°1
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•
56
Groupe d’Hydraulique Fluviale
Abaque de Bradley n°2
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•
57
Groupe d’Hydraulique Fluviale
Abaque de Bradley n°3
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•
58
Groupe d’Hydraulique Fluviale
Abaque de Rehbock
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7.4.
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Affouillements et protections
1.1.1 INTRODUCTION A LA MODELISATION
Les conditions d’arrachement par l’écoulement des alluvions ou des blocs de protection placés au droit
des ouvrages (barrages mobiles, seuils, pieux...) sont décrites en combinant une loi d’arrachement à
une loi de frottement. Ce modèle est déjà simplifié. En particulier :
♦ il suppose que l’écoulement est unidimensionnel, et ne prend pas en compte les effets
multidirectionnels (rouleaux à axe horizontal ou vertical),
♦ il considère un diamètre D unique des protections, et néglige donc les effets éventuels
d’une granulométrie étendue (pavage par exemple),
♦ il fait intervenir une grandeur h’ (épaisseur de couche limite) non évaluable directement par
le calcul.
1.1.2 LOI D’ARRACHEMENT
La loi d’arrachement s’écrit en exprimant la force tractrice critique τc par :
τ c = Ac . g . ( ρ s − ρ ) . D
avec :
♦ Ac : le coefficient d’arrachement critique,
♦ ρs : la masse spécifique du matériau (alluvions ou enrochement),
♦ ρ : la masse spécifique de l’eau,
♦ D : la valeur caractéristique du diamètre du matériau.
La force tractrice exprime également la composante longitudinale du poids de l’eau sur le grain, elle
s’écrit donc :
τ = ρ . g .h. J
Le coefficient d’arrachement A s’écrit donc (loi d’arrachement) :
A=
h. J
∆.D
où J désigne la pente de la ligne d’énergie et ∆ la densité déjaugée du matériau.
On définit donc une valeur critique Ac , telle que :
59
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♦ si A < Ac , il n’y a pas de mouvement,
♦ si A > Ac , il y a mouvement, et dans ce cas :
• il y a affouillement, la profondeur atteignant une valeur telle que A diminue jusqu’à
la valeur critique,
• pour éviter l’affouillement, on met en place des enrochements dont les
caractéristiques D et ∆ sont telles que A reste en deçà de la valeur critique.
1.1.3 LOI DE FROTTEMENT
La loi de frottement peut s’exprimer par la formule de Strickler, en exprimant le coefficient de Strickler
K (en unité S.I.) par :
K = 21. D −1 / 6
Ce coefficient représente la « rugosité de peau », significative de l’énergie dépensée par l’écoulement
pour transporter les matériaux (l’énergie totale est en général plus forte, et donc le coefficient de
Strickler global d’un tronçon de rivière est en général plus faible que la valeur donnée par cette
relation).
L’équation de frottement s’écrit donc :
1/ 6
h
V = k . g . 
D
. h. J
♦ k : un coefficient de frottement adimensionnel (en général k = 8),
♦ J : la pente de la ligne d’énergie.
La relation ci-dessus suppose que l’écoulement est entièrement régi par le frottement sur le tronçon
considéré. Le terme
g . h . J est représentatif de la force motrice de gravité (poids d’une tranche
1/ 6
h
d’eau verticale de l’écoulement d’eau considéré), alors que le terme k .  
D
est représentatif des
forces de frottement elles-mêmes liées aux conditions d’écoulement dans la couche limite.
L’équation de frottement est donc généralisée en introduisant dans la formule, d’une manière
qualitative, la notion d’épaisseur de la couche limite notée h’ (loi de frottement) :
1/ 6
 h' 
V = k. g .  
D
. h. J
L’épaisseur de couche limite est estimée de la façon suivante :
60
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♦ pour un écoulement uniforme ou graduellement varié régi entièrement par le frottement,
h’ = h (couche limite développée sur toute l’épaisseur de la lame d’eau),
♦ en considérant par exemple un écoulement à la sortie d’un radier lisse (en béton), la
couche limite à l’aval immédiat de l’ouvrage est peu développée. Le profil des vitesses est
plus carré, la vitesse près du fond est donc plus grande que dans l’écoulement rugueux de
même vitesse moyenne (donc la force tractrice est plus grande également). On peut tenir
compte de cette particularité en admettant h’ < h.
1.1.4 LOI GENERALISEE
La combinaison de la loi d’arrachement et de la loi de frottement aboutit à la relation suivante, Vc
désignant la vitesse critique d’arrachement du matériau :
1/ 6
 h' 
Vc = k . g .  
D
. Ac . ∆ . D
♦ les calculs hydrauliques fournissent la valeur de la vitesse de l’écoulement V, et la grandeur
h’ est évaluée en fonction des conditions locales de l’écoulement,
♦ les propriétés des protections D et ∆ sont alors calculées de façon à ce que la valeur de Vc
reste supérieure à V,
♦ ou bien la profondeur d’affouillement est évaluée en considérant qu’elle conduit à une
vitesse V égale à Vc .
1.2 COEFFICIENT D’ARRACHEMENT DES BLOCS OU DES SEDIMENTS
La loi généralisée relie la vitesse critique d’arrachement des matériaux aux propriétés de celui-ci. Cette
loi est à rapprocher de la formule d’Isbach qui s’écrit :
Vc = n 2 . g . ∆ . D
où n est un coefficient dont la valeur dépend de la position du bloc dans le tapis d’enrochement. Les
essais d’Isbach correspondent à une situation de mise en vitesse autour du bloc considéré, donc
lorsque la hauteur de la couche limite h’ est inférieure à la hauteur de l’écoulement h.
Le rapprochement de la formule d’Isbach à la loi généralisée conduit à la valeur suivante du coefficient
d’arrachement critique Ac :
n 2  h' 
Ac = .  
32  D 
−1 / 3
En se plaçant dans les conditions d’essai d’Isbach, et en supposant que l’épaisseur h’ de la couche
limite est du même ordre de grandeur que le diamètre D du matériau, la valeur de n = 1,38 admise
pour un tapis continu aboutit à : Ac = 0,060
61
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