presentacion valeatorias 2020

Variables aleatorias
Tema 4
1
Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
2
Objetivos





Manejar variables aleatorias con soltura.
Manejar funciones de distribución, de probabilidad y
de densidad con soltura.
Calcular esperanzas de variables aleatorias y de
transformaciones suyas.
Calcular la distribución de una transformación de
una variable aleatoria con distribución conocida.
Entender el concepto de independencia entre
variables aleatorias.
3
Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
4
Concepto de variable aleatoria
Una variable aleatoria asocia un número con
cada resultado del experimento aleatorio.
Es aleatoria porque al no conocer el resultado del
experimento antes de realizarlo, tampoco
conocemos el valor que va a tomar la variable.
5
Concepto de variable aleatoria

Definición. Una variable aleatoria X es una
aplicación X: E IR, donde E es el espacio
muestral asociado a un experimento.
X
e1
e2
e3
X (e3)
X (e2)
X (e1)
IR
6
Concepto de variable aleatoria
Los sucesos que nos interesarán a partir de ahora son
del tipo XA donde A es un subconjunto de IR.
Con probabilidades P(XA) = P({eE: X(e)A}).
Propiedades:
1.
P(XA) 0 ;
2.
P(XIR) = 1 ;
3.
si A1, A2,…IR son tales que AiAj= para i  j,
entonces P(Xi=1, Ai)=Si=1, P(XAi) .
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Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
8
El rango de una variable aleatoria
El rango de una variable aleatoria es el conjunto de
valores que puede tomar.
 Una variable aleatoria es discreta si su rango es
finito o infinito numerable.


Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado
hasta un 5.
Una variable aleatoria es continua si en su rango
contiene un intervalo.

Ejemplos: duración batería.
9
Variables aleatorias discretas
Dada X una variable aleatoria discreta, su función de
probabilidad asigna a cada posible valor de la variable,
la probabilidad de que X tome dicho valor.
p: IR [0,1]
x p(x) = P(X=x)
Cumple que 0 p(x) 1 para todo x y si la variable
toma n valores distintos x1,…,xn , entonces Si p(xi) = 1,
así P(XA) = SxiA p(xi) .
10
Variables aleatorias discretas
Supongamos que X es el número de
motores averiados en cierta máquina
compuesta por tres motores. Dicha
variable tendrá como función
de probabilidad
3
0’125
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0’375
0.05
2
0.00
p(x) = P(X=x)
0’125
0’375
probabilidad
x
0
1
Funcion de probabilidad
0
1
2
3
numero motores averiados
11
Variables aleatorias discretas
La función de distribución evaluada en x es la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un
valor menor o igual que x.
F(x) = P(X  x)
1.
2.
3.
4.
limx-F(x) = 0 ;
limx F(x) = 1 ;
F es no decreciente ;
F es continua por la derecha.
12
Variables aleatorias discretas
La función de distribución
de una variable aleatoria
discreta será escalonada,
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
probabilidad
F(x) = P(X  x)
= Sxi  x p(xi)
Funcion de distribucion
-1
0
1
2
3
4
numero motores averiados
13
Variables aleatorias continuas
Como el conjunto de valores que toma una variable aleatoria
continua es no numerable, expresiones del tipo Si p(xi) = 1 no
tienen sentido.
Histograma para la duración de 10000 baterías.
Histogram of duracion
0.4
Density
0.2
0.4
0.0
0.2
0.0
Density
0.6
0.6
0.8
0.8
Histogram of duracion
0
2
4
6
8
0
2
4
duracion
duracion
6
8
14
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
P(2  X  4)   24 f(x)dx
donde X es la duración, en
cientos de horas de una
batería.
densidad
La curva f que hemos
trazado sobre el segundo
histograma, lo aproxima
muy bien, de hecho tenemos
1.0
Variables aleatorias continuas
0
2
4
6
8
15
Variables aleatorias continuas
La función de densidad f describe la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple:
1.
f(x)  0 ;
2.

 f(x)dx
-
=1.
Tenemos además P(a  X  b) = 
Dada X v.a. continua, cumple
3.


a
b
f(x)dx .
P(X = a) = 0 ;
P(a  X  b) = P(a < X  b) = P(a  X < b) = P(a < X < b)
16
Variables aleatorias continuas
Calculamos la función de distribución de una
variable aleatoria continua integrando su función
de densidad,
F(x) = P(X  x) =  -x f(t)dt
1.
2.
3.
4.
limx-F(x) = 0 ;
limxF(x) = 1 ;
F es no decreciente ;
F es continua.
17
Variables aleatorias continuas
Estamos manejando
f(x) = e-x si x > 0
F(x) = 1- e-x si x > 0
Exponential Distribution
cumulative probability
Como la función de distribución
es una primitiva de la función de
densidad, obtenemos la función
de densidad derivando la función
de distribución,
f(x) = dF(x)/dx .
1
Mean
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
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Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
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Esperanza matemática o media
La esperanza o media (m) de una variable aleatoria
es el centro de gravedad de los valores que toma

X discreta, m = E[X] = xip(xi)
X continua, m = E[X] =  xf(x)dx
Propiedades: Dadas X,Y y dos números, a,b
1. E[a+bX] = a+bE[X] ;
2. E[X+Y] = E[X]+E[Y] .

20
Esperanza matemática o media
Dada una función g: IR  IR, podemos calcular
la esperanza de la variable aleatoria g(X) como

X discreta, E[g(X)] = g(xi)p(xi)

X continua, E[g(X)] =  g(x)f(x)dx
21
Mediana
La mediana de una variable aleatoria X es un
valor Me tal que
F(Me)  1/2;P(X Me)  1/2
Si X es una variable aleatoria continua, entonces
F(Me) = 1/2.
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Medidas de posición no central
El cuantil 0 < a<1 de una variable aleatoria X es un
valor xa tal que la probabilidad de que X sea menor o
igual que xa es, al menos, a y la probabilidad de que sea
mayor o igual es, al menos, 1-a.
F(xa) = P(X xa)  a;P(X xa)  1-a
Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles
Pa = xa/100 ;Qi = P25i
donde 1  a  99 y 1  i  3 .
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Medidas de dispersión
La varianza de una variable aleatoria X se define
s2 = Var[X] = E[(X-E[X])2]

X discreta, s2 = Var[X] = (xi-m)2 p(xi)

X continua, s2 = Var[X] =  (x-m)2 f(x)dx
La desviación típica es la raíz cuadrada positiva
de la varianza, s= (Var[X])1/2 .
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Medidas de dispersión
Propiedad. Var[X] = E[X2]-E[X]2 = E[X2]-m2
Dados a,bIR y una variable aleatoria X,
tenemos las siguientes propiedades de la varianza
1. Var[b] = 0 ;
2. Var[aX] = a2Var[X] ;
3. Var[aX+b] = a2Var[X] .
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Medidas de forma
Describen la distribución de la variable aleatoria
sin tener en cuenta su escala
Momento de orden k respecto del origen, mk = E[Xk]
Momento de orden k respecto de la media, mk = E[(X-m)k]


Coeficiente de asimetría. CA = m3/s3
Coeficiente de apuntamiento. CAp = m4/s4-3
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Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
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Desigualdad de Chebichev
Si una variable aleatoria X tiene media my
varianza s2 y dados k,e > 0, tenemos las
siguientes expresiones equivalentes:
P(| X-m|  ks)  1/k2
P(| X-m|  e)  s2/e2
P(m-ks < X < m+ks)  1-1/k2
P(m-e < X < m+e)  1-s2/e2
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Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
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Transformaciones de vables. aleatorias
Dada una variable aleatoria X y una función
g: IR  IR, queremos estudiar la distribución de
la variable aleatoria Y=g(X).
FY(y) = P(Y  y) = P(g(X)  y) = P(X Ay) ,
donde Ay = {x: g(x)  y}.
En muchos casos este conjunto Ay es sencillo de
calcular.
30
Transformaciones de vables. aleatorias
Si X es una variable aleatoria discreta, tenemos
FY(y) = P(Y  y) = P(g(X)  y)
= Sg(xi)  y pX(xi) ,
además la función de probabilidad de Y será,
pY(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y)
= Sg(xi) = y pX(xi) .
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Transformaciones de vables. aleatorias
Si g es continua y creciente
FY(y) = P(g(X)  y) = P(X  g-1(y)) = FX(g-1(y))
En general, si X es una variable aleatoria
continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva,
tenemos que la función de densidad de Y cumple
fY (y) = fX (x) |dx/dy|
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Descripción breve del tema
1. Concepto de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas y continuas


Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria



Medidas de centralización
Medidas de posición
Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev
5. Transformaciones de variables aleatorias
6. Independencia entre variables aleatorias
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Independencia de variables aleatorias
Dos variables aleatorias X e Y se dicen
independientes si para cualesquiera A,BIR,
P((XA)(YB)) = P(XA)P(YB)
Equivalentemente, para cualesquiera x,yIR
P((X  x)(Y  y)) = P(X  x)P(Y  y)
Propiedad. Si X e Y son independientes,
Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y]
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