CEU-Guía Integrales

ANÁLISIS MATEMÁTICO I
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS 2012
UNIDAD 2: INTEGRACIÓN
Preparada por el Prof. Antonio Crivillero Rao
INTEGRALES INDEFINIDAS
MÉTODO DE INTEGRACIÓN
Ejercicios resueltos
a) Integral Inmediata
1)
 x.
x / 4 x3 dx   x( x)1/ 2 /( x)3/ 4 dx   x3/ 2 / x3/ 4 dx   x3/ 4 dx 
4 4 3
x x C
7
2)
2 3
3 73
 2 3 3 4
   3 e  x dx   3 e x  7 x  C
3)
5x
 5 dx  ln(5)  C
x
4)


 8(1  x )dx  8 arctg ( x)  C
2
5)
1
 3

 x4
3
x 2 x
 
9
4

x dx  3 x 2  x  x 2 4 x  C
2
9

6)
8
  cos
2
x
dx  8tgx  C
7)
 sen x  cos x dx  ctgx  C
2

2
sen2 x
8)


3
 8 y  2 dy  4 y 2  8 y 4  C
1 
 
3
4 
y


b) Integración por regla de cadena (semi-inmediata) Sustitución Directa .
1
1)
dx
1
dx
 2

2
x
a   x 2 
1    
 a 
1
adt
1 dt
1
 2
 
 arctgt  C
2
2
a 1  t  a 1  t
a
a
a
2
Sustitución
t
x
a
dt 
1
dx
a
dx
1
 x
 arctg    C
2
x
a
a
2
2)

e
x
x
dx  2e
x
C
3)
 cos  ln  x   x dx  sen  ln  x    C
1
4)
 x
x
3
2
 4
1
dx  ln  x3  12 x  8   C
3
 12 x  8
5)
 sen  5x 
cos  5 x dx  
2
cos  5 x  cos  5 x 
15
6)
 cos
3
x  x 3   cos2 x.sen  x   x 2   
2
1
cos3 x  x 3   C

6
7)
 e4 x 
e4 x
1
4x
;
 1  e8 x   1  e8 x dx  4 arctg (e )  C
8)
2 w dw 2 w
 2 w  ln  2  C
9)

2tdt
1 t
4
 arcsen  t 2   C
10)
2


dx 
3 2
x  x 1 
 2 x  1 du  3 3 x 2  x  1 2  C
 3


u  2 x  1 2
2x  1
 
u  x2  x  1
du   2 x  1 dx
11)

3
2  cos x .senxdx  
33
4
 2  cos x   C
4
c) Método de Integración por partes
El método de integración por partes esta basado en el siguiente teorema:
Si f y g son dos funciones derivables y si f’ y g’ son funciones continuas, entonces:
f  x g '  x  dx  f  x  g  x   f '  x g  x  dx (1)


Observación:
I)
A los fines prácticos se suele utilizar la siguiente fórmula para la integración
por partes:
Si u  f  x   du  f '  x  dx
v  g  x   dv  g '  x  dx sustituyendo todo esto en (1) obtenemos
 udv uv   vdu
II)
El propósito de usar el método de integración por partes es el de realizar
una integral más simple vdu que la original udv
III)
Procedimiento:
a. Se elige como u  f  x  a la función que no sea tan complicada de


calcular su derivada.
b. Se elige como dv  g '  x  dx a la expresión que se pueda integrar
fácilmente para obtener v
c. Se verifica si la elección es adecuada cuando al calcular la integral
vdu sea menos complicada que la integral original udv


Veamos algunos tipos en los que se pueda aplicar la fórmula para integrar por partes:
Tipo A
Función potencial x m multiplicada por un exponencial e ax ó por una función seno ó
coseno.
Ejemplo 1)
3
 xe dx
u  x  du  dx
x
dv  e x dx  v   e x dx  e x
 udv  uv   vdu
 xe dx  xe   e dx
 xe dx  xe  e  C
 xe dx  e  x  1  C
x
x
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 2)
 xsenxdx
u  x  du  dx
dv  senxdx  v   senxdx   cos x
 udv  uv   vdu
 xsenxdx   x cos x   cos xdx
 xsenxdx   x cos x  senx  C
Ejemplo 3)
 x cos xdx
u  x  du  dx
dv  cos xdx  v   cos xdx  senx
 udv  uv   vdu
 x cos xdx  xsenx   senxdx
 x cos xdx  xsenx  cos x  C
Observación:
La función potencial x m multiplicada por una exponencial e ax o por una función seno o
coseno se integran por partes y la elección de u es siempre la función exponencial.
 x e dx
 x senaxdx
 x cos axdx
u ax
u
u
u  xu ; dv  e ax dx
u  x u ; dv  senaxdx
u  x u ; dv  cos axdx
Calcular las siguientes integrales del Tipo A.
Integral
 x e dx
2)  x e dx
1)
3 x
2 x
3)
 xsen2 xdx
Respuesta
e x  x3  3x 2  6 x  6   C
e x  x 2  2 x  2   C
1
1
sen2 x  x cos 2 x  C
4
2
4
4)
 x senxdx
 x3 cos x  3x2 senx  6 x cos x  6senx  C
5)
x
senx  x 2  2   2 x cos x  C
6)
 x cos(3x)dx
3
2
cos xdx
1
1

 xsen3x  cos 3x   C
3
3

Tipo B
 Función logarítmica multiplicada por una exponencial x n se integra por partes;
donde se elige como dv  xmdx
 Funciones trigonométricas inversas multiplicadas por una constante o por una
identidad x se integra por partes, donde dv  xdx
Ejemplo 1)
x
4
1
dx
x
1
dv  x 4 dx  v  x 5
5
u  ln x  du 
ln xdx
 udv  uv   vdu
1
1
 ln xx dx  ln x 5 x   5 x
4
5
5
1
dx
x

1 5
1
1
11 
x ln x   x 4 dx  x 5 ln x   x 5   C
5
5
5
55 

1 5
1
x  ln x    C
5 
5
Ejemplo 2)
 arcsenxdx
u  arcsenx  du 
1
1  x2
dx
dv  dx  v  x
 udv  uv   vdu
 arcsenxdx  arcsenxx   x


1
1  x2
dx 
 xarcsenx   1  x 2  C
 arcsenxdx  xarcsenx   

1  x2  C
Por sustitución
5
x

1 x

2
w  1  x2
dx
dw  2 xdx
1  12
1  12 
2
w
dw


 2w    w   1  x
2
2

Ejemplo 3)
 arctg  2 x dx
u  arctg  2 x   du 
2
1  2x
2
dx
dv  dx  v  x
 udv  uv   vdu
2
 arctg  2 x  dx  arctg  2 x x   x 1  4 x
2
dx
1
 xarctg  2 x   ln 1  4 x 2   C
4
1
2
 arctg  2 x  dx  xarctg  2 x   4 ln 1  4 x   C
2x
 1 4x
w  1  4 x 2  dw  8 xdx  dx 
2
dw
8x
1 dw 1
1
 ln w  ln 1  4 x 2 

4 w 4
4
Calcular las siguientes integrales Tipo B
Integral
1)
 ln x
2)
 xarcsenxdx
3)
 xarctgxdx
3
Respuesta
1
1

 x 2  ln x    C
2
2

2
 2x 1 
x
1  x2  C

 arcsenx 
4
 4 
dx
 x2  1 
x

 arctgx   C
2
 2 
Tipo C
Función exponencial e x multiplicada por la función seno o coseno se integra por partes
y la elección de u y de dv es de cualquier forma. Es decir se puede elegir a u como
la función trigonométrica, ver ejemplo 1) o se puede elegir u como la función
exponencial, ver ejemplo 2).
 e senxdx 
 udv  uv   vdu
 e senxdx  senxe   e
Ejemplo 1)
x
x
x
u  senx  du  cos xdx; dv  e x dx  v  e x
x
cos xdx
6
Dejemos por un momento e integremos
u  cos x  du   senxdx
e
x
cos xdx lo hacemos por partes:
dv  e x dx  v  e x
e
x
cos xdx  cos xe x   e x senxdx
Volvemos donde habíamos quedado y reemplazamos
 e cos xdx  cos xe   e senxdx
 e senxdx  senxe  cos xe   e senxdx
x
x
x
x
x
x
x
1
2 e x senxdx  e x senx  e x cos x  e x senxdx  e x  senx  cos x   C
2
 e cos xdx
 udv  uv   vdu u  e  du  e dx; dv  cos xdx  v  senx
 e cos xdx  e senx   senxe dx
Dejemos por un momento e integremos  senxe dx lo hacemos por partes:
x
Ejemplo 2)
x
x
x
x
x
x
u  e x  du  e x dx
dv  senxdx  v   cos x
 senxe dx  e   cos x    cos xe dx  e
x
x
x
x
cos x   e x cos xdx
Donde habíamos quedado, reemplacemos
 senxe dx  e cos x   e cos xdx
 e cos xdx  e senx   senxe dx e senx   e
 e senx  e cos x   e cos xdx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos x   e x cos xdx

x
1
2 e x cos xdx  e x senx  e x cos x  e x cos xdx  e x  senx  cos x   C
2
Calcular las siguientes integrales del Tipo C
Integral
1)
e
2)
e
3x
senxdx
3x
cos 2 xdx
3) e3 x  sen2 x  cos 2 x  dx

Respuesta
1 3x
e  3sen2 x  cos 2 x   C
13
1 3x
e  3cos  2 x   2sen  2 x    C
13
e3 x
 sen  2 x   5cos  2 x    C
13
Ejercicios varios de integrales por partes
Integral
Respuesta
7
e x  x  1  C
 xe dx
2)   x  1 e dx
3)   x  x  e dx
4)  ln  x  dx
5)  ln  x  dx
x
1)
2
e x  x 2  1  C
x
e  x   x 2  3 x  3  C
x
2
x  ln x  1  C
x  ln 2 x   2 x 1  ln x   C
2

1
2
 x ln xdx
7)   x / ln x  dx
6)
2x
 arctg 3x  dx
9)
 e 2 cos  x / 2 dx
x
 ln  x  1  x  dx
11)  sen  ln  x   dx
2
10)
12)
 cos  ln  x  dx
 e dx
14)  sen xdx
x
13)
2
 ln x  2   C
1 2
 ln  x    C
2
1
xarctg  3x   ln 1  9 x 2   C
6
8)

1
2
e

x
2
 sen  x / 2  cos  x / 2   C


x ln x  1  x 2  1  x 2  C




x
sen  ln  x    cos  ln  x    C
2
x
cos  ln  x    sen  ln  x    C
2
2e x x  1  C


x sen2 x

C
2
4
d) Integración de funciones alg . Racionales
P  x
 Q  x dx Donde P  x  y Q  x  son polinomios de grado “m” y “n” respectivamente. Es
decir,
P  x   am x m  am1 x m1  ...  a1 x  a0
Q  x   bn x n  bn 1 x n 1  ...  b1 x  b0
Consideremos los siguientes casos:
CASO I) El grado del numerador P  x  es menor que el grado del denominador Q  x  ;
es decir: m  n
I. -1) El grado de P  x  es cero (polinomio constante: P  x   a0 . El
grado del Q  x  es 1 (uno) (Polinomio lineal: Q  x   b1 x  b0 )
a0
 b x  b dx
1
Se resuelve por sustitución directa.
0
Ejemplo 1)
8
3
 4 x  2dx
3
si u  4 x  2  du  4dx
3 du 3
3
 ln u  C  ln 4 x  2  C
u 4
4
 4 x  2dx  4 
I. -2) El denominador Q  x  tiene raíces reales, simples y distintas. Se
resuelve previamente aplicando “DESCOMPOSICIÓN en fracciones
Simples; que consiste en descomponer P  x  Q  x  en suma de
fracciones simples”
Ejemplo 1)
 2x
2
x 5
dx
 10 x  8
a) Se
calculan las raíces
x1  1; x2  4 luego tenemos
del
dos
denominador
2 x2  10 x  8  0 donde
raíces reales y distintas; luego
2 x2  10 x  8  2  x  1 x  4 
b) Aplicamos “Descomposición en fracciones simples”
 x  5  2x2  10x  8  k1 2  x  1  k2  x  4    x  5  2x 2  10x  8 
k1  x  4   k2 2  x  1 2  x  1 x  4  ;
Luego  x  5   k1  x  4   k2 2  x  1
4
3
1
si x  4  1  k2  6   k2  
6
Por consiguiente tenemos  x  5  2x2  10x  8  4 3 2  x  1   1 6   x  4 
si x  1  4  k1  3  k1 
Finalmente integrando:
  x  5  dx
  x  5  dx
2x 2  10x  8   4 3dx 2  x  1     1 6  dx  x  4 
2x 2  10x  8  2 3 ln x  1  1 6 ln x  4  C
I. -3) El denominador Q  x  tiene raíces reales múltiples. También se
resuelve aplicando previamente la “Descomposición en fracciones
simples”.
Ejemplo 1)
2x  3
  x  2  dx Las raíces del denominador son:
3
 x  2
3
 0   x  2  x  2  x  2   0
x1  x2  x3  2 tres raíces reales e iguales.
9
2x  3
k1
k2
  x  2  dx   x  2    x  2 
3
3
2
2 x  3  k1  k2 ( x  2)  k3  x  2 
k  k ( x  2)  k3  x  2 
k3

 1 2
3
 x  2
 x  2
2
2
si x  2  7  k1 ; si x  0  3  7  2k2  4k3
2k2  4k3  4 si x  1  5  7  k2  k3  k2  k3  2
Resolviendo estas ecuaciones obtenemos que k 2 =2, k3 =0.
Luego tenemos:
2x  3
7
2
  x  2  dx   x  2    x  2 
3

3
2x  3
7
 x  2
 x  2
dx  
3
2x  3
7
  x  2  dx  2  x  2 
3
2
dx  
3

2
2
 x  2
2
7 1   1 
 
  2

2   x  2 2   x  2 
2
C
x2
I. -4) El numerador es un polinomio de grado cero. El denominador es
un polinomio con raíces complejas simples.
1
 Q  x dx
Se resuelve por sustitución directa previamente se completa en el
denominador los cuadrados.
Ejemplo 1)
x2  2 x  5  0
x
2
dx
Calculo de las raíces del denominador x1  1  2i
 2x  5
x2  1  2i
Completar los cuadrados en x 2 _ 2 x  5   x  1  4
2
x
2
dx
dx


llevan la forma
2
 2x  5
 x  1  4 
u
du
1
2


1

dx
1
dx
x 1

4
  x  12  4  4   x  1 2 si u  2


 1 
1
2
4


du  dx


2
2 du
1
1
 x 1 
 arctgu  arctg 
C
2

4 u 1 2
2
 2 
x
2
dx
1
1
1
 arctg  x    C
 2x  5 2
2
2
10
I. -5) El numerador es un polinomio lineal de la forma P  x   a1 x  a0 .
El
denominador
es un polinomio cuadrático
Q  x   b2 x  b1 x  b0 con raíces complejas simples.
de
la
forma
2
x2  4 x  5  0
3x  4
Calcular
las
raíces
del
denominador:
dx
 x2  4x  5
x1  2  i; x2  2  i


…Derivamos el denominador x 2  4 x  5 '  2 x  4
…La derivada obtenida debe figurar en el numerador 3x  4 
3
 2x  4  2
2
3
 2x  4  2
3x  4
3
2x  4
2
2
 x2  4 x  5dx   x2  4 x  5 dx  2  x 2  4 x  5dx   x 2  4 x  5dx
I
II
I
2
3
2x  4
u  x  4 x  5
dx


2  x2  4x  5
du   2 x  4  dx
3 du 3
3
 ln u  ln x 2  4 x  5

2 u 2
2
II
Se resuelve como en el caso I – 4).
 x 2  4 x  5   x  2   1
2
dx
 x 2  4 x  5 u   x  2   du  dx

2
2du
du
 2 2
 2arctgu  2arctg  x  2 
2
1
u 1
u
Resultado:
x
2
3x  4
3
dx  ln x 2  4 x  5  2arctg  x  2   C
 4x  5
2
I. -6) El denominador tiene raíces reales y complejas.
  2x
3
 4x  8  dx x  x  1  x2  4 
Nos damos cuenta que el denominador tiene dos raíces reales y complejas
conjugadas; luego tenemos:
11
 2x
 2x
3
 4x  8  x  x  1  x 2  4   k1 x  k2  x  1   k3 x  k4   x 2  4 
3
 4x  8   k1  x  1  x 2  4   k2 x  x 2  4    k3 x  k4  x  x  1
si x  0  8  k1  1 4   0  0  k1  2
si x  1  10  0  k2  5   0  k2  2
si x  1  6  2  2  5    2  1 5     k3  k4   1 2   2   k3  k4
si x  2  0  2 1 8    2  2  8    2k3  k4   2 1  8  2k3  k4
Resolviendo este sistema
2   k3  k4
8  2k3  k4
Obtenemos k3  2 y k4  4
  2x
3


 4x  8  dx x  x  1  x 2  4    2 x  2  x  1  2x  x 2  4   4 x 2  4 dx 
 2 ln x  2 ln x  1  ln  x 2  4   2arctg  x 2   C
CASO II) EL Grado del polinomio numerador P  x  es mayor o igual que el grado del
denominador Q  x  ; es decir m  n
P  x
 Q  x dx
En este caso se procede de la siguiente manera:
a) Se efectúa la división de polinomios
P  x Q  x
R  x C  x
b) Se expresa P  x   C  x  Q  x   R  x 
c) En esta última expresión se divide por Q  x 
P  x C  xQ  x  R  x
R  x

 C  x 
Q  x
Q  x
Q  x
d) Integramos lo obtenido últimamente

P  x
R  x 
R  x
dx

C
x

dx



dx   C  x dx  
 Q  x  
Q  x 
Q  x

e) La primera integral al ser C  x  un polinomio, e inmediata. En cambio la
segunda integral se resuelve según el caso que tengamos.
Ejemplo 1)

3x  2
dx
x4
12
3x  2
x4
3 x  12
3
 10
3 x  2  3  x  4   10
3 x  2 3  x  4   10
10

 3
x4
x4
x4
3x  2
10 
dx

 x  4 dx    3  x  4 dx  3 dx  10 x  4

3x  2
dx  3x  10 ln x  4  C
x4
Ejemplo 2)
x 4  x3  x  1
 x3  x 2 dx
x 4  x3  x  1
 x 4  x3
 x 1
x3  x 2
x
x 4  x3  x  1  x  x 3  x 2     x  1
3
2
x 4  x3  x  1 x  x  x   x  1
x 1

 x 3
3
2
3
2
x x
x  x2
x  x 
x 4  x3  x  1
x 1 
x 1

 x3  x 2 dx    x  x3  x 2 dx   xdx   x3  x 2 dx
Según el Caso II.
 x1,2  0
x3  x 2  0  
a)
 x3  1
b) por descomposición en fracciones simples:
k1  1
k3 
 x  1 k1 k2
  
 k2  2
x3  x 2 x 2 x x  1 
k3  2
x2
xdx


2
x 1
1
dx
dx
1
 1 2 2 
 x3  x2 dx    x2  x  x  1 dx   x 2 dx  2 x  2 x  1   x  2 ln x  2 ln x  1
13
x 4  x3  x  1
x2 1
dx

  2 ln x  2 ln x  1  C
 x3  x 2
2 x
x 4  x3  x  1
x2 1
x

dx

  2 ln
C
3
2
x x
2 x
x 1
Ejercicios de Integración de Funciones Racionales
Integral
Respuesta
5
1) 
dx
x  3
dx
2)  3
6 x  7 x 2  3x
xdx
3)  4
x  3x 2  2
5ln  x  3  C
3
2
1
ln 3x  1  ln 2 x  3  ln x  C
11
33
3
xdx
 3x  2
5x  7
5)  2
dx
 x  x  2   x  3
x2  2
ln
C
x2 1
1
2
ln  x  2  2 x  1  C
5
2
x  3

ln
C
 x  2  x  1
4)
 2x
6)
x4
 2 x2  8x  6 dx
1  x  1
ln
C
4
x 3
7)
4 x2  9 x 1
 x3  2 x2  x  2 dx
 x  1  x  1
ln
8)
  x  3
9)
2
2x  5
 2x
3
2
 1
2
dx
x3  3x  4
  x  1  x  1
3
11 3
dx
2
4
2 5
12)  2
dx
x  9
5 x  11
dx
13)  2
x  3x  7
11)
14)
x
x
2
x 1
dx
 2x  5
3x  2
dx
x5
x2  5x  9
dx
16)  2
x  5x  6
15)

3
2
x2
C
1
2
1
 x  3  2  x  3  C
2
dx
  x  3 x  1
10)
3
13
3
ln  x  3 x  1 
C
16
4  x  2
1  x  1
1
1
ln


C
3
4  x  1
2  x  1 2  x  12
7
dx
11
1 
arctg  x   C
6
2 
2
1 
arctg  x   C
15
3 
5
37
 2x  3 
ln x 2  3x  7 
arctg 
C
2
19
 19 
1
1 
1
ln  x 2  2 x  5  2arctg  x     C

2
2 
2
3x  13ln x  5  C
x  3ln
x 3
C
x2
14
x3  2 x
 x3  2 x2  x dx
x5  x 4  8
18)  3
dx
x  4x
x
x3  1
19)  3
dx
4x  x
x 6  2 x 4  3x3  9 x 2  4
20) 
dx
x5  5 x3  4 x
1
7
9
x  ln x  ln 2 x  1  ln  2 x  1  C
4
16
16
17)
1
 2ln x  1  C
x 1
x2  x  2
x3 x 2
  4 x  ln
C
3
3 2
 x  2
5
x  x  2   x  1 x  1
x2
 ln
C
2
x2
3
e) Sustitución Inversa
Sustitución 1+ex= u
1)
e x   u  1
dx
 1 e
x  ln  u  1

x
dx 
du
u 1
1)
dx
 1 e
x

du
u  u  1
Y se resuelve como función racional
 A  1
1
A
B
 


u  u  1 u u  1  B  1 
du
du
du
 u(u  1)    u   (u  1)   ln(u)  ln(u  1)  C
dx
(e x )
x
x


ln(1

e
)

ln(
e
)

ln
C
 1  ex
(1  e x )
2)
 cos  x dx  2 
xsen
 x   cos  x   C
Sustitución
x u
3)
e
x
dx
 arctg e x   C Sustitución e x  u
x
e
4)
 sen
x  1dx
  x  1 cos


x  1  sen


x 1  C
Sustituir
x 1  u
5)

1  senxdx
  1  senx  C
Sustitución 1  senx   u 2
15
6)
1
 sen  3x  7 2 dx
1
1
1
2

     3x  7  2 cos  3x  7  2  sen  3x  7  2   C
3

f)
Sustituir
 3x  7   u 2
Integrales de funciones trigonométricas
1)
5
2
2
 sen xdx   senx  sen x  dx   sen 1  cos x  dx 
2
2
 sen xdx   senx 1  2 cos
5
2
2
x  cos 4 x  dx   senxdx  2 senx cos 2 xdx   senx cos 4 xdx
 sen xdx   cos x  3 cos x
5
3

1
5
cos x   C
5
2)
 cos
3
1
2
 x
 x
2 x
3 x
 dx  sen    2sen    sen    C
2
2
2
2 3
 2
3)
cos  2 x 
 1  cos  2 x  
1
x 1
dx   sen  2 x   C
dx   dx  
2
2
2
2 4

 sen xdx   
2
4)
 cos
4
3
sen2 x sen4 x
xdx  x 

C
8
4
32
5)
 sen x cos xdx   sen x cos x cos
  sen x cos xdx   sen x cos xdx
2
3
2

6) sen2 x cos3 xdx 
2
2
xdx   sen 2 x cos x 1  sen 2 x dx 
4
sen3 x sen5 x

C
3
5
7)
3
5
18

5
5
3 
5
8
5
sen
x
cos
x
dx

sen
x

sen
x C

 
8
18

8)
2
2
 sen  4 x cos 4 x dx 
x sen 16 x 

C
8
128
9)
16
 1  cos 2 x  1  cos 2 x 
xdx   

 dx 
2
2



1
1
1
1  1  cos 4 x 
  dx   cos 2  2 x  dx  x   
dx 
4
4
4
4 
2

1
1
1
 x  x  sen  4 x   C
4
8
32
 sen x cos
2
2
10)

3

8
14
3
3
3
cos xsen x dx   cos x  cos 3 x  C
8
14
5
3
INTEGRALES DEFINIDAS
1)

3/ 4
1/ 4
 cos  2x dx
Sustitución
u  2x
dx 
1
du
2
¼
3/4 
Al hacer el cambio de variable x por u, también
cambian los límites de integración:
3
3
x   como u  2 x  
4
2
1

x   como u  2 x 
4
2
1 3/ 2
1
3

cos udu    sen  .sen   1

2 1/ 2
2
2
2

2)
1
2
0

dx


2
1  4x
8
3) Hallar el área comprendida entre las parábolas
y  4  x2
y  x2  2x
A 
2
1
x
2
 2 x  4  x 2 dx  9  9
17
3
Calcular la longitud del arco de y  x 2 que se extiende desde P=(1,1) y (4,4) = d con
5)
L
L
1   y '  dx
x2
2
x1
4
1
1
9
xdx  7,63
4
6)
 x
3
2
1
 2 x  3dx 
32
2
7) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y 
rectas y=1; x=4 alrededor de la recta y=1
x y las
2
4
7
V     x  1 dx  
1
6
Hallar los valores de α para que la integral converge o diverge
Y=
Y=
x
x -1
8) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región entre la parábola x  y 2  1 y
la recta x  3
V 
2
 2
  2  y 2 dy 
64 2
15
2
2
18
 2
9) Hallar el área encerrada por la parábola Y   x2  2 y la recta y   x
 f ( x)  g ( x)dx  1  2  x  x 2 dx 
1
A
2
2
9
2
Integración por el método de sustitución inversa.
1)
1

dx Sustitución e x  1  u 2

e 1
1
dx  2arctg
x
e 1

x
dx Sustitución x  1  u 2
x 1

3
1
x
2
dx   x  1 2  2  x  1 2  C
3
x 1
x


ex  1  C
2)
3)
x
x
dx
x 2
2
dx
x2  2
Sustitución x 

1
u
 2
1
arccos 

2
 x 
Integración de funciones algebraicas racionales
a) Raíces Reales y distintas
1)
19
 x
2
x
dx 
 1
Analizando integrando
A1
A2
x


 x  1  x  1  x  1
2
A  x  1  A2  x  1
x
 1
 x  1 x  1
 x  1
2
x  A1  x  1  A2  x  1
Si x  1  1  A2 2  A2 
Si x  1  1  2 A1
1
2
 A1 
1
2
xdx
1 dx 1 dx
1
1
1
1
 
 
 ln
 ln
C
2
 1 2 x  1 2 x  1 2 x  1 2 x  1
 x
2)
 x2  2 x  3 
1
3
  x3  5x2  6 x dx   2 ln x  2 ln  x  2  C
3)
  2 x  1 
   x2  x  2 dx  ln  x  2  ln  x  1  C  ln  x  1 x  2   C


4)

  x
2
4x  3 
dx  15ln  x  3  11ln  x  2   C
 5x  6 
5)
1 
1   3 
1
 x 1 
dx  ln  x       ln  x    C
2 
8 
2  8 
2

  1  4 x
6)
 x  2
 2x 1 
  x2  3x  2 dx  ln x  1  C
3
7)
  x  8 
 x  2  C
3
dx


ln


  x3  4 x 2  4 x  x  2
x2
2
Integración de funciones Racionales del seno y coseno
1)
20
dx
x
 arctgu; x  2arctgu
2
2u
2
senx 
dx 
du
2
1 u
1 u2
1 u2
cos x 
1 u2
dx
2
1
 1  senx  cos x   2u 1  u 2 1  u 2 du 
1

1 u2 1 u2
2du
1
2du
x


 ln 1  tg  C
2
2
2
1  u  2u  1  u 1  u 
2 1  u 
2
2
1  u 
 1  senx  cos x 
2)
x
1
 sen xdx   2
2
1
1  x
 tg    C
 x 2  2
tg  
2
3)
  x
dx

 3  cos x  2senx  arctg tg  2   1  C
4)
cos  x 
 x
x
 1  cos  x dx  tg  2   2 2  C
5)
1
4
dx
 3  5cos x  ln
x
2
2
C
 x
tg    2
2
tg
Teorema valor medio
Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el
intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema
de la media.

1
4
1
3x2 dx  x3  4  1 64  63
63  1  4  f  c 
21
f  c   21
c 7
3c 2  21
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la
siguiente función en el intervalo [0, 1]?
f x 
x
1 x 2
Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

x
1
0
1 x 2
f  c   1 0 
c
1 c 2
2x
1
dx   1 x 2   2  1
2
0

0
2 1 x
dx  

1

2 1
 2 1
f c   2  1
2 1
2
c
Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
Ejercicios Resueltos
1)
  3x
1
3
1
 x 2  x  1dx
1
 3x 4 x 3 x 2

3
x

x

x

1
dx



 4  3  2  x 
1

 1
8
3 1 1  3 1 1 
     1      1  
3
4 3 2  4 3 2 
1
3
2
2)
dx
x
e dx
e
1 x  ln x 1  ln e  ln1  1 0  1

e
1
3)
22


senxdx
2
0



senxdx    cos x 02   cos
2
0

2
 cos 0  0  1  1
4)


2
0


2
0
sen3 x cos 4 xdx

sen3 x cos 4 xdx   2 senx 1 cos2 x  cos 4 xdx 
0



2
2
 cos xsenx  cos xsenx  dx   51 cos5 x  71 cos7 x   51  71  35
0
4
2
0
6
5)

4
2
log xdx

4
2
4
4
2
2
log xdx   x log x 2   log edx   x log x  x log e  
4
 4 log 2  4 log e  2 log 2  2 log e 
 8 log 2  4 log e  2 log 2  2 log e  6 log 2  2 log e
2
6)

2
0
sen xdx
Calculamos la integral definida por cambio de variable.
 sen
xdx
x  t2
dx  2tdt
Hallamos los nuevos límites de integración.
23
 sent2tdt  2 tsentdt
Integramos por partes.


2 tsentdt  2 t cost   costdt  2  t cost  sent   C


0
0
2 tsentdt  2  t cost  sent   2
También se puede hacer sin transformar los límites de integración y
volviendo a la variable inicial.
t x
 sen

2

3
0


xdx  2  x cos x  sen x  C
2
sen xdx  2  x cos x  sen x   2
0
7)
0
3
dx
 2 1 x   2  2  1  2
0
1 x
8)
1

4
0
4
3
3
3
 98
1

1 4
1
x x  9dx   2x  x 2  9  2 dx    x 2  9  2    25  2  9 2  
2 0
3
0 3 
 3
2
9)


0

  1 cos 2x 

x 1

sen2 xdx   
dx    sen2x  

0
2


2 4
0 2
10)
24

3


3
3
dx
1
1 
1
1

  ln4 x dx   


4
3
3

x ln x 2
x
3 ln 3
3 ln3 2
 3 ln x  2
2
12)

cos xesenx dx   esenx 0  e0  e0  0
0
13)
dx
0 1 x
x  t2
dx  2tdt
0t
t 0

4
2
4  t2
t2
2 2t
2
dx
1 

dt  2  1
dt  R  4   ln 9
0 1 x
0 1 t
0
 1 t 
4

Ejercicios a Resolver
Integral
1
dx
1)
  x  1
2)

1

4

3
3)
2
2 2
x x 2  9dx
0
x
dx
x2  1
3 dx
5) 
1 1 x 2
4)
 5 72
3
dx
1 x
0
Respuesta
2

 sen xdx

7)  tg xdx

8)  senx cos xdx
6)
2
 2
0
2
0
0
0
9)

10)
x
dx
2
x 1
3
2

3
2
1
 8 2
ln  
5
dx
x ln4 x

 sen xdx

12)  cos xe dx
11)
2
0
3
senx
0
0
25
13)
14)


0
x 2 cos xdx
2
1
1 arccos x  dx
3
15)
16)
 2 1
1  x  x2 dx
38
3
3
13
2
8 3  16

2
x dx
 3x  x  3 dx

18)   x cos 3x dx
17)
4
0
0
3
8
Aplicaciones de la Integral Definida
Ejercicios resueltos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la
curva y conocer los límites de integración.
0  4x  x2
x 0
x4
En segundo lugar se calcula la integral:
4

x3 
32 2
A    4x  x dx  2x 2   
u
0
3 0 3

4
2
2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el
punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
26
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
ln x  0

e
1
e0  1
1,0 
ln xdx
 ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  C

e
1
e
ln xdx  x  ln x  11  0  1  1u2
2. Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
A1  
r
0
r 2  x 2 dx
27
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

r 2  x 2 dx
x  rsent
dx  r cos tdt

r
0
r 2  x 2 dx   r 2  r 2sentr cos tdt   r 2 1 sen2t r cos tdt 
  r 2 cos2tdt  r 2  cos2 tdt r 2 
1 cos 2t
t 1

dt  r 2   sen2 2t   C
2
2
4


Hallamos los nuevos límites de integración.
x 0
0  rsent
sent  0
xr
r  rsent
sent  1
t 0
t

2

t 1
2

 1
A1  r 2   sen2 2t   r 2   0    r 2
2 4
0
2
 4
A  4 A1   r 2
3. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los
límites de integración.
 y  x 2  5x  6

 y  2x
x1  1
x2  6
28
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
A    2x  x  5x  6 dx  
6
2
1
6
6
1
2
 3

 x  7x  6 dx   x3  76x  6x  

1
2
 63  7  6 2
  1 7
 125 2
  
 36       6  
u
2
6

 3
  3 2
4. Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
 y 2  4x

y  x
y 2  4y
0 , 0
 4,0
De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
29
A
4
0
4
4
0
0
4xdx   xdx  

4
 4 32 x 2 
8
4x  x dx   x    u2
2 0 3
3

5 .Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los
puntos de corte con los ejes.
x2
y
3
xv  0
yv  0
V 0 , 0 
yv  4
V 2 , 4 
x1  0
x2  4
y   x 2  4x
4
2
2
x 2  4x  0
xv  
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán
los límites de integración.

x2
y


3

 y   x 2  4x

0 ,0
3 ,3 
3
3
x2 
4

A    x 2  4x  dx     x 2  4x dx 
0
0
3 
 3


3
 4

   x 3  2x 2   12  18  6u2
 9
0
6. Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
30
y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
 y  senx

 y  cos x
senx  cos x
x

4
Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
y  x2

y  x
x2  x
x0
x 1
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
1
 x2 x3 
1
A1    x  x  dx      u2
0
 2 3 0 6
1
2
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
31
2
 x3 x 2 
5
A2    x  x  dx      u2
1
 3 2 1 6
2
A
2
1 5
  1u2
6 6
7. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las
tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:
4x  x2  0
x 4  x  0
0 , 0 
 4 ,0
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):
y  4  2x
m  f  0   4
y  0  4  x  0
y  4x
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):
y  4  2x
m  f   4   4
y  0  4  x  4
y  4x  16
A    4x   4x  x 2  dx    4x  16    4x  x 2 dx 
0
2
2
4
2
4
 x 3   x 3 8x 2
 16 2
   
 16x  
u
2
 3 0  3
2 3
32
Si la función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función
está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene
dada por:
b
A    f (x)dx
b
 f  x  dx
A
a
a
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
0  x2  4x
x 0
x4
4
 x3

32
A    x  4x dx    2x 2   
0
3
3
0
32 2
A
u
3
4
2
2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
33
3
2
A   cos xdx  senx 

2
A  2u
3
2
 sen
3

 sen  1 1  2
2
2
2
2
Si la función toma valores positivos y negativos
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas.
Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y
resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de
integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor
absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 +
8x y el eje OX.
x  x2  6x  8   0
x3  6 x 2  8 x  0
x0
x2
A    x3  6x2  8x dx 
2
0
x4
 x
4
2
3
 6x2  8x dx
34
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
2
 x4

A  2  x  6x  8x dx  2   2x3  4x 2   8u2
0
4
0
2
3
2
4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x,
y = −x2 + 4x.
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte
con los ejes.
xv 
2
1
2
0  x2  2x
xv 
4
2
2
0  x2  4x
2

 y  x  2x

2

 y   x  4x
V 1, 1
y v  12  2 1  1
0  x  x  2
0 , 0 
V  2 , 4 
y v  22  4 2  4
0  x  x  4 
x 2  2x  x 2  4x
 2, 0 
0 , 0
0, 0
 4, 0
3, 3
35
2
 x3

4
A1    x  2x  dx    x 2   
0
3
3
0
2
2
A1 
4 2
u
3
3
 x3

A2    x  4x  dx     2x 2   9
0
 3
0
3
2
A2  9u2
3
 x3

4
A3    x  2x  dx    x 2  
2
3
2 3
3
A3 
2
A  A1  A2  A3
A
4 2
u
3
4
4
 9   9u2
3
3
Ejercicios no Resueltos
1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2
y x = 8.
2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x =
12.
6. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa
por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
8. Hallar el área limitada por la recta y 
3x  6
, el eje de abscisas y las ordenadas
2
correspondientes a x = 0 y x = 4.
9. Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y  ln x , y = 2 y los
ejes coordenados.
11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
36
13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y
el eje OX.
14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las
tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Calculo del volumen de revolución
Ejercicios Resueltos
1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las
rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y  senx, x  0 ,

x 
V    sen xdx   
0
2

0

 1
2 3
1


  2 1 cos 2x  dx  2  x  2 sen2x   2 u


0

2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las
rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
4
V    22 dx  4  x   4  4  1  12 u3
4
1
1
3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una
esfera.
37
4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola
y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.
Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:
b
V    x 2 dy
a
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el
engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.
Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es
igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.
2
4
 y2 

y 5  128 3
V  2  2 dy  2    dy  2  4y 
u
 
0
0
320  0
5
 8 

4
2
4
5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al
girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.
38
Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el
doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos
casos.
16x2  25y 2  400
y2 
400  16x2
25
 5, 0
 400  16x 2 
16 3 
320 3

V1  2  
dx  2 16x 
x  
u

0
25
75  0
3



5
5
16x  25y  400
2
2
400  25y 2
y 
16
0 , 4
2
 400  25y 2 
25 3 
400 3

V2  2  
y  
u
dy  2 25y 
0
16
48  0
3



5
4
6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado
por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:
y  2x  x 2

 y  x  2
2x  x 2  x  2
1,1
 2, 0 
39
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
2
2
2
2
V     2x  x 2    x  2  dx     x 4  4x 3  3x 2  4x  4 dx 
1 
1

1
 
   x5  x 4  x3  2x 2  4x   u3
5
1 5
2
Ejercicios no Resueltos
1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX
del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
2. Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8,
0) al girar 360° alrededor del eje OX.
3. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje
de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x
= 10, al girar alrededor de OX.
4. Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al
girar alrededor del eje OX.
5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado
por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
6. Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje
OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y
las rectas x = 0 y x = π.
7. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el
recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, y = x.
8. Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor
del eje OX.
40
9. Hallar
el
volumen
elipse
de
la
figura
engendrada
al
girar
la
y
x
 2  1 alrededor del eje OX.
2
a
b
2
2
Calculo de la longitud de una cuerda
Ejercicios Resueltos
1. Hallar la longitud del arco de curva y  x
y 
en el intervalo [0, 1].
3
x
2
L
1
0
1
3
2
2
1
9
3

1 
x  dx   1 xdx
0
4
2

9
x  t2
4
9
dx  2tdt
4
x0
x 1
8
tdt
9
t 1
dx 
t
13
2
13
L
13
2
1
8
8  t3  2
8  13 13 
t tdt   

 1

9
9  3 1
27  8

U.L.
Ejercicios no Resueltos
1. Encuentre la longitud de una curva y 2  (2x  1) 3
R=54,56
interceptada por la recta x=5
U.L.
2. Calcular la longitud de la circunferencia de radio r=4
R=8π
U.L.
3. Calcular la longitud del arco
1
y  (e x  e  x ) entre  1  x  1
2
R  (e  e 1 ) U .L.
Calculo de área de revolución
41
1. Hallar el área de revolución al girar sobre el eje el segmento de recta
y  1.x entre x  0 y x  1
2. Calcular
R  4r
el
2
área
de
R
revolución
de
la

6
(3 5  1) U . A.
esfera
de
radio
r
U . A.
3. Calcular el área de revolución de la superficie generada al rotar el arco de curva
1
y  (e x  e  x ) alrededor del eje x entre  1  x  1
2
e 2  e 2
R  2 (
 1)  5,6268 U . A.
4
Aplicaciones físicas, mecánicas, química
1. La integral que se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo
sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es
aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente
empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la
siguiente función:
v  g  t
El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los
sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es
hacia arriba.
Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se
puede razonar que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo
variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un
periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos
durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la
distancia recorrida) y se calcula con la integral:
T
l     g  tdt 
0
El resultado de esta integral es:
g

l    T 2 
2


2. En mecánica clásica la energía cinética se puede calcular a partir de la ecuación del
trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:
3. El trabajo realizado por la fuerza
durante un desplazamiento elemental de la
partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva,
nula o negativa
Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total
entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos
desplazamientos elementales
y el trabajo total realizado por la fuerza
en ese
desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea
42
si consideramos un fluido que se encuentra sometido a una presión externa
y que
evoluciona desde un estado caracterizado por un volumen
a otro con un
volumen , el trabajo realizado será:
En un proceso cuasiestático y sin fricción la presión exterior (
) será igual en cada
instante a la presión ( ) del fluido, de modo que el trabajo intercambiado por el
sistema en estos procesos se expresa como
En el caso que la presión del sistema permanezca constante durante el proceso, el
trabajo viene dado por:
4. Se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:
5. Movimiento rectilíneo acelerado
En el Movimiento Rectilíneo Acelerado, la aceleración instantánea queda representada
como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la
función v(t).
Si se aplican las fórmulas anteriores al movimiento rectilíneo, en el que sólo existe
aceleración tangencial, al estar todos los vectores contenidos en la trayectoria,
podemos prescindir de la notación vectorial y escribir simplemente:
Ya que en ese tipo de movimiento los vectores
también la relación:
y
son paralelos, satisfaciendo
43
Las coordenadas de posición vienen dadas en este caso por:
6. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Variación en el tiempo de la posición, la velocidad y la aceleración en un movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado.
En éste movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil
varía linealmente y la posición cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen
este movimiento son las siguientes:
v
t
 dv   adt  v  v
v0
x
 at
0
t
 dx   ( v
0
x0
0
0
1
 at )dt  x  x0  v0t  at 2
2
7. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo
se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el
44
cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa
como:
Para un cuerpo de masa continua, se generaliza como:
En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo
gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la
definición del centro de masas:
Ejercicios Calculo Momento de Inercia
1. Calcular el Momento de Inercia del cuerpo de revolución de densidad ρ engendrado
x
al girar alrededor del eje x entre x=0 y x=8
2
por y 
I

2
8
(
0
x 4
) dx
2
R
16
3
2. Ídem y  x 2  3 , x  2 y x  2
R
45758

63
3. Ídem y 
R
512
 .
3
4 x entre x  0 y x  4
Ejercicios Cálculo de trabajo
1. Hallar el trabajo realizado al estirar 8 cm. Un resorte helicoidal suponiendo una
fuerza de 50 kg para estirarlo 2 cm.
F=kx
si F=50 kg entonces k=50/2=25
8
 25xdx  8 J .
2. Un cilindro provisto de un émbolo móvil se halla encerrado un gas. Partiendo de la
Ley de Boyle, pv=k, hallar el trabajo realizado por la presión del gas al empujar el
{embolo para comprimir 1640 cm3 (a la presión atmosférica) al volumen de 164
cm3
R= 39 J.
3. Un acuario tiene base rectangular de 0,6 m de ancho y 1,2 m de largo y lados
rectos de 0,9 m de altura. Si el acuario está lleno de agua, cuanto trabajo se
necesita para vaciarlo bombeando el agua por la parte superior.
R  2,916 x10 4 J
45
4. Hallar la presión ejercida por el agua sobre un semicírculo cuyo radio es de rm
situado en un plano vertical y cuyo diámetro horizontal coincide con la superficie
libre del líquido. R 
250

3
Pa
Ejercicios Calculo Cinemática
1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una line recta de acurdo a la ley
v  t3  t2  5
m/s. Si en el instante t 0  2s x0  4 m Determinar la posición del móvil en cualquier
instante.
R x
t4 4 3
 t  5t m
4 3
2. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta es
a  4  t 2 m / s 2 . Si en el instante t 0  3 v0  2 m / s . Determinar la velocidad del
R v  4t 
móvil en cualquier instante.
t3
1 m / s
3
Ejercicios de Química
V 
Reacciones de primer orden
d A
dt
 
d A
 kA
dt
V=Velocidad de desaparición de la sustancia A

At
t
dA
A A  0 kdt
0

LnAAA
t
0
 kt0  Ln
t
At
 kt
A0
1. La descomposición del peróxido de hidrógeno en presencia del ión hidróxido es
reacción de primer grado y posee una constante de velocidad k  i,08x10 3 a la
temperatura de 22° C. Partiendo de una concentración inicial igual o,42 M.,
determinar:
a) Cuál es la concentración H 2 O2 después de 2 horas y media.
b) El tiempo necesario para que la concentración de H 2 O2 alcance el valor 0,18
M.
c) Cuanto tiempo tarde en descomponerse el 85 % del reactivo inicial.
R= a) At  e 1,029
b) 784,5 min c) 175,65 min.
INTEGRALES IMPROPI AS
Ejercicios Resueltos
Ejemplo 1
Evalúe

0

xe x dx
Solución:
46
 f  x dx para todo número t  b , entonces
 f  x dx  lim  f  x dx siempre que haya este límite (como un
Si existe
b
t
b
b

t  t
número finito)

b
a

 f  x dx y 
Las integrales impropias de
f  x dx se llaman
convergentes si hay tal límite y divergentes si no existe.
Tenemos que:

0
0

xe x dx  lim  xe x dx
t  t
Integramos por partes, haciendo u  x, dv  e x dx , de modo que du  dx y v  e x :

0

0
0
t
t
xe x dx  xe x    e x dx
 te  1  e
t
t
Sabemos que et  0 cuando t   , de acuerdo con la regla de l’Hopital
lim tet  lim
t 
Por consiguiente

t 
t
1
 lim t  lim  et   0
t
t

t 
e
e
xe x dx  lim  tet  1  et   0  1  0  1
0

t 
Ejemplo 2
Evalúe



1
dx
1  x2
Solución: Conviene elegir a  0 en la definición 1 (c):

0

1
1
1
dx

dx

 1  x2  1  x2 0 1  x2 dx
Ahora debemos evaluar por separado las integrales del lado derecho:


0
t dx
1
t
dx  lim 
 lim tan 1 x 0
2
2
0
t 
1 x
1  x t 
 lim  tan 1 t  tan 1 0   lim tan 1 t 
t 
t 

2
0 dx
1
0
dx  lim 
 lim tan 1 x t
2
2
 1  x
t  t 1  x
t 
  
 lim  tan 1 0  tan 1 t   0     
t 
 2 2

0
Como ambos son convergentes, la integral original es convergente y



1
 
dx    
2
1 x
2 2


En vista de que 1 1  x 2  0 , la integral impropia dada se puede interpretar como el

área de la región infinita bajo la curva y  1 1  x 2
y
1
1  x2
 y arriba del eje x.
Área= 
47
Ejemplo 3
¿Para qué valores de p la integral


1
1
dx es convergente?
xp
Solución: sabemos que si p  1 , la integral es divergente, así que supongamos que
p  1 . Entonces


1
t 1
1
dx  lim  p dx
p
t  1 x
x
x t
x  p 1 
 lim

t   p  1
 x 1
1  1

 1
p

1

t  1  p t


p 1
Si p  1 , entonces p  1  0 , y así t   , t   cuando 1 t p 1  0 . Por lo tanto,
 1
1
1 x p dx  p  1 si p  1
Y la integral converge. Pero si p  1 . Pero si p  1 , entonces p  1  0 y así
1
 t1 p   cuando t   y la integral diverge.
p 1
t
 lim
Resumiremos el resultado del ejemplo 3 como referencia para el futuro:
Integrando discontinuos


1
1
dx es convergente si p  1 , y diverge si p  1
xp
Ejemplo 4
Indique si

 2
0
sec xdx converge o diverge.
Solución: notará que la integral dada es impropia pues
lim sec x   . Al emplear el
x  2
inciso (a) de la definición 3 tenemos que

 2
0
sec xdx  lim
x   2 
t

 sec xdx
0
t
 lim  ln sec x  tan x  0
x   2 
 lim  ln  sec t  tan t   ln1  
x   2 
Ya que sect   y tan   cuando t   2  ; así pues, la integral impropia

original es divergente.
Ejemplo 5
48
Evalúe
1
 ln xdx
0
Solución: Sabemos que la función f  x   ln x tiene una asíntota vertical en 0 porque
lim ln x   ; por lo tanto, la integral dada es impropia y entonces
x 0
1
1
 ln xdx  lim  ln xdx
t 0
0

t
Ahora integramos por partes, con u  ln x , dv  dx,du  dx x y v  x :
 ln xdx  x ln x    dx
1
1
1
t
t
t
 1ln1  t ln t  1  t 
 t ln t  1  t
Para determinar el límite del primer término, aplicamos la regla del l’Hopital:
lim t ln t  lim
t 0
t 0
ln t
1t
 lim
 lim  t   0
1 t t 0 1 t 2 t 0
ln xdx  lim  t ln t  1  t 
Por consiguiente, 
1
t 0
0
 0  1  0  1
Interpretación geométrica de este resultado. El área de la región sombreada sobre
y  ln x y abajo del eje x es 1.
área=1
y  ln x
Ejercicios
Integral
1)
2)

  3x  1 dx
2
1

1


4) 
5) 
3)
1

0

x3dx
D.
xe x dx
0
2

1
  x  2 x  3dx
0


0
D.
1

7)
1
12
e x dx


6)
1
dw
2w
Respuesta
cosdx
 ln
2
3
D.
49
8)

1

xe2 x dx

ln x
dx
1
x

x
10) 
dx
 1  x 2
 ln x
11) 
dx
1 x2
3 1
12) 
dx
0
x
0 1
13)  2 dx
1 x
9)

 4
14)

15)
1
2 x4 dx
16)

17)

2
18)

2
0
csc2 tdt
3

0
sec xdx
1
dx
2 x  1
e2 4
D.
D.
1
2 3
D.
D.
D.
D.
D.
2
0
z 2 ln zdz
8
8
ln 2 
3
9
19) Hallar valores de α para que la integral converge o diverge




1
1
d
/  1
x
d
1
 lim
(b1  1)

b

x
(1   )
 1


 1


1
1
d
1
Integral Converge


x
 1
d
  Integral Diverge
x
20)

dx
  Integral Converge
 1  x 2

50