PROBLEMAS RESUELTOS INGENIERIA ANTISISMICA

INGENIERIA
ANTISISMICA
Contenido
RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES ................................................. 3
RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES .................................................. 3
RIGIDEZ LATERAL (KL) .................................................................................................. 3
CASO I: COLUMNA – MURO ...................................................................................... 4
“Base empotrada y libre en el otro extremo” ......................................................... 4
CASO II: COLUMNA “Base empotrada y articulada en el otro extremo” .......... 4
CASO III: COLUMNA “Empotramiento perfecto” ................................................... 5
CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE ..................................................................... 5
1.
ELEMENTOS EN PARALELO ................................................................................. 5
2.
ELEMENTOS EN SERIE ........................................................................................... 6
SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS .......................................................................... 7
MÉTODOS DE ANÁLISIS ................................................................................................. 8
MÉTODO PISO POR PISO ........................................................................................... 8
MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS ......... 9
METODO DE LA COLUMNA ANCHA .............................................................................. 10
1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO ............................................................ 10
a)
ANALISIS MATRICIAL ............................................................................................. 11
MÉTODO DE MUTO ................................................................................................................ 13
RIGIDEZ LATERAL ................................................................................................................ 13
2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO ................... 16
4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS ............................................................................... 19
MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS .................. 21
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS .................................................... 21
METODO DE WIBUR – BIGGS ......................................................................................... 33
PROBLEMAS ....................................................................................................................... 35
PROBLEMA N°1 .............................................................................................................. 35
PROBLEMA N°2 .............................................................................................................. 36
PROBLEMA Nº 03 ........................................................................................................... 41
PROBLEMA Nº5 .............................................................................................................. 46
PROBLEMA Nº6 .............................................................................................................. 47
CONCLUSIONES: ............................................................................................................... 51
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INTRODUCCION
La parte más importante de Ingeniería antisísmica es el cálculo de rigideces, ya que esto
garantiza que el análisis sísmico de una edificación sea la correcta, sin esta se falla todo el cálculo
no será la verdadera .Para esto en este capítulo se desarrolla el tema de Rigideces en sistemas
a porticadas y sistemas de duales, también se determina la rigideces de muros en general ya
sea de concreto armado o albañilería confinada.
Objetivos



Conocer los diferentes métodos de cálculos de rigideces
Tener un conocimiento suficiente para su aplicación adecuada de los diferentes métodos
Comparar Resultados de los diferentes ejercicios que se presentan
RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
La rigidez en estructuras es la capacidad que presenta la estructura para soportar esfuerzo sin
tener que adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.
RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES
La rigidez es la relación existente entre el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento
producido, de esto se deduce:
Rigidez
Deformaciones
RIGIDEZ LATERAL (KL)
Es la fuerza cortante (V) en un elemento vertical, si el desplazamiento lateral efectivo (𝛿e) es
igual a 1cm.
𝐾𝐿 =
Dónde:
𝑉
(𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚)
δe
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KL: Rigidez Lateral
V: Fuerza Cortante
Δe: Desplazamiento lateral efectivo
CASO I: COLUMNA – MURO
“Base empotrada y libre en el otro extremo”
KL = f (E, h, I, A)

PARA LA COLUMNA
𝛅
F
 PARA EL MURO
F
𝛅
𝛅
CASO II: COLUMNA “Base empotrada y articulada en el otro extremo”
𝛅
F
F
M
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CASO III: COLUMNA “Empotramiento perfecto”
𝛅
F
F
M
CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE
1. ELEMENTOS EN PARALELO
La rigidez lateral total del sistema se calcula para cada dirección principal del sismo.
Rigidez lateral de cada columna es igual a:
Condición suficiente:
Del gráfico:
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Por lo tanto:
2. ELEMENTOS EN SERIE
Rigidez lateral de cada columna es igual a:
Condición suficiente:
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Del gráfico:
Por lo tanto:
SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS
CONSIDERACIONES PRINCIPALES
Se aisla al muro (placa) para determinar su rigidez lateral de cada entrepiso
Se asume distribución de carga lateral triangular inversa.
𝛿
5P
∆
4P
h5
𝛿
∆
3P
h4
𝛿3
∆
h3
2P
𝛿
∆
h2
P
𝛿 =∆
h1
L
𝐾𝐿 = 𝑉
P: Fuerzas sísmicas
𝛿 : Desplazamiento absoluto
∆: Desplazamiento relativo entre piso
(𝑡𝑜𝑛)
𝛿 𝑒 (𝑐𝑚)
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MÉTODOS DE ANÁLISIS
A. Piso por piso
B. Piso acumulado (Elementos independientes)
C. Columna ancha (Castigliano y análisis matricial)
D. Elementos finitos
MÉTODO PISO POR PISO
Para determinar la rigidez lateral de los muros se consideran:
empotrado en la base y libre en la parte superior del muro.
se realiza para cada muro y para cada piso independientemente.
se realiza el análisis en cada dirección independientemente.
1º piso
1.5P
𝛿
h1
L
2º piso
K 𝐿1 =
𝑉1
𝛿1𝑒
=
15𝑃
1.4P
𝛿1
K 𝐿3 =
𝑉3
𝑃
𝑒 =
𝛿3
𝛿3
K 𝐿5 =
𝛿
h2
L
𝑉5
𝑃
=
𝛿5𝑒 𝛿5
3º ,4º Y 5º pisos
1.2P
9P
𝛿
h4
h3
𝛿
h5
L
L
K 𝐿4 =
5P
𝛿
𝑉2
𝑃
=
𝛿2𝑒
𝛿2
K 𝐿5 =
𝑉4 9𝑃
=
𝛿4𝑒 𝛿4
L
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Caso general:
𝐾𝐿 = (
ℎ3
ℎ
+ 𝑘. )−1
𝐸𝐼
𝐺𝐴
Caso particular:
𝐼=
𝑡𝑙3
𝐴 = 𝑡𝑙
𝐾= .
𝐺 = 0. 𝐸
ℎ3
ℎ
𝐾𝐿 = 𝐸𝑡( ( ) + . ( ) )−1
𝐿
𝐿
MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS
Consideraciones:
Método limitado solo hasta 5 o 6 niveles
El muro desde la base debe considerarse empotrada hasta el último nivel del muro.
Los desplazamientos en el extremo libre para la determinación de la rigidez lateral
deben ser los efectivos.
𝛿
5P
𝛿4
9P
𝛿
12P
h5
h4
h3
L
L
L
𝛿
14P
𝛿
15P
h2
h1
L
L
𝛿=
𝑃ℎ3
𝑃ℎ
+𝑘
𝐸𝐼
𝐺𝐴
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𝑉
K 𝐿1 = 𝛿1𝑒 =
1
K 𝐿2 =
𝑉
K 𝐿3 = 𝛿3𝑒 =
3
𝑉
K 𝐿4 = 𝛿4𝑒 =
4
K 𝐿5 =
𝑉5
𝛿5𝑒
=
12𝑃
𝛿3
9𝑃
𝛿4
5𝑃
𝛿5
→ 𝛿3 =
12𝑃ℎ33
3𝐸𝐼
→ 𝛿4 =
→ 𝛿1 =
𝑉2
=
𝛿2𝑒
+𝑘
9𝑃ℎ43
3𝐸𝐼
5𝑃ℎ53
3𝐸𝐼
15𝑃
→ 𝛿1 =
𝛿1
14𝑃
→ 𝛿2 =
𝛿2
15𝑃ℎ13
3𝐸𝐼
14𝑃ℎ23
3𝐸𝐼
+𝑘
+𝑘
15𝑃ℎ1
𝐺𝐴
14𝑃ℎ2
𝐺𝐴
12𝑃ℎ3
𝐺𝐴
+𝑘
+𝑘
9𝑃ℎ4
𝐺𝐴
5𝑃ℎ5
𝐺𝐴
Caso particular: Sección rectangular
𝛿=
𝐻
𝐸𝑡
ℎ3
ℎ
𝐿
𝐿
( ( ) + . ( ))
𝐾𝐿 =
𝑉
𝛿𝑒
; G=0.25E
METODO DE LA COLUMNA ANCHA
1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO
Este método se puede aplicar para cualquier número de piso de la estructura que se esté
analizando en un sistema con elementos rígidos y los resultados obtenidos por este
método expresan mejor el comportamiento de los muros.
La rigidez lateral será determinada por la siguiente fórmula:
𝐾𝐿 =
𝑉𝑖
𝛿𝑖𝑒
Los desplazamientos laterales para una estructura de dos pisos es el siguiente:
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El desplazamiento para el primer piso será el siguiente:
𝛿1 =
𝑃 3
𝑃ℎ1
(ℎ1 + ℎ2 ℎ12 ) + 𝑘
𝐸𝐼
𝐺𝐴
El desplazamiento para el segundo piso será el siguiente:
𝛿2 =
𝑃 3 8
𝑃
(ℎ1 + ℎ2 ℎ12 + ℎ1 ℎ22 + ℎ23 ) + 𝑘
( ℎ1 + ℎ2 )
𝐸𝐼
𝐺𝐴
a) ANALISIS MATRICIAL
Convención de signos:
FUERZAS
DESPLAZAMIENTOS
G.D.L: se pueden considerar como las incógnitas ya que están asociadas al
desplazamiento y a las fuerzas internas de la estructura.
Matriz de rigidez para cada elemento 𝑘 𝑒 :
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𝐸𝐼
6𝐸𝐼
𝐸𝐼
6𝐸𝐼
0 − 2
0 −
3
3
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝐸𝐴
𝐸𝐴
0
0
0 −
0
ℎ
ℎ
6𝐸𝐼
𝐸𝐼 6𝐸𝐼
𝐸𝐼
− 2
0
0
2
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝐸𝐼
6𝐸𝐼
𝐸𝐼
6𝐸𝐼
− 3
0
0
ℎ
ℎ2
ℎ3
ℎ2
𝐸𝐴
𝐸𝐴
0 −
0 0 −
0
ℎ
ℎ
6𝐸𝐼
𝐸𝐼 6𝐸𝐼
𝐸𝐼
0
0
2
[ − ℎ2
](6×6)
ℎ
ℎ
ℎ
Matricialmente lo podemos expresar como la solución al problema:
[𝐾]{𝑢} = {𝑓}
PROBLEMA N° 04:
𝑘𝑔
Para la estructura reticular de acero (todas las barras: 𝐸 = . × 06 𝑐𝑚2 ; 𝐴 = 0𝑐𝑚2), se pide
determinar la rigidez lateral.
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MÉTODO DE MUTO
Está en los resultados de la deformación por flexión en las barras son más exactos, incluso
pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la
deformación El análisis sísmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de métodos que
permiten resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo
o viento).
Entre este método encontramos el método de muto que se utiliza principalmente para resolver
pórticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales.
Es uno de los métodos que se usa para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios
compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida por el
viento o los sismos.
La diferencia que contempla a este método de otros (método del portal o del voladizo) axial son
despreciables.
RIGIDEZ LATERAL
Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral
Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante V capaz de originar
un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición
se obtiene:
Donde D0 es la denominada rigidez lateral estándar (en unidades de fuerza entre longitud,
usualmente ton/cm) calculada como:
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La rigidez lateral estándar depende de la altura de cada columna,
pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura,
entonces esas columnas tendrán el mismo valor D0
El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos,
para el caso que la columna este biempotrada (vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio
si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al
desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en
su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un 1/4
Base, el método de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a la flexión
El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la máxima rigidez lateral (K) se obtienen cuando la
columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce en 75 % y si
luego se articulase en su extremo superior, k se degrada en 100% convirtiéndose en un
mecanismo inestable.
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Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendría que ella resulta dependiente del sistema de
carga lateral actuante, sin embargo, muto concluye que en los pórticos compuestos por vigas y
columnas, la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K.
CALCULO DEL COEFICIENTE “a” (MUTO RECOMIENDA)
1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL PRIMERO
a.- si
b.-el método es válido solo cuando K ≥ 0.2, de lo contrario, la fórmula es imprecisa. El valor K es
menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas), o
cuando la columna trata de transformarse en una placa.
2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO
a.- base semi-empotrada: aparte de existir vigas de cimentación (vc), la rigidez aportada por
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Cuando la base de la columna esta semi empotrada, el valor que
se obtenga de a deberá ser inferior al caso en que la base este
empotrada (sub-caso b)
b.- base empotrada
c.- base articulada:
2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO
La condición para que un conjunto de columnas estas dispuestos en paralelos es que su
desplazamiento relativo (∆) sea único. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso
axialmente rígidos (aligeradas losas macizas) denominados “diafragmas rígidos” donde al existir
monolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, también serán rígidas axialmente.
Estudiando un entrepiso cualquiera del pórtico mostrado y llamando Q al cortante de entrepiso
(valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratara de reducir el conjunto de columnas
a un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las
columnas que conforman ese entrepiso.
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Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. Por otro, lado se
observa que el desplazamiento del entrepiso (A) puede obtenerse si se modela al pórtico como
un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea ΣKi.
3.- PÓRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas en serie
La condición para que dos o más columnas (ubicadas una sobre otra), estén dispuestas en serie
es que la fuerza cortante en ellas sea única, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del
nivel que separa a las columnas es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna
equivalente de doble altura de la siguiente manera.
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Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con mezzanine, donde la altura
del mezzanine la masa es pequeña, así como la aceleración sísmica con lo cual, la fuerza de
inercia en ese nivel es despreciable con relación a los que existen en los niveles superiores.
También puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como
apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequeña, la fuerza de inercia será nula
en ese nivel.
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4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS
Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unas tablas que permiten
ubicar la posición del punto de reflexión (Di). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado se
determinan los esfuerzos.
a.- Graficar el DMF en las columnas.
b.- calcular los momentos en las vigas,
Repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en
proporción a las rigideces de las vigas (Kr); y gráfica su
DMF.
C.- determinar la fuerza cortante en las vigas.
D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.
UBICACIÓN DEL PUNTO DE INFLEXIÓN (PI) EN LAS
COLUMNAS
Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la
columna igual a “Yh”, el valor “y” el valor Y se determina como
Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3;
Donde”y0”, es la altura estándar del PI, “Y1 “es una corrección por
variación de rigidez de las vigas, mientras que “Y2 “e “Y3 “
Corresponden a conexiones por diferencias de altura entre los pisos
consecutivos. Como usualmente los pisos son típicos, solo se calcula
“Y0 ”.
a.- altura estándar del PI (Y0h)
Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, así como
que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribución de las
fuerzas laterales era triangular.
El cálculo de” Y0 “se efectúa en cada eje vertical de las columnas.
Es necesario saber cuántos niveles tiene el eje de la columna en análisis, en que entrepiso está
ubicada y el valor de K.
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b.- corrección “y1”
Esta corrección se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna
tienen distinta rigidez a flexión que las inferiores (B).
Para calcular” Y1 “es necesario determinar el parámetro de “α1 “y k.
- Para el 10 piso “Y1 = 0”, salvo que la base este semiempotrada
- Si α 1 >1, se ingresa a la tabla con la inversa de α1 y se cambia de signo al valor “Y1”, es decir,
el PI se corre hacia abajo.
c.- Correcciones “Y2”,” Y3”
Estas correcciones se efectúan cuando la columna superior o inferior a la que está en estudio,
tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcular los parámetros α2 , α3, K.
Observaciones:
- Si α 2=1 →Y2 =0
- Si α 3=1 →Y3 = 0
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- Para columnas del 10 piso→ Y3 = 0
- Para columnas del 20 piso →Y2 = 0
MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS
El método asigna a cada columna un valor característico “D” que viene a ser la relación entre el
corte que toma la columna y la deformación que la produce.
Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relación entre las sumas de las
rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna.
El corte que forma cada columna “j” del entrepiso, está dado por:
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS
Los pasos a seguir son:
1) Calculo de los valores de D
2) distribución de la cortante de entrepiso Q entre las columnas proporcionalmente a sus valores
D.
Dj: constante relativa de la columna j
Σ Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado
3) determinación de los puntos de inflexión de las columnas y cálculo de los momentos flectores.
4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas.
5) Corrección de torsión.
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VALORES D EN LAS COLUMNAS
a) Para columnas de altura uniforme
A : constante que depende de K
Kc : rigidez de la columna considerada
Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2 , o a la inversa ; el valor de A no debe ser mayor
que el que resultaría de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente:
CASO Nº 02: extremo empotrado (primer piso)
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CASO Nº 03: extremo articulado
b) caso en que las columnas son de altura no uniforme.
CASO Nº 04:
Una columna de altura “h” que difiere de la altura estándar “h”:
CASO Nº 05:
Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 las cuales sumadas dan la altura
estándar h
CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MÉTODO DE MUTO
Para el cálculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para
calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. ya que las limitaciones
del método están dadas por el valor de K
En cuento K se haga más pequeño el error se incrementara, debido a que una hipótesis base es
que las vigas son suficientemente rígidas; un pequeño valor de K indicara que esta condición no
se cumple satisfactoriamente.
Posteriormente hallamos las rigideces para vigas y columnas tanto en la dirección X como Y.
Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.
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CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES
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Rigidez lateral absoluta:
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Para h=200 cm; D0=63 ton/cm
Para h=300 cm; D0=28 ton/cm
Para h = 600 cm; D0 = 7 ton/ cm
CALCULO DE ∆: TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO
Y EN SERIE
Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez
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Calculo del coeficiente a
IV. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero
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V. base empotrada
VI. base articulada
PARA EL EJEMPLO
Rigidez lateral absoluta:
Para h=200 cm; D0=47.88 ton/cm
Para h=300 cm; D0=21.28 ton/cm
Para h = 600 cm; D0 = 5.32 ton/ cm
Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.
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CALCULO DE ∆: TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO
Y EN SERIE
Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez
EJEMPLO Nº2:
Aplicando el método de muto, analizar el pórtico
ASUMIR:
Vigas: 0.3x 0.5 m2
Columna: 0.3 x 0.4 m2
K0=0.0004 m3
E=2000000 Ton/m2
Solución
Coeficiente de rigidez a flexión
Vigas:
Para h= 5m, Kv=1.56
Para h= 6m, KV=1.30
COLUMNAS:
Para h = 3m, KC=1.33
Para h = 4m, KC=1
RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA
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Para h=3m, D0=1067 ton/m
Para h=4m, D0=600 ton/m
Luego de hallar los valores de α ,D ,K de cada columna se tiene:
Calculo de δ:
APLICACIÓN POR EL MÉTODO DE MUTO
Aplicamos el método a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2)
Analizamos el primer nivel
Hallamos la rigidez para las vigas y columnas
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VIGA: 0.25x0.50 m
Columna: 0.25x0.50 m
Kv=I/hK0
Consideramos como rigidez estándar de la estructura K0=0.001 m3
Coef. De rigidez a flexión:
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PÓRTICO X1:
PARA LAS RIGIDECES LATERALES
3º PISO: 2900.8290 ton/m
2º PISO: 2900.8290 ton/m
1º PISO: 3116.5695 ton/m
BIBLIOGRAFÍA:
Perú.
Contreras; EDICIVIL; 2003
METODO DE WIBUR – BIGGS
Para el método de la rigidez lateral de las estructuras a porticadas Wilburg y Biggs
presentaron los siguientes sistemas de ecuaciones, las cuales se emplearon debiendo
tener en cuenta el nivel de entrepiso del cual se calculara dicha rigidez , asi como también
el tipo de apoyo que idealizaremos para la estructura dentro del proceso de análisis y
que se mantendrá durante la vida útil de esta , dichas ecuaciones se presentan:
A) ULTIMO NIVEL
−1
𝐾𝐿 =
8𝐸
ℎ𝑛
ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛
ℎ𝑛
[
]
+
+
𝐼
𝐼
ℎ𝑛 ∑ (𝐼𝑐 )
∑ ( 𝑉)
∑ ( 𝑉)
ℎ 𝑛
ℎ 𝑛−1
ℎ 𝑛
B) NIVEL TIPICO
−1
𝐾𝐿 =
8𝐸
ℎ𝑖
ℎ𝑖−1 + ℎ𝑖
ℎ𝑖+1 + ℎ𝑖
[
]
+
+
𝐼
𝐼
𝐼
ℎ𝑖 ∑ (𝐼𝑐 )
∑ ( 𝑉) + ∑ ( 𝐶)
∑( 𝑣 )𝑖
ℎ 𝑖
ℎ 𝑖−1
ℎ 𝑖
𝐿
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C)
SEGUNDO NIVEL
C.1) BASE EMPOTRADA
−1
𝐶𝐾𝐿2 =
8𝐸
ℎ2
ℎ1 + ℎ2
ℎ2
[
]
+
+
𝐼
𝐼
𝐼
ℎ2 ∑ (𝐼𝑐 )
∑ ( 𝑉) + ∑ ( 𝐶)
∑ ( 𝑉)
ℎ 2
ℎ 1
ℎ 1
ℎ 2
C.1) BASE ARTICULADA
−1
𝐶𝐾𝐿2 =
8𝐸
ℎ2
ℎ1 + ℎ2
ℎ2
[
]
+
+
𝐼
𝐼
ℎ2 ∑ (𝐼𝑐 )
∑ ( 𝑉)
∑ ( 𝑉)
ℎ 2
𝐿 1
ℎ 2
D) PRIMER NIVEL
C.1) BASE EMPOTRADA
−1
𝐾𝐿 =
8𝐸
ℎ1
ℎ1 + ℎ2
[
]
+
𝐼
𝐼
ℎ1 ∑ (𝐼𝑐 )
∑ ( 𝑉) + ∑ ( 𝐶)
ℎ 1
ℎ 1
ℎ 1
C.1) BASE ARTICULADA
−1
𝐾𝐿 =
𝐸
8ℎ1
ℎ1 + ℎ2
[
]
+
𝐼
𝐼
ℎ1 ∑ ( 𝑐 )
∑ ( 𝑉)
ℎ 1
𝐿 1
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ANTISISMICA
PROBLEMAS
PROBLEMA N°1
Para el sistema compuesto por una viga (E = 2x10^5 kg/cm2) y una varilla de acero (E = 2.1x10^8
kg/cm2) de 2 cm2 de área colocado en uno de sus extremos tal como se muestra en la figura.
¿Cuál debe de ser el momento e inercia I de la viga para que el desplazamiento en el extremo
libre debido a una carga de 30 toneladas hacia abajo, sea de 1 cm?
T
P = 30 ton
2m
SOLUCIÓN:
TEOREMA DE CASTIGLIANO
VIGA:
M=
𝜕𝑀
= −𝑥
𝜕𝑃
Tx - Px
TIRANTE:
200
N=T
𝜕𝑁
𝜕𝑃
=0
𝑁𝜕𝑁
𝜕𝑃
=0
200
𝑑𝑥
∫ (𝑃 − 𝑇)𝑥 2
+∫ 0=
𝐸𝐼
0
0
6
(𝑃 − 𝑇) ∗ 8 ∗ 0
=
∗ 𝐸𝑉 ∗ 𝐼𝑉
… . . (𝟏)
VIGA:
M=
Tx - Px
𝜕𝑀
=𝑥
𝜕𝑃
2m
𝑀𝜕𝑀
= (𝑇𝑥 − 𝑃𝑥)(𝑥) = (𝑇 − 𝑃 )𝑋 2
𝜕𝑇
INGENIERIA
ANTISISMICA
TIRANTE:
N=T
200
𝜕𝑁
𝜕𝑃
=1
𝑁𝜕𝑁
𝜕𝑃
200
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ (𝑇 − 𝑃 )𝑥
+∫ 𝑇
=
𝐸𝐼
𝐸𝐴
2
=T
0
(𝑇−𝑃)∗8∗106
3∗𝐸𝑉 ∗𝐼𝑉
0
+
200𝑇
𝐸𝐴
= 0 ….. (2)
DE (1) Y (2), se obtiene:
T = 21 Ton
Remplazando en la ecuación (1):
I = 120000 cm4
Rpta.
PROBLEMA N°2
La estructura mostrada en la figura es de concreto armado (E=2.2*106 Kg/m2) y puede
modelarse suponiendo un diafragma rígido y EI vigas =∞. Se pide determinar la rigidez
lateral para la dirección de análisis x-x.
Considere la sección de columnas:
INGENIERIA
ANTISISMICA
Solución:
a) Calculamos la Inercia de las columnas.

Columna 1:
INGENIERIA
ANTISISMICA
Seccion
1
2
Seccion
1
2
Seccion
1
2
Seccion
1
2

B (cm)
D (cm)
30
30
TOTAL
X (cm)
90
30
I
A (cm2)
1822500
2700
67500
900
TOTAL
B (cm)
D (cm)
30
30
TOTAL
d (cm)
7.5
22.5
X (cm)
90
30
I
A (cm2)
1822500
2700
67500
900
TOTAL
Columna 2:
45
15
45
75
d (cm)
7.5
22.5
A (cm2)
2700
900
3600
X=
X*A
121500
13500
135000
37.5
d^2
I + A*d^2
56.25
1974375
506.25
523125
I=
2497500
A (cm2)
2700
900
3600
X=
X*A
121500
67500
189000
52.5
d^2
I + A*d^2
56.25
1974375
506.25
523125
I=
2497500
INGENIERIA
ANTISISMICA
B (cm)
D (cm)
60

30
I=
Columna 3:
D (cm)
I=
I
135000
135000
I
60 636172.512
636172.512
b) Hallamos la rigidez de cada columna.

Para la columna 1:
𝐾 =
𝐾 =
𝐾 = 0.
∗ 0.
∗ 𝐸𝐼
ℎ3
∗ 97 00
03
Ton /cm

Para la columna 2:
𝐾 =
𝐾 =
𝐾 = 0.008 Ton /cm
∗ 0.
∗ 𝐸𝐼
ℎ3
∗
03
000
INGENIERIA
ANTISISMICA
 Para la columna 3:
𝐾 =
𝐾 =
∗ 0.
∗ 𝐸𝐼
ℎ3
∗6 6 7 .
03
𝐾 = 0.0 9 Ton /cm
c) Hallamos la rigidez de cada pórtico en dirección al eje “X”

Pórtico 1:
𝑘𝑒 = ∗ 𝑘 + ∗ 𝑘
𝑘𝑒 = ∗ 0.
+ ∗ 0.0 9
𝑘𝑒 = 0. 86 Ton /cm

Pórtico 2:
𝑘𝑒 = ∗ 𝑘 + ∗ 𝑘
𝑘𝑒 = ∗ 0.008 + ∗ 0.0 9
𝑘𝑒 = 0.09 Ton /cm

Pórtico 3:
𝑘𝑒 = ∗ 𝑘 + ∗ 𝑘
𝑘𝑒 = ∗ 0.
+ ∗ 0.0 9
𝑘𝑒 = 0. 86 Ton /cm
INGENIERIA
ANTISISMICA
d)
Hallamos la rigidez lateral total en dirección al eje “X”
𝑘𝑒 = 𝐾𝑒 + 𝐾𝑒 + 𝐾𝑒
𝑘𝑒 = 0. 86 + 0.09 + 0. 86
𝒌𝒆 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 Ton /cm
PROBLEMA Nº 03
Para la estructura de concreto armado (f´c=280 kg/cm2) con Mezzanine mostrada en la figura se
pide determinar las rigideces laterales según el modelo dinámico propuesto (𝐾𝐿1, 𝐾𝐿2, 𝐾𝐿3,) para la
dirección de análisis X-X.
Considere:
VIGAS (0.3mx0.6m)
COLUMNAS ∅ 0. 𝑚
W mezzanine =1.50 ton/𝑚2
W nivel superior =0.9ton/𝑚2
6m
6m
6m
6m
6m
MODELO DINAMICO
6m
6m
PLANTA
6m
INGENIERIA
ANTISISMICA
3m
4m
ELEVACION
SOLUCIÓN:
B
A
C
E
D
5
6m
4
6m
3
6m
2
6m
1
6m
6m
6m
6m
PLANTA
3
3m
2
4m
1
ELEVACION
Calculando los momentos de inercia :
𝐼𝑐 =
𝜋 .𝑑 4
64
=
𝜋.404
64
=
66 .7 𝑐𝑚4
𝐼𝑣 =
30𝑥603
12
=
0000 𝑐𝑚4
INGENIERIA
ANTISISMICA
Calculo de la rigidez relativa de las columnas:
𝐾𝑐1 =
𝐼𝑐
= 79.
700
0 𝑐𝑚3
𝐾𝑐2 =
𝐼𝑐
=
00
. 6 𝑐𝑚3
𝐾𝑐3 =
𝐼𝑐
=
00
8.88 𝑐𝑚3
Rigidez relativa de la viga:
Kv =
Iv
=
600
0000
= 900 cm3
600
Calculo de KI de la columna :
Ec =
KI1 =
KI2 =
KI3 =
. Ec. Ic
=
h3
∗
000√f´c =
0.998 ∗
7003
∗
0.998 ∗
003
66 .7
∗
0.998 ∗
003
66 .7
66 .7
= .9
=
000 ∗ 80 =
= . 0 Ton/cm
Ton/cm
.0 Ton/cm
Calculo de rigidez lateral de las columnas:
PARA LOS EJES 2,3 Y 4:
EJE A=E
̅
̅ = 900 = .0 → 𝑎̅ = 0.5+𝑘 = 0.79
𝐾
̅
179.52
2+𝑘
𝐾𝐿 = 𝐾𝐼1 ∗ 0.79 = . 0 ∗ 0.79
𝑲𝑳 = 𝟎. 𝟖𝟕 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎
0.998 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚2
INGENIERIA
ANTISISMICA
EJES B=D
̅
̅ = 900 = .86 → a̅ = 0.5+k =
K
̅
314.16
2+k
0.69
K L1 = KI2 ∗ 0.69 = .9
∗ 0.69
K L1 = .08 Ton/cm
̅ = 900∗3 = .
K
2∗418.88
̅
k
→ a̅ = 2+k̅ = 0.6
K L2 = KI3 ∗ 0.6 =
.0 ∗ 0.6
K L2 = 8.69 Ton/cm
∴ 𝑲𝑳 =
𝟏
= 𝟐. 𝟕𝟖 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎
𝟏
𝟏
+
𝑲𝑳𝟏 𝑲𝑳𝟐
EJE C
̅
̅ = 1800 = .7 → a̅ = 0.5+k = 0.8
K
̅
314.16
2+k
K L1 = KI2 ∗ 0.8 = .9
∗ 0.8
K L1 = .79 Ton/cm
̅
̅ = 3600 = . → a̅ = k = 0.68
K
̅
2∗418.88
2+k
K L2 = KI3 ∗ 0.6 =
K L2 = 9.
.0 ∗ 0.68
Ton/cm
∴ 𝑲𝑳 =
𝟏
= 𝟑. 𝟏𝟗 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎
𝟏
𝟏
+
𝑲𝑳𝟏 𝑲𝑳𝟐
INGENIERIA
ANTISISMICA
PARA LOS EJES 1 Y 5:
EJE B=C=D
̅
̅ = 900∗2 = 0.0 → 𝑎̅ = 0.5+𝑘 = 0.88
𝐾
̅
179.52
2+𝑘
𝐾𝐿 = 𝐾𝐼1 ∗ 0.79 = . 0 ∗ 0.88
𝑲𝑳 = 𝟎. 𝟗𝟕 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎
Calculo de rigidez de cada pórtico :
Para el pórtico 2, 3 y 4
𝐾𝐿
𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜
=
∗ 0.87 + ∗ .78 + . 9 = 0. 9 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚
𝐾𝐿
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 2,3,4
=
𝐊𝐋
𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟐,𝟑,𝟒
= 𝟑𝟏. 𝟒𝟕 𝐓𝐨𝐧/𝐜𝐦
∗ 0. 9 =
. 7 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚
Para el pórtico 1 y 5
𝐾𝐿
𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜
=
∗ 0.87 + ∗ 0.97 = .6 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚
𝐾𝐿
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1,5
=
𝐊𝐋
𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟏,𝟓
= 𝟗. 𝟑 𝐓𝐨𝐧/𝐜𝐦
∗ .6 = 9. 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚
Calculo de rigidez lateral total del sistema:
𝑲𝑳 𝒔𝒊𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝑲𝑳
K L sitema . =
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟐,𝟑,𝟒
+ 𝑲𝑳
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟏,𝟓
. 7 + 9. = 0. ton/cm
𝐊 𝐋 𝐬𝐢𝐭𝐞𝐦𝐚 . = 𝟒𝟎. 𝟑 𝐭𝐨𝐧/𝐜𝐦
INGENIERIA
ANTISISMICA
PROBLEMA Nº5
EJERCICIO 5
PARA PEQUEÑAS OSCILACIONES VERTICALESDE LA MASA DE LA ESTRUCTURA CON ELEMENTOS BIARTICULADOS SE PIDE DETERMINAR
LA RIGIDEZ VERTICAL E=2.1 X 10ˆ 6 KG/CM2
3 ᵩ 1 3/8"
3m
W=3 TON
2 ᵩ 1 3/8"
4m
SOLUCION
POR EL PRIMER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO
3
2
DETEMINAMOS EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LA ARMADURA
∑M 1=0
4P=3RX
RX=4P/3
∑ FY=0
RY=P
RX
P
1
RX
RY
CALCULO DE FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO
NUDO 2
NUDO 1
N13
RX
RX
RX= N23
N23=4P/3
BARRA
1.-3
2.-3
37°
N23
L(cm)
RY
RX=N13COS 37°
N13=5P/3
E=2.1 X 10ˆ 6 KG/CM2
E
A
N
500
2100000
19.1598 (-)5P/3
400
2100000
28.7398 4P/3
A
3 ᵩ 1 3/8"
2 ᵩ 1 3/8"
P=
3000
δn/δP
N
Nxδn/δPxL/EA
1.6666
4999.8
0.103548485
1.3333
3999.9
0.035345487
∆V3
0.138893972 cm
DETERMINAMOS LA RIGIDEZ VERTICAL
K = P/δ
K=
k=
3 ton / 0.13889 cm
21.5998 ton/cm
ᵩ 1 3/8"
AT
9.5799 cm2
28.7398 cm2
9.5799 cm3
19.1598 cm2
RESPUESTA
INGENIERIA
ANTISISMICA
PROBLEMA Nº6
Para el pórtico de concreto armado de 2 niveles mostrado en la figura, determinar la rigidez lateral
de columnas por los métodos de Muto y Wuilbur. (E=210ton /cm2).
METODO DE MUTO
𝐼𝑉 =
𝐼𝑉 =
𝐼𝐶 =
3
0𝑥
9 7. 𝑐𝑚 4
=
0𝑥803
0𝑥 03
80000𝑐𝑚 4
=
=
.
𝑐𝑚 4
Primer piso
𝐾𝐼 =
𝑘𝑣1 =
∗
𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑐
=
ℎ3
∗
9 7.
= 69 .
600
0∗
.
03
9
𝑘𝑣2 =
= .90𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚
80000
=
600
.
INGENIERIA
ANTISISMICA
𝑘̅ =
𝑎=
𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 69 .
=
𝐾𝑐
9+
7 .07
̅
0. ∗ 𝐾
0. ∗ .96
=
= 0.
̅
+ ∗ .96
+ 𝐾
𝐾𝐿 = 𝑎 ∗ 𝐾𝐼 = 0.
𝐾𝐿1 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
.
= .96
06
06 ∗ .90 = . 6𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚
. 6𝑡𝑜𝑛
. 6𝑡𝑜𝑛
+
= .7 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝑐𝑚
Segundo piso
𝐾𝐼 =
∗
𝑘𝑣1 =
𝑘̅ =
𝑎=
𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑐
=
ℎ3
∗
9 7.
= 69 .
600
0∗
.
𝐾𝐿 = 𝑎 ∗ 𝐾𝐼 = 0.
.
9𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚
9
𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 69 . 9 + 69 .
=
𝐾𝑐
609.
̅
𝐾
̅=
+𝐾
=
03
9
= . 7
. 7
= 0.
+ . 7
∗
.
𝐾𝐿2 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
9 = 6.6 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚
6.6 𝑡𝑜𝑛 6.6 𝑡𝑜𝑛
+
=
𝑐𝑚
𝑐𝑚
. 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚
INGENIERIA
ANTISISMICA
METODO DE WUILBUR
𝐼𝑉 =
0𝑥
0𝑥 03
9 7. 𝑐𝑚 4
=
0𝑥803
𝐼𝑉 =
𝐼𝐶 =
3
=
=
80000𝑐𝑚 4
𝑐𝑚 4
.
−1
𝐾𝐿 =
𝐸
ℎ1
[
8ℎ1
ℎ1 + ℎ2
]
+
𝐼
𝐼
∑ ( 𝑐)
∑ ( 𝑉)
ℎ 1
𝐿 1
Primer piso
𝑘𝑣1 =
9 7.
= 69 .
600
9
𝑘𝑣2 =
80000
=
600
.
𝑘𝑣2 =
.
0
= 7 .07
INGENIERIA
ANTISISMICA
−1
𝐾𝐿 =
𝐸
[
ℎ1
8ℎ1
ℎ1 + ℎ2
+
]
𝐼𝑐
𝐼
∑( )
∑ ( 𝑉)
ℎ 1
𝐿 1
=
∗
0
0
[
8∗ 0
∗ 0+
+
7 .07 + 7 .07 69 . 9 +
0
.
−1
]
= .6 𝑇𝑜𝑛 /𝑐𝑚
Segundo piso
𝐼𝑉 =
𝐼𝐶 =
𝑘𝑣1 =
0𝑥
0𝑥 03
3
=
=
9 7.
= 69 .
600
9 7. 𝑐𝑚 4
𝑐𝑚 4
.
𝑘𝑣2 =
9
.
0
= 609.
−1
8𝐸
ℎ𝑛
ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛
ℎ𝑛
𝐾𝐿 =
[
+
+
]
𝐼𝑉
𝐼
ℎ𝑛 ∑ (𝐼𝑐 )
∑( )
∑ ( 𝑉)
ℎ 𝑛
ℎ 𝑛−1
ℎ 𝑛
=
8∗
0
0
[
∗
609.
0
∗ 0+
+
∗
69 . 9 +
0
.
+
−1
0
69 .
9
]
=
.7
INGENIERIA
ANTISISMICA
METODO DE MUTO
METODO DE WUILBUR
CONCLUSIONES:




Hay diferentes métodos para el cálculo de rigideces
En el caso del método para sistemas flexibles de Muto y Wuilbur , los resultados
son bastante semejantes
Para el cálculo de rigideces de sistema de muros la aplicación de la fórmula es
relativamente fácil
Estudiar bien los temas de este capítulo ya que es muy importante para el análisis
de edificaciones.
INGENIERIA
ANTISISMICA
INGENIERIA
ANTISISMICA
INGENIERIA
ANTISISMICA
INGENIERIA
ANTISISMICA
INGENIERIA
ANTISISMICA