encontrar funcion de transferencia mediante Variables de estado

Control Moderno
Ing. Mecatrónica
Universidad Tecnológica de la
Mixteca
Ingenierı́a en Mecatrónica
Control Moderno
Tarea 2
Solución a los problemas propuestos B-9-1 y B-9-6
Profesor:
Dr. Jorge Luis Barahona Avalos
Grupo: 814-B
Alumno:
Martinez Jacinto Adriel Jesús
26 de marzo de 2020
1
Control Moderno
1.
Ing. Mecatrónica
B-9-1
Considere el siguiente sistema representado mediante la función de transferencia: a) FCC b)FCO
Y (S)
s+6
= 2
U ((S)
s + 5s + 6
Obtenga la representación en el espacio de estados de este sistema en:
(a) la forma canónica controlable
(b) la forma canónica observable.
s+6
b0 s2 + b1 s + b2
Y (S)
= 2
= 2
U ((S)
s + 5s + 6
s + a1 s + a2
a) Forma Canónica Controlable
A=
C=
0
1
−a2 −a1
0
B=
1
(1)
(2)
b2 − a2 b0
b1 − a1 b0
(3)
Sustituyendo los valores del sistema:
0
1
−6 −5
0
B=
1
A=
C=
6
1
(4)
(5)
(6)
b)Forma Canónica Observable
A=
−a2
−a1
0
1
(7)
b2 − a2 b0
B=
b1 − a1 b0
C= 0 1
(8)
(9)
Sustituyendo los valores del sistema:
0 −6
1 −5
6
B=
1
A=
C=
0
2
1
(10)
(11)
(12)
Control Moderno
2.
Ing. Mecatrónica
B-9-2
Considera el siguiente sistema.
d2 y
dy
d3 y
+
6
+ 11
+ 6y = 6u
dt3
dt2
dt
Obtenga una representación en el espacio de estados de este sistema en la forma canónica.
Obteniendo la transformada de Laplace para el sistema:
s3 Y (S) + 6s2 Y (S) + 11sY (S) + 6Y (S) = 6U (S)
Entonces hallamos la función de transferencia:
6
Y (S)
= 3
U (S)
s + 6s2 + 11s + 6
Expresando la función de transferencia en fracciones parciales:
Y (S)
6
6
= 3
=
U (S)
s + 6s2 + 11s + 6
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
6
a
b
c
=
+
+
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
s+1 s+2 s+3
6 = a(s + 2)(s + 3) + b(s + 1)(s + 3) + c(s + 1)(s + 2)
Para s=-1
6 = a(1)(2) + b(0)(2) + c(0)(1)
a=3
Para s=-2
6 = a(0)(1) + b(−1)(1) + c(−1)(0)
b = −6
Para s=-3
6 = a(−1)(0) + b(−2)(0) + c(−2)(−1)
c=3
6
3
−6
3
=
+
+
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
s+1 s+2 s+3
FCC


1
0
0
1 
−11 −6


0
B= 0 
1
C= 6 0 0
0
A= 0
−6
FCO

−6 1 0
A =  −11 0 1 
−6 0 0


0
B= 0 
6
C= 1 0 0
(13)
(14)
(15)

3
(16)
(17)
(18)
Control Moderno
3.
Ing. Mecatrónica
B-9-3
Sea el sistema definido mediante
dy
= Ax + Bu
dt
y = Cx
donde
1
2
A=
−4 −3
1
B=
2
C=
1
1
(19)
(20)
(21)
Transforme las ecuaciones del sistema en la forma canónica controlable.
Aplicar la formula G(s) = C(SI − A)−1 B para el sistema.
T
sabiendo que (SI − A)−1 = Adj(SI−A)
det|SI−A|
s−1
4
(SI − A) =
T
Adj(SI − A) =
−2
s+3
s+3
−4
2
s−1
(22)
(23)
|SI − A| = (s − 1)(s + 3) + 8
−1
(SI − A)
G(S) =
1
1
1
=
(s − 1)(s + 3) + 8
1
(s − 1)(s + 3) + 8
(s + 3)
−4
(s + 3)
−4
2
s−1
2
s−1
(24)
1
2
(25)
G(s) se espresa como:
G(s) =
3s + 1
s2 + 2s + 5
FCC del sistema
0
1
−5 −2
0
B=
1
A=
C=
1
4
3
(26)
(27)
(28)
Control Moderno
4.
Ing. Mecatrónica
B-9-4


−1 0
1
A =  1 −2 0 
0
0 −3


0
B= 0 
1
C= 1 1 0
Obtén la función de transferencia
(29)
(30)
(31)
Y (S)
U (S)


s+1
0
1
s+2
0 
(SI − A) =  1
0
0
s+3


s+1
1
0
s+2
0 
(SI − A)T =  0
1
0
s+3


(s + 1)(s + 3)
0
−(s + 2)

−(s + 3)
(s + 1)(s + 3)
1
Adj(SI − A)T = 
0
0
(s + 1)(s + 3)
(32)
(33)
(34)
Det|SI − A| = (s + 1)(s + 2)(s + 3)


(SI − A)−1 = 
1
s+1
−1
(s+1)(s+2)
1
s+2
0
0

G(S) =
1
1
0
1


(s + 1)(s + 2)(s + 3)
G(S) =
0
(35)
−1
(s+1)(s+3)
1
(s+1)(s+2)(s+3)
1
s+3
1
s+1
−1
(s+1)(s+2)
1
s+2
0
0
0

−1
(s+1)(s+3)
1
(s+1)(s+2)(s+3)
1
s+3
s+3
s+3
= 3
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
s + 6s2 + 11s + 6
5
(36)




0
 
 0
1
(37)
Control Moderno
5.
Ing. Mecatrónica
B-9-6
Encuentre eAt por el método de la transformada inversa de Laplace.
0
1
A=
−2 −3
s −1
(SI − A) =
2 s+3
(38)
(39)
|SI − A| = (s + 1)(s + 2)
−1
Ası́ (SI − A)
es:
"
−1
(SI − A)
=
s+3
(s+1)(s+2)
−2
(s+1)(s+2)
1
(s+1)(s+2)
s
(s+1)(s+2)
#
(40)
Aplicando fracciones parciales
a)
A
B
s+3
+
=
s+1 s+2
(s + 1)(s + 2)
A(s + 2) + B(s + 1) = s + 3
A+B =1
2A + B = 3
A = 2, B = −1
b)
A
B
1
+
=
s+1 s+2
(s + 1)(s + 2)
A(s + 2) + B(s + 1) = 1
A+B =0
2A + B = 1
A = 1, B = −1
c)
A
B
−2
+
=
s+1 s+2
(s + 1)(s + 2)
A(s + 2) + B(s + 1) = −2
A+B =0
2A + B = −2
A = −2, B = 2
d)
A
B
s
+
=
s+1 s+2
(s + 1)(s + 2)
A(s + 2) + B(s + 1) = s + 3
A+B =1
2A + B = 0
A = −1, B = 2
Sustituyendo los valores:
"
−1
(SI − A)
eAt =
=
2
s+1
−2
s+1
−
+
2e−t − e−2t
−2e−t + 2e−2t
6
1
s+2
2
s+2
1
s+1
−1
s+1
−
+
1
s+2
2
s+2
e−t − e−2t
−e−t + 2e−2t
#
(41)
(42)