FACULTAD REGIONAL MULTIDISCIPLINARIA DE CARAZO
IV Trabajo de Computación (Programación)
Programa de doctorado en Matemática Aplicada
Aprendizaje basado en la resolución de problemas, mediante la
programación C
Los arreglos bidimensionales y los parámetros por referencia
Autores
Cliffor Jerry Herrera Castrillo
Norman Rafael López Sánchez
Donald Ariel Hernández Muñoz
Ileana María Martínez Méndez
Docente:
Dr. Harold Ramiro Gutiérrez Marcenaro.
09 Agosto 2019
Índice
I.
Introducción
La programación y las matemáticas van de la mano, esto por la estrecha relación que existe
entre ambas, si bien se dice que la programación nace de las matemáticas, las cuales son muy
importantes y esenciales ya que todo código, sistema, circuito, software y algoritmo por muy
sencillo que se vea las utiliza, esto conlleva a darle importancia al uso y entendimiento de
esta, donde prácticamente todos los avances tecnológicos, los nuevos software, equipos entre
otras cosas que son ahora la representación viva de los avances científicos, es la
conformación pura de la matemática.
Este informe aborda dos aspectos muy importantes que complementan el repertorio de
conocimientos básicos que todo programador de computadoras debe poseer: Los arreglos
bidimensionales y los parámetros por referencia.
A través de los arreglos bidimensionales se pueden representar matrices numéricas y por ende
se tiene la posibilidad de implementar a través de ellos una amplia gama de métodos
matemáticos. Habitualmente, la forma de procesamiento de los arreglos bidimensionales es
por filas y columnas, en ese orden, para lo cual se utilizan ciclos for anidados, que
generalmente utilizan los índices i,j.
La metodología de análisis del Problema único, de la cuarta evaluación del Módulo de
Computación (programación), se basa en la explicación a detalle, describiendo la forma que
se utilizó para llegar a la solución del problema, así mismo se hacen comentarios de los
integrantes de este trabajo, los cuales contribuyeron a encontrar el algoritmo, que si bien es
una forma de hacerlo existen otras (con variaciones) en dependencia del estilo del
programador, además de forma implícita se presentan comentario sobre los aciertos y
dificultades en la resolución del problema, resaltando el proceso heurístico inherente y la
serendipia.
II.
Objetivos
1. Hacer uso de la programación estructurada, modular y descendente, para resolver
problemas computacionales de nivel intermedio y avanzado.
2. Desarrollar técnicas de programación orientadas a la creación de programas robustos,
eficaces, eficientes, expandibles y reutilizables.
3. Reconocer la importancia de la dimensión estética de la programación, que contribuya a
la creación de su propio estilo como programador.
III. Desarrollo
EJERCICIO ÚNICO: La regla de Cramer es una técnica de solución adecuada cuando se
tiene un sistema pequeño de ecuaciones. Su implementación requiere del cálculo de
determinantes:
Tomando como referencia a (Chapra & Canale, 2007, págs. 250-251):
Determinantes: El determinante se puede ilustrar para un sistema de tres ecuaciones
simultáneas:
[A] {X} = {B}
Donde [A] es la matriz de coeficientes:
[A]=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
El determinante D de este sistema se forma, a partir de los coeficientes del sistema, de la
siguiente manera:
D=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Aunque el determinante D y la matriz de coeficientes [A] se componen de los mismos
elementos, son conceptos matemáticos completamente diferentes. Por esto, para distinguirlos
visualmente se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el
determinante. En contraste con una matriz, el determinante es un simple número. Por
ejemplo, el valor del determinante de segundo orden
D=
a11
a12
a21
a22
Se calcula como
D = a11a22 - a12a21
En el caso del determinante de tercer orden … el determinante, que es un simple valor
numérico, se calcula así
D=
a11
a22
a23
a32
a33
- a12
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a22
a31
a32
Donde a los determinantes de 2 por 2 se les llama menores.
…
Regla de Cramer
Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas
puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el
numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita
en cuestión por las constantes b1,b2,…,bn. Por ejemplo, x1 se calcula como
x1=
b1
a12
a13
b2
a22
a23
b3
a32
a33
D
Realice un programa que implemente la técnica de la Regla de Cramer para la resolución de
un sistema de tres ecuaciones. Tome en cuenta lo siguiente:
a) Haga uso de la programación modular, diseñando subprogramas que realicen
procesos específicos, dejando a la función main solamente las instrucciones más
generales.
b) Tome en consideración las recomendaciones y convenciones sobre el diseño de
funciones y sobre el diseño de procedimientos.
Diseñe el dialogo de interacción con el usuario de la manera más estéticamente posible y
comunicacionalmente correcta, en función de la naturaleza del problema a resolver
//Problema aplicando CRAMER
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#define TAM 3
void llenarmatriz(int [][TAM], int [TAM]);
void imprimirmatriz(int [][TAM], int resaltar=-1);
int determinantematriz(int [][TAM]);
int resolvervariable(int [][TAM], int [TAM], int);
void esperar();
int main(){
int M[TAM][TAM]; // Una matriz de 3 x 3
int independientes[TAM]; // Los valores independientes de
las 3 ecuaciones.
llenarmatriz(M, independientes);
clrscr();
printf("La matriz ingresada fue:\n\n");
imprimirmatriz(M);
printf("Con valores independientes: \n");
textcolor(YELLOW);
for(int i = 0; i < TAM; i++){
cprintf("%d", independientes[i]);
printf("\n");
}
textcolor(WHITE)
esperar();
// Calcular el determinante de la matriz completa.
int D = determinantematriz(M);
int valores[TAM];
printf("El determinante de la matriz es: %d\n", D);
if (D == 0){
printf("El sistema de ecuaciones no tiene una solucion
definida.\n");
} else {
// Recorrer cada columna en la matriz
for(int i = 0; i < TAM; i++){
printf("\nResolviendo variable %d.\n", i+1);
int
valorvariable
=
resolvervariable(M,
independientes, i);
printf("El valor de la variable %d es: %d.\n", i+1,
valorvariable);
valores[i] = valorvariable;
esperar();
}
}
printf("\nValores: x= %d, y= %d, z= %d.\n", valores[0],
valores[1], valores[2]);
printf("Saliendo\n");
//return 0;
getch();
}
void llenarmatriz(int M[TAM][TAM], int independientes[TAM]){
printf("Por favor, llene la matriz de tamano %d X %d\n\n",
TAM, TAM);
for(int i = 0; i < TAM; i++){
clrscr();
printf("Ecuacion %d: \n\n", i+1);
for(int j = 0; j < TAM; j++){
printf("Matriz[%d][%d] = ", i+1, j+1);
scanf("%d", &M[i][j]);
printf("\n");
}
printf("El valor independiente de la ecuacion %d es:
", i+1);
scanf("%d", &independientes[i]);
}
}
void imprimirmatriz(int M[TAM][TAM], int resaltar){
for(int i = 0; i < TAM; i++){
for(int j = 0; j < TAM; j++){
// Por si hay que resaltar la columna reemplazada
// por los valores independientes.
if
(resaltar
>
-1
textcolor(YELLOW);
cprintf("%4d", M[i][j]);
textcolor(WHITE);
}
printf("\n");
}
&&
j
==
resaltar)
printf("\n");
}
int determinantematriz(int M[][TAM]){
int determinante = 0;
// El determinante se calculara con
// la primera fila en la matriz.
for(int k = 0; k < TAM; k++){
int cofactor = M[0][k]; // El cofactor o pivote para
la determinante
// Una matriz de 2x2
// con los elementos de la original
// que no comparten fila ni columna
// con el cofactor.
int submatriz[TAM-1][TAM-1];
// Para llenar la matriz mas pequeña.
int sub_i = 0;
for(int i = 0; i < TAM; i++){
int sub_j = 0;
if (i != k){
for(int j = 0; j < TAM; j++){
if(j != 0){
submatriz[sub_j][sub_i] = M[j][i];
sub_j++;
}
}
sub_i++;
}
}
// La diagonal primaria en el menor.
int subdiagonalp = submatriz[0][0] * submatriz[1][1];
// La diagonal secundaria en el menor.
int subdiagonals = submatriz[0][1] * submatriz[1][0];
int sub_determinante = subdiagonalp - subdiagonals;
int resultado = cofactor * sub_determinante;
// El resultado de este proceso alterna entre sumarse
// y restarse al resultado final
// Al ser de 3x3 la matrix, la unica ocasion en que
// se resta es cuando el indice es 1.
if (k == 1) {
determinante -= resultado;
} else {
determinante += resultado;
}
}
return determinante;
}
int resolvervariable(int M[TAM][TAM], int independientes[TAM],
int var){
int D = determinantematriz(M);
if(D == 0){
printf("No hay una solucion definida para el sistema
de ecuaciones.\n");
}
// Para aplicar la regla de Cramer
// se debe reemplazar la columna de
// la variable deseada (x, y, z) por
// Los valores independientes.
int reemplazada[TAM][TAM];
for(int i = 0; i < TAM; i++){
for(int j = 0; j < TAM; j++){
if (j == var){
// Si es la columna de la variable buscada
// Se toma el valor independiente de esta fila.
reemplazada[i][j] = independientes[i];
} else {
reemplazada[i][j] = M[i][j];
}
}
}
// Imprimir la matriz reemplazada resaltando los valores
diferentes.
imprimirmatriz(reemplazada, var);
int Dvar = determinantematriz(reemplazada);
printf("Determinante de %d: %d\n", var+1, Dvar);
// El valor de la variable deseada es su determinante entre
// el de la matriz original.
return Dvar/D;
}
void esperar(){
printf("Presione
una tecla par continuar...\n\n");
getch();
}
Explicación
Al correr el ejercicio (ver Carpeta comprimida Guía 4) se muestran lo que se obteniendo al
final, para esto se ira detallando a continuación.
Siempre se inicia declarando las bibliotecas a utilizar
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
El ejercicio pide 3 ecuaciones, las cuales fueron probadas y pide también el valor de
los coeficientes las variables y los valores independiente
Una matriz que es bidimensional va a tener 2 pares de arreglos, separados por corchetes, el
primero representa la fila y el segundo es la columna, la primer fila será 2 en valor 11, 3 y 1
y luego se pide el valor independiente de la ecuación.
Al pedir la segunda ecuación la fila cambia a 2, entonces 1 - 2 = 1 y el valor independiente
de esa ecuación es cero, se pasa a la ecuación 3, el valor de la fila 3 es 3, 1 – 1 y el valor
independiente es 3, los valores independientes 6, 0, 3 (cambia de color) según la regla debe
calcular primero el determínate de la matriz, que es 21.
Se resuelve la variable 1 (𝑥) donde se marca la columna que es sustituida por el término
independiente, igualmente se realiza el cálculo de la variable 2 (𝑦) tomando en cuenta que la
columna 2 será sustituida por los términos independientes y de igual manera se hace para la
variable 3 (𝑧) considerando que los términos independientes sustituyen a la columna 3.
#define TAM 3
void llenarmatriz(int [][TAM], int [TAM]);
void imprimirmatriz(int [][TAM], int resaltar=-1);
int determinantematriz(int [][TAM]);
int resolvervariable(int [][TAM], int [TAM], int);
void esperar();
int main(){
int M[TAM][TAM]; // Una matriz de 3 x 3
int independientes[TAM]; // Los valores independientes de
las 3 ecuaciones.
llenarmatriz(M, independientes);
clrscr();
printf("La matriz ingresada fue:\n\n");
imprimirmatriz(M);
printf("Con valores independientes: \n");
textcolor(YELLOW);
for(int i = 0; i < TAM; i++){
cprintf("%d", independientes[i]);
printf("\n");
}
Retomando lo anterior el programa queda descrito de la manera siguiente.
Se declara una variable constante TAM caracterizada por tener un valor constante
asignado en el caso de este ejercicio es tres.
Se hace uso de varias funciones, tomando la primera con la finalidad de llenar la
matriz, la segunda que permita imprimir la matriz, esta sería la salida, una tercera para
encantar determinante, la cuarta que permite el cálculo de las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 y por
último una de mensaje.
Se inicia el main.
Una matriz 3x3 la que forma un arreglo bidimensional.
Se declara una matriz unidimensional, a la cual se le pasa el tamaño y en ella se
encontraran los valores de los términos independientes los cuales irán reemplazando
a la columna de acuerdo con la variable que se esté utilizando.
Se efectúa el llamado de la función llenar matriz a la cual se le pasa dos parámetros,
estos corresponden a la matriz 3𝑥3 y la otra que es el arreglo bidimensional que
corresponde a términos independientes.
Se procede a digitar fila, en este caso la fila no se mueve, esta representa la ecuación,
por tal razón ecuación 1 cambia hasta que se produce el cambio el primer par. Las
filas están representadas por i, las que van de 0 hasta i y están relacionadas con el
primer ciclo for.
Se limpia pantalla con clrscr()
Para efectos visuales se le sumo uno para que aparezca la ecuación con el número que
le corresponde, pero se tiene claro que en los arreglos se inicia con cero.
Las columnas representadas por 𝑗 desde 0 hasta 𝑗, se pide el valor de la matriz y de
igual manera que se hizo con las filas se le suma 1 por efectos visuales. Se procede a
leer lo digitalizado que se asigna a la matriz 𝑚.
Se realiza un salto antes de pedir el valor de términos independientes, los que se
asignan a la variable unidimensional.
El cálculo del determínate se realiza fijando la primera fila y se eliminando la
columna que corresponde a cada elemento de la fila lo cual da como resultados
matrices de 2𝑥2.
Se vuelve al main, después de llenada la matriz manda la matriz ingresada.
Se llama la función imprimir matriz.
Se pide imprimir la matriz 𝑚𝑖𝑗
Se hizo uso de cprin para poder darle color a la columna que se va sustituyendo por
los valores independientes.
Se continua con main y se llama la función esperar.
Se procede a realizar el primer cálculo de la matriz completa que es el determinante,
a la variable main declarada de tipo entero se le asigna una función que le pasa m, se
busca la función llamada determinante matriz. El determinante se calcula en función
de la primera fila que al que ser eliminada sus elementos serán cero y se utiliza una
variable llamada K que corre hasta el tamaño, es así que se forma una submatriz luego
de ir eliminando cada columna y su tamaño corresponde a fila menos 1 y columna
menos 1 y para llenar la matriz 2x2 se utilizan dos ciclos for tanto para las filas i y las
columnas 𝑗.
Con la matriz 2𝑥2 se realiza el cálculo de diagonal principal y diagonal secundaria,
cuya diferencia de ambas diagonales son asignadas a una variable la que será
multiplicada por el cofactor.
Se vuelve al main.
En el cálculo del determinante se condiciona que si es cero el sistema no tiene
solución porque toda división entre cero no está definida.
Pero si el valor de la determinante es diferente de cero entonces se establece un ciclo
for calcular el valor de cada variable de la matriz introducida.
Se llama a imprimir los valores de cada incógnita como lo es 𝑋, 𝑌 𝑦 𝑍, en las
posiciones 0,1 𝑦 2, con un retorno cuando ese sea cero.
Se establece dos for 𝑖 y 𝑗, el valor j rellena la matriz internamente debido a que los
arreglos seria [0][0] [0][1] [0][2] y hasta la fila dos que sería la última de la matriz.
Se suma a 𝑖 y 𝑗 uno por observación de la matriz al momento de introducir los valores
de cada ecuación en su arreglo.
El determinante se calculará con la primera fila en la matriz.
El cofactor o pivote para la determinante Una matriz de 2𝑥2 con los elementos de la
original que no comparten fila ni columna con el cofactor.
Para llenar la matriz más pequeña se define una nueva matriz con un arreglo menos
como se menciona anteriormente.
Se realiza este proceso para definir las determinantes de cada variable como lo
implementamos el método de Cramer para calcular cada uno de sus valores
correspondientes.
La diagonal primaria en el menor y la diagonal secundaria en el menor.
El resultado de este proceso alterna entre sumarse y restarse al resultado final Al ser
de 3x3 la matriz, la única ocasión en que se resta es cuando el índice es 1.
Recordar que en una matriz de 3𝑥3 se toma como referencia los signos de cada
columna lo que es +, – 𝑦 +, sin estos no sería posible tener una respuesta
significativa.
Para aplicar la regla de Cramer se debe reemplazar la columna de la variable deseada
(x, y, z) por los valores independientes.
Si es la columna de la variable buscada Se toma el valor independiente de esta fila.
Imprimir la matriz reemplazada resaltando los valores diferentes.
El valor de la variable deseada es su determinante entre el de la matriz original.
IV.
Conclusiones
Una vez analizado el problema y después de encontrar un modelo matemático adecuado para
su solución y obtenido la información, que se generó conjuntamente con el análisis de cada
programa, se procede a presentar las siguientes conclusiones, de acuerdo a los logros,
dificultades y aprendizajes obtenidos:
Se destaca la importancia de este trabajo tanto en su condición de investigación así
como de la contribución al fortalecimiento en proceso de aprendizaje de
doctorandos
Una matriz que es bidimensional va a tener 2 pares de arreglos, separados por
corchetes, el primero representa la fila y el segundo es la columna
Dentro de las principales dificultades, se destaca el factor tiempo, para profundizar
más a fondo, también dificultad para encontrar un algoritmo de solución
Se realizó revisión documental vinculada con el tema de investigación, en diferentes
fuentes, tales como libros, sitios web y videos. Ello permitió fundamentar cada
problema hasta llegar a la elaboración y resolución de los mismos.
Como aprendizaje por descubrimiento (Heurística), se constató que la programación
modular es una de las técnicas fundamentales de la programación. Y que se apoya
en el diseño descendente y en la filosofía de "divide y vencerás”. Además, como
descubrimiento se encontró el algoritmo adecuado para evaluar y ejecutar de manera
satisfactoria.
