CUADERNO DE TRABAJO MATEMATICAS FINANCIE

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas
Cuaderno de trabajo de la materia de
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
FEBRERO 2009
INDICE
I.
Interés Simple
1.1 Concepto
1.2 Monto, Capital, Tasa de interés y tiempo
1.3 Tipos de interés
1.4 Descuento bancario
1.5 Ecuaciones de valor equivalentes
II.
Interés Compuesto
2.1 Concepto
2.2 Monto
2.3 Tasa nominal y tasa efectiva
2.4 Ecuaciones de valor equivalente
III.
Anualidades
3.1 Concepto
3.2 Anualidades vencidas
3.3 Anualidades anticipadas
3.4 Anualidades diferidas
IV.
Amortización
4.1 Amortización de una deuda
4.2 Tablas de amortización
4.3 Fondos de amortización
4.4 Tablas de fondos de amortización
V.
Depreciación
5.1 Concepto
5.2 Método de línea recta
5.3 Método de unidades de producción o de servicio
5.4 Método de suma de dígitos
JUSTIFICACIÓN
Los presentes apuntes son el resultado de un esfuerzo que pretende integralmente apuntalar los
objetivos de aprendizaje de la materia logrando este fin con el apoyo de la bibliografía oficial
contemplada en el programa de esta materia por lo que se espera sea una herramienta útil para el
alumno para poder resolver cualquier problema de carácter técnico que la materia presente.
Se logra presentar la solución de problemas de esta materia con un enfoque contable administrativo del
cual frecuentemente adolecen los textos que abordan estos temas con ello se facilita la comprensión de
cada uno de los temas que están integrados en el programa oficial de la materia, esperamos la
colaboración tanto de alumnos como profesores para enriquecer este texto y se asume la posibilidad de
cualquier equivocación que pudiera aparecer en el mismo.
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
CAPÍTULO I.
INTERÉS SIMPLE
1.1 Introducción
El interés tiene una importancia fundamental en la administración de los recursos financieros de una
empresa y de la sociedad. Toda la vasta maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este concepto
básico de pagar por el dinero tomado en préstamo, lo cual nos lleva al concepto central de las
finanzas de que el capital aumenta su valor en el tiempo, producto del interés que tiene derecho a
percibir:
Interés
Capital
Tiempo
1.2 Interés
Interés: El dinero, como cualquier bien, tiene un precio, que es el interés y éste es el
pago por el uso del dinero ajeno o el rendimiento que obtiene un capital y se
expresa con “I”.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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1.3 Interés simple
Interés simple: es aquel que se calcula siempre sobre el capital original, es decir,
siempre sobre el mismo capital.
Ejemplo de comprensión inicial:
Se solicita un préstamo por $10,000 que se acuerda en pagar en tres meses, y al término del
período se entregan. $ 10,900. Así los $900 son la ganancia para quien prestó el dinero, o el costo para
quien recibió el préstamo.
$ 10,000
Capital
C
3 meses
tiempo
n
900
interés
I
monto
M = capital + interés
tasa de int.
i
$
$ 10,900
0.09
Trimestral
900 = 0.09 tasa trimestral
10,000
0.09 X 4= 0.36 tasa anual
0.36 / 12 = 0.03 tasa mensual
La tasa de interés refleja la relación que existe entre el interés y el capital. La tasa y el tipo de
interés son dos expresiones distintas del mismo concepto.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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Tasa 0.36; tipo 36%
Así tenemos que los elementos que intervienen en una operación de interés simple son, de acuerdo
con el ejemplo anterior:
Capital: es la suma prestada o invertida, también se le denomina principal y en otros
contextos conocido como valor presente o valor actual
Tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y que se mide de la
fecha inicial de recepción del préstamo ( o inversión), y hasta la fecha de pago final y
puede estar expresada en días o distintas unidades de tiempo
Tasa: sea el número de unidades pagadas, por cada 100 unidades de la suma prestada,
en la unidad de tiempo, cuando se expresa en decimales se le denomina tasa y cuando
se expresa en porcentaje se le llama tipo.
Monto: es la suma del capital más los intereses, también se le denomina valor futuro o
valor acumulado.
Relación tiempo- tasa: es aquella vinculación de correspondencia que existe entre la
unidad de tiempo utilizada años, meses, días, etc., y la tasa expresada precisamente en
la unidad de tiempo utilizada en el problema matemático, es decir, para una plazo en
años, corresponde tasa en años, para plazo en meses corresponde tasa en meses y así
sucesivamente.
1.4 Diferencia entre interés simple y compuesto.
En algunos casos, el interés no sólo se paga sobre el capital, sino sobre el capital más los
intereses vencidos no pagados o sea el monto. A este procedimiento se le llama interés compuesto.
El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable, en
consecuencia, el interés de cada período de tiempo simple es el mismo.
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F.C.C.A.
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Diferencia entre el Interés compuesto el interés simple: el interés en el interés
compuesto se calcula sobre el monto y en el interés simple se calcula sobre el capital
original
Es común expresar la tasa de interés en períodos que no son anuales. Cuando se trata de interés simple,
sencillamente divida éste entre el número de períodos por año.
Por Ejemplo:
Para obtener la tasa de interés mensual, sólo divida entre 12. Se puede encontrar la tasa, quincenal,
diaria, semanal, etc.
1.3.1. Fórmula para calcular el interés simple
I= Cni
Donde:
I= interés
C= capital
N= tiempo
i= tasa de interés
de la fórmula del interés se extraen las que ayudan a encontrar el capital (C), el tiempo (n) y la tasa de
interés (i).
C= I
ni
n= I
Ci
i= I
Cn
1.3.1.1. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo anual
Ejemplo 1.3.1.1
El señor López deposita en un banco que paga el 13% de interés simple anual sobre los depósitos a
plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $ 350,000?
Datos:
C = 350,000
n=
1
i =
0.13
I=
?
U.M.S.N.H.
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Formula:
I = Cni
I =(350,000)(1)(0.13)
I = $ 45,500
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1.3.1.2. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo mensual
Ejemplo 1.3.1.1
Caso a) Se adquiere un lote con valor de $ 23,500 que acuerda liquidar realizando un pago de
inmediato por $ 3,500 y un pago final 7 meses después. Acepta pagar el 36% de interés simple anual.
¿A cuánto ascenderá la cantidad a pagar por concepto de interés, resuélvalo expresando la relación tasa
y tiempo en forma anual?
Datos:
Fórmula:
C= 23,500 – 3,500= 20,000
n= 7/12
i = 0.36
I = incógnita
I = Cni
I = 20,000 (7/12) (0.36)
I = $ 4, 199.99
Caso b) Para resolverlo en relación tasa y tiempo en forma mensual
C= 23,500 – 3,500= 20,000
n= 7
i = 0.36/12
I = incógnita
I = 20,000 (7) (0.36/12)
I = $ 4, 199.99
1.3.1.3. Aplicación fórmula de interés simple para determinar capital
3.-Un banquero toma dinero prestado al 5% de interés simple anual y lo presta a unos panaderos al
10%. Si su utilidad anual neta ascendió a $ 3,600 ¿cuánto dinero prestó?
Datos:
n=1
i = 0.10 – 0.05 = 0.05
I = 3,600
Fórmula:
C= I
ni
C= 3,600
(1) (0.05)
C = $72,000
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tiempo
4.-Una Asociación Civil, invirtió $ 80,000 al 7 1/2% en un depósito a plazos y obtuvo por intereses
$3,000 ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?
Datos:
Fórmula:
C= 80,000
n= incógnita
i = 0.075
I = 3000
I = Cni
n= I
Ci
n= 3000
(80,000) (0.075)
n= 0.50
1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tasa de interés
5.- El gobierno municipal tiene invertidos $ 200,000 durante 3 1/2 años a interés simple y obtiene en
total $ 25,000 de intereses, ¿cuál es el tipo y tasa de de interés ?
Datos:
n = 3.5
i = Incógnita
C= 200,000
I= 25,000
Fórmula:
I = Cni
i =I
Cn
i = 25,000
(200,000) (3.5)
i = 0.0357
Ejercicios de reforzamiento
6.- Una persona deposita $ 15,000 en un banco y lo retira 8 meses después, recibiendo $6,000 de
interés. ¿Cuál es la tasa de rendimiento que le dieron?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
6
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
7.- Por un crédito de $ 50,000 pactado al 15 % de interés simple anual y a plazo de 10 meses
¿Cuál será la cantidad a pagar por concepto de interés?
8.- Por un depósito a plazo por $ 36,000 pagan $ 750 de interés mensual. ¿Cuál será la tasa de interés
simple anual?
9.- Al comprar en una tienda de departamentos varios artículos, se pagaron $ 1,125 por concepto de
interés por un mes, que corresponden al 1.5 % de interés mensual.¿ A cuánto asciende la deuda?
10.- Se obtiene un crédito por $ 60,000 y se pagaron $ 7,200 de interés. Si la hipotecaria cobra el 24%
de int. Simple anual.¿ dicha cantidad a cuántos meses corresponden?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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1.3.2 Fórmula para calcular el monto a interés simple
Monto: El monto es la suma obtenida de interés más capital.
Interés
+
Capital
Con tiempo
y tasa se
convierte
en:
e
Capital
MONTO
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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M = C (1+ ni)
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Fórmula del monto a Interés simple
Ejemplo de comprensión inicial:
1.3.2.1 El contador Pérez deposita en un banco a plazos $10,000 y recibe 1 año después un total de
$15,000 (incluyendo capital más interés), encuentre monto, capital, intereses y tipo de interés:
a) Intereses si: M = C+ I entonces: 15,000 = 10,000 + I ; 15,000 - 10,000 = I , por lo tanto es
5000 = I
b) Capital ya que la inversión inicial es de $10,000 por lo tanto este es el importe del capital
c) Monto ya que es igual a la suma del capital más los intereses su importe es $15,000
d) Tipo de interés
M = 15,000
C = 10,000
n=1
M = C (1+ ni)
M = (1+ ni)
C
M
C
-1
M
C
-1
sustituyendo:
i = (15,000/10,000) - 1
= ni
1
i = .5 es decir 50 %
= i
n
11.- Una persona toma prestados $ 500 a interés simple, durante 3 años, al 10% ( se conviene en pagar
el interés cada año) ¿ Cuánto recibirá en total el acreedor?
Datos:
C = 400
n =2
i = 0.05
M=?
U.M.S.N.H.
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M = C(1+ ni)
M = (500) [ 1+(3) (0.10) ]
M = $ 650
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12.- Se obtiene un crédito por $ 18,000 a 6 años con el 24% de int. Simple anual. ¿Qué cantidad debe
pagar al vencerse su deuda?
13.- Si se desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, y suponemos que el enganche que habrá que
pagar en esa fecha será de $ 35,000 ¿Qué cantidad debe invertir ahora en su depósito que rinde 2.9%
de interés simple mensual?
13 - a.- ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 0.34 anual?
14.-¿Cuánto tiempo tardarán $ 5,000 en convertirse en $ 8,750 al 25% de interés simple anual?
U.M.S.N.H.
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15.-Se depositan en una cuenta de inversión $ 17,000 al cobro en 1 1/2 años nos entregan $21,590 al
realizar el retiro.¿Cuál fue el tipo de interés que otorgó el Banco?
16.- Un comerciante adquiere un lote de mcía. Con valor de $ 3,500 que acuerda en liquidar, haciendo
un pago inmediato por $ 1,500 y un pago final 4 meses después, Acepta pagar 5% de interés simple
mensual sobre su saldo ¿Cuánto deberá pagar ?
17.- ¿Cuál es el tipo de interés mensual equivalente a una tasa del 0.165 semestral?
18.- Una persona deposita $ 15,000 en un fondo de inversiones bursátiles, que garantiza un rendimiento
del 2.8% de int. Simple mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después. ¿Cuánto recibe?
19) Un banquero desea saber el capital cuyo monto ascenderá a $ 84,000 en 4 años, al 5% de int.
simple anual.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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20.-¿ Cuánto tiempo tardarán $ 8,048 en convertirse en $ 10,462.40 al 5% de int. simple anual?
21.- Un señor pasa 2 años en Europa, y deja en bonos $ 96,000. A su vuelta vende los bonos y recibe
por ellos $ 104,160. Si la diferencia representa el valor de los cupones acumulados
¿Cuál fue el tipo de interés?
1.3 Interés simple por menos de un año: En la práctica, casi todos los problemas de interés, implican
alguna fracción de año.
El interés es un pago que se hace por el uso de dinero tomado en préstamo; para que el deudor
pueda usar el préstamo, es preciso que trascurra tiempo.
Para determinar la duración del período de un préstamo, excluye el primer día y se incluye el
último
Así para un préstamo hecho el 6 de enero y que vence el 29 del mismo mes, se cargaría interés
por 23 días.
Fijación de la fecha del vencimiento
La fecha en que vence un préstamo se fija basándose en la forma en que esté redactada la
obligación
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
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Por ejemplo; si en una transacción de fecha 5 de septiembre, un deudor se compromete a
devolver el préstamo a los 4 meses, había que entregar el dinero el 5 de enero.
Por otro lado, si otro préstamo contratado el 5 de septiembre ha de durar por acuerdo mutuo 120
días, la devolución habla de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejemplo se cuenta el número exacto
de días, porque el tiempo se ha expresado en días.
Tiempo real y tiempo aproximado
Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de
mencionar un número de días, meses o años. El tiempo se puede calcular de dos maneras:
Tiempo real: contando los días transcurridos (días naturales) 365 o 366 días si es bisiesto, es también
llamado exacto.
Días inicial y terminal: para llevar las cuentas de los días se recomienda excluir el primer día e incluir
el último. Así para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo
comercial transcurrido es de 15 días.
Ejemplo:
Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de enero del siguiente año.
30 – 3 = 27 días de septiembre
+
Total:
31 “
“ octubre
30 “
“ noviembre
31 “
“ diciembre
15 “
“ enero
134 días
Tiempo aproximado: Se considera un año teórico de 360 días, con 12 meses de 30 días cada uno. Este
tiempo es el utilizado generalmente por los bancos (año comercial).
Ejemplo:
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Calcule los días transcurridos entre el 20 de junio y el 24 de agosto del 2006.
24 de agosto de 2006 24
08
2006
20 de junio de 2006 20
06
2006
4
2
0
días meses años
Así el tiempo transcurrido aproximado es de 2 meses 4 días, es decir 64 días ya que hemos supuesto
cada mes de 30 días.
Ejercicios de reforzamiento:
Hallar el número real y aproximado de días:
Real
Aproximado
1.- el 4 de enero al 4 de septiembre ........................
2.- el 9 de marzo al 19 de agosto ............................
3.- el 17 de febrero al 13 de mayo ...........................
4.- el 11 de noviembre al 13 de marzo ....................
5 .- el 5 de octubre al 29 de diciembre ....................
*
13 de marzo
13
15
2006
11 de noviembre 11
11
2005
2
4
días meses Años
* Esta es la solución del ejercicio No. 4
son 4 meses X 30 días = 120 + 2 días = 122 días
En meses, al mes de marzo se le considera como 15 porque el mes de diciembre es el mes 12 más 3 porque el mes de
marzo es el tercero del año, y es del año siguiente.
22. Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días, con 30% de interés anual. ¿Qué cantidad debe pagar
al vencerse su deuda?
23. ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $ 4 000 al 33% anual?
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24. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $220 000 si suponemos que el
vehículo aumenta su valor en forma constante y a razón del 2% mensual. ¿Cuál será su valor después
de 2 meses?
25. A una persona que es despedida por problemas financieros de la empresa, se le entrega una
indemnización que incluye 3 meses de sueldo, días de antigüedad y descuentos por impuestos, arroja
un saldo neto de $45 000 ¿Qué ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado depositar su
liquidación en una inversión que paga el 18% de interés simple anual?
26. Una joven tiene 2 deudas:
1. le debe $80 000 a un banco que cobra 3.5% mensual
2. compró a crédito un auto en $125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses;
mientras tanto debe pagar 24% anual durante ese lapso.
¿Cuánto pagará en los próximos 6 meses por concepto de intereses?
27. Una compañía de seguros compra $1’000 000 de obligaciones de teléfonos el día 15 de junio y las
vende el 3 de agosto del mismo año. Si cobra un interés simple del 6% anual. ¿Qué cantidad recibirá
por concepto de interés al momento de la venta? (tiempo real).
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
15
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
28. El día 12 de septiembre se toman prestados $715 al 6% de interés anual y vencen el 12 de enero
del siguiente año. ¿Cuánto pagará al vencimiento? (tiempo aproximado).
29.- Una sociedad compró el 17 de junio $1,000 en bonos con interés del 4 1/4 % y los vendió el 26 de
Septiembre del mismo año. ¿Qué interés obtuvo? (tiempo real)
30. ¿Cuál será el monto al 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del
mismo año, en una cuenta de ahorros que paga el 19% anual? (calcular el monto con el tiempo real y el
tiempo aproximado).
31. Una Cía. de maderas tiene en su poder, el pagaré de un cliente por $ 3,470 a 90 días. Si el pago
hecho al vencimiento del mismo para su liquidación asciende a $ 3,522.05 ¿Cuál es la tasa del interés?
(año comercial o aproximado)
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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32.- Un señor entrega al Bco. el día 27 de junio un cheque por $ 14,158.28 para liquidar un préstamo de
$ 14,000.00 que obtuvo el 14 de mayo. ¿Cuál fue el tipo de interés anual? (tiempo real )
33.- Una empresa tiene un pagaré de fecha 21 de agosto, que vence el 12 de marzo. Si el interés,
calculado a razón del 6% de int. simple anual, asciende a $ 2,182.80 ¿ Cuál es el valor nominal del
pagaré? (tiempo real).
34.- Una Sociedad pagó $ 2,500.20 al liquidar totalmente su pagaré a la vista por $ 2,400 al 4 1/2%
¿Cuánto tiempo habrá estado en circulación el pagaré?
35.- El Bco. prestó $1,400 al 5% de interés simple anual, el día 14 de mayo. Si no se quiere pagar más
de $ 50 de intereses ¿ Cuándo tendrá que liquidar el préstamo? ( tiempo real ).
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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Valor actual o valor presente.
El capital y el valor actual, representa lo mismo, sólo que en contextos diferentes; el capital es una
cantidad que se invierte ahora, para obtener después un monto superior, y el valor actual es,
precisamente el que tiene en este momento, una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha
futura. Se puede usar indistintamente “C” o “A” para designar un valor presente o valor actual.
C=
M
1 + ni
Fórmula para el valor
actual a interés simple
Ejemplo:
Se desea adquirir un auto dentro de 8 meses. El enganche que se supone debe entregar es de $ 7,000
qué cantidad se debe invertir ahora en un depósito de renta fija que rinde el 3.1 % de interés mensual?
DATOS:
i=
0.031
M =7,000
C=?
n =8
i =0.031
C = ? ___________________________ M = $ 7,000
8 Meses
C = M__
1 + ni
C=
7,000___
1 + (8)(.031)
C = $ 5,608.97
36.- Encontrar el valor actual de $12 000 a pagar dentro de un año, si la tasa es del 14% de interés
simple anual.
37.- Una persona participa en una "tanda" y le toca el décimo octavo mes para cobrar. Si dentro de 18
meses recibirá $ 3,000. ¿Cual es el valor actual de la tanda, con un interés simple del 19 % anual?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
38.- ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene más a los intereses de un empleado?
a) Recibir ahora $3 850
b) Recibir $2 000 ahora y otros $2 000 en 2 meses
c) Recibir 3 pagos de $1 400 cada uno a 30, 60 y 90 días.
Suponga que al invertir el dinero se gana un interés simple del 31.4% anual
39. Una persona compró un automóvil el 1 de enero del 2004 en $90 000 Lo vende el 1 de junio del
mismo año, por la cantidad de $96 500.
Considerando exclusivamente los valores de compra y venta, y si la tasa de inflación promedio durante
el año pasado fue de 24.5% determine si fue conveniente para esta persona comprar o vender dicho
automóvil.
40. El señor Díaz planea llevar a cabo la fiesta de XV años de su hija. Para lo cual requiere la cantidad
de $150 000 dentro de 18 meses. ¿Cuánto deberá depositar en una cuenta de valores que rinde el 18%
de interés para garantizar los gastos de la fiesta?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Valor actual de una deuda que devenga interés
Si lo que se busca es el valor actual de una deuda que devenga interés, en ese caso, el monto
total a pagar, es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado.
Ejemplo:
Una Cía. Tiene un pagaré de $ 600 que vence a los 3 meses, que devenga un interés del 1% mensual.
Hállese su valor actual a la tasa del 8.5 de int. Simple anual.
DATOS:
C =600
n =3
i =0.01
M =?
M = C ( 1 + ni )
M= 600 ( 1+3(.01))
M = $ 618.00
DATOS:
M =618
n =3/12
i =0.085
C =?
C=
618____
(1+(3/12)(.085)
C = $ 605.14
41.-¿ Cuál será el valor el valor actual de $ 29,000 a pagar dentro de 6 meses, si devenga un interés del
1% mensual, y el banco cobra el 18% de int. simple anual?
42.- Una empresa tiene la suma de $ 10,000 en cupones de obligaciones que vencen dentro de 39 días.
Ganan un interés del 13% anual simple. ¿Cuál es su valor actual al 14 1/2%?
(tiempo real)
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1.4 Descuento bancario
El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias
y consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés de cuyo valor nominal descuentan una
suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha
del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento.
Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:
a) el descuento comercial y
b) el descuento real o justo
para estas operaciones, se usan ciertas expresiones que es necesario conocer:
Valor nominal de un pagaré: es el que está inscrito en el documento, para el comercio, se trata del
capital. Si el pagaré no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha
de vencimiento especificada.
Descontar un pagaré: es la acción de recibir o pagar un dinero, a cambio de una suma mayor
comprometida para la fecha a futuro, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Al referirse a la
operación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista.
Descuento: es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento de
descontar el pagaré.
Valor efectivo o líquido de un pagaré: es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero
que se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, el valor actual o presente
con descuento bancario.
Tipo o tasa de descuento: es el tanto por ciento de descuento, o sea, un porcentaje del valor nominal
que deduce el prestamista, al descontar el pagaré.
Plazo: es el término que se utiliza para expresar el período de duración del préstamo. Los pagarés son
obligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores a un
año.
Fórmula para el descuento comercial
D = Mnd
Fórmula para calcular el valor líquido
de un pagaré con descuento comercial
C = M(1-nd)
Fórmula para calcular la tasa de
descuento
d = 1 - C/M
n
Fórmula para calcular el tiempo o
plazo de descuento
n = 1 – C/M
d
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
21
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo:
Encontrar el descuento comercial de un documento con valor nominal de $6 500 tres meses antes de su
vencimiento, con un tipo de descuento del 22.4% anual.
Datos:
C= ?
M = 6 500
D = Mnd
D = (6 500)(.25)(0.224) = $ 364.00
n = 3/12
i = 0.224
43. ¿Cuál es el valor comercial de un pagaré con valor nominal de $7 500 si se descuenta con el 33.5%
anual, 3 meses antes del vencimiento? (encontrar el descuento comercial ).
44. Una persona tiene a su favor un documento suscrito el 1 de enero de este año con un valor nominal
de $185 000 con fecha de vencimiento a 10 meses después. Esta persona quiere descontar el
documento en una institución bancaria que aplica una tasa de descuento del 23% de interés el cual
quiere descontar 4 meses antes de su vencimiento. ¿Cuánto recibiría esta persona si se le aplica el
descuento bancario?
45.- Una empresa descontó en una institución bancaria un pagaré con un valor nominal de $50 000
aplicándole una tasa de descuento comercial 3 meses antes de su vencimiento, recibiendo la cantidad de
$46 935 Determine el importe del descuento comercial.
46.- En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $30 000 si su fecha de vencimiento
era el día 29 de noviembre de este año, el tipo de descuento fue del 41% y el descuento comercial fue
de $ 2 125
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
22
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
47.- Una empresa descontó en un banco un documento por el cual recibió $167 000 Si el tipo de
descuento comercial fue del 30% anual y el vencimiento de este era 4 meses después de su descuento.
¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?
48.- ¿En cuánto se negocia el 15 de marzo un documento con valor nominal de $350 000 vencimiento
al 15 de agosto y descuento del 37% anual?
49- ¿Cuántos días antes de su vencimiento se comercializa un pagaré en $4 750 si su valor nominal es
de $ 5 200 y el descuento es del 26.4% simple anual?
50.- Obtenga la tasa de descuento simple anual de un documento cuyo valor nominal es de $2 240 tres
meses antes de vencer.
51.- A qué tasa de descuento se aplicó un documento con valor nominal de $60,000, si se descontó
faltando 5 meses para su vencimiento, y por el cual se obtuvo un valor descontado de $53,500
U.M.S.N.H.
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23
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Descuento de una deuda que devenga interés
Cuando hay que descontar un pagaré que devenga interés, es preciso hallar primero el monto total a
pagar y aplicar después el descuento.
Ejemplo:
El banco descontó el 3 abril, un pagaré de $ 6,300 que tenía esta misma fecha, devengaba el 5% de
interés y vencía el día 3 de mayo: puesto que el tipo del descuento es del 15% anual. ¿Cuál fue el
descuento retenido por el Bco.? (año comercial)
DATOS:
C = 6,300
n = 30/360
i = 0.05
M =?
M = C ( 1 + ni )
M = 6,300 ( 1+(30/360) (.05))
M = $6 326.25
S = 6,326.25
n = 30/360
d = 0.15
D=¿
D=Snd
D = ( 6,300 )(30/360)(0.015)
D = $79.07
51.- ¿Cuál es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $6 500
recibido el 25 de enero pasado con intereses del 2% mensual y cuyo vencimiento es el 30 de julio?
Suponga que la tasa de descuento anual es del 25% (utilizar descuento comercial y tiempo aproximado)
52.- Una compañía tiene un pagaré de $6 000 que vence a los 4 meses, que devenga un interés del 2.1%
mensual. Hallar su valor líquido si se descuenta en el banco 3 meses antes de su vencimiento y el banco
cobra el 25% de descuento anual.
U.M.S.N.H.
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24
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Descuento por pronto pago
El descuento por pronto pago es una rebaja concedida sobre el precio de una mercancía como un
incentivo para pagarla inmediatamente, o dentro de un plazo especificado. Entre los más frecuentes se
expresan en la forma de los siguientes ejem: al contado: 5%; neto 60 días, 3/10 significa 3% en 10 días.
Ejemplo:
Una Cía. Compra el 18 de mayo enseres de oficina por valor de $ 28,000 y la factura lleva el siguiente
encabezado: Condiciones de pagar 3 meses neto, 2/60, 3/30, 4/10, 5 al contado. Si la Cía. Paga el 18 de
junio,¿ Cuál será la cantidad pagada? ( 360 )
28,000 X 0.03 = 840
28,000 – 840 = $ 27,160.00
53.- Se compran mercancías por $17 900 el día 1º de Julio, con las siguientes condiciones de pago:
15% al contado, 12/15, 10/30 5/60 y neto en 90 días. Si la factura se liquida el día 8 de agosto,
¿cuál será la cantidad a pagar?
53(A).- Al comprar mercancías el día 2 de febrero, por $9 750 nos ofrecen las siguientes condiciones
de pago: neto, 60 días, 5/30 8/10 10% al contado. Si se liquida la factura el día 25 de febrero, ¿qué
cantidad se pagará?
Descuentos en serie o en cadena
A veces se dan varios descuentos sobre un mismo precio. En cada caso se realiza un descuento después
de haber deducido el descuento anterior. El orden en que se deduzcan los descuentos no afecta el
resultado. Así un precio de venta anunciado como precio de lista " menos el 10%, 20% y 5% es
idéntico al precio presentado como precio de lista menos: 5%, 10% y 20%.
Ejemplo:
10,000 x 0.10 = 1, 000 10,000 x 0.05 =
500
10, 000 – 1, 000 = 9, 000 10,000 – 500 = 9,500
9,000 x 0.20 = 1,800
9,500 x 0.10 = 950
9,000 – 1,800 = 7,200
9,500 – 950 = 8,550
7,200 x 0.05 = 360
8,550 x 0.20 = 1,710
7,200 – 360 = $ 6,840
8,550 – 1,710 = $ 6,840
U.M.S.N.H.
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25
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Descuento único equivalente a una serie de descuentos
¿Cuál es el descuento único equivalente a la serie 5%, 10% y 20%
1.00
-0.05
0.95
1.00
-0.10
0.90
10,000 X 0.684= $ 6,840
10,000 X 0.316= $ 3,160
1.00
-0.20
0.80
0.95 X 0.90 X 0.80=
0.684
1.00 - 0.684= 0.316
Precio neto
Descuento único
Porcentaje neto a pagar 0.684 X 100 = 68.4%
Porcentaje único equivalente a los tres descuentos: 0.316 X 100 = 31.6%
54.- ¿Cuál será el precio neto de una máquina cuyo precio de lista es $ 35,000 si se ofrecen los
descuentos comerciales 20%, 12 1/2, 5% y 2%? ¿ y cuál será el tipo de descuento único?
55.- Encontrar el precio neto de una mercancía si su precio de lista es de $ 51,000, y se ofrecen los
descuentos del 8%, 3% ¿Cuál es el porcentaje de descuento que corresponde a los dos descuentos?
56.- Encontrar el descuento que se obtendrá por una mercancía cuyo precio de lista el de $34,500 si se
ofrecen los descuentos del 20%, 10% y 5% y qué porcentaje neto de descuento corresponde?
U.M.S.N.H.
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M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Unos almacenes compran el 2 de enero mercancías por valor de $ 10,000 en las siguientes condiciones:
3 meses neto, 3/60,5/30,8/10,10 al contado. Hállese cuál de las a ofertas de descuento pago es la más
ventajosa para el comprador.
Fecha
de pago
Precio
pagado Desc.
Razón del
descuento
periodo
de Desc
Tipo de int.
simp.anual equiv.
2 de abril
10,000
----
----
----
----
----
2 de marzo
9,700
300
300/9700=.030927
30 días
(.03092)(360/30)=
0.371124=37.11%
2 de febrero 9,500
500
500/9500=.052631
60 días (0.052631)(360/60)= 0.315786=31.57%
12 de enero
9,200
800
800/9200=.086956
80 días (0.086956)(360/80)= 0.391302=39.13%
2 de enero
9,000 1,000 1,000/9000=.111111 90 días (0.111111)(360/90)=
0.4444=44.44%
Conviene pagar al contado, porque corresponde al tipo de interés anual más alto
57 .- Una empresa compro el 1° de septiembre una máquina con valor de $ 70,000 y le ofrecen los
siguientes descuentos: 2 meses neto, 5/45, 6/30, 7/15, si la empresa paga el 17 de septiembre ¿ Qué
cantidad paga la empresa y en cuál fecha le hubiera convenido pagar?
U.M.S.N.H.
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27
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1.5 Ecuaciones de valor equivalentes
Un problema básico y muy frecuente en las operaciones financieras es que existan operaciones
diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única.
Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto.
No se debe olvidar que sólo se pueden sumar, restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha.
La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina fecha focal. La fijación de la fecha focal debe
corresponder a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la
determinación de las cantidades.
Ejemplo:
Se firma un pagaré por $10 000 a 90 días al 6% anual; 30 días después se firma otro pagaré por $25
000 a 60 días sin interés. Dos meses después de la primera fecha, acordó con el acreedor pagar $20
000 en ese momento y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por uno solo a 3 meses, con
un rendimiento del 8% anual. Determinar el pago único convenido.
Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo - valor.
X
A $10 000
0
30
B $25 000
60
90
120
150
180
I $20 000
Se escoge como fecha focal a 150 días. Y se calculan los distintos valores y se plantea la ecuación de
valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos.
Solución:
Son 4 las operaciones implicadas: 2 de contratación de deuda y 2 de pago
Contratación de deuda:
Primero encontramos el monto de este capital de $10 000 con el interés pactado de la deuda
A. Datos:
C= 10 000
M = C(1+ni)
n = 90/360 = 3/12
i = 0.06
M = 10 000(1+ (0.25)(0.06)
M=?
M = $10 150 Valor al vencimiento
Para este valor encontrado se calcula el monto al final del nuevo plazo considerando el nuevo interés
pactado
A. Datos:
C = 10 150
n = 60/360 = 2/12
M = 10 150 (1+ (0.1666) (0.08) )
i = 0.08
M = $10 285.33 Valor al final del nuevo plazo
U.M.S.N.H.
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28
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ahora, se calcula el monto para el segundo adeudo, de la fecha de vencimiento al final del nuevo plazo
pactado.
B. Datos:
C = 25 000
n = 60/360 = 2/12
M = 25 000 ( 1 + (0.1666)(0.08) )
i = 0.08
M = $25 333.33 Valor al final del nuevo plazo
Pago:
Enseguida se toma el valor del pago de $20 000 que se realizará a cuenta, a los dos meses de pactada la
primera deuda y se encuentra su monto al final del nuevo plazo pactado.
Datos:
I. C = 20 000
n=3
i = 0.08/12
M = 20 000 ( 1 + (3) (0.08/12) )
M = $20 400
Ecuaciones equivalentes:
A+B=I+X
10 285.33 + 25 333.33 = 20 400 + X
35 618.66 = 20 400 + X
35 618 .66 - 20 400 = X
15 218.66 = X
Por lo tanto el valor del pago al final del nuevo plazo será de $ 15 218.66
58. Una persona contrajo una deuda hace 5 meses por $25 000 con 1% mensual de interés y que vence
en 5 meses. Además, debe pagar otra deuda de $100 000 contraída hace 2 meses con un interés del
18% anual y que vence dentro de 3 meses. Considerando un interés del 20% anual, ¿qué pago deberá
hacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 8 meses?
AI
-5
I
I
-4
-3
IB
-2
I
-1
I
0
X
I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
7
I
8
I
$100 000
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
29
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
59. Se tiene una deuda contratada hace 4 meses, con vencimiento dentro de 8 meses, por un valor de
$50 000 que devenga un interés del 1% mensual. Además se firma el día de hoy otro documento con
vencimiento a 10 meses, por un valor de $25 000
Si dentro de 2 meses se pueden pagar $10 000 y se decide firmar un único documento que sustituya los
2 anteriores, con vencimiento a 1 año a partir de hoy y que incluya un interés del 2% mensual. ¿Cuál
será el valor de dicho documento?
Ejercicios de reforzamiento:
60.- Un niño de 5 años recibirá $120,000 al cumplir 21 años. ¿Cuál es el valor actual de este fondo, si
el precio del dinero es del 5%? anual
61.- Una persona debía recibir el 15 de Dic. $ 100,000. Necesitando fondos 10 meses antes de dicha
fecha, tomó prestado una suma de dinero tal, que la cantidad que recibiría el 15 de diciembre bastaría
para pagar la deuda; con el interés del 5% ¿Cuánto dinero tomó prestado?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
30
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
62.- Se obtiene un crédito por $ 1,800 a 160 días con 50% de int. Simple.¿Qué cantidad debe pagar al
vencerse su deuda? (360)
63.- Que cantidad por concepto de interés mensual produce un capital de $ 4,000 al 33% anual simple?
64.- El día que una compañía se declaró en quiebra, tenía una hipoteca que vencía poco después. El
monto total, a pagar al vencimiento, ascendía a $ 15,450. Si el precio del dinero es el 6 % y el valor de
la hipoteca en el momento de la quiebra es $ 15,380.79 ¿Cuántos días han transcurrido desde la quiebra
hasta el vencimiento de la quiebra? ( considerar año de 360 días)
65.- Se tiene un pagaré de $ 24,000, sin interés, que vence el 19 de junio. El 14 de abril vende dicho
pagaré y recibe a cambio $ 23,760.42 ¿ A qué tasa de interés se calculó este valor actual?( 360 )
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
31
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
66.- ¿Cuál es el valor actual al 4% de un pagaré de $ 321 que vence dentro de seis meses con interés
simple del 6% anual?
67.- Dos meses antes de su vencimiento, se pagó $ 10,115.70 por un pagaré a 120 días, de $ 10,000
valor nominal, que devengaba el 6% de interés.¿Cuál fue la tasa de descuento usada para llegar a este
valor actual?
68.- Hállese el descuento al 5% del un pagaré que no devenga interés, de $ 1,725, pagadero a los 4
meses.
69.- Qué cantidad se debe invertir hoy al 2.8% de int. Simple mensual para tener $ 2,000 dentro de dos
meses?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
32
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
70.- Si la tasa de descuento es el 0.05 y $ 432.00 es el importe del descuento sobre una deuda de
$35,000. ¿Cuál es el número de días hasta el vencimiento de la deuda? (Considerar año comercial.)
71.- ¿Qué cantidad de dinero colocado en una inversión de renta fija que paga 40% de interés simple
anual produce interés mensual por $ 450?
72.- Un señor recibió dos ofertas de $ 8,000 por una propiedad. El primero le ofrece $ 3,000 al contado
y $ 5,000 a los seis meses, y el segundo le ofrece $ 5,000 al contado y $ 3,000 al cabo de un año.¿Cuál
de las dos ofertas es mas ventajosa desde el punto de vista del valor actual? Considere un interés del
8% anual.
73.-¿ Qué cantidad se recibió por un documento con valor de $ 1,150, que no devengaba interés, vencía
a los 30 días, si el tipo de descuento era del 5% simple anual?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
33
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
74.- Una persona desea descontar en el Bco. un pagaré a 4 meses. El tipo de descuento del Bco. es el
6%. ¿Por qué importe deberá extender el pagaré si desea recibir $ 5,000 como valor líquido?
75.- ¿Cuál es la fecha más temprana en que se puede descontar un pagaré de $ 450, que vence el 1° de
junio, si desea recibir $ 441 como valor líquido? El tipo de Desc. Es el 6 %.
76.- A qué tasa de interés simple anual, $ 2,500 acumulan intereses por $ 500 en seis meses?
77.- Se tiene un pagaré de $ 320 pagadero a los 6 meses, y con un interés del 1.5% mensuales, líquido,
si el tipo de descuento fue del 6% anual simple?
78.-Un señor recibió $ 1,235.42 como valor liquido de un pagaré a 60 días que descontó en el Bco. El
valor nominal de dicha pagaré ascendía a $ 1,250.¿Cuál fue el tipo de descuento del Bco.?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
34
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
79.- Cierta compañía vende mercancías por valor de $ 5,882.40 siendo los condiciones de pago 3/10
n/60. Hállese el descuento si la factura es pagada dentro del período de descuento.
80.- Una mueblería envía mercancía por valor de $ 6,270. Las condiciones de pago indicadas en la
factura son: contado 15%, 10/30, 5/60, n/90 ¿Cuáles son los tipos de interés anual equivalentes a esos
descuentos? ¿Qué es lo que más le conviene hacer al comprador?
81.- Para cambiar piso a un almacén, se ofrece un piso en un precio de catálogo de $ 985, con los
descuentos en cadena de 10%, 8% y 15%. Si se aprovechan todos estos descuentos, ¿Cuál es el precio
pagado y cuál es el descuento único equivalente?
82.- ¿Cuánto debe por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $ 1,200 si la liquida
6 meses después y le cobran interés a razón del 60% anual simple?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
35
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
83.- Una persona compro un radio que cuesta $ 1,500. Pago un enganche de $ 800 acuerda en pagar
otros $ 800 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simple pagó?
84. Una persona contrajo una deuda el día de hoy por $20 000 para pagarse dentro de 10 meses, con la
tasa de interés del 9.5% anual. Esta persona acuerda con su acreedor pagar 4 meses antes de la fecha de
vencimiento para lo cual estipulan una nueva tasa de interés del 6.5% anual.
Determine el pago equivalente a la deuda originalmente pactada a 10 meses que deberá cubrir 4 meses
antes del vencimiento.
Datos:
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
36
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
CAPÍTULO II
INTERÉS COMPUESTO
2.1 Concepto En el interés simple, el capital original sobre el cual se calculan los intereses permanece
sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio,
los intereses que se van generando, se van incrementando al capital original en períodos establecidos, y
a su vez, van a generar un nuevo interés adicional.
En el ámbito de los deudores de la banca esto se ha calificado como: “anatocismo”, que se caracteriza
por el cobro de intereses sobre intereses, de manera que los abonos que se hacen a la deuda, en algunos
casos, son insuficientes para cubrir dichos intereses y parte del capital que se debe, lo que da como
resultado que la deuda se incremente en lugar de disminuir a lo largo del tiempo.
2.2 Monto Se llama monto de un capital a interés compuesto, a la suma del capital inicial más sus
intereses.
Ejemplo:
Encontrar el monto de un capital de $350 colocado a interés compuesto del 4% al cabo de 3 años.
Capital inicial
350
Tasa de interés
X 0.04 14 + 350.00 = 364.00
Capital al inicio 2º año
364
Tasa de interés
X 0.04
14.56 + 364.00 = 378.56
Capital al inicio 3er año 378.56
Tasa de interés
X 0.04 15.14 + 378.56 = $ 393.70
Utilizando la fórmula del monto donde:
C = 350
i = 0.04
n= 3
M= C(1+i)n
M = 350 ( 1.04 ) 3
M = $393.70
Para el interés compuesto utilizaremos las siguientes fórmulas:
Fórmula para calcular el
Interés compuesto
Fórmula para calcular el
Monto a Interés compuesto
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
I = C (1 + i)n -1
M= C(1+i)n
I = C (1 + j/m)mn -1
ó
M = C ( 1 + j/m )m n
37
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
Fórmula para el valor
Valor actual ó capital
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
C =
M
(1+i)n
C =
Fórmula para encontrar
la tasa de interés
Fórmula para encontrar
el tiempo
ó
M
ó
( 1 + j/m) mn
i=
n
C = M( 1 + i )- n
C = M( 1 + j/m )-m n
M -1
C
n = log M/C ó
log 1 + i
n = Log M – Log C
Log (1 + j/m)m
85.- Un señor deposita $25 000 a interés compuesto del 14% anual, al cabo de 6 años lo retira y quiere
comprar un terreno que le cuesta $80 000 ¿Cuánto le falta para completar dicha cantidad?
86.- Si se depositan $1 200 en un banco que paga el 4% anual, ¿Cuántos años deben transcurrir para
poder obtener un monto de $1 459.98?
87.- ¿Qué capital se debe invertir ahora, para obtener $5 000 dentro de 3 años, invertidos a interés
compuesto del 6% anual?
88.- ¿A qué tipo de interés debo invertir $300 para que al final del 5º año me entreguen $1,113.88?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
38
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
2.3 Tasa nominal, tasa efectiva Cuando el interés se capitaliza más de una vez por año, el tipo de
interés anual declarado recibe el nombre de tasa o tipo nominal. Por ejemplo, si el banco dice que paga
el 4% sobre los depósitos, capitalizable trimestralmente, en realidad, recibe un poco más del 4% ya que
cada tres meses, el capital aumenta con los intereses.
Tasa efectiva: se puede definir como aquella que efectivamente se recibe y es mayor a la tasa nominal.
Símbolos:
i = tasa efectiva
j = tasa nominal
m = número de capitalizaciones al año
Fórmula para calcular
la tasa efectiva de
interés
i = ( 1 + i ) n– 1
i = ( 1 + j/m ) mn – 1
Fórmula para encontrar
la tasa nominal
jm = m (1 + i)1/m – 1
jm =
mn
M/C - 1 m
El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama
“período de capitalización” y el número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, se
llama: frecuencia de conversión y se denota con m.
Si el período de capitalización es mensual entonces las siguientes expresiones son equivalentes:
“el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”, “convertible mensualmente” o “interés
nominal mensual”.
Los valores más usuales de m son:
m = 2 para períodos semestrales
m = 3 para períodos cuatrimestrales
m = 4 para períodos trimestrales
m = 6 para períodos bimestrales
m = 12 para períodos mensuales
m = 13 para períodos de 28 días
m = 24 para períodos quincenales
m = 52 para períodos semanales
m = 360 ó 365 para períodos diarios
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
39
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
89.- El banco paga a sus depositantes, interés a la tasa del 4 ½ % con capitalización semestral. Si se
deja en depósito por un año $500 ¿Qué cantidad se le deberá al depositante al final del plazo?
90.- Una empresa obtiene un préstamo de habilitación por $150 000, el cual documenta con un pagaré
con vencimiento a 3 años y que estipula intereses trimestrales del 6% liquidables al momento de la
firma del documento ¿cuál será la cantidad líquida que reciba la empresa?
91.- ¿Qué capital total se habrá reunido después de tres y medio años, si se depositan $1,000 a interés
compuesto del 16% convertible trimestralmente?
92.- Una persona depositó $6 000 en un banco que paga a sus depositantes el 3% anual, capitalizable
mensualmente. ¿Cuántos años tardará dicho depósito en llegar a $7 500?
93.- ¿Cuál será el interés compuesto de $3 000 al 7% de interés anual durante 6 años; y cuál el de $3
000 también al 7% en 6 años, pero con capitalización quincenal?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
40
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
94.- Se desea formar un fondo de $25 000 al cabo de 2 años. ¿Qué cantidad debe depositarse hoy si el
banco paga un interés del 11% capitalizable bimestralmente?
95.- ¿Qué tasa de interés nominal capitalizable trimestralmente, tendría que recibirse para que un
depósito inicial de $1 650 llegue a la suma de $2 340 al final del 10º año?
96.- ¿Cuánto tiempo tardarán $12 000 en llegar a $15 220 si se depositan en una cuenta que rinde el
13% anual con capitalización bimestral?
97.- Un banco paga a sus depositantes el 15% capitalizable cada 28 días, en tanto que otro banco paga
el mismo interés pero capitalizable por semestres. Hallar el tipo anual efectivo en cada caso.
98.- Si la inflación mensual promedio durante 6 meses ha sido del 1.2% ¿De cuánto será la acumulada
en el semestre?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
41
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
99.- ¿Cuál será el porcentaje de la inflación en el primer cuatrimestre del año, si en los meses de enero,
febrero, marzo y abril fue del 1.2, 0.9, 1.3 y 1.5% respectivamente?
100.- ¿Cuál será la tasa nominal anual con capitalización mensual a la que se capitalizaron $50 000
durante tres meses para que nos entregaran $50 753.75 al final del plazo?
101.- ¿Cuántos puntos porcentuales varió el Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) de la Bolsa
Mexicana de Valores, en 5 días de la semana, si el lunes aumentó 2.17%, el martes cerró a la baja en
1.92%, el miércoles creció 1.78 puntos, el jueves creció 1.51 y el viernes bajó 0.23%?
2.4 Ecuaciones de valor equivalente
Para plantear y resolver problemas financieros, ya estudiamos apoyándonos con diagramas de tiempo,
que nos facilitan para ubicar los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estos
desplazamientos nos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema,
hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia; teniendo todas las
cantidades en esa fecha, separamos los que correspondan a las deudas y los que correspondan a los
pagos.
Así agrupamos por una parte las deudas en el “debe” y por otro lado los pagos en el “haber”,
estableciendo una igualdad que conocemos como ecuaciones de valor equivalente o simplemente
ecuaciones de valor.
Después esta ecuación se resuelve despejando la incógnita que en ella aparezca para lograr la solución
del problema.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
42
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Esta solución varía un poco de acuerdo con la localización de la fecha focal tratándose de interés
simple, pero cuando el interés es compuesto, la solución es la misma para cualquier ubicación de la
fecha focal.
Ejemplo:
Se deben $10 000 a un plazo de dos años y otros $20 000 a cinco años. Con el acreedor se acuerda en
efectuar un pago único al final del plazo, conviniendo en un interés del 8% anual capitalizable
semestralmente. Calcular el pago único.
Elaboramos el diagrama de tiempo:
$10 000
I
0
I
1
I
2
$20 000
I
3
I
4
I
5
Pago X
La deuda de $10 000 se llevaría a un valor futuro al 5º año, por lo tanto encontraremos el monto. Los
$20 000 únicamente se suman puesto que en esa fecha sería el pago.
Datos:
C = 10 000
n = 3 x 2 = 6 semestres
i = 0.08/ 2 = 0.04
M=¿
Deudas
Pago
6
10,000(1.04) + 20 000 = X
12 653.19 + 20 000 = X
32 653.19 = X
Por lo tanto el pago único sería de $32 653.19
Como mencionamos que puede tomarse cualquier otra fecha focal y que el resultado sería el mismo,
tomemos ahora como fecha focal el 0 es decir la fecha de contratación de la deuda:
$10 000
I
0
I
1
I
2
$20 000
I
3
I
4
I
5
Pago X
Ahora llevaremos a un valor actual las cantidades, es decir le restaremos los intereses y las igualaremos
al pago a realizar:
Datos:
M = 10 000
i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)
n = 2 x 2 = 4 semestres
C=?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
43
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
M = 20 000
i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)
n = 5 x 2 = 10 semestres
C=¿
10 000(1.04)-4 + 20 000 (1.04)-10 = X ( 1.04)-10
8 548.04
+ 13 511.28
= X (0.675564)
22 059.32
0.675564
= X
$32 653.18
= X
Encontramos que es la misma cantidad, $32 653.18
102.- Se tiene una deuda contratada de $500 000 pagadera en dos abonos de $250 000 cada uno, a 3 y
6 meses. Si se desea liquidar en 3 pagos bimestrales; si el primero es de $100 000 el segundo de $200
000 ¿cuánto importará el tercero considerando una tasa del 36% anual convertible mensualmente?
b) Y suponiendo que el pago se realice en el mes 0 ?
$250 000
$250 000
I
I
I
I
I
I
I
0
1
2
$100 000
3
4
$200 000
5
6
X
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
44
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
103.- Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $30 000 a 6 meses y otro
de $50 000 en un año y medio. ¿Qué cantidad debería pagar para liquidar la deuda en un solo pago?
a) en este momento
b) en un año
La tasa de interés es de 20% convertible mensualmente.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
45
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
104.- Una persona debe $25 000 a pagar en un año. Abona $5 000 a los a los 4 meses y $7,000 a los 6
meses. ¿qué cantidad debe entregar a los 10 meses para liquidar la deuda si se considera un interés del
18% anual?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
46
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejercicios de reforzamiento:
105.- ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al año
capital e interés a una tasa aplicada de 0.24 anual convertible trimestralmente?
106.- ¿Qué cantidad debería liquidarse en el préstamo del problema anterior, si se pagara al cabo de 10
meses?
107.- Se adquirió un sitio de construcción para una nueva gasolinera hace 10 años en $50,000. El sitio
fue vendido hace poco en $120,000. Haciendo a un lado cualquier impuesto, determine la lasa de
interés obtenida sobre la inversión, con capitalización mensual.
108.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a un interés del 0.15
convertible semestralmente. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 15 meses.
¿Cuál será el monto acumulado que se le entregue si se depositó $12,000?
109.- ¿Por qué cantidad es un pago a los 5 meses de la compra de un televisor, si se dio un enganche de
de $5,800 que corresponden al 40% del precio y se tienen cargos del 24% anual capitalizable
mensualmente?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
47
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
110.- El 6 de enero, cierta compañía compra materiales para la construcción de un edificio de
departamentos, suscribiendo dos documentos con valor nominal de $135,000 y $82,000 y cuyo
vencimiento respectivamente es el 19 de marzo y el 12 de mayo siguientes, cuyos intereses son del
23% anual capitalizable mensualmente. Determine:
a) el precio de contado de los materiales
b) el cargo por concepto de intereses
c) el valor líquido de los dos documentos el 15 de febrero con un descuento del 24% simple anual.
111.- Para disponer de $7,250 el 2 de ju1io, el 15 de enero anterior cuánto debe invertirse al 25% de
interés efectivo. (Considerar año comercial).
112.- El 10 de agosto se consigue un crédito suscribiendo dos pagarés uno de $7,200 y otro de $6,500
que vencen el 25 de septiembre y el 15 de octubre respectivamente. Poco antes de hacer el primer
abono se conviene en reemplazarlos por dos iguales al 1º de octubre y al 10 de noviembre.
a) ¿por cuánto fue el crédito?
b) ¿por qué cantidad es cada uno de los nuevos pagos?
Suponga intereses del 27.72% compuesto por días.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
48
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
114.- ¿Cuánto tiempo tardarán $18,000 en ascender a $22,000 con una tasa nominal del 8%
capitalizable trimestralmente?
115.- Una persona tiene 4 adeudos de $7,000 $15,000 $12,000 y $13,500 que vencen respectivamente
el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre; todos devengan intereses del 34.20%,
capitalizable por días. En una reunión acuerda con sus acreedores hacerles 3 pagos iguales el
quinceavo día de los meses de abril, junio y agosto en sustitución de los primeros. ¿De cuánto es cada
uno?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
49
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
CAPITULO III
ANUALIDADES
3.1 Concepto Una anualidad es una serie de pagos iguales que se perciben a intervalos fijos de tiempo,
aún para períodos inferiores a un año. Son ejemplo de anualidades:
Los pagos mensuales por renta
El cobro quincenal o semanal de sueldos o salarios
Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.
Se conoce como intervalo o período de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se
denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer período de pago y el
final del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. También hay ocasiones en
las que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en
intervalos iguales.
Tipos de anualidades
La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de
ellas. La clasificación que se hace corresponde a los siguientes criterios:
Criterio
a) Tiempo
Tipos de anualidades
Ciertas (sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejem.
Las letras de pago de la compra de un auto.)
Contingentes (la fecha del primer pago o del último no se fijan de
antemano. Porque dependen de un hecho que no se sabe
cuándo ocurrirá. Ejem. Renta vitalicia a un cónyuge al
morir el otro)
b) Intereses
Simples (cuando el período de pago coincide con el de capitalización
de intereses.Ejem. pago de renta mensual y capitalización
mensual de intereses.
Generales (el período de pago no coincide con el período de capitalizac.
Ejem. Pago de renta semestral y capitalización mensual.)
c) Pagos
Vencidos (se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su
vencimiento. Ejem. Pago de Luz, tel, sueldos.)
Anticipados (los pagos se realizan al principio de cada período.
Ejem. El pago de la renta.)
d) Iniciación
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
Inmediatos (la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el
período que sigue inmediatamente a la formalización
del trato. )
Diferidos (se acuerda que al adquirir algún artículo a crédito, la
primera de las mensualidades se hará por ejemplo,
3 meses después.)
50
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
De acuerdo con la anterior clasificación se puede distinguir diversos tipos de anualidades:
inmediatas
diferidas
vencidas
ciertas
anticipadas
inmediatas
diferidas
simples
vencidas
inmediatas
diferidas
anticipadas
inmediatas
diferidas
vencidas
inmediatas
diferidas
contingentes
Anualidades
ciertas
anticipadas
generales
vencidas
inmediatas
diferidas
inmediatas
diferidas
contingentes
anticipadas
inmediatas
diferidas
2.2 Anualidades vencidas De estos 16 tipos de anualidades, analizaremos algunas de ellas, de las más
comunes, y comenzaremos con las simples, ciertas, vencidas e inmediatas.
Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son:
R
A
la renta o pago por período
el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento
presente
M el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al
final de la operación
n tiempo
i tasa de interés
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
51
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo:
Se tiene derecho a percibir $500 mensuales durante 5 meses, en anualidad vencida. Determinar qué
cantidad se acumularía en una cuenta de inversiones que rinde el 24% anual convertible mensualmente.
I
0
1
$500
2
$500
3
$500
4
$500
5
$500
Datos:
R = 500
n=5
i = 0.24/12= 0.02
Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: M = C ( 1 + i ) n para cada uno
de los depósitos, que gana interés por el tiempo que dura la anualidad.
Primer mes
segundo mes
tercer mes
cuarto mes
quinto mes
500(1.02)4 =
500(1.02)3 =
500(1.02)2 =
500(1.02)1 =
500
=
total
541.21 está depositado durante 4 meses
530.60 está depositado durante 3 meses
520.20 está depositado durante 2 meses
510.00 está depositado durante 1 mes
500.00 únicamente se suma, en ese momento se deposita
= $2 602.01
Fórmula para obtener el monto
de una anualidad simple, cierta
vencida e inmediata
M = R (1 + i) n – 1
i
Si aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:
Datos:
R = 500
n=5
i = 0.24/12= 0.02
M = 500 (1.02)5 – 1
0.02
M = $ 2 602.02
Encontramos el mismo resultado.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
52
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Si queremos encontrar el valor de la anualidad al principio, aplicamos el valor presente.
0
1
$500
2
$500
3
$500
4
$500
5
$500
Datos:
R = 500
n=5
i = 0.24/12= 0.02
Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: C = M ( 1 + i )-n para cada uno
de los depósitos, restando el interés por el tiempo que dura la anualidad.
Primer mes
segundo mes
tercer mes
cuarto mes
quinto mes
500(1.02)-1 =
500(1.02)-2 =
500(1.02)-3 =
500(1.02)-4 =
500(1.02)-5 =
total
490.19 se resta el interés de 1 mes
480.58 se resta el interés de 2 meses
471.16 se resta el interés de 3 meses
461.92 se resta el interés de 4 meses
452.86 se resta el interés de 5 meses
= $2 356.71
Fórmula para encontrar
el valor actual de una anualidad
vencida
A = R
1
1 - ( 1 + i )n
i
1
A = R 1 - ( 1 + j/m )m n
( j/m)
Si aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:
Datos:
R = 500
n=5
i = 0.24/12= 0.02
A = 500
1
1 - (1.02 ) 5
0.02
A = $ 2 356.72
Así encontramos la misma respuesta.
Ejercicios:
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
53
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1. Se obtiene un contrato de arrendamiento de un solar por 9 años, comprometiéndose a pagar $42 000
al final de cada año. ¿Cuál será la cantidad reunida al final del contrato, si la cuenta rinde un interés
del 11.5 % anual?
2. Una persona depositó $1 000 al final de cada semestre, durante 12 años. Si no retiró ninguna
cantidad durante este tiempo y el banco le abonó el 14% anual capitalizable semestralmente ¿Con
qué cantidad contó al final?
3. Se depositaron $400 al final de cada mes durante 2 años. El banco otorga un interés del 14% anual
con capitalización mensual. ¿Cuál será el monto y el valor actual de dichos depósitos?
4. Un señor desea asegurar una renta de $20 000 semestrales durante 5 años a su hija que estudiará en
otra ciudad. Encontrar a la tasa del 6% capitalizable semestralmente la cantidad que deberá
depositar ahora en el banco.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
54
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ahora obtendremos el valor de la renta, cuando conocemos el monto y el valor actual
Fórmula para obtener la renta
de una anualidad vencida cuando
se conoce el monto de la
anualidad.
Fórmula para obtener la renta
de una anualidad vencida, cuando
se conoce el valor actual de la
anualidad.
R=M
i
(1+i)n -1
i
R = A 1 - ( 1 + i )- n
R=M
( j/m
( 1+ j/m ) m n - 1
(j/m)
R = A 1 - ( 1 + j/m )-mn
5. Una compañía desea establecer un fondo de amortización para pagar unas obligaciones, con valor
de $300 000 que vencen dentro de 8 años. ¿Cuál será el valor de los pagos que tienen que ponerse
aparte cada año, e invertirse al 10% capitalizable anualmente?
6. Para comenzar un negocio al final de su carrera, una joven debe contar con $100 000 ¿Cuánto
tendrá que ahorrar cada bimestre en una cuenta que le reditúa el 7.9% anual capitalizable
bimestralmente, ahora que apenas ingresa? (5 años)
7. Una compañía inmobiliaria compra terrenos que le cuestan $1 200 000. Paga $200,000 al contado
y se compromete a pagar el resto, con el interés del 14% anual con capitalización mensual, en 12
pagos mensuales. ¿Cuál será el importe de cada pago?
8. Una empresa contrata una deuda de $100 000 con un banco. Si éste carga a esta tipo de préstamos
el 40% anual convertible bimestralmente cuánto tendrá que pagar la empresa bimestralmente para
saldar su deuda en un año y medio?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
55
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Log (M i + R) – Log R
Log ( 1 + i )
Fórmula que da el tiempo
en una anualidad vencida
cuando se conoce el monto
n=
Fórmula que da el tiempo
en una anualidad vencida
cuando se conoce el
valor actual
1
n = Log 1 – A i
R
Log ( 1 + i )
n=
Log (M j/m + R) – Log R
Log ( 1 + j/m )
1
n = Log 1– A(j/m)
R
Log (1 + j/m )
9. El presidente de una compañía persuade a los consejeros que debe crearse un fondo de pensiones de
$ 1 000 000. Autorizan el pago de $15 000 al fondo a final de cada año. Si el fondo gana el 5% de
interés anual ¿Cuánto tiempo se necesitará para reunir el total? R= 30.05 años
10. ¿En cuánto tiempo se acumulan $20 000 mediante depósitos bimestrales vencidos de $1 615 si se
invierten a una tasa del 15% anual convertible bimestralmente?
11. ¿Cuántos pagos de $94.76 al final de cada mes, tendría que hacer el comprador de una lavadora que
cuesta $850 si da un enganche de $350 y acuerda pagar 45.6% de interés capitalizable
mensualmente sobre el saldo?
12. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $145 se tendrían que hacer para saldar una deuda,
pagadera hoy de $800 si el primer pago se realiza dentro de dos meses y el interés es de 11%
bimestral?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
56
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
En las anualidades vencidas estudiadas, los pagos o rentas de la anualidad coincidían con las
capitalizaciones de intereses es decir eran simples ahora tendremos ejemplos de anualidades generales
cuando no coinciden el período de pago de la renta con el pago de intereses. Así que serán anualidades
generales, ciertas, vencidas e inmediatas.
Es conveniente que hagamos una lista de los símbolos que utilizaremos:
R
A
M
n
i
j
m
p
la renta o pago por período
el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento
presente
el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al
final de la operación
tiempo
tasa de interés efectiva
tasa nominal anual de interés
número de capitalizaciones del interés al año
número de veces que se realiza el pago de una anualidad por año
Para la solución de estos problemas debemos considerar la tasa, el tiempo, las capitalizaciones de
intereses y los pagos que se realizarán, todos anuales.
Fórmula para el monto de una
anualidad, pagadera p veces
por año y con un interés
capitalizable m veces por año
( 1 + j/m ) mn – 1
M= R
p (1 + j/m )
m/p
–1
1 – (1 + j/m )-mn
Fórmula para encontrar el valor
actual de una anualidad pagadera
p veces por año y con un interés
capitalizable m veces por año
A=R
p (1 + j/m ) m/p – 1
Ejemplo:
Se depositan al final de cada semestre, $400 en un banco que abona el 4% de interés capitalizable
mensualmente. ¿Cuál será el monto de esta cuenta al final del 10º año?
Datos:
R = 400 X 2 = 800
j = 0.04
m = 12
n = 10
p=2
M=¿
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
( 1 + j/m ) mn – 1
1 + (0.04/12)12x10- 1
M = 800
M = R p (1 + j/m )
m/p
–1
2 (1+ 0.04/12) 12/2 – 1
M = $ 9 735.16
57
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
13. Una persona decide acumular un fondo para su retiro. Si invierte $250 quincenales durante 8 años y
el fondo le produce el 16% de interés anual capitalizable cada 28 días ¿Cuál será la cantidad que
logre reunir?
14. ¿Cuánto acumularía una renta de $332 pagaderos durante 10 bimestres vencidos, si el interés es del
5.4% trimestral?
15. Un banco abona a sus depositantes el 10% de interés, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad
deberá depositarse en ese banco ahora, para que se asegure una renta de $125 mensuales durante 3
años?
16. Para crear un fondo para contingencias futuras, se ha calculado depositar $1 250 al final de cada
trimestre durante 10 años. Se toma la decisión de realizar un depósito de una cantidad tal, que
depositada en una cuenta que otorga el 14% anual capitalizable por cuatrimestres, en el mismo
tiempo se llegará a la cantidad fijada.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
58
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
3.3 Anualidades anticipadas
Analizando sus características podríamos decir que son:
Simples, porque el período de pago corresponde al de capitalización
Ciertas, porque las fechas y los plazos son fijos y se conocen
Anticipadas, porque el inicio de pagos y la capitalización de intereses se hacen al
principio del período
Inmediatas, porque los pagos o depósitos se inician en el mismo período en el que se
formaliza la operación
Fórmula para obtener el
Monto en una anualidad
anticipada
R
R
R
I
I
I
R
I
1
2
3
4
. . . . . .
( 1 + i ) n+1– 1
M=R
i
-1
Ejemplo:
Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $50 al principio de cada mes. Si la cuenta paga el 2.3% mensual de
interés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?
Datos:
R = 50
i = 0.023
n = 12
( 1.023 ) 12 + 1 – 1
M=
M = 50
0.023
- 1 M = $697.72
17. Una compañía deposita al principio de cada año $20 000 en una cuenta de ahorros que abona el 7%
¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años?
18. Se hace una inversión de $200 al principio de cada mes durante 10 meses. Si el interés es del 6%
mensual ¿Cuál será el valor acumulativo de esta cuenta al final del período?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
59
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
Fórmula para obtener el
Valor actual en una anualidad
anticipada
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
A=R
1 - ( 1 + i ) – ( n – 1)
i
+1
Ejemplo:
Una empresa alquila un edificio por un año, conviniendo en pagar $4 000 mensuales, pagando por
mensualidad anticipada, con una tasa del 12% con capitalización mensual. Hallar el valor actual del
alquiler.
Datos:
R = 4 000
1 - ( 1.01 ) – ( 12 – 1)
i = 0.12/12 = 0.01
A = 4 000
0.01
+1
n = 12
A = $ 45 470.51
19. La prima de una póliza de seguro de vida, es de $60 por trimestre, pagadera por anticipado.
Encontrar el equivalente de contado de primas anuales si la compañía de seguros cobra el 6% anual,
capitalizable trimestralmente, por el privilegio de pagar de esta forma en lugar de pagar de
inmediato todo el año.
20. Calcúlese el valor actual de 9 pagos bimestrales anticipados de $500 con interés anual del 63.36%
con capitalización bimestral. También si se hacen vencidos, determínese y explique la diferencia.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
60
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
3.3 Anualidades diferidas
Estas anualidades se caracterizan porque la primera renta no se ejecuta en el primer período o la última
no se hace en el último.
El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resuelven como inmediatas
utilizando las fórmulas anteriores, para después trasladar en el tiempo el monto o el capital, utilizando
la fórmula del interés compuesto, tal como se aprecia en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1:
Aeromexicana ofrece la promoción “Viaje ahora y pague después”, que consiste en liquidar el precio
del pasaje en 10 quincenas vencidas, empezando 3 meses después de haber viajado, ¿cuánto pagará el
licenciado José Luis si el precio de sus boletos fue de $8,320 y le cargan el 28.32% de interés anual
compuesto anticipado por quincenas?
$ 8,320
....
1
...
5
6
7
....
15
Se calcula el monto de los $8,320 transcurridas 5 quincenas y es:
M= C(1+i)n
M = 8,320 ( 1 + 0.2832/24)5 = $ 8,822.60
Ahora se encuentra el valor de las 10 rentas quincenales:
i
R = A 1 - ( 1 + i )- n
0. 0118
R = 8,822.60
= $ 940.53
1 – ( 1.0118) - 10
21. El testamento del Sr. Reyes estipula, que el Asilo de Ancianos recibirá, después de transcurridos
10 años, una renta trimestral de $2,200 durante 20 años, a pagar al final de cada trimestre. Si el interés
es del 4% capitalizable semestralmente, hállese el valor actual de este legado.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
61
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
22. Una escuela adquiere un equipo de cómputo con un pago inicial de $30 000 y 7 mensualidades de
$15 000 cada una, pagando la primera 4 meses después de la compra, ¿Cuál es el precio del equipo, si
se están cobrando intereses del 29.04% anual compuesto por meses?
23. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago se
realiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.
24. ¿Cuál es el valor actual de la anualidad anterior?
25. En agosto un almacén ofrece al público un plan de “compre ahora y pague después”. Con este plan
una persona compra una computadora que recibe el 1º de septiembre y debe pagar en 12 mensualidades
de $250 a partir del 1º de enero del año siguiente. Si se considera un interés del 36% anual convertible
mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la computadora?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
62
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejercicios de reforzamiento:
26. Una persona deposita $1 500 cada fin de mes en una cuenta de ahorros que abona el 18% de interés
anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el 8º depósito?
27. Un señor queda incapacitado a consecuencia de un accidente, la empresa lo indemniza con $200
000 Si el banco otorga el 14.5% de interés capitalizable mensualmente, ¿Qué renta mensual podría
obtener para los próximos 40 años?
28.¿Qué cantidad deberá invertir una persona que desea obtener una mensualidad de $2,500 durante 15
meses si el banco paga el 11/2 % mensual?
29. Una persona debe pagar $3 000 al final de cada año, durante varios años. ¿Cuánto deberá pagar al
final de cada mes para sustituir el pago anual, si se consideran intereses a razón del 25% convertible
mensualmente? R= $222.63 mensual
30. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil:
a) pagar $26 000 de contado ó
b) $13 000 de enganche y
$1 300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes si el interés se calcula a razón del
42% convertible mensualmente?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
63
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31. Una compañía ha venido colocando durante los últimos 7 años al principio de cada semestre $40
000 en un fondo, por la depreciación de su maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo, si ha estado
produciendo el 5% capitalizando semestralmente?
32. ¿Cuántos pagos mensuales de $600 deberán hacerse para cancelar una deuda cuyo monto será de
$4,500 si se considera incluido el 7% de interés capitalizable mensualmente?
33. ¿Cuál es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $250 si el interés es
del 42% capitalizable semestralmente?
34. ¿Cuántos pagos de $112 615.21 serían necesarios para liquidar una deuda de $1’000,000 contraída
hoy con intereses de 45% anual convertible mensualmente?
35. Calcular el valor actual de un terreno, utilizando un interés del 40% con capitalización mensual, si
se vendió con las siguientes condiciones:
$4 000 de enganche
Mensualidades vencidas por $350 durante 4.25 años
Un pago final de $2 500 un mes después de la última mensualidad
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
64
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
36. ¿De cuánto es cada una de las rentas semanales vencidas que se hacen en las primeras 15 semanas
del año para disponer de $30 000 al final de ese año, considerando intereses del 26% anual
capitalizable por semanas? (52 semanas al año).
37. ¿Cuál es el precio de contado, de un refrigerador que se paga con 10 abonos mensuales de $450 si
el primero se hace 2 meses después de la compra y la tasa de interés es del 25% nominal mensual?
38. Supongamos que una persona desea invertir $50 000 el 1º de enero de 2001, para que pueda retirar
10 flujos de efectivo anuales de cantidades iguales, comenzando el 1º de enero del 2007. Si el fondo
genera el 12% de interés anual durante su vigencia. ¿Cuál será el valor de cada uno de estos 10 retiros?
39. Si se depositan hoy $8,000 en una cuenta de inversiones que paga el 26% capitalizable
mensualmente ¿Cuántos retiros mensuales de $500 se podrán hacer comenzando dentro de 6 meses?
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
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40.- Encontrar la cantidad pagada por una recámara por la cual se dan 60 abonos semanales de $125 e
intereses del 36% nominal mensual.
41.- Obtenga el precio de contado de un automóvil que se paga con 15 abonos mensuales anticipados
de $12,500 cada uno e interés del 28.5% anual capitalizable por meses.
42.- Un crédito automotriz de $150,000 se amortiza con 48 rentas mensuales e interés del 34.8%
compuesto por meses. Se conviene que a partir del décimotercero, estos pagos serán trimestrales, al
igual que el interés. ¿De cuánto será cada uno, suponiendo que todos son vencidos?
43.- ¿Cuál es el precio de contado de un comedor que se paga con un enganche de $1,500 el día de la
compra, 24 abonos semanales de $325 e intereses del 26% nominal mensual?
U.M.S.N.H.
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44.- En agosto, un almacén ofrece al público un plan de “compre ahora y pague después”. Con este
plan una persona compra una computadora que recibe en septiembre y debe pagar en 12 mensualidades
de $250 a partir de enero del año siguiente. Si se considera un interés del 36% anual capitalizable
mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la computadora?
45.- ¿Cuál es el monto de la anualidad anterior?
46.- Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago se
realiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.
47.- ¿Cuál es el monto de la anualidad anterior?
48.- Supongamos que una persona desea invertir $50,000 en enero de un año, para que pueda retirar 10
flujos de efectivo anuales de cantidades iguales comenzando 6 años más tarde. Si el fondo genera el
12% de interés anual durante su vigencia. ¿Cuál será el valor de cada uno de estos 10 retiros?
U.M.S.N.H.
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
CAPÍTULO IV
AMORTIZACIÓN
4.1 Amortización de una deuda En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un
proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos
periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.
En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y
reducir el importe de la deuda. Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por
medio de pagos periódicos.
4.2 Tablas de amortización
Saldo insoluto: Cada vez que se hace un abono, por ejemplo, al pagar un terreno, una parte
corresponde al pago de la deuda y otra corresponde al interés que se hubiera pactado al realizar el
contrato.
Al ir pagando en cada abono una parte del capital de la deuda, a la parte que aún se adeuda se le conoce
como saldo insoluto, y el interés se calcula sobre el mismo.
Conocer el saldo insoluto en cualquier operación crediticia es útil, por ejemplo para liquidar o para
refinanciar el total que se debe en cualquier instante.
Renta constante: éste consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos.
En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales. Esta forma de
amortización fue creada en Europa y es la más generalizada y de mayor aplicación en el campo
financiero; es una aplicación de las anualidades estudiadas en el capítulo anterior.
Renta decreciente: a diferencia de la renta constante, mantiene un valor igual para la amortización en
cada periodo y, como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable decreciente, puesto que los
intereses sobre saldos son decrecientes. Para préstamos a largo plazo y en particular para préstamos de
vivienda, se han creado diversos sistemas de amortización basados en las anualidades variables.
Ejemplo renta constante:
Para vacacionar un señor consigue un crédito por $10 000 a pagar en 8 mensualidades a una tasa de
interés del 24% capitalizable por meses. Calcule el valor del pago y elabore la tabla de amortización
del crédito.
Datos:
A = 10 000
n=8
i = 0.24/12
R=?
i
R = A 1 - ( 1 + i )- n
0.02
R = 10 0000 1 – (1.02)-8
R = $ 1 365.09
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
68
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tabla de amortización
Período
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Renta
Intereses Amortización Saldo insoluto
10 000.00
1 365.09
200.00
1 165.09
8 834.91
1 365.09
176.69
1 188.39
7646.51
1 365.09
152.93
1 212.16
6434.35
1 365.09
128.68
1 236.40
5197.94
1 365.09
103.95
1 261.13
3936.80
1 365.09
78.73
1 286.35
2650.44
1 365.09
53.00
1 312.08
1338.35
1 365.09
26.76
1 338.32
0.03
Utilizando los datos del ejemplo anterior calculamos la renta decreciente:
Datos:
A = 10 000
n = 8
i = 0.24/12
10 000/ 8 = 1 250
0.24/12 = 0.02
Tabla de amortización
Período
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Renta
Intereses Amortización Saldo insoluto
10 000.00
1 450.00
200.00
1 250
8 750.00
1 425.00
175.00
1 250
7 500.00
1 400.00
150.00
1 250
6 250.00
1 375.00
125.00
1 250
5 000.00
1 350.00
100.00
1 250
3 750.00
1 325.00
75.00
1 250
2 500.00
1 300.00
50.00
1 250
1 250.00
1 275.00
25.00
1 250
0.00
1. Una persona obtiene hoy una deuda de $68 000 al 48% convertible semestralmente, que
amortizará mediante 6 pagos semestrales. ¿Cuál es el valor de dichos pagarés? Encontrar el
valor de los pagos y elabore la tabla de amortización de dicha deuda. Utilizando los métodos de
renta constante y renta decreciente.
Sem.
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F.C.C.A.
Renta
Intereses
Amortización
Saldo_Insoluto
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
2. Se compra un inmueble valuado en $195 000 dando un enganche del 15% el resto se financia
con un préstamo bancario a 5 años, con un interés del 18% convertible mensualmente. Hallar a)
el valor de los pagos mensuales y b) el saldo insoluto al final del primer año. Utilice renta
constante.
3. ¿Cuál sería el pago final que liquida una deuda de $25 000 contratada al 20% efectivo anual a
pagar mediante 3 pagos anuales de $10 000 y un pago final que debe realizarse al término del 4º
año? Elabora una tabla de amortización de la deuda. Utilice renta constante.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
70
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
4. Una persona obtiene un préstamo de $10 000 con intereses del 31/2% La deuda será liquidada
mediante un pago de $2 500 al término de 4 años, seguidos de 6 pagos anuales. A) hallar el
pago periódico necesario B) hallar el capital insoluto justamente después del 3er. pago
periódico y C) ¿qué parte del último pago se aplica al pago de intereses? R1= $ 1 684.36
R2= $4 718.96
R3= $56.96
5. Obtenga los primeros 6 abonos bimestrales que amortizan constantemente, una deuda de $45,000 en
2 años a una tasa del 22% de interés capitalizable bimestralmente. (Renta decreciente).
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
71
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
4.3 Fondo de amortización
El fondo de amortización se distingue porque aquí la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro, y
lo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente
iguales y periódicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que
permita pagar la deuda a su vencimiento.
Ejemplo:
Una empresa debe pagar dentro de 7 meses la cantidad de $500 000 Para asegurar el pago, se sugiere
acumular un fondo, mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga el 10% capitalizable
mensualmente. a) ¿De cuánto deben ser los depósitos? B) Muestre la forma en que se acumularía el
fondo.
M = 500 000
n=7
i = 0.10/12
R=¿
i
R=M (1+i)n -1
R= 500,000
0.008333
(1.00833)7 -1
R = $ 69 662.61
Fecha
Fin del mes 1
Fin del mes 2
Fin del mes 3
Fin del mes 4
Fin del mes 5
Fin del mes 6
Fin del mes 7
Sumas:
Renta
Intereses
Total del depósito
69 662.61
69 662.61
69 662.61
580.52
70 243.13
69 662.61
1 165.88
70 828.49
69 662.61
1 756.11
71 418.72
69 662.61
2 351.26
72 013.87
69 662.61
2 951.37
72 613.98
69 662.61
3 556.50
73 219.11
487 638.27 12 361.64
499 999.91
Saldo
69 662.61
139 905.74
210 734.23
282 152.95
354 166.82
426 780.80
499 999.91
6. Para pagar una deuda de $160 000 que vence dentro de 6 meses se va a constituir un fondo
mediante depósitos mensuales. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde
12% anual convertible mensualmente, hallar su importe. Elabore la tabla del fondo de amortización
que corresponde.
Mes
Depósito Intereses Total del Dep. S a l d o
Sumas
U.M.S.N.H.
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72
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
7. Haga una tabla que muestre la forma en que se amortizaría una deuda de $150 000 que debe
pagarse en 4 meses, si se decide constituir un fondo mediante depósitos mensuales vencidos en una
cuenta de inversiones que rinde el 1.7% mensual efectivo.
8. Para reponer la maquinaria de una fábrica, se desea contar con un fondo de $700 000 dentro de 3
años, se considera formar un fondo para la reposición, para lo cual se acuerda en depositar
mensualmente a una cuenta que otorga el 24% capitalizable mensualmente. Encontrar la cantidad
que se debe depositar mensualmente así como la cantidad que se habrá reunido al final del primer
año, para lo cual deberá elaborarse la tabla que lo muestre.
9. Una señora ha estado ahorrando $200 cada mes desde hace medio año, en una cuenta de
inversión que paga el 10% convertible mensualmente. Pretende pagar una deuda de $2 000 a la
fecha, ¿Cuánto le sobra o le falta? Elabora la tabla que muestre el fondo.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
73
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejercicios de reforzamiento:
10.- ¿Con cuántos pagos quincenales de $4,000 se amortiza un crédito de $40,000 a una tasa de interés
del 42% compuesto por quincenas? Realice un ajuste con un pago menor al final y el cuadro de
amortización.
11.- ¿De cuánto es el capital que se amortiza con 16 abonos quincenales de $750 y una tasa de interés
del 18% anual compuesto por quincenas? Elabore el cuadro y encuentre el saldo después del 10º pago.
12.- Se contrae una deuda de $148,000 al 35% convertible bimestralmente, que amortizará mediante 8
pagos bimestrales iguales. ¿Cuál será el valor del pago bimestral? Elabore el cuadro.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
74
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA
APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
13.- Se deben pagar dentro de un año la cantidad de $360,500 Se decide acumular un fondo mediante
depósitos quincenales a una cuenta que paga el 8% convertible quincenalmente. ¿De cuánto deben ser
los depósitos? Elabore el cuadro.
14.- ¿Cuántos depósitos mensuales de $3,000 se necesitan para acumular $150,000 en un fondo que
paga el 17.5% capitalizable mensualmente? Elabora el cuadro y encuentra el saldo después del 8º
depósito.
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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
CAPÍTULO V
DEPRECIACIÓN
5.1 Concepto Con excepción de los terrenos y algunos otros bienes, el valor de casi todos los activos
se reduce con el tiempo desde el momento en que son adquiridos o que se ponen en servicio. Esta
pérdida del valor se conoce como depreciación y es causada principalmente por el uso, la insuficiencia
o la obsolescencia del propio bien.
Desde el punto de vista fiscal o impositivo, los cargos por depreciación son determinados por el
gobierno, pero esto no obsta para que las empresas destinen partidas de dinero de forma periódica, para
no descapitalizarse en el momento de reponer sus activos, es decir cuando dejan de ser útiles o su
mantenimiento y reparaciones resultan muy costosas, al final de su vida útil. De aquí que es
conveniente y de gran utilidad, disponer de los diferentes métodos para depreciar los activos o conocer
su valor real en cualquier momento.
Los siguientes son definiciones y conceptos importantes concernientes a la depreciación de activos:
La pérdida de valor de un activo fijo y tangible, a consecuencia de su insuficiencia, uso u
obsolescencia, se denomina depreciación.
La vida útil de un activo es el tiempo que hay entre su compra y su retiro.
El valor de rescate, valor de desecho o valor de salvamento de un activo, es el que supuestamente tiene
o tendrá al final de su vida útil.
Los métodos más usuales para calcular la depreciación son los siguientes:
5.2 Método de la línea recta
En éste método el cargo anual es el mismo para todos los años de la vida útil del activo, es decir ofrece
el mismo servicio durante cada uno de los periodos de operación. El cargo por año, se obtiene
dividiendo la base de depreciación entre el total de años de servicio, es decir:
Renta o
Depreciación anual =
valor total - valor de rescate
vida útil
Ejemplo:
Una compañía compró una máquina en $210 000 se estima que tendrá una vida útil de 5 años y $15
000 como valor de desecho. Encontrar su depreciación anual.
Solución:
Renta o
valor total - valor de rescate
Depreciación anual =
vida útil
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
= 210 000 – 15 000 = $39 000
5
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Cuadro de depreciación:
Fin de año Deprec. Anual Deprec. Acumulada Valor en libros
0
210 000
1
39 000
39 000
171 000
2
39 000
78 000
132 000
3
39 000
117 000
93 000
4
39 000
156 000
54 000
5
39 000
195 000
$15 000
1. ¿De cuánto es la depreciación anual de una máquina que costó $150 000 será utilizada durante 6
años, y al final se gastarán $18 600 en su remoción y cambio por otra más moderna?
2. Una pieza de refacción de una procesadora de carnes frías cuesta $2 550 tiene 4 años de vida
útil y al final un valor de $360
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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5.3 Método de unidades de producción o de servicio
Este método es en realidad una variante del anterior, y por eso se puede utilizar la misma fórmula, pero
en lugar de los años de vida útil serían el número de unidades que se producen o las unidades que da
servicio el activo que se deprecia.
Puede suceder que con este método, la depreciación sea diferente para cada uno de los años de su vida
útil. Generalmente la capacidad de producción o de horas de servicio, es determinada por el fabricante
de la maquinaria o el equipo que se deprecia, o con los datos históricos que se tengan de bienes
semejantes.
Ejemplo:
Obtenga la depreciación de una máquina de envases de cristal, que costó $210 000 al final de sus 5
años de vida útil se rescatarán $15 000 y se producen 10 000 000 de piezas distribuidas de la forma
siguiente:
año Producción
1 1 800 000
2 2 150 000
3 2 500 000
4 1 950 000
5 1 600 000
total 10 000 000
Valor total – valor de rescate = 210 000 – 15 000
Unidades producidas
10’000,000
Fin del año
0
1
2
3
4
5
Sumas:
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
= 0.0195 para cada unidad
Producción
anual
Depreciación Depreciación Valor en libros
anual
acumulada
210 000
1 800 000 X 0.0195
35 100
35 100
174 900
2 150 000 X 0.0195
41 925
77025
132975
2 500 000 X 0.0195
48 750
125 775
84 225
1 950 000 X 0.0195
38 025
163 800
46200
1 600 000 X 0.0195
31 200
195 000
$ 15 000
10 000 000 X 0.0195
195 000
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3. Obtenga la depreciación anual de un activo que costó $140 000 tiene un valor de desecho de
$23 000 y la producción en sus 5 años de vida útil en miles de piezas es: 13 500 en el primer
año, 15 850 en el segundo, 13 750 en el tercero, 13 200 en el cuarto y 8 700 en el último.
4. Una máquina de coser zapatos costó $88 000 tiene una vida útil de 6 años, un valor de rescate
de $20 000 y la producción anual en miles de piezas es: 35 en el primero, 32 en el segundo, 29
en el tercero, 27 en el cuarto, 26 en el quinto y 21 en el último. Obtenga la depreciación anual.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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5.4 Método de la suma de dígitos
El método de suma de dígitos, al igual que el del porcentaje fijo, es un método acelerado de
depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el
transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activo
por una fracción que se obtiene de la siguiente manera:
Se suman los dígitos de 1 a n de los años de vida esperada del activo. Ejemplo: si un
activo tiene una vida esperada de 4 años, se suman los dígitos enteros correspondientes a
los años de servicio esperados: 1+ 2 + 3 + 4 = 10 esta cifra también puede determinarse
utilizando la siguiente fórmula:
s = n (n + 1)
2
En el caso anterior:
s = 4 ( 4 + 1) = 4 ( 5 ) = 10
2
2
Los dígitos correspondientes a los años de vida útil del activo se ordenan inversamente
al tiempo y así inversamente, se asignan a cada uno de los años de vida útil.
Ejemplo:
Una compañía compró una máquina en $210 000 se estima que tendrá una vida útil de 5 años y $15
000 como valor de desecho. Encontrar la depreciación anual.
S = n (n + 1) = 5 ( 5 + 1 )
2
2
= 15
Renta o
valor total - valor de rescate
Depreciación anual =
suma de dígitos
Fin del año
0
1
2
3
4
5
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
= 210 000 – 15 000 = $ 13 000
15
Depreciación anual
Depreciación acumulada Valor en libros
210 000
13 000 X 5 = 65 000
65 000
145 000
13 000 X 4 = 52 000
117 000
93 000
13 000 X 3 = 39 000
156 000
54 000
13 000 X 2 = 26 000
182 000
28 000
13 000 X 1 = 13 000
195 000
$15 000
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5. Una pieza de refacción de una procesadora de carnes frías cuesta $2 550 tiene 4 años de vida
útil y al final un valor de $360 Encuentre la depreciación anual. Con el método de suma de
dígitos.
6. Una avioneta de 13.5 millones de pesos se vende en 6.465 millones de pesos, al final de sus 6
años de vida útil ¿Cuál es la depreciación anual? (Método de suma de dígitos).
Ejercicios de reforzamiento:
7. Calcule la depreciación de un refrigerador que cuesta $7 500 su valor de rescate se calcula en
$2 400 y una vida útil de 5 años. Encuentre la depreciación anual utilizando el método de la
línea recta primero y después el método de la suma de dígitos.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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8. ¿De cuánto es la depreciación anual de una computadora que costó $18 500 se estima que dará
servicio 2 750 horas cada año, durante cuatro años, y al final se esperan recuperar $2 000?
(resuélvase por el método de unidades de producción).
9. Una máquina inyectora de plásticos costó $84 000 y su valor de rescate al final de 8 años es de
$10 000 ¿De cuánto es la depreciación anual si el primer año se producen 4 millones de piezas y
se reduce 6% cada 2 años? Haga el cuadro de depreciación y utilice el método de unidades de
producción).
10. La refacción de una trilladora cuesta $45 300 tiene vida útil de 4 años y al final se gastan $3 500
para removerla. Calcule la depreciación anual utilizando los métodos de línea recta y de suma
de dígitos.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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BIBLIOGRAFÍA
1.
AYRES F. Matemáticas Financieras Serie Schuman, México, McGraw-Hill, 1981, 230 pp.
2.
DE LA CUEVA B. Matemáticas Financieras (6ª Ed.), México Porrúa 1986, 135 pp.
3.
DÍAZ Mata A. y V.M., Gómez Aguilera, Matemáticas Financieras, México, McGraw-Hill, 2002,
467 pp.
4.
PORTUS L., Matemáticas Financieras, (4ª. Edición), México, McGraw-Hill. 2001, 430 pp.
5. VIDAURRI A., Matemáticas financieras, México, ECASA, 1997, 526 pp.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
1.
VILLALOBOS José L., Matemáticas Financieras, México, 2ª. Edición México Prentice Hall,
2001, 482 pp.
2.
TOLEDANO Castillo M. A. y Hummelstine L. E. Matemáticas Financieras, México, CECSA,
1981, 245, pp.
3.
DE LA CUEVA B. Tablas financieras, México: Porrúa, 1981, 115 pp.
U.M.S.N.H.
F.C.C.A.
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