Tema 5. El Aprendizaje de las matemáticas Los conocimientos son los siguientes: ¿Qué hay que saber para resolver problemas de matemáticas? 1 (Kilpatrick, Swafford y Findell), dependen de cinco elementos: 1. 2. 3. 4. 5. Comprensión conceptual (conceptos y hechos) Competencia estratégica (estrategias) Razonamiento adaptativo (metaestrategias) Disposición productiva (procedimientos) Fluidez procedimental (procedimientos) 2 Durante 100 años se ha debatido, qué tipo de los conocimientos debería ser el eje de la instrucción. Últimos 25 años, guerra de las mates: 1. Resaltar las habilidades básicas: principal proceso ejecución del problema y principal conocimiento los procedimientos. 2. Resaltar las habilidades superiores de pensamiento: principal proceso cognitivo la planificación y supervisión y las metaestrategias y creencias como principal conocimiento. Investigación : Destacar uno o dos procesos y excluir los demás, difícilmente conducirá a la competencia matemática. La traducción del problema ¿Qué es la traducción del problema? CADA ENUNCIADO REPRESENTACIÓN INTERNA, para lo que se necesita: 1. Conocimiento lingüístico (de la lengua española: baldosas se refieren al objeto) 2. Conocimiento fáctico (sobre el mundo: cuadrado 4 lados iguales) Investigación sobre la traducción La comprensión de las frases de relación (Loftus y Suppes) LOS PROBLEMAS MÁS DIFÍCILES TIENEN ENUNCIADOS RELACIONALES (Mary es dos veces mayor que Betty. Mary tiene 40 años) 3 DIFÍCIL st si ENUNCIADOS RELACIONALES (relación cuantitativa entre variables): 1. Errores NIÑOS: IGNORAR los enunciados relacionales. (Greeno y Heller, 1982). Pidió escucharan y repitieran problemas verbalmente (… ¿cuántas canicas tiene Tom?...) 2. ADULTOS también tienen PROBLEMAS PARA TRADUCIRLOS. (Soloway, Lochhead y Clement, 1982), se pidió a universitarios transformar enunciados en ecuaciones: 1/3 respondió la ecuación equivocada. (Mayerm 1982), leyeran y recordaran 8 problemas: triple de errores de recuerdo en enunciados relacionales (29%) que de atribución (9%), que indicaban el valor de la variable. Análisis de errores, TRANSFORMAR enunciado relacional EN ENUCIADO de ATRIBUCIÓN. (Hegarty, Mayer y Monk, 1995), 12 problemas formulados verbalmente y prueba de reconocer 4 de ellos con enunciados relacionales. Luego, ¿Qué problema has resuelto?. Errores de reconocimiento. 1. Error Literal. a. Palabra clave “menos” se convierte en “más”. 2. Error Semántico (transforman significado). a. 5 centavos menos por galón que en gasolinera 1. b. 5 centavos más que en gasolinera 2. POCO COMPETENTES 4 veces más errores SEMÁNTICOS BUENOS SOLUCIONADORES 2 veces más errores es RECONOCIMIENTO LITERAL (que malos) El uso del conocimiento fáctico PROBLEMAS CON CONVERSIÓN DE ESCALA Mucho MÁS DIFÍCILES (Loftus y Suppers, 1972), pues requieren conocimiento fáctico (100cm es 1m) (Bobrow, 1968) Programa ordenador para resolver problemas de álgebra. Pasos: a) traduce cada enunciado en ecuación b) soluciona las ecuaciones. Para traducir, el programa necesitaba gran cantidad de conocimiento lingüístico y fáctico (ej: libras es el plural de libra, 1dolar=100 centavos) ALUMNOS, TAMBIÉN TIENEN QUE TRADUCIR SÍMBOLOS Y PALABRAS MATEMÁTICAS. PROBLEMAS SEGÚN EL ENUNCIADO: (Seo y Gisburt, 2013), 2º de 1ria, explicaron significado signo “=” en dos tipos de enunciados “5 + 3 = 8” y “1 dólar = 100 centavos”. El signo igual establece una relación. La mayoría lo interpretó como un operador en enunciados 5+4=9 y 9-4=5. Sin embargo, en la 2ª fórmula la mayoría interpretó “=” como una relación. Además uno dijo: 5+4=9 : es lo mismo y 9 – 4 = 5 : falta algo. Otro dijo que parecen diferentes pero son lo mismo. 4 ALUMNOS NECESITAN APRENDER A INTERPRETAR LOS SIGNOS “=” COMO UNA RELACIÓN (no como una operación) SEGÚN IDIOMA, PALABRAS EMPLEADAS PARA CONTAR Influyen en aprendizaje matemáticas niños (Miura y Okamoto, 2003) Consecuencias para la instrucción: enseñanza de habilidades de traducción de problemas ¿QUÉ SABEN los buenos solucionadores, que tienen más probabilidades de comprender las frases de problemas expresados mediante palabras, especialmente la comprensión de la relación entre dos variables? Quizás malos, carezcan de HABILIDADES DE TRADUCCIÓN: ¿pueden enseñarse? (Lewis, 1989), programa instrucción de dos sesiones: cómo REPRESENTAR FRASES de problema enunciado con palabras. Se practica con problemas que incluyen enunciados relacionales para practicar: a) su reconocimiento b) su representación en línea numérica: 1. 1ra sesión: CLASIFICAR FRASES (de nueve problemas verbales), en categoría: a. Atribución. b. Relación. c. Pregunta. Luego se les entregaba PLANTILLA para practicar la clasificación (otros 18 problemas). 2. 2da sesión: Instructor MUESTRA cómo HACER UN DIAGRAMA (4 problemas de muestra): MÉTODO DE LÍNEA DE NÚMEROS: 5 a. Dibuja una línea y coloca la variable y el valor del enunciado de atribución. b. Coloca tentativamente la variable desconocida a un lado de la mitad (de la línea) c. Compara tu representación con la del enunciado relacional. Si OK: continuas. Si KO: intentarlo en la otra mitad. d. Traduce la representación a una operación aritmética. Si variable a derecha del centro: incremento (adición/multiplicación), vs disminución (sustracción/división) ¿AYUDA LA INSTRUCCIÓN? Ho: Principal dificultad=Traducción incorrecta Si Entrenamiento ayuda Clara DISMINUCIÓN ERRORES. Universitarios pretest resolviendo problemas de comparación mediante dos pasos o tres pasos: se estableció como poco competentes los que cometieron errores en los de 2 pasos (1/3 de los estudiantes) Se les INSTRUYÓ para reducir errores: 1. GI (Grupo de instrucción en traducción): dos sesiones de 60min: RECONOCER Y DIAGRAMAR ORACIONES DE RELACIÓN. 2. GC (Grupo de control): el mismo tiempo trabajando en los problemas y analizar la dificultad de los problemas. GI: Eliminaron la mayoría de los errores en problemas de dos y tres pasos, pero no el GC. Son PRUEBAS SÓLIDAS ↑ƞSolución problemas. (Lewis, 1989), De igual modo (Brenner y cols, 1997), programa de 20 días iniciación álgebra, 2ºciclo de 1ria, resaltando experiencia cotidiana en la traducción de: a) Frases relacionales b) Tablas c) Gráficos d) Ecuaciones. 6 Mayores mejoras que instrucción convencional en entender y resolver problemas enunciados verbalmente. ↑alumnos carecen del conocimiento lingüístico y fáctico al enfrentarse al problema (y comprender los enunciados principales) ALGUNAS ACTIVIDADES para alentar el DESARROLLO HABILIDADES TRADUCCIÓN (de carácter tentativo, que necesitan ser verificadas): 1. Reformulen con sus propias palabras: a. Los datos del problema b. Los objetivos. Ofrecer ítems de elección múltiple para la práctica en el reconocimiento de datos y objetivos 2. Dibujen una imagen correspondiente a las frases (algunos casos) La integración del problema ¿Qué es la integración del problema? A menudo se necesita más que la traducción para la representación precisa de un problema. (Paige y Simon, 1966) intentaran resolver PROBLEMAS IMPOSIBLES. Ej: problema con dos enunciados. Si se intentaban encajar los enunciados en un problema coherente podían darse cuenta de que existe una incongruencia: INTEGRACIÍN. Para resolverlo, algunos: 1. Tradujeron cada enunciado por separado. 2. Intentaron comprender como se relacionan entre sí. Otra tarea puede consistir en pensar en un MODELO SITUACIONAL adecuado (una representación de una situación) (Ma, 1999), lo propuso a profesores de 1ria de EEUU y China, los cuales tuvieron dificultades en imaginar el modelo situacional: a) 96% de los profesores de EEUU o no fueron capaces o el modelo fue incorrecto. Dos errores comunes: 1. Confundir la división entre ½ con la división entre 2. 2. Idem con la multiplicación por 1/2. b) 90% profesores chinos ofrecieron modelos correctos: buscar cuántos ½ hay en 1, o encontrar un número tal que su mitad sea 1. 7 Investigación sobre integración de problemas Los esquemas de los alumnos para problemas verbales BUENOS SOLUCIONADORES contar con CONOCIMIENTO CATEGORÍAS DE PROBLEMAS (o esquemas): abordan la tarea con algunos conocimientos del tipo de problemas. (Hinsley, Hayes y Simon, 1977) estudiaron los esquemas de los alumnos para problemas verbales. Alumnos de alta competencia en álgebra alcanzaron altos niveles de acuerdo. Además, son capaces de CATEGORIZAR problemas DE MODO CASI INMEDIATO: en cuanto leía las primeras palabras, y EMPLEAN SUS ESQUEMAS para VALORAR con precisión QUÉ INFORMACIÓN ES RELEVANTE (muchos errores de integración al emplear el esquema equivocado para determinar qué información es necesaria) Ejemplo. Interpretar el problema como de triángulos o como de distancia-tasa-tiempo. Resultados. Unos intentaron determinar la longitud de catetos e hipotenusa, uno confundió 4 minutos con 4 millas, otro a cinco millas de distancia se refería a la longitud de la hipotenusa. Otros interpretaron distancia-tasa-tiempo como problema de adelantamiento. Por tanto, emplean un esquema y otro como plantilla para comprender el problema. (Hibsley y cols) Identificaron 18 ESQUEMAS BÁSICOS de problemas, demostrando que INFLUYEN EN CÓMO SE LEE EL PROBLEMA. 18 TIPOS DE PROBLEMAS 1. Triángulos 2. DVT (Distancia-tiempo-velocidad) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Promedios Conversión de escalas Proporciones Intereses Áreas Máx-min Mezcla 10. Corrientes de río 11. Probabilidades Está en…anda en diagonal…hasta Jerry Coches en circuito…uno sale a las 9:00h a 75 millas. Otro sale 4min después a 85m. ¿Cuándo lo adelanta? Ida 380km/h, vuelta 420km/h, media Agua congela 15, hierve 405 escala R, en la escala S a… Latas, 2 tamaños y radio 2ª 2/3. Proporción capacidades 3% interés compuesto cada 6meses: de 2500€, en 20 años Caja 180 pulgadas3 cortando láminas 5pulgadas: lado Beneficio edificio p plantas b=-Ip + 88p: Altura>beneficio Aceite 6% grasas sat., otro 26%. Aliño, 10 onzas 1ro, ¿cuánto segundo para no más 16% grasas? 36millas río abajo, otro 24 arriba. Aguas tranquilas corriente 12millas/h. ¿Cuál es la v-corriente? Dos filas dados 1-10 ordenados al azar. A ciegas una mano en una fila, y acertar mismo valor con mano en 2ª fila. 8 12. Números 13. Trabajo 14. Navegación 15. Progresiones 16. Progresiones 2 17. Física 18. Exponenciales Dígito de las unidades es= 3*Dígito decenas, además, Numero=8*suma dígitos Tarda 3min menos en empaquetar solo, …. Vuela a 360kh/h 30km. ¿Cuánto vuela antes de volver? 2 ciudades a 363km para encontrarse. 1km 1er dia, 3 el 2º, 5 el 3ro, el otro 2,6,10. Siguiendo proporciones, ¿cuándo… Suma 1ros 25 números impares Vcaida≈tcaida. Si cae a 144pies/sg tras 4sg, ¿Qué v? Diámetro capas tarta 2/3 anterior. 5 capas y D1ra=15p ¿Suma circunferencia todas las capas? (Mayer, 1981), revisó los problemas narrativos en manuales de álgebra típicos de 2ria, encontrando 100 tipos (con ↑variantes de las 18 anteriores de Hinsley: 12 de distancia-v-t (movimiento): adelantamiento, encuentro hacia destino, viaje de ida y vuelta, cambio de velocidad y dirección opuesta) Tipos de problemas de los MANUALES DE ÁLGEBRA-Comunes en familias similares(%en manual) Movimiento(13), corriente(5), trabajo(11) Cantidad de Tiempo Coste unitario(4), monedas(7), mezcla seca(6) Coste/por unidad Interés/inversión(12), beneficio/descuento(2), Porción del total Cantidad/por cantidad Narración numérica Geometría variación directa(16) Variación inversa(3), mezcla líquida(6), parte(4) Edad(3), interés consecutivo(1) Rectángulo/marco(3), círculo(1), triángulo(1) Ciertos problemas con más frecuencia en los manuales y otros raramente (4veces en 1000) (Mayer, 1982c), Leyeran y recordaran 8 problemas narrativos: MÁS ÉXITO RECORDANDO los problemas MUY FRECUENTES: la aparición problema vs la probabilidad de recordarlo se relacionan según línea recta. 1. PROBABILIDAD DE RECUERDO estrecha relación FRECUENCIA APARECE EN MANUALES 2. Tendencia en TRANSFORMAR PROBLEMAS de ↓FRECUENCIA a SEMEJANTES DE >FRECUENCIA (nunca al revés) ALUMNOS POSEEN ESQUEMAS PARA ALGUNOS TIPOS DE PROBLEMAS FRECUENTES: si no tiene el esquema se dificulta su representación. Diferencias expertos-principiantes en los esquemas de los estudiantes Con/sin experiencia en solución: DIFIEREN EN LA MANERA DE CATEGORIZAR problemas con palabras con experiencia CENTRARSE EN ASPECTOS ESTRUCTURALES: [principio, relación]subyacentes, vs ASPECTOS SUPERFICIALES (ej: objetos descritos) (Quilici y Mayer, 1996), clasificaran problemas de estadística (como contar en mecanografía palabras/minuto, o determinarlas según años de experiencia, o determinar según datos relación precipitación anual/temperatura) basándose en categorías de semejanza (el parecido): 1. Rasgos superficiales: clasificar como objetos, si se menciona “cierta palabra:mecanógrafos” se clasifica en la misma categoría. Así clasificaron universitarios sin experiencia en estadística. 9 2. Rasgos estructurales: clasificar según naturaleza variable dependiente (VD: categórica, cuantitativa), cuántos grupos participan, …: clasifican según el tipo de cálculo a realizar: prueba de <<t>>, correlación, etc. EXPERIENCIA EN DOMINIO MATEMÁTICO AYUDAR CAMBIAR MODO ORGANIZAN CONOC. ESQUEMÁTICO. (Silver, 1981), 1ºESO, clasificaran por grupos 16 problemas narrativos. Si tenían ↓ƞen solución se basaron en la narración, si tenían buen rendimiento, en estructura matemática subyacente. RESOLUCIÓN CORRECTA DESARROLLO DE ESQUEMAS ÚTILES ≠TOS TIPOS PROBLEMAS. Diferencias evolutivas en los esquemas de los alumnos EXPERIENCIA PREVIA problemas narrativos Sofistificación CONOCIMIENTO ESQUEMÁTICO. (Greeno y cols, 1980), tres tipos de problemas aritméticos con los mismos cálculos subyacentes (2+4=6) y diferente dificultad: 1. CAUSA/CAMBIO (tiene dos canicas le dan 4) 5años (infantil) ok. Tanto niños de infantil como de 1ro 1ria, dificultades, 2º y 3º bien con: 2. De COMBINACIÓN (tiene dos canicas, otro 4, ¿entre los dos?). 3. De COMPARACIÓN (tiene dos canicas, otro 4 más, ¿cuántas 1ro?). NIÑOS DE MENOS EDAD SOLO TIENEN UN ESQUEMA (CAUSA/CAMBIO) para problemas enunciados con palabras, que intentan aplicar a todos los problemas MAS QUE CARECER DE HABILIDADES, SE CARECE DE ESQUEMAS ADECUADOS. Una perspectiva de los procesos de integración en solucionadores con éxito y sin él (Lewis y Mayer, 1987), muchos errores en solución de problemas venían por PROCESOS DE INTEGRACIÓN SUPERFICIALES que se ponen en marcha por las palabras clave, utilizadas para determinar las operaciones a realizar. Ej: dos versiones del PROBLEMA de la mantequilla, CONGRUENTE, palabra clave (“menos”) instiga operación adecuada (resta), INCONGRUENTE, palabra clave (“menos”) operación inadecuada (resta) Casi ningún error en problemas congruentes y muchos en incongruentes proceso de integración del problema incorrecto INTENTAN TRADUCCIÓN DIRECTA (SELECCIONAR NÚMEROS DEL ENUNCIADO Y OPERACIONES POR PALABRAS CLAVE) Menos instiga restar, cuánto instiga multiplicar ÉXITO cuando emplean un MODELO SITUACIONAL (construyen un modelo mental de la situación) (Hegarty y cols, 1995), supervisaron los MOVIMIENTOS OCULARES, de 8 alumnos que resolvían problemas con éxito y sin él (leían en pantalla y formulaban un plan de solución). Todos leyeron las 4 líneas del problema y releyeron algunas partes. Los que FRACASARON tendían a RELEER NÚMEROS Y PALABRAS CLAVE MÁS FRECUENTEMENTE TRADUCCIÓN DIRECTA. ÉXITO RELEER + NOMBRES DE VARIABLES y otras palabras del enunciado EN LUGAR DE NÚMEROS MODELO DEL PROBLEMA, Consecuencias para la instrucción: enseñanza de habilidades de integración de problemas. Frente a un problema: 10 1. Cuál es la información necesaria para resolverlo. 2. Localizarla en el enunciado. a. Si tiene información irrelevante, ignorarla. b. Si no tiene información esencial darse cuenta no puede resolverse. (Low y Over, 1989, 1990, 1993) Indicar para cada problema si tiene información para resolverlo prueba crucial de conocimientos esquemáticos necesita construir una representación integrada del problema): a) Información suficiente. b) Información irrelevante. c) Falta información. En la enseñanza media se comenten errores en más de la mitad de los problemas. ¿EL RENDIMIENTO en solución de problemas se relaciona con la CAPACIDAD DE DETECTAR si tiene INFORMACIÓN suficiente, irrelevante o carece? 1. Si tiene irrelevante o carece r=0.9 con capacidad para resolverlos. HABILIDADES DE INTEGRACIÓN COMPONENE IMPORTANTE EN RESOLUCIÓN. ENFOQUE 1 ENSEÑAR VALORAR RELEVANCIA de la información ↑ƞsolución problemas. (Low , 1989), GE: instrucción 80minutos para reconocer en problemas verbales si la información es suficiente, irrelevante, o faltaba. 27 problemas; realimentación del profesor razones para clasificar. GC, 80 minutos instrucción convencional problemas en semejantes y realimentación profesor de cómo calcular la solución. Los pretest y postest, resolver con información suficiente o además irrelevante. Pretest y menos competentes: 1 de 4. Post test GC mejoras del 10%, GE: mejoras 25%. INSTRUIR EN VALORAR RELEVANCIA ES +EFICAZ QUE INSTRUIR EN GENERAR SOLUCIONES Alumnos son capaces de aprender habilidades de integración. ENFOQUE 2 ENTRENAR EN ESQUEMAS ↑ƞ RECONOCER TIPOS DE PROBLEMAS. Dos predicciones: 1. Predicción CORRELACIÓN. RECONOCER ESQUEMAS ↑ligado solución problemas. 2. Predicción INSTRUCCIÓN en enseñar RECONOCER y resolver TIPOS de problemas ↑ƞsolución. (Fuch y cols, 2004), 3º 1ria, aprendan a resolver 4 tipos de problemas. GC: Tres semanas ENTRENAMIENTO EN ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN, incluido en curriculum escolar y libro de texto. CLARA MEJORA EN PROBLEMAS tipo: 1. 2. 3. 4. 5. Lista de compra (joe necesita 1pila, 2…, ¿cuánto dinero?) Mitades. (12 cromos, le da a su hermano la mitad) Compra de bolsas. (32 gorritos en bolsas de 4. Cuántas bolsas) Pictográficos. (Cuántas tareas realizó Mary) ¿Qué tipo de problema es este (detección de esquemas)? (Letrero 4 pizzas a precio muy bajo. Necesitas 10. ¿Cuántas bolsas?) 11 Con lo que 3º 1ria, CLARA MEJORA EN PROBLEMAS: 1. TRANSFERENCIA PRÓXIMA (semejantes a los 5 anteriores) 2. Transferencia LEJANA (más complejos) Luego intentaron 12 semanas de instrucción, 26 lecciones (800min). GI: reconocer y resolver p. mejoras mucho mayores que el GC, tanto en transferencia próxima como lejana: CONGRUENTE CON PREDICCIÓN INSTRUCCIÓN. >PUNTUACIÓN en DETECCIÓN DE ESQUEMAS, q G.C. ↑relacionado solución p. matemáticos (0,55 a 0,69) PREDICTOR MÁS IMPORTANTE PREDICCIÓN DE CORRELACIÓN. Enseñanza en esquemas es eficaz en 1ria, ¿adecuada para ADULTOS? (Quilici y Mayer, 2002) enseñaron a universitarios a clasificar problemas de estadística verbalmente (como antes) basándose en rasgos estructurales, en lugar de los superficiales (narrativa del problema). La narración decía que funcionarios con más experiencia se ausentaban más. GRUPO DE ESQUEMAS, GE, tres cuadernillos (prueba de t, psi cuadrado y correlación) de 5 páginas: 1ra página cuadernillo prueba t, tres problemas. Pedía QUE ABSTRAYERA LA ESTRUCTURA SUBYACENTE respondiendo a: ¿CUÁL DE ESTOS ESCENARIOS REPRESENTA MEJOR los problemas de esta página? (a) si grupo A es ≠ al B en medida C b) Si medida A relacionada con medida B en grupo C c) Si grupo A representa más probablemente que grupo B característica C) 2da página ofrecía la respuesta correcta y UNA PROYECCIÓN DE LOS RASGOS ESPECÍFICOS DEL PROBLEMA EN LA ESRUCTURA GENERAL (dijeran los que pueden ser A, B o C) En 3ra página, las RESPUESTA CORRECTAS, A=funcionarios con más experiencia, B=con menos C=días de ausencia ese año, y que indicaran A, B y C para el segundo y tercer problemas. 4ta página, respuestas correctas y LLAMAR LA ATENCIÓN SOBRE LOS RASGOS ESTRUCTURALES DISTINTIVOS. Última página, respuesta correcta y resumen. GC, GRUPO DE CONTROL, sin entrenamiento en esquemas y los mismos problemas enunciados verbalmente. 1 prueba, clasificaran mazo de 12 tarjetas, cada una con 1 problema estadístico verbal, agrupando los que fueran semejantes. Cada problema un código letra-número (T-prueba t, X-psi cuadrado, R-correlación) y números 1,2,3 o 4 para distintos tipos de enunciados. Tras análisis matricial GC INFLUENCIADOS POR LA NARRATIVA del enunciado (problemas con el mismo número juntos). GE percibieron claramente la estructura subyacente. 12 CONCIENCIA ESTRUCTURAL ES UNA HABILIDAD QUE PUEDE APRENDERSE Se puede ENSEÑAR A RECONOCER TIPOS BÁSICOS DE PROBLEMAS mediante INSTRUCCIONES Y PRÁCTICAS QUE CENTRAN SU ATENCIÓN EN RASGOS ESTRUCTURALES distintivos errores cuando se carecen de esquemas o estos no son apropiados. ¿CÓMO SE PROPORCIONA INSTRUCCIÓN? Algunos MANUALES Todos los problemas de la página del mismo tipo ORGANIZACIÓN HOMOGÉNEA NO APORTA PRÁCTICA DE RECONOCIMIENTO Mayor mezcla de problemas podría animar a aprender cómo diferenciar. Algunas técnicas necesitan verificarse mediante INVESTIGACIÓN, e implican que: 1. DIBUJEN DIAGRAMA INTEGRADO del problema. 2. CLASIFIQUEN POR CATEGORÍAS. 3. Determinen QUÉ INFORMACIÓN ES IRRELEVANTE. INSTRUCCIÓN EN ESQUEMAS ≠ RECONOCER PALABRAS CLAVE (pueden ser palabras clave superficiales -si dice más hay que sumar-) pues NO ALIENTA A COMPRENDER Y REPRESENTAR, e induce ERRORES como el de la versión incongruente ALUMNOS DEBEN ENTENDER que LOS MÉTODOS DE PALABRAS CLAVE NO SIEMPRE CONDUCEN A LA RESPUESTA correcta DEBERÍAN REPRESENTAR EL PROBLEMA CON SUS PROPIAS PALABRAS Proceso de TRADUCCIÓN e INTEGRACIÓN. TÉCNICAS INSTRUCCIÓN ADQUIRIR CONOCIMIENTOS: esquemáticos, lingüísticos o fácticos Deberían ser un aspecto crucial de la enseñanza de las matemáticas creciente uso de ítems destinados para comprobar la solución en las pruebas estandarizadas de matemáticas) Planificación y supervisión de la solución ¿Qué es la planificación y supervisión de soluciones? El diseño de un plan de solución Problema que nunca hemos visto ¿DE DÓNDE NOS VIENE LA IDEA? (Polya, 1945, How to solve it), INTENTAD RESOLVER UN PROBLEMA SEMEJANTE (accesible y parecido) sois CAPACES DE IMAGENARLO ¿Sería posible utilizar sus resultados, o el método empleado? ¿Habría que introducir algún elemento auxiliar? para CONCEBIR IDEA DE UN PLAN COMENZAR planificación con un problema PARECIDO. 13 Ej: problema volumen (V) del tronco (frustrum) nos dan valores áreas (A) bases inferior, superior y altura: calcular el V Uno semejante: >ria Vpirámide regular (V=1/3 (Abase * Altura)) Dos pirámides como base de cada una las áreas del tronco: restar un volumen del otro. Este proceso depende de varios HEURÍSTICOS: 1. Encontrar PROBLEMA SEMEJANTE (Vpirámide regular). 2. REFORMULAR (relacionar) el problema (hallar diferencia volúmenes). 3. DESCOMPONER el problema EN SUBMETAS (Vpirámide grande, Vpirámide pequeña y restar) A su vez, descomponer cada submeta para hallar valores de bases y alturas e introducirlas en la fórmula del volumen. Ideas Polya INFLUENCIA en ALGUNOS DOCENTES (st de matemáticas) ¿EXISTE alguna PRUEBA de QUE SEA POSIBLE ENSEÑAR HEURÍSTICOS solución problemas para la planificación? (Schoenfeld, 1979), enseñó emplear heurísticos para solución incluyendo buscar problemas semejantes, relacionarlos y descomponer en submetas. Los alumnos incrementaron su rendimiento un 25% (pero el tamaño de la muestra fue muy pequeño) ES POSIBLE AYUDAR A MEJORAR COMO DISEÑAR PLANES. Utilización de ejemplos resueltos Polya ENCAJA CON TEORÍAS COGNITIVAS ACTUALES sobre TRANSFERENCIA ANALÓGICA si no ha visto un tipo de problema parecido resuelve el problema (OBJETIVO) RECORDANDO OTRO PROBLEMA (BASE) que sabe resolver ABSTRAE EL MÉTODO Y LO PROYECTA, en tres pasos: 1. RECONOCIMIENTO: identifica problema relacionado o BASE. 2. ABSTRACCIÓN: abstrae el método/principio de la base (no es fácil) 3. PROYECCIÓN: aplica el método/principio al objetivo (no es fácil) TÉCNICA +UTILIZADA EN MANUALES ADQUIRIR UNA COLECCIÓN O BASE ÚTIL de problemas (ej: enunciado dos problemas, ¿os parece que estudiar como resolver el primero ayudará con el segundo?) (Reed. Dempster y Ettinger, 1985), estudiaron unos ejemplos resueltos, unos eran equivalentes y otros no: los que estudiaron problemas equivalentes no tuvieron buen resultado (25% correctos), y peor si problemas no relacionados (18%) EXISTEN DOS OBSTÁCULOS principales PARA LA TRANSFERENCIA: 1. No ser capaces de ABSTRAER el método del ejemplo resuelto. Les dieron versión del problema resuelto con explicaciones de cada paso 2. NO DARSE CUENTA de que el ejemplo resuelto ES RELEVANTE. Presentaron el ejemplo resuelto junto al de prueba (pudieran emplearlo). Si problemas relacionados ƞ=69%, si no ƞ=17%. 3. Saber CÓMO SE RELACIONA ejemplo resulto con el de prueba. MEJORAR EFICACIA DE PROBLEMAS RESUELTOS: Para ayudar a proyectar RELLENAR ESPACIOS EN BLANCO (relacionar problema enfermera (mexla solución 6% ácido bórico con otra al 12%, ¿cuántas pintas de cada para 4,5 pintas al 8%?) con el del frutero (mezcla cacahuetes a 1,65€ con almendras de 2,10€ kilo. ¿Mezcla para que valga 1,83kilo). La >ria resuelve el del frutero tras resolver el de la enfermera) AYUDA A PROYECTAR CORRESPONDENCIAS. Problema Enfermera Problema Frutero 14 6% ácido 12% ácido 4,5 pintas 4,5 pintas x 8% ácido Y se rellena Problema Enfermera 6% ácido 12% ácido 4,5 pintas 4,5 pintas x 8% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema Frutero 1,65€ 2,10€ 1,83€ 30 x 1,83€ (Catrambone, 1995) Otra técnica para que ejemplos resueltos sean más eficaces, ETIQUETAR EXPLÍCITAMENTE las SUBMETAS (problema cartera: juez se percató que los 219 abogados precisan más de una cartara: 180 tenían una, 17 dos, 13 tres, 9 cuatro Distribución de Poisson para obtener probabilidad abogado seleccionado tenga dos carteras) Enseñó a resolver con 6 ejemplos resueltos, cada uno mostraba las etapas de la solución (incluyendo uso fórmula poisson). Algunos recibieron submetas etiquetadas (a) encuentra el total de carteras, b) promedio carteras por abogado c) fórmula de Poisson) Otros, sin submetas etiquetadas. Postest: 1) Problemas muy semejantes =ƞ. Si implicaban la ALTERACIÓN DEL PROCESO, con etiquetas rendimiento mucho mejor. >RES BENEFICIOS INCORPORAR COMENTARIOS DESCRIBEN PRINCIPALES SUBMETAS. La vía que conduce a la transferencia es compleja (Salomon y Perkins, 1989). Algunos necesitan ayuda para aprender cómo abstraer una solución de los ejemplos resueltos y conectar con el problema nuevo. Creencias sobre la solución de problemas matemáticos. Creencias Influyen en cómo planifican. 1) CREENCIA +DESTRUCTIVA en planificación APLICAR PROCEDIMIENTOS SIN SENTIDO (Shoenfeld, 1992): no esperan entender las matemáticas, se limitan a memorizarlas y aplicar lo aprendido de modo mecánico. (Lester, Garofalo y Kroll, 1989), 3º de 1ria, todos los PROBLEMAS ENUNCIADOS VERBALMENTE SE RESOLVÍAN CON LAS OPERACIONES QUE SUGERÍAN LAS PALABRAS CLAVE. no supervisaban sus acciones ni lo razonable de la respuesta (no veían la necesidad) ¿De dónde surge? LA >RIA PROBLEMAS QUE SE LES PRESENTAN SE RESUELVEN CON PALABRA CLAVE (y en muchos casos los profesores les han enseñado así) 2) Otra: SI COMPRENDES LAS MATEMÁTICAS RESUELVES CUALQUIER PROBLEMA EN 5min O MENOS Si en 5minutos no lo has conseguido ABANDONAS. (Shoenfeld, 1992) preguntó en enseñanza media, ¿cuánto tardarían en resolver problema típico de sus tareas para casa?, el promedio fue de 2 minutos y ¿cuánto trabajarían antes de abandonar?, con un promedio de 12min: LA EXPERIENCIA EN CLASE DE MATEMÁTICAS CREENCIA problemas de matemáticas pueden resolverse rápidamente (hasta los 12años han trabajado miles de problemas en pocos minutos) Al supervisar sus procesos de resolución Abandonan cuando llegan a algún obstáculo importante (incluso si lo hubieran logrado de persistir) 15 Actitudes: DISPOSITION PRODUCTIVELY (DISPOSICIÓN PRODUCTIVA) considerar matemáticas como algo dotado de significado, útil y que merece la pena se apareja con CREENCIA en DILIGENCIA Y PROPIA EFICACIA. (National Assessment of Educational Progress, NAEP, evaluación alumnos EEUU, 54%-4º 1ria, 40%-2º ESO piensan matemáticas son un conjunto de reglas y aprender matemáticas es memorizar las reglas. Niñas actitud más negativa y que decae más con la edad. OBSERVAR COMO SOLUCIONAN problemas da INFORMACIÓN SOBRE LA DISPOSICIÓN PRODUCTIVA ↑veces MANEJAN LOS NÚMEROS SIN COMPRENDERLOS, los combinan para generar la solución (Ej1: corredor corre 100 metros en 17 segundos. ¿cuánto 1km? el 97% respuesta: 10 x 17 = 170sg, pero el corredor no puede mantener el ritmo los 1000 metros. Ej2: hay 26 ovejas y 10 cabras en barco, ¿qué edad tiene el capitán: 1º y 2º primaria combinó los números del enunciado sin darse cuenta que carecía de significado (5º primaria igual) Se centraron si había que sumar, restar en lugar de preguntarse si el problema tenía sentido: al preguntarles “me pareció que lo que mejor pegaba era sumar”, “pues en problemas como este hay que sumar, restar…” (Shoenfeld, 1991), lo que APRENDEN ES UNA SUSPENSIÓN DEL SIGNIFICADO al resolver: suspenden el requisito de que el enunciado debe tener sentido Y hay razones Esta suspensión SE DESARROLLA EN LA ESCUELA Hay pruebas suficientes de que HAY QUE AYUDAR A UNA DISPOSICÓN PRODUCTIVA. Consecuencias para la instrucción: ENSEÑANZA DE LA PLANIFICACIÓN Problema nuevo no saben qué hacer, aunque conozcan la aritmética necesaria Evaluaciones nacionales instrucción convencionales NO SE ESTÁN PROPORCIONANDO LAS HABILIDADES DE PLANIFICACIÓN ¿cómo ayudar a desarrollarlas? Grupo de Cognición y Tecnología de Vandervilt: PROGRAMA BASADO EN VÍDEOS (ayudar a aprender a planificar la solución), con Las aventuras de Jasper Woodbury (15-20min). Cada episodio, personaje se enfrenta a un DESAFÍO que requiere solución de problemas matemáticos (planificar viaje, negocio basado en estadística, geometría): 1. Resuelven el problema en grupos pequeños. 2. Ven otro vídeo como lo resolvió el personaje. RESCATE EN LA RIVERA: Larry, el amigo de Jasper, enseña a Emily a volar en ultraligero, con información capacidad combustible, consumo, velocidad y posibilidades de aterrizaje. Jasper, les dice que planea ir a pescar a la Ribera: distancia a pie 29km, pista aterrizaje cerca. Luego Emiliy y Larry salen de un restaurante y se pesan. A continuación, se ve a Jasper pescando en la Ribera y descubre un águila herida, luego se le ve con él en el veterinario. Al final se ve un mapa donde no hay carretera hasta la Ribera. Los alumnos deben (emplean una semana por episodio): 1. En pequeños grupos: considerar un abanico de posibilidades y variables: ultraligero debe volar más de lo normal añadir +combustible y peso cambiar de piloto. 2. Repasan partes del video: revisar u obtener información. 3. Trabajan sobre versiones alternativas del problema. 16 4. Aunque generen la respuesta en 30min, se les anima a trabajar más tiempo para mejorar la solución. Resultados: GI: 10 clases 5º y 6º 1ria, instruidas en 3 de 4 aventuras, GC: 10 clases con instrucción regular prueba de planificación antes y después instrucción. PRUEBA HABILIDAES PLANIFICACIÓN: 1. Preguntas cómo planificar solución 2. Preguntas cómo descomponer problema en partes. En pretest resultados similares (20% Rcorrectas). GI rendimiento mucho mejor en postest (40% vs 25% GC). Por qué mejoró. TRES PRINCIPIOS, que no tienen programas convencionales de matemáticas: 1. Aprendizaje GENERATIVO. Aprenden mejor cuando construyen activamente su propio conocimiento (en lugar de recibir pasivamente información presentada por profesor) 2. Instrucción CONTEXTUALIZADA. Contenidos en situación interesante (en lugar de problemas aislados) 3. Aprendizaje COOPERATIVO. Se comunican sobre el problema en grupos (en lugar de trabajar individualmente) En Jasper la eficacia se da por una combinación de los 3 aspectos (no se pueden aislar los aspectos, de enseñanza y aprendizaje) En Jasper el USO DE LA TECNOLOGÍA Aleja la instrucción de la transmisión y la acerca a la RESOLUCIÓN ACTIVA necesaria más investigación. Los HEURÍSTICOS PARA PLANIFICACIÓN incluyen: 1. Uso de problema semejante. 2. Reformulación del problema. 3. Descomposición en submetas. OBSTÁCULOS DE LA PLANIFICACIÓN: 1. Dificultad para encontrar problema semejante. 2. Confiar en procedimientos de solución carentes de significado. 3. Falta de perseverancia. PARA INSTRUIR: 1. Alumnos reconozcan puede haber más de una forma de resolver. 2. Búsqueda de un método de solución puede ser una actividad creativa. 3. Ser capaces de describir sus métodos de solución y de compararlos con los de los compañeros. 4. (Algunos investigadores) Pedir escriban una lista de las operaciones (o las enumeren con frases) necesarias 5. Lista de submetas. 6. Saquen conclusiones basadas en la realización parcial del plan. Aunque se necesita más investigación para verificar las sugerencias: 17 CREENCIAS: Son un TIPO DE CONOCIMIENTO que SUBYACE a planificación y supervisión. GUARDAN RELACIÓN CON SU RENDIMIENTO + PRUEBAS alentadoras DE QUE PUEDEN CAMBIARSE MEDIANTE INSTRUCCIÓN. CUESTIONARIO para MEDIR LAS CREENCIAS sobre el APRENDIZAJE de las matemáticas y sobre COMO son como APRENDICES de matemáticas (ítems como: No es importante comprender sino resolver, solo hay una manera de resolver, las matemáticas me ayudan a pensar con más claridad, los problemas que tardan no me inquietan, si me esfuerzo puedo mejorar) (Mason y Scrivani, 2004), cuestionario a 5º de 1ria Italia: CARECÍAN DE CREENCIAS POSITIVAS intensas (aprendizaje o aprenderlas) Para MEJORAR LAS CREENCIAS, GE: 12 lecciones de matemáticas, 1,5h, AYUDAR A CONSIDERARSE ESTUDIANTES COMPETENTES: 1. Con estrategias útiles. 2. Conscientes existen muchas maneras de resolver. 3. Capaces de emplear el tiempo necesario. Mejora en cuestionario, y fuerte mejora en solución de problemas (en en GC) ES POSIBLE ayudar a DESARROLLAR CREENCIAS PRODUCTIVAS sobre matemáticas. Ejecución de la solución ¿Qué es la ejecución de la solución? Ejecutar el plan CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTALES (cómo ejecutar procedimientos: suma, resta, división, multiplicación) SU ADQUISICIÓN (↑experiencia) = PROGRESIÓN desde PROCEDIMIENTOS INGENUOS A +SOFISTICADOS y SU AUTOMATIZACIÓN. Cuando niños adquieren experiencia sus métodos se hacen más sofisticados y automáticos. Además, DESARROLLAN UNA COLECCIÓN DE PROCEDIMIENTOS que pueden seleccionar para distintos problemas. Investigación sobre la ejecución de la solución Desarrollo de pericia para la SUMA SIMPLE m + n =____________, m y n enteros positivos de un dígito, y suma inferior a 10. (Fuson, 1982, 1992). CUATRO ETAPAS principales EN PERICIA DE CÁLCULO (procedimientos iniciales, que se basan en CONTAR): 1. CONTAR-TODO. Contador a 0 e incrementarlo m veces (levantando dedos una mano) y luego n veces (tras pausa, levantando dedos de la otra). 2. CONTAR-SOBRE. Contador a m e incrementar n veces. (Groen y Parkman, 1972) denominaron a una versión de este método modelo min: contador al número mayor incrementando con el menor. 18 3. HECHOS DERIVADOS (o descomposición). Usar conocimiento previo (hechos numéricos) para imaginar respuestas de problemas semejantes: ej, los dobles, 1+1=2;2+2=4;3+3=6 (y partir de este resolver 2+4) 4. HECHOS CONOCIDOS (recuperación). Tener una lista para cada hecho numérico: se suelen usar tarjetas de colores para que adquieran respuestas rápidas para hechos básicos. SUMA EXTENSIÓN de lo que sabe sobre CONTAR ↑experiencia procedimientos más eficaces y algunos se automatizan. ¿PRUEBAS?: OBSERVAR que hacen cuando calculan, ESCUCHAR lo que dicen, ATENDER A SUS DEDOS o MEDIR LO QUE TARDAN en resolver. Figura con resumen contar-todo y contar-sobre (min): Entonces pueden hacerse PREDICCIONES sobre LOS TIEMPOS DE RESPUESTA de cada procedimiento: 1. Contar-todo: m+n debe incrementar el contador m+n veces. 2. Versión min de contar sobre: m+n, si 2+4, incrementar dos veces. 3. Hechos derivados: más rápido para problemas conocidos. 4. Hechos conocidos: el mismo tiempo para todos los problemas. (Groen y Parkman, 1972), que procedimientos emplean cuando empiezan la instrucción formal: 1º 1ria problemas suma 1 dígito trespuesta debería seguir modelo min: el trespuesta ↑≈1/3 por incremento adicional del valor menor. Si dobles: rápidos con independencia de la cantidad de incrementos (bien memorizados) El modelo min sería el que mejor encaja con rendimiento de ADULTOS, pues tincremento-adulto = 1/50segundo vs (1/3 de 1º de 1ria), pero es imposible que realicen 50 incrementos por segundo >ria problemas disponen de ACCESO DIRECTO A RESPUESTA EN MEMORIA (hechos conocidos), y en muy pocos casos cuentan. (Ashcraft y Stazyk, 1981), BUSCAN la respuesta en una RED COMPLEJA (alguna versión de hechos conocidos) vs 1º de 1ria que usan alguna versión del método de cuenta. (LeFevre, Smith-Chant, Hiscok, Daley y Morris, 2003), ADULTOS INFORMAN DE PROCEDIMIENTOS DIFERENTES DE RECUPERACIÓN EN PROBLEMAS SIMPLES: en especial si incluyen multiplicación (3 x 5 = 5, 10, 15) tiempo respuesta = f(cantidad contada: 5) Disponen de DIVERSAS ESTRATEGIAS aunque la >RIA ADULTOS USAN LA RECUPERACIÓN para PROBLEMAS aritméticos SENCILLOS. Procedimientos de selección de suma AVANCE ALUMNOS (Desarrollo Cognitivo) DESCUBREN/INVENTAN procedimientos más eficaces. (Hopkins y Lawson, 2002) DOS CONCEPCIONES DESARROLLO COGNITIVO: 19 1. TRADICIONAL. Progresión lineal paso a paso (contar-todo contar-sobre descomposición recuperación). SUSTITUCIÓN de procedimientos previos. 2. ONDAS SOLAPADAS. Incorporación progresiva y uso creciente de procedimientos más sofisticados: VARIOS PROCEDIMIENTOS: de menos a +maduros. (Siegler, 1987), 1º y 2º de 1ria, resolvieran problemas de suma y luego explicar verbalmente cómo. Niños informaron de 5 tipos de procedimientos: a) Adivinar (o no responder) b) Contar-todo c) Contar-sobre (versión min) d) Descomposición (hechos derivados) e) Recuperación (hechos conocidos). MAYORÍA de los niños UTILIZABAN AL MENOS TRES PROCEDIMIENTOS Y en todas las edades NINGUNO LA MAYOR PARTE DEL TIEMPO (min era buen predictor si decían haber resuelto con él, sino no lo era niños emplean las estrategias que dicen estar usando) TIENEN UN ARSENAL PARA LA SUMA Y ELIGEN para los distintos problemas: 1. Niños utilizan recuperación para problemas sencillos. 2. (Sigler y Jenkins, 1989), para complicados utilizan ESTRATEGIAS DE RESPALDO (cuenta o descomposición): más fácil contar-sobre si uno de los sumandos es menor (9 + 2) que si son semejantes (5 + 6) SE COMPORTAN ADAPTATIVAMENTE. (8 + 3), adulto recupera, 1º 1ria usan ≠tos procedimientos: suma simple, descomposición a 10 (10 + 1), contar-sobre (empezando en 8) (Verschaffel y Ghesquiere, 2004), a alumnos 2º primaria de ↑ƞ y ↓ƞ indicaran métodos empleados. ↑ƞ con +frecuencia recuperación (↓ƞ la descomposición a 10, o la cuenta) 3º primaria= ƞ que los 2º de ↑ƞ ALUMNOS TIENDEN A DESPLARZSE DE PROCEDIMIENTOS QUE REQUIEREN MÁS ATENCIÓN (descomposición, contar-sobre) A MENOS ATENCIÓN (recuperación) ↑CAPACIDAD MEMORIA OPERATIVA para abordar otros aspectos de la solución, pero LAS TRES ESTRATEGIAS SIGUEN DISPONIBLES (Ondas Solapadas). (Siegler y Jenkins, 1989 y Torbeyns y cols, 2004), PRUEBAS ONDAS SOLAPADAS. (Hopkins y Lawson, 2002), ONDAS SOLAPADAS = Niños DISPONEN (múltiples procedimientos)/INVENTAN NUEVOS/EXPERIMENTAN COMPETICIÓN entre PROCEDIMIENTOS eficaces/ineficaces y DESARROLLAN GRADUALMENTE LA RECUPERACIÓN COMO PROCEDIMIENTO PRINCIPAL suma. Procedimientos de cálculo complejos Tras cierto nivel de automatización en simples (sumas restas de una columna) estos PROCEDIMENTOS pueden CONVERTIRSE EN COMPETENTES de otros CÁLCULOS COMPLEJOS (resta tres columnas: 456-321=____________), requiere resolver de un solo dígito, es decir de una sola columna. Supone años en ser adquirido ALGUNOS NIÑOS ADQUIEREN UNA VERSIÓN DEFECTUOSA: un paso puede ser deficiente, tener un pequeño vicio si utiliza un PROCEDIMIENTO VICIADO: PODRÍA RESPONDER BIEN A UNOS PROBLEMAS Y A OTROS NO. 20 2a=Encontrar T-B, 2b=¿T>B?, 2c=(si)Resta(> del <) y Escribe. El (no) implica procedimiento de llevar. Procedimiento viciado: restar mayor del menor independientemente de cuál esté en la fila superior del enunciado. (Brown y Burton, 1978) Puede definirse el conocimiento sobre la resta mediante la LISTA DE VICIOS del alumno (si los hay). Los errores ocurren por el empleo sistemático de procedimiento sistemáticamente equivocado, no porque no aplique el procedimiento. Proporcionaron 15 problemas de resta a 1325 alumnos de 1ria y desarrollaron un programa, BUGGY, para analizar el procedimiento de resta. Si existían algunos errores, el programa intentaba encontrar el procedimiento viciado. Si había más de uno, analizaba todas las combinaciones. Sin embargo, solo fue capaz de determinar el procedimiento de resta de la mitad de los alumnos, el resto parecía cometer errores al azar: 1. No aplicaron sistemáticamente los procedimientos viciados. 2. O quizás, aprendieron mientras realizaban la tarea. Este trabajo permite una DESCRIPCIÓN PRECISA DEL CONOCIMIENTO PROCEDIMENTAL de los alumnos. Algunos vicios son: fr ocurrencia (de 1325) 57 Nombre procedimiento viciado LLEVAR DE 0 54 EL MENOR DEL MAYOR 10 Si 0 superior 34 Si 0 inferior Ejemplo Descripción 103 -45 ----158 253 -118 ----145 140 -21 ----121 304 -75 ----279 No continúa llevando de la columna de cero superior Indiferentemente de cual esté encima resta el menor del mayor. Si dígito superior es 0, escribe el dígito inferior como respuesta Si dígito superior es 0, escribe el inferior. Si necesita llevar de columna superior con 0, salta la columna y lleva desde la siguiente. El papel de la automatización en la ejecución del procedimiento. (Skwarchuck y Anglin, 2002), niños, decir número aparece en pantalla <de 2 sg. Lo aplicaron a niños 1º,2º,3º y 5º de 1ria t 1º de ESO. AUTOMATIZACIÓN: Realizar tarea cognitiva sin dedicarle atención consciente: 1. CLAVE EN COMPETENCIA LECTORA 21 2. COMIENZO APRENDIZAJE MATEMÁTICAS automatización DENOMINAR NÚMEROS. Si liberan capacidad cognitiva pueden emplear procesos cognitivos más sofisticados: ej, pasar a los beneficios de contar-sobre desde contar-todo ATENCIÓN PARA SUPERVISAR cuán bien vamos con los procedimientos de resta de 3 columnas PROCEDIMIENTOS INFERIORES USADOS COMO COMPONENTES DE MÁS COMPLEJOS. Consecuencias para la instrucción: La enseñanza de la ejecución. AYUDAR CONSTRUIR BASE ÚTIL DE CONOCIMIENTO PROCEDIMIENTAL 1) Durante 100 años EJERCICIOS Y PRÁCTICA: Problemas sencillos, si respuesta correcta recompensado (profesor dice ¡correcto!), sino castigado (¡error!). Una forma de ejercicios y práctica Tarjeta: una cara, el problema, otra cara la solución. Otra forma, libro de texto con problemas y comprobación de respuestas. PROBLEMA: CONOCIMIENTO PROCEDIMENTAL PUEDE QUEDAR AISLADO DEL CONCEPTUAL (sumar y restar aislado de qué es un número) (Case y cols, Case y Okamoto, 1996), en APRENDIZAJE DE PROCEDIMIENTOS BÁSICOS VINCULARLO CON ESTRUCTURAS CONCEPTUALES. Estructura conceptual +importante para aprender procedimientos aritméticos: LÍNEA MENTAL NÚMERICA (Case y cols) desarrollaron una PRUEBA sobre CONOCIMIENTO DE LA LÍNEA mental numérica incluye: 1. 2. 3. 4. Capacidad para COMPARAR dos números. Capacidad para VISUALIZAR la línea. CONTAR hacia delante y detrás. Determinar la MAGNITUD cuando se especifica con palabras que representan números. Aplicada a niños de 6 años de bajo nivel socioeconómico (NSE), solo 32% conocimiento aceptable vs 67% en niños de alto nivel (solo 25% ↓NSE resolvían 2 + 4, vs, 71% de alto) ¿Por qué fallan en sumas simples?, para Case y cols, carecen de una representación de la línea mental numérica Enseñar a CONSTRUIRLA Y UTILIZARLA COMO REQUISITO PARA APRENDER PROCEDIMIENTOS ARITMÉTICOS. Este es el enfoque del programa de preparación Rightstart (Griffn y Case, 1996): 40 sesiones de 1/2hora, aprenden jugando distintos juegos de números (lanzan un dado, quién obtuvo el mayor número mueve su ficha en tablero con línea de números, hasta que uno gana. De este modo se promueve: compara magnitud 2 números, contar hacia delante y detrás en línea, proyecciones de los números sobre objetos cuando se cuenta) ¿AYUDA LA INSTRUCCIÓN sobre línea numérica?: programa Rigstart a niños de ↓NSE (GTratamiento) y otros con instrucción convencional (GC). 22 1. PRUEBAS EVIDENTES CONSTRUCCIÓN CONOCIMIENTO CONCEPTUAL SOBRE LÍNEAS NUMÉRICAS (postest conocimiento líneas, 87% GT y 25% GC competencias en tareas obre línea. 2. PRUEBAS AYUDA APRENDER PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS (postest con sumas simples, 82%GT y 33%GC respuestas corre tas) 3. GT MÁS ÉXITO APRENDIZAJE MATEMÁTICAS EN ESCUELA (80%GT, y 41%GC correctamente unidades mamáticas de 1º de 1ria) Al menos, 50% alumnos con RENTA BAJA, van a la escuela sin la estructura cognitiva central para tener éxito con las matemáticas de primero: primer aprendizaje suma y resta no tiene sentido para ellos Programa de instrucción más bien modesto promovería el conocimiento conceptual subyacente a procedimientos matemáticos. (Rightstart, Brueer, 1993), importancia de establecer conexiones entre procedimientos aritméticos y conceptos numéricos: las habilidades numéricas básicas no pueden ser simples recetas sino reglas de razonamiento. Tienen que comprender cómo los conceptos y estructuras numéricas justifican y fundamentan, pues sino para ellos las matemáticas serán procedimientos arbitrarios y un misterio el porqué funciona. El conocimiento conceptual y las habilidades procedimentales deben estar interrelacionadas en la instrucción. Algunos niños ingresan en primaria sin el sentido de los números. 5 muñecas en la mesa y se pide contar. (Gelman y Gallistel, 1986), 5 procedimientos para contar: 1. Uno-a-uno: Un número y solo uno a cada objeto (si de una muñeca se dice que es la dos, no puede luego dársele otro número) 2. Orden estable: Lista de números congruente y sin repeticiones (uno, dos, tres, cuatro, cinco) 3. Cardinalidad: el último número indica la cantidad del conjunto. 4. Abstracción: Uno determina lo que puede contarse (cada muñeca es una entidad diferenciada a ser contada) 5. Irrelevancia del orden: El orden con el que se cuenta los objetos no tiene importancia (izquierda a derecha o viceversa) COMPRENSIÓN CUENTA MUCHO MÁS QUE RECITAR LISTA de números (oren estable) La CUENTA ES EL CORAZÓN DEL SENTIDO NUMÉRICO Comprenderla Mejoraría el aprendizaje de la aritmética. (Aunola, Leskinen, Lerkkanen y Nurmi, 2004), tareas para medir capacidades de contar: 1. 2. 3. 4. Contar hasta donde pudiera. Contar hacia delante a partir de un número. Contar hacia atrás a partir de un número. Contar hacia delante desde un número otro número de veces (hasta donde llegas si cuentas 5 desde 2) Hay alumnos que entran en 1ria sin estas habilidades de contar. ¿Están relacionadas con el aprendizaje inicial de las matemáticas? (Aunola y cols, 2004), las comprobaron en niños filandeses de escuelas infantiles en 6 ocasiones (ingreso escuela 2º de 1ria) ↑correlación posterior desempeño en matemáticas en 1ria y ritmo de aprendizaje de matemáticas más rápido en 1ria 23 (Malofeeva, Day, Saco, Young y Ciancio, 2004), programa HEAD START, 6 sesiones 20-25min aprendían el SENTIDO NUMÉRICO: contar, identificar números y suma-resta (GT), el (GC) cantidad de instrucción equivalente temas no matemáticos (insectos) EN MENOS DE TRES HORAS MEJORAS SUSTANCIALES (y GC ninguna mejora) no solo contar e identificar, sino también en SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, SUMA Y RESTA enunciados verbalmente: Efectos de la instrucción del sentido numérico sobre cuenta, identificación de números y tareas aritméticas: Algunos investigadores han conseguido enseñar el sentido numérico con lecciones estructuradas, pero ¿pueden los profesores incorporar al aula la enseñanza del sentido numérico? (Arnold, Fischer, Doctoroff y Dobbs, 2002), entrenaron a profesores de educación infantil que trabajaban con el programa Head Start: cuaderno de 85 actividades entre las que elegir, junto a entrenamiento de 2horas de cómo desarrollar el sentido numérico utilizando las actividades. Se evaluaron las habilidades matemáticas iniciales (contar bloques de 10, mostrar 4 dedos, decir qué va después de 23, 24) antes y después de las 6 semanas (al GT y GC). Las actividades se diseñaron para: 1. 2. 3. 4. Reconocer los números escritos. La correspondencia uno-a-uno. Comparar dos números determinando el mayor, el menor. La relación entre contar y la cantidad. 24 Ejemplo: haced círculos de fieltro sobre tablero de franela. Dos con una cara dibujada serán orugas. Los niños en dos equipos hacen turnos lanzando un dado: la cantidad de círculos que el niño añade a su oruga. Luego cuentan los círculos para ver cuál es la oruga más larga. GT Incrementos del 47% (GC del 10%). Tamaño del efecto d=0,44 (medio) Pruebas alentadoras, modesta incorporación de estas actividades sobre el sentido numérico por profesores en infantil, tienen un impacto significativo en el aprendizaje de las matemáticas. ¿Qué hacer para mejorar la instrucción de los procedimientos de cálculo? (Thorndike, 1922), PRÁCTICA (resolver problemas de cálculo) ACOMPAÑADA DE REALIMENTACIÓN (corrección de sus respuestas): aceptado por psicología educativa y bien respaldada por investigación. Investigaciones recientes: desarrollar nuevos procedimientos aritméticos empleando los previamente aprendidos junto a su conocimiento conceptual de los números. (Rcsnick, 1982), vincularlos haciendo que los cálculos sean más concretos. Resumen del capítulo Para resolver el problema de la baldosa, se requieren varios tipos de conocimiento: 1. 2. 3. 4. Lingüístico y fáctico para traducir el problema. Esquemático, para la integración del problema Estratégico y creencias sobre la planificación de la solución y su supervisión. Procedimental para la ejecución de la solución. Revisando manuales de matemáticas y test de rendimiento de los currículos escolares, gran énfasis en el conocimiento procedimental (Mayer y cols, 1995): ejercicios y práctica en procedimientos de cálculo, es decir, una instrucción de ejecución de la solución. No siempre se proporciona instrucción sistemática sobre: cómo traducir los problemas, hacer representaciones significativas de los problemas y diseñar planes de ejecución. La traducción supone convertir cada enunciado en una representación interna (una paráfrasis o un diagrama) Los alumnos suelen tener problemas para comprender frases simples, sobre todo si existe relación entre variables. Con frecuencia carecen del conocimiento (específico) que se da por supuesto en el problema (cuadrado tiene 4 lados iguales) La instrucción sobre cómo representar cada frase del enunciado de un problema es importante, y a menudo desdeñada. La integración del problema supone disponer las piezas de información en una representación coherente. Los alumnos parecen tener dificultades con los problemas que no les resultan familiares, para los que carecen de un esquema adecuado. La instrucción sobre conocimiento esquemático puede ayudar a reconocer diferencias entre distintos tipos de problemas. La planificación y la supervisión de la solución implica diseñar y evaluar una estrategia para resolver el problema. Los alumnos tienen dificultades para describir el procedimiento de la solución que utilizan, como al especificar las submetas (si el problema requiere etapas múltiples). Es 25 necesaria la instrucción en estrategias para ayudar en centrarse sobre el proceso de solución además de sobre el producto. Además, a menudo abrigan creencias improductivas como la noción de que sólo hay un procedimiento de solución correcto, o que los problemas no tienen sentido. Los alumnos necesitan instrucción que les ayude a formar creencias más productivas sobre el aprendizaje en matemáticas. Estos tres tipos de instrucción complementan al cuarto, la instrucción en el proceso de solución, para aprender a llevar a cabo los procedimientos. Algunos procedimientos terminan por volverse automáticos, hay pruebas de que los alumnos disponen de una variedad de procedimientos. Este capítulo se ha centrado sobre un único tipo de problema matemático, sin embargo, muchos de los conceptos se aplican igualmente a otros tipos de problemas (el de la baldosa es representativo del tipo de problemas enunciados verbalmente en manuales escolares). Las matemáticas suponen más que el limitarse a alcanzar la respuesta correcta, las matemáticas son más que aprender hechos numéricos y procedimientos de cálculo. 26
