2.2 Operaciones con matrices

2.2 Operaciones con Matrices (Suma, Resta, Producto, Producto de un
Escalar por una Matriz)
Suma de Matrices
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión
(equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n =
(aij+bij).
𝑎11
𝐴 = [𝑎
21
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑎23 ]
𝐵=[
𝑏11
𝑏21
𝑏12
𝑏22
𝑏13
]
𝑏23
La suma
𝑎11
𝐴 + 𝐵 = [𝑎
21
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑏11
𝑎23 ] + [𝑏21
𝑏12
𝑏22
𝑏13
𝑎 + 𝑏11
] = [ 11
𝑏23
𝑎21 + 𝑏21
𝑎12 + 𝑏12
𝑎22 + 𝑏22
𝑎13 + 𝑏13
]
𝑎23 + 𝑏23
Ejemplo 3.1
Realizar la suma de las siguientes matrices
𝐴=[
𝐴+𝐵 =[
2 −3 5 ]
4 1 −7
𝐵=[
1 0 2
]
−3 5 8
2 −3 5 ] [ 1 0 2] [2 + 1 −3 + 0 5 + 2 ] [3 −3 7]
+
=
=
−3 5 8
4 − 3 1 + 5 −7 + 8
1 6 1
4 1 −7
Ejemplo 3.2
Realizar la suma de las siguientes matrices
1 2 3
𝐴 = [4 5 6]
7 8 9
1 3 5
𝐵 = [7 9 2]
4 6 8
1+1 2+3 3+5
2
𝐴 + 𝐵 = (4 + 7 5 + 9 6 + 2) = (11
7+4 8+6 9+8
11
5
8
14 8 )
14 17
Propiedades de la suma de matrices




Asociativa: A+ (B+C) = (A+B)+C
Conmutativa: A+B = B+A
Elemento neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A
Elemento simétrico: (matriz opuesta -A), A + (-A) = (-A) + A = 0
¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones
son distintas. !!
Algebra Lineal
1
Para realizar la diferencia de matrices es justamente lo mismo que la suma
simplemente se cambiara el signo de adición por el de sustracción a
continuación se muestra un ejemplo de resta de matrices.
Ejemplo 3.3
Realiza la siguiente resta de matrices 𝐴 − 𝐵
1 2 3
1
𝐴 = (4 5 6) 𝐵 = (7
7 8 9
4
0 −1
= (−3 −4
3
2
3 5
9 2)
6 8
−2
4)
1
1−1 2−3 3−5
𝐴 − 𝐵 = (4 − 7 5 − 9 6 − 2)
7−4 8−6 9−8
Producto de matrices
Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el
número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la
matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma :
𝑎11
𝑎
𝐴 = [ 21
𝑎31
𝑎11
𝐴 ∙ 𝐵 = [𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12
𝑎22 𝑎23 ] ∙ [𝑏21 𝑏22 ]
𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32
𝑎11 ∙ 𝑏11 + 𝑎12 ∙ 𝑏21 + 𝑎13 ∙ 𝑏31
= [𝑎21 ∙ 𝑏11 + 𝑎22 ∙ 𝑏21 + 𝑎23 ∙ 𝑏31
𝑎31 ∙ 𝑏11 + 𝑎32 ∙ 𝑏21 + 𝑎33 ∙ 𝑏31
𝑏11
𝐵 = [𝑏21
𝑏31
𝑏12
𝑏22 ]
𝑏32
𝑎11 ∙ 𝑏12 + 𝑎12 ∙ 𝑏22 + 𝑎13 ∙ 𝑏32
𝑎21 ∙ 𝑏12 + 𝑎22 ∙ 𝑏22 + 𝑎23 ∙ 𝑏32 ]
𝑎31 ∙ 𝑏12 + 𝑎32 ∙ 𝑏22 + 𝑎33 ∙ 𝑏32
Ejemplo 3.4
Realizar el producto de las siguientes matrices A y B.
1 0 2
1 1
(
)
(
A = 2 3 0 B = 2 3) A × B =
1 1 2
1 2
(1)(1) + (0)(2) + (2)(1) (1)(1) + (0)(3) + (2)(2)
3 5
((2)(1) + (3)(2) + (0)(1) (2)(1) + (3)(3) + (0)(2)) = (8 11)
(1)(1) + (1)(2) + (2)(1) (1)(1) + (1)(3) + (2)(2)
5 8
En el caso del producto de arriba A = (aij )3×3 y B = (aij )3×2 entonces el
resultado es una matriz de 3 × 2 .
Algebra Lineal
2
El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene
sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el
correspondiente de la columna j de la matriz B.
Producto de un número real por una matriz
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los
elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
𝑎11
𝑎21
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) = [ …
𝑎𝑚1
𝜆𝑎11
𝜆𝑎
𝜆 ∙ 𝐴 = 𝜆 ∙ (𝑎𝑖𝑗 ) = [ 21
⋯
𝜆𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
…
𝑎𝑚2
…
…
…
…
𝜆𝑎12
𝜆𝑎22
…
𝜆𝑎𝑚2
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
… ]
𝑎𝑚𝑛
… 𝜆𝑎1𝑛
… 𝜆𝑎2𝑛
]
…
…
… 𝜆𝑎𝑚𝑛
Ejemplo 3.5
Multiplicar la matriz A por -5
𝐴=[
1 −2 3
1 −2 3
−5 10 −15
] Por lo tanto −5 ∙ 𝐴 = −5 [
]=[
]
0 1 8
0 1 8
0 −5 −40
Propiedades de la mutilplicacion de una matriz por un escalar
1)
2)
3)
4)
Asociativa 𝜆(𝜇𝐴) = (𝜆𝜇 )𝐴
Distributiva I 𝜆(𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵
Distributiva II (𝜆 + 𝜇)∙ 𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝜇𝐵
Elemento Nuetro de escalares 1. 𝐴 = 𝐴 ∀ 𝜆, 𝜇, 1𝜖𝑅; ∀ 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛
Actividad 2.2
1 2
], 𝐵 =
Realizar las operaciones indicadas con las siguientes matrices 𝐴 = [
4 3
1 2 3
1 6 7
1 3
[
], 𝐶 = [4 5 6] y 𝐷 = [2 5 8]
2 5
7 8 9
3 4 9
a)
b)
c)
d)
e)
f)
𝐴+𝐵
𝐶+𝐷
𝐵−𝐴
𝐷−𝐶
𝐴×𝐵
𝐶×𝐷
Algebra Lineal
3