B ER TR A N !) RUSSELL
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M A T E M Á T I C A
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JU A N CARLOS G R IM B ER G
TERCERA
EDICIÓN
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M A D B. ID
1977
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T ít u l o del origin al inglés:,
T H E P R I N C I P L E S O F M A TIIE M A TIC S
ES P R O P IE D A D
a-Calpe, S. A., M a d rid , 1918
Im preso en E spaña
P r i n t e d in S p a in
sito legal: M. 838— 1977
B N 8 i — 239— 63 96— 9
OlCLOs !'-
T allere s gráficos de la E d i t o r i a l E s p a s a -C a lp e , S. A.
C a r r e te r a de I r ú n , k m . 12,200. M a d rid - 3 4
INTRODU CCIO N A LA SEGUNDA E D IC IÓ N
Los p r i n c i p i o s d e l a M a t e m á t i c a fue publicado en 1 9 03 , y la
m ayor p a rte del mismo escrita en 1900 . En los años siguientes los te ­
m as que tr a ta han sido am pliam ente discutidos, y la técnica de la L ó­
gica m atem ática ha progresado enorm em ente; en ese período han su r­
gido algunos problem as nuevos, se han resuelto otros viejos, y algunos,
que se hallan aún en discusión, han adoptado form as com pletam ente
nuevas. De acuerdo con estas circunstancias, parece útil corregir esto
o aquello en el libro, que ya no expresa mis puntos de vista actuales.
E l interés que puede presentar actualm ente es sim plem ente histórico,
y reside en el hecho de que representa una cierta e ta p a en el desarrollo
de su tem a. Por lo ta n to no he cam biado nada, pero procuraré decir
en esta Introducción h asta qué punto me adhiero a las opiniones e x ­
presadas y en qué otros la investigación subsiguiente me ha dem os­
trado que las m ism as eran erróneas.
La tesis fundam ental de las páginas siguientes, de que Ja M ate­
m ática y la Lógica son idénticas, es tal que h asta a h o ra nun.ca he visto
la necesidad de modificarla. E s ta tesis fue im popular en un principio,
porque la Lógica tradicionalm ente se asocia con la Filosofía y con
A ristóteles, de modo que los m atem áticos sienten que no es de su
incum bencia, y aquellos que se consideran lógicos se m uestran ofen­
didos cuando se les pide que usen u n a técnica m atem ática nueva y
m uy difícil. Pero estos sentim ientos no hubieran tenido una influencia
ta n sólida si no hubieran hallado base en ciertas razones m ás serias.
Ellas son, a grandes rasgos, de dos tipos opuestos: en prim er lugar,
existen ciertos dificultades no solucionadas en la Lógica m atem ática
que la hacen aparecer m enos cierta de lo que se cree que es la M ate­
m ática; y en segundo lugar, si se acepta la base lógica de la M atem á­
tica, se justifican o se tiende a justificar con ello m uchos trabajos,
tales como el de Jo rg e Cantor, m irado con desconfianza por muchos
m atem áticos debido a las paradojas no resueltas que com parte con
la Lógica. E stas dos línea-s opuestas del criticism o se hallan represeni
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B E R T R A N D RUS SE L L
tadas por los form alistas, conducidos por H ilbert, y los intuicionistas,
encabezados por Brouwer.
L a interpretación form alista de la M atem ática no es nueva en
absoluto, pero p ara nuestros propósitos podemos ignorar sus form as
m ás antiguas. Tal como la presenta H ilbert, por ejem plo, en la esfera
de los núm eros, consiste en dejar indefinidos los enteros, pero afir­
m ando respecto a ellos axiom as tales que hagan posible la deducción
de los proposiciones aritm éticas comunes. Es decir, n o asignam os sig­
nificado alguno a nuestros símbolos 0, 1, 2,... excepción hecha de que
deben tener ciertas propiedades enum eradas en los axiom as, l ’or lo
tan to , los símbolos deben considerarse como variables. Los enteros
posteriores pueden definirse cuando se da el 0, pero el 0 debe ser sim ­
plem ente algo que posee las características prefijadas. De acuerdo con
esto los símbolos 0, 1, ' 2,... no representan una serie definida, sino
cualquier progresión arb itraria. Los form alistas se han olvidado du
que los núm eros no sólo son necesarios para hacer sum as, sino tam bién
para contar. Proposiciones tales como «Existieron 12 Apóstoles» o
«Londres tiene tí.000.000 de habitantes» no pueden integrarse en su
sistem a. Pues el símbolo «0» puede tom arse igual a cualquier entero
finito, sin que por ello resulte falso ninguno de los axiom as de H ilbert;
y por lo ta n to cualquier núm ero-sím bolo resulta infinitam ente am bi­
guo. Los form alistas son sem ejantes a un relojero que se halla ta n
absorbido por el deseo de que sus relojes tengan buen aspecto, que olvi­
da que la misión de los mismos es la de señalar el tiem po, y descuida
la m áquina.
E xiste o tra dificidtad en la posición form alista, y es en lo que res­
pecta a la existencia. H ilb ert adm ite que si un conjunto de axiom as
no lleva a contradicción debe existir algún conjunto de objetos que
los satisface; y de acuerdo con ello, en vez de buscar el establecer
teorem as de existencia por m edio de ejem plos, se dedica a m étodos
de prueba de la propia consistencia de sus axiom as. P a ra él la «exis­
tencia», tal cual se entiende generalm ente, es un concepto m etafísico
innecesario, que puede reem plazarse por el concepto preciso de nocontradicción. Y aquí olvida de nuevo que la A ritm ética tiene un uso
práctico. No existe lím ite p a ra los sistem as de axiom as no-contradictorios que pueden inventarse. Las razones que nos obligan a in tere­
sam os en los axiom as que conducen a la A ritm ética común se hallan
fuera de la m ism a, y se hallan relacionadas con la aplicación del n ú ­
m ero al m aterial empírico. E s ta aplicación por sí m ism a no form a
parte ni de la Lógica ni de la A ritm ética; pero una teoría que la haga
imposible a priori no puede ser verdadera. La definición lógica de los
núm eros se relaciona con el m undo real de los objetos contables que
llega a nuestro entendim iento; la teoría form alista no.
L a teoría intuicionista, representada prim ero por B rouw er y des­
pués por W eyl, es un asunto m ás serio. E xisto una filosofía asociada
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LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M Á T I C A
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con la teoría, filosofía que podemos ignorar p ara nuestros propósitos,
sólo nos interesará su posición respecto a la Lógica y a la M atem ática.
Aquí el p u n to esencial es el de la n egativa a considerar una proposición
como falsa o como verdadera h a sta que exista algún m étodo para d e­
cidir la altern ativ a. B rouw er niega la lev del tercero excluido — o ex ­
cluso— , donde no existe ese m étodo. E sto destruye, por ejem plo, la
prueba de que hay m ás núm eros reales que núm eros racionales y que,
en las series de núm eros reales, cualquier progresión tiene límite. E n
consecuencia, grandes partes del Análisis, que d u ran te siglos se cre­
yeron bien establecidas, resultan ser dudosas.
Con esta teoría se halla asociada la doctrina del llam ado finitismo,
que pone en duda las proposiciones que encierran colecciones infinitas
o series infinitas, basándose en que estas proposiciones no pueden
verificarse. E sta doctrina es un aspecto del em pirism o extrem o, y si
se tom a en serio puede tener consecuencias aún m ás destructivas que
las que le reconocen sus defensores. Los hom bres, por ejem plo, aunque
form an una clase finita, son práctica y em píricam ente ta n imposibles
de enum erar como si su núm ero fuera infinito. Si se adm ite el principio
de los infinitistas, no podemos form ular proposición general alguna
— tal como «Todos los hom bres son mortales»— respecto a luía colec­
ción definida pur sus propiedades y no por enunciación actual de
todos sus m iem bros. De este modo se haría una lim pieza general en
toda la ciencia y en toda la M atem ática, y no sólo de las partes que
los intuicionistas consideran discutibles. Pero consecuencias desastro­
sas no pueden probar que una doctrina sea falsa; y si se quiere refutar
la doctrina finitista, sólo se logrará por medio de una teoría com pleta
del conocimiento. No creo que sea verdadera, pero pienso que no es
posible im pugnarla en form a breve y fácil.
Una discusión excelente y m uy com pleta acerca de si la M atem á­
tica y la Lógica son idénticas podrá hallarse en el vol. I I I del Tratado
de Lógica jorinal de Jorgensen, págs. 57 -200 ,- donde el lector podrá
encontrar un exam en frío de los argum entos esgrimidos en qpntra de
esta tesis, con una conclusión que es, a grandes rasgos, igual a la
mía; a saber: que, m ientras se han establecido fundam entos m uy no­
vedosos en los últim os años para refu tar la reducción de la M atem ática
a la Lógica, ninguno de dichos fundam entos es en form a alguna con­
cluyente.
Esto me conduce a la definición de M atem ática, que constituye la
prim era sentencia de los P r i n c i p i o s . E n esa definición son necesarios
varios cambios. P a ra comenzar, la form a «p im plica q» es solam ente
una de las m uchas form as lógicas que pueden tom ar las proposiciones
m atem áticas. O riginariam ente me sentí im pulsado a su b ra y a r esta
form a por la consideración de la Geom etría. Es notorio que ta n to los
sistem as euclidianos como los no-euclidianos deben ser igualm ente
incluidos en la M atem ática pura, y no deben considerarse como m u­
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ÉERTJRAND RÜS S E L L
tu am en te inconsistentes; por lo ta n to , sólo debem os asegurar que los
axiom as im plican las proposiciones, no que los axiom as son v erd a­
deros y, en consecuencia, las proposiciones resultan verdaderas. Tales
ejem plos me condujeron a d ar u n a fuerza indebida a la implicación,
que sólo es u n a entre las funciones de verdad, y no m ás im portante
que las otras. Más adelante: cuando se dice que «p y q son proposicio­
nes que contienen una o m ás variables», sería m ás correcto decir
que son funciones preposicionales; esto, sin em bargo, puede ser dis­
culpado si se tiene en cuenta que las funcionas proposicionales no
habían sido entonces definidas y aún no eran fam iliares p ara los
lógicos ni p a ra los m atem áticos.
Ahora debo considerar un tem a m ás serio, a saber: la proposición
de que «ni p ni q contienen constante alguna excepto constantes
lógicas». Pospondré, por el m om ento, la discusión de qué se entiende
por constantes lógicas. D ando esto por sabido, mi punto de vista
presente es el de que la ausencia de constantes no-lógicas, aunque es
condición necesaria para el carácter m atem ático de una proposición,
no es condición suficiente. Quizá los m ejores ejem plos sobre esto
sean proposiciones respecto al núm ero de cosas existentes en el m undo.
Tomemos, por ejemplo: «Existen por lo m enos tres cosas en el mundo.»
E sto es equivalente a: «Existen objetos x, y, z, y propiedades 9, i , 7,
tales que x pero no y tiene la propiedad 9, x pero no 3 tiene la propie­
dad 9, e y pero no 2 tiene la propiedad y.» E s ta proposición puede
enunciarse en térm inos puram ente lógicos, y puede probarse lógica­
m ente que es verdadera p ara clases de clases de clases: de estas ú lti­
mas deben existir por lo menos cuatro, aun cuando no exista el U ni­
verso. Porque en ese caso existiría una clase, la clase vacía; dos clases
de clases, a saber: la clase vacía de clases y la clase cuyo único m iem ­
bro es la clase vacía; y cuatro clases de clases de clases, a saber: aquella
que es vacía aquella cuyo único m iem bro es la clase vacía de clases,
aquella cuyo único m iem bro es la clase cuyo único m iem bro es la
clase vacía, y la que es sum a de las dos últim as. Pero en los tipos
más bajos, los de los individuos, los de las clases, y los de las clases
de clases, no podemos probar lógicam ente que por lo menos existen
tres m iem bros. De acuerdo a la natu raleza m ism a d e 'la Lógica debía
esperarse una situación sem ejante; porque la Lógica se desarrolla in ­
dependientem ente de los hechos empíricos, y la existencia del U ni­
verso es un hecho empírico. Es cierto que si el m undo 110 existiera,
no existirían libros de Lógica; pero la existencia de los libros de
Lógica no es u n a de las prem isas p a ra la existencia de la Lógica, ni
puede inferirse de proposición alguna que tenga derecho de form ar
parte de un libro de Lógica.
E n la práctica es posible desarrollar m ucho la M atem ática sin
adm itir la existencia de nada. Puede construirse to d a la A ritm ética
elem ental de los enteros finitos y de las fracciones racionales; pero
LOS P RI NCI PI OS D E LA M A T E M Á T I C A
i:
todo lo que se refiere a las clases infinitas de enteros resulta impo
sible. E sto excluye los núm eros reales y todo el análisis. P a ra incluirlo!
necesitam os el «axioma de infinitud», el que establece que, si n es ur,
núm ero finito, existe por lo menos una clase que tiene n m iem bros
E n la época en que escribí los P r i n c i p i o s supuse que se podía probar
esto, pero cuando el doctor W hitehead y yo publicam os los Principia
M athematica nos convencimos de que la supuesta p ru eb a era falsa.
E l argum ento anterior depende de la doctrina de los tipos, que,
aunque presentada en form a ruda en el apéndice B de los Principios,
aún no había alcanzado la e tap a de desarrollo en la que pudiera
m o strar la im posibilidad de la dem ostración lógica de la existencia
de las clases infinitas. Lo que se dice sobre tales teorem as de existencia
en el últim o párrafo del últim o capítulo de los P r i n c i p i o s ya no me
parece válido: tales teorem as de existencia, diría ahora, son ejemplos
de proposiciones que pueden enuncÁarse en térm inos lógicos, pero
que sólo pueden probarse o refutarse por m edio de una evidencia
empírica.
Otro ejem plo lo constituye el axiom a de m ultiplicación, o su eq u i­
valente, el axiom a de selección de Zermelo. El mism o sostiene que, dado
un conjim to de clases m utuam ente excluyentes, ninguna de las cuales
sea nula, existe por lo menos una clase consistente en un represen­
ta n te de cada clase de conjunto. N adie sabe si esto es verdadero o
falso. E s fácil im aginar universos en que sea verdadero, y es imposible
dem ostrar que hay universos posibles en que sería falso; pero tam bién
es imposible (por lo menos así lo creo) p robar que 110 hay universos
posibles en que sería falso. No llegué a darm e cuenta de la necesidad
de este axiom a h asta un año después de que fueran publicados los
P r i n c i p i o s . E n consecuencia, este libro contiene ciertos errores, por
ejem plo la afirmación, en el § 119, de que las dos definiciones del
infinito son equivalentes, lo que sólo puede dem ostrarse si se adm ite
el axiom a de m ultiplicación.
Tales ejemplos — que pueden repetirse h asta él infinit-o— m ues­
tra n que una proposición puede satisfacer la definición c@n la que
em piezan los P r i n c i p i o s , y sin em bargo no ser posible de prueba o
refutación m atem ática o lógica. Todas las proposiciones m atem áticas
se hallan incluidas en la definición (con ciertas correcciones menores),
pero no todas las proposiciones que se halian incluidas son m atem á­
ticas. P ara que una proposición pueda pertenecer a la M atem ática
debe cum plir adem ás o tra propiedad: de acuerdo con W ittgenstein
debe ser «tautológica», y de acuerdo a C am ap debe ser «analítica». No
es fácil en absoluto lograr una definición exacta de e sta característica;
adem ás C am ap h a dem ostrado que es necesario distinguir entre
«analítica» y «demostrable», siendo este últim o un concepto algo más
estrecho. Y el problem a de si una proposición es o no «analítica» o
«demostrable» depende del a p a ra to de prem isas que nos sirve de base.
,)
12
B E R T R A N D RUS SE L L
Por lo tan to , a m enos de que dispongam os de algún criterio respecto
a las prem isas lógicas adm isibles, todo el problem a acerca de cuáles
son proposiciones lógicas resulta a rb itrario en un! grado m uy alto.
É sta es una conclusión m uy poco satisfactoria, y jio la acepto como
conclusión final. Pero antes de que pueda decirse algo m ás acerca
de este tem a, es necesario discutir el problem a de las «constantes
lógicas», que juega un papel esencial en la definición de M atem ática
de la prim era sentencia de estos P r in c ip io s .
Se presentan tres problem as respecto a las constantes lógicas:
En prim er lugar, ¡existen tales cosas? En segundo;, / cómo se hallan
definidas? Por últim o, ¿se presentan en las proposiciones de la Ló­
gica? De estas preguntas, la prim era y la tercera scjn m uy am biguas,
pero sus diferentes significados pueden aclararse por medio de una
pequeña discusión.
Primero: ¿existen constantes lógicas? E n un sentido esta pregunta
puede recibir u n a respuesta afirm ativa perfectam ente definida: en la
expresión simbólica o lingüística de las proposiciones lógicas hay sím ­
bolos o palabras que juegan un papel constante, es decir, que apo rtan
la misma contribución al significado de las proposiciones en cualquier
parte que se presenten. Tales son, por ejemplo: «o»;, «y», «no», «si-entonces», «la clase vacía», «0 », «1», «2», ... La dificultad se halla en que,
cuando analizam os las proposiciones en la expresión escrita en (pie se
presentan tales símbolos, encontram os que no tienen constituyentes
correspondientes a las expresiones en cuestión. E n algunos casos, esto
resulta claram ente evidente: ni aun el m ás ardiente platónico se
atrevería a suponer que el «o» perfecto ocupa un lugar en el cielo,
y que los «o» terrestres son copias im perfectas del .arquetipo celeste.
Pero en el caso de los núm eros esto resulta mellos evidente. Las
doctrinas de P itágoras, que com enzaron con el m isticism o aritm ético,
influyeron sobre toda la Filosofía y M atem ática siguiente con m ayor
profundidad de lo que generalm ente se cree. Los núm eros eran inm u­
tables y eternos, como los cuerpos celestes; los núm eros eran inteligi­
bles; la ciencia de los núm eros era la llave del Universo. La últim a
de estas creencias h a engañado a los m atem áticos; y al Consejo de
Educación hasta, el presente. E n consecuencia, decir, que los núm eros
son símbolos que n ad a significan parece una form a horrible de ateísm o.
Cuando escribí los P r i n c i p i o s , com partía con Frege la creencia en la
realidad platónica de los núm eros, que, en mi imaginación, perso­
nificaban el dom inio eterno del Ser. E ra una creencia reconfortante,
que luego abandoné con pesar. Pero debo decir algo sobre el proceso
que me impulsó a abandonarla.
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E n el capítulo IV de los P r i n c i p i o s s e dice que «cada palabra que
form a p arte de una sentenciá debe tener algún significado»; y de nuevo
«Llamaré término a todo lo que pueda ser objeto de pensam iento, o se
pueda presentar en una proposición verdadera o falsa,' o pueda contarse
LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M A T I C A
13
como uno... Un hom bre, un m om ento, un núm ero, u n a clase, una
relación, u n a quim era, o cualquier o tra cosa que pueda m encionarse,
es seguram ente un térm ino; y negar que tal cosa es un térm ino debe
ser siem pre falso.» E ste modo de entender el leifguaje ha resultado ser
equivocado. No siem pre es verdadero que una p alab ra «debe tener
algún significado» — por supuesto que la palabra no debe ser un
conjunto arbitrario de letras, sino tener uso inteligible— si se considera
aplicado a la palabra aislada. Lo que es cierto, es que la p alab ra con­
tribuye al significado de la sentencia en la que se presenta; pero esto
es algo m uy diferente.
El prim er paso del proceso fue la teoría de las descripciones. De
acuerdo con esta teoría, en la proposición «Scott es el a u to r de Waverley», el análisis de la proposición es, aproxim adam ente: «Scott escribió
Waverley, y quienquiera que haya escrito Waverley fue Scott»; o, con
m ayor precisión: «La función proposicional ’x escribió Waverley es
equivalente a x es Scott’ es verdadera para todos los valores de x.n
E sta teoría desterró la discusión — prom ovida, por ejem plo, por
M einong— de que en el dominio del Ser deben existir objetos tales
como la m o ntaña de oro y el cuadrado redondo, ya que podemos
hablar de ellos. «El cuadrado redondo no existe» ha sido siempre
proposición difícil; porque resulta natural preguntar: «¿Qué es lo
que no existe?», y cualquier respuesta posible parecería im plicar que,
en algún sentido, existe un objeto tal como el cuadrado redondo,
aunque ese objeto tenga la propiedad p articular de no existir. La
teoría de las descripciones evitó estas y otras dificultades.
E l paso siguiente fue el de la abolición de las clases. E ste paso se
em prendió en Principia Mathematica, donde se dice: «Los símbolos
p ara clases, al igual que los símbolos para descripciones, son. en
nuestro sistem a, símbolos incompletos; sus n-sos se hallan definidos,
pero no se supone que ellos mismos tengan en absoluto significado
alguno... Así las clases, hasta el p u n to que las introducim os, son
sim plem ente conveniencias simbólicas o lingüísticas, no objetos genuinos» (vol. I, págs. 71 -2 ). O bservando que los núm eros cardinales
han sido definidos como clases de clases, tam bién resultan ser «sim­
plem ente conveniencias simbólicas o lingüísticas». Así, por ejemplo,
la proposición «1 -f 1 = 2 » , sim plificada en cierto m odo, resulte ser
la siguiente: «Fórmese la función proporcional 'a es d istinto de b, y
cualquiera sea x, x es un y es siem pre equivalente a x es a o x es b’\
fórmese tam bién la función proposicional 'a es un y, y, cualquiera
sea x, x es un y pero es distinto de a es siem pre equivalente a x es b’.
Entonces, cualquiera sea y, la afirm ación de que una de esta funciones
proposicionales no siem pre es ,falsa (para valores diferentes de a; y b),
es equivalente a la afirmación de que la o tra no siem pre es falsa.»
Aquí han desaparecido com pletam ente los núm eros 1 y 2 , y un a n á ­
lisis sem ejante puede aplicarse a cualquier proposición aritm ética.
14
B E R T R A N D RUS SE L L
El doctor W hitehead, en esta etapa, me persuadió de que a b a n ­
donara los pun to s del espacio, los in stan tes del tiem po y las partículas
de la m ateria, sustituyéndolos por construcciones lógicas com puestas
de acontecim ientos. Al final parece resu ltar que ninguno de los m a­
teriales brutos que form an el m undo tiene propiedades lógicas sen­
cillas, sino que todo lo que a p a re n ta tener esas propiedades está
construido artificialm ente con el fin de tenerlas. No quiero decir
cjue las oraciones referentes a puntos o instantes o núm eros, o cual­
quier otra de las entidades abolidas por la n av aja de Occam, sean
falsas, sino solam ente que necesitan una interpretación que m uestre
que su forma lingüística es equivocada, y que, cuando se analizan
correctam ente, se encuentra que las seudoentidades en cuestión no
se hallan m encionadas en ellas. «El tiem po está form ado por instantes»,
por ejemplo, puede ser o no ser una afirmación verdadera, pero cual­
quiera que sea el caso no m enciona ni el tiem po ni los instantes.
Puede interpretarse aproxim adam ente del modo siguiente: Dado cual­
quier acontecim iento x, definamos como sus' «contemporáneos» aq u e­
llos que term inan después que él comience, pero que em piezan antes
que él term ine; y entre éstos definamos como «contem poráneos ini­
ciales1' de x aquellos que no son com pletam ente posteriores a los
demás contem poráneos de x. E ntonces la oración «el tiempo está
formado por instantes» es cierta si, dado cualquier acontecim iento x,
cualquier acontecim iento que as com pletam ente posterior a algún
contem poráneo de x es com pletam ente posterior a algún contem po­
ráneo inicial de x. U n proceso de interpretación sem ejante es necesa­
rio en la consideración de la m ayoría de las constantes puram ente
lógicas, si no de todas ellas.
De este m odo el problem a de si las constantes lógicas se presentan
en las proposiciones de la Lógica resu lta m ás difícil de lo que parecía
a prim era vista. E s un problem a al que, de hecho, no puede darse una
respuesta definitiva, tal cual están las cosas, porque no hay definición
exacta de «formar p a rte de» u n a proposición. Pero puede decirse algo.
E n prim er lugar, ninguna proposición de la Lógica puede m encionar
algún objeto particular. L a proposición «Si Sócrates es un hom bre y
todos los hom bres son m ortales, entonces Sócrates es mortal» no es
una proposición de la Lógica; la proposición lógica de la cual la a n te ­
rior es un caso particular, es: «Si x tiene la propiedad <p, y todo lo quo
tenga la propiedad <p tiene la propiedad <];, entonces x tiene la propie­
dad 4>, cualesquiera sean x, <p y ¡j>.» L a p alab ra «propiedad» que aquí
se presenta desaparece en la form ulación sim bólica correcta de la
proposición; pero «si-entonces», o algo que sirva p a ra los mismos
propósitos, perm anece. Después de los m ayores esfuerzos p a ra reducir
el núm ero de elem entos indefinidos en el cálculo lógico, nos hallarem os
an te dos (por lo menos) que parecen ser indispensables: uno es la
incom patibilidad; el otro es la verdad de todos los valores de una,
LOS P RI NCI PI OS D E LA M A T E M A T I C A
15
función proporcional. (Por «incompatibilidad» de dos proporciones se
entiende que no pueden ser am bas verdaderas.) N inguno de ellos
parece m uy im portante. Lo que se dijo anteriorm ente respecto a «o»,
se aplica igualm ente a la incom patibilidad; y parecería absurdo decir
que la generalidad es uno de los com ponentes de una proposición
general.
Por lo tanto, las constantes lógicas, si nos sintiéram os capaces de
decir algo definido respecto a ellas, deben ser tra ta d a s como partes del
lenguaje, no como partes a las que se refiere el lenguaje. De este modo,
la Lógica resulta ser m ucho más lingüística de lo que la creía en la
época en que escribí los P r i n c i p i o s . Aun ser;'* cierto que en la expre­
sión verbal o sim bólica de las proposiciones lógicas no se presentan
constantes, salvo las lógicas; pero no será cierto qne estas constantes
lógicas son nom bres de objetos, como in ten ta serlo «Sócrates».
Por lo tan to , definir la Lógica, o la M atem ática, no es fácil en abso­
luto, excepto en relación a algún conjunto dado de prem isas. Una
prem isa lógica debe ten er ciertas características que puedan definirse:
debe poseer una generalidad com pleta, en el sentido de que no m en­
cione una cosa o cualidad particular; y debe ser verdadera en virtud
de su forma. Dado un conjunto definido de prem isas lógicas, podemos
definir la Lógica, en relación con ellas, como todo lo que ellas nos
perm iten dem ostrar. Pero 1) es difícil decir qué es lo que hace una
proposición verdadera en virtu d de su forma; 2) es difícil ver cualquier
camino que nos sirva para probar que el sistem a resultante de un
conjunto dado de prem isas es completo, en el sentido de com prender
todo lo que quisiéram os que incluya entre las proposiciones lógicas.
Respecto a este segundo punto, se ha acostum brado a aceptar la
Lógica y la M atem ática corriente como un dato, y a buscar el mínimo
de prem isas con las que puede construirse ese dato. Pero cuando
surge la duda —como ha surgido— respecto a la validez de ciertas
partes de la M atem ática, este m étodo no nos perm ite dilucidarla.
Parece evidente que debe de existir algún método, para definir la
Lógica adem ás del que se refiere a la relación con un lenguaje lógico
particular. La característica fundam ental de la Lógica es, m anifies­
tam ente, la que se halla indicada cuando decimos que las proposicio­
nes lógicas son verdaderas en virtud de su forma. El problem a de la
dem ostrabilidad no halla cabida aquí, ya que cada proposición que en
un sistem a se deduce de acuerdo a las prem isas puede, en otro siste­
ma, ser tom ada como prem isa. Si la proposición es com plicada, esto
resulta inconveniente, pero no imposible. Todas las proposiciones de­
m ostrables en cualquier sistem a lógico adm isible deben com partir con
las prem isas la propiedad de ser verdaderas en v irtu d de su form a,
y todas las proposiciones que son verdaderas en virtu d de su form a
deben incluirse en cualquier Lógica adecuada. A l g u n o s escritores,
por ejem plo C am ap en su Sintaxis lógica del lenguaje, tra ta n todo el
16
B E R T R A N D R US S E L L
problem a como siendo más cuestión de lección lingüística de lo que
creo que es. E n el tra b a jo m encionado arriba, C arnap usa dos lengua­
jes lógicos, uno de los cuales ad m ite el axiom a de m ultiplicación y el
axiom a de infinitud, m ientras que el otro no lo hace. No puedo creer
que tal cuestión pueda decidirse por elección arb itra ria . Me parece
que estos axiom as o tienen, o carecen, de la característica de verdad
formal que caracteriza la Lógica, y que en el prim er caso to d a Lógica
debe incluirlos, m ientras que en el últim o to d a Lógica debe excluirlos.
Confieso, sin em bargo, que soy incapaz de d ar cualquier explicación
clara de lo (pie se entiende cuando se dice (pie «una proposición es
verdadera en v irtu d de su forma'». Pero esta frase, inadecuada como
es, señala, creo, el problem a que debe resolverse si se quiere encontrar
una definición adecuada do la Lógica.
Llego finalm ente a la cuestión de las contradicciones y a la doc­
trina de los tipos. H enri Poincaré, quien considera que la Lógica
m atem ática no a y u d a b a en n ad a a la investigación, y que por lo ta n to
era estéril, era feliz en las contradicciones: «La logistique n ’est plus
stérile; elle engendre la contradiction!» Sin em bargo, todo lo que hizo
la Lógica m atem ática es poner en evidencia que se deducen co n tra ­
dicciones de las prem isas previam ente aceptadas por todos los lógicos,
pero la M atem ática no tiene la culpa. Ni todas las contradicciones
son nuevas; algunas d a ta n de la época de los griegos.
E n los P r in c ip io s sólo se m encionan tres contradicciones: la de Burali F orti respecto al ordinal m áxim o, las contradicciones que se refieren
al m áxim o cardinal, y la m ía respecto a las clases que no son elem entos
de sí mismas. Lo que se dice respecto a posibles soluciones puede no
tenerse en cuenta, excepto el apéndice B, que se refiere a la teoría
de los tipos; y aun éste es sólo un ensayo rudim entario. La lite ra tu ra
acerca de las construcciones es m uy am plia, y el tem a so halla aún
en discusión. E l tra ta d o más com pleto que conozco se halla en la S in ­
taxis lógica del lenguaje de C arnap (Kegan Paul, 1937 ). Lo que dice
sobre este tem a me parece verdadero o ta n difícil de reb atir que una
refutación no es posible en poco espacio. P o r ello me referiré solam ente
a algunas anotaciones generales.
A prim era vista, las contradicciones parecen ser de tres tipos las
m atem áticas, las lógicas y las que se puede sospechar que pueden
deberse a juegos m ás o menos triviales de palabras. De las co n tra ­
dicciones definidam ente m atem áticas pueden tom arse como típicas
las que se refieren al m áxim o cardinal y al m áxim o ordinal.
L a prim era de ellas, la de B urali F o rti, es la siguiente: D isponga­
mos todos los núm eros ordinales en orden de m agnitud; entonces el
últim o de ellos, que llam arem os N, es el m ayor de los ordinales. Pero
el núm ero de todos los ordinales desde cero h asta N es N + 1, que
es m ayor que N. No podemos solucionarlo diciendo que la serie de
núm eros ordinales no tiene últim o térm ino; porque §u# ep este oaso,
LOS PRINCI PIOS DE LA M A TE M A TI C A
17
la serie m ism a ten d ría un núm ero ordinal m ayor que cualquier té r­
m ino de la serie, es decir, m ayor que cualquier núm ero ordinal.
L a segunda contradicción, la que se refiere al cardinal m áximo,
tiene el m érito de m ostrar en form a particularm ente evidente la ne­
cesidad de una teoría de los tipos. Sabemos, de acuerdo con la A rit­
m ética elem ental, que el núm ero de combinaciones de n objetos, t o ­
m ados sim ultáneam ente en cualquier núm ero de element-os, es igual
a 2", es decir, que una clase de n térm inos tiene 2n subclases. Podem os
probar la validez de esta expresión cuando n se hace igual a infinito.
Y C antor probó que 2 n es siem pre m ayor que n. P or lo ta n to no puedo
haber cardinal m áxim o. Aun se podría supoaer que la clase que lo
contieno todo tend ría el m áxim o núm ero posible de térm inos. Pero
como el núm ero de clases de cosas excede el núm ero de cosas, clara­
m ente las clases de cosas no son cosas. (Explicaré brevem ente lo que
quiere decir esto.)
De las contradicciones evidentem ente lógicas se discute una en el
capítulo X: en el grupo lingüístico la m ás famosa, la del m entiroso,
fue in v en tad a por los griegos. E s la siguiente: Supongam os que un
hom bre dice: «Estoy m intiendo.» Si m iente, su afirmación es cierta, y
por lo ta n to no está m intiendo; si no m iente, entonces, cuando dice
que m iente, está m intiendo. Así cualquier hipótesis im plica su con­
trad icto ria.
E n realidad, las contradicciones m atem áticas y las lógicas no son
distinguibles, como es fácil im aginar; pero en el grupo lingüístico, de
acuerdo con R am sey (: ), puede resolverse por las que pueden llamarse,
en sentido am plio, consideraciones lingüísticas. Se distinguen del
grupo lógico por el hecho de que introducen nociones em píricas, tales
como las de que alguien afirma o piensa; y como estas nociones no
son lógicas, es posible argum entar que dependen de consideraciones
distintas a las lógicas. E sto hace posible una gran simplificación de
la teoría de los tipos, la que, tal cual surge de la discusión de Ram sey,
deja por completo de parecer poco plausible o artificial o simple hi­
pótesis ad hoc destinada a ev itar las contradicciones.
L a esencia técnica de la teoría de los tipos es sim plem ente la si­
guiente: D ada una función proposicional «9 r» de la que son verdade­
ros todos los valores, existen expresiones que no es legítim o sustituir
en el lugar do <cr*. P or ejemplo: Todos los valores de «si a; es un hom bre,
x es mortal» son verdaderos, y podemos inferir «si Sócrates es un hom ­
bre, Sócrates es mortal»; pero no podemos inferir «si la ley de co n tra­
dicción es un hom bre, la ley de contradicción es mortal». La teoría
de los tipos declara que este últim o conjunto de palabras es un sinsentido, y da reglas respecto a los valores permisibles de tx» en «9 x ».
E n el detalle se presentan dificultades y complicaciones, pero el prin(1)
Los
Foundations of Mathemalics, K e g a n P a u l, 1931, p ágs. 20 y sig.
P R IN C IP IO S
DK
LA
M A T E M A T I C A .—
2
18
B E R T R A N D RUS SE L L
cipio general es sim plem ente úna form a más precisa de uno que siem ­
pre se ha reconocido. E n la Lógica convencional clásica se acostum ­
braba a señalar que un conjunto de palabras, tal como «la v irtu d es
triangular», no es ni verdadero ni falso, pero no se hacía ninguna te n ­
ta tiv a para llegar a un conjunto definido de reglas que decidieran si
una serie dada de palabras tenía o no significado. A esto tiende la
teoría de los tipos. Así, por ejem plo, antes dije que «las clases de cosas
no son cosas». E sto quiere decir: «Si ’x es un m iem bro de la clase a ’,
es un a proposición, y '? x ’ es una proposición, entonces 'cp a ’ no es
una proposición, sino una colección ininteligible de símbolos.»
E xisten aún m uchas cuestiones discutibles en Lógica m atem ática,
las que no tra té de resolver en las páginas anteriores. Sólo lie m encio­
nado aquellos tem as que, en mi opinión, han progresado en form a de­
finitiva desde que he escrito los P r i n c i p i o s . En general, creo aún quo
este libro tiene razón cuando se halla en desacuerdo con lo que so
ha sostenido anteriorm ente, pero en lo que coincide con las teorías
anteriores puede estar equivocado. Los cambios en Filosofía que me
parecen necesarios se deben en p a rte a los progresos técnicos do la
Lógica m atem ática en el intervalo de tre in ta y cuatro años, que han
simplificado el ap arato de las proposiciones e ideas prim itivas, y que
han eliminado m uchas entidades aparentes, tales como clases, puntos
e instantes. E n general, el resultado es una visión menos platónica,
o menos realista en el sentido m edieval de la palabra. H a sta dónde
es posible seguir en dirección del nom inalism o, es, por el m om ento, a
mi parecer, una cuestión no resuelta, pero, tenga o no solución, sólo
puede lograrse por medio de la Lógica m atem ática.
P R E F A CIO
E l presente trabajo tiene dos propósitos esenciales. Uno de ellos, la
prueba de que toda la Matemática pura trabaja exclusivamente con con­
ceptos definibles en función de un número m uy pequeño de conceptos
lógicos fundamentales, y de que todas las proposiciones se pueden de­
ducir de un número m uy pequeño de principios lógicos fundamentales,
se halla encarado en las partes I I - V I I de este volumen y se establecerá
por razonamiento simbólico estricto en el volumen I I . S i no me equivoco,
la demostración de esta tesis tiene toda la certeza y precisión de que son
posibles las demostraciones matemáticas. Como la tesis es m uy reciente
entre los matemáticos, y es casi universalmente negada por los filósofos,
he encarado en este volumen la defensa de sus diferentes partes, a medida
que se presente ocasión para ello, contra teorías tan adversas como pa­
recen ser las más ampliamente sostenidas o las más difíciles de refular.
Tam bién he tratado de presentar, en el lenguaje menos técnico posible,
las etapas más importantes en las deducciones que sirven para establecer
la tesis.
E l otro objeto de este libro, que ocupa la parte I, es la explicación
de los conceptos fundamentales que la M atemática acepta como indefi­
nibles. Éste es un trabajo puramente filosófico, y no me puedo jactar
de haber hecho más de lo indicado en un vasto campo de investigación,
y de dar un ejemplo de los métodos por los que se puede llevar la inves­
tigación. La discusión de los indefinibles — que constituye la parte p rin ­
cipal de la Lógica matemática— es el esfuerzo para ver claramente y
mostrar a los demás con claridad las entidades con las que se trabaja,
para que la mente pueda tener una especie de conocimiento con ellas, tal
como el que tiene con lo rojizo o con el sabor del ananá. Donde, como en
el caso presente, los indefinibles se obtienen principalmente como el re­
siduo necesario de un progreso de análisis, a menudo es más fácil saber
que deben existir tales entidadeé que percibirlas; existe un proceso análogo
al que se presentó en el descubrimiento de N eptuno, con la diferencia de
que la. etapa final — la búsqueda con m > telescopio mental de la entidad
20
B E R T R A N D R US SE L L
que se ha inferido— resulta ser a menudo la parte- más difícil de la em­
presa. E n el caso de las clases, debo confesarlo, he fracasado en la 'percep­
ción de cualquier concepto que llenara las condiciones requeridas por la
noción de clase. Y la contradicción que se discute en el capítulo X muestra
que hay algo falso, pero hasta ahora no he podido descubrirlo.
E l segundo volumen, para el que he tenido la inm ensa suerte de ase­
gurarme la colaboración de M r. A . N . Whitehead, será dedicado exclusi­
vamente a los matemáticos; contendrá cadenas de deducciones, desde las
premisas de la T/>gica simbólica a través de la Aritm ética, finita e in fi­
nita, hasta la Geometría, siguieTido un orden semejante al adoptado en
el presente volumen; tendrá también varios desarrollos originales, en los
que el método del profesor Peano, auxiliado ]x>r la Ilógica de. relaciones,
ha demostrado ser un poderoso instrumento de investigación matemática.
El presente volumen, que puede considerarse como comentario o introduc­
ción al segundo, se halla dedicado iguahnente al filósofo y al matemático;
pero ciertas partes serán más interesantes para el uno, y otras para el
otro. Debo advertir a los matemáticos que a menos de que tengan un in ­
terés especial en la Lógica simbólica, comiencen por la parte I V , y sólo
se dediquen a las anteriores cuando ello sea necesario. Las partes siguien­
tes son las más filosóficas: parte I ( salvo el capítulo I I j i p a r t e I I , capí­
tulos X I , X V , X V I , X V I I I ; parte I I I ; parte TV, § 207 , capítulos X X V I ,
X X V 11 , X X X I ; parte V, capítulos X L 1 , X L I 1 , X L I I I ; parte V I, ca­
pítulos L , L I I ; parte V I I , capítulos L i l i , L I V , L V , L V I 1 , L V I I I ; y
los dos apéndices, que pertenecen a la parte I , y que deben leerse en rela­
ción con ella. E l trabajo del profesor Frege, que se anticipara en mucho al
mío, me era desconocido en su mayor parte cuando comenzó la impresión
de la presente obra; he visto sus G rund Gesetze der A rithm etik, pero de­
bido a la gran dificultad de su simbolismo no he alcanzado a comprender
su importancia,, y a entender sus conceptos. La única forma,, en una etapa
avanzada, de hacer justicia a su trabajo era la de dedicarle un Apéndice;
y en algunos pasajes los puntos de vista contenidos en el Apéndice difieren
de los del capítulo V I, especialmente en los §§ 71 , 73 y 74 . E n algunas
cuestiones discutidas en estas secciones he descubierto errores después de
impresos los pliegos; estos errores, de los cuales los principales son la
negación de la dase vacía, y la identificación de un término con la clase
de que es único miembro, se hallan rectificados en los apéndices. Los
temas tratados son tan difíciles que siento poca confianza en m is opiniones
presentes y considero todas las conclusiones que se pueden defender coino
meras hipótesis.
Unas pocas palabras acerca del origen de la obra presente servirán
para mostrar la importancia de los temas discutidos. Hace aproximadamente unos seis años comencé una investigación en la filosofía de la D inámica. M e haüé ante la dificultad de que, cuando una partícula se halla
sometida a varias fuerzas, en realidad no tiene lugar ninguna de las
aceleraciones com pov^tes^ sino solamente la aceleración r e a ta n te , de,
LOS PRI NCI PI OS D E LA M A T E M A T I C A
21
la que no son 'partes; esto vuelve ilusoria tal casualidad de particulares
por particulares como afirm a a primera vista la ley de gravitación. P a ­
rece también que la dificultad respecto al movimiento absoluto es insoluble en una teoría relativa del espacio. Estos dos problemas me llevaron
a hacer un nuevo examen de los principios de la Geometría, de allí a la
filosofía de la continuidad de la infinidad, y de aüíj con el pro-pósito
de descubrir el significado de la palabra cualquier, a la Lógica simbólica.
El resultado final, respecto a la filosofía de la D inám ica, es quizá de­
masiado insignificante; la razón de que suceda esto es la de que casi todos
los problemas de la Dinámica me parecen empíricos, y por lo tanto fuera
del plan de un trabajo como el presente. Se han omitido muchas cuestiones
m uy interesantes, especialmente en las partes V I y V I I , debido a que
carecían de imqxrrtancia para m i propósito el que, por medio de una mala
interpretación, creo que será conveniente aclararlo.
Cuando se cuentan los objetos reales, o cuando se aplican la Geome­
tría o la Dinámica al espacio o la materia reales, o cuando, de cualquier
otro modo, se aplica el razonamiento matemático a lo que existe, el razo­
namiento que se emplea tiene una forma que no depende del que los ob- '
jetos a que se aplica sean9 justamente esos objetos particulare-S^.sino
solamente a que tienen ciertas propiedades generales. E n Matemática
pura nunca se tratará de objetos reales en el mundo en que existimos, sino
sólo de objetos hipotéticos que tienen esas propiedades generales de las
que depende cualquier deducción que se esté considerando; y esas propie­
dades generales siempre se podrán expresar en función de los objetos
fundamentales a los que he llamado constantes lógicas. Así, cuando se
habla de espacio o de movimiento en Matemática pura, no se menciona
el espacio real o el movimiento real, tal como los conocemos en la experien­
cia, sino cualquier entidad que posea esas propiedades abstractas genera­
les del espacio o del movimiento, tales como se emplean en los razona­
mientos de Geometría o de Dinámica. E l problema de la comprobación
acerca de si esas propiedades pertenecen o no al espacio real o al movi­
miento real es absurdo para la M atemática pura, y por lo tanto no corres­
ponde tratarlo en la obra presente, siendo, en m i opinión, una cuestión
puramente empírica, apropiada para investigar en el laboratorio o en
el observatorio. E s cierto que, indirectamente, las discusiones relaciona­
das con la Matemática pura guardan una dependencia m u y importante
con tales cuestiones empíricas, ya que muchos, quizá la mayoría, de los
filósofos sostienen que el espacio y el movimiento son contradictorios en
sí, y por lo tanto necesariamente diferentes del espacio y movimientos rea­
les, mientras que, si los puntos de vista defendidos en las páginas siguien­
tes son verdaderos, no se presentan tales contradicciones en el espacio y
movimiento matemáticos. Pero las consideraciones eztramatemáticas de
este tipo han sido casi complejamente excluidas del trabajo presente.
E n los problemas fundamentales de la Filosofía m i posición, en todos
sus aspectos, deriva de la de M r. G. E . Moore. He aceptado de él la
22
B E R T R A N D RUS S E L L
naturaleza no existencia! de las proposiciones (excepto de cuqueJlas que,
expresan justamente existencia) y su independencia de cualquier mente
consciente; y también el pluralismo que considera al mundo, tanto el de
lo existente como el de las entidades, como compuesto de un número in ­
finito de entidades independientes entre sí, con relaciones últimas y no
reducidles a adjetivos de sus términos o del todo que ellas componen.
Antes de estudiar estos puntos de vista me consideraba totalmente inca­
paz de construir cualquier filosofía de la Aritm ética, mientras que su
aceptación trajo aparejada una liberación inmediata de un gran número
de dificultades que si no hubiera considerado insuperables. E n m i opi­
nión, las doctrinas que aquí menciono son completamente indispensables
para cualquier filosofía de la M ateinática aun tolerablemente satisfactoria,
como creo que las páginas siguientes podrán demostrar. Pero debo dejar
a m is lectores el juicio de hasta qué punto el razonamiento admite esas
doctrinas y hasta qué punto las sostiene. Formalmente, m is premisas se
admiten simplemente, pero el hecho de que perm itan que la Matemática
sea verdadera, lo que no hacen la mayoría de las filosofías corrientes, es
seguramente un poderoso argumento en su favor.
En Matemática m is obligaciones principales son, como resulta evi­
dente, para Jorge Cantor y el profesor Peano. S i hubiese conocido con
anterioridad el trabajo del profesor Frege le hubiera debido mucho, pero
tal como me han sucedido los hechos he llegado independientemente a
muchos resultados que él ya había establecido. E n cada etapa de m i trabajo
he sido ayudado en más de lo que se puede expresar por las sugestiones,
crítica y generoso estímulo de M r. A . N . Whitehead, quien también ha te­
nido la bondad de leer mis pruebas, y ha mejorado enormemente la expre­
sión final de un gran número de pasajes. Debo también muchas sugeren­
cias m uy útiles a Air. JV. E . Johnson; y en las partes más filosóficas del
libro mucho debo a M r. G. E . Moore, además de la posición general
aceptada en toda la obra.
Para poder cubrir un campo tan amplio ha sido imposible adquirir
un conocimiento exhaustivo de toda la literatura. Seguramente hay m u ­
chos trabajos importantes que no conozco; pero donde el trabajo de pensar
y escribir absorbe necesariamente tanto tiempo¿ tal ignorancia, aunque
lamentable, no parece ser completamente imperdonable.
E n el curso de la discusión se encontrarán muchas palabras definidas
en sentidos aparentemente m u y distintos a los del uso común. Tales d i­
ferencias, y pido al lector que así lo crea, nunca son arbitrarias, sino
que se han llevado a cabo con mucha precaución. E n los puntos filosóficos
se han necesitado debido a dos causas. E n primer lugar, a menudo su­
cede que dos nociones relacionadas deben considerarse al mismo tiempo,
y que el lenguaje tiene dos nombres para la una, y ninguno para la otra.
Entonces resulta completamente conveniente distinguir entre los dos nom ­
bres comúnmente usados como sinónimos, tomando el uno para el sig n ifi­
cado usual del término y el otro para el hasta entonces carente de nombre.
23
LOS PRI NCI PI OS D E LA M A T E M Á T I C A
:i
La otra causa surge de la discrepancia filosófica con los puntos de vista co­
munes. Cuando se supone comúnmente que dos cualidades se hallan inse­
parablemente unidas, pero aquí se las considera separables, el nombre a p li­
cado a su combinación deberá restringirse generalmente a una u'otra de
ellas. Por ejemplo, se considera generalmente a las jrroposiciones como 1)
verdaderas o falsas, 2 ) mentales. Sosteniendo, como lo hago, que loque es
verdadero o falso en general no es mental, necesito un nombre para lo
verdadero o falso como tal, y este nombre apenas puede ser otro que pro ­
posición. E n tal caso, la desviación del uso no es arbitraria en absoluto.
Respecto a los términos matemáticos la necesidad de establecer el teorema
de existencia en cada caso — es decir, la demostración de que existen en­
tidades del tipo en cuestión— me ha llevado a muchas definiciohes que,
parecen m uy diferentes de las nociones generalmente unidas a los térmi­
nos considerados. Ejemplo de esto son las definiciones de números car­
dinales, ordinales y complejos. E n los dos primeros casos, y en muchos
otros, la definición de una clase, derivada del principio de abstracción,
se recomienda principalmente por el hecho de que no deja duda ¿¡esperto
al teorema de existencia. Pero en muchos casos de una tal discrepancia
con el uso, puede dudarse acerca de si se ha hecho más que dar precisión
a una noción hasta entonces más o menos vaga.
M i defensa por la publicación de un libro que contiene, tantas difi
cultades sin resolver es la de que la investigación no me fui revelqdo un
medio inmediato para resolver adecuadamente la contradicción discutida
en el capítulo X , o para adquirir una visión mejor acerca de la natu­
raleza de las clases. El descubrimiento repetido de errores en soluciones
que durante un tiempo me han satisfecho hizo que estos problemas apa­
recieran como si sólo se hubieran ocultado tras teorías aparentemente
satisfactorias y que una reflexión un poco más detenida habría des'échado,
or lo tanto parece mejor establecer simplemente las dificultades que
esperar hasta haberme persuadido de la verdad de alguna doctrina casi
ciertamente errónea.
Agradezco a los síndicos de la University Press, y a su secretario,
M r. R. T . Wright, su amabilidad y cortesía respecto a este volumen.
Londres, diciem bre, 1902 ,
CAPÍTULO I
DEFIN ICIÓ N DE MATEMÁTICA PURA
1.
M a t e m á t i c a pura es la clase de todas las proposiciones de la
form a «p im plica q», donde p y q son proposiciones que contienen una
o m ás variables, las m ism as en am bas proposiciones, y ni p ni q contie­
nen constante alguna, excepto las constantes lógicas. Y las constantes
lógicas son todas nociones definibles en función de lo siguiente: Im pli­
cación, la relación do un térm ino a una clase de la que es miembro, la
noción de tal que, la noción de relación, y otras nociones tales que
puedan hallarse involucradas en la noción general de proposiciones
de la form a anterior. Adem ás de ellas, la M atem ática usa una noción
que no form a p a rte de las proposiciones que considera, la noción de
verdad.
2. La definición anterior de M atem ática pura es, sin duda, algo
rara. Sin embargo, sus diferentes partes parecen susceptibles de ju sti­
ficación exacta —justificación que será el objeto del presente tra b a jo — .
Se m o strará que todo lo que se ha considerado en el pasado como
M atem ática p u ra se halia incluido en n uestra definición, y que todo
lo que adem ás se incluye posee esas características por las cuales la
M atem ática se distingue, común, aunque vagam ente, de otras dis­
ciplinas. L a definición no tra ta de ser una decisión a rb itraria para
usar una p alab ra común con un significado no común, sino más bien
un análisis preciso de las ideas que, m ás o menos inconscientem ente,
se hallan im plicadas en el empleo vulgar del térm ino. P or lo tanto,
nuestro m étodo será analítico, y nuestro problem a puede llam arse
filosófico — es decir, en el sentido de que intentarem os pasar de lo
complejo a lo simple, de lo dem ostrable a sus prem isas indem os­
trables— . Pero en cierto y determ inado sentido no pocas de nuestras
discusiones diferirán de las fc[ue reciben generalm ente el nom bre de
filosóficas. Podrem os, gracias a la labor de los mismos m atem áticos,
alcanzar la certeza en la consideración de la m ayoría de las cuestiones
28
B E R T R A N D R USSELL
a las que nos referiremos; y entre las que son susceptibles de una
solución exacta, encontrarem os m uchos de los problem as que, en el
pasado, se vieron envueltos en to d a la incertidum bre tradicional de
las discusiones filosóficas. L a natu raleza del num ero, del infinito, del
espacio, tiem po y m ovim iento, y de la m ism a inferencia m atem ática,
son todas cuestiones a las que en el trab ajo presente se dará una
respuesta que tra ta r á de ser dem ostrable con certeza m atem ática
— esta respuesta sólo consiste en reducir los problem as anteriores
a problem as de Lógica pura— , los que no se hallarán satisfactoria­
m ente resueltos en lo que sigue.
3 . La filosofía de la M atem ática ha sido h a sta el presente tan
discutida, oscura y estacionaria como las otras ram as de la Filosofía.
Aunque se coincidía generalm ente en que la M atem ática es verdadera
en cierto sentido, los filósofos disp u tab an acerca del significado real
de las proposiciones m atem áticas: aunque algo era verdadero, nadie
se ponía de acuerdo sobre qué es lo que era verdadero; aunque so
sabía algo, nadie tenía noticia de qué es lo que se sabía. Pero m ien­
tras persistiera esta d u d a apenas se podría decir quo la M atem ática
llegaría a lograr algún conocim iento cierto y exacto. D e acuerdo con
esto encontram os que los idealistas tendían m ás y m ás a considerar
que toda la M atem ática tra b a ja b a con m eras apariencias, m ientras
que los empíricos sostenían que todo lo m atem ático era una aproxi­
mación a cierta verdad exacta sobre lo que n ad a tenían que decirnos.
Debemos confesar que este estado de cosas era com pletam ente in­
grato. La Filosofía preg u n tab a a la M atem ática: ¿Qué quiere decir?
En el pasado, la M atem ática no podía contestar, y la Filosofía res­
pondía introduciendo la noción com pletam ente desacertada de m ente.
Pero en la actualidad, la M atem ática puede co n testar por lo menos
hasta el punto de reducir todas sus proposiciones a ciertas nociones
fundam entales de Lógica. E n este punto la discusión debe ser reto ­
m ada por la Filosofía. P rocuraré indicar cuáles son las nociones
fundam entales involucradas, p robar detalladam ente que no figuran
otras en M atem ática, y señalar brevem ente las dificultades filosóficas
involucradas en el análisis de estas nociones,sU n desarrollo com pleto
de estas dificultades requeriría un tra ta d o de Lógica, lo que no se
hallará en las páginas siguientes.
4 . H a sta hace poco existía u n a dificultad especial en los princi­
pios de la M atem ática. Parecía evidente que la M atem ática está
form ada por deducciones, y sin em bargo los cálculos ortodoxos de la
deducción eran casi to ta l o to ta lm e n te inaplicables a la M atem átioa
existente. No sólo la teoría silogística aristotélica, sino tam bién las
doctrinas m odernas de la Lógica sim bólica, eran o teóricam ente ina­
decuadas p ara el razonam iento m atem ático, o por lo menos requerían
form as ta n artificiales de form ulación que apenas podían aplicarse
prácticam ente. E n esto se basa la fuerza del p u n to de vista kantiano,
LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M A T I C A
29
que asegura que el razonam iento m atem ático no es estrictam ente
form al sino que siem pre usa intuiciones, es decir, el conocim iento
a priori del tiem po, y del espacio. Gracias al progreso de la Lógica
sim bólica, especialm ente tal cual la tr a ta el profesor Peano, puede
darse ahora refutación final e irrevocable a esta p arte de la filosofía
k an tian a. Con la ay u d a de diez principios de deducción y de otras
diez prem isas de n atu ra le z a lógica general (por ejemplo, «la im plica­
ción es u n a relación») puede deducirse toda la m atem ática estricta y
form alm ente, y todas las entidades que figuran en M atem ática pue­
den definirse en función de las que figuran en las veinte prem isas
anteriores. Bajo esta form ulación la M atem ática no sólo incluye la
A ritm ética y el Análisis, sino tam bién la Geom etría, euclidiana y
no-euclidiana. La D inám ica racional y un núm ero indefinido de otros
estudios aun no com enzados o en su infancia. El hecho de que toda la
M atem ática sea Lógica sim bólica es uno de los descubrim ientos más
im portantes de nuestro tiempo; y una vez establecido este hecho, lo
que queda de los principios de la M atem ática consiste en el análisis
de la propia Lógica simbólica.
5.
L a doctrina general de que toda la M atem ática es deducción
por principios lógicos a p a rtir de principios lógicos, fue ardientem ente
defendida por Leibniz, quien argüía constantem ente que los axiomas
deben probarse y cjue todo debe definirse excepto unas pocas nociones
fundam entales. Pero en p a rte debido a una Lógica defectuosa, en parte
a la creencia en la necesidad lógica de la G eom etría euclidiana, llegó a
com eter errores desafortunados en la te n ta tiv a de desarrollar en d e ­
talle un punto de vista que, en general, se considera actualm ente
correcto (x). P o r ejem plo, las proposiciones de Euclides no se deducen
solam ente de los principios de la Lógica; y la percepción de este
hecho llevó a K a n t a sus innovaciones en la teoría del conocim iento.
Pero desde el desarrollo de la G eom etría no-euclidiana resultó m a­
nifiesto que la M atem ática pura no tiene ninguna relación con el
problem a de si los axiom as y proposiciones de Euclides valen o 110
para el espacio real: éste es un problem a del dominio de la M atem ática
aplicada, que debe decidirse, h asta el punto en que es posible cualquier
decisión, por medio de experim entos y observaciones. Lo que la.M atem ática p u ra asevera es sim plem ente que las proposiciones euclidianas se deducen de los axiom as euclidianos —es decir, afirm a una
implicación: cualquier espacio que tiene tales y tales propiedades,
posee tam bién tales y tales o tra s— . Así, m ientras nos hallam os en el
campo de la M atem ática pura, las Geom etrías euclidianas y noeuclidianas son igualm ente verdaderas: en cada una de ellas no se
afirm a n a d a salvo implicaciones. Todas las proposiciones que se re­
fieren a lo que existe realm ente, como el espacio en el que vivimos,
(l )
A cerca do este te m a, véase C o u tu ra t, L a Logique de Leibniz, P arís, 1901,
so
B E R T R A N D RUS S E L L
pertenecen a la ciencia experim ental o em pírica, no a la M atem ática;
cuando pertenecen a la M atem ática aplicada, surgen de dar a una o
m ás variables de u n a proposición de M atem ática p u ra algún valor
constante que satisface las hipótesis, y que por lo ta n to nos perm i­
te, para ese valor de la variable, afirm ar realm ente ta n to la hipótesis
como la consecuencia, en vez de afirm ar sim plem ente la implicación.
E n M atem ática siem pre afirm am os que si cierta aserción p es verd a­
dera p ara cualquier entidad x, o p a ra cualquier conjunto de e n ti­
dades x, y, z, ..., entonces cierta o tra aserción q es verdadera para
esas entidades; pero no afirm am os separadam ente p o q, para nuestras
entidades. Afirm am os u n a relación entre las aserciones p y q, lo que
llam aré implicación formal.
6.
Las proposiciones m atem áticas no sólo se hallan caracterizadas
por el hecho de que afirm an im plicaciones, sino tam bién por el hecho
de que contienen variables. L a noción de variable es una de las más
difíciles con las que debe tra b a ja r la Lógica, y en el presente trabajo
apenas se hallará una teoría satisfactoria a pesar de lo mucho que se
discute el tem a. P o r el m om ento deseo dejar sentado que existen
variables en todas las proposiciones m atem áticas, aun cuando a pri­
m era v ista parezca no haberlas. P o d ría pensarse que la A ritm ética
elem ental constituye una excepción: 1 + 1 = 2 parece no contener
variables ni afirm ar una im plicación. Pero, en realidad, como se de­
m ostrará en la p a rte II, el verdadero significado de esta proposición
es: «Si x es uno e y es uno y x difiere de y, entonces x e y son dos.»
Y esta proposición contiene variables y afirm a u n a implicación. Siem ­
pre encontrarem os que en todas las proposiciones m atem áticas figu­
ran las palabras cualquier o algún; y estas palabras son los distintivos
de u n a variable y de una im plicación formal. Así, la proposición
anterior puede expresarse bajo la forma: «Cualquier unidad y cual­
quier o tra unidad son dos unidades.» La proposición típica de la
M atem ática es de la form a «y(x, y, z, ...) im plica <\i{x, y, z, ...), sean
los que fueren los valores x, y, z, ...»; donde cp(x, y, z , ...) y
y,
z, ...), p ara todo conjunto de valores de x, y, z ....... son proposiciones.
No se afirm a que tp es siem pre verdadero, ni que ij; es siem pre v erd a­
dero, sino sim plem ente que, en todos los casos, ta n to cuando 9 es
falso como cuando es verdadero, se deduce ^ de él.
L a diferencia entre una variable y u n a constante se oscurece algo
en el uso m atem ático. Se acostum bra, por ejemplo, a hablar de p a rá ­
m etros con cierto sentido de constantes, pero tendrem os que recha­
zar este uso. U na constante debe ser algo absolutam ente definido,
respecto a la cual no se pueda p resen tar am bigüedad posible. Así 1,
2, 3 , e, 7i, Sócrates, son constantes; y tam bién lo son hombre, y la
raza hum ana, el pasado, presente y futuro, considerados colectiva­
m ente. Proposición, implicación, clase, etc., son constantes; pero una
proposición, cualquier proposición, alguna proposición, no son cons­
LOS PRI NCI PI OS D E LA M A T E M A T I C A
31
tantes, porque esas frases no denotan un objeto definido, y por ello
los que reciben el nom bre de parám etros son sim plem ente variables.
Tomemos, por ejemplo, la ecuación ax -f- by + c — 0 , considerada
como ecuación de una línea recta en el plano. Aquí decimos que x e
y son variables, m ientras a, b y c, son constantes. Pero a menos que
nos refiramos a una línea absolutam ente particular, por ejem plo la
línea de un p unto particu lar en Londres a un punto p articu lar en
Cambridge, nuestros a, b, c, no serán núm eros definidos, sino que re­
presentarán núm eros cualesquiera, y por lo ta n to son variables. Y en
Geom etría nadie tra b a ja con líneas realm ente particulares; siem pre
discutim os cualquier línea. E l hecho es que agrupam os las diferentes
cuplas — p arejas— x, y, en clases de clases, definiéndose cada clase
como las cuplas que guardan cierta relación fija respecto a una tría :
da (a, b, c). Pero de clase a clase a, b, c, tam bién varían, y por lo
tanto son, en realidad, variables.
7 . E n M atem ática se acostum bra a considerar nuestras v a ria ­
bles como restringidas a ciertas clases: E n A ritm ética, por ejemplo,
se supone que representan números. Pero esto sólo significa que si
representan núm eros, satisfacen alguna fórm ula, es decir, la hipótesis
de que son núm eros im plica la fórm ula. E s esto entonces lo que en
realidad se afirm a, y en n uestra proposición ya no es más necesario
que nuestras variables sean núm eros: la im plicación vale igualm ente
cuando no lo son. Así, por ejemplo, la proposición <cc e y son núm eros
implica (x -f ?/)2 = x 2 + 2xy -f y 2» vale igualm ente si sustituim os x
e y por Sócrates y P lató n (l): tan to la hipótesis como la consecuencia
serán falsas en este caso, pero la implicación aun será verdadera.
Así, en cualquier proposición de M atem ática pura, una vez estable­
cida com pletam ente, las variables tienen un campo absolutam ente no
restringido: cualquier entidad concebible puede su stitu ir a cualquiera
de nuestras variables sin alterar la verdad de n uestra proposición.
8. A hora podemos entender por qué las constantes de la M a­
tem ática deben ser constantes lógicas en el sentido definido a n te rio r­
mente. E l proceso de transform ar las constantes de u n a proposición
en variables conduce a lo que se llam a una generalización y aos da,
como si así fuese realm ente, la esencia formal de u n a proposición.
La M atem ática se interesa exclusivam ente por tipos de proposiciones,
si se form ula una proposición p que sólo contiene constantes, e im a­
ginamos que un cierto térm ino suyo lo sustituim os sucesivam ente
por otros, el resultado en general será a veces verdadero y a veces
falso. Así, por ejem plo, tenem os «Sócrates es un hombre»; aquí tra n s­
form amos Sócrates en una variable, y consideram os <¡x es un hombre».
(1)
E s necesario su p o n e r que la ad ició n y m u ltip lic ac ió n a ritm é tic a se
h allan d efin id as de ta l m odo (com o p u ed e h acerse fácilm en te) qu e las fó rm u las
an terio res c o n serv an su significado cu a n d o x e y no so n n ú m ero s.
32
B E R T R A N D RUS S E L L
Algunas hipótesis sobre x, por ejem plo, «x es griego», aseguran la
verdad de «x es un hombre»; en consecuencia «x es griego» im plica
«x es un hombre», lo que vale p a ra todos los valores de x. Pero esta
afirmación no pertenece a la M atem ática pura, porque depende do la
naturaleza particu lar do griego y hombre. Pero podemos cam biar
tam bién esto, y tendrem os: Si o y b son clases, y a se halla contenida
en b, entonces «x es un a» im plica «x es un 6». Aquí tenem os por fin
una proposición de M atem ática p u ra, que contiene tres variables y
l<os constantes clase, contenida en, y las involucradas en la noción de
implicaciones form ales con variables. M ientras cualquier térm ino de
n uestra proposición pueda transform arse en variable, ella podrá ser
generalizada; y m ientras ello 6ea posible, es un deber de la M atem á­
tica el hacerlo. Si existen varias cadenas deductivas que sólo difieren
en el significado de los símbolos, de modo que proposiciones sim bólica­
m ente idénticas resultan susceptibles de varias interpretaciones, la
verdadera senda m atem ática consiste en form ar la clase de significados
que se pueden a trib u ir a los térm inos, y en afirm ar que la fórm ula en
cuestión se deduce de la hipótesis de que los símbolos pertenecen a la
clase en cuestión. De este modo, los símbolos que representan constan­
tes se tran sfo rm an en variables, y se sustituyen nuevas constantes,
form adas por clases a las que pertenecen las antiguas constantes.
Casos de ta l generalización son ta n frecuentes que se presentarán
muchos a todo m atem ático, y se darán citas innum erables en el p re ­
sente trabajo. Siem pre que dos conjuntos de térm inos tengan relacio­
nes m utuas del mismo tipo, se podrá aplicar a am bos la m ism a form a
de deducción. P o r ejem plo, las relaciones m utuas de puntos en un
plano euclidiano son del mismo tipo que las correspondientes a los
núm eros complejos; por lo ta n to , la G eom etría plana, considerada
como una ram a de la M atem ática pura, no tiene por qué decidir si
sus variables son puntos o núm eros complejos o algún otro conjunto
de entidades que tienen el mismo tipo de relaciones m utuas. H ablando
en general, debem os tra b a ja r en to d a ram a de la M atem ática con cual­
quier clase de entidades cuyas relaciones m utuas sean de un tipo es­
pecífico; así, la clase, al igual que el térm ino p articu lar considerado,
se transform a en u n a variable, y las únicas constantes verdaderas son
los tipos de relaciones y lo que ellas involucran. A hora bien, un tipo
de relación significa, en esta discusión, una clase de relaciones carac­
terizada por la identidad form al, m encionada anteriorm ente, de las de­
ducciones posibles respecto a los varios m iem bros de la clase; y por
lo ta n to un tip o de relaciones, como se verá claram ente de ahora en
adelante, si es que y a no es evidente, es siem pre u n a clase definible
en función de constantes lógicas (x). P o r lo ta n to podem os definir un
(J) B iu n ív o co , p lu riu n ív o c o , tra n s itiv o , sim étric o , son ejem plos de tip o s
de relaciones a las q u e nos referirem o s a m en u d o .
LOS PRI NCI PI OS DE L A M A T E M A T I C A
33
tipo de relaciones como u n a clase de relaciones definida por alguna
propiedad definible solam ente en función de constantes lógicas.
9 . Así la M atem ática pura no debe contener indefinibles, excepto
las constantes lógicas, y en consecuencia ni prem isas ni proposiciones
indem ostrables salvo las que se refieren exclusivam ente a las constan­
tes lógicas y a las variables. Es precisam ente esto lo que distingue la
M atem ática p u ra de la aplicada. E n M atem ática aplicada los resu lta­
dos, respecto a una variable que la M atem ática pura dem ostrara se
deducen de alguna hipótesis, se afirm an realm ente de cierta constante
que satisface la hipótesis en cuestión. Los térm inos que eran variables
se transform an en constantes, y siem pre se necesita una nueva p re­
misa, a saber: esta entidad p articu lar satisface la hipótesis en cuestión.
Así, por ejemplo, la G eom etría euclidiana, como ram a de la M atem á­
tica pura, está form ada enteram ente por proposiciones que contienen
la hipótesis «S es un espacio euclidiano». Si agregamos: «El espacio
que existe es euclidiano», esto nos perm ite asegurar acerca del espacio
existente las consecuencias de- todas las hipótesis que constituyen la
Geom etría euclidiana, en que ahora se reem plaza
por la constante
espacio real. Pero con este paso vamos de la M atem ática pura a la
aplicada.
10. La conexión de la M atem ática con la Lógica, de acuerdo a
lo dicho anteriorm ente, es excesivam ente estrecha. El hecho de que
todas las constantes m atem áticas son constantes lógicas, y de que todas
las prem isas de la M atem ática se hallan relacionadas con ellas, da, creo,
la form ulación precisa de lo que los íilósofos querían decir al asegurar
que la M atem ática es a priori. El hecho es que, una vez que ha sido
aceptado el a p a ra to lógico, se deduce necesariam ente toda la M atem á­
tica. Las mismas constantes lógicas deben definirse solam ente por en u ­
m eración, porque son ta n fundam entales que todas las propiedades
por las cuales debe definirse su clase presuponen algunos térm inos de
la clase. Pero, prácticam ente, el m étodo p ara descubrir las constantes
lógicas consiste en el análisis de la Lógica simbólica, que será el objeto
de los próxim os capítulos. La distinción entre M atem ática y Lógica
es m uy a rb itraria, pero si se desea una diferencia, debe form ularse
del modo siguiente: L a Lógica está form ada por las prem isas de la
M atem ática, ju n to con todas las proposiciones que se refieren exclusi­
vam ente a las constantes lógicas y a las variables, pero que no cum ­
plen la definición anterior de M atem ática (§ 1). L a M atem ática con­
siste en todas las consecuencias de las prem isas anteriores que afirm an
implicaciones form ales que contienen variables, ju n to a aquellas de
las prem isas m ism as que presentan estos rasgos. Así, algunas de las
premisas de la M atem ática, por ejem plo, el principio del silogismo,
«si p im plica q y q im plica r )( entonces p im plica r», pertenecerán a la
M atem ática, m ientras que otras, tales como «la im plicación es una
relación» pertenecerán a la Lógica, pero no a la M atem ática. Mas con
L o8
p r in c ip io s
de
l
»
M a t e m á t i c a .— 8
S4
B E R T R A N D RUS SE L L
el fin de adherirnos al uso común debem os identificar la M atem ática
con la Lógica, y definir am bas como la clase de las proposiciones que
contienen solam ente variables y constantes lógicas; pero el respeto por
la tradición me im pulsa más bien a adherirm e a la distinción anterior,
aunque reconociendo que ciertas proposiciones pertenecen a am bas
ciencias.
De lo dicho h asta ahora, el lector podrá apreciar que el tra b a jo
presente debe cum plir con dos fines: prim ero, dem ostrar que toda la
M atem ática se deduce de la Lógica sim bólica, y segundo, descubrir,
m ientras ello sea posible, cuáles son los principios de la Lógica misma.
El prim ero de estos fines será tem a para las partes siguientes, m ien­
tra s que el segundo pertenece a la p a rte I. Y, en prim er lugar, como
prelim inar a un análisis crítico, será necesario dar un bosquejo de
L ógica sim bólica considerada sim plem ente como una ram a de la Ma­
tem ática. É ste será el tem a del capítulo sigu iente.
CAPÍTULO n
LÓGICA SIMBÓLICA
11.
La Lógica sim bólica o f o rm a l— usaré estos térm inos como
sinónimos— es el estudio do los diferentes tipos generales de deduc­
ción. La palabra simbólica designa el sujeto por una característica
accidental, pues el empleo de símbolos m atem áticos, aquí como en
cualquier o tra parte, es sim plem ente una com odidad teóricam ente sin
im portancia. El silogismo, bajo todos sus aspectos, pertenece a la L ó­
gica sim bólica, y constituiría todo su objeto si to d a deducción fuera
silogística, como lo supone la tradición escolástica. E s por el reconoci­
m iento de inferencias asilogísticas por lo que la Lógica sim bólica m o­
derna, desde Leibniz en adelante, ha derivado el camino p ara progre­
sar. Desde la publicación de las Leyes del pensamiento, de Boole ( 1854 ),
se ha investigado el tem a con cierta intensidad, y se ha logrado un
desarrollo técnico m uy grande ('). Sin em bargo el progreso logrado no
tuvo casi utilidad alguna p ara la Lógica ni p ara ninguna o tra ram a
de la M atem ática, h asta que fue transform ado por los nuevos m étodos
del profesor Peano (2). La Lógica sim bólica no sólo ha llegado a ser
absolutam ente esencial p ara todo lógico filosófico, sino tam bién neceT
saria para la comprensión general de la M atem ática, y aun p ara lá
práctica con éxito de ciertas ram as de la M atem ática. Lo útil que
resulta en la práctica sólo puede ser juzgado por aquellos que han;
sentido el aum ento de poder derivado de su adquisición; sus funciones
teóricas serán expuestas brevem ente en el capítulo presente (3).
(‘) D esde to d o p u n to de v is ta se h a lla rá la n o tic ia m ás c o m p le ta d e los
m étodos d iferen tes al de P ean o en los tre s v o lú m en es de S ch ró d er, Vorle&unger
über die Algebra der Logik, L eipzig, 1890, 1891, 1895.
(a) V éase Formulaire de Mathemaíiques, T u rín , 1895, con ediciones s u b ­
siguientes en años p osteriores; ta m b ié n Revue de Mathémaliques, v o l. V II,
núm ero 1 (1900). L as ediciones del Formulaire se rá n c ita d a s com o F . 1895, y
así su c esiv a m e n te, la Reime de Malhématvques, que fu era o rig in a ria m e n te la
Rivisla di Matematica, se rá c ita d a com o R. di M .
(8) E n lo que sigue, los puncos p rin cip ales se d eb e n al p ro feso r P ean o ,
excepto en lo que re sp e c ta a relaciones; a u n en los casos en q u e no c o m p a rto
b u s p u n to s de v ista , los p ro b lem as co n sid erad o s m e h a n sido su g erid o s p o r
sus tra b a jo s.
36
B E R T R A N D R US SE L L
12.
La Lógica sim bólica se halla esencialm ente relacionada con la
inferencia en general ('), y se distingue de las diferentes ram as especia­
les de la M atem ática principalm ente debido a su generalidad. Ni la
M atem ática ni la Lógica sim bólica estudiarán relaciones especiales
tales -como, por ejemplo, la prioridad tem poral, pero la M atem ática
tra b a ja rá explícitam ente con la clase de relaciones que poseen las
propiedades form ales de prioridad tem poral — propiedades que se
unen en la noción de continuidad (2)— . Y las propiedades formales de
una relación pueden definirse como aquellas que pueden expresarse
en función de constantes lógicas, o tam bién como las que, m ientras
se conservan, perm iten que varíe n uestra relación sin invalidar cualcjuier inferencia en la que dicha relación se considera bajo el aspecto
cíe una variable. Pero la Lógica simbólica, en el sentido más exacto
que se convenga, no investigará qué inferencias son posibles respecto
a relaciones continuas (es decir, relaciones que generen series conti­
nuas); esta investigación es del dominio de la M atem ática, pero es
aún dem asiado especial para la Lógica simbólica. Lo que la Lógica
simbólica investiga son las reglas generales por las que se form ulan
las inferencias, y sólo requiere una clasificación de relaciones o propo­
siciones m ientras estas reglas generales introducen nociones p a rticu ­
lares. Las nociones particulares que aparecen en las proposiciones de
la Lógica simbólica, y todas las otras definibles en función de estas
nociones, son las constantes lógicas. El núm ero de constantes lógicas
indefinibles no es grande; parecen ser de hecho, ocho o nueve. E stas
nociones solas form an el sujeto fundam ental de to d a la M atem ática:
en A ritm ética, Geom etría, o D inám ica racional nunca se presentan
otras, excepto las que se pueden definir en función de las ocho o nueve
originales. P a ra el estudio técnico de la Lógica sim bólica es conveniente
tom ar como indefinible singular la noción de im plicación formal, es
decir, de proposiciones tales como « e s u n hom bre im plica x es m ortal,
para todos los valores de x» — proposiciones cuyo tipo general es:
«y {x ) implica >\i{x) p ara todos los valorea de x», donde <p(x), ty(x),
son proposiciones p ara todos los valores de x — . El análisis de esta
noción de implicaoión form al pertenece a los principios del tem a, pero
no es necesario p ara su desarrollo formal. Adem ás de esta noción ne­
cesitam os como indefinibles las siguientes: Im plicación entre proposi­
ciones que no contienen variables, relación de un térm ino a una clase
de la que es m iem bro, la noción de tal que, la noción de relación, y ver­
dad. Por m edio de ellas pueden establecerse todas las proposiciones
de la Lógica simbólica.
'
(‘) P o d ría ig u a lm e n te d ecir d esde u n prin cip io q u e no hago d is tin c io ­
nes e n tre in feren c ia y d ed u cció n . Lo que se lla m a in d u cció n m e p arece
q u e es o d ed u cció n e n c u b ie rta o u n sim ple m é to d o p a r a fo rm u lar p re g u n ­
ta s p lausibles.
(’) V éase m óa a d e la n te , p a r te V, cap. X X X V I.
LOS PRINCI PIOS D E LA M A T E M A T I C A
37
13 .
El sujeto de la Lógica sim bólica está form ado por tres partes:
el cálculo de proposiciones, el cálculo de clases, y el cálculo de relacio­
nes. E n tre los dos prim eros existe, dentro de ciertos lím ites, un cierto
paralelism o, que se presenta del modo siguiente: E n cualquier ex­
presión sim bólica las letras pueden interpretarse como clases o como
proposiciones, y la relación de inclusión en un caso puede reem pla­
zarse por la de implicación form al en el otro. As!, por ejem plo, en el
principio del silogismo, si a, b, c son clases, y a se halla contenida
en b, b en c, entonces a se halla contenida en c; pero si a, 6, c son pro ­
posiciones, y a implica, b, b im plica c, entonces a im plica c. Se ha usado
m ucho esta dualidad, y en las últim as ediciones de su form ulario,
Peano parece haber sacrificado la precisión lógica para conservarla (').
Pero, en realidad, el cálculo de proposiciones difiere bajo muchos a s­
pectos del de clases. Consideremos, por ejemplo, el siguiente: «Si p,
q, r son proposiciones, y p implica q o r, entonces p im plica q o p im ­
plica r.» E sta proposición es verdadera, pero su correlativa es falsa,
a saber: «Si a, b, c son clases, y a se halla contenida en b o c, entonces
a se halla contenida en 6 o a se halla contenida en c.>i P or ejemplo,
«en el pueblo inglés todos son hom bres o mujeres, pero no todos son
hom bres ni todos mujeres». El hecho es que la dualidad vale para
proposiciones que aseguren que un térm ino variable pertenece a una
clase, es decir, proposiciones tales como «x es un hombre», siem pre
que la implicación involuntaria sea form al, es decir, válida para todos
los valores de x. Pero <u: es un hombre» no es en absoluto una propo­
sición, no siendo ni verdadera ni falsa; y no es con tales entidades que
deberemos tra b a ja r en el cálculo de proposiciones, sino con proposi­
ciones genuinas. P a ra continuar el ejemplo anterior: Es verdad que.
p ara todos los valores de x, «x es un hom bre o una mujer» im plica o
<ix es un hombre» o <u; es una mujer». Pero es falso que tx es un hom bre
o u n a mujer» implica fx es un hombre» para todos los valores de x, o
im plica «x es una mujer» para todos los valores de x. De este modo
la im plicación involucrada, que siem pre es una de las dos, no es for­
mal, ya que no vale p ara todos los valores de x, no siendo siem pre la
m ism a de las dos. La afinidad sim bólica de la Lógica proposicional
y de la Lógica de clases es, de hecho, algo oscura, y tenem oa que deci­
dir cuál de las dos será fundam ental. Mr. McCoil, en una serie im por­
ta n te de mem orias (2), defendió el punto de vista de que la implicación
(')
A cerca do los p u n to s en que la d u a lid a d falla, v éase S ch ró d er, op.
cit., vol. I I , lección 21.
(2)
C om p. «The C alculus of E q u iv a le n t S tatem en ta» , en Proceedings o) the
London Mathematical Society, vol. I X y volú m en es su b sig u ien te s; «Simbolic
R easoning», en M ind, en ero 1880, o c tu b re 1897 y enero 1900;» L a L o g iq u e Sym bolique e t sos A pplications*, en Bibliothéque du Congrís International de Philosophic, vol. I I I (P arís, 1901). De a q u í en ad e la n to c ita ré las co m u n icacio n es
del Congreso a n te rio r bajo el títu lo Congris.
B E R T R A N D R US S E L L
3S
y proposiciones son más fundam entales que la inclusión y clases; y en
esta opinión coincido con él. Pero no me parece que logre adecuada­
m ente la distinción entre proposiciones genuinas y las que contienen
una variable real: así, se ve obligado a hablar de proposiciones como
verdaderas a veces y otras falsas, lo que por supuesto es im posible p ara
una proposición genuina. Como la distinción involucrada reviste gran
im portancia, me ocuparé de ella antes de seguir adelante. U na p ro ­
posición, podemos decir, es cualquier cosa que es verdadera o que es
falsa. U na expresión tal como «x es un hombre» no es por lo tan to una
proposición, pues no es verdadera ni falsa. Si dam os a x cualquier
valor constante, sea el que fuere, la expresión se tran sfo rm a en una
proposición: es algo así como una form a esquem ática que representara
a cualquiera entre toda una clase de proposiciones. Y cuando decimos
ex es un hom bre im plica x es m ortal p ara todos los valores de xt, no
afirmamos una implicación singular, sino una clase de implicaciones;
tenem os ahora una proposición genuina en la que, au nque aparece
la letra x, no existe u n a variable real: la variable se halla absorbida
del mismo modo que la x bajo el signo de integral en una integral
definida, de modo que el resultado y a no es más función de x. Peano
distingue a una variable que aparece de este modo como ajxirentc,
ya que la proposición no depende de la variable; m ientras que en
«x es un hombre» existen diferentes proposiciones p ara diferentes v a ­
lores de la variable, y la variable es lo que Peano llam a real (').
H ablaré exclusivam ente de proposiciones en las que no exista variable
real: donde existan una o m ás variables reales, y p ara todos los valo­
res de las variables la expresión involucrada sea una proposición, lla­
m aré' a esa expresión ¡unción proposicional. E n mi opinión es más
fundam ental el estudio de las proposiciones genuinas que el de clases;
pero el estudio de las funciones proposicionales parece hallarse es­
trictam en te a la par con el de clases, y aun es apenas distinguible de
aquél. Peano, como McCoil, considera prim ero las proposiciones como
m ás fundam entales que las clases, pero en form a aún más definida
considera a las funciones proposicionales más que a las proposiciones.
Schroder se halla exento de esta crítica: su segundo volum en se refiere
a las proposiciones genuinas y señala sus diferencias form ales con las
clases.
A.
E l Cálculo preposicional
14.
El Cálculo proposicional se caracteriza por el hecho de que
todas sus proposiciones tienen como hipótesis y como consecuente la
afirmación de una im plicación m aterial. G eneralm ente la hipótesis es
de la form a «y> im plica pt>, etc., la que (§ 16) es equivalente a la afirm a(')
F . 1901, p ág . 2.
LOS P RI NCI PI OS D E L A M A T E M Á T I C A
39
ción de que las letras que figuran en el consecuente son proposiciones.
De este modo los consecuentes están form ados por funciones propo­
sicionales que son verdaderaa p a ra todas las proposiciones. E s im por­
tan te observar que, aunque las letras em pleadas son símbolos que
representan variables, y los consecuentes son verdaderos cuando las
variables reciben valores que son proposiciones, estos valores deben
ser proposiciones genuinas, no funciones proposicionales. La hipótesis
«p es una proposición» no se halla satisfecha si reem plazam os p por
«x es un hombre», [¡ero sí si colocamos «Sócrates es un hombre» o si
colocamos «x es un hom bre im plica x es m ortal para todos los valores
de x». P a ra abreviar, podemos decir que las proposiciones representa­
das en este cálculo por letras singulares son variables, pero no con­
tienen variables -— es decir, en el caso en que se satisface la hipótesis
de las proposiciones que afirm a el cálculo.
15 .
N uestro cálculo estudia la relación de implicación en tre pro­
posiciones. E sta relación debe ser distinguida de la relación de im pli­
cación formal, la que vale entre funciones proposicionales cuando la
una im plica la o tra para todos los valores de la variable. L a im plica­
ción formal se halla tam bién involucrada en este cálculo, pero no se
estudia explícitam ente: no consideram os funciones proposicionales en
general, sino sólo ciertas funciones proposicionales definidas que figu­
ran en las proposiciones de nuestro cálculo. Es un problem a difícil
el punto h asta el cual la im plicación form al es definible sim plem ente
en función de la implicación, o de la im plicación m aterial como puede
llamarse, y se discutirá en el capítulo I II . U n ejem plo servirá para
dem ostrar la indiferencia que existe entre las dos. L a qu in ta proposi­
ción de Euclides se deduce de la cuarta: si la c u arta es verdadera, lo
mismo Bucederá con la quinta, m ientras que si la q u in ta es falsa, lo
mismo sucederá con la cu arta. É ste es un caso de im plicación m aterial,
pues am bas proposiciones son absolutam ente constantes, no depen­
diendo en su significado de que se le asigne un valor a una variable.
Pero cada una de ellas establece una im plicación form al. L a*cuarta es­
tablece que si x e t/son triángulo que cum plen con ciertas condiciones,
entonces x e y son triángulos que cum plen con ciertas otras condicio­
nes, y esta im plicación vale p ara todos los valores de a: y de y; y la
quinta establece que si a; es un triángulo isósceles, x tiene iguales los
ángulos en la base. L a im plicación form al involucrada en cada una
de estas dos proposiciones es una cosa m uy diferente de la im plicación
m aterial que existe entre dos proposiciones como todos; se necesitan
ambas nociones en el Cálculo proposicional, pero es el estudio de la
implicación m aterial el que distingue especialm ente este tem a, porque
la implicación form al figura en el desarrollo de to d a la M atem ática.
E n los tra tad o s de Lógica, se acostum braba a confundir los dos
tipos de im plicación, y a m enudo a hallarse considerando realm ente la
especie form al cuando sólo la espeoie m aterial era aparentem ente
40
B E R T R A N D RUS SE L L
involucrada. P o r ejem plo, cuando se dice que «Sócrates es un hom bre,
por lo ta n to Sócrates es mortal», Sócrates es sentido como variable; es
un tipo de hum anidad, y uno siente que cualquier otro hom bre en su
lugar sería lo mismo. Si en vez de 'por lo tanto, que im plica la verdad
de hipótesis y consecuente, decimos «Sócrates es un hom bre implica
Sócrates es mortal», parece a prim era vista que podemos su stitu ir no
sólo otro hom bre, sino cualquier o tra entidad a rb itra ria en lugar de
Sócrates. Así, aunque lo que se establece explícitam ente en tal caso
es una implicación m aterial, lo que se quiere significar es una im plica­
ción formal; y se necesita algún esfuerzo para lim itar nuestra im agi­
nación a la implicación m aterial.
16.
U na definición de im plicación es com pletam ente imposible.
Si p implica q, entonces si p es verdadero, q es verdadero, es decir,
la verdad de p im plica la verdad de q\ tam bién si q es falso p es falso,
es decir, la falsedad de q implica la falsedad de p í1). De este modo
verdad y falsedad nos dan sim plem ente nuevas im plicaciones, no una
definición de implicación. Si p im plica q, entonces am bos son falsos o
ambos verdaderos, o p es falso y q verdadero; es im posible que q sea
falso y p verdadero, y es necesario que q sea verdadero o p falso (2).
De hecho, la aserción de que q es verdadero o p falso resulta ser eetrictam en te equivalente a «p im plica <7»; pero como la equivalencia significa
implicación m utua, esto deja to d av ía a la implicación como funda­
m ental, y no definible en función de la disyunción. P or o tra parte,
la disyunción es definible en función de la implicación, y lo veremos
brevem ente. Se deduce de la equivalencia anterior que de dos pro ­
posiciones cualesquiera debe haber una que im plique la otra, que las
proposiciones falsas im plican todas las proposiciones, y que las pro­
posiciones verdaderas son im plicadas por todas las proposiciones. Pero
estos resultados deben dem ostrarse; las prem isas de nuestro tem a se
refieren exclusivam ente a las reglas de la inferencia.
Debe observarse que, aunque la im plicación es indefinible, puede
definirse la proposición. T oda proposición se im plica a sí m ism a, y
todo lo que no sea proposición no im plica nada. E n consecuencia,
decir «p es una proposición» es equivalente a decir «p im plica p»; y
puede usarse esta equivalencia p a ra definir proposiciones. Como el
sentido m atem ático de definición es m uy diferente del corriente entre
filósofos, debe tenerse bien en cu enta que, en sentido m atem ático, se
halla definida u n a nueva función proposicional cuando se ha establecif1) Se rec o m ien d a al le cto r q u e o b se rv e que las im p licacio n es p rin cip ales
de estas proposiciones son form ales, es decir, «p im p lica q* im p lica ¡ormalmente
«la v e rd a d de p im p lica la v e rd a d de qt, m ie n tra s qu e las im p licacio n es subord in a d a s son m a te ria le s.
(5) P o d ría ta m b ié n estab lece r de u n a vez p o r to d a s q u e las a lte rn a tiv a s
de u n a d isy u n c ió n n u n c a se c o n sid erarán com o m u tu a m e n te e x c lu y e n tes a
m enos de que así ee d ig a de m odo exp reso ,
LOS P RI NCI PI OS D E LA M A T E M Á T I C A
41
do que es equivalente a (es decir, im plica y es im plicada por) una
función proposicional que o ha sido aceptada como indefinible o ha
sido definida en función de indefinibles. La definición de entidades
que no son funciones proposicionales se deduce de otras que lo son
de modos que serán explicados en conexión con las clases y relaciones.
17 . Por lo tan to , en el Cálculo proposicional exigimos la no exis­
tencia de indefinibles, salvo las dos especies de im plicación —recor­
dando, sin em bargo, que la im plicación form al es una noción com pleja
cuyo análisis queda por considerar— . Respecto a nuestros dos inde­
finibles requerim os ciertas proposiciones indem ostrables, que hasta
ahora no he podido reducir a menos de diez. Deben existir algunas
indem ostrables; y deben form ar p a rte del núm ero algunas preposicio­
nes, tales como el silogismo, ya que no es posible dem ostración alguna
sin ellas. Pero respecto a las demás, debe dudarse acerca de si son
indem ostrables o sim plem ente indem ostradas; y debe observarse que
el m étodo de suponer falso un axiom a, y deducir las consecuencias
de esta suposición, que se ha hallado adm irable en casos tales como
el de las paralelas, aquí no es universalm ente utilizable. Porque todos
nuestros axiom as son principios de deducción; y si son verdaderos, las
consecuencias que parecen deducirse por el uso de un principio opuesto
no se deducirán realm ente, de modo que los argum entos basados en
la suposición de la falsedad de un axiom a se hallan sujetos aquí a
errores especiales. Así, el núm ero de proposiciones indem ostrables
puede ser de posible reducción ulterior, y respecto a algunas de ellas
carezco de fundam entos p a ra considerarlas indem ostrables excepto en
que h a sta ahora han perm anecido indem ostradas.
18. Los diez axiom as son los siguientes: 1) Si p im plica q, entonces
p im plica q (*); en otras palabras, cualesquiera sean p y q , «p im plica q>>
es una proposición. 2) Si p im plica q, entonces p im plica p ; en otras
palabras, lo que im plica cualquier cosa es una proposición. 3) Si p
implica q, entonces q im plica q; en otras palabras, lo que es im plicado
por cualquier cosa es una proposición. 4 ), E n una im plicación puede
om itirse una hipótesis verdadera y afirmarse-el consecuente. É ste es un
principio de im posible form ulación sim bólica formal, y que ejemplifica
las lim itaciones esenciales del form alismo — punto sobre el que vol­
veré m ás adelante— . A ntes de continuar, es aconsejable definir la
afirmación conjunta de dos proposiciones, o lo que se llam a su p ro ­
ducto lógico. E s ta definición es enteram ente artificial, y sirve para
ilustrar la gran diferencia que existe en tre definiciones m atem áticas
y definiciones filosóficas. E s la siguiente: Si p im plica p, entonces,
si q im plica q, pq (el producto lógico de p y q) significa que si p im plica
que q im plica r, entonces r es verdadero. E n otras palabras, si p y q
_(') N ó tese que las im plicaciones in d ic a d a s p o r ai y entonces en estos
axiom as son form ales, m ie n tra s que las in d ic ad a s p o r im plica son m a te ria le s.
42
B E R T R A N D R USSELL
son proposiciones, su aserción co n ju n ta es equivalente a decir que es
verdadera to d a proposición ta l que la prim era im plica que la segunda
la implica. No podemos form ular, con corrección form al, n uestra de­
finición en esta form a m ás breve, porque la hipótesis «p y q son p ro ­
posiciones» va es el producto lógico de «p es una proposición» y «q es
una proposición». Ahora podemos form ular los seis principios fu n d a ­
m entales de inferencia, a cada uno de los cuales debe darse un nom bre,
debido a su im portancia; de ellos todos, salvo el últim o, se hallarán
en las notas de Peano acerca de este tem a. 5 ) Si p im plica p y q im ­
plica q, entonces pq implica p. É s ta recibe el nom bre de simplifica­
ción, y afirm a sim plem ente que la aserción conjunta de dos proposi­
ciones implica la aserción de la prim era de ellas. 6) Si p implica q y q
implica r, entonces p im plica r. É sta recibirá el nom bre de silogismo.
7 ) Si q implica q y r implica r, y si p im plica que q im plica r, entonces
]>q implica r. É ste es el principio de importación. E n la hipótesis ten e ­
mos el producto de tres proposiciones; pero esto, por supuesto, puede
definirse por medio del producto de dos. El principio establece que
si p implica que q im plica r, entonces r se deduce de la afirmación
conjunta de p y q. P or ejemplo: «Si hablo a tal persona, entonces, si
está en su casa, me recibirá», implica: «Si llamo a tal persona y si está
en su casa, me recibirá.» 8) Si p im plica p y q im plica q, entonces, si
]x¡ im plica r, p im plica que q im plica r. É ste es recíproco del principio
precedente y recibe el nom bre de exportación ('). El ejem plo anterior
invertido servirá p ara ilu strar este principio. 9 ) Si p im plica q y p
implica r, entonces p im plica qr: en otras palabras, una proposición
que implica a cada una de dos proposiciones, las im plica a am bas.
E ste se llam a principio de composición. 10) Si p im plica p y q im plica
q, entonces «'p im plica q’ im plica p » im plica p. É ste se llam a principio
de reducción; es menos conveniente que los principios anteriores, pero
es equivalente a m uchas proposiciones que son evidentes por sí m is­
mas. Lo prefiero a ellas porque, como sus anteriores, se halla explíci­
tam ente relacionado con la im plicación, y tiene el mism o tipo de ca­
rácter lógico que tienen aquéllos. Si recordam os que «p im plica q»
es equivalente a «q o no-p», podem os convencem os fácilm ente de que
el principio an terio r es verdadero; porque «'p im plica q’ im plica p»
es equivalente a «p o la negación de 'q o no-p’», es decir, a «p o 'p y
no-q’», es decir a p. Pero este modo de persuadim os de que el p rin ­
cipio de reducción es verdadero com prende muchos principios lógicos
que aun no han sido dem ostrados, y que no pueden dem ostrarse ex­
cepto por reducción o algo equivalente. E l principio es especialm ente
útil en relación con la negación. Sin su ayuda, por m edio de los nueve
(!) 7) y 8) (según creo) n o p u ed e n d ed u cirse de la d efin ició n de p ro d u c to
lógico, p o rq u e se n e c e sita n p a ra p a s a r de «Si p es u n a p ro p o sició n , en to n ce s
*g es u n a p ro p o sició n ’ im p lica etc.» a «Si p y q son pro p o sicio n es, en to n ces eto,*
LOS PRI NCI PI OS D E L A M A T E M Á T I C A
43
prim eros principios, podemos dem ostrar la ley de contradicción; pode­
mos dem ostrar, si p y 7 son proposiciones, que p im plica no-no-p;
que «p implica no-<jn es equivalente a «7 implica no-p» y a no-pq\
que <'p im plica 7» im plica «no-q implica no-;;»; que p im plica que
no-p im plica p; que no-p es equivalente a «p implica no-p»; y que
«p im plica no-qt es equivalente a «no-no-p im plica no-q». Pero no
podemos dem ostrar sin la reducción o algo equivalente (hasta el punto
que me ha sido posible investigar) que p o no-p deben ser verdaderos
(la ley del tercero excluido); que cada proposición es equivalente a la
negación de alguna o tra proposición; que no-no-;; im plica p; que
«no-? im plica no-p» implica «p implica 7»; que «no-p im plica p» im pli­
ca p, o que «p implica 7» im plica «7 o no-;;». Cada una de estas hipótesis
es equivalente al principio de reducción y puede sustituirle, si lo p re­
ferimos. Algunas de ellas — principalm ente el tercero excluido y la
doble negación— parecen dotadas de una evidencia m ucho mayor.
Pero cuando hayam os visto cómo definir la disyunción y la negación
en función de la implicación, veremos que se desvanece la supuesta
simplicidad y que en cualquier caso y para los fines form ales la re­
ducción es más simple que cualquiera de las otras a lte rn a tiv a s po­
sibles. E s ésta la razón que me obliga a m antenerla entre mis prem isas,
prefiriéndola a proposiciones más comunes y más superficialm ente
evidentes.
19.
La disyunción o sum a lógica se define del modo siguiente:
«p o 7» es equivalente a «'p im plica 7’ implica 7». Fácil resulta ver la
equivalencia recordando que una proposición falsa im plica a toda
otra; porque si 7; es falsa, p implica 7, y por lo tan to , si «p im plica 7»
implica 7, se deduce que 7 es verdadera. Pero este argum ento usa de
nuevo principios que no han sido dem ostrados todavía, y sólo se
menciona con el único fin de aclarar por anticipado la definición.
Partiendo de esta definición, y con ayuda de la reducción, podemos
dem ostrar que «p o 7» es equivalente a «7 o p». O tra definición equiva­
lente, que se puede deducir de la anterior, es: «Cualquier proposición
implicada por p e im plicada por 7 es verdadera», o, en otras palabras,
«'p im plica s’ y 'q im plica s’ ju n tas im plican s, cualquiera sea su.
Dicho lo anterior procederem os a definir la negación: no-p es eq u iv a­
lente a la aserción de que p im plica todas las proposiciones, es decir,
de que «r implica r» im plica «p im plica r» cualquiera sea r (*). Ahora
P) El principio de que las proposiciones falsas im p lican to d a s laa p ro ­
posiciones resu elv e la p a ra d o ja lógica de L ew is Carrol! de M ind, N . S. n ú m . 11
(1934). L a afirm ación fo rm u la d a en esa p a ra d o ja es la do que, ei p, q y r son
proposiciones, y q im p lica r, m ie n tra s que p im p lica q im p lica n o-r, en to n ce s
p debe se r falsa, sobre la s u p u e s ta base de que tq im p lica r* y *q im p lic a no-r»
son in c o m p atib le s. P ero en v ir tu d de n u e s tra d efin ició n de n eg ació n , si q
fuera falsa v e n d ría n am b a s im plicaciones: las dos ju n ta s , en re a lid a d , c u a l­
quiera sea la proposición r, son e q u iv a le n te s a n o -q. P o r lo ta n to , la ú n ic a
44
B E R T R A N D RUS SE L L
podemos dem ostrar las leyes de contradicción y del tercero excluido
y doble negación, y establecer t-odas las propiedades formales de la
m ultiplicación y sum a lógicas —las leyes asociativa, conm utativa y
d istrib u tiv a— . E n consecuencia, la lógica de proposiciones está ahora
com pleta.
Los filósofos objetarán las definiciones anteriores de disyunción y
negación basándose en que lo que queremos decir con estas nociones es
algo m uy distinto al significado que les asignan las definiciones, y en
que las equivalencias establecidas en las definiciones son, en realidad,
proposiciones significativas y no simples indicaciones del modo en que
deben usarse los símbolos. Creo que tal objeción se halla bien fundada
si se invoca la consideración anterior como dando un análisis filosófico
verdadero del tem a. Pero cuando debe cumplirse con un propósito
puram ente formal, cualquier equivalencia en la que aparezca una
cierta noción de un lado, pero ninguna en el otro, servirá de definición.
Y la ventaja de tener ante nosotros un desarrollo estrictam ente formal
es la de que a p o rta los datos para el análisis filosófico en una forma
más definida que la posible en otro modo. P or lo tan to , la crítica del
procedim iento de la Lógica formal se pospondrá h asta que se dé
fin a estas breves consideraciones.
B.
E l Cálculo de clases
20.
En este Cálculo existen m uchas menos proposiciones p rim iti­
vas nuevas — en realidad, dos parecen ser suficientes— , pero existen
dificultades m ucho m ayores en el modo no simbólico de exponer las
ideas expresadas en nuestro simbolismo. M ientras sea posible se
pospondrán estas dificultades para los capítulos posteriores. M ientras
tan to tra ta ré de hacer una exposición tan directa y simple como sea
posible.
El Cálculo de clases puede desarrollarse considerando como funda­
menta] la noción de clase, y tam bién la'relación de un m iembro de
una clase a su clase. El profesor Peano ad o p ta este m étodo, y es quizá
filosóficamente más correcto que un m étodo d istinto que, debido a fi­
nes formales, he hallado más conveniente. E n el mismo tom am os
aún como fundam ental la relación (que siguiendo a Peano indicaré
con e) de un individuo con la clase a la que pertenece, es decir, la
relación de Sócrates a la raza hum ana, que se halla expresada diciendo
que Sócrates es un hom bre. Adem ás de esto, tom am os como indefi­
nibles la noción de u n a función proposicional y la noción de tal que.
inferencia ju s tific a d a p o r leus p rem isas de Lew is C arroll os la de que si p es
v e rd a d e ra , g d eb e ser falsa, es decir, q u e p im p lica no-q; y éeta es la co nclusión
que el se n tid o co m ú n h a b ría d ed u c id o en el caso que so d isc u te .
LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M A T I C A
45
Son estas tres nociones las que caracterizan el Cálculo de clases.
Debemos decir algo p ara explicar cada una de ellas.
21 . La insistencia en la distinción entre e y la relación de todo y
parte entre clases se debe a Peano y reviste una im portancia m uy
grande p a ra todo el desarrollo técnico y para la to ta lid a d de las
aplicaciones a la M atem ática. E n la doctrina escolástica del silogismo,
y en to d a la Lógica sim bólica anterior, se confunden las dos relaciones,
excepto en el tra b a jo de Frege (1). La distinción es la m ism a que la
que existe entre la relación del individuo con la especie y la de la es­
pecie con el género, entro la relación de Sócrates con la clase de los
griegos y la relación de los griegos con los hom bres. Am pliaré ia n a ­
turaleza filosófica de esta distinción cuando me refiera críticam ente
a la naturaleza de las clases; por el m om ento será suficiente señalar
que la relación del todo a la parte es tran sitiv a, m ientras que con e no
sucede lo mismo; podemos decir: Sócrates es 1111 hom bre, y los hom bres
son una clase, pero no Sócrates es una clase. Debe observarse que la
clase debe distinguirse del concepto-clase o predicado por medio del
cual debe definirse: así, los hom bres son una clase, m ientras que
hombre es un concepto-clase. La relación e debe considerarse válida
entre Sócrates y los hom bres considerados colectivam ente, no entre
Sócrates y hom bre. E n el capítulo VI volveré a tra ta r este punto.
Peano sostiene que todas las funciones proposicionales que contienen
una sola variable son susceptibles de expresarse bajo la form a «.r es
un a», donde a es una clase constante; pero hallarem os razones para
dudar de este punto de vista.
22. L a noción fundam ental siguiente es la de función proposicio­
nal. A unque en el Cálculo de proposiciones figuran funciones proposi­
cionales, se define cada una de ellas a m edida que aparece, de modo
que no es indispensable la noción general. Pero en el Cálculo de clases
es necesario introducir explícitam ente la noción general. Peano no la
necesita, debido a su hipótesis de que la form a nx es un a» es ge/ieral
para una variable, y de que pueden usarse extensiones de la misma
forma p ara cualquier núm ero de variables. Pero debemos e v ita r esta
hipótesis, y por lo tan to , introducir la noción de función proposicional.
Podemos explicar (pero no definir) esta noción del modo siguiente:
cpx es una función proposicional si, p ara todo valor de x, y x es una
proposición, determ inada cuando so da x. Así <cc es un hombre» es
una función proposicional. E n cualquier proposición, por com plicada
que sea, que no contenga variables reales, podemos im aginar uno de
los térm inos, que no sea verbo ni adjetivo, reem plazado por otros
términos: en vez de «Sócrates es un hombre» podemos escribir «Pla­
tón es un hombre», «el núm ero 2 es un hombre», y así sucesivam en­
te V éase sus Begrijfschrift, H alle, 1879, y Orundgesetze der Arithmetik,
Jen a, 1893, pág. 2.
46
B E R T R A N D R US SE L L
te (1). De este modo obtenem os proposiciones sucesivas coincidentes
todas excepto en lo que se refiere al térm ino variable. Indicando
con x el térm ino variable, <tr es un hombre» expresa el tipo de todas
tales proposiciones. E n general, u n a función proposicional será v e rd a ­
dera para algunos valores de la variable y falsa p ara otros. Los casos
en que es verdadera p ara todos los valores de la variable, h a sta el
punto en que los conozco, expresan en su totalidad implicaciones, tales
como <er es un hom bre im plica x es mortal»; pero no conozco razón a
priori para afirm ar que no existan otras funciones preposicionales
verdaderas para todos los valores de la variable.
23 . E sto me lleva a la noción de tal que. Los valores de x que
hacen verdadera una función proposicional ?x son como las raíces
de una ecuación — en realidad, esto últim o es un cono p articular do
lo anterior— y podemos considerar todos los valores de x que son
tales que ox es verdadera. E n general, estos valores form an una cAase,
y de hecho una clase puede definirse como todos los térm inos que
satisfagan alguna función proposicional. Sin em bargo existen ciertas
lim itaciones necesarias en esta afirm ación, aunque no he podido
descubrir precisam ente cuáles son. E sto se debe a cierta contradic­
ción que discutiré am pliam ente m ás adelante (cap. X). Las razones
para definir la clase de este modo son las de que necesitam os consi­
derar la clase vacía, lo que nos im pide definir la clase como un térm ino
respecto al cual algún otro guarda la relación e, y que querem os po­
der definir clases por medio de relaciones, es decir: todos los térm inos
que guardan con otros térm inos la relación R deben form ar una clase,
y tales casos requieren funciones proposicionales algo complicadas.
24 . R especto a estas tres nociones fundam entales necesitam os
dos proposiciones prim itivas. La prim era afirm a que si x pertenece a
la clase de térm inos que satisfacen una función proposicional <px, en­
tonces ox es verdadera. L a segunda afirm a que si <px y <\jx son propo­
siciones equivalentes para todos los valores de x, entonces la clase de
x tales que <?x es verdadera es idéntica a la clase de x tales que tyx es
verdadera. L a identidad, que aquí figura, se define del modo siguiente:
x es idéntico & y, si y pertenece a to d a clase a la que pertenece x; en
otras palabras, si <cr es un u » im plica «y es un u» p a ra todos los valores
de u. Respecto a la proposición prim itiv a en sí, debo tenerse en cuenta
que decide en favor de un punto de vista extensivo de las clases.
Dos conceptos-clase no necesitan ser idénticos cuando lo son sus ex­
tensiones: hombre y bípedo im plum e no son idénticos en absoluto,
ni lo son primo par y entero entre 1 y 3 . É stos son conceptos-cXo&Q, y si
(1)
Los verb o s y a d je tiv o s que fig u ra n com o ta le s se d istin g u e n p o rq u e,
si se to m a n com o v ariab les, la fu n ció n re s u lta n te es sólo u n a p roposición
p a ra algunos v alores de la v aria b le, es decir, p a r a los q ue so n v erb o s o a d je ­
tiv o s re sp e c tiv a m e n te . V éase ca p . V I.
LOS PRI NCI PI OS D E LA M A T E M Á T I C A
47
nuestro axiom a debe conservar su valor, no debe ser de aquellos de
los que hablam os al referirnos a clases. Debemos considerar la unión
real de térm inos y no cualquier concepto que indique esa unión. E sto
es esencial para los fines m atem áticos. Consideremos, por ejem plo, el
problem a de cuántas combinaciones pueden form arse con un con­
junto dado de térm inos, tom ando cualquier núm ero cada vez, es decir,
cuántas clases se hallan contenidas en una clase dada. Si clases dis­
tintas pueden tener la m ism a extensión, el problem a resulta com ple­
tam ente indeterm inado. Y evidentem ente el uso común consideraría
una clone como determ inada cuando ae han dado todos sus térm inos.
Por lo tan to , la visión extensiva de las clases es, en cierto modo,
esencial para la Lógica sim bólica y p a ra la M atem ática, y su necesidad
so halla expresada 011 el axiom a anterior. Pero el axiom a mismo no
es utilizado si distinguim os la igualdad de clases, que se halla definida
como inclusión m utua, basándonos en la identidad de los individuos.
Form alm ente las dos son totalm en te distintas: la identidad se defino
como anteriorm ente, la igualdad de a y b se define por la equivalencia
de «x es un a* y «x es un 6» p ara todos los valores de x.
25 .
La m ayoría de las proposiciones del Cálculo de clases se dedu­
ce fácilm ente de acuerdo al Cálculo proposicional. E l producto lógico
o parte común de dos clases a y b es la clase de x tales que el producto
lógico de «x es un o» y <ce es un 6» es verdadero. E n form a sem ejante
definimos la sum a lógica de dos clases (a o b), y la negación de una
clase (no-a). Se introduce una nueva idea con el producto y sum a
lógica de una clase de clases. Si ¿ es una clase de clases, su producto
lógico es la clase de térm inos que pertenecen a cada una de las clases
de k, es decir, la clase de térm inos x tales que m es un k» implica
<
íx es un va p ara todos los valores de u. La sum a lógica es la clase que
está contenida en to d a clase en la que se halla contenida to d a clase de
la clase k, es decir, la clase de térm inos x tales que si «w es un h> implica
m está contenido en c» p a ra todos los valores de u, entonces, para^ todos
los valores de c, x es un c. Y decimos que una clase a se halla contenida
en una clase b cuando «z es un a» im plica «x es un 6» p a ra todos los
valores de x. De modo sem ejante al anterior podemos definir el pro ­
ducto y sum a de una clase de proposiciones. O tra noción m uy im por­
tan te es lo que se llam a la existencia de una clase — p alab ra que no
debe creerse que signifique lo que existencia en filosofía— . Se dice
que una clase existe cuando tiene por lo menos un térm ino. U na
definición formal es la siguiente: a es u n a clase existente cuando y
sólo cuando cualquier proposición es verdadera si <cr es un a» la im plica
para cualquier valor que demos a x. Debe entenderse que la proposi­
ción im plicada debe ser u n a proposición genuina, no u n a función
proposicional de x. U na clase, a existe cuando la sum a lógica de todas
las proposiciones de la form a «x es un a» es verdadera, es decir, cuando
no todas las tales proposiciones son falsas.
48
B E R T R A N D RUS SE L L
Es im p o rtan te entender claram ente el modo en que se obtienen las
proposiciones en el Cálculo de clases a p a rtir de las del Cálculo propo­
sicional. Consideremos, por ejem plo, el silogismo. Tenem os <¡p im pli­
ca qo y <<q im plica r¡> im plican «p impHca r». Coloquemos «x es un a»,
*_r es un 6», «x es un c», en vez de p, q, r, donde x debe tener algún
valor definitivo, pero no es necesario decidir cuál pueda ser ese valor.
Entonces encontrarem os que si, p a ra el valor de x en cuestión, x es
un a implica x es un 6, y x es un 6 im plica x es un c, entonces x es un a
implica x es un c. Como el valor de x carece de im portancia podemos
variarlo, y por lo tan to encontram os que hí a so halla contenido en
b, y b en c, entonces a se halla contenido en c. É ste es el silogismo-clase.
Pero al aplicar este proceso es necesario em plear el m áxim o do cui­
dado, deben evitarse com pletam ente los errores. R especto a esto será
instructivo considerar un punto sobre el que surgió una discusión entre
S chrodery Mr. McColl (')• Schroder sostiene que si p, q, r son proposi­
ciones, «jxj im plica r» es equivalente a la disyunción «p implica r o q
implica r». Mr. McColl adm ite que la disyunción im plica la otra, pero
niega la implicación recíproca. L a razón de esta divergencia es la de
que Schroder piensa en proposiciones e implicación m aterial; m ientras
que }>Lr. McColl piensa en funciones proposicionales e implicación
formal. Respecto a proposiciones, la verdad del principio puede h a ­
cerse fácilm ente evidente de acuerdo a las consideraciones siguientes.
Si 7x7 im plica r, entonces, si p o q es falsa, aquella de las dos que es
falsa im plica r, porque las proposiciones falsas im plican todas las
proposiciones. Pero si las dos son verdaderas, pq es verdadera, y por
lo ta n to lo es r, y en consecuencia p im plica r y q im plica r, porque
las proposiciones verdaderas son im plicadas por toda proposición.
De este modo, y en cualquier caso, por lo menos u n a en tre las propo­
siciones p y q debe im plicar r. (É sta no es una dem ostración, sino una
aclaración.) Pero Mr. McColl objeta: supongam os que p y q sean
contradictorias entre sí, y que r sea la proposición nula, entonces 7x7
implica r, pero ni p ni q im plican r. Aquí estam os trab ajan d o con
funciones proposicionales e im plicación form al. Se dice que una fu n ­
ción proposicional es nula cuando es falsa p a ra todos los valores de x;
y la clase de x que satisfacen la función se llam a clase vacía, siendo
en realidad u n a clase sin térm inos. Designarem os ta n to a la función
como a la clase, de acuerdo con Peano, con A. A hora bien, reem place­
mos r por A, p po r <px, y q por no-<px, donde <px es cualquier función
proposicional. E ntonces pq es falsa p ara todos los valores de x y por lo
tan to implica A. Pero en general no se presenta el caso de que tpx sea
siem pre falsa, ni de que no-<px sea siem pre falsa; por lo que ninguna
(:l) S ch ro d er, Algebra der ''Logic, vol. I I , p ág s. 258-9; M cColl, «Calculus
o f E q u iv a le n t S tate m e n ts» , q u in to a rtíc u lo , en Proc. Lond. Math. Soc., v o lu ­
m en X X V I I I , p ág . 182.
LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M Á T I C A
49
de las dos im plica siem pre a A. P or lo tan to , la fórm ula anterior sólo
puede in terp retarse acertadam ente en el Cálculo proposicional: en el
Cálculo de clases es falsa. E sto puede hacerse fácilm ente evidente de
acuerdo a las consideraciones siguientes: Sean yx, tyx, y,x . tres funcio­
nes proporcionales. E ntonces «yx • <¡>x implica y'_x», implica, p a ra todos
los valores de x, que y x im plica yx o <px im plica yx. Pero esto no
implica que y x im plique yx p ara todos los valores de x, o que <\ix im pli­
que yx p ara todos los valores de x. La disyunción es lo que llam aré
una disyunción variable, en contraposición de una constante: es decir,
en algunos casos es verdadera una a lte rn a tiv a y en otros la otra,
m ientras que en una disyunción constante existe una de las a lte rn a ­
tivas (aunque no se establece cuál) que es siem pre verdadera. Siempre
que se presenten disyunciones respecto a funciones proporcionales
sólo eran transform ables en afirmaciones en el Cálculo de clases en los
casos en que la disyunción sea constante. É ste es un p unto no sólo
im portante por sí mismo, sino instructivo en sus relaciones. Otro
modo de plan tear este tem a es el siguiente: En la proposición: Si
yx ■<\ix im plica yx, entonces sea que y x im plique yx o tp im plique yx,
la implicación indicada por si y entonces es form al, m ientras que las
implicaciones subordinadas son m ateriales; en consecuencia, las im ­
plicaciones subordinadas no conducen a la inclusión de una clase en
otra, lo que sólo resulta de la implicación formal.
Las leyes formales de adición, m ultiplicación, tautología y nega­
ción son las mismas respecto a clases y proposiciones. La ley de
tautología establece que no se produce cambio cuando una clase o
proposición se sum a o m ultiplica por sí misma. U na nueva caracterís­
tica del Cálculo de clases es la clase vacía o clase que no tiene térm i­
nos. É s ta puede definirse como la clase de térm inos que pertenecen a
toda clase, como la clase que no existe (en el sentido definido an terio r­
m ente), como la clase que se halla contenida en to d a clase, como la
clase A que es tal que la función preposicional «x es un A» es falsa
para todos los valores de x, o como la clase de x que satisfacen cual­
quier función proposicional y x que es falsa'para todos los valores de x.
Se dem uestra fácilm ente que todas estas definiciones son equivalentes.
26 .
E n relación con la teoría de la identidad surgen algunos
puntos im portantes. Ya hemos definido dos térm inos como idénticos
cuando el segundo pertenece a to d a clase a la que pertenece el prim ero.
Es fácil de dem ostrar que esta definición es sim étrica, y que la id en ti­
dad es tra n sitiv a y reflexiva (es decir, si x e y, y y z, son idénticos,
tam bién lo son x y z; cualquiera sea x, x es idéntico a x). La diversidad
se define como la negación de la identidad. Si x es cualquier térm ino, es
necesario distinguir en tre £ y la clase cuyo único m iem bro es x: ésta
puede definirse como la clase de térm inos que son idénticos a x. La
necesidad de esta d istin ció n ,'q u e resulta originariam ente de conside­
raciones puram ente form ales, fue descubierta por Peano; volveré
Loa
pr in c ipio s
de
la
M a t e m á t i c a ___ 4
B E R T R A N D R US S E L L
50
sobre ella m ás adelante. E n consecuencia, la clase de prim os pares
no debe identificarse con el núm ero 2, y la clase de núm eros que son
sum a de 1 y 2 no debe identificarse con 3 . E n qué consiste la diferen­
cia, hablando filosóficamente, es un punto que será considerado en el
capítulo VI.
C.
E l Cálculo de relaciones
27 .
E l Cálculo de relaciones es un tem a m ás m oderno que el
Cálculo de clases. A unque se pueden encontrar algunas sugestiones
en De Morgan (1), en realidad el prim ero que lo desarrolló fue C. S. Peirce (2). Un análisis cuidadoso del razonam iento m atem ático m ostrará
(como veremos en el curso del presente trabajo) que, en realidad, lo
que se discute son los tipos de relaciones, aunque una m ala fraseolo­
gía pueda ocultarlo; en consecuencia, la Lógica de relaciones tiene una
relación más inm ediata con la M atem ática que la de clases o propo­
siciones, y cualquier expresión teóricam ente correcta y adecuada
de las verdades m atem áticas sólo es posible por sus medios. Peirce
y Schróder han com prendido la gran im portancia de la m ateria, pero
desgraciadam ente sus m étodos no se basan en los de Peano, sino en
los de la an tig u a Lógica sim bólica derivada (con modificaciones) de
Boole; son tan incómodos y difíciles que la m ayoría de las aplicaciones
que deben llevarse a cabo son prácticam ente irrealizables. Adem ás
de los defectos de la an tig u a Lógica sim bólica, su m étodo adolece
técnicam ente (no tra to ahora de discutir si de modo filosófico o no)
por el hecho de que considera esencialm ente una relación como una
clase de cuplas — parejas— , necesitando por ello fórm ulas elaboradas
de sum a para tra b a ja r con relaciones singulares. E ste punto de vista
proviene, según creo, de un error filosófico probablem ente inconsciente:
siem pre se ha acostum brado a suponer las proposiciones relaciónales
menos últim as que las proposiciones-clase (o proposiciones de sujetopredicado, con las que se confunden generalm ente las proposicionesclase), y esto h a conducido al deseo de tra ta r las relaciones como
una especie de clases. De cualquier modo que sea, ha sido cierta­
m ente una opinión filosófica opuesta que he tom ado de mi amigo
Mr. G. E . Moore (3), la que m e h a conducido a un diferente tr a t a ­
m iento de las relaciones. E ste procedim iento, tenga o no más correc(x) Camb. P hil. Trans., vol. X , «On th e S yllogism , N° IV , a n d on th e
L ogic o f R elations*. C om p. ibld., vol. I X , p&g. 104; ta m b ié n su Formal Logic
(L ondon, 1847), p á g . 50.
(s) V éanse esp ec ialm en te sus a rtíc u lo s a c erca del Á lg eb ra de la L ó g i­
ca,, en Am-erican Journal of Mathematics, vols. I I I y V II . E l te m a se h a lla
tr a ta d o a m p lia m e n te p o r los m é to d o s de C. S. P eirce en SchrC der, op. cit.,
v o lu m e n I I I .
(*) V éase su a rtíc u lo «On th e N a tu r e o f Ju d g e m e n t» , en M ind, N . S. N . 30.
2 GS 5 2 9
LOS P RI NCI PI OS D E LA M A T E M A T I C A
51
ción filosófica, es verdaderam ente m ucho más conveniente y pode­
roso como medio de descubrim ientos en la M atem ática real í1).
28 .
Si i? es una relación, expresam os con x R y la función proposi­
cional «x guarda la relación R con y». Necesitam os u n a proposición
prim itiva (es decir, indem ostrable) con el fin de que x R y sea una pro­
posición p ara todos los valores de x e y. E ntonces debemos considerar
las clases siguientes: La clase de térm inos que guardan la relación R
con algún térm ino, que llam aré la clase de referentes respecto a R\
y la clase de térm inos respecto a los cuales algún térm ino guarda la
relación R, que llam aré la clase de relatos. Así, si R es la patern id ad , los
referentes serán los padres y los relatos los hijos. Debemos considerar
tam bién las clases correspondientes respecto a térm inos particulares o
clases de térm inos; tales y tales hijos, o los hijos de londinenses, sirven
de ejemplos.
La visión intensional de relaciones aquí defendida conduce al resul­
tado de que dos relaciones pueden tener la misma extensión sin ser
idénticas. Se dice que dos relaciones R , R' son iguales o equivalentes,
o que tienen la misma extensión, cuando x R y implica y es im plicada
por x R ' y p ara todos los valores de x e y. Pero aquí no es necesaria
una proposición prim itiva, como lo era en el caso de clases, para
obtener una relación que sea determ inada cuando lo sea la extensión.
Podemos reem plazar una relación R por la sum a o producto lógicos
de la clase de relaciones equivalentes a R, es decir, por la aserción
de alguna o de todas las tales relaciones; y esto es idéntico a la sum a
o producto lógicos de la clase de relaciones equivalentes a R', si R ' es
equivalente a R. Aquí usamos la identidad de dos clases, que se deduce
de la proposición prim itiva respecto a la identidad de clases, para
establecer la identidad de dos relaciones —procedim iento que no
puede aplicarse a las clases mismas sin e n tra r en círculo vicioso.
U na proposición prim itiva respecto a relaciones es la de que cada
relación tiene una recíproca; es decir, que si R es cualquier relación,
existe una relación R ' tal que x R y es equivalente a y R ’x p a ra todos los
valores de x e y. Siguiendo a Schroder indicaré la recíproca de R con
É. M ayor y menor, antes y después, que im plica a e im plicado por,
son relaciones m utu am en te recíprocas. Con algunas relaciones, tales
como la identidad, diversidad, igualdad, desigualdad, la recíproca es
la m ism a que la relación original: tales relaciones se llam an simétricas.
Cuando la recíproca es incom patible con la relación original, como en
casos tales como m ayor y m enor, llamo asimétrica a la relación; en
casos interm edios, no-simétrica.
E n este punto, la m ás im p o rtan te de las proposiciones prim itivas
es la de que entre dos térm inos cualesquiera existe u n a relación no
válida en tre otros dos térm inos cualesquiera. E sto es análogo al prin(J)
V éanse m is a rtíc u lo s en R. di M ., vol. V II, n ú m s. 2 y siga.
52
BERTRAND RUSSELL
cipio de que cualquier térm ino es el único m iem bro de alguna clase;
pero m ientras esto no pueda dem ostrarse, debido a la visión extensional de clases, este principio, h a sta donde puedo apreciarlo, no es p o ­
sible de dem ostración. E n este sentido, la visión extensional de rela­
ciones presenta una ventaja; pero la v e n ta ja me parece equilibrada
por otras consideraciones. Cuando se consideran las relaciones intensionalm ente, puede parecer posible d u d ar acerca de si el principio
anterior es verdadero en absoluto. Sin em bargo, se adm itirá general­
m ente que, en tre dos térm inos cualesquiera, es verdadera alguna
función proposicional que no lo es para un cierto p ar de térm inos
dados diferentes. Si se adm ite esto, el principio anterior se deduce
considerando el producto lógico de todas las relaciones que existen
entre nuestro prim er p ar de térm inos. En consecuencia, el principio
anterior puede ser reem plazado por el siguiente, que le es equivalente:
Si x R y im plica x 'R y ', cualquiera sea R , m ientras R sea una relación,
entonces x y x ', y e y ' son respectivam ente idénticos. Pero este p rin ­
cipio introduce una dificultad lógica de la que h a sta ahora habíam os
estado exentos, a saber: la de u n a variable con un campo restringido;
pues a menos de que R sea u n a relación, x R y no será en absoluto una
proposición, verdadera o falsa, y por lo ta n to parecería que R no
puede tom ar todos los valores, sino solo tales que sean relaciones. Más
adelante volveré sobre la discusión de este punto.
29.
O tras hipótesis necesarias son las de que la negación de una
relación es u n a relación, y de que el producto lógico de una clase de
relaciones (es decir, la afirmación sim ultánea de todas ellas) es una
relación. El producto relativo de dos relaciones debe ser tam bién una
relación. El producto relativo de dos relaciones R, S , es la relación
que existe entre x y z, siem pre que exista un térm ino y con el que x
guarde la relación R y que guarde con 2 la relación S . Así, la relación
de un abuelo m aterno con su nieto es el producto relativo de padre y
m adre; el de una abuela p a te rn a con su nieto es el producto relativo
de m adre y padre; el de un abuelo y nieto es el producto relativo de
padre y padre. E n general, el producto relativo no es conm utativo,
tal como lo m uestran los ejem plos anteriores, y en general no obedece
a la ley de tautología. E l producto relativo es u n a noción que reviste
una im portancia m uy grande. Como no obedece la ley de tautología,
conduce a potencias de relaciones: el cuadrado de la relación de padre
e hijo es la relación de abuelo y nieto, y así sucesivam ente. Peirce y
Schróder consideran tam bién lo que llam an la sum a relativa de dos
relaciones R y S , que existe en tre x y z, cuando, siendo y cualquier
otro térm ino arbitrario, o x g u ard a con y la relación R, o y guarda
con z la relación S . É s ta es u n a noción com plicada que no he hallado
ocasión de em plear y que solo se introduce con el fin de conservar
la dualidad entre sum a y producto. E s ta dualidad ofrece un cierto
encanto técnico cuando se considera la m ateria como una ram a in ­
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
53
dependiente de la M atem ática; pero cuando se considera únicam ente
en relación con los principios de la M atem ática la dualidad en cuestión,
me parece desprovista de to d a im portancia filosófica.
30. La M atem ática necesita, según creo, sólo otras dos proposi­
ciones prim itivas: la una, que la implicación m aterial es una relación:
la otra, que e (la relación de un térm ino con la clase a la que pertenece)
es una relación (l ). A hora podemos desarrollar to d a la M atem ática sin
otras hipótesis o indefinibles. Merecen m encionarse ciertas proposi­
ciones en la Lógica de relaciones, pues son im portantes y puede d u ­
darse acerca de si son posibles de prueba formal. Si u, v son dos clases
cualesquiera, existe una relación R cuya aserción entre dos térm inos
cualesquiera x e y es equivalente a la aserción de que x pertenece
a u e y a v. Si u es cualquier clase no vacía, existe una relación que
guardan todos los térm inos respecto a ella y que no vale p ara ningún
otro par de térm inos. Si R es cualquier relación, y u cualquier clase
contenida en la clase de referentes respecto a R, existe una relación
que tiene a u como clase de sus referentes, y es equivalente a R en
toda esa clase: esta relación es igual a i? en la p arte en que es válida,
pero tiene un dom inio más restringido. (Uso dom inio como sinónimo
de clase de, referentes.) Desde aquí en adelante el desarrollo del tem a
es técnico: se consideran tipos especiales de relaciones, y resultan
ram as especiales de la M atem ática.
D.
Lógica simbólica de Peano
31. El breve resum en anterior de Lógica sim bólica se ha inspira­
do ta n to en Peano que se hace necesario discutir explícitam ente su
obra, justificando en form a crítica I03 puntos en que difiero de él.
L a cuestión acerca de cuáles entre las nociones de la L ó gica sim ­
bólica deben tom arse como indefinibles, y cuáles proposiciones como
indem ostrables es, como ha insistido el profesor P eano (2), hasta
cierto punto arb itraria. Pero resulta im p ortan te establecer todas las
relaciones m utuas de las nociones m ás sim ples de la L ógica, y exa m i­
nar la consecuenoia de tom ar varias nociones com o indefinibles. Es
necesario com prender que la definición, en M atem ática, no significa,
como en F ilosofía, un análisis de la idea a definirse en ideas con stitu ­
yentes. E sta noción, en todo caso, sólo es aplicable a los conceptos,
m ientras que en M atem ática es posible definir térm inos que no son
conceptos (3). Así, tam bién se definen por L ó gica sim bólica muchas
(1) E x iste u n a d ific u ltad resp e cto a e s ta proposición p rim itiv a , d isc u ­
tid a en I o b §§ 53 y 94 m ás a d e la n te .
(2) P o r ejem plo, F . 1901, pág. 6; F . 1897, p a rte I , p á e s. 62-3.
(s) V éase cap. IV .
BERTRAND RUSSELL
54
nociones que no son de posible definición filosófica, puesto que son
simples y no analizables. L a definición m atem ática consiste en señalar
una relación fija respecto a un térm ino fijo, de la que sólo un térm ino
es posible; entonces este térm ino se halla definido por medio de la
relación fija y del térm ino fijo. El punto en que esto difiere de la de­
finición filosófica puede aclararse señalando que la definición m atem á­
tica no indica el térm ino en cuestión, y que sólo lo que puede llam arse
discernim iento filosófico revela cuál es entre todos los térm inos que
existen. E sto se debe al hecho de que el térm ino se halla definido por
un concepto que lo denota en form a am bigua, y no por mención real
del térm ino denotado. Lo que se quiere decir con denotar, así como so­
bre los diferentes modos de denotar, debe aceptarse como ideas p ri­
m itivas en toda Lógica simbólica (■*); en este sentido, el orden adoptado
no parece en modo alguno arb itrario.
32.
P ara ser exactos, exam inem os algunas de las exposiciones del
tem a realizadas por el profesor Peano. En sus últim as exposiciones (2)
abandonó la idea de distinguir claram ente ciertas ideas y proposicio­
nes como prim itivas, probablem ente debido a la comprensión de que
cualquier distinción de este tipo es enteram ente arb itraria. Pero la
distinción parece útil, por introducir m ayor ex actitud y por m ostrar
que son suficientes un cierto conjunto de ideas y proposiciones p ri­
m itivas; lejos de abandonarla, debe hacerse más bien lo posible para
llevarla adelante. Por lo tan to , en lo que sigue tra ta ré de desarrollar
una de sus prim eras exposiciones, la de 1897 (3).
Las nociones prim itivas con las que Peano com ienza son las si­
guientes: Clase, la relación de un individuo con una clase de la que es
miembro, la noción de térm ino, la implicación donde am bas proposi­
ciones contienen las m ism as variables, es decir, la implicación formal,
la afirmación sim u ltán ea de dos proposiciones, la noción de definición,
y la negación de una proposición. A p a rtir de estas nociones, adem ás
de la división de una proposición com pleja en partes, Peano tra ta de
deduci? toda la Lógica sim bólica por medio de ciertas proposiciones
prim itivas. Exam inem os la deducción en form a resum ida.
Podem os observar, p ara com enzar, que la afirm ación sim ultánea
de dos proposiciones puede parecer, a prim era vista, insuficiente para
ser tom ada como idea prim itiva. Pues, aunque puede extenderse por
pasos sucesivos a la afirmación sim ultánea de cualquier núm ero finito
de proposiciones, sin em bargo no es todo lo que se requiere; necesita­
mos poder afirm ar sim ultáneam ente todas las proposiciones de cual­
quier clase finita o infinita. Pero la aserción sim ultánea de una clase
de proposiciones, aunque parezca raro, es m ucho m ás fácil de definir
(')
(2)
(3)
C a p ítu lo V.
'
F . 1901 y R . di M ., vol. V II, n ú m . 1 (1900).
F . 1897, p a rte I.
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
55
que la de dos proposiciones [ver § 34, (3)]. Si k es una clase de proposi­
ciones, su afirm ación sim ultánea es la aserción de que «p es un ko
im plica p. Si esto vale, tod as las proposiciones de la clase son verd a ­
deras; en caso contrario debe ser falsa por lo menos una de ellas.
Hemos visto que el producto lógico de dos proposiciones puede defi­
nirse de un m odo altam en te artificial; pero casi indiferen tem ente puede
tom arse com o indefinible, y a que ninguna otra propiedad puede d e­
m ostrarse por m edio de la definición. D ebem os ob servar tam b ién que
la im plicación m aterial y la form al se hallan com binadas por Peano
en una sola idea p rim itiva, aunque deban tom arse separadam ente.
33.
Antes do form ular cualquiera de las proposiciones prim itivas,
Peano procede a dar ciertas definiciones: 1) Si a es una clase, «x e y
son a» significa «x es un a e y es un a». 2) Si a y b son clases, «todo
a es un 6» significa «x es un a im plica x es un b». Si aceptam os la im plica­
ción form al como noción prim itiva, esta definición parece inobjetable;
pero tam bién puedo sostenerse que la relación de inclusión en tre clases
es más simple que la im plicación form al, y que no debe definirse por
sus medios. É ste es un tem a difícil, que reservaré para una ulterior dis­
cusión. U na implicación form al parece ser la aserción de to d a una clase
de implicaciones m ateriales. La complicación que aparece en este punto
surge debido a la natu raleza de la variable, punto que Peano parece
no haber considerado suficientem ente, a pesar de que ha hecho mucho
para dem ostrar su im portancia. L a noción de una proposición que con­
tiene u n a variable, la que im plica a o tra tal proposición, que él tom a
como prim itiva, es com pleja, y por lo ta n to debe separarse en sus cons­
tituyentes; de esta separación surge la necesidad de considerar la afir­
mación sim ultánea de to d a u n a clase de proposiciones an tes de in te r­
pretar u n a proposición ta l como « es un a im plica que z es un 6».
3) A hora debemos considerar u n a definición com pletam ente inútil, y
que por ello ha sido abandonada í1). É s ta es la definición de tal que. Se
nos dice que las x tales que x es un a, quieren decir la clase a. Pero esto
sólo da el significado de tal que cuando se le coloca ad elante de una
proposición del tipo «x es un a». A hora bien, a m enudo es necesario
considerar una x ta l que alguna proposición acerca de ella sea v erd a­
dera, y en que esa proposición no sea de la form a de «x es un a». Peano
sostiene (aunque no lo expone como axiom a) que to d a proposición
que sólo contenga u n a variable es reducible a la form a « x e s u n a * (2).
Pero verem os (cap. X) que por lo menos u n a de tales proposiciones
no ea reducible a esa form a. Y en todo caso, la única u tilid ad de tal
que es la de efectuar la reducción, que por lo ta n to no puede adm itirse
ya llevada a cabo sin ella. E l hecho es el de que tal que contiene
0)
(*)
n o ta.
Com o re su lta d o de laa c ritica s de P a d o a , R. di M ., vol. V H , p ág . 112.
R . di M ., v ol. VTI, n ú m . 1, p á g . 25; F. 1901, p ág . 21, § 2, p ro p . 4.0,
56
BERTRAND RUSSELL
una idea prim itiva, pero dicha idea no puede separarse fácilm ente
de otras.
P ara poder asim ilar el significado de tal que es necesario observar,
en prim er lugar, que lo que Peano y los m atem áticos llam an general­
m ente u na proposición que contiene una variable es en realidad, si la
variable es aparente, la conjunción de u n a cierta clase de proposicio­
nes definidas por alguna constancia de forma; m ientras que si la v a ria ­
ble es real, de m odo que tengam os u n a función proposicional, no existe
en absoluto proposición, sino sim plem ente u n a especie de representa­
ción esquem ática de cualquier proposición de un cierto tipo. P or ejem ­
plo, cuando se form ula por medio de una variable que «La sum a de
los ángulos de un triángulo es de dos ángulos rectos», se transform a
en: Sea x un triángulo; entonces la sum a de los ángulos de x es de dos
ángulos rectos. E sto expresa la conjunción de todas las proposiciones
en las que se dice acerca de entidades particu larm en te definidas que
si son triángulos, la sum a de sus ángulos es de dos ángulos rectos.
Pero una función proposicional, en que la variable es real, representa
cualquier proposición de una cierta form a, no a todas las tales propo­
siciones (véase §§ 59-62). P a ra cada función proposicional existe una
relación indefinible entre proposiciones y entidades, que puede expre­
sarse diciendo que todas las proposiciones tienen la m ism a form a,
pero que en ellas intervienen entidades diferentes. Es esto lo que ori­
gina las funciones proposicionales. Dados, por ejem plo, una relación
constante y un térm ino constante, existe u n a correspondencia biunívoca entre las proposiciones que afirm an que los diferentes térm inos
guardan la relación dicha con el térm ino dado y los diferentes té r ­
minos que figuran en esas proposiciones. É s ta es la noción que se n e ­
cesita p ara la com prensión de tal que. Sea x un a variable cuyos valores
form an la clase a, y sea f(x) una función uniform e de x que es propo­
sición verdadera p a ra todos los valores de x com prendidos en la clase
a, y que sea falsa p ara todos los dem ás valores de x. E ntonces los
térm inos de a son la clase de térm inos tales que f{x) es u n a proposición
verdadera. E sto da una explicación de tal que. Pero debe recordarse
siem pre que la ilusión de tener u n a proposición f(x) satisfecha por un
núm ero de valores de x es engañosa: j(x) no es proposición en absoluto,
sino función proposicional. Lo que es fundam ental es la relación de
diferentes proposiciones de form a d ad a respecto a los diferentes té r ­
minos que en tra n varias veces en ellas como argum entos o valores de
las variables; se necesita igualm ente esta relación p a ra in te rp re ta r
la función proposicional f(x) y la noción de tal que ; pero ella en sí m ism a
es ú ltim a e inexplicable. 4) A hora llegamos a la consideración de la
definición de producto lógico, o p a rte común, de dos clases. Si a y b
son dos clases, su p a rte com ún consiste en la clase de térm ino x tales
que i es un a y a: es un b. Y a aquí, como lo señala P ad o a (loe. c it.),
es Decesario ex ten d er el significado de tal que m ás allá del caso en que
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
57
nuestra proposición afirm a el ser m iembro de u n a clase, y a que sólo
es por medio de la definición como se dem uestra que la p a rte común
es una clase.
34.
Las definiciones restantes previas a las proposiciones prim i­
tivas' son menos im portantes, algunas parecen referirse solam ente al
simbolismo, y no expresar ninguna de las propiedades reales de lo
que se simboliza; otras, por el contrario, son de u n a im portancia
lógica m uy elevada.
1)
El prim ero de los axiom as de Peano es «toda clase se halla
contenida en sí misma». E sto es equivalente a «toda proposición se
implica a sí misma». Parece no existir medio de e v ita r este axiom a,
que es equivalente a la ley de identidad, excepto el m étodo empleado
anteriorm ente y que consiste en usar la auto-im plicación p a ra definir
proposiciones. 2) Luego tenem os el axiom a de que el producto de
dos clases es una clase. Este debe haberse establecido, al igual que la
definición de producto lógico, para una clase de clases; pues cuando
sólo se establece para dos clases no puede extenderse p ara el producto
lógico de una clase infinita de clases. Si se tom a clase como indefinible,
es un axiom a genuino, que resulta m uy necesario p a ra el razonam iento.
Pero quizá podría ser algo generalizado por un axiom a que se refiera
a los térm inos que satisfacen proposiciones de una form a dada: por
ejemplo, «los térm inos que guardan una o más relaciones dadas res­
pecto a uno o más térm inos dados form an una clase». E n la sección B,
más arriba, se ha evitado com pletam ente el axiom a usando una form a
generalizada del mismo como definición de clase. 3) A hora tenem os dos
axiomas que son en realidad uno solo, y que parecen d istintos sola­
m ente debido a que Peano define la p a rte común de dos clases en vez
de la p a rte común de u n a clase de clases. E stos dos axiom as establecen
que, si a, b, son clases, su producto lógico, ab, se halla contenido en a y
se halla contenido en b. Estos parecen dos axiom as diferentes debido a
que, tal como lo indica el solo simbolismo, ab puede ser distin to de ba.
Uno de los defectos de la m ayoría de los simbolismos es el que dan un
orden a térm inos que intrínsecam ente carecen de él o que por lo menos
nada tienen que se refiera al mismo. Así, en este caso: si K es u n a clase
de clases, el producto lógico de K consiste en todos los térm inos que
perm anecen a toda*clase que form a p a rte de K . Con esta definición re­
sulta claro a prim era v ista que no interviene en absoluto el orden de
los térm inos de K . Así, si K consta sólo de dos térm inos, a y 6, es in ­
diferente que se represente el producto lógico de K por ab o por ba,
ya que el orden sólo existe en los símbolos, no en lo que se sim boliza.
Debe tenerse en cuenta que el axiom a correspondiente respecto a
proposiciones es el que la aserción sim ultánea de u n a clase de propo­
siciones im plica cualquier proposición de la clase; y é sta es quizá la
mejor form a del axiom a. Sin em bargo, aunque no es im prescindible
un axiom a, es necesario, aquí como en cualquier lado, disponer de
B ERTRAND RUSSELL
68
un medio para unir el caso en que partim os de una clase do clases
o de proposiciones o de relaciones con el caso en que la clase resulta
de la enum eración de sus térm inos. Así, aunque no se halla involu­
crado un orden en el producto de u n a clase de proposiciones, existe
un orden en el producto de dos proposiciones definidas p, q, y tiene
sentido-decir que los productos pq y qp son equivalentes. Pero esto
puede dem ostrarse por medio de los axiom as con los que hemos ini­
c ia d o 'e l Cálculo de proposiciones (§ 18). Debe observarse que esta
prueba es an terio r a la prueba de que la clase cuyos térm inos son p y q
es idéntica a la clase cuyos térm inos son q y p. 4) Después debem os
considerar dos form as de silogismo, am bas proposiciones prim itivas.
La prim era afirm a que, si a, b, c son clases, y a se halla contenida
en b, y z es un a, entonces z es un 6; la segunda, que si a, b, c son clases,
y a se halla contenida en 6, b en c, entonces a se halla contenida en c.
Uno de los m éritos m ás grandes de Peano consiste en haber distinguido
claram ente la relación de un individuo a su clase de la relación de
inclusión entre clases. La diferencia es ex trao rd in ariam en te funda­
m ental: la prim era relación es la m ás sim ple y m ás im portante de
todas las relaciones, la ú ltim a u n a relación com plicada que deriva de
la implicación lógica. R esulta de esta distinción que el silogismo B á r­
bara tiene dos form as, que generalm ente se confunden: una, la aserción
clásica de que Sócrates es un hom bre, y por lo ta n to m ortal; la otra,
la aserción de que los griegos son hom bres, y por lo tan to m ortales.
E stas dos form as se hallan establecidas por los axiom as de Peano.
Debe tenerse en cuenta que, en v irtu d de la definición de lo que se
entiende por el que una clase se halle contenida en otra, la prim era
form a resulta del axiom a de que si p, q, r son proposiciones, y p im plica
que q im plica r, entonces el producto do p y q im plica r. Peano sus­
tituye la prim era form a del silogismo por este axiom a (‘): es m ás ge­
neral y no puede deducirse de dicha form a. La segunda form a del
silogismo, cuando se aplica a proposiciones en vez de clases, afirma
que la im plicación es tra n sitiv a . P o r supuesto que este principio es el
que en realidad da vida a todas las cadenas del razonam iento. 5) Ahora
nos hallam os a n te un principio de razonam iento que Peano llam a
composición: éste afirm a que si a se halla contenido en b y tam bién
en c, entonces se halla contenido en la p a rte com ún de ambos. E s ta ­
bleciendo este principio respecto a proposiciones, afirm a que si una
proposición im plica a cada u n a de otras dos, entonces im plica su aser­
ción co n ju n ta o producto lógico; y éste es el principio llam ado m ás
a rrib a composición.
35.
Desde aquí avanzam os fácilm ente h a sta que llegamos a la
idea de negación. Ésta, aparece en la edición del FormvXaire que es­
tam os considerando, como una nu ev a idea p rim itiva, y se define por
(*)
V éase, p o r ejem plo, F . 1901, p a r te I , § 1, p ro p . 3.3 (pág. 10).
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
59
medio de ella la disyunción. E videntem ente resulta fácil definir la
negación de una clase por medio de la negación de una proposición:
porque «x es un no-a» es equivalente a «x no es un a». Pero necesita­
mos un axiom a con el fin de que no-a sea una clase, y otro con el fin
de que no-no-a sea a. Peano da tam bién un tercer axiom a, a saber:
Si a, b, c son clases, y ab se halla contenida en c, y x es un a pero no
un c, entonces x no es un b. E sto resulta m ás simple bajo la forma:
Si p , q, r son proposiciones, y p, q, unidos im plican r, y q es verdadero
m ientras que r es falso, entonces q es falso. Esto m ejorará aún si se
lo pone bajo la forma: Si q, r son proposiciones y q im plica r, entonces
no-r im plica no-<7; form a que Peano obtiene como deducción. T ra b a ­
jando con proposiciones antes que con clases o funciones preposicio­
nales, es posible, como hemos visto, evitar el tra ta r la negación como
idea prim itiva, y reem plazar todos los axiom as referentes a la nega­
ción por el principio de reducción.
Ahora llegamos a la definición de disyunción o sum a lógica de dos
clases. R especto a esto, Peano ha cam biado m uchas veces de procedi­
miento. E n la edición que estam os considerando, «a o 6» se define
como la negación o producto lógico de no-a y no -b, es decir, como la
clase de térm inos que no son ni no-a ni no-6. En ediciones posteriores
(por ejemplo, F . 1901, pág. 19), encontram os una definición un poco
menos artificial, a saber: «a o b» consiste en todos los térm inos que
pertenecen a cualquier clase que contiene a y contiene 6. Cualquier
definición parece lógicam ente inobjetable. Debe tenerse en cuenta que
a y b son clases, y que queda planteado un problem a para la Lógica
filosófica acerca de si allí no hay una noción m uy diferente de la de
disyunción de individuos, como, por ejem plo, «Juan o Pedro», Consi­
deraré este punto en el capítulo V. Se recordará que, cuando com enza­
mos por el Cálculo de proposiciones, se definía la disyunción antes
que la negación; con la definición anterior (la de 1897), e3 com pleta­
m ente necesario tom ar en prim er lugar la negación.
36.
Luego se tra ta de las nociones relacionadas de clase vacía y
de existencia de una clase. E n la edición de 1897 se define una clase
como vacía cuando se halla contenida en toda clase. Cuando recor­
damos la definición de que una clase a se halle contenida en o tra b
(«x es un a» im plica «x es un bu p ara todos los valores de x), vemos
que debemos considerar la implicación como aplicada a todos los valo­
res, y no sólo p a ra aquellos valores p ara los que x es realm ente un a.
É ste es un punto sobre el cual Peano no se m uestra explícito, y dudo
que h ay a pensado en él. Si la im plicación valiera solam ente cuando x
es realm ente un a, no daría una definición de la clase vacía, p ara la
que esta hipótesis es falsa p ara todos los valores de x. No sé si es
por esto o por alguna o tra r$zón por lo que Peano abandonó desde
entonces la definición de inclusión de clases por medio de la im plica­
ción form al entre funciones preposicionales: la inclusión de clases
60
BERTRAND RUSSELL
parece ahora hallarse considerada como indefinible. O tra definición
presentada a veces por Peano (por ejem plo, F . 1895, e rra ta , pág. 116),
es la de que la clase vacía es el producto de cualquier clase por su
negación —definición sobre la que se pueden llevar a cabo considera­
ciones sem ejantes— . En R. di M ., V II, núm . 1 (§ 3, prop. 1.0), se define
la clase de aquellos térm inos que pertenecen a to d a clase, es decir,
la clase de térm inos x tales que ia es una clase» im plica «x es un a»
para todos los valores de a. P o r supuesto que no existen tales térm i­
nos x. y hay una grave dificultad lógica en tr a ta r de in terp retar
extensivam ente una clase que no tiene extensión. Sobre este punto
volveré en el capítulo VI.
Desde aquí en adelante la Lógica de Peano continúa con un desarro­
llo suave. Pero es aún defectuosa desde un punto de vista: no reconoce
como últim as a las proposiciones relaciónales que no afirmen el ser
miembros de una clase. Por esta razón son defectuosas las definiciones
de una función (') y de otras nociones fundam entalm ente relaciónales.
Pero este defecto se rem edia fácilm ente aplicando, del modo explica­
do anteriorm ente, los principios del F o n n u la ire a la Lógica de
relaciones (2).
(l ) P o r ejem plo, F. 1901, p a r te I, § 10, propa. 1.0.01 (pág. 33).
(l ) V éase mi artícu lo «Sur la logiquo tica rolationn», on R. di M„ vol. V II, 2
(1901).
CAPÍTULO Til
IM P L IC A C IÓ N E IM P L IC A C IÓ N F O R M A L
37.
E n el capítulo anterior he tra ta d o de p resentar en form a breve
y no crítica, todos los datos necesarios p ara la M atem ática pura bajo
el aspecto de ideas y proposiciones form alm ente fundam entales. En
las p artes siguientes m ostraré que éstos, son todos los datos, dando
definiciones de los diferentes conceptos m atem áticos — núm ero, infi­
nito, continuidad, Ioh diferentes espacios de la Geom etría, y el m ovi­
m iento—. E n lo que queda de la parte 1 daré indicaciones, las mejores
que pueda, de los problem as filosóficos que surgen en el análisis de
los d ato s, y de las direcciones en que imagino que esos problem as
pueden hallar solución. Se deducirán algunas nociones lógicas que,
aunque parezcan fundam entales p ara la Lógica, no se discuten co­
m únm ente en trab ajo s sobre este tem a, y de ese modo se presentarán
problem as despojados del simbolismo m atem ático p a ra la considera­
ción de los lógicos filosóficos.
Se encontró que son esenciales p ara cualquier tipo de deducción
dos especies de implicación: la m aterial y' la form al. E n este capítulo
tra ta ré de exam inar y distinguir estos dos tipos y de discutir algunos
m étodos p a ra in te n ta r el análisis del segundo de ellos.
Al discutir la inferencia es común perm itir la intrusión de un ele­
m ento psicológico, y considerar n u estra adquisición de nuevos cono­
cim ientos por sus medios. Pero es claro que donde inferim os v álid a­
m ente una proposición de otra, lo hacem os en v irtu d de una relación
válida entre las dos proposiciones, la percibam os o no: la m ente, en
realidad, es ta n p u ram en te receptiva en la inferencia como en el sen­
tido común supone que lo es en la percepción de los objetos sensibles.
La relación por medio de la cual no es posible inferir válidam ente es
lo que llamo im plicación m aterial. Y a hemos visto que sería un círculo
Vicioso el definir esta relación como significando que si una proposi­
ción es necesaria entonces o tra es verdadera, porque si y entonces iU’
62
BERTRAND RUSSELL
volucran ya una implicación. La relación se m antiene, en realidad,
cuando lo hace, sin referencia alguna a la verdad o falsedad de las
proposiciones involucradas.
Pero ni desarrollar las consecuencias de nuestras hipótesis respecto
a la im plicación, nos vemos llevados a conclusiones que no concuerdan
en modo alguno con lo que com únm ente se sostiene respecto a la im ­
plicación, porque encontram os que cualquier proposición falsa implica
toda proposición y que cualquier proposición verdadera es im plicada
por toda proposición. De este modo las proposiciones son form alm ente
sem ejantes a un conjunto de longitudes cada una de las cuales tiene
uno o dos centím etros, y la implicación es como una relación «igual o
menor que» en tre tales longitudes. C iertam ente no se sostendrá co­
m únm ente que «2 -f 2 = 4» puede deducirse de «Sócrates es un hom ­
bre» o que am bas se hallan im plicadas por «Sócrates es un triángulo».
Pero la repugnancia a adm itir tales implicaciones se debe, según creo,
principalm ente a la preocupación por la implicación formal, que es
una noción m ucho m ás fam iliar, y que se halla realm ente en nuestra
m ente, como una regla, aun cuando lo que se m enciona explícitam ente
es la im plicación m aterial. En las inferencias de «Sócrates es un hom ­
bre» no se acostum bra a considerar al filósofo vejado por los atenienses,
sino sim plem ente a un símbolo que puede ser reem plazado por cual­
quier otro hom bre; y sólo un prejuicio vulgar en favor de las proposi­
ciones verdaderas impide reem plazar Sócrates por un número, una
mesa o un budín. Sin em bargo, siem pre que, como en Euclides, se
deduce una proposición p a rticu la r de otra, se halla involucrada la
implicación m aterial, aunque como regla puede considerarse la im pli­
cación m aterial como caso particu lar de alguna implicación formal,
obtenida dando algún valor constante a la variable o variables invo­
lucradas en dicha im plicación form al. Y a pesar de todo, m ientras se
considera aún las relaciones con la desconfianza provocada por la falta
de costum bre, es natu ral dudar acerca de que si una proposición tal
como la im plicación debe hallarse en v irtu d de los principios estable­
cidos en la sección C del capítulo anterior, debe haber una proposición
válida solam ente entre proposiciones, y que valga entre dos proposi­
ciones cualesquiera de las que la prim era sea falsa o la segunda ver­
dadera. De las diferentes relaciones equivalentes que satisfacen estas
condiciones, u n a se llam ará im plicación, y si tal noción puede parecer
poco común, est-o no b asta p ara p robar que es ilusoria.
38.
En este m om ento es necesario considerar un problem a lógico
m uy difícil, a saber: la distinción entre una proposición realm ente
afirm ada y u n a proposición considerada sim plem ente como un con­
cepto complejo. Uno de nuestros principios indem ostrables era, como
se recordará, el de que si en una im plicación es verdadera la hipótesis,
puede suprim irse ésta y afirm ar el consecuente. Como se señaló, este
principio elude la exposición form al e indica una cierta falla del fo?-
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
63
malismo en general. E l principio ee em plea siem pre que se dice que se
ha demostrado una proposición, porque lo que pasa en tales casos ea
que se dem uestra que la proposición se halla im plicada pór alguna
proposición verdadera. O tra form a bajo la que se em plea co n sta n te­
mente el principio es la de sustitución de una constante que satisface
la hipótesis en el consecuente de una im plicación form al. Si <px im ­
plica fyx p ara todos los valores de x, y si a es una constante que sa tis­
face a cpx, podem os afirm ar <\ta, suprim iendo la hipótesis verd ad era <pa.
Esto sucede, por ejem plo, siem pre q\ie se aplica a proposiciones p a r­
ticulares cualquiera do esas reglas de inferencia que em plean la hipó­
tesis de quo las variables involucradas son proposiciones. P or lo
tanto, el principio en cuestión es esencialm ente v ita l para cualquier
especie de dem ostración.
L a independencia de este principio surge considerando el enigm a
de Lew is Carroll, «Lo que la tortu ga dijo a Aquilea» (J). Los principios
de la inferencia que hornos aceptado llevan a la proposición de que,
si p y q son proposiciones, entonces p conjun tam ente con «p im p li­
ca q» im plica q. A prim era vista puede pensarse que esto nos perm itiría
afirmar q siem pre que p sea verdadero y que im plique q. Pero ese
enigma m uestra que no es así y que, h asta que no dispongam os de
un nuevo principio, sólo nos verem os conducidos a una petición sin
fin de im plicaciones más y más com plicadas sin llegar nunca a la
aserción de s. N ecesitam os en realidad la noción de por lo tanto , que
es m uy diferente de la noción de implica, y que vale entre entidades
diferentes. En G ram ática, la diferencia es la que existe entre un
verbo y un nom bre verb al, por ejem plo, entre «A es m ayor que /i»
y «el ser A m ayor que B». E n el prim er caso se afirm a realm ente una
proposición, m ientras que en el segundo sim plem ente se la considera.
Pero éstas son consideraciones filosóficas, m ientras que la diferencia
que deseo señalar es genuinam ente L ógica. E s evid en te que si me
fuera perm itido usar la p alab ra aserción en un sentido no psicológico,
la proposición «p im plica q» afirm a una im plicación, aunque no afirma
p o q. L a p y la q que intervienen en esta proposición no son e stricta ­
mente las m ismas que la p y la q, que son proposiciones separadas,
por lo menos, si son verdaderas. E l problem a es: ¿Cómo difiere una
proposición siendo realm ente verdadera, de lo que sería com o entidad
si no fuese verdadera? E s claro que las proposiciones verdaderas y
falsas son por igual entidad de una especie, pero las proposiciones
verdaderas tienen una cualid ad que no pertenece a las falsas, cualidad
que, en un sentido no psicológico, puede llam arse el estar afirm ada.
Sin em bargo, existen g raves dificultades p ara poder basar una teoría
consistente sobre este punto, porque si la aserción cam bia de algún
modo una proposición, ninguna proposición que pudiera ser posibleí1)
M in d , N . S., vol. IV , pág. 278.
BERTRAND RUSSELL
64
m ente negada en cualquier contexto podría ser verdadera, porque
cuando se la afirm ara, se tran sfo rm aría en u n a proposición diferente.
Pero esto es com pletam ente falso; pues en *p im plica gt, p y q no son
afirm adas, y, sin em bargo, pueden ser verdaderas. D ejando este enig­
ma para la Lógica debem os insistir, sin em bargo, en que existe una
cierta especie de diferencia entre una proposición afirm ada y una no
afirm ada (*). Cuando decimos jx>r lo tanto establecem os una relación
válida solam ente entre proposiciones afirm adas, y que, por consi­
guiente, difiere de la im plicación. Siem pre que figura el por lo tanto
puede elim inarse la hipótesis y afirm arse la conclusión por sí misma.
É ste parece ser el prim er paso en la respuesta al enigm a de Lewia
Carroll.
39. Se dice com únm ente que una inferencia debe tener prem isas
y una conclusión, y se sostiene m anifiestam ente que -son necesarias
dos o m ás prem isas, sino en todas las inferencias, por lo menos en la
m ayoría. E s ta posición surge, a prim era vista, de hechos evidentes:
por ejem plo, todo silogismo tiene dos prem isas. Pero tal teoría com ­
plica enorm em ente la relación de im plicación, ya que la transform a en
una relación que puede tener cualquier núm ero de térm inos, y que es
sim étrica respecto a todos, salvo uno de ellos, pero no sim étrica
respecto a éste (la conclusión). Sin em bargo, e sta complicación es
innecesaria, en prim er lugar porque toda aserción sim ultánea de un
núm ero de proposiciones es por sí m ism a una proposición singular,
y en segundo, porque, gracias a la regla que hemos llam ado exporta­
ción, siem pre es posible p resentar una im plicación como válida explí­
citam ente en tre proposiciones singulares. Tom em os prim ero lo dicho
en prim er lugar: si k es u n a clase de proposiciones, todas las proposi­
ciones de la clase k se hallan afirm adas por la sola proposición «para
todos los valores de x, si x im plica x, entonces ’x es un k ’ im plica x »,
o, en lenguaje menos pulido, «todo k es verdadero». Y respecto al
segundo punto que supone finito el núm ero de prem isas , «pq im plica r»
es equivalente, si q es una proposición, a np im plica que q im plica r» en
cuya últim a form a las im plicaciones valen explícitam ente entre propo­
siciones singulares. E ntonces podem os decir con seguridad que la im ­
plicación es u n a relación entre dos proposiciones, no u n a relación de un
núm ero arb itra rio de prem isas respecto a u n a sola conclusión.
40. A hora tratarem o s la im plicación form al, que es urna noción
m ucho m ás difícil que la de im plicación m aterial. Con el fin de evitar
la noción general de función proposicional, comencemos por la discu­
sión de un caso particu lar, por ejem plo, *x es un hom bre im plica x es
m ortal p ara todos los valores de xi>. E s ta proposición es equivalente a
«todos los hom bres son mortales», «todo hom bre es mortal» y «cual­
quier hom bre es mortal». Pefo parece m uy dudoso que sea la m ism a
(‘)
F re g e (loe. cit.) tie n e u n signo especial p a r a d e n o ta r la aserció n .
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
65
proposición. Tam bién se halla relacionada con una proposición p u ra ­
m ente intensional en la que se afirm a que hambre es una noción com ­
pleja de la que m ortal es un constituyente, pero esta proposición es
muy d istin ta de la que estam os discutiendo. Por supuesto que tales
proposiciones intensionales no siem pre se hallan presentes cuando
una clase se halla incluida en otra: en general, cada clase puede defi­
nirse por varios predicados diferentes, y no es necesario en absoluto
que todo predicado de la clase contenga como factor a todo predicado
de la clase m ayor. P or supuesto que puede suceder que am bos p re­
dicados sean filosóficamente simples: así color y existente parecen ser
ambos simples, pero la clase de colores es parte de la clase de exis­
tentes. L a visión intensional, que deriva de los predicados, es casi
por com pleto indiferente para la Lógica sim bólica y p ara la M atem á­
tica, y por el m om ento dejaré de considerarla.
41.
P a ra comenzar, puede dudarse acerca de si vx es un hom bre
implica x es mortal» debe considerarse como afirmación estricta de
todos los térm inos posibles o de térm inos tales que sean hombres.
Aunque Peano no ee m uestra explícito parece sostener este últim o
punto de vista. Pero en este caso la hipótesis deja de tener significado,
y se transform a en una m era definición de x: x significa cualquier
hombre. La hipótesis resulta entonces una simple aserción respecto al
significado del símbolo x, y la totalidad de lo que se afirm a respecto
al sujeto a que se refiere nuestro símbolo se halla en la conclusión.
La prem isa dice: x significa cualquier hom bre. La conclusión dice:
x es m ortal. Pero la implicación se refiere sim plem ente al simbolismo:
ya que cualquier hom bre es m ortal si x denota cualquier hom bre, x es
m ortal. De este modo y desde este p unto de vista ha desaparecido
com pletam ente la implicación form al, dejándonos la proposición
«cualquier hom bre es mortal» como expresión de todo lo que en la pro ­
posición se refiere a una variable. Ahora sólo quedaría por exam inar la
proposición «cualquier hom bre es mortal» y, si fuera posible, explicar
esta proposición sin volver a introducir la variable y la implicación
formal. Debe confesarse que bajo este punto de vista se evitan algu­
nas dificultades graves. Consideremos, por ejemplo, la aserción si­
m ultánea de todas las proposiciones de alguna clase k : esto no se
halla expresado por «'x es un k ’ implica x p ara todos los valores de x».
Porque tal como se ha presentado esta proposición no expresa lo que
significa, ya que si x no es u n a proposición « e s u n k» no puede im pli­
car x; por lo tan to , el cam po de variabilidad de x debe lim itarse a las
proposiciones a m enos de que prefijemos (como antes, § 39) la hipó­
tesis <tx im plica xi>. E s ta advertencia se aplica generalm ente, a través
de todo el cálculo proposicional, en todos los casos en que la conclu­
sión se halla representada pqr una letra singular: a menos de que la
letra no represente realm ente una proposición, la im plicación afirm a­
da será falsa, y a que sólo pueden im plicarse proposiciones. E l caso
LOS
P R IN C IP IO S
DE LA M A T E M Á T IC A ___ 5
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BERTRAKU RUSSELL
es que, si x es nuestra variable, x m ism a es una proposición para
todos los valores de x que sean proposiciones, pero no p ara otros v a lo ­
res. E sto aclara cuáles son las lim itaciones a las que se halla su jeta
nuestra variable: sólo debe va riar dentro del cam po de valores p ara
el que los dos lados de la im plicación principal son proposiciones, en
otras palabras, los dos lados, cuando la variab le no se halla reem pla­
zada por una constante, deben ser proposiciones funcionales genuinas.
Si no se tiene en cuen ta esta restricción, pronto aparecen eq u ivo ca ­
ciones. Debe tenerse en cuenta que puede existir un número c u a l­
quiera de im plicaciones subordinadas que no requieren que sus
térm inos sean proposiciones: esto sólo lo exige la im plicación principal.
Tom em os, por ejem plo, el prim er principio de inferencia: Si p im pli­
ca 7, entonces p im plica 7. E sto va le igualm ente sean p y q proposi­
ciones o no; porque si algun a no es proposición «/; im plica 7» resulta
falso, pero 110 d eja de ser una proposición. E n realidad, en v irtu d
de la definición de proposición, nuestro principio establece que «/; im ­
plica 7» es una función proposicional, es decir, que es una proposición
para todos los valores de p y q. Pero si aplicam os a esta proposición
el principio de im portación, de tal modo que obtenem os «'/; im pli­
ca 7 ’, conjun tam ente con p, im plica 7», tenem os una fórm ula sólo
verdadera cuando p y 7 son proposiciones: para lograr que sea u ni­
versalm ente verdad era debem os precederla con la hipótesis «p im p li­
ca p y 7 im plica 7». De este modo en m uchos casos, si no en todos,
puede elim inarse la restricción acerca de la variab ilid ad de la variable;
así en la aserción del producto lógico de una clase de proposiciones la
fórm ula *si x im plica x, entonces 'x es un k' im plica x» parece in ob je­
table, y perm ite que x varíe sin restricción. A qu í las im plicaciones su ­
bordinadas en la prem isa y en la conclusión son m ateriales: sólo la
im plicación principal es form al.
V olviendo ahora a <tx es un hom bre im plica x es mortal», es claro
que no se necesita restricción con el fin de asegu ram os que estam os
en posesión de una proposición genuina. .Y resulta igualm ente claro
que, aunque debemos restringir los valores de a; a hom bres, y aunque
esto parece llevarse a cabo en la proposición «todos los hom bres son
mortales», aun no existe razón, en lo que respecta a la verdad de
nuestra proposición, para exp licar por qué debem os restringir así
nuestra x. Sea o no x un hom bre, «x es un hombre» es siempre, cuando
se su stitu ye x por una constante, una proposición que im plica, p ara
ese valor de x, la proposición <tx es mortal». Y a m enos de que acep ­
tem os igualm ente la hipótesis en los casos en que sea falsa nos será,
im posible tra b a ja r satisfactoriam en te con la clase v a c ía o con fu n ­
ciones proposicionales nulas. E n consecuencia debem os perm itir que
nuestra x tom e todos los valores sin excepción, siem pre que la verdad
de nuestra proposición quede in ta c ta con ello; y cuando se necesita
cualquier restricción sobre la variab ilid ad , no debe considerarse la
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
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implicación como formal h asta que la dicha restricción haya sido
quitada prefijándola como hipótesis. (Si tyx es una proposición siem ­
pre que x satisface cpx, donde <px es una función proposicional, y si <\ix,
siempre que sea una proposición, im plica yx, entonces n^x im pli­
ca jx)i no es una implicación formal, pero «9 a; im plica que 1J/2: im pli­
ca %x» es una implicación formal.)
42.
Debe tenerse en cuenta que <or es un hom bre im plica x es m or­
tal» no es una relación de dos funciones preposicionales, sino que es en
sí misma una sola función proposicional que tiene la elegante propie­
dad de ser siem pre verdadera. Porque <cc es un h o m b ro , tal como se
halla establecida, no es en absoluto una proposición, y no implica
nada; y no podemos v ariar prim ero n uestra x en ax es un hombre»
y luego independientem ente en <cr es mortaL», porque esto nos llevaría
a la proposición «cualquier cosa es un hombre» im plica «cualquier
cosa es mortal» que, aunque verdadera, no es lo que queríam os decir.
Esta proposición debería expresarse, si se quisiera m antener el len­
guaje de variables, por medio de dos variables, como «x es un hom bre
implica y es mortal». Pero tam bién esta fórm ula resulta poco satisfac­
toria, porque su significado natu ral sería: «Si cualquier cosa es un
hombre, entonces todas las cosas son mortales.» El punto que debe
señalarse es, por supuesto, que nuestra x, aunque variable, debe ser
la misma a ambos lados de la implicación, y esto exige que no po d a­
mos obtener nuestra implicación formal variando en prim er lugar,
por ejem plo, Sócrates en «Sócrates es un hombre», y luego en «Sócrates
es mortal», sino que debam os com enzar con toda la proposición
«Sócrates es un hom bre im plica Sócrates es mortal», y variar Sócrates
en esta proposición como un todo. De este modo n u estra im plicación
formal afirm a una clase de implicaciones, y no una sola implicación.
En una palabra: no estam os en posesión de una im plicación con una
variable, sino más bien de una implicación variable. Tenem os una
clase de implicaciones, ninguna de las cuales contiene una varia­
ble, y afirm am os que todo m iembro de esta clase es verdadero. É ste
es un prim er paso hacia el análisis de la noción m atem ática de
variable.
Pero, puede preguntarse: ¿cómo es que Sócrates puede variarse
en la proposiciSn «Sócrates es un hom bre im plica Sócrates es mortal»?
En v irtu d del hecho de que las proposiciones verdaderas son im plica­
das por todas las demás, tenem os «Sócrates es un hom bre im plica
Sócrates es filósofo», pero he aquí que en esta proposición la v ariab i­
lidad de Sócrates se halla enorm em ente restringida. E sto parece mos­
trar que la implicación form al encierra algo adem ás de la relación
de implicación y que cuando puede variarse un térm ino debe existir
cierta relación adicional. E n él caso que se está considerando es n a tu ­
ral decir que lo que se halla involucrado es la relación de inclusión
entre las olases hombres y mortales — la verdadera relación que debía
BERTRAND RUSSELL
ser definida y explicada por n u estra implicación form al— . Pero este
punto de vista es dem asiado sim ple para contem plar todos los casos,
y por lo tan to no es indispensable en caso alguno. U n núm ero m ayor
de casos, aunque no todos, puede tra ta rse con la noción de lo que
llam aré aserciones. Explicarem os brevem ente esta noción, dejando
su discusión crítica para el capítulo V II.
4:i. Siem pre se ha acostum brado a dividir las proposiciones en
sujeto y predicado; pero esta división tiene el defecto de om itir el
verbo. lis cierto que a veces se realiza una fácil concesión hablando
vagam ente de la cópula, pero el verbo merece un respeto mucho
m ayor <|iie el que se le concede. Podem os decir, en form a im perfecta,
que toda proposición puede dividirse, algunas sólo do un modo, algu­
nas de modos diversos, en un térm ino (el sujeto) y en algo que se
dice acerca del sujeto, cuyo algo llam aré aserción. Así «Sócrates es
un hombre» puede dividirse en Sócrates y en es un hombre. El verbo,
que es la señal d istin tiv a de las proposiciones, queda con la aserción,
pero la aserción m ism a, hallándose separada de su sujeto, no es ni
verdadera ni falsa. En las discusiones lógicas figura a m enudo la
noción de aserción, pero como se usa la palabra proposición en lugar
de ella, no llega a considerársela en form a separada. Consideramos,
por ejem plo, la m ejor afirmación acerca de la identidad de indescirnibles: «Si x e y son dos entidades diversas cualesquiera, para x es
válida alguna aserción que no lo es para y.» Pero si no fuese por la
palabra aserción, que com únm ente se reem plaza por proposición., esta
afirmación pasaría desapercibida. Igualm ente, podríam os decir: «Só­
crates era un filósofo, y lo mismo es verdadero respecto a Platón.»
Tales afirmaciones requieren su análisis en aserción y sujeto, para que
pueda haber algo idéntico que pueda decirse que es afirm ado acerca
de dos sujetos.
44.
Ahora podemos ver, cuando es legítimo el análisis en sujeto
y aserción, cómo distinguir implicaciones en las que existe un térm ino
que puede variarse de otras en las que no es ése el caso. Pueden su­
gerirse dos modos de llevar a cabo la distinción, y deberem os decidir
entre ellos. Puede decirse que existe una relación e n tre las dos aser­
ciones «es un hombre» y «es mortal», en v irtu d de la cual cuando vale
la una, vale tam bién la otra. O tam bién podemos analizar toda la
proposición «Sócrates es un hom bro implica Sócrates es mortal» en
Sócrates y una aserción respecto a él, y decir que la aserción en cues­
tión vale p ara todos los térm inos. N inguna de las dos teorías reem ­
plaza el análisis anterior de <cr es un hom bre im plica x es mortal»
en una clase de implicaciones m ateriales; pero ta n to si la una es ver­
dadera como si lo es la otra, el análisis adelanta algo. L a prim era
teoría presenta la dificultad de que es esencial p a ra la relación de
aserciones involucradas el que am bas aserciones deban realizarse
sobre el mismo sujeto, aunque sean independientes d,§l sujeto que se
■MHHMHlgPHMPSlPlHHOTRPI
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LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
69
elija. La segunda teoría parece objetable basándose en que el análisis
sugerido de «Sócrates es un hom bre im plica Sócrates es mortal*
parece ser apenas posible. L a proposición que se está considerando
consiste en dos térm inos y una relación, siendo los térm inos «Sócrates
es un hombre» y «Sócrates es mortal»; y parecería que cuando se ana­
liza una proposición relacional en un sujeto y una aserción, el sujeto
debe ser uno de los térm inos de la relación que se afirm a. E s ta obje­
ción parece ser más grave de la que se form ula contra el prim er p u n to
de vista; por lo tan to , al menos por el presente, ad o p ta ré el prim er
punto de vista y consideraré la im plicación formal como derivada
de una relación entre aserciones.
Señalábam os más arriba que la relación de inclusión entre clases es
insuficiente. E sto resulta de la naturaleza irreductible de las proposicio­
nes relaciónales. Tom emos, por ejem plo, «Sócrates está casado implica
Sócrates tuvo padre». Aquí se afirm a que porque Sócrates tiene una
relación debe tener otra, ü m ejor aún, tom em os «^4 está antes que B
implica B está después de A». É sta es una implicación form al en la
que las aserciones (por lo menos superficialm ente) se refiere a sujetos
diferentes: el único modo de salvar esta dificultad consiste en decir que
ambas proposiciones tienen ta n to a A como a B por sujetos, lo que es
muy d istinto a decir que tienen el único sujeto «A y B ». Tales ejem plos
aclaran que la noción de función proposicional y la noción de aserción
son más fundam entales que la noción de clase, y que la últim a no es
adecuada p ara explicar todos los casos de im plicación form al. No me
extenderé más sobre este punto, pues será ilustrado abun d an tem en te
en otras p artes del presente trabajo.
Es im p o rtan te darse cuenta de que, de acuerdo con el análisis
anterior de im plicación form al, la noción de todo térm ino es indefi­
nible y últim a. Im plicación form al es la que vale para todo térm ino,
y por lo ta n to lodo no puede explicarse por medio de la implicación
formal. Si a y 6 son clases, podemos explicar «todo a es un 6 » por
medio de «x es un a im plica x es un b»; pero el todo que figura aquí es
una noción derivada y subsiguiente, que "presupone la noción de todo
término. Parece ser la verdadera esencia de lo que puede llam arse
verdad form al y en general del razonam iento form al, el que se afirme
que para iodo térm ino vale alguna aserción; y a menos de que se
adm ita la noción de todo término, las verdades form ales serán im ­
posibles.
45.
L a im portancia fundam ental de la implicación form al salta
a la vista considerando que se halla involucrada en todas las reglas
de la inferencia. E sto m uestra que no podem os esperar definirla ex­
clusivam ente en función de la im plicación m aterial, sino que debe
involucrarse algún otro elem ento o elem entos. Sin em bargo, podem os
observar que en una inferencia particu lar no se requiere como prem isa
la regla de acuerdo a la cual vale la inferencia. E sto ha sido señalado
B ERTRAND RUSSELL
70
por Mr. B ra d le y (*); se halla estrecham ente relacionado con el prin­
cipio de suprim ir una prem isa verdad era, siendo de nu evo un aspecto
en el que falla el form alism o. Con el fin de aplicar una regla de infe­
rencia, es form alm ente necesario tener una prem isa que afirm e que el
caso presente pertenece a esa regla; por lo ta n to necesitarem os afirm ar
la regla por la cual podem os p asar de la regla al p articu lar, y tam bién
afirm ar que nos hallam os ante un caso p articu lar de esa regla, y así in ­
definidam ente. E l hecho es que, evidentem ente, cualqu ier proposición
g aran tizada por una regla de inferencia vale de m odo real y no es
sim plem ente im plicada por dich a regla. É sto es sim plem ente un ejem ­
plo del principio no form al de suprim ir una prem isa verdadera: si
nuestra regla im plica una cierta im plicación, puede suprim irse la
regla y afirm arse la im plicación. P ero queda el caso do que el bocho
de que nuestra regla im plique la dicha im plicación, si so iutroduce
por com pleto, puede percibirse sim plem ente y no se h alla garantizado
por deducción form al alguna; y a m enudo es tan fácil, y por lo ta n to
tan legítim o, percibir inm ediatam ente la im plicación en cuestión
como percibir que se halla im plicada por una o m ás de las reglas
de inferencia.
R esum iente nuestra discusión acerca de la im plicación form al: U na
im plicación form al, dijim os, es la afirm ación de toda im plicación m a­
terial de una cierta clase; y la clase de im plicaciones m ateriales in v o ­
lucradas es, en casos sim ples, la clase de todas las proposiciones en
las que se afirm a que una aserción fija dada, hecha respecto a cierto
sujeto o sujetos, im plica otra aserción fija dada concerniente al mismo
sujeto o sujetos. D onde se halle establecid a una im plicación formal
coincidirem os en considerarla, siem pre que sea posible, com o debida
a alguna relación entre las aserciones concernidas. E sta teoría da
origen a m uchos problem as lógicos form idables y requiere, p ara su
defensa, un análisis com pleto de los constituyentes de las proposicio­
nes. A este fin deberem os dedicarnos.
(*)
Logic, libro I I , p a r te I , cap. I I (pág. 227).
C A P ÍTU LO IV
N O M BRES P R O PIO S , A D JE T IV O S Y VERBOS
40.
En este capítulo deben discutirse ciertos tem as que se refieren
a lo que puede llam arse G ram ática filosófica. E l estudio de la G ram á­
tica, de acuerdo con mi opinión, es capaz de ap o rta r m ás luz a los
problem as filosóficos de lo que com únm ente suponen los filósofos. A un­
que no puede adm itirse sin crítica que una distinción gram atical co­
rresponda a una diferencia filosófica genuina, sin em bargo la una es
\prima facie evidencia de la otra, y a m enudo puede utilizarse prove­
chosam ente como fuente de investigación. Debe adm itirse adem ás,
creo, que toda palabra que figura en una sentencia debe poseer algún
significado: un sonido desprovisto en absoluto de sentido no puede
usarse del modo m ás o menos fijo con el que el lenguaje em plea las pala­
bras. Por lo tan to , la corrección de nuestro análisis filosófico de una
proposición puede confrontarse con éxito por medio del ejercicio de
asignar su significado a cada palabra en la sentencia que expresa la
proposición. En general, me parece que la G ram ática nos acerca mucho
m ás a una Lógica correcta que las opiniones corrientes entre los filó­
sofos; y en lo que sigue tom arem os como guía la G ram ática, pero no
hasta el p u n to de flejam os dom inar por ella f1).
En la oración existen tres partes que son especialm ente im portantes:
sustantivos, adjetivos y verbos. E ntro los sustantivos algunos derivan
do adjetivos y verboB, como hum anidad de hum ano, o sucesión de se­
guir. (No hablo de una derivación etimológica, sino de una, lógica.)
Otros, tales como los nom bres propios, o espacio, tiem po y m ateria, no
son derivados, sino que aparecen originariam ente como sustantivos. Lo
que deseamos obtener no es una clasificación de palabras, sino de ideas;
(*) L a excelencia de la G rá m á tic a com o g ula es p ro p o rc io n al a la e sca­
sez de infiexionee, ee decir, al g rad o de análisis e fe ctu a d o p o r el le n g u a je
co n sid erado.
BERTRAND RUSSELL
72
por lo tan to llam aré ad jetivo s o predicados a todas las nociones que son
capaces do sor tales, aun bajo una form a en que la G ra m ática los llam a­
ría sustantivos. E l hecho es que, com o verem os, humano y humanidad
denotan precisam ente el mismo concepto, em pleándose resp ectiva ­
mente estas p alabras de acuerdo al tipo de relación que guarda esto
concepto con los otros constituyentes de una proposición en la que
figura. La distinción que querem os realizar no es idéntica a la d istin ­
ción gram atical entre su stan tivo y a d jetivo , y a que un solo concepto
puede, de acuerdo con las circunstancias, ser su sta n tivo o adjetivo:
lo (jue querem os es la distinción entre nom bres propios y comunes, o
más bien entre los objetos indicados por tales nom bres. En toda p ro­
posición, como vim os en el cap ítu lo III, podem os hacer un análisis
en algo afirm ado y algo respecto a lo que se hace la aserción. Cuando
un nom bre propio figura en una proposición es siem pre, por lo menos
de acuerdo con uno de los posibles m étodos de análisis (cuando hay
varios), el sujeto a! que se refiere la proposición o alguna proposición
con stitu yen te subordinada, y no lo que se dice del sujeto. Por otra
parte, los ad jetivo s y verbos pueden figurar en proposiciones en las
que pueden no considerarse como sujeto sino solam ente como partea
de la aserción. L os a d jetivo s se distinguen por su cap acid ad de denotar
— térm ino que inten to usar en el sentido técnico que discutiré en el
cap ítu lo V — , Los verbos se distinguen por un tipo especial de cone­
xión, sum am ente difícil de definir, con la verdad y falsedad, en virtud
de la cual distinguen una proposición afirm ada de una no afirm ada,
por ejem plo: «César murió» de «la m uerte de César». A h ora debem os
am pliar estas diferencias y com enzaré por la distinción entre nombres
propios y comunes.
47.
La Filosofía se halla fam iliarizada con un cierto conjunto de
distinciones, todas m ás o menos equivalentes: es decir, la distinción
entre sujeto y predicado, sustancia y atrib u to , sustantivo y adjetivo,
esto y lo quz í1). Deseo indicar brevem ente lo que creo que sucede
en realidad con estas distinciones relacionadas. El tem a es im portan­
te, ya que las discusiones entre m onistas y m onadistas, entre idealistas
y em piristas, y entre quienes sostienen y niegan que to d a la verdad
se halla rplacionada con lo que existe, depende, en su to talid ad o en
parte, de la teoría que adoptem os respecto a la cuestión presente.
Pero lo tra tam o s aquí solam ente porque es fundam ental para cual­
quier doctrina del núm ero o de la natu raleza de la variable. Se dejarán
com pletam ente de lado sus relaciones con la Filosofía, por im por­
tan te s que sean.
Llam arem os término a todo lo que pueda ser ob jeto de pensam ien­
to o que pued a figurar en cualquier proposición falsa o verdadera, o
que pueda contarse como uno\. P o r lo tan to , ésta resulta Ber la p alabra
(‘)
E s te ú ltim o p a r de té rm in o s se d eb e a M r. B ra d le y .
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
73
más am plia del vo cab ulario filosófico. U saré como sinónim os de la
misma las p alabras unidad, individuo y entidad. L as dos prim eras
recalcan el hecho de que todo térm ino es uno, m ientras que la tercera
deriva del hecho de que todo térm ino tiene ser, es decir, es en algún
sentido. TJn hombre, un m om ento, un núm ero, una clase, una relación,
una quim era, o cualquier o tra cosa que pueda m encionarse, es segu ra­
mente un término; y siem pre debe ser falso el negar que eso pueda
ser un térm ino.
Q uizá pueda pensarse que una palabra de generalidad tan extrem a
no pueda ser do m ucha u tilidad. Poro ese punto de vista, debido a
ciertas doctrinas filosóficas difundidas, es falso. D e hecho, un térm ino
se halla dotado de todas las propiedades asignadas com únm ente a
las sustancias o sustan tivos. Com encem os porque todo térm ino es
un sujeto lógico: es, por ejem plo, el sujeto de la proposición que dice
que él mismo es uno. A dem ás todo térm ino es inm utable e in d estru c­
tible. Lo que es un térm ino, eso es, y no puede concebirse en el mismo
ningún cam bio que no destru ya su identidad y lo transform e en otro
término (1). O tra señal d istin tiva que se refiere a los térm inos es la de
su identidad num érica con ellos mismos y la diversidad num érica con
todos los dem ás (2). L a identidad y diversidad num éricas son la fuente
de la unidad y de la pluralidad; y de este m odo la acep tación de m u­
chos térm inos d estru ye el monismo. Y parece innegable que todo
constituyente de tod a proposición puede contarse com o uno, y que
ninguna proposición contiene menos de dos constituyentes. Por lo
tanto término es una p alab ra útil, y a que señala la diferen cia entre d is­
tintas filosofías, así com o tam bién porque en m uchas afirm aciones
queremos hablar de cualquier térm ino o de algún térm ino.
48.
E n tre los térm inos es posible distinguir dos clases, que lla­
maré respectivam ente cosas y conceptos. Las prim eras son los térm i­
nos indicados por los nom bres propios, los últim os los indicados por
todas las demás palabras. Aquí deben entenderse los nom bres propios
en un sentido algo m ás am plio del común, y debe entenderse igualm en­
te que las cosas com prenden todos los puntos e instantes particulares,
y m uchas otras entidades que com únm ente no reciben el nom bre de
cosas. E n tre los conceptos, adem ás, deben distinguirse por lo menos
dos clases, a sabe?: los indicados por adjetivos y los indicados por
verbos. Los de la prim era especie se llam arán a m enudo predicados o
conceptos-clase; los de la últim a son siem pre o casi siem pre relaoionee.
(En verbos intransitivos la noción expresada por el verbo es com pleja,
(J) L a noción de té rm in o e x p u e s ta a q u í es u n a m odificació n d e la n o ción
de concepto que ex pone Mr. G. E . M oore, en su a rtíc u lo «On th e N a tu r a of
Ju d g em en t» , en M ind, N. S., n ú ip . 30, de c u y a noción, sin em b arg o , difiere
en alg u n o s p u n to s im p o rta n te s .
(*) A oerca de la id e n tid a d , véase el a rtío u lo de Mr. G. E . M oore en los
Procéedinga of the Aristotelian Society, 1900-1901.
74
BERTRAND RUSSELL
y generalm ente afirm a una relación definida respecto a un relato in ­
definido, como en «Pedro respira».)
Coincidimos con que en una clase grande de proposiciones es po­
sible distinguir, en uno o m ás modos, un sujeto y u n a aserción respec­
to al sujeto. L a aserción debe contener siem pre un verbo, pero Balvo
este punto, las aserciones parecen carecer de propiedades universales.
En una proposición relacional, por ejemplo, en «A es m ayor que B>,
podemos considerar A como el sujeto, y «es m ayor que B d como la
aserción, o a B como sujeto y «A es m ayor que» como aserción. Por
lo tan to , en el caso propuesto existen dos modos de analizar la propo­
sición on sujeto y aserción. Cuando una relación tiene más do dos
térm inos, como en «A está ahora aquí» (x), existirán m ás de dos modos
de llevar a cabo el análisis. Pero en algunas proposiciones existe sola­
m ente un modo: son las proposiciones de sujeto-predicado, talos como
«Sócrates es humano». I>a proposición «la hum anidad pertenece a Só­
crates», que es equivalente a «Sócrates es humano», es una aserción
respecto a la hum anidad; pero es una proposición d istinta. En *Sócrates es humano», la noción expresada por hum ano figura de modo
distinto a aquel en que lo hace cuando se llam a hum anidad, siendo la
diferencia que en el últim o caso, y no en el prim ero, la proposición
■se ri jiere a esta noción. E sto indica que la hum anidad es un concepto,
110 una cosa. Llam aré térm inos de una proposición, por numerosos
que sean, a aquellos que figuran en la m ism a y que pueden considerar­
se como sujetos respecto a los cuales se establece la proposición. Es
característico de los térm inos de una proposición el que cualquiera
de ellos pueda reem plazarse por cualquiera o tra entidad sin que deje­
mos de hallarnos ante una proposición. Así direm os que «Sócrates es
humano» es una proposición que tiene solam ente un térm ino; de los
com ponentes restantes de la proposición, uno es el verbo, el otro es
un predicado. Con el sentido que tiene es en esta proposición dejam os
por com pleto de hallam os ante una proposición si reem plazamos
hum ano por algo d istinto a un predicado,. E n consecuencia, los predi­
cados son conceptos diferentes a verbos y que figuran en proposiciones
que sólo tienen un térm ino o sujeto. Sócrates es u n a cosa, porque Só­
crates nunca puede figurar en u n a proposición si no es como té r­
mino: Sócrates no es susceptible de ese curioso doble uso involucrado
en hum ano y h um anidad. P untos, instantes, trozos de m ateria, estados
m entales particulares, y seres particulares en general, son cosas en el
sentido anterior, y lo mismo sucede con m uchos térm inos que no exis­
ten: por ejem plo, los puntos de un espacio no-euclidianos o los seudopersonajes de u n a novela. Parecería que todas las clases, como n ú ­
(J) E s ta prop o sició n significa iA e s tá en este lu g a r en e ste in stan te* . 8e
m o s tra rá en la p a r te V II que la rela ció n e x p re sa d a no ee red u cib le a u n a
relación de dos té rm in o s.
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
76
meros, hom bres, espacios, etc., cuando se tom an como térm inos sin­
gulares, son cosas; pero esto será tra ta d o en el capítulo VI.
Los predicados se distinguen de los dem ás térm inos por un con­
junto de propiedades m uy interesantes, entre las que descuella su
conexión con lo que he llam ado denotar. Un predicado siem pre da
origen a una hueste de nociones relacionadas: así, adem ás de humano
y humanidad, que sólo difieren gram aticalm ente, tenem os hombre,
un hombre, algún hombre, cualquier hombre, todo hombre, todos los
hombres (’), y todos ellos parecen ser genuinam ente distintos uno del
otro. El estudio de estas diversas nociones es absolutam ente vital
para cualquier filosofía de la M atem ática; y sobre ellas basam os la
im portancia de la teoría de predicados.
49.
P odría pensarse que debería realizarse una distinción entre
un concepto como tal y un concepto usado como térm ino, por ejem ­
plo, entre pares tales como es y ser, humano y humanidad, uno en una
proposición tal como «ésto es uno» y 1 en «1 es un número». Pero
si damos cabida a tal punto de vista nos verem os envueltos en in trin ­
cadas dificultades. E xiste, por supuesto, una diferencia gram atical, la
que corresponde a una diferencia respecto a las relaciones. E n el prim er
caso se usa el concepto en cuestión como concepto, es decir, es, en rea­
lidad, predicado de un térm ino o afirm ado para relacionar dos o más
términos, m ientras que en el segundo caso el concepto mism o se halla
sujeto a un predicado o a una relación. Por lo tan to , no existe ningu­
na dificultad en señalar la diferencia gram atical. Pero lo que quiero
alegar es que la diferencia sólo se base en relaciones externas, y no
en la naturaleza intrínseca de los térm inos. Porque supongam os que
uno como adjetivo difiere de 1 como térm ino. E n esta afirm ación uno
como adjetivo se ha transform ado en térm ino; en consecuencia: o se
ha transform ado en 1 , en cuyo caso la suposición es au to -co n trad ic­
toria, o existe alguna o tra diferencia entre uno y 1 , adem ás del hecho
de que el prim ero denota un concepto que no es un térm ino m ientras
que el segundo denota un concepto que es térm ino. Pero en esta ú lti­
ma hipótesis deben existir proposiciones que se refieran a uno como
térm ino, y aun tendrem os que m antener proposiciones que se refieran
a uno como adjetivo en oposición a uno como té rm ino; pero todas las
tales proposiciones deben ser falsas, ya que una proposición respecto
a uno como adjetivo hace de uno el sujeto, y en realidad se refiere a
uno como térm ino. Abreviando: si existiera cualquier adjetivo que
no pudiera transform arse en sustantivo sin cam biar de significado,
serían falsas todas las proposiciones respecto a tales adjetivos —ya
i1) U so lodoa loa hombrea com o oolectivo, es decir, casi com o sin ó n im o
de la raza, poro que difiere de e lla 'p o r ser p lu ra lid a d y no u n id a d . U sa ré sie m ­
pre todoa co le c tiv a m e n te , lim itá n d o m e a todo p a r a el se n tid o d is trib u tiv o .
Por lo ta n to d iré ctodo h o m b re ea m ortal*, no tto d o s los hom brea so n m ortales».
BERTRAND RUSSELL
76
que los transform arían necesariam ente en sustantivos— y lo mismo
sucedería con la proposición de que todas las tales proposiciones son
falsas, ya que ella m ism a transform a los adjetivos en sustantivos.
Pero este estado de cosas es contradictorio consigo mismo.
El argum ento anterior prueba que teníam os razón al decir que los
térm inos com prenden todo lo que puede figurar en una proposición,
con la posible excepción de complejos de térm inos do la especie d en o ta­
da por cualquiera y palabras sem ejantes a ella (1). Pues si A figura en
una proposición, entonces, en ella A es el sujeto; y acabam os de ver
si A no fuese el sujeto, es exacta y num éricam ente el mismo A que
no es sujeto en u n a proposición y que sí lo es en otra. De este modo
parece ser com pletam ente errónea la teoría de que existen adjetivos o
atrib u to s o cosas ideales, o como quieran llamarse, que son en cierto
modo menos sustanciales, menos subsistentes por sí mismos, menos
auto-idénticos, que los sustantivos verdaderos, y parece poderse re­
ducir fácilm ente a contradicción. Los térm inos que son conceptos di­
fieren de los que no lo son, no respecto a la subsistencia por sí mismos,
sino en virtud del hecho de que, en ciertas proposiciones verdaderas
o falsas, figuran de un modo indefiniblem ente diferente al en que lo
hacen los sujetos o térm inos de relaciones.
50. Dos conceptos tienen, adem ás de la diversidad num érica que
les pertenece como térm inos, otro tipo especial de diversidad que
puede llam arse conceptual. E sto puede caracterizarse por el hecho de
que dos proposiciones, en las que los conceptos figuran de otro modo
que como térm inos, aunque sean idénticas en todo otro sentido, aun
difieren en v irtu d del hecho de que los conceptos que figuran en ellas
son conceptualm ente diferentes. L a diversidad conceptual implica la
diversidad num érica, pero no es verdadera la im plicación recíproca,
porque no todos los térm inos son conceptos. L a diversidad num érica,
como implica su nom bre, es la fuente de la pluralidad, y la diversidad
conceptual es menos im portante p a ra la M atem ática. Pero la posibi­
lidad total de form ular diferentes aserciones respecto a un térm ino
dado o conjunto de térm inos depende de la diversidad conceptual,
que por lo ta n to es fundam ental en Lógica general.
51. R esu lta interesante y no carente de im p o rtan cia el exam inar
m uy brevem ente la conexión en tre la d o ctrin a an terio r de adjetivos^
con ciertos puntos de v ista tradicionales acerca de la n aturaleza de
las proposiciones. Es costum bre considerar todas las proposioionea
como dotadas de un sujeto y de un predicado, es decir, como dotadas
de un esto inm ediato y de un concepto general unido a él a m odo de
descripción. P o r supuesto que e sta explicación de la teoría anterior
chocará a sus adherentes, que la considerarán dem asiado ruda; pero
servirá p a ra d ar una indicación general del p unto de vista que debe
(l )
V éase el c a p ítu lo sig u ien te.
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
77
discutirse. E sta doctrina tiende en su desarrollo, por necesidad lógica
interna, hacia la teoría de la Lógica de Mr. Bradley, de que todas las
palabras representan ideas que tienen lo que él llam a significado, y de
que en todo juicio existo algo, el verdadero sujeto del juicio, que no es
una idea y que no tiene significado. Me parece que el tener significado
es una noción confusam ente com puesta de elem entos lógicos y psico­
lógicos. Todas las qxilabras tienen significado, en el sentido simple de
que son símbolos que representan algo d istinto a ellas. Pero a menos
de que u n a proposición sea lingüística no contiene palabras: contiene
las entidades indicadas por palabras. E n consecuencia, significado, en
el sentido de que las palabras están dotadas de significado, es indife­
rente p a ra la Lógica. Pero conceptos tales como u n hombre tienen sig­
nificado en otro sentido: son, por decirlo así, simbólicos en su propia
naturaleza lógica, porque tienen la propiedad que he llam ado denotar.
Es decir, cuando en una proposición figura u n hombre (por ejemplo,
«Encontré un hom bre en la calle»), la proposición no se refiere al con­
cepto u n fiombre, sino a algo m uy diferente, a un bípedo real denotado
por el concepto. De este modo los conceptos de este tipo tienen sig­
nificado en un sentido no psicológico. Y en este sentido, cuando deci­
mos «éste es un hombre», form ulam os una proposición en la que un
concepto se halla en cierto sentido unido a lo que no es un concepto.
Pero cuando se entiende de este modo el significado, la en tid ad indi­
cada por J u a n no tiene significado, como sostiene Mr. B radley (');
y aun entre los conceptos, sólo los que denotan tienen significado. Creo
que la confusión se debe principalm ente a la noción de que en las pro­
posiciones figuran palabra -s, lo que a su vez se debe a la noción de que
las proposiciones son esencialm ente m entales y deben identificarse
con conocimientos. Pero no debemos tra ta r más estos tópicos de F ilo­
sofía general en nuestro trab ajo .
52.
Queda por discutir el verbo, y por encontrar las señales por
las que so distingue del adjetivo. Tam bién respecto a los verbos existe
una doble form a gram atical correspondiente a una diferencia en rela­
ciones sim plem ente externas. E stá el verbo én la form a que tiene como
verbo (pueden no considerarse las diferentes inflexiones de esta form a),
y está el verbo sustantivo, indicado por el infinitivo o (en inglés) por
el participio presente. La distinción es la m ism a que en tre «Felton
m ató a Buckingham» y «Matar sin asesinar*. A nalizando esta diferen­
cia aparece la n aturaleza y función del verbo.
E s claro que el concepto que figura en el nom bre verbal es exac­
tam ente el mism o que figura como verbo. E sto resulta del argum ento
anterior de que todo constituyente de to d a proposición debe, bajo
pena de auto-contradicción, ser susceptible de transform arse en sujeto
lógico. Si decimos m a t a no qüiere decir lo mismo que m a ta n , y a hemos
(»)
Logic, libro I , cap. I,
17, 18 (pA$a. 68-QO),
78
BERTRAND RUSSELL
hecho de mata un sujeto, y no podem os decir que el concepto expresado
por la palabra mala no puede transform arse en sujeto. D e este m odo,
el mismo verb o que figura com o ta l puede hacerlo tam bién como su­
jeto. E l problem a es: ¿Qué diferencia lógica se halla exp resada en la
diferencia de form a gram atical? Y resulta claro que la diferencia
debe hallarse en las relaciones externas. Pero cuando se tra ta de verbos
existe adem ás o tra cuestión. Transform ando el verbo, tal como figura
en una proposición, en un nom bre verbal, puede transform arse to d a la
proposición en un solo sujeto lógico, que y a no está afirm ado y que
y a no contiene en sí mismo la verdad o falsedad. Poro tam bién aquí
parece no e x istir la posibilidad de sostener que el sujeto lógico que
aparece es una entidad diferente de la proposición. «César murió» y
«la m uerte de César» servirán de ejem plo. Si preguntam os: ¿Qué es lo
que se afirma en la proposición «César murió»?, la respuesta deberá ser
«se afirma la m uerte de César». E n este caso parecería quo es la m uerte
de César lo que es verdadero o falso; y sin em bargo no puede atribuirse
ni verdad ni falsedad a un sim ple sujeto lógico. L a respuesta parece
ser que la m uerte de César gu arda una relación ex tern a con la verdad
o falsedad (como podría suceder), m ientras que «César murió» contiene
de un m odo u otro su propia verd ad o falsedad como elem ento. Pero
si éste es el anáfisis correcto, resulta d ifícil ver cóm o difiere «César
murió» de «la verd ad de la m uerte de César» en el caso en que es v e r ­
dadera, o «la falsedad de la m uerte de César» en el otro caso. Sin
em bargo resulta m uy claro que lo últim o no es eq u ivalen te en modo
alguno a «César murió». P are ce que aquí existiera una noción ú ltim a
de aserción, dada por el v e rb o , que se pierde tan pronto como lo sus­
tituim os por un nom bre verb al, y que se pierde cuando la proposición
en cuestión se transform a en el sujeto de algu n a otra proposición.
E sto no depende de la form a gram atical; porque si digo «César murió
es una proposición» no afirmo que César m urió, y ha desaparecido un
elem ento que se h allab a presente en «César murió». D e este m odo, la
contradicción que debía haberse evitad o — una en tid ad que no puede
transform arse en sujeto lógico— , aparece aquí como in evitab le. No
sé cómo tra ta r satisfactoriam ente esta dificu ltad, que parece ser inhe­
rente a la propia n atu raleza de verd ad y falsedad. E l m odo m ás e v i­
dente consistiría en decir que la diferencia entre una-proposición afir­
m ada y una no afirm ada no es lógica, sino psicológica. E n el sentido
en que pueden afirm arse las proposiciones falsas, esto resulta dudosa­
m ente verdadero. Pero existe otro sentido de aserción, m uy d ifícil de
concebir claram ente, y sin em bargo innegable, b a jo el cual sólo se
afirm an las proposiciones verdaderas. T a n to las proposiciones v e rd a ­
deras com o las falsas son, en cierto sentido, entidades, y son, en cierto
sentido, susceptibles de tr a n fo r m a r s e en sujetos lógicos; pero cuando
sucede que u n a proposición es verdad era, tiene o tra cualidad, adem ás
de la que com parte cqh \as ^roposigipnea falsas, y oe 98ta, cu^ d^ d,
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA
7d
adicional lo que quiero significar con aserción en un sentido lógico,
en contraposición al sentido psicológico. Sin em bargo, la n a tu ra le ­
za de verdad no se refiere m ás a los principios de la M atem ática
que a los de cualquier o tra cosa. P or lo ta n to dejo este problem a
para los lógicos con la breve indicación anterior de que existe una
dificultad.
53. Puede preguntarse si todo lo que es un verbo, en el sentido
lógico al que nos estam os refiriendo, expresa o no una relación. P a re ­
cería que, si tuviéram os razón al sostener que «Sócrates es humano*
es una proposición que sólo tiene un térm ino, el es de esta proposición
no puede expresar una relación en el sentido ordinario. E n realidad,
las proposiciones de sujeto-predicado se distinguen ju stam en te por este
carácter no relacional. Sin em bargo, se halla ciertam ente implicada
una relación entre Sócrates y hum anidad , y es m uy difícil concebir
una proposición que no exprese en absoluto una relación. Quizá po­
dríamos decir que es una relación, aunque se distingue de otras rela­
ciones en que no puedo considerarse como una aserción que se refiera
indiferentem ente a cualquiera de sus térm inos, sino solam ente como
una aserción respecto al referente. U na consideración sem ejante pue­
de aplicarse a la proposición h.A es», que vale sin excepción p a ra todo
término. El es de la m ism a es m uy diferente al es de «Sócrates es
humano»; puedo considerarse como complejo, y como predicado en
realidad el ser de A . De este modo siem pre puede considerarse el ver­
dadero verbo lógico en u n a proposición como afirm ando una relación.
Pero es ta n difícil saber exactam ente lo que se entiende por relación,
que todo el problem a se halla en peligro de llegar a ser puram ente
verbal.
54. L a doble n aturaleza del verbo, como verbo propiam ente dicho
y como nom bre verbal, puede expresarse, si se considera que todos los
verbos son relaciones, como la diferencia entre m ía relación en sí
misma y una relación que en realidad relaciona. Consideremos, por
ejemplo, la proposición <A difiere de B ». Si analizam os los c o n stitu ­
yentes de esta proposición parecen ser A , diferencia, B. Sin em bargo,
estos constituyentes así colocados el uno al lado del otro no reconsti­
tuyen la proposición. La diferencia que hay en la proposición relaciona
realmente A y B, m ientras que la diferencia de acuerdo con análisis,
es una noción que no tiene conexión con A y B . Puede decirse que en
el análisis debemos m encionar las relaciones que la diferencia tiene
con A y B , relaciones expresadas por es y de cuando decim os <u4 es
diferente de B t. E sta s relaciones consisten en el hecho de que A es
referente y B es relato con respecto a la diferencia. Pero l A , referente,
diferencia, relato, B » sigue siendo sim plem ente una lista de térm inos
y no una proposición. E n realidad, u n a proposición es esencialm ente
una unidad, y cuando el análisis ha destruido la unidad, ningrmn.
enumeración de los constitu y en te s puede reconstituir la proposición.
80
B ERTRAND RUSSELL
E l verbo, cuando se usa com o verbo, encierra la u nidad de la propo­
sición, y por lo ta n to es distinguible del verbo considerado com o té r­
mino, aunque no puedo dar una explicación clara de la natu raleza
precisa de esa distinción.
55.
P uede dudarse acerca de si el concepto general de diferencia
figura en la proposición «A difiere de B », o si no ex iste más bien una
diferencia específica de A y B y otra diferencia específica de C y D ,
que se afirm an respectivam ente en las proposiciones lA difiere de Bd
V «C difiero do £>*. De este modo, diferencia so transform a en un con­
cepto-clase del que existen tan tos casos com o pares de térm inos d ife­
rentes; y podría decirse, en frase platónica, que los casos com parten
la n atu raleza do la diferencia. Com o este punto es vita l en la teoría
de las relaciones, bueno será referirse con m ás am p litu d al mismo. Y
en prim er lugar debo señalar que en «A difiero de B » trataré de consi­
derar la diferencia num érica pura en virtu d do la cual son dos, y no
diferencia en este o aquel respecto.
Probem os en prim er lugar la hipótesis de que una diferencia es
una noción com pleja com puesta por diferencia ju n to con alguna cu a ­
lidad especial que distingue una diferencia p articu lar de tod a otra
diferencia particular. E n lo que respecta a la relación de diferencia
en sí m ism a, debem os suponer que no se pueden realizar distinciones
entre los diferentes casos; sino que deben existir diferentes cualidades
asociadas en ellos. Pero desde que los casos se distinguen por sus
térm inos, la cualidad debe hallarse intrínsecam ente asociada con los
térm inos, no con la diferencia. Si la cualidad no fuera una relación,
no podría tener conexión especial con la diferen cia de A y B que de­
bería hacer distinguible de la diferencia pura, y si falla en esto resulta
carente de im portancia. Por o tra parte, si fuese una nueva relación
entre A y B , adem ás de la diferencia, deberíam os sostener que cu a l­
quier par de térm inos tiene dos relaciones, diferen cia y diferencia es­
pecífica, esta ú ltim a válid a p a ra cualquier otro p ar de térm inos. E ste
punto de v is ta es com binación de otros dos, de los que el prim ero
sostiene que la relación general a b stra cta de diferencia vale por sí
misma entre A y B , m ientras que la segunda sostiene que cuando
dos térm inos difieren tienen, en correspondencia con este hecho, una
relación específica de diferencia, única e inanalizable, y que no guardan
entre sí ningún otro par de térm inos. P ued e sostenerse cualquiera de
estos puntos de v ista negando o afirm ando el otro. Veam os lo que se
puede decir en favo r y en co n tra de ellos.
C ontra la noción de las diferencias específicas debe deoirse que si
las diferencias difieren, tam bién deben diferir sus diferencias respecto
a cualquier otra, y de este m odo nos vem os llevados a un proceso
infinito. L o s que ob jetan los'procesos infinitos verán en esto una prue­
ba de que las diferencias no difieren. P ero en el trab ajo presente se
sostiene que no h a y contradicciones peculiares con la noción de infi­
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
81
nito, y que un proceso infinito no puede objetarse a menos de que surja
en el análisis del significado actual de una proposición. E n el caso
presente, el proceso es uno de implicaciones, no de análisis; por lo
tanto debe considerársele inofensivo.
Contra la noción de que la relación a b stra c ta de diferencia se halla
establecida entre A y B , tenem os el arg u m en ta derivado del análisis
de <u4 difiere de JS», que d a origen a la presente discusión. Debe tenerse
en cuenta que la hipótesis que com bina la diferencia general y espe­
cífica debo suponer (pie existen dos proposiciones distintas: la una, que
afirma la diferencia general; la otra, que afirm a la específica. Por
consiguiente, si no existiera una diferencia general entre A y B , esta
hipótesis m ediadora sería tam bién imposible. Y vemos que resu lta vana
la te n ta tiv a de evitar la falla del análisis incluyendo en el significado
de «A difiero do B» las relaciones de diferencia con A y B. E s ta te n ­
tativ a conduce en realidad a un proceso infinito del tipo inadm isible;
porque deberíam os incluir las relaciones de las dichas relaciones con
A y B y diferencia, y así sucesivam ente, y en esta com plejidad con­
tinuam ente creciente se supone que analizam os solam ente el sig n ifi­
cado de nuestra proposición original. E ste argum ento establece un
punto de una im portancia m uy grande, a saber: que cuando se establece
una relación entre dos térm inos, las relaciones de la relación con los
términos y de estas relaciones con la relación y los térm inos, y así
ad in fin ilu m , aunque se hallan todas im plicadas por la proposición
que afirm a la relación original, no form an p a rte del significado de
esta proposición.
Pero el argum ento anterior no es suficiente p ara dem ostrar que
la relación de A a B no puede ser diferencia ab stracta: puede soste­
nerse que, como se sugirió al principio, la solución verdadera se halla
en considerar to d a proposición como d o tad a de una especie de unidad,
que el análisis no puede conservar y que se pierde aun cuando el a n á ­
lisis la m encione como elem ento en la proposición. E ste punto de vista
tiene, sin duda, sus propias dificultades, pero el p u n to de vista de
que no existen dos pares de térm inos que puedan tener la misma
relación contiene dificultades de carácter propio y falla adem ás al
tra tar de resolver las dificultades con cuyo fin fuera creado. Pues aun
cuando la diferencia entre A y B fuera absolutam ente peculiar de
A y B , aun los tres térm inos A , B , diferencia de A a B , no reconstru­
yen la proposición «^4 difiere de B », del mismo modo que no lo hacían
A y B y diferencia. Y parece ser claro que, aunque las diferencias
difieran, aun deberían tener algo en común. Pero el modo m ás general
según el cual dos térm inos pueden ten er algo en com ún es él da que los
dos guarden una relación d a d a con un térm ino dado. P o r consiguiente,
si no existe un p ar de térm inos que pueda ten er la m ism a relación, se
concluye que no existen d o s'térm inos que puedan ten er cosa alguna
en común, y por lo ta n to diferencias diferentes no pueden ser en
LOS
P R IN C IP IO S
DE LA M A T E M A T IC A .— 6
82
BERTRAND RUSSELL
sentido definible algunos casos particulares de diferencia (*). Concluyo,
pues, que la relación afirm ada entre A y B en la proposición *A d i­
fiere de B » es la relación general de diferencia, y es precisa y num érica­
m ente la misma que la relación afirm ada entre 0 y D en «C difiere
de Dt>. Y por las mismas razones debe sostenerse que e sta doctrina es
verdadera para toda otra relación; las relaciones no tienen casos p a r­
ticulares, sino que son estrictam ente las m ism as en todas las propo­
siciones en que figuran.
Ahora podemos resum ir los puntos principales leucidados en nues­
tra discusión del verbo. El verbo, dijim os, es un concepto que, como
el adjetivo, puede figurar en una proposición sin ser uno de los térm i­
nos de la m ism a, aunque puede transform arse tam bién en sujeto
lógico. En toda proposición debe figurar un verbo y sólo uno; pero
toda proposición, al transform ar su verbo en nom bre verbal, puede
transform arse en un sujeto lógico singular de una especie que llamaré
en el futuro concepto proposicional. Todo verbo, en el sentido lógico
de la palabra, puede considerarse como relación; cuando figura como
verbo, efectivam ente relaciona, pero cuando se halla como nom bre
verbal es la relación p u ra considerada independientem ente de los
térm inos que relaciona. Los verbos, a diferencia de los adjetivos, no
presentan casos particulares, sino que son idénticos en todos los casos
de su ocurrencia. Debido al modo en que el verbo relaciona realm ente
los térm inos de una proposición, to d a proposición tiene una unidad
que la hace d istin ta de la sum a de sus constituyentes. Todos estos
puntos contribuyen a crear problem as lógicos que deberían tratarse
com pleta y profundam ente en el tra ta d o de Lógica.
H abiendo dado una idea general sobre la n aturaleza de los verbos
y adjetivos, procederé, en los dos capítulos siguientes, a la discusión
que surge de la consideración de los adjetivos, y en el capítulo V II a
los tópicos relacionados con los verbos. H ablando im propiam ente, las
clases se hallan relacionadas con los adjetivos, m ientras que las fun­
ciones proposicionales involucran verbos. É sta es la razón por la que
ha sido necesario tra ta r con tal extensión un tem a que a prim era
vista parecería hallarse algo d ista n te de los principios de la M atem ática.
*
(l) E l a rg u m e n to a n te rio r p arece d e m o stra r q u e la te o ría d e los u n i­
versales de Mr. M oore con casos p a rtic u la re s diverso s en su m em o ria sobre
la Id e n tid a d (Proceedings of the Aristot-elian Society, 1900-1901) no d eb e ap li­
carse a to d o s los co n cep to s. L a relación de u n caso p a r tic u la r con su u n iv e r­
sal d ebe ser real y n u m é ric a m e n te la m ism a en to d o s los casos en que figura.
CA PITU LO
V
D E N O T A R
56.
La noción de denotar, como la m ayoría de las nociones de la
Lógica, ha sido oscurecida h asta el presente por una mezcla psicoló­
gica indebida. E x iste un sentido según el cual nosotros denotam os,
cuando señalam os, describim os o em pleam os palabras como símbolos
de conceptos; pero no es éste el sentido que deseo discutir. Pues el
hecho de que la descripción sea posible —de que em pleando conceptos
seamos capaces de designar una cosa que no es un concepto— , se debe
a la relación lógica entre algunos conceptos y algunos térm inos, en
virtud de la cual tales conceptos denotan en form a inherente y lógica
tales térm inos. É ste es el sentido de den o tar que querem os tra ta r.
Esta noción — creo— se halla en la base de todas las teorías de la
sustancia, de la lógica del sujeto-predicado, y de la oposición entre
cosas e ideas, pensam iento discursivo y percepción inm ediata. E stos
diferentes desarrollos me parecen equivocados en su m ayor parte,
m ientras que el hecho fundam ental en el que han tenido origen
apenas si se discute en su pureza lógica.
Un concepto denota cuando, al figurar en una proposición, la p ro ­
posición no se refiere a ese concepto, sino a un térm ino conectado de
un cierto modo peculiar con dicho concepto. Si digo «encontré a un
hombre», la proposición no se refiere a u n hombre: éste es un concepto
que no anda por las calles, sino que vive en el limbo um broso de los
libros de Lógica. Lo que encontré es una cosa, no un concepto, un
hombre real, con un sastre y una cuenta en el banco o una tab e rn a
y una m ujer bebida. Igualm ente, la proposición «cualquier núm ero
finito es par o impar» es com pletam ente verdadera; pero el concepto
«cualquier núm ero finito» no es par ni im par. Sólo los núm eros p a rtic u ­
lares son pares o impares; adem ás de ellos no hay otra e n tid ad cual­
quier núm ero que sea par o im par, y si existiera, resulta evidente que
no puede ser par y que no puede ser im par. Acerca del concepto
«cualquier número», casi todas las proposiciones que contienen 1*
84
BERTRAND RUSSELL
frase «cualquier número» son falsas. Si deseamos referirnos al concepto
debemos indicar esto en letra cursiva o entre comillas. La gente afir­
ma a m enudo que el hombro es m ortal; pero lo que es m ortal m orirá,
V sin em bargo nos extrañaríam os de hallar en el T im es una noticia
como ésta: «Murió en su residencia de Camelot, Gladstono Road,
U pper Tooting, el 18 de junio de 1 0 ... ¡Hombre, hijo m ayor de M uerte
y Vicio'.» E n realidad, Hombre no muere; por lo que si «el hom bre es
mortal* fuera, como parece serlo, una proposición referente a hombre
sería falsa. El hecho es que la proposición se refiere a los hombres,
y no al concepto hombres, sino a lo que denota este concepto. Toda
la teoría de la definición, de la identidad, de clases, del simbolismo
y de la variable se halla contenida en la teoría de denotar. E sta
noción es fundam ental en Lógica y, a pesar de las dificultades que
presenta, es tan esencial como para aclararla en lo posible.
57.
La noción de denotar puede obtenerse por una especie de
génesis lógica a p a rtir de las proposiciones de sujeto-predicado, de las
que parece depender en m ayor o m enor grado. Las proposiciones
más simples son aquellas en las que figura un predicado en form a
d istin ta que como térm ino, y que sólo tienen un térm ino del cual se
afirma el predicado en cuestión. Tales proposiciones pueden llamarse
proposiciones de sujeto-predicado. Son ejemplos: A es, A es uno, A es
hum ano. Los conceptos que son predicados pueden llam arse tam bién
conceptos-clase, porque dan origen a clases, pero nos resultará nece­
sario distinguir en tre las palabras predicado y concepto-clase. Las
proposiciones del tipo sujeto-predicado siem pre im plican y son im pli­
cadas por otras proposiciones del tipo de las que afirm an que un indi­
viduo pertenece a una clase. Así, los ejem plos anteriores son equiva­
lentes a: A es una entidad, A es u n a unidad, A es un hom bre. E stas
proposiciones nuevas no son idénticas a las anteriores, ya que pre­
sentan una form a com pletam ente diferente. Comencemos porque
ahora es es el único concepto no usado como térm ino. Veremos que un
hombre no es ni concepto ni térm ino, sino una cierta especie de com ­
binación de ciertos térm inos, a saber: los que son hum anos. Y la rela­
ción de Sócrates a un hombre es m uy diferente a su relación con hu­
m anidad. Por supuesto que debe considerarse que si el p untó de vista
anterior es correcto, «Sócrates es humano» no es, en el sentido más
común, un juicio de relación en tre Sócrates y hum anidad, y a que
este punto de vista haría aparecer a humano como térm ino en «Só­
crates es humano». P o r supuesto que en «Sócrates es humano» se
im plica una relación con hum anidad, la relación expresada por «Só­
crates tiene hum anidad»; y esta relación im plica recíprocam ente la
proposición de sujete-predicado. Pero las dos proposiciones pueden
distinguirse claram ente, y p ara la teoría de clases eá im portante que
esto pueda realizarse. Así tenem os, en el caso de todo predicado, tres
tipos de proposiciones que $e ipipücan la u n a a la o tra , a saber; «Só-
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
85
orates es humano*, «Sócrates tiene humanidad» y «Sócrates es un
hombre». L a prim era contiene un térm ino y un predicado, la segunda
dos térm inos y una relación (siendo el segundo térm ino idéntico al
predicado do la prim era proposición) (*), y la tercera contiene un
térm ino, una relación, y lo que llam aré una disyunción (térm ino que
será exp licad o brevem ente) (2). E l concepto-clase difiere en poco, si
en algo, del correspondiente al predicado, m ientras que la clase, en
oposición al concepto-clase, es la sum a o conjunción de todos los
térm inos que tienen el predicado dado. L a relación que figura en el
segundo tipo — Sócrates tiene hum anidad— se halla com pletam ente
caracterizad a por el hecho de que im plica y se halla im p licad a por
una proposición con sólo un térm ino y en la que el otro térm in o de la
relación se ha transform ado en predicado. U na clase es cierta com b i­
nación de térm inos, un concepto-clase se h alla estrecham ente rela­
cionado con un predicado, y los térm inos cu ya com binación form a la
clase se hallan determ inados por el concepto-clasel En cierto sentido,
los predicados Bon el tipo m ás sim ple de conceptos, porque figuran en
el tipo m ás sim ple de proposición.
58.
U nido a todo predicado existe una gran variedad de con­
ceptos estrecham ente ligados, que es im portante distinguir en todo lo
que tienen de distintos. Com enzando, por ejemplo, con hum ano ,
tenem os hombre, hombres, todos los hombres, todo hombre, cualquier
hombre, la raza hum ana, de los cuales todos son dobles excepto el
prim ero, un concepto que denota y un objeto denotado; tenem os
tam bién, menos estrecham ente relacionados, las nociones de «un hom ­
bre» y «algún hombre», que denota tam bién objetos (3) distintos a sí
mismos. E ste vasto ap arato relacionado con todo predicado debe
tenerse en cuenta, y debe realizarse un esfuerzo para efectuar un a n á ­
lisis de todas las nociones anteriores. Pero por el m om ento debemos
referirnos a la propiedad de denotar m ás bien que a los diferentes
conceptos que denotan.
L a com binación de conceptos para fQrmar nuevos conceptos, de
m ayor com plejidad que sus constituyentes, es un tem a sobre el que
m ucho han dicho los que escriben sobre L ógica. Pero la com binación
(')
Com p. § 49.
E x iste n dos proposiciones rela cio n a d as e x p re sa d a s p o r las m ism as
p a la b ra s, a sa b er: «Sócrates es un-hom bre» y «Sócrates es-u n hom bre*. L a
co n sid eració n a n te rio r se a p lica a la p rim e ra ; pero en ad e la n te , a m en o s de qu e
se in d iq u e lo co n tra rio con un g uión o alg ú n o tro m edio, siem p re nos re fe ri­
rem os a la ú ltim a . L a p rim e ra in d ic a la id e n tid a d de S ó crates con u n in d iv i­
duo; la ú ltim a indica la relación de S ócrates con el co n cep to -clase hombre.
(*) U saré la p a la b ra objeto en u n se n tid o m ás amplito q u e término, p a ra
c u b rir ta n to el sin g u la r com o el p lu ral, y ta m b ié n los casos d e am b ig ü e d a d ,
tales com o «un hom bre*. E l hecho de q u e p u e d a id earse u n a p a la b ra con
un sen tid o m á s am plio que término d a origen a g rav es p ro b lem as lógioos.
Com p. § 47.
i1)
86
BERTRAND RUSSELL
de té rm inos para form ar lo que por analogía podría llam arse complejo
de térm inos ea un tem a sobre el que los lógicos nos dan la información
más escasa posible. Sin em bargo, el tem a es de im portancia vital para
la filosofía de la M atem ática, ya que tan to la natu raleza del núm ero
como la de la variable giran en torno a ese punto. Seis palabras que
se presentan constantem ente en la vida diaria son tam bién caracte­
rísticas de la M atem ática: éstas son las palabras todos, todo, cualquier,
un, algún y el. P a ra corrección del razonam iento es necesario que estas
palabras se distingan en form a clara la una de la otra; pero esto se
halla erizado de dificultades, y casi está com pletam ente dejado de
lado por los lógicos í1).
Comencemos por dejar establecida la notoria evidencia de que
una frase que contenga una de las seis palabras anteriores siempre
denota. Será conveniente, para la presente discusión, distinguir un
concepto-clase de un predicado: llam aré a hum ano predicado y a
hombre concepto-clase, aunque quizá la distinción sea solam ente ver­
bal. L a característica de un concepto-clase, distinguiéndolo do los
térm inos en general, es la de que «x es un u » es una función proporcio­
nal cuando y sólo cuando u es un concepto-clase. Debe tenerse en
cuenta que cuando u no es un concepto-clase, no nos hallamos an to
una proposición falsa, sino que no estam os en absoluto fronte a una
proposición, cualquiera sea el valor que demos a x. E sto nos perm ite
distinguir un concepto-clase que pertenezca a la clase vacía, para
la que to d a las proposiciones de la form a anterior son falsas, de un
térm ino que no es en absoluto concepto-clase, p ara el que no existen
proposiciones de la form a anterior. Tam bién aclara que un conceptoclase no es un térm ino en la proposición <tr es un u», porque u tiene
una variabilidad restringida para que la fórm ula siga siendo propo­
sición. A hora podem os decir que u n a frase que d en o ta siem pre con­
siste en un concepto-clase precedido por una de las seis palabras
anteriores o algún sinónim o de u n a de ellas.
59.
E l problem a con el que nos enfrentam os en prim er lugar en
la consideración de denotar es el siguiente: ¿Existe un modo de denotar
seis tipos diferentes de objetos, o son diferentes los m odos de denotar?
¿Y en el últim o caso, el objeto denotado es el m ism o en todos los seis
casos o difiere del mismo modo en que lo hace la form a de denotarlo?
P a ra poder responder a esta p reg u n ta sería necesario explicar en pri­
m er lugar las diferencias entre las seis palabras que se están consi­
derando. Aquí será conveniente om itir en un principio la p alab ra el,
pues ésta se halla en posición d istin ta a la de las dem ás, y se halla
ligada a lim itaciones de las que las otras están exentas.
(*) S obre el a rtíc u lo indefinido, M einong fo rm u la a lg u n a s co n sid era­
ciones in te re sa n te s, « A bstrahiren u n d V ergleichen», en Zeitschrift für Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane, vol. X X IV , p ág . 63.
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
87
En los casos en que la clase definida por un concepto-clase tiene
solam ente un núm ero finito de térm inos, es posible om itir com pleta­
m ente el concepto-clase, e indicar los varios objetos denotados enu­
m erando los térm inos y ligándolos por medio de y u o, según sea el
caso. Si consideram os en prim er lugar este caso podrem os aislar una
parte de nuestro problem a, aunque la falta de sutileza en el lenguaje
haga difícil cap tar la diferencia entre objetos indicados por la m ism a
forma de palabras.
Comencemos considerando solam ente dos térm inos, por ejemplo:
Ju an y Pedro. Los objetos denotados por todos, todo, cualquier, un
y algún (') se hallan respectivam ente com prendidos en las cinco pro­
posiciones siguientes: 1 ) Ju a n y Pedro son dos de los pretendientes
de Lidia; 2 ) Ju a n y Pedro cortejan a Lidia; 3) si encontraste a Ju a n
o a Pedro, era un enam orado muy ardiente; 4) si era uno de los p re­
tendientes de Lidia, tenía que ser Ju a n o Pedro; 5) L idia se casará
con J u a n o con Pedro. Aunque estas proposiciones com prenden sola­
m ente dos formas de palabras, J u a n y Pedro y J u a n o Pedro, sostengo
que se hallan com prendidas cinco combinaciones diferentes. Las dis­
tinciones, algunas de las cuales son m uy sutiles, pueden aclararse con
las siguientes consideraciones. En la prim era proposición es J u a n y
Pedro, los que son dos, lo que no es verdadero p a ra cada uno por
separado; sin em bargo, no es el todo com puesto por J u a n y Pedro
el que es dos, porque éste es sólo uno. E l dos es u n a com binación
genuina de J u a n y Pedro, tipo de com binación qué, como verem os
en el capítulo siguiente, es característico de las clases. E n la segunda
proposición por el contrario, lo que se afirm a es verdadero p a ra Ju a n
y Pedro separadam ente; la proposición es equivalente, aunque, creo,
no es idéntica, a «Juan hace la corte a L idia y Pedro hace la corte a
Lidia». D e este modo, la com binación indicada aquí con el y no es la
misma que en el prim er caso, el que se refería a todos ellos colectiva­
mente, m ientras que éste se refiere a todos distributivam ente, es decir,
a cada uno de ellos. P a ra distinguirlas, llam arem os a la prim era conjun­
ción numérica, porque da origen al núm ero, y a la segunda conjunción
proposicional, y a que la proposición en que figura es equivalente a una
conjunción de proposiciones. (D ebe tenerse en cuenta que la conjun­
ción de proposiciones que estam os considerando es de un tipo diferente
al de cualquiera de las com binaciones que estam os considerando, sien­
do en realidad del tipo llam ado producto lógico. Las proposiciones
se com binan en su cualidad de proposiciones, no como térm inos.)
La tercera proposición d a el tipo de conjunción por m edio del cual
se define cualquiera. R especto a esta noción existe cierta dificultad,
(') I n te n to d istin g u ir e n tre u n y algún de u n m odo no g a ra n tiz a d o por
el len g u aje; la d istin ció n de todos y todo es ta m b ié n u n a su tilez a de le n g u aje .
A m bas son necesarias p a r a e v ita r circunlocuciones.
88
BERTRAND RUSSELL
pues parece ser a inedias conjunción y disyunción. E sta noción se
explicará del modo siguiente. Sean a y b dos proposiciones diferentes,
cada una de las cuales im plica u n a tercera proposición c. E ntonces la
disyunción *a o ó» im plica c. A hora bien, sean a y b proposiciones que
asignan el mismo predicado a dos sujetos diferentes, entonces existe
una com binación de los dos sujetos a la cual pueda aplicarse el p re­
dicado dado de modo que la proposición resu ltan te sea equivalente
a la disyunción «a o 6». Supongam os entonces que tenem os «si encuen­
tras a Ju a n , encontrarás a un enam orado m uy ardiente», y «si encuen­
tras a Pedro, encontrarás un enam orado m uy ardiente». Do aquí
inferimos: «si encuentras a J u a n o si encuentras a Pedro, encontrarás
a un enam orado m uy ardiente», y esto lo consideram os como equiva­
lente a «si encuentras a Ju a n o a Pedro, etc.». La com binación do J u a n
y Pedro indicada aquí es la m ism a que la señalada por uno u otro de
ellos. Difiere de una disyunción por el hecho de que implica y se halla
im plicada por una afirmación concerniente a ambos; pero en algunos
casos más <om plicados falla esta implicación m utua. El m étodo de
combinación es, en realidad, diferente al indicado por ambos, y se
distingue igualm ente de las dos forméis de disyunción. Lo llam aré
conjunción variable. L a prim er form a de disyunción se halla dada
por 4): ésta es la form a que denotaré con un enam orado. Aquí, a
pesar de que tenga que ser J u a n o Pedro, no es verdadero que deba
ser Ju a n , y tam poco que deba serlo Pedro. De este modo, la proposi­
ción no es equivalente a la disyunción de proposiciones «debe haber
sido J u a n o debe haber sido Pedro». De hecho, la proposición no es
posible de afirm ación ni como conjunción ni como disyunción de p ro ­
posiciones, excepto en una form a m uy rebuscada: «si no fue J u a n ,
fue Pedro, y si no Pedro, fue Juan», form a que rápidam ente resulta
intolerable cuando el núm ero de térm inos sobrepasa a dos, y llega
a ser teóricam ente inadm isible cuandó el núm ero de térm inos es in ­
finito. P or esto, esta form a de disyunción denota un térm ino variable,
es decir, sea que nos fijemos en uno cualquiera de esos térm inos, no
denota ese térm ino, y sin em bargo denota uno u otro de ellos. De
acuerdo con ello llam aré a esta form a disyunción variable. Finalm ente,
la segunda form a de disyunción se halla d ad a por ñ). É sta es la que
llam aré disyunción constante, y a que aquí o so halla denotado J u a n o
se halla denotado Pedro, pero la alte rn a tiv a es indecisa. Es decir,
n uestra proposición es ahora equivalente a u n a disyunción de propo­
siciones, a saber: «Lidia se casará con Ju a n o se casará con Pedro.» Se
casará con alguno de los dos, y la disyunción d en o ta a uno entre los
dos, aunque puede denotar a cualquiera de ellos. E n consecuencia, las
cinco com binaciones son distintas.
Debe tenerse en cuenta que estas cinco combinaciones no apo rtan
ni térm inos ni conceptos, sino sola y estrictam en te com binaciones de
térm inos. L a prim era ap o rta m uchos térm inos, m ientras que las dem ás
(
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
89
aportan algo absolutam ente peculiar, que no es ni unidad ni pluralidad.
Las com binaciones son com binaciones de térm inos llevad as a cabo
sin el uso de relaciones. C orrespondientem ente a cada com binación
existe, por lo menos si los térm inos com binados form an una clase, un
concepto perfectam en te definido, que denota los varios térm inos de la
com binación com binados de modo específico. P a ra exp licar esto repi­
tamos nuestras distinciones en un caso en que no se enum eran los
térm inos que deben com binarse, sino que se definen com o térm inos
de una cierta clase.
CO. Cuando se da un concepto-clase a, debe tenerse en cuenta
que tam bién se flan los diferentes térm inos que pertenecen a la clase.
E sto es, que puede decirse si cualquier térm ino que se propon ga p e r­
tenece o no a la clase. De este modo puede darse una colección de
térm inos sin necesidad de enum erarlos. P o r el m om ento dejaré inde­
term inado el problem a de si puede darse una colección en form a dis­
tin ta que por enum eración o por concepto-clase. Pero la posibilidad
de dar una colección por un concepto-clase es sum am ente im portante,
y a que nos perm ite tra b a ja r con colecciones infinitas, com o verem os
en la p arte V . P or el m om ento quiero exam inar el significado de frases
tales como todos ¡os a, todo a, cualquier a, un a y algún a. Todos los a
denota una conjunción num érica; se halla definido cuando se da a.
El concepto todos los a es un concepto singular p erfectam en te definido,
que denota los térm inos de a tom ados todos en conjunto. L os térm i­
nos así tom ados tienen un número, el que puede considerarse, si así se
quiere, com o una propiedad del concepto-clase, y a que se halla d e­
term inado para cualquier concepto-clase dado. Todo a, por el contrario,
aunque aun den ota todos los a, los denota de modo diferente, es decir,
separadam ente en vez de co lectivam en te. Cualquier a sólo denota
un a, pero es com pletam ente independiente del a que denota, y lo que
se dice puede ser igualm ente verdadero cualquiera sea ese a. A dem ás
cualquier a denota un a variable, es decir, cualquiera sea el a p a rtic u ­
lar a que nos refiram os, es cierto que cualquier a no den ota este a;
y adem ás cualquier proposición verdad era para cualquier a lo es
para este a particular. Un a denota una disyunción variable: es decir,
una proposición válid a p ara un a puede ser falsa p ara cualquier a
particular, de m odo que no es reductible a una disyunción de p ropo­
siciones. P o r ejem plo, un punto se halla situado entre cualqu ier punto
y cualquier otro punto; pero no será verdadero p ara cualquier punto
particular que se halle situado entre cualquier punto y cualqu ier otro
punto, y a que existirán m uchos pares de puntos entre los cuales no
se hallará. F inalm ente queda por considerar algún a, la disyunción
constante. É sta den ota sólo un térm ino de una clase a, pero el térm ino
que den ota puede ser cualquier*térm ino de la clase. A sí, «algún m om en­
to no sigue a cualquier momento», significará que existió un prim er
m omento en el tiem po, m ientras que «un m om ento precede a cualquier
90
BERTRAND RUSSELL
momento» significa exactam ente lo opuesto, a saber, que todo m o­
m ento tiene precedentes.
61.
E n el caso de una clase a que tiene un núm ero finito de té r­
minos, sean ellos au a,, a 3... a n, podemos ilustrar estas diferentes no­
ciones del modo siguiente:
1 ) Todos los a denotan a , y a 2 y . . . y a n.
2 ) Todo a denota a, y denota a2 y ... y denota a n.
3) C ualquier a denota 0 , 0 0 , 0 ... o a n, donde o tiene el significado
de que es indiferente cuál tom em os.
4) U n a denota a, o n2 o... a n, donde o tiene el significado do
que no debe tom arse ningún a particular, así como en todos los a no
debíam os to m ar ninguno en particular.
5) A lg ú n a denota a, o denota a o... o denota a D, donde no es
indiferente cuál tomemos, sino que, por el contrario, debe tom arse
algún a particular.
Como la n atu raleza y propiedades de los diferentes modos de com ­
binar térm inos son de im p ortancia v ita l p ara los principios de la M a­
tem ática, será conveniente ilu strar esas propiedades con los siguientes
ejem plos im portantes.
а) Sea a una clase, y b una clase de clases. E ntonces obtendrem os
en to tal seis relaciones posibles de a a 6 con las diferentes com bina­
ciones de cualquier, u n y algún. E n este caso todos y todo no aportan
nada nuevo. L o s seis casos son,los siguientes:
1) C ualquier a pertenece a cualqu ier clase que pertenezca a 6;
en otras palabras, la clase a se halla totalm en te conten id a en la parte
común o producto lógico de las diferentes clases que pertenecen a b.
2) Cualquier a pertenece a un b\ es decir, la clase a se halla con­
tenida en cualquier clase que contenga todos los 6 , o se halla contenida
en la sum a lógica de todos los b.
3) Cualquier a pertenece a algún b; es decir, existe una clase
perteneciente a 6 en que se halla contenida la clase o. La diferen­
cia entre este caso y el segundo surge del hecho de que existe un b
al cual pertenece todo a, m ientras que antes lo único que se decía era
que todo a pertenecía a un 6, y a diferentes podían pertenecer a b
diferentes.
4) U n a pertenece a cualquier 6 ; es decir, cualquiera que sea el b
que tom em os, tiene u n a p a rte com ún con a.
5) U n a pertenece a un 6 ; es decir, existe un b que tiene u n a p arte
en com ún con a. E sto es equivalente a «algún (o un) a pertenece a
algún 6».
б ) Algún a pertenece a cualquier 6 ; es decir, existe un a que
pertenece a la p a rte com ún de todos los b, o a y todos los b tienen una
p a rte común. É stos son los,casos que tienen lugar aquí.
¡3) P a ra m ostrar la generalidad del tipo de relaciones aquí con­
sideradas resu lta instructivo com parar el caso anterior con el siguiente.
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
91
Sean a, b dos series de núm eros reales; entonces surgen seis casos
precisam ente análogos:
1 ) Cualquier o es m enor que cualquier b, o, la serie a está
contenida entre núm eros menores que todo b.
2 ) Cualquier a es m enor que un b, o, cualquiera sea el a que to ­
memos, existe un b que es m ayor, o la serie a se halla contenida entre
números menores que un térm ino (variable) de la serie b. No se deduce
que algún térm ino de la serie b es m ayor que todos los a.
3) Cualquier a es m enor que algún b, o existe un térm ino de b
que es m ayor que todos los a. No debe confundirse este caso con 2 ).
4) Un a es m enor que cualquier b; es decir, cualquiera sea el b
que tom em os, existe un a que es m enor que él.
5) Un o es m enor que un 6 ; es decir, es posible en co n trar un a
y un 6 tales que a es m enor que b. E sto niega sim plem ente que cual­
quier a sea m ayor que cualquier b.
6 ) Algún a es m enor que cualquier 6 ; es decir, existe un a que
es m enor que todos los b. E sto no se hallaba im plicado en 4), en que el
a era variable, m ientras que aquí es constante.
En este caso, la M atem ática real ha forzado la distinción entre la
disyunción variable y la constante. Pero en otros casos en que la
M atem ática no ha ejercido su influjo, la distinción ha sido dejada de
lado; y los m atem áticos, como era n a tu ra l, no han investigado la
naturaleza lógica de las nociones disyuntivas que em pleaban.
y) P resentaré otro caso que tiene relación con la diferencia entre
cualquier y todo, que no se ha puesto de relieve en los casos anteriores.
Sean a y b dos clases de clases; entonces surgen entre ellas veinte rela­
ciones diferentes de diferentes combinaciones de los térm inos de sus
términos. Serán útiles los siguientes térm inos técnicos. Si a es u n a clase
de clases, su sum a lógica consiste en todos los térm inos que p erten e­
cen a cualquier a, es decir, todos los térm inos tales que existe un a
al que pertenecen, m ientras que su producto lógico consiste en todos
los térm inos que pertenecen a todo a, es decir, a la p a rte com ún de
todos los a. Tenem os entonces los casos siguientes:
1) C ualquier térm ino de cualquier a pertenece a todo 6 ; es decir,
la sum a lógica de a se halla contenida en el producto lógico de b.
2 ) C ualquier térm ino de cualquier a pertenece a un 6 ; es decir,
la sum a lógica de a se halla contenida en la sum a lógica de b.
3) Cualquier térm ino de cualquier a pertenece a algún 6 ; es decir,
existe un b que contiene la sum a lógica de a.
4) C ualquier térm ino de algún (o un) a pertenece a todo 6 ; es
decir, existe un a que está contenido en el producto de b.
5) Cualquier térm ino de algún (o un) a pertenece a un 6 ; es decir,
existe un a que se halla contenido en la sum a de b.
6 ) Cualquier térm ino de algún (o un) a pertenece a algún b ; es
decir, existe un b que contiene una clase que pertenece a a.
92
BERTRAND RUSSELL
7) U n térm ino de cualquier a pertenece a cualquier 6 ; es decir,
cualquier clase de a y cualquier clase de b tienen una parte común.
8) U n térm ino de cualquier a pertenece a un 6; es decir, cualquier
clase de a tiene una parte com ún con la sum a lógica de b.
9) U n térm ino de cualquier a pertenece a algún 6; es decir, existe
un b con el que cualquier a tiene u n a p arte com ún.
10) Un térm ino de un a pertenece a todo 6 ; es decir, la suma
lógica de a y el producto lógico de b tienen una p a rte común.
1 1 ) Un térm ino de un a pertenece a cualquier 6 ; es decir, dado
cualquier b, puede encontrarse un a con el que tenga una parte común.
1 2 ) Un térm ino de un a pertenece a un
es decir, las sumas
lógicas de a y de b tienen una p a rte común.
13) C ualquier térm ino de todo a pertenece a todo b\ es decir, el
producto lógico de a se halla contenido en el producto lógico do b.
11)
Cualquier térm ino de todo a pertenece a un b\ es decir, e
producto lógico de a está contenido en la sum a lógica de b.
15) Cualquier térm ino de todo a pertenece a algún 6; es decir,
existe un térm ino de b en el que está contenido el producto lógico de a.
16) Un (o algún) térm ino de todo a pertenece a todo 6 ; es decir,
los productos lógicos de a y 6 tienen una p a rte común.
17) Un (o algún) térm ino de todo a pertenece a un b; es decir,
el producto lógico de a y la sunfa lógica de b tienen u n a parte común.
18) Algún térm ino de cualquier a pertenece a todo b\ es decir,
cualquier a tiene una p a rte común con el producto lógico de b.
19) Un térm ino de algún a pertenece a cualquier b\ es decir,
existe algún térm ino de a con el que cualquier b tiene una parte común.
20) U n térm ino de todo a pertenece a cualquier 6; es decir,
cualquier b tiene una p arte com ún con el producto lógico de a.
Los ejem plos anteriores m uestran que, aunque a m enudo pue­
den suceder que ex ista una im plicación m utu a (que no siempre ha
sido establecida) de proposiciones correspondientes concernientes a
algún y u n , o concernientes a cualquier y todo, sin em bargo en otros
casos no se presen ta esa im plicación m utua. Así que las cinco no­
ciones d iscutidas en el capítulo presente son genuinam ente distin­
tas, y el confundirlas puede p rovocar errores perfectam ente de­
finidos.
62.
P arecería, de acuerdo con la discusión anterior, que, exista
o no diferentes m odos de denotar, los objetos denotados por lodos
los hombres, todo hombre, etc., son evidentem ente distintos. Por lo
ta n to parece legítim o decir que to d a la diferencia se halla en los obje­
tos, y que d en o tar es el mismo en todos los casos. Sin em bargo existen
muchos problem as difíciles relacionados con el tem a, especialmente
en lo que se refiere a la ndturaleza de los objetos denotados. Todos
los hombrea, que identificaré con la clase de los hom bres, parece ser
un objeto bien determ inado, aunque gram aticalm ente ee plural. Pero
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
93
en otros casos la cuestión no es tan simple: podem os dudar acerca de
si un ob jeto am biguo se halla denotado en form a no am bigu a, o si
un objeto definido se halla denotado en form a am bigua. Considerem os
nuevam ente la proposición: «Encontré un hombre.» E s m u y cierto, y
se halla im plicado por la proposición, que lo que he encontrado es un
hombre no am biguo perfectam en te definido: en el lenguaje técnico
que adoptam os aquí la proposición se halla expresada por: «Encontré
algún hombre.» Pero el hom bre real que he encontrado no form a p arte
de la proposición en cuestión, y no se halla denotado especialm ente
por algún hombre. De este modo, el acontecim iento concreto que ha
tenido lugar no se halla afirm ado en la proposición. L o que se afirm a
es sim plem ente que tu vo lugar alguno de una clase de acon tecim ientos
concretos. T o d a la raza hum ana se halla com prendida en mi aserción:
si cualquier hombro de los que han existid o o existirán no hubiera
existido o no fuera a existir, sería diferente el sentido de mi p rop osi­
ción. 0 , para expresarlo en un lenguaje más intensivo: si su stitu yo
hombre por cualquiera de los dem ás conceptos-clase aplicables al in ­
dividuo con el que tu ve el honor de encontrarm e, mi proposición
cam bia, aunque el individuo en cuestión se halle tan denotado como
antes. E sto prueba que no debe considerarse a algún hombre com o de­
notando realm ente a Juan y denotando realm ente a Pedro, etc.: toda
proposición en la que se presenta algún hombre se halla siem pre rela­
cionada con toda la procesión de seres hum anos de todas las edades,
y lo que se denota esencialm ente no es cada hom bre por separado,
sino una especie de com binación de todos los hombres. E sto es más
evidente en el caso de todo, cualquier y un. E x iste , por lo, tan to un algo
definido, diferente en cada uno de los cinco casos, que, en cierto sen­
tido, debe ser un objeto, pero que se halla caracterizado como un
conjunto de térm inos com binados de un cierto m odo, cuyo algo se
halla denotado por todos los hombres, todo hombre, cualquier hombre,
un hombre o algún hombre; y es con este o b jeto tan p aradójico con el
que se hallan relacionadas las proposiciones en que el concepto co­
rrespondiente se usa p ara denotar.
(53. Q ueda por discutir la noción de el. E sta noción ha sido re­
saltada sim bólicam ente por Peano, con grandes ventajas p a ra su
cálculo; pero aquí se la discutirá filosóficamente. El uso de la identidad
y de la teoría de la definición dependen de esta noción, que tiene por
ello la im portancia filosófica m ás alta.
L a p alab ra el, en singular, se em plea correctam ente sólo en rela­
ción con un concepto-clase del que ex ista solam ente un caso. H a b la ­
mos de el rey, el prim er m inistro, y así sucesivam ente (sobreenten­
diendo en el instante jtresente); y en tales casos existe un m étodo para
denotar un térm ino singular tdefinido por m edio de un concepto, no
dado por ninguna de las cinco palabras restantes. Se debe a esta noción
£¡1 que la M atem ática puede dar definiciones de térm inos que no son
y4
BERTRAND RUSSELL
conceptos — posibilidad que ilustra la diferencia en tre definición m a­
tem ática y filosófica— . Todo térm ino es el único caso de algún con­
cepto-clase, y por lo ta n to todo térm ino, teóricam ente, es susceptible
de definición, siem pre que no hayam os adoptado un sistem a en el que
dicho térm ino sea uno de nuestros indefinibles. E s una parad o ja cu­
riosa, desconcertante para la m ente simbólica, que las definiciones,
teóricam ente, no sean sino m eras afirmaciones de ab rev iatu ras sim ­
bólicas, independientes respecto del razonam iento e insertadas sola­
m ente con fines de conveniencia práctica, m ientras que, en el desarro­
llo de un tem a, requieran siem pre una gran cantidad de razonam iento,
y a m enudo encierren algunas de las conquistas m ás im portantes del
Análisis. E sto parece hallarse explicado por la teoría de denotar. Un
objeto puede presentarse a la m ente sin que conozca objeto alguno
del cual dicho objeto pueda ser el caso particular, y el descubrim iento
de un tal concepto no es un sim ple progreso de notación. La razón
por la cual éste parece ser el caso es la de que, ta n pronto como se
encuentra la definición, llega a ser com pletam ente innecesario para
el razonam iento recordar el objeto realm ente definido, y a que para
nuestras deducciones sólo nos interesan los conceptos. E n el instante
del descubrim iento se ve que la definición es verdadera porque el objeto
a definirse ya se hallaba en nuestro pensam iento, pero como p arte de
nuestro razonam iento no es verdadera, sino sim plem ente simbólica,
porque lo que el razonam iento exige no es que se trab ajo con este
objeto, sino sim plem ente que se tra b a je con el objeto denotado por
la definición.
fi4. # La conexión de d en o tar con la n atu raleza de identidad es
im portante y ayuda, según creo, a resolver algunos problem as m uy
serios. La cuestión de si la identidad es o no una relación, y aun de
si es siquiera un concepto, es difícil de resolver. P orque, podría decirse,
la identidad no puede ser u n a relación, ya que cuando se la afirm a ver­
daderam ente sólo tenem os un térm ino, m ientras que una relación re ­
quiere dos té rm inos. Y puede objetarse que la identidad en realidad
no puede ser n a d a en absoluto: dos térm inos no pueden ser absoluta­
m ente idénticos, y uno no lo puede ser, porque ¿respecto a qué resulta
idéntico? Sin em bargo la identidad debe ser algo. Podem os in te n ta r
llevar la iden tid ad desde los térm inos a las relaciones, y decir que
todos los térm inos son idénticos en algún sentido cuando guardan una
relación dada con un térm ino dado. Pero en este caso debemos exigir,
o que exista u n a identidad e stric ta entre los dos casos de la relación
d ada o que los dos casos tengan identidad en el sentido de guardar
una relación d ad a con un sentido dado; pero este últim o punto de vista
conduce a un proceso infinito del tipo legítimo. De este modo debe
adm itirse la identidad y 1^ dificultad respecto a los dos térm inos de
una relación debe encararse con una negativa com pleta respecto a 1a.
necesidad de dos térm inos diferentes. Siempre debe éx istir un referen­
LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA
95
te y un relato, pero no tienen por qué ser distintos; y donde se afir­
ma la identidad, no sucede así (1).
Pero surge el problem a: ¿Por qué es conveniente afirm ar la iden­
tidad 1 L a respuesta se halla en la teoría de denotar. Si decim os «Eduar­
do V I I es el rey», afirm am os una identidad; la razón por la que se
puede hacer esta aserción es la de que en un caso figura el térm ino
real, m ientras que en el otro tom a su lugar un concepto que lo denota.
(Para los fines de la discusión ignoro el hecho de que los E duardos
formen una clase, y do que los E duardos V I I formen una clase que
tiene solam ente un térm ino. E duardo V I I es prácticam ente, aunque
no form alm ente, un nom bre propio.) A m enudo figuran dos conceptos
que denotan, y no se m enciona el térm ino mismo, com o en la p ropo­
sición «el P ap a actual es el últim o sob reviviente de su generación».
Cuando se da un térm ino, la aserción de su identidad consigo mismo
es perfectam ente fútil, y nunca se lleva a cabo fuera de los libros de
lógica; pero cuando so introducen conceptos que denotan, se ve de
inm ediato que la identidad tiene sentido. P or supuesto que en este
caso se halla com prendida, aunque no afirm ada, una relación del
concepto de denotar con el térm ino, o de los dos conceptos que deno­
tan entre sí. Pero el es que figura en tales proposiciones no establece
por sí mismo esta relación adicional, sino que establece la identidad
pura (2).
65 . Resum iendo. Cuando en una proposición figura un conceptoclase precedido por una de las seis palabras todos, todo, cualquier, un,
algún, el, como regla, la proposición no se refiere al concepto, form ado
por el conjunto de las dos palabras, sino a un objeto m uy diferente
de éste, que en general no es concepto en absoluto, sino un térm ino
o com plejo de térm inos. E sto puede apreciarse por el hecho de que las
proposiciones en las que figuran tales conceptos son falsas en general
respecto a los conceptos mismos. A l mismo tiem po es posible conside­
rar y form ular proposiciones respecto a los conceptos mismos; pero
éstas no son las proposiciones naturales que se form ulan al em plear
los conceptos. «Cualquier núm ero es par o impar» es una proposición
p erfectam ente natural, m ientras que «Cualquier número es una con­
(*) A cerca de las relaciones de té rm in o s con sí m ism os, v. in f., ca p . IX ,
§ 95.
(*) La p a la b ra es re su lta te rrib le m e n te am b ig u a, y se re q u ie re g ran
cuidado p a ra no c o n fu n d ir sus significados d iferen tes. T en em o s 1) el se n tid o
en el que afirm a ol ser, com o en t A es»; 2) el se n tid o de id e n tid a d ; 3) el se n tid o
de p red icación, en t A os hum ano»; 4) el se n tid o de t A es un-h o m b re» (C om p. p á ­
gina 54, n o ta ), que es m u y p are cid o a la id e n tid a d . A dem ás de ésto s ex iste n
usos m enos com unes, com o «ser b ueno es ser feliz», d o n d e se q u iere significar
u n a relación de aserciones, en re a lid a d u n a relación ta l qu e, cu a n d o ex iste,
da origen a la im p licació n fo rm al. E s dudoso q u e e x ista n o tro s significados
que no so m e h a y a n o cu rrid o . A cerca de los significados de es, co m p . Do
M organ, Form al Logic, págs. 49 y 50.
90
BERTRAND RUSSELL
junción variable», es una proposición que sólo se puede form ular en
una discusión lógica. E n tales casos decim os que el concepto en cues­
tión denota. D ecim os que den otar es una relación p erfectam en te defi­
nida, la m ism a en los seis casos, y que es la n a tu ra leza del objeto de­
notado y del concepto que den ota el que distingue los casos. D iscu ti­
mos con cierta am plitud la n atu raleza y las diferencias de los objetos
denotados en los cinco casos en que estos objetos son com binaciones
de térm inos. E n una discusión com pleta sería tam bién necesario dis­
cutir los conceptos que denotan: el significado real do tales conceptos,
en oposición a la n atu raleza de los objetos que ellos denotan, no ha
sido discutido. Pero no sé si se podría decir algo m ás sobre esto tem a.
F in alm en te discutim os el, y dem ostram os que esta noción es esencial
p ara lo que la M atem ática llam a definición, así com o tam bién para
la posibilidad de determ inar u nívocam ente un térm ino por medio de
conceptos; se halló tam bién que el uso real de identid ad , aunque no
su significado, depende de este m odo de denotar un térm ino singu­
lar. Desde aquí podem os continu ar con la discusión de las clases, si­
guiendo allí el desarrollo de los tem as relacionados con los adjetivos.
CAPÍTULO VI
C L A S E S
60 .
E x p lic a r claram ente lo que se entiende por clase, y distinguir
esta noción de todas las dem ás con las que se halla relacionada, es
uno de los problem as más difíciles e im portantes de la F ilosofía m a­
tem ática. A dem ás de que clase es un concepto m uy fundam ental, se
requieren un cuidado y diligencia m áxim os para poder encarar la
contradicción que se tra ta rá en el capítulo X . E n consecuencia, pediré
al lector que no tom e com o pendantería el desarrollo de d iscrim in acio­
nes algo sutiles que so hallarán en lo siguiente.
Se acostu m bra, en todos los trabajo s de L ógica, a distinguir dos
pinitos básicos: el de extensión y el de intensión. G eneralm ente, los
filósofos han considerado al últim o como dotado de m ayor im p ortan ­
cia, m ientras que se considera que la M atem ática tra b a ja especial­
m ente con el prim ero. M. C outu rat, en su adm irable trab ajo sobre
L eibniz, dice rotun dam en te que la L ó gica sim bólica sólo puede cons­
truirse basándose en la extensión (1); y si sólo existieran estos dos
puntos do vista , su afirm ación se hallaría justificad a. Pero, en realidad,
hay posiciones interm edias entre la intensión y extensión puras, y es
en ellas donde la L ó gica sim bólica tiene sus lares. E s esencial el que
las clases a las que nos referim os estén form adas por térm inos, y no
sean predicados o conceptos, pues una clase puede definirse cuando
se dan sus térm inos, pero en general existirán m uchos predicados que
se pueden unir a los térm inos dados y no a otros. P or supuesto que
no podem os in ten tar una definición intensional de clase como la clase
de los predicados que se unen a los térm inos en cuestión y a ningún
otro, porque esto traería aparejado un círculo vicioso; por lo que el
punto de v is ta de la extensión es, h asta cierto punto, in evitab le. P or
otra p arte, si tom am os extensión pura, nuestra clase se h allará defi(')
Los
L a Logique de L eibniz, Paría, 1901, pág. 387.
P R IN C IP IO S
DE LA H A T E M X T IC A .---- ^
98
BERTRAN!) RUSSELL
nida por la enum eración de sus térm ino?, y este m étodo no nos perm i­
tirá tra b a ja r, como lo hace la Lógica sim bólica, con clases infinitas.
De este modo nuestras clases deben considerarse, en general, como
objetos denotados por conceptos, y en este sentido es esencial el punto
de vista intensional. A esta consideración se debe el que la teoría de
denotar tenga una im portancia ta n grande. En este capítulo debemos
especificar el grado preciso en que la extensión e intensión entran res­
pectivam ente en la definición y empico de las clases; y pediré al lector
que d u ran te to d a la discusión recuerde que tocio lo dicho es tanto
aplicable a las clases finitas como a las infinitas.
fi7. Cuando un objeto es denotado en form a ncr am bigua por un
concepto, hablaré riel concepto como del concepto del objeto en cues­
tión (o a veces, m ás vagam ente, como de el concepto). Así será ne­
cesario distinguir el concepto de una clase del concepto-clase. Coinci­
dimos en considerar hombre como concepto-clase, pero hombre, en su
uso común, no denota cosa alguna. Por o tra p a rte hombres y todos los
hombres (que consideraré sinónim os) denotan, y sostengo que lo que
denotan es la clase form ada por todos los hom bres. De modo que
hombre es el concepto-clase, hombres (el concepto) es el concepto de
la clase, y hom bres (el objeto denotado por el concepto hombres) son
la clase. E n un principio resulta sin duda confuso el usar concepto-clase
y concepto de una clase en sentidos diversos; pero son necesarias tan tas
distinciones que parece ser inevitable la extensión del lenguaje. En la
fraseología del capítulo anterior podemos decir que una clase es una
conjunción Mumérica de térm inos. É s ta es la tesis que deberá
establecerse.
G8. E n el capítulo II consideram os las clases como derivadas de
las aserciones, es decir, como todas las entidades que satisfacen alguna
aserción, cuya form a no se precisó en absoluto. E n el próxim o discu­
tiré críticam ente este punto de vista; por el m om ento nos lim itarem os
a las clases como derivadas de los predicados, dejando abierta la
cuestión de si to d a aserción es equivalente a una predicación. P or lo
tan to , podemos im aginar una especie de génesis de clases a través
de las etapas sucesivas indicadas por las proposiciones típicas «Sócra­
tes es humano», «Sócrates tiene hum anidad», «Sócrates es un hombre»,
«Sócrates es uno entre los hombres». De estas proposiciones podría­
mos decir que solam ente la ú ltim a contiene explícitam ente la clase
como constituyente; pero to d a proposición de sujeto-predicado da
origen a otras tres proposiciones equivalentes, y de este modo todo
predicado (siempre que a veces se le pueda predicar con verdad) da
origen a una clase. É s ta es la génesis de las clases a p a rtir de la base
intensional.
Por o tra p arte, cuando los m atem áticos tra b a ja n con lo que llaman
una variedad, agregado (rnanifold, aggregate), M enge, ensamble, o
algún nom bre equivalente, es común, especialm ente cuando el número
LOS P RI N C I P IO S DE L A M A T E M Á T I C A
99
de térm inos com prendidos es finito, considerar el objeto en cuestión
(que en realidad es una clase) como definido por enum eración de sus
términos, y como consistente posiblem ente de un térm ino singular,
que en ese caso es la clase. Aquí no interesan el denotar y los predica­
dos, sino térm inos conectados por la p alab ra y, en el sentido en que
esta p alab ra vale por una conjunción numérica. Así J u a n y Pedro
son una clase, y Ju a n solam ente es una clase. É ste es el génesis extensional de las clases.
69. El m ejor tra ta d o formal do clases existentes es el de Peano (x). Pero en él no se consideran cierto núm ero de distinciones de
gran im portancia filosófica. Peano, creo que en form a no m uy cons­
ciente, identifica la clase con el concepto-clase; de modo que la rela­
ción de un individuo con su clase se halla expresada, según éL, por
es un. P a ra él «2 es un número» es una proposición en la que se dice
que un térm ino pertenece a la clase núinero. Identifica igualm ente la
igualdad de clases, que consiste en que tengan los mismos térm inos,
con la identidad — procedim iento com pletam ente ilegítimo cuando se
considera la clase como concepto-clase — . P a ra ver que hombre y bípedo
im plum e no son idénticos es com pletam ente innecesario to m ar una
gallina y despojar al pobre anim al de sus plumas. O, p ara considerar
un caso menos complejo, es claro que par ]>rimo no es idéntico a
entero inm ediato posterior a 1. Así, cuando identificam os la clase con
el concepto-clase, debemos adm itir que dos clases pueden ser iguales
sin ser idénticas. Sin em bargo, es claro que cuando dos conceptos-clase
son iguales se halla involucrada alguna identidad, porque decimos
que tienen los m ism os térm inos. E n consecuencia existe algún objeto
que es positivam ente idéntico cuando dos conceptos-clase son igua­
les, y parecería que este objeto se llama, con m ás propiedad, clase.
Dejando de lado la gallina desplum ada, todo el m undo diría que la
clase de los bípedos im plum es es la m ism a que la clase de los hom bres;
que la clase de pares prim os es la m ism a que la clase de enteros in­
m ediatam ente posteriores a 1 . P or lo ta n to , debemos ev itar el iden­
tificar la clase con el concepto-clase, o considerar que «Sócrates es un
hombre» expresa la relación de un individuo con u n a clase de la que
es m iem bro. E sto a p o rta dos consecuencias (a establecer de modo
inm ediato) que im piden la aceptación filosófica de ciertos p u n to s del
formulismo de Peano. L a prim era es la de que no existen cosas tales
como la clase vacía, aunque existen conceptos-clase vacíos o nulos.
La segunda es la de que una clase com puesta por un solo térm ino
debe identificarse, contrariam ente a como lo hace Peano, con ese
único térm ino. Sin em bargo, no propondré alterar la p ráctica de su
notación como consecuencia de cualquiera de los dos puntos a n te ­
riores, m ás bien los consideraré como pruebas de que la Lógica simbó(')
Si# te n e r en c u e n ta a F re g e, quien es d isc u tid o en el ap én d ice.
100
BERTRAND RUSSELL
lica debe referirse, m ientras lo p erm ita la notación, a los conceptosclase m ás bien que a las clases.
70. Hem os visto que una clase no es ni predicado ni conceptoclase, porque diferentes predicados y diferentes conceptos-clase pue­
den corresponder a la m ism a clase. Tam bién una clase, por lo menos
en un sentido, es d istin ta del todo com puesto por sus térm inos, porque
este últim o es sólo y esencialm ente uno, m ientras que la prim era,
cuando tiene varios térm inos es, como verem os más adelante, el
verdadero tipo de objeto del que debe afirm arse la 'pluralidad. A me­
nudo el lenguaje es el que efectúa la distinción de clase como plurali­
dad con clase como todo: espacio y puntos, tiem po e instantes, ejército
y soldados, m arina y m arineros, Consejo y m inistros del Consejo,
sirven de ejem plo a esa distinción. L a noción de un todo, en el sentido
de agregado puro, que es el que aquí se está considerando, no siempre
es aplicable, como verem os m ás adelante, allí donde se em plea la
noción de clase como pluralidad (ver capítulo X ). E n tales casos,
aunque puede decirse que los térm inos pertenecen a la clase, no se la
deben tra ta r como si fuera un sujeto lógico singular (1). Pero este caso
no se presenta nunca cuando puede generarse una clase por medio de
un predicado. Así que por el m om ento podemos e v ita r esta com plica­
ción. E n una clase como pluralidad, los térm inos com ponentes, aunque
tienen cierto tipo de unidad, tienen menos de la que se requiere para
que formen un todo. En realidad, tienen ta n ta unidad como para
que sean ju stam en te una pluralidad y no la suficiente como para
impedirles qye sigan siendo una pluralidad. O tra razón para distin­
guir todos de clases como pluralidades es la de que una clase como
uno puede ser uno de los térm inos de la m ism a como pluralidad, como
en «las clases son u n a entre las clases» (el equivalente extensional de
«clase es un concepto-clase»), m ientras que un todo complejo no pue­
de nunca ser uno de sus propios constituyentes.
71. Clase puede definirse extensional o intensionalm ente. Es
decix, podemos definir el tipo de objeto que es u n a clase o el tipo de
concepto que denota u n a clase: éste es el significado preciso de la
oposición entre intensión y extensión en este sentido. Pero aunque
pueda definirse la noción general de este doble modo, las clases par­
ticulares, excepto cuando nos hallam os ante el caso de que sean finitas,
sólo pueden definirse intensionalm ente, es decir, como los objetos
denotados por tales y tales conceptos. Creo que esa diferencia es pu­
ram ente psicológica: lógicam ente la definición extensional parece ser
igualm ente aplicable a clases infinitas, pero, prácticam ente, si lo
intentásem os, la m uerte interru m p iría en breve nuestro laudable
(l ) U n a p lu ra lid a d de té rm in o s no es el su je to lógico c u a n d o se afirm a
u n n ú m e ro a e ella: ta le s p roposiciones no tie n e n u n su je to , sin o m uchoa
su je to s, V éase el final del § 74.
L OS P RI N C I P IO S DE LA M A T E M A T I C A
101
propósito, sin que lográsemos llevarlo a feliz térm ino. Por lo tan to ,
lógicamente, extensión e intensión parecen hallarse en un mismo
plano. Comenzaré considerando el punto de vista extensional.
Cuando se considera una clase como definida por la enum eración
de sus térm inos, se llam a con m ayor propiedad colección. A doptaré
por el m om ento esto nom bre, sin ab rir juicio sobre el problem a de
si los objetos denotados por él son verdaderam ente clases o no lo
son. P or colección entiendo lo que se halla expresado por «A y B» o
«A y B y C» o cualquier o tra enum eración de térm inos definidos. La
colección so halla definida por la mención actual do sus térm inos, y los
térm inos están relacionados por y. Parecería que y representa un
modo fundam ental do com binar los térm inos, y que este modo de
combinación es ju stam en te esencial si se quiere que resulte algo
sobre lo que puedo afirm arse un núm ero d istinto a 1. Las colecciones
no presuponen núm eros, y a que resultan do la unión de los térm inos
con y, sólo pueden presuponerlos en el caso p articu lar en que lo
hagan los térm inos mismos de la colección. E x iste una dificultad g ra ­
m atical que debe señalarse y tolerarse, ya que no hay modo de evi­
tarla. U n a colección, gram aticalm ente, es singular, m ientras que A y
B, A y B y C , etc., son esencialm ente plurales. E s ta dificultad g ram a­
tical surge del hecho lógico (que se discutirá inm ediatam ente) de
quo lo que en general es plural form a un todo que es uno; por lo tanto,
no se puede ev itar con una elección m ejor del lenguaje técnico.
La noción de y fue destacada por Bolzano (*). Con el fin de e n te n ­
der el infinito, decía, «debemos volver a una de las concepciones más
simples de nuestro entendim iento, p a ra encontrar una coincidencia
respecto a la p alab ra que debemos usar p a ra denotarlo. É s ta es la con­
cepción quo sirve de base a la conjunción y, que, sin em bargo, si debe
expresarse con la m áxim a claridad posible, en muchos casos, ta n to
para cum plir con el propósito de la M atem ática como con el de la
Filosofía, creo quo lo h aría m ejor con las palabras: 'U n sistem a
(Inbegri/f) de ciertas cosas’, o 'un todo consistente en ciertas p a rte s ’.
Pero debemos agregar que todo objeto a rb itrario A puede com binarse
en un sistem a con cualesquiera otros B, C, D, ..., o (hablando aún
con m ayor precisión) y a form a un sistem a por sí mismo (2), del cual
puedo enunciarse alguna verdad más o menos im p o rtan te, con la
única condición de que cada una de los signos A , B, C, D , ..., repre­
sente de hecho un objeto diferente, o m ientras ninguna de las propo­
siciones 'A es el mismo que B ’, 'A es el mism o que C ’, 'A es el mismo
que D ’, etc., sea verdadera. Pues si, por ejem plo, i es el mismo
que B, entonces resu lta evidentem ente contrario a la razón el hab lar
de un sistem a de las cosas A y B ».
f1)
(*)
Paradoxien des Unendlichen, L eipzig, 1854 (2.» ed., B erlín , 1889), § 3.
E s decir, la o o m biuación de A con B, C, D ..., y a fo rm a u n sistem a .
102
BERTRAND RUSSELL
El párrafo anterior, a pesar do b u excelencia, deja de lado algunas
distinciones que hemos encontrado necesarias. E n prim er lugar, y en
grado de su im portancia, debo observar que no distingue las p lurali­
dades del todo que form an. E n segundo lugar, no parece considerar
que el m étodo de num eración no es p rácticam en te aplicable a sistemas
infinitos. E n tercero, y éste se halla relacionado con el segundo, no
hace mención alguna de la definición intensional ni de la noción de
clase, lo que debem os considerar es la diferencia, si existe, de una
clase con una colección por una p arte, y con el todo form ado por la
colección por la otra. Pero exam inem os, en prim er lugar y con m ayor
cuidado, la noción de y.
Todo aquello de lo que se pueda afirm ar un núm ero finito distinto
a 0 ó 1 se dice com únm ente que es plural, y puede sostenerso que la
pluralidad es siem pre de la form a «A y B y C y...*. Aquí A , B, C,
son cada uno unidades, y son todos diferentes. Decir que A es uno
parece ta n to como decir que A no es de la form a <¡A, y A 2 y A^...i>.
Decir que A , B, C, son todos diferentes parece valer sólo como con­
dición respecto a los símbolos: debe tenerse en cu en ta que
y Ai>
carece de sentido, de modo que y im plica diversidad, lo que no debe
expresarse en form a especial.
U n térm ino A que es uno puede considerarse como caso p a rticu ­
lar de una colección, la que consta de un térm ino. De esto modo toda
colección plural presupone varias colecciones que son una: A y B
presupone A y presupone B. R ecíprocam ente, algunas colecciones de
un térm ino presuponen la pluralidad, a saber, aquellas que son com­
plejas: así «^í difiere de B » es una, pero presupone A y diferencia y B.
Pero no existe sim etría en este sentido, pues las presuposiciones ú lti­
m as son siem pre térm inos singulares.
Todo par de térm inos, sin excepción, puede com binarse del modo
indicado por A y B , y si ni A ni B son plurales, entonces A y B son
dos. A y B pueden ser entidades concebibles cualesquiera, objetos
cualesquiera susceptibles de pensam iento, ser puntos, o núm eros, o
proposiciones verdaderas o falsas, o acontecim ientos, o gente; re­
sumiendo, todo lo que pueda contarse. U na cucharilla de té y el
núm ero 3, o u n a quim era y el espacio tetradim ensional, son cierta­
m ente dos. De modo que A y B no se hallan sujetos a restricción
alguna, excepto la de que ninguno de ellos ha de ser plural. Debe
tenerse en cu enta que no es necesaria la existencia de A y B , pero
deben tener ser, como cualquier cosa que se m encione. La distin ­
ción entre ser y existencia es im p o rtan te, y se halla bien ilustrada
por el proceso de num eración. Lo que puede contarse debe ser algo,
y por cierto que debe ser, aunque en modo alguno tien e que poseer
el privilegio adicional de existencia. Así, lo que exigimos de los
térm inos de n u e stra colección es sim plem ente que cada uno sea una
entidad.
LOS P RI N C IP IOS DE LA M A T E M A T I C A
103
Ahora podemos p lan tear el problem a: ¿Qué es lo que se entiende
por A y B \ ¿Quiere decir algo más que la yuxtaposición de A con B]
Es decir, ¿contiene algún otro elem ento adem ás del A y del B l ¿Es y
un concepto separado, que figura adem ás de A y B 1 P a ra cualquier
respuesta existen objeciones. En prim er lugar, podemos suponer que y
no puede ser concepto nuevo, porque si así sucediese, ten d ría que ser
una especio de relación entre A y B\ entonces A y B es proposición,
o por lo menos concepto proposicional, y sería uno y no dos. Ademáa,
si existen dos conceptos, hay dos, y no parece necesitarse ningún
concepto interm edio p ara que sean dos. De este modo y parece h a lla r­
se desprovisto de sentido. Pero resulta difícil sostener esta teoría.
Comencemos porque parece tem erario decir que cualquier p alab ra
puede hallarse desprovista de sentido. Cuando empleam os y no cree­
mos estar usando un sonido desprovisto de significado, sino una p a la ­
bra con alguna idea correspondiente. Adem ás parece hallarse im pli­
cada una especie de com binación por el hecho de que A y B son dos,
lo que no es verdadero p ara cada una de ellos por separado. Cuando
decimos «A y B son amarillos», nos es licito reem plazar la proposición
por <ii4 es amarillo» y «i? es amarillo»; pero no se puede hacer lo mismo
con <iA y B son dos»; por el contrario, A es uno y B es uno. De modo
que es m ejor considerar y como expresión de un tipo único y definido
de com binación, no como relación, y no com binando A y B en un
todo, lo que sería uno. E ste tipo único de com binación recibirá en el
futuro el nom bre de adición de individuos. Es im portante señalar-que
so aplica a térm inos, y que sólo se aplica a núm eros porque son té r ­
minos. De modo que por el m om ento, 1 y 2 son dos, y 1 y 1 carece
do sentido.
Respecto a lo que se entiende en la com binación indicada por y,
es indistinguible de lo que hemos llam ado anteriorm ente conjunción
num érica. Es decir, A y B es lo que se halla denotado por el concepto
de una clase de la que A y B son los únicos m iembros. Sea u un con­
cepto-clase del que son verdaderas las _proposiciones <c4 es un u »,
«B es un ui>, pero del cual es falsa to d a o tra proposición de la misma
forma, entonces «todos los u * es el concepto de una clase cuyos únicos
térm inos son A y B; este concepto denota los térm inos A y B com bi­
nados de un cierto modo, y <cA y B» son esos térm inos com binados
ju stam en te de ese modo. Así « i y 5» form an la clase, pero son d istin ­
tos del concepto-clase y del concepto de la clase.
Sin em bargo, la noción de y no tiene cabida en el significado de
una clase, pues un térm ino singular es una clase, aunque no es una
conjunción num érica. Si u es un concepto-clase, y sólo es verdadera
una proposición de la form a *x es un u», entonces «todos los u» es un
concepto que denota un tér¡mino singular, y este térm ino es la clase
de la que «todos los w» es concepto. Así, que lo que parece ser esencial
p ara una clase no es la noción de y, sino el ser denotado por algún
104
BE RTRA N D RUSSELL
concepto de una clase. E sto nos lleva al p u n to de v ista intensional de
clases.
72.
E n el capítulo anterior hemos coincidido en que no existen
modos diferentes de denotar, sino solam ente tipos diferentes de con­
ceptos denotantes, y correspondientem ente, tipos diferentes de obje­
tos denotados. H em os discutido el tipo de objeto denotado que cons­
titu y e una clase; ahora debemos considerar el tipo de concepto
denotante.
La consideración de clases que resu lta de los conceptos denotantes
es más general quo la consideración extensional y eso en dos sentidos.
En prim er lugar perm ite la adm isión de clases infinitas, lo quo la
otra excluye prácticam ente; en segundo lugar introduce el concepto
nulo de una clase. Pero antes de discutir esto existe un punto, de
carácter p u ram en te lógico, que debem os exam inar.
Si u es concepto-clase, ¿el concepto «todos los un es analizable en
dos constituyentes, todos y u, o es un concepto nuevo, definido por una
cierta relación con u, y tan simple como el mismo u? Em pecem os por
observar que «todos los u» es sinónim o con «los un, por lo menos de
acuerdo a un empleo m uy común del plural. P or lo tan to , nuestro
problem a se refiere al significado de dicho plural. L a p alab ra todos
tiene ciertam ente algún significado definido, pero parece altam ente
dudoso si quiere decir algo más que la indicación de una relación.
«Todos los hombres» y «todos los números» tienen en común el hecho
de que am bas guardan cierta relación con un concepto-clase, a saber,
con hombre y número respectivam ente. Pero es m uy difícil aislar
cualquier elem ento ulterior adem ás del carácter de todos que presen­
ta n am bos, a menos que tom em os como este elem ento el mero hecho
de qué am bos son conceptos de clase. Parecería entonces que «todos
los u» no es analizable válidam ente en todos y u, y que el lenguaje en
este caso, como en algunos otros, es u n a guía que se p resta a errores.
Lo mismo se aplica a todo, cualquier, algún, un y el.
Podría creerse, quizá, que una clase debe ser considerada no sola­
m ente como conjunción num érica de térm inos, sino como conjunción
num érica d enotada por el concepto de clase. Pero esta aplicación no
sirve a fines útiles, excepto el de conservar la distinción de Peano
entre un térm ino singular y la clase cuyo único térm ino es aquel
— distinción fácil de lograr cuando se identifica la clase con el con­
cepto-clase, pero que es inadm isible en nuestro p u n to de vista do las
clases— . E s evidente que una conjunción num érica considerada como
d enotada es: o la m ism a en tid ad que cuando no se consideraba en
ese sentido o un complejo de d en o tar ju n to con el objeto denotado;
y el objeto denotado es, en su to talid ad , lo que entendem os por clase.
Respecto a las clases infinitas, por ejem plo, la clase de los núm e­
ros, debe tenerse en cuenta que el concepto todos los números, aunque
no sea por sí mismo infinitam ente complejo, denota, sin em bargo, un
L O S P R I N C I P I OS D E L A M A T E M A T I C A
105
objeto que lo 68. É ste es el secreto íntim o de n uestra fuerza p a ra t r a ­
bajar con el infinito. Un concepto infinitam ente complejo, aunque
exista, no puede ser m anipulado por ]a inteligencia hum ana; pero
colecciones infinitas, debido a la noción de denotar, pueden m an ip u ­
larse sin introducir concepto alguno de com plejidad infinita. E n
todas las discusiones sobre el infinito de las partes restantes del p re­
sente tra b a jo debe tenerse en cuenta lo expresado: si se olvida, existe
una especio de encanto que hace que los resultados obtenidos parezcan
dudosos.
73.
Con la clase vacía so hallan asociadas grandes dificultades, y
generalm ente con la idea de nada. Es evidente (pie existe un concepto
tal como nada, y que en cierto sentido nada es algo. E n realidad, la
proposición «nada no es nada» es indudablem ente capaz de una in te r­
pretación que la haga verdadera —punto que da origen a las con­
tradicciones discutidas en el Sofista de P la tó n — . En Lógica simbólica,
la clase vacía es la clase que no tiene térm inos en absoluto; y sim bó­
licam ente es m uy necesario introducir alguna noción tal como ésa.
Debemos considerar si pueden evitarse las contradicciones que surgen
naturalm ente.
E s necesario com prender, en prim er lugar, que un concepto puede
denotar, aunque no denote cosa alguna. E sto sucede cuando hay
proposiciones en las que se presenta dicho concepto, y que no se
refiere al mismo, pero todas esas proposiciones son falsas. 0 m ás bien,
lo anterior es un prim er paso hacia la explicación de un concepto
denotante que no denota nada. Sin em bargo, no es una explicación
adecuada. Consideremos, por ejem plo, la proposición «las quim eras son
animales» o «los prim os pares distintos de 2 son números». Ellas a p a ­
rentan ser verdaderas, y parecería que no se hallan relacionadas con
los conceptos denotantes, sino con lo que denotan dichos conceptos;
pero eso es imposible, porque los conceptos en cuestión no denotan
nada. La Lógica sim bólica dice que estos conceptos denotan la clase
vacía y que las proposiciones antedichas afirm an que la clase vacía se
halla contenida en ciertas o tras clases. Pero con el p u n to de vista
estrictam ente extensional acerca de las clases propuesto a n te rio r­
m ente, una clase que no tiene térm inos deja de ser cosa alguna por
completo: lo que es simple y solam ente una colección de térm inos no
puede subsistir cuando se qu itan todos los térm inos. De modo que
debemos encontrar una interpretación diferente de las clases o hallar
un m étodo p ara e v ita r la clase vacía.
L a imperfecta definición dada anteriorm ente de un concepto que
denota, pero que no denota nada, puede corregirse del modo siguiente.
Todos los conceptos denotantes, como hemos visto, derivan de los
conceptos-clase; y a es un cor\ceptO“dase cuando íx es un a» es función
proposicional. Los conceptos d enotantes asociados con a no denotan
cosa alguna cuando y sólo cuando «c es un a» es falsa para todos los
106
BERTRAND RUSSELL
valores de x. É s ta es una definición com pleta de un concepto den o tan ­
te que no denota nada; y en el caso presente verem os que a es con­
cepto-clase nulo, y que «todos los a» es un concepto nulo de una clase.
De modo que, en un sistem a tal como el de Peano, donde las llam adas
clases son realm ente conceptos-clase, no necesitan originarse dificul­
tades técnicas; pero p a ra nosotros subsiste aún un problem a genuinam ente lógico.
La proposición «las quim eras son animales» puedo interpretarse
fácilm ente por medio de una im plicación form al en el sentido de que
*x es una quim era implica x es un anim al para todos los valores de x ».
Pero al tra b a ja r con clases hemos adm itido que las proporciones que
contienen todos o alguno o lodo, aunque equivalentes a implicaciones
formales, son, sin em bargo, d istin ta s de ellas, y encierran ideas que
requieren un tra tam ie n to independiente. Aquí, en el caso de las qui­
meras, es fácil su stitu ir el punto de vista p u ram en te inténsional, de
acuerdo con el cual lo que en realidad se establece es una relación
de predicados: en el caso en cuestión el adjetivo anim al es p a rte de la
definición del adjetivo quimérico (si se nos perm ite usar la palabra,
en contra del uso com ún, p ara d en o tar el predicado que define las
quim eras). Pero de nuevo en este caso resulta com pletam ente claro
que estam os tra b a ja n d o con una proposición que im plica que las
quim eras son anim ales, pero que no es la m ism a proposición — en
efecto, en el presente caso la im plicación no es siquiera recíproca— .
Por medio de una negación podemos d ar una especie de in te rp re ta ­
ción extensional: nada es denotado por una quimera que no se halle
denotado por un animal. Pero ésta es una interpretación m uy rebus­
cada. En fin, parece m ás correcto rechazar por com pleto la proposi­
ción, aunque conservando- las otras que le serían equivalentes si exis­
tiesen quim eras. Los lógicos simbólicos que han experim entado la
utilidad de la clase vacía sentirán que éste es un punto de vista reac­
cionario. Pero por el m om ento no estoy discutiendo lo que debe
hacerse en el Cálculo lógico, en el que la práctica establecida me parece
la m ejor, sino cuál es la verdad filosófica respecto a la cla.se vacía.
Veremos entonces, que, del conjunto de interpretaciones norm al­
m ente equivalentes de las fórm ulas lógicas sim bólicas, la clase de
interpretaciones considerada en el capítulo presento, que depende de
las clases reales, falla cuando debem os referim os a conceptos-clase
nulos, puesto que no existe en realidad clase vacía.
Ahora podemos reconsiderar la proposición «nada no es nada»
— proposición com pletam ente verdadera, pero que m an ejad a con poco
cuidado puede ser fuente de antinom ias poco felices— . N ad a es un'
concepto d en o tan te, que denota nada. Por supuesto que el concepto
denotado es distin to a nada, es decir, no está denotado por él mismo.
La proposición que parece ta n paradójica no significa sino lo siguiente:
N ada, el concepto denotante, no es nada, es decir, no es lo que él
L OS P RI N C I P IO S DE LA M A T E M A T I C A
107
mismo denota. Pero de aquí no se concluye en absoluto que exista
en realidad una clase vacía: sólo deben adm itirse el concepto clase
nulo y el concepto nulo de una clase.
Ahora nos hallam os an te una nueva dificultad. La igualdad de
conceptos-clase, como to d a relación reflexiva, sim étrica y tran sitiv a,
indica una identidad subyacente, es decir, indica que todo conceptoclase guarda con algún térm ino una relación que todos los conceptosclase iguales tienen tam bién respecto á ese térm ino —siendo diferente
el térm ino en cuestión p ara conjuntos diferentes de conceptos-clase
iguales, pero el mismo p a ra los distintos miembros de un solo conjun­
to de conceptos-clase iguales— . Ahora bien, para todos los conceptosclase que no son nulos, ese térm ino se halla en la clase correspon­
diente; ¿pero dónde debe encontrarse para los conceptos-clase nulos?
E sto adm ite varias respuestas, pudiéndose elegir cualquiera de ellas.
Porque ahora sabem os qué es una clase, y por lo tan to podemos ad o p ­
tar como nuestro térm ino la clase de todos los conceptos-clase nulos
o de todas las funciones proposicionales nulas. É stas no son clases
vacías, sino genuinas, y respecto a cualquiera de ellas todos los conceptos-clase nulos guardan la misma relación. Si ahora querem os tener
una entidad análoga a lo que en todas partes recibe el nom bre de
clase, pero correspondiente a conceptos-clase nulos, nos verem os
obligados, donde *sea necesario (como en las clases num erables) a
introducir un térm ino que sea idéntico para conceptos-clase iguales,
a su stitu ir siem pre la clase correspondiente al mismo por la clase de
conceptos-clase iguales a uno dado. La clase correspondiente al con­
cepto-clase sigue siendo lógicam ente fundam ental, pero no necesitaba
ser realm ente em pleada en nuestro simbolismo. En realidad, la clase
vacía es en cierto modo análoga a un irracional en A ritm ética: no
puede interpretarse de acuerdo a los mismos principios que las otras
clases, y si de todos modos querem os una interpretación análoga,
debemos su stitu ir las clases por otras entidades más com plicadas — en
el caso presente, ciertas clases correlacionadas—■. El objeto de tal
procedim iento será principalm ente técnico; pero el fracaso en la com­
prensión del mismo nos llevará a dificultades insalvables en la in te r­
pretación del simbolismo. Un procedim iento sobrem anera sem ejante
ocurre constantem ente en M atem ática, por ejemplo, con toda genera­
lización del núm ero; y, h asta donde llegan mis conocim ientos, no hay
un solo caso en el que tenga lugar y que haya sido correctam ente in ­
terpretado por m atem áticos o por filósofos. E n el curso del presente
trabajo nos hallarem os a n te ta n to s ejem plos, que por el m om ento es
innecesario extendem os m ás sobre este punto. Sólo debem os p rec a ­
vemos de una causa posible eje confusión. E n lo dicho anteriorm ente
sobre la clase vacía no existe círculo vicioso, pues en prim er lugar se
establece la noción general de clase, se ve que com prende lo que se
llama existencia, se reem plaza luego en form a simbólica, no filosófica,
108
BERTRAND RUSSELL
por la noción de una clase de conceptos-clase iguales, y se halla, bajo
esta nueva form a, que es apücable a lo que corresponde a conceptosclase nulos, ya que lo que ahora corresponde es una clase vacía. E n tre
las clases sim p lic ite r y las clases de conceptos-clase iguales existe una
correspondencia biunívoca, que sólo falla en el caso único de la clase
de conceptos-clase nulos, al que no corresponde clase vacía alguna;
y ésta es la razón de toda la complicación.
74.
A hora debem os discutir de un modo m ás o menos prelim inar
un problem a fundam ental en la filosofía de la A ritm ética. ¿Una clase
que tiene varios térm inos debe considerarse por ai m ism a como unidad
o pluralidad? Tom ando la clase como sim plem ente equivalente a la
conjunción num érica «A y B y C y etc.» parecería claro que es una
pluralidad; sin em bargo es m uy necesario que podarnos contar las
clases de modo que cada una sea una, y generalm ente hablam os de
u n a clase. Así las clases parecerían ser unidades en un sentido y plu­
ralidades en otro.
E xiste una cierta tendencia hacia identificar la clase como p lura­
lidad con la clase como unidad, por ejem plo, lodos los hombres y la
raza hu 7nana. Sin em bargo, siem pre que la clase esté form ada por más
de un térm ino, puede dem ostrarse que tal identificación no es perm isi­
ble. Un concepto de una clase, si la denota como unidad, no es igual
a cualquier concepto de la clase que él denota. Es decir, la clase de lodos
los animales racionales, que d en o ta la raza hum ana como término,
es diferente de hombres, que denota hom bres, es decir la raza hum ana
como pluralidad. Pero si la raza hum ana fuera idéntica a hombres,
se deduciría que todo lo que d en o ta la una debe denotarlo la otra, y
la diferencia anterior sería imposible. Podem os sentirnos tentados a
inferir que la distinción de Peano en tre un térm ino y una clase de la
cual dicho térm ino es único m iem bro debe m antenerse por lo menos
cuando el térm ino en cuestión es una clase (1). Pero creo que es más
correcto inferir una distinción ú ltim a entre una clase como pluralidad
V una clase como unidad, p ara sostener que lo plural es sólo plural
y que no es tam bién uno. La clase como unidad puede identificarse
con el todo com puesto por los térm inos de la m ism a, es decir, en el
caso de los hom bres, la clase como unidad será la raza hum ana.
Pero ¿podemos ev itar la contradicción siem pre tem ible cuando
existe algo que no puede transform arse en sujeto lógico? No veo modo
alguno de p resentar una contradicción precisa en este caso. Al tra ta r
los conceptos trabajábam os- con lo que era exclusivam ente una en­
tidad; ahora lo hacem os con un complejo esencialm ente susceptible
de analizarse en unidades. E n una proposición tal como «A y B son
dos* no existe sujeto lógico: la aserción no se refiere a A , ni a B , ni
(*) E s ta conclusión la obtienie re a lm e n te F reg e a p a r tir d e u n arg u m e n to
análogo: Archiv. fü r syst. Ph.il., I, p ág . 444. V éase ap é n d ice.
L OS P RI N C I P I O S D E LA M A T E M Á T I C A
109
al todo com puesto por am bos, sino e stric ta y solam ente a A y B.
De modo que parecería que las aserciones no se refieren exclusivam en­
te a sujetos singulares, sino que pueden referirse a varios sujetos; y
esto suprim e la contradicción que surge en el caso de conceptos por
la im posibilidad de form ular aserciones respecto a ellos, a menos de
que se los transform e en sujetos. No existiendo aquí esta im posibilidad,
no surge la contradicción que era de tem er.
75. Podríam os preguntar, como sugiere la discusión anterior, quó
se debe decir de los objetos denotados por un hombre, todo hombre,
algún hombre, y cualquier hombre. ¿Estos objetos son uno o m uchos o
ninguno? L a G ram ática los tra ta como uno. Pero, desde este p u n to
de vista, la objeción n a tu ra l es: ¿qué uno? C iertam ente ni Sócrates,
ni P latón ni persona alguna particular. ¿Podemos llegar a la conclusión
de que nadie se halla denotado? Igualm ente podríam os concluir que
lo están todos, lo que en realidad es verdadero para el concepto todo
hombre. Creo que uno se halla denotado en cada caso, pero de un modo
im parcial distributiv o. Cualquier número no ec ni 1 ni 2 ni ningún
núm ero particular; por lo tan to es fácil concluir que cualquier núm-ero
no es un núm ero cualquiera, proposición a prim era vista co n trad icto ­
ria, pero que resulta en realidad de una am bigüedad en cualquiera, y
que so halla expresada con m ayor precisión por «cualquier número no
es algún número». Sin em bargo, en este tem a se presentan ciertos
enigmas que aún no sé cómo resolver.
Queda tod av ía una dificultad lógica respecto a la natu raleza del
todo com puesto por todos los térm inos de una clase. Dos proposicio­
nes parecen ser evidentes por sí mismas: 1) Dos todos com puestos de
térm inos diferentes deben ser diferentes; 2) Un todo com puesto sola­
m ente por un térm ino es solam ente ese térm ino. Se deduce que el todo
compuesto por una clase considerada como un térm ino es esa clase
considerada como térm ino, y es por lo tan to idéntica al todo com puesto
por todos I03 térm inos de la clase; pero este resultado contradice el
prim ero de nuestros principios supuestos evidentes por sí mismos. Sin
embargo, la respuesta en este caso no es difícil. El prim ero de nuestros
principios es universalm ente verdadero sólo' cuando todos los térm inos
que componen nuestros dos todos son simples. Un todo dado es posible,
si tiene m ás de dos partes, de ser analizado en una p luralidad de
modos; y los constituyentes resultantes, m ientras el análisis no se lleve
a un últim o extrem o, serán diferentes p ara distintos modos de analizar.
E sto prueba que los diferentes conjuntos de constituyentes pueden cons­
titu ir el mismo todo, y de este modo concluye con n u estra dificultad.
76. Algo debe decirse respecto a la relación de un térm ino con la
clase de la que es m iem bro, y de las varias rela-ciones encadenadas.
Una de dichas relaciones se llam ará e y es fundam ental en la Lógica
simbólica. Pero es h a sta cierto p u n to o ptativo cuál de ellas debe to ­
m arse como sim bólicam ente fundam ental.
110
BERTRAND RUSSELL
Lógicam ente, ia relación fundam ental es la de sujeto y predicado,
expresada en «Sócrates es humano», relación que, como hemos visto
en el capítulo IV, es peculiar en el sentido que el relato no puede con­
siderarse como térm ino en la proposición. La prim era relación que
surge de ésta es la expresada por «Sócrates tiene hum anidad», quo se
distingue por el hecho de que aquí la relación es un térm ino. Luego
viene «Sócrates es un hombre». E s ta proposición, como relación entre
Sócrates y el concepto hombre, es la que Peano considera fundam ental;
y su e expresa la relación es un en tre Sócrates y hombre. M ientras
usemos conceptos-clase en vez de clases en nuestros simbolismos, esta
práctica será inobjetable; pero si dam os a e este significado no pode­
mos suponer que los dos símbolos que representan conceptos-clase
iguales representan una y la m ism a entidad. Podem os continuar con
la relación entre Sócrates y la raza hum ana, es decir, entre un término
y su clase considerada como un todo; esto se halla expresado por «Só­
crates pertenece a la raza humana». E s ta relación puede ser igualmente
representada por e. E s claro que como una clase es esencialm ente
plural, excepto cuando tiene un térm ino, no puede ser. (al como la
representada por una sola letra: en consecuencia en cualquier Lógica
simbólica posible las letras que representan clases no pueden represen­
tarlas como pluralidades, sino que, o deben representar conceptosclase o los todos com puestos de clases, o algunas otras entidades sin­
gulares relacionadas. Y por lo ta n to e no puede rep resen tar la relación
de un térm ino a su clase como pluralidad; porque é sta sería una rela­
ción de un térm ino a varios térm inos, no una relación de dos términos
tal como querem os. E lla puede expresarse por «Sócrates es uno entre
los hombres»; pero esto, en todo caso, no puede tom arse como signi­
ficado de e.
77.
U na relación que antes de Peano se confundía casi univer­
salm ente con e es la relación de inclusión entre clases, como, por ejem­
plo, entre hom bres y m ortales. É s ta es una relación clásica, ya que se
presenta en la form a tradicional del silogismo: ha sido cam po de ba­
talla entre intensión y extensión, y se hü discutido ta n to que parece
asombroso cuánto queda por decir respecto.a ella. Los empíricos sos­
tienen que tales proposiciones significan u n a enum eración real de los
térm inos de la clase contenida con la afirm ación, en cada caso, de
ser m iem bro de la clase continente. Debe inferirse que tienen que
considerar dudoso el que todos los prim os sean enteros, pues no pueden
ten er la pretensión de sostener que han exam inado todos los primos,
uno por uno. Sus opositores han sostenido, por el contrario, que lo
que se quiere significar es u n a relación de todo y p a rte entre los pre­
dicados definentes, pero a d a p ta d a en sentido opuesta a p a rtir de la
relación en tre clases: es decir, el predicado definente de la clase mayor
es p a rte del correspondiente de la clase m enor. E ste punto de vista
parece ser m ucho m ás defendible que el anterior; y, siem pre que exista
LOS P RI N C I P IO S DE L A M A T E M Á T I C A
111
una tal relación entro los predicados definentes, se deduce la relación
de inclusión. Pero pueden form ularse dos objeciones, en prim er lugar,
que en algunos casos de inclusión no existe tal relación entre los p redi­
cados definentes, y en segundo, que en cualquier caso lo que se quiere
significar es una relación entre clases, no una entre sus predicados
definentes. El prim er punto puede establecerse fácilm ente con ejem ­
plos. El concepto prim o p ar no contiene como constituyente el con­
cepto entero entre 1 y 10; el concepto «el rey inglés que fue d e c ap ita ­
do» no contiene ol concepto «la gente que m urió en 1049»; y así a
través de innum erables casos obvios. E sto puede entenderse diciendo
que, aunque la relación de los predicados definentes no es una de todo
y parte, es más o menos análoga a la implicación, y siem pre es lo que
se quiere decir con proposiciones de inclusión. Creo que tal p u n to de
vista representa lo que dicen los mejores defensores de la intensión,
y no me corresponde negar que una relación tal como la que estam os
considerando subsiste siem pre entre predicados definentes de clases
tales que una está contenida en la otra. Pero el segundo de los puntos
anteriores se m antiene en contra de cualquier interpretación intensio­
nal. Cuando decimos que los hom bres son m ortales es evidente que
decimos algo respecto a los hom bres, no respecto al concepto hombre
o al predicado humano. P o r lo ta n to la pregunta es: ¿qué es lo que
decimos exactam ente?
Peano sostiene en las prim eras ediciones del Form ulaire que lo que
se afirma es la implicación form al «x es un hom bre im plica x es mortal».
Esto está ciertam ente im plicado, pero no puedo llegar a convencerm e
de que sea la misma proposición. Porque en ella, como vimos en el
capítulo I II , es esencial que x pueda tom ar todos los valores, y no
sólo tales corno hombres. Pero cuando decimos «todos los hom bres
son mortales» parece claro que estam os hablando solam ente de hom ­
bres, y no de todos los dem ás térm inos im aginables. Podem os, si
queremos u n a relación genuina de clases, considerar la aserción como
entre todo y parte entre las dos clases consideradas cada una como
térm ino singular. 0 dar a n u estra proposición una form a aún más
puram ente extensional, haciéndola significar: Todo (o cualquier) hom ­
bre es m ortal. E sta proposición da origen a problem as m uy in te resa n ­
tes en la teoría de denotar, pues parece afirm ar una identidad, aunque
es claro que lo que se halla denotado por todo hombre es diferente a
lo que se halla denotado por un mortal. E stos problem as, sin em bargo,
interesantes como son, no deben Ber tra tad o s en este lugar. Solam ente es
necesaria la com prensión clara de lo que son las diferentes proposiciones
equivalentes com prendidas cuando una clase se halla incluida en otra.
La form a más relacionada con la M atem ática es ciertam ente la que tiene
implicación form al, que será ohjeto de discusión en el capítulo próxim o.
F inalm ente debemos recordar que las clases pueden derivarse,
por medio de la noción de tal que, de fuentes diferentes a las propo-
112
BERTRAND RUSSELL
siciones de su jeto-predi cado y sus equivalentes. Cualquier función
proposicional en la cual se form ula u n a aserción fija sobre un térm ino
variable debe considerarse, como se explicó en el capítulo I I , como
dando origen a u n a clase de valores que la satisfacen. E ste tópico
requiere una discusión de aserciones; pero debem os comenzar por
m encionar una e x tra ñ a contradicción que requiere en la discrim ina­
ción el cuidado que se ha tenido presente en este capítulo.
78. E n tre los predicados, la m ayoría de los casos comunes no
pueden ser predicables a sí mismos, aunque, introduciendo predicados
negativos, se hallará que hay un núm ero igual de casos de predicados
que son predicables a sí mismos. P o r lo menos uno de ellos, la prodicabilidad, o la propiedad de ser predicado, no es negativo: la predicabilidad, como es evidente, es predicable, es decir, es predicado de sí
mismo. Pero los casos más com unes son negativos: así la no-hum ani­
dad es no-hum ana, etc. Por lo tan to , los predicados que no son predi­
cables a sí mismos son solam ente una selección entre todos ellos, y
es natural suponer que form an una clase que tiene un predicado de­
finente. Pero si así fuese exam inem os si éste pertenece o no a la clase.
Si pertenece, no es predicable a sí mismo, porque ésta es propiedad
característica de la clase. Pero si no es predicable a sí mismo, entonces
no pertenece a la clase de la que es predicado definente, lo que es con­
tradictorio a la hipótesis. P o r o tra p arte, si no pertenece a esta clase,
entonces no es predicable a sí mismo, es decir, es uno de los predicados
no predicables a sí mismos, y por lo ta n to pertenece a la clase de la
que es predicado definente — de nuevo en contra de la hipótesis— .
Por lo ta n to ,, cualquiera sea la hipótesis adoptada, surge de ella su
contradictoria. Volveré sobre esto en el capítulo X; por el m om ento
lo he tra ta d o sim plem ente p a ra dem ostrar que no hay sutileza en la
distinción que pueda ser excesiva.
79. R esum am os la discusión anterior, quizá algo prolongada.
Coincidimos en que una clase debe in terp retarse esencialm ente en ex­
tensión; o es un térm ino singular, o es ese tip o de com binación de té r­
minos indicado cuando los mismos se hallan conectados por la p a ­
labra y. Pero de modo práctico, no teórico, este m étodo puram ente
extensional sólo puede aplicarse a clases finitas. T odas las clases, sean
finitas o infinitas, pueden obtenerse como objetos denotados por los
plurales de los conceptos-clase —hom bres, núm eros, puntos, etc.— .
Partiendo de los predicados, distinguim os dos tipos de proposición,
tipificados por «Sócrates es hum ano» y «Sócrates tiene humanidad»,
de los que el prim ero usa humano como predicado, y el segundo como
térm ino de una relación. E stas dos clases de proposiciones, aunque
m uy im portantes lógicam ente, no lo son ta n to p a ra la M atem ática
como sus derivadas. P artiendo de humano, distinguim os: 1 ) el conceptoclase hombre, que difiere levem ente, si en algo, de humano; 2 ) los
diferentes conceptos denotantes todos loa hombres, todo hombre, cual­
LOS P RI N C I P IO S D E L A M A T E M Á T I C A
113
quier hombre , un hombre y algún hombre; 3) los objetos denotados por
estos conceptos, de los que el denotado por todos los hombres se llamó
clase como pluralidad, de modo que todos los hombres (el concepto)
se llamó concepto de la cla.se; 4) la clase como uno, es decir, la raza
hum ana. Hicimos tam bién una clasificación de las proposiciones acerca
de Sócrates, dependiente de las distinciones anteriores y ap ro x im a­
dam ente paralela a ellas: 1 ) «Sócrates es un hombre» es'casi, si no
exactam ente, idéntica a «Sócrates tiene humanidad»; 2 ) «Sócrates es
un hombre» expresa identidad entre Sócrates y uno de los térm inos
denotados por un hombre; 3) «Sócrates es uno entre los hombres», p ro ­
posición que da origen a dificultades debido a la pluralidad de hom ­
bres; 4) «Sócrates pertenece a la raza humana», que sólo expresa una
relación de un individuo a su clase y que, como lo requiere la posibi­
lidad de relación, tom a la clase como unidad, no como pluralidad.
Coincidimos en que la clase vacía, que no tiene térm inos, es una
ficción, aunque existen conceptos-clase nulos. Parecería a trav és de
todo esto que, aunque cualquier tra tam ie n to simbólico debe tra b a ja r
mucho con conceptos-clase e intensión, las clases y extensión son ló­
gicam ente m ás fundam entales para los principios de la M atem ática;
y ésta debe considerarse como n uestra conclusión general fundam ental
del capítulo presente.
Lo»
PR IN C IPIO S
DE
LA
M aT E M Á T ICA .— 8
C A P ÍT U L O VII
FU N C IO N ES PR O PO SIC IO N ALES
SO. En el capítulo anterior se hizo una te n ta tiv a p ara indicar el
tipo de objeto que debe llam arse clase, y de acuerdo con los fines de
la discusión, las clases se consideraron como derivadas de las propo­
siciones de sujeto-predicado. E sto no afecta nuestro p u n to de vista
respecto a la noción m ism a de clase; pero si se a d ju n ta restringirá
enorm em ente la extensión de esa noción. A m enudo es necesario re­
conocer como clase un objeto no definido por medio de una proposi­
ción de sujeto-predicado. La explicación de esta necesidad debe bus­
carse en la teoría de las aserciones y del tal que.
La noción general de aserción y a ha sido explicada en conexión
con la implicación form al. E n el presente capítulo se exam inarán su
fin y legitim idad en form a crítica, y se investigará su relación con las
clases y con tal que. El tem a se halla lleno de dificultades, y las d octri­
nas que tra to de defender se exponen con una confianza m uy lim itada
en su verdad.
A prim era v ista puede pensarse que la, noción de tal que es suscep­
tible de definición; en realidad, Peano acostum braba a definirla con
la proposición «las x tales que x es un a son la clase a». Además de
otras objeciones, que se expondrán seguidam ente, debe tenerse en
cuenta que la clase obtenida de tal que es la clase genuina, tom ada en
extensión y como pluralidad, m ientras que a en «x es un a» no es la
clase, sino el concepto-clase. De aquí que sea form alm ente necesario,
si es perm isible el procedim iento de Peano, su stitu ir en vez de «los
x tales que esto y aquello* el concepto-clase genuino <tx ta l que esto
y aquello», que puede considerarse como obtenido a p a rtir del predi­
cado «tal que esto y aquello» o más bien «ser un x tal que esto y aque­
llo», siendo necesaria esta úlfim a form a porque esto y aquello es una
función proposicional que contiene x. Pero cuando se h a llevado a
cabo esta corrección puram ente form al queda el p u n to de que tal
LOS P RI N C I P IO S DE LA M A T E M Á T I C A
116
que debe ponerse a m enudo an te proposiciones tales como xR a, donde
R es una relación dada y a un térm ino dado. No podemos reducir
esta proposición a la form a «x es un a'» sin usar tal que; porque si nos
preguntam os qué es lo que es a', la respuesta será: a 1 debe ser tal que
cada uno de sus térm inos, y ninguno otro, guarde la relación R con
a. Tomemos ejem plos de la vida diaria: los hijos de Israel son una
clase definida por una cierta relación con Israel, y la clase sólo puede
definirse como los térm inos tales que guardan esa relación. T al que
es aproxim adam ente equivalente a q u i ñ i o rl cual, y representa la
noción general de satisfacer una función proposicional. Pero sigamos
avanzando: dada una clase a no podemos definir, en función de a, la
clase de proposiciones «.c es un a» para diferentes valores de x. Es
claro que existe una relación que cada una de esas proposiciones
guarda con la x que figura en ella, y que la misma se halla d eterm in a­
da cuando se da a. Llam em os R a dicha relación. Entonces cualquier
entidad referente respecto a R es una proposición del tipo «x es un a».
Pero aquí ya se ha empleado la noción de tal que. Y la m ism a rela­
ción R sólo puede definirse como la relación que existe entre «x es
un a» y x para todos los valores de x, y que no es válida entre
ningún otro par de térm inos. Aquí aparece de nuevo tal que. El
punto de im portancia fundam ental en estas consideraciones es la indefinibilidad de las funciones preposicionales. Cuando se las adm ite,
se define fácilm ente la noción general de funciones de una variable.
Toda relación pluriunívoca, es decir, toda relación para la cual un
referente dado tenga sólo un relato, define una función: el relato es la
función del referente que se halla definida por la relación en cuestión.
Pero cuando la función es una proposición, la noción involucrada se
halla presupuesta en el simbolismo, y no puede definirse por medio
de él sin incurrir en círculo vicioso, pues en la definición general a n ­
terior de una función ya se presentaban funciones preposicionales. En
el caso de proposiciones del tipo <or es un a o, si preguntam os qué p ro ­
posiciones son de ese tipo, sólo podemos responder: «todas las p ropo­
siciones en las que se dice que un térm ino ea a»; y aquí reaparece la
noción que debe definirse.
81.
¿Puede el elem ento indefinible involucrado en funciones p r e ­
posicionales identificarse con aserción y noción de toda proposición
que contenga una aserción dada, o form ularse una aserción que con­
cierna a todo térm ino? La“ única a ltern ativ a, según me es dado ver,
es la de aceptar como indefinible la noción general de función p rep o ­
sicional, y por razones formales este cam ino es ciertam ente el m ejor;
pero filosóficamente La noción parece a prim era vista susceptible de
análisis, y tenem os que exam inar si esta apariencia es o no engañosa.
Vimos al discutir los verbos en el capítulo IV que cuando se analiza
com pletam ente una proposición en sus constituyentes sim ples, éstos
tomados en conjunto, no la reconstituyen. Tam bién ha sido conside­
BERTRAN D RUSSELL
116
rado un análisis menos com pleto de las proposiciones en sujeto y
aserción; y éste hace m ucho menos p ara destru ir la proposición. Es
cierto que un sujeto y una aserción, si se yuxtaponen sim plem ente,
no constituyen proposición; pero en cuanto se afirm a realm ente la
aserción sobre el sujeto, la proposición reaparece. La aserción es todo
lo que queda de la proposición cuando se om ite el sujeto; el verbo
sigue siendo afirm ado, y no se transform a en nom bre verbal; o por lo
menos retiene esa curiosa e indefiniblem ente in trin cad a relación res­
pecto a los otros térm inos de la proposición que distingue una relación
que relaciona, de la misma considerada a b stractam en te. Ahora de­
bemos exam inar el fin y legitim idad de esta noción de aserción. ¿Puede
considerarse a to d a proposición como una aserción respecto a cualquier
térm ino que figure en ella, o son necesarias lim itaciones respecto a
la form a de la proposición y al modo en que el térm ino e n tra a form ar
p arte de la misma?
En algunos casos simples es evidente la legitim idad del análisis
en sujeto y aserción. En «Sócrates es un hombre» podemos distinguir
claram ente Sócrates y algo que se afirm a acerca de él; debemos ad­
m itir sin duda que lo mismo puede decirse acerca de P latón o A ristó­
teles. De este modo nos es licito considerar una clase de proposiciones
que contengan e sta aserción, y ésta la clase de la que un ejemplo
típico se hafla representado por nx es un hombre». Se observará que la
aserción debe aparecer corno tal, no como térm ino; así, «ser hom bre es
sufrir» contiene la m ism a aserción, pero usada como térm ino, y esta
proposición no pertenece a la clase considerada. En el caso de propo­
siciones que afirm an una relación fija respecto a un térm ino fijo, el
análisis parece igualm ente irrefutable. Tener más de un m etro de
longitud, por ejem plo, es una aserción perfectam ente definida, y po­
demos considerar la clase de proposiciones en la que se form ula esta
aserción, que será representada por la función proposicional «x tiene
más de un m etro de longitud». E n frases tales como «culebras que
tienen más de un m etro de longitud», la aserción aparece m uy clara­
m ente, porque aquí se refiere de modo explícito a un sujeto variable,
no aplicándose a sujeto definido alguno. Así que si i? es una relación
fija y a un térm ino fijo, ... Ra es una aserción perfectam ente definida.
(Coloco puntos suspensivos delante de R p a ra indicar el lugar que debe
ocupar el sujeto al form ar la proposición.) Puede dudarse acerca de
si una proposición relacional puede considerarse como aserción con­
cerniente al relato. P or mi p a rte creo que puede hacerse esto excepto
en el caso de proposiciones de sujeto-predicado; pero será m ejor pos­
poner este problem a h a sta que hayam os discutido las relaciones (J).
82 .
A hora considerarem os tem as m ás difíciles. ¿La proposición
«Sócrates es un hom bre im plica Sócrates es mortal», o «Sócrates es
(J)
V éase § ÜU.
LOS P RI N C I P IO S DE LA M A T E M A T I C A
117
casado implica Sócrates tiene padre» es una aserción concerniente a
Sócrates o no lo es? E s m uy cierto que si reem plazam os Sócrates por
una variable obtenem os una función proposicional; de hecho, lo que
se afirm a en la implicación formal correspondiente es la verdad de
esta función para todos los valores de la variable, lo que no afirma,
como a prim era vista podría creerse, una relación entre dos funciones
proposicionales. N uestra presente intención era la de explicar, si es
posible, las funciones proposicionales por medio de aserciones; por
lo tan to , si podemos poner en práctica nuestras intenciones, las pro­
posiciones anteriores deben ser aserciones concernientes a Sócrates. Sin
embargo, existe una gran dificultad en considerarlas de ese modo. Se
obtuvo una aserción de una proposición om itiendo sim plem ente uno
de los térm inos que tenían lugar en la proposición. Pero cuando om i­
timos Sócrates obtenem os «... es un hom bre im plica ... es m ortal.» En
esta fórm ula es esencial que, al restau rar la proposición, deba su sti­
tuirse el m ismo térm ino en los lugares en que los puntos indican su
necesidad. No interesa cuál sea el térm ino elegido, sino que debe ser
idéntico en am bos sitios. Sin em bargo, no aparece tra z a de este re­
quisito en la pretendida aserción, ni puede aparecer traza, ya que se
om ite necesariam ente toda mención del térm ino que debe insertarse.
Cuando se coloca una x para que ocupe el lugar de la variable, la
identidad del térm ino a insertarse se halla indicada por la repetición
de la letra x\ pero en la forma asercional no es aplicable tal m étodo.
Y, sin em bargo, a prim era vista parece m uy difícil negar que la pro­
posición en cuestión nos dice algo acerca de Sócrates, y que el mismo
liecho es verdadero respecto a P latón, una to rta , o el núm ero 2,
es ciertam ente innegable. «Platón es un hom bre im plica que P latón es
mortal» es, en un sentido u otro, la m isma función de P latón que
nuestra proposición anterior era de Sócrates. La interpretación n a tu ­
ral de esta afirmación sería la de que una proposición tiene respecto
a P latón la misma relación que la otra tiene respecto a Sócrates. Pero
esto requiere que considerem os la función proposicional en cuestión
como definible por medio de su relación con la variable. Pero tal
punto de vista exige una función proposicional más com plicada que
la considerada. Si representam os por <px nx es un hom bre im plica x es
mortal», dicho punto de vista sostiene que yx es el térm ino que" a g u a r­
da respecto a a; la relación R , donde R es alguna relación definida. La
afirmación formal de este p u n to de vista es la siguiente: P a ra todos
los valores de x e y, «y es idéntica a <px» es equivalente a ay guarda
la relación R con xn. E s evidente que esto no constituye una explica­
ción, ya que ofrece una complicación m ucho m ayor que lo que se
tra ta de explicar. Parecería deducirse que las proposiciones pueden
conservar una cierta constaAcia de form a, expresada por el hecho
de que son casos particulares de una función proposicional dad a, sin
que sea posible analizar las proposiciones en un factor co n stan te
118
BERTRAND RUSSELL
y uno variable. Tal posición es curiosa y difícil: la constancia de forma,
en todos los dem ás casos, es reducible a la constancia de relaciones,
pero la constancia involucrada aquí se presupone en la noción de
constancia de relación, v. por lo ta n to , no puede explicarse del modo
común.
Creo que se obtiene la m ism a conclusión p ara dos variables. El
ejem plo más simple de este caso es x R y , donde R es una relación
constante, m ientras x e y varían independientem ente. Parece evidente
que ésta es una función proposicional de dos variables independientes:
no existe dificultad en la noción de la clase de todas las proposiciones
de la form a x R y. E sta clase se halla involucrada — o por lo menos
se hallan involucrados todos aquellos m iem bros de la clase que son
verdaderos— en la noción de las clases de referentes y relatos respecto
a R, y estas clases se adm iten sin duda en palabras tales como p a ­
dres e hijos, amos y sirvientes, esposos y esposas, y otros casos innu­
m erables de la vida diaria, como tam bién en nociones lógicas tales
como prem isas y conclusiones, causas y efectos, y así sucesivam ente.
Todas esas nociones dependen de la clase de proposiciones tipificadas
por x R y, donde R es una constante m ientras que x e y son variables.
Sin em bargo, es m uy difícil considerar x R y como analizable en la
aserción R concerniente a x e y, por la razón m uy concluyente do que
este punto de vista destruye el sentido de la relación, es decir, su di­
rección de x a y, dejándonos cierta aserción que es sim étrica respecto
a x e. y, tal como «la relación R se halla establecida en tre x e y». D ada
una relación v sus térm inos son posibles, de hecho, dos proposiciones
distintas. De modo que si querem os que la m ism a R sea una aserción,
resulta una aserción am bigua: al reem plazar los térm inos, si deseamos
evitar la am bigüedad, debemos decidir cuál es referente y cuál relato.
Con m ucha legitim idad podemos considerar . . . R y como aserción,
como se explicó anteriorm ente; pero aquí y se ha transform ado en
constante. Luego debem os seguir variando y, considerando la clase
de aserciones . . . R y p a ra diferentes valores de y, pero este proceso
no parece ser idéntico al indicado por la variabilidad independiente
de x e y en la función proposicional x R y . Adem ás el proceso sugerido
requiere la variación de un elem ento en una aserción, a saber de
y en ...R y , y ésta es, por sí m ism a, una noción difícil y nueva.
Respecto a esto se origina un hecho curioso por la consideración, a
m enudo esencial en la M atem ática real, de relación de un térm ino
consigo mismo. Consideremos la función proposicional x R x , donde R
es una relación constante. Son necesarias tales funciones al conside­
rarse, por ejem plo, el caso de las clases de suicidas o de autodidactas;
o tam bién al considerar los valores de la variable p a ra los cuales ella
es igual a una cierta funcióñ de sí m ism a, lo que a m enudo puede
necesitarse en M atem ática com ún. Parece sobrem anera evidente en
este caso que la proposición contiene un elem ento que se pierde cuan­
LO S P RI N C I P I O S DE LA M A T E M Á T I C A
119
do se la analiza en un térm ino x y en una aserción R. E n consecuencia,
aquí tam bién puede adm itirse como fundam ental la función p ro ­
posicional.
83.
Al considerar la variación del concepto en una proposición
surge un punto curioso. Consideremos, por ejem plo, todas las propo­
siciones del tipo aR b, donde a y 6 son térm inos fijos y i? es u n a rela­
ción variable. Parece no haber razón para d u d ar acerca de si es legítim o
el concepto-clase «relación entre a y b », y de que exista una clase
correspondiente; pero esto requiere la adm isión de funciones p rep o ­
sicionales tales como a ¡ib, las que, adem ás, se necesitan frecuente­
m ente en la M atem ática real, como, por ejem plo, al co n tar el núm ero
de relaciones pluriunívocas cuyos referentes y relatos se hallan dados
por clase. Pero si, como exigimos norm alm ente, n uestra variable
debe tener un campo no restringido, es necesario su stitu ir la función
proposicional «R es una relación im plica a R b ». E n esta proposición
la implicación involucrada es m aterial, no formal. Si la implicación
fuese formal, la proposición no sería función de R, sino equivalente a la
proposición (necesariam ente falsa): «Entre a y b son válidas todas las
relaciones.» G eneralm ente nos hallam os ante una proposición tal como
«nRb implica y [ R) siem pre que R sea una relación», y querem os tra n s ­
form ar esto en implicación formal. Si 9 (It) es una proposición para
todos los valores de R, nuestro objeto se logra sustituyendo. «Si ' R es
una relación’ implica 'a R b ’, entonces <p(R).» Aquí R pueden tom ar
todos los valores (*), y el si y entonces constituyen im plicación formal,
m ientras que im plica es una implicación m aterial. Si 9 {R) no es fu n ­
ción proposicional, sino sólo proposición cuando R satisface <j/(ií),
donde
es una función proposicional im plicada por «i? es una
relación» p ara todos los valores de R, entonces n u estra implicación
formal puede ponerse bajo la form a «Si 'R es una relación’ im plica aRb,
entonces, p ara todos los valores de R, i|/(R ) im plica 9 (i?)», donde am ­
bas implicaciones subordinadas son m ateriales. Respecto a la im plica­
ción m aterial a'R es una relación’ im plica aRb», resulta siem pre
proposición, m ientras que a R b sólo es proposición cuando R es rela­
ción. L a nueva función proposicional será verdadera solam ente cuan­
do R sea u n a relación establecida entre a y b: si R no es una relación,
el antecedente será falso y el consecuente no será proposición, de
modo que la implicación será falsa; cuando R sea una relación no
válida entre a y 6, el antecedente será verdadero y el consecuente falso,
de modo que de nuevo la im plicación será falsa; sólo cuando ambos
sean verdaderos, la im plicación será verdadera. De modo qué al definir
la clase de relaciones que se pueden establecer entre a y b, el proceso
norm alm ente correcto consiste en hacerlo como los valores que satis­
(*) E s necesario a sig n a r alg ú n significado (d istin to al de proposición)
a aR b cu a n d o R no os relación.
BERTRAND RUSSELL
120
facen «R es una relación im plica aRb» —im plicación que, aunque
contiene una variable, no es form al sino m aterial, siendo satisfecha
solam ente por algunos de los valores posibles de R — . De acuerdo con
el lenguaje de Peano, la variable R en sí es real y no aparente.
El principio general involucrado es el siguiente: Si ox es solam ente
proposición para algunos valores de x, entonces «'cpx im plica cpx’ im ­
plica 9 X» os una proposición p ara todos los valores de x, y es verdadera
cuando y solam ente cuando 9 X es verdadera. (Ambas implicaciones
involucradas son m ateriales.) En algunos casos «qxr im plica <pz», será
equivalente a alguna función proposicional m ás sim ple tyx (tal como
*R es una relación» en el caso anterior), que entonces puede sustituirse
por ella (J).
Una función proposicional tal como <¡R es una relación im pli­
c a Rh» parece sor do análisis aún menos posible on R y una aserción
respecto a R que los casos anteriores, porque deberíam os asignar un
significado a «a ... ó», donde el espacio en blanco puede llenarse con
cualquier cosa, y no necesariam ente con una relación. Pero aquí
existe la sugestión de una entidad aun no considerada; a saber: la
de una cupla —p a re ja — con sentido. Puede dudarse acerca de la exis­
tencia de una tal en tid ad y, sin em bargo, frases tales como <¡R es una
relación establecida de a a 6» parecerían dem ostrar que su rechazo
puede conducir a paradojas. Pero este punto pertenece a la teoría
de relaciones y se resum irá en el capítulo IX (§ 98).
De lo dicho parecería que las funciones proposicionales deban
aceptarse como datos últim os. Se deduce que la im plicación formal
y la inclusión de clases no puede explicarse generalm ente por medio
de una relación en tre aserciones, aunque cuando una función propo­
sicional afirm a una relación fija respecto a un térm ino fijo, al análi­
sis en sujeto y aserción es legítimo y no carece de im portancia.
84.
Sólo quedan por decir unas pocas palabras respecto a la deri­
vación de clases a p a rtir de funciones proposicionales. Cuando conside­
ramos las x tales que ox, donde rpx es una función proposicional, in­
troducim os una noción de la que se hace un uso m uy oscuro en el
Cálculo proposicional — me refiero a la noción de verdad ,— . E stam os
considerando entre todas las proposiciones del tipo 9 2 , las que son
verdaderas: los valores correspondientes de x dan la clase definida
por la función <px. Creo que debe sostenerse que to d a función propo­
sicional no nula define una clase, que se halla den o tad a por «los x tales
que <pz». Pero puede dudarse —y por supuesto que la contradicción
con la que he concluido el capítulo anterior d a razones p a ra ello—
<1
(’) U n a función p ro p o sicio n al, a u n q u e sea v e rd a d e ra o falsa p a r a to d o v a ­
lor de la v aria b le, no es v e rd a d e ra o fa lsa p o r sí m ism a, sien d o lo qu e se h alla
d en o tad o po r «cualquier p roposición del tip o en cu e stió n , q ue no os p ro p o ­
sición en sí*.
L OS P RI N C I P IO S D E LA M A T E M A T I C A
121
acerca do si existe siem pre un predicado definente de tales clases.
Adem ás de la contradicción en cuestión, este punto puede parecer
m eram ente verbal: podría decirse que «ser un x ta l que tpr* puede
tom arse siem pre de m odo que sea predicado. Pero teniendo en cuen ta
nuestra contradicción, tod as las consideraciones sobre dicho tem a
deben tratarse con cuidado. E sto s puntos serán resum idos en el c a ­
pítulo X .
85.
D ebe tenerse en cuen ta que, de acuerdo a la teoría de fu n cio­
nes proposicionales que defendem os en este libro, el 9 en <px no es una
entidad separada y distinguible: vive en las proposiciones de la fo r­
ma cpx, y no puede so b revivir el análisis. D ud o m ucho sobre si tal
punto de vista no puede conducir a contradicción, pero parece im ­
ponérsenos y tiene el m érito de perm itim os e v ita r una contradicción
que surge del punto de v ista opuesto. Si 9 fuese una en tid ad d istin g u i­
ble, existiría una proposición que afirm ara 9 de sí m ism a, que podem os
denotar con 9(9); tam bién existiría una proposición no-9(9), que ne­
gare 9(9). E n esta proposición podem os considerar 9 com o variable;
y, por lo tanto, obtendrem os una función proposicional. Se presenta
el problem a: ¿En esta función proposicional puede afirm arse la aser­
ción a sí misma? L a aserción no es una auto-asertib ilidad, por lo que
si puede afirm arse de sí m ism a, no puede, y si no puede, puede. E sta
contradicción se e v ita reconociendo que la parte funcional de una
función proposicional no es entidad independiente. Com o esta con­
tradicción es m uy sem ejante a la otra, concerniente a los predicados
no predicables a sí mismos, podem os pensar que aquí tam b ién puede
aplicarse una solución sem ejante.
C A P ÍT U L O v n i
LA V A R IA B L E
86 . Las discusiones del capítulo anterior han puesto en evidencia
la naturaleza fundam ental de la variable; no existe ap arato de aser­
ciones que nos perm ita evitar la consideración de la variación de uno
o más elem entos en una proposición m ientras los dem ás perm anecen
invariables. La variable es quizá la más específicam ente m atem ática
de todas las nociones; adem ás es, por cierto, una de las más difíciles
de com prender. E l intentarlo, si no lograrlo, constituye el objeto de
este capítulo.
La teoría sobre la n aturaleza de la variable que resulta de nues­
tras discusiones anteriores es, en resum en, la siguiente. Cuando un
térm ino dado figura como tal en una proposición, ese térm ino puede
reem plazarse por cualquier otro, m ientras los dem ás perm anecen sin
cambio. La clase de proposiciones obtenidas de ese modo tiene lo
que se puede llam ar constancia de form a, y esta constancia de forma
debe tom arse como idea prim itiva. La noción de u n a clase de propo­
siciones de form a constante es más fundam ental que la noción gene­
ral de dase, pues la últim a puede definirse en función de la prim era,
pero no ésta en función de aquélla. T om ando cualquier térm ino, un
cierto m iembro de cualquier clase de proposiciones de form a constante
contendrá ese térm ino. De modo que x, la variable, es lo denotado por
cualquier término, y yx , la función proposicional, es lo denotado por
la proposición de la form a <p en la que figura x. PodemoB decir que x
es el x de cualquier <px, donde <pz d en o ta la clase de proposiciones que
resultan de los diferentes valores de x. De modo que, adem ás de las
funciones proposicionales, en la noción de variable están presupues­
tas las nociones de cualquier y de denotar. E s ta teoría que, adm ito,
está llena de dificultades, es la m enos objetable que he podido form u­
lar. A hora la expondré más d etalladam ente.
87. Comencemos por observar que la m ención explícita de cual­
quier, algún, etc., no tiene por qué ocurrir en M atem ática: la implica-
LOS P RI N C IP IOS DE LA M A T E M Á T I C A
123
ción formal expresará todo lo necesario. R ecurram os a un caso ya
discutido cuando nos ocupam os de denotar, y en el que a era una
clase y b una clase de clases. Tenemos:
«Cualquier a pertenece a cualquier b» es equivalente a «'x es un a
implica que 'u es mi // implica 'x es un ?/.’» (*).
«Cualquier a pertenece a un b» es equivalente a «’z es un a ’ implica
'existe un b, llamémoslo u, tal que x es un w’»;
«Cualquier a pertenece algún 6» es equivalente a «existe un b,
llamémoslo u, tal que x es un a ’ implica 'x es un u'v,
y así sucesivam ente para las relaciones restantes consideradas en el
capítulo V. Se pregunta: ¿H asta qué punto estas equivalencias cons­
tituyen definiciones de cualquier, un, algún y hasta qué punto se
hallan involucradas estas nociones en el mismo sim bolism oí
La variable es, de acuerdo con la base form al, ¡a noción caracterís­
tica de la M atem ática. Además es el m étodo para form ular teorem as
generales, que siem pre .lignifican algo diferente a las proposiciones
intensionales a las que lógicos, tales como Mr. Bradley, tra ta n de re­
ducirlas. Así, debo confesar que me parece verdad evidente que el
significado de una aserción respecto a todos los hom bres o cualquier
hom bre es diferente del significado de una aserción equivalente res­
pecto al concepto hombre — tan evidente como el hecho de que una
proposición respecto a J u a n no se refiere al iiombre J u a n — . Por lo
tan to , no continuaré discutiendo este punto. G eneralm ente se adm ite
que la variable caracteriza la M atem ática, aunque no se distingue
generalm ente su presencia en la A ritm ética elem ental. É sta, tal como
se enseña a los chicos, se halla caracterizada por el hecho de que los
números que figuran en ella son constantes; la respuesta a cualquier
sum a que debe hacer un colegial se obtiene sin proposiciones que se
refieran a cualquier núm ero. Pero el hecho de que tal sea el caso sólo
pueda dem ostrarse con la ayuda de proposiciones que se refieran a
cualquier núm ero, v de este modo nos vemos trasladados de la A rit­
m ética de los colegiales a la A ritm ética que usa letras en vez de n ú ­
meros y que dem uestra teorem as generales. La diferencia existente
entre ésta y la que aterroriza a los niños puede verse del modo inm e­
diato en trab ajo s tales como los de D edekind (2) y Stolz (3). Ahora
bien, esa diferencia consiste sim plem ente en lo que sigue: en que nues­
tros núm eros se han transform ado en variables en vez de seguir siendo
constantes. Ahora deberem os dem ostrar teorem as que se refieran a n,
no a 3, o a 4, o a cualquier otro núm ero particu lar. De modo que es
(') A quí «existe un c», d o n d e c es c u a lq u ie r clase, e s tá definido com o e q u i­
v a le n te a «Si p im plica p, y 'x es’u n c’ im plica p p a ra to d o s los v alo res de x,
en to n ces p es verdadero».
(*) Was sind und was sollen die Zahlen?, B ru n w ick , 1893.
(s) Allgemeine A rühm etik, L eipzig, 1885.
124
BERTRAND RUSSELL
absolutam ente necesario para cualquier teoría de la M atem ática el
com prender la naturaleza de la variable.
O riginariam ente, no hay duda de que la variable se concibió como
nádim ica, como algo que cam biaba con el transcurso del tiem po, o,
como se decía, como algo que tom aba sucesivam ente todos los valores
de una cierta clase. E ste punto de vista no puede rechazarse en forma
tan rápida. Si se dem uestra un teorem a resj>ecto a n, no debe supo­
nerse que n es una especie de Proteo aritm ético que es 1 los domingos,
2 los lunes, y así sucesivam ente. Ni tam poco debe suponerse que n
asum e sim ultáneam ente todos los valores. Si n expresa cualquier en­
tero, no podemos decir que n es 1 , ni tam poco 2, ni cualquier otro
núm ero particular. En realidad, n denota sim plem ente cualquier nú­
mero. y esto es algo muy distinto a cada uno y a todos los números.
No es verdad que 1 es cualquier núm ero, aunque es verdadero que
todo lo válido para cualquier núm ero es válido p ara 1 . Resumiendo:
la variable requiere la noción indefinible de cualquier que se explicó
en el capítulo V.
88 .
Podem os distinguir lo que puede llam arse la variable verda­
dera o formal de la variable restringida. Cualquier término es un con­
cepto que denota la variable verdadera; si u es una clase que no con­
tiene todos los térm inos, cualquier u denota una variable restringida.
Los térm inos incluidos en el objeto denotado pjor el concepto definente
de una variable se llaman valores de la variable: así, todo valor de
una variable es una constante. E xiste cierta dificultad respecto a pro­
posiciones tales como «cualquier núm ero es un número». Interpretadas
por la implicación formal no ofrecen dificultad, pues afirm an sim ple­
m ente que la función proposicional «z es un núm ero im plica que x es
un número» vale para todos los valores de x. Pero si se tom a «cualquier
número» como objeto definido, es claro que no es idéntico a 1 ó 2 ó 3
o cualquier otro núm ero que pueda m encionarse. Pero éstos Bon todos
los núm eros que hay, de modo que «cualquier número» no puede en
absoluto ser un núm ero. El hecho es que el concepto «cualquier nú­
mero» denota un núm ero, pero no un núm ero particu lar. É ste es jus­
tam ente el p unto distintivo respecto a cualqxiier, que denota un tér­
mino de una clase, pero de un modo d istributivo im parcial, sin prefe­
rencia de un térm ino sobre otro. De modo que aunque a: es un núm ero,
y ningún núm ero es x, sin em bargo no hay aquí contradicción, m ien­
tras se reconozca que x no es térm ino definido.
Puede evitarse la noción de variable restringida, excepto cuando
se consideran funciones proposicionales, introduciendo una hipótesis
adecuada, a saber: la hipótesis que exprese la m ism a restricción. Pero
cuando se consideran funciones proposicionales esto no es posible.
El x en 92, donde cpx es una función proposicional, es una variable
no restringida; pero el 92 mismo se halla restringido a la clase que
podemos llam ar 9. (Debe recordarse que aquí la clase es fu n d am e n ta l
LOS P RI N C IP IOS DE LA M A T E M Á T I C A
12b
porque encontram os que es imposible, sin incurrir en círculo vicioso,
descubrir cualquier característica común por la cual pueda definirse
la clase, ya que la afirmación de cualquier característica común es,
por sí m ism a, función proposicional.) H aciendo que x sea siem pre
una variable no restringida, podemos hablar de la variable, que es
conceptualm ente idéntica en Lógica, A ritm ética, G eom etría y todos
los otros tem as formales. Los términos con los que estam os tra b a ja n d o
son siem pre todos térm inos; sólo los conceptos complejos que figuran
distinguen la.s diferentes ram as de la M atem ática.
89.
A hora podemos volver a la definibilidad ap aren te de cual­
quier, algún y un, en función de la implicación form al. Sean a y b
conceptos-clase y consideremos la proposición «cualquier a es un fe».
Debe in terpretarse como significado «x es un a implica x es un 6». Es
claro que las dos proposiciones no significan la m ism a cosa: porque
cualquier a es un concepto que sólo denota las a, m ientras que en la
implicación formal x no necesita ser un a. Pero en M atem ática po­
demos eludir por completo a «cualquier a es un ó» y contentam os
con la implicación formal: en realidad, éste es, sim bólicam ente, el
mejor camino. Por lo tan to , lo que debemos exam inar es: ¿H asta qué
punto intervienen en la implicación formal cualquier, algún y un, si lo
hacen en algo? (El hecho de que en «x es un a » y en «x es un 6» aparezca
el artículo indefinido carece de im portancia, porque éstas se tom an
sim plem ente como funciones proposicionales típicas.) Nos hallamos
frente a una clase de proj)osiciones verdaderas, cada una de las cuales
afirma acerca de un térm ino constante que si os un a es un b. Después
consideram os la variable restringida «cualquier proposición de esta
clase». Afirmamos la verdad de cualquier térm ino incluido entre los
valores de la variable restringida. Pero para obtener la fórm ula suge­
rida es necesario transferir la variabilidad de la proposición como un
todo a su térm ino variable. De este modo obtenem os «x es un a im ­
plica x es un bí>. Pero la génesis sigue siendo esencial, porque no nos
hallamos expresando una relación de dos funciones proposicionales
«x es un a» y «x es un bu. Si se expresara esto no se necesitaría el
mismo x en las dos ocasiones. Sólo se halla involucrada u n a función
proposicional, a saber: toda la fórm ula. Cada proposición de la clase
expresa una relación de un térm ino de la función proposicional «x es
un a» a uno de la «x es un ¿»>; y podemos decir, si querem os, que toda
la fórm ula expresa una relación de cualquier térm ino de «x es un a*
a algún térm ino de «x es un 6». No es ta n to una implicación que con­
tiene una variable como una implicación variable. O, de nuevo, po­
demos decir que el prim er x es cualquier térm ino, pero que el segundo
es algún térm ino; a saber, el prim er x. Tenem os una clase de im plica­
ciones que no contiene variables, y consideram os cualquier m iem bro
de esa clase. Si cualquier m iem bro es verdadero, el hecho se halla in­
dicado introduciendo una implicación típica que contenga una v a ria ­
126
BERTRAND RUSSELL
ble. E sta implicación típica es lo que se llam a implicación formal:
es cualquier m iem bro de una clase de implicaciones m ateriales. Así
parecería que cualquiera se presupone en el form ulism o m atem ático,
pero que algún y un pueden reem plazarse legítim am ente por sus equi­
valentes en función de implicaciones formales.
90. A unque algún puede reem plazarse por su equivalente en fu n ­
ción de cualquier, es claro que esto 110 da el significado de algún. En
realidad existe una especie de dualidad entre cualquier y algún: dada
una cierta función proposicional, tenem os cualquier, m ientras que si
se afirma por lo menos uno (lo que da lo que se llam a un teorem a de
existencia), tenem os algún. La proposición cpx afirm ada sin com entario,
como en «x es un hom bre implica x es mortal», debe tom arse en el
sentido de que ox es verdadera para todos los valores de x (o p ara cual­
quier valor), pero podría haberse tom ado igualm ente en el sentido do
que ox es verdadera para algún valor de x. De este modo podemos
construir un cálculo con dos tipos de variables, la conjuntiva y la
disyuntiva, en el que figurará la últim a siem pre que deba establecerse
un teorem a de existencia. Pero este m étodo no parece ofrecer ventajas
práct icas.
91. Debe tenerse en cuenta que lo que es fundam ental 110 son las
funciones proposicionales particulares, sino el concepto-clase fwición
pro]>osicional. Una función proposicional es la clase de todas las pro­
posiciones que tiene su origen en la variación de un térm ino singular,
pero esto no debe considerarse como definición por las razones expli­
cadas en el capítulo anterior.
92. De las funciones proposicionales pueden derivarse todas las
dem ás clases por definición, con ay u d a de la noción de tal que. D ada
una función proposicional 9X, los térm inos tales que, cuando x se
identifique con cualquiera de ellos, cpx es verdadera, son la clase defi­
nida por 9 X. É sta es la clase como pluralidad, la clase en extensión.
No debe suponerse que toda clase definida de este modo tiene un
predicado definente: esto se discutirá especialm ente en el capítulo X.
Pero debe suponerse, creo, que u n a clase en extensión se halla definida
por cualquier función proposicional, y en p articu lar que todos los té r­
minos form an una clase, ya que m uchas funciones proposicionales
(por ejemplo, todas las implicaciones formales) son verdaderas para
todos los térm inos. Aquí, como en el caso de las implicaciones formales,
es necesario que to d a la función proposicional cuya verdad define la
clase se m antenga in ta c ta , y si no, aun en lo que sea posible p a ra todo
valor de x, dividida en funciones proposicionales separadas. P or ejem ­
plo, si a y 6 son dos clases, definidas por cpx y
respectivam ente, su
parte común está d ad a por el producto cpx, ^ 2;, donde debe efectuarse
el mismo para todo valor de, x, y luego v ariar x: Si no se hace así, no
tendrem os necesariam ente el m ism o x en cpx y tyx. De modo que no
m ultiplicam os funciones proposicionales, sino proposiciones: la nueva
LOS P RI N C I P IO S DE LA M A T E M A T I C A
127
función proposicional es la clase de productos de proposiciones corres­
pondientes que pertenecen a las funciones anteriores, y no tiene nada
que ver con el producto de 92; y <\¡x. E s sólo en v irtu d de u n a defini­
ción como el producto lógico de las clases definidas por ox y
es la
clase definida por rpx • tyx. Y siem pre que se afirme una proposición
que contenga una variable aparente, lo que se afirm a es la verdad,
para todos los valores de la variable o variables, de la función p ropo­
sicional correspondiente a to d a la proposición, y no es nunca una rela­
ción de funciones proposicionales.
93 .
Parecería, de acuerdo con la discusión anterior, que la v a ria ­
ble es una entidad lógica sum am ente com pleja y n ad a fácil de ser
analizada correctam ente. Lo siguiente quizá sea un análisis ta n co­
rrecto como cualquiera que se pueda llevar a cabo. D ada cualquier
proposición (110 una función proposicional), sea a uno de sus térm inos,
y llamemos y(a) la proposición. E ntonces, en virtu d de la idea prim i­
tiva de función proposicional, si x es cualquier térm ino, podemos
considerar la proposición 9(2:), que surge de la sustitución de x en
lugar de a. Así llegamos a la clase de todas las proposiciones 9(2;). Si
todas son verdaderas, 9(2) se afirm a sim plem ente: entonces 9(2) puede
llam arse una verdad formal. E n una implicación formal 9(2;), 'para
todo valor de x, establece una implicación, y la aserción de 9(2;) es la
aserción de una clase de implicaciones, no de una sola implicación.
Si 9(2) es a veces verdadera, los valores de x que la hacen verdadera
forman una clase, que es la clase definida por 9(2): en este caso se
dice que la clase existe. Si 9(2:) es falsa para todos los valores de x, se
dice que la clase definida por 9(2) no existe, y en realidad sucede eso,
como vimos en el capítulo V I, si las clases se tom an en extensión.
De modo que x es, en cierto modo, el objeto denotado por cualquier
término; pero esto apenas puede defenderse en form a estricta, pues en
una proposición pueden figurar diferentes variables; sin em bargo, se
supone que el objeto denotado por cualquier térm ino es único. Pero
esto evoca un nuevo punto en la teoría de.denotar, a saber: el de que
cualquier término no denota, hablando con propiedad, un conjunto de
térm inos, sino un térm ino, aunque no uno p articu lar definido. De
modo que cualquier término puede denotar diferentes térm inos en
lugares distintos. Podem os decir: cualquier térm ino guarda cierta re­
lación con cualquier térm ino; y ésta es una proposición m uy diferente
a: cualquier térm ino guarda alguna relación consigo. De modo que
las variables tienen una especie de individualidad. E sto surge, como
he tra tad o de dem ostrar, de las funciones proposicionales. Cuando
una función proposicional tiene dos variables, debe considerarse como
obtenida por pasos sucesivos. Si la función proposicional 9(1, y) debe
afirm arse para todos los valores de x e y, debemos considerar la aser­
ción, para todos los valores de y, de la función proposicional 9(0, y),
donde a es una constante. Pero no involucra y y puede presentarse
128
BERTRAND RUSSELL
con ^(a). Luego variam os a, afirm am os
p ara todos los valores
de x. El proceso es análogo al de doble integración; y es necesario
dem ostrar form alm ente que el orden en el que se llevan a cabo las
variaciones no influye en el resultado. De este modo parece explicarse
la individualidad de la variable. U na variable no es sim plem ente
cualquier término, sino cualquier térm ino que integre una función
proposicional. Podem os decir, si ?x es función proposicional, quo x
es el térm ino en cualquier proposición de la clase de proposiciones cuyo
tipo es rpx, por lo ta n to parece que, considerando funciones proposi­
cionales, las nociones de clase, do d enotar, y de cualquier son funda­
m entales, siendo presupuestas en el sim bolismo em pleado. Con esta
conclusión, el análisis de la implicación form al, quo ha sido uno do los
principales problem as de la parte I, se lleva h asta el p u n to en quo soy
capaz de llevarlo. Quizá algún lector pueda hacerlo m ás com pleto, y
contestar los muchos interrogantes que he planteado y dejado sin
respuesta.
C A P ÍT U L O IX
R E L A C IO N E S
94.
Después de loa proposiciones de sujeto-predicado debemos
considerar dos tipos de proposiciones que parecen igualm ente senci­
llas. É stas son aquellas en las que se afirm a u n a relación entre dos
térm inos, y en las que se dice que dos térm inos son dos. L a últim a clase
será tra ta d a más adelante; la prim era debe considerarse in m ed iata­
mente. A m enudo se ha dicho que toda proposición puede reducirse
a una del tipo de sujeto-predicado, pero a través del tra b a jo presente
encontrarem os abundantes razones para rechazar este p u n to de vista.
Debe tenerse on cuenta, sin em bargo, que todas las proposiciones que
no sean del tipo sujeto-predicado y que no afirmen núm eros pueden
reducirse a proposiciones que contienen dos térm inos y una relación.
E sta opinión es difícil de refutar, pero verem os que tam poco tiene
fundam entos en su favor (x). Por lo ta n to debem os adm itir que hay
relaciones que tienen m ás de dos térm inos; pero como éstas son más
complejas, será m ejor considerar en prim er lugar las que sólo tienen
dos térm inos.
U na relación entre dos térm inos es un concepto que figura en
una proposición en la que hay dos térm inos que no figuran como con­
ceptos (2), y en la que el intercam bio de esos dos térm inos da una.
proposición diferente. Se necesita esto últim o p ara distinguir una
proposición relacional de una del tipo de «a y 6 son dos», que es id én ­
tica a «6 y « son dos». U na proposición relacional puede sim bolizarse
con a ltb , donde R es una relación y a y b son térm inos; y entonces
aR b siem pre, cuando a y 6 no son idénticos, d en o ta una proposición
diferente de bRa. E s decir: es característica de una relación de dos
térm inos el que proceda, por decir así, del uno al otro. E sto es lo que
puede llam arse sentido de la relación y es, como verem os, la iu en te del
(’) V éase inf., p a rte IV , cap. X X V , § 200.
(s) F s la descripción, com o vim os a n te rio rm e n te (§ 48), ex clu y e la seudorelación do su je to a p red ic ad o .
I.OS
I’ R 1 N C I I M O S
DE
IjV
M a T K M k j ICA .— 9
130
BERTRAND RUSSELL
orden y de las series. Debe tenerse como axiom a que aR b im plica y
se halla im plicado por una proposición relacional bR'a, en la que la
relación R' procede de 6 a a, y puede ser o no la m ism a que R. Pero
aun cuando aR b im plique y se halle im plicado por bRa, debe recor­
darse que éstas son proposiciones diferentes. Debemos distinguir el
térm ino de que en la relación señala el referente, y el térm ino a, que
señala el relato. El sentido de una relación es una noción fundam ental,
que no es de posible definición. L a relación establecida entre b y a,
siempre que entre a y b exista R, recibirá el nom bre de recíproca de
R, y será d enotada (de acuerdo a Schroder) con R . La relación de
R o. R es la de reciprocidad, o diferencia de sentido; y esk> no debe
definirse (como parecería legítimo a prim era vista) por la implicación
m utua anterior en caso singular alguno, sino sólo por el hecho de que
es válida para todos los casos en los que figura la relación dada. Las
bases sobre las que se apoya este punto de vista derivan de ciertas
proposiciones en las que los térm inos se relacionan consigo mismos
en forma no sim étrica, es decir, por una relación cuya recíproca no
es idéntica a sí m ism a. Ahora debemos exam inar estas proposiciones.
95.
E xiste cierta tendencia a afirm ar que ningún térm ino puede
relacionarse consigo mismo; y existe aún una relación m ayor para
afirm ar que, si un térm ino puede hacerlo, la relación debe ser sim étrica,
es decir, idéntica a su recíproca. Pero am bas tendencias deben recha­
zarse. En prim er lugar, si ningún térm ino pudiera relacionarse consigo
mismo, no podríam os afirm ar nunca la propia identidad, a pesar de
que ella es por com pleto una relación. Pero ya que existe una noción
tal como la identidad, y como parece innegable que todo térm ino es
idéntico a sí mismo, debemos ad m itir que un térm ino puede relacionar­
se consigo mismo. Pero la identidad es aún una relación sim étrica,y pue­
de aceptarse sin escrúpulo alguno. El asunto resulta m ucho más difícil
cuando debemos suponer relaciones no sim étricas de térm inos respecto
de sí mismos. Sin em bargo, las proposiciones siguientes parecen inne­
gables; el ser es, o tiene ser; 1 es uno, o tiene unidad; concepto es con­
ceptual; térm ino es un térm ino; concepto-clase es un concepto-clase.
Todas son de uno de los tres tipos equivalentes distinguidos al princi­
pio del capítulo V , que pueden llam arse respectivam ente proposiciones
de sujeto-predicado, proposiciones que afirm an la relación de predica­
ción y proposiciones que afirm an el ser m iem bros de una clase. E n ­
tonces lo que debem os considerar es el hecho de que un predicado
puede ser predicable a sí mismo. E s necesario, p a ra nuestro fin pre­
sente, tom ar nuestras proposiciones bajo la segunda form a (Sócrates
tiene hum anidad), ya que la form a sujeto-predicado no es relacional
en el sentido anterior. Podem os tom ar, como tipo de tales proposicio­
nes, «la unidad tiene unidad». A hora bien, es ciertam ente innegable
que la relación de predicado es asim étrica, ya que en general los sujetos
no pueden ser predicados de sus predicados. Así «la unidad tiene uni­
LOS P RI N C IP IOS DE LA M A T E M A T I C A
m
dad» afirma una relación de la unidad respecto a sí m ism a, e implica
otra, a saber, la relación recíproca: la unidad guarda respecto a sí
misma ta n to la relación de sujeto a predicado como la de predicado
a sujeto. Ahora, si el referente y el relato son idénticos, es claro que
el relato guarda respecto al referente la m ism a relación que el referente
con el relato, l ’or lo tan to , si la recíproca de una relación en un caso
particular se definiera por implicación m u tu a en dicho caso, parecería
ahora que nuestra relación tiene dos recíprocas, ya que en «la unidad
tiene unidad» se hallan im plicadas dos relaciones diferentes de relato
a referente. Por lo ta n to debem os definir la recíproca de una relación
por el hecho de que a R b im plique y se halle im plicada por b íia , cuales­
quiera que sean « y b, y exista o no la relación II entre ellas. E s decir,
aquí a y b son esencialm ente variables, y si les damos cualquier valor
constante podemos encontrar que aR b im plica y se halla im plicada
por b it'a , donde R' es alguna relación d istin ta a R.
De modo quo deben tenerse en cuenta tres puntos respecto a las re ­
laciones de dos térm inos: 1) todas tienen sentido, de modo que, siem pre
que a y b no sean idénticas, podemos distinguir aR b de bRa\ 2) todas
tienen recíproca, es decir, una relación R tal que a Rb im plique y se halla
im plicada por bRa, cualesquiera sean a y 6; 3) existen algunas rela­
ciones entre un térm ino y él mismo, y tales relaciones no son necesaria­
m ente sim étricas, es decir, pueden existir dos relaciones diferentes,
recíprocas entre sí, y válidas am bas entre un térm ino y él mismo.
ÍKi. P ara la teoría general de relaciones, especialm ente en su
desarrollo m atem ático, son de gran im portancia ciertos axiom as que
so refieren a clases y relaciones. Debe observarse que tener una rela­
ción dada respecto a un térm ino dado es predicado, de modo que todos
los térm inos que guardan esa relación con dicho térm ino form an una
clase. Además debe observarse que tener una relación dada no es p re­
dicado en absoluto de modo que todos los referentes respecto a una
relación dada form an una clase. Se deduce, considerando la relación
recíproca, quo todos los relatos form an igualm ente una clase. Llam aré
a estas dos clases, respectivam ente, el dom inio y dom inio recíproco de
la relación; llam aré a la sum a lógica de am bos campo de la relación.
El axiom a de que todos los referentes respecto a una relación dada
forman una clase parece, sin em bargo, requerir cierta lim itación, y
esto debido a la contradicción m encionada al final del capítulo VI.
E sta contradicción puede form ularse del modo siguiente. Vimos que
algunos predicados pueden predicarse a sí mismos. Consideremos ahora
aquellos en los que no sea éste el caso. É stos son los referentes (y
tam bién los relatos) en lo que respecta a una relación algo com pleja,
a saber: la combinación de no predicabilidad con identidad. Pero no
existe predicado que se refiera ,a todos ellos y a ningún otro térm ino,
pues este predicado sería, o no sería, predicable a si mismo. Si lo as,
^8 uno de aquellos referentes en relación con los cuales fue definidol
132
BERTRAN D RUSSELL
v por lo tan to , en virtud de su definición, no es predicable a sí mismo.
Recíprocam ente, si no es predicable a sí mismo, entonces de nuevo es
uno de los referentes dichos, de todos los que (por definición) es predi­
cable, v por lo ta n to de nuevo es predicable a sí mismo. É sta es una
contradicción que m uestra que todos los referentes considerados no
tienen predicado común exclusivo, y en consecuencia, si los predicados
definentes son esenciales para los clases, no form an una clase.
El tem a puede plantearse de otro modo. Al definir la pretendida
clase de predicado, se han utilizado todos aquellos que no son predi­
cables a sí mismos. El predicado común de todos esos predicados no
puede ser uno de ellos, pues p ara cada uno de ellos existe por lo menos
un predicado (a saber: él mismo) del que no es predicable. Pero el predi­
cado común supuesto no puede ser cualquier otro predicado, pues si así
fuese sería predicable a sí mismo, es decir, sería un m iem bro de la clase
supuesta de predicados, ya que éstos fueron definidos como aquellos
a los que es predicable. De modo que no se deja de lado ningún pre­
dicado que pueda tener relación con todos los predicados considerados.
Se deduce de lo anterior que no toda colección definible de tér­
minos forma una clase definida por un predicado com ún. E sto debe
tenerse en cuenta, y tenem os que dedicarnos a descubrir qué propie­
dades ha de tener una colección p a ra form ar una tal clase. El punto
establecido por la contradicción anterior puede form ularse del modo
siguiente: Una proposición que contenga ap aren tem en te sólo una va­
riable, puede no ser equivalente a cualquier proposición que afirme que
la variable en cuestión tiene un cierto predicado. Q ueda planteado el
problem a acerca de si toda clase debe tener un predicado definente.
101 que todos los térm inos que guarden una relación dada con un
térm ino dado formen una clase definida por un predicado común ex­
clusivo resulta de la doctrina del capítulo V II, que dice que la pro­
posición a R b puede analizarse en el sujeto a y la aserción Rb. Ser
un térm ino del cual pueda afirm arse Rb parece predicado. Pero no
se deduce, creo, que ser un térm ino del que puede afirm arse Ry para
algún valor y es predicado. Sin em bargo, la d o ctrin a de las funciones
proposicionales requiere que todos los térm inos que tienen esta últim a
propiedad form en una clase. L lam aré a esta clase el dominio de la re­
lación R, así como tam bién la clase de los referentes. El dom inio de la
relación recíproca se llam ará tam bién dom inio recíproco, así como
tam bién la clase de los relatos. El conjunto de los dos dominios se
llam ará cam¡x> de la relación — noción sum am ente im p o rtan te res­
pecto a las series— . Así, si la relación es p atern id ad , 6u dom inio está
form ado por los padres, los hijos form an su dom inio recíproco, y los
padres e hijos juntos, su campo.
Puede dudarse acerca c}e si la proposición a R b debe considerarse
como afirm ando a R de b, o si sólo puede afirm arse Ra de b. E n otras
palabras, ju n a proposición relacional sólo ee una aserción concerniente
LOS P RI N C IP IOS DE LA M A T E M Á T I C A
133
al referente, o tam bién una aserción concerniente al relato? Si ad o p ­
tam os este últim o punto de Vista tendrem os, relacionadas con (por
ejemplo) m es m ayor que b >>, cuatro aserciones, a saber: «es m ayor
que bn, <« es m ayor que», «es m enor que a» y «6 es m enor que». Me
siento inclinado a ad o p tar este punto de vista, ¡tero no conozco ningún
argum ento en favor del uno ni del otro.
97. Podemos form ar la sum a y producto lógicos de dos relaciones
exactam ente como en el caso de las clases, excepto que aquí tenem os
que tra b a ja r con doble variabilidad. Adem ás de estos modos de com ­
binación tam bién tenem os el producto relativo, que en general no es
conm utativo, y que por lo ta n to requiere que el núm ero de factores sea
finito. Si R, S son dos relaciones, decir que su producto relativo R S es
válido entre dos térm inos x, z es decir que existe un térm ino y respecto
al cual x guarda la relación R, y que por sí mismo tiene la relación S
con z. Así cuñado es el producto relativo de esposa y herm ano o de her­
m ana y esposo; suegro es el producto relativo de esposa y padre, m ien­
tras que el producto relativo de padre y esposa es m adre o m adrastra.
98. E xiste la tentación de estim ar una relación, considerada de­
finible en extensión, como clase de cuplas — p arejas— . E sto presenta
la v en taja formal de que evita la necesidad de la proposición prim itiva
que afirme que to d a cupla tiene una relación no válida entre ningún
otro par de térm inos. Pero es necesario dar sentido a la cupla, d istin ­
guir el referente del relato: así una cupla llega a ser esencialm ente
d istin ta de una clase de dos térm inos, y debe introducirse por sí misma
como idea prim itiva. Parecería, considerando el tem a filosóficamente,
que el sentido sólo puede deducirse de alguna proposición relacional,
y que la aserción de que a es referente y b relato ya involucra una pro­
posición puram ente relacional en la que a y b son térm inos, aunque
la relación afirm ada sea solam ente la general de referente a relato.
En realidad existen conceptos tales como m ayor , que figuran en form a
d istin ta que como térm inos en proposiciones que tienen dos térm i­
nos (§§ 48, 54); y ninguna d o ctrin a cupla puede evadir tales proposi­
ciones. Por lo ta n to parecería más correcto tom ar un p unto de vista
intensional de relaciones, e identificarlas m ás bien con conceptosclase que con clases. E ste procedim iento es form alm ente más conve­
niente, y parece estar tam bién más de acuerdo con los hechos lógicos.
En toda la M atem ática existe la m ism a curiosa relación de puntos de
vista intensionales y extensionalfes: los símbolos que no son térm inos
variables (es decir, los conceptos-clase y relaciones variables) repre­
sentan intensiones, m ientras que los objetos reales con los que se
tra b a ja son siem pre extensiones. Así, en el Cálculo de relaciones lo
que interesa son las clases de cuplas, pero el sim bolismo tra b a ja con
ellas por medio de relaciones.'E sto es precisam ente sem ejante al es­
tado de cosas explicado al tra ta r las clases, y parece innecesario repetir
las explicaciones en to d a su extensión.
134
BERTRAND RUSSELL
99 .
Mr. B radley en A p p e a ra n c e a n d R ea lity , capítulo I I I , h a t a ­
pado un argum ento en contra de la realidad de relaciones en la re­
gresión infinita que surge del hecho de que una relación que relaciona
dos térm inos debe hallarse relacionada con cada uno de ellos. L a re­
gresión infinita es innegable si se tom an las proposiciones relacionadas
como últim as, pero es m uy dudoso el que eso c o n stitu y a una dificultad
lógica. Va hemos tenido ocasión (§ 55) de distinguir dos tipos de re­
gresión: la una procedente sim plem ente de las proposiciones siempre
de nuevo im plicadas, la otra en el significado de la proposición misma;
de estos dos tipos coincidimos en que el prim ero ha dejado de ser ob­
jetable a p a rtir de la solución del problem a del infinito, m ientras que
el últim o sigue siendo inadm isible. Debemos inquirir qué tipo de re­
gresión tiene lugar en el caso presente. Puede argum entarse que es
parte del verdadero significado de una proposición relacional ol que la
relación involucrada guarde respecto a los térm inos la relación expre­
sada diciendo que los relaciona, y que esto es lo que constituye la
distinción, (pie antes hemos dejado sin explicación (§ 54), entre una
relación que relaciona y una relación en sí misma. E n co n tra de este
punto de vista puede argum entarse que la aserción de una relación
v los térm inos, aunque im plicada, no es p a rte de la proposición ori­
ginal. y que una relación que relaciona se distingue de u n a en sí misma
por el elem ento indefinible de aserción cjue distingue una proposición
de un concepto. En contra de esto puede decirse que el concepto «di­
ferencia de a y 6», diferencia relaciona a y b del mismo modo que eri la
proposición m y b difieren»; pero contra esto puede responderse que
hemos hallado que la diferencia entre a y b, excepto si algún punto
específico de diferencia puede hallarse en discusión, es indistinguible
de la simple diferencia. De este modo parece ser im posible probar que
la regresión infinita involucrada es del tipo objetable. Creo que pode­
mos distinguir entre «a excede a ó» y «a es m ayor que 6», aunque pare­
cería absurdo negar que la gente realm ente piensa lo mismo en estas
proposiciones. B asándonos — lo que no podemos m enos de hacer—
en que cada p alab ra genuina debe tener algún significado, el es y que
deben form ar p a rte de «a es m ayor que bu, que por lo ta n to contiene
más de dos térm inos y una relación. El es parece establecer que a
guarda respecto a m ayor la relación de referente, m ientras que el que
establece igualm ente que b tiene respecto a m a yo r la relación de relato.
Pero puede sostenerse que «a excede a bu expresa solam ente la relación
de a a b, sin incluir cualquiera de las im plicaciones o relaciones ulte­
riores. Por lo ta n to deberem os concluir que u n a proposición relacional
a R b no incluye en su sig n ificad o cualquier relación de a o 6 con R,
y que la regresión infinita, aunque innegable, es com pletam ente ino­
fensiva. Con estas notas podemos d ejar lo re sta n te de la teoría de
relaciones para las p artes siguientes del tra b a jo presente.
C AP Í TU L O X
LA CONTRADICCIÓN
100.
Antes de concluir con las cuestiones fundam entales es nece­
sario exam inar con m ayor detalle la singular contradicción, y a m en­
cionada, respecto a los predicados no predicables a sí mismos. Antes
de in te n ta r la solución de este problem a será conveniente llevar a cabo
ciertas deducciones relacionadas con él y form ularlo bajo form as di­
ferentes. Debo m encionar que me vi conducido a él al tra ta r de con­
ciliar la prueba de C antor de que no puede existir núm ero cardinal
m áximo con la suposición, m uy plausible, de que la clase de todos los
térm inos (que hemos visto es esencial p ara todas las proposiciones
formales) tiene necesariam ente el núm ero m áxim o posible de
miembros (l ).
Sea w un concepto-clase que puede afirm arse por sí mismo, es
decir, tal que «w es un w». Ejem plos son concepto-clase y las negaciones
de los conceptos-clase comunes, por ejemplo, no-hombre. E ntonces (a)
si xv se halla contenido en otra clase v, como w es un w, w es un v;
en consecuencia existe un térm ino de v que es un concepto-clase que
puede afirm arse a sí mismo. Adem ás en contraposición, (¡3) si u es un
concepto-clase, ninguno de cuyos m iem bros son conceptos-clase que
pueden afirm arse de sí mismos, ningún concepto-clase contenido en u
puedo aíirm arse de sí mismo. Además (y) si u es un concepto-clase
cualquiera, y u' el concepto-clase de aquellos m iem bros de u que no
son predicables a sí mismos, este concepto-clase se halla contenido en
sí mismo, y ninguno de sus miembros es predicable a sí mismo; en
consecuencia por ((3) u' no es predicable a sí mismo. De modo que u'
no es un
y por lo ta n to no es un u; pues los térm inos de u que no son
térm inos de u' son todos predicables a sí mismos, lo que no sucede
con u '. De modo que (S) si w es un concepto-clase cualquiera, existe
(l )
V éase p a rto V, cap. X L I I I , § 344 f.
136
BERTRAND RUSSELL
un co ncepto-clase co n ten id o en u q u e no es m iem b ro de u, y es ta m ­
bién u n o d e esos conceptos-clase no p redicables a sí m ism os. H a sta
ah o ra n u e s tra s deducciones no parecen p re se n ta r p ro b lem a alguno.
P ero si to m am o s la ú ltim a e n tre ellas y ad m itim o s la clase de los co n ­
ceptos-clase que no pueden afirm arse a sí m ism os, en c o n tram o s que
esa clase d ebe c o n te n e r un co n cepto-clase q u e no es m iem bro de sí
m ism o, y q ue p o r lo ta n to no p erte n ece a la clase en cuestión.
T am b ién deb em os te n e r en c u e n ta que, en v irtu d d e lo d em o strad o
en (¡3), la clase d e conceptos-clase que no pu ed en afirm arse de sí
m ism os, a la que Llam arem os u-, co n tien e com o m iem bros de ella to d as
sus subclases, a u n q u e es fácil d e m o stra r que to d a clase tien e m ás
subclases que térm in o s. A dem ás, si y es cu a lq u ie r té rm in o de w, y
u)' es todo u • salvo y , en to n ces w ' , siendo u n a sub clase do w, no es
un «•', sino un u \ y p o r lo ta n to es y. E n consecuencia: c a d a conceptoclase que es térm in o de w tien e a to d o s los o tro s de w com o extensión.
Se d ed u ce q ue el concepto bicicleta es u n a c u c h arilla de té, y que
cucharilla de té es u n a b icicleta. E s to es co m p lem en to a b su rd o , y puede
d e m o stra rse cu a lq u ie r n ú m ero de ab su rd o s sem eja n te s.
101.
D ejem os de lado to d as e sta s consecuencias p ara d ó jic a s e
in ten tem o s la form ulación e x a c ta de la co n trad icció n m ism a. E n p ri­
m er lugar t-enemos la afirm ación en función de los p red icad o s, q u e y a
ha sido d ad a . Si x es un p red icad o , x puede ser o no sor pred icab le a
sí m ism o. A d m itam o s que «no-predicable a sí mismo» es un predicado.
E n to n ces su p o n er que él es o no p re d ic ab le a sí m ism o es c o n tra d ic ­
torio. L a conclusión en este caso parece ev id en te: «no-prodicable a sí
mismo* no es p red icad o .
A hora fo rm u larem o s la m ism a c o n tra d icció n en función de concepto-clase. Un co n cepto-clase p u ed e ser o no té rm in o de su p ro p ia
ex tensión. «C oncepto-clase que no es térm in o de su p ro p ia extensión»
parece ser co n cepto-clase. P ero si es té rm in o de su p ro p ia extensión,
es un co n cep to -clase que no es té rm in o de su p ro p ia ex ten sió n , y vice­
versa. E n consecuencia debem os c o n c lu ü \e n c o n tra de las apariencias,
que «concepto-clase que no es té rm in o de s u p ro p ia extensión» no es
concepto-clase.
\
En función de clases la contradicción parece aún m ás extrao rd i­
naria. Una clase como unidad puede ser térm ino de sí m ism a como
pluralidad. E n consecuencia, la clase de todas las clases es una clase;
la clase de todos los térm inos que no son hom bres no es un hom bre,
y así sucesivam ente. ¿Todas las clases que tienen e sta propiedad for­
m an una clase? Si así fuese, como unidad, es o no m iem bro de sí
misma como pluralidad. Si lo es, entonces es una de las clases que,
como unidades, no son m iem bros de sí m ism as como pluralidades, y
viceversa. Así que de nuevo debem os Llegar a la conclusión que las
clases como unidades no son m iem bros de sí mism as, como plurali­
dades no form an una clase — o m ás bien— , que no form an una clase
LOS P RI N C I P I O S D E LA M A T E M A T I C A
137
como unidad, pues el argum ento no puede dem ostrar que no formen
una clase como pluralidad.
102 . Un resultado sem ejante, pero que, sin em bargo, no conduce
a contradicción, puede probarse respecto a cualquier relación. Sea R
una relación y considerem os la clase w de térm inos que no guardan
la relación R respecto a sí mismos. E ntonces es im posible que exista
un térm ino a respecto al cual todos ellos y ningún otro guarden la
relación R. Porque, si existiera un tal térm ino, la función proposicio­
nal «.t no guarda la relación R con x » sería equivalente a tx gu ard a la
relación R con o». Sustituyendo x por a, lo que es legítimo, pues la
equivalencia es formal, encontram os una contradicción. Si en lugar
de colocar R ponemos e, la relación de un térm ino a un concepto-clase
que puede afirmarse de él, llegamos a la contradicción anterior. La
razón de que surja aquí una contradicción, es la de que hemos tom ado
como axiom a el que cualquier función proposicional que sólo contiene
una variable es equivalente a afirm arse m iem bro de una clase definida
por la función proposicional. Aquí, o resu lta falso el axiom a, o el
principio de que toda clase puede tom arse como térm ino; y no hay
objeción fundam ental que im pida rechazar am bos. Pero al rechazar
el prim ero surge el problem a: ¿Qué funciones proposicionales definen
clases que son térm inos singulares al mismo tiem po que pluralidades,
y cuáles no lo hacen? Y con este problem a comienza n uestra v erd a­
dera dificultad.
Cualquier m étodo por el cual intentem os establecer una correlación
biunívoca y pluriunívoca de todos los térm inos y todas las funciones
proposicionales debe om itir por lo menos una función proposicional.
Tal m étodo existiría si todas las funciones proposicionales pudieran
ponerse bajo la form a... su, y a que esta form a correlaciona u con... zu.
Pero la im posibilidad de cualquier correlación como la anterior se
puede dem ostrar del modo siguiente. Sea <px u n a función proposicional
correlacionada con x; entonces, si la correlación cubre todos los té r­
minos, la negativa de <pz(:r) será una función proposicional, y a que es
proposición para todos los valores de x. Pero no puede incluirse en la
correlación, pues si se la correlacionara con a, <pa(z) sería equivalente,
para todos los valores de x, a la negativa de <pz(x); pero esta equiva­
lencia es imposible p ara el valor a, pues hace a <p0(a) equivalente a su
propia negativa. Se deduce que existen m ás funciones proposicionales
que térm inos — resultado que parece ser com pletam ente imposible,
aunque la prueba es ta n convincente como cualquiera de las que se
llevan a cabo en M atem ática. Veremos brevem ente cómo se ev ita la
im posibilidad por medio de la doctrina de los tipos lógicos.
103. El prim er m étodo — que surge por sí mismo— es el de b u s­
car una am bigüedad en la noción de e. Péro en el capítulo V I hemos
distinguido los diferentes significados h asta el p u n to en que cualquier
distinción parece posible, y, sin em bargo, hemos visto que bajo cada
138
BERTRAND RUSSELL
significado su rg e la m ism a c o n tra d icció n . In te n te m o s esta b le c e rla en
función de las funciones p roposicionales. T o d a función proposicional
no nula — hem os Bupuesto— define u n a clase, y to d a clase puede,
cie rta m e n te , definirse p o r m edio d e u n a función proposicional. De
m odo que d ecir que u n a clase com o u n id a d no es m iem bro de sí
m ism a com o p lu ra lid a d , es d ecir q u e la clase com o u n id a d no satisface
la función p or la cual ella m ism a h a sido definida com o p lu ralid ad .
Como to d a s las funciones proposicionales, ex c ep to las n u las, definen
clases, al c o n sid erar to d a s las clases q u e te n g a n la p ro p ie d a d a n te rio r
se co n sid erarán to d as, ex c ep to las que no te n g a n la p ro p ied a d a n te ­
rior. Si c u a lq u ie r función pro p o sicio n al fu e ra sa tisfe c h a por to d a
clase q ue tu v ie ra la p ro p ied a d a n te rio r, sería, p o r lo ta n to , n ecesa­
riam e n te u n a d e las satisfech as ta m b ié n p o r la clase w de to d as las
clases co n sid erad as com o un té rm in o sin g u lar. P o r lo ta n to , la clase w
no p erten ece p o r sí m ism a a la clase w, y en co n secuencia debe ex istir
a lg u n a función proposicional sa tisfe c h a por los té rm in o s de w, pero
no p o r la m ism a w. D e este m odo v u elv e a su rg ir la co n trad icció n , y
debem os su p o n er: o que no ex iste u n a e n tid a d com o w, o que no
ex iste función proposicional satisfec h a p o r sus té rm in o s y p o r n in ­
gún o tro.
Puede pensarse en la posibilidad de encontrar u n a solución ne­
gando la legitim idad de las funciones proposicionales variables. Si
denotam os con ko, por el m om ento, la clase de los valores que satis­
facen 9 , n uestra función proposicional es la negación de 9 (^ 0), donde 9
e.s una variable. L a doctrina del capítulo V II, de que 9 no es una en­
tidad separable, puede hacer que ta l variable parezca ilegítim a; pero
puede salvarse esta objeción sustituyendo 9 por la clase de propo­
siciones cpx, o la relación de cpx a x. Adem ás es imposible excluir por
completo las funciones proposicionales variables. Siem pre que figura
una clase variable o una relación variable hemos adm itido una fun­
ción proposicional variable, que, por lo ta n to , es esencial p a ra las
aserciones respecto a to d a clase o a to d a relación. La definición del
dominio de una relación, por ejem plo, y todas las proposiciones gene­
rales que constituyen el Cálculo de relaciones, serían im posibilitados
por la negativa en el perm iso de ta l tipo de variación. E n consecuen­
cia necesitam os o tra característica por la cual podam os distinguir dos
especies de variaciones. É s ta debe hallarse, creo, en la variabilidad
independiente de la función y del argum ento. E n general, cpx es por
sí mismo una función de dos variables, 9 y x; de ellas, cualquiera
puede adm itir un valor constante o cualquiera puede variarse sin
tener en cuenta la otra. Pero en el tipo de funciones proposicionales
que estam os considerando en este capítulo, el argum ento es por sí
mismo una función de la función proposicional: en vez do <px tene­
mos 9 (7 ( 9 ) ] , donde (9 ) se halla definida como función do 9 . E n con­
secuencia, cuando se varía 9 tam bién varía el argum ento sobre el
LOS P RI N C I P I O S D E LA M A T E M A T I C A
139
cual se afirm a <p. Así «x es un x* es equivalente a: «puede afirm arse
9 sobre la clase de térm inos que satisfacen 9», siendo z esta clase de
térm inos. Si aquí se varía 9, se varía al mismo tiem po el argum ento
de un modo que depende de la variación de 9. Por esta razón 9 (7 (9 )],
aunque es proposición definida cuando se da x, no es función proposi­
cional, en el sentido común, cuando x es variable. Las funciones proposicionales de este tipo dudoso pueden llam arse formas cuadráticas,
porque la variable e n tra en ellas en modo análogo al que, en Álgebra,
aparece una variable en una expresión de segundo grado.
104.
Quizá el m ejor medio para form ular la solución sugerida es
decir que si una colección de térm inos sólo puede definirse por medio
de una función proposicional variable, entonces, aunque debe adm i­
tirse la clase como pluralidad, debe negársela como unidad. Cuando
se form ula do este modo parece que las funciones proposicionales
pueden variarse siem pre que la colección resultante no se transform e
nunca en el sujeto de una función proposicional original. E n tales
casos sólo existe una clase como pluralidad, no una clase como u n i­
dad. Tom am os como axiom ático que la clase como unidad debe
hallarse siem pre que se presente una clase como pluralidad; pero este
axiom a no debe adm itirse universalm ente, y parece haber sido la
fuente de la contradicción. E n consecuencia, al negarlo se solucionará
toda la dificultad.
U na clase como unidad, diremos, es un objeto del mismo tipo que
sus térm inos; es decir, cualquier función proposicional <p(z) que tiene
sentido cuando se su stitu y e x por uno de sus térm inos, tam bién lo
tiene cuando se sustituye la clase como unidad. Pero no siem pre existe
la clase como unidad, y la clase como pluralidad es de un tipo diferente
al de los térm inos de la clase, aun cuando la clase sólo tenga un té r ­
mino, es decir, existen funciones proposicionales 9 (u), en las que u
puede ser la clase como pluralidad, que carecen de sentido si su sti­
tuim os u por uno de los térm inos de la clase. De modo que «2 es una
entre las x * no es proposición en absoluto si la relación involucrada
es la de un térm ino a su clase como pluralidad; y ésta es la única
relación de la que una función proposicional siem pre nos asegura la
presencia. B ajo este punto de vista una clase como pluralidad puede
ser sujeto lógico, pero en proposiciones de un tipo diferente al de
aquellas en que sus térm inos son sujetos; sobre cualquier objeto
que no sea térm ino singular, el problem a de si es unidad o pluralidad
ten d rá respuesta diferentes de acuerdo a la proposición en la que
figuro. Así tenem os: «Sócrates es uno entre los hombres», en la que los
hom bres son plural; y «los hom bres son una de las especies de a n i­
males», en la que hom bres son singular. L a llave de todo el m isterio
se halla en la distinción de lbs tipos lógicos (l ).
(*)
S obre este te m a , véase el apéndice.
BERTRAND RUSSELL
140
105. Otros m étodos p ara e v ita r la contradicción parecen ser
indeseables, pues elim inan dem asiados tipos m uy necesarios de pro­
posiciones. P odría sugerirse que la identidad se introduce en <¡x no es
un
de modo no perm isible. Pero ya se ha dem ostrado que son
inevitables las relaciones de los térm inos con ellos mismos, y debe
observarse que los suicidios de los hom bres que todo lo deben a sí
mismos o de los héroes de S efl-IIe lp de Smiles se hallan definidos por
relaciones con ellos mismos. Y, en general, la identidad en tra de un
modo m uy sem ejante en la im plicación form al, de modo que es com­
pletam ente imposible eludirla.
U na sugestión n atu ral para ev ita r la contradicción sería la de
d udar acerca de la noción de todos los térm inos o todas las clases.
Puede sostenerse que no es concebible la existencia de una tal sum a
total; y si todos indica un todo, n uestra huida de la contradicción
exige que lo adm itam os. Pero y a hemos visto suficientem ente, que
si se m antuviese este punto de vista respecto a cualquier térm ino,
toda verdad form al sería imposible, y la M atem ática, cuya caracterís­
tica es la afirmación de verdades respecto a cualquier térm ino, sería
suprim ida de un solo golpe. De modo que la afirm ación correcta de
las verdades form ales exige la noción de cualquier térm ino o de todo
térm ino, pero no la noción colectiva de todos los térm inos.
Debe observarse, finalm ente, que en la contradicción anterior no
se halla involucrada una filosofía especial, que surge directam ente del
sentido común y que sólo puede resolverse abandonando alguna hipó­
tesis del sentido común. Sólo la filosofía hegeliana, que se n u tre de
contradicciones, puede perm anecer indiferente, porque encuentra pro­
blemas sem ejantes en todas partes. E n cualquier o tra doctrina una
acusación tan directa requeriría una respuesta, so pena de confesión
de incom petencia. A fortunadam ente, y h a sta el p u n to que yo conozco,
no se presenta ninguna dificultad sem ejante en L os p r i n c i p i o s d e
la
M a t e m á t ic a .
106. Ahora pasarem os breve revista a las conclusiones a que he
llegado en la p a rte I. Se definió la M atem ática p u ra como la clase de
proposiciones que afirm an im plicaciones form ales y que no contienen
constantes, excepto las constantes lógicas. Y las constantes lógicas
son: Im plicación, relación de un térm ino a u n a clase de la que es
m iembro, la noción de tal que, la noción de relación, y otras nociones
tales como las que se hallan involucradas en la im plicación formal,
que hemos encontrado (§ 93), eran las siguientes: función proposicio­
nal, clase (1), denotar, y cualquier o todo térm ino. E s ta definición pone
a la M atem ática en relación m uy estrecha con la Lógica, y la hace
(*) H em os decidido que la noción de clase en g en eral p u ed e reem p lazarse,
com o indefinible, p o r el de la clase de p roposiciones d efin id as p o r u n a función
pro posicional.
LOS P R I N C I P I O S D E LA M A T E M Á T I C A
141
prácticam ente idéntica a la Lógica sim bólica. Un exam en de la
Lógica sim bólica justifica la enum eración an terio r de los indefinibles
m atem áticos. E n el capítulo I I I hemos distinguido la im plicación y la
implicación formal. La prim era vale entre dos proposiciones cuales­
quiera siem pre que la prim era sea falsa o la segunda verdadera. La
últim a no es una relación, sino la aserción, para todo valor de la
variable o variables, de una función proposicional que, p a ra todo
valor de la variable o variables, afirm a una implicación. El capí­
tulo TV distinguió lo que podemos llam ar cosas de los predicados y
relaciones (incluyendo con este fin el es de las predicaciones entre las
relaciones). Se dem ostró que esta distinción se halla relacionada con
la doctrina do la sustancia y atributos, pero que no lleva a los resul­
tados tradicionales. Los capítulos V y VI desarrollaron la teoría de los
predicados. En el prim ero se dem ostró que ciertos conceptos, deriv a­
dos de los predicados, figuran en proposiciones qüe no se refieren a
ellos, sino a combinaciones de térm inos, tales como las que se hallan
indicadas por todos, todo, cualquier, un, a lg ú n y el. Hem os encontrado
que los conceptos de este tipo son fundam entales en M atem ática, y
que nos perm iten tra b a ja r con clases infinitas por m edio de proposi­
ciones de com plejidad finita. En el capítulo VI hemos distinguido
los predicados, conceptos-clase, conceptos de las clases, clases como
pluralidades y clases como unidades. Hem os coincidido en que los
térm inos singulares, o combinaciones tales como las que resultan de y,
son clases, siendo las últim as clases como pluralidades; y que éstas
son los objetos denotados por los conceptos de las clases, que son los
plurales de los conceptos-clase. Pero en este capítulo hemos decidido
que es necesario distinguir un térm ino singular de la clase cuyo único
m iembro es, y que en consecuencia puede adm itirse la clase vacía.
En el capítulo V II hemos resum ido el estudio del verbo. Vimos
que las proposiciones de sujeto-predicado y las que expresan u n a re­
lación fija respecto a un térm ino fijo pueden analizarse en sujeto y
aserción; pero este análisis llega a hacerse imposible cuando un té rm i­
no dado e n tra en una proposición de un modo más com plicado que
como referente de una relación. De ahí que llegue a ser necesario
tom ar función ]>roposicional como noción prim itiva. Función propo­
sicional de una variable es cualquier proposición de un conjunto
definido por la variación de un térm ino singular, rhientras que los
otros perm anecen constantes. Pero, en general, es imposible definir o
aislar el elem ento constante en u n a función proposicional, ya que lo
que queda cuando se q u ita un térm ino de una proposición, cualquiera
sea el lugar en el que figure, no es en general un tipo determ inado
de entidad. E n consecuencia, el térm ino en cuestión no debe om itirse
sim plem ente, sino reem plazarse por una variable.
Vimos que la noción de variable es sum am ente com plicada. L a x
no es sim plem ente cualquier térm ino, sino cualquier térm ino con una
BERTRAN D RUSSELL
142
cierta individualidad, pues si así no fuera, dos variables cualesquiera
serían indiscernibles. Hemos coincidido en que u n a variable es cual­
quier térm ino en su cualidad de térm ino en u n a cierta función propo­
sicional, y que las variables se distinguen por las funciones propo­
sicionales en las que figuran, o, en el caso de varias variables, por el
lugar que ocupan en una función proposicional m últiplem ente v aria­
ble. Dijimos que una variable es el térm ino en cualquier proposición
del conjunto denotado por una función proposicional dada.
El capítulo IX establece que las proposiciones relaciónales son
últim as, y que todas ellas tienen sentido: es decir, siendo la relación
el concepto como tal en una proposición con dos térm inos, existe
o tra proposición que contiene los mismos térm inos y el mismo con­
cepto como tal, como en «^4 es m ayor que B» y «B es m ayor que ^4».
E stas dos proposiciones, aunque diferentes, contienen los mismos
constituyentes. É sta es una característica de las relaciones, y un ejem ­
plo de la pérdida que tra e aparejado el análisis. Hem os coincidido en
que las relaciones deben tom arse intensionalm ente, no como clases
de cuplas (J).
Finalm ente, en el capítulo presente exam inam os la contradicción
que resulta del hecho aparente de que si w es la clase de todas las
clases que como térm inos singulares no son m iem bros de sí mismas
como pluralidades, entonces puede dem ostrarse que iv como unidad
es y no es m iem bro de sí m ism a como pluralidad. La solución que se
presentó fue la de que es necesario distinguir varios tipos de objetos,
a saber: térm inos, clases de térm inos, clases de clases, clases de cuplas
de térm inos, y así sucesivam ente; y que una función proposicional yx
en general requiere, si se quiere que tenga sentido, que x deba p e rte ­
necer a algún tipo. Así se vio que xzx carece de sentido, porque e re­
quiere que el relato deba ser una clase com puesta de objetos que son
del tipo de referente. La clase como unidad, cuando existe, es, dijimos,
del mismo tipo que sus constituyentes; pero una función proposicio­
nal cuadrática en general parece definir solam ente una clase como
pluralidad, y la contradicción p ru eb a que la clase como unidad, si en
realidad existe, a veces se halla ausente.
(’)
Sin em b arg o , véase so b re esto el ap é n d ice.
P A R T E II
L NÚMERO
