La Probabilidad
Heraldo Gonzalez S.
2
Plan de Regularización, Estadistica I
VARIABLES ALEATORIAS
Una variable es aleatoria si ella está vinculada a un suceso aleatorio, es
decir, si los valores que toma una variable están vinculados a los sucesos
elementales en el espacio muestral de un experimento dado y dependen por
tanto de factores aleatorios en cuanto a su ocurrencia, la variable se llama
variable aleatoria (v.a).
Definición.
Sea Ω un espacio muestral asociado al experimento ε, decimos que la
función X : Ω 7→ R tal que w 7→ X(w) = x es una variable aleatoria si cada
elemento x del recorrido Rec(X) tiene, como imagen inversa un suceso.
Observación.
Una variable aleatoria es una regla bien definida que asigna valores reales a
todos los resultados de un experimento.
Ejemplo.
Consideremos una caja que contiene 10 bolitas numeradas del 1 al 10. Se
extrae, aleatoriamente una de las 10 bolitas y se anota el número asociado a
ella, entonces la variable X = ”Número de divisores de la bolita sorteada”
es una variable aleatoria. En efecto, si graficamos la situación tenemos
Para cada X ∈ Rec(X) = {1, 2, 3, 4}, la imagen inversa es un suceso de Ω;
Heraldo Gonzalez S.
3
por ejemplo, X −1 (2) = {w2 , w3 , w5 , w7 } ⊆ Ω por tanto, es un suceso en Ω.
Análogamente X −1 (1) = {w1 } ⊆ Ω, X −1 (3) = {w4 , w9 } ⊆ Ω,
X −1 (4) = {w6 , w8 , w10 } ⊆ Ω son sucesos en Ω.
Observación.
• Naturalmente ya sabemos que la variable mencionada es una variable
aletaoria dado que, el número de divisores que tiene la bolita extraı́da
depende de la bolita seleccionada, esto último es aleatorio.
• La ventaja dada por la definición matemática de la variable aleatoria
es que nos permite calcular probabilidades en el recorrido Rec(X),
tenemos:
Si B ⊆ Rec(X) entonces
PRec(X) (B) = PΩ (X −1 (B)) = Pω {w/X(w) ∈ B}.
En el ejemplo tenemos:
4
2
3
1
, P (X = 2) = 10
, P (X = 3) = 10
, P (X = 4) = 10
.
P (X = 1) = 10
Definición. Se dice que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es
finito o infinito numerable. Definición. Sea X una variable aleatoria
discreta. Llamamos función de probabilidad de X o función de cuantı́a de
X la que denotamos p(x) a
(
P (X = x) si x ∈ Rec(X)
p(x) =
0 si x ∈
/ Rec(X)
EJEMPLO 30
En el ejemplo anterior, la función de probabilidad de X es:
0, 1 si x = 1
0, 4 si x = 2
0, 2 si x = 3
p(x) =
0, 3 si x = 4
0 o.c.
Otra forma de presentar la función de cuantı́a:
4
Plan de Regularización, Estadistica I
X
1
2
3
4
p(x) 0, 1 0, 4 0, 2 0, 3
EJEMPLO 31
De un lote que contiene 25 artı́culos, 5 de los cuales son defectuosos, se
eligen 4 al azar, sin reposición. Determine la función de probabilidad de la
variable aleatoria.
X = ” número de artı́culos defectuosos encontrados”.
Solución
Como la extracción es sin reposición eds equivalente
a la extracción de los 4
25
la vez entonces, el espacio muestral tiene
= 12,650 elementos, ası́
4
5 20
5 20
0
4−0
0
4
=
;
P (X = 0) =
25
25
4
4
5 20
5 20
1
4−1
1
3
=
;
P (X = 1) =
25
25
4
4
5 20
5 20
2
2
2
4−2
P (X = 2) =
=
, ası́ entonces, en general
25
25
4
4
5 20
x
4−x
P (X = x) = p(x) =
; x = 0, 1, 2, 3, 4
25
4
Definición.
Sea X una variable aleatoria discreta con reciorrido Rec(X) y función de
probabilidad p(x), entonces
X la función de distribución de X, denota F (x)
es: F (x) = P (X ≤ x) =
p(xi ); xi ∈ Rec(X).
xi ≤x
Heraldo Gonzalez S.
5
EJEMPLO 32
Si la variable aleatoria X es tal que su función de probabilidad está dada
por
X
1
2
3
4
p(x) 0, 1 0, 4 0, 2 0, 3
entonces
F (1) = P (X ≤ 1) =
F (2) = P (X ≤ 2) =
X
x≤1
X
p(x) = 0, 1
p(x) = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5
x≤2
F (3) = P (X ≤ 3) =
X
p(x) = 0, 1 + 0, 4 + 0, 2 = 0, 7
x≤3
F (3, 5) = P (X ≤ 3, 5) =
X
p(x) = 0, 1 + 0, 4 + 0, 2 = 0, 7
x≤3,5
F (4) = P (X ≤ 4) =
X
p(x) = 0, 1 + 0, 4 + 0, 2 + 0, 3 = 1, 0
x≤4
F (5, 2) = P (X ≤ 5, 2) =
X
p(x) = 0, 1 + 0, 4 + 0, 2 + 0, 3 = 1, 0
x≤5,2
EJEMPLO 33
Se sabe que una moneda sale cara tres veces más a menudo que sello. Esta
moneda se lanza tres veces. Si X es el número de caras que aparecen,
determine la función de cuantı́a de X y su función de distribución.
Solución.
El espacio muestral es
Ω = {(c, c, c), (c, c, s), (c, s, c), (c, s, s), (s, c, s), (s, c, c), (s, s, s), (s, s, c)} y el
recorrido de la variable aleatoria es Rec(X) = {0, 1, 2, 3}.
Como P (c) = 3P (s) y P (c) + P (s) = 1 entonces P (s) = 41 y P (c) = 34 .
Tenemos
1
P (X = 0)P ((s, s, s)) = P (s)P (s)P (s) = ( 14 )3 = 64
P (X = 1) = P ((c, s, s) ∪ (s, c, s) ∪ (s, s, c)) =
P ((c, s, s)) + P ((s, c, s)) + P ((s, s, c)) =
P (c)P (s)P (s) + P (s)P (c)P (s) + P (s)P (s)P (c) =
311
444
+
131
444
+
113
444
=
9
64
P (X = 2) = P ((c, c, s) ∪ (c, s, c) ∪ (s, c, c)) = P ((c, c, s)) + P ((c, s, c)) +
27
P ((s, c, c)) = P (c)P (c)P (s) + P (c)P (s)P (c) + P (s)P (c)P (c) = 64
6
Plan de Regularización, Estadistica I
P (X = 3) = P ((c, c, c)) = P (c)P (c)P (c) = ( 43 )3 = 27
64
1
si x = 0
64
9
si x = 1
64
27
si x = 2
Entonces, la función de cuantı́a de X es p(x) =
64
27
si x = 3
64
0 o.c.
o también
X
p(x)
0
1
2
3
1
64
9
64
27
64
27
64
La función de distribución de la variable aleatoria X es
0 si x < 0
1
si 0 ≤ x < 1
64
10
si 1 ≤ x < 2
p(x) =
64
37
si 2 ≤ x < 3
64
1 si x ≥ 3
Observación.
Para la función de cuantı́a se cumple:
a) 0 < p(x) ≤ 1 si x ∈ Rec(X); p(x) = 0 si x ∈
/ Rec(X)
X
b)
p(x) = 1
x∈Rec(X)
Para la función de distribución se cumple
a) x1 < x2 entonces F (x1 ) ≤ F (x2 )
b) F (x) es una función discontinua, escalonada, con escalones de
magnitud p(xi )
c) F (x) es una función acotada; 0 ≤ F (x) ≤ 1
Definición.
Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido Rec(X) y función de
probabilidad p(x), entonces llamamos Esperanza de X
X, al parámetro
denotado µx o E(X), definido por: µx = E(X) =
xp(x).
x∈Rec(X)
Heraldo Gonzalez S.
7
EJEMPLO 34
Se lanza dos veces un dado no cargado, entonces la variable aleatoria X =
”suma de los puntajes obtenidos” tiene las siguientes caracerı́sticas:
Rec(X) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} con función de cuantı́a dada por:
X
p(x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
Además µx = E(X) =
X
x∈Rec(X)
xp(x) = 2 ·
2
36
1
36
1
2
1
+3·
+ . . . + 12 ·
=7
36
36
36
Observación.
• E(X) es una suma ponderada de todos los valores del recorrido con
ponderaciones p(x).
• E(X) no es una función de un punto, sino una caracterı́stica de la
variable aleatoria, medida en la unidad de tal variable aleatoria.
• Fı́sicamente se puede interpretar como el centro de gravedad de un
sistema de masas p(xi ) colocadas en abscisas xi .
• En el ejemplo de los ”dados”, la suma esperada en una gran cantidad
de lanzamientos, es 7.
Valor esperado de una función de la variable aleatoria X
No sólo podemos calcular el valor esperado de una variable aleatoria X,
sino también a cualquier función de ella, por ejemplo, podrı́amops estar
interesados en determinar el valor esperado de Y = X 2 , = log X, Y = ex ,
etc.
Definición.
Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido Rec(X) y función de
probabilidad p(x). Si definimos la variable aleatoria Y = f (X) donde
y = f (x) ∀x ∈ Rec(X)X
entonces la esperanza de Y es:
E(Y ) = E(f (x)) =
f (x)p(x).
x∈Rec(X)
8
Plan de Regularización, Estadistica I
Propiedades del valor esperado.
Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido Rec(X) y función de
probabilidad p(x), entonces se cumple:
a) E(aX) = aE(X); a = C te
b) E(a + X) = a + E(X); a = C te
c) E(X − E(X)) = 0
Demostración
a) Sea Y = f (x) = aX tal que y = X
f (x) = ax; a = C te X
entonces
E(aX) = E(Y ) = E(f (X)) =
f (x)p(x) =
axp(x) =
x∈Rec(X)
a
X
x∈Rec(X)
xp(x) = aE(X).
x∈Rec(X)
b) Sea Y = f (X) = a + X tal que y =X
f (x) = a + x; a = C te entonces
E(a + X) = E(Y ) = E(f (X)) =
f (x)p(x) =
x∈Rec(X)
X
(a + x)p(x) =
x∈Rec(X)
a
X
x∈Rec(X)
p(x) +
X
ap(x) +
X
xp(x) =
x∈Rec(X)
Xx∈Rec(X)
xp(x) = a + E(X).
x∈Rec(X)
c) E(X − E(X)) = E(X − µx ) = E(X) − µx = 0.
Definición.
Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido Rec(X) y función de
2
2
probabilidad p(x), definimos la varianza
X de X denotada σ (X), σx o V (X)
como V (X) = E[(X − E(X))2 ] =
(xi − µx )2 p(x).
x∈Rec(X)
Heraldo Gonzalez S.
9
Propiedades de la varianza.
Se cumple:
a) V (X) = E(X 2 ) − E 2 (X).
b) V (a + X) = V (X); a = C te
c) V (aX) = a2 V (X); a = C te
d) V (a + bX) = b2 V (X); a, b constantes.
Demostración.
a) V (X) = E[(X − E(X))2 ] = E(X 2 − 2XE(X) + E 2 (X)) =
E(X 2 ) − 2E(X)E(X) + E 2 (X) = E(X 2 ) − E 2 (X).
b) V (a + X) = E((a + X)2 ) − E 2 (a + X) = E(a2 + 2aE(X) + X 2 ) − (a +
E(X))2 = a2 + 2aE(X) + E(X 2 ) − (a2 + 2aE(X) + E(X 2 )) =
E(X 2 ) − E 2 (X) = V (X).
c) V (aX) = E((aX)2 ) − E 2 (aX) = E(a2 X 2 ) − (aE(X))2 =
a2 E(X 2 ) − a2 E 2 (X) = a2 (E(X 2 ) − E 2 (X)) = a2 V (X).
d) V (a + bX) = E((a + bX)2 ) − E 2 (a + bX) =
E(a2 + 2abX + b2 X 2 ) − (a + bE(X))2 = a2 + 2abE(X) + b2 E(X 2 ) −
(a2 + 2abE(X) + b2 E 2 (X)) = b2 (E(X 2 ) − E 2 (X)) = b2 V (X).
Ejemplo 35.
Las ventas semanales X de una compraventa de automóviles sigue un
comportamiento aleatorio con función de probabilidad dada por:
x
0
1
2
3
4
5
p(x) 0, 3 0, 18 0, 25 0, 239 0, 02 0, 011
a) ¿Qué porcentaje de las veces ocurrirá por lo menos dos y a lo sumo
cuatro ventas semanales?.
b) ¿Cuál es el número esperado y la desviación estándar del número de
automóviles que se venden semanalmente?.
10
Plan de Regularización, Estadistica I
c) Si en un dı́a de una semana ya se ha vendido más de dos automóviles
¿Cuál es la probabilidad de que se venda a lo más cuatro
automóviles?.
Solución.
a) Se pide P (2 ≤ X ≤ 4) · 100.
Como P (2 ≤ X ≤ 4) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) =
0, 25 + 0, 239 + 0, 02 = 0, 509 entonces el 50,9 % ocurrı́a lo consultado.
p
V (X).
b) Se pide E(X)
y
X
E(X) =
xp(x) =
Rec(X)
0(0, 3) + 1(0, 18) + 2(0, 25) + 3(0, 239) + 4(0, 02) + 5(0, 011) = 1, 532
Podemos concluir que la venta
Xesperada de autos
X puede ser 1 ó 2.
2
2
2
V (X) = E(X ) − E (X) =
x p(x) − (
xp(x))2 = 02 (0, 3) +
Rec(X)
Rec(X)
12 (0, 18) + 22 (0, 25) + 32 (0, 239) + 42 (0, 02) + √
52 (0, 011) − (1, 532)2 =
1, 578976, ası́, la desviación estándar es σx = 1, 578976 = 1, 256731
c) Se pide: P (X ≤ 4/X > 2) (probabilidad condicional)
P (X=3)+P (X=4)
= P (X=3)+P
=
P (X ≤ 4/X > 2) = PP(2<X≤4)
(X>2)
(X=4)+P (X=5)
0,239+0,02
= 0, 9592592
0,239+0,052+0,011
Ejercicios Propuestos.
1. Se lanza dos veces un dado corriente (o una vez dos dados) y leemos
la suma del puntaje obtenido.
a) Determinar la función de probabilidad que se obtiene.
b) Determine la función de distribución y su gráfico.
c) Cálcule e interprete
i) P (2 ≤ X < 5)
ii) P (2 < X < 5)
d) Determine el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria
X
Heraldo Gonzalez S.
11
e) Calcule E(2X − 3); V (2X − 3)
2. Supongamos que la demanda diaria D de un artı́culo es una variable
aleatoria con función de probabilidad.
2d
c si d ∈ Rec(D) = {1, 2, 3, 4}
P (D = d) =
0 d!
si x ∈
/ Rec(D)
a) Determine la constante c. Respuesta
1
6
b) Calcule la demanda esperada. Respuesta
19
9
c) Determine la desviación estándar de la demanda. Respuesta 0,99
d) Si la demanda diaria aumenta en 2 artı́culos ¿Demanda esperada?.
Respuesta 4,11
3. El número de camiones que llega durante una hora a una bodega
sigue la distribución de probabilidad especificada en la siguiente tabla:
Número de camiones x
0
1
2
3
4
5
6
Probabilidad p(x)
0, 05 0, 10 0, 15 0, 25 0, 30 0, 10 0, 05
a) Determine el gráfico de la función de probabilidad
b) Calcule el número medio esperado de llegada de camiones a la bodega
c) Determine la varianza y la desviación estándar de la v.a. definida
d) ¿Cuál es el significado y el valor de P (X < 4)?
e) ¿Cuál es el significado y el valor de P (1 < X ≤ 4)?
f) Determine la función de distribución y su gráfico.
12
Plan de Regularización, Estadistica I
4. Dado que la agricultura es una actividad con cierto grado de
incertidumbre debido a hechos de la naturaleza, muchos agricultores
aseguran sus cosechas contra granizo, heladas y lluvias excesivas.
Determine la prima anual necesaria que hace que la esperanza de
ganancia de la Compañı́a Aseguradora sea cero, si la cosecha se evalúa
en US $ 200.000. Los actuarios han sugerido que ”tales eventos”
ocurren 1 en 50 casos. Respuesta US $ 4.000
5. El número de autos vendidos por un distribuidor durante un mes es
una variable aleatoria con función de cuantı́a dada por:
x
0 1 2
p(x) 0 c 2c
3
2c
4
3c
5
c2
6
2c2
a) Determine el valor de la constante c. Respuesta
7
7c + c
2
1
10
b) Calcule P (X ≤ 5/X ≥ 2)
c) Si la distribuidora obtiene una ganancia de 10x + 4 miles de pesos si
vende 4 o más vehı́culos en un mes y hay una pérdida de 300 miles de
pesos si no vende vehı́culos en igual perı́odo, determine la utilidad
esperada por el distribuidor.
6. El número de dı́as requeridos para completar un proyecto de
construcción es una variable aleatoria X con función de cuantı́a:
x
10 11 12 13 14
p(x) 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1
El beneficio Y para la empresa está dado por Y = 200,000(12 − X),
en u.m.
a) ¿Cuál es el beneficio esperado?. Respuesta 80.000 u.m.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto le produzca pérdida a la
empresa? Respuesta 0,2
c) Calcule la desviación estándar de la variable aleatoria Y . Respuesta
240.000 u.m.
Heraldo Gonzalez S.
13
7. Una caja contiene 5 bolitas blancas y 3 bolitas negras: Se extrae dos
bolitas al azar, sin reposición.
Determine la función de cuantı́a de la variable aleatoria
X = ” número de bolitas blancas”.
Respuesta
x
p(x)
0
1
2
3
28
15
28
10
28
8. Una moneda se lanza tres veces , considere la variable aleatoria
X = ” número de caras que resultan”. Determine la función de
cuantı́a de X.
Solución.
El espacio muestral es
Ω=
{(c, c, c), (c, c, s), (c, s, c), (s, c, c), (s, s, s), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s)},
el recorrido de la variable aleatoria es Rec(X) = {0, 1, 2, 3} y la
función de cuantı́a es
x
p(x)
0
1
2
3
1
8
3
8
3
8
1
8
9. Una variable aleatoria X puede tomar 4 valores con probabilidad
1 + 3x 1 − x 1 + 2x 1 − 4x
,
,
,
¿Para qué valores de x es ésta una
4
4
4
4
función de cuantı́a?. Respuesta −1
< x < 14 .
3
