numeros imaginarios

Números complejos o imaginarios
Unidad imaginaria
Se llam a así al número
y se designa por la letra i .
Números imaginarios
Un n ú mero i mag inari o se denota por b i , donde :
b es un núm ero real
i es la unidad im aginaria
Con los n ú mero s imag i n ari o s podemos calcular raíces con índice par
y radicando negativo . x2
+9=0
Potencias de la unidad imaginaria
i0
=1
i1
=
i2
=−1
i3
=−
i4
=1
i
i
Los valores se re p i ten d e cu atro en cu atro , por eso, para saber cuánto vale una
determ inada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la
potencia equivalente a la dada .
i
22
i 2 2 = ( i 4 )5
· i2 = − 1
i2 7 = − i
Números complejos en forma binómica
Al núm ero a + b i le llam amos n ú mero co mpl ejo en
El núm ero a se llama p arte real
fo rma b i nó mi ca .
del n ú mero co mp l ejo.
El núm ero b se llama p arte i mag i n ari a del n ú mero co mp l ejo.
Si b = 0 el n ú mer o co mp l ejo se reduce a un n ú mero r eal ya que a + 0 i = a .
Si a = 0 el n ú mero co mp l ejo se reduce a b i , y se dice que es un n ú mero i magi
n ario pu ro.
El conjunto de todos n ú mero s co mpl ejo s se designa por
.
Los n ú mero s co mp l ejo s a + b i y − a − b i se llam an op uesto s .
Los n ú mero s co mp l ejo s z = a + b i y z = a − b i se llam an co n ju g ado s .
Dos n ú mero s comp l ejo s son i g ual es cuando tienen l a mi sma co mp o n ente
real y l a mi sma co mp onen te i mag i n ari a .
Representación gráfica de números complejos
Los n ú mero s co mp l ejo s se representan en unos ejes cartesianos . El eje X se
llam a eje real y el Y , eje i mag i n ari o . El nú mero co mp l ejo a + bi se representa:
1Por el punto (a, b ) , que se llam a su afi jo ,
z
2 Mediante un ve cto r d e o ri g en (0, 0) y extr emo (a, b ) .
Los afijos de los n ú mero s real e s se sitúan sobre el eje real, X . Y l o s i mag i n ari
o s sobre el eje im aginario, Y .
Operaciones de números complejos en
la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
de núm eros com plejos
La sum a y diferencia
se realiz a
su man d o y
restan d o p artes real es en tre sí y p ar tes i mag i n ari as entre sí .
( a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d ) i
( a + b i ) − (c + d i ) = (a − c) + (b − d )
(5+2i)+(−8+3
i
i ) − (4 − 2 i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)
i=−7+7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los núm eros complejos se realiza apl icando la propiedad d i stri b uti
va del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = − 1 .
( a + b i ) · (c + di ) = (ac − bd ) + (ad + b c) i
(5+2i)·(2−3
i)=
=10 − 15 i + 4 i − 6
i 2 = 10 − 11 i + 6 = 16 − 11 i
División de números complejos
El
cociente
de
d en o min ad o r ; esto
núm eros
es,
com plejos
m ultiplicando
se
hace
num erador
raci o n al i zand o el
y denom inador
por
el
conjugado de éste .
Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El mó du l o d e un n ú mero co mplejo es el mó d u lo d el ve cto r d etermi n ad o
p o r el o rig en d e co o rd en ad as y su afi jo . Se designa por |z| .
Arg u men to d e un n ú mero co mpl ejo
El arg u men to d e u n nú mero co mp lejo es el án g u l o q u efo rma el vecto r
co n el eje real . Se designa por arg (z) .
.
Exp resi ó n d e u n nú mero co mp l ejo en fo rma po l ar .
z=rα
|z| =
r es el mó du lo .
arg (z) =
es el arg u men to .
Ejemp l o s
Pasar a l a fo rma p o l ar :
z=260º
z=2
120º
z=2
240º
z=2
300º
z=2
z=20º
z=−2
z = 2180º
z=2i
z = 290º
z=−2i
z = 2 270º
Pasar a l a fo rma b i n ó mi ca :
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binóm ica, tenem os que pasar en prim er lugar a la fo
rma tri g o no métri ca:
r α = r (co s α + i sen α)
z = 2 · (co s 120º + i sen 120º)
z =1 0 º = 1
z =1 1 8 0 º = − 1
z =1 9 0 º = i
z =1 2 7 0 º = − i
Números complejos iguales, conjugados, opuestos
e inversos
Números complejos iguales
Dos n ú mero s co m p l ejo s son i g u al es si tienen el mi sm o mó d ul o y el mi
smo arg u men to .
Números complejos conjugados
Dos n ú mero s co mp l ejo s son co n ju g ad o s si tienen el mi smo mó d ulo
y o p u esto s su s arg u men to s .
Números complejos opuestos
Dos n ú mero s co mp l ejo s son o p u esto s si tienen el mi smo mó d ul o y sus
arg u men to s se d i feren ci an en π rad i an es .
Números complejos inversos
El i n v e r s o de un n ú mero co mp l ejo no nulo, tiene por mó d u l o el
i n verso d el mó d ulo y p o r arg u men to su op u esto .
Multiplicación de complejos en forma polar
La mu l ti p l i caci ón de dos n ú mero s co mp l ejo s es otro n ú mero co mp l ejo
tal que:
Su mód u lo es el pro d u cto d e l o s mód u lo s .
Su arg u men to es la su ma d e l o s argu men to s .
645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1
Al mu l ti p l i car un n ú mero co mp l ejo z = r α p o r 1 β se g ira z u n án gu l o
β al red ed o r d el o ri g en
. r α · 1β = r α + β
División de complejos en forma polar
La d i vi si ó n de dos n ú mero s co mp l ejo s es otro n ú mero co mp l ejo tal
que:
Su mód u lo es el co ci en te d e l o s mód u lo s .
Su arg u men to es la d i feren ci a d e l os arg u men to s .
645° : 315° = 230°
Potencia de número complejo
La p o ten ci a en ési ma de n ú mero co mp l ejo es otro n ú mero co mp l ejo
tal que:
Su mód u lo es l a po ten ci a n - ési ma del mó du l o .
Su arg u men to es n vece s el arg u men to d ad o .
(230° )4 = 16120°
Números complejos en forma trigonométrica
a + b i = r α = r (co s α + i sen α)
Binómica
z =a+bi
Polar
z =rα
trigonométrica
z = r ( c o s α + i s e n α)
Pasar a l a fo rma p o l ar y tri g o no métri ca:
z = 260º
z = 2 · (co s 60º + i sen 60º)
z = 2120º
z = 2 · (co s 120º + i sen 120º)
z = 2 240º
z = 2 · (co s 240º + i sen 240º)
z = 2300º
z = 2 · (co s 300º + i sen 300º)
z=2
z=20º
z = 2 · (co s 0º + i sen 0º)
z=−2
z = 2 180º
z = 2 · (co s 180º + i sen 180º)
z=2i
z = 290º
z = 2 · (co s 180º + i sen 180º)
z=−2i
z = 2270º
z = 2 · (co s 270º + i sen 270º)
Escribe en forma binóm ica:
z = 2120º
z = 2 · (co s 120º + i sen 120º)
z =1 0 º = 1
z =1 1 8 0 º = − 1
z =1 9 0 º = i
z =1 2 7 0 º = − i
Fórmula de Moivre
Raíz de números complejos
La raí z en ési ma de n ú mero co mp l ejo es otro n ú mero co mp l ejo tal
que:
Su mód u lo es l a en raí z en ési ma d el mó du l o .
Su arg u men to es:
k = 0,1 ,2 ,3, … (n -1)
Coordenadas cartesianas y polares
Conversión de coordenadas polares a cartesianas
x = r · co s α
y = r · sen α
Ejemp l o s
2120º
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = − (0, −1)
Conversión de coordenadas cartesianas a polares
Ejemp l o s
260º
2120º
2240º
2300º
(2, 0)
2 0º
(−2, 0)
2180º
(0, 2)
290º
(0, −2 )
2270º