Exercício 1 A tensão normal calculada a partir da área da seção transversal e a tensão de flexão calculada a partir do momento de inércia. Suponha duas barras, 𝐴 e 𝐵, de mesmo material, de mesma área e sujeitos ao mesmo esforço, porém o material 𝐴 possui seção circular e o material 𝐵 possui seção quadrada. Compare as duas barras, em termos de tensão normal e de tensão de flexão. Justifique sua resposta. Solução Temos que as áreas transversais de cada barra são dadas por, 𝐴𝑐 = 𝜋𝑟 2 𝐴𝑞 = 𝑏 2 Como ambas as barras tem a mesma área, ou seja, 𝐴𝑐 = 𝐴𝑞 , então temos, 𝜋𝑟 2 = 𝑏 2 Logo, 𝑟= 𝑏 √𝜋 Agora bem, a barra com seção transversal quadrada tem um momento de inercia (𝐼) dado por, 𝐼𝑞 = 1 𝑏ℎ3 12 Como, neste caso 𝑏 = ℎ, então, 𝐼𝑞 = 𝑏4 12 A barra circular tem um momento de inercia dado por, 1 𝐼𝑐 = 𝜋𝑟 4 4 Logo, 1 𝑏 4 𝐼𝑐 = 𝜋 ( ) 4 √𝜋 Então, 𝐼𝑐 = 1 4 𝑏 4𝜋 Agora a tensão é definida por, 𝜃= 𝑚𝑦 𝐼 No caso da barra quadrada, temos que, 𝑦= 𝑏 2 Logo, 𝑏 𝑚𝑏 𝜃𝑞 = 2 = 24 ℎ 𝐼𝑞 12 𝑚 Como 𝑏 = ℎ, então, 𝜃𝑞 = 6𝑚 𝑏3 Agora, para a barra circular temos, 𝜃𝑐 = 𝑚𝑟 𝐼𝑐 Então, 𝑏 𝑚( ) √𝜋 = 4𝜋𝑚𝑏 𝜃𝑐 = 𝑏4 √𝜋 𝑏 4 4𝜋 Ou seja, 𝜃𝑐 = 4√𝜋𝑚 𝑏3 Aproximando a constante do numerador de 𝜃𝑐 dada por 4√𝜋 ≈ 7, então temos, 𝜃𝑐 = 7𝑚 𝑏3 Fazendo a seguinte relação, 6𝑚 𝜃𝑞 3 = 𝑏 7𝑚 𝜃𝑐 𝑏3 Portanto, 𝜃𝑞 6 = 𝜃𝑐 7 6 𝜃𝑞 = 𝜃𝑐 7 ⟹ Com este resultado concluímos que para uma mesma carga a tensão de flexão é menor na seção quadrada numa em uma razão de 6 𝜃, 7 𝑐 provando que ela é mais resistente aos esforços devido a sua maior inércia. Em relação com a tensão normal definida como, 𝛩= 𝐹 𝐴 E como neste problema 𝐴𝑐 = 𝐴𝑞 , portanto, as tensões normais serão iguais nas duas seções. Exercício 2 Quando um material está sujeito à flexão, o que ocorre com as fibras desse material nas extremidades da seção transversal? Faça um desenho esquemático para justificar a resposta. No caso de flexão pura, algo idealizado, uma extremidade traciona e a outra comprime, ou seja, existem tensões de tração ao longo da seção transversal, um nível em que elas são nulas e depois as tensões de compressão, isso em se tratando de esforços ortogonais a seção tridimensional, não sendo uma simplificação (flexão pura), ocorrerão juntamente esforços cortantes e dependendo do carregamento torções dados em um estado geral de tensões (tridimensional, veja as figuras), no plano da seção além das tensões de tração e compressão, tem o esforço cortante paralelo à mesma e eventualmente momentos torções. 𝒎𝒚 𝝈𝑭 = 𝑰 A figura abaixo mostra a superfície e linha neutra que surgem quando um trecho de uma barra está sendo submetida a forças (tensões) de flexão, observe que nas extremidades essas tensões (de tração e compressão) são máximas.
