Taller 3: Teoría de Colas Investigación de Operaciones II Docente: MsC. María F. Ramos Márquez César David Barrios Moreno 15/10/2017 Ejercicios de Colas con Múltiples Servidores 1. (1 Punto) Una empresa de reparación de ordenadores recibe una media de 10 solicitudes de reparación al día, que se distribuyen según un proceso de Poisson. Se supone que μ es la velocidad de reparación de la persona reparadora en ordenadores/día, y el tiempo de reparación es exponencial. Cada unidad de velocidad de reparación supone un coste de 100 euros por semana. Además, se ha estimado que el coste de tener ordenadores no reparados supone 200 euros por ordenador y semana, siendo este coste proporcional al tiempo. Suponiendo que una semana tiene cinco días laborables, se pide: a) Que determine la velocidad de reparación óptima. b) Que determine si sería más económico tener dos personas, cada una con la mitad de la velocidad determinada en el apartado anterior. Solución Unidad de velocidad de reparación: Cr = $100 euros/semana 20 euros/día Costo partes no reparadas: Cn= $ 200 ordenador/semana 40 ordenadores/día λ = 10 Solicitudes/día µ =? Punto A. λ =ρ µ ρ<1 (M/M/1) µ>λ Tengo que, 𝐶𝑟 𝜆 𝜇 =𝜆+√ 𝐶𝑛 Ahora, reemplazo los valores y obtengo que: 40∗10 𝜇 = 10 + √ 20 ≈ 14.47 Ord/día Por lo que la velocidad de reparación óptima es equivalente a 14,47 ordenadores por día Punto B. Para este caso B, se tiene un problema tipo (M/M/2) 𝜆 µ 𝑝= = 10 7.24 = 1.38 𝑝2 2 𝜋0 = [(1 + 𝑝) + ( 2 ) ∗ (2−𝑝)]−1 𝜋0 = [(1 + 1.38) + ( Ahora, 1.382 2 )]−1 = 0.18 )∗( 2 2 − 1.38 𝐿𝑞 = 𝑝𝑐+1 𝑝2+1 𝑝3 𝜋 = 𝜋 = 𝜋 0 0 (𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝑝)2 (2 − 1)! (2 − 𝑝)2 (2 − 𝑝)2 0 𝑝3 1.383 𝐿𝑞 = (2−𝑝)2 𝜋0 = (2−1.38)2 (0.18) = 1.23 Teniendo Lq, se procede a calcular L, así: 𝜆 10 L= Lq+ 𝜇 = 1,23 + 7,23 = 2,61 Por último, se calcula el costo. 20μ + 40L = 20(14,47)+ 40(2,6)= 394 Respuesta B. Con esto, se observa que tener dos personas es más costoso, ya que el coste de tener una sola persona es de 378,43 euros. 2. (1 punto) Tres mecánicos atienden un pequeño taller de reparación de motores. A principios de marzo de cada año, las personas traen sus cañas de timón y podadoras de césped para servicio y reparación. El taller está dispuesto a aceptar todas las cañas de timón y podadoras que traigan los clientes. Sin embargo, cuando los clientes nuevos ven el piso del taller tapizado de trabajos en espera, se van a otra parte para un servicio más rápido. El piso del taller puede alojar un máximo de 15 podadoras o cañas de timón, excluyendo las que están en reparación. Los clientes llegan al taller cada 10 minutos en promedio, y a cada mecánico le lleva un promedio de 30 minutos completar cada trabajo. Tanto los tiempos entre llegadas como los de servicio son exponenciales. Determine lo siguiente: a) El promedio de mecánicos ociosos. b) La probabilidad de que al menos un mecánico esté ocioso. c) El promedio de cañas de timón o podadoras en espera de servicio. Solución Datos: (M, M, 3) (Distribución de llegada = Exponencial, Distribución de salida = Exponencial, Número de servidores=3) Máxima capacidad: N= 15 ʎ = 1C/ 10Min= 0.1 c/m Número de servidores: S= 3 Ts= 30 minutos µ=1/30 p = ʎ/ (µ) = 0.1/(1/30)=3. 𝑝 3 = = 1. 𝑐 3 𝐶̅ : 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 A) 𝜋0 = 1 𝑃0 𝑃3 ( + + ) + (15 − 3 + 1) 0! 1! 2! 3! 𝜋𝑁 = 𝑃1 𝑃2 = 0.0149 𝑃15 9 ∗ 𝜋0 = ∗ 𝜋0 = 0.0672 15−3 3! 𝐶 2 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐 = 𝜆(1 − 0.0672) = 0.1 ∗ (1 − 0.0672) = 0.0933 𝐶̅ = 𝐶̅ = 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐 𝜇 0.0933 = 2.80 1 30 El promedio de servidores ociosos está dado por C - 𝐶̅ = 3- 2.8= 0.2 Respuesta punto a = 0.2 Punto B La probabilidad de que al menos un mecánico esté ocioso está dada por: Probabilidad de que haya 0 clientes en el sistema + Probabilidad de que haya 1 cliente en el sistema + Probabilidad de que hayan 2 clientes en el sistema 1 𝜋0 = 0 = 0.0149 1 2 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃3 ( 0! + 1! + 2! ) + 3! (15 − 3 + 1) 𝜋1 = 𝑃1 ∗ 𝜋0 = 3 ∗ 𝜋0 = 0.0448 1 𝜋2 = 𝑃2 ∗ 𝜋0 = 4.5 ∗ 𝜋0 = 0.0672 2 PuntoB = 𝝅𝟎 + 𝝅𝟏 + 𝝅𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟔𝟗 Punto C: El promedio de cañas de timón o podadoras en espera de servicio. 𝐿𝑞 = 𝑃𝐶 (𝑁 − 𝑐)(𝑁 − 𝑐 + 1) 33 (15 − 3)(15 − 3 + 1) 𝜋0 = 𝜋0 = 5.24 2𝑐! 12 3. (1 punto) Un banco cuenta con una sola ventanilla de atención a clientes, la cual atiende a un cliente con un tiempo promedio de 2 minutos según una distribución exponencial, los clientes llegan al banco con una tasa de 20 clientes por hora. Responda: a. ¿Cuál es el número promedio de clientes y el tiempo promedio que demora un cliente en ser atendido? b. Suponga que los clientes son clasificados en dos tiempos, A y B, según su prioridad. Los clientes A tienen prioridad sobre los clientes B, por lo que son atendidos primero. Cuando un cliente llega al banco, tiene 30% de ser un cliente A. Investigue los modelos de cola con prioridades. Muestre sus consideraciones y ecuaciones. Calcule la cantidad promedio de clientes A y B en el banco y el tiempo promedio que demora un cliente A y B en el banco. Solución a. (M/M/1) 1 Ts= 2min/c Ts= 30 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠/𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ʎ= 20C/h p= ʎ = 𝜇 20 30 𝑝 = μ= 30 clientes/h 2 3 2/3 L= 1−𝑝 = 1−(2/3) = 2 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 El número promedio de clientes en el Sistema es de 2 clientes 2 ( )2 Lq= 3 = 4/3 2 3 (1− ) Ws= Wq+ 1 𝜇 = 𝐿𝑞 + 1 𝜇 = 4 3 + 1 30 = 0,1ℎ𝑜𝑟𝑎 = 6 minutos El tiempo promedio que demora un cliente en el Sistema es de 0.1 hora, lo que es 6 minutos. Punto B. λA= 20 * 0,3= 6 clientes/ hr. λB= 20* 0,7= 14 clientes / hr. μ= 1/30= 30 clientes/ hora 1 1 𝜇 Wk= (1−𝑎𝑘−1)(1−𝑎𝑘) α0= 0 𝜆𝑖 αk= ∑𝑖=𝑘 𝑖=1 𝜇 6 αA= 30 = 0,2 14 2 αB= 0,2 + 30 = 3 Ahora, se procede a hallar los tiempos promedio que demoran los clientes A y B en ser atendidos: (1/30) WA= (1−0)(1−0,2) = (1/30) 1 6 = 0,041ℎ𝑟 WB= (1−0,2)(1−(2/3)) = 1 8 = 0,125ℎ𝑟 Por último, se calcula la cantidad promedio de clientes. Lk= k*Wk LA= 6*0.041= 0,246 clientes LB= 14*0,125= 1,75 clientes Referencias - DE LA FUENTE, David., PINO, Raúl., Teoría de las líneas de espera. Universidad de Oviedo. Marzo de 2001.
